阿尔库塔斯 Archytas (Carl Huffman)
首次发表于 2003 年 6 月 26 日；实质性修订于 2020 年 11 月 5 日
阿尔库塔斯（Archytas）是一位希腊数学家、政治领袖和哲学家，活跃于公元前四世纪上半叶（即柏拉图的生活时期）。他是早期毕达哥拉斯传统中最后一位重要人物，也是塔伦图姆的主要政治人物，连续七次当选将军。他在公元前 361 年派遣一艘船救出柏拉图，使其摆脱了锡拉库托暴君狄奥尼修斯二世的控制。然而，他与柏拉图的个人和哲学联系非常复杂，两位哲学家之间存在许多分歧的迹象。从公元前一世纪开始，有大量以阿尔库塔斯名义写作的伪作问世，而他真正的作品只有四个片段幸存下来，尽管这些片段得到了许多重要的证言的补充。阿尔库塔斯是古代最著名的数学问题之一——立方倍增问题的首位解决者。我们还有他的证明，表明在音乐理论中重要的形式（n+1）:n 的比例不能被中比例分割。他是毕达哥拉斯和谐理论家中最复杂的一位，并提供了他那个时代实践音乐家使用的音乐音阶的数学解释。阿尔库塔斯的第一篇片段可能是最早将四个经典科学（逻辑学 [算术]、几何学、天文学和音乐学）确定为一组的文本，这在中世纪被称为四学科。还有一些迹象表明，他对光学科学的发展做出了贡献，并为力学科学奠定了数学基础。他认为科学的最终目标是用比例和比例来描述世界上的个体事物，并因此将逻辑学（数字和比例的科学）视为主导科学。合理的计算和对比例的理解也是一个公正的国家和个人美好生活的基础。 他给出了同时考虑到事物的物质和形式的定义。虽然我们对他的宇宙学了解甚少，但他发展了古代宇宙无限性的最著名论证。
1. 生平与作品
1.1 家庭、老师和学生；日期
阿尔库塔斯，赫斯提奥斯之子（见迪尔斯-克兰茨 1952 年第 47 章，A1 段；简称为 DK47 A1），生活在意大利靴子的脚跟上的希腊城市塔伦图姆。后来的传统几乎普遍将他认定为毕达哥拉斯学派的成员（例如 A1，A2，A7，A16）。亚里士多德及其弟子尤德莫斯并未明确称阿尔库塔斯为毕达哥拉斯学派的成员，似乎将他视为一位重要的独立思想家。柏拉图从未直接提到阿尔库塔斯的名字，除非在第七封信中（如果那是柏拉图的作品），而在那里他并未被称为毕达哥拉斯学派的成员。然而，在《理想国》中，当柏拉图引用了阿尔库塔斯的第 1 段（DK47 B1）时，他明确将其标记为毕达哥拉斯的和谐学的一部分（530d）。西塞罗（《演说家》III 34. 139）报道阿尔库塔斯是菲洛劳斯的学生，这是有可能的。菲洛劳斯是前一代（约公元前 470 年至公元前 390 年）最著名的毕达哥拉斯学派成员，可能曾在塔伦图姆教书。阿尔库塔斯在数学上的成就依赖于希波克拉底斯的工作，但我们没有证据表明他曾与希波克拉底斯学习。阿尔库塔斯唯一一个不仅仅是名字的学生是优多克索斯（约公元前 390 年至公元前 340 年），一位著名的数学家。优多克索斯可能并未从阿尔库塔斯那里学到他著名的享乐主义（见 DK47 A9），而据说他主要是在几何学方面跟随阿尔库塔斯学习（《列德传》VIII 86）。
阿尔库塔斯大致上是柏拉图的同时代人，但很难确定他的确切出生日期。亚里士多德的弟子尤德莫斯将他与柏拉图（公元前 428/7 年出生）和利奥达马斯（约公元前 430 年出生）以及泰阿泰德（约公元前 415 年出生）同时代（A6）。如果他比公元前 435 年早出生很多，很难称他与泰阿泰德同时代，所以他最早可能出生在这个时间之后。另一方面，他最晚可能出生在公元前 410 年，仍然被认为是柏拉图的同时代人。斯特拉波将阿尔库塔斯与塔伦图姆的繁荣联系在一起，而后期塔伦图姆雇佣了雇佣军将领（A4）。由于雇佣军出现在公元前 340 年左右，所以阿尔库塔斯最晚在公元前 350 年去世。这个日期与其他证据（A5 = [德谟斯特尼], 艳情演说 61.46）一致，该证据将阿尔库塔斯与蒂莫西乌斯联系在一起，蒂莫西乌斯在公元前 355 年左右去世，并与柏拉图的（？）第七封信（350a）一致，该信中将阿尔库塔斯描绘为在公元前 361 年仍然活跃在塔伦图姆。因此，阿尔库塔斯的出生年份在公元前 435 年至 410 年之间，去世年份在公元前 360 年至 350 年之间。
一些学者（例如，Ciaceri 1927–32: III 4）认为罗马诗人贺拉斯的《阿尔库塔斯颂》（I 28 = A3）的发言者是阿尔库塔斯本人，因此得出阿尔库塔斯死于船难的结论。然而，标准解释正确地认识到，发言者不是阿尔库塔斯，而是一名遇难的水手，他向阿尔库塔斯呼喊（Nisbet 和 Hubbard 1970，317ff.）。这首颂歌并没有告诉我们关于阿尔库塔斯的死亡的任何信息，但它是公元前一世纪罗马作家对阿尔库塔斯的着迷的众多证据之一（普罗珀提乌斯 IV 1b.77；瓦罗在 B8；西塞罗，《共和国》I 38.59，I 10.16；《终极目标》V 29.87；《图斯库兰讲义》IV 36.78，V 23.64，《演说术》III 34.139；《友谊》XXIII 88；塞内加，《论幸福》XII 39–41），也许是因为毕达哥拉斯主义被视为意大利本土的哲学，而不是希腊的进口品（Burkert 1961；Powell 1995，11 ff.）。
1.2 解释/原理来源
除了他的著作残片外，我们对阿尔库塔斯的生平和工作的了解主要依赖于在他去世后的五十年里写作的作者。阿尔库塔斯作为一个思想家和政治领袖的重要性反映在这一时期关于他的著作数量上，尽管这些作品只有片段被保存下来。亚里士多德写了一部关于阿尔库塔斯哲学的三卷作品，比他的其他前辈更多，还写了一部由柏拉图的《蒂迈欧》和阿尔库塔斯的著作摘要组成的作品（A13）。不幸的是，几乎没有这些作品的残存。学者们普遍认为它们是真实的（Huffman 2005: 583–94），但 Schofield 最近提出了一些疑问（2014: 81–2）。亚里士多德的弟子尤德莫斯在他的几何学史（A6 和 A14）和物理学著作（A23 和 A24）中广泛讨论了阿尔库塔斯。亚里士多德的另一位弟子阿里斯托克西诺斯写了一本关于阿尔库塔斯的传记，这是关于他的生平传统的基础（A1，A7，A9）。阿里斯托克西诺斯（375-ca. 300）对阿尔库塔斯的准确信息有很好的了解。他出生在塔伦图姆，并在阿尔库塔斯在城市中的鼎盛时期长大。除了他对阿尔库塔斯的个人了解外，他还以自己的父亲斯平塔鲁斯为来源，斯平塔鲁斯是阿尔库塔斯的年轻同时代人（例如，A7）。阿里斯托克西诺斯开始他的哲学生涯是一个毕达哥拉斯派成员，并在雅典与毕达哥拉斯派的泽诺菲卢斯学习，所以他对阿尔库塔斯的描绘大多是积极的。尽管如此，阿尔库塔斯的反对者也得到了公正的听证（例如，A9），而阿尔库塔斯本人也被描绘为不完美的人物（A7）。其他四世纪的来源，如柏拉图文集中的第七封信和德谟斯特尼的（？）《情欲演讲》关注阿尔库塔斯与柏拉图之间的联系（见下文）。
1.3 阿尔库塔斯与塔伦图姆
阿尔库塔斯在希腊哲学家中独一无二，因为他在自己的家乡城市的政治中扮演了重要角色。在他的职业生涯中的某个时刻，他连续七年当选为将军（stratêgos），这是一个记录，让我们想起了雅典的伯里克利。他的当选是违反了一项法律的例外，该法律禁止连续年度选举，因此证明了他在塔伦图姆的声望。亚里士多德报告说，阿尔库塔斯从未在战斗中失败过，而且，当他被敌人的嫉妒迫使撤离职位时，塔伦图姆立即遭受了失败（A1）。他可能曾担任将军委员会的一员（雅典有一个由十人组成的将军委员会）。与雅典的类比表明，作为将军，他可能还在塔伦图姆的议会上就城市重要问题发表讲话享有特权，因此他的将军职位给予了他相当大的政治和军事权力。在他的职业生涯的某个时刻，他可能被指定为将军独裁者（"plenipotentiary"）（A2），这使他在处理外交和军事事务时享有特殊的自由，而无需咨询议会，尽管这并不是独裁权力，所有安排可能都需要最终得到议会的批准。我们不知道阿尔库塔斯连续七年担任将军的具体时间。有人认为，它们必须与柏拉图第二次和第三次访问意大利和西西里岛的七年期重合，即 367 年至 361 年（例如，Wuilleumier 1939, 68-9），但阿尔库塔斯在这些年份内不一定是将军，他在《第七封信》中扮演的角色。证据表明，阿尔库塔斯的大部分军事行动并不针对其他希腊人，而是针对意大利土著民族，如梅萨皮亚人和卢卡尼人，与塔伦图姆自建城以来一直处于不断冲突的状态。
重要的是要认识到，阿尔库塔斯施加影响力的塔伦图姆并不是一个无足轻重的地方。斯巴达殖民者于公元前 706 年建立了它。起初，它被南意大利的其他希腊殖民地如克罗顿所掩盖，尽管它拥有意大利南海岸最好的港口，并且是从希腊大陆向西航行的船只的自然停靠点。阿尔库塔斯在塔伦图姆长大，根据斯巴达的建立，它在伯罗奔尼撒战争中支持伯罗奔尼撒和锡拉库萨的一方（修昔底德 VI 44; VI 104; VII 91）。雅典与梅萨皮亚人结盟（修昔底德 VII 33），而梅萨皮亚人一直是塔伦图姆的敌人，阿尔库塔斯后来会领导远征对抗他们（A7）。伯罗奔尼撒战争结束后，塔伦图姆似乎避免了直接参与锡拉库萨暴君狄奥尼修斯一世与由克罗顿领导的意大利南部希腊城市联盟之间的冲突。在狄奥尼修斯粉碎联盟后，塔伦图姆成为意大利南部最强大的希腊城邦，可能成为意大利希腊城市联盟的新领导（A2）。在阿尔库塔斯处于巅峰和晚年的 380-350 年间，塔伦图姆是希腊世界最强大的城市之一（Purcell 1994, 388）。斯特拉波对其军事实力的描述（VI 3.4）与修昔底德对伯罗奔尼撒战争初期雅典的描述（II. 13）相比，更为有利。
