非单调逻辑 non-monotonic (Christian Strasser and G. Aldo Antonelli)

首次发表于 2001 年 12 月 11 日；实质修订于 2019 年 4 月 20 日

“非单调逻辑”（简称 NML）这个术语涵盖了一系列旨在捕捉和表示可废除推理的形式框架。当推理者保留根据进一步信息撤回结论的权利时，他们以可废除的方式得出结论。例子很多，从归纳概括到基于专家意见的推理，再到最佳解释的推理等等。我们在日常推理、专家推理（如医学诊断）和科学推理中都可以找到可废除推理。

与演绎推理一样，可废除推理也可以遵循复杂的模式。然而，这些模式对于经典逻辑（CL）、直觉逻辑（IL）或其他表征演绎推理的逻辑来说是无法达到的，因为它们本质上不允许撤回推理。在 NML 领域所面临的挑战是为可废除推理形式提供与 CL 或 IL 为数学推理提供的相同的形式精确解释，其中形式上的准确性涉及框架所捕捉到的例子范围有多广，以及框架在多大程度上能够满足我们对该主题的直觉（至少是最根深蒂固的直觉）。

1. 处理非单调推理的动态

非单调推理是动态的，因为它允许推理的撤回。例如，基于正常性或典型性假设进行推理。当我们根据 Tweety 是一只鸟和鸟通常会飞的背景知识推断 Tweety 会飞时，当我们得知 Tweety 是一只企鹅或几维鸟时，我们有充分的理由撤回这个推断。

另一个例子是诱因推理（Aliseda 2017）。根据街道湿润的观察，我们可以推断最近下过雨。然而，回想起今天街道被清洁，屋顶是干燥的，我们将撤回这个推断。

最后一个例子是概率推理，我们从“X 是 A 且大多数 A 是 B”推断出“X 是 B”。显然，我们可能会得知 X 在成为 B 方面是一个例外的 A，并基于此撤回我们之前的推断。

我们之前的例子都是扩大推理的实例。它基于推理，其中前提的真实性不能保证或必然导致结论的真实性，就像演绎推理一样。相反，前提以可废除的方式支持结论，例如，在前提成立的大多数/典型/等情况下，结论可能成立。

当推理应用于可能通过不同来源获得的不一致信息库时，推理也可能变得可废除。在这种情况下，古典逻辑不是一个可行的选择，因为它允许我们推导出任何后果。更加谨慎的方法是考虑给定信息的最大一致子集（相对于集合包含关系）（Rescher 和 Manor 1970）。例如，假设 p，q 和 s 是逻辑原子，Γ={p∧q,¬p∧q,s}，Γ 的最大一致子集是 Γ1={p∧q,s}和 Γ2={¬p∧q,s}。已经基于一致子集定义了各种后果关系。我们给出两个例子（更多内容请参见 Benferhat 等人（1997））。

让 Σ 是一个可能不一致的公式集合，让 MCS(Σ)是 Σ 的最大一致子集的集合。通过求交集所有 MCS(Σ)的成员，可以得到 Σ 中的无辜旁观者集合 Free(Σ)。

自由后果。如果且仅如果 ϕ 是 Σ 的自由后果，即 Σ|∼freeϕ，则它被所有无辜旁观者 Free(Σ)的集合（经典地）蕴含。
必然后果。如果且仅如果 ϕ 是 Σ 的必然后果，即 Σ|∼ieϕ，则它被 Σ 的每个成员（经典地）蕴含。

在我们的例子中，无辜旁观者 s 既是自由后果又是必然后果，而 q 仅仅是必然后果。为了突出这种推理的可废弃特性，考虑我们额外获得信息 ¬s 的情况。现在我们有额外的两个最大一致子集 Γ3={p∧q,¬s}和 Γ4={p∧¬q,¬s}，在这两个子集中，s 既不是自由后果也不是必然后果。例如，尽管 Γ|∼frees，我们有 Γ∪{¬s}/|∼frees。

这种动力学特点是非单调逻辑的特征，实际上这也是它们被命名的原因。它们违反了演绎推理的单调性属性，例如，对于 CL 的逻辑蕴涵关系 ⊨（有关关系 ⊨ 的详细信息，请参见有关经典逻辑的条目）：

单调性：如果 Σ|∼ϕ，则 Σ∪Σ′|∼ϕ。

单调性表明，后果在添加信息时是稳健的：如果 ϕ 是 Σ 的后果，则它也是包含 Σ 作为子集的任何集合的后果。学术界大部分关注的是基于可废除推理的动力学类型，这种推理类型由于对冲突新信息的推理撤回而违反了单调性。它被称为同步动力学（Pollock 2008）或可废除推理的外部动力学（Batens 2004）。

显然，大多数形式的可废止推理都是外部动态的，因此大多数可废止推理的逻辑违反了单调性：它们具有非单调的推论关系，当获得新信息时，推论可能不会持续存在。这一特征如此核心，以至于可废止推理的形式逻辑研究通常被认为与非单调性的领域相一致，其中非单调性被理解为逻辑的推论关系的一个属性。

已经注意到，在可废止推理中除了外部动态性外，还存在着一种时间动态性（Pollock 2008）或内部动态性（Batens 2004）。这是在没有可用的新信息（即新前提）的情况下撤回推理的结果：通过分析已有的信息，我们可能会发现（可能是意外的）不一致性。

让我们回到非单调性作为推论关系的一个属性。鉴于在非单调逻辑中放弃了单调性，我们自然会引出一个问题，即哪些形式的形式属性将取代单调性，并且在可废止推理领域中是否也可以期望一些对于新信息添加下推论集合的弱化形式的稳健性。在这里，我们陈述了文献中考虑的两个最核心的属性：

谨慎的非单调性：如果 Σ|∼ψ 和 Σ|∼ϕ，则 Σ∪{ϕ}|∼ψ。
理性的非单调性：如果 Σ|∼ψ 和 Σ/|∼¬ϕ，则 Σ∪{ϕ}|∼ψ。

谨慎的非单调性和理性的非单调性都是非单调性的特例，因此只要我们限制在 CL 的经典推论关系 ⊨ 下，它们就不在前景中。

谨慎的非单调性是割裂的相反：

割裂：如果 Σ|∼ϕ 和 Σ∪{ϕ}|∼ψ，则 Σ|∼ψ。

谨慎的非单调性（或割裂）表明将一个推论 ϕ 添加到前提集 Σ 中不会导致推理能力的减少（或增加）。这些原则共同表达了推理是一个累积的过程：我们可以继续得出可以作为额外前提使用的推论，而不会影响结论集合。在 Gabbay（1985）中已经证明了一些关于非单调推导的基本和直观的假设会产生满足谨慎的非单调性、割裂性和自反性（如果 ϕ∈Σ，则 Σ|∼ϕ）的结果关系。因此，这些属性通常被认为是非单调逻辑学的核心原则。[1]

有理单调性声明，在将不被 Σ 所否定的公式 ϕ 添加到 Σ 时，Σ 的结论不会丢失。有理单调性是一个比谨慎单调性更有争议的属性。例如，Stalnaker（1994）给出了一个反例（见附加文档），从这个反例可以清楚地看出，在并非所有的应用背景下，有理单调性并不是可废推理的一个理想属性。

2. 处理冲突

与非单调推理的形式属性完全交织在一起的一个单独问题是如何处理潜在的可废推论之间的冲突。

我们可以区分两种在非单调推理中处理冲突的类型，这两种类型将在下面更详细地讨论。一方面，我们有冲突解决原则，如具体性原则或其他论证强度的度量。另一方面，我们有以不同方式处理不可解决冲突的推理类型，其中最突出的是轻信和怀疑的推理类型。在本节中，我们仍然保持在抽象层面，而具体的非单调逻辑学将在“非单调形式化”一节中讨论。

2.1 冲突解决

在给定的非单调框架中可能出现两种不同类型的冲突：（i）可推翻性结论与“硬事实”之间的冲突，其中一些可能是新学到的；以及（ii）一个潜在的可推翻性结论与另一个结论之间的冲突（许多形式化提供某种形式的可推翻性推理规则，而这些规则可能有冲突的结论）。当出现冲突（任何一种类型）时，必须采取措施来保持或恢复一致性。

类型（i）的冲突应该以有利于硬事实的方式解决，即应该撤回冲突的可废止结论。更有趣的是解决类型（ii）冲突的机制。为了分析这些机制，我们将使用示意推理图（类似于继承网络中使用的图形，请参见下文）。例如，我们之前的例子中的鸟“Tweety”如下所示：

我们使用以下约定：双箭头表示演绎或严格（即不可废止）推理，单箭头表示可废止推理，删除线箭头表示暗示指向公式的否定。因此，我们可以按照以下方式阅读图表：企鹅是鸟（没有例外）；鸟通常会飞；而企鹅通常不会飞。

我们在以下两个论证之间存在冲突（其中论证是推理序列）：企鹅 ⇒ 鸟→飞行和企鹅→不飞行。两个论证都包含最终的可废止推理。重要的是要注意，企鹅是鸟的一种特定类型，因为企鹅 ⇒ 鸟（而不是鸟 ⇒ 企鹅）。根据特异性原则，具有更具体前提的推理会覆盖具有较不具体前提的冲突可废止推理。因此，关于企鹅“Tweety”，我们推断她不会飞行是基于企鹅→不飞行，而不是基于企鹅 ⇒ 鸟→飞行。

逻辑学家区分强特异性和弱特异性：根据强特异性 A↛C 优先于 A⇒B→C；根据弱特异性 A↛C 优先于 A→B→C。请注意，区别在于 A 和 B 之间的联系的性质。

对于一个可废除的推理 A → B 而不是另一个冲突的推理 C → D 的偏好也可能取决于其他因素。例如，在认识论的背景下，我们可以通过诉诸于相应条件知识的来源的可靠性来比较 A → B 和 C → D 的强度。在法律推理的背景下，我们可能有原则 lex superior resp. lex posterior，根据这些原则，排名较高的或者后发出的法律占主导地位。

给定通过偏好关系 ≺ 来比较可废除推理步骤的强度的方法，仍然存在一个问题，即如何比较冲突的推理序列，即论证的强度。我们给出一些例子。对于 NML 中偏好处理机制的系统调查和分类，感兴趣的读者可以参考 Delgrande 等人（2004）和 Beirlaen 等人（2018）。

