勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔 Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (Mark van Atten)

首次发表于 2003 年 3 月 26 日星期三；实质性修订于 2020 年 2 月 26 日星期三

荷兰数学家和哲学家，生于 1881 年，卒于 1966 年。他传统上被称为“L.E.J.布劳威尔”，全名缩写，但朋友们称他为“Bertus”。

在古典数学中，他建立了现代拓扑学，例如，确立了维度的拓扑不变性和不动点定理。他还给出了维度的第一个正确定义。

在哲学上，他的心血之作是直观主义，这是数学的一种修正基础。直观主义将数学视为思维的自由活动，独立于任何语言或柏拉图对象领域，并因此将数学基础建立在心灵哲学之上。其含义是双重的。首先，它导致了一种建设性数学形式，其中拒绝了古典数学的大部分内容。其次，对心灵哲学的依赖引入了古典数学以及其他形式的建设性数学所缺乏的特征：与那些不同，直观主义数学不是古典数学的一个适当部分。

1. 人

布劳威尔在阿姆斯特丹市立大学学习，他最重要的导师是迪德里克·科特韦赫和格里特·曼努里。

科特韦赫（1848–1941）是阿姆斯特丹大学的数学、力学和天文学教授，任职时间为 1881 年至 1918 年；最后五年担任_extraordinarius_，以便为布劳威尔腾出位置。1900 年左右，科特韦赫是荷兰最重要和最有影响力的数学家，他为荷兰数学的国际化做出了很大贡献。作为范德瓦尔斯培训的数学物理学家，他对力学和热力学特别感兴趣。在他的许多成果中，最著名的可能是描述浅沟渠中波浪行为的科特韦赫-德弗里斯方程。科特韦赫还对历史有浓厚兴趣，曾担任克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）的第十一至十五卷集的主编（1908 年至 1925 年）。他与博士生布劳威尔的部分通信涉及物理理论的统一（参见 van Stigt，1990 年，第 490–498 页）。

曼努里（1867–1956）是一位哲学家、数学家、精神分析师、会计师和政治活动家（Kirkels，2019）。他基本上是个自学成才的人，正是他在荷兰引入了拓扑学（在 1897 年至 1900 年的一系列论文中）和皮亚诺的符号逻辑（在 1903 年的一次讲座中）。1903 年，他被任命为阿姆斯特丹大学数学逻辑基础的_privaatdocent_（无酬讲师），布劳威尔是他的第一批也是最热心的学生之一。他的讲座已经以缩短和修订形式出版，见 Mannoury，1909 年。但是曼努里早期的拓扑论文对年轻的布劳威尔产生了决定性影响：“那项工作的‘基调’，布劳威尔在 1946 年的一次演讲中说，已经改变了他对数学的看法，从一个“以其不可动摇的吸引力而令人震惊，但以其死寂而令人恐惧的真理集合，就像来自绝望无垠的贫瘠山脉的石头”到关注“是如何‘建立…由我们思维的结构要素构成’”（Brouwer，1946B，第 192–193 页）。布劳威尔也对曼努里在数学和哲学中语言使用的利弊反思非常感兴趣。1917 年，曼努里成为阿姆斯特丹大学的_extraordinarius_教授，1918 年至 1937 年担任解析和描述几何学、力学和数学哲学讲座的_ordinarius_教授，接替了科特韦赫。他的职业生涯的很大一部分致力于推动_significs_的发展，这是从维多利亚·韦尔比夫人在她的论文“Sense, Meaning and Interpretation”（1896 年）中提出的观念出发对交际行为进行分析。布劳威尔也参与了这个项目。

勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔的主要（直觉主义）学生是莫里茨·贝林方特（Maurits Belinfante）、阿伦德·海廷（Arend Heyting）和约翰·德·永（Johan de Iongh）；海廷又是安妮·特罗尔斯特拉（Anne Troelstra）和德克·范·达伦（Dirk van Dalen）的老师，而永是温·费尔德曼（Wim Veldman）的老师。勒伊岑·布劳威尔的课堂还有马克斯·欧威（Max Euwe）参加，后来成为世界国际象棋冠军，他从直觉主义的角度发表了一篇关于国际象棋的博弈论文（Euwe，1929 年），并且在很多年后发表了勒伊岑·布劳威尔的追悼演讲。在勒伊岑·布劳威尔的助手中有海廷、汉斯·弗洛伊登塔尔（Hans Freudenthal）、卡尔·门格尔（Karl Menger）和维托尔德·胡雷维奇（Witold Hurewicz），后两者并不倾向于直觉主义。当时在荷兰以外最有影响力支持勒伊岑·布劳威尔直觉主义的人是赫尔曼·维尔（Hermann Weyl）（他对直觉主义分析的改编并不完全一致）；此外，胡塞尔的学生奥斯卡·贝克尔（Oskar Becker）也值得一提。

