数学哲学中的不可或缺性论证 indispensability arguments in the (Mark Colyvan)

首次发表于 1998 年 12 月 21 日；实质性修订于 2023 年 3 月 6 日。

数学最引人入胜的特点之一是其在经验科学中的适用性。每个科学分支都借鉴了大量且常常多样化的数学知识，从量子力学中的希尔伯特空间的使用到广义相对论中的微分几何的运用。不仅物理科学利用数学的服务，生物学也广泛使用差分方程和统计学。数学在这些理论中所扮演的角色也是多样的。数学不仅有助于经验预测，还能以优雅而经济的方式陈述许多理论。事实上，数学语言对科学的重要性如此之大，以至于很难想象量子力学和广义相对论等理论在没有大量数学运用的情况下如何陈述。

从数学对科学的不可或缺性这一相当显著但似乎无争议的事实中，一些哲学家得出了严肃的形而上学结论。特别是，奎因（Quine）（1976 年；1980a；1980b；1981a；1981c）和普特南（Putnam）（1979a；1979b）认为，数学对经验科学的不可或缺性给我们充分的理由相信数学实体的存在。根据这一论证线索，对数学实体（如集合、数、函数等）的引用（或量化）对我们最好的科学理论来说是不可或缺的，因此我们应该致力于这些数学实体的存在。做出其他选择就是犯了普特南所称的“知识不诚实”（Putnam 1979b，第 347 页）。此外，数学实体被视为与科学的其他理论实体在认识上相等，因为对前者存在的信念是由证实整个理论（从而证实后者）的相同证据所证明的。这个论证被称为奎因-普特南关于数学实在论的不可或缺性论证。还有其他不可或缺性论证，但这个论证远远最有影响力，因此在接下来的内容中，我们将主要关注它。

一般来说，不可或缺性论证是一种试图基于所讨论的主张在某些特定目的（由具体论证来指定）上的不可或缺性来证明该主张的真实性的论证。例如，如果解释被指定为目的，那么我们就有了一个解释上的不可或缺性论证。因此，我们可以看到最佳解释推理是不可或缺性论证的一个特例。参见 Field（1989 年，第 14-20 页）对不可或缺性论证和最佳解释推理的精彩讨论。另请参见 Maddy（1992 年）和 Resnik（1995a 年）对 Quine-Putnam 版本的论证的变体。我们应该补充说，尽管这里提出的论证版本通常归因于 Quine 和 Putnam，但它在很多方面与 Quine 或 Putnam 提出的论证不同。[1]

1. 阐述奎因-普特南不可或缺性论证

Quine-Putnam 的不可或缺性论证引起了极大的关注，部分原因是许多人认为这是数学现实主义（或者说形而上学）的最佳论证。因此，对于数学实体的反实在论者（或者名义主义者）需要确定 Quine-Putnam 论证的错误之处。另一方面，许多形而上学者非常依赖这个论证来证明他们对数学实体的信仰。这个论证将希望对科学中的其他理论实体（夸克、电子、黑洞等）保持实在论态度的名义主义者置于尤为困难的境地。通常情况下，他们接受类似于 Quine-Putnam 论证（[2]）的理由来支持对夸克和黑洞的实在论态度。（这正是 Quine（1980b，第 45 页）所称的对本体论持有“双重标准”。）

供日后参考，我们将以以下明确的形式陈述 Quine-Putnam 的不可或缺性论证：

（P1）我们应该对我们最好的科学理论不可或缺的实体承担本体论责任。
(P2) 数学实体对于我们最好的科学理论是不可或缺的。
(C) 我们应该对数学实体有本体论承诺。

这样表述，论证是有效的。这迫使我们将注意力集中在两个前提上。特别是，会自然地引发一些重要的问题。第一个问题涉及我们如何理解数学是不可或缺的这一主张。我们将在下一节中讨论这个问题。第二个问题涉及第一个前提。它远没有第二个前提那么自明，显然需要一些辩护。我们将在下一节中讨论它的辩护。然后，我们将提出一些更重要的对该论证的反对意见，然后考虑奎因-普特南论证在更大的事物方案中的作用——它在与其他有影响力的数学现实主义论证相比的位置。

2. 不可或缺性是什么？

在当前背景下，我们应该如何理解“不可或缺性”这个问题对于奎因-普特南论证来说至关重要，但令人惊讶的是，它却受到了极少的关注。奎因实际上是用我们最好的科学理论的规范形式中的量化实体来表达，而不是不可或缺性。尽管如此，关于不可或缺性的争论仍在继续，因此我们最好澄清一下这个术语。

