阿拉伯和伊斯兰数学哲学 philosophy of mathematics (Mohammad Saleh Zarepour)

首次发表于 2022 年 4 月 9 日星期六

纯数学哲学涉及两个主要问题组。一个与数学实体的本体论有关，另一个与数学概念和判断的认识论有关（Avigad 2007）。数学对象（例如数字和几何形状）的性质和存在，无限的存在和资格（例如无限大小和无限数量的数字或编号物品的集合），以及连续体的存在和资格是数学哲学家关注的一些最重要的本体论问题。另一方面，关于数学的一些最重要和具有挑战性的认识论问题包括：我们掌握数学知识的机制，数学公理和原则的认识论地位，数学证明（可写在纸上）的性质及其与数学家思维活动的联系，以及数学知识在获得对物理世界更好理解方面的作用。

众所周知，中世纪伊斯兰文明在数学技术方面的历史发展中起到了关键作用。穆斯林数学家站在他们的伊斯兰前身——希腊、印度和波斯的肩膀上，对各个数学分支进行了许多创新，并写了大量介绍数学概念和证明数学定理的书籍和论文（Al-Daffaʾ 1977; R. Rashed 1984b [1994]; 1996 [2012]; 2015; Berggren 2016）。然而，很难（如果不是不可能的话）找到一本中世纪伊斯兰时代专门致力于对数学哲学进行全面系统研究的书籍。尽管如此，许多上述关于数学的哲学问题已经被伟大的穆斯林中世纪思想家在各种作品中讨论过，这些作品的中心主题是数学、物理学、形而上学，甚至神学（伊斯兰教义学）。将这些零散的参与整合在一起，可以清楚地看到，尽管数学哲学在中世纪伊斯兰世界从未被视为一门独立的学科，但穆斯林思想家对至少一些与数学相关的哲学问题提出了非常有趣和深刻的思想、见解和论证。本条目简要回顾了这些见解和论证中最显著的例子，其中一些已经成为穆斯林思想家长期争论和讨论的主题。因此，本文仅讨论阿拉伯和穆斯林学者的技术数学作品，只要它们包含与数学哲学相关的材料。

1. 数学的本体论

1.1 数学对象的本质

早期穆斯林思想家的作品中可以找到对于数学对象性质的哲学观点的痕迹，这部分原因可能是由于对于毕达哥拉斯和柏拉图数学家作品的早期阿拉伯翻译。尼科马库斯、普罗克鲁斯和伊安布利库斯传统中的大多数数学家都是毕达哥拉斯和柏拉图主义者（恩德雷斯，2003 年）。他们最重要的一些作品已经被翻译成阿拉伯语，并影响了穆斯林数学家和哲学家。例如，尼科马库斯的《算术导论》被哈比卜·伊本·巴赫里兹（公元 9 世纪早期去世）从叙利亚文翻译成阿拉伯语，塔比·伊本·库拉（公元 901 年去世）从希腊文翻译（布伦特杰斯，2022 年：第 1 节）。毕达哥拉斯主义和柏拉图主义对于数学哲学的方法的启发在伊兄会（伊兄会）和早期穆塔齐利派（伊兄会 [书信]）的作品中很容易被发现（恩德雷斯，2003 年：132-33；马凯，2006 年；法兹利奥卢，2014 年：2；埃尔-比兹里，2018 年；巴菲奥尼，2022 年）。关于数学本体论的毕达哥拉斯主义和柏拉图主义的主要特征可以通过以下命题来捕捉（扎雷普尔，2019 年：198）：

数学对象的独立性（SM）：数学对象是独立的非物质实体，与物质和物质对象完全分离（mufāriq）。
数学对象的主要性（PM）：数学对象是自然事物的原则（mabādiʾ）。数学对象在自然形式上具有某种优先性，使得后者依赖于（或以前者为基础或由之引起）。

柏拉图致力于这两个命题。相比之下，毕达哥拉斯派只支持后者。至少根据亚里士多德的报道（《形而上学》987b23–987b25），情况是如此。尽管毕达哥拉斯派认为数字是所有其他存在事物的原因和原则，但它并不将数字视为必然与物质分离的实体（Zhmud 1989; De Smet 2022）。从今天的角度来看，这在某种程度上令人惊讶，因为与（PM）相比，（SM）似乎更具有初看起来的合理性。但正是由于早期伊斯兰思想中存在强烈的毕达哥拉斯主义倾向（Brentjes 2022），（PM）比（SM）更明确地得到了辩护。无论如何，阿维森纳（约 937 年去世）对这两个命题的残酷批评（以及他对柏拉图关于分离的普遍形式理论的更一般性批评）使得毕达哥拉斯主义和柏拉图主义在阿维森纳哲学后变得极不受欢迎。在《治愈》的《形而上学》中，阿维森纳不仅通过拒绝被归因于这两个命题的辩护者的论证（阿维森纳 [Mph]：第七章第 2 节），而且通过发展自己的积极论证来反驳（阿维森纳 [MPh]：第七章第 3 节）。

根据阿维森纳归因于（SM）的辩论，一方面，数学对象在定义上（或在思想中）是独立的。它们可以在没有涉及物质或物质存在的情况下进行定义（或构思）。另一方面，一切在定义上（或在思想中）是独立的都在存在上是独立的。因此，这个论证得出结论，数学对象在存在上是独立的。它们作为完全独立的存在，与物质或物质存在没有任何关联（阿维森纳 [MPh]：第 VII.2 章，第 5 节）。然而，阿维森纳认为这个论证是有缺陷的。他认为，在没有物质性条件的情况下定义（或构思）某物与在具有非物质性条件的情况下定义（或构思）某物之间存在差异。他说，数学对象在定义上只是在（a）的意义上是独立的。但是，讨论中的论证的第二个前提只有在将定义中的分离考虑为（b）的意义时才是真实的。某物可以在没有物质性条件的情况下进行定义并不意味着该物体可以完全独立于物质存在于超物质领域中。但是数学对象不能以非物质性条件进行定义。认为非物质性是数学对象定义的基本组成部分是不合理的，阿维森纳如此主张。因此，这个论证是谬误的，不能证明（SM）（阿维森纳 [MPh]，第 VII.2 章，第 16-17 节；Marmura 2006：360-63；Porro 2011：292-93；Zarepour 2019：第 4.1 节）。

阿维森纳归因于（PM）的倡导者的一个简单论证如下：数学对象是独立的。换句话说，（SM）是真实的。此外，物质事物的原则（或原因）不能是物质本身。它们必须是独立的。因此，数学对象是物质（或自然）事物的原则（阿维森纳 [MPh]：第 VII.2 章，第 7 节）。阿维森纳认为，这个论证不仅因为（SM）的虚假而不成立，而且无效。即使我们接受数学对象是独立的，并且自然事物的原则必须是独立的，我们也不能有效地得出数学对象是自然事物的原则的结论。可能存在其他独立的非数学事物，它们构成了自然存在的原则。只有在我们假设数学对象是唯一的独立存在时，这个问题中的论证才是有效的。但这是我们没有证据的事情。因此，这个论证未能建立（PM）（阿维森纳 [MPh]：第 VII.2 章，第 21 节；Marmura 2006：365-66；Porro 2011：294；Zarepour 2019：第 4.2 节）。

