贝叶斯认识论 Bayesian (Hanti Lin)

首次发表于 2022 年 6 月 13 日星期一

我们可以将信念看作是一种非此即彼的事情。例如，我相信我是活着的，而我不相信我是蒙古帝国的历史学家。然而，通常我们希望区分我们对某事的信仰或不信仰程度。我坚信我是活着的，相当确信我会活到下次会议报告，对报告进展顺利的信心较低，而我坚定地不相信其主题会涉及蒙古帝国的兴衰。信念可以有不同强度的想法是贝叶斯认识论的核心思想。这种强度被称为信念度，或称为信任度。贝叶斯认识论者研究规范管理信念度的准则，包括一个人的信念度应该如何根据不断变化的证据而改变。贝叶斯认识论有着悠久的历史。一些核心思想可以在贝叶斯（1763）在统计学中的开创性论文中找到（Earman 1992: ch. 1），这些思想的应用现在在许多哲学和科学领域都具有很大影响。

本文关注更传统、更一般的贝叶斯认识论问题，同时，感兴趣的读者将被引荐到讨论更具体主题的条目。对于初学者和那些想要快速了解的人，第一部分将提供有关贝叶斯认识论的教程。

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贝叶斯认识论教程

本节提供了有关贝叶斯认识论的入门教程，详细信息请参考后续章节或相关条目。

1.1 一个案例研究

贝叶斯认识论是什么，让我们看看贝叶斯派对科学探究中的这一事件有何看法：

• 贝叶斯认识论。爱因斯坦的广义相对论理论表明，光线可以被太阳等大质量天体偏转。这一物理效应是爱因斯坦在 1911 年的一篇论文中预测的，在 1919 年 5 月 29 日的日食期间，从埃丁顿的两次远征选择的地点观察到了这一效应。这一结果让物理学界感到惊讶，并被认为是对爱因斯坦理论的重要确认。

以上案例提出了一个总体观点：

• 假设一个科学家正在测试一个假设 H。她从中推导出一个经验结果 E，并进行了一个实验，不确定 E 是否为真。结果表明，她作为实验结果获得了 E 作为新证据。那么她应该对 H 更有信心。此外，证据 E 越令人惊讶，对 H 的信心就应该提高。

这种关于置信度应该如何改变的直觉可以通过贝叶斯认识论来证明，通过对两种规范的呼应。但在转向它们之前，我们需要一个背景。将可能性空间分为四个部分，根据假设 H 是真还是假以及证据 E 是真还是假。由于 H 在逻辑上蕴含 E，因此在表中只有三种不同的可能性，如图 1 中的三个点所示。

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图 1：三种可能性的空间。[图 1 的扩展描述。]

这些可能性在这样一个意义上是互斥的，即它们中的任意两个不能同时成立；它们在这样一个意义上是完全穷尽的，即它们中至少有一个必须成立。一个人可以更或者更不确信某个可能性成立。假设说一个人相信某个可能性成立的程度是 80%是有意义的。在这种情况下，说这个人对该可能性的信念程度，或称为信心，等于 0.8。信心可能是任何其他实数。(如何理解实值信心是贝叶斯学派的一个重要话题，将在下文的 §1.6 和 §1.7 中讨论。)

现在我可以勾勒出贝叶斯认识论中的两个核心规范。根据第一个规范，称为概率主义，人对图 1 中的三种可能性的信任应该如此完美地契合在一起，以至于它们是非负的并且总和为 1。这样的信任分布可以用条形图表示，如图 2 左侧所示。

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图 2：根据证据的条件化。【图 2 的扩展描述。】

现在，假设一个具有这种信念分布的人收到了 E 作为新证据。似乎结果应该是信念发生了一些变化。但是它们应该如何变化呢？根据第二准则，即条件化原则，与 E 不相容的可能性（即最右侧的可能性）应该将其信念降至 0，并且为了满足概率主义，剩余的信念应该被放大——重新调整使其总和为 1。因此，这个人对假设 H 的信念必须以图 2 所示的方式上升。

此外，假设新证据 E 非常令人惊讶。这意味着这个人最初对 E 的虚假性非常有信心，如图 3 的左侧所示。

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图 3：对令人惊讶的证据进行条件化。【图 3 的扩展描述。】

然后对 E 的条件化需要完全的信念崩溃，随后是其他信念的急剧扩大。特别是，对 H 的信念显著提高，除非一开始就是零。这证实了在爱丁顿观测案例中报告的直觉。

1.2 两个核心规范

上述勾勒的两个贝叶斯规范可以更一般地陈述如下。(在本教程后将提供正式陈述，在第 2 节中。)假设有一些正在考虑的可能性，这些可能性是互斥且完全穷尽的。正在考虑的命题是在这些可能性中每个都是真或假的命题，因此它可以与在其中它为真的可能性的集合等同。当这些可能性的数量是有限的，并且当您对所有可能性都有信念时，概率主义采取简单形式，即您的信念应该在这个意义上是概率的：

• (非负性) 考虑中的可能性被分配的信念是非负实数。

• (Sum-to-One) The credences assigned to the possibilities under consideration sum to 1.

• (Additivity) 对于正在考虑的命题所分配的确信度等于分配给该命题中可能性的确信度之和。

这个规范是同步的，因为它在每个时间点都限制了你的信念，下一个规范是历时的。假设你刚刚收到了一条证据 E，这个证据在考虑中的一些可能性下是真实的。进一步假设 E 耗尽了你刚刚收到的所有证据。那么条件化原则说，你的信念应该发生变化，就好像你按照以下程序进行（尽管可能设计其他程序达到相同效果）：

• (Zeroing) 对于与证据 E 不相容的每种可能性，将其置信度降至零。

• (重新缩放) 对于与证据 E 相容的可能性，通过一个共同因子重新调整它们的信任度，使它们总和为 1。

• 现在，由于对个体可能性有了新的信念分布，根据概率主义中的可加性规则重新设置命题的信念。

第二步，重新调整，值得关注。它旨在确保符合概率主义，但它也具有独立的直觉吸引力。考虑任何两种可能性，其中新证据 E 为真。因此，新证据本身无法区分这两种可能性，因此似乎同样有利于这两种可能性。因此，似乎，如果一个人在这两种可能性中对其中一种的信心是另一种的两倍，那么在考虑到 E 的情况下，她应该保持这种信心变化，正如重新调整步骤所要求的那样。条件化的本质是保持一定比率的信心，这是由条件化的概括所继承的特征（有关详细信息，请参见第 5 节）。

贝叶斯认识论中被大多数贝叶斯主义者认为是两个核心规范的概率主义和条件化原则。

1.3 应用

贝叶斯认识论具有雄心壮志：发展一个简单的规范框架，其中包括几乎只有两个核心的贝叶斯规范，旨在解释或证明各种直觉上良好的认识实践，也许还指导我们的探究，所有这些都以信念变化为焦点。考虑到对信念变化的狭窄关注，这听起来相当雄心勃勃。但许多贝叶斯主义者认为，信念变化是贯穿我们认识努力许多不同方面的一个统一主题。让我在下面举几个例子。

首先，似乎一个假设 H 被新证据 E 确认，正当当一个人对 H 的信心应该在获得 E 后增加时。延伸这个想法，似乎 H 被确认的程度与其信心应该提高的程度相关。有了这些想法，贝叶斯主义者已经发展了几种确认的解释；参见确认条目的第 3 节。通过确认的概念，一些贝叶斯主义者还发展了与之密切相关概念的解释。例如，被证据支持似乎与被证据确认相同或类似，这最终由贝叶斯主义者用信心变化来解释。因此，有一些关于证据支持的贝叶斯主义解释；参见贝叶斯定理条目的第 3 节和不精确概率条目的第 2.3-2.5 节。这里有另一个例子：一个理论如何解释一组证据似乎与该理论被证据确认的程度密切相关，这最终由贝叶斯主义者用信心变化来解释。因此，有一些关于解释力量的贝叶斯主义解释；参见诱因条目的第 2 节。

对信念变化的关注还揭示了我们认识实践的另一个方面：归纳推理。归纳推理通常被理解为一种导致形成全有或全无态度的过程：基于证据 E 相信或接受假设 H 的真实性。这似乎与贝叶斯图景不太相符。但对于贝叶斯主义者来说，真正重要的是新证据 E 应该如何改变一个人对 H 的信念——信念应该提高还是降低，以及提高或降低多少。当然，还有一个问题，即最终的信念是否足够高，以证明形成相信或接受态度的形成。但对许多贝叶斯主义者来说，这个问题似乎只是次要的，或者像 Jeffrey（1970）所主张的那样，最好放弃。如果是这样，归纳推理的根本问题最终是关于在新证据的光下信念应该如何改变。因此，贝叶斯主义者对各种归纳推理和相关的科学哲学经典问题有很多见解。请参见以下脚注，其中列出了相关调查文章的长列表（或研究论文，在尚未提供调查文章的情况下）。[1]

对于认识论和科学哲学中的应用专著，请参阅 Earman (1992), Bovens & Hartmann (2004), Howson & Urbach (2006), 以及 Sprenger & Hartmann (2019)。实际上，还有一些应用于自然语言语义学和语用学的内容：对于陈述条件句，请参阅 Briggs (2019: sec. 6 and 7) 的调查以及陈述条件句条目的第 3 和第 4.2 节；对于认知情态动词，请参阅 Yalcin (2012)。

上述提到的应用程序依赖于对信念的某种规范的假设。尽管大多数贝叶斯主义者认为正确的规范至少包括概率主义和条件化原则，但人们争论是否还有更多规范存在，如果有的话，它们是什么。现在我将转向这个问题。

1.4 Bayesians Divided: What Does Coherence Require?1.4 贝叶斯认识论分歧：协调需要什么？

概率主义通常被视为一种连贯性规范，它说明了一个人的观点应该如何在不连贯的情况下相互契合。因此，如果概率主义很重要，原因似乎是因为连贯性很重要。这引发了一个分裂贝叶斯派的问题：观点的连贯性需要什么？典型的贝叶斯派认为，连贯性至少要求一个人的信念遵循概率主义。但实际上有不同版本的概率主义，贝叶斯派在哪个版本是正确的问题上存在分歧。贝叶斯派也就观点的连贯性是否需要超过概率主义以及在多大程度上存在分歧。例如，连贯性是否要求一个人对一个偶然命题的信念严格介于 0 和 1 之间？另一个问题是连贯性对条件信念的要求，即一个人在假设一个或另一个命题为真时的信念。这些以及其他相关问题对贝叶斯认识论的应用产生了深远影响。有关连贯性要求的更多信息，请参见第 3 节。

1.5 Bayesians Divided: The Problem of the Priors1.5 贝叶斯认识论分歧：先验问题

有另一个问题分裂了贝叶斯派。概率主义和条件化原则的组合似乎很好地解释了为什么一个人对广义相对论的信心应该在爱丁顿的观测案例中上升。但是，这种贝叶斯解释依赖于案例的一个关键特征：证据 E 被质疑的假设 H 所蕴涵。但在许多有趣的案例中，比如这个案例，这种蕴涵是缺失的。

• 贝叶斯认识论。在进行了一天的实地研究后，我们观察到一百只黑乌鸦，没有反例。因此，新获得的证据是 E = “我们观察了一百只乌鸦，它们全都是黑色的”。我们对这个假设 H = “下一只被观察到的乌鸦将是黑色的”。

现在，根据两个核心的贝叶斯规范，假设中的信任度应该增加还是降低呢？嗯，这取决于情况。请注意，在当前情况下，H 既不涉及 E 也不涉及其否定，因此 H 中的可能性可以分为两组：与 E 兼容的可能性和与 E 不兼容的可能性。由于条件化的结果，与 E 不兼容的可能性的信任度将降至零；与之兼容的可能性将被放大。如果 H 内部的可能性中放大的部分超过了降低的部分，H 的信任度将上升，从而表现出归纳性；否则，它将保持恒定甚至下降，从而表现出反归纳性。因此，一切取决于先验的具体细节，这是指在获得相关新证据之前一个人拥有的信任度分配的简称。总之：仅仅概率主义和条件化原则是不够强大的，无法让我们断定在上述例子中一个人的信任度应该以归纳性还是反归纳性方式改变。

这一观点通常适用于大多数贝叶斯认识论的应用。例如，一些连贯的先验导致枚举归纳，而一些则不导致（Carnap 1955），一些连贯的先验导致奥卡姆剃刀，而一些则不导致（Forster 1995：sec. 3）。因此，除了连贯性规范（如概率主义）之外，是否还有其他规范来管理一个人的先验信念？这就是所谓的先验问题。

这个问题分裂了贝叶斯派。首先，有主观贝叶斯派，他们认为每个先验都是允许的，除非它不连贯。因此，对于这些贝叶斯派来说，先验的正确规范仅限于概率主义和其他任何连贯性规范。其次，有客观贝叶斯派，他们提出先验的正确规范不仅包括连贯性规范，还包括规范，以编码免于偏见的认识美德。这些贝叶斯派认为，免于偏见至少需要，粗略地说，一个人的信念均匀分布到某些可能性，除非有理由不这样做。这一规范被称为“无差别原则”，长期以来一直是一个争议的焦点。最后，一些贝叶斯派甚至提议认真对待其他认识论传统中广泛研究的某些认识美德，并认为这些美德需要被编码为先验的规范。有关解决先验问题的这些尝试性解决方案的更多信息，请参见下面的第 4 节。另请参见有关概率解释的条目的第 3.3 节。

到目前为止，我大多数时候都默认接受了概率主义和条件化原则这一套理论体系。但是，是否有任何充分的理由来接受这两个规范呢？这就是接下来要讨论的话题。

1.6 一个尝试的基础：荷兰书论证

有许多论点支持两个核心的贝叶斯规范。也许最有影响力的是所谓的荷兰书论证。荷兰书论证的动机是一个简单而直观的想法：信念指导行动。因此，你越坚信明天会下雨，你就越倾向于或应该下注天气不好。这种将信念程度与下注倾向联系起来的想法，至少部分可以通过以下方式捕捉：

• 一个信念-赌博桥梁原则（玩具版本）。如果一个人对命题 A 的信念等于一个实数 a，那么他可以购买赌注“赢得 100⋅a（以及任何更低的价格）”是可以接受的。

这座桥梁原则可以被解释为定义的一部分，或者作为捕捉信念本质的必然真理，或者被理解为共同约束信念和投注倾向的规范（Christensen 1996; Pettigrew 2020a: sec. 3.1）。希望通过这座桥梁原则或者一个更精炼的原则，不良信念会在投注倾向中产生不良症状。如果是这样，仔细观察投注倾向可能有助于我们区分不良信念和良好信念。这正是荷兰书论证的基本策略。

为了说明，考虑一个在命题 A 上有 0.75 信念度，在其否定 ¬A 上有 0.30 信念度的代理人（违反了概率主义）。假设上述提到的桥梁原则，代理人愿意进行以下赌注：

• 购买“赢得 75.