首先要注意的是，“可或缺性”并不等同于“可消除性”。如果不是这样的话，每个实体都将是可或缺的（由于克雷格的一个定理）。[3] 一个实体被认为是“可或缺的”需要满足两个条件：它是可消除的，并且从消除该实体所得到的理论是一个有吸引力的理论。（或许更强烈地说，我们要求所得到的理论比原来的理论更有吸引力。）我们需要明确什么样的理论被视为有吸引力，但对此我们可以借鉴好的科学理论的标准要求：经验成功；统一性；简洁性；解释力；生产力等等。当然，对于适当的标准和它们的相对权重会有争论，但这些问题需要独立于不可或缺性的问题进行讨论和解决。（有关这些问题的更多信息，请参见伯吉斯（1983）和科利万（1999）。）

这些问题自然引发了一个问题，即数学的不可或缺性有多大（因此数学的本体论承诺有多大）。似乎不可或缺性论证只能证明相信足够满足科学需求的数学是合理的。因此，我们发现普特南谈到“物理学的集合论‘需求’”（Putnam 1979b，第 346 页），奎因声称集合论的高层次是“没有本体论权利的数学娱乐”（Quine 1986，第 400 页），因为它们没有找到物理应用。我们可以采取一个不那么严格的立场，并声称集合论的高层次，尽管没有物理应用，但由于它们在数学的其他部分中有应用，它们确实承担了本体论承诺。只要应用链最终在物理科学中“底部”，我们就可以合理地声称整个链条承担了本体论承诺。奎因本人以这种方式为一些超限集合论提供了理由（Quine 1984，第 788 页），但他认为没有理由超越可构造集合（Quine 1986，第 400 页）。然而，他对此限制的原因与不可或缺性论证几乎没有关系，因此支持这一论证的人不必在这个问题上与奎因站在一边。

3. 自然主义和整体主义

尽管奎因-普特南的不可或缺性论证的两个前提都受到了质疑，但显然需要支持的是第一个前提。这种支持来自自然主义和整体主义的教义。

在奎恩（Quine）之后，自然主义通常被认为是一种哲学主义，即没有第一哲学，哲学事业与科学事业是连续的（Quine 1981b）。奎恩的意思是，哲学既不优先于科学，也不特权于科学。更重要的是，科学，如此构建（即将哲学作为一个连续的部分），被认为是世界的完整故事。这个学说源于对科学方法的深刻尊重，以及对这种方法在回答关于一切事物本质的基本问题上的无可否认的成功的承认。正如奎恩所建议的那样，它的源头在于“未改造的现实主义，自然科学家的坚定心态，他从未对科学内部的可商议的不确定性之外的任何疑虑感到不安”（Quine 1981b，第 72 页）。对于形而上学家来说，这意味着寻求我们最好的科学理论来确定存在什么，或者更准确地说，我们应该相信存在什么。简而言之，自然主义排除了非科学的确定存在的方式。例如，自然主义排除了出于神秘原因相信灵魂转世的观念。然而，如果我们最好的科学理论要求这一学说的真实性，自然主义将不会排除灵魂转世的观念。[4]

那么，自然主义给我们一个理由相信我们最好的科学理论中的实体，而不是其他实体。根据你对自然主义的具体理解方式，它可能会告诉你是否相信你最好的科学理论中的所有实体。我们认为自然主义确实给我们一些理由相信所有这些实体，但这是可推翻的。这就是整体主义的重点所在：特别是确认整体主义。

确证整体主义是一种观点，即理论作为整体被证实或证伪（Quine 1980b，第 41 页）。因此，如果一个理论被经验发现证实，整个理论就被证实。特别是，理论中使用的任何数学也被证实（Quine 1976，第 120-122 页）。此外，用于证明理论中数学组成部分的信仰的证据与用于证明理论中经验部分的证据是相同的（如果实际上可以将经验与数学分开的话）。自然主义和整体主义结合在一起，从而证明了 P1。大致上，自然主义给我们“唯一”，整体主义给我们“全部”。

值得注意的是，在奎恩的著作中至少有两个整体主义的主题。第一个是上述讨论的确证整体主义（通常称为奎恩-杜汉姆论题）。另一个是语义整体主义，即意义的单位不是单个句子，而是句子系统（在某些极端情况下是整个语言）。后者的整体主义与奎恩著名的分析-综合区分否定（Quine 1980b）和同样著名的翻译不确定性论题（Quine 1960）密切相关。尽管对于奎恩来说，语义整体主义和确证整体主义密切相关，但有充分的理由区分它们，因为后者通常被认为是极具争议性的，而前者则被认为是相对无争议的。

