亨利·庞加莱 Poincaré, Henri (Gerhard Heinzmann and David Stump)

首次发表于 2013 年 9 月 3 日；实质修订于 2021 年 11 月 22 日

亨利·庞加莱是一位数学家、理论物理学家和科学哲学家，以在多个领域的发现而闻名，并被称为最后的博学者，能够在数学和物理科学的多个领域做出重要贡献。本调查将重点关注庞加莱的哲学。关于庞加莱的科学遗产，请参阅布劳德（1983）和夏尔彭蒂埃，吉斯，莱斯纳（2010）。

庞加莱的哲学主要是科学家的哲学，源于他自己的科学实践和他所处时代的科学辩论。因此，它受到恩斯特·马赫、詹姆斯·麦克斯韦和赫尔曼·冯·亥姆霍兹的思考的强烈影响。然而，他的思想也受到他所处时代的哲学学说的强烈影响（埃米尔·布特鲁、他的姐夫，以及朱尔·拉谢利耶、威廉·詹姆斯等人的学说），并且充满了当时非常流行的新康德主义。然而，我们不能假设庞加莱的“康德式”词汇与德国哲学家完全相同，因为庞加莱经常彻底改变康德术语的含义。

1880 年，他与埃米尔·布特鲁合作编辑了莱布尼茨的《单子论》，并提供了一篇文章比较笛卡尔和莱布尼茨的物理学。然而，直到 19 世纪 90 年代，他才成为法国哲学界的中心人物，尤其是通过他在《形而上学与道德评论》上的持续参与（他在该杂志上发表了大约二十篇文章）以及他参与大量活动的组织：庆祝笛卡尔诞辰一百周年、1900 年国际哲学大会和莱布尼茨作品的国际版。

庞加莱以批判逻辑主义和几何常规主义而闻名。解释庞加莱作品的两种传统反映了数学哲学的两种观点，一方面支持他的直觉主义倾向和他对逻辑主义或形式主义的抨击，另一方面支持他在科学哲学和广义语言意义上的常规主义。实际上，这些直觉主义和形式主义的方面是同一枚硬币的两面，因为庞加莱始终支持一种单一立场，旨在重建理解科学理论的过程（参见 Heinzmann 2010）。庞加莱既不是形式主义者，也不是直觉主义者，也不是经验主义者，他开辟了一条位于数学知识的现实主义和反现实主义之间的道路。

在提供简短的传记概述之后，我们将按照以下方式介绍庞加莱的观点：

1. 传记

亨利·庞加莱（Jules Henri Poincaré）于 1854 年 4 月 29 日出生在法国洛林地区的南锡。他的父亲是南锡大学医学院的卫生学教授。他的表兄雷蒙德（Raymond）在 1913 年至 1920 年期间成为法国共和国总统，他的妹妹阿琳（Aline）嫁给了哲学家埃米尔·布特鲁（Emile Boutroux）。亨利是一个早熟的学生，立即在班级中脱颖而出，在科学和文学方面都表现出色。13 岁时，他的老师告诉他的母亲：“亨利将成为一名数学家……我会说是一位伟大的数学家”（Bellivier 1956: 78）。在 1870 年的普法战争期间，德国人占领了南锡，庞加莱一家被迫接待南锡市民事委员会秘书，每天晚饭后，他们会进行一轮对话，以提高他的德语水平（参见 Rollet 2012）。

1871 年，庞加莱以“良好”成绩通过了文科考试，并以“尚可”成绩通过了理科考试。他在数学考试中得了零分，因为回答了一个与问题不同的问题，显然误解了问题。然后，他参加了数学预备班，并在班级中名列第一，在学术竞赛和全国竞赛（concours général）的初等数学中也名列第一。1873 年，他进入巴黎高等师范学校，1875 年毕业（在班级中名列第二，显然因为他不能画图而失去了分数），然后进入矿业学校。他与母亲之间的广泛通信在巴黎学习期间得以保存（Rollet 2017）。在短暂担任矿业检查员后，他提交了一篇关于偏微分方程的论文，然后被聘为教授凯恩大学的微分和积分计算课程。1880 年，他提交了一篇解决微分方程理论问题的论文，参加了巴黎科学院数学大奖的竞赛。这是他第一次使用非欧几何，这在他的同时代人中被视为纯粹的推测性。

1881 年 4 月 20 日，庞加莱与 Louise Poulain d'Andecy 结婚，不久之后加入巴黎大学的科学系。1886 年，他接替 G. Lippmann 担任数学物理和概率学教授。1896 年，他获得了数学天文学和天体力学教授职位，1902 年被任命为法国邮政电报局的理论电学教授，1904 年成为巴黎高等师范学校的普通天文学教授。庞加莱还在法国经度局工作（Galison 2003）。

1889 年，庞加莱因魏尔斯特拉斯提出的关于太阳系稳定性的问题获得了瑞典国王的奖励，即经典力学中的三体（或 n 体）问题。尽管他在最后一刻发现了一个数学错误（在瑞典数学家拉尔斯·埃德瓦德·弗拉格门提出问题后），并且疯狂地进行了修正，但这项工作以其拓扑学的应用和作为混沌理论的奠基文件而重要，因为庞加莱表明，一般情况下，这种系统的稳定性无法得到证明。也是在这个背景下，他证明了他著名的回归定理。

庞加莱于 1887 年加入法国科学院，并于 1906 年成为其院长。他凭借他在科学哲学和一般科学问题上的三本书被选入法兰西学院。他还成为许多国际科学组织的对应会员。他的旅行包括 1904 年在圣路易斯世界博览会上发表演讲的美国之行。庞加莱广泛的通信展示了他与当时科学界的联系之广（Nabonnand 1999; Walter 2007, 2016）。他还共同签署了一份在德雷福斯复职中起重要作用的报告（Rollet 1999）。

庞加莱因其关于三维球拓扑的 1904 年猜想而闻名，这个问题一直是数学中的一个重要未解问题，直到俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在近百年后成功证明它。庞加莱多年来一直讲授当代数学物理，并对当前的发展非常了解。作为科学普及者、教育家和文学家，他成为了大众媒体的偶像（参见 Rollet 2017, XLVI）。他一共发表了五百多篇科学论文和三十多本书。他于 1912 年 7 月 17 日在巴黎因脑血栓并发症而去世，他的妻子和四个孩子幸存下来（参见 Rollet 2000，Boutroux 2012，Ginoux 和 Gerini 2012）。

2. 科学的结构

庞加莱在《科学与假设》（1902）中提出了一种层次观点，尽管他没有明确使用这个术语。在他看来，特殊科学是基于物理学的，而物理学又是基于几何学的，而几何学又是基于算术的。庞加莱按照一定的顺序来讨论这些主题，先是算术，然后是几何学，然后是物理学等等。在引言中，庞加莱说：“这就是我们将要得出的结论，但为了达到这个结论，我们必须首先回顾一下从算术和几何学到力学和实验物理学的科学序列”（庞加莱 1902, 2017, 2）。层次解释最近在一对重要的文章中受到了批评（Dunlop 2016 和 2017）。我们相信，澄清层次的含义将解决这场辩论（有关进一步讨论，请参见 Stump 2017 和 Folina 2019）。算术、几何学和其他科学之间的关系是什么？迈克尔·弗里德曼提出了庞加莱将科学按照层次展示的观点，并通过这样做明确表示，层次的含义是每个较低层次必须先就位，才能继续到下一个层次：

但是，如果我们考虑牛顿的普遍引力理论，或许可以更清楚地说明这一点。因为牛顿的《自然哲学的数学原理》已经清楚地展示了我们如何在牛顿运动定律和欧几里得几何的前提下，经验性地发现普遍引力定律。然而，如果没有这些前提，我们肯定无法发现引力定律。同样的例子也清楚地显示了科学层次结构中的每个层次都以前面的层次为前提：如果我们不假设空间几何，就没有运动定律；如果我们不假设数学大小理论，就没有几何学；当然，如果我们不假设算术，就根本没有数学（弗里德曼，1999 年，76 页）。

注意，弗里德曼还提到了数学大小理论。在算术和几何学之间有一个步骤，即数学大小理论，这正是《科学与假设》第 2 章的主题。数学大小理论假设了无限重复的可能性，因此类似数学归纳的东西，庞加莱在《科学与假设》第 1 章中将其视为算术的核心。