布劳威尔似乎是一个独立而聪明、道德标准高的人，但对正义感有过分的追求，使他有时好斗。因此，在他的一生中，他积极参与了许多战斗。对曼努里的女儿，布劳威尔曾说：“事实上，你的父亲是我从未与之争吵过的少数几个人之一。但他唤起了人们的善良，而我唤起了人们的恶”（Schmitz，1990 年，第 383 页）。

从 1914 年到 1928 年，布劳威尔是《数学年刊》（Mathematische Annalen）编辑委员会成员，并且是《组合数学》（Compositio Mathematica）的创始编辑，该刊于 1934 年首次出版。

他是荷兰皇家科学院、伦敦皇家学会、柏林普鲁士科学院和哥廷根科学院的成员之一。

布劳威尔分别于 1929 年获得奥斯陆大学和 1954 年获得剑桥大学的荣誉博士学位，并于 1932 年被授予荷兰狮骑士勋章。

2. 年表

1881 2 月 27 日出生在荷兰（1941 年起属于鹿特丹）的 Overschie。

1897 进入阿姆斯特丹大学学习数学和物理。

1904 获得数学_doctorandus_学位（理学硕士学位）；第一篇出版物（关于四维空间中的旋转）；与 Lize de Holl（1870 年出生）结婚。他们没有孩子，但 Lize 有一个来自早前婚姻的女儿。他们搬到了阿姆斯特丹附近的 Blaricum，那里是他们余生的居住地，尽管他们也在其他地方有房子。

1904–1907 博士研究。他的数学和哲学笔记本朝着他的论文显示出明显的影响，尤其是来自康托尔、希尔伯特、罗素、庞加莱和库图拉。他意识到弗雷格-希尔伯特辩论，并在这个问题上站在弗雷格一边。一些言论透露出一种反犹太主义的形式，不幸的是，当时经常出现在语言中，作为一种普遍偏见的编码；偶尔的言论进一步将犹太人与日耳曼人不利地对比。在他的生活中的其他时期没有人知道有这样的言论；还请参阅下面 1934–1935 和 1940–1945 的条目。这种短暂的反犹太主义与他在论文中阐述并在其余生活中发展的数学、语言和社会的哲学观点之间没有实质性的联系。

1907 在阿姆斯特丹大学在科特韦格的指导下，取得了关于数学基础的博士学位，论文名为《论数学基础》。这标志着他直觉主义数学重建的开始。同年晚些时候，勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔的妻子毕业并成为一名药剂师。布劳威尔一生都为她做记账工作并填写税表，有时还在柜台后面帮忙。

1908 首次发表反对排中律一般有效性的论点，题为《逻辑原则的不可靠性》。首次参加国际会议，即在罗马举行的第四届国际数学家大会。

1909–1913 在一个非常富有成效的四年里，勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔创立了现代拓扑学，作为古典数学的一个章节。亮点：维度不变性，不动点定理，映射度，维度的定义。正如范·达伦（2005 年，第 450 页）所观察到的，布劳威尔对维度的定义似乎是对归纳定义的首次重述，就像是一场游戏。他直觉主义计划中的一次暂停。

1909 在阿姆斯特丹大学成为一名_privaatdocent_（无酬讲师）。就职演讲题目为“几何的本质”。

1909 在荷兰海滨度假胜地斯海文宁根与希尔伯特相遇。布劳威尔非常钦佩希尔伯特，并在写给朋友的一封信中将他们的会面描述为“我生活中美丽的新光芒”（布劳威尔和阿达玛·范·舍尔特马，1984 年，第 100 页）。二十年后，布劳威尔与希尔伯特的关系变得紧张。

1911 勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔的著作中首次出现“形式主义”和“直觉主义”这两个名词，这是对曼努里（Mannoury）的《关于初等数学的方法论和哲学评论》（1909 年）的评论。

1912 当选为皇家科学院院士（在第二次世界大战期间称为“荷兰科学院”，之后称为“荷兰皇家科学院”）。

1912 被任命为集合论、函数论和公理论领域的全职教授（extraordinarius）。他的哲学就职演讲“直觉主义和形式主义”被翻译成英文为“Intuitionism and Formalism”，因此在 1913 年成为该语言中关于直觉主义的第一篇出版物。

1913 被任命为全职教授_ordinarius_，接替了慷慨地提议让位的科特韦赫。

1914 受邀加入《数学年刊》编辑委员会；接受这一荣誉。

1918 布劳威尔开始了他的论文“独立于排中律原则建立集合论的系统直觉主义重建”。

1919 收到哥廷根和柏林教授职位的邀请；均予以拒绝。

1919 《直觉主义集合论》是第一篇在广泛阅读的国际期刊《德国数学家协会年报》上发表的直觉主义数学作品。

1920 在巴德诺伊姆“自然科学家大会”上发表布劳威尔的演讲，引发了“基础争论”的开始，该演讲于 1921 年发表，题为“每个实数都有十进制展开吗？”；韦伊尔在 1921 年为直觉主义辩护，发表了“关于数学的新基础危机”；希尔伯特在 1922 年做出回应，发表了“数学的新基础”。

