逻辑多元主义 logical pluralism (Gillian Russell and Christopher Blake-Turner)

首次发表于 2013 年 4 月 17 日，实质修订于 2023 年 9 月 14 日。

逻辑多元主义是一种观点，认为存在不止一种正确的逻辑。逻辑是有效性的理论：它们告诉我们哪些论证形式是有效的。不同的逻辑在哪些形式是有效的问题上存在分歧 [1]。例如，考虑排中律（EFQ）：

A,¬A⊨B

经典逻辑和强克里尼逻辑将 EFQ 归类为有效的，但相关逻辑和抗矛盾逻辑则认为它是无效的。很容易想到，它们不可能都是正确的。如果 EFQ 是有效的，那么相关逻辑和抗矛盾逻辑就不是正确的有效性理论，或者可以说：它们不是正确的逻辑。而如果 EFQ 是无效的，那么经典逻辑和强克里尼逻辑就不是正确的逻辑。逻辑多元主义有多种形式，但最具哲学意义和争议的版本认为不止一种逻辑可以是正确的，也就是说：逻辑 L1 和 L2 可以在哪些论证是有效的问题上存在分歧，而且两者都可以做对。关于逻辑多元主义版本何时具有哲学意义的问题在下文中将更详细地讨论，特别是在第 6 节中。

对这个主题的许多现有研究都是由 JC Beall 和 Greg Restall 的一系列论文（Beall＆Restall 2000, 2001; Restall 2002）引发的，这些论文最终在一本书（Beall＆Restall 2006）中达到了高潮，我们在这里称之为基于案例的逻辑多元主义。这项工作产生了大量的文献，包括反对多元主义的论文，支持逻辑唯一主义 - 即只有一种正确的逻辑的观点，以及最近探讨逻辑虚无主义 - 即没有正确的逻辑的观点。对这场当代辩论的兴趣还导致了对一些旧观点的重新审视，特别是关于 Rudolf Carnap 是否是逻辑多元主义者的问题（Restall 2002; Kouri Kissel 2019），以及苏格兰-法国逻辑学家 Hugh McColl（1837-1909）是否也是如此（Rahman＆Redmond 2008）。这还导致了提出几种额外的逻辑多元主义，其中一些在第 5 节中进行了调查。

1. 基于案例的逻辑多元主义

两个不同意哪些论证是有效的逻辑如何都能正确？一种方式是如果存在多个有效性属性（因此存在多个“有效”解释），其中一个逻辑在某种意义上捕捉到有效性，而其对手在另一种意义上捕捉到有效性。一些多元主义者通过维持自然语言表达式如“推导自”是不确定的、模糊的或者有歧义的，并且可以以多种方式解决、更加精确化或者消除歧义来详细阐述这一观点。这一观点的最著名版本被提出为两个主要命题的结合（Beall & Restall 2006）。首先是广义塔斯基命题：

广义塔斯基命题（GTT）：如果且仅当前提为真的每种情况下结论也为真时，一个论证是有效的。

其次，关于 GTT 中的表达式“情况”的论点可以通过至少两种同样可接受的方式更加精确，从而导致“有效”有不同的扩展。例如，通过“情况”我们可以指的是用于定义经典一阶蕴涵的一阶模型，或者我们可以指的是可能的情境。其他选择包括不完全或不一致的模型，这些模型在直觉主义和旁证逻辑的模型理论中使用。对于“情况”的解释的不同选择将导致 GTT 对逻辑蕴涵的不同精确化，这可能进而导致不同的蕴涵关系（Beall＆Restall 2006：29-31）。将此观点称为“基于情况的逻辑多元主义”。

基于情况的多元主义者不需要认为 GTT 的每种可能的精确化都定义了一个蕴涵关系。例如，Beall 和 Restall 认为 GTT 的唯一可接受的精确化产生具有某些属性的关系-必然性、规范性和形式性（Beall＆Restall 2006：26-35）。因此，由 GTT 的精确化给出其扩展只是成为真正的蕴涵关系的必要条件。

1.1 从表象的论证

为案例为基础的逻辑多元主义提供的一个论证是从表象的论证（Beall＆Restall 2006：30-31）。根据这个论证，多元主义只是显而易见地合理 - 它似乎是真实的 - 因此在没有理由不相信它的情况下应该被接受。

鉴于过去大多数逻辑学家的著作中都存在逻辑唯一主义的假设，这种方法可能看起来令人惊讶 - 可能他们认为多元主义并不正确。但是，也许一旦人们明确考虑了 GTT，接受了“案例”的不确定性，并考虑了一些使其更具体以获得不同逻辑的方法，就会清楚地看到将有几种替代方法使其更具体，而当前用法没有将任何一种方法单独视为更正确。关于逻辑多元主义，人们可能认为最困难的事情是回答一种“如何可能？”的问题：看到它如何成为一个连贯的观点。但是一旦开发和阐述了以案例为基础的观点的工作，新的立场就可以被认为是相当合理的。

这个论证的一个问题是，一个观点的合理性往往随着旁观者能够想出合理的替代方案的能力而变化；如果一个特定的观点似乎是某件事情发生的唯一合理方式，那么我们可能会耸耸肩并接受它作为我们最好的工作假设。但是，如果我们能够构想出几种不同的事物可能合理存在的方式，我们可能会在等待更多证据之前理性地保留判断。

更具体地说，虽然基于案例的逻辑多元主义并非显然不合理，但它确实建立在一种具有两个独特特征的语言图景上：首先，“案例”的含义尚未确定；其次，鉴于尚未确定，发现超过一个合理的明确化应使我们成为多元主义者。但是，这些特征都不是必然的。当代语言哲学描述了一些模型，其中一些普通语言表达式（如“水”、“榆树”或“星星”）的应用的正确性可能取决于普通说话者无需能够区分的特征的存在与否，例如具有某种构成或组成。为什么“有效”不能类似呢？也就是说，尽管没有“有效”的先验分析揭示了 GTT 的单一正确明确化，但可能仍然存在一个解释——也许利用复杂的数学技术——完全捕捉到“有效”的范围。竞争性的解释将具有与星星或水的竞争性解释相同的地位。尽管对“星星”一词的分析不会告诉我们星星不是夜空中的洞穴，或者神灵驾驶着他们的战车穿越天空，但那些解释仍然是错误的。同样，尽管对“有效”这个表达式的分析可能不会告诉我们直觉主义解释是错误的，但它们可能仍然是错误的。在这种情况下，我们可能认为“有效”的含义实际上并没有被充分明确。

其次，即使表达的含义不明确，也不意味着任何明确化都是正确的，因此多元主义并不是不明确性的必然结果。考虑一个典型的不明确词语“堆”和一个自称是堆属性的多元主义者的思想家。他们认为可以在一定的参数范围内以不同的方式明确化“堆”的含义，并得出相互冲突但同样正确的“堆”的定义。例如，经典的堆主义者可能声称堆是任何有超过 10 个成员的物品堆，非典型的堆主义者则抗议说堆是任何有超过 13 个成员的物品堆，而堆的多元主义者则认为两者都是正确的。但是在这里有很多对多元主义的替代方案。例如，有人可能认为任何将英语单词“堆”解释为需要具有任何特定 n 个物品的堆的人是错误的，因为他们试图将比实际上存在的含义更具体性地引入到这个词的含义中。或者有人可能对堆持怀疑态度，认为这个词太模糊了，它没有明确的含义，或者有人可能认为这个表达是上下文敏感的：在某些情境中它指的是经典属性，在某些情境中指的是非典型属性，但是认为这并不意味着一个人是堆的多元主义者，就像承认“我”在不同的情境中指的是不同的人并不意味着一个人是关于自己的多元主义者一样。

这些替代方案的可能性本身并不能反驳多元主义观点，但它确实削弱了从表象中得出的论证。替代方案的存在表明多元主义的引人注目的合理性并不是唯一的。

1.2 美德论证

逻辑多元主义的另一个论证是通过结合实践和理论优点来支持这一观点：

其中一个优点是多元主义在很少或没有成本的情况下提供了多样性的结果关系。另一个优点是，多元主义对哲学逻辑中许多重要（但困难）的辩论提供了更加宽容的解释，我们将论证多元主义对上个世纪逻辑辩论中的洞察力和困惑的混合更加公正。（Beall＆Restall 2006：31）

多元主义者还强调他们的观点鼓励逻辑创新（Carnap 1937：前言），并允许人们研究更多的数学理论，例如那些在古典逻辑下变得琐碎的理论（S. Shapiro 2014：第 3 章）。

这样的主张很难评估。需要在支持多元主义的理论和实践理由之间进行重要的区分，即使在这样做之后，决定这个观点是否真正具有优点也很困难——这可能取决于尚未收集到证据的实证经验主张。确定这个观点是否比竞争理论具有更多的优点也很困难（逻辑唯一主义不是一个更简单的理论吗？而简单性也是一个理论上的优点吗？），最后确定这是否是相信这个观点的一个好理由。

