悖论与现代逻辑 and contemporary logic (Andrea Cantini and Riccardo Bruni)

首次发表于 2007 年 10 月 16 日；实质性修订于 2021 年 4 月 20 日。

通过“悖论”，通常指的是一种声称某种超越（甚至违背）“普遍观点”（通常被认为或持有的观点）的陈述。自理性思维的起源以来，悖论就成为哲学研究的自然对象；它们被作为复杂论证的一部分和反驳哲学命题的工具而被发明（想想被归功于厄莱亚的捷诺的著名悖论，涉及运动、连续体、统一与多样性之间的对立，或者被归功于梅加拉学派和米利都的尤布里德斯的真理和模糊概念纠缠的论证）。悖论——被称为“无解问题”——也是中世纪逻辑和哲学研究的重要组成部分。

本条目集中讨论从 20 世纪初到 1945 年期间，非平凡逻辑主题和概念从悖论讨论中的出现，并试图评估它们对当代逻辑发展的重要性。涉及模糊性、知识、信念、空间和时间的悖论在单独的条目中进行处理。

需要注意的是，下面使用“反悖论”一词作为“悖论”的替代词，并且具有同义性。大多数悖论——但并非全部——涉及矛盾；对于这种情况，我们经常也使用“矛盾”一词。

1. 引言

在 19 世纪末 20 世纪初的时期，逻辑和数学的基础受到了一系列困难的影响，即所谓的悖论，涉及基本概念和定义和推理的基本方法，这些通常被认为是没有问题的。从那时起，悖论在当代逻辑中扮演了新的角色：实际上，它们导致了定理（通常是负面结果，如不可证明性和不可判定性），并且它们不仅仅局限于无效的辩证领域。逻辑的几个基本概念，如目前所教授的那样，已经在一个过程的最后阶段达到了现在的形态，这个过程往往是由于解决悖论的各种尝试而引发的。这对于集合和集合的基本概念尤其如此，对于标准古典逻辑的基本句法和语义概念（给定阶数的逻辑语言，可满足性的概念，可定义性的概念）也是如此。在最初的四十年之后，悖论的副产品包括集合论的公理化，类型论的系统发展，语义学的基础，形式系统的理论（至少在 nuce 中），以及对于概念上的原因以及未来的证明论方法的重要性的预测/非预测二分法的引入。

2. 悖论：早期发展（1897 年-1917 年）

对特定重要悖论的早期研究涉及以下概念：

序数和基数（布拉利-福尔蒂，康托尔）；
属性，集合，类（Russell，Zermelo）；
命题和真理（Russell）；
可定义性和算术（或原子）连续体（Richard，König，Bernstein，Berry，Grelling）。

这些矛盾中的一些已经被视为本百科全书中的单独条目（如说谎者悖论、罗素悖论）；这里的重点将放在背景问题上，它们之间的相互联系以及与基础性和哲学问题的互动。

2.1. 涉及序数和基数的困难

最早的现代悖论涉及序数和基数的概念。皮亚诺学派的数学家布拉利-福尔蒂试图证明序数并非线性有序。假设反证法，假设所有序数的集合 ON 可以线性有序，他观察到 ON 本身将是良序的，并且它将拥有一个属于 ON 的序数 Ω。因此，ON 将类似于它自己的一个适当的初始段，即由 Ω 确定的初始段，这与关于良序集合的一个著名定理相矛盾。这个结果于 1897 年发表，尽管布拉利-福尔蒂的最初目标是不可能实现的，但他的论证表明集合 ON 至少存在问题（Moore-Garciadiego 1981）。

集合论之父康托尔在 1895 年已经注意到了类似的困难（如伯恩斯坦和给希尔伯特和戴德金德的信件所证明）。事实上，在 1899 年 8 月 31 日给戴德金德的第二封信中，康托尔指出了另一个问题，涉及基数的概念，并暗示人们不能一致地思考“所有可想象的集合”，即 M。如果 M 是一个真正的集合，那么它将拥有一个基数 m，这将是最大的基数。但人们也可以考虑到所有 M 的子集的集合 ℘(M)，根据康托尔的定理，℘(M)的基数应该严格大于所谓的最大基数 m：矛盾。

因此，康托尔提出了一个关键的区别，被希尔伯特（直到 1904 年，参见 van Heijenoort 1967，第 131 页）仍然被视为“主观的”，即在数学上不精确的区别，即无法将整体概念化的整体（不一致的整体）和可以被视为完成的整体（fertige Menge）。粗略地说，前者是一个不能成为其他集合元素的集合，而后者是一个小集合，可以成为其他集合的元素（参见集合论早期发展的条目）。这对应于类和集合之间的区别，后来在类论方法中得到了明确和公理化的表述（冯·诺伊曼，伯奈斯，哥德尔）；这让人想起了罗素的大小限制原则（见下文 3.1；Garciadiego 1992）。

在 Burali-Forti 发现的困难的情况下，对康托尔来说，序数数目的多样性（Mannigfaltigkeit）本身是良序的，但不是一个集合：因此，无法为其分配一个序数，从而解决了这个悖论。

2.2 罗素的悖论

第二个著名的发表的反论（罗素 1903 年，第 78、101-106 段；弗雷格 1903 年，附录，日期为 1902 年 10 月；参见条目罗素的悖论和克莱门特 2010 年）将我们从康托的天堂带入到逻辑基础和数学哲学的领域。它非常简单，只涉及谓词应用，并且具有明确的自我参照（反身）特性。用罗素自己的话说（1902 年 6 月 16 日，给弗雷格的信，翻译见范·海耶诺特 1963 年，第 124-125 页），

让 w 成为谓词：是一个不能被自身所谓的谓词。w 可以被自身所谓吗？从每个答案中，相反的结论都成立。同样，没有那些类（作为整体）的类，它们每个作为整体都不属于自身。由此我得出结论，在某些情况下，一个可定义的集合并不形成一个整体。

罗素最初陷入了“连续数量与数字和连续体之间的矛盾关系”（引自摩尔 1995 年，第 219 页）的研究中，并通过考虑康托尔定理引起的反论（参见罗素 1903 年，脚注 7，第 344 段；第 100 段，第 101 页）获得了他的矛盾（1901 年 5 月）。罗素可能只在弗雷格的回复之后才意识到这一发现的重要性。反论的影响是，不可能有一个抽象操作 ϕ↦{x∣ϕ}，将任何概念（属性）ϕ 映射为其外延（所有满足 ϕ(x)的类）（即，如果由 ϕ 和 ψ 定义的类相等，则对于每个对象 a，ϕ(a)↔ψ(a)）。因此，也不可能仅基于纯逻辑的集合概念来建立集合论的基础，其中成员关系忠实地反映了谓词应用，即根据弗雷格的观点，x∈y 意味着（1）y={x∣ϕ(x)}，其中 ϕ 是某个概念，（2）ϕ 真正适用于 x。（有关罗素发现这个悖论的历史细节，请参见摩尔 1995 年）。

2.3 罗素涉及命题和真理的悖论：类型理论的出现

罗素的《数学原理》（1903 年）在第 78、84-85、101、301 节中对罗素和布拉利-福尔蒂的各种形式的悖论进行了广泛讨论。罗素的悖论被改编以表明命题函数 ϕ 不能是一个逻辑主语（即，与其参数分离；按弗雷格的术语，它不是饱和的）；否则，ϕ 将适用于自身，¬ϕ(ϕ)将成为一个命题函数，并且可以再现不一致性。

在第 10 章的第 102 节中，罗素还给出了康托尔的定理的一种形式，它捕捉了对角线化的逻辑本质（这个版本现在已经成为民间传说）：没有二元关系可以对给定域 U 上的所有一元谓词进行参数化（即不存在二元关系 R，使得对于 U 上的所有一元谓词 P，存在一个对象 a 在 U 中，使得对于 U 中的所有 x，R(a,x)↔P(x)）。

总之，罗素的悖论显示了明显安全的逻辑原理的关键地位：要么必须放弃“任何只包含一个变量的命题函数等同于对由命题函数定义的类的成员资格”的假设（即，理解原则）；要么必须拒绝“每个类都可以作为一个术语”（第 102-103 页）的观念。

在罗素手中，这个悖论适用于谓词、类和命题函数，并导致了一个关于逻辑数学宇宙的新图景，这在类型论的第一次阐述中得到了概述：对于每个命题函数 ϕ，都与一个意义范围相关联，即，一个对象类，该 ϕ 适用于该类以产生一个命题；此外，恰好这些意义范围形成了类型。然而，存在一些不是意义范围的对象；它们只是原子（即，单个元素或个体），它们形成了最低的类型。下一个类型由个体的类或范围组成；然后有最低类型的对象类的类，依此类推（另请参阅类型论词条）。

如果一个人接受命题形成一种类型（因为它们是唯一可以有意义地断言它们是真或假的对象），那么仍然会出现新的困难。首先，命题的数量显然至少与对象的数量一样多（只需考虑将命题与表达式（x=x）相关联的映射；见第 527 页）。另一方面，如果可以形成命题的类型，那么根据康托尔的论证，命题的类型将比命题的数量更多。然后，我们可以通过逻辑乘积的概念将命题的类型注入到命题中。设 m 是一类命题，Πm 是命题“m 中的每个命题都为真”（视为可能的无穷连词）；那么，如果 m 和 n 是不同的类，命题 Πm 和 Πn 是不同的，即将 m 映射为其乘积 Πm 是单射的。因此，如果我们考虑类

{p∣∃m(Πm=p&p∉m)}=R，

我们通过单射性得到了一个矛盾。

当然，如果一个人采取外延观点，并因此认同等价命题，上述矛盾就无法推导出来。然而，罗素坚持内涵观点，强调等价命题往往可以非常不同。因此，人们显然被迫拒绝命题形成一种类型的假设，并要求它们应该具有各种类型，而逻辑乘积应该具有只有一种类型的命题作为因子。

这最终成为类型分层理论的基础，但在 1903 年，罗素仍然认为这个建议是苛刻和人为的。正如第 527 页的脚注所示，他认为所有命题的集合是康托尔定理的反例。

2.4 数学家和矛盾：希尔伯特和策梅洛

泽尔梅洛在哥廷根（由希尔伯特和胡塞尔见证）独立发现了罗素的悖论，其形式如下：一个集合 M，其元素包括所有的子集，是不一致的。事实上，考虑集合 M0，它包括 M 中不是自身元素的所有元素（例如，空集是 M0 的元素）。这个集合是 M 的子集，因此根据对 M 的假设，M0∈M。如果 M0∈M0，则 M0 不是自身的成员。因此，M0∉M0，并且由于 M0∈M，M0∈M0：矛盾。

此外，希尔伯特在未发表的工作中（参见 Kahle 和 Peckhaus 2002）注意到数学性质的其他矛盾可能会出现。第一个矛盾是基于假设存在一个满足以下闭包条件的明确定义的集合 C：（i）自然数集 N 是 C 的元素；（ii）对于任何 X∈C，都有 XX∈C（其中 XX 是从 X 到 X 的所有函数的集合）；（iii）对于任何 X⊆C，都有 ∪X∈C。然后根据（iii），∪C=U∈C，最后 F=UU∈C。但根据并集的定义，F⊆U；因此将存在一个从 U 到 F 的映射，并且可以通过对角线法推导出矛盾。

此外，正如希尔伯特的未发表的 1905 年 Sommer Vorlesung 所证明的（参见 Kahle 2004），希尔伯特发现了一个引人注目的罗素悖论的函数版本，后来在组合逻辑、λ 演算和递归理论的背景下变得流行起来。这个论证基于函数的自我应用，因此直接自我引用。

