分体论 mereology (Achille Varzi)

首次发表于 2003 年 5 月 13 日；实质性修订于 2016 年 2 月 13 日

分体论（来自希腊语 μερος，意为“部分”）是关于部分关系的理论：关于部分与整体之间的关系以及部分与整体内部的关系[1]。它的根源可以追溯到哲学的早期，始于前苏格拉底哲学家，并贯穿于柏拉图（尤其是《巴门尼德斯》和《忒艾泰特斯》）、亚里士多德（尤其是《形而上学》、《物理学》、《论题学》和《动物部分》）以及博伊修斯（尤其是《分割论》和《关于西塞罗的论题学》）的著作中。分体论在中世纪本体论者和学院哲学家的著作中也占据重要地位，如计算学家加兰德、彼得·阿伯拉德、托马斯·阿奎那、雷蒙德·卢尔、约翰·邓斯·斯科特、沃尔特·伯利、威廉·奥坎和让·布里丹，以及荣格的《汉堡逻辑学》（1638）、莱布尼兹的《组合艺术论文》（1666）和《单子论》（1714），以及康德的早期著作（1747 年的《思想》和 1756 年的《物理单子论》）。然而，作为一个关于部分关系的形式理论，分体论主要通过弗朗茨·布伦塔诺及其学生的工作，特别是胡塞尔的第三篇《逻辑研究》（1901 年）进入我们的时代。后者可以被认为是对该理论的首次彻底阐述的尝试，尽管在一个难以将分体论概念的分析与其他本体论相关概念（如本体依赖关系）区分开来的格式中[2]。直到莱什涅夫斯基的《集合论一般理论的基础》（1916 年）和《数学基础》（1927-1931 年），纯粹的部分关系理论才得到了确切的阐述[3]。由于莱什涅夫斯基的工作在波兰以外的非波兰语使用者中很难获得，直到莱纳德和古德曼的《个体的演算》（1940 年）出版，受到怀特海德的影响，分体论才成为现代本体论者和形而上学家关注的重要章节。[ 4]

在接下来的内容中，我们主要关注分体论的当代表述，因为它们源于这些最近的理论——勒什涅夫斯基的和伦纳德与古德曼的理论。实际上，尽管这些理论以不同的逻辑形式出现，但它们足够相似，可以被认为是大多数后续发展的共同基础。然而，为了正确评估相对的优势和劣势，逐步进行将是方便的。首先，我们考虑一些核心的分体论概念和原则。然后，我们继续对基于这一基础上建立的更强理论进行审查。

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1. 'Part'和 Parthood

首先需要注意的是，它涉及的分体论的“part”概念在普通语言中没有确切的对应词。广义上讲，在英语中，我们可以使用“part”来表示给定实体的任何部分。这部分可能与剩余部分连接在一起，如（1）所示，也可能是分离的，如（2）所示；它可能在认知上或功能上显著，如（1）-（2）所示，也可能是任意划分的，如（3）所示；它可能是自连接的，如（1）-（3）所示，也可能是断开的，如（4）所示；它可能是均匀的或以其他方式匹配的，如（1）-（4）所示，也可能是选区的，如（5）所示；它可能是物质的，如（1）-（5）所示，也可能是非物质的，如（6）所示；它可能是扩展的，如（1）-（6）所示，也可能是非扩展的，如（7）所示；它可能是空间的，如（1）-（7）所示，也可能是时间的，如（8）所示；等等。

(1)	这个把手是杯子的一部分。
(2)	这个遥控器是音响系统的一部分。
(3)	左半部分是你的蛋糕的一部分。
(4)	餐具是餐具的一部分。
(5)	这个袋子里的东西只是我买的一部分。
(6)	那个区域是客厅的一部分。
(7)	最外层的点是周长的一部分。
(8)	第一幕是整个剧的最好部分。

所有这些用法都说明了分体论的焦点所在的“部分”的一般概念，而不考虑任何内部区别。（有关更多示例和初步分类，请参见 Winston 等人 1987 年，Iris 等人 1988 年，Gerstl 和 Pribbenow 1995 年，Pribbenow 2002 年，Westerhoff 2004 年和 Simons 2013 年。）然而，有时英语单词在更狭义的意义上使用。例如，它可以仅用于指示在（1）中所示的认知显著关系，显著性的相关概念由格式塔尔特因素（Rescher 和 Oppenheim 1955 年；Bower 和 Glass 1976 年；Palmer 1977 年）或其他感知和认知因素决定（Tversky 2005 年）。或者它可能仅指示在机器的用户手册或即装即用产品的零件清单中反映的功能关系，如（2）所示，在这种情况下，对象 x 的零件只是其“组成部分”，即那些作为单独单元可用的零件，而不考虑它们与 x 的其他零件的实际交互作用。（组成部分是对象的一部分，而不仅仅是它的一部分；参见例如 Tversky 1989 年，Simons 和 Dement 1996 年。）显然，这种限制关系的属性可能与更广泛理解的部分关系的属性不一致，纯粹的分体论只关注后者。

另一方面，英语单词“part”有时也以更广泛的意义使用，例如用来指代物质构成的关系，如（9）中所示，或混合组成的关系，如（10）中所示，或群体成员的关系，如（11）中所示：

(9)	泥土是雕像的一部分。
(10)	金酒是马提尼的一部分。
(11)	守门员是团队的一部分。

然而，这些关系的分体论地位是有争议的。例如，尽管亚里士多德在他的三重部分分类学中包括了（9）中所示的构成关系，但许多当代作者更倾向于将其解释为一种独特的非分体论关系（参见例如 Wiggins 1980，Rea 1995，Baker 1997，Evnine 2011）或者作为身份关系（Noonan 1993，Pickel 2010），可能是偶然的或者有条件的身份（Gibbard 1975，Robinson 1982，Gallois 1998）。同样，（10）中所示的成分-混合关系的分体论地位是可疑的，因为成分可能会经历重大的化学变化，从而改变它们在孤立状态下的结构特征（Sharvy 1983，Bogen 1995，Fine 1995a，Needham 2007）。至于（11）这样的情况，关于团队和其他群体是否应被视为真正的分体论整体存在争议，虽然有哲学家认为是这样（从 Oppenheim 和 Putnam 1958 到 Quinton 1976，Copp 1984，Martin 1988 和 Sheehy 2006），但许多人倾向于将群体视为一种不同类型的实体，并将群体成员关系与部分关系区分开来（参见例如 Simons 1980，Ruben 1983，Gilbert 1989，Meixner 1997，Uzquiano 2004，Effingham 2010b 和 Ritchie 2013 提出的不同建议）。出于所有这些原因，我们在这里将分体论主要涉及到（1）-（8）中所示关系的原则，同时保留了是否将“部分”这样更广泛的用法也纳入分体论处理的可能性。

最后，值得强调的是，分体论对“部分”领域没有本体论限制。原则上，相关物可以是如物质体、事件、几何实体或时空区域等完全不同的实体，如（1）-（8）所示，也可以是抽象实体，如属性、命题、类型或种类，如下面的例子所示：

(12)	理性是人性的一部分。
(13)	前提是条件语句的“如果”部分。
(14)	字母“m”是单词“分体论”的一部分。
(15)	碳是甲烷的一部分。

这并非没有争议。例如，对于一些哲学家来说，这样的抽象实体可能以分体论的方式构成，这与它们作为普遍性的存在是无法调和的。借用刘易斯（1986a）的一个例子，如果字母“m”是单词“分体论”中的一部分，那么字母“e”也是。但是，“分体论”中有两个“e”的出现。我们应该说这个字母是这个单词的一部分两次吗？同样地，如果碳是甲烷的一部分，那么氢也是。但是每个甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成。我们应该说氢是甲烷的一部分四次吗？那到底意味着什么？一个东西怎么可能是另一个东西的一部分超过一次？这些是紧迫的问题，而支持结构化普遍性的人可能希望通过承认相关的构建关系不是分体关系，而是一种非分体论的组合方式来回应（阿姆斯特朗 1986 年，1988 年）。然而，还有其他选择，包括一些从分体论的角度直接面对困难的选择（例如 Bigelow 和 Pargetter 1989 年，Hawley 2010 年，Mormann 2010 年，Bader 2013 年和 Forrest 2013 年，即将出版；另请参见 D. Smith 2009 年：§4，K. Bennett 2013 年，Fisher 2013 年和 Cotnoir 2013b：§4，2015 年，对“多次相关的部分关系”这一概念进行了明确的讨论）。这些选择是否可行可能存在争议。然而，它们的可行性证明了分体论试图描述的部分关系概念的完全普遍性。在这个意义上，需要强调的是形而上学的。因为虽然莱斯涅夫斯基（Leśniewski）以及伦纳德和古德曼（Leonard and Goodman）的原始表述表明了名义主义的立场，反映了将分体论作为本体论上简约的替代集合论的概念，但部分关系的分析与名义主义的哲学立场之间并没有必然的联系。【5】作为一个形式理论（按胡塞尔的“形式”概念来理解），，与‘物质’相对的分体论仅仅是一种试图制定关于实体与其组成部分之间关系的一般原则的尝试，无论实体的性质如何，就像集合论是一种试图制定关于集合与其成员之间关系的原则的尝试一样。与集合论不同，分体论不承认抽象存在的存在：整体可以像部分一样具体。但是，分体论也没有对具体存在的名义承诺：部分可以像整体一样抽象。

这种将分体论视为一种普遍且与主题无关的理论的方式是否站得住脚，这个问题在这里不再进一步讨论。然而，这将成为接下来的许多问题的背景。同样，关于是否应该承认不同（原始的）整体-部分关系在不同种类的实体之间存在（如 Sharvy 1980，McDaniel 2004、2009 和 Mellor 2006 所主张的），或者甚至在同一种类的实体之间存在（Fine 1994、2010），将不会有太多的讨论。然而，这样一个问题对于评估下面讨论的某些分体论原则的相关性仍然是相关的，这些原则的普遍性可能只在有限的意义上或对“部分”的有限理解上成立。有关分体论的普遍性和与主题无关性的进一步问题，还可以参见 Johnston（2005, 2006），Varzi（2010），Donnelly（2011），Hovda（2014）和 Johansson（2015）。 （有些人甚至认为根本不存在任何整体-部分关系，例如，因为根本不存在因果惰性的非逻辑属性或关系，而整体-部分关系将是其中之一；有关这种分体论反实在论的辩护，请参见 Cowling 2014。）

2. 核心原则

在这些条件下，并暂时不考虑涉及意向因素（如时间和模态）引起的复杂性，我们可以继续审视一些核心的分体论概念和原则。理想情况下，我们可以在这里区分（a）那些仅仅旨在确定关系谓词“部分”的预期含义的原则，和（b）一系列额外的、更实质性的原则，超越了显而易见的内容，旨在达到更高的复杂性和描述能力。然而，（a）和（b）之间的界限应该如何划定，甚至是否可以划定这样的界限，本身就是一个有争议的问题。

2.1 分体论作为部分排序

通常的起点是这样的：不论一个人对本体论问题有何看法，如果“部分”代表着由上述（1）-（8）以及可能还有（12）-（15）所示的一般关系，那么它代表着一个部分排序——一个自反的、传递的、反对称的关系：

(16)	一切都是自身的一部分。
(17)	任何事物的任何部分都是该事物的一部分。
(18)	两个不同的事物不能成为彼此的一部分。

事实证明，文献中提出的大多数理论都接受（16）-（18）。然而，仍然值得提及一些可能会对这些原则提出异议的疑虑，这些疑虑可能已经提出过，有时也确实提出过。

关于反身性（16），可以区分出两种担忧。第一种是许多合法的“部分”概念与一个整体是其自身的一部分的说法相悖。例如，Rescher（1955）以此为由著名地反对了 Leonard 和 Goodman 的理论，引用了生物学家将“部分”用于有机体的功能亚单位的用法作为例证：没有一个有机体是其自身的功能亚单位。这是一个合理的担忧，但似乎并不重要。将反身性（和反对称性）视为“部分”含义的构成要素，实际上等同于将身份视为“部分”的极限（不适当）情况。更强的关系，即没有任何东西被视为其自身的一部分，显然可以用较弱的关系来定义，因此没有广义上的损失（见下文第 2.2 节）。反之，也可以通过将适当的部分性视为原始概念来构建一个分体论理论。正如 Lejewski（1957）已经指出的那样，这只是选择一个合适的原始概念的问题，因此没有实质性的结论可以从中得出。（当然，如果有人认为存在或可能存在不自我识别的对象，例如由于量子领域中的个体性丧失或其他原因，那么这些对象也不会是它们自身的一部分，从而对（16）提出了真正的反例。然而，在这里，我们坚持遵循传统智慧的身份概念，即身份是符合莱布尼兹定律的等价关系的概念。）第二种担忧更为严重，因为它对（16）表达的原则是否在某种程度上构成了“部分”含义的构成要素提出了真正的挑战，而不是关于部分性的实质性形而上学命题。 根据 Kearns（2011）的观点，考虑一个场景，持久的墙壁 W 被缩小到砖的大小，最终被带回时间，与其他砖一起用于建造原始的 W。或者假设墙壁 W 同时存在于我的左边和右边，我将其在左边缩小到砖的大小，然后用它替换右边 W 的一块砖。在这种情况下，人们可能认为 W 在某种意义上是自身的一部分，而普通的墙壁则不是，因此可能认为部分性不是自反的，或者适当的部分性不是非自反的。另一个例子（也是由 Kearns 提出的），如果将形状理解为抽象的普遍性，那么类似于分形的自相似形状很可能可以说是以其他形状所不具备的方式包含自身作为部分。这样的情况是否确实可能是一个有争议的问题，因为它取决于关于时间持续性、空间位置和形状性质的一些背景形而上学问题。但正是因为这些情景并不明显不可能，我们可以质疑（16）的普遍性和形而上学的中立性。（请注意，这些情景还提供了质疑我们通常谈论方式的许多其他主张的理由，例如没有什么可以比自身更大、或者与自身相邻、或者与自身在质上不同。这些主张可能比适当的部分性非自反和部分性自反更加根深蒂固，然而这并不是坚持它们的理由。这只是表明我们的日常交谈没有考虑到——诚然是非凡的——情境。）)

类似的考虑适用于传递性原则（17）。一方面，一些作者观察到，“部分”一词的许多合理意义都是非传递的，这促进了分体论的研究，其中（17）可能会失败（Pietruszczak 2014）。例如：（i）细胞的生物亚单位不是该细胞所属的器官的一部分；（ii）把手可以是门的一部分，门可以是房子的一部分，但把手永远不是房子的一部分；（iii）我的手指是我的一部分，我是团队的一部分，但我的手指不是团队的一部分（再次参见 Rescher 1955 以及 Cruse 1979 和 Winston 等人 1987，其他例子参见 Iris 等人 1988，Moltmann 1997，Hossack 2000，Johnston 2002、2005，Johansson 2004、2006 和 Fiorini 等人 2014）。然而，可以说，这种疑虑再次源于英语词“part”的歧义。作为细胞的生物亚单位可能不算作器官的亚单位，即器官的一个特殊部分，但这并不意味着它根本不是器官的一部分。同样，如果有一种意义上的“部分”，在这种意义上，把手不是属于它的房子的一部分，或者我的手指不是我的团队的一部分，那么这是一种受限制的意义：把手不是房子的功能部分，但它是门的功能部分，门是房子的功能部分；我的手指不是团队的直接部分，但它们是我直接的一部分，而我是团队的直接部分（关于这最后一种情况，Uzquiano 2004: 136–137，Schmitt 2003: 34 和 Effingham 2010b: 255 实际上将（iii）读作对群体成员关系是真正的部分关系的一种还原，如上所述 ad（11））。显然，如果“部分”的解释受到额外条件的限制，例如要求部分对整体有功能或直接贡献，那么传递性可能会失败。 一般来说，如果 x 是 y 的 φ-部分，而 y 又是 z 的 φ-部分，那么 x 不一定是 z 的 φ-部分：谓词修饰符“φ”可能不在部分关系上分配。但这显示了“φ-部分”的非传递性，而不是“部分”的非传递性，在一个足够一般的框架内，可以借助明确的谓词修饰符来表达这一点（Varzi 2006a；Vieu 2006；Garbacz 2007）。另一方面，有一个真正的担忧，即使在关于“部分”的预期解释方面存在任何歧义，（17）也表达了一个实质性的形而上学命题，因此不能被视为理所当然。例如，事实证明，时间旅行和多位置场景（如与（16）相关的那些）也可能导致部分关系（Effingham 2010a）和适当部分关系（Gilmore 2009；Kleinschmidt 2011）的传递性违规。对于不涉及这种奇特情况的情况也可以这样说。例如，Gilmore（2014）引起了人们对起源于 Russell（1903）的结构命题理论的关注。Frege（1976: 79）已经指出，如果命题的组成部分被构造为（适当的）部分，那么我们就会遇到问题：假设埃特纳山字面上是“埃特纳高于维苏威”的命题的一部分，那么埃特纳的每一块固化的熔岩也将是该命题的一部分，这是荒谬的。弗雷格说，这对于 Russell 的结构命题理论来说更糟糕。可以回答说，这对于部分关系的传递性来说更糟糕（除非声称该论证涉及“部分”的另一种模棱两可）。

