皮尔士的演绎逻辑 logic (Sun-Joo Shin)
首次发表于 1995 年 12 月 15 日，实质修订于 2022 年 5 月 20 日。
查尔斯·桑德斯·皮尔士是一位哲学家，但由于他的工作广度，很难将他归类于哲学。（请参阅查尔斯·桑德斯·皮尔士条目的目录。）逻辑是皮尔士写作的主要主题之一。然而，如果我们专注于逻辑，就会发现皮尔士对逻辑的概念和研究远比他的前辈、同时代人和我们自己的要广泛得多。首先，皮尔士将逻辑置于他的哲学大体系中，这就是为什么有些人坚信，要正确理解皮尔士的逻辑，就必须理解他的实用主义和符号学等其他贡献。即使在传统逻辑的范围内，皮尔士也做出了太多的贡献，无法在一篇文章中概述。
鉴于这个几乎不可能的任务的性质，我们单独提出了皮尔士对现代逻辑的各种贡献的共同主题——扩展逻辑，如下所示：
形式主义的范围（从单调到关系），
各种系统（从符号系统到图解系统）和
语义值（从二值到三值）。
本条目的主要目标不仅是介绍皮尔士在这三个扩展领域的成就，还要探讨这些新发展之间是否存在关系。条目的三个部分将分别致力于皮尔士如何扩展演绎逻辑的这三种方式。
皮尔士在形式演绎逻辑上的旅程始于布尔运算和德摩根的相对论逻辑。布尔代数为推广亚里士多德的三段论创造了一条道路，而德摩根对关系进行形式化的雄心则开辟了一个新的领域。然而，皮尔士的谓词逻辑既不是现有逻辑的机械扩展，也不是这两者的简单组合。皮尔士从他当代逻辑中所做的飞跃在质上足够重大，足以称皮尔士为现代演绎逻辑的奠基人，正如该条目所解释的那样。第一部分探讨了皮尔士在他几篇著名论文中提出的谓词逻辑的发展，通过找到皮尔士引入量词和约束变量的根源。虽然皮尔士的一阶逻辑的形式细节和符号可能令人难以承受，但我们不应该忽视皮尔士引入新逻辑的主要动机，而只关注更大的画面。通过用新的形式符号征服新的领域——关系，皮尔士的冒险进入了另一个维度——一种新的表达方式，即图示表达。这是第二部分的主题。虽然介绍了皮尔士存在图的两个系统，但以下观点是背景：皮尔士的存在图并不仅仅是随机的替代品，逻辑上等同于他自己的谓词逻辑符号，而是皮尔士对逻辑和形式化的新方法的反映。正如皮尔士对谓词逻辑的不懈尝试为我们带来了更强大的形式符号，皮尔士对关系事态更好的表达的追求超越了他自己的符号系统。空间符号与线性符号相对而言，对我们中的一些人来说仍然不太熟悉，第二部分介绍了皮尔士存在图的基本符号方面，并讨论了存在图与符号系统之间的根本区别。 关于三值逻辑的第三部分考察了皮尔士的另一个新企业，不是以句法符号表示，而是以语义值表示。皮尔士学者提出了各种各样的动机来解释皮尔士的三值语义，这些不同的观点将被简要讨论。
虽然第一个贡献，即从一元逻辑到谓词逻辑的扩展，使皮尔士与弗雷格一起成为现代逻辑的奠基人，但皮尔士的其他成就要等很久才能得到逻辑学家或哲学家的适当关注。本文旨在为皮尔士在演绎逻辑中的旅程绘制一张路线图，以便人们可以意识到他的成就与彼此之间有很大的联系。具体而言，皮尔士在演绎逻辑方面的成就是累积的。在能够用新的符号表示形式化多元关系之后，皮尔士设计了一种全新的表达形式——图示系统。我们可以形式化的内容得到了扩展，以及我们如何形式化我们可以形式化的内容也得到了扩展。皮尔士探索了我们的形式化表示代表着什么，并提出了比二元真值更精细或更广阔的语义值领域的建议。
1. 从单调逻辑到多调逻辑
皮尔士和弗雷格独立于彼此，将我们从传统的亚里士多德逻辑带到了现代逻辑——一个巨大的飞跃。没有人能否认形式化的力量，它使得 20 世纪初的数学家取得了令人惊讶的成就和结果。[1] 皮尔士和弗雷格所做的飞跃的本质是什么？仅仅是引入了新的形式符号，即量词和变量，以便我们可以轻松地形式化我们的推理吗？如果是这样，现代逻辑只是用量词/变量装扮了亚里士多德逻辑。这将等同于皮尔士在逻辑上的主要贡献是增加了形式词汇。
量词/约束变量的采用对逻辑和数学世界产生了巨大的影响，这是不可否认的。然而，这不应掩盖皮尔士在新的扩展形式主义背后的洞察力。本节将探讨皮尔士对关系逻辑的新颖性的坚信如何引导他引入量词/变量。因此，根据皮尔士的观点，量化理论不是形式词汇的线性扩展问题，而是对亚里士多德逻辑所涵盖的领域进行了质的扩展。同时，我们不应忘记，皮尔士在布尔的逻辑代数精神下扩展了逻辑的领域。
在“逻辑演绎的改进”（1867 年）中，皮尔士暗示了对布尔逻辑的改进的需要，不是在谓词逻辑的背景下，而是在术语逻辑的背景下无法表达存在性陈述的能力。他的 1870 年论文“描述了一种逻辑的符号表示，这是从布尔演算的概念扩展而来的”（DNLR）揭示了他将布尔的代数符号表示与德摩根的关系表示的努力相结合的雄心。许多人认为，这篇论文首次在历史上引入了一阶谓词逻辑的基本词汇。随后，在“逻辑代数”（1880 年）中，皮尔士研究了关系上的两种操作——相对和和相对积——以及他编辑的书籍《约翰霍普金斯大学逻辑研究》（1883 年）中发表的“亲属逻辑”（称为“B 注”）显示了量化方面的重大进展，受到了他的学生 O.H.米切尔的工作的影响。最后，皮尔士的 1885 年论文“逻辑代数：符号哲学的贡献”被认为是皮尔士完整展示他的量化理论的地方。
从 DNLR 开始，第一小节探讨了皮尔士在他的 1885 年论文“逻辑代数：符号哲学的贡献”中展示他的一阶逻辑的最终形式之前的后续步骤。（有关这两篇论文之间写的一些手稿，请参阅 Beatty 1969; Dipert 2004: 297–299; 和 Merrill 1978。）第二小节将皮尔士的一阶谓词逻辑工作置于更大的背景中。
1.1 关系和量化形式化
皮尔士的量化理论是在他 1885 年的论文《逻辑代数：符号哲学的贡献》中以一种全面的方式呈现的，其中包括类似公理的“图标”。皮尔士对现代逻辑的演绎并不简短，他试图扩展形式化的领域。在这方面，皮尔士受到了德·摩根为关系表示而奋斗的启发，同时皮尔士还借助了布尔运算，这种运算形式化了亚里士多德的术语逻辑。也就是说，皮尔士以德·摩根的雄心壮志为方向的路线图，同时装备了布尔的方法和符号来实现这一目标。本小节将追踪皮尔士的旅程，看看他是如何到达目的地的，通过查看他的主要停靠点。
皮尔士 1870 年论文《关系逻辑的符号描述，源于布尔演算概念的扩展》（DNLR）的标题在论文开头以以下方式详细说明：
[有] 趣的是探究一下，是否可以将 [布尔的逻辑代数] 扩展到整个形式逻辑领域，而不仅仅局限于该主题中最简单且最无用的部分，即绝对术语的逻辑。本文的目的是要表明对这个问题可以给出肯定的答案。（DNLR [CP 3.45]）
如果我们想要涵盖整个形式逻辑领域，皮尔士指出，布尔逻辑需要“扩展”。皮尔士所说的“整个形式逻辑领域”是什么意思？皮尔士回答道：“演绎逻辑实际上无法在不研究相关逻辑的情况下理解”（1911a [CP 3.641]）[2]。
在受到布尔逻辑代数的鼓舞的同时，皮尔士也认真对待了他的父亲本杰明·皮尔士教授对逻辑的负面看法 [3]，他探索了一种将布尔的方法应用于更大范围推理的方式，以便关系可以形式化。
什么是关系，为什么它们如此特殊？让我们比较三个句子：“约翰是美国人”，“约翰比汤姆高”，“约翰在汤姆和玛丽之间”。第一个句子有一个一元谓词“是美国人”，第二个句子有一个二元谓词“比…高”，第三个句子有一个三元谓词“在…和…之间”。一元谓词代表一个属性或品质，而二元或三元谓词代表一个关系。如果一阶逻辑系统只有一元谓词，那么我们称之为一元的。否则，谓词逻辑被认为具有二元或其他更高的谓词。
当我们从单元逻辑转向多元逻辑时，会发生实质性的变化。以下三个变化位于列表的顶部。首先，从属性到关系的转变是领土的扩张。注意到亚里士多德的三段论仅限于一元谓词，人们期望多元逻辑能够表示超过亚里士多德三段论所涉及的推理，即术语逻辑。其次，一元逻辑是可决定的，而多元逻辑是不可决定的，正如丘奇的定理所证明的那样。在某种意义上，随着领土的扩张，我们正在失去对其的掌控。第三，不可避免地需要改变符号，这需要现代量化理论。皮尔士如何处理这三个重要方面呢？
关系领域是德摩根在逻辑方面进行创造性和新颖工作的前沿。然而，他对这个主题的探究仍然停留在传统三段论的模式之内。更重要的是，德摩根没有足够的工具来形式化这个新扩展的领域。因此，毫不奇怪地，德摩根的关系相当受限于适合三段论推理的某个特定群体。正如梅里尔指出的那样，
德摩根只发展了关系的一般逻辑，以便用于他熟悉的三段论目的。这意味着他特别关注可转换和/或可传递的关系...（梅里尔 1990: 113）
查尔斯·桑德斯·皮尔士对关系逻辑的兴趣是否独立于德摩根在这一主题上的工作尚不清楚和有争议。[7] 不论皮尔士对关系的探究起源如何，许多人都同意皮尔士（而不是德摩根）成功地形式化了关系逻辑。作为德摩根学者的梅里尔以以下方式表达了这个问题：
这种观点对命题的处理方式 [德摩根处理关系论证的方式] 最明显的问题是它似乎不够普遍。如果我们可以通过关系将两个术语合并成一个命题，为什么不能是三个、四个或十个术语呢？德摩根对关系三段论的关注似乎排除了这种概括；但从原则上讲，这是完全可以实现的。然而，为此我们必须等待弗雷格和皮尔士。（梅里尔 1990：110）
有趣的是，皮尔士在 1870 年之前的著作中也尝试通过传统的演绎推理规则来解决关系论争 [8]，但《DNLR》中采取的方法完全不同——不是在演绎的框架内，而是通过引入布尔代数符号。皮尔士一定意识到了布尔符号所能提供的概括能力。布尔的代数形式化了亚里士多德的范畴演绎，并为术语逻辑的概括开辟了道路 [9]。皮尔士对布尔对亚里士多德演绎的数学处理印象深刻，因此自然而然地希望将这种方法应用于关系。从这个意义上说，现代谓词逻辑始于皮尔士在 1870 年的开创性工作。因此，皮尔士项目的目标——即扩大逻辑形式化的范围——是引入量词和约束变量的新词汇的主要动机。如果是这样，那么皮尔士早期对涉及关系的推理重要性的洞察力是理解皮尔士和弗雷格发展一阶逻辑的差异的关键因素 [10]。此外，下一节将展示皮尔士对关系逻辑的执着如何导致存在图的发明。
