数学哲学中的柏拉图主义 Platonism (Øystein Linnebo)

首次发表于 2009 年 7 月 18 日；实质修订于 2023 年 3 月 28 日

关于数学的柏拉图主义（或数学柏拉图主义）是一种形而上学观点，认为存在独立于我们和我们的语言、思想和实践的抽象数学对象。正如电子和行星独立于我们的存在一样，数字和集合也是如此。正如关于电子和行星的陈述由它们所涉及的对象和这些对象的完全客观属性来决定真假一样，关于数字和集合的陈述也是如此。因此，数学真理是被发现的，而不是被发明的。

对于抽象数学对象存在的最重要的论证来自哥德尔·弗雷格（Gottlob Frege），其论证如下（Frege 1953）。数学语言声称是指涉和量化抽象数学对象的。而且许多数学定理是真实的。但是，除非子表达式成功地完成了它们声称要做的事情，否则一个句子不能是真实的。因此，存在这些表达式所指涉和量化的抽象数学对象。

尽管弗雷格的论证，哲学家们对数学柏拉图主义提出了各种异议。因此，抽象数学对象被认为是认识上无法接近和形而上学上有问题的。数学柏拉图主义是过去几十年来数学哲学中最激烈争论的话题之一。

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1. 什么是数学柏拉图主义？

数学柏拉图主义可以定义为以下三个命题的结合：

存在。

存在数学对象。

抽象性。

数学对象是抽象的。

独立性。

数学对象独立于智能体及其语言、思维和实践。

在附录中列出了一些关于“数学柏拉图主义”的代表性定义

柏拉图主义的一些定义

并且记录了上述定义是相当标准的。

柏拉图主义一般而言（与特定于数学的柏拉图主义相对），是通过用其他形容词替换“数学的”来得出的任何观点，这些观点源自上述三个主张。

前两个主张在目前的目的上是可以接受的。存在可以形式化为“∃xMx”，其中“Mx”缩写为谓词“x 是数学对象”，该谓词对纯数学研究的对象（如数字、集合和函数）都为真。抽象性表明每个数学对象都是抽象的，其中一个对象被称为抽象对象，当且仅当它是非时空的且（因此）因果无效。（有关进一步讨论，请参见关于抽象对象的条目。）

独立性不如其他两个主张清晰。将这种独立性归因于对象意味着什么？最明显的解释可能是反事实条件，即如果没有任何智能体，或者如果他们的语言、思想或实践不同，仍然会存在数学对象。然而，这种解释能否完成独立性应该完成的所有工作是值得怀疑的（见第 4.1 节）。目前，独立性将被留在某种程度上的概要状态。

1.1 历史背景

柏拉图主义必须与历史上的柏拉图观点区分开来。当代关于柏拉图主义的争论中，很少有人对柏拉图的观点提出强烈的解释性主张，更不用说为其辩护了。尽管我们所称之为“柏拉图主义”的观点受到了柏拉图著名的抽象和永恒的形式理论的启发（参见柏拉图的形而上学和认识论条目），但柏拉图主义现在已经独立于其最初的历史启示而被定义和争论。

上述讨论的柏拉图主义不仅不是柏拉图的观点，而且是一种纯粹的形而上学观点：它应该与其他具有实质性认识论内容的观点区分开来。许多早期对柏拉图主义的描述都在强调认识论方面提出了一些强烈的主张，认为我们对抽象对象的领域有一些直接的把握或洞察力。（例如，参见 Rees 1967 年的论述。）但是，将术语“柏拉图主义”仅用于上述纯粹的形而上学观点是有用的（而且现在是相当标准的）。在这种纯粹的形而上学意义上捍卫柏拉图主义的许多哲学家会拒绝附加的认识论主张。例如，包括奎因和其他吸引于所谓的必要性论证的哲学家在内，他们试图对数学柏拉图主义给出一种广义经验主义的辩护。（参见数学哲学中的必要性论证条目。）

最后，上述对“数学柏拉图主义”的定义排除了纯数学的所有真理都是必然的主张，尽管这个主张在传统上被大多数柏拉图主义者所持有。再次，这种排除是有道理的，因为一些被普遍认为是柏拉图主义者的哲学家（例如，奎因和一些坚持前述不可或缺性论证的人）拒绝了这个额外的模态主张。

1.2 数学柏拉图主义的哲学意义

数学柏拉图主义具有相当大的哲学意义。如果这个观点是真实的，它将对唯物主义的观念——现实仅由物质构成——施加巨大压力。因为柏拉图主义暗示着现实远远超出物质世界，并包括那些不属于物理科学研究的因果和时空秩序的对象。[1] 如果数学柏拉图主义是真实的，它也将对许多自然主义的知识理论施加巨大压力。因为我们拥有数学知识几乎没有疑问。数学柏拉图主义的真实性将确立我们对抽象（因此无因果效应）对象的知识。这将是一个重要的发现，许多自然主义的知识理论将难以适应。