悖论是通过假设宇宙包括一切来获得的，即变量范围涵盖对象和函数，并且至少存在两个不同的对象。然后引入一个新的操作（在我们的意义上是普遍应用）：xy 是将 x 应用于 y 的结果。给定两个不同的对象 0 和 1，并在假设宇宙在任意情况下都闭合定义的情况下，存在一个对象 f，使得如果 xx≠0，则 fx=0，如果 xx=0，则 fx=1。然后选择 x=f（因为 x 涵盖一切），并很容易得出矛盾。

希尔伯特学派的研究结果没有被公开发表，因为矛盾和悖论被视为成长的症状和暂时的困难。诊断结果是传统逻辑不足以及概念形成理论需要被加强。任何概念 C 都是在概念网络中给出的（希尔伯特致弗雷格的信，1899 年 12 月 27 日；参见弗雷格 1976 年，第 79-80 页），而这个网络是由公理确定的。只有定义概念的公理的一致性才能保证 C 的合法性。简而言之：悖论告诉我们必须对证明和公理方法的概念进行元数学分析；它们的重要性既是方法论的，也是认识论的。

2.5 1905 年左右：由可定义性和连续性引起的困难

正如数学世界的反应所表明的那样，悖论在 1905 年左右与集合论的基本问题密切相关。事实上，这些新的矛盾不仅影响了集合和逻辑概念的构思，它们还涉及到可定义性的概念及其与一个基本问题的关系：数学连续体的结构，特别是连续体是否可以被良序排列以及康托尔的连续体假设（CH）是否成立。

在 1904 年的海德堡大会上，朱利叶斯·凯尼格试图反驳康托尔的连续体假设。由于策梅洛发现了一个错误，他的论文立即被撤回，但在随后的一年，凯尼格提出了一个新的论证。

考虑那些可以用有限个词定义的实数。它们构成一个可数的序列：E0，…，En，…。由于连续体是不可数的，存在一些实数不在给定的枚举中。假设连续体是良序的，存在“不在序列{En∣n∈Ω}中的最小实数 E”；这个实数不在序列中，但是“不在序列中的最小实数 E”这个表达式可以用有限个词定义 E；所以 E 在序列中出现：矛盾！

König 还观察到这个论证适用于第二个数类，并且通过考虑可定义有限可数序数的集合 FOD，可以得到类似的悖论。在这种情况下，König 的解决方案是，根据 Cantor 的启发，Cantor 的第二个数类不是一个适当意义上的集合（一个完整的整体）。根据 König 的观点，要定义一个集合，不仅应该提供定义其元素的规则，还应该提供区分它们的手段。

与 König 相关的矛盾稍早前由迪戎的一位数学家 Jules Richard 发表。Richard 利用法语字母表的二十六个字母的所有带重复的排列的枚举，注意到可以用有限数量的法语单词定义的实数集 E 是可数的，因此可以假设存在所有这些数字的枚举 u1,u2,…。但是然后可以定义以下实数 N：N 的整数部分为 0，而 N 的第 n 个小数位是 p+1，如果 un 的第 n 个小数位 p 与 8 和 9 都不同；否则，N 的第 n 个小数位为 1。根据构造，N 不会出现在 u1,u2,…中。另一方面，如果我们认为 N 是通过有限数量的字母定义的，那么它必须出现在 u1,u2,…中。

与 König 相反，Richard 并没有依赖于连续体的良序性，而且所提出的解决方案对于即将到来的基础性辩论是有趣的。他指出，数字 N 的定义涉及到可定义实数的整体，而 N 本身属于其中；但是没有任何对象应该在包含它的集合的术语中被定义。因此，这个定义显然是循环的，这使得定义是虚幻的。这个想法很快成为庞加莱解决方案的基础，并最终也成为罗素的基础（见下面的 3.1，关于预测性定义集合的问题）。

那么，为什么要定义性？例如，伯恩斯坦的《实数理论》（1905a）清楚地阐明了动机，其中声称康托尔的连续假设在积极方面已经解决。他批评了所谓的“狄利克雷观念”中的任意函数，并指出只使用可计算实数，即具有明确的“形成法则”（“Bildungsgesetz”）就可以为连续体提供基础。

根据他的说法，这并不是一种限制，因为他声称在他的意义上有不可枚举多个可计算实数。他还表示，可以以层次结构（即 ⊂-递增序列）{Bα∣α<ℵ1}来展示新的可计算连续体，其中每个 Bα 的基数最多为 ℵ1，因此序列的并集的基数最多为 ℵ1。其思想是从一个基本域 B0⊂NN 开始（例如，具有有限个值的简单函数），然后定义一个新的域 B1，该域通过从 B0 的元素定义操作来扩展 B0，依此类推。

尽管他的说法没有得到证明，在哥德尔关于可构造性的后期工作的光芒下，可以说伯恩斯坦的基本直觉是正确的：如果有适当的一般性定义性（或可计算性、可构造性）的概念，并通过沿着序数进行迭代，那么连续体问题是可以解决的。

这个问题最终与理解原子连续体的问题相连。算术化的概念——以 Dedekind 或 Cantor 的意义为准，其中实数被认同为适当的有理数集合——将注意力转向任意无限自然数序列。但这个概念并不容易接受。根据伯恩斯坦（Bernstein 1905a, p. 449）的说法，无限序列（或无限集合）必须由真正的规则给出。但是什么是规则？由于必须要宽松一些（为了不仅仅有特殊的实数类，如果太严格的话），人们自然而然地开始考虑任意有限描述的法则，将注意力转向规则的语法。然而，除非考虑普通语言，否则没有这样的语法可用，这就产生了不确定性（这是 Peano 的诊断，参见下文 Peano 1902–1906）。

在相关的良序问题讨论中，对无限集合的具体规定是至关重要的。它还影响到与实变量的不连续函数和解析可表示函数的分类相关的问题，这些问题由法国半直觉主义者博雷尔（Borel）、贝尔（Baire）和勒贝格（Lebesgue）解决。与此同时，他们认为数学实体（如无限集合或函数）只存在于它能够被“有限数量的词语命名”，这与哈达玛和策梅洛的形而上学观点相对立（参见博雷尔等人 1905 年）。

3. 悖论、预测主义和类型论：1905 年至 1913 年

在基础辩论的光芒下，接下来的几年涌现了许多重要的工作：发现了新的悖论（Berry，Grelling-Nelson），一个古老的悖论——谎言者悖论再次出现，罗素在 1908 年的论文开篇和之前的 1906a 年的论文中巧妙地勾勒出了逻辑和数学矛盾的全面观点，而皮亚诺在 1906 年的论文中提出了两种悖论的概念区分。此外，普朗加雷（Poincaré）和罗素之间的讨论中出现了可预测性的基本思想，普朗加雷是当时的主要数学家。对于数理逻辑的历史来说，更为重要的是在解决悖论和塑造逻辑和数学基础方面取得了基本的技术进展：罗素的（分层）类型理论和泽尔梅洛的集合论公理化。

3.1 普朗加雷和罗素对矛盾的看法

罗素和普朗加雷在 1905 年至 1912 年期间发表的一系列论文中提出了解决悖论的思想。

在《形而上学与道德评论》（庞加莱 1905 年，1906a）中的长篇论文“数学与逻辑”，庞加莱强烈批评了公理和逻辑主义的基础；
罗素的《关于超限数和序数理论中的一些困难》（1905 年阅读，1907 年出版）；
庞加莱的反击（庞加莱 1906b），罗素在《评论》（罗素 1906）和《美国数学杂志》（罗素 1908）上的后续论文，以及庞加莱的最后几篇文章（1909a，1910，1912）。

波恩卡雷（1906b）将这些矛盾作为捍卫直觉主义、康德主义观点的理由。根据他的观点，数论归纳和选择公理构成独立的直觉，真正的合成先验判断。然后，他反对罗素对自然数的逻辑定义，即属于所有递归类（包含 0 并在继承者下封闭的类）的那些数。他的反对意见是，该定义是不可接受的，因为它实质上涉及到被定义的类所属的整体性——该定义是不可预测的，因此应该被视为循环的。但是，根据波恩卡雷的观点，数学对象没有适当的定义就不存在，而适当的定义必须是预测性的，即必须避免恶性循环；因此，波恩卡雷在某种程度上扩展了理查德的诊断。

波恩卡雷的观点随着时间的推移和与罗素的辩论而发展。在后期，他提出了一种关于预测性的新方法，虽然只是粗略地勾勒出来，但暗示了后来在可定义性和证明理论方面的发展（参见费弗曼 1964 年，海因茨曼 1985 年）。他不再坚持矛盾中涉及的恶性循环；相反，他认为预测性分类的特征是不变性，即它不会受到新元素引入的影响；相比之下，不可预测的概念在引入新元素时会不断修改。

根据当代逻辑，波恩卡雷暗示了某种形式的绝对性或扩展下的不变性（这将由克雷塞尔 1960 年通过模型论和递归论进行精确说明）：他的思想将激发对预测性分析基础的非分叉方法。

在他对《Acta Mathematica》（1909 年）的最后一次贡献和他的第五次哥廷根讲座（1910 年）中，他还以一种改进康托尔定理的形式重新陈述了理查德的悖论：“不存在可定义的可定义实数的枚举”。

虽然数学家和庞加莱本人关注的问题主要涉及特定数学概念的基础（连续体、自然数、基数和序数理论）所引发的矛盾，但罗素直接攻击了理解原则，即某些命题函数确定一个类的假设（见上文 2.3）。这些悖论证明了命题函数可以对每个参数都有明确定义，但其定义的值的集合不一定是一个类。因此，关键问题变成了逻辑问题：给出一个选择那些产生类（被理解为明确定义对象）的命题函数的标准。

在庞加莱的影响下，罗素（1906 年，第 634 页）接受了恶性循环原则，他使用了皮亚诺的形式逻辑术语和概念来表述。

任何构成明显变量的东西都不应该是该变量可能的值之一。

从逻辑角度来看，在定义 X 本身的元素时，我们不允许对给定的类 X 进行量化（另请参见定义条目）。

当然，恶性循环原则本身并不是一个理论，而是任何充分理论必须满足的条件。罗素（1906 年，1907 年）试图提出三种替代方法：曲折理论、大小限制理论和无类别理论。曲折理论试图捕捉正确函数应该是“简单”的想法，而根据第二种观点，“陈述性”将通过对可以陈述性定义的类的大小进行限制来进行描述（例如，所有序数 ON 的集合太大）。在无类别理论中，类别不是独立的实体，关于它们的任何陈述都应被视为关于它们的成员和定义它们的命题函数的陈述的缩写。这与庞加莱关于数学对象应该用有限的词来指定的想法并不远。然而，罗素开发了自己的技术设备，如“替换方法”（Landini 1998）和明确描述的情境消除（请参见罗素条目），以实现他的想法。

与庞加莱相反，罗素 1906 年并未将实际无限视为基础困境的必要组成部分，并强调即使没有涉及无限，矛盾也会产生。这在“我在说谎”这种形式的悖论中得到了明确的展示。据我们所知，正是在这个时间点上，逻辑史上（可能）被引用最多的语义难题重新在逻辑分析中占据了显著的位置。

在对悖论进行分析时，罗素假设存在一个真实的实体——命题，这个命题是真实陈述的前提（例如，当我说苏格拉底是有限的时，存在与我的断言相对应的事实，这个事实被称为“命题”）。如果陈述是假的，情况也是如此，但如果陈述本身包含量化变量，则不是这种情况。

然后，通过将“说谎者”解释为“存在一个我陈述并且是假的命题”，悖论得到了解决；因此，陈述中包含了对所有命题集合的量化（因此是一个表面上的变量），它不是一个真正意义上的命题（罗素 1906 年，642-644）。因此，结论是“说谎者”是假的，因为它没有陈述一个命题。

类似的考虑也适用于贝利提出的悖论，这个悖论在罗素 1906 年首次以出版形式简要陈述，并且有一个优点，即不超出有限数的范围。

考虑那些可以通过少于 18 个音节来定义的自然数：这个集合是非空且有限的。因此存在一些不能用少于 18 个音节来定义的数。考虑最小的这样的数：显然，根据定义，它不能用少于 18 个音节来定义。

