库尔特·哥德尔 Gödel, Kurt (Juliette Kennedy)

首次发表于 2007 年 2 月 13 日；实质性修订于 2015 年 12 月 11 日

库尔特·哥德尔（生于 1906 年，卒于 1978 年）是现代数理逻辑中的主要奠基人之一。他以不完全性定理而闻名，这是 20 世纪数学中少数几个里程碑定理之一，但他的工作涉及数理逻辑的每个领域，如果不是在大多数情况下是它们的原始刺激。在他的哲学著作中，哥德尔阐述并捍卫了数学柏拉图主义，即数学是一门描述性科学的观点，或者说数学真理的概念是客观的观点。基于这一观点，他为集合论中的概念分析计划奠定了基础（见下文）。他坚持希尔伯特在数学中的“原始理性主义观念”（他自称如此）[1]，并在大基数在集合论中的重要性变得明确之前，预见并强调了它们的重要性。

1. 传记简介

库尔特·哥德尔于 1906 年 4 月 28 日出生在当时的奥匈帝国城市布鲁恩，现在是捷克共和国的布尔诺市。

哥德尔的父亲鲁道夫·奥古斯特是一位商人，他的母亲玛丽安娜是一位受过良好教育和有修养的女性，哥德尔一生中与她保持着亲密的联系，他们之间的长期广泛的通信是证明。这个家庭很富裕，哥德尔的童年是平静无事的，只有一个重要的例外；从大约四岁开始，哥德尔经常遭受健康问题，他一生中一直受到各种健康问题的困扰。

尽管健康问题不断，哥德尔在小学和后来的中学表现出色，尤其在数学、语言和宗教方面表现出色。1924 年，哥德尔从布尔诺中学毕业后，进入维也纳大学，参加了物理学的讲座，这是他最初感兴趣的领域，还参加了海因里希·戈姆珀兹的哲学讲座和数学讲座。哥德尔在本科期间修了一些物理课程，这在他的大学成绩单上有证明；鉴于哥德尔在 1947 年对相对论的贡献，这一点尤为值得注意。菲利普·弗特文格勒是他的数学教授之一，他是伟大的德国指挥家威廉·弗特文格勒的表亲，事实上，弗特文格勒关于类域论的课程几乎使哥德尔决定在这个领域继续深造。哥德尔从鲁道夫·卡尔纳普和汉斯·哈恩那里学到了逻辑，最终在哈恩的指导下于 1929 年获得了数学博士学位。他的博士论文的主要定理是一阶逻辑的完备性定理（哥德尔 1929 年）。[2]

库尔特·哥德尔的大学时代也标志着他开始参加维也纳学派的会议，这是一个围绕着莫里茨·施利克的团体，很快被称为“逻辑实证主义者”，这个术语是费格尔和布伦伯格在他们的 1931 年的《逻辑实证主义：欧洲哲学的新运动》中创造的（费格尔和布伦伯格 1931）。尽管哥德尔本人并不是逻辑实证主义者，但这些讨论对他的形成影响至关重要。

20 世纪 30 年代对于哥德尔来说是一个非凡的十年。在 1930 年发表了他的 1929 年论文之后，他在 1931 年发表了开创性的不完全性定理，基于这一定理，他在 1932 年获得了他的博士资格，并在 1933 年成为维也纳大学的特聘教授。

在这个十年结束时，他在数学上的成就之一是证明了选择公理和康托尔连续统假设与策梅洛-弗兰克尔集合论公理的一致性，分别在 1935 年和 1937 年获得。哥德尔还在这个时期发表了许多重要的关于模态和直觉逻辑以及算术的论文，其中最重要的是他的《关于直觉算术和数论》（哥德尔 1933e），他在其中证明了经典的一阶算术可以通过简单的翻译在海廷算术中解释。20 世纪 30 年代的其他出版物还包括关于谓词演算的决策问题、证明的长度以及微分几何和射影几何的论文。

在十年结束时，哥德尔的导师汉斯·哈恩和莫里茨·施利克都已经去世（后者被一名前学生暗杀），这两件事导致了哥德尔的个人危机。此外，他在大学的职位，即特许讲师职位，被取消，取而代之的是“新秩序讲师职位”，只有在通过种族测试后才能获得该职位。[3]在那十年里，哥德尔三次前往美国，引发了一次调查。（参见西格蒙德 2006 年。）最后，哥德尔在 1939 年被纳粹政府认定适合服兵役。

所有这些事件都对他决定在 1940 年离开奥地利产生了决定性影响，当时他和妻子阿黛尔移民到了美国。约翰·道森在他的哥德尔传记《逻辑困境》（Dawson 1997）中以及所罗门·费弗曼在《哥德尔的生活与工作》（Feferman 1986）中都详细叙述了他们生活中的这段漫长而艰难的经历，读者可以参考这两本书。

到达美国后，哥德尔在高级研究院担任普通成员职位；他于 1946 年成为该研究院的永久成员，并于 1953 年获得教授职位。（哥德尔和他的妻子于 1948 年 4 月获得美国公民身份。）他一直在该研究院工作，直到 1976 年退休。哥德尔夫妇从未返回欧洲。

哥德尔在研究所的早年以与他的日常散步伙伴阿尔伯特·爱因斯坦的亲密友谊以及他对数学哲学的转向而闻名，从大约 1943 年开始，哥德尔几乎完全专注于数学哲学领域。他随后终身参与哲学的最初阶段是一个富有成果的阶段（从出版物的角度来看）：1944 年，他发表了他的第一篇哲学论文，题为《论罗素的数理逻辑》（Gödel 1944），1947 年，他发表了第二篇论文，题为《康托尔的连续统假设是什么？》（Gödel 1947）。1949 年，他发表了第三篇论文，题为《关于相对论理论与唯心主义哲学之间的关系的一点注释》（Gödel 1949a）。后一篇论文与他在 1949 年获得的有关旋转宇宙的相对论结果相吻合，这些结果首次发表在一篇名为《爱因斯坦引力场方程的新型宇宙学解的一个例子》的文章中（Gödel 1949）。

在 1940 年代，哥德尔的其他重要哲学作品中，必须计算他 1941 年的演讲《直观逻辑何以具有建设性？》（Gödel *1941），其中引入了“有限类型的可计算函数”的概念。基于这次演讲的思想，他发表了一篇名为《关于有限观点的迄今未使用的扩展》的论文，该论文直到 1958 年才发表，其中将 Heyting 算术解释为无量词的演算 T，这一解释后来被称为“辩证解释”，以发表该文章的期刊命名（Gödel 1958）。（有关 1972 年修订版，请参见 Gödel 1995。）最后，这十年见证了哥德尔对莱布尼茨的深入研究的开始，哥德尔报告称，这一研究占据了 1943 年至 1946 年的时期。[4]

20 世纪 50 年代，哥德尔与哲学的关系日益加深：1951 年，哥德尔在布朗大学发表了一场哲学演讲，通常被称为吉布斯演讲，题为《关于数学基础及其哲学意义的一些基本定理》（哥德尔_1951）。从 1953 年到 1959 年，哥德尔致力于提交给希尔普（Schilpp）关于鲁道夫·卡尔纳普（Rudolf Carnap）的论文集的一篇论文，题为《数学是语言的句法吗？》（哥德尔_1953/9-III，哥德尔*1953/9-V）。哥德尔在有生之年都没有发表这两篇重要的手稿，尽管这两篇手稿都出现在哥德尔的遗稿中的两个清单上，清单名为《我可以发表的内容》（英文名：“What I could publish.”），这两篇手稿最终都出现在哥德尔 1995 年的著作中。到了这个十年的结束，哥德尔对现象学产生了浓厚的兴趣。[5]

哥德尔的最后几年以他传播两篇手稿而闻名：“一些考虑导致可能的结论，即连续体的真正能力是 ℵ2”（哥德尔_1970a，_ 1970b），他试图从豪斯多夫（Hausdorff）的所谓比例公理中推导出连续体的价值，以及他的“本体论证明”（哥德尔*1970），他在 1970 年将其托付给了达纳·斯科特（Dana Scott）（尽管它似乎是早些时候写的）。这两篇手稿共同构成了一个合适的遗言，对于一个在与数学和哲学的五十年的交往中，追求或更准确地说，寻求以“严格科学”为总标题追求这两个主题的基础的人来说，这是一个思维的转变，这种思维从哥德尔 1929 年开始就已经存在，当时他 23 岁时在他的博士论文中发表了一些哲学言论。

哥德尔于 1978 年 1 月 14 日在普林斯顿去世，享年 71 岁。他的死亡证明书上记录了死因为“饥饿和虚弱，由于人格障碍。”他的妻子阿黛尔比他多活了三年。

有关生平材料，请参阅库尔特·哥德尔 1987 年的著作，克利尼 1987 年的著作，克雷塞尔 1980 年的著作，陶斯基-托德 1987 年的著作和尤尔格劳 2005 年的著作。

2. 哥德尔的数学工作

下面是对哥德尔在逻辑学和集合论方面的一些主要贡献的考察。这对哥德尔的技术工作的处理并不详尽，省略了对哥德尔在物理学和决策问题上的工作的讨论。这些将在本条目的后续部分中进行处理。

对于哥德尔的全部工作的完整年表，读者可以参考约翰·道森在哥德尔的《集成作品》第一卷中编制的年表（哥德尔 1986 年，第 37 页）。

2.1 完备性定理

2.1.1 引言

库尔特·哥德尔可能非常熟悉希尔伯特和阿克曼在他们的著作《理论逻辑基础》（希尔伯特和阿克曼 1928）中于 1928 年首次明确提出的一阶谓词演算的完备性问题[6]。

希尔伯特和阿克曼提出的问题是关于一阶谓词演算的某个明确给定的公理系统是否“在所有个体域中都能推导出所有正确的逻辑公式”（van Heijenoort 1967, p. 48）。

2.1.2 完备性定理的证明

我们在库尔特·哥德尔的博士论文（哥德尔 1929）中概述了他自己的证明。与之前的努力（在下面和其他地方讨论，例如 Zach 1999）相比，一个重要的区别是哥德尔精确地定义了所有相关的基本概念。

在哥德尔的术语中，“逻辑表达式”是一个没有恒等性的良构的一阶公式。如果一个表达式的否定是可证明的，则它是“可证伪的”；如果它在每个解释中都为真，则它是“有效的”；如果它在某个解释中为真，则它是“可满足的”。完备性定理的陈述如下：

定理 1。每个有效的逻辑表达式都是可证明的。等价地，每个逻辑表达式要么是可满足的，要么是可证伪的。

哥德尔的证明演算是希尔伯特和阿克曼的文本。如果一个表达式的所有量词都出现在开头，那么它就是正常形式。一个表达式或公式的程度是指在公式开头交替出现的量词块的数量，假设以全称量词开始。哥德尔证明了如果完备性定理对程度为 k 的公式成立，那么它必须对程度为 k + 1 的公式成立。因此，完备性的问题可以简化为程度为 1 的公式。也就是说，需要证明程度为 1 的任何正常公式(Q)φ 要么是可满足的，要么是可证伪的，其中“(Q)”表示一个(非空)全称量词块，后面跟着一个(可能为空)存在量词块。

哥德尔定义了一种记账设备，即满足(Q)所规定的 φ 的所有变量元组的良序。例如，如果(Q)φ 是 ∀x0∃x1ψ(x0, x1)，我们列出无量词的公式 ψ(x n, x n+1)。（或者更准确地说，是递增长度的有限合取式。见下文。）然后，在由不同 x n 的值组成的任何域中，其中每个 ψ(x n, xn+1)都为真，句子(Q)φ 显然为真。一个关键引理声称对于每个 k，公式(Q)φ → (Q k)φk 是可证明的，其中无量词公式 φk 断言对于(Q)产生的变量元组的前 k 个元组，ψ 都为真，而(Q k)φk 是 φk 的存在闭包。（见下面的示例，其中给出了 φk 的定义。）这个引理是早期由勒文海姆和斯科勒姆提出的证明的主要步骤，而在一阶逻辑的完备性定理的背景下，它使得语法和语义之间的联系完全明确。

让我们考虑一个例子，展示哥德尔的方法如何找到一个特定的公式是可满足的还是它的否定是可证明的：考虑 φ = ∀x0∃x1ψ(x0, x1)，其中 ψ(x0, x1) 是无量词的。我们将展示这个公式要么是可证伪的，要么是可满足的。我们做出以下定义：

φ0 是表达式 ψ(x0, x1)