关系逻辑形式化了比一元逻辑更广泛的领域，但为了获得额外的表达能力，需要付出代价：一元逻辑是可判定的，而多元逻辑则不是。尽管我们需要等到丘奇的定理才能看到一阶谓词逻辑的不可判定性，但皮尔士直觉地意识到了非关系逻辑与关系逻辑之间的根本差异。以下是皮尔士关于一元逻辑和关系逻辑之间比较的启示性思想：
关系逻辑是高度多样的；它以无数的直接推论为特征，并以相同前提集合得出各种不同的结论。（1883a [CP 3.342]）
而且：
[T] he old syllogistic inference can be worked by machinery, but characteristic relative inferences cannot be performed by any mere mechanical rule whatever. (1896: 330)
正如 Dipert 正确指出的那样，皮尔士的言论显示出他对关系引入逻辑的丰富性和困难性的理解（Dipert 1984a: 63）。[ 11]
为了增加表达能力，皮尔士离开了传统的演绎模式，引入了布尔代数逻辑。以下评论强调了皮尔士选择符号的方式与德摩根追求关系逻辑的明显分歧：
德摩根的方法论受到了演绎逻辑的支配，而皮尔士的方法论完全是代数的。这种代数模型是从布尔那里借鉴过来的，对德摩根的方法来说是陌生的。这种方法论上的差异反映了在定义层面上的重大差异。（Brunning 1991: 36）
在意识到关系逻辑的复杂性之后，皮尔士探索了超越布尔运算的新符号。以下段落预示了这一转变：
这些特殊性的影响 [相对逻辑的非机械性质] 不能像布尔运算那样受到严格的规则的约束。(1883a [CP 3.342])
这是从单元逻辑到多元逻辑的第三个方面：关系带入我们推理的复杂性显然促使皮尔士开发了一个新的符号系统。正如本小节的其余部分所示，从 DNLR 到“关于逻辑代数”的过程相当复杂，历时 15 年。重要的是，皮尔士引入量词和约束变量可以被视为他雄心勃勃的目标——扩大形式化的范围以涵盖关系的必然结果，正如梅里尔所说：“许多关系陈述的量化复杂性呼唤量词”(1997: 158)。
DNLR 的第三节，正如标题“代数符号在逻辑中的应用”所说，是布尔代数符号和关系逻辑首次结合的地方之一。在第一小节中，皮尔士明确表示他的目标是关系的，通过以下方式包括多元谓词：
(DNLR [CP 3.63–64]; 该条目采用我们现代的术语，而不是皮尔士的术语。)
| Predicates | 皮尔士的术语 | Letters | Examples |
|---|---|---|---|
unary | 绝对术语 | a,b,c,…（罗马字母） | 法国人（f），小提琴手（u），… |
binary | 简单的相对术语 | a,b,c,…（斜体） | 妻子（w），情人（l），所有者（o），… |
ternary | 结合性术语 | a,b,c… (Kennerly [Kennerley]) | 给予者 to — of — (g) |
对于第三部分的其余部分，引入了四种代数符号，可以应用于这些谓词字母：包含符号（−<），加法符号（+，），乘法符号（并置或“，”）和逆运算符号（指数运算）。
首先，他将符号“=”和符号“<”结合起来，得到符号“−<;”来表示包含关系：
因此，
f−<m
意味着“每个法国人都是一个人”，而不说是否还有其他人。所以，
m−<l
将意味着任何事物的母亲都是同一事物的爱好者；尽管这种解释在某种程度上预先预示着进一步的约定。（DNLR [CP 3.66]）
注意，“f−<m”（不同于“f−<m”）是不合语法的，因为 m 是一个二元谓词，不能与一个一元谓词 f 有包含关系。
对于加法符号，皮尔士引入了布尔符号+，但有些微的变化：
加法符号是由布尔提出的，所以
x+y
表示 x 所表示的一切，以及除此之外，还表示 y 所表示的一切...但是，如果有任何一个对象既被和式的两个术语所表示，那么后者就不再代表任何逻辑术语，因为它暗示着一个术语所表示的对象要加上另一个术语所表示的对象。例如，
f+u
意味着除了所有的小提琴手之外的所有法国人，并且，因此，作为一个逻辑术语，意味着所有的法国小提琴手都是在他们之外。仅仅因为这个原因...我更喜欢将逻辑的常规添加作为一个不可逆过程，这样
m+,b
代表所有的人和黑色的事物，没有暗示黑色的事物要与人们一起被考虑。（DNLR [CP 3.67]）
因此，皮尔士稍微修改的加号，+，表示包容性的析取。"f+,u" 表示所有那些既是法国人又是小提琴手的人。这种符号并不意味着没有法国人是小提琴手，或者没有小提琴手是法国人。尽管皮尔士的例子仅限于一元谓词，我们可以将这个想法扩展到二元谓词。使用现代符号表示，l+,s={⟨x,y⟩∣lover(x,y)∨servant(x,y)}。也就是说，它对应于关系的并集。
当乘号进入图像时，关系逻辑变得强大，这是皮尔士对乘法解释的标志：
我将采用关系的应用来构思乘法，例如，lw 将表示任何一个女人的爱人。s(m+,w)将表示任何一个属于男人和女人这个类的东西的仆人。（DNLR [CP 3.68]）
当多元谓词出现时，如何形成新的关系变得更加有趣和复杂。这就是为什么相对乘积的乘法运算对于进一步研究关系逻辑非常重要的原因。两个谓词之间的乘积比两个谓词之间的加法更加有趣，这取决于涉及的谓词的种类：
两个属性之间的乘积是另一个属性，即两个属性之间的交集，
一个关系和一个属性的乘积是另一个新属性，而
关系之间的乘积产生了一个新的关系。
让我们试着用现代术语来理解皮尔士的相对乘积概念：
让我们
"w" 是一个一元谓词，表示一个女人，
"u" 是一个一元谓词，表示一个小提琴手，
"l" 是一个二元谓词，表示一个爱人，并且
"s" 是一个二进制的，作为的仆人。
然后，
w,u={x∣ 女人(x)∧ 小提琴手(x)}.[ 12]
lw={x∣∃y(lover(x,y)∧woman(y))}.
ls={⟨x,z⟩∣∃y(lover(x,y)∧servant(y,z))}.
在这个现代的翻译中，存在一个存在量词是显而易见的，尽管皮尔士本人在《演绎的新逻辑》中没有提到它。
隐藏的量词蕴涵在下面的逆运算中变得更加明显。
我将以这样的方式理解逆运算，即 xy 将表示对于 y 的每个个体而言都是 x。因此 lw 将是每个女人的爱人。（DNLR [CP 3.77]）
也就是说，lw={x∣∀y(woman(y)→lover(x,y))}。这里存在一个全称量词！
在我们深入研究皮尔士的量词细节之前，让我们先总结一下皮尔士采用的代数符号来处理多元谓词：
代数的 符号 | 意义/ 操作 | Examples |
− < | inclusion | w−<u ∀x(女人(x)→小提琴手(x)) l− <s ∀x∀y(恋人(x,y)→仆人(x,y)) |
+, | union | 起始 {x∣ 女人(x)∨ 小提琴手(x)} 解释/理论 {⟨x,y⟩∣ 爱人(x,y)∨ 仆人(x,y)} |
, | intersection | w,u {x∣ 女人(x)∧ 小提琴手(x)} |
(no comma) | 相对产品 | lw（某个女人的爱人） {x∣∃y(爱人(x,y)∧ 女人(y))} ls={⟨x,z⟩∣∃y(lover(x,y)∧servant(y,z)} |
xy | x of every y | lw (每个女人的情人) {x∣∀y(woman(y)→lover(x,y)} |
让我们关注乘法和指数运算中量词的隐藏但被假定存在：lw 被解释为“某个女人的爱人”，lw 被解释为“每个女人的爱人”。有趣的是，在引入多元谓词的过程中，皮尔士最终引入了量词，即某些和每个。另一方面，考虑到亚里士多德的三段论有两个量词，皮尔士对量词的代数符号表示——某些和每个——不应让我们感到惊讶。然而，这一发展的关键方面是，布尔对存在命题（与普遍命题相对）的不令人满意的表示推动了皮尔士及其学生 O.H.米切尔超越布尔的逻辑。[13] 皮尔士解释相对乘积的方式——“lw”表示“某个女人的爱人”——允许隐含地用乘法来表示存在量词。
让我们看看皮尔士追求以更明确的方式表示存在性陈述的几种不同方法。在上述“lw”的例子中，存在量词是通过将关系 l 应用于一元谓词“w”来实现的，但并不明确。皮尔士表示存在性陈述的方式有几种不同的明确方式。一种方法是借用指数运算（其中二元谓词应用于一元谓词，例如 lw），皮尔士将存在性陈述表示为普遍性陈述的矛盾：
特定的 [存在性] 命题是通过考虑它们与普遍命题的矛盾来表达的。因此，如 h，（1-b）=0 表示每匹马都是黑色的，所以 0h，（1-b）=0 表示某匹马不是黑色的；而 h，b=0 表示没有一匹马是黑色的，所以 0h，b=0 表示某匹马是黑色的。（DNLR [CP 3.141]）
数字 1 代表宇宙类，而 0 代表空类。然而，皮尔士关于以 0 为底的指数运算的符号表示略有不同的细微差别。让我们回顾一下皮尔士的指数运算：
lw={x∣∀y(女人(y)→爱人(x,y))}。
然后，
00={x∣∀y(null-class(y)→null-relation(x,y))}.
