中世纪和文艺复兴时期哲学中的概率 probability, in medieval and Renaissance philosophy (Rudolf Schuessler)

首次发表于 2014 年 12 月 29 日星期一；实质性修订于 2023 年 11 月 5 日星期日。

概率相关的术语在中世纪和文艺复兴哲学中起着重要作用。诸如“可能的”（probabilis）、“可信的”（credibilis）或“类似真实的”（verisimilis）等术语被用来评估哲学主张，确定不确定的结论，衡量论证的力量和调和学术争议。除此之外，它们对法律诉讼、道德行为和日常生活的规范也产生了重要影响。中世纪的概率相关术语源自亚里士多德、西塞罗和博伊修斯等古代来源。然而，对于许多中世纪将这些术语与法律和实际决策原则相连接的方式，没有先例。

中世纪的概率学术用法演变成了早期现代学术主义和人文主义中显著不同的概率论述，这两者最终被 18 世纪的现代数量概率观念所取代。关于这些过程仍有很多未知，但只有通过解释它们的中世纪起源才能更全面地理解。这个背景对于描绘欧洲哲学中确定性和不确定性、知识和观点的边界的变化，以及描绘经济思想史上对风险的态度也很重要。

1. 概率：现在和以后

现代概率的概念是定量的（Hájek 2011）。它们通过 0 到 1 之间的实数（最初为分数）来表示概率。在此基础上，出现了具有自己数学规则（科尔莫哥洛夫公理）的概率计算。现代概率数学标志着一个发展的终点，这个发展始于 17 世纪中叶的帕斯卡、费马和休谟对游戏中的机会进行计算。这些早期计算在 18 世纪得到了伯努利、蒙蒙、德莫佛、拉普拉斯、贝叶斯等人的大幅改进。现代概率的概念也在同一时期出现。它们围绕着可能性比率、事件相对频率、信念程度或确认程度的思想发展。

前现代的概率观念与现代有很大不同（Franklin 2016）。前现代的概率观念并不是数值化的。在 17 世纪之前，根本不存在概率的计算方法 [2]。前现代的概率是一种定性的谓词，主要应用于命题（例如，通过称某种观点为可能的来表示），但也扩展到其他主题。在日常语言中使用“可能”的方式在某种程度上仍然类似于这种较早的用法（Franklin 2001, 126; Franklin 2013; Hacking 2006, 18）。然而，尽管概率的数学是在早现代时期发明的，但概率的意义上存在一些连续性。这些连续性将在第 6 节中讨论。在此之前，最好忘记现代概率观念的内涵，不带现代先入之见地接触中世纪与概率相关的术语。对于他们的词汇，中世纪和文艺复兴时期的作者可以借鉴丰富的古希腊和罗马概率相关术语。因此，使用了各种拉丁术语，今天被翻译为“可能的”、“可信的”、“可靠的”（probabilis）；“类似真实的”、“表面上真实的”（verisimilis）；“可信的”、“值得相信的”（credibilis, opinabilis）；或者“最常见的”、“频繁的”（ut frequenter）。现代读者可能并不总是明显地发现这些术语与概率有关；但实际上，它们对于概率的概念演变非常重要。直到 19 世纪，当哲学家们谈论概率时，他们的观点仍然常常根植于中世纪的概率观念。

中世纪和文艺复兴时期的哲学家们使用了与概率相关的词汇，但他们并没有深入分析其中的概念，至少与他们对知识或科学概念的深入研究相比是如此。概率相关的术语通常只是顺便提及，而对其进行详细处理的最多也只有一页纸。然而，概率问题并不是中世纪思想的边缘问题。概率相关的术语和概念在日常行为的规范以及许多艺术和科学领域中起着巨大的作用。修辞学和辩证法本质上关注的是说服力、可信度和概率。然而，中世纪的思想家们也非常清楚，在法学、神学和医学等领域中，许多主张无法从无可置疑的前提中确定地推导出来。因此，这些领域的论证往往不得不依赖于概率推理。由于学院派学者在他们的研究领域中存在着众多的争议，这些争议通过学院派辩论的实践得到滋养和代表，进一步增加了对概率推理的需求。无论在哪个领域，只要存在合法的分歧，并且无法通过论证来消除，各方的主张都只能被视为可能的。由于中世纪的神学家和律师在归罪（或道德行为）的归属问题上并不比其他问题达成一致，因此由告解者来指导人们的行为也成为一个概率问题。在这个领域中，对良心决策的规范依赖于一个系统的概率推理和在不确定条件下的决策框架。简而言之，要对中世纪的知识体系有一个令人满意的理解，检视概率的使用似乎是不可或缺的。

这在中世纪时期、文艺复兴时期以及早期现代学派（直到 18 世纪）都是正确的。然而，我们不应假设概率的使用和理解在这漫长的时间段内保持不变。因此，我们在这里选择了大约 1200 年至 1500 年左右的时期进行讨论。这是中世纪学派成熟的时期，也涵盖了很大一部分文艺复兴时期。在 16 世纪，概率的讨论发生了重大变化，无论是在学派内部还是在人文主义者中间。这种早期现代的讨论需要与中世纪的前身明确区分开来，因此在这里不予考虑（但请参阅第 4.3 节和第 6 节的参考文献）。

在考虑的时期内，可以区分学派和人文主义者对概率的使用。这并不意味着它们之间有很大的分歧。学派和人文主义者使用相同的术语，意义也相似。然而，概率的规范和监管使用是基于学派神学和法学的，因此在这里处于前景位置。至少一些文艺复兴时期的人文主义者对与概率相关的术语的使用与学派的主流有所不同；这些差异将在第 5 节中讨论。

概率的概念化不仅仅是欧洲的事务，这也值得关注。世界各地的许多文化在古代以及中世纪时期都在探索概率的概念领域。关于非西方概率观念和使用方式在拉丁中世纪对概率处理的影响程度（或反之亦然），在这里无法回答；然而，下面讨论的一些学派作者明确提到了他们对概率的解释中的伊斯兰来源。

