菲奇的可知性悖论 Fitch’s paradox of knowability (Berit Brogaard and Joe Salerno)
首次发表于 2002 年 10 月 7 日星期一；实质性修订于 2019 年 8 月 22 日星期四
菲奇的可知性悖论（又称可知性悖论或柴奇-菲奇悖论）涉及任何致力于论述所有真理均可被认知的理论。这类理论的历史性例子可能包括迈克尔·邓梅特的语义反实在论（即，任何真理都是可验证的观点）、数学构造主义（即，数学公式的真实性取决于数学家用来证明这些公式的心智构造）、希拉里·普特南的内在现实主义（即，真理是我们在理想认知环境中会相信的东西）、查尔斯·桑德斯·皮尔斯的实用主义真理理论（即，真理是我们在探究的极限处会同意的东西）、逻辑实证主义（即，意义由验证条件给出的观点）、康德的先验唯心主义（即，所有知识都是关于表象的知识）以及乔治·伯克利的唯心主义（即，存在即可被感知）。
“可知性”这个操作性概念仍然难以捉摸，但它的含义应该介于将真理无信息地等同于上帝所知道的内容和将真理天真地等同于人类实际所知的内容之间。将真理等同于上帝所知并不能提高可理解性，而将真理等同于人类实际所知则无法体会到真理的客观性和可发现性。我们可以称之为温和反实在论的中间道路，在可知性原则的逻辑范围内进行刻画：
(K Principle)∀p(p→◊Kp),
菲奇的可知性悖论表明，对于所有命题 p，如果 p 成立，则有可能知道 p。
中道的一个重大问题是菲奇的可知性悖论。这是一个证明，表明（在一个普通的模态逻辑中加入了知识运算符）“所有真理都是可知的”蕴含着“所有真理都被知道”。
(K Paradox)∀p(p→◊Kp)⊢∀p(p→Kp).
因此，证明在将温和反实在论转化为纯朴唯心主义方面发挥了有趣的作用。
菲奇的可知性悖论是什么？蒂莫西·威廉姆森（2000b）表示，可知性悖论并非悖论；它是一种“尴尬”——对于长期忽视一个简单反例的各种反实在主义而言是一种尴尬。他指出这对各种哲学理论来说是“一种侮辱”，但并不违背常识。其他人持不同意见。悖论并非在于菲奇证明迅速威胁到中间道路，而是在于菲奇证明，利用最小的认识模态资源，将中间道路崩溃为天真之道。正如 Kvanvig（2006）和 Brogaard 与 Salerno（2008）所表述的那样，悖论在于温和的反实在主义似乎无法被表述为一个独特的命题，逻辑上比天真唯心主义更弱。这一点是有趣且令人困扰的，无论一个人对温和的反实在主义持何种态度。
简史
关于可知性悖论的文献是对弗雷德里克·菲奇在他 1963 年的论文《一些价值概念的逻辑分析》中首次发表的证明的回应。正如当时所称的第 5 定理威胁着使一些模态和认识论的差异崩溃。让我们把无知定义为不知道某个真理。那么第 5 定理将对偶然无知的承诺崩溃为对必然无知的承诺。因为它表明事实上未知的真理的存在意味着必然未知的真理的存在。形式上，
存在 p(p∧¬Kp)⊢∃p(p∧¬◊Kp)。
Fitch goes most of the way toward erasing any logical difference between the existence of contingent ignorance and the existence of necessary unknowability.
然而，通常被称为悖论的是定理 5 的逆否命题
(K Paradox)∀p(p→◊Kp)⊢∀p(p→Kp).
它告诉我们，如果任何真理都是可以被知晓的，那么就意味着每一个真理实际上都已经被知晓。
证明的最早版本是由一位匿名的审稿人在 1945 年传达给菲奇的。2005 年，我们发现阿隆佐·丘吉尔就是那位审稿人（Salerno 2009b）。他的报告全部刊载在丘吉尔（2009）中。菲奇显然并没有认为这个结果是悖论的。他在 1963 年发表了这个证明，以避免一种威胁他价值的知情欲望分析的“条件谬误”。该分析大致说：对于 s 来说，x 对 s 有价值，只有当存在一个真理 p，使得如果 s 知道 p，她就会渴望 x。不可知的真理的存在最终解释了为什么他将命题变量限制在可知命题上。因为不可知的真理为菲奇的反事实提供了一个不可能的前提，最终使分析变得琐碎。由于菲奇的价值理论并不是广泛讨论悖论的背景，我们在这里不再多说。
菲奇的可知性悖论在哈特和麦金（1976）以及哈特（1979）中被重新发现，这一结果被视为对验证主义的反驳，即所有有意义的陈述（因此所有的真理）都是可验证的观点。毕竟，如果一个人接受可知性原则 ∀p(p→◊Kp)，她就承认了所有真理都是已知的荒谬主张。当时，麦基（1980）和劳特利（1981）等人指出了这一普遍立场的困难，但最终同意菲奇的结果是对所有真理都是可知的主张的反驳，以及各种形式的验证主义由于相关原因而受到威胁。然而，自 80 年代初以来，人们已经付出了相当大的努力来分析这一悖论性的证明。毕竟，为什么认识论真理会将可能的知识归结为实际的知识呢？直觉上，真理应该以非全知代理人的认识能力来理解，至少是一个一致的立场——这是一个与所有真理都已知的论点不同且更为合理的立场。此外，人们认为奇怪的是，认识论真理的复杂版本竟然会受到如此迅速的推导的影响。因此，教堂-菲奇证明已经被称为可知性悖论。
有关证明是否出错以及出错的地方是否存在共识尚无定论。我们利用这篇文章来阐述证明并探讨一系列提出的处理方法。
知识可能性悖论
菲奇的推理涉及到在句子位置上进行量化。我们的命题变量 p 和 q 将采用陈述性陈述作为替代物。让 K 是认识运算符“某人在某个时间知道”。让 ◊ 是可能性运算符“可能”。
假设可知性原则（KP）——即所有真理都可以在某个时间由某个人知道：
(KP)∀p(p→◊Kp).
