模态逻辑 modal (James Garson)
首次发表于 2000 年 2 月 29 日；实质修订于 2023 年 1 月 23 日
模态是用于限定判断真实性的表达式（如“必然”或“可能”）。严格来说，模态逻辑是研究表达式“必然是这样的”和“可能是这样的”的演绎行为的学科。然而，“模态逻辑”这个术语可以更广泛地用于一系列相关系统。这些系统包括信念逻辑、时态和其他时间表达式的逻辑、道义（道德）表达式（如“有义务是这样的”和“被允许是这样的”）等等。对模态逻辑的理解在形式分析哲学论证中尤为重要，因为模态家族的表达式既常见又令人困惑。模态逻辑在计算机科学中也有重要应用。
1. 什么是模态逻辑学？
狭义上理解，模态逻辑学研究涉及使用“必然”和“可能”的推理。然而，“模态逻辑学”这个术语更广泛地用于涵盖一系列具有相似规则和不同符号的逻辑学。
下面是描述这些逻辑学中最知名的一些的列表。
2. 模态逻辑学
在模态逻辑学家族中，最熟悉的逻辑学是由一种弱逻辑学（称为 K，以 Saul Kripke 命名）构建而成的。在狭义阅读下，模态逻辑学涉及必然性和可能性。可以使用 K 作为基础来开发各种不同的系统来构建这样的逻辑学。K 的符号包括“∼”表示“非”，“→”表示“如果…那么”，以及“◻”表示模态运算符“必然”。（连接词“&”，“∨”和“↔”可以从“∼”和“→”中定义，就像在命题逻辑中所做的那样。）K 是在命题逻辑的原则上添加以下内容而得到的。
必然性规则: 如果 A 是 K 的一个定理，那么 ◻A 也是。
分配公理: ◻(A→B)→(◻A→◻B)。
（在这些原则中，我们使用'A'和'B'作为在语言中的公式的元变量。）根据必然性规则，逻辑学的任何定理都是必然的。分配公理表明，如果如果 A 则 B 是必然的，那么如果 A 是必然的，那么 B 也是必然的。
运算符 ◊（表示“可能性”）可以通过让 ◊A=∼◻∼A 从 ◻ 定义。在 K 中，运算符 ◻ 和 ◊ 的行为非常类似于量词 ∀（所有）和 ∃（一些）。例如，从 ◻ 定义 ◊ 的方式反映了谓词逻辑中 ∀xA 与 ∼∃x∼A 等价的关系。此外，◻（A&B）蕴含 ◻A&◻B，反之亦然；而 ◻A∨◻B 蕴含 ◻（A∨B），但反之不成立。这反映了普遍量词的模式：∀x（A&B）蕴含 ∀xA&∀xB，反之亦然；而 ∀xA∨∀xB 蕴含 ∀x（A∨B），但反之不成立。类似的对应关系也可以在 ◊ 和 ∃ 之间建立。关于模态运算符和量词之间的这种对应关系的基础将在可能世界语义学部分更清晰地展现出来。
系统 K 过于薄弱，无法提供充分的必然性解释。以下公理在 K 中无法被证明，但显然是可取的。
◻A→A
(M)声称任何必然的情况都是成立的。请注意，如果将 ◻ 解读为“应该是这样”，或者“过去是这样的”，那么(M)将是不正确的。因此，公理(M)的存在将模态逻辑学中的必然性逻辑与其他逻辑区分开来。将(M)添加到 K 中，得到基本的模态逻辑 M。（一些作者称此系统为 T。）
许多逻辑学家认为 M 仍然太弱，无法正确地形式化必然性和可能性的逻辑。他们建议进一步添加公理来管理模态运算符的迭代或重复。以下是两个最著名的迭代公理：
◻A→◻◻A◊A→◻◊A
S4 是将(4)添加到 M 得到的系统。类似地，S5 是 M 加(5)。在 S4 中，句子 ◻◻A 等同于 ◻A。因此，任何一串方框都可以被一个单独的方框替代，钻石串也是如此。这意味着重复使用相同的模态运算符是多余的。说 A 是必然必要的被认为是一种冗长无用的表达方式，其实就是说 A 是必要的。系统 S5 有更强的简化模态运算符串的原则。在 S4 中，相同类型的运算符串可以被该运算符替代；在 S5 中，包含方框和钻石的串等同于串中的最后一个运算符。因此，例如，说 A 可能是必要的与说 A 是必要的是一样的。下面是 S4 和 S5 的这些特点的总结。
◻◻…◻=◻ 和 ◊◊…◊=◊00…◻=◻ 和 00…◊=◊，其中每个 0 都是 ◻ 或 ◊
人们可以对 ◻ 和 ◊ 的这些和其他迭代原则的正确性或错误性进行无休止的争论。通过认识到“必然”和“可能”这两个词有许多不同的用法，这种争议可以在一定程度上得到解决。因此，模态逻辑公理的可接受性取决于我们考虑的是这些用法中的哪一个。因此，并不存在一个模态逻辑，而是围绕 M 构建的整个系统家族。这些系统之间的关系在第 8 节中有图表表示，并且通过研究它们在第 6 节中的可能世界语义，可以更深入地理解它们对“必然”和“可能”的不同用法的应用。
系统 B（逻辑学家布劳尔的系统）是通过将公理（B）添加到 M 中形成的。
A→◻◊A
有趣的是，S5 可以通过将（B）添加到 S4 中等价地表达。公理（B）提出了关于模态公式解释的重要观点。公理（B）表示，如果 A 成立，则 A 必然可能。有人可能认为在任何模态逻辑中都应该采用公理（B），因为如果 A 成立，则 A 必然可能。然而，这个主张存在一个问题，即从（B）可以推导出 ◊◻A→A。因此，如果（B）成立，◊◻A→A 应该是可以接受的。然而，◊◻A→A 表示如果 A 可能是必然的，则 A 成立，这一点显然不是那么明显。为什么公理（B）似乎很明显，而它所蕴含的一件事却一点也不明显？答案是英语对 A→◻◊A 的解释存在一个危险的歧义。我们经常使用表达式“如果 A，则必然 B”来表示条件“如果 A，则 B”是必然的。这种解释对应于 ◻（A→B）。在其他情况下，我们的意思是如果 A，则 B 是必然的：A→◻B。在英语中，“必然”是一个副词，而副词通常放在动词附近，我们没有自然的方法来指示模态运算符是应用于整个条件还是其结果。因此，有一种倾向于混淆（B）：A→◻◊A 与 ◻（A→◊A）。但是，◻（A→◊A）与（B）不同，因为 ◻（A→◊A）已经是 M 的一个定理，而（B）不是。我们必须特别注意，我们对 ◻（A→◊A）的积极反应不会影响我们对（B）的评估。保护自己的一种简单方法是使用公理 ◊◻A→A 以等价的方式来表述 B，这样就不会出现范围的歧义。
3. 模态逻辑学
模态逻辑学引入了原始符号“O”表示“应该”，从中定义了符号“P”表示“允许”，符号“F”表示“禁止”：PA=∼O∼A 和 FA=O∼A。模态公理（M）的道德伦理学类比 OA→A 显然不适用于道德伦理学。（不幸的是，应该是的并不总是如此。）然而，通过将较弱的公理（D）添加到 K 中，可以构建一个基本的道德伦理学系统 D。
OA→PA
公理(D)通过坚持当 A 是义务时，A 是可允许的，来保证义务系统的一致性。一个义务要求我们实现 A，但不允许我们这样做，会使我们陷入无法逃脱的困境。尽管有人会争辩说这种义务冲突至少是可能的，但大多数义务逻辑学家接受(D)。
O(OA→A)是另一个看起来可取的义务公理。尽管说如果 A 是义务的话，A 就是事实(OA→A)是错误的，但这个条件应该成立。因此，一些义务逻辑学家认为 D 需要补充上 O(OA→A)。
在义务逻辑中，运算符的迭代（重复）再次引发争议。在某些义务的概念中，OOA 只是等同于 OA。"应该是应该的" 被视为一种口吃；额外的 "应该" 并没有增加任何新的内容。因此，公理被添加以保证 OOA 和 OA 的等价性。也可以采用 S5 中体现的更一般的迭代策略。然而，有些义务的概念保留了 OA 和 OOA 之间的区别。这个想法是我们实际上有的义务和我们应该采纳的义务之间存在真正的差异。因此，例如，"应该是应该是 A" 命令采纳一些可能实际上不存在的义务，结果就是当 OA 为假时，OOA 可以为真。
有关逻辑学的详细讨论，请参阅关于义务逻辑的条目。
4. 时间逻辑学
在时间逻辑学（也称为时态逻辑）中，有两个基本运算符，即未来运算符 G 和过去运算符 H。G 被读作“总是将是”，而定义运算符 F（读作“将是”）可以通过 FA=∼G∼A 引入。类似地，H 被读作“总是是”，而 P（表示“曾经是”）通过 PA=∼H∼A 定义。采用 K 原则作为 G 和 H 的基础，以及两个公理来控制过去和未来运算符之间的交互，得到了一个基本的时间逻辑系统 Kt。