虽然这些哲学后果并不是唯一适用于数学柏拉图主义的，但这种特定形式的柏拉图主义非常适合支持这些后果。因为数学是一门非常成功的学科，既是自身的学科，也是其他科学的工具。[2] 很少有当代分析哲学家愿意反驳数学的核心主张，因为数学的科学资质与数学一样强大（Lewis 1991，第 57-9 页）。因此，如果哲学分析揭示出数学具有一些奇怪和令人惊讶的后果，简单地拒绝数学是不可取的。[3] 基于一个科学资质不如数学的学科的柏拉图主义形式将不会处于这种幸运的境地。例如，当神学被证明具有一些奇怪和令人惊讶的哲学后果时，许多哲学家毫不犹豫地拒绝相关的神学部分。

1.3 客体实在论

让客体实在论成为存在抽象数学对象的观点。客体实在论因此只是存在性和抽象性的结合。[4] 客体实在论与名词主义相对立，在当代哲学中，名词主义通常被定义为不存在抽象对象的观点。（在更传统的哲学用法中，“名词主义”一词实际上是指不存在普遍性的观点。参见 Burgess＆Rosen 1997，第 13-25 页和关于抽象对象的条目。）

因为客体实在论排除了独立性，所以这个观点在逻辑上比数学柏拉图主义更弱。客体实在论的哲学后果因此不如柏拉图主义那么强大。许多唯物主义者可能会接受非物质对象，只要这些对象依赖于或可归约为物质对象。例如，他们可能接受像公司、法律和诗歌这样的对象，只要这些对象适当地依赖于或可归约为物质对象。此外，对于我们某种方式创造或“构成”的非物质对象的认识途径似乎并没有什么神秘之处。如果公司、法律和诗歌是由我们创造或“构成”的，那么我们在创造或“构成”过程中获得了对它们的知识。

数学哲学中的一些观点是客体实在论者，但并非柏拉图主义者。一个例子是传统直觉主义观点，它肯定了数学对象的存在，但认为这些对象依赖于或由数学家及其活动构成。[5] 在第 4 节中将讨论一些其他的客体实在论观点，而非柏拉图主义。

1.4 真值实在论

真值实在论是一种观点，认为每个形式良好的数学陈述都有一个独特且客观的真值，这个真值与我们是否能够知道它以及它是否从我们当前的数学理论中逻辑推导出来无关。这种观点还认为，大多数被认为是真实的数学陈述实际上是真实的。因此，真值实在论显然是一种形而上学观点。但与柏拉图主义不同，它不是一种本体论观点。因为虽然真值实在论声称数学陈述具有独特且客观的真值，但它并不致力于以数学对象的本体论来解释这些真值。

数学柏拉图主义通过解释数学陈述如何获得其真值，明显地推动了真值实在论。但前者的观点并不蕴含后者，除非添加进一步的前提。因为即使存在数学对象，指称和量化的不确定性可能使数学陈述失去独特且客观的真值。相反，真值实在论本身并不蕴含存在，因此既不暗示客体实在论也不暗示柏拉图主义。因为有各种解释数学陈述如何获得独特且客观的真值的观点，这些观点并不假设存在一个数学对象的领域。[6]

实际上，许多名义主义者支持真值实在论，至少对于更基本的数学分支，如算术。这类名义主义者坚持一个听起来有些奇怪的观点，即尽管普通的数学陈述

(1)

在 10 和 20 之间存在质数。

是真的，事实上没有数学对象，因此特别没有数字。但这里没有矛盾。我们必须区分数学家提出主张的语言 LM 和名义主义者和其他哲学家提出主张的语言 LP。陈述（1）是在 LM 中提出的。但名义主义者声称（1）是真实的，但没有抽象对象是在 LP 中提出的。只要（1）从 LM 非同音地翻译成 LP，名义主义者的主张就是完全一致的。事实上，当名义主义者声称 LM 的句子的真值是以不涉及数学对象的方式确定的时，她正是指的这种非同音翻译。前面的注释提供了一个例子。

这表明，为了使存在主张产生预期的效果，它必须用我们哲学家使用的语言 LP 来表达。如果这个主张用数学家使用的语言 LM 来表达，那么名义主义者可以接受这个主张，同时否认存在数学对象，这与主张的目的相矛盾。