假设我们作为一个整体都不是全知的，存在一个未知的真理：
(NonO)∃p(p∧¬Kp).(NonO)∃p(p∧¬Kp)。
如果这个存在主张是真实的，那么它的一个实例也是真实的
(1)p∧¬Kp.
现在考虑将 KP 中的变量 p 替换为行 1 的实例：
(2)(p∧¬Kp)→◊K(p∧¬Kp)
这显然是可能的，可以知道在第 1 行表达的连接词：
(3)◊K(p∧¬Kp)
然而，可以独立地证明无法知道这个连词。第三行是错误的。
独立结果假设了两个非常谦逊的认识论原则：首先，知道一个连词就意味着知道每个连词成分。其次，知识意味着真理。
(A)(B)K(p∧q)⊢Kp∧KqKp⊢p
同时还假定了两个谦逊的模态原则：首先，所有定理都是必然的。其次，必然 ¬p 蕴含着 p 是不可能的。分别地，
(C)(D)如果 ⊢p，则 ⊢□p。□¬p⊢¬◊p。
考虑独立的结果：
（4）（5）（6）（7）（8）（9）K（p∧¬Kp）假设 [为了还原] Kp∧K¬Kp 从 4 中得出，通过（A）应用到右边的合取 ¬K（p∧¬Kp）从 4-6 中得出，通过还原，撤销假设 4□¬K（p∧¬Kp）从 7 中得出，通过（C）¬◊K（p∧¬Kp）从 8 中得出，通过（D）
第 9 行与第 3 行相矛盾。因此，从 KP 和 NonO 可以得出一个矛盾。主张所有真理都是可知的观点的支持者必须否认我们是无所不知的：
(10) ¬∃p(p∧¬Kp).(10) ¬∃p(p∧¬Kp).
由此可见，所有的真理实际上都是已知的：
(11)∀p(p→Kp).
所有真理都是可知的观点的盟友被迫荒谬地承认每个真理都被某人在某个时间知晓。
3. 逻辑修订
在这一部分，我们审视将 Fitch 的推理视为无效的可能性。Fitch 的认识论推理是否正确？可知性的逻辑是否是经典逻辑？更重要的是：可知性原则是否带有特殊注意事项，需要修订经典逻辑？如果是这样，这种逻辑修订是否使 Fitch 的推理无效？如果推理无效，是否有密切相关的悖论威胁可知性原则，而不违反相关的逻辑标准？
3.1 认识修正
在菲奇的可知性悖论的背景下，关于认识运算符和/或时间类比的深入而有趣的讨论在许多论文中出现。Burgess（2009）考虑了时间类比。van Benthem（2004；2009）、van Ditmarsh 等人（2012）、Berto 等人（即将出版）和 Holliday（2018）在动态认知框架中探讨了这个问题。Palczewski（2007）、Kelp 和 Pritchard（2009）、Chase 等人（2018）和 Heylen（即将出版）考虑了非事实性的知识和可知性概念。Linsky（2009）、Paseau（2008）、Jago（2010）、Carrara 等人（2011）和 Rosenblatt（2014）就知识的分类前景展开了辩论。
3.2 直觉修正
威廉姆森（1982 年）认为菲奇的证明并不是对反实在论的反驳，而是反实在论者接受直觉主义逻辑的一个理由。由于对否定和存在量词的验证主义（或构造主义）解读，直觉主义逻辑不验证双重否定的消除，也不验证排中律。直觉主义逻辑受限制的特性意味着只有部分命题能够被证明或推理，这与反实在论的观点相符。然而，直觉主义逻辑并不支持完全的知识不可知，而是接受一种可知性的限制，即通过无穷证明过程（infinite proof-process）以确定真理。这种对可知性的限制解决了菲奇的可知性悖论，并为反实在论提供了一种合理的选择。尽管直觉主义逻辑可能无法解释所有情况下的推理，但它提供了一种反实在论者可以接受的逻辑基础。
¬¬p⊢p,
也不是以下的量词交换规则：
¬∀xP [x] ⊢∃x¬P [x].
没有双重否定消除，无法从“没有一个未知的真理”（第 10 行）推导出菲奇的结论“所有真理都被知晓”（第 11 行）。考虑第 10 行，
并不存在这样的 p(p 且非 Kp)。
∀p¬(p∧¬Kp).
但请注意，没有双重否定消除，
¬(p∧¬Kp)
不意味着
p→Kp.
假设
¬(p∧¬Kp)
重试 错误原因
p∧¬Kp
这与我们的主要假设相矛盾。因此，通过反证法，¬¬Kp。没有双重否定消除，我们无法得出 Kp 的结论，因此也不能引入条件语句。
p→Kp
p→¬¬Kp.