阿维森纳对数学对象的分离性或非物质性的论证可以概括如下：感性世界中存在一些数学对象。否则，我们无法理解它们的概念（例如，三角形、圆、二等概念）（阿维森纳 [MPh]：第 VII.3 节，第 1 节）。现在，如果还存在一些完全分离的数学对象（完全脱离感性世界），那么这两组（感性/非分离和非感性/分离）数学对象必须共享相似的本质和定义（阿维森纳 [MPh]：第 VII.3 章，第 2 节）。否则，我们无法知道分离的物质对象。这是因为我们似乎无法直接接触到完全非物质的数学对象（这让我们想起 Benacerraf（1973）对数学唯物主义的认识论挑战）。即使这样的事物存在，我们也只能通过了解它们的感性对应物来了解它们。我们没有理由相信在物质世界中没有感性对应物的分离数学对象的存在。但这并不能证明数学对象本质上可以是非物质和分离的。阿维森纳认为这个论证表明（SM）是不可信的（阿维森纳 [MPh]，第 VII.3 章，第 3 节；Zarepour 2019：第 5 节）。我们将在后面看到，这个论证揭示了阿维森纳关于数学认识论和本体论的有趣方面。

最后，阿维森纳认为，即使存在独立的数学对象，它们也不能成为自然事物的原理（或原因）。直觉上似乎合理的是，如果一个独立的数学对象是任何物质存在的原理，那么它首先必须是自己感知对应物的原理。请注意，根据阿维森纳的观点，除非我们通过了解物质世界中存在的感知对应物来认识到一个独立的数学对象（比如三角形）的存在，否则无法证明这一主张。现在，如果这个独立的三角形是任何物质事物的原因，那么它首先必须是自己感知对应物的原理，阿维森纳是这样认为的。但是，如果感知三角形是由独立三角形引起的，那么我们可以合理地问为什么前者需要后者。这要么是感知三角形的本质或（部分）属性使其依赖于独立的对应物。然而，如果是由于感知三角形的本质，那么独立三角形本身也需要一个原理。这是因为独立三角形和感知三角形共享相同的本质。因此，如果感知三角形需要独立三角形是因为其本质，那么独立三角形（具有与其感知对应物相同的本质）本身必须由另一个独立三角形引起。重复相同的论证，我们可以得出结论，必须存在一个无限的因果相关的三角形链。由于这种无限回归是不可接受的，使感知数学对象需要其独立对应物的原因不是它们共享的本质。但是，感知数学对象的（部分）属性也不可能使其依赖于独立对应物。除非该对象本身存在，否则感知对象的属性是不存在的。但也假设，除非存在分离的对象，否则感知对象本身并不存在。这意味着分离的对象在感知对象的属性上具有某种解释优先权。因此，感知数学对象的属性不能以非循环的方式解释为什么这个对象需要它的分离对应物（阿维森纳 [MPh]：第 VII.3 章，第 4 节）。因此，似乎没有令人信服的理由说明为什么一个分离的数学对象必须是其感知对应物的原因，更不用说是任何其他自然事物的原因（或原理）。阿维森纳认为这个论点否定了（PM）。

这些论点表明数学对象既不是完全脱离感性世界的独立实体，也不是自然事物的原因。阿维森纳对于数学对象的柏拉图主义和毕达哥拉斯主义的驳斥是如此令人信服和有影响力，以至于这些观点在阿维森纳后的哲学中几乎完全消失。尽管在一些阿维森纳后的思想家的哲学中（即非数学的方面），如苏赫拉瓦迪（d. 1191）中存在毕达哥拉斯和/或柏拉图元素，但这种情况仍然存在（Walbridge 2000; De Smet 2022）。当然，后来的哲学家对于阿维森纳对普遍形式的柏拉图主义解释的一般批评的辅助部分（SM）和（PM）的详细批评受到了批评（Arnzen 2011; Benevich 2019）。这些批评并没有在阿维森纳后的伊斯兰哲学中复兴数学的柏拉图主义和/或毕达哥拉斯主义。话虽如此，对于支持和反对数学柏拉图主义的论证的弱点和优势的讨论仍然是阿维森纳后哲学家感兴趣的。也许最重要的一本收集这些论证的著作是一本名为《柏拉图的可理解形式》的书，由一位不知名的作者在 1329 年至 1339 年间撰写（参见该书的阿拉伯文本 Badawī 1947: 1–145，以及其德文翻译 Arnzen 2011: 附录 1）。

1.2 数学对象是什么

既然我们知道数学对象对于穆斯林哲学家来说不是什么，那么我们必须问一下它们到底是什么。亚里士多德在他的《形而上学》（VI.1, 1026a13–19）中根据研究对象的本体论地位对不同的理论科学进行分类（Cleary 1994）。亚里士多德区分不同科学的主要标准是科学的主题与运动和物质性的关联程度和资格。阿里·法拉比（公元 950 年去世）在他的《亚里士多德形而上学的目标》（Maqāla fī aghrāḍ kitāb mā baʿd al-ṭabīʿa）中采用了类似的方法，他认为数学的主题即数学对象是从估计（wahm）中抽象（mujarrad）出来的，但在超越思维的世界中并非如此。一方面，数学对象与形而上学研究的对象不同，因为后者在估计和超越思维的世界中都完全脱离了物质。另一方面，数学对象与可感知的物理对象也不同，因为它们无论在估计还是在超越思维的世界中都无法与物质分离。因此，数学在形而上学和物理学之间占据了中间位置。数学对象与物质的关联程度比形而上学的对象强，但比物理学的对象弱。（阿里·法拉比的原始阿拉伯文可参见 al-Fārābi 1890: 34–38 和 Kiankhah 2015: 147–57。有两个英文翻译版本，参见 Bertolacci 2006: 66–72 和 McGinnis & Reisman 2007: 78–81。）

在他的《科学枚举》（ʾIḥṣāʾ al-ʿulūm）中，阿里·法拉比提出了对数学本体论的更详细讨论。他区分了应用/实用（ʿamalī）数学和纯粹/理论（naẓarī）数学。应用算术的对象是与可感知的事物相关联的数字。应用算术考虑了物质世界中存在的可感知事物的数量。相比之下，纯粹算术考虑了数字和多样性的绝对概念。它研究了从可感知世界中所有被编号的事物中抽象出来的数字。同样，应用几何学考虑了特定物体的几何属性，而纯粹几何学则处理几何形状，无论它们是否与特定物体相连（阿里·法拉比 [Enum]：第 3 章；恩德雷斯 2003：139-40）。