必然性规则： 如果 A 是一个定理，那么 GA 和 HA 也是定理。
分配公理： G(A→B)→(GA→GB)和 H(A→B)→(HA→HB)
交互公理： A→GPA 和 A→HFA
互动公理引发了关于过去和未来之间的不对称性的问题。一个标准的直觉是过去是确定的，而未来仍然是开放的。第一个互动公理（A→GPA）符合这种直觉，它报告了现在的情况（A）将在所有未来的时间都在过去（GPA）。然而，A→HFA 可能会显得过于确定性，因为它声称，显然，现在是真实的（A）一直以来都是将来会发生的（HFA）。然而，时间逻辑的可能世界语义揭示了这种担忧是由于简单的混淆，而且这两个互动公理是同样可接受的。
注意，模态逻辑的特征公理（M）：◻A→A，对于 H 或 G 都是不可接受的，因为 A 并不是从“它总是是这样的 A”或“它总是将是这样的 A”中得出的。然而，在一个紧密相关的时间逻辑中，它是可接受的，其中 G 被解读为“它是并且总是将是”，而 H 被解读为“它是并且总是曾经是”。
根据人们对时间结构的假设，必须向时间逻辑中添加进一步的公理。下面是时间逻辑中常用的公理列表。关于它们如何依赖于时间结构的解释将在“可能世界语义”一节中找到。
GA→GGA 和 HA→HHAGGA→GA 和 HHA→HAGA→FA 和 HA→PA
有趣的是，值得注意的是，在英语中，过去时和将来时运算符的某些组合可以用来表达复杂的时态。例如，FPA 对应于将来完成时的句子（如“20 秒后，灯光将会改变”）。类似地，PPA 表示过去完成时。
有关更详细的讨论，请参见时间逻辑的条目。
5. 条件和相关逻辑学
模态逻辑学的创始人 C. I. Lewis 定义了一系列没有 ◻ 作为原始符号的模态逻辑学。Lewis 关注于发展一种没有所谓的物质蕴涵悖论的条件逻辑学，即经典定理 A→(∼A→B)和 B→(A→B)。他引入了符号 ⥽ 表示“严格蕴涵”，并发展了一种逻辑学，其中既不能证明 A⥽(∼A⥽B)，也不能证明 B⥽(A⥽B)。现代做法是通过定义 A⥽B 为 ◻(A→B)并使用控制 ◻ 的模态逻辑学来获得类似的结果。然而，在这种逻辑学中，(A&∼A)⥽B 等公式的可证性似乎与对悖论的关注不符。Anderson 和 Belnap（1975）开发了 R 系统（相关逻辑学）和 E 系统（蕴涵）来克服这些困难。这些系统需要修订标准的命题逻辑系统。（参见 Mares（2004）和相关逻辑学词条。）
David Lewis（1973）、Robert Stalnaker（1968）和其他人开发了条件逻辑学来处理反事实表达式，即形如“如果 A 发生，则 B 会发生”的表达式。（Kvart（1980）是该主题的另一个良好的来源。）反事实逻辑学与基于严格蕴涵的逻辑学不同，因为前者拒绝而后者接受逆否命题。
6. 可能世界语义
逻辑学的目的是描述有效和无效论证之间的差异。语言的逻辑系统是一组公理和规则，旨在证明语言中可陈述的有效论证。创建这样的逻辑系统可能是一项困难的任务。逻辑学家必须确保系统是完备的，即使用规则和公理证明的每个论证实际上都是有效的。此外，系统应该是完全的，意味着每个有效的论证在系统中都有一个证明。证明形式系统的完备性和完备性是逻辑学家的核心关注之一。
在严格定义有效性的概念之前，这样的证明无法开始。逻辑的形式语义学通过描述系统中句子的真实行为来提供有效性的定义。在命题逻辑中，可以使用真值表来定义有效性。有效的论证只是指每个使前提为真的真值表行也使结论为真的论证。然而，真值表无法用于提供模态逻辑中有效性的解释，因为对于诸如“必然是”，“必须是”等表达式没有真值表。（问题在于 A 的真值不能确定 ◻A 的真值。例如，当 A 是“狗是狗”时，◻A 是真的，但当 A 是“狗是宠物”时，◻A 是假的。）然而，可以通过引入可能世界来定义模态逻辑的语义学。我们将说明包含符号 ∼，→和 ◻ 的必然性逻辑的可能世界语义，然后解释相同的策略如何适应模态逻辑家族中的其他逻辑。
在命题逻辑中，对于原子句（或真值表的一行），估值（valuation）为每个命题变量 p 分配一个真值（T 或 F）。然后，使用真值表计算复合句的真值。在模态语义学中，引入了一组可能世界 W。然后，对于 W 中的每个可能世界，估值为每个命题变量分配一个真值。这意味着对于世界 w，分配给 p 的值可能与另一个世界 w'分配给 p 的值不同。
给定估值 v，原子句 p 在世界 w 上的真值可以表示为 v(p,w)。根据这个表示法，对于给定估值 v（和 W 中的成员 w），可以通过以下真值子句来定义模态逻辑的复合句的真值（T 表示真，F 表示假）。（“当且仅当”缩写为“iff”。）
v(∼A,w)=T 当且仅当 v(A,w)=F。v(A→B,w)=T 当且仅当 v(A,w)=F 或 v(B,w)=T。v(◻A,w)=T 当且仅当对于 W 中的每个世界 w'，v(A,w')=T。
(∼)和(→)子句仅仅描述了否定和物质蕴涵的标准真值表行为。根据(5)，当 A 在所有可能的世界中都为真时，◻A 在世界 w 上为真。根据 ◊ 的定义（即 ◊A=∼◻∼A），真值条件(5)确保了当 A 在某个可能的世界中为真时，◊A 也为真。由于 ◻ 和 ◊ 的真值子句涉及量词'all'和'some'（分别），所以在第 2 节中注意到的 ◻ 和 ∀x 以及 ◊ 和 ∃x 之间的逻辑行为的相似之处是可以预期的。
(∼)，(→)和(5)子句使我们能够计算给定估值下任何世界上任何句子的真值。现在我们离一个有效性的定义只有一步之遥。对于给定的可能世界集合 W，如果每个对前提在 W 中的世界赋值为 T 的估值也将结论在同一世界赋值为 T，则一个论证在 W 上是 5-有效的。如果一个论证对于每个非空的可能世界集合 W 都是有效的，则称该论证为 5-有效。
已经证明了 S5 对于 5-有效性是完备和正确的（因此我们使用符号'5'）。5-有效的论证恰好是在 S5 中可证明的论证。这个结果表明 S5 是正确的表达必然性逻辑的方式。
然而，S5 并不适用于模态家族的所有成员。在义务逻辑、时间逻辑和其他逻辑中，真实条件（5）的类比显然是不合适的；此外，甚至有些必要性的概念也应该拒绝使用（5）。这一点在时间逻辑的情况下最容易理解。在这里，W 的成员是时间的瞬间，或者可以说是“冻结”的世界。为了简单起见，让我们考虑一个未来的时间逻辑，一个逻辑，其中 ◻A 的含义是：“它将永远是这样的”。（我们使用 ◻ 而不是传统的 G 来表达这个系统，以便更容易理解与其他模态逻辑的联系。）◻ 的正确子句应该说，在时间 w 上，当且仅当 A 在 w 的未来的所有时间上都为真时，◻A 为真。为了限制注意力在未来，需要引入关系 R（表示“早于”）。然后，正确的子句可以如下表述。
v(◻A,w)=T 当且仅当对于每个 w′，如果 wRw′，则 v(A,w′)=T。
这意味着在 w 上 ◻A 为真，当且仅当 A 在 w 之后的所有时间上都为真。
对于这种时间逻辑的有效性现在可以定义了。一个框架 ⟨W,R⟩ 是由非空集合 W（世界的集合）和 W 上的二元关系 R 组成的一对。一个模型 ⟨F,v⟩ 由一个框架 F 和一个将每个原子句子在 W 中的每个世界上赋予真值的估值 v 组成。给定一个模型，可以使用(∼),(→)和(K)来确定所有复合句子的值。一个论证在任何一个将前提 T 赋值给一个世界的估值也将结论 T 赋值给同一个世界的模型中是 K-有效的。正如读者可能从我们使用‘K’的方式中猜到的那样，已经证明了最简单的模态逻辑 K 对于 K-有效性是既完备又正确的。
7. 模态公理和框架条件