关于这个结果是否足够令人困扰存在一些争议，但直觉主义反实在论者在于她并不坚持所有真理都被知晓的明显荒谬的说法，这一点让她感到安慰。关于直觉主义反实在论在这一背景下的希望和梦想的非常有趣的讨论出现在 Murzi（2010；2012），Murzi 等人（2009）和 Zardini（2015）中。
3.3 直觉修正的问题
由于菲奇的推理在第 10 行通过直觉主义的验证，直觉主义反实在论者必须接受没有真理是未知的这一事实：¬∃p(p∧¬Kp)。可以说，这已经足够具有破坏性，因为反实在论者似乎无法相信这个真理：（个体和集体上）我们并非全知。威廉姆森回应道，直觉主义反实在论者可以自然地将我们的非全知表达为“并非所有真理都被知晓”：
(12) ¬∀p(p→Kp)(12) ¬∀p(p→Kp)
∃p(p∧¬Kp).
这是因为在直觉主义逻辑中，量词交换规则，¬∀xP [x] ⊢∃x¬P [x]，并不是无限制地有效的。重要的是，在第 12 行表达的非全知性，¬∀p(p→Kp)，只有在经典逻辑中，而不是直觉主义逻辑中，与第 10 行的 ¬∃p(p∧¬Kp)矛盾。因此，直觉主义反现实主义者可以一致地表达我们不是全知的真理（在第 12 行），同时接受在第 10 行推导出的直觉主义后果。实际上，反现实主义者承认既没有真理是未知的，也不是所有真理都被知晓。这一主张在直觉主义基础上的可满足性由威廉姆森（1988 年，1992 年）证明。
3.4 可知性的未决悖论
据说直觉主义反实在论者仍然存在一个更深层次的问题。菲奇的可知性悖论基于一个假设，即存在未知的真理。但考虑到直觉主义更弱的假设，即存在未决的陈述，也就是说，存在某个 p，使得 p 是未知的，而 ¬p 也是未知的。从形式上来说，
(Und)∃p(¬Kp∧¬K¬p)
如果（Und）为真，则它的一个实例也是真的：
(i) ¬Kp∧¬K¬p.(i) ¬Kp∧¬K¬p.
而且请注意，在第 10 行的直觉上可接受的结论 ¬∃p(p∧¬Kp)在直觉上等同于普遍主张，
(ii)∀p(¬Kp→¬p).
从（ii）中推导出 ¬Kp→¬p 和 ¬K¬p→¬¬p，并分别应用（i）的合取式，得到矛盾 ¬p∧¬¬p。直觉主义反实在论者被迫荒谬地承认没有未决的陈述：
(iii) ¬∃p(¬Kp∧¬K¬p)(iii) ¬∃p(¬Kp∧¬K¬p)
上述论证由 Percival（1990: 185）提出。由于它在直觉主义上是可接受的，这意味着直觉主义反实在论者仍然陷入困境。
在回答中，反现实主义者可以再次利用威廉姆森的策略共同修订逻辑并重建对认识真理的表达。仅接受 KP 的直觉后果（在这种情况下，即不存在未决陈述），并通过声称并非所有陈述都已决定来表达关于未决性的真理：
(iv)¬∀p(Kp∨K¬p).(iv)¬∀p(Kp∨K¬p).
(iv)处对未决直觉的重新解释使我们得到一个经典上等价于 Und，但直觉上不等价于 Und 的主张。因此，它只在经典上，而不是直觉上，与(iii)处的推理不一致。
讨论了 Wright（1987: 311），Williamson（1988: 426）和 Brogaard 和 Salerno（2002: 146–148）关于可知性的相关未决悖论。这些未决悖论进一步促使反实在论者倾向于修订经典逻辑，支持直觉主义逻辑。当与我们对认识谦逊的直觉进行重新构想时，反实在论者重新夺回了逻辑空间。
所有这些都表明直觉主义反实在论是一致的。但这种方法是否有充分的动机？无论是修订古典逻辑还是巧妙地重新解释我们的认识直觉，都是临时的吗？
我们的认识直觉的重新构建如何呢？它是否有充分的动机？根据 Kvanvig（1995），并没有。为什么我们应该认同直觉主义对非全知和未决性的处理比我们最初的常识处理更好呢？反实在论者如何解释这些常识处理的表面上的琐碎性呢？这些问题尚未得到回答。
此外，KP 的直觉主义后果中有一些被认为是相当糟糕的。即使“没有未知的真理”或“没有未决的陈述”在直觉主义上是可以容忍的，但以下情况似乎不是：如果 p 是未知的，则 ¬p。形式上，¬Kp→¬p。这个主张从 p→¬¬Kp 直觉主义地推出，而我们已经确定这是 KP 的直觉主义后果。但是对于经验性论述来说，¬Kp→¬p 似乎是错误的。为什么没有人知道 p 就足以证明 p 是假的呢？有关直觉主义反实在论应用于经验性论述的问题，可以参考 Percival（1990）和 Williamson（1988）。DeVidi 和 Solomon（2001）持不同意见。他们认为直觉主义的后果对于对真理的认识论理论是可以接受的，事实上它们是对认识论真理理论的核心。
由于这些原因，单纯依赖直觉主义逻辑来处理可知性悖论通常被认为是不令人满意的。例外情况包括 Burmüdez (2009), Dummett (2009), Rasmussen (2009)和 Maffezioli, Naibo & Negri (2013)。