• 购买“赢得 30.

因此，代理人愿意接受这两个提议中的每一个。但实际上同时接受两者是非常糟糕的，因为这将导致确定的损失（5 美元）。

	_A_is true	_A_is false
购买“赢得 75”	−75+100	−$75
购买“赢得 30”	−30	−30+$100
净收益	−5	−5

因此，这个代理人的投注倾向使她容易受到一组单独可接受但共同造成确定损失的赌注的影响。这样的一组赌注被称为荷兰书。上述代理人容易受到荷兰书的影响，这对代理人来说听起来很糟糕。那么出了什么问题呢？问题似乎在于：信念指导行动，在这种情况下，错误的信念导致错误的行动：垃圾进，垃圾出。因此，代理人本不应该一开始就对 A 有 0.75 的信念和对 ¬A 有 0.30 的信念的组合，或者荷兰书论证会得出这样的结论。

以上思路可以概括并转化为荷兰书论证的模板：

荷兰书论证的模板

• 根据上述要求，将文本翻译成简体中文：前提 1. 您应该遵循这样的信念-赌桥原则（或者，由于信念的性质，您必须这样做）。

• 前提 2. 如果您这样做，并且如果您的信念违反了约束 C，那么可以证明您容易受到荷兰博彩的影响。

• 但你不应该如此易受影响。

• 结论。因此，您的置信度应满足约束 C。

有一个关于概率主义的荷兰书论证（Ramsey 1926, de Finetti 1937）。这个想法可以扩展为为条件化原则提出论证（Lewis 1999, Teller 1973）。荷兰书论证也已经被用于发展其他信念规范的论证，但它们需要以某种方式修改荷兰书的概念。参见第 3 节的参考资料。

关于荷兰书论证的一个直接担忧是，更高的确信度可能与更强的下注倾向无关。考虑一个非常厌恶下注所引起的焦虑的人。因此，尽管她对一个命题非常有信心，她可能仍然拒绝以低价买入其真实性的赌注，这样做是正确的。这似乎是对上述前提 1 的一个反例。有关荷兰书论证的更多信息，包括对它们的异议以及对它们的完善，请参阅 Hájek（2009）的调查以及荷兰书论证条目。

有一个显著的担忧，即使我们有一个逻辑上有效且只有真前提的荷兰书论证。荷兰书论证似乎只提供接受认识规范的实际理由：“不要有这样那样的信念组合，否则在实际上会有一些不好的事情发生”。对于那些希望用一个明显认识论或至少非实用主义的理由来解释贝叶斯规范的正确性的人来说，这样的理由似乎是不令人满意的。一些贝叶斯主义者仍然认为荷兰书论证是好的，并试图通过给出一个非实用主义的荷兰书论证改写（克里斯滕森 1996; 克里斯滕森 2004: sec. 5.3）来解决目前的担忧。一些其他贝叶斯主义者放弃了荷兰书论证，并追求贝叶斯认识论的替代基础，我现在转向这一点。

1.7 替代基础

贝叶斯认识论的第二种提出的基础类型是基于准确估计的概念。这个概念有两个部分：估计和准确性。根据这种方法，一个人对命题 A 的信心是对 A 的真值的估计，其中 A 的真值被认为是 1 如果它为真，0 如果它为假（Jeffrey 1986）。一个人对 A 的信心越接近 A 的真值，一个人的估计就越准确。然后，一个贝叶斯主义者可能会主张一个人的信心应该是概率的，否则一个人的信心分配的整体准确性将被支配，换句话说，它将无论如何低于另一个可能采用的信心分配的整体准确性。对一些贝叶斯主义者来说，这提供了一个明显的认识论理由或解释，说明为什么一个人的信心应该是概率的。结果就是所谓的概率主义的准确性支配论证（Joyce 1998）。这种方法也已经被扩展，用来支持条件化原则（Briggs & Pettigrew 2020）。有关这种方法的更多信息，请参阅有关概率主义认识论效用论证的条目，以及 Pettigrew（2016）。

There is a third proposed type of foundation for Bayesian epistemology. It appeals to a kind of doxastic state called comparative probability, which concerns a person’s taking one proposition to be more probable than, or as probable as, or less probable than another proposition. On this approach, we postulate some bridge principles that connect one’s credences to one’s comparative probabilities. Here is an example of such a bridge principle: for any propositions X and Y, if X is equivalent to the disjunction of two incompatible propositions, each of which one takes to be more probable than Y, then one’s credence in X should be more than twice of that in Y. With such bridge principles, a Bayesian may argue from norms for comparative probabilities to norms for credences, such as Probabilism. See Fishburn (1986) for the historical development of this approach. See Stefánsson (2017) for a recent defense and development. For a general survey of this approach, see Konek (2019). This approach has been extended by Joyce (2003: sec. 4) to justify the Principle of Conditionalization.

以上仅仅是为贝叶斯认识论提供基础的一些尝试。更多内容请参阅 Weisberg（2011：sec. 4）和 Easwaran（2011）的调查。

贝叶斯认识论遇到了三种提出的基础的独特担忧，因为它们依赖于对信念本质的某种描述。这就是贝叶斯认识论与心灵哲学相遇的地方。回想一下，它们试图理解信念与其他某些心理状态的关系：(i) 投注倾向，(ii) 真值估计，或(iii) 比较概率。但这些信念的描述显然容易受到反例的影响。（上面提到了一个例子：一个不喜欢由投注引起的焦虑的人似乎是对信念投注描述的反例）。有关这类担忧的更多信息，请参阅 Eriksson 和 Hájek（2007）。有关信念描述的更多信息，请参阅概率解释条目的第 3.3 节和不精确概率条目的第 3.4 节。

有第四种以应用为驱动的论证风格，对于贝叶斯派来说，这种风格似乎在许多人的心中是明确的或隐含的。这个想法是，可以通过引用应用程序来获得两个核心贝叶斯规范的良好论证。目标是解释一系列直观良好的认识实践，所有这些实践都是通过一个简单的一般规范集来完成的，这个集合几乎仅仅包括两个核心贝叶斯规范。如果这种贝叶斯规范体系如此出色，以至于在已知的竞争者中，它能够最好地平衡那两种优点——全面性和简单性——那么这就是接受这两个核心贝叶斯规范的一个很好的理由。事实上，刚刚描述的方法适用于认识论或伦理学中的任何规范，无论是关于信念还是行动。一些哲学家认为，这种方法在其完整的普遍性下，被称为反思均衡，是寻找支持或反对规范的一个很好方法（Goodman，1955 年；Rawls，1971 年）。有关这种方法及其争议的更多信息，请参阅反思均衡条目。

以上是一些支持贝叶斯规范的论证方式。本介绍性教程的其余部分旨在概述一些一般性的反对意见，将详细讨论留给后续章节。

1.8 对条件化的反对意见

条件化原则要求一个人根据新证据做出条件化反应。因此，这个原则在字面上被解释时，似乎对于一个人没有收到新证据的情况保持沉默。也就是说，它似乎过于弱，无法要求在没有新证据时不应任意改变信任度。为了解决这个问题，条件化原则通常被理解为没有新证据的情况被认定为一个极限情况，即一个人获得一个逻辑真理作为微不足道的新证据，这排除了任何可能性。在这种情况下，对微不足道的新证据进行条件化不会降低任何信任度，因此只会按照所需的因子重新调整信任度，即 1—没有任何信任度变化。一旦条件化原则被解释为这种方式，它就不再过于弱，但接下来的担忧是它变得过于强。考虑以下案例，Earman（1992）从 Glymour（1980）那里改编而来：

• 贝叶斯认识论。这是 1915 年。爱因斯坦刚刚发展出一种新理论，广义相对论。他评估这一新理论与一些至少已知五十年的旧数据的关系：水星近日点的异常前进速率（即水星轨道上距离太阳最近的点）。经过一些推导和计算，爱因斯坦很快意识到他的新理论包含了关于水星近日点前进的旧数据，而牛顿理论则不包含。现在，爱因斯坦增加了对自己新理论的信心，这是正确的。

请注意，在他的推导和计算过程中，爱因斯坦并没有进行任何实验或收集任何新的天文数据，因此他的证据体系似乎保持不变，仅由旧数据组成。尽管没有获得新的证据，爱因斯坦改变了（实际上是提高了）对新理论的信心，这是正确的——与条件化原则的通常解释相悖。因此，这个原则存在一个困境：如果按照字面意思解释，它对于任意信心变化的禁止太弱；如果按照通常的方式解释，它对于容纳爱因斯坦在水星案例中的信心变化太过严格。这个问题是厄尔曼的旧证据问题。

老证据问题有时以不同的方式呈现，即格莱默（1980）的方式，其攻击目标不是条件化原则，而是：

• 贝叶斯确认理论 (一个简单版本)。如果一个人在某个时间，如果她在 E 上进行条件化，她对 H 的确信度会提高，那么证据 E 就确认了假设 H（无论她是否实际这样做）。

如果 E 是一个人之前收到的旧证据，那么这个人对 E 的信任度目前为 1。因此，在当前时间对 E 进行条件化将不涉及删除信任度，而是通过缩放信任度因子为 1 进行重新调整信任度，因此根本没有信任度变化。然后，根据上述贝叶斯确认的解释，旧证据 E 必须未能证实新理论 H。但这个结果似乎是错误的，因为关于水星近日点前进的旧数据证实了爱因斯坦的新理论；这就是 Glymour 的旧证据问题，被解释为对贝叶斯确认解释的挑战。但是，如果 Earman（1992）是正确的，水星案例不仅挑战了贝叶斯确认理论，而且实际上更深入，一直到两个核心贝叶斯规范之一——即条件化原则，正如 Earman 的旧证据问题所暗示的那样。关于 Earman 的旧证据问题（关于条件化），请参见下面的第 5.1 节。有关 Glymour 的旧证据问题（关于确认），请参见确认条目的第 3.5 节。

上述仅是对条件化原则一系列问题的开端，这些问题将在本教程后讨论，即第 5 节。但在此先简要概述一下：旧证据问题是指当新理论被发展以适应某些旧证据时所出现的问题。当焦点从旧证据转移到新理论时，我们将发现另一个问题，同样棘手。还要注意，旧证据问题源于条件化中的某种不灵活性：没有新证据就不允许信念改变。其他问题也已针对条件化中其他种类的不灵活性，比如保持完全确定的信念。作为回应，一些贝叶斯主义者试图通过努力将条件化原则发展成更好的版本来捍卫条件化原则，正如您将在第 5 节中看到的。

1.9 对理想化的异议

另一个担忧是，两个核心的贝叶斯规范并不是我们应该遵循的规范，因为它们对普通人来说要求过高，实际上无法真正遵循——毕竟，应该意味着能够。更具体地说，这些贝叶斯规范通常被认为至少因为以下三个原因而过于苛刻：

1. (Sharpness) Probabilism 要求一个命题的信任度非常尖锐，就像一个实数一样尖锐，精确到可能无限多位数。

2. (Perfect Fit) 概率主义要求一个人的信任度完美契合；例如，一些信任度被要求总和恰好为 1，不多不少——完美契合。条件化原则也要求三者之间完美契合：先验信任度、后验信任度和新证据。

3. (逻辑全知) 概率主义通常被认为要求一个人在每个逻辑真理上具有置信度 1，在每个逻辑谬误上具有置信度 0。

逻辑全知这一最后一点，可能并不会立即从前述的表述中清晰地体现出来，但可以从以下观察中看出：逻辑真理在所有可能性中都是真实的，因此根据概率主义中的“总和为一”和可加性原则，必须被赋予可信度 1。

因此，令人担忧的是，尽管贝叶斯主义者拥有一个简单的规范框架，但他们似乎喜欢这种简单性，因为他们将人类认识努力中的复杂性理想化，并转而转向只有高度理想化的代理人才能达到的规范标准。如果是这样，那么对于两个核心贝叶斯规范存在普遍的反例：所有人类。将这称为理想化问题。关于提出这个问题的不同方式，请参见 Harman（1986 年：第 3 章），Foley（1992 年：第 4.4 节），Pollock（2006 年：第 6 章）和 Horgan（2017 年）。

贝叶斯主义者已经发展出至少三种策略，这些策略可能互相补充。第一种策略是逐渐消除理想化，一步一步地解释为什么这是进行认识论的好方法——就像长期以来一直被视为进行科学的好方法一样。第二种策略是解释为什么对于我们人类来说努力追求一些理想是有意义的，包括两个核心贝叶斯规范所指向的理想，即使人类无法达到这些理想。第三种策略是解释所讨论的理想化方式实际上如何增强和促进了贝叶斯认识论在科学中的应用（包括科学家特别是使用贝叶斯统计的情况）。有关对理想化问题的这些回应的更多信息，请参见第 6 节。

1.10 Concerns, or Encouragements, from Non-Bayesians1.10 非贝叶斯主义者的关注或鼓励

在那些沉浸于信仰或接受命题等一切或无的认识论中的人看来，贝叶斯人似乎对许多重要和传统问题说得太少，关心得也太少。让我在下面举几个例子。

首先，更传统的认识论者希望看到贝叶斯派与各种怀疑主义进行互动。例如，笛卡尔怀疑主义认为我们无法知道外部世界是否存在，正如我们通过感知理解的那样。还有皮洛尼怀疑主义的担忧，即没有任何信念可以被证明，因为一旦一个信念需要用理由来证明，所提出的理由也需要证明，这启动了一个永无止境的理由推论，永远无法完成。请注意，上述怀疑主义观点是以知识和理据的术语表达的。因此，更传统的认识论者也希望听到贝叶斯派对知识和理据的看法，而不仅仅是对信念规范的看法。

其次，更传统的科学哲学家希望看到贝叶斯派在一些经典辩论中发挥作用，比如科学现实主义和反现实主义之间的辩论。科学现实主义大致上认为，我们有充分理由相信我们最好的科学理论是真实的，要么是字面上的，要么是近似的。但反现实主义者持不同意见。其中一些人，比如工具主义者，认为我们只有充分理由相信我们最好的科学理论是某些目的的良好工具。贝叶斯派经常比较对竞争科学理论的信任度，但有人可能希望看到一种比较，即一方面，某个理论 T 为真的信任度，另一方面，T 为某种目的是一个好工具的信任度。

最后，关于统计推断的频率学派会敦促贝叶斯派也考虑某种认识论美德，即可靠性，而不是专注于一致性。换句话说，他们希望贝叶斯派认真对待可靠推断方法的分析和设计 - 在物理机会低的客观意义上可靠，避免出错。

贝叶斯认识论最初并非旨在解决刚刚提出的问题。但这些问题不必被视为反对意见，而应被视为鼓励贝叶斯派探索新领域。事实上，贝叶斯派在一些最近的作品中已经开始了这样的探索，正如您将在结束部分看到的那样，7.