另一方面，这样的数可以用少于 18 个音节来定义，因为它由表达式“最小的不能用少于 18 个音节来定义的数”唯一确定，而这个表达式本身少于 18 个音节。

为了历史的准确性，我们应该注意到贝波·莱维（Beppo Levi）在 20 世纪头两个十年对选择公理的辩论做出了有力的贡献，并在讨论理查德悖论的背景下概述了一种本质上是贝里悖论变体的反悖论（参见莱维 1908 年，以及 Lolli 2007 年和 Bruni 2013 年对莱维对悖论的方法的进一步评论）。

3.2 基于类型理论的数理逻辑

罗素的类型理论在文献中广为人知和研究（参见类型理论和伯特兰·罗素的条目）：它具有当前的兴趣，并在逻辑及其应用中有后代。它最早由罗素在 1908 年的基础论文《基于类型理论的数理逻辑》中首次发展。

类型学说基于这样的观察：普遍量化——理解为完全普遍性，即当 x 范围“覆盖整个宇宙”时——是没有意义的：当我们陈述 ∀xϕ(x)为真时，我们只声称函数 ϕ(x)对于所有有意义的参数 x 都具有“真”的值。关键在于，每个命题函数都有一个意义范围，即一个类型，而量化只在类型上是合法的。从形式上讲，每个变量必须有一个预先指定的类型。悖论（或自反谬误）证明了某些集合，如所有命题的总体、所有类等，不能成为类型。因此，我们可以对人的集合进行量化，但我们不能正确地陈述“形式为 p∨¬p 的所有命题都为真”。因此，逻辑实体分为不同的类型，特别是每个命题函数必须比其参数具有更高的类型。此外，在恶性循环原则的光照下，还必须引入顺序的概念。没有对象可以通过量化包含该对象本身作为元素的总体来定义；因此，每个命题函数的顺序必须大于其量化的命题函数的顺序。

主要思想在罗素 1908 年（第 163-164 页）中得到澄清，通过考虑如何将命题按照它们的顺序进行适当的“分层”层次结构排列，以满足恶性循环原则。首先，有基本命题，即那些根本不包含任何绑定变量的命题，而最低类型由个体组成。个体是没有逻辑结构的实体，可以看作是基本命题的主题。第二个逻辑类型包括一阶命题，即那些量词（如果有的话）仅限于个体。对一阶命题进行量化会产生一个新类型，正好由二阶命题组成。一般来说，第（n+1）个逻辑类型包括 n 阶命题，其中仅包含量化到第（n-1）个阶的量词。

由于命题函数可以从命题“通过将其一个或多个成分视为变量”中获得，类型和顺序的层次结构自然地提升到命题函数，并且可以谈论函数的顺序，其顺序大致是函数应用于使其有意义的参数时所假定的值（即命题）的顺序。因此，例如，一个应用于个体并将一阶命题作为值的函数是一阶的。

遵循类型学说，我们必须将“所有命题”替换为“给定 n 的所有 n 阶命题”。因此，谎言句变成了“对于所有 n 阶命题 p，如果我肯定 p，p 是真实的”，这是一个 n+1 阶命题。然后，谎言只是错误的，而不是矛盾的；这解决了这个悖论。类似的论证可以解决其他悖论。

在这个理论中，一个参数的谓词函数，即那些按照其参数顺序的后继顺序进行的函数，起着关键作用。例如，一个个体变量的谓词函数必须具有顺序 1（按照当前术语，它是基本可定义的，并且只量化个体）。可约性公理（AR）声明，对于所有值，每个命题函数都等价于相同变量的谓词函数。因此，例如，我们可以对自然数（视为个体）的属性 P(n)进行定义，该属性量化超越二阶命题。但是 AR 意味着存在一个函数 P∗(n)，它与 P(n)完全相同，并且是谓词的，即它只涉及数字的量化。

因此，根据可约性公理，关于任意函数的陈述可以被关于谓词函数的陈述所替代；而谓词函数起到类的作用，即任意复杂概念的规范代表（例如，对于具有与 P(n)相同外延的不同阶数的可能属性，P∗(n)规范地代表满足 P(n)的数字类）。

除了无穷公理之外，AR 是重建古典数学的重要工具，但它是一个强存在性原则，显然与逻辑和数学实体应根据恶性循环原则进行建构的哲学观念相冲突。尽管如此，它被采用在与 A.N.怀特海德合作编写并于 1910 年（卷 1），1912 年（卷 2）和 1913 年（卷 3）出版的（第一版的）巨著《数学原理》中。

有趣的是，罗素分层类型的基本思想是哥德尔通过其内部模型 L 的可构造集的连续假设的一致性证明中的一个关键要素。此外，正如哥德尔（1944）已经观察到的那样，AR 的一种形式在 L 中成为真实，大致上，自然数的任意命题函数在外延上等同于某个序数 α 的某个函数，其中 α 是可数序数（参见 Kurt Gödel 的条目）。自五十年代末以来，在不同领域（从递归论到证明论）中已经提供了分层类型的其他重要应用（请参见类型论的条目）。

3.3 完善图景

20 世纪早期已经有大量关于悖论的文献，这些文献远远不止前面的讨论。几位作者的作品中可以找到基础和逻辑兴趣的改进和变体，其中包括著名的数学家，如皮亚诺，博雷尔，舍恩弗里斯，布劳尔和韦伊尔。本节的其余部分将概述一些更具刺激性和独创性的提案。

3.3.1 Peano, Schönflies, Brouwer, and Borel

Peano 对 Richard 的悖论（在 Additione a Super Theorema de Cantor-Bernstein 中）的批评主要是因为它指出“Richard 的例子涉及语言学，而不是数学”，这一陈述揭示了集合论或数学悖论与语义悖论之间的区别：Richard 的定义的薄弱之处在于它在某种程度上是符号化和形式化的，但它也使用了自然语言（“lingua commune”）；这包含了相当熟悉但仍然没有明确定义且模糊的思想（Peano 1906，第 357-358 页）。例如，没有明确的标准来判断自然语言的给定表达是否唯一定义了一个数字的规则。

尽管如此，Peano 提出了一个形式解决方案。他试图通过固定一个明确的“哥德尔编号”来消除模糊性和对 E 的引用，E 是单位区间中有限可定义实数的集合：给定一个自然数 n，在足够大的 B（以包括字母数加上标点符号）的基础上，将 n 写成 B 进制。然后，每个数字都被分配一个自然语言中的有限符号串，并且在某些情况下，该串将定义一个数字，Val(n)=“由 n 编码并根据自然语言的规则解释确定的十进制数”。现在，为了得到悖论，必须证明存在一个唯一的数字 N 在（0，1）中，满足 Richard 给出的条件（见 2.5），但这个条件，以及 N 本身，取决于 Val，它可能是模糊的，并且不能根据数学规则精确定义（第 352 页，第 358 页）。结论是这样一个实数不存在，Richard 的定义与“最大的质数”一样有缺陷。

相比之下，Schönflies 和 Brouwer 对悖论做出了反应，同时强烈反对公理化和形式化方法。

Schönflies（1906 年）坚持一种内容性的、遗传的集合观念。根据他的观点，集合是生成的，一旦形成，就在概念上保持不变。当建立一个新的集合时，它被添加到已经用于形成它的集合中，而不改变它们的先前结构。因此，自我成员关系是没有意义的，普遍集合不存在，罗素的悖论消失了。他的观点可以看作是对集合的一种迭代概念的暗示。对于 Schönflies 来说，矛盾出现在逻辑中，而不是数学中，并且是由于逻辑的学院派性质所致。他认为逻辑对数学有着不健康的影响（“Für den Cantorismus, aber gegen den Russellismus”是 Schönflies 1911 年的最后座右铭）。

Brouwer 对悖论的处理也基于对数学的内容性观念。可以在 1907 年的论文第三章中找到（参见 van Dalen 1999 年，第 105 页）。关于罗素的矛盾，Brouwer 注意到通常的逻辑原则只适用于具有数学内容的词语，而不适用于像 Peano 或 Russell 那样的语言系统。例如，为了确定一个类是否属于一个命题函数，该类必须是一个完整的整体。这些矛盾表明存在着定义互补（不相交）类的命题函数，但却不满足第三中间态。类似的思想可以在 1908 年的哲学论文《第三中间态的不可靠性》中找到（参见 van Dalen 1999 年）。

布劳威尔（Brouwer）在其作品中（1907 年，第 149 页）提出的理查德悖论的一个积极副产品是“可数未完成集”的概念，即一个集合中我们只能确定可数个元素的子集，但这些可数子集并不能穷尽给定的集合，因此我们可以立即从任何给定的可数子集中产生新的集合元素。可数未完成集的典型例子包括可数序数的总体、连续体的点，特别是使用理查德悖论可以证明的连续体的所有可定义点的集合（1907 年，第 150 页）。布劳威尔认为布拉利-福尔蒂（Burali-Forti）的矛盾不是一个数学悖论，因为它涉及一个逻辑结构（所有序数的集合），这不是一个明确定义的数学对象，也没有适当的数学内容。从数学角度来说，可以通过否认最大良序类型具有后继序类型来避免这种矛盾（第 153 页；这类似于伯恩斯坦 1905b）。

在法国数学家中，半直觉主义者博雷尔（1908 年）引入了有效可枚举集合和可数集合之间的区别。然后通过观察，理查德悖论得到解决，因为理查德的集合 E 肯定是可数的，因为只能通过有限手段确定至多可数个实数集。然而 E 不是有效可枚举的，即不能用有限的词语产生一个过程，为集合中的每个元素明确地分配一个等级（即位置）。为了使 E 的枚举有效，人们应该解决所有可能提出的数学问题，因为有些表达式只有在证明或解决某个特定问题的情况下才能成为实数的定义。博雷尔心中有一个特定的例子：考虑表达式“唯一的超越数，其小数展开是通过将 π 的展开中的 7 替换为 8，8 替换为 7 而得到的”。当然，只有在我们已经证明这个数不是代数数的情况下，这才是一个好的定义（参见博雷尔 1908 年，第 446 页）。

博雷尔像庞加莱一样，坚持一种观点——用有限的词语定义，这是代数的、克罗内克的观点的延伸：只有在有限步骤内构造的对象才是适当的数学对象。然而，与庞加莱不同的是，他忽视了预测性定义的问题：对他来说，集合论的所有悖论都源于将每个可数集都是有效可枚举的命题（“Tout ensemble dénombrable est effectivement énumérable”）视为显然的，这是错误的。

3.3.2 Hessenberg，Grelling，Zermelo 和 Weyl

在数学基础方面，Gerhard Hessenberg 的 Bericht（1906）的三章关于集合论基础问题进行了探讨。它们包含了关于数学哲学的有趣思想，但遗憾的是在这里无法详细讨论。例如，Hessenberg 强调了集合论定义的区别，其中一些给出了在给定集合中有效决定成员资格的标准，而另一些则没有。关于 Kronecker 对算术化连续体的建设性批评，他认为，尽管每个无理数确定了一个无限分数，每个无限分数都具有一个形成规则（“Bildungsgesetz”），但并不意味着这样的规则是通过明确有限的方法给出的。否则，我们可以推导出（一种形式的）有限指示的悖论，即，如果形成规律与可定义规律重合，它们最多是可数的，因此实数将是可数的，与康托尔的定理相矛盾。

在处理集合论矛盾时，Hessenberg 将“超有限”（第 96-99 段）与“超穷”区分开来：后者是集合的独有属性。相比之下，悖论中涉及的集合（如罗素集合、所有集合的集合、所有事物的集合和所有序数的集合）是超有限的。

