动态认知逻辑 dynamic epistemic (Alexandru Baltag and Bryan Renne)
首次发表于 2016 年 6 月 24 日星期五
动态认知逻辑是对模型变化的模态逻辑研究。DEL（发音为“dell”）是应用逻辑的一个高度活跃的领域，涉及到许多领域的主题，包括形式和社会认识论、认知和信念逻辑、信念修正、多主体和分布式系统、人工智能、可废弃和非单调推理以及认知博弈论。本文对 DEL 进行了概述，同时指出了一些未解决的问题和进一步研究的自然方向。
1. 引言
动态认知逻辑是一类模态逻辑的研究，每个模态逻辑都是通过在给定的逻辑语言中添加一个或多个描述模型转换动作的模态操作符而获得的。如果 [A] 是这样的一种模态性，那么新的公式 [A] F 用于表达在动作 A 发生后 F 为真的陈述。要确定在指定的 Kripke 模型(M,w)（有关定义，请参见附录 A），[A] F 是否在其中为真，我们根据动作 A 的规定将当前的 Kripke 模型 M 转换，并获得一个新的指定的 Kripke 模型(M′,w′)，然后我们调查 F 是否在其中为真。如果在那里为真，那么我们说原始公式 [A] F 在我们的起始情况(M,w)中为真。如果在新产生的情况(M′,w′)中 F 不为真，则我们得出相反的结论：[A] F 在我们的起始情况(M,w)中不为真。通过这种方式，我们获得了 [A] F 的含义，不是通过分析单个 Kripke 模型中的情况，而是通过分析特定模态指定的 Kripke 模型转换的结果。这是从在单个 Kripke 模型中进行的真实的静态语义转向在模态指定的 Kripke 模型转换中进行的真实的动态语义。动态视角的优势在于，我们可以分析公开和私人公告等动作的认知和信念后果，而无需从一开始就将结果“硬编码”到模型中。此外，我们可以通过改变描述动作的模态序列的顺序来查看不同动作序列的后果。
在接下来的章节中，我们将研究在动态认知逻辑中已经被研究过的许多模型变换操作。作为这项研究的一部分，会出现许多自然应用和问题，并且我们将看到在这项工作中获得的一些结果。在这个过程中，考虑到上述一般形式设置的许多变化将是方便的。尽管存在这些差异，但核心思想是相同的：将描述特定应用程序的模型转换操作添加到现有的逻辑语言中，并从那里进行研究。现在我们自己开始，首先从可能是最典型和最基本的模型转换操作开始：公开宣布。
2. 公共通信
2.1 公开宣布逻辑
公共公告逻辑（PAL）是对知识、信念和公共沟通进行模态逻辑研究的学科。PAL（发音为“pal”）用于推理知识和信念，并根据完全可信、真实的公告的发生而带来的知识和信念的变化。PAL 最常见的动机性例子包括泥泞儿童难题和求和与乘积难题（参见 Plaza 1989 年，2007 年）。2015 年 4 月在互联网上引起轰动的 Cheryl 的生日问题也可以用 PAL 来解决。在这里，我们提出了 Cheryl 的生日问题的一个版本，该版本由 Chang（2015 年 4 月 15 日）提出，以及一个三个孩子版本的泥泞儿童难题（Fagin 等人，1995 年）。我们没有提出传统的求和与乘积难题（有关详细信息，请参见 Plaza（1989 年，2007 年）），而是提出了我们自己的简化版本，我们称之为求和与最小公倍数问题。
Cheryl 的生日（Chang（2015 年 4 月 15 日）版本）。阿尔伯特和伯纳德刚刚见到了 Cheryl。“你的生日是什么时候？”阿尔伯特问 Cheryl。
Cheryl 思考了一会儿，然后说：“我不会告诉你，但我会给你一些线索。”她写下了一个包含 10 个日期的列表：
5 月 15 日，5 月 16 日，5 月 19 日
6 月 17 日，6 月 18 日
7 月 14 日，7 月 16 日
八月 14 日，八月 15 日，八月 17 日
“我的生日是其中一个”，她说道。
然后 Cheryl 在 Albert 的耳边低声说出她的生日月份，只说了月份。对于 Bernard，她低声说出了生日的日期，只说了日期。
“你现在能弄清楚吗？”她问阿尔伯特。
阿尔伯特：我不知道你的生日是什么时候，但我知道伯纳德也不知道。
伯纳德：我原本不知道，但现在我知道了。
阿尔伯特：好了，现在我也知道了！
Cheryl 的生日是什么时候？
泥泞的孩子谜题。三个孩子在泥里玩耍。父亲叫孩子们回到屋子里，安排他们站成一个半圆，这样每个孩子都能清楚地看到其他每个孩子。父亲说：“你们中至少有一个人的额头上有泥。”孩子们四处看着，每个孩子都检查其他每个孩子的额头。当然，没有一个孩子能检查自己的额头。父亲继续说：“如果你知道你的额头是否脏，请现在向前迈一步。”没有一个孩子向前迈步。父亲第二次重复：“如果你知道你的额头是否脏，请现在向前迈一步。”一些孩子但不是所有孩子都向前迈步。父亲第三次重复：“如果你知道你的额头是否脏，请现在向前迈一步。”剩下的所有孩子都向前迈步。有多少个孩子的额头上有泥？
求和与最小公倍数之谜。裁判提醒 S 先生和 L 先生，两个正整数 x 和 y 的最小公倍数（"lcm"）是能够被 x 和 y 整除且没有余数的最小正整数（例如，lcm(3,6)=6 和 lcm(5,7)=35）。裁判接着说，
在从 2 到 7 的整数范围内，包括 2 和 7 本身，我会选择两个不同的数字。我会把和告诉 S 先生，最小公倍数告诉 L 先生。
裁判按照承诺的做法进行。接下来发生了以下对话：
S 先生：我知道你不知道这些数字。
L 先生：啊，但是现在我知道了。
S 先生：我也知道！
数字是什么？
和最小公倍数谜题类似，和最大公约数谜题的可允许整数范围为 2 到 100（包括 2 和 100），L 先生被告知两个数字的乘积（而不是它们的最小公倍数），并且对话稍作修改（L：“我不知道这些数字”，S：“我知道你不知道”，L：“啊，但现在我知道了”，S：“现在我也知道了！”）。这些变化导致了一个更加困难的问题。详见 Plaza（1989, 2007）。
建议读者在查看附录 B 中基于 PAL 的解决方案之前，先尝试自己解决这些谜题，并在下面了解更多关于 PAL 的内容。稍后，在介绍了 PAL 的基本知识后，作者将再次指向这个附录。
这些谜题有许多变种，其中一些激发了能够处理不仅仅是公共通信的逻辑。将注意力限制在上述变种上，我们注意到用于推理这些谜题的形式逻辑必须能够表示各种代理人的知识以及由于公共公告而带来的这些知识的变化。需要注意的一点是，谜题中的公告都是真实和完全可信的：为了解决这些谜题，我们默认假设（除其他事项外）所有公告都是事实真实的，并且所有代理人都毫无疑问地接受公告的内容。当然，这些假设在许多日常情况下是不现实的，而且可以肯定，有更复杂和细致入微的动态认知逻辑可以处理代理人对所接收信息的更复杂和细致入微的态度。然而，在适当限制的情况下，公告逻辑为推理真实、完全可信的公共公告提供了一个基本框架。
给定一个非空的命题字母集合 P 和一个有限的非空代理人集合 A，基本模态语言（ML）定义如下：
F::=p∣F∧F∣¬F∣ [a] Fp∈P,a∈A
公式 [a] F 被赋予了一个信念的解读（“代理人 a 相信 F”）或认知的解读（“代理人 a 知道 F”），具体的解读取决于所考虑的应用。在本文中，我们将两种解读互换使用，根据给定的上下文选择更方便的解读。在语言（ML）中，除了否定 ¬ 和合取 ∧ 之外的布尔连接词被视为否定合取的缩写，这在任何基础逻辑教材中都是常见的。有关（ML）及其 Kripke 语义的更多详细信息，请参见附录 A。
公共公告逻辑（PAL）的语言扩展了基本的模态语言（ML），通过添加公式 [F!] G 来表示“在公共公告 F 之后，公式 G 为真”：
F::=p∣F∧F∣¬F∣ [a] F∣ [F!] Fp∈P,a∈A
从语义上讲，Kripke 模型中的公式 [F!] G 的解释如下：说 [F!] G 为真意味着，每当 F 为真时，在我们消除所有非 F 可能性（以及与这些可能性相关的箭头）之后，G 为真。这是有道理的：由于 F 的公开宣布是完全可信的，所有的代理都会通过共同消除所有非 F 可能性来做出回应。因此，为了看到在公开宣布 F 之后发生了什么，我们消除非 F 的世界，然后看在结果情况下什么是真的。形式上，（PAL）公式在指向的 Kripke 模型和（ML）公式之间的二元真实关系 ⊨ 的扩展上进行评估，如下所示：给定一个 Kripke 模型 M=(W,R,V)和一个世界 w∈W，
如果且仅如果 w∈V(p)，则 M,w⊨p 成立；
M,w⊨F∧G holds if and only if both M,w⊨F and M,w⊨G;
如果且仅如果 M,w⊭F，则 M,w⊨¬F 成立；
当且仅当对于每个满足 wRav 的 v，M,v⊨F 成立时，M,w⊨ [a] F 成立；
当且仅当 M,w⊭F 或者 M [F!],w⊨G 时，M,w⊨ [F!] G 成立，其中模型 M [F!]=(W [F!],R [F!],V [F!])的定义如下：
W [F!]:={v∈W∣M,v⊨F} — 保留 F 为真的世界
xR [F!] ay 当且仅当 xRay - 在剩余的世界中保持箭头不变，并且
v∈V F! 当且仅当 v∈V(p) - 在剩余的世界中保持估值不变。
注意，如果 F 是假的，那么公式 [F!] G 是真空地真的：一个假公式的宣布与我们对真实宣布的假设不一致，因此在宣布一个假语句之后，每个公式都会跟随（ex falso quodlibet）。值得注意的是，由...定义的对偶宣布运算符 ⟨F!⟩
⟨F!⟩G:=¬ [F!] ¬G
给定公式 ⟨F!⟩G 的含义如下：F 为真，并且在 F 被宣布后，G 也为真。特别地，我们观察到当 F 为假时，公告公式 ⟨F!⟩G 为假。
通常，人们希望将注意力限制在一类 Kripke 模型上，这些模型的关系 Ra 满足某些理想的性质，如自反性、传递性、欧几里得性或连续性。自反性告诉我们代理人的知识是真实的，传递性告诉我们代理人知道自己的知识，欧几里得性告诉我们代理人知道自己不知道的事情，连续性告诉我们代理人的知识是一致的。（也可以有一种信念的解读。）为了研究在这些类别上的公共公告，我们必须确保公式 F 的公共公告不会将给定的 Kripke 模型 M 转化为一个超出该类别的新模型 M [F!]。以下定理指出了在何时给定的 Kripke 模型类别在公共公告下是“封闭的”（意味着在该类别中对模型进行的公共公告总是产生另一个属于该类别的模型）。
请参阅附录 C，了解反身性、传递性、欧几里得性、序列性和其他重要的关系属性的定义。
公开公告闭包定理。设 M=(W,R,V)是一个 Kripke 模型，F 是在 W 中至少一个世界上为真的公式。
如果 Ra 是反身的，则 R [F!] a 也是反身的。
如果 Ra 是传递的，那么 R [F!] a 也是传递的。
如果 Ra 是欧几里得的，那么 R [F!] a 也是欧几里得的。
如果 Ra 既是序列的又是欧几里得的，那么 R [F∧⋀x∈A⟨x⟩F!] a 也是序列的和欧几里得的。
公开公告封闭定理告诉我们，反身性、传递性和欧几里得性总是在公开公告操作下封闭的。一般情况下，连续性并不是封闭的；然而，如果连续性与欧几里得性相结合，那么形式为 F∧⋀x∈A⟨x⟩F（读作“F 为真且与每个代理的知识一致”）的公式的公开公告将保持连续性和欧几里得性。因此，如果我们希望研究连续模型的类别，为了利用上述定理，我们需要进一步限制为既连续又欧几里得的模型，并且需要限制公开公告的语言，使得所有公告公式都具有这种形式。（只要公开公告的这种形式在某个连续模型类别 C 上保持连续性，也可以限制为其他形式。）通过要求公开公告具有形式 F∧⋀x∈A⟨x⟩F 来限制语言（PAL），得到了连续公开公告逻辑（sPAL）的语言，当我们对连续和欧几里得的 Kripke 模型感兴趣时，我们可以使用该语言。
F::=p∣F∧F∣¬F∣ [a] F∣ [F∧⋀x∈A⟨x⟩F!] Fp∈P,a∈A
给定满足某些属性的 Kripke 模型类别和能够推理该类别的模态逻辑 L 的语言（ML），我们希望构建一个公开公告逻辑，其正确性和完备性可以直接证明。为此，我们希望事先知道 L 相对于所讨论的模型类别是正确和完备的，某些公开公告扩展（L+PAL）的语言（ML）（例如，语言（sPAL）或甚至（PAL）本身）将包括不破坏封闭性的公告，并且我们可以通过仅查看基本模态语言（ML）来确定（L+PAL）-公式的真值的简便方法。这样，我们可以将公开公告理论的完备性“归约”为基本模态理论 L 的完备性。我们称这种可能的理论为 PAL 友好的。