关于反对称假设（18），情况更加复杂。首先，一些作者认为物体与其构成物之间的关系提供了反对称性的完全普通的反例：例如，根据汤姆森（1998）的观点，雕像和构成它的黏土彼此是彼此的一部分，但又是不同的。这并不是一个普遍接受的观点：正如前面提到的，大多数当代作者要么否认物质构成是部分关系，要么将其视为不适当的部分关系，即同一性，这在本质上是反对称的（和对称的）。此外，那些将构成视为真正的部分关系的人往往遵循亚里士多德的形质观念，并否认该关系也逆向成立：黏土是雕像的一部分，但反之则不成立（例如参见 Haslanger 1994，Koslicki 2008）。然而，只要汤姆森的观点是一个合理的选择，它就对（18）的普遍性提出了挑战。其次，人们可能会对对称部分关系的非寻常情况的可能性产生疑问。桑福德（1993: 222）提到博尔赫斯的《阿莱夫》就是一个例子：“我在阿莱夫中看到了地球，在地球中又看到了阿莱夫，以及地球在阿莱夫中……”。在这种情况下，一个合理的回答可能是虚构作品对概念研究没有指导作用：可想象性可能是可能性的指南，但文学幻想本身并不能证明可想象性（van Inwagen 1993: 229）。也许对法藏的《因陀罗宝网》也可以这样说，其中每颗宝石都是其他每颗宝石的一部分（Jones 2012）。然而，其他情况似乎更难解释。当斯科拉学派争论三位一体中的每个人都是上帝的一个适当部分，同时又与上帝相同时，他们显然不仅仅是在进行文学虚构（例如参见亚伯拉罕，基督神学，第三册）。 而且可以说时间旅行至少是可以想象的，如果是这样的话，(18)可能会失败：如果时间旅行的墙壁 W 最终成为组成其自身下半部分 H 的砖块之一，那么我们就有了一个可以想象的情景，其中 W 是 H 的一部分，H 是 W 的一部分，但 W ≠ H（Kleinschmidt 2011）。第三，可以认为反对称性也与在相当独立的基础上被认为是可接受的理论相矛盾。再次考虑结构命题理论。如果 A 是宇宙存在的命题——其中宇宙是一切都是其一部分的东西——如果 A 是真的，那么根据这样的理论，宇宙将是 A 的一个适当部分；而且由于 A 又将是 U 的一个适当部分，反对称性将被放弃（Tillman 和 Fowler 2012）。同样，如果 A 是命题 B 是真的，而 B 是命题 A 是有条件的，那么再次，即使 A ≠ B，A 和 B 也将是彼此的一部分（Cotnoir 2013b）。最后，更一般地说，可以观察到分体循环的可能性应该认真对待，原因与非良基集合论的发展相同，即允许自我成员和更一般地说，成员循环的集合论（Aczel 1988；Barwise 和 Moss 1996）。这在考虑到将集合论本身重新表述为分体论的可能性时尤为重要——这一可能性在 Bunt（1985）和尤其是 Lewis（1991, 1993b）的著作中得到了广泛的阐述（另请参见 Burgess 2015 和 Hamkins 和 Kikuchi 即将出版的著作）。基于所有这些原因，反对称性假设（18）很难被视为“部分”基本含义的构成要素，一些作者已经开始系统研究“非良基分体论”，在这种理论中（18）可能会失败（Cotnoir 2010；Cotnoir 和 Bacon 2012；Obojska 2013）。

在接下来的内容中，我们旨在对分体论进行一次批判性的调查，因此我们将主要限制在那些实际上接受反对称性假设以及自反性和传递性的理论上。然而，上述考虑不应被忽视。相反，它们在评估分体论的范围以及其标准表述和扩展所揭示的可能过于狭窄、错误或其他问题的直觉方面至关重要。事实上，它们在评估本节开头提到的理想愿景时也至关重要——即清晰划分核心原则与反映更实质性关于部分关系的原则之间的愿景。经典分体论认为前者包括“部分”代表自反、传递和反对称关系的三重主张，但这并不意味着“任何严肃反对它们的人都没有理解这个词”（Simons 1987: 11），就像违背经典逻辑的基本原则并不一定等同于“换了个话题”（Quine 1970: 81）。正如对于逻辑定律存在广泛和多样化的分歧可能会导致人们得出结论：“就我们所知，（无限制的）所有逻辑的交集中可能只剩下恒等推理：从 A 推导出 A”（Beall and Restall 2006: 92），因此人们可以根据上述考虑和相应的非经典分体论的发展来推断，可能“没有理由假设任何有用的核心分体论[...]作为所有合理的形而上学理论的共同基础”（Donnelly 2011: 246）。

2.2 其他分体论概念

在这一点上，引入一定程度的形式化是方便的。这样可以避免普通语言带来的歧义，并促进比较和发展。为了明确起见，我们在这里假设一个带有身份的标准一阶语言，并提供一个被解释为部分关系的二元谓词常量“P”。[6] 假设底层逻辑是带有身份的经典谓词演算，[7] 则在第 2.1 节讨论的部分关系的要求可以被视为形成一个一阶理论，该理论由以下关于“P”的适当公理所特征化：

(P.1)	* 自反性_P_xx*
(P.2)	* 传递性 _(P_xy _∧ P_yz _) → P_xz*
(P.3)	* 反对称性 _(P_xy _∧ P_yx ) → x = y*.

(在此及以下，我们通过省略所有初始的全称量词来简化符号表示。除非另有说明，否则所有公式都应被理解为普遍封闭的。) 我们可以将这样的理论称为核心分体论—简称为 M[8]—因为它代表了所有标准理论的共同起点。

鉴于(P.1)–(P.3)，可以通过定义引入许多额外的分体论谓词。例如：

(19)	* 相等性_EQ_xy _=df P_xy _∧ P_yx*
(20)	* 适当的部分_PP_xy _=df P_xy ∧ ¬ x = y*
(21)	* 适当的扩展_PE_xy _=df P_yx ∧ ¬ x = y*
(22)	* 重叠_O_xy =df ∃ z _(P_zx _∧ P_zy*)
(23)	* 下重叠_U_xy =df ∃ z _(P_xz _∧ P_yz*).

对于这些关系的直观模型，将‘P’解释为空间包含，如图 1 所示。

Figure 1

图 1. 分体论关系的基本模式。（阴影单元格表示部分关系）。

注意，如果假设存在一个“普遍实体”，其中一切都是其一部分，那么‘Uxy’将被认为是成立的。相反，如果假设存在一个“空项目”，它是一切的一部分，那么‘Oxy’将始终成立。然而，这两种假设都是有争议的，我们将在下面回到它们。

还要注意，这些定义（通过纯逻辑）意味着 EQ、O 和 U 都是自反和对称的；此外，EQ 还是可传递的——一个等价关系。相比之下，PP 和 PE 是非自反和非对称的，并且根据（P.2）可以得出它们都是可传递的——因此它们是严格的偏序关系。由于以下双条件也是公理（具体来说，是 P.1）的直接结果，

现在显而易见的是，实际上可以将适当的部分性作为古典分体论发展的替代起点，使用（24）的右侧作为“P”的定义。例如，这是 Simons（1987）中采用的选项，也是 Leśniewski 最初的理论（1916）中采用的选项，其中“P”的偏序公理被替换为“PP”的严格排序公理。[9] 同样适用于“PE”，实际上它是 Whitehead（1919）对事件分体论的半正式处理中的原始关系（它只是“PP”的逆关系）。其他选项也是可能的。例如，Goodman（1951）使用“O”作为原始关系，而 Leonard 和 Goodman（1940）使用它的相反关系：[10]

然而，与这些谓词相对应的关系严格弱于 PP 和 PE，并且在 M 中无法证明任何双条件式，以产生“P”的相应定义（尽管可以在进一步的公理存在下用“O”或“D”来定义“P”；参见下面的 ad（61））。因此，其他条件相等的情况下，“P”，“PP”和“PE”似乎是唯一合理的选择。在这里，我们将坚持使用“P”，并参考 J. Parsons（2014）进行进一步讨论。

最后，注意到由于反对称性公设（P.3）的以下明显推论，身份本身可以通过定义引入：

(26)	x=y ↔ EQ_xy_.

因此，理论 M 可以通过假设（P.1）和（P.2）并用以下的 Leibniz 身份公理模式的变体（其中 φ 是语言中的任何公式）来用纯一阶语言来表述：

(P.3′)

不可辨性 EQxy → (φx ↔ φy)。

实际上，可以基于这些理由争论，部分关系在某种意义上在概念上优先于同一关系（如 Sharvy 1983: 234 所述），并且由于“EQ”不能仅仅通过“PP”或“PE”来定义，除非在更强的公理存在的情况下（见下文中的(27)），这个论点也将提供支持“P”作为最基本的原始概念的证据。然而，正如我们将在第 3.2 节中看到的，部分关系和同一关系之间的联系在哲学上是有问题的。为了不损害我们的阐述，我们将保持一种同时包含“P”和“=”作为原始概念的语言。鉴于关于 Antisymmetry 的争议地位的前述评论，这也是方便的。（26）依赖于此。

最后一条评论也与上述“PP”的定义相关。这是 Leśniewski、Leonard 和 Goodman 使用的经典定义，与前一节中使用的适当部分性的直观描述完全一致。然而，在某些处理中（包括本条目的早期版本[11]），“PP”是直接根据“P”而不使用身份定义的，如以下（20）的变体：

(20′)

（严格）适当部分性 PP xy =df P xy ∧ ¬P yx .

（见例如 Goodman 1951: 35; Eberle 1967: 272; Simons 1991a: 286; Casati and Varzi 1999: 36; Niebergall 2011: 274）。对于“PE”也是如此。在分体论中，这种差异并不重要，因为相关的定义是可以证明等价的。但是，所讨论的等价性关键取决于随附性。在没有（P.3）的情况下，第二个定义严格更强：根据（20），任何相互 P 相关的两个事物都会根据（20'）被视为彼此的适当部分，但显然不会根据（20'）被视为彼此的适当部分，因为（20'）强制 PP 是非对称的。实际上，在（P.1）和（P.2）的存在下，后一个定义仍然足够强大，可以提供严格的部分排序，而（20）甚至不会产生传递关系，除非假设（P.3）。[12]另一个重要的区别是，在没有（P.3）的情况下，（24）中的双条件仅在将“PP”定义为（20）中的方式时才成立；如果改用（20'），则从左到右的方向将在 x 和 y 是不同的相互部分时失败。鉴于上述关于（P.3）的疑问地位的评论，因此使用较弱的定义更为方便。标准上并没有区别，但是如果改用（20'），下面介绍的一些定义和结果将不适用于非良基分体论。（见例如 Cotnoir 2010 和 Gilmore 2016）。此外，由于两个定义都强制 PP 是非自反的，应该注意，开发允许严格的分体循环的非良基分体论的唯一方法是依赖于另一个定义，或者将“PP”作为原始的（如 Cotnoir and Bacon 2012 中，其中 PP 被公理化为传递的，但既非自反也非对称）。

3. 分解原则

M 通常被视为体现任何分体论理论的共同核心。然而，并非任何偏序关系都能够合格地成为整体-部分关系，而确定应该添加到（P.1）-（P.3）的进一步原则正是一个良好的分体论理论所要回答的问题。在这里，哲学问题开始增多，超越了第 2.1 节中提到的一般关注点。

一般而言，这些进一步原则可以分为两个主要组。一方面，可以通过分解原则将 M 扩展到从整体到其部分。例如，可以考虑这样一个想法，即每当某物有一个适当的部分时，它就不止一个——即整体和其适当部分之间总是存在一些分体论差异（“剩余”）。这在 M 的每个模型中都不一定成立：一个只有两个物品的世界，其中只有一个是另一个的一部分，将是一个反例，尽管不能用图 1 中使用的几何图来说明。另一方面，可以通过组合原则将 M 扩展到从部分到整体的方向。例如，可以考虑这样一个想法，即每当存在一些事物时，就存在一个由这些事物完全组成的整体——即总是存在两个或更多部分的分体论和（或“融合”）。同样，在 M 的模型中，这不一定成立，而且关于这个想法是否应该无限制地成立存在很大争议。

3.1 随附/监督

让我们从第一种扩展开始。让我们首先仔细研究一下这样的直觉，即整体不能被分解为单个适当的部分。有多种方式可以尝试捕捉这种直觉。考虑以下内容（来自 Simons 1987 年：26-28）：

(P.4a)	* 公司_PP_xy → ∃ z _(PP_zy ∧ ¬ z = x*)
(P.4b)	* 强大公司_PP_xy → ∃ z _(PP_zy _∧ ¬P_zx*)
(P.4)	随附 [ 13] PP xy → ∃ z (P zy ∧ ¬O zx ).

第一个原则（P.4a）是对所讨论的观念的直接表达：每个适当的部分都必须有另一个部分随附。然而，从某种明显的意义上讲，（P.4a）只捕捉到了观念的字面意义，而非精神意义：它排除了上述提到的意外模型（见图 2，左侧），但并未排除一个不合理的模型，其中包含一个无限下降的链条，而额外的适当部分并不留下任何剩余物（图 2，中间）。

第二个原则（P.4b）更为强大：它排除了两个模型都是不可接受的。然而，（P.4b）仍然不足以捕捉到所期望的观念。例如，它满足一个模型，其中一个整体可以被分解为几个彼此重叠的适当部分（图 2，右侧），并且可以认为这样的模型并不能充分体现“适当部分”的含义：毕竟，观念是，去除一个适当部分应该留下一些剩余物，但绝不清楚一旦去除了 z（以及它的部分），x 会剩下什么。

Figure 2

图 2. 三个未补充的模型。（在下面的图表中，向下连接的线表示适当的扩展关系，即适当的部分关系的逆。因此，在所有的图表中，部分关系具有自反性和传递性。）

只有第三个原则（P.4）似乎提供了一个完整的表述，即整体不能被分解为单个适当的部分。根据这个原则，每个适当的部分必须被另一个不相交的部分“补充”，而最后一个限定词捕捉了剩余的概念。那么，应该将（P.4）作为关于“部分”含义的进一步基本原则纳入 M 中吗？

大多数作者（从西蒙斯本人开始）会这样说。然而，在这里确实存在真正的分歧的空间。事实上，很容易构想出违反不仅（P.4），而且（P.4b）甚至（P.4a）的分体论场景。一个例子是布伦塔诺（1933）的事故理论，根据该理论，一个思维的心灵是一个思维心灵的适当部分，即使没有任何东西来弥补差异。（参见奇索姆 1978 年，鲍姆加特纳和西蒙斯 1993 年。）同样，在芬恩（1982）的 qua-objects 理论中，每个基本对象（约翰）都符合其化身（约翰 qua 哲学家，约翰 qua 丈夫等）的唯一适当部分。白海德（1929）的广泛连接理论提供了另一个有趣的例子，在该理论中，量化域中不包括边界元素：根据这个理论，一个拓扑闭合区域将其开放内部作为适当部分，尽管没有边界元素来区分它们-域仅由扩展区域组成。（有关严格的表述，请参见克拉克 1981 年，有关发展，请参见兰德尔等人 1992 年。）最后，考虑到阿奎那斯可能持有的观点，即人在身体死亡时与其灵魂一起存活（参见布朗 2005 年和斯坦普 2006 年，与托纳 2009 年相反）。在理解人是物质形态复合体，并且两个事物不能成为一个的前提下，这个观点意味着失去身体后，一个人将继续存在，复活前，只有一个适当部分-灵魂。（这也是一些当代哲学家的观点；例如，参见奥德伯格 2005 年和赫尔舍诺夫和科赫-赫尔舍诺夫 2006 年。事实上，任何由分体论减少引起的物质巧合情况，例如斯多葛派的迪昂和西昂之谜（Sedley 1982）以及其现代变体的蒂布尔斯和蒂布（Wiggins 1968），似乎与随附/监督相矛盾：在减少之后，没有任何东西可以弥补原本是一个适当部分与其重合的整体之间的差异，除非认为部分已经变得与整体相同（Gallois 1998），或者已经停止存在（Burke 1994），或者一开始就不存在（van Inwagen 1981）。人们可以依靠（P.4）的直观吸引力来排除上述所有理论和情景的不合理性。但人们也可以反过来，将这些理论的合理性视为不无条件地接受（P.4）的一个很好的理由，正如 D. Smith（2009），Oderberg（2012）和 Lowe（2013）所主张的那样。因此，目前看来，将这样一个原则视为对（P.1）-（P.3）的最小但实质性补充似乎是合适的，这超出了 M 所提供的“部分”的基本特征的描述。我们将得到的分体论理论标记为 MM，即最小分体论。