尽管塔伦图姆与斯巴达有着祖先的联系，后者是一个寡头政治国家，但在阿尔库塔斯的一生中，塔伦图姆似乎是一个民主国家。根据亚里士多德的说法（政治学 1303a），这个民主国家是在公元前 473 年，塔伦图姆的大部分贵族在与当地人伊亚皮吉人的战斗中被杀后建立的。赫罗多德斯证实这是他所知道的希腊人最大的屠杀事件（第七卷 170）。没有证据表明，在公元前 473 年建立民主国家和阿尔库塔斯去世之间的这段时间里，塔伦图姆不是一个民主国家。一些学者认为，塔伦图姆与斯巴达的联系以及毕达哥拉斯派对贵族政治的偏好将确保塔伦图姆不会长期保持民主制度，并且在阿尔库塔斯统治下也不是一个民主国家（Minar 1942, 88–90; Ciaceri 1927–32, II 446–7）。然而，斯特拉波明确描述塔伦图姆在阿尔库塔斯时期是一个民主国家（A4），而对阿尔库塔斯在塔伦图姆的权力描述强调他在民众中的受欢迎程度和被公民选为将军（A1 和 A2）。最后，亚里士多德对公元前四世纪塔伦图姆政府结构的描述（政治学 1291b14），虽然可能与其他形式的政府一致，但如果塔伦图姆是一个民主国家，这种描述是最合理的。阿尔库塔斯的 B3 片段也是如此，它强调了财富更加平等的分配。
1.4 阿尔库塔斯和柏拉图
阿尔库塔斯在古代非常有名，在现代世界也因为他在公元前 361 年派船救出柏拉图免受锡拉库托暴君狄奥尼修斯二世的迫害而闻名。在阿尔库塔斯的两篇现存古代传记（由狄奥根尼斯·拉尔提乌斯和苏达所写）中，除了提到他的城邦和父亲的名字之外，第一件提到的事情就是他救出柏拉图。这个故事在归属于柏拉图的第七封信中详细叙述。因此，将阿尔库塔斯视为“柏拉图的朋友”是很典型的（Mathieu 1987）。阿尔库塔斯在二十多年前首次遇见柏拉图，当时柏拉图在公元前 388/387 年首次访问意大利南部和西西里岛，这是他在苏格拉底去世后的旅行（Pl. [?], Ep. VII 324a, 326b-d; Cicero, Rep. I 10. 16; Philodemus, Acad. Ind. X 5–11; cf. D.L. III 6）。一些学者认为阿尔库塔斯是这段关系中的主导人物（Zhmud 2006, 93），甚至是“柏拉图的新型哲学家”（Vlastos 1991, 129）和柏拉图哲王的原型（Guthrie 1962, 333）。实际情况似乎要复杂得多。除了第七封信之外的古代证据以截然相反的方式呈现了阿尔库塔斯和柏拉图之间的关系。一种传统确实将阿尔库塔斯描绘为柏拉图的毕达哥拉斯派导师，柏拉图在苏格拉底去世后曾在他的脚下学习（例如，西塞罗, Rep. I 10.16），但另一种传统则将阿尔库塔斯描绘为柏拉图的学生，正是因为柏拉图，他在塔伦图姆享有声誉并取得成功（德谟斯特尼斯 [?]，情话演讲 44）。
第七封信本身的真实性备受争议。许多学者认为它要么是柏拉图本人的作品，要么是柏拉图的一位学生所写，该学生对柏拉图在西西里事件中的参与非常熟悉（参见 Brisson 1987; Lloyd 1990; Schofield 2000），但 Burnyeat 和 Frede（2015）对这一观点提出了严重的质疑。这封信似乎是为了为柏拉图在西西里事件中的参与辩护而写的。然而，Lloyd 认为，这封信还用来与毕达哥拉斯主义和阿尔库塔斯保持距离（1990）。信中没有任何迹象表明柏拉图曾经是阿尔库塔斯的学生；相反，两者的关系更接近于《爱的演说》中所呈现的关系。柏拉图被描绘为一个主导性的人物，阿尔库塔斯在哲学和政治上都依赖他。阿尔库塔斯写信给柏拉图，声称狄奥尼修斯二世在哲学上取得了巨大进步，以敦促柏拉图第三次来西西里（339d-e）。然而，这些说法在柏拉图到达后就被证明是虚假的（340b）。因此，这封信表明，阿尔库塔斯远非柏拉图学习哲学的毕达哥拉斯大师，他对柏拉图所认为的哲学有着非常不完善的理解。这封信明确表示，柏拉图与塔伦图姆的阿尔库塔斯和其他人之间存在着“客人友谊”的关系（339e，350a）。这种关系可能是在柏拉图第一次访问塔伦图姆时建立的，因为柏拉图将其作为基础，以在 367 年第二次访问时建立阿尔库塔斯和狄奥尼修斯二世之间的类似关系（338c）。当柏拉图第三次前往西西里的旅行遭遇困难时，这也是柏拉图向阿尔库塔斯寻求帮助的关系（350a）。然而，这样的友谊并不意味着任何亲密的个人关系。 亚里士多德将 xenia 分类为一种功利友谊，并指出这样的朋友不一定要经常在一起，甚至彼此相处愉快（EN 1156a26 ff.）。除了阿尔库塔斯在 361 年拯救柏拉图（甚至这也被描述为柏拉图的策划 [350a]）之外，柏拉图显然是这段关系中占主导地位的人物。阿尔库塔斯被描绘为在哲学理解上不如柏拉图，甚至柏拉图被认为对阿尔库塔斯的一些政治成功负有责任，因为他建立了阿尔库塔斯与狄奥尼修斯二世之间的关系，这被描述为具有相当大的政治重要性（339d）。
在这些相互矛盾的证据下，我们如何解开柏拉图和阿尔库塔斯之间真正关系的本质？除了第七封信外，柏拉图从未直接提到阿尔库塔斯。然而，在《理想国》第七卷（530d）中，他几乎引用了阿尔库塔斯在谐波学方面的一句话，并且他在此之前对立体测量学的讨论很可能与阿尔库塔斯在立体几何学方面的工作有一些联系（528d）。因此，在讨论科学的背景下，柏拉图提到了阿尔库塔斯，而阿尔库塔斯的作品遗存正是专注于科学（例如，B1 片段）。如果我们假设柏拉图首次访问意大利和西西里至少部分是出于与阿尔库塔斯见面的愿望，正如第一传统所述，但他寻找阿尔库塔斯并不是为了找一个新的“模范哲学家”，而是作为一个数学科学专家，而柏拉图对数学科学产生了浓厚的兴趣，那么这两种传统的观点就可以得到调和。在《理想国》第七卷中，柏拉图基于哲学的理由批评了毕达哥拉斯的谐波学和当前的立体几何学研究，因此，虽然他无疑从阿尔库塔斯那里学到了很多数学知识，但他显然不同意阿尔库塔斯对科学哲学用途的理解。在公元前 388 年，塔伦图姆还没有达到其权力的巅峰，阿尔库塔斯也不太可能在政治上占主导地位，因此第二传统声称阿尔库塔斯直到与柏拉图接触后才取得了巨大的实际成功，这种说法也可能有一定的真实性；然而，他的成功是否与与柏拉图的接触直接相关则更加可疑。在公元前 388/387 年的首次会面中，柏拉图和阿尔库塔斯建立了一种客人友谊的关系，这使他们有义务互相促进彼此的利益，正如 367-361 年的事件所显示的那样。 柏拉图和阿尔库塔斯在哲学问题上不一定达成一致，可能更好地被视为竞争的同事，参与对科学在哲学中的价值进行持续辩论（Huffman 2005，32-42）。
1.5 真实性问题
阿尔库塔斯的名字比其他毕达哥拉斯派成员的名字保留了更多的文本页。不幸的是，这些材料中绝大部分都被认为是伪作。毕达哥拉斯派传统的情况也是如此；那些自称是早期毕达哥拉斯派成员著作的文本，实际上大部分都是后来的伪作。其中一些伪作是出于纯粹的经济原因而产生的；一本由著名毕达哥拉斯派成员所写的“珍稀”作品的文本可以从书籍收藏家那里获得可观的金额。然而，毕达哥拉斯派传统具有独特的特点，这导致了伪作的大量产生。早在公元前四世纪后期，毕达哥拉斯开始在某些圈子中被视为卓越的哲学家，所有真理都已经向他揭示。所有后来的哲学，只要是真实的，都是对这一最初启示的重述（例如，参见 O'Meara 1989）。为了支持对毕达哥拉斯的这种看法，人们伪造了以毕达哥拉斯和其他早期毕达哥拉斯派成员的名义写作的文本，以表明他们实际上已经预见到了柏拉图和亚里士多德最重要的思想。这些伪毕达哥拉斯派文本的特点是使用柏拉图和亚里士多德使用的技术术语来表达中心思想。其中一些伪作甚至试图通过对他们的立场进行改进来超越柏拉图和亚里士多德，而这些改进是在他们去世几百年后首次提出的。这些伪毕达哥拉斯派论文的日期和起源地很难确定，但大多数似乎是在公元前 150 年至公元 100 年之间创作的（Burkert 1972b; Centrone 1990; Moraux 1984）；罗马（Burkert 1972b）和亚历山大（Centrone 1990）是最有可能的起源地。阿尔库塔斯是这一伪毕达哥拉斯派传统中的主要人物，可能是因为他与柏拉图有关（Zhmud 2019）。 在 Thesleff 1965 年的伪毕达哥拉斯著作集中，有 245 页中的 45 页（2-48 页），约占 20%，约 1200 行，是以阿尔库塔斯的名义伪造的文本。另一方面，被认为是真实的碎片，收录在 DK 中，只有 100 行的文本。因此，以阿尔库塔斯的名义保存的伪作品比真实作品多十倍以上。很可能伪毕达哥拉斯著作的风格和多利克方言也是以阿尔库塔斯真实著作为模板的。
1.6 以阿尔库塔斯名义的伪作品