例如，逻辑多元主义声称的一个优点是慈善，但并不是所有的慈善行为都是理论上的优点；没有人应该认为确定性物理学更有可能是正确的，因为它允许对犯错者或爱因斯坦有更慈善的看法。慈善有时是错误的。但在对意义和翻译理论进行评估时，慈善被认真看待作为一个理论上的优点——尽管即使在这里，慈善也可能是错误的，因为如果一个理论将婴儿解释为发表关于量子力学的真实主张，那么这不是一个优点（戴维森 1973 [1984]）。逻辑多元主义本身并不是关于翻译或解释的论题，而是关于逻辑和逻辑的多少的论题。尽管如此，上面概述的版本仍然基于一些关于“有效”和“推导自”的实质性主张，可以争论的是，出于这个原因，在裁决这个理论和竞争理论之间是否适当引用慈善：我们正在决定如何解释“有效”和“推导自”。也许其中一种解释似乎使我们的知情者（普通语言使用者和已经写过逻辑的专家）负责更少的错误主张。

但是，对手可能会回应说，将普通说话者解释为关于逻辑的真理，看起来类似于将关于量子力学的真实信念归因于婴儿。正如心理学中的 Wason 选择任务实验所显示的那样，即使受过教育的说话者在某些情况下也会未能按照推理形式 modus tollens 的正确性行事（Wason 1966, 1968; Cosmides 1989）。尽管对他们行为最慈善的解释可能是他们所说的“由...得出”的意思与实验者所指的意思不同，但对于这里正在发生的事情，最自然的理解是受试者犯了错误。将他们解释为通过“有效”意味着忽视了这些实验揭示的人类推理的内容，并未能解释为什么受试者后来判断他们先前的答案是错误的。

逻辑多元主义者可以同意这一点，但要区分对普通说话者的慈善和对专家逻辑学家的慈善。他们可能会主张，我们应该慈善地解释专家逻辑学家，包括那些提出明显不兼容系统的专家。相关的逻辑学家写道“析取三段论无效”。经典逻辑学家写道“析取三段论有效”。直觉主义逻辑学家说“双重否定消除无效”。经典逻辑学家反驳说“双重否定消除是有效的”。如果逻辑唯一主义是正确的，那么至少有两个或更多的派别声称了虚假言论。逻辑多元主义将允许我们说，不止一个，也许不止一个，写了真理。

但是逻辑多元主义在某些方面也是不友善的，而逻辑唯一主义则不然，因为它认为在关于哪种逻辑是正确的辩论中，唯一主义者的参与者是基于混淆而争论的。关于慈善的论证和更一般的美德，其结果是在清楚地确定哪些美德是可取的以及逻辑多元主义在多大程度上比其竞争对手拥有这些美德之前，还有很多工作要做。

2. 对基于案例的逻辑多元主义的反对意见

2.1 普遍性反对意见

2.1.1 对广义塔斯基论的“every”解释

通过案例反对逻辑多元主义的一种方式是同意“案例”是不明确的，并且可以有不同的解释，同时拒绝进一步认为这些解释对应于不同的逻辑推论关系。一种方法是坚持在 GTT 中量词“every”的最大领域。逻辑学中有一种传统观点认为，为了一个论证在逻辑上成立，结论必须在所有情况下都为真，只要前提为真，无论在任何地方、任何情况下，只要存在任何情况使得前提为真而结论为假，那么这个论证就是无效的。因此，唯一真正的逻辑是描述在所有情况下的真值保持关系的逻辑，其中“所有”被广泛地理解（Beall＆Restall 2006：92；Priest 2006：202）。[2] 一个唯一主义者也可以这样说：多元主义者的真正逻辑可以通过取每个“逻辑”接受的有效形式集合（如 EFQ）的交集来恢复（唯一主义者在这里使用引号，当然多元主义者不会）。对于唯一主义者来说，一个论证形式只有在所有多元主义者接受的“逻辑”中都被认为是有效的（如“逻辑上有效”应该被理解）时，它才真正在逻辑上有效。

假设我们追求这种广义策略。一个问题是，我们是否会剩下任何有用的逻辑蕴涵关系。通过量化额外情况得出的逻辑往往较弱-将较少的论证归类为有效-因为我们包括的情况越多，就越有可能包括一个情况，其中特定论证的前提为真，而结论为假。二值逻辑主义者会包括一些既有一个句子又有其否定为真的情况，这意味着我们可以有 P 和 ¬P 都为真，但 Q 为假的情况，使得 P∨Q 和 ¬P 都为真，尽管 Q 不是真的，从而为析取三段论提供了一个反例。如果这是可以接受的，为什么不允许 P∧Q 为真，但 P 不为真呢？或者更糟糕。也许，如果我们将“每种情况”解释得足够广泛，我们会发现没有剩下任何有效的论证，因此结果将不是逻辑唯一主义，而是一种逻辑虚无主义，或者接近逻辑虚无主义。几位多元主义者已经使用这种论证线路作为对必须在绝对每种情况下定义蕴涵的想法的还原论：

…我们看不到停止概括和扩大情况解释过程的地方。据我们所知，（无限制的）所有逻辑的交集中可能剩下的唯一推理是恒等推理：从 A 推导出 A。认为恒等推理是唯一真正有效的论证是不合理的，我们认为这是一个没有动机的结论。（Beall & Restall 2006: 92，原文强调）[3]

普里斯特持不同意见，并建议停止沿着这个滑坡滑下去的是某些关键蕴涵关系是由联结词的意义决定的事实：

我认为在某些情况下，所有推理原则都失败只是虚假的。例如，任何一个连词成立的情况下，由于 ∧ 的含义，连词成立。（Priest 2006: 202–203）

但是，逻辑学家通常声称他们自己的逻辑原则是由逻辑常量的含义所验证的，而那些否定这些原则的人则对此提出异议。在没有更实质性的连词含义理论的独立裁决下，很难裁决这类争议。这又是一个争论逻辑多元主义的领域与逻辑哲学中一个旧的争议相遇的地方，而这个争议表面上是关于含义的问题。对于这个一元论反对的成功，仍然存在两个关键问题：（一）在任何情况下，哪些论证形式可以保证保持真实（也许是由于含义），（二）如果有这样的论证形式，是否有足够多的论证形式构成一个非平凡的逻辑？最近的一个观点，逻辑虚无主义，接受了唯一真正的逻辑可能是空逻辑的观点。我们在第 3 节中单独讨论这个观点。

2.1.2 来自多义性的回应

在 GTT 中，“案例”的不确定性存在多种合理的模型。我们一直在考虑的多元主义版本允许不同类型的事物被视为案例。有时，案例可能是一个数学结构，有时可能是一个可能的世界（可能是不完整或不一致的）[4]。鉴于此，GTT 中“案例”的不确定性可能更像是由多义性引起的变化，而不是由量化域的变化引起的不确定性。请考虑以下情况：

(1)

每个银行都需要有数学能力的员工。

这个句子有两种解读，因为“银行”这个词——即使我们在谈论金钱——有多个意思。它可以指金融机构（如汇丰银行），也可以指提供服务的建筑物（如离校园五分钟的银行）。有时，额外的上下文可以排除其中一种解读，例如：

(2)

每家银行都需要在其所有分行中拥有计算能力的员工。

其中明确指的是作为金融机构的银行，以及：

(3)

每家银行都需要计算能力的员工和一个大型停车场。

在其中清楚地表明指的是建筑作为银行。

当我们假设 GTT 中的不具体性是由于对“每个”量词的量化域的不具体性而导致的时，很自然地会有一种诱惑，认为通过调用绝对不受限制的域，我们将得到一个唯一的最佳解释。然而，在多义性的情况下，变化的不仅仅是量化域的大小，还有被量化的对象的种类。结果是，我们可以允许量化域的大小任意大，但错误类型的对象仍然不能作为反例，正是因为它是错误的类型。以“银行”为例：如果我们指的是金融机构作为银行，那么无论量化域多么不受限制，建筑作为银行都不能作为（1）的反例，因为该句子并没有对这样的事物提出要求。相反，如果我们指的是建筑作为银行，那么互联网金融机构作为银行也不能成为句子（3）的反例。

所以假设 GTT 中的“case”是多义的。也许“case”有时意味着可能世界，但它也可以用来表示一阶模型。如果经典逻辑学家用“case”来指代一阶模型，那么抱怨他没有考虑到不完整的可能世界，因此没有考虑到每种情况是不合法的。在“case”作为一阶模型的消歧义中，经典逻辑学家已经考虑到了每种情况，因为不完整的可能世界在那个意义上不是情况。

2.1.3 选择一个最佳案例？

让我们继续假设“案例”是多义的。就像有人可以争辩说在 GTT 中只有一个适当的“every”的解释一样，一个唯一论者可能会在这里争辩说在 GTT 中只有一个适当的“case”的消歧义，因此只有一个逻辑蕴涵关系。

我们可以如下发展这个思想。逻辑学家的任务是捕捉自然语言句子之间的蕴涵关系，但通常简化问题只关注这些句子中的特定表达式，比如连词、否定和析取，或者这些表达式加上全称量词和恒等式。无论我们选择哪组符号作为所谓的逻辑常量，句子中所有其他表达式的含义——非逻辑表达式的含义——都由解释（或者在 GTT 中称之为“案例”）确定，而且由于我们对所有这些解释进行量化，实际上我们只是忽略了所有非逻辑表达式的含义。

现在考虑一下我们对这个论证可能会说些什么：

a 是红色的。a 是有颜色的。

通常我们会将这个翻译成一阶谓词逻辑的语言，大致如下：

RaCa

那个形式论证是无效的，但人们可能仍然想说原始的自然语言论证是有效的。一阶逻辑未能将诸如“红色”和“有色”的词语视为逻辑常量，人们可能认为这样的逻辑不足以捕捉逻辑推论。