至于悖论的解决方案，Hessenberg 受到康德的思想启发。就像在自然科学中，如果将自然界看作一个封闭的整体，就会出现自相矛盾的情况一样，集合 ON 和所有集合的集合也不能被看作是完整的整体。因此，“超有限”/“超穷”的区别显然符合一种接近罗素的尺寸限制学说的理论方法。

靠近相同的哲学灵感，Grelling 和 Nelson（1908）的有影响力的论文试图统一悖论并分离它们的基本结构。哲学家 Leonard Nelson 是 20 世纪初哥廷根的重要人物，得到了希尔伯特的大力支持（参见 Peckhaus 1990）。该论文是一个发展具有哲学思维的“kritische Mathematik”的项目的一部分。它包含了一个新的悖论（归功于 Grelling），具有语义的风味（另请参阅自指词条）：

每个词都对应一个概念，该词指代并适用于它或不适用；在第一种情况下，我们称该词为自指的，否则为异指的。现在，词“异指的”本身是自指的还是异指的。假设该词是自指的，则它指代的概念适用，因此“异指的”是异指的。但如果该词是异指的，则指定的概念不适用，因此“异指的”不是异指的。

赛尔梅洛的集合论公理化（1908 年；有关详细信息，请参见有关集合论、集合论早期发展、替代公理化集合论的条目）提供了一个合理的工具来阻止矛盾。公理化的主要思想可以总结如下：（i）天真的概括被限制为分离公理，即一个原则，授予已有对象集（数字、点、给定空间上的函数）的足够子集的存在；这里的“足够子集”指的是所有可以通过明确条件来确定的子集，这些条件涉及原始概念（集合相等和成员关系），并满足经典逻辑的定律；（ii）存在确保形成单例集、并集、配对集和幂集的基本操作是良定义的，并且至少存在一个无限集和空集；（iii）假设外延性：如果两个集合具有相同的元素，则它们相等；（iv）假设选择公理，它允许从任何一组不相交的非空集中选择一个选择集。

很明显，在赛尔梅洛的系统中无法推导出布拉利-福尔蒂的反证法，因为所有序数类型的集合不存在，并且罗素的悖论简单地成为了不存在一个普遍集合的定理。

然而，对于这个理论至少可以提出两个不同的反对意见。首先，策梅洛的方法实际上是高度不可预测的，而他认为不可预测性是不可或缺的（否则人们将被迫拒绝标准数学，例如，策梅洛甚至认为柯西-韦尔斯特拉斯证明了代数基本定理的情况也是如此）。但是，不可预测性使得模型或解释的构建更加困难和不明显。第二点是策梅洛认为有限指称的悖论（由赫森堡提到）和理查德的悖论在集合论中被阻止，因为分离公理应该提供明确的定义集合的标准。但事实并非如此，因为策梅洛对于明确属性（definite Eigenschaft）的概念是非正式的，并且最终是模糊的。

后一个问题在魏尔的“博士资格”演讲（1910 年）中得到了解决，他在其中讨论了一个一般性问题：在数学中，一个关系何时可以明确地从给定的原始概念集合中定义？首先，他以具体案例研究的方式考虑了描述基本平面几何的明确可定义概念的问题：这些概念可以通过五个基本定义原则的归纳生成来自两个适当选择的原始概念（例如，点之间的等号=和三元关系 E(a,b,c)，“点 a 到点 b 的距离与点 a 到点 c 的距离相同”）。

这五个定义原则对应于基本包含原则的有限公理化，并且它们暗示了那些可以通过基于=和 E 的谓词符号的公式来定义的集合（关系）的存在。更明确地说，人们需要在逻辑操作中闭合否定、合取、存在量化以及排列和扩展的适当组合操作下。

根据几何学的例子，魏尔批评了“通过有限词语定义”的概念不够精确，早在弗伦克尔和斯科勒姆之前，他成功地使分离原则变得精确：他简单地用“通过基本的基本逻辑原理，从外延相等和成员关系明确定义的关系”的概念（我们应该简单地说：一阶可定义的）取代了策梅洛的非正式的确定性属性概念。

根据魏尔的观点，理查德的悖论教会我们以下区别：一方面，我们只能通过明确的定义来表征给定集合的可数多个子集；但另一方面，通过应用剩余的集合论运算，如幂集或并集，可以引入新的对象和（可能是不可数的）集合。

几年后，魏尔在《连续体》（1918 年）中解决了在给定域上生成可接受属性的问题。与 1910 年一样，通过可接受操作定义的自然数集合的集合（现在还添加了一种迭代形式）是可数的。根据康托尔的论证，不存在一个参数化所有自然数子集的关系（魏尔 1918 年，第 5 节）。魏尔显然采取了一种相对论的态度，即集合的宇宙的扩展和它们的属性取决于被接受用于构造集合的操作（参见也条目赫尔曼·魏尔）。

应该强调的是，魏尔对格雷林的悖论持完全否定的态度：他认为这是纯粹的学院哲学（魏尔 1918 年，第 1 节）：根据他的观点，无法给“异质性”赋予意义，最终应该通过诉诸哲学来解决这些问题。

有趣的是，在最近的发展中，魏尔的负面评价应该被削弱（见第 6 节）。

4. 1930 年之前的逻辑发展和悖论

在 1930 年之前的时期，悖论问题自然地导致并纳入了逻辑演算的研究之中（其最终产物是 1928 年的希尔伯特-阿克曼教科书）。这反过来又为类型理论的简化、集合概念的重要推广以及集合论的几乎最终公理化（沿着策尔梅洛的路线，但也沿着约翰·冯·诺伊曼开辟的新道路）铺平了道路。基本的逻辑工具本质上是公理化形式分析。

4.1 集合论和悖论：循环集合和其他问题

在集合论中存在圆形对象吗？泽尔梅洛在 1908 年公理化的集合观点本身并不排除自我成员的可能性。这个问题由米里曼诺夫（Mirimanoff）在 1917 年重新提出（1917a，1917b，1920 年；另请参阅条目泽尔梅洛的集合论公理化）。一旦允许存在圆形集合，就需要通过适当的同构关系（在当前术语中称为双模拟）来加强外延相等性，这本质上对应于描绘给定集合的树的同构。然后，罗素的论证暗示了第一类集合和第二类集合之间的区别，第一类集合与其任何元素都不同构，而第二类集合确实与其至少一个元素同构。根据这个区别，罗素的矛盾表明第一类集合的集合 R 不存在。实际上，第二类集合总是包含一个第二类集合；因此，第一类集合的集合必须是第一类。如果 R 是一个集合，它应该是第一类的；但是它就不能包含所有的第一类集合。然后，米里曼诺夫在 1917 年引入了普通（良基）集合和非常规（非良基）集合之间的基本区别：如果 X 中的每个 ∈-下降链都是有限的，则 X 是普通的；否则，它是非常规的（存在无限的 ∈-下降链）。由此可见，所有第二类集合都是非常规的，但反之不成立（例如，考虑集合 E={e1,E1}，其中 E1={e1,e2,E2}，E2={e1,e2,e3,E3}，等等）。

对于悖论的历史，强调 Mirimanoff 1917a 对 Burali-Forti 反证法，即基于集合的悖论进行了概括。这个悖论实际上证明了普通集合的集合 WF（在给定的原子集合上）本身不是一个集合。实际上，设 WF 是基于集合（普通的、良基的）的集合；那么 WF 本身是基于集合的，因为如果 WF∋x0∋x1∋x2…，那么 x0 将是 WF 的一个非基于集合的成员，这是荒谬的。因此，WF∈WF，所以 WF 是非基于集合的，矛盾（同样的悖论也出现在 Shen-Yuting 1953 中）。

Mirimanoff 的工作对于集合论的基础也很重要。他引入了普通集合的序数等级的概念，并注意到普通集合可以按照它们的等级排列成一个累积层次结构。然而，普通集合的累积结构的存在并不被视为排除非凡集合的依据。Mirimanoff（第 212-213 页）明确指出了使用非凡集合来模拟镜像情况的用途。他提到了一本书 B，其封面上装饰着一个代表两个孩子瞥见同一本书的图片 J，即 B 的图片 J1。在 J1 中，人们可以再次看到两个孩子和书的图片 J11，以透视的方式。现在，J 可以被看作是一个集合，其中包括两个元素 e1 和 e2，以及 J 的图片 J1，而 J1 又分解为 e1 和 e2 的图片 e11、e22，以及 J1 的图片 J11，依此类推，无限循环。现在，J 与其元素之一是同构的，即 J1：J 可以被视为第二类集合，因此是非凡的。这个非数学的例子暗示了后来的发展，即非良基集合论及其对语义学的最新应用。第二类集合 E 也被视为 Poincaré（Mirimanoff 1920 年，第 34 页）意义上的不可预测集合，因为它具有循环性：实际上，E 由条件 E=(y,z,…,a,b,c,…)给出，其中 y,z,…依赖于 E。

另一方面，在 Mirimanoff 的 1917a 中，有一个引人注目的使用 Burali-Forti 悖论的例子，这表明了集合性的必要条件是大小，即，如果一个集合与所有序数的集合是双射的，那么它就不存在作为一个集合。在 Mirimanoff 的 1917a、b 中，还可以找到 von Neumann 序数的概念（von Neumann 1923 年，1925 年），以及替换公理的一种形式。

冯·诺伊曼的 1925 年系统涉及集合论的另一种公理基础。有两种类型的对象：类型 II 的对象（函数，对应于类）和类型 I 的对象（参数），通过将函数应用于其参数来链接。这两个域部分重叠，并且有类型 I-II 的对象，对应于集合（作为既可以是参数的函数）。基本公理 IV-2 然后说明，如果且仅如果对象 a 是一个真类（即它不是类型 I-II），那么它的成员的总体可以映射到所有参数的总体上。Burali-Forti 悖论表明，所有序数的类 ON 不是一个集合，这意味着根据公理 IV-2，ON 可以应用于所有集合的宇宙，从而集合的宇宙是良序的。从概念上讲，该系统解决了如何使康托尔对不一致和一致的区分变得精确和适用的问题（反对希尔伯特的早期批评）；它还表明，全局选择在适当的集合观点上成为一个定理。虽然冯·诺伊曼的集合论层次模型中不能容纳循环对象，但它们可以在其他数学家和逻辑学家的研究中找到，例如 Finsler。根据 Finsler 的观点，悖论依赖于循环概念，但循环性不一定导致矛盾。特别是，Finsler 认为康托尔的集合概念本质上是循环的：集合依赖于集合或依赖于也依赖于集合的一般事物，相关的依赖图可以使我们回到一个循环中。对于当代读者来说，值得一提的是，Finsler 1926b 的一个原始直觉是使用图论来表示循环结构。因此，箭头用于解释成员资格，并且很容易想象一个将自身作为唯一元素并且更复杂的循环情况的集合（有关 Finsler 的集合论，请参见 Holmes 1996 中的其他互联网资源）。Finsler 1926 年应用 Richard 的悖论以产生元数学结果，特别是“形式上不可判定的命题”。然而，Finsler 的论证并不具有决定性，不能被视为 Gödel 不完备性定理的适当预期（关于他的思想的限度，请参见 van Heijenoort 中的讨论，438-440）；但它们表明，对悖论的仔细阅读可能会有意想不到的应用。

4.2 类型论的发展和悖论

关于与逻辑相关的后续发展，通过希尔伯特及其学派的工作，哥廷根持续简化逻辑工具的过程变得越来越明显。这一点在他的未发表讲稿中尤为明显（例如，1917-1918 冬季学期的《数学原理》课程的讲稿），这些讲稿在许多方面与 Hilbert-Ackermann 1928 年的教科书非常接近，并包含了一阶和二阶逻辑的表述，以及分层类型理论和可约性公理。通过允许适当形式的无限制概括，可以推导出悖论；问题的假设在于将谓词和命题作为对象，即形式上的表达式 X(Y),P(P)。引入了传统谎言者悖论和贝利悖论的变体。有趣的是，希尔伯特基本上坚持使用类型论（他没有讲授泽尔梅洛的系统）；他用可约性公理定义了分层类型理论，并证明了数学的某些部分可以在该系统中进行（关于罗素的影响，请参见 Mancosu 2003）。