根据最弱环节原则（Pollock 1991），如果一个论证的最弱可推翻环节比冲突论证的最弱可推翻环节更强，那么该论证就优于冲突论证。例如，看下面的情况：

在左边，我们看到一个有两个冲突论证的推理图。在右边，我们看到了优先顺序。论证 A→B→E 比 C→D↛E 更强，因为对于它的最弱环节 D↛E，我们有 D↛E≺A→B 和 D↛E≺B→E。

另一种处理偏好的方法是程序化和贪婪的（Liao et al 2018）。大致上，它指示总是首先应用具有最高优先级的规则。（可能有多个具有最高优先级的规则，但为了简单起见，我们在接下来的讨论中忽略了这种可能性。）看下面这个经常在文献中讨论的例子。我们有以下规则：

在 A→B≺A↛C≺B→C 的情况下，我们假设 A 是已知的。我们可以应用可废除规则 A→B 和 A↛C。如果我们以“贪婪”的方式操作，我们可以在应用 A→B 之前应用 A↛C 来推导出 C，因为 A→B≺A↛C。现在只有 A→B 是适用的。所以我们推导出 B。虽然 B→C 的前提已经推导出来了，但为了保持一致性，我们不能应用这个规则。Brewka 和 Eiter（2000）反对这种贪婪的方法，支持推导出 B 和 C。Delgrande 和 Schaub（2000）认为这个例子呈现了一个不连贯的规则集。在 Horty（2007）中对这一观点提出了质疑，提出了一个以条件命令为基础的一致的道义阅读，这也挑战了程序化方法，支持结论 B 和 C。

Ford（2004）指出，论证中严格链接和可废除链接的顺序很重要。例如，她认为形式为 A→B⇒D 的论证可能比形式为 A⇒C↛D 的论证更强。原因是在前一种情况下，没有 A 是 D 是不可能的，而在后一种情况下，没有 A 是非 D 是可能的。这在下图中有所说明：

左图示例说明了存在这样的分布，即使 A⇒C 和 C↛D 成立，也没有 A 是非 D。右图示例了 A→B⇒D 的分布。只要 A 的扩展不为空，就会有 A 是 D 的情况。

2.2 未解决冲突的推理

现在我们讨论在没有可用的解决原则的情况下出现的问题。人们可以以“谨慎”或“大胆”的方式进行推理（也称为“怀疑”或“轻信”）。这两种选择对于解释给定的可废除知识体系的方式有着显著的不同，从而在基于这样的知识基础上得出不同的可废除结论。

这些基本态度之间的区别在于，当存在潜在冲突的可废除推理时（在没有进一步的考虑，如特异性等情况下），轻信的推理者总是承诺尽可能多的可废除结论，但要满足一致性要求，而怀疑的推理者则对潜在冲突的可废除结论保持保留态度。

文献中一个众所周知的例子，所谓的“尼克松钻石”，将有助于澄清这个区别。假设我们的知识库包含（可废除的）信息，说明一个给定的个体尼克松既是一个贵格会教徒又是一个共和党人。贵格会教徒大体上是和平主义者，而共和党人大体上不是。这在下图中有所说明：

问题是基于这个知识体系，我们应该推断尼克松是一个和平主义者还是他不是一个和平主义者，哪个推断是合理的。

无论是怀疑论者还是轻信论者都没有逻辑上的理由偏好任何一个结论（“尼克松是一个和平主义者”；“尼克松不是一个和平主义者”）。虽然轻信论者承诺了这两个结论，但怀疑论者则两者都不持。

非单调推理类型背后的理论是为了在存在冲突的可废弃推理中提供可能结论的概述，以便随后在它们之间做出选择。这在实践推理的情境中尤其有趣，因为选择决定了行动的方向，并且基于偏好、价值观等额外的逻辑之外的考虑进一步缩小了选择范围。

相反，怀疑性推理类型背后的理论是确定无争议的可废弃结论。其目的可能更多地是具有认识论性质，例如使用选择的结论更新代理人的信念或知识库。

2.3 怀疑性推理的一些高级问题

现在我们讨论一些在冲突论证背景下出现的进一步问题。第一个问题在下图中有所体现：

考虑论证企鹅 ⇒ 鸟 → 有翅膀。由于企鹅不会飞，我们知道企鹅是特殊的鸟类，至少在飞行属性方面是如此。一个非常谨慎的推理者可能会认为这是对将其他典型的鸟类属性归属于企鹅持怀疑态度的理由。不允许推导出有翅膀的非单调逻辑学被称为溺水问题（Benferhat 等，1993）。

关于企鹅相对于飞行的特殊地位是否也应该扩展到鸟类的其他属性，可能取决于这些属性之间的特定相关关系。例如，Koons（2017）提出因果关系起到了作用：拥有强壮的前肢肌肉与飞行有因果关系，因此不应该归属于企鹅，而在冷血方面情况则不同。同样，Pelletier 和 Elio（1994）认为解释关系在非单调推理中处理异常信息的方式中起着重要作用。

另一个被广泛讨论的问题（例如，Ginsberg 1994，Makinson 和 Schlechta 1991，Horty 2002）涉及一个问题，即通过两个相互冲突的论证可以推导出一个结论吗？这样的结论被称为浮动结论。下图用尼克松钻石的扩展版本说明了这一点。

所讨论的浮动结论涉及政治问题，通过尼克松 ⇒Quaker→Dove→政治和通过尼克松 ⇒ 共和党人→鹰派→政治可以推导出来。这两个论证都是冲突的尼克松 ⇒Quaker→Dove 和尼克松 ⇒ 共和党人→鹰派的超级论证。Horty（1994）认为，在“从事推理的情境中，得出结论的价值相对较高，而如果其中一些结论被证明不正确，所涉及的成本相对较低”时，浮动结论是可以接受的，而当“错误的代价上升”时，应该避免使用浮动结论（第 123 页）。

我们以所谓的僵尸论证（Makinson 和 Schlechta 1991，Touretzky 等人 1991）结束我们的讨论。回想一下，怀疑论者不会承认冲突的论证。Makinson 和 Schlechta（1991）认为，这种冲突论证的超级论证虽然不可接受，但仍然有能力削弱推理者对另一个无冲突论证的承诺。我们在下图中看到一个例子：

我们观察到关于 D 存在两个相互冲突的论证：A→B→D 和 A→C↛D。因此，我们对 D 存在模棱两可的信息。我们进一步观察到，F 是（无冲突的）论证 A→C→E→F 的结果。它与僵尸论证 A→B→D↛F 相冲突，后者是冲突的 A→B→D 的超级论证。这个名称指的是亡灵，因为像 A→B→D↛F 这样的论证，我们对其没有承诺，但它仍然有能力影响我们对另一个无冲突论证 A→C→E→F 的承诺。在文献中，我们可以区分出两种对这种情景的处理方法。在传播模棱两可性的形式化中，D 的模棱两可性会传播到 F，而在阻止模棱两可性的形式化中，D 的模棱两可性不会传播到 F，因此 F 被认为是基于无争议论证 A→C→E→F 的结果（Stein 1992）。

3. 非单调逻辑学形式化

在非单调逻辑学领域的开创性工作始于意识到为了对可推翻性推理进行数学上精确的描述，经典逻辑是不足够的。这一认识伴随着努力在数学或形式推理的表示中复制经典逻辑的成功。在 20 世纪 70 年代末，J. McCarthy、D. McDermott 和 J. Doyle 以及 R. Reiter 是该领域的先驱者（参见 Ginsberg（1987）收集的早期论文和 Gabbay 等人（1994）收集的优秀综述论文）。1980 年，人工智能杂志发表了一期（第 13 卷，1980 年）专门介绍这些新形式化方法的文章，这一事件被视为非单调逻辑学的“成年礼”。

在本节中，将提供一些重要形式主义的概述。由于非单调逻辑的进化树变得非常丰富，我们将限制重点介绍一些最有影响力和知名度的方法背后的基本思想。

3.1 闭世界假设

如果非单调逻辑的目标之一是提供一个在实质上充分的解释可推翻推理的账户，那么依靠丰富的例子来指导和磨练直觉是很重要的。数据库理论是最早提供这类例子的来源之一，特别是关于闭世界假设。假设一个有权访问航班数据库的旅行代理需要回答客户关于从奥什科什到明斯克的最佳方式的查询。代理人查询数据库，并且不出所料地回答说没有直达航班。旅行代理是如何知道的呢？

很明显，在“知道”的强意义上，旅行社并不知道没有这样的航班。这里起作用的是一个默认的假设，即数据库是完整的，并且由于数据库没有列出两个城市之间的直达航班，所以不存在这样的航班。一个有用的观察方式是将这个过程看作是一种最小化，即试图最小化给定谓词（在这种情况下是“飞行-之间”）的范围。此外，为了避免不一致，这种最小化需要发生在数据库明确包含的内容而不是它所暗示的内容上。

最小化的概念是最早的非单调形式主义之一，麦卡锡的圆缩（McCarthy 1980）就是基于这个概念。圆缩明确了这样的直觉，即在其他条件相同的情况下，某些谓词的范围应该是最小的。考虑“所有正常的鸟都会飞”的原则。这个原则隐含了这样的观念，即除非有积极的信息表明，否则不应该将样本视为异常。麦卡锡的想法是用二阶逻辑（SOL）来形式化表示这一点。在 SOL 中，与一阶逻辑（FOL）相比，允许明确量化谓词，形成诸如 ∃P∀xPx（“存在一个普遍谓词”）或 ∀P（Pa≡Pb）（“a 和 b 是无法区分的”）的句子。

在圆缩中，给定谓词 P 和 Q，我们将 ∀x（Px⊃Qx）缩写为 P≤Q；类似地，我们将 P≤Q∧¬（Q≤P）缩写为 P < Q。如果 A（P）是包含谓词 P 的公式，则 A 在 P 中的圆缩是二阶句子 A⋆（P）：

A(P)∧¬∃Q[A(Q)∧Q < P]

