数学哲学中的结构主义 structuralism (Erich Reck and Georg Schiemer)

首次发表于 2019 年 11 月 18 日星期一

结构主义在数学哲学中有两个相关的口号：“数学是结构的普遍研究”和在追求这种研究时，我们可以“从实例化这些结构的对象的本质中抽象出来”。（因此，结构主义与其他几种关于数学的一般观点形成对比，包括：传统观点认为数学是数字和数量的科学；认为它是主要用于计算的空虚形式主义；以及认为它是对基本集合论宇宙的研究。）正如本次调查的目的所示，这些口号虽然有启发性，但却存在歧义并需要澄清。事实上，它们已经以各种不同甚至相互冲突的方式被解释。

结构主义观点在数学哲学中的引入通常被认为发生在 20 世纪 60 年代，由保罗·贝纳塞拉夫和希拉里·普特南的著作中；这一趋势在 20 世纪 80 年代至 90 年代加速发展，当时迈克尔·雷斯尼克、斯图尔特·夏皮罗、杰弗里·赫尔曼、查尔斯·帕森斯等人加入了这场争论；并且在过去 20 年中，这些争论又被一些对结构主义的哲学挑战以及进一步引入的变体，包括范畴论形式的结构主义，重新塑造。除了向读者介绍“数学哲学中的结构主义”这一总体主题外，本文的第二个主要目标将是为当今提供一种新颖、更广泛和相对全面的结构主义分类法。

1. 排除性与非排除性结构主义

1.1 20 世纪 60 年代结构主义辩论的起源

结构主义的讨论通常被认为始于 20 世纪 60 年代，作为英语哲学数学的主要立场。在这方面，一篇核心文章是保罗·贝纳塞拉夫（Paul Benacerraf）的《数学中不存在的数字》（1965 年；另见贝纳塞拉夫 1996 年的后续）。这篇文章的背景和对比是当时占主导地位的公理集合论为现代数学提供基础的立场，其中包括允许我们将所有数学对象与集合进行等同。例如，自然数 0、1、2 等可以与有限的冯·诺伊曼序数（以 ∅ 表示 0，并使用后继函数 f：x→x∪{x}）进行等同；同样，实数可以通过集合论构造的戴德金切割进行等同。然后，算术真理就是关于这些集合论对象的真理；这一概括也适用于其他数学理论，其中所有对象也被视为集合。

根据贝纳塞拉夫的观点，这种集合论基础主义的立场误解了算术特别是数学的结构主义性质。首先，我们可以使用有限的波恩-诺伊曼序数，同样也可以使用有限的策梅洛序数（从 0 开始再次使用替代的后继函数 f：x→{x}）；而且还有无数其他等价的选择。同样地，我们可以使用基于康托尔和其他人建议的有理数上的柯西序列的等价类构建实数，而不是使用基于戴德金切割的集合论构造。这个基本观察很难否认，即使是集合论基础主义者也可以同意这一点（下面将更详细地讨论）。但贝纳塞拉夫从这个基本观察中得出了一些进一步的、更有争议的结论。

Benacerraf 认为，特别是自然数不应该被认同为任何集合论对象；事实上，它们根本不应该被视为对象。相反，数字应该被视为“结构中的位置”，例如在“自然数结构”、“实数结构”等中的位置。关于这些位置，唯一重要的是它们的结构属性，即那些“由于它们在一个进程中相互关系而产生的”属性（1965: 70），而不是冯·诺伊曼序数、戴德金切割等的进一步集合论属性。根据这些线索，我们在现代数学中研究和描述的是相应的“抽象结构”。正是在这个意义上，Benacerraf 提出了关于数学的结构主义立场。然而，该立场的细节仍然是开放的和模糊的，包括我们应该如何最终思考 Benacerraf 的抽象结构，除了它们不应该被认同为集合论关系系统（由集合作为域，以及在其上定义的集合论关系和函数组成）。

20 世纪 60 年代的第二篇对结构主义崛起有影响的文章是 Hilary Putnam 的《无基础的数学》（1967）。与 Benacerraf 的情况类似，对于 Putnam 来说，对立面是一个集合论基础主义立场。这个立场有时，尽管不总是，被理解为现实主义意义上的（例如，由哥德尔），即作为描述一个独立的抽象对象领域，即由泽尔梅洛-弗兰克尔公理所表征的集合宇宙。与该立场相对立，Putnam 提出了一种“如果-那么主义”的形式（可以追溯到罗素）。这种替代方案可以再次用自然数来说明。现在，应该如何理解一个算术定理，比如“2+3=5”？它应该被分析为具有以下形式：

对于所有的关系系统 M，如果 M 是 Dedekind-Peano 公理[算术的基本公理]的一个模型，那么
2M+3M=5M

（其中 2M，3M 和 5M 在模型 M 中“扮演”的是 2，3 和 5 的角色）。对于实数也是如此（详见 Reck＆Price 2000）。

在这种联系中，我们可以将普特南的立场描述为一种“普遍结构主义”（参见 Reck＆Price 2000），因为它涉及到相关系统的普遍量化，并且我们上面的两个结构主义口号似乎得到满足。对这个立场的常见反对意见是“非空问题”。它基于这样的观察：如果给定形式的 if-then 语句没有任何满足前提的东西，那么它们就是空洞真的，例如，如果没有满足戴德金-皮亚诺公理的模型。（由于这也适用于“2 + 3 = 6”这样的情况，总体结果显然是不可取的。）作为回应，我们可以引用公理集合论提供所需的模型。但从普特南的观点来看，这有两个缺点：首先，它依赖于关于集合论的现实主义和基础主义观点，这似乎削弱了 if-then 主义的力量。其次，更基本的是，它迫使我们将集合论与其他数学理论区别对待，否则就会陷入循环论证的困境。为了摆脱这些困境，普特南建议使用模态逻辑。然而，具体细节再次被留待开放和大部分未探索，特别是对于集合论的情况。

1.2 1980 年代的巩固和进一步讨论

理解本纳塞拉夫在他 1965 年的文章中的讨论的一种方式是，他提议将自然数结构视为一种新的抽象实体，不同于集合论对象和对象系统。一切都取决于这究竟意味着什么，包括是否应该将这些结构视为对象本身，从而以某种实质性且尚待解决的方式使它们具体化，或者不应该。本纳塞拉夫本人不愿意采取后者，这与他总体上不愿谈论数学对象的犹豫态度一致。

20 世纪 80 年代初，一位后来的作家进一步发展了贝纳塞拉夫的思想，尽管仍然不将结构视为完全成熟的对象，他就是迈克尔·雷斯尼克（参见雷斯尼克 1981 年、1982 年、1988 年以及最系统的 1997 年）。对于他来说，现代数学涉及到一种“结构主义的观点”。这包括一种模式识别；雷斯尼克的主要目标之一就是进一步阐述相应的认识论。沿着贝纳塞拉夫的思路，数学对象被视为相应模式中的“位置”；这意味着我们可以“面对面地”理解数学陈述，将‘0’、‘1’、‘2’等视为指称这些位置的特定术语。同时，这样做并不需要将底层结构实体化，这意味着为它们指定精确的同一标准，雷斯尼克有意避免这样做。（他在这一点上表现出与奎因相似的立场，即采用奎因的口号：“没有没有身份的实体！”）