1922 与文学家弗雷德里克·范·伊登（Frederik van Eeden）等人共同创立“意义圈”，旨在通过语言改革实现精神和政治进步。该圈于 1926 年结束会议，但曼努里（Gerrit Mannoury）继续其工作。

1926 在哥廷根发表演讲；在艾米·诺伊特（Emmy Noether）家举行的一次小组晚餐后，希尔伯特和布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）（在短暂时期内）再次友好相处。

1927 在柏林举办讲座系列；汉斯·赖兴巴赫（Hans Reichenbach）和安德烈·韦伊尔（André Weil）在观众席上，布劳威尔的后来助手汉斯·弗洛伊登塔尔（Hans Freudenthal）也在场。《柏林日报》提议在其版面上举行布劳威尔和希尔伯特之间的公开辩论，但由于某种原因未能实现。布劳威尔也没有完成德国出版商瓦尔特·德·格鲁伊特（Walter de Gruyter）邀请他撰写的书。这些讲座和一本未完成的书在布劳威尔逝世后出版（布劳威尔，1992）。

1928 年 3 月 10 日和 14 日：在维也纳举行两场讲座。哥德尔在观众席上，维特根斯坦也在场。据说第一场讲座让维特根斯坦重新回到哲学。布劳威尔与维特根斯坦共度一天。

1928 年 4 月：与胡塞尔交谈，他在阿姆斯特丹讲学。

1928 年：博洛尼亚会议引发冲突。自第一次世界大战结束以来，德国数学家再次被允许参加国际会议，但并非完全平等。布劳威尔坚持认为这不公平，因此主张抵制会议。希尔伯特不赞同这一观点，对布劳威尔的行动感到非常懊恼，并作为德国代表团领导出席会议，是当时规模最大的代表团。

1928–1929 “Mathematische Annalenstreit”，发生在_Mathematische Annalen_编辑委员会中的冲突。希尔伯特认为自己即将去世，感到有必要确保在他去世后，勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔不会变得太有影响力，并以非法方式将他从委员会中驱逐出去。（希尔伯特的动机如此描述，已在他亲近的人的信件中有所记载：卡拉泰奥多里致爱因斯坦，1928 年 10 月 20 日；布卢门塔尔致_Mathematische Annalen_的出版商和编辑，1928 年 11 月 16 日；伯恩致爱因斯坦，1928 年 11 月 20 日。这些信件的副本存放在哈勒姆的北荷兰档案馆的布劳威尔文件中。这些信件中的相关引文可在范·达伦，2005 年，第 604 页和第 613 页找到。）爱因斯坦，也是委员会成员，拒绝支持希尔伯特的行动，不愿与整个事件扯上任何关系；大多数其他委员会成员也不愿因反对他而惹恼希尔伯特。布劳威尔强烈抗议。最终，整个委员会被解散，并立即重新组建，没有布劳威尔，规模大大缩小（特别是爱因斯坦和卡拉泰奥多里拒绝参加）。这场冲突使布劳威尔精神崩溃和孤立，结束了他工作中非常富有创造力的十年。现在，两位主要竞争者不再能继续下去，这场“Grundlagenstreit”结束了。

1928–1930 与卡尔·门格尔就首个正确定义维度概念的优先权发生冲突。

1929 八月：在布鲁塞尔的有轨电车上被盗了布劳威尔的公文包，里面装着他的数学笔记本。当警察和专门雇佣的私家侦探都无法找回时，他绝望地认为再也无法重建其内容。布劳威尔后来说，这次丢失导致他的主要兴趣从数学转向哲学。

1929 开始筹备创办一份新的数学期刊。

1934 布劳威尔自己的国际期刊第一期问世，名为_Compositio Mathematica_。

1934 在费迪南德·贡瑟特的邀请下在日内瓦举办讲座系列。在哥廷根筹划直觉主义数学课程的计划进展顺利，但最终未能实现。

1934–1935 勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔，一位德国《Compositio Mathematica》编辑委员会成员，1933 年加入国家社会主义运动并加入 SA，要求布劳威尔将犹太成员从编辑委员会中移除。布劳威尔拒绝；比贝尔巴赫辞职。

