确证 confirmation (Vincenzo Crupi)

首次发表于 2013 年 5 月 30 日星期四；实质性修订于 2020 年 1 月 28 日星期二

人类认知和行为在很大程度上依赖于证据（数据、前提）可以影响假设（理论、结论）的可信度这一观念。这一普遍观念似乎潜在地支撑着各种领域中的合理和有效的推理实践，从日常推理到科学前沿。然而，显然即使有大量真实的证据可用，得出错误的结论也不仅仅是一种可能性。对于令人痛苦的具体例子，只需考虑错过的医学诊断（参见 Winters 等人，2012 年）或司法错误（参见 Liebman 等人，2000 年）。苏格兰哲学家大卫·休谟（1711-1776）通常被认为揭示了这些考虑的理论根源，以一种特别透明的方式（参见 Howson，2000 年，Lange，2011 年和 Varzi，2008 年）。在大多数感兴趣的情况下，休谟指出，许多备选假设与人们掌握的所有相关信息在逻辑上是兼容的，因此前者中的任何一个都不能被后者完全确定地单独挑选出来。因此，在通常情况下，从证据推理必须保持可犯错误性。

这一基本洞见一直是一个持久的理论挑战的根源：如果可以进行分析，那么证据作为支持（或否定）假设的作用必须通过比纯粹的逻辑蕴涵更微妙的工具来把握。正如美国哲学家莫里斯·拉斐尔·科恩（1880-1947）所说的一个笑话所强调的那样，逻辑教科书必须分为两部分：第一部分是关于演绎逻辑，揭示了不合理的推理形式（演绎谬误）；第二部分是关于归纳逻辑，它们被认可（参见 Meehl 1990, 110）。在当代哲学中，确认理论大致可以描述为努力定义非演绎推理的合理模型的领域。其核心技术术语——确认——经常被更多或更少地与“证据支持”、“归纳力量”等词汇互换使用。在这里，我们通常遵循这种自由用法（尽管有时会进行更微妙的概念和术语上的区分）。

确认理论一直是一个相当困难的努力。原则上，它旨在为诊断、预测和学习等几乎任何领域的任务提供理解和指导。然而，对确认的普遍描述在面对玩具哲学例子时经常被认为存在问题。不管怎样，至少有一种现实世界的活动一直是一个普遍的目标和基准，即科学推理，特别是现代和当代自然科学史上的关键事件。这种动机很容易理解。成熟的科学似乎在依赖观察证据建立极为普遍、强大和复杂的理论方面表现出独特的有效性。事实上，能够从经验证据中获得真正支持本身就是科学假设与其他种类陈述相比的一个非常独特的特征。对科学是什么的哲学描述似乎需要理解确认的逻辑。因此，传统上，确认理论已经成为科学哲学家的一个核心关注点。

在接下来的内容中，根据一个相对标准的分类（参见 Earman 和 Salmon 1992；Norton 2005），概述了确认理论的主要方法：实例确认（第 1 节），假设演绎法及其变体（第 2 节），以及概率（贝叶斯）方法（第 3 节）。

确认（IGNORE）通过实例

在关于归纳的一篇重要论文中，Jean Nicod（1924）提出了以下重要的评论：

考虑这个公式或定律：F 蕴含 G。一个特定命题，或更简洁地说，一个事实如何影响其概率？如果这个事实包括在 F 的情况下 G 的存在，它对这个定律是有利的 [...]；相反，如果这个事实包括在 F 的情况下 G 的缺失，它对这个定律是不利的。 (219，略微调整的标记)

尼科德（Nicod）的工作是卡尔·古斯塔夫·亨普尔（Hempel）早期研究证实逻辑的重要来源（1943 年，1945 年）。在亨普尔看来，尼科德陈述的关键有效信息是，关于一个物体 a 显示属性 F 和 G 的观察报告（例如，a 是一只天鹅且是白色的）证实了所有 F 物体都是 G 物体的普遍假设（即所有天鹅都是白色的）。显然，通过这种实例证实的方式，人们可以为诸如“钠盐燃烧呈黄色”、“狼群居住在一起”或“行星沿椭圆轨道运动”等陈述获得支持证据（另见罗素 1912 年第 6 章）。我们现在将看到亨普尔对证实的分析的基本特征。

1.1 亨普尔（Hempel）的理论

亨普尔（Hempel）的理论涉及证据与假设之间的非演绎关系，但在其完整的技术表述上完全依赖标准逻辑。因此，它在清晰度和严谨性方面也超越了尼科德（Nicod）的观念。

设 L 为一阶逻辑语言 L 的封闭句子集（为简单起见，假设有限），考虑 h，e∈L。同时假设 e，即证据陈述，是一致的并且仅包含个体常量（没有量词），令 I(e)为 e 中出现的所有常量的集合（非空地）。例如，如果 e=Qa∧Ra，则 I(e)={a}，如果 e=Qa∧Qb，则 I(e)={a,b}。（非空性条款旨在确保如果句子 e 恰好是 Qa∧Qb∧(Rc∨¬Rc)，那么 I(e)仍然是{a,b}，因为 e 并没有真正陈述关于由 c 表示的个体的任何非平凡信息。参见 Sprenger 2011a, 241–242。）亨普尔的理论依赖于对假设 h 对于证据 e 的技术构造，或者说对于 e 的 h 发展，表示为 deve(h)。直观地说，deve(h)就是 h 在限制为 e 中提到的个体时所说的一切（而且仅仅如此），即确切地说是由 I(e)的元素表示的那些个体。

假设的 e-发展的概念 h 可以给出一个完全一般和精确的定义，但我们在这里不需要这个详细级别。可以说，普遍量化的材料条件的 e-发展 ∀x(Fx→Gx)正如预期的那样：在 I(e)={a}的情况下是 Fa→Ga；在 I(e)={a,b}的情况下是(Fa→Ga)∧(Fb→Gb)，依此类推。沿袭 Hempel 的观点，我们将普遍量化的材料条件视为相关假设的规范逻辑表达。因此，例如，我们将形式为 ∀x(Fx→Gx)的陈述视为“所有铜导电”的充分表达。

在亨普尔的理论中，据称证据语句 e 仅在它蕴含，而不是 h 在其完全范围内，而是 h 的适当实例时，才确认假设 h。为了准确识别那些相关的实例，即 h 的后果限定为 e 中涉及的个体，e 对 h 的发展的技术概念被设计出来。更确切地说，亨普尔式的确认可以定义如下：

亨普尔确认 对于任意 h，e∈L，其中 e 是一致的且仅包含个体常量（没有量词）的情况：

evidence e 直接 Hempel-确认假设 h 当且仅当 e⊨deve(h); e Hempel-确认 h 当且仅当，对于某个 s∈L，e⊨deve(s) 并且 s⊨h;
evidence e 直接 Hempel 反证假设 h 当且仅当 e⊨deve(¬h); e Hempel 反证 h 当且仅当，对于某个 s∈L，e⊨deve(s) 并且 s⊨¬h;
evidence e 对于假设 h 是 Hempel-中立的。

在(i)和(ii)条款中，Hempelian 确认（否认，分别）是直接 Hempelian 确认（否认）的概括。要将后者作为前者的特例检索出来，只需假定 s=h（¬h，否认的情况下）即可。

通过直接的 Hempelian 确认，证据陈述 e，比如，物体 a 是一只白天鹅，swan(a)∧white(a)，证实了假设 h，即所有天鹅都是白色的，∀x(swan(x)→white(x))，因为前者蕴含了后者的 e-发展，即 swan(a)→white(a)。这是一个期望的结果，根据 Hempel 对 Nicod 的阅读。此外，通过（间接）Hempelian 确认，swan(a)∧white(a)也证实了如果一个特定的进一步物体 b 是一只天鹅，那么它将是白色的，即 swan(b)→white(b)（要看到这一点，只需设置 s=∀x(swan(x)→white(x)）。

尼科德（"F 的情况下 G 的缺席"）考虑的第二种可能性可以通过亨普尔的反证来解释。对于证据语句 e，即 a 是一只非白天鹅—swan(a)∧¬white(a)—蕴含（实际上等同于）存在非白天鹅的假设的 e-发展—∃x(swan(x)∧¬white(x))—这反过来就是 ∀x(swan(x)→white(x))的否定。因此，后者在这种情况下被证据所反驳。最后，e=swan(a)∧¬white(a)也通过亨普尔反证了如果一个特定的进一步对象 b 是一只天鹅，那么它将是白色的，即 swan(b)→white(b)，因为后者的否定，swan(b)∧¬white(b)，被 ∀x(swan(x)∧¬white(x))和 e⊨deve(s)蕴含。

因此，总结一下，我们有四个例证说明了亨普尔理论如何阐述尼科德的基本观念，即：

(观察报告) 一只白天鹅 (直接) Hempel-确认所有天鹅都是白色的;
（观察报告）一只白天鹅也证实了亨普尔的观点，即进一步的天鹅将是白色的
一只非白色天鹅的观察报告直接推翻了所有天鹅都是白色的观点
(观察报告)一只非白色天鹅也 Hempel-反证了进一步的天鹅将是白色的。

1.2 两个悖论和其他困难

乌鸦悖论（Hempel 1937, 1945）。考虑以下陈述：

(h)

∀x(乌鸦(x)→黑色(x))，即所有乌鸦都是黑色的；

(e)

乌鸦(a)∧ 黑色(a)，即，a 是一只黑色的乌鸦；

(e∗)

¬ 黑色(a∗)∧¬ 乌鸦(a∗)，即，a∗ 是非黑非乌鸦（比如，一个绿苹果）。

假设 h 是否被 e 和 e∗ 所证实？也就是说，所有乌鸦都是黑色的说法是否同样被观察到一只黑色乌鸦和观察到一只非黑色非乌鸦（例如，一颗绿苹果）所证实？人们可能会说不，但亨普尔的理论无法区分这一点。让我们看看为什么。

正如我们所知，e（直接）Hempel-确认 h，根据 Hempel 对 Nicod 的重建。同样，e∗（直接）Hempel-确认所有非黑色物体都不是乌鸦的假设，即 h∗=∀x(¬black(x)→¬raven(x))。但是 h∗⊨h（h 和 h∗ 只是逻辑上等价的）。因此，e∗（非黑非乌鸦的观察报告），就像 e（黑乌鸦）一样，（间接地）Hempel-确认 h（所有乌鸦都是黑色的）。实际上，由于 ¬raven(a)蕴含 raven(a)→black(a)，可以证明 h 是通过观察任何不是乌鸦的物体（苹果、猫、鞋子）而（直接）Hempel-确认的，显然揭示了令人困惑的“室内鸟类学前景”（Goodman 1955, 71）。

