荷兰赌定理 Dutch book arguments (Susan Vineberg)

首次发表于 2011 年 6 月 15 日星期三；实质性修订于 2022 年 5 月 14 日星期六

荷兰赌定理（DBA）支持概率主义（即主张一个代理人的信念程度应满足概率公理）的论证可以追溯到拉姆齐在《真理与概率》中的工作。他仅仅是顺便提到，违反概率公理的代理人将容易受到对他制作的一本书的影响，这引发了关于拉姆齐究竟意图展示什么，以及是否以及如何提出一个有力的论证版本的广泛辩论和困惑。这一论证背后的基本思想也被应用于捍卫各种原则，其中一些对代理人当前信念施加额外限制，而另一些，如条件化，声称规定信念程度应如何随时间演变。

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荷兰赌定理对概率主义的基本论证

概率公理与荷兰赌定理

基本 DBA 的结论是，一个代理人对一组命题 X 的信念度，或称为信心，应满足概率的公理。概率的基本公理通常被认为要求对于 A∈X，荷兰赌定理。

(1)

0≤pr(A) [非负性];

(2)

如果 A 是一个重言式，那么 pr(A)=1 [归一化];

(3)

如果 A 和 B 不相容，那么 pr(A∨B)=pr(A)+pr(B) [有限可加性]。

荷兰赌定理

(2′)

如果 A 是一个逻辑真理，那么 pr(A)=1

or even

(2′′)

如果 A 是一个必然真理，那么 pr(A)=1。

这些公理表述之间的区别与概率适当附加的对象以及论证结论的合理性有关；但是，为了概述基本论点的直接目的，这些差异并不是至关重要的。

DBA 本身始于所谓的荷兰赌定理，该定理涉及一组赌注在何种条件下保证一方净损失，或称为荷兰赌。根据 de Finetti 的观点，这里假定对命题 H 的赌注是具有以下规范形式的安排：

H	Payoff
真实	荷兰赌定理
False	−qS

荷兰赌定理表明，一名购买以价格 qS 下注的赌注的代理商的净收益。其中 S 是如果 H 为真则赢得的赌注。S 被称为赌注，因为它是赌注中涉及的总金额，即在 H 为真的情况下的回报以及在 H 为假的情况下被没收的金额。量 q 被称为赌注商数，即在 H 为假的情况下损失的金额除以赌注。

荷兰赌定理给出了一组未能满足概率公理的赌注系数，存在一组具有这些系数的赌注，可以确保一方净损失。

很容易展示如何可以针对那些违反概率公理的赔率的人制作荷兰赌定理。让 Q(H)代表代理人对 H 的赌注定理。假设代理人的赌注定理违反了公理，一个庄家可以通过以下描述的方式与代理人下注来确保自己获利。为简单起见，此处的赌注设定为 1 美元，但以下构建针对此类人的荷兰赌定理的方法很容易适用于其他赌注。

公理 1：假设 Q(H)<0。在这种情况下，庄家购买下注，如果 H 为真，则支付 1 美元，否则支付 0 美元。在这里，代理人押注反对 H，代理人的支付表如下：

H	Payoff
T	荷兰赌定理
F	Q(H)

由于 Q(H) 为负，无论 H 的真值如何，代理都将遭受净损失。

公理 2：假设一个代理人对一个重言式（或逻辑或必然真理）H 的投注商数不等于 1。如果 Q(H)>1，那么庄家出售赌注，如果 H 为真则支付 1，如果 H 为假则不支付，支付额为 Q(H)。在这种情况下，代理人的支付表将再次如公理 1 所述。请注意，由于 H 是一个重言式（或逻辑或必然真理），它必须为真，这意味着在赌注结束时，代理人将损失 [1−Q(H)]。

公理 3（可加性）：假设 H1 和 H2 是互斥的，并且 Q(H1∨H2)≠Q(H1)+Q(H2)。有两种情况，

Q(H1∨H2)>Q(H1)+Q(H2), andQ(H1∨H2)<Q(H1)+Q(H2).

如果 Q(H1∨H2)

H1	H2	Net Payoff
T	F	[1−Q(H1)−Q(H2)+Q(H1∨H2)−1]
F	T	[1−Q(H1)−Q(H2)+Q(H1∨H2)−1]
F	F	荷兰赌定理

由于 Q(H1∨H2) < Q(H1) + Q(H2)，在每种情况下代理商都会输钱，因此赌注的集合确保了损失。如果 Q(H1∨H2) > Q(H1) + Q(H2)，那么庄家只需改变赌注的方向。

让 V(H)表示如果 H 为真时的回报，对 H 的赌注的预期价值由以下方程式表示：

Exp(H)=V(H)Q(H)+V(−H)(1−Q(H)).

因此，对于每个公理，参与制作书籍的个人下注是公平的，也就是说，使用代理人的下注商数计算时，它们的期望值为零，然而集体地它们将产生确定的损失。荷兰赌定理假设代理人的信念程度与她的下注商数相关联。这与荷兰赌定理一起被用来证明违反概率公理的信念程度与上述意义上公平的下注相关联，然而也与确定的损失相关联。然后，该论证得出结论，代理人应该遵守这些公理。这留下了这种关联的具体含义以及这种确定损失前景所应对应的问题是什么。

荷兰赌定理的详细版本

荷兰赌定理经常被提出，认为违反公理的信念程度是不理性的，因为它们可能导致不良后果。它假设一个代理人的信念程度与她的投注商数相关联，使得（1）对于一个在 M 上具有信念程度 q 的代理人，以相应赔率下对 M 进行押注或反对 M 的押注是可以接受的。以美元为支付和赌注 S，这相当于主张代理人应该愿意承担成本为$Sq 的押注的任一方向。