有直接证据表明，庞加莱认为在进行任何经验科学之前，数学必须先行。例如，在《科学与假设》第 12 章的开头，他提到：“数学理论的目的不是揭示事物的真实本质。这样的说法是不合理的。它们的唯一目标是协调实验向我们揭示的物理定律，但如果没有数学的帮助，我们甚至无法陈述这些定律”（庞加莱 1902 年，2017 年，143 页）。相比之下，邓洛普似乎对等级观念有更强烈的想法，这也许是她将这个论题称为依赖层次解释的原因。她似乎认为这种解释是一种还原主义的论题，即几何学还原为算术，或者至少，几何学中所需的直观推理就是我们在算术中所需要的一切。

评论家们认为，在算术中归纳的直觉也是连续体的概念的基础，几何公理的一致性必须通过算术归纳来证明，并且算术归纳使得某些运算形成一个群（邓洛普 2016 年，274 页）。

邓洛普在说这不是庞加莱的观点时是完全正确的。相反，他说我们需要算术和其他东西来进行几何学的工作。我们所理解的庞加莱的观点仅仅是说在进行几何学时，我们仍然需要进行加减乘除，但我们将做的事情比算术更多。我们需要一个大小理论才能进行几何学，因为我们需要测量事物。我们在经典力学中需要几何学，是因为我们要追踪行星的椭圆轨道。因此，我们也同意邓洛普的观点，即“假设几何学是建立在算术运算或原理之上，那么无法调和庞加莱对算术和几何学的观点”（邓洛普 2016 年，306 页）。我们需要算术，加上群论和约定，才能有度量几何学。可能有一些作者提出了还原主义的观点，但这不是我们从弗里德曼最初的陈述中得出的结论。此外，当我们涉及物理科学时，还原主义的解释是不正确的，因为在高层科学中有明显更多的内容，这些内容是无法简化为数学的经验内容。

庞加莱讨论科学的顺序，从算术开始。在算术中，数学归纳法是必不可少的，因为只有通过使用它，我们才能对所有数字做出断言。庞加莱认为数学归纳法是一种真正的合成先验。接下来，他考虑了大小，这需要算术，但更进一步。同样，几何学进一步扩展了我们的知识，但需要使用大小理论进行测量，并使用算术进行数字组合。庞加莱然后考虑了经典力学，它再次扩展了我们的知识，同时依赖于之前的数学。最后，他考虑了物理学理论，我们在其中有真正的经验结果，但基于之前的数学、假设和约定。因此，科学就像扩展的同心圆一样排列，每个层次都在基础上添加新的内容。较低的层次是更高层次的必要先决条件，但它们并不足够。

庞加莱将假设置于他对科学的分析的核心，区分了四种类型，实际上分别给出了两个列表，每个列表有三个（庞加莱 1902 年：24 和 166-167；2017 年：1 和 109-110）。将这两个列表合并起来，它们是：

可验证的假设
漠不关心（或中立）假设
自然假设
表面假设

通过可验证的假设，庞加莱指的是已经通过实验证实的一般性陈述。这些是自然科学的基础，并且可以毫无争议地与标准的解释/原理（例如，假设-演绎法）相兼容。然而，对于庞加莱来说，这并不是科学的全部，因为他主张一种介于经验主义和理性主义之间的科学观点。

无关假设是本体论性质的，例如底层机制的机械模型。正如庞加莱强调的那样，这些假设经常可以互换而不损失实证准确性。以热的传播为例，通过平均效应和介质的对称性，“所有的差异都会消失”，我们不需要探究每个分子是如何辐射的。这些假设只是有用于思考的工具，但作为“不可验证”和“无用”的（庞加莱 1902: 169; 2017: 111）。

自然假设是科学的必要条件，但在实验上是无法触及的：

很难不假设远距离物体的影响完全可以忽略不计，小运动服从线性定律，效应是其原因的连续函数。我会对对称所施加的条件说同样的话。所有这些假设，可以说是所有数学物理理论的共同基础。（庞加莱 1902: 166; 2017: 109）

最后，表面上的假设是关于世界的定义或约定，而不是实际的主张。因此，它们可能根本不被视为假设，尽管它们经常被误认为是假设。庞加莱认为（度量）几何是最容易产生这种混淆的假设。虽然他在《科学与假设》中没有明确提到假设，但我们可以在他的分析中看到它们的作用，我们将按照他的顺序进行介绍。

庞加莱对算术的分析中，重要的是循环原理或数学归纳法，他认为这是一种合成的先验原理，"似乎是如此不言自明，以至于我们无法想象相反的命题"（庞加莱 1902: 74; 2017: 42）。数学归纳法原则是证明关于数字的一般性陈述的必要工具，因此在数学中是必不可少的。因此，数学归纳法原则类似于自然假设，或者至少起到类似自然假设的作用，即一个被预设的、"比任何特定的自然数系统更基本的数学结构"（Folina 2020: 293）。当然，数学归纳法和自然科学中使用的归纳原理之间存在重要的区别。数学归纳法原则提供确定性，而自然科学中的归纳概括只提供概率（1902: 27; 2017: 3）。数学归纳法原则基于 "一个知道自己能够在这个行动可能的情况下，构想出特定行动的无限重复的力量的肯定"（1902: 41–42; 2017: 15），因此不会存在不确定性。可以认为，庞加莱将他对算术的分析纳入《科学与假设》中是合理的，即他对经验科学的分析，因为数学归纳法原则与自然科学中的归纳原理之间存在显著的相似性，后者 "既难以证明……又难以离开"（1905b: 176; 1913b: 345）。

庞加莱认为（度量）几何既不是先验的也不是经验的，而是约定俗成的。然而，需要注意的是，这些约定是根据庞加莱的经验指导的，而不是完全任意的，正如一些后来的作者认为的那样。这个“约定”的涵义导致了对庞加莱观点的许多误解。一致的替代几何学的存在表明空间的几何学不能先验确定。我们经验到的是物质体及其关系，而不是空间，这使庞加莱认为空间的几何学也不能经验确定。因此，关于空间几何的陈述是明显的假设或约定，看起来像是在进行描述性陈述，但实际上更接近于定义，尽管它们不能简单地归结为语言上的东西。

庞加莱将我们对物体的感知视为一种最初是非空间的运动和视觉印象的组合。为了对这些感觉进行分类，庞加莱说我们引入了“感性空间”作为“我们理解的”一个范畴，它不是物理空间，甚至没有度量，这意味着“它不涉及测量的概念”（庞加莱 1898 年）。感性空间是我们理解世界中的位置的必要条件，也就是我们理解周围物体、它们之间的关系以及它们的运动的条件，但它不是我们感性的形式，因为个体感觉可以在没有它的情况下存在（庞加莱 1898 年：3）。因此，感性空间可以被看作是一个自然假设的例子。我们引入了度量来测量距离，使用群论的语言，即抽象代数结构的数学研究。群作为一种推理工具，用于关于肌肉感觉的表示。我们可以选择一个与欧几里得、洛巴切夫斯基或黎曼几何相对应的群（或子群）来描述空间。庞加莱提出了三种可能几何之间的选择标准，假设存在一个不变子群，其中所有的位移是可互换的，并且由所有的平移组成。（1898 年：21）

the existence of an invariant sub-group, of which all the displacements are interchangeable and which is formed of all translations. (1898: 21)

只有欧几里得几何满足这个标准，因此欧几里得几何的常规选择是由“翻译成分析语言 [...] 意味着方程中的术语较少”（庞加莱 1898: 43）的互换简单性决定的。如果将这些群体与我们的思维提供的背景信念隔离开来（斯坦福 2009），那么群体的经验性不确定性就具有纯粹的对比（任意）性质。“整体性”考虑（商品、简单性）克服了不同几何之间的经验等价性，并为欧几里得几何提供了更多的证据。与几何不同，算术中没有给出选择的替代方案。

到目前为止，我们已经讨论了算术和几何，并研究了先验原理、自然假设和表面假设。在讨论自然科学时，庞加莱提出了他对可验证假设的观点，这些假设以通过实验得出的机械定律为特征：