[Note: 基数 0 表示一个关系——空关系，而指数 0 表示一个类——空类。]
没有 y 使得 null-class(y)，因为没有东西可以属于空类。因此，每个域中的对象都会进入 00。也就是说，与空类没有关系的事物的类是由 1 表示的宇宙类。因此，00=1。
假设 m≠0。
0m={x∣∀y(非空类(y)→空关系(x,y))}。
由于没有任何东西可以与任何非空类的每个成员之间存在空关系，所以 0m=0。因此，我们得到以下的指数表示法：
(*)0x=0 如果 x≠00x=1 如果 x=0
使用这个结果，让我们解释皮尔士上面的引语：
1 代表宇宙类，0 代表空类。（布尔符号）
“h,(1−b)”表示非黑马的类别。（交集的乘法运算）
“h,(1−b)=0”表示没有非黑马的存在。即，每匹马都是黑色的。（根据 1 和 2）
“h,(1−b)≠0”表示并非每匹马都是黑色的。即，有些马不是黑色的。（根据 3）
由于 h，(1−b)≠0，0h，(1−b)=0（根据上述(*)）
同样，“h，b=0”意味着没有一匹马是黑色的。因此，“h，b≠0”表示有些马是黑色的。因此，“0h，b=0”（指数不为零）意味着有些马是黑色的。
DNLR [CP 3.141] 中提出的方法有几个有趣之处。首先，皮尔斯坚持布尔的主题，即所有命题都表示为方程。另一个是皮尔斯利用了普遍命题和存在命题之间的矛盾关系。更有趣和重要的是，皮尔斯引入了他的指数符号，即关系到属性的指数运算（即二元到一元谓词之间的指数运算），以表达存在性陈述。
在对存在性陈述进行相当复杂的介绍之后，重点放在指数部分上，皮尔士提出了另一种更简单的表达存在性陈述的方法，即使用不等号符号：
特定的 [存在性] 命题也可以通过不等号符号来表达。因此，一些动物是马，可以写作 a,h>0。（DNLR [CP 3.143]）
皮尔士采用的另一种方法是利用符号 −<表示包含，符号 ¯ 表示补集。也就是说，
| All a is b. | a−<b |
|---|---|
No a is b. | a−<¯b |
Some a is b. | ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ [a−<¯b] |
一些 a 不是 b。 | ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ [a−<b] |
然而，这些处理存在性陈述的明确方法仅限于一元谓词或亚里士多德的三段论，无法超越它们。相反，我们希望更仔细地研究皮尔士在关系和属性之间的乘法和指数表达。让我们回想一下，lw 表示“某个女人的爱人”，而 lw 表示“每个女人的爱人”。在这里，皮尔士对个体术语的建议进入了图片，以便存在量词和普遍量词可以更明确地表示。皮尔士建议用大写字母表示个体（DNLR [CP 3.96]）。例如，对于一元谓词 w，如果 w>0，则 w=W′+，W′′+，W′′′+，⋯，其中每个 W′，W′′，W′′′，…表示一个个体女人。因此，
lw=l(W′+，W′′+，W′′′+，⋯)=lW′+，lW′′+，lW′′′+，⋯lw=l(W′+，W′′+，W′′′+，⋯)=lW′，lW′′，lW′′′，…=lW′，lW′′，lW′′′，…（lW=lW，W 是一个个体术语。）
在这一点上，皮尔士建立了（i）存在性陈述与符号 Σ（作为逻辑加法）之间的联系，以及（ii）普遍性陈述与 Π（作为逻辑乘法）之间的联系，以下段落是后续论文中出现的符号的先驱：
Π′−<Σ′,
其中 Π′和 Σ′表示要使用逗号进行加法和乘法。由此可得
sw−<sw。（DNLR [CP 3.97]）
我们现在已经接近了量词的现代符号化表示。Dipert 强调了在 DNLR 中发现的皮尔士的符号化表示的重要性：
C. S. Peirce 是逻辑史上第一个使用类似量词的变量绑定运算符的人（在 1870 年简要地出现在 W2, 392f 中，早于弗雷格的 Begriffsschrift（1879 年））。 （Dipert 2004: 290）
十年后，在一篇更全面、更调查性的论文《关于逻辑代数》（1880）中，我们发现皮尔士的 DNLR 思想更加紧密、更加系统地出现。下面我们将总结在《亲属代数的简要描述》（1882a）、《亲属逻辑》（1883a）和《关于逻辑代数：对符号学哲学的贡献》（1885a 加 1885b）中提出的量化的发展。
首先，他修改了以个体术语表示属性的先前观念，并将其扩展到关系。在 DNLR（1870）中，“w”代表属性“成为一个女人”，表示为
w=W′+W′′+W′′′+⋯
（其中 W′，…表示每个个体女人）。然而，在 1882a 年，皮尔士使用系数表示一元谓词：对于每个一元谓词 x 和域中的每个对象 a，皮尔士以以下方式定义系数(x)a。
继续以一元谓词 w 的示例为例，假设域中有对象 A，B，C，...。[14] 有些对象是女人，有些则不是。定义系数(w)a 如下：
如果 A 是女人，则(w)aA=1。如果 A 不是女人，则(w)aA=0。
然后，
w=(w)aA+(w)bB+(w)cC+⋯=Σi(w)iI.
一个一元谓词可以成功地表示为个体的总和。继续讨论二元谓词，一个关系由一对对象模拟：[ 15]
一个双重相对术语 [二元谓词]，如“爱人”，“恩人”，“仆人”，是一个通用名称，表示一对对象。（1883a [CP 3.328]）
他将一对对象表示为“A:B”，其中 A 和 B 是个体对象。让 l 代表“一个爱人”。皮尔士如下定义了每个有序对象对的系数：
(l)i,j(Ai:Aj)=1，如果 Ai 是 Aj 的爱人。=0，如果 Ai 不是 Aj 的爱人。
然后，
l=(l)1,1(A1:A1)+(l)1,2(A1:A2)+(l)2,1(A2:A1)+(l)2,2(A2:A2)+⋯=ΣiΣj(l)i,j(Ai:Aj).
皮尔士对于一元谓词 x 和二元谓词 l 的概括如下（1883a [CP 3.329]）：
x=Σi(x)iI (1882a [CP 3.306])l=ΣiΣj(l)i,j(I:J) (1883a [CP 3.329])
这是皮尔士在写下“每个术语 [谓词] 都可以被构想为无限逻辑和的个体”（1880 [CP 3.217]）时所考虑的。我们只考虑系数为 1 的对象。假设 A、B 和 D 是女性。应用皮尔士的符号“+”作为包容或，w={A,B,D}。假设 A 是 C 的爱人，B 是 D 的爱人。那么，l={(A:C),(B:D)}。[16]
下一个任务是如何利用这个工具来表达存在命题。如果在领域中至少有一个女性，比如 K，那么至少有一个系数 wk 等于 1。因此，领域中个体的系数之和大于 0。也就是说，Σiwi>0。如果没有人是女性，我们将得到 Σiwi=0。在所有人都是女性的普遍命题的情况下，只要有一个系数为 0，个体系数的乘积就为 0，也就是说，有一个人不是女性。也就是说，Πiwi=0。当所有人都是女性时，Πiwi=1。
虽然布尔方法对量词的处理仅限于术语逻辑，但这种处理量词的方式非常通用，我们也可以直接将其应用于关系，正如下面的段落所述：
任何命题都等同于说某些数值系数的复合体之和与乘积大于零。因此，
ΣiΣjlij>0
意味着某物是某物的爱好者；而
ΠiΣjlij>0.
意味着一切都是某物的爱好者。（1883a [CP 3.351]）
而皮尔士建议去掉“>0”的部分：
然而，在写出这些不等式时，我们自然会省略结尾的“>0”，上述两个命题将会变成
ΣiΣjlij 和 ΠiΣjlij. (1883a [CP 3.351])
转到皮尔士 1883 年的论文，我们可以看到两个重要的步骤：一个是关键方式中使用了下标，另一个是 Σ 和 Π 的交替。在去掉“>0”之后，皮尔士引起了我们对下标的注意：
以下是其他示例：
ΠiΣj(l)ij(b)ij
意味着一切同时是某物的爱人和恩人。
ΠiΣj(l)ij(b)ji
意味着一切都是自己的恩人的爱人。（1883a [CP 3.352]）
索引下标的顺序对于区分这两个命题至关重要。另一方面，“每个人都爱某个女人”和“有一个女人每个人都爱”之间的区别依赖于 Π 和 Σ 的顺序：
ΠiΣj(l)ij(w)j vs.ΣjΠi(l)ij(w)j.
最后在《逻辑代数：符号哲学的贡献》（1885a）中，所有这些发展——（i）Σ（求和）代表某些，Π（乘积）代表全部，（ii）利用系数及其下标来省略个体的表示（例如，从（l）ij（Ai：Aj）到（l）ij），（iii）混合使用 Σ 和 Π，以及（iv）省略“>0”的部分——已经成为官方规定：
一般来说，根据 1885a [CP 3.393]：
Σixi 意味着 x 是由 i 所指示的个体中的某一个为真或
Σixi = xi + xj + xk + 等等
同样地，Πixi 意味着 x 是对所有这些个体为真或
Πixi=xixjxk,等等。
而如果 x 是一个简单关系 [二元谓词]，
ΠiΠjxi,j 表示每个 i 与每个 j 之间都存在这种关系，
ΠjΣixi,j that every j some i or other is in this relation,
ΣiΣjxi,j that some i is in this relation to some j.