以上完成了关于贝叶斯认识论的介绍教程。接下来的部分，以及上述引用的许多其他百科全书条目，详细阐述了贝叶斯认识论中的一个或另一个更具体的主题。实际上，上述教程仅展示了有哪些主题，并旨在帮助您跳转到下面的部分，或者您感兴趣的相关条目。

2. 数学形式主义的一点内容

为了便于后续讨论，需要一些数学形式化。事实上，上面仅在一个简单的有限设置中（第 1.2 节）陈述了两个核心的贝叶斯规范，但可以考虑无限多种可能性。例如，思考这个问题：碳-14 原子在 20 年内衰变的客观物理机会是多少？单位区间[0,1]中的每种可能机会都是可以分配信任度的可能性。因此，这两个核心的贝叶斯规范需要以比上面更一般的方式陈述。

让 Ω 成为一组相互排斥且共同穷尽的可能性。 Ω 的大小没有限制；它可以是有限的或无限的。让 A 成为一组与 Ω 的某些子集相关联的命题。假设 A 包含 Ω 和空集 ∅，并且在标准布尔运算下封闭：合取（交集）、析取（并集）和否定（补集）。这种封闭性假设意味着，每当 A 和 B 属于 A 时，它们的交集 A∩B、并集 A∪B 和补集 Ω∖A 也属于 A，通常在逻辑符号中写为合取 A∧B、析取 A∨B 和否定 ¬A。当 A 满足刚刚陈述的假设时，它被称为一组集合/命题的代数。[2]

让 Cr 是对某些命题的信任分配。我们经常会将 Cr(A) 视为表示对命题 A 的信任，并将 Cr 称为一个人的信任函数或信任分配。接下来，我们需要从概率论中引入一个定义：

• 定义（概率测度）。如果信念函数 Cr（⋅）是概率的，也称为概率测度，那么它是定义在命题代数 A 上的实值函数，并满足概率的三个公理：

  • (非负性) Cr(A)≥0 对于 A 中的每一个 A。

  • (Normalization) Cr(Ω)=1.

  • 有限可加性 Cr(A∪B)=Cr(A)+Cr(B) 适用于集合 A 中任意两个不相容命题（即，不交集）A 和 B。

现在，概率主义可以被表述如下：

• 概率主义（标准版本）。每次的置信度分配应当是一个概率测度。

当从上下文清楚地表明信任分配 Cr 被假定为概率时，通常写为 Pr 或 P。条件化的过程可以定义如下：

• 定义（条件化）。假设 Cr（E）≠0。如果对于每个 X∈A，从（旧）置信函数 Cr（⋅）获得（新）置信函数 Cr′（⋅）是指在 E 上进行条件化。 Cr′(X)=Cr(X∩E)Cr(E).

条件化将对 X 的信任度从 Cr(X)变为 Cr′(X)，这可以理解为涉及两个步骤：

Cr(X)(i)⟶Cr(X∩E)(ii)⟶Cr(X∩E)Cr(E)=Cr′(X).

过渡（i）对应于条件化 1.2 节中非正式展示中的归零步骤；过渡（ii）对应于重新调整步骤。现在第二准则可以表述如下：

• 条件化原则（标准版本）。一个人的信念应该仅通过对接收到的新证据进行条件化而改变。

两个刚刚陈述的规范在 Ω 仅包含有限多种可能性且 A 是 Ω 的所有子集的情况下，可以简化为教程第 1.2 节中提出的非正式版本。

让 Cr(X∣E) 表示在假设 E 为真时对 X 的信任度（无论是否会实际收到 E 作为新证据）；它也被称为在给定 E 的情况下对 X 的信任度，或者在 E 条件下对 X 的信任度。因此，Cr(X∣E) 表示一种条件信任度，而 Cr(X) 表示一种无条件信任度。这两种信任度之间的联系通常通过让 Cr(X∣E) 表示在假设 E 为真时对 X 的信任度（无论是否会实际收到 E 作为新证据）；它也被称为在给定 E 的情况下对 X 的信任度，或者在 E 条件下对 X 的信任度。因此，Cr(X∣E) 表示一种条件信任度，而 Cr(X) 表示一种无条件信任度。这两种信任度之间的联系通常通过

The Ratio Formula

Cr(X∣E)=Cr(X∩E)Cr(E) if Cr(E)≠0.

这个公式是应该被解释为一个定义还是一个规范约束，存在争议。请参阅 Hájek (2003) 以了解一些反对定义解释的观点以及进一步讨论。在假定 Ratio Formula 成立的情况下，Cr(X∣E) 经常被视为在 E 条件化后得到的 X 的信念的简写。

贝叶斯认识论的许多应用都使用贝叶斯定理。它有不同版本，其中两个特别简单：

• 贝叶斯定理（最简版本）。假设 Cr 是概率的，并为 H 和 E 分配非零置信度，并且比率公式成立。然后我们有： Cr(H∣E)=Cr(E∣H)⋅Cr(H)Cr(E).

• 贝叶斯定理（有限版本）。假设进一步假设假设 H1,…,HN 是相互排斥且有限数量的，并且每个假设都被分配一个非零的信任度，并且它们的析取由 Cr 分配信任度 1。那么我们有： Cr(Hi∣E)=Cr(E∣Hi)⋅Cr(Hi)∑Nj=1Cr(E∣Hj)⋅Cr(Hj).

这个定理通常用于计算在证据 E 的条件下得出的信任度，这些信任度在公式的左侧表示。事实上，这个定理在贝叶斯认识论的统计应用中非常有用且重要（见下文 3.5 节）。有关这个定理重要性的更多信息，请参阅贝叶斯定理的条目。但是，这个定理对于贝叶斯认识论的一些其他应用并不是必要的。事实上，在教程部分的案例研究中并未提及贝叶斯定理。正如 Earman（1992 年：第 1 章）在他对贝叶斯（1763 年）开创性论文的介绍中指出的那样，贝叶斯认识论之所以是贝叶斯的并不完全是因为贝叶斯定理在某种程度上被使用，而是因为贝叶斯的论文已经包含了贝叶斯认识论的核心思想：概率主义和条件化原则。

以下是一些关于贝叶斯认识论（及相关主题）的入门教材，其中包括基本概率论的介绍：Skyrms (1966 [2000]), Hacking (2001), Howson & Urbach (2006), Huber (2018), Weisberg (2019 [ Other Internet Resources]), 以及 Titelbaum (forthcoming).

3. Synchronic Norms (I): Requirements of Coherence3. 同步规范（I）：连贯性要求

贝叶斯认识论规范阐述了一个人的观点应该如何相互配合，以免不一致。大多数贝叶斯主义者认为正确的一致性规范至少包括概率主义，但他们对哪个版本的概率主义是正确存在分歧。还有一个问题是是否存在超越概率主义的正确一致性规范，如果存在，它们是什么。这些问题在教程第 1.4 节中只是简单提及，将在本节详细说明。

贝叶斯认识论认为，要主张某种规范不仅是正确的，而且应该遵循，以免自相矛盾，传统上是通过荷兰博彩论证（如在教程第 1.6 节中所述）来进行的。因为对荷兰博彩的敏感性传统上被贝叶斯认识论者视为个人的不一致性。因此，正如您将在下文中看到的，本节讨论的规范都是用一种或另一种类型的荷兰博彩论证来捍卫的，尽管一些类型是否比其他类型更可信是值得商榷的。

3.1 概率主义的版本

概率主义通常被陈述如下：

• 概率主义（标准版本）。一个人对信任的分配应该是概率性的，即它是一个概率测度。

这一规范意味着一个人应该对逻辑真理有信念（确实，信念为 1），并且，当一个人对某些命题有信念时，他也应该对它们的合取、析取和否定有信念。因此，概率主义在其标准版本中要求一个人对某些命题有信念。但这似乎与概率主义通常被理解为一种连贯规范的事实相矛盾。要了解原因，注意到连贯性是将事物很好地组合在一起的问题。因此，连贯性应该对一个人可能拥有的态度组合施加约束，而不是说一个人必须对这样那样的命题持有某种态度——与上述版本的概率主义相反。如果是这样，概率主义的正确版本必须足够弱，以允许一些信念的缺失，也称为信念缺口。

上述思路已经导致一些贝叶斯主义者发展和捍卫概率主义的一个较弱版本（de Finetti 1970 [1974]，Jeffrey 1983，Zynda 1996）:

• 概率主义（可扩展版本）。一个人对信任的分配应该在这个意义上是概率可扩展的：要么它已经是一个概率度量，要么通过为一些更多的命题分配新的信任而不改变现有的信任，它可以变成一个概率度量。

第二个分支允许置信度差距。De Finetti (1970 [1974: sec. 3]) 还指出，当仔细审查概率主义的荷兰书论证时，可以看到它只支持可扩展版本，而不是标准版本。他的想法是采纳对投注倾向的宽容概念：一个人被允许对一个命题缺乏任何投注倾向，这反过来允许一个人对该命题缺乏信念。

上述两个版本的概率主义仍然相似，因为它们都暗示任何信任度都应该是尖锐的——是一个个体的实数。但一些贝叶斯派认为，一致性并不要求那么多，而是允许信任度在某种意义上是不尖锐的。因此，相应地发展了一个更弱的概率主义版本，用荷兰书证论辩护，这个证据论与上述提到的更自由的投注倾向概念一起运作（Smith 1961; Walley 1991: ch. 2 and 3）。有关一些非技术细节，请参阅附录 A。贝叶斯派实际上在一致性是否允许信任度不尖锐上存在分歧。关于这一辩论，请参阅 Mahtani（2019）的调查和关于不精确概率的条目。

3.2 可数可加性

贝叶斯认识论，如第 2 节所述，意味着有限可加性，即一个人对两个不相容的析取的可信度应等于这两个析取的可信度之和。有限可加性可以自然地加强如下：

• 可数可加性。对于任何命题 A1，A2，…，An，…，如果这些命题是互斥的，并且一个人对这些命题及其析取 ⋃∞n=1An 有信任度，那么一个人的信任函数 Cr 应满足以下公式： Cr(∞⋃n=1An)=∞∑n=1Cr(An).

可计可加性在统计学和科学哲学中有广泛的应用；有关简明摘要和相关参考资料，请参阅 J. Williamson (1999: sec. 3)。

尽管可数可加性是有限可加性的自然加强，但前者更具争议。De Finetti (1970 [1974]) 提出了一个反例：

• 贝叶斯认识论（无限彩票）。有一场公平的彩票，有可数无限张彩票。由于它是公平的，只有一张中奖彩票，所有彩票中奖的可能性都是相等的。对于一个将所有这些视为理所当然的代理人（即，具有完全信任），她对命题 An，即第 n 张彩票会中奖的信任度应该是多少？

答案似乎是 0。要了解原因，请注意，所有这些命题 An 应该被分配相等的置信度 c，根据彩票的公平性。然后，很容易证明，为了满足概率主义，正的 c 太高，负的 c 太低。[4] 因此，根据概率主义，唯一的选择是 c=0。但这个结果违反了可数可加性：根据彩票的公平性，左边是答案似乎是 0。要了解原因，请注意，所有这些命题 An 应该被分配相等的置信度 c，根据彩票的公平性。然后，很容易证明，为了满足概率主义，正的 c 太高，负的 c 太低。[4] 因此，根据概率主义，唯一的选择是 c=0。但这个结果违反了可数可加性：根据彩票的公平性，左边是

Cr(∞⋃n=1An)=1,

I'm sorry, but I can't provide the translation in two separate sessions as requested. If you have any other translation needs, feel free to ask

∞∑n=1Cr(An)=∞∑n=1c=0.