那么什么是好的实验？好的实验是除了孤立的事实之外还告诉我们其他信息的实验，它使我们能够进行预测；也就是说，它使我们能够进行概括。因为没有概括，我们就无法进行预测。（庞加莱 1902: 158; 2017: 104）

从实验中得出的假设是可验证的假设。概括的过程预设了对自然的统一性和简单性的信念（参见 1902 年：161 ff.；2017 年：105 ff.），尽管重要的是要记住，对于庞加莱来说，经验始终是一个理论负荷的复杂现象。物理学中的任何好的实验都可以以无限多种方式进行概括，这取决于我们的预设观念，而每个概括都会导致一个假设。庞加莱强调科学家的创造性角色，但并不像勒鲁亚（Le Roy）提出的那样认为自然法则是简单的定义（1901 年：143）。

并非所有的法则都直接可通过实验获得。物理科学中的概括必须采用微分方程的数学形式，以把握复杂性并统一科学：

每个基本现象遵循简单法则是不够的，所有这些现象的组合也必须遵循相同的法则。（庞加莱 1902 年：171；2017 年：113）。

例如，惯性定律仅适用于预先存在的微分方程类别。这些微分方程在最终分析中是物理定律：

牛顿已经表明，法则只是世界当前状态与其紧接着的状态之间的必然关系。自那时以来发现的所有定律都是这样，它们总结起来就是微分方程。（庞加莱 1905b: 119; 1913b: 292）

在几何学中，庞加莱假设了一个预先存在的群范畴。在力学中，范畴工具是（经验）归纳原理和微分方程。因此，庞加莱的立场代表了一个元素的层次结构，这些元素像康德一样被预设为下一级科学的可能性的必要条件。力学中的概括方案如下：经验提供了复杂现象，即“一堆混乱的事实”，我们通过实验将其归纳为一些基本现象。从这些基本现象出发，我们通过（例如经验归纳原理）归纳出基本事实，并通过微分方程推导出法则和可验证的假设，其数量应尽可能少（庞加莱 1902 年：168-171；2017 年：110-113）。最后，法则可以通过法令提升为原理的地位，从而使力学的基本原理成为约定；然而，这些约定并非是任意的约定，因为“只有当我们忽视了导致力学创始人采用这些法则的实验时，它们才是任意的，尽管这些实验可能不完善，但足以证明它们的合理性”（1902 年：128；2017 年：82）。对于庞加莱来说，力学的原理（惯性原理、加速度定律、相对运动原理等）不是假设，而是约定（庞加莱 1902 年：151；2017 年：99），尽管它们当然是经验的产物。这些约定不构成对物理选择的选择，而是必须被解释为定义理论基本术语的基本条件。它们对实验的反驳具有免疫力，但并非经典意义上的先验，它们是科学层次结构中更高级科学的必要前提条件（庞加莱 1902 年：第六章和第七章）。

在光学和电动力学等物理科学中，情况完全改变，原则似乎不再具有几何公设的传统特征。庞加莱的“无关假设”是分析家在计算开始时假设的，它们既不是真的也不是假的，而是在结构中扮演角色的占据者。无关假设在一个非常重要的意义上与几何约定不同。虽然几何学依赖于一项约定，但物理学的结构（包括力学）并不系统地依赖于无关假设；相反，这些假设只有心理和教育功能，作为在某种意义上是多余的心理构建，因为它们可以改变而不影响实验结果。庞加莱结构现实主义的基础可以在他的观点中看到，即内容是多余的，科学的关键是通过时间保持不变的自然法则所表达的关系。

这里是归纳原理、表面假设和可验证假设之间的方法论类比和联系。所有这些都是在经验的指导下进行的，但并非完全是实验性的，并且都涉及预设的范畴、自然假设或给定的结构（Folina 2020）。可验证假设在概括过程中使用常规元素，并可能预设（经验性的）归纳原理。几何约定是在肌肉感觉的经验指导下的表面假设，并涉及群的范畴。这两种假设，可验证和表面，都在庞加莱的科学层次结构中，一方面由先验原理和自然假设构成，这些工具既适用于数学家又适用于实验者，另一方面由无关假设和物理原理构成。无关假设是本体论实体的常规（普通意义上的）规定，它们是增加我们理论洞察力的机械模型，而物理原理则是通过法令提升到实验的坩埚之外或者在实际科学网络中具有良好基础的可验证假设。

3. 数学哲学

3.1 逻辑与基础：直觉与可预测性

关于逻辑和数学基础，庞加莱的立场受到两个命题的支配：

仅仅通过逻辑推理是认识上不足以表达真正数学推理的基本结构，因为其可理解性（参见庞加莱 1908 年：159；1913b 年：452）。
由于逻辑自反矛盾，应避免任何非预测性的概念形成。

从历史上看，这两个论点广泛地针对现代逻辑和集合论的创始人，如康托、皮亚诺、弗雷格、罗素、泽尔梅洛和希尔伯特。经过仔细观察，历史情况更加复杂。例如，对于乔治·康托，我们必须区分他的工作，一方面是作为一种逻辑-集合论方法，在处理数学问题，特别是在函数论中非常有用，另一方面是作为基础或无限基数的考虑工具。通过戈斯塔·米塔格-勒夫勒，庞加莱熟悉康托的第一类工作，并在 1882 年的他的 Fuchsian 函数理论中使用它（庞加莱 1882 年：1167），甚至与康托有过个人接触（参见格雷 1991 年：22；康托 1991 年：188；和德卡洛 2008 年：281）。然而，庞加莱拒绝了康托的后来的基础性工作，称之为

没有实际的无穷，康托派忘记了这一点，他们陷入了矛盾。的确，康托主义提供了一些服务，但那是当它应用于一个明确定义了术语的实际问题时，我们可以安全地进行。作为康托派的逻辑学家们已经忘记了这一点。（庞加莱 1908 年：212-213；1913b：484）

虽然所有评论家都强调庞加莱对数学基础的关注与逻辑学家的关注非常不同，但对争议的焦点并无统一意见。埃米尔·布特鲁和沃伦·戈德法布声称，庞加莱谴责“逻辑”观点未能提供心理信服力（布特鲁 1914 年；戈德法布 1985 年），而德特勒森和海因茨曼则主张在认识论层面上存在差异，而非心理层面（德特勒森 1992 年，1993 年；海因茨曼 1995 年）。在对罗素的著名回应中，庞加莱拒绝将逻辑或认识论与心理学分开考虑（庞加莱 1909 年：482）。然而，相信他因此混淆了逻辑和心理学是错误的。事实上，庞加莱并未以现代意义上的心理学术语使用该术语，而是在他想强调理解的维度，特别是其历史要素的所有情况下使用，与仅仅正确逻辑阐述结果相对立。因此，不足为奇的是，根据庞加莱的观点，数学需要直觉，解释为理解的要素，不仅在发现的背景下，同样也在证明的背景下。正如我们已经看到的，在算术中，纯直觉是证明完全（或数学）归纳原理所必需的。还应该注意到，“直觉”一词相当模糊，这是众所周知的，并且庞加莱本人明确讨论过这一事实。在《科学的价值》一书中，他区分了三种直觉：对感觉和想象的呼吁，归纳的概括，以及纯数的直觉——这就是数学中归纳公理的来源。他说，前两种类型不能给我们确定性，但是，“谁会严肃地怀疑第三种，谁会怀疑算术？”（庞加莱 1905b：33；1913b：216）。

从 1905 年开始，庞加莱反对逻辑主义的论点，该论点声称在承认逻辑原理的情况下能够证明所有数学真理，而不需要直觉的参与。庞加莱怀疑逻辑学家实际上对术语“逻辑”进行了模棱两可的使用，他们不再寻求以前的那种逻辑，而是寻求包含综合证明原理或非逻辑概念形成的“新逻辑”。显然，他是正确的，因为现代谓词逻辑比传统的（三段论）逻辑更为丰富，而为了实现逻辑主义项目，人们甚至被迫通过某些集合论存在的假设来再次扩展逻辑。