那种类型理论和罗素的工作不仅在希尔伯特的哥廷根占据了核心地位，这一点还得到了 Chwistek 和 Ramsey 的工作的证实，他们试图从相反的立场对《数学原理》（PM）进行修订。两位作者都拒绝了分层类型理论（RTT）和可简化性公理。他们的工作可以被认为是逻辑形式化简化版本产生过程的典型结果。就悖论而言，主要问题是要证明 RTT 在解决悖论时是不必要的。

Chwistek 提出的解决方案是基于构造主义/预测主义的观念。他在 1921 年的立场是，《数学原理》不足以避免 Richard 的经典反论。另一方面，Chwistek 提出了一个可以在简单类型理论中重建的说谎者版本，而无需可简化性公理，只要我们被允许对所有命题进行量化。Chwistek 坚持一种名义主义立场，并试图为分析学的基础发展一种构造类型理论（他试图在没有可简化性公理的情况下建立数学的尝试被称为《数学原理》第二版引言中的“英勇”行为，1925 年，参见 Linsky 2004）。

Ramsey 1926 年引入了现在已经成为标准的逻辑和认识论矛盾之间的区别（但参见 Peano 1906 年和本条目的第 3.3.1 节）。虽然逻辑矛盾涉及数学或逻辑术语，如类、数，从而显示出我们的逻辑或数学存在问题，但语义矛盾除了纯粹的逻辑术语外，还涉及“思想”、“语言”、“符号主义”等概念，根据 Ramsey 的观点，这些是经验的（而不是形式的）术语。因此，这些矛盾是由于对思想或语言的错误观念而产生的，它们适当地属于“认识论”。

根据拉姆齐的观点，第一组悖论（如罗素的悖论或布拉利-福尔蒂的悖论）可以通过引用一个结构化为个体类型、个体函数、个体函数的函数等数学对象的宇宙来避免。对任意类型的量化是合法的，因此类型在不可预测的理解下是封闭的，这被认为对数学是必要的。类型对于逻辑和数学对象是内在的，而逻辑悖论正是那些需要类型区分来解决的悖论（例如，自我成员资格在类型论层次结构中被阻止）。为了解决语义悖论（例如，谎言悖论、贝里悖论），拉姆齐提出了区分几个意义概念的建议。从后来的发展来看，有趣的是他认为语义学不是一个可行的普遍概念：特别是，对于命题函数来说，不可能获得“一个包罗万象的意义关系。无论我们选择哪一个，仍然有一种方式可以构造一个符号以一种不包含在我们的关系中的方式进行意义表达。意义的意义形成了一个不合法的整体”（拉姆齐 1926 年，第 372 页）。这为解决格雷林悖论提供了线索（见 3.3.2）。设 R 是将形容词 f 与相应的命题函数 F 联系起来的意义关系（即 fRF 成立）。在“异质性”的定义中，我们确实使用了关系 R：如果存在 F 使得 F 不适用于 x 且 xRF，则 x 是异质的。现在，存在一个命题函数 H，它是形容词“异质性”的意义。拉姆齐的观点是，这种意义不能与 R 给出的意义相同，这就阻止了当我们将 H 应用于“异质性”时的矛盾（同上，第 370 页）。因此，我们需要一个依赖于给定固定 R 的新意义关系。这些思想预示了塔斯基的思想。（对于分层背景下的语义悖论分析，还可以参考 Church 1976 的后续贡献，该贡献也在 Martino 2001 中得到重新考虑和批评。）

5. 悖论：在元数学和无类型基础之间（1930-1945 年）

随着哥德尔和塔斯基的工作，悖论的论证被重塑为不动点结果，而真理的语义观念、语义的形式化和语法的算术化为系统的元数学研究提供了坚实的基础。此外，为了对《数学原理》的逻辑作出反应，还努力制定了新的大逻辑。在概念上，（自适应）内涵函数/操作和属性/谓词的概念被接受为原始概念，并研究了概念的定义/组合机制。这种思路推动了组合逻辑中的句法方法的制定和递归理论的兴起。对悖论的诊断通过对悖论推理的纯逻辑特征进行了更细致的分析而得到进一步丰富：这对于否定和标准蕴涵定律中内置的收缩和复制属性的关键作用尤为真实。三值逻辑被应用于天真的理解。

5.1 悖论和对角线法

悖论的启发作用由哥德尔本人亲身证明，当他直观地并明确地将他构造的形式不可判定句子与认识论悖论联系起来时（“与理查德悖论的类比一目了然”，哥德尔 1931 年，范·海耶诺特 1967 年，第 599 页）。然而，只有在非平凡的数论技术被运用时（参见递归函数条目），自指构造才能达到足够的数学严谨性，并成为真正的数学工具，例如在句法替换的分析和提供形式可证明性的算术模型中（对于产生矛盾的替换的关键作用已经被罗素注意到，尽管他没有发表这一观点；参见佩尔汉姆和厄夫哈特 1994 年）。从悖论的概念上讲，从哥德尔的构造中可以清楚地看出，自指本身是无害的，如果它是以间接的方式理解的：可以有表达其自身“名称”┌ϕ┐ 属性的公式 ϕ(x)，但不会产生危险的循环性。

哥德尔的构造很快被给予了一般形式，作为一般的对角线引理，它涉及任意可定义的属性。这可以在卡尔纳普 1934b 年第 91 页、卡尔纳普 1934a 年第 270 页和罗瑟 1939 年第 57 页的引理 1 中找到。

对于每个只有自由变量 v 的公式 ψ(v)，存在一个句子 ϕ，使得
ϕ↔ψ(┌ϕ┐)
是可证明的（另请参阅关于哥德尔不完备定理的条目）。

实际上，引理已经成为产生自指陈述和将语义悖论转化为不可定义性和（形式）不可判定性结果的标准工具（参见自指条目）。哥德尔构造的代数基础只在 1970 年代后期才被理解。同样重要的是强调，几年后（1938 年），克里尼发现了对角线化引理的类似物（即所谓的第二递归定理），并很快成为递归论和可计算性理论基础中的基本工具。

5.2 悖论和语义基础

从上述二十年代的研究工作中可以明显看出，解决语义悖论问题的形式解决方案，如谎言悖论和理查德悖论，仍然基本上是开放的。类型论解决方案并没有被追求到提供语义概念（如真理或可定义性）的系统形式分析的程度。但是，为什么从逻辑和数学的角度来研究这个问题是值得的呢？事实上，语义概念，特别是可定义性的概念，在集合论的某些部分（描述性集合论）和更“倾向于集合论”的函数论的部分中被多多少少地明确使用，这些部分是由二十年代的波兰数学家培养起来的。与此同时，著名的波兰哲学家和逻辑学家在利沃夫（现为利沃夫）和华沙（Lesniewski，Łukasiewicz，Chwistek）开展了一项形式方法论和科学语义学的项目（参见 Wolenski 1995 以及有关 Lesniewski，Łukasiewicz 和利沃夫-华沙学派的条目）。例如，Chwistek 在名义主义的基础计划上尝试了一种基本的语义学，其中集合被认同为命题函数，外延性被拒绝，语义学的基本概念是“H 是在 E 中用 G 替换 F 的结果”（Chwistek 1933，第 374 页）。在这个激励人心的环境中，塔斯基发展了他对语义悖论的基本分析，最早可以追溯到 1929 年和 1930 年，由 Łukasiewicz 在 1931 年向华沙波兰科学学会报告，并在 1935 年的长篇论文中详细阐述（参见有关塔斯基和塔斯基真理定义的条目）。

首先，对悖论的分析始于对真理的语义研究中需要满足的一个形式要求的明确规定，即“真句（wahre Aussage）的一个实质上正确的定义”。这相当于著名的模式（T），可以简化地表述为：

（T）如果 x 是一个真句，那么 p 是真句。

其中 p 代表一个句子，x 是 p 的名称（这个想法符合经典的对应直觉）。塔斯基从悖论中得出的结论是，不存在任何满足经典逻辑法则、没有矛盾，并且满足要求（I）-（III）的解释语言。

该语言对其所有句子都有可用的名称；
从（T）中用该语言的任意句子替换 p，并用相应的名称替换 x 所得到的任何表达式都被接受为真；
存在自指句，即合法地一个句子包含其自身的名称作为组成部分（以便我们可以合法地规定名称 c 表示一个句子 α（…c…））。

鉴于这些根本障碍，塔斯基提供了基本语义概念的结构定义，即仅依赖于表达式的逻辑形式和表达式的递归定义。但这条路只适用于结构化描述的语言，例如形式化语言。对于这种通常在量化下封闭且包含带有自由变量的公式的语言，塔斯基详细阐述了满足性的适当概念，这使他能够引入可定义性、指称、真实性和逻辑蕴涵的概念。然后，可以在元科学中给出准确版本和充分性条件（T）的证明，其原则包括：（i）一般逻辑公理，（ii）依赖于我们考虑的对象理论的特殊公理，以及（iii）处理结构概念的基本属性的公理，即证明和归纳定义原则。在拥有这种语义机制的情况下，塔斯基可以否定存在（一个形式对应物）普遍语言的问题，即在同一语言中定义一个适当的真实性概念是可能的。尽管简单类型理论（其中类型 0 是个体的类型；类型 n+1 是所有类型 n 对象的类的集合），配合无穷公理和外延公理，显然是作为一般元理论的一个好候选者，但证明了无论我们在类型理论中为术语“真实”选择哪个定义，都可以在同一理论中推导出某个充分性模式（T）的否定。在这个定理的证明中，塔斯基应用了算术化和对角化，因此遵循了哥德尔的模式。从积极的一面来看，对于任何形式化语言 L，可以在一个比 L 更高阶的语言（所谓的元语言）中充分定义真实性概念。此外，塔斯基的语义学准确地阐明了哥德尔的言论（1931 年，脚注 48），即“不完备性的真正原因在于可以继续形成更高类型，直到超穷尽 [...]，而在任何形式系统中，最多只能使用可数多个”。塔斯基的语义学概念起到了哥德尔所暗示的更高类型的作用。总之，塔斯基的工作的结果是，语义学概念被排除，而（外延）类型或集合的概念得到了容纳，并最终实现了对语义悖论的理论解释。

5.3 “某些形式逻辑的不一致性”

在二十年代和三十年代初，数理逻辑学家中的正统逻辑观点或多或少是类型论或集合论的。然而，人们努力开发新的大逻辑来替代《数学原理》中的逻辑。这些框架既是为了恢复无类型方法的简单性，如所谓的天真包容原则所导出的，也是为了满足元数学的需求，如澄清“形式系统”、“形式主义”、“规则”等概念的基本概念。特别是，Church 和 Curry 提出了理论，这些理论假设自适应的内涵函数（操作）的概念是原始的，并强调概念的定义/组合的机制。如果仔细观察这些系统的发展，可以看到悖论的构造已经成为定义对象和证明非平凡逻辑数学事实的基本工具。Curry 在 1930 年的论文中，根据 Schönfinkel 的思想，并旨在对替换过程进行数学分析，引入了一个基于基本通用运算符的形式语言，即所谓的组合子 B（组合）、C（置换）、W（复制）、K（取消）、Q（相等），以及像全称量词和蕴涵这样的逻辑常量。然后，表达式通过应用常量的方式递归生成；直观地说，一个项 M 代表一个函数，应用项 MN（并置起到应用的作用，括号与左侧相关联）表示通过用 N 替换 M 的第一个变量而获得的项的值。自应用 MM 是可接受的，这一特点告诉我们，组合逻辑的对象不能简单地解释为集合论函数。形式系统由组合子的标准方程组成（e.g，Bxyz=x(yz)，Wxy=xyy，或 Cxyz=xzy），相等性和逻辑常量的规则；其主要目标是推导出相等性 X=Y，并做出形式为 ⊢X(=X 可证明)的断言。组合逻辑是一种分析形式对象的组合方式、替换以及命题和命题函数概念的理论（有关组合逻辑的变体形式和相关演算性质的适当介绍，请参见组合逻辑条目）。对于 Curry 来说，悖论的根源在于假设概念的组合总是命题。命题的概念成为一个理论概念，由理论来决定。类型不是一开始就分配给形式系统的表达式，而是通过系统本身进行推断的，该系统具有双重性质：它可以推导出等同性，但也可以推导出真理。特别地，如果推导出 ⊢MN，可以理解为“N 是类型 M”或“N 是 M 的元素”。这些思想预示了基本发展，如所谓的公式即类型解释（参见 Howard 1968）。