一般而言，我们可能认为，如果你只关心逻辑推论的真实性，那么在论证中忽略某个表达式的含义是不合理的。如果简洁性和保守性不是问题，那么在定义有效性时不应该诉诸于塔斯基式的解释——因为这样的解释的整个目的是允许某些表达式的含义变化，以便它们不被计入。比任何“解释”都好的是一个完整的可能世界（也许我们可以就“所有可能世界”中包含哪些事物进行争论，但这个问题可能也有正确的答案）。因此，“案例”的许多可能的消歧义给我们不同的错误有效性理论。尽管它们可能因为简单和逼近真实解释而有用，但由于它们所捕捉的逻辑是不正确的，这是一种没有多元主义威胁的观点。

2.2 多元主义的规范性反对

对多元主义的另一个反对意见（有时也称为崩溃论证）从逻辑是规范性的前提出发，这意味着逻辑对我们应该如何推理，即我们应该相信什么以及我们应该在学到新知识时如何更新我们的信念都有影响。许多作者认为逻辑是规范性的，有时是因为他们认为逻辑就是良好推理的科学：

在逻辑学中，我们不想知道理解和思考的方式以及它迄今为止在思考中如何进行，而是想知道它在思考中应该如何进行。（康德 1800 [1885: 4]）
…逻辑是一门规范性的学科：它被认为是提供正确推理解释的一种理论。（普里斯特 1979：297）

然而，有时候哲学家们持有这样的观点，即无论逻辑是否涉及推理，它对逻辑蕴涵的主张对推理具有规范性后果：

断言、思考、判断、推理的规则都遵循真理法则。因此，我们也可以很好地谈论思维法则。（弗雷格 1918 [1956：289-90]）[5]
…逻辑推论是规范性的。在一个重要的意义上，如果一个论证是有效的，那么如果你接受前提但拒绝结论，你就会犯错误。(Beall & Restall 2006: 16)

许多批评家强调了逻辑的所谓规范性与逻辑多元主义的论题之间的明显紧张关系。例如，假设一个论证形式是有效的，那么关于我们应该相信什么的一些规范性结论就会随之而来。(也许是我们应该相信论证形式的结论，如果我们相信前提，尽管关于逻辑的规范性的大部分工作表明它需要是更加复杂的东西。) 现在假设逻辑多元主义是正确的。特别是逻辑 1 说析取三段论是有效的，逻辑 2 说析取三段论是无效的，这两个逻辑都是正确的。我们应该相信逻辑 1 告诉我们应该相信什么吗？很难看出我们如何能够逃脱这个义务，因为逻辑 1 告诉我们前提蕴含结论，而逻辑 1 是正确的。然而，如果信念的规范性结果确实成立，那么也许逻辑 2 在某种程度上是不完善的——它未能捕捉到从我们的逻辑中产生的所有义务。正如 Read 所说：

[假设] 确实存在两个同样好的关于演绎有效性的解释/理论，K1 和 K2，根据 K1，β 是从 α 中推出的，但根据 K2 不是，而我们知道 α 是真的...根据 K1 的推论，β 是真的，但根据 K2 不是。我们应该还是不应该得出结论 β 是真的？答案似乎很明确：K1 胜过 K2 [因为]...K1 回答了一个关键问题，而 K2 没有...[这个] 问题是逻辑的核心问题。(Read 2006: 194–195)

多元主义的反驳版本也可以在普里斯特（2006 年）、基夫（2014 年：1385）、斯坦伯格（2019 年）中找到。关于多元主义的回应，请参见卡雷特（2017 年）、拉塞尔（2017 年）、布雷克-特纳和拉塞尔（2021 年）以及布雷克-特纳（2021 年）。斯坦伯格（2020b）认为，通过拒绝逻辑的规范性来解决这个问题是不可行的。

2.3 意义变化的反驳

另一个问题是多元主义者是否正确地认为竞争的逻辑学家存在分歧。经典逻辑学家接受一个他们称之为逻辑真理的原则，他们写道：

A∨¬A

而强克里尼逻辑学家则拒绝（作为逻辑真理）以相同方式书写的原则：

A∨¬A

但只有当符号在两种情况下表达相同原则时，才能推断出他们接受不同的逻辑，特别是如果“∨”和“¬”在两种情况下的含义相同。

在辩论中，一元论者通常愿意承认多元主义者的不同体系存在分歧，因为他们自己希望坚持自己偏爱的逻辑是正确的，而竞争对手的逻辑是错误的。然而，奎因（1986: 81）曾经提出过一个著名的建议，在竞争的逻辑学家之间的争议中，“双方都不知道自己在说什么”，因为一旦核心逻辑属性受到严重质疑，他们就停止讨论否定。

Hjortland（2013）对意义变化可能会破坏竞争逻辑之间的分歧提出了一个有用的区分。通过 A-变异，两种逻辑的“有效”含义不同，导致对应该被称为“有效”的论证存在分歧。通过 B-变异，逻辑常量的含义，如“¬”或“∨”，发生变化，因此逻辑学归因（或未归因）于不同的原则的有效性。

结果据称是对于具有相同形式语言的两个逻辑理论，比如经典逻辑和直觉逻辑，有效性归属之间不存在真正的冲突。在情况（A）中，这是因为被归属的东西，即有效性，在这两个理论中并不相同。在情况（B）中，这是因为被归属的东西，即论证，在这两个理论中并不相同。（Hjortland 2013: 359）

因此，多元主义者需要一种方法来排除这样一种可能性，即他们所偏爱的每个系统都是正确的，但多元主义本身仍然是错误的，因为这些逻辑在任何事情上都没有分歧。

关于 A-变异，基于案例的多元主义者可能选择简单地认同不同的正确逻辑捕捉到不同类型的有效性。他们很可能认为，要求不同的不兼容逻辑都是正确的，这一直是对多元主义的要求过于强硬了。他们的目标是要表明他们是不同的，但并不真正不兼容。

这种方法的一个变体将“有效”视为一个上下文敏感的表达式，可能带有一个字符（类似于 Kaplanian 指示词），在不同的上下文中选择不同的属性。例如，参见 Caret（2017）对上下文主义的积极辩护和 Stei（2020a）对其进行批判性评估。

转向 B-变异的问题，多元主义者回应的一种方式是提出逻辑常量的含义理论，然后基于这些理论论证，在两个不同系统中，常量意味着相同的事物。证明论者有时会指出逻辑常量的引入或消除规则来确定其含义，并基于这些规则论证，在两个不同系统中使用它的意义是相同的。Haack 的《异常逻辑》中有一个很好的例子：

但是现在考虑 Gentzen 对最小逻辑（LJ）的表述：它与经典逻辑的不同之处不在于连接词的引入和消除规则，而在于可推导性的结构规则；也就是说，它通过限制经典逻辑（LK）的规则，不允许多个结果来得到。由于这种限制没有实质性地涉及任何连接词的参考，很难看出它如何能够解释为连接词意义的分歧所产生的结果。（Haack 1974: 10）

其他作者采取了更多的模型论方法来连接意义，也许认为共享（或重叠的）真值条件足以说明意义的相同性。Stei（2020a）对威胁到多元主义的意义变化问题提供了有用的概述，这个问题也在 Beall＆Restall（2001：§3），Hjortland（2013）和 Kouri Kissel（2021）中进行了讨论。

2.4 金属逻辑反对

最近的批评家提出了一个问题，即多元主义者应该使用哪种逻辑进行金属逻辑，即证明关于逻辑的事物或评估论证的逻辑，包括评估多元主义本身的论证。Suki Finn（2021）认为，多元主义必须受到限制，因为金属逻辑必须始终包含普遍消解和假言推理。Griffiths 和 Paseau（2022：50-55）的新书认为，多元主义者无法讲述关于金属逻辑的一致的故事。

多元主义的论证似乎假设了某种逻辑，根据这种逻辑，某些论证步骤是合理的，而其他的则不是。但这种逻辑是什么呢？

Griffiths 和 Paseau 的论证是通过案例进行的。他们调查了多元主义者可能提出的一系列答案，并认为每个答案都不令人满意。例如，多元主义者的一个选择是说，支持多元主义的论证应该在每个正确的逻辑中都是可接受的。但对于接受大量逻辑（所谓的折衷多元主义者）的多元主义者来说，共享原则太少，无法支持有趣的论证，因此元逻辑将过于薄弱，无法建立任何有意义的东西。

一个人可以选择成为所谓的适度多元主义者，并接受 Beall 和 Restall 对什么可以算作逻辑的限制：必要性、形式性和规范性。这样，适度多元主义者可能会得到一组更受限制的逻辑，从而获得更大的共享原则集合，在这种方法中，他们将拥有更强大的元逻辑。但 Griffiths 和 Paseau 认为，这种总体立场缺乏充分的动机：

[Beall 和 Restall] 对于一个特征是否应被视为确定的测试是历史性的...如果我们回顾关于推论的传统，我们似乎发现一些特征——必然性、形式性和规范性——是确定的，而其他特征——可公理化性、先验可知性——是不确定的。然而，当我们考虑这个传统时，并没有出现这样的画面。相反，我们发现一个完全不确定的画面，这个画面不可能激发出一种适度多元主义的动力。毫无疑问，很难争辩说某个特征比单一论思想本身更加是传统的一部分：所以如果有什么是确定的特征，那就是存在一个正确的逻辑的思想。(2022: 51)

多元主义者的另一个选择是在元逻辑上成为单一论者，尽管在非元逻辑时允许使用其他逻辑。Griffiths 和 Paseau 认为这个立场是不稳定的。假设多元主义者接受两种逻辑，比如 LP 和 K3，作为正确的逻辑，但对于元逻辑，他们只接受经典逻辑。现在我们面临一个使用假言三段论的论证（在客体语言中）：

P,P→Q⊨Q.