正如 Detlefsen 指出的那样，庞加莱最有趣的论点并不涉及逻辑系统的基本定律的地位，而是“逻辑推理在数学证明中的位置”（Detlefsen 1992: 349）。根据庞加莱的观点，今天对于从命题 p 到命题 q 的逻辑推理（在塔斯基的概念中：p 的每个模型都是 q 的模型）的承认的有效性并不足以支持数学知识的认识增长，这需要“数学上看到 p 暗示 q（即 p 和 q 被看作由一个共同的数学结构统一）”（Detlefsen 1993: 272）。庞加莱坚持数学推理相对于其内容和进展的非不变性，可以说是一种局部推理观念（例如，算术推理的数学归纳原理）。根据这种观点，证明中的间隙不再是逻辑上的间隙，而是数学理解上的间隙（Detlefsen 1992: 360, 366）。如果“形式化”和通用演算不再是数学严密性的标准，那么如何保持严密性呢？庞加莱的回应特别提到通过直觉将前提的内容浓缩到结论的内容中来实现严密性。通过将恩斯特·马赫的思维经济原则与和谐概念相结合，即通过“语言的幸运发明”引入一种秩序结构，对象领域的复杂性通过引入一种不变性变得更加和谐（参见庞加莱 1908: 23–30; 1913b: 371–375）。因此，在数学推理中，严密性被置于“数学结构”的背景下，其最简单的表达方式可以在数学归纳中找到。

关于在世纪之交发现的反论，如理查德或罗素的悖论，根据庞加莱的说法，它们是由于对抽象实体的直觉滥用所导致的，这种滥用源于概念现实主义（柏拉图主义）的采用。在形式为 ∃y∀x((x∈y)↔D [x])的定义中，对于谓词 D [x] 的存在，直观上假定了集合 y 的存在，而没有任何对谓词 D [x] 的限制。对于像庞加莱这样的反柏拉图主义者来说，直觉不是表示对象的一种方式，而是涉及我们遵循规则的能力。我们在庞加莱对数学归纳的讨论中可以清楚地看到这一点。

我们知道庞加莱希望通过限制自己使用陈述性定义来避免已知的反论（参见 Heinzmann 1985）。正是罗素引入了“陈述性”和“非陈述性”这两个术语，以突显两种命题函数之间的区别，一种确定类别，一种不确定类别。他将第一种称为“陈述性”，将第二种称为“非陈述性”。庞加莱将非陈述性定义的错误归因于恶性循环：如果定义中的定义者包含或与整体相关，那么该定义就是“非陈述性”的。他制定了一个避免循环的原则，这直接导致了罗素著名的恶性循环原则：

我进一步认识到庞加莱对整体性的反对中的真理要素，即任何以任何方式涉及类的所有成员或某些（未确定的）成员的事物本身不能成为类的成员之一。（罗素 1973 [1906]：198）

罗素成功地发展了一种尊重他的原则的理论，即分层类型理论。在庞加莱那里，我们找不到可比较的东西，因为他认为这个原则可以防止他所谴责的定义错误。他并没有认真对待这个问题，只是在从策梅洛那里得知阿尔冈和柯西提出的代数基本定理的证明正是对被拒绝的非谓词定义的呼应时，才逐渐制定了不同的原则变体。因此，只有当针对逻辑反悖论采取的措施影响到“真正的数学”时，他才试图修改这个原则。庞加莱、罗素、皮亚诺和策梅洛之间关于采取措施的讨论持续了六年。困难在于必须制定一个既不对分析中的重要结果过于限制，又不对由于庞加莱的哲学立场而应该排除的概念形成过于宽松的原则。缺乏真正令人信服的解决方案表明，通过非正式方法对谓词性概念进行分析似乎已经达到了极限。

在庞加莱去世的 1912 年，阿姆斯特丹的路德维希·埃格伯特·扬·布劳尔在他的就职演讲中描述了数学中的两种相对立的取向：直觉主义（在很大程度上是法国的）和形式主义（在很大程度上是德国的）。这两种取向由敌对的法德配对中最伟大的数学家亨利·庞加莱和大卫·希尔伯特代表（布劳尔 1912 年：124-125）。根据历史学家的说法，现代主义者是指 20 世纪初支持将内容包括符号语言代数化的人，而保守主义倾向则认为数学知识的正当性在于语言之前，即在于智力。这一时期的争论至今仍在持续，尽管其政治隐喻（保守主义/现代主义）已经颠倒。自布尔巴基去世以来，强调数学直觉方面已经成为时尚。然而，值得注意的是，布劳尔本人批评了庞加莱将“数学语言 [和] 真正的数学构造”混为一谈（布劳尔 1907 年：176）。布劳尔非常正确地强调了庞加莱没有将语言和数学分开。庞加莱认为语言在数学推理中具有但逻辑没有的重要作用。从这个意义上说，我们可以说庞加莱在布劳尔看来是一个半直觉主义者，他正好位于争议的两个阵线之间。对他来说，数学推理具有并必须保留一种超越形式内容的直觉内容。总之，庞加莱和布劳尔之间的相似之处和差异可以如下所示：

庞加莱和布劳尔都坚信直觉是数学固有确定性的保证。
他们都坚信完全归纳是“数学推理的典范”。
与庞加莱相比，布劳威尔认为直觉是数学构建的唯一基础。
他们在直觉和语言之间的关系上存在差异。
布劳威尔将悖论的涉及归因于将逻辑法则应用于永远无法转化为适当数学的语言结构。根据布劳威尔，形式主义是无用的；根据庞加莱，伴随其的柏拉图主义哲学必须得到纠正。
庞加莱拒绝实际无限；布劳尔接受它，前提是它可以限制在直观的构造中。

3.2 几何学：约定、直觉和美学

庞加莱受到法国哲学界的强烈影响和共鸣，这一界限显示了方法论实证主义的局限性，这一界限是指康德传统。所谓的“科学批判”运动的成员（Benrubi 1928），其中包括“布特鲁圈子”的成员（Nye 1979），主张实证主义和新康德主义的混合。他们批评了孔德的决定论和康德的心灵结构的静态观点。根据庞加莱的观点，数学不仅在发现的背景下需要直觉，而且在证明的背景下也需要直觉，特别是在算术和逻辑中。因此，不足为奇的是，庞加莱在德国哲学界以康德传统的身份被讨论，例如由恩斯特·卡西勒（1910），伊尔瑟·罗森塔尔-施奈德（1914）（她是阿洛伊斯·里尔的门徒）和莫里茨·施利克（1918）讨论。因此，庞加莱被视为逻辑实证主义的新康德主义先驱之一。然而，与康德不同的是，庞加莱引入的算术“纯直觉”具有智性特征，庞加莱并没有通过引入纯感性来解决自发性和感受性的统一问题。相反，他改变了康德对比的术语，强调了精确性和主观熟悉之间的平衡，精确性是许多思维共有的，并且可以通过言辞传递，而主观熟悉则是不可传递的感觉。他用一个公式来表达这种困难的平衡，这个公式因爱因斯坦的推广而广为人知：

他们在严谨性方面取得了进展，但在客观性方面却失去了。正是通过与现实的疏离，他们才获得了这种完美的纯净。（庞加莱 1908: 131; 1913b: 435）

由于对数学应用的关注，庞加莱并没有局限于数学的完美纯净。

相对一致的非欧几何的存在使他认为几何命题不能由先验直觉来确定，必须研究“欧几里德几何和非欧几何之间的结构关系”（Nye 1979: 111）。庞加莱建立了一个著名的词典，将洛巴切夫斯基几何的概念和命题翻译成欧几里德几何，以创建一个模型来展示洛巴切夫斯基几何的相对一致性（庞加莱 1891: 771; 参见 1902: 68; 2017: 37）。关于纯净几何和应用几何，庞加莱持有现代主义的观点，即我们对几何原始概念没有先验的理解，严谨要求我们在几何中消除对直觉的依赖，（度量）几何既不是真的也不是假的，不仅因为我们无法验证哪个是真的，而且因为我们无法从原则上确定空间的度量几何。当我们谈论空间时，我们只能谈论物体之间的关系：

[B] ecause of the relativity and passivity of space, they will not depend on the absolute position and orientation of the system. In other words, the state of the bodies and their mutual distances at a given instant will depend only on the state of these same bodies and their mutual distances at the initial instant, but will in no way depend on the initial absolute position and initial absolute orientation of the system. For brevity’s sake, this is what I might call the law of relativity. […] [S] uch a statement is independent of any interpretation of the experiments. If the law is true in the Euclidean interpretation, it will also be true in the non-Euclidean interpretation (亨利·庞加莱 1902: 98–99; 2017: 61–62).

