多模态逻辑的哲学方向 multi-modal logic, philosophical aspects of (Sonja Smets and Fernando Velázquez-Quesada)
首次发表于 2019 年 6 月 3 日星期一；实质性修订于 2023 年 12 月 11 日星期一
这里是我认为模态逻辑中最大的错误之一：只关注具有一个模态运算符的系统。在德意志逻辑或认识论逻辑中，要获得任何哲学上重要的结果，唯一的方法是将这些运算符与：时态运算符相结合（否则如何制定变化原则？）；逻辑运算符（否则如何比较相对与绝对？）；类似历史或物理必然性的运算符（否则如何将代理人与其环境联系起来？）；等等等等。- Dana Scott（1970 年：161）
本文关注一些重要的方向，这些方向出现在涉及不同模态运算符的模态逻辑研究中，正如上述 D. Scott 的引语所示。事实上，当讨论不同的模态运算符时，我们需要一个允许我们处理它们所代表的不同态度以及它们之间复杂关系的系统。为了对这些情况进行形式上的理解，我们需要一个多模态系统。
在这样的系统中，每个相关的模态运算符都配备了一种解释，使我们能够推理关于在考虑中的命题的真值在不同可能世界中变化的情况。这样的系统在当前逻辑哲学研究中占据重要地位。首先，它们推动了关于如何通过其他模态性来推导或定义某些模态性的讨论，例如在认识论中关于通过信念和相反的定义知识的讨论。此外，它们还说明了不同的基本运算符如何相互作用，例如基于模态运算符的相互作用的众所周知的谜题和悖论（例如 Fitch 的可知性悖论，Voorbraak 的谜题和 Brandenburger-Kesler 悖论）。本文将读者引向逻辑技术方面的组合逻辑系统以及多模态逻辑的哲学方面。
1. 简要介绍
多模态逻辑特别适合研究各种哲学概念，包括不同类型的信念、义务、知识、时间、空间、意图、欲望、证据、偏好以及各种本体论和认识论行为等等。事实上，所有这些概念都具有特定的上下文相关特征，这表明它们最好通过能够表达不同真值模式的模型来进行研究（例如，全局和局部真值）。这种分析为我们提供了基本构建块和规范这些不同概念的原则的关键见解。这在包括人工智能、心理学、社会科学、经济学、物理学等广泛的学科中被证明是有用的。但是，正如斯科特上面的引语所暗示的，当这些哲学概念被孤立地研究时，缺少了某种东西。一个概念的定义很大程度上取决于它与其他概念的相互作用方式。例如，理性信念应该依赖适当的论证、证明或证据；在义务的背景下，析取可能不像自然语言中那样行为；通过寻找修改知识的行为来更好地理解知识；意图可以从欲望和信念中推导出来。这种研究需要具有多个模态运算符的逻辑系统，通常称为多模态逻辑，不仅描述个体概念的孤立属性，还描述它们彼此之间的关系。事实上，多模态逻辑已经被设计用于广泛的应用，包括推理时间、空间、知识、信念、意图、欲望、义务、公共和私人通信、观察、测量、游戏中的移动等等。
本文旨在简要概述许多不同哲学概念之间的相互作用，并展示多模态逻辑系统的使用如何对这些概念的相互作用进行一些阐明。我们从第 2 节（以其他概念定义概念）开始，讨论从现有系统出发，使用“句法”和“语义”策略相结合来定义进一步概念的基本情景。这些情况基于这样一个观点，即某些概念可以用其他概念来定义，其中知识作为合理的真实信念的理解是最著名的例子之一。对这个观点的一个替代是考虑所涉及的概念是独立出现的，但仍然以某种方式相关，就像知识和时间之间的关系一样。从形式的角度来看，这相当于观察两个（或更多）现有系统可以组合的不同模式。第 3 节关于组合模态系统的一般策略提供了一些最相关策略的概述。在这个稍微技术性的探讨之后，讨论从哲学的角度出发，首先描述了多模态的组合（第 4 节关于模态之间的重要相互作用），最后给出了一些例子，说明模态之间的相互作用如何对哲学问题进行阐明（第 5 节关于哲学讨论中的多模态系统）。
关于符号和技术水平的注释 要讨论多模态逻辑的方向，本条目假定读者具备模态逻辑的基本知识，特别是关于其语言和关系“可能世界”语义的知识（尽管其他语义模型也会提到）。特别是，关系模型被理解为一个包含一组可能世界、它们之间的一个或多个（通常是二元的）关系以及一个表示每个可能世界实际代表的估值的元组。这样的结构可以用不同的模态语言来描述。我们将使用 L 来表示标准命题语言，使用 L{O1,…,On}来表示其扩展了 O1，…，On 的模态。给定一个关系模型 M 和一个公式 φ，我们将使用 [[φ]]M 来表示 M 中 φ 成立的世界集合。读者可以在所引用的 SEP 条目中找到有关模态逻辑基础的更多细节，还可以在 Blackburn，Rijke 和 Venema（2001）和 van Benthem（2010）的初始章节以及 Blackburn 和 van Benthem（2006）中找到更多细节。
然而，本文的目标不是提供对该主题的全面研究，而是强调最有趣和引人入胜的方向。因此，尽管会使用一定程度的形式讨论，但大多数技术细节将限制在附录中。
2. 通过其他概念来定义概念
为了使用具有多模态的系统，问题是如何构建这样的设置。其中最重要的一点是决定要研究的概念是否比其他概念“更基本”，即后者是否可以用前者来定义。正如前面提到的，将知识理解为合理的真实信念是最著名的例子之一。其他同样相关的例子包括将信念定义为可用的论证/证据/理由，或者将群体的认识概念定义为其成员的认识概念。然而，基本的必然性和可能性的真理逻辑已经提供了如何定义两个概念之间关系的典范示例。
2.1 必然性和可能性
基本的真理模态逻辑包含可能性 (⬦) 和必然性 (□) 模态。这个系统的大多数形式化表达将其中一个模态作为原始的句法运算符 (比如 ⬦)，然后将另一个定义为它的模态对偶 (□φ:=¬⬦¬φ)。这是一个看似无害的句法互定义，源于 ⬦ 和 □ 在语义上的解释分别是存在量词和全称量词。从某种意义上说，这类似于经典命题逻辑中布尔运算符的互定义。然而，这已经反映了重要的基本假设。从经典观点来看，当且仅当某事物的否定不可能时，它是必然的 (□φ↔¬⬦¬φ)；当且仅当某事物的否定不必要时，它是可能的 (⬦φ↔¬□¬φ)。然而，在所有情境下这并不一定成立。例如，虽然 ⬦φ→¬□¬φ 在直觉上是可接受的（存在一个使 φ 成立的可能性意味着不是每个可能性都使 φ 为假），但它的逆 ¬□¬φ→⬦φ 却不成立（不是每个可能性都使 φ 为假并不能保证存在一个使 φ 为真的可能性）。因此，在用一个模态来定义另一个模态时，应该始终小心谨慎。
2.2 群体的知识和信念
在上述示例中，我们从单模态逻辑开始，现在我们提供一个从同质多模态逻辑开始的示例。我们的设置是一个由若干基本模态组成的逻辑，这些模态都是通过相同类型的关系进行语义解释的。我们的示例是基本的多主体认知逻辑。这个设置已经是多模态的了，因为它的语言 L{K1,…,Kn}对于集合 A={1,…,n}中的每个代理 i 都有一个知识模态 Ki。（实际上，这个基本的多主体认知逻辑是几个单一主体认知逻辑系统（第 3.1 节）的融合，每个代理 i∈A 都有一个系统。）然而，利用 A 的有限性，我们可以为群体认知的每个人都知道定义一个全新的模态：
Eφ:=K1φ∧⋯∧Knφ
以类似的方式，我们可以在语言 L{B1,…,Bn}的逻辑中定义一个每个人都相信的模态
EBφ:=B1φ∧⋯∧Bnφ
这些定义假设一组代理人的知识/信念对应于代理人个体知识/信念的合取。然而，在社会认识论的背景下，将群体态度简化为个体态度的简单总和是有争议的，特别是当关注群体信念时。[ 1]
2.3 试图简单地将知识和信念联系起来
另一个多模态概念相互定义的例子涉及知识和信念之间的关系。在认识论中，研究人员正在寻找对知识的正确描述，一个常见的趋势是将知识视为一种经过证明的真实信念的形式（这个想法可以追溯到柏拉图的对话《忒艾特提》）。盖蒂尔的著名反例表明，这种对知识的简单描述是不够的：还需要进一步的条件，如安全性、敏感性、稳健性或稳定性。尽管如此，将知识描述为经过证明的真实信念是一个重要的第一步。经典认识逻辑并没有明确处理证明的概念，因此一个起点是将知识理解为真实信念的简单形式。
采用一个具有序列、传递和欧几里德性质（即 KD45 设置）的信念关系模型，并以标准方式在语义上解释与 RB 相关的多模态 B。在这种设置下，有两种选择。第一种是语法的，就像迄今为止讨论过的例子一样，它包括将知识定义为“真实信念”的一种模态：K′φ:=Bφ∧φ。第二种是语义的，它包括将一个认识等价关系 RK 定义为信念关系的自反和对称闭包，然后按照标准方式使用它来给出模态 K 的语义解释。
值得注意的是，这两种方法并不等价。考虑以下信念模型（来自 Halpern, Samet, & Segev 2009a），其中序列、传递和欧几里德性质的信念关系 RB 用虚线箭头表示，其派生的自反、传递和对称（即等价）认识关系 RK 用实线箭头表示。
图 1 [图 1 的详细描述在附录中。]
注意代理人在模型中的每个世界上都相信 p，[[Bp]]M={w1,w2,w3}；然后，根据句法方法，K′φ 成立于那些 Bφ∧φ 成立的世界中，我们有
[[K′p]]M=[[Bp∧p]]M={w1,w2}。
然而，根据语义方法，Kφ 在那些所有认识上可达的情境中成立，因此 [[Kp]]M={w1}。因此，K'和 K 并不等价。这种不匹配的原因之一是这两种选择对知识的派生概念没有强制相同的属性。例如，虽然语义方法强制负内省（通过使 RK 成为等价关系），但句法方法则不然。实际上，这个属性在 w3 处失败，因为 ¬K'p 为真（Bp∧p 失败，因为 p 失败），但仍然 K'¬K'p（展开为 B(¬Bp∨¬p)∧(¬Bp∨¬p)）为假。[3]
第 4.1 节回顾了这两个概念之间的关系，提及了与知识和信念相关的替代多模态解释，同时兼顾了涉及的认识论细微差别。
2.4 分布式和共同知识
在前面的情况中，第二个选项是语义的：它获取现有模态的语义对应项，然后从中提取出进一步的语义组成部分，以此定义一个新的模态。以下是这种策略的两个进一步示例。
再次考虑具有语言 L{K1,…,Kn}的基本多主体认知逻辑。如上所述，该设置是多模态的，因为其语言对于每个代理 i∈{1,…,n}都包含一个知识模态 Ki，该模态在语义上以与匹配的认知关系 Ri 相对应的标准方式进行解释。虽然可以通过语法定义一个关于每个人都知道（E）的模态（因为代理集是有限的），但其他群体认知概念，如分布式知识和共同知识，则不能定义。[4]
首先考虑分布式知识的概念，直观地理解为代理个体知识的逻辑推论的并集（或者说是群体成员通过汇总所有信息所能得出的结论）。从这个直观的定义可以清楚地看出，这个概念可以通过代理个体认知关系的交集在语义上进行定义。更具体地说，描述分布式知识模态的关系应该对应于个体认知关系的交集，RD:=⋂i∈ARi。因此，给定一个评估点 w，当代理们分享他们所知道的一切之后，世界 u 将被认为是可能的，当且仅当所有代理在沟通之前都认为它是可能的（或者换句话说，u 将被认为是可能的，当且仅当没有人可以排除它）。只需将语言扩展一个与这个新关系相关的模态 D，在语义上进行解释：
(M,w)⊩Dφ 当且仅当对于所有 u∈W，如果 RDwu，则(M,u)⊩φ。
另一个在社会互动研究中至关重要的概念是共同知识。这个概念可以描述为每个人都知道，每个人都知道每个人都知道，每个人都知道每个人都知道每个人都知道，依此类推。与分布式知识一样，这个概念不需要添加进一步的语义组成部分：个体认知不可区分关系已经提供了使定义明确所需的一切。如果以自然方式定义“每个人都知道”模态的认知关系（RE:=⋃i∈ARi），然后定义 RC 为 RE 的传递闭包，
RC:=(RE)+,
人们可以简单地通过多模态 C 来扩展语言，从语义上解释为 RC：
对于所有 u∈W，如果 RCwu，则(M,u)⊩φ。
在世界 w 中，如果一个公式 φ 在所有可以通过有限非零转换序列在 RE 中到达的世界（C 的语义解释中的“for all”）中成立，则该公式 φ 在代理之间是普遍已知的。换句话说，如果每个人都知道 φ（长度为 1 的任何序列），每个人都知道每个人都知道 φ（长度为 2 的任何序列），依此类推。[5]
2.5 以证据为基础的信念
有更详细的框架扩展给定设置的例子，这些框架通过“提取”语义模型中的进一步信息。其中之一是证据逻辑，由 van Benthem＆Pacuit（2011）引入，并在 van Benthem，Fernández-Duque 和 Pacuit（2014）以及 Baltag，Bezhanishvili 等人（2016）进一步发展。它遵循表示代理人收集到的证据的想法，并研究这些证据如何支持进一步的认知概念（例如，知识和信念）。语义由基本邻域模型（Montague 1970; Scott 1970）给出：一个形式为 M = ⟨W，N，V⟩ 的元组，其中 W 和 V 分别是可能世界和原子估值的非空集合（与标准关系模型相同），N：W→℘（℘（W））是一个邻域函数，为每个可能世界分配一组可能世界的集合（因此 N（w）⊆℘（W）是 w 的邻域）。在证据逻辑中，假设邻域函数是恒定的（即，对于任何 w，u∈W，N（w）= N（u）），因此模型可以简单地理解为元组 ⟨W，E，V⟩，其中 E⊆℘（W）是（恒定的）邻域。这个邻域直观地包含代理人收集到的基本证据片段（证据 U⊆W 可以理解为指示代理人真实世界在 U 中），需要满足两个附加属性：证据本身永远不矛盾（∅∉E），并且代理人知道她的“空间”（W∈E）。
句法上，邻域模型可以用模态语言 L{□}来描述，这通常是在标准邻域模型中完成的。对于 □ 模态的语义解释至少有两种可能性（Areces＆Figueira 2009），在证据逻辑中选择的是以下解释：
(M,w)⊩□φ 当且仅当存在 U∈E 使得 U⊆ [[φ]]M.