Blite（Goodman 1955）。考虑到奇特的谓词“blite”，定义如下：一个对象只有在某个时刻 t（比如说，哈雷彗星的下次预期出现在 2061 年）之前是黑色，之后是白色时才是 blite。因此，我们假设 blite(x)≡(ext≤T(x)→black(x))∧(¬ext≤T(x)→white(x))。现在考虑以下陈述：

(h)

∀x(乌鸦(x)→黑色(x))，即所有乌鸦都是黑色的；

(h∗)

∀x(乌鸦(x)→黑色(x))，即所有的乌鸦都是黑色的；

(e)

e=乌鸦(a)∧ext≤T(a)∧ 黑色(a)，即，a 是在 T 之前观察到的乌鸦，且它是黑色的。

e 是否确认假设 h 和 h∗？也就是说，在 T 之前观察到一只黑乌鸦是否同样证实了所有乌鸦都是黑色的说法，还是证实了所有乌鸦都是 blite 的说法？在这里，人们可能会想要说不，但是亨普尔的理论无法区分这一点。因为人们可以检查到 h 和 h∗ 的 e-发展都被 e 蕴含。因此，e（在 T 之前检查到的一只乌鸦，并发现是黑色的报告）确实亨普尔确认了 h∗（所有乌鸦都是 blite），就像它确认了 h（所有乌鸦都是黑色）一样。此外，e 还亨普尔确认了这样一种说法：如果在 T 之后检查，一只乌鸦将是白色，因为这是 h∗ 的逻辑推论（直接被 e 亨普尔确认）。最后，假设 blurple(x)≡(ext≤T(x)→black(x))∧(¬ext≤T(x)→purple(x))。那么同样的证据声明 e 亨普尔确认了所有乌鸦都是 blurple 的假设，因此也确认了如果在 T 之后检查，一只乌鸦将是紫色的推论！

一个看似明显的想法在这里是，像 blite 或 blurple 这样的谓词必定存在某种固有的问题（也许非乌鸦和非黑色也是如此），因此有一种原则性的方法可以将它们排除为“不自然的”。然后，可以相应地限制确认理论，即仅限于“自然种类”（参见例如 Quine 1970）。然而，这一点事实证明在追求一致性方面非常困难，并且在这次讨论中并没有取得太多成果（Rinard 2014 是一个最近的例外）。毕竟，据我们所知，对于“自然种类”水的一个实例来说，它在摄氏 0 度以下的温度下处于一种物理状态，在超过该阈值的温度下则处于完全不同的状态，这是完全“自然”的特征。那么，为什么时间阈值 T 在 blite 或 blurple 中就成为排除这些谓词的理由呢？（水的例子来自 Howson 2000, 31–32。有关此问题的更一般评估，请参见 Schwartz 2011, 399 ff.）

上述广为人知的“悖论”表明，亨普尔对确认的分析过于宽松：它认可直观上非常不合理的确认关系的存在（详见 Earman 和 Salmon 1992, 54，以及 Sprenger 2011a, 243）。然而，从其他角度看，亨普尔对确认的概念也非常严格。假设 h 和证据 e 没有任何非逻辑词汇。例如，h 可能是牛顿的普遍引力定律（连接力、距离和质量），而 e 可能是望远镜图像上某些点的描述。在现代物理学中，类似这些陈述之间的确认和反证关系被认为是重要的。事实上，望远镜观测对于将牛顿的定律应用于天体是至关重要的证据。然而，由于它们的非逻辑词汇是不相交的，e 和 h 必须简单地是逻辑独立的，e 和 deve(h)也必须是如此（在非常小的限制条件下，这可以从克雷格的所谓插值定理中得出，详见 Craig 1957）。在这种情况下，证据和假设之间只能是亨普尔中立。因此，亨普尔最初的理论似乎缺乏捕捉归纳推理在科学以及其他领域中的一个关键特征的资源，即观察现象描述与关于潜在结构、原因和过程的假设之间的“垂直”确认（和反证）关系。

为了克服后一种困难，Clark Glymour（1980a）在他对科学推理的分析中嵌入了 Hempel 确认的精炼版本。在 Glymour 的修订中，假设 h 被一些证据 e 确认，即使必须涉及适当的辅助假设和假定，以使 e 涉及 h 的相关实例。这一重要的理论转变将确认转变为一个涉及证据、目标假设和（一系列）辅助条件的三元关系。最初，Glymour 将他复杂的新 Hempel 方法与传统的所谓假设演绎法（HD）进行了鲜明对比。然而，尽管他明确的意图，一些评论家指出，部分是因为对辅助假设角色的充分认识，Glymour 的提议和 HD 最终也受到类似困难的困扰（参见，例如，Horwich 1983，Woodward 1983 和 Worrall 1982）。在下一节中，我们将讨论确认的 HD 框架，并将其与 Hempel 确认进行比较。因此，根据上述评论，有一个适当的扩展定义将是方便的。以下是一个符合我们目的的定义：

亨普尔确认（扩展） 对于任意 h、e、k∈L，其中 e 仅包含个体常量（没有量词），k=deve(α)，其中 α∈L 仅包含量词（没有个体常量），且 α⊭h，且 e∧k 是一致的：

e 相对于 k 直接 Hempel 确认 h 当且仅当 e∧k⊨deve(h)；e 相对于 k 直接 Hempel 确认 h 当且仅当存在某个 s∈L，e∧k⊨deve(s)且 s∧k⊨h；
e 相对于 k 直接 Hempel 反证 h 当且仅当 e∧k⊨deve(¬h)；e 相对于 k 直接 Hempel 反证 h 当且仅当，对于某个 s∈L，e∧k⊨deve(s)a 且 s∧k⊨¬h；
e 相对于 k 而言在 h 方面是 Hempel-中立的。

可以看到，在上述定义中，k 中的辅助假设是进一步封闭的无常数假设的 e-发展（实际上，是应用于特定测量值的方程，在 Glymour 1980a 的典型示例中），这些假设旨在方便起见结合在一个单一陈述（α）中。这意味着在 k 中（非空虚地）出现的唯一术语是已经在 e 中（非空虚地）出现的个别常数。对于空的 α（即，重言式：α=⊤），k 也必须为空，并且 Hempel 确证的原始（受限）定义适用。至于 α⊭h 的条件，它排除了不希望出现的循环性案例，类似于所谓的“macho”自举确认，如 Earman 和 Glymour 1988 中讨论的那样（有关 Glymour 理论及其发展的更多信息，请参见 Douven 和 Meijs 2006，以及其中的参考文献）。

2. 假设演绎法

假设演绎（HD）确认的核心思想大致可以描述为“逆向演绎”：证据被认为证实一个假设，前提是后者虽然不由前者所蕴含，但能够在适当的辅助假设和假定的帮助下蕴含它。HD 确认概念的基本版本（有时被标记为“天真”）可以这样表述：

HD-确认 对于任意 h、e、k∈L，使得 h∧k 一致的情况：

e 相对于 k 成立当且仅当 h∧k⊨e 且 k⊭e
e 相对于 k 的 HD-反证，当且仅当 h∧k⊨¬e，并且 k⊭¬e；
e 相对于假设 h 相对于 k 是 HD-中性的。

请注意，上述第(ii)条款表示 HD-反证，即目标假设与数据（在辅助条件下）的纯逻辑矛盾（参见亨普尔，1945 年，第 98 页）。

2.1 HD 与亨普尔确认

HD-confirmation 和 Hempelian 确认传达了不同的直觉（见 Huber 2008a 进行原始分析）。实际上，它们是不同且严格不兼容的概念。通过考虑以下条件，这将得到有效阐明。

蕴涵条件（EC）对于任意 h，e，k∈L，如果 e∧k 是一致的，e∧k⊨h 且 k⊭h，则 e 相对于 k 确认 h。

确认互补性（CC）对于任意的 h，e，k∈L，当且仅当 e 相对于 k 确认 h 时，e 相对于 k 否定 ¬h。

特殊后果条件 (SCC) 对于任意的 h, e, k∈L，如果 e 相对于 k 确认 h 且 h∧k⊨h∗，那么 e 相对于 k 确认 h∗。

在隐含的前提下，即 k 为空（即，重言式：k=⊤），亨普尔（1943 年，1945 年）本人提出了（EC）和（SCC）作为任何确认理论的令人信服的充分条件，并据此制定了自己的提议。至于（CC），他将其视为一个明显的定义真理（1943 年，127 页）。此外，亨普尔式的确认（扩展）满足上述所有条件（当然，对于其定义的参数 h，e 和 k）。相反，HD-确认违反了所有这些条件。让我们依次简要讨论每一个。

对于一种关于扩张性（非演绎性）推理的理论来说，保留经典逻辑蕴涵作为一个特例是相当普遍的（有时被称为“超经典性”特征；参见 Strasser 和 Antonelli 2019）。这基本上是(EC)对于确认所蕴含的内容。现在，鉴于适当的 e、h 和 k，如果 e∧k 蕴涵 h，我们很容易通过两个简单步骤得出 e 在相对于 k 的情况下 Hempel 确认 h。首先，鉴于 e 和 k 都是无量词的，根据 Hempel 对 dev 的全面定义（参见 Hempel 1943, 131），deve(e∧k)=e∧k。然后很显然得出 e∧k⊨deve(e∧k)，因此 e∧k 是（直接）Hempel 确认的，其逻辑推论 h 也被确认（间接）。逻辑蕴涵因此以一种相当直接的方式被保留为 Hempelian 确认的一个实例。相反，HD-确认并不满足(EC)。这里有一个奇怪的例子（参见 Sprenger 2011a, 234）。当 k=⊤ 时，只需让 e 成为关于物体 a 是一只黑天鹅的观察报告，swan(a)∧black(a)，而 h 是存在黑天鹅的假设，∃x(swan(x)∧black(x))。证据 e 完全验证了 h，但它并没有 HD 确认它，仅仅因为 h⊭e。因此，观察到一只黑天鹅对于存在黑天鹅的假设来说是 HD 中性的！同样的例子也展示了 HD 确认如何违反(CC)。实际上，虽然对于 h 是 HD 中性，e 却对其否定 ¬h（没有一只天鹅是黑色）进行了 HD 反确认，∀x(swan(x)→¬black(x))，因为后者显然与 e 不一致（被反驳）。

HD-confirmation 对(EC)和(CC)的违反可能是一个令人担忧的原因，因为这些条件似乎非常合理。另一方面，特殊后果条件(SCC)值得单独和仔细考虑。正如我们将在后面看到的，(SCC)是一个强约束条件，远非神圣不可侵犯。现在，让我们指出其支持的一个主要哲学动机。(SCC)经常被援引为确保满足以下条件的手段（参见，例如，Hesse 1975, 88; Horwich 1983, 57）:

预测性推理条件（PIC）对于任意的 e，k∈L，如果 e 相对于 k 确认 ∀x(Fx→Gx)，那么 e 相对于 k 确认 F(a)→G(a)。

实际上，（PIC）很容易从（SCC）中得出，因此它符合亨普尔的理论。它表明，如果证据 e 证实了“所有 F 都是 G”，那么它也证实了如果一个进一步的对象是 F，那么它将是 G。值得注意的是，这并不适用于 HD-confirmation。原因在于，鉴于 k=Fa（即假设 a 来自 F 人口），我们有 e=Ga HD-确认 h=∀x(Fx→Gx)，因为后者蕴含前者（鉴于 k）。（这是尼科德洞察的 HD 重建，见下文。）当然，我们也有 h 蕴含 h∗=Fb→Gb。然而，与（PIC）相反，由于 h∗ 不蕴含 e（鉴于 k），它也不被 HD 确认。令人困扰的结论是，观察到一只天鹅是白色（或者说有一百万只天鹅是白色）并不会 HD 确认进一步发现的天鹅也是白色。

2.2 回到黑色（乌鸦）

HD-确认的一个吸引人的特点是，它在很大程度上避免了乌鸦悖论。由于假设所有乌鸦都是黑色的假设 h 并不意味着通常抽样的对象 a 将是一只黑色的乌鸦，因此确认的 HD 观点并不致力于表明 e=乌鸦(a)∧ 黑色(a)证实了 h 这一显著的亨普尔假设。同样，¬ 黑色(a)∧¬ 乌鸦(a)并不是 HD-确认所有非黑色对象都不是乌鸦。因此，如上所述，悖论的推导被阻止了。

确证（HD-confirmation）相对于 Hempel 的理论，对 Nicod 的洞察产生了一种截然不同的阅读（Okasha 2011 对这一区别进行了重要讨论）。具体如下。如果假定对象 a 是从乌鸦中取出的——关键是，做出了辅助假设 k=乌鸦(a)——并且检查 a 的颜色发现是黑色，那么，后续的证据，黑色(a)，相对于 k，确证了所有乌鸦是黑色的（h）。同样地，¬ 黑色(a) 相对于相同假设 k=乌鸦(a) HD-反证了 h。而且，这正如 Nicod 提到的“在 F 的情况下 G 的缺席 [这里，非黑色作为证据]”。同样，如果发现一个对象不是乌鸦，相对于 k=¬ 黑色(a)，确证了 h，这似乎也是可以接受的（毕竟，在从非黑色对象中抽样时，可能会发现乌鸦的反例，但没有）。此外，与 Hempel 的理论不同，HD-确证并不产生一个有争议的含义，即仅凭自身（即，假设 k=⊤），观察到一个非乌鸦 a，¬ 乌鸦(a)，必须确证 h。

有趣的是，引入辅助假设和假设表明尼科德言论周围的问题可能变得异常微妙。考虑以下陈述（Maher 的 2006 年例子）：

(α1)

∀x(白色(x)→¬ 黑色(x))

(α2)

∃x(天鹅(x))→∃y(天鹅(y)∧ 黑色(y))

α1 只是指出没有物体既是白色又是黑色，而 α2 则表示，如果有天鹅存在，那么也会有一些黑天鹅。再次假设，e=swan(a)∧white(a)。在 α1 和 α2 的情况下，观察到一只白天鹅显然否定（甚至推翻）了所有天鹅都是白色的假设 h。这里亨普尔的理论（扩展版）面临困难，因为对于 k=deve(α1∧α2)，结果是 e∧k 是不一致的。但 HD-confirmation 在这种情况下是正确的，从而捕捉了尼科德的一般明智主张的适当边界条件。因为，对于 k=α1∧α2，人们可以得出结论，h∧k 是一致的并蕴含 ¬e（因为它蕴含着没有天鹅存在），因此 e HD-disconfirms（推翻）了相对于 k 的 h（另请参见 Good 1967 年对尼科德条件的另一个著名反例）。

HD-confirmation，然而，也以独特的“悖论”含义而闻名。其中最令人沮丧的肯定是以下内容（有关更具体问题，请参见 Osherson，Smith 和 Shafir 1986 年，206 页）。

无关连词悖论。假设 e 相对于（可能为空的）k 确认 h。让语句 q 在逻辑上与 e∧h∧k 一致，但对于所有这些合取式来说完全无关紧要（也许属于完全不同的研究领域）。e 是否像确认 h 一样确认 h∧q（相对于 k）？人们可能会说不，这种含义可以在亨普尔的理论中得到适当重建。相反，HD-确认不能区分这一点：很容易证明，在指定的条件下，如果 e 和 h（鉴于 k）的确认的 HD 条件得到满足，那么对于 e 和 h∧q（鉴于 k）也是如此。这仅仅是因为，如果 h∧k⊨e，那么 h∧q∧k⊨e，这是由于经典逻辑蕴涵的单调性。

Kuipers（2000, 25）建议可以接受无关联合问题，因为在指定的条件下，即使给定 k，e 仍然不会单独 HD-确认 q，因此 HD-确认可以“局部化”：h 是联合 h∧q 中唯一获得任何确认的部分，可以说是。其他作者不愿意接受这一观点，并进行了“天真”HD 观点的技术细化。在这些提议中，可以通过一些额外的逻辑机制来阻止对无关联合的 HD 确认的传播（参见 Gemes 1993, 1998；Schurz 1991, 1994）。

最后，需要注意的是，HD-确认并不能从 blite 悖论中提供实质性的解脱。一方面，e=raven(a)∧ext≤T(a)∧black(a)并不会像 HD-确认那样，确认 h=∀x(raven(x)→black(x))或 h∗=∀x(raven(x)→blite(x))，也就是说，对于空的 k。另一方面，如果假设对象 a 是在 T 之前从乌鸦中抽样的（即给定 k=raven(a)∧ext≤T(a)），那么 black(a)既被“所有乌鸦都是黑色”的命题所蕴涵，也被“所有乌鸦都是 blite”的命题所蕴涵，因此 HD-确认了它们中的每一个。因此，HD-确认也认可存在直观上不合理的确认关系（事实上，有无限多个：正如我们所知，可以随意构想其他变体的 h∗，比如“blurple”假设）。有人可能坚持认为 HD 毕竟处理了 blite 悖论，因为 black(a)（在上述 k 的情况下）并不会 HD-确认如果在 T 之后检查，一只乌鸦会是白色（Kuipers 2000, 29 ff.）。不幸的是（正如 Schurz 2005, 148 所指出的），black(a)也不会 HD-确认如果在 T 之后检查，一只乌鸦会是黑色（同样，在上述 k 的情况下）。这是因为，正如前面指出的，HD-确认通常不符合预测推理条件（PIC）。因此，总的来说，HD-确认无法像 Hempel-确认那样区分黑色和 blite。

2.3 不确定性和杜埃姆挑战

上述问题在某些人看来显得刻意和人为——甚至在哲学家中也是如此。许多人建议更仔细地审视科学中的实际推理实践，作为评估的更合适基准。首先，假说演绎法的概念往往被认为源自西方科学的起源。正如西里西亚的辛普利修斯（公元六世纪）在他对亚里士多德《论天体论》的评论中所报道的，柏拉图曾挑战他的学生，要求他们确定“有序”运动的组合，以解释（即推导）地球观测到的行星在天空中的漫游轨迹。事实上，数学天文学几个世纪以来一直在从事这项任务：学者们一直在尝试定义几何模型，以推导出天体的表面运动。

可以说，在根本上，HD 框架面临的挑战类型与科学推理所面临的挑战并没有太大不同，与更正式类型的哲学考虑所引发的主要难题也是如此。然而，这两个领域在重要方面是互补的。以下陈述将作为一个有用的起点，以扩展我们讨论的范围。

对于“天真”的 HD-确认的不确定性定理（UT） 对于任意的偶然事件 h, e∈L，如果 h 和 e 在逻辑上是一致的，那么存在一些 k∈L，使得 e 相对于 k HD-确认 h。

(UT)是一个长期被认可的基本逻辑事实（见例如 Glymour 1980a, 36）。纯粹从形式上讲，仅仅假设 k=h→e 就足以证明。要欣赏(UT)如何引发任何哲学兴趣，必须将其与皮埃尔·杜埃姆（1906 年首次提出，后来由奎因（1951 年）以更激进的风格重新提出）的一些富有洞察力的言论相结合。（事实上，（UT）本质上等同于劳丹（1990 年）中的“奎因式不确定性”的“蕴涵版本”，见 274 页。）

Duhem（他本人是 HD 观点的支持者）指出，在成熟的科学领域，比如物理学，大多数有真正兴趣的假设或理论都不会被任何描述可观察状态的陈述所否定。就其本身而言，它们简单地不会逻辑上暗示或排除任何可观察的事实，主要是因为（不像“所有乌鸦都是黑色”）它们涉及不可观测的实体和过程的提及。因此，实际上，Duhem 强调，通常科学假设或理论在逻辑上与任何可核查证据一致。当然，除非逻辑联系由适当连接观察和非观察词汇之间差距的辅助假设和假定支撑。但是，一旦辅助因素起作用，逻辑本身就保证存在某个 k，使得 h∧k 一致，h∧k⊨e，并且 k⊭e，从而在天真的 HD 术语中确认成立（这就是上面的 UT 结果）。显然，当 Duhem 的观点适用时，无论假设 h 的无批判支持者可以合理地声称（天真的 HD）通过简单地塑造 k 来从任何 e 中获得确认。在这个意义上，假设评估将受到任何实际可用证据的根本“不确定性”的影响。

像托马斯·库恩（1962/1970）这样有影响力的作者（但请参见劳丹 1990 年，268 页，以获取更广泛的调查），依赖于杜安的洞察力，暗示经验证据的确认是推动科学理论评估的力量太弱，往往导致相对主义风味的结论（请参见沃拉尔 1996 年，沿着这些线索进行了启发性的重建）。让我们简要考虑一个经典案例，杜安本人彻底分析过的：现代光学中的波动与粒子理论。几十年来，波动理论家能够从他们的主要假设以及适当的辅助条件中推导出一系列重要的经验事实，衍射现象只是一个重要例子。但许多粒子理论家的反应是仍然保留他们的假设，并重新塑造“理论迷宫”（即 k；这个术语是波普尔的，1963 年，第 330 页）的其他部分，以将那些观察到的事实作为他们自己提议的结果。正如我们所看到的，如果严格遵循天真的 HD 的裸逻辑，他们肯定也可以声称他们的整体假设得到了确认，就像他们的对手一样。