为什么这对当前的辩论至关重要的是，奎因明确地援引了有争议的语义整体主义来支持不可或缺性论证（奎因 1980b，第 45-46 页）。然而，大多数评论家认为，只有确认性整体主义才需要使不可或缺性论证得以成立（例如，参见 Colyvan（1998a）；Field（1989，第 14-20 页）；Hellman（1999）；Resnik（1995a；1997）；Maddy（1992）），而我在这里的陈述遵循了这种被接受的智慧。然而，应该记住的是，虽然这样构建的论证具有奎因的风格，但严格来说，它并不是奎因的论证。

4. 反对意见

对不可或缺性论证提出了许多反对意见，包括查尔斯·帕森斯（1980）对奎因的观点的担忧，即基本数学陈述的显而易见性未被奎因的观点所解释，以及菲利普·基彻尔（1984，第 104-105 页）对不可或缺性论证未能解释数学为何对科学不可或缺的担忧。然而，受到最多关注的反对意见是哈尔特里·菲尔德、佩内洛普·麦迪和埃利奥特·索伯提出的意见。特别是，菲尔德的名词化计划主导了关于数学本体论的最近讨论。

Field (2016)提出了否定奎因-普特南论证的第二个前提的案例。也就是说，他认为尽管数学在表面上看起来对科学是不可或缺的，但实际上并非如此。Field 的项目有两个部分。第一个部分是论证数学理论不必是真实的，只要在应用中有用即可，它们只需要是保守的。（大致上是说，如果将数学理论添加到名义主义科学理论中，那么不会出现任何名义主义的后果，这些后果不会仅仅从名义主义科学理论中得出。）这解释了为什么数学可以在科学中使用，但并不能解释为什么使用它。后者是因为数学使得各种理论的计算和陈述变得更加简单。因此，对于 Field 来说，数学的实用性仅仅是一种实用主义的观点 - 数学并非不可或缺。

Field 计划的第二部分是证明我们最好的科学理论可以适当地名义化。也就是说，他试图表明我们可以不使用数学实体的量化，并且我们所剩下的理论将是相当有吸引力的。为此，他满足于将牛顿引力理论的一个大片段名义化。虽然这远远不能证明我们所有当前最好的科学理论都可以名义化，但这绝对不是微不足道的。希望是一旦人们看到如何消除对数学实体的引用可以在一个典型的物理理论中实现，那么这个项目对于其他科学领域的完成似乎是合理的。[5]

对于 Field 计划的成功可能性，已经进行了大量的辩论，但很少有人怀疑其重要性。然而，最近，佩内洛普·麦迪指出，如果 P1 是错误的，Field 的项目可能与数学的现实主义/反现实主义辩论无关。

Maddy 对不可或缺性论证的第一个前提提出了一些严肃的反对意见（Maddy 1992; 1995; 1997）。特别是，她认为我们不应该对我们最好的科学理论中不可或缺的实体具有本体论承诺。她的反对意见引起了自然主义与确认整体主义相调和的问题。特别是，她指出了科学理论的整体观在解释科学和数学实践的某些方面的合法性方面存在问题。这些实践应该是合法的，因为自然主义推荐了对科学实践的高度重视。重要的是要认识到，她的反对意见在很大程度上关注的是接受奎因的自然主义和整体主义教义所带来的方法论后果，而这些教义被用来支持第一个前提。因此，第一个前提因其支持被质疑。

Maddy 对不可或缺性论证的第一个反对意见是，工作科学家对经过良好确认的理论组成部分的实际态度从信念、容忍到彻底拒绝各不相同（Maddy 1992，第 280 页）。关键在于自然主义建议我们尊重工作科学家的方法，然而整体主义似乎告诉我们，工作科学家不应该对他们理论中的实体给予如此差异化的支持。Maddy 建议我们在这里应该支持自然主义而不是整体主义。因此，我们应该支持工作科学家的态度，他们显然不相信我们最好的理论所假定的所有实体。因此，我们应该拒绝 P1。

下一个问题源于第一个问题。一旦我们拒绝将科学理论视为同质的单位，就会出现一个问题，即数学部分是否属于已证实理论的真实要素还是理想化要素。Maddy 认为是后者。她之所以这样认为，是因为科学家们似乎并不认为数学理论的不可或缺应用是该数学理论真实性的指示。例如，在水波分析中经常使用错误的假设，即水是无限深的，或者在流体力学中常常假设物质是连续的（Maddy 1992，281-282 页）。这些情况表明，科学家们会使用任何需要的数学方法来完成工作，而不考虑所涉及数学理论的真实性（Maddy 1995，255 页）。再次看来，确认整体主义与实际科学实践以及自然主义相冲突。而 Maddy 再次站在自然主义这一边（关于 Quine 的整体主义的一些相关担忧，也可参见 Parsons（1983））。这里的要点是，如果自然主义建议我们在这些问题上与工作科学家的态度保持一致，那么似乎我们不应将某个数学理论在物理应用中的不可或缺性视为该数学理论真实性的指示。此外，由于我们没有理由相信所涉及的数学理论是真实的，我们也没有理由相信（数学）理论所假设的实体是真实存在的。因此，我们再次应该拒绝 P1。