3.5 Paraconsistent Revision
菲奇的可知性悖论的逻辑面临的另一个挑战在 Routley (1981)中提到，并由 Beall (2000)进行了辩护。这种想法认为，可知性的正确逻辑是似矛盾的。在似矛盾的逻辑中，矛盾并不会使一个理论变得平凡，因为它们不会“爆炸”。也就是说，在似矛盾的逻辑中，从 p∧¬p 推导出任意结论 r 是无效的。由于这一考虑，一些矛盾被允许并被认为是可能的。
Beall 认为(1) 菲奇的证明基于这样的假设，即对于所有的命题 p，矛盾 Kp∧¬Kp 是不可能的，而且(2) 我们有独立的证据表明对于某些 p，Kp∧¬Kp 是成立的。这个独立的证据存在于知者悖论中（不要与可知性悖论混淆）。知者悖论的相关版本可以通过考虑以下自指句来证明：
(k)k 是未知的。
假设为了论证而知道 k。然后，假设知识意味着真理，k 就是真的。但 k 说 k 是未知的。所以 k 是未知的。因此，k 既是已知的又是未知的。但是我们的假设（即 k 是已知的）是错误的，可以证明是错误的。并且，假设已知的错误是已知为假的，那么就可以得出结论，已知 k 是未知的。也就是说，已知 k。但我们已经证明，如果已知 k，那么 k 既是已知的又是未知的。因此，可以证明 k 既是已知的又是未知的。可以证明我们的知识的完整描述包括 K(k)和 ¬K(k)。这就是知者悖论。
Beall 认为，认知者为我们提供了一些独立的证据，表明 Kp∧¬Kp，对于某些 p，人类知识的完整描述具有不一致的有趣特征。使用一个与经典逻辑不同的逻辑，人们可以接受这一点而不至于陷入平凡性。因此，有人建议采用与经典逻辑不同的逻辑，并将 Kp∧¬Kp 视为可知性原则的真实结果。Beall 得出结论称，Fitch 的推理在没有对认知者做出适当回应的情况下，无法有效地反驳可知性原则。因为 Fitch 的推理据称是基于这样一个假设，即对于所有的 p，Kp∧¬Kp 都是不可能的。
请注意，我们对菲奇的推理的展示并没有明确提到 Kp∧¬Kp 是不可能的假设。因此，我们在这里尝试准确指出菲奇的推理在上述论述中的错误之处。在第 9 行（本条目的第一部分）声称 K(p∧¬Kp)是不可能的。当然，K(p∧¬Kp)蕴含了矛盾 Kp∧¬Kp。因此，如果推理是 K(p∧¬Kp)是不可能的，因为矛盾是不可能的，那么 Beall 将直接攻击此处提出的论证。但请注意，这里的论证略有不同。它是这样的。K(p∧¬Kp)蕴含了矛盾 Kp∧¬Kp。因此，通过反证法，K(p∧¬Kp)是假的。通过必然性，可以得出 K(p∧¬Kp)是必然假的。根据半一致逻辑，半一致主义者可能反对使用反证法，或者可能反对其他推论。从 K(p∧¬Kp)是不可能的（第 9 行）这一断言是从 K(p∧¬Kp)是必然假的这一断言中推断出来的。这可能会困扰半一致主义者。根据与矛盾共存的人的观点，即使一个不一致的陈述在某个世界上既是假的又是真的，那么它也不一定是不可能的。如果是这样，那么从 □¬p 到 ¬◊p 的推理就有反例，并且可能不能用来从 □¬K(p∧¬Kp)推断出 ¬◊K(p∧¬Kp)。
Beall 的见解涉及许多事情：(1)真实认识上的矛盾的独立证据的力量，(2)对知者悖论提出的解决方案的适当性，(3)菲奇的推理是否在没有解决知者悖论的情况下无效，以及(4)对 □ 和 ◊ 的解释，使相关推理无效(从 □¬p 到 ¬◊p)，同时保持 ◊ 在可知性原则中所起的作用。我们将这些问题留给进一步的讨论。但与 Wansing (2002)相比，Wansing 提出了一个具有强否定的模态逻辑，以阻止这一悖论。
Beall (2009)和 Priest (2009)中出现了更近期的关于矛盾韦森斯坦方法的发展。
4. 语义限制
其余的提案是限制策略。它们通过限制其普遍量词来重新解释 KP。实际上，这些限制策略通过禁止导致悖论的 KP 的替换实例来使菲奇的推理无效。在本节中，我们将研究限制 KP 中普遍量词的语义原因。
4.1 情境与刚性操作
Edgington（1985）提供了对菲奇的可知性悖论的情境理论诊断。她认为问题在于未能区分“在某种情境中知道 p”和“知道 p 在某种情境中是真实的”。在后一种情况下，情境（至少部分）是知识所涉及的内容。而在前一种情况下，情境是知识所在的情境。例如，我可能在现实情境中知道，如果我的牙齿被拔掉，我会感到疼痛。重要的是，知识发生的情境可能与知识所涉及的情境不同。在我的牙齿没有被拔掉的情境下，我可能知道一些关于我的牙齿被拔掉的情境的事情。
明确表达情境理论中“知道内部”和“知道关于”的区别，我们可以重新解释可知性原则：对于每个陈述 p 和情境 s，如果 p 在 s 中为真，则存在一个情境 s∗，在其中知道 p 在 s 中为真。 Edgington 对可知性提出了较不一般的论点：如果 p 在实际情境 s 中为真，则存在一个可能情境 s∗，在其中知道 p 在 s 中为真。将其称为 E-可知性或 EKP：
