逻辑主义和新逻辑主义 logicism and neologicism (Neil Tennant)

首次发表于 2013 年 8 月 21 日星期三；实质修订于 2023 年 12 月 2 日星期六。

逻辑主义是一种哲学的、基础的、基础主义的学说，可以针对数学的任何分支提出。传统上，逻辑主义特别关注算术和实分析。它有一个更强和一个更弱的版本。

逻辑主义的强版本认为所选择的分支中的所有数学真理都是一种逻辑真理。相比之下，逻辑主义的弱版本仅认为所有定理是如此。（通过“定理”我们指的是在所讨论的数学分支内可证明的结果。）基础主义是针对逻辑主义重建的数学部分。然而，在那些无法进行重建的数学部分，成功与非基础主义（例如，协调主义）观点是相容的。

逻辑主义的两个版本——强版本和弱版本——都认为

所有构成数学各分支主题的对象都是逻辑对象；而
逻辑——以逻辑主义者需要定义的适当普遍且强大的意义——能够为这些数学分支的原始概念提供定义，使得数学家能够在逻辑本身中推导出其“第一原理”作为结果。（因此，所讨论的数学分支被称为已被归约为逻辑。）

对于接受康德区分分析真理和综合真理的基础主义者来说，逻辑的真理是分析真理的典型案例。它们仅仅因为表达它们的语言表达式的意义而真实；或者，正如康德可能更喜欢的，因为其中涉及的概念之间的内在关系。因此，任何数学分支的逻辑主义归约将表明其真理（强版本）或其定理（弱版本）是分析的。

成功的逻辑主义对某个数学分支的归约的另一个结果是，在该分支内数学的确定性与逻辑真理的确定性是一致的。必然性也是如此；对所涉及的知识的先验性也是如此。

逻辑主义学说以两种主要形式——弗雷格式和罗素式——被提倡，直到大约 1930 年，此后逻辑主义开始衰落，主要是因为发现了哥德尔的不完全性定理，并且泽尔梅洛-弗兰克尔集合论的崛起，取代了罗素的类型论成为最有前途的数学基础理论。新逻辑主义学说随后复兴了逻辑主义的一些核心思想，其最初的迹象出现在 20 世纪 60 年代中期，其更实质性的贡献始于 20 世纪 80 年代。

新逻辑主义者的主要技术和哲学创新是他们使用抽象原理来确保诸如数的存在，如弗雷格所理解的逻辑对象。一种受欢迎的抽象原理通常会使等价关系的等价类实体化。弗雷格最喜欢的一个例子涉及线的平行等价关系。相关的抽象原理将是线的方向。因此，两条线 l1 和 l2 具有相同的方向，当且仅当它们是平行的。

d(l1)=d(l2)⇔l1||l2.

由于抽象运算符 d()应用于线条，并产生方向（新的抽象对象）作为其值，因此函数 d()在此处被应用于线条，并产生方向（新的抽象对象）作为其值。请注意，抽象运算符可以接受变量作为参数。

新逻辑主义者将产生数字作为其值的抽象运算符进行了表征。有关符号和方法的详细信息将在适当的时候提供。

逻辑主义的学说并没有呈现出明显的历史趋势，即通过渐进性的调整来处理偶发问题，同时保持相对稳定的发展轨迹朝向理想的表述。相反，该学说在方法和材料方面表现出了突然的转变，即使目标在这些变化中相对稳定。[2] 通过以下逻辑主义不同阶段的叙述，我们将看到这种变化的模式逐渐显现。

1. 历史背景

康德认为算术和（欧几里得）几何学都是合成的先验知识，就像对他来说形而上学一样。实际上，这是为了解释数学和形而上学的特殊地位，以便后者能够享受前者的崇高地位。对于康德来说，数学和形而上学都提供了对现实本质的有益洞察（它们是合成的）；然而，理性智力并不需要感官经验就能获得这样的洞察力（它们是先验的）。根据康德的观点，即使是算术的简单计算陈述——更不用说涉及自然数的量化陈述了——也是合成的。以下是他在《纯粹理性批判》中对此问题的表述，位于 B16 处：

实际上，我们可能最初认为命题 7+5=12 只是一种纯粹分析的命题，并且根据矛盾原理从 7 和 5 的总和的概念中得出。但是，如果我们仔细观察，我们会发现 7 和 5 的总和的概念仅仅包含将两个数字合并为一个的联合，而在这个过程中并没有考虑将两者结合的单个数字是什么。12 的概念绝不是在仅仅思考 7 和 5 的这种联合时就已经被思考了；我可以对这种可能总和的概念进行分析，尽我所能，但我永远不会在其中找到 12。（译者：诺曼·肯普·史密斯）

康德对概念的包含性的探索仅限于他可能在所涉及的命题的明确组成部分中找到的那些，而不受与不在命题中出现的相关概念的任何连接的中介影响。（我们提前注意到这一点，以便与弗雷格对康德的分析真理概念的修改进行对比。）[3] 对于康德来说，算术真理的先验特性并不源于概念的包含性（在所讨论的命题中），而是源于我们对时间的纯粹形式的直观，作为提供无限连续时刻序列的基础。根据迈克尔·弗里德曼的说法，康德认为

只有时间中的连续和迭代的一般特征才能保证 7 和 5 的总和的存在和唯一性...只有时间连续的无限性才能保证数列的无限性等等...[4]

同样地，在康德的解释中，欧几里得几何的先验特性源于我们对空间纯粹形式的直观，这使得思考者可以正确地直观地将空间中的直线视为连续的。

对于康德来说，这两种纯粹的直观形式——时间和空间——分别提供了算术和欧几里得几何的理论，并赋予它们先验的特性。它们使得直观（Anschauungen）的时空多样性成为可能，然后通过概念的运用（尤其是实体和因果的概念）对事物和事件在外部世界中进行结构化，从而使客观知识成为可能。

那么，逻辑主义者可以被看作是采用了康德的区分，但是将其应用于完全不同的效果。他们的第一步是争辩说，至少算术是分析的，而不是综合的。

逻辑主义的学说在戴德金德著作中首次出现，但真正得以充分发展是在弗雷格的工作中。在戴德金的著作中，这些思想以一种对当时数学界的同行来说易于理解的形式呈现出来。尽管这些思想确实是精确而严谨的，但它们仍然享受着相对非正式的表达方式。在戴德金时代，还没有人提出过适用于形式化当时数学推理的形式演绎逻辑系统的想法；因此，在当时的逻辑主义学说中，无法像现在我们所熟悉的那样进行表述。当然，对于弗雷格来说情况是不同的，因为他的最伟大成就是建立了一种形式演绎逻辑系统，通过这个系统可以最终表达逻辑主义学说。

现在，当我们将弗雷格归功于逻辑主义计划的详细执行时，我们不能忽视他一直坚持的欧几里得几何的真理是合成先验的，并且以与算术真理完全不同的方式建立起来。因此，它们不受他的逻辑主义学说的影响。这就是为什么我们在介绍逻辑主义学说时要小心谨慎，首先关注算术和实分析的真理。

Dedekind 和 Frege 的综合贡献代表了一种趋势的顶点，这种趋势在当时的主要数学家中已经很普遍，即对实数（和复数）分析进行算术化。这种趋势始于更早期的高斯和波尔查诺的作品。它在柯西和魏尔斯特拉斯的作品中达到了成熟，并成为西方关于数学本质的主导范式。算术化者的主要观念是，算术和分析的概念和基本原理可以在理解的概念中找到（正如康德主义者可能会说的那样），而与任何空间或时间连续体的几何直觉无关。算术和分析在其公理来源和演绎发展中完全是概念性和逻辑性的。

现在我们依次考虑 Dedekind 和 Frege。

1.1 Dedekind

可以说，戴德金使得算术化的趋势在逻辑主义的理论中达到了顶峰。关于在为实分析提供基础时应避免所有几何问题的建议（或方法论准则的陈述）至少可以追溯到戴德金的《连续性与无理数》（1872 年）。这部作品发表得很晚。它的突破性思想早在 14 年前的 1858 年就已经出现了 [6]。在第 3-4 页，戴德金以引人入胜和启示性的方式写道，他在 1858 年秋天早先为“算术的真正科学基础”（即实分析的真正科学基础）而进行的斗争 [7]。

显然，戴德金在写作时假设了一个普遍认可的前提，即在建立实数理论时不应有任何几何直觉或第一原理的依据。戴德金说，这个前提“没有人会否认”。戴德金希望“为无穷小分析的原理提供纯粹的算术和完全严谨的基础”[强调添加][8]。

这个前提在戴德金的后期著作《什么是数，数应该是什么？》（1888 年）中得到了进一步的强调，这部作品和之前的作品一样，发表得比它本应该（或者说应该）晚得多。在第一版的前言中（戴德金 1996b：790-1），戴德金写道

在将算术（代数，分析）仅仅视为逻辑的一部分时，我意味着我认为数概念完全独立于空间和时间的概念或直觉，我更倾向于将其视为纯粹思维法则的直接产物...只有通过纯粹逻辑的过程来建立数学科学并因此在我们的思维中创造连续的数域，我们才能准确地通过将它们与这个数域联系起来来研究我们对空间和时间的概念。[注] [强调添加]

我们再次看到这种假设的作用：在为实数理论奠定基础时，必须避免使用几何直觉。探究这种假设如何变得如此普遍，以及它起源于谁的作品，这是本研究范围之外的话题。

1.2 弗雷格

从弗雷格在他的《概念符号论》前言（第 IX-X 页）中可以清楚地看出，他与戴德金在方法论上有共同的关注点，并且在设计他的概念符号时，他有一个最终的逻辑主义对待算术的方法。弗雷格区分了两种需要“证明”（Begründung）的真理：那些可以纯粹逻辑地进行证明的真理；以及那些必须由经验事实（Erfahrungsthatsachen）支持的真理。他试图探究通过仅基于超越所有特殊性的思维定律的推理来多大程度上能够捕捉算术。他明确表示，他希望抓住序列中的根本排序概念，并从那里推进到数字的概念。然后出现了这个明显的戴德金的回声：

为了在这样做的过程中，没有任何直观的东西能够不知不觉地插入，一切都取决于推理链中没有间断。
为了确保在这个过程中没有任何直观的东西能够不知不觉地插入，一切都取决于推理链的连续性。

弗雷格强调他关心的是揭示算术真理的分析性是如何从它们的证明中得出的。在弗雷格 1884 年的《算术基础》第 3 节中，他写道

… 先验和后验、综合和分析之间的这些区别涉及…对于作出判断的理由的证明。…当一个命题在我的意义上被称为…分析的时候，它是关于使其被认为是真实的最终基础的判断。
…问题变成了…找到命题的证明，并追溯到原始真理。如果在执行这个过程中，我们只遇到一般的逻辑定律和定义，那么真理是分析性的，要记住我们还必须考虑到所有定义的可接受性依赖的命题。[强调添加]

我们可以看到，弗雷格对于分析的概念比康德的更广泛。康德要求概念的包含必须在句子中明显，而不是将句子显示为从逻辑上自明的公理推导出的结论，这些公理本身的逻辑或概念真理是不言自明的，并且可能包含在所讨论的句子中没有出现的表达式。正如我们从 B16 的引文中所看到的，康德并不认为“7+5=12”是一个分析真理。相比之下，弗雷格能够利用数字的内部结构，并引用递归公理来进行加法运算（这些公理本身必须以逻辑主义的方式推导出来）。因此，对于弗雷格来说，即使对于康德来说不是如此，“7+5=12”也是一个分析真理。其中 s 是后继函数，康德的例子更详细地表达为 sssssss0+sssss0=ssssssssssss0，可以使用递归公理来证明。

∀x(x+0=x); ∀x∀y(x+sy=s(x+y)).