Stewart Shapiro 是第二位数学哲学家，他在 1980 年代初试图在 Benacerraf 的论文基础上进行研究（参见 Shapiro 1983、1989 以及最系统的 Shapiro 1997）。通过更加关注形而上学问题，并放弃对结构作为对象的犹豫，Shapiro 的目标是捍卫一种更彻底的数学结构主义现实主义版本，从而拒绝名义主义和建构主义观点（下文将详细讨论）。这种现实主义包括上述提到的语义方面（直接接受数学陈述的表面意义）；但 Shapiro 还想进一步澄清关于“结构中的位置”的讨论。他区分了两种观点。根据第一种观点，所讨论的位置被视为“职位”，即可以由各种对象填充或占据的槽位（例如，自然数结构中的“0”位置由有限冯·诺伊曼序数系列中的 ∅ 占据）。根据第二种观点，这些位置被视为“对象”本身；结构本身也是如此。

对于沙皮罗来说，所讨论的结构具有双重性质：它们是“普遍性”的，即自然数结构可以通过各种关系系统来实例化（如由有限冯·诺伊曼序数或泽尔梅洛序数组成的系统等）；但它们也是“特殊性”的，可以用特指术语命名并作为对象本身进行处理。为了进一步证明后者，沙皮罗发展了一种一般的结构理论，即一种公理化理论，用于指定哪些结构存在。虽然这个理论是以集合论为模型，但它是独立证明的（下文将详述）。因此，它旨在支持“ante rem 结构主义”。沙皮罗关于“ante rem versus in re”的术语明确参考了中世纪关于普遍性的讨论。在我们的背景下，关键点在于他的理论中指定的结构意味着在任何实例化之前，本体上独立于它们，甚至优先于它们。换句话说，这些结构不仅存在于它们的实例化中，而且与之分离并先于之。

虽然 Resnik 和 Shapiro 的结构主义立场有时被认为是相同的，但这种说法有些误导，因为已经提到了一些差异。尽管如此，它们之间存在显著的重叠。两者都将数学结构视为具有位置等特定模式的模式（无论这些模式是否被视为完全成熟的对象，以现实主义的意义，或者不是）。对于 Resnik 和 Shapiro 来说，同构的概念至关重要（或者是一些相关的更一般的等价概念；参见 Resnik 1997 和 Shapiro 1997）。也就是说，对于两者来说，一个相关的结构/模式可以由任何相关的同构关系系统的类别实例化。这对应于所讨论的自然数、实数和类似情况的公理系统都是范畴性的事实（或者在集合论的情况下是准范畴性的）。当然，并不是每个数学公理系统都具有这个特征，例如，群论或环论的公理系统允许非同构的实例或模型。对于 Resnik 和 Shapiro 来说，这样的“代数”理论应以不同的、更派生的方式处理；他们的结构主义观点主要适用于“非代数”理论，典型的是算术。

20 世纪 80 年代还有另一种结构主义立场，与之前提到的立场非常不同，并且明确不是现实主义的，即 Geoffrey Hellman 引入的立场（参见 Hellman 1989、1996 和后来的文章）。虽然对于 Resnik 和 Shapiro 来说，灵感来自 Benacerraf 的 1965 年文章，但 Hellman 的起点是 Putnam 的 1967 年文章。事实上，Hellman 的“模态结构主义”旨在系统地发展 Putnam 的模态化 if-then 主义。模态方面现在已经详细阐述，并且具有真正的独创性，包括集合论的情况（基于 Zermelo 等人的工作）。对于 Hellman 来说，像“2+3=5”这样的句子被分析如下：

必然地，对于所有的关系系统 M，如果 M 是戴德金-皮亚诺公理的一个模型，那么 2M+3M=5M。

为了避免非空问题，他添加了以下假设：

可能地，存在一个 M，使得 M 是戴德金-皮亚诺公理的一个模型。

（我们将在下面回到它的理论基础。）

正如 Hellman 明确指出的那样，他的目标是发展一种“没有结构的结构主义”（Hellman 1996），因为 Resnik 和 Shapiro 所假设的抽象结构的存在被他的立场的模态方面所取代（以及对必然性和可能性的相应假设）。实际上，Hellman 的立场意味着一种名义主义，即消除对任何抽象实体的诉诸（不仅仅是抽象结构，还包括集合等）。然而，它也不依赖于可能存在于某种模糊意义下的可能对象。这使 Hellman 对所讨论的模态性质有了特定的理解。它们被认为是基本的，即相关的可能性和必然性不能归约为其他任何东西。另一方面，它们在模态逻辑定律（S5 系统的定律）的准确规定下进行了详细说明。

1.3 迈向第一个结构主义立场的分类学

从 1980 年代末开始，沙皮罗和赫尔曼的立场经常被视为两种主要的结构主义选择。（这在赫尔曼和沙皮罗 2019 年的著作中仍然有所体现。）由于它们相当不同，这已经表明将“数学哲学中的结构主义”视为一个独特的立场或统一的观点是错误的，尽管存在一些共享的一般口号。除此之外，在 1980 年代末和 1990 年代初，其他形式的结构主义开始发挥作用（包括比 1960 年代更早的“集合论结构主义”形式，我们将在后面看到）。因此，关于结构主义的讨论变得更加丰富和复杂。

为了澄清这种情况，查尔斯·帕森斯提出了第一个分类法，或者至少区分了两种主要立场（帕森斯 1990 年）。即，有“消除性”结构主义形式，如赫尔曼所示范的典型例子；还有像沙皮罗的“非消除性”结构主义形式。（所讨论的消除涉及结构作为抽象对象的假设或避免。）或者用赫尔曼稍后的术语来说，一方面是“无结构的结构主义”，另一方面是“有结构的结构主义”。除了沙皮罗和雷斯尼克（具备上述资格）之外，非消除性形式的支持者还有帕森斯本人（参见帕森斯 1990 年、2004 年以及最系统的是 2008 年）；而消除性结构主义的支持者还有查尔斯·奇哈拉（参见奇哈拉 2004 年）。

尽管如此，诱人的是，文献中普遍存在一种将非消除性结构主义与 Shapiro 的立场（即他的现实主义和 ante rem 版本）等同起来的倾向。事实上，批评家有时会将“哲学结构主义”一般性地视为一种误导性的形而上学形式，从而将这种结构主义与 Shapiro 的现实主义形式等同起来。（这似乎对数学家和深深扎根于数学实践的哲学家尤其具有诱惑力；参见 Awodey 1996 和 Carter 2008 的相关讨论。）对 Parsons 的非消除性结构主义形式的进一步考虑可以帮助我们看到，这种观点过于草率和不充分。

与 Shapiro 不同，Parsons 并没有提出一种新颖的、在哲学上有动机的结构理论作为他立场的支持。对他来说，我们应该更接近数学实践（如 19 世纪末和 20 世纪发展起来的实践）。事实上，结构主义应该被看作是从这种实践中发展出来的，而不是从外部强加给它。对于 Parsons 来说，这意味着，我们应该直接通过范畴公理系统引入抽象结构，这是一种他进一步通过 Quine 的“元语言”方式来阐述的实践（参见 Parsons 2008）。这也意味着我们应该避免“跨结构的等同性”（正如 Shapiro 早期作品中所发现的那样），例如，不将自然数 1 和实数 1 等同起来。这种假定的等同性应该保持不确定，就像在数学实践中所做的那样。

如应明显，帕森斯的结构主义立场，像雷斯尼克的一样，比夏皮罗的更不现实主义。此外，他明确表示，采用“数学对象的结构主义观点”应被视为与现实主义/名义主义二分法是可分离的和正交的。因此，对于帕森斯来说，一个人可以是一个非淘汰性的结构主义者，而不必以任何强烈的意义上的现实主义者；他自己的立场就是一个例子。然而，帕森斯的结构主义版本仍然意味着可以按字面意义接受数学陈述（如上所述），因此在这个最小的语义意义上仍然是现实主义的。