A⋆(P)表示 P 满足 A，并且没有更小的谓词满足。让 Px 为谓词“x 是异常的”，让 A(P)为句子“所有不异常的鸟都会飞”。那么句子“Tweety 是一只鸟”，连同 A⋆(P)，意味着“Tweety 会飞”，因为圆筒剪裁公理强制 P 的扩展为空，所以“Tweety 是正常的”自动成立。

就后果关系而言，圆筒剪裁允许我们为每个谓词 P 定义一个非单调关系 A(P)|∼ϕ，当且仅当 A⋆(P)⊨ϕ 时成立。（这种基本形式的圆筒剪裁已经被推广，因为在实践中，人们需要最小化谓词的扩展，同时允许某些其他谓词的扩展变化。）然而，从应用的角度来看，圆筒剪裁存在一个主要的计算缺点，这是由圆筒剪裁所制定的二阶语言的性质所致（有关详细信息，请参见关于二阶和高阶逻辑的条目）。问题在于，与 FOL 相反，SOL 缺乏完备的推理过程：SOL 的更高表达能力的代价是没有完备的公理化，就像 FOL 一样。由此可见，没有办法以有效的方式列出所有 SOL 的有效性，因此也无法确定 A(P)|∼ϕ。

另一个实现封闭世界假设的有影响力的机制是失败的否定（或默认否定）。如果我们看一下逻辑编程，它可以很好地解释。逻辑程序由一系列规则组成，例如：

τ ← ϕ1,…,ϕn,not ψ1,…,not ψm

在基本逻辑程序中，τ 是一个逻辑原子，ϕ1,…,ϕn,ψ1,…,ψm 是逻辑文字（即原子或否定的原子）。这种程序中的逻辑形式或规则已经以各种方式进行了概括（例如，Alferes 等人，1995 年），并且已经提出了许多解释规则的方法。为了理解默认否定 not 的含义，我们考虑一个具体的规则示例，即：

非单调逻辑学中，鸟可以飞，企鹅不能飞

这些规则的阅读方式与预期相符，但有一个小变化。通常情况下，如果前提（右侧）中的公式成立，规则就会授权其结论。变化之处在于，对于（默认）否定的公式（如企鹅），其假设不一定要被积极地证明为假：在没有相反证明的情况下，它们的假设是成立的。在我们的例子中，如果无法证明企鹅，则认为非企鹅是成立的（“默认情况下”）。我们的 Tweety 示例的逻辑程序可能包括上述规则和

随附企鹅 ← 非飞行鸟 ← 企鹅

假设我们所知道的只有鸟。后两条规则不会被触发。第一条规则适用：鸟是情况，我们没有企鹅的证据，因此假设非企鹅。这使我们能够推断出飞行。现在假设我们知道企鹅。在这种情况下，第一条规则不适用，因为企鹅的默认否定为假，但后两条规则被触发，我们推导出鸟和非飞行。

3.2 继承网络和基于论证的方法

每当我们拥有一个分类有序的知识体系时，我们假设子类从其超类继承属性：狗有肺因为它们是哺乳动物，而哺乳动物有肺。然而，也可能存在例外情况，这些例外情况可以以复杂的方式相互作用，就像以下例子中所示：哺乳动物通常不会飞行；因为蝙蝠是哺乳动物，如果没有任何相反的信息，我们有理由推断蝙蝠不会飞行。但是，如果我们得知蝙蝠是特殊的哺乳动物，它们会飞行，那么我们就会撤回蝙蝠不会飞行的结论，而得出它们会飞行的结论。事情可能变得更加复杂，因为幼蝙蝠又是特殊的蝙蝠，它们不会飞行（这是否意味着它们是非特殊的哺乳动物？）。在这里，我们可能会出现冲突的推断。当我们推断 Stellaluna 作为一个幼蝙蝠不会飞行时，我们基于特殊性原则解决了所有这些潜在的冲突。

非单调继承网络是为了捕捉上述类似的分类例子而开发的。这样的网络是由节点和表示分类信息的有向（“是一个”）链接组成。当允许存在例外时，网络被解释为可撤销的。下图给出了表示这种情况的网络：

在这样的网络中，形式为 A→B 的链接表示通常情况下，A 是 B，并且因此关于 A 的信息比关于 B 的信息更具体。更具体的信息会覆盖更通用的信息。非单调继承的研究关注于如何准确地表达这个想法的不同方式。

在可废除继承中的主要问题是描述由给定网络支持的断言集合。当然，仅仅设计一种表达形式是不够的，还需要指定如何解释这种形式。这种描述是通过给定网络的扩展概念来完成的。对于这种类型的网络，有两种竞争的扩展描述，一种遵循轻信策略，一种遵循怀疑主义策略。两种策略都首先通过将路径的程度定义为连接其端点的最长链接序列的长度来进行。然后，通过按照路径的程度升序构建扩展。我们不打算详细讨论细节，因为与默认逻辑（下文讨论）相关的许多相同问题也会出现，但 Horty（1994）提供了广泛的调查。值得一提的是，由于程度的概念只在无环网络的情况下有意义，所以当网络包含循环时会出现特殊问题（参见 Antonelli（1997）关于循环网络上的继承处理）。

尽管非单调网络的语言在设计上受到了表达能力的限制（只能以自然方式表示“是一个”及其否定的链接），但这种网络提供了一个非常有用的环境，可以测试和磨练处理可废除信息的直觉和方法。然后，这些直觉和方法被应用于更具表达能力的形式。

在基于论证的非单调推理方法中，通过继承网络的路径的概念被推广为论证的概念。抽象出文献中提出的形式主义的具体细节[3]，可以这样思考一个论证。给定一个语言 L，一个 L-公式集合 Γ，一个形式为 ϕ1,…,ϕn⇒ψ（其中 ϕi 和 ψ 是 L-公式）的严格规则集 SRules 和一个形式为 ϕ1,…,ϕn→ψ（其中 ϕi 和 ψ 是 L-公式）的可废除规则集 DRules，对于 τ 来说，一个论证（Θ,θ）是使用 SRules 和 DRules 中的规则从 Γ 的某个 Θ⊆Γ 证明 τ。

论证形式主义中的一个核心概念是论证攻击。例如，我们可以区分反驳和削弱。一个对论证（Θ,τ）的反驳是一个证明 τ 不成立的论证，即一个证明 ¬τ 的论证。一个削弱（undercut）是一个证明 Θ 不支持 τ 的论证。例如，从一个物体看起来是红色而得出结论该物体是红色的论证，可以通过观察到该物体被红光照亮来削弱（Pollock 1995）。注意，为了削弱一个对 τ 的论证，不需要证明 τ 不成立。

从直观的角度来看，基本思想是一个论证是否可接受取决于它是否能够抵御来自其他论证的攻击。Dung（1995）提出了一种纯粹基于论证之间的攻击关系来解决这个问题的方法，同时抽象出给定论证的具体结构。假设 Args 是通过 SRules 和 DRules 中的规则从 Γ 生成的论证集合，我们定义一个攻击关系 ⇝⊆Args×Args 如下：当且仅当 a 攻击（例如，反驳或削弱）b 时，a⇝b。这产生了一个有向图，即抽象论证框架，其中论证是节点，箭头表示攻击关系。请注意，在有向图的层面上，论证以抽象的方式处理：论证的具体结构不在图中呈现。

针对这样的图，已经提出了各种论证语义，用于指定选择代表理性主体立场的论证集合的标准。显然，所选的论证集合 S⊆Args 应满足以下要求：

S 应该是无冲突的，即对于所有的 a，b∈Args，a 不攻击 b。
S 应该能够抵御所有攻击者。更准确地说，如果且仅当 S 是无冲突的，并且对于每个攻击 S 中的某个 b 的 a∈Args，存在一个攻击 a 的 c∈S，那么 S 是可接受的。

例如，给定以下图形，

{a}是可接受的，而{a,b}不是无冲突的，{d}不是可接受的。

鉴于这些基本要求，我们可以定义一些在文献中经常出现的以下语义：

一个首选的论证集合 S 是一个在 Args 中相对于集合包含关系是最大的可接受的论证集合。

在我们的例子中，{a,d}和{b,d}是两个首选集合。这表明首选语义不能确定一个唯一的选择。为了定义一个推论关系，我们可以根据轻信的理由或怀疑的理由进行。考虑一个基于 Γ、SRules 和 DRules 的抽象论证框架，我们通过怀疑的方法给出了两个例子，说明了如何通过怀疑的方法来表征一个推论集合（Prakken 2010）。

如果在每个优先集 S 的论证中都有一个论证 a 对于 τ，则 τ 是一个结果。
如果有一个论证 a 对于 τ，它在每个优先集 S 中都存在，则 τ 是一个结果。

显然，第二种方法更加谨慎。直观上，它要求在给定 Γ、DRules 和 SRules 的情况下，每个理性立场的推理者都能找到一个特定的论证来支持 τ。第一种选择并不将 τ 的可接受性与特定的论证绑定在一起：只要根据每个理性立场，存在一些论证支持 τ 即可。

3.3 非单调逻辑

在非单调逻辑中，主要的表征工具是默认规则，或者简称为默认。默认是一种可被推翻的推理规则，形式为

(γ:θ)/τ

其中 γ，θ 和 τ 分别是给定语言中的句子，分别称为前提、证明和默认的结论。默认的解释是，如果已知 γ，并且没有证据表明 θ 是假的，那么可以推断出 τ。

显然，应用规则需要满足一致性条件。使得满足条件变得复杂的是规则可以以复杂的方式相互作用。特别是，可能某个规则的应用会导致一致性条件对于某些（不一定是不同的）规则失败。例如，如果 θ 是 ¬τ，则规则的应用在某种意义上是自我矛盾的，因为规则的应用本身导致一致性条件失败。

Reiter 的默认逻辑（Reiter 1980）使用扩展的概念来明确表示一致性条件在规则应用之前和之后都必须满足的想法。给定一组默认集合 Δ，Δ 的扩展表示可以合理且一致地使用 Δ 中的默认进行推断的一组推断。这些推断是基于一组最大默认集合的基础上进行的，这些默认集合在触发之前和触发之后都满足一致性条件。