PAL 友好理论。说一个逻辑 L 是 PAL 友好的意味着我们有以下情况：
L 是一种在语言（ML）中的正常多模态逻辑（即，对于每个代理 a∈A，具有模态 [a]），
存在一个 Kripke 模型类 C，使得 L 相对于基于 C 中模型的指向性 Kripke 模型的集合是完备和合理的，且
有一种语言（L+PAL）（称为“L 的公告扩展”），通过限制公共公告模态的形式（[F!]）从（PAL）中获得，使得 C 在这种形式的公共公告下是封闭的（即，在 C 中对具有至少一个使公告公式为真的世界进行公共公告会产生另一个在 C 中的模型）。
有关 PAL 友好理论的第一个组成部分的确切含义，请参见附录 D。
PAL 友好理论的示例包括常见的“信念逻辑”（多模态 KD45），常见的“知识逻辑”（多模态 S5），多模态 K，多模态 T，多模态 S4 以及混合先前提到的类型的模态运算符的某些逻辑（例如，对于 [a] 的 S5 和对于其他代理模态运算符的 T）。固定一个 PAL 友好理论 L，我们可以轻松地得到一个基于 L 的公共公告逻辑的公理化理论。
公理化理论 PAL。
适用于友好理论 L 的公理方案和规则。
缩减公理（全部在语言（L+PAL）中）：
[F!] p↔(F→p) 对于字母 p∈P “在一个错误的声明之后，每个字母都保持——一个矛盾。在一个正确的声明之后，字母保持它们的真值。”
F! ↔([F!] G∧ [F!] H) 一个联结词在一个公告之后是真的，当且仅当每个联结词都是真的。
[F] ¬G↔(F→¬ [F!] G) 一个公告之后，如果公告是真实的，那么 G 是假的，当且仅当公告不会使 G 变为真。
[F!][a] G↔(F→[a][F!] G) a 在一次公告之后知道 G 当且仅当该公告，无论真实与否，被 a 知道会使 G 成为真实。
公告必然性规则：从 G 推断 [F!] G，只要后者在（L+PAL）中。 “任何公告之后都保持有效。”
减少公理以 [F!] G 的真实性来表征其他公告公式 [F!] H 的真实性，其中公告之后的公式 H 比原始公告之后的公式 G 更简单。当 G 只是一个命题字母 p 时，减少公理 1 表明 [F!] p 的真实性可以简化为不包含任何 F 的公式。因此，我们可以看到减少公理将复杂公告的真实性陈述简化为越来越简单的公告的真实性陈述，直到不再需要提及公告为止。例如，使用括号下标表示的减少公理，我们有以下可证明的等价序列：
[b] p!↔(2)[[b] p!]p∧ [[b] p!][a] p↔(1)([b] p→p)∧ [[b] p!][a] p↔(4)([b] p→p)∧([b] p→[a][[b] p!]p)↔(1)([b] p→p)∧([b] p→a)
注意到最后一个公式不包含公开的声明。因此我们可以看到，规约公理允许我们用一个可证等价的无声明公式来表达包含声明的公式 [b] p!的真实性。这在一般情况下都是成立的。
PAL 规约定理。给定一个 PAL 友好的理论 L，语言(L+PAL)中的每个 F（不包含共同知识）在 PAL 逻辑中都可以通过一个来自于(L+PAL)的无声明片段的公式 F∘ 来 PAL 可证等价。
规约定理使得证明关于适当的指向 Kripke 模型类的公理化理论的完备性变得容易：由于每个(L+PAL)公式都可以用一个可证等价的无声明(ML)公式来表达，所以 PAL 理论的完备性可以通过规约定理、PAL 的合理性以及底层模态理论 L 的已知完备性来得到证明。
PAL 的健全性和完备性。对于集合 C∗ 中的指向 Kripke 模型，PAL 在其基础的 PAL 友好理论 L 健全且完备时，PAL 是健全且完备的。也就是说，对于每个（L+PAL）-公式 F，当且仅当 C∗⊨F 时，PAL⊢F。
一个有趣的 PAL 可推导方案（如果语言（L+PAL）允许）如下：
[F!][G!] H↔ [F∧[F!] G!]H
这意味着两个连续的公告可以合并为一个单一的公告：宣布 F 为真，然后宣布 G 为真将产生与宣布“F 为真，并且在 F 被宣布后，G 为真”相同的结果。
我们以一些关于公共公告逻辑的复杂性结果作为结论。
公共公告逻辑的复杂性。令 C 为所有 Kripke 模型的类。令 CS5 为这样的 Kripke 模型的类，其中每个二元可达关系是自反的、传递的和对称的。
单一代理人(PAL)在 CS5 上的可满足性问题是 NP 完全的（Lutz 2006）。
多代理人(PAL)在 CS5 上的可满足性问题是 PSPACE 完全的（Lutz 2006）。
(PAL)在 C 上的模型检验问题是 P 的（Kooi 和 van Benthem 2004）。
关于上述所述的理论 PAL，需要注意的一点是它是基于一个友好的逻辑 L 进行参数化的。因此，“公共公告逻辑”作为一个研究领域实际上包含了一个广泛的个体公共公告逻辑家族，每个家族都对应一个 L 的实例。除非另有说明，我们所提出的结果和概念适用于该家族中的所有逻辑。
在附录 E 中，我们详细介绍了公共公告逻辑的进一步方面：原理有效性、表达能力和简洁性、Gerbrandy-Groeneveld 公告、保持一致性的公告和箭头更新逻辑，以及任意公共公告逻辑中的公共公告量化。
虽然重复公共公告似乎是一个自然的操作（例如，受到“泥泞的孩子难题”的启发），但 Miller 和 Moss（2005）表明，这种语言的逻辑不能被递归地公理化。
最后，在附录 B 中介绍了基于 PAL 的解决方案，用于解决 Cheryl 的生日、泥泞的孩子和求和与最小公倍数难题。
2.2 群体知识：共同知识和分布式知识
2.2.1 共同知识
为了推理关于共同知识和公共声明，我们为每个代理组 B⊆A 的语言中添加共同知识运算符 [B∗]。公式 [B∗] F 的含义是“在 B 组中，F 是共同知识”。我们定义了具有共同知识的公共声明逻辑语言（PAL+C）如下：
F::=p∣F∧F∣¬F∣ [a] F∣ [F!] F∣ [B∗] Fp∈P,a∈A,B⊆A
在指向 Kripke 模型的语义上定义了该语言的附录 A 中。我们回顾了两个关键的定义表达式：
[B] F 表示 ⋀a∈B [a] F — “B 组中的每个人都知道（或相信）F”；
[C] F 表示 [A∗] F — “F 是公共知识（或信念）”。
为了方便起见，在接下来的内容中，我们将在本小节的剩余部分采用认知（即知识）的解释。特别地，使用（PAL+C）语言，我们能够提供一种形式上的解释，公共公告带来了共同的知识。
定理。对于每个指定的 Kripke 模型(M,w)，我们有：
M,w⊨ [p!][C] p 对于每个命题符号 p∈P。 “一个命题符号在宣布之后成为共知。”
如果 F 成功（即，⊨ [F!] F），那么 M,w⊨ [F!][C] F。 “一个成功的公式在宣布后成为共知。”
现在我们来研究具有共知的公共宣告逻辑的公理化理论。
公理化理论 PAL+C。
PAL 理论的公理方案和规则。
共同知识的公理方案：
B∗→([B∗] F→[B∗] G) “共同知识在逻辑推论下是封闭的。”
[B∗] F↔(F∧ [B][B∗] F)，“混合公理” 共同知识等同于真理和共同知识的群体知识。
B∗→(F→[B∗] F)，即“归纳公理” 如果存在共同知识，即真理蕴含群体知识，并且存在真理，则存在共同知识。
CK 必然性规则：从 F 推断 [B∗] F “每个有效性都有共同的知识。”
公告-CK 规则：从 H→[F!] G 和(H∧F)→[B] H 推断 H→[F!][B∗] G “如果 H 在 F 宣布后保证了 G 的真实性，并且 H 和 F 的联合真实性保证了 H 的群体知识，那么 H 保证了 F 的宣布将导致 G 的共同知识。”
PAL+C 的完备性和一致性（Baltag，Moss 和 Solecki 1998, 1999; 另请参见 van Ditmarsch，van der Hoek 和 Kooi 2007）。PAL+C 相对于基于公共公告逻辑 PAL 的指向 Kripke 模型集合 C∗ 是完备和一致的。也就是说，对于每个（PAL+C）-公式 F，我们有 PAL+C⊢F 当且仅当 C∗⊨F。
与没有共同知识的逻辑 PAL 的完备性证明不同，具有共同知识的逻辑 PAL+C 的证明不通过简化定理进行。这是因为将共同知识添加到语言中严格增加了表达能力。
定理（Baltag，Moss 和 Solecki 1998, 1999; 另见 van Ditmarsch，van der Hoek 和 Kooi 2007）。在所有指向的 Kripke 模型类上，具有公共知识的公共公告逻辑（PAL+C）语言比没有公共知识的语言（PAL）更具表达性。特别地，（PAL+C）公式 [p!][C] q 在所有指向的 Kripke 模型类上不能在（PAL）中表达：对于每个（PAL）公式 F，存在一个指向的 Kripke 模型（M，w）使得 M，w⊭F↔ [p!][C] q。
这个结果排除了 PAL+C 的约简定理的可能性：我们无法找到每个（PAL+C）公式的无公共公告等价物。这导致 van Benthem，van Eijck 和 Kooi（2006）开发了一个类似于公共知识的运算符，该运算符具有约简定理。结果是二元相对化的公共知识运算符 B∗，其读作“F 在信息 G 为真的情况下在群体 B 中是公共知识”。相对化公共知识的语言（RCK）由以下语法给出：
F::=p∣F∧F∣¬F∣ [a] F∣ [F!] F∣ B∗ p∈P,a∈A,B⊆A
并且通过向（RCK）添加公共公告来获得相对化公共知识的语言（RCK+P）：
F :: = p∣F∧F∣¬F∣ [a] F∣ [F!] F∣ B∗∣ [F!] Fp∈P,a∈A,B⊆A
（RCK）的语义是（ML）语义的扩展，而（RCK+P）的语义是（PAL）语义的扩展。在每种情况下，通过添加以下归纳真值子句来获得扩展：
当且仅当对于每个满足 w(R [G!] B)∗v 的 v，M,w⊨ B∗ 成立
在这里我们回顾一下，R [G!] 是在公开宣布 G 之后获得的函数；也就是说，如果 x 和 y 在公开宣布 G 之后的模型中（即 M,w⊨G 和 M,y⊨G），并且在原始模型中存在从 x 到 y 的 a 箭头（即 xRay），那么我们有 xR [G!] ay。然后，R [G!] B 是那些属于 B 的代理人的关系的并集；也就是说，如果存在一个 a∈B 使得 xR [G!] ay，那么我们有 xR [G!] By。最后，(R [G!] B)∗ 是关系 R [G!] B 的自反传递闭包；也就是说，如果 x=y 或者存在一个有限序列 xR [G!] Bz1R [G!] B⋯R [G!] BznR [G!] By，那么我们有 x(R [G!] B)∗y
xR [G!] Bz1R [G!] B⋯R [G!] BznR [G!] By
R [G!] B-箭头连接 x 到 y 的解释。因此，总体而言，当且仅当在 w 处的每条有限路径（长度为零或更大），该路径以 w 开始，只包含 G-世界，并且只使用 B 中的代理人的箭头时，公式 B∗ 在 w 处为真，F-世界位于路径的末端。直观地说，这意味着如果 B 中的代理人在共同娱乐可能的替代状态 w 时普遍假设 G 为真，则相对于此假设，F 在 B 中是共同知识。
正如 van Benthem、van Eijck 和 Kooi（2006）所观察到的，相对化的共同知识与公告后的非相对化共同知识不同。例如，在所有指向的 Kripke 模型集合上，以下公式不等价：
¬ {a,b}∗ — “相对于 p，a 和 b 共同知道 a 知道 p 不成立。”
[p!] ¬ [{a,b}∗][a] p — “在 p 被宣布之后，a 和 b 之间不是共同知识的情况是 a 知道 p。”
特别是，在图 1 中所示的指定模型(M,w)中，公式 ¬ {a,b}∗ 是真实的，因为存在一条路径，从 w 开始，只包含 p 世界，只使用{a,b}中的箭头，并以 ¬ [a] p 世界 u 结束。
M
图 1：指向的 Kripke 模型（M，w）。
然而，在（M，w）处，公式 [p!] ¬ [{a,b}∗][a] p 是假的，因为在 p 的宣布之后，图 2 中呈现的模型 M [p!] 获得，并且该模型中的所有世界都是 [a] p-世界。实际上，只要 p 为真，公式 [p!] ¬ [{a,b}∗][a] p 总是假的：在 p 的宣布之后，剩下的只有 p-世界，因此每个世界都是 [a] p-世界。
M [p!]