Maddy 的第三个反对意见是，当数学家们试图解决独立问题时，很难理解他们在做什么。这些问题是独立于集合论的标准公理（即 ZFC 公理）的。为了解决其中一些问题，已经提出了新的公理候选，并提出了支持这些候选的论证。问题在于，这些提出的论证似乎与物理科学的应用毫无关系：它们通常是数学内部的论证。然而，根据不可或缺性理论，新的公理应该根据其与我们当前最佳科学理论的协调程度进行评估。也就是说，集合论者应该在评估新的公理候选时，关注物理学的最新发展。鉴于集合论者并没有这样做，确认性整体主义似乎再次主张修订标准数学实践，而这也与自然主义相悖（Maddy 1992，第 286-289 页）。

虽然 Maddy 没有以直接与 P1 相冲突的方式阐述这个反对意见，但它确实展示了自然主义和确认性整体主义之间的紧张关系。由于这两者都需要支持 P1，所以这个反对意见间接地对 P1 提出了质疑。然而，Maddy 支持自然主义，并认为这个反对意见证明了确认性整体主义是错误的。我们将在概述 Sober 的反对意见之后讨论拒绝确认性整体主义对不可或缺性论证的影响，因为 Sober 得出了几乎相同的结论。

Elliott Sober 的反对意见与 Maddy 的第二和第三个反对意见密切相关。Sober（1993）对数学理论与我们最好的科学理论所积累的经验支持共享的主张提出了异议。实质上，他认为数学理论并不像明显的经验科学理论那样被测试。他指出，假设是相对于竞争假设来确认的。因此，如果数学与我们最好的经验假设一起被确认（正如不可或缺性理论所声称的那样），必须存在不包含数学的竞争假设。但是 Sober 指出，所有科学理论都使用了一个共同的数学核心。因此，由于没有竞争假设，认为数学以其他科学假设所接受的经验证据来获得确认支持是错误的。

这本身并不构成对不可或缺性论证的 P1 的反对意见，正如 Sober 迅速指出的那样（Sober 1993，第 53 页），尽管这构成了对 Quine 的整体观点的反对意见，即数学是经验科学的一部分。与 Maddy 的第三个反对意见一样，这使我们有理由拒绝确认整体主义。这些反对意见对 P1 的影响取决于您认为确认整体主义对该前提有多重要。如果拒绝确认整体主义，那么 P1 的很多直观吸引力都会被削弱。无论如何，在面对 Sober 或 Maddy 的反对意见时，如果赞同不可或缺性论证的结论，就意味着至少可以对没有经验支持的实体有本体论承诺。这种立场，如果不是完全站不住脚，至少也不符合原始的 Quine-Putnam 论证的精神。

5. 解释版本的论证

来自 Maddy 和 Sober 的反对整体主义的论证导致了对不可或缺性论证的重新评估。如果与奎恩相反，科学家并不接受我们最好的科学理论中的所有实体，那么我们将处于何种境地？我们需要一些标准来判断何时应该真实地对待假设。在这一点上，对不可或缺性论证的辩论出现了有趣的转折。科学现实主义者至少接受我们最好的科学理论中那些对科学解释有贡献的假设。根据这种思路，我们应该相信电子，不是因为它们对我们最好的科学理论不可或缺，而是因为它们在一种非常特定的方式上不可或缺：它们在解释上是不可或缺的。如果可以证明数学以这种方式对科学解释有贡献，数学现实主义将再次与科学现实主义平起平坐。事实上，这是关于不可或缺性论证的大部分当代讨论的焦点。核心问题是：数学是否对科学解释有贡献，如果有，它是否以正确的方式做到这一点。

数学可能被认为具有解释性的一个例子可以在周期性蝉类的案例中找到（Yoshimura 1997 和 Baker 2005）。北美魔法蝉的生命周期为 13 或 17 年。一些生物学家提出，拥有这样的质数生命周期具有进化优势。质数生命周期意味着魔法蝉可以避免竞争、潜在捕食者和杂交。这个想法非常简单：因为质数没有非平凡因子，所以很少有其他生命周期可以与质数生命周期同步。因此，魔法蝉具有一种有效的避免策略，在某些条件下会被选择。虽然提出的解释涉及生物学（如进化理论、竞争和捕食理论），但解释的关键部分来自数论，即关于质数的基本事实。Baker（2005）认为这是一个真正的数学解释生物事实的例子。文献中还有其他所谓的数学解释的例子，但这仍然是最广泛讨论的，并且是数学解释的典型案例。