一小部分但重要的哲学家传统敦促应该用关于真值实在论的辩论来取代或至少转变为关于柏拉图主义的辩论。支持这一观点的一个原因是前者的辩论无望地不清楚，而后者更易于处理（Dummett 1978a，第 228-232 页和 Dummett 1991b，第 10-15 页）。另一个提出的原因是关于真值实在论的辩论对哲学和数学都更重要，而关于柏拉图主义的辩论则不然。[7]

1.5 柏拉图主义的数学意义

工作实在论是一种方法论观点，即数学应该被视为柏拉图主义为真实的实践（Bernays 1935，Shapiro 1997，第 21-27 页和第 38-44 页）。这需要一些解释。在关于数学基础的辩论中，柏拉图主义经常被用来捍卫某些数学方法，例如以下方法：

1. 看起来指称和范围数学对象的经典一阶（或更强）语言。（这与在数学历史的早期占主导地位的语言形成对比，后者更多地依赖于建设性和模态词汇。）

2. 经典逻辑而非直觉逻辑。

3. 非建设性方法（如非建设性存在证明）和非建设性公理（如选择公理）。

4. 不可预测的定义（即，对一个整体进行量化的定义，该整体包含被定义对象）。

5. “希尔伯特乐观主义”，即每个数学问题原则上都是可以解决的信念。[8]

根据工作现实主义，这些和其他经典方法在所有数学推理中都是可接受和可用的。但是，工作现实主义不对这些方法是否需要任何哲学辩护以及如果需要，是否必须基于柏拉图主义进行辩护表态。简而言之，柏拉图主义是一个明确的哲学观点，而工作现实主义首先是数学本身关于该学科正确方法论的观点。因此，柏拉图主义和工作现实主义是不同的观点。

然而，这两种观点之间可能存在逻辑关系。考虑到工作实在论的起源，数学柏拉图主义对该观点的强烈支持并不令人意外。假设数学柏拉图主义是正确的。那么很明显，数学的语言应该如（i）所描述的那样。其次，只要在任何独立存在的现实部分上进行经典推理是合法的，（ii）也将成立。第三，由于柏拉图主义确保数学是被发现而不是被发明的，数学家没有必要局限于构造性的方法和公理，这就建立了（iii）。第四，哥德尔（1944）提出了一个有力而有影响力的论证，即只要被定义的对象独立于我们的定义，那么包含自指的定义就是合法的。（例如，“班级中最高的男孩”尽管是自指的，但似乎没有问题。）如果这是正确的，那么（iv）就会成立。最后，如果数学是关于某种独立存在的现实的话，那么每个数学问题都有一个唯一而确定的答案，这至少为希尔伯特乐观主义提供了一些动力。（然而，请参见第 4.2 节关于丰满柏拉图主义的讨论。）

数学柏拉图主义的真实性将在数学本身内产生重要的后果。它将为与工作实在论相关的经典方法提供正当的理由，并鼓励寻找新的公理来解决我们当前数学理论所未解决的问题（如连续统假设）。

然而，工作实在论并不明显地意味着柏拉图主义。尽管工作实在论认为我们有理由使用当代数学的柏拉图式语言，但这在至少两个方面上不足以达到柏拉图主义。正如上面对真值实在论的讨论所示，数学的柏拉图式语言可以被分析成一种避免引用和量化数学对象的方式。此外，即使数学语言的表面分析是合理的，这也只支持对象实在论而不是柏拉图主义。对于柏拉图主义的第三个组成部分——独立性，还需要额外的论证。这样的论证前景在第 4.1 节中进行了讨论。

2. 对存在的弗雷格论证

现在我们描述一个关于数学对象存在的论证模板。由于第一个发展出这种一般形式论证的哲学家是弗雷格，因此它被称为弗雷格论证。但这个模板是通用的，抽象出了弗雷格自己关于数学对象存在的大部分具体方面，比如他认为算术可以归约为逻辑。弗雷格的逻辑主义只是这个模板可以发展的一种方式；下面将提到其他一些方式。

2.1 论证的结构

弗雷格的论证基于两个前提，第一个前提涉及数学语言的语义：

古典语义学。

数学语言的特定术语声称指称数学对象，其一阶量词声称范围包括这些对象。

“声称”一词需要解释。当一个句子 S 声称以某种方式指称或量化时，这意味着对于 S 为真，S 必须成功地以这种方式指称或量化。

第二个前提不需要太多解释：

真理。

大多数被接受为数学定理的句子是真实的（无论其句法和语义结构如何）。

考虑那些被接受为数学定理且包含一个或多个数学特有名词的句子。根据真理，这些句子中的大多数是真实的。让 S 是其中一个句子。根据经典语义学，S 的真实性要求其特有名词成功地指称数学对象。因此，存在性所断言的数学对象必须存在。