实际上，现在分体论已经变得多余，因为随附证明了只要部分关系是传递的和自反的，那么补充性就会蕴含反对称性：如果 x 和 y 是彼此的真部分，与（P.3）相反，那么每个 z 是其中一个的部分也是另一个的部分，因此重叠，与（P.4）相反。为了方便参考，我们将继续将（P.3）视为公理。但是这种蕴含值得强调，因为它解释了为什么那些不支持反对称性的人往往明确拒绝补充性，超越了上述更经典的例子。例如，任何认为雕像和相应的泥块是彼此的部分的人都会发现补充性是不合理的：毕竟，这些部分是共同存在的；当从雕像中“减去”泥土时，我们为什么还期望有什么东西剩下呢？（Donnelly 2011: 230）。事实上，补充性最近也独立于其与反对称性的联系而遇到了麻烦，特别是在与（P.1）-（P.3）的每一个相关的时间旅行和多位置场景的背景下（参见 Effingham 和 Robson 2007，Gilmore 2007，Eagle 2010，Kleinschmidt 2011，Daniels 2014）。因此，一个越来越受关注的问题是是否有任何捕捉补充性直觉的方法，这些方法足够强大，可以排除图 2 的模型，但又足够弱，以便被那些不支持某种 M-公理的人接受，无论是反对称性、传递性还是自反性。

在这方面可以提供两种答案（参见例如 Gilmore 2016）。第一种是通过加强前提来削弱补充性条件。例如，可以简单地用（20'）中定义的更严格的真部分概念来重新表述（P.4），即有效地：

(P.4c)

* 严格补充性 _(P_xy _∧ ¬P_yx ) → ∃ z _(P_zy _∧ ¬O_zx*).

在分体论中，这等同于(P.4)。然而，它在逻辑上较弱，很容易看出即使在存在(P.1)-(P.2)的情况下，这足以阻止(P.3)的蕴涵（只需考虑一个具有相互分体关系的两个元素模型，如图 3 左侧）。尽管如此，(P.4c)比(P.4a)和(P.4b)要强得多，可以排除图 2 中的所有三种模式，并且显然保留了(P.4)的精神-尽管不是字面上的。第二种回答是通过调整结果来削弱随附/监督。有多种方法可以做到这一点，其中最自然的方法似乎是以下方式：

(P.4d)

* 随附/监督_PP_xy → ∃ z ∃ w _(P_zy _∧ P_wy _∧ ¬O_zw*).

再次，这个原则比(P.4a)和(P.4b)更强，因为它排除了图 2 中的所有模式，在 M 中它等同于(P.4)。实际上，(P.4d)字面上说，如果某物有一个适当的部分，那么它至少有两个不相交的部分，这与 Simons (1987: 27)认为(P.4)所捕捉到的直觉相同。然而，(P.4d)在逻辑上比(P.4)更弱，因为它允许图 3 中的非反对称模型，出现在中间位置，因此在违反(P.3)的理论背景下，它可能更合适。还要注意的是，(P.4d)不允许图 3 中的对称模型出现在左侧，因此在某种程度上它比(P.4c)更强。然而，在另一方面，它更弱，因为它允许图 3 中的模型出现在右侧，而(P.4c)排除了这种情况（对于那些认为黏土是雕像的一部分，但反之则不然的人来说，他们可能希望保留这种情况）。

Figure 3

图 3. 更多未补充的模式。

还有其他选择。例如，在一些标准的处理中，补充原则（P.4）也使用“PP”在结果中进行表述：

(P.4′)

适当的补充 PPxy → ∃z(PPzy ∧ ¬Ozx)。

在分体论中，这再次等同于（P.4），但等同性依赖于自反性和对称性。在没有（P.1）或（P.2）的情况下，（P.4'）在逻辑上更强。然而，可以依赖于“PP”的替代定义来获得比（P.4c）更强但比（P.4）更弱的（P.4'）的变体。类似地，对于（P.4d），可以通过篡改出现在前提和结论中的部分谓词来进一步削弱或加强它。

3.2 强补充和外延性

我们还可以提出相反的问题：除了（P.4）之外，还有没有更强的表达补充直觉的方式？在经典的分体论中，标准答案是肯定的，主要候选人是以下内容：

(P.5)

强补充 ¬Pyx → ∃z(Pzy ∧ ¬Ozx)。

直观地说，这意味着如果一个对象未包含另一个对象作为其部分，则必须存在一个余数，即某种弥补差异的东西。很容易看出，给定 M，（P.5）蕴含（P.4），因此任何违反（P.4）的 M 理论都将更加违反（P.5）。例如，在怀特海德的无边界广义连接理论中，尽管前者的每个部分与后者重叠，但封闭区域并不是其内部的一部分。更一般地说，只要部分关系是反对称的（请参见图 3 中心的非反对称反例），蕴涵就成立。然而，反过来并不成立。图 4 中的图表说明了一个满足（P.4）的 M 模型，因为每个适当的部分都被视为对方的补充；然而，（P.5）是错误的。

Figure 4

图 4. 违反强补充的补充模型。

通过将（P.5）添加到（P.1）-（P.3）中得到的理论因此是 MM 的适当扩展。我们将这个更强的理论标记为 EM，即 Extensional Mereology，属性“extensional”正是通过排除像图 4 中那样包含具有相同适当部分的不同对象的反模型来证明的。实际上，EM 的一个定理是不能区分具有相同适当部分的复合对象：

(27)	(∃ z_PP_zx ∨ ∃ z_PP_zy) → (x=y ↔ ∀ z(PP_zx_↔ PP_zy_)).

（“P”的类比在 M 中已经可以证明，因为 P 是自反和反对称的。）这远远超出了基本的补充原则（P.4）背后的直觉。它是否过分了？

乍一看，很容易设想与图 4 中的图表相对应的情景。例如，我们可以将 x 和 y 取为集合{{z}，{z，w}}和{{w}，{z，w}}，分别解释“P”为不当成员关系（即 ∈ 和=的并集）的祖先关系（即有序对 ⟨z，w⟩ 和 ⟨w，z⟩）。但集合是抽象实体，祖先关系通常不满足（P.4）（例如，根据“P”的建议解释，空集的单例集或任何原素的单例集只有一个适当的部分）。我们是否也可以在具体的、空间扩展的实体领域中设想类似的情景，并在其普遍性中接受（P.4）？诚然，很难想象两个按照图 4 所示的分体结构的具体对象。例如，很难画出由相同适当部分组成的两个扩展对象，因为画某物就是画它的适当部分；一旦部分被画出来，就没有其他事情可做来得到整体的图画了。然而，这只证明了图画对（P.5）有偏见。在抽象实体领域之外，在（P.4）存在的情况下，是否有任何哲学上的理由来抵制（P.5）的外延力量？

值得研究的有两种理由。一方面，有人认为适当部分的相同性并不足以说明身份的相同性。例如，有人认为：（i）两个单词可以由相同的字母组成（Hempel 1953: 110; Rescher 1955: 10），两个曲调由相同的音符组成（Rosen and Dorr 2002: 154），等等；或者（ii）相同的花可以组成一个漂亮的束或者一个散乱的捆，这取决于个别花朵的排列（Eberle 1970: §2.10）；或者（iii）两个群体可以具有共同的成员，比如图书馆委员会和哲学系足球队（Simons 1987: 114; Gilbert 1989: 273）；或者（iv）猫必须与相应数量的猫科动物组织区分开来，因为前者可以在某些部分（例如尾巴）被消灭后存活，而后者根据定义无法存活（Wiggins 1968；还可以参见 Doepke 1982、Lowe 1989、Johnston 1992、Baker 1997、Meirav 2003、Sanford 2003 和 Crane 2012 等，以及类似或相关的论证）。另一方面，有人认为部分的相同性并非身份的必要条件，因为某些实体可以在分体变化后存活下来。如果一只猫在尾巴被消灭后仍然存活，那么有尾巴的猫（事故发生前）和无尾巴的猫（事故发生后）在数量上是相同的，尽管它们具有不同的适当部分（Wiggins 1980）。如果接受了这些论证中的任何一个，那么显然（27）是对部分关系施加的过于强大的原则。而且由于（27）是由（P.5）推导出来的，可以得出结论，EM 走错了路。

让我们分别看看这些异议。关于分体论外延性的必要性方面，即（27）的结果中的从左到右的条件语句，

或许可以注意到，这个困难并不特定于分体论。反对意见来自于这样的考虑：普通实体，如猫和其他生物体（以及可能的其他实体，如雕像和船只），能够在各种逐渐的分体变化中存活下来。这是一个合理的想法，以免被迫采取某种形式的“分体论本质主义”（Chisholm 1973, 1975, 1976; Plantinga 1975; Wiggins 1979）。然而，同样的情况也适用于其他类型的变化：香蕉成熟，房屋破损，人们晚上睡觉，中午吃饭。如果它们并不完全相同，我们如何说它们是同一物体呢？实际上，（28）本质上是身份公理模式的一个实例

(ID)	x=y→ (φ_x_↔ φ_y_),

而众所周知，当“=”被赋予历时的解读时，这个公理模式会遇到麻烦。（请参阅关于变化和时间上的身份的条目。）这个问题是普遍存在的。无论解决方案如何，它都将适用于所讨论的情况，从这个意义上说，对（28）的上述反对意见可以被忽略。例如，如果将（28）中的变量视为可以在时间和空间上延伸的四维实体（Heller 1984, Lewis 1986b, Sider 2001），或者如果将身份本身解释为一种可能在某些时间或世界上成立但在其他时间或世界上不成立的偶然关系（Gibbard 1975, Myro 1985, Gallois 1998），那么问题将立即消失。或者，根据对物质对象的更传统的三维概念，变化的问题通常通过将属性和关系相对于时间进行相对化来解释，将（ID）重写为

(ID′)

x=y→ ∀ t(φ_tx_↔ φ_ty_).

（这可以以不同的方式理解；参见 Haslanger 和 Kurtz 2006 年的论文，第三部分。）如果是这样的话，那么关于（28）的具体担忧将消除，因为（P.5）的相对化版本只会保证以下问题的变体：

(28′)

x=y→ ∀ t ∀ z(PP_tzx_↔ PP_tzy_).

（见 Thomson 1983，Simons 1987：§5.2，Masolo 2009，Giaretta 和 Spolaore 2011；另请参阅 Kazmi 1990 和 Hovda 2013 以获取此策略的时态版本。）最近，从所谓的“众多问题”（Hudson 2001）到物质构成（Bittner 和 Donnelly 2007），模态现实主义（McDaniel 2004），模糊性（Donnelly 2009），相对论时空（Balashov 2008）或位置的一般理论（Gilmore 2009，Donnelly 2010），也有独立的理由需要将部分性相对化到时间，也许还有其他参数，如空间，可能的世界等。无论如何，这些修订都可以被视为对外延分体论有限本体论中立性的指示。但它们的独立动机也证明了关于（28）的争议源于真正而基本的哲学难题，不能通过诉诸于我们对“部分”含义的直觉来评估。

对于外延分体论的充分性方面的担忧，即（27）的结果中的从右到左的条件

更切题。然而，在这方面也有各种回应 EM 的方式。考虑反例（i）-比如，由相同字母组成的两个单词，如“else”和“seel”。如果将它们视为单词类型，很大程度上取决于如何从分体论的角度来构建这些东西，人们可能会通过拒绝或改进百货商店的想法来解释，即单词类型是字母类型的组合（参见上文广告（14））。实际上，如果是这样的话，那么单词类型不仅会违反外延性，因此违反了强补充原则（P.5）；它们还会违反基本的补充原则（P.4），因为“seel”（例如）将包含一个适当的部分（字符串“ee”），该部分由一个适当的部分（字母“e”）组成。另一方面，如果所讨论的项目被视为单词标记，那么它们可能由不同的字母标记组成，因此在这些基础上不会违反（29），因此没有理由基于这些理由拒绝（P.5）。当然，我们可以假设两个单词标记中的一个是通过重新排列相同的字母标记而获得的。如果是这样的话，问题再次变成了关于历时非同一性的问题，涉及到所有这些，而且不明显我们是否有（29）的反例。（参见 Lewis 1991: 78f.）如果我们的字母标记被适当地排列成同时形成两个单词怎么办？例如，假设它们被排列成一个圆圈（Simons 1987: 114）。在这种情况下，人们可能倾向于说我们有一个真正的反例。但同样可以坚持认为我们只有一个可以根据起始位置不同而被读作两个不同单词的圆形铭文。比较一下：我画了一只兔子，你看起来像只鸭子。我是否因此画了两幅图？我在办公室的玻璃门上写下“p”；从外面你读到的是“q”。因此，我是否产生了两个字母标记？如果玛丽加入你并倒过来读它，我是否也写了字母“b”？ 当然，正如我倒挂的办公室同事约翰指出的那样，我也写了字母“d”。这种实体的增加似乎荒谬。那里只有一件事，一种铭文，它的外观（或意义）对你、我、玛丽或约翰来说都是无关紧要的。同样地，可以争论的是，在我们的例子中只有一种铭文，一个由四个字母标记组成的圆形显示屏，无论我们将其读作“else”铭文还是“seel”铭文，对其分体结构来说都是无关紧要的。（Varzi 2008）

情况（ii）——花朵——并没有显著不同。同样，相同的实体花朵不能同时组成一个漂亮的花束和一个散乱的捆绑物。同样适用于其他许多类似的情况，包括自然科学提供的更不轻浮的表面上的反例——从物质的不同相态（固体、液体和气体）到化学结合的不同可能性；参见 Harré 和 Llored（2011, 2013）和 Sukumar（2013）。（然而，并非所有情况都那么容易被驳斥。特别是，从 Maudlin 1998 到 Krause 2011，几位作者认为量子力学世界提供了真正的类型（ii）反例来反驳外延性。对这类论证的全面处理超出了本条目的范围，但参见 Calosi et al. 2011 和 Calosi and Tarozzi 2014 以获取反驳论据。）

情况（iii）更加微妙，因为它取决于一个人对委员会、团队和群体等事物的形而上学看法。如果有人否认相关的结构关系是真正的部分关系（见第 1 节，第（11）点），那么当然反例就会失败。另一方面，如果有人认为群体是真正的分体论组合，而且是由持久的个人组成，而不是像 Copp（1984）中的个人阶段那样，那么很多取决于一个人将具有共同成员资格的群体视为实际上是不同的原因。通常这样的原因被认为是理所当然的，就好像这种差异是显而易见的。但有时会提出非正式的论证，以说明例如图书馆委员会和足球队具有不同的持续条件或广义上的不同属性，因此必须区分它们。例如，球队的球员可以改变，而委员会保持不变，或者一个群体可以被解散，而另一个群体继续运作，或者一个群体具有不同的法律义务等等（参见 Moltmann 1997）。如果是这样的话，那么情况（iii）就与情况（iv）在相关方面相似。在那里，人们的直觉也是，猫这样的活体动物是“超越”构成其身体的仅仅是一团猫组织的东西——它们具有不同的生存条件和不同的属性——因此，似乎我们在这里有一个对分体论外延性（通过莱布尼兹定律）的真正反例。出于类似的原因，一些哲学家倾向于将花瓶和相应的一团黏土视为不同的，尽管它们共享相同的适当部分——甚至可能是相同的不适当部分，与（P.3）相反，如第 2.2 节所示。在这种情况下，除了基于特定持久性形而上学的直觉被拒绝之外，EM 还可以提出两种回应。