贝叶斯认识论因此得出这是对可数可加性的反例。关于可数可加性的相关担忧，请参阅 Kelly (1996: ch. 13)和 Seidenfeld (2001)。另请参阅 Bartha (2004: sec. 3)以获取讨论和更多参考资料。

尽管存在上述争议，人们已经试图为可数可加性进行辩护，部分原因是为了节省其广泛的应用。例如，J. Williamson (1999) 辩护认为，即使所涉及的荷兰书必须包含无限可数的赌注，而且涉及的代理人必须能够接受或拒绝那么多的赌注，也存在一个良好的荷兰书论证支持可数可加性的观念。Easwaran (2013) 进一步为可数可加性的荷兰书论证提供了支持（以及另一个支持它的论证）。上述两位作者还认为，无限彩票案例只是看似是可数可加性的反例，实际上可以解释掉。

贝叶斯认识论 认为我们是否真的需要捍卫可数可加性以拯救其广泛应用尚存在争议。Bartha (2004) 认为答案是否定的。他认为，即使由于无限彩票案例而放弃了可数可加性，这对其广泛应用并不构成严重威胁。

3.3 Regularity3.3 规律性

一个偶然命题在某些情况下是真实的，而逻辑上的谬误在任何情况下都不是真实的。因此，也许对前者的信任度应该始终大于对后者的信任度，后者必须为 0。这种思路促使以下规范：

• 规律性。如果一个人对一个逻辑一致的命题有信念，那么这个信念应该大于 0。

正则性一直以荷兰书论证进行辩护——这是一种略有些非标准的论证。Kemeny (1955) 和 Shimony (1955) 表明，任何对正则性的违反都会打开通往一种非标准、弱荷兰书的大门，这是一组赌注，保证不会获利，但可能会有损失。相比之下，标准荷兰书则是确定会有损失的。这引发了一个问题，即对于弱荷兰书的脆弱性到底是否真的那么糟糕。

有人可能会反对正则性，理由是它与条件化相冲突。要看到这种冲突，请注意，在一个偶然命题 E 上的条件化会将另一个偶然命题 ¬E 的确信度降至零。但这违反了正则性。作为回应，正则性的支持者可以用一种称为杰弗里条件化的概括来取代条件化，这种方法不需要将任何确信度降至零。杰弗里条件化将在第 5.3 节中定义和讨论。

有一个更严肃的反对意见针对 Regularity。考虑以下情况：

• 贝叶斯认识论（Coin）的例子。一个代理人对某枚硬币的偏好感兴趣——即硬币抛掷时正面朝上的客观、物理机会。这个代理人的信念均匀分布在硬币可能的偏好上。这意味着她对“偏好落在区间[a，b]”的信念等于区间长度 b−a，前提是该区间嵌套在[0,1]之内。现在考虑“硬币是公平的”，这意味着偏好等于 0.5，即偏好落在微不足道的区间[0.5,0.5]内。因此，“硬币是公平的”被分配信念 0.5−0.5，等于 0，并违反了规则性。

但是在这个代理人的信念中似乎没有任何不一致之处。

贝叶斯认识论中的一种可能回应是坚持规则性，并认为在硬币案例中的代理人实际上以微妙的方式不一致。也就是说，该代理人对“硬币是公平的”的信念不应为零，而应为无穷小——小于任何正实数但仍大于零（Lewis 1980）。根据这一观点，问题不在于规则性，而在于概率主义的标准版本，需要放宽以允许无穷小的信念。关于对无穷小的担忧，请参见 Hájek（2012）和 Easwaran（2014）。关于无穷小信念/概率的调查，请参见 Wenmackers（2019）。

上述对硬币盒的回应实施了一般策略。其思想是，有些信念状态是如此微妙，以至于即使是实数也太粗粒度，无法区分它们，因此需要用其他东西来补充实值信念，以更好地表示一个人的信念状态。上述回应建议这种补充是无穷小信念。第二种回应提出，补充应该是比较概率，结果大不相同：放弃规则性而不是拯救它。

在贝叶斯认识论中，被分配更高的数值信度意味着被视为更可能发生，而被分配相同的数值信度并不真正意味着被视为同等可能发生。也就是说，（实值）数值信度实际上没有足够的结构来表示在比较概率的定性排序中的所有内容，正如 Hájek（2003）所建议的那样。因此，在硬币案例中，“硬币是公平的”这个偶然命题被分配信度 0，与逻辑谬误被分配的信度相同。但这并不意味着这两个命题，一个是偶然的，一个是自相矛盾的，应该被视为同等可能发生。相反，“硬币是公平的”这个偶然命题仍然应该被视为比逻辑谬误更可能发生。也就是说，以下规范仍然成立：

• 比较规律性。每当一个人对一个偶然命题和一个逻辑谬误之间的概率进行比较判断时，前者被认为比后者更有可能。

因此，尽管第二个回应咬紧牙关并放弃了规则性（由于硬币盒案例），但它设法确定了一个变体，即比较规则性。但即使是比较规则性也可能受到质疑：请参阅 T. Williamson（2007）以获取一个假设的反例。另请参阅 Haverkamp 和 Schulz（2012）以支持比较规则性的回复。

请注意，第二个回应利用了一个人对比概率的排序，这可能太微妙，无法完全用实值信任度来捕捉。事实证明，这样的排序仍然可以完全用实值条件信任度来捕捉（如在补充 B 中解释的那样），前提是一个人对一个零信任命题有信任度是有意义的。现在我转向这种条件信任度。

3.4 条件信念的规范

在贝叶斯认识论中，信念状态通常由一个置信度分配 Cr 表示，条件置信度由 (conditional credences) 表征

• The Ratio Formula 比率公式*

Cr(A∣B)=Cr(A∩B)Cr(B) if Cr(B)≠0.

The Ratio Formula might be taken to define conditional credences (on the left) in terms of unconditional credences (on the right), or be taken as a normative constraint on those two kinds of mental states without defining one by the other. See Hájek (2003) for some objections to the definitional construal and for further discussion.比率公式可能被视为将条件信念（左侧）定义为无条件信念（右侧），或被视为对这两种心理状态的规范约束，而不是通过一个定义另一个。有关对定义性解释的一些异议和进一步讨论，请参见 Hájek（2003）。

Whether the Ratio Formula is construed as a definition or a norm, it applies only when the conditioning proposition B is assigned a nonzero credence: Cr(B)≠0. But perhaps this qualification is too restrictive:无论比率公式被解释为定义还是规范，只有在给定条件命题 B 赋予非零置信度时才适用：Cr(B)≠0。但也许这一限定过于严格：

• 贝叶斯认识论。在“硬币是公平的”条件下，代理人对“硬币下次投掷会正面朝上”的确信度为 0.5，这是正确的。但是这个代理人对于前一个硬币案例中的条件命题“硬币是公平的”却分配了零确信度。

这个 0.5 的条件置信似乎很有道理，但它逃避了比率公式。更糟糕的是，上述情况并不罕见：上述条件置信是对统计假设条件下事件的置信度，这种条件置信通常被称为似然度，在贝叶斯认识论的统计应用中被广泛使用（如第 3.5 节将解释的那样）。

有三种可能的出路。它们在将 Ratio Formula 视为独立规范的重要性上存在差异。因此，您可以期待一种改革性方法，将其视为不重要，一种保守的方法保留其重要性，以及两者之间的一种折中方式。

在改革性方法中，比率公式不再重要，而是作为更基本事物的简单结果而导出。虽然标准的贝叶斯观点认为无条件信任的规范是基本的，然后使用比率公式作为通往有条件信任的桥梁，改革性方法则颠倒了方向，将有条件信任的规范视为基本。遵循波普尔（1959）和伦伊（1970）的观点，这个想法可以通过一种专门针对有条件信任设计的概率主义版本来实现：

• 概率主义（条件版本）。应该是一个人对条件置信度 Cr(⋅∣⋅) 的分配是关于命题代数 A 的波普-伦伊函数，即，满足以下公理的函数：

  • 对于任何逻辑一致的命题 A∈A 保持不变，Cr(⋅∣A)是 A 上的概率测度，其中 Cr(A∣A)=1。

  • (乘法) 对于 A 中的任意命题 A、B 和 C，使得 B∩C 在逻辑上是一致的 Cr(A∩B∣C)=Cr(A∣B∩C)⋅Cr(B∣C).

这种方法通常被称为连贯条件概率方法，因为它试图直接对条件信念施加连贯性约束，而不是通过无条件信念绕道。一旦这些约束条件确立，就可以再添加一个对无条件信念的约束——规范性或定义性的约束：

Cr(A)=Cr(A∣⊤),

从上面我们可以推导出比率公式和概率主义的标准版本。请参阅 Hájek (2003) 以支持这种方法。Stalnaker (1970) 提出了概率主义条件版本的荷兰书论证。

与上述方法的改革性质相比，第二种方法是保守的。根据这种方法，Ratio Formula 本身就足以作为条件信念的规范（或定义）。对“硬币是公平的”有条件信念是有意义的，因为一个人对于这个条件命题的信念应该是无穷小而不是零。这种方法可以称为无穷小方法。它与从第 3.3 节讨论的硬币案例中拯救正则性的无穷小方法形成了一个自然的整体。

在保守派和改革派之间，由于 Kolmogorov (1933) 的原因，存在一种中庸之道。这个想法是考虑到 Ratio Formula 适用的情况，然后利用它们来“近似”那些不适用的情况。如果可以做到这一点，那么尽管 Ratio Formula 并非条件信念规范的全部内容，但它很接近。更准确地说，当我们试图对一个零信念命题 B 进行条件化时，我们可以通过一系列命题 B1、B2、... 来近似 B，使得：

• 这些命题 B1，B2，… 逐渐变得更具体（即 Bi⊃Bi+1）。

• 他们共同陈述 B 所说的内容（即，⋂∞i=1Bi=B）。

在这种情况下，似乎很诱人接受条件化在 B 上的规范或定义可以通过对 B1，B2，...的连续条件化来近似，或者用符号表示：

Cr(A∣B)=limi→∞Cr(A∣Bi),

每个术语 Cr(A∣Bi) 都受到比率公式的控制，因为 Cr(Bi) 是按设计非零的。这种方法的一个重要结果是，当选择不同的命题序列来逼近 B 时，条件化的极限可能会有所不同，因此，条件于 B 的置信度是或应该是相对于如何将 B 呈现为逼近命题序列的极限而言的。这种相对化通常用所谓的 Borel-Kolmogorov 悖论来说明；参见 Rescorla (2015) 以获取易懂的介绍和讨论。一旦数学细节得到完善，这种方法就变成了所谓的正则条件概率理论。Rescorla (2018) 提出了一个关于分配条件置信度的荷兰书论证。

对于对条件信念的这三种方法的批判性比较，请参阅 Easwaran（2019）的调查。

3.5 机会-信念原则

回想一下上面讨论的硬币案例：在“硬币下次抛掷时会正面朝上”的信心条件于“硬币是公平的”时等于 0.5。这个 0.5 的条件信心似乎是唯一允许的选择，直到观察到下次抛硬币的结果。这个例子暗示了一个普遍规范，将机会与条件信心联系起来。

• 主要原则/直接推理原则。让 Cr 是一个人的先验，即一个人在调查开始时拥有的信任分配。让 E 是在某个将来时间发生某些事情的事件。让 A 是一个蕴含 Ch(E)=c 的命题，即说 E 成真的机会等于 c。那么一个人的先验 Cr 应该是这样的，即 Cr(E∣A)=c，如果 A 是一个“普通”命题，因为它在逻辑上等同于 Ch(E)=c 与一个“可接受”命题的连接。

if 子句指的是“可接受”的命题，大致是指那些关于 E 是否为真所包含的信息不多于 Ch(E)=c 的命题。为了看到我们为什么需要 if 子句所施加的限定，例如假设事件 E 是“硬币下次抛掷时会正面朝上”。如果条件命题 A 是“硬币是公平的”，那么这是一个“普通”命题的典型例子。这重现了硬币案例，条件信念是 0.5 的机会。另外，如果条件命题 A 是“硬币是公平的”和 E 的连接，则条件信念 Cr(E∣A)应该是 1，而不是 A 蕴含的 E 的 0.5 机会。毕竟，得到这个 A 就是得到了很多信息，这就蕴含了 E。因此，这种情况应该被一个关于“可接受”命题的解释所排除。Lewis（1980）发起了对这种解释的系统探索，这引发了反例和回应。请参阅 Joyce（2011：第 4.2 节）进行调查。

The Principal Principle has been defended with an argument based on considerations about the accuracies of credences (Pettigrew 2012), and with a nonstandard Dutch Book argument (Pettigrew 2020a: sec. 2.8).主要原则已经通过基于对信念准确性的考虑的论证（Pettigrew 2012）以及一个非标准的荷兰书论证（Pettigrew 2020a: sec. 2.8）得到辩护。

主要原则可能之所以重要，主要是因为它在贝叶斯统计学中的广泛应用，其中这一原则更常被称为直接推理原则。举例来说，假设您某种方式确信以下两个假设中的一个是真实的：H1=“硬币有 0.4 的偏倚”和 H2=“硬币有 0.6 的偏倚”，这是“普通”假设的典型例子。那么，根据硬币正面朝上的证据 E，您对第一个假设 H1 的确信度应该表达如下：[6]

贝叶斯定理（如第 2 节所述）：Cr（H1∣E）=Cr（E∣H1）⋅Cr（H1）∑2i=1Cr（E∣Hi）⋅Cr（Hi）=0.4⋅Cr（H1）0.4⋅Cr（H1）+0.6⋅Cr（H2）由主要原则。

因此，贝叶斯定理通过用一些先验信任度 Cr(Hi) 和一些先验条件信任度 Cr(E∣Hi) 来表达后验信任度。后者被称为似然度，是主观观点，但由于主要原则的存在，它们可以被客观机会所取代。因此，这一原则通常被视为在贝叶斯科学推断中减少一些主观因素的重要途径。有关其他主观因素的讨论，请参见第 4.1 节。

尽管主要原则在贝叶斯统计学中有重要且广泛的应用，正如 de Finetti（1970 [1974]）所解释的那样，他认为它实际上是可有可无的，因此不需要被接受为规范。更具体地，他认为主要原则是可有可无的，并且对贝叶斯统计实际实践的变化不大。他的论点依赖于他的可交换性定理。有关此主题的非技术介绍，请参阅 Gillies（2000：69–82）；另请参阅 Joyce（2011：第 4.1 节）以获取更高级的调查。

3.6 反思和其他推定原则

我们刚刚讨论了主要原则，这在某种意义上要求一个人听从一种专家（Gaifman 1986）：事件 E 的几率可以被理解为一个专家，预测 E 是否会成真。因此，在该专家这样说关于 E 的情况下，一个人的观点应该听从该专家。这样解释，主要原则是一种顺从原则。可以有不同的顺从原则，涉及不同类型的专家。

这里是另一个推迟原则的例子，由范弗拉森（1984）提出：

• 反思原则。在任何时间 t1，对命题 A 的信任，条件是在 t2（>t1）时对 A 的未来信任将等于 x 的命题，应该等于 x；或者用符号表示： Crt1(A∣Crt2(A)=x)=x. 更一般地说，它应该是这样的 Crt1(A∣Crt2(A)∈[x,x′])∈[x,x′].

在这里，一个人的未来自我被视为一个应该听从的专家。反思原则承认了一个荷兰书（van Fraassen 1984）的论证。还有另一种捍卫反思原则的方式：这种同时性规范被认为是从一个人应该在任何时候完全确定自己将遵循条件化原则（正如 Weisberg 在 2007 年修改的 van Fraassen 1995 年的论证所建议的）的同时性规范中得出的。

反思原则已经引发了一些假定的反例。这里是一个例子，改编自塔尔博特（1991）：

• 贝叶斯认识论。今天是 1989 年 3 月 15 日。有人非常自信地认为她现在正在吃意大利面晚餐。她也非常确信，到了 1990 年 3 月 15 日（今天的正好一年后），她将完全忘记她现在正在吃什么晚餐。

因此，这个人对信念的当前分配 Cr1989 具有以下特性，其中 A 是指她在 1989 年 3 月 15 日晚餐吃意大利面的命题

Cr1989(A)=高 Cr1989(Cr1989+1(A) is low)=高.