2.2 辩护经典语义学

经典语义学声称，数学语言在语义上与一般语言的功能非常相似（或者至少一直被认为是如此）：特指项和量词的语义功能分别是指称对象和范围涵盖对象。这是关于专业数学家群体使用的半正式语言运作方式的广义经验性主张。（根据 Burgess 和 Rosen 1997 年的广泛采用的术语，经典语义学是一种诠释性主张；也就是说，它是关于某种语言实际使用方式的描述性主张，而不是关于这种语言应该如何使用的规范性主张。）还要注意，经典语义学与大多数传统的语义观点是相容的；特别是，它与关于句子意义的所有标准观点相容，即它们是真值、命题或可能世界的集合。

经典语义学在表面上具有很强的合理性。因为数学语言在语义结构上似乎与普通非数学语言相同。正如 Burgess（1999 年）所观察到的，以下两个句子似乎具有相同的简单语义结构，即将谓词归属于主语（第 288 页）：

• 伊夫琳是一位纯洁的人。

• 十一是质数。

这种外观也得到了语言学家和语义学家提出的标准语义分析的支持。

然而，古典语义学受到了挑战，例如由诸如 Hellman（1989）和 Hofweber（2005 和 2016）之类的名义主义者挑战。（另请参阅 Moltmann（2013）对自然语言中算术词汇相关挑战的讨论，以及 Snyder（2017）的讨论。）这不是一个详细讨论此类挑战的地方。让我只是指出，需要大量的工作来证实这种挑战。挑战者必须争辩数学语言和非数学语言之间的表面语义相似性是具有欺骗性的。而且这些论证必须是语言学家和语义学家（对数学哲学没有既得利益）能够认识到其重要性的那种类型的论证。[11]

2.3 辩护真理

真理可以通过多种不同的方式进行辩护。所有辩护都共同点是首先确定一些标准，通过这些标准可以评估数学陈述的真值，然后论证数学定理符合这一标准。

一个选择是诉诸于比数学本身更基本的标准。逻辑主义提供了一个例子。弗雷格和其他逻辑主义者首先声称纯逻辑的任何定理都是真实的。然后他们试图证明某些数学分支的定理可以仅仅通过纯逻辑和定义来证明。

另一个选择是诉诸于经验科学的标准。奎因-普特南不可或缺性论证提供了一个例子。首先，论证认为经验科学的任何不可或缺的部分很可能是真实的，因此我们有理由相信它们。然后，论证认为大量的数学对于经验科学是不可或缺的。如果这两个主张都是正确的，那么可以得出结论：真理很可能是真实的，因此对真理的信仰是合理的。（参见哲学数学中关于不可或缺性论证的条目。）

第三个选择是诉诸于数学本身的标准。为什么我们必须诉诸于非数学的标准，比如逻辑或经验科学的标准，来捍卫数学定理的真实性呢？当我们捍卫逻辑和物理学的论断的真实性时，我们不需要诉诸于逻辑和物理学之外的标准。相反，我们假设逻辑和物理学提供了它们自己独特的证明标准。数学为什么会有所不同呢？这第三种策略近年来受到了广泛关注，通常被称为“自然主义”或“数学自然主义”。（参见 Burgess＆Rosen 1997 年，Maddy 1997 年，以及关于哲学数学中自然主义的批判性讨论的条目。）

这里是一个自然主义策略如何发展的示例。将数学家对数学定理的态度称为“接受”。然后以下论述似乎是合理的：

(2)

数学家有理由接受数学定理。

(3)

接受一个数学陈述 S 意味着将 S 视为真实。

(4)

当数学家接受一个数学陈述 S 时，这种态度的内容通常是 S 的字面意义。

从这三个主张可以得出结论，数学专家有理由将数学定理视为字面上的真理。通过推广，我们其他人也有理由相信真理。请注意，与（2）相关的专家本身不必相信（3）和（4），更不必对任何这样的信念有理由。重要的是这三个主张是真实的。确立（3）和（4）的真实性的任务可能落在语言学家、心理学家、社会学家或哲学家身上，但绝对不是数学家自己。

不可否认，关于数学的虚构主义者会试图抵制（3）或（4）。参见 Field（1982），Yablo（2005），Leng（2010），以及关于数学哲学中虚构主义的条目。