1935–1941 Blaricum 市议会成员，代表当地中立党（1939 年以 1601 票中获得 310 票当选）。

1940–1945 在第二次世界大战期间德国占领荷兰期间，布劳威尔通过让抵抗组织使用他担任主任的数学研究所的储藏空间来协助抵抗运动。他在自己的房屋中为犹太人和其他受迫害者提供藏身之处（如邻居的女儿在 van Dalen 2005 年第 2 卷 772–773 页中所证实）。1943 年，他建议学生签署德国人要求的忠诚宣言；当一些学生拒绝并躲藏时，布劳威尔和海廷会见他们继续他们的教育。战后，布劳威尔解释签署建议的部分原因是签署将为学生提供建立和执行抵抗活动所需的相对平静。他遭遇怀疑（但得到曼努里的支持）。由于这一点以及在占领期间一些类似的或许不幸的机智尝试，解放后他被停职几个月。布劳威尔深感冒犯，考虑移民到南非或美国。

1941 和 1944 勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔的房子发生火灾，摧毁了他档案和图书馆的重要部分。

1942 再次发表三篇关于直觉主义基础的简短笔记，这是自 1933 年以来的第一次。

1945–1950 关于《数学组合》的冲突。该期刊在战争期间没有出现，人们努力使其重现。由于布劳威尔声誉受损，组建新编辑委员会遇到困难。最终，布劳威尔的名字仍然出现在封面上，但实际上他被从他创建的期刊编辑委员会中移除。

1947–1951 勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔在英格兰剑桥举办年度讲座系列。布劳威尔计划将它们编成一本书，但这并没有发生。然而，他完成了计划中的六章中的五章，并且这些在他去世后出版（布劳威尔，1981）。

1948 重新开始他的基础计划，发表一篇利用创造主体概念的论文。又一个创造性时期的开始。

1949 反对出版他的论文集的计划，理由是他没有时间写出反映他原来以及目前对它们看法的注释，他认为这是科学上负责任的事情。

1951 从阿姆斯特丹大学退休。与阿伦德·海廷（Arend Heyting）的关系变淡，他是数学研究所所长一职的继任者，因为对退休的布劳威尔在那里仍然可以扮演的确切角色存在分歧。

1952 在伦敦和开普敦讲学。

1953 在赫尔辛基讲学，与冯·赖特（Von Wright）同住。在美国进行讲学巡回（包括麻省理工学院、普林斯顿大学、威斯康星大学麦迪逊分校、伯克利、芝加哥）和加拿大（安大略省金斯顿的加拿大数学大会）。在普林斯顿，他拜访了哥德尔。

1955 发表了他的最后一篇新论文（基于他在前一年在都柏林的布尔会议上的演讲）。

1959 布劳威尔夫人去世，享年 89 岁。布劳威尔拒绝了温哥华不列颠哥伦比亚大学一年职位的邀约。

1962 布劳威尔获得了蒙大拿的一个职位。

1966 年 12 月 2 日：在荷兰布拉里康去世，享年 85 岁，当时他在家门前被一辆汽车撞倒。他的图书馆和档案被分散。从 1970 年代开始，瓦尔特·范斯蒂赫特（Walter van Stigt）和德克·范·达伦（Dirk van Dalen）尽可能重建了这些档案；布劳威尔文件现在保存在哈勒姆的北荷兰档案馆。

3. 布劳威尔直觉主义的简要特征

基于他的心灵哲学，康德和叔本华是主要影响者，布劳威尔将数学主要描述为精确思维的自由活动，这种活动建立在（内在）时间的纯直觉之上。没有独立的对象领域，语言也不起基础性作用。因此，他努力避免了柏拉图主义（及其认识论问题）和形式主义（及其内容贫乏）之间的危险。在布劳威尔看来，数学真理的决定因素并不在于思维活动之外，一个命题只有在主体经历了其真实性（通过进行适当的思维构建）后才成为真实；同样，一个命题只有在主体经历了其虚假性（通过意识到适当的思维构建是不可能的）后才成为虚假。因此，布劳威尔可以声称“没有非经验真理”（Brouwer, 1975, p.488）。

勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔准备将他的心灵哲学推演到最终结论；重建的数学是否与古典数学相容并不是首要问题，也不是决定性问题。通过这样给予哲学优先权而非传统数学，他表现出自己是一位修正主义者。事实上，直觉主义算术是古典算术的一个子系统，而在分析中情况不同：并非所有古典分析都是直觉主义可接受的，但也不是所有直觉主义分析都是古典可接受的。布劳威尔全心接受了这一后果。

4. 布劳威尔直觉主义的发展

以下是布劳威尔在哲学、数学和逻辑方面思想的简要历史。还有一篇更详细的单独文章关于直觉逻辑的发展。

勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔的小册子《生活、艺术与神秘主义》于 1905 年出版，虽然并非直接发展他的数学基础，但却是他在同时进行的论文的关键，该论文在两年后完成，其中包含了他对心灵、语言、本体论和认识论的基本观念。

这些观念在他于 1907 年答辩的论文《论数学基础》中应用到数学中；这是一般哲学而不是悖论引发直觉主义的发展（一旦开始，解决悖论的方法就出现了）。与康德一样，布劳威尔将数学建立在对时间的纯直觉上（但布劳威尔拒绝对空间的纯直觉）。