更具体地说，相对于默认理论，定义了一个扩展。后者是一个对（Γ,Δ）的配对，其中 Δ 是一组（有限的）默认，Γ 是一组句子（世界描述）。这个想法是 Γ 代表严格或背景信息，而 Δ 指定了可废除的信息。我们说 Ξ 是默认理论（Γ,Δ）的一个扩展，当且仅当

Ξ=Ξ0∪Ξ1∪…∪Ξn∪…

其中 Ξ0=Γ，而

Ξi+1=Cn(Ξi)∪{τ∣(γ:θ)/τ∈Δ where ¬θ∉Ξ and γ∈Ξi}

其中 Cn(⋅)是 CL 的逻辑学后果关系。需要注意在 Ξi+1 的定义中 Ξ 的出现：上述条件不是一个普通的递归定义，而是对扩展的真正循环特征的描述。

这种循环性可以通过给出扩展的等价定义作为不动点方程的解来明确。给定一个默认理论(Γ,Δ)，让 S 是一个定义在句子集合上的运算符，对于任何这样的集合 Φ，S(Φ)是满足以下三个要求的最小集合：

它包含 Γ（Γ⊆S（Φ）），
它是演绎闭合的（即，如果 S（Φ）⊨ϕ，则 ϕ∈S（Φ）），
并且它在 Δ 中遵循默认规则：每当对于默认规则（γ:θ）/τ∈Δ，既有 γ∈S（Φ）又有 ¬θ∉Φ，则 τ∈S（Φ）。

那么可以证明，如果且仅当 Θ 是 S 的不动点时，Ξ 是(Γ,Δ)的扩展，即 S(Ξ)=Ξ。

默认逻辑的扩展的两种表征（即不动点定义和伪迭代定义）都无法通过类似迭代过程的方式“构建”扩展。基本上，我们必须“猜测”一组句子 Ξ，然后验证它是否满足扩展的定义。

对于任何给定的默认理论，扩展可能不存在，即使存在，也可能不唯一。我们从前一种情况的一个例子开始：让 Γ=∅，并且让 Δ 包含单个默认[4]。

(⊤:θ)/¬θ

如果 Ξ 是一个扩展，那么上述默认的解释 θ 要么与 Ξ 一致，要么不一致，而这两种情况都是不可能的。因为如果 θ 与 Ξ 一致，那么默认将被应用来推导出与 Ξ 一致的 ¬θ，与 Ξ 与 θ 的一致性相矛盾。同样，如果 Ξ 与 θ 不一致，那么 Ξ⊨¬θ，因此根据演绎闭包，¬θ∈Θ。我们的默认规则将不适用，此时 Ξ=Ξ1=Cn(∅)。但是，¬θ∉Ξ，这是一个矛盾。

对于只包含正常默认规则的正常默认理论，即形式为(γ:θ)/θ 的默认规则，总是存在扩展。

Lukaszewicz（1988）提出了一个修改后的扩展定义，避免了之前的两个问题：它以迭代的方式定义，并保证了扩展的存在。简而言之，这个想法是在过程中跟踪使用的证明。如果默认的前提由当前信念隐含，并且其结论与给定信念、自身的证明以及先前应用的默认的每个证明一致，则应用默认。对于正常的理论，Lukaszewicz 的扩展定义等同于上述定义。

现在让我们考虑一个具有多个扩展的默认理论的例子。设 Γ=∅，并假设 Δ 包括以下两个默认：

(⊤:θ)/¬τ 和(⊤:τ)/¬θ

这个理论有两个确切的扩展，一个应用了第一个默认值，另一个应用了第二个默认值。很容易看出，在任何一个扩展中至少要应用一个默认值，并且两个默认值不能在同一个扩展中应用。

默认理论可以有零个、一个或多个扩展的事实引发了一个问题，即从给定的默认理论中可以推断出什么。这个问题可以如下表述：给定一个默认理论（Γ,Δ），哪些句子可以被视为理论的可废除的结果？

有时候，将可以从所有扩展中推导出的所有结果进行映射可能是有用的，例如，为了确定哪些扩展会产生不希望的结果（考虑到非逻辑的因素）。轻信的方法就是这样做的：（Γ,Δ）|∼ϕ 当且仅当 ϕ 属于理论的任何一个扩展。显然，在多个扩展的情况下，结果集将不会在经典逻辑下封闭，并且可能是不一致的。

或者，可以采用怀疑主义策略，根据该策略，(Γ,Δ)|∼ϕ 当且仅当 ϕ 包含在(Γ,Δ)的每个扩展中。

基于 Reiter 的扩展概念的怀疑主义推论不满足谨慎单调性（Makinson 1994）。为了看到这一点，考虑默认理论（∅,Δ），其中 Δ 包括以下两个默认：

(⊤:θ)/θ 和(θ∨γ:¬θ)/¬θ

这个理论只有一个扩展，与{θ}的演绎闭包重合。因此，根据怀疑论的结果，我们有(∅,Δ)|∼θ，以及(∅,Δ)|∼θ∨γ（通过扩展的演绎闭包）。

现在考虑理论({θ∨γ},Δ)。我们有两个扩展：一个与之前相同，但还有另一个与{¬θ}的演绎闭包重合，因此不包含 θ。由此可见，扩展的交集不再包含 θ，所以({θ∨γ},Δ)|∼θ 不成立，违反了谨慎单调性。（请注意，同样的例子为轻信策略的削减提供了一个反例，当我们选择包含 ¬θ 的({θ∨γ},Δ)的扩展时。）

在 Antonelli（1999）中，引入了默认逻辑的一种普遍扩展概念，表明这种概念产生了一个良好行为的缺陷后果关系|∼，满足了 Supraclassicality（如果 Γ⊨ϕ，则 Γ|∼ϕ）和来自 Gabbay（1985）的 NMLs 的三个核心要求：反身性、削减性和谨慎单调性。普遍扩展的思想可以在无先决条件的默认理论（在 Antonelli（1999）中称为“范畴论”）的情况下以特别简单的方式解释。这样一个默认理论的普遍扩展是一对（Γ+，Γ−）默认集（或其结论）的集合，同时满足两个不动点方程。集合 Γ+包括明确触发的默认（的结论），集合 Γ− 包括明确排除的默认（的结论）。直观上，未被排除的默认仍然可以阻止其他默认被触发（尽管它们自己可能不会被触发）。因此，我们得到了一种“三值”方法（类似于 Kripke 的真理理论（Kripke 1975）），由此普遍扩展现在具有非平凡（即不是“平坦”的）代数结构。然后，可以以有原则的方式选择一个特定的普遍扩展（例如，始终保证存在的唯一最小扩展），以此为基础建立一个缺陷后果的概念。

从计算的角度来看，默认逻辑的行为引发了一系列不同的问题。对于给定的半可决定句子集合 Φ，所有在一阶逻辑中是 Φ 的推论的 ϕ 的集合本身是半可决定的（参见可计算性和复杂性的条目）。在默认逻辑的情况下，为了阐述相应的问题，人们以明显的方式扩展了（半）可决定性的概念到默认集合。因此，问题是要决定在给定一个默认理论（Γ,Δ）和一个句子 φ 的情况下，是否（Γ,Δ）|∼ϕ，其中|∼ 被定义为怀疑地。这样一个问题甚至不是半可决定的，因为为了确定一个默认是否被一对句子集合触发，人们必须进行一致性检查，而这样的检查是不可计算的。

如上所定义的默认逻辑不对默认进行优先排序。在 Poole（1985）中，我们可以找到一种考虑特异性原则的方法。在 Horty（2007）中，通过严格的偏序 ≺ 对默认进行排序，其中（γ:θ）/τ≺（γ′:θ′）/τ′表示（γ′:θ′）/τ′优先于（γ:θ）/τ。排序 ≺ 可以表示特异性关系、由默认表达的条件性知识的相对可靠性等等，具体取决于应用。有序的默认理论是一个三元组（Γ,Δ,≺），其中（Γ,Δ）是一个默认理论。我们给出一个例子，但省略了更详细的解释。取 Γ = {bird, penguin}，Δ = {bird → flies, penguin → ¬flies}和 bird → flies ≺ penguin → ¬flies，其中 ϕ→ψ 表示正常的默认（ϕ:ψ）/ψ。我们有（Γ,Δ）的两个扩展，一个应用了 bird → flies，另一个应用了 penguin → ¬flies。由于后者优先于前者，只有后者的扩展是（Γ,Δ,≺）的扩展。

3.4 自我认知逻辑

另一个与默认逻辑密切相关的形式主义是摩尔的自知逻辑（Moore 1985）。它模拟了一个理想代理人对自己信念的反思推理。例如，有时对 ϕ 的缺乏信念可能会给代理人一个推断 ¬ϕ 的理由。摩尔给出了以下例子：如果我有一个哥哥，我会知道的。既然我没有，我相信我没有一个哥哥。

自知理论由一个代理人的信念组成，包括她对自己信念的反思信念。对于后者，使用自知信念运算符 B。在我们的例子中，这样的理论可能包含 ¬Bbrother⊃¬brother。自知逻辑规定了这些理论的理想属性。根据斯坦纳克（1993）的观点，自知理论 Γ 应该是稳定的：

Γ 应该在经典逻辑下是封闭的：如果 Γ⊨ϕ，则 ϕ∈Γ；
Γ 应该在内省上是充分的：
- 如果 ϕ∈Γ，则 Bϕ∈Γ；
- 如果 ϕ∉Γ，则 ¬Bϕ∈Γ。

如果 Γ 是一致的，稳定性意味着

ϕ∈Γ 当且仅当 Bϕ∈Γ，并且
ϕ∉Γ 当且仅当 ¬Bϕ∈Γ。

让我们举个例子，考虑两种扩展 Ξ1={¬Bbrother⊃¬brother}的一致稳定集合类型：

对于 Γ1，其中 brother∈Γ1，并且通过内省也有 Bbrother∈Γ1。
对于 Γ2，其中 brother∉Γ2。因此，¬Bbrother∈Γ2，并且通过闭包，¬brother∈Γ2。因此，通过内省也有 B¬brother∈Γ2。

第二个选项似乎更直观，因为只给出了 ¬Bbrother⊃¬brother，相信 brother 在 Ξ1 的背景下直观上看似乎没有根据。为了使这一点在形式上更加精确，Moore 定义了