对于这个案例的问题集中在数学是否真正对解释做出了贡献（或者它只是代表生物事实而真正解释的是这些事实），所谓的解释是否真的是解释，以及所涉及的数学是否以正确的方式参与了解释。最后，值得一提的是，尽管对数学解释的最近兴趣起源于对不可或缺性论证的辩论，但数学解释在经验科学中的地位也引起了自身的兴趣。此外，这些解释（有时被称为“额外数学解释”）自然而然地引导人们思考通过进一步的数学事实来解释数学事实的解释（有时被称为“内部数学解释”）。当然，这两种数学解释是相关的。例如，如果某个数学定理的解释在于一个解释性的证明，那么该定理在经验领域的任何应用都会引发一个初步的案例，即所讨论的经验现象的完整解释涉及该定理的内部数学解释。出于这些和其他原因，近年来，数学哲学家和科学哲学家对这两种数学解释都产生了极大的兴趣。

6. 结论

目前尚不清楚上述批评对于不可或缺性论证的损害程度以及论证的解释版本是否能够幸存。事实上，这场辩论仍然非常活跃，有许多最近的文章专门讨论这个主题（请参见下面的参考文献注释）。与这场辩论密切相关的是是否存在其他合理的支持形而上学的论证。如果像一些人认为的那样，不可或缺性论证是唯一值得考虑的形而上学论证，那么如果它失败了，数学哲学中的形而上学似乎是破产的。与此相关的是其他支持和反对数学实在论的论证的地位。无论如何，值得注意的是，不可或缺性论证是少数几个主导数学本体论讨论的论证之一。因此，重要的是不要孤立地看待这个论证。

对于数学实在论的两个最重要的反对论证是形而上学问题 — 我们如何获得关于因果无关的数学实体的知识？（Benacerraf 1983b） — 以及关于将数学归约为集合的不确定性问题 — 如果数是集合，它们是哪些集合？（Benacerraf 1983a）？除了不可或缺性论证之外，数学实在论的另一个主要论证是为了追求一种统一的语义学，适用于所有的话语：无论是数学的还是非数学的（Benacerraf 1983b）。当然，数学实在论很容易应对这一挑战，因为它以与其他领域相同的方式解释数学陈述的真实性。然而，名词主义如何提供统一的语义学则不太清楚。

最后，值得强调的是，即使不可或缺性论证是支持柏拉图主义的唯一好论证，但该论证的失败并不一定授权名义主义，因为后者也可能没有支持。然而，公平地说，如果对不可或缺性论证的反对意见得到支持，那么柏拉图主义的最重要论证之一将受到削弱。这将使柏拉图主义处于相当摇摆不定的地位。

Bibliography

Although the indispensability argument is to be found in many places in Quine’s writings (including 1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c), the locus classicus is Putnam’s short monograph Philosophy of Logic (included as a chapter of the second edition of the third volume of his collected papers (Putnam, 1979b)). See also Putnam (1979a) and the introduction of Field (1989), which has an excellent outline of the argument. Colyvan (2001) presents a sustained defence of the argument.

See Chihara (1973), and Field (1989; 2016) for attacks on the second premise and Colyvan (1999; 2001), Lyon and Colyvan (2008), Maddy (1990), Malament (1982), Resnik (1985), Shapiro (1983) and Urquhart (1990) for criticisms of Field’s program. See the preface to the second edition of Field 2016 for a good retrospective on these debates. For a fairly comprehensive look at nominalist strategies in the philosophy of mathematics (including an excellent discussion of Field’s program), see Burgess and Rosen (1997), while Feferman (1993) questions the amount of mathematics required for empirical science. See Azzouni (1997; 2004; 2012), Balaguer (1996b; 1998), Bueno (2012), Leng (2002; 2010; 2012), Liggins (2012), Maddy (1992; 1995; 1997), Melia (2000; 2002), Peressini (1997), Pincock (2004), Sober (1993), Vineberg (1996) and Yablo (1998; 2005; 2012) for attacks on the first premise. Baker (2001; 2005; 2012), Bangu (2012), Colyvan (1998a; 2001; 2002; 2007; 2010; 2012), Hellman (1999) and Resnik (1995a; 1997) reply to some of these objections.

