无限 infinity (Kenny Easwaran, Alan Hájek, Paolo Mancosu, and Graham Oppy)

首次发布于 2021 年 4 月 29 日星期四；实质性修订于 2023 年 12 月 8 日星期五

无限是一个重要的话题。大多数人对没有界限、没有边界、没有限制、没有尽头的事物有一些概念。对无限的严格研究始于数学和哲学，但对无限的探索贯穿了宇宙学、天文学、物理学和神学的历史。在自然科学和社会科学中，无限有时出现在我们理论本身的结果中（Barrow 2006，Luminet 和 Lachièze-Rey 2005），或者在相关现象的建模中（Fletcher 等，2019）。数学本身从一开始就涉及某种形式的无限（无限多的数字、形状、分段的迭代加法或除法），而当代数学实践则需要无穷的基础。任何应用数学的领域至少间接地涉及无限，并且在许多情况下直接追求无限。

哲学以各种方式直接或间接地容纳了无限，几乎在其大部分子领域中都有体现——以下是从当代讨论中选取的一小部分示例（我们将在第 1 节和第 2 节讨论历史材料，并在后面的章节中提供更多示例）。一些形而上学家认为存在无限多种可能性/可能世界，并探讨这种无限的大小（例如，Lewis 1986）。宗教哲学家们辩论神是否是无限的，神的创造是否是无限的，以及来世的价值是否是无限的。认识论者们辩论是否可能存在无限的辩证循环，以及如果存在，是否会带来问题（Klein 2000，Peijnenburg 2007，Atkinson 和 Peijnenburg 2017）。形式认识论者们主要研究无限概念的“概率”（详见第 6 节）。无限人口的人口伦理学是一个活跃的话题，人们认为它们对后果主义提出了独特的问题（Nelson 1991）。社会和政治哲学借助“共同知识”的概念，常常涉及到“共同知识”的无限层次（Lewis 1969）。语言和心灵哲学家们探讨“加法”等无限运算对意义和遵循规则的影响（Kripke 1982），以及语言本身或心灵本身是否可以是无限的（Nefdt 2019）。数学哲学家们辩论暗示存在无限多个对象的规定是否可以说是分析的（Boolos 1997，Wright 1999），以及无限数的同一性标准是否必须是康托尔的（Mancosu 2016）。详见第 4 节。对无限（和人类有限性）的关注出现在大陆哲学中，不仅在其 19 世纪的历史来源中（例如，Fichte、Schelling、Hegel、Kierkegaard 和 Nietzsche 等），而且在当代发展中也有体现（例如，, 其中包括海德格尔 1929 年，勒维纳斯 1961 年，阿多诺 1966 年，福柯 1966 年，德勒兹 1969 年，巴迪奥 2019 年）。这个列表可以继续下去，如果不是无限的话，那就是无聊的。

此时，人们可能会为无限欢呼三声，或者无限多次。的确，人们可能会有这样的印象，我们离不开它。与此同时，无限也存在着各种明显的问题，开始变得不那么友好。随着问题的堆积，人们可能会有这样的印象，我们无法与之共存。正如我们将看到的，无限引发了许多哲学家们千百年来一直关注的悖论。对无限的赞美必须谨慎和小心。

因此，我们有充分的理由希望更好地理解无限。数学家和哲学家特别致力于增进我们对无限的理解。本文旨在给读者一些关于无限的主要思路的感觉。

我们的调查从第 1 节开始，解开了“无限”的一些含义，并追溯了从古代到 19 世纪各种哲学上的无限概念。第 2 节转向了与无限相关的数学在相同时期的历史发展。这为第 3 节中现代数学对无限的处理提供了背景——一些无限数系统，测度的无限，计数的无限，微积分的无限以及对数的无限操作。这进而为我们在第 4 节讨论数学本体论做好了准备。

到目前为止，似乎无限已经被驯服了。这种表象在第 5 节开始受到挑战，当我们审视一些涉及无限的经典悖论和谜题时。它在接下来关于一些哲学上富有成果的应用中既是朋友又是敌人。在第 6 节和第 7 节中，它既是概率和决策理论制定的核心，也是更多难题的根源；我们讨论了其中一些假设的解决方案。第 8 节介绍了一些关于空间和时间的问题，以及在这些问题上取得的一些进展——康德的反论，关于测度的类似于泽诺的悖论，非欧几何和相对论宇宙学的发展，以及确定空间是有限还是无限的问题。我们在第 9 节总结，总体上对我们与无限的关系持乐观态度。

鉴于我们所讨论的话题的重要性，我们显然无法涵盖所有方面，甚至只是其中的一部分。例如，我们在科学和社会科学中并没有涉及无限的许多角色（除了第 8 节），而是将重点放在了哲学中的角色上。我们将讨论限制在不需要高级数学就能理解的内容上，但是我们提供了一些补充文档的链接，这些文档讨论了更多的问题：无限理想化、圆的四分法、数论和超现实数等数学中的两个最新发展的概述，以及其他悖论（上帝的抽奖、两个信封）和定理的证明。我们请求读者谅解，如果他们最喜欢的话题被忽略了。我们希望通过大量的指向其他话题的指针、我们广泛的参考文献和其他互联网资源来减轻这种情况。

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1. 无限在哲学中的一些历史评论

在希腊语中，“to apeiron”意味着“无限”：“a”表示剥夺，“peras”表示“限制”或“界限”。从词源上讲，英语单词“infinite”来自拉丁语单词“infinitas”：“in”=“不”和“finis”=“结束”，“边界”，“限制”，“终止”或“决定因素”。在当代英语中，单词“infinite”有一系列用法：

1. 在宽松或夸张的意义上，“infinite”意味着“无限大”，“超过测量或计算”，“巨大”或“广阔”。

2. 在严格但非数学的意义上，反映了其词源历史，“infinite”意味着“没有限制或结束”，“无边无际”，“无限”，“无尽”，“在范围（或持续时间或其他方面）上无法衡量的巨大”。这种严格的非数学意义通常适用于上帝和神性属性，以及空间、时间和宇宙。

3. 还有一种严格的数学意义，即“无限”数量或大小是可测量的，但没有有限的度量；而“无限”线条、表面或体积是可测量的线条、表面或体积，没有有限的度量。

与含义（2）和（3）之间的区别相关的是无限的形而上学和数学含义之间的区别。这在一些最全面的无限概念中得到了有益的应用，例如摩尔（1990/2019；另请参阅泽利尼（2005）对无限历史的广泛讨论）。摩尔认为形而上学的概念与“整体性”、“绝对性”和“完美性”紧密相关。虽然我们的条目侧重于“无限”的严格数学意义，但在主题的历史发展中，特别是在最初阶段，无法清晰地区分各种含义。此外，从一开始将无限视为神学中的“完美”并不能反映历史发展的复杂性；例如，我们在 13 世纪发现了一些思想家将有限性归于上帝，或者无论如何否认上帝的无限性，即使没有明确陈述上帝的有限性（参见科特 2002 年，127-144 页）。

无限自古希腊前苏格拉底时代以来一直是西方思想的核心关注点。哲学家阿那克西曼德（公元前 6 世纪繁荣时期）将现存事物的原则和起源称为“apeiron”。在阿那克西曼德那里，这个原则既具有本体论的意义，也具有伦理意义。毕达哥拉斯学派（公元前 6 世纪）将无限视为负面的，并强调与之相关的不确定性；他们还赋予了它空间的涵义。事实上，在公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的塔伦图姆的阿基塔斯（见 Huffman 2005, 540–550）基于假设宇宙有边界会导致矛盾的论证，提出了宇宙空间无限的观点。如果宇宙有边界，那么人们可以将手或棍子伸出边界，找到空虚的空间或物质。而这将成为世界的一部分，因此世界不能有边界，否则就会产生矛盾。所以世界是无边界的。阿基塔斯将这一点与世界的无限相提并论。康德在他的宇宙论矛盾论中也将无边界和无限等同起来。在第 8 节中，我们将看到这些概念应该有所区别，但对于这种区别的数学精确表述要等到 19 世纪新空间概念的发展。

无限论者（巴门尼德斯和梅利苏斯，公元前 5 世纪）持有现实的唯一论观念，即“一”，而梅利苏斯宣称它是无限的。这种唯一论的现实观念将变化（或成为）视为表象，在这种背景下出现了著名的无限悖论（参见有关泽诺悖论的条目）。在此只需说泽诺的悖论（阿喀琉斯、箭矢等）涉及无限小，并旨在支持巴门尼德斯的唯一论。在公元前 5 世纪和公元前 4 世纪之间，德谟克利特辩护了一个具有无限虚空和无限多个原子的原子论。此时，无限已经显示出了一些重要的方面，被一些人视为物质，而被其他人视为多样性（原子、时间、几何点等）。

如果与泽诺的悖论一起，与无限相关的问题的紧迫性已经引起了希腊人的意识，那么最有影响力的讨论要归功于亚里士多德。为了将亚里士多德的讨论放在适当的背景下，我们需要列举一些数学无限性的出现方式，不仅仅是在哲学中，正如我们所描述的，还有在数学中。我们已经看到了阿尔基塔斯对宇宙空间无限性的概念。但在数论中，自然数被认为是无限的，至少在这样的意义上，即给定任何自然数，都可以找到一个更大的自然数。在几何学中，我们既可以通过加法来表示无限（任何线段都可以延长），也可以通过除法来表示无限（任何线段都可以对半分）。因此，数学呈现了无限的迭代过程。处理平面和立体图形的迭代过程的最复杂技术是由欧多克索斯（公元前 4 世纪）开发的，我们将在第 2.1 节中讨论它。

到公元前 4 世纪亚里士多德（Aristotle）发展了他对无限的讨论时，这个概念已经在哲学、数学和自然哲学（包括宇宙学、天文学和物理学）中产生了影响。很难夸大亚里士多德在无限历史中所扮演的角色。他阐明了一些基本的概念区分，这些区分对所有后续的讨论都产生了影响。他在宇宙中是有限主义者，即他的宇宙中一切都是有限的。宇宙是有限的，物体是有限的，几何线段是有限的，每个数字都是有限的，等等。然而，有一些过程可以无限地迭代下去，从而产生了他所称之为“潜在无限”。实际上，他声称“在某种意义上 [无限] 是存在的，在某种意义上又是不存在的。”（Phys. 3.6, 206a13–14）。

任何任意的线段都可以无限延长（受下面提到的宇宙学限制）或无限分割，但在每个阶段我们仍然处于有限状态。时间在两个方向上也是潜在无限的，并且可以无限地分割。

这个概念与“实际无限”相对立，如果某些无限过程可以“一次性”完成，那么就会产生实际无限。如果实际无限是真实的，那么就可以有无限长的物体，无限长或无限小的段落，自然数的总体，无限数量，无限多的时间瞬间等等。亚里士多德拒绝了无限作为原始物质的概念，正如我们在阿那克西曼德尔那里所遇到的那样，他对无限的讨论大多发生在一个与现实的时空特征相关的物理背景下。因此，亚里士多德对无限的讨论完全符合我们所描述的“数学”无限概念，其中无限首先适用于大小（连续或离散）和可量化的事物（时间、空间、数字等）。他的《物理学》讨论了无限大，因为世界是有限的；以及无限小，因为物质的分割只能是潜在无限的，因此在每个阶段都是有限的，永远无法达到无穷小的数量——即小于任何有限数量的数量，同时又是某种东西。无限大的排除也导致亚里士多德不能以无限方式允许通过加法来实现潜在无限（否则，任何有限的延伸都可以被加到足够多次，使其比世界的大小更大）。因此，加法的无限应被概念化为与除法的无限相反的一种操作，这为我们提供了潜在无限存在的主要证据。这是以下引文中对比“但是”的隐含力量。亚里士多德写道（我们强调）：

‘存在’，因此，可能意味着‘潜在存在’或‘实际存在’；而无限要么是加法，要么是除法。已经说明了大小不是在实际操作中无限的；但在除法中它是无限的——反驳不可分割的线条并不困难——因此无限仍然是潜在的。（物理学 3.6，206a14-24）

亚里士多德关于潜在和实际无限的区别对当代产生了重大影响。（有关亚里士多德关于无限的进一步讨论，请参见 Hintikka（1966），Lear（1980），Kouremenos（1995），Coope（2012），Nawar（2015），Cooper（2016），Ugaglia（2018）和 Hussey 对亚里士多德的评论（1983）。）

除了与物理连续体的构成有关的问题之外，亚里士多德的观念在宇宙学上也有重要的影响。虽然他认为宇宙是有限的，但他认为天体的运动没有开始也没有结束（因此，正如我们所指出的，他认为时间在两个方向上都是潜在无限的）。“世界的永恒性”问题在亚里士多德之后一直困扰着一些最好的神学和哲学思想家，特别是与神学问题有关。例如，约翰内斯·菲洛波诺斯（公元 6 世纪；参见 Philoponus 2004）通过声称相反的命题将导致无限的悖论来支持世界的起源（我们在第 2.4 节中讨论此问题）。

菲洛普诺斯提出了关于无限时间的另一个无限悖论，我们将在 al-Ghazālī（11 世纪）的版本中讨论——请参阅关于 al-Ghazālī 反对的补充

更加紧迫的意义在于放弃了亚里士多德关于宇宙有限性的观点，以及文艺复兴时期从有限宇宙到无限宇宙的转变，这一转变在 Koyré（1957）的经典著作中有所描述（另请参阅 Jammer 1993）。虽然哥白尼（1473-1543）将太阳置于宇宙的中心，但他仍然使用了一个有限的宇宙模型。受到伊壁鸠鲁（341-270）、哈斯代·克雷斯卡斯（1340-1412）和尼古拉斯·库萨纳斯（1401-1464）的启发，乔尔达诺·布鲁诺（1548-1600）捍卫了无限多个世界的观念，每个世界都是无限大的，并且同时存在。布鲁诺是概念历史中同时使用数学和神学概念的一个很好的例子。例如，在《论无限、宇宙和世界》（1584）中，他从上帝的无限力量论证到宇宙的无限性。

Of even more pressing significance was the abandonment of Aristotle’s view on the finiteness of the cosmos and the Renaissance move from the finite to the infinite universe described in the classic text by Koyré (1957; see also Jammer 1993). While Copernicus (1473–1543) put the sun at the center of the universe, he still worked with a finite model of the universe. Foreshadowed by Epicurus (341–270), Hasdai Crescas (1340–1412), and Nicolaus Cusanus (1401–1464), Giordano Bruno (1548–1600) defended the idea of infinitely many worlds, each of infinite size, existing simultaneously. Bruno is a good example of how mathematical and theological notions of infinity were used simultaneously in the history of the concept. For instance, in On the Infinite, the Universe, and Worlds (1584) he argued from God’s infinite power to the infinitude of the universe.

相比之下，开普勒和伽利略都认为世界是否无限大的问题无法确定。开普勒认为无限宇宙的概念是形而上学的，而不是基于经验证据的。伽利略在 1624 年写给弗朗切斯科·因戈利的一封著名信件中声称，人类永远无法知道宇宙是有限还是无限的。空间的渐进几何化（参见 De Risi 2015）导致了牛顿的引力理论，其中宇宙在空间和时间上是无限延伸的。物理空间与欧几里得几何的空间等同，以这种方式物理空间被几何化。

当牛顿将空间与“上帝的感觉器官”（“God's sensorium”）等同起来时，神学元素仍然存在。在接下来的两个世纪里，宇宙学根据牛顿理论得到了发展：一个无限的欧几里得空间，平坦而绝对，为所有物理对象提供容器，它们的关系由普遍引力结构化。

在 19 世纪中叶的黎曼和相对论宇宙学中，人们重新回到了有限的宇宙，但宇宙学家现在充分意识到世界有限性的问题是一个非常开放的问题，关键取决于空间的曲率和拓扑（见第 8.2 节）。

我们上面的讨论指出了无限概念的一些基本方面，这些方面在后续的讨论中将会有用。显然，数学上的无限概念和定性的无限概念之间存在许多接触和/或交叉的领域。定性的无限概念不能很容易地直接描述，但一般来说，它们吸引的是那些似乎没有明确的数量方面的特征。例如，上帝可能被定义为无限的，因为它没有有限生物的任何限制；在某些斯科拉哲学中，这种属性是通过声称上帝与有限生物不同，是本质和存在相一致的唯一实体来解释的。通常与此相结合的是上帝的无限是无法理解的这一说法，这可能是我们无法对定性无限进行积极解释的一个很好的指标。与此同时，关于无限神圣力量或善良的主张提供了与数量概念的可能联系，这解释了为什么数量和定性概念之间的界线不那么明显。

的确，根据一些作者的观点，定性和数学概念是密不可分的。例如，考虑到帕斯卡在投影几何学和他的《思想集》中对无限距离的使用，他思考了有限人类与无限上帝之间的无限距离（和不成比例）（参见 Cortese 2015）。以下段落代表了在帕斯卡的辩护中，有限性和无限性的呼应所起到的强大而引人思考的作用：

到底人类在本质上是什么？与无限相比，他们是虚无；与虚无相比，他们是一切；他们处于虚无和一切之间的中点，无法理解极端的存在；事物的终结和起源对他们来说是无法逾越的秘密。（帕斯卡尔 2008 年：70；我们在翻译似乎不够忠实的地方添加了法文原文。）

此外，帕斯卡的赌注也与无限的概念密切相关，以无限的回报形式存在。（请参阅第 7.3 节关于帕斯卡的赌注）这些主题对宗教哲学、决策理论和哲学人类学非常重要。

然而，本条目不涉及与无限神力、无限模式以及一般与数学无关的无限概念有关的那些概念。我们并不打算贬低那些无限历史的重要方面，其中包括普罗提诺、库萨努斯、笛卡尔、帕斯卡、斯宾诺莎、费希特、黑格尔和基尔克戈尔等巨人的贡献。莱布尼茨和康德也属于这个列表，但我们将在后面对他们进行更多的阐述。但是，如果我们试图以肤浅的方式追求所有这些发展，本条目将失去焦点，而定性无限的处理则值得一篇独立的文章。因此，我们满足于提供一份参考文献列表，读者可以通过这些参考文献重建对该主题的贡献。

对于包括数学和形而上学方面的无限历史概述，请参阅 Moore（1990/2019）和 Zellini（2005）。有关亚里士多德对无限的观点的进一步讨论，请参阅以下条目：亚里士多德；亚里士多德和数学；亚里士多德和形而上学。有关古代和中世纪对无限的概念，请参阅 Sweeney（1972），Sweeney（1992），Kretzmann（1982），Coté（2002），Biard 和 Celeyrette（2005），Duhem（1987），Dewender（2002），Davenport（1999），Murdoch（1982），Uckelman（2015）；有关早期现代时期，请参阅 Nachtomy 和 Winegar（2018）；有关康德和唯心主义时期的无限，请参阅 Kreis（2015）；Monnoyeur（1992）涵盖了所有时期。

有关宗教哲学中的无限，请参阅以下参考文献。

1. 关于神圣无限：Koetsier 和 Bergmans（2005），Göcke 和 Tapp（2018），Heller 和 Woodin（2011）的最后一部分的论文，以及包括上帝和其他终极事物，本体论论证，尼古拉斯·库萨努斯，罗伯特·格罗塞特斯特，约翰·邓斯·斯科特和伊本·阿拉伯在内的各种条目。

2. 在上帝的创造中，除了我们随后讨论的空间和时间是否无限之外，还有关于宇宙学和神学、宇宙学论证、精细调整、无限回归论证、充分理由原则以及现代物理学中的存在与变化的条目；

3. 关于“天堂的无限”，除了我们随后讨论的帕斯卡的赌注之外，还有关于帕斯卡的赌注、生命的意义以及宗教和道德的条目。

值得注意的是，康托尔的集合论发展受到了神学考虑的影响：例如，参见 Dauben（1990）和 Tapp（2005）。

正如我们所说，我们在科学和社会科学中大多数情况下排除了无限的话题，尽管请参阅《无限理想化的补充》。

至于我们在科学中讨论无限的程度（特别是在第 8 节中），我们的重点主要是涉及的数学机制，这在历史上有着悠久的历史。这将引出下一节的主题。

To the extent that we discuss infinity in science (notably in Section 8), our focus is primarily on the mathematical machinery involved, which has a venerable history. This brings us to the topic of the next section.