重要的是，他们并没有这样做。事实上，粒子理论家明显地不同于他们的波动理论对手，他们努力弥补缺陷而不是取得成功（参见 Worrall 1990）。但为什么呢？因为，正如迪厄姆本人清楚意识到的那样，“天真的 HD 的逻辑‘并不是我们判断的唯一规则’”（1906, 217）。（UT）和迪厄姆的洞察力的教训似乎并不是说，天真的 HD 是最后的结论，科学推理不受严格的理性原则约束，而是 HD 观点必须加强，以捕捉理性科学推理中证据支持的真实本质。至少，在广义 HD 框架内工作的许多科学哲学家的立场是这样的。甚至有人认为，“没有一个认真的二十世纪方法论者”曾经在“没有重要限制的情况下”订阅过上述天真的 HD 观点（Laudan 1990, 278；另请参见 Laudan 和 Leplin 1991, 466）。

因此，确认的 HD 方法已经产生了许多更具体的变体，以满足确定性不足的挑战。紧随（宽泛地）Norton（2005）的脚步，我们现在将对其中一些进行调查。

2.4 扩展的高清菜单

天真的 HD 可以通过一种坚决的预测主义形式得到丰富。根据这种方法，天真的 HD 确认子句过于薄弱，因为 e 必须事先从 h∧k 中被预测出来。卡尔·波普尔（1934/1959）关于假设“协证”的描述著名地嵌入了这一观点，但可以追溯到早期现代思想家如克里斯蒂安·惠更斯（1629-1695）和哥特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646-1716），以及杜厄姆的工作本身。预测主义者为确认设立了很高的标准。她最喜欢的例子通常包括令人惊叹的事件，其中预期到以前未知的对象、现象或整个类别的存在：开普勒天文学的金星相位或牛顿物理学的海王星的发现，一直到所谓的标准模型的希格斯玻色子。

对于欠决问题的预测主义解决方案相当激进：当该理论被阐明时，h∧k 的许多相关事实后果将已经为人所知，因此不适合进行确认。批评者反对预测主义实际上过于限制性。似乎有许多情况，已知现象明显为新假设或理论提供支持。Zahar（1973）首次提出了这个“旧证据”问题，后来被 Glymour（1980a, 85 ff.）称为贝叶斯主义的困难（见下文第 3 节）。这种情况在科学史以及其他领域中屡见不鲜，但教科书中的例证已成为水星近日点进动的进动，这是牛顿物理学的一个持久异常：爱因斯坦的广义相对论计算得到了这个长期为人所知的事实，从而为新理论获得了一块显著的初步支持。除了旧证据的问题，HD 预测主义似乎也缺乏一个原则性的基础。毕竟，发现 e 和阐明 h 和 k 的时间顺序可能完全是偶然的历史偶然性。为什么这应该影响它们之间的确认关系？（有关这些问题的经典讨论，请参见 Giere 1983 和 Musgrave 1974。Douglas 和 Magnus 2013 以及 Barnes 2018 提供了更近期的观点和丰富的参考文献清单。）

作为对上述困难的可能回应，天真的 HD 可以通过使用新颖性标准（UN）来丰富。UN 对于不确定性问题的反应比时间预测策略更为保守。根据这一观点，要改进对确认的弱天真 HD 条款，只需排除一类特定情况，即那些在已知事实 e 的描述在构建 h∧k 时起到约束作用的情况。UN 观点因此具备了合理性。如果 h∧k 是基于 e 的基础塑造的，UN 的支持者指出，那么它必然会正确地描述那种情况；理论从未面临失败的风险，因此也没有取得任何特别显著的成功。恰恰在这些情况下，也正因为如此，证据 e 不应被重复计算：通过将其用于理论的构建，其确认能力就会“干涸”，可以这么说。

联合国对天真 HD 的完成源自 Lakatos 及其一些合作者（参见 Lakatos 和 Zahar 1975 以及 Worrall 1978；另请参见 Giere 1979，161-162，以及 Gillies 1989，以获取类似观点），尽管至少在 William Whewell 的作品中可以找到朝着同一方向的重要线索（1840/1847）。再次考虑水星的试金石例子。根据 Zahar（1973）的说法，爱因斯坦并不需要依赖水星数据来定义理论和辅助设备，以匹配近日点进动的观测正确值（另请参见 Norton 2011a；以及 Earman 和 Janssen 1993，以获取非常详细且更微妙的描述）。由于这个事实已经被知晓，它当然不是在严格的时间意义上被预测，然而，在 Zahar 的阅读中，它本来可以被预测：这是“使用新颖”，因此对于确认理论而言是新鲜的。作为更平凡的例证，所谓的交叉验证技术代表了在统计环境中对 UN 思想的常规应用（正如 Schurz 2014 所指出的那样，92；另请参见 Forster 2007，592 ff.）。然而，根据一些评论者的观点，UN 标准需要进一步阐述（请参见 Hitchcock 和 Sober 2004 以及 Lipton 2005），而其他人则批评它本质上是错误的（请参见 Howson 1990 以及 Mayo 1991，2014；另请参见 Votsis 2014）。

另一种丰富天真假设检验的方法是将其与消除论相结合。根据这一观点，天真假设检验中用于确认的条款过于薄弱，因为如果 h 是错误的，那么发生结果 e（有利于 h）的客观机会必须很低，以至于几乎没有可能性存在，即 e 可能发生的原因是 h 的真实性以外的某种原因。简而言之，发生 e 的情况必须是这样的，以至于大多数与 h 相关的替代方案可以被安全地排除。消除论的奠基人是弗朗西斯·培根（1561–1626）。约翰·斯图尔特·密尔（1843/1872）是后来的主要代表，黛博拉·梅奥（Deborah Mayo）的“错误统计”方法论可以说是发展了这一传统（参见梅奥 1996 年和梅奥与斯帕诺斯 2010 年；其他当代变体请参见伯德 2010 年、基彻尔 1993 年、219 页及米尔 1990 年）。

淘汰论在涉及实验时最具可信度（见例如 Guala 2012）。事实上，对于贝肯（Bacon）关键实验（instantia crucis）及相关概念（例如“严格测试”）的引用，相当可靠地表明了淘汰主义倾向。实验在很大程度上确切地是一系列技术手段，通过积极操纵和有意识控制来尽量减少不希望的干扰因素（想想医学试验中的盲法程序，其中 h 是新型治疗的假设有效性，e 是因此接受治疗的目标亚组患者的临床终点的相对改善）。当这种控制获得时，流行的统计工具应该允许计算 e 的概率，假设 h 是错误的，意味着“在（真实或假设的）一系列测试应用中的相对频率”（Mayo 1991, 529），并确保一个足够低的值以验证测试的积极结果。在推理发生在更高层次的普遍性和理论承诺的情况下，这种方法能够保持多么牢固就不太清楚了，其中假设空间通常过于杂乱以适应常规的错误统计分析。事实上，劳丹（Laudan）（1997, 315；另见 Musgrave 2010）在这种方法中发现了科学推理“巴尔干化”的风险，即，对零散的实验推理片段的局限性关注（但请参见 Mayo 2010 进行辩护）。

天真的 HD 也可以通过简单的概念来丰富。根据这一观点，天真的 HD 确认条款过于薄弱，因为 h∧k 必须是一种足够简单、统一的方式来解释证据 e。简单观点的经典参考是牛顿在《自然哲学的数学原理》中的第一条哲学定律（“对自然事物不要承认比那些既真实又足以解释它们现象的原因更多的原因”），这与奥卡姆剃刀非常接近。这个基本思想从未失去吸引力，甚至一直延续至最近的时代（参见，例如，Quine 和 Ullian 1970，69 页以下；Sober 1975；Zellner，Keuzenkamp 和 McAleer 2002；Scorzato 2013）。

尽管托马斯·库恩（1957, 181）提出相反意见，哥白尼的天文学成功胜过托勒密系统，一直是一个具有影响力的案例研究，促进了简洁观点（Martens 2009）。此外，在普通科学问题中，如曲线拟合，应用了模型选择的形式标准，其中参数的稀缺性可以自然地被解释为简洁性的一个关键维度（Forster and Sober 1994）。传统上，简洁性方法已经证明了两个主要问题的紧迫性和令人沮丧。首先，如何提供一个足够连贯和启发性的阐释这个多方面和难以捉摸的概念（参见 Riesch 2010）；其次，如何证明简洁性作为一个适当的认识论（而不仅仅是实用主义）美德的角色（参见 Kelly 2007, 2008）。

最后，天真的 HD 可以通过呼吁解释来丰富。在这里，确认的天真 HD 条款被认为过于薄弱，因为 h∧k 必须能够（不仅仅是蕴含，而且）解释 e。通过这一举措，HD 方法嵌入了所谓的最佳解释观点的口号：“观察支持假设，恰恰是因为它们可以解释它们”（Lipton 2000, 185; 另请参见 Lipton 2004）。历史上，解释与支持之间的主要联系的主要来源可以在查尔斯·桑德斯·皮尔斯（1839-1914）的作品中找到。Janssen（2003）提供了一个特别简洁的当代展示，明确旨在“治愈杜厄姆-奎因病例”（484; 另请参见 Thagard 1978，以及 Douven 2017 进行相关调查）。与淘汰主义方法截然不同，解释主义分析往往侧重于大规模理论和相对高水平的证据种类。例如，处理爱因斯坦的广义相对论时，Janssen（2003）极大强调其解释惯性和引力质量等价（基本上是牛顿物理学中的一个原始事实），而不是解决水星近日点之谜。解释主义解释还具有独特的能力来处理非实验科学的推理模式（Cleland 2011）。

这些方法面临的问题与影响简单观点的问题类似。关于科学解释的性质仍然缺乏一致意见（参见 Woodward 2019），而且尚不清楚在没有对该概念进行充分分析的情况下，解释主义变体的 HD 理论能走多远。此外，一些批评者想知道为什么确认关系应该受到与证据本身的解释联系的影响（参见 Salmon 2001）。

以上讨论并非详尽列表（列出的选项也并非互斥，例如，参见 Baker 2003；另见 Worrall 2010，了解应用实践中一些重要重叠含义）。我们简要概述的展示几乎不允许做出任何确定性评估。然而，它确实表明，虽然假设演绎法的消亡报道可能有所夸大（参见 Earman 1992，64 页，以及 Glymour 1980b），但其困难之处，至少作为阐明假设如何通过证据得到确认的基本框架，假设演绎法已被证明相当有韧性（参见 Betz 2013，Gemes 2005 和 Sprenger 2011b，以获得一致的观点）。

3. 贝叶斯确认理论

贝叶斯定理是概率演算的一个非常核心的要素（见 Joyce 2019）。出于历史原因，贝叶斯主义者已经成为一个标准术语，用来指代一系列共享概率（在其现代、数学意义上）在理性信念、推理和行为中起着关键作用这一共同观念的方法和立场。根据贝叶斯认识论者和科学哲学家的观点，（i）理性主体具有不同强度的信念，而且（ii）满足概率公理，因此可以用概率形式表示。（在非贝叶斯模型中，拒绝（ii），但可能保留（i）：见 Huber 和 Schmidt-Petri 2009，Levi 2008 和 Spohn 2012。）存在一些著名的支持这一立场的论据（见，例如，Easwaran 2011a；Pettigrew 2016；Skyrms 1987；Vineberg 2016），尽管存在不少困难和批评（见，例如，Easwaran 2011b；Hájek 2008；Kelly 和 Glymour 2004；Norton 2011b）。