For variants of the Quinean indispensability argument see Maddy (1992) and Resnik (1995a).

There has been a great deal of recent literature on the explanatory version of the indispensability argument. Early presentations of such an argument can be found in Colyvan (1998b; 2002), and most explicitly in Baker (2005), although this work was anticipated by Steiner (1978a; 1978b) on mathematical explanation and Smart on geometric explanation (1990). Some of the key articles on the explanatory version of the argument include Baker (2005; 2009; 2012; 2017; 2021), Bangu (2008; 2013), Baron (2014), Batterman (2010), Bueno and French (2012), Colyvan (2002; 2010; 2012; 2018), Lyon (2012), Rizza (2011), Saatsi (2011; 2016) and Yablo (2012).

Arising out of this debate over the role of mathematical explanation in indispensability arguments, has been a renewed interest in mathematical explanation for its own sake. This includes work on reconciling mathematical explanations in science with other forms of scientific explanation as well as investigating explanation within mathematics itself. Some of this work includes: Baron (2016), Baron et al. (2017; 2020), Colyvan et al. (2018), Lange (2017), Mancosu (2008), and Pincock (2011).

Azzouni, J., 1997, “Applied Mathematics, Existential Commitment and the Quine-Putnam Indispensability Thesis”, Philosophia Mathematica, 5(3): 193–209.
–––, 2004, Deflating Existential Consequence, New York: Oxford University Press.
–––, 2012, “Taking the Easy Road Out of Dodge”, Mind, 121(484): 951–965.
Baker, A., 2001, “Mathematics, Indispensability and Scientific Progress”, Erkenntnis, 55(1): 85–116.
–––, 2005, “Are There Genuine Mathematical Explanations of Physical Phenomena?”, Mind, 114(454): 223–238.
–––, 2009, “Mathematical Explanation in Science”, British Journal for the Philosophy of Science, 60(3): 611–633.
–––, 2012, “Science-Driven Mathematical Explanation”, Mind, 121(482): 243–267.
–––, 2017, “Mathematical Spandrels”, Australasian Journal of Philosophy, 95(4): 779–793.
–––, 2021, “Circularity, Indispensability, and Mathematical Explanation in Science”, Studies in the History and Philosophy of Science, 88: 156–163.
Balaguer, M., 1996a, “Towards a Nominalization of Quantum Mechanics”, Mind, 105(418): 209–226.
–––, 1996b, “A Fictionalist Account of the Indispensable Applications of Mathematics”, Philosophical Studies, 83(3): 291–314.
–––, 1998, Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, New York: Oxford University Press.
Bangu, S.I., 2008, “Inference to the Best Explanation and Mathematical Realism”, Synthese, 160(1): 13–20.
–––, 2012, The Applicability of Mathematics in Science: Indispensability and Ontology, London: Palgrave, MacMillan.
–––, 2013, “Indispensability and Explanation”, British Journal for the Philosophy of Science, 64(2): 225–277.
Baron, S., 2014, “Optimization and Mathematical Explanation: Doing the Lévy Walk”, Synthese, 191(3): 459–479.
–––, 2016, “Explaining Mathematical Explanation”, The Philosophical Quarterly, 66(264): 458–480.
Baron, S., Colyvan, M., and Ripley, D., 2017, “How Mathematics Can Make a Difference”, Philosophers’ Imprint, 17(3): 1–29.
–––, 2020, “A Counterfactual Approach to Explanation in Mathematics”, Philosophia Mathematica, 28(1): 1–34.
Batterman, R., 2010, “On the Explanatory Role of Mathematics in Empirical Science”, British Journal for the Philosophy of Science, 61(1): 1–25.
Benacerraf, P., 1983a, “What Numbers Could Not Be”, reprinted in Benacerraf and Putnam (1983), pp. 272–294.
–––, 1983b, “Mathematical Truth”, reprinted in Benacerraf and Putnam (1983), pp. 403–420 and in Hart (1996), pp. 14–30.
Benacerraf, P. and Putnam, H. (eds.), 1983, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press.
Bueno, O., 2003, “Is it Possible to Nominalize Quantum Mechanics?”, Philosophy of Science, 70(5): 1424–1436.
–––, 2012, “An Easy Road to Nominalism”, Mind, 121(484): 967–982.
Bueno, O. and French, S., 2012, “Can Mathematics Explain Physical Phenomena?”, British Journal for the Philosophy of Science, 63(1): 85–113.
Burgess, J., 1983, “Why I Am Not a Nominalist”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24(1): 93–105.
Burgess, J. and Rosen, G., 1997, A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Interpretation of Mathematics, Oxford: Clarendon.