$S	if M
$0	otherwise

但是根据荷兰赌定理（2），一个狡猾的赌徒可以确保自己从违反概率公理的人那里获利。由于（3）违反这些公理会使赌徒面临荷兰赌定理的风险（也就是，处于荷兰赌定理的失败一方），因为她的信念程度会导致接受可导致确定损失的赌注，因此得出结论（4）应该满足概率公理（即概率主义为真）。在某些论述中，第一个前提被加强为主张代理人实际上将接受那些在 M 上她的信念程度与赌注商数相匹配的赌注，以加强违反这些公理与确定损失之间的联系。

德·芬内蒂（de Finetti 1937）在这里需要澄清一些术语。他将信念程度与投注商数等同起来，并将容易受到荷兰赌定理影响的信念程度称为不一致的；而那些不容易受到影响的信念程度则被称为一致的。这里的“容易受到影响”应该按照上述定理的意义来理解，即可以明确指定对应于那些会导致一方确保损失的信念程度的赌注。根据该定理，一致性意味着满足概率公理，而不一致则涉及其违反，因此这些术语通常被用作一种简便的方式来指定是否满足这些公理。然而，兰姆齐和德·芬内蒂都理解不一致是一种不一致性，有些人以这种意义使用这个术语。对于违反概率公理和容易受到荷兰赌定理影响被视为一种不一致性的理解存在各种问题，将在讨论中进行，因此在这里最好使用“不一致”来表示违反概率公理的信念程度，并且根据荷兰赌定理与确保损失相关联，留待讨论是否将这种不一致性理解为一种形式的不一致性。

荷兰赌定理逆定理

有理由接受 DBA 的结论，即人们应该满足概率公理，以避免荷兰赌定理，只要满足这些公理至少能够避免暴露于确定的损失的可能性（Hájek 2005; 2008a,b）。在这里，由 Lehman（1955）和 Kemeny（1955）独立证明的逆向荷兰赌定理起着重要作用。粗略地说，结果是

对于遵守概率公理的一组赌注系数，不存在一组赌注（具有这些系数）能够确保一方一定会输（赢）。

它确保了代理者在任何情况下都不会被利用，从而确立了遵守公理的优势。请注意，定理指出，遵循公理的投注比率确保了一个人不会容易遭受确定的损失，而不仅仅是提出最低要求以确立一种优势的主张，即避免这种脆弱性可能被避免的一致性。

荷兰赌定理及其逆定理对公理的表述以及对“赌注”、“确定损失”以及这种损失被保证的含义的理解都非常敏感。在涉及逆荷兰赌定理时，对概率公理的表征需要特别小心。鉴于这些公理的表述使得第二个公理仅要求重言式获得概率为一，有可能满足这些公理，但仍然会面临确定的损失。考虑这样一个主张：如果 b 具有 F，那么某事物也具有 F。这并非是重言式，但是押注反对它将使人容易遭受确定的损失。有时第二个公理被表述为要求所有逻辑真理获得概率为一，但满足这一约束条件仍然会使人面临押注反对必然真理（例如“没有事物既是红色又是绿色的”）而导致确定的损失的可能性。即使将第二个公理加强为要求所有必然真理获得概率为一，仍然存在一种解读，即逆荷兰赌定理是错误的，因为如果一个代理人将概率小于一的概率赋予已知真理（或将概率大于零的概率赋予已知谬误），那么她将容易遭受确定的损失。对此的一种回应是将“确定的损失”限制为不依赖于偶然事实的损失。相反，可以将限制放在那些在机械公式下造成损失的“确定”损失上，从而消除了我们开始时对逆荷兰赌定理的反例以及加强公理的需要。一个相关的举措涉及限制允许的赌注，而不是限制什么算作确定的损失。

在观察到荷兰赌定理和 DBA 对概率公理的制定敏感时，应注意到，尽管通常假定经典逻辑，但可以为非经典逻辑制定适当调整的概率公理。Weatherson 认为，在理性信念的表征中，这是合适的，并制定了建立在直觉逻辑基础上的概率公理，然后提出了一个荷兰赌定理的论证（Weatherson 2003）。

荷兰赌定理要成立，‘确定的损失’必须被理解为如果实际下注并结算则会造成损失。在任何形式下违反概率公理并不保证实际损失。‘确定的损失’的含义还需要进一步阐述，这暗示了某种必然性，但并未告诉我们这是否应该是一种特定形式的逻辑必然性、形而上学必然性，或者可能是其他相关必然性。如果将‘确定的损失’理解为可预见的损失，那么一个代理人可以通过将正概率附加到一个必然的虚假上来违反公理，而在当前对相关命题的知识状态下，没有可预见的损失。还存在一个问题，即是否代理人必须能够预见损失。如果‘确定’意味着可决定的，那么既不是逻辑真理也不是必然真理的概率为一的公式都不适用，因为一般情况下没有决策程序可以确定一个给定句子是否是逻辑真理，更不用说是必然真理。显然，在概率公理的制定与对荷兰赌定理及其逆定理中‘下注’和‘确定的损失’的理解之间必须保持微妙的平衡。

荷兰赌定理的另一个问题是，有些书可以针对违反其他概率规范的代理人制定，例如反思、可数可加性等（见第 3、4 和 5 节）。基本公理的满足并不能保证一个人不会因违反其他规范而被打开一本书。定理的正确表述必须相应地限制可允许的投注形式和数量。Kemeny 和 Lehman 对可允许的投注进行了限制（例如，他们的投注系统受限于有限数量的投注），这些限制似乎排除了这种反例。然而，仍需证明，避免使用这种受限制的投注集合的书足以证明遵守这些公理的正当性。问题在于，正如下一节讨论的观察所指出的那样，不连贯的代理人不一定普遍容易受到确定性损失的影响，因此，无论是连贯的还是不连贯的代理人都可能受到某些书的影响。在为遵守概率公理进行论证时，需要进一步声称导致确定性损失并与不连贯相关的投注构成特殊问题，尽管这威胁到许多荷兰赌定理的支持者想要利用荷兰赌定理来捍卫其他规范。