图 2：指向的 Kripke 模型（M [p!],w）。
相对化的共同知识的公理化理论以及相应语言的表达能力结果的详细信息请参见附录 F。
现在我们陈述本小节语言的两个复杂性结果。
(PAL+C)和(RCK)的复杂性。设 C 为所有 Kripke 模型的类。设 CS5 为 Kripke 模型的类，其中每个二元可达关系都是自反的、传递的和对称的。
在 CS5 上，对于(PAL+C)和(RCK)的可满足性问题是 EXPTIME-complete（Lutz 2006）。
在 C 上，对于(PAL+C)和(RCK)的模型检验问题属于 P（Kooi 和 van Benthem 2004）。
在本文的其余部分，除非另有说明，我们通常假设我们正在处理不包含常识或相对常识的语言。
2.2.2 分布式知识
另一个关于群体知识的概念是分布式知识（Fagin 等人，1995）。直观地说，如果一个代理群体 B 拥有分布式知识 F 是真实的，那么只有当他们将他们所知道的全部汇集在一起时，他们才会知道 F。举个例子，如果代理 a 和 b 要去拜访一个共同的朋友，a 知道朋友在家或者在工作，b 知道朋友在工作或者在咖啡馆，那么 a 和 b 就有分布式知识，即朋友在工作：在他们汇集他们所知道的之后，他们每个人都会知道朋友的位置。分布式知识和公共公告已经被 Wáng 和 Ågotnes（2011）研究过。与此相关的是研究一个群体知识的概念（如分布式知识）是否满足通过沟通来建立群体所知道的东西的性质；有关详细信息，请参阅 Roelofsen（2007）。
2.3 Moore 句子
看起来似乎公开宣布总是“成功”的，也就是说，宣布之后我们可以保证它是真实的。毕竟，这通常是宣布的目的：通过宣布，我们希望告知每个人它的真实性。然而，很容易想出在宣布时是真实的但之后是错误的宣布；也就是说，并非所有的宣布都是成功的。以下是一些日常生活中的例子，用简单的英语描述。
访问阿姆斯特丹的第一次的代理人 a，从阿姆斯特丹史基浦机场下飞机并真实地说：“a 从未在阿姆斯特丹发表过声明”。 这是不成功的，因为它是“自我打败”的：它排除了各种过去的陈述，但它本身就是其中之一，所以这个声明违反了它所说的。
不知道正在下雨的代理 a 被告知：“正在下雨，但 a 不知道”。 这是一个摩尔公式的例子，摩尔公式是形式为“p 是真的，但代理 a 不知道 p”的句子。在语言（ML）中，摩尔公式的形式为 p∧¬ [a] p。摩尔公式的公告是不成功的，因为在公告之后，代理人会知道第一个合取式 p（例如，“正在下雨”的陈述），从而使得第二个合取式 ¬ [a] p（例如，“a 不知道正在下雨”）成为假陈述。
不成功的公式的相反是“成功”的公式：这些公式在宣布后是真实的。在这里，应该区分“履行性宣告”和“信息性宣告”。履行性宣告通过其发生本身带来真实性（例如，法官说：“反对意见被驳回”，这使得反对意见被驳回），而“信息性宣告”仅仅是向听众传达真实性（例如，我们的共同朋友说：“我住在 207 街”，这使我们了解到已经是真实的事情）。履行性宣告最好在动态认知逻辑的背景下进行，使用事实变化进行讨论，这是附录 G 中讨论的一个主题。现在我们关注的是信息性宣告。
提尼卡（Hintikka）早在 1962 年就注意到了宣告的（不）成功现象，但直到动态认知逻辑的出现才得到详细研究。在动态认知逻辑中，公共宣告的显式语言提供了（不）成功的显式句法定义。
（不）成功的公式（van Ditmarsch 和 Kooi 2006；另见 Gerbrandy 1999）。设 F 是一个具有公共宣告的语言中的公式。
说 F 是成功的意味着 ⊨ [F!] F。 一个成功的公式是在宣布之后始终为真的公式。
说 F 是不成功的意味着 F 不是成功的（即，⊭ [F!] F）。 “一个不成功的公式是在宣布之后可能是错误的。”
正如我们所见，摩尔公式
p∧¬ [a] p
是不成功的：如果(MF)为真，则其公告会消除所有的 ¬p 世界，从而使 ¬ [a] p 成为假（因为 ¬ [a] p 的真实性需要存在一个指向 ¬p 世界的 a 箭头）。
成功公式的一个例子是一个命题字母 p。特别是，在公告 p 之后，很明显 p 仍然成立（因为命题估值不会改变）；也就是说，[p!] p。此外，正如读者可以轻松验证的那样，公式 [a] p 也是成功的。
在考虑（不）成功的公式时，一个自然的问题出现了：我们能否提供一个公式的（不）成功的句法特征？也就是说，我们是否可以通过观察公式的形式来知道它是否（不）成功？在 Visser 等人（1994）和 Andréka，Németi 和 van Benthem（1998）的工作基础上，van Ditmarsch 和 Kooi（2006）提供了一种对一些成功的（PAL+C）公式的表征。
定理（van Ditmarsch 和 Kooi 2006）。保留的公式由以下语法形成。F::=p∣¬p∣F∧F∣F∨F∣ [a] F∣ [¬F!] F∣ [B∗] Fp∈P,a∈A,B⊆A 每个保留的公式都是成功的。
使用稍微不同的成功性概念，其中一个公式 F 被称为成功的，当且仅当我们有 M,w⊨F∧⟨a⟩F 蕴含 M [F!],w⊨F 对于来自给定类 C 的每个指向的 Kripke 模型（M,w），Holliday 和 Icard（2010）对于单一代理 S5 Kripke 模型和单一代理 KD45 Kripke 模型的（不）成功性进行了全面分析。特别地，他们提供了关于这些 Kripke 模型类的成功公式的句法特征。这些工作的高度技术细节超出了本文的范围。
关于 Moore 句子的更多信息，我们将读者引用到 Epistemic Paradoxes（Sorensen 2011）的斯坦福哲学百科全书条目第 5.3 节。
3. 复杂的动态认知互动
在前一节中，我们专注于一种模型转换行为：公开宣布。在本节中，我们将研究公开宣布的流行“行动模型”概括，该概括由 Baltag、Moss 和 Solecki（Baltag、Moss 和 Solecki 1998）提出，统称为“BMS”。行动模型是简单的关系结构，可用于描述各种信息行为，从公开宣布到可能包含隐私、误导、欺骗和怀疑等程度的更微妙的沟通，仅举几个可能性。
3.1 行动模型描述复杂的信息场景
为了开始，让我们考虑一个更复杂的交流行为的具体例子：完全私密的公告。这个行为的想法是，一个代理人，我们称之为 a，将在完全私密的情况下接收一条消息。因此，其他任何代理人都不应该了解这条消息的内容，而且，其他任何代理人甚至不应该考虑代理人 a 首先接收到这条消息的可能性。（想象一下代理人 a 悄悄地前往一个秘密而安全的地点，找到并阅读只有她能解码的一条编码消息，然后立即销毁这条消息。）思考这个行为的一种方式是：可能发生两种事件之一。其中一种，我们称之为事件 e，是关于 p 为真的公告；这是发给 a 的秘密消息。另一种事件，我们称之为事件 f，是关于命题常量 ⊤ 为真的公告，这个行为不传达任何新的命题信息（因为 ⊤ 是一个重言式）。代理人 a 应该知道消息是 p，因此应该知道实际发生的事件是 e。所有其他代理人应该错误地相信这是共知的消息是 ⊤，并且甚至不考虑消息是 p 的可能性。因此，其他代理人应该将事件 f 视为唯一的可能性，并错误地相信这是共知的。我们在图 3 中描绘了这个设置的图示表示。
Pria(p)
图 3：完全私密地向代理人 a 公告 p 的指向性行为模型（Pria(p),e）。
在图中，我们的两个事件 e 和 f 被描绘为矩形（以区别于 Kripke 模型中的圆圈世界）。事件矩形内部显示的公式是事件发生时宣布的内容。因此，事件 e 代表了宣布 p 的事件，事件 f 代表了宣布 ⊤ 的事件。实际发生的事件，称为“点”，使用双重矩形表示；在这种情况下，点是 e。a 认为可能发生的唯一事件是 e，因为离开 e 的唯一 a 箭头会回到 e。但是，我们的代理集合 A 中除了 a 之外的所有代理错误地认为替代事件 f 是唯一可能的事件：离开 e 的所有非-a 箭头都指向 f。此外，从事件 f 的角度来看，事件 f（及其宣布的 ⊤）是唯一发生的事件：每个代理都有一条箭头离开 f，并且这条箭头会回到 f。因此，上面描绘的结构描述了以下动作：将宣布 p，代理 a 将知道这一点，而其他所有代理将错误地认为它是公共知识宣布了 ⊤。像图 3 中描绘的那样的结构被称为动作模型。
动作模型（Baltag，Moss 和 Solecki 1998, 1999；另请参见 Baltag 和 Moss 2004）。文献中的其他名称：“事件模型”或“更新模型”。给定一组公式 L 和一个有限非空代理集合 A，动作模型是一个由（E，R，pre）组成的结构 A =（E，R，pre），其中
一个非空有限集 E，其中包含可能发生的沟通事件，
一个将每个代理 a∈A 分配给二进制可能性关系 Ra⊆E×E 的函数 R:A→P(W×W)，以及
一个将每个事件 e∈E 分配给前置条件公式 pre(e)∈L 的函数 pre:E→L。直观地说，当事件 e 发生时，前置条件 pre(e)被宣布。
符号：如果 A 是一个动作模型，则将符号{E,R,pre}中的符号上标 A 添加到三元组中的一个组成部分，以便(AA,RA,preA)=A。我们定义一个指向的动作模型，有时也称为动作，它是由动作模型 A 和事件 e∈EA 组成的一对(A,e)，其中 e 被称为点。在绘制动作模型时，事件被绘制为矩形，并用双矩形表示点（如果有）。我们在动作模型中使用许多与（指向的）克里普克模型相同的绘图和术语约定（见附录 A）。
(Pria(p),e)是图 3 中所示的动作。给定一个初始的指向 Kripke 模型(M,w)，在该模型中 p 为真，我们通过构建一个新的指向 Kripke 模型(M [Pria(p)],(w,e))来确定动作(Pria(p),e)的模型转换效果。Kripke 模型 M [Pria(p)] 的构建由 BMS“产品更新”给出。
产品更新(Baltag, Moss, and Solecki 1998, 1999; 参见 Baltag and Moss 2004)。设(M,w)为一个指向 Kripke 模型，(A,e)为一个指向动作模型。设 ⊨ 为在语言 L 中的前置条件函数 preA:EA→L 和(M,w)之间定义的二元满足关系。如果 M,w⊨preA(e)，则通过以下给定的产品更新操作 M↦M [A] 来定义 Kripke 模型 M [A]=(W [A],R [A],V [A])：
W [A]:={(v,f)∈W×E∣M,v⊨preA(f)} — 将满足其前置条件的事件与世界进行配对。
(v1,f1)R [A] a(v2,f2) 当且仅当 v1RMav2 并且 f1RAaf2 — 在 M [A] 中插入一个 a 箭头，当且仅当在世界之间存在一个 a 箭头，并且在事件之间存在一个 a 箭头，并且
V A:=VM(p) — 将 p 在 (v,f) 对中的估值设置为与 v 上的估值相同。
一个动作 (A,e) 通过产品更新作用于满足 M,w⊨preA(e) 的初始情境 (M,w)，产生结果情境 (M [A],(w,e))。
在这个定义中，M [A] 的世界是通过对 M 的世界进行多次复制得到的，每个事件 f∈EA 对应一个副本。M 中的世界 v 的事件-f 副本由(v,f)表示。只有当(M,v)满足事件 f 的前提条件 preA(f)时，这样的一对才会包含在 M [A] 的世界中。术语“产品更新”源于这样一个事实：M [A] 的世界集合 W [A] 是通过将完整的笛卡尔积 WM×EA 限制为那些指示的世界 v 满足指示的事件 f 的前提条件 preA(f)的那些对(v,f)来指定的；也就是说，“产品更新”是基于一个受限制的笛卡尔积，因此得名。
根据产品更新，我们在 M [A] 中插入一个 a-箭头(v1,f1)→a(v2,f2)，当且仅当 M 中存在一个 a-箭头 v1→av2，并且 A 中存在一个 a-箭头 f1→af2。这样，代理 a 在结果模型 M [A] 中的不确定性来自两个来源：她在 M 中的初始不确定性（由 RMa 表示），即哪个是实际世界，以及她在 A 中的不确定性（由 RAa 表示），即哪个是实际事件。最后，在 M [A] 中的副本(v,f)上的估值与在 M 中的原始世界 v 上的估值完全相同。
作为产品更新行动的一个例子，考虑以下指向的 Kripke 模型(M,w)：
M
图 3 中的动作模型 Pria(p)通过产品更新对(M,w)进行操作，产生如下所示的结果情境(M [Pria(p)],(w,e))：
M [Pria(p)]
实际上，通过使用动态认知的动作模型 Pria(p)对 M 进行产品更新，从 M 中产生 M [Pria(p)]：