2. 中世纪与概率相关的术语

例如，拉丁语 probabilis 等术语早在中世纪早期就已经开始使用，并且可以在卡洛林文化时期的修辞学文本中找到（例如，阿尔昆的修辞学，113）。古代的权威人物包括西塞罗和博伊修斯，而亚里士多德关于概率相关概念的最重要陈述直到 12 世纪中叶才开始为人所知（参见 Cox 和 Ward 2006；Fredborg 1988，150；Greenberg-Pedersen 1984）。在这方面特别重要的是亚里士多德的《论题》在 12 世纪中叶（但直到 1200 年之后才完全发挥影响力）进入学术讨论，并且在 13 世纪进行了新的翻译 [ 3]。到本世纪末，亚里士多德的定义在学术思想中在很大程度上（尽管不完全）取代了西塞罗和博伊修斯的定义。不应夸大这种变化的影响，因为西塞罗和尤其是博伊修斯对概率的概念在很大程度上与亚里士多德的概念接近。

这一时期主要与概率相关的术语有 probabilis、verisimilis、credibilis、opinabilis，以及一些表示频率的表达，例如 ut frequenter、ut in pluribus 和 frequentius。在进一步讨论狭义概率概念之前，我们需要仔细研究这些词语和短语的具体含义。

2.1 概率

概率是中世纪（以及整个学院传统）中最重要的与概率相关的谓词。通常可以将 probabilis 翻译为“可能的”，但应注意与特定名词组合产生的含义。probabilis 谓词主要涉及命题、句子或观点，但这些并不是唯一有意义的指称。有时候人也被描述为可能的，比如“更有可能的哲学家”（philosophi probabiliores）。Thomas Deman（1933 年，262 页）将这个短语翻译为“最值得考虑的哲学家”；但也可以将其翻译为“更有可能找到真理的哲学家”。标志有时也被称为可能的（signum probabile），如 Silvester de Prierio 的 Summa 中的“probabile”一节所述。最后但并非最不重要的是，概率被赋予了事件，例如，当托马斯·阿奎那在《神学大全》第二部分第二部分，第 32 章，第 5 节，1322 年说“根据事物的概率和普遍发生/根据可能和普遍发生的事物”（secundum ea quae probabiliter et in pluribus occurrunt）。然而，正如我们将看到的，所有这些断言都可能是对命题概率的省略引用。

如果具体的真实指标证明了命题的正确性，那么命题就是可能的（probabilis），可以被接受为行动的前提。对概率判断的主要理由将在第 3 节“学院派概率概念”中详细讨论。目前，可以说权威、证词、足够（但不是最大）的真实外观和频繁的真实可以支持对概率的归属。

最多的概率命题类别是中世纪技术意义上的意见。意见（opinio）通常被定义为被认为是真实的命题，但持有者担心可能是错误的（参见 Byrne 1968，Franklin 2001）。这只是中世纪对意见的几种理解之一。罗伯特·格罗斯泰斯特（∼1175–1253）提醒读者，意见可以有三种理解方式。根据最简单的意义，意见代表任何以同意为特征的认知；在这种理解中，表达知识或信念的命题也是意见。根据更准确的定义，意见表示对一个命题的同意，并伴有对相反命题可能为真的担心。最后，根据最精确的定义，意见仅限于给予同意并且担心相反命题可能为真的偶然命题。格罗斯泰斯特的区分表明，13 世纪的学者已经意识到当代作者对 opinio 这个术语的使用并不一致。尽管如此，仍然应该记住，中世纪关于概率意见使用的讨论主要基于 opinio 的第二个意义，即给予同意并伴有对相反命题可能为真的担心。所涉及的担心至少部分源于意识到自己的判断可能是错误的。根据广泛接受的中世纪认识论信心和学说坚定程度的排序，意见的类别低于信仰或完全确信（fides）和知识（scientia）。这三种认识论态度都涉及同意，但只有信仰和知识意味着完全主观的确定性（certitudo）。

在此基础上，“概率观点”（opinio probabilis）成为一类被认为是真实的命题的标准术语，在许多研究领域中，人类必须满足这些观点。在这些领域中，人类的易犯错误或主题的可变性排除了完全的知识（scientia），缺乏宗教相关性或公认的神学争议阻止了信仰（fides）的介入。这个领域的范围是巨大的。在哲学理论中，它是辩证论证和辩证三段论的基础（见第 4.1 节）；在实践层面上，它由良心顾问和律师来管理。

对于良心的规范，另一个标准术语是“概率确定性”（certitudo probabilis）。概率确定性通过使人能够基于正确的概率推理来基于行动，从而防止犯罪。由于在许多道德背景下超越概率的推理几乎是不可达到的，一个行动者通过依靠可靠的概率推理来满足他或她的认识义务，从而获得了主观的确定性，即做到了一个行动者可以期望避免犯罪的一切（Gardeil 1911; Schuessler 2019, 47）。在许多中世纪的学者看来，概率推理无法产生认识论上的确定性；然而，“概率确定性”这个词组源于对道德要求的遵守（今天我们称之为认识义务），而不是基于证据的坚定信念。也许是因为它可能引起误解的风险，“概率确定性”在 15 世纪以后在很大程度上被类似概念的“道德确定性”（certitudo moralis）所取代（Franklin 2001, 69; Knebel 2000, 55; Schuessler 2009）。

在法理学领域，概率这个术语通常与推定（presumptiones）相结合。对于罪犯的可能推定，本身并不足以使合理的法官倾向于作出裁决（只有强烈或暴力的推定才能实现这一点）。然而，可能的推定在法律上有一定的重量（与粗心的推定相反，temerariae presumptiones），并且可以累积起来用来证明一个裁决的合理性（Franklin 2001, 43）。

在经济领域，与承担风险相关的专门词汇开始出现，例如风险（risicum）和损失危险（periculum sortis），并且开始出现了为风险设计的机构，例如保险合同（Ceccarelli 2001; Ceccarelli 2021; Zwierlein 2016）。经济风险经常与概率的概念相关联（Januard 2023）；在道德神学中，为了应对疑虑和概率而制定的规定对于从事经济风险承担的合法性具有规范意义。重要的是要注意，这并不意味着中世纪时期不鼓励承担风险。特别是在中世纪后期，从事经济风险并不一定意味着道德上的失败或罪恶的可能性。

2.2 可信的

在中世纪的用法中，verisimilis 的意思是它字面上的意思：某事物是“类似真实的”。然而，这并不意味着该事物实际上接近真相，因为它可能只有真相的外观 - 可能是虚假或肤浅的。如果符合这些条件，标志、图像和间接证据通常被称为 verisimilis。中世纪的律师们谈论“类似真实的间接证据”（indicia verisimilia），科隆的阿尔伯特（Logica，241）认为“类似真实的”存在于“标志”中（verisimile est in signis）[7]。