荷兰赌定理中的一个相关问题涉及到在第 1.2 节中提出的 DBA 版本中所做的假设，即代理人将接受或至少认为那些与其对赌注的投注商数相匹配的“公平赌注”是可以接受的。正如在下一节中讨论的那样，并非所有这类赌注都会被接受，甚至被视为可以接受的，还可能会接受其他赌注（或被视为可以接受的）。由于各种原因，某人可能会在其信念程度与这些赌注的投注商数不相符的情况下接受赌注，包括那些构成荷兰赌定理的赌注。因此，我们需要更普遍地关注代理人将接受（或认为可以接受）的赌注范围。但由于这扩大了可以用来制作一本书的赌注类别，如果有的话，这会使得 DBA 对一个连贯的代理人可能受到荷兰赌定理的问题变得更糟。第 1.2 节中的 DBA 版本可以修改为这样的说法，即代理人只接受（或认为可以接受）那些公平或有利的赌注，也就是那些使用其信念程度计算的期望值为非负的赌注。这排除了一些额外的赌注，这些赌注会为一个连贯的代理人制造一本书，但不排除那些进入其他规范的 DBA 的赌注。然而，这一假设并不普遍成立，并未解决论证所面临的其他问题。

1.4 违反概率公理是否可以是理性的？

荷兰赌定理所保证的确定损失不一定会导致实际损失。事实上，一名博彩商可以颠倒那些会导致不连贯代理人损失的赌注方向，以确保她获胜，或者可能会有某种其他奖励可颁发给不连贯者。不连贯的代理人可能不会遇到一个聪明的博彩商，后者可以利用她，或者不会这样做，也许是因为她可以采取有效措施来避免这样的人。即使遇到这种情况，代理人也可以通过简单地拒绝下注来始终避免确定的损失。对于这种可能性的回应不能是坚持更强的假设，即代理人总是会接受每个赌注的期望值为非负，因为这只会给予这个论点一个错误的前提。无论如何，很明显，不连贯的问题不在于它会导致损失。相反，应该认为在 1.2 节中的论证版本背后的想法是，不连贯会使人面临确定的损失，而拥有连贯信念则不会（在适当版本的逆向荷兰赌定理的情况下），这种潜在的脆弱性要求遵守这些公理。

我们可以质疑，是否由于对确定的损失敞开心扉，就应该满足公理或者认为不一致是不理性的结论。如果这种损失的威胁被视为不太可能，比如，如果代理人认为她不会面对一个聪明的庄家，有信心她的魅力会阻止她陷入荷兰赌定理的失败一方，或者只是认为她不会接受导致荷兰赌定理的赌注，那么很难理解为什么仅仅潜在的确定损失应该要求一致性。这里的另一个问题是对确定损失所赋予的特殊地位。事实上，潜在的确定损失与可能的确定收益是对称的。正如 Hájek 强调的那样，有一个相应的“捷克赌定理”，与 DBA 相似，结论是应该违反概率计算（Hájek 2005, 2008a）。如上所述，DBA 似乎被“捷克赌定理”所取消，尽管 Hájek 表明，通过假设代理人应该接受公平或有利的赌注，可以避免潜在的抵消（Hájek 2008a）。然而，与荷兰赌定理相容的是，一个不一致的代理人可能会获得确定的收益，因此不能仅仅通过引用确定损失的可能性来谴责不一致为不理性。

尽管确定性损失的威胁可能很遥远，而代理人可能面临确定性收益，但在某些情况下，不连贯更与实际损失更紧密地联系在一起。DBA 的一些版本借助这样的情景作为试图建立不连贯的普遍非理性的前提。一种策略是辩称在所谓的强制下注情况下，不连贯是非理性的，然后在这种情况下反对不连贯可以被普遍化（Jackson and Pargetter 1976）。在强制下注情况下，代理人被要求发布下注商数，然后根据这些商数下注，其中赌注的金额和方向由对手指定。假设唯一的价值来源是参与赌注的金钱（按线性价值计算），据称在这种情况下不连贯是非理性的。但如果将非理性视为实际损失的结果产生的话，这并不成立。即使在强制下注的情景中，可能有理由认为不连贯的下注商数不会被利用，就像制作赔率需要了解一些非常复杂的逻辑真理一样（Kennedy and Chihara 1979）。在这种情况下，下注的方向也可以选择，以便不连贯的代理人将获得确定性收益。这将是一个奇怪的强制下注情况，但如果代理人有理由相信会发生这种情况，她实际上可以合理地发布不连贯的赔率。

或许可以从一个竞争性的赌博情境开始，其中双方都试图最大化自己的收益。在这种情况下，无逻辑性和损失之间存在更紧密的联系，因为庄家将试图最大化他的利润，因此对于一个无逻辑性的代理来说，确定的收益只能是错误的结果。如果假定代理也被迫下注，并且庄家会采取最佳行动，那么代理应该发布一致的赔率，否则她将面临破产的荷兰赌定理。当然，如果竞争情况是代理可以拒绝下注的情况，那么拥有无逻辑的投注比例并不一定会让她面临实际损失。

即使在那些被迫下注的情况和竞争性下注的情况下，发布不连贯的下注系数是不理性的，但拥有不连贯的信念程度却不一定是不理性的（Kennedy 和 Chihara 1979; Adams 和 Rosenkrantz 1980）。例如，如果代理人必须在被迫下注的情况下对她所知道的是逻辑真理或逻辑谬误的事情发布赔率，她可能更倾向于选择 1 或 0 的下注系数，而不是某个中间值，因为在后一种情况下她容易受到荷兰赌定理的影响，但在前一种情况下她可能得到客观正确的价值，从而避免损失。但似乎她可以有中间信心水平的理由，这样的评估更合理，至少在反映她可获得的证据方面，比极端的评估更合理。或者代理人可能完全不知道她必须发布赔率的事实上是逻辑真理的逻辑状态，这种情况下，信心水平为 0.5，或者可能完全不确定地不采用任何特定的信心水平，似乎比她尽管无知仍然完全自信更为合理。