例如，根据 1885a [CP 3.394]：
让 lij 表示 i 是 j 的爱好者，bij 表示 i 是 j 的恩人。
让 gi 表示 i 是狮鹫，ci 表示 i 是奇美拉。
那么 ΠiΣj(l)ij(b)ij 表示一切同时是某物的爱好者和恩人；并且
[即 ∀x∃y[Lover(x,y)∧Benefactor(x,y)]，意味着每个人都是某人的爱人和恩人。]
而 ΠiΣj(l)ij(b)ji 表示每件事物都是自己的恩人的爱人。
[即 ∀x∃y[Lover(x,y)∧Benefactor(y,x)]，意味着每个人都是自己的恩人的爱人。]
而我们发现自己来到了现代逻辑的领域。与此同时，我们意识到一阶逻辑的关键概念和词汇已经在他之前的工作中形成。我们还注意到，1885 年论文第一节中概述的目标与他在 1870 年论文中提出的建议几乎相同：“第一个是将逻辑代数的能力扩展到其适当领域的整体上”（1885a [CP 3.364]）。此外，他几乎重申了他在 1870 年“遗憾”的项目限制：“我将无法完善代数以提供达到逻辑结论的便捷方法”（1885a [CP 3.364]）。也就是说，在这篇论文中我们不应该期望一个完整的演绎系统，而是“我只能提供一种方法，通过这种方法可以得出任何合法的结论并避免任何谬误”（1885a [CP 3.364]）。他在论文的第 3 节中履行了他的承诺，标题为“§3. 相对论的第一意向逻辑”，[17] 他提出了一系列转换方法。他并不是要声称这个列表是详尽无遗的，而是“在整体上似乎对我来说最有用的工具”（1885a [CP 3.396]）。以下是涉及量词的一些规则：[18]
∀xϕ(x)∧∀yϕ(y)=∀x∀y(ϕ(x)∧ϕ(y))∃xϕ(x)∧∀yϕ(y)=∃x∀y(ϕ(x)∧ϕ(y))∃xϕ(x)∧∃yϕ(y)=∃x∃y(ϕ(x)∧ϕ(y))∀x∀yχ(x,y)=∀y∀xχ(x,y)∃x∃yχ(x,y)=∃y∃xχ(x,y)∀x∃y(ϕ(x)∧ψ(y))=∃y∀x(ϕ(x)∧ψ(y))∀x∃yχ(x,y)≠∃y∀xχ(x,y)，但 ∃x∀yχ(x,y)⇒∀y∃xχ(x,y)∃x∀yχ(x,y)=∃x∀y(χ(x,y)∧χ(x,x))
尽管弗雷格的《概念符号》（1879）和皮尔士在 1885 年的量化理论之间有六年的间隔，但两位逻辑学家都得到了认可。我们称他们都是现代逻辑的奠基人，因为皮尔士并不知道弗雷格在这个主题上的工作。此外，值得注意的是，弗雷格提出了一个配备公理和规则的逻辑系统，而这在皮尔士的工作中并没有追求。
1.2 布尔传统-代数和模型论
布尔试图通过代数系统来捕捉逻辑，这一想法激发了许多对连接逻辑和数学两个学科感兴趣的数学家和逻辑学家。正如前一节所见，皮尔士显然是其中之一。他以两种方式进一步推动了布尔代数系统的想法：一种是改进布尔对特定命题（即“某些 A 是 B”）的表示，以便传统的亚里士多德三段论可以适应代数系统。另一种是表示不仅质量而且关系，以便新的代数系统可以超越传统的三段论。在这个过程中，发明了量词和变量的新符号。
皮尔士二十年的工作以两种重要方式对逻辑代数传统做出了重大贡献。首先，皮尔士引入量词和变量本身就是形式逻辑的重大进展，接近我们所知的谓词逻辑。其次，皮尔士及其学生 O.H.米切尔和 C.拉德（后来的拉德-富兰克林）在新符号上进行了进一步的逻辑扩展，并在数学逻辑方面进行了重要的工作。皮尔士的《逻辑代数》（1885 年）十年后，恩斯特·施罗德出版了三卷数学逻辑著作《关于逻辑代数的讲座》（1890-1905 年）。[19] 他的工作完全基于布尔代数传统，并且该书的两个重要方面反映了皮尔士的影响：他采用了皮尔士的符号（而不是弗雷格的），第三卷专门讨论了关系逻辑。戈德法布的有见地的论文以以下方式表达了皮尔士的这两个影响方面：
在查尔斯·桑德斯·皮尔士的早期工作基础上，施罗德在他的《逻辑代数讲义》第三卷 [1895] 中发展了相对论的演绎（即关系）。量词被定义为个体或其他关系的某些可能无限的和积。（Goldfarb 1979: 354）
如前一小节所示，将关系（而不仅仅是性质）包含在代数表达式中，并将全称量词表示为积（即 Π），将存在量词表示为和（即 Σ），是查尔斯·桑德斯·皮尔士两十年不懈工作的主要成果。考虑到施罗德的书在那个时代是数学逻辑学生最受欢迎的逻辑教材，我们可以很容易地说皮尔士的遗产延续至今。Peckhaus 在研究弗雷格和施罗德量化理论之间微妙关系时，找到了施罗德现代量化理论的起源：
这个 [施罗德的《逻辑代数讲义》是他从弗雷格的《概念符号》中学习现代量化的结果] 是一个简单而合理的答案，但是是错误的。施罗德从未声称他的量化理论具有优先权，但他并没有从弗雷格那里学来。施罗德本人将他对 Σ 和 Π 的使用归功于查尔斯·S·皮尔士和皮尔士的学生奥斯卡·霍华德·米切尔（Schröder 1891, 120–121）。（Peckhaus 2004: 12）
之后，著名的数学家和逻辑学家洛文海姆、斯科勒姆和泽尔梅洛都使用了皮尔士-施罗德符号。皮亚诺也非常熟悉皮尔士-施罗德代数逻辑。普特南还将怀特海德归入这一传统中：
这本《怀特海德的普遍代数》正是属于布尔、施罗德和皮尔士所属传统的作品，这一传统将一般代数和逻辑视为几乎同一学科。（普特南 1982 年：298）
有趣的是，普特南指出，怀特海德的这部分工作是在与罗素合作之前完成的，在这个早期阶段，怀特海德的工作，尤其是关于量词的工作，提到了皮尔士和他的学生，但没有提到弗雷格。显然，我们需要等到罗素引起我们对弗雷格的注意，但“似乎全世界逻辑学界都知道皮尔士”（普特南 1982 年：297）。普特南将皮尔士小组称为“有效”的量词发现者，将弗雷格称为发现者，可能是解决弗雷格先行还是皮尔士先行的辩论的一个解决方案。
虽然许多人关注量词的发展，但值得注意的是，塔斯基在他 1941 年的论文《关系演算》中引起了我们对关系代数的重要性的关注。正如皮尔士在他的 DNLR（1870 年）论文中所做的那样，塔斯基承认了德摩根的贡献：德摩根首先意识到了代表关系以及性质的必要性，并在传统逻辑的限制上进行了斗争。塔斯基还充分肯定了皮尔士在关系演算方面的实质性进展。
关系理论的创始人头衔被保留给了 C. S. 皮尔士。在 1870 年至 1882 年之间发表的几篇论文中，他引入并明确了关系理论的所有基本概念，并制定和建立了其基本法则...特别是，他的研究表明，关系理论的很大一部分可以被呈现为一种形式上类似于 G. 布尔和 W. S. 杰文斯发展的类演算的演绎演算，但在表达丰富性方面远远超过了它，因此从演绎的角度来看更加有趣。（塔斯基 1941: 73）
这段文字不仅将皮尔士的逻辑成就置于逻辑代数传统的背景中，还将皮尔士的工作描述为对布尔和杰文斯的单调逻辑的扩展。（有关皮尔士在布尔传统中的位置的更多细节，请参见逻辑代数传统词条。）
一些皮尔士学者还声称，皮尔士发明量词是皮尔士自己的逻辑哲学的产物，与弗雷格的逻辑哲学不同（Brady 1997; Burch 1997; Iliff 1997; Merrill 1997）。Hintikka（1997）提出了解释弗雷格和皮尔士对现代逻辑的贡献的主要区别的有趣观点。追溯到弗雷格自己对演绎与语言表征的区别，van Heijenoort 在弗雷格所提到的两种相反的逻辑观点之外，增加了一个新的维度（van Heijenoort 1967：脚注 1，第 329 页）[21]。弗雷格强调了命题逻辑和量化逻辑之间的差异，而 van Heijenoort 则将差异定位在所取的整体上。布尔的传统对整体没有任何本体论承诺，但它“可以随意改变”（1967：325）。另一方面，弗雷格的语言是关于宇宙的。借用 van Heijenoort 对布尔逻辑作为演绎和弗雷格逻辑的普遍性的区分，Hintikka 将皮尔士定位在布尔的阵营中，并称之为模型论传统。与弗雷格对宇宙的看法不同，模型论传统允许我们重新解释语言，从而为量词分配不同的宇宙。根据 Hintikka 的观点，皮尔士发展模态逻辑是一个很好的证据，可以展示皮尔士理解量词的方式是多么富有成果（Hintikka 1997）。在下一节中，我们将重新讨论皮尔士的图形系统时，我们将重新讨论这个问题。
2. 从符号到图像的表征
迄今为止，我们已经论证了皮尔士关于关系的洞察力推动他将逻辑的领域从单元的、非关系的命题逻辑扩展到多元的、关系的量化逻辑。这是我们所知的现代逻辑的开端。在本节中，我们从另一个角度探讨皮尔士的冒险——将表现形式从符号系统扩展到图示系统，我们讲述了一个故事，其中他的两种不同的扩展方式——从非关系到关系的扩展和从符号到图示的扩展——彼此相连。
皮尔士以图形方式呈现了命题逻辑、量化逻辑和模态逻辑，并分别发明了三个存在图系统（EG）——Alpha、Beta 和 Gamma。尽管皮尔士自己对存在图的评价是“我的杰作”，但 EG 不得不等待半个世纪才能被理解，直到两位哲学家——唐·罗伯茨和杰伊·泽曼——完成了他们令人印象深刻的工作。在 20 世纪 80 年代，由于约翰·索瓦将 EG 应用于概念结构的知识表示，EG 开始受到新学科——计算机科学和人工智能——的关注。最近，在 20 世纪末，关于多模态推理的跨学科研究引起了我们对非符号系统的关注（参见，例如，巴尔维斯和奥尔温 [编] 1996 年和巴尔维斯和埃切门迪 1991 年），而 EG 毫不意外地占据了他们的榜首。在这种背景下，Shin（2002 年）关注了符号系统与图示系统之间的差异，并提出了一种理解 EG 系统的新方法，尽管这在 Pietarinen 2006 年受到了批评。
虽然皮尔士在 1870 年至 1885 年的正式著作中主要提出了线性表达式，[22] 但弗雷格在 1879 年的《概念符号》中采用的符号表示法更具有图像性；至少不像皮尔士在上述时期那样线性。然而，发明了一个完整的非符号系统来表示一阶逻辑的是皮尔士，而不是弗雷格——存在图。皮尔士的存在图系统，而不是他的线性一阶符号表示法，被呈现为一个演绎系统，具有推理规则。随着对存在图系统的更严格研究，人们也提出了有关皮尔士发明该系统的哲学问题。对存在图的力量和新颖性的发现自然地引导我们进入皮尔士哲学的其他部分。为什么和如何发明了存在图？存在图揭示了皮尔士对逻辑和表示的观点？
许多人指出，皮尔士的符号理论将符号分为三种类型——符号、指示物和图像——是皮尔士存在图的最重要的理论背景。[23] 例如，如下所示，椭圆和线条以及字母是皮尔士存在图的基本词汇。将皮尔士对图像的兴趣与他发明的图形系统联系起来是很自然的（Shin 2002: 22–35）。然而，要准确描述图像的特征和皮尔士图形系统的图像性质需要比我们的直觉提供的更多工作。此外，皮尔士对图像的讨论与他发明完整的图形系统之间存在很大的差距；还需要引入其他因素来解释皮尔士是如何从关于图像的初步想法一直发展到存在图的。
在一个稍微不同且更大的视角中，范·海耶诺特对布尔的演绎演算与弗雷格的语言表征的区分可能与这个主题有关。与 Hintikka 和 Goldfarb 都认同的评价一致，皮尔士属于布尔的传统，Shin 发现了逻辑的模型论观点（布尔和皮尔士所处的位置）与 EG 的诞生之间的联系（参见 Shin 2002: 14–16 和 Pietarinen 2006）。然而，皮尔士对语言重新解释的意识是必要的，但并不足以支持他追求一种不同形式的表达方式。虽然皮尔士的项目假设了对给定系统的不同模型的可能性，但并非每个布尔都提出了多个系统。布尔本人对解释的概念以及将数学系统作为算法使用的想法有着清醒的认识，纯粹机械地转换符号而不依赖任何意义。（Putnam 1982: 294）
另一方面，Burris 和 Legris 的条目向我们展示了布尔的逻辑代数传统如何引导我们发展模型论（参见有关逻辑代数传统的条目）。
On the other hand, Burris and Legris’s entry shows us how Boole’s algebra of logic tradition has led us to the development of model theory (see the entry on the algebra of logic tradition).