(EKP)Ap→◊KAp,
A 是实际性算子，可以理解为“在某个实际情况下”，◊ 是可能性算子，可以理解为“在某个可能情况下”。
正如我们所看到的，EKP 将可知性原则限制在实际真理上，它说 p 只有在存在一种可能的情况下，p 被知道是实际真的。
重要的建议是这样的。就像可能存在对事实相反情况的实际知识一样，可能存在对实际情况的反事实知识。事实上，根据菲奇的证明，E-可知性要求存在这种非实际知识的存在。让我们看看为什么。
实际上，形式为 p∧¬Kp 的真理将必须是可 E-知的。但 p∧¬Kp 不能被实际知道实际上是真的。这里的推理与菲奇的推理完全类似。
这个教训是这样的。由于对于某些 p 来说，p∧¬Kp 实际上是成立的，E-可知性使我们承诺可能的知识，即 p∧¬Kp 实际上是成立的。由于这种知识不能是实际的，E-可知性要求对实际情况的非实际知识。E-可知性随后否定了以下假设：给定一个陈述 p，如果在 s 中知道 p，则在 s 中知道 p。根据 Edgington 的分析，正是这个隐含的假设使菲奇的推理误入歧途。没有这个假设，悖论就会被阻止。
4.2 Problems for Situations
由于实际性算子严格指定实际情况，形如 Ap 的陈述的真值在可能情况下不会变化。'Ap'蕴含'在每种情况下 Ap'。因此，正如 Edgington 所知，如果 Ap 那么 Ap 是必然的。这本身就对 EKP 构成了问题。批评是 Edgington 的方法不够一般。任何可能会支持可知性原则的人可能会认为它适用于所有真理，而不仅仅是涉及实际性算子的必然真理。EKP 似乎是一个非常有限的论题，未能对有关偶然真理的认识约束进行具体规定（Williamson 1987a）。
进一步的批评出现在我们试图对构成非实际知识的内容进行信息性表达时。如果存在这样的非实际知识，那么就存在关于实际情况的非实际思考。因此，非实际思考者以某种方式拥有对实际情况的概念。但是，非实际思考者如何可能拥有一个专门涉及实际世界情况的概念呢？思考者表达“实际上 p”这个想法是行不通的，因为“实际上”只会严格指代她自己世界中的情况。此外，由于实际世界 w1 和相关的非实际世界 w2 之间没有因果联系，不清楚 w2 中的非实际思考如何能唯一地涉及 w1（Williamson, 1987a: 257–258）。因此，目前不清楚可能存在关于实际情况的非实际知识。
当然，关于非实际事物的实际知识并不能更好地确定世界。对于非实际的知者来说，特殊问题在于她的思想内容必须恰好是我们在考虑 Ap 的真实性时所把握的内容。身处实际世界，我们能够唯一确定这个世界。当我们考虑 Ap 的真实性时，我们的语境确定了 A 的内容。因此，如果真的是 Ap 可以被非实际的知者所知晓，那么她必须把握的也必须是 Ap——也就是说，必须是我们所把握的完全相同的概念。但这究竟是如何可能的，这正是问题所在。
Edgington 的提议的相关和额外批评出现在 Wright (1987), Williamson (1987b; 2000b) 和 Percival (1991)。关于该提议的形式发展，包括解决一些这些关切的要点出现在 Rabinowicz and Segerberg (1994), Lindström (1997), Rückert (2003), Edgington (2010), Fara (2010), Proietti and Sandu (2010), 和 Schlöder (即将出版)。
4.3 模态谬误和非刚性陈述
Kvanvig (1995)指责 Fitch 犯了一种模态谬误。这种谬误是在模态语境中进行了不当的替换。考虑一个熟悉的模态谬误。对于所有人 x，存在一个可能的世界，在这个世界中 x 不是双焦点眼镜的发明者。（即使是实际的双焦点眼镜发明者本·富兰克林，也可能没有发明它们。）因此，存在一个可能的世界，在这个世界中双焦点眼镜的发明者不是双焦点眼镜的发明者。我们可以形式化地表示这个论证。让我们的量词范围限定在人身上，让'i'是非刚性指示符'双焦点眼镜的发明者'。考虑这个论证：
∀x◊¬(x=i)因此，◊¬(i=i)
尽管任何人可能不是双光镜的发明者，但并不意味着（事实上是错误的）双光镜的发明者可能不同于双光镜的发明者。毕竟，双光镜的发明者必然是双光镜的发明者。
这个教训是我们不能无限制地替换到情态语境中。我们可以说，只有当替换的术语是刚性指示符时，才允许替换到情态语境中。在菲奇的结果中，我们的术语是句子。可知性原则，∀p(p→◊Kp)，显然允许我们替换任何句子到 p 中。但请注意，我们的量词相对于 ◊ 具有广泛的范围。我们期望量化情态逻辑的教训能够延伸到量化命题情态逻辑。如果是这样，那么我们不能替换任何不刚性指示的陈述到 p 中。