彻奇的形式主义——最初在彻奇 1932 年、1933 年引入作为形式逻辑基础的一组公理——包括转换（即计算）规则，允许用内涵等价的术语替换，并规定了某些术语为“真实”的规则。语法产生了一个基于应用语言的函数的通用符号系统，其中有一类基本术语（他的术语中的良构公式）。一些术语是形式上可证明的（或可断言的），并被分类为真实的。术语是通过应用和特征 λ 抽象运算符从一组基本常量和变量中归纳定义的：如果 M 是包含变量 x 的术语，λx.M 是一个术语，表示由 M 定义的函数。基本常量指定了逻辑运算：（一种受限制的）形式蕴涵；存在量词、合取、否定、描述操作和广义抽象（即，如果 F 是形式逻辑等价性，A（F，M）是“M 与任何与 M 形式等价的 N 共有的部分”）。事实证明，彻奇的逻辑可以解释天真的类论，因此该系统具有可疑的强大和表达能力（强大和表达能力是由彻奇的形式主义继承的：请参阅关于 λ 演算的条目）。彻奇希望通过确保命题函数对某些参数未定义的可能性来避免矛盾。

然而，库里和彻奇的理论在 1934 年几乎立即被克利尼和罗瑟证明是不一致的，他们（基本上）证明了理查德悖论的一个版本（两个系统都可以可证地枚举自己可证的总定义数论函数）。这个结果是由彻奇自己在 1934 年引发的，当时他使用理查德悖论证明了一种不完备性定理（关于断言数论函数的总性）。

矛盾之处的原因最终在 Curry 的 1941 年论文中得到了澄清。在那里，他区分了两种基本的完备性概念：如果一个系统 S 从假设 A 推导出命题 B，那么它也推导出蕴含式 A→B（演绎定理或蕴含引入规则），则系统 S 是演绎完备的；如果 M 是一个可能包含不定元 x 的系统术语，那么存在一个术语（Church 的 λx.M）来命名由 M 定义的 x 的函数。Curry 随后指出，Kleene-Rosser 的悖论之所以出现，是因为 Church 和 Curry 的系统都满足这两种完备性，从而表明这两个属性是不兼容的。在论文的更技术性部分，Curry 仔细地对 Kleene 和 Rosser 所利用的主要要素进行了公理化，并在逻辑和数学两方面进行了大量的非平凡工作（例如，开发了一部分递归算术，定义了枚举器的存在，即一个术语 T，使得如果 a 是一个闭合术语 M 的哥德尔数，Za 是形式上表示 a 的术语，则 TZa=M 在 S 中是可证明的，等等）。Curry 对组合系统的矛盾证明是不令人满意的，因为它在很大程度上通过数论和哥德尔化进行了绕道，而事实上，这是不必要的，正如 Curry 自己很快发现并在一篇与 Kleene 和 Rosser 的论文同名的论文中提出的那样，“以示对矛盾的最初发现者的尊重”（Curry 1942）。其中的主要结果是以下定理（Curry 的悖论，请参见条目 Curry 的悖论）：

假设我们有一个组合完备的系统，即基本上是一个包含相等性和确保 Church 的 lambda 可定义的基本公理的组合逻辑系统；
假设系统还包含一个满足任意项 M、N⊢M⊃M⊢M⊃(M⊃N)⇒⊢M⊃N⊢M 和 ⊢M⊃N⇒⊢N 的蕴涵运算符 ⊃。那么对于每个项 M，都有 S⊢M。

为了证明这一点，只需找到任意给定项 B，使得存在一个项 A 满足 A=A⊃B。Curry 指出有两种构造方法。通过直接自我引用，我们可以选择：A=HH，其中 H=λY(N(YY))，N=λX(X⊃B)。另一方面，可以应用间接自我引用并利用 Curry 1941 年和 Kleene-Rosser 的机制：使用一个枚举器 T，设 U=λX(TXX⊃B)，A=UZu，其中 u 是 U 的哥德尔数。Curry 认为这两种方法分别类似于罗素的悖论和说谎者悖论。有趣的是，这两种方式分别对应于现在的标准工具，即组合逻辑和 λ 演算的所谓第一不动点定理和第二不动点定理（Barendregt 1984 年，第 131 页和第 143 页；另请参阅经典递归论的第一递归定理和第二递归定理之间的区别，本 SEP 中的条目递归函数）。

Curry 对悖论解的分析将我们引入功能性理论、组合逻辑和证明论的领域。在这里，只需回顾一下，根据他的观点，解决矛盾的方法是在系统内部提出命题的概念，并且避免矛盾的方法将导致一个层次结构的规范命题（或者是一个已经由 Church 勾勒出的蕴涵层次理论）。自 70 年代以来，相关的思想已经被 Scott 1975 年、Aczel 1980 年、Flagg 和 Myhill 1987 年等人发展起来。

5.4 批评标准蕴涵和否定

在 1930 年代，出现了解决悖论的另一种方法。这种方法利用了满足 Wfx=fxx 的重复（收缩）组合子 W；如果 N 代表否定，Babc=a(bc)，那么 W(BN)(W(BN))是否定的一个不动点，并且它是罗素类的一个功能性类比。在逻辑层面上，为 W 分配一个类型导致了在导出 Curry 悖论的推导中应用的基本推理，即收缩规则 A→(A→B)⇒(A→B)。收缩的作用被 Fitch 1936 年注意到，他观察到，为了推导出罗素悖论，人们考虑了一个具有两个变量的函数，然后对角化并将这样的对象视为一个新的一元命题函数。但是，只有在接受 W 的情况下，这一步才有效。然后，Fitch 提出了一种“非收缩”逻辑，但他的论文只是对古典逻辑的一个片段进行了简要的概述。直到八十年代中期，人们才开始系统地在证明论和理论计算机科学中使用无收缩逻辑（参见线性逻辑条目）。

Fitch 1942 提出了一种解决一致组合逻辑系统问题的新方法，这种方法在多年来逐渐扩展和完善（直到 1980 年）。Fitch 的避免悖论的方法包括构建适当的句法模型，赋予自指的类、成员和真理的概念。真理和成员是通过迭代规则生成的，这些规则对应于自然逻辑闭包条件，并且可以通过正（即无否定和蕴涵）子句进行形式化。这一事实意味着生成过程是累积的，并在某一点饱和，从而为真理和成员提供一致的非平凡解释。在数学上，一组正子句总是引起一个运算符，称为 G，将表达式集映射到表达式集，并保持包含关系（即单调）；饱和集对应于单调算子 G 的不动点（即满足 G(X)=X 的集合 X），根据关于完备格的经典定理存在（参见 Birkhoff 1967）。

在 20 世纪 40 年代初，菲奇探索了一种纯正（无否定）的组合系统 K，旨在定义一种通用的形式系统，可以代表逻辑的每个系统。后来，他能够加强他的方法，包括否定和蕴涵的形式，因为他提供了真实和虚假的同时生成，这实际上等同于将真实性视为部分谓词。菲奇的方法是根本内涵的：类始终是某种语言（比如基本逻辑的语言）中的表达式 M 的类，并且它们与属性等同，而成员资格基本上被简化为 K 意义上的真实性。因此，M∈T 成立，基本上意味着 M 真实地属于由 T 指定（或表达）的属性（参见组合逻辑的条目）。类似的逻辑系统也是在 20 世纪 50 年代早期由舒特通过证明论方法提出并证明了一致性（详见舒特 1960 年的全面论述）。

在某种程度上，可以将 Fitch 的观点视为引入了真理和成员关系的基本谓词必须是部分的，或者说是三值的观点。Bochvar（1937）提出了一种基于引入三值逻辑的方案，除了标准的真（T）和假（F）之外，还存在第三个值 N，被解释为“无意义”。他的逻辑分析得出的结论是，悖论涉及到无意义的陈述。Bochvar 形式主义的一个特点是区分了两种类型的联结词，大致对应于两种不同的断言模式。一个陈述 A 本身只假设在规定的值（真、假或无意义）中的一个；但是内部的三值逻辑运算也配备了外部的逻辑运算，对应于关于元层次的陈述，并允许使用经典逻辑处理非经典陈述。形式上，他为主要命题内部联结词&（与）、∼（否定）、∨（或）、→（蕴涵）、↔（逻辑等价）描述了三值真值表。如果 A、B 假设经典值，则 ∼A、A&B 等的真值与它们的经典值相同；如果 A、B 中有一个值为 N（严格性），则它们是无意义的（取值为 N）。没有使用标准联结词构建的公式可以是有效的（或者说是重言式，即在所有可能的赋值下都为真），因为如果 A 是无意义的，A→A 的值为 N。但是存在一些联结词，允许形成元理论陈述，例如 ⊢A、¬A、↓A，可以解读为“A 为真”、“A 为假”、“A 为无意义”（按给定的顺序）。如果 A 为真（假），则 ⊢A（¬A）的值为真，否则为假。Bochvar 描述了 Hilbert-Ackermann（1928）的扩展无类型逻辑演算的一个版本，并为了摆脱悖论，他限制了替换和因此形式的理解模式。

∃F∀x(F(x)↔ϕ)，其中 ϕ 是任何公式，其中 F 不是自由的，并且可能有或可能没有 x 自由。

对于只有内部逻辑操作的条件 ϕ。显然，Bochvar 的解决方案不仅仅是一个缺口解决方案，其中逻辑被削弱；相反，他在逻辑本身中形式化了对象级别和元级别之间的区别。这使得他的理论非常有表现力（例如，它可以处理“无意义”的概念）。

5.5 非终止过程、循环和典型的歧义

Behmann 的 1931 年论文（1929 年发表）将悖论的根源定位于定义机制。该论文以对罗素的谓词应用形式的矛盾进行分析开篇。在那里，他观察到，一旦通过规定来定义罗素谓词 F，就必须能够从涉及它的任何论证中消除 F。但是，如果我们试图用其定义来替换 F，我们得到 F(F)≡¬F(F)，我们陷入了无限回归，因为没有 F-free 的表达式可以替换 F(F)。因此，将矛盾归因于定义理论中的错误，即使用导致无限替换链而不收敛于结果的定义。Behmann 的技术提案是一种没有类型但添加了运算符!的改革逻辑，当给定一个谓词 χ 时，它准确地确定了那些 χ 有意义地适用的参数 x。例如，通常以巴巴拉形式陈述的三段论

F(ϕ)=df¬ϕ(ϕ),

it must be possible to eliminate F from any argument involving it. But, if we try to replace F by its definiens, we obtain F(F)≡¬F(F), and we are trapped in an infinite regress, as there is no F-free expression that could replace F(F). So the contradiction is ascribed to an error in the theory of definitions, namely to the use of definitions that give rise to an infinite chain of substitutions, without converging to a result. Behmann’s technical proposal consists in a reformed logic without types but with an added operator ! which, when given a predicate χ, singles out exactly those arguments x to which χ meaningfully applies. For instance, the syllogism Barbara, usually stated in the form