布劳威尔认为数学是一种本质上无需语言的活动，语言只能在事后描述数学活动。这使他否认了公理化方法在数学中的基础作用。此外，他将逻辑解释为对数学活动的语言表达中模式的研究，因此逻辑依赖于数学（作为模式的研究），而不是相反。正是这些考虑促使他引入数学和元数学之间的区别（他使用术语“二阶数学”），他在 1909 年与希尔伯特的对话中向希尔伯特解释了这一点。

有了这个观点，勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔开始重建康托尔集合论。当试图（在论文草稿中）对康托尔的第二数类（所有可数无限序数的类）和更高级别的序数类进行建设性解释失败时，他意识到这是不可能的，并拒绝了更高级别的数类，只留下所有有限序数和一个未完成或开放式的可数无限序数集合。因此，由于他的哲学观点，他有意搁置了部分普遍接受的数学。不久之后，他会对逻辑原理之一——排中律（PEM）采取同样的态度，但在论文中，他仍认为它是正确但无用的，将 p∨¬p 解释为 ¬p→¬p。

在 1908 年的《逻辑原理的不可靠性》中，布劳威尔以一般性的方式阐述了他对排中律的批评：尽管在 p∨¬p 的简单形式中，这个原理永远不会导致矛盾，但有一些情况，就建设性而言，人们无法找到积极的依据。布劳威尔列举了一些例子。因为它们严格意义上并没有反驳排中律，所以被称为“弱反例”。请参阅关于弱反例的补充说明。

赋予直觉主义比其他形式的建设性数学（包括布劳威尔论文中的形式）更广泛范围的创新是选择序列。这些是主体逐个选择的潜在无限数字（或其他数学对象）序列。选择序列首次作为直觉上可接受的对象出现在 1914 年的一篇书评中；使它们在数学上可处理的原则——连续性原则，是在布劳威尔 1916 年的讲义中制定的。选择序列的主要用途是重建分析；连续体上的点（实数）被确定为满足一定条件的选择序列。使用称为“扩展”的设备将选择序列收集在一起，这个设备的功能类似于古典分析中的康托尔集合，并且最初，布劳威尔甚至用“Menge”（“集合”）这个词来表示。布劳威尔在两部分论文“独立于排中律原则建立集合论”（1918/1919）中发展了一套关于扩展的理论，以及基于此的点集理论。

答案在勒伊岑·艾赫贝特斯·扬·布劳威尔的论文标题“每个实数都有十进制展开吗？”（1921A）中的问题中是不。布劳威尔证明可以构造满足柯西条件的选择序列，这些序列在其确切发展中依赖于一个尚未解决的问题。在尚未解决这个问题之前，无法构造十进制展开；根据布劳威尔严格的构造主义观点，这意味着在解决这个问题之前不存在十进制展开。从这个意义上说，可以构造尚未有十进制展开的实数（即，收敛的选择序列）。

在 1923 年的一次讲座中，布劳威尔再次使用选择序列和未解决的问题，设计了一种通用技术，现在被称为“布劳威尔反例”，用于生成对经典原理的弱反例：“论排中律在数学中的意义”（布劳威尔 1924N）。

直觉分析的基本定理——栅定理、扇定理和连续性定理——在 1927 年的“关于函数定义域”的论文中。前两者是关于传播的结构定理；第三个（不要与选择序列的连续性原则混淆）陈述每个总函数 [0,1]→R 都是连续的，甚至是一致连续的。实际上，扇定理是栅定理的推论；结合连续性原则（在经典上无效），得到连续性定理，这也在经典上无效。另一方面，栅和扇定理在经典上是有效的，尽管它们的经典和直觉主义证明不可互换。经典证明在直觉上是不可接受的，因为它们依赖于排中律；直觉证明在经典上是不可接受的，因为它们依赖于对心智证明结构的反思。在这种反思中，布劳威尔引入了“完全分析”或“规范”证明形式的概念，这个概念后来被马丁-勒夫和邓美特广泛采纳。在一个脚注中，布劳威尔提到这样的证明，他将其视为主体心智中的心智对象，通常是无限的。

“1928 年关于形式主义的直觉主义反思”确定并讨论了形式主义和直觉主义之间的四个关键差异，所有这些差异要么与 PEM 的作用有关，要么与数学和语言之间的关系有关。布劳威尔强调，正如他在他的论文中所做的那样，形式主义假定在元层次上存在内容性数学。他在这里还提出了他的第一个强有力的反例，即通过展示 ∀x∈R(Px∨¬Px)的形式来反驳 PEM，从而表明并非每个实数都是有理数或无理数。请参阅强反例的补充信息。