关注于(iv)，第一个回应是坚持认为，表面上看，猫和相应的猫组织块（或者雕像和构成它的黏土块）实际上并不共享相同的适当部分。因为一方面，如果一个人相信至少有一个这样的事物 x 是另一个事物 y 的一部分，那么它必须是一个适当部分；而且由于没有什么东西可以是它自己的适当部分，因此立即可以得出这样的结论，这些事物实际上并不构成对（29）的反例。（这也可以从补充性得出，正如 Olson 2006 所强调的那样，因为假设 x 和 y 具有相同的适当部分意味着 y 的任何部分都不与 x 不相交，至少在部分关系是自反的情况下如此；但是在这里没有必要引用（P.4）。）另一方面，如果一个人相信 x 和 y 都不是彼此的一部分，那么显然这个信念也适用于它们的一些适当部分，比如猫的尾巴和相应的组织块。如果尾巴不是那个块的一部分，那么显然它也不是构成整个猫的更大的组织块的一部分（正如一些反外延论者明确承认的那样，例如 Lowe 2001: 148 和 Fine 2003: 198，n. 5，尽管 Hershenov 2008 对此表示疑虑）。因此，再次出现，x 和 y 似乎并不具有相同的适当部分，因此不构成对（29）的反例。（有关这一论证线的更多信息，请参见 Varzi 2008。）

代表 EM 的第二个更一般的回应是，在这种情况下，对莱布尼茨定律的引用是不合法的。让“Tibbles”代表我们的猫，“Tail”代表它的尾巴，并承认以下命题的真实性

的确，以下的观点也是正确的：

然而，这种直观感觉对应于对模态性的 de dicto 解读，其中(31)中的确定描述具有狭义范围：

在这种解读下，（31）几乎是不可商议的。然而，在当前的背景下这是无关紧要的，因为（31a）并不等同于对模态属性的归属，也不能与莱布尼兹定律相结合使用。（比较：8 必然是偶数；行星的数量可能是奇数；因此行星的数量不是 8。）另一方面，考虑（31）的 de re 解读，其中确定的描述具有广泛的范围：

在这种解读下，对莱布尼茨定律的引用是合理的（除非对模态属性的状态有任何疑虑），并且可以依赖于（30）和（31）（即（31b））的真实性来得出结论，即蒂布尔斯与相关的猫体组织块是不同的。然而，在这种解读下，没有明显的理由认为（31）应该被视为真实。也就是说，没有明显的理由认为在实际世界中构成尾巴和蒂布尔斯其余身体的猫体组织块——现在正躺在地毯上的那块猫体组织块——不能在尾巴被消灭后存活下来。事实上，似乎任何支持这一主张的理由都必须预设所讨论实体的不同性，因此不能合理地诉诸莱布尼茨定律来确定不同性（以免陷入循环论证）。这并不是说对（29）的假设性反例是错误的。但是，需要进行真正的形而上学工作来证明它，并且这使得拒绝外延性以及拒绝强补充原则（P.5）成为真正的哲学争议问题。（类似的评论也适用于任何旨在基于竞争的模态直觉来拒绝外延性的论证，而不是基于仅仅是部分整体重新排列的可能性，如鲜花的例子。在 de re 解读中，声称一束花不能在部分重新排列的情况下存活下来，而由其组成的个体花朵的集合可以存活下来，必须由一个真正的形而上学理论来支持。有关（29）的这种一般防御线的更多信息，请参见例如 Lewis 1971: 204ff，Jubien 1993: 118ff 和 Varzi 2000: 291ff。另请参见 King 2006 年对 Fine 2003 年的回应，以获得有关此处涉及的语义机制更一般的诊断。）

3.3 补充

有一种表达补充直觉的方式比（P.5）更强。它对应于以下命题，与（P.5）在结果上有所不同：

(P.6)

补充 [15] ¬P yx → ∃ z ∀ w (P wz ↔ (P wy ∧ ¬ O wx )).

这意味着如果 y 不是 x 的一部分，那么存在一个包含 y 中与 x 不相交的部分的东西，我们可以称之为 y 和 x 之间的差异或相对补集。很容易验证这个原则蕴含着（P.5）。另一方面，图 5 中的图表显示逆命题不成立：在这个图表中，有两个 y 的部分与 x 不重叠，即 z 和 w，但没有任何东西完全由这些部分组成，因此我们有一个违反（P.6）的（P.5）的模型。

Figure 5

图 5. 一个违反互补性的强补充模型。

当然，对于（P.5）可能会有一些疑虑，这些疑虑当然也可以提出来针对（P.6）。但是，如果我们同意上述支持（P.5）的论证，它们是否也给我们理由接受更强的原则（P.6）呢？答案是否定的。尽管（P.6）一开始听起来似乎合理，但它却有一些后果，即使是一个外延论者也可能不愿意接受。例如，可以争论的是，虽然这个酒杯的底部和杆共同组成了酒杯的一个更大部分，杆和碗也是如此，但是没有仅由底部和碗（= 酒杯和杆之间的差异）组成的东西，因为这两个部分是分开的。更一般地说，似乎（P.6）会迫使人们接受大量“分散”的实体的存在，例如由你的鼻子和拇指组成的集合，或者由所有比勃朗峰高的山组成的集合。自从 V. Lowe（1953）以来，许多作者对这样的实体表示不适。 （一个明确接受外延性但对分散实体感到不安的哲学家是 Chisholm 1987）。事实证明，（P.6）的额外强度最好是从这个原则迫使我们接受的一种分体论聚合物的角度来理解，这些聚合物由给定整体的两个或更多部分组成。这表明，除了其外延性含义之外，对于（P.6）的任何其他疑虑都是关于组成问题的疑虑。因此，我们将把它们的讨论推迟到第 4 节，在那里我们将更全面地讨论这些问题。暂时地，让我们简单地说，（P.6）是一个不能无需进一步论证就能添加到 M 中的原则。

3.4 原子论、泥浆和其他选择

一个最后重要的分体论原则家族涉及原子论问题。从分体论的角度来看，无论是点状的还是具有空间（和/或时间）延伸的，原子（或“简单体”）都是没有适当部分的实体：

(32)	* 原子_A_x =df ¬∃ y_PP_yx*.

根据“PP”的定义，所有的原子都是两两不相交的，只能与它们所属的事物重叠。是否存在这样的实体？如果存在，是否一切都完全由原子组成？一切是否都由至少一些原子组成？还是一切都由无原子的“gunk”组成，正如 Lewis（1991: 20）所称，它永远分裂成越来越小的部分？这些是深奥而困难的问题，自哲学的早期以来一直是哲学研究的焦点，贯穿于中世纪和现代关于反分割主义的辩论，直到康德在《纯粹理性批判》中的反论（参见关于古代原子论和 17 世纪至 20 世纪的原子论的条目）。随着核物理学的发展，它们主要通过尼科德（1924 年）的“感性世界的几何学”，塔斯基（1929 年）的“固体几何学”以及怀特海德（1929 年）在第 3.1 节中提到的“广泛联系”理论进入当代分体论，并且现在在形而上学和空间时间哲学的许多分体论争议中占据中心舞台（例如，参见 Sider 1993，Forrest 1996a，Zimmerman 1996，Markosian 1998a，Schaffer 2003，McDaniel 2006，Hudson 2007a，Arntzenius 2008 和 J. Russell 2008，以及 Hudson 2004 中收集的论文；另请参见 Sobociński 1971 和 Eberle 1967，以了解 Leśniewski 的分体论和 Leonard 和 Goodman 的个体演算的一些早期处理）。在这里，我们将限制自己进行简要的考察。

两个主要选项，即一切最终都由原子组成，或者根本没有原子，通常分别通过以下假设来表达：

(P.7)	* 原子性 ∃ y _(A_y _∧ P_yx*)
(P.8)	Atomlessness ∃ y PP yx .

（见例如 Simons 1987: 42。）这些假设是相互不兼容的，但是在孤立地考虑时，它们可以一致地添加到任何标准的分体论理论 X 中。添加（P.7）会产生相应的原子论版本 AX；添加（P.8）会产生一个无原子版本 ÃX。由于有限性和分体关系的反对称性（P.3）共同暗示着分体分解必须最终结束，因此任何 M 的有限模型——更不用说 M 的任何扩展模型——都必须是原子论的。因此，无原子分体论 ÃX 只允许无限基数的模型。这种模型的一个例子，证明了本调查中考虑的大多数标准分体论的无原子版本的一致性，是由欧几里得空间的正则开集提供的，其中“P”被解释为集合包含（Tarski 1935）。另一方面，原子论理论的一致性通常由平凡的单元素模型（其中“P”被解释为身份）保证，尽管也可以有允许无限域的原子论理论的模型。一个例子是实数线上的闭区间，或者欧几里得空间的闭集（Eberle 1970）。事实上，事实证明，即使 X 像第 4.4 节的个体完全演算一样强大，也没有纯粹的分体论公式可以说是否有有限个或无限个原子，即在 AX 的每个有限模型中都为真，但在没有无限模型中为真（Hodges and Lewis 1968）。

关于原子性，值得注意的是，（P.7）并不完全意味着一切最终都由原子组成；它只是说一切都有原子部分[16]。因此，它排除了 gunky 世界，但人们可能会想知道它是否完全捕捉到了原子论的直觉。从某种意义上说，答案是肯定的。因为，在假设自反性和传递性的情况下，（P.7）等价于以下内容

逻辑上等价于

(34)	((A_y_∧ P_yx_) → P_yx_) ∧ (P_zx_→ ∃ y(A_y_∧ P_yx_∧ O_yz_))

（添加一个重言联结），这是一般模式的一个实例

(35)	(φ_y_→ P_yx_) ∧ (P_zx_→ ∃ y(φ_y_∧ O_yz_)).

而（35）是我们能够表达 x 由 φs 组成的最接近的方式，即仅有满足给定条件 φ（在本例中为：作为 x 的原子部分）的实体：每个 φ 都是 x 的一部分，并且 x 的任何部分都与某个 φ 重叠。实际上，只要 φs 两两不相交，这就是 x 由 φs 组成的标准定义（van Inwagen 1990: 29），而且如果 φs 都是原子的，那么它们两两不相交。因此，尽管（P.7）并没有说一切都最终由原子组成，但它暗示了这一点——至少在（P.1）和（P.2）的存在下。（当然，如果拒绝其中一个假设的非标准分体论可能不支持初始的等价性，因此在这样的理论中，（33）可能是表达原子论假设的更好方式。）然而，从另一方面来看，（34）可能仍然不够。因为如果域是无限的，（P.7）允许看似违背原子论教义的模型存在。一个简单的例子是一个永不“触底”的降解链，如图 6 所示：在这里，x 最终由原子组成，但是沿着右分支向下进行的降解模式“看起来”非常类似于一个粘稠的悬崖。举一个具体的例子（来自 Eberle 1970: 75），考虑所有自然数的子集的集合，其中部分关系由子集关系建模。在这样的宇宙中，每个单例集合{n}都被视为一个原子，每个无限集合{m: m > n}都是由原子“组成”的。然而，所有这些无限集合的集合将是无限下降的。这种类型的模型并不违反一切最终由原子组成的观念。然而，它们违反了一切都可以分解为其最终组成部分的观念。如果原子论意味着承载形而上学基础的重量，这可能会引发问题：正如 J. 正如 Schaffer 所说，原子论的本体论似乎在“一个无底洞里消失”（2007: 184）；存在是“无限延迟，永远无法实现”（2010: 62）。原子论者有没有办法避免这个指责呢？一个选择就是要求每个模型都是有限的，或者只涉及有限个原子。然而，这些要求除了在原子论者中引起哲学上的严厉争议之外，还不能在一阶分体论中形式化实现，前者是因为众所周知的模型论原因，后者是因为 Hodges 和 Lewis（1968）的上述结果。唯一合理的选择似乎是在原子性的精神上真正加强原子性，正如 Cotnoir（2013c）所称的“超原子论”。对于任何对象 x，（P.7）保证存在一些以原子为底的部分链。超原子性要求 x 的每个部分链都以原子为底，这是图 6 模型中缺失的属性。目前，尚未探索加强（P.7）的这种方式。然而，鉴于经典分体论与布尔代数之间的联系（见下文第 4.4 节），可以从 Mostowski 和 Tarski（1939）对超原子布尔代数的研究以及 Day（1960）的系统化中恢复超原子分体论的数学模型。（布尔代数是超原子的，当且仅当每个子代数都是原子的，就像由给定集合的有限子集生成的代数一样；有关概述，请参见 Day 1967。）此外，还可以参考 Shiver（2015）中在更强的分体论（如 GEM（第 4.4 节））或在语言中引入集合变量或复数量化的理论背景下加强（P.7）的方法。

Figure 6

图 6. 一个无限下降的原子模型。（省略号表示分支模式的重复。）

另一个需要注意的事情是，独立于它们的哲学动机和形式限制，分体论可以在公理中进行重要的简化。例如，原子分体论可以通过用以下公理替换（P.5）和（P.7）来简化：

(P.5′)

分体论的补充 ¬Pxy → ∃z(Az ∧ Pzx ∧ ¬Pzy)，

这反过来暗示了外延性论（27）的以下原子论变体：

(27′)

x=y ↔ ∀ z(A_z_→ (P_zx_↔ P_zy_)).

因此，任何原子论的外延性分体论在 Goodman（1958）的意义上都是真正的“超外延性”：由完全相同的原子构建的事物是相同的。特别是，如果 AEM 模型的域只有有限多个原子，那么域本身必然是有限的。一个有趣的问题，在 1960 年代后期进行了广泛讨论（Yoes 1967，Eberle 1968，Schuldenfrei 1969），并由 Simons（1987：44f）和 Engel 和 Yoes（1996）最近重新提出，是是否存在（27'）的无原子类比。是否存在一个可以在无原子分体论中扮演“A”的谓词？这样的谓词将确定系统的“基础”（在拓扑意义上），从而使得分体论能够在没有原子的情况下实现 Goodman 的超外延直觉。因此，这个问题尤其从名义主义的角度来看是重要的，但它在其他领域（例如，与 Whitehead 对空间的概念相联系，根据该概念，空间本身不包含诸如点或边界元素之类的低维部分；参见 Forrest 1996a，Roeper 1997 和 Cohn 和 Varzi 2003）也有深远的影响。在特殊情况下，提供一个肯定的答案并不困难。例如，在由实数线的开正则子集组成的 ÃEM 模型中，具有有理端点的开区间在相关意义上形成一个基础。然而，目前尚不清楚是否可以给出适用于任何类型域的一般答案。如果不能，那么唯一的选择似乎是一个解释，其中“基础”的概念是相对于给定类型的实体的。用 Simons 的术语来说，我们可以说如果且仅如果满足以下（P.5'）和（P.7）的变体，ψ-ers 形成 φ-ers 的基础：

(P.5φ/ψ)	相对补充 (φ x ∧ φ y ) → (¬P xy → ∃ z (ψ z ∧ P zx ∧ ¬P zy ))
(P.7φ/ψ)	* 相对原子性_φ_x → ∃ y _(ψ_y _∧ P_yx*).

一个分体论的理论将对应于当每个选择的'φ'都被认同为谓词'A'时的极限情况。相比之下，在一个无原子的分体论中，基础的选择将取决于由相关的'φ'规范设定的“粒度”水平。

关于无原子的分体论，还有一点需要注意。正如(P.7)对于排除不愉快的原子模型来说太弱，(P.8)的表述也可能被认为对于捕捉一个粘粘世界的预期概念来说太弱。首先，就目前而言，(P.8)假设了反对称性。在没有(P.3)的情况下，图 3 左侧的对称的两个元素模式将被视为无原子的。为了独立于(P.3)排除这样的模型，应该根据(20')中给出的更强的'PP'概念来理解(P.8)，即

(P.8′)

适当的原子性 ∃y(Pyx ∧ ¬Pxy)。

同样地，注意到图 2 中的模式，在没有假设补充的情况下，将符合(P.8)的条件，尽管这样的模式并不完全对应哲学家在谈论泥浆时通常所指的内容。确实，一个有趣的问题是，假设补充（或者根据 Gilmore 2016 的建议，也许是准补充）在某种程度上是否被普通的泥浆概念所预设。然而，如果是这样的话，那么人们可能希望明确表达，这种情况下相关的公理化可能会被简化。例如，ÃMM 可以通过将(P.4)和(P.8)合并为一个公理来简化。

(P.4′′)

无原子补充 P xy → ∃ z (PP zy ∧ (O zx → x = y )).