沿着阿里·法拉比的主线，阿维森纳对科学的划分进行了更详细的讨论（Marmura 1980; Gutas 2003），根据他的观点，数学对象与确定的物质种类（如木材、黄金等）在超物质世界中存在。通过估计能力的作用，数学对象可以从超物质世界中它们所附着的具体物质种类中在思维中抽象出来。然而，它们仍然必须被看作是物质的东西。换句话说，思维中的数学对象与确定的物质种类是分离的，但与物质性本身并不分离（阿维森纳 [MPh]: 第 I.2 章; Di Vincenzo 2021: 20–27）。阿维森纳认为，数字（aʿdād）和大小（maqādīr）作为算术和几何学对象的最一般代表，是存在于感知世界中的物理对象的意外（aʿrāḍ）和属性（阿维森纳[MPh]: 第 III.3-4 章）。数字和大小在超物质世界中没有独立的非物质存在。大小（或几何形状，更具体地说）即使在思维中也无法与物质性分离（阿维森纳[MPh]: 第 III.4 章第 2 节和第 VII.2 章第 21 节）。相比之下，数字可以被认为是完全与物质和物质性分离的。然而，这种对数字的考虑是形而上学的，而不是数学的（Endress 2003: 142; Zarepour 2016: 第 4 节）。数字作为数学研究的对象，必须能够接受减少和增加。因此，即使在思维中，它们也必须被看作是物质事物的属性（阿维森纳[MPh]: 第 I.3 章，第 17-19 节）。总之，数学对象作为确定物质种类构成的物理事物的属性存在于超物质世界中。数学对象可以从这些确定的物质种类中在思维中抽象出来。但它们仍然必须被视为物质事物的属性。否则，它们就不能成为数学研究的对象。阿维森纳对估计能力和抽象过程在数学研究中的作用的讨论有两种不同的解释。一些学者（麦金尼斯 2006；2017；阿尔德什尔 2008；法兹利奥卢 2014；塔希里 2016；2018）认为数学对象首先是心理对象，抽象是构建数学对象的机制。将字面主义观点归因于阿维森纳，另一些人（马穆拉 1980；2005；扎雷普尔 2016；2021；麦金尼斯 2019）认为数学对象实际上存在于物理世界中，抽象是一种认知过程，用于理解数学概念，而不是产生数学对象。这些不同的解释让我们想起了对亚里士多德数学本体论的字面主义（穆勒 1970；1990）和抽象主义（利尔 1982；哈西 1991）解读之间的对比。对于字面主义观点最明显的反对意见是，与不精确和不完美的物理对象不同，数学对象似乎是完美和精确的（或理想化的）。例如，似乎不存在一个完全圆形的物理对象，其周长不是（至少在某种程度上）锯齿状的。为了反驳这一反对阿维森纳数学本体论字面主义解读的异议，有人认为他支持物理世界中完美数学对象的存在（扎雷普尔 2016：第 5 节；2021：第 4 节）。

这可能是由于阿维森纳和阿里·法拉比强调估计（wahm）在构思数学对象中的作用，以至于在阿维森纳后期的哲学中，数学常常被称为估计（wahmī 或 mawhūm）科学（Pines 1974）。在阿维森纳之前或同时，许多穆斯林思想家强调数学对象以某种方式存在于物质世界中。例如，在《教学之书》（Kitāb al-tafhīm）中，巴格达迪（d. ~1048）辩护了一种关于数学对象性质的观点，这似乎与对阿维森纳的直译阅读有很强的亲和力（Samian 2011; 2014）。同样地，伊本·海塔姆（d. 1040）在他的《疑问的解决》（Ḥall shukūk）的开头几页中，论证了几何对象在可感知的世界中的存在。它们可以通过想象力（takhayyul）的活动从物质中抽象出来，在伊本·海塔姆的心灵理论中，想象力的功能与阿维森纳的心理学中的估计功能非常相似。然而，与阿维森纳和亚里士多德（《灵魂论》428a5–18）相反，伊本·海塔姆认为从物理对象中抽象出来的想象形式具有更真实的存在。对他来说，数学对象的真实（ḥaqīqī）存在在想象和区分（tamyīz）中实现——这是伊本·海塔姆心灵哲学中的另一个认知能力，在通过想象形式的中介来把握普遍概念中起着关键作用。（参见 Ighbariah & Wagner 2018: secs. 79–81. R. Rashed [1993: 2:8–19] 认为有两位名为“伊本·海塔姆”的穆斯林思想家。Sabra [1998; 2003] 反对 Rashed 的观点，我在这里遵循 Sabra 的立场。）

在阿维森纳后的哲学中，数学对象是心理的（或估计的或想象的）的主张成为最流行的观点，并且不同的思想家越来越强调这一观点。对这种方法的倾向部分是由于对阿维森纳关于数学本体论的批评的强烈反对。例如，苏赫拉瓦尔迪对物理世界中的数字作为可感知事物的偶然性的存在提出了强烈的反对意见。考虑一个由四个个体组成的群体。阿维森纳认为四个人的四个性（ʾarbaʿīya）是这四个人的偶然性。但苏赫拉瓦尔迪认为这是站不住脚的。他认为要么“四个性”在每个个体中都是完整的，这是不可能的，要么每个个体中都必须有一些四个性，这只能是统一性。因此，无论如何，“四个性”的整体性都不能有其他位置，只能在智力中，否则，每个个体中都没有“四个性”或任何“四个性”的存在。在后一种假设下，四个性也只存在于智力中。（苏赫拉瓦尔迪《启示哲学》[1999: 48]）

either ‘four-ness’ must be complete in each one of the individuals, which is not the case, or else there must be something of four-ness in each one, which can only be the unity. Therefore, either the totality of four-ness must have no locus other than the intellect, or else neither four-ness nor anything of four-ness can be in each one. On this latter supposition, too, four-ness is only in the intellect. (Suhrawardī The Philosophy of Illumination [1999: 48])

他认为，只有我们的思维能够将四个不同的感知实体统一起来。在外在世界中，没有任何东西能够自然地将四个分离的事物以一种方式绑定在一起，使它们共同接受四的属性。因此，对于苏赫拉瓦尔迪来说，数字（以及数学对象）只是依赖于思维的事物。穆拉·萨德拉（1640 年去世）也提出了类似的论点。他承认外在世界中存在多样性。但他坚持认为，只有通过我们的思维活动，一组不同的对象才能被视为一个统一体。在外在世界中，没有任何东西能够将任意一组不同的对象赋予统一性。这种反对将数字视为物理对象属性的论证方式让我们想起弗雷格对这一观点的批评。