这在 K3 中是有效的，但在 LP 中不是。那么现在对于这个论证怎么办呢：

“P” is true.

每个前提陈述都说明了原始的假言推理实例的前提之一是真的，而结论则说明了假言推理实例的结论是真的。然而，与原始论证不同，这个论证只使用了元语言句子，我们可能期望它是一个使用经典逻辑（即元语言的逻辑）的地方，因此当前的多元主义流派会推断出结论 "Q" 是真的。但如果是这样，为什么不直接去引述并得到 Q 呢？元逻辑单一论者似乎能够通过升级到元层，在那里进行论证步骤，然后引述回到对象语言中来规避他们的弱逻辑。

潜在问题在于客体语言和元语言中的句子真值并不独立。它们之间最简单的关系可能是一个无限制的双条件解引用原则：

如果且仅当 P，那么“P”是真的。

这些原则非常直观，尽管通常会受到限制以避免悖论。然而，即使有了限制，客体语言和元语言中的句子的真值之间仍然存在着强烈的关系。由于有效性涉及到句子之间的真值保持模式，有理由怀疑元语言的逻辑与客体语言的逻辑不能完全独立。格里菲斯和帕索（2022 年：54）使用相同的策略来驳斥多元主义者的元逻辑可能是一个“任意正确逻辑”的想法，因为（正如他们所说）“真正的元逻辑必须与真正的客体层逻辑保持和谐”。

格里菲斯和帕索代表逻辑多元主义者考虑的最后选择是，可能存在对每个被接受的逻辑都有争论的情况，而没有一个争论在所有这些逻辑中都是有效的。只要对于每个逻辑 L，多元主义者接受存在至少一个有效的 L 争论来支持多元主义，就可以存在不同的争论。在这里，担心的是混合多元主义者最弱的逻辑可能太弱，无法提供这样的争论，而适度多元主义者对一组更强的逻辑的限制是没有动机的。

2.4.1 打破元逻辑和谐

让我们考虑一下逻辑多元主义者对于元逻辑问题的回应。格里菲斯和帕索倾向于写作，好像只有两种多元主义者：(a)混合主义者，他们接受大量非标准逻辑，可能是出于慷慨包容的精神；(b)适度主义者，他们发现对逻辑历史的忠诚限制了他们对包容性的渴望，逻辑历史坚持逻辑必要性、形式性和规范性。但是，还有一种不同但相当现实的多元主义者，他们受到不同唯一主义者的论证的激励，同时又不希望被束缚于过于薄弱的逻辑。

假设——为了举一个具体的例子——离经叛道的一元论者 A 认为空名使得一个句子既不真也不假，并且我们应该出于这个原因接受唯一的逻辑 K3。相比之下，离经叛道的一元论者 B 从语义悖论出发，认为一个句子既可以是真的也可以是假的，并且我们应该出于这个理由接受唯一的逻辑 LP。现在考虑一个研究 A 和 B 两位离经叛道的一元论者观点的人，他同意空名和语义悖论分别导致了既不真也不假的句子。这个人既不能成为 K3 一元论者（因为语义悖论），也不能成为 LP 一元论者（因为空名）。相反，他有两个选择：只接受两种逻辑共享的蕴涵——也许接受非常弱的一阶蕴涵逻辑（FDE）或类似的逻辑作为唯一的逻辑——或者将有效性相对化到我们所涉及的现象上。如果你的语言中没有空名：使用 LP。如果没有语义悖论：使用 K3。如果两者都存在，你只能使用 FDE。但是，在使用既没有空名也没有资源来表达语义悖论的语言时，可以放心地使用古典逻辑的全部资源。

这最后一步类似于有时被称为“经典重获”的移动，这在亚经典一元论者中很常见（参见，例如，普里斯特 2006 年：198 和罗森布拉特 2022 年）。例如，一个受建构主义数学启发的一元直觉主义者可能认为，在讨论无限心智建构之外的主题时使用经典排中律的实例是可以接受的。而一个既非矛盾逻辑学家可能认为，在一个不能充分表达悖论的语言中使用经典的 EFQ 原则的实例是可以接受的。他们都不接受这些原则在逻辑上是有效的——因为它们在数学或在推理悖论时不可靠。但这并不意味着你永远不能使用它们更安全的实例。事实上，它们失败的情况可能相当奇特，并且在日常生活中很少遇到。

虽然将这样的工作称为“经典”重获是标准的，但它不一定旨在恢复特定的经典原则；关键是它允许从某种更强的逻辑中有限地使用这些原则，因此我们将其称为强度重获，有时简称为重获。

多元主义的回应略有不同：他们并不说使用无效论证通常是可以的（因为它们通常，虽然不是普遍地，保持真实性），而是将有效性本身相对化为破坏它的现象。在我们的例子中，他们说：在缺乏空名和无法形成悖论的语言中，经典逻辑是有效的；而在具有空名但没有悖论的语言中，K3 是有效的（但 LP 和经典逻辑不是）；在没有空名但具有悖论资源的语言中，LP 是有效的（但 K3 和经典逻辑不是）；而在既有空名又具有悖论资源的最丰富的语言中，FDE 是有效的（但 LP、K3 和经典逻辑不是）。在这里，多元主义者的动机并不是慷慨的包容性，而是被异常的唯一主义者的论证和避免陷入无用的逻辑所驱使。

这种逻辑多元主义者对于元逻辑应该说些什么呢？在没有采用更弱的逻辑的新理由的情况下，他们至少可以允许使用 FDE，但即使在他们相当谦虚的多元主义下，这仍然给他们留下了一个相当弱的逻辑。这将没有了演绎法则或排中律，没有了析取三段论或 EFQ。所有这些都可以用来证明事实和提供论证，所以拥有更强的逻辑将是很好的。

对于这种类型的多元主义者来说，自然的问题是：在他们进行元理论工作的语言中，是否存在语义悖论或空名的危险？如果没有空名，那么他们似乎可以自由使用 LP；如果没有语义悖论，那么他们似乎可以自由使用 K3。如果两者都没有，那么他们似乎又回到了在他们的元理论中使用经典逻辑的地步，尽管他们总体上是逻辑多元主义者。

在贯穿塔尔斯基（1944 年）的“真理的语义观念”中，我们通常期望元语言至少与其对象语言一样丰富（而元元语言至少与元语言一样丰富，依此类推）。例如，塔尔斯基的元语言包含了所有来自对象语言的表达式，以及这些表达式的名称、逻辑词汇和真理谓词，这使我们能够表达塔尔斯基的解引用模式的实例，例如：“雪是白色的”当且仅当雪是白色的时候是真的。

如果我们的元语言延续了塔尔斯基的传统，那么如果对象语言包含空名称，元语言将包含空名称，并且如果对象语言包含悖论的资源，元语言将包含构建悖论的资源（当然，塔尔斯基的对象语言不包含这些资源，但如果我们的对象语言包含它们，而我们的元语言包含我们的对象语言，那么我们的元语言也将具有这些资源）。但是，即使我们假设塔尔斯基的层次结构的这个特征通常成立，即每个元语言至少与其对象语言一样表达力强，我们可能需要某个证明或某个论证所需的元语言部分仅需要元语言的一个片段（可以说是一个子语言），而这个子语言可能不包含空名称或悖论句子。我们可以构建一种关于包含空名称的语言的语言，其中（元）语言中的所有术语都是对象语言中表达式的引用名称，因此元语言本身不会有空名称。或者对象语言可能具有适用于其自身表达式的真理谓词，尽管我们需要用于显示这导致 EFQ 的反例的元语言部分不具备这些。

对于这种多元主义者来说，客体语言的逻辑和元语言的逻辑在原则上分离是很自然的。他们也很自然地坚持认为他们实际上在元语言的层面上仍然是多元主义者。那么，元语言的逻辑是什么呢？对于不包含空名和不足以产生悖论的语言片段来说，它是经典逻辑。对于包含空名但没有悖论资源的语言片段来说，它是 K3 逻辑。对于包含悖论资源但没有空名的语言片段来说，它是 LP 逻辑。对于整个元语言来说，它是 FDE 逻辑。关于客体语言逻辑的多元主义，以及关于元逻辑的多元主义。

3. 逻辑虚无主义

对于普遍性反对的多元主义者的回应引起了人们对相关观点的兴趣：逻辑虚无主义——即认为没有正确的逻辑（Russell 2017, 2018a,b; Cotnoir 2018; 另见 Estrada-Gonzáles 2012 和 Mortensen 1989 的前辈）。虚无主义自然地融入了包括唯一正确逻辑（一种正确逻辑）和多元主义（多于一种正确逻辑）在内的谱系。与唯一正确逻辑和多元主义一样，虚无主义的含义将取决于什么被视为逻辑，以及什么是正确的逻辑。