根据克万维格的诊断，菲奇推理的问题在于，当他在 KP（结果的第 2 行）中用 p∧¬Kp 替换 p 时，他没有停下来确定 p∧¬Kp 是否是刚性的。克万维格认为 p∧¬Kp 不是刚性的。因此，菲奇的结果是谬误的，因为他在模态语境中进行了非法替换。但我们可以重新构想 p∧¬Kp 为刚性的。当我们这样做时，悖论就消失了。
Kvanvig 提出量化表达式是非刚性的。他给出的理由是量词在不同可能世界中指代不同的对象。“Jon 的逻辑课上的每个人都必须参加期末考试”是关于不同可能世界中的不同学生。如果 Sussie 上了这门课，这个表达式就是关于她的。但她决定不上这门课，所以实际上这不是关于她的。Kp 是“某个时间某人知道 p”的缩写。因此，Kp 是隐式量化的。显式地写成 ∃x∃t(Kxpt)，表示存在一个存在 x 和一个时间 t，使得 x 在 t 知道 p。因此，根据这一观点，Kp 缩写的量化表达式是非刚性的。∃x∃t(Kxpt)是关于不同的存在和不同的时间在不同的情态语境中。例如，表达式 ∃x∃t(Kxpt)是关于实际存在和时间。但嵌入在情态语境中，例如 ◊∃x∃t(Kxpt)，这个表达式是关于可能存在和时间。它表示，“存在一个可能世界，在那里存在一个存在 x 和时间 t，使得 x 在 t 知道 p”。
考虑菲奇的非全知论题的相关实例：p∧¬Kp。未缩写时，它写作 p∧¬∃x∃t(Kxpt)，意思是 p 为真，但没有人知道 p。在这个观点上，量化表达式是一个非刚性指示符。在实际世界中说出来，它是关于实际存在的人和时间。但是，有人认为，在可能性运算符的范围内，指示会变成关于可能存在的人和时间。当菲奇用真合取 p∧¬∃x∃t(Kxpt)替换了可知性原则中的 p 时，他为 p 替换了一个非刚性指示符，从而改变了合取的指代并犯下了一种模态谬误。
Kvanvig 提出，我们可以将 Kp 刚性地描述为“存在一个实际存在的 x 和实际时间 t，使得 x 在 t 时知道 p”。由于这个表达是刚性指代的（即，它引用了实际世界，无论它出现在哪种可能的语境中），它可以替换知性原则中的 p。重新解释的连接词在嵌入 ◊ 的范围内时不改变其指代。此外，在这种解释下，悖论消失了。我们可以知道重新解释的连接词是真的。在假设某个可能的存在在某个可能的时间知道 p 是真的但从未被某个实际存在的存在在某个实际时间知道时，没有矛盾。悖论消失。
Brogaard 和 Salerno（2008）以及 Kennedy（2014）进一步讨论了模态谬误和非刚性陈述。
Williamson (2000b) 为菲奇的推理辩护，反驳了 Kvanvig 的指责。他认为 Kvanvig 没有理由认为 Fitch 的合取式 p∧¬∃x∃t(Kxpt)不是刚性指称。Williamson 给出的理由是这样的。如果一个表达式在固定语境中发出时，在评估的情况下会随着环境变化而改变其指称，那么它就是非刚性的。但是 Kvanvig 没有提供令人信服的理由来认为 Fitch 的合取式在固定语境中发出时会以这种方式改变其指称。最多，Kvanvig 已经表明，合取式在不同的语境中发出时会改变其指称，因为他的论证是，当量化句子在不同的世界中发出时，将涉及不同的对象。Williamson 抱怨说，认为这足以说明非刚性是混淆了非刚性和指示性。重要的是，指示性并不意味着非刚性。例如，“我累了”是关于我自己的，当我在虚拟情况下评估它的真值时，它仍然是关于我自己的。这个句子可能是假的。如果我睡够了，我就不会累。在固定语境中发出的“我”是刚性指称，即使它是一个指示性的词。也就是说，即使它在不同的语境中由别人发出，它也会涉及除我之外的其他人。类似地，即使量化表达式是指示性的，也不能得出它们是非刚性的结论。因此，即使 Fitch 的合取式是一个指示性表达式，我们没有理由认为它是非刚性的。如果这是正确的，那么我们没有理由认为 Fitch 犯了所讨论的模态谬误。
Kvanvig（2006）回应并发展了可知性悖论中的其他有趣主题，这是迄今为止专门研究该主题的唯一一本专著。
5. 句法限制
前面的限制策略涉及限制普遍量化的语义原因。在这些情况下，KP 受到对情境、可能世界或刚性指称的考虑的限制。另一种限制策略是句法限制。它将普遍量化的范围限制为具有特定逻辑形式或处于特定可证明关系的公式。最常见的情况是，
p→◊Kp，其中 p 具有逻辑属性 F。
F 应该是一种逻辑属性，以某种原则性方式限制量词。
5.1 笛卡尔陈述
Tennant（1997）关注的是笛卡尔性质：如果陈述 p 是笛卡尔的，那么当且仅当 Kp 不可证明的不一致时。因此，他将可知性原则限制在笛卡尔陈述上。将这个受限的可知性原则称为 T-可知性或 TKP：