因此，在这种情况下，□φ 表示“代理人有支持 φ 的证据”，在语义上对应着存在一个只包含 φ 世界的证据片段。
这样的模型所蕴含的代理人的认知状态是什么？换句话说，给定这样的模型，我们如何定义知识和信念等认知概念？
在知识的情况下，可以遵循传统的单一代理理念：模型中的所有世界在代理的认知状态中起作用，因此可以说代理知道给定的公式 φ 当且仅当模型的每个世界中 φ 为真。为此，证据逻辑使用全局模态 A：
(M,w)⊩Aφiffdef [[φ]]M=W
在信念的情况下，有更多的选择。一个直接的想法是说，代理相信 φ 当且仅当她有支持 φ 的证据（形式为 Bφ:=□φ 的句法定义）。然而，这将允许代理拥有矛盾的信念，因为两个证据可能相互矛盾（可能存在 X，Y∈E，使得 X∩Y=∅，因此 Bp∧B¬p 可能是可满足的）。更重要的是，这将是一种“懒惰”的方法，因为代理将能够收集证据（从而定义 E），但她仍然不会对其进行任何“推理”。
一个更有趣的想法是通过证据的组合来（语义地）定义信念的概念。在 van Benthem 和 Pacuit（2011）中，作者提出（粗略地说），信念应该由证据可以组合的最大一致方式给出，即当且仅当所有最大一致的证据组合支持 φ 时，代理人相信 φ。更确切地说，
(M,w)⊩Bφ | iffdef | 对于每个满足 X⊆E 的 X⊆ [[φ]]M（支持）， 1. ⋂X≠∅（一致性） 2. X⊂Y⊆E 意味着 ⋂Y=∅（极大性） |
根据这些定义，很明显知识既意味着信念又意味着证据（即 Aφ→Bφ 和 Aφ→□φ 都是有效的）。然而，有趣的是，一个代理人可能相信一个给定的 φ 而没有基本的证据支持它（Bφ→□φ 是无效的，因为信念是根据综合的证据定义的），而且她可能有一个基本的证据支持 φ 而不相信 φ（□φ→Bφ 是无效的，因为支持 φ 的基本证据可能不是所有极大一致组合的一部分）。
在这种情况下，至少当 E 是有限的（以及许多其他情况），信念是一致的（即 ¬B⊥）；然而，这种情况也允许存在“坏”的模型，其中信念可能是不一致的。在 Baltag，Bezhanishvili 等人（2016）中，作者提供了这样一个模型的例子，然后通过将设置扩展到拓扑方法来解决这个问题。实际上，作者使用 E 生成的拓扑，直观地描述了可用证据可以组合的不同方式。这是合理的，因为虽然 E 可以被理解为包含代理人从外部来源（观察、通信）接收到的证据，但拓扑 τE 可以被理解为她可以从这些证据中“提取”进一步信息的不同方式（即她自己的推理过程的结果）。根据拓扑，可以进一步（语义地）定义认知概念，如论证、证明、一致的信念、一致的条件信念和不同形式的知识。有关更多信息，请参阅 Baltag，Bezhanishvili 等人（2016 年：第 2 节）。
2.6 可信度模型
正如我们所见，可以通过句法方式引入新的多模态（使用语言提供定义新概念的公式），也可以通过语义方式（使用现有多模态的语义对应来定义进一步的语义概念，进而用于解释新的多模态）。到目前为止，我们的例子仅限于使用这两种策略之一，但它们的相互作用也是可能的。这里要讨论的案例涉及 Board（2004）的可信度模型；Baltag 和 Smets（2006, 2008）；van Benthem（2007）；这里使用了 Baltag 和 Smets（2008）的介绍。
可信度模型是一个关系模型 M=⟨W,≤,V⟩，其中二元关系 ≤ 被解释为描述代理人对其认知可能性的可信度排序（w≤u 表示对于代理人来说，世界 w 至少与世界 u 一样可信）。在单一代理人情况下，可信度关系 ≤ 要求是一个良序关系：一个既是自反的又是传递的总关系，并且每个非空子集都有 ≤-最小元素。然后，W 中的这些最小元素被理解为代理人最可信的世界。我们将在下面看到，在所有最可信的世界中为真的事情表征了代理人的信念。
要开始，采用一种多模态 [≤] 通过可信度关系 ≤ 进行语义解释，
(M,w)⊩ [≤] φ 当且仅当对于所有 u∈W，如果 u≤w，则(M,u)⊩φ，
这种多模态具有 S4 模态运算符的特性；因此，它是事实性的，积极内省但不是消极内省的。在 Baltag 和 Smets（2008）中，他们认为这种多模态非常适合表达 Lehrer 的不可推翻（“弱”，非消极内省）类型的知识（Lehrer 1990；Lehrer＆Paxson 1969），并且作者解释了如何将其理解为在任何真实信息下持续修订的信念。使用这种多模态（在 Baltag＆Smets 2008 中也称为安全信念），可以在句法上定义简单信念的概念，即在最可信的世界中的真实性：
Bφ:=⟨≤⟩ [≤] φ.
多模态模型虽然简单，但足够强大，可以编码各种不同的认知概念，所有这些概念都可以通过适当的语义定义来揭示出来。首先，我们通过将其视为普遍关系来定义认知可能性（或不可区分性）∼，
∼:=W×W,
因此，只有当通过 ≤ 进行比较时，我们才能理解两个世界在认识上是无法区分的。然后，通过引入通过 ∼ 语义解释的模态 K，可以表达 S5-知识的概念：
(M,w)⊩Kφ 当且仅当对于所有 u∈W，如果 w∼u，则(M,u)⊩φ
通过这个新的模态 K，可以在句法上定义更精细的条件信念 Bψ 的概念，直观地描述了如果代理人了解到某个条件 ψ 成立，她本来会相信的是真实的。实际上，
Bψφ:=ˆKψ→ˆK(ψ→≤)
对于 ˆK 的模态对偶 K（即 ˆKψ:=¬K¬ψ）。这个扩展语言 L{[≤],K}也可以表达强信念的概念，Sbφ，语义上理解为当所有 φ 世界都比所有 ¬φ 世界更可信时为真，并且在语法上定义为
Sbφ:=⟨≤⟩ [≤] φ∧K(φ→[≤] φ)
最后，注意到一个合理性关系在语义上定义了一系列同样合理的世界层，这些层本身按照它们的合理性进行排序。然后，可以将这个有序的层序列看作是一组同心球。实际上，最内层，即球#0 的内容，恰好是最合理层，即层#0 中的那些世界；然后，球#1 的内容是层#0 中的世界以及它下面一层，即层#1 中的那些世界。这个过程继续下去，从而将球#i 中的世界定义为层#0 到层#i 的内容的并集。通过这种方式，每个合理性都对应一个球模型（Spohn 1988; Grove 1988），使其完全适合于模拟信念修正。然而，即使在 L{[≤],K}中有表达 φ 在最合理球中成立的公式（所提到的 Bφ，由 ⟨≤⟩ [≤] φ 给出），也没有公式可以表达，例如，φ 在次合理的世界中成立。解决这个“问题”的一种方法是（现在在语义上）定义严格的合理性关系<:=≤∪≱（其中 ≥ 是 ≤ 的逆关系，以标准方式定义，≥:={(u,w)∈W×W∣w≤u}），然后引入一个标准的多模态性：
（M,w）⊩ [<] φ 当且仅当对于所有的 u∈W，如果 u<w，则（M,u）⊩φ。
通过这种新的多模态，可以为上述概念提供句法定义。确实，虽然公式 λ0:=[<] ⊥ 表征了最可信的世界（因此 K(λ0→φ)表示最可信的世界满足 φ，就像 Bφ 一样），但公式 λ1:=¬λ0∧ [<] λ0 表征了次可信的世界（因此 K(λ1→φ)表示次可信的世界满足 φ）。这个过程可以重复进行，产生公式 λi 来表征每一层，因此可以通过句法方式处理定性的信念程度（Grove 1988; Spohn 1988），寻找“从某个层次开始”的内容。（有关在合理性模型中使用这种多模态的更多信息，请参见 Velázquez-Quesada 2017，以及 Andersen、Bolander、van Ditmarsch 和 Jensen 2017，用于描述这些结构的不同语言的比较。）
这种新的多模态 [<] 使我们能够定义更多认知概念。例如，如果且仅如果 φ∧ [<] φ 成立，那么公式 φ 是弱安全地被相信的（即在使用真实信息进行修订时可能会丢失，但永远不会被反转）。更多细节可以在 Baltag 和 Smets（2008 年：第 2.4 小节）中找到。
2.7 通过句法构造实现无限模态
正如一些多模态系统是通过扩展现有系统创建的，另一些系统则是从一开始就考虑了多个模态。其中，命题动态逻辑（Harel，Kozen 和 Tiuryn 2000）和布尔模态逻辑（Gargov 和 Passy 1990；Gargov，Passy 和 Tinchev 1987）值得特别提及。原因是它们都在语言中定义了用于从一组基本模态构建新模态的运算符。因此，这两个系统都包含无限多个模态。