2. 后来的发展和更广泛的分类

2.1 形而上学和认识论挑战

到目前为止，我们已经追溯了从 1960 年代的 Benacerraf 和 Putnam 到 1980 年代和 90 年代的 Resnik、Shapiro、Hellman、Chihara 和 Parsons 的数学哲学中的结构主义的发展。在过去的 20 年里，许多其他哲学家开始讨论这个主题。我们现在转向相应的讨论，从某些对结构主义的认识论和形而上学挑战开始。其中一些只涉及非消除性结构主义，特别是 Shapiro 的立场。（这再次反映了 Shapiro 的立场的重要性，以至于它经常被误称为“哲学结构主义”。）其他的更广泛，包括比较各种形式的结构主义的基本承诺。在接下来的内容中，我们不会试图全面，而是提供一些例证性的例子。

非消除性结构主义，在 Shapiro 和其他版本中，涉及到关于数学对象的一切重要的只是它们的结构属性（而不是进一步的内在属性）的论题。事实上，这些属性被认为决定了对象的身份。但是，看起来应该将在这方面无法区分的对象“结构上无法区分的对象”进行标识。正如一些评论家在 2000 年左右指出的那样，这给结构主义带来了“身份问题”（参见 Keränen 2001，早期的 Burgess 1999）。它在非刚性的系统或结构中显著出现，即允许非平凡自同构的情况下。在这种情况下，有据说在相关意义上无法区分的不同对象。一个广为人知的例子是复数系统（具有共轭数 i 和- i）；但是几何学和图论等还提供了其他例子。最简单的例子可能是一个没有边的未标记的 2 元图，其两个顶点在结构上无法区分。

从结构主义的角度如何处理这些情况？这种结构主义是否只是不连贯的，正如一些批评者所指责的那样？或者至少它是否不适用于非刚性情况，从而大大限制了它的范围？文献中提出了对身份问题的几种回应。一个建议是通过扩大使用的词汇来“刚化”这些结构，例如，通过为复数添加常量符号“i”（无论是将其添加到原始语言中还是添加到背景中使用的语言中，参见 Halimi 2019）。但是，在许多无法区分的情况下，甚至可能是无限多的情况下，这仍然存在问题。另一个建议是将身份视为原始概念，这在数学实践中无疑是一部分。但是，在这种情况下，仍然存在一些问题（参见 Ladyman 2005，Button 2006，Leitgeb＆Ladyman 2008，Shapiro 2008，Ketland 2011 和 Menzel 2018 等）。

结构主义的第二个更基本的问题再次从这样一个观点开始，即数学对象的一切重要之处都在于它们的结构特性。对于非消除性结构主义，有时会加强这一论点，即数学结构中的位置以及抽象结构本身“只具有结构特性”。但是，如果不加以更加谨慎的表述，这将导致反例（参见 Reck 2003）。例如，自然数结构是否没有一个特性，即它是许多关于结构主义的辩论中的一个常见例子？而且，将数字 9 视为太阳系中行星的数量已经有很长时间了，这不是数字 9 的一个特性吗？这两个都显然是非结构特性。再次，结构主义似乎是不连贯的，或者至少需要进一步澄清。

对这一挑战的自然回应是完善原始的结构主义论点，例如，通过说抽象结构只有“本质上”的结构属性，只有这些属性对它们来说是“构成性的”，或者类似的说法，同时承认它们也具有其他属性（参见 Reck 2003，Schiemer＆Wigglesworth 即将出版）。这引发了如何确切区分这一点的问题。但即使它被认为是一个令人满意的回应，另一个问题仍然存在：我们如何首先区分“结构性”和“非结构性”属性？已经提出了几个关于这个问题的答案，例如，结构性属性是以某种方式可定义的属性，或者它们是在相关态射下保持不变的属性。然而，对于这个问题还没有达成共识（参见 Korbmacher＆Schiemer 2018，还有更多参考资料）。

第三个挑战再次特别针对非消除性结构主义，或者甚至专门针对非消除性结构主义。从结构主义的观点来看，位置总是“在结构中的位置”；即，结构是主要的，位置是次要的。因此，特定的数学对象，例如自然数 2，似乎“本体上依赖”于背景结构，即自然数的结构。（对于结构主义者来说，认为数字 2 本身存在是错误的，这反映了这一方面。它还说明了结构主义与逻辑主义或集合论基础主义之间的主要区别。）但是，这种本体上的依赖应该如何理解？在当前分析形而上学中，是否存在与“基础”或相关概念的联系？在这个背景下，仍然存在许多未解之问，并且已经展开了激烈的辩论（参见 Linnebo 2008，还有，例如，MacBride 2005 和 Wigglesworth 2018）。

结构主义面临的第四个基本挑战，主要是在其非消除形式中，是我们如何可以“接触”被视为抽象对象的结构（参见 Hale 1996 等）。在某种程度上，这重新引发了关于这些对象的一个更早、更普遍的辩论。Resnik、Shapiro 和 Parsons（都是在这里追随 Quine）的一个最初的回应是谈论结构的“假设”，这有望削弱接触问题。但在什么条件下，这种假设是合法的（考虑到从天真集合论中熟悉的悖论威胁）？一个合理的答案指向相关理论的“连贯性”（在哥德尔的不完全性定理之后，被视为可证一致性的替代）。然而，这种连贯性到底意味着什么？关于这个问题的辩论的一个有趣结果是，Shapiro 和 Hellman，从非常不同的方向出发，得出了非常接近的观点（参见 Hellman 2005）。因此，在某些基本承诺方面——Shapiro 的存在的最终条件和 Hellman 的可能性的情况下，他们的方法以令人惊讶的方式趋于一致。（这可以被视为对双方的支持，但也可以被视为对现实主义/名义主义二分法的削弱。）

数学中的结构主义面临着更多的挑战，这些挑战可以在过去 20 年的文献中找到。虽然通常与刚刚调查的问题有关，但有时这些挑战更进一步。例如，关于结构主义涉及的语义的其他问题已经被提出，通常是针对非消除变体（参见 Button＆Walsh 2016，Assadian 2018 等）。我们希望我们迄今为止的调查提供了足够的例证，说明了近期文献中已经发生的辩论的种类。

2.2 结构主义的几个附加变体

正如前面提到的，在从 20 世纪 80 年代到 21 世纪初以及之后的许多结构主义讨论中，有几个立场占据了中心舞台：Shapiro 的，Hellman 的，有时是 Parsons 的，偶尔是 Resnik 的。但是其他形式的结构主义也存在了几十年。这些也值得关注，并且开始得到更多的关注。我们想提到几个值得注意的例子，虽然并不全面。一个重要的例子，其起源可以追溯到 20 世纪 60 年代之前，是“集合论结构主义”（参见 Reck＆Price 2000，也参见 Reck＆Schiemer 即将出版）。为了介绍它，让我们重新考虑 Benacerraf 1965 年论文中的核心例子：自然数。

正如 Benacerraf 所争论的，将“自然数”与特定的集合论系统等同起来是有问题的；或者至少，在任何绝对意义上这样做似乎是错误的。Benacerraf 的结论是，数字不是集合，也不是任何类型的对象，而是结构中的位置。现在，一个人可以几乎同意 Benacerraf 所说的一切，但仍然希望以较不绝对的方式将“自然数”与某个集合论系统等同起来。在这样做时，一个人可以承认，Dedekind-Peano 公理的任何其他模型“同样适用”，即可以选择其他模型（除了实际原因，例如推广到超限的能力）。这意味着我们所认定的自然数取决于一个最初的、临时的和有些任意的选择。对于大多数数学目的来说，这样的实用认同是足够的；事实上，这正是标准公理集合论中所做的。这个结果的立场再次应被视为一种结构主义形式，正如其辩护者所坚持的。使其成为结构主义的是对以更绝对的方式“无所谓认同”自然数（参见 Burgess 2015）。