(∀x)(A(x)→B(x))&(∀x)(B(x)→C(x))→(∀x)(A(x)→C(x)),

被更正为

(∀x)(A(x)→B(x))&(∀x)(B(x)→C(x))→(∀x)(C(x))!→(A(x)→C(x))),

其中最终量词的范围被限制为那些使得它有意义的 x。Behmann 直到后来才发展出一个系统的理论，如何解释他的特殊运算符!尚不清楚。然而，他的工作启发了 Aczel 和 Feferman（1980）的研究。

Lewis 和 Langford（1932）得出的结论与 Behmann 的结论并没有太大差异。根据他们的观点，这些悖论表明某些表达式并不表达命题。他们采用符号 p:α 来表示 p 是一个意义为命题 α 的名称（因此 p 和“α”表示相同的实体，可以互相替换）；典型的谎言者悖论可以表示为“p:p 是假的”，但我们也可以想象更复杂的自指情况，例如：

(p1)(p2)p2 是假的；p1 是假的。

在这种情况下，没有矛盾，但我们却陷入了一个恶性循环（第 440 页），因此没有命题产生。一般来说，人们可以创建任意复杂的循环，并检查它们是否会导致矛盾或无限循环；但无论哪种情况，表达式都无法收敛到一个明确的命题。

即使在罗素、泽尔梅洛和塔斯基发展的逻辑学中，已经创造了理论手段来摆脱与类、集合、真理、可定义性相关的困难，悖论仍然存在。这可能是由于对替代形式范式的持续兴趣，对《数学原理》的有争议的特征和公理，以及自我参照在数理逻辑中所占的问题位置。在这种背景下，值得提到奎因 1937 年关于 NF 系统的论文（参见条目奎因的新基础），该论文受到罗素的典型模糊概念的启发，即通过系统地抑制命题函数及其参数的顺序指标的设备，将它们留待需要时恢复，根据类型理论的规则（见上文 3.2 节）。其思想是将朴素的概括限制在那些被分层的实例上，一般来说，如果能够为 ϕ 中的每个项出现分配一个自然数（简称类型），使得所得到的公式在类型理论的意义下是良构的，例如，如果 t∈s 是 ϕ 的一个子公式，则 s 的类型比 t 的类型大 1，等等。显然，当存在形如 x∈x、¬x∈x 的公式时，分层会阻止集合的形成。此外，在 NF 中存在全集。NF 的一致性问题仍然未解决（尽管已知关于具有分层限制或限制到外延性的片段的部分结果）。值得注意的是，NF 通过 Specker 的一个经典定理推翻了选择公理。同样，Specker 的一个经典结果在适当版本的简单类型理论中建立了 NF 模型的存在，该版本具有典型模糊的形式对应。悖论与 NF 并不相距。 1942 年，罗瑟（以及独立的林登）发表了布拉利-福尔蒂悖论的一种形式，这是在系统 NF 的一个看似自然的扩展（命名为 ML）中获得的，通过添加“终极类”来获得。ML 被定义为避免 NF 的某些弱点（例如，与数论归纳有关）。再次，林登-罗瑟的结果带来了集合论和数理逻辑基础中一个意想不到的悖论的存在。

6. 现代研究的一瞥

6.1 从悖论到定理

正如 Kreisel 多年前所注意到的，并由 Dean 2020 年 541 页巧妙地提醒，处理的问题不是如何摆脱悖论或解决它们，而是如何从中获得一些东西。实际上，悖论可以转化为纯粹的不可判定性/不可定义性定理，这是一种系统方法的结果：通过 Gödel 和 Tarski 的工作，悖论的论证被重新塑造为不动点结果，而真理的语义观念则导致了语义学本身的形式化，为系统的元数学研究提供了坚实的基础，这可以从一些逻辑学家的早期贡献中看出，例如 Kreisel 1950 年，Wang 1955 年。例如，算术化语义学产生了完备性定理的细化，即所谓的算术化完备性定理 ART：每个递归一致的理论都有一个模型，其中函数符号被原始递归函数替换，谓词符号被在形式数论的一个版本中只用 2 个量词定义的谓词替换（参见 Hilbert 和 Bernays 1939 年，第 293 页和 Feferman 1960 年）。通过将表示集合论 S 的一致性的算术句子 Con(S)作为新的公理添加到初等数论中，可以在结果系统中证明 S 的所有定理的算术翻译。这种元数学形式化的副产品是集合论和语义论悖论的实际统一，因为任一类型的悖论都成为证明不完备性和不可判定性的工具。通常，给定的悖论概念被形式化为一个解释（至少是数论 Z 的一个片段）的理论语言中的谓词；然后应用对角线化、自我引用等方法，以获得对应于数论句子的陈述，假定一致性的情况下这些句子变得不可判定或不可证明。

6.2 基础框架和悖论

在当代逻辑研究中，哲学动机对悖论的影响非常大，因此自然而然地会想知道基于不一致的抽象原则和逻辑主义观点的初始弗雷格概念理论还存留了什么。嗯，答案是一个非平凡的遗产仍然存在：这一点尤其清楚地体现在基于休谟原则及其变体的新弗雷格方法中。弗雷格的 Grundgesetze 的一致子系统已经被分离出来并且目前正在研究中：参见 Burgess 2005，还有关于 Boolos、Wright 和 Hale、Heck、Wehmeier、Ferreira、Antonelli 和 May 之前工作的综合参考文献列表（参见 Reck 和 Cook 2016 中包含的论文，以及逻辑主义和新逻辑主义的条目）。此外，新弗雷格传统的研究表明，Grundgesetze 中的外延抽象原则（基本定律 V）的不一致性只是关于二阶逻辑（扩展了一个从概念到对象的函数 f 的符号）中满足一种称为“整体-部分”的条件的任何抽象原则的更一般结果的一个实例：如果 A 严格包含于 B，则 f(A)≠f(B)（参见 Mancosu 和 Siskind 2019）。

另一方面，一旦我们将逻辑主义的意识形态启示分开，我们可能会认为 20 世纪逻辑和集合论的发展已经完全消除了悖论，并且逻辑系统中的矛盾只是基础危机年代的现象。但这并不是真的：在与计算机科学相关的逻辑系统中发现了悖论。例如，半个世纪前，吉拉德表明，基于 Curry-Howard 对应的 Per Martin-Löf 1971 的类型构造理论与存在所有类型的类型不一致；通过对 Burali-Forti 反证法和 Mirimanoff 悖论的类型论重构，可以得出矛盾。后来，Coquand 1986 证明了某些构造演算 C 的扩展是不一致的。粗略地说，C 是一个高阶非预测类型理论，扩展了吉拉德的系统 F，这是一个适用于表示非预测直觉性二阶逻辑证明的强大的二阶类型化 λ 演算。Coquand 1994 提出了一种影响类型论的新悖论，这一结果改进了 Reynold 的结论，即多态性没有古典集合论模型（参见条目类型论，集合论：建设性和直觉性 ZF）。另一方面，Kreisel 和 Goodman 最初提出了一种不受类型限制的构造理论发展，作为逻辑和数学中建设性可证明性的基础，但后来发现它受到了一种反证法的影响，这在 Dean 和 Kurokawa 2016 年得到了重新考虑。

在计算机科学的基础问题和应用之间的边界上，费弗曼的显式数学（EM）的研究中出现了典型悖论风味的论证，这是一种关于（自适应）操作和非外延分类的理论。例如，强大的幂类型构造的存在导致了所谓的“类型和名称理论”中的不一致性，这是由 Jäger 1997 引入的 EM 的发展。悖论的论证对于评估宇宙的作用和在 EM 中驳斥非外延性也是有用的，在存在形式统一的天真理解的情况下（参见 Cantini 和 Minari 1999）。事实上，统一性的作用在以前的研究中是至关重要的。关于天真理解，自上世纪七十年代（Malitz 1976）和八十年代（Weydert 1988，Forti 和 Hinnion 1989）以来，已经知道存在着对外延性和非统一天真理解的良好拓扑模型，这些模型受到广义正性条件的限制。这导致了所谓的超宇宙的研究。关于外延性和统一与非统一理解原则之间关系的附加一致性/不一致性结果可以在 Hinnion 和 Libert 2003，Libert 和 Esser 2005 等文献中找到。在类似的方向上，最近的理论提议将组合逻辑和 λ 演算的新思想与天真理解和无限制真理模式的“归纳”重新解释相结合，这条道路已经由菲奇在四十年代末开辟（参见 Scott 1975，Flagg 和 Myhill 1987，Aczel 1980 和 Feferman 1984）。从 1992 年开始，由于 K. Grue 的努力，试图将丘奇的 λ 演算复兴为数学的基础。Grue 2002 提出了 λ 演算的一个非常强大的扩展，即所谓的映射理论，其中标准的公理化集合论可以被解释，并且可以用来阐明罗素和布拉利-福尔蒂的悖论之间的区别。

6.3 循环性和自我参照

自从 Mirimanoff、Finsler 和其他人以来，逻辑学家们一直研究着存在循环集的集合论宇宙。然而，直到 80 年代初才真正发展出了非良基集合的数学（参见|集合论：非良基）。使用反基础公理 AFA，集合论中允许直接自我参照，并且存在着许多解决一般自我参照方程的集合（AFA 由 Forti 和 Honsell 于 1983 年引入；有关系统发展和历史，请参见 Aczel 1988）。特别是，非良基集合被应用于悖论的分析、自然语言的语义学以及理论计算机科学（参见 Barwise 和 Etchemendy 1984，Barwise 和 Moss 1996）。

关于自我参照是否可以在推导悖论时避免，以及是否存在由于无基础性而产生的真正矛盾，Yablo 1993 的语义悖论给出了肯定的答案：存在无限多的代理人等，每个人都声称同样的句子：“至少有一个跟随我的代理人在说谎”；但这导致了矛盾-另请参阅有关自我参照和说谎悖论的条目。这种构造引发的问题，即循环性和自我参照是否是悖论出现的必要和充分条件，已在 Yablo 2006 中进一步考虑（有关此问题的全面研究，请参见 Cook 2014，以及 Halbach 和 Zhang 2017 的无对角引理证明）。此外，不完备现象与悖论之间的联系已扩展到包括 Yablo 的悖论，作为说谎类型悖论的特例（Kurahashi 2014，Kikuchi 和 Kurahashi 2016）。

自指和对角化的分析激发了代数和拓扑技术的应用：考虑斯科特对外延 λ 演算的模型（Scott 1972）及其随后的范畴理解。另一方面，自从 Lawvere 1969 以来，范畴论已被用于对悖论的新方法。关于“自指与无根基”的一般问题的数学方法可以在 Bernardi 2001, 2009 中找到。除了 Yablo 的悖论和 Mirimanoff 的悖论的博弈论版本之外，还有几个经典结果（非可列集合的存在性，康托尔关于实数不可列性的定理）可以转化为适当无根基链的存在定理（从形式上来说，无根基链被视为广义不动点）。