事件 e 使我们复制满足 prePria(p)(e)=p 为真的世界；这只是世界 w，我们以相同的估值形式(w,e)保留它。
事件 f 使我们复制满足 prePria(p)(f)=⊤ 为真的世界；这是世界 w 和 v，我们分别以它们的相同估值形式(w,f)和(v,f)保留它们。
我们根据产品更新的方法，将 M [Pria(p)] 中的世界与代理箭头相互连接：只有当 M 和 Pria(p)中分别具有箭头时，才在对应的世界之间放置箭头。例如，我们在 M [Pria(p)] 中有一个 b-箭头 (w,e)→b(v,f)，因为我们在 M 中有一个 b-箭头 w→bv，以及在 Pria(p)中有一个 b-箭头 e→bf。
由应用动作 (Pria(p),e) 和初始情境 (M,w) 中的点 w 和 e 组成的结果情境的点（即实际世界）(w,e) 被获得。
因此，我们得到了如上所示的模型 M [Pria(p)]。我们注意到，由产品更新引起的映射 (M,w)↦(M [A],(w,e)) 从初始情境 (M,w) 到结果情境 (M [A],(w,e)) 有以下效果：我们从一个初始情境 (M,w)，其中没有一个代理知道 p 是否为真，转变为一个结果情境 (M [A],(w,e))，其中 a 知道 p 为真，但 b 错误地认为每个人的知识都没有改变。这当然正是我们对于向代理 a 私密地宣布 p 的期望。
现在我们来评论一下行动模型和克里普克模型之间的相似之处和不同之处。首先，两者都是标记有向图（由标记的节点和指向节点的标记边组成）。克里普克模型的节点（“世界”）由在该世界上为真的命题符号标记；相反，行动模型的节点（“事件”）由一个单一的公式标记，如果事件发生，则将宣布该公式。然而，在两种情况下，都使用相同的“考虑的可能性”方法来表示代理人的不确定性。在克里普克模型的情况下，代理人考虑可能是实际的世界的各种可能性；在行动模型的情况下，代理人考虑可能实际发生的事件的各种可能性。巴尔塔格、莫斯和索莱基（1998）提出的行动模型背后的关键见解是，这两种不确定性可以使用类似的图论结构来表示。因此，当我们需要设计描述复杂的交流行为的新行动模型时，我们可以利用我们在克里普克模型上的经验。特别是，为了构建给定行动的行动模型，我们只需将行动分解为若干简单的公告事件，并以适当的方式描述代理人在这些事件之间的相应不确定性，以获得所需的行动。当然，困难在于确定确切的不确定性关系。然而，这个确定过程等同于在可能事件之间插入适当的代理人箭头，而这需要与我们在构建满足某些基本或高阶知识约束的克里普克模型时使用的推理方式相同。我们通过示例来演示这一点，同时构建一些重要的行动模型。
3.2 行动模型的示例
我们在图 3 中看到了一个完全私密的公告的例子，这是一个复杂的行动，其中一个代理人学到了某些东西，而其他代理人甚至没有怀疑到这一点。在为另一个类似复杂的行动设计行动模型之前，让我们回到我们最基本的行动：公开宣布 p 的行动。这个行动的想法是所有代理人都接收到 p 为真的信息，并且这是共同知识。因此，为这个行动构建一个行动模型，我们只需要一个传达 p 为真的事件 e，并且这个事件的发生应该是共同知识。这立即引导我们到图 4 中所示的行动模型 Pub(p)。
Pub(p)
图 4：公开宣布 p 的指向行动模型(Pub(p),e)。
不难看出，Pub(p)正是我们想要的：事件 e 传达了所需的公告，每个代理的自反箭头使得这个事件成为共知。需要注意的是，由于我们可以构建一个公共公告的行动模型，因此可以得出行动模型是公共公告的一种概括。
现在我们转向一个更复杂的行动：将 p 半私密地告知代理 a（有时称为将 p“半公开”告知代理 a）。这个行动的想法是告诉代理 a p 是真的，其他代理知道 a 被告知了 p 的真值，但这些其他代理不知道 a 被告知的具体内容。这暗示了一个行动模型，其中有两个事件，一个事件 e 宣布 p，一个事件 f 宣布 ¬p。代理 a 要知道发生了哪个事件，而其他所有代理对发生了哪个事件都不确定。这导致了图 5 中所示的行动模型 12Pria(p)。
12Pria(p)
图 5：半私密地向代理人 a 宣布 p 的指向性行动模型（12Pria(p),e）。
我们可以看到 12Pria(p)正好满足我们的要求：发生的实际事件是点 e（前提 p 的宣布），代理人 a 知道这一点，但其他所有代理人都认为可能发生了 e（p 的宣布）或 f（¬p 的宣布）。此外，其他代理人知道 a 知道哪个事件是真实的（因为在他们认为可能发生的每个事件 e 和 f 中，代理人 a 都知道发生的事件）。这正是我们对半私密宣布的要求。
最后，让我们考虑一个更具挑战性的行动：向代理人 a 误导性地私密宣布 p。这个行动的想法是，代理人 a 以完全私密的方式被告知 p，但其他所有代理人被误导以为 a 收到了私密宣布的 ¬p。因此，为了构建这个行动模型，我们需要一些元素：非 a 代理人错误地认为发生的私密宣布 ¬p 的事件，以及只有 a 知道发生的实际宣布 p 的事件。至于私密宣布 ¬p 的事件，通过对图 3 进行简单修改，可以得到向代理人 a 私密宣布 ¬p 的行动（Pria(¬p),e），如下图所示：
Pria(¬p)
由于其他代理人相信上述行动发生，他们应该相信发生的是事件 e。然而，他们是错误的：实际发生的是一个新的事件 g，向 a 传达了 p 为真的私人信息。综合起来，我们得到了图 6 中描绘的行动(MPria(p),g)。
MPria(p)
图 6：对于将 p 误导性地私下宣布给代理人 a 的指向性行动模型(MPria(p),g)。
从 MPria(p)来看，如果我们删除事件 g（以及与 g 相关的所有箭头），那么我们将得到 Pria(¬p)。因此，MPria(p)中的事件 e 和 f 扮演着代表非 a 代理人所经历的“误导”的角色：即将 ¬p 私下宣布给代理人 a。然而，实际发生的是事件 g：这个事件向 a 传达了 p 为真的信息，同时误导其他代理人相信发生的是事件 e，即将 ¬p 私下宣布给 a 的事件。总之，a 接收到 p 为真的信息，而其他代理人被误导以为 a 接收到了 ¬p 的私下宣布。这导致非 a 代理人形成以下错误信念：¬p 为真，代理人 a 知道这一点，代理人 a 相信其他人相信没有提供新的命题信息。这些信念都是错误的。因此，非 a 代理人被严重误导。
3.3 动态认知逻辑
既然我们已经看到了许多行动模型，我们转向动态认知行动逻辑（也称为动态认知行动逻辑）的形式语法和语义。我们根据以下递归语法定义了动态认知行动逻辑（EAL）的语言以及带有前提条件的指向性行动模型集合 AM∗：
F::=p∣F∧F∣¬F∣ [a] F∣ [A,e] Fp∈P,a∈A,(A,e)∈AM∗
为了明确起见：在动态认知行动逻辑（EAL）中，行动模型 A 的前提条件 preA(e)可能是一个包含其他行动模型（A′,e′）∈AM∗ 的行动模型修饰符 [A′,e′] 的公式。有关此工作的完整技术细节，请参见附录 H。
为了方便起见，我们将 AM 表示为所有动作模型的集合，其前提条件都在语言（EAL）中（见前两个小节）。正如我们在前两个小节中看到的，集合 AM∗ 包含了公共公告的指向性动作模型（图 4），私人公告的指向性动作模型（图 3），半私人公告的指向性动作模型（图 5）以及误导性私人公告的指向性动作模型（图 6），以及其他许多模型。满足关系 ⊨ 是指向性 Kripke 模型和（EAL）公式之间的最小扩展，满足以下条件（见附录 A）：
如果且仅当 M,w⊭preA(e)或 M [A]，(w,e)⊨G 时，M,w⊨ [A,e] G 成立，其中 Kripke 模型 M [A] 通过 BMS 产品更新（Baltag，Moss 和 Solecki 1999）定义。
注意，如果事件 e 的前提条件 pre(e)为假，则公式 [A,e] G 是真空真的。因此，动作模型的语义保留了我们对公共公告的真实性假设。也就是说，为了实际发生一个事件，它的前提条件必须为真。因此，事件 e 的发生意味着它的前提条件 pre(e)为真，并且事件的发生将其前提条件公式作为消息传达。如果一个事件可以在给定的世界发生，我们就说这个事件在那个世界是可执行的。
可执行事件和行动模型。说一个指向的行动模型(A,e)在一个指向的 Kripke 模型(M,w)中是可执行的意味着 M,w⊨pre(e)。说一个行动模型 A 中的事件 f 是可执行的意味着(A,f)是可执行的。说一个行动模型 A 在一个 Kripke 模型 M 中是可执行的意味着存在一个 A 中的事件 f 和 M 中的世界 v，使得 f 在(M,v)是可执行的。
正如对于 PAL 的情况一样，人们经常希望将注意力限制在满足某些理想属性（如自反性、传递性、欧几里得性和连续性）的 Kripke 模型上。为了研究这些类别上的行动，我们必须确保这些行动不会将一个属于该类别的 Kripke 模型转化为一个不属于该类别的新 Kripke 模型；也就是说，我们必须确保 Kripke 模型的类别在行动下是“闭合”的。以下定理提供了一些足够的条件来保证闭合性。
行动模型闭合定理。设 M=(WM,RM,V)是一个 Kripke 模型，A=(WA,RA,pre)是在 M 中可执行的行动模型。
如果 RMa 和 RAa 是自反的，那么 RM [A] a 也是自反的。
如果 RMa 和 RAa 是传递的，那么 RM [A] a 也是传递的。
如果 RMa 和 RAa 是欧几里得的，那么 RM [A] a 也是欧几里得的。
如果 A 满足每个事件 e∈WA 都会产生一个非空集合 S(e)⊆{f∈WA∣eRAaf}的事件，使得 ⊨preA(e)→⟨a⟩(⋁f∈S(e)preA(f))，那么 RM [A] a 是串行的。（注意：A 的条件和在 M 中的可执行性共同暗示了 RMa 是串行的。）
这个定理，就像公共公告逻辑的类似定理一样，用于基于适当的“行动友好”逻辑提供简单的声音和完整的动态认知逻辑理论。
行动友好逻辑。说一个逻辑 L 是行动友好的意味着我们有以下内容：
L 是一种在语言（ML）中的普通多模态逻辑（即，对于每个代理 a∈A，具有模态 [a]），
存在一类基于模型 C 的 Kripke 模型，使得 L 在基于 C 中的模型的指向 Kripke 模型集合上是完备和正确的，
存在一种语言（L+EAL）（即“L 的动作模型扩展”），通过限制动作模型的形式，使得 C 在可执行动作的乘积更新下是封闭的（即，在 C 中对一个模型执行这种形式的可执行动作模型会产生另一个 C 中的模型）。
基于选择一个基础的行动友好逻辑 L，可以得到不带有共同知识的动态认知的各种公理化模态逻辑理论。
公理化理论 EAL。文献中的其他名称：DEL 或 AM（表示“行动模型”；参见 van Ditmarsch，van der Hoek 和 Kooi 2007）。
适用于行动友好逻辑 L 的公理方案和规则。
简化公理（每个在语言（L+EAL）中）：
[A,e] p↔(pre(e)→p) 对于字母 p∈P “在一个不可执行的动作之后，每个字母都成立——这是一个矛盾。在一个可执行的动作之后，字母保持它们的真值。”
A,e ↔([A,e] G∧ [A,e] H) 一个合取式在一个动作之后为真，当且仅当每个合取项为真。
[A,e] ¬G↔(pre(e)→¬ [A,e] G) 在执行动作之后，如果动作无论何时可执行都不会使 G 为真，则 G 为假。
[A,e][a] G↔(pre(e)→⋀eRaf [a][A,f] G) 在执行动作之后，如果动作无论何时可执行，a 都知道使 G 为真，尽管她对实际事件存在不确定性，则 a 知道 G 为真。
动作必要性规则：从 G 中推断出 [A，e] G，只要后者在（L+EAL）中。 “任何动作之后都成立的有效性。”
前三个约简公理与 PAL 的相应约简公理几乎相同，只是 EAL 的第一个和第三个约简公理在检查公告的真实性时检查前提条件的真实性，而不是 PAL 的约简公理检查要公告的公式的真实性。实际上，这是同一种类型的检查：对于一个事件，前提条件必须成立才能执行该事件；对于一个公告，公式必须为真才能发生公告（因此，相关的公告事件才能“可执行”）。PAL 和 EAL 约简公理的主要区别在于第四个 EAL 约简公理。该公理规定了在发生某个动作后，一个 agent 对某事物的信念（或知识）的条件。特别是，在这个讨论中采用信念解读，该公理说，如果动作（A，e）发生后，agent a 相信 G 当且仅当公式 pre(e)→⋀eRaf [a][A,f] G 为真。而这个公式又说，如果前提条件为真，因此动作是可执行的，那么对于 agent 考虑的每个可能事件，她相信如果发生了所讨论的事件，G 是真的。这是有道理的：a 不能确定哪个事件发生了，所以在动作发生后她相信某事物，她必须确信无论她考虑的事件中哪一个是实际发生的，这个事物都是真的。例如，如果 a 看到她的朋友 b 在听到私人电话的另一端的某个声音时变得兴奋，那么 a 可能不知道 b 被告知的具体内容；然而，a 有理由相信 b 正在收到好消息，因为无论他具体听到了什么（即，她认为他可能听到了哪个事件），她从他的反应中知道他一定是收到了好消息。