此外，(P.8) 在另一个更重要的意义上可能显得太弱。毕竟，无限可分性是空谈。根据 (P.8)（以及 (P.8′)），gunk 可能有可数多个，甚至可能有连续多个部分；但它能有更多吗？对于 gunk 的部分数量是否存在一个基数的上界？是否允许对于每个基数，都可能存在超过该基数数量的 gunk 部分？(P.8) 对这些问题保持沉默。然而，这些无疑是值得审查的无原子分体论的方面。人们甚至可能认为世界不仅仅是 gunk，而是“超级 gunk”，正如诺兰（2004: 305）所称——对于其任何一组部分，都存在一个严格基数更大的只包含其部分的集合。目前尚不清楚这样的理论是否一致（尽管诺兰猜想可以使用标准集合论与选择公理、不可达基数公理等资源构建一个模型），即使是一致的，一些哲学家可能倾向于将超级 gunk 视为一种仅仅是逻辑上的可能性（Hazen 2004）。尽管如此，这个问题表明了 (P.8) 留下的余地，以及人们可能希望加以规范的余地。

至于两个主要选项，对应于原子性和非原子性，就是这样了。那么介于这两个极端之间的理论呢？当然可以认为存在原子，尽管不是一切都由原子组成；或者可以认为存在无原子的黏液，尽管不是一切都是黏液状的。（后一种立场例如由齐默尔曼 1996 年辩护。）从形式上讲，这些可能性可以再次用对（P.7）和（P.8）的适当限制来表达，要求相关条件仅适用于某些实体：

(P.7φ)	φ-原子性 φ x → ∀ y (P yx → ∃ z (A z ∧ P zy ))
(P.8φ)	φ-无原子性 φ x → ∀ y (P yx → ∃ z PP zy ).

而所讨论的选项将对应于对特定的“φ”值认可（P.7φ）或（P.8φ）。目前，尚未进行深入的形式调查（但请参见 Masolo 和 Vieu 1999 以及 Hudson 2007b）。然而，当涉及到时空世界的分体论时，这个问题尤为紧迫。例如，一个合理的想法是，虽然关于物质对象的分体论结构的原子论问题可能仍然悬而未决（等待物理学的实证发现），但可以（独立地）解决关于时空结构本身的问题。这将意味着认可（P.7φ）或（P.8φ）的一个版本，其中“φ”被理解为仅由时空区域满足的条件。有些人可能很难想象一个原子论的时空世界中居住着可以无限分解的实体（参见 McDaniel 2006），在这种情况下，接受区域的（P.7φ）将导致更强的原则（P.7）。然而，（P.8φ）与（P.8）是真正独立的，除非假设每个分体论的原子实体都应该是空间上无延展的，这个假设不是定义（32）的一部分，并且已经受到 van Inwagen（1981）和 Lewis（1991: 32）（以及最近文献中广泛讨论；参见 MacBride 1998，Markosian 1998a，Scala 2002，J. Parsons 2004，Simons 2004，Tognazzini 2006，Braddon-Mitchell 和 Miller 2006，Hudson 2006a，McDaniel 2007，Sider 2007，Spencer 2010）的质疑。更一般地说，这些问题取决于一个更广泛的问题，即一个事物的分体论结构是否应该始终“反映”或与其空间或时空容器的结构完全“和谐”，这个问题在 J. Parsons（2007）和 Varzi（2007: §3.3）中得到了解答，并在 Schaffer（2009），Uzquiano（2011）和 Saucedo（2011）中进一步讨论。（有关更多信息，请参见位置和分体论条目。）

在这一点上，类似的考虑也适用于其他可能浮现在脑海中的分解原则。例如，可以考虑一个要求“PP”形成一个稠密序列的要求，正如怀特海德（1919）已经提到的那样：

(P.9)

稠密性 PPxy → ∃z(PPxz ∧ PPzy)。

作为一般的分解原则，（P.9）可能被认为过于强大，特别是在一个原子论的背景下。（怀特海德的理论假设无原子性。）然而，可以合理地假设（P.9）至少在关于时空区域的领域中成立，无论这些区域是被构想为无原子混沌还是时空原子的聚合体。有关更多信息，请参见 Eschenbach 和 Heydrich（1995）和 Varzi（2007：§3.2）。

最后，值得注意的是，如果假设存在一个“空项目”，它是一切事物的一部分，对应于这个假设。

(P.10)

底部 ∃x∀yPxy，

那么这样的实体必然是一个原子。因此，没有原子的分体论与这个假设是不相容的。但需要强调的是，（P.10）与许多其他理论相矛盾。因为根据（P.10），反对称公理（P.3）将立即导致所讨论的原子是唯一的，而自反公理（P.1）将导致它与一切重叠，因此一切都与一切重叠。这意味着在这些公理下，补充原理（P.4）除非在其域中包含一个单一元素的模型中，否则无法满足。事实上，这也适用于较弱的准补充原理（P.4d）。因此，将（P.10）添加到至少与（P.1）+（P.3）+（P.4d）一样强的任何理论以及 MM 及其任何扩展的结果将立即因以下推论而崩溃为平凡：

(36)	∃ x ∀ y x=y.

“琐碎”可能在这里不太合适。毕竟，一直以来都有哲学家持有激进的唯一主义本体论观点——从 Eleatics（Rea 2001）到 Spinoza（J. Bennett 1984），一直到当代作者如 Horgan 和 Potrč（2000），他们的比较本体论的简约性导致了这样的论点：整个宇宙只是一个巨大的扩展原子，一个极其复杂但无部分的“blobject”。就我们所知，对于量子力学而言，如果不是对于牛顿力学，最好的本体论可能是一个孤独的原子在构型空间中高速运动（Albert 1996）。这些都不是琐碎的。然而，这些也都不完全符合对（36）的完全认同。因为这些哲学理论严格来说并不断言存在一个单一实体——这正是（36）所说的——而只是断言存在一个单一的物质实质以及其他种类的实体，比如属性或时空区域。换句话说，它们只是对（36）的一种分类限制版本表示认同。在其完全普遍性上，（36）更加强大和难以接受，大多数分体论者宁愿避免它。因此，最重要的是，支持（P.10）的理论很可能是非常非标准的，与 Carnap 的说法相反，空项目对于某些目的（如为所有有缺陷的描述提供指称）将是一个“自然和方便的选择”（见 1947 年：37）。确实有一些作者采取了这种方式，从 Martin（1943, 1965）开始，他拒绝了无限制的反身性，并将空项目描述为“不是其自身的那个”。其他值得注意的例外包括 Bunt（1985）和 Meixner（1997），以及更近期的 Hudson（2006）和 Segal（2014），他们都对空个体表示同情，但放弃了无限制的（准）补充。另请参阅 Priest（2014a 和 2014b：§6）。13) 和 Cotnoir 和 Weber (2014)，他们通过对基本逻辑进行一个矛盾论的重塑来避免 (36)。另一个选择是将空项目视为一个纯粹的代数“虚构”，并相应地修正整个分体论机制，仔细区分包含传染性空项目的平凡部分和重叠的情况与真正的非平凡情况：

(37)	* 真正的分体关系_GP_xy _=df P_xy ∧ ∃ z _¬P_xz*
(38)	* 真正的重叠_GO_xy =df ∃ z _(GP_zx _∧ GP_zy*).

这种区别不会影响基本的分体论公理。但是更强的原则，比如随附，可能会让位给它们的“真正的”对应物，如

(P.4G)

真正的随附 PPxy → ∃z(GPzy ∧ ¬GOzx)，

这足以阻止推理到(36)，同时保持标准分体论的精神。这种策略并不罕见，尤其在数学导向的文献中（例如，参见 Mormann 2000，Forrest 2002，Pontow 和 Schubert 2006），我们将在下面的第 4.4 节中简要回顾一下。然而，总的来说，分体论者倾向于站在传统智慧的一边，避免完全涉及（P.10）。

4. 分体论原则

现在让我们考虑在第 3 节开始时提到的扩展 M 的第二种方式。正如我们可能希望通过将我们从整体带到其部分的分解原则来规范 P 的行为一样，我们可以看看从部分到整体的组合原则。更一般地说，我们可以考虑理论的领域应该在各种分体操作下封闭的想法：不仅仅是分体和，还有乘积、差异等等。

4.1 上界

对组合的条件有很多。从最弱的开始，可以考虑一个原则，即任何一对适当相关的实体必须有一个上界，即存在一个上界：

(P.11ξ)

ξ-上界 ξ xy → ∃ z (P xz ∧ P yz ).

当然，“ξ”应该如何解释本身就是一个重要的问题，这是范·因瓦根（1987 年，1990 年）所称的“特殊组合问题”的一个版本。一个自然的选择是将 ξ 与分体重叠等同起来，其理由是这种关系在可能被视为较大整体的两个不同部分之间建立了重要的联系。正如我们将在第 4.5 节中看到的那样，以这种方式解释 ξ（P.11ξ）确实是相当无争议的。相比之下，最自由的选择是将 ξ 与普遍关系等同起来，这种情况下（P.11ξ）将简化为其结果，并断言存在一个上界，适用于任何一对实体 x 和 y。这种类型的公理例如在怀特海德（1919 年，1920 年）的事件分体论中使用过[17]。无论如何，不论做出任何具体选择，显然（P.11ξ）并不表达对组合的强条件，因为无论如何，只要包括一个包含一切的普遍实体的域，或者包含足够大以包括 x 和 y 作为部分的任何实体，后件都可以在其中满足。

4.2 分体

一个更强的条件是要求任何一对适当相关的实体必须具有一个最小的下层覆盖者-即仅由它们的部分组成而没有其他东西的东西。有时候，这个要求被表述为任何适当的一对必须具有一个分体论的“总和”或“融合”[18]，尽管这个要求应该如何表述并不明显。考虑以下定义：

(391)	分体论 1 [19] S1 zxy =df ∀ w (P zw ↔ (P xw ∧ P yw ))
(392)	分体论 2 S2 zxy =df P xz ∧ P yz ∧ ∀ w (P wz → (O wx ∨ O wy ))
(393)	分体论 3 S3 zxy =df ∀ w (O zw ↔ (O wx ∨ O wy ))

（“Sizxy”可以读作：“z 是 x 和 y 的和”。第一个概念可以在 Eberle 1967、Bostock 1979 和 van Benthem 1983 中找到；第二个概念可以在 Tarski 1935 和 Lewis 1991 中找到；第三个概念可以在 Needham 1981、Simons 1987 和 Casati 和 Varzi 1999 中找到。）然后，对于每个 i ∈ {1, 2, 3}，可以通过添加相应的公理来扩展 M，如下所示，其中 ξ 再次指定一个合适的二元条件：

(P.12ξ,i)

ξ-分体论 ξ xy → ∃ z S izxy .

从某种意义上说，（P.12ξ,1）似乎是显而易见的选择，对应于一个对象的总和只是相对于 P（一个偏序）的那些对象的最小上界。然而，这个条件可能被认为太弱，无法捕捉到分体论总和的预期概念。例如，如果将 ξ 解释为重叠，（P.12ξ,1）在图 7 左侧的模型中得到满足：这里 z 是 x 和 y 的最小上界，但 z 几乎不符合作为由 x 和 y“组成”的总和，因为它的部分还包括一个第三个不相交的项 w。事实上，这是关于偏序的一个简单事实，在有限模型中（P.12ξ,1）等价于（P.11ξ），因此同样弱。

相比之下，（P.12ξ,2）对应于一个可能过于强大的总和概念。从某种意义上说，它字面上表示任何一对适当 ξ 相关的实体 x 和 y 都组成了某个东西，就像在与（35）相关的讨论中已经讨论过的那样：它们有一个所有部分都与 x 或 y 重叠的上界。因此，它排除了图 7 左侧的模型，因为 w 与 x 和 y 都不相交。然而，它也排除了右侧的模型，该模型描述了这样一种情况：z 可以被视为由 x 和 y 真正组成的实体，因为它最终由 x 或 y 中的原子组成。当然，这样的情况违反了强补充原则（P.5），但这正是（P.12ξ,2）可能过于强大的意义所在：反扩展论者可能希望有一个不预设强补充的总和概念。

(P.12ξ,3)中的表述是自然的妥协。非正式地说，它表示对于任何一对适当 ξ 相关的实体 x 和 y，存在一个与 x 或 y 重叠的事物完全重叠的东西。这足够强大，可以排除左侧的模型，但足够弱，可以与右侧的模型兼容。然而，请注意，如果强补充公理（P.5）成立，则（P.12ξ,3）等价于（P.12ξ,2）。此外，事实证明，如果更强的补充公理（P.6）成立，则在存在一个普遍实体的任何域中，所有这些原则都在平凡地满足：在这种情况下，无论 ξ 如何，任何两个实体的总和都只是一个减去另一个的补集的补集。（这就是（P.6）的力量，它是分解和组合原则之间的真正交叉。）

Figure 7

图 7. 一个不是 sum3 的 sum1，以及一个不是 sum2 的 sum3。

实际上，这些原则背后的直观思想在存在（P.5）即外延性的情况下最能体现，因为在这种情况下，相关的总和必须是唯一的。因此，考虑以下定义，其中 i ∈ {1, 2, 3}，‘℩’是确定性描述符：

(40_i_)

x+i y=df ℩ z_S_izxy.

在 EM 的背景下，每个（P.12ξ，i）都意味着相应的求和运算符具有所有可能期望的“布尔”属性（Breitkopf 1978）。例如，只要参数满足相关条件 ξ，[20]每个+i 都是幂等的，可交换的和可结合的，

(41)	x=x+i x
(42)	x+i y=y+i x
(43)	x+i(y+i z) = (x+i y) +i z,

and well-behaved with respect to parthood:

(44)	P_x_(x+i y)
(45)	P_xy_→ P_x_(y+i z)
(46)	P(x+i y)z→ P_xz_
(47)	P_xy_↔ x+i y=y.

（注意，（47）将要求用原始的‘+i’来定义‘P’。对于 i=3，这实际上是 Leonard 1930: 187ff 所支持的选项。）

的确，这里还有进一步发展的空间。例如，就像（P.12ξ，i）中的原则声称对于任何一对适当相关的实体，存在一个最小的下层覆盖者一样，此时我们可能想要声称存在一个最大的上层覆盖者，即这些实体的“乘积”而非“和”。在当前的背景下，这样一个额外的主张可以通过以下原则来表达：

(P.13ξ)

ξ-乘积 ξ xy → ∃ z R zxy ,

在哪里

(48)	产品 Rzxy =df ∀w(Pwz ↔ (Pwx ∧ Pwy))

而“ξ”至少与“O”一样强大（除非假设底部原则（P.10））。在 EM 中，可以引入相应的二元运算符，

结果表明，再次，这样的运算符将具有人们所期望的属性。例如，只要参数满足相关条件 ξ，× 是幂等的，可交换的，并且是结合的，并且它与每个+i 符合通常的分配法则：

(50)	x+i(y × z) = (x+i y) × (x+i z)
(51)	x × (y+i z) = (x × y) +i(x × z).

显然，（P.13ξ）在我们在这里考虑的主要意义上并不符合组合原则，即通过适当的 ξ 相关部分产生一个整体的原则。然而，在派生意义上，它确实如此。它断言存在一个由适当相关实体共享的部分组成的整体。不管怎样，值得注意的是，除非“ξ”表示的条件比简单的重叠更强，否则这样的附加原则并不无害。例如，我们已经说过，如果不愿接受任意散布的总和，重叠可能是一个自然的选择。然而，这还不足以避免接受散布的乘积。想象两个 C 形物体在两个极端重叠；它们的总和将是一个整体的 O 形物体，但它们的乘积将由两个不相交的独立部分组成（Bostock 1979: 125）。此外，独立地，如果 ξ 只是重叠，那么（P.13ξ）对于不愿接受部分整体性的人来说是不可接受的。因为事实证明，强补充原则（P.5）可以从较弱的补充原则（P.4）中推导出来，只使用“P”的偏序公理（实际上，只使用自反性和传递性；参见 Simons 1987: 30f）。换句话说，除非“ξ”表示的条件比重叠更强，否则 MM cum（P.13ξ）将自动包括 EM。这可能更令人惊讶，因为初步思考时，乘积的存在似乎与分解问题无关，更不用说承诺于整体性的分解原则了。然而，经过再次思考，分体论的整体性实际上是一个双管齐下的命题：它说两个整体不能被分解为相同的适当部分，但同时也意味着两个整体不能由相同的适当部分组成。因此，不完全令人惊讶的是，只要适当的部分性行为良好，根据（P.4) 在实体组成原则存在的情况下，外延性可能会出现这样的情况。（然而，值得注意的是，一旦将（P.4）与存在产品的看似无害的论点相结合，它就会立即出现，因此反外延论者应该记住这一点。)

4.3 无穷界限和求和

通过考虑无穷界和求和，可以得到更强的组合原理。例如，(P.11ξ)可以推广为一个原理，即满足适当条件 ψ 的任何非空集合（两个或更多个实体）都有一个上界。严格来说，在标准的一阶语言中表达这样一个原理存在困难。一些早期的理论，如 Tarski（1929）和 Leonard 和 Goodman（1940）的理论，需要对集合进行明确的量化（参见 Niebergall 2009a，2009b；Goodman 在 1951 年提出了一个无集合版本的个体演算）。其他理论，如 Lewis（1991）的理论，借助于 Boolos（1984）的复数量化机制。然而，可以通过依赖一个公理模式来避免所有这些，并实现足够的普遍性，其中集合由谓词或开放公式来识别。由于普通的一阶语言具有可数的开放公式供应，因此最多可以以这种方式指定可数多个集合（在任何给定的域中）。但是，对于大多数目的来说，这种限制是可以忽略的，因为通常我们只对能够指定的那些对象集合感兴趣。因此，对于大多数目的，以下公理模式将起作用，其中'φ'是语言中的任何公式，'ψ'表示所讨论的条件：

(P.14ψ)

一般 ψ-上界 (∃ w φ w ∧ ∀ w (φ w → ψ w )) → ∃ z ∀ w (φ w → P wz ).