后一条公理证明了以下每个推导过程：

sssssss0+sssss0=s(sssssss0+ssss0)=s(s(sssssss0+sss0))=s(s(s(sssssss0+ss0)))=s(s(s(s(sssssss0+s0))))=s(s(s(s(s(sssssss0+0))))

在这一点上，前一个公理得到了保证

s(s(s(s(s(sssssss0+0)))))=s(s(s(s(s(sssssss0)))))

因此（省略括号）我们有

sssssss0+sssss0=ssssssssssss0，

如预示的那样。[ 10]

弗雷格在这项工作中继续阐述了他关于“数量”的著名阐释，将其视为概念的概念，并对同代心理主义、经验主义或形式主义的竞争对手的数量解释进行了毁灭性的批评。他在哲学阐释的壮举中将技术性问题降至最低限度。

1.2.1 数字作为高级概念

弗雷格的关键洞察力，他从未放弃过，首次在 §46 中表达：“…关于数字的陈述的内容是关于一个概念的断言”。举个例子：假设有人陈述说

(ν)

篮子里的苹果数量是 2（即等同于 2）。

(ν) 明确是关于“数量”的陈述。然而，当断言(ν)时，我们所说的只是

(γ)

篮子里有确切地两个苹果。

对于弗雷格来说，(γ)是关于概念“___是篮子里的苹果”的断言。它不是关于数字 2 的断言，因为可以避免在(γ)中使用形容词的出现。可以重新表述(γ)为

(γ′)

篮子里有一个苹果，还有一个苹果，它们是篮子里唯一的苹果。

在为数抽象的符号解释提供一些解释之后，我们将展示弗雷格在这里的观点如何可以变得严密和普遍。

在上述关于线方向的简单示例中，抽象运算符 d()是一个函数符号，不绑定任何变量。但是在数值抽象中，情况略有不同。在这里，表示“...的数量”的抽象运算符#可以以两种不同的方式使用。一方面，它可以是一个函数符号：如果 F 是一个谓词（或者是一个二级变量），那么#F 是一个表示落在 F 下的事物的数量的特殊术语（或者是分配给二级变量的扩展）[11]。另一方面，运算符#x 可以应用于具有自由变量 x 的开放句 Φ(x)，从而绑定变量 x。因此形成的复合术语被解读为“Φ 的数量”[12]。

在解释了符号表示法之后，假设有人对以下形式的数量进行了陈述，其中#xFx 是“Fs 的数量”的形式化表示：

xFx=2

那么（根据弗雷格的说法），这样做就是在做出断言，即

∃x∃y(x≠y∧Fx∧Fy∧∀z(Fz→(z=x∨z=y))).

概念 F 是除了标准逻辑运算符之外，在这个最后的断言中唯一表达的概念。因此，这个断言是关于概念 F 的。它具有一般的数量性断言形式，不一定涉及或概括数字。对于任意的 n，所讨论的逻辑形式将是

∃x1…∃xn(∧1≤i<j≤nxi≠xj∧1≤i≤nFxi∧∀z(Fz→∨1≤i≤nz=xi)).

当然（回到我们的例子，其中 n=2），人们可以以相反的逻辑方式考虑问题。如果先进行数量性断言，那么可以将其视为随后的陈述中 Fs 的数量等于 2 的理由。

如果像弗雷格一样，我们容忍这两种不同的方式来“刻画”同一个命题内容，那么我们将需要在任何足够丰富的语言中提供这两种表达形式的逻辑等价性，由双向推导符号 ⊣⊢ 表示：

xFx=2⊣⊢∃x∃y(x≠y∧Fx∧Fy∧∀z(Fz→(z=x∨z=y)))

正如弗雷格所说，右侧的命题内容已被“重新刻画”为左侧的等同陈述。同一个思想以两种非常不同的方式呈现。它们具有相同的真值条件，但具有不同的逻辑语法形式。

在右侧的形式中，一个不包含运算符#的语言完全不涉及将数字视为对象的任何承诺。然而，如果通过在其逻辑表达式库中添加#来扩展这样的语言，那么就能够表达左侧的形式，这是涉及数字的承诺。

通过意识到右侧的概念-数量思想可以在扩展语言中等效地表达为左侧的数字承诺思想，人们开始将数字视为抽象的逻辑对象。在扩展语言中，它们的存在可以纯粹基于逻辑的理由来建立。

1.2.2 休谟原则和凯撒问题

在《Grundlagen》中，弗雷格考虑了以下等价关系，被称为休谟原则：

(HP)#xFx=#xGx↔∃R(R 将 Fs 一对一地映射到 Gs)。

有两个重要特点需要注意。

首先，HP 在右侧明确地是二阶的，因为它涉及到对关系 R 的二阶量化；而 HP 在右侧纯粹是逻辑的。在这里，要定义的概念（被定义的术语）是将 Fs 一对一映射到 Gs 的关系 R。这可以用纯粹的逻辑术语来表述：每个 F 与恰好一个 G 之间存在关系 R，并且每个 G 都被恰好一个 F 所关联。用符号表示，这个定义如下：

∀x(Fx→∃y∀z(z=y↔(Gz∧Rxz)))∧∀x(Gx→∃y∀z(z=y↔(Fz∧Rzx))),

我们将其缩写为 [13]

Rxy [Fx1-1↦ontoGy].

其次，HP 涉及两个谓词，F 和 G。它这样做是为了陈述一个重要的标准，用于表示分别表示为#xFx 和#xGx 的数字的身份准则。请注意，左侧身份陈述中的两个术语都是抽象术语。

让我们称寻求指定涉及两个不同抽象术语（涉及相同的抽象运算符@）的身份的真值条件的（新）弗雷格式抽象原则（如 HP）为双管齐下的抽象原则。（与身份相关的单管抽象原则将很快讨论。）[14] 双管齐下的抽象原则具有一般形式

@xFx=@xGx↔Ψ(F,G),

其中右侧表达了一个二阶等价关系 Ψ，该关系在不使用@的情况下陈述。但这并不排除这样一个原则的实例，其中要么 F，要么 G，或者两者都包含@的出现。

通常，这些双重抽象原则被规定为公设或公理（或公理方案）。但这并非绝对必要。重要的是，所讨论的理论是否包含这样一个原则作为定理（或定理方案）。就像早期的方向抽象原则一样，HP 是一个双重抽象原则。Frege 的命运多舛的基本定律 V 也是如此，我们将在适当的时候讨论它。

HP 告诉我们，如果谓词扩展分别以某个二元关系 R 的一一对应方式编号，那么数字#xFx 和#xGx 将是相同的。另一种表达这个后一条件的方式是说 F 和 G 是等势的。

这种等价性的基本思想归功于休谟（因此该原则目前被称为休谟原则）；在弗雷格写下《基础》之前，康托尔当然已经充分利用了这一原则。如果不以这种方式使用一一对应关系，康托尔将无法激发他后来的开创性思想，即存在不同的无穷数（参见康托尔 1891 年）。

弗雷格考虑了 HP 是否可以作为数字的构成性定义——一种能够完全准确地描述它们本质的定义。但他得出结论，HP 无法满足这一更为严格但合理的要求。原因是现在被称为“凯撒大帝问题”的问题。弗雷格坚持（《基础》，§56）我们对数字的定义应该使我们能够确定凯撒大帝不是一个数字。他的结论是 HP 无法使我们做到这一点。

因为，假设我们说，如果篮子里有两个苹果，那么篮子里的苹果数量就是凯撒大帝。为了保持一致性，只需（根据 HP）确保将与“...是篮子里的苹果”概念一一对应的任何其他概念分配相同的数字（即凯撒大帝）。因此，例如，严格介于 4 和 8 之间的质数的数量是凯撒大帝。实际上，严格介于 1 和 4 之间的质数的数量是凯撒大帝，其中一个质数就是凯撒大帝本人！

一方面，HP 确实是数字的必要条件。它必须满足抽象运算符#的任何合法解释。然而，HP 并不足以确保形式为#xFx 的术语所表示的事物真的是数字！

另一方面，正如弗雷格在费解的演绎工作中揭示的那样，HP 足以推导出自然数算术的戴德金-皮亚诺公设。这解释了 HP 在某些后来的新逻辑主义解释中的受推崇地位（见第 2 节）。

但是，弗雷格希望不仅仅有一个逻辑上足够强大的算术源，他还希望有一个能解释数字的形而上学本质的原则。数字肯定至少是抽象的吧？数字也是永恒和必然的。它们不位于空间中，也不参与任何因果关系。因此，弗雷格寻求一种更深入的逻辑理论，以能够为数字提供这些后来的特征，并从而解决凯撒问题。

不幸的是，在这方面，他可以说是失败了（而且这与罗素悖论无关，稍后会详细讨论）。弗雷格错误地认为（根据邓梅特（1998）的说法），他可以通过将数字视为特殊类型的类或概念的扩展来避免朱利叶斯·凯撒问题。在《基础》的第 68 节中，他写道：

我对 [数字] 的定义如下：
属于概念 F 的数字是概念“等于概念 F”的扩展 [Umfang][fn.]。

而对于“Umfang”的脚注以“我假设人们知道概念的外延是什么”这句话结束。对于那些仍然需要一些指导的人来说，Grundgesetze 旨在提供这方面的补充。

朱利叶斯·凯撒问题原则上会困扰任何双管齐下的抽象原则。（这不仅仅是逻辑主义的问题，而是特定形式的抽象原则的问题。）[16] 可以通过使用单管抽象原则来避免这个问题。

单管抽象原则的一般形式，当通过句子而不是推理规则来表达时，是

t=@xFx↔…t…F…,

其中 t 是一般的特指项（包括参数）的占位符，而不仅仅是@-项。右侧可能包含@的出现；此外，在取实例时，替换 F 或 t 的表达式可能包含@的出现。而单桶抽象原则的重要之处在于，所讨论的理论是否将其作为定理（或定理方案）包含其中。

一些单桶抽象原则的例子如下。这里，∃!t 是 ∃xx=t 的简写。它可以读作“t 存在”。

对于明确的描述（根据斯迈利的处理，斯迈利 1970 年）：

t=ιxFx↔(∃!t∧∀x(x=t↔Fx)).

对于集合抽象：[17]

t={x∣Fx}↔(∃!t∧∀x(x∈t↔Fx).

对于数-抽象（根据 Tennant 的处理方法-见 §4）：

t=#xFx↔∃R∃G(Rxy [Fx1–1Gy] ∧t=#xGx).