至少，这些例子引发了关于 DBA 假定的部分信念与有利/不利投注赔率之间关系的问题。在一个代理商必须为实际上是逻辑真理的事情给出她的投注商数的情况下，任何小于一的值都会使她容易受到确定的损失，可能是破产，然而在这种情况下，并非所有这样的信念在理性上是相等的。这里的问题似乎不仅仅是关于基础行动和信念理论在极端值方面的运作如何，还涉及到理性信念的相关概念。理性指导行动的信念通常应反映代理商的证据，然而至少在上述情况中，概率主义有时似乎要求它们不这样做。人们可能质疑在这些情况下是否引发了适当或预期的“理性”意义，其中似乎正确地说理性信念可以与投注商数分离，但这些异议只是突显了大多数论证中缺乏清晰度的问题，即关于应该牵涉到什么样的理性。例如，有人说，理想的理性要求遵守公理，但这个概念也不清楚。不过可以说的是，有些情况下，信念程度确实满足了一个重要的理性理想，但在那里它们似乎与投注商数分离，这给了支持这样一个前提的额外压力，即代理商应该愿意接受他们的信念程度与投注商数相匹配的赌注。

荷兰赌定理的论证表明，无论是强制性还是竞争性的投注情况本身并不能保证不一致性会导致实际损失，甚至在可能导致损失的特殊情况下，似乎拥有不一致的信念程度并不一定是非理性的。实际上，虽然信念程度通常被认为是行动的指导，并且在许多情况下可以很好地由投注比率建模，但强制性和竞争性的投注情况实际上强调了它们并非总是直接相关的观点。因此，声称不一致性通常是非理性的论据，从声称在强制性投注情况下是非理性的这一点开始，都无法站住脚，更不用说表明在这种情况之外的地方，不一致性与可能发生损失的联系甚至更加脆弱。尽管如此，强制性和竞争性的投注情况有助于在理想化条件下确定理性的约束，并且在某些情况下可以作为行动的有用模型。在高度限定的条件下，当代理人的目标有限时，它们表明制定一致的投注比率是明智的。不一致的投注比率的一个不良特征是，无论它们是否对应于这种信念程度，在强制性投注情况下，它们为一个聪明的庄家提供了造成确定损失的机会，并在与效用最大化对手的竞争中保证了这种损失。但是，使得制定一致的投注比率是理性的特殊条件，在一般情况下并不成立。在某些情况下，一个小的确定损失可能比更大损失的机会更好。此外，在除了赌注之外还与赌注相关的有价值的东西存在时，采取行动以造成赌注的确定损失也可能是理性的。

除了上述提到的原因之外，有理由让自己面临或者采取措施保证确定的损失，使得荷兰赌定理(DBA)的版本在处理由于可能损失金钱而导致的不连贯问题时面临挑战，因为赌注的价值并非完全由其金钱回报条件所代表。一个行动者可能不愿意冒险在一次大赌注上损失金钱，因为可能会产生额外的不良后果，或者行动者可能因为损失的前景而感到焦虑。德芬尼蒂(De Finetti)和其他人坚持限制赌注以解决这个问题，但拉姆齐(Ramsey)已经观察到，一个人可能会“不愿意为琐事烦心”，也就是说，对于没有太大潜在收益的赌注存在负面价值。也许有一定范围的赌注既不太高也不太低，以至于金钱回报可以被视为对赌注价值的合理近似，但这进一步限制了可能导致确定损失的情况。

在标准假设中，如在第 1.2 节中给出的 DBA 版本中，通常认为一个代理商将愿意购买或出售一个其信心与投注商数相匹配的关于 S 的赌注。但在实践中，购买赌注对于一个代理商的价值可能与出售该赌注有所不同，因为通常在下注和结算之间存在一段时间滞后，正如 Rowbottom（2007）所指出的那样。出售赌注涉及提前收取一笔款项，并有可能在以后支付，这往往比提前支付同样的价格并在以后获得潜在回报的价值更大。购买和出售赌注之间的价值差异也限制了可以制造荷兰赌定理的情况。

另一个涉及赌注价值的问题出现在建立可加性公理时，即使一组赌注中的每一个都是可以接受的，也不能推断它们会联合可接受。考虑一个有 4 美元的人，需要 2 美元的公交车费。他可能愿意接受两个花费 2 美元的赌注之一，以获得足够的钱买一份报纸在车上阅读，但不愿冒着失去全部 4 美元并可能不得不步行回家的风险。这里的一个回应是坚持认为赌注应该以效用而不是金钱的形式呈现，尽管这本身就会带来困难，因为这些并不是客观的商品。这种方法涉及直接或间接地假设这些效用是可加的，但即使这也不够。虽然可以合理地争辩说，鉴于一组信念和效用，实用理性要求根据这些信念和效用最大化预期价值，以便一个具有不一致信念程度的代理人被迫接受（以效用支付）导致确定损失的赌注，但荷兰赌定理面临的问题仍然是，如此承诺确定损失并不一定是非理性的。参见（Maher 1993）。

DBA 在 1.2 节中呈现的版本显然不够有说服力。在代理人的信念程度与接受可能导致确定损失的赌注之间存在差距，而这种损失的可能性并不一定意味着不理性。可以指定一些情况，使这些联系更紧密，但这并不能证明概率主义的一般主张。

荷兰赌定理和概率一致性

荷兰赌定理揭示了不一致性

对于第一部分中考虑的 DBA 的反对意见的一种流行回应表明，不连贯本身并不是一种实用的缺陷，而荷兰赌定理仅仅是用来说明一种逻辑缺陷的戏剧性手段。 Skyrms（1987）将 DBA 的这种阅读归因于 Ramsey，他在他的评论中找到了支持。

任何违反概率法则的确定信念集合，在违反选项之间的偏好法则方面是不一致的...如果任何人的心理状态违反了这些法则，他的选择将取决于选项被提供的确切形式，这是荒谬的。他可能会被一个狡猾的赌徒设下圈套，无论如何都会输掉。 (Ramsey 1926, p. 41)

Additional support for this interpretation can be found in Ramsey’s assertion that the subject of his paper is the logic of partial belief.