1928 年在维也纳举行的两场讲座中——“数学、科学和语言”（1929A）和“连续体的结构”（1930A）——第一场在很大程度上是哲学性质的，而第二场更多是数学性质的。在“数学、科学和语言”中，布劳威尔阐述了他对标题中提到的三个主题之间关系的一般观点，采用了一种遗传学方法，并强调了意志的作用。这场讲座的较长版本发表为“意志、知识和言语”（1933A2）；其中包含了关于一个从一开始就存在的概念的首次明确说明，现在被称为“理想（化）数学家”或“创造主体”。

“意识、哲学和数学”（1949C）再次审视了布劳威尔的心灵哲学及其对数学的一些影响。与_生活、艺术和神秘主义_、 “数学、科学和语言”以及“意志、知识、语言”进行比较，可以发现布劳威尔多年来的一般哲学观念发展得相当多，但主要是在深度上。

1949 年，布劳威尔（1949A）发表了一类新的强反例，这一类别与布劳威尔早期的强反例（1928 年，见上文）不同之处在于所采用的论证类型，现在被称为“创造主体论证”，其中必然涉及到创造主体数学活动的时间结构（Heyting，1956 年，第三章和第八章；van Atten，2003 年，第四章和第五章；van Atten，2018 年）。

布劳威尔的例子表明存在这样一种情况，即双重否定原则形式为 ∀x∈R（¬¬Px→Px）导致矛盾（“连续体上建构性和负序关系的非等价性”，荷兰语）。第一篇以英语发表的强反例要等到 1954 年，“经典函数论中矛盾性的一个例子”（1954F）。这个具有争议性的标题应该理解为：如果坚持经典理论的字面意义，但在其解释中用直觉主义概念替代其经典对应物，就会导致矛盾。因此，这并不是严格意义上的反例，而是一种不可解释的结果。由于直觉主义逻辑在形式上是经典逻辑的一部分，直觉主义算术是经典算术的一部分，强反例的存在必须取决于一个基本的非经典要素，这当然是选择序列。

在选择序列的早期引入和杆定理的证明之后，创造主体论证是直觉主义主观方面开发的新步骤。没有原则性的理由认为这应该是最后一步。

Bibliography

A full bibliography of Brouwer’s writings can be found in

van Dalen, D., 1997, “A bibliography of L.E.J. Brouwer”, Utrecht Logic Group Preprint Series, no. 175 [Available online]. Updated version in van Atten, M., Boldini, P., Bourdeau, M., and Heinzmann, G. (eds.), 2008, One Hundred Years of Intuitionism (1907–2007). The Cerisy Conference, Basel: Birkhäuser, pp. 343–390.

The Brouwer Papers are kept at Noord-Hollands Archief in Haarlem, the Netherlands.

Availability of Brouwer’s writings

Facsimiles of almost all of Brouwer’s published papers can be found in

Brouwer, L.E.J., 1975, Collected Works 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, A. Heyting (ed.), Amsterdam: North-Holland.
Brouwer, L.E.J., 1976, Collected Works 2. Geometry, Analysis, Topology and Mechanics, H. Freudenthal (ed.), Amsterdam: North-Holland.

Full scans and transcriptions of Brouwer’s student notebooks (in Dutch) are available online.

In the Collected Works, papers in Dutch have been translated into English (without naming the translator(s)), but papers in French or German have not. English translations of several of them can be found in

van Heijenoort, J., ed., 1967, From Frege to Gödel. A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge (MA): Harvard University Press.
Mancosu, P., ed., 1998, From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford: Oxford University Press.

An English translation of Brouwer’s little book Leven, Kunst en Mystiek of 1905, of which the Collected Works contain only excerpts, is

Brouwer, L.E.J., 1996, “Life, Art and Mysticism”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37(3):389–429. Translated by Walter van Stigt, who provides an introduction on pp.381–387.

The Berlin lectures of 1927 have been published in

Brouwer, L.E.J., 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag.

The Cambridge lectures of 1946–1951, which are recommended as Brouwer’s own introduction to intuitionism, have been published as

Brouwer, L.E.J., 1981, Brouwer’s Cambridge Lectures on Intuitionism, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press.

A selection of Brouwer’s correspondence has been published as

van Dalen, D., ed., 2011, The Selected Correspondence of L.E.J. Brouwer, London: Springer. An online supplement (link and password on the copyright page of the book) presents most of the extant correspondence, but without English translations.

Of particular biographical interest is the correspondence between Brouwer and his friend, the socialist poet C.S. Adama van Scheltema, which covers the years 1898–1924. The Selected Correspondence presents a number of these letters in English. The full correspondence has been published in Dutch, with notes, an introduction, and an appendix on Brouwer, as

Brouwer, L.E.J., & Adama van Scheltema, C.S., 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdam: De Arbeiderspers.

Cited texts by Brouwer

Brouwer’s writings are referred to according to the scheme in the bibliography van Dalen, 1997.