（前提中的第一个连词只是为了确保“φ”选择一个非空集合，而在结论中，变量“z”被假定不在“ψ”中自由出现。）与（P.12ξ，i）中的模式相对应的三个二进制和公理可以以类似的方式加强如下：

(P.15ψ,i)

一般的 ψ-和 （∃wφw ∧ ∀w(φw → ψw)) → ∃zSizφw,

在哪里

(521)	一般总和 1 [ 21] S1 z φ w =df ∀ v (P zv ↔ ∀ w (φ w → P wv ))
(522)	一般总结 2 S2 z φ w =df ∀ w (φ w → P wz ) ∧ ∀ v (P vz → ∃ w (φ w ∧ O vw ))
(523)	一般总结 3 S3 z φ w =df ∀ v (O vz ↔ ∃ w (φ w ∧ O vw )).

（在这里，“Sizφw”可以理解为“z 是每个满足 φw 的 w 的总和”，而且再次强调，“z”和“v”被假定不在 φ 中自由出现；类似的限制将在下面适用。）因此，每个（P.15ψ，i）都表明，如果存在一些 φ-者，并且如果每个 φ-者满足条件 ψ，则 φ-者具有相应类型的总和。可以验证，（P.15ψ，i）的每个变体都将相应的有限原则（P.12ψ，i）作为特例，其中“φw”被取为公式“w=x∨w=y”，“ψw”被取为条件“(w=x→ξwy)∧(w=y→ξxw)”。而且，再次证明，在强补充的情况下，（P.15ψ，2）和（P.15ψ，3）是等价的。

在这里，还可以考虑一种广义版本的乘积原则（P.13ξ），它断言对于满足适当条件的任何非空实体集合，存在一个最大的共同重叠者——一个共同的“核心”，用 Leonard 和 Goodman（1940）的术语来说。从 Goodman（1951: 37）中改编，这样一个原则可以表述如下：

(P.16ψ)

一般的 ψ-乘积 (∃ w φ w ∧ ∀ w (φ w → ψ w )) → ∃ z R z φ w ,

其中

(53)	* 一般产品_R_z_φ_w =df ∀ v _(P_vz ↔ ∀ w _(φ_w _→ P_vw*))

而“ψw”至少表达了“∀x(φx → Owx)”这样一个条件（再次强调，除非假设底部原则（P.10））。该原则包括有限版本（P.13ξ）作为一个特例，取“φw”和“ψw”如上所述，因此我们在与后者相关的评论中所做的适用于此处。然而，还需要额外的说明。因为在（P.15ψ,i）中存在无穷和原则的情况下，（P.16ψ）可能被认为是多余的。直观地说，一组重叠实体的最大公共重叠者（即乘积）只是它们共同部分的最小下层者（即和）；这正是乘积原则作为组合原则的意义所在。因此，直观地说，上述每个无穷和原则都应该有一个替代实例，该实例将（P.16ψ）作为一个定理，至少当“ψw”足够强时。然而，除非假设外延性，事实证明这通常不是这种情况。特别是，很容易看出（P.15ψ,3）通常不蕴含（P.16ψ），因为它甚至可能不蕴含二元版本（P.13ξ）。这可以通过取“ξxy”和“ψw”仅表示重叠的要求，即条件“Oxy”和“∀x(φx → Owx)”分别，并再次考虑图 4 中的非外延模型来验证。在该模型中，x 和 y 没有乘积，因为它们互不包含对方，而 z 和 w 也不包含对方作为一部分。因此，（P.13ξ）失败，也就是说，当“φ”选择集合{x，y}时，（P.16ψ）失败；然而，（P.15ψ,3）成立，因为 z 和 w 都是与 φ-ers 的某个共同部分重叠的事物，即 x 和 y。

在文献中，直到最近（Pontow 2004）这个事实一直被忽视。然而，对于（非外延）分体论的充分理解来说，这一点非常重要。正如我们将在下一节中看到的那样，当涉及到分体论的公理结构时，它也是重要的，包括最经典理论的公理化。

4.4 无限制组合

所有这些组合原理的最强版本是通过将它们作为适用于每个条件 ψ 的公理模式来获得的，即实际上放弃对 ψ 的任何引用。从形式上来说，这在每种情况下都等于放弃前提的第二个合取式，即通过断言相关结论所表示的模式，并且唯一的限制是存在一些 φ-ers。特别地，以下模式是（P.15ψ，i）的无限制版本，即每个可指定的非空实体集合都有一个总和 i：

(P.15_i_)

* 无限制的总和**i ∃ w_φ_w → ∃ z_S_iz_φ_w*.

对于 i=3，通过添加此模式的每个实例所得到的 EM 的扩展具有特殊的来源，并且在文献中被称为广义外延分体论，或 GEM。它对应于 Leśniewski 和 Leonard 和 Goodman 的经典系统，除了底层逻辑和原始选择之外。在外延性的存在下，通过扩展 EM 而得到相同的理论，只需使用(P.152)。实际上，后者的公理化有些冗余：仅给定传递性和补充性，无限制总和 2 就包含了所有其他公理，即 GEM 与(P.2) + (P.4) + (P.152)是相同的理论。相比之下，通过使用(P.151)扩展 EM 将导致一个较弱的理论（图 8），尽管可以通过额外的公理获得 GEM 的全部力量。例如，Hovda（2009）证明了以下公理可以实现：

(P.17)

* 过滤 _(S1_z_φ_w _∧ P_xz ) → ∃ w _(φ_w _∧ O_wx*).

（在这种情况下，再次使用传递性和补充性即可，即 GEM = (P.2) + (P.4) + (P.151) + (P.17)）。有关使用（P.151）对 GEM 进行公理化的其他方法，请参见例如 Link（1983）和 Landman（1991）（以及 Hovda 2009）。另请参见 Sharvy（1980, 1983），在其中通过添加（P.151）获得的 M 的扩展被称为“准分体论”。

Figure 8

图 8. EM + (P.152)的模型，但不是 GEM 的模型。

GEM 是一个强大的理论，它被其名义主义的前辈们认为是一个很好的替代集合论的选择。它也是可决定的（Tsai 2013a），而例如 M，MM 和 EM 以及它们的许多扩展都被证明是不可决定的。（关于分体论中可决定性的全面图景，还可以参考 Tsai 2009、2011、2013b。）GEM 有多强大？为了回答这个问题，让我们专注于基于（P.153）的经典表述，并考虑以下广义求和运算符：

(54)	* 广义求和_σ_x_φ_x =df ℩ z_S3_z_φ_w*.

然后（P.153）和（P.5）可以简化为一个公理模式：

(P.18)

唯一无限制的分体论 3 ∃ x φ x → ∃ z ( z =σ x φ x ),

并且我们可以引入以下定义：

(55)	* 分体论 x + y _=df σ_z _(P_zx _∨ P_zy*)
(56)	* 乘积 x × y _=df σ_z _(P_zx _∧ P_zy*)
(57)	* 差异 x − y _=df σ_z _(P_zx _∧ D_zy*)
(58)	* 补集 ~ x _=df σ_z_D_zx*
(59)	* 宇宙 U _=df σ_z_P_zz*.

注意，(55)和(56)给出了(403)和(49)中定义的二元运算符的特殊情况。此外，在 GEM 中，一般的 ψ-乘积原理(P.16ψ)也可以作为一个定理推导出来，其中‘ψ’的要求仅仅是相互重叠，我们可以引入一个相应的函子如下：

(60)	一般乘积 πxφx =df σz∀x(φx → Pzx)。

然后，通过考虑到其模型在每个这些函子下都是封闭的，可以充分理解该理论的全部力量，前提是相关条件的可满足性。明确地说：条件“DzU”是不可满足的，因此 U 不能有一个补集。同样，产品仅对重叠者定义，差异仅对留下余数的一对定义。然而，除此之外，(55)-(60)产生了完全良好行为的函子。由于这样的函子是熟知的集合论运算符的自然分体论类比，其中“σ”代替了集合抽象，因此可以得出结论：GEM 所公理化的分体关系基本上具有与标准集合论中的包含关系相同的性质。更准确地说，它与限制在给定集合的所有非空子集上的包含关系同构，也就是说，一个去除了零元素的完全布尔代数——这个结果可以追溯到塔斯基（1935：n. 4），并首次在格热戈尔奇克（1955：§4）中得到证明。[22]

还有其他等价的 GEM 表述值得注意。例如，每个外延分体论的定理是，分体等同于重叠者的包含关系：

这意味着在一个外延的分体论中，可以使用“O”作为原始的，然后根据定义“P”，就像 Goodman（1951）中所定义的那样，并且可以验证通过假设（61）与无限制和原则（P.153）以及反对称公理（P.3）来定义的理论等同于 GEM（Eberle 1967）。另一个优雅的 GEM 公理化，由 Tarski（1929）的早期工作得出[23]，只需采用传递性公理（P.2）与唯一无限制和公理（P.18）的 Sum2 类似物。相比之下，值得强调的是，将（P.153）添加到 MM 中的结果与 GEM 不等价，与 Simons（1987：37）给出的“标准”特征化相反，并且包括 Casati 和 Varzi（1999）以及本条目的第一版所遵循的大量文献。[24]这立即可以从 Pontow（2004）在第 4.3 节末尾提到的反例中得出结论，因为图 4 中的非外延模型满足（P.153），并且首次在 Pietruszczak（2000，n. 12）中提到。更一般地，在第 4.2 节中，我们提到在具有二元乘积假设（P.13ξ）的情况下，将 ξ 解释为重叠，强补充公理（P.5）可以从较弱的补充公理（P.4）中推导出来。然而，该模型表明，该假设不仅不被（P.153）所蕴含，也不被其受限变体（P.15ψ,3）所蕴含。除了与 GEM 的正确特征化相关之外，这个结果在哲学上也值得强调，因为它意味着（P.153）本身太弱，无法从任何可指定的对象集合中生成总和。换句话说，完全无限制的组合需要外延性，否则就必须放弃两个补充原则。反外延论者因此应该记住这一点。（另一方面，支持外延性的人可能会欢迎这个结果，作为支持采用（P.152）而不是（P.153），因为我们已经注意到，这种制定无限制组合的方式足以导致强补充以及所有产品的存在，以及所有总和的存在；参见 Varzi 2009，以及 Rea 2010 和 Cotnoir 2016 中的讨论。从这个意义上说，根据（35）给出的表征组合的标准方式，即（P.152）所基于的方式，并不像它看起来那么中立。关于这一点及相关问题，表明“经典外延分体论”的公理化路径并不是一件简单的事情，还可以参见 Hovda 2009 和 Gruszczyński 和 Pietruszczak 2014。)

通过用底部公理（P.10）补充 GEM，即假设分体论中的空集合等效于空集合，我们能得到一个完整的布尔代数吗？一个立即回答这个问题的方式是肯定的，但只是在一个平凡的意义上：我们已经在第 3.4 节中看到，在 MM 的公理下，（P.10）只允许退化的单元素模型。这就是空项目的威力。另一方面，假设我们依赖于（37）-（38）中定义的“非平凡”的真分部和真重叠的概念。并且假设我们引入相应的“非平凡”的和、积等运算符的家族。那么可以证明，通过在 GEM 中添加（P.10）并用以下非平凡的变体替换（P.5）和（P.153）所得到的理论：

(P.5G)	真正的强补充 ¬P yx → ∃ z (GP zy ∧ ¬GO zx )
(P.153G)	真正的无限制和 3 ∃ w φ w → ∃ z ∀ v (GO zv ↔ ∃ w (φ w ∧ GO wv ))

确实是在新的运算符下一个完整的布尔代数（Pontow 和 Schubert 2006）。这表明，从数学上讲，分体论确实具有所有资源，可以作为一种强大而又名义主义可接受的替代集合论的选择，真正的差异在于对单例性质的态度（正如 Leśniewski 1916 所强调的，并最终在 Lewis 1991 中得到澄清）。然而，正如已经提到的，从哲学的角度来看，底部公理绝不是一个受欢迎的选项。空项目将必须“无处存在，无时无刻”（正如 Geach 1949: 522 所说），或者可能是“无处不在，无时不有”（正如 Efird 和 Stoneham 2005 中所述），这很难接受。人们可以尝试以各种方式来证明这个观点，也许可以将空项目构造为一个不存在的个体（Bunge 1966），作为一个缺乏所有核心属性的迈农主义对象（Giraud 2013），作为一个无所不在的虚无（Priest 2014a 和 2014b: §6.13），或者作为神圣无所不在简单性的终极化身（Hudson 2006b，2009）。但是，很少有哲学家愿意为了整理代数而继续吞下去。

最后，值得回顾的是，原子论的假设通常可以在分体论的公理化中实现显著的简化。例如，我们已经看到，通过将（P.5）和（P.7）纳入单一的原子论补充原则（P.5'）下，可以简化 AEM。同样，很容易看出 GEM 与原子性的假设是兼容的（只需考虑单元素模型），并且得到的理论具有一些有吸引力的特点。特别是，结果表明，通过用更明确的方式将（P.15i）中的任何无限制求和公理替换为

(P.15_i_′)

* 原子论总和 ∃ w_φ_w → ∃ z_S_iz _(A_v ∧ ∃ w _(φ_w _∧ P_vw*)),

这个理论断言，对于任何非空的实体集合，存在一个由组成这些实体的所有原子粒子组成的总和。事实上，分体论也提供了克服第 3.4 节中讨论的原子性公理（P.7）的限制的资源。一方面，图 6 中描绘的无限下降链不是 AGEM 的模型，因为它缺少各种各样的总和。另一方面，在分体论中，可以实际上加强（P.7），以要求一切都完全由原子粒子构成，就像在...中一样。

(P.7′)

* 强原子性 ∃ y_A_y _∧ P_x_σ_y_A_y*.

（见 Shiver 2015）。然而，值得注意的是，这些优势是有代价的。无论开始时有多少个原子，AGEM 的公理都会在该数量 κ 和总体数量之间施加一种固定关系，总体数量将为 2κ-1。正如 Simons（1987: 17）指出的那样，这意味着 AGEM 模型的可能基数受到限制。有 1、3、7、15、2ℵ0 和许多其他基数的模型，但没有基数为 2、4、6 或 ℵ0 的模型。显然，这不仅仅是（P.15i）的结果，也是 GEM 的其他公理的结果（图 2 左侧的未补充模式满足每个 i 的（P.15i），有 2 个元素，并且可以随意扩展以获得任何有限基数的模型，或者无限扩展以获得具有 ℵ0 个元素的模型，如图 2 中心所示；有关具有 4 个元素的（P.151）的补充非过滤模型的图 8，以及具有 6 个元素的（P.153）的补充非外延模型的图 7 右侧）。尽管如此，事实是在这些公理的存在下，每个（P.15i）都排除了大量的可能性。特别是，AGEM 的每个有限模型（因此也是 GEM 的模型）都必然涉及对 Comesaña（2008）所称的“原始基数”的大规模违反，即，对于任何整数 n，可能存在恰好 n 个事物的直观命题。并且由于任何原子领域的大小总是可以通过取幂从下方达到，因此还可以得出结论，AGEM 不能具有强不可达基数的无限模型。这就是在原子性背景下的“普遍性的代价”，正如 Uzquiano（2006）所称。

加入原子无性公理（P.8）的结果——ÃGEM 如何？显然，上述限制不适用，并且在第 3.4 节中提到的 Tarski 模型足以确立一致性。然而，需要注意的是，每个 GEM 模型——因此每个 ÃGEM 模型——在顶部都是必然受限的，这是由于普遍实体 U 的存在。这本身并不成问题：虽然 U 的存在是底部公理的对偶，其中一切都是部分的顶级巨大物体没有底部原子的形式和哲学上的奇异之处（尽管请参见第 4.5 节的限定）。然而，一个相信无限可分性，或者至少相信其可能性的哲学家，可能对无限可组合性有同样的感觉。就像一切都可以由无原子的粘液制成，它永远分裂成越来越小的部分，一切可能都是仅仅“垃圾”组成的——正如 Schaffer（2010: 64）所称。持有这种观点的哲学家之一是怀特海德，他的事件分体论包括原子无性原则及其向上对偶，即：

(P.19)

* 上升 ∃ y_PP_xy*.