在将数学对象解释为心智对象的转折点是诉诸于“nafs al-ʾamr”的概念，以描述数学对象的本体论地位，并阐明数学命题的真理生成者的性质。短语“nafs al-ʾamr”字面意思是事物本身。但它的技术内容很难在翻译中捕捉到。尽管这个短语也出现在阿维森纳的著作中，但可能是纳西尔·丁·图西（1274 年去世）首次在技术和理论负荷的意义上使用了这个短语。不同的哲学家对这个短语的理解不同，包括神圣知识、活动智力、理念领域等（Kaş 2021; Spiker 2021）。nafs al-ʾamr 理论对数学哲学的意义在于，即使没有对象实在论，它也可以使我们保持判断实在论。一些哲学家（例如，赛义德·沙里夫·朱尔贾尼，1413 年去世）使用这个理论来表明，尽管数学对象仅仅是估计的（wahmī）并且没有独立于心智的存在，数学判断是确定的（yaqīnī），它们的真值是独立于心智的。换句话说，关于数学，即使拒绝对象实在论，判断实在论仍然可以被辩护（Fazlıoğlu 2014; Hasan 2017）。

数学本体论中与代数对象的性质有关的另一个重要问题是代数未知数（或者，正如我们今天所称的代数变量）可以不加区分地指代数字或几何大小。因此，代数对象的性质与数字或几何形状并不相同。不幸的是，这种特殊类型的数学对象的混合本体论很少（如果有的话）被讨论为与数字和大小不同的本体论。但有人认为，像阿里·法拉比和阿维森纳这样的哲学家对阿尔·花里兹米（850 年逝世）在他的《代数与方程》中提出的代数理论的熟悉，激发了他们发展一种既不是柏拉图式的也不是亚里士多德式的事物（ashyāʾ）的普遍本体论（R. Rashed 1984a; 2008; 2015: 716–18; 2018）。

1.3 无穷

无穷的问题是中世纪伊斯兰哲学中最广泛讨论的与数学相关的哲学主题之一。有许多论文论证了没有数可以是无穷的。例如，为了回答阿布·穆萨·伊萨·伊本·乌赛义德提出的一系列问题，塔比·伊本·库拉讨论了数字的性质，并论证了没有无穷大的数。此外，他还表明，无穷集合的大小可以不同（Pines 1968; Sabra 1997; Mancosu 2009: sec. 2; M. Rashed 2009; Zarepour 2020b: sec. 4.2）。亚哈亚·伊本·阿迪（974 年逝世）在他的《无穷论文》（Maqala fī ghayr al-mutanāhī）中提供了一组不同的论证，以证明无穷不适用于数字（McGinnis 2010: sec. 3）。但以下三个有限主义的论证可能是伊斯兰传统中最广泛讨论的：

(1) 瞄准论证（burhān al-musāmita）：考虑一条线 L，它从圆 C 的中心 O 开始，与 C 的周长相交，并无限延伸。此外，假设存在一条与 L 平行且无限延伸的独立线 L'。现在假设 L 围绕 O 旋转并靠近 L'，而 L'保持静止不动。结果是，L 和 L'相交。因此，存在一个时间点 T 和 L'上的一个点 P，这是两条线首次相交的时间，或者如此论证。但显然不存在这样的 T 和 P。对于每个 L 和 L'相交的 T，我们可以找到一个更早的时间点 T'（即 T'<T），在这个时间点上两条线已经相交。因此，似乎存在矛盾。一方面，必须存在一个首次相交的时刻（或者这是论证的辩护者的期望）。另一方面，不能存在这样的时刻。因此，论证的初始假设——即无限线的存在——必须被拒绝。没有无限的一维量，因此也没有无限的量。

图 1

上述情景的变体（可能源自亚里士多德的《天体论》（I.5, 272a8–20））是由阿布·萨赫尔·库希（Abū Sahl al-Qūhī，公元 1000 年去世）提出的，以反驳亚里士多德的教条，即无限距离不能在有限时间内穿越。这是因为上述论证表明，L 可以在有限的时间内穿越 L'，这个时间等于 L 绕 O 旋转一圈所需时间的一半（R. Rashed 1999; McGinnis 2010: sec. 3）。相比之下，阿维森纳在某些地方使用了校准论证（Avicenna Al-Najāt [1985: 233–44]; [Ph1]: chap. II.8, [8]）来反驳无限虚空中的循环运动的可能性，在其他地方（Avicenna ʿUyūn al-ḥikma, chap. 3, 20）则反驳了大小的实际无限（Zarepour 2020b: sec. 3.1; R. Rashed 2016: 302–6; 2018: sec. 11.2）。校准论证受到了阿布·巴拉卡特·巴格达迪（Abū al-Barakāt al-Baghdādī，公元 1165 年去世）在他的《Al-Muʿtabar》（卷 2, 83–84 和 86）中的批评，以及托斯（al-Ṭūsī）在他的《Talkhīṣ al-Muḥassal》（[1985: 217]）中的批评，还有希利（al-Ḥillī，公元 1325 年去世）在他的《Nihāya al-marām fī ʿilm al-kalām》（卷 1, 256–258）中的批评。而法赫尔丁·拉齐（Fakhr al-Dīn al-Rāzī，公元 1209 年去世）在他的《Al-Mabāḥith al-mashriqīya》（卷 1, 196）中以及穆拉·萨德拉（Mullā Ṣadrā）在他的《Asfār》（卷 4, 21–23）中则为这个论证进行了辩护。

(2) 阶梯论证（burhān al-sullam）：如果无限线存在，那么可以存在一个两边都是无限的锐角。假设 AB 和 AC 是两条无限线，它们在 A 点相交并形成这样一个锐角。AB 和 AC 在 B 和 C 的方向上无限延伸。现在考虑平行线 BiCi（对于整数 i≥1），它们与 AB 和 AC 相交，使得每两条相邻线之间的距离等于 B1C1 到 A 的距离。因此，每条线都比前一条线长一个固定长度，记为 d（即对于每个整数 i≥1，Bi+1Ci+1−BiCi=d）。现在考虑 BC。它比任何 BiCi 到 A 的距离都远。因此，BC 比任何 BiCi 都要长。这表明 BC 必须实际上是无限的。然而，BC 被限制在两条线之间（即 AB 和 AC）。它在 B 和 C 处终止。因此，它也必须是有限的。因此，BC 既是有限的又是无限的。这是不可能的。因此，我们建立论证的初始假设是错误的。没有无限线（更不用说无限大小）可以存在（R. Rashed 2016; 2018: sec. 11.2; Zarepour 2020b: sec. 3.2）。