1905, Leven, Kunst en Mystiek. Partial English translation in Brouwer, 1975, pp. 1–9. Full English translation (by W. van Stigt) in Notre Dame Journal of Formal Logic, 37(3):389–429.
1907, Over de Grondslagen der Wiskunde, Ph.D. thesis, Universiteit van Amsterdam. English translation in Brouwer, 1975, pp. 11–101.
1908, “De onbetrouwbaarheid der logische principes”, Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 2: 152–158. English translation in Brouwer, 1975, pp. 107–111.
1914, “A. Schoenflies und H. Hahn. Die Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen, Leipzig und Berlin 1913”, Jahresb. D.M.V., 23: 78–83.
1918B, “Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre”, KNAW Verhandelingen, 5: 1–43.
1919A, “Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Zweiter Teil, Theorie der Punktmengen”, KNAW Verhandelingen, 7: 1–33.
1919D, “ Intuitionistische Mengenlehre ”, Jahresb. D.M.V., 28: 203–208. English translation in Mancosu 1998 pp. 23–27.
1921A, “Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung?”, Mathematische Annalen, 83: 201–210. English translation in Mancosu 1998 pp. 28–35.
1924N, “Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 154: 1–7. English translation in van Heijenoort 1967, pp. 335–341.
1927B, “Über Definitionsbereiche von Funktionen”, Mathematische Annalen, 97: 60–75. English translation of sections 1–3 in van Heijenoort 1967, pp. 457–463.
1928A2, “Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus”, KNAW Proceedings, 31: 374–379. English translation in Mancosu 1998, pp. 40–44.
1929A, “Mathematik, Wissenschaft und Sprache”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 36: 153–164. English translation in Mancosu 1998, pp.45–53.
1930A, Die Struktur des Kontinuums, Wien: Komitee zur Veranstaltung von Gastvorträgen ausländischer Gelehrter der exakten Wissenschaften. English translation in Mancosu 1998, pp. 54–63.
1933A2, “Willen, weten, spreken”, in De Uitdrukkingswijze der Wetenschap, L.E.J. Brouwer et al., Groningen: Noordhoff, 45–63. English translation in van Stigt 1990, pp. 418–431.
1946B, “Toespraak van Prof.Dr. L.E.J. Brouwer en antwoord van Prof.Dr. G. Mannoury”, Jaarboek der Universiteit van Amsterdam 1946–1947, II. English translation of Brouwer’s part in Brouwer, 1975, pp. 472–476. English translation of Mannoury’s reply: Synthese, 5: 514–515.
1948A, “Essentieel negatieve eigenschappen”, Indagationes Mathematicae, 10: 322–323. English translation in Brouwer, 1975, pp. 478–479.
1949A, “De non-aequivalentie van de constructieve en de negatieve orderelatie in het continuum”, Indagationes Mathematicae, 11: 37–39. English translation in Brouwer, 1975, pp. 495–496.
1949B, “Contradictoriteit der elementaire meetkunde”, KNAW Proc., 52: 315–316. English translation in Brouwer, 1975, pp. 497–498.
1949C, “Consciousness, philosophy and mathematics”, Proceedings of the 10th International Congress of Philosophy, Amsterdam 1948, 3: 1235–1249.
1954F, “An example of contradictority in classical theory of functions”, Indag. Math., 16: 204–205.
1955, “The effect of intuitionism on classical algebra of logic”, Proceedings of the Royal Irish Academy, 57: 113–116.

Cited primary texts by others

Euwe, M., 1929, “Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel”, Ned. Akad. Wetensch. Proc., 32:633–644.
Hilbert, D., 1922, “Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung”, Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1:157–177. English translation “The New Grounding of Mathematics: first report” in (Mancosu 1998).
Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
Welby, V., 1896, “Sense, Meaning and Interpretation”, Mind, N.S., 5(17):24–37; (18):186–202.
Weyl, H., 1921, “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10:39–79. English translation “On the New Foundational Crisis of Mathematics” in (Mancosu 1998).

