笛卡尔的方法 method (Tarek R. Dika)

首次发布于 2020 年 6 月 3 日

笛卡尔的方法是他哲学和科学中最重要的支柱之一。本条目介绍了笛卡尔的方法及其在光学、气象学、几何学和形而上学中的应用。

1. 笛卡尔方法的起源和定义

笛卡尔方法的起源与他对一种基于力学、物理和数学的激进自然哲学的引入同时发生，而这种组合在十七世纪之前的科学史上几乎是缺席的（关于中世纪科学中力学、物理和数学之间的关系，参见杜埃姆 1905–1906，1906–1913，1913–1959；迈尔 1949–1958；克拉杰特 1959；克伦比 1961；西拉 1991；莱尔德和鲁 2008）。笛卡尔最初是从荷兰科学家和博学家伊萨克·贝克曼（1588–1637）那里学会如何结合这些艺术和科学的（他在 1619 年在布雷达作为纳索王子军队的士兵时遇到了贝克曼）（参见罗迪斯-刘易斯 1998: 24–49 和克拉克 2006: 37–67）。贝克曼将他的自然哲学形式描述为“物理数学”（参见 AT 10: 67–77 和舒斯特 2013），两人讨论和通信关于数学和自然哲学的问题，包括音乐理论、静力学和物体下落的动力学问题（参见 AT 10: 46–47, 51–63, 67–74, 75–78, 89–141, 331–348；谢伊 1991: 1–121；达默罗等 1992；舒斯特 2013: 99–167）。

尽管很难确定笛卡尔何时撰写了他的主要方法论著作《思维的指导规则》（Regulae ad directionem ingenii），但普遍认为他在 1620 年代撰写了这些规则（参见 Weber 1964: 194–207；Gaukroger 1995: 104–187；Schuster 2013: 307–349）。最近的证据表明，笛卡尔可能在 1628 年之后继续研究这些规则（参见 Descartes ES）。《规则》中包含了笛卡尔整个著作中最详细的方法论描述。然而，他从未完成它，并且在他的已发表著作或通信中从未明确提及它。

笛卡尔在第 4 条规则中将“方法”定义为一组可靠的、易于应用的规则，如果严格遵循这些规则，就不会将错误视为真实，也不会白白浪费精力，而是会逐渐并持续增加自己的知识，直到对自己能力范围内的一切事物有真正的理解。（AT 10: 371–372, CSM 1: 16）

reliable rules which are easy to apply, and such that if one follows them exactly, one will never take what is false to be true or fruitlessly expend one’s mental efforts, but will gradually and constantly increase one’s knowledge till one arrives at a true understanding of everything within one’s capacity. (AT 10: 371–372, CSM 1: 16)

他将规则分为三个主要部分：规则 1-12 涉及科学的定义，方法的主要操作（直觉、演绎和枚举），以及笛卡尔所称的“简单命题”，这些命题“自然而然地出现在我们脑海中”，是确定和明显的认知或直觉的对象（例如，“三角形由三条线段构成”）（参见 AT 10：428，CSM 1：50；AT 10：368，CSM 1：14）。规则 13-24 涉及笛卡尔所称的“完全理解的问题”，即所有与问题解决相关的条件都已知的问题，主要出现在算术和几何学中（参见 AT 10：429-430，CSM 1：51）；规则 25-36 涉及“不完全理解的问题”，即一个或多个与问题解决相关的条件未知，但必须找到。这些问题主要出现在自然哲学和形而上学中。规则在第 21 条中提前结束（参见 AT 10：428-430，CSM 1：50-51）。

2. 规则中的方法

2.1 笛卡尔对“科学”的定义

对于笛卡尔来说，科学是深度相互依赖和相互连接的，并且必须通过一种方法来学习（AT 10: 360–361，CSM 1: 9–10）。他在规则 2 中将“科学”（scientia）定义为“确定和明显的认知”（omnis scientia est cognitio certa et evidens，AT 10: 362，CSM 1: 10）。许多斯科拉学派的亚里士多德主义者以同样的方式定义科学。然而，亚里士多德主义者并不认为每一门科学都同样满足这个定义；有些科学（如数学）可能比其他科学（如自然哲学）更精确，因此更确定。亚里士多德主义者始终为笛卡尔所称的“可能认知”留有余地，尤其是在自然哲学中（规则 2，AT 10: 362，CSM 1: 10）。在规则 2 中，笛卡尔大胆宣称“我们拒绝一切 […] 仅仅是可能认知，并决心只相信那些完全被知晓且无法被怀疑的事物”（同上）。

2.2 直觉

在规则 3 中，笛卡尔介绍了方法的前两个操作：直觉和演绎。他如下定义了“直觉”：

通过“直觉”，我并不是指感官的波动性证词或者想象力的欺骗性判断，因为它们将事物混在一起，而是指一个清晰而专注的思维概念，它是如此简单和明确，以至于我们对于我们所理解的事物不会有任何疑问。[...] 因此，每个人都可以在心理上直觉到他的存在，他在思考，一个三角形由三条线界定，一个球体由一个表面界定，等等。(AT 10: 368, CSM 1: 14)

正如笛卡尔的例子所示，既有偶然命题（例如，我存在；我在思考）也有必然命题（例如，一个三角形由三条线界定；一个球体由一个表面界定）可以被直觉所理解（参见 Alanen 和 Yrjönsuuri 1997 以及 Alanen 1999）。直觉是一种知觉或感知的类型，其中事物本身，而不是定义，直接呈现在思维之前。（笛卡尔选择“直觉”这个词，因为在拉丁语中，intueor 的意思是“看着，仔细看，凝视”，还有“注视，观察，考虑，关注”。）直觉的证据是如此直接，以至于不容置疑。因此，直觉典型地满足笛卡尔将科学定义为“确定和明显的认知”的要求。它是方法的最重要的操作。

2.2.1 直觉的对象：简单本质

直观的主要对象是“简单本质”。简单本质不是命题，而是“如此清晰和明确 [已知]，以至于思维无法将其分割为更明确已知的其他内容”（AT 10: 418，CSM 1: 44）。简单本质可以说是人类知识的基本单位（Hamelin 1921: 86）；所有其他概念和命题都由简单本质组成。笛卡尔将简单本质分为三类：智力（例如，知识、怀疑、无知、意志等）、物质（例如，延展、形状、运动等）和共同（例如，存在、统一、持续性，以及共同概念“其自明性是我们进行所有合理推论的基础”，例如“与第三个事物相同的事物彼此相同”，等等，AT 10: 419，CSM 1: 45）。智力的简单本质必须通过智力本身直观得知。物质的简单本质必须通过智力辅助想象力直观得知。共同的简单本质可以通过智力本身或智力辅助想象力直观得知（同上）。智力的简单本质定义了心灵的本质（笛卡尔形而上学的对象之一），而物质的简单本质定义了身体的本质（笛卡尔的数学和自然哲学的对象）。

笛卡尔的简单本质理论在他的方法中起着极其重要的作用（参见 Marion 1992）。首先，简单本质“是自明的，从不包含任何虚假”（AT 10: 420，CSM 1: 45），在它们之中没有“超出我们在思考中直观或达到的内容”（同上）。其次，