阿尔库塔斯名下的论文收录在 1965 年的 Thesleff 著作中，几乎普遍认为这些论文并非历史上的阿尔库塔斯所写，除了《论法律与正义》，在这一点上存在相当大的争议。大多数论文只有碎片保存下来，尽管有两篇简短的完整作品。其中最著名的伪作是《关于整个体系 [即范畴] 的论述》或《关于十个范畴的论述》（完整保存，参见 Szlezak 1972）。这部作品与《论对立物》（Thesleff 1965, 15.3–19.2）以及后来的《十个普遍断言》（完整保存，最早在 15 世纪被归属于阿尔库塔斯；参见 Szlezak 1972）一起，代表了将亚里士多德的范畴学说归属于阿尔库塔斯和毕达哥拉斯派的尝试（参见 Griffin 2015）。这种尝试在某种程度上取得了成功；辛普利修斯和伊安布利科斯都认为阿尔库塔斯关于范畴的著作是对亚里士多德的真正预见（CAG VIII. 2, 9–25）。《关于十个范畴》和《论对立物》在古代对亚里士多德《范畴学》的评论中经常被引用。伪阿尔库塔斯将十个范畴的名称几乎与亚里士多德使用的名称完全相同，并且他的语言在许多地方都紧随亚里士多德的脚步。将阿尔库塔斯的作品分为两篇论文，《关于十个范畴》和《论对立物》，反映了罗得岛的安德洛尼库斯将亚里士多德《范畴学》的最后六章与其他章节分开的工作。因此，阿尔库塔斯名下的作品必定是在公元前一世纪安德洛尼库斯的工作之后创作的。其他在形而上学和认识论方面的伪作包括《论原理》（Thesleff 1965, 19.3 – 20.17）和《论智慧与感知》（Thesleff 1965, 36.12–39.25），其中包括对柏拉图《理想国》中分割线段落的释义。曼斯菲尔德最近证明了 Thesleff 收藏中后一部作品的片段 1 实际上属于前一部作品（Mansfeld 2019）。 De Cesaris 和 Horky（2018）对《论智慧与知觉》进行了评论，但这部难以理解的作品仍然存在许多不明之处。Mansfeld（2019）表明，《论智慧与知觉》不太可能对 Aetius Placita 1.3.8 中的毕达哥拉斯原理的阐述产生影响，尽管 De Cesaris 和 Horky（2018）曾提出过这样的观点。Ulacco（2017）为《论原理》、《论智慧与知觉》和《论对立物》提供了新的文本（附有评论）。其他形而上学和认识论的作品包括《论存在》（Thesleff 1965, 40.1–16）和《论智慧》（Thesleff 1965, 43.24–45.4）。最近有人辩护说，《论智慧》是真实的，理由是它与亚里士多德的某些段落相似是由于阿尔库塔斯对亚里士多德的影响，而不是这部作品是以亚里士多德为基础伪造的迹象（Johnson 2008, 193–194）。的确，亚里士多德致力于撰写几部关于阿尔库塔斯的失传作品，必然熟悉他的思想。然而，在毕达哥拉斯传统中，真伪问题与其他古代作者的情况有所不同。对于像柏拉图这样的作者，存世作品的绝大多数肯定是真实的，因此，任何想要主张某部作品是伪作的人都必须承担举证责任。而在毕达哥拉斯传统中，伪作远远超过真作，情况正好相反。对于任何认为某部毕达哥拉斯作品是真实的人来说，举证责任在于证明它不符合伪造的毕达哥拉斯论文的模式，并且其内容可以通过早于第三世纪的证据予以证实，因为在那时开始产生毕达哥拉斯的伪作。 由于《论智慧》与伪经具有使用重要的亚里士多德区分的特点（Huffman 2005, 598–599），即使它不像归因于阿尔库塔斯的范畴论作品那样明显地抄袭亚里士多德的观点，但更有可能是在亚里士多德的基础上伪造的，而不是亚里士多德未经归属地使用《论智慧》。为了使后一种情况成为可能，需要有独立于《论智慧》的四世纪证据，将其中的观点归因于阿尔库塔斯。Horky 2015 将《论智慧》列为伪经，并对其进行了分析。关于归因于阿尔库塔斯的伪经的性质的最新讨论，请参阅 Bonazzi 2013 和 Centrone 2014。关于归因于阿尔库塔斯和其他早期毕达哥拉斯学派的伪经中对亚里士多德的运用的性质，请参阅 Ulacco 2016。
还有两篇伪作关于伦理学和政治学的片段，最近有带有评论的新版本：《论善良和幸福的人》（Centrone 1990），显示与公元前 1 世纪的作者阿里乌斯·迪迪默斯有联系，以及《论道德教育》（Centrone 1990），与公元前 2 世纪的卡尔尼阿德斯有关。最后一篇论文的地位不太清楚。《论法律和正义》（Thesleff 1965, 33.1–36.11）的片段被 Delatte（1922）详细研究，他表明这篇论文涉及到公元前 4 世纪的政治观念，并得出谦虚的结论，认为这篇作品可能是阿尔库塔斯所写，因为没有明确的晚期写作迹象。Thesleff 也得出类似的结论，认为这篇论文“可能是真实的，或者至少相对古老”（1961, 112），而 Minar 则认为“它具有真实性的充分理由”（1942, 111）。Johnson（2008, 194–198）支持其真实性，但最近 Horky 和 Johnson 认为它不是由阿尔库塔斯本人写的，并提出了一个有些拗口的理论，认为它是由一个作者写的，该作者基于亚里士多德在《阿尔库塔斯的生平》中假设阿里斯托克西诺斯分配给阿尔库塔斯的一篇演讲（2020: 459–460）。另一方面，DK 没有将《论法律和正义》的片段列为真实的片段，大多数近期学者认为这篇论文是伪作。Aalders 提供了最详细的论述，尽管他的一些论点并不具有决定性（1968, 13–20）。其他反对真实性的学者有 Burkert（1972a），Moraux（1984, 670–677），Centrone（2000）和最近的 Schofield（2014）。《论法律和正义》与阿尔库塔斯真实片段 B2 的联系证明了其真实性，但它与“Diotogenes”（Thesleff 76.2–3, 71. 21–2），“Damippos”（Thesleff 68.26）和“Metopos”（Thesleff 119.28）的伪作柏拉图派论文有时甚至是逐字逐句的相似之处，证明了它的伪造性。此外，真实的片段 阿尔库塔斯的第 3 篇表明计算（logismos）是他政治哲学中的关键概念。如果《论法律与正义》是真实的（Huffman 2005, 599–606），那么在这本关注政治哲学的著作中完全没有计算的存在，以及在第 3 篇中其他关键术语的缺失（例如 pleonexia、homonoia 和 isotēs），这是很难解释的。关于《论法律与正义》真实性的最新争论，进一步将其与真实的第 3 篇进行对比，可参见 Schofield 2014: 82–5。即使这部作品属于伪作，Horky 和 Johnson 无疑是正确的，他们认为对其真实性的争论导致学者们忽视了该论文的哲学内容（Horky and Johnson 2020: 487），并提供了一份试图阐明这一难以理解的文本的评论。他们认为这篇文本与阿尔库塔斯的真实碎片密切相关，并提出它可以帮助我们理解那些碎片，但相似之处只是非常一般的。正如 Zhmud 最近所辩称的，伪作中真正的毕达哥拉斯主义元素很少（Zhmud 2019），《论法律与正义》似乎也是如此。
一些证言表明，甚至还有更多伪阿尔库塔斯的著作，即使只剩下碎片也没有保存下来（Thesleff 47.8 ff.）。阿尔库塔斯的两封伪造信件幸存下来。其中一封是伪柏拉图的第十二封信所回应的信件（D.L. VIII 79–80），另一封是阿尔库塔斯写给第二代狄奥尼修斯的信，该信连同船只一起在 361 年寄出，以确保柏拉图的释放（D.L. III 21–2）。阿尔库塔斯在中世纪和文艺复兴早期是一个受欢迎的人物，当时还继续以他的名义写作，通常拼写为 Architas 或 Archita。几个关于狗的左耳蜡和狼的心脏的炼金术配方被归因于阿尔库塔斯，这些配方在伪阿尔伯图斯的《世界奇迹》（De mirabilibus mundi - 公元 13 世纪）中被归为他的作品。阿尔基塔·塔伦蒂努斯（或塔伦蒂努斯，或只是塔伦）的《自然事件》（de eventibus in natura，也被引用为 de effectibus in natura 和 de eventibus futurorum）一书的许多选段被保存在中世纪文本《灵魂之光》（Lumen Animae）中，这些文本于 14 世纪创作，并在 15 世纪广泛流传于欧洲，作为传教士的手册（Rouse 1971; Thorndike 1934, III 546–60）。一部名为《天上之物的循环理论》的伪作品，由阿尔库塔斯·马克西姆斯 [!] 创作，尚未完整出版，保存在安布罗西亚斯手稿 D 27 sup 中（参见《希腊占星术手稿目录》，F. Cumont 等编，第三卷，第 11 页）。
1.7 真正的作品和证言