中世纪的学者们是否将 verisimilis 用作 probabilis 的同义词？阿尔伯特（ibid.）直截了当地声称“可信的事物是类似真实的”（probabilia ... sunt verisimilia）[8]。这些词的其他学术用法表明它们之间只是频繁相互蕴含的关系。由于概率 prima facie 合理地证明了真实的假设，因此可信的观点通常是类似真实的。类似真实的标志经常证明了对一个断言的概率归属。然而，probabilis 与特定类型的命题（亚里士多德的 endoxa；参见第 3.1 节）以及 verisimilis 与标志的广泛组合是假设这些谓词不是同义词的充分理由。这些术语之间的区别可能反映了古希腊术语中已经确立的差异，将 probabilis 与 pithanon（有说服力的，可采纳的）联系起来，将 verisimilis 与 eikos（类似真实的）联系起来。尽管这个问题有争议，但这种差异可能已经渗透到西塞罗对 probabilis 和 verisimilis 的用法中 [9]。

2.3 Credibilis, opinabilis

如果一个命题可以合理地被接受为某人的观点，那么它被认为是可信的或可被接受的。其基本标准通常与概率相同。不满足相应标准的命题被称为不可预测的或不可信的，并应该被理性和负责任的认识主体拒绝。这意味着不可信的命题不应被视为真实或被接受为行动的前提，但不一定必须被视为错误的。[10]

2.4 频率术语

在中世纪的学院哲学中，一系列频率术语如“经常”（frequenter）、“更频繁地”（ut frequentius）和“大多数情况下”（ut in pluribus），或者它们的相反词如“很少”（ut in paucioribus），常常与概率的归属一起使用。通常发生的事情被初步认为是可能的。学院哲学对频率术语的使用遵循古代的先例，尤其是亚里士多德关于“在大多数情况下”（hōs epi to polu）的陈述。关于这种亚里士多德科学和方法论背景是否证明了中世纪概率概念中的频率概念的假设，将在第 3.2 节中讨论。

3. 概率的学术概念

在中世纪思想的某些领域，与概率相关的术语对于决策和行为的规范非常重要。在这些背景下，“probable”（probabilis）一词具有特定的意义。无论商人是否想要遵循有关合同道德合法性的意见，还是律师制定推定，都必须是 probabilis 才能具有道德或法律上的重量。现在有必要讨论中世纪对 probabilis 的最重要的理解，将它们基于古代定义或先例。

直到 13 世纪，西塞罗和博伊修斯对“probable”的定义在很大程度上塑造了中世纪对概率的理解：

那些通常发生的事情，或者是人们普遍相信的事情，或者是具有某种类似这些特质的事情，无论这种类似是真实的还是虚假的，都是可能的。(西塞罗，《发明论》，I.29.46)
如果某事对每个人或大多数人或智者来说似乎是真实的，或者对所有智者或大多数智者或最著名和杰出的智者来说是真实的，或者对某个领域的专家来说是真实的，例如对医学领域的医生或航海领域的船长来说是真实的，或者最后，如果对正在进行对话或进行判断的人来说是真实的，那么这件事就是容易相信的（probabilis）。 (博伊修斯，《论主题》，1180b28)

对于西塞罗来说，概率代表着通常发生的事件、普遍持有的信念或类似它们的事物。因此，他对概率的描述包含了至少两个不同概率概念的根源。博伊修斯几乎逐字逐句地重复了亚里士多德关于 endoxon（见第 3.1 节）的定义，并称之为 probabilis。在这方面，他为亚里士多德原始定义的接受铺平了道路；但请注意，博伊修斯比亚里士多德更明确地讨论了专家的角色，而亚里士多德在中世纪的翻译中只简单地提到了智者（sapientes）。[11]

亚里士多德在 13 世纪取代了西塞罗和博伊修斯，成为概率的最高权威。这也是中世纪概率论完全展开的时期。在大约 1200 年到 1500 年的时期，可以确定有四个不同的概率概念：经验主义、原型频率主义、证词或法律和语义。然而，概念的数量是一个解释的问题，因为可以进一步细分法律类别的概率。[12]

与上述概率概念相比，与概率相关的术语的使用几乎肯定更广泛。在哲学和神学的辩论中，以及行动的规范中，probabilis 可以用作命题的论证支持的谓词（可译为“可信”或“理性可持有”）。在近代早期，中世纪概率的这一方面被明确地纳入了可信意见的定义中（Knebel 2000; Maryks 2008; Schuessler 2019; Tutino 2018）。然而，在中世纪和特别是学院派对概率的描述中，这一点并没有明确提到。在这里，重点将放在中世纪的来源中对这种描述上。

3.1 经验主义（或主题）概率

概率的最显著学术理解源自亚里士多德关于 endoxon 的概念，这塑造了“可信意见”（opinio probabilis）的概念。亚里士多德在《论题》第一篇 100b20 中将 endoxon 定义为：

[T] 那些被所有人或大多数人或智者接受的意见是有声望的 [endoxa] - 也就是说，被所有人、大多数人或其中最著名和有声望的人接受的意见。

博伊修斯和中世纪对《论题》的评论者将 endoxa 翻译为 probabilia（“可能的事物”）或 opiniones probabiles（“可能的意见”）。鉴于亚里士多德主义的兴起，因此不足为奇，当托马斯·阿奎那和其他学者讨论不确定前提的结论时，他们转向了这种对概率的理解。[13]

[P] ropositions are called probable because they are more known to the wise or to the multitude. (Thomas Aquinas, Commentary on the Posterior Analytics, I.8.35)

许多学院派对概率的描述或定义都明确提到了《论题》第一篇，比如格雷戈里·里米尼的这个描述：

此外，根据哲学家（即亚里士多德）在《论题》第一篇中的说法，“可信的事物”意味着“在众人或智者看来是真实的”，这也与奥古斯丁在《反对克雷斯孔》第三卷中的说法相符，他说事物之所以被称为可信，是因为“它们被认可，也就是被批准和相信”，再加上“是真实的”，因此，这世界智者的认可是产生概率的原因（概率比率）。[14]

正如这个引文所示，奥古斯丁对概率的理解被认为与亚里士多德的理解相一致，这一事实必定支持了概率的 endoxic 观念。然而，尽管奥古斯丁在中世纪对概率的定义中并不经常被提及，但对《论题》第一篇的引用成为了一种常见的做法。很明显，为什么 endoxic 对 probabilis 的理解会导致现代翻译中的“可信的”、“合理的”、“可信任的”、“可接受的”或“经过批准的”等译法是清楚的。然而，可信度和批准并不一定是真实性的指标，因此 endoxa 在亚里士多德和学院派中所起的作用需要澄清。