正如对于 PAL 的情况一样，EAL 的约简公理允许我们将包含动作模型的每个公式“约简”为一个可证明等价的公式，其中动作模型的模态出现在较低复杂度的公式之前，通过一系列可证明等价性，我们可以完全消除动作模型的模态。因此，我们有以下结论。
EAL 约简定理（Baltag，Moss 和 Solecki 1998, 1999; 另见 Baltag 和 Moss 2004）。给定一个动作友好的逻辑 L，Epistemic Action Logic（不包含共同知识）的语言（L+EAL）中的每个 F 都与来自无动作模型的模态语言（ML）的公式 F∘ 在 EAL 可证明等价。
一旦我们证明了 EAL 是完备的，约简定理通过已知的基础模态理论的完备性将我们引向公理完备性。
EAL 的准确性和完备性（Baltag，Moss 和 Solecki 1998, 1999; 另请参见 Baltag 和 Moss 2004）。对于集合 C∗ 中的指向 Kripke 模型，EAL 在逻辑 L 是准确和完备的情况下是准确和完备的。也就是说，对于每个（L+EAL）-公式 F，如果且仅当 C∗⊨F 时，EAL⊢F。
我们之前看到，对于 PAL 来说，可以通过模式有效性 [F!][G!] H↔ [F∧[F!] G!]H 将两个连续的公告合并为一个公告。对于动作模型也有类似的情况。
动作模型的组合。动作模型 A=(EA,RA,preA)和 B=(EB,RB,preB)的组合 A∘B=(E,R,pre)定义如下：
E=EA×EB - 组成事件是由组成事件(e,f)的对组成的；
(e1,f1)Ra(e2,f2) 当且仅当 e1RAae2 和 f1RBaf2 - 组成事件被娱乐当且仅当其组成事件被娱乐；
pre((e1,e2))=preA(e1)∧ [A,e1] preB(e2) - 组成事件可执行当且仅当第一个组成事件可执行，并且在它发生后，第二个组成事件也可执行。
组合定理。以下方案的每个实例都是 EAL 可推导的（只要它们在语言（L+EAL）中被允许）。
组合方案：[A,e][B,f] G↔ [A∘B,(e,f)] G
结合方案：[A∘B,(e,f)][C,g] H↔ [A,e][B∘C,(f,g)] H
我们用两个复杂性结果来总结这个小节对于(EAL)的讨论。
EAL 复杂性（Aucher 和 Schwarzentruber 2013）。令 C 为所有 Kripke 模型的类。
在 C 上的(EAL)可满足性问题是 NEXPTIME 完全的。
在 C 上，对于(EAL)的模型检查问题是 PSPACE 完全的。
附录 G 提供了关于动作模型等价性的信息（包括动作模型的仿真和模拟的概念），研究了一种简单的修改，使得动作模型能够改变命题字母的真值（允许所谓的“事实变化”），并展示了如何将共同知识添加到 EAL 中。
3.4 变体和推广
在本节中，我们提及了一些动态认知模型转换方法的变体。
图修改逻辑。Aucher 等人（2009）研究了包含执行某些图修改操作的模态的（ML）的扩展。
广义箭头更新逻辑。Kooi 和 Renne（2011b）引入了一种模型变换操作的理论，该理论删除箭头而不是世界。这个理论在语言表达能力和更新表达能力方面等价于 EAL，是一个更简单的理论 Arrow Update Logic 的推广（见附录 E 的第 4 节）。
通信和变化的逻辑。Van Benthem, van Eijck 和 Kooi（2006）引入了 LCC，即通信和变化的逻辑，作为一种类似于命题动态逻辑的语言，将行动模型与“事实变化”结合起来。
通用动态逻辑。Girard，Seligman 和 Liu（2012）提出了通用动态逻辑 GDDL，一种类似于命题动态逻辑的语言，具有复杂的行动模型样式的模态，这些模态本身包含命题动态逻辑样式的指令。
关于这些变体的更多信息可以在附录 I 中找到。
4. 信念变化与动态认知逻辑
到目前为止，我们所开发的逻辑学都有一个关键限制：一个代理人无法有意义地吸收与其知识或信念相矛盾的信息；也就是说，与代理人的知识或信念不一致的传入信息会导致困难。例如，如果代理人 a 相信 p，那么宣布 p 为假会导致代理人的信念被贬低（在这种情况下，她会相信每个句子）：
对于所有公式 F，⊨ [a] p→[¬p!][a] F。
注意，在上述情况中，我们可以用矛盾（如命题常量 ⊥ 表示虚假）来替换 F。因此，一个最初相信 p 的代理人在得知 p 是假的公告的引导下，进入了一个不一致的状态，她相信一切，包括虚假。只要有任何与代理人的信念相矛盾的公告，就会发生这种平凡化现象；特别是，如果像 ⊥ 这样的矛盾本身被公告，就会发生这种现象：
对于所有公式 F，⊨ [⊥!][a] F。
在日常生活中，当我们意识到矛盾的公告时，通常并没有提供什么有用的信息；最多，一个意识到自己听到了矛盾的听众会得知，公告者或公告的信息本身存在问题。然而，公告某些并非本质上矛盾但与现有信念相矛盾的事物是一种非常重要的日常事件：在接收到可靠信息表明我们对某事的信念是错误的时候，理性的反应是以适当的方式调整我们的信念。这种调整的一部分需要确定我们对传入信息的一般可靠性或可信度的态度：也许我们完全信任它，就像一个年幼的孩子信任她的父母一样。或者也许我们的态度更加微妙：我们愿意暂时相信这个信息，但我们仍然允许可能是错误的可能性，也许在我们得知它是不正确的时候，我们会修改我们的信念。或者也许我们更加怀疑：我们暂时不信任这个信息，但我们并不完全排除它可能是真实的可能性，无论看似多么遥远。
所需的是对上述已发展的框架进行调整，以处理可能与现有信念相矛盾的传入信息，并以一种解释了代理人对信息的一般可靠性或可信度具有许多微妙态度的方式来处理。这已经成为动态认知领域最近活动的焦点。
4.1 信念修订：错误感知的信念变化
信念修订是研究通过接受可能与初始信念相矛盾的传入信息而引起的信念变化的学科（Gärdenfors 2003; Ove Hansson 2012; Peppas 2008）。在这个领域的开创性工作归功于 Alchourrón、Gärdenfors 和 Mackinson，或者称为“AGM”（1985）。AGM 方法对信念修订进行了表征，使用了一些公理。每个公理都通过说明代理人在接受传入公式 F 进行修订后，关于代理人信念必须满足的情况，提供了信念修订过程的定性解释。例如，AGM 成功公理表明，代理人在接受 F 进行修订后所相信的公式必须包括 F 本身；也就是说，修订总是“成功”地导致代理人相信传入的信息 F。
传统上，信念修订仅限于单一主体的“实体”信念变化：所涉及的信念都属于单一主体，而这些信念本身仅涉及世界的“事实”，而不是特别涉及高阶信念（即对信念的信念）。此外，根据成功公设，引发信念变化的传入公式 F 被假定为完全可信：主体毫不疑问地接受传入信息 F，并将其纳入信念集中，按照信念变化过程进行。
动态认知逻辑中的信念变化工作融合了信念修订理论的关键思想，但消除了三个关键限制。首先，DEL 中的信念变化可以涉及高阶信念（而不仅仅是“实体”信息）。其次，DEL 可以在多主体场景中使用。第三，DEL 方法允许主体对传入信息具有更细致的态度。
4.2 静态和动态信念变化
在动态认知逻辑中关于信念变化的文献中，对“静态”和“动态”信念变化进行了重要的区分（van Ditmarsch 2005; Baltag and Smets 2008b; van Benthem 2007）。
静态信念变化：代理人信念的对象是固定的外部真理，不会改变，尽管代理人对这些真理的信念可能会改变。总的来说，静态信念变化涉及“改变对不变情况的信念”。
动态信念变化：代理人信念的对象不仅包括外部真理，还包括信念本身，其中的一部分或全部可以改变。总的来说，动态信念变化涉及“改变对包含这些信念的变化情况的信念”。
为了更好地解释和说明差异，让我们考虑由 Moore 公式引起的信念变化的结果
p∧¬ [a] p，
非正式地阅读为“p 是真的，但代理 a 不相信它”。假设这个公式是真的，也就是说，p 是真的，而且确实，代理 a 不相信 p 是真的。现在假设代理 a 从一个完全可信的来源接收到公式(MF)，并且应该根据这个公式改变她的信念以考虑这个公式提供的信息。在动态信念变化中，她将接受公式(MF)，因此，特别地，她将相信 p 是真的。但是，然后公式(MF)变为假：她现在相信 p，因此公式 ¬ [a] p（“代理 a 不相信 p”）为假。因此，我们看到这种信念变化确实是动态的：在根据传入的真实公式(MF)修订她的信念时，公式(MF)的真实性本身发生了变化。也就是说，涉及 p 的真实性和代理人对这个真实性的信念的“情境”随着代理人学习(MF)是真的而发生了变化。（顺便说一句，这个例子表明对于动态信念变化，AGM 成功公理被违反，因此必须被放弃。）
或许令人惊讶的是，当从一个完全可信赖的来源接收到真实公式（MF）时，也有可能经历一种静态信念变化。为了发生这种情况，我们必须将关于 p 的真实性和代理人对这个真实性的信念的“情境”视为完全静态的，就像“时间的快照”一样。然后，我们看看代理人对那个静态快照的信念在接收到（MF）在那个快照时是真实的完全可信信息后可能如何改变。为了理解这一点，可能有助于这样思考：代理人在现在了解到过去的情况中发生了什么。因此，她对过去信念的现在观点发生了变化，但过去的信念保持不变。就像代理人研究过去的自己的照片一样：她的“现在的自己”改变了对照片中“过去的自己”的信念，这个过去的自己永远定格在时间中。在某种程度上，这个“过去的自己”可能就像是一个不同的人：
现在，既然我被告知（MF）在照片中的那一刻是真实的，我能对照片中的情况和那个情况中的人说些什么呢？
因此，为了在接收到传入的公式 F 后进行静态信念变化，代理人应根据 F 在她被告知 F 之前存在的事态中为真的信息来改变她目前的信念。因此，在接收到（MF）后进行静态信念变化时，代理人将接受，在她被告知（MF）之前的那一刻，字母 p 是真实的，但她并不相信 p 是真实的。但最重要的是，这不会导致她在此之后相信（MF）是真实的：她只是改变了对过去真实性的信念；她没有获得与现在有关的信息。特别是，尽管她会在被告知（MF）之前存在的那一刻改变对 p 真实性的信念，但她会保持对 p 目前的信念不变（即，她仍然不知道 p 是真实的）。因此，在通过（MF）进行静态信念修订后，（MF）仍然是真实的！（顺便说一句，这表明对于静态信念变化，AGM 成功公理得到满足。）
静态信念变化在日常生活中发生，当我们接收到关于某些可能迅速变化的事物的信息时，这些信息可能会在我们接收后立即变得“陈旧”（即不正确）。例如，在交易时间内，我们对高交易量、高波动性股票的价格的了解就会发生这种情况：如果我们查看价格，然后在一天的其余时间里不再关注，我们只知道过去某一时刻的价格，并不能保证价格保持不变，即使是在我们查看后的那一刻。因此，我们只知道股票的过去价格，而不是现在的价格，尽管出于实际原因，我们有时会在假设我们查看后价格保持不变的情况下操作，并因此表达出我们知道价格的说法（尽管实际上并不知道）。
动态信念变化在日常生活中更为常见。每当我们接收到的信息的真实性不能迅速变得“陈旧”时，它就会发生：我们获得了这些信息，而这些信息直接影响着我们当前的情况。
我们注意到，静态和动态信念变化之间的区别可能会引发一个困境，这与认识论中的怀疑问题有关（参见，例如，认识论条目）：我们的“动态信念变化怀疑论者”可能声称所有的信念变化都必须是静态的，因为我们无法真正知道我们接收到的信息是否已经变得陈旧。据作者所知，这个主题尚未被探讨。
4.3 可信度模型和信念变化
在对信念变化的 DEL 研究中，涉及多个代理人的信念的情境使用一种称为合理性模型的基本 Kripke 模型的变体来表示。在这些模型中，静态信念变化被解释为条件化：在不改变模型（即情境）的情况下，我们观察代理人在接收到信息时会相信什么。这将在稍后详细解释。动态信念变化涉及转换合理性模型：在引入与合理性模型兼容的行动模型之后，我们使用从这些“合理性行动模型”定义的模型运算符来描述合理性模型（即情境）本身的变化。
我们对信念变化的 DEL 方法的介绍将遵循 Baltag 和 Smets（2008b）的方法，因此除非另有说明，否则第 4 节剩余部分的所有定理和定义均归功于他们。他们的工作与 van Benthem（2007）、Board（2004）、Grove（1988）等人的工作密切相关。对于基于命题动态逻辑的另一种方法，我们将读者引荐给 van Eijck 和 Wang（2008）。