在 Engeler（1967）和 Hoare（1969）对程序进行推理的早期方法之后，命题动态逻辑（PDL）即程序逻辑（Harel，Kozen 和 Tiuryn 2000）旨在描述程序的实现能力。从语义上讲，程序在标准关系模型中进行解释，每个基本程序 a 都有一个二元关系 Ra；从句法上讲，语言中包含了每个这样的 a 的模态 [a]。
到目前为止，PDL 在技术上与多主体认知逻辑类似（除了用于模态的符号之外，基本程序的关系没有任何限制）。然而，关键的洞察力是，基本程序可以组合起来创建更复杂的程序：可以考虑在另一个程序之后执行一个程序，或者重复执行其中一些程序多次。因此，这些基本模态是不够的。为此，创建了一个新的句法实体：除了公式之外，PDL 语言还包含一组基本程序以及表示正则表达式的程序构造器（Kleene 1956）。从形式上讲，PDL 语言 LPDL 的公式 φ 和程序 α 通过相互递归同时定义。
φ::=p∣¬φ∣φ∧φ∣ [α] φα::=a∣φ?∣α; α∣α∪α∣α∗
其中 p 是来自给定集合的原子命题，a 是来自给定集合的基本程序。对于公式，布尔运算符的预期解释是标准的，形如 [α] φ 的公式表示“从当前状态开始，执行程序 α 会导致一个满足 φ 的状态”。对于程序而言，基本程序只是代表它们自身，“φ?”是一个程序，当 φ 成立时“什么也不做”，但否则“失败”（实质上是对 φ 进行测试），“α; β”表示执行 α 然后执行 β 的程序（它们的顺序组合），“α∪β”表示执行 α 或 β 的程序（它们的非确定性选择），“α∗”表示重复执行 α 有限次的程序（α 的迭代）。
使用这些程序构造器可以构建更复杂的程序。著名的例子有
| (φ?; α)∪(¬φ?; β) | 如果 φ 成立，则执行 α，否则执行 β |
|---|---|
(φ?; α)∗; ¬φ? | 当 φ 成立时，执行 α |
α; (¬φ?; α)∗; φ? | "重复 α 直到 φ 成立"。 |
然后，可以构建公式 p→[(q?; a)∪(¬q?; b)] r（"如果 p 成立，则根据 q 是否成立选择动作 a 或 b，从而实现 r"）和 ¬p→⟨a;(¬q?; a)∗; q?⟩p（"如果所需的条件 p 尚未成立，则可以通过重复执行 a 来实现它"）。
对于语义解释，每个程序 α 都需要一个关系 Rα。然而，虽然基本程序的关系 Ra 是任意的，但复杂程序的关系应该根据其预期的含义来行为。获得这一点的最简单方法是采用基本程序的关系，然后以归纳的方式定义复杂程序的关系。有关 PDL 的更多详细信息可以在 SEP 动态逻辑条目的第 2 节中找到。
Gargov 和 Passy 1990 年以及 Gargov，Passy 和 Tinchev 1987 年的布尔模态逻辑遵循类似的策略。不同之处在于，PDL 侧重于正则表达式的构造器（顺序组合，非确定性选择，有限迭代），而布尔模态逻辑侧重于关系的布尔代数的构造器：补集（−），并集（∪）和交集（∩），以及一个“全局”常量（1）。更准确地说，
φ::=p∣¬φ∣φ∧φ∣ [α] φα::=a∣1∣−α∣α∪α∣α∩α
语义解释遵循与 PDL 相同的步骤：假设基本模态 a 的关系 Ra，并以预期的方式定义复杂模态的关系（其中 1 是相对于全局关系 W×W 进行解释）。
有趣的是，通过将公式的否定与关系的布尔补充相结合，可以定义以下运算符（通常称为窗口；参见 Goldblatt 1974；van Benthem 1979；Gargov，Passy 和 Tinchev 1987）：
αφ：=[−α] ¬φ
窗口是一个非常自然的运算符，它补充了标准的普遍多模态。事实上，形式为 [α] φ 的公式表达了所有 α 的执行都达到了 φ 状态，
(M,w)⊩ [α] φ 当且仅当对于所有 u∈W，如果 Rαwu，则(M,u)⊩φ，
形式为 αφ 的公式表达了所有 φ 状态都可以通过 α 的执行达到：
(M,w)⊩αφ 如果对于所有的 u∈W，如果(M,u)⊩φ，则 Rαwu
不仅如此：窗口允许构造器 ∪ 和 ∩ 之间的平滑交互。正如 Blackburn、Rijke 和 Venema（2001: 427）所讨论的那样，
从某种意义上说，关系被分为两个领域：普通的 [α] 模态管理使用 ∪ 构建的关系，窗口模态 α 管理使用 ∩ 构建的关系，而 − 构造器则作为两个领域之间的桥梁。
⊩ [α∪β] φ↔([α] φ∧ [β] φ),⊩ [−α] φ↔α¬φ⊩α∩βφ↔(αφ∧βφ),⊩ [α] ¬φ↔−αφ.
当然，还可以使用许多其他的程序构造器。其中值得一提的是给定关系的逆的构造器。关系的逆的模态在诸如时态逻辑中被使用，其中“过去”模态（H 和 P，分别是普遍和存在版本）在语义上被解释为用于解释“未来”模态（G 和 F，分别是普遍和存在版本）的关系的逆。
2.8 动态认知逻辑方法
动态认知逻辑的案例，即模态逻辑的模型变化研究，具有特殊的兴趣。在这些系统中，它们的模态之间的关系是特殊的。在这里，我们只会回顾基本概念，并将读者引向 Baltag 和 Renne（2016）的 SEP 条目，以进行深入讨论。
简而言之，动态认知逻辑（DEL）框架由两个组成部分组成。'静态'部分包括一个'标准'模态系统：一种语言，包括一个或多个用于研究的概念的模态，以及解释公式的语义模型。'动态'部分包括表达所研究概念可能发生变化的不同方式的模态，关键的洞察力在于这些模态在语义上的解释不是在给定的模型上，而是在通过适当方式转换给定模型而得到的模型上。
这里的讨论将集中在典型的 DEL 案例，即公共公告逻辑（PAL），它研究知识和公共通信的相互作用。[9] 在句法上，它的语言扩展了基本的认知语言 L{K}，增加了一个模态 [χ！]（其中 χ 是语言中的一个公式），借助它可以构建形如 [χ！] φ 的公式：“在公开宣布 χ 之后，φ 将成立”。在这个新的语言 L{K,!}中，可以构建描述代理在公共通信行为之后将拥有的知识的公式；一个例子是 [(p∧q)!] Kq，表示“在公开宣布 p∧q 之后，代理将知道 q”。对于语义解释，任何给定 χ 的公共公告被认为是完全可信的；因此，代理通过将所有 ¬χ 的可能性排除在考虑之外来对其做出反应。更准确地说，给定模型 M=⟨W,R,V⟩ 和公式 χ∈L{K,!}，模型 Mχ!=⟨Wχ!,Rχ!,Vχ!⟩ 被定义为
Wχ!:={w∈W∣(M,w)⊩χ}Rχ!:=R∩(Wχ!×Wχ!)Vχ!(p):=V(p)∩Wχ!
注意，虽然 Wχ! 是原始模型中 χ 成立的世界的集合， Rχ! 是原始认知关系对新域的限制，因此是新的估值函数 Vχ!。然后，
(M,w)⊩ [χ!] φiffdef(M,w)⊩χ 蕴含 (Mχ!,w)⊩φ。
因此，在 M 中，在 w 处公开宣布 χ 之后，φ 成立（符号表示为(M,w)⊩ [χ!] φ）当且仅当在 χ 的宣布结果的情境中，φ 在 w 处为真（符号表示为(Mχ!,w)⊩φ），只要 χ 实际上可以被宣布（符号表示为(M,w)⊩χ)。[10] 请注意，公开宣布的多模态 [χ!] 是在语义上引入的，因为它的语义解释需要从初始模型中“提取”更多信息，就像个体认知关系的交集用于创建分布式知识的关系一样。然而，它使用了一个“更高级”的版本：它在整个模型上执行一个操作，从而创建一个新模型，以便评估落在新模态范围内的公式。
有了给定的 [χ!] 的语义解释，现在可以回答这个设置中的关键问题：公开宣布对代理人的知识有什么影响？或者更准确地说，公告之后代理人的知识与之前的知识有什么关系？答案如下：
⊩ [χ!] Kφ↔(χ→K(χ→[χ!] φ))
这种有效性表征了行动后代理人对于行动前关于行动效果的知识。它告诉我们，在公开宣布 χ 后，如果且仅如果，提供 χ 可以被宣布，‘χ→’，她知道其真实的公开宣布会使 φ 成为真，K(χ→[χ!] φ)，那么代理人将会知道 φ，[χ!] Kφ。请注意，这个桥梁原则，将这两个涉及的多模态联系起来，不是“选择”的：它是由所给的知识定义（在所有认知可能性中都是真实的）和对公开宣布的理解（丢弃所有宣布失败的可能性）的定义所导致的。
所给的语义解释也导致了其他有效性。其中之一是考虑以下内容：
⊩ [χ!] p↔(χ→p),⊩ [χ!] ¬φ↔(χ→¬ [χ!] φ),⊩ χ! ↔([χ!] φ∧ [χ!] ψ).