刚刚描述的集合论结构主义的核心是选择几个同构系统中的一个作为“自然数”（类似地，也是如此对于实数等）的实用指称。从某种意义上说，我们对“自然数”的讨论，以及对“数字 0”、“数字 1”等的讨论，都是相对于这个初始选择而言的。这被认为是没有问题的，因为无论我们如何选择，我们都会得到相同的算术定理（这是由于公理系统的范畴性，它暗示了其语义完备性）。作为背景，我们可以再次采用泽尔梅洛-弗兰克尔集合论。但我们也可以稍微扩大这个方法，允许“原子”或“基元”，即不是集合的对象。因此，我们可以在我们的领域中包括凯撒大帝或一些啤酒杯，这意味着其中任何一个都可以在我们选择的算术模型中“成为”数字 2，以“2 位置”的意义上。由于这个特点，我们将为这种方法使用“相对主义结构主义”（参见 Reck＆Price 2000）。可以说，这个立场，特别是它的集合论版本，被许多数学家明确或隐含地接受。实际上，它可能是最受欢迎的结构主义形式。

在集合论结构主义中，以及更广泛的相对主义结构主义中，唯一参与的数学对象是那些公理集合论，可能还包括原子元素，允许我们引入的对象。我们不需要额外假设抽象结构。因此，这个立场是另一种消除性结构主义的形式（尽管它在容忍集合方面并非完全消除性）。实际上，集合论关系系统（理论的集合论模型）本身被认为是相关的结构。（在许多数学教科书中，正是这样的关系系统被称为“结构”）。然而，在后者方面还有另一种选择。也就是说，我们还可以将自然数的结构，比如说，与戴德金-皮亚诺公理定义的（高阶）概念等同起来；对于其他（范畴）公理系统也是如此。这导致了另一种消除性结构主义的形式：“概念结构主义”（参见 Isaacson 2010，Feferman 2014，以及 Ketland 2015，其他互联网资源）。

根据概念结构主义，现代公理数学中重要的并不是对象，尤其不是问题复杂的抽象对象。相反，数学概念至关重要，例如“自然数系统”概念（或“戴德金-皮亚诺公理模型”，“数列”）；类似地，对于“完全有序域”等概念也是如此。（在 Ketland 2015 年的其他互联网资源中，这些概念在意义上进一步以内涵命题函数的形式阐释，而 Isaacson 和 Feferman 则对其性质保持更加开放。）更准确地说，最重要的是从这些概念中得出的结论，即从相应的公理中可以推导出什么。诚然，概念结构主义者可能会承认，数学推理的方式通常涉及到与相关概念相关的对象的讨论。但是，正如他们所补充的，这种讨论最终可以通过解释来解释掉（例如，采取形式主义立场）。以这种或类似的形式，概念结构主义似乎再次成为数学家和逻辑学家中相当普遍的观点，尽管在结构主义的辩论中直到最近它并不是非常突出的观点。

为了进行更全面的调查，我们希望进一步深入。作为下一步，我们将介绍两种与相对主义结构主义和概念结构主义密切相关但并非完全相同的结构主义形式。（两者都是“抽象主义结构主义”的形式，我们将会看到。）让我们再次从由公理系统定义的高阶概念开始，例如“自然数系统”，以及与之相关的集合论系统。然而，我们不是将相应的结构等同于该概念或某个在实践中选择的属于该概念的系统，而是将重点放在由该概念确定的整个等价类上。

在这一点上，我们可以选择两条“抽象主义”路径之一。首先，我们可以简单地将相关结构与等价类（用“概念的外延”来表示）进行等同。因此，对应于“自然数系统”概念和其中的集合论系统，如有限冯·诺伊曼序数，存在着作为第三个实体的整个等价类的相应模型。（我们的主要关注仍然是范畴公理系统，但这种方法可以推广。）现在称之为“自然数结构”的就是这个等价类。它确实不是一个集合，而是一个适当类；但它仍然可以在逻辑数学上进行研究。从“相对主义”角度来看，新方法也可以描述如下：其核心是从一个特定的、任意选择的落入高阶概念的系统出发，转向相关的等价类，即与之同构的所有系统的类（在范畴情况下）。我们可以将这种转变看作是一种“抽象”的形式，具体来说是在罗素（1903 年）中的“抽象原则”（也被鲁道夫·卡尔纳普和其他人采用）的意义上。结果就是第一种形式的“抽象主义结构主义”。

有第二条路径我们可以选择，导致第二种形式的抽象主义结构主义。它在最近的结构主义辩论中也起到了一定的作用；但是，与第一种一样，它也可以追溯到更早的时期。让我们再次从相关的高阶概念开始，或者从定义它的公理系统开始，再加上一个任意选择的关系系统（例如，一个集合论系统，可能带有原子元素）。新的建议是按照以下方式进行：我们“摒弃其元素的特定性质”，以便得到一个新颖的、独特的关系系统，值得被称为“自然数”（参见戴德金德，1888 年，尤其是在雷克，2003 年的解释下）。意图是，通过这种抽象引入的对象只具有结构性质，或者更好地说，本质上只具有这些性质。此外，这些对象共同形成一个与我们起始的系统同构的系统（与我们刚刚考虑的等价类不同）。最后，我们现在认为后者是相关的抽象结构。

在几个方面上，这种第二种抽象主义的选择与夏皮罗的 ante rem 结构主义非常接近（他偶尔自己也会提到“抽象”，例如在夏皮罗 1997 年的著作中）；它也与帕森斯的非消除结构主义形式非常接近。然而，它既不涉及夏皮罗那样的独立结构理论，也不依赖于帕森斯的元语言程序。相反，抽象结构是通过从更具体的系统中“抽象”引入的，例如从集合论关系系统中引入。相关的抽象可以进一步通过“抽象运算符”和相应的“抽象原则”来解释。然后，另一个可以提出的比较是与当代新逻辑主义中使用抽象原则的情况。实际上，这种联系已经在 Linnebo＆Pettigrew（2014）和 Reck（2018a）中进行了探讨。沿着这样的思路，我们得到的是一种非消除结构主义的抽象主义形式。相比之下，上述提到的第一种选择是一种消除结构主义的抽象主义形式。（鉴于它们的历史渊源，这些立场可以被标记为“罗素式抽象主义结构主义”和“戴德金式抽象主义结构主义”；参见 Reck 2018a。）

结构主义的其他变体列表并不止于此。让我们简要提及五个进一步的例子，不涉及任何细节（当然可能还有更多）。首先，Uri Nodelman 和 Edward Zalta 引入了一种非消除性结构主义的形式，与 Shapiro 的形式平行，它使用了 Meinong 所启发的“对象理论”来解释抽象结构（Nodelman＆Zalta 2014）。与此平行，可以使用其他基本理论来引入抽象结构，从而导致进一步的非消除性结构主义形式。作为第二个例子，Hannes Leitgeb 描述了如何将图论用于此目的（Leitgeb 即将出版）。第三，Leon Horsten 在 Kit Fine 的“任意对象”理论基础上构建了一种平行的“通用结构主义”形式（Horsten 即将出版）。第四，我们已经提到了 Charles Chihara 的“消除性”结构主义形式，它与 Hellman 的形式不同（参见 Chihara 2004）。第五，最近出现了一整个“范畴结构主义”的家族，它基于范畴论的各种公理系统。