从这个讨论中可以推断出，当将 ◻ 解读为‘总是将会发生’时，K 是正确的逻辑。然而，有理由认为 K 太弱了。关系 R（早于）的一个明显的逻辑特征是传递性。如果 wRv（w 早于 v）且 vRu（v 早于 u），那么可以推出 wRu（w 早于 u）。因此，让我们定义一种与 R 上的这个条件相对应的新的有效性。一个 4-模型是指其框架 ⟨W,R⟩ 满足 R 在 W 上是传递关系的任何模型。那么一个论证在任何一个将前提 T 赋值给一个世界的估值也将结论 T 赋值给同一个世界的 4-模型中是 4-有效的。我们使用‘4’来描述这样的传递模型，因为对于 4-有效性来说，适当的逻辑（既完备又正确）是 K4，即在 K 的基础上添加公理(4): ◻A→◻◻A。
可传递性并非我们可能希望要求的仅有的关于框架 ⟨W，R⟩ 的性质，如果 R 被解读为“早于”，而 W 是一组时刻。一个条件（仅有轻微争议）是不存在最后的时刻，即对于每个世界 w，存在某个世界 v 使得 wRv。这个关于框架的条件被称为连续性。连续性对应于公理（D）：◻A→◊A，就像传递性对应于（4）一样。D-模型是具有连续框架的 K-模型。从 D-模型的概念中，可以像在 4-有效性的情况下那样定义相应的 D-有效性概念。正如你可能猜到的那样，相对于 D-有效性而言，适当的系统是 KD，或者 K 加上（D）。不仅如此，KD4 系统（即 K 加上（4）和（D））相对于 D4-有效性是适当的，其中 D4-模型是 ⟨W，R⟩ 既连续又传递的模型。
我们可能希望关于“早于”关系的另一个性质是密度，即任意两个时刻之间总是可以找到另一个时刻。如果时间是原子的，即存在无法分解为更小部分的时间间隔，那么密度将是错误的。密度对应于公理（C4）：◻◻A→◻A，是（4）的逆命题，因此例如，系统 KC4，即 K 加上（C4），相对于框架 ⟨W，R⟩ 是密集的模型是适当的，而 KDC4 相对于框架连续且密集的模型是适当的，等等。
我们讨论的每个模态逻辑公理都对应于框架上的一个条件，这种条件与相应的公理之间的关系是模态逻辑研究中的一个核心主题之一。一旦确定了对内涵运算符 ◻ 的解释，就可以确定关于 R 的适当条件来确定相应的有效性概念。这反过来允许我们选择适合该逻辑的正确公理集。
例如，考虑一个义务逻辑，其中 ◻ 被解读为“应该是如此”。在这种逻辑中，◻A 的真实性并不要求在每个可能的世界中 A 的真实性，而只要求在那些人们做出应该做的事情的世界的一个子集中成立。因此，我们也希望为这种逻辑引入一个关系 R，并使用真值子句（K）来评估在一个世界上的 ◻A。然而，在这种情况下，R 并不是“早于”。相反，wRw'成立仅当世界 w'是世界 w 的一个道德上可接受的变体，即我们的行动可以实现并满足道德正确或公正的世界。在这样的解释下，应该清楚相关的框架应该遵守连续性，即每个可能的世界都必须有一个道德上可接受的变体的条件。对于 R 所需的属性的分析表明，通过添加公理（D）和 K 可以构建一个基本的义务逻辑。
即使在模态逻辑中，人们可能希望限制在确定给定世界上 ◻A 是否为真时相关的可能世界的范围。例如，我可能会说我有必要支付我的账单，尽管我非常清楚存在一个可能的世界，在那个世界中我未能支付它们。在日常语言中，声称 A 是必要的并不要求 A 在所有可能的世界中为真，而只要求在我心中某个特定类别的世界中为真（例如，我避免支付失败的处罚的世界）。为了提供对必要性的通用处理，我们必须说在 w 中 ◻A 为真当且仅当 A 在与 w 相关的所有世界中为真。因此，对于解释为必要性的运算符 ◻，我们引入了一种相应的关系 R，它作用在可能世界 W 的集合上，传统上称为可达性关系。可达性关系 R 在世界 w 和 w'之间成立当且仅当在 w 的事实下 w'是可能的。根据对 R 的这种解读，可以明确模态逻辑的框架应该是自反的。由此可见，模态逻辑应该建立在 M 上，这是通过将(M)添加到 K 而得到的系统。根据可达性关系的具体理解方式，对称性和传递性也可能是需要的。
在下一节中可以找到一些更常见的关于框架及其对应公理的讨论条件列表，以及显示各种模态逻辑之间关系的映射。
8. 模态逻辑之间的关系图
下图显示了最为人所知的模态逻辑之间的关系，即通过将公理（D）、（M）、（4）、（B）和（5）添加到 K 中形成的逻辑。在图表下方可以找到这些（和其他）公理以及它们对应的框架条件的列表。
模态逻辑图表
在这个图表中，系统由它们的公理列表给出。因此，例如，M4B 是将（M）、（4）和（B）添加到 K 中的结果。我们已经用粗体标出了一些系统的传统名称。当系统 S 出现在连接线下方和/或左侧的 S'旁边时，那么 S'是 S 的扩展。这意味着在 S 中可证明的每个论证在 S'中也可证明，但 S 比 S'更弱，即在 S 中不可证明的并非所有在 S'中可证明的论证都可证明。
以下列表指示了公理、它们的名称以及对可及关系 R 的相应条件，这些公理在本百科全书条目中已经讨论过。
在关于框架条件的条件列表中，以及本文的其余部分中，变量'w'、'v'、'u'、'x'和量词'∃u'被理解为范围在 W 上。'&'缩写为'and'，'⇒'缩写为'if...then'。
在这里讨论的关于公理和框架条件之间对应关系的概念在前一节中已经有所说明。这个想法是，当 S 是一组公理，F(S)是相应的框架条件集合时，当且仅当系统 K+S 对于 F(S)-有效性是充分的（完备和正确），即在 K+S 中可证明的论证是 F(S)-有效的。然而，在模态逻辑的研究中，出现了一个更强的公理和框架条件之间的对应关系的概念。（见下面的第 14 节。）
9. 一般公理
公理与框架条件之间的对应关系可能看起来有些神秘。Lemmon 和 Scott（1977）的一个美丽的结果在很大程度上解释了这些关系。他们的定理涉及具有以下形式的公理：
◊h◻iA→◻j◊kA
我们使用符号‘◊n’来表示一排中的 n 个钻石，例如，‘◊3’表示三个钻石的字符串：‘◊◊◊’。同样地，‘◻n’表示 n 个方框的字符串。当 h、i、j 和 k 的值都为 1 时，我们有公理(C)：
◊◻A→◻◊A=◊1◻1A→◻1◊1A
公理(B)是通过将 h 和 i 设为 0，让 j 和 k 为 1 得到的：
A→◻◊A=◊0◻0A→◻1◊1A
要得到（4），我们可以将 h 和 k 设为 0，将 i 设为 1，将 j 设为 2：
◻A→◻◻A=◊0◻1A→◻2◊0A
许多（但不是全部）模态逻辑的公理可以通过为（G）中的参数设置正确的值来获得。
我们下一个任务是给出与给定的 h、i、j 和 k 值选择对应的帧条件，以便于（G）。为了做到这一点，我们需要一个定义。两个关系 R 和 R'的组合是一个新的关系 R∘R'，其定义如下：
当且仅当存在某个 u，wRu 和 uR'v 时，wR∘R'v。
例如，如果 R 是兄弟关系，R'是父母关系，那么 R∘R'就是叔叔关系（因为 w 是 v 的叔叔当且仅当存在某人 u，w 是 u 的兄弟且 u 是 v 的父母）。一个关系可以与自身组合。例如，当 R 是父母关系时，R∘R 是祖父母关系，R∘R∘R 是曾祖父母关系。我们可以用'Rn'来表示将 R 与自身组合 n 次的结果。所以 R2 是 R∘R，R4 是 R∘R∘R∘R。我们将 R1 定义为 R，R0 定义为恒等关系，即 wR0v 当且仅当 w=v。
现在我们可以陈述 Scott-Lemmon 的结果。即与形式为(G)的任何公理完全对应的框架条件如下：
wRhv&wRju⇒∃x(vRix&uRkx)。
看到如何根据相应公理中的值设置 h、i、j 和 k 的值，从而得到 R 上的熟悉条件是很有趣的。例如，考虑（5）。在这种情况下，i=0，而 h=j=k=1。因此，相应的条件是
wRv&wRu⇒∃x(vR0x&uRx)。
我们已经解释过 R0 是恒等关系。因此，如果 vR0x，则 v=x。但是 ∃x(v=x&uRx)等价于 uRv，因此得到了欧几里德条件：
(wRv&wRu)⇒uRv.