对于古代修辞学和辩证学来说，endoxa 是非常重要的。修辞学旨在说服，而那些被普遍接受或由其来源的知识声誉支持的观点往往更具有说服力。因此，在修辞学中，endoxon 和 probabilis 可以等同于具有“预期说服力”的命题。辩证学关注争论和通过论证进行的探究。在古代辩证学中，endoxa 是这些活动的起点、中间点，通常也是终点；从这个意义上说，它们可以被视为知识训练的工具。然而，这会给人们留下一个错误的印象，即 endoxa 在亚里士多德科学方法中的整体作用（哈斯金斯 2004 年；克劳特 2006 年；雷农 1998 年）。他还认为它们是科学探究的合理起点，以及测试其结果的材料。探究的过程应该选择正确的 endoxa 并对它们进行系统排序。在这方面，亚里士多德假定了可能的真实性与被许多人或智者认为是真实的之间的联系。然而，并没有保证一个 endoxon 是真实的，这使得它成为探究的合适对象。

学术上对 opinio probabilis 的使用更符合辩证和方法论的角色，而不是修辞的角色（参见第 4.1 节）-即使所讨论的观点被应用于演讲和传道。尤其是从 13 世纪开始，一个学院派的作者称一个哲学立场或神学主张为可能性，指的是一种认识质量，该质量使得该命题在引起听众同意方面具有重要考虑的理由。感知有时被提及为所有人持有的可能性观点的基础（“雪是白色的”）。[15] 显然，未受教育者（rudes）和外行人（idiotae）的观点不被视为可能性，除非它们是观察陈述，对于这些观察陈述，未受教育的人与受教育的人具有同样的能力。因此，判断一个问题的能力是学院派对可能性的归因的关键。在中世纪对可能性的定义中，“最聪明”的类别是“专家”的代表，包括高级律师、神学家、医生和哲学家-甚至是建筑师、工程师和其他机械艺术的行家（如博伊修斯对可能性观点的定义）。这种专家地位是通过在大学或师傅那里接受培训获得的。此外，一个专家只在他的专业领域被视为专家。[16] 然而，可能性观点的定义所指的 sapientes 必须至少具备一些积极的非认识性特征：他们必须是正派（probus）和值得信赖的人，以拥有重要的观点。

在概率的内在定义中，权威的角色已经被广泛讨论和批评。虽然“权威”一词在“可能性”的定义中并不经常出现，但毫无疑问，这些定义是以权威作为概率的基础。所涉及的权威原则上是知识性或认识论性的（基于专业知识）；但知识性和等级性权威之间的区别总是模糊的，而后者在实践中可能（并经常）占上风。考虑到教区神父的糟糕培训，这肯定经常是这种情况，因为未受教育的人被要求接受他们的教区神父或告解者的意见（托马斯·阿奎那，《杂题》，第三篇，问题 4，2，47；安东尼努斯，《总论》，第一篇，第 3 章，第 10 节，第 64 条）。此外，学院对于能力的机构指标的依赖可能妨碍了知识性和等级性权威之间的明确区分，因为知识性权威在某种程度上与学术界的等级成功相联系。例如，学生们被初步期望相信他们教授（即，导师）的意见。

分层和认识论权威之间的区别不应与持有命题真实的外部和内部原因之间的区别混淆。概率似乎完全基于他人的意见，因此是基于外部（或间接）持有命题真实的原因。（内部或直接原因是一个人自己可以评估的原因。）然而，关于中世纪概率完全是外部和权威为基础的观点存在一些困难，值得解释。在中世纪的学院哲学中，并不只有一种概率概念，其他概念（正如我们将看到的）更加倾向于内部原因。此外，专家可能会为自己的判断提出概率 - 这并不被 endoxon 的定义所排除。然而，人们经常要求代理人遵守有资格评估者的大多数意见（“更大和更合理的部分”，maior et sanior pars）。这一要求表明，对于可能的意见的 endoxic 理解确实偏向于外部权威。

3.2 原始频率主义概率

Hacking（1975）著名地声称，频率派概率观念在概率的十七世纪革命中主要是作为一个副产品产生的。思想史学家很快就发现了 Hacking 论点的弱点（Brown 1987；Daston 1988；Garber 和 Zabell 1979）。概率被理解为大部分时间或大部分情况下发生的事情（hōs epi to polu）在亚里士多德和修辞学派中已经可以找到。因此，频率派概率观念似乎具有悠久的前现代历史。[20] 不幸的是，事情要复杂得多。现代频率派概率观念在 19 世纪形成了一套复杂的思想，也许直到 20 世纪才发展成为一个完整的概率观念（Gillies 2000，88-113）。因此，早期现代使用（如雅各布·伯努利的）事件序列中发生频率的相对频率在现代意义上还不是频率派的。中世纪（和古代）使用的频繁考虑与早期现代（原型）频率派概率观念有所不同（参见 Schuessler 2019，第 12 章）。在明确了这一点之后，接下来将使用原型频率派概率观念，而不加上“中世纪”的限定词。

正如已经表明的，中世纪读者在十二、十三世纪亚里士多德主义兴起之前就可以从西塞罗那里获得频率派的思想。西塞罗规定 probabilis 可以意味着“大部分情况下”，因此追随他的中世纪作者持有原型频率派概率观念。后来，这种观念经常是从亚里士多德的著作中得出的。这有什么区别吗？让我们看四个例子：

只要你获得一个可能的确定性，这意味着在大多数情况下（ut in pluribus）你是正确的，只有在少数情况下（ut in paucioribus）你是错误的。（托马斯·阿奎那，《神学大全》第二部分第二部分，q. 70, 2）[21]
在众多忠诚者中，很可能会有许多人因为他们的美德完美而愿意满足那些他们尊敬的人的需求。（托马斯·阿奎那，《反异教论》，第 3 卷，第 135 章，第 19 节，第 187 页）
但是，未来的效果并不是必然地由一些先前的原因产生，而是通常情况下会发生。例如，在大多数情况下，一个完美的人类是由母亲受到男性精液的受精而产生的；然而，有时会产生畸形，因为某些阻碍克服了自然能力的作用。（托马斯·阿奎那，《反异教论》，第 3 卷，第 154 章，第 11 节，第 243 页）
因此，在这个提议中，男性和女性在 25 岁时购买终身年金，价格在 8 年内收回，尽管他们在这 8 年内可能会死亡，但更有可能活两倍的时间。这样，更频繁发生且更有可能发生的事情对买方有利。（亚历山大·亚历山德里亚，《关于利息的论文》，第 72 章，Y f. 146r）[22]