2. 数学中的无限：简要历史回顾

在本节中，我们将首先展示希腊数学如何通过使用耗尽法（3.1）来避免在结果展示中使用无限。然后我们将看到 17 世纪数学中无限对象和过程的广泛应用（几何中的无穷远点和无穷小（3.2），微积分中的无穷小（3.3））以及伽利略将计数扩展到无限集合的问题（3.4）。到了 18 世纪初，数学经历了第一次“无限主义革命”（第二次与康托尔的名字有关，请参见第 3 节）。无限成为一个紧迫的基础性问题，这将引导我们进入第 3 节。

2.1 耗尽法

我们已经提到，潜在的无限在希腊数学中从一开始就存在，最明显的是在自然数序列和几何运算中的线段和其他几何量的加法和除法中。希腊数学家从欧多克索斯开始，发展出一种测量平面和立体图形的技术，即使在情况下似乎被迫进行无限的“极限”过程，也可以避免使用无限。这种技术，今天被称为穷尽法（这个表达在 17 世纪由圣文森特的格里高利创造），可以在欧几里得的《几何原本》第十二卷中找到，然后在阿基米德（公元前 3 世纪）的一些最引人注目的结果中找到。这个想法是用双重反证法来替代无限的近似。这意味着通过注意到 C <T，C> T 或 C=T，然后证明假设 CT 都导致矛盾，来展示两个图形的面积或体积的相等性。 （这里的“C”和“T”指的是图形及其面积/体积，具有系统的模糊性。）更多讨论可以在《关于穷尽法和不可分割的圆的四分法》中找到。

通过穷尽法和不可分割的圆的四分法的补充。

希腊数学通常避免使用实际的无限，并且学者们谈到了希腊数学中典型的“无限恐惧”。就数学结果在最终和公开的展示中的方式而言，这是一般正确的。然而，人们应该记住，在观察希腊数学家所追求的启发式策略时，并不存在这种“无限恐惧”。在阿基米德的情况下，这一点通过他的方法的幸运重新发现（于 1906 年发现；参见 Netz 和 Noel 2007）变得明显，我们可以看到他使用无穷和机械的考虑作为他发现几何定理的工具（参见 Knorr 1982、1986 和 Jullien 2015）。例如，在他描述寻找抛物线段和相关三角形面积比例的方法时，阿基米德将几何图形（在这种情况下是抛物线段和相关三角形）视为由无限多个一维线段组成，然后利用杠杆定律来确定所涉及的面积之间的关系。在最近才可获得的方法文本的一部分中（命题 XIV 的一节，参见 Netz 和 Noel 2007），阿基米德明确地使用了无限集合。

2.2 不可分割和无限点的理论

早期现代数学家对欧几里得和阿基米德的严谨印象深刻，但普遍怀疑（在 1906 年得到证实）阿基米德必定有一种不太严谨的启发式方法，他用来发现他令人惊讶的结果。

在 17 世纪，几何学中的无限考虑为求解平面图形的面积和立体图形的体积开辟了新的几何技术途径，即求解象限和体积的方法。我们要感谢卡瓦列里和托里切利提出了一个几何学的不可分割理论，后来由沃利斯（1656 年）将其置于算术代数的框架中。卡瓦列里最初的想法（1635 年）是通过对他所称之为图形的不可分割部分进行系统比较，从而得到两个平面图形之间的关系。图形的不可分割部分是比图形本身维度低的几何实体。线的不可分割部分是一个点；平面图形的不可分割部分是一条线段；立体的不可分割部分是一个平面图形。考虑一个顶边为 AB，底边为 CD 的正方形。正方形的不可分割部分是任意与 AB 长度相同的线段，通过让 AB 平行移动直到达到 CD 而获得。参见《关于用不可分割法求解圆的象限和不可分割法》的补充说明，了解如何用不可分割法求解圆的象限以及这种方法如何涉及无限集合。

Supplement on Quadratures of the Circle by Exhaustion and by Indivisibles

for an explanation of how to give the quadrature of the circle with the indivisibilist method, and how this courts infinite collections.

Cavalieri 的无限不可分理论的应用仅限于有限图形，因此并未超越希腊数学的几何边界。然而，Torricelli 通过确定一个无限长（无限长 um）固体（Torricelli 1644）开创了新的领域。在此之前，通过不可分的方式获得的关于有限图形的所有结果都可以通过有限的阿基米德技术轻松证明，并且避免提及无限大，就像在圆的四分问题中所做的那样，该问题在《关于圆的四分问题的补充》中提出。

但是，在 Torricelli 的结果中，无限大明确地出现，即一个无限长的固体（图中的 FEOBMDC）具有有限的体积（图中的圆柱体 ACIH 的体积）。

However, infinity figured explicitly in Torricelli’s result that an infinitely long solid (FEOBMDC in the diagram) had a finite volume (the volume of the cylinder ACIH in the diagram).

Illustration of the infinitely long solid studied by Torricelli The solid is obtained by rotating a branch of a hyperbola around the y axis and extends to infinity The illustration also displays a finite cylinder that equals in volume that of the infinitely long solid

这是西方数学中第一个无限结果，因为无限不能通过某种替代的有限技术来消除，而是作为必须被测量的对象的特征出现。托里切利的无限结果对无限的经验主义概念施加了巨大压力。不可分方法的启发性富饶也伴随着威胁其基础的悖论。其中之一是塔凯的不可分证明，证明了所有三角形的面积相同。不可分论者能够以各种方式处理这些悖论，但系统的基础仍然不稳定（有关不可分理论的基础以及与托里切利结果相关的数学和哲学问题的详细讨论，请参见 Mancosu（1996）和 Jullien（2015））。

17 世纪几何学中无限出现的另一个领域是 Desargues 的工作（参见 Sakarovitch 和 Dhombres 1994 以及 Desargues 1636）。在欧几里德几何中，平行线不相交，而 Desargues 则提出了平行线在无限远处相交的想法。这是一个非常富有成果的想法，导致了射影几何的发展。

2.3 微积分

在 17 世纪数学中，无限的最富有成果的发展是微积分的发展。

从几何角度来看，微积分提供了在曲线的任意点上绘制切线和测量曲线部分下面积的技术。微分学处理第一个问题，积分学处理第二个问题。微积分的基本定理表明这些问题是彼此的逆过程。微积分是由牛顿和莱布尼兹独立发展的，但它的传播很大程度上归功于欧洲各地的许多数学家。微分学的第一本教科书是由马尔基·德·洛皮塔尔于 1696 年出版的（1696 年；参见 Bradley 等人的翻译，我们在下面进行评论）。考虑到它的公理化结构是值得的，因为它将帮助我们立即看到新学科向国际社会展示的无限基础。我们首先有两个定义：

定义 I. 那些数量被称为可变量，它们不断增加或减少，与保持不变的常量数量相对，而其他数量发生变化。

定义 II. 变量数量不断增加或减少的无限小部分称为微分。

这两个假设如下。

假设 I. 我们假设两个数量之间的差异是一个无限小的量，可以互相替换，或者（等同于）一个数量增加或减少了比它小无限小的另一个数量，可以被视为保持不变。

公设二。我们假设一条曲线可以被视为无限多条无限小的直线的集合，或者（等同于）一个具有无限多个无限小边的多边形，它们通过彼此之间形成的角度来确定曲线的曲率。

从上面我们可以看出，新微积分中所涉及的一些基本实体的明确无限特征化。这两个公设都需要一些希腊人刻意避免的东西，即考虑无限小量和将曲线化简为无限多边形。虽然洛比塔尔和一些法国数学家对“无限性”非常热衷，但莱布尼兹本人则对无限小量的使用提出了一种虚构主义的解释（早在他的早期著作《De Quadratura》中就有预示，直到 1993 年才见光；参见莱布尼兹（1993））。还要注意几何和运动学（即基于运动的概念，如连续增加或减少的概念）的使用。19 世纪关于微积分的大部分工作都致力于从学科的基础中消除几何和运动学概念。

这个领域的文献非常丰富，我们参考 Goldenbaum 和 Jesseph（2008）的最新论文集，其中涉及到 Leibnizian 无限小的一些文章。关于微积分基础的争论导致了一些活跃的贡献，比如伯克利的《分析家》（1734 年）和更多的数学工作。但即使在 19 世纪，通过柯西、波尔查诺、戴德金德和魏尔斯特拉斯的共同工作，无限小被从微积分中消除，它们在几何学中仍被广泛应用。此外，当代的替代分析理论（非标准分析、无限小分析等）已经导致了严格的理论，可以被视为对 17 世纪直觉的证明，尽管需要保持一定的怀疑态度。我们将在下面回顾这些发展。

2.4 无限集合的计数

17 世纪关于无限的讨论还有一个最后的方面与后来的考虑相关：将计数的概念从有限扩展到无限的问题。这个问题与是否只有一个无限或者可能存在不同大小的无限有关。正如我们所提到的，菲洛普诺斯认为世界的永恒性导致了矛盾。特别是，他声称，如果世界在过去没有开始，那么到苏格拉底为止的个体数量将是无限的；但是通过将苏格拉底到现在的个体数量相加，将得到一个比之前更大的无限，他得出结论，这是“最不可能的事情之一”（参见 Sorabji 1983）。希腊思想通常拒绝存在不同大小的无限的观念。

伊斯兰数学家伊本·库拉（公元 9 世纪）采取了明显的无限主义态度，并反对亚里士多德的评论者，认为无限可以有不同的大小（参见拉希德 2009 年）。他声称，例如，奇数和偶数具有相同的大小，但是三的倍数是自然数总数的 1/3。与文献中所声称的相反，他的直觉并不是偶数和奇数之间存在一一对应关系，所以它们具有相同的大小。相反，我们有一个“频率”直觉：每个偶数后面都是一个奇数；三的倍数每隔三个数出现一次，等等。我们在格罗塞特斯特的著作《德·卢斯》中发现了类似的立场（参见曼科苏 2009 年，2016 年，以及历史发展和进一步参考资料的概述）。

伽利略·伽利雷体现了我们在试图从有限到无限进行概括计数时遇到的矛盾情况。在《两个新科学》（1638 年；伽利略 1974 年）中，他提出了一个无限的悖论。一方面，有一种直觉认为，平方数比自然数少，因为前者是后者的真子集（前者具有后者的一部分但不是全部成员）。另一方面，有一种直觉认为，平方数和自然数的数量相同，因为自然数和它们的平方之间存在一一对应关系-一个双射。伽利略自己的结论是，不能将等于、大于和小于的关系应用于无限集合。关于无限的许多后续理论可以被视为在牺牲一个直觉的同时尊重另一个直觉。

如果一个集合是另一个集合的真子集，那么前者比后者小，这种直觉可以追溯到欧几里得——称之为部分-整体直觉。Bolzano（1851）对此持有同情态度，并试图发展一种保持这种直觉的无限集合理论。他并没有成功，但他警告读者不要混淆无限集合的一个特性——它可以与自身的真子集进行一对一对应——与“大小”（他称之为“集合的多重性”）的标准。相比之下，Cantor（参见 Hallett 1986）后来将一对一对应作为基数的定义特征：回答“有多少？”问题的数字，并在他的集合论中将有限到无限的计数进行了推广。因此，他支持这样的直觉：如果两个集合之间存在双射，它们具有相同的大小——称之为双射直觉。这种直觉对于有限集合显然是正确的。例如，一个正常人手上的手指可以与一个正常人脚上的脚趾配对，反之亦然：这两个集合之间存在双射。当然，这两个集合的大小是相同的（五个）。一个核心问题是这种直觉对于无限集合是否也正确。我们将讨论 Cantor 的理论以及一些最近的计数实现，即保持部分-整体直觉的无限集合的数论理论——请参阅“数论理论补充”。

数论理论补充。

总之，17 世纪和 18 世纪初的“无限主义革命”为哲学和数学留下了重要的遗产。不可分割理论引入了以无限方式特征化的新量（图形的所有不可分割物的集合），并且新的无限几何对象扩展了经典的几何宇宙。此外，对微积分的讨论集中在无限小和无限大的性质上。最后，伽利略悖论引发的问题为将计数从有限集合扩展到无限集合奠定了基础。

这些问题在 19 世纪和 20 世纪逐渐得到解决，并从这些讨论中出现了不同的数学无限概念。我们将逐步通过讨论当代数学中的一些里程碑来了解这些概念。

在数学中使用无限的众多通用处理方法中，我们推荐 Lévy（1987）、Zellini（2005）、Moore（1990/2019）、Vilenkin（1995）、Barrow（2006）。有关微积分历史的更详细介绍，请参阅 Kline（1990）、Boyer（1959）、Edwards（1979）和 Grattan-Guinness（1980）。关于不可分割理论的最新学术研究可在 Jullien（2015）中找到。关于莱布尼兹无穷小的最新研究，请参阅 Goldenbaum 和 Jesseph（2008）以及 Goethe，Beeley 和 Rabouin（2015）。关于 19 世纪数学无限概念，请参阅 König（1990）。

3. 数学：数系统，康托的天堂，以及无限之外

为了处理第 2 节中提出的有关无限的一些问题，数学家们开发了各种不同的结构，明确包含了无限。这些结构赋予了适用于不同应用的无限不同的属性。在某些情况下，可以为一个应用程序开发多种类型的结构。明确容纳无限打开了一个巨大的选择和可能性范围，这是现代数学发展的源泉。

现在我们快速介绍现代数学中的无限。第 3.1 节提醒读者几个熟悉的数系统：自然数，整数，有理数和实数。第 3.2 节讨论了微积分的无限运算，包括极限和求和，并引入了“扩展实数”+∞ 和-∞。这两节的内容在大多数实分析教材甚至许多微积分教材中都有涉及，所以一些读者可能已经熟悉，而其他人可能会受益于手头有这样一本教材来扩展一些观点。

第 3.3 节和第 3.4 节更加数学上高级。第 3.3 节介绍了康托尔更加数学复杂的“基数和序数”，这可能是对无限概念混淆进行解释的数学发展中做得最多的。这部分内容在大多数集合论教材中有更详细的介绍，并且在许多逻辑教材中也有讨论。它可以在很大程度上独立于其他部分阅读。

第 3.4 节讨论了一种更近期的数学理论，即提供了微积分的另一种背景的无限大和无穷小数学理论。这种“非标准分析”理论并没有像实分析和集合论那样成为数学课程的核心部分。因此，它可能对大多数读者来说是陌生的，并且很难在其他地方找到易懂的介绍。尽管非标准分析不像基数那样成为数学中无限概念的文化理解的核心部分，但我们包含它的原因是它是数学研究中越来越受关注的一个主题，并且它可以帮助我们对无限的直观思考和 17 世纪和 18 世纪的微积分的早期工作进行数学上严格的理解。

在一定程度上，我们可以在没有对无限的数学知识有很多理解的情况下理解涉及无限的各种哲学应用和难题。然而，数学帮助我们对其进行严格的表述和解决。对数学不太熟悉的读者可以跳过我们的一些内容（尤其是第 3.4 节），仍然可以从后面的部分中受益，但我们鼓励他们努力阅读下去。对无限的数学理解本身就是一个伟大的成就。

3.1 一些数字系统

自然数形成了最基本的数字系统。（一些数学家将 0 视为自然数，但其他一些数学家则不是。）1 是一个自然数。对于任何自然数 n，n+1（n 的后继）也是一个自然数。自然数-1,2,3,...-在加法下是封闭的：如果 n1 和 n2 是自然数，那么 n1+n2 也是自然数。它们在乘法下也是封闭的：如果 n1 和 n2 是自然数，那么 n1⋅n2 也是自然数。我们使用自然数来计算有多少个东西，尽管当应用于无限集合时，它们显然会失败，例如自然数的平方集合或自然数本身。这就是“计数的无限性”将在第 3.3 节中扩展的内容。

整数由自然数、它们的加法逆元（一个数与它的加法逆元之和为 0）和 0 组成：

…,−3,−2,−1,0,1,2,3,….