这些有效性，连同前面表征 [χ!] Kφ 的有效性，被称为约简公理。这里是我们的第一个转折：仔细观察这些公式会发现，每一个公式都表征了一个陈述公式 [χ!] φ（↔ 的左边）的真实性，以及以公式（↔ 的右边）来表征那些在 [χ!] 的范围下出现的子公式更简单。此外：处理原子的公式消除了 [χ!]。因此，对于 L{K,!}中的任何具体公式，这些公理的连续应用最终会产生一个在语义上等价的公式，其中不再出现 [χ!] 模态。这表明，就表达能力而言，公开公告的模态 [χ!] 实际上并不需要：任何可以用它们来表达的东西也可以用不带它们的公式来表达。更准确地说，对于 L{K,!}中的任何公式 φ，存在一个 L{K}中的公式 tr(φ)，使得对于任何(M,w)，(M,w)⊩φ 当且仅当(M,w)⊩tr(φ)。
(M,w)⊩φif and only if(M,w)⊩tr(φ)
这个保持真实性的翻译，其精确定义可以在 van Ditmarsch，van der Hoek 和 Kooi（2008 年：第 7.4 节）中找到，表明公共公告多模态也可以被视为具有句法定义：任何涉及 [χ！] 的公式都可以在 L{K}内重写。[11] 然而，这不是一个“一行”定义，例如对于“每个人都知道”的多模态 E 的情况。翻译采用递归方法，根据需要将公式放在其范围下的不同方式来定义多模态。这带来了第二个转折：由于这种递归定义，即使添加 [χ！] 不增加语言的表达能力，但其添加确实改变了逻辑系统的属性。实际上，在 L{K,!}中，通过任意公式对原子命题进行统一替换的规则不再保持有效性。考虑以下公式，它声明“在公共公告 p 之后，代理人将知道 p 是真实的”：⊩ [p!] Kp。该公式是有效的：对 p 的真实公共公告会丢弃原始模型 M 中 p 不成立的世界。因此，结果 Mp！只会有满足 p 的世界，从而使 Kp 成立。现在考虑下面的公式，它是通过在先前的有效性中用 p∧¬Kp 替换 p 得到的：[(p∧¬Kp)!] K(p∧¬Kp)。上述公式现在表示的是
“在公共公告“p 是真实的且代理人不知道它”之后，她将知道“p 是真实的且她不知道它”。
这个公式可以等价地陈述（通过在 [(p∧¬Kp)!] 的范围内的子公式中将 K 分布到 ∧ 上）
在“p 是真的且你不知道”的公开声明之后，代理人将会知道 p 是真的，并且知道她自己不知道。
但现在有些奇怪的是：听到 p∧¬Kp 之后，代理人肯定应该知道 p 是真的（Kp）。但是，同时，她又知道自己不知道它（K¬Kp），这怎么可能呢？
怀疑是正确的：这个公式是无效的，左边的模型提供了一个反例。
图 2【图 2 的详细描述在补充中】
在(M,w)中，原子命题 p 是成立的，但是代理人并不知道：(M,w)⊩p∧¬Kp。因此，p∧¬Kp 可以真实地宣布，这产生了右边的指向模型(M(p∧¬Kp)!,w)。注意 w 如何在操作中幸存下来（它满足 p∧¬Kp），但 u 没有（它不满足 p∧¬Kp，因为它使 p 为假）。在结果指向模型中，代理人确实知道 p 是成立的：(M(p∧¬Kp)!,w)⊩Kp。然而，她不知道她不知道 p：(M(p∧¬Kp)!,w)⊮K¬Kp；事实上，她知道她知道 p：(M(p∧¬Kp)!,w)⊩KKp。[12]
重述一下，动态认识逻辑处理模型操作的模态运算符，从而允许明确表示行动及其对所研究的概念的影响方式。"静态" 概念与 "动态" 行动之间的特定关系可以通过自然产生的桥梁原则来描述，而且这并不会增加额外的成本，因为模型操作和动态模态机制可以嵌入到静态基本逻辑中。这具有重要的影响，特别是在复杂性方面，将在第 3.4 节中讨论。
3. 组合模态系统的一般策略
前一节重点介绍了如何从具有单一模态的系统中创建具有多个模态的系统的一些方法。构建多模态系统的另一种选择是使用特定策略将现有的单模态系统组合在一起。本节简要介绍了一些可能的技术；对于更深入的讨论，请参阅 Carnielli 和 Coniglio（2016）关于组合逻辑的 SEP 条目。
3.1 融合
多模态逻辑的融合方法（引入于 Thomason 1984）是以将基于关系（因此是正常的）的多模态逻辑在句法上（通过将它们各自的 Hilbert 样式公理系统组合在一起）和语义上（通过将与每个系统的模态对应的关系放在一个单一模型中）相结合的思想而发展起来的。[13] 虽然多模态系统的融合相当简单，但保证属性得以保留的转移结果（例如，现有系统的声音和完备公理化的组合是否确实对结果系统是声音和完备的）并不直接（参见，例如，Kracht＆Wolter 1991, 1997; Fine＆Schurz 1996; Schurz 2011）。
当遵循这种策略，并将技术细节放在一边时，最重要的决策是可能引入将要组合的系统的主要模态之间建立桥梁原则。用 Schurz（1991）的话来说，如果一个模式 φ 至少包含一个在一个系统的模态范围内至少出现一次，并且至少包含一个在另一个系统的模态范围内出现一次的模式字母，则该模式 φ 是一个桥梁原则。（这个定义是在 David Hume 关于是否可以从是中推导出应该的讨论的背景下给出的；参见组合逻辑的第 1 节。）
为了更好地解释这种技术，我们在这里将讨论一个简单的时间认知逻辑的构建。在认知方面，回想一下，基本认知逻辑系统在语法上由语言 L{K}给出，在语义上由一个关系模型给出。在其中，多模态 K 在语义上是通过二元关系 RK 来解释的。在时间方面，将基本时间（时态）逻辑的“未来”片段定义为一个系统，该系统在语法上由语言 L{G}（其中 G 是对未来的全称量化，F 是其存在性对应物，由 Fφ:=¬G¬φ 给出）来指定，在语义上由一个关系模型与关键关系 RG 给出。
这些系统的融合在语法上由语言 L{K,G}（即由 L{K}和 L{G}的多模态的并集自由生成的语言）来指定。该语言的公式在形式为 ⟨W,RK,RG,V⟩ 的关系模型中语义地解释，其中 ⟨W,RK,V⟩ 是 L{K}的模型，⟨W,RG,V⟩ 是 L{G}的模型。对于语义解释，新语言的公式以标准方式解释，每个多模态使用其对应的关系。关于公理系统，将各个逻辑的公理放在一起就足够了。
但我们还没有完成。如前所述，最有趣的部分是可能包含桥接原则。那么，时间和知识之间的适当交互是什么？一个可能要求完美回忆：代理人的知识不会随时间减少，或者换句话说，任何时刻的不确定性都应该“继承”自过去的不确定性。这对应于以下桥接原则：
Kφ→GKφ（等价地，FˆKφ→ˆKφ）。
这显然是一种理想化，因此只在特定的解释下才有意义；然而，它可能暗含着更多的意义。假设代理人永远不会忘记原子命题 p 的真值可能是合理的；但是，如果 φ 是一个更复杂的公式，特别是涉及认知模态的公式呢？例如，考虑公式 ¬Kp∧¬K¬p（“代理人不知道 p 是否成立”），得到实例 K(¬Kp∧¬K¬p)→GK(¬Kp∧¬K¬p)（“如果代理人知道自己对于 p 的无知，那么她将永远知道这种无知”）。这是否符合预期的后果？
一个相关的属性是没有学习（代理人的知识不会随时间增加；换句话说，任何当前的不确定性都将被保留下来）。这个属性对应于
FKφ→Kφ（等价地，ˆKφ→GˆKφ）。
关于这些及相关性质的稍微详细阐述可以在时间和知识的讨论中找到（第 4.2 节；对于更深入的研究，请参阅 Halpern＆Vardi 1989；van Benthem＆Pacuit 2006，尽管在不同的语义环境中）。
3.1.1 “时间化”一个系统
融合方法通过使用另一个已经存在的系统独立处理这一进一步方向，为现有的多模态系统添加一个简单而强大的策略。实际上，所讨论的例子可以被看作是在对知识属性的标准研究中添加了一个时间方向。除了传统的认识论问题（例如，知识是否应该是积极/消极内省的），人们还可以讨论知识是否应该改变，以及它可能以何种不同的方式改变。
这种添加时间方向的想法不仅适用于知识，也适用于其他模态概念。例如，人们可以考虑在偏好的模态系统中添加一个时间特征，从而讨论代理人的偏好如何随时间改变（如果进一步添加了关于行动及其后果的动态机制，还可以讨论为什么会发生这种改变；Grüne-Yanoff＆Hansson 2009；Liu 2011）。同样，将时间方向添加到德意志逻辑的模态系统中引发了有趣的概念和问题，一个例子是在第 4.7 节中讨论的义务和时间的截止日期的概念。
3.1.2 "认识化" 一个系统
对一些概念的研究，如偏好或义务，引发了一个认识论问题：涉及的行动者对这些偏好和义务了解多少？在这些概念起作用的大多数例子中，无论行动者是否了解相关的偏好或义务都会产生重要的差异。在第一种情况下，即使她不知道这些偏好是什么，一个行动者是否应该根据她和其他行动者的偏好行动？在第二种情况下，即使她不知道这个义务是什么，一个行动者是否被迫遵守一个义务？
基本偏好/义务设置和认识逻辑的融合提供了基本的形式工具来讨论偏好和义务的认识方面。例如，考虑认识义务的悖论：一家银行正在遭到抢劫（r），警卫应该知道这起抢劫（OKr）。但是，知识是事实性的（Kr→r），所以银行应该被抢劫（Or）！关于这些问题的更多讨论（在不同的形式系统下）可以在关于知识和义务的讨论中找到（第 4.8 节）。
对于模态逻辑融合的深入研究，读者可以参考 Wolter（1998）、Gabbay、Kurucz、Wolter 和 Zakharyaschev（2003 年：第 4 章）以及 Kurucz（2006 年：第 2 节）。在 SEP 条目中讨论了组合逻辑方法的进一步示例。然而，在结束本小节之前，我们需要提醒一点。在构建模态系统的融合时需要小心。这是因为，在融合的系统中，已经有了结合其不同片段的模态的公式。即使没有强制执行特定的桥梁（有效）原则，语言的表达能力可能会增强，从而增加其复杂性。第 3.4 节关于复杂性问题详细阐述了这个重要但经常被忽视的方面。
3.2 产品
多模态系统的融合产生了一种丰富的语言，使我们能够表达所涉及的多模态之间的不同交互方式（桥梁原则）。然而，从语义的角度来看，仍然只有一个参考点，因为这种更丰富的语言的所有公式仍然在一个可能世界上进行评估。
定义多模态逻辑的乘积的策略（由 Segerberg 1973 和 Šehtman 1978 引入）共享了使用由原始语言的模态的并集自由生成的语言的思想。但是，在语义方面，这种方法是非常不同的：它不是在一个维度的域上工作，而是在一个多维域上工作，该多维域具有每个涉及的方向（即模态）的一个维度。更准确地说，如果要组合的系统的语义模型是 M1=⟨W1,R1,V1⟩ 和 M2=⟨W2,R2,V2⟩，则评估结果语言的模型现在的形式是 M′=⟨W1×W2,R′1,R′2,V1×V2⟩。域 W1×W2 是原始域的标准笛卡尔积，而估值 V1×V2 是这样的：如果原始模型中的世界(w1,w2)上的原子 p 为真，那么在 M1 中的 w1 上 p 为真且在 M2 中的 w2 上 p 也为真（即(V1×V2)(p):=V1(p)×V2(p)）。对于关系，它们中的每一个都是按照它们原始模型中的方式给出的，现在限制在各自的维度上：
R′1(w1,w2)(u1,u2)当且仅当 R1w1u1 且 w2=u2R′2(w1,w2)(u1,u2)当且仅当 w1=u1 且 R2w2u2
多模态逻辑的乘积是一个多维的多模态逻辑（Gabbay 等人，2003 年；Marx 和 Venema，1997 年；Venema，1992 年）。在这些模型中，公式现在以对偶（w1，w2）的形式进行评估，每个模态在语义上以标准方式解释（但现在与其匹配关系的新版本相关）：
(M′，（w1，w2）)⊩□1φ 当且仅当对于所有（u1，u2）∈W′，如果 R′1（w1，w2）（u1，u2），则（M′，（u1，u2））⊩φ（M′，（w1，w2））⊩□2φ 当且仅当对于所有（u1，u2）∈W′，如果 R′2（w1，w2）（u1，u2），则（M′，（u1，u2））⊩φ