图 2

阶梯论证是对亚里士多德在《论天》（I.5, 271b26–272a7）中提出的论证的修复。阿维森纳在《治疗学》（Avicenna [Ph2]）中讨论了这个论证（chap. III.8, [7]）。这个论证在阿维森纳后的哲学中一直存在争议（McGinnis 2018）。这个论证受到了阿布·巴拉卡特（Abū al-Barakāt）等人的批评，在他的《Al-Muʿtabar》（卷 2, 84–86）和纳吉姆·阿尔丁·卡提比·卡兹温尼（d. 1277）的《Ḥikma al-ʿayn》（[2002: 38–39]）中。另一方面，阶梯论证的辩护可以在阿尔图西（al-Ṭūsī）对阿维森纳的《指南和提醒》（在 Avicenna [Pointers] 中）的评论中找到（namaṭ I, 183–191），以及穆拉·萨德拉（Mullā Ṣadrā）对阿尔巴里（al-Abharī）的《Hidāya》的评论（Sharḥ Al-Hidāya al-Athīrīya, 65–69）。

(3) 映射论证（burhān al-taṭābuq 或 al-taṭbīq）：考虑一个从 A 开始并朝 C 方向无限延伸的实际无限线 AC。从 AC 的开头移除一个有限段 AB。假设 B∗C∗ 是 BC 的一个副本（并且与 BC 长度相同）。通过将前者映射到后者，使得这两条线平行且 B∗ 正好在 A 的前面，比较 B∗C∗ 与 AC 的大小。B∗C∗ 必须朝 C∗ 方向无限延伸。否则，B∗C∗ 将是有限的。这意味着 BC 也将是有限的。结果，AC（它是 BC 与有限段 AB 的总和）将是有限的。由于这与 AC 实际上是无限的最初假设相矛盾，B∗C∗ 必须朝 C∗ 方向无限延伸。但如果是这样，那么 B∗C∗ 和 AC 彼此对应，意味着它们之间没有任何部分是未覆盖的。因此，根据欧几里得《几何原本》第一卷的第四个公共概念，即相互对应的事物相等（[1908：卷 1，155]），我们可以得出结论 AC 等于 B∗C∗。这表明 AC 也等于 BC，而 BC 是 AB 的一个适当部分。然而，欧几里得的第五个公共概念指出这种整体-部分的相等是荒谬的（[1908：卷 1，155]）。因此，AC 不能等于 BC。因此，必须拒绝 AC 可以是实际无限线的最初假设。不存在这样的实际无限大小。

图 3

阿尔-肯迪的作品中可以找到早期版本的映射论证（Rescher＆Khatchadourian 1965; Shamsi 1975; Adamson 2007: chap. 4; Zarepour 2020b: n. 52）。阿维森纳提出了更精确的论证版本（Marmura 1960; McGinnis 2010: sec. 4; Zarepour 2020b）。这些思想家提供的论证版本的强度和准确性部分取决于他们对几何大小相等概念的准确解释。已经证明一些穆斯林思想家对这一概念有相当详细的解释（R. Rashed 2019）。

像其他两个论证一样，映射论证的主要目标是要表明没有无限连续的大小实际存在。穆斯林思想家在阅读了欧几里得的《几何原本》（第 7-9 卷）之后，知道数字可以很容易地用大小表示。因此，任何关于无限大小不可能性的论证都可以被视为反对数字的无限性的论证。但是无限集合呢？这三个论证中没有一个直接适用于离散实体的无限集合。然而，有人认为阿维森纳很可能意识到映射论证可以修改，使其适用于离散编号事物的无限集合（Zarepour 2020b: sec. 4）。两个离散实体集合的大小可以通过使用我们之前在连续大小情况下使用的“映射”概念进行比较。然而，在离散实体集合的情况下，这个概念必须以两个集合的元素之间的一一对应来解释。如果一个集合的每个成员都可以与另一个集合的一个（且仅有一个）成员配对，以至于这些集合中的任何一个成员都没有剩下未配对的成员，那么两个离散实体集合就相互对应。阿维森纳似乎意识到无限离散实体集合可以与其某些适当的子集一一对应。他认为这与无限大小与其适当的子大小的对应一样荒谬。他明确提到映射论证可以排除无限大小和无限离散实体集合（例如数字和编号事物）的可能性。然而，他自己并没有明确说明这个论证在离散事物的情况下是如何起作用的。他没有提供任何具体的例子来说明映射论在无限物体集合的情况下的应用。这样的例子可以在后阿维森纳哲学家如法赫尔丁·拉齐的作品中找到（《Sharḥ ʿUyun al-ḥikma, al-Ṭabīʿīyāt》[1994: 53]）。加兹阿里（d. 1111）在他的《Maqāṣid》中提到了映射论（[2000: 97–98]），这个论证最早传入拉丁传统可能是通过 12 世纪第三季度的拉丁翻译《Maqāṣid》。

这些论证通常在物理学的背景下讨论。这是因为它们首先被设计出来，以表明在物理世界中实际上不存在无限。但是，如果我们认同直面主义，将数学对象视为物理对象的属性，那么在物理世界中不存在实际无限的不可能性就意味着无限延伸的几何线和无限集合的数目的不可能性。但是，那些拒绝数学本体论的直面主义者对这些论证在数学对象上的适用性持有不同的观点。例如，法赫尔丁·拉齐认为映射论不能否定自然数集合的无限性，因为他将数学对象视为依赖于心智的完全非物质实体（《Sharḥ ʿUyun al-ḥikma, al-Ṭabīʿīyāt》[1994: 53–57]）。尽管我们可以诉诸映射论来否定存在于超物质世界中的无限个不同的物理对象的存在，但这个论证不能否定存在着无限个依赖于心智的对象，比如数目，或者拉齐似乎是这样认为的（Zarepour 2020b: 4.1）。

有趣的是，一些穆斯林哲学家认为，即使是思维在感知无限事物方面也有其局限性。例如，伊本·海塔姆认为，虽然我们可以想象任意长度的有限线段（即使它们有多长），但我们无法想象一个实际上的无限线段。因此，虽然我们可以想象一条比宇宙尺寸更长的有限线段，但我们无法构想一个实际上的无限线段。伊本·海塔姆认为，实际的无限既不存在于外在世界，也不存在于思维中（Masoumi Hamedani 2013; Ighbariah & Wagner 2018: 80）。

1.4 连续性

穆斯林思想家对数学连续体的观点与他们在原子论和物质形而上论之间的辩论中所持的立场紧密相连，该辩论涉及物质世界的本质。对于阿维森纳来说，物质世界与数学对象的领域之间没有间隙。至少在我们接受阿维森纳对数学本体论的直译主义解释时是如此。他认为几何量是连续的，即它们没有实际部分。相应地，物理尺寸是连续的，也没有实际部分。当然，我们可以将任何连续的量分割成更小的部分。在物质世界中，物理尺寸的长度有一个实际的下限，可以在实践中分解成更小的量。相比之下，在我们的估计能力中，这个限制消失了，所有的量都有潜在的无限可分性。尽管在实践上存在这种实际差异，但从理论上讲，几何线段和物理尺寸的结构没有区别。因此，几何连续性意味着物质的原子论是错误的。事实上，阿维森纳借助数学连续性来否定物质的原子论（阿维森纳 [Ph2]: 第 III.3-5 章; Lettinck 1999; Dhanani 2015; McGinnis 2019: 第 3 节）。