它们构成了最基本的数系，也是封闭于减法的：如果 j1 和 j2 是整数，那么 j1−j2 也是整数。

有理数可以表示为 j1/j2 的形式，其中 j1 和 j2 是整数，j2≠0。它们构成了包括整数的最基本的数系，并且在除法下封闭，除了 0。如果 q1 和 q2 是有理数，那么如果 q2≠0，q1/q2 也是有理数。

有理数是稠密的：对于任意两个有理数 q1 和 q2，满足 q1<q2，至少存在一个有理数 q3，使得 q1<q3<q2，例如，q1 和 q2 的算术平均数(q1+q2)/2 就位于它们之间。事实上，对于任意两个有理数 q1 和 q2，满足 q1 严格小于 q2，对于任意自然数 n，存在超过 n 个不同的有理数位于 q1 和 q2 之间。整数在两个方向上无限地“向外”扩展，有理数也在内部无限地“分割”。

然而，有理数仍然存在“间隙”。例如，如果我们考虑方程 y=x3−2，我们可以验证存在一些 x 的值使得 y 为负数，也存在一些 x 的值使得 y 为正数。然而，不存在有理数 x 使得 y 恰好等于 0。为了填补这些间隙，我们构建了“实数”。

实数可以由有理数构造而成，通过将每个实数定义为有理数的戴德金切割。有理数的戴德金切割是一对集合 L 和 R，满足：

1. 每个有理数都属于无限的 L 和 R 中的一个；

2. L 中的每个成员都小于 R 中的每个成员；

3. L 没有最大元素。

我们将 L 称为“左集合”，将 R 称为“右集合”。

对于任何有理数 q，都存在一个对应的戴德金切割，其中 L 包含严格小于 q 的数，而 R 包含 q 和所有更大的数。然而，还有其他的划分，其中 R 不包含最小元素。例如，我们可以让 L 包括所有立方小于 2 的有理数，而 R 包括所有立方大于 2 的有理数。由于没有有理数的立方恰好等于 2，这对集合形成了一个划分，代表我们所认为的 2 的立方根。

如果 x 和 y 是两个实数，由左集合 xL 和 yL 以及右集合 xR 和 yR 表示，我们可以通过对这些集合的成员进行操作来定义实数的加法和乘法。x+y 的左集合是由 xL 的成员和 yL 的成员相加得到的所有有理数的集合，而右集合是由 xR 的成员和 yR 的成员相加得到的所有有理数的集合。（需要一些工作来检查每个有理数实际上是在这两个集合中的一个，但是作为戴德金切割的其他条件很容易检查。）如果 x 和 y 都是正数，那么我们可以将 x⋅y 的右集合定义为由 xR 的成员和 yR 的成员相乘得到的所有有理数的集合，左集合定义为所有其他有理数的集合。（如果 x 或 y 为负数，则需要对该定义进行一些修改。）减法和除法可以定义为这些操作的逆运算，就像有理数一样。

实数在加法、减法、乘法和除法运算中封闭，除了 0 以外的所有实数。它们还具有进一步的特性，即没有“间隙”：对于任何有界的实数集，都存在一个最小上界；对于任何从实数到实数的连续函数，如果函数在某一点为负，在另一点为正，那么必定存在某一点使得函数恰好等于 0。有关详细讨论，请参阅关于戴德金对数学基础的贡献的条目。

有几种情况需要一个没有间隙的数字系统，因此我们使用实数。如果你试图通过数出一定数量的小杯子来测量大容器中的水量，不能保证杯子的数量是整数。如果你试图通过数出你的脚的长度来测量一个长距离，不能保证脚的数量是整数。我们可能知道某物超过 4 个单位但少于 5 个单位。通过使用这些单位的分数，我们可以更精确地测量——4 杯和 5 到 6 盎司，或者 4 英尺和 5 到 6 英寸——但仍然不能保证特定的有理数会给出精确的数量。但是我们可以通过使用越来越小的这些单位的分数生成一系列逼近，这些逼近越来越接近。因此，在测量某物的“多少”或者给出描述几何空间中点位置的坐标时，我们使用实数，以确保，正如我们在下一节中所展示的，逼近序列存在某个精确值收敛到。

3.2 极限、无限和扩展实数；+∞ 和 −∞

数学上所谓“没有间隙”的性质被称为“完备性”——正式的说法是，如果每个有界的递增元素序列都有一个“极限”，那么有序集合就是完备的。这些极限是我们在数字上定义的第一个无限运算。

3.2.1 数列的极限

数列是一系列有序的数字，我们可以用符号表示：

a1,a2,…

或者

⟨an⟩.

序列的成员由自然数索引，n=1,2,….

极限的正式定义说序列 ⟨an⟩ 收敛于 l，或者具有极限 l，当且仅当序列的项最终无限接近于 l。正式地说：

limn→∞an=l

如果

对于每个实数 ϵ>0，存在一个自然数 N，使得对于每个自然数 n>N，|an−l|<ϵ。

我们稍后会对出现在这个定义中的符号'∞'进行更详细的解释，但现在它只是表示序列在任何有限点之外的行为。

正如我们很快将展示的那样，并不是每个序列都有极限，但我们可以定义一类具有极限的重要序列。如果序列中的每一项至少与前一项一样大，则该序列是递增的。如果存在某个实数，它大于序列中的每一项，则该序列是有界的。事实证明，每个有界递增序列都有极限。随着测量单位越来越精细，对某个物理量的连续逼近将形成一个有界递增的数字序列，因此，极限的定义使我们能够给出任何物理量的数值表示。

为了证明每个有界递增序列都有极限，考虑定义序列中各个实数的戴德金切割。我们通过将其左集合包含在序列中至少一个这些项的左集合中的每个有理数，并将其右集合包含在这些项的所有右集合中的每个有理数中，来定义一个新的戴德金切割。由于序列是有界的，我们知道右集合是非空的，而戴德金切割的其他属性不难验证。

用这种方式构造的实数是序列的极限并不难检查。为了看到这在具体情况下是如何工作的，我们可以考虑序列 1/2,3/4,7/8,…,1−1/2n,…。这个序列是递增的，因为每个项都大于前面的项，而且它是有界的，因为 2 是一个严格大于序列中每个项的数。按照上述方法构造的戴德金切割将对应于数字 1。为了看到这一点，注意对于任何小于 1 的有理数 q，我们可以让 ϵ=1−q。然后存在某个 N 使得 1/2N<ϵ。序列中的第 N 个项将大于 q，所以 q 将在其左集合中，因此在我们上面构造的左集合中。但是 1 本身和大于它的每个有理数都在上面构造的右集合中。这种推理还表明，根据极限的定义，序列收敛于 1。对于任何 ϵ，以及某个 N 使得 1/2N<ϵ，序列中的第 N 个项与 1 之间的距离小于 ϵ，并且序列的所有后续项都大于第 N 个项，但仍小于 1，因此它们也必须都在 ϵ 之内。

有界递增序列的这个事实也是使用无限小数表示实数的基础。当我们说数 π=3.1415926…时，我们只是意味着 π 是序列 3,3.1,3.14,3.141,…的极限。关于这种表示法的一个让许多人感到惊讶的事实是，小数表示 0.99999…是序列.9,.99,.999,…的极限，因此恰好等于 1。有些人觉得 0.9999…应该以某种方式表示一个‘无限接近’于 1 但不等于 1 的数。我们将能够在第 3.4 节中理解这样的想法，但事实证明小数表示法不是实现这一点的方式。关于这一点的一个有用的演示，请参见 Vi Hart 的视频 9.999... reasons that .999... = 1。

许多不增加的序列也有极限。例如，序列 1，-1/2，1/3，-1/4，...，(-1)^n/n，可以看出收敛到值 0，尽管它不是递增的。然而，如果一个序列是无界的，比如序列 1，2，3，...，它没有极限 - 如果它有极限，那么必须存在一些值 l，ϵ 和 N，使得序列中第 N 个之后的所有项都在 l 的 ϵ 范围内。但是，任何大于序列的前 N 个项且大于 l+ϵ 的数都将成为序列的上界。而一些不递增的序列也无法有极限 - 例如，序列 1，0，1，0，1，0，...没有极限，因为没有一个值使得序列的所有项最终都在该值的 1/3 范围内。

3.2.2 无限和与无限积

通过序列的极限定义，我们现在也经常可以定义加法和乘法的无限版本。对于有限数量的项，我们定义“部分和”∑ni=1ai=a1+⋯+an 和“部分积”∏ni=1ai=a1⋅⋯⋅an。对于无限数列 an，它们的无限和或无限积（当定义存在时）是部分和或部分积的极限：

无限 ∑i=1ai=limn→无限 n∑i=1ai

and

无限 ∏i=1ai=limn→无限 n∏i=1ai.

因此，∑∞i=112i=limn→∞∑ni=112i=limn→∞(1−12n)=1。我们可以证明，如果一个无限序列的和收敛，那么这些项本身必须收敛于 0。这是因为项 ∑ni=1ai 必须收敛，所以对于任意的 ϵ，必须存在 N，使得每一个 ∑ni=1ai 都在离极限 ϵ 的范围内，只要 n>N。因此，每一个这样的 an 的绝对值都必须小于 2ϵ，这样连续的部分和才能在离这个极限 ϵ 的范围内。 （类似的条件也适用于无限乘积，但从现在开始我们只关注无限和。）

然而，仅仅项 an 收敛于 0 并不足以使和收敛。关于无限和的一个深刻而重要的事实是 ∑∞i=11i 不收敛，因为部分和最终超过任何有限界限。要看到这一点，注意第一项大于 1/2，接下来的两项都大于 1/4，接下来的四项都大于 1/8，一般来说，有 2n−1 个项都大于 1/2n。因此，要得到一个大于 n 的部分和，只需添加前 22n 个项。

但是，如果项 an 收敛于 0，并且每个项的绝对值都比前一项小，并且符号相反，则无限和必定收敛。如果序列中的第一项是正数，这是因为偶数编号的部分和形成一个有界递增序列，奇数编号的部分和形成一个有界递减序列，并且这两个序列的连续项之差是原始序列的一项，因此收敛于 0。因此，和 ∑∞i=1(−1)i+1i 收敛（特别地，收敛于自然对数的 2）。但是一个有些令人惊讶的事实，即黎曼重排定理，表明如果一个序列的正项没有有限和，负项也没有有限和，但是这些项本身收敛于 0，那么对于任意实数 x，可以将序列的项按某种顺序排列，使得 x 是该顺序下的序列和！为了证明这一点，只需通过从足够多的正项开始，使得部分和超过 x，然后再加上足够多的负项，使得部分和低于 x，然后再加上足够多的部分和，使得部分和再次超过 x，依此类推，重新排列这些项。这个过程必定可以进行下去，因为正项的部分和最终会超过任何有限界限，负项的部分和也是如此。由于序列的各项最终都在 0 的 ϵ 范围内，这些部分和最终与 x 的差距不会超过 ϵ，因此这种排列的和必定收敛于 x。

因此，无限求和与有限求和有一些重要的不同特点。对于任何有限的实数集合，这些数的和是明确定义的，并且不取决于添加的顺序。但是对于一个无限的实数序列，可能没有一个数是按照那个顺序的序列的和。即使有，也可能可以重新排列序列的项，使它们的和为另一个值。

但是有一些情况下，可以知道求和的行为良好。如果序列中的所有项都是正数，并且它们的和以某种顺序收敛，那么无论以哪种顺序求和，它们的和必定收敛到这个值。这是因为部分和构成一个递增的序列，对于任意两种排列方式和其中一种排列方式的部分和，必定存在另一种排列方式的部分和，包含了那个部分和中的所有项，反之亦然。同样地，如果所有的项都是负数，求和的值也不依赖于求和的顺序。如果正数项有一个收敛的和，而负数项也有一个收敛的和，那么以任何顺序取这个级数的和必定等于这两个和的和。这样的序列被称为绝对收敛，因为项的绝对值之和收敛。

3.2.3 函数的极限和扩展实数 ±∞

无限序列和求和并不是数学中出现极限的唯一方式。实值函数也可以有极限。当实值函数 f(x) 的 x 趋向于无限大时，与自然数索引的序列的极限类似地定义。说

limx→+∞f(x)=l

就是说对于每个 ϵ，存在一个 N，使得只要 x>N，f(x) 与 l 的差距小于 ϵ。例如，limx→+∞e−x=0，因为通过选择足够大的 x，e−x 可以被任意缩小。（注意函数的输入可以是正数或负数，所以我们需要指定 x 趋向于正无穷来区分这个极限与轴的另一端的极限。）

但是，能够在某个特定的有限实数输入处定义函数的极限也是非常有用的。例如，当 x 趋近于 3 时，我们可能对函数 f(x)=x2−9x−3 感兴趣。（正如我们将在第 3.4 节中看到的那样，这种计算在定义函数的“导数”概念时尤为重要，它给出了连续曲线在某一点的斜率。）这个特定的函数在除了 3 以外的所有实数上都有定义，并且在任何这样的输入 x 上它的值为 x+3。我们希望能够说，当 x 趋近于 3 时，这个函数的极限是 6。我们精确地表达这一点的方式是说

limx→af(x)=l

当且仅当

对于每个实数 ϵ>0，存在一个 δ，使得对于每个满足 0<|x−a|<δ 的 x，|f(x)−l|<ϵ。

也就是说，无论我们想要的极限的逼近程度如何，都存在一定的输入逼近程度，足以保证函数的接近程度。在极限的初始定义中，当 x 趋向于+∞ 时，我们要求 x 通过足够大来“逼近”+∞，但现在我们要求它通过与 a 的差异足够小来逼近 a，就像序列或函数的值逼近极限 l 一样。

我们也可以将 ∞ 放在极限的右侧。也就是说，我们说

limx→af(x)=无限

当且仅当

对于每个 M，存在一个 δ，使得对于每个满足 0 <|x−a|<δ的 x，f(x)> M，

以及类似地

当 x 趋向于无限大时，f(x)趋向于无限大

当且仅当

对于每个 M，存在一个 N，使得对于每个 x>N，f(x)>M。

由于 ∞（或更准确地说是'+∞'——类似的方法适用于'−∞'），可以出现在极限符号中实数可以出现的每个位置，因此自然而然地想看看我们是否可以扩展实数的定义，以便将其包括在内。

实际上，如果我们采用 Dedekind 切割的定义，并放宽左右集合非空的要求，我们会得到两个新元素——一个右集合为空的元素大于每个有理数，称为'+∞'，而一个左集合为空的元素小于每个有理数，称为'−∞'。在这些'扩展实数'中，不仅每个有界递增序列都有极限，而且每个递增序列都有极限。

正如实数自然地作为测量有限数量的工具出现，作为有理近似的极限，扩展实数自然地作为测量可以由有限数量近似的潜在无限数量的工具出现。+∞ 可以被视为无限区域的面积，无限线的长度，当 x 趋于 0 时的 1/x² 的极限等等。虽然我们习惯将长度和面积视为正数，但有时将它们视为负数也是有用的，特别是当我们关心它们的指向时，在这种情况下，−∞ 也是有用的。正如实数的加法、乘法、减法和除法对应于它们所测量的数量上的某些操作，只要我们在一些情况下小心处理，这些操作通常也可以扩展到这些扩展实数上。

从无限区域中加减有限面积仍然是无限的。将一个具有无限面积的形状添加到另一个具有相同无限面积的形状中不会改变总面积，从正无限减去负无限或反之亦然也是类似的。但是，(+∞)+(−∞)无法有意义地计算；(+∞)−(+∞)也无法计算。如果你从一个无限大的区域中减去一个无限大的区域，你可能会得到空集，或者一个正区域，但你可能仍然会得到一个无限大的区域；或者如果你减去的区域比原来的区域更大，你可能会得到一个负区域，甚至是一个无限的负区域。

这些限制也适用于将这些扩展实数用作序列或函数的极限。每当两个序列或函数都有有限极限时，它们的和或差的极限将是它们极限的和或差。当一个有有限极限而另一个是无限时，它们的和或差将由无限的那个确定。但当两者都是无限时，就会出现问题。我们可以看到，1/x²，2+1/x² 和 1/x⁴ 都是当 x 趋近于 0 时趋于+∞ 的函数。如果我们将任何一个这些函数与具有有限极限的函数相加或相减，结果函数的极限仍然是+∞。如果我们以任何组合方式将它们相加，结果仍然是+∞。但是，如果我们考虑它们的差异，我们会发现 1/x²-1/x² 的极限是 0，1/x²-1/x⁴ 的极限是-∞，而 1/x²-(2+1/x²)的极限是-2。因此，“∞-∞”被称为“不定形式”，无法进行评估。

无限乘以或除以有限正数不变，乘以或除以有限负数改变符号。同样地，无限数相互乘以或相乘也是如此。但是，无限数除以无限数，或者无限数乘以 0，也是不定形式。当 x 趋近于 0 时，函数 1/x² 的极限为 1，而函数 1/x⁴ 的极限为+∞。如果我们将极限为+∞ 的函数 1/x² 乘以极限为 0 的函数 x，我们得到的函数 1/x 在 x 趋近于 0 时没有极限（因为在 0 附近的任何小区间内，它取大正值和大负值，这就是为什么我们使用 1/x² 和 1/x⁴ 作为具有极限+∞ 的函数的典范，而不是 1/x 或 1/x³）。出于类似的原因，这些扩展实数不能提供除以 0 的方法。因此，尽管扩展实数具有一些好的性质，并且可以在各种情况下用于测量，但涉及它们的算术不像标准实数那样好用。

3.2.4 相关的无限

Dedekind 切割构造是为了理解有理数的极限而进行的。这首先创建了实数，可以被看作是有理数的有界无限序列的极限。然后我们考虑了所有有意义的极限，包括朝着实数线的两端，得到了扩展实数，包括标准实数以及+∞ 和-∞。

这个过程的不同版本也可以用其他数学实体来进行。投影几何在欧几里得平面上添加了额外的“无限远点”，每个平行线族都有一个，以帮助解释视觉几何的特征，比如平行铁路轨道看起来在无限远处的地平线上相交。黎曼几何通过在复平面中添加一个单独的数 ∞，可以同时从“所有方向”接近它。这些替代几何为第 2.2 节和第 8.2 节中讨论的材料提供了基础。其中一些在 19 世纪几何学条目中讨论，其他一些在拓扑学教材的“紧致化”主题下讨论。

因为这些无限大本质上被认为是有限逼近的极限，所以一个无限元素无法“超越”另一个，最多只能位于“不同的方向”，就像不同族平行线的收敛点，或者扩展实数中的+∞ 和-∞ 一样。

但正如我们很快将看到的，还有其他概念的无限大，其中一个无限大可以“超越”另一个。在第 3.3 节中，我们将讨论从推广自然数用于计数而不是推广实数用于测量所得到的无限大的概念。而在第 3.4 节中，我们将讨论另一种数学无限理论，它源于对微积分的另一种表述，其中 ϵ 和 δ 被视为实际上是无限小，而不仅仅是任意有限的小量度量。

3.3 无限的计数

3.3.1 初步

如上所述，本节比前两节更加数学密集。然而，我们需要这种数学严谨性来发展康托尔的序数和基数理论，这被广泛认为是我们对无限的理解中最重要的数学进展。

一个失眠的人，数着想象中的绵羊来努力入睡，永远不会用完自然数：1、2、3、……自然数集合没有边界。这是我们的第一个无限集合。或许自然而然地认为，对于计数无限集合只有一个无限，我们可以用符号“∞”来表示。当我们将一个无限集合定义为与其真子集（很快会明确的意义）具有相同大小时，这个想法似乎更加自然。事实上，这个想法几乎是错误的：正如我们很快将看到的，根据数学正统观念——即当代集合论和集合的基数概念——存在无限多个无限。这引发了一系列问题：是否存在最小的无限？是的，我们将会看到。是否存在最大的无限？不，我们将会看到。关于无限之间的间隔以及无限延伸多远，我们能说些什么？好吧，我们将会看到。我们还可以对无限小提出类似的问题。