Chihara, C., 1973, Ontology and the Vicious Circle Principle, Ithaca, NY: Cornell University Press.
Colyvan, M., 1998a, “In Defence of Indispensability”, Philosophia Mathematica, 6(1): 39–62.
–––, 1998b, “Can the Eleatic Principle be Justified?”, The Canadian Journal of Philosophy, 28(3): 313–336.
–––, 1999, “Confirmation Theory and Indispensability”, Philosophical Studies, 96(1): 1–19.
–––, 2001, The Indispensability of Mathematics, New York: Oxford University Press.
–––, 2002, “Mathematics and Aesthetic Considerations in Science”, Mind, 111(441): 69–74.
–––, 2007, “Mathematical Recreation Versus Mathematical Knowledge”, in M. Leng, A. Paseau, and M. Potter (eds.), Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, pp. 109–122.
–––, 2010, “There is No Easy Road to Nominalism”, Mind, 119(474): 285–306.
–––, 2012, “Road Work Ahead: Heavy Machinery on the Easy Road”, Mind, 121(484): 1031–1046.
–––, 2018, “The Ins and Outs of Mathematical Explanation”, Mathematical Intelligencer, 40(4): 26–9.
Colyvan, M., Cusbert, J., and McQueen, K., 2018, “Two Flavours of Mathematical Explanation”, in A. Reutlinger and J. Saatsi (eds.), Explanation Beyond Causation, Oxford: Oxford University Press, pp. 231–249.
Feferman, S., 1993, “Why a Little Bit Goes a Long Way: Logical Foundations of Scientifically Applicable Mathematics”, Proceedings of the Philosophy of Science Association, 2: 442–455.
Field, H.H., 1989, Realism, Mathematics and Modality, Oxford: Blackwell.
–––, 2016, Science Without Numbers: A Defence of Nominalism, 2nd edition, Oxford: Oxford University Press (first edition 1980).
Hart, W.D. (ed.), 1996, The Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
Hellman, G., 1999, “Some Ins and Outs of Indispensability: A Modal-Structural Perspective”, in A. Cantini, E. Casari and P. Minari (eds.), Logic and Foundations of Mathematics, Dordrecht: Kluwer, pp. 25–39.
Irvine, A.D. (ed.), 1990, Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer.
Kitcher, P., 1984, The Nature of Mathematical Knowledge, New York: Oxford University Press.
Lange, M., 2017, Because Without Cause: Non-causal Explanations in Science and Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
Leng, M., 2002, “What’s Wrong with Indispensability? (Or, The Case for Recreational Mathematics)”, Synthese, 131(3): 395–417.
–––, 2010, Mathematics and Reality, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2012, “Taking it Easy: A Response to Colyvan”, Mind, 121(484): 983–995.
Liggins, D., 2012, “Weaseling and the Content of Science”, Mind, 121(484): 997–1005.
Lyon, A., 2012, “Mathematical Explanations of Empirical Facts, and Mathematical Realism”, Australasian Journal of Philosophy, 90(3): 559–578.
Lyon, A. and Colyvan, M., 2008, “The Explanatory Power of Phase Spaces”, Philosophia Mathematica, 16(2): 227–243.
Maddy, P., 1990, “Physicalistic Platonism”, in A.D. Irvine (ed.), Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, pp. 259–289.
–––, 1992, “Indispensability and Practice”, Journal of Philosophy, 89(6): 275–289.
–––, 1995, “Naturalism and Ontology”, Philosophia Mathematica, 3(3): 248–270.
–––, 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.
–––, 1998, “How to be a Naturalist about Mathematics”, in H.G. Dales and G. Oliveri (eds.), Truth in Mathematics, Oxford: Clarendon, pp. 161–180.
Malament, D., 1982, “Review of Field’s Science Without Numbers”, Journal of Philosophy, 79(9): 523–534 and reprinted in Resnik (1995b), pp. 75–86.
Mancosu, P., 2008, “Mathematical Explanation: Why it Matters”, in P. Mancosu (ed.), The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford: Oxford University Press, 134–150.
Melia, J., 2000, “Weaseling Away the Indispensability Argument”, Mind, 109(435): 455–479
–––, 2002, “Response to Colyvan”, Mind, 111(441): 75–80.
Parsons, C., 1980, “Mathematical Intuition”, Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 145–168; reprinted in Resnik (1995b), pp. 589–612 and in Hart (1996), pp. 95–113.
–––, 1983, “Quine on the Philosophy of Mathematics”, in Mathematics in Philosophy: Selected Essays, Ithaca, NY: Cornell University Press, pp. 176–205.
Peressini, A., 1997, “Troubles with Indispensability: Applying Pure Mathematics in Physical Theory”, Philosophia Mathematica, 5(3): 210–227.