2.4 本体承诺的概念

有时候，弗雷格论证的版本会用到本体承诺的概念。假设我们采用标准的奎因的本体承诺标准：

奎因的标准。

第一阶句（或这样的句子集合）在本体上致力于必须假定在句子（或句子集合）的变量范围内存在的对象。

然后根据经典语义学，许多数学句子在本体上致力于数学对象。为了看清这一点，考虑一个典型的数学定理 S，其中涉及到一些正常的外延出现，要么是特指项，要么是一阶量词。根据经典语义学，这些表达意图引用或涉及数学对象。为了使 S 成立，这些表达式必须成功地做到它们意图做的事情。因此，为了使 S 成立，变量范围内必须存在数学对象。根据奎恩的标准，这意味着 S 在本体上致力于数学对象。

奎恩和许多其他人认为奎恩的标准只不过是对“本体承诺”一词的定义（奎恩 1969 年和伯吉斯 2004 年）。但是，这个标准仍然受到质疑。一些哲学家否认特指项和一阶量词自动导致本体承诺。也许句子成立所“要求的世界”涉及到量词范围内的一些但不是全部对象的存在（Rayo 2008）。或者也许我们应该切断一阶存在量词和本体承诺的联系（Azzouni 2004 年，Hofweber 2000 年和 2016 年）。

对这些挑战的一个回应是观察到，弗雷格的论证在上面的发展中没有使用“本体论承诺”一词。因此，对奎因准则提供的“本体论承诺”定义的任何挑战都与上面发展的弗雷格论证的版本无关。然而，这种回应不太可能满足挑战者，他们会回应说上面发展的论证的结论过于弱，无法产生预期的效果。回想一下，结论 Existence 在我们的哲学元语言 LP 中被形式化为“∃xMx”。因此，除非这个元语言句子属于引发本体论承诺的类型，否则这种形式化将无法产生预期的效果。但这正是挑战者争论的地方。这个争议在这里无法进一步追究。目前，我们只是观察到，挑战者需要提供一个解释，解释为什么他们的非标准本体论承诺概念比标准的奎因本体论概念更好且理论上更有趣。

2.5 从 Existence 到数学柏拉图主义？

假设我们接受 Existence，也许是基于弗雷格的论证。正如我们所见，这还不等于接受数学柏拉图主义，数学柏拉图主义是在 Existence 的基础上添加了两个进一步的主张：抽象性和独立性。这两个进一步的主张是否可辩？

根据哲学的标准，抽象性一直相对不具争议。在挑战抽象性的哲学家中，只有少数几位，包括 Maddy（1990）（关于不纯集合）和 Bigelow（1988）（关于集合和各种类型的数字）。这种相对缺乏争议意味着很少有明确的抽象性辩护理论被提出。但是很容易看出这样的辩护理论可能如何进行。这里有一个想法。对于任何哲学对数学实践的解释来说，它应该避免将任何特征归因于数学，这些特征会使实际的数学实践变得误导或不足。这个约束条件使得很难否认纯数学的对象是抽象的。因为如果这些对象具有时空位置，那么实际的数学实践将是误导和不足的，因为纯数学家应该对他们的对象的位置感兴趣，就像动物学家对动物的位置感兴趣一样。纯数学家对这个问题不感兴趣的事实表明他们的对象是抽象的。

独立性说，如果有数学对象的话，它们是独立于智能主体及其语言、思想和实践的。我们将在第 4 节讨论这个命题可能意味着什么，以及如何进行辩护。

3. 对数学柏拉图主义的反对意见

已经提出了各种对数学柏拉图主义的反对意见。以下是最重要的几个。

3.1 认识论访问

最有影响力的反对意见可能是受到 Benacerraf（1973）启发的那个。接下来是 Field（1989）改进版本的 Benacerraf 的反对意见。[12] 这个版本依赖于以下三个前提。

Premise 1.	数学家是可靠的，从这个意义上说，对于几乎每个数学命题 S，如果数学家接受 S，那么 S 是真的。
Premise 2.	要使对数学的信念得到合理化，至少在原则上必须能够解释前提 1 中所描述的可靠性。
Premise 3.	如果数学的柏拉图主义是真的，那么即使在原则上也无法解释这种可靠性。

如果这三个前提是正确的，那么数学柏拉图主义将削弱我们对数学信仰的理由。

但是这些前提是否正确呢？前两个前提相对来说是没有争议的。大多数柏拉图主义者已经承认前提 1。而前提 2 似乎相当可靠。如果某种信念形成过程的可靠性甚至在原则上都无法解释，那么这个过程似乎纯粹是偶然的，从而削弱了我们对以这种方式产生的信念的任何理由。