2.1 将实用主义原则应用于关系逻辑
在不挑战涉及皮尔士的 EG 的现有解释的情况下，在本条目中，我们想引入皮尔士在 EG 之旅中被忽视但至关重要的一个方面，以便我们的故事可以填补皮尔士整体哲学的一部分的拼图。皮尔士对新逻辑的使命始于如何表示关系，这导致他发明了量词和约束变量，正如我们在前一节中讨论的那样。我们声称，同样的承诺，即在逻辑系统中表示关系，是皮尔士寻求一种新的符号系统-关系的图像表示的主要动机。皮尔士在欧拉/文氏图上的工作为我们提供了另一组证据，以支持我们的主张，即 EG 背后的主要动机是表示关系。在改进文氏系统的同时，皮尔士意识到以下缺陷无法消除：
[T] 该系统 [Venn 的] 没有提供展示关系或抽象性推理的手段。它不适用于相对论的逻辑。（皮尔士 1911b [CP 4.356]）
再次，我们并不认为这是创造 EG 的关键因素，而是与他的符号理论和模型论逻辑观点相得益彰的一个关键要素。
皮尔士的图形表示首次出现在他 1897 年的论文《亲属逻辑》中。在他自己的新线性符号在 1885 年出现之后，为什么皮尔士会重新审视关系逻辑呢？论文的第一段提供了一个直接的答案：
我希望传达一些关于新逻辑是什么的想法，以及两个“代数”，即通过字母和其他字符进行图示表示的系统，与算术代数类似，已经被发明用于研究亲属逻辑，以及...（1897a [CP 3.456]）
有两点需要注意。一是皮尔士将图示系统也称为“代数”。也就是说，根据皮尔士的说法，代数不仅限于符号系统。另一点是，皮尔士明确指出，两种不同形式的代数进行了新逻辑的推进，而不是新的逻辑。
在思考关系逻辑的范围时，一个问题出现了：为什么皮尔士觉得有必要使用与 1885 年符号不同的另一种表达形式？“我必须清楚地展示什么是关系”（1897a [CP 3.456]）。皮尔士认为，“关系”的清晰理解是他进入不同形式的逻辑系统的指南。在这里，我们想引起读者对皮尔士著名论文“如何使我们的思想清晰”（1878）的注意，其中有三个部分专门讨论了三个意义层次（请参阅有关皮尔士符号理论的条目）。
对于“关系”这个词的第一层次的理解来自我们的日常经验，第二层次是对其进行更抽象和一般性的定义式理解。根据皮尔士的说法，这还不足以实现对“关系”这个词的全面理解。最后，皮尔士的实用主义原则的标志性特点将我们引向第三层次的清晰度：
看起来，获得第三级清晰理解的规则如下：考虑我们构思对象可能具有实际影响的效果。那么，我们对这些效果的整个构思就是我们对对象的整个构思。（1878 [CP 5.402]）
为了理解关系是什么，我们需要知道它会导致什么。然后，问题是我们如何知道它的后果是什么。这里是皮尔士在 1897a 论文中给出的一个答案，就“关系”一词而言：
第三级清晰度包括对这个想法的一种表达，使得有助于推理，并且可以应用于解决困难的实际问题。（1897a [CP 3.457]）
因此，关系的表达方式在确定从一个关系状态中得出什么是至关重要的。更好的表达方式将产生更多的“富有成效的推理”，因此对解决实际问题更有帮助。显然，在皮尔士的论文中，他打算寻找更理想的表达方式。重要的是，在第 4 节中讨论了“关系”的意义的第三个层次的清晰度时，关系的图示表达首次出现。
受到 A.B.肯普的图形表达的影响，皮尔士发现了关系和化学化合物之间的类比：
化学原子在具有一定数量的自由端或“未饱和键”方面与亲属非常相似，这些自由端对应于亲属的空白。（1897a [CP 3.469]）
化学分子由化学原子组成，原子之间的连接方式基于每个原子的自由端数量。例如，化学原子 H 有一个自由端，化学原子 O 有两个自由端。因此，以下组合是可能的，它是水分子 H2O 的表示：
关系逻辑的类比如下：一个句子由名称（专有名称或指数）和谓词组成，每个谓词都有固定的元数。例如，谓词“爱”需要两个名称，“给”需要三个名称。因此，以下图示表示是语法正确的，它是命题“约翰爱玛丽”的表示。
皮尔士通过采用化合价学说作为类比的关键要素，在化学和关系逻辑之间创建了一种新颖而富有成效的类比，如上述两个图示所示。皮尔士相信，这种图形化的表示方式将帮助我们更有效地构思给定关系的后果或影响。皮尔士提出了实体图，它是 EG 的前身。
EG 保留了这里发展的关系表示，并作为皮尔斯关系逻辑的最终和最珍贵的符号（1903a）。 EG 由三个部分组成，Alpha、Beta 和 Gamma，分别对应命题逻辑、一阶逻辑和模态逻辑。 在以正式方式呈现 Alpha 系统之后，我们讨论了 EG 的 Beta 系统，重点关注皮尔斯在将命题图形系统扩展为量化图形系统方面的新颖思想。 有关更多详细信息，我们推荐罗伯茨、泽曼、索瓦和辛等人关于 EG 的著作。
2.2 Alpha 系统
皮尔斯的 Alpha 图可以在黑板、白板或纸张上绘制。 基本单位是一个没有任何联结词（否定、合取、析取或条件等）的简单句子。 以下是一个基本的 Alpha 图的示例，它断言天晴。
当我们想要断言天晴且有风时，我们以以下方式并列两个基本的 Alpha 图形：
为了使 Alpha 图形在布尔功能上完备，我们只需要表示否定。以下 Alpha 图形表示天不晴的情况，通过在上述图形周围加上一个切割线：
当我们有否定和合取时，保持正确的顺序非常重要。“天不晴且没有风”与“天晴且有风不成立”是不同的。因此，“天晴且有风不成立”这个句子是有歧义的，取决于“不成立”的范围。在命题逻辑中，使用括号来避免这种歧义：¬(S∧W)与 ¬S∧W。皮尔士的警告如下：
存在图的解释是内部的，即向内进行；因此，一个巢穴从外部向内吸取意义，直至其中心，就像海绵吸水一样。（皮尔士 1910a：18，Ms 650）
因此，下面的阿尔法图应该被理解为“¬P∧¬Q”，而不是“¬(P∧¬Q)”：
理解阿尔法图的这种方式并不是错误的，但给人一种错误的印象，即阿尔法系统等同于一个具有两个连接符号（否定和合取）的命题系统。我们都更喜欢有更多的连接词，尤其是在使用语言时。本节探讨了阿尔法图的另一种阅读方式，超越了仅有否定和合取的范围，而不引入任何新的句法设备。
以下我们介绍 Alpha 图作为一个具备其语法和语义的形式系统。这些工具对皮尔士来说并不可用，演绎的目的是要显示皮尔士的 EG 与其他形式系统本质上并无不同。同时，为了将皮尔士的图形系统置于传统发展完善的逻辑讨论中，将会有一个中间阶段，即将皮尔士的图形转换为符号语言。这将使皮尔士的图形更易于理解，同时支持我们的观点，即皮尔士扩展了具有与符号表示相同逻辑范围的表达形式。
语法
词汇表
句子符号：A1，A2，…
切割
良构图解
一个空白空间是一个良好构造的图表。
一个句子符号是一个良好构造的图表。
如果 D 是一个良好构造的图表，那么 [D] 也是一个（我们写作“[D]]”）。
如果 D1 和 D2 是良好形成的图表，则 D1 和 D2 的并置也是良好形成的（写作“D1 D2”）。
其他任何东西都不是良好形成的图表。
在这里，我们提出了系统的两种等效阅读方法。根据皮尔士自己的建议（如上所引），形式化的内部阅读算法是理解 EG 的传统方式。另一种阅读方法，多重阅读算法，是最近更有效地接近 EG 的一种方法。[28]
内部阅读算法
如果 D 是一个空格，则将其翻译为 ⊤。
如果 D 是一个句子符号，比如 Ai，则将其翻译为 Ai。
假设 D 的翻译是 α。那么，[D] 被翻译成(¬α)。
假设 D1 的翻译是 α1，D2 的翻译是 α2。
那么，D1 D2 的翻译是(α1∧α2)。
多重阅读算法
如果 D 是一个空格，则将其翻译为 ⊤。
如果 D 是一个句子符号，比如 Ai，则将其翻译为 Ai。
假设 D 的翻译是 α。那么，[D] 被翻译成(¬α)。
假设 D1 的翻译是 α1，D2 的翻译是 α2。
D1D2 的翻译是(α1∧α2)，
[D1D2] 的翻译是(¬α1∨¬α2)，
[D1 [D2]]的翻译是(α1→α2)，以及
[[D1] [D2]]的翻译是(α1∨α2)。
这两种解读各有其优势。[29] 内部解读确保了阿尔法系统在真值功能上是完备的，因为它具有表达合取和否定的能力。然而，这种传统方法在以下两个关于阿尔法图的错误判断中负有部分责任：
除了阿尔法图使用切割而不是符号连接词之外，阿尔法系统与只有两个连接词 ∧ 和 ¬ 的命题语言之间几乎没有太大区别。
就实际应用而言，正如我们不希望在语言中只使用两个连接词一样，我们没有理由选择阿尔法系统而不是具有更多连接词的命题语言。
挑战这些误解，多重阅读算法表明 Alpha 图并不一定只能通过“∧”和“¬”来阅读，而可以直接通过其他连接词来阅读。可以提出两个问题：
多重阅读方法中是否存在冗余？例如，上述的 4(b)条款是否可以通过 3 条款和 4(a)条款来替代？
这种新的阅读方式是否表明 Alpha 系统就像一个具有各种连接词的命题语言？
让我们通过以下示例来回答这些问题。
示例
以下图表被翻译成以下四个公式：
| 1. | ¬(¬R∧¬S) | 内部阅读 |
|---|---|---|
2. | R∨S | 多重阅读的 4(d) |
3. | ¬R→S | 多重阅读的 3 和 4(c) |
4. | ¬¬R∨¬¬S | 多重阅读的 3 和 4(b)节 |
内部阅读使我们只能得到第一种阅读，但是通过多重阅读我们可以得到不同的句子。当然，所有这些句子在逻辑上是等价的。有一个有趣的观点：在符号系统的情况下，我们需要使用推理规则来证明上述句子之间的等价关系。但是，在采用多重阅读的 Alpha 系统中，推导过程是可有可无的。[30] 因此，除了第 3 节和第 4(a)节之外，还有第 4(b)节是不冗余的，而是突出了 Alpha 系统与具有各种连接词的符号语言之间的根本区别（参见 Shin 2002：§§4.3.2、4.4.4 和 4.5.3）。
由于我们对命题逻辑有语义学，并且我们的阅读方法将 Alpha 图转化为命题语言，因此我们可以不直接使用语义学。然而，如果坚持使用直接语义学：
语义学
让 v 是一个真值函数，它为每个命题符号分配 t 或 f，并为空格分配 t。现在，我们将这个函数扩展到 ¯¯¯v 如下：
如果 D 是一个命题符号或一个空格，那么 ¯¯¯v(D)=v(D)。
¯¯¯v([D]) = t 当且仅当 ¯¯¯v(D) = f.
¯¯¯v(D1D2) = t 当且仅当 ¯¯¯v(D1) = t 并且 ¯¯¯v(D2) = t.