我们将把对范畴结构主义的讨论推迟到第 3 节，这既因为它在数学上很重要，因此值得在一个单独的部分中进行讨论，也因为它更难与其他形式的结构主义进行比较。在此之前，我们希望为结构主义立场提供一个更丰富、更全面的分类法。这个分类法将足够广泛，以包含到目前为止提到的所有立场。但它也将超越它们，从引入“形而上学”和“方法论”结构主义之间的基本二分开始。

2.3 结构主义立场的更广泛分类法

到目前为止，所描述的结构主义的各种变体都是“哲学结构主义”，或者更准确地说，是“形而上学结构主义”。这意味着这些立场旨在回答关于数学结构的问题（即使这涉及到一种消除立场），包括对其存在、抽象性、身份、依赖性等的观点。现在，我们可以将这整个哲学立场的多样性与有时被称为“数学结构主义”的东西区分开来，或者更准确地说，是“方法论结构主义”（参见 Reck＆Price 2000，早期的 Awodey 1996）。实际上，我们建议认识到这种基本的二分法——“形而上学与方法论”——对于结构主义的系统和历史讨论都是至关重要的。（除其他外，这使我们能够更自然地与范畴结构主义联系起来；参见，例如，Corry 2004 和 Marquis 2009。）

正如其名称所示，方法论结构主义关注的是数学的方法论，即数学实践。或者也可以这样说，它关注一种特定的数学做法。“这种风格”在于以整个系统或对象的结构性质为基础来研究对象，而忽略了对象的内在性质。这可以通过两种主要方式来实现，通常在实践中交织在一起：通过公理化进行，即从所讨论的系统的基本公理推导定理；以及考虑它们之间的映射（同态、同构等），以及在这些映射下的不变量。由于这种方法通常涉及无限集合、不可判定的属性和经典逻辑，它往往与更“计算”和“构造主义”方式的数学做法相对立（参见 Reck＆Schiemer 即将出版的广泛历史背景）。

这样的结构主义方法论，或者对应的方法论结构主义形式，往往与数学的主题有一个普遍的假设相联系，即：数学是研究结构的学科。但是接受这个假设本身并不涉及对这些结构的本质的进一步观点，至少不以任何详细和哲学负荷的方式。相比之下，之前考虑的形而上学结构主义的所有形式都旨在提供这样的观点。这正是它们超越方法论结构主义的方式（通常是在其基础上构建）。

关于这样的形而上学立场，帕森斯的“排除性与非排除性”区分仍然有帮助（尽管对于后一种观点，一个更积极的标签，比如“具有结构的结构主义”，可能更好）。然而，形而上学结构主义的差异并不止于此。事实上，仅仅使用帕森斯的区分会掩盖一些重要的差异。正如前面提到的，沙皮罗的 ante rem 结构主义远非非排除性结构主义的唯一版本；而赫尔曼的形式也不是唯一的排除性结构主义形式。我们现在想提出一些更细致的区别，以便在辩论中引入更多的秩序和清晰度。

让我们再次审视非消除性的结构主义观点。该标签下的一些立场通过基本理论引入抽象结构。这包括 Shapiro 的结构理论，以及 Nodelman 和 Zalta 的对象理论以及 Leitgeb 对图论的改编。它们都是前物结构主义的形式，但有着显著的不同之处。此外，还有一些非消除性结构主义的形式是基于抽象原则的，我们将其称为“抽象主义形式的结构主义”。我们区分了这些形式的两个变体，即罗素式和戴德金式，它们涉及到不同类型的结构作为抽象过程的结果。（如果我们将这种抽象重构为数学运算或函数，它们的参数是相同的，但值是不同的。）正如这个例子所示，非消除性结构主义有抽象主义和非抽象主义的版本。

如果我们更深入地思考这些选择，一个进一步的基本二分法的角色变得明显起来（在非消除性结构主义的范畴内）：即在事前立场和事中或事后立场之间的二分法。莎皮罗的立场明确是一种事前立场的结构主义形式。相比之下，罗素的抽象主义结构主义可以看作是一种事后立场的结构主义形式，因为所使用的等价类作为相关结构是“由其元素构建而成的”，因此它们是事后的。在戴德金的抽象主义结构主义中，也涉及一种事后性。在这里，我们同样从更具体的关系系统开始，通常是集合或原素的系统，并在此基础上引入抽象结构。但是，先前与事后的关系现在是不同的。（它不是基于元素-类关系，而是基于更基本的论证-函数-值关系。）我们最终得到的抽象结构既不是标准集合也不是类。

在消除性结构主义方面，还应进行进一步的细分。再次，有完全消除的立场，避免承诺任何抽象对象。Hellman 的模态结构主义就是设计成这种类型的。但也有半消除的立场，除了更常见、相对具体的数学对象外，还避免承诺抽象结构，这些对象是被接受的。集合论结构主义是一个很好的例子；普遍主义结构主义是另一个例子，至少在受到集合论支持时是如此。相对主义结构主义总体上，特别是集合论结构主义，应该被看作是“in re”结构主义的情况吗？也许；但这个论点似乎并不强迫我们接受（有关这个问题的更多信息，请参见 Leitgeb 即将发表的文章）。还要注意，那样我们最终会得到一种非消除性的结构主义形式。同样的问题也适用于更一般的“in re”结构主义形式；细节将很重要。（有关这类方法的更多信息，有时被称为“亚里士多德式”而不是“柏拉图式”，请参见 Pettigrew 2008 和 Franklin 2014。）

在文献中，另一种开始引起更多关注的消除性结构主义版本是概念结构主义。在这种立场中，如果没有对抽象对象的任何诉求（例如，基于形式主义），它就等同于完全消除的观点。然而，关于其中的概念的诉求，即它们的存在、性质和身份，仍然存在各种问题（参见帕森斯 2018 年）。根据答案，严格的名义主义者可能仍然认为这个立场是不可接受的，因为概念可能被视为另一种问题类型的抽象实体。如果概念结构主义允许抽象对象（如集合）发挥次要作用，那么这就成为了一种半消除的立场。将结构概念化为抽象对象仍然被消除（通过将其重新构想为概念），但关系系统仍然存在。或者，我们在这里可能涉及一种特定形式的方法论结构主义，其中额外的形而上学问题被搁置一边。

3. 类别论结构主义

3.1 类别论作为数学结构的研究

在过去的二十年中，已经提出了不同的建议，以基于范畴论的数学结构主义理论来制定一个理论，或者说是“范畴结构主义”的理论。尽管我们仍然会间接地进行，但现在我们已经有了更好的条件来考虑这些建议，首先从更多的背景开始。范畴论最初是作为抽象代数的一个分支在艾伦伯格和麦克莱恩的著名文章《自然等价的一般理论》（1945 年）中首次引入的。随后，在麦克莱恩、格罗滕迪克、坎、劳维尔和许多其他人的工作中，它发展成为一个独立的数学学科，并在代数拓扑学和同调代数以及最近在计算机科学和逻辑学中有着重要而广泛的应用（参见 Landry 和 Marquis 2005 年，还有本百科全书中关于范畴论的条目）。

在这些发展的基础上，对范畴结构主义的哲学讨论始于 1990 年代的 Awodey、Landry、Marquis 和 McLarty。为了更好地理解他们的贡献，回顾一下我们在 Awodey（1996 年）中明确提出的“形而上学结构主义”和“方法论结构主义”的区别是有帮助的。或者更确切地说，Awodey 区分了范畴论作为“数学结构主义”和“哲学结构主义”的框架的使用。他将数学结构主义描述为一种“追求主题的结构方法”的一般方式，即一种使用结构概念和方法的数学实践风格。然后，他认为范畴论提供了捕捉这种意义上的结构数学的最佳方式。然而，他也将其作为哲学结构主义的框架，即“一种对数学的本体论和认识论的方法”。让我们首先考虑前一个论点。（我们将在第 3.3 节回到后一个论点）。