上面提到的关键引理表明，从 φ 我们可以推导出对于每个 n，∃x0…∃x**n+1φn。

情况 1：对于某个 n，φn 是不可满足的。然后，哥德尔通过使用已知的命题逻辑完备性定理[7]，论证出 ¬φn 是可证的，因此 ∀x0,…, x n+1¬φn 也是可证的。因此 ¬∃x0…∃x n+1φn 是可证的，因此 ¬φ 是可证的，即 φ 在希尔伯特-阿克曼系统中是可证伪的。（除了已经提到的关于命题逻辑的一些部分结果外，还包括 Post（1921）提出的命题演算的语义完备性，以及 Bernays 在 1918 年提出的同一命题演算的更一般的完备性定理；后者出现在 Bernays 的未发表的 1918 年 Habilitationsschrift 中；另请参阅 Bernays 1926。）
情况 2：每个 φn 都是可满足的。存在着只有有限个可能模型的集合，其宇宙为{x0,…, xn+1}。哥德尔通过定义模型 M 在模型 M'之下来对它们进行排序，如果 M 是 M'的子模型。通过这种方式，我们得到了一棵有限分支但无限的树。根据 König 引理，存在一条无限分支 B。（在证明中，哥德尔明确地构造了由 König 引理给出的分支，而不是引用它的名称。）B 上的模型的并集形成了一个具有宇宙{x0, x1,…}的模型 M。由于 M 满足每个 φn，原始公式 φ 在 M 中成立。因此 φ 是可满足的，我们完成了。

注意，在哥德尔证明的可满足性情况中，模型总是可数的。因此，这个完备性定理的证明也给出了 Löweheim-Skolem 定理（见下文）。哥德尔将结果推广到可数多个公式和带有恒等性的一阶逻辑的情况。他还证明了公理的独立性。

1930 年，哥德尔发表了基于他的论文（哥德尔 1930）的论文，该论文还因包含紧致性定理而引人注目，该定理在论文中只是隐含地陈述。哥德尔在哥德尔 1930 中陈述的定理如下：如果一个可数无限的量化公式集是可满足的，那么这些公式的每个有限子集也是可满足的。哥德尔使用紧致性定理推导出完备性定理的一个推广。

库尔特·哥德尔在 1936 年将紧致性定理推广到不可数词汇的情况下（参见 Mal'cev 1971），由此立即得出了向上的 Löwenheim-Skolem 定理。紧致性定理成为当时新兴的模型论学科中的主要工具之一。

2.1.3 完备性定理的一个重要推论

如果一个理论只有一个同构模型，则称其为范畴性理论；如果一个理论在基数为 λ 时只有一个同构模型，则称其为 λ-范畴性理论。完备性定理的一个主要推论是，Peano 算术和 Zermelo-Fraenkel 集合论都不具备范畴性。

就详细而言，关于一阶 Peano 公理（以下简称 PA），非标准模型的存在实际上是由完备性和紧致性共同推导出来的。我们可以按照以下方式构造这些模型，这些模型包含无限大的整数：在算术语言中添加一个新的常量符号 c。通过将无穷公理集合{c > 0, c > 1, …}添加到 PA 中，将 PA 扩展为一个新的理论 PA _，其中 3 表示为 S(S(S(0)))。PA_是有限一致的（即 PA*的每个有限子集都是一致的），因此是一致的，因此根据完备性定理，它有一个模型。

哥德尔在与完备性定理相关的任何出版物中都没有指出 Peano 算术模型的这个简单事实，直到很久以后，一般逻辑学界才注意到这一点。斯科勒姆在 1933 年的可定义超能力构造（参见斯科勒姆 1933 年）中直接构造了一个真算术的非标准模型（它扩展了 Peano 算术，是在自然数中为真的算术句子的集合）。但是斯科勒姆从未提到这样的模型的存在是由完备性和紧致性定理推导出来的。哥德尔在他对斯科勒姆论文的评论（1934c）中也没有提到这一事实，而是观察到算术的非一致性是由于不完备性定理导致的。

至于集合论，斯科勒姆在 1923 年已经注意到了非一致性的失败，因为它是由 Löwenheim-Skolem 定理（斯科勒姆在那一年得出的结论；参见斯科勒姆 1923 年，基于 Löwenheim 1915 年和斯科勒姆 1920 年）推导出来的：任何具有模型的可数语言的一阶理论都有一个可数模型。

斯科勒姆观察到集合论中的分类性因为它具有可数模型而失败，现在被称为斯科勒姆悖论。[8]这个观察在斯科勒姆的论文中得到了强调，因此论文的标题是《关于集合论公理基础的一项观察》。正如他在结论中写道，他在 1915 年就已经指出了集合论中的相对性，原因是：

…首先，我同时忙于其他问题；其次，我认为用集合的公理化作为数学的令人满意的最终基础是如此明显，以至于大多数数学家不会太关心它。但最近我惊讶地发现，有这么多数学家认为这些集合论公理提供了数学的理想基础；因此，我觉得是时候发表一篇批判性文章了。（英文翻译摘自 van Heijenoort 1967，第 300 页。）

顺便提一下，在 Löwenheim-Skolem 定理的证明中，特别是在构造可满足句子的模型的部分，Löwenheim 和 Skolem 的树构造与哥德尔的论文中的几乎完全相同。在 1967 年写给王浩的一封信中，哥德尔注意到他的完备性证明几乎已经被 Skolem 在 1923 年获得。尽管 van Heijenoort 和 Dreben（Dreben 和 van Heijenoort 1986）指出，“在 20 世纪 20 年代的大部分时间里，研究量化理论的主要关注点不是语义完备性，而是量化有效性的决策问题，这个问题起源于 Schröder 和 Löwenheim 的工作”（这类结果的例子包括 Behmann 提出的一阶单调谓词演算的决策过程，（Behmann 1922）），但是根据哥德尔的说法，Skolem 没有获得完备性证明的原因是不同的，并且在哲学上很重要，与当时对语义和无穷方法的主导偏见有关：

从数学上讲，完备性定理确实几乎是 Skolem 1923 的一个微不足道的结果。然而，事实是，当时没有人（包括 Skolem 自己）从 Skolem 1923 中得出这个结论，也没有像我一样从他自己的类似考虑中得出这个结论...逻辑学家们的这种盲目（或偏见，或者你可以称之为其他什么）确实令人惊讶。但我认为解释并不难找到。它在当时普遍缺乏对元数学和非有限推理所需的认识论态度中。（哥德尔 2003b）。

Skolem 对完备性定理的贡献的问题已在 van Atten 和 Kennedy 2009 以及 van Atten 2005 中进行了广泛讨论。

2.2 不完全性定理

哥德尔在他 1929 年的论文中已经提到了关于实数的一个问题的不可解性的可能性，这是他反对希尔伯特的形式主义原则，即一致性是存在的标准。事实上，给出分析的一致性的有限证明是当时被称为希尔伯特计划的关键要求之一，与证明其完备性一起。因此，哥德尔转向了这些问题，特别是第一个问题，这导致了他提出的两个不完全性定理。（关于希尔伯特计划的讨论，请参阅标准参考资料：Sieg 1990, 1988, 1999; Mancosu 1998, Zach 2003, Tait 1981 和 Tait 2002。）

第一个不完全性定理通过展示一个算术陈述，该陈述在 Peano 算术中既不能被证明也不能被证伪，但在标准模型中是真实的，从而提供了完备性的反例。第二个不完全性定理表明算术的一致性不能在算术本身中被证明。因此，哥德尔的定理证明了希尔伯特计划的不可行性，如果它要以一致性和完备性作为特定的要求。

顺便说一下，冯·诺伊曼在哥德尔之前就以这种方式理解了这两个定理。事实上，冯·诺伊曼在认为它们显示了古典数学的不可行性方面更进一步。他在 1931 年 6 月写信给卡尔纳普时写道：

因此，我现在认为：1. 哥德尔已经显示了希尔伯特计划的不可实现性。2. 没有更多的理由拒绝直觉主义（如果忽略美学问题的话，这对我来说也将是决定性因素）。因此，我认为哥尼斯堡的基础讨论状态已经过时，因为哥德尔的基本发现已经将问题提升到完全不同的水平。[9]

而在之前的秋天，冯·诺伊曼以更强烈的措辞写信给哥德尔：

因此，我认为你的结果否定地解决了基础问题：经典数学没有严格的理论依据。（哥德尔 2003b，第 339 页）

哥德尔本人花了几年时间才意识到希尔伯特计划的这些方面已经被他的结果彻底驳斥了（Mancosu 2004）。

2.2.1 第一不完全性定理

在他的《逻辑之旅》（王浩 1996 年）中，王浩发表了哥德尔写的全部材料（应王浩的要求），关于他对不完备性定理的发现。这些材料构成了王浩的《关于库尔特·哥德尔的一些事实》，并得到了哥德尔的阅读和批准：

1930 年夏天，我开始研究古典分析的一致性问题。希尔伯特为什么要用有限方法直接证明分析的一致性，这是个神秘的问题。我看到了两个可区分的问题：用有限数论证明数论的一致性，用数论证明分析的一致性...由于有限数论的领域没有明确定义，我从解决后半部分开始...我用数论中的谓词来表示实数...并发现我必须使用真理的概念（对于数论）来验证分析的公理。通过对给定系统中的符号、句子和证明进行枚举，我很快发现算术真理的概念无法在算术中定义。如果在系统本身中定义真理是可能的，我们将会得到类似于说谎者悖论的东西，从而显示系统不一致...请注意，这个论证可以形式化地表明存在不可判定的命题，而不给出任何个别的实例。（如果没有不可判定的命题，系统中所有（且仅有）真命题都将在系统内可证明。但这样我们将得到一个矛盾。）...与真理相比，在给定形式系统中的可证性是系统中某些句子的明确组合性质，可以通过适当的基本手段进行形式化说明...

我们看到，哥德尔首先试图将分析中的一致性问题归约为算术问题。这似乎需要为算术定义一个真理，这反过来导致了悖论，比如说谎者悖论（“这个句子是假的”）和贝里悖论（“由仅由十四个英文单词组成的表达式未定义的最小数”）。然后哥德尔注意到，如果用可证明性代替真理，这样的悖论不一定会出现。但这意味着算术真理和算术可证明性并不是一致的，由此得出了第一不完全性定理。

这个关于哥德尔发现的叙述是在事后告诉王浩的；但是从哥德尔与伯奈斯和策梅洛的当代通信中，我们可以看到他对定理的路径基本上是相同的描述。（分别参见哥德尔 2003a 和哥德尔 2003b。）从这些叙述中我们可以看出，算术中真理的不可定义性，这一结果归功于塔斯基，可能在 1931 年左右由哥德尔以某种形式获得。但他既没有公开也没有发表这个结果；逻辑学家在当时对真理概念表达的偏见，这些偏见在塔斯基在 1935 年宣布他关于形式系统中真理不可定义性的结果时变得非常激烈，可能成为哥德尔不发表该定理的一种阻碍。

2.2.2 第一不完全性定理的证明

我们现在描述两个定理的证明，用 Peano 算术来表述哥德尔的结果。哥德尔自己使用了一个与《数学原理》中定义的系统相关的系统，但包含了 Peano 算术。在我们对第一和第二不完全性定理的展示中，我们按照哥德尔的符号表示法将 Peano 算术称为 P。

在进入正式证明的细节之前，我们定义了哥德尔在第一不完全性定理中使用的 ω-一致性概念：如果对于所有 n，P ⊢ ¬φ(n)都成立，则 P 是 ω-一致的，这自然意味着一致性，并且是基于自然数满足 Peano 算术公理的假设得出的。

证明中使用的主要技术工具之一是哥德尔编号，这是一种将我们的形式理论 P 中的项和公式分配给自然数的机制。有不同的方法可以做到这一点。最常见的方法是基于将自然数唯一表示为质数的幂的乘积。数论中的每个符号 s 都以一种固定但任意的方式被分配一个正自然数#(s)，例如

#(0) = 1

#(=) = 5

#(¬) = 9

序列 w = < w0,…, w**k > 对应的自然数是

⌈ w ⌉ = 2#(##w##0) · 3#(_w_1) · … · p**k#(w**k),

其中 p**k 是第 k+1 个素数。它被称为它的哥德尔数，并用 ⌈w⌉ 表示。通过这种方式，我们可以为公式、公式序列（一旦采用了区分一个公式结束和另一个公式开始的方法）以及最重要的证明分配哥德尔数。

这里的一个关键点是，当一个公式被解释为一个自然数时，那么对应于该自然数的数字可以作为一个公式的参数出现，从而使得语法可以“引用”自身，可以这么说（即，当一个数字被替换到一个公式中时，该数字所代表的哥德尔数）。这最终将使得哥德尔能够通过将自己的自然数编码（或更准确地说是相应的数字）替换到说“具有代码 x 的公式是不可证明的”这个公式中，从而形式化 Liar 悖论（以“可证明性”代替“真实性”）。

执行形式化所需的另一个概念是数论谓词的数字表达能力的概念。如果对于每个自然数元组（n1，…，n**k），数论公式 φ(n1，…，nk)在 P 中是数字表达的。

其中 n 是表示自然数 n 的形式术语。（在 P 中，这是 S(S(…S(0)…)，其中 n 是将继承函数应用于常量符号 0 的次数。）其中一个主要目标是以数字方式表达谓词

Prf(x, y)：‘具有 Gödel 编号 x 的序列是具有 Gödel 编号 y 的句子的证明。’