除了上述核心思想之外，然而，贝叶斯主义的理论景观像它的土壤一样多样化，也同样富饶。调查和最新技术展示已经很多，而且明显在增长（参见，例如，Good 1971; Joyce 2011; Oaksford and Chater 2007; Sprenger and Hartmann 2020; Weisberg 2015）。就目前的目的而言，注意力可以限制在一个仍然相当粗糙的分类上，基于仅仅两个维度或标准。

首先，存在着许可主义和不许可主义之间的区别（参见 Meacham 2014 和 Kopec 和 Titelbaum 2016 以了解这个术语）。对于许可贝叶斯主义者（通常被称为“主观主义者”），符合概率公理是理性代理人信念的唯一明确约束。在不许可形式的贝叶斯主义（通常被称为“客观主义”），提出了进一步的约束，显著限制了理性信念的范围，可能一直到在任何特定情境中存在一种“正确”的概率函数。其次，对于所谓的“全面证据原则”（TE），人们对于推理者依赖的信念有不同的态度。TE 贝叶斯主义者认为，相关信念应该由一个概率函数 P 来表示，该函数传达了代理人所知的全部内容。对于非 TE 方法，根据情况，P 可以（或应该）被设置，以便实际上将可用的证据部分置于括号内。（毫不奇怪，一旦深入探讨 TE 的确切含义和范围，就会出现进一步的微妙之处；请参阅 Fitelson 2008 和 Williamson 2002，第 9-10 章，以获取重要讨论。）

当然，在极端的许可主义和不许可主义之间存在许多中间立场，对于 TE 问题也是如此。上述区分确实足够粗糙，但仍然有用。不许可主义 TE 贝叶斯主义在早期贝叶斯科学哲学中被视为一种传统观点（例如，卡尔纳普 1950/1962）。但不许可主义也很容易与非 TE 立场结合起来（例如，马赫 1996）。TE 许可主义似乎是德芬奈（2008）立场的一个很好的近似，而非 TE 许可主义可以说是当今一个标准观点（例如，豪森和厄巴赫 2006）。我们需要的不过如此，就可以开始探讨贝叶斯证实理论。

3.1 概率确认作为确定性

让我们假设一个概率函数集合 P，代表了关于一个由有限语言 L 描述的领域的可能信念状态，其中 L 是其闭合句子的集合。从现在开始，除非另有说明，在考虑到一些 h, e, k ∈ L 和 P ∈ P 时，我们将始终依赖以下规定：

e∧k 和 h∧k 都是一致的
P(e∧k), P(h∧k)>0;
P(k)>P(h∧k)（除非 k⊨h）;
P(e∧k)>P(e∧h∧k)（除非 e∧k⊨h）; 确认
P(e∧h∧k)>0，只要 e∧h∧k 是一致的。

(These assumptions are convenient and critical for technical reasons, but not entirely innocent. Festa 1999 and Kuipers 2000, 44 ff., discuss some limiting cases that are left aside here owing to these constraints.) （这些假设在技术上是方便且关键的，但并非完全无辜。Festa 1999 和 Kuipers 2000, 44 页等人讨论了一些极限情况，由于这些限制，这里不予考虑。）

通过定义一个函数 CP(h,e∣k):{L3×P}→ℜ，可以详细阐述一个关于确认的概率论。该函数代表假设 h 相对于 k 和概率函数 P 从证据 e 获得的确认程度。然后，根据概率确认的以下基本假设， CP(h,e∣k) 将以相关概率作为其构建模块：

正式性 存在一个函数 g，对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，都有 CP(h,e∣k)=g [P(h∧e∣k),P(h∣k),P(e∣k)]。

请注意，代数生成的概率分布由条件为 k 的 h 和 e 完全确定。因此，(P0)简单地说明 CP(h,e∣k)取决于该分布，而不取决于其他任何因素。(这一假设的标签取自 Tentori, Crupi, 和 Osherson 2007, 2010.)

Hempelian 和 HD 确认，如上所述，是关于确认的定性理论。它们只告诉我们证据 e 是否证实（否定）假设 h 在给定 k 的情况下。然而，在科学推理中通常涉及对某些证据支持假设的程度进行评估，以及在其他领域中，即使只是以“假设 h 被 e1 比 e2 更强烈地证实”或“e 比 h1 更大程度地证实 h2”等比较判断的形式。例如，考虑以下原则，这是概率确认的真正基石，无论是在其所有变体中（有关参考文献清单，请参见 Crupi，Chater 和 Tentori 2013）：

(P1) 最终概率 对于任意的 h，e1，e2，k∈L 和任意的 P∈P，如果且仅如果 P(h∣e1∧k)⋛P(h∣e2∧k)，则 CP(h,e1∣k)⋛CP(h,e2∣k)。

(P1) 本身是一个比较性或序数原则，它陈述了对于任何固定的假设 h，最终（或后验）概率和确认总是在数据 e（在给定 k 的情况下）的光线下朝着相同的方向移动。有趣的是，（P0）和（P1）已经足以单独确定一种传统的概率确认度量类别，如果与以下内容结合（参见 Crupi 和 Tentori 2016 年，第 656 页，Schippers 2017 年，以及 Törnebohm 1966 年，第 81 页）：

(P2) 本地等价 对于任意的 h1，h2，e，k∈L 和任意的 P∈P，如果在给定 e 和 k 的情况下 h1 和 h2 在逻辑上是等价的，那么 CP(h1,e∣k)=CP(h2,e∣k)。

接下来可以展示：

定理 1 (P0), (P1)和(P2)成立当且仅当存在严格增函数 f，使得对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，CP(h,e∣k)=f [P(h∣e∧k)]。

定理 1 提供了对严格随着证据给定假设的最终概率而增加的确认函数类的简单公理特征（在 Schippers 2017 中证明）。这个类中的所有函数在序数上是等价的，这意味着它们暗示了对于任何 h，h∗，e，e∗，k，k∗∈L 和任何 P，P∗∈P 的 CP(h,e∣k)和 CP∗(h∗,e∗∣k∗)的相同等级顺序。

通过（P0）、（P1）和（P2），我们因此有 CP（h，e∣k）=f [P（h∣e∧k）]，这意味着给定证据时 h 更有可能，它就更被确认。这种方法将确认明确解释为假设的整体可信度（坚固性是卡纳普 1950/1962 年的说法，xvi）。在这种观点中，“贝叶斯确认理论几乎只是对后验概率函数的属性进行检查”（Howson 2000, 179）。

正如我们将看到的，分析的序数级别是在纯定性和完全定量（度量）的确认概念之间的一个坚实而方便的中间地带。首先，序数概念通常足以向定性水平“上升”，如下所示：

定性确认从序数关系（QC）对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P：

e 相对于 k 确认 h 当且仅当 CP(h,e∣k)>CP(¬h,e∣k);
e 相对于 k 不确定 h，当且仅当 CP(h,e∣k)<CP(¬h,e∣k);
e 相对于 k 是 CP-中性的，当且仅当 CP(h,e∣k)=CP(¬h,e∣k)。

根据定理 1，(P0)，(P1)和(P2)可以与(QC)中的定义相结合，得出以下关于概率确认的定性概念，即坚固性

确认为坚定性（F-确认，定性） 对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P：

e 相对于 k 确认 h 当且仅当 P(h∣e∧k)>1/2;
e 相对于 k 的 F-反证当且仅当 P(h∣e∧k)<1⁄2 时成立；
e 相对于 k 是相对于 h 的 F-中性，当且仅当 P(h∣e∧k)=1⁄2。

因此，定性 F-确认的要点很简单：如果 h 被 e（在给定 k 的情况下）更可能是真实（假的），那么就说 h 被（否）确认。（有时会确定一个高于概率 1/2 的阈值，但对于我们当前的目的来说，这种复杂性并没有太大意义。）

确认的序数概念具有很高的理论意义，因为序数差异，与纯粹的数量差异不同，意味着对某些证据-假设对的相反比较判断。然而，从序数到适当的数量水平的细化也是有趣的，对于可处理性和应用非常有用。例如，可以将 0 作为确认作为坚定性的方便中立阈值，前提是采用以下的功能表示（参见皮尔斯 1878 年的早期事件）：

F(h,e∣k)=log [P(h∣e∧k)P(¬h∣e∧k)]=logOdds(h∣e∧k)

(对数的底可以随意选择，只要严格大于 1。)

经常提出的一个数量要求是以下严格形式的可加性：

严格可加性 (SA) 对于任意 h，e1，e2，k∈L 和任意 P∈P， CP(h,e1∧e2∣k)=CP(h,e1∣k)+CP(h,e2∣e1∧k).

尽管与 F-确认无关，严格可加性在讨论贝叶斯确认理论的更多变体时将会证明其有用。

3.2 坚定的优势和不足

确认作为坚定性与 Hempel 式确认共享一些结构特性。它满足特殊后果条件，因此也满足预测推理条件。它满足蕴涵条件，并且基于（P1）的原因，顺利将其扩展到以下的序数对应物：

蕴涵条件（序数扩展）（EC-Ord）对于任意 h, e1, e2, k∈L 和任意 P∈P，使得 k⊭h：

如果，e1∧k⊨h，并且 e2∧k⊭h，则相对于 k，h 被 e1 比 e2 更加确认，即 CP(h,e1∣k)>CP(h,e2∣k)
如果，e1∧k⊨h 和 e2∧k⊨h，则相对于 k，h 被 e1 和 e2 同等确认，即 CP(h,e1∣k)=CP(h,e2∣k)。

根据（EC-Ord），古典蕴涵不仅作为确认的一种情况被保留，它还代表了一种极限情况：它是一个固定假设 h 可以接受的最强形式的确认。

F-确认还满足确认互补性，并且将其扩展到其吸引人的序数对应物（参见 Crupi，Festa 和 Buttasi 2010，85-86）

确认互补性（序数扩展）（CC-Ord） CP(¬h,e∣k) 是 CP(h,e∣k) 的严格递减函数，即对于任意 h, h∗, e, e∗, k ∈ L 和任意 P ∈ P，当且仅当 CP(h,e∣k)⋛CP(h∗,e∗∣k) 时，有 CP(¬h,e∣k)⋚CP(¬h∗,e∗∣k)。

(CC-Ord) 巧妙地反映了凯恩斯（1921, 80）的言论，“一个论点总是离证明或证伪一个命题同样近，正如它离证伪或证明其相反命题一样近”。事实上，定量上，度量 F(h,e∣k)以简单而优雅的方式实现了确认互补性，即满足 CP(h,e∣k)=−CP(¬h,e∣k)。

F-确认还意味着另一个有吸引力的定量结果，缓解了无关连词悖论的病症。在下面的陈述中，指出这一结果，对于假设 h 和证据 e（相对于 k）的 q 的无关性意味着 q 与 h、e 及它们的连接的概率独立（在给定 k 的情况下），即 P(h∧q∣k)=P(h∣k)P(q∣k)，P(e∧q∣k)=P(e∣k)P(q∣k)，以及 P(h∧e∧q∣k)=P(h∧e∣k)P(q∣k)。

无关连词确认（序数解决方案）（CIC）对于任意 h，e，q，k∈L 和任意 P∈P，如果 e 相对于 k 确认 h，且 q 相对于 h 和 e 相对于 k 无关，则确证 CP(h,e∣k)>CP(h∧q,e∣k).