没有古代留下阿尔库塔斯作品的清单，所以我们不知道他写了多少本书。面对大量伪作，令人失望的是只有少数真作的片段幸存下来。大多数学者认为迪尔斯和克兰茨印刷的四个片段（B1-B4）是真作。伯克特（1972a，220 n.14 和 379 n.46）对其中一些片段的真实性提出了一些担忧，但请参见鲍文（1982）和汉弗曼（1985 和 2005）的回应。我们对阿尔库塔斯真作的标题的证据主要依赖于引用这些片段的作者所给出的引文。据报道，B1 和 B2 片段来自一篇名为《和声学》的论文，关于阿尔库塔斯的和声理论的主要证言可能最终基于这本书（A16-A19）。这篇论文以讨论声学的基本原理开始（B1），定义了音乐理论中重要的三种平均数（B2），然后介绍了阿尔库塔斯对三个主要种类（半音、全音和纯律）的四度音程的数学描述（A16-A19）。B3 可能来自一本名为《科学论》的著作，可能是对数学在人类生活中的价值以及特别是对建立公正国家的贡献的更一般的讨论。斯科菲尔德（2009）提供了对其真实性的新支持。B4 来自一本名为《演讲》（Diatribai）的著作。片段本身声称计算科学（ha logistika，“逻辑学”）在其他科学（如几何学）之前，因此暗示了一本数学的技术著作。然而，《演讲》这个标题更通常意味着一篇伦理内容的论文，因此在这本著作中，科学可能是根据它们对导致良好生活的智慧的贡献来评估的。
一组相对丰富的证言，其中许多来自公元前四世纪的作者，表明阿尔库塔斯还写了其他书籍。阿尔库塔斯关于宇宙无限广阔的著名论证（A24），他的视觉理论（A25）以及他对运动的解释（A23，A23a）都表明他可能还写了一本关于宇宙学的著作。亚里士多德在《形而上学》中的评论表明阿尔库塔斯可能还写了一本关于定义的书（A22），而 A20 和 A21 可能暗示了一本关于算术的著作。也许有一本关于几何学或立体几何学的论文，其中发表了阿尔库塔斯解决立方倍增问题的方法（A14-15）。还有一个关于阿尔库塔斯的轶事传统，这可能最终源自亚里士多德的《阿尔库塔斯传》（A7，A8，A9，A11）。有可能甚至阿尔库塔斯关于宇宙无限论和视觉理论的证言也是从亚里士多德保存的轶事中得来的，而不是来自阿尔库塔斯自己的著作。
尚不确定以阿尔库塔斯之名流传的《论长笛》（B6）、《论机械》（B1 和 B7）和《论农业》（B1 和 B8）是否真的是由塔伦图姆的阿尔库塔斯所写，还是由其他同名的人所写。狄奥根尼斯·拉尔提乌斯列出了另外三位名为阿尔库塔斯的作家（VIII 82）。Theon 提到的《论十位数》（B5）可能是阿尔库塔斯所写，但与之配对的菲洛劳斯的著作是伪作（Huffman 1993, 347–350），因此暗示着以阿尔库塔斯之名的著作可能也是伪作。
2. 阿尔库塔斯作为数学家和和声理论家
2.1 倍立方
阿尔库塔斯是古代数学中最著名的难题之一——倍立方问题的第一个解决者。这个故事有很多浪漫的版本，最终追溯到埃拉托斯特尼（公元前 3 世纪），据说希腊德洛斯岛的居民遭受了一场瘟疫，当他们咨询神谕以寻求建议时，被告知如果他们将一个柱形祭坛的大小加倍，瘟疫就会停止（尤托修斯，在阿基米德的球体和圆柱体 II [III 88.3–96.27 Heiberg/Stamatis]）。对于神谕的简单回应实际上是由德洛斯人提出的，在某些版本中，他们建造了一个与第一个祭坛完全相同的第二个祭坛，并将其放在第一个祭坛上方（菲洛劳斯，在《分析后书》中，CAG XIII.3, 102.12–22）。结果得到的祭坛的体积确实是第一个祭坛的两倍，但它不再是一个立方体。下一个简单的回应是假设，既然我们想要一个体积加倍的祭坛，同时仍然保持为立方体，我们应该用一个边长是原祭坛边长的两倍的边来建造新的祭坛。这种方法也失败了。将祭坛的边长加倍会产生一个新的祭坛，其体积不是原祭坛的两倍，而是八倍。如果原祭坛的边长为 2，那么它的体积将是 23 或 8，而在一个边长是原来两倍的祭坛上建造的祭坛将有一个体积为 43 或 64。那么，什么样的边长会产生一个体积是原立方体两倍的立方体呢？德洛斯人束手无策，将他们的问题提交给了柏拉图学院的柏拉图。柏拉图随后向与学院有关的数学家提出了“德洛斯问题”，并提出了不少于三种解决方案，即欧多克索斯、梅纳赫穆斯和阿尔库塔斯的解决方案。
关于德利亚人的故事是否有真实依据尚不清楚。即使有，也不应理解为在公元前四世纪德利亚人首次提出了立方倍增的问题。据我们所知，活跃于公元前五世纪下半叶的数学家希波克拉底斯（Hippocrates of Chios）早已面对这个问题，并将其简化为一个稍微不同的问题（Eutocius, in Archim. sphaer. et cyl. II [III 88.3–96.27 Heiberg/Stamatis]）。希波克拉底斯认识到，如果我们能够找到两个中项比例，使得原立方体 G 的边长与长度 D（其中 D = 2G）之间的比例为 G : x :: x : y :: y : D，那么边长为 x 的立方体将是边长为 G 的立方体的两倍。希波克拉底斯是如何得出这个结论的尚不确定，但我们在这里不必过多关注，重要的是他是正确的。在连续比例 G : x :: x : y :: y : D 中，每个值都等于 G : x，因此我们可以将它们都设为 G : x。如果我们这样做，并将这三个比例相乘，我们得到的值是 G3 : x3。另一方面，如果我们在原始术语中进行相同的连续比例并进行乘法运算，那么 G : x 乘以 x : y 将得到 G : y，而 G : y 乘以剩余项将得到 G : D。因此 G : D = G3 : x3，但是 D 是 G 的两倍，所以 x3 是 G3 的两倍。请记住，G 是原始立方体的边长，因此是边长为 x 的立方体是边长为 G 的立方体的两倍。希腊人并不将这个问题看作是代数问题，而是几何问题。在希波克拉底斯之后，立方倍增的问题一直被视为寻找两条线段，使它们成为原始立方体边长 G 和长度为 D（即 G 的两倍）之间的中项比例。阿尔库塔斯（Archytas）提供了这个问题的第一个解决方案。
阿尔库塔斯的解决方案被称为“所有解决方案中最为卓越的”和“三维建构中的大胆之举”（Heath 1921, 246）；穆勒称其为“空间想象力的壮举”（1997, 312 n. 23）。我们要感谢尤托修斯，他在公元六世纪收集了大约十一个解决这个问题的方法，并将其作为对阿基米德《球与圆柱体论》第二卷的评论的一部分。尤托修斯得到阿尔库塔斯解决方案的来源最终是亚里士多德的弟子欧德莫斯，他在公元四世纪末写了一本几何学的历史。这个解决方案很复杂，这里不可能一步一步地进行解释（详见 Huffman 2005, 342–401 对解决方案的详细处理）。阿尔库塔斯通过构造一系列四个相似三角形（见下图 1）并证明它们的边成比例关系，即 AM : AI :: AI : AK :: AK : AD，其中 AM 等于原立方体的边长（G），AD 是 AM 的两倍。因此，应该在 AI 上建立一个体积是 AM 立方体两倍的立方体。真正的困难在于构造这四个相似三角形，其中原立方体的边长和两倍于该长度的边长是相似三角形的两条边之一。构造这些三角形的关键点 K 是由两个旋转平面图形的交点确定的。第一个图形是一个半圆，它垂直于圆 ABDZ 的平面，从直径 AED 开始，并在点 A 保持固定的情况下旋转到位置 AKD。第二个图形是三角形 APD，它从圆 ABDZ 的平面上旋转到位置 ALD。当这些图形旋转时，它们在一个垂直于 ABDZ 平面且以 ABD 为底的半圆柱体的表面上留下一条线。 建筑的大胆和想象力在于设想在点 K 处，由旋转半圆在半圆柱体表面上绘制的线与由旋转三角形在同一表面上绘制的线相交。我们不知道是什么促使阿尔库塔斯产生这种惊人的空间想象力，以便构建边长成比例的三角形。有关将阿尔库塔斯的解决方案置于他所处时代的数学中并使其不那么“神奇”的最近尝试，请参见 Menn 2015。
在后来的传统中，据报道，柏拉图批评了阿尔库塔斯的解决方案，认为其诉诸于“使用仪器和机械构造”（普鲁塔克，《餐桌谈话》第八卷 2.1 [718e]；马尔克斯十四 5-6）。柏拉图认为，几何学和其他数学的价值在于它们能够将灵魂从感性世界转向可理解的领域。几何学所处理的立方体不是一个物理立方体，甚至不是一个立方体的图纸，而是一个符合立方体定义但不是感官对象的可理解立方体。通过使用“需要很多常见的手工艺”的物理仪器，并实际构造机器来确定两个中比例数，阿尔库塔斯关注的不是可理解的世界，而是物质世界，从而破坏了几何学的价值。柏拉图与阿尔库塔斯的争执是一个迷人的故事，但很难与阿尔库塔斯的实际解决方案相一致，正如我们所见，他的解决方案并没有诉诸于任何仪器或机器。这个争执的故事最早是在公元一世纪普鲁塔克的著作中报道的，也很难与我们对于迪利亚问题的最早来源——埃拉托斯特尼的故事相一致。埃拉托斯特尼自己发明了一种用于确定中比例数的仪器，称为 mesolab（“中间获取者”），他讲述迪利亚问题的故事正是为了强调早期的解决方案，包括阿尔库塔斯的解决方案，都是以几何证明的形式呈现的，不能用于实际目的。他特别将阿尔库塔斯的解决方案标记为 dysmêchana，“几乎不是机械的”。一些学者试图通过关注它们不同的文学目标来调和普鲁塔克和埃拉托斯特尼的版本（Knorr 1986, 22；van der Waerden 1963, 161；Wolfer 1954, 12 ff.；Sachs 1917, 150）；一些人认为阿尔库塔斯的解决方案中的半圆和三角形的旋转可能被视为机械的，因为涉及到运动（Knorr 1986, 22）。 然而，普鲁塔克关于柏拉图和阿尔库塔斯在几何学中使用机械装置的争论的故事可能是后来传统的虚构（Riginos 1976, 146; Zhmud 1998, 217），也许作为力学科学的一种基础神话，解释了力学与哲学的分离是两位哲学家之间争吵的结果。在《理想国》中，柏拉图批评了他那个时代的立体几何学，但他的批评并没有提到使用仪器。他的批评集中在立体几何学未能与几何学和天文学一起发展成为一个连贯的学科上（528b-d）。这种对立体几何的忽视被归因于希腊城邦没有将这些困难的研究视为荣誉、缺乏组织这些研究的负责人，以及该领域现有专家的傲慢，他们不愿服从这样的负责人。由于阿尔库塔斯的立方倍增法显示他是当时领先的立体几何学家之一，很难避免得出这样的结论：柏拉图认为他是那些专注于解决有趣问题但未能形成连贯的立体几何学学科的傲慢专家之一。由于阿尔库塔斯是塔伦图姆的一位重要政治人物，柏拉图批评他没有使塔伦图姆成为一个重视立体几何学的国家也是有可能的。