在这里最相关的版本上，虚无主义者认为形式为 Γ⊨A 的正确逻辑原则集为空，因此没有逻辑法则（参见 Russell [2018a: 309–11]，对逻辑法则形式的虚无主义讨论）。

在下一小节中，我们将探讨一种逻辑虚无主义的论证，但在此之前，我们应该解释一下许多人对虚无主义的最初反应是认为没有必要考虑支持它的论证，因为这个观点显然荒谬，或者因为它在某种程度上是自我矛盾的。

有时人们认为虚无主义是荒谬的，因为它似乎与关于逻辑的明显真理相冲突，这些是学生们在初次接触这门学科时学到的。例如，可能会提出以下简单论证只是显然保真的，因此任何不符合这种情况的观点都不值得进一步考虑：

如果雪是白色的，那么草是绿色的。

但是重要的是要意识到虚无主义者无需拒绝这个简单的假言推理实例。他们的观点是，假言推理不是逻辑定律，这需要每个假言推理的实例都是保真的。这是一个更强大和更普遍的主张。像其他较弱逻辑的支持者一样，虚无主义者可以根据一些相当罕见和不寻常的情况来拒绝一个假定的定律的有效性，然后——在上面关于打破元逻辑和谐的章节中讨论的直觉主义者和二值主义者的情况下——参与一项力量重获的项目，使他们能够在奇异的反例不构成威胁的情况下运用更强大逻辑的原则。虚无主义者认为，论证不必在逻辑上有效才能是好的——部分原因是逻辑有效性的要求太强了。

有时人们认为虚无主义不值得进一步思考的第二个原因是他们认为它是自我否定的。毕竟，有时人们会说，如果虚无主义者是对的，就不会有好的论证。因此，虚无主义破坏了对自身的任何论证，因此没有必要考虑对它的论证。

但是，正如我们已经看到的，虚无主义者不必认为没有好的论证，只是没有逻辑上有效的论证。这就为虚无主义者提供了三种可以采用的论证方式。首先，一个论证可能仅仅因为它在对手看来是有效的而有用；这至少允许虚无主义者提出一个对手应该根据自己的观点接受的虚无主义论证。其次，可能存在一些好的论证，它们甚至不假装是逻辑上有效的；也许它们使用的是最佳解释推理。例如，反例外主义者通常期望正确的逻辑能够通过诱导的方式得到证明，因此不会期望正确逻辑的论证是一个逻辑上有效的论证（Hjortland 2017）。而且最重要的是，对于理解虚无主义者的立场，所采用的论证形式可能在所有情况下都不保持真实性（因此不是逻辑上有效的），但在考虑的情况下仍然保持真实性。

在解释清楚这些初步问题之后，我们来研究一种关于逻辑虚无主义的论证。

3.1 通过普遍性反对来实现逻辑虚无主义

如我们在 §2.1.1 中解释的那样，多元主义者可以使用还原论来回应普遍性反对：如果我们坚持（与唯一主义者一样）完全普遍性是逻辑定律的约束条件，那么结果将是没有逻辑定律存在，而这个论证认为是荒谬的。因此，我们应该拒绝完全普遍性。但虚无主义者认为这样做太快了。为什么虚无主义不能是真的呢？然后多元主义者的还原论可以被重新用作支持这个观点的积极论证：

(P1)

形式为 Γ⊨A 的原则当且仅当在每个 γ∈Γ 为真的情况下 A 在所有情况下都为真，它是逻辑有效的。

(P2)

形式 Γ⊨A 的每个原则都存在一些情况，其中 A 不为真，但每个 γ∈Γ 都为真。

(C)

没有形式 Γ⊨A 的原则在逻辑上是有效的。

这自然引起了对 P2 的关注。为什么要认为所有的假定逻辑定律在某些情况下都失败了呢？多元主义者不需要过多担心 P2。正如我们在第 §2.1.1 节中所看到的，他们对多个竞争逻辑的接受往往导致一种观点，即逻辑原则的反例相对较常见，因此对 P1 的坚持很快就会导致逻辑虚无主义，或者至少是一种过于弱小而不能成为唯一真正逻辑的逻辑（我们可以称之为逻辑极简主义）。事实上，多元主义者在重述这个论证时通常会首先暗示它导致虚无主义，作为一种修辞上的夸张，然后退而采取一种令人不悦的弱逻辑：也许唯一的定律就是恒等律，

(ID)

A⊨A

对于一个多元主义者来说，将这个论证作为还原论证使用时，P2 是真实的或者几乎是真实的并不重要；无论哪种情况都足够荒谬或者不吸引人（在他们的观点中）以使还原论证发挥作用。

但是，如果我们想要主张虚无主义是真实的，我们需要为 P2 的真实性进行论证。那么为什么要认为对于任何一组前提 Γ 和结论 A，总会存在一种情况，其中前提为真但结论不为真呢？

一个论点指出，我们可以将案例视为语言的非逻辑表达的解释，而受经典逻辑允许的解释相当受限且理想化：没有空名称、不确定或过度确定的谓词、具有多个或没有真值的句子，或者对上下文敏感表达的建模方式。自然语言可能包含具有所有这些不同类型解释的表达式，因此一些在自然语言中可表达的论证无法很好地由经典逻辑建模。一旦我们开始丰富逻辑语言以包括这些“非理想”类型的表达，逻辑就会有一种趋向于削弱的倾向（尽管具体细节取决于个人的哲学观点）。

举几个例子，有些人认为自然语言中包含空名，带有空名的句子既不真也不假，包含既不真也不假的子句的复合句的真值根据强克里尼表确定，因此没有形式在每个解释上都是真的：原子句，如 Fa 在将术语解释为空时总是既不真也不假，从这样一个原子句构造的任何复合句（包括 Fa∨¬Fa）也是如此。因此，存在解释使得排中律（LEM：A∨¬A）不为真（因为它既不真也不假），因此 LEM 在逻辑上无效。在某些观点中，模糊性和未来的必然性也可以导致没有经典真值之一的句子。有人认为自然语言的普遍性允许表达既真又假的句子（如谎言者），从而可以实现 LP 的真值表（将真和两者都作为指定值），从而得到一个逻辑，其中 EFQ、演绎法和析取三段论都失败。然而，仅凭这些熟悉的理由，有时很难看出一些最安全的逻辑定律，例如 ∧-引入或 ID，是如何失败的：

ABA∧BAA

在这里，虚无主义者可以利用上下文敏感的表达式，其扩展随句法上下文而变化（有关更正式的介绍，请参见 Russell（2017；2018a））。如果我们有一个句子 SOLO，它在作为原子句时是真的，但在嵌入更复杂的结构中时是假的，那么以下 ∧-引入的实例将使我们从真前提得出一个假结论：

SOLOBSOLO∧B

同样地，如果我们有一个原子命题 PREM，当它出现在论证的前提中时，其真值为真，但当它出现在结论中时，其真值为假，那么以下 ID 的实例将使我们从一个真前提到一个不真的结论：

PREMPREM

虚无主义者认为，一旦我们看到 ∧-引入和 ID 屈服于这些非标准解释，那么很可能没有任何蕴涵关系会普遍成立。

3.2 对逻辑虚无主义的回应

尽管逻辑虚无主义最近才出现，但已经有几种有趣的对策。Dicher（2021）提出了一个问题，即 PREM 和 SOLO 是否应被视为逻辑常量，而不是非逻辑表达式。他指出，如果是这样的话，它们在语言中的包含将给我们带来新的有效论证形式，例如：

A¬PREM

或者

SOLO¬SOLO

（有关 ⊤，⊥ 和逻辑极简主义的相关讨论，请参见 Russell（2018a：注 15）。）Fjellstad（2021）认为 PREM 可以在非虚无主义逻辑中占据一席之地。Haze（2022）认为使用 PREM 和 SOLO 的反例都犯了一种称为“意义模糊”的谬误，因此实际上并不是 ID 和 ∧-introduction 的实例。N. Wyatt 和 Payette（2021）拒绝了从普遍性的论证中得出的 P1，以支持他们所称的逻辑特殊主义的观点（请参见 Payette 和 Wyatt（2018）以及 Russell（2018a）的最后一节，该节提出了基于 Lakatos 的引理融入思想的逻辑普遍性约束）。

4. 通过语言多元主义实现逻辑多元主义

当代关于基于案例的逻辑多元主义的辩论导致了对逻辑实证主义家 Rudolf Carnap（1937：§17；1950 [1958]）所倡导的一种较旧形式的多元主义的兴趣的复兴（请参见 Restall 2002；Cook 2010；Field 2009；Kouri Kissel 2019；Varzi 2002；Eklund 2012）。

4.1 宽容原则

在《语言的逻辑语法》的第 17 节中，卡尔纳普写道：

在逻辑学中没有道德。每个人都有权利按照自己的意愿建立自己的逻辑，即自己的语言。对他的唯一要求是，如果他希望讨论它，他必须清楚地陈述他的方法，并提供语法规则而不是哲学论证。（卡尔纳普 1937 年：第 17 节）

这段文字表达了两种宽容的方式。其中较为著名的是卡尔纳普对不同语言的宽容，这种宽容的动机既包括了对于语言争议并非真正关于我们所描述领域的理论争议的思考，最多只是关于在实践中如何最有效地使用词语以达到我们的目标的实际争议，也包括了将这些实际问题最好地留给从事相关领域工作的人的思考。正如卡尔纳普后来所写的，