如果对于每个 ψ∈Γ，Ξ∪{Bϕ∣ϕ∈Γ}∪{¬Bϕ∣ϕ∉Γ}⊨ψ，则 Γ 在一组假设 Ξ 中有根据。

在一组假设 Ξ 中有根据的稳定理论被称为 Ξ 的稳定扩展或 Ξ 的自我知识扩展。Ξ 的稳定扩展 Γ 也可以等价地被描述为不动点：

Γ=Cn(Ξ∪{Bϕ∣ϕ∈Γ}∪{¬Bϕ∣ϕ∉Γ})

其中 Cn(⋅)是 CL 的逻辑学后果函数。

显然，没有一个稳定的理论是以 Ξ1 为基础并包含 brother 和/或 Bbrother 的，就像我们上面的 Γ1 一样。原因是我们无法从 Ξ1∪{Bψ∣ψ∈Γ1}∪{¬Bψ∣ψ∉Γ1}推导出 brother。Ξ1 的唯一稳定扩展包含 ¬Bbrother 和 ¬brother。

正如在默认逻辑中一样，一些假设集没有稳定的扩展，而一些假设集有多个稳定的扩展。我们用 Ξ2={¬Bϕ⊃ϕ}来演示前一种情况。假设 Ξ2 有一个稳定的扩展 Γ。首先注意，在 Ξ2 的观点下，没有办法将 ϕ 基于地面。因此，ϕ∉Γ，这意味着 ¬Bϕ∈Γ。但是根据假言推理，ϕ∈Γ，这是一个矛盾。

Moore 关于基于性的概念的一个潜在问题是它允许一种认识论的自我提升。取 Ξ3={Bϕ⊃ϕ}。假设一个代理人采纳了她相信 ϕ 的信念，即 Bϕ。现在她可以使用 Bϕ⊃ϕ 推导出 ϕ。因此，基于 Ξ3，她可以将她对 ϕ 的信念基于她相信她相信 ϕ 的信念。确实，Ξ3 有一个稳定的扩展，其中包含 ϕ 和 Bϕ。鉴于此，Konolige（1988）提出了较弱形式的基于性，不允许这种自我提升，并且根据这种形式，我们只有包含 ϕ 和 Bϕ 的 Ξ3 的扩展。

NML 中自我认知逻辑的核心地位得到了强调，因为它与其他重要形式主义之间建立了几个紧密的联系。让我们提到三个这样的联系。

首先，自知逻辑与逻辑编程之间存在密切联系。例如，Gelfond 和 Lifschitz 提出的稳定模型语义用于具有否定失败的逻辑编程，为计算机科学中的答案集编程范式奠定了基础，而这一语义等效地通过自知逻辑来表达（Gelfond 和 Lifschitz 1988）。这一结果是通过将逻辑编程中的子句翻译成一种方式实现的

ϕ ← ϕ1,…,ϕn,not ψ1,…,not ψm

这样，否定失败（not ψ）的含义为“不相信 ψ”（¬Bψ）：

(ϕ1∧…∧ϕn∧¬Bψ1∧…∧¬Bψm)⊃ψ

在 Konolige（1988）中建立了第二个链接，该链接与默认逻辑相互转换和等效表达，该默认逻辑已被证明与 Konolige 的强基础变种的自我认知逻辑相互转换和等效表达。默认规则（γ:θ）/τ 通过将一致性条件 θ 解释为 ¬B¬θ 来进行翻译，可以将其解释为“θ 与给定的信念一致”：

(Bγ∧¬B¬θ)⊃τ

特别是后者的联系非常显著，因为给定形式主义的主题内容非常不同。虽然默认逻辑处理可废除规则，即允许例外的规则（如“鸟会飞”），但自知逻辑的非单调性根源于其自知信念运算符的指示性（Moore 1984，Konolige 1988）：它指的是嵌入其中的自知理论，因此当我们向理论中添加信念时，其含义可能会发生变化。

对于自知逻辑已经提出了各种模态语义（有关模态逻辑的更多背景信息，请参见模态逻辑条目）。例如，Moore（1984）提出了基于 S5 的 Kripke 可能世界语义，Lin 和 Shoham（1990）为自知逻辑和默认逻辑提出了双模态优先语义（请参见下面的选择语义部分）。在 Konolige（1988）中，观察到稳定扩展的固定点特征可以仅基于不包含模态运算符 B 的公式集 Γ0 来表述：

Γ=CnK45(Ξ∪{Bϕ∣ϕ∈Γ0}∪{¬Bϕ∣ϕ∉Γ0})

其中 CnK45(⋅)是模态逻辑 K45 的推理函数。

3.5 选择语义

在 CL 中，如果 Γ⊨ϕ（用符号表示），则表示公式 ϕ 在 Γ 的所有经典模型中都是有效的。NML 中的一个有影响力的思想是，将非单调蕴涵定义为这些模型的选择（Shoham 1987）。直观上，这个想法是这样解释的：

Γ|∼ϕ 作为“在 Γ 的最正常/自然等模型中成立的 ϕ”。

3.5.1 核心属性

在开创性的论文 Kraus 等人（1990）中，系统地研究了这个想法。作者们引入了各种语义结构，其中包括偏好结构。一个偏好结构 S 由以下组成

一个状态集合 Ω
和一个非自反且传递的关系 ≺ 在 Ω 上。

在偏好结构的背景下，人们可以将状态视为经典命题逻辑的标记模型 Ms，其中每个标记 s 附加到唯一的模型 M，但一个模型可能在 Ω 中以不同的标记出现。[5]为了方便演示，我们将从现在开始只谈论“Ω 中的模型”，不再提及状态或标记模型。

直观地说，如果 M 比 M'更正常，则 M≺M'。关系 ≺ 可以用来形式化地实现根据最正常模型定义后果关系的想法，即通过关注 ≺-最小模型。形式上，其中[ψ]是 Ω 中 ψ 的所有模型的集合，|∼S 定义如下：

ψ|∼Sϕ 当且仅当 ϕ 在[ψ]的所有 ≺-最小模型中成立。

为了保证存在这样的最小状态，≺ 被认为是平滑的（有时也称为顿挫），即对于每个 M，要么 M 是 ≺-最小的，要么存在一个 ≺-最小的 M'使得 M'≺M。

非单调逻辑学中，优先结构在其中起着核心作用，因为它们表征了优先推理关系，即满足以下核心属性的非单调推理关系|∼，也被称为核心属性或保守核心，或者称为 KLM 属性（以 Kraus、Lehmann、Magidor 1990 的作者命名）：

反身性：ϕ|∼ϕ。
切割性：如果 ϕ∧ψ|∼τ 且 ϕ|∼ψ，则 ϕ|∼τ。
谨慎的非单调性：如果 ϕ|∼ψ 和 ϕ|∼τ，则 ϕ∧ψ|∼τ。
左逻辑等价性：如果 ⊨ϕ≡ψ 和 ϕ|∼τ，则 ψ|∼τ。
右弱化：如果 ⊨ϕ⊃ψ 和 τ|∼ϕ，则 τ|∼ψ。
或者：如果 ϕ|∼ψ 和 τ|∼ψ，则 ϕ∨τ|∼ψ。

前三个性质我们已经在上面看到了。根据左逻辑等价性，经典等价的公式具有相同的非单调后果。其中 ψ 是由 ϕ 经典蕴含的，右弱化表达了当 ϕ 是 τ 的非单调后果时，ψ 也是如此。

没有进一步的评论，我们陈述两个重要的派生规则：

AND: 如果 ϕ|∼ψ 和 ϕ|∼τ 那么 ϕ|∼ψ∧τ。
S: 如果 ϕ∧ψ|∼τ 那么 ϕ|∼ψ⊃τ。

在 Kraus 等人（1990）中，证明了如果存在某个优先结构 S，那么一个结果关系|∼ 是优先的当且仅当|∼=|∼S。

如果且仅如果 ϕ|∼Pψ，则 K⊢Pϕ|∼ψ。

3.5.2 不同的语义学

在研究非单调逻辑学中最引人注目的事实之一是，已经提出了各种其他语义——通常是独立提出的，并基于非常不同的考虑——这些语义也能够充分表征偏好推理关系。这凸显了核心属性在可废除推理的形式研究中的核心地位。

这些方法中的许多方法使用结构 S=(Ω,Π)，其中 Ω 再次是一组经典模型，Π 是一个具有域 ℘(Ω)（Ω 的子集的集合）和有序共域(D,<)的映射。具体的(D,<)的性质取决于给定的方法，我们在下面给出一些例子。基本的共同思想是，让 ϕ|∼Sψ 在 Π([ϕ∧ψ])相对于 Π([ϕ∧¬ψ])而言是可取的。下表列出了我们将在下面更详细讨论的一些提议：

|Π|ϕ|∼Sψ iff|Structures| | ------------------------| ------------------------------| --------------| | 可能性度量|π([ϕ])=0 or|可能性结构| |π:℘(Ω)→[0,1]|π([ϕ∧ψ])>π([ϕ∧¬ψ])|| |序数排名函数|κ([ϕ])=∞ or|序数排名结构| |κ:℘(Ω)→{0,1,…,∞}|κ([ϕ∧ψ])<κ([ϕ∧¬ψ])|| | 可信度度量|Pl([ϕ])=⊥ or| 可信度结构| |Pl:℘(Ω)→D|Pl([ϕ∧ψ])> Pl([ϕ∧¬ψ])||

可能性度量将实数分配给命题，以衡量它们的可能性，其中 0 对应于不可能的状态，1 对应于必然的状态（Dubois 和 Prade 1990）。序数排名函数通过自然数对命题进行排名，自然数集合中包括 ∞（Goldszmidt 和 Pearl 1992，Spohn 1988）。我们可以将 κ（[ϕ]）视为如果 ϕ 成立，我们将面临的惊讶程度，其中 ∞ 表示最大的惊讶。最后，合理性度量（Friedman 和 Halpern 1996，Rott 2013）将命题与部分有序域中的元素相关联，该域具有底部元素 ⊥ 和顶部元素 ⊤，以比较它们的合理性。在 Pl 上给定一些简单的约束（例如：如果 Pl（X）= Pl（Y）= ⊥，则 Pl（X∪Y）= ⊥），我们称之为定性合理性结构。以下陈述都是等价的，这强调了核心属性在 NMLs 研究中的重要性：