达到这个目标需要定义四十五个关系，每个关系都是根据前面的关系定义的。这些关系都是原始递归的。[10] 所需的关系包括，断言一个自然数编码了一个序列、一个公式、一个公理，或者它是一个公式的代码，用 Sb(r u1…unZ(x1)…Z(x n))表示，通过用其自由变量 u i 的第 x i 个数字替换公式 r 的代码获得的公式，其中 i = 1，…，n。第四十五个定义的原始递归关系是 Prf(x, y)，第四十六个是

Prov(y): '具有 Gödel 编号 y 的句子在 P 中是可证明的'

它不是原始递归的，但是可以通过对 x 进行存在量化从 Prf(x, y) 获得。（Prov(y) 仅满足数字表达能力的“正”部分，而不是“负”部分；但是不需要“负”部分。）

在他的论文中的定理 V 中，哥德尔证明了任何原始递归的数论谓词在 P 中是按数字表达的。因此，当对自由变量 x 和 y 进行替换时，P 可以决定 Prf(x, y)和替换是否是原始递归的。这是问题的核心，我们将会看到。关于按数字表达的另一个关键点是，虽然我们可以非正式地解释 Prov(Sb(r u1…unZ(x1)…Z(x n)))为：“如果将第 i 个数字的哥德尔数替换到第 i 个变量的位置，具有哥德尔数 r 的公式是可证的”，但是在 P 理论内部的正式陈述以及我们对其证明的任何内容都不涉及这样的含义。相反，Prov(Sb(r u1…unZ(x1)…Z(x n)))是一个无意义的逻辑和算术符号串。正如哥德尔在他的定理 V 的引言中所说：“如果给出了这个系统的公式的通常含义，那么可以模糊地表述每个递归关系在系统 P 中是可定义的”，这个事实可以用精确的语言表达，而不涉及对 P 的任何公式的解释（哥德尔，1986 年，第 171 页，哥德尔斜体）。

在他的不完全性定理中，哥德尔使用了一种现在被称为哥德尔不动点定理的方法。尽管哥德尔在证明不完全性定理的过程中构造了一个不动点，但他并没有明确陈述不动点定理。不动点定理如下：

定理 2（哥德尔不动点定理）如果 φ(v0)是数论的一个公式，则存在一个句子 ψ，使得 P ⊢ ψ ↔ φ(⌈ψ⌉)，其中 ⌈ψ⌉ 是与 ⌈ψ⌉ 的自然数编码对应的形式术语。
证明：设 σ(x,y,z)是一个公式，按数字表达数论谓词“y 是通过将变量 v0 替换为项 z 而得到的具有 Gödel 数为 x 的公式的 Gödel 数”。设 θ(v0)是公式 ∃v1(φ(v1) ∧ σ(v0, v1, v0))。令 k = ⌈θ(v0)⌉，ψ = θ(k)。现在根据构造，直接有 P ⊢ ψ ↔ φ(⌈ψ⌉)。

如果一个句子的否定是可证明的，则它是可证伪的。Gödel 所陈述的第一不完全性定理如下：

定理 3（哥德尔的第一不完全性定理）如果 P 是 ω-一致的，那么存在一个句子，既不能从 P 中被证明，也不能被反驳。
证明：通过对上述引用的语法进行谨慎编码，编写一个可在 P 中表示的数论公式 Prf(x,y)[ 11]。
库尔特·哥德尔证明了 φ⇒P ⊢ Prf(n, ⌈φ⌉)。
和
库尔特·哥德尔未证明 φ⇒P ⊢ ¬Prf(n, ⌈φ⌉)。
令 Prov(y)表示公式 ∃x Prf(x,y)[ 12]。根据定理 2，存在一个句子 φ 具有以下属性
P ⊢ (φ ↔ ¬Prov(⌈φ⌉)).
因此，φ 表示“我是不可证明的”。我们现在观察到，如果 P ⊢ φ，则根据(1)存在一个 n 使得 P ⊢ Prf(n, ⌈φ⌉)，因此 P ⊢ Prov(⌈φ⌉)，因此，根据(3)P ⊢ ¬φ，因此 P 是不一致的。因此
P ⊬ φ
此外，根据（4）和（2），我们有对于所有自然数 n，P ⊢ ¬Prf(n, ⌈φ⌉)。根据 ω-一致性，P ⊬ ∃x Prf(x, ⌈φ⌉)。因此（3）给出了 P ⊬ ¬φ。我们已经证明了如果 P 是 ω-一致的，那么 φ 对于 P 是独立的。

在结束第一个定理的证明时，哥德尔评论道：“我们可以很容易地看到刚刚给出的证明是具有建设性的；也就是说……以一种直观上无可反对的方式证明了…”（哥德尔 1986 年，第 177 页）。这是因为，正如他指出的，所有存在性陈述都基于他的 V 定理（给出了原始递归关系的逐数字表达性），这是直观上无可反对的。

2.2.3 库尔特·哥德尔的第二不完全性定理

库尔特·哥德尔的第二不完全性定理在数论中确立了数论的一致性无法被证明。首先，我们必须写下一个表达公理一致性的数论公式。这是令人惊讶地简单。我们只需让 Con(P)成为句子 ¬Prov(⌈0 = 1⌉)。

定理 4（哥德尔的第二不完全性定理）如果 P 是一致的，那么 Con(P)不能从 P 中被证明。
证明：设 φ 如(3)所示。推理用于推断“如果 P ⊢ φ，则 P ⊢ 0 ≠ 1”不超出初等数论，并且因此，尽管需要很多努力（见下文），但可以在 P 中形式化。这产生了：P ⊢（Prov（⌈φ⌉）→ ¬Con（P）），因此根据（3），P ⊢（Con（P）→ φ）。由于 P ⊬ φ，我们必须有 P ⊬ Con（P）。

上述（概述）的第二不完备性定理的证明看似简单，因为它避免了形式化。严格的证明必须在 P 中建立“如果 P ⊢ φ，则 P ⊢ 0 ≠ 1”的证明。

值得注意的是，在哥德尔的第二不完备性定理的证明中不需要 ω-一致性。还要注意的是，由于 P 的一致性和现在被称为 Löb 定理的事实，即 P ⊢ Prov（⌈φ⌉）蕴含 P ⊢ φ，因此 ¬Con（P）是不可证明的。

库尔特·哥德尔在第一不完全性定理中的 ω-一致性假设在 1936 年被罗瑟尔消除，并被较弱的一致性概念所取代。罗瑟尔的推广涉及将不动点定理应用于公式 R(x)：“对于所有的 z：要么 z 不是具有哥德尔数 x 的公式的证明的哥德尔数，要么存在一个比 z 更短的证明来否定（具有哥德尔数）x 的公式”（参见罗瑟尔 1936 年）。

关于第二不完全性定理，该论证部分依赖于将第一不完全性定理的证明形式化，正如我们所见。这一步在哥德尔 1931 年的论文中被省略了。他计划在原本应该是第二部分 II 中包括这一步（参见哥德尔 1931 年的脚注 48a）。但是，他没有写下来，而是转向了连续统问题[13]（第二部分还将详细阐述其他几点：不完全性的“真正原因”以及两个定理在其他系统中的适用性）。他可能没有感到有必要去处理看起来像是形式化练习的东西，而是依靠非正式的论证来说服（这一点成功了）。然而，这一步结果证明并不是那么简单。正如克利尼在他对哥德尔 1931 年论文的引言中所说的那样，“当然，关于定理 XI（一致性）的论证思路非常有说服力；但是事实证明，细节的执行需要比预期更多的工作和关注。”（参见哥德尔 1986 年的第 126-141 页）。最终，希尔伯特和伯奈斯在他们 1939 年的《希尔伯特和伯奈斯》中给出了第二定理的完整证明，共计约七十页。洛布在他的 1956 年的《洛布》中给出了更简洁的定理处理方式，随后费弗曼在他的 1960 年的《在一般情境中的元数学算术化》中对第一和第二定理进行了简明而完全的处理。但请参阅补充文件：

库尔特·哥德尔的不完备定理是否推翻了希尔伯特的计划？

更详细的讨论，请参阅关于哥德尔的不完备定理的条目。

2.3 加速定理

库尔特·哥德尔的 1936 年的“加速”定理，发表在一篇名为“论证明的长度”的摘要中，哥德尔 1936 年指出，虽然算术的某些句子是真实的但无法证明的，但还有其他句子是可证明的，但即使是最短的证明也比事先给定的句子的递归函数的任何界限都要长。更确切地说：

定理 5。对于任何递归函数 f，存在可证明的算术句子 φ，其最短证明的长度大于 f(⌈φ⌉)。

我们将要概述的证明对于我们用于证明长度的特定概念是敏感的。另一种可能性，也是哥德尔所考虑的，是证明中的公式数量。Buss（见下文）证明了定理的两种情况，因此两种情况都得到了解决。

证明：设 f 是一个全递归函数。根据哥德尔的不动点定理，存在一个公式 φ(n)，陈述“φ(n)在 PA 中没有比 f(n)更短的证明”。如果长度是通过符号数量来衡量的话，这是可行的，因为我们只需要搜索比 f(n)更短的有限数量的证明。注意，对于所有 n，φ(n)都是真的，因为如果 φ(n)为假，则会有一个短证明证明 φ(n)，因此根据完备性，φ(n)将为真，这是一个矛盾：φ(n)既为真又为假。这可以在 PA 中形式化，因此我们得到的结果是对于每个 n，句子 φ(n)在 PA 中是可证明的。由于对于所有 n，φ(n)都是真的，它在 PA 中不可能有比 f(n)更短的证明。

加速定理是对不完备定理证明的思考和阐述的结果。它将不可证明性的概念应用于短证明，而不是仅仅应用于不可证明性。证明的味道与不完备定理的证明非常相似。有趣的是，它与罗瑟尔在第一不完备定理中消除了 ω-一致性的构造的年份相同；就像哥德尔的加速定理一样，罗瑟尔的构造利用了短证明和长证明的问题。哥德尔从未提交过加速定理的证明。多年来，已经发表了几个相关的证明，但哥德尔原始结果的第一个完整证明直到 1994 年由萨姆·布斯在他的《关于哥德尔关于证明长度的定理 I：行数和算术加速》（布斯 1994）中给出。布斯还给出了该定理的第二个避免自指的证明，采用了斯特曼的技术。哥德尔通过公式的数量来衡量证明的长度；但也有其他可能性，比如证明中符号的数量。根据符号数量衡量证明长度的加速定理的情况在 1952 年由莫斯托夫斯基证明（莫斯托夫斯基 1982）。有关类似结果的证明，请参见埃伦福特和米切列斯基 1971 年以及帕里赫 1971 年的论文。虽然这两种度量方法可能同样适用于衡量证明的长度，但根据符号数量衡量长度的定理避免了另一种度量方法引入的技术复杂性：具有给定符号数量的证明只有有限个，而具有给定公式数量的证明有无穷多个。

哥德尔以与上述不同的方式陈述了加速定理。设 Sn 为第 n 阶逻辑系统，第一级变量被认为是自然数的范围。在这种设置下，第二级变量的范围是自然数集合，依此类推。哥德尔的表述是：

定理 6。设 n 是一个大于 0 的自然数。如果 f 是一个可计算函数，则存在无穷多个在 S n 中可证的公式 A，使得如果 k 是 A 在 S n 中最短证明的长度，l 是 A 在 S**n+1 中最短证明的长度，则 k > f(l)。
证明概述：思路如下：设 φ(x)是一个公式，如上所述，对于任何 m，φ(m)在 S n 中没有短证明。假设我们有一个更高阶的系统 S n+1，我们可以证明 ∀xφ(x)。这个证明的长度是恒定的。因此，每个 φ(m)都可以通过逻辑规则 ∀xφ(x) → φ(t)从这个普遍陈述中推导出来。因此，在该系统中，φ(m)对于所有 m 都有一个短证明。

我们可以有哪种更强的系统可以证明 ∀xφ(x)？我们可以考虑二阶逻辑，在这个逻辑中，我们可以定义一个谓词 N(x)表示自然数集，并且可以证明一个新的谓词符号 Tr(x)满足对于算术的一阶公式的真值定义的归纳子句，相对于 N。然后，更强的系统可以证明可证的算术一阶句子满足谓词 Tr。根据上述论证，我们可以在更强的系统中证明 ∀xφ(x)满足 Tr。然后，通过添加几行，我们可以证明每个 φ(n)满足 Tr。由于 φ(n)的性质，这意味着更强的系统有一个（短）证明 φ(n)。另一个系统是 Peano 的公理 PA，使用扩展语言，在该语言中，我们有一个新的谓词符号 Tr 和陈述该谓词 Tr 对于不包含 Tr 的词汇的所有句子的满足关系的公理。

2.4 库尔特·哥德尔在集合论中的工作

2.4.1 序列假设的一致性和选择公理

库尔特·哥德尔对于序列假设与策梅洛-弗兰克尔集合论公理的一致性的证明是一次华丽的壮举，也可以说是他数学生涯中最伟大的成就。这是因为除了算术化之外，几乎所有在证明中使用的技术机器都必须从头开始发明。