这种特定的解释方式使得对每个原始多模态的解释产生了另一个关键的区别，即融合和多模态系统的产物之间的区别：后者通过其自身的性质，强制执行某些桥梁原则（除了可能添加的原则之外）。事实上，由于关系的定义和多模态的语义解释，以下模式是有效的：
交换性 1：⬦1⬦2φ→⬦2⬦1φ 交换性 2：⬦2⬦1φ→⬦1⬦2φChurch-Rosser 性质：⬦1□2φ→□2⬦1φ
多模态系统的产物，以其 n 维的特性，是一个非常有用的工具，特别是对于处理哲学语义学中的双重维度技术（参见 Chalmers 2006; Stalnaker 1978）非常有帮助。这种技术已经应用于不同的领域。在语言学中，它是 David Kaplan 索引语义框架的基础（Kaplan 1989），该框架又被用来解释关于上下文相关表达式如“I”和“now”的常规语义规则。例如，考虑一个用于讨论一群朋友在不同时间的特征的场景；公式将被评估的上下文可以被定义为一个元组（w，a，m），其中 w∈W 是一个可能的世界，a∈A 是该世界中的一个代理人，m∈T 是该代理人在该世界中存在的一个时刻。然后，“我现在累了”这样的句子简单地对应于一个原子“tired”，其真值在不同的上下文中可能不同，取决于在给定的世界 w 中，给定的代理人 a 在给定的时刻 m 是否累了。此外：假设该场景包含世界之间的可能性关系（R⊆W×W），代理人之间的友谊关系（≍⊆A×A）和时刻之间的时间未来关系（RG⊆T×T）。那么，可以使用匹配的模态（通用的 □ 和 [≍]，用于前两个；存在性的 F 用于第三个）来表达句子，如“我有一个朋友现在正在玩，并且将来某个时刻一定会累”（⟨≍⟩(playing∧□F tired)）和“如果我的一个朋友现在在玩，那么他们中的所有人以后都可能在玩”（⟨≍⟩playing→⬦F [≍] playing）。
在心灵哲学中，David Chalmers（结合认识论和模态领域）使用了双重维度语义学来提供反对心灵唯物主义的论证（详细信息可参见 Chalmers 2009）。
两种模态逻辑的最终例子（虽然最初并非如此构想，并以稍微不同的方式呈现），是 Seligman、Liu 和 Girard（2011 年，2013 年）的 Facebook 逻辑，用于讨论朋友和社交信息流。该设置可以看作是标准单一代理认知逻辑和社交网络模态逻辑的组合（参见 Baltag、Christoff、Rendsvig 和 Smets 2019；Smets 和 Velázquez-Quesada 2017）。其语义模型由两个域（可能世界 W，代理 A）和两个关系组成：对于每个代理 a∈A，有一个二元认知关系 ∼a⊆（W×W），对于每个世界 w∈W，有一个二元友谊关系 ≍w⊆（A×A）。在句法方面，该语言由标准布尔运算符和两个普遍的模态性质 K（知识）和 [≍]（友谊）自由生成。这些公式以（世界，代理）对进行评估，其中关键条款如下：
对于所有 u∈W，如果 w∼au，则（M,w,a）⊩Kφ 当且仅当（M,u,a）⊩φ；当且仅当对于所有 b∈A，如果 a≍wb，则（M,w,b）⊩φ，则（M,w,a）⊩ [≍] φ
注意，这些模态性质在世界和代理中都是指示性的。因此，虽然形式为 Kφ 的公式被解读为“我知道 φ”，形式为 [≍] φ 的公式被解读为“我所有的朋友都满足 φ”。
给定的例子展示了产品策略如何用于“时间化”和/或“认识化”给定的多模态系统（Kaplan 的语义框架可以理解为对一个真理系统的时间化，而所描述的 Facebook 逻辑可以理解为对社交网络环境的“认识化”）。关于多模态逻辑的产品，读者可以参考已提及的组合逻辑，以及 Gabbay 等人（2003 年：第 5 章），Kurucz（2006 年：第 3 节）和 van Benthem，Bezhanishvili 等人（2006 年）的相关内容。
3.3 多模态纤维
融合和产品策略用于组合多模态逻辑，依赖于合并多模态逻辑的语言和语义模型。在纤维策略中（由 Carnielli，Coniglio 等人于 2008 年称为纤维化），语言也被合并，但语义模型保持分离。可以通过以下方式在任何原始系统的指向模型中评估公式。当要对语义进行评估的模态“匹配”所选择的语义模型时，评估就像在原始系统中一样进行；当模态来自其他系统时，纤维化策略使用转移映射来获得一个模型和一个评估点，该模型和评估点属于正在评估的模态的模型类别，然后评估过程就像在原始系统中一样进行。因此，多模态纤维化要求每个系统的模型类别之间存在对应关系，并在评估所需的模态之间进行转换。
更准确地说，让 L{□1}和 L{□2}成为要合并的系统的语言，让 M1 和 M2 成为它们对应的模型类。让 h1 成为一个转移映射，将 M1 中任何模型的世界转换为一个由 M2 中的模型 M2 和 M2 中的世界 w2 组成的对；让 h2 成为另一个方向上的转移映射，将 M2 中任何模型的世界转换为一个由 M1 中的模型 M1 和 M1 中的世界 w1 组成的对。语言 L{□1,□2}的公式可以在形如 ⟨h1,h2,M1,w1⟩（其中 w1 在 M1=⟨W1,R1,V1⟩ 中，M1 在 M1 中）的元组或者形如 ⟨h1,h2,M2,w2⟩（其中 w2 在 M2=⟨W2,R2,V2⟩ 中，M2 在 M2 中）的元组中进行评估。在第一种情况下，布尔运算符的语义解释与通常情况下相同；对于多模态 □1，
因此，与模型“匹配”的多模态在其原始系统中进行评估。然后，对于其他系统的多模态 □2，使用转移映射 h1：
⟨h1,h2,M1,w1⟩⊩□2φ 当且仅当 ⟨h1,h2,h1(w1)⟩⊩□2φ
换句话说，当需要评估 □2 时，转移映射使用当前评估点 w1 来获取指向的语义模型 h1(w1)=(M2,w2)，其中将评估多模态。当出现类似情况时，面对对元组 ⟨h1,h2,M2,w2⟩ 进行 □1 评估，轮到第二个转移函数 h2 出现，然后从 ⟨h1,h2,M2,w2⟩⊩□2φ 到 ⟨h1,h2,h2(w2)⟩⊩□2φ。
关于多模态逻辑的纤维化的更多细节，请参阅 Gabbay（1999 年：第 3 章）。有关其他形式的纤维化，请参阅组合逻辑的第 4.3 节。
3.4 复杂性问题
到目前为止，本文已经描述了多模态系统可以出现的不同方式。我们已经简要讨论了通过提供新概念的句法或语义定义（第 2 节）以及如何将两个或多个模态系统组合以产生多模态系统（第 3 节）的单一模态系统如何产生多模态系统。正如提供的示例所示（以及第 4 节中的示例将继续做到的那样），模态的添加使我们能够建立和/或找到所涉及概念之间的重要关系，从而更好地理解每个概念是什么。
但这个问题还有另一面。通过向系统添加多模态，可以增加其表达能力，但这也可能导致计算复杂性的提高。确实，多模态语言使我们能够描述一定类别的模型。如果语言相当简单，那么判断给定公式在给定模型的给定世界中是否为真（模型检查问题）以及判断给定公式在给定类别的所有模型的所有世界中是否为真（有效性问题）都是简单的任务。现在假设使用更具表达力的语言。那么就有可能区分模型，这些模型在第一种语言的视角下是相同的（例如，请参见附录中关于在 L{K1,…,Kn}中无法定义分布式和共同知识的部分）。然而，直观上，我们可能需要更大的努力来看到这些差异：我们可能需要更多的时间来进行计算，并且我们可能需要更多的空间来保存中间结果。简而言之，表达能力和复杂性是相互关联的，第一种的增加通常会导致第二种的增加。
这种现象的最简单例子是两种最为人熟知的逻辑语言之间的关系，即命题逻辑和一阶谓词逻辑，当用于描述一阶模型时。命题语言的有效性问题可以理解为只允许我们讨论单个对象的属性（即一元谓词）及其布尔组合，这个问题是可判定的：存在有效的过程可以回答任何给定命题公式的有效性问题。一阶谓词语言可以看到更多（包括域中的所有对象，以及它们的属性和 n 元关系等），但这是有代价的：它的有效性问题是不可判定的，因为没有有效的过程可以回答所有公式的有效性问题。
在多模态领域中，也存在这样的情况，其中一些看似无害的组合会产生戏剧性的结果。例如，在 Blackburn、Rijke 和 Venema（2001 年：第 6.5 节）中可以找到一个例子，其中显示了两个可决定系统的融合，一个类似于 PDL 的系统（以顺序组合和交集作为句法构造器）和一个具有全局模态（Goranko＆Passy 1992）的系统，越过了不可判定性的边界。即使新的多代理系统最终不是不可判定的，其复杂性可能也会导致解决其相对较小实例的有效性问题在实际上是不可能的。这样的例子是基本的多代理认知逻辑，对可访问性关系没有要求。对于 L{K1,…,Kn}中的公式的有效性问题是 PSPACE：决定任何给定的 φ 是否有效所需的空间（和时间）由多项式函数给出。然而，添加共同知识运算符使得 L{K1,…,Kn,C}中的公式的有效性问题成为 EXPTIME（有时也称为 EXP）：所需的时间现在由指数函数给出。[14]
然后，一个重要的方法论问题是在表达能力和计算复杂性之间取得适当的平衡，最好的多模态系统是那些在这个意义上能够实现良好折衷的系统。我们在本节中简要注意到，在模态逻辑的组合情况下，复杂性深深地依赖于所假设的桥梁公理。一个著名的例子是 Halpern＆Vardi（1989 年）关于解释系统上（96！）认知和时间逻辑的复杂性的里程碑论文，它们在所使用的语言（单个或多个代理，共同知识或缺乏）和所假设的桥梁原则（前述的完美回忆和无学习，同步性，唯一或多个初始状态）上都有所不同。
4. 模态之间的重要相互作用
前面的章节描述了获取多模态系统的几种方法。当前章节介绍了一些最有趣的例子，以及由涉及的多模态之间的相互作用引发的讨论。
4.1 知识与信念之间的关系
知识与信念之间的相互作用是认识论中的一个重要主题。历史上，最重要的提议之一是柏拉图将知识定义为合理的真实信念，这一提议一直是合理性逻辑发展中使用的动机之一。然而，知识真的可以被定义为合理的真实信念吗？在《盖蒂尔》（1963）中提供的例子（以及其他例子）似乎与这个观点相悖。盖蒂尔描述了一些情况，其中一个代理人相信某个 φ，并为此提供了理由；此外，φ 确实是事实。然而，这个理由并不合适：φ 之所以成立是因为一些其他幸运的无关情况。这导致了一些关注正确理由要求的提议（无假引理：克拉克 1963；阿姆斯特朗 1973；肖普 1983）。还有一些人使用了更强的不可抗辩性要求，即知识是合理的真实信念，不能被真实信息所击败，即不存在真命题 ψ，使得如果代理人得知 ψ 是事实，她会放弃自己的信念，或者不再有理由持有它（克莱因 1971；勒赫尔和帕克森 1969；斯温 1974）。巴尔塔格、贝赞尼什维利等人（2016）提出的拓扑模态方法将这个观念与其他认识论概念联系起来，对知识的分析可以在市川和斯特普（2018）的知识分析中找到更深入的讨论。
还有其他的选择。一个有趣的提议，在 Lenzen（1978）和 Williamson（2002）中讨论，遵循另一个方向：从一个选择的知识概念开始，然后削弱它以获得一个“好的”（例如，一致的，内省的，可能是错误的）信念概念。这些想法已经在正式的环境中讨论过。在 Stalnaker（2006）中，作者认为“真正的”知识逻辑是模态逻辑 S4.2，由标准的 K 公理（K（φ→ψ）→（Kφ→Kψ））和普遍化规则（对于每个有效性 φ，Kφ），以及真实性（Kφ→φ：知识是真实的），积极内省（Kφ→KKφ：如果代理人知道 φ，则她知道自己知道它）和“收敛”原则（ˆKKφ→KˆKφ：如果代理人认为可能知道 φ，则她知道自己认为 φ 是可能的）。在这个设置中，Stalnaker（2006）认为信念可以定义为知识的认知可能性，即