我们永远无法理解超出那些简单本质以及它们之间的某种混合或组合的任何东西。（AT 10: 422，CSM 1: 46）

第三，

整个人类知识的本质在于我们对所有这些简单本质如何构成其他事物的独特感知。（AT 10: 427，CSM 1: 49）

简单本质理论有效地确保了直观（以及如下所示的演绎推理）对科学中任何和所有对象的无限制范围，从最简单到最复杂。

2.3 推论

笛卡尔将推论定义为从已知为真的原则中通过连续而不间断的思维运动中清晰直观地推断出来的一些其他命题。 (AT 10: 369, CSM 1: 14–15)

笛卡尔将推论定义为从已知为真的原则中通过连续而不间断的思维运动中清晰直观地推断出来的一些其他命题。 (AT 10: 369, CSM 1: 14–15)

笛卡尔在第 12 条规则中提供了两个有用的演绎例子，他写道“当我们推断没有延伸的东西不能有形状”时，

我们直觉地感知到一个与另一个的结合是完全必要的 [...] 因为形状和延伸之间存在必然的联系。(AT 10: 424–425, CSM 1: 48)

这种“必然的结合”是我在想象中直接“看到”的，每当我直觉地感知到一个形状时；我想象的任何形状都必然在长度、宽度和高度上延伸。同样，如果

苏格拉底 [...] 说他怀疑一切，那么他至少明白他在怀疑，因此他知道某些事情可以是真或假等等；因为这些事实与怀疑的本质之间存在必然的联系。(AT 10: 421, CSM 1: 46)

在这两个例子中，直觉定义了推理的每一步，正如笛卡尔所要求的那样，他写道“推理中的每个命题”必须“清楚地直觉到”。因此，推理由一系列或一连串的直觉或直觉命题组成：

因此，我们将心智直觉与某种推理区分开来，是因为我们意识到后者中存在一种运动或一种序列，而前者中不存在。(AT 10: 370, CSM 1: 15)

正如笛卡尔拒绝亚里士多德的直观对象定义（亚里士多德的定义，如“运动是潜在存在的实际性，因为它是潜在的”，使运动更加晦涩，而不是更加清晰；参见 AT 10: 426，CSM 1: 49），他也拒绝亚里士多德的演绎或推理形式（参见 Gaukroger 1989；Normore 1993；和 Cassan 2015）。亚里士多德的演绎的有效性仅取决于其形式。例如，“所有的 A 都是 B；所有的 B 都是 C；所有的 A 都是 C”。在这里，无论内容如何，演绎都是有效的。相比之下，对于笛卡尔来说，演绎仅取决于其内容。在演绎中直观的是简单本质之间的依赖关系。我只是看到形状依赖于延伸，或者怀疑依赖于对真假之间差异的认识等。这些依赖关系在直觉和演绎中立即显现，无需诉诸演绎形式。

亚里士多德和笛卡尔演绎之间的另一个重要区别是，亚里士多德的推理不会产生任何新的知识。在演绎中，“所有的人都是有限的；所有的希腊人都是人；所有的希腊人都是有限的”，结论已经知道了。我们“从这种推理形式中学不到任何新东西”（AT 10: 406，CSM 1: 36）。相比之下，对于笛卡尔来说，这种方法“应该扩展到任何领域的真理发现”（AT 10: 374，CSM 1: 17；我强调）。笛卡尔的方法是一种发现的方法；它不是“向他人解释已知的论证”。

2.4 从演绎到枚举

当推理是简单的时候，它们完全可以归结为直觉：

因为如果我们从一个事实直接推导出另一个事实，只要推理是明显的，它就已经属于真实直觉的范畴。（AT 10: 389，CSM 1: 26）

然而，当推理是“复杂而深奥的”（AT 10: 408，CSM 1: 37）并且“我们从许多不相关的命题中推导出一个命题”时，那么“我们的智力往往不足以使我们能够将它们全部包含在一个单一的直觉中”（AT 10: 389，CSM 1: 26）。幸运的是，直觉的范围可以通过笛卡尔所称的“枚举”操作来扩展。由于一些推理需要“如此长的推理链”，以至于“很难回忆起我们到达结论的整个路径”，“需要思维的连续运动来弥补记忆的任何弱点”（AT 10: 387，CSM 1: 25）。这涉及到

同时直觉一种关系并传递到下一个，直到我学会如此迅速地从第一个到最后一个，以至于记忆几乎没有任何作用，我似乎一次性直觉到整个事物。(AT 10: 287–388, CSM 1: 25)

然而，我在单个直觉行为中能够包含多少关系是有限的。如果我无限延续这个系列，无论我多少次穿越这个系列，我最终会迷失在推理链中的一些推论中。枚举是一个规范理想，不一定总能在实践中实现。

枚举在笛卡尔的方法中扮演了许多角色，其中大部分与减少记忆在长或复杂推导中所起的作用无关(参见 Beck 1952: 111–134; Weber 1964: 48–57; Marion 1975: 103–113; Smith 2010: 67–113)。在规则中可以区分出五种枚举的意义。枚举 1 是“对已经在推理过程中穿越的逻辑步骤的验证”(Beck 1952: 143; 基于规则 7, AT 10: 387–388, 14–25, 1–17, CSM 1: 25)。枚举 1 已经在上面讨论过了。

枚举 2 是“对证明的基础进行初步调查或规划”的过程（Beck 1952: 143; 基于规则 7, AT 10: 388–392, CSM 1: 25–28）。在这里，枚举 2 既先于直觉又先于演绎。枚举 2 确定了（a）复杂问题中包含的所有较简单问题，以及（b）解决这些问题的顺序，从最简单的问题开始（例如，参见第 3 节）。

枚举 3 是“基于列举所有可能的替代方案或类似实例的推理形式”（Beck 1952: 143; 基于规则 7, AT 10: 388–389, 29–30, 1–7, CSM 1: 26 和规则 8, AT 10: 394–395, CSM 1: 29）。例如，

如果我希望证明 [...] 理性灵魂不是物质的 [...]，只需将所有物体分组成几个类别，以证明理性灵魂不能归属于其中任何一个（AT 10: 390, CSM 1: 26–27）。

在这里，枚举本身就是一种推理形式：我构建类以推断出一个结论。枚举的其他例子包括笛卡尔在《沉思录》第一篇中列举他可疑的观点，从而导致他在《沉思录》第二篇中发现他无法将命题“我是，我存在”归入这些类别之一（见第 9 节）。

枚举是“当隐含的推理序列基于一组复杂且不连贯的数据时，实际推理本身的类似”（Beck 1952: 143; 基于规则 7, AT 10: 389, 17–20, CSM 1: 26）（见 Beck 1952: 143）。枚举是从各种不同的推理链中推导出一个结论，而不是从一系列相互关联的推理中推导出来的。例如，笛卡尔在《沉思录》第六篇中证明心灵和身体是两个真正不同的实体，这依赖于从《沉思录》第一篇到第五篇中得出的各种考虑（见 AT 7: 13, CSM 2: 9; 给梅尔森的信，1640 年 12 月 24 日，AT 3: 266, CSM 3: 163。关于这种解释的解释，请参见 Dubouclez 2013。关于相反的解释，请参见 Gueroult 1984）。

最后，枚举也是笛卡尔称之为“归纳”的一种操作，它是从满足一定条件的一系列特殊情况推断出满足相同条件的所有情况，例如从“这个……对于某些特定的图形成立”这个事实推断出“圆的面积大于任何其他周长与圆相等的几何图形的面积”（AT 10: 390, CSM 1: 27）。