在公理（4）的情况下，h=0，i=1，j=2 和 k=0。因此，对于帧的相应条件是
(w=v&wR2u)⇒∃x(vRx&u=x).
解释身份，这等同于：
vR2u⇒vRu。
根据 R2 的定义，vR2u 当且仅当 ∃x(vRx&xRu)，因此得到：
∃x(vRx&xRu)⇒vRu,
这在谓词逻辑中等同于传递性:
vRx&xRu⇒vRu.
读者可能会发现，当参数 h、i、j 和 k 的值由其他公理设置时，通过 hijk 收敛可以得出相应的条件。
Scott-Lemmon 结果提供了一种快速建立公理与相应框架条件之间关系的方法。由于他们证明了任何扩展 K 逻辑的逻辑，只要满足相应的框架条件，就能提供“批发”充分性证明，适用于模态家族中的大多数系统。Sahlqvist（1975）发现了 Scott-Lemmon 结果的重要推广，涵盖了更广泛的公理类型。
10. 二维语义学
二维语义是可能世界语义的一种变体，它在真值评估中使用两种（或更多）种类的参数，而不仅仅是可能世界。例如，指示性表达式的逻辑，如“我”，“这里”，“现在”等，需要引入语言上下文（或简称为上下文）。给定一个上下文 c=⟨s,p,t⟩，其中 s 是说话者，p 是地点，t 是话语的时间，那么“我”指的是 s，“这里”指的是 p，“现在”指的是 t。因此，在上下文 c=⟨Jim Garson, Houston, 3:00 P.M. CST on 4/3/2014⟩ 中，“我在这里现在”为真当且仅当 Jim Garson 在 2014 年 4 月 3 日的中央标准时间下午 3:00 在休斯顿。
在可能世界语义中，一个句子的真值取决于其所评估的世界。然而，指示性语境引入了第二个维度 - 因此我们需要再次进行概括。Kaplan（1989）将句子 B 的特征定义为从（语言）上下文集合到 B 的内容的函数，其中内容反过来只是 B 的内涵，即从可能世界到真值的函数。在这里，真值评估是双重依赖的 - 同时依赖于语言上下文和可能世界。
Kaplan 最有趣的观察之一是，一些指示性句子是偶然的，但同时又是分析真的。一个例子是（1）。
(1)我现在在这里。
仅从词义上看，你可以看出(1)在任何上下文 c=⟨s,p,t⟩ 中必须为真。毕竟，只有当 s 是一个在 p 处于 t 时的说话者时，c 才被视为一个语言上下文。因此，(1)在 c 上是真的，这意味着在上下文维度上，(1)的真值模式必须是全部为真的（在保持可能世界不变的情况下）。这表明上下文维度适合追踪通过掌握我们的语言获得的分析知识。另一方面，可能世界维度跟踪的是必然性。在固定上下文的情况下，存在可能世界，在这些可能世界中(1)是假的。例如，当 c=⟨Jim Garson, Houston, 2014 年 4 月 3 日下午 3:00 CST⟩ 时，在一个可能世界中，Jim Garson 在 2014 年 4 月 3 日下午 3:00 CST 时在波士顿。由此可见，“我现在在这里”是一种有条件的分析真理。因此，双重语义可以处理必然性和分析性分离的情况。
另一个引入双重维度有用的例子是开放未来的逻辑（Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001）。在这里，人们使用一个时间结构，许多可能的未来历史从给定的时间延伸出来。考虑(2)。
(2)乔将在明天下令进行一场海战。
如果(2)是偶然的，那么存在一种可能的历史，在评估时间之后的一天发生战斗，另一种可能的历史则不会发生。因此，要评估(2)，您需要知道两件事情：评估的时间 t 是什么，以及通过 t 运行的历史 h 中的哪一个要考虑。因此，在这样的逻辑中，一个句子被评估为一对 ⟨t，h⟩。
二维语义学解决的另一个问题是“现在”与其他时间表达式（如将来时态“将会发生”）之间的交互作用。可以认为“现在”指的是评估的时间。因此，我们将有以下真值条件：
v(NowB,t)=T 当且仅当 v(B,t)=T.
然而，这对于像(3)这样的句子是行不通的。
(3) 在将来的某个时刻，现在生活的每个人都将是未知的。
以 F 作为将来时态运算符，(3)可以被翻译为：
F∀x(现在 Lx→Ux)。
（正确的翻译不能是 ∀x(现在 Lx→FUx)，因为(3)表明在未来的某个时间，所有现在存在的事物都是一起未知的，而不是每个生物在自己的未来某个时间都是未知的。）当计算(3)′的真值条件时，使用(现在)和(F)对 F 的真值条件，结果发现(3)′在时间 u 时为真，当且仅当存在一个时间 t 在 u 之后，使得在 t 时，所有在 t（而不是 u！）存在的生物都是未知的。
v(FB,t)=T 当且仅当存在一个时间 u 晚于 t，使得 v(B,u)=T。
为了正确评估(3)′，使其与我们对(3)的意思相匹配，我们必须确保当'now'位于其他时间运算符（如 F）的范围内时，'now'始终指回原始话语时间。因此，我们需要跟踪话语时间（u）和评估时间（t）。因此，我们的索引采用 ⟨u,e⟩ 的形式，其中 u 是话语时间，e 是评估时间。然后，真值条件(Now)被修订为(2DNow)。
v(NowB,⟨u,e⟩)=T 当且仅当 v(B,⟨u,u⟩)=T。
据说，当 B 在 u 被视为评估时间时，NowB 在话语时间 u 和评估时间 e 上是真实的。当以明显的方式修订 F、∀ 和→的真实条件（只需忽略配对中的 u）时，(3)′在 ⟨u,e⟩ 上是真实的，前提是存在一个比 e 更晚的时间 e'，在该时间点上，u 处的所有生物都是 e'处的未知。通过在真实计算中记录 u 的值，即使“现在”深度嵌套在其他时间运算符中，我们也可以始终将“现在”的值固定为最初的话语时间。
在带有实际性运算符 A（读作“实际上是这样的”）的模态逻辑中，出现了类似的现象。为了正确评估(4)，我们需要跟踪哪个世界被视为实际（或真实）世界，以及哪个世界被视为评估世界。
(4)每个实际存在的人都可能是未知的。
在语义学中，区分不同可能世界维度的想法在哲学中有着有用的应用。例如，查尔默斯（1996）从（例如）僵尸的可想象性出发，得出了关于心灵哲学的二元论结论的论证。查尔默斯（2006）运用了二维语义学来帮助确定一种先验意义，以支持这样的结论。
这个想法也被应用于语言哲学。克里普基（1980）著名地论证了“水是 H2O”既是后验的，又是必然的真理，因为既然水就是 H20，就没有可能的世界里，那种东西是（例如）希腊人认为的基本元素。另一方面，强烈的直觉是，如果真实世界与现实有所不同，从天空中降落的无味液体，填满我们的湖泊和河流等等，完全可以是一种元素。因此，在某种意义上，可以想象水不是 H20。二维语义学通过提供一个单独的维度来追踪水的概念，将这些直觉纳入其中，这个维度将化学性质抛在一边。这种对“水”含义的“狭义内容”解释可以解释一个人如何在使用该术语时显示语义能力，同时对水的化学知识一无所知（查尔默斯，2002）。
有关更详细的讨论，请参见关于二维语义学的条目。
11. 可证明性逻辑
模态逻辑在数学基础中关于可证明性的核心结果的理解上非常有用（Boolos, 1993）。可证明性逻辑是一种系统，其中命题变量 p，q，r 等范围涵盖某个数学系统的公式，例如算术的 Peano 系统（假设本讨论中选择的数学系统是 PA）。哥德尔证明了算术具有强大的表达能力。他使用算术句子的编码数字，能够展示数学句子与关于在 PA 中哪些句子是可证明的和哪些句子是不可证明的的事实之间的对应关系。例如，他证明了存在一个句子 C，当且仅当在 PA 中没有矛盾可证明时，该句子为真，并且存在一个句子 G（著名的哥德尔句子），当且仅当在 PA 中它不可证明时，该句子为真。