Bφ:=ˆKKφ
注意，这正是先前讨论的合理性模型中信念的定义所涉及的：如果将模态 [≤] 理解为不可撤销的知识（Lehrer 1990；Lehrer＆Paxson 1969），那么 Bφ:=⟨≤⟩ [≤] φ 表明信念是知识的可能性。在这个背景下，从研究简单的信念转向条件信念只是一个小步骤。对于不可撤销知识和条件信念的逻辑的完整公理化，最初在 Board（2004）中提出为一个开放问题，后来在 Baltag 和 Smets（2008）中得到了解决。
一个进一步的提议是由 Baltag、Bezhanishvili、Özgün 和 Smets（2013）提出的，它将知识作为基本概念，并通过使用拓扑（邻域）语义来推广 Stalnaker（2006）的形式化。在这种设置中，信念的一个重要特征是它在主观上与知识无法区分：如果一个代理人相信 φ（Bφ），那么她只有在相信自己知道它（BKφ）时才相信它。
4.2 时间和知识
在本文中简要提到了时间-认知方法。事实上，许多逻辑系统已被用来描述代理人的知识随时间变化的方式。这些提议不仅包括解释系统（IS；Fagin 等，1995），还包括认知-时间逻辑（ETL；Parikh＆Ramanujam，2003），代理逻辑（例如，确保逻辑，STIT；Belnap，Perloff，＆Xu，2001）以及前面提到的 DEL 方法（第 2.8 节）。在所有这些方法中，讨论的一个重要点是时间和认知模态之间的相互作用。
正如前面提到的，两个著名的要求是完美回忆（代理人的知识不会随时间减少）和无学习（代理人的知识不会随时间增加）。在上述将认知逻辑和时态逻辑的未来片段简单融合的过程中，这两个要求可以分别表示为
Kφ→GKφ 和 FKφ→Kφ。
对于一些人来说，无学习的条件可能太严厉了，因为它似乎表明时间的流逝从不帮助增加知识。一个相关但更合理的条件是无奇迹，它在 van Benthem 和 Pacuit（2006）的稍微丰富的环境中引入，它声明代理人的不确定性不能被同一事件抹去。[15] 另一个交互属性是同步性，它声明认知不确定性仅发生在同时发生的认知情境之间。例如，代理人总是知道“现在是什么时间”，因为她可能不知道执行了哪个动作，但她总是知道某个动作已经发生。
关于时间和知识的相互作用的更多信息，请参阅 Halpern，van der Meyden 和 Vardi（2004）；van Benthem，Gerbrandy 等人（2009）。另请参阅 van Benthem 和 Dégremont（2010）以及 Dégremont（2010），了解类似于之前描述的合理性模型的合理性预订所表示的时间和信念之间的类似相互作用。
4.3 知识和问题
问题和命题之间的相互作用是推动推理、沟通和一般调查过程的重要因素（Hintikka 2007；Hintikka，Halonen 和 Mutanen 2002）。实际上，
[s] 科学调查和解释部分通过提出和回答问题进行，而人机交互通常以查询和回答的方式进行结构化。（来自 Cross＆Roelofsen 2018 年关于问题的 SEP 条目）
但是，一个代理人的知识与她的问题之间的关系是什么？也许更重要的是：鉴于不同的代理人可能提出不同的问题（即，他们可能对不同的问题感兴趣），不同代理人的知识之间的关系是什么？
Boddy（2014 年）和 Baltag，Boddy 和 Smets（2018 年）研究了这些问题（然后还研究了群体的“真实”共同和分布式知识是什么）。他们的模型（基于 van Benthem＆Minica 2012 年引入的认知问题模型）假设代理人不仅具有个体知识，还具有个体问题：每个代理人提出的问题，这些问题确定了他们对当前正在调查的事物的个体议程。在句法方面，除了标准的知识模态（每个代理人 i 的 Ki），还有一个模态 Qiφ，读作“φ 仅基于可学习的 i 的问题的答案而知道”。换句话说，Qa 描述了代理人 a 可以获得的最大知识，根据她的问题和对她可学习的答案。因此，作为一个原则，如果 a 知道 φ，她可以仅基于对她的问题的答案来知道它。
Kaφ→Qaφ
更有趣的是代理人 a 的知识与其他代理人 b 的关系：为了使代理人考虑任何潜在的知识，这种知识必须对她来说是相关的，即她可以将其区分为对她的问题的可能答案之一。换句话说，
[a] gents 只有在他们（其他人）拥有这种知识对他们来说是相关的情况下，才能一致地代表其他人的知识 [...]。（Boddy 2014: 28）
因此，“如果 b 知道对 a 有关的某些事情，那么对 a 来说，b 知道这一点是相关的”和
如果 b 可以知道（鉴于她的问题）对 a 有关的任何事情，那么这个事实（即 b 的潜在知识包括对 a 的潜在知识）本身对 a 来说是相关的。
用符号表示，
KbQaφ→QaKbφ 和 QbQaφ→QaQbφ。
关于将代理人的问题添加到图像中的后果的更深入讨论（包括对群体分布和共同知识的替代定义），可以在上述参考资料中找到。
4.4 代理人
在自主代理的设计和实现的背景下，最著名的架构之一是信念-欲望-意图（BDI）模型（Bratman 1987; Herzig, Lorini, Perrussel, & Xiao 2017）。
BDI 模型最初是作为人类实践推理的模型（Bratman 1987）而开发的，它提出了涉及行动、意图、信念、目标、意愿、思考和其他几个概念的实践推理解释。因此，自然而然地考虑将一些简单的模态逻辑结合起来，以定义更丰富环境下的逻辑。事实上，已经提出了几种这样模型的形式语义，其中一些基于不同的时间逻辑（Cohen & Levesque 1990; Governatori, Padmanabhan, & Sattar 2002; Rao & Georgeff 1991），另一些基于动态逻辑（van der Hoek, van Linder, & Meyer 1999; Singh 1998），还有一些基于两者（Wooldridge 2000）。其中大部分的关键在于这些不同态度之间的相互作用。例如，一方面，如果一个代理人打算实现某事（比如，Iφ），我们会期望她渴望那件事（Dφ）；否则，将资源投入其中就没有意义。另一方面，渴望某事不应意味着有意图去实现它：将资源投入到我们所有的欲望中，即使是不切实际的欲望，似乎是不合理的（而且，也许更重要的是，意图和欲望会合并成一个概念）。此外，似乎很明显，一个渴望变得富有的代理人（Dr）不一定相信她是富有的（Br）。最后，如果一个代理人有意图写一本书（Ib），她是否应该相信她会写这本书（BFb），从而排除所有可能的意外情况，这些情况可能阻止她完成写作？
这些提案中关于这种相互作用的简洁描述可以在 Segerberg、Meyer 和 Kracht（2016）撰写的 SEP 条目关于行动逻辑的第 4.2 小节的第一部分中找到。
4.5 多模态一阶逻辑
多模态一阶（即量化模态）逻辑可能是最引人入胜的多模态系统之一，因为量词和模态的组合引发了一些有趣的问题。在这里，我们将简要讨论两个重要的观点；对于进一步讨论感兴趣的读者，可以参考 Garson（2018）关于量化模态逻辑的 SEP 讨论。
多模态一阶语言的构建方式很直接：只需采用经典的一阶语言，其中的全称量词（∀）和存在量词（∃）表示对对象的量化，并添加两个基本的模态真理运算符，必然性（□）和可能性（⬦），通常被解释为对可能情况的量化。结果语言非常表达力强，使我们能够区分自然语言句子的 de dicto 和 de re 解读（这种对比可以追溯到亚里士多德；参见 Nortmann 2002）。例如，假设一个个体 f 有 3 个姐妹，并考虑句子“f 的姐妹数量必然大于 2”。这个论断可以以两种不同的方式理解。在 de dicto 解释下，它表示 f 拥有的姐妹数量必然大于 2，但这显然是有问题的：在不同的情况下，f 可能只有两个或更少的姐妹。然而，在 de re 解释下，这个论断表示 f 拥有的姐妹数量，即数字 3，必然大于 2：这显然是真实的，至少在我们限制在对数字的标准理解时是如此。
在多模态的一阶逻辑中，de re 和 de dicto 之间的区别由涉及的量词和模态运算符的范围给出。一方面，de dicto（“关于命题的”）句子表示命题的一个属性，涉及的量词出现在模态的范围之下。例如，前面句子的 de dicto 解读由公式 □(∃x(x=s(f)∧x>2))给出（其中 s 是一个返回其参数姐妹数量的函数）。另一方面，de re（“关于事物的”）句子表示对象的一个属性，涉及的模态出现在量词的范围之下。例如，前面句子的 de re 解读由公式 ∃x(x=s(f)∧□(x>2))给出。这个关键的区别可以通过某个代理人 i 知道有人使她快乐（但可能不知道这个人是谁）和 i 总是偏爱存在某个她知道使她快乐的人的存在（∃xKiH(x,i)）之间的区别来说明。
但是，表达能力是有代价的。通常在多模态系统中，关键问题是涉及的模态之间的相互作用，在这种情况下，讨论通常集中在以下两个属性上：巴尔坎公式，∀x□Px→□∀xPx，及其逆命题，□∀xPx→∀x□Px（参见 Barcan 1946）。争议的原因在于当通用谓词 P 被替换为，比如，公式 ∃x(x=y)，它可以被解读为“x 存在”。然后，第一个公式变为
∀x□∃x(x=y)→□∀x∃x(x=y)，
声明如果一切都是必然存在的，那么一切都是必然存在的。在可能世界语义模型中，这归结为声明在当前世界中存在的每个对象也应该存在于另一个可能的世界中：当我们转移到替代情景时，域不会增长。类似地，第二个公式变为
□∀x∃x(x=y)→∀x□∃x(x=y),
声明如果一切都是必然存在的，那么一切都是必然存在的。在可能世界语义模型中，这归结为声明在当前世界中存在的每个对象也应该存在于另一个可能的世界中：当我们转移到替代情景时，域不会缩小。
因此，关于这些原则是否成立的决定对应于在构建多模态一阶语言模型时回答一个关键问题：不同可能世界的域之间的关系是什么？一方面，从实在主义的角度来看，存在的一切（可以以任何方式被说成存在的一切）都是实际的，也就是说，它存在；因此，在所有可能性中都存在一个固定的域。另一方面，从可能主义的角度来看，“存在的事物”包括可能但非实际的对象；因此，不同的可能世界可能有不同的域。关于这两个立场之间的讨论有大量的文献，如 SEP 关于可能主义-实在主义辩论的条目所示。
4.6 意图的动态
意图的概念在 BDI 系统中至关重要，因为它在某种程度上定义了代理人将做出的选择，从而影响她的行为。因此，意图的动态也是一个关键的主题，它描述了意图是如何生成、保留、修改或丢弃的。
对于一个初始点，当代理人学到一条新信息后，意图会如何改变？根据 Roy（2008 年：第 5 章）的说法，如果原始意图与新信息兼容，则它们会被“重塑”；否则，代理人会舍弃它们而不创建任何新的意图（或者类似地，为已经实现的事情生成一个意图）。因此，在宣布 χ 之后，代理人打算做 φ，当且仅当 χ 与她的意图兼容，并且 φ 是代理人初始意图的受限结果，否则 φ 是 χ 的宣布的“已知”结果。用一个公式表示，
[χ!] Iφ↔((ˆIχ∧I(χ→[χ!] φ))∨(¬ˆIχ∧ [χ!] Aφ))
还有其他提议。在 van der Hoek，Jamroga 和 Wooldridge（2007 年）中，意图被定义为代理人认为尚未实现的计划。由于这个原因，代理人信念的变化会导致她的意图发生变化。例如，在任何观察之后，代理人将放弃她认为已经完成的意图：
[χ!] Bφ→[χ!] ¬Iφ
此外，她会放弃任何她认为不可能实现的意图：
[χ!] B¬φ→[χ!] ¬Iφ