让我们承认那些从事任何特定研究领域的人有自由使用任何对他们有用的表达形式。在该领域的工作迟早会导致那些没有有用功能的形式的消失。让我们在提出断言时保持谨慎，在审查它们时保持批判，在允许语言形式时保持宽容。（卡尔纳普 1950 [1958: 221]，原文强调）

第二种宽容是对不同逻辑的宽容，这自然被解释为一种逻辑多元主义。短语“每个人都有权构建自己的逻辑”表明这样做不会犯错误。而从紧随其后的短语“即，他自己的语言”可以清楚地看出，卡尔纳普认为这两种宽容非常接近，甚至可能认为语言宽容和逻辑宽容是同一回事。

对于现代读者来说，这个问题可能并不明显。为什么我们不能容忍不同的语言，这似乎是合理的，而不必承诺容忍不同的逻辑呢？此外，对于哪种命题逻辑是正确的（例如，经典逻辑还是直觉主义逻辑），有不同意见的逻辑学家似乎能够使用相同的语言（包含 ∧、→、¬ 等符号），即使他们认为某种逻辑对于该语言是正确的，而另一种逻辑是错误的。如果这个立场是一致的，那么一方必定犯了一个错误，这意味着他们实际上并没有“自由地构建自己的逻辑”。

这个观点至少是一个开放的可能性，尽管确定两个竞争的逻辑学家是否真的在为同一种语言提倡不同的逻辑可能是困难的。他们使用相同的符号并不足够，因为他们可能每个人都使用具有不同含义的符号，这样他们就使用了不同的语言。但是，除了使用相同的表达式之外，还需要什么？

这是一个有许多竞争答案的问题，即使对于最基本的逻辑常量也是如此。也许这些表达式必须表示相同的真值函数，或者具有相同的内涵，或者共享一种表达方式，或者具有相同的特征或概念角色。但是，《语言的逻辑句法》（德文版）于 1934 年出版，早于 Grice、Gentzen、Montague、Kaplan、Lewis、Putnam 或 Kripke 的创新（此外，也早于 Tarski 的《逻辑推论概念》（1936 [1956]）（Schurz 1999）），并且在维特根斯坦的《逻辑哲学论》的强大影响下出版。卡尔纳普对于意义和逻辑都有明确而明确的想法，这有助于解释他为什么认为语言的宽容直接导致逻辑的宽容。在《语言的逻辑句法》的前言中，他写道：

到目前为止，在构建一种语言时，通常的做法是首先为基本的数理逻辑符号赋予意义，然后考虑根据这个意义逻辑上正确的句子和推理。由于意义的赋予是用词语表达的，并且因此是不精确的，以这种方式得出的结论很难不是不精确和模糊的。只有从相反的方向接近时，这种联系才会变得清晰：任意选择公设和推理规则；然后，无论选择是什么，都将确定基本逻辑符号的意义。（卡尔纳普 1937 年：xv）

根据卡尔纳普的观点，指定一种语言的正确方法是选择一些表达式，然后给出它们的推理规则。正是这种规范赋予了表达式们的意义，因此，首先，不存在对表达式的错误规则的问题-每个人都有权利构建自己的逻辑，选择他喜欢的规则-其次，对语言选择的宽容已经是对逻辑选择的宽容-因为这样构思的语言已经“内置”了不同的逻辑。

卡尔纳普接受逻辑多元主义的原因之一是他认为它为逻辑创新提供了空间。在《语言的逻辑句法》的前言中，他写道：

到目前为止，从罗素发展起来的语言形式中，只有极少数地方出现了一些轻微的偏差，这已经成为经典。例如，某些句子形式（如无限存在句）和推理规则（如排中律）已被某些作者排除。另一方面，已经尝试了许多扩展，并且已经发展出了几个有趣的多值演算，类似于句子的二值演算，并最终导致了概率逻辑。同样，所谓的内涵句已经被引入，并且借助它们发展了一种模态逻辑。迄今为止没有尝试进一步远离经典形式的原因可能是普遍认为任何这样的偏差必须得到证明，即新的语言形式必须被证明是“正确的”，并且构成了“真正逻辑”的忠实表达。
消除这种观点以及由此产生的伪问题和令人厌烦的争论是本书的主要任务之一。（卡尔纳普 1937 年：xiv–xv）

这段文字突出了卡纳普的逻辑多元主义和逻辑哲学的几个特点。很明显，他打算让他的逻辑多元主义既是“水平的”——也就是说，在同一层次上允许不同的逻辑，比如经典逻辑和直觉主义命题逻辑——也是“垂直的”——允许为新的表达方式设计逻辑，比如内涵逻辑和二阶逻辑（这个术语来自于 Eklund 2012）。此外，这段文字表达了一种“逻辑优先”的方法，并拒绝了一种“哲学优先”的方法，暗示我们不应该试图从第一原则上先验地确定哪种逻辑是最好的（“哲学优先”方法），而是应该让逻辑学家按照他们的喜好发展语言，然后根据事实来做出判断。

这里最明显的对比是与 W. V. O.奎因相比，奎因批评二阶逻辑是“羊皮中的集合论”，并基于哲学的理由拒绝了时态逻辑和情态逻辑（Quine 1986: ch. 5; 1953a; 1953b [1966]; Burgess 1997; 2009）。这样的对立是相当有趣的，考虑到奎因在认识论中对这种“哲学优先”方法的拒绝。

4.2 卡纳普的多元主义的问题

当代许多作家乐于支持卡尔纳普对多元主义的方法（例如，Varzi 2002: 199），Restall 认为这种方法比他和 JC Beall 的基于案例的版本更为温和（Restall 2002）。然而，如果有人想要今天捍卫卡尔纳普的立场，就需要解决几个问题。对这种观点的第一个关切是，虽然我们在创造的各种语言中工作，但我们可能会错过“正确”的规则——那些在我们创造任何东西之前实际上就存在的规则。用保罗·博格西安的话来说，

我们真的要假设，在我们为句子“雪要么是白色的，要么不是”规定意义之前，雪是白色的或不是白色的这个事实并不存在吗？这个主张在进行意义行为之前就是真实的，而且即使没有人思考过它，或者选择用我们的句子来表达它，它也将是真实的，这难道不是极其明显的吗？（Boghossian 1996: 365，原文强调）

卡尔纳普可能不会认真对待这个反对意见，因为他像《论理哲学》中的维特根斯坦一样（例如，§§4.26，4.461–4.465），不相信逻辑真理和规则是“存在”的，等待被发现的。

所谓的“真实”句子构成了科学的核心；数学逻辑句子是分析的，没有真实内容，只是形式上的辅助。（卡尔纳普 1937 年：xiv）

尽管如此，“常规主义者”对逻辑真理（以及与之相关的分析真理）的观点已经受到了奎因、亚布洛、博戈西安和索伯等人的反对，它已经不再像卡尔纳普时代那样受到欢迎（奎因 1936 年；亚布洛 1992 年；博戈西安 1996 年；索伯 2000 年）。这也凸显了将卡尔纳普称为逻辑多元主义者有多么奇怪，因为从某种意义上说，他的观点并不是存在多个正确的逻辑，而是逻辑没有正确的对象（库克 2010 年：498）。也许将卡尔纳普称为逻辑建构主义者更具启发性。

另一个问题是卡尔纳普对意义的理解是否正确。如今有许多关于意义的替代方法，并且对它们进行了激烈的辩论。菲尔德写道：

在“意义上的差异”一词的某些解读中，任何理论上的重大差异都会产生意义上的差异。在这种解读中，不同通用逻辑的倡导者之间的连接词确实在意义上有所不同，就像“电子”在汤姆森的理论和卢瑟福的理论之间有所不同一样；但是尽管在意义上有所不同，卢瑟福的理论与汤姆森的理论存在分歧，不清楚为什么我们不应该对替代的通用逻辑说同样的事情。（Field 2009: 345）

Field 得出结论称“在这种情况下，意义差异的概念是无益的”，因此很难为 Carnap 关于逻辑语境的意义提供辩护。

但是，关于逻辑常量的意义的特定替代观点的支持者可能会认为他们可以在这些语境中理解意义上的差异，并且 Carnap 只是支持了错误的意义理论，从而对逻辑得出了错误的结论。他们可能会指出的一个具体问题与普赖尔 1960 年的论文《环绕推理票》相关，其中他为一种新的连接词“tonk”提供了规则。这种连接词很快导致了平凡性，这表明普赖尔在引入他的表达式的规则时并不完全“自由建立自己的逻辑”。

另一个问题是一个人可以通过改变逻辑的更一般的结构规则来产生不同的逻辑，而不是通过改变任何特定表达式的规则。这些规则控制诸如是否允许多个结论以及前提是否可以在证明中多次使用等事项（Restall 2000; Paoli 2003）。这表明，即使逻辑表达式的含义由规则来控制，这些规则告诉你它们在证明中如何使用（正如 Carnap 所建议的那样），两个逻辑可以在这些规则上达成一致，但在逻辑蕴涵关系上存在分歧。因此，即使你已经成功选择了一种语言，似乎你还没有确定一种逻辑。