3. 规则中的方法：一个例子

让我们看看直觉、演绎和枚举在实践中是如何工作的。笛卡尔在第 5 条规则中描述了该方法的应用方式：

如果我们首先将复杂和晦涩的命题逐步简化为更简单的命题，然后从最简单的命题的直觉出发，通过相同的步骤逐步上升，试图了解其余所有命题，那么我们将完全遵循这种方法。（AT 10: 379，CSM 1: 20）

应用该方法的一个明确例子可以在规则 8 中找到，笛卡尔讨论了如何推导出折射平行光线向一个共同点聚焦的透镜的形状，即折射线的形状，如眼镜或望远镜中所示（见图 1）。

图 1：折射透镜。

折射问题是一个复杂且不完全理解的问题。需要通过枚举将其简化为一系列更简单的问题。一旦问题被简化为其最简单的组成部分，就必须通过直觉解决系列中最简单的问题，并通过推理解决系列中更复杂的问题。

笛卡尔将折射问题简化为五个更简单的问题（见表 1）：

平行光线聚焦到同一点的线（透镜）的形状是什么？
入射角和折射角之间的关系是什么（即折射定律）？
光从一个介质传播到另一个介质时，是如何引起折射的？
光线如何穿透透明物体？
光的作用性质是什么？
什么是自然力？

问题（6）必须首先通过直觉来解决，剩下的问题必须按顺序回答：

自然力是..
光的作用性质是...
一束光通过透明物体...
折射是光从一个介质传播到另一个介质时..
入射角和折射角之间的关系是...
将平行光线聚焦到同一点的线（透镜）的形状是...

表 1：笛卡尔提出的折射线的推导（Garber 2001: 37）

这个例子说明了笛卡尔方法中涉及的步骤。直觉和演绎只能在枚举将问题简化为一系列有序的更简单问题之后进行。最简单的问题首先通过直觉解决，而更复杂的问题则通过演绎解决。演绎的顺序通过反转枚举直接读取。请注意，识别系列中的一些问题（特别是表 1 中第二系列中的问题 3-4）需要实验。必须观察光如何实际通过不同类型的透明介质，以确定这些介质如何影响入射角和折射角。

4. 论述二中的方法

在《方法论述》（1637）的第二部分中，笛卡尔提供了他的方法的首次和唯一的公开阐述。与《规则》中描述的方法相比，《论述二》中描述的方法只包括四条规则：

第一点，我决不接受任何我没有确凿证据的事情为真：也就是说，要小心避免草率的结论和先入为主的观念，只在我的判断中包含那些我脑海中清晰明确、毫无疑问的东西。
第二点，将我所考察的每个困难分解为尽可能多的部分，并根据需要进行分解，以便更好地解决它们。
第三点，以有序的方式引导我的思维，从最简单、最容易了解的对象开始，逐渐一步一步地上升到对最复杂对象的认识，并假设那些没有自然顺序的对象之间也存在一定的顺序。
最后，为了使列举如此完整，评论如此全面，以确保没有遗漏任何内容（AT 6: 18，CSM 1: 120）。

这四条规则最好理解为对《规则》中描述的方法的高度概括（参见 Gilson 1987: 196–214; Beck 1952: 149; Clarke 1982: 181; Garber 2001: 39; Newman 2019: 85）。笛卡尔在《第二篇演讲》中对方法的概括反映了对“方法论”概念的转变。正如他在给梅尔森的一封信中所说，方法更多地体现在实践中而不是理论中（信件给梅尔森，1637 年 2 月 27 日，AT 1: 349，CSMK 3: 53），学习方法不仅应该反思方法的规则，还应该看到它们在解决特定问题中的功能。无论方法论的详细程度如何，都无法为科学研究中可能出现的每种情况做好准备，当然也无法将解决任何问题所需的每条规则都编码。每个问题都是不同的。到 1630 年代末，笛卡尔决定减少规则的数量，重点放在方法的应用上，而不是方法的理论上。在第 6-9 节中，我遵循笛卡尔的建议，研究他如何在光学、气象学、几何学和形而上学的解决方案中应用方法。不过，首先需要更详细地讨论实验在笛卡尔方法中的作用。

5. 在《第六篇演讲》和《第三-第四原理》中的实验和假设

实验在笛卡尔科学中扮演什么角色？在《世界与原理 II》中，笛卡尔从形而上学的第一原理：上帝中推导出物理学原理（自然法则）。自然法则可以仅通过理性从上帝的不变性中推导出来（参见 AT 11: 36–48, CSM 1: 92–98; AT 8A: 6167, CSM 1: 240–244）。实验在笛卡尔推导自然法则的过程中没有起到任何作用。然而，这并不意味着实验在笛卡尔科学中没有作用。相反，在《第六篇演讲》中，笛卡尔明确指出了在科学探究过程中何时需要进行实验：

自然的力量是如此广泛和庞大，而这些原理（即自然法则）又是如此简单和普遍，以至于我几乎没有发现任何特定的效应，我不知道它可以从这些原理中的许多不同方式中推导出来；而我最大的困难通常是发现它依赖于这些方式中的哪一种。我不知道其他方法来发现这一点，除了通过寻找进一步的观察，其结果根据哪种方式提供了正确的解释而有所变化（AT 6: 64–65, CSM 1: 144）。

自然界中有无数的效应可以从自然法则中“以许多不同的方式”推导出来。我们如何找到正确的方式？通过实验。我们从我们想要解释的效应开始；我们隔离和操纵这些效应，以更精确地确定它们产生的条件；然后根据我们对物质的本质和自然法则的了解，对它们的潜在原因进行假设。传统的演绎顺序被颠倒；从给定的效应中推导出无法直接观察到的潜在原因。笛卡尔在《第六篇演讲》末尾描述了他从效应中推导原因的过程。

因为我认为我的推理是如此紧密相连，以至于最后的推理是由第一次推理证明的，而第一次推理是由最后的推理证明的，这些最后的推理是它们的效果。不要以为我在这里犯了逻辑学家所谓的“循环论证”的谬误。因为正如经验使这些效果大多数是确定的，我推导它们的原因不是为了证明它们，而是为了解释它们；事实上，相反，是效果证明了原因。我之所以称它们为“假设”，只是为了让人们知道我认为我可以从我上面阐述的基本真理中推导出它们。（论述第六篇，AT 6: 76，CSM 1: 150）

这里笛卡尔所指的假设是在实验过程中引入的；它们描述了在实验中观察到的效果的原因体的形状、大小和运动。之所以需要假设，是因为这些粒子是观察不到的。一些学者认为，在第六篇论述中，笛卡尔引入了一种与《规则》甚至《论述二》中发展的方法不同的方法。对于这些学者来说，《规则》中的方法是先验的，从原因到效果，而第六篇论述中的方法是后验的，从效果到原因（参见克拉克 1982 年）。他们声称，后一种方法是所谓的“假设演绎法”（参见拉莫尔 1980 年：6-22 和克拉克 1982 年：10）。其他人则认为，对《规则》和第六篇论述的这种解释存在一些问题。首先，在《规则》中发展的方法中，实验绝不会被排除在外。相反，在《规则》和《论文集》中，实验既不中断也不取代演绎；实验构建演绎，因为它帮助人们将问题简化为最简单的组成部分（参见加伯 2001 年：85-110）。这在折射的例子中已经可以看到一点（参见第 3 节）：在简化中的第三个问题（“光从一个介质传到另一个介质时，折射是如何引起的？”）只能通过观察到光在各种透明介质中的行为不同来发现。实验构建了演绎。这也是笛卡尔推导出彩虹的原因的情况（参见下面的第 7 节和加伯 2001 年：91-104）。其次，在第六篇论述中，笛卡尔明确表示，引入在《论文集》中引入的假设可以从第一原理或“基本真理”中推导出来，在假设演绎法中没有这样的证明空间，其中假设仅仅通过经验来确认。