序列假设（以下简称 CH）由格奥尔格·康托尔提出，并且是希尔伯特在 1900 年巴黎国际数学大会上发表的著名演讲中列出的二十三个未解问题中的第一个问题。希尔伯特所陈述的问题如下：设 A 是一个无限集合的实数集。那么 A 要么是可数的，要么具有基数 2ℵ0，即 A 要么与自然数集一一对应，要么与所有实数集（也称为连续体）一一对应。另一种陈述连续体假设的方式是（第一个不可数无穷基数）ℵ1 = 2ℵ0。

早在 1922 年，斯科勒姆就猜测连续统假设（CH）与泽尔梅洛在 1908 年提出的集合论公理是独立的。然而，希尔伯特在 1926 年发表了一个（错误的）证明 CH 的证明。1937 年，哥德尔证明了 CH 与 ZF 集合论公理的一致性。（此后，我们使用泽尔梅洛-弗雷因克尔集合论的标准缩写，ZF 和带有选择公理的泽尔梅洛-弗雷因克尔集合论，ZFC。）保罗·科恩在 1961 年证明了 CH 的否定的一致性（参见科恩 1963），因此结合哥德尔的结果可以推断出 CH 与 ZF（和 ZFC）是独立的。

科恩在证明他的结果时发明了一种重要的新技术，称为强制（forcing）；这种技术目前是构造集合论模型的主要方法。强制导致了集合论形式主义的复兴，模型的多样性表明了“集合论中的本质可变性”（Dehornoy 2004），并远离了有一个集合论的预期模型的观念——这是哥德尔自 1947 年以来就提倡的观点，如果不是更早的话。最近有迹象表明，CH 可能再次被视为一个需要通过数学方法解决的问题（当然需要一些扩展 ZF 的新明显公理的帮助）。（例如，参见 Woodin 2001a，2002，2001b 和 Foreman 1998。）如果任何提出的解决方案得到接受，这将证实哥德尔的观点，即通过找到 ZF 集合论公理的明显扩展最终可以决定 CH。与这一观点相关的计划被称为“哥德尔的大基数计划”。

2.4.2 哥德尔对连续统假设和选择公理与泽尔梅洛-弗雷因克尔集合论公理的一致性的证明

库尔特·哥德尔通过找到一个由可数序数索引的实数的枚举，证明了连续统假设与 ZF 一致。这个策略早在希尔伯特时代就被认为是有希望的。问题和证明背后的直觉是构建一个“小”的模型，其中允许的实数数量绝对最少，同时模型足够大，以满足 ZF 公理所断言的所有操作。

哥德尔的相对一致性证明是通过构建一个所谓的“内模型”来获得的，该模型同时满足 ZF 和 CH。内模型是集合 V 的一个子集合 M（见下文），当只考虑 M 中的集合时，它满足 ZF 公理。哥德尔的内模型被称为可构造集的内模型（见下文），用 L 表示。在内模型中的任何真实性都与 ZF 一致，原因是任何具有模型的理论都是一致的。构造的一个结果是选择公理（AC）在哥德尔的内模型中成立，因此哥德尔证明了 AC 与 ZF 的一致性。后来，Sierpinski 证明了 AC 实际上是广义连续统假设或 GCH 的结果，该假设表明对于每个 κ，2κ = κ+（参见 Sierpinski 1947）。

哥德尔在 1939 年和 1940 年分别发表了这些定理的两个版本，分别题为《广义连续统假设的一致性证明》和《选择公理和广义连续统假设与集合论公理的一致性》，尽管完全确定，但 1939 年版本缺乏许多细节，尤其是缺少了证明如果 L 是在 L 内部构建的，则结果仍然是 L 的论证，也就是所谓的绝对性论证。还缺少了证明 ZF 公理在 L 中成立的细节。然而，与第二不完全性定理的情况不同，哥德尔随后在 1940 年的专著中完全详细地证明了这两个定理。（1940 年的证明与第一个版本有很大的不同。关于这两个证明和它们之间的差异的详细信息，请参阅 Solovay 1990 和 Kanamori 2006。）

现在我们用现代术语概述一下关于 CH 和 AC 与 ZFC 一致性的证明。在概述证明之前，我们先介绍一些预备概念：我们首先定义分层集合论宇宙，记为 V。（V 也被称为累积层次结构。）它是通过从空集开始迭代幂集操作（℘）而得到的：

_V_0

∅,

其中 α、β 是任意序数，γ 是一个极限序数，℘(x)表示 x 的幂集。最后

where Ord denotes the class of all ordinals.

库尔特·哥德尔定义的可构造层 L 也是通过对序数进行递归来定义的。但是，与完全幂集操作迭代以获得累积层次结构不同，可构造层次的层级严格地以预测方式定义，即仅在下一层级中包括那些使用来自上一层级的参数的一阶可定义集合。更确切地说，让 Def(A)表示通过在结构 < A,∈>中使用一阶公式和 A 中的参数来定义的 A 的所有子集。（有关可定义性的更多信息，请参见本百科全书中关于模型论的条目。）

使用这个符号，可构造层次通过对序数进行归纳来定义，如下所示：

_L_0

∅,

一个集合 x 被称为可构造的，如果 x ∈ L。将所有集合都是可构造的公理表示为 V = L，并称之为可构造性公理。注意，L 是一个适当的类而不是一个集合；尽管我们将看到，每个 Lα 都是一个集合，而“x 是可构造的”谓词实际上是语言的一个可定义术语。

我们的下一个任务是证明 L 是 ZF 的一个模型。如果一个集合或类的元素也是它的子集，则该集合或类是传递的。通过细致的超限归纳，可以证明对于每个 α，Lα 都是传递的；因此 L 本身也是传递的。这个事实，再加上观察到一些基本的闭包性质在 L 中成立[16]，足以证明 L 是 ZF 的一个模型。（实际上，事实证明，L 是包含所有序数的 ZF 公理的最小传递模型，因此在这个意义上是规范的。）

具体来说，证明 ZF 公理在 L 中除了包含公理之外都是真的，相当于证明大致上任何具有 ZF 公理断言存在的属性 P 的集合，可以通过考虑将属性 P 相对于 L 的相对化 PL 来看出在 L 中存在。（属性 P 相对于内部模型 M 的相对化是通过将每个量词 ∃xφ 替换为 ∃x(x ∈ M ∧ φ)和每个量词 ∀xφ 替换为 ∀x(x ∈ M→ φ)来实现的。）至于包含公理，验证它需要证明所断言的集合是在特定的后继层 Lα + 1 中构造的。证明这一点需要集合论中一个重要的原理，现代术语中称为 Levy（或 ZF）反射原理。这个原理说，ZF 语言中的任何在 V 中为真的语句，在任何连续递增的层次结构（如 L）的某个层次上已经为真。（关于这个原理的历史，请参见 Kanamori 2006。）Levy 反射原理给出了集合的元素都是在哪个层次上构造的级别 α。哥德尔实际上没有使用 Levy 反射原理，而是使用了该原理证明背后的论证。

一旦确定 L 是 ZF 的一个模型，现在可以证明 CH 和 AC 在 L 中成立。为此，首先要证明 L 的定义对 L 是绝对的，其中绝对性的定义如下：给定一个类 M，谓词 P(x)对于 M 来说是绝对的，当且仅当对于所有 x ∈ M，P(x) ↔ PM(x)。

证明谓词“x 是可构造的”是绝对的需要形式化可定义性的概念，而形式化可定义性的概念又需要形式化满足性的概念。这是因为谓词“x 是可构造的”对于一个集合来说，对于某个序数 α 和某个公式 φ（其中 Lα 中的参数），x = {y ∈ Lα | Lα ⊨ φ(y)}。证明的这一部分是冗长但没有问题的。

一旦确定了 L 的绝对性，就可以得出如果将 ZF 相对于 L 来相对化，那么 ZF 满足构造性公理；也就是说，ZF ⊢ (V=L)L。特别地，如果 ZF 是一致的，那么公理 V = L 也是一致的。

我们现在给出在 ZF + V = L 中对 CH 和 AC 的证明思路。（对于证明的详细阐述，请参考标准资料。例如，参见 Devlin 在 Barwise 1977 中关于可构造性的章节；还可以参考 Kunen 1983 和 Jech 2003。）

关于 CH，它在 L 中的证明思路很简单：哥德尔证明了在假设 V = L 的情况下，每个实数都出现在 L-层次结构的某个可数层次上。由于每个可数层次本身也是可数的（毕竟，可能的定义公式只有可数个），而可数层次的数量为 ω1，因此实数的数量也只有 ω1 个。

这里的困难，如果不是整个证明的困难，就在于要证明每个实数都已经在 L-层次结构的某个可数层次上构造出来了。为了证明这一点，哥德尔采用了以下论证：假设 A 是一个被看作自然数集合的实数。通过 Levy 反射原理和 Löwenheim-Skolem 定理的组合，存在一个 < M, ∈ > 是 < L, ∈ > 的一个满足 ZF 公理+V = L 的足够大的有限部分的可数子模型，使得 A 属于 M。通过一个简单的过程，< M, ∈ > 可以转化为一个传递模型 < N, ∈ >。这个过程，哥德尔在 1937 年已经使用过，而 Mostowski（Mostowski 1949）则明确地将其单独提取出来。得到的模型被称为 Mostowski 折叠。

让我们暂停一下来讨论这个重要的技术。假设 < M，E> 是外延公理的一个良基模型。由于二元谓词 E 在 M 上的良基性质和超限递归原理，方程 π(x) = {π(y) | y ∈ M ∧ yEx}定义了 M 上的一个唯一函数。π 的值域 N 是传递的，因为如果 π(a) ∈ N 且 y ∈ π(a)，那么存在 M 中的某个 b 使得 y = π(b)，其中 bEa，因此 π(b) ∈ N。π 是 < M，E> 和 < N，∈> 之间的同构可以通过对 M 中的元素进行超限归纳来证明，这又基于 E 的良基性质。实际上，< M，E> 的良基性质通常是 < Vα，ε> 的子模型的结果。

现在我们回到在 L 中证明 CH 的过程。我们使用 Mostowski 折叠构造了传递集合 N。事实证明，实数 A 仍然是 < N，∈> 的一个元素。根据 L 的基本性质，< N，∈> 必须是某个 Lα，∈。由于 N 是可数的，α 也是可数的。（可以证明|Lα| = |α| + ℵ0。）因此 A 在一个可数层次上是可构造的，这就是要证明的。

至于 AC，哥德尔展示了一个可定义的良序，即在 L 中定义了一个关于 L 的所有元素的良序。这个公式写起来很繁琐，但思想很简单：在良序中，集合 x 在集合 y 之前当且仅当 x 在 L 层次结构中出现在比 y 更早的层次 Lα 上，或者它们出现在同一层次上但 x 的定义比 y 的定义更短，或者它们由相同的公式定义但 x 的定义中的参数出现在比 y 的参数更早的 L 中。L 的这个良序表明 AC 在 L 中成立。

这就完成了对 AC 和 CH 在 L 中一致性的证明。

我们注意到，哥德尔在他的 1939 年和 1940 年证明了更多的内容，即他证明了 L 中的广义连续统假设，从而证明了它与 ZF 的一致性。

2.4.3 一致性的结果

正如上面所提到的，在 20 世纪 20 年代已经有人提出，CH 可能独立于 ZF 或 ZFC。在最初猜测可构造性公理可能是“绝对一致”的情况下，意味着它不会被 ZF + V = L 的任何进一步模型扩展所证伪，哥德尔在他 1947 年的《康托尔的连续统假设是什么？》中猜测 CH 将被证明是独立的。哥德尔的结果的主要后果是，就证明 CH 的独立性问题而言，它指引数学家们朝向在集合论模型中添加不可构造集合以建立 CH 的否定的一致性的方向。1961 年，Dana Scott 证明了可构造性公理的失败来自于存在一个可测基数，这与哥德尔在 1940 年提出的猜想相反。（参见 Scott 1961. 一个基数 κ 被称为可测的，如果在 κ 的幂集布尔代数中存在一个非主要的 κ 完备超滤器。）正如上面提到的，1963 年，Paul Cohen 通过在内部模型中添加不可构造集合证明了 CH 的否定的一致性。

哥德尔的方法能解决集合论的其他开放问题吗？哥德尔本人指出了一些后果。它们与所谓的实数的射影集和有限实数序列有关。最简单的射影集是闭集，也称为 Π10 集。如果一个集合是实平面上 Π1n 子集的投影，则它是 Σ1n+1 集。如果一个集合及其补集都是 Σ1n+1 集，则它是 Δ1n+1 集。哥德尔观察到，在 L 中存在一个非勒贝格可测的 Δ12 集和一个没有完美子集的不可数 Π11 集。（实数集是完美的，如果它是闭集，非空，并且没有孤立点。这样的集合具有连续统的大小。）哥德尔在 1951 年的《哥德尔 1940 年》第二次印刷中概述了证明的概要。