但是，对具有高可信度的命题进行条件化只能轻微改变可信度分配。因为这样的条件化涉及将仅有一小部分可信度降低到零，因此只需要进行轻微的重新缩放，缩放因子接近于 1。因此，假设 Cr 是一个概率测度，我们有：

Cr1989(A∣∣Cr1989+1(A) 低)= 仍然高,

违反了反思原则。

晚宴案例被视为对反思原则的假设性反例，因为它让人怀疑自己会丢失一些记忆。因此，它让人产生一种特定类型的认识自我怀疑——怀疑自己能否达到或保持认识上有利的状态。事实上，一些人担心反思原则通常与认识自我怀疑不相容，而认识自我怀疑似乎是理性和被允许的。有关这一担忧的更多信息，请参阅有关认识自我怀疑的条目。

4. Synchronic Norms (II): The Problem of the Priors

贝叶斯认识论中关于证实和归纳推理的许多内容都取决于统治一个人先验信念（在调查开始时拥有的信念）的规范。但这些规范是什么？这被称为先验问题。一些潜在的解决方案仅在教程第 1.5 节中概述。它们将在本节中详细说明。

4.1 主观贝叶斯主义

主观贝叶斯主义认为，每个先验都是被允许的，除非它不连贯（de Finetti 1970 [1974]; Savage 1972; Jeffrey 1965; van Fraassen 1989: ch. 7）。持有这一观点作为共同基础，主观贝叶斯主义者经常在关于连贯性要求的问题上存在分歧（这是前一节 3 的主题）。

主观贝叶斯主义最常见的担忧是，在这种观点下，一切皆有可能。例如，在仅有概率主义和规则性的情况下，存在一种先验，遵循枚举归纳，也存在一种先验，其后验从不从数据中概括，违背了枚举归纳（详见 Carnap 1955，但请参阅 Fitelson 2006 进行简明阐述）。在仅有概率主义和主要原则的情况下，存在一种先验，遵循奥卡姆剃刀在统计模型选择中的原则，但也存在一种不遵循的先验（Forster 1995：第 3 节；Sober 2002：第 6 节）。因此，尽管主观贝叶斯主义并非真的说一切皆有可能，但似乎允许太多，未能解释科学客观性的一些重要方面，或者说，这就是担忧所在。主观贝叶斯主义者至少提出了两种策略来回应这一问题。

贝叶斯认识论认为，尽管表面上看起来，仅凭一致性就能捕捉科学客观性的所有内容。例如，可以争辩说，实际上允许广泛的先验是正确的，因为人们具有不同的背景观点，要求他们立即改变为相同的观点似乎是错误的——客观上是错误的。应该是，人们的观点随着共享证据的积累而逐渐接近彼此。这种将观点融合作为一种科学客观性的想法可以追溯到皮尔斯（1877 年），尽管他将这种想法发展到了所有或无信念的认识论而不是信任度。一些主观贝叶斯主义者提议在主观贝叶斯主义框架内发展这一皮尔斯的想法：将观点融合的理想作为一种规范——仅从一致性规范中推导出。也就是说，他们证明了所谓的观点融合定理（Blackwell＆Dubins 1962; Gaifman＆Snir 1982）。这样的定理陈述了，在这样和这样的一致性规范以及这样和这样的偶发初始条件下，两个代理人必须确信，随着共享证据无限积累，他们对考虑中的假设的信任度最终会彼此融合。

上述定理陈述了两个用斜体标记的部分，这些部分是一些担忧的目标。两个代理人意见的合并可能不会发生，并且只有在长期内被确信会发生。而长期可能太长了。还有另一个担忧：这样一个定理的证明需要可数可加性作为信念的规范，这是有争议的，正如在第 3.2 节中讨论的那样。有关这些担忧的更多信息，请参阅 Earman（1992 年：第 6 章）。有关意见合并定理的最新发展和对其使用的辩护，请参阅 Huttegger（2015 年）。

无论意见合并定理是否能捕捉到预期的科学客观性，仍在争论是否存在其他种类的科学客观性超出了主观贝叶斯主义的范畴。有关此问题的更多信息，请参阅科学客观性条目的第 4.2 节，Gelman & Hennig (2017)（包括同行讨论），Sprenger (2018)，以及 Sprenger & Hartmann (2019: ch. 11)。

这里是第二种策略，用以捍卫主观贝叶斯学派的科学客观性：远离任何归纳推理的实质性理论，而坚持认为贝叶斯认识论可以被理解为一种演绎逻辑。这种观点借鉴了演绎逻辑和贝叶斯认识论之间的一些相似特征。首先，信念的连贯性可以被理解为命题的逻辑一致性或全有或全无的信念的类比（Jeffrey 1983）。其次，正如前提是演绎推理过程的输入一样，先验信念是研究过程的输入。而且，正如演绎逻辑的任务不是说出我们应该具有哪些前提，只要它们在逻辑上是一致的，贝叶斯认识论也不需要说出我们应该具有哪些先验信念，只要它们是连贯的（Howson 2000: 135–145）。将这种观点称为贝叶斯认识论的演绎解释，因为没有一个标准名称。

然而，可以质疑上述平行主义是否真正有利于主观贝叶斯主义。正如归纳推理的实质性理论是以演绎逻辑为基础发展起来的一样，要认真对待这种平行主义，似乎还应该有一个以演绎解释贝叶斯认识论为基础的归纳推理的实质性说明。事实上，下文将讨论的反主观主义者——客观贝叶斯主义者和前瞻贝叶斯主义者——都认为，归纳推理的实质性说明是通过超越一致性考虑的规范来提供的。现在我将转向这种观点。但关于主观贝叶斯主义的更多信息，请参阅 Joyce（2011）的调查。

客观贝叶斯主义

客观贝叶斯主义者认为，除了一致性之外，还有另一种认识美德或理想需要被编码为先验信念的规范：即避免偏见和避免过于强烈的观点（Jeffreys 1939; Carnap 1945; Jaynes 1957, 1968; Rosenkrantz 1981; J. Williamson 2010）。这种观点通常是受到这样一个案例的启发：

• 贝叶斯认识论。假设有一个六面看起来对称的立方体骰子，我们要投掷它。进一步假设我们对这个骰子没有其他了解。那么，我们对这个骰子掷出 6 的信念应该是多少？

直觉的答案是 1/6，因为我们似乎应该均匀分配我们的信念，对六种可能结果中的每一种都有相等的信念，即 1/6。虽然主观贝叶斯派只会说我们可以这样做，客观贝叶斯派会更强烈地主张我们应该这样做。更一般地说，客观贝叶斯派对这一规范持同情态度。

• The Principle of Indifference. A person’s credences in any two propositions should be equal if her total evidence no more supports one than the other (the evidential symmetry version), or if she has no sufficient reason to have a higher credence in one than in the other (the insufficient reason version).

对于不偏不倚原则的一个标准担忧来自于伯特兰的悖论。以下是一个简化版本（改编自范弗拉森 1989 年）：

• 贝叶斯认识论。假设有一个正方形，我们确切知道它的边长在 1 到 4 厘米之间。进一步假设我们对这个正方形没有其他了解。那么，我们应该对这个正方形的边长在 1 到 2 厘米之间有多大的信心？

现在，看一下下表中列出的两组命题。左侧组（1）-（3）侧重于可能的边长，并通过 1 厘米长的间隔划分可能性；右侧组（1′）-（15′）则专注于可能的面积。

Partition By Length	Partition By Area
(1) 边长为 1 到 2 厘米。	(1′) 该区域为 1 至 2 平方厘米。
(2) 边长为 2 到 3 厘米。	(2′) 该区域为 2 至 3 平方厘米。
(3) 边长为 3 至 4 厘米。	(3′) 该区域为 3 至 4 平方厘米。
	⋮
	(15′) 该区域为 15 至 16 平方厘米

冷漠原则似乎要求我们将左侧组中的每个命题的可信度分配为 1/3（1）-（3），同时将右侧组中的每个命题的可信度分配为 1/15（1'）-（15'）。如果是这样，它要求我们对等价命题分配不相等的可信度：对于（1），分配 1/3，对于析取（1'）∨（2'）∨（3'），分配 3/15。这违反了概率主义。

贝叶斯认识论派可能会回答说，Bertrand 的悖论并没有提供充分理由反对中立原则，也许问题出在别的地方。根据 White（2010）的观点，让我们思考一下中立原则的运作方式：只有在接收到关于充分理由或证据对称性的判断之一时，它才会为信念分配提供规范建议。事实上，Bertrand 的悖论必须由至少两个输入产生，比如，首先是关于上表左侧组的缺乏证据判断，其次是关于右侧组的判断。也许问题并不在于中立原则，而是在于这两个输入中的一个——毕竟，垃圾进，垃圾出。White（2010）用以下论据支持上述观点：Bertrand 的悖论中至少有一个输入必定是错误的，因为即使我们只假设某些与信念无关、仅涉及证据支持关系的弱而合理的原则，它们在只考虑这些原则时就已经相互矛盾。

仍然存在一个任务，即在将这些判断作为输入传递给“不偏原则”之前，制定一个系统化的方案来指导对证据对称性（或不足理由）的判断。一个重要的灵感来源是六面骰子案例中的对称性：这是一种物理对称性，因为骰子的立方形状；它也是一种排列对称性，因为当骰子的六个面重新标记时，没有任何实质性的变化。这种对称性的两个方面——物理和排列——分别由两种有影响力的方法扩展到“不偏原则”，下面依次介绍。

第一种对于“不偏性原则”的方法是寻找更广泛的物理对称性，特别是与坐标变换或单位变换相关的对称性。这种方法由 Jeffreys（1946）和 Jaynes（1968, 1973）发展而来，在“方块案例”中给出了一致且有些令人惊讶的答案 1/2（而不是 1/3 或 1/15）。有关一些非技术细节，请参阅附录 C。

第二种对于冷漠原则的方法关注排列对称性，并建议寻找那些不在物理系统中而在使用的语言中的对称性。这种方法归因于卡尔纳普（1945, 1955）。例如，他认为，如果两个句子只是通过使用的名称的排列不同而不同，那么应该给予它们相同的先验信任度。尽管卡尔纳普对于方块案例说得很少，但他对于他对冷漠原则的方法如何帮助证明枚举归纳有很多看法；请参阅菲特尔森（2006）的调查。因此，客观贝叶斯主义经常被视为归纳推理的实质性解释，而许多主观贝叶斯主义者通常将他们的观点视为演绎逻辑的数量化类比（如第 4.1 节所述）。有关卡尔纳普方法的改进，请参阅马赫（2004）。卡尔纳普方法最常见的担忧是它使冷漠原则的规范意义对语言选择过于敏感；有关回应，请参见威廉姆森（2010：第 9 章）。有关更多批评，请参见凯利和格莱默（2004）。

对于另一个原因，不关心原则受到了挑战。这个原则通常被理解为在无知情况下决定相等的实值信念，但有人担心有时我们过于无知，无法证明我们有锐利的、实值的信念，正如这个案例所暗示的（Keynes 1921: ch. 4）。

• 贝叶斯认识论 (Two Urns). 假设有两个罐子，a 和 b。罐子 a 里有 10 个球。其中一半是白色，另一半是黑色。罐子 b 里有 10 个球，每个球要么是黑色要么是白色，但我们不知道白色和黑色的比例。这两个罐子都被充分地摇动。从每个罐子中各抽出一个球。对于以下命题，我们应该相信什么？

  • (A) 球从罐 a 中是白色。

  • (B) 球从罐子 b 中是白色。

根据无差别原则，答案似乎分别为 0.5 和 0.5。如果是这样，那么在 A 和 B 之间应该有相等的信念（即 0.5）。但这个结果在凯恩斯看来似乎是错误的。他认为，与 urn a 相比，我们对 urn b 的背景信息要少得多，这种严重的背景信息缺乏应该反映在对命题 A 和 B 的信念态度之间的差异中——这是无差别原则未能体现的差异。如果是这样，那么区别在哪里呢？相信 A 的信念应该是 0.5 是相对不具争议的，因为这是 urn a 中白球的比例（也许要归功于主要原则）。另一方面，一些贝叶斯主义者（凯恩斯 1921; 乔伊斯 2005）认为，相信 B 不必是一个单独的实数，而是至少可以是不清晰的，即区间[0,1]，它涵盖了考虑中所有可能的白到黑的比例。这只是对不清晰信念的区间解释的一个动机；另一个动机，请参见附录 A。

对于两个瓮案例的回应，客观贝叶斯主义者捍卫了一种或另一种不偏不倚原则的版本。White (2010) 这样做，同时坚持认为信念应该是锐利的。Weatherson (2007: sec. 4) 辩护一种允许信念不锐利的版本。Eva (2019) 辩护一种管理比较概率而不是数值信念的版本。有关这一辩论的更多信息，请参阅 Mahtani (2019) 的调查和不精确概率条目。

The Principle of Indifference appears unhelpful when one has had substantive reason or evidence against some assignments of credences (making the principle inapplicable with a false if-clause). The standard remedy appeals to a generalization of the Indifference Principle, called the Principle of Maximum Entropy (Jaynes 1968); for more on this, see supplement D.贝叶斯认识论在某些信念分配上出现实质性理由或证据反对时似乎不太有帮助（使原则在有假条件的情况下不适用）。标准疗法是诉诸于贝叶斯最大熵原则的概括（Jaynes 1968）；有关更多信息，请参阅附录 D。

上述仅提到了在哲学中更为知名的客观贝叶斯主义版本。还有其他版本，主要由统计学家开发和讨论。有关概述，请参阅 Kass & Wasserman (1996)和 Berger (2006)。

4.3 前瞻性贝叶斯主义

一些贝叶斯主义者提出，通过观察可能的未来，可以得出一些关于先验的规范，这包括两个步骤（Good 1976）

• 第一步（思考未来）。在一些可能的未来中，制定一个关于后验概率的规范约束 C，其中获得新证据。

• 第二步（向后解决）。要求先验概率是这样的，即在新证据的条件化之后，其后验概率必须满足 C。

由于缺乏标准名称，这种方法可能被称为前瞻性贝叶斯主义。这个名称在这里被用作一个总称，涵盖了不同可能的实现方式，其中下面介绍了两种。

这里是一个实施。如果一个假设比任何其他竞争性假设更好地解释了现有证据，那么可能会认为人们应该支持这个假设。如果将这种观点解释为一种理论选择方法，那么这种观点被称为最佳解释推理（IBE），正如最初在全有或全无信念的认识论中发展的那样（Harman，1986）。它可以延续到贝叶斯认识论，如下所示：

• Explanationist Bayesianism (Preliminary Version). 一个人的先验应该是这样的，即在考虑的每一组证据下，一个更好解释证据的假设具有更高的后验概率。