在可证明性逻辑中，◻p 被解释为（算术的）一个表达式，它表示 p 所指代的内容在 PA 中是可证明的。使用这种符号表示法，可证明性逻辑的句子表达关于可证明性的事实。假设 ⊥ 是可证明性逻辑中表示矛盾的常量。那么 ∼◻⊥ 表示 PA 是一致的，而 ◻A→A 表示 PA 在它证明 A 时是正确的，A 确实为真。此外，可以对方框进行迭代。因此，例如，◻∼◻⊥ 提出了一个可疑的主张，即 PA 能够证明自己的一致性，而 ∼◻⊥→∼◻∼◻⊥ 断言（正如哥德尔证明的那样），如果 PA 是一致的，则 PA 无法证明自己的一致性。
虽然可证性逻辑形成了一系列相关的系统，但系统 GL 是迄今为止最为人所知的。它是通过向 K 中添加以下公理而得到的：
◻(◻A→A)→◻A。
公理(4)：◻A→◻◻A 在 GL 中是可证的，因此 GL 实际上是 K4 的加强版。然而，像(M)：◻A→A 这样的公理，甚至较弱的(D)：◻A→◊A 在 GL 中是不可用的（也不可取）。在可证性逻辑中，可证性不应被视为必然性的一种标志。原因是当 p 在任意数学系统 S 中是可证的时，并不意味着 p 是真的，因为 S 可能是不可靠的。此外，如果 p 在 S 中是可证的（◻p），甚至不一定意味着 ∼p 没有证明（∼◻∼p=◊p）。S 可能是不一致的，因此既能证明 p，也能证明 ∼p。
公理（GL）捕捉了洛布定理的内容，这是算术基础中的一个重要结果。◻A→A 表明 PA 对 A 是完备的，即如果 A 被证明，A 就是真的。（对于任意选择的系统 S，这样的主张可能不安全，因为 A 可能在 S 中是可证明的但是是假的。）（GL）声称，如果 PA 设法证明了声称对于给定的句子 A 的完备性的句子，那么 A 已经在 PA 中是可证明的。洛布定理报告了 PA 的一种谦逊（Boolos，1993，第 55 页）。PA 从不坚持（证明）证明 A 蕴含 A 的真实性，除非它已经有了证明 A 的证明来支持这个主张。
已经证明 GL 在可证性方面是足够的。让 GL 的一个句子总是可证明，当且仅当它所表示的算术句子无论如何分配其变量的值给 PA 的句子，都是可证明的。那么 GL 的可证句子恰好是总是可证明的句子。这个足够性结果非常有用，因为关于 PA 中可证性的一般问题可以转化为关于 GL 中可以证明什么的更容易的问题。
GL 还可以配备一个可能世界语义，使其具有完备性和一致性。对于 GL 有效性的框架的相应条件是框架是传递的、有限的和非自反的。
有关可证性逻辑的更详细讨论，请参阅相关条目。
12. 高级模态逻辑
模态逻辑在数学和计算机科学中的应用变得越来越重要。可证性逻辑只是这一趋势的一个例子。术语“高级模态逻辑”指的是模态逻辑研究中的一种传统，特别在数学和计算机科学系中得到很好的代表。这一传统从模态逻辑的起源就已经编织进了其历史中（Goldblatt，2006）。与拓扑学和代数学的关系研究代表了模态逻辑的最早的一些技术工作。然而，“高级模态逻辑”一词通常指的是自 1970 年代中期以来的第二波工作。这个传统中涉及的许多有趣主题的例子包括可判定性的结果（是否可以计算给定模态逻辑的公式是否为定理）和复杂性（计算有关模态逻辑的这些事实所需的时间和内存成本）。接下来的两节描述了这一传统中的研究示例。
13. 双模态
双模态提供了模态逻辑和计算机科学之间丰富互动的一个很好的例子。在计算机科学中，标记过渡系统（LTSs）通常用于表示程序执行过程中可能的计算路径。LTSs 是 Kripke 框架的推广，由一组状态 W 和一组 i-可达性关系 Ri 组成，其中 i 表示计算机进程的编号。直观地说，当 wRiw'成立时，表示 w'是通过应用进程 i 到状态 w 得到的状态。
多模态或动态逻辑的语言引入了一组模态运算符 ◻i，其中 i 表示每个程序 i（Harel，1984）。然后，◻iA 表示在应用 i 的每个结果中都成立的句子 A。因此，可以用这种语言来表达程序的正确性和成功终止等概念。这种语言的模型类似于 Kripke 模型，只是在框架的位置上使用了 LTSs。双模态是两个这样的模型之间的对应关系，使得在对应状态中完全相同的命题变量为真，并且无论哪个对应状态中的世界 v 是 i-可达的，那么另一个对应状态就与 v 的某个对应状态具有 i-可达性关系。简而言之，从给定状态可以“看到”的 i-可达性结构模仿了从对应状态看到的内容。双模态是比同构更弱的概念（双模态关系不需要是一对一的），但足以保证处理中的等价性。
在 70 年代，模态逻辑学家已经发展出了双模拟来帮助更好地理解模态逻辑公理与其在克里普克框架上对应条件之间的关系。克里普克的语义为将模态公式转化为具有可能世界量化的一阶逻辑句子提供了基础。用开放句子 Ax 替换公理中的元变量 A，并将 ◻Ax 翻译为 ∀y(Rxy→Ay)，得到结果。（◊Ax 的翻译由 ∃y(Rxy&Ay)给出。）例如，公理模式 ◊◻A→A 的翻译为 ∃y(Rxy&∀z(Ryz→Az))→Ax。这个带有自由变量‘x’的开放公式反映了 ◊◻A→A 在一阶逻辑语言中的“意思”。显然，模态公式的翻译是特殊的；大多数一阶公式不等同于以这种方式翻译模态公式的结果。模态翻译形成了谓词逻辑语言的一个特殊子集，限定了模态逻辑公式可以表达的内容。
有没有一种有趣的方式来描述模态翻译的表达能力？答案是双模拟恰好起到了这个作用。范·本特姆（Van Benthem）证明（Blackburn 等人，2001 年，第 103 页），当一个一阶公式在一个模型中成立时，它在任何双模拟模型中也成立，那么它与模态翻译等价，这个想法很容易推广到多模态的情况。这表明多模态逻辑正好处于描述和推理计算和其他过程的抽象层次。 （毕竟，真值在模型中的保持才是真正重要的，而不是框架结构的细节。）此外，将模态逻辑隐式翻译为谓词逻辑的熟知片段提供了大量有趣的信息，对计算机科学家来说具有重要意义。因此，以双模拟为核心思想的计算机科学研究领域得到了丰富的发展（Ponse 等人，1995 年）。
14. 框架有效性和不完整性
60 年代对模态逻辑的研究主要关注于在不同可及关系条件下获得完备性结果。然而，随着研究进展到 70 年代，人们发现了关于模态公理在框架中所表达的更深层次的联系。这项工作中的一个核心思想是框架有效性的概念，它与上文第 6 节中所阐述的有效性的种类有所不同。在那里，当对于一组框架条件 C，对于每个满足 C 的模型 ⟨W,R,v⟩ 和每个世界 w 在 W 中，前提在 w 处的真值蕴含了结论在 w 处的真值时，被认为是有效的。简而言之，模型有效性等同于在每个模型上的真值保持。另一方面，框架有效性更清晰地关注模型的框架。如果一个句子在框架 ⟨W,R⟩ 上是有效的，那么它在具有框架 ⟨W,R⟩ 的任何模型中的每个世界上都是真的。然后，对于一组框架条件 C，如果一个论证保持框架有效性，即对于每个满足 C 的框架，如果前提在该框架上是有效的，则结论也是有效的。
框架有效性似乎是理解模态公理在框架中所表达的更好的方式。有些模型分配了公理(M): ◻A→A 为真，即使它的框架不满足自反性 - 这是(M)的相应框架条件。这是因为模型的估值函数可以被特别设计，以确保 ◻A→A 为真。然而，正如我们很快将看到的，如果对于框架 ⟨W,R⟩，◻A→A 是有效的，那么可以推断出 ⟨W,R⟩ 是自反的。通过抽象出关于估值函数的细节，可以更好地理解公理和框架条件之间的关系。