回想一下伽利略的无限悖论，基于整体-部分直觉和双射直觉，以及他得出的结论：无法将“小于”、“等于”和“大于”的关系应用于无限集合。现代数学正统观念，体现在当代集合论中，拒绝了伽利略的结论。这种正统观念以双射直觉为基础，追随康托而非欧几里德和波尔查诺。当两个集合之间存在双射时，我们说它们具有相同的基数。基数的概念不符合整体-部分直觉。例如，自然数的平方是自然数的真子集，但它们具有相同的基数，因为它们可以一一对应。

基础性的计划，如新逻辑主义，也是从基于康托尔双射直觉的“等势”概念出发。直到 2000 年代初，一群研究非标准分析的数学家（Benci、di Nasso 和 Forti）才发展出一种关于“数量”的理论，该理论在有限集合上与康托尔基数一致，但也支持无限集合的整体-部分直觉，因此与康托尔基数不同。（参见 Benci 和 Di Nasso 2003、2019；Benci、Di Nasso 和 Forti 2006、2007）。可以将数量视为康托尔基数的细化。具有相同数量的两个集合具有相同的基数，但反之则不成立。例如，在这种方法中，平方集的数量严格小于自然数集。请参阅

《关于数量理论的补充》。

3.3.2 集合论：ω 和 ℵ

哲学家们最熟悉的无限是用于计数的无限。在 19 世纪 20 年代初，波尔查诺提出了一个无限集合是指与其真子集存在双射的概念。（回想一下伽利略的悖论。）戴德金（1884）将此作为无限的定义。很容易证明，一个戴德金无限集合必须包含与自然数一样多的集合。请参阅《定理证明补充》。

2. 定理证明的补充。

戴德金的定义只是他及其之后提出的无限集合（以及有限集合）的几个替代定义之一。如果假设选择公理，这些替代定义将等价。 （该公理指的是对于每个两两不相交的非空集合 A，存在一个函数从 A 中选择恰好一个元素。）但是，如果没有选择公理，可以证明这些定义不等价，而基础理论的情况则相当微妙但又被充分理解（参见摩尔 1982 年）。

无限计数的现代理论源于康托尔（1932 年）。他观察到，在有限集合之间建立双射的一种自然方法是对每个集合的元素进行排序，并将一个集合的第一个元素与另一个集合的第一个元素配对，第二个元素与另一个集合的第二个元素配对，依此类推。这在某些无限集合中有时也适用，例如，它给出了自然数和平方数（按照它们的标准顺序考虑）之间的一一对应关系。当两个集合之间存在一一对应关系，使得一个集合的每一对元素与另一个集合的相应对元素具有相同的顺序时，这两个有序集合被称为具有相同的序数类型。

但对于一些无限集合（尤其是包括负数在内的所有整数集合，以及有理数集合），它们的标准排序下没有第一个元素。在这种情况下，可以重新对集合的元素进行排序，使得每个非空子集都有一个第一个元素，从而使这个过程可行。这样的排序被称为良序。（正如策梅洛在 1904 年著名地证明的那样，每个集合都可以良序是等价于选择公理。）

我们可以重新排列整数，交替使用正数和负数：0，-1，1，-2，2，-3，3，…. 这种排序具有与自然数相同的顺序类型，从而实现了自然数和整数之间的一一对应关系。康托尔最引人注目的早期观察之一是，正有理数也可以采用相同的方法。每个正有理数都可以唯一地以最低项的形式写成某个分数 p/q，其中 p 和 q 是没有公因数的正整数。然后，我们可以通过首先比较分子和分母的和 p+q，然后如果两个分数的和相等，将分子较小的分数放在前面来对这些分数进行排序。这个排序开始为 1，1/2，2，1/3，3，1/4，2/3，3/2，4，1/5，5，1/6，2/5，3/4，4/3，5/2，6，….（注意，像 2/2，2/4，3/3，4/2 这样的分数在此列表中是缺失的，因为它们没有以最低项的形式写出。）每个正有理数都必须出现在这个列表中（因为它可以以某个特定的有限分子和分母的和的最低项形式写出），并且只有有限多个前驱（因为最多有 n+1 个分数，其分子和分母的和为 n）。

An infinite twodimensional grid including all the rational numbers, sorted by numerator in the rows and denominator in the columns, with arrows indicating a looping path that reaches every rational number in finitely many steps

排序：1，1/2，2，1/3，3，1/4，2/3，3/2，…. 每个有理数最终都会包含在内。

然而，康托尔还观察到，同一无限集的不同良序将产生不同的序类型。例如，我们可以定义一个整数的排序，其中每个非负整数都排在每个负整数之前，而同一符号的任意两个整数按其绝对值排序。为了近似表示这个排序，我们可以将其写为 0,1,2,3,…,−1,−2,−3,…。在这个排序中，每个非空子集仍然有一个第一个元素（如果它包含任何非负元素，则为最低绝对值的非负元素，如果它只包含负元素，则为最低绝对值的负元素）。如果我们将这个排序的第一个元素与自然数的标准排序的第一个元素配对，第二个元素与第二个元素配对，第三个元素与第三个元素配对，依此类推，那么负整数将不与任何自然数配对。但是，我们可以通过将奇数排在偶数之前，并在这两个集合内按大小排序来使自然数具有相同的序类型：1,3,5,…,0,2,4,…。一个单一的无限集可以被赋予许多不同序类型的排序，也可以是同一序类型的不同排序（例如，如果我们先放偶数，然后放奇数）。

康托尔指出，对于任意两个良序集合，一个排序中的初始位置（第一个，第二个，第三个等）与另一个排序中的初始位置相对应，就像有限集合一样。实际上，他证明了一个良序集合的所有位置必须与另一个排序中的初始位置相对应。（如果这不是真的，那么一个排序中不与另一个排序中的位置相对应的位置集合对于每个集合都不为空，而这些集合的第一个元素将相对应，这将与这些位置不相对应的说法相矛盾。）因此，有一个包含所有良序集合中可能位置的单一列表，从第一个，第二个，第三个等开始，这些位置被称为序数。一个良序集合可以说有它自己的序数，这是第一个不与该集合中的位置相对应的序数。

基数（如“一”，“二”，“三”）-也称为基数-表示一个集合有多少个元素。如果两个集合之间的成员之间可以找到任何对应关系，即使这种对应关系不符合集合的排序或任何其他结构，那么它们具有相同的基数。如果两个有限集合具有相同的序数，则它们具有相同的基数。对于无限集合，如果它们是良序的并且具有相同的序数，则它们具有相同的基数（因为具有相同排序类型的两个良序集合在排序的相应位置的元素之间有一个唯一的对应关系）。但是，它们可能具有相同的基数而没有相同的序数：我们已经看到具有相同基数的集合可以用许多不同的排序类型表示。

Cantor 使用小写希腊字母表示无限序数，其中 ω 表示自然数的标准排序的序数类型。序数的加法对应于从第一类型的排序，后跟第二类型的排序所得到的序数类型。因此，ω+ω 表示整数的序数类型，其中非负数在前，负数在后，而 ω+1 表示自然数的序数类型，只有一个元素放在最后。注意，1+ω 是单个元素的序数类型，后跟自然数的一个副本，实际上与自然数的序数类型相同！因此，1+ω=ω，这不等于 ω+1。因此，序数加法不满足交换律。

Von Neumann（1923）定义了序数的规范表示，利用了序数本身是良序的事实。每个序数由包含所有较小序数的集合表示。因此，0 由空集 ∅ 表示，1 由包含空集{∅}的集合表示，2 由包含这两个元素的集合表示{∅,{∅}}，依此类推。然后，ω 是包含所有这些有限序数的集合{∅,{∅},{∅,{∅}},…}，ω+1 也是包含它的集合{∅,{∅},{∅,{∅}},…,ω}，依此类推。

序数的乘法对应于用第一类型的整个排序替换第二个排序的每个元素。ω⋅ω 表示一个 ω 序列的 ω 序列的序数类型，我们可以通过将正有理数按分母排序，然后按分子排序来获得：1, 2, 3, … 1/2, 3/2, 5/2, …, 1/3, 2/3, 4/3, 5/3, …, 1/4, 3/4, 5/4, …. 注意，ω⋅2 是 2 个 ω 的副本，而 2⋅ω 是 ω 个 2 的副本。因此，ω⋅2 实际上是 ω+ω，而 2⋅ω 是 2+2+2+…，即 ω。（这是排序 1, 2, 3, …, −1, −2, −3, …和 1, −1, 2, −2, 3, −3, …之间的区别。）因此，序数乘法也不满足交换律。

Illustration of several ordinals Finite ordinals are depicted by a finite set of lines omega is depicted by a set of lines fading off into the distance 1omega is seen to be the same as omega, with a single infinite sequence of lines, while omega1 consists of an infinite set of lines fading off into the distance, followed by one more 2 times omega is an infinite set of pairs of lines, fading off into the distance, which is the same as omega

但对于任何序数，可以通过在末尾添加一个元素来生成另一个序数。对于任何递增序列的序数，都存在一个极限。康托还为序数定义了指数的概念，这给出了许多不同的序数：0，1，2，3，…，ω， ω+1， ω+2， …， ω+ω(=ω⋅2)， ω⋅2+1， ω⋅2+2，…， ω⋅3， ω⋅4， …， ω⋅ω(=ω2)， …， ω3， …， ω4， …， ωω， ωω+1， ωω+2， …， ωω⋅ω=ωω2， …， ωω3， …， ωωω， ϵ0 (定义为序列 ω， ωω， ωωω， …) 的极限序数。但是，这些序数都对应于相同的基数，即自然数的基数。

Illustration of several ordinals, including omega times 2, omega times 3, omega squared, and omega squared times 2 omega times 2 is two copies of the illustration of omega omega times 3 is three copies of this illustration omega squared is an infinite set of copies of the illustration for omega, each smaller than the previous one, fading off into the distance

Illustration of two ordinals omega squared times 3 and omega cubed omega squared times 3 is three copies of the illustration of omega squared omega cubed is an infinite set of copies of the omega squared illustration, each smaller than the previous one, fading off into the distance

在这一点上，人们可能会原谅地认为，没有比自然数的基数更大的基数，就像没有比+∞ 更大的扩展实数一样。然而，康托的第二个惊人结果是，正实数的基数实际上大于正整数的基数，他的第三个惊人结果是，对于每个集合，其所有子集的集合-幂集-具有更大的基数。尽管许多不同的不同顺序类型的无限集合可以彼此一一对应，但也有一些无限集合不能。基数等于自然数的集合（如整数和有理数）被称为可数无限或可数的，而不可数的无限集合（如实数和自然数的幂集）被称为不可数的。请参见关于定理证明的补充。

定理证明的补充中的结果证明。

因此，正如存在无限个无限序数的无限等级一样，Cantor 用小写希腊字母表示，也存在无限个无限基数的无限等级，Cantor 用希伯来字母表示，特别是 aleph，“ℵ”。有限基数是 0、1、2、3、…. 第一个无限基数，即自然数（和所有可数集合）的基数是 ℵ0。Cantor 的“良序原理”表明，每个集合都可以被放入某种良序形式（等同于选择公理），这意味着每个基数都可以用一个序数表示，并且序数的定义确保对于任何非空的序数集合，总是存在一个第一个序数。因此，基数实际上必须是良序的。因此，Cantor 使用序数来指定每个基数在其排序中的位置。ℵ1 是超过 ℵ0 的第一个基数，ℵ2 是其后的下一个，ℵ3、ℵ4 等等，最终我们会达到 ℵω、ℵω+1、ℵω+2 等等，每个序数对应一个基数。

由于基数和序数之间存在一一对应关系，人们可能会说基数集合和序数集合具有相同的序数类型，然后问这个序数类型（及其基数）的序数是什么。然而，如果存在这样的序数，就会出现悖论——它必须包含并且比所有序数都大，包括它自己！这就是布拉利-福尔蒂悖论（参见悖论和当代逻辑条目）。

相关地，由于每个集合的基数都小于其幂集的基数，因此不存在包含所有元素的集合（因为这样的集合已经包括了所有的子集，因此至少和其幂集一样大）。这两个结果意味着不存在包含所有序数的集合或包含所有集合的集合。以类似的方式，可以证明不存在包含所有基数的集合。由于上述结果的推论，我们也可以回答一些我们在开始时提出的问题：基数有无限多个，序数也有无限多个。然而，不存在包含所有基数的集合，也不存在包含所有序数的集合。因此，基数和序数的无限性不能用基数或序数来衡量，否则会导致悖论。（另见罗素悖论条目。）

尽管从康托尔的工作到找到一个避免这些悖论的集合论公理系统花费了几十年的时间（参见集合论早期发展和集合论条目），康托尔已经看到了所有序数或基数的整体性无法达到的“绝对无限”概念。尽管在他的系统中，有许多无限集合在许多不同层次上是可处理和可理解的，从自然数开始（亚里士多德认为它只是潜在的而不是实际的），他发现了一个更大的亚里士多德潜在无限。这导致了“集合”作为一个可以在相关意义上被理解的整体和“适当类”的区别，后者对于包含康托尔的许多无限来说甚至都太大了。

我们可以将基数的加法定义为两个基数的无交集集合的并集的基数。我们可以将基数的乘法定义为一对基数的有序对的集合的基数，其中第一个元素来自第一个基数的集合，第二个元素来自第二个基数的集合。但事实证明，一旦我们超越了有限基数，这些运算就相对简单了——就像我们看到的，两个可数序数的和或积仍然是可数的，两个无限基数的和或积等于其中较大的那个！（至少这个运算是可交换的。）因此，通过加法或乘法无法从 ℵ0 到达 ℵ1（就像我们在考虑通过加法和乘法实现的序数类型时所看到的那样）。

然而，基数指数运算更加强大。事实证明，将 2κ 定义为基数为 κ 的集合的幂集的基数是自然的。（希腊字母 κ 和 λ 通常用作表示无限基数的变量，字母 α 和 β 用于表示序数。）事实证明，实数集的基数（也称为“连续体”，因为它在表示连续空间方面起着作用）与自然数的幂集的基数相同，即 2ℵ0，并且康托尔证明了 2ℵ0>ℵ0。康托尔猜想 2ℵ0 实际上等于 ℵ1，这个猜想被称为“连续体假设”。（有关这个猜想以及为什么它尚未解决的更多信息，请参见连续体假设的条目。）

正如 ℵ1 是无法通过序数的加法、乘法或指数运算达到的基数，即使在极限情况下，人们可能猜测，即使在达到康托尔的绝对无限之前，仍然存在一些基数在某种意义上可以被理解，但即使在极限情况下也无法通过基数的指数运算达到。这样的猜想对于集合论和数理逻辑的研究产生了出乎意料的成果。（参见关于大基数和确定性的条目。）

尽管我们已经为序数和基数定义了加法和乘法，但它们的特性使得减法或除法变得难以理解。首先，序数运算的非交换性和基数运算的平凡性使得很难定义这些运算的有意义的逆运算。（如果可以找到一个序数或基数，可以将其加到第一个序数或基数上得到第二个序数或基数，那么通常可以找到无限多个这样的序数或基数。）但更重要的是，计数的概念（无论是按序数类型还是按双射进行计数）实际上不允许出现负数或分数，就像测量和几何的概念所允许的那样（在第 3.2 节中讨论）。计数涉及将每个元素视为离散和独特的，并且没有办法使多个元素组合起来得到零（如减法所需）或得到一个单位（如除法所需）。然而，测量（例如距离的测量）涉及对被测量物上的某种结构，以便某些测量可以是其他测量的分数，或者可以指向相反的方向，从而产生有意义的除法和减法的概念。

这一部分只是简单介绍了序数和基数的数学，它被称为康托的天堂。但我们已经看到了这些无限概念的许多特征，它们与前一节讨论的概念有着鲜明的区别。正如自然数和实数之间的差异展示了集合元素的计数和长度、面积等的测量之间的差异一样，康托的基数和扩展实数之间的差异进一步展示了计数和测量之间的差异。

关于本节所介绍的内容的进一步讨论，请参阅 SEP 关于集合论、集合论的早期发展和选择公理的条目。基本集合论的优秀介绍是 Enderton（1977）；一种非正式但仍严谨的介绍是 Sheppard（2014）；更高级的教材包括 Devlin（1993）、Kunen（1983）和 Jech（2006）。关于我们将在第 4 节回顾的更高层次的内容，请参阅 Kanamori（2003）。

集合论提供了一个基数理论，实现了“大小相同”支持双射直觉的想法。相比之下，由 Benci、Di Nasso 和 Forti 开发的最新的数值理论支持部分-整体直觉。请参阅

《数值理论补充》。

3.4 无穷小和超实数

我们已经讨论了一种关于+∞ 和-∞ 的概念，旨在为实值函数在特殊点处的极限提供取值。但是，对极限本身的理解最初被认为需要一种“无穷小”的概念。虽然这些量在几个世纪中被认为是有问题的，但近几十年来，一些数学实体及其性质已经得到了严格研究。

3.4.1 牛顿和莱布尼兹

无穷小是一个绝对值比任何正有限数小但不为零的数。无穷小有着曲折的历史。早期微积分的研究，正如我们在介绍拉伊波利特 1696 年著作的结构时所看到的，主要基于对无穷小的几何或运动（即基于运动）的理解。在这里，我们在实数系统的背景下对无穷小进行算术处理，同时传达了早期分析学家如何利用它们的关键特征。为了准确找出函数 f(x)=x2 在某一点的斜率，人们考虑了一个“无穷小的数” ϵ，并考虑了通过 f(x) 和 f(x+ϵ) 的直线的斜率。

Illustration of a curve y=fx and a tangent line to the curve, together with an 'infinitesimal' zoom in on the intersection, showing that the tangent line can be seen as a line connecting the point x,fx to the infinitesimally close point xepsilon,fxepsilon, so the slope of the tangent line is fxepsilonfx/epsilon

要找到函数的斜率，人们考虑了一条直线，在两个“无穷接近”的点上与函数相交。

这个斜率等于 (x+ϵ)2−x2ϵ。为了使这个分数有意义，ϵ 必须是非零的。然而，我们可以计算出这个值是 2xϵ+ϵ2ϵ，或者是 2x+ϵ。在这一点上，我们不再需要 ϵ 是非零的，所以可以说斜率只是 2x。这种在这些无穷小数值之间从非零到零的滑动是使伯克利称它们为“已逝数量的幽灵”的原因。然而，实际使用微积分的工程师、科学家和数学家对微积分能够提供准确结果感到满意。