(i) 不应将文段理解为每当一个人更多地是对的而不是错的时候就授予概率确定性（certitudo probabilis）。所提到的少数例外情况应该真正是异常的，以便允许概率确定性，这被认为足以进行无过失的道德行为。因此，概率确定性是一个门槛而不是一个频率概念。

(ii) 提到了在大量人群中至少有一些人具有所需特征的高可能性。这是一个原型统计陈述，但它并不表明概率意味着频繁发生。在大量人群中，一些人具有罕见特征的主张可以很容易地被许多人或“明智之士”所相信，这取决于所讨论的特征。因此，ut in pluribus 的主张往往可能是对 endoxic 概率的指示，而不是独立概率概念的表达。

(iii) 假设存在自然规律。性受孕通常会导致“完美”（与畸形或“怪物”相对）的后代。这个 ut in pluribus 的主张涉及到大多数情况，但它在亚里士多德的自然哲学中的背景是重要的。学者们争论亚里士多德对“在大多数情况下”判断的理解是否等同于频率主义概率概念（Judson 1991; Kraut 2006; Winter 1997）。亚里士多德的“在大多数情况下”判断在法则性或自然联系方面意味着比仅仅参考相对频率更多的内容。因此，可以合理地假设中世纪的亚里士多德学派也是如此，特别是那些写关于自然过程的人。

(iv) 这段文字可能最接近隐含的统计推理，并且不是偶然地与经济背景相关。引用的段落涉及人寿年金买卖双方之间的公平要求。买方的一次性付款和他或她（寡妇们喜欢购买年金）不确定的收入流需要一个公平的平衡。所涉及的不确定性或风险与年金所有者的可能死亡有关；据称，25 岁的人可能会再活八年以上。在这种情况下，可能可以说进一步存活的概率超过 0.5。关于保险或年金的中世纪考虑表明，数值概率从未太远，这使我们惊讶的是，这一步在 17 世纪之前没有发生。然而，（iv）段包含两个与概率相关的术语：买方受到更频繁发生（frequentius）和更可能发生（probabilius）的偏爱。Kantola 认为，frequentius 和 probabilius 在这里是同义词，就像它们在其他几个同时出现的情况中一样。[23] 然而，如果一个词就足够了，为什么学院派的作者会重复两个同义词呢？“频繁”和“可能”的联合使用经常出现在事实情境中（如我们的例子），这些情境不需要修辞华丽。通过重复同义词来强调似乎没有明显的需要。一个合理的答案是，这两个术语实际上并不是同义词，而频率仅仅证明了概率的归属，尽管概率意味着其他事情。将这两个术语结合起来是有道理的，因为在给定的情况下，频率证明了概率的归属，但只有概率才能赋予行动或合同合法性。简而言之，频繁发生可能只是中世纪学院派对概率的指示器。事件的频率可能在表面上证明了这样一个假设：每个人、大多数人或专家都会相信所讨论的事件将会发生。

因此，我们是否应该将原始频率主义作为概率的真正概念放弃？只要中世纪频繁陈述的解释仍在争论中，这一步骤就为时过早。与古代概率观念的连续性也表明我们应该谨慎行事。因此，原始频率主义被包括在这里作为中世纪概率概念之一。

3.3 证言和法律概率

证词概率源于证人的证词。这是西尔维斯特·德·普里埃里奥在他的《总结总纲》中列出的两种概率之一（另一种是经验概率）：“‘概率’有两种用法。首先是与隐藏相对立的，也就是由证人证明的……”[24] 十二世纪后法学的迅速发展滋养了对证人证词的极大兴趣 [25]。在中世纪法学中，很难依靠间接证据，因此证人证词在很多方面是法庭决策的关键。一个复杂的“半证据”和证据系统被设计出来，以保护司法程序的合理性（Evans 2002；Franklin 2001，15；Rosoni 1995，89）。此外，即使在法学的狭窄范围之外，证人证词也起着重要的作用。例如，托马斯·阿奎那描述了一种足以行动的确定性：

然而，事实上，在这么多人中，没有可能没有错误的恐惧而获得确定性，这并不是我们应该拒绝通过两个或三个证人可能获得的确定性 [quae probabiliter haberi potest] 的理由……（托马斯·阿奎那，《神学大全》，II-II，q. 70，2，1488）

托马斯的话提到了一个规范，即一个目击证人的证词对一个断言产生了概率，而两个或更多证人的（无争议的）证词则产生了可能的确定性。

在法律术语中使用谓词“概率”的相关但更广泛的领域是推定的分类。一种“概率推定”（probabilis presumptio）在倾向法官支持或反对裁决方面具有一定的力量（Hubert 2009; Motzenbäcker 1958, 120, 159）。此外，证人证词只是可能导致推定的一种证据。概率也可以来自“类似真实的间接证据”（indicia verisimilia），正如 Huguccio 的这个陈述所示：“概率是因为普遍人类意见或类似真实的间接证据（indicia）而被接受的。”[26] Huguccio 对普遍意见的提及表明，普遍概率在法庭上也是相关的。[27] 然而，将符号和指标视为产生概率的证据的处理方式，这是由学院派法学家强烈推崇的，为将概率概念与观察者的直接证据联系起来创造了一个重要的先例。

3.4 语义概率

亚里士多德将概率的概念与必然性和偶然性的问题联系在一起。可能性并不是必然的，而只是偶然的（大部分情况下），取决于事物的本质。在中世纪的学院哲学中，这种联系通常以语义术语来表述。达齐亚的博伊修斯称概率为：“一种使主语具备（使能）而不必然使谓语成立的属性”。[28] 在这里，概率是谓语在主语中参与的程度。在所有条件下的完全参与代表必然性；在大多数条件下的参与（大部分情况下）则导致概率。因此，概率的语义概念作为谓语在主语中有条件的参与与上述讨论的原始频率解释密切相关。然而，它在概率的概念上是明确不同的，不仅因为一些学院哲学家将其作为概率来讨论。彼得·里切里，《亚里士多德的论题》（A. 37），I q. 2, 117ra–118ra，在这个背景下提到了博伊修斯（古代的，而不是中世纪的达齐亚哲学家）：