6. 光学中的方法：推导出折射定律

笛卡尔对折射定律的发现可以说是他最受赞誉的科学成就之一。我们在笛卡尔关于折射线的讨论中已经遇到了折射定律（见第 3 节的第 8 条规则）。在那里，折射定律出现为倒数第二个问题的解答，“入射角和折射角之间的关系（比率）是什么？”我们还了解到，折射定律取决于另外两个问题，“什么是自然力？”和“光的作用是什么？”在规则中，笛卡尔建议通过直觉来解决自然力是什么的问题，并推荐通过演绎或与其他更熟悉的自然力进行类比来解决光的作用是什么的问题。在第 9 条规则中，笛卡尔将光的作用类比为棍子的运动。同样，在《光学 II》中，笛卡尔通过类比（或比较）和关于光的反射和折射的假设推导出折射定律。与第 9 条规则类似，第一个比较将光的作用类比为从棍子的一端传递运动到另一端的过程，并旨在说明光如何瞬间从一个空间的一部分传播到另一部分：

我希望你考虑一下我们称之为“发光”的物体中的光不过是一种运动，或者说是通过空气和其他透明物体的介质通过我们的眼睛传递的一种非常迅速和活跃的行动，就像盲人手中的棍子遇到物体时，物体的运动或阻力通过棍子传递到他的手中一样。（AT 7: 84，CSM 1: 153）

当一个盲人使用棍子来了解周围环境时，他们是通过手中接触物体时所感受到的压力来做到这一点的。这种阻力或压力会瞬间从与物体接触的棍子的一端传递到手中。笛卡尔认为，光以同样的方式从发光物体传递到眼睛：它是通过介质（例如空气）对眼睛施加的瞬时压力。棍子的长度或太阳（或任何其他发光物体）与我们眼睛之间的距离并不重要，只要（1）我们手和棍子的一端或我们眼睛和太阳之间的物质颗粒是连续的，（2）来自棍子一端或发光物体的压力足够强大，能够影响到我们的手或眼睛，以便在一端发生的任何事情能够瞬间传达到另一端（AT 7: 84，CSM 1: 153）。

笛卡尔的第二个比较将（1）光传播的介质比作一个完全装满半压葡萄和酒的酒桶，（2）光在这个介质中的作用比作酒倾向于沿着位于桶底的孔直线运动的倾向：

酒的各个部分倾向于在打开孔的那一瞬间沿着一条直线向下运动 [...]。同样地，与我们眼睛接触的太阳一侧的细微物质 [光所组成的] 倾向于在我们睁开眼睛的那一瞬间沿着一条直线朝我们的眼睛运动 [...]（AT 7: 87–88, CSM 1: 154–155）。

这个比较说明了从一个空间的一部分到另一个空间的实际运动与运动的倾向之间的重要区别。就像酒桶中的所有酒都倾向于沿着桶底的孔直线运动一样，光只是一种最小物质在我们眼睛和太阳（或任何其他发光物体）之间具有的沿着直线运动的倾向。我们眼睛和任何发光物体之间的空间是如此拥挤，以至于最小的物质部分无法实际从发光物体到达我们的眼睛。相反，它们的“作用”在于它们朝着我们的眼睛运动的倾向。这种倾向对我们的眼睛施加压力，当通过神经传递到大脑时，产生了心灵中的光的感觉。

第三个比较说明了光线在反射和折射中受到其他物体影响时的直线运动倾向：

但是当 [光线] 遇到某些其他物体时，它们可能会被偏转或削弱，就像球或石头被抛向空中时被遇到的物体偏转一样。因为很容易相信，行动或运动的倾向（我已经说过，应该被视为光线）在这方面必须遵守与运动本身相同的规律。（AT 7: 88–89, CSM 1: 155）

就像球的运动可以受到遇到的物体的影响一样，光线也可以受到遇到的物体的影响。根据这些物体自身的物理构成，它们可以反射或折射光线。软物体，如亚麻布、沙子或泥浆，“完全阻止球并阻碍其运动”，而硬物体只是“将球发送到另一个方向而不停止它”（AT 7: 89, CSM 1: 155）。由于运动的倾向遵循与运动本身相同的规律，笛卡尔通过将折射光与网球在穿透亚麻布之前和之后的运动进行比较来证明折射定律。

如此薄且细密编织，以至于球有足够的力量穿透它并通过，只损失一些速度（比如一半）。（AT 7：97，CSM 1：158；见图 2）

图 2：笛卡尔的网球模型折射（AT 6：98，CSM 1：159，D1637：11（视图 95））。[图 2 的扩展描述和 SVG 图表在附录中。]

网球模型的并非所有属性都与光的作用相关，不相关的属性可以排除在考虑之外。我们可以忽略

entirely the question of the power which continues to move [the ball] when it is no longer in contact with the racquet, and without considering any effect of its weight, size, or shape […] since none of these factors is involved in the action of light. (AT 7: 93–94, CSM 1: 157)

Second, it is necessary to distinguish between the force “which causes the ball to continue moving” on the one hand, and “that which determines it to move in one direction rather than the other” on the other, since “this same force could have made it move in any other direction” (AT 7: 94, CSM 1: 157). Conversely, the ball could have been determined to move in the same direction “even if a different force had moved it” (ibid.). Third, we can divide the direction of the ball into two principal components, which determine its direction: a perpendicular component (line AC) and a parallel component (line AH) (see Fig. 2 above). The ball must be imagined as moving down the perpendicular line at the same time as it moves across the parallel line (left to right), and these two components determine its actual direction along the diagonal (line AB). Descartes terms these components parts of the “determination” of the ball because they specify its direction. Determinations are directed physical magnitudes. As we will see below, they specify the direction of the ball, and they can be independently affected in physical interactions.

Descartes proceeds to deduce the law of refraction. The ball is struck by the racquet at A and moves along AB until it strikes the sheet at B. Where will the ball land after it strikes the sheet? Descartes stipulates that the sheet reduces the speed of the ball by half. Consequently, it will take the ball twice as long to reach the circumference of the circle after impact than it did for the ball to reach the surface at B. We also know that the determination of the ball in direction AB is composed of two parts, a perpendicular component determination (AC) and a parallel component determination (AH). Descartes reasons that

只有使球向下倾斜的一个分量决定（AC）可以通过与平面碰撞而改变，而使球向右倾斜的一个分量（AH）必须始终保持不变，因为平面对这个方向的决定没有任何阻力。（AT 7: 97, CSM 1: 159）