合理性模型用于表示更细致的知识和信念版本。这些模型也用于推理静态信念变化。合理性模型的思想与我们的基本 Kripke 模型类似：每个代理人将各种世界视为可能的实际候选者。然而，有一个关键的区别：在代理人 a 认为可能的任何两个世界 w 和 v 之间，她会施加一个相对合理性顺序。代理人 a 的合理性顺序用 ≥a 表示。我们写成
w≥av 意味着“根据代理人 a，世界 w 不比世界 v 更可信”。
注意，如果我们将 ≥a 看作是“大于或等于”符号，那么较“小”的世界要么更可信，要么与之等可信。之所以按照这种方式对事物进行排序，是因为 Grove（1988）提出的一个想法：我们将每个世界看作位于一系列同心球面上的一个位置（半径不相等），较可信的世界位于半径较小的球面上，较不可信的世界位于半径较大的球面上。考虑以下示意图：
在这个图示中，黑色同心圆表示球面，最小（即最内层）球面上的蓝色点是整体上最可信的世界，第二小（即中间）球面上的红色点是次可信的世界，而最大球面上的绿色点是整体上最不可信的世界。
我们用 ≤a（“不比...更不可信”）表示逆向可信度关系：w≤av 表示 v≥aw。此外，我们按照通常的方式定义了严格可信度关系>a（“比...更可信”）：w>av 表示我们有 w≥av 且 v≱aw。（关系上有一条斜线表示关系不成立。）严格逆向可信度关系<a（“比...更不可信”）的定义如预期：waw。最后，我们按照以下方式定义了等可信度关系 ≃a（“同样可信”）：w≃av 表示我们有 w≥av 且 v≥aw。
我们绘制可信度模型与之前的基本 Kripke 模型非常相似，只是我们使用虚线箭头（而不是实线箭头）来表示可信度关系，并且表明所讨论的图片是一个可信度模型之一。我们采用以下约定来绘制可信度模型。
同一连通分量中的世界被称为信息等价。
信息等价性。对于代理人 a 来说，如果世界 v 和 w 在信息上等价，则当且仅当 cca(w)=cca(v)。请注意，我们有 cca(w)=cca(v)当且仅当 v∈cca(w)当且仅当 w∈cca(v)。
思想是，如果 w 是实际世界，那么代理人 a 就有信息，即实际世界必须是她所连接的组件 cca(w)中的一个。因此，当 w 是实际世界时，集合 cca(w)构成了代理人 a 认为可能的世界。而且由于 w∈cca(w)，代理人 a 将始终认为实际世界是可能的。局部连通性确保代理人始终对 cca(w)中任意两个世界的相对可信度有意见。
局部连通性的一个结果是，根据 Grove 的思想（Grove 1988），信息等价的状态可以按照同心球的方式进行分层：整体上最可信的世界位于最内层的球上，次可信的世界位于次大的球上，依此类推，一直到最不可信的世界位于整体最大的球上。（我们对可信度模型的图片中的世界数量始终是有限的——否则我们无法根据上述约定进行绘制——因此，总是可以按照这种方式将图片中的世界组织成同心球。）
格罗夫球体（Grove 1988）还提出了一种在合理性模型中进行静态信念修正的自然方法：如果代理人被一个完全可信的消息来源告知实际世界在她信息等价的世界的某个非空子集 S⊆cca(w)中，那么她将限制自己关注 S 中的世界。S 中最有可能的世界将是她认为最有可能的世界，S 中次有可能的世界将是她认为次有可能的世界，依此类推。也就是说，她将“重新调整”她的球体系统以适应集合 S。
为了看清这一切是如何运作的，让我们考虑一个简单的例子场景，其中我们的两个代理 a 和 b 正在讨论两个陈述 p 和 q 的真实性。在对话过程中，成为共同知识的是，两个代理都没有关于 q 的任何信息，因此都不知道 q 是否为真，尽管事实证明 q 确实为真。然而，众所周知，代理 b 是一个关于一个研究领域的专家，他的工作涵盖了关于 p 是否为真的问题。此外，代理 b 公开发表了他的专业意见：p 为真。代理 a 信任代理 b 的专业知识，因此她（代理 a）相信 p 为真。但她的信任并非绝对：a 仍然保持着代理 b 可能是错误或欺骗的可能性；因此她愿意承认她对 p 的信念是错误的。然而，她现在确实相信 b，并相信 p。不幸的是，她的信任是错误的：代理 b 故意撒谎；p 实际上是假的。我们在图 8 中描述了这个场景。
N
图 8：指向性合理性模型（N，w1）。
显然，指向性合理性模型（N，w1）满足局部连通性的属性，因此这是一个可接受的图像。要看到这个图像合理地代表了上述描述的示例情景，首先注意到我们对于两个字母 p 和 q 的四种可能的真值赋值有四个世界。在实际世界 w1 中，字母 p 为假，字母 q 为真。代理 a 认为这四个世界在信息上是等价的（因为她不确定哪个世界是实际世界）；然而，她认为 p-世界比 ¬p-世界更合理。这代表了她对 p 为真的信念：她认为每个她认为最合理的世界都满足 p。此外，如果她被告知 p 实际上是假的，她将限制自己关注次最合理的 ¬p-世界，从而静态修正她的信念。从这个意义上说，她信任 b（因此相信 p 为真），但并不完全排除他可能是错误或欺骗的可能性。由于 a 对 q 没有任何信息，她的每个球体——内部的 p-球体和外部的 ¬p-球体——都包含一个 q 为真的世界和一个 q 为假的世界。
现在让我们来看看代理人 b 的态度。首先，我们看到 b 有两个连接的组成部分，一个由 p-世界组成，另一个由 ¬p-世界组成，而这两个组成部分在信息上并不等价。也就是说，在代理人 b 的眼中，没有一个 p-世界在信息上等价于一个 ¬p-世界。这告诉我们，b 确切地知道 p 是否为真。此外，a 知道这一点（因为 a 的每个信息上等价的世界都是 b 知道 p 是否为真的世界）。由于实际世界是一个 ¬p-世界，事实上，代理人 b 知道 p 是假的。最后，我们看到 b 知道 a 错误地相信 p 是真的：在 b 的每个信息上等价的世界 w1 和 w2 中，代理人 a 相信 p 是真的（因为 a 最合理的世界 w3 和 w4 都满足 p）。
现在我们已经准备好对合理性模型进行正式定义了。这个定义总结了我们到目前为止所看到的内容。
合理性模型。给定一个非空的命题字母集合 P 和一个有限的非空代理人集合 A，一个合理性模型是一个结构 M=(W,≥,V)
由
一个非空集合 W 组成，用于标识可能发生的事态，
一个函数 ≥，它为每个代理 a∈A 分配了一个在 W 上满足我们稍后定义的合理性属性的二元关系 ≥a，并且
一个命题估值 V，将每个命题符号映射到该命题在其中为真的世界集合。
我们定义以下关系，通过在关系符号上划斜线来表示关系的否定：
逆向合理性：w≤av 意味着我们有 v≥aw。
严格的合理性：w>av 意味着我们有 w≥av 和 v≱aw。
严格的逆合理性：w<av 意味着我们有 v≥aw 和 w≱av。
等合理性：w≃av 意味着我们有 w≥av 和 v≥aw。
对于每个世界 w 在 W 和代理 a，我们定义 w 的连通分量，也称为 a-连通分量（如果强调 a 很重要），如下所示：cca(w)：={v∈W∣w(≥a∪≤a)∗v}。
如果 cca(w)=cca(w)，那么我们说 w 和 v 在信息上是等价的（或者它们是 a-信息上等价的）。关系 ≥a 必须满足合理性的属性，包括以下三个项目：
≥a 是自反的和传递的；
≥a 是局部连通的：对于每个 v∈cca(w)，都意味着 w≥av 或 v≥aw；并且
≥a 是逆向良基的：对于每个非空的世界集合 S⊆W，集合 mina(S)：={w∈S∣∀v∈S:v≮aw} 的 a-最小元素本身也是非空的。
一个有指向性的可信度模型，有时被称为场景或情境，是由一个可信度模型 M 和一个世界 w（称为点）组成的一对（M,w），它指定了我们（形式建模者）当前假定为实际的事态。
直观地说，w≥av 意味着根据代理人 a，w 不比 v 更可信。因此，更“小”的世界更可信，所以 mina(ccw(w)) 是代理人 a 认为在信息上等价于 w 的所有世界中最可信的世界集合。
正如我们所见，局部连通性确保代理人对信息上等价的世界的相对可信度有意见。逆向良基性保证代理人总是能够将信息上等价的世界分层，以使某些世界在整体上最可信。因此，我们不能出现这样的情况，即代理人 a 有一些序列 w1>aw2>aw3>a⋯
严格递增的可能性世界的来源，这种情况下找到“最有可能的世界”是不可能的。通过禁止这种情况，逆向良基性保证了“最有可能的世界”的概念始终是明确定义的。
在指向性可能性模型上解释的公式集通常至少包含来自以下语言(K◻)的公式：
F::=p∣F∧F∣¬F∣KaF∣◻aFp∈P,a∈A
动态认知中指向性合理性模型和(K◻)公式之间的满足关系 ⊨ 定义如下。
当且仅当 w∈V(p)，M,w⊨p 成立。
M,w⊨F∧G holds if and only if both M,w⊨F and M,w⊨G.
当且仅当 M,w⊭F，M,w⊨¬F 成立。
当且仅当对于每个 v∈cca(w)，M,w⊨KaF 成立。
当且仅当对于每个 v≤aw，M,w⊨◻aF 成立。
对于每个(K◻)-公式 F 和可信度模型 M=(W,≥,V)，我们定义集合。
[[F]]M:={w∈W∣M,w⊨F}
在 F 为真的世界中。如果 M 固定，我们可以简单地写成 [[F]]，而不需要下标 M。
KaF 被赋予“代理 a 拥有 F 为真的信息”的解释。我们可以将 Ka 视为一种知识，尽管不是通常由实际的现实生活代理所拥有的知识（因为它满足通常在实践中不满足的逻辑推论封闭等属性）。直观上，拥有 F 的信息意味着在接收到任何进一步的信息，甚至不是真实的信息时，对 F 的信念仍然持续存在。这种知识因此是不可错误和不可推翻的。
我们将 ◻aF 解释为“代理 a 随附地知道 F”。这是由 Lehrer 和 Paxson（1969）以及 Lehrer（1990, 2000）研究并由 Stalnaker（1980, 2006）形式化的一种弱知识概念。直观地说，对 F 的随附知识是对 F 的信念，在接收到任何进一步的真实信息后仍然持续存在：代理人相信 F，并且如果被告知任何进一步的真实信息，她将继续相信 F。随附知识有时也被称为“安全信念”。
信息拥有的双重形式 KaF，写作 ˆKaF，表示信息的一致性：
ˆKaF 表示 ¬Ka¬F。
其含义是 F 与代理人 a 的信息一致。我们使用这个来定义条件信念的概念：
BGaF 表示 ˆKaG→ˆKa(G∧◻a(G→F))。
它被赋予“代理人 a 在 G 条件下相信 F”的解释。有时 BGaF 被简写为 Ba(F|G)。虽然 BGaF 的含义可以从上述定义中推导出来，但以下提供了一个更直观的解释。
定理。对于每个指定的合理性模型（M，w），我们有：M，w⊨BGaF 当且仅当 mina([[G]]M∩cca(w))⊆ [[F]]M；
也就是说，当且仅当 F 在与 a 的信息一致的最可信的 G 世界上为真时，代理 a 在世界 w 上相信 F 条件为 G。
这个定理告诉我们，要了解代理在 G 条件下的信念，我们只需要看代理最可信的 G 世界。通过这种方式，条件信念使代理将她的球体系统重新聚焦在所有 G 为真的世界集合上。条件信念因此实现了静态信念修正：要了解代理 a 在通过 G 静态修正她的信念之后相信什么，我们只需要看她在 G 条件下相信什么。因此，BGaF 表示代理 a 在通过 G 静态修正她的信念之后相信 F。
条件信念的概念使我们能够将知识拥有的概念 Ka 和可废除的知识 ◻a 与知识的可废除性分析相连接，如下结果所示。
定理。对于每个指向的合理性模型（M，w），我们都有以下每个。
如果对于每个（K◻）-公式 G，我们有 M，w⊨BGaF，则 M，w⊨KaF。 信息拥有 Ka 是在接收到任何信息后持续存在的信念。
对于每个满足 M,w⊨G 的(K◻)-公式 G，当且仅当 M,w⊨BGaF 时，M,w⊨◻aF。 “可废除的知识 ◻a 是在接收到真实信息后持续存在的信念。”
条件性信念产生了一种通过将平凡条件 ⊤（即真理的命题常量）作为条件来获得的无条件信念的概念：
BaF 表示 B⊤aF。
因此，为了看到代理人的无条件信念，我们只需将她的信念置于处处为真的平凡条件 ⊤ 上进行条件化。然后很容易看出我们有以下结果。
定理。对于每个指定的合理性模型（M，w），我们有：M，w⊨BaF 当且仅当 mina(cca(w))⊆ [[F]]M；
也就是说，如果世界 w 上最符合 a 的信息的可信度最高的世界上 F 为真，则代理 a 相信 F（无条件地）；反之亦然。
我们以公理化理论总结本节，该理论描述了在所有合理性模型中都有效的那些公式。由于我们可以表达条件性信念（并且由于条件性信念描述了静态信念修正），因此我们得到了一个关于可废除知识、信息拥有、条件性信念、无条件信念和静态信念修正的理论。
动态认知的公理理论 K◻.