K⊢Pψ
对于所有偏好结构 S，其中|∼S 扩展 K，ϕ|∼Sψ
对于所有可能性结构 S，如果|∼S 扩展 K，则 ϕ|∼Sψ
对于所有序数排名结构 S，如果|∼S 扩展 K，则 ϕ|∼Sψ
对于所有定性合理性结构 S，如果|∼S 扩展 K，则 ϕ|∼Sψ

另一种众所周知的表征优先关系的语义学使用条件概率。其思想是，如果条件概率 P(ψ∣ϕ)比任意的 ϵ 更接近于 1，则在一个结构中 ϕ|∼ψ 成立，因此被称为 ϵ-语义学（Adams 1975，Pearl 1989）。

以下示例说明了使用阈值（如 ½）而不是无穷小量，并将 ϕ|∼ψ 解释为 P(ψ∣ϕ) > ½ 的直接方法是行不通的。让 α 代表“成为素食主义者”，β 代表“成为环保主义者”，γ 代表“避免使用棕榈油”。此外，让我们的知识库包括以下陈述：“α 通常是 β”，“(α∧β)通常是 γ”。下面的欧拉图示例说明了给定陈述的可能概率分布中的条件概率。

例如，我们有：P(β∣α) = ¾，P(γ∣α∧β) = ⅔ 和 P(γ∣α) = ½。因此，在对|∼ 的提议阅读下，我们得到 α|∼β 和 α∧β|∼γ，而我们没有 α|∼γ。这意味着割裂性被违反。类似地，可以证明在这种阅读下违反了其他属性，如 Or（例如，Pearl 1988）。

鉴于这些困难，令人惊讶的是存在一种概率解释，根据该解释，ϕ|∼ψ 被解释为 P(ψ∣ϕ) > ½，并且仍然表征优先关系（Benferhat 等人，1999 年）。这个想法是将焦点限制在具有特定概率分布的结构 S=(Ω,P,≺)上，这些概率分布被称为原子边界系统或大步概率。首先，在定义概率测度 P 的经典模型集合 Ω 上施加线性顺序 ≺。其次，要求 P 通过“采取大步”来尊重这个顺序，即对于任何 M∈Ω，P({M})>∑{P({M′})∣M′≺M}。这保证了当且仅当[ϕ]中的唯一 ≺-最大模型验证 ψ 时，ϕ|∼ψ 成立（符号上，max[ϕ]⊨ψ）。这里是这个方法如何帮助我们解决上述问题的示例：α|∼β 意味着 max[α]⊨β，因此 max[α]=max[α∧β]。α∧β|∼γ 意味着 max[α∧β]⊨γ，因此 max[α]⊨γ，这意味着 α|∼γ。

在 Gilio（2002 年）中，提出了一种方法，其中条件 α|∼β 由不精确的条件概率 0≤τ1≤P(β∣α)≤τ2≤1 来表征，其中 τ1 是条件概率的下界，τ2 是条件概率的上界。在这种方法中，可以确定概率边界在特定推理规则应用中如何降低。在 Ford（2004 年）中，这被用来区分论证的强度（见上文）。

3.5.3 超越核心属性

非单调的首选结果关系通常不验证

理性单调性：如果 ϕ|∼τ 且 ϕ/|∼¬ψ，则 ϕ∧ψ|∼τ。

满足理性单调性的首选结果关系|∼ 被称为理性结果关系。这些关系由排名结构所特征化，这些结构是首选结构 S=(Ω,≺)，其中 ≺ 是模块化的，即对于所有的 M,M′,M″∈Ω，如果 M≺M′，则要么 M″≺M′，要么 M≺M″。可以将其描述如下：Ω 中的模型按线性顺序排列在不同的级别上，模型的级别反映了其正常程度（其等级）。

开创性的 Kraus 等人（1990 年）激发了大量的后续工作。我们简要介绍一些贡献。

虽然在 Kraus 等人（1990 年）中，推理的标准是经典命题逻辑，但在 Arieli 和 Avron（2000 年）中，也考虑了非经典的单调核心逻辑和具有多个结论的变体。各种出版物研究了一阶语言中的优先和合理的推论关系（例如，Lehmann 和 Magidor 1990，Delgrande 1998，Friedman 等人 2000）。

正如我们所见，优先或合理的推论关系的属性也可以作为形式为 ϕ|∼ψ 的句法单元的演绎规则，其通常的解读是“如果 ϕ，则通常 ψ”。通过允许在经典联结词（如 ∧，∨，¬ 等）的范围内存在条件断言 ϕ|∼ψ 的公式，可以将这种方法推广为获得条件逻辑（例如，Delgrande 1987，Asher 和 Morreau 1991，Friedman 和 Halpern 1996，Giordano 等人 2009）。我们在 Boutilier（1990 年）中得到了一个显著的结果，它将 NMLs 的研究与 Kripke 传统中的模态逻辑的研究紧密联系在一起。假设我们将系统 P 的演绎规则转化为 Hilbert 风格的公理方案，例如，谨慎单调性变为

⊢((ϕ|∼ψ)∧(ϕ|∼τ))⊃((ϕ∧ψ)|∼τ)

证明了条件断言可以用标准的 Kripke 模态框架来表达，这样一来，系统 P（在这种翻译下）对应于著名的模态逻辑 S4 的一个片段。类似的结果也适用于模态逻辑 S4.3 和通过在系统 P 中加入一个关于有理单调性的公理方案而得到的系统。

有关相关性问题的各种贡献专门讨论。考虑尼克松钻石中的一些条件断言：K = {Quaker |∼ Pacifist, Republican |∼ ¬Pacifist}。从 K 的角度来看，推导出例如 Quaker ∧ worker |∼ Pacifist 似乎是可取的，因为在 K 的条件下，成为一个工人与断言 Quaker |∼ Pacifist 无关。直观上讲，如果 Quaker |∼ ¬worker 不成立，那么有理单调性将导致 Quaker ∧ worker |∼ Pacifist，因为 Quaker |∼ Pacifist。因此，乍一看，我们可能希望按照以下方式进行：让|∼R 是扩展 K 的所有有理推论关系|∼ 的交集的结果（在这种意义上，K 中的条件断言对于|∼ 成立）。不幸的是，Quaker ∧ worker |∼R Pacifist 并不成立。原因很简单，即存在有理推论关系，其中 Quaker |∼ ¬worker，因此有理单调性不能得到所需的 Quaker ∧ worker |∼ Pacifist。此外，已经证明|∼R 与优先闭包|∼P 是相同的。

在 Lehmann 和 Magidor（1992）中，提出了一种针对条件知识库（如 K）的有理闭包，可以产生所需的结果。我们省略了技术细节。基本思想是为表示相对于给定的知识库 K 的异常程度的公式分配自然数，即等级。然后，最小化公式的等级，这意味着每个公式尽可能正常地解释。如果 ϕ∧ψ 的等级严格小于 ϕ∧¬ψ（或 ϕ 没有等级），则条件断言 ϕ|∼ψ 在 K 的有理闭包中。公式 α 的等级是通过迭代计算的。让 m（K'）= {ϕ⊃ψ∣ϕ|∼ψ∈K' }表示给定条件断言集合 K'的材料对应物。令 K0 = K。如果 α 与 m（K0）一致，则 α 的等级为 0。令 Ki+1 为 Ki 的所有成员 ϕ|∼ψ 的集合，其中 ϕ 的等级不小于或等于 i。如果 α 没有比 i 更小或等于 i 的等级，并且与 m（Ki+1）一致，则 α 的等级为 i+1。

在我们的例子中，Quaker ∧ worker 的等级为 0，就像 Quaker 一样。这严格小于 Quaker ∧ ¬Pacifist 和 Quaker ∧ worker ∧ ¬Pacifist 的等级 1。这意味着所需的 Quaker ∧ worker |∼ Pacifist 在我们的 K 的有理闭包中。

一个与有理闭包等效的系统在 Pearl（1990）中以系统 Z 的名称独立提出，基于 ϵ-语义。

有人可能认为理性闭包的一个缺点是它受到了淹没问题的困扰（见上文）。为了看到这一点，考虑以下条件知识库 KL：

我们有以下等级：

formula	l	c	r	f	l∧f	l∧¬f
rank	1	0	0	0	1	1

formula

l∧f

l∧¬f

rank

由于 l∧f 和 l∧¬f 的等级相等，l|∼f 不在 KL 的理性闭包中。

这个问题在 Lehmann（1995）中使用形式主义词汇闭包进行了解决。大致的想法是通过测量给定条件知识库中断言违规的严重程度来比较模型。如果 ϕ|∼ψ 是 K 的蕴含，那么 ϕ∧ψ 的最佳模型优于 ϕ∧¬ψ 的最佳模型。如果模型 M 验证 ϕ 但不验证 ψ，则模型 M 违反了条件断言 ϕ|∼ψ。违反程度取决于 ϕ 的等级越高越严重。例如，在我们的例子中，我们有以下 l∧f 和 l∧¬f 的模型：

l	f	r	c	model	违反：等级
1	1	1	1	M1	l
1	1	1	0	M2	l
1	1	0	1	M3	c
1	1	0	0	M4	l
1	0	1	1	M5	l
1	0	1	0	M6	l
1	0	0	1	M7	c
1	0	0	0	M8	l

l∧f 的最佳模型是 M3，因为它不违反任何高于 0 级的条件断言，而其他所有 l∧f 的模型都违反。出于同样的原因，M7 是 l∧¬f 的最佳模型。此外，M3 违反的 0 级条件断言比 M7 少，因此是首选解释。因此，l|∼f 在词典闭包中。总的来说，在 Lehmann 的方法中避免淹没问题的是一种特定性处理和定量理性的组合，根据这种理性，更喜欢违反更少条件的解释。

为了突出后者，考虑一个由 K 组成的知识库。

Party |∼ Anne,
Party |∼ Phil, and
Party |∼ Frank.