框架有效性的概念为将模态公理表达的内容翻译成允许量化的二阶语言中的句子提供了基础，其中量化可以在一元谓词符号 P 上进行。用开放句子 Px 替换元变量 A，将 ◻Px 翻译为 ∀y(Rxy→Py)，并用全称量词关闭自由变量 x 和谓词符号 P。例如，公理模式 ◻A→A 的谓词逻辑翻译为 ∀P∀x [∀y(Rxy→Py)→Px]。（量化谓词符号 P 的基础是框架有效性量化命题变量 p 的所有赋值，但关于 p 的赋值是从可能世界集合到真值的函数，这些可以类比为由 p 表达的世界的属性，即当 p 在那里为真时，世界 w 具有的属性。）
鉴于对于 ◻A→A 的这种翻译，可以将变量 P 实例化为任意的一元谓词，例如谓词 Rx，其外延是所有世界 w 的集合，使得对于给定的 x 值，Rxw 成立。然后可以得到 ∀x [∀y(Rxy→Rxy)→Rxx]，由于 ∀y(Rxy→Rxy)是一个永真式，这可以简化为 ∀xRxx。这阐明了 ◻A→A 与框架的自反性(∀xRxx)之间的对应关系。类似的结果适用于许多其他公理和框架条件。将二阶公理条件“折叠”为一阶框架条件在确定公理与框架条件的对应关系以及获得各种模态逻辑的完备性结果方面非常有帮助。例如，这是 Sahlqvist（1975）优雅结果的核心思想，这些结果在（Blackburn et al.，2001，第 3 章，特别是第 3.6 节）中有描述。
沿着这些线路取得的显著成功表明，每个模态逻辑都可以根据其公理所表达的框架条件被证明是合理且完备的。不幸的是，情况并非如此。一些逻辑在其框架条件下是不完备的，如以下示例所示（Boolos，1993 年第 148 页）。可证明性逻辑 GL 是通过向基本模态逻辑 K 添加公理 ◻(◻A→A)→◻A 得到的。系统 H 是通过向 K 添加较弱的公理 ◻(◻A↔A)→◻A 得到的。GL 比 H 更强大，因为它能够证明 S4 的标准公理：◻A→◻◻A，但 H 不能。问题在于 GL 和 H 表达了等价的二阶条件。这反过来意味着 H 是不完备的，因为它无法证明一个在其所表达的框架中实际上是有效的公式 ◻A→◻◻A。
因此，从框架有效性的角度来看，没有办法将公理的二阶翻译始终转化为给定系统既合理又完备的一阶框架条件。原因在于，如果有这样的办法，GL 和 H 都必须对于相同的一阶条件 C 是合理且完备的。但这意味着（根据 GL 的合理性），对于 C 来说，◻A→◻◻A 将在框架中是有效的，但在 H 中无法证明。总之，一般情况下，模态逻辑在框架有效性范式中所表达的内容可能比一阶语言中所能表达的更强大。
15. 模态逻辑与游戏
博弈论和模态逻辑之间的相互作用是一个蓬勃发展的新研究领域（van der Hoek 和 Pauly，2007 年；van Benthem，2011 年第 10 章和 2014 年）。这项工作在理解代理人之间的合作和竞争随着他们可获得的信息的演变而产生了有趣的应用。
囚徒困境展示了可以使用模态逻辑来分析的博弈论中的一些概念。想象一下两个玩家可以选择合作或者背叛。如果两个人都选择合作，他们都会获得 3 分的奖励；如果两个人都选择背叛，他们都会得到 1 分；如果一个人选择合作而另一个人选择背叛，背叛者会得到 5 分而合作者什么都得不到。如果两个玩家都是利他主义者，并且希望最大化他们的奖励总和，他们会选择合作，因为这是他们能够一起做到的最好的选择。然而，他们都会被诱惑去背叛，将自己的奖励从 3 分增加到 5 分，让对手一无所获。另一方面，如果他们都是理性的，他们可能会意识到如果背叛是最好的策略，他们的对手也会选择背叛，这样他们只能得到 1 分。所以除非玩家之间有足够的信任来促使合作，否则他们注定只能得到 1 分。然而，如果每个人都认为对方意识到这一点，他们可能愿意冒险合作。
这个游戏的扩展（或迭代）版本给玩家提供了多次行动的机会，也就是说，他们有重复的机会来玩游戏并获得奖励。如果玩家了解这些行动的历史和结果，那么新的问题就会出现，因为游戏的成功取决于了解对手的策略，并确定（例如）何时可以相信对手不会背叛。在游戏的多人版本中，每次行动时，玩家从更大的人群中随机选择对手，自己的最佳策略可能取决于是否能够识别对手及其采取的策略。（有关迭代囚徒困境的有趣研究，请参见 Grim 等人，1998 年。）
在象棋等游戏中，玩家轮流进行移动，对手可以看到所做的移动。如果我们采用玩家轮流进行移动的约定，那么迭代囚徒困境就是一个关于游戏状态缺乏信息的游戏——第二次行动的玩家缺乏关于对方上一次行动的信息。这说明了具有不完全信息的游戏的趣味之处。
将游戏应用于逻辑学具有悠久的历史。其中一个具有重要语言学意义的有影响力的应用是游戏理论语义学（GTS）（Hintikka 等人，1983 年），其中有效性是通过两个玩家之间的游戏结果来定义的，一个玩家试图验证，另一个玩家试图证伪给定的公式。与标准的塔斯基式语义学相比，GTS 具有更强大的资源，因为它可以用来解释意义在话语（一系列句子）中如何演变。
然而，这里要描述的关于游戏和模态逻辑的工作有些不同。与使用游戏来分析逻辑的语义不同，所讨论的模态逻辑是用来分析游戏的。游戏的结构和它们的玩法非常丰富，因为它涉及到游戏本身的性质（允许的移动和结果的奖励）、策略（时间上的移动序列）以及游戏进行时玩家可获得的信息流。因此，为了开发适用于游戏的模态逻辑，需要借鉴涉及时间、代理、偏好、目标、知识、信念和合作等概念的逻辑特征。
为了提供一些关于这种多样性的线索，这里有一个关于游戏分析中出现的一些模态运算符以及它们可以表达的一些事物的有限描述。语义学中的基本思想是，一个游戏由一组玩家 1、2、3、...和一组游戏状态 W 组成。对于每个玩家 i，存在一个可达关系 Ri，理解为当游戏达到状态 s 时，sRit 成立，表示玩家 i 有一个移动的选项，结果是 t。这些关系的集合定义了一棵树，其分支定义了游戏中的每个可能的移动序列。语义学还为跟踪支付情况的原子赋予了真值。因此，例如在象棋这样的游戏中，可能存在一个原子 wini，使得 v(wini,s)=T 当且仅当状态 s 是玩家 i 的胜利。然后，可以给每个玩家 i 的模态运算符 ◻i 和 ◊i 以下真值条件。
v(◻iA,s)=T 当且仅当对于 W 中的所有 t，如果 sRit，则 v(A,t)=T。v(◊iA,s)=T 当且仅当存在 W 中的某个 t，使得 sRit 且 v(A,t)=T。
因此，在状态 s 中，只要句子 A 在我可以选择的每个（某些）状态中为真，那么 ◻iA（◊iA）就为真。鉴于 ⊥ 是一个矛盾（因此 ∼⊥ 是一个重言式），当轮到 i 移动时，◊i∼⊥ 在一个状态上为真。对于一个两人游戏，如果状态结束游戏，那么 ◻1⊥ 和 ◻2⊥ 都为真，因为 1 和 2 都无法移动。◻1◊2win2 断言玩家 1 会输，因为无论 1 从当前状态做什么，2 都可以在下一步赢得比赛。
对于玩家的收益的更一般的解释，可以定义状态之间的偏序关系 ≤i，使得 s≤it 表示 i 在 t 上的收益至少与 s 上的收益一样好。另一个概括是通过引入由关系 sRqt 解释的运算符来表达关于移动序列 q 的事实，该关系表示从 s 开始的序列 q 最终到达 t。利用这些和相关的资源，可以表达（例如）在当前状态下，q 是 i 的最佳策略。
对于分析游戏来说，表达玩家可获得的信息是至关重要的。一种实现这一目标的方法是借鉴认知逻辑的思想。在这里，我们可以为每个玩家引入一个可达关系 ∼i，使得 s∼it 成立当且仅当 i 无法区分状态 s 和 t。然后可以定义玩家的知识运算符 Ki，使得 KiA 在 s 上表示在所有 i 无法区分 s 的世界中 A 成立；也就是说，尽管 i 对于游戏状态一无所知，他/她仍然可以确信 A 成立。K 运算符可以用来表示玩家 1 有辞职的能力，因为他知道 2 看到她有一个胜利：K1K2◻1◊2win2。