许多作者，包括 Armendt（1993），Christensen（1996，2004），Hellman（1997），Howson 和 Urbach（1993），以及最近的 Briggs（2009）和 Mahtani（2015），都支持并详细阐述了违反概率公理的观点等同于一种不一致性。例如，Armendt（1993）告诉我们，这涉及到一种不一致性，由信念程度引导行动的事实揭示出来，而荷兰赌定理的脆弱性等同于对同一选项提供冲突评估。他称之为“分裂心灵”不一致性，他说这是理性的缺陷。这符合典型的情况，即代理违反可加性，有时适用于其他公理的违反，但不连贯并不总是意味着对同一选项有两种不同的评估。尽管信念程度通常作为行动指南，但它们不一定与对选项的评估有任何联系。然而，大多数 DBA 版本的基本假设是信任确实具有这样的作用，如 Ramsey 和 de Finetti 的理论，因此即使有这种假设，不连贯也不一定涉及提供冲突的评估（Vineberg 2001）。例如，考虑一个对费马最后定理不完全自信的人，也许是因为他们不知道它已被证明。至少在某些理解命题的方式上，这不一定意味着将两种不同的判断附加到同一命题上。一个人也可以通过仅将小于一的概率附加到一个逻辑真理的单个命题上来违反连贯性，或者通过对每个命题具有相同的信心水平来避免不同的评估。除了这些例子，即使在 Armendt 的解释中，可加性公理也存在问题，因为对于互斥的命题 p 和 q，对 p 和对 q 的联合赌注等同于对 p 或 q 的赌注。这又假定价值是可加的，这超出了仅仅对 p，q 及其析取具有信心程度的范围，尽管 Armendt（1993）暗示这种假设通常是符合并适用于 DBA 目的的。

在《真理与概率》中，Ramsey 假定，至少在理想化条件下，信念程度表现为对选项的偏好。这使 Ramsey 能够将违反概率公理所涉及的不一致性描述为违反理性偏好公理。尽管他从未声称信念程度必然与偏好相关联，但他提供的信念和偏好模型假定了这种关联，事实上，这篇论文的一个重要成就是一种表示定理，即一个满足他为理性偏好指定的公理的代理人可以被表示为具有满足概率公理的信念程度。在他提供的模型中，信念程度通过与偏好的联系作为行动的指导，因此至少在那里，不一致性确实表现为偏好的不一致性。但 Ramsey 描绘违反公理所涉及的不一致性的方式是以偏好的不一致性来描述，这使得不清楚他成功实现了对部分信念逻辑的表征的目标。一个问题是，它没有向我们展示，与不一致信念相关联的偏好不一致性是否适当类似于简单（或完全）信念的不一致性，后者涉及相互矛盾的命题，即一组命题不可能全部为真。另一个担忧是，在 Ramsey 的模型中，信念程度与偏好相关联，而拥有信念程度似乎并不需要与偏好和行动有任何这种联系。一个人肯定可以对命题有精细的信念，而这些信念与偏好无关。此外，完全信念的一致性源自将命题视为真实的信念概念以及命题逻辑，而不需要任何假定的与行动的联系，尽管 Ramsey 认为这种联系对于澄清部分信念的概念是必要的，但似乎对于部分信念的一致性的完全类似的表征应该不需要这种联系。

2.2 Depragmatized Arguments 2.2 非实用论证

几位哲学家试图通过一种不假定信念程度与偏好之间存在明确联系的 DBA 版本，将一致性作为信念程度的一种约束（Christensen 1996, 2004; Howson and Urbach 1993; Hellman 1997）。这些所谓的去实用化论证试图通过阐明一致性如何反映普通一致性概念来改进 Ramsey 的处理方法。Howson 和 Urbach 试图通过将一个代理人对 M 的信念程度与她认为公平的赌注相对应来实现这一点，因此对于 M 中的信念 q，一笔成本为 $Sq 的赌注，支付（CCCC）

$S	if M
$0	otherwise

他们认为采取公平的方式是公平的。然后，他们运用荷兰赌定理来论证，不一致的信念程度实际上不能成为公平的投注商数，因此不一致涉及将一组投注视为公平，而这些投注实际上不能是公平的，这被认为是持有不一致信念的并行。

有几个问题削弱了豪森和厄巴赫的方法。最基本的问题是，一个对 M 的信念程度为 q 的代理人不一定会因为各种原因而认为上述形式的赌注是公平的。首先，她可能只是缺乏公平赌注的概念。其次，她可能具有信念 q，但承认上述赌注明显不公平。例如，如果她知道 M 要么是逻辑真理，要么是逻辑谬误，但不知道具体是哪一个，她对其为真的信心可能是 1/2，尽管她很可能知道这不是一个公平的赌注比率。将信念表达为被视为公平的赌注也存在问题，因为这似乎将信念程度与具有某些完全信念联系起来，而有些人认为这是有问题的。该论点在可加性公理上显然也存在问题，因为即使一个代理人认为一组赌注中的每一个都是单独公平的，但在她看来它们可能并不是集体公平的，因此她不需要评估产生一本书所需的赌注是否是公平的赌注。在这里，以及在代理人认为公平的个别赌注的基本假设中，实际上假定了金钱作为价值的衡量标准。这不仅通常不成立，而且引起了注意，即这个论点实际上并没有被剥夺实用性。尽管豪森和厄巴赫既不依赖于代理人将根据他们的信念程度行事（或应该行事）的假设，也不依赖于代理人应该愿意接受公平赌注的任何方向的假设，但他们确实假定代理人对赌注进行评估，这与实用价值的概念相关联。马赫（1997）认为，他们以有利的原始概念来阐明公平性的方式，以避免偏好和效用的概念，是失败的。事实上，很难看出后者的概念可以在解释公平性的概念时被避免，而这正是他们的论点所依赖的。