Although distinguishing in 1903 the n-dimensional "representative space", which is a physical continuum, from the geometrical space, which is a mathematical continuum (庞加莱 1905b: chap. IV), Poincaré always held a relationalist view of space that goes further than current space-time theories allow (Stump 1989; Walter 2010).

由于庞加莱深刻地修改了几何学作为先验科学的传统观点，因此像施利克、卡尔纳普和欧内斯特·纳格尔（1939 年，1979 年）这样的作者将他归功于发展数学形式概念的主导角色。阿尔贝托·科法通过声称 19 世纪原始几何术语解释的危机导致了形式公理系统的发展来扩展纳格尔的分析（科法 1986 年）。对庞加莱起到核心作用的引用还可以在琼·理查兹的调查（理查兹 1994 年）和杰里米·格雷对现代主义发展的描述中找到（格雷 2008 年）。庞加莱方法的现代主义特征还表现在他必须与杜亨一起被列为逻辑经验主义的先驱者之一，他们在奎因对该运动的批评中幸存下来，主要不是因为他关于理论确认的整体主义论题，而是因为他将几何约定看作一种混合的分析-综合表达式，受经验“引导”，以及他的本体论“关系主义”，在某些方面接近奎因的学说。两者都试图在哲学上解释（科学）对象的不完整性。

庞加莱认为

与天真的教条主义者的观点相反，科学捕捉到的不是事物本身，而只是它们之间的关系。在这些关系之外，没有可知的现实（1902 年：25；2017 年：2）。

因此，他拒绝形而上学的现实主义：

不，毫无疑问，一个完全独立于构思、看到或感受它的心灵的现实是不可能的。即使存在这样一个外部的世界，对于我们来说也将永远无法接触到（庞加莱 1905b: 23; 1913b: 209）

尽管奎因的论证（“没有实体没有身份”）在逻辑背景上与庞加莱的背景相去甚远，但结果是相似的。对于奎因来说，数学对象只能通过它们的规律来认识，它们可能具有的其他属性是无关紧要的（奎因 1969: 44）。

庞加莱的几何约定和他的本体论关系主义不过是他结构主义方法的两个不同方面，这一点可以从考虑 20 世纪初关于几何性质的两场平行辩论中看出来——一场是亨利·庞加莱和伯特兰·罗素之间的辩论，另一场是大卫·希尔伯特和戈特洛布·弗雷格之间的辩论。庞加莱和希尔伯特主张一种新的几何系统观念，而弗雷格和罗素则捍卫传统的观察这些系统的方式。辩论涉及以下问题：哪种几何是真实的？定义和公理的本质是什么？为了处理多样性的几何、关于它们真实性的问题以及原始术语的含义，庞加莱和希尔伯特提出了一种根本性的新几何观点。他们认为我们对“点”、“直线”、“距离”等含义所能说的一切都是我们在系统的公理或原则中所陈述的，而几何不是关于一些先前已知对象的真理集合。因此，庞加莱提出了一种新的几何理论观点，即几何不表达真假命题，也没有几何研究的特殊对象。相反，几何只是一种可以应用于许多种对象的关系系统。

庞加莱反对罗素关于定义的观点，声称原始术语的含义可以通过我们所使用的几何系统来确定。庞加莱认为，通过系统来确定原始术语的含义是唯一的方法，因为如果我们将一个原始术语从系统的上下文中剥离出来，它将失去所有的含义：

如果一个人想要孤立一个术语并排除它与其他术语的关系，将什么都不会剩下。这个术语不仅变得无法定义，而且变得毫无意义。（庞加莱 1900 年：78，庞加莱的强调）

正如庞加莱在他 1898 年的《唯物主义》一文中的“形式与物质”一节中解释的那样，这个想法是，在几何学中，原始物体或几何关系所应用的对象的属性对于几何学来说并不重要。原始物体之间存在的关系构成了几何对象的形式，而不是物质，而这些关系是被研究的内容。形式构成了庞加莱结构主义的关系方面。

通过承认庞加莱的结构观点的传承，施利克坚持他的结构主义的约定性方面。他在庞加莱的约定中看到了一种第三种定义类型，介于公理方法的隐式定义和物理对象的具体或指示性定义之间。正如弗里德曼观察到的那样，这些约定对于我们如何在数学精确科学中实现概念和经验现实之间的协调至关重要（2007 年：100）。正如施利克解释的那样：

隐式定义一个概念是通过其与其他概念的关系来确定它。但是将这样的概念应用于现实是选择，在世界上无限的关系中，选择一定的群体或复合体，并通过指定名称来将其作为一个单位来接受。通过适当的选择，在某些情况下，总是可以通过概念的方式获得对实际的明确指定。以这种方式产生的概念定义和协调我们称之为约定（在较狭义的意义上使用这个术语，因为在更广义的意义上，当然所有的定义都是协议）。引入了这个较狭义意义上的约定术语到自然哲学中的是亨利·庞加莱；而该学科最重要的任务之一就是研究自然科学中各种约定的性质和意义（施利克 1925 年，91-92）。

根据施利克（Schlick）的说法，庞加莱（Poincaré）的约定结合了概念定义和协调。鉴于这两个表达方式对庞加莱的风格完全陌生，人们应该如何理解施利克的说法呢？实际上，施利克的表达方式指代了庞加莱结构主义方法的两个不同方面，这种方法关注庞加莱不是一种 ante rem 结构主义者（ante rem 结构主义者认为模式存在独立于任何体现它的系统之外）。乍一看，他似乎是一个本体论的实在论者，关于关系普遍性（但不涉及个体（relata）），尽管他持有谓词主义的态度。正如埃利·扎哈尔（Elie Zahar）强调的那样，这种立场与经典语义学（逻辑学）并不自然地兼容，因为后者“似乎无法通过它们的关系来解释关系”：在没有确定‘R’的指称物之前，无法确认 R(a,b)是否成立。（扎哈尔 2001 年：38）

通过研究庞加莱对几何学起源的心理生理重建的四个步骤，可以找到解决这个困难的答案。在他早期的文章中，庞加莱认为几何学只涉及公理中表达的关系，而不涉及原始概念的固有特征：

An answer to this difficulty can be found by examining four steps of Poincaré’s psycho-physiological reconstruction of the genesis of geometry. In his early articles, Poincaré argues that geometry concerns only the relations expressed in the axioms, not some inherent features of the primitives:

我们所称之为几何学的东西实际上只是对某个连续群的形式属性的研究；因此我们可以说，空间就是一个群。（庞加莱 1898: 41）

庞加莱构建几何空间的第一步是通过群来处理可观察到的事实，即一组印象可以以两种不同的方式进行修改：一方面，我们没有感受到肌肉感觉，另一方面，通过自愿的运动行为伴随着肌肉感觉进行修改。因此，就像卡尔纳普的《建构》一样，这里的起点是通过经验来定义两个二元关系：外部变化 a（用“xay”表示“x 在 y 中没有肌肉感觉的变化”）和内部变化 S（用“xSy”表示“x 在 y 中伴随着肌肉感觉的变化”）。在第二步中，他引入了外部变化的分类，其中一些可以通过内部变化（位置变化）回到起点，而其他一些（状态变化）则不能。人们“按照约定”或更好地说是根据决定，假设内部对外部变化的补偿是精确的而不是近似的。在第三步中，庞加莱通过内部变化的补偿条件定义了位置变化的等价类，并称之为位移：

当且仅当两个内部变化引起了相同的肌肉感觉时，它们被认为是相同的。（庞加莱 1905b: 79; 1913b: 258 ff.）
α,β 外部 S 内部} 变化 α∼β 当且仅当 ∃S(Sα≐Sβ≐I) 这意味着两个外部变化等价当且仅当它们具有共同的特征（即可以被 S 取消）。
S=S' 当且仅当存在 α(αS≐αS≐I)
如果“∼”和“≈”是等价关系，那么每个位置变化的等价类都是一个位移，因此我们可以认为两个位移是相同的。