由于玩家的信息随着游戏的进行而变化，因此将游戏的移动视为按时间索引的是有用的，并引入来自时态逻辑的操作符 O 和 U，用于表示“下一个”和“直到”。然后，KiOA→OKiA 表达了玩家 i 具有“完美回忆”的概念，即当 i 知道 A 接下来会发生时，下一个时刻 i 不会忘记 A 已经发生。这说明了游戏的模态逻辑如何反映认知理想化以及玩家在实现这些理想化方面的成功（或失败）。
游戏的模态逻辑的技术方面具有挑战性。确定对包含大量操作符的语言而言，哪些规则系统是完备且正确的项目可以借鉴过去的研究，但不同可及性关系之间的相互作用会引发新的问题。此外，各种系统及其片段的计算复杂性是一个尚未深入探索的广阔领域。
游戏理论概念可以以各种令人惊讶的方式应用 - 从验证论证的有效性到在政治舞台上取得成功。因此，有强烈的动机来制定能够处理游戏的逻辑。这项研究的显著之处在于在统一的框架中将时间、代理、知识、信念和偏好的逻辑编织在一起所获得的力量。从这种整合中学到的教训远远超出了对游戏理解的贡献。
16. 模态逻辑中的量词
看起来给模态逻辑配备量词 ∀（全部）和 ∃（某些）似乎是一件简单的事情。只需将标准（或经典）的量词规则添加到所选择的命题模态逻辑的原则中即可。然而，将量词添加到模态逻辑中涉及一些困难。其中一些是哲学上的。例如，奎恩（1953）曾经有名地主张，将量词引入模态语境中是不合理的，这一观点引发了大量的文献。奎恩的抱怨不再具有他曾经的份量。参见巴肯（1990）的一个很好的总结，并注意克里普基（2017）（60 年代为奎恩的课程编写的）提供了一个强有力的形式论证，证明“量化进入”没有任何问题。
第二种复杂性是技术性的。在量化模态逻辑的语义中，可以做出各种选择，而对于给定选择的一套规则的正确性的证明可能很困难。Corsi（2002）和 Garson（2005）的工作在一定程度上将这个领域统一起来，Johannesson（2018）引入了有助于减少选项数量的约束；然而，情况仍然具有挑战性。
另一个复杂之处在于，一些逻辑学家认为模态需要放弃经典量词规则，而采用自由逻辑的较弱规则（Garson 2001）。关于量词规则的争议主要集中在如何处理量化域的决策上。最简单的选择是固定域（有时称为可能主义者）方法，假设一个包含所有可能对象的单一量化域。另一方面，世界相对（或实在主义者）解释假设量化域从世界到世界变化，并且仅包含在给定世界中实际存在的对象。
固定域方法对于量词的经典机制不需要进行重大调整。适用于固定域语义的模态逻辑通常可以通过将命题模态逻辑原理与经典量词规则以及巴尔坎公式（BF）（Barcan 1946）相结合来公理化。（有关一些有趣例外的解释，请参见 Cresswell（1995）。）
∀x◻A→◻∀xA。
固定域解释具有简单和熟悉的优点，但它不能直接解释自然语言中某些量词表达式的语义。我们不认为“存在某个人签署了《独立宣言》”是真实的，至少如果我们将“存在”读作现在时的话。然而，这个句子在 1777 年是真实的，这表明自然语言表达式“存在某个人”的域随着不同时间存在的人而变化。一个相关的问题是，在固定域解释中，句子 ∀y◻∃x(x=y)是有效的。假设 ∃x(x=y)被读作：y 存在，∀y◻∃x(x=y)表示一切都是必然存在的。然而，普遍的模态观念的一个基本特征似乎是许多事物的存在是偶然的，并且不同的对象在不同的可能世界中存在。
固定域解释的辩护者可以通过坚持在量词的阅读中，量化的域包含所有可能的对象，而不仅仅是在给定世界中存在的对象来回应这些异议。因此，定理 ∀y◻∃x(x=y)做出了无害的主张，即每个可能的对象在所有可能对象的域中必然存在。此外，那些依赖于世界（或时间）的量词表达式可以使用固定域量词 ∃x 和一个谓词符号 E 来表达，其含义是“实际存在”。例如，可以将“存在某个人签署了《独立宣言》”翻译为 ∃x(Mx&Sx)。
∃x(Mx&Sx)，
固定领域的捍卫者可能会写道：
∃x(Ex&Mx&Sx),
从而确保翻译在当前时间被认为是错误的。Cresswell（1991）有趣地观察到，相对于固定领域量化，世界相对量化的表达能力有限。世界相对量化可以用固定领域量词和 E 来定义，但没有办法完全用世界相对量词来表达固定领域量词。尽管这支持量化模态逻辑的经典方法，但翻译策略也在某种程度上对自由逻辑做出了让步，因为如此定义的世界相对量词恰好遵守自由逻辑规则。
固定域量词辩护者所使用的翻译策略存在一个问题，即将英语翻译为逻辑学时不够直接，因为必须将 E 添加到所有量词表达式的翻译中，而这些表达式的域是依赖于上下文的。对于固定域量词的更严重的反对意见是，它剥夺了量词的一个由奎因推荐的角色，即记录强有力的本体论承诺。根据这种观点，∃x 的域必须仅包含本体论上可尊重的实体，而可能的对象太抽象而不符合资格。这种类型的实在主义者将希望发展一个量词 ∃x 的逻辑学，它反映了对给定世界中实际存在的承诺，而不是仅仅可能存在的承诺。
然而，一些关于实在主义的研究倾向于削弱这个反对意见。例如，Linsky 和 Zalta（1994）以及 Williamson（2013）认为，固定域量词可以被赋予实在主义者完全接受的解释。Pavone（2018）甚至主张，在量化个体本质的 haecceitist 解释下，需要使用固定域。在可能世界语义学中使用可能世界的实在主义者常常对可能世界进行量化，作为他们语义理论的一部分。因此，按照这些实在主义者的观点，可能世界是实际存在的。通过用不比可能世界更令人反感的抽象实体填充域，实在主义者可以证明巴尔坎公式和经典原则的正确性。
然而，最近的研究表明，固定域选项可能并不像最初认为的那样实在主义；参见 Menzel 2020 和关于可能主义-实在主义辩论的条目。一些实在主义者可能会回应说，只要理解到在他们的语言理论中使用的量词缺乏强有力的本体论含义，他们就不必致力于可能世界的实在性。此外，Hayaki（2006）认为，对抽象实体进行量化实际上与任何严肃的实在主义形式都不相容。无论如何，实在主义者（以及非实在主义者）都可以研究具有更强大域的量词逻辑，例如排除可能世界和其他抽象实体，仅包含给定世界中的时空个体。对于这种类型的量词，相对于世界的域是适当的。
这些考虑促使人们对承认量化的上下文依赖性的系统产生兴趣，通过引入相对于世界的域。在这里，每个可能世界都有自己的量化域（实际存在于该世界中的对象的集合），并且域从一个世界变化到下一个世界。当做出这个决定时，对于经典量化理论来说会出现困难。注意到句子 ∃x(x=t)是经典逻辑的一个定理，因此通过必要性规则，◻∃x(x=t)是 K 的一个定理。让术语 t 代表 Saul Kripke。那么这个定理表明 Saul Kripke 的存在是必然的，因此他存在于每个可能世界的域中。相对于世界的方法的整个动机是反映一个世界中的对象可能在另一个世界中不存在的想法。然而，如果使用标准的量词规则，每个术语 t 都必须指称在所有可能世界中存在的东西。这似乎与我们使用术语指称仅存在于偶然情况下的事物的普通做法不相容。
对这个困难的一个回应是简单地消除术语。Kripke（1963）给出了一个使用世界相对解释并保留经典规则的系统的例子。然而，代价是严重的。首先，他的语言是人为贫乏的，其次，命题模态逻辑的规则必须被削弱。