但是，正如代理人信息（知识、信念）的变化应该触发她意图的变化一样，她的意图的变化也可能触发她的一些信念的变化。直观地说，有意图实现给定的 φ 会减少代理人“可以”执行的行动，从她实际可以进行的行动到仍然允许（可能保证）φ 将被实现的行动。换句话说，代理人意图的变化也会触发她对未来可用的（序列）行动的信念的变化。这是 Icard、Pacuit 和 Shoham（2010）中所遵循的思路，该研究通过引入行动的公理来描述意图修订和信念修订之间的相互作用。在意图修订的有趣情况下，这些公理规定（i）新的意图将优先于先前的意图（因此在冲突时应该消除旧的意图），（ii）模除一致性，不应对代理人的意图进行进一步的变化（特别是不应添加无关的意图），以及（iii）非依赖性信念在意图修订时不会改变。[16]
4.7 义务和时间
正如读者可能猜到的那样，添加时间维度通常是一个好主意，因为在大多数情况下，它丰富了初始系统，使我们能够谈论概念如何变化。除了认识论设置之外，还有其他受益于此的系统，例如义务逻辑系统，它研究概念作为许可（例如，“φ 是允许的”）和义务（例如，“φ 是必需的”）的属性。这些系统非常有用，因为它们涉及法律、社会和商业组织，甚至安全系统等主题。
当时间和义务相互作用时，出现的一个有趣概念是义务截止日期的概念：只需要在自己选择的时间内履行一次义务，只要在某些条件成为真之前。确实，
[...] 义务截止日期是两个维度之间的相互作用：一个是义务（规范）维度，一个是时间维度。因此，研究 [它们] 时，将时间逻辑 [...] 和标准的义务逻辑 [...] 结合在一个系统中是有意义的。（Broersen，Dignum，Dignum 和 Meyer 2004：43）
这样的形式系统有助于对截止日期有一个适当的理解：正如上述参考所问，
是一个截止日期（1）在某个时间点之前完成某事的义务，还是（2）截止日期只是一个在截止日期到来之前持续存在的义务，或者（3）两者都是？
然后，正式的设置还允许进一步进行更精细的区分，比如一个始终满足给定 φ 的义务（符号为 OGφ，其中 O 是义务的模态）和一个应该始终履行的 φ 的义务（GOφ）。关于道义截止日期的进一步深入讨论可以在 Broersen 等人（2004）；Broersen（2006）；Brunel，Bodeveix 和 Filali（2006）；Demolombe，Bretier 和 Louis（2006）；Governatori，Hulstijn，Riveret 和 Rotolo（2007）；以及 Demolombe（2014）等文献中找到。
4.8 知识和义务
同样重要的是知识和义务之间的关系，正如前述的认识义务悖论所示，该悖论出现在标准的行动逻辑和标准的认识逻辑的融合（第 3.1 节）中。但是，这些概念之间的关系超越了它们在这样一个基本系统中的相互作用。例如，如果一个行动者不知道义务的存在，她是否应该被期望履行它？在某些情况下，答案似乎是否定的：“不”：一个医生的邻居心脏病发作时，除非她知道紧急情况，否则她没有义务提供帮助。然而，在其他一些情况下，答案似乎是肯定的：“是”：法律原则“ignorantia juris non excusat”（大致上是法律无知不是借口）就是一个例子。
已经有一些处理这些问题的提案。其中之一是由 Pacuit、Parikh 和 Cogan（2006）提出的，它使用了一个可以被认为是“好”或“坏”的行动设置。它引入了一种基于知识的义务概念，根据这个概念，只有当一个行动 α 是一个行动者可以执行的行动，并且她知道执行 α 是好的时，行动者才有义务执行 α。这是一种绝对义务的形式，直到行动者执行所需的行动为止。
有趣的是，知识的涉入引发了可以在新信息的光下消失的“可废除”的义务形式。例如，当医生得知邻居生病后，她可能有义务给予某种药物治疗；然而，如果她得知邻居对这种药物过敏，这个义务将会消失。这种“较弱”的义务形式也可以在 Pacuit 等人（2006）讨论的设置中捕捉到。
知识和义务之间的相互作用不仅限于知识“定义”义务的方式。是否代理人有意识地违反她的承诺也起着重要作用。事实上，大多数法律体系都包含一个原则，即只有在进行该行为的代理人有“有罪的心智”（mens rea）时，该行为才是非法的：代理人要有罪，她必须故意/有目的地犯下该行为。当然，有不同程度的“有罪心智”，一些法律体系区分它们以确定“过失程度”（例如，故意犯下的杀人罪比意外犯下的更严重）。例如，一方面，声称以疏忽的方式做 α 是非法的，意味着在知道该行为带有实质性和不合理风险的情况下做 α 是非法的。另一方面，声称以知情的方式做 α 是非法的，意味着在确信这种行为会导致结果的情况下做 α 是非法的。[17] 这些和其他 mens rea 的模式在 Broersen（2011）中在 STIT 逻辑框架中得到了形式化。
5. 哲学讨论中的多模态系统
正如前面的部分所示，不同模态之间的特定相互作用（它们的组合方式和哪些桥梁原则起作用）对于提供准确的哲学概念的表示和分析至关重要。事实上，在多模态环境中，不同模态的组合在多个场合下都为哲学问题提供了启示。我们将以绑架、可知性、“相信知道”、真理生成器以及假设和信念之间的相互作用为例，同时还要记住在多模态环境中出现的无数其他哲学悖论和问题。（其中包括 Yablo 悖论（Yablo，1985 年，1993 年）以及 SEP 关于无自指的义务悖论和悖论的讨论。另请参阅 SEP 关于知者悖论、动态认知悖论和意外考试悖论的分析；对于后者，还请参阅 Baltag 和 Smets（2010 年其他互联网资源）提出的解决方案。）
5.1 绑架推理
绑架这个术语在相关但有时又有不同的意义上被使用。粗略地说，绑架推理（也称为 [或与概念密切相关的] 推理到最佳解释、回溯、假设性、附加或推测性推理等等）可以理解为一个代理人（或一组代理人）寻找对令人惊讶的观察结果的解释的过程。许多形式的智力任务，如医学和故障诊断、法律推理、自然语言理解以及（最重要的）科学发现，都属于这一类别，因此使绑架成为最重要的推理过程之一。
在其最简单的形式中，多模态可以用皮尔斯的 1903 年模式（Hartshorne＆Weiss 1934：CP 5.189）最好地描述：
| 观察到了令人惊讶的事实 C。 |
|---|
但如果 A 是真的，C 将是理所当然的事情。 |
因此，有理由怀疑 A 是真实的。 |
这是在提供对诱因推理的形式化方法时最常引用和使用的理解。然而，对于诱因问题及其解决方案的典型定义是基于（命题，一阶）理论和公式的，忽略了涉及的主体的态度。
然而，也有提议以不同的认识概念（例如，Levesque 1989; Boutilier & Becher 1995）来形式化（部分）诱因过程。其中，Velázquez-Quesada, Soler-Toscano, & Nepomuceno-Fernández (2013) 将诱因推理理解为一种由观察触发并由主体所拥有的知识指导的信念变化过程。用符号表示（Velázquez-Quesada 2015），从令人惊讶的观察 ψ 到信念 φ 的诱因推理可以被描述为
K(φ→ψ)→[ψ!](Kψ→⟨φ⇑⟩Bφ,
声明如此，如果代理人知道 φ→ψ，并且对 ψ 的公告（“[ψ!]”）使她知道它（ψ），那么她可以进行一次信念修正行为，使用 φ（“[φ⇑]”）来相信它。这种形式化不仅强调了代理人的初始知识在可能的归纳解的生成中起着关键作用，而且强调所选择的解决方案只能以一种弱的方式被接受（因此代理人相信它但不确定），因此使其成为在进一步信息的光下进行修订/丢弃的候选者。
其他提案将进一步的方向纳入了这个画面。其中之一是 Ma＆Pietarinen（2016），他们遵循了皮尔斯对归纳推理的后期理解（当时称为回溯：“给定一个（令人惊讶的）事实 C，如果 A 蕴含 C，则应该探究 A 是否合理持有”；皮尔斯 1967：856），作为从惊讶到探究的一种推理形式。这可以与第 4.3 节中描述的问题和问题的概念联系起来。正如作者所提到的，
[t] 重要的发现是，在新的表述中，结论以一种疑问的语气呈现。但是疑问的语气并不仅仅意味着提出了一个问题。实际上，它意味着可能的猜测 A 成为了调查的对象：目的是确定那个 A 是否确实可信。皮尔斯将这种语气称为“调查语气”。因此，演绎可以被视为朝着一个可信猜测的动态过程，最终朝着一组最可信的猜测。
5.2 菲奇可知性悖论
这个悖论源于通常被称为验证主义论题（VT）的观点，该观点声称所有真理都是可验证的。将这个论题形式化为一个将知识运算符与可能性运算符结合的多模态逻辑将产生
φ→⬦Kφ，
其中 ⬦Kφ 被读作“可以知道 φ”。在这个背景下，这个悖论指的是菲奇的论证，其中包含了他在 1945 年得到的一个思想，该思想表明，如果所有的真理都是可知的，那么所有的真理都已经被知道了。正如论证所述，我们显然不知道所有的真理（因为我们不是全知的！）；因此，前提必须是错误的：并非所有的真理都是可知的。这个悖论可以通过以下推导来概括：
p→⬦Kp⊢(p→Kp)，
这对于非全知验证主义者来说是一个问题。我们在这里陈述的悖论推导是基于一个多模态逻辑系统，其中至少包含以下原则：（i）非矛盾原则，用于捕捉矛盾不能为真且不可能存在的事实，（ii）双重否定、材料蕴涵的传递性和替换的经典定律，（iii）模态逻辑运算符 K 的正常性，模态逻辑原则 T 表明知识是真实的，以及模态可能性运算符 ⬦ 的正常性。其中一个最简单的悖论表述可以在 van Benthem（2004）中找到，它展示了它如何导致真理和知识之间不想要的等价关系。从陈述验证主义论点的公式 φ→⬦Kφ 开始，并用 φ 替换为(p∧¬Kp)：
| (1) | (p∧¬Kp)→⬦K(p∧¬Kp) | 在 VT 中用(p∧¬Kp)替换 φ |
|---|---|---|
(2) | ⬦K(p∧¬Kp)→⬦(Kp∧K¬Kp) | K 在 ∧ 上分配 |
(3) | ⬦(Kp∧K¬Kp)→⬦(Kp∧¬Kp) | 在多模态逻辑 T 中，知识是真实的 |
(4) | ⬦(Kp∧¬Kp)→⊥ | 用于 ⬦ 的最小模态逻辑 |
(5) | (p∧¬Kp)→⊥ | 从(1)到(4)的→的传递性 |
(6) | p→Kp | 命题推理 |
这个悖论在哲学文献中引起了激烈的辩论，导致我们指出了两种主要的解决方案类型：一种是提出削弱我们的逻辑原则（如不矛盾、直觉主义或更弱的模态逻辑），同时保持验证论的解决方案；另一种则不改变/限制基础逻辑，而是提出验证论的特定形式化或阅读方式。[18] 虽然我们将读者引用到关于认识悖论的 SEP 条目中以获得这些提出的解决方案的概述，但在这里，突出说明一下这个悖论是如何通过进一步引入与公共公告模态（PAL 的公共公告模态）相关的沟通模态来“解密”的。事实上，根据 van Benthem（2004）的说法，验证论所表达的不是关于“静态”可知性，而是关于一种可学习性的形式：“真理可能会被知道”（van Benthem 2004）。这个陈述可以在适当的任意公告框架中以形式化的方式陈述为：
φ→∃ψ⟨ψ!⟩Kφ,
这被读作“如果 φ 成立，那么在宣布 φ 之后会有一个公式 ψ 被知晓”[19]。这种对验证主义论题的解读使我们接触到动态认知逻辑中关于不成功公式（在真实宣布后变为假的公式；van Ditmarsch＆Kooi 2006；van Benthem 2011；Holliday＆Icard 2010）的一些结果，这些结果表明确实并非所有句子都是可学习的。事实上，这个解决方案向我们展示了
[…] 没有挽救 VT 的方法，但也没有那种沮丧。因为在失去一个原则的同时，我们获得了对知识和学习行为以及它们微妙属性的一般逻辑研究。天真的验证主义的失败只是突显了人类交流方式的有趣之处。（van Benthem 2004: 105）
5.3 完美信徒的悖论