布里松（2013 年）对证据持怀疑态度，并得出结论，阿尔库塔斯从未解决过立方体的倍增问题。他认为，如果柏拉图的时代存在这个问题的解决方案，柏拉图会提到它，并且阿尔库塔斯所归因的解决方案所使用的数学在他的时代是不可能的，因为它使用了圆锥曲线，而圆锥曲线直到公元三世纪才发展起来（2013 年：220-1）。然而，尽管柏拉图批评了他那个时代的立体几何学的状态，但他也肯定有人在研究它，并且他们的一些结果具有魅力和美感（《理想国》528c-d）。阿尔库塔斯的倍增问题无理由不能被包括在这些结果之中。此外，阿尔库塔斯解决方案中使用的数学并不依赖于圆锥曲线，而是依赖于欧几里得的《几何原本》第 1、3、4、6 和 11 卷中的数学，这些数学是在阿尔库塔斯活跃的四世纪几何学中发现的（希思 1921 年，诺尔 1986 年，穆勒 1997 年和门恩 2015 年都认为这些数学对阿尔库塔斯来说是合适的）。阿尔库塔斯活动的两代人之后，梅纳赫穆斯成为第一个使用圆锥曲线解决这个问题的人（见门恩 2015 年：415-6）。布里松必须否定明确的传统，即在四世纪的时候尤德莫斯就知道阿尔库塔斯的解决方案，并假设这个解决方案是由后来的编纂者开发的，但这是不可信的，因为这样的编纂者不可能开发出解决方案的复杂数学，并且如果他是如此出色的数学家，他也不会将其归因于阿尔库塔斯。
2.2 音乐与数学
早期希腊科学最令人震惊的发现之一是音乐的基本音程，八度、四度和五度，与弦长的整数比例相对应。因此，如果我们弹奏长度为 x 的弦，然后弹奏长度为 2x 的弦，我们会听到两个声音之间的八度音程。如果两个弦的长度比例为 4：3，我们会听到一个四度音程；如果比例为 3：2，我们会听到一个五度音程。这个发现表明，音乐声音的现象受到整数比例的控制，必定在毕达哥拉斯学派的观念中起着核心作用，这个观念最早由菲洛劳斯表达（DK 44 B4）。和谐理论的下一步是用数学比例来描述整个八度音阶。最早描述音阶的方法可以在菲洛劳斯的 B6 片段中找到。菲洛劳斯认识到，如果我们从任意给定的音符上升一个四度音程，然后再上升一个五度音程，最后的音符将是第一个音符的八度音高。因此，八度由一个四度音程和一个五度音程组成。在数学术语中，控制五度（3：2）和四度（4：3）的比例通过乘法相加，从而产生一个八度（3：2 × 4：3 = 12：6 = 2：1）。从起始音符上升一个四度音程和上升一个五度音程之间的音程被视为音阶的基本单位，全音程，对应于比例 9：8（比例的减法通过除以项或交叉乘积进行：3：2 / 4：3 = 9：8）。因此，五度被视为四度加上一个全音程，八度可以视为两个四度加上一个全音程。四度由两个全音程和一个余数组成，其比例为 256：243（4：3 / 9：8 = 32：27 / 9：8 = 256：243）。 菲洛劳斯的音阶由以下间隔组成：9：8，9：8，256：243 [这三个间隔构成了一个四度音程]，9：8，9：8，9：8，256：243 [这四个间隔构成了一个五度音程，并完成了从我们起始音符到八度的全音阶]。这个音阶被称为毕达哥拉斯的纯律音阶，柏拉图在《蒂迈欧篇》（36a-b）中采用了这个音阶来构建世界灵魂。
阿尔库塔斯将和声理论提升到了一个全新的理论和数学复杂度水平。公元 2 世纪时，托勒密将阿尔库塔斯称为“所有毕达哥拉斯派中最专注于音乐研究的人”（A16）。首先，阿尔库塔斯提供了关于音高的一般解释，认为音高取决于声音传播和传输的速度（B1）。因此，如果一个棍子快速来回挥动，它会产生一个快速传播的声音，被感知为比慢速挥动的棍子产生的声音更高的音高。阿尔库塔斯正确地将音高与速度联系起来，但他误解了速度的作用。音高并不取决于声音到达我们的速度，而是取决于在一定时间内的碰撞频率。振动更快的弦会产生更高音高的声音，但无论音高如何，只要介质相同，所有声音的传播速度都是相等的。尽管阿尔库塔斯关于音高的解释最终是错误的，但它具有很大的影响力。它被柏拉图和亚里士多德接受并改编，并在整个古代一直是主导理论（Barker 1989，41 n. 47; Barker 2014: 187）。其次，阿尔库塔斯在毕达哥拉斯派的和声学中引入了新的数学严谨性。在用整数比例分析音乐的过程中，一个重要的结果是认识到基本音程不可能被平分。八度不是平分为两个相等的半音程，而是分为一个四度和一个五度，四度不是平分为两个相等的半音程，而是分为两个全音程和一个余音程。全音程也不能平分为两个相等的半音程。另一方面，双八度可以平分为两个相等的部分。从数学上来看，这可以通过认识到在对应于双八度（4:1）的比例的项之间插入一个中项比例，使得 4:2::2:1 来实现。 因此，双八度可以分为两个相等的部分，每个部分的比例为 2：1。控制基本音乐间隔的比例（2：1，4：3，3：2，9：8）都属于一种称为超分数比例的类型 - 粗略地说，是形式为（n + 1）：n 的比例。阿尔库塔斯通过提供一个严格的证明，证明了在超分数比例中不存在中间比例（A19），因此基本音乐间隔不能被平分。阿尔库塔斯的证明后来在欧几里得的《几何原理》中稍作修改并采用（命题 3；参见巴克尔 1989 年，195 页）。关于阿尔库塔斯的证明，请参阅 Huffman 2005 年：451-70 和 Barker 2007 年：303-5。
阿尔库塔斯对音乐理论的最后贡献与音阶的结构有关（有关详细内容请参见 Huffman 2005: 402–25 和 Barker 2007: 292–302）。希腊人使用了许多不同的音阶，这些音阶通过四度音程的构建方式来区分。这些音阶被分为三种主要类型或种类。其中一种被称为 diatonic（全音阶）；其中一个例子就是上面描述的毕达哥拉斯全音阶，它是建立在音程 9:8、9:8 和 256:243 的四度音程上的，被菲洛劳斯和柏拉图使用。毫无疑问，阿尔库塔斯知道这种全音阶，但他自己的全音阶四度音程略有不同，由音程 9:8、8:7 和 28:27 组成。阿尔库塔斯还在另外两个主要种类中定义了音阶，即 enharmonic（半音阶）和 chromatic（变音阶）。阿尔库塔斯的 enharmonic 四度音程由音程 5:4、36:35 和 28:27 组成，而他的 chromatic 四度音程由音程 32:27、243:224 和 28:27 组成。关于阿尔库塔斯在每个种类中采用的四度音程存在几个谜题。首先，为什么阿尔库塔斯拒绝了菲洛劳斯和柏拉图使用的毕达哥拉斯全音阶？其次，我们对阿尔库塔斯四度音程的主要来源——托勒密（A16）认为，阿尔库塔斯采用了一个原则，即所有和谐的音程应该对应于超分数比率。阿尔库塔斯的全音阶和半音阶四度音程的比率确实是超分数，但他的变音阶四度音程中的两个比率（32:27 和 243:224）却不是超分数。为什么这些比率也不是超分数呢？最后，柏拉图在《理想国》中批评毕达哥拉斯的和声学，认为他们在听到的和声中寻找数字，而不是升华为一般性问题（531c）。在阿尔库塔斯的四度音程中，这个批评是否有意义？对所有这些问题的答案可以在 Winnington-Ingram（1932）和 Barker（1989, 46-52）的著作中找到。 关键是阿尔库塔斯对三个种类的四和弦的解释可以证明与他那个时代的音乐实践相符；托勒密的批评之所以失之偏颇，是因为他对阿尔库塔斯时代的音乐实践一无所知，而阿尔库塔斯的时代比托勒密早了大约 500 年（Winnington-Ingram 1932, 207）。阿尔库塔斯给出的是实际使用的音阶的数学描述；尽管数学考虑确实起到了一定作用（Barker 2007: 295–302），但他得出这些数字部分是通过观察音乐家如何调音乐器而得出的（Barker 1989, 50–51）。他没有遵循毕达哥拉斯的整全音阶，因为它并不对应任何实际使用的音阶，尽管它确实对应一种调音的方法。阿尔库塔斯的半音四和弦中的不寻常数字确实对应于阿尔库塔斯时代使用的半音音阶。托勒密错误地认为阿尔库塔斯坚持所有和谐音程都应具有超分数比例的原则（Huffman 2005: 422–3），尽管 Barker 认为他可能遵循了一个不同但相关的原则（2007: 301）。因此，阿尔库塔斯对他那个时代的音乐提供了精彩的分析，但正是他对实际音乐实践的关注引起了柏拉图的愤怒。柏拉图不希望他专注于他所听到的音乐（“听到的和谐音”），而是希望他升华到考虑关于哪些数字与哪些数字和谐的相当抽象的问题。柏拉图可能会欢迎一个仅基于数学考虑的和谐原则，比如只有超分数比例才是和谐的原则，但阿尔库塔斯想要解释他实际听到的音乐中的数字。这里涉及到一个重要的形而上学问题。 柏拉图呼吁研究数字本身，与感知世界分离，而阿尔库塔斯，像他之前的毕达哥拉斯派一样，没有将感知世界和可理解世界分开，并寻求统治感知事物的数字。有关阿尔库塔斯作为柏拉图在《理想国》中抱怨的对象的讨论，请参见 Huffman 2005: 423–5 和 Barker 2014:192–3。