我们期望每个人，包括 Anne、Phil 和 Frank，都来参加派对。此外，假设我们知道 Party ∧ ((¬ Anne ∧ ¬ Phil) ∨ ¬ Frank)。鉴于这个事实，不是所有三个断言都成立。最好的情况是前两个成立，或者后者成立。如果我们尽可能验证尽可能多的条件断言，我们将更喜欢只违反后者的情况。这发生在包含 K 的词典闭包中。

Party ∧ ((¬ Anne ∧ ¬ Phil) ∨ ¬ Frank) |∼ ¬ Frank and
Party ∧ ((¬ Anne ∧ ¬ Phil) ∨ ¬ Frank) |∼ Anne ∧ Phil.

类似的定量考虑在 Goldzsmidt 等人的最大熵方法中起着作用(1993)，该方法基于 ϵ-语义。基本思想与词汇闭包相似：如果 min({κ(M)∣M⊨ϕ∧ψ})< min({κ(M)∣M⊨ϕ∧¬ψ})，则 ϕ|∼ψ 由 K 蕴含，其中 κ(M)输出 M 中违反的加权和，违反的权重考虑了特异性。与词汇闭包类似，更具体条件的违反比更一般条件的违反更重要。因此，就像在词汇闭包中一样，在我们的例子中也蕴含了 l|∼f，因此避免了溺水问题。与词汇闭包的不同之处在于，例如，根据最大熵方法，不蕴含 l∧¬f|∼c。原因是几个不太具体的断言的违反可能总体上抵消了一个更具体的断言的违反。例如，虽然模型 M7 在词汇闭包方法中优于模型 M8，在最大熵方法中，这两个模型都被证明是同样好的，并且是 l∧¬f 的最佳模型。

3.6 基于假设的方法

在一系列方法中，可废除的推理被编码为具有明确假设的实质推理：

[†] (ϕ∧as)⊃ψ

表达了在假设 as 成立的情况下，ϕ 可被非单调地推导出 ψ。假设被解释为“尽可能有效”。有多种方法可以给这个更精确的意义。

其中一种方法是由自适应逻辑学（Batens 2007，Straßer 2014）提供的。自适应逻辑学 AL 由三元组组成：

一个具有蕴涵关系 ⊢ 的下限逻辑 LLL，该蕴涵关系是自反的、单调的、满足割除律的，并且是紧致的（如果 Γ⊢ϕ，则存在有限的 Γ′⊆Γ，使得 Γ′⊢ϕ）；
一个包含需要“尽可能错误”的公式的异常集合 Ω；和
一种自适应策略，通过它来消除“尽可能错误”这一短语的歧义。

LLL 定义了 AL 的演绎核心，因为所有 LLL 有效的推理也是 AL 有效的。AL 通过以下方案允许可废弃推理来加强 LLL：

[‡] 其中 ab 是 Ω 中的一个异常公式：如果 ϕ⊢ψ∨ab，则在假设 ab 为假（或等价地，¬ab 为真）的情况下，ψ 从 ϕ 中以非单调的方式推出。

当 as=¬ab 时，[‡]的前提等价于 ⊢(ϕ∧as)⊃ψ，这是[†]上面的（在 ¬，∧ 和 ∨ 的经典含义下）。

适应逻辑的具体类别的例子有：

非单调逻辑学 (Batens 1980, Batens 1999, Priest 1991)：在可能出现矛盾的领域中，使用一个具有非爆炸性否定 ∼（p,∼p⊬q）和析取三段论不成立（ϕ∨ψ,∼ϕ⊬ψ）的非单调核心逻辑 LLL 是有用的。让 Ω 包含逻辑原子中的 ∼-矛盾（p∧∼p）。然后我们有 p∨q,∼p⊢q∨ab，其中 ab=p∧∼p。这意味着，在假设 p 中没有 ∼-矛盾的情况下，可以应用析取三段论。这样 LLL 以非单调的方式显著增强了。
归纳概括的自适应逻辑学：让 LLL 为 CL，并考虑一个包含形式为 ∃xP(x)∧¬∀xP(x)的公式的 Ω。然后我们有，例如，P(a)⊢∀xP(x)∨ab，其中 ab=∃xP(x)∧¬∀xP(x)。这意味着我们在假设异常性 ab 不存在的情况下，从 P(a)归纳概括到 ∀xP(x)。（与 Batens（2011）中提出的更微妙的逻辑相比，这是一个简化的解释。）
对于其他可废除推理形式（如诱导推理、规范推理、信念修正、诊断等），存在许多自适应逻辑学。

自适应逻辑在动态证明理论的语法层面上实现了[‡]背后的思想。对于归纳概括的自适应逻辑，基于前提集合{P(a),¬P(b)}的动态证明可能如下所示：

1.	P(a)	PREM	∅
✓2.	∀xP(x)	1; RC	{∃xP(x)∧¬∀xP(x)}
3.	¬P(b)	PREM	∅
4.	∃xP(x)∧¬∀xP(x)	1,3; RU	∅

P(a)

PREM

∅

✓2.

∀xP(x)

1; RC

{∃xP(x)∧¬∀xP(x)}

¬P(b)

PREM

∅

∃xP(x)∧¬∀xP(x)

1,3; RU

∅

证明的每一行的最后一列包含其条件，即一组编码用于推导该行第二列中的公式的假设的异常集合 COND⊆Ω：假设每个 ab∈COND 为假。通用规则 RU（无条件规则）表示由 LLL 许可的任何推理。通用规则 RC（有条件规则）遵循方案[‡]，其中 ab 被推到该行的条件中。有时有充分的理由认为假设被违反，这种情况下相应的行被标记为 ✓-撤回。如果一行的条件是 COND，而对于一个{ab1,…,abn}⊆COND，推导出 ab1∨ab2∨…∨abn 而没有可废除的步骤（即在条件 ∅ 下），则说明 COND 中的至少一个公式为假。因此，当我们到达证明的第 4 行时，将第 2 行标记为撤回。鉴于这种行为，动态证明在内部是动态的：即使没有引入新的前提，添加新的行也可能导致撤回之前的证明行。

并非所有撤回的情况都是这种直接的情况。各种自适应策略配备了标记机制来处理更复杂的情况，例如以下证明中的情况：

1.	P(a)	PREM	∅
2.	Q(a)	PREM	∅
3.	¬P(b)∨¬Q(c)	PREM	∅
4.	∀xP(x)∨∀xQ(x)	1; RC	{∃xP(x)∧¬∀xP(x)}
5.	∀xP(x)∨∀xQ(x)	2; RC	{∃xQ(x)∧¬∀xQ(x)}
6.	(∃xP(x)∧¬∀xP(x))∨(∃xQ(x)∧¬∀xQ(x))	1–3; RU	∅

P(a)

PREM

∅

Q(a)

PREM

∅

¬P(b)∨¬Q(c)

PREM

∅

∀xP(x)∨∀xQ(x)

1; RC

{∃xP(x)∧¬∀xP(x)}

∀xP(x)∨∀xQ(x)

2; RC

{∃xQ(x)∧¬∀xQ(x)}

(∃xP(x)∧¬∀xP(x))∨(∃xQ(x)∧¬∀xQ(x))

1–3; RU

∅

公式 ∀xP(x)∨∀xQ(x)在两个不同的条件下分别在第 4 行和第 5 行推导出来：{∃xP(x)∧¬∀xP(x)}和{∃xQ(x)∧¬∀xQ(x)}。无论是 ∃xP(x)∧¬∀xP(x)还是 ∃xQ(x)∧¬∀xQ(x)都不能在条件 ∅ 下推导出来。然而，它们都是在第 6 行推导出的异常的（最小）析取的一部分。根据一种策略，即最小异常策略，前提被解释为尽可能多的异常被认为是假的，这给我们留下了两种解释：一种是 ∃xP(x)∧¬∀xP(x)成立而 ∃xQ(x)∧¬∀xQ(x)为假，另一种是 ∃xQ(x)∧¬∀xQ(x)成立而 ∃xP(x)∧¬∀xP(x)为假。在这两种解释中，要么第 4 行的假设成立，要么第 5 行的假设成立，这意味着在任何一种解释中，对于 ∀xP(x)∨∀xQ(x)的可废弃推理都是成立的。因此，根据最小异常策略，第 4 行和第 5 行都没有被标记（我们省略了技术细节）。另一种策略，即可靠性策略，更加谨慎。根据该策略，任何涉及到其条件中的异常的行，只要该条件是在 ∅ 条件下推导出的异常的最小析取的一部分，就会被标记。这意味着在我们的例子中，第 4 行和第 5 行都被标记了。

在证明的特定阶段，行可能会被标记，然后在后来的阶段被取消标记，反之亦然。这反映了可废弃推理的内部动态。为了定义一个推论关系，需要一个稳定的推导概念。在自适应证明中，从前提集合 Γ 中的未标记行 l 推导出的公式被认为是 Γ 的推论，如果在任何将 l 标记的证明的扩展中，该行都可以进一步扩展，以便再次取消标记。

这样的结果关系可以等价地用偏好语义来表达（见第“选择语义”部分）。给定一个 LLL 模型 M，我们可以将其异常部分 Ab(M)={ab∈Ω∣M⊨ab}识别为在 M 中成立的所有异常的集合。最小异常性的选择语义可以表述如下。我们通过 M≺M'来对 LLL 模型进行排序，当且仅当 Ab(M)⊂Ab(M')。然后我们定义，如果对于所有 ≺-最小 LLL 模型 M，M⊨ϕ，则 ϕ 是 Γ 的语义推论。（我们省略了其他策略的选择语义。）

与自适应逻辑类似的系统使用了最大一致集。在 Makinson（2003）中，它被称为默认假设。给定一组假设 Ξ，

如果对于所有与 Γ 一致的 Ξ'（即 Ξ'∪Γ 一致且不存在 Ξ "⊆Ξ 使得 Ξ'⊂Ξ" 且 Ξ " ∪Γ 一致），则 Γ|∼[Ξ]ϕ 当且仅当 Ξ'∪Γ⊨ϕ。

如果我们将 Ξ 定义为{¬ab∣ab∈Ω}，那么我们就可以用最小异常策略和异常集合 Ω 来等价刻画自适应逻辑（Van De Putte 2013）。

条件蕴涵是另一种基于假设的方法（Geffner and Pearl 1992）。假设我们从一个理论 T=(Δ,Γ,Λ)开始，其中 Δ={ϕi→ψi∣i∈I}由默认规则组成，Γ 由必要事实组成，Λ 由偶然事实组成。它被翻译成一个基于假设的理论 T′=(Δ′,Γ′,Λ)如下：