因此，即使在将 q 添加到 h 的过程中 qualitatively 保持不变的情况下，由 e 提供的积极确认至少会在数量上减少。

部分是因为吸引人的形式特征，比如迄今为止提到的那些，有一长串杰出学者支持确认的坚定观点，从凯恩斯（1921）和霍西亚松-林登鲍姆（1940）开始，最常与某种形式的不容许贝叶斯主义相结合（参见霍桑 2011 年和威廉姆森 2011 年的当代变体）。事实上，F-确认最符合卡尔纳普式的 TE 不容许主义的经典形式，其中假设 k=⊤，P 是基于基本逻辑考虑的“客观”初始概率，所有可用的非逻辑信息都被收集在 e 中。卡尔纳普项目的精神从未完全失去吸引力（参见，例如，费斯塔 2003 年，富兰克林 2001 年，马赫 2010 年，巴黎 2011 年）。然而，关于 P 的“逻辑”解释的想法陷入了常被视为不可逾越的困难中（例如，厄尔曼和萨尔蒙 1992 年，85-89 页；吉利斯 2000 年，第 3 章；哈耶克 2019 年；豪森和乌尔巴赫 2006 年，59-72 页；范弗拉森 1989 年，第 12 章；扎贝尔 2011 年）。可以说，缺乏一些强有力和有效的不容许政策，作为坚定性的确认解释最终失去了很多哲学上的动力。围绕乌鸦和布莱特悖论的问题提供了一个有用的例证。

再次考虑 h=∀x(raven(x)→black(x))，以及迄今为止遇到的“a 是一只黑乌鸦”的主要分析：

k=⊤ 且 e=raven(a)∧black(a)，并
k=raven(a) and e=black(a). k=乌鸦(a) 和 e=黑色(a)。

在这两种情况下，无论相对于 k， e 是否确认 h 都在很大程度上取决于 P：如果先验概率 P(h∣k) 足够低，那么在 (i) 或 (ii) 下，无论如何 e 都不会确认 h；如果先验概率足够高，那么无论如何 h 都会被 F-确认。因此，单凭 F-确认观点本身并不能提供任何明确的线索，说明尼科德的言论何时、如何以及为什么适用或不适用。

为了我们的讨论目的，以下条件揭示了确认解释的另一个值得商榷的方面。

一致性条件 (Cons) 对于任意的 h，h∗，e，k∈L 和任意的 P∈P，如果 k⊨¬(h∧h∗)，那么当且仅当 e 在给定 k 的情况下确认 h 时，e 在给定 k 的情况下否认 h∗。

(Cons)认为证据 e 永远不能证实不相容的假设。但是，举例来说，考虑一个原因不明的传染病临床案例，假设 e 是抗生素治疗失败。可以说，并没有什么问题，即通过否定细菌作为可能的原因，证据证实（即提供某种支持）多种替代病毒诊断之一。然而，这一判断与(Cons)相冲突，似乎过于严格。

值得注意的是，(Cons) 被 Hempel (1945) 辩护，事实上，可以证明它是从（定性）确认互补和特殊后果条件的连接中得出的，因此也是从 Hempelian 和 F-确认中得出的。这只是特殊后果条件严格的一个迹象。主要是因为后者，Hempelian 和坚定观点确认的观点都必须远离合理的 HD 想法，即假设通常是通过其经过验证的后果来确认的（参见 Hempel 1945, 103–104）。在讨论我们下一个主题时，我们将回到这一点：基于概率相关性概念的非常不同的贝叶斯解释。

3.3 概率相关性确认

我们已经看到，概率确认的坚定性概念可以通过一个序数约束（P2）来确定，除了基本原则（P0）-（P1）之外。所谓概率确认的相关性概念的对应条件如下：

(P3) 重言证据 对于任意 h1，h2，k∈L 和任意 P∈P，CP(h1，⊤∣k)=CP(h2，⊤∣k)。

(P3) 暗示任何假设都同样被空证据“确认”。我们将说如果且仅如果满足（P0）、（P1）和（P3），那么 CP(h,e∣k) 代表确认的概率相关性概念，或相关性确认。这些条件足以推导出以下纯定性原则，根据上述（QC）中的定义方法（参见 Crupi 和 Tentori 2014 年，第 82 页，以及 Crupi 2015 年）。

概率相关性确认 (定性) 对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P：

e 相对于 k 的相关性确认 h，当且仅当 P(h∣e∧k)>P(h∣k)；
e 相对于 k 的相关性-反证，当且仅当 P(h∣e∧k)<P(h∣k)时成立；
e 相对于 k 是关于 h 的中性相关性，当且仅当 P(h∣e∧k)=P(h∣k)。

相关性确认的要点在于，一个假设的可信度可以通过相关证据（给定 k）以积极（严格意义上的确认）或消极（反确认）的方式而发生变化。确认（严格意义上）反映了从初始概率到最终概率的增加，而反确认则反映了一个减少（有关这一概念的一些不同观点，请参见 Achinstein，2005 年）。

定性概念中的确认作为坚固性和相关性是可以明显区分的。与坚固性不同，相关性确认不能仅通过最终概率或任何增加函数来形式化。举例来说，一种本来非常罕见的疾病的概率(h)在一个相关的阳性测试结果(e)之后可能非常低；然而，h 通过 e 的相关性确认，其概率因此而上升。同样地，疾病的缺席的概率(¬h)可能非常高，尽管有阳性测试结果(e)，然而 ¬h 通过 e 的相关性否认，其概率因此而下降。也许令人惊讶的是，坚固性和相关性确认之间的区别——正如 Salmon(1969, 48–49)所说的那样，“极其基础”但“有时被忽视”，必须一次又一次地强调，以在哲学（例如，Popper 1954；Peijnenburg 2012）以及其他相关领域（如人工智能和推理心理学）中实现理论上的清晰度（参见 Horvitz 和 Heckerman 1986；Crupi，Fitelson 和 Tentori 2008；Shogenji 2012）。

相关性确认的定性概念已经产生了一些有趣的后果。例如，它暗示了以下引人注目的事实：

互补证据（CompE）对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，当且仅当 ¬e 相对于 k 否定 h 时，e 相对于 k 确认 h。

(CompE)的重要性可以通过以下方式加以说明。考虑一个父亲被怀疑虐待儿子的案例。假设孩子声称自己受到了虐待（将这个证据标记为 e）。一位法医精神科医生在被咨询时宣称这证实了罪行（h）。另一方面，假设孩子被问及并且没有报告受到虐待（¬e）。正如 Dawes（2001）所指出的，法医精神科医生可能会将此解释为证实了罪行（暗示暴力促使了孩子的否认）。有人可能会主张，其他条件相等的情况下，这种“你输我赢”的判断是不一致的，因此在原则上是站不住脚的。谁赞同这种论点（正如 Dawes 2001 本人所做的）很可能是依赖于确认的相关性概念。事实上，迄今为止考虑的任何其他确认概念都没有为这种判断提供一个普遍的基础。特别是 F-确认不会起作用，因为它允许 e 和 ¬e 都确认 h（相对于 k）。这是因为，从数学上讲，P（h∣e∧k）和 P（h∣¬e∧k）都可以任意高于 1⁄2。相反，条件（CompE）确保了在 e 和 ¬e 这两个互补陈述中，只有一个可以确认假设 h（相对于 k）。（要准确，HD-确认也满足条件 CompE，但它仍然会因为不同的原因而失败，也就是因为 h 和 e 之间的联系可能是概率依赖而不是逻辑蕴涵。）

前述的评论已经导致一些当代贝叶斯理论家完全摒弃了确认作为坚实性的概念，最终得出了 I.J. Good（1968, 134）的结论：“如果你有 P(h∣e∧k)接近于单位，但小于 P(h∣k)，你不应该说 h 被 e 确认了”（另见 Salmon 1975, 13）。让我们遵循这一建议，继续考虑相关性确认的序数（和数量）概念。

3.4 差异、比率和部分蕴涵

正如坚固性一样，相关性确认的序数分析可以被公理化地表征。然而，对于相关性概念，会出现更多的选择。考虑以下原则。

(P4) 可替代假设的析取 对于任意的 e, h1, h2, k∈L 和任意的 P∈P，如果 k⊨¬(h1∧h2)，那么当且仅当 P(h2∣e∧k)⋛P(h2∣k)时，CP(h1,e∣k)⋛CP(h1∨h2,e∣k)。

(P5)似然法则 对于任意的 e, h1, h2, k∈L 和任意的 P∈P，如果且仅如果 P(e∣h1∧k)⋛P(e∣h2∧k)，则 CP(h1,e∣k)⋛CP(h2,e∣k)。

P6) 模块化（适用于有条件独立的数据） 对于任意的 e1，e2，h，k∈L 和任意的 P∈P，如果 P(e1∣±h∧e2∧k)=P(e1∣±h∧k)，那么 CP(h,e1∣e2∧k)=CP(h,e1∣k)。

所有上述条件在文献中或多或少地广泛存在（参见 Crupi, Chater 和 Tentori 2013 以及 Crupi 和 Tentori 2016 的参考文献和讨论）。有趣的是，它们在正式性和最终概率原则（上文中的 P0 和 P1）的背景下都是两两不相容的。事实上，它们将确认的相关性概念分为三个不同的经典测度家族，如下（Crupi, Chater 和 Tentori 2013; Crupi 和 Tentori 2016; Heckerman 1988; Sprenger 和 Hartmann 2020，第 1 章）。

定理 2 给定（P0）和（P1）：

(P4)成立当且仅当 CP(h,e∣k)是一个概率差异度量，即存在一个严格增函数 f，使得对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，CP(h,e∣k)=f [P(h∣e∧k)−P(h∣k)];
(P5)成立当且仅当 CP(h,e∣k)是一个概率比测度，即存在一个严格增函数 f，使得对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，CP(h,e∣k)=f [P(h∣e∧k)P(h∣k)];
(P6)成立当且仅当 CP(h,e∣k)是一个似然比测度，即存在一个严格增函数 f，使得对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，CP(h,e∣k)=f [P(e∣h∧k)P(e∣¬h∧k)]。

如果强加严格的加法行为（SA 以上），则有一个功能形式被单独选出，用于量化表示对应于上述每个条款的确认

DP(h,e∣k)=P(h∣e∧k)−P(h∣k); DP(h,e∣k)=P(h∣e∧k)−P(h∣k);
RP(h,e∣k)=log [P(h∣e∧k)P(h∣k)];
LP(h,e∣k)=log [P(e∣h∧k)P(e∣¬h∧k)].