我们还想强调这不是接近皮尔士的 EG 的唯一方式。例如，有人声称皮尔士预示了博弈论语义学，因此从博弈论的角度提出了对 EG 更动态的理解（Burch 1994; Hilpinen 1982; Hintikka 1997; Pietarinen 2006）。
皮尔士明确表示他的 EG 是一个配备了推理规则的演绎系统：
存在图系统是一类特定的图表，可以进行某些变换操作。（1903a [CP 4.414]）
Alpha 系统的推理规则如下所示：（1903a [CP 4.415]）[ 31]
权限代码
权限编号 1. 在每个特殊问题中，这样的图表可以根据特殊问题的条件被刻在断言表上。
权限编号 2. 可以擦除断言表上的任何图表，除了一个完全空白的封闭区域。
许可证号 3。无论是允许在断言表上写什么图形，都可以在断言表的任何未占用部分上写，而不管断言表上已经有什么。
许可证号 4。在断言表的双切割区域上写的任何图形都可以在断言表上写。
许可证号 5。可以在断言表上画双切割线；并且可以在断言表上的任何双切割线的内部区域上写任何图形。
许可证号 6。在断言表上允许的任何变换的反向变换在断言表上的任何切割区域上也是允许的。
许可证号 7。每当我们被允许在断言表上书写任何我们喜欢的图形时，我们有权宣布特殊问题的条件是荒谬的。
强调擦除与插入之间的对称性以及切割的奇偶数，Shin 重新编写了规则（Shin 2002: 84–85）：
重构的转换规则
RR1: 在一个 E 区域 [32]，比如说，区域 a，
我们可以擦除任何图形，并且
如果有 X 的令牌，我们可以绘制图 X
RR2：在一个 O 区域 [33]，比如区域 a，
如果有另一个 X 的令牌，我们可以擦除图 X
我们可以绘制任何图形。
RR3：可以在图形的任何部分擦除或绘制双切。
关于演绎序列的示例，请参考罗伯茨（1973 年：45-46）和辛（2002 年：91）。
2.3 Beta 系统
在 §1.1 中，我们展示了形式化关系是皮尔士新逻辑——一阶逻辑的关键动机。在 §2.1 中，我们建立了皮尔士自己实用主义格言和他对关系的图形表示之间的联系。皮尔士的目标不是通过发明一个图形系统来呈现一个新的逻辑，而是为由量词和约束变量执行的逻辑提供另一种新的符号。他几乎认为，关系的图形表示有助于我们以更高效的方式观察它们的后果。因此，Beta 系统可以被认为是皮尔士为寻找更好的逻辑符号而进行的漫长旅程的最终目的地，这个旅程最早可以追溯到 1870 年。[34]
在本条目中，我们不会详细介绍 Beta 系统的形式细节，而是参考 Shin 的第 5 章，其中详细讨论了 Beta 图的三种稍有不同的方法——Zeman 的、Roberts 的和 Shin 的。虽然 Zeman 的阅读是全面和正式的，Roberts 的方法似乎更符合对系统的直观理解。Shin 利用这两个现有作品的优点，发展了一种新的 Beta 图阅读方法，并重新制定了系统的转换规则。[35] 她的方法侧重于 Beta 图的视觉特征，并突出了符号与图示系统之间的基本差异。在本条目的剩余部分，我们将探讨关系逻辑的本质如何在 Beta 系统中以图形方式表示，以便读者可以将 EG 置于皮尔士的整个事业的更大背景中。
量词和约束变量的引入被认为是符号系统中一阶逻辑的关键步骤之一。这就是为什么一些逻辑学家认为皮尔斯的 1885 年论文《逻辑代数：符号学哲学的贡献》是现代逻辑的诞生地。如果是这样的话，那么皮尔斯如何在贝塔图中表示量词和约束变量呢？
有趣的是，当皮尔斯考虑一个图形系统时，他首先关注的是关系的表示，而不是量词的表示。正如我们在 §3.1 中所说，皮尔斯提出了一种基于化学分子类比的图示表示，以全面理解关系。因此，谓词的元数由从谓词项辐射出的线的数量表示。接下来，皮尔斯扩展了使用一条线连接谓词的方法：
在许多推理中，有必要写出一个连词命题，其中两个成员与同一对象相关，以区分这些成员。... [I] 它们的符号必须实际上连接在一起。没有比下面的图示更具有象征意义的方法了：
(1903b [CP 4.442])
皮尔士称连接两个表示同一对象的谓词的线为身份线。也就是说，在 Beta 图中，同一性在视觉上得到了表示。[36] 在符号语言的情况下，我们可以采用同一的量化变量类型来表示同一性。例如，上面的图表表示 ∃x(x<A ∧ B<x)，因此，变量类型 x（大致上）对应于身份线。然而，在其他情况下，同一变量类型不足以表示同一性，例如，∃x(x<A ∧ B<x)→∃x(x<C)。
Beta 系统中表示普遍和存在性陈述的方式突显了图形和符号系统之间的差异。皮尔士没有采用更多的句法设备来进行量化，而是依赖于以下视觉特征：
[A] ny line of identity whose outermost part is evenly enclosed refers to something, and any one whose outermost part is oddly enclosed refers to anything there may be. (1903b [CP 4.458][37])
让我们从罗伯茨（1973 年：51）那里借用以下两个图表：[ 38]
第一个图表（其中线的最外层部分是均匀的、零次封闭）表示某些好的东西是丑陋的，而第二个图表（其中最外层部分封闭一次）表示一切好的东西都是丑陋的。[ 39]
当使用多个量词时，如何处理范围问题？在符号系统的情况下，线性顺序可以解决这个问题。皮尔士对于 EG 的解决方案是读取另一种视觉性：线条最外层的部分越不封闭，线条的范围就越大。
Roberts 的下面的例子很好地说明了范围问题（1973: 52）：
第一个图表表示
∀x(天主教徒(x)→∃y [崇拜(x,y)∧ 女人(y)])
和第二个
∃y(女人(y)∧∀x [天主教徒(x)→崇拜(x,y)])。
在第一个图中，最外层部分奇数包围的线比最外层部分均匀包围的线更少包围。因此，普遍量词的范围比存在量词更大。在第二个图中，情况正好相反。
让我们总结一下 Beta 系统的三个有趣特点：
在 Beta 系统中，关系以图形而不是符号的方式表示，以线条为单位。我们认为，最终是皮尔士的实用主义原则支持了这种替代的表示方式。
通过关于一条线的最外部部分是否位于由奇数或偶数个切割所围起来的区域内的视觉事实，表示了普遍性与存在性陈述之间的区别。
量化的顺序由以下的可视性表示：线条被围得越少，其范围就越广。
3. 从二值逻辑到三值逻辑
Fisch 和 Turquette（1966 年）在 Peirce 的逻辑笔记本（1865-1909，Ms 339）中发现了三页关键内容。这表明 Peirce 发明的三值命题逻辑至少比 Jan Lukasiewicz 和 Emil Post 在同一主题上的成就早了十年。这三页包含了三元逻辑的基本要素和关于 Peirce 开展三元逻辑背后动机的有趣段落。如果我们用当代术语来看待 Peirce 对三元逻辑的发展，Peirce 似乎在涉足非标准逻辑。如果是这样，这次冒险将与我们在前几节中讨论的其他两次冒险有质的不同。
当 Peirce 发展关系逻辑时，形式化的领域得到了极大的扩展。新的词汇，因此，新的句法规则和语义规则被添加进来。自然地，我们欢迎形式化的领域，因此，理论上的证明是不需要的。从命题逻辑到关系逻辑——这在字面上是一个扩展：我们不丢弃以前的结果——因此它们被保留下来——但我们所做的只是扩展它们。
另一方面，在扩展到非符号语言的情况下，逻辑本身保持不变，没有增加或减少，但引入了一种新的表示形式。也就是说，扩展的不是要表示什么，而是如何表示。有些人可能看不到各种形式的表示的必要性，也可能不相信图形系统的必要性。尽管如此，在理论层面上，Peirce 的 EG 并不需要冗长的理论证明。在某种意义上，证明就在于实践：这个新的图形系统能否执行与现有符号系统相同的任务？如果可以，哪个系统更容易使用？哪个系统更高效？我们可能无法达成明确的共识，但讨论是比较可预测的。
然而，当向 T（真）和 F（假）添加一个以上的语义值时，逻辑就不再保留。当语义被扩展或改变时，新的逻辑既不是逻辑领域的单调扩展，也不是现有符号系统的替代语法形式。三元逻辑通过引入一个以上的语义值，偏离了基于二值性的标准逻辑。在这里，排中律（“Q 或非 Q”）的原则地位受到动摇。矛盾律也是如此。任何非标准逻辑都有责任证明其非标准性：为什么有第三个值？第三个值是什么？未知的？如果是这样，这是一个认识论问题吗？不确定的？如果是这样，这是否需要一个形而上学的解释？
第一小节总结了皮尔斯的三元逻辑演绎法，第二小节简要讨论了皮尔斯自己对三元逻辑的动机。
3.1 三值系统的真值表
引入了三个值，V、L 和 F，其中 V 为真，L 为不确定，F 为假。传统的命题逻辑语义域，真和假，被扩展以包括“不确定”。基于这个扩展的语义领域，皮尔士提出了几个命题运算符的语义，其中一个是一元的，其他的是二元的。稍微修改皮尔士的表述，使其更类似于我们传统的真值表样式，但不改变内容，我们呈现了这三个运算符的真值表。
一元运算符的语义，对应于否定：
| x | ¯x |
|---|---|
V | F |
L | L |
F | V |
呈现了六个二元连接词的语义：
| x | y | Φ(x,y) | Θ(x,y) | Ψ(x,y) | Z(x,y) | Ω(x,y) | Γ(x,y) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
V | V | V | V | V | V | V | V |
L | V | V | V | V | L | L | L |
F | V | V | V | F | F | F | V |
V | L | V | V | V | L | L | L |
L | L | L | L | L | L | L | L |
F | L | F | L | F | F | L | L |
V | F | V | V | F | F | F | V |
L | F | F | L | F | F | L | L |
F | F | F | F | F | F | F | F |
为什么是六个？这些连接词的语义背后的理论是什么？理解它们的一种方法是确定三个值之间的优先级。
对于 Φ 的情况，
如果至少有一个是 V，那么 Φ(x,y)就是 V，
否则，如果至少有一个是 F，则 Φ(x,y)是 F，且
否则，Φ(x,y)是 L。
也就是说，V 是最主导的，F 次之，L 是最小的。
出现了六种层次结构模式：
Φ | V>F>L |
Θ | V>L>F |
Ψ | F>V>L |
Z | F>L>V |
Ω | L>F>V |
Γ | L>V>F |
皮尔士的 Θ 是我们熟悉的析取，皮尔士的 Z 是合取。
3.2 为什么是第三个值？
用皮尔士自己的话说：
三元逻辑是一种逻辑，虽然并不完全拒绝排中律原则，但它承认每个命题“S 是 P”要么是真的，要么是假的，要么具有一种更低的存在方式，既不能确定地是 P，也不能确定地不是 P，而是处于 P 和非 P 之间的极限状态。（来自 Ms 339，摘自 Fisch＆Turquette 1966：75）
什么时候我们对命题“S 是 P”有 L 值（不确定值）？皮尔士说，有时 S 具有一种更低的存在方式是 P，并处于 P 和非 P 之间的极限状态。问题的关键在于如何解释“更低的存在方式是 P”和“处于 P 和非 P 之间的极限状态”这两个短语。现有的文献提供了两种不同的解释方式——模态性与连续性。
菲什和图尔凯特在发现皮尔士关于三元逻辑的笔记后，将不确定性的根源定位在潜在性上。也就是说，不确定性是赋予未实现情况的语义值；因此，在这一点上我们既不能说“S 是 P”，也不能说“S 不是 P”。根据这种观点，潜在性无法被二元逻辑所捕捉。如果是这样的话，皮尔士的三元逻辑与模态语言直接相关，菲什和图尔凯特得出结论：
从本质上讲，皮尔士似乎在说，三元逻辑可以被解释为一种模态逻辑，旨在处理由皮尔士称之为“潜在性”和“真实可能性”的存在方式所导致的不确定性。在这种解释下，二元逻辑成为三元模态逻辑的一种极限情况，通过消除不确定性并完全由“实际性”决定。（菲什和图尔凯特 1966: 79）
根据模态解释，皮尔士的“较低的存在方式 P”意味着 P 不是实际的，而皮尔士的第三个值 L，作为潜在的，是“在 P（即 T）和非 P（即 F）之间的极限”。在论文的后面，作者提出了皮尔士的三元逻辑与麦考尔蕴涵（而非物质蕴涵）之间可能存在的关系，并作出了有趣的评论：
考虑到 MacColl 对 Russell 的物质蕴涵的拒绝，有趣的是还要注意到 MacColl 的“Def. 13”给出了现在被称为“C. I. Lewis 的严格蕴涵”的定义。（Fisch＆Turquette 1966：83）
尽管在他们的论文中没有进一步探讨这种联系，但人们不禁意识到他们的模态解释与 MacColl 的蕴涵之间的关系增强了，因为 C. I. Lewis 的严格蕴涵是模态逻辑的起点。然而，将 Peirce 的三元逻辑与模态逻辑等同起来，模态观点需要解释 Peirce 在 1903c 年关于模态的 Gamma 图讲座与 1909 年写的三元逻辑笔记之间的关系（[Ms 339] 340v，341v，344r）。在 Gamma 图中探索的模态逻辑是古典逻辑的扩展，需要新的词汇，例如断裂切割和着色。模态逻辑不一定是非标准的。另一方面，三元逻辑不添加任何词汇，但引入了不同的解释，并成为非标准逻辑。在略有不同的观点上，Fisch 和 Turquette 提出 Peirce 的 tychism（不确定性是现实的一部分的观点）是 Peirce 发明三元逻辑的动机。如果是这样，Peirce 的三元逻辑是他自己形而上学的反映。