5. 进一步的逻辑多元主义种类

自 Beall 和 Restall 的早期工作以来，已经提出了几种其他类型的逻辑多元主义，本节概述了其中的五种。将这些不同观点分类的一种有用方式是将逻辑蕴涵视为相对于不同特征的概念，例如“案例”的明确化（对于 Beall 和 Restall）、逻辑常量的集合（对于 Varzi）、真值承担者的种类（对于 Russell）、目标（对于 Cook 的较不激进的方法）和认识规范（对于 Field 的）[6]。

有时人们反对其中一个或多个观点不构成“真正”的逻辑多元主义，理由是它仅将结果相对化到某个新的参数上，而（反对继续说）这将使观点成为相对主义而不是多元主义的一种形式。我们在第 6 节中更详细地讨论了什么是“真正”或实质性的逻辑多元主义。但值得记住的是，不仅是一些，而是大多数在逻辑多元主义的范畴下通常讨论的观点，包括最核心的基于案例的版本，都可以理解为将逻辑结果相对化到某种独特的东西上。它们通常被描述为逻辑多元主义，可能是因为它们是一种合理地主张多于一种逻辑是正确的观点。因此，如果不假设“多元主义”和“相对主义”这两个词标志着一个重要或广泛共识的区别，那么文献就更容易理解（S. Shapiro 2014: 1）。

5.1 关于逻辑常量集合的多元主义

Achille Varzi（2002）指出，产生竞争的逻辑结果关系的一种方法是改变我们将其视为逻辑常量的表达式集合。如果我们将“=”视为逻辑常量，则以下论证将是有效的：

Faa=bFb

但是，如果逻辑常量集不包括“=”，那么它将无效，因为我们的模型现在将包括那些将非自反关系分配给“=”的模型，而这些模型可以生成反例。

“=”应该被视为逻辑常量吗？塔斯基本人支持这样的观点，即语言中的任何表达式都可以被视为逻辑表达式：

对所讨论的语言术语进行逻辑和非逻辑的划分...显然并不完全是任意的。例如，如果我们将蕴涵符号或全称量词纳入非逻辑符号之中，那么我们对于推论概念的定义将导致与普通用法明显矛盾的结果。另一方面，我不知道有什么客观的理由可以让我们在这两组术语之间划定一个明确的界限。在我看来，我们可以将一些通常被逻辑学家视为非逻辑的术语纳入逻辑术语之中，而不会导致与普通用法截然相反的结果...在极端情况下，我们可以将语言的所有术语都视为逻辑术语。（塔斯基 1936 [1956: 418–419]）

Varzi 倾向于支持塔斯基在选择逻辑常量方面的自由主义：

相关观点是，原则上可以将语言的所有（或任何）术语视为“逻辑的”，我同意这一点。（Varzi 2002: 200）

结果是，在他的观点中，存在多个正确的逻辑推论关系，因为该关系相对于逻辑常量的选择而言，并且存在多个同样正确的这些常量集合，从而导致不同但同样正确的逻辑。

Tarksi/Varzi 观点是有争议的。Varzi 在他 2002 年的论文中为此进行了辩护，并且在关于逻辑常量的条目中有有用的讨论。

5.2 关于逻辑推论对象的多元主义

如果我们考虑到不同类型的真理承担者可能存在不同的正确逻辑，那么逻辑多元主义的另一种形式就会产生，正如罗素（2008）所论述的那样。假设逻辑推论确实是在案例中保持真理的问题。那么我们可以一致地谈论关于（一组）句子、（一组）命题或（一组）字符（如 Kaplan 1989 中所述），以及最终关于任何真理承担者的真理保持关系。如果这些逻辑都最终决定了一个单一的“并行”推论关系，那么这将不会很令人兴奋，例如，如果一个句子 S1 的逻辑推论是另一个句子 S2，当且仅当句子 S1 所表达的命题（即 P1）的逻辑推论是另一个句子 S2 所表达的命题（即 P2）。罗素使用了涉及名称、刚性、直接指称和指示词的各种例子来证明这并不总是成立。仅以一个例子，假设句子 a=b 包含两个不同的直接指称名称，那么 a=b 和 a=a 表达了相同的命题。在最小的假设下，逻辑推论关系是自反的，这意味着由 a=b 所表达的命题是由 a=a 所表达的命题的逻辑推论，即使句子 a=b 不是句子 a=a 的逻辑推论。因此，句子的逻辑推论关系与命题的逻辑推论关系有趣地不同，至少存在两种不同的正确的逻辑推论关系。

5.3 关于建模的多元主义

Shapiro 和 Cook 提出，形式逻辑的任务是对自然语言进行建模（S. Shapiro 2006, 2014; Cook 2010）。由于模型是用来展示被建模现象的一些但不是全部特征的简化结构，因此可能存在同一语言的几个竞争模型，每个模型捕捉该语言的不同方面。正如 Shapiro 所写：

…通常情况下，使用数学模型时往往没有“完全正确”的问题。对于特定目的而言，可能存在错误的模型——明显不正确的模型，也可能存在好的模型，但很少能说只有一个正确的模型。（S. Shapiro 2006: 49–50，原文强调）

这听起来可能支持一种逻辑虚无主义的观点——即不存在正确的逻辑（见 §3），但库克更倾向于将其视为提供了两种不同的多元主义。第一种，较少争议的多元主义认为，哪种逻辑是正确的取决于目标。如果想研究模糊性，可能需要一种允许中间真值的逻辑，而如果想研究身份，可能更倾向于使用一阶经典逻辑与身份。由于正确的模型是目标相关的，因此正确的逻辑也是如此。

但库克想知道他和夏皮罗的逻辑建模观点是否也支持更激进的多元主义，因为似乎有可能即使相对于特定目的，可能存在两种竞争的逻辑，每种逻辑相对于该目的都明显优于其他所有逻辑，但两者都不比另一种更好。在这种情况下，库克认为我们可能希望说两者都是正确的，因此存在不止一种正确的逻辑。然而，也可以认为在这种情况下，存在两种同样好的逻辑，都不被视为正确。

5.4 关于认识规范的多元主义

Hartry Field 提出了另一种逻辑多元主义（Field 2009）。这种观点基于逻辑是规范性的论点（见 §2.2），以及对认识规范性的多元主义。Field 认为存在许多可能的认识规范，我们可以将代理人视为在不同时间认可一个或多个规范，并对不同可能的认识规范的好坏有不同看法。我们使用这些认识规范来评估它们自身和其他规范（想象使用数值归纳来评估归纳和反归纳）。有些规范按照自身的标准表现良好，这种情况下我们不感到紧张。有些规范甚至按照自身的标准表现糟糕，这种情况下我们感到有压力要改变它们。在 Field 的观点中，将这些规范视为正确或错误是没有意义的，但他认为将它们称为更好或更差是有意义的，只要我们认识到这些评估是相对于我们的认识目标的。然而，尽管这使得规范具有批评性和可评估性，但并不意味着会有一个唯一最佳的规范。

例如，可能存在一系列越来越好的实现目标的规范；此外，可能存在“任意远的”并列或无法比较的情况。（Field 2009: 355）

因此，我们有一个认识论规范多元主义。

同样地，我们可以使用我们的认识论规范，包括演绎逻辑，来评估各种演绎逻辑在实现我们的认识论目标方面的表现如何，例如解决语义悖论。再次地，

…显然并不需要一个特定目标的最佳逻辑，更不用说我们应该将某个逻辑视为在某种目标独立意义上“唯一正确”的了。（Field 2009: 356）

因此，结果是一种逻辑多元主义：相对于不同的目标，逻辑更好或更差，但即使相对于特定目标，可能没有单一的逻辑是最佳的。

5.5 通过限制实现多元主义

最后，Hjortland 在捍卫亚经典逻辑免受 Williamson 的归纳论证的攻击时，探讨了另一种逻辑多元主义（Hjortland 2017: 652–657; Williamson 2017; 有关讨论，请参见 Blake-Turner 2020 和 L. Shapiro 2022）。考虑到在数学中广泛使用经典逻辑（而不是其他较弱的逻辑）是其有利的一个重要因素。如果我们不得不放弃经典逻辑，我们可能会担心失去许多优雅、简单和其他有价值的数学理论。但保留有价值的理论，放弃临时的和其他有缺陷的理论，正是逻辑中的归纳方法所关注的。

然而，从数学中古典逻辑的重要性到古典逻辑的真理的转变过于迅速。说古典逻辑，包括双重否定消除（DNE）和析取三段论（DS）原则的实例，在数学中被广泛使用是一回事。但是数学并不需要具有古典逻辑 DNE 和 DS 的全部强度和普遍性的原则，它只使用其中一些原则的实例，即使用数学语言的实例。当我们说 DNE 和 DS 在逻辑上是有效的时，我们是说无论我们为其中的非逻辑表达式替换什么表达式，包括“堆”或“红”等超数学模糊谓词，以及臭名昭著的元语言谓词“真”和“异质性”，它们都是有效的。

数学证明确实包含大量古典原则的实例：应用古典的反证法、条件证明、析取三段论、吸收律等。然而，重点应该放在这些都是古典原则的实例上。数学证明不依赖于这些原则中的任何一个是威廉姆森所辩护的无限制概括的形式。它们最多依赖于这些原则在数学话语中的有限适用性，这并不意味着推理原则普遍适用。换句话说，数学实践与这些推理步骤是数学推理原则的实例是一致的，而不是适用于所有其他话语的可概括原则。更进一步地，它们很可能是适用于数学的推理原则，但不适用于关于真理的理论化。（Hjortland 2017: 652–653）