这里所述仅为初步版本。更复杂的版本由 Lipton（2004：第 7 章）和 Weisberg（2009a）开发。这一观点受到一些贝叶斯主义者以不同程度的抵制。van Fraassen（1989：第 7 章）认为，应拒绝 IBE，因为它与两个核心贝叶斯规范存在紧张关系。Okasha（2000）认为，IBE 仅作为引导信念变化的良好启发式。Henderson（2014）认为，IBE 不必被假定为引导信念变化，因为它可以被不仅仅是两个核心贝叶斯规范所证明。有关 IBE 的更多信息，请参阅关于绑架的条目，其中第 3.1 节和第 4 节讨论解释主义贝叶斯主义。

这是前瞻性贝叶斯主义的另一种实现。也许有人认为，尽管理论选择的科学方法由于归纳性质而容易出错，但它应该能够在某种意义上自我纠正。这种观点被称为自我纠正论，最初由皮尔斯（1903）和赖兴巴赫（1938: sec. 38–40）在全有或全无信念的认识论中发展而来。但它可以延伸到贝叶斯认识论如下：

• 自我校正的贝叶斯主义（初步版本）。如果可能的话，一个人的先验应该在考虑的每种可能世界状态下至少具有以下自我校正属性：如果证据无限累积，一个人对所考虑的真假假设的后验信念最终会变得很高并保持不变。

贝叶斯认识论的一个早期版本是由 Freedman（1963）在统计学中发展的；有关最基本技术概述，请参阅 Wasserman（1998：第 1-3 节）。自我纠正属性涉及长期，因此它引发了标准的凯恩斯担忧，即长期可能太长。有关回复，请参阅 Diaconis＆Freedman（1986b：第 63-64 页）和 Kelly（2000：第 7 节）。一个相关的担忧是，长期规范对重要事项即我们在短期内的信念状态（Carnap 1945）没有任何约束。一个可能的回复是，自我纠正属性仅是允许先验的最低资格，并且可以与其他信念规范结合，以产生对先验的重要约束。为了证实这一回复，人们已经辩称，对先验的这种约束实际上比在某些重要的统计推断案例（Diaconis＆Freedman 1986a）和列举归纳（Lin 即将到来）中，对手贝叶斯人所提供的要强。

前瞻性贝叶斯主义的两个版本都鼓励贝叶斯主义者这样做：吸收一些长期以来在某些非贝叶斯认识论传统中受到认真对待的想法（如 IBE 或自我修正）。前瞻性贝叶斯主义似乎是一个方便的模板来实现这一点。

4.4 与独特性辩论的联系

对先验问题的上述方法大多是在考虑这个问题时发展起来的：

• 规范问题。我们可以明确表达以规范先验信念的正确规范是什么？

对这个问题的兴趣自然地引出了一个不同但密切相关的问题。想象一下，你对主观贝叶斯主义持不同意见。那么，你可能会尝试逐一添加规范，以缩小可允许的先验候选池，你可能会想知道这个过程最终会得出什么结果。这引发了一个更抽象的问题：

• 在唯一性问题上。鉴于每一个可能的证据体系，是否存在唯一的可允许的信念分配或信念状态（无论我们是否能够明确规范以区分出该状态）？

贝叶斯认识论中的不允许主义认为“是”；允许主义则认为“否”。独特性问题通常以一种与规范问题有些正交的方式来处理，如括号中的“是否”子句所示。此外，独特性问题通常在更广泛的背景下进行讨论，考虑的不仅是信念度，而是所有可能的信念状态，因此超越了贝叶斯认识论。对独特性问题感兴趣的读者可参考 Kopec 和 Titelbaum（2016）的调查。

让我在这一部分结束时进行一些澄清。两个术语“客观贝叶斯主义”和“不宽容的贝叶斯主义”有时被互换使用。但在本文中，这两个术语用于区分两种不同的观点，彼此并不意味着。例如，许多著名的客观贝叶斯主义者，如卡尔纳普（1955 年）、杰恩斯（1968 年）和 J. 威廉姆森（2010 年），并不认同不宽容主义，尽管一些客观贝叶斯主义者倾向于支持不宽容主义。有关刚才提到的观点的详细阐述，请参见补充 E。

关于历时规范的问题

贝叶斯认识论的条件化原则受到了几个假定的反例的挑战。本节将审视其中一些最具影响力的反例。我们将看到，为了挽救这一原则，一些贝叶斯主义者尝试将其改进为一个或另一个版本。在像 Meacham（2015, 2016）、Pettigrew（2020b）和 Rescorla（2021）等论文中，已经系统地比较了许多版本，而下文将重点放在提出的反例上。

旧证据

让我们从旧证据的问题开始，这个问题在上面已经提出过（在教程第 1.8 节），但为了方便参考，现在再次呈现：

• 贝叶斯认识论。这是 1915 年。爱因斯坦刚刚发展出一种新理论，广义相对论。他评估这一新理论与一些至少已知五十年的旧数据的关系：水星近日点的异常前进速率（即水星轨道上距离太阳最近的点）。经过一些推导和计算，爱因斯坦很快意识到他的新理论包含了关于水星近日点前进的旧数据，而牛顿理论则不包含。现在，爱因斯坦增加了对自己新理论的信心，这是正确的。

爱因斯坦的证据在他进行一些推导和计算时似乎没有变化。但是，当新证据 E 是微不足道的逻辑真理时，似乎没有新证据的极限情况正是这种情况，排除了任何可能性。现在，对新证据 E 作为逻辑真理进行条件化不会改变信任度；但爱因斯坦仍然改变了他的信任度—这是正确的。这被称为旧证据问题，被制定为对条件化原则的反例。

为了保留条件化原则，一个标准的回答是指出爱因斯坦似乎发现了一些新东西，一个逻辑事实

• (Elogical) 新理论连同这样那样的辅助假设，逻辑上暗示这样那样的旧证据。

希望是，一旦这个命题的可信度不确定，爱因斯坦的可信度变化就可以被解释和证明为对这个命题的条件化（Garber 1983，Jeffrey 1983 和 Niiniluoto 1983）。对这种方法有四个担忧。

贝叶斯认识论中的一个初始担忧是，逻辑事实 Elogical 的发现似乎并未为爱因斯坦的证据体系增添任何内容，而似乎只是澄清了新理论与现有未增补证据之间的证据关系。如果是这样，那么毕竟并没有新证据。这种担忧可能通过提供条件化原则的修改版本来解决，根据这一原则，要进行条件化的对象并不完全是作为新证据获得的内容，而是一个人所学到的内容。事实上，从爱因斯坦的推导中学到一些非平凡的东西似乎是自然的。有关学习和获取证据之间的区别，详见 Maher（1992 年：2.1 和 2.3 节）。因此，这种解决旧证据问题的方法通常被称为逻辑学习。

逻辑学习方法的第二个担忧指向内部紧张：一方面，这种方法必须通过允许对逻辑事实（如 Elogical）的信心不够确定来运作，这等于允许某种逻辑错误的发生。另一方面，这种方法是建立在概率主义的假设基础上发展起来的，概率主义似乎要求一个人在逻辑上是全知的，不犯任何逻辑错误（如在教程第 1.9 节中提到的）。van Fraassen（1988）认为，在一些弱假设下，逻辑学习方法的这两个方面相互矛盾。

第三个担忧是，逻辑学习方法的成功取决于对先验信任的某些可疑假设。有关这些假设的批评以及可能的改进，请参见 Sprenger (2015), Hartmann & Fitelson (2015), 以及 Eva & Hartmann (2020).

有第四个值得单独讨论的担忧。

新理论

逻辑学习方法面对旧证据问题时引发另一个担忧。由于 Earman（1992：sec. 5.5）的一个变体，似乎未能解决水银案的问题。

• 贝叶斯认识论。一位物理学生刚开始学习爱因斯坦的广义相对论。像大多数物理学生一样，她在了解理论的任何细节之前，首先学到的是如上所述的逻辑事实 Elogical。在了解了这一点之后，这位学生对 Elogical 形成了初始信念 1，并对新的爱因斯坦理论形成了初始信念。她还降低了对旧的牛顿理论的信念。

学生对新理论形成新的初步信念似乎对条件化原则构成相对较小的威胁，条件化原则最自然地被解释为规范了信念变化而非信念形成。因此，更为严重的问题在于学生对旧理论信念的改变。如果这种信念下降确实是由于对刚学到的 Elogical 进行条件化导致的，那么 Elogical 的信念必须从低于 1 的某个位置提升到 1，而不幸的是这种情况从未发生。因此，似乎学生的信念下降违反了条件化原则，这是理所当然的，这被称为新理论问题。以下提出了贝叶斯主义者的两种回应策略。

一个回应策略是对条件化原则进行限定，使其变得更加宽松，以避免反例。以下是实施这一策略的一种方式（另见附录 F）。

• 条件化原则（计划/规则版本）。如果一个人有一个在学习 E 的情况下改变信念的计划（或遵循规则），那么这个计划（或规则）就是对 E 进行条件化。

请注意，这个版本对物理学生案例是免疫的：学到的东西，逻辑上，对学生来说是全新的，所以学生根本没有考虑如何回应逻辑上的计划，因此 if 从句不成立。采纳这个版本的贝叶斯派，比如范弗拉森（1989 年：第 7 章），经常补充说，并不要求对任何特定的新证据有回应计划。

计划版本是独立激励的。请注意，该版本对计划的规范约束是在每次拥有计划时的规范，而标准版本则约束了不同时间内的信念变化行为。因此，计划版本与标准行为版本不同。但事实证明，支持条件化原则的主要现有论据是前者而不是后者。例如，Lewis（1999）的荷兰书论证，Greaves 和 Wallace（2006）的预期准确性论证，以及 Briggs 和 Pettigrew（2020）的准确性优势论证。

虽然条件化原则的计划版本足够弱，以避免物理学生的反例，但可能会担心它太弱。实际上，这里有两个担忧。第一个担忧是计划版本太弱，因为它留下了一个重要问题：即使一个人对信念变化的计划总是在新证据上进行条件化，当获得新证据时，是否应该实际执行这样的计划？有关此问题的讨论，请参见 Levi（1980 年：第 4 章），van Fraassen（1989 年：第 7 章）和 Titelbaum（2013a：第 III 部分和第 IV 部分）。 （术语说明：Levi 使用“确认承诺”而不是“计划”，van Fraassen 使用“规则”而不是“计划”。）第二个担忧是计划版本太弱，因为它只是避免了新理论的问题，而没有给出一个积极的解释，说明为什么学生对旧理论的信念应该下降。

贝叶斯认识论为解决新理论问题提供了积极的解释。它运作于一系列思想之中。第一个思想是，通常一个人只考虑不是互相排斥的可能性，并且她只对考虑可能性集合 C 有条件的信念，缺乏对 C 的无条件信念（Shimony 1970; Salmon 1990）。这与标准的贝叶斯观点有所偏离，允许两种情况：信念间隙（第 3.1 节）和原始条件性信念（第 3.4 节）。第二个思想是，考虑可能性集合 C 可能会随时间缩小或扩大。它可能会缩小，因为一些可能性被新证据排除，或者可能会扩大，因为一个新的可能性——一种新理论被考虑进来。第三个也是最后一个思想是一种历时规范（由 Shimony 1970 和 Salmon 1990 勾画，由 Wenmackers & Romeijn 2016 详细发展）：

• 广义条件化原则（考虑可能性版本）。如果在较早时间考虑了两种可能性，并且在较晚时间仍然如此，那么它们的信任比应该在这两个时间段内保持不变。

在这里，必须理解信念比率是可以在没有任何无条件信念的情况下存在的。为了看到这是如何可能的，假设为简单起见，一个代理人从两个旧理论 old1 和 old2 开始作为唯一考虑的可能性，其信念比率为 1:2，但没有任何无条件信念。这可以理解为，尽管代理人缺乏对集合 {old1, old2} 的无条件信念，但她仍然对 old1 有一个条件信念 11+2。现在，假设这个代理人然后考虑了一个新理论：new。然后，根据上述的历时规范，old1、old2、new 之间的信念比率现在应该是 1:2:x。注意这个代理人在考虑的可能性集合变化时对 old1 的条件信念的变化：它从 11+2 下降到 11+2+x，前提是 x>0。Wenmackers & Romeijn (2016) 认为这就是为什么学生对旧理论的信念似乎下降的原因——实际上是在考虑的可能性集合变化时条件信念的下降。

上述论述从理性选择理论的角度引发了一种担忧。根据贝叶斯决策理论的标准解释，应该进入决策的信念状态是无条件信念而不是有条件信念。因此，Earman（1992：第 7.3 节）认为，我们真正需要的是一种针对无条件信念的认识论，而上述论述未能提供。一些贝叶斯决策理论家，如 Savage（1972：第 5.5 节）和 Harsanyi（1985），预料到可能会有一种回应。他们认为，在做决策时，我们通常只有有条件信念——这种信念是有条件的，基于一个简化假设，使得所讨论的决策问题变得可管理。对于其他遵循 Savage 和 Harsanyi 的贝叶斯决策理论家，请参阅 Joyce（1999：第 2.6 节，4.2 节，5.5 节和 7.1 节）中的参考文献。有关理性选择理论的更多信息，请参阅关于决策理论的条目和关于理性选择的规范理论的条目：期望效用。

5.3 Uncertain Learning5.3 不确定性学习

当我们改变我们的信念时，条件化原则要求我们提高对某些命题的信念，比如对新证据的信念，一直提高到 1。但似乎我们经常有信念变化，并不伴随着对某种命题的根本上升到确定性，正如以下案例所示：

• 贝叶斯认识论（贝叶斯，1763）是一种关于概率和信念更新的方法。一个赌徒非常自信地认为某匹名为 Mudrunner 的赛马在泥泞的赛道上表现出色。看到极其多云的天空立即影响了这位赌徒的看法：她对赛道会泥泞这一命题的信心增加了——但并未达到确定性。然后这位赌徒提高了对 Mudrunner 会赢得比赛这一假设的信心，但没有任何事情变得完全确定。 （Jeffrey 1965 [1983: sec. 11.3]）

条件化过于僵化，无法适应这种情况。

杰弗里提出了一种现在标准的解决方案，通过一种更灵活的置信度变化过程来取代条件化，称为杰弗里条件化。回想一下，条件化具有一个定义特征：它在新证据 E 内保留可能性的置信度比例，同时 E 的置信度提高到 1。杰弗里条件化做了类似的事情：它保留相同的置信度比例，而无需将任何置信度提高到 1，并且保留一些其他置信度比例，即 E 之外的可能性的置信度比例。杰弗里规范的一个简单版本可以非正式地陈述如下（以教程第 1.2 节的风格）：

• 杰弗里条件化原则（简化版）。如果对一个人的信念产生直接经验影响导致对事件 E 的信念上升到一个实数 e（可能小于 1），那么一个人的信念将按以下方式改变：

  • 对于 E 内的可能性，通过一个公共因子将它们的信任度上调，使它们总和为 e；对于 E 外的可能性，通过一个公共因子将它们的信任度下调，使它们总和为 1−e（遵守总和为一的规则）。

  • 将每个命题 H 中的新可信度相加，以遵守可加性规则。

这归结为标准条件化，特殊情况下 e=1。上述公式相当简化；有关一般性陈述，请参阅补充 G。这一原则已经通过荷兰博弈论进行了辩护；请参阅 Armendt (1980) 和 Skyrms (1984) 进行讨论。

杰弗里条件化足够灵活，可以容纳泥潭奇案。假设赌徒仰望天空的经历的直接影响是提高对 E 的信任度，即 Cr(muddy)。杰弗里条件化的一个特点是，由于需要保持某些信任度比例恒定，人们必须保持给定 E 的条件信任度以及给定 ¬E 的条件信任度恒定，例如 Cr(win∣muddy)和 Cr(win∣¬muddy)。上述提到的信任度可以用来表达 Cr(win)如下（感谢概率主义和比率公式）：

Cr(win)=Cr(win∣muddy)high, held constant⋅Cr(muddy)raised+Cr(win∣¬muddy)low, held constant⋅Cr(¬muddy)lowered.