要理解笛卡尔在这里的推理，平行的分量决定 AH 必须被视为沿着其初始路径继续前进，因为它不接触平面的表面。AH 应该延伸到哪里？由于球失去了一半的初始速度，因此在碰撞后到达圆周的时间将是原来的两倍，我们通过将其延伸到 F 来使 AH 的长度加倍。因此，球必须降落在从 F 垂直下落的线上的某个地方，但由于它不能降落在表面上方，所以它必须降落在 CBE 下方的某个地方。它恰好降落在从 F 垂直下落的线与圆在 I 处相交的地方（同上）。一旦我们有了 I，我们将 AB 延伸到 I。笛卡尔观察到折射的程度“与各个物体的渗透性的变化成正比”（AT 7: 101, CSM 1: 161）。然而，他坚持认为，在这个比例中应该相互比较的量不是 ABH 和 IBE 本身（入射角和折射角，分别），“因为这些角度之间的比率或比例随着射线的各种不同倾斜而变化”（同上）。换句话说，入射角和折射角不会根据任何可确定的比例变化。笛卡尔不是将角度相互比较，而是将线段 AH 和 HF（入射角和折射角的正弦值，分别）进行比较，并且发现这些线段之间的比例是 1/2，这是这两个介质之间的所有折射都必须遵守的比例，无论入射角和折射角如何。由于线段 AH 和 HF 是角度的正弦值，笛卡尔的折射定律通常被称为“正弦定律”。

sini=nsinr

入射角 i 的正弦等于折射角 r 的正弦乘以由折射介质的性质定义的常数 n（在上面讨论的例子中，由该介质定义的常数为 1/2，因此 AH = 1/2 HF）。

许多评论家对笛卡尔的正弦定律的推导提出了疑问（参见，例如，Schuster 2013: 178–184）。例如，平行和垂直分量测定（线段 AH 和 AC）有什么物理意义？球的速度真的只在撞击表面减小，而不是之后吗（参见 Schuster 2013: 180–181）？在水中，似乎球的速度会随着其进入介质的深度而减小。这些和其他问题无法在此详细讨论。从方法论的角度来看，笛卡尔坚持认为，折射定律可以从他在《光学 II》中使用的比较和假设中推导出来（参见给梅尔森的信，1638 年 5 月 27 日，AT 2: 142–143，CSM 1: 103），而且正如我们所见，在规则 8 和第四篇演讲中，他声称他可以从物理原理中证明这些假设。

7. 气象学中的方法：推导出彩虹的原因

笛卡尔在《气象学第八篇》中对彩虹的原因进行的推理长期以来被认为是他运用该方法最清晰的应用之一（参见 Garber 2001: 85–110）。笛卡尔本人似乎也这样认为（参见 AT 1: 559, CSM 1: 85）。在《气象学第八篇》中，笛卡尔明确指出，他不能选择一个更合适的主题来展示如何通过我所使用的方法，我们可以获得那些对我们可用的著作一无所知的知识。（AT 6: 325, MOGM: 332）

笛卡尔通过列举与解决这个问题相关的所有条件开始他对彩虹原因的探究，从彩虹在自然界中出现的时间和地点开始。彩虹出现

Descartes begins his inquiry into the cause of the rainbow by enumerating2 all of the conditions relevant to the solution of the problem, beginning with when and where rainbows appear in nature. Rainbows appear

不仅在天空中，而且在我们附近的空气中，只要有许多水滴被阳光照射，就像我们在某些喷泉中所看到的那样。（AT 6: 325，MOGM: 332）

这个观察得出了一个初步的结论：

[因此] 我很容易判断出 [彩虹] 仅仅来自光线对那些水滴的作用，然后朝着我们的眼睛。（AT 6: 325，CSM 1: 332）

在《气象学 V》（AT 6: 279–280，MOGM: 298–299）中，笛卡尔根据他对水滴形状的早期描述推断，

既然已经证明这些水滴是圆形的，并且看到它们的大小不会改变弧线的外观，我决定做一个非常大的水滴，以便更好地观察它。（AT 6: 280，MOGM: 332）

他设计了一个模型，以便更多地观察光在水中的行为。由于水是完全圆形的，并且水的大小不会改变弧线的外观，他用水装满了“一个完全圆形和透明的大瓶子”，并观察光在瓶中的行为。在这个早期阶段，关于相关性和无关性的微妙考虑已经清晰地展现出来，这些考虑使笛卡尔能够缩小范围并更清晰地定义问题。一旦他用水装满了大瓶子，他就可以开始观察光在水中的行为。

发现，例如，当太阳来自标记为 AFZ 的天空部分，并且我的眼睛在点 E 处时，当我将这个球放在位置 BCD 时，它的部分 D 对我来说完全是红色的，比其他部分更加明亮不可比拟 [...]。（AT 6: 325–326, MOGM: 332；见图 3）。

图 3：笛卡尔对太阳光作用于水滴的瓶模型（MOGM: 333）。[图 3 的扩展描述和 SVG 图表在附录中。]

正如笛卡尔无疑从经验中知道的那样，红色是主彩虹（位于弓形的最上部分）的最后一种颜色，也是次彩虹（位于弓形的最下部分）的第一种颜色。正如他也必须从经验中知道的那样，主彩虹中的红色比次彩虹中的红色要明亮得多。因此，笛卡尔观察到 D 部分完全是红色的，并且比瓶子的所有其他部分更加明亮，这一点肯定立即引起了他的兴趣和希望。因此，他继续探索太阳光线、他眼睛的位置和 D 处红色的亮度之间的关系，通过改变条件观察变化和保持不变的内容，以更精确地确定相关因素。D 处的红色亮度不受将瓶子放在观察者右侧或左侧的影响，也不受观察者围绕瓶子转动的影响，只要角度 DEM 保持不变。当笛卡尔测量时，角度 DEM 为 42º。因此，眼睛与 D 和 M 在 DEM 处形成的 42º 角度是影响 D 处更亮红色外观的因素。在确定了角度 DEM 的测量后，笛卡尔随后改变角度以确定是否发生其他变化。这使他能够将角度的减小与瓶子中其他颜色的出现相联系：

如果我稍微减小角度，颜色不会一下子全部出现，而是首先分成两个不那么明亮的部分，其中可以看到黄色、蓝色和其他颜色。

这些颜色是由主要的彩虹颜色组成的（AT 6: 326–327, MOGM: 333）。

然后，笛卡尔将注意力转向烧瓶中的点 K，并观察到...

如果我将角度 KEM 设为 52º，那么部分 K 也会变成红色，但不如 D 那样明亮；如果我稍微增大角度，其他较弱的颜色也会出现。但我发现，如果我稍微减小角度，或者大得多，就不会出现任何颜色。（引自）

再次，笛卡尔确定了较不明亮的红色出现的角度，这次是在接近烧瓶顶部的 K 处，并观察到，通过稍微增大角度，其他较弱的颜色也会出现，就像次级彩虹中的情况一样。基于这些观察结果，他得出结论，如果空气中充满了水滴，这些水滴将产生相对于相同角度的相同颜色，从而产生主彩虹和次级彩虹的所有颜色。

到目前为止，已经取得了相当大的进展。已经确定了主彩虹和次级彩虹出现的角度。我们对彩虹出现的时间和地点有了更精确的信息。然而，我们还没有一个解释。彩虹的根本原因仍然未知。因此，笛卡尔决定“更详细地研究是什么导致了球体 BCD 的部分 D 变成红色”，并发现

它是太阳的光线，从 A 射向 B 时被弯曲 [折射] 进入水中的 B 点，然后朝 C 方向传播，再被反射朝 D 方向传播；然后，在离开水面时再次被弯曲 [折射]，朝 E 方向传播。