2.3 阿尔库塔斯作为数学家的评价
有人倾向于高估和低估阿尔库塔斯作为数学家的成就。范德瓦尔登甚至认为阿尔库塔斯的成就包括了欧几里德《几何原本》第八卷和被称为《音乐数学》的论文，这在古代传统中被归属于欧几里德（1962 年，152-5 页）。尽管后来的学者（例如，诺尔 1975 年：244 页）重复了这些说法，但它们部分基于对阿尔库塔斯风格的非常主观的分析。阿尔库塔斯影响了《音乐数学》，因为命题 3 是基于阿尔库塔斯的证明（A19），但这篇论文不可能是阿尔库塔斯写的，因为它的音高理论和对于半音全音四和弦的描述与阿尔库塔斯的不同。另一方面，一些学者对阿尔库塔斯作为数学家的能力表示怀疑，认为他的一些工作看起来像是“纯粹的算术学”和“数学上的神秘化”（伯克特 1972a，386 页；穆勒 1997，289 页）。这个判断在很大程度上基于一个被错误解释为阿尔库塔斯自己观点的文本（A17），而实际上，它是阿尔库塔斯对他前辈的报告（哈夫曼 2005，428-37 页；巴克尔 2007，193-5 页）。立方体的重复和阿尔库塔斯对音乐数学的贡献（巴克尔 2007，287 页称他为“数学谐波早期历史中的英雄人物”）表明，毫无疑问他是公元前四世纪上半叶最重要的数学家之一。这无疑是古代的评判。在他的几何学史中，尤德莫斯将阿尔库塔斯与利奥达马斯和泰阿泰德一起，认为他们是柏拉图一代最杰出的数学家（A6 = Proclus，在 Eucl.，prol. II 66, 14 中）。最近，内茨（2014 年）提出了一个观点，即古希腊数学的大部分进展可以归因于两个网络。后者以阿基米德为典范，而前者以阿尔库塔斯为典范。 网兹建议我们将伯特兰·罗素对毕达哥拉斯的描述“有史以来最重要的人之一”应用于阿尔库塔斯，原因是他的数学天才以及他在三个不同群体中的关键地位：（1）南意大利的毕达哥拉斯派，（2）希腊数学家，以及（3）与柏拉图对话的哲学家（2014 年：181-2）。
3. 阿尔库塔斯对科学的看法
3.1 科学的价值
阿尔库塔斯 B1 是他关于和声学的书的开头，其中大部分内容都致力于他声学理论的基本原理，特别是在上面的 2.2 节中描述的音高理论。然而，在前五行中，阿尔库塔斯提供了一篇关于科学（mathêmata）的价值的序言。这个序言有几个重要特点。首先，阿尔库塔斯确定了四门科学：天文学、几何学、“逻辑学”（算术）和音乐。因此，B1 可能是最早将这些科学集合称为中世纪的四学科（quadrivium）并构成七种自由艺术中的四门科学的文本。其次，阿尔库塔斯并没有将这种科学分类视为自己的发现，而是从赞美他们在这些领域工作的前辈开始。一些学者认为，当他赞美“那些关心科学的人”时，他只是在想象毕达哥拉斯派（例如，Zhmud 1997 年，198 和 Lasserre 1954 年，36），但这错误地假设了早期希腊数学都是毕达哥拉斯派的。阿尔库塔斯没有暗示他将他的言论限制在毕达哥拉斯派，而且在我们可以确定影响他最多的领域，这些人物并不限于毕达哥拉斯派（例如，几何学中的希波克拉底，见 2.1 节）。他赞美科学的前辈，因为他们“对整体的本质有很好的洞察力，他们也很可能很好地看到事物在它们的部分中是如何的”，并且“对个别事物的正确理解”。正是在这里，阿尔库塔斯提出了他对科学的本质和价值的理解；由于这段文字的简洁性，很多地方仍然不清楚。阿尔库塔斯似乎在赞美那些关心科学的人的洞察力，他们的区分能力（diagignôskein）。 他认为他们开始通过区分整体的本质，科学的普遍概念，并且因为他们做得很好，他们能够理解特定的对象（部分）。阿尔库塔斯似乎在他的《和声学》中完全遵循这个程序。他首先定义了科学中最普遍的概念——声音，并用其他概念（如冲击）来解释它，然后再区分可听和不可听的声音以及高音和低音。然而，这门科学的目标并不是对于普遍概念的这些区分，而是对于个体事物真正本质的认识。因此，阿尔库塔斯的《和声学》以我们听到的实践音乐家使用的音乐间隔的数学描述结束（见上文 2.2 节）。天文学将以行星的周期、升起和落下的数学描述结束。理解阿尔库塔斯的项目的一种方式是将他视为在毕达哥拉斯传统中的前辈菲洛劳斯所建议的计划的实现。菲洛劳斯的一个核心论点是，只有通过用数字来解释事物，我们才能获得对它们的知识（DK 44 B4）。虽然菲洛劳斯只在这个项目中迈出了第一步，但阿尔库塔斯在用数字来解释现象世界中的个体事物方面更加成功，正如他对音乐间隔的描述所示。
柏拉图在《理想国》第七卷中对科学的阐述可以被看作是对阿尔库塔斯对科学观点的回应。首先，柏拉图确定了五个科学领域，而不是四个，并对他提出的第五个科学领域——立体几何学的忽视表示不满，可能暗指了阿尔库塔斯（见第 2.1 节）。柏拉图引用了阿尔库塔斯的断言“这些科学似乎是相似的”（B1），尽管他只将其应用于和声学和天文学，而不是阿尔库塔斯的四学科，并没有提到他的名字。然而，在同一段落中，柏拉图明确拒绝了毕达哥拉斯学派试图在“听到的和谐中”寻找数字的尝试。通过这样做，柏拉图不同意阿尔库塔斯试图确定统治感性世界的数字。对于柏拉图来说，科学的价值在于它们能够将灵魂的眼睛从感性世界转向可知领域。《理想国》第七卷通过详细论证可知领域与感性领域之间的区别，洞穴与洞穴外的可知世界之间的区别，可能在很大程度上是针对阿尔库塔斯试图用数学来解释感性世界的尝试。正如亚里士多德一再强调的那样，毕达哥拉斯学派与柏拉图的区别在于他们拒绝将数字与事物分离（例如，《形而上学》987b27）。
3.2 逻辑学作为主导科学
在 B4 中，阿尔库塔斯断言：“逻辑学似乎确实在智慧方面远远优于其他艺术。”阿尔库塔斯所指的“逻辑学”是什么意思？从 B1 中提到的四门姊妹科学之一的数字科学来看，它似乎是阿尔库塔斯对数字科学的称呼。从 B4 或其他阿尔库塔斯的文本中，单凭阿尔库塔斯的用法无法确定逻辑学的含义，因此有必要在一定程度上依赖柏拉图，他是唯一一个广泛使用这个术语的早期人物。后来的逻辑学概念，即处理数字事物而不是数字本身的概念，例如在格米努斯的著作中出现，不应归因于柏拉图或阿尔库塔斯（Klein 1968; Burkert 1972a, 447 n. 119）。在柏拉图的著作中，“逻辑学”可以指日常计算，我们称之为算术（例如 3 × 700 = 2,100；参见《米诺篇》366c）。然而，在其他段落中，柏拉图将逻辑学与算术并列，并将它们共同构成数字科学，这是基于对数字的实际操作（Klein 1968, 23–24）。算术和逻辑学都涉及偶数和奇数。算术关注的不是数量，而是数字的种类（《格里高利篇》451b），从偶数和奇数开始，可能继续到我们在尼科马库斯（《算术篇》1.8-1.13）中后来发现的类型，如质数、合数和偶数倍数。逻辑学则关注数量，即“奇数和偶数在自身和彼此之间所具有的数量”（《格里高利篇》451c）。逻辑学的一个部分的例子可能是研究各种平均数和比例，重点是数字之间的数量关系（例如，尼科马库斯，《算术篇》II. 21 ff.）。在 B2 中，当阿尔库塔斯定义与音乐相关的三种平均数（几何平均数、算术平均数和谐波平均数）时，他可能认为自己正在从事逻辑学。 几何平均数是在三个术语之间存在特定关系时产生的，即第一个术语与第二个术语的比例等于第二个术语与第三个术语的比例（例如，8：4 :: 4：2），而算术平均数是在三个术语之间存在特定关系时产生的，即第一个术语比第二个术语多的数量与第二个术语比第三个术语多的数量相等（例如，6：4 :: 4：2）。阿尔库塔斯像柏拉图一样（R. 525c），在逻辑学中不仅仅使用这个狭义的相对数量研究的意义，还用来指代包括算术在内的整个数学科学。
为什么阿尔库塔斯认为逻辑学优于其他科学？在 B4 中，他特别将其与几何学进行比较，认为逻辑学（1）“比几何学更生动地处理它所希望的事物”，并且（2）“完成了几何学无法完成的证明”，即使“涉及形状的任何研究”。这最后一句话令人惊讶，因为形状的研究似乎是几何学的适当领域。解释阿尔库塔斯这一说法最常见的方式是假设他认为逻辑学在数学上优于几何学，因为某些证明只能通过对逻辑学的引用来完成。伯克特认为这是对碎片真实性的怀疑的原因，因为事实似乎恰恰相反。阿尔库塔斯可以通过他对立方体倍增问题的解决来几何地确定 2 的立方根，但无法通过算术方法来确定，因为 2 的立方根是一个无理数（1972a，220 n. 14）。然而，其他学者指出，几何学中的某些证明确实需要对逻辑学的引用（Knorr 1975，311; Mueller 1992b，90 n. 12），例如，逻辑学需要识别对角线与正方形边的不可测量性，因为当两个量“彼此之间的比率不像数字之间的比率”时，就会出现不可测量性（欧几里得第 10 卷第 7 定理）。这些建议表明，在某些情况下，逻辑学可以优于几何学，但它们并不能解释阿尔库塔斯更一般的断言，即逻辑学比几何学更清晰地处理任何问题。