对于数字抽象（参见 Zalta 的处理方法—见 §5）：[18]

t=#G↔t=ιx(Ax∧∀F(xF↔F 与 G 等势)).

我们关注的单管抽象原则的重要特征是它们不承担本体论义务。在假设或证明它们之前，需要补充具体的本体论义务前提，才能承担起广义逻辑行为由单管抽象原则捕捉到的实体类型的义务。例如，上述集合抽象原则仅对集合、成员关系（‘∈’）和定义条件 F 之间的关系施加约束。它在逻辑上暗示了外延性和转换模式（“如果 u 是所有且仅是 Fs 的集合的成员，则 u 是 F”，以及“如果 u 是 F，且所有且仅是 Fs 的集合存在，则 u 是它的成员”），但并不保证任何集合的存在，甚至不保证空集的存在。

1.2.3 《格伦德基本法》

弗雷格的逻辑主义成就的核心被推迟到了《算术的格伦德基本法》中，第一卷于 1893 年出版。他在序言中解释了这个几乎持续了十年的延迟，原因是对他的《概念符号》（弗雷格 1879）进行了一些重新思考，其中最重要的创新是引入了概念的价值范围（value-range）或者说概念的外延的概念和符号。弗雷格在《格伦德基本法》出版时，也已经明确了他的意义和指称的区别，并决定将真值视为对象，实际上是句子的指称。

他承认他预料到他的符号体系将成为他的思想传播和影响的巨大障碍（弗雷格 1893：x）。一方面，严格的符号表示和绝对严谨和逻辑上无懈可击的证明对他的逻辑主义项目至关重要。另一方面，他担心数学家会认为“它是形而上学，不值得阅读！”（Frege 1893：xii），而哲学家会认为“它是数学，不值得阅读！”（Frege 1893：xii）。可怜的弗雷格可能是对的。但他的《格伦德基本法》从未被适当地消化的原因可以从夹心中看出。他在第一卷的序言中以自信的话语结束。

我只会承认一种反驳，那就是如果有人真的能够展示出在其他基本信念上可以建立起更好、更可持续的建筑，或者如果有人能够展示出我的公理导致明显错误的结果。但是没有人能够成功做到这一点。（弗雷格 1893 年：xxvi；作者翻译）

这种自信的陈述有些掩盖了他在几页前表达的对他的基本定律 V 的预见性担忧：

就我所见，争议只会出现在我的价值范围基本定律（V）上，这或许并没有被逻辑学家特别表达出来，尽管当我们谈论概念的扩展时，我们会想到它。我认为这是纯粹的逻辑。无论如何，这标志着决策必须做出的地方。（弗雷格 1893 年：vii；作者翻译）

它果然失败了。弗雷格（Frege）事实证明，在他的逻辑主义中，他过度使用了形式系统。他试图将所有的算术和分析统一到一个关于类或概念的一般理论中。类被认为是最典型的逻辑对象。策略是将自然数定义为更广泛的抽象逻辑对象的特定类。使用这些定义，人们可以从类的理论中推导出算术的第一原理（例如戴德金-皮亚诺公理）。为此，人们最终只需利用控制类本身的更深层次的公理（或基本法则）。有关这一策略的更多细节，请参见 §1.2.4。

在这些更深层次的公理中，弗雷格的不幸的基本法则 V。这与 HP 一样，是一个双管齐下的抽象原则。然而，基本法则 V 允许对类进行抽象，而实现这一点的等价关系是定义谓词之间的同等性关系。弗雷格从未对他的基本法则 V 提出过尤利乌斯·凯撒的异议。使用现代符号表示，基本法则 V 可以表述为以下公理模式，其中 Φ 和 Ψ 是公式的占位符：

(基本法则 V){x∣Φx}={x∣Ψx}↔∀x(Φx↔Ψx)。

弗雷格假设存在一种“逻辑完美”的语言，其中每个良构术语（包括形式为{x∣Φx}的任何类抽象术语）都有所指。相反，如果承认自己的语言中某些良构的特指术语可能不指代对象的可能性，那么就必须使用一种不同类型的逻辑——所谓的自由逻辑（它“自由”于所有特指术语都指代的背景假设）。这种逻辑在涉及到所涉及的术语时，使用“存在前提”的量词规则。例如，当使用逻辑完美语言的非自由逻辑时，可以直接从“对于所有 x，F(x)”推导出“F(t)”：

∀xF(x)F(t)

而在处理可能不指代的术语的自由逻辑中，需要确保特指术语 t 指代：

∀xF(x)∃!tF(t)

读者应该记住，∃!t，读作“t 存在”，是 ∃xx=t 的简写。其他量词规则也需要类似的修改。

即使弗雷格没有假设一个逻辑上完美的语言，而是使用了自由逻辑，基本定律 V 仍然会使他承认存在着所有 Φ 的类，无论定义公式 Φ 是什么。证明如下。

证明。首先注意，这是一个逻辑真理，即

∀x(Φx↔Φx)。

根据右向左的基本定律 V，取 Φ 为 Ψ，可以得出

{x∣Φx}={x∣Φx}.

但在自由逻辑中，仅当其术语表示时，才成立一个恒等式。因此

∃y(y={x∣Φx}).

□

这个模式现在被称为“天真的理解”。（理解是集合或类的抽象。）基本定律 V 使弗雷格声称，对于任何定义的谓词 Φ，存在一个类，该类仅包含满足 Φ 的所有事物。

注意，对于任何抽象运算符@的双管齐下的抽象原则，其右侧

指的是概念或谓词 Φ 和 Ψ，并且
在将 Φ 作为 Ψ 时逻辑上是真的，

对于任何良好形成的抽象术语@xΦx，将会产生对其指称的存在承诺。这是因为根据（ii）的观点，自我认同@xΦx=@xΦx 也是逻辑上真实的。而@xΦx=@xΦx 只有在 ∃!@xΦx 时才为真。这个考虑适用于任何定义的谓词 Φ。这引发了一个异议，由 Tennant（1987: 236）和 Boolos（1987: 184）提出，即在某些显著情况下，对于这些术语的指称的存在没有先验的正当理由，尤其是在问题较为棘手的概念 Φ 的情况下（如自我认同）。这是“坏公司异议”的最早形式。[19]

1.2.4 弗雷格对自然数的处理

我们不打算详述弗雷格的类论的特殊性，而是试图概述弗雷格解释的主要思想的整体形状，正如它们在《基础》中非正式地阐述并在《基本定律》中正式执行的那样。

首先，弗雷格必须确定 0，他将其定义为任何空概念的数量。一个必然为空的概念是非自我身份的概念：

0=df#x(x≠x).

接下来，弗雷格必须明确一个自然数是另一个自然数的继承者，或者说是下一个最大的自然数。我们如何定义 m 立即继承 n 的概念？答案是通过引用概念 F 和 G 来找到的，分别将 m 和 n 作为它们的（有限）基数。概念 F 下的对象数量必须比概念 G 下的对象数量多一个。这将包括在所有 G 和除了一个 F 之间存在一个一一对应关系（记为 R）。形式上：[20]

m 立即继承 n↔∃G(n=#xGx∧∃F(m=#xFx∧∃R∃y(Fy∧Rzw [Gz1-1↦onto(Fw∧w≠y)]))).

易于证明 n 只有一个直接的继承者。也就是说，如果 m 是 n 的直接继承者，m'也是 n 的直接继承者，那么 m 等于 m'。

现在，我们能对“自然数”这个概念的范围说些什么呢？它必须包括 0 以及通过有限次直接继承从 0 得到的任何数。然而，这种描述可能是循环的：因为，如果不依赖于自然数本身的概念，我们如何理解这里的副词“有限”呢？

弗雷格的天才在他解决这个循环性问题时显露出来。他在 1879 年的《概念符号》中已经涵盖了必要的逻辑和概念基础。对于任何二元关系 R，弗雷格定义了 x 是 y 的 R-祖先的概念（在此简写为 R∗xy）。在这个定义中，他使用了两个辅助概念。第一个是概念 F 是 R-遗传的概念：

∀x∀y(Fx→(Rxy→Fy)).

让我们将其缩写为

Hxy(Fx,Rxy).

我们在这里将第二个附加概念表达为“x 被 F R-barred”，或者“F R-bars x”，并且它的定义如下：

∀z(Rxz→Fz)。

让我们将其缩写为

Bz(Rxz,Fz).

现在我们可以给出弗雷格对祖先关系 R∗xy 的定义如下：

∀G(Hvw(Gv,Rvw)→(Bz(Rxz,Gz)→Gy)).

这告诉我们，y 属于任何是 R-遗传的且 R-禁止 x 的概念 G。

仍然遵循弗雷格的观点，可以将 Nx（“x 是自然数”）定义为缩写形式

0=x∨successor∗0x。

Frege 关注的关系 Rxy 是 y（直接）紧随 x。这还有一个进一步的优点，即它是一个函数，即一个多对一的关系。这使得 Frege 能够证明后继的祖先是线性的：

∀x∀y∀z((successor∗xy∧successor∗xz)→ (y=z∨successor∗yz∨successor∗zy)).

这个对 Nx 的定义确保了所期望的结果：每个自然数都只有有限步的直接后继离 0。祖先化捕捉了“有限多”的概念，而不涉及自然数的概念，并且作为定义自然数概念的独立逻辑概念基础。还要注意它是一个本质上的二阶概念。

鉴于直接继承关系的功能性特征，当 m 直接继承 n 时，可以写作 m=sn。弗雷格对 Nx 的定义尤其重要的一个结果是，它使得人们能够纯粹逻辑地证明数学归纳原理：

∀F(F0→(∀x((Nx∧Fx)→Fsx)→∀z(Nz→Fz))).

弗雷格也可以逻辑地推导出所有其他涉及自然数的戴德金德-皮亚诺公设（涉及 0 和后继函数符号 s）的解释。

这些剩余的假设中最重要的一个是说每个自然数都有一个唯一的（直接的）后继数。为了在完全普遍性上证明这一点，弗雷格当然必须考虑到一个任意给定的自然数可能远远超过宇宙中任何物理对象的大小的可能性。那么，他可以转向哪个概念（对于给定的自然数 n），其基数将是 n 的后继数？

他的答案被称为“弗雷格的诡计”。所寻求的概念将是“后继 ∗xn”，即“x 是一个在 n 之前或与 n 相等的自然数”。自然数无情地不断产生更多的自然数，只要我们试图数它们。这就是为什么它们有无限多个的原因。每个自然数在自然数序列中计算其前任的想法在《基础》的第 82 节中得到了充分的形成，并在《基本法则》第一卷的第 114-119 节中得到了严格的执行。

在《格伦德基本法》的时候，弗雷格已经确定了一个以类论术语解释基数的方法，这将保留前述考虑的结构。F 的数量（即所有 F 类的基数）被确定为所有与所有 F 类等势（即一一对应）的类的集合 [21]。因此，所有 F 类是其自身基数的成员。与所有 F 类等势的任何类也是如此。因此，任何只有一个成员的类的基数是所有只有一个成员的类的集合；任何只有两个成员的类的基数是所有只有两个成员的类的集合；...等等。很容易看出，根据弗雷格的类论基数定义，任何两个等势的类具有相同的基数。而且，数字并不是独特的，而是一种非常特殊的类。另请参阅关于弗雷格定理和算术基础的百科全书文章。

1.2.5 罗素悖论

在现代逻辑的语言中，配备了二元谓词 ∈（属于）的弗雷格的天真包容原则，他在《格伦德基本法》中承诺，也可以表示为以下模式：

∃x∀y(y∈x↔Φy).