假设我们希望一个包含术语的语言，并且希望将经典规则添加到命题模态逻辑的标准系统中，那么就会出现一个新问题。在这样的系统中，可以证明（CBF），即巴尔坎公式的逆命题。
◻∀xA→∀x◻A。
这个事实对系统的语义有严重的影响。很容易证明，(CBF)的每个相对于世界的模型都必须满足条件(ND)（对于“嵌套域”）。
(ND)如果 wRv，则 w 的域是 v 的域的子集。
然而，(ND)与引入世界相对域的观点相冲突。整个想法是对象的存在是有条件的，因此存在着可访问的可能世界，在我们的世界中的某些事物不存在。
解决这些问题的一个直接方法是放弃量词的经典规则，而采用自由逻辑（FL）的规则。FL 的规则与经典规则相同，只是阻止了从 ∀xRx（一切都是真实的）推导出 Rp（飞马是真实的）的推理。这是通过引入一个谓词‘E’（表示‘实际存在’）并修改普遍实例化规则来实现的。从 ∀xRx 中，只有在同时获得了 Ep 的情况下才允许得到 Rp。假设普遍量词 ∀x 是原始的，存在量词 ∃x 由 ∃xA=df∼∀x∼A 定义，那么 FL 可以通过将以下两个原则添加到命题逻辑的规则中来构建。
自由普遍概括。 如果 B→(Ey→A(y))是一个定理，那么 B→∀xA(x)也是一个定理。
自由的普遍实例化。 ∀xA(x)→(Et→A(t))
（在这里假设 A(x)是谓词逻辑的任何良好形式的公式，并且 A(y)和 A(t)是通过适当地替换 A(x)中的每个 x 的出现而得到的。）请注意，实例化公理受到在前提中提及 Et 的限制。自由普遍概括规则以相同的方式进行修改。在 FL 中，像 ∃x◻(x=t)、∀y◻∃x(x=y)、(CBF)和(BF)这样的公式的证明，它们似乎与世界相对解释不相容，被阻止。
对于 FL 的一个哲学上的反对意见是，E 似乎是一个存在谓词，许多人会认为存在不像是绿色或重量超过四磅这样的合法属性。因此，那些反对存在是谓词的观点的哲学家可能会反对 FL。然而，在包括身份(=)的大多数(但不是全部)量化模态逻辑中，可以通过以下方式定义 E 来避免这些担忧。
Et=df∃x(x=t)。
表达量化模态逻辑的最一般方法是通过将 FL 的规则添加到给定的命题模态逻辑 S 中来创建 FS。在需要经典量化的情况下，可以简单地将 Et 作为 FS 的公理添加进去，这样经典原则就成为可推导的规则。对于大多数选择的模态逻辑 S，这样的系统可以获得充分性结果，但也有例外情况（Cresswell (1995)）。
有另一种方法可以为相对于世界的域制定量化模态逻辑，避免了自由逻辑的非标准量词规则，并允许语言中的术语常量。德意志（1990）展示了如何定义这样的语义，其中经典原理 ∃x（x=t）成立。他的策略受到卡普兰（1989）的启发，即有效性和必然性可能分离。（请参见上文第 10 节关于二维语义的讨论。）卡普兰表明，有些句子，如“我现在在这里”，在逻辑上是有效的，因为它们在其断言的任何上下文中都是真实的，但它们并非必然。这表明对于任何反对经典定理 ∃x（x=t）的人，只需指出 ∃x（x=t）的有效性实际上与其偶然性是相容的。
需要对形式语义进行特殊调整以充实这个思想。德意志引入了他所称的“起源上下文”作为可能世界的序列。（这与卡普兰的语言上下文不同。）然而，斯蒂法努（2002）展示了如何简化模型的定义，以避免这种额外的机制。德意志的主要思想是，模型将一个可能世界 w∗ 区分为实际世界，并直接为 w∗ 的域中的术语常量分配指称。这确保了 ∃x（x=t）在 w∗ 中为真。虽然在其他不存在 t 的指称的世界中 ∃x（x=t）为假，但对于该语义的有效性定义来说，只要在每个模型的实际世界 w∗ 中为真，该句子就被评为真。结果是 ∃x（x=t）和所有经典量词原理被评为有效，尽管 ◻∃x（x=t）不是有效的。
Stephanou (2002) 提供了一组公理和规则，准确捕捉了有效性的概念。量化的经典定律在这个意义上得到保留，即没有任何模态运算符的可证公式是经典的。然而，对命题模态逻辑的规则必须加以限制。必要性规则（如果 A 是一个定理，则 ◻A 也是一个定理）是不能被接受的，因为 ∃x(x=t)是有效的，而 ◻∃x(x=t)则不是。此外，量化的规则更加复杂。需要两个全称实例化公理。其中一个是受限制的：∀xA(x)→(Ft→A(t))，其中 Ft 是包含项 t 的任意原子句。由于语义要求所有谓词符号在该世界的域中都有扩展，Ft 确保 t 指的是存在的东西。因此，这个受限制的公理让人想起了自由全称实例化。第二个公理是无限制的实例化形式：∀xA(x)→A(t)。然而，这个原则附带条件，一旦在证明中使用它，就不能再使用任何公理或规则，只能使用它和演绎法则。这会阻止使用必要性从 ∃x(x=t)得到 ◻∃x(x=t)。
注意，这种策略不能将英语中的所有专有名词视为形式语言的术语，因为这些术语指的是实际世界中存在的事物。因此，对于虚构实体（如‘飞马’）的名称必须以另一种方式处理，也许可以使用罗素的描述理论。在时间逻辑中，对于已故人物（如‘本杰明·富兰克林’）的名称也需要另一种替代处理方法。
值得一提的是，量化模态逻辑语义学中的最后一个复杂性。当引入诸如“双焦点发明者”之类的非刚性表达式时，就会出现这种复杂性。当一个术语在不同的可能世界中选择不同的对象时，它就是非刚性的。这样一个术语的语义值可以通过卡尔纳普（1947 年）所称的个体概念来给出，即一个函数，它为每个可能世界选择术语的指称。处理非刚性术语的一种方法是采用罗素的描述理论。然而，在将非刚性表达式视为真实术语的语言中，无论是经典逻辑还是自由逻辑的量化器规则都是不可接受的。（这个问题不能通过削弱等同替换规则来解决。）解决这个问题的方法是采用更一般的量化器处理方法，其中量化的域包含个体概念而不是对象。这种更一般的解释在术语处理和量化器处理之间提供了更好的匹配，并且得到了适用于经典逻辑或自由逻辑规则的系统（取决于选择固定域还是相对于世界的域）。它还提供了一种具有强大且非常需要的表达能力的语言（Bressan，1973 年，Belnap 和 Müller，2013a，2013b）。（另请参阅 Aloni（2005 年），他探讨了在认识论逻辑中对个体概念进行量化的利弊。）
Bibliography
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Humberstone (2015) provides a superb guide to the literature on modal logics and their applications to philosophy. The bibliography (of over a thousand entries) provides an invaluable resource for all the major topics, including logics of tense, obligation, belief, knowledge, agency and nomic necessity.
Gabbay and Guenthner (2001) provides useful summary articles on major topics, while Blackburn et. al. (2007) is an invaluable resource from a more advanced perspective.
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