然而，B4 可能实际上并不是将逻辑学与其他科学作为科学进行比较-就它们在提供证明方面的相对成功而言。据说 B4 所来自的作品《演讲》（Diatribai）最常用于道德论著。此外，逻辑学被认为在智慧（sophia）方面是卓越的，虽然智慧可以指技术专长，但更常指最高形式的智力卓越，通常是使我们过上美好生活的卓越（亚里士多德，EN 1141a12; 柏拉图，R. 428d ff.）。逻辑学是否使我们比其他科学更聪明？由于阿尔库塔斯显然同意菲洛劳斯的观点，即我们只有在理解统治它们的数字的情况下才能理解世界上的个体事物，因此阿尔库塔斯认为逻辑学是使我们对世界更加聪明的科学，这似乎是相当合理的。从这个意义上说，即使处理形状时，逻辑学始终优于几何学。也许古典时期最著名的雕塑是阿尔戈斯雕塑家波利克勒图斯的《持矛者》（Doryphoros），他也称之为《规范》（即标准）。尽管波利克勒图斯在构建这个壮丽的形状时无疑使用了几何学，但在他的书中，也名为《规范》的著作中，他声称他的雕塑不是通过许多形状而是“通过许多数字”而成为的（DK40 B2，参见 Huffman 2002a）。仅凭几何关系无法确定给定对象的形式，我们必须指定特定的比例、特定的数字。阿尔库塔斯还认为数字和逻辑是公正的国家和美好生活的基础。在 B3 中，他认为是理性计算（logismos）产生了国家所依赖的公平。 正义是一种需要以数字方式陈述的关系，正是通过这样的陈述，富人和穷人才能共同生活，每个人都能看到自己所拥有的公平。物流学将始终优于其他科学，因为这些科学最终将依赖数字来使我们了解我们听到的声音、看到的形状和我们观察到的天体的运动。
3.3 光学和力学
亚里士多德是第一个提到光学和力学科学的希腊作者，他将光学描述为几何学的附属科学，将力学描述为立体几何的附属科学（《分析前书》78b34）。阿尔库塔斯在描述科学前辈的工作时，并未提及这两门科学，柏拉图也没有提到它们。这种沉默表明这两个学科可能首次发展于公元前四世纪上半叶，当时阿尔库塔斯最活跃，他可能在它们的发展中起到了重要作用。最近在他关于毕达哥拉斯派的书中发现的一个片段（雅布利科斯，《数学评注》第二十五章；参见伯克特 1972a，50 页注 112），亚里士多德赋予了光学在毕达哥拉斯派中一个迄今未被认识到的重要性。正如毕达哥拉斯派对基于整数比例的音乐间隔印象深刻一样，他们也对光学现象能够用几何图解来解释印象深刻。阿尔库塔斯不仅是一位出色的数学家，还有一个关于视觉的理论，并显然试图解释镜子中涉及的一些现象。与柏拉图认为视觉光线需要来自外部光线的支持并与之融合不同，阿尔库塔斯仅通过视觉光线来解释视觉（A25）。因此，可以猜测阿尔库塔斯在基于数学的毕达哥拉斯光学的发展中起到了重要作用，这也是亚里士多德所提到的。另一方面，当亚里士多德提到毕达哥拉斯派时，通常指的是公元前五世纪的毕达哥拉斯派。在其他地方，他将阿尔库塔斯视为独立于毕达哥拉斯传统的人，写了关于阿尔库塔斯的作品，与他关于毕达哥拉斯派的作品不同。因此，更自然地将亚里士多德对毕达哥拉斯光学的提及解读为对像菲洛劳斯这样的公元前五世纪的毕达哥拉斯派的暗示。 阿尔库塔斯将负责将已经存在的毕达哥拉斯光学传统发展成为一门科学，而不是创立这样的传统。
Diogenes Laertius 报道说，阿尔库塔斯是“第一个通过使用数学基本原理来系统化力学的人”（VIII 83 = A1），因此现代学者有时将阿尔库塔斯誉为力学科学的创始人。然而，有一个谜题，因为在后来的机械传统中（例如，赫伦、帕普斯、阿基米德、菲隆），没有古希腊作者将任何关于力学领域的工作归功于阿尔库塔斯。古人所指的力学是什么意思呢？一个粗略的定义是“机械操作的描述和解释”（Knorr 1996）。力学中最早的论文是被归属于亚里士多德的《机械问题》，其中涉及到一个简单机械——杠杆。帕普斯（公元 320 年）提到了用于举起重物的机械、战争机器（如弹弓）、提水机、惊人的装置（自动机）以及用作天体模型的机器（1024.12-1025.4，关于帕普斯，请参阅 Cuomo 2000）。然而，帕普斯强调，除了力学的实践部分外，还有一个严重依赖数学的理论部分（1022.13-15）。考虑到阿尔库塔斯对用数学术语描述物理现象的兴趣，他可能会对力学做出重要贡献。然而，实际证据并不确定。将阿尔库塔斯归功于力学发展的倾向很大程度上可以追溯到普鲁塔克关于柏拉图和阿尔库塔斯之间争论的故事，该故事涉及到阿尔库塔斯据称通过机械方法解决了倍立方问题。这个故事很可能是虚构的（见 2.1）。一些学者认为阿尔库塔斯设计了战争机器（Diels 1965; Cambiano 1998），就像后来的阿基米德一样，但这个结论是基于可疑的推论，没有古代文献将这些机器归功于阿尔库塔斯。 阿尔库塔斯唯一可以归属的机械装置，除了被称为“拍手”的儿童玩具（A10）之外，还有一种木制鸽子形状的自动装置，它与滑轮和配重相连，当被一股气流推动时，从低处“飞”到高处的栖木上（A10a）。金斯利对那些将这些发明视为玩具的学者持批评态度，并提出与早期中国发明家的联系，他们制造了一只可以用于军事目的的木制飞鸟（2014 年：155-9）。其他人则认为，由于古代攻城器械被称为动物的名字（例如“乌龟”和“乌鸦”），阿尔库塔斯的“鸽子”可能是他设计的早期弹射器，或者是由这样的弹射器抛出的抛射物，后来被误解为是一个机械鸽子（贝里曼 2003 年：355；2009 年：78）。然而，没有古代资料以这种方式解释这只鸽子。这里一个复杂的因素是，迪奥根尼斯·拉尔提乌斯报道（A1）有一本关于力学的书在流传，有些人认为这本书是由另一个阿尔库塔斯写的，因此这只飞鸽实际上可能是另一个阿尔库塔斯的作品。阿尔库塔斯对立方体的倍增问题的解决方案虽然本身不是机械装置，但对力学来说具有巨大的重要性，因为这个问题的解决方案不仅可以使立方体加倍，还可以构造比给定体积更大或更小的物体。因此，这个解决方案允许基于一个工作模型来构建一个实际尺寸的机器。帕普斯将立方体倍增问题的解决方案列为实际力学中最重要的三个几何定理之一（Math. Coll. 1028. 18-21）。因此，阿尔库塔斯对力学的主要贡献可能正是他对立方体倍增问题的解决方案，而这个解决方案构成了阿尔库塔斯为力学提供的数学基本原理。 对于最近对这些问题的讨论，请参见 Berryman 2009: 87–97。阿尔库塔斯是否撰写了一部关于力学的论文还存在疑问。Schofield 最近提出了一个论点，认为关于阿尔库塔斯在光学和力学方面的工作的证据非常有限，我们应该对阿尔库塔斯所扮演的所谓角色持怀疑态度（2014: 86）。
4. 定义
在《形而上学》中，亚里士多德赞扬阿尔库塔斯提供了同时考虑形式和物质的定义（1043a14–26 = A22）。给出的例子是“无风”（nênemia），被定义为“空气中的静止 [形式]”和“海洋上的平静”（galênê），被定义为“海洋的平坦 [形式]”。形式和物质这些术语是亚里士多德的，我们无法确定阿尔库塔斯如何概念化他的定义的两个部分。一个合理的推测是，他在采用限制者和无限者作为他的基本形而上学原则方面，遵循了他的前辈菲洛劳斯的观点，并且他将他的定义视为限制者（如平坦和静止）与无限者（如空气和海洋）的组合。作为例子的“无风”和“海洋上的平静”的奇特之处表明它们不是其他类型的调查（例如宇宙学）的副产品，而是被精确选择来说明定义的原则。阿尔库塔斯可能因此专门撰写了一篇论文来探讨这个主题。亚里士多德在其他地方评论了比例在发展定义中的应用，并使用了同样的例子（《论证学》108a7）。能够在不同类别的事物中识别相似之处被认为是关键。“无风”和“海洋上的平静”被认为是相似的，这种相似性可以用以下比例来表达：nênemia 与空气的关系就像 galênê 与海洋的关系一样。人们很容易认为，将世界解释为数字和比例的阿尔库塔斯也将比例视为发展定义的关键。这可以解释亚里士多德对阿尔库塔斯的另一个提及。在《修辞学》1412a9–17（= A12）中，亚里士多德赞扬阿尔库塔斯正是因为他能够看到即使在差异很大的事物中也存在相似性，并举了阿尔库塔斯将仲裁者和祭坛视为相同的例子。 DK 奇怪地将这段文字包括在阿尔库塔斯生平的证言中，但显然它是阿尔库塔斯关于定义的工作的一部分。祭坛和仲裁者的定义将以它们作为避难所的共同功能为基础，同时认识到这一功能在不同的背景和方式中得以实现。对于阿尔库塔斯关于定义理论的这种重建存在疑问，请参见巴克尔 2006 年的 314-318 页和斯科菲尔德 2014 年的 80 页。
5. 宇宙学和物理学