挑战模态观点，Robert Lane 提出了 Peirce 的三元逻辑的连续解释。根据 Lane 的观点，Peirce 的不确定值 L 与模态无关，因此，Peirce 发展三元逻辑不是模态逻辑的另一种机制，而是与 Peirce 的 synechism（一切存在都是连续的）的教义有关（约 1897b [CP 1.172]）！Peirce 的连续哲学如何证明第三个值的存在？
首先，Lane 在命题的排中律（PEM，以下简称）为假与 PEM 不适用于命题之间做了区分。如果 PEM 是真或假，这意味着该原则适用于它。而且，Lane 声称 PEM 仅适用于非普遍和非情态命题，引用了 Peirce 的以下段落：
只要排中律原则不适用于某事物，它就是普遍的；只要矛盾原则不适用于某事物，它就是模糊的。（1905 年：488 [CP 5.448]）
如果一个断言是以“必然方式”进行的，那么只有当所断言的肯定和否定都可能是假的时候，才能这样说。因此，如果一个人说“明天肯定会下雨”，这样说既可能是假的，也可能是假的。（1910b：26-28，Ms 678）
如果一个命题是普遍的或者表达必然性，PEM 不是错误的，但也不适用。因此，关注个体和非模态命题，Lane 将我们的注意力引向 L-命题中谓词的特殊性质。Lane 将导致 L-命题的属性称为“边界属性”。这是皮尔士自己关于边界属性的一个例子：
因此，纸上有一个污点。然后纸上的每一个点都是未变黑或变黑的。但是边界线上有点，这些点不能变黑也不能变白，因为这些谓词是关于 S 周围区域的，而线段没有任何点的区域。（Ms 339: 344r，引自 Lane 1999: 294）
边界线上的那些点既不是黑的也不是非黑的。考虑命题“点 O 是黑的”和“点 O 不是黑的”（其中点 O 位于黑色污点的边界线上）。它们都不是真的，而是假的。这些是皮尔士 L-命题的典型例子。使用皮尔士在前一小节中的真值表，让我们计算“点 O 是黑的或点 O 不是黑的”的真值。
令 α 为“点 O 为黑色”的值，即 L。
| α | ¯α | Θ(α,¯α) |
|---|---|---|
L | L | L |
注意应用了 PEM，但并非真实，时期。
Lane 的下面的结论将受到许多皮尔士学者的欢迎：
查尔斯·桑德斯·皮尔士认为边界命题对他来说很重要，因为连续性对他来说很重要；...这使他认为边界命题既不是真的也不是假的。我认为，为了适应这样的命题，以及连续性现象，皮尔士在三元逻辑方面的实验是出于这个动机。（Lane 1999: 304）
不管是否认同连续性的讨论，有些人可能不希望形而上学进入逻辑。此外，如果不接受皮尔士的连续主义，Lane 认为皮尔士的三元逻辑，试图将连续性现象形式化，可能会失去其力量。
前两节表明，皮尔士的关系逻辑和图形系统使我们在逻辑的处理方式和方法上更进一步，以便我们可以更多地形式化，并以更多种方式进行形式化。正如本节开头所解释的，三元逻辑既不仅仅是为了进一步扩展，也不是为了达到相同的目的而提供的替代方案。通过扩展语义实体，我们有了不同的逻辑，例如，PEM 不为真。这就是为什么我们称三元逻辑为非标准逻辑的原因。然而，皮尔士引入第三个值的方式让我们有些犹豫。首先，与当代三元逻辑不同，皮尔士并没有完全放弃 PEM：
三元逻辑...不完全拒绝排中律...（来自 Fisch＆Turquette 1966：75 的 Ms 339：344r 复制）
我并不是说排中律完全是错误的；（1909：21-22 [NEM 3/2：851]，引自 Fisch＆Turquette 1966：81）
对于某些（而非全部）属性，由于事物的本质，我们发现自己陷入了明确 P 和明确非 P 之间的界限。如果我们想要将这些情况形式化，第三个值 L 就需要来表达边界情况的不确定性。因此，皮尔士本人并不认为三元逻辑是一种新的逻辑，而是现有二元逻辑的补充或扩展：
对于存在肯定断言和存在否定断言之间存在一个中间地带，这一认识并不涉及对现有逻辑的否定，而是对其进行了重大的补充。（1909 年：21-22 [NEM 3/2：851]，引自 Fisch＆Turquette 1966 年：81）
如果我们字面上接受皮尔斯的建议，他的三元逻辑并不是一种典型的非标准逻辑形式，而是皮尔斯扩展逻辑领域的另一种方式，与他的关系逻辑一起。
Bibliography
A. Primary Sources: Works by C. S. Peirce cited in this entry
[CP], Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Charles Hartshorne and Paul Weiss (eds), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1960, Volumes 1—5.
[W], Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition, 6 volumes, The Peirce Edition Project, M. Fisch, C. Kloesel, and N. Houser (eds), Bloomington, IN: Indiana University Press.
[Ms 339] 1865–1909, “Logic Notebook”, unpublished manuscript, Ms 339. Pages 340v, 341v, 344r replicated in Fisch and Turquette 1966: 73–75.
1866, “Lowell Lectures on the Logic of Science 1866, Lecture II”, Ms 353. Parts quoted in Merrill 1978.
1867, “An Improvement in Boole’s Calculus of Logic”, Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, 7: 249–261. Reprinted in CP 3.1–19. doi:10.2307/20179565
[DNLR] 1870, “Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from An Amplification of the Conceptions of Boole’s Calculus”, Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences, 9(2): 317–378. Reprinted in CP 3.45–148. doi:10.2307/25058006
1878, “How To Make Our Ideas Clear”, Popular Science Monthly, 12(January): 286–302. Reprinted in CP 5.388–410.
1880, “On the Algebra of Logic”, American Journal of Mathematics, 3(1): 15–57. Reprinted in CP 3.154–251. doi:10.2307/2369442
1882a, “Brief description of the algebra of relatives”, manuscript. Reprinted in CP 3.306–322.
1882b, Letter to Oscar H. Mitchell, MS L 294 (21 December 1882), quoted in Roberts 1973, p. 18.
1883a, “The Logic of Relatives” also known as “NoteB”, in Peirce (ed.) 1883b: 187–203. Reprinted in CP 3.328–358.
1883b, editor, Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University, Boston: Little, Brown, and Company.
1885a, “On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation”, The American Journal of Mathematics, 7(2): 180–202. Reprinted in CP 3.359–403. doi:10.2307/2369451
1885b, “Note”, undated but written for the issue of The American Journal of Mathematics just after the previous article. Reprinted in CP 4.403A–403M.
1896, “Review of Schröder’s Algebra und Logik der Relative”, The Nation, 62: 330–331.
1897a, “The Logic of Relatives”, The Monist, 7(2): 161–217. Reprinted in CP 3.456–552. doi:10.5840/monist18977231
c. 1897b, “Fallibilism, Continuity, and Evolution” (originally untitled), unpublished manuscript. Printed CP 1.141–175.
1903a, “Existential Graphs”, in his A Syllabus of Certain Topics of Logic, Boston: Alfred Mudge & son, pp. 15–23. Reprinted in CP 4.394–417.
1903b, “On Existential Graphs, Euler’s Diagrams, and Logical Algebra”, from “Logical Tracts, No. 2”. Reprinted in CP 4.418–529.
1903c, “The Gamma Part of Existential Graphs”, Lowell Lectures of 1903, Lecture IV, unpublished. Printed in CP 4.510–529.
c. 1903d, “Nomenclature and Divisions of Triadic Relations, as Far as They Are Determined”, manuscript, Printed in CP: 2.233–272.
1905, “The Issues of Pragmaticism”:, The Monist, 15(4): 481–499. Reprinted in CP 5.438–463. doi:10.5840/monist19051544/
1906, “Prolegomena to an Apology for Pragmaticism”, The Monist, 16(4): 492–546. Reprinted in CP 4.530–572. doi:10.5840/monist190616436
1909, Letter to William James, 26 February 1909, 40 pages. Reprinted in Peirce’s New Elements of Mathematics, volume 3/2: Mathematical Miscellanea 2, Carolyn Eisele (ed.), Boston: De Gruyter, 1976, NEM 3/2: 836–866.
1910a, “Diversions of Definitions”, unpublished, Ms 650.
1910b, “The Art of Reasoning Elucidated”, unpublished, Ms 678.
1911a, “Notes on Symbolic Logic and Mathematics”, with H. B. Fine, in Dictionary of Philosophy and Psychology, second edition, J. M. Baldwin (ed.), New York: Macmillan, volume 1, p. 518;. Reprinted in CP 3.609—3.645.