然而，博伊修斯在他的《论题》中对可信事物有不同的定义：可信事物是那些心智容易接受的事物，尽管它们在真理上没有坚定性，就像这个命题：“如果她是一个母亲，她爱 [她的孩子]。”关于这个解释，还应该知道，当一个命题的主语包含一个使其具备但不必然使其参与谓语的属性时，该命题被称为可信的...[29]

Richeri 所指的语义关系在 Boethius 的定义中并不明确。然而，这里主要的问题是 Richeri 使用了一个语义概率的概念。科隆的阿尔伯特在与基于感知的解释相关的地方展示了相同的概念；这样的命题被每个人、大多数人或者智者认为是真实的 [30]。根据阿尔伯特的说法，感知越少基于感觉，越多基于智力，就越限于智者和深思熟虑的人。有趣的是，他承认这个观点受到了阿拉伯来源的影响（阿尔伯特逻辑学，I，1，2，241；巴赫 1881；科塔巴里亚贝塔 1953）。他没有提及具体的来源，但这个暗示揭示了一个重要的联系，表明中世纪的伊斯兰哲学、神学和法律与基督教的概率基础一样重要（布莱克 1990，108；戴伯 1990，218；米勒 1984，55）。

Autrecourt 的 Nicolas 提供了一个关于完全参与和部分参与之间对比的替代视角。Nicolas 认为完全知识对应于对象的完全显现，而概率则代表了接近这种完整性的程度。而当对象的显现具有足够高的完整度时，就会产生确定性（Grellard 2005，93；Salvestrini 2022，968）。

中世纪概率的进一步方面

4.1 辩证法的三段论

三段论是逻辑论证的模式。在中世纪和文艺复兴时期，只有可能性前提的三段论被称为辩证法。由于辩证法是“理性辩论的艺术”或“争议性探究”（ars disserendi），而辩论是中世纪大学的特色活动，所以基于可能性命题的论证对中世纪思想具有巨大意义。逻辑学派的学院派主要将可能性推理视为从可能性前提中进行的逻辑演绎。[31] 在亚里士多德主义兴起后，这些前提大多被构建为 endoxa。托马斯·阿奎那写道：

辩证法家只关心从尽可能可接受的命题出发。这些命题对大多数人和尤其是智者来说似乎是真实的。（托马斯·阿奎那，《后分析学》I, 31, 3, 142）

然而，目前尚不清楚那些简要提到概率前提的作者是否只是在他们对辩证三段论的定义中意指 endoxa，或者他们是否像科隆的阿尔伯特一样，采用了更广泛的概率前提概念。阿尔伯特（《逻辑学》I, 4, 2, 278）在谈到辩证三段论时，提到了那些总是或最常（在多数情况下）为真的前提。关于辩证三段论的论证框架和基于概率前提的结论的认识状态也有一些讨论。普遍的假设是辩证三段论是一个无可置疑的有效演绎方案，但概率前提只能产生概率性的结论或意见（布里丹，《问题集》19；布里丹，《小结》347）。

奥卡姆在《逻辑总纲》第 III.1.1 节中对辩证三段论中的概率提出了一些引人注目的评论。与许多其他人一样，奥卡姆认为辩证三段论是从仅仅可能的命题（probabilia）开始的，他将其描述为 endoxa。然而，他随后声称可能的命题是真实且必然的，尽管它们不是自身或派生地被确切地知道是真实的（probabilia sunt illa, quae cum sint vera et necesseria, non tamen per se nota, nec ex per se notis syllogizabilia, nec etiam per experientiam evidenter nota, nec ex talibus sequentia）。因此，概率取决于观察者的认识上的不足。然而，辩证三段论不必在观察者中产生不确定性，因为它不必产生错误的恐惧，而可以在其结论中产生坚定的信念。奥卡姆在这里偏离了一些熟悉的关于概率的学院假设。他的 probabilia 不能是 Grosseteste 第三种意义上的可能观点（见上文），因为它们在定义上是偶然的。辩证三段论的结论也不一定是可能的观点，因为那样的话它将伴随着错误的恐惧。然而，在《逻辑总纲》中，这一系列句子是奥卡姆对概率所说的全部内容（而伯利、布里丹和其他人在他们的逻辑著作中甚至说得更少）。关于 probabilia 在他的哲学或神学中的作用的更深入的分析并没有发生，他的不寻常的评论显然没有引起其他人的讨论。在他的其他作品中，奥卡姆以与其他学院作者相同的方式判断特定的哲学命题是可能的或更可能的。如果他在《逻辑总纲》中对 probabilia 的简短评论提供了对概率更深层次的模态和本体论影响的一瞥，那么它们也表明这些影响在中世纪的学院派中几乎没有被追求。

然而，尽管辩证三段论对于中世纪的辩论可能非常重要，但也应该认识到，良心中的行动规划被构想为从（部分）可能的前提中推导出来的。因此，辩证三段论为道德决策提供了逻辑基础，并作为道德神学的工具。

文艺复兴时期的人文主义辩证法与学院派在辩证三段论方面有许多共同的假设，但一些作者对辩证法有了不同的理解。这些发展将在第 5 节中讨论。

4.2 概率之间的顺序关系

在现代之前，概率不是一个数字或比率，而主要是一个二元属性，即一个命题要么具有该属性，要么不具有。然而，在现代之前，概率也是一个序数概念。有些命题被认为比其他命题更有可能（probabilior，probabilius）。更有可能的观点是可能观点的一个子类。因此，为了比另一个观点更有可能，一个观点至少必须是可能的。根据这些前提，中世纪和文艺复兴哲学中普遍存在严格的顺序关系（即“>”和“<”）用于观点。在中世纪，存在相等概率的归属，但似乎不太普遍。相互对立的理由之间的平衡导致了怀疑（dubium）。然而，重要的是要注意，在怀疑状态下指导决策的伦理原则与在选择可能观点之间的区别是不同的。

4.3 双面概率

在学院派的著作中，常常同时将概率归于一个命题及其否定，或将概率归于一个命题及其与之逻辑上不相容的对立命题。一个命题甚至可以被认为比另一个更有可能（probabilior），而其否定并不失去概率。事实上，将一个观点称为比另一个更有可能通常意味着另一个观点也是可能的，因为比较和选择可能的替代方案是有意的。