乍一看，似乎自然地说一个人可以相信“知道”某事，即使实际上他并不真正知道。因此，相信知道某事在哲学上被认为与声称真正的知识不同。然而，在假设所知道的也是所相信的情况下，如果我们将相信与 KD45-多模态 B 等同，将知识与 S5-多模态 K 等同，这种知识和相信之间的特定相互作用可能会导致问题。假设已经假定了 BKφ∧¬Kφ。然后，通过对第二个合取式的否定内省，我们推导出 K¬Kφ。但是由于知识意味着相信，我们推导出 B¬Kφ。这与第一个合取式 BKφ 一起，根据相信的可加性，我们得到 B(Kφ∧¬Kφ)。因此，我们得出了对矛盾的相信，这与 KD45 中相信的一致性（公理 D）的假设不相容。这个问题被称为完美信徒悖论（也被称为 Voorbraak 悖论），因为最初（但等价地）它被描述为桥梁原理 BKφ→Kφ 的可推导性，该原理指出相信知道给定的 φ 足以知道 φ。（BKφ→Kφ 的推导还依赖于对知识的否定内省，对信念的正常性和一致性的假设，以及知识意味着相信的桥梁原理；Gochet＆Gribomont 2006：114。）
在提出这个问题之后，Voorbraak（1993）提议通过放弃桥梁原则 Kφ→Bφ 来处理它。另一个选择是允许不一致的信念（Gochet＆Gribomont 2006：第 2.6 节）。然而，一种更接近这些笔记精神的进一步可能的解决方案是考虑一个中间概念的“知识”，它不像 S5 模态算子 K 给出的绝对不可修订（即不可撤销）的概念那样强。更确切地说，Baltag 和 Smets（2008）的提议研究了 Lehrer 的可废除性知识理论（Lehrer 1990；Lehrer＆Paxson 1969），并且使用在上述讨论的合理性模型中给出的不可废除（“弱”，非负内省）知识，由模态 [≤]（之前也被称为安全信念）。的确，Lehrer 和 Stalnaker 将这个概念称为可废除性知识，这是一种可能被错误证据击败但不能被真实证据击败的知识形式。该概念既满足真理公理（[≤] φ→φ）又满足积极内省（[≤] φ→[≤][≤] φ），但它缺乏负内省；因此，不再可能从一个代理人错误地认为她（可废除地）知道 φ（B [≤] φ∧¬ [≤] φ）推导出不一致的信念。相反，可以很容易地显示出对可废除性知识的信念，B [≤] φ，等同于一个简单的信念，Bφ。
5.4 从模态角度看的真理生成者
释义 Fine（2017）的话，真理生成者是世界一侧的某个事实或情况，使得语言或思想一侧的某个陈述或命题成为真实。真理生成者在形而上学和语义学中都是一个重要的主题。对于前者，“真理生成者作为一种导管，将我们从语言或思想带到对世界的理解”（Fine 2017：556）；对于后者，它通过确定世界如何使得语言的句子成为真实，为给定语言提供了充分的语义。
在《Fine (2017)》中，作者解释了命题逻辑的真值生成器（“精确”）语义的基本框架。它不是基于可能世界，而是基于状态或情境；关键的区别在于，虽然可能世界可以确定任何可能陈述的真值（即，给定一个公式和一个可能世界，该公式要么为真，要么为假），但一个情境可能不足以决定一个给定的句子是否成立。
形式上，状态空间是一个元组 ⟨S,⊑⟩，其中 S 是一个非空状态集合，⊑⊆(S×S)是一个偏序关系（即，一个自反、传递和反对称的关系），其中 s1⊑s2 被理解为“状态 s2 扩展状态 s1”。假设任意一对状态都有一个最小上界（即，一个上确界）；形式上，对于任何 s1,s2∈S，存在 t1⊔t2∈S 满足
t1⊑(t1⊔t2) 和 t2⊑(t1⊔t2) （因此 t1⊔t2 是 t1 和 t2 的上界），且
如果 t 是 t1 和 t2 的上界，则(t1⊔t2)⊑t（因此 t1⊔t2 是最小的上界）。
这个上确界 t1⊔t2（它的唯一性来自于 ⊑ 的反对称性）可以理解为状态 t1 和 t2 的“和”、“合并”或“融合”，它提供了决定“合取”是否成立的关键工具，如下所示。
状态模型是一个元组 ⟨S,⊑,V⟩，其中 ⟨S,⊑⟩ 是一个状态空间，V:P→(℘(S)×℘(S))是一个估值函数，不仅返回使给定原子 p 为真的状态集合（简写为 V+(p)），还返回使其为假的状态集合（简写为 V-(p)）。原则上，对于一个原子 p，这两个集合之间可能没有关系。它们可能重叠（V+(p)∩V-(p)≠∅），从而产生一个既为真又为假的状态；它们可能有限（V+(p)∪V-(p)≠S），从而产生一个既不为真也不为假的状态；它们可能既不重叠也不有限，从而是互斥的（V+(p)∩V-(p)=∅）和穷尽的（V+(p)∪V-(p)=S），使得状态在 p 方面表现为可能的世界。
给定一个状态模型，关系 ⊪v（由状态验证）和 ⊪f（由状态验证）定义如下。
| (M,s)⊪vp | iffdef | s∈V+(p) |
|---|---|---|
(M,s)⊪v¬φ | iffdef | (M,s)⊪fφ |
(M,s)⊪vφ∧ψ | iffdef | 存在 t1，t2∈S，使得 s=t1⊔t2，并且(M,t1)⊪vφ 和(M,t2)⊪vψ。 |
(M,s)⊪vφ∨ψ | iffdef | (M,s)⊪vφ 或(M,s)⊪vψ。 |
(M,s)⊪fp | iffdef | s∈V−(p) |
(M,s)⊪f¬φ | iffdef | (M,s)⊪vφ |
(M,s)⊪fφ∧ψ | iffdef | (M,s)⊪fφ 或(M,s)⊪fψ |
(M,s)⊪fφ∨ψ | iffdef | 存在 t1,t2∈S，使得 s=t1⊔t2，并且(M,t1)⊪fφ 和(M,t2)⊪fψ |
注意验证合取式和否定析取式的子句。如果一个状态是验证相应合取式 φ 和 ψ 的状态的融合，那么它使得合取式为真。类似地，如果一个状态是否定相应析取式 φ 和 ψ 的状态的融合，那么它使得析取式为假。
真值制造语义可以从多模态的角度来看（van Benthem 1989），因为状态模型 ⟨S,⊑,V⟩ 可以被理解为一种模态信息逻辑，因此可以用模态语言来描述。一个有趣的可能性（van Benthem 2019: 第 12 节）是从两个模态开始，⟨⊑⟩φ 和 ⟨⊒⟩φ，它们的语义解释是用标准的模态方式给出的，第一个模态依赖于偏序 ⊑，第二个模态依赖于它的逆 ⊒。[20] 然后，可以添加一个（二元）模态来描述最小上界
并且一个“双重”的描述下确界（最大下界）[ 21]
借助这些工具，可以从真值生成逻辑到多模态信息逻辑进行忠实的翻译（详见 van Benthem 2018 年第 13 节）。这种翻译将多模态逻辑的方法引入到真值生成的研究中。更重要的是，它使得真值生成语义成为一个完全兼容经典（多模态）逻辑的框架，该框架保持标准定义，但通过研究更丰富的语言来扩展框架的表达能力。
5.5 布兰登伯格-凯斯勒悖论
考虑以下情况（Brandenburger＆Keisler 2006 年），涉及到两种认知态度，即信念和假设。
安妮相信鲍勃认为安妮相信鲍勃的假设是错误的。
鉴于此，问题是：φ（“安妮相信鲍勃的假设是错误的”）是真还是假？
引述帕奎特和罗伊（2017 年：第 6 节），假设 φ 为真。因此，φ 所代表的是真实的，即安妮相信鲍勃的假设是错误的。此外，通过信念内省，她相信“她相信鲍勃的假设是错误的”，即她相信鲍勃的假设。但是，情况的描述告诉我们，安妮相信鲍勃假设 φ；因此，事实上，安妮相信鲍勃的假设是正确的。因此，φ，“安妮相信鲍勃的假设是错误的”，是错误的。
但是现在假设 φ 是错误的。然后，再次按照 Pacuit 和 Roy（2017 年：第 6 节）的说法，安相信鲍勃的假设是正确的，也就是说，安相信 φ 是正确的。此外，情况的描述表明“安相信鲍勃假设安相信鲍勃的假设是错误的”，鉴于 φ 是鲍勃的假设，可以重写为“安相信鲍勃假设安相信 φ 是错误的”。但是，不仅安相信她相信 φ 是正确的，她还相信鲍勃的假设是她相信 φ 是错误的。因此，她相信鲍勃的假设是错误的（安相信鲍勃的假设是她相信 φ 是错误的，但她相信这是错误的：她相信 φ 是正确的）。所以，φ 是真的。
这个悖论很有趣，因为它暗示着并非每个信念的描述都可以被“表示”（就像罗素悖论暗示着并非每个集合都能构成一个集合一样）。正如 Pacuit（2007）中所解释的那样，为了表明这种情况无法被“表示”，原始论文（Brandenburger＆Keisler 2006）引入了一个信念模型。这个结构代表了每个代理人对另一个代理人的信念的信念。更准确地说，信念模型是一个双排序结构，每个排序代表其代理可能具有的认知状态。模型的第一个组成部分是其域，由 Ann 和 Bob 的状态集合 Wa 和 Wb 的并集给出，分别。该模型还为每个代理人提供了一个关系 Ra 和 Rb，其中 Rauv（限制于 u∈Wa 和 v∈Wb）被读作“在状态 u 下，Ann 认为 v 是可能的，Rbvu 类似。请注意，Wb 的每个子集集合 Ub 都可以被理解为 Ann 的一种语言（她可能对 Bob 的信念持有的信念），Bob 也是类似的。然后，完整的语言被定义为每个代理人的语言的并集。在讨论的情况下，所涉及的认知态度可以定义如下。一方面，信念有一种某种标准的解释：如果 Ann 认为给定的 U∈Ub，则她认为可能的状态集合是 U 的子集。另一方面，假设被理解为最强的信念：如果 Ann 认为给定的 U∈Ub，则她认为可能的状态集合恰好是 U。
有了这些工具，现在可以准确地断言上述情况无法被表示。如果一个语言对于信念模型来说是完备的，那么只有当玩家语言中的每个可能陈述（即，在至少一个状态中为真的语言陈述）都可以被玩家假设。然后可以使用对角线论证来证明，对于“它的一阶语言”，即包含模型域的所有一阶可定义子集的语言，没有信念模型是完备的。
结语
多模态逻辑及其应用的研究是一个持续进行的领域。虽然我们已经阐述了该领域的一些主要发展，但仍然有许多模态运算符的组合作为形式分析不同有趣现象的工具出现，并且其中许多仍在进一步探索中。一些例子与“旧”问题有关。一个例子是著名的逻辑全知问题（Hintikka 1962; Stalnaker 1991），其多模态讨论不仅涉及隐含和显性知识/信念的概念（例如，Levesque 1984; Lakemeyer 1986; Velázquez-Quesada 2013; Lorini 2020），还涉及知识和意识之间的关系（例如，Fagin and Halpern 1988; Halpern & Rêgo 2009, van Benthem & Velázquez-Quesada 2010; Belardinelli & Schipper 2023）。其他一些例子则源于新的发展。一个例子是组合模态运算符来推理量子信息的流动（Baltag and Smets 2022）。一个非常富有成果的领域是游戏（例如，Baltag, Li, & Pedersen 2022; van Benthem, Pacuit, & Roy 2011, van Benthem 2014），在这个领域中，许多不同的态度和概念（知识、信念、偏好、意图、意识、行动等）汇聚在一起。多模态逻辑的应用非常广泛，远远超出了与多智能体系统和哲学逻辑相关的研究方向在人工智能和哲学逻辑领域的范围。
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Other Internet Resources
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Yablo paradox, Internet Encyclopedia of Philosophy
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