笛卡尔是如何得出这个特定的发现的？通过直接干预模型，排除与产生效果无关的因素（D 点的明亮红色），并清晰地分离出仅产生该效果的原因。每当他“在 AB、BC、CD 或 DE 线上的某个位置放置不透明或黑暗的物体时，这个红色就会消失”，但每当他“除了 B 点和 D 点，将整个球体都遮盖住，并在其他地方放置黑暗的物体”时，红色就会出现在 D 点。同样，在 K 点的情况下，他发现产生红色的光线是从 F 射向 G，然后被折射向 H，再被反射向 I，然后在 I 点再次反射，这次朝 K 点，然后被折射向 E。他得出结论：

因此，主虹是经过两次折射和一次反射后到达眼睛的光线引起的，而次虹是其他光线经过两次折射和两次反射后才到达眼睛；这就是为什么次虹不像主虹那样清晰可见的原因。（AT 6: 328–329, MOGM: 334）

（正如我们将在下面看到的，笛卡尔进行的另一个实验揭示了这个结论是错误的，只需要一次折射就可以产生彩虹的颜色。有趣的是，笛卡尔选择包括他后来会推翻的结果。）

笛卡尔接下来研究了他所描述的“主要困难”。假设一束光线在 K 和 B 之间的某处击中烧瓶，经历了两次折射和一次或两次反射，离开烧瓶后趋向于眼睛 E。为什么这束光线不产生颜色，“只有我所说的那些光线才会产生特定的颜色”，目前还不清楚（AT 6: 329, MOGM: 334）。这里的困难有两个方面。首先，为什么只有笛卡尔所确定的光线才会产生颜色？其次，为什么这些光线会产生“特定的颜色”，即这些颜色按照特定的顺序（参见 Buchwald 2008: 10）？为了解决这个困难，笛卡尔

寻找是否有其他地方它们 [颜色] 以同样的方式出现，这样通过彼此比较我可以更好地判断它们的原因。（AT 6: 329, MOGM: 335）

比较的主要功能是确定在水中产生彩虹颜色的因素是否存在于其他介质中。笛卡尔决定在一个棱镜中研究这些颜色的产生（见图 4）。棱镜的形状与水不同，能够在没有任何反射和只有一次折射的情况下产生彩虹的颜色。这些条件与在烧瓶中产生彩虹颜色的条件相当不同。因此，彩虹的真正原因尚未完全确定。

图 4：笛卡尔的棱镜模型（AT 6: 330，MOGM: 335，D1637: 255）。[图 4 的详细描述和 SVG 图表在附录中。]

在棱镜模型中，从太阳射出的光线在 ABC 处“与 MN 垂直交叉，或者几乎垂直交叉，因此在那里不经历任何明显的折射”，但是“在 NP 处出来时会经历相当大的折射”（AT 6: 329–330，MOGM: 335）。此外，只有当棱镜 NP 底部的两侧被某种黑色物体覆盖，以便光线只能通过 DE 处的狭缝出射时，光线才会在布料或白纸 FGH 上绘制出彩虹的所有颜色，始终在 F 处产生红色，在 H 处产生蓝色或紫色（同上）。通过比较烧瓶和棱镜之间的差异，笛卡尔得知“水滴的表面不需要弯曲才能产生这些颜色，因为这种晶体的表面完全平坦”。他还了解到“它们出现的角度不需要任何特定的大小，因为它们可以在这里改变而不会改变”（同上）。在这里，笛卡尔指的是折射角度（例如，HEP），它可以在烧瓶和棱镜之间变化，但产生相同的效果，也可以在棱镜中的 ABC 光线处于 DE 时相同，但在 FGH 处产生不同的颜色。他进一步了解到

在这里，反射不是必要的，因为这里没有反射；最后，我们也不需要多个折射，因为这里只有一个折射。（同上）

他还“毫无疑问地认为光是必要的，因为没有光我们什么都看不见”（AT 6: 331，MOGM: 335）。最后，他

观察到 [...] 阴影，或者说这种光的限制是必要的；因为如果我们移除 NP 上的黑暗物体，FGH 的颜色就不再出现，如果我们使 DE 的开口足够大，F 处的红色、橙色和黄色不会比 G 处的绿色、蓝色和紫色更远——相反，两者之间的额外空间都是白色的。（AT 6: 331，MOGM: 336）

当完全移除棱柱底部两部分的黑色物体时，FGH 处不会出现任何颜色，如果打开得太宽，所有颜色都会退到 F 和 H，中间不会出现任何颜色（参见 Buchwald 2008: 14）。

到目前为止，笛卡尔已经比较了两种不同模型中彩虹的产生：瓶子和棱镜。在这两种情况下，他列举了产生同一效果的变化和不变性，排除了无关的原因，只指出了必要的原因。有趣的是，特别是第二个实验还引发了新的问题，这些问题在实验之前笛卡尔可能不熟悉，但这些问题使他能够更具体地定义他需要解决的问题系列，以确定彩虹的原因（参见 Garber 2001: 101–104 和 Buchwald 2008）。例如，在 F 和 H 处产生的颜色（见下图 6）是不同的，“尽管折射、阴影和光在那里以相同的方式共同存在”（AT 6: 331，MOGM: 336）。是什么导致这些颜色不同？

为了解决这个问题，笛卡尔借鉴了他在光学方面的先前研究，并反思了在微观机械水平上，超出感官观察范围的微粒运动的性质，这些微粒产生可见光。笛卡尔的方法要求将自然界中的每一个现象都归结为物质的简单本质，即延展性、形状和运动（参见上文 2.2.1 节）。在这种情况下，尚待确定的是“什么样的简单本质的混合是产生彩虹的所有效果所必需的”（AT 10: 427，CSM 1: 49），即光粒子的延展性、形状和运动如何产生彩虹颜色的精确顺序。从棱镜到微观机械水平的过渡自然而然地受到启发，因为无论是瓶子还是棱镜都无法帮助找到彩虹颜色顺序的原因。棱镜只提供了“折射、阴影和光以相同的方式共同存在”的条件，但在 FGH 的不同位置产生不同的颜色。仅仅通过对模型的检查无法揭示颜色顺序的原因。

在光学中，笛卡尔描述了光的性质为一种非常细小的物质的作用或运动，其粒子可以想象为在地球物体的孔隙中滚动的小球（AT 6: 331，MOGM: 336）

这些小球倾向于旋转的方式取决于决定它们这样做的原因。当它们被普通表面折射时，“在同一侧 [小球] 上发生的所有折射都会使它们以相同的方向旋转”（同上），但它们的旋转速度倾向不一定相同。光的粒子在折射后可以获得不同的旋转速度倾向，这取决于它们周围的物体。

The manner in which these balls tend to rotate depends on the causes that determine them to do so. When they are refracted by a common surface, “all the refractions which occur on the same side [of the balls] cause them to turn in the same direction” (ibid.), but they do not necessarily have the same tendency to rotational speed. Particles of light can acquire different tendencies to rotational speed after refraction, depending on the bodies that surround them,

以至于那些具有更强的旋转倾向的颗粒会呈现红色，而那些只有稍微更强的旋转倾向的颗粒会呈现黄色，

而

在 H 处可见的颗粒的特性仅在于这些小颗粒的旋转速度没有通常情况下那么快 [...] 以至于当它们转动稍微慢一点时，会呈现绿色，而当它们转动非常慢时，则呈现蓝色。(引自同上)