对于每个 a∈A，Ka 的 S5 公理方案和规则
对于每个 a∈A，◻a 的 S4 公理方案和规则
KaF→◻aF 如果 F 根据 a 的信息推导出来，那么 a 有可能知道 F。
Ka(◻aF→G)∨Ka(◻aG→F) “与接收到的信息一致的世界在可信度上始终是可比较的。”（这个公理具有这个意义需要一些技术细节；参见 Baltag 等人（2014）。特别是，该公理可以被视为基本模态逻辑中.3 方案的轻微修改；参见，例如，Blackburn 等人 2002 年）。
K◻ 的完备性和一致性。K◻ 相对于指定的可信度模型集合 C∗ 是完备和一致的。也就是说，对于每个（K◻）-公式 F，如果 C∗⊨F，则 K◻⊢F。
与其将信息占有 Ka 和可废除的知识 ◻a 作为基本命题态度，一个可以选择条件信念陈述 BGaF。这个选择给出了条件信念逻辑 CDL 的理论。详见附录 J。
我们可以定义一些额外的命题态度，超出了条件信念 BGaF、可废除知识 ◻aF 和信息拥有 KaF。我们简要介绍其中两个与信念修正文献有重要联系的态度。
一元修正算子 ∗aF 的语义为：M,w⊨∗aF 表示 M,w⊨F 且对于所有 v<aw，M,v⊭F。 也就是说，说 ∗aF 在世界 w 上为真意味着 F 在 w 上为真，并且对于任何一个代理 a 认为更合理的世界 v，F 在 v 上为假。因此，∗aF 在 w 上为真意味着在代理经历了关于 F 的信念修正之后，w 将成为最合理的世界之一。一元修正算子 ∗aF 因此选择了在代理 a 经过 F 的信念修正后构成其信念理论的世界。因此，我们有 M,w⊨BFaG 当且仅当 M,w⊨Ka(∗aF→G)。 它说，当代理人 a 在 F 的修订后相信 G，当且仅当她知道在 F 的修订后 G 是她理论的结果。
对于每个自然数 n，我们有一个 n 阶信念运算符 BnaF。为了定义这些运算符的语义，我们首先根据以下方式为每个自然数 n 定义公式 bna：b0a=∗a⊤，bn+1a=∗a(¬b0a∧¬b1a∧⋯∧¬bna)。 b0a 在代理人 a 在整体上排名最可信的世界中为真，b1a 在代理人 a 在 b0a 世界之后排名第二可信的世界中为真，b2a 选择在 b1a 世界之后排名第二可信的世界，依此类推。这样，bna 世界就选择出了代理人 a 的“n 阶信念理论”，即在放弃所有低阶理论后代理人将持有的信念集合。这个设置使我们能够实现 Spohn（1988）关于“信念程度”的概念：M,w⊨BnaF 意味着 M,w⊨Ka(bna→F)∧⋀i<n¬Ka(bia→F)， 根据这个理论，如果代理人 a 相信 F 的程度为 n，那么当且仅当她知道它是从她的 n 级理论中推导出来的，并且她不知道它是从任何低级理论中推导出来的。
4.4 动态信念行为的逻辑：行动优先级更新
到目前为止，我们所见到的理论和运算符都涉及静态信念变化。现在我们希望转向动态信念变化。为此，该方法遵循动态认知逻辑的典型模式：我们采用给定的静态理论（在本例中为 K◻），并添加动作模型风格的模态来创建动态理论。当我们在基本多模态认知和信念逻辑的情况下进行此操作时，添加的动作模型的关系结构与理论的模型（Kripke 模型）的关系结构相匹配。动作模型与有限 Kripke 模型之间的结构匹配并非偶然：动作模型模态的语义（如 BMS 产品更新所解释的）使用了基于 Kripke 模型的代理人对对象（即“世界”）的不确定性的概念，以描述代理人对动作模型对象（即“事件”）的不确定性。这两种不确定性都使用相同类型的结构表示：二元可能性关系 Ra。
对于条件信念 BFaG、可废除知识 ◻aF 和信息拥有 KaF 的现行理论，我们采取了类似的方法：我们定义了可信度行动模型，这些模型是行动模型类型的对象，其关系结构与该理论的模型——可信度模型的关系结构相匹配。由于有限的可信度模型具有形式(W,≥,V)，我们从 Kripke 模型的情况可以推断，可信度行动模型应具有形式(E,≥,pre)，其中 E 是一个有限非空事件集，≥ 是一个函数，为每个代理 a 提供一个可信度关系 ≥a，pre 是一个与之前相同的前提函数。
可信度行动模型。给定一个公式集 L 和一个有限非空代理集 A，可信度行动模型是一个结构 A=(E,≥,pre)
包括
一个可能发生的交流事件的非空有限集合 E，
一个函数 ≥，它将每个代理 a∈A 映射到 E 上的二元关系 ≥a，满足之前定义的合理性属性，
一个函数 pre:E→L，它将 E 中的每个事件 e 映射到一个称为 e 的前提条件的公式 pre(e)∈L。直观上，前提条件在事件发生时被宣布。
一个指向性的合理性行动模型，有时也被称为行动，是由合理性行动模型 A 和 A 中的事件 e 组成的一对(A,e)，该事件被称为点。在绘制合理性行动模型时，事件被绘制为矩形，点（如果有的话）用双矩形表示，箭头使用虚线绘制（与合理性模型相同）。我们在绘制（指向性的）合理性行动模型时使用了许多相同的绘图和术语约定。
如预期的那样，合理性行动模型和基本行动模型之间的主要区别在于特定于代理的组成部分（即给出特定于代理的关系 ≥a 的函数 ≥）。在基于合理性行动模型构建新的合理性模型时，我们可以按照类似于产品更新的构建方法进行。为了使其工作，我们的主要任务是描述如何根据给定的初始合理性模型 M 和合理性行动模型 A 中的合理性关系来确定结果合理性模型 M [A] 中的特定于代理的关系 ≥a。为此，考虑一个例子将会很有帮助。
rPubG(q)
图 9：可修订公开公告 q 的指向性合理性行动模型（rPub(q),e）（也被 van Benthem 2007 称为“按 q 进行词典式升级”）。
图 9 描绘了（rPub(q),e），一个由两个事件组成的指向性合理性行动模型：事件 f 中宣布了 ¬q，事件 e 中宣布了 q。事件 e 是实际发生的事件。对于每个来自完整代理集合 A 的代理 a，事件 e 是严格更可信的。我们采用了与合理性模型相同的绘图约定：单向和双向箭头，自反和传递闭包，以及局部连通性的要求。（由于事件集合 E 是有限的，因此具有良好的基础。）因此，图 9 隐含地包含了每个代理在每个事件中的自反虚线箭头。
（rPub(q),e）具有以下直观效果：q 的公开公告（即事件 e）发生并成为共识；然而，代理仍然保持否定 ¬q 被公告的可能性（即事件 f 发生）。实际上，代理将相信 q（因为这是最可信的公告），但他们仍然保持 q 为假的可能性较小。这使得代理可以谨慎地接受公告的公式 q：如果他们后来得知 q 是假的，他们仍然可以修订自己的信念。
“行动优先更新”是对可信度模型的产品更新的类比。
行动优先更新（Baltag 和 Smets 2008b）。设（M，w）是一个指向的可信度模型，（A，e）是一个指向的可信度行动模型。设 ⊨ 是在（M，w）和语言 L 中的公式之间定义的二元满足关系，该语言是可信度行动模型 A 的前提函数 preA:EA→L。如果 M，w⊨preA（e），则可信度模型 M [A]=(W [A],≥ [A],V [A])
通过以下方式定义行动优先更新操作 M↦M [A]：
W [A]:={(v,f)∈W×E∣M,v⊨preA(f)} — 将满足前提条件的事件与世界配对；
(v1,f1)≥ [A] a(v2,f2) 当且仅当以下情况之一成立：
f1>af2 且 cca(v1)=cca(v2) — 在信息等价的世界中应用具有严格不同合理性的事件，或者
f1≃af2 和 v1≥av2 - 将等可能事件应用于信息等价但可信度不同的世界；
V A:=VM(p) - 使得在(v,f)对中，p 的估值与 v 中的估值相同；
一个动作(A,e)通过动作优先级更新作用于满足 M,w⊨preA(e)的初始情境(M,w)，产生结果情境(M [A],(w,e))。请注意，当上下文清楚时，我们可以简单地将动作优先级更新后的代理 a 的可信度关系 ≥ [A] a 简写为 ≥a。
现在我们转向行动优先更新逻辑（即信念行动逻辑）。首先，我们定义行动优先更新逻辑的语言（APUL），以及具有语言（APUL）中前提条件的指向性合理性行动模型集合 PAM∗，其遵循以下递归语法：
F::=p∣F∧F∣¬F∣KaF∣◻aF∣ [A,e] Fp∈P,a∈A,(A,e)∈PAM∗
指向性合理性模型和（APUL）公式之间的满足关系 ⊨ 是上述定义的满足关系 ⊨ 的最小扩展，用于满足（K◻）的以下条件：
当且仅当模型 M,w⊭pre(e)或者 M [A],(w,e)⊨G 时，M,w⊨ [A,e] G 成立，其中模型 M [A] 由动态认知动作优先级更新给出。
除了可修订的公开声明（图 9），还有一些有趣的指向性合理性动作模型。
rPriG(q)
图 11：针对将 q 私密公告给代理群体 G 的指向性合理性行动模型(rPriG(q),e)。
图 11 描述了将 q 私密公告给代理群体 G 的情况。这包括两个事件：公告 q 的事件 e 和公告命题常量 ⊤ 的事件 f。对于群体 G 外的代理，最合理的事件是公告 ⊤；对于群体内的代理，最合理的事件是公告 q。实际上，公告 q（即事件 e）发生了。由于命题常量 ⊤ 没有提供信息，群体外的代理将继续相信之前的情况。然而，群体内的代理将相信 q。
私密公告的合理性行动模型版本（图 11）与私密公告的行动模型版本（图 3）几乎相同。这是因为行动模型很容易转换为合理性行动模型：只需将箭头改为虚线箭头。通过这种方式，我们可以从现有的行动模型中轻松获得合理性行动模型。特别地，我们可以通过转换图 4 获得公开公告的合理性行动模型，通过转换图 5 获得半私密公告的合理性行动模型，通过转换图 6 获得误导性私密公告的合理性行动模型。
最后，van Benthem（2007）研究了使用动态认知来表示的多智能体合理性模型上的两个重要操作。
词典式升级 [⇑F] G（Rott 1989; van Benthem 2007）：在改变合理性关系以使 F-世界优于 ¬F-世界，但 F-和 ¬F-区域内的世界的排序保持不变后，G 为真。F 的词典式升级只是 F 的可修订公开声明（图 9）：M,w⊨ [⇑F] G 当且仅当 M,w⊨ [rPub(F),e] G。
保守升级 [↑F] G（Boutilier 1993; van Benthem 2007）：在改变合理性关系以使最佳 F-世界优于其他所有世界，但排序其他方面保持不变后，G 为真。我们注意到，在仅包含一个代理 a 的情况下，当且仅当 M,w⊨ [↑F] G 当且仅当 M,w⊨ [⇑∗aF] G 当且仅当 M,w⊨ [rPub(∗aF),e]。 它说，F 的保守升级等于在单个代理 a 的情况下由 ∗aF 进行的词典升级。这是有道理的：∗aF 选择出最可信的 F 世界，然后词典升级 ⇑∗aF 将这些最可信的 F 世界排名为最可信的整体，并保持所有其他排名不变。在具有 n 个代理的多代理情况下，我们观察到具有 2n 个动作的可信度行动模型等同于 ⇑F。特别地，让 CU(F)：=(E,≥,pre) 定义如下的可信度行动模型：
E:={eI∣I⊆A} — 对于每个（可能为空）代理子集 I⊆A，存在一个事件 eI。
eI≥aeJ 当且仅当 a∈J — 根据 a 的成员资格，事件 eJ 在等于或高于可信度上与 a 相等；当且仅当 a 是 J 的成员时。
pre(eI):=(⋀i∈I∗iF)∧(⋀j∈(A−I)¬∗jF) — 事件 eI 选择出对于 I 中的代理者来说是最佳 F-世界，而对于不在 I 中的代理者来说不是最佳 F-世界的世界。
直观上，这个可信度行动模型将每个代理者 a 将事件分为两个类别：根据 a 的最佳 F-世界构成第一类，并且排名最高；而不是根据 a 的最佳 F-世界构成第二类，并且排名严格低于第一类。特别地，由于我们有 eI≤aeJ 当且仅当 a 在 I 中，因此可以推出：
如果 i∈I∩J，则 eI≃aeJ；
如果 i∈I−J，则 eI<aeJ；
如果 i∈J−I，则 eI>aeJ；
如果 i∈A−(I∪J)，那么 eI≃aeJ。
因此，具有 i 在 I 中的 eI 构成第一类，并且在整体上由 a 排名最可信。而不具有 i 在 I 中的 eI 构成第二类，并且在 a 的排名中严格不可信。前提条件被安排得任意两个事件之间是相互矛盾的：如果 I≠J，则 I 和 J 在至少一个代理 a 上不同，因此它们在其前提条件中的断言 ∗aF 或其否定 ¬∗aF 上不同。此外，事件的前提条件穷尽了所有可能性：给定一个可能性模型的世界 w，存在一个（可能为空的）代理集合 I，使得 I 中的代理将 w 排名为最佳的 F-世界，而不在 I 中的代理则不将 w 排名为最佳的 F-世界；因此，世界 w 满足所讨论的集合 I 的 eI 的前提条件。因此，CU(F)中的事件将给定输入可能性模型的世界划分为若干个部分，每个子集 I⊆A 对应一个部分。给定模型中与子集 I 对应的部分由事件 eI 选出，并包括满足 pre(eI)的给定模型中的那些世界；这些世界是根据 I 中的代理认为最佳的 F-世界，并且根据不在 I 中的代理不是最佳的 F-世界。因此，我们可以看到 CU(F)根据哪些代理认为给定部分中的世界是最佳的 F-世界将模型分解为各种部分，使得每个代理的最佳 F-世界优于所有其他世界，并且在其他情况下保持排名不变。因此，不难看出我们有 M,w⊨ [↑F] G 当且仅当 M,w⊨⋁I⊆A [CU(F),eI] G（一般情况）， 它说，由 F 进行的保守升级等于由指向的合理性行动模型（CU（F），eI）带来的行动优先级更新，其中 I⊆A 是某个子集。如前所述，初始模型中的世界将满足恰好一个事件 eJ 的前提条件。因此，通过评估与 w 对应的特定 J 的析取式 [CU（F），eJ] G，可以确定 ⋁I⊆A [CU（F），eI] G 在 w 处的真值。
现在我们研究行动优先级更新逻辑的公理理论。
公理理论 APUL。
K◻ 理论的公理方案和规则
简化公理：
对于字母 p∈P，[A,e] p↔(pre(e)→p) 在一个不可执行的动作之后，每个字母都保持着矛盾。在一个可执行的动作之后，字母保留它们的真值。
A,e ↔([A,e] G∧ [A,e] H) 在一个动作之后，一个合取式是真的当且仅当每个合取项都是真的。
[A,e] ¬G↔(pre(e)→¬ [A,e] G) G 在一个动作之后是假的，当且仅当该动作在可执行时不会使 G 为真。