6.4 从悖论到不完备性

在标准的元数学中，理解第二不完全性定理的一个重要角色是由 Löb 的定理（Löb 1955）扮演的。该定理的证明与 Curry 的悖论（参见本条目和 Curry 的悖论）以及 Geach 1955 的非正式论证有关。此外，Löb 的定理对于定义数学结构至关重要，这些结构足以提供自我引用和不完全性的版本（参见所谓的 Magari 代数和形式可证性的模态分析，Boolos 1993）。在同一方向上，还有 Berry 的悖论的应用。例如，1966 年，Vopenka 使用同一悖论的形式证明了 Bernays-Gödel 集合和类的第二不完全性定理。Boolos 1989 利用 Berry 类型的论证来证明不完全性，形式为“没有算法的输出包含所有算术真陈述而不包含假陈述”。Berry 悖论还与不完全性现象有关，因为在所谓的 Kolmogorov 复杂性和算法信息理论的工作中（可以追溯到六七十年代），Chaitin 在一系列论文中展示了如何利用随机性来证明形式系统的某些限制（参见 Chaitin 1995）。与 Chaitin 的结果相关，Kritchman 和 Raz 2011 给出了第二不完全性定理的证明，该证明基于类似于惊奇测试悖论的论证（参见认知悖论）。反过来，这个悖论可以明确地与 Solovay 的可证性逻辑的完备性定理相关联（参见 Montagna 1994），最近 Egré 2005，De Voos，Kooj 和 Verbrugge 2018 将可证性逻辑应用于解决知者悖论。值得回顾的是，在认知逻辑的领域中，自我引用可用于证明信念模型的不完全性。 Brandenburger 和 Keisler（2006）在游戏中的信念中确定了一个自指悖论，这产生了类似于罗素悖论的博弈论不可能定理。悖论的非正式版本是以下信念配置是不可能的：安相信鲍勃假设安相信鲍勃的假设是错误的。这被形式化为表明某种类型的任何信念模型必须有一个“漏洞”。对结果的解释是“如果分析师的工具对游戏中的玩家可用，那么玩家可以思考但不能假设的陈述就会存在。”此外，像这样具有明显逻辑“风味”的悖论的事实，但是由于涉及认知概念的处理而产生，这是值得注意的，因为它可以被视为工作方向的指示，依靠文献中已有的许多例子，有望通过应用形式方法在未来扩展并变得系统化（请参阅本条目，第 6.5 节）。尽管与不完备现象没有直接联系，但确实存在几种影响似乎是涉及某些认知概念的合法自然假设集合的反悖论解释。让 Leitgeb 2021 成为这种类型来源的终极例子，提出了解决彩票悖论（请参阅 Kyburg 1961 和认知悖论）的原则，这影响了将范畴信念与分级信念相关联的原则（请参阅还包含前一来源的 Douven 2021）。

6.5 关于语义基础的再次解释

在上个世纪的最后一个季度，从语义学基础的讨论中出现了大量的逻辑论文，提出了一些概括或修改塔斯基的真理语义观念的建议。尽管有塔斯基的存在，但自 1975 年以来，层次方法在某种程度上已被新的思想所取代，这些思想使得逻辑和语义封闭的理想在许多方面变得可行（特别是通过 Kripke 1975 和 Martin-Woodruff 使用的不动点方法，参见 Martin 1984）。我们还提到了源自 Herzberger、Gupta 和 Belnap 1993 的方法（参见真理的修订理论条目），它与可定义性理论、集合论和更高级递归理论有关（Welch 2001, 2009, 2011, 2019）。这导致了修订理论定义和循环定义理论的一般公理研究（参见 Bruni 2009, 2013b, 2015, 2019）。在 Standefer 2015 中，建立了 Solovay 类型定理与修订理论的循环定义之间的联系，并证明了特定模态逻辑 RT（修订理论）的完备性定理，类似于 Solovay 关于 GL 的完备性定理。所讨论的模态逻辑是建立在与修订理论构造自然相关的运算符上的（因此得名），如 Gupta 和 Standefer 2017 中所解释的。该系统的证明理论在 Standefer 2018 中进行了研究。

最近对修正理论的进展，已经为该方法的可行性提供了证明（与本条目第 6.4 节的最后部分相关的方向）：Gupta 2011 提出了对战略合理性概念的应用，该概念与战略环境中理性选择的一种常见理解方式相关联。尽管是独立开发的，但 Gupta 的立场让人想起了 H. Gaifman 关于理性受到类似真理理论悖论（如说谎者悖论）的影响的先前工作（参见 Gaifman 1999）。Bruni 和 Sillari 2018 将这种方法扩展到所有有限游戏的类别中。Gupta 应用的显著之处在于它仅使用修正理论的有限部分（即不需要这种构造的超限迭代），并且摆脱了处理对应于极限序数的阶段的规则。这个极限规则对于处理真理概念是至关重要的，从复杂性和概念角度来看，它被证明是修正理论对循环概念的方法中最关键的方面（参见 Campbell-Moore 2019 对该主题的最新新方法）。

语义工具的丰富和多样性引发了一种对多种混合提案的实验。修正理论的改进和推广可以在 Rivello 2019a 和 2019b 中找到，其中开发了一种关于真理的形式理论的新方法，该方法实现了 Kripke 的不动点理论与 Herzberger-Gupta 修正理论的特征的结合。从更多的证明论角度来研究的类似组合也在 Standefer 2017 中考虑过。同样，Nicolai 2018 也研究了可能世界语义中必然性谓词与 Kripke 的真理谓词的超值化部分模型的组合。

Field（2003，2008）提出了结合 Kripke 和修订理论技术的语义悖论的有影响力的解决方案。根据他的观点，目前对悖论的解决方案并不令人满意，原因如下：（i）缺乏一个合适的条件（和双条件）；（ii）（某些情况下）T-模式的失败（A ↔ T(⌈A⌉)）；（iii）A 和 T(⌈A⌉)之间的互换性失败；（iv）无法对悖论句子的缺陷进行内部分析。Field（2008）因此发展了一个具有非经典条件运算符的真理理论，该运算符允许表达确定真理的概念，并声明 Liar 不是确定真理。对 Field 的构建进行分析需要复杂的集合论和递归论发展（参见 Welch 2008，2009，2011）。此外，通过在 Kripke 的真理理论中逻辑丰富化的可能性开辟了新的途径：例如，Rossi（2016）提供了一种有趣的方法，将符合 Łukasiewicz 三值逻辑的条件融入到真理的不动点构造中。在同一方向上，最近的文献中对所谓的复仇问题引起了相当大的关注：典型的解决方案，比如 Liar 悖论，依赖于一些在目标语言中可表达的概念，这些概念会导致悖论的新版本。因此，解决方案只是一种幻觉。复仇问题可以通过所谓的强化 Liar 来实例化：简单地说，一旦我们有一个使 Liar 句子 L 既不真也不假的模型，并且我们可以表达这个事实，L 最终并不是真的。但这是 L 所声称的，因此 L 是真的。因此，悖论似乎再次出现（有关更多详细信息，请参见悖论入口和 Beall 2007 中包含的论文集）。

“指示性”解决方案的悖论已经在几个贡献中得到了发展，例如，由 Burge，Gaifman，Simmons 提出。这个想法是，悖论并不涉及句子本身，而是句子的具体出现，即句子标记（这个想法在学院派的解决方案中已经存在）。为了历史的准确性，让我们提到，在 1913 年，莱斯涅夫斯基，后来是塔斯基的导师，已经在他的论文《对排中律的逻辑原则的批判》中提出了一个指示性的名义主义启发的悖论解决方案（参见 Betti 2004）。

除了模型论的一面，关于真理和相关悖论的公理研究自从 Friedman 和 Sheard 1987 年，Feferman 1991 年的开创性论文以来变得越来越重要。自 2000 年以来，这个研究方向已经得到了广泛的研究，目的各异，从证明论分析到对极简主义的哲学讨论（有关真理理论系统的各种类型和适当参考文献的调查，请参见关于真理公理理论的条目以及 Halbach 2011 年，Horsten 2011 年的最新专著；另请参见 Feferman 2008 年，Fujimoto 2010 年，Leigh 和 Rathjen 2010 年的论文）。

最后但并非最不重要的是，认识论概念的公理研究自 60 年代初以来，极大地受益于用于证明不完备性和不可定义性结果的技术应用：它们产生了负面结果（Kaplan 和 Montague 1960，Montague 1963，Thomason 1980），并与令人惊讶的测试悖论建立了有趣的联系。可能世界语义学对于模态概念的研究也可能改变了这种情况，它被构想为 Halbach，Leitgeb 和 Welch 2003 中的谓词。然而，这还有待讨论和实验：例如，Halbach 和 Welch 2009 认为，对于必然性的谓词方法是一条可行的路径——只要考虑到表达能力——前提是使用既包含真理谓词又包含必然性运算符的语言。

6.6 保持非经典的

已经提出了许多解决方案，这些解决方案依赖于使用无矛盾逻辑（Priest）或子结构逻辑（参见逻辑条目：无矛盾，以及子结构逻辑和 Mares 和 Paoli 2014）。

在无穷值逻辑中，对语义和集合论悖论的研究——这是由莫肖奎（Mow Shaw-Kwei）于 1954 年和斯科勒姆（Skolem）于 1957 年开创的——得到了哈耶克（Hajek）、谢波森（Shepherdson）和巴黎（Paris）于 2000 年以及哈耶克于 2005 年、2010 年的贡献的新推动。通常，在这些论文中应用了数学分析的基本结果（例如布劳尔的不动点定理）。值得一提的是，莱特格布（Leitgeb）于 2008 年利用哈恩-班雅克定理对无限制 T-模式真理的概率论给出了一致性证明。与修订理论相关的研究的后续工作（见第 6.5 节）是由坎贝尔-摩尔（Campbell-Moore）、霍斯滕（Horsten）和莱特格布于 2019 年进行的。

关于天真真理的理论——基于无限制的双条件和无收缩逻辑——可以在文献中找到，例如参见坎蒂尼（Cantini）2002 年、扎尔迪尼（Zardini）2011 年、培根（Bacon）2013 年、斯坦德弗（Standefer）2016 年。相反，里普利（Ripley）2012 年提出了一种基于非传递逻辑系统的替代方法（另请参见科布雷罗斯等人 2012 年以及科布雷罗斯等人 2015 年，试图将该方法扩展到模糊悖论）。

格里辛（Grišin）于 1981 年证明了基于悖论原则的系统——统一的天真包容模式和（某种形式的）非收缩逻辑——具有削减消除，因此是一致的。另一方面，系统的一致性被外延性破坏，这可以被视为另一个悖论！当然，“统一”在这里意味着一个变量绑定的抽象运算符{x | φ(x,a)}，用于命名由 φ 定义的集合，取决于给定参数 a 的列表。有趣的是，已经证明了与之密切相关的系统对于复杂性类的表征具有意想不到的应用（Girard 1998，Terui 2004）；另一方面，该系统是计算完备的（它可以解释组合逻辑，坎蒂尼 2003 年）。

6.7 迈向“几何”方法

除了代数和分析工具之外，关于悖论的逻辑研究最近还应用了图论（参见 Cook 2004，Rabern，Rabern 和 Macauley 2013，Beringer 和 Schindler 2017，Hsiung 2017）：一个基本思想是试图以几何术语把握悖论的模式和结构特征。例如，可以通过 Leitgeb 的依赖概念（Leitgeb 2005）将算术语言的句子与真理相关联，并分配一个参考图（rfg）。进一步猜测，对于危险的 rfgs 的表征问题的解决方案相当于声称基本上 Liar 图和 Yablo 图是唯一的悖论 rfgs。这条路线在 Rossi 2019 中独立发展，通过探索悖论句子展示的广泛语义行为，并提供一个统一的真理和悖论理论。结果是一个真理理论，可以对悖论句子进行三重分类（类似说谎者的句子，类似真话者的句子和复仇句子），并提出一种解释所有三种类型以及无悖论句子的方法，其中基本工具是“语义图”的概念。而在 Hsiung 2020 中，Leitgeb 的方法与 Beringer 和 Schindler 2017 的方法相结合，研究了一种以 Leitgeb 的依赖关系本身为基础的有限特征悖论类型。

Bibliography

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The items occurring in this list mainly concern the primary literature on paradoxes in the period 1897–1945.

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Acknowledgments

For this edition of the entry, the authors were supported by the Italian Ministry of Education, University and Research through the PRIN 2017 program “The Manifest Image and the Scientific Image” prot. 2017ZNWW7F_004.

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