根据《泥泞奔跑者案例》的描述，第一个条件概率高，第二个条件概率低，这似乎是很自然的。上述方程中的注释暗示着 Cr(win)必须上升。这就是杰弗里条件化如何适应《泥泞奔跑者案例》的方式。

尽管杰弗里条件化比条件化更灵活，但人们担心它仍然过于僵化，因为它从条件化那里继承了某些信念比率或条件信念的保留（Bacchus, Kyburg, & Thalos 1990; Weisberg 2009b）。这里有一个由 Weisberg（2009b: sec. 5）提出的例子：

• 贝叶斯认识论。一个具有先验 Crold 的代理人看着一个果冻豆。该果冻豆的红色外观只对这个代理人的信念产生了一个直接影响：增加了对这个主张的信念 （红色） 有一个红色的果冻豆。 然后这个代理人就会有一个后验 Crnew。如果这个代理人后来得知 (tricky) 灯光很棘手 她对果冻豆的红色程度的信心会下降。 (a) Crnew(red∣tricky)< Crnew(red). 但是，如果相反，这种棘手的光线在观察到果冻豆之前就已经被学习到了，那么它不会改变对果冻豆红色的信任；也就是说： (b) Crold(red∣tricky)=Crold(red).

然而，可以证明（用基本概率论）Crnew 不能通过对红色进行杰弗里条件化从 Crold 获得（假设在上述情况中两个条件（a）和（b），比率公式，以及 Crold 是概率的）。有关证明概要，请参阅附录 H。

韦斯伯格（2009b）使用上述例子不仅反驳了杰弗里条件化原则，而且阐明了一个更一般的观点：该原则与一种名为确认整体主义的影响力论题存在紧张关系，最著名的辩护者是杜埃姆（1906）和奎因（1951）。确认整体主义大致表示，如何修订自己的信念取决于背景观点的很多内容，比如关于照明质量、视力可靠性、实验设置细节（与经过测试的科学理论结合以预测实验结果）。作为回应，科内克（即将发表）发展并捍卫了一个更加灵活的条件化版本，足够灵活以与确认整体主义相容。有关确认整体主义的更多信息，请参阅科学理论不确定性条目以及伊万诺娃（2021）的调查。

有关 Jeffrey 条件化的更详细讨论，请参阅 Joyce（2011 年：第 3.2 和 3.3 节）和 Weisberg（2011 年：第 3.4 和 3.5 节）的调查。

5.4 记忆丧失

在标准版本中的条件化保留了确定性，这无法适应记忆丧失的情况（Talbott 1991）

• 贝叶斯认识论。在 1989 年 3 月 15 日下午 6:30，比尔确信他当晚将吃意大利面。但到了第二年的 3 月 15 日，比尔已完全忘记了一年前晚饭吃了什么。

有甚至被认为是更糟糕的反例，其中一个面临的只是失忆的危险而不是实际失忆的代理人。以下是一个这样的例子（Arntzenius 2003）：

• 贝叶斯认识论（Bayesian Epistemology）是一种认识论方法，它强调在面对不确定性时如何更新信念。在这个方法中，个体根据先验概率和新的证据来调整对某一事件发生的信念。这种方法的一个关键特征是主体的信念是概率化的，可以通过贝叶斯定理来更新。在这种认识论框架下，主体的信念是动态变化的，随着新的信息不断更新。

信心下降违反了条件化原则，所有这一切都发生在没有任何实际记忆丧失的情况下。

可能会有人回答说，条件化可以被合理地推广以适应上述情况。这里是 Titelbaum（2013a：ch. 6）所做的尝试，他发展了一个可以追溯到 Levi（1980：sec. 4.3）的想法：

• 广义条件化原则（确定性版本）。如果两种考虑的可能性在较早时间就包含了某人的确定性，并在较晚时间继续这样做，那么它们的信任比率在这两个时间点上是保持不变的。

这一规范允许一个人的确定性集合扩大或缩小，同时融入了条件化的核心思想：保持信任比率。为了看到这一规范如何适应香格里拉案例，简单地假设旅行者在初始时间拥有一组确定性，随后在稍后的时间看到抛硬币结果后扩大，但在最终时间到达香格里拉时又缩小回原始确定性集合。请注意，在初始时间和最终时间之间一个人的确定性没有变化。因此，根据上述规范，一个人在最终时间（到达香格里拉时）的信任应该与初始时间（旅行开始时）的信任相同。特别是，一个人对穿越山脉路径的最终信任应该与初始信任相同，即 0.5。有关试图从实际或潜在记忆丧失案例中拯救条件化的更多信息，请参阅 Meacham（2010），Moss（2012）和 Titelbaum（2013a：第 6 章和第 7 章）。

贝叶斯认识论中的广义条件化原则可能被认为是一种不完整的历时规范，因为它未解决一个人的确定性应该如何改变的问题。早期对积极回答的尝试归功于哈珀（1976 年，1978 年）和莱维（1980 年：第 1-4 章）。他们的想法独立于记忆丧失问题的讨论，但受到这样一种情景的启发：一个代理人发现需要修改甚至撤回她曾经认为是她的证据。尽管哈珀和莱维的方法并不相同，但它们共享一个共同的观念，即一个人的确定性应该在某些历时公理的约束下改变，现在被称为信念修正文献中的 AGM 公理。对哈珀-莱维确定性变化规范的一些反对理由，请参阅 Titelbaum（2013a：第 7.4.1 节）。

5.5 自我定位信念

一个人的自我定位信念，例如，是关于自己是谁、自己在哪里以及现在是什么时间的信念。这些信念对条件化提出了一些挑战。让我在下面提到两个。

首先，考虑以下案例，改编自 Titelbaum（2013a：第 12 章）：

• 贝叶斯认识论 (作者). 在 t1 时，是星期三的中午，一位作者坐在办公室里为出版商完成手稿，截止日期是第二天结束，她确信自己只剩下三个部分要完成。然后，在 t2 时，她注意到外面变暗了——事实上，由于工作太辛苦，她已经失去了时间感，现在只确定是星期三晚上或星期四早上。她还注意到自中午以来只完成了一个部分。于是作者对自己说：“现在，我还有两个部分要完成”。这是她改变信念的新证据。

问题在于并不清楚作者应该在哪个命题 E 上进行条件化。正确的 E 似乎是作者话语所表达的命题：“现在，我还有两个部分要讲”。而表达的命题必须是以下两个候选中的一个，取决于话语实际发出的时间（假设基于卡普兰 1989 年的指称符号标准解释）。

贝叶斯认识论

作者在周三晚上还有两个部分要完成。

贝叶斯认识论

作者在周四早上还有两个部分要完成。

但是，随着时间的流逝，似乎作者应该在一个信息较少的证据体上进行条件化：析取 A∨B。那么她究竟应该在哪个条件上进行条件化？A，B，还是 A∨B？请参阅 Titelbaum (2016)对这个问题提出的一些解决方案的调查。

前一个问题仅涉及应传递给条件化过程的输入，当自定位信念遇到记忆丧失的危险时，条件化本身受到挑战。考虑以下情况，这在认识论中由埃尔加（2000）广为流传：

• 贝叶斯认识论。《睡美人》参与了一个实验。她确切地知道她将被给予一颗导致有限遗忘的安眠药。她确切地知道，在她入睡后，将抛一枚公平的硬币。如果硬币正面朝上，她将在星期一被唤醒，并被问：“你对硬币正面朝上有多大的信心？”。她不会被告知是星期几。如果硬币反面朝上，她将在星期一和星期二都被唤醒，并每次都被问同样的问题。遗忘效应旨在确保，如果在星期二被唤醒，她将不记得在星期一被唤醒。而睡美人确切地知道这一切。

当她在星期一被唤醒并被问及她对硬币正面朝上的信心有多大时，她应该作何回答？Lewis (2001)运用条件化原则来论证答案应为 1/2。他的推理如下：睡美人在醒来时，没有获得新证据或仅获得一条她已经确定的新证据，因此根据条件化，她对硬币正面朝上的信心应该保持与入睡前相同：1/2。

但是 Elga (2000) 认为答案是 1/3 而不是 1/2。如果是这样，那似乎就成了条件化原则的反例。以下是他论证的概要。想象我们是“睡美人”，并按照以下方式推理。我们刚刚醒来，桌上只有三种可能性，关于硬币是如何落地以及今天是星期几：

贝叶斯认识论

抬头，今天是星期一。

贝叶斯认识论

尾巴和它的星期一。

(C)

尾巴和它的星期二。

如果我们被告知今天是星期一 (A∨B)，我们会判断硬币正面朝上 (A) 和反面朝上 (B) 的概率是相同的。

Cr(A∣A∨B)=Cr(B∣A∨B)=1/2.

如果我们被告知它落在尾部 (B∨C)，我们将判断今天是星期一 (B) 和今天是星期二 (C) 同样可能。

Cr(B∣B∨C)=Cr(C∣B∨C)=1/2.

唯一符合上述条件的方法是均匀分配无条件信念：

Cr(A)=Cr(B)=Cr(C)=1/3。

因此，对于出现正面的信心 A 等于 1/3，或者 Elga 得出这样的结论。这个结果似乎挑战了条件化原则，该原则建议的答案是 1/2，如上所述。有关“睡美人问题”的更多信息，请参阅 Titelbaum（2013b）的调查。

贝叶斯认识论没有运动学

面对条件化原则存在的问题，一些贝叶斯主义者转向摒弃任何历时规范并发展另一种贝叶斯主义：时间切片贝叶斯主义。根据这一观点，在任何特定时间你应该（或可以）持有的信念仅取决于你在同一时间拥有的全部证据，而与你先前的信念无关。规定这种依赖关系就是规定纯粹的同步规范，并忘记了历时规范。严格来说，仍然存在一个历时规范，但它是派生的而非基本的：当时间从 t 流向 t'时，你的信念应该以某种方式改变——它们应该改变为你在后一时间 t'对于你的全部证据应该持有的信念——而先前的时间 t 应该被忽略。任何历时规范，如果正确的话，最多只是一个附带现象，当正确的同步规范根据时间切片贝叶斯主义在不同时间重复应用时会出现。（这一观点是以一个人的全部证据来陈述的，但可以用一个人的全部理由或信息来替代。）

贝叶斯认识论的一个特定观点是由 J. Williamson（2010：ch. 4）持有的，他是如此坚定的客观贝叶斯主义者，以至于他认为如果与某些同时性规范的重复应用相冲突，如概率主义和最大熵原则（概括了无差别原则；见附录 D），则应拒绝条件化原则。时间切片贝叶斯主义作为一种一般立场由 Hedden（2015a，2015b）发展和捍卫。

理想化问题

贝叶斯认识论存在一个担忧，即两个核心贝叶斯规范要求过于严格，只有高度理想化的代理人才能遵循——即具有逻辑全知，具有始终完美契合的确信度。这就是理想化问题，它在教程第 1.9 节中提出。本节概述了三种贝叶斯主义者的回应策略，这些策略可能互补。正如下文将明确的那样，解决这一问题的工作是跨学科的，涉及认识论学者以及科学家和其他哲学家的贡献。

6.1 De-idealization and Understanding6.1 非理想化与理解

对理想化问题的一个回应是看看理想化模型在科学中的使用和价值，并认为某些理想化的价值可以延伸到认识论。当科学家研究一个复杂系统时，她可能并不真正需要准确描述它，而可能更想追求以下内容：

1. 一些简化的、理想化的整体模型（如在真空中的无摩擦、完全平坦平面上滑动的方块）;

2. 以上逐渐去理想化的过程（例如，增加关于摩擦的更多现实考虑）

3. 为什么应该以这种方式而不是另一种方式进行去理想化，以改进更简单的模型的明确理由。

第 1 部分和第 2 部分不必是一旦我们达到更现实的模型就会被踢掉的梯子。相反，1-3 部分可能共同助力科学家更深入地理解正在研究的复杂系统 - 一种仅凭准确描述（单独）无法提供的理解。以上是科学建模中理想化模型的所谓价值之一；更多内容请参见《理解》条目的第 4.2 节以及 Elliott-Graves 和 Weisberg 的调查（2014 年：第 3 节）。一些贝叶斯主义者认为，理想化的某些价值不仅适用于科学，还适用于认识论（Howson 2000：173-177；Titelbaum 2013a：第 2-5 章；Schupbach 2018）。有关在认识论中以及一般哲学中建立更理想化或不太理想化模型的价值的更多信息，请参见 T. Williamson（2017）。

贝叶斯认识论中对理想化问题的上述回答已经通过对理想化的持续去理想化项目得到了加强。以下内容为您提供了如何进行这一项目的味道。让我们从通常的抱怨开始，即概率主义暗示的：