组成射线 EH 的球体具有较弱的旋转倾向，而组成射线 DF 的球体具有较强的旋转倾向。因此，在折射后，不同的颜色差异是由于旋转速度的差异产生的。这是笛卡尔自然哲学中机械解释的典型例子。微观机械水平上对粒子行为的描述解释了相关现象的可观测效应。

从 E 处朝眼睛方向的射线在烧瓶中以明确的角度聚集，这些角度决定了哪些射线能够到达我们的眼睛，哪些射线不能（见图 5）。

图 5（AT 6: 328，D1637: 251）。[图 5 的扩展描述和 SVG 图表在补充中。]

在 DEM 处，其角度为 42º，出现了主彩虹的红色，稍小角度处出现了主彩虹的其他颜色（橙色、黄色、绿色、蓝色、紫色）。在 KEM 处，其角度约为 52º，出现了次彩虹的较暗红色，稍大角度处出现了次彩虹的其他颜色（橙色、黄色、绿色、蓝色、紫色）。DEM 和 KEM 两个主要角度的附近是产生主彩虹和次彩虹所有颜色所需的足够光线的地方。在它们之外，只有“阴影”，即由于光线数量较少而不产生颜色的光线。在棱镜中产生颜色的条件确实忠实地再现了彩虹自然产生的条件，而瓶子、棱镜和笛卡尔的光学物理学推导出了彩虹的所有效果。

推导的结构如图 6 所示。

图 6：笛卡尔对彩虹的推导（Garber 2001: 100）。[图 6 的详细描述在附录中。]

8. 数学中的方法

在 1637 年 12 月底写给默尼斯的一封信中，笛卡尔暗示说

[在] 光学和气象学中，我只是试图展示我的方法比通常的方法更好；然而在我的几何学中，我声称已经证明了这一点。 (AT 1: 478, CSMK 3: 77–78)

几何问题是完全理解的问题；解决问题所需的所有条件都在问题的陈述中提供（参见第 1 节）。要解决几何问题，必须找到与给定线段有明确关系的线段。

几何学的所有问题都可以轻松地转化为只需要知道某些直线的长度以便构造它们的问题。（AT 6: 369, MOGM: 177）

这些线段只能通过给定线段的加法、减法、乘法、除法和开方来找到。虽然我们知道如何对数字进行这些运算，但对线段进行这些运算的意义不太清楚。例如，将一条线段乘以另一条线段是什么意思？

将线段进行乘法运算的一个非常基本的例子可以在求解线段的平方问题中看到。假设给定线段为 a，并且要求将 a 乘以自身（x=a2）。为了找到 x 的值，我只需在下方构造出 a2 的正方形（参见图 7）：

图 7：线、正方形和立方体。维度的问题。

这个例子清楚地说明了如何在线上进行乘法运算，但它的简单性掩盖了一个问题。笛卡尔的前辈们非常有限地将几何构造与算术运算联系在一起：由于几何学中只有三个空间维度，超过立方体的乘法运算变得困难。一个数可以用一条线表示，一个数的平方可以用一个表面（一个正方形）表示，一个数的立方可以用一个立体（一个立方体）表示，但在立体之外，没有更多的维度来表示 n>3 条线的乘法（参见 Mancosu 2008: 112）（见图 7）。正如后来被称为“维度问题”的问题，它对在几何中使用代数构成了严重的障碍（同上）。假设问题是将一条线提升到四次方（x=a4）。对于笛卡尔的前辈们来说，这在几何上完全没有意义。

笛卡尔通过展示在线上执行的算术运算永远不会超越这条线来解决了维度的问题。例如，如果线段 AB 是单位线段（见图 8），我想要将线段 BD 乘以线段 BC，“我只需要连接点 A 和 C，然后画 DE 与 CA 平行，BE 就是这个乘法的乘积”（AT 6: 370，MOGM: 177–178）。笛卡尔的方法是基于相似三角形的（两个或多个三角形的边长可能不同，但角度相等）。所有相似三角形的边长成比例（例如，三角形 ACB 与三角形 DEB 相似，BC 与 BE 成比例，BA 与 BD 成比例，等等）（参见欧几里得的《几何原本》VI.4–5 [1908: [2] 200–204]）。通过利用比例理论，笛卡尔可以轻松地证明 BA:BD=BC:BE，或者 1:a=b:c（例如，1:2=2:4，所以 2∙2=4，等等），在这种情况下 a∙b=c 或 BD∙BC=BE。两条或多条线段的乘积永远不会产生一个正方形或一个立体，而只会产生另一条与其他线段有明确（成比例）关系的线段。所有大小可以轻松地作为相互之间通过某种度量或比例相关的线段进行比较，有效地为在几何中无限制地使用代数打开了大门。

图 8（AT 6: 370，MOGM: 178，D1637: 298）。[图 8 的扩展描述和 SVG 图表在附录中。]

在解释了如何在几何中应用乘法和其他算术运算之后（AT 6: 369–370，MOGM: 177–178），笛卡尔继续描述了如何将这种方法应用于几何问题中：

因此，如果我们希望解决某个问题，首先我们应该考虑它已经解决了，并给所有线条命名——无论是未知的还是其他看起来在构建问题中必要的线条。然后，不考虑已知线条和未知线条之间的任何差异，我们应该按照最自然地显示这些线条之间相互依赖关系的顺序来解决问题，直到我们找到一种方法以两种方式表达一个单一的量。这将被称为方程，因为其中一种方式 [表达数量] 的项等于另一种方式的项。(AT 6: 372, MOGM: 179)

这就是分析的方法，它也将在形而上学中找到一些应用(见第 9 节)。要将该方法应用于几何问题，首先必须“考虑 [问题] 已解决”，用字母来命名已知线条和未知线条。然后，必须产生与未知线条数量相等的方程，并且每个方程必须用已知线条来表达未知线条。(方程将未知量定义为已知量。例如，方程 x2=ax+b2 将未知量“x”与已知量“a”和“b”相关联，从而以两种方式表达一个数量。)最后，必须使用这些方程来几何地构造所需的线条。

笛卡尔在几何学第一章中提供了一个简单的例子。给定线段 a 和 b，我必须构造一条线 x，使得 x2=ax+b2。构造过程如下(见图 9)。

图 9（AT 6: 375，MOGM: 181，D1637: 302）。[图 9 的扩展描述和 SVG 图表在附录中。]

首先，我画一个直角三角形 NLM，使得 LN=1/2a，LM=b，且角 NLM=90º。

其次，我以 N 为中心，半径为 1/2a 画一个圆。

第三步，我延长 NM 使其与圆相交于 O。

MO = x，所需的线段。

证明：根据《几何原本》第 III.36 定理，MO∙MP=LM2。因此，x(x−a)=b2 或 x2=ax+b2（参见 Bos 2001: 305）。

这个过程相对简单（不熟悉相关欧几里得构造的读者被鼓励参考欧几里得的《几何原本》III.36 [1908: [2] 73–75]）。所采用的方法很清晰。通过使用已知和未知量的字母来代数地表达问题，并产生一个方程，其中未知量仅以已知量的形式表达。然后通过添加满足方程的线段来构造未知量。这种构造使得问题的解可以通过直觉或智力辅助想象力（或在纸上，它体现了智力对线段在想象中的操作）直接看到。因此，几何构造是笛卡尔几何中直觉的基础，也是解决任何问题的最后一步。