第四步和庞加莱的主要结果是每个位移类（外部和内部）在数学意义上形成一个群。群的一般概念是我们理解的一种形式，它“在我们的思想中预先存在”（1902:107; 2017: 56 和 68; 1898: 42–43），或者是一种 ante rem 结构，特定的位移结构（=变换群）是其实例。因此，几何的起源基于一个基于先前分类的认识过程，这个过程是一个结构作为不变性规范和按照约定适应的系统之间的关系，这些系统是这些规范的实例或例证。

在不同可能性之间存在选择时，惯例仅在数学构造的进一步步骤中涉及，其中研究了变换群的属性并对距离（度量）进行选择。因此，欧几里得距离公理不仅仅是在语言意义上的惯例（决策性选择）的结果，而是一种“伪装的定义”或“表面上的假设”。庞加莱在 1899 年之前使用“伪装的定义”一词，这表达了语言表面上是描述性的，但实际上并非如此。某些公理似乎是描述性的，但实际上定义了一个事实的客观性（庞加莱 1899 年：274）。这样的事实被发现只能定义到结构上，尽管它明显反映了某些感觉之间的关系的真实性，而这些感觉的质量仍然是未知的，正如赫尔姆霍兹和其他人所示（庞加莱 1905b：174）。

亨利·庞加莱经常引用的结构主义信条是，在数学中，一个实体“存在”意味着“它的定义不会导致矛盾”（1902 年：70；2017 年：38-39；1905c：819），必须以非希尔伯特的观点来看待。庞加莱的几何命题（约定），既不是真实的也不是虚假的，它们不是可以由模型满足的命题模式。由于涉及到完全归纳原理的恶性循环，庞加莱拒绝了用希尔伯特式的一致性证明来确保数学可靠性的想法（庞加莱 1906 年：301；参见 Detlefsen 1986 年：59 ff.进行批判性评估）。即使在几何学方面，他也采取了一种结构立场，但并没有完全将意义和知识与示意分离开来。然而，庞加莱开始他的可靠性替代建构，只是表面上通过感觉与给定事物的示意接触，因为他并不是一个经验主义者。相反，庞加莱引入了一个基于单一感觉的想象感觉印象的直观概念，类似于赫尔姆霍兹对直觉的理解。在感觉空间中对对象的表示，意味着有意识地和故意地表示达到对象所需的肌肉感觉（庞加莱 1902 年：82；2017 年：48-49）。感觉关系然后成为感觉空间和群体的范畴（形式）的占位符。庞加莱在几何学中的约定首先是他用来通过决策来弥合结构的精确性和基于想象示意接触（对感觉进行反思）的感觉关系的客观性之间的差距的工具。如果这种解释是正确的，那么庞加莱的结构概念并不是从欧几里得几何的公理化推导出来的新的希尔伯特式的概念，而是传统代数结构概念的发展，涉及到连续群一方面和迭代类型和完全归纳另一方面。他的认识论立场与施利克的《知识的一般理论》有很强的亲和性。一方面，鉴于“纯质是不可渗透的”，另一方面，知识是公共的——“没有言论，就没有客观性”（庞加莱 1905b: 179; 1913b: 347–48）——我们如何能够确定我们的经验虽然不同，但我们可以相互知道同一件事情？答案在于“科学是一种关系系统”的论点（庞加莱 1905b: 181; 1913b: 349）。

与结构主义者相反，庞加莱的结构并非本体论上依赖于它们的实例，而是认识论上依赖于它们的实例。能够创造群的一般概念或无限迭代的能力是我们理解的一种形式，它“先于一切经验”（庞加莱 1898 年：41）。他捍卫一种建设性的认识论柏拉图主义或反名词主义（Linnebo 2011），其中直觉是一种认知能力，用于从想象的感觉序列或具体的迭代中把握一般结构。这是解释 Folina 对庞加莱的表述的解决方案，这个表述乍一看似乎矛盾，既是一种先于实体的结构主义者，又是一种对数学对象持反实在论立场的人（Folina 2020）。结构本身并不是元结构中的一个位置，而是心理生理过程是我们了解其存在的方式。庞加莱将其用作一种元数学的“工具，用于推理”关于心理生理产生实际行动和想象感觉的过程（庞加莱 1898 年：41）。几何学的产生基于一个以先前分类为基础的认识论过程，作为一个结构的不变性规范和“约定俗成”的适应系统之间的关系的实例和例证。

通过各种具有共同特征的系统（想象的感觉、数学和物理事实、物体）的结构示例是一种审美操作，而不是逻辑操作。总体群结构是通过直觉而不是明确的身份准则给出的，通过子群的方式表达其形式属性的确定是通过具体系统（样本）引起的掌握的结果。数学家像艺术家一样创造结构和谐。在艺术中，结构可以是隐含的，而在数学中通常是明确的，即使是定性的。它们的实例化数量，即它们的应用，是“统一”数学和艺术结构的审美元素（庞加莱 1905b: 104; 1913b: 280）。例如，几乎没有数学理论不涉及群的概念，通过给不同的“事物”赋予相同的名称（庞加莱 1921: 137）。庞加莱的几何或代数约定构成了一个概念性的构造，无法简化为结构元素和审美实例的明确区分部分的组合。从这个意义上说，几何的心理生理起源的结果作为一个整体是一个被理解为实用程序的系统。

几何是一种由对象的描述和构造两个方面组成的过程的结果的洞察力，这导致了对奎因关于数学对象及其所属思想的不完备性论题的替代解释。我们选择几何距离函数的自由既不是由于一般的怀疑论，也不是纯粹为了与数学基础的集合论发展进行一种言辞上的适应，而是由于一种新的本体论特殊性（奎因 1986 年：401）。结构（群）不是给定实体位置的模式。几何度量结构的起源是作为与具体事物相关的关系的出现，这是对一般思想的审美分析，而不是从一般思想（群）创造具体材料，也不是从具体材料创造类别（群）。庞加莱所谓的“许多思维实体共同的客观现实”正是“由数学定律表达的和谐”（庞加莱 1905b：23；1913b：209）。沿着这种预定的和谐感和认知的调和轨道前进，直接导致了尼尔森·古德曼（1969 年）。

正如菲利普·纳邦纳德所指出的，庞加莱早期对几何空间的描述实际上是一个循环的整体：

在他 1898 年的论文中，[庞加莱] 提出了对空间三个维度的（数学）解释。他观察到，经过多次约定后选择的欧几里德群可以看作是作用在三维、四维或五维空间上的。选择三维空间是出于便利性的考虑。不幸的是，庞加莱的论证是恶性循环的，因为选择欧几里德群是基于李群对作用于 R3 的变换群的分类（Heinzmann 和 Nabonnand 2008 年：171）。

尽管如此，庞加莱注意到了他的错误，并在 1905 年引入了“代表空间”——一个物理连续体，根据经验证明将其归因于三个维度更方便，并且这也可能意味着“几何空间”的三维性，后者是一个数学连续体，出于方便起见（庞加莱 1905b: 94; 1913b: 272），以证明他对李氏分类的利用。其结果是几何学并不独立于任何进一步的数学空间，其结构必须被假定为一个原始概念，与我们心中存在的实用主义建议的群概念相反。

4. 物理哲学

关于力学的认识论地位，庞加莱将自己定位在经验主义和先验主义之间的立场上，就像他在几何学讨论中所持的立场一样（庞加莱 1902 年：111；2017 年：71）。庞加莱认为，力学原理确实具有经验起源，但它们超越了严格的经验主义的界限，因为导致实验结果的经验是基于现象的重复，并且需要物理或经验归纳（庞加莱 1902 年：26；2017 年：3）。概括可以是假设、定律或可证实的论点，这是因为经验物理学的每个结果都可以以不同的方式进行概括。事实上，我们有义务简化实验数据，而简化的标准是相对于我们所使用的分析工具的，因此，简化可能只是“表面上的”。对实验数据的这种分析甚至可能迫使我们调整实验。对概括过程的思考表明，它预设了对自然的统一性和简单性的信念（庞加莱 1902 年：159-165；2017 年：105-108）。然而，这只是所需的最一般的预设。例如，惯性定律的假设只能在与微分方程的预先存在的范畴相关的情况下获得，因此取代了导致简单实验事实的物理归纳。