与阿维森纳相比，有些哲学家同时支持数学连续性和物质原子论。例如，沙赫拉斯塔尼（1153 年去世）坚持认为估计能力的判断不足以使我们相信物理量可以具有潜在的无限分割。他认为物理量并非无限可分。无论是实际的还是潜在的，它们的部分数量都是有限的。沙赫拉斯塔尼提醒我们，尽管宇宙的大小可以想象为无限，但哲学家通常拒绝宇宙是无限的。沙赫拉斯塔尼依靠类似的方法主张，尽管每个量都可以想象为无限可分，但有强有力的论据表明估计能力在这种情况下是错误的，没有物理量是无限可分的。在估计中，宇宙大小的无限可扩展性与宇宙有限是相容的。同样，在估计中，量的无限可分性可能与其在超验世界中只有有限数量的（潜在）部分相容，至少沙赫拉斯塔尼似乎是这样认为的（沙赫拉斯塔尼《哲学总论》，513 页；麦金尼斯，2019 年）。这意味着，如果我们将数学对象仅视为估计构造，那么我们可以将纯粹的数学连续性与物质原子论相调和。

在《逻辑学》第 6 卷第 6 章第 63 页中，法赫尔丁·拉齐（Fakhr al-Dīn al-Rāzī）提出了一个微妙的修改，反驳了德谟克利特的观点，即在想象中可分割的一切在超物质世界中也是可分割的。他认为我们可以想象的可分割大小存在一个下限。并不是每一个大小，无论多么小，都可以在估计中分割。他并不否认在欧几里得几何中大小是无限可分割的。但他似乎不接受我们可以通过估计的能力对欧几里得几何中我们所讨论的每一个大小进行视觉形象的制作。在他后期的作品中，他接受了物理原子论，并否认连续的欧几里得几何能够代表超物质世界的真实结构（Setia 2006；Eftekhari 2018；2019）。关于连续性除了在估计的能力中没有其他现实性的主张经常在后来的原子论者如 ʿAḍūd al-Dīn al-ʾĪjī（1355 年去世）的作品中重新表述（Hasan 2017：233-35）。

2. 数学认识论

2.1 掌握数学概念

大多数谈论数学概念认识论的穆斯林思想家认为，这些概念是通过一些认知机制形成的，其第一个输入是我们通过外部感官接收到的数据。这些机制的细节以不同的方式由不同的哲学家阐述，这取决于他们对人类认知心理的整体观念。例如，阿维森纳提出了一个思想实验，显示在没有感知的情况下无法理解任何数学概念（阿维森纳 [MPh]，第 VII.3 章，第 1 节；Zarepour 2019：第 5 节；2021 年，第 3 节）。这表明阿维森纳支持某种关于数学的经验主义概念。在阿维森纳对数学本体论的逐字解释中，数学对象作为物理对象的非感知内涵属性（maʿānī）存在于可感知的世界中。与所有其他内涵属性一样，数学实体是由估计能力感知的。例如，当我们看到两本书时，估计能力感知到了二元性。在这样的经验中，通过外部感官收集到的可感知数据将通过共同感官（ḥiss mushtarak）的中介传递给估计能力。估计能力使我们能够忽略我们所经历的经验的所有其他特征，并感知到不能直接通过外部感官获得的二元性。

即使在数学本体论的逐字主义解释中，仍然存在许多数学实体，数学家可能会与之交互，但这些实体在超物质世界中并不存在（例如，一个在感性世界中没有对应物的复杂而非凡的几何形状）。阿维森纳认为，想象力（mutakhayyila）的能力可以通过分析、综合、分离和组合之前被感知并存储在我们的认知能力中的更简单物体的图像来构建这些对象的心理图像（Zarepour 2021：第 3 节）。但如果我们支持阿维森纳数学本体论的抽象主义解释，那么所有数学对象都是心理建构的。在超物质世界中不存在任何数学对象，可以直接被估计感知到。根据这种解释，估计能力与想象力合作产生理想化的对象，其中没有一个在我们的思想之外有对应物。正是这些能力进行的心理行为使我们能够构建几何形状和数字（Ardeshir 2008；Tahiri 2016；2018）。

无论如何，由于估计是一种身体能力，它无法与完全非物质的事物接触。因此，它将数学实体视为与物质相关的事物（尽管不是具体的物种）。估计的对象不是可理解的普遍概念。因此，理解数学概念的认知过程必须通过添加主动智力来完成（Zarepour 2021）。根据阿维森纳认识论的一种解读（Nuseibeh 1989；Davidson 1992：第 4 章；Goodman 1992 [2006]；Black 2014），估计能力的行为使我们的灵魂准备好接受由主动智力发出的普遍概念。根据阿维森纳认识论的另一种解释（Hasse 2001；Gutas 2012），主动智力仅仅是可理解概念的储备库，我们之所以能够接触到它，是因为内在能力的准备和不可消除的功能。总之，数学概念的获得是一个从感知开始，以主动智力的功能结束的过程。在这两个阶段之间，内在能力的运作以及估计和想象力的能力是必要且不可避免的。

阿维森纳的同时代科学家的作品中呈现了对掌握数学概念过程的非常相似但不太复杂的描述。例如，伊本·海塔姆只谈到了两个能力：想象力（takhayyula）和区分力（tamyīz）。想象力是根据我们通过感知获得的印象构建理想化的数学对象的能力。例如，想象力使我们能够从我们在外部世界中看到的有形物体中抽象出几何大小。然而，从数学对象的图像到数学概念的转变必须由区分力来完成。这个能力发挥着双重作用。一方面，它有助于分析、综合、分离和组合先前感知到的（或产生的）图像。这个角色在阿维森纳的心理学中被赋予了 mutakhayyila。另一方面，区分力是主动智力的替代品。在伊本·海塔姆的哲学中，概念化的最后一步是由区分力完成的。有人认为，主动智力和神圣之光在伊本·海塔姆的知识理论中并没有起到重要的作用（Ighbariah＆Wagner 2018）。

开发一个与阿维森纳相似的账户，巴格达迪接受数学实体（如线条和点）存在于物质世界中，但它们无法被我们的外部感官所感知。然而，我们通过感官经验接收到的数据使我们能够感知这些对象和/或产生在物质世界中不存在的理想构造（Samian 2011）。然而，他似乎没有对认知心理学有一个清晰的认识，在这个认识中，不同的能力角色是明确区分的。这就是为什么他在两种观点之间犹豫不决，在其中一种观点中，估计（wahm）是第一个能够理解数学对象的能力，而在另一种观点中，这个角色必须由智力（ʿaql）扮演。根据后一种观点，智力以下的任何层次都无法感知数学对象。巴格达迪在这两种竞争观点之间的犹豫变得更加明显，尤其是当我们接受《Kitāb al-tafhīm》的波斯语和阿拉伯语版本都是他自己写的时候。例如，在阿拉伯语版本中，他声称点除了智力之外的任何能力都无法理解（al-Bīrūnī [Astro]: 3）。相比之下，在波斯语版本中，他将这个角色归功于估计（al-Bīrūnī [Instr]: 7）。他似乎没有考虑到可理解的（maʿqūl）和估计的（mawhūm）之间的明确界限。