罗素的著名悖论随之而来。

证明。对于前述的天真理解的表达式中的 Φy，取 y∉y（非自身成员）。从而得到
∃x∀y(y∈x↔y∉y).
令 r 为这样的 x。所以
∀y(y∈r↔y∉y).
但是 r 是这个概括范围内的一个对象。关于 r 的实例化，可以得到
r∈r↔r∉r。
但是可以在一个非常弱的命题逻辑中很快地证明，任何形式为的陈述
A↔¬A
是不一致的。[ 22] 因此，弗雷格的基本定律 V 是不一致的。□

这个简单的形式发现引发了 20 世纪初的“基础危机”。

弗雷格在他的《格兰德基本法则》第二卷的后记中写道，这篇文章写于 1902 年 10 月，以令人心碎的话语开始。

对于一个科学作家来说，几乎没有什么比在完成工作时，他的建筑基石之一被摧毁更令人不愿意的事情了。（弗雷格 [1903]，第 253 页；作者翻译）

罗素的悖论使《格兰德基本法则》的细节相对默默无闻。学术界不得不等待很长时间才能获得该作品的完整英文翻译。鉴于它对于 20 世纪 60 年代开始的新弗雷格复兴的重要性，这是不幸的。[23]

1.3 逻辑主义在弗雷格之后直到策梅洛

1.3.1 罗素的类型理论

罗素提出了他自己的解决方案来解决他的悖论问题，即他的类型理论（简单和分层）[24]。通过将对象的宇宙分层为不同的类型，罗素试图避免他所诊断为弗雷格类抽象的根本问题的恶性循环。

个体将形成最低类型。个体的属性或特性（或者是罗素所称的可以对个体为真或为假的命题函数）将形成更高一级的类型……依此类推。在罗素的类型理论中，成员关系只能在不同类型的对象之间存在：如果 α 是 β 的成员，则 α 的类型低于 β 的类型。在类型理论中，变量是有类型的。也就是说，给定的变量只能被解释为范围在某种类型的对象上。因此，将会有“个体”变量（比如类型 0）仅范围在个体上。在上一级的类型 1 中，将会有“属性”和“关系”变量，范围包括那些适用于个体之间或个体之上的属性和关系。（这里的 0 和 1 作为类型的指标。）这个思想迭代以涵盖所有有限指标的类型。此外，在罗素的理论中，只能形成有限指标的类型。这些是可以通过自然数 n 从“外部”索引的类型。没有超限类型，即没有通过超限序数（如 ω）进行索引的类型。[25]

一个谓词命题函数是指不涉及高于其参数类型的量化的函数。罗素对论域（各种类型及其对象）进行了分层，同时也对语言进行了分层。假设一个罗素类（或谓词命题函数）β 在比 α 更高的等级上首先形成。那么，据说在类型理论的语言中，说 β 是 α 的成员是没有意义的，这是根据官方意义上将对应于 α 的属性归属于对象 β。（相比之下，在集合论的语言中，说 β∈α 是有意义的，即使是错误的。）因此，在罗素的类型理论中，处理非自身成员的所谓谓词或属性是不可能的。因为这要求自身成员的谓词 x∈x 是有意义（且形式良好）的，而事实上它并不是。因此，在他的类型理论中，罗素阻止了弗雷格的类论所遭受的自己悖论的推导方式。

然而，罗素试图保留弗雷格定义基数的方法，即将基数定义为相似大小的类的集合：

类 α 的基数被定义为与 α 相似的所有类的集合，当两个类之间存在一对一关系时，这两个类就是相似的。（罗素 1908 年：256）

这个定义及其引发的问题在《数学原理》中得以保存。

由于罗素将逻辑宇宙划分为类型，他的“基数”通常变得模糊不清。（在下面的引文中，符号 Λ 代表空类。）正如罗素承认的（1908 年：257），

… 0 和 1 以及所有其他基数，根据 [我们的] 定义，都是模糊的符号，就像 cls 一样，具有与类型数量相同的意义。首先是 0：0 的意义取决于 Λ 的意义，而 Λ 的意义根据它是空类的类型而不同。因此，0 的数量与类型的数量相同；其他基数也是如此。

然而，罗素并没有完全接受这样的限制。在更加宽广的心情下，他立即补充道

然而，如果两个类别 α，β 是不同类型的，我们可以说它们具有相同的基数...因为即使 α 和 β 是不同类型的，α 的成员和 β 的成员之间仍然可以存在一对一的关系。[强调添加]

通过屈服于这种结构主义冲动，罗素实际上将基数的第二种解释与他的官方类型论解释相提并论。新的解释是基数是通过根据它们的相似性从类别中抽象出来的，而不是通过形成相似类别的类别来得到的。这种抽象采用了休谟式的形式（康托尔著名地利用了这种形式）

Card(α)=Card(β)⇔∃R(R:α1-1↦ontoβ).

出于上述类型论内部的原因，Card 不能成为类型论官方本体论中任何类型内的对象。因为它的定义域不仅必须跨越不同的类型，还必须包括所有类型的类。但对于任何类型论可接受的函数或操作来说，这是不可能的。这个事实也使得罗素无法使用弗雷格的技巧来确保无限的数字 [26]。因为弗雷格让每个自然数 n 成为前面自然数的数量。为了使后者能够被这样编号，它们必须是官方本体论中的对象，然而正如刚才观察到的，罗素的 Card(inal)并不是。

因此，将宇宙划分为相应的类型对于可能产生的“逻辑主义”来说是一个代价高昂的。了解到为自己喜欢的数学结构提供的逻辑主义重建如此慷慨，以至于在每个类型中都有唯一的再现。人们希望能够在某个结构中捕捉它们的共同点。正如我们刚刚看到的，这正是罗素试图做的，尽管从一开始就注定失败，因为它致力于在每个类型中存在一个不同系列的“相同”数字。

导致这种尴尬的丰富性的类型化动机在当时是可以理解的。罗素希望避免由于内涵定义可能导致的任何恶性循环。根据罗素的观点，以涉及关于 C 本身必须属于的任何个体范围的概括为特征的方式定义一个类 C 是不合法的。因此，通过类型划分，自成员资格的概念以及非自成员资格甚至无法被使用。

然而，这种罗素对类抽象的限制导致了形式为“所有满足 Φ(x)的 x 的类”的内涵式“类抽象”的存在不能作为逻辑问题得到保证。因此，罗素不得不假设这样的类存在。这被认为是削弱了它们作为潜在逻辑对象的地位，而将它们揭示为不过是数学假设。它们的存在再次（至多）成为一种合成的先验问题，而不是分析的必要性和确定性问题。

人们可能会想知道为什么这样的类会因为一个强大的假设（如果它是一致的）而被视为逻辑对象的资格，但如果它们的存在必须通过更加零散的假设方式来确保，那么它们就不再具备这样的资格。但这就是罗素逻辑主义的致命弱点。罗素的乘法公理（现在被称为选择公理）和无穷公理中的存在性假设被视为仅仅是数学的标志，尽管在一个比自然数或实数本身更广泛的抽象对象的宇宙背景下。

罗素类型是分层的：也就是说，同一类型的命题函数属于不同的阶层，这取决于它们的内部逻辑结构。正如我们所见，命题函数的类型由其自由变量的类型确定。但是，相同类型的两个命题函数 ϕ 和 ϕ′可以涉及不同类型的量化。如果 ϕ 涉及的量化（被限定的）变量的类型高于 ϕ′中的被限定变量，则 ϕ 的阶层相应地高于 ϕ′，即使 ϕ 和 ϕ′是相同类型的。请记住，不可预测的命题函数 ϕ 是包含绑定变量的，这些变量的类型与 ϕ 本身的类型一样高或更高。将不可预测的命题函数分配给更高的阶层是标记它不合法的方式。

罗素为了避免明确的不可预测定义（对此定义，庞加莱有重要影响力的抨击），对类型理论进行了分层。然后，罗素发现自己受到限制，无法推导出某些所需的数学结果。其中包括康托尔定理和实分析定理，该定理指出每个上界有界的实数集 X 具有与 X 中的实数相同阶层的最小上界。分层类型理论似乎无法证明这些结果。因此，罗素以实用主义精神引入了可简化公理，只是为了完成任务。

在类型论中，罗素的可约性公理表明每个命题函数与一个谓词函数是同一范围的，即其量词仅限于低于命题函数本身类型的类型。这个公理的非平凡内容是每个非约束性命题函数与一个谓词函数是同一范围的。一个众所周知的例子是非约束性命题函数 ∀F(Fx↔Fy)。通过引用谓词命题函数 x=y，可以证明这个例子上的可约性公理——前提是接受莱布尼兹有争议的不可辨识性原则。如果与莱布尼兹相反，认为不可辨识的事物可以是不同的，那么为了证明可约性公理，就需要引用其他谓词命题函数，比如 x∼y，使得下述命题为真：

∀F(Fx↔Fy)↔x∼y。

然而，可约性公理等同于在所有情况下都允许非约束性定义。因为它使类型 1 的命题函数的顺序坍缩。批评者指出，最好避免分层，并在所有情况下接受非约束性定义的程序。

然后只剩下了简单类型理论（不再需要还原公理）。但是，即使是简单类型理论作为数学基础理论，最终也不再受到青睐——可能是因为在拜占庭分层理论之后，任何版本的类型理论都无法在数学家中间获得认可。类型理论被由泽尔梅洛和弗兰克尔提出的新兴集合论所取代，数学家们更容易将其视为康托尔数学实践的形式化编码。关于罗素逻辑主义的接受和最终消亡的明确而详细的历史可以在格拉顿-格尼斯（2000）中找到。（“集合”这个术语被采用，以便将这些“更安全”的、无悖论的对象与弗雷格不一致理论中的问题类进行对比。）

1.3.2 泽尔梅洛-弗兰克尔集合论

有些人认为，ZFC（带有选择公理的泽尔梅洛-弗兰克尔集合论）可以被看作是罗素类型理论的知识传承者，尽管这两个理论都出自同一年，即 1908 年。

类型理论被集合论所取代发生在 20 世纪 20 年代。目标仍然是统一所有数学，并提供一个容量大的抽象对象的宇宙以实现这一目标。所有不同的数学理论都可以在集合论中进行解释，只要适当地将那些理论研究的对象与“集合论代理”进行对应。例如，有限的冯·诺伊曼序数可以作为自然数的集合论代理。[27] 而 ℘(ω)，即自然数集的幂集，是实数连续体的集合论代理。[28]