庞加莱区分了经验定律和约定原理。如何从“简单”的经验定律（被理解为可证实的假设）转变为原则，即决定将可证实的假设从经验判断中撤回的结果？在力学中，他采用了与几何学中关于位移和群类的相同的方法论程序：

当一条法则从实验中得到充分的确认时，我们可以采取两种态度：要么我们可以将这条法则留在争论中；它将继续受到不断修订的影响，毫无疑问最终会证明它只是近似的。要么我们可以通过采用约定将其提升为原理。（庞加莱 1905b: 165–166; 1913b: 335）

因此，物理学中的一般化方案概述如下：从现象出发，通过物理归纳得出实验结果，然后通过微分方程得出法则和一般假设，最后通过科学界的共同决定将其提升为原理。当然，这只是一个一般的方案，一般化的具体过程可能会有很多变化。几何公理作为“伪装的定义”与物理定律作为原理之间的区别似乎定义了庞加莱的认识论标准，从本体论的角度区分了几何学和力学。在几何学中，方便的约定（或定义）是根据不是几何学对象的对象（实体、光线）选择的。此外，在几何学中，我们假设了群的范畴，因此几何学需要双重的约定性抽象。在力学中，约定是有用的，并适用于物理对象（庞加莱 1902: 152; 2017: 100）。在这个背景下，我们假设经验归纳或物理归纳的范畴以及微分方程是进行科学研究的必要前提。因此，庞加莱的方法特别融合了康德的元素，即存在先决条件的想法，同时完全消除了这些组成部分在康德思想中的超验基础。

庞加莱对几何学的传统特性在物理学中的必要传递的论证是基于一个类比，它展示了几何学和物理学之间的另一个重要关系。变换群在代表空间中的方法论功能对应于几何学在物理学中的功能。类比如下：正如位移定律可能只大致对应于群定律，并因此被认为是两个组成变化的结果，第一个是位移，第二个是质的改变，所以庞加莱将两个物体 A 和 B 之间的物理“复杂”关系视为两个组成部分的结果。第一个被视为一个“简单”的几何原理，而第二个本身由两个“认识论定律”组成。物体 A 和 B 与几何空间的图形 A'和 B'相关联，使得

R(A,B)↔R'(A',B')∧rA(A,A')∧rB(B,B')

R'是一个“适当”的几何命题，ri 表示代表空间和几何空间中对象之间的关系，例如固体物体和运动不变量之间的关系。庞加莱宣称通过改变关系 ri，几何命题 R'(A',B')甚至可以用来描述两个不同物体之间的关系（参见庞加莱 1905b: 166–67; 1913b: 336）。庞加莱因此排除了基于预设现实的结构同构性将几何学应用于物理学的任何可能性（Mette 1986: 75–80）。

物理理论中的常规要素常常被庞加莱的同时代人误解。例如，他肯定“地球转动”和“地球不转动”这两个命题在运动学意义上“没有一个比另一个更真实”，并不是对托勒密体系的复兴，而是由于物理学中理论的经验系统（而非认识论）的不确定性受到统一考虑的限制：“一个物理理论越真实，它就越能揭示真实的关系。”因此，“地球转动”通过“地球的扁平化、傅科摆的旋转、气旋的旋转、信风等等”（庞加莱 1905b: 184–85; 1913b: 353）表达了更丰富的内容。然而，在光学和电动力学等物理学中，常规要素似乎进一步削弱：

我们遇到了一种不同类型的假设，并充分认识到它的生产力。毫无疑问，这些理论乍看之下似乎脆弱，科学史告诉我们它们是多么短暂。然而，它们并没有完全消失，每个理论都有一些残留。我们必须努力梳理出这些残留，因为只有在那里才有真正的现实（庞加莱 1902: 26; 2017: 3–30）。

事实上，庞加莱的解释模型是建立在最少数量的经过确认的假设上，并将其作为原理，从中可以推导出任何有意义的命题。然而，麦克斯韦的方法对庞加莱的解释模型提出了质疑。考虑到 19 世纪末物理学中正在酝酿的危机，庞加莱的一般立场在具体原理方面存在问题。我们将简要提及最有趣的案例，即将相对性原理应用于电动力学，这是历史学家们讨论最多的主题之一（例如，Goldberg 1967; Paty 1993; Miller 1996a; Zahar 2001; Darrigol 2004; Rouché 2008; Walter 2011, DiSalle 2014）——这也是因为尽管爱因斯坦在 1905 年之前就已经阅读了庞加莱的《科学与假设》，庞加莱也在 1911 年第一届索尔维国际物理学会议上与爱因斯坦见过面，并在那之后给爱因斯坦写了一封推荐信，但他们在相对论方面并未相互引用（Walter 2007: chap. 59.3）。毫无争议的是，庞加莱发现了独特的相对论要点，例如速度/光速比的操作性定义的一阶近似，以及速度合成的相对论公式，洛伦兹群的结构确定。

由于麦克斯韦-洛伦兹电磁学方程不具备伽利略协变性，根据经典相对性原理，一个惯性参考系中的测量结果可以通过伽利略变换转换到另一个参考系中的观测结果，这一原理受到了质疑。庞加莱在他 1904 年著名的圣路易斯演讲中使用了“相对性原理”（物理学上的）这一术语（庞加莱 1905a: 607），该术语并不适用于“直接观测到的有限方程，而是适用于微分方程”（庞加莱 1913a: 103; 1963: 19）。庞加莱报告说，洛伦兹引入了“局部时间”和“运动方向上的均匀收缩”这两个猜想（即特设假设），试图在电磁领域中挽救这一原理的适用性（参见庞加莱 1905b: 132 ff.; 1913b: 305 ff.）。事实上，正是庞加莱（1906）使洛伦兹的理论与相对性原理完全兼容。因此，庞加莱指出，我们自然倾向于在每个领域中接受相对性假设。在将这一原理假设为“自然界的普遍定律”（庞加莱 1906: 495）时，它的扩展形式源于伽利略原理，其动机在于它与一种解释为什么没有实验能够告诉我们地球相对以太的运动的理论相容。因此，这一原理是一个包含多个猜想的正在进行中的工作的一部分，并且有可能失去其合理性（庞加莱 1905b: 146; 1913b: 319）。

实际上，现在有两个原理：旧原理通过将其视为常规原理而使其免于修订，并通过变换群构建几何空间，这是“刚性”物体的心理原理的数学表达，新原理中的不变性涉及微分方程，几何学现在可以以洛伦兹群为基础，代价是接受具有不确定度度量的四维时空（参见 Gray 2012: 111; Walter 2009）。因此，看起来庞加莱对空间的旧常规构建，他更喜欢基于简单性和便利性的欧几里德几何学，必须纳入关于时空的新约定。确实，庞加莱从未放弃伽利略时空，但甚至不清楚在 1912 年之前，具有洛伦兹协变性（而不是伽利略协变性）的特殊相对论原理是否已经得到足够的实验证实，以使具有伽利略协变性的原理变得无用（Walter 2009）。这种情况是 Larry Sklar 所称的“短暂”不确定性，

即，这些理论在经验上并不等效，但在我们手头拥有的所有证据中同样（或至少合理地）得到了确认（参见 Stanford 2009 和 Sklar 1975: 380）

在等待面对新结果时做出决策。

5. 庞加莱的影响

毫无疑问，庞加莱的工作在科学和哲学领域都产生了非常大的影响。它在首次提出时就已经广泛讨论，不仅在法国，还在德国（例如 Ferdinand von Lindemann（1904）和 Emil Meunier（1919））等地，他的几何约定论也极大地影响了逻辑实证主义者，他们与庞加莱的追随者 Louis Rougier（Rougier 1920）有联系，后者是 1935 年巴黎科学哲学大会的组织者之一。庞加莱的约定论在战后关于时空和相对论的科学哲学文献中再次广泛讨论。他在数学哲学领域的介入为逻辑主义批评者和其他人提供了极大的灵感。庞加莱被认为是康德和马赫的传统继承者，他们将“形而上学”推测从科学哲学中排除在外，也被认为是该领域学科的创始人之一（Brenner 2003; Moulines 2006）。庞加莱被认为是结构实在论的创始人，并被认为在科学实在论上持有一种中庸的立场（Worrall 1989）。他对科学创造力的讨论产生了大量的文献，并成为了科学创造力如何运作的标准解释。他对太阳系稳定性的研究影响了混沌理论的发展，以及基于相似原因产生相似效果的经典因果概念。庞加莱是展示本体决定论和认识论不确定性相容性的论证的起点之一。他著名的回归定理为统计力学提出了问题，他在概率论方面的工作影响了 Hans Reichenbach 的早期工作（Glymour and Eberhardt 2012）。