对于每个 ϕi→ψi∈Δ，我们引入一个指定的假设常量 πi，并通过 ϕi∧πi⊃ψi 来编码 ϕi→ψi。前者只是我们的方案[†]，而后者确保默认情况下假设被认为是成立的。
默认集合 Δ'是{ϕi→πi∣i∈I}，我们的背景知识变为 Γ'=Γ∪{ϕi∧πi⊃ψi∣i∈I}。

就像自适应逻辑方法一样，模型是根据其异常部分进行比较的。对于 Γ'∪Λ 的经典模型 M，Ab(M)是所有使得 M⊨¬πi 的 πi 的集合。条件蕴涵与自适应逻辑和默认假设的一个重要区别在于它实现了特异性原则。为此，假设通过一个（平滑的）关系<进行排序。然后按照以下方式进行模型比较：

当且仅当 Ab(M)≠Ab(M')且对于所有 πi∈Ab(M)∖Ab(M')，存在一个 πj∈Ab(M')∖Ab(M)使得 πi<πj 时，M⋖M'。

这个想法是：如果每个在 M 中不成立但在 M'中成立的假设 πi 都被 M 中更具体的假设 πj“补偿”，那么 M 优于 M'。

为了使这个想法成立，<必须包括假设之间的具体性关系。这样的顺序<被称为相对于背景知识 Γ'是可接受的，如果它们满足以下属性：对于每个假设集合 Π⊆{πi∣i∈I}，如果 Π 违反了给定背景知识 Γ'中的某个默认 ϕj→πj（用符号表示为 Π,ϕj,Γ'⊨¬πj），那么存在一个 πk∈Π，使得 πk<πj。

这个概念最好通过实例来理解。以企鹅 Tweety 为例。我们有 Δ'={p→π1,b→π2}，Γ'={p⊃b,p∧π1⊃¬f,b∧π2⊃f}，以及 Λ={p}。取 Π={π2}。那么 Π,Γ',p⊨¬π1，因此为了使<是可接受的，π2<π1。我们有 Γ'∪Λ 的两种模型：模型 M1 满足 M1⊨π1，因此 M1⊨¬f；模型 M2 满足 M2⊨π2，因此 M2⊨f。注意，M1⋖M2，因为在 Ab(M1)中唯一的假设 π2 存在 π1∈Ab(M2)∖Ab(M1)，且 π2<π1。

类似于具有最小异常策略的自适应逻辑，条件蕴涵通过 ⋖-最小模型来定义：

(Δ′,Γ′,Λ)|∼ϕ 当且仅当对于每个可接受的<（相对于 Γ′）和所有 ⋖-最小模型 M，M⊨ϕ。

在我们的例子中，¬f 是一个条件蕴涵，因为所有 ⋖-最小模型具有与 M1 相同的异常部分。

通过在基于假设的方法中使用材料蕴涵来表达可废除推理的一个结果是可废除推理是可逆的。显然，如果 ϕ∧π⊃ψ，则 ¬ψ∧π⊃¬ϕ。因此，诸如默认逻辑之类的形式化方法具有更贪婪的应用默认规则的风格。我们通过条件蕴涵来证明这一点。考虑一个由默认规则 p1→p2，p2→p3，p3→p4 和事实信息 Λ={p1,¬p4}（其中 pi 是逻辑原子）组成的理论。在基于假设的方法中，如条件蕴涵，可废除规则将被编码为 p1∧π1⊃p2，p2∧π2⊃p3 和 p3∧π3⊃p4。很容易看出< = ∅ 是一个可接受的排序，这意味着例如具有 Ab(M)={π1}的模型 M 是 ⋖-最小的。在这样的模型中，我们通过反证法从 ¬p4∧π3 到 ¬p3 和从 ¬p3∧π2 到 ¬p2 的推理可以得出 M⊨¬p3 和 M⊨¬p2。这意味着 p2 和 p3 都不是条件蕴涵的。

在默认逻辑中情况就不同了，p2 和 p3 都是可推导的。推理遵循一种贪婪策略来应用默认规则：每当一个规则适用（即，其前提根据当前持有的信念 Ξ 成立，并且其结论与 Ξ 不矛盾），就会被应用。学者们对于可废除推理何时何地是一种可取的性质存在分歧（例如，Caminada 2008，Prakken 2012）。

4. 非单调逻辑和人类推理

鉴于测试对象在各种典型的推理测试中表现非常糟糕（例如，Wason 的选择任务（Wason 1966）或抑制任务（Byrne 1989）），推理心理学的主流传统上认为逻辑在人类推理中最多只起到次要的作用。近年来，这种评估被批评为根据经典逻辑的标准评估测试表现的结果，而其他基于概率考虑或 NML 的标准被认为更为合适。

这导致了一个新的概率范式的兴起（Oaksford 和 Chater 2007，Pfeifer 和 Douven 2014），其中概率论提供了合理信念更新的计算方法。尽管该计划有时以明显反逻辑主义的方式表述，[7]但在这里通常将逻辑理解为单调和演绎的。与 NML 的关系不太清楚，有人认为特别与 NML 的概率解释有密切联系（Over 2009，Pfeifer 和 Kleiter 2009）。Politzer 和 Bonnefon 2009 警告说，在接受概率范式之前，应考虑到可能性度量、合理性度量等丰富的替代方案。

另一个支持非单调逻辑学相关性的论点是由 Stenning 和 Van Lambalgen（2008）提出的，他们区分了对解释的推理和从解释的推理。在前一种过程中，代理人建立了一个逻辑形式，该形式相对于推理发生的具体上下文和代理人的目标而言。在建立逻辑形式时，代理人选择了一种形式语言、一种语义（例如，外延性与内涵性）、一种有效性概念等等。一旦逻辑形式建立起来，代理人就会进行基于这种形式的类似法则的推理。据认为，在标准推理任务的大多数情况下，主体使用基于封闭世界假设的非单调逻辑形式。

非单调逻辑学家经常表示，他们的动机源于观察到实际常识推理的可废除结构。实证研究既被明确引用为对非单调逻辑学的工作提供灵感，也被用作评估非单调逻辑学的标准。然而，也有人指出，逻辑学家经常过于依赖自己的直觉，而没有对其进行批判性评估，以与实证研究的背景进行对比（Pelletier 和 Elio 1997 年）。

各种研究调查了他们的测试对象根据非单调逻辑的特定推理原则进行推理的倾向。大多数研究支持系统 P 规则的描述充分性。然而，还存在一些未解决或有争议的问题。例如，一些研究报告显示，弱化的单调性原则（如谨慎单调性（Schurz 2005，Neves 等 2002，Pfeifer 和 Kleiter 2005）和理性单调性（Neves 等 2002））的充分性。Benferhat 等人（2005）报告了混合结果。Schurz（2005）的推理过程中，特定性考虑因素起到了作用，而根据 Ford 和 Billington（2000）的说法，它们并没有起作用。Benferhat 等人（2005）特别关注他们的测试对象的回答是否更符合词典闭包还是理性闭包。虽然结果并不完全确定，但仍然表明对前者的偏好。

Pelletier 和 Elio（1994）研究了影响受试者对默认值或继承关系的例外推理的各种相关因素。他们的研究使用了 Lifschitz（1989）提出的可废除推理的基准问题。例如，观察到，对象 A 相对于某个默认值的例外状态更有可能传播到其他对象，如果它们与 A 共享可能在解释例外状态中起作用的属性。例如，当面对一个违反只允许学生成员的学生俱乐部的默认值的俱乐部时，如果他们得知这两个俱乐部都在努力维持最低会员要求，受试者更有可能将这种例外状态归因于另一个俱乐部。

非单调逻辑学（NMLs）对人类推理的描述充分性问题也与有关认知模块的性质和限制的问题相关，这些模块使得代理能够进行逻辑推理。例如，问题是，这些模块是否可以在神经水平上实现。关于前一个问题，已经成功地用神经网络的术语来表示 NMLs（参见 Stenning 和 Van Lambalgen（2008），Garcez 等人（2009），Hölldobler 和 Kalinke（1994）用于具有封闭世界假设的逻辑编程，Besold 等人（2017）用于输入/输出逻辑，以及 Leitgeb（2001）用于选择语义传统中的 NMLs）。

5. 结论

与能够充分表示可废除推理的逻辑框架的发展相关的有三个主要问题：（i）物质充分性；（ii）形式属性；和（iii）复杂性。非单调形式主义在捕捉可废除推理示例和具有直观属性方面具有物质充分性。形式属性的问题与形式主义产生满足理论上理想属性（如上述的自反性、割裂性和谨慎单调性）的推论关系的程度有关。第三组问题与有关框架的最基本问题的计算复杂性有关。

在（i）和（ii）之间存在潜在的紧张关系：捕捉广泛的直觉的愿望可能导致临时解决方案，有时会削弱框架的理想形式属性。总的来说，非单调逻辑学（NMLs）和相关形式主义的发展，自其创立以来，一直受到（i）的考虑的推动，并依赖于丰富而精心选择的一系列例子。当然，有些问题是关于任何单一框架是否可以在这方面具有普遍性的。

最近，研究人员开始关注（ii）的考虑，研究 NMLs 是否产生了良好的逻辑推论关系的程度。正如 Makinson（1994）指出的那样，该领域的从业者遇到了各种各样的成功和失败。特别是，一种抽象属性，谨慎单调性，似乎同时对于文献中的许多框架来说至关重要且难以捉摸。这个事实或许可以追溯到材料充分性要求和生成良好的推论关系之间上述紧张关系的至少部分原因。

复杂性问题似乎是被单独挑出来的问题中最困难的。相对于经典逻辑来说，非单调逻辑学似乎在这个问题上非常棘手。这在默认逻辑的情况下是明显的，因为存在普遍的一致性检查。但除了一致性检查之外，还有其他常常被忽视的纯组合性的复杂性源。除了默认逻辑之外的其他形式的非单调推理，也远非免于这些组合性根源的复杂性。虽然已经做了一些重要的工作，试图使各种非单调形式主义更易处理，但这或许是进展最慢的问题。

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