前提 3 则更具争议。Field 通过观察到“我们的数学断言的真值取决于涉及柏拉图实体的事实，这些实体存在于超越时空的领域中”（Field 1989，第 68 页），因此即使在原则上也与我们隔离开来。然而，这种辩护假设，对于所讨论的可靠性的任何充分解释都必须涉及某种因果相关性。这一观点受到了一些哲学家的质疑，他们提出了更为简化的可靠性解释。（参见 Burgess＆Rosen 1997，第 41-49 页和 Lewis 1991，第 111-112 页；另见 Clarke-Doane 2016。有关批评，请参见 Linnebo 2006。）[13]

3.2 一个形而上学的反对

Benacerraf 的另一篇著名文章提出了对数学柏拉图主义的形而上学反对意见（Benacerraf 1965，参见 Kitcher 1978）。尽管 Benacerraf 的重点是算术，但这个反对意见自然地推广到大多数纯数学对象。

Benacerraf 首先辩护了现在被称为自然数结构主义观点，根据这个观点，自然数除了作为 ω 序列中的位置而具有的性质之外，没有其他性质。例如，成为数字 3 的本质就是具有某些内部结构定义的关系性质，比如继承 2，是 6 的一半，是质数。无论我们如何努力研究算术和集合论，我们永远不会知道 3 是否与第四个冯·诺伊曼序数相同，或者与相应的策梅洛序数相同，或者如弗雷格所建议的，在某个允许存在这样的类的系统中，与所有三成员类的类相同。

班纳塞拉夫现在得出以下结论：

因此，数字根本不是对象，因为在给出数字的属性时，你只是表征了一个抽象的结构——区别在于这个结构的“元素”除了与同一结构的其他“元素”相关之外，没有其他属性。（班纳塞拉夫，1965 年，第 291 页）

换句话说，班纳塞拉夫认为，没有仅具有结构性质的对象。所有对象都必须具有一些非结构性质。（有关这一论证的一些后期思考，请参见班纳塞拉夫，1996 年。）

Benacerraf 的论证的两个步骤都是有争议的。第一步是自然数仅具有结构性质的观点，这一观点得到了各种数学结构主义者的支持（Parsons 1990，Resnik 1997，Shapiro 1997，以及 Schiemer＆Wigglesworth 2019 关于结构性质的概念）。但是逻辑主义者和新逻辑主义者否认这一步骤，他们声称自然数与它们所编号的集合的基数密切相关（Wright 2000）。而第二步即没有仅具有结构性质的对象是被所有为第一步辩护的结构主义者明确拒绝的。（对于一些对第二步骤持同情态度的声音，请参见 Hellman 2001 和 MacBride 2005。有关讨论，请参见 Linnebo 2008。）

3.3 其他形而上学上的反对意见

除了 Benacerraf 的论证之外，还有各种形而上学上的反对数学柏拉图主义的观点被提出。其中一个更著名的例子是 Nelson Goodman 对集合论的论证。Goodman（1956）为名义主义原则辩护，该原则指出，只要两个实体具有相同的基本成分，它们就是相同的。这个原则可以被看作是熟悉的集合论的外延公理的加强版。外延公理规定，如果两个集合 x 和 y 具有相同的元素，即 ∀u(u∈x↔u∈y)，那么它们是相同的。名义主义原则通过用其传递闭包替换成员关系来获得。因此，该原则规定，如果 x 和 y 由相同的个体承载（即 ∀u(u∈∗ x↔u∈∗ y)），那么 x 和 y 是相同的。通过支持这个原则，Goodman 不允许形成集合和类，只允许形成部分整体和应用标准的部分整体运算（如他的“个体演算”所描述的）。

然而，Goodman 对名义主义原则的辩护现在被广泛认为是不令人信服的，这可以从哲学家和数学家对集合论作为数学的一个合法和有价值的分支的广泛接受中看出。

4. 在物体现实主义和数学柏拉图主义之间

物体现实主义认为存在抽象的数学对象，而柏拉图主义则增加了独立性，即数学对象独立于智能主体及其语言、思想和实践。本节最后一部分概述了一些轻量级的物体现实主义形式，这些形式没有达到完全的柏拉图主义。这些中间观点越来越受到关注。

4.1 如何理解独立性

对独立性的自然解释是以下反事实条件句：

反事实独立性。

如果没有任何智能体存在，或者他们的语言、思想或实践有适当的不同，仍然会存在数学对象。

这种反事实条件被大多数分析哲学家接受。要理解为什么，考虑数学在我们推理中所起的作用。我们经常推理关于非实际情景的情况。假设我们要在这个峡谷上建一座桥，那么它需要多坚固才能经受住强风的吹袭？可惜，之前的桥塌了。如果钢梁厚度加倍，它还会塌吗？这种关于反事实情景的推理方式对我们日常思考和科学都是不可或缺的。这种推理的可行性有一个重要的结果。由于纯数学的真理可以自由地在我们的反事实推理中被引用，因此可以得出这些真理在反事实上与我们人类以及其他智能生命无关。也就是说，如果没有智能生命存在，这些真理仍然保持不变。