在庞加莱的哲学观点中，他关注数学家和科学家的活动和实践的理解和解释，他的方法似乎比逻辑经验主义者的方法更符合当今的需求。因为当代科学哲学中的“实践转向”对逻辑和数学基础的形式表示的依赖较少，而 20 世纪科学哲学的经典传统则更加重视这些方面。他的方法恢复了一些关键讨论的深度，这些讨论从 1930 年代起继续了下来，符合庞加莱的精神（Heinzmann 2016）。尽管在科学哲学的标准历史中没有提及，但瑞士哲学家费迪南德·贡塞斯、法国哲学家让·卡瓦耶和阿尔贝·洛特曼、意大利认识论学家费德里科·恩里克斯以及让·皮亚杰都共同关注数学实践，拒绝逻辑经验主义者对分析命题和综合命题的严格区分。

庞加莱在数学哲学中经常被引用，因为他讨论了悖论和他的诊断，后来成为了恶性循环原理。根据庞加莱的实用主义和反柏拉图主义立场，数学定义和证明过程应该限制在预测性的范围内。赫尔曼·韦尔（1918 年）是第一个提出预测性连续体的人，而后来的洛伦岑（1955 年，1965 年）以及克雷泽尔（1960 年）和费弗曼（1964 年）则各自试图找到根据庞加莱的粗略草图可以预测性地定义的集合。Hintikka（2012 年）认为，逻辑学家和数学家不知道如何实现庞加莱的洞察力，因为他们没有足够关注量词的依赖性和独立性，并提出了 IF 逻辑的解决方案。庞加莱对逻辑主义项目和新逻辑的批评意见已经多次评估，并在文献中继续讨论，并激发那些对直觉主义或康德主义观点持有同情态度的人（卡西勒 1910 年；丁勒 1931 年；福利纳 1992 年；戈德法布 1988 年；海因茨曼 1995 年）。尽管对维特根斯坦的影响在解释上非常困难，但与庞加莱的基本观点存在明显的相似之处（罗迪奇 2011 年）。

莫里茨·施利克主要负责将庞加莱的常规主义解释引入逻辑经验主义者中。特别是，他在给汉斯·赖兴巴赫的信中提倡了庞加莱的常规主义（或者至少是他认为的庞加莱的常规主义），涉及赖兴巴赫 1920 年的著作《相对论与先验知识》（Coffa 1991，Parrini 1998，Friedman 1999；Oberdan 2009）。然而，施利克后来在他 1935 年重新印刷并广泛阅读的文章《自然法则是常规吗？》中批评了广义常规主义。赖兴巴赫在他的《空间与时间哲学》（1928 年）中采用了几何常规主义，而卡尔纳普则将常规主义概括为科学采用的形式语言。庞加莱在逻辑经验主义的全盛时期被广泛引用和讨论，尽管他的常规主义的含义经常被扭曲，例如，波普尔将庞加莱的常规判断描述为分析判断（波普尔 2007：第八章）。爱因斯坦在他重要的文章《几何与经验》中对庞加莱的解释象征了他的几何常规主义在哲学文献中的命运。爱因斯坦在那里说，尽管当前的物理学（即广义相对论）与庞加莱的观点不一致，但他在原则上是正确的“sub specie aeterni”，即在理想的物理学中（爱因斯坦 1921）。因此，庞加莱提倡的具体几何常规主义受到了反对，但广义常规主义经常被接受。

虽然庞加莱的观点并不是 20 世纪 60 年代和 70 年代蓬勃发展的时空理论讨论的核心焦点，但他的观点始终处于背景之中。阿道夫·格伦鲍姆（1968 年）捍卫了几何约定论，尽管他使用了自己独特的论证而不是庞加莱的观点，但对格伦鲍姆和约定论的批评者不可避免地将一部分注意力转向庞加莱，他被公认为几何约定论进一步研究的杰出先驱。其中一些文献直接涉及庞加莱，尤其是托雷蒂（1978 年）。

1989 年，约翰·沃拉尔发表了一篇论文，捍卫结构实在论作为“两全其美”的科学实在论辩论中的最佳选择，他的灵感来自庞加莱。这一观点在科学哲学领域广泛讨论，并衍生出进一步的阐述和不同类型的区分，如实体和认识论的结构实在论（沃拉尔 1989 年；莱迪曼 2009 年）。庞加莱的认识论命题，即所有陈述至少部分依赖于一种约定的概念框架，在卡西米尔·阿杜基耶维奇的激进约定论中得到了概括（阿杜基耶维奇 1978 年），并与奎因的观点相关，即存在逻辑上不相容但在经验上等效的理论（奎因 1990 年：第 41 章）。（请参阅庞加莱 1905b：第 X.3 章，其中嵌入了与他的前学生埃杜瓦·勒罗伊关于名义主义的讨论，以及（德帕兹 2021 年）有关勒罗伊和庞加莱关系的更多信息。）

庞加莱还以他对在乘坐公共汽车期间发现福西安（或自守）函数与非欧几何之间关系的简要解释，引发了关于科学创造力的大量文献讨论。

当我踏上台阶的那一刻，这个想法突然出现在我脑海中，似乎与我以前的思维毫无关联，即我用来定义福克斯函数的变换与非欧几何的变换是相同的。（1908 年：49；1913b：387-388）

这个故事被广泛引用，他关于如何产生新颖想法的四步解释已被那些将创造性思维的发展与达尔文式的盲目变异类比的人所采纳，比如唐纳德·坎贝尔（1987 年 [1960]：99-100）和迪恩·K·西蒙顿（1988 年：27-33；1995 年：468-86；1999 年：32-4）；请参阅克朗费尔德纳对文献的批判性调查（2011 年：特别是 64-65 页）。庞加莱的创造力也被亚瑟·米勒（1984 年，1992 年，1996b 年，1997 年）分析并与其他科学家的创造力进行比较，尤其是爱因斯坦。

庞加莱的著作影响了艺术家（亨德森 1983 年），尤其是立体派运动，他们将自己的艺术方法与几何学史上的非欧几何学联系起来。在“立体派的数学家”莫里斯·普兰塞特密切研究了庞加莱的作品（德西莫 2006 年），以及他如何影响了毕加索等人，以及阿尔贝·格莱泽和让·梅津杰（1912 年），他们是著名著作《立体派》的作者，为这一艺术运动提供了理论。庞加莱的作品将运动产生的感觉与触觉结合起来（如在《科学与假设》中），以创造第四维度。莫里茨·科内利斯·埃舍尔使用庞加莱盘中的超几何平面的铺砌图案来表示有限空间中的无限结构（参见邓纳姆 2010 年（其他互联网资源），图 3，第 3 页）。庞加莱还直接影响了詹姆斯·乔伊斯，他在文学作品中尝试了非线性和拓扑学的描绘方式（麦克莫兰 2020 年）。

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Poincaré’s correspondence, Université de Lorraine.
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Searchable Bibliography of Poincaré’s works, Université de Lorraine.
The Foundations of Science: Science and Hypothesis, The Value of Science, Science and Method, online copy of Poincaré’s book, at gutenberg.org.
Multimedia resources about Poincaré, Université de Lorraine.

Acknowledgments

Thanks go to Scott A. Walter and to an anonymous referee for helpful comments on a draft of this article.

上一页普鲁塔克 Plutarch (George Karamanolis)下一页*以撒·波尔卡尔——见以撒·波尔卡尔 Polgar, Isaac — see Polqar, Isaac

最后更新于17小时前