后来证明，公理 V = L 几乎完全扩展了 ZFC。这意味着，除了由哥德尔的不完全性定理引起的句子外，基本上所有的集合论问题都可以通过公理 V = L 来决定。这并不意味着这些结果在任何方面都是琐碎的。事实上，尽管其描述相对简单，L 被证明是一个相当复杂的结构。至于在 L 中解决开放的集合论问题，主要的一步是 Jensen 关于 L 的精细结构理论的出现（Jensen 1972）。回顾一下，在构造层次的定义中，后继步骤 Lα +1 将所有由一阶公式 φ（Lα，∈）定义的 Lα 的子集添加到 L 中，精细结构理论大致上将从 Lα 到 Lα+1 的步骤根据定义公式 φ 的复杂性分为较小的步骤。Jensen 通过他的精细结构理论建立了一个被标记为 ◊ 的 CH 的加强版本，他用它在 L 中构造了一棵 Souslin 树，并用组合原理 □ 来证明 Souslin 假设与 CH 一致。

2.4.4 哥德尔对构造性公理的看法

如果哥德尔最初没有这样认为，他很快就接受了构造性公理不可信的观点。正如他在 1947 年的《康托尔的连续统假设是什么？》一文末尾所述。

…对于众多暗示连续假设否定的合理命题，没有一个已知的合理命题暗示连续假设。(库尔特·哥德尔 1990 年，第 186 页)

哥德尔被莱布尼茨式思想所迫，即宇宙不是“小”的，也就是说，宇宙不是具有最小数量的集合，而是更自然地将集合论宇宙看作尽可能大的。这个想法体现在他对极大原理的兴趣上，即旨在捕捉集合论宇宙在没有任何可以添加的意义上是极大的直观观念；以及他坚信极大原理最终将解决类似连续假设的命题。正如哥德尔在 20 世纪 50 年代晚期写给乌拉姆的一封信中所说，关于冯·诺伊曼的一个极大原理：

这个公理的重要之处在于它是一个极大原理，有点类似于希尔伯特几何学中的完备性公理。大致上说，它表明任何不以某种明确定义的方式暗示矛盾的集合都存在。它作为一个最大原理也解释了这个公理暗示选择公理的事实。我相信，集合论的基本问题，如康托尔的连续统假设，只有借助这种类型的更强公理的帮助才能得到令人满意的解决，这些公理在某种意义上与构造主义对数学的解释相对立或互补。(乌拉姆 1958 年，引自哥德尔 1990 年，第 168 页；原文强调。请注意，这与哥德尔 2003b 年第 295 页非常相似的段落不同。)

二十年前，1938 年，哥德尔似乎对可构造性公理有不同的写法：

命题 A（即 V = L）作为一个新公理添加进来，似乎为集合论的公理提供了一个自然的补充，因为它以明确的方式确定了任意无限集合的模糊概念。（哥德尔 1986 年，第 27 页）

哥德尔在这里可能是指“自然的补充”是“正确的补充”，或者他可能只是想说可构造性公理以明确的方式确定了集合的概念。无论如何，在 1972 年与王选可构造性的对话中，他以不同的方式使用了“自然”一词。（王 1996 年，第 144 页）

哥德尔更多地谈论了无穷公理与可构造宇宙之间的关系...(他观察到)初步概念，如可构造集合的概念，是到达自然概念，如集合的概念所必需的。

这让人想起休·伍丁的一句话，即研究强制性导致对 V 的更好理解 —— 这个一般原则是，研究一个理论的模型不仅对理解该理论本身有用，而且对获得对 V 的更好的认识也有用 (Woodin 1988)。

有关哥德尔的计划以及哥德尔计划相对于 CH 的更多信息，读者可以参考 Steel 即将发表的文章和 Feferman 等人的 2000 年的文章。有关哥德尔的结果、其历史和意义的更多信息，读者可以参考 Floyd/Kanamori 2006 和 Kennedy 2006。

2.5 库尔特·哥德尔在直觉主义逻辑和算术中的工作

哥德尔对直觉主义的兴趣是深入而持久的。尽管他本人并不赞同这种观点，但他在直觉主义逻辑方面做出了许多重要贡献。也许他对证据概念的重视（见下文）导致了他对它的密切考虑。

我们按照时间顺序讨论哥德尔在直觉主义逻辑方面的结果。

2.5.1 直觉主义命题逻辑不是有限值的

二十世纪二十年代，Łukasiewicz 引入了多值逻辑（Łukasiewicz 1970），而直觉主义逻辑则由 Heyting 于 1930 年形式化。这两种逻辑都无法满足排中律。因此，自然而然地提出了一个问题：直觉主义逻辑是否可以被看作是一种多值逻辑，事实上，20 世纪 20 年代的一些逻辑学家已经提出了这个观点。在他 1932 年的论文中，哥德尔给出了一个简单的论证，证明了直觉主义命题逻辑不能被看作是一种有限值逻辑。准确地说，哥德尔证明了两个定理：

定理 7。对于有限个元素（真值）而言，不存在一种实现方式，使得在 H 中可证明的公式（仅限于这些公式）被满足（即对于任意赋值都产生指定的值）。

（H 是直觉主义命题逻辑，由 Heyting 提出。）

定理 8。在 H 和普通命题演算系统 A 之间存在无限多个系统，即存在一个单调递减的系统序列，其中每个系统都包含 H 作为子集，并且都被 A 作为子集包含。

在他的证明中，他考虑了每个大于 0 的自然数 n 的句子

F**n = ∨1 ≤ i < j ≤ np**i ≡ p**j.

他观察到在 n 值逻辑中，对于 m > n 的句子 F m 应该是可推导的。然而，哥德尔证明了，对于任何 n，F n 都不能从 Heyting 的公理中推导出来。

随后，Jaśkowski（Jaśkowski 1936）证明了直觉主义命题逻辑可以用无穷多个真值的术语来给出多值语义。有关多值逻辑的进一步讨论，请参阅本百科全书中关于多值逻辑的条目，以及 van Stigt 在 Mancosu 1998 年的关于直觉主义逻辑的文章。

2.5.2 经典算术可以在 Heyting 算术中进行解释

我们现在考虑库尔特·哥德尔在 1933 年发表的论文，他在其中实际上证明了直觉主义或者 Heyting 算术只是表面上比古典一阶算术弱。这是因为后者可以通过简单的翻译在前者内部进行解释，因此要确信古典算术的一致性，只需要确信 Heyting 算术的一致性就足够了。Heyting 算术被定义为与古典算术相同，只是底层的谓词逻辑由直觉主义公理和推理规则给出（见下文）。

这个结果扩展了命题情况下的相同断言。记 H 为直觉主义命题逻辑，A 为其古典对应（如上所述）。归纳地定义：

然后，

定理 9. 令 F 为一个命题公式。则当且仅当 A ⊢ F′时，H ⊢ F。

库尔特·哥德尔的定理很容易从 Glivenko（1929）的结果推导出来，即如果且仅如果命题公式 F 的否定 ¬F 从 H 中推导出来，则 ¬F 从 A 中推导出来。

哥德尔所谓的双重否定解释将定理 9 扩展为将经典一阶逻辑归约为直觉主义谓词逻辑。在这种情况下，可以将 A'映射到 A 以进行翻译，对于原子 A，我们还可以让 ∀xA(x)' = ∀xA'(x)：

定理 10。假设 A 是一个一阶公式。如果 A 在经典一阶逻辑中是可证的，那么 A'在直觉主义一阶逻辑中也是可证的。

上述结果由 Gentzen（与 Bernays）独立获得，但在听到哥德尔的结果后，Gentzen 撤回了他的论文。这个结果也被 Kolmogorov 在他 1925 年的《排中律原理》中预见到（英文翻译 van Heijenoort 1967），但那篇论文在 Kolmogorov 的圈子之外的逻辑学家中几乎是未知的。

Bernays 在他 1967 年的《爱德华兹》中写道（参见 Bernays 关于 David Hilbert 的条目），哥德尔的这个结果引起了希尔伯特学派对两个观察的关注：首先，直觉主义逻辑超越了有限主义；其次，有限主义系统可能不是从基础观点来看唯一可接受的。

库尔特·哥德尔的定理 10 推导出以下关于算术的定理：

定理 11。假设 A 是算术的一阶公式。如果 A 在经典的 Peano 算术中是可证的，那么 A'在直觉主义的一阶算术中也是可证的。

对于直觉主义一阶逻辑的公理和规则列表，请参见库尔特·哥德尔（Gödel）1958 年的著作，由 A.S. Troelstra 在库尔特·哥德尔（Gödel）1990 年的著作中附有详细的引言。还请参见 Troelstra 1973 年的著作，以及 Troelstra 在 Barwise 1977 年的著作中的“建设性数学的方面”。对于上述定理的详细证明，读者还可以参考后者。

2.5.3 直觉主义命题逻辑可以在 S4 中进行解释

哥德尔（Gödel）的这个结果（Gödel 1933f）标志着可证性逻辑的开始，它准确地界定了“在指定形式系统中可证性”的概念与“通过任何正确手段可证性”的概念之间的区别。

库尔特·哥德尔在他 1929 年的论文引言中已经注意到了这种差异。背景是这样的：哥德尔在那里提出了他的完备性定理可能是循环的可能性，因为排中律被用来证明它。这是因为虽然完备性定理断言“一种可决定性”，即每个量化公式要么是可证明的，要么可以给出一个反例，“排中律似乎只是表达了每个问题的可决定性”：

… 肯定的是（通过排中律）可解性，但不是通过特定的手段，而是通过任何可以想象到的手段 … [20]

哥德尔考虑直觉主义命题逻辑（以下简称 IPL）；他还考虑了第二个系统，即在经典命题逻辑中添加了一个操作符“B”，其中“B”的意思是“可证明的”。现在称为 S4 的公理系统（有关这些公理的列表，请参见本百科全书中有关模态逻辑的条目）与经典命题逻辑的标准公理一起添加了一个新的证明规则：从 A，可以推导出 BA。让我们称这个第二个系统为 G。哥德尔的定理通过以下翻译表明 IPL 可以通过 G 来解释：

那就是，

定理 12。设 A 是 IPL 的一个公式，A'是它的翻译。那么如果 IPL ⊢ A 成立，则 G ⊢ A'也成立。

哥德尔猜想逆向蕴涵必须成立，事实上这在麦金西和塔斯基 1948 年的研究中得到了证明。

“在给定形式系统 S 中可证明”和“通过任何正确方法可证明”这两个可证性概念的区别，作为哥德尔第二不完全性定理的结果，表现为以下情况。让 S 包含 Peano 算术，并将运算符 B 解释为“在 S 中可证明”。如果 S4 的公理对 B 的这种解释是有效的，那么从 B(0 ≠ 1) → (0 ≠ 1)可以推导出句子 ¬B(0 ≠ 1)，这与第二不完全性定理相矛盾。

关于哥德尔定理、其前身及其扩展以及其哲学意义的进一步讨论，请参阅 A.S Troelstra 对 1933f 的介绍。

2.5.4 Heyting Arithmetic is Interpretable into Computable Functionals of Finite Type

库尔特·哥德尔所谓的 Dialectica 解释（哥德尔 1958 年）通过涉及可计算有限类型的计算函数系统 T 提供了相对一致性证明和对 Heyting 算术的证明。结合他的 1933e，将经典的一阶算术归约为 Heyting 算术，也可以得到这些术语的经典一阶算术的证明。

库尔特·哥德尔对“有限类型函数”概念的归纳定义如下：（哥德尔 1990 年，第 245 页）。

类型 0 的函数是自然数。
如果 t0，…，t k 是类型，并且我们已经定义了类型 t0，…，t k 的函数，那么(t0，…，t k)是一个类型，并且该类型的函数将每个类型 t1，…，t k 的 k 元组的函数分配给一个类型为 t0 的函数。

哥德尔考虑了这些有限类型函数的无量词自由理论，用 T 表示。 T 具有以下特点：T 的语言包含每种类型的变量，用于区分类型的常量，以及用于类型 σ 的三元谓词=σ。相同类型的术语之间的相等性是可判定的。 T 的非逻辑公理和规则包括 0 和后继的经典算术公理，以及归纳规则：

(F(0) ∧ (F(_x_0) → F(S(_x_0)))) → F(_x_0)

对于无量词的公式 F(x0)。正如哥德尔所指出的（哥德尔 1990 年，第 247 页），T 的公理基本上是原始递归算术的公理，只是变量可以是任何有限类型的。

哥德尔的翻译将 Peano 算术语言中的每个公式 F(x)与 T 理论语言中的公式 F′(x) = ∃y∀zA(y, z, x)相关联，其中 A 是无量词的，（粗体）绑定变量是变量的有限序列，被认为是根据变量的类型范围的有限类型的函数。直观地说，y 是构成 F 的意义的抽象概念的具体类比。

库尔特·哥德尔的定理如下：

定理 13。假设 F' = ∃y∀zA(y, z, x)。如果 F 在直觉主义一阶算术中是可证的，则存在有限类型的可计算函数 Q，使得 A(Q(x), z, x)在 T 中是可证的。