ZFC 集合论是一个关于纯集合的累积层次 V 的解释，最终由空集 ∅ 构建而成。V 中的每个集合都是通过某个序数索引的等级“形成”的。这些等级是累积的，并且在后继序数上通过幂集操作生成。以前的类型再次作为等级出现，只是等级是累积的——每个等级包含所有较低等级的成员。它们的成员被视为处于一个单一的外延化、无类型的集合宇宙 V 中。

Quine（1969），第十一章和第十二章，是对从《数学原理》（PM）的类型理论开始，到策梅洛-弗兰克尔集合论结束的一系列渐进的理论调整的精彩追踪。正如前面已经观察到的，提出可简化公理的目的是确保每个命题函数与一个谓词函数具有相同的外延性。然而，正如奎恩指出的（以及拉姆齐在他之前指出的），可简化公理实际上背离了其自身提出的目的，从而促使采用简单类型理论来取代 PM 的分层类型理论。然后，如果用“一般”的或无类型的变量重新制定简单类型理论，并使类型是累积的（而不是保持分层且彼此不重叠），就可以过渡到策梅洛集合论。弗兰克尔的替代公理方案最终允许“[穿透] 所有类型层次”（奎恩 1969：282），并达到策梅洛-弗兰克尔集合论。替代公理说，任何在集合上定义的函数都有一个集合作为其值域。这允许例如，对于任意超限序数 κ，形成集合

{ℵα∣α<κ}

所有无限基数 ℵα 的集合，其中 α=0,1,2,…<κ。小于 κ 的序数 α 形成一个集合（确切地说：κ 本身）。ℵα，最好看作 ℵ(α)，是第 α 个无限基数。因此，ℵ 是一个定义域为 κ 的函数，其在 α 上的值是第 α 个无限基数。根据替代公理，集合{ℵα∣α<κ}存在。这样的集合位于远高于 κ 的等级上。

Quine 的解释扩大了在 Gödel（1993/1995）中可以找到的稍微不太详细的解释 [29]。正如 Gödel 所观察到的（第 45-6 页），“集合论”或者说集合论，正如 Zermelo，Fraenkel 和 von Neumann 所提出的那样，不过是类型论的自然推广，或者更确切地说，如果去除了某些多余的限制，它就是类型论的结果。

这些去除的限制有三个方面：使类型累积；取消变量的类型；允许类型形成扩展到超穷尽。

These removals are threefold: make the types cumulative; untype the variables; and allow type formation to extend into the transfinite.

ZFC 避免了罗素悖论，尽管它的所有成员集都在一个无类型的宇宙中。这是因为它的宇宙 V 本身不是一个集合。通过不支持任何足够强大的集合抽象原则，集合论学家避免了罗素悖论。将论域划分为类型似乎是对罗素悖论问题的一种方法论上昂贵的过度反应。如果将宇宙 V 视为一个集合，后者当然会被重新恢复。只需应用分离公理方案

∀y∃z(z={x∣x∈y∧Φ(x)}),

使用 Russellian 公式实例 x∉x 来实例化 ∀y，并相对于 V 进行实例化。

数学家们有一个成熟的做法，将集合抽象视为良构术语。它们具有逻辑-语法形式{x∣Φ(x)}[30]。如果一个人的形式化逻辑要尊重这种做法，那么它必须提供变量绑定术语形成运算符（v.b.t.o.）的集合抽象：

{x∣…x…}。

这样的运算符可以应用于任何公式 Φ 以生成一个术语。其中包括危险的公式 x=x 和 x∉x。因此，形式化基础主义者将小心地采用一个自由逻辑，其中不假定每个良构术语都具有指称。这样，罗素悖论的证明就可以被剥夺其威力：它只是一个否定存在的证明 ¬∃xx={y∣y∉y}。

但是，采用自由逻辑也带来了以下义务：如果一个人希望承认某些类型的对象存在，或者某个特定对象的存在，那么他将不得不明确地假设它们的存在。这种存在不再源自底层逻辑的一种内置的或者暗含的默认假设。相反，它要求明确地表达为一种理论承诺。

你想要一个空集合吗？ZFC 理论家问道。当然可以！就在这里：

∃x(x={y∣y≠y}).

你想要单例吗？没问题！：

∀x∃y(y={w∣w=x}).

… 或者，如果你愿意，可以从无序对公理中获得它们，通过两次取相同的实例：

∀x1∀x2∃y(y={z∣z=x1∨z=x2}).

你想要一个无限集合吗？尽管来！这是一个非常有用的集合：

∃x(x={y∣Ny}),

其中 Ny 表示 y 是一个有限的冯·诺伊曼序数（这个概念可以用集合论的术语明确定义）。

ZFC 理论家对他们的本体论承诺非常明确，无论是直接还是有条件的。他们致力于描述一个非常丰富的数学宇宙，确保其中有如此之多的事物和如此多样的结构，以至于人们应该能够在其中找到几乎任何一种数学对象或结构的集合论“替代品”，以便进行猜想和证明定理。只有这个最重要的目标，即在一个总体领域内统一所有数学，ZFC 理论家对所涉及的对象和结构的逻辑主义观点并不特别承诺。如果有什么的话，逻辑主义面临着一个新的挑战：展示集合论本身如何——就像算术和分析一样——只是一种以定义伪装的逻辑真理体系；并展示如何将集合本身重新构想为纯粹逻辑对象的某种定义性混合物。

2. 新弗雷格主义

新弗雷格复兴起源于查尔斯·帕森斯的洞察力（参见帕森斯 1965 年：183 和 194）。他指出，在格雷格在《基础》中的论证结构下，他所称之为原则（A）足以推导出皮亚诺算术的公理。帕森斯使用二元量词“Glz”来缩写“gleichzahlig”（等数），并使用 Nx 来缩写“the number of”：

（A）NxFx=NxGx≡Glzx(Fx,Gx)。
…我们可以将 [弗雷格的过程] 以定义皮亚诺的三个原始概念“0”、“自然数”和“后继者”，并证明皮亚诺的公理的形式来表达。…除了在引入形式为“NxFx”的项和证明（A）时需要使用集合存在的任何公理外，不需要使用任何集合存在的公理，因此可以将该论证作为公理进行。

这在当今被称为“弗雷格定理”[33]。弗雷格定理以原则（A）作为其假设。有趣的是，在《基础》中，弗雷格强调这个原则的重要性（即两个概念具有相同的数量，当且仅当它们是等数的），但在《基本法则》中，这个重点消失了，双条件的两个部分被广泛分开：在第 53 节中，弗雷格证明如果两个概念一一对应，则它们的数量是相同的，在第 69 节中，他证明了逆命题。但在《基本法则》中，他从未重新组合双条件并赋予其重要的哲学地位。如果他这样做了，他很可能会成为对罗素悖论做出回应的第一位新弗雷格主义者。然而，为了这样做，他必须克服将（A）视为逻辑公理的不情愿 [34]。

新弗雷格运动旨在揭示数学的大部分内容是分析性的。这一主张比它是先验的，并且不从经验科学中获得任何部分的证明，甚至不从经验科学中的成功应用中获得任何部分的证明更为强烈。因为这将适用于将数学（或者实际上是任何其他知识领域）构想为合成先验的情况。新弗雷格主义者还坚持认为，数学的重要部分是从逻辑上流动的，这些逻辑是其核心概念或谓词的分析性（或定义性）原则，例如“自然数”或“实数”。也就是说，它们是从这些核心谓词的含义中流动出来的。（我们在这里选择了语言版本的分析性主张）。请注意，这里强调的是“重要部分”。[35] 我们从哥德尔的第二不完全性定理中得知，任何一致且足够强的算术理论都无法证明或反驳（形式化陈述的）自身的一致性。后者是真实的，但是无法证明的。鉴于不完全性现象，很难坚持声称所有数学真理仅仅是由这样的逻辑考虑所决定的，这些逻辑考虑可以在形式证明系统中捕捉到。[36] 当一个数学理论的第一原则，例如算术，形成一个本质上不完全的公理化时，逻辑主义者将不得不坚持认为任何新的第一原则的证明可以以某种严格的逻辑意义来提供。

请注意，上述评论描述了任何形式的新弗雷格逻辑主义复兴的一般背景。它们并不决定任何此类复兴的确切形式。在第 3 节中，我们讨论了涉及将二阶逻辑与休谟原则扩展的复兴的特定形式；在第 4 节中，我们讨论了建设性逻辑主义。

这两种形式的新弗雷格逻辑主义复兴与弗雷格自己的处理方式共享以下三个重要特征。

首先，数字 0（零）仍然被定义为任何空概念的数量：特别是非自我相同的事物的数量（形式上：#x¬x=x）。

其次，一旦确保了任何自然数 n 的存在，其后继者 s(n)的存在就通过将 s(n)定义为从 0 到 n（包括 n）的所有自然数的数量来确保（弗雷格的技巧）。

第三，自然数概念的定义利用了继承关系的祖先概念：x 与 y 之间存在继承祖先关系，当且仅当 y 离 x 的继承步骤最多有有限多步（正如已经明确的，这个定义中的任何表面上的循环性，源于副词解释“有限”，经过对所使用的定义的更仔细的检查，结果只是表面上的。）然后，“z 是一个自然数”的概念被定义为“要么 0 是 z，要么 0 与 z 之间存在继承祖先关系”。这就是允许新弗雷格逻辑主义者推导出自然数的数学归纳原理的原因。本综述文章的读者将被免除正式细节。这些细节可以在 Tennant（2022）中找到。

3. 第二阶逻辑与休谟原则

新弗雷格复兴始于赖特。[37] 赖特（1983）试图从所谓的 N=（现在被称为休谟原则）中推导出 Dedekind-Peano 的继承算术公理：

xFx=#xGx↔∃R（R 将 Fs 一对一地映射到 Gs）

莱特从休谟原理中勾勒出了戴德金-皮亚诺公理的推导。勾勒出的推导将在标准的二阶逻辑中进行——“标准”是指在 HP 的存在下，所有形式为#xΦ(x)的数抽象术语都可以被证明具有指称。这样的系统在其数抽象术语方面是不自由的。即使所讨论的二阶逻辑是官方意义上的自由逻辑，即不承诺对于任何良构的特定术语 t 都存在定理方案 ∃!t（即 ∃xx=t）。这一点的证明简短而容易，类似于 §1.2.3 中给出的证明。我们将给出一个非正式版本如下。

显然，恒等关系是 Φ 之间的一一对应。因此，根据二阶逻辑的定理，有
∃R（R 将 Φs 一一映射到 Φs）。
这是那个 HP 实例的右手边，其左手边是
#xΦ(x)=#xΦ(x).
后者现在已被证明为具有 HP 的二阶逻辑的定理方案。因此在这个系统中，我们有定理方案
∃!#xΦ(x).