在 19 世纪，柯西、波尔查诺、魏尔斯特拉斯、戴德金德和康托尔试图建立实分析的基础，不再使用无穷小数：在微积分的规范化描述中，康托尔集合论和第 3.2 节中描述的极限的 ϵ-δ 形式化允许对实分析进行完全严谨的发展。

不再采用特定的无穷小数值，而是量化实值变量 ϵ 和 δ 的值。例如，斜率函数在 x 处为 2x 的说法被解释为对于任意所需的近似程度 ϵ，存在某个有限的 δ，使得对于任意在 x 附近的 x′，从 (x,x2) 到 (x′,x′2) 的线的斜率在 ϵ 范围内近似于 2x。一个单一的无穷小数被一个涉及两个嵌套量词的关系所取代。从微积分中消除无穷小数的过程是“分析的算术化”的一个核心部分，旨在将运动学和几何概念从微积分中移除，而采用纯粹的算术概念。（这些概念广义地包括实数和复数的算术。有关 19 世纪实数和复数分析历史的最新研究，也关注基础问题，请参阅 Gray（2015）的著作。）

这个无限小的自由程序成功地实现了其目标——其中最重要的成就包括对点处连续函数的严格定义和黎曼积分的定义。然而，人们应该记住，数学的其他领域，如几何学，继续利用无限小的考虑，并广泛研究了非阿基米德数系统。阿基米德的公理陈述如下：

给定任意两个面积、两个距离或任意两个相同类型的量，比如 A 和 B，可以将 A 有限次地加到自身上，使得得到的量大于 B。

非阿基米德系统是指不满足这个公理的系统。如果 17 世纪对无限的研究和康托尔在集合论中的工作可以被看作是革命，那么 19 世纪下半叶对非阿基米德数学的研究可以被比作无限的起义。

17 世纪微积分中考虑的许多量，如莱布尼兹的无穷小量，不符合阿基米德公理。无穷小量可以无限次地相加，但这个过程的结果永远不会大于任何有限的量，无论多么小。一种普遍的历史学传统认为，随着微积分中无限小量的消除，非阿基米德量长期以来被限制在工程实践中。根据标准说法，直到 20 世纪 60 年代，无穷小量才重新出现，当时亚伯拉罕·罗宾逊提出了他的非标准分析理论，这引起了哲学家和数学家的广泛关注（见第 3.4.2 节）。罗宾逊的理论为无穷小量和无穷大量在无穷小微积分的重建中赋予了合法的数学地位，现在根据严格的模型论技术进行发展。很长一段时间里，罗宾逊的工作被誉为发展非阿基米德量系统的第一个成功努力。但菲利普·埃尔利希在一系列重要论文中（包括 1994 年、2012 年），提出了这种广泛看法需要认真质疑。事实上，他已经有力地证明了对非阿基米德数学的兴趣在 19 世纪 70 年代出现，并在维罗内塞、杜·布瓦雷蒙、莱维-奇维塔、哈恩、斯托尔兹、哈代等数学家手中不断发展壮大。

在这个条目中，试图对上述提到的发展进行一小部分的调查是不合适的。我们只是简单地引用读者参考 Ehrlich（1994）和（2006）。与许多重要相关问题的相互关联，例如康威的超现实数（见第 3.4.3 节）以及其他构建实数的替代方法，例如在第 3.4.2 节末尾提到的平滑无限小分析，在这里无法得到适当的解决。请参阅 Salanskis 和 Sinaceur（1992），Ehrlich（1994），Berger，Osswald 和 Schuster（2001）以及 Ehrlich（2012）。

3.4.2 非标准分析和无限小分析

由于上述微积分中的严格定义，从 19 世纪中叶起，大多数从事分析工作的数学家都放弃了无限小。然而，在 20 世纪中叶，罗宾逊（1966）证明了可以对无限小给出严格的定义，并且无限小可以在非标准实分析的发展中使用（D. Laugwitz 在同一时间也进行了类似的工作，但罗宾逊的系统更广泛地讨论）。虽然他使用模型论发展了他的非标准分析，但随后的发展也基于代数和拓扑学。罗宾逊的方法提供了一个扩展的数系统——超实数系统，它包含了标准实数系统，以及更多的“无限小”数，它们的绝对值大于 0，但小于任何正的标准实数。罗宾逊对超实数的构造提供了与标准实数相同基数的集合。对构造的简单修改可以创建具有更大基数的超实数集合。

重要的是，由于其构造中使用的逻辑技术，罗宾逊的系统对于在加法和乘法的代数语言中可表达的任何句子都表现得与标准有限实数完全相同。因此，除了 0 以外的每个数都有一个乘法逆元，如果 x>y，则 1/y>1/x。特别地，这意味着如果 ϵ 是一个正无穷小数，那么 1/ϵ 就是一个无限大的数！与第 3.3 节中的康托尔无穷大数不同，这些无限大数也可以进行减法和除法运算，而不仅仅是加法和乘法运算，与第 3.2 节中的扩展实数线的无穷大数不同，它们在与它们相关的有限数方面的行为也非常好。例如，以下陈述对于标准实数以及新的无限小数和无限大数也成立：

x+y=y+x（加法的交换律）； x⋅y=y⋅x（乘法的交换律）； x(y+z)=xy+xz (乘法对加法的分配律)。

实际上，罗宾逊的超实数满足“转移原理”-如果语句完全在实数的一阶语言中表达，则只有当它们对于超实数也成立时，它们才对标准实数成立。因此，一个系统中这样一个定理的任何证明都可以转移到另一个系统中。这有时会极大地简化计算和定理的证明。

考虑当 h 趋近于 0 时，数量((x+h)3−x3)/h 的极限。在标准实数中，要证明这是 3x2，我们需要证明对于每个 ϵ，存在一个 δ，使得对于任何小于 δ 的 h 值，该函数的相应值与 3x2 相差不超过 ϵ。在这种情况下，选择 δ<ϵ/4x 当 x 足够大时有效，选择 δ<ϵ 当 x 足够小时有效，但是确定这些选择是困难的。

对于超实数而言，只需证明当 h 无穷小时，该值无限接近于 3x2 即可。

(x+h)3−x3h=x3+3x2h+3xh2+h3−x3h=3x2+3xh+h2，

对于任意实数 x，只要 h 无穷小，3xh+h2 也是无穷小。对于任意特定的实数 ϵ，这表明存在某个超实数 δ（即任意无穷小）适用，并且通过传递原理，我们可以得出结论，对于这个实数 ϵ，存在某个实数 δ 适用，我们不再需要担心如何找到它的细节。因此，我们可以验证牛顿和莱布尼兹的推理，允许他们在计算中将无穷小视为非零，直到最后的结果，然后在最后将它们视为零。它们确实像伯克利讽刺的“已逝数量的幽灵”一样起作用！（罗宾逊和其他人的文章中对罗宾逊系统在多大程度上是莱布尼兹和牛顿的辩护进行了广泛讨论。有关这场辩论的经典来源，请参阅 Bos（1974））

对于以一阶逻辑语言陈述的结果，超实数和标准实数满足转移原理。但对于关于集合的结果，它们的行为不同。每个有界的标准实数集都有一个最小上界。然而，例如，无穷小超实数集是有界的（每个成员都小于 0.00001，还有其他界限），但没有最小上界（没有一个无穷小是其他所有无穷小的上界，而且每个有限大的上界都可以减去一些无穷小量以得到一个更小的上界）。爱德华·纳尔逊（1977 年）开创了一种替代方法——内部集合论——其中数学的基本语言被丰富，以便使我们能够区分标准和非标准实数，以及“内部”和“外部”集合。在纳尔逊的方法中，无穷小是非标准实数，其绝对值小于任何正标准实数。“内部集合”是可以用基本语言定义的集合，它们的行为与标准实数集的行为完全相同——例如，有界的内部集合总是有一个最小上界。但是所有无穷小的集合，就像所有标准实数的集合一样，是该理论的“外部集合”，无法在语言内定义，因此不一定有最小上界。

由罗宾逊和纳尔逊开创的方法不能证明关于标准实数的结果，这些结果在标准实分析中无法证明。然而，这些方法确实提供了更简单且在某种意义上更直观的标准实分析定理的证明。（关于非标准分析的教学好处，请参见 Keisler（1976））。在实分析中，有一些结果是首先使用非标准实分析证明的（例如，参见 Bernstein 和 Robinson（1966））。此外，这些方法清楚地表明，我们不需要采用 ϵ-δ 的极限概念形式化，就可以完全严谨地发展实分析。

非标准分析的文献非常丰富。请参阅 Dauben（1995）以了解罗宾逊的传记，特别强调非标准分析。此外，Goldblatt（1998）提供了最近的正式介绍，Cutland，di Nasso 和 Ross（2006）提供了最近的数学发展。读者可以参考这些文献中的广泛参考文献以获取更多信息。

一个有趣的替代非标准分析的选择是（平滑）无限小分析。它允许数学的实质部分的发展。这与普通分析和非标准分析不同，因为它允许零幂次无限小，即‘线元’dx，使得 dx≠0 但 dx⋅dx=0。这种理论的一致性是使用范畴论中的 topos 证明的。该主题的最佳阐述是 Bell（1998b）（另见 Bell 1988a，2019）；该理论的哲学方面在 Hellman 和 Shapiro（2018）中进行了讨论。Arthur（2013）讨论了与 Leibniz 有关的无限小分析，并提出了与 Bos（1974）关于 Leibniz 和非标准分析所提出的类似观点。Salanskis（1999）中发展了非标准分析的建设性解释，其中包括对 Nelson 方法以及法国非标准分析学派（Reeb，Harthong）的讨论。有关无限小的进一步讨论，请参见 Davis（1977），Thomason（1982），Bell（2005）以及连续性和无限小的条目。

3.4.3 无限小数

Dedekind 展示了如何填补有理数之间的间隙；Cantor 展示了如何扩展（序数和基数）超出现有的有限数。John Conway（1976 年）将这两个思想结合起来。他开发了一个非常不同的系统，将 Cantor 的序数的 von Neumann 表示以及 Dedekind 的实数表示推广到一个更大的领域，被称为“超现实数”。它包含每个序数和基数的副本，同时定义了与标准实数上的加法、减法、乘法、除法、指数运算和开方运算完全相同的运算。特别是，即使是无限和无穷小的超现实数也适用于这些运算。因此，除了熟悉的数，我们现在还有诸如 √ω、ω/2、−ω、1/ω、−ωω 等数。事实上，正如 Ehrlich（2001 年，2012 年）所观察到的那样，超现实数可能被认为包括“所有的大数和小数”！超现实数显然可以应用于没有直接使用超实数的情况，例如在对 Pascal 的赌注的处理中，讨论见第 7.3 节—参见 Hájek（2003a）。

因为超现实数域包含了所有序数的副本，所以它太大而无法形成一个集合。但是由于运算的行为类似于标准实数上的运算，这些序数的副本并不代表计数。参见

《超现实数的构造补充说明》

对康威的构造方法的概述，请参阅其他更简介的文本中由 Knuth（1974）和 Gonshor（1986）进行的相同结构的其他构造。

3.5 总结

让我们来总结一下。针对数学中无限的可疑性（第 2 节）的担忧，我们已经发展出了严格的数学无限理论（本节）。但是，即使我们可以用数学严谨的方式谈论无限，我们可能会担心它们是否与现实世界中的任何事物相对应或适用（正如我们认为有限数量是如何相对应或适用的）。无限可能只是天上的城堡。此外，我们可能怀疑，通过进一步的数学发展，我们可以在任何实际重要的数学中消除对无限的任何引用。下一节将把这种辩证法置于数学本体论的一般问题的背景下，审查一些重要的历史尝试，试图从数学中消除无限。然后，它解释了任何此类尝试面临的非常困难，也许是不可逾越的挑战。

4. 数学本体论

在本体论的理论化过程中，关于无限的各种问题自然而然地出现。如果数学对象存在，它们是否有无限多个？除了无限多个有限数之外，是否还存在像上述的无限个体对象？本文不会直接讨论数学对象是否存在以及以何种方式存在的问题。相反，我们将重点关注上述讨论的无限是否以与有限整数相同的方式存在。有关数学存在的一般问题，请参阅以下条目：逻辑与本体论、数学哲学、数学哲学中的形而上学、数学哲学中的名义主义、数学哲学中的虚构主义、数学哲学中的自然主义以及逻辑主义和新逻辑主义。

在数学哲学中，大多数观点都接受迄今为止提到的有限和无限对象的存在，就像它们接受有限整数的存在一样。（柏拉图主义者可能接受这是字面存在，而虚构主义者则将其视为某种虚构存在，其他人可能对此有不同的理解。）标准集合论可以证明所有这些对象的存在，对于大多数数学家和哲学家来说，这就足够了。逻辑主义和新逻辑主义对数学的解释可能通过明确的假设（如怀特海德和罗素的《数学原理》中的无穷公理）或作为隐含假设的结果（如苏格兰新逻辑主义中的休谟原则，参见 Hale 和 Wright 2001，Heck 1997，2011）来获得无限集合或无穷多个数的存在。虽然无穷公理很容易陈述和理解，但休谟原则具有特殊的形式，因为它假设存在一个将概念映射到对象的函数#，同时尊重概念之间的等价关系 ≈。形式上，它的陈述如下：

（HP）∀B∀C#B=#C 当且仅当 B≈C

当 B≈C 是纯二阶逻辑的许多等价公式之一时，它是表示“B 和 C 之间存在一对一对应关系”的简写形式。非正式地说，它可以理解为说，如果在 B 和 C 之下有一对一的对应关系，那么两个概念 B 和 C 具有相同的“数量”。像定义一个函数从等价关系到函数的原则 HP 这样的原则被称为抽象原则。通过假设存在一个将概念映射到对象的函数，休谟原则利用了在其右侧提到的等价关系中不满足无限多个概念的可能性，从而生成了无限多个自然数。还有其他形式的新逻辑主义，它们在开始时不假设休谟原则或无限公理，但通过其他逻辑原则（例如 Linsky 和 Zalta 2006）生成无限多个自然数。此外，所有这些形式的新逻辑主义都至少生成一个无限基数，这里的哲学相关性在于它们用于建立这些结果的不同资源。

顺便提一下，弗雷格的逻辑主义和新逻辑主义计划在无限多个对象属于概念时，使用一对一对应来说明“概念”的身份标准。有关为无限概念分配数字的替代标准，请参阅 Mancosu（2015）和（2016）。

鉴于早期集合论的悖论（如罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论等），一些数学家和哲学家担心标准集合论可能也是不一致的。数学的另一种观点是直觉主义，它只接受那些可以在某种意义上由人类思维进行构造的数学对象的存在。直觉主义要求对逻辑进行修订，因为这种限制使排中律无效——有些情况下，我们可以证明某种类型的对象不存在会导致矛盾，但却没有任何构造这样的对象的方法，因此可能存在真值间隙。直觉主义者通常接受亚里士多德关于“潜在无限”的限制，而不是“实际无限”，但也有关于哪些类型的无限实体可能存在的复杂直觉推理。（更多信息，请参见有关直觉主义逻辑和数学哲学中直觉主义的条目。）

另一个与大卫·希尔伯特相关的观点被称为有限主义（参见希尔伯特 1926 年）。大多数有限主义者接受经典逻辑，但担心无限对象的理论的一致性。希尔伯特对一致性的担忧源于新的无穷集合论数学所引发的悖论（康托尔的不一致集合；布拉利-福尔蒂悖论；罗素悖论等）。希尔伯特相信对这样的无限整体进行量化是问题的根源。希尔伯特有限主义者认为有限对象，如对应于自然数的笔画配置和形式语言的有限句子，在某种意义上是没有问题的，因为这些对象可以以某种方式单独把握，从而在它们（潜在的）整体性中理解。但无限对象被认为是有问题的：这包括康托尔的高阶序数和基数，以及数学家们在 20 世纪初开始发展详细理论的所有几何、代数和拓扑对象。

希尔伯特提出的项目（有时被认为是数学哲学中形式主义的起点）是用通常解释为关于这些无穷实体的有限长句子来取代对这些无穷实体本身的讨论。他的目标是公理化这些无限对象的理论，然后使用关于语言的有限推理手段来证明这些理论的一致性。虽然这个想法并不否认无限对象的存在，但它提出了一种方法论的方法，只接受字面上的有限对象，无论是代表整数的笔画还是句子。（参见希尔伯特计划的条目。）

一些数学家和哲学家不仅将有限主义视为一种方法论观点，而且将其视为一种形而上学观点。有限的对象，如数字和句子，存在（以数学对象存在的任何意义），但无限的对象（如所有自然数的完整集合，甚至由戴德金切割表示的任意无理数）不存在。这种观点的版本通常被归因于 19 世纪的数论家和代数学家勒奥波德·克罗内克，他曾说过：“亲爱的上帝创造了整数；其他一切都是人类的作品。”克罗内克批评康托尔的工作是神学而不是数学。希尔伯特在他的计划中试图在克罗内克的盟友可以接受的框架内为康托尔辩护。但是当库尔特·哥德尔证明没有一个有限的算术和语法理论甚至能够证明自己的一致性，更不用说证明一个更强的关于完整无限性的理论的一致性时，希尔伯特的计划被认为未能消除形而上学的有限主义者。哥德尔的不完全性定理最显著地适用于皮亚诺算术。皮亚诺算术的语言由{0,′,+,×}给出，其中′是后继函数（它将每个数字加 1）。在其中，可以表达普通的算术命题，如加法的交换律和素数的无穷性。皮亚诺算术的公理告诉我们函数是一对一的；0 不是任何数字的后继；+和 × 满足通常的递归定义；最后，我们有一个归纳模式适用于语言中可表达的每个公式 A(x)，即如果 A(0)成立，并且对于所有 x，A(x)→A(x′)，那么对于所有 x，A(x)成立。

在集合论和其他基础领域进行的详细基础工作在很多方面消除了对 20 世纪初悖论的即将来临的恐惧。因此，今天大多数数学家都非常乐意使用无限。但仍然有一些有限主义者和直觉主义者。