库尔特·哥德尔在直觉主义一阶算术的证明结构上进行归纳证明。（有关详细证明的处理，请参阅 Troelstra 1986。）

这个定理对于基础理论的重要性不可高估。[21]关于它的推广讨论，由于 Kreisel、Tait、Howard、Feferman 等人对定理的功能解释所引发的后续工作，以及它的基础和哲学意义，最后特别是与 Heyting-Kolmogorov 提供的早期非正式证明解释的关系，这里不会尝试。因此，读者可以参考大量关于这个主题的文献，例如上述的 Troelstra 1986、Tait 1967、Feferman 1993 和 Avigad & Feferman 1998。关于最近有趣的发展，例如关于关联哥德尔的 Dialectica 解释和 Kreisel 的修改实现性的领域，请参阅 Oliva 2006。另请参阅 van Oosten 2008。

关于哲学背景的一点说明，哥德尔提出了他的翻译，即有限主义。论文引言中讨论的问题是，在有限数学中必须添加哪些抽象概念才能获得算术的一致性证明。等价地说：在第二不完全性定理的光下，为了获得一致性证明，有限观点必须放弃什么。

无论如何，伯奈斯的话教会我们区分有限态度的两个组成部分；首先是建设性的元素，即我们只能在能够通过构造展示数学对象或实际产生数学对象的情况下谈论它们；其次是特定的有限主义元素，它进一步要求我们所陈述的对象，我们用构造进行操作的对象以及我们通过这些构造获得的对象都是“直观的”，也就是说，它们在最后分析中是元素的时空排列，除了它们的同一性或非同一性之外的特征都是无关紧要的...必须放弃的是第二个要求。迄今为止，我们已经考虑到这一事实，即我们将直观逻辑和序数论的部分与有限数学相结合。接下来，我们将展示，对于数论的一致性证明，我们可以使用自然数上的有限类型的可计算函数的概念以及这些函数的某些相当基本的构造原理，而不是使用直观逻辑和序数论的部分。（哥德尔 1990 年，第 245 页）。

除了其技术贡献之外，哥德尔的 1958/72 年是哥德尔最重要的哲学著作之一；它以对有限数学性质的分析以及对“直观”概念（如“直观知识”）和抽象与具体证据的分析而著称。

在下一节中，我们将转向哥德尔的哲学观点。但是对于感兴趣的读者，可能希望阅读关于哥德尔的 Nachlass 的简要讨论，这是哥德尔的重要哲学资料来源：

补充文件：哥德尔的文件

3. 哥德尔的哲学观点

哥德尔的哲学观点可以广泛地概括为两个关注点，或者用现代术语来说，承诺。这些是：现实主义，即相信数学是一门描述性科学，就像经验科学一样。第二个承诺是对莱布尼茨式理性主义的一种形式；事实上，哥德尔的主要哲学影响，尤其是在这方面，还有许多其他方面，是莱布尼茨、康德和胡塞尔。（有关这些哲学家如何影响哥德尔的进一步讨论，请参见范·阿滕和肯尼迪 2003 年的著作。）

库尔特·哥德尔的现实主义和理性主义术语必须附上免责声明：每个术语都没有一个单一的观点可以与之相关联。库尔特·哥德尔的现实主义随着时间的推移经历了复杂的发展，无论是在其本体论主张的性质上还是在库尔特·哥德尔对这些主张的承诺程度上。同样，库尔特·哥德尔的理性主义也经历了复杂的发展，从最初的试探性版本到在 1950 年代被认为是相当强大的版本。大约在 1959 年和之后的一段时间里，库尔特·哥德尔将他的理性主义哲学发展计划与胡塞尔所发展的现象学方法融合在一起。

我们在下面研究库尔特·哥德尔思想的这两个方面：

3.1 库尔特·哥德尔的理性主义

库尔特·哥德尔的理性主义根源于莱布尼茨的思想，即世界本身并非我们直接经历的那个，而是能够产生内在经验的那个，它是完美和美丽的，因此是理性和有序的。哥德尔对这种信念的证明部分地依赖于对数学的完美和美丽的归纳概括：

理性主义与柏拉图主义有关，因为它关注的是概念层面，而不是（真实的）世界。我们使用归纳证据...数学具有完美的形式...我们可以期望概念世界是完美的，而且客观现实是美丽、善良和完美的。（王 1996 年，9.4.18）
我们的整体现实和整体经验是美丽和有意义的，这也是莱布尼茨的思想。我们应该根据我们对现实的真实了解来判断它。由于我们在概念上完全了解的那部分事实上是如此美丽，我们对真实世界了解如此之少的部分也应该是美丽的。（9.4.20）

尽管哥德尔对理性主义的信仰根源是形而上学的，但他在这一领域的长期抱负始终是实践性的。也就是说，要在哲学中发展确切的方法；将其转化为一门确切的科学，或者用胡塞尔的术语来说，是一门“严格科学”。

在实践中，这意味着尽可能严格地看待构成对一个命题接受的辩证基础；换句话说，哲学论证中渴望达到的严谨程度接近于数学证明中所找到的那种程度。这种观点的一个表述（在下文中有所涉及）可以在哥德尔的遗稿中找到。这是一份大约于 1960 年起草的包含十四项内容的清单，名为“我的哲学观点”。其中有两项与此相关：

所有问题（包括艺术等）都有系统的解决方法。
存在一种科学（精确）的哲学和神学，处理最抽象的概念；这对科学也是最具成果的。

（该列表由谢丽尔·道森转录，并发表在王 1996 年第 316 页。）

哥德尔早期对理性主义的构想是指数学严密性，并包括拥有真正证明的概念，因此在某种意义上比他后来所认同的构想更为激进。在吉布斯讲座结束后，可以看到它在一系列支持现实主义的论证之后发挥作用：

当然，我并不声称上述考虑对于数学本质的观点构成了一个真正的证明。我最多只能断言已经反驳了名义主义观点，该观点认为数学仅仅包括在语法约定及其结果中。此外，我还提出了一些强有力的论据反对数学是我们自己创造的更一般观点。然而，还有其他选择来替代柏拉图主义，特别是心理主义和亚里士多德现实主义。为了确立柏拉图现实主义，这些理论必须一个接一个地被反驳，然后还必须证明它们穷尽了所有可能性。我现在没有能力做到这一点；然而，我想给出一些相关的指示。（库尔特·哥德尔 1995 年，第 321-2 页）。

（有关这一段的深入分析，请参见泰特 2001 年。）这样的分析必须基于概念分析：

我的印象是，在对所涉及的概念进行足够澄清之后，将有可能以数学严谨的方式进行这些讨论，并且结果将是...柏拉图主义观点是唯一可行的。（库尔特·哥德尔 1995 年，第 322 页）。

从哥德尔的清单上可以看出，除了方法论组成部分外，哥德尔的理性主义还有一个“乐观”组成部分：一旦适当的方法被开发出来，诸如伦理学中的哲学问题（例如，清单上的第 9 项是：“形式权利构成了一门真正的科学。”）可以得到决定性的解决。至于数学断言，例如集合论中的连续统假设，一旦以正确的方式进行概念分析，也就是一旦基本概念（如“集合”）被完全澄清，连续统假设就应该能够被决定。

虽然在吉布斯讲座时，哥德尔心中对哲学和数学推理之间的类比可能非常紧密，但在其他时期，哥德尔的观点是，所设想的方法不会是数学性质的。所需要的是一种普遍的、非正式的概念分析科学。

哲学比科学更为普遍。概念论已经比数学更为普遍...真正的哲学是精确但不专业化的。
或许数学没有取得进展（并且有很多未解决的问题）的原因是，人们将自己局限于外延性，因此也对许多理论感到失望，例如命题逻辑和形式化。（王浩 1996 年，9.3.20，9.3.21）[22]

（见笔记本 Max IV，第 198 页（哥德尔遗产，普林斯顿大学图书馆，项目 030090）。转录 Cheryl Dawson；德文翻译为英文；修正为英文。哥德尔对 Max IV 的日期表明它是从 1941 年 5 月到 1942 年 4 月。另请参阅哥德尔致伯奈斯的信件，哥德尔 2003a，第 283 页。）

理解哥德尔关于概念的一般理论的重要来源是王浩在《逻辑之旅》中发表的哥德尔关于概念分析的评论。例如，在评论 8.6.10 中，哥德尔表达了对概念的外延性失败的看法，与他在 1944 年的《罗素的数理逻辑》中所说的相反，他现在希望撤回这一评论。

我不再相信仅仅具有相同范围就足以排除两个概念的不同之处。

在哥德尔的后期讨论中，概念分析的另一个组成部分出现了，即寻找所谓的原始术语或概念及其关系的项目。这些大致上是指包含了理论的“起点”的术语或概念，其意义是完全明确和清晰的。例如，“将一个概念应用于另一个概念”的概念是一个原始术语，以及“力量”(Wang 1996, 9.1.29)。

他在 1972 年与王谈论了这个总体项目。

现象学并不是唯一的方法。另一种方法是找到主要类别的列表（例如因果关系、物质、行动）及其相互关系，然而这些关系必须通过现象学的方式得出。这个任务必须以正确的方式完成。（Wang 1996，5.3.7）。

哥德尔在 1972 年至 1975 年间与苏·托莱多讨论了寻找原始术语的项目，以及现象学的其他方面。请参阅托莱多 2011 年的文献。我们在附加文件《哥德尔转向现象学》中进一步讨论了哥德尔与现象学的关系。

当代哲学家对哥德尔的理性主义进行了严厉的批评。（例如参见哥德尔 1995 年，303-4 页）。然而，哥德尔本人仍然保持乐观态度。正如他对王所评论的那样：

在可预见的未来，说哲学作为严谨的科学是不可实现的是不合适的。时间不是主要因素；当正确的观念出现时，它可以随时发生。（Wang 1996，4.3.14）。

哥德尔在 1944 年以类似的乐观态度做出了结论。

3.2 哥德尔的现实主义

库尔特·哥德尔的现实主义观点主要是在数学基础和集合论的背景下制定的。

我们上面提到了“我所相信的”清单，据说是在 1960 年左右写的。在 14 项中，只有两项涉及现实主义，即备注 10 和 12：

唯物主义是错误的。
概念具有客观存在。

哥德尔在他 1944 年首次发表了他对现实主义的观点。以下是他在这个主题上最常引用的一段话：

然而，类和概念也可以被看作是真实的对象，即类被看作是“事物的多样性”，或者是由多个事物组成的结构，而概念则是事物的属性和关系，独立于我们的定义和构造。
对我来说，假设这些对象的合法性与假设物理实体的合法性一样，相信它们的存在也有足够的理由。它们在数学系统中的必要性与物理实体在我们感知理论中的必要性一样，而且在这两种情况下，都不可能将我们想要断言的命题解释为关于“数据”的命题，即在后一种情况下，实际发生的感知。

哥德尔提到无法将经验法则（或更准确地说，它们的实例化）——“我们想要断言的”陈述——解释为关于感知的陈述，很可能是对当时对现象主义的批评的认可。这种批评是基于这样的观察：感知数据与其所经历的条件密不可分，以至于关于这些数据的陈述与“我们想要断言的”陈述之间无法建立对应关系（例如，参见 Chisholm 1948）。更一般地说，哥德尔反对验证主义，即陈述的意义就是其验证方式的观念。

在这段文字的第一部分中，哥德尔在草稿手稿《数学是语言的句法吗？》中进一步阐述了类似的观点：

将“这是红色的”视为直接数据是任意的，但将表达方式为 modus ponens 或完全归纳（或者可能是一些更简单的命题，从中可以得出后者）的命题视为直接数据则不是如此。（哥德尔 1995 年，第 359 页）

一些作家在这些和类似的段落中以实用主义的方式解释哥德尔，将他归因于这样的观点：由于经验陈述是成功引用的典范，所以在抽象概念的情况下，引用应该以因果模型为基础。（参见 Maddy 1990 年。）据认为，以这种方式解释对抽象对象的引用，可以解决与现实主义相关的主要困难，即我们如何能够获得关于抽象对象的知识的问题。其他人则认为，哥德尔没有特定的典型案例在心中；对他来说，无论是经验案例还是抽象案例都同样具有问题，或者同样没有问题。（参见 Tait 1986 年。）后一种观点在 van Atten 和 Kennedy 2003 年中被称为认识论平等。（另请参见 Kennedy 和 van Atten 2004 年。）

在他 1947 年的《康托的连续统问题是什么？》一文中，哥德尔阐述了这样一种观点：在数学的有意义命题的情况下，总是存在一个可以用是或否来决定的事实。这是现实主义的直接结果，因为如果存在一个数学对象或概念的领域，那么任何关于它们的有意义命题必须是真或假的。[23]连续统假设是哥德尔提出的一个有意义问题的例子。概念“有多少”导致了假设的明确含义，因此它应该是可以决定的-至少在原则上是如此。最引人注目的是，哥德尔并没有就此打住，而是继续提供了一个确定连续统的值以及确定扩展 ZFC 的其他公理的真值的实际策略。具体而言，他提供了两个判定的标准：第一个涉及概念分析，并与哥德尔的理性主义计划相关联。（请参见上述关于哥德尔理性主义的部分。）其次，必须注意所谓的公理的成功，作为检查或指示其真值解决方向的标志。例如，哥德尔在论文中指出，可构造性公理的任何后果都不太可信。因此，它很可能是假的。有关集合论新公理的内在与外在证明的讨论，请参见 Maddy 2011 和 Koellner 2014。

有关哥德尔的哲学观点的进一步讨论，请参阅附加文件：

哥德尔转向现象学

和

数学内容的哲学论证

Bibliography

Primary Sources

Gödel’s Writings

The Gödel Nachlass is located at Firestone Library of Princeton University with the exception of Gödel’s preprint collection, which is housed at the library of the Institute for Advanced Study. The Nachlass itself is the property of the Institute but a microfilm copy of it may be purchased from Brill. All of Gödel’s published work, together with a large number of the unpublished material from the Nachlass, together with a selection of Gödel’s correspondence is published in Kurt Gödel, Collected Works, Volumes I-V.