见 Whitehead 1919: 101; 1920: 76）。GEM 与前一种可能性兼容，而 ÃGEM 使其成为普遍必然性。但是，两者都没有容纳后者的空间。实际上，从原子论的角度来看，垃圾的可能性也许是有吸引力的。毕竟，即使一切都由单子组成，Theophilus 也认为“世界上从不会有无限的整体，尽管总是有比其他整体更大的整体”（Leibniz，New Essays，I-xiii-21）。这是 GEM 的一个严重限制吗？更一般地说，这是任何存在 U 的理论的严重限制吗？（在没有反对对称性的情况下，人们可能希望通过将（P.19）中的谓词“PP”理解为（20'）中给出的更强定义来考虑这个问题；见上文，ad（P.8'）。）一些作者认为是这样的（Bohn 2009a, 2009b, 2010），因为垃圾至少是可以想象的（也请参见 Tallant 2013），并且可以提供合理的宇宙学和数学模型（Morganti 2009, Mormann 2014）。其他人认为不是这样，因为垃圾在形而上学上是不可能的（Schaffer 2010, Watson 2010）。还有一些人对这个问题持开放态度（Simons 1987: 83）。人们还可以将这个问题视为任何涉及对绝对一切进行量化的理论所面临的困扰的症状，正如（P.15i）中的无限和原则所明显表明的那样（参见 Spencer 2012，尽管他的评论集中在以复数量化为基础的分体论理论上）。无论如何，从形式的角度来看，与 Ascent 的不兼容性可以被视为（P.15i）的一个不愉快的结果，并且是选择更弱的理论的一个理由。特别是，它可以被视为只支持有限求和的理由，也就是说只支持（P.12ξ,i）的实例，或者可能是它的无限版本：

(P.12_i_)

有限无限求和 i** ∃ z S izxy .

（请参阅 Contessa 2012 和 Bohn 2012：216，以获取在这种精神中的明确建议。）这将与垃圾世界的存在一致，就像与泥泞世界的存在一样一致。然而，值得注意的是，即使这一举措也有其代价。例如，事实证明，在既是泥泞又是垃圾的世界（Bohn 称之为“hunk”）（P.12i）与补充原则（P.6）相矛盾，对于每个 i（Cotnoir 2014）。此外，虽然（P.12i）与垃圾世界兼容，即，满足上升公理（P.19）的模型，但它与包含垃圾结构以及其他不相交元素的世界的可能性相矛盾（Giberman 2015）。

4.5 组合、存在和身份

GEM 的代数强度以及其较弱的有限和无限变体值得强调，但它也反映了实质性的分体论前提，其哲学基础引发了相当大的争议，远超过了泥泞/垃圾争议。实际上，所有组合原则都被证明是有争议的，就像第 3 节中所讨论的分解原则一样。一方面，似乎较弱的限制性表述，从（P.11ξ）到（P.15ψ，i），并没有做足够的工作：它们不仅依赖于相关限制条件的规定，如谓词“ξ”和“ψ”所表达的；它们还将这些条件仅视为界限和总和存在的充分条件，而理想情况下，我们对于既充分又必要的条件的解释/理论感兴趣。另一方面，较强的无限制表述似乎走得太远，因为虽然它们排除了垃圾世界的可能性，但它们也使理论承认了大量看似不可信、闻所未闻的分体论组合物——大量的“垃圾”，按照这个词的传统含义。

关于第一类担忧，当然可以将每个受限制的组合原则解释为一个双条件，既表达了存在给定一对或一组实体的上界或总和的充分条件，也表达了必要条件。但是，如何解释这些条件成为关键问题，否则就会将一个弱充分条件转化为一个极强的要求。例如，关于（P.11ξ），我们提到了将“ξ”解释为“O”的想法，其理由是分体论重叠建立了一个重要的联系，可能将两个不同部分归为一个更大（完整）整体。然而，作为一个必要条件，重叠显然太严格了。我的身体的上半部分和下半部分没有重叠，但它们确实构成了一个完整的整体。拓扑关系的接触，即重叠或相邻，可能是一个更好的选择。然而，即使那也太严格了。我们可能对由完全不相连的部分组成的分散实体的存在感到疑虑，例如我的雨伞和你的左鞋，或者更糟糕的是这条鳟鱼的头和那只火鸡的身体（Lewis 1991: 7–8）。然而，在其他情况下，认为由两个或更多不相连实体组成的整体是完全自然的：比基尼、小写字母“i”的代币、我拥有的《哲学百科全书》副本（R. Cartwright 1975; Chisholm 1987）-实际上任何普通的物质对象，只要它被证明是一群空间隔离的基本粒子（van Inwagen 1990）。对于一些事件，如但丁写《地狱》与塞巴斯蒂安在博洛尼亚漫步和凯撒越过卢比孔的总和（参见汤姆森 1977: 53f），情感和常识同样表明，一些分体论的组合存在，而不是全部；然而，哪些组合存在的问题似乎还没有定论。 考虑一系列几乎相同的分体论聚合体，从一个看起来存在组合的情况开始（例如，目前构成我的身体的所有细胞的总和，相邻两个细胞之间的相对距离小于 1 纳米），并以一个看起来不存在组合的情况结束（例如，目前构成我的身体的所有细胞的总和，它们的相对距离增加到 1 千米后）。我们应该在哪里划定界限？换句话说，限制在（P.15ψ，i）中，哪个 n 值将标志着由模式生成的模糊序列的真值变化？如果且仅如果每个 φ 都是 ψ，那么所有 φ-者的总和存在一个 sumi。

当“φ”选择我的身体细胞，并且“ψ”表达了“与另一个 φ-er 相距不到 n+1 纳米”的条件时，它很可能是这样的：每当一些实体组成一个更大的实体时，它们这样做只是一个无理由的事实（Markosian 1998b），也许是一个偶然的事实（Nolan 2005: 36，Cameron 2007）。但是，如果我们对无理由的事实感到不满意，如果我们正在寻找一种有原则的方法来划定界限，以指定事实获得的情况，那么这个问题确实具有挑战性。也就是说，这是一个具有挑战性的问题，除非将其视为一种纯粹的语言争议，否则就是否认它在首次提出时有任何意义（参见 Hirsch 2005 和 Putnam 1987: 16ff，分别参见 Dorr 2005 和 McGrath 2008 以获取相关讨论）。这实际上是范·因瓦根在第 4.1 节中提到的“特殊组合问题”，其早期表述可以在 Hestevold（1981）中找到。在随后的大部分文献中，关注的重点是物质对象的组合条件，如 Sanford（1993），Horgan（1993），Hoffman 和 Rosenkrantz（1997），Merricks（2001），Hawley（2006），Markosian（2008），Vander Laan（2010）和 Silva（2013）。偶尔，这个问题也与行为的本体论有关，如 Chant（2006）。然而，最一般的形式下，特殊组合问题可以针对任何领域的实体提出。

关于第二个担忧，即（P.15i）中的无限制总和原则会走得太远，其最早的表述几乎与原则本身一样古老（例如，参见洛威 1953 年和雷斯彻 1955 年关于个体的微积分，古德曼 1956 年、1958 年的回应）。这里，一种受奎因（1981 年：10）启发的流行回应是坚持认为（P.15i）中的模式是唯一合理的选择，尽管这听起来可能令人不安。诚然，常识和直觉指示存在一些而且仅存在一些分体论的组合体，但我们刚刚看到很难划定一个有原则的界限。为了避免接受蛮力事实，似乎任何试图通过限制组合来摆脱奇怪的总和的尝试都必须摆脱太多其他奇怪的实体；因为奇怪程度是有差异的，而部分和存在不能是一个程度的问题（尽管我们将在第 5 节中回到这个问题）。正如刘易斯（1986b：213）所说，对组合的任何限制都不能是模糊的，但除非它是模糊的，否则它就不能符合直觉的期望。因此，对组合的任何限制都无法满足激发它的直觉；任何限制都是武断的，因此是多余的。如果是这样的话，那么要么分体论组合从不发生，要么对于问题“在什么条件下一个集合有一个总和 i？”的唯一非武断、非蛮力的答案将是（P.15i）提供的激进答案：在任何条件下都有。 （这种推理方式在刘易斯 1991 年：79ff、海勒 1990 年：49f、朱比恩 1993 年：83ff、西德尔 2001 年：121ff、哈德森 2001 年：99ff 和范克利夫 2008 年：§3 中进一步阐述；有关保留意见和批评讨论，请参见梅里克斯 2005 年、D.史密斯 2006 年、诺兰 2006 年、科尔曼 2008 年、2010 年、韦克 2011 年、卡迈克尔 2011 年和埃菲汉姆 2009 年、2011a 年、2011c 年。)此外，可以观察到，对于无限制组合的反直觉性的任何抱怨都基于心理偏见，这些偏见对于世界实际结构的问题没有任何影响。诚然，我们可能对将鞋伞和鳟鱼火鸡视为真正的实体感到不安，但这并不意味着完全摒弃它们。在我们在普通环境中关心的事物中，我们可以忽略这些实体，但这并不意味着它们不存在。即使有人提出“一个与所有关于什么算作一个单位和什么不算作一个单位的普通判断相一致的公式”（Van Cleve 1986: 145），那又能说明什么呢？指导我们对统一性的判断的心理因素根本没有本体论意义，除非认为组合本身只是次要的特性（如 Kriegel 2008 所述）。用 Thomson（1998: 167）的话来说：现实就像“一个过于拥挤的阁楼”，有一些有趣的内容和很多垃圾，按照普通意义来说。我们可以忽略这些垃圾，让它们积尘；但它们存在，并且不会消失。（这样的观察并没有完全解决一个残留的问题，即跨范畴总和的地位问题。在没有任何限制的情况下，一种多元论的本体论可能包括鳟鱼火鸡和鞋伞，以及鳟鱼散步、鞋的美德、颜色的数量等等。可以想象到一些这样的事物，如第 2.1 节中提到的结构命题理论，或者某些将对象解释为“物质”和“形式”部分的分体论理论；参见 Fine 1999、2010、Koslicki 2007、2008 和 Toner 2012。还有一些理论允许由“正面”和“负面”部分组成的复合对象，例如甜甜圈，如 Hoffman 和 Richards 1985 所述。 但是，在极限情况下，普遍实体 U 将涉及所有本体类型的部分。而且，似乎没有任何武断的东西，更不用说任何心理偏见，认为至少应该禁止这样的怪物。有关这种观点的陈述，请参见 Simons 2003, 2006；有关回复，请参见 Varzi 2006b。)

第三个担忧，适用于所有（受限或不受限）组合原则，是这样的。分体论应该是本体论上的“中立”。但事实是，理论与组合原则的模型往往比相应的无组合理论的模型更密集。如果一个理论的本体论承诺是以奎因的术语来衡量的——通过格言“存在就是作为一个绑定变量的值”（1939: 708）——那么这样的理论就涉及比它们的无组合对应物更大的本体论承诺。在没有强补充假设（P.5）的情况下，这尤其令人担忧——因此，外延性原则（27）——因为这样的理论的本体论过剩可能导致大规模的增殖。但这个担忧是普遍存在的：无论是受限还是不受限的组合都不是本体论上的“无辜”操作。

对于这个担忧，有两种回应方式（最早的表述可以追溯到 V. Lowe 1953 年）。首先，可以观察到与相关组合原理相关的本体论热情并不实质——在分体论理论与组合原理的领域中增加实体并不涉及除了已经涉及的基础理论之外的实质性附加承诺。这在类似（P.11ξ）和（P.14ψ）的谦虚原则的情况下是显而易见的，这些原则表明所有适当相关的实体必须有一个上界。毕竟，有小东西和大东西，而且说我们总是能找到一个包含任何给定的适当小东西的大东西并不是说太多。但是对于那些要求大东西在某种意义上正好由小东西组成的更强的原则，也可以这样说。至少，在存在外延性的情况下，这似乎是合理的。因为在这种情况下，可以争论甚至一个总和在重要意义上也不过是其组成部分之外的东西。总和只是部分“一起取出”（Baxter 1998a: 193）；它是部分“松散计数”（Baxter 1988b: 580）；它实际上是“现实的同一部分”（Lewis 1991: 81），严格来说是一个多元体，松散地是一个单一的东西。这就是为什么，如果你拿着一包六瓶装的啤酒去杂货店的六件或更少的结账线，收银员不应该因为你有七件物品而对你使用该线路提出抗议：他要么会数六瓶，要么会数一包。 这个论题，在文献中被称为“组合即同一性”，绝非没有争议，并且可以有不同的表述方式（参见范·因瓦根 1994 年，易 1999 年，梅里克斯 1999 年，麦克丹尼尔 2008 年，贝尔托和卡拉拉 2009 年，卡拉拉和马蒂诺 2011 年，卡梅伦 2012 年，华莱士 2013 年，科特努瓦 2013a 年，霍利 2013 年，以及巴克斯特和科特努瓦 2014 年的论文）。然而，只要接受这个论题，本体论过度的指责就会失去力量。根据总和公理所假设的附加实体并不是对存在的真正补充；它们只是，用阿姆斯特朗的话说，一顿“本体论的免费午餐”（1997 年：13）。事实上，如果组合在某种意义上是一种同一性形式，那么与无限制组合相关的本体论奢侈指责也会失去力量。因为如果一个总和除了其组成的适当部分之外什么都没有，无论它们是什么，而且如果后者都是正确的，那么在接受前者中并没有什么奢侈的东西：它们只是它们自己，无论它们是什么。（这并不意味着无限制组合是由组合即同一性的论题蕴含的；实际上，参见麦克丹尼尔 2010 年的论证，它并不是这样。)

其次，可以观察到所质疑的反对意见是在错误的层面上进行的。如果对于一些实体，假设它们的总和被视为进一步的本体承诺，那么对于一个分体论的复合实体，假设它的适当部分也应该被视为进一步的承诺。毕竟，每个实体都与其适当部分不同。但是，那么担忧与组合公理无关；相反，问题是是否有任何理由容忍一个整体以及其适当部分或反之亦然（参见 Varzi 2000、2014 和 Smid 2015）。如果答案是否定的，那么似乎对于分体论来说几乎没有用处。从目前的担忧角度来看，似乎唯一彻底简约的解释将是拒绝任何分体论复合体。从哲学上讲，这样的解释是可辩护的（Rosen 和 Dorr 2002；Grupp 2006；Liggins 2008；Cameron 2010；Sider 2013；Contessa 2014），以及相应的公理，

当然与 M（直到 EM 和更多）是兼容的。但是，直接的推论是：没有任何东西会成为其他任何东西的一部分，部分会坍缩为同一性。（这种观点有时被称为分体论虚无主义，与（P.15i）所表达的分体论普遍主义形成对比；参见 van Inwagen 1990: 72ff.[ 25] Van Inwagen 本人支持一种受限虚无主义，为复合生物留出了空间。Merricks 2000, 2001 也是如此，他的受限虚无主义为复合有意识的事物留出了空间。）

(63)	P_xy_↔ x=y

近年来，对具有实质性组合原则的分体论理论提出了进一步的担忧，特别是对 GEM 的全部力量的担忧。除其他事项外，有人认为无限制组合原则与关于时间持续性的某些基本直觉不相符（van Inwagen 1990, 75ff），与某些合理的空间理论不兼容（Forrest 1996b），或者导致类似于困扰朴素集合论的悖论（Bigelow 1996）。对此类论证的详细研究超出了本条目的范围。然而，关于第一个问题的一些讨论，请参见 Rea（1998），McGrath（1998, 2001），Hudson（2001: 93ff）和 Eklund（2002: §7）。关于第二个问题，请参见 Oppy（1997）和 Mormann（1999）。Hudson（2001: 95ff）还包含了一些关于最后一点的讨论。

In recent years, further worries have been raised concerning mereological theories with substantive composition principles—especially concerning the full strength of GEM. Among other things, it has been argued that the principle of unrestricted composition does not sit well with certain fundamental intuitions about persistence through time (van Inwagen 1990, 75ff), that it is incompatible with certain plausible theories of space (Forrest 1996b), or that it leads to paradoxes similar to the ones afflicting naïve set theory (Bigelow 1996). A detailed examination of such arguments is beyond the scope of this entry. For some discussion of the first issue, however, see Rea (1998), McGrath (1998, 2001), Hudson (2001: 93ff) and Eklund (2002: §7). On the second, see Oppy (1997) and Mormann (1999). Hudson (2001: 95ff) also contains some discussion of the last point.