一个中间立场是由像庞加莱和魏尔这样的经典“谓词主义者”所捍卫的。这个理论在逻辑上被费弗曼和其他人以令人满意的方式提出，接受自然数上的排中律（因此可以说它致力于自然数集合的存在，并且无论如何都接受自然数上的二值性），但不接受自然数的幂集的存在。根据谓词主义（参见费弗曼 2005 年），集合只存在于它们以某种非循环的语言方式可定义的情况下。通过接受自然数上的排中律，并使集合的存在依赖于我们的定义能力，这个立场在某种程度上是经典观点和建设性观点之间的妥协。1918 年，赫尔曼·魏尔（魏尔 1918 年；参见考夫曼 1930 年的相关计划）在这个框架内提出了分析的基础，并展示了大部分经典分析可以通过用实数的算术序列替代任意实数集合的讨论来进行。费弗曼 1988 年对该理论进行了详细的形式化展示，并证明，在某种重构下，该理论是皮亚诺算术的保守扩展。此外，他还利用该理论提出了一个关于物理学需要多少数学的重要猜想。在费弗曼 1984 年和 1987 年的文章中，他提出物理理论中使用的所有数学都可以在一个谓词分析系统中重新捕捉。利用上述保守性的元理论结果，他还利用这个论证声称奎因和普特南的必要性论证（参见数学哲学中的必要性论证条目）最多只能使我们致力于皮亚诺算术所致力于的东西。

与刚刚描述的消除无限性的可能性相反，有一些结果表明，只有通过无限考虑才能证明一些有限性陈述。这些结果最初是由哥德尔的不完全性定理（哥德尔 1931 年）提出的，但最近通过展示数学上感兴趣的陈述进行了改进（而哥德尔的陈述则是元数学上感兴趣的，但没有明显的数学兴趣）。为了理解所需的概念区别，让我们假设 - 大多数逻辑学家都认为 - 所有有限推理方式都包含在一阶 Peano 算术（以下简称 PA）中。

哥德尔不完全性定理的一个结果是，在假设 PA 一致的情况下，可以找到一个有限性陈述，使得它和它的否定都不能从 Peano 算术中证明。哥德尔通过将元数学概念巧妙地编码到算术语言中，展示了如何用算术语言表达一个公式 G，该公式“说”它自己是不可证明的。还可以确定该公式在自然数上是真的。由于所有有限推理都被认为包含在 PA 中，因此要建立哥德尔句子和新的不完全性结果的真实性，就需要借助一些“无限性”原理（当通过引用表达 PA 一致性的陈述来建立哥德尔句子 G 的真实性时，建立后者需要一些无限推理的部分，例如对称为 ε0 的无限序数的归纳）。

对于表达 PA 的一致性的陈述 Con(PA)，情况与之前相同。哥德尔的第二不完全性定理表明，无论是它本身还是它的否定都无法从 PA 中证明，但通过一些无限推理可以证明它在自然数中成立。对于逻辑学家的需求来说是完全合适的，并且对于评估希尔伯特计划至关重要，但从实际数学家的角度来看，哥德尔的句子似乎是人为构造的。在希尔伯特计划中，可以用没有量词或者用一串全称量词后跟一个非量词公式表达的 PA 陈述被视为有限陈述。上述提到的陈述 G 和 Con(PA)也属于这一类。具有明显数学相关性的有限陈述包括基本性质，如加法的交换律，以及费马最后定理的陈述（其证明已经使用了高等数学，但逻辑学家相信它也可以在 PA 中完成）。逻辑学家们无法找到需要通过无限来绕道的具有明显数学意义的有限陈述，但他们已经找到了次优解。他们找到了具有形式(∀x)(∃y)A(x,y)的陈述，这些陈述表达了数字之间的某种函数关系，并且已经证明了这样的陈述虽然是真实的，但不能仅仅使用 PA 的资源来证明。其中最著名的结果之一是由巴黎和哈灵顿（1977）提供的对拉姆齐有限定理的修改，以及证明古德斯坦（1944）的一个定理不能在 PA 中证明（柯比和巴黎，1982）。还有一些更强的结果是独立于更强的系统的，这些系统在逆向数学的背景下进行研究（例如，克鲁斯卡尔定理独立于预测性分析——参见辛普森，1985 年，2002 年）。

这样的结果表明，即使是像 PA 这样的算术理论也能表达出具有数学意义的陈述（与为逻辑目的而编造的陈述相对），这些陈述需要通过无限的一些绕道才能被证明，尽管它们可以纯粹地以算术方式陈述。与算术相反，哥德尔和科恩证明了集合论的数学不完备性，例如选择公理、连续统假设等重要陈述。在这里需要强调的是，从事集合论、递归论和证明论的逻辑学家探索了无限在证明有关有限的结果方面的神秘作用。可以说，集合论学家主要关注的是如何理解策梅洛-弗兰克尔（带选择公理，即 ZFC）集合论的可证明的数学不完备性，这是哥德尔和科恩的结果的一个推论，通过找到新的原则来解决与实数结构相关的一些最迫切的问题。换句话说，由于 ZFC 不能作为无限数学的足够基础，当代集合论的很大一部分正在尝试通过找到新的原则来解决这个问题，这些原则通常采取假设存在非常大的基数的形式（参见独立性和大基数的条目）。希望这项工作能够解决连续统假设和关于投射集的其他重大问题（关于投射集，请参见集合论的条目）。

递归论者也试图理解无限原理或紧致性论证在我们确定有关有限的结果方面的作用。而证明论者则希望知道何时可以通过有限手段来证明某些无限理论。显然，对这些发展的更精确描述远远超出了我们在此可以预设的技术知识范围。

大多数工作中的数学家不会担心无限大集合和其他对象的存在。关于特定无限集合的本体论担忧与选择公理有关，在康托尔部分提到的一些更大的基数也存在一些问题。但更大的担忧出现在是否存在物理上的无限的背景下。

关于古典基础立场（有限主义、直觉主义、预测主义）的文献收集，请参阅 van Heijenoort（1967）、Ewald（1996）和 Mancosu（1998）。关于有限主义和直觉主义，请参阅条目 Hilbert's program 和 intuitionism in mathematics。关于预测性，请参阅 Feferman（2005）。关于 Paris-Harrington，请参阅 Katz 和 Reimann 2018；关于 Goodstein's theorem，请参阅 Stillwell（2010）中友好的介绍。Stillwell（2010）还有一章关于大基数；关于最新的方向，请参阅 Woodin（2011）和 Steel（2015）。关于递归理论中有限与无限的相互作用，请参阅 Hirschfeldt（2015）。

5. 失乐园？涉及无限的悖论和谜题

这个条目的后半部分将探讨无限数学概念在概率、决策和时空理论中的一些应用，以及一些相关的悖论。在我们转向这些理论之前，我们先通过一些将数学、形而上学可能性和物理可能性联系起来的悖论和谜题来热身。在这一部分，我们可以包括许多不同的悖论和谜题。我们只考虑一小部分悖论和谜题，其中一些人（例如 Pruss（2018a））认为这些悖论和谜题可能会激发对亚里士多德关于实际无限不可能性的观点的回归。

在

al-Ghazālī 的反对补充中，

我们讨论了一道由 al-Ghazālī 提出的具有历史意义的难题。更多信息请参见，例如 Rucker（1982），Moore（1990/2019），Oppy（2006）和 Huemer（2016）。

5.1 希尔伯特的旅馆

希尔伯特的旅馆有无限多个房间，标记为 1、2、3、...，每个房间目前都有客人入住。尽管旅馆已经满员，但新来的客人在前台可以轻松安排：对于每个 n，房间 n 的客人被移动到房间 n+1，新来的客人则安排在房间 1。实际上，尽管旅馆已经满员，它可以容纳无限多的新客人：对于每个 n，房间 n 的客人被移动到房间 2n，而新客人则安排在奇数编号的房间。当然，如果奇数编号房间里的无限多人退房，希尔伯特的旅馆里仍然有无限多人；但是，如果除了前三个房间外的无限多人退房，只剩下三个人。

一些哲学家认为希尔伯特的酒店支持了一个反对物理实现无限可能性的论证：

1. 如果存在物理实现的无限，那么就可以有一个有无限多个房间的酒店。

2. 但是，如果存在一个有无限多个房间的酒店，那么前面段落中描述的事件就可能发生。

3. 但是假设在前面的段落中描述的事件发生是荒谬的。

因此，物理上无法实现无限。（例如，参见克雷格（1979）。）

这个论证面临着各种挑战，这取决于一个人对物理可能性的看法。第一个前提可能会受到质疑：也许某些类型的物理无限可以实现，尽管其他类型的物理无限不行：例如，也许可以有无限多颗星星，尽管不能有无限多个房间的酒店。第二个前提也可能受到质疑：即使可能有一个有无限多个房间的酒店，也许故事中描述的事件无法发生 - 故事是以高度抽象的方式讲述的，细节可能很重要。第三个前提也是有问题的：假设可能有一个无限的酒店，客人按照所描述的方式进进出出并不明显荒谬。

有关希尔伯特酒店的进一步讨论，请参阅 Gamow（1946），Huby（1971），Rucker（1982），Moore（1990/2019），Oppy（2006），Kragh（2014），Huemer（2016）以及有关超级任务，宇宙学和神学的条目。

5.2 汤姆森的灯

假设我们有一盏灯和一种可以将灯关闭和打开的方法。假设灯最初是关闭的。在第一分钟，我们将灯的状态从关闭改变为打开。在接下来的半分钟内，我们将灯的状态从打开改变为关闭。...在接下来的 1/2n 分钟内，我们将灯的状态改变为另一个状态...。我们被邀请回答的问题是：在第二分钟结束时，灯的状态是什么？

场景描述不充分。我们可以想象，将灯关掉和打开的手段需要一个时空位置，其中至少有一个物理量是无限的。如果是这样的话，可以说这种情况是不可能的：不可能有这样的灯，因此也没有问题需要回答。例如，假设有一个开关，来回移动相同的距离来打开和关闭灯。考虑在第二分钟结束时开关尖端的速度。

我们还可以想象，将灯关掉和打开的手段不涉及任何时空位置，其中至少有一个物理量是无限的；Grünbaum（1968）描述了一个符合这个规定的场景。在这种情况下，将灯关掉和打开的手段在两分钟结束时趋于一个指定的状态，并且在指定状态的细节中有一个答案。但正如 Benacerraf（1962）所争论的那样，这个答案在最初给出的简要描述中是不确定的：在两分钟结束时，灯可以是开着的，也可以是关着的，这取决于 Grünbaum 提案的实施细节。Huemer（2016: 198–201）指出，如果我们固定足够的物理学，那么在两分钟结束之前，机制的激活将停止改变灯的状态。因此，根据您对可能性范围的看法，您可能认为即使没有时空位置至少有一个物理量是无限的情况也是不可能的。

汤姆森的灯是一个超任务的例子（汤姆森创造了这个术语）：一个在有限时间内完成无限步骤的过程。关键在于这些步骤在越来越短的时间内完成，对应于一个收敛级数。这个灯是许多作者发现的超任务的悖论之一，而其他作者对此并不那么困扰。请参阅超任务的条目。

关于汤姆森的灯的进一步讨论，请参阅：汤姆森（1954 年，1967 年），贝纳塞拉夫（1962 年），奇哈拉（1965 年），格伦鲍姆（1968 年，1973 年），克雷格（1979 年），贝雷斯福德（1981 年），摩尔（1990/2019 年），厄尔曼和诺顿（1996 年），麦克劳林（1998 年），奥皮（2006 年），休默（2016 年）和普鲁斯（2018a）。

5.3 瘫痪

假设阿基里斯想要从 A 跑到 B，但有无限多个神秘的神，他们彼此和阿基里斯都不知道，每个神都有理由阻止他到达 B。神 1 决定在阿基里斯到达 A 和 B 之间的一半位置时立即使他瘫痪。神 2 决定在阿基里斯到达 A 和 B 之间的四分之一位置时立即使他瘫痪。...神 n 决定在阿基里斯到达 A 和 B 之间的 1/2n 位置时立即使他瘫痪。...由于所有的神都能按照他们的决定行动，阿基里斯无法移动：因为如果他移动，他将违背无限多个神的意图。但是，在他移动之前，没有一个神会按照他们的意图行动。那么是什么阻止他移动呢？难道有人可以通过一个嵌套的条件意图序列而变得无法动弹吗？

假设相反，每个神都竖立了一个力场，以与前一种情况平行的方式放置，阿基里斯无法穿越。那么阿基里斯完全无法动弹。在假设无限多个神可以以所描述的方式共同创建这样的力场的情况下，阿基里斯无法移动有一个直接的解释。当然，假设成立的前提是，没有一个单独的神的力场使阿基里斯无法动弹；事实上，没有一个有限的神的集合的力场能够使他无法动弹；事实上，没有一个力场接触到他。这是可能的吗？对于条件意图的情况，我们应该得出与这种情况相同的结论。

根据您对可能性范围的观点，这个故事中有很多您可能认为是不可能的事情。您可能认为，没有可能有能够按要求行动的神；例如，根据您对神和他们行动的概念，您可能认为这个故事需要远距离瞬时行动。您可能认为，力场不可能以无限的精确度定位。等等。然而，如果设置中没有任何让您退缩的因素，并且对设置的进一步阐述没有引入任何奇点，那么似乎您应该平静地接受结论：阿喀琉斯被无人行动的条件意图或一组他与之没有直接接触的力场所困住。奇异的反事实情况有奇异的后果。

有关此案例的进一步讨论，请参见：Benardete（1964，引入此案例），Moore（1990/2019），Priest（1999），Hawthorne（2000），Perez-Laraudogoitia（2000，2003），Yablo（2000），Oppy（2006），Koons（2014）和 Huemer（2016），Caie（2018）。

我们已经开始看到无限似乎既是朋友又是敌人——它在强大的数学中起着作用，但也存在一些棘手的难题。在接下来关于概率、决策理论以及空间和时间的章节中，我们将看到它更多的摩尼教性质。我们还将看到如何开发出复杂的方法来重新利用它。

6. 概率

概率论在有限领域中运行相对顺利，但当无限出现时，就会出现困惑。无限的来源有多个，既包括数学上的无限，也包括对概率的解释上的无限。我们将首先比较非正式地讨论这些来源，然后再深入探讨更高级的问题。

6.1 概率数学中的无限：基础

让我们从数学开始。概率论假设我们有一组“可能性”或“结果”，称为样本空间，被视为世界可能的方式，或者是随机实验的可能结果。为了许多目的，假设是一个无限集合。例如，我们可以重复抛硬币，并且对于我们看到第一个正面需要多少次抛硬币感兴趣。数字可以是 1、2、3 或者...在这里，样本空间是可数的。或者我们可以考虑从实线的 [0, 1] 区间中随机选择一个点 - 例如，我们可以想象将一个理想化的飞镖投向该区间的表示，并考虑它所落在的点。在这里，样本空间是不可数的，因为它是无限可分的，并且具有序列的极限，但是有界的。或者我们可以考虑对由正态分布控制的数量进行抽样，正态分布是用于模拟现实世界中各种数量的钟形分布。在这里，无限性出现两次：样本空间既是不可数的，又是无界的，即整个实线。

正统的概率论将 0 到 1（包括 0 和 1）之间的实数分配给样本空间的子集，再次我们遇到了无限性：可能的概率值有不可数多个。我们很快将看到如何在这些值的可加性中再次遇到无限性。

6.2 概率解释中的无限性

无限考虑也涉及对概率的某些解释——试图解释概率是什么以及概率陈述的含义。（有关接下来的详细信息，请参阅有关概率解释的条目。）假设性频率主义将概率视为在假设的无限试验序列中的极限相对频率。例如，我们可以反复抛硬币，生成一系列结果——例如，正面、反面、正面、正面、反面、反面、反面、正面，...

我们可以在每次试验后跟踪到目前为止正面的相对频率：正面次数与总投掷次数的比率。在我们的例子中，相对频率的序列是

...

11,12,23,34,35,36,37,48,...

然后我们可以想象这个序列无限延伸，并将正面的概率与这个序列的极限相对应。然而，如果有无限多个正面和无限多个反面，那么完全相同的结果可以以一种或另一种方式重新排序，以生成 [0, 1] 之间的任何极限相对频率。无限性在这里显露出来——对于有限序列，重新排序对其结果的相对频率没有任何影响。

根据波普尔的倾向解释，某种类型的结果的概率 p 是可重复实验产生该类型结果的倾向，其极限相对频率为 p。同样，无限性对于这种解释至关重要，它的丑陋之处就像对于假设的频率主义一样显露出来。与刘易斯（1994）和其他人相关的概率的最佳系统解释，如果宇宙中有无限多个特定类型的事件，也会遇到问题——例如，无限多次抛硬币。正如埃尔加（2004）所示，解释的核心概念“适合”受到了损害。即使是理想化的理性代理人的主观概率也有潜在的无限性假设——例如，代理人是逻辑上全知的，并且他们的概率分配是无限尖锐的（单个实数）。这些假设也被认为是有问题的，特别是在对类似我们的代理人进行建模时。

6.3 在概率数学中的无限：更高级的问题

为了阐述由概率数学产生的一些更棘手的难题，我们需要更正式的表述。科尔莫戈洛夫（1933/1950）的公理化从一个有限集合 Ω 和 Ω 的子集的代数 F 开始：一个在补集和并集下封闭的集合。Ω 的成员被称为状态，而 F 的成员被称为事件。概率函数是从 F 到实数的函数。它是非负的，将 1 分配给 Ω，并且它是（有限）可加性 - 两个互斥事件中发生一个的概率是它们各自概率的和：

有限可加性 如果 A 和 B 是 F 中不相交的集合，则 P(A∪B)=P(A)+P(B)。

Kolmogorov 进一步将其推广到一个无限的 Ω，并且推广到 Ω 的一个子集的 sigma 代数 F：一个在补集和可数并集下封闭的集合。可加性在无限情况下也得到了加强：

可数可加性 如果{Ai}是一个可数无限个（两两）不相交的集合，每个集合都在 F 中，则 P(∞⋃n=1An)=∞∑n=1P(An)

有些人认为将可加性限制为仅限可数求和是任意的，并且仅仅是第 3.2 节中引入的求和技术的产物。对于求和无限个非负数的另一种技术利用了前面定义的非负数求和不依赖于项的顺序的事实。我们考虑集合的任意有限子集的所有部分和，并取该集合的上确界来表示整个集合的和。如果这个和是某个正有限值 k，那么我们可以看到，在求和集合中最多有 nk 个项大于 1/n。由于每个正实数都大于某个 1/n，这意味着集合的正元素是有限集的可数并集，因此必须是可数的。也就是说，如果以这种方式求和的集合有不可数多个非零元素，则和必须是无限的。