结构主义，被理解为纯数学的一个分支，经常被描述为“数学结构的一般理论”，例如，由 Mac Lane（1986，1996）所述。但是，“结构”在这里究竟是什么意思呢？文献中提到了至少两个相关概念。首先，结构可以按照集合论和模型论的意义来理解，即作为一个元组，由域和用于解释形式语言的有序关系、函数和特殊元素组成。（这是我们上面更不正式地提到的“关系系统”的概念。）在这个背景下，这样的结构通常被称为“Bourbaki 结构”。它们的属性通常是通过公理定义的，例如，通过群公理或 Dedekind-Peano 算术公理。

其次，还有一种基于数学对象之间的态射的范畴概念。通常，一个范畴由两种类型的实体组成，即对象和它们之间的态射，即由箭头表示的保持对象内部结构组合的映射。描述范畴的一般概念的公理系统，沿着这样的线路，最早由 Eilenberg 和 Mac Lane（1945）引入。它描述了箭头上的适当组合操作，它的结合性，以及每个对象都存在一个恒等态射（参见 Awodey 2010，关于范畴论的教材介绍）。

为什么范畴论被认为是数学结构主义的一个更为适当的框架，而不是其他学科，特别是传统的（康托尔、泽尔梅洛-弗兰克尔）集合论？在这个问题上，参考 Awodey（1996）是有帮助的。根据他的说法，布尔巴基对结构的概念是德德金德、希尔伯特和布尔巴基小组现代公理传统的直接结果。这一传统最终导致了对数学的结构主义观点。然而，集合论并不是一个理想的框架来捕捉数学对象的结构主义理解。首先，集合论与模型论的数学理论观念密切相关，包括这样一种观点，即这些理论仅“同构地”研究它们的模型。但结构主义观点的核心是“识别同构对象”的原则（稍后详述）；从范畴论的观点来看，这一原则是有很好的动机的，但如果数学对象以集合论的方式表示，则动机就不那么充分了。

范畴论相对于集合论的第二个优势，也在 Awodey（1996）中提到，是范畴论对“结构”的“语法不变性”的概念。也就是说，与标准模型理论不同，范畴论中对象的范畴化规范与其描述所使用的特定符号选择无关（即基本关系、函数和特殊元素的选择）。第三，也是最重要的，范畴论的特点是其关注保持（某些）内部结构的数学对象之间的态射和变换。在对象的规范中强调保持结构的映射通常被视为现代数学中结构主义转向的核心特征。因此，它在 19 世纪和 20 世纪初的数学的各个部分中都有所体现，包括 Galois 理论、Klein 的 Erlangen 计划、Dedekind 的基础著作，以及 Noether 学派对抽象代数的研究（参见 Reck 和 Schiemer 即将发表的文章）。

类别论最初是在这些发展的背景下发展起来的，作为研究不同数学结构之间关系的统一框架（参见 Landry＆Marquis 2005，Marquis 2009）。为此引入了不同类型的映射。一种类型涉及同一类别对象之间的态射，例如群范畴中的群同态，或向量空间范畴中的线性映射。另一种重要的映射类型是不同范畴之间的“函子”。（粗略地说，两个范畴之间的函子是将对象映射到对象，箭头映射到箭头，并保持所讨论的范畴属性的映射。）正是这些函子是类别论中比较不同数学范畴对象的中心工具，因此可以“关联不同类型的结构”（Awodey 1996）。作为这样的工具，它们对于范畴结构主义至关重要。

3.2 范畴基础和对其的争论

正如文献中反复讨论的那样，类别论为数学或方法论结构主义提供了比传统集合论更自然的框架。但是，作为一种哲学结构主义形式，即作为 Resnik、Shapiro、Hellman 等理论的替代方案，它的前景如何？我们已经提到 Awodey（1996）也将其作为这样的替代方案呈现出来，但这引发了持续的争议。Hellmann（2003）首次对 Awodey 等人的哲学主张进行了批判性讨论。也就是说，Hellmann 的文章对类别论作为哲学意义上数学结构主义解释的充分框架提出了几个异议。正如我们将看到的，这些异议与类别论作为基础学科的地位密切相关。

最近，关于理论必须满足哪些标准才能作为数学的合适“基础”的问题引起了很多争论。根据 Tsementzis（2017）中的一个有益的提议，一个基础系统必须包括三个要素，即：

一个形式语言；
用该语言表达的公理化理论；以及
一个由理论描述的丰富的对象宇宙，在其中可以定位、表示或编码所有数学结构。

泽梅洛-弗兰克尔集合论在这个意义上清楚地代表了一个基础系统。ZFC 的公理通常用形式化的一阶语言来表述；它们描述了一个全面的宇宙，即集合的累积层次结构，在其中可以表示数系统、群、环、拓扑空间等数学对象。

从 20 世纪 60 年代开始的范畴论研究中，已经提出了几种特定范畴的公理化作为数学的替代基础。这包括描述集合和函数范畴的公理系统，一方面，以及描述范畴和范畴的公理系统，另一方面，如 Lawvere（1964，1966）中首次提出的。这两者都明确地被引入为基础系统，因此是泽梅洛-弗兰克尔集合论的替代方案。最近，基本拓扑理论已经发展成为一种范畴集合论形式，可以作为上述意义上的基础系统（参见 Landry＆Marquis 2005，Marquis 2013）。

这使我们有能力回到 Hellman 在 2003 年提出的挑战。在他看来，范畴论是否可以用来制定哲学结构主义的一个版本，与这些新方法与传统集合论的假定自治直接相关。在 Feferman（1977）的基础上，他提出了两个一般性的反对意见。根据 Linnebo＆Pettigrew（2011）的说法，我们可以称第一个为“逻辑依赖”反对意见。其核心是范畴论、一般拓扑论等不是最终自治于集合论的论证。原因在于范畴和拓扑的公理化规范假设了操作、集合和函数的原始概念，而后者需要在诸如 ZFC 的集合论中进行定义。因此，范畴基础依赖于非结构性的集合论。

反对范畴基础自治的第二个论证被称为“不匹配反对意见”。它涉及范畴论或拓扑论的一般地位，并基于对数学公理的两种理解方式之间的区别，即“结构性的”、“代数的”、“图式的”或“希尔伯特式”的一方，以及“断言性的”或“弗雷格式”的另一方。正如 Hellman 所辩，基础系统如经典集合论需要具有断言性的特征，即它们的公理描述了用于编码其他数学结构的全面对象宇宙。在这个意义上，Zermelo-Fraenkel 集合论是一种断言性的、“内容性”的理论。它的公理（例如，幂集公理或选择公理）对集合宇宙中的对象提出了一般存在性要求。

相比之下，范畴论代表了抽象代数的一个分支，正如其起源所揭示的那样。因此，它本质上是非断言性的；它缺乏被构想为关于一个预期宇宙的真理的存在公理。例如，范畴论的艾伦伯格-麦克莱恩公理不是“基本的真理”，而是“概要的”或“结构性的”。它们作为代数结构的隐式定义，类似于群论或环论的公理是“对结构类型的定义条件”。这一点与 Hellmann 所称的“‘家庭住址’问题：范畴从哪里来，它们住在哪里？”（2003: 136）相关。鉴于范畴论和一般拓扑理论的“代数结构主义观点”，它的公理并不断言特定的范畴或拓扑实际上存在。经典集合论，如具有强存在公理的 ZFC，必须再次介入以确保这些对象的存在。