（对数的底数被假定严格大于 1。）

在简要讨论这组替代性的相关性确认定量度量之前，我们将解决另一个相关问题。长期以来的一个想法，至少可以追溯到卡尔纳普，即确认理论应该产生一种归纳逻辑，以某种合适的意义类似于经典的演绎逻辑，从而提供部分蕴涵和部分反驳的理论。现在，演绎逻辑中关于蕴涵和反驳（矛盾）的概念展示了以下众所周知的特性：

蕴涵的对置 蕴涵是逆否命题，但不是交换的。也就是说，当且仅当 ¬h 蕴涵 ¬e（¬h⊨¬e）时，e 蕴涵 h（e⊨h），而不是当且仅当 h 蕴涵 e（h⊨e）时 e 蕴涵 h。

反驳的交换律 反驳，相反，是可交换的，但不是逆否命题。也就是说，它认为 e 反驳 h (e⊨¬h) 当且仅当 h 反驳 e (h⊨¬e)，而不是认为 e 反驳 h 当且仅当 ¬h 反驳 ¬e (¬h⊨¬¬e)。

确认论对应物相当简单

(P7) 确证的对立 对于任意的 e，h，k∈L 和任意的 P∈P，如果 e 相对于 k 确认了 h 的相关性，则 CP(h,e∣k)=CP(¬e,¬h∣k)。

(P8) 反证的交换律 对于任意的 e，h，k∈L 和任意的 P∈P，如果 e 相对于 k 的相关性证伪了 h，那么 CP(h,e∣k)=CP(e,h∣k)。

接下来可以证明（Crupi 和 Tentori，2013 年）：

定理 3 给定（P0）和（P1），当且仅当 CP（h，e∣k）是相对距离度量时，（P7）和（P8）成立，即存在严格增函数 f，使得对于任意 h，e，k∈L 和任意 P∈P，CP（h，e∣k）=f [Z（h，e∣k）]，其中：

Z(h,e∣k)={P(h∣e∧k)−P(h∣k)1−P(h∣k)if P(h∣e∧k)≥P(h∣k)P(h∣e∧k)−P(h∣k)P(h∣k)if P(h∣e∧k)<P(h∣k)

因此，尽管存在一些悲观的建议（参见例如 Hawthorne 2018，以及 Crupi 和 Tentori 2013 中的讨论），在确认理论上对逻辑蕴涵（和反驳）进行一种整洁的概括是可能的。有趣的是，相对距离度量可以是可加的，但仅适用于一致的论证对 - 无论是确认性的还是否认性的（参见 Milne 2014，第 259 页）。（注：Crupi，Tentori 和 Gonzalez 2007；Crupi，Festa 和 Buttasi 2010；以及 Crupi 和 Tentori 2013、2014，提供了有关相对距离度量性质及其直观动机的进一步讨论。另请参阅 Mura 2008 进行相关分析。）

替代性概率相关性确认措施的多样性引发了一些学者对确认量化理论前景持怀疑或否定态度（见例如 Howson 2000, 184–185，以及 Kyburg 和 Teng 2001, 98 ff.）。然而，正如我们将很快看到的，相关性确认的定量分析已被证明对于处理困扰竞争性方法的许多难题和问题至关重要。此外，科学哲学以及其他领域的各种论证已被证明在很大程度上（有时是无意识地）取决于选择一种确认措施（或其中一些）而不是其他措施（见 Festa 和 Cevolani 2017，Fitelson 1999，Brössel 2013，Glass 2013，Roche 和 Shogenji 2014，Rusconi 等人 2014，以及 van Enk 2014）。

最近，Huber（2008b）提出了支持 D 的论点，Park（2014）、Pruss（2014）和 Vassend（2015）提出了支持 L 的论点（另请参见 Morey、Romeijn 和 Rouder 2016，其中有一个与统计学的重要联系），Crupi 和 Tentori（2010）提出了支持 Z 的论点。另一方面，Hájek 和 Joyce（2008，123）认为不同的度量可能捕捉到“证据支持的不同、互补概念”（另请参见 Schlosshauer 和 Wheeler 2011、Sprenger 和 Hartmann 2020、第 1 章，以及 Steel 2007，其中有关温和形式的多元论）。然而，度量 R 的情况值得一些更具体的评论。根据 Fitelson（2007）的观点，人们可以将 R 视为传统所谓的“似然主义”立场关于证据推理的关键原则（请参见 Royall 1997 的经典论述，以及 Chandler 2013 和 Sober 1990 的一致论证和倾向）。然而，似乎有一些共识，即可以提出针对 R 作为适当的相关性确认度量的充分反对意见（请参见特别是 Crupi、Festa 和 Buttasi 2010，85-86 页；Eells 和 Fitelson 2002；Gillies 1986，112 页；并比较 Milne 1996 与 Milne 2010，其他互联网资源）。在接下来的讨论中，将方便起见将我们的讨论限制在 D、L 和 Z 作为候选度量的情况下。下面将要呈现的所有结果对于这三个选项中的任何选择以及与它们的顺序等价性都是不变的（但这些结果并不总是适用于与 R 顺序等价的度量）。

3.5 新证据、旧证据和总证据

让我们回到一个经典的 HD 案例，其中（一致的）合取 h∧k （但不是 k 单独）蕴含 e。以下内容可以被证明：

惊人的预测定理（SP）对于任意 e，h，k∈L 和任意 P∈P，使得 h∧k⊨e 且 k⊭e 的情况：

如果 P(e∣k)<1，则 e 相对于 k 相关确认 h，且 CP(h,e∣k)是 P(e∣k)的递减函数；
如果 P(e∣k)=1，则相对于 k，e 对于 h 是关联中性的。

形式上，很容易展示（SP）表征了相关性确认（参见，例如，Crupi，Festa 和 Buttasi 2010，80；Hájek 和 Joyce 2008，123），但是这一结果的哲学意义仍然非常显著。为了说明目的，假设全面证据原则（TE）的认可作为贝叶斯主义者的默认立场是有用的。这意味着 P 被假定代表了一个理性主体的实际信念程度，即，考虑到所有可获得的背景信息。然后，根据（SP）的第（i）条款，我们得出结论：e 的发生，作为 h∧k 的结果（但不是仅仅 k 的结果），相对于 k 而言确认了 h，前提是 e 在某种程度上最初是不确定的（即使考虑到 k）。换句话说：e 必须是基于 h∧k 而预测的。此外，再次根据（i），确认影响将会更强烈，如果证据是更令人惊讶（不太可能）的，除非 h 与 k 相结合。因此，在全面证据原则下，相关性确认实际上嵌入了一个明显的预测主义版本的假设演绎法！正如我们所知，这中和了不确定性的指控，但是这是以通常的代价为代价，即，旧证据问题。事实上，如果全面证据原则生效，那么（SP）的第（ii）条款意味着已知为真的陈述（因此被分配概率 1）永远不可能具有确认性影响。

有趣的是，贝叶斯预测主义者有一种逃避方式（被 Glymour 1980a, 91–92 巧妙地预料并批评）。再次考虑爱因斯坦和水星。正如 Norton（2011a, 7）所指出的那样，爱因斯坦非常小心地强调，进动现象是“在不需要假设任何特殊 [辅助] 假设的情况下”推导出来的。为什么呢？嗯，可能是因为如果允许自己随意设计特定的临时辅助假设（在我们的符号中为 k），那么就可以几乎可以肯定地提前找到一种方法来正确解释水星的数据（记住：这是欠决定定理的教训）。但是，用未经调整的辅助假设 k 正确获取这些数据——这将是广义相对论真实的自然结果，否则将会令人惊讶。可以说，这种论证线索在预测主义框架内充分利用了使用新颖性的概念。关键点是（i）所暗示的证据不是经过验证的经验性陈述 e，而是 h∧k 蕴含 e 的逻辑事实，以及（ii）这种蕴含关系的存在并不是显而易见地被提前预料到的，正是因为 h∧k 和 e 是这样的，以至于后者并未作为约束来指定前者。在这些条件下，似乎 h 可以通过这种“二阶”（逻辑）证据来得到确认，符合（SP）的同时保留 TE。

然而，至少存在两个主要问题。第一个问题更多是技术性质的。通过概率手段对逻辑事实（如 h∧k⊨e）进行建模以模拟理性不确定性并非易事。Garber（1983）提出了一个有影响力的建议，但有人提出怀疑，认为它可能表现不佳（例如，van Fraassen 1988；Eva 和 Hartmann 即将发表的一篇细致调查中可以找到更多参考资料）。其次，更重要的是，这个解决旧证据问题的方案可能被指责为是一个难以捉摸的主题转变：因为必须恢复水星的数据，而不是其他任何东西，作为已经证实（并且仍在证实，有人会补充说）爱因斯坦理论的内容。这是确认理论必须捕捉的判断类型，对于预测主义贝叶斯主义者来说，这仍然是无法实现的（Earman 1992，131 强烈表达了这一抱怨。Eells 在 1990 年的深入讨论中提出了可能的答辩线索；另请参阅 Skyrms 1983）。

Bayesians 对预测主义立场持怀疑态度，自然会否定 TE 并允许对一直已知的陈述分配低于 1 的初始概率。当然，这会重新引入欠决问题，因为现在 k 仍然可以被临时构造为从 h∧k 得出已知证据 e，而且 P(e∣k)<1 不再受 TE 的限制，因此可能授权任意的确认关系。可以结合两种方法来处理这个问题。首先，与 HD 不同，贝叶斯框架具有形式资源来表征辅助假设本身更或更少可能，并因此将它们的采纳视为相对安全或可疑（辅助假设的标准贝叶斯处理沿着这些线路在 Dorling 1979 和 Howson 和 Urbach 2006, 92–102 中得到发展，并在 Rowbottom 2010、Strevens 2001 和 Worrall 1993 中进行了批判性讨论；另请参见 Christensen 1997 对相关问题的重要分析）。其次，必须提供关于如何放宽 TE 的指示。不支持 TE 的贝叶斯主义者经常建议，关于结果 e 的客观可能性值——P(e∣h∧k)——可以针对所讨论的竞争假设进行指定，而不管 e 可能已经发生。这些值通常对不同的假设是多样的（因此在数学上意味着 P(e∣k)<1），并作为捕捉形式上 e 的确认影响的基础（请参见 Hawthorne 2005 提出的一个类似观点的论证）。另一方面，允许主义者不能一致地依赖这些考虑来阐明一个非 TE 的立场。他们必须代之以反事实的信念程度，暗示 P 应被重构为代表代理人如果不知道 e 是真实的话会有的信念（请参见 Howson 1991 的一份声明和讨论，以及 Sprenger 2015 的一个原创近期变体；另请参见 Jeffrey 1995 和 Wagner 2001 的相关技术结果，以及 Steele 和 Werndl 2013 的气候科学中一个引人入胜的案例研究）。