[A,e] KaG↔(pre(e)→⋀e≃afKa [A,f] G) a 在执行某个动作后，当且仅当该动作提供了关于 G 将成为真的信息，尽管她对实际事件的信息存在不确定性，a 就具有关于 G 的信息。
[A,e] ◻aG↔(pre(e)→(⋀e>afKa [A,f] G)∧(⋀e≃af◻a [A,f] G)) a 在执行某个动作后，当且仅当该动作提供了关于所有更有可能事件后 G 将成为真的信息，并且进一步给出了关于所有等可能事件后 G 将成为真的可废除性知识，a 就具有关于 G 的可废除性知识。
动作必要性规则：从 G 中推断 [A，e] G “任何动作之后都成立的有效性。”
前三个约简公理与 EAL 的相应约简公理相同。第四个 APUL 约简公理与第四个 EAL 约简公理几乎相同。特别是第四个 EAL 约简公理，它的内容是：
[A,e] KaG↔(pre(e)→⋀eRafKa [A,f] G),
只有右侧的连接词不同：EAL 公理通过 Kripke 模型风格的关系 Ra 与 e 相关的事件进行连接，而 APUL 公理通过可能性模型风格的关系 ≃a 与 e 相关的事件进行连接。
第五个 APUL 简化公理是新的。该公理捕捉了行动优先级更新的本质：为了在执行一个动作后具有可废除的知识，代理人必须了解更有可能的动作的结果，并且进一步，她必须对等可能的动作的结果具有可废除的知识。这是根据结果可能性关系 ≥ [A] a 的定义得出的。作为提醒，这是通过设置(v1,f1)≥ [A] a(v2,f2)来定义的，当且仅当我们满足以下条件之一：
f1>af2 并且 cca(v1)=cca(v2)——将严格不同的可信度事件应用于信息等价的世界；或者
f1≃af2 并且 v1≥av2——将等可信度事件应用于不同可信度的信息等价世界。
看看第五个 APUL 约简公理，合取式 ⋀e>afKa [A,f] G 表示当将可信度严格大于 e 的事件应用于 a 的当前连接组件内的一个世界时，G 为真。这告诉我们，在上述第一个项目的光下，具有更高可信度的世界上 G 为真。第五个 APUL 约简公理的另一个合取式 ⋀e≃af◻a [A,f] G 表示当将与 e 等可信度的事件应用于 a 的当前连接组件内的等于或更高可信度的世界时，G 为真。这告诉我们，在上述第二个项目的光下，具有更高或相等可信度的世界上 G 为真。综上所述，由于这两个项目定义了在结果模型 M [A] 中世界具有相等或更高可信度的时机，这两个合取式在初始情况(M,w)中的真实性，其中(A,e)是可执行的，意味着 G 在结果模型 M [A] 中的所有具有相等或更高可信度的世界上为真。也就是说，我们有 M [A],(w,e)⊨◻aG，因此有 M,w⊨ [A,e] G。这解释了第五个 APUL 约简公理的从右到左的方向。从左到右的方向类似地解释。
正如对于 EAL 的情况一样，APUL 的约简公理允许我们将包含合理性行动模型的每个公式“约简”为一个可证明等价的公式，其中合理性行动模型的模态出现在较低复杂度的公式之前，通过一系列可证明等价性，完全消除合理性行动模型的模态。因此，我们有以下结果。
APUL 约简定理。语言（APUL）中的每个 F 都与来自合理性行动模型自由模态语言（K◻）的公式 F∘ 在 APUL 可证明等价。
一旦我们证明了 APUL 是完备的，约简定理通过已知的基础模态理论 K◻ 的完备性引导我们到公理完备性。
APUL 的准确性和完备性。相对于指向性合理性行动模型集合 C∗，APUL 是准确和完备的。也就是说，对于每个(APUL)-公式 F，如果且仅如果 C∗⊨F，我们有 APUL⊢F。
对于 EAL 而言，可以将两个连续的行动合并为一个单一的行动。唯一需要的是适当的合理性行动模型组合概念。
合理性行动模型的组合。合理性行动模型 A=(EA,≥A,preA)和 B=(EB,≥B,preB)的组合 A∘B=(E,≥,pre)定义如下：
E=EA×EB — 组成事件是由组成事件(e,f)的对组成的；
(e1,f1)≥a(e2,f2) 当且仅当以下情况之一成立：
e1≥ae2 并且 cca(f1)=cca(f2) — 不同可信度的事件后面跟着信息等价的事件，或者
e1≃ae2 和 f1≥af2 — 动态认知中，等价事件后面是信息上等但可信度不同的等价事件；
pre((e1,e2))=preA(e1)∧ [A,e1] preB(e2) — 组合事件可执行的前提是第一个组成部分可执行，并且在第一个组成部分发生后，第二个组成部分也可执行；
组合定理。以下方案的每个实例都可以通过随附/监督推导得出。
组合方案：[A，e] [B，f] G↔ [A∘B，（e，f）] G
结合方案：[A∘B，（e，f）] [C，g] H↔ [A，e] [B∘C，（f，g）] H]
还可以将改变估值的替代（即“事实变化”）添加到合理性行动模型中。这与对行动模型本身的操作完全相同：将替代添加到合理性行动模型中，修改行动优先级更新以解释语义中的替代，修改第一个约简公理以解释公理中的替代。有关详细信息，请参见附录 G。
4.5 证据动态和合理信念
动态认知逻辑的一个发展是致力于构建证据、信念和知识的逻辑，以用于形式认识论。
Velázquez-Quesada（2009）和 van Benthem 和 Velázquez-Quesada（2010）研究推理和更新的逻辑。这些逻辑具有明确列出代理人“意识到”的公式的世界模型，类似于意识逻辑（Fagin 等，1995），只是 DEL 风格的模态可以改变这些意识集合，允许代理人随时间增加他们所知道的公式，并使用这些公式进行推理。从这个意义上说，“意识集合”可以被视为代理人目前所知公式的证据。
Baltag, Renne 和 Smets（2014）研究了一种基于合理性模型和合理性逻辑（Artemov 2008; Artemov and Fitting 2012）的句法记账机制的“确凿”（或“好”）证据的逻辑。他们认为他们的工作推广了 Velázquez-Quesada（2009）和 van Benthem 和 Velázquez-Quesada（2010）的意识逻辑，并更好地处理了高阶信息的更新。
van Benthem 和 Pacuit（2011a，b）提出了一种不同的动态认知逻辑中的证据方法，并在 van Benthem，Fernández-Dunque 和 Pacuit（2012, 2014）中进一步研究。这种方法比合理性逻辑风格的方法更少句法，而是更关注已经被重新利用的具有证据性转折的模态“邻域”（或“最小”）模型的语义概念。
我们将进一步详细介绍，请参阅附录 K。
5. 动态认知逻辑中的概率更新
许多作者研究了结合概率的动态认知逻辑。Van Benthem（2003）、Kooi（2003）、Baltag 和 Smets（2008a）以及 van Benthem、Gerbrandy 和 Kooi（2009b）研究了有限概率空间的逻辑。Sack（2009）将 Kooi（2003）和 van Benthem、Gerbrandy 和 Kooi（2009b）的工作扩展到完全概率空间（基于事件的 σ-代数）。其中，我们特别提到两个：
Baltag 和 Smets（2008a）发展了有限概率空间的逻辑，连接了三个领域的工作：贝叶斯概率条件化的 Popper–Réyni–de Finetti 扩展、信念修正理论和动态认知逻辑。这导致了一个动作模型风格的概率产品更新的定义，允许对概率为零的事件进行更新（这是信念修正所要求的）。
Van Benthem, Gerbrandy 和 Kooi（2009b）采用了一种不同的方法，使用动态认知模型风格的概率更新，考虑了三种概率信息的来源：先验概率、发生概率和观测概率。
我们将读者引导至附录 L 以获取更多细节。
6. 动态认知逻辑的应用
6.1 动态偏好
DEL 风格的模型变换算子已经被许多研究者应用于偏好、偏好变化和相关概念的研究。我们将读者引向附录 M 以获取更多信息，其中提到了 van Benthem 等人的工作(2009 年)，van Benthem 和 Liu(2007 年)，Liu(2008 年)，Yamada(2007a,b, 2008 年)，van Eijck(2008 年)，van Eijck 和 Sietsma(2010 年)，van Benthem，Girard 和 Roy(2009c 年)，以及 Liu(2011 年)的工作。
6.2 与时间逻辑的联系
动态认知逻辑的行动模型式模态 [A,e] 具有时间上的暗示性解读：“在行动(A,e)之后，公式 F 为真”。这种“之前-之后”的解读自然地暗示了随着行动的发生，时间也在流逝。行动模型的语义支持了这一暗示：在一个模型中确定行动模型公式 [A,e] F 的真值——即行动之前的模型——需要我们应用由行动(A,e)引起的模型转换操作，然后看看在行动之后得到的模型中 F 是否成立。借鉴 Parikh 和 Ramanujam（2003）的观点，一些动态认知逻辑的作者通过使用带有时间色彩的词“历史”来指代由一系列模型转换操作引起的指向性 Kripke 模型序列，进一步支持了这一暗示。所有这些似乎都指向了模型转换行动的发生与时间流逝之间存在直接关系的存在：随着这些行动的发生，时间也在流逝。然而，迄今为止引入的形式语言没有内置直接表达时间流逝的手段，因此，由此发展出的公理化理论对时间流逝与模型变化行动之间的关系保持沉默。这使得在这些理论的背景下，时间的流逝和行动的发生之间的关系不一定与我们原本怀疑的那样相关。
关于这一点，我们将感兴趣的读者参考附录 N，其中提到了一些将时间记录方法纳入动态认知逻辑方法范围的研究：Sack 的工作（2007 年，2008 年，2010 年），Yap 的工作（2006 年，2011 年），Hoshi 的工作（2009 年），Hoshi 和 Yap 的工作（2009 年），van Benthem，Gerbrandy 和 Pacuit 的工作（2007 年），van Benthem 等人的工作（2009a），Dégremont，Löwe 和 Witzel 的工作（2011 年），以及 Renne，Sack 和 Yap 的工作（2009 年，2015 年）。
6.3 与主流认知论的联系
一些作品利用动态认知逻辑的工具和技术进行正式推理，研究主流认识论的主题。
Baltag 和 Smets（2008b）使用可信度模型（第 4.3 节）和信念行为逻辑（第 4.4 节）来捕捉包括 Aumann 的基于分割的概念和 Stalnaker（2006）对 Lehrer（1990, 2000）知识可推翻性分析的形式化在内的多个知识概念。
在前一项提到的工作基础上，Baltag，Renne 和 Smets（2014）展示了一个名为 JBG 的“良好”证据的合理信念理论可以用来推理主流认识论中的某些例子。例如，Gettier（1963）构造了一个著名的反例，反驳了“知识”可以等同于“合理真实信念”（即合理正确信念）的主张。在这个例子中，一个代理人（我们称之为 a）对一个命题字母 f 有证据，通过逻辑推导得出 b∨f，因此对这个析取有证据；然而，代理人不知道的是，f 是假的，但 b 是真的。因此，她有合理真实信念，但不知道 b∨f 是真的（因为她相信这个析取的理由是基于她对错误析取的信念）。这个例子在 JBG 中很容易重构，提供了一个代理人的形式化解释，其合理信念是正确的，但代理人并没有知识（即使在弱可推翻的意义上也是如此）。有关详细信息，请参见附录 K。
Baltag, Renne 和 Smets（2012）在包括动态认知操作、逐步逻辑推理、类似公告的证据添加与世界排除以及基于证据的世界可信度升级的 JBG 变体中，分析了 Lehrer（1990, 2000）提出的类似 Gettier 的例子。
Fitch 的悖论（Fitch 1963）涉及到一个看似奇怪的结果，即未知真理的存在意味着并非所有真理都是可知的。根据 van Benthem（2004）的建议，Balbiani 等人（2008）将“可知性”等同于“在某个公告之后被知道”，并使用任意公开公告逻辑（见附录 E）证明了“p 是一个未知真理”和“所有真理都是可知的”这两个假设是不一致的。我们将读者引向 van Benthem（2004）、Balbiani 等人（2008）和 Brogaard 和 Salerno（2012）的讨论以获取更多细节。
7. 结论
我们已经调查了动态认知逻辑的文献，从它在公共公告逻辑中的早期发展到行动模型的广义通信操作，以及对定性和定量信念修正的研究和在各个领域的应用。动态认知逻辑是一个活跃且不断扩展的领域，我们已经强调了一些开放问题和进一步研究的方向。
Appendices
Bibliography
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Yap, A., 2006, “Product update and looking backward”, Technical Report PP-2006-39, Institute for Logic, Language, Information and Computation (ILLC), University of Amsterdam. [Yap 2006 available online (pdf)]
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Acknowledgments
Bryan Renne was supported by Innovational Research Incentives Scheme Veni grant 275-20-030 from the Netherlands Organisation for Scientific Research (NWO). The grant was hosted by the Institute for Logic, Language, Information and Computation (ILLC) at the University of Amsterdam.
Copyright © 2016 by Alexandru Baltag <a.baltag@uva.nl> Bryan Renne <brenne@gmail.com>
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