克里斯滕森（1996）提出了类似的论点，不同之处在于他的去实用化 DBA 进一步削弱了信念程度与赌注之间的联系。豪森和厄巴赫规定一个代理人将把赌注视为公平时，克里斯滕森则仅假定赌注被代理人的信念认可为公平或合理，从而避免了对豪森和厄巴赫处理的第一个反对意见。然后，他援引荷兰赌定理来论证不一致的信念程度认可一组不可能公平的赌注，声称这揭示了不一致基本上是一个认识上，甚至是一个逻辑上的缺陷。但他的论点显然面临着关于可加性公理的先前困难，因为即使两个赌注分别被认可，也不能推断它们会被共同认可。针对这一问题，克里斯滕森（2004）通过将有关赌注认可的假设限制为“简单代理人”，他们仅评估金钱的价值，线性评估等等，以便货币回报对他们起到效用。然后他认为，在简单代理人中违反概率公理的信念程度是理性缺陷，因为它们认可的赌注将保证亏钱。由此他声称，由于已经显示出不一致的信念本身是有缺陷的，这样的信念在所有代理人中都是理性有缺陷的。

再次提到，论证的实用维度似乎仅仅被淹没了。信念程度并不仅仅是孤立地支持赌注，而是与偏好结合，因此违反概率公理的简单代理人所谓的缺陷不能仅仅归咎于那些信念。由于并没有显示出简单代理人的信念本身有缺陷，而是这些信念与她的偏好结合在一起才有问题，因此断定所有代理人中不一致的信念是理性有缺陷的是无效的。就目前所展示的情况而言，这样的信念可能与不同的偏好结构结合得很好。不仅现在就下结论认为不一致在一般情况下是理性有缺陷的为时过早，克里斯滕森甚至没有令人信服地论证出不一致在简单代理人中是理性或逻辑上有缺陷的。如果一个简单代理人被“捷克博彩商”包围，他们会提供赌注，这样她就会站在书本的赢方而不是输方，因为在这种情况下，不一致将导致她作为一个简单代理人实现她唯一目标——增加她的金钱收益。当然，克里斯滕森关注的是作为逻辑缺陷的不一致，而不是手段/目的理性的问题，但由于支持不能公平的赌注并不仅仅是不一致的信念的特性，他并没有表明不一致与与完全信念的不一致性相当，后者的缺陷在于信念本身。

2.3 作为一种实用一致性约束的连贯性

荷兰赌定理试图通过去实用化的 DBAs 来展示，不一致的信念程度本身涉及一种不一致性，而与它们与特定偏好的联系方式无关。但这里的不一致性要求信心与公平评价相结合，这反过来又涉及到一种超越仅仅具有信念程度的估值概念。如果一个代理人的信念程度是不一致的，并且他使用标准期望规则进行赌注评估，那么会有一些赌注（以某种效用度量为支付）在单独计算时其预期价值为零，从他的角度来看，在这种意义上是公平的，但会导致净损失，因此可以说是不公平的。这种不公平可以从代理人的信念及其与代理人效用的联系中推导出来，这表明了荷兰赌定理揭示的缺陷是代理人内在的，标志着这种损失与需要博彩者具有更高事实知识的损失之间的关键区别。虽然代理人的信心与他对赌注的评估之间的联系对于这一结果至关重要，但所需的连接独立于代理人对商品的特定偏好，因此可以说，不符合公平赌注比率的失败是代理人信念的属性，与行为评估相结合，导致了这样一个结果，即不一致的信念，适当地与偏好联系在一起，显示出一种类似于完全信念的不一致性的属性。

荷兰赌定理存在一种与 Ramsey 所设想的相近的版本，它声称，只要信念程度与偏好适当地相连，不一致性就会与一种反映不一致性的属性相关联，尽管这仍然不一定等同于 Armendt 所说的分裂心智的不一致性，也不完全类似于对完全信念的不一致性，这些信念是直接描述的，没有假定与偏好和行动的任何联系。根据每个赌注看起来公平（或有利）的代理人，应该被评估为公平（或有利），尽管它们共同导致一个荷兰赌局，这可以通过简单检查代理人的信念来建立，这种评估系统是自我矛盾的，因此可以说表现出一种非理性形式。根据这种解读，与不一致性相关联的脆弱性是理论上的，并且与代理人的效用紧密相关，这意味着实际的脆弱性不仅取决于一个适当位置的庄家，还取决于可衡量这些效用的合适商品的可用性。有了这一点，可以根据代理人的信念制定构成一本书的赌注，但这些赌注在代理人看来是公平的（或有利的）。请注意，之前的观点，即代理人可能通过拒绝下注来避免赌局，以及一个人可能最终获得确定的收益，现在是多余的，因为这里受到荷兰赌定理牵涉的是代理人的评估，而不是其后果。然而，荷兰赌定理取决于偏好和效用理论，正如 Kaplan 所指出的（Kaplan 1996），这并不是直接从标准的第一部分考虑的那种论证或者在前一部分观察到的去实用化版本中直接出现的。

荷兰赌定理的假设是重要的。代理人的信念系统以及它们在评估选项方面的参与方式被荷兰赌定理所牵涉。要得出结论，仅仅拥有不一致的信念是不理性的，需要进一步的论证来表明理性要求信念与荷兰赌定理中的赌注评估相关联，但很少有迹象表明分级信念必须如此相关。事实上，荷兰赌定理不仅假设代理人的信念与选项评估之间存在某种联系，而且认为如果一项赌注的预期价值为零，应该将其评估为公平，使用标准的期望规则来运用自己的信念。这就蕴含着代理人的信念是相关的，以至于对于每个 H，

cr(not H)=1−cr(H).