这留下了一种多元主义的空间，认为一些更强的逻辑原则只有在限制于特定类型的语言表达时才是正确的（比如在 Peano 算术语言中出现的那些）；如果我们不以这种方式限制它们，就会出现反例。其他逻辑原则（也许包括合取消解在内）不需要限制在 Peano 算术语言中。这使我们产生了一种感觉，即我们有不同的正确逻辑，取决于我们假设的语言。

6. 辩论关于逻辑多元主义的意义何在？

我们已经看到关于逻辑多元主义存在着激烈的辩论。但同时也存在着对这场辩论是否值得进行的怀疑。长期以来，单一主义者一直利用这种怀疑来批评各种类型的多元主义：如果多元主义就是这样，那么它是真实的，但无趣的（Goddu 2002: 222–6; Priest 2006: ch. 12; 另见 Stei 2020a）。但最近有人指出，回答关于有多少种正确逻辑的辩论中有什么问题，这对于单一主义者和多元主义者同样重要（Eklund 2020; Clarke-Doane manuscript [其他互联网资源]）。在本节的最后部分，我们将探讨一些这些问题，这些问题在前面的讨论中已经隐含其中。

任何将逻辑相对化为不同领域（§5.3）或以其他方式将多元主义限制在不同话语领域（§5.5）的多元主义都需要解释其与唯一主义的冲突之处。唯一主义者可以同意，在对领域的背景假设给出的情况下，使用与其所支持的逻辑不同的逻辑可能是合适的。正如我们所见（§2.4.1），次经典唯一主义者允许在正确的领域中重新捕捉强度。例如，LP 的支持者可以允许，在推理一致的领域时，使用经典逻辑而不是可矛盾逻辑。那么，领域相对多元主义与唯一主义有何不同之处呢？一种策略是诉诸于在相关领域工作的人们的实践。例如，斯图尔特·夏皮罗（2014 年：第 3 章）从部署非经典逻辑的领域中的数学家的实践中得出了一种多元主义，例如平滑无穷小分析。夏皮罗的论证依赖于数学哲学中有争议的假设，但也许可以在不承担这些承诺的情况下进行（Caret 2021）。即便如此，仍然面临着捍卫多元主义者对数据的解释优于唯一主义者的挑战。为什么要认为确实存在两种不同的正确逻辑，而不是为了进行平滑无穷小分析等目的，根据直觉逻辑而不是经典逻辑进行推理是有用的呢？

也许一个与领域无关的多元主义，比如 Beall 和 Restall 的基于案例的逻辑多元主义（§1），它认为不同的逻辑在同一个领域中都是正确的，这可能是一个更有前途的候选理论。这样的多元主义至少有两个版本：语义版本和目的版本 [8]。语义版本认为某些逻辑术语或概念是不确定的、模糊的或含糊的。为了具体起见，我们可以将其视为术语“有效”。那么，与领域无关的多元主义的语义版本认为，即使保持领域不变，“有效”具有不同的指涉对象，或者可以有不同的明确化方式，所有这些都是正确的。即使暂时不考虑在 §1.1 中讨论的语言哲学中的背景承诺的问题，多元主义者的责任是解释为什么语义不确定性的主张是一个哲学上的实质性论点，而不仅仅是一个语言上的论点。担心的是，单一主义-多元主义的辩论是关于有多少（以及哪些）逻辑是正确的，而不是关于我们的术语指涉了多少个逻辑。因此，即使“有效”确实可以有不同的明确化方式，正如 Beall 和 Restall 所建议的那样，多元主义者需要进一步的论证来得出“有效”的不同指涉对象是正确的逻辑的结论。否则，单一主义者可以反驳说，如果英语中的“有效”是不确定的或含糊的，那么英语就更糟了。即使英语的使用者并不总是能够准确选择出正确的逻辑，但只有一个正确的逻辑存在。为了应对这个反驳，与领域无关的多元主义者通常更好地被理解为提供了一个目的版本的多元主义（参见 Eklund 2020: 440-443 进行讨论）。

领域中性多元主义的目的论版本包含两个主张。首先，逻辑必须满足至少一个目的或目标才能正确。其次，有多个逻辑满足该目的或目标。第二个主张可能是因为存在一个单一的目的，而有多个逻辑满足它，或者是因为有多个目标，多个逻辑满足它们。Field（2009 年）关于认识规范性的多元主义（§5.4）是目的论多元主义的明确版本。但即使是关于各种术语的不确定性的基于案例的逻辑多元主义，也可以更好地解释为目的论多元主义。这部分是因为前一段的担忧，即赋予语义多元主义以实质性内容。但基于案例的多元主义者有时会写得好像他们更感兴趣的是一个目的论项目。例如，在回应规范性反对意见的一个版本（§2.2）时，Beall 和 Restall（2006 年：94-97）建议正确逻辑的目标是保持认识权或保证。

无论特定的作者如何理解他们对多元主义的解释，逻辑多元主义的目的性解释似乎提供了哲学上实质性和有趣的论题，尤其是因为许多唯一主义者都同意逻辑必须达到一个目标才能正确。（假设只有一个这样的目标，即使事情变得复杂。）例如，普里斯特（2006 年：196）认为逻辑的目标是提供推理的分析，并且认为只有一个既非矛盾的逻辑才能最好地达到这个目标。因此，看起来我们有实质性的分歧空间：逻辑必须达到某个目标才能正确；多元主义者声称有多个逻辑同样能够达到这个目标，而唯一主义者则认为只有一个逻辑最好地达到这个目标。然而，如果我们对逻辑达到目标的定义存在多元主义（参见克拉克-多恩手稿：17-19 [其他互联网资源]，在稍微不同的背景下进行了类似的论证），就会出现问题。一个只支持经典逻辑的唯一主义者可能会同意直觉主义逻辑最好地达到逻辑的目标，其中达到逻辑目标考虑到了激发真值间隙的因素。但是，经典唯一主义者可能仍然坚持正确的逻辑必须以其他方式达到逻辑的目标。

因此，挑战在于以实质性的方式阐述一元论-多元主义辩论。有几种可能的方式可以做到这一点。也许，在更清楚地了解满足逻辑目标所需的条件之后，目的论的多元主义者和一元论者将找到一些共同点，从而展开辩论。或者，我们可以将多元主义者和一元论者之间的分歧解释为元语言的协商。粗略地说，如果一个分歧是在一阶层次上进行的，但最好是以元语言的方式解释（Plunkett＆Sundell 2013），那么这个分歧就涉及到元语言的协商。例如，关于是否存在多个正确的逻辑的分歧可能最好解释为关于我们应该如何使用分歧中的一些术语（例如“有效”）的问题。Kouri Kissel（2021）采用这种策略来论证相对于领域的多元主义可以允许在不同领域之间进行实质性的分歧。也许关于逻辑多元主义的更广泛辩论也可以以这种方式理解。

关于一元论的最后一点。有人可能认为，一元论者可以通过否认多元主义并声称不存在多于一种正确的逻辑来避免关于逻辑正确性的这些棘手问题。

但这是行不通的，原因有两个。首先，一元论者需要说出哪种逻辑是正确的。这将涉及到与上述问题类似的问题。如果对某种逻辑的正确性主张进行语义解释，那么这将需要进一步阐明其哲学含义。如果一元论者的主张被赋予目的论解释，那么就需要仔细阐明逻辑的目标是什么，以及什么样的逻辑最能满足这一目标，同时还需要达成一致。

其次，否认存在多于一种正确逻辑与逻辑唯一主义（存在一种且仅存在一种正确逻辑）和逻辑虚无主义（不存在正确逻辑）是相容的 [9]。为了与虚无主义区分开来，唯一主义需要以哲学实质的方式进行解释。这将要求唯一主义者说明逻辑正确的标准，而虚无主义者将不同意这种解释。例如，虚无主义者可能会承认某种逻辑最适合某种特定目的，比如分析某种特定类型的电路，但否认这就足以使该逻辑正确。或者虚无主义者可能允许在某些条件下进行强度恢复（§2.4.1）。唯一主义者可选择的一种方法是将存在一种且仅存在一种正确逻辑的主张非认知化解释。克拉克-多恩（手稿 [其他互联网资源]）在未找到令人满意的唯一主义实证主义解释后，将该主张解释为一种态度。也许这种策略可以更广泛地应用于唯一主义者和多元主义者之间的辩论。

总结本节，以一种明确哲学实质的方式解释逻辑多元主义是令人惊讶地困难。这并不意味着关于逻辑多元主义的辩论是无益的，尤其是因为以哲学实质的方式解释唯一主义同样困难。因此，唯一主义者和多元主义者都应该更清楚地阐明他们的观点以及这些观点的哲学意义。但关于逻辑多元主义的辩论也是值得的，因为它凸显了逻辑哲学中的其他问题。正如我们所见，这些问题包括与意义、规范性和元逻辑有关的问题。此外，通过询问是否存在多于一种正确逻辑，逻辑多元主义促使我们更加关注逻辑正确的标准，并考虑非经典逻辑是否能够达到这一标准。

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Other Internet Resources

Clarke-Doane, Justin, manuscript, “What Is Logical Monism?” draft dated 17 September 2022. [Clarke-Doane manuscript available online]
Logical Pluralism, bibliography in PhilPapers, maintained by Nicole Wyatt.

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