Hellman 和 Feferman 对范畴论基础性的论证已经从不同角度在随后的文献中进行了研究。可以区分出两种主要类型的回应，即：

“范畴基础”的支持者试图捍卫范畴论相对于经典集合论的自主性；和
由“非基础主义者”提出，质疑范畴论是否应被视为一门基础学科。

McLarty 的一系列文章很好地代表了第一条回应线（例如，McLarty 2004 年，2011 年，2012 年）。粗略地说，他对 Hellman 的回应如下：虽然范畴论和一般拓扑学确实起源于代数理论，并且因此不适用作基础系统，但某些特定范畴和拓扑的理论已被引入作为替代的基础。 McLarty 的核心例子是 Lawvere 对范畴的公理化和他的“集合范畴的初等理论”（ETCS）。

根据 McLarty 的观点，这些理论应该被理解为 Hellman 所说的断言性理论。也就是说，它们的公理不仅仅是隐含定义，而是关于范畴、集合和函数的一般存在性主张。例如，ETCS 提出了一种基于函数的集合论，其中集合和它们之间的映射形成一个拓扑。与具有原始成员关系的 ZFC 不同，在 ETCS 中，集合不是根据其内部构成来指定的，而是根据其与其他集合的映射属性来指定的，这些属性是独立于 ZFC 的。 McLarty 对上述两个异议的回应是，诸如 ETCS 之类的范畴集合论确实为数学提供了一个逻辑上独立于传统的非结构集合论的基础。此外，鉴于数学结构只能以同构的对象形式编码在 ETCS 中，这样的范畴集合论为现代结构数学提供了比 ZFC 更为充分的基础。（我们将在下文中回到这一点。）

对 Hellman 的反对意见的第二种截然不同的回应在 Awodey（2004 年；参见 Landry 1999 年）中得到了体现。在那篇文章中，Awodey 概述了一种范畴论形式的结构主义，这种结构主义明显是反基础主义的。他与 Hellman 和 McLarty 一致认为，范畴论的 Eilenberg-Mac Lane 公理和一般拓扑理论的公理都是概要的。但他随后辩称，一般范畴论既不应该，也不应该被视为在逻辑或本体论意义上为数学提供基础。相反，它提供了一个一般性和统一性的框架或语言，用于结构数学。因此，他反对 Hellman 的假设，即范畴结构主义的成功在任何形式上都取决于范畴论是否可用作基础企业。

实际上，根据 Awodey 的说法，范畴论方法论对数学的核心动机是回避关于数学对象的本质或研究能够表示所有结构的单一综合宇宙的基础问题。例如，拓扑学理论可能很好地作为数学的结构基础，但对于 Awodey 来说，这种基础性方法与范畴论所体现的结构主义观点相悖。用他自己的话说，“‘以范畴论方式进行数学’的想法涉及与传统基础主义不同的观点”（Awodey 2004 年：55）。鉴于关于范畴论数学基础的这种基本而持续的辩论，对于 Awodey 的观点和更一般的观点来说，这对于哲学意义上的范畴结构主义有什么影响？这是我们接下来要讨论的内容。

3.3 范畴结构主义的独特特点

超越方法论结构主义的问题，过去 20 年来关于范畴结构主义的文献集中在两个已经提到的问题上。首先，范畴论在哲学结构主义中以何种方式提供了一个框架？其次，为什么它比其他框架更适合这个任务，比如集合论、Shapiro 的结构理论和 Hellman 的模态逻辑，正如已经声称的那样？在这些主题的最新研究中，可以找到三个相关的哲学假设，它们表征了范畴结构主义，并将其与之前调查的结构主义版本区分开来。我们将依次讨论每一个，再次从 Awodey 的著作开始。

第一个特征性假设是所有数学定理都是具有条件形式的示意性陈述。这一点在 Awodey（2004）中是明确的。我们已经看到，根据 Awodey 的观点，范畴论方法是非基础性的。这包括数学公理和定理在范畴论中的表达应被理解为示意性陈述。它们并不表达关于数学对象特定性质的真理，而是关于它们各自的属性和关系的真理。此外，数学定理至少在原则上都具有假设形式。它们可以被重构为如果-那样的陈述。请注意，数学定理的这种逻辑形式在逻辑上与 Putnam 的作品中可以找到的如果-那样主义相似，在第 1 节中提到过的 Russell 的作品中也是如此。

然而，根据 Awodey 的观点，标准的 if-then 主义和范畴论方法在涉及的本体论承诺方面也存在重要差异。根据标准的 if-then 主义，任何数学陈述都可以被翻译成一个普遍量化的条件陈述，其中量词在本质上是元理论的，涵盖了所有合适类型的集合论系统。因此，这种方法假设了一个丰富的集合论本体论，其中可以构建这样的系统。相比之下，按照范畴论的思路，数学定理不涉及这种本体论承诺。它不隐含地对一个理论的 Bourbaki 结构进行概括，例如对所有群、环或数系统进行概括。相反，数学定理是“关于一个结构的原理性陈述[...]，它可以有各种实例”(Awodey 2004: 57)。这些实例是有意保留未确定的，除非需要进一步对它们进行具体说明以证明所讨论的定理。

结构主义的第二个独特特征，不仅对 Awodey 而言，还涉及到范畴论中特有的某种“自上而下”的数学对象观念。根据标准集合论，数学对象是从“自下而上”构建的，通过连续的步骤从某个基本层次（空集或者是原子元素的域）开始。因此，每个对象都是以集合的形式，根据其成员来确定的。相比之下，范畴论中的数学对象是以自上而下的方式进行描述的，从 Eilenberg-Mac Lane 公理开始，使用态射的概念。因此，给定范畴中的对象（如环或拓扑空间）不是独立于相关态射进行考虑的。它们完全由其映射特性所决定，可以用范畴论的语言来表达。对于它们的内在构成，不再做进一步的假设。特别是，关于它们集合论性质的问题被认为是多余的（参见 Landry＆Marquis 2005 年）。

第三，可以说范畴结构主义最重要的特征是它验证了“结构主义论题”的一个版本（前面已经提到过）。在他 1965 年的论文中，Benacerraf 提出了一个论证，认为数字不应该被认同为特定的集合，而应该被认同为抽象结构中的位置。Benacerraf 还强调，算术中只有某些属性是相关的。对他而言，这些属性是数论属性，比如“是质数”或“是偶数”，可以用所讨论的理论的原始关系和函数来定义。总的来说，结构主义论题认为，数学理论所处理的对象的所有（相关）属性在某种特定意义上都应该是结构性的。（关于“结构性”的含义的问题也在前面提到过。）

类别结构主义者通常认为，范畴论提供了最适合结构主义对数学对象的理解的框架，因为其语言中可表达的所有属性都被证明是结构性的（参见，例如，McLarty 1993 年，Awodey 2004 年和 Marquis 2013 年）。这是因为范畴论对数学对象（如环或拓扑空间）的研究使我们能够表达恰当类型的“结构信息”，即关于这些对象的结构属性的信息。在这个背景下，结构属性通常以同构不变性的概念来描述。给定一个范畴 C，如果存在一个态射 g：B→A，使得 g∘f=1A 和 f∘g=1B，则态射 f：A→B 在对象 A 和 B 之间呈现同构。在范畴 C 中，对象 A 的属性 P 是结构性的，如果它在同构下保持不变，即对于所有同构 f，P(A)↔P(f(A))（参见 Awodey 1996 年）。

如上所述，传统集合论中数学对象的表示（“自下而上”）带来了一种表达关于它们集合论构成的各种属性的可能性，而这些属性在这种意义上并不是同构不变的。范畴论相对于经典集合论（和类似的方法）的中心优势在于，根据这个论点，在范畴论框架中，这种非结构性属性被简单地排除了。这一观点最早在 McLarty 的《数字可以只是它们必须的东西》（1993 年）中强调，正如标题所示，这是对 Benacerraf（1965 年）的回应。McLarty 在这篇文章中的中心论点是，如果将数字表示为范畴集合论（如 ETCS 或其子系统）中的对象，而不是在正统集合论中，那么 Benacerraf 的结构主义计划将得到最成功的实现。