Secondary Literature

Dubucs, J.-P., 1988, “L.E.J. Brouwer : Topologie et constructivisme”, Revue d’histoire des sciences, 41(2): 133–155.
- An analysis of the relation between Brouwer’s topological work and his constructivist foundations.
Dummett, M., 1977, Elements of Intuitionism, Oxford: Oxford University Press. 2nd, revised edition, 2000, Oxford: Clarendon Press.
- An overview of intuitionism. Philosophically, it seems closer to Wittgenstein than to Brouwer.
Franchella, M., 2015, “Brouwer and Nietzsche: Views about Life, Views about Logic”, History and Philosophy of Logic, 36(4): 367–391.
- A comparison of Nietschze’s and Brouwer’s critical views on the role of logic.
Hesseling, D.E., 2003, Gnomes in the Fog. The Reception of Brouwer’s Intuitionism in the 1920s, Basel: Birkhauser.
- A detailed historical discussion of the reactions to Brouwer’s mature intuitionism during the foundational debate.
Heyting, A., 1956, Intuitionism. An introduction, Amsterdam: North-Holland. 2nd, revised edition, 1966. 3rd, revised edition, 1971.
- Probably the most influential book on the subject ever written. In a style that is more down-to-earth and oecumenical than Brouwer’s, Heyting presents the intuitionistic versions of various basic subjects in everyday mathematics. Brouwer and Heyting have some philosophical disagreements that make a difference in their appreciation of some aspects of intuitionistic mathematics. No comments of Brouwer on this book are known.
Kirkels, M., 2019, Gerrit Mannoury (1867–1956). Een Relativistisch Denker, Rotterdam: Erasmus Universiteit.
- A thorough biography of the remarkable man who was Brouwer’s teacher and then lifelong close friend; in Dutch.
Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paris: Vrin.
- An overview of intuitionism, staying close to Brouwer, and showing a good sense of the historical background of Brouwer’s notion of intuition.
Placek, T., 1999, Mathematical Intuitionism and Intersubjectivity, Dordrecht: Kluwer.
- A comparison of the arguments for intuitionism advanced by, respectively, Brouwer, Heyting, and Dummett, in particular with respect to the possibility of intersubjective validity of intuitionistic mathematics.
Schmitz, H.W., 1990, De Hollandse Significa. Een Reconstructie van de Geschiedenis van 1892 tot 1926, Assen: van Gorcum.
- A detailed monograph on the development of the Signific Movement in the Netherlands, in Dutch (translated from the author’s German Habilitationsschrift).
Schmitz, H.W., ed., 1990, Essays on Significs: Papers Presented on the Occasion of the 150th Anniversary of the Birth of Victoria Lady Welby, 1837–1912, Amsterdam: John Benjamins.
- Historical and systematical essays on Lady Welby, the relations between significs and semiotics, and the Signific Movement in the Netherlands.
Troelstra, A., 1969, Principles of Intuitionism, Heidelberg: Springer.
- The first exposition of intuitionism after those by Brouwer and Heyting. While strongly mathematically oriented, it shows a strong appreciation of philosophical aspects. Written as lectures notes for the conference on Intuitionism and Proof Theory, Buffalo, 1968, after the author spent the academic year 1966–1967 with Kreisel.
van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.
- A philosophical introduction to intuitionism as conceived by Brouwer, with extensive treatments of the proof of the bar theorem, the creating subject, and intersubjectivity.
van Atten, M., 2018, “The Creating Subject, the Brouwer-Kripke Schema, and infinite proofs”, Indagationes Mathematicae, 29(6): 1565–1636.
- A discussion of philosophical, mathematical, and historical aspects of Brouwer’s Creating Subject arguments. Issues 29(1) and 29(6) of Indagationes make up a voluminous virtual special issue in commemoration of the 50th anniversary of Brouwer’s death.
van Atten, M., Boldini, P., Bourdeau, M., and Heinzmann, G., eds., 2008, One Hundred Years of Intuitionism (1907–2007). The Cerisy Conference, Basel: Birkhäuser.
- Part I consists of a number of historical and systematical papers on Brouwer and Brouwerian intuitionism. Part II contains, among others, two papers on Brouwer in relation to French recursors of intuitionism. Part III includes a paper on the Hilbert-Brouwer controversy from a historical-mathematical perspective.
van Atten, M. and Tragesser, R., “Mysticism and Mathematics: Brouwer, Gödel and the Common Core Thesis”, in Klarheit in Religionsdingen, Deppert, W. & Rahnfeld, M., eds., Leipzig: Leipziger Universitatsverlag, 145–160.
- A comparison of Brouwer’s and Gödel’s interest in mysticism and of their views on its relation to mathematics.
van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer, and Intuitionist, 2 volumes, Oxford: Clarendon Press.
- The standard biography of Brouwer. Volume 1, The Dawning Revolution, covers the years 1881–1928, volume 2, Hope and Disillusion, covers 1929–1966.
van Dalen, D., 2001, L.E.J. Brouwer 1881–1966. Een Biografie. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdam: Bert Bakker.
- A popular biography in 1 volume, in Dutch.
van Dalen, D., 2013, L.E.J. Brouwer—Topologist, Intuitionist, Philosopher. How Mathematics Is Rooted in Life, London: Springer.
- A somewhat revised version in 1 volume of the biography (van Dalen 1999/2005).
van Stigt, W., 1990, Brouwer’s Intuitionism, Amsterdam: North-Holland.
- Contains interesting philosophical discussions and gives English translations of material from the Brouwer archive. The biographical sketch has now been superseded by (van Dalen, 1999/2005) and (van Dalen, 2001). Van Stigt also contributed to the introductions to the papers on intuitionism in Mancosu 1998 (see above).