1911b, “Euler’s Diagrams”, in Dictionary of Philosophy and Psychology, second edition, J. M. Baldwin (ed.), New York: Macmillan, vol. 2, p. 28. Reprinted in CP 4.347–371.
B. Secondary Sources
Anellis, Irving H., 2012, “Peirce’s Truth-Functional Analysis and the Origin of the Truth Table”, History and Philosophy of Logic, 33(1): 87–97. doi:10.1080/01445340.2011.621702
Barwise, Jon and Gerard Allwein (eds), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press.
Barwise, Jon and John Etchemendy, 1991, “Visual Information and Valid Reasoning”, Visualization in Teaching and Learning Mathematics, Walter Zimmerman and Steve Cunningham (eds), Washington, DC: Mathematical Association of America, 9–24.
Beatty, Richard, 1969, “Peirce’s Development of Quantifiers and of Predicate Logic.”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 10(1): 64–76. doi:10.1305/ndjfl/1093893587
Boole, George, 1847, The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning, Cambridge: Macmillan, Barclay, & Macmillan.
Brady, Geraldine, 1997, “From the Algebra of Relations to the Logic of Quantifiers”, in Houser, Roberts, and Van Evra 1997: 173–192 (ch. 10).
–––, 2000, From Peirce to Skolem: A Neglected Chapter in the History of Logic, Amsterdam: Elsevier.
Brunning, Jacqueline, 1991, “C. S. Peirce’s Relative Product”, Modern Logic, 2(1): 33–49. [Brunning 1991 available online]
Burch, Robert W., 1994, “Game-Theoretical Semantics for Peirce’s Existential Graphs”, Synthese, 99(3): 361–375. doi:10.1007/BF01063994
–––, 1997, “Peirce on the Application of Relations to Relations”, in Houser, Roberts, and Van Evra 1997: 206—233 (ch. 12).
Dau, Frithjof, 2006, “Fixing Shin’s Reading Algorithm for Peirce’s Existential Graphs”, in Diagrammatic Representation and Inference, Dave Barker-Plummer, Richard Cox, and Nik Swoboda (eds.), (Lecture Notes in Computer Science 4045), Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 88–92. doi:10.1007/11783183_10
De Morgan, Augustus, 1847, Formal Logic or, The Calculus of Inference, Necessary and Probable, London: Taylor and Walton.
–––, 1864, “On the Syllogism, No. IV, and on the Logic of Relations”, Cambridge Philosophical Transactions, 10: 331—358. Originally written in 1859.
Dipert, Randall R., 1984a, “Peirce, Frege, the Logic of Relations, and Church’s Theorem”, History and Philosophy of Logic, 5(1): 49–66. doi:10.1080/01445348408837062
–––, 1984b, “Essay Review: Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University, 1883, Edited by Charles S. Peirce”, History and Philosophy of Logic, 5(2): 227–232. doi:10.1080/01445348408837072
–––, 1984c, “Review of Studies in Logic by Members of Johns Hopkins University”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 20(4): 469–472.
–––, 1995, “Peirce’s Underestimated Place in the History of Logic: A Response to Quine”, in Ketner 1995: 32–58.
–––, 1996, “Reflections on Iconicity, Representation, and Resemblance: Peirce’s Theory of Signs, Goodman on Resemblance, and Modern Philosophies of Language and Mind”, Synthese, 106(3): 373–397. doi:10.1007/BF00413591
–––, 2004, “Peirce’s Deductive Logic: Its Development, Influence, and Philosophical Significance”, in The Cambridge Companion to Peirce, Cheryl Misak (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, 287–324. doi:10.1017/CCOL0521570069.012
Frege, Gottlob , 1879 [1972], Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a. S.: Louis Nebert. Translated as Conceptual Notation, and Related Articles, Terrell Ward Bynum (trans.), Oxford: Oxford University Press, 1972.
Fisch, Max and Atwell Turquette, 1966, “Peirce’s Triadic Logic”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 2(2): 71—85.
Goldfarb, Warren D., 1979, “Logic in the Twenties: The Nature of the Quantifier”, Journal of Symbolic Logic, 44(3): 351–368. doi:10.2307/2273128
Grattan-Guinness, I., 2002, “Re-interpreting ‘λ’: Kempe on multisets and Peirce on graphs, 1886–1905”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 38, 327–350.
Hawkins, Benjamin S., Jr, 1995, “De Morgan, Victorian Syllogistic and Relational Logic”, in Modern Logic, 5(2) : 131–166. [Hawkins 1995 available online]
Herzberger, Hans G., 1981, “Peirce’s Remarkable Theorem”, in Pragmatism and Purpose: Essays Presented to Thomas A. Goudge, Leonard Wayne Sumner, John G. Slater, and Fred Wilson (eds), Toronto: University of Toronto Press, 41–58 and 297–301.
Hilpinen, Risto, 1982, “On C. S. Peirce’s Theory of the Proposition: Peirce as a Precursor of Game-Theoretical Semantics”, The Monist, 65(2): 182–188. doi:10.5840/monist198265213
–––, 2004, “Peirce’s Logic”, Handbook of the History of Logic: Volume 3, The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege, Dov M. Gabbay and John Woods (eds), Amsterdam: Elsevier, 611—658.
Hintikka, Jaakko, 1980, “C. S. Peirce’s ‘First Real Discovery’ and Its Contemporary Relevance”, The Monist, 63(3): 304–315. doi:10.5840/monist198063316
–––, 1988, “On the Development of the Model-Theoretic Viewpoint in Logical Theory”, Synthese, 77(1): 1–36. doi:10.1007/BF00869545
–––, 1990, “Quine as a Member of the Tradition of the Universality of Language”, in Perspectives on Quine, Robert B. Barret and Roger F. Gibson (eds), Cambridge, MA: B. Blackwell, 59–175.
–––, 1997, “The Place of C.S. Peirce in the History of Logical Theory”, in The Rule of Reason: The Philosophy of Charles Sanders Peirce, Jacqueline Brunning and Paul Forster (eds), Toronto: University of Toronto Press, 13–33.
Houser, Nathan, 1997, “Introduction: Peirce as Logician”, in House, Roberts, and Van Evra 1997: 1–22.
Houser, Nathan, Don D. Roberts, and James Van Evra (eds.), 1997, Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce, Bloomington, IN: Indiana University Press.
Ketner, Kenneth Laine (ed.), 1995, Peirce and Contemporary Thought: Philosophical Inquiries, New York: Fordham University Press.
Lane, Robert, 1999, “Peirce’s Triadic Logic Revisited”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 35(2): 284–311.
Ladd [Ladd-Franklin], Christine, 1883, “On a New Algebra of Logic”, in Peirce (ed.) 1883b: 17–71.
Iliff, Alan, 1997, “The Role of the Matrix Representation in Peirce’s Development of the Quantifiers”, in Houser, Roberts, and Van Evra 1997: 193–205 (ch. 11).
Merrill, Daniel D., 1978, “DeMorgan, Peirce and the Logic of Relations”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 14(4): 247–284.
–––, 1990, Augustus De Morgan and the Logic of Relations, Dordrecht: Kluwer. doi:10.1007/978-94-009-2047-7
–––, 1997, “Relations and Quantification in Peirce’s Logic, 1870–1885”, in Houser, Roberts, and Van Evra 1997: 158—172 (ch. 9).
Michael, Emily, 1974, “Peirce’s Early Study of the Logic of Relations, 1865–1867”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 10(2): 63–75.
Mitchell, O. H., 1883, “On a New Algebra of Logic”, in Peirce (ed.) 1883b: 72–106.
Odland, Brent C., 2020, “Peirce’s Triadic Logic: Continuity,Modality, and L”, Master’s thesis, University of Calgary. [Odland 2020 available online]
Peckhaus, Volker, 2004, “Calculus Ratiocinator versus Characteristica Universalis? The Two Traditions in Logic, Revisited”, History and Philosophy of Logic, 25(1): 3–14. doi:10.1080/01445340310001609315
Pietarinen, Ahti-Veikko, 2006, Signs of logic : Peircean themes on the philosophy of language, games, and communication, Dordrecht; [London] : Springer.
Putnam, Hilary, 1982, “Peirce the Logician”, Historia Mathematica, 9(3): 290–301. doi:10.1016/0315-0860(82)90123-9
Quine, W. V. O, 1985, “In the Logical Vestibule”, Times Literary Supplement, 4293(12 July 1985): 767.
–––, 1995, “Peirce’s Logic”, in Ketner 1995: 23–31.
Roberts, Don Davis, 1973, The Existential Graphs of Charles S. Peirce, The Hague: Mouton.
Savan, David, 1987 [1988], An Introduction to C. S. Peirce’s Full System of Semeiotic, Toronto, Toronto Semiotic Circle. Revised edition 1988.
Schröder, Ernst, 1880, Review of Frege 1879, Zeitschrift für Mathematik und Physik, Historisch-literarische Abt, 25: 81–94.
–––, 1890–1905, Vorlesungen über die Algebra der Logik, 3 volumes, Leipzig : B. G. Teubner.
Shin, Sun-joo, 1997, “Kant’s Syntheticity Revisited by Peirce”, Synthese, 113(1): 1–41. doi:10.1023/A:1005068218051
–––, 2002, The Iconic Logic of Peirce’s Graphs, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 2012, “How Do Existential Graphs Show What They Show?”, in Das bildnerische Denken: Charles S. Peirce, Franz Engel, Moritz Queisner, and Tullio Viola (eds), Berlin: Akademie Verlag, 219–233. doi:10.1524/9783050062532.219
Short, T. L., 2007, Peirce’s Theory of Signs, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511498350
Sowa, John F., 1984, Conceptual Structure: Information Processing in Mind and Machine, Reading, MA: Addison-Wesley.
Tarski, Alfred, 1941, “On the Calculus of Relations”, Journal of Symbolic Logic, 6(3): 73–89. doi:10.2307/2268577
Van Evra, James, 1997, “Logic and Mathematics in Charles Sanders Peirce’s ‘Description of a Notation for the Logic of Relatives’”, in Houser, Roberts, and Van Evra 1997: 147–157 (ch. 8).
Van Heijenoort, Jean, 1967, “Logic as Calculus and Logic as Language”, Synthese, 17(1): 324–330. doi:10.1007/BF00485036
Zeman, J. Jay, 1964, The Graphical Logic of C. S. Peirce, Ph.D. thesis, University of Chicago.
–––, 1986, “Peirce’s Philosophy of Logic”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 22(1): 1–22.
Academic Tools
Look up this entry topic at the Internet Philosophy Ontology Project (InPhO). | |
Enhanced bibliography for this entry at PhilPapers, with links to its database. |
Other Internet Resources
Hammer, Eric, “Peirce’s Logic”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2010 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <Peirce's Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Fall 2010 Edition)>. [This was the previous entry on Peirce’s logic in the Stanford Encyclopedia of Philosophy—see the version history.]
Related Entries
algebra of logic tradition | Boole, George | diagrams | Frege, Gottlob: logic | Peirce, Benjamin | Peirce, Charles Sanders | Peirce, Charles Sanders: theory of signs | pragmatism | types and tokens
最后更新于