我们对阿尔库塔斯的宇宙学几乎没有什么证据，然而他负责了古代最著名的宇宙学论证之一，这个论证被誉为“有史以来对空间无限性提出的最有说服力的论证”（索拉比基，1988 年，125 页）。这个论证被归因于阿尔库塔斯，保存在辛普利修斯的尤德莫斯碎片中（= A24），当亚里士多德描述人们相信无限存在的第五个和“最重要”的理由时，他可能指的是阿尔库塔斯（Ph. 203b22 ff.）。阿尔库塔斯要求任何认为宇宙是有限的人参与一个思想实验（这是古代最早记录的思想实验之一）：“如果我到达天空的最外边缘，我能把手或杖伸到外面吗？不可能（根据我们对空间性质的正常假设）不能伸出。”一旦伸出杖的末端将标志着一个新的界限。阿尔库塔斯可以前进到新的界限并再次提出同样的问题，因此总会有某些东西，可以伸展他的杖，超出所谓的界限，因此这个东西显然是无限的。柏拉图和亚里士多德都不接受这个论证，他们都认为宇宙是有限的。尽管如此，阿尔库塔斯的论证产生了巨大的影响，并被斯多葛派、伊壁鸠鲁派（卢克莱修斯 I 968-983）、洛克和牛顿等人接受和改编，同时引发了亚历山大和辛普利修斯的回应（索拉比基，1988 年，125-141 页）。关于阿尔库塔斯的思想实验与古代其他思想实验之间的关系的讨论，请参见 Ierodiakonou 2011 年的论文。并非所有学者都对这个论证印象深刻（参见巴恩斯，1982 年，362 页），现代对空间的概念允许它是有限的，而没有边缘，没有边缘，阿尔库塔斯的论证就无法开始（但参见索拉比基，1988 年，160-163 页）。 超越这个论点，对于阿尔库塔斯关于物质世界的系统，只有少量的证据。尤德莫斯称赞阿尔库塔斯认识到不平等和不均匀并不等同于柏拉图所认为的运动（见《泰阿泰德》52e 和 57e），而是运动的原因（A23）。另一个证言表明，阿尔库塔斯认为一切事物都按比例运动（亚里士多德，《概率论》915a25-32 = A23a）。同一证言表明，不同种类的比例定义了不同种类的运动。阿尔库塔斯声称，“平等的比例”（算术比例？）定义了自然运动，他将其视为弯曲运动（关于平等比例的不同解释，请参见德格鲁特 2014 年：195-207）。这种对自然运动的解释被认为解释了为什么植物和动物的某些部分（例如茎、大腿、手臂和躯干）是圆形而不是三角形或多边形。一些学者认为，正是阿尔库塔斯的影响导致了柏拉图和尤德莫斯强调用统一的循环运动来解释天空（Zhmud 2006 年：97）。用比例来解释运动与阿尔库塔斯的其他证据相吻合，但细节仍然不清楚。
6.伦理学和政治哲学
阿尔库塔斯对事物中的数字的探索不仅局限于自然界。政治关系和个体的道德行为也可以用数字和比例来解释。在第 3 段中，理性计算被认为是稳定状态的基础：
一旦计算（logismos）被发现，它就停止了纷争，增加了和谐。因为人们不想要超过他们的份额，而且一旦平等存在，这种情况就会发生。因为通过计算，我们将在与他人的交往中寻求和解。因此，穷人从有权势的人那里得到，富人给予有需要的人，双方都相信他们会因此得到公平的待遇。
这种对计算的赞美让人想起柏拉图在《哥吉亚斯篇》（507e6–508a8）中对“几何平等”的赞美，而柏拉图可能在思考阿尔库塔斯的第三段（Palmer 2014: 205–6; Huffman 2013: 259–61）。对平等（isotas）和公平（to ison）的强调表明，阿尔库塔斯将理性计算（logismos）视为严重依赖数学的。另一方面，logismos 并不等同于数字的技术科学（logistic - 见上文 3.2），而是一种实际能力，能够理解数值计算，包括基本比例，这是大多数人共有的能力。正是计算和比例的清晰性消除了对更多的不断追求（pleonexia），这导致国家内部的不和谐。由于国家是基于广泛共享的人类计算能力建立的，这种能力富人和穷人都拥有，阿尔库塔斯支持比柏拉图更民主的宪法（见上文 1.3），柏拉图强调少数人的专业数学知识（R. 546a ff.）。Zhmud（2006: 60–76）指出 B3 与伊索克拉底斯之间的联系，并认为伊索克拉底斯在提到科学时指的是阿尔库塔斯，他说有些人赞扬科学的实用性，而其他人试图证明科学对道德的巨大贡献（《布西里斯篇》23）。然而，阿尔库塔斯似乎接受了关于科学的这两种观点，而伊索克拉底斯则指的是两个不同的人群。伊索克拉底斯的引用也非常笼统，并没有提到 B3 的核心术语，因此他是否考虑到阿尔库塔斯是值得怀疑的。有关 B3 论证的进一步讨论，请参见 Huffman 2005: 182–224 和 Schofield 2008。
我们对阿尔库塔斯伦理观的大部分证据，不幸的是，并不基于他的著作片段，而是基于传闻，这些传闻可能最终源自亚里士多德的《阿尔库塔斯传》。个人的美好生活，与国家的稳定一样，似乎是建立在理性计算的基础上的。亚里士多德描绘了锡拉库萨的享乐主义者波利阿库斯与阿尔库塔斯之间的对抗。波利阿库斯的长篇演讲被雅典奥斯尼乌斯保留下来，而阿尔库塔斯的回应则被西塞罗保留下来（A9 = Deip. 545a 和 Sen. XII 39-41）。斯科菲尔德（2014: 70, n.2）对西塞罗是否真正保留了阿尔库塔斯的回应表示怀疑（参见哈夫曼 2005: 323-37）。霍尔基（2011: 120）假设没有论证地认为亚里士多德将阿尔库塔斯描绘为在柏拉图和萨姆尼特人 C·庞提乌斯面前发表演讲，但这是西塞罗的框架故事的一部分，没有证据表明它源自亚里士多德。波利阿库斯为不断追求更多（pleonexia）和追求快乐辩护，这让人想起柏拉图对卡利克勒斯和塞拉西马柯的描述，但并非源自这些描述，更好地看作是一个重要的平行发展（哈夫曼 2002b）。阿尔库塔斯的回应基于这样一个前提，即理性（=理性计算）是我们最好的部分，也应该统治我们的行动。波利阿库斯可能会接受这样的前提，因为他是一个理性的享乐主义者。阿尔库塔斯再次用一个思想实验来回应。我们要想象一个人陷入最大可能的身体快感中（性高潮？）。我们肯定会同意，处于这种状态的人无法进行理性计算。因此，身体的快感本身与理性相对立，我们越是成功地获得它，我们就越无法理性思考。亚里士多德似乎在《解释/原理》（1152b16-18）中提到了这个论点。 阿尔库塔斯的论点特别针对身体的快乐，他并不认为所有的快乐都是破坏性的；他喜欢和孩子们玩耍（A8），并认识到友谊的快乐是美好生活的一部分（西塞罗，《友谊论》第 23 章第 88 节）。其他轶事强调我们的行为必须受到理性的控制，而不是情绪的驱使：阿尔库塔斯拒绝惩罚他的奴隶严重的过错，因为他已经生气了，不想出于愤怒行事（A7）；他通过在墙上写下诅咒而不是大声咒骂来克制自己（A11）。帕尔默认为，阿尔库塔斯是根据毕达哥拉斯派对灵魂的理解而工作的，将灵魂分为两个部分：智力和负责情感状态（如情绪和欲望）的部分（2014 年：209）。
7. 重要性和影响力
阿尔库塔斯比任何其他人更符合普遍的毕达哥拉斯人刻板印象。他是迄今为止最有成就的毕达哥拉斯数学家，在几何学、逻辑/算术和和声学方面做出了重要贡献。他在政治领导方面比任何其他古代哲学家都更成功，并且有关他个人自我控制的轶事传统丰富。然而，令人惊讶的是，几乎没有证言将阿尔库塔斯与转世轮回或毕达哥拉斯教的宗教方面联系起来。阿尔库塔斯是公元前 1 世纪罗马毕达哥拉斯主义复兴中的重要人物：荷马、普罗珀提乌斯和西塞罗都对他进行了强调。作为早期毕达哥拉斯传统的最后一位重要成员，以他的名字伪造的伪毕达哥拉斯作品比任何其他毕达哥拉斯人（包括毕达哥拉斯本人）都要多。他的名字以 Architas 的拼写形式在中世纪和文艺复兴的文本中继续发挥着影响力，尽管这些文本中赋予他的成就是幻想的。
学者们通常强调柏拉图和阿尔库塔斯之间的连续性（例如，Kahn 2001, 56），但证据表明阿尔库塔斯和柏拉图在许多问题上存在严重分歧。柏拉图对阿尔库塔斯的唯一确定提及是在《理想国》第七卷中对他在和声学上的方法的批评中，其中可能也批评了他在立体几何学上的工作。柏拉图试图在《理想国》第六卷和第七卷中为可理解世界和可感知世界之间的分裂辩护，这很可能是对阿尔库塔斯的劝诫，因为他拒绝将数字与事物分离。有人认为，柏拉图的《泰玛斯》中的同名主讲人，被描述为来自意大利南部的一位杰出政治家和哲学家（20a），必须是阿尔库塔斯的替身。然而，《泰玛斯》是一份与阿尔库塔斯无关的文件（Huffman 2013: 263-8）。它基于可感知世界和可理解世界之间的分裂，而阿尔库塔斯并不接受这一点。柏拉图认为宇宙是有限的，而阿尔库塔斯以此论证宇宙是无限的而闻名。柏拉图根据和声学理论中重要的比例构建了世界灵魂，但他使用的是菲洛劳斯的比例而不是阿尔库塔斯的比例。柏拉图确实采纳了阿尔库塔斯的音高理论，但阿尔库塔斯和柏拉图在对视觉的解释上存在分歧。关于柏拉图和阿尔库塔斯之间关系的不同观点，请参阅 Kingsley 2014: 156–7。阿尔库塔斯拒绝将可理解与可感知分离可能使他对亚里士多德更具吸引力，亚里士多德专门为他撰写了四本书（Huffman 2005: 583–594），并赞扬了他对物质和形式的组合进行定义的方法，而不是将形式与物质分离（《形而上学》1043a14–26）。阿尔库塔斯对数学在国家中的作用的看法更接近亚里士多德关于分配和再分配正义的数学解释（《伦理学》1130b30 ff.）。比起柏拉图对守护者专业数学知识的强调，阿尔库塔斯显然对柏拉图和亚里士多德都有重要影响，但这些哲学关系的确切性质是复杂的。
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