在后来的穆斯林思想家提出的 nafs al-ʾamr 理论的背景下，外部感官、估计和智力相互合作，使我们能够理解数学实体在 nafs al-ʾamr 中的概念。然而，我们能够接触和了解 nafs al-ʾamr 领域的过程绝不比阿维森纳哲学中的主动智力的角色更神秘。

2.2 数学原理的认识论状态

每个命题都是由概念构成的有序结构。但要了解一个命题，仅仅知道它的概念组成是不够的。我们还需要采取一些进一步的步骤。根据亚里士多德和欧几里得，大多数（如果不是全部）穆斯林哲学家都相信认识论的基础主义/公理主义解释，即所有的知识实例最终都建立在基本概念和命题（mabādi'）的基础上，这些基本概念和命题可以直接和立即地被知道。非基本概念和命题可以通过定义（taʿārīf 或 ḥudūd）和推理（qiyāsāt）从基本概念中推导出来。这意味着在获得命题 P 的概念组成之后，我们仍然需要进行以下三个步骤：

对已获得的概念进行排序和组合，形成结构化的统一体 P，
同意基础命题的真实性（taṣdīq），以及
通过从基础命题中推导出一些演绎法来确立 P 的真实性。

对于阿维森纳来说，想象力在步骤（1）和（3）中起着至关重要的作用。想象力使我们能够通过探索我们之前掌握的概念存储并将它们组合起来形成各种有序的概念结构（并检查它们是否形成有意义的命题）来得出有意义的命题。此外，想象力使我们能够考虑命题的组合，以找到能够引导我们到达所需命题的合适（连续的一系列）演绎法。这个过程中最关键的部分是找到适合的中项来进行演绎，从而引导我们到达所需的结论。在阿维森纳的哲学中，想象力负责进行这个搜索操作。关于这个观点的一个直接问题是，作为一种身体能力，想象力如何能够涉及被认为是完全非物质的可理解实体的普遍概念。对于这个问题，古塔斯（2001 年）、亚当森（2004 年）和布莱克（2013 年）等人进行了各种可能的回答。在伊本·海塔姆的哲学中，这是区分能力在（1）和（3）方面起着核心作用。（关于（3）的更多内容将在下一节中介绍）。

当我们转向（2）时，事情变得更加复杂。遵循古希腊传统，穆斯林哲学家将演绎科学的基本原理分为三组：共同概念/公理（al-uṣūl al-mutaʿārafa），假设（al-uṣūl al-mawḍūʿa）和假设（muṣādarāt）。粗略地说，共同概念是我们可以知道的最明显的命题-我们掌握的第一原则。假设和假设不像公理那样明显。原则上，它们需要被证明。这两组原则通常根据学习它们的学生的认识态度来区分。假设是学生认为似乎合理的基本原则，尽管她没有证据支持。相比之下，假设对学生来说似乎是可疑的，因为她可能对这些原则的合理性有一些感觉和想法。中世纪穆斯林思想家作品中最常重复的假设例子可能是欧几里得几何学的平行假设。这种分类被阿尔·纳伊里兹（d. 922; in Besthorn & Heiberg 1893: 14–26），阿里·法拉比（Al-Manṭiq, chaps. 87–90），阿维森纳（al-Burhān, chap. I.12）和阿尔·图西（Asās al-ʾiqtibās, chap. V.1.15）等人所捍卫。

由于数学假设和假设最终必须基于先前已知的命题进行证明，因此数学命题的认识状态似乎最终取决于我们如何理解这些最明显的原则。换句话说，似乎所有数学命题都可以通过演绎推理的完全先验（=与感知经验无关）机制从公理中推导出来。

穆斯林思想家对数学原理的认知地位和我们接受这些原理真实性的认知机制没有共识。例如，根据阿维森纳的观点，可以证明数学的每个基本命题都包含在 awwalīyāt（原始数据）或 fiṭrīyāt（或更完整地说，muqaddamāt fiṭrīyāt al-qiyās，由 Gutas（2012）翻译为“带有内置推理的数据”）中。 “整体大于部分”和“四是偶数”分别是 awwalīyāt 和 fiṭrīyāt 的两个最著名的例子。根据阿维森纳的观点，awwalīyāt 没有中间项，因此无法通过推理来证明它们。它们太基础和显而易见，不需要证明（或根本无法证明）。一旦我们理解了构成 awwalī 命题的所有概念，我们立即接受该命题的真实性。这些命题是自明和必然的。没有人能对它们产生理性的怀疑。与 awwalīyāt 不同，fiṭrīyāt 具有中间项，必须加以证明。然而，用于建立 fiṭrī 命题的推理非常简单，一旦理解了小项（即主语）和大项（即谓语），中间项就会出现在脑海中，并且会接受该命题的真实性。例如，在理解了四和偶数的概念之后，能够通过以下推理（Mousavian＆Ardeshir 2018）确认“（每个）四都是偶数”：

（每个）四都能被二整除。

（每个）能被二整除的数都是偶数。

因此：

（每个）四都是偶数。

通过理性的自然运作（fiṭra），我们同意 awwalīyāt 和 fiṭrīyāt 的真理。因此，在理解它们的概念组成部分之后，我们可以理解这些命题，而不需要依赖于从感官经验中获得的数据。这些命题由非先验概念构成。但是，在我们理解它们的概念组成部分之后，这些命题可以通过先验机制来证明。然而，我们应该谨慎，先验并不意味着与生俱来的天赋。阿维森纳否认我们在出生时就具有任何命题知识的实例。（关于阿维森纳 awwalīyāt 和 fiṭrīyāt 的认识论地位的不同观点，请参见 Zarepour 2020a; 2020c; Gutas 2020。）

阿里·法拉比和阿尔图西等哲学家中都可以找到与数学基本命题相似的描述。然而，阿维森纳的一些同时代人和一些后续的思想家对数学命题的真理采取了更加经验主义和/或怀疑论的方法。例如，在他对欧几里得《几何原本》的第一篇评论《Sharḥ musạ̄darāt》中，伊本·海塔姆遵循主流观点，认为数学的基本命题是不言自明的、必然的和理性无疑的。但是，在他的第二篇评论《Ḥall shukūk》中，他支持了更加经验主义的立场，并认为我们通过在日常生活中频繁使用这些知识实例来获得这些知识。例如，常见的概念“相互对应的事物相等”。伊本·海塔姆说，我们接受这个命题是因为我们反复看到，当一个物体被映射或叠加在另一个物体上时，它们的长度不超过彼此，我们的智力（ʿaql）判断这些物体（或更准确地说，它们的长度）是相等的。如果没有这样的经验，我们无法同意这个公理的真理。因此，我们对这些公理的认识在某种程度上依赖于感观经验（伊本·海塔姆 [Doubts]: 31; R. Rashed 2019)。