为了进一步阐述这个优势，基本算术的数字系统可以被归类为“自然数对象”，正如 Lawvere 首次展示的那样。与基于 ZFC 的表示相比，这些对象不仅仅是同构的，而且共享“完全相同的属性”，即那些可以用集合范畴的语言表达的属性。换句话说，任意两个自然数对象在“可证明无法区分”的意义上是“可证明具有相同属性的”（McLarty 1993）。此外，所有这些属性在上述意义上都是结构性的。因此，在范畴集合论的背景下，不存在具有不同集合论属性的同构数字系统的 Benacerraf 困境。结论是，数字可以被认定为集合，但是是以 ETCS 中定义的结构性集合为基础的。

正如 McLarty 和其他人所主张的，这一观察结果从数字推广到了范畴论中研究的所有其他数学对象。该论断是，给定范畴中对象的任何可用范畴论语言表达的属性都是结构性的，即同构不变的。对于数学对象的结构主义概念而言，主要的结果由 Awodey 总结如下：

由于所有范畴性质都是结构性的，因此在给定范畴中的给定对象可能具有的唯一属性，作为该范畴中的对象，就是结构性的属性。（Awodey 1996: 214）

这似乎说明了结构主义范畴形式相对于集合论和类似理论的主要优势。

然而，还应该补充一点。麦克拉蒂（McLarty）和阿沃迪（Awodey）声称，所有可在范畴集合论中表达的数学性质都是同构不变的，这一观点已经受到质疑，例如在 Tsementzis（2017）中。事实上，Tsementzis 认为，既不是 ZFC 也不是 ETCS 为数学提供了完全的结构主义基础，因为它们各自的语言并不完全允许不变性属性的表述。然而，Makkai 的 FOLDS 系统（Makkai 1995，其他互联网资源，1998）和在同伦类型论中发展起来的同伦基础计划（Univalent Foundations Program 2013）似乎满足了这一条件。在这里，我们已经进入了文献中的另一个持续争论。

刚才提到的技术结果显然与我们的讨论相关，但我们无法在这个概括性的调查中进一步探讨它们。（有关结构主义与同伦基础项目之间关系的更多信息，请参阅 Awodey 2014。）我们还必须将对范畴结构主义的哲学主张和论证的进一步、更明确的评估留给另一个场合，尽管这场辩论有趣且重要。相反，我们现在以一些更一般的关于结构主义的评论作为结论，甚至超越了数学哲学的范畴。

4. 结论

4.1 数学结构主义的种类

对于本文，有两个主要目标。第一个目标是向读者介绍当代数学哲学中关于结构主义的一般讨论。第二个目标是为这个讨论提供一个更丰富、更包容的分类体系，以显示比通常承认的更多种类的结构主义立场在其中发挥了作用。当然，在此之前已经承认了一定程度的多样性，如在消除和非消除立场之间的区别中反映出来，以夏皮罗的 ante rem 结构主义和赫尔曼的模态结构主义为范例；而范畴结构主义已被认可为第三个主要选择。但是，在当前的文献中，所涉及的立场范围要比这个大得多。“数学结构主义”不是一个单一立场的名称，而是一个多面性的家族。

有两个主要原因支持更具包容性的分类学。首先，尽管已经提出了许多数学结构主义的版本，但其中一些版本尚未得到足够的关注，部分原因是它们与 Shapiro、Hellman 和范畴论立场的关系仍然不清楚。分类学提供了一些相应的桥梁。第二个原因是在 20 世纪 60 年代之前，几个重要的变体已经发挥了作用，即在 Benacerraf 和 Putnam 发表的文章之前，这些文章通常被视为哲学中关于结构主义的辩论的起点。这涉及到方法论和形而上学的结构主义，这是我们强调的一个基本区别；但是在本次调查中，我们只是简单提及了我们的主题的相关“前史”（我们建议读者参考 Reck＆Schiemer 即将发表的更多内容）。

4.2 数学以外的结构主义

另一个与本文未探讨的相关方面，尽管在结束之前至少应该简要提及，是关于哲学数学以外的“结构主义”的辩论。有两个主要领域可以找到这样的辩论（尽管它们已经产生了更广泛的影响）。第一个是物理学哲学，在那里结构主义立场也起到了重要作用（包括一个被称为“结构实在论”的立场，它有“实体”和“认识论”两种形式）。第二个领域包括人文社会科学的几个部分，主要是语言学和人类学，但也包括心理学、社会学等等。在这些领域，“结构主义”（和“后结构主义”）也是一个重要的主题，确实是一个相对较长的时期。在这两种情况下，与数学结构主义有联系，尽管有时这些联系并不紧密。

在基本层面上，物理哲学中关于结构主义的辩论涉及如何思考现代物理学的“对象”，考虑到量子力学和相对论所带来的革命性变化。更具体地说，它涉及到在这方面提到“结构”的建议（参见 French 2014，Ladyman 2007 [2019]等），这与数学哲学密切相关。在另一个层面上，这个辩论涉及到如何构想在物理学本体论中，理论变化中是否有什么东西保持不变（参见 Worrall 1989，以及本百科全书中关于物理学结构主义的条目）。第三，与结构主义相关的还有关于科学中表示的辩论（参见 van Frassen 2008）。虽然我们可以进一步追求几个联系点（例如，在物理学背景下关于“结构不可辨”和“集合论与范畴论结构主义”的版本），但我们在这里不做进一步讨论。

由费迪南德·索绪尔和罗曼·雅各布森引入语言学的结构主义，然后被人文和社会科学中的其他思想家采纳，其中最著名的是克劳德·莱维-斯特劳斯在人类学中和让·皮亚杰在心理学中（参见莱维-斯特劳斯 1958 [1963]，皮亚杰 1968 [1970]，还有考斯 1988）。然而，与物理哲学的情况相比，它们与数学结构主义的联系要松散得多。此外，在人文和社会科学中常常与结构主义相关联或甚至被认同的心理决定论类型（在后结构主义中受到批评）在数学（或物理学）领域中没有类似物。尽管如此，这些联系并非毫无意义（从莱维-斯特劳斯与布尔巴基小组中的数学家之间的联系开始，参见多斯 1991-92 [1997]）。因此，它们也可能值得进一步探索，但这次不是为了推导出对数学哲学有益的东西，而是为了更全面地理解人类思维中结构主义的历史。

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Academic Tools

Other Internet Resources

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Mathematical Structuralism, by Stewart Shapiro, Internet Encyclopedia of Philosophy.

Acknowledgments

The authors wish to thank Steve Awodey, Francesca Biagioli, Norbert Gratzl, Henning Heller, Pierre Keller, Johannes Korbmacher, Hans-Christoph Kotzsch, Hannes Leitgeb, Øystein Linnebo, Jean-Pierre Marquis, Michael Price, Andrea Sereni, and John Wigglesworth for helpful discussions on topics addressed in this entry.

We would also like to thank the editors for The Stanford Encyclopedia of Philosophy for their considerable patience with this entry, which took far longer to complete than anticipated. And we would like to thank: an anonymous reviewer for constructive suggestions, and Dilek Kadıoğlu for noting some infelicitous typographical errors.

Research by Georg Schiemer on this project has received funding from the European Research Council (ERC) under the European Union’s Horizon 2020 research and innovation program (grant agreement No. 715222).

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