总体主题是，尽管罗素在弗雷格自己的类论理论中发现了悖论，但我们仍然可以挽救弗雷格关于（自然和实际）数以及我们对它们的知识的关键哲学洞见。尽管存在这个悖论，数仍然是逻辑对象，其特征是抽象的方法或原则——当然不能像弗雷格的基本定律 V 那样雄心勃勃。这些原则提供了一种独特的对数的认识访问形式。控制两种数的通常数学公理将作为（高阶）逻辑的结果推导出来——基本上遵循弗雷格的演绎计划。这些推导将利用所涉及的数论品种的原始常量、函数和谓词的适当定义。（例如：0，1；s，+，×；<；N(x)；R(x)。）

主要区别在于：新弗雷格派不再接受弗雷格将数定义为等数类的类。相反，数是通过新选择的抽象原则作为独特存在的。赖特式新逻辑主义者（以下简称 HP-er）选择 HP；建设性逻辑主义者选择更加谨慎地允许引入零和后继者的规则。然而，除了这个关键的区别之外，新弗雷格派在其他地方与弗雷格的整体演绎策略非常接近，当推导出戴德金德-皮亚诺公设时。

推导这些公设不需要直觉或感官经验的补充。所涉及的推理过程仅依赖于我们对逻辑有效性的把握，辅以适当的定义。所谓的结果（对于逻辑主义者来说）是：由于 HP 是分析的，逻辑主义得到了证明；而以这种方式得出的数学知识被揭示为分析的，而非综合的。

然而，对于这个所声称的结果的保留，请参见 Boolos（1997）。HP-er 需要应对的主要反对意见是：Hume 原则既不是逻辑真理，也不是分析真理。反对意见可能会认为它不能是逻辑真理，因为它有如此庞大的本体承诺：对于每个概念，都有相应的数。而且它也不能是分析的，因为双条件的两边具有不同的本体承诺：右边没有与数相关的承诺，而左边则充满了这样的承诺。为了抵御这些反对意见，HP-er 需要做两件事。首先，他需要质疑没有逻辑原则可以承担任何本体承诺的教条。其次，他需要提供一个解释分析性的理论，根据这个理论，即使双条件的每一边的显式本体承诺不同，双条件仍然可以是分析的。（这些承诺应该通过将每一边视为在受限语言中的一个句子来判断，该语言的词汇仅足以允许形成所讨论的句子。）

HP-er 主张 Hume 原则的无限制形式，因此，正如我们所见，它承认了形如{x∣Φ(x)}的每个术语都有一个指称的存在。HP-er 不仅承认所有自然数的数量，还承认所有自我相同的事物的数量，或者至少在 Wright (1983)中是这样。这个“普遍数”#x(x=x)有时被称为“反零”。在第 187 页的注释 5 中可以读到

值得强调的是，当然，有一个数 Nx:x=x 是绝对必要的；因为如果对此存在疑问，那么很难想象为什么会有理由承认 Nx:x≠x。

Boolos (1987)在对普遍数提出疑虑后，提供了一个巧妙的模型（这个模型在 Geach (1975: 446–7)中已经以非正式的方式预见到），以消除对完全二阶逻辑与 HP（现在称为 FA，即“Frege 算术”）一致性的担忧。只需将自然数与不同的对象 ω 作为域的元素。元素 ω 用于表示任何形式为#xΦ(x)的术语，其中 Φ 被无限多个元素满足。然而，请注意，这个一致性证明仅在 FA 单独使用时有效。Geach-Boolos 模型不能保证 FA 与其他理论（如集合论）一起的一致性，而人们可能希望用 FA 来扩展这些理论。然而，由于计数有限扩展应该是一种普遍适用的智力操作，无论主题是什么，FA 只应用于自然数（加上可能的非自然事物 ω）将是例外而不是规则。相反，FA 不仅适用于具体对象，还适用于抽象的数学实体，如实数和集合。只要对于所讨论的对象有一个身份准则，就应该能够对它们的任何有限集合进行计数。

随后，在 Hale 和 Wright 2001 年（第 315 页）中，Wright 对于“x=x”是否算作一种可由“the number of x such that”前缀修饰的种类谓词表示出保留意见。现在 Wright 在探究“用于驱除反零所需的东西”（第 314 页，强调添加）。他经过深思熟虑后得出的答案是，只有当概念 F 既是种类的又不是无限可扩展的时候，形如#xFx 的术语才能表示一个数 [39]。因此，Wright 随后希望实现他之前所声称的不可能想象的事情。技术性的建议因此是，休谟原则应该限制在（表达概念的）既是种类的又不是无限可扩展的谓词上。但是，这当然引发了一个问题，即是否存在一种有效的方法来确定任何给定的谓词 F 是否（表达的概念）既是种类的又不是无限可扩展的。在没有任何这样的有效方法的情况下，该理论将无法被公理化。

这项调查必然局限于（新）逻辑主义对自然数的解释/理论。但是，关于新弗雷格解释/理论如何应对实数的扩展，值得提出一个更多的问题。我们将其称为包含问题。如何评价自然数作为实数（在非双关的数值一致性意义上）是逻辑主义关于自然数所保证的自然数？[40] 这个问题在 Shapiro（2000）的新弗雷格抽象主义解释/理论中没有得到回答。在该解释/理论中，各种新的抽象体是从相当不同的等价关系中抽象出来的，并且没有试图将自然数 n 作为整数 n、有理数 n 和实数 n 的可能性留下来。（尽管在第 339 页上 Shapiro 写道，他提议“在这里避免讨论 [包含下的身份问题]”，但他提出的处理方法仍然否定了包含问题的回答。）

有一个问题尚未令人满意地解决，即：Wright 的新弗雷格逻辑主义主张以何种意义上为，我们说，一阶 Peano 算术提供认识基础，如果他们的公理原则 HP 以及所使用的二阶逻辑（=FA）将所谓的“基础”置于比被“建立”的较弱理论更高的一致性强度层次？（这再次引起了 Boolos（1997：248-9）所表达的担忧。）[41]

在基础研究中，提供一个不仅明显一致而且明显真实的基础是一个古老的传统，从这个基础上，所有建立的数学分支的结果都将逻辑地推导出来。此外，这种逻辑推导本身必须是认识上可接近的，因此可验证的证明的重要性就显而易见了。基础性的努力可以同时针对许多不同的数学分支，也可以只针对某个特定的分支，比如算术。在前一种情况下，如果所选择的基础理论（如 ZFC）在与任何一个正在建立的数学分支相关的一致性强度方面更高，那是可以理解的。但是，如果努力只针对那个分支（比如算术），那么所提供的基础应该尽可能地具有与该分支相关的一致性强度。

FA 的一致性强度是二阶算术 Z2（即实分析）的一致性强度，与没有幂集公理的 Zermelo-Fraenkel 集合论相等。而一阶 Peano 算术的一致性强度要弱得多，即没有幂集公理和无限公理的 Zermelo-Fraenkel 集合论的一致性强度。

通过采用无限制形式的二阶逻辑和休谟原则，赖特承担了一种承诺（作为分析性问题），不仅逐个地对每个自然数进行承诺，而且对任何概念的基数也进行承诺。然而，我们现在知道，哥德尔的有远见的“完成论”洞察力早已得到了充分证实。所谓的洞察力是，集合论者在数学中证明越来越强的结果的关键，特别是每个新获得的系统的一致性，是假设存在越来越大的基数。如果所有这些基数都可以通过适当表达的概念应用休谟原则来获得，那么赖特将提出一个非常强大的基础理论。FA 不比 Z2 更强大的唯一原因是前者的本体论仅仅由抽象生成。如果将集合论添加到理论混合中，就会有其他存在假设的来源。

在进行这种添加时，需要进一步注意赖特通过休谟原则产生的超限基数的性质。正如基特·芬（1998: 515; 2002）的研究所揭示的那样，任何试图将这种抽象的超限基数与集合论结合的尝试都必须将抽象的基数视为原子元素而不是集合。集合论本身无法为由休谟原则产生的每个超限基数提供集合代理。

在 Mancosu（2016 年：第 4 章）中可以找到对 HP 是分析的主张的另一种不同的批评线索。具有讽刺意味的是，Mancosu 提出了他所称的“好伴侣”反对 HP 的观点。HP 与至少无限多个“好伴侣”抽象原则争夺首位。它们之所以好，是因为像 HP 一样，它们允许逻辑推导出 Dedekind-Peano 公理。它们通过各自的“数”-抽象运算符与其扩展为（Dedekind-）有限的谓词一起实现这一点。它们将这样的扩展分配给正确的自然数作为它们的基数。然而，当该运算符应用于其扩展为（Dedekind-）无限的谓词时，这些其他原则给出的结果与更加康托尔式的 HP 原则所期望的结果完全不同。HP 和这些好伴侣在所有有限扩展上都做得很对。但是，好伴侣给无限扩展带来了各种令人困惑的“数”-分配。对于 HP 的问题，正如 Mancosu 所看到的那样，是如何在考虑到所有这些好伴侣的情况下维持 HP 是分析的案例。我们在这里看到了 HP 过于一致性强度的认识论担忧的另一种表现，当逻辑主义项目仅仅是为 Dedekind-Peano 算术提供一个更深入但分析的基础时。这样的基础所要求的只是 HP 和这些竞争的好伴侣原则所达成的共识，即将具有（Dedekind-）有限扩展的谓词分配给正确的数字（即自然数）。对于关于 Dedekind-Peano 算术的逻辑主义者来说，并不需要对任何无限数做出声明。

Mancosu 对 HP 的良好伴侣之所以出现，仅因为他与 HP-er 共享一种基本的逻辑承诺：语言中的每个特指术语都必须表示某种意义。这意味着为算术提供所谓逻辑主义基础的逻辑并不是自由逻辑。将数抽象运算符应用于谓词所形成的每个特指术语都被认为代表某个对象。如果将仅在认识论上可证明的对数字作为抽象存在者的承诺视为逻辑主义项目的一部分，这种拒绝采用自由逻辑会使事情变得过于复杂。我们希望能够仅识别那些存在凭证绝对令人信服的数字。特别是，在提供 Dedekind-Peano 公设的更深层逻辑推导时，逻辑主义者应该能够仅提供自然数。

4. 构造逻辑主义

4.1 对一种不同类型的新逻辑主义的动机

我们在本节中开始对 Gentzen 式证明理论进行一些说明。这并不是因为它在逻辑主义的发展中起到了直接的作用，恰恰相反，我们在本节中试图以广义的方式描述一种不同类型的新逻辑主义，它更多地依赖于证明论资源。

直到 20 世纪 30 年代初，Gerhard Gentzen 的工作（参见 Gentzen 1934, 1935）才使得基础研究者们能够使用形式演算来真正地揭示数学证明中的推理依赖结构。我们在这里指的是结论对前提和假设的依赖，这些假设可能仅仅是“为了论证而假设”。后一种假设的一个很好的例子是还原假设（假设 ϕ；推导出荒谬；得出 ¬ϕ，与 ϕ 无关）。

令人惊讶的是，数学逻辑学家群体花了这么长时间才发现自然演绎演算（以及序演算），尽管 Frege 在 1879 年已经破解了多重量词句子之前隐藏的语法代码。令人注目的是，哥德尔在 1929 年在 Gentzen 自然形式的提出之前就证明了一阶逻辑的完备性，而当时这种逻辑只能以 Frege、Hilbert 以及 Russell 和 Whitehead 设计的高度不自然的演绎演算形式存在。