5. 不确定性和模糊性

我们在结束时对一个问题进行一些评论，这个问题在与特殊组合问题的联系中曾简要提及，但更普遍地涉及到分体论试图系统化的部分概念。到目前为止，从 M 到 GEM 及其变种的所有理论似乎都假设部分关系是一个完全确定的关系：对于任意两个实体 x 和 y，总是存在一个客观、确定的事实，即 x 是否是 y 的一部分。然而，在某些情况下，这似乎是有问题的。也许在空间和时间的理想化分体论中没有不确定性的空间；但是当涉及到普通的时空个体的分体论时（例如），情况就不同了。想想云、森林、沙堆等物体。它们的组成部分到底是什么？沙漠、河流、山脉的分体论边界是什么？有些东西肯定是珠穆朗玛峰的一部分，有些东西肯定不是它的一部分，但是存在一些边界模糊的东西，它们与珠穆朗玛峰的分体论关系似乎是不确定的。甚至生物体也可能引发不确定性问题。毫无疑问，Tibbles 的身体包括他的尾巴，毫无疑问它不包括冥王星的尾巴。但是那根松动的胡须呢？它曾经是 Tibbles 的一部分，很快就会彻底脱落，但同时它与猫的分体论关系是可疑的。对于一切事物都是如此。邻里、学院、社会组织的分体论边界是什么？关于散步、音乐会、战争等事件的边界又是什么？关于秃头、智慧、人格等普通概念的范围又如何呢？

这些担忧非常重要，人们可能认为上述讨论的一些原则需要相应地重新审视，不是因为它们的本体论重要性，而是因为它们的经典、二值前提。例如，EM 的外延性定理（27）表明，具有相同适当部分的复合物是相同的，但在存在不确定性的情况下，这可能需要限定条件。图 9 左侧的模型描绘了 x 和 y 由于具有不同的确定部分而不相同；然而，人们可能更愿意将这种情况描述为 x 和 y 之间的身份本身是不确定的，这是由于两个外部原子的部分不确定状态。相反，在右侧的模型中，x 和 y 具有相同的确定适当部分，然而人们可能更愿意对它们的身份保持暂缓判断，这是由于中间原子的不确定状态。

Figure 9

图 9. 具有不确定部分的物体（虚线）。

现在，很明显，这里很大程度上取决于人们如何准确理解相关的不确定性概念。实际上，有两种理解形式的方式。

这取决于短语“是否不确定”是被广泛地解释，如（64a）所示，还是被狭义地解释，如（64b）所示：

(64a)	b 是否是这样的，即 a 是它的一部分是不确定的。
(64b)	b 是这样的，无法确定 a 是否是它的一部分。

在第一种理解上，这种不确定性仅仅是 de dicto 的：也许'a'或'b'是模糊的术语，或者'part'是一个模糊的谓词，但没有理由认为这种模糊性是由底层现实中的客观缺陷引起的。如果是这样的话，那么就没有理由认为它应该影响分体论的理论框架，至少在该理论旨在捕捉世界的某些结构特征时，无论我们如何谈论它。例如，以下陈述：

可能归因于“Tibbles”的语义不确定性：仔细观察后，我们的语言实践并没有明确指定当前由该名称指代的现实部分。特别是，它们没有指定该名称是否指代当前部分包括正在松动的胡须，因此（65）的真值条件并没有完全确定。但这并不意味着外部的东西在分体上是不确定的。在现实的各种略有不同的块中，每一个都有同样的资格成为模糊引入的名称“Tibbles”的指称对象，并且每个这样的东西都有完全精确的分体结构：其中一些当前部分包括松动的胡须，而其他一些则不包括。（支持这种观点的人，也提供了一种处理 Unger 1980 和 Geach 1980 所谓的“众多问题”的方法，包括 Hughes 1986、Heller 1990、Lewis 1993a、McGee 1997 和 Varzi 2001。）或者，可以认为（65）的不确定性不是由于“Tibbles”的语义不确定性，而是由于“part”的语义不确定性（如 Donnelly 2014 所述）：不存在唯一的部分关系；相反，有几个略有不同的关系同样适用作为部分谓词的扩展，并且虽然其中一些关系将松动的胡须与 Tibbles 连接起来，但其他关系则不会。从这个意义上说，图 9 中的虚线将是模型中的“缺陷”，而不是它们所代表的现实中的缺陷。无论哪种方式，显然，在 de dicto 的理解上，分体的不确定性不一定是由于世界的本质（或不存在）：它可能只是一种更一般和广泛的不确定性现象的实例，影响着我们的语言和我们的概念工具。因此，可以用最适合处理这一现象的理论（语义、语用甚至认识论）来解释它。 （请参阅关于模糊性的条目。）分体论的原则，被理解为关于部分关系的理论，或者关于所有合格解释为部分谓词的关系的理论，将会保持不变。[ 26]

相比之下，根据对形式为（64）的主张的第二种理解方式（对应于（64b）），相关的不确定性是真正的 de re：无论我们用什么词来描述情况，都没有客观的事实可以确定 a 是否是 b 的一部分。例如，根据这种观点，（65）将是不确定的，不是因为“Tibbles”模糊不清，而是因为 Tibbles 本身模糊不清：关于松动的胡须是否是猫的一部分，根本就没有确定的事实。同样，图 9 中的虚线不反映模型的“缺陷”，而是底层现实中分体组织的真正客观缺陷。事实证明，这不是一种受欢迎的观点：罗素（1923）已经认为，世界上的不确定性的概念本身就是一种“言辞主义的谬误”，一些人甚至认为 de re 的不确定性根本就是“不可理解的”（达梅特 1975：314；刘易斯 1986b：212）或者是先验排除的（杰克逊 2001：657）。尽管如此，一些哲学家持有不同观点，认为世界可能包含相对于其中的部分关系不完全确定的模糊实体，在近期的文献中引起了相当大的关注，包括约翰森（1989）、泰（1990）、范因瓦根（1990：第 17 章）、莫罗（2002）、麦金农（2003）、秋叶（2004）、N.史密斯（2005）、海德（2008：§5.3）、卡迈克尔（2011）和萨蒂格（2013、2014），等等。即使那些不认为这种思想有吸引力的人也可能会想知道，对此是否先验禁止可能是不合理的——正如伯吉斯（1990：263）所说的一种根深蒂固的形而上学偏见。（达梅特本人在 1981 年撤回了他早期的评论，并在他的 1981 年的著作中谈到了一种“偏见”）。因此，值得问一下：这种思想将如何影响前面几节中考虑的分体论命题？

不幸的是，没有直接回答这个问题的方法。广义上讲，可以考虑两种主要的答案，取决于是否（i）仅仅将部分关系的不确定性视为涉及部分谓词的某些陈述缺乏明确真值的原因，或者（ii）理解不确定性，使得部分成为一个真正的程度问题。然而，这两种选择可以以多种方式表达。

在选项（i）上（最初由 Johnsen 和 Tye 等作者青睐），可以再次争论基本的分体论机制不需要严格的修改，只要每个公设被认为是描述部分关系在确定的方式下的特征。因此，在这种方法中，（P.1）应被理解为断言一切都明确地是自身的一部分，（P.2）断言任何一个事物的明确部分的明确部分本身是该事物的明确部分，（P.3）断言彼此明确是对方一部分的事物是相同的，等等，这些原则的真实性不受部分性不必完全确定的考虑的影响。然而，对于如何将这些基本公设与明确涉及不确定情况的进一步原则相结合，有一定的余地。例如，具有不确定部分的对象是否具有不确定的身份？许多哲学家（如 Evans（1978））认为答案显然是肯定的。其他人，如 Cook（1986），Sainsbury（1989）或 Tye（2000），持相反的观点：模糊对象在分体论上是难以捉摸的，但它们具有与任何其他对象相同的精确身份条件。还有人认为答案取决于基础分体论的强度。例如，T. Parsons（2000：§5.6.1）认为，在像 EM cum 无限制二元和的理论中，（65）的 de re 不确定性将被继承

一个相关的问题是：容忍具有不确定部分的对象是否意味着组合是模糊的，即有时是否没有事实可以确定某些事物是否构成一个整体？一种流行的观点，受到 Lewis（1986b: 212）的很大影响，认为是这样的。其他人，如 Morreau（2002: 338），则认为模糊部分和模糊组合之间的联系是没有根据的：也许（65）的 de re 不确定性由一些实例继承

（例如，x 可以是类似于 Tibbles 的东西，只是胡须明确不是它的一部分）；然而，这并不意味着说组合是模糊的，因为以下情况可能仍然是真实的：

最后，当然还有一个普遍问题，即如何处理逻辑上复杂的陈述，至少在某种程度上涉及分体论不确定的对象。一个自然的选择是依赖某种三值语义，第三个值严格来说不是一个真值，而是一个真值间隙。在这个精神下，Johnsen 和 Tye 都支持 Kleene（1938）的真值表，而 Hyde 则支持 Łukasiewicz（1920）的真值表。然而，值得强调的是，还有其他选择可供选择，包括非真值功能的解释。例如，Akiba（2000）和 Morreau（2002）推荐一种“超值论”的形式。这最初是由 Fine（1975）提出的，作为处理 de dicto 不确定性的理论，其思想是涉及模糊表达式的陈述应该在每个“精确化”上都被认为是真（假）。然而，de re 不确定性的朋友可以利用同样的思想，而是讲述底层现实的精确化——Sainsbury（1989）称之为“近似值”，Cohn 和 Gotts（1996）称之为“清晰化”，T. Parsons（2000）称之为模糊对象的“解析”。因此，人们将能够解释为什么，例如，（69）似乎是真实的，而（70）是假的（假设 Tibbles 的头部明确是 Tibbles 的一部分），而在 Kleene 的语义和 Łukasiewicz 的语义上，这两个条件语句都是同样不确定的和同样真实的。

(69)	如果松散的胡须是头部的一部分，而头部是 Tibbles 的一部分，那么胡须本身就是 Tibbles 的一部分。
(70)	如果松散的胡须是头部的一部分，而头部是 Tibbles 的一部分，那么胡须本身就不是 Tibbles 的一部分。

关于选项（ii）- 即关于实体分体论的不确定性是一种程度问题 - 情况有所不同。这里的主要动机是，某物是否是另一物的一部分实际上并不是一个非此即彼的事情。如果蒂布尔斯有两根松动的胡须，那么我们可能会说两者都不是蒂布尔斯的明确部分。但是如果一根胡须比另一根松动得更厉害，那么似乎可以说第一根胡须是蒂布尔斯的一部分，但程度较第二根低，人们可能希望分体论的假设对这种区别敏感。这就是范·因瓦根（1990）对此问题的看法，这导致了分体论的模糊化，这在很多方面与扎德（1965）的集合论中的成员资格的模糊化相似，也是这种直觉导致了波尔科夫斯基和斯科隆（1994）的“粗糙分体论”或者 N·史密斯（2005）的“具体部分”理论等形式理论的发展。再次强调，对于细节问题有一些余地，但在这种情况下，这种方法的主要特征在文献中是相当明确和统一的。设 π 是与由基本分体论原始符号‘P’表示的分体关系相关联的特征函数。那么，如果在经典情况下，这个函数是双值的，也就是说，π（x，y）始终根据 x 是否是 y 的一部分，取值为 1 或 0，那么说分体关系可能是不确定的就是说 π 不一定是完全双值的。而选项（i）只是认为这意味着 π 有时可能未定义，选项（ii）可以通过说 π 的范围可能包括 0 和 1 之间的中间值来进行描述，即有效地来自闭合实数区间[0, 1]的值。 换句话说，在这种后一种方法中，π 仍然是一个完全标准的函数，需要解决的唯一严肃问题是真正的分体论问题，即应该假设什么条件来描述其行为——这个问题与我们在前面的章节中考虑的双值情况并无不同。

这并不意味着这个问题很容易。事实证明，核心理论 M 的“模糊化”相当简单，但其扩展引发了各种问题。因此，考虑偏序公理（P.1）-（P.3）。在经典情况下，这些对应于对 π 的以下条件：

(P.1π)	π(x,x) = 1
(P.2π)	π(x,z) ≥ min(π(x,y), π(y,z))
(P.3π)	如果 π(x, y) = 1 且 π(y, x) = 1，则 x = y，

并且可以认为，无论 π 是否为二值的，相同的条件可以用来确定部分性的基本属性。也许可以考虑如下弱化（P.2π）（Polkowsky 和 Skowron 1994）：

或者可以考虑如下加强（P.3π）（N. Smith 2005）：[28]

但仅限于此：几乎没有进一步调整的空间。然而，一旦我们超越分体论，事情立即变得复杂起来。以 MM 的补充原则（P.4）为例。用 π 的术语表达它的一种自然方式如下：

然而，还有其他十五种用 π 来表达(P.4)的方式，通过将“= 1”的一个或两个出现改写为“> 0”，将“= 0”的一个或两个出现改写为“< 1”而得到。在双值性的前提下，这些方式都是等效的。然而，如果允许 π 取非整数值，这些替代表述将不会重合，而关于哪个版本最能反映出补充直觉的问题则需要仔细考虑（参见例如 N. Smith 2005: 397 中的讨论）。而这只是个开始：显然，类似的问题也会出现在前几节讨论的大多数其他原则中，比如补集原则、密度原则或各种组合原则（参见例如 Polkowsky 和 Skowron 1994: 86 中对无限和公理（P.152）的表述）。

另一方面，值得注意的是，正因为困难主要是技术性的，框架本身相当稳固，现在与选项（i）相关的一些问题往往不太容易引起争议。例如，关于分体论的不确定性是否意味着模糊的同一性的问题通常是否定的，特别是如果坚持外延性的精神。因为在这种情况下，自然地可以说，非原子对象是相同的，当且仅当它们具有完全相同的部分，并且这不是一个模糊的问题（这一点已经在 Williamson 1994: 255 中提到）。换句话说，鉴于经典上外延性原则（27）对应于以下条件：

即使将 π 的范围从{0, 1}扩展到[0, 1]，坚持这个条件似乎是非常自然的。同样，关于分体论的不确定性是否意味着模糊的组合或模糊的存在的问题通常被肯定地回答（尽管并非总是如此；参见例如 Donnelly 2009 和 Barnes 和 Williams 2009）。Van Inwagen（1990: 228）认为这是一种明显的方法，但 N. Smith（2005: 399ff）进一步提供了如何计算给定的非空事物集合具有和的程度的详细分析，即和的存在程度。（大致上，想法是从和作为它如果集合的每个元素都是它的明确部分而存在的和开始，然后根据集合的每个元素实际上是它的部分的程度计算和的实际存在程度）。

唯一仍然广泛开放的问题是所有这些应该如何反映在我们语言的语义中，特别是逻辑复合陈述的语义中。事实上，有一种倾向将这个问题视为选择模糊逻辑的适当语义的更一般问题的一部分，这通常等同于某些真值三值语义的无穷广义化。然而，可能性的范围更广，即使在这里也有非真值函数方法的空间，包括超值论的程度论变体（例如在 Sanford 1993: 225 中推荐）。

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• Stanisław Leśniewski's Logical Systems, maintained by Raul Corazzon

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The author would like to thank Aaron Cotnoir, Maureen Donnelly, Cody Gilmore, Paolo Maffezioli, Anthony Shiver, and an anonymous referee for helpful comments and suggestions.

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