因此，如果我们要求完全（无限制）可加性，而不仅仅是可数可加性，那么我们可以看到最多只有可数多个事件具有正概率，并且它们的概率之和为 1。具有这些特征的概率分布，在去除了概率为 0 的事件后，被称为离散分布（如泊松分布、几何分布或负二项分布）。对于这样的分布，各个状态的概率通过可加性来确定所有事件的概率。

但是，概率的许多应用需要所谓的连续分布（如均匀/矩形分布、正态分布和贝塔分布），因此需要对可数可加性进行限制。在连续分布中，通常用实数命名，有不可数多个状态。每个单独的状态的概率为 0，尽管包含不可数多个状态的事件通常具有非零概率（这违反了完全可加性）。然而，在常见的连续分布中，通常有一种方法来为每个状态定义概率密度，使得任何事件的概率都是由构成它的状态的密度的积分。在有限和离散分布中，通常将概率为 0 的事件视为不发生，而在连续分布中，总是存在某个概率为 0 的事件发生。

对于有限和离散分布，有一个明确的条件概率概念的定义。对于任何两个事件 A 和 B，条件概率 P(A∣B)，表示为 P(A&B)/P(B)，如果 B 的概率非零，则定义为 P(A∣B)，否则未定义。对于任何固定的 B，函数 P(_∣B)是同一空间上的另一个概率函数。我们可以证明全概率公式。如果 B1，B2，B3，…形成一个划分（即，每个结果恰好属于 Bi 中的一个），则：

P(A)=∑iP(Bi)P(A∣Bi)。

这告诉我们无条件概率 P(A) 是条件概率 P(A∣Bi) 的加权平均。

然而，对于不是离散的分布，即状态集合在本质上是不可数的，并且概率为 0 的事件经常发生，我们不能使用条件概率的比率定义，因为这将涉及除以 0。然而，科尔莫戈洛夫指出（1933/1950，第 5 章），对于任何适当的划分，仍然可以提出一个在该划分中的事件上有条件的条件概率的定义，满足总概率法则的推广，将求和替换为积分：

P(A)=∫P(A∣B)dP(B)

（找到满足这个积分公式的条件概率的可能性被称为“可分解性”，它等同于一个被称为“可合并性”的原则。有关支持这一观点的哲学论证，请参见 Easwaran（2013b，2019），Rescorla（2018）。）有关确定满足此规则的条件概率是否存在的更多信息，请参见 Hoffmann-Jørgensen（1971），有关如何使用概率密度计算这些条件概率的更多信息，请参见 Chang 和 Pollard（1997）。

然而，这种条件概率的解释存在一些困难。Kolmogorov 指出，如果原始概率空间是球面上点的均匀分布，并且 B 在经度（通过极点的大圆）的集合上变化，则经度线上的条件概率将不是均匀的，而是集中在赤道附近。（这个事实被称为“Borel 悖论”，因为 Emile Borel 在 Kolmogorov 之前就对其进行了研究。）由于球面上的每个大圆都可以被视为通过适当选择的极点的经线，这使得事件的条件概率不仅取决于选择了哪个事件，还取决于与之相对比的哪个事件族。（我们可以将每个大圆视为通过多个不同的极点的经线，每个极点对赤道的位置有不同的看法。）

有些人发现这个结果令人不安，他们支持一种放弃总概率法则的条件概率替代解释，并坚持认为无论考虑哪种对 B 的替代方案，P(A|B)都有唯一的值。然而，这也会带来一些令人难以接受的后果。由于 P(A)不再是在 B 取值为一个划分元素时 P(A|B)的平均值，这意味着存在一些划分，划分中的每个元素都与 A 正相关。此外，以这种方式生成的条件概率函数不再满足可数可加性（Kadane，Schervish 和 Seidenfeld 1996，Seidenfeld，Schervish 和 Kadane 2001，2013）。

但是，一些人，从 de Finetti（1937, 1972, 1974）开始，基于其他理由主张我们应该放弃可数可加性，只接受有限可加性，并采用相应更广泛的概率分布类。de Finetti 的主要论点之一涉及一个无限彩票，每个自然数都出现在一张彩票上。我们希望给每张彩票分配相同的被抽中的概率。在可数可加性下，这是不可能的。因为如果我们给每个数字被选中的概率为 0，那么所有这些概率的和再次为 0；然而，所有这些事件的并集的概率为 1（因为保证会选中某个数字），而 1≠0。另一方面，如果我们给每个数字被选中的概率分配一些（实值）概率 ε>0，那么这些概率的和会发散到 ∞，而 1≠∞。然而，如果我们放弃可数可加性，那么我们可以将每个事件赋值为 0，将它们的并集赋值为 1，而不会产生矛盾。在

《上帝的彩票》补充中，

我们探讨了一种对科尔莫戈洛夫的替代方法，即非阿基米德概率论（NAP），通过为每张彩票分配一个无穷小的概率来解释德芬尼的彩票问题。

然而，一个满足有限可加性但不满足可数可加性的概率函数在数学上比满足可数可加性的函数要复杂得多。要证明在可数状态集的子集代数上存在这样的函数，需要选择公理。通过可数可加性，可以通过列举可数多个状态的概率来指定离散概率函数，并且可以通过列举可数多个有理开集的概率来指定连续概率函数。但是，如果仅假设有限可加性，在一个可数状态空间上指定一个概率函数可能需要指定不可数多个事件的概率，而不是从有限多个状态的概率计算这些事件的概率。此外，对于这样的概率函数，许多标准的收敛结果，如大数定律，都会失败。

有关仅满足有限可加性的无限概率空间的更多信息，请参阅 Bartha（2004），Bingham（2010），de Finetti（1937/1989），Dubins（1975），Easwaran（2013b），Hill 和 Lane（1985），Howson（2008），Kadane，Schervish 和 Seidenfeld（1986），Schervish，Seidenfeld 和 Kadane（1984），Seidenfeld（2001），Seidenfeld，Schervish 和 Kadane（2014）。

一个活跃的辩论涉及对概率的进一步限制，这可能被视为可取的：任何可能的事情都应该被赋予正概率。这被称为正则性：

正则性 如果 X 是 Ω 的一个非空子集，则 P(X)>0。

人们对概率的民间思维似乎致力于规律性——“如果概率为零，那就不可能发生！”正如有人可能会说的那样。

我们在德·芬内蒂的彩票中看到了一个引人注目的规律性违反：他将每张彩票的概率都设为 0。通过可数可加概率，可以在这里保持规律性，但代价是均匀分布——例如，给第 1 张彩票 12，给第 2 张彩票 14，给第 3 张彩票 18，依此类推。可以证明，如果 F 是不可数的，科尔莫哥洛夫（实值）概率分布必然违反规律性。（参见例如 Hájek 2003b。）这导致了一个探索规律性是否可以通过允许概率函数的范围比实数更丰富的领域来保持的小产业。例如，Bernstein 和 Wattenberg（1969）证明了在我们之前想象的 [0, 1] 上的飞镖投掷中存在一个正规的超实数值概率函数。每个着陆点都获得无穷小的概率。Williamson（2007）认为，所有正面朝上的公平硬币的无限次抛掷序列必须获得概率 0 而不是一些无穷小的概率；Howson（2019）对这个论点提出了质疑。关于保持规律性的争论仍在继续，Easwaran（2014）和 Pruss（2012, 2013b, 2014）持反对意见，Benci，Horsten 和 Wenmackers（2012, 2016）持赞成意见——提供 NAP 作为一种实现的方式，再次分配无穷小的概率，而科尔莫哥洛夫的理论则分配 0 的概率。

关于无限空间中涉及概率的几个进一步的难题，请参见 Arntzenius，Elga 和 Hawthorne（2004）和 Bartha 和 Hitchcock（1999）。有关哲学应用中的无穷小概率的更多信息，请参见 Benci，Horsten 和 Wenmackers（2012, 2018），Easwaran（2014），Halpern（2010），Hofweber（2014a, 2014b），Howson（2018），Kremer（2014），Lauvers（2017），Pruss（2012, 2013, 2014, 2018a, 2018b），van Fraassen（1976）和 Wenmackers 和 Horsten（2013）。

无限小的概率也被用于博弈论。例如，颤抖手完美均衡的概念假设在游戏中，每个玩家可能以正但可以忽略的概率犯错，这可以被视为无限小——参见 Halpern 和 Moses（2017）。我们将在决策理论中进一步看到无限小的概率的应用，现在我们转向决策理论。

7. 决策

当你做出决策时，你的选择和世界的发展方式共同决定了一个结果，你为此结果分配了一个衡量其对你有多么可取的效用。在确定性决策中，你可能执行的每个动作都有一个确定的结果。在这种情况下，似乎你应该简单地执行具有最大效用的动作。（然而，请继续阅读！）在风险决策中，你为世界可能发展的各种方式——可能的状态——分配概率。假设有各种可能的动作 Ai，你可以执行，并且各种状态 Sj，你为其分配概率 pj。它们共同确定了你为其分配效用 uij 的结果。经典决策理论认为，你应该最大化预期效用：你应该执行一项最大化与该动作相关的效用的加权平均值的动作，权重由你的概率给出。形式上，你应该最大化

EU(Ai)=∑jpjuij

(我们忽略这里无关的复杂性和变化——请参阅有关规范理性选择理论的条目：期望效用和决策理论。)

在标准情况下，我们假设

1. 有有限的可能行动，

2. 有有限的世界状态，

并且

3. 这些实用工具是有限的。

然而，我们可以放弃这些假设中的每一个，从而产生决策问题中的三种不同的无限来源。因此，我们将介绍一些众所周知的问题，当一个或多个这些假设被违反时会出现。我们从确定性决策开始。

7.1 无限多个可能的行动：越来越好的葡萄酒

Pollock (1983)提出了以下难题。你有一瓶 Ever-better 葡萄酒，随着时间的推移它会变得越来越好：你越晚打开它，它就会越好。你应该什么时候打开它呢？从某种意义上说，任何时候都太早：稍微晚一点打开会更好。但最糟糕的选择是永远不打开它，为了避免这种情况，它必须在某个时间打开。这个决策问题有无限多个可能的行动，但我们可以通过添加瓶子只能在离散时间打开（例如整点）来使它们变得可数。你愿意执行具有最大效用的行动，但在这里没有这样的行动！这个问题展示了一个有趣的特征，Bartha，Barker 和 Hájek（2013）称之为无限不连续性：“一个无限序列的选择，每个选择都得到了合理的原则的认可，收敛到一个‘极限选择’，其效用与序列中的选择的效用不同，通常要低得多”（630）。他们的论文讨论了具有这种特征的其他决策问题。有关这种现象的更多讨论，请参见 Chow，Robbins 和 Siegmund（1971）和 Seidenfeld（1981）。

7.2 无限多个状态：圣彼得堡悖论

抛一枚公平的硬币。如果是正面，你会得到 4。如果是反面，硬币会再抛一次。如果再次是正面，你会得到 2n。

你应该准备支付多少才能玩这个游戏？你有 1/2 的机会赢得 4；有 1/8 的机会赢得 2n；因此，你从玩圣彼得堡游戏中的预期回报是无限的：

(12×2)+(14×4)+(18×8)+⋯+(12n×2n)+⋯=1+1+1+⋯

如果我们将赢得的美元与效用等同起来，这个游戏的预期效用是无限的。

决策理论似乎认为你应该准备支付任何有限金额来玩这个游戏。但大多数人认为这是疯狂的；事实上，大多数人只愿意支付几美元来玩（Neugebauer 2010）。而决策理论似乎认为你应该准备支付任何有限金额来购买任何一个回报是这个游戏的单次游戏的有限彩票。这似乎真的很疯狂。

你可能会反对说，随着你获得更多的钱，钱的效用会减少：如果这种减少的速度足够大，那么玩这个游戏的预期价值是有限的。丹尼尔·伯努利认为效用与金钱的数量的对数成正比，事实上，用对数替换美元金额会得到有限的预期效用。然而，我们可以用效用本身来重新讲述这个故事。而且我们可以用超指数级的升值来重新讲述这个故事的价值回报：取对数后，我们得到的正是原始的预期效用（参见 Menger 1967/1934）。事实上，只要效用是无限的，我们可以设计一个具有无限预期效用的游戏版本。

所以你可能会反对说，效用是有界的。（参见 Hardin 1982）然而，无界的数量很多——长度、体积、质量、曲率、温度等等。为什么效用在这方面与它们不同呢？此外，人们可以想象一种情况，其中效用与另一个数量密切相关——例如，你离某个不理想的地方越远，越好——而一个无界函数可能将它们联系起来。此外，正如我们所指出的，概率论已经充满了无限性；我们需要一个有原则的理由来避免这种无限性。（参见 Nover 和 Hájek 2004 进行进一步讨论）也许，无限地珍视圣彼得堡游戏并不是疯狂的。毕竟，它在游戏的每个截断中都占据主导地位，如果在 n 次试验后没有出现正面，那么它将一无所获（对于每个 n）：圣彼得堡游戏的结果在有限多个状态下同样好，并且在无限多个状态下更好。因此，它应该优先于所有这些游戏的截断（Hájek 和 Nover 2006, 2008）——它的可取性大于 n，对于每个 n。

关于圣彼得堡游戏的进一步讨论，请参见：Samuelson（1977），Jeffrey（1983），Weirich（1984），Cowen 和 High（1988），Jordan（1994），Chalmers（2002），Peters（2011）以及关于圣彼得堡悖论的条目。

在帕萨迪纳游戏中出现了相关但不同的问题，这是一种类似圣彼得堡游戏的游戏，其中预期回报显然是未定义的（而不是无限的）。然后，决策理论似乎对游戏的价值保持沉默。然而，关于游戏的各种选择似乎是理性所要求的——例如，更喜欢游戏加 1 美元而不是游戏本身。有关进一步讨论，请参见 Nover 和 Hájek（2004），Hájek 和 Nover（2006, 2008），Hájek（2014），Easwaran（2008），Bartha（2016）以及 Colyvan 和 Hájek（2016）。

7.3 无限效用：帕斯卡的赌注

在圣彼得堡游戏中，每个可能的回报都是有限的；正是通过预期效用公式对它们进行平均，才产生了无限性。现在我们转向一个经典的决策问题，其中可能的回报本身是无限的。

帕斯卡认为我们无法知道上帝是否存在，但他认为我们可以解决是否“为上帝打赌”的决策问题，大致上是培养对上帝的信仰。有两种可行的行动方案：为上帝打赌，或者不为上帝打赌。有两个相关的可能的世界状态：上帝存在，或者上帝不存在。上帝存在的概率是 p，因此分配给上帝不存在的概率是 1−p。如果上帝存在，为上帝打赌的效用——永远的救赎——是无限的。所有其他效用——有限持续时间的尘世生活——都是有限的。我们可以将得到的决策表如下所示：

	God exists	上帝不存在
概率：	p	1−p
为上帝打赌	∞	f1
对抗上帝的赌注	f2	f3

现在我们可以进行预期效用计算：

对上帝下注的预期效用是无限

p⋅ 无限+(1−p)⋅f1=无限.

不下注对上帝的预期效用是

p⋅f2+(1−p)⋅f3= 一个有限值.

为了最大化预期效用，人们应该为上帝下注。

在对帕斯卡的赌注提出的许多异议中，有几个关注“∞”在论证中所起的作用。效用可以是无限的吗？有很多文献考虑了我们决策规则的可能扩展，以及决策问题框架的可能修改。然而，迄今为止，还没有被广泛接受的帕斯卡赌注的替代公式，可以避免所有关注“∞”在论证中所起的困难。一旦接受了无限效用的概念，似乎我们也应该接受无穷小的概率。但是，当无限效用和无穷小概率在预期效用公式中相乘时，乘积可能是一个有限数。为上帝下注仍然能够最大化预期效用吗？这些问题以及更多内容在关于帕斯卡赌注的条目中进行了讨论。

关于帕斯卡赌注中无限概念的进一步讨论，请参见：Duff（1986）、Oppy（1991、2018）、Hájek（2003a、2018）、Bartha（2007、2018）、Bartha 和 Pasternack（2018）、Monton（2011）和 Wenmackers（2018）。

7.4 无限效用流

到目前为止，我们一直在考虑那些回报（或惩罚）一次性到来的决策。然而，我们也可以考虑那些需要在不断积累的无限未来中选择不同的有限日常效用流的情况。对于有限效用流，有一个明显的评估方法：将效用沿着流累加。但是当我们面对无限效用流时，这种方法是不可行的；我们需要额外的原则来帮助我们评估这样的效用流，而这些原则并不明显。

假设在天堂度过的一天的效用为 1，在地狱度过的一天的效用为-1。进一步假设，对于任意的 n，n 天在天堂的效用为 n，n 天在地狱的效用为-n。最后，假设对于任意的 m 和 n，任意组合的 m 天在天堂和 n 天在地狱的效用为 m-n。

这里有一些用于比较可能的未来效用流的候选原则：

1. 如果有的话，应该优先选择具有最大总效用的可能未来效用流。

2. 如果有多个可能的未来效用流具有不同的效用，即在天数增加时，流的总效用没有收敛到有限值，那么应该优先选择其部分和占主导地位的发散效用流（如果有的话）。这意味着在某些天，到那天为止的效用总和大于任何其他流，而在没有天数时，到那天为止的效用总和不少于其他某些流。

3. 如果有多个可能的未来效用流具有不同的效用，那么在这些不同的未来效用流之间，人们应该对彼此之间的排列组合保持冷漠。

考虑以下两个无限效用流之间的选择：

1. 无限天堂的日子。

2. 一个无限的天堂之前是有限的地狱日子。

原则 2 正确地指出我们应该偏好(a)而不是(b)。

然而，考虑以下两个选项之间的选择：

3. 无限数量的交替日子，先在天堂，然后在地狱。

4. 无限数量的交替日子，先在地狱，然后在天堂。

原则 2 说，错误地推测，我们应该更喜欢(c)而不是(d)。

现在考虑以下两个选择之间的抉择：

5. 无限数量的交替日子，先在天堂，然后在地狱。

6. 无限数量的交替日子，先在天堂一天，然后在地狱一天，接着在天堂两天，然后在地狱一天，再接着在天堂三天，然后在地狱一天，以此类推。

虽然原则 3 说，（也许）正确地说我们应该对（c）和（d）持中立态度，但它也说，（肯定）错误地说我们应该对（e）和（f）持中立态度。

面对这些困难，你可能考虑削弱这些原则：

4. 如果有多个可能的未来效用流具有不同的效用，优先选择逐步占优的不同可能的未来效用流（如果有的话）。

5. 如果存在多个可能的未来效用流，其效用不同，应保持对这些有限排列的不同可能未来效用流的无差别（即可以通过有限次邻近步骤的交换导出彼此）。

但是，这对原则在（e）和（f）的情况下没有给出结论，因此不能提供完整的原则集。

更一般地说，很难为无限效用流制定选择规则。事实上，经济学文献中有一些不可能性结果表明，没有一个完全令人满意的理论能够容忍它们。

有关无限效用流的进一步讨论，请参阅例如：Segerberg（1976），Jeffrey（1983），Nelson（1991），Vallentyne（1993, 1994, 1995），Cain（1995），Ng（1995），Van Liedekerke（1995），Lauwers（1997a, 1997b, 1997c, 1997d），Vallentyne 和 Kagan（1997），Basu 和 Mitra（2003），Crespo，Nuñez 和 Rincou-Zapatero（2009），Bartha，Barker 和 Hájek（2014），以及 Jonsson 和 Voorneveld（2015）。