Gentzen 的重要突破在于将每个逻辑运算符单独进行特征化，具有自己的规则，这些规则中只有该运算符会明确出现。此外，所讨论的规则只涉及该运算符在问题中的单个出现（处于主导位置）。用于通过该运算符主导推理到结论的规则被称为该运算符的引入规则；而用于通过该运算符主导从前提进行推理的规则被称为其消除规则。

任何逻辑运算符的引入和消除规则必须处于某种平衡状态，这种平衡状态使得规则可以被解释为与任何负责任、理性和真诚的发言者的推理义务相匹配，与任何负责任、理性和信任的听众的推理权益相匹配。

所谓逻辑运算符的约简过程阐明了所讨论的平衡状态。这些过程使人能够从证明中删除任何既作为引入规则应用的结论，又作为相应消除规则应用的主要前提的句子出现。重复应用这些过程最终将证明转化为正常形式的证明，基本上是不再适用任何进一步应用这些过程的证明。正常形式的证明的重要性在于它们代表了从前提到结论的直接演绎路径。

尽管 Gentzen 的方法强大、深刻且革命性，但它在某种程度上却有限。它仅限于一阶逻辑中被普遍承认的逻辑运算符：¬、∧、∨、→、∃ 和 ∀。

正在这个时候，Carnap（1934）的《语言的逻辑语法》出现了，它为语言的分析性提供了一个解释，其中所有逻辑数学运算符都可以对一个句子的真值状态产生类似的贡献（或者是分析真或分析假）。然而，Carnap 通过使用涉及所有不同逻辑数学运算符的公理化来实现这一点，这些运算符在语法上相互作用于复杂的公理中。因此，他的方法与 Gentzen 的更“自然”的方法完全不同，后者专注于单个运算符。此外，这种不自然的方法仍然是 Carnap 在他的《逻辑和数学的基础》（Carnap 1939）中的首选选择。我们之所以提到 Carnap，是因为与 Gentzen 相比，Gentzen 在第二次世界大战结束时不幸去世。谁知道 Gentzen 如何将他精心构思的推理技巧扩展到广泛的逻辑主义议程上？他的著作直到 1969 年才以英文翻译出版（参见 Gentzen 1934/1935 [1969]）。然而，Carnap 在美国写作并以英文写作，从 1930 年代中期开始对新一代数学哲学家的逻辑主义问题和前景产生了相当大的影响。

在 20 世纪 40 年代初之后，证明论并没有扩大和多样化，以便解决一个潜在的丰富议程：对引入和消除规则可能采取的各种形式进行调查，因为它研究的是那些规则并不像引入和消除规则那样容易分类的规则控制表达式。例如，对于一些“同步”和相互依赖的逻辑数学概念家族，情况就是如此。这样一个家族的例子是任意两个事物的有序对；任意有序对的第一个成员；以及同样有序对的第二个成员。这个例子以及其他可能给出的例子的一个重要特征是，所涉及的运算符是构词运算符。Gentzen 的研究仅限于句子构成运算符。也许是 Tarski 对形式化语言的真理理论（参见 Tarski 1956 [1933]）使人们对这种基本上是推理主义的逻辑和数学运算符的含义进一步发展的兴趣转移了注意力。

4.2 反实在论和基于推理主义的逻辑主义方法

一种推理主义方法对语义反实在论者具有特殊吸引力。根据迈克尔·达梅特（Michael Dummett）对语义实在论的有影响力的描述，实在论者是指相信每个陈述句在语言中都是确定地真或假的人，而不依赖于我们了解真假的方法。这就是被认为可以证明实在论者使用严格的经典逻辑原则，如排中律的理由。相比之下，反实在论者坚持所有真理都是可知的，并迅速指出我们没有任何有效的方法来判断数学陈述的真假。因此，反实在论者拒绝排中律（以及与之直观等价的所有其他严格的经典规则），主张使用直觉主义或建设性逻辑，而不是经典逻辑。

一个关注证明基本算术定律的分析性的反实在论者会询问在推导 Peano 公理时是否可以避免使用严格的经典推理。因为如果这些公理是分析性真的，那么反实在论者期望通过仅仅依靠涉及的建设性内容来获得它们（参见 Rumfitt 1999）。事实上，反实在论者可以做到。她可以避免使用 Hume 原理的全部能力。对于有限数而言，Hume 原理的概念内容的无害成分将在反实在论者为零、#和后继所制定的推理规则中得到表达。毕竟，Heyting 算术与 Peano 算术具有完全相同的公理，并且是在直觉主义逻辑下的这些公理的逻辑闭包。PA 和 HA 这两个系统仅在逻辑闭包使用的逻辑方面有所不同。如果直觉主义者被禁止成为这里讨论的逻辑主义者，那将是相当奇怪的。

在算术基础的分析性追求中，可以通过达梅蒂反实在论者的意义理论所青睐的证明论方法来很好地服务。这种证明论方法的核心是制定涉及所有表达式形成运算符的推理规则，最好是以引入-消除对的形式出现。这些规则构成了相应运算符的意义；因此，仅通过这些规则证明的结果被视为分析性的。因此，任何警觉的意义论者都会提出以下问题：是否可能通过诉诸适当的构成意义的推理规则，以弗雷格精神中的反实在论（建构主义或直觉主义）推导出算术的基本定律？反实在论学说邀请将此类推广应用于基本理论（如算术）中的数学表达式。它可以为弗雷格逻辑主义者提供他们所追求的：从更基本的逻辑原则中推导出戴德金德-皮亚诺公设的基本推导，这些逻辑原则在认识论上至少与他们试图推导的数学公设一样可靠。

4.3 执行

这种称为建构逻辑主义的理论在 Tennant（1987）中提出。其特点可以概括如下。

有限性：它证明了概念的数量至多具有有限的延伸；
逻辑薄弱性：它仅使用自由直觉相关逻辑；
概念充分性：它证明了模式 N 的所有实例（有关详见下文）；
严谨性：它提供了对 Peano 公理的“完全严谨的推导”（Burgess 2005: 147）[45]。
单管抽象：其基本原则是实施“单管”抽象的推理规则。

构造逻辑主义完全偏离了 Grundgesetze 的形式方法，其中包括双管抽象原则 Basic Law V，以及使用休谟原则的使用，后者是许多新逻辑主义者的起点选择，但再次是双管的。在自由逻辑中进行这种偏离是必要的（并且预防性足够），自由逻辑是一种不受教条（和束缚）的弗雷格假设的逻辑，即一个人的语言中的每个良好形成的特定术语必须表示某个对象。单管抽象原则可以在自由逻辑中以任何变量绑定抽象运算符 α 的引入和消除规则的形式来表述，这些规则控制其在形如 t=@xA(x)的规范性等同陈述中的出现。当然，构造逻辑主义者试图将#作为@。

追求新逻辑主义推导自然数、有理数和实数理论的这种替代方法的详细信息可以在 Tennant 2022 中找到。这种方法也可以应用于集合论本身；参见即将出版的 Tennant。在那里，所揭示的“集合逻辑”就是奎因所称的虚拟集合论：关于集合抽象、谓词和成员关系之间相互联系的学说体系，而不做任何本体论承诺。策梅洛的外延公理可以在这种方法上作为一个逻辑定理推导出来。

构造逻辑主义基于自然演绎的规则，这些规则可以被认为是关于中心概念零（0）、后继（s）和“数量为”（#）的分析规则。这些规则确定了数词形成运算符#xΦ(x)（Φ 的数量）。根据上面介绍的术语，#x 的规则相当于一个单管抽象原则。其余的规则只允许承担非常局部和适度的本体论承诺，理由是一个诸如“0”的术语的含义的一部分是，使用它的语言会使人承诺存在数字 0。例如，这里是关于零的自然演绎规则。“⊥”是荒谬的符号。

0-引入 (i) F(a) ∃!a(i)⋮⊥0=#xF(x)(i)

0-消除 0=#xF(x)∃!tF(t)⊥

为了调和刚提到的谦虚承诺，所有的推导都是在自由逻辑中构建的，以便除了规则本身所产生的存在承诺之外的所有存在承诺都必须明确表达。[46] 以这种方式，构造逻辑主义者所承担的所有存在承诺，无论如何，都将由主张休谟原则的 HP-er 在其不受限制的形式下承担。请记住，HP-er 不仅承诺所有自然数的数量，还承诺所有自我相同的事物的数量。

对于建设性逻辑主义者来说，本体论要求要比 HP-er 要谦逊得多。建设性逻辑主义者甚至不承诺（通过他所制定的规则）存在所有自然数的数量。通过使用弗雷格的技巧，承诺逐个地存在自然数作为必要存在。然而，并没有承担任何其他基数的承诺。

Tennant（1987）的第 25 章，标题为“推导算术的基本定律：或者，如何 Frege-Wright Dedekind-Peano”，在自由的直觉相关逻辑中提供了详细的形式推导。所有给出的推导都是直觉主义的，符合上述反实在主义的愿望，并为短语“建设性逻辑主义”中的形容词“建设性”提供保证。

Heck（1997b）处理了所谓的“有限 Frege 算术”。他的处理是经典的。但是，与建设性逻辑主义一样，Heck 关注的是在仅对自然数承担本体论承诺的情况下推导出算术的基本定律。为此，Heck 将休谟原则限制为具有有限扩展的谓词。因此，可以自然地推测建设性逻辑主义是 Heck 有限 Frege 算术的直觉（相关）片段。

Tennant (1987)认为，任何逻辑主义理论的充分条件是解释有限基数的适用性（见第 234 页）。让 ∃nxFx 成为带有身份的一阶逻辑公式，按照通常的方式归纳定义，它表示恰好有 n 个 F。让 n––成为表示自然数 n 的数字，即“s…s0”，其中有 n 个后继符号 s。模式 N 是以下双条件式，其中的一个实例是通过固定一个特定的自然数 n 和开放式 Φ 得到的。

（模式 N）#xΦx=n––↔∃nxΦx。

数字的充分理论将允许推导出模式 N 的每个实例；而建构逻辑主义理论正是这样做的。Tennant 认为，这构成了解决计算有限集合中自然数适用性问题的方法。

到目前为止，所有讨论的逻辑主义解释只涉及零、后继和“...是一个自然数”。但它们之间存在重要的差异。并不清楚建设性逻辑主义是否具有与弗雷格算术相同的高一致性强度。在建设性逻辑主义系统内，似乎没有办法推导出形式为 ∃y(y=#xF(x))的存在性主张，其中 F 的扩展是一个无限集合（例如所有自然数的集合）。与此形成对比的是，FA 证明了

∃y(y=#xF(x)),

where the extension of F is an infinite set (such as the set of all natural numbers). Contrast this with the fact that FA proves

∃y(y=#x(x 是一个自然数)).

因此，本文作者猜测该系统的一致性强度低于 FA 的一致性强度.

在 Tennant (2009)中，构造逻辑主义的处理被扩展到处理加法和乘法。关键创新是“有序配对逻辑”：一套自然演绎推理规则，用于从现有对象 t 和 u 形成有序对 π(t,u)，以及任何有序对 u 的左成员 λ(u)和右成员 ϱ(u)的投影.