在这方面，纯数学与普通经验真理非常不同。如果智能生命从未存在过，本文将不会被写出。更有趣的是，纯数学还与各种社会习俗和构造形成对比，有时会进行比较（Hersh 1997，Feferman 2009，Cole 2013）。如果智能生命从未存在过，就不会有法律、合同或婚姻，但数学真理仍然保持不变。

因此，如果独立性仅被理解为反事实的独立性，那么任何接受客体实在论的人也应该接受柏拉图主义。

然而，这种对独立性的理解是否完全捕捉到了这个论题的预期内容还是值得怀疑的。因为独立性的目的是要证明数学对象和普通物理对象之间的类比。就像电子和行星独立于我们的存在一样，数字和集合也是如此。而且，关于电子和行星的陈述之所以真实或虚假，是由它们所涉及的对象及这些对象的完全客观属性决定的，数字和集合的陈述也是如此。（请参见补充材料中 Dummett 1978b 和 Maddy 1990 的引文。）简而言之，我们有以下论题：

强健的独立性。 数学对象在本体论上与普通物理对象相等。

现在让我们考虑一些拒绝 Robust Independence 更强论点的观点。这些观点因此是轻量级的物体实在主义形式，不到完全的柏拉图主义。

4.2 充实的柏拉图主义

一种轻量级的对象实在论形式是 Balaguer 1998 的“充实的柏拉图主义”。这种观点以丰富原则为特征，即任何可能存在的数学对象实际上都存在。例如，由于连续统假设与集合论的标准公理化是独立的，存在一个集合宇宙，其中该假设为真，另一个集合宇宙中该假设为假。而且，两个宇宙都没有形而上学上的特权（Hamkins 2012）。相比之下，传统的柏拉图主义断言存在一个唯一的集合宇宙，其中连续统假设要么是确定为真，要么是确定为假。[15]

这种充实观点的一个声称的好处在于数学的认识论。如果每个一致的数学理论都对某个数学对象的宇宙是真的，那么数学知识在某种意义上将很容易获得：只要我们的数学理论是一致的，它们就保证对某个数学对象的宇宙是真的。

然而，“充实的柏拉图主义”受到了很多批评。Colyvan 和 Zalta 1999 年批评它破坏了对数学对象的引用的可能性，Restall 2003 年批评它缺乏对充实原则的明确和连贯的表述，而该观点正是基于这一原则。Martin（2001）提出将不同的集合宇宙合并成一个最大的宇宙，这个宇宙将通过更好地符合我们对集合的概念而优于任何其他集合宇宙。

柏拉图主义的一个不同版本在 Linsky＆Zalta 1995 年及其后续一系列文章中得到发展。（例如，参见 Linsky＆Zalta 2006 年及其中引用的其他文章。）传统的柏拉图主义错误地“将抽象对象构想成物理对象的模型”（Linsky＆Zalta 1995 年，第 533 页），特别包括这样的观念，即这些对象是“稀疏”的而不是丰富的。Linsky＆Zalta 基于第二作者的“对象理论”提出了一种替代方法。对象理论的主要特点是一个非常普遍的理解原则，它断言存在着丰富的抽象对象：对于任何一组属性，都存在一个“编码”这些属性的抽象对象。此外，在对象理论中，两个抽象对象之间的相等意味着它们精确地编码了相同的属性。据称，对象理论的理解原则和相等标准“提供了我们理解的认知能力与抽象对象之间的联系”（同上，第 547 页）。（请参阅 Ebert＆Rossberg 2007 年的批判性讨论。）

4.3 轻量级语义值

假设对象实在论为真。为方便起见，还假设经典语义学。这些假设确保数学语言的特指术语和量词指的是抽象对象并对其进行范围限定。在这些假设的基础上，一个人是否应该成为数学柏拉图主义者？换句话说，数学句子所指的对象是否满足独立性命题的任一版本？

以更中立的术语重新陈述我们的假设将是有用的。我们可以通过引用语义值的概念来做到这一点，这在语义学和语言哲学中起着重要作用。在这些领域中，人们普遍认为每个表达式对包含该表达式的句子的真值做出一定的贡献。这种贡献被称为表达式的语义值。人们普遍认为（至少在外延语境中），一个特指术语的语义值就是它的指称。