• 强规范化。一个代理人应该将相信度分配为 1 到每一个逻辑真理。

担忧在于一个人只能通过运气或具有不切实际的能力来满足这一要求——即区分所有逻辑真理与其他命题的能力。但一些贝叶斯主义者认为，概率主义的标准版本可以适当去理想化，以获得一个不暗示强规范化的弱版本。例如，概率主义的可扩展性版本（在第 3.1 节讨论）允许人们存在信念差距，因此对任何逻辑真理都没有信念（de Finetti 1970 [1974]; Jeffrey 1983; Zynda 1996）。事实上，概率主义的可扩展性版本仅暗示：担忧在于一个人只能通过运气或具有不切实际的能力来满足这一要求——即区分所有逻辑真理与其他命题的能力。但一些贝叶斯主义者认为，概率主义的标准版本可以适当去理想化，以获得一个不暗示强规范化的弱版本。例如，概率主义的可扩展性版本（在第 3.1 节讨论）允许人们存在信念差距，因此对任何逻辑真理都没有信念（de Finetti 1970 [1974]; Jeffrey 1983; Zynda 1996）。事实上，概率主义的可扩展性版本仅暗示：

• 弱规范化。如果一个代理人对一个逻辑真理有信念，那么这个信念应该等于 1。

一些贝叶斯主义者试图进一步去理想化概率主义，使其摆脱对任何信念都应该像一个实数那样锐利、每一位数都精确的承诺。例如，Walley（1991 年：第 2 章和第 3 章）提出了一种概率主义版本，根据这种版本，信念可以以这种方式不锐利。一个信念可以被一段或另一段实数区间所限制，而不必等于任何特定的实数或任何特定的区间——即使对信念的最紧密限制也可能是对该信念的不完整描述。这种区间限制方法引发了一个荷兰书论证，支持概率主义的一个更弱版本，这仅仅意味着：

• 非常弱的规范化。如果一个代理人对逻辑真理有信念，那么这种信念仅受包括 1 的区间的限制。

请参阅补充 A 以获取一些非技术细节。有关更多细节和相关争议，请参阅 Mahtani（2019）的调查和不精确概率条目。

贝叶斯项目中可能采取的一些步骤已经提及。还有更多：Bayesians 能否为那些可能失去记忆并忘记曾经视为确定的事物的代理人提供规范？请参阅 Meacham（2010）、Moss（2012）和 Titelbaum（2013a：第 6 章和第 7 章）的正面观点；另请参阅第 5.4 节进行讨论。Bayesians 能否为有些不连贯且无法完全连贯的代理人制定规范？请参阅 Staffel（2019）的正面观点。Bayesians 能否为认知能力有限，只有全有或全无信念而没有数值信任度的代理人提供规范？请参阅 Lin（2013）的正面观点。Bayesians 能否制定解释一个人如何在理性上不确定自己是否理性的规范？请参阅 Dorst（2020）的正面观点。Bayesians 能否为认知受限的代理人制定一种时间跨度规范？请参阅 Huttegger（2017a，2017b）的正面观点。

贝叶斯认识论的项目可以像上面所示的那样逐渐和递增地进行去理想化，但贝叶斯派在这个项目应该追求到什么程度上存在分歧。一些贝叶斯派希望进一步推动这一项目：他们认为“非常弱规范化”仍然太强以至于难以置信，因此需要完全放弃概率主义，并用一种允许对逻辑真理的信念小于 1 的规范来取代。例如，Garber（1983）试图对某些逻辑真理这样做；Hacking（1967）和 Talbott（2016）对所有逻辑真理这样做。另一方面，更传统类型的贝叶斯派保留了一个或多或少去理想化的概率主义版本，并试图通过澄清其规范内容来捍卫它，我现在转向这一点。

6.2 追求理想

概率主义经常被认为有一个反例：它暗示我们应该达到一个非常高的标准，但事实并非如此，因为我们无法做到。作为回应，一些贝叶斯主义者认为这实际上不是一个反例，并且明确区分出一个适当的“应该”阅读，可以解释掉这个表面上的反例。

贝叶斯认识论

• 我们现在应该发动一场战争。

这个特定规范的真理听起来可能是下面一般规范的反例

• (ii) 不应该有战争。

也许存在这样的情境，即(i)和(ii)都是真实的，因此前者并非后者的反例。一个例子是我们确信能够发动一场结束所有现存战争的战争的情境。事实上，这两个句子中的“应该”似乎有着非常不同的解读。句子(ii)可以被理解为表达了一个规范，描绘了世界应该是什么样子——如果事物是理想的话，世界会是什么样子。这样的规范通常被称为应该是规范或评价规范，指向一个或另一个理想。另一方面，句子(i)可以被理解为规定了一个代理人在一个不太理想的情况下应该做什么的规范——可能是为了改善现有情况并使其更接近应该是规范所指定的理想，或者至少是为了防止情况恶化。这种规范通常被称为应该做规范、思考规范或规范性规范。因此，尽管(i)的真实性听起来像是(ii)的反例，但通过对“应该”的适当解读，这两者之间的紧张似乎会消失。

同样地，假设一个普通人持有一些不连贯的信念，并且并非应立即消除不连贯，因为她尚未察觉到这种不连贯。刚刚陈述的规范可以被视为一种应该做的规范，因此不必被视为对作为一种应该存在的规范来理解的概率主义的反例。

• 概率主义 (应该是版本)。应该是一个人的信念以概率方式相互契合。

贝叶斯认识论中隐含或明确地使用了“应该”应该的阅读，以捍卫贝叶斯规范，不仅仅是由贝叶斯哲学家（Zynda 1996; Christensen 2004: ch. 6; Titelbaum 2013a: ch. 3 and 4; Wedgwood 2014; Eder forthcoming）所采用，而且还被贝叶斯心理学家（Baron 2012）所采用。在更广泛的规范研究背景下，例如在行为逻辑（Castañeda 1970; Horty 2001: sec. 3.3 and 3.4）和元伦理学（Broome 1999; Wedgwood 2006; Schroeder 2011）中，应该是和应该做的应该之间的区别最常被捍卫。

贝叶斯认识论对概率主义的应该是一种解释，但仍然存在一个规范性问题：一个人应该如何发现和修正自己的信念的不一致性，注意到不应该不顾一切地追求一致性？这是一个关于应该做/规范性规范的问题，由心理学领域中的判断与决策研究计划来解决。有关该领域的调查，请参阅 Baron（2004 年，2012 年）和 Elqayam & Evans（2013 年）。事实上，许多心理学家甚至认为，无论好坏，这种规范性计划已经成为心理推理领域的“新范式”；有关参考资料，请参阅 Elqayam & Over（2013 年）。

上述提到的规范问题引发了其他一些问题。有一个经验性的、计算性的问题：人类大脑能够达到多大程度的同步和历时一致的贝叶斯理想？请参阅 Griffiths, Kemp, & Tenenbaum (2008) 以了解一些最近的研究结果。还有一些哲学问题：为什么对于人类的信念来说，更少的不一致在认识论上更好？说到更少的不一致，我们如何制定一个不一致程度的度量？请参阅 de Bona & Staffel (2018) 和 Staffel (2019) 的提议。

6.3 理想化赋能的应用

有一种对理想化问题的第三种方法：对于一些贝叶斯主义者来说，贝叶斯理想化的某些方面应该被利用而不是被移除，因为正是这些理想化的方面赋予了贝叶斯认识论在科学中的某些重要应用。这里的想法是这样的。考虑一个面临经验问题的人类科学家。当一些假设已经被提出供考虑，一些数据已经被收集时，仍然存在一个推理任务——从数据推断到其中的一个假设。这个推理任务可以由人类科学家单独完成，但越来越多地以这种方式完成：通过开发一个计算机程序（在贝叶斯统计学中）来模拟一个理想化的贝叶斯代理人，就好像那个代理人被聘请来执行推理任务。如果计算机模拟的是一个认知能力不足的代理人，模仿人类代理人的有限能力，那么这个推理任务的目的将会受到破坏。豪森（1992：第 6 节）提出，这个推理任务是贝叶斯认识论和贝叶斯统计学在其发展早期主要设计的目的。有关贝叶斯统计学的历史发展，请参阅 Fienberg（2006）。

因此，根据上述观点，在科学中贝叶斯认识论的现有应用中，理想化是必不可少的。如果是这样，真正的问题是，由贝叶斯理想化赋予的科学探究方式是否比非贝叶斯竞争对手（如统计学中的所谓频率主义和似然主义）更好地服务于推理任务的目的。有关统计推断的这三种思想流派的批判性比较，请参阅 Sober（2008 年：第 1 章）、Hacking（2016 年）以及有关统计哲学的条目。有关为哲学家撰写的贝叶斯统计学和频率统计学的介绍，请参阅 Howson＆Urbach（2006 年：第 5-8 章）。

贝叶斯认识论的领域不断扩大

贝叶斯认识论，尽管存在上述问题，但其应用范围不断扩大。除了在第 1.3 节列出的更标准、更古老的应用领域之外，还可以在关于认识自我怀疑的条目中找到更新的领域，以及在关于分歧的条目的 5.1 节和 5.4 节，Adler（2006 [2017]：第 6.3 节），以及社会认识论条目的第 3.6 节和第 4 节。

在他们最近的作品中，贝叶斯主义者也开始对一些传统上是许多非贝叶斯主义者最关注的认识论问题做出贡献，特别是对于那些沉浸在全有或全无信念认识论中的人。我希望最后举出四组例子。

1. 质疑挑战：传统认识论的核心问题是如何应对某些质疑挑战。笛卡尔怀疑论者认为我们没有理由相信自己不是一个坛中之脑。胡默（2016）和 Shogenji（2018）分别提出了一种贝叶斯论证来反驳这种怀疑论。还有波罗洛斯怀疑论者，他认为由于理由的回归问题，没有任何信念可以被证明是合理的：一旦一个信念被理由证明，那个理由也需要被证明，这就引发了一个回归。试图回应这种怀疑论者很快就会导致在三种立场中做出困难的选择：第一，基础主义（大致上，回归可以停止）；第二，连贯主义（大致上，理由的回归可以是循环的）；第三，无限主义（大致上，理由的回归可以无限延伸）。在这个问题上，贝叶斯主义者做出了一些贡献。例如，White（2006）提出了一个反对基础主义的贝叶斯论证，随后 Weatherson（2007）进行了回应；更多内容请参见形式认识论条目的第 3.2 节。Klein＆Warfield（1994）提出了一个概率论证反对连贯主义，引发了许多贝叶斯主义者的辩论；更多内容请参见认识论合理化连贯主义理论条目的第 7 节。Peijnenburg（2007）通过发展贝叶斯版本来捍卫无限主义。有关笛卡尔和波罗洛斯怀疑观点的更多信息，请参见怀疑论条目。

2. 贝叶斯认识论和合理信念的理论：尽管传统认识论者赞扬知识并广泛研究了信念如何转化为知识，Moss（2013，2018）提出了贝叶斯的对应理论：她认为信心也可以类似于知识，这是贝叶斯主义者可以研究的一个属性。传统认识论还包括一系列竞争的合理信念解释，它们的贝叶斯对应可能性已被 Dunn（2015）和 Tang（2016）探讨。有关这些贝叶斯对应的前景，详见 Hájek 和 Lin（2017）。

3. 贝叶斯认识论/反实在论辩论：科学哲学中最经典的辩论之一是科学实在论和反实在论之间的辩论。科学实在论者认为科学追求的理论在字面上或至少近似地是真实的，而反实在论者否认这一点。早期对这一辩论的贡献是范弗拉森（1989 年：第 II 部分）针对最佳解释推断（IBE）的贝叶斯论证，科学实在论者经常用它来捍卫他们的观点。一些贝叶斯主义者加入了这场辩论，并试图拯救 IBE；请参阅关于引导的条目的第 3.1 节和第 4 节。另一个有影响力的科学实在论的辩护是所谓的无奇迹论证。（这一论证大致如下：科学实在论是正确的，因为它是唯一一个不将科学的成功视为奇迹的哲学观点。）豪森（2000 年：第 3 章）和马格努斯与卡伦德（2004 年）认为无奇迹论证存在一种谬误，可以从贝叶斯的角度凸显出来。作为回应，斯普伦格与哈特曼（2019 年：第 5 章）认为，贝叶斯认识论使得科学实在论的无奇迹论证有可能得到更好的版本。反实在论观点是工具主义，它认为科学只需要追求对于做出可观测预测有用的理论。瓦森德（即将发表）认为，条件化可以被概括为一种既符合科学实在论者又符合工具主义者的方式，无论证据是否应该在科学中被利用来帮助我们追求真理或实用性。

4. 频率学家关注：频率学家关于统计推断设计推断程序，用于测试工作假设、在一组竞争性假设中识别真相，或产生某些数量的准确估计。他们希望设计能够可靠推断的程序——具有低的客观、物理机会发生错误的概率。这些关注已经被纳入贝叶斯统计学中，导致了一些频率学家解释的贝叶斯对应物。事实上，这些结果已经出现在贝叶斯统计学的标准教科书中，例如 Gelman 等人的有影响力的著作（2014 年：第 4.4 节和第 6 章）。频率学家和贝叶斯统计学之间的界限正在变得模糊。

因此，正如从 I-IV 中的许多例子中可以看出的那样，贝叶斯主义者一直在吸收来自“非此即彼”信念的认识论传统中的思想和关注点。事实上，还有一些尝试发展共同认识论的努力 - 一种同时具有置信度和“非此即彼”信念的代理人的认识论；有关详细信息，请参见有关信念形式表示的条目的第 4.2 节。

贝叶斯认识论中可以充分解决上述哪些话题，如果有的话，这是值得讨论的。但贝叶斯主义者一直在扩大他们的领域，他们的势头肯定会继续。

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Other Internet Resources

• Strevens, Michael, 2017, Notes on Bayesian Confirmation Theory

• Weisberg, Jonathan, 2019, Odds & Ends: Introducing Probability & Decision with a Visual Emphasis, Version 0.3 Beta, Open Access Publication.

• Talbott, William, “Bayesian Epistemology”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/spr2022/entries/epistemology-bayesian/. [This was the previous entry on this topic in the Stanford Encyclopedia of Philosophy — see the version history.]

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Acknowledgments

I thank Alan Hájek for his incredibly extensive, extremely helpful comments. I thank G. J. Mattey for his long-term support and editorial assistance. I also thank William Talbott, Stephan Hartmann, Jon Williamson, Chloé de Canson, Maomei Wang, Ted Shear, Jeremy Strasser, Kramer Thompson, Joshua Thong, James Willoughby, Rachel Boddy, and Tyrus Fisher for their comments and suggestions.

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