5. 模态新逻辑主义

Zalta（1999）提出了一种有趣而不同的、基于模态逻辑的自然数路径。尽管 Zalta 本人并没有将其归类为这样的，但他的方法似乎值得被称为“新逻辑主义”。（我们不考虑模态逻辑的逻辑地位问题。）

Zalta 使用了一个带有恒真性的经典二阶模态逻辑（S5），并且具有一阶 Barcan“公式”或公理方案

◊∃xψ(x)→∃x◊ψ(x).

和它的二阶相关物

◊∃Fψ(F)→∃F◊ψ(F).

第一阶巴尔坎公式迫使人们将量词解释为涵盖所有可能的个体，无论一个人处于哪个世界中-在从可能世界到可能世界的可及关系中，不能涉及域的“扩展”或“收缩”。

逻辑是自由的，描述性术语（描述运算符 ι 是原始的）被刚性地解释-也就是说，如果描述性术语在实际世界中有一个指称，那么它在任何其他可能世界中的指称也是如此。

存在通常的必然性和可能性的真值模态 □ 和 ◊（当然是由 S5 解释），以及实际性运算符 A。编码关系 xF 可以存在于抽象对象 x 和属性 F 之间。

Ax 将意味着 x 是一个抽象对象。抽象对象所编码的属性构成了其本质，并且作为对象的身份的必要条件。（Zalta 1993: 396）

例如，柏拉图的三角形形式编码了三角形的属性，但并不是其实例。

在 Zalta 的基本原则中包括以下内容。

普通对象无法编码任何属性。
对于任何属性条件，某些抽象对象仅编码满足该条件的属性。
相同的个体可以在真理保存的情况下互相替代。
相同的属性在真理保存下是可以互相替代的。
如果可能的话，特定的编码是必要的。

Zalta 根据普通对象（即可能具体的对象）之间的属性定义了一个等势关系 ≈。有了 ≈，Zalta 提出了一个（基数）数的概念（Zalta 1993: 630）：

数字(x,G)≡dfAx∧∀F(xF↔F≈G).

由此可知，x 是数字 G 当且仅当 x 是一个编码与 G 等值的属性的抽象对象（需要注意的是，等值性仅针对普通对象进行判断）。而且，根据 Zalta 的第一原则很容易得出“对于每个属性 G，存在一个唯一的数字 G 的对象”的结论。

Zalta 的系统提供了休谟原则：

F=#G↔F≈G

以及以下明显的推论：

∀G∃y(y=#G).

在这方面，Zalta 的系统和 Wright 的系统一样强大：它们都保证了每个属性的编号。然而，Wright 从休谟原则作为第一原则开始，而 Zalta 则从他自己的“更基本”（可能更强大）的原则中推导出休谟原则（正如 Frege 最初所做的）。

在我们对 Zalta 系统的阐述结束时，我们注意到以下三点。在他对“具体”和“抽象”的理解中，

可以为适用于普通对象的属性分配编号。
抽象对象（包括数字本身）的属性持有，不能被赋予数字。
所有无限多的自然数的存在取决于无限多（但有限的）具体对象的可能存在。

在（2）和（3）中，Zalta 明确地与 Frege 和所有其他上述（新）逻辑主义者分道扬镳。

6. 近期受《格伦德格塞茨》启发的研究，或者离开它

我们已经看到，自 20 世纪 80 年代初以来，逻辑主义再次引起了人们的兴趣。在这个时期，为了拯救逻辑主义免于弗雷格的灾难（同时又不完全牺牲基本定律 V，并且不以 HP 为起点），人们通过研究《格伦德格塞茨》的各种“片段”来进行工作。这个学者团队的共同想法，源自帕森斯（Parsons）1987 年的观点，如下所述：弗雷格的《格伦德格塞茨》屈服于罗素的悖论。但是弗雷格的系统是一个庞大的系统。让我们看看是否可以提取出一个片段，它既是（a）一致的，又足够强大，可以提供足够的算术。[48] 这是标准的修复不一致性理论的方法，但其主要目标是试图从废墟中挽救出来。迄今为止在这个方向上取得的进展是值得报道的。我们将称这些理论努力为“分裂”。

刚才提到的分裂学者们都将一个形成术语的变量绑定抽象运算符作为原始运算符，该运算符应用于谓词以形成特定术语。他们对这个运算符的符号选择有所不同。在这里，我们将以@xA(x)的一般方式来讨论这些术语。对于@，帕森斯遵循弗雷格的做法，使用一个放置在变量 x 上方的呼吸符号（类似逗号）。赫克使用一个放置在 x 之前的折字符号（插入符号），并在变量绑定前缀中的 x 之后立即放置一个句点。韦梅尔使用一个放置在 x 上方的折字符号。博库尼（不完全是一个分裂者——见下文）使用了形式{x:A(x)}，其中冒号取代了当代集合论者会使用的斜杠：{x∣A(x)}。因此，每个作者都使用了某种形式的集合或类抽象术语，通过变量绑定抽象运算符形成。

回到我们使用@作为泛指符号来涵盖这些特殊变体的用法，我们提醒读者，基本法则 V 以示意图形式表示（其中 A(x)和 B(x)是公式的占位符），可以表达为

@xA(x)=@xB(x)↔∀x(A(x)↔B(x)).

基本法则 V 在公理形式中是二阶的：

∀F∀G [@xF(x)=@xG(x)↔∀x(F(x)↔G(x))].

Parsons 1987 给出了一个模型论证明，证明了模式 V 与一阶逻辑一致。（这个猜想由 Schroeder-Heister 1987 提出。）J. Burgess 1998 给出了一个证明论证和构造性证明相同结果的证明。Heck 1996 扩展了 Parsons 的论证，证明了 Frege 系统的简单和分叉的预测性片段都是一致的。Wehmeier 1999 为一个包含公理 V 和高阶概括原理的单调二阶逻辑理论提供了一致性证明。Ferreira 和 Wehmeier 2002 证明了模式 V 和相同的概括原理的一致性。所讨论的高阶原理被称为 Δ11-概括。[49]

另一个类似于研究 Grundgesetze 适当片段的最近创新涉及到使用复数量词逻辑的资源。当然，这使我们脱离了真正的 Grundgesetze 片段的领域。但这些思想与前述片段的思想密切相关。

Boccuni 2011 为一种允许复数量化的语言提供了一种解释，Boccuni 认为这种解释使得构成她所称的 PG 系统的原则的每个实例都成立。这些原则包括复数概括原理、预测性概括原理和模式 V。Boccuni 2013 将 PG 系统呈现为“一个一致的二阶系统，旨在推导出二阶 Peano 算术”。[50]

另一个近期在寻求一个可行的新逻辑主义对弗雷格（双重抽象）理解的创新值得一提的是 Studd 2016 提出的。正如他所指出的，

这种风格的现有回应的关键缺点是它们削弱了新逻辑主义对数学的恢复。弗雷格的定理依赖于完全的二阶逻辑。预测理论及其分支变体对于解释二阶算术 PA2 来说太弱了（参见 John P. Burgess 2005，第 2 章）。

在他的阐述中，Studd 避免使用复数逻辑，但在途中提到，如果愿意，可以使用复数逻辑语言来表达他的观点。他回到了对抽象术语的考虑。他诊断了找到一个“筛选‘好’[双重抽象-NT] 原则（如休谟原则）和‘坏’原则（如基本定律 V）的‘适当性标准’”的问题。他得出结论，这种解决坏公司问题的方法

如果新逻辑主义者想要保持将他们在算术中的成功扩展到包括标准泽尔梅洛-弗兰克尔集合论在内的数学其他分支的雄心壮志，那么逻辑主义就走错了路。

斯塔德（Studd）诊断了双重抽象原则的问题，认为其问题在于它们是静态的。它们被认为统治着一个无法通过左侧的抽象术语的指称来扩展的全包括域。斯塔德提出我们应该将抽象理解为动态的，允许通过新抽象的抽象物扩展域。他制定了一个可以允许这种情况发生的双重抽象理论。

7. 逻辑主义的问题总结

从前面的讨论中，我们可以看到逻辑主义或新逻辑主义的现存版本在文献中面临着各种问题。牢记这些问题的读者将能够以更加批判性的眼光审查任何提出的新的新逻辑主义解释。

这些问题中，有些问题是逻辑主义的任何版本都会面临的，它们的解决可能需要作为后者的“充分条件”。其他问题则仅在考虑中的逻辑主义版本所采用的特定方法或假设时才会出现。以下问题在前面的讨论中似乎占据了重要地位。

弗雷格的“概念化问题” 如果我们相信算术不是基于康德的“时间纯形式直观”，那么我们如何理解数字呢？正如弗雷格在《基础篇》第 62 节中所说：“如果我们对数字没有任何概念或直观，那么数字如何被给予我们？”
弗雷格的“凯撒大帝问题” 在一个可能的逻辑主义对数字本质的解释中，如何证明凯撒大帝不是一个数字？更一般地说，如何在这样的解释下证明没有任何数字是具体的个体？
“适用性问题” 逻辑主义能否解释（i）自然数如何应用于计算有限集合，以及（ii）实数如何应用于测量连续变化的大小，如长度、时间周期等？
“包含问题” 如何证明自然数 n 与整数 n、有理数 n 和实数 n 是完全相同的抽象对象？（见脚注 40。）
“抽象问题” 数字抽象原则的正确形式是什么（由那些认为数字是逻辑抽象体的人所支持）？
“分析性问题” 能否证明所选择的数学抽象原则是分析性的？
“存在问题” 逻辑主义是否能使人相信任何事物的存在，或者某种事物的存在？[ 51]
“无限问题” 逻辑主义是否被允许简单地假设一个无限公理，即存在无限多的事物（也许是某种特定的事物）？
“划界问题” 什么使得某物成为逻辑常量？哪些通常被认为是数学的概念实际上可以在适当构建的逻辑主义逻辑中被隐式或明确地定义？[52]
“不良公司”[53] 或“丰富的尴尬” 一些抽象原则是不一致的。然而，其他一些原则虽然在个体上是一致的，但在彼此之间是不一致的。那么，我们如何知道任何提出的抽象原则是否应该接受呢？
理论不变性 自然数是普遍适用的；它们享有它们的算术属性，并且在算术关系中必然地参与其中，独立于可能存在的其他事物以及这些事物的方式。因此，自然数的抽象原则应该与关于任何话语领域的一致理论相一致。它们是吗？

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Academic Tools

Other Internet Resources

Koellner, Peter, “Carnap on the Foundations of Logic and Mathematics” (PDF), unpublished manuscript, 2009.

Acknowledgments

The author is grateful for helpful comments on various earlier drafts from Julian Cole, Mauro Corneli, Salvatore Florio, Teresa Kouri, Lisa Shabel, Stewart Shapiro, Matthew Souba and Ed Zalta. Thanks are owed especially to John MacFarlane, who provided detailed, insightful and helpful refereeing comments on later but still ancestral drafts. The author is solely responsible for any defects that remain.

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