Pincock, C., 2004, “A Revealing Flaw in Colyvan’s Indispensability Argument”, Philosophy of Science, 71(1): 61–79.
–––, 2011, “Mathematical Explanations of the Rainbow”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 42(1): 13–22.
Putnam, H., 1965, “Craig’s Theorem”, Journal of Philosophy, 62(10): 251–260.
–––, 1979a, “What is Mathematical Truth?”, in Mathematics Matter and Method: Philosophical Papers, Volume 1, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 60–78.
–––, 1979b, “Philosophy of Logic”, reprinted in Mathematics Matter and Method: Philosophical Papers, Volume 1, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 323–357.
–––, 2012, “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, in H. Putnam, Philosophy in an Age of Science: Physics, Mathematics and Skepticism, Cambridge, MA: Harvard University Press, chap. 9.
Quine, W.V., 1960, Word and Object, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 1976, “Carnap and Logical Truth” reprinted in The Ways of Paradox and Other Essays, revised edition, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 107–132 and in Benacerraf and Putnam (1983), pp. 355–376.
–––, 1980a, “On What There Is”, reprinted in From a Logical Point of View, 2nd edition, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 1–19.
–––, 1980b, “Two Dogmas of Empiricism”, reprinted in From a Logical Point of View, 2nd edition, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 20–46; reprinted in Hart (1996), pp. 31–51 (Page references are to the first reprinting).
–––, 1981a, “Things and Their Place in Theories”, in Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 1–23.
–––, 1981b, “Five Milestones of Empiricism”, in Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 67–72.
–––, 1981c, “Success and Limits of Mathematization”, in Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 148–155.
–––, 1984, “Review of Parsons’, Mathematics in Philosophy,” Journal of Philosophy, 81(12): 783–794.
–––, 1986, “Reply to Charles Parsons”, in L. Hahn and P. Schilpp (eds.), The Philosophy of W.V. Quine, La Salle, ILL: Open Court, pp. 396–403.
Resnik, M.D., 1985, “How Nominalist is Hartry Field’s Nominalism”, Philosophical Studies, 47: 163–181.
–––, 1995a, “Scientific Vs Mathematical Realism: The Indispensability Argument”, Philosophia Mathematica, 3(2): 166–174.
–––, 1997, Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Clarendon Press.
Resnik, M.D. (ed.), 1995b, Mathematical Objects and Mathematical Knowledge, Aldershot (UK): Dartmouth.
Rizza, D., 2011, “Magicicada, Mathematical Explanation and Mathematical Realism”, Erkenntnis, 74(1): 101–114.
Saatsi, J., 2011, “The Enhanced Indispensability Argument: Representational versus Explanatory Role for Mathematics in Science”, British Journal for the Philosophy of Science, 63(1): 143–154.
–––, 2016, “On the ‘Indispensable Explanatory Role’ of Mathematics”, Mind, 125(500): 1045–1070.
Shapiro, S., 1983, “Conservativeness and Incompleteness”, Journal of Philosophy, 80(9): 521–531; reprinted in Resnik (1995b), pp. 87–97 and in Hart (1996), pp. 225–234
Smart, J.J.C., 1990, “Explanation—Opening Address”, in D. Knowles (ed.), Explanation and Its Limits, Cambridge: Cambridge University Press, 1–19.
Sober, E., 1993, “Mathematics and Indispensability”, Philosophical Review, 102(1): 35–57.
Steiner, M., 1978a, “Mathematical Explanation”, Philosophical Studies, 34(2): 135–151.
–––, 1978b, “Mathematics, Explanation, and Scientific Knowledge”, Noûs, 12(1): 17–28.
Urquhart, A., 1990, “The Logic of Physical Theory”, in A.D. Irvine (ed.), Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, pp. 145–154.
Vineberg, S., 1996, “Confirmation and the Indispensability of Mathematics to Science”, PSA 1996 (Philosophy of Science, supplement to vol. 63), pp. 256–263.
Yablo, S., 1998, “Does Ontology Rest on a Mistake?”, Aristotelian Society (Supplementary Volume), 72: 229–261.
–––, 2005, “The Myth of the Seven”, in M.E. Kalderon (ed.), Fictionalism in Metaphysics, Oxford: Oxford University Press, pp. 90–115.
–––, 2012, “Explanation, Extrapolation, and Existence”, Mind, 121(484): 1007–1029.
Yoshimura, J., 1997, “The Evolutionary Origins of Periodic Cicadas during Ice Ages”, American Naturalist, 149(1): 112–124.