请注意，T-可知性不受我们讨论过的悖论的影响。它不受菲奇的悖论和相关的未决悖论的影响。对于这两个结果，将有问题的菲奇合取式 p∧¬Kp 替换为 p→◊Kp 中的变量，得到(p∧¬Kp)→◊K(p∧¬Kp)。也就是说，它们要求如果 p∧¬Kp 为真，则它可知（菲奇结果的第 2 行）。但是 p∧¬Kp 并非笛卡尔式的，因为 K(p∧¬Kp)可以被证明是不一致的（导致菲奇结果的第 6 行矛盾）。实际上，TKP 提供了最宽容的限制，以禁止令人困扰的替换。因为它只禁止那些在逻辑上不可能知道的陈述。
5.2 基本陈述
达梅特（2001）认同可知性理论家的错误在于提供了一个普遍的、而非受限的可知性原则。他同意限制应该是句法的。达梅特将可知性原则限制在“基本”陈述上，并从那里归纳地描述真理。对于达梅特来说，
piff ◊Kp，其中 p 是基本的。p 且 qiff p∧q；p 或 qiff p∨q；如果 p 则 qiff p→q；不是 p 的情况 iff ¬p；F [Something] iff ∃xF [x]；F [Everything] iff ∀xF [x]。
在每个双条件子句的右侧，逻辑常量被理解为受直觉主义逻辑定律约束。
邓美特的可知性原则或 DKP 与坦南特的原理一样，并不受可知性悖论的威胁，原因也相同。它限制了可以知晓的陈述类别。在邓美特的情况下，问题在于 Fitch 连结式，即 p∧¬Kp 是复合的，因此不属于基本，无法取代 p→◊Kp 中的变量。因此，悖论得以避免。
5.3 句法限制的问题
对比两种限制，坦南（Tennant，2002）对其进行了权衡。坦南的限制是两者中要求较少的，因为它仅禁止逻辑上不可知的命题的替换，即那些导致悖论的命题。相比之下，达美特（Dummett）的限制不仅禁止替换这些命题，还包括那些显然可知的逻辑复合命题的替换。坦南还指出，如果可知性原则是修正经典逻辑的主要反现实主义动机，将该原则限制在基础命题上可能会削弱反对经典处理复合命题的论证。
对限制策略的主要反对意见可以分为两派。在第一派中，我们发现对可知性原则的给定句法限制并不具有原则性。第二派提出了类似菲奇悖论的表述，这些表述并不受可知真理的句法限制所避免。
从第一阵营的 Hand 和 Kvanvig（1999）抗议 TKP 没有以原则的方式受到限制-实际上，除了悖论的威胁之外，我们没有得到任何好的理由来将这个原则限制在笛卡尔陈述上。（Dummett 的 DKP 也可以提出类似的主张。）Tennant（2001b）回应了 Hand 和 Kvanvig 的观点，对概念分析和哲学澄清实践中限制的可接受性进行了一般性讨论。通过将自己的限制与其他明显可接受的限制进行类比，他认为笛卡尔限制并非是临时性的。他还指出，相对于不受限制的 KP，TKP 更能引起语义现实主义者和反现实主义者之间的有趣争议。现实主义者认为，原则上真理是无法知晓的。菲奇的推理最多只能告诉我们存在结构性的无法知晓，即仅仅是逻辑考虑的结果。但是是否存在更实质性的无法知晓，例如，由于非逻辑主题的认知超越而导致的无法知晓？一个批评 TKP（或 DKP）临时性的现实主义者未能与知晓性理论家在现实主义辩论的核心问题上展开争论。
其他对于 Tennant 的限制策略不具备原则性的抱怨出现在 DeVidi 和 Kenyon（2003）以及 Hand（2003）的著作中。Hand 提供了一种以原则性方式限制可知性的方法。
这些关注可能会在注意到不违反所提议的可知性原则的悖论版本时被放宽。威廉姆森（2000a）要我们考虑以下悖论。让 p 是可决的句子'在那个地点有一片罗马陶器碎片。'让 n 刚性地指定现在实际放在我桌上的书的数量。让 E 是谓词“是偶数”。威廉姆森构建了连接词。
并主张这是笛卡尔的观点。显然，了解它并不导致矛盾。如果他是正确的，我们可以将其应用于 TKP，从而得到菲奇的可知性悖论。
(p∧(Kp→En))→◊K(p∧(Kp→En)).(p∧(Kp→En))→◊K(p∧(Kp→En)).
此外，如果 p 为真且 Kp 为假，则威廉姆森的合取式为真。因此，菲奇的可知性悖论。
(p∧¬Kp)→(p∧(Kp→En)).(p∧¬Kp)→(p∧(Kp→En))。
第一次翻译结果：（1）和（2）行产生第二次翻译结果：第（1）和（2）行产生
(p∧¬Kp)→◊K(p∧(Kp→En)).
接受菲奇的推理中所发现的有限认知资源，我们可以证明以下定理：
K(p∧(Kp→En))→En.K（p∧（Kp→En））→En。
菲奇的可知性悖论的原因在于。 仅当其连词已知时，连词才会被认知。 因此，如果 K(p∧(Kp→En))，那么 Kp。 只有真理才能被认知。 所以，如果 K(p∧(Kp→En))，那么 Kp→En。 当然，Kp 和 Kp→En 共同暗示 En。 因此，定理 4 是有效的，如果菲奇的认知资源是有效的。 现在，4 是一个定理，因此在所有可能的世界中都成立。 因此，如果其前提可能，那么其结果就是可能的。
◊K(p∧(Kp→En))→◊En.
从第 3 行和第 5 行我们得出
(p∧¬Kp)→◊En.
(p∧¬Kp)→En.
用“奇”替换“偶”得到一个类似的论证
(p∧¬Kp)→¬En.