Hedden 指出了这一假设，他将其称为 Negation Coherence，并指出这是由于信任满足有限可加性和归一化的要求（Hedden 2013）。连接信任与公平投注比的 DBA 的前提因此预设了概率论者主张的一个重要部分。

即使假定信念和选项评估之间存在适当的联系，仍然可能有人反对荷兰赌定理所揭示的不一致性类型，即违反概率公理可能并非一定是非理性的，特别是在由于未能理解某些微妙或复杂的逻辑或其他必要真理而导致这种情况的情况下。很难看出理性要求代理人试图消除其信念系统中的这种不一致性；事实上，对于大多数人来说，这既是无望的，又是适得其反的。看起来也不正确将那些通过拒绝在面对证据时发表意见而避免不一致性的人，与那些对逻辑真理信心不足的人相比，后者会考虑不完整的证据，视为更加理性。一个选择是坚持一致性是理想代理人的要求。也许可以建议，一致性是一系列理想之一，其满足有时可能会发生冲突，并且一个不一致的代理人仍然可能是理性的，因为他们在考虑到他们的目标和约束的整体情况下，已经最佳地管理了他们的观点。无论对于不一致性的非理性的结论如何，通过理想化关于信念程度和选项评估之间的联系的假设，荷兰赌定理成功地将不一致性确立为一种评价缺陷。

有关如何理解概率主义的 DBA 以及它是否为主张提供了适当的辩护仍存在一些争议。正如讨论的那样，有些人认为 DBA 表明概率公理是行动指导信念度的一致性条件，其中不一致的信念涉及对选项的错误评估。有时还会补充说，这种不一致因此表明了一种认识上的非理性。尽管可以认为这种不一致在这种方式上偏离了某种理性的理想，但并不意味着违反概率公理在综合考虑后是非理性的，正如 Huttegger（2013）所指出的。根据这种理解，违反概率公理是一种非理性的主张是源自不一致性的主张。

接受这种观点的人认为，荷兰赌定理脆弱性的问题并不在于它导致了不良后果，而在于它表明了代理人信念中的内在缺陷，简单地说，符合某些条件的 DBA，包括可以由庄家构建而无需超出对代理人信念的了解，证明了在这些条件下导致荷兰赌的信念展现出一种非理性形式，而不是暗示荷兰赌脆弱性是一种不一致形式。理解 DBA 的这两种方式已经被延伸到支持额外概率规范的论据中。

荷兰赌定理脆弱性表明了一种不一致性的形式，这种观点的优势在于清楚地表明了在荷兰赌定理脆弱性案例中涉及的非理性类型，并避免了理性总是要求避免荷兰赌定理脆弱性的牵强陈述。然而，这种观点面临一个困难，即对于那些违反其他概率提议规范的人来说，荷兰赌定理脆弱性似乎不那么明显地是一种不一致性问题，如下文所示。那些将 DBAs 理解为直接从荷兰赌定理脆弱性推导出非理性主张的人，而不是中间结论表明荷兰赌定理表明不一致性的人，必须限定什么算是荷兰赌定理脆弱性以及所涉及的非理性类型。Pettigrew (2020) 暗示相关类型的荷兰赌定理脆弱性是在每个对于该主体而言认知上可能的世界中都会确保损失，并由此得出结论，即那些如此脆弱的人在认知上是非理性的。就关注的认知理性而言，这种表述的优点在于不将那些在每个形而上可能的世界中都可能因对某些形而上真理缺乏充分信心而被迫损失金钱的人视为受到适当的荷兰赌定理和因此非理性的对象。但是，这仍然存在关于什么算是认知上理性以及一般情况下这如何与荷兰赌定理脆弱性相一致的问题。对于荷兰赌定理论证的实用基础是否提供了捍卫概率规范的认知理性的适当依据，以及这引发了对这些规范的替代非实用主义理据的兴趣，仍然存在疑问。参见 Pettigrew (2019)。

荷兰赌定理 (Dutch Book Arguments) 对可数可加性的论证

在命题 A 可以为真的互斥且穷尽的方式 Wi 中，如果存在可数无穷个这样的方式，可数可加性原则要求

pr(A)=∞∑i=1pr(Wi).

荷兰赌定理可以通过扩展有限可加性的荷兰赌定理（Adams 1962; Jeffrey 2004; Williamson 1999）来构建。通过诉诸于一组无限的赌注，每个赌注如果 Wi 为真则支付 1 美元，可以为可加性的荷兰赌定理构建荷兰赌定理。在可数可加性的荷兰赌定理的情况下，除了基本论证的原因之外，还有一个额外的理由支持将其解释为一致性约束，因为损失纯粹是理论性的。对于一个代理人来说，不存在实际损失的威胁，因为这将需要无限系列的赌注，而这些赌注不可能全部进行和结算。然而，这个原则本身是有争议的，使得对可数可加性的荷兰赌定理的荷兰赌定理论证非常具有挑衅性。de Finetti（1972）和 Savage（1954）都认为不应该将这个原则作为对理性信念程度的约束。这个原则的一个结果是，它禁止对可数无限分区上均匀分布的积极信念，然而，在没有理由支持某些可能性胜过其他可能性的情况下，采用这种分布至少是可以接受的。直觉上，均匀分布应该被视为一致的，这对于荷兰赌定理论证揭示的缺陷与不一致性实质上相类似的想法施加了压力，至少在涉及可数可加性时是如此。与基本论证一样，对于可数可加性的荷兰赌定理论证背后对信念程度如何与偏好和价值评估相关联做出了重要假设。有关这些假设如何与要求代理人的信念程度满足可数可加性的关系的详细信息，请参见（Seidenfeld and Schervish 1983）。有关该论证的最新批判性讨论，请参见 Pettigrew（2020）。