The Collected Papers of Kurt Gödel

1986, Collected Works. I: Publications 1929–1936. S. Feferman, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford: Oxford University Press.
1990, Collected Works. II: Publications 1938–1974. S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford: Oxford University Press.
1995, Collected Works. III: Unpublished essays and lectures. S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford: Oxford University Press.
2003a, Collected Works. IV: Correspondence A-G. S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford: Oxford University Press.
2003b, Collected Works. V: Correspondence H-Z. S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford: Oxford University Press.

Selected Works of Kurt Gödel

Secondary Sources

Avigad, J. and S. Feferman, 1998, “Gödel’s Functional (‘Dialectica’) Interpretation”, in Handbook of Proof Theory (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 137), Samuel Buss (ed.), Amsterdam: North-Holland, pp. 337-405.
Awodey, S. and A. W. Carus, 2010, “Gödel and Carnap”, in Kurt Gödel: Essays for his Centennial, Solomon Feferman, Charles Parsons & Stephen G. Simpson (eds.), Cambridge: Cambridge University Press.
Baaz, M., and C. Papadimitriou, D.Scott, H. Putnam, and C. Harper (eds.), 2011, Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth, Cambridge: Cambridge University Press.
Badesa, C., and P. Mancosu, and R. Zach, 2009, “The Development of Mathematical Logic from Russell to Tarski, 1900–1935”, in Leila Haaparanta (ed.), The History of Modern Logic. New York and Oxford: Oxford University Press:318–470..
Barwise, Jon (ed.), 1977, Handbook of Mathematical Logic (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 90), Amsterdam: North-Holland Publishing Co.
Behmann, Heinrich, 1922, “Beiträge, Algebra, Logik, insbesodere zum Entscheidungsproblem”, Mathematische Annalen, 86: 419–432.
Benacerraf, P. and H. Putnam (eds.), 1983, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 2nd edition.
Bernays, Paul, 1926, “Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalkuls der ‘Principia Mathematica’”, Mathematisches Zeitschrift, 25(1): 305–320.
Bezboruah, A., and J.C. Sheperdson, 1976, “Gödel’s second incompleteness theorem for (Q)”, Journal of Symbolic Logic, 41 (2): 503–512.
Bolzano, Bernard, 1969, Wissenschaftslehre, Sections 349–391, in Bernard Bolzano — Gesamtausgabe, Reihe I/Band 13, edited and with an introduction by Jan Berg, Stuttgart-Bad Cannstatt: Frommann Holzboog.
Burgess, John, 2009, “”Intuitions of Three Kinds in Gödel’s Views on the Continuum“”, in _Interpreting Gödel_Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Buss, Samuel R., 1994, “On Gödel’s Theorems on Lengths of Proofs. I. Number of Lines and Speedup for Arithmetics”, Journal of Symbolic Logic, 59(3): 737–756.
Chisholm, R., 1948, “The Problem of Empiricism”, The Journal of Philosophy, 45: 512–7.
Cohen, Paul, 1963, “The Independence of the Continuum Hypothesis”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 50: 1143–1148.
Crocco, G., 2003, “Gödel, Carnap and the Fregean Heritage”, History and Philosophy of Logic, 27: 171–191.
–––, 2006, “Gödel on Concepts”, Synthese, 137(1,2): 21–41.
Dawson, Jr., John W., 1997, Logical dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel, Wellesley, MA: A. K. Peters, Ltd.
Dehornoy, Patrick, 2004, “Progrès récents sur l’hypothèse du continu (d’après Woodin)”, Astérisque, 294: viii, 147–172.
Detlefsen, Michael, 1986, Hilbert’s Program: An essay on mathematical instrumentalism, Dordrecht: D. Reidel.
–––, 2001, “What Does Gödel’s Second theorem Say?”, Philosophia Mathemathica, 9(1): 37–71.
–––, 2014, “Completeness and the Ends of Axiomatization”, in Interpreting Gödel, Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Dreben, B. and J. van Heijenoort, 1986, “Introductory Note to 1929, 1930 and 1930a”, in Gödel 1986, pp. 44–59.
Edwards, Paul (ed.), 1967, The Encyclopedia of Philosophy, New York: MacMillan.
Ehrenfeucht, A. and J. Mycielski, 1971, “Abbreviating Proofs by Adding New Axioms”, Bulletin of the American Mathematical Society, 77: 366–367.
Feferman, Solomon, 1960/1961, “Arithmetization of Metamathematics in a General Setting”, Fundamenta Mathematicae, 49: 35–92.
–––, 1993, “Gödel’s Dialectica Interpretation and Its Two-way Stretch”, in Computational Logic and Proof Theory (Lecture Notes in Computer Science, Volume 713), G. Gottlob, A. Leitsch, and D. Mundici (eds.), Berlin: Springer, pp. 23–40.
–––, 1986, “Gödel’s Life and Work”, in Gödel 1986, pp. 1–34.
–––, 1988, “Hilbert’s Program Relativized: Proof-Theoretical and Foundational Reductions”, Journal of Symbolic Logic, 53: 364–384.
–––, 1996, “Proof Theory”, in The Encyclopedia of Philosophy Supplement, D. Borchrt (ed.), New York: MacMillan, pp. 466–469.
Feferman, S., and H. Friedman, P. Maddy, and J. Steel, 2000, “Does Mathematics Need New Axioms?”, Bulletin of Symbolic Logic, 6(4): 401–446.
Feferman, S., C. Parsons, and S. Simpson (eds.), 2010, Kurt Gödel: Essays for his Centennial (Lecture Notes in Logic, 33), Cambridge: Cambridge University Press.
Feigl, H. and A. Blumberg, 1931, “Logical Positivism. A New Movement in European Philosophy”, Journal of Philosophy, 28: 281–296.
Floyd, J. and A. Kanamori, 2006, “How Gödel Transformed Set Theory”, Notices of the American Mathematical Society, 53(4): 419–427.
Folina, Janet, 2014, “Gödel on How to Have your Mathematics and Know it Too”, in Interpreting Gödel, Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Føllesdal, Dagfinn, 1995, “Gödel and Husserl”, in From Dedekind to Gödel (Synthese Library, Volume 251), J. Hintikka (ed.), Dordrecht, Boston: Kluwer, pp. 427–446.
Foreman, Matthew, 1998, “Generic Large Cardinals: New Axioms for Mathematics?”, in Documenta Mathematica, Extra Volume, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, II, pp. 11–21 [available online (in compressed Postscript)].
Franks, Curtis, 2009, “The Autonomy of Mathematical Knowledge: Hilbert’s Program Revisited”, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 2011, “Stanley Tennenbaum’s Socrates”, in Set Theory, Arithmetic and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies, Kennedy, J. and Kossak, R., (eds.), Lecture Notes in Logic, 36, Cambridge: Cambridge University Press, 2011.
–––, 2014, “Logical Completeness, Form and Content: An Archaeology”, in Interpreting Gödel, Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Gaifman, H., 2000, “What Godel’s Incompleteness Result Does and Does Not Show”, Journal of Philosophy, 97 (8): 462–471.
Garson, James, 2003, “Modal Logic”, in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Fall 2003 Edition, Edward N. Zalta (ed.), URL = <Modal Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Fall 2003 Edition)>.
Glivenko, V., 1929, “Sur quelques points de la logique de m. Brouwer.”, Académie Royale de Belgique, Bulletin de la Classe des Sciences, 15: 183–188.
Gottwald, Siegfried, 2004, “Many-valued Logic”, in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2004 Edition, Edward N. Zalta (ed.), URL = <Many-Valued Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Winter 2004 Edition)>.
Gödel, Rudolf, 1983, “History of the Gödel Family”, Susan Simonsin (trans.), in Weingartner and Schmetterer 1987, pp. 11–27.
Hauser, Kai, 2006, “Gödel’s Program Revisited, Part 1: the Turn to Phenomenology”, Bulletin of Symbolic Logic, 12 (4): 529–590.
Heyting, Arendt, 1930, “Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik”, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, physikalisch-mathematische Klasse, II, pp. 42–56.
Hilbert, David, 1926, “Über das Unendliche”, Mathematische Annalen, 95: 161–190.
Hilbert, D. and W. Ackermann, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin: Springer-Verlag.
Hilbert, D. and P. Bernays, 1934, Grundlagen der Mathematik, Volume 1, Berlin: Springer-Verlag.
–––, 1939, Grundlagen der Mathematik, Volume II, Berlin: Springer-Verlag.
Hodges, Wilfrid, 2005, “Model Theory”, in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Fall 2005 Edition, Edward N. Zalta (ed.), URL = <Model Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Fall 2005 Edition)>.
Husserl, Edmund, 1911, “Philosophie als strenge Wissenschaft”, Logos, 1: 289–341.
Jaśkowski, Stanisław, 1936, “Investigations into the System of Intuitionist Logic”, Studia Logica, 34(2) (1975): 117–120. (Translated by S. McCall from the French “Rechereches sur le système de la logique intuitioniste” in Actes du Congrés International de Philosophie Scientifique, Volume VI, Hermann, Paris, 1936, pp. 58–61.)
Jech, Thomas, 2003, Set theory, (Springer Monographs in Mathematics), Berlin: Springer-Verlag. 3rd millennium edition, revised and expanded.
Jensen, R. Björn, 1972, “The Fine Structure of the Constructible Hierarchy” (with a section by Jack Silver), Annals of Mathematical Logic, 4: 229–308; Erratum, 4 (1972): 443.
Kanamori, Aki, 1996, “The Mathematical Development of Set theory from Cantor to Cohen.” Bulletin of Symbolic Logic, 2(1): 1–71.
–––, 2006, “Levy and Set Theory”, Annals of Pure and Applied Logic, 140(3): 233–252.
Kennedy, Juliette, 2006, “Incompleteness — A Book Review,” Notices of the American Mathematical Societ, 53(4): 448–455.
–––, 2011, “Gödel’s Thesis: An Appreciation” in Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth, M. Baaz, C. Papadimitriou, D. Scott, H. Putnam, and C. Harper (eds.), Cambridge: Cambridge University Press 95–110.
–––, 2013, “On Formalism Freeness: Implementing Gödel’s 1946 Princeton Bicentennial Lecture”, Bulletin of Symbolic Logic, 19(3): 351–393.
–––, 2014, “Gödel’s 1946 Princeton Bicentennial Lecture: An Appreciation”, in Interpreting Gödel: Critical Essays, Cambridge: Cambridge University Press.
Kennedy, Juliette (ed.), 2014, Interpreting Gödel: Critical Essays, Cambridge: Cambridge University Press.
Kennedy, J. and van Atten, M., 2003, “On the Philosophical Development of Kurt Gödel”, Bulletin of Symbolic Logic, 9(4): 425–476. Reprinted in Kurt Gödel: Essays for his Centennial, Solomon Feferman, Charles Parsons and Stephen G. Simpson (eds.), Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 2004, “Gödel’s Modernism: On Set-theoretic Incompleteness”, Graduate Faculty Philosophy Journal, 25(2): 289–349. (See the Erratum in Graduate Faculty Philosophy Journal, 26(1) (2005), page facing contents.)
–––, 2009, “Gödel’s Modernism: On Set-theoretic Incompleteness, Revisited”, in Logicism, Intuitionism and Formalism: What has become of them?, S. Linström, E. Palmgren, K. Segerberg, and V. Stoltenberg-Hansen (eds.), Berlin: Springer: 303–356.
–––, 2009, “Gödel’s Logic”, in D. Gabbay and J. Woods (eds.), The Handbook of the History of Logic: Logic from Russell to Gödel, Volume 5, Amsterdam: Elsevier: 449–509.
Kleene, S. C., 1987, “Gödel’s Impression on Students of Logic in the 1930s”, in Weingartner and Schmetterer 1987, pp. 49–64.
Koellner, Peter, 2014, “Large Cardinals and Determinacy”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/spr2014/entries/large-cardinals-determinacy/.
Kreisel, Georg, 1980, “Kurt Gödel, 28 April 1906 – 14 January 1978”, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, 26: 148–224. Corrigenda, 27 (1981): 697; further corrigenda, 28 (1982): 697.
–––, 1988, “Review of Kurt Gödel: Collected works, Volume I”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 29(1): 160–181.
–––, 1990, “Review of Kurt Gödel: Collected Works, Volume II”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31(4): 602–641.
–––, 1998, “Second Thoughts Around Some of Gödel’s Writings: A Non-academic Option”, Synthese, 114(1): 99–160.
Kripke, Saul, 2009, “The collapse of the Hilbert program: why a system cannot prove its own 1-consistency”, Bulletin of Symbolic Logic, 15 (2): 229–231.
Kunen, Kenneth, 1983, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 102), Amsterdam: North-Holland Publishing Co. Reprint of the 1980 original.
Löb, M. H., 1956, “Formal Systems of Constructive Mathematics”, Journal of Symbolic Logic, 21: 63–75.