但是，基于 TKP 和 Fitch 的连词 p∧¬Kp，我们得到了一个矛盾。结果涉及将 p∧(Kp→En)和 p∧(Kp→¬En)替换为 TKP 中的 p，但威廉姆森认为这两者都不违反笛卡尔的限制。悖论重新出现。
Tennant (2001a)对 Williamson 关于 p∧(Kp→En)是笛卡尔式的观点提出了质疑。在 n 为奇数的情况下，En 表达了一个必然的谬误（例如，“13 是偶数”）。但是，第 4 行告诉我们 K(p∧(Kp→En))暗示了一个必然的谬误。如果“13 是偶数”的虚假是逻辑必然性的问题，那么 p∧(Kp→En)就不能被一致地知道，因此不是笛卡尔式的。因此，当 n 为奇数时，Williamson 证明的第一部分（涉及谓词“是偶数”）实际上违反了笛卡尔限制。相比之下，当 En 为真时，Williamson 的合取式是笛卡尔式的。但是，类似地，如果 En 的真实性是逻辑必然性的问题，那么 p∧(Kp→¬En)就不能被一致地知道，因此也不是笛卡尔式的。因此，当 n 为偶数时，Williamson 证明的第二部分（涉及谓词“是奇数”）违反了笛卡尔限制。无论哪种情况，Tennant 认为，Williamson 并没有证明 TKP 是对 Fitch 悖论的不恰当处理。
辩论在威廉姆森（2009）和坦南特（2010）中继续进行。
Brogaard 和 Salerno（2002 年）发展了对限制策略的其他 Fitch 式悖论。请注意，Dummett 的可知性原则是一个双条件命题：p↔◊Kp，其中 p 是基本的。Tennant（2002 年）同意可知性原则应该保持 ◊K 的确证性质。因此，Brogaard 和 Salerno 从以下加强的可知性原则开始：
此外，在进一步讨论 K 逻辑之前，直观主义者可知性理论家希望验证 KK 原则
(KK)□(Kp→KKp).
原则是这样说的，必然地，如果 p 是已知的，那么就已知 p 是已知的。还使用了另一个资源，即封闭原则，它说如果必然条件的前提是可能的，那么只有当结论是可能的时，前提才是可能的。
如果这些承诺被授予，就可以在不违反 Tennant 的笛卡尔限制的情况下推导出菲奇的结果
1.p∧¬Kp 假设（Fitch 的合取）2.Kp→KKp 由 KK3.p→◊Kp 由 SKP（由左至右）4.◊Kp 由 1 和 35.◊KKp 由 4 和 2 推出，通过封闭性 6.◊KKp→Kp 由 SKP（由右至左）7.Kp 由 5 和 68.Kp∧¬Kp 由 1 和 7 推出
菲奇的可知性悖论被应用于第 3 行和第 6 行的 $p$ 和 $Kp$。这些代入物并不违反笛卡尔的限制。既不是 $Kp$，也不是 $KKp$ 是自相矛盾的。然而，反现实主义者被荒谬地迫使承认没有真理是未知的。
可以说，这个结果也对邓梅特的受限可知性原则构成了威胁。但这取决于我们是否仅将该原则应用于基本陈述。p 是基本陈述，但邓梅特对真理的描述并不能确定 Kp 的状态。也许 Kp 是基本的，因为它在真值上并不复杂。然而，如果没有对 K 进行讨论，这个问题是无法解决的。
Brogaard 和 Salerno 展示了针对限制策略的其他悖论。这些进一步的结果并不预设对 KK 原则的承诺。它们最终依赖于可知性理论家对 ◊ 的解释。当 ◊ 是形而上学可能性或受到至少与 S4 一样强的逻辑支配时，强可知性原则（适当限制）作为必要命题，蕴含着没有未知真理。当 ◊ 是认识可能性，并且可知性原则被视为已知的必要命题时，可知性原则蕴含着必然地没有未决陈述。与 Wright（1987）、Williamson（1988）和 Percival（1990）的未决悖论不同，Brogaard 和 Salerno 提供的推理不违反 Tennant 的笛卡尔限制。对 Brogaard 和 Salerno 的回应出现在 Rosenkranz（2004）中。对笛卡尔限制的进一步讨论出现在 Brogaard 和 Salerno（2006, 2008）中。Tennant（2009）是笛卡尔策略的进一步发展和辩护。Fischer（2013）对限制策略的辩护。
很多关于可知性悖论的论述都是试图在没有悖论的情况下表达相关形式的反实在论。提出的建议包括 Chalmers（2012），Dummett（2009），Edgington（2010），Fara（2010），Hand（2009，2010），Jenkins（2005），Kelp 和 Pritchard（2009），Linsky（2009），Hudson（2009），Restall（2009），Tennant（2009），Alexander（2013），Dean＆Kurokawa（2010），Proietti（2016）。
Chalmers（2002，2012：第 2 章）例如，辩护了这样一个观点：只要我们对世界有足够的定性信息，我们原则上可以知道任何命题的真值。更具体地说，他的可审查性论点表明，如果 D 是对世界的完整定性描述，那么对于所有的 T 来说，我们可以先验地知道 D（实质上）蕴含 T。重要的是，可知性悖论并不威胁到这样一个主张：真实的 Fitch 合取可以从对世界的完整描述先验地推导出来。
达梅特认为 ∀p(p→¬¬Kp)是他反实在主义品牌的最佳表达，并毫不犹豫地接受其直觉主义后果。埃丁顿通过为某些跨世界可知性辩护（即，如果实际上 p，则可能知道实际上 p）来捍卫她的可知性原则，特别是在那些仅可能的知者与实际世界分享相关因果历史的情况下。汉德通过指出验证类型及其令牌表现之间的区别来捍卫反实在主义，并认为验证类型的存在并不意味着它的可执行性。其中的教训是，反实在主义者应该更多地考虑真理的可验证程序的可执行性，而不是验证类型的存在。林斯基通过一种类型理论对认识原则和推理进行了整理。关于语义反实在主义的适当表征的争论远远超出了本条目的范围。至于可知性证明本身，关于它是否出错以及出错的地方仍然没有共识。
不适合放在上述任何部分的悖论的专题讨论包括 Salerno（2018）关于幸福的新悖论；Kvanvig（2010）关于悖论威胁到基督教本身的论证，因为基督的化身教义；以及 Cresto（2017）关于可知性悖论对反思原则作为理性要求的质疑的论证。
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