笛卡尔采用他的方法来解决在数学历史上从未解决过的问题。其中一个问题是“帕普斯问题”，即轨迹问题，或者说必须找到满足一定条件（方程）的所有点的轨迹（位置），由四世纪的希腊数学家亚历山大的帕普斯（公元 300-350 年）提出：

[如果] 我们有三条、四条或更多直线在给定位置上，我们首先必须有一个点，从这个点我们可以画出与给定直线成给定角度的其他直线，每条直线上都有一条。（AT 6: 379, MOGM: 184）

这样，这些线之间存在着明确的比例关系。在涉及超过六条线的轨迹问题中（其中方程的一侧必须显示三条线与另一侧的四条线存在比例关系），帕普斯认为问题的维度性质阻止了对这些问题的解决，“因为没有超过三个维度的图形”，所以“由这些线围成的图形无法以任何方式理解”（见上文）。相比之下，笛卡尔认为，任意数量的线的乘法可以有几何意义。笛卡尔对帕普斯问题提供了完全通用的解决方案：无论有多少条线，他都演示了如何找到一个方程并产生一个满足所需条件的构造（参见 Bos 2001: 313–334）。更广泛地说，他对几何学中遇到的问题类型进行了完整的枚举（由复杂程度定义）；列举了解决每个类别问题所需的几何构造；并通过能否用代数方式表达来定义几何上可接受的构造的类别。

9. 形而上学中的方法

笛卡尔在《沉思录》中运用了分析方法（第二回答，AT 7: 155–156, CSM 2: 110–111）。在形而上学中，分析方法“展示了问题的发现过程”（上文）。笛卡尔将分析与综合相对立，综合中的首要原理不是被发现，而是以定义、假设、公理、定理和问题的形式给出（上文），就像在欧几里得的证明中一样。笛卡尔写道，综合“不能如此方便地应用于 [...] 形而上学的主题”。为什么呢？

不同之处在于几何真理的证明所假设的基本概念是任何人都能轻易接受的，因为它们符合我们感官的使用。然而，在形而上学中，没有什么比使我们对基本概念的感知变得清晰明确更费力了。(AT 7: 156–157, CSM 1: 111)

在形而上学中，首要原则并不是提前给出的，因为思维必须习惯或学会如何清晰明确地感知它们，而习惯化需要准备（摒弃预设观念和完善认知能力的运用）。此外，形而上学的原则必须是不容置疑的，而且由于它们的不容置疑性不能被假设，所以必须加以证明。

笛卡尔在《沉思录》第一篇中的分析过程包括列举他的观点并将它们置于怀疑之中，以便任何经受住这些怀疑的命题都能被安全地接受为真实。笛卡尔还将此描述为“普遍怀疑的方法”(AT 7: 203, CSM 2: 207)。

[为了] 拒绝我所有的观点，只要我在每个观点中找到至少一些怀疑的理由就足够了。为了做到这一点，我不需要逐个审查它们，那将是一个无尽的任务。[...] 我将直接着手处理原则。（AT 7: 18，CSM 2: 17）

他决定不逐个审查他的所有观点，而是决定将它们归类并检查每个特定类别中的一个或两个成员，以查看是否有理由怀疑它们。他将自己的观点定义为那些“我通过感官或通过感官获得的观点”（AT 7: 18，CSM 1: 12），然后进一步将这个类别分为：（a）关于“非常小或远处的事物”的观点，他经常在这方面犯错误；（b）关于他的身体和他的周围环境的观点，这可能只是一个梦；（c）关于事物的观点，即使它们是想象的，至少也是由真实的事物构成的一个类别，其中包括了整体的物质性质，以及它的延伸；延伸物体的形状；这些事物的数量、大小和数量；它们可能存在的地方；它们可能持续的时间，等等。

class [which] appears to include corporeal nature in general, and its extension; the shape of extended things; the quantity, or size and number of these things; the place in which they may exist; the time through which they may endure, and so on.

然后他怀疑甚至这些事物的存在，因为可能有一个上帝，使得没有地球，没有天空，没有扩展的东西，没有形状，没有大小，没有地方，同时确保所有这些事物对我来说看起来就像现在一样存在。(AT 7: 18–21, CSM 2: 12–14)

笛卡尔在第一次冥想中完成了对他的观点的列举，并得出结论

Descartes completes the enumeration of his opinions in Meditations I by concluding that

我对这些论点没有答案，但最终被迫承认，我以前的信念中没有一个不可能引起怀疑。[...] 因此，将来我必须像对待明显的谬误一样小心地对待这些以前的信念，如果我想要发现任何确定性的话。(AT 7: 21–22, CSM 2: 14–15)

在第一冥想中产生的怀疑完全是通过枚举来构建的（参见笛卡尔在第七条规则中关于枚举的评论，AT 10: 391，CSM 1: 27 以及上面的 2.4 节）。

在第二冥想中，“我是，我存在”的著名直觉是通过枚举来发现的：命题“我是，我存在”不能被归入第一冥想中列举的任何可怀疑观点的类别，因为即使是最恶毒的恶魔“也不能使我成为不存在，只要我认为我是某种存在”(AT 7: 25, CSM 2: 17)。在这里，直觉是在枚举为之铺平道路之后出现的。

这些例子表明，枚举既有序又使笛卡尔能够解决《冥想》中的各种问题（参见上文 2.4 节和 Dubouclez 2013: 307–331）。直觉和演绎只有在枚举为之铺平道路之后才被动员起来。笛卡尔在《冥想》中有效地处理了一系列理解不完全的问题，并通过三个操作来解决这些问题：枚举（主要是枚举 2-4）、直觉和演绎。

并非每个人都认为《冥想》中采用的方法是《演讲》和《规则》中描述的方法。一些学者有很有说服力地认为，《冥想》中的“怀疑方法”构成了一种独特的方法。在《冥想》中，笛卡尔积极地决心“通过寻找怀疑的理由来怀疑所有以前的信念”（Curley 1978: 43–44；cf. Broughton 2002: 2–7）。笛卡尔并没有决心怀疑《规则》中的所有以前的观点。此外，在规则的情况下，方法要求将复杂的问题化简为一系列更简单的问题；通过直觉解决最简单的问题；通过演绎解决更复杂的问题（参见第 3 节）。在《冥想》中很难辨认出任何这样的过程（Garber 1992: 49–50 和 2001: 44–47；Newman 2019）。其他学者认为，《规则》中的笛卡尔方法在《冥想》中起着重要作用。笛卡尔的形而上学原则是通过组合简单的本质而发现的，例如在《演讲》第四篇和《冥想》第二篇中的“我思故我在”的表现中，思想和存在的组合（参见 Marion 1992 和上文 2.2 节中讨论的直觉的例子）。最近的一种解释观点更广泛地认为，笛卡尔的方法可以以不同的方式应用。不同类型的问题必须以不同的方式解决（Dika 和 Kambouchner 即将出版）。怀疑的方法不是一种独特的方法，而是将同一方法应用于不同问题的一种应用。

Bibliography

Primary Sources

All references to Descartes are to

[AT] Oeuvres de Descartes, 11 volumes, Charles Adam and Paul Tannery (eds), Paris: Vrin, 1996.
[CSM or CSMK] The Philosophical Writings of Descartes, 3 volumes, John Cottingham, et al. (eds), Cambridge: Cambridge University Press, 1985–1991.
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