这些决策问题中的每一个都展示了它的无限性：显然存在无限多种可能的行动，或者无限多种状态，或者无限效用，或者无限效用流。然而，在某些问题中，这种无限性并没有突出显示，但它仍然存在。两个信封悖论就是这样一个问题。请参阅

有关暗含无限决策问题的补充：两个信封。

决策理论中还存在着各种无限悖论-感兴趣的读者可以参考以下参考文献：

• "无限决策难题"：巴雷特和阿恩岑尤斯（1999 年）

• "被压制"：阿恩岑尤斯和麦卡锡（1997 年）

• "鲁布尔麻烦"：Arntzenius 和 Barrett（1999）

• "严密的荷兰书"：McGee（1999）

• Arntzenius，Elga 和 Hawthorne（2004）中的几个悖论

• "有线电视技术员"：Hájek（2005）。

8. 空间和时间

考虑到空间和时间是否在范围和可分性上是无限的，引发了许多著名的谜题、悖论和对立。正是由于这些悖论，康德才提出了空间是有限还是无限的问题逃避了任何可能的经验确定。康德对对立的陈述基于一些假设（如无限和无界之间的区别），这些假设在后来的数学结果中受到了削弱，或者被发现在哲学上是有问题的。另一个有趣的悖论与可分性有关。在本节中，我们讨论康德对空间和时间的对立以及对这个可分性悖论的度量论解决方案。接下来，我们快速概述一些非欧几何和相对论宇宙学的发展。在最后一部分，我们提到了宇宙拓扑学的一些最新发展，这是宇宙学的一个领域，试图通过经验观察和数学理论的结合来确定空间是有限还是无限。重点将放在后者方面。

8.1 空间和时间的矛盾

许多哲学家设计了悖论，甚至提出了利用空间和时间的结构特征的所谓“矛盾”，这在本质上涉及无限。在古代，泽诺以他关于空间、时间和运动的悖论而闻名。它们涉及无限多的空间或时间细分或过程，据称是不可能的-请参阅有关泽诺悖论的条目。在现代，康德特别以他在《纯粹理性的第一矛盾》中对空间和时间的范围的处理而著名。我们现在转向它。

8.1.1 康德

在《纯粹理性批判》的 A426-A434，B454-B462 部分，康德提出了关于空间和时间范围的相互矛盾的论题的“证明”。这些“论题”包括“命题”和“反命题”。其中，“命题”声称：

1. 世界在时间上有一个起点；并且

2. 世界在空间上有一个有限的延伸。

“反对命题”说：

3. 世界在时间上没有起点；而且

4. 世界有无限的延伸。

以合理的近似，'证明'的过程如下：

1. 如果世界在时间上没有起点，那么在任何给定的时刻，就已经过去了一个无限的连续状态的无限系列。但是，系列的无限性在于它永远无法通过连续的综合来完成。因此，一个无限连续状态的无限系列是不可能已经过去的：世界在时间上有一个起点。

2. 由于无限延伸无法在一个完成的思维行为中被思考，世界只能通过综合行为来被认为具有无限延伸，其中通过添加单位来实现完成。但是，通过添加单位实现完成的综合行为需要经过无限长的时间，而我们已经在(a)中看到，这是不可能的。因此，无法认为世界具有无限延伸。因此，世界没有无限延伸。

3. 只有在之前不存在的时间点，某物才开始存在。因此，如果世界在时间上有一个开始，那么必须存在一个更早的时间点，此时世界不存在：一个空的时间。但是，在空的时间中没有任何事物可以产生，因为没有足够的理由使事物在空的时间的某个部分而不是另一个部分中产生。所以世界在时间上没有开始。

4. 如果世界具有有限的范围，那么世界就包含在一个无限的空虚空间中。因此，世界中的物体不仅在空间上相关，而且与空间相关。特别是，世界与空虚空间的关系是世界与无物体的关系，即与无物体的关系。但是，这样的关系是不存在的。所以世界具有无限的范围。

在康德对空间和时间的矛盾论的讨论中，他将现代对无限的定义为无限的缺乏与亚里士多德对完整性的不可能性混为一谈。此外，在 A487/B515 处，我们得到了康德将“无限”和“无界”以及“有限”和“有界”视为同义词的证实：“因为如果它 [空间中的世界的大小] 是无限的和无界的，那么它对于每个可能的经验概念来说都太大了。如果它是有限的和有界的，那么你可以合理地问：是什么决定了这个边界？”直到 19 世纪，随着伯恩哈德·黎曼的工作，引入了几何空间的概念，允许解除无界性和无限性的耦合（以及有界和有限性的对应关系）。请参见第 8.2 节。

您可以在 Bennett（1966），Huby（1971），Whitrow（1978），Craig（1979），Moore（1990/2019），Oppy（2006），Huemer（2016）和有关康德形而上学批判的条目中找到进一步的讨论，有时是同情的。

8.1.2 测量

这里是一个类似于 Zeno 的论证：

假设反证法，一个非零长度的有限线段由无限多个相等的实值长度的不相交部分组成。

1. 要么这些部分都是零长度，要么它们都具有相同的非零长度。

2. 整个线段的长度是各部分长度的总和。

3. 如果所有部分的长度都为零，则线段的长度为零，与我们假设它具有非零长度相矛盾。

4. 如果所有部分的长度都不为零，则线段的长度为无限，与我们假设它是有限的相矛盾。

结论 1：有限线段不能由无限多个相等实值长度的不相交部分组成。

因此，

结论 2：它不能由点组成。

前提 1 是毋庸置疑的。然而，前提 2、3 和 4 要求我们在长度相加时要小心。回想一下，在第 3.2 节中我们讨论了如何将可数序列的数字相加-但所描述的方法取决于顺序，并且需要一个可数的、良序的序列。虽然有技术可以对非负数的不可数集合进行求和，但大多数数学家否认可以以这种方式相加长度或其他度量。这与科尔莫戈洛夫关于概率的说法是平行的（见第 6.3 节）。概率和长度是更一般的数学领域“测度论”的两个范例，其中包括所有这些可数可加的实值函数。有关这个问题的更详细讨论，包括涉及无限小长度的方法，请参见 Skyrms（1983）。

关于测度论的更多信息，请参阅 Bartle（1995）和 Tao（2011）。

8.2. 非欧几何、相对论时空和宇宙拓扑

8.2.1 非欧几何

在第 1 节中，我们预料到 Archytas 关于宇宙无限性的论证和康德对矛盾的处理混淆了有限性和有界性的概念。

现在我们需要介绍 19 世纪数学的另一个方面，它使这个关键的区别变得清晰。有限性和有界性（因此也是无限性和无界性）之间的区别极大地改善了我们对空间结构和有限空间或无限空间可能采取的形状的理解。请记住，在牛顿之后的两个世纪里，宇宙学是在欧几里得无限空间的框架内发展的。这样的空间在所有方向上都是无限的，它是均匀和各向同性的，也就是说，在所有位置和所有方向上都是相同的。

在 19 世纪中叶，发展了几何空间的替代概念，即所谓的非欧几何。高斯、波尔亚伊、罗巴切夫斯基和黎曼证明，可以发展出一种几何学，可以推翻欧几里德的平行公理，同时保留所有其他欧几里德公理。该公理（与欧几里德给出的版本稍有不同，但等效）陈述了以下内容：对于任意一条直线和一点在该直线外部，存在且仅存在一条通过该点的与给定直线平行的直线。该陈述包含了存在性和唯一性的要求。因此，可以通过否认存在性或接受存在性但否认唯一性来推翻该公理。这两种选择都已经得到了发展，其中一些最早的解释使用了曲面。第一种选择，即不存在通过给定点的任何给定直线的平行线，被称为椭圆几何。椭圆几何的一个实例是球面几何，因为它可以在球体的表面上建模。第二种选择被称为双曲几何，在其中，对于模型中的每条直线和线外的任意点，存在无限多条通过该点的平行线。马鞍面的一部分可以用来建模双曲几何。（下面的图片基于 Luminet 2008: 49 中的图片。）

Illustration showing one of three different surfaces a sphere, a plane, and a saddle representing the notion of curvature of a surface at a point p of the surface The illustration displays how the three surfaces can be used to to model various geometries elliptic, euclidean, and hyperbolic each of which is characterized by a different curvature of the surface, positive for elliptic, null for Euclidean, and negative for hyperbolic geometry Here, a triangle is shown on a sphere surface and the sum of the interior angles of the triangle is larger than 180 degrees

Here, a triangle is shown on a plane and the sum of the interior angles of the triangle is 180 degrees

Here, a triangle is shown on a saddle surface and the sum of the interior angles of the triangle is less than 180 degrees

曲面在点 p 上的曲率测量了曲面在点 p 处与其切平面的偏离程度。如果曲面在每个点 p 上都以相同的量偏离切平面，则曲面的曲率是常数。可以用来模拟各种几何的曲面的例子有圆柱面（欧几里德；曲率常数为 0）、球面（球面；正曲率）和马鞍面（双曲；负曲率）。它们都是均匀且各向同性的，但它们具有不同的常数曲率。

这种在曲面上的几何形状推动了三维和更高维度空间的发展，这些空间具有不同的曲率：正曲率、零曲率和负曲率。正常曲率空间的一个例子是 3-球（也称为超球体），由伯恩哈德·黎曼在他的 1854 年论文中使用（参见黎曼 1868 年；英文翻译参见黎曼 2016 年）。3-球是一个在四维空间中的曲面，它是对二维球面的推广，如在三维中可视化：在这两种情况下，我们定义相关概念为一组与某一点（其中心）具有恒定距离的点的轨迹。例如，以原点为中心的单位二维球面是一组满足 x2+y2+z2=1 的实数三元组（x，y，z），即与（0，0，0）的距离为 1 的点，而以原点（0，0，0，0）为中心，距离为 1 的三维球面是一组满足 x2+y2+z2+w2=1 的实数四元组（x，y，z，w）。它是一个有限但无界的物理空间模型，与牛顿对空间的概念形成明确的对立。

阿基塔斯的论证（在上面的第 1 节中）将无界性与无限性混为一谈，现在终于可以解决了。黎曼的模型允许宇宙同时是有限和无界的。1854 年，他写道：“空间的无界性以这种方式具有更大的经验确定性，超过任何外部经验。但它的无限范围绝不是由此而来；相反，如果我们假设物体与位置无关，并因此将空间的曲率归因为恒定曲率，只要这个曲率具有任何微小的正值，它必然是有限的。如果我们延长从给定曲面元素开始的所有测地线，我们将得到一个具有恒定曲率的无界曲面，即在三维平坦流形中将呈现为球体形状，并且因此是有限的。”（黎曼 2016 年：39）

无限和无界之间的区别是导致物理空间不一定是欧几里得的概念飞跃的一个重要部分。在下一节中，我们将简要描述曲率和拓扑问题在宇宙学中解决世界空间是否有限或无限的问题中起到的作用。

关于非欧几里得几何，读者可以参考 Greenberg（2007）和 Gray（2010）。关于曲率和黎曼几何的哲学意义，请参考经典著作 Torretti（1984）。

8.2.2 相对论时空和宇宙拓扑

在 1915 年，爱因斯坦提出了广义相对论，我们对宇宙的理解基于此。广义相对论建立在一种与我们上面描述的牛顿力学相反的空间和时间（或者更准确地说，时空物质）的概念上。在爱因斯坦的理论中，时空是可变形的，其形状取决于物质的存在。从技术角度来说，时空是一个四维流形。我们可以将 n 维流形看作是一组实数的 n 元组。时空的四维流形的空间部分是一个三维流形（可以将其看作是一组实数的三元组），当宇宙学家询问宇宙的形状时，他们试图描述这个三维流形。时空的曲率对应于引力，光线和其他物质粒子沿着流形中的测地线（最短路径）运动。一般来说，测地线的差异取决于所考虑空间的物质能量内容。球面（即二维表面）的测地线是大圆的一部分。在欧几里得平面中，它们是直线段。对于四维流形也有类似的概念。爱因斯坦的广义相对论方程描述了宇宙的物质能量内容如何决定时空的几何形状。这些方程还产生了宇宙模型，必须通过经验观测进行测试。这些方程允许多个解，并且正如亚历山大·弗里德曼（1924 年）所观察到的，“在没有额外假设的情况下，爱因斯坦关于宇宙的方程无法明确回答宇宙有限性的问题”。让我们简要解释一下这个评论中涉及的问题，指出曲率和拓扑在相对论宇宙学中与宇宙的有限性与无限性问题的关系。 拓扑学是几何学的一个分支，根据空间是否可以“连续”地相互转化来进行分类，即通过不导致切割或撕裂的变换。

1917 年，爱因斯坦提出了一个静态有限宇宙的假设。有限性是通过选择 3-球体（见 8.2.1 节）和宇宙的静态性来确定的，因为超球体的半径不随时间变化。随着弗里德曼（1922-1924 年）和勒梅特尔（1927 年）的出现，爱因斯坦的静态模型被动力学模型所取代（以解释到 1930 年的经验证据，即宇宙正在膨胀，即大多数星系、星系团等相互之间的距离越来越远，就像一个未充气的气球上的斑点在充气时越来越远）。这样的模型也是爱因斯坦方程的可能解之一，它们是所谓的“大爆炸”理论的来源。但是宇宙的有限性或无限性并不由爱因斯坦的方程确定，它们都是可能的。在选择 3-球体时，爱因斯坦的动机是与马赫关于惯性质量和惯性运动的假设有关。弗里德曼和勒梅特尔也选择了宇宙的有限性（我们不需要深入讨论他们为什么这样做）。他们的动力学模型假设宇宙中物质的分布是均匀的，空间是均匀且各向同性的。但是，弗里德曼-勒梅特尔动力学解仍然允许各种各样的数学解，并没有解决有限性的问题。我们接下来的观察仅限于这些模型。

在这个背景下，空间的特征是由其曲率（假定为常数）和拓扑性质来描述的。首先考虑曲率。在这些模型中，空间的曲率可以是负的、零的或正的，因此存在三种可能的空间类型。对应于这些曲率的空间被称为双曲的、欧几里得的和椭圆的。无论其拓扑性质如何，球形空间（具有恒定正曲率）总是有限的。这至少在一定程度上解释了为什么许多早期宇宙学家（包括爱因斯坦、德西特、弗里德曼、勒梅特等人）选择了这个解决方案。事实上，由于隐含地假设空间的拓扑性质是简单连通的（在简单连通的拓扑性质中，表面上的每个回路都可以连续地收缩到一个点），关于空间拓扑性质的问题在很长一段时间内并未引起关注。在这种假设下，具有正常曲率的空间是有限的，而具有零曲率和负曲率的空间是无限的。因此，宇宙的有限性与无限性的问题取决于物质和能量的平均密度以及爱因斯坦于 1917 年引入的一个参数 λ，称为宇宙常数（用于衡量一种反引力力量）。大多数宇宙学家（但不包括 1917 年的爱因斯坦）假设 λ=0，并且假设空间是简单连通的，确定曲率（从而解决有限性与无限性的问题）仅取决于物质的平均密度的临界值，或等价地说，取决于密度参数 Ω。因此，在这些假设下，原则上可以通过实验确定空间的曲率。

不同的 λ 值导致宇宙演化的不同情景。当 λ=0 时，如果空间的曲率为负或为零，我们将得到一个不断膨胀的宇宙；如果空间的曲率为正，膨胀阶段将被收缩所跟随，导致“大坍缩”。宇宙常数的其他值也是可能的，如果 λ <0，无论空间的曲率如何，都将发生“大坍缩”。相反，如果λ> 0，将不会发生“大坍缩”。新的实验证据（来自 1A 型超新星和化石辐射）似乎表明物质的平均密度为正且 λ>0。在这种情况下，宇宙将是有限的，同时仍然处于永久加速膨胀状态。

此外，最近的研究指出考虑多连通拓扑的重要性。与简单连通拓扑不同，曲率并不能立即确定空间的有限性或无限性。实际上，存在着具有零或负曲率的空间，其有限性或无限性取决于与之相关的多连通拓扑。这引入了宇宙拓扑学，它研究空间的全局形状以及如何通过实验确定它。如果空间具有正曲率，则无论与之相关的具体拓扑如何，宇宙都是有限的。但是，如果曲率为负或为零，则宇宙的有限性与否将取决于拓扑。因此，确定宇宙是有限的还是无限的不仅需要确定物质的平均密度（决定空间的曲率），还需要确定空间的拓扑。实验上用于确定空间拓扑的两种主要技术是宇宙晶体学和天空中的圆圈方法（基于宇宙微波背景）。

有关宇宙拓扑的更多信息，请参阅 Luminet，Starkmann 和 Weeks（1999），Luminet 和 Lachièze-Rey（2005），Luminet（2005）（英文 2008）。另请参阅 Aguirre（2011）和 Luminet（2015）。有关更多技术处理，请参阅 Thurston（1997），Weeks（2001）和 Hitchmann 2018。

9. 结论

我们深知我们对无限的讨论是不完整的，但是，任何这样的讨论都是不完整的。我们对于在有限空间中对无限问题进行全面覆盖是不可能的，这让我们感到一些安慰。

还有许多在某种程度上涉及无限的哲学上重要的悖论和谜题；我们只是给出了一个小样本。而且，涉及无限的新悖论似乎以越来越快的速度出现（毫无疑问，这个事实本身又可以制造出另一个悖论！）。然而，我们理解无限的工具也在不断发展。当然，我们无法对现状做出明确的评估，但我们所概述的理论发展和引用的参考文献使我们对我们与无限的关系前景感到乐观：我们确实可以与之共存。

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Acknowledgments

We thank especially Christopher Bottomley, Eddy Chen, Nicholas DiBella, Michael Nielsen, Tom Ryckman, Jeremy Strasser, Timothy L. Williamson, and four anonymous referees for the Stanford Encyclopedia of Philosophy for their helpful discussion and comments, which led to many improvements.

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