3.6 概率化的悖论和其他阐释

贝叶斯证实理论作为相关性的指示，表明了何时以及为什么 HD 理念起作用：如果 h∧k（但不是 k）蕴涵 e，则 h 被 e（相对于 k）相关性证实，因为后者增加了前者的概率——前提是 P（e∣k）<1。诚然，后一个条件的含义在一定程度上取决于如何处理旧证据的问题。然而，贝叶斯相关性证实（不同于坚定观点）保留了普通科学实践的一个关键点，这一点嵌入在 HD 中，并提供了进一步的澄清要素。考虑以下说明。

(e1)

老虎携带着 ND1 基因

(e2)

大象携带着 ND1 基因

(e∗2)

狮子携带 ND1 基因

(h)

所有哺乳动物携带 ND1 基因

定性确认理论符合这样的观念，即 h 既被 e1∧e2 确认，也被 e1∧e∗2 确认。在 HD 案例中，很明显 h 蕴含了这两个连接词，当然前提是 k 陈述老虎、狮子和大象都是哺乳动物（亦可轻松给出亨普尔式解释）。贝叶斯相关性确认毫无疑问地得出相同的定性结论。然而，更重要的是，或许有人还想说 h 被 e1∧e2 比 e1∧e∗2 更强烈地确认，因为前者提供了更多种类和多样化的积极证据（有趣的是，在实验调查中，这种模式在大多数人的判断中占主导地位，包括儿童，参见 Lo 等人 2002 年）。事实上，证据的多样性在确认分析中是一个相当核心的问题（参见 Bovens 和 Hartmann 2002 年，Schlosshauer 和 Wheeler 2011 年，以及 Viale 和 Osherson 2000 年）。在上述说明性案例中，更高的多样性很容易通过更低的概率来捕捉：老虎和大象这样多样化的物种分享某些未指定的遗传特征似乎在先验上不太可能，相比之下，老虎和狮子之间分享这种特征更可能，即 P(e1∧e2∣k)<P(e1∧e∗2∣k)。因此，根据上述(SP)，从相关性确认观点中立即得出结论，即 CP(h,e1∧e2∣k)> CP(h,e1∧e∗2∣k)。

原则（SP）在乌鸦问题中也非常有用。再次假设 h=∀x（raven（x）→black（x））。正如 HD，贝叶斯相关性确认直接暗示 e=black（a）在给定 k=raven（a）和 e∗=¬raven（a）的情况下确认 h，给定 k∗=¬black（a）确认 h（前提是，正如我们所知，P（e∣k）<1 和 P（e∗∣k∗）<1）。这是因为 h∧k⊨e 和 h∧k∗⊨e∗。但当然，要确认 h，抽样乌鸦并找到一只黑色的乌鸦在直觉上比在抽样非黑色物体的庞大集合中找不到乌鸦更有意义。也就是说，似乎后者很可能无论 h 是否为真都会获得，因此 P（e∗∣k∗）实际上非常接近于统一。因此，（SP）暗示 h 确实通过给定 raven（a）的 black（a）更强烈地确认，而不是通过给定 ¬raven（a）的 ¬black（a）来确认，只要假设 P（e∣k）<P（e∗∣k∗）适用。

那么如果抽样不受限制（k=⊤），而证据现在表明发现了一只黑乌鸦，e=乌鸦(a)∧ 黑色(a)，与一只非黑非乌鸦，e∗=¬ 黑色(a)∧¬ 乌鸦(a)呢？我们已经看到，无论是 Hempel 还是 HD-确认，e 和 e∗ 都是相等的：Hempel 都确认 h，但 HD 都不确认它。在前一种情况下，乌鸦悖论的最初 Hempel 版本立即出现；在后一种情况下，它被避免了，但代价是：e 被断然宣布与 h 无关—这有点激进。贝叶斯主义者能做得更好吗？当然可以。考虑以下条件：

P [raven(a)∣h]=P [raven(a)]>0
P [¬ 乌鸦(a)∧ 黑色(a)∣h]=P [¬ 乌鸦(a)∧ 黑色(a)]

粗略地说，（i）表示乌鸦种群的规模不取决于它们的颜色（实际上取决于 h），（ii）表示黑色非乌鸦对象的种群规模也不取决于乌鸦的颜色。请注意，就我们对实际世界的最佳理解而言，（i）和（ii）似乎都是合理的。很容易证明，在相关性确认的术语中，（i）和（ii）足以暗示 e=乌鸦(a)∧ 黑色(a)，但不是 e∗=¬ 乌鸦(a)∧¬ 黑色(a)，确认 h，即 CP(h,e)>CP(h,e∗)=0（这一观察是由 Mat Coakley 提出的）。因此，贝叶斯相关性确认方法可以在顺序和定性方面对 e 和 e∗ 进行原则性区分。（Fitelson 和 Hawthorne 2010，Hawthorne 和 Fitelson 2010 提供了更广泛的分析 [其他互联网资源]。值得注意的是，他们的结果包括主要不等式 CP(h,e)>CP(h,e∗)的充分和必要条件的完整规范。）

一般来说，贝叶斯（相关性）确认理论意味着某种概括的一个实例的证据重要性往往取决于信任结构，并依赖于其形式表示 P，作为更系统分析的工具。考虑另一个有启发性的例子。假设 a 表示经济领域的某家公司，并将后者谓词标记为 S。因此，k=Sa。您被告知 a 在 2019 年增加了收入，表示为 e=Ra。这是否证实了 h=∀x(Sx→Rx)？至少在某种程度上是的，可以这么说。对于整个部门的扩张（请记住您不知道这是什么）肯定会解释这些数据。这是一种直接的 HD 类型的推理（一个合适的亨普尔式对应重建也会同意）。但是，e 是否也证实了 h∗=Sb→Rb，对于另一家公司 b？嗯，数据 e 的另一个明显解释可能是公司 a 以牺牲某个竞争对手的市场份额而获得了这些数据，因此 e 似乎更可能支持 ¬h∗，如果有的话（收入的例子受到 Blok，Medin 和 Osherson 2007 年 1362 页的一句话的启发）。

可以证明，贝叶斯相关性确认的概念允许这种判断模式，因为（鉴于 k）证据 e 的出现增加了 h 的概率，但可能对 h∗ 产生相反的影响（参见 Sober 1994 年有类似观点的重要评论）。值得注意的是，h 通过明确实例蕴含 h∗，因此与 ¬h∗ 相矛盾。因此，CP（h，e∣k）为正，而 CP（h∗，e∣k）不为正的暗示与以下每一项都发生冲突，并证明它们过于严格：特殊后果条件（SCC），预测推断条件（PIC）和一致性条件（Cons）。请注意，这些原则都被 HD-confirmation 所规避，但却被确认为坚定性所隐含（见上文）。

与此同时，F-确认的最引人注目的特征，HD 模型无法捕捉，被确认为相关性所保留。事实上，我们所有关于相关性确认（D，L 和 Z）的度量都涉及蕴涵条件（EC）的序数扩展，以及 CP（h，e∣k）=−CP（¬h，e∣k）以及所有形式的确认互补性（定性，序数和定量）。此外，无论是坚定性还是相关性领域的贝叶斯确认理论家都可以利用相同的定量策略进行“损害控制”，用于 HD-确认的主要特定悖论，即无关联合问题。（参见上述声明（CIC），以及 Crupi 和 Tentori 2010 年，Fitelson 2002 年。另请参见 Chandler 2007 年的批评，以及 Moretti 2006 年的相关辩论。）

我们留下最后一个问题来结束我们的讨论，即 blite 悖论。回想一下，blite 是这样定义的：

blite(x)≡(ext≤T(x)→黑色(x))∧(¬ext≤T(x)→白色(x)).

一如既往，我们假设 h=∀x(raven(x)→black(x))，h∗=∀x(raven(x)→blite(x))。然后我们考虑这样一个设定，其中 k=raven(a)∧ext≤T(a)，e=black(a)，以及 P(e∣k)<1。一些作者指出，根据贝叶斯相关性确认，有 P(h∣k)> P(h∗∣k) 足以暗示 CP(h,e∣k)>CP(h∗,e∣k) (参见 Gaifman 1979, 127–128；Sober 1994, 229–230；以及 Fitelson 2008, 131)。因此，只要黑色假设被认为比其 blite 对应物更可信，前者将比后者得到更强的确认。当然， P(h∣k)>P(h∗∣k) 是一个完全符合常识的假设，然而这些作者通常且可以理解地未能将这一结果视为哲学上的启示。缺乏一些有趣且非问题引导的故事来解释为什么这种不等式应该成立，似乎没有解决这个悖论的方法。更谨慎地说，一个相关性确认的度量 CP(h,e∣k) 暗示以下(i)和(ii)。

必然地（也就是说，对于任意 P∈P），e 相对于 k 确认 h。
可能（也就是说，对于某些 P∈P），以下每一个都成立：

他确认，如果在 T 之后检查了乌鸦，那么相对于 k，乌鸦将是黑色的，即(raven(b)∧¬ext≤T(b))→black(b)
他并不确认如果在 T 之后检查乌鸦会是白色，即(raven(b)∧¬ext≤T(b))→white(b)，相对于 k。

毫无疑问，(i) 和 (ii) 远远不能令人满意地解决这个布莱特悖论。然而，至少似乎是一个引人注目的最低要求，即一个令人信服的解决方案（如果存在的话）应该同时暗示这两点。有趣的是，坚定性确认与 (i) 不一致，而亨普尔式确认和 HD-确认与 (ii) 不一致。

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Other Internet Resources

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Milne, P., 2010, Measuring Confirmation (PDF), slides for a talk at the 7th Annual Formal Epistemology Workshop, Konstanz, 2–4 September 2010.

Acknowledgments

I would like to thank Gustavo Cevolani, Paul Dicken, and Jan Sprenger for useful comments on previous drafts of this entry, and Prof. Wonbae Choi for helping me correcting a mistake.

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