在他的《光学》（Sabra 1989）中，伊本·海塔姆对“整体大于部分”的原理提出了一个有趣的处理方式，这与阿维森纳对 fiṭrīyāt 的处理方式有着惊人的相似之处。他认为这个原理可以通过以下论证得到证明：

整体超过部分。

一切超过其他事物的东西都比它更大。

因此：

整体大于部分。

这个论证的前提本身必须通过智力或区分能力（使用伊本·海塔姆自己的术语）对我们通过感官接收到的数据进行证明（Sabra 1989: vol. I, 133–34; Ighbariah & Wagner 2018）。对于这些公理和共同概念的态度的痕迹可以在法赫尔丁·拉齐的著作和一些后来的穆提卡利木（Morrison 2014: 220–22; Hasan 2017: sec. 2.4.2; Ighbariah and Wagner 2018: 66–68）中找到。

2.3 分析艺术和发现艺术

值得一提的是，穆斯林思想家们还发展了有关如何从已知命题中得出未知数学命题的有趣理论。换句话说，他们详细阐述了在数学总体和几何学特别领域中如何进行第三步（在前一节中介绍）。在这个背景下，一个核心问题是，当数学家在纸上证明她的发现（或发明）时，她的思维过程是否与她提供的证明步骤的顺序完全相同（或相应）。对于穆斯林思想家来说，重要的是要知道数学家发现数学真理的步骤顺序是否与她为该真理提供的不同阶段的证明顺序相同。

这个背景下最早的尝试之一是塔比·伊本·库拉关于数学发明心理学的理论。然而，可能是他的孙子伊布拉欣·伊本·西南（去世于 946 年）在他的《几何问题的分析与综合方法》中建立了一个独立的研究领域，涉及上述问题（R. Rashed＆Bellosta 2000：第 I 章）。他根据不同的标准将几何问题分为不同的组别，并提供具体的例子，解释了如何分析（taḥlīl）每组问题以及如何综合（tarkīb）解决方案。他强调了在分析和综合过程中可能出现的错误和错误，并详细说明了如何避免它们。这个领域中的下一个重要人物是 al-Sijzī（去世于约 1020 年），他写了一本书（《几何问题解决的几何论文》），介绍了可以促进几何问题解决过程的不同方法。但是，在这些研究中最成熟的作品可能是伊本·海塔姆的《关于分析与综合》（R. Rashed 2006 [2017：219-304]）。在这个数学哲学领域讨论的一个有趣问题是不可判定问题的性质；我们对其真实性或虚假性没有证据。这个问题在特定情况下由 al-Samawʾal（去世于 1180 年）在他的《关于几何问题分类的 al-Bāhir》中讨论。他的分类项目可以理解为对伊本·西南的继承（R. Rashed 1984b [1994：41-43]；2008：第 3 节；2015：726-32）。

2.4 数学的适用性和可靠性

如果我们将数学对象视为纯粹的心智或估计（mawhūm）对象，这些对象是通过抽象机制构建的，并且没有超心智的现实性，那么很难证明数学和/或数学模型本身能够给我们关于超心智世界的可靠知识。毫不奇怪，那些支持非柏拉图主义、非字面主义的数学本体论的人会发现这门科学比物理学和形而上学等科学更不确定，也许更没有价值。这就是为什么一些当代学者认为，阅读阿维森纳为数学本体论辩护的人认为，对他来说，数学比其他两门科学（Hasan 2017: 225–26; Fazlıoğlu 2014: 11–13）更没有用处，更低劣。当然，如果我们将他视为对数学对象的本质持字面主义立场，这种对阿维森纳观点的诠释是有问题的。出于类似的担忧，阿威罗伊认为，数学对象的领域与超心智现实脱节，使得数学在人类完美中的作用比物理学和形而上学更不重要（Endress 2003: 150）。

关于数学准确地代表超心智世界的能力的疑虑在原子论者中更为普遍（Dhanani 1994: 101–40; Pines 1936 [1997: 110]）。例如，在他的后期作品中支持物理原子论的法赫尔丁·拉齐认为，由于在欧几里德几何中，大小被认为是连续的，所以这门科学无法准确地呈现不连续的原子世界（Setia 2006: 126–28）。

在他的《Al-Mawāqif》中，al-ʾĪjī 质疑数学科学的可靠性，因为它们涉及比蜘蛛网还脆弱的估计实体。这个比喻指的是《古兰经》29:41（Fazlıoğlu 2014: 6–7）。在他对 al-Kātibī al-Qazwīnī 的《Ḥikma al-ʿayn》的评论中，Shams al-Dīn Muḥammad al-Bukhārī（逝于 1429 年）也坚持对数学持怀疑态度。与许多前辈一样，al-Bukhārī 认为，与物理学和形而上学相比，数学在关于具体存在的事物的知识方面不够可靠。正是针对这种观点，al-Jurjānī 诉诸于 nafs al-ʾamr 的机制来捍卫数学的可靠性。他承认数学对象是估计和想象的。但他认为它们被正确地想象，并与超物质现实相一致。在这方面，它们与虚构的实体完全不同，比如红宝石山或双头人，后者在超物质现实中没有反映任何东西（Hasan 2017: 7）。尽管数学起源于估计，但它仍然可以表达关于 nafs al-ʾamr 中事物的重要真理。因此，他认为估计的判断原则上可以符合智力的判断；特别是在数学的背景下，估计的产物是根据我们通过感官从超物质世界感知到的东西构建的。尽管数学对象是估计实体，但它们不是幻想想象的结果，与现实没有联系，至少 al-Jurjānī 似乎是这样认为的（Fazlıoğlu 2014；Hasan 2017）。nafs al-ʾamr 理论是穆斯林思想家试图将数学本体论的反现实主义观点与数学真理的现实主义观点调和的最有希望的尝试之一。这个理论旨在解释纯粹估计实体的研究如何在研究物质世界中有用。不幸的是，这个项目的成功程度尚未全面研究。

3. 结论

这里所呈现的只是关于中世纪穆斯林思想家对数学发展的一份简要报告。这远非详尽无遗。我在这里讨论的观点的许多方面尚未在二次文献中进行研究。可以毫不夸张地说，许多穆斯林哲学家的数学哲学尚未得到当代哲学史学家的充分关注。但我希望这篇文章中汇集的内容已经表明，伊斯兰传统是一个丰富的资源，涉及到数学哲学的创新思想和理论（通常被认为只涉及数学的技术方面）。

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