对于一些现代评论家来说，这对“概率”作为可轻易确认或采纳的理解构成了质疑。被确认的最低要求似乎是，命题 x 被判断为比假命题更有可能为真，即具有概率 p(x) > 0.5。由于一个命题及其否定不能同时具有 p > 0.5，它们不能同时被确认。当然，经院哲学家并没有运用这样的数值考虑。对他们来说，“双边概率”（或许可以这样称呼）自然地源于概率的经验概念。一个命题及其否定可以同时被不同的专家认为是真的。[37]

当然，基于原始频率学派或语义理解的概率，不可能假设双边概率。矛盾的命题不能同时最常为真。然而，这个问题并没有对中世纪关于双边概率的归属产生质疑，无论是在学术辩论中还是在告解实践中，通常都是明确或隐含地基于经验概率的理解进行的。

有两种不同的方式，评估者可以同时认为一个命题更有可能，而反命题也有可能。首先，评估者可以相信比较多和/或更好的专家支持命题 x，尽管命题 y 得到足够数量的专家认可，被视为有可能 [38]。其次，评估者可能会根据自己权衡理由的结果认为一个命题更有可能，而反命题被认为有可能是因为它是许多或重要专家的意见 [39]。这两种选择表明，在两个不相容的命题都可以被理性地肯定的假设上并没有明显的逻辑问题 [40]。然而，这并不否定这样一个主张：在某个特定时间和特定人的立场上，只有一个命题可以被理性地肯定。看起来，这个人只能理性地肯定她认为比其否定更有可能的命题。因此，将对手的观点视为有可能意味着将其视为他人可以肯定的 - 或者用现代术语来说，是由一个人的认识同行可以肯定的 [41]。这一认识是朝着观点多元主义和合理分歧的概念化迈出的重要一步，而且重要的是，这一认识在中世纪学者的双面概率中已经以种子的形式暗含在其中（Schuessler 2014）。

两面概率的认识论困难（以及有能力的推理者之间的合理分歧）并没有被中世纪的学者深入分析。他们也没有研究接受可能观点作为行动前提的认识论与假设同意或肯定所持观点的认识论之间的区别。所有这些都发生在中世纪传统的后期，即 17 世纪；但这是另外一个故事（Deman 1936；Knebel 2000；Schuessler 2019；Schwartz 2019；Tutino 2018）。所讨论的发展与 17 世纪新兴的一种名为概率论的新学说有关。概率论在当时的理解（现代对该术语的理解完全不同）中，合法化了一种特定的使用可能观点的方式 [ 42]。它并不等同于任何形式的概率推理。然而，我们不需要进一步讨论中世纪的概率论，因为该学说在目前考虑的时期并不存在。有时它被归因于中世纪的作者，但这样的归因应该受到质疑，并且无论如何都不应该在没有更深入讨论的情况下接受在 1500 年之前写作的作者。

4.4 主观性和客观性

中世纪的概率形式是主观还是客观的问题长期以来困扰着现代研究者（Kantola 1994）。很难给出一个答案，主要是因为中世纪的作者在概率判断方面没有使用（典型的现代）主观性和客观性的术语 [ 43]。然而，上述关于中世纪概率相关术语的讨论为主观性和客观性问题提供了一些启示。

如已显示，概率或近似概率是用来描述证据对命题真实性或符号适应性的定性支持的谓词。我们已经看到了当时接受的概率证据的种类。因此，概率归属的主观方面包括通过特定案例中的支持关系获得的信念。客观方面取决于支持基础的实际存在。

这种客观性并不意味着概率是世界的特征或基于自然事实的理论构建。这种更强的客观性是真正的原始频率主义概率理解的基础。如果概率意味着“经常发生的事情”，那么概率通常源于世界的客观特征。如果 x 的频繁发生只是关于 x 可肯定性的指示器，中世纪原始频率主义概率在这方面并不具有强烈的客观性。然而，至少中世纪概率的语义概念似乎在强烈意义上是客观的。一个命题，其谓词大多数存在于其主语中，在本体论的角度来看，至少在某些情况下是客观可信的。自然事实决定了谓词存在于主语中的程度，因此母亲爱她的孩子变得客观上可能。

此外，中世纪的概率归因在很大程度上是可以进行主观间的测试的 - 这是学院哲学的特点，即社群有能力评估个体合理性的主张。通过常用术语，可以将命题确定为语义上的可能性。共同使用术语也为概率的 endoxic 概念提供了社群基础，该概念原则上源自可观察的多数意见或对智慧或专业知识的共同归属。因此，endoxic 概率可以成为社会（和道德）控制的工具。然而，尽管可能存在对 endoxic 概率归因的集体控制，但在讨论期间，它从未是绝对的。通常，关于专家的相对重要性没有共识；因此，争议仍然存在，哪一方“更大更合理”（maior et sanior），甚至是否有足够的领先专家支持一个命题以被视为可能。基于这些理由，一些透视变化成为可能。沃尔特·伯利写道，一件事对一个人来说可能，对另一个人来说不可能。这一陈述表明，晚期中世纪承认了有限的多透视概率归因的多样性。

5. 文艺复兴时期的概率

文艺复兴在这里被视为一种文化运动，它连接了两个历史时代，即中世纪和早期现代。关于文艺复兴的时间界限存在着明显的分歧。一个常见的观点是它涵盖了从 14 世纪中叶到 16 世纪末的时期。文艺复兴与人文主义的兴起密切相关，人文主义常被看作是学院派思想的对手和敌对者。最近的学术研究发现，人文主义和学院派在概率相关术语的使用上并没有像过去所假设的那样明确的界限，这对于人文主义和学院派的概率相关术语也同样适用。文艺复兴时期的人文主义者和中世纪学院派都使用了整个拉丁语概率相关词汇的范围，其含义基于古代的先例，大致相似。在 1200 年至 1500 年的时期，没有关于概率的大辩论；文艺复兴时期的作者们对这个主题的论述在他们的作品中最多只占据几行。尽管如此，人文主义和学院派在概率的使用上仍存在差异，值得注意。