现在我们可以中立地陈述我们的假设，即数学特指术语具有抽象的语义值，并且其量词范围涵盖作为语义值的项目类型。让我们专注于关于特指术语的主张。这个主张有什么哲学意义？特别是，它是否支持某种独立性的版本？答案将取决于数学特指术语具有语义值所需的条件。

一些哲学家认为并不需要太多条件（Frege 1953，Dummett 1981，Dummett 1991a，Wright 1983，Hale＆Wright 2000，Rayo 2013，Linnebo 2012 和 2018）。对于术语 t 来说，它只需要对包含它的句子的真值做出一定的贡献即可。语义值的概念的整个目的就是表示这种贡献。因此，一个特指术语具有语义值的充分条件是它做出某种适当的贡献。

这甚至可能为数学对象的非消除还原主义开辟了一种途径（Dummett 1991a，Linnebo 2018）。虽然数学的特定名词 t 的语义值是一个抽象对象，但这个真理可能是由不提及或涉及相关抽象对象的更基本事实所获得的。例如，一个特定名词可能指的是一个方向，因为它与一个适当定向的线相关联，并受到两条线指定同一方向的同一标准的影响。因此，虽然这个术语确实指的是一个抽象对象，但这个真理是由一些不提及或涉及该抽象对象的更基本事实所获得的。Linnebo（2018 年，第 11 章）认为，这种对数学对象的方法仍然验证了反事实独立性。

然而，这种方法并没有理由承认强独立性。相反，这些方法导致了数学对象和物理对象之间的一些重要的不相似之处。例如，为了存在一个方向，只需要存在一个适当定向的线来指定该方向。由于这条线可以位于任何地方，该方向的存在不会对时空的任何特定区域施加任何约束。相比之下，一个物理对象的存在对其所在的特定时空区域施加了实质性的约束。

简而言之，如果某种轻量级的语义值解释是可辩护的，我们可以接受对象实在论和反事实独立性，而不必承认更强大的柏拉图主义形式。

4.4 从亚里士多德那里获得的灵感

我们通过描述两个进一步的轻量级客体实在主义的例子来结束，这些例子拒绝了数学对象和普通物理对象之间的柏拉图主义类比。这两个例子都受到了亚里士多德的启发。

首先，也许数学对象只以潜在的方式存在，这与普通物理对象的实际存在方式形成对比。这个想法是古代潜在无限的核心概念（Lear 1980，Linnebo＆Shapiro 2019）。根据亚里士多德的观点，自然数在潜在意义上是无限的，无论我们产生了多大的数（通过在物理世界中实例化它），都有可能产生一个更大的数。但亚里士多德否认自然数实际上是无限的：这将要求物理世界是无限的，而他认为这是不可能的。

在康托尔之后，大多数数学家和哲学家现在都支持自然数的实际无限。这在一定程度上是通过否认亚里士多德的要求实现的，即每个数都需要在物理世界中实例化。当这一点被否认时，自然数的实际无限不再意味着物理世界的实际无限。

然而，关于集合层次结构的潜在主义形式仍然得到广泛支持，特别是与集合的迭代概念有关（Parsons 1977，Jané 2010，Linnebo 2013，Studd 2013）。无论形成了多少个集合，都有可能形成更多的集合。如果是真的，这意味着集合具有一种潜在的存在形式，使它们与普通物体明显区分开来。[16]

其次，也许数学对象在本体上是依赖性的或派生性的，以一种使它们与独立存在的物理对象区分开来的方式。根据罗森（2011）所称的“有资格的现实主义”，数学事实是以不涉及数学对象的其他事实为基础的。例如，自然数存在，但它们的存在及其属性和关系是基于比算术事实更基本的事实，例如关于可证明性或结构可能性的事实。这种观点也可以采用更亚里士多德式的观点，即将简单的算术真理基于实例化相关数字的适当众多性的事实（Schwartzkopff 2011，Donaldson 2017）。例如，2+2=4 是基于关于一对和一个不相交的对形成一个四元组的任何事实。还有其他版本的观点。例如，基特·芬（1995）和其他人认为，集合在本体上依赖于其元素。（这个观点也与上面提到的集合论潜在主义密切相关。）

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Acknowledgments

Thanks to Philip Ebert, Leon Horsten, James Ladyman, Hannes Leitgeb, David Liggins, Alexander Paseau, and Philip Welch for comments and discussion. Thanks also to an audience at the ECAP6 in Krakow, where parts of this material were presented. This article was written during a period of leave funded by an AHRC Research Leave Grant (number AH/E003753/1). I gratefully acknowledge their support.

Copyright © 2023 by Øystein Linnebo <[e-mail]>