Löwenheim, L., 1915, “Über Möglichkeiten im Relativkalkül”, Mathematische Annalen, 76(4): 447–470.
Łukasiewicz, Jan, 1970, Selected works, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics), L. Borkowski (ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co.
Maddy, Penelope, 1990, Realism in Mathematics, New York: Clarendon Press.
Maddy, Penelope, 2011, Defending the Axioms, Oxford: Oxford University Press.
Mal’cev, Anatoli Ivanovic, 1971, The Metamathematics of Algebraic Systems. Collected Papers: 1936–1967 (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 66), translated, edited, and provided with supplementary notes by Benjamin Franklin Wells, III, Amsterdam: North-Holland Publishing Co.
Mancosu, Paolo, 1998, From Brouwer to Hilbert. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2004, “Review of Kurt Gödel, Collected Works, Volumes IV and V”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 45: 109–125.
Martin, D.A., 2005, “Gödel’s Conceptual Realism”, Bulletin of Symbolic Logic, 11: 207–224.
McKinsey, J. C. C. and A. Tarski, 1948, “Some Theorems About the Sentential Calculi of Lewis and Heyting”, Journal of Symbolic Logic, 13: 1–15.
Mostowski, Andrzej, 1949, “An Undecidable Arithmetical Statement”, Fundamenta Mathematicae, 36: 143–164.
–––, 1982, Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic: An Exposition of the Theory of Kurt Gödel, Westport, CT: Greenwood Press. Reprint of the 1952 original.
Oliva, Paulo, 2006, “Unifying Functional Interpretations”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 47(2): 263–290.
Parikh, Rohit, 1971, “Existence and Feasibility in Arithmetic”, Journal of Symbolic Logic, 36: 494–508.
Parsons, Charles, 1995a, “Platonism and Mathematical Intuition in Kurt Gödel’s Thought”, Bulletin of Symbolic Logic, 1(1): 44–74.
–––, 1995b, “Quine and Gödel on Analyticity”, in On Quine: New Essays, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 297–313.
–––, 2000, “Reason and Intuition”, Synthese, 125(3): 299–315.
–––, 2002, “Realism and the Debate on Impredicativity, 1917–1944”, in Reflections on the Foundations of Mathematics: Essays in Honor of Solomon Feferman, (Lecture Notes in Logic, Volume 15), W. Sieg, R. Sommer, and C. Talcott (eds.), Urbana, IL: Association of Symbolic Logic, pp. 372–389.
–––, 2010, “Gödel and Philosophical Idealism”Philosophia Mathematica, 18 (2): 166–192.
–––, 2014, “Analyticity for Realists”, in Interpreting Gödel, Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Poonen, Bjorn, 2014, “Undecidable Problems: A Sampler”, in Interpreting Gödel: Critical Essays, Cambridge: Cambridge University Press.
Post, Emil L., 1921, “Introduction to a General Theory of Elementary Propositions”, American Journal of Mathematics, 43(3): 163–185.
Pudlák, Pavel, 1996, “On the lengths of proofs of consistency: a survey of results”, Annals of the Kurt Gödel Society, 2: 65-86.
Raatikainen, P., 2005, “On the Philosophical Relevance of Gödel’s Incompleteness Theorems”, Revue Internationale de Philosophie, 59 (4): 513–534.
Rogers, Jr., Hartley, 1967, Theory of Recursive Functions and Effective Computability, New York: McGraw-Hill Book Co.
Rosser, J.B., 1936, “Extensions of Some Theorems of Gödel and Church”, Journal of Symbolic Logic, 1(3): 87–91.
Scott, Dana, 1961, “Measurable Cardinals and Constructible Sets”, Bulleint de l’Academie Polonaise des Sciences (Série des Science, Mathématiques, Astronomiques et Physiques), 9: 521–524.
Shelah, Saharon, 2014, “Reflecting on Logical Dreams”, in Interpreting Gödel: Critical Essays, Cambridge: Cambridge University Press.
Sieg, Wilfried, 1988, “Hilbert’s Program Sixty Years Later”, Journal of Symbolic Logic, 53(2): 338–348.
–––, 1990, “Relative Consistency and Accessible Domains”, Synthese, 84(2): 259–297.
–––, 1999, “Hilbert’s Programs: 1917–1922”, Bulletin of Symbolic Logic, 5(1): 1–44.
–––, 2006, “Gödel on Computability”, Philosophia Mathematica, 14: 189–207.
Sierpinski, Wacław, 1947, “L’hypothèse généralisée du continu et l’axiome du choix”, Fundamenta Mathematicae, 34: 1–5.
Sigmund, Karl, 2006, “Pictures at an Exhibition”, Notices of the American Mathematical Society, 53(4): 428–432.
Skolem, Thoralf, 1920, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen”, Skrifter utgit av Videnskappsselskapet i Kristiania, I. Matematisk-naturvidenskabelig klasse, Number 4, pp. 1–36. Reprinted in Skolem 1970, pp. 103–136.
–––, 1923, “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre”, Matematikerkongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, Redogörelse, Helsinki, pp. 217–232. Reprinted in Skolem 1970, pp. 137–152.
–––, 1933, “Über die Unmöglichkeit einer vollständigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems”, Norsk Matematisk forenings skrifter, 10: 73–82.
–––, 1970, Selected Works in Logic, Jens Erik Fenstad (ed.), Oslo: Universitetsforlaget.
Smith, David Woodruff, 2005, “Phenomenology”, in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <Phenomenology (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Winter 2005 Edition)>.
Solovay, Robert, 1990, “Introductory Note to 1938, 1939, 1939a, 1940”, in Gödel 1990, pp. 1–25.
Steel, John, 2000, “Mathematics Needs New Axioms”, Bulletin of Symbolic Logic, 6(4): 422–433.
Steel, John, 2014, “Gödel’s Program”, in Interpreting Gödel, Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Tait, William, 1967, “Intensional Interpretations of Functionals of Finite Type I,” Journal of Symbolic Logic, 32(2): 198–212.
–––, 1981, “Finitism”, Journal of Philosophy, 78: 524–556. Reprinted in Tait 2005, pp. 21–42.
–––, 1986, “Truth and Proof: The Platonism of Mathematics”, Synthese, 69(3): 341–370. Reprinted in Tait 2005, pp. 61–88.
–––, 2001, “Gödel’s Unpublished Papers on Foundations of Mathematics”, Philosophia Mathematica, 9(1): 87–126. Reprinted in Tait 2005, pp. 276–313.
–––, 2002, “Remarks on Finitism”, in Reflections on the Foundations of Mathematics: Essays in Honor of Solomon Feferman (Lecture Notes in Logic, Volume 15), W. Sieg, R. Sommer, and C. Talcott (eds.), Urbana, IL: Association of Symbolic Logic, pp. 410–419. Reprinted in Tait 2005, pp. 43–53.
–––, 2005, The Provenance of Pure Reason: Essays in the Philosophy of Mathematics and its History (Logic and Computation in Philosophy), New York: Oxford University Press.
–––, 2006, “Gödel’s correspondence on proof theory and constructive mathematics”Philosophia Mathematica, 14 (1): 76–111.
–––, 2006, “Gödel’s interpretation of intuitionism”,Philosophia Mathematica, 14 (2): 208–228.
Taussky-Todd, Olga, 1983, “Remembrances of Kurt Gödel”, in Weingartner and Schmetterer 1987, pp. 29–41.
Tieszen, Richard, 1992, “Kurt Gödel and Phenomenology”, Philosophy of Science, 59(2): 176–194.
–––, 2002, “Gödel and the Intuition of Concepts”, Synthese, 133 (3): 363–391.
–––, 2005, Phenomenology, Logic and the Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 2011, After Gödel: Platonism and Rationalism in Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press.
Toledo, Sue, 2011, “Sue Toledo’s Notes of her Conversations with Kurt Gödel in 1972-5”, in Set Theory, Arithmetic and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies (Lecture Notes in Logic, 36), Kennedy, J. and Kossak, R., (eds.), Cambridge: Cambridge University Press, forthcoming.
Tragesser, Robert, 1977, Phenomenology and Logic, Ithaca: Cornell University Press.
–––, 1984, Husserl and Realism in Logic and Mathematics, (Series: Modern European Philosophy), Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1989, “Sense Perceptual Intuition, Mathematical Existence, and Logical Imagination”, Philosphia Mathematica, 4(2): 154–194.
Troelstra, A. S., 1986, “Note to 1958 and 1972”, in Gödel 1990, pp. 217–241.
Troelstra, A. S. (ed.), 1973, Metamathematical Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analysis, (Lecture Notes in Mathematics, Volume 344), Berlin: Springer-Verlag.
Turing, A. M., 1937, “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society (Series 2), 42: 230–265.
van Atten, Mark, 2005, “On Gödel’s Awareness of Skolem’s Helsinki Lecture”, History and Philosophy of Logic, 26(4): 321–326.
–––, 2006, “Two Draft Letters from Gödel on Self-knowledge of Reason”, Philosophia Mathematica, 14(2): 255–261.
–––, 2015, “Essays on Gödel’s Reception of Leibniz, Husserl and Brouwer”, Springer.
van Heijenoort, J. (ed.), 1967, From Frege to Gödel: A sourcebook in mathematical logic, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.
van Oosten, Jaap, 2008, Realizability: An Introduction to its Categorical Side (Studies in Logic and Foundations of Mathematics: Volume 152), Amsterdam: Elsevier.
von Neumann, John, 2005, John von Neumann: Selected Letters (History of Mathematics, Volume 27), foreword by P. Lax, introduction by Marina von Neumann Whitman, preface and introductory comments by Miklós Rédei (ed.), Providence, RI: American Mathematical Society.
Väänänen, Jouko, 2014, “Multiverse Set Theory and Absolutely Undecidable Propositions”, in Interpreting Gödel, J. Kennedy (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Wang, Hao, 1957, “The Axiomatization of Arithmetic”, Journal of Symbolic Logic, 22: 145–158.
–––, 1973, From Mathematics to Philosophy, London: Routledge.
–––, 1981, “Some Facts about Kurt Gödel”, Journal of Symbolic Logic, 46(3): 653–659.
–––, 1987, Reflections on Kurt Gödel, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 1993, Popular Lectures on Mathematical Logic, New York: Dover Publications Inc., 2nd edition.
–––, 1996, A Logical Lourney: From Gödel to Philosophy (Representation and Mind), Cambridge, MA: MIT Press.
Weingartner, P., and L. Schmetterer (eds.), 1987, Gödel Remembered: Salzburg 10–12 July 1983, (History of Logic, Number 4), Naples: Bibliopolis.
Wilkie, Alex, and J.B. Paris, 1987, “On the scheme of induction for bounded arithmetic formulas”, 35: 261–302.
Woodin, W. Hugh, 1988, “Supercompact Cardinals, Sets of Reals, and Weakly Homogeneous Trees”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 85(18): 6587–6591.
–––, 2001a, “The Continuum Hypothesis. I”, Notices of the American Mathematical Society, 48(6): 567–576.
–––, 2001b, “The Continuum Hypothesis. II”, Notices of the American Mathematical Society, 48(7): 681–690.
–––, 2002, “Correction: ‘The Continuum Hypothesis. II’”, Notices of the American Mathematical Society, 49(1): 46.
Yourgrau, Palle, 2005, A World Without Time. The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein, New York: Basic Books.
Zach, Richard, 1999, “Completeness Before Post: Bernays, Hilbert, and the Development of Propositional Logic”, Bulletin of Symbolic Logic, 5(3): 331–366.
–––, 2003, “Hilbert’s Program”, in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <Hilbert's Program (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Fall 2003 Edition)>.

Academic Tools

Other Internet Resources

Avigad, Jeremy, “Gödel and the metamathematical tradition”, manuscript in PDF available online.
Koellner, Peter, “Truth in Mathematics:The question of Pluralism”, manuscript in PDF available online.
The Bernays Project.

Acknowledgments

This entry was very much improved by discussion and correspondence with the following: Aki Kanamori, who made helpful corrections and comments to section 2.4; Jouko Väänänen, whose expertise in all areas of mathematical logic the author benefited from in a great many invaluable discussions regarding the material in section 2; my sub-editor Richard Zach, whose many important and helpful suggestions led to a vast improvement of this entry, and an anonymous referee for helpful comments and corrections. The author is grateful to the NWO for their support during the last period of the writing of this entry, to the Institute for Advanced Study for their hospitality during the writing of this entry, and to Marcia Tucker of the IAS and the Rare Books and Special Collections department of Firestone Library for all of their assistance over the years .

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