人文主义者对概率的关注主要是受到澄清修辞学和辩证法之间关系的尝试的刺激。概率术语在人文主义者中变得重要的第二个领域是古代文本的翻译、恢复和解释，比如亚里士多德的《议题》或昆蒂利安的《修辞学教程》。然而，15 世纪对西塞罗和昆蒂利安的文本，或亚里士多德的希腊评论家的文本的重新关注似乎并没有对经院派对概率的使用产生直接挑战。总的来说，对于人文主义者来说，probabilis 或 probabilitas 这些术语似乎比经院派（道德）神学和法学更不重要。许多人文主义者广泛使用 probabilis 这个词，但有些人则回避它，而是谈论信仰的价值（credibilitas）。这往往只是表明对某位古代作者的拉丁语的偏好，并不意味着更多。与经院派的用法相比，最多可以期望来自那些打算与经院派辩证法划清界限的作者，比如洛伦佐·瓦拉和鲁道夫·阿格里科拉（Mack 1993, 31, 146; Nauta 2009, 233; Spranzi-Zuber 2011, 65）。

洛伦佐·瓦拉（Repastinatio, 253）攻击了学院辩证法，提到了信仰的价值和值得信仰的事物（credibilia），而不是概率和概率性。他遵循了昆蒂利安（Institutio oratoria 的完整文本在 1416 年重新被发现）将信仰价值划分为非常坚定（firmissimum），强烈倾向（propensius）和不反对（non repugnans）的分法。可信度和类似真实性也与可能性的模态范畴相关。瓦拉假设了可能性的程度。某事物可能非常可能或稍有可能。只有被认为非常可能的命题才值得信仰和类似真实（verisimilis）。在这个背景下，瓦拉从未使用过 probabilis 这个词。但他赞同引用西塞罗在他的 Repastinatio dialecticae 的第三卷中将论证与可能的（probabilis）发明联系起来的观点，在经过了对语言的大量分析之后，他开始进行辩证法和逻辑的讨论。总的来说，瓦拉与学院派共享的与概率（或信仰价值）相关的概念似乎并没有与语义和原始频率论概率观念有太大的区别。

另一位人文主义创新者鲁道夫·阿格里科拉（Rudolph Agricola）将“概率”一词置于他对辩证法的突破性重新解释中的核心位置。对他而言，辩证法是在任何问题上以概率进行言说的艺术。这个定义似乎足够传统，但阿格里科拉（《辩证法发明》210 页）明确将自己与亚里士多德的 endoxon（作为辩证法中概率的基础）区分开来。正如现代学者所指出的，“以概率言说”是阿格里科拉的一个过程特征，而不是建立在辩证法三段论中所使用的命题属性上的。概率源于推理过程的论证性质（argumentosus）、适宜性（aptus）和合适性（consentaneus）（阿格里科拉，《辩证法发明》210、306 页；Mack 1993 年，170 页；Spranzi-Zuber 2011 年，89 页）。这使得辩证法不再依赖亚里士多德对可信意见的定义中所暗示的权威。同样重要的是，瓦拉（Valla）和阿格里科拉（Agricola）关注的是信念（fides）的产生，而不仅仅是意见。因此，他们似乎呼吁在辩证法寻求真理时更多地运用修辞说服或更高的认识论标准。然而，要对阿格里科拉对概率的独特但无疑有影响力的观点进行一个无争议的解释是困难的。在 16 世纪的人文主义关于概率的讨论中，阿格里科拉的辩证法是一个关键的创新，与此同时，亚里士多德《论题》的新兴兴趣、新教辩证法传统的兴起以及其他许多因素也是如此。与早期现代的学院哲学的进展一起，这些发展为结束当前调查提供了正当理由。

6. 早期现代和现代概率的预览

中世纪和文艺复兴时期的概率观念主要源自同一古代来源，并通过学者和人文主义者之间的交流保持相关。然而，在 1500 年之后不久，前现代概率话语开始呈现新的形态。尽管中世纪和早期现代学者和人文主义者对“可能性”的使用之间存在许多差异，但这些差异不应被低估。最重要的是，在十六世纪末，亚里士多德的 endoxon 在道德神学中被两层次的概率定义所取代，即内在概率（基于已知原因）和外在概率（基于他人意见）。这些创新在十七世纪中叶促进了数值概率的兴起，这在很大程度上仍然是一个悬而未决的问题。Knebel（2000）和 Schuessler（2019）表明，合理地假设早期现代学派在其中做出了重要贡献。Maryks（2008）认为，人文主义的先例促使耶稣会士引入了内在和外在概率之间的区别。然而，目前对早期现代人文主义和学派主义之间的相互影响了解甚少，就像导致数值概率发明的发展一样。

无论如何，从笛卡尔、洛克到康德，许多哲学家的概率观念明显依赖于文艺复兴人文主义和中世纪学派主义的意义基础。所涉及的哲学家与他们的学派同时代人明显偏离了这一基础。因此，概率的现代化发生在 17 世纪的广泛学派、趋势和传统之间。将上述四个中世纪概率概念与现代继任者联系起来是有启发性的。在现代一侧，出现了三个主要的概率解释或概念群体（Hájek 2011）：

准逻辑方法：概率作为客观证据支持的度量；
确信度或信念程度方法：概率作为主观分级信念或信心的度量；
世界特征方法：概率作为世界未确定特征的度量。

第一类主要包含概率的经典和逻辑概念。[48] 经典概念通过事态的平等可能性来定义概率。逻辑概念侧重于对命题真实性的证据支持。第二类最突出的变体是贝叶斯概率理论和主观期望的数学表示。最后一类包括频率主义和倾向解释的概率。[49] 对于频率主义者来说，概率是一系列事件中相对频率的极限；对于倾向观点来说，它是物理世界的一个不可约特征。

中世纪的概率概念与所有现代概率概念群体存在相似之处。因为它们源于对一个命题真实性的证据支持，所以典型和法律概率是准逻辑概率的一种形式。典型意见，即他人的可能意见，是支持一个命题真实性的证据。法律概率的证人证词和指标当然也是一种证据。现代概率解释的第二类与中世纪概率相关，它被理解为对一个命题真实性的特定信心程度。这种信心是以观点的最低级别为特征的认识论秩序，通过 fides（代表完全自信的信念或信仰）导向知识。最后，概率是现代倾向观点世界的一个特征，也是中世纪语义概率的特征。至于原始频率主义概率是否也适用，正如所示，这是一个解释问题。

从 1200 年到 1500 年的时期明显缺乏基于事件平等可能性的“经典”概率概念的前身。因此，这似乎是概率的真正现代解释。[50]

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Other Internet Resources

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Acknowledgments

I would like to thank Jill Kraye and Robert Pasnau for comments and helpful suggestions.

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