时间跨度荷兰赌定理

荷兰赌定理背后的基本思想已被用来捍卫各种旨在规范信念如何随时间演变的原则。在每种情况下，都会争辩说违反该原则的代理人将受到荷兰赌定理的影响。在这里，所涉及的赌注是在不同的时间下进行的，但有一种放置赌注的算法在一开始就可获得，保证一方获利。这样的论证通常被称为“荷兰策略”论证。

4.1 Conditionalization 4.1 条件化

条件化规则通常被认可为对新信息进行概率更新的方法。它规定，在时间 t1 具有概率函数 pr1 的代理人，在时间 t2 学习 E 和没有更强信息的情况下，应该通过在 E 上进行条件化来获得她的新概率函数 pr2，即对于每个命题 A，pr2(A)=pr1(A∣E)，其中条件概率 pr(A∣E)以比率公式给出：pr(A∣E)=pr(A&E)/pr(E)。有一个荷兰赌定理（策略）论证声称，代理人应该通过条件化来改变信念，这是由 Lewis（1999）构建的，但首次由 Teller（1973）报道。如果代理人违反这一规则，通过调整她的概率使得 pr2(A)<pr1(A∣E)，一个博彩商可以通过首先向代理人出售以下三个赌注来造成确定的损失：

| (Bet 1) | 对于 pr1(A∧E)： | | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

| (Bet 2) | 对于 pr1(A∣E)pr1(¬E)： | | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

| (Bet 3) | 对于 [pr1(A∣E)−pr2(A)] ⋅pr1(E): | | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

如果 E 为假，代理人将损失净额 [pr1(A∣E)− pr2(A)] pr1(E)。如果 E 为真，则庄家将回购第四注赌注：

| (Bet 4) | 对于 pr2(A)：| | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

荷兰赌定理 1 和 2 一起构成对 A 的有条件赌注，如果 E 为假，则取消。如果 E 为真，则以 pr2(A) 更低的价格买回此赌注。赌注 3 分散了该交易的预期收益，以确保在 E 为假的情况下获利。因此，如果 E 为真，则代理人将遭受 [pr1(A∣E)−pr2(A)] pr1(E) 的净损失。如果 pr2(A)>pr1(A∣E)，则该策略涉及颠倒上述赌注的方向。如果以美元作为效用的度量单位，每个赌注在代理人当时的信念下都是公平的。还有一个相反的荷兰赌定理，表明遵循有条件化可以避免荷兰赌定理的脆弱性 Skyrms (1987b).

荷兰赌定理经常被引用来支持如上所述的条件化规则，但是，对于 Lewis 的荷兰策略论证中关于理性更新需要根据证据按照规则进行条件化的主张，存在重要的假设和限制。正如 van Fraassen 所指出的那样，上述的荷兰策略并不能为所陈述的时序条件化原则提供论证（van Fraassen 1989）。对于那些 pr2(A)≠pr1(A∣E)的代理人，除非代理人事先做出违反规则的承诺，否则没有一种策略能保证庄家从中获利。认为上述的赌注构成了一种荷兰赌策略的想法，暗示着代理人的替代规则 D 在 t1 时刻被固定，而在是否已知 E 是否为真之前，代理人必须确保遵循该规则。

然而，即使不假定代理人会按计划改变信念，庄家在某些情况下也可以通过下注来确保自己获利，即在代理人不按计划改变信念时赢得赌注。荷兰赌定理取决于这样一个事实，即代理人最初有一定的概率会在事件 E 发生时以某种特定方式改变概率，而这种改变并非是基于对 E 的条件化的结果。荷兰赌定理的论证并没有证明一个人必须具有这样的概率，因此最多只能表明一个人不应该制定一个涉及在学习事件 E 后以一种不同于对 E 进行条件化的方式更新的固定概率的计划。

即使假定一个代理人完全致力于执行某种与条件化规则相反的替代方案，也会对荷兰策略展示出一些问题。与概率主义的基本 DBA 一样，可以构想出一些情景，在这些情景中，宣布一个不规范的更新规则并留下接受荷兰策略的可能性是理性的，因此荷兰策略论证不应被视为表明具有除条件化之外的更新规则是严格非理性的。相反，该策略的存在指向了采用这样一个规则存在的紧张关系。通过在 E 上进行条件化从 pr1 转变为 pr2 等同于不变性，即对于每个命题 A，pr1(A∣E)= pr2(A∣E)。采用除条件化之外的更新规则因此等同于在 t1 时刻坚持某些 A 的 pr1(A∣E)≠ pr2(A∣E)。请注意，庄家仅仅利用了代理人在 t1 时刻和 t2 时刻给定 E 的 A 的概率之间的差异。如果代理人在 t1 时刻确信他将通过某个不规范的规则 D 进行更新，该规则在那个时刻引发了给定 E 的 A 的条件概率，该概率与 pr1(A∣E)不同。在这种情况下，pr2(A∣E)由代理人的信念状态在 t1 时刻确定，因此鉴于 pr1(A∣E)≠ pr2(A∣E)，可以说代理人的信念可能表现出某种不一致性。虽然这种情况在某种程度上是有问题的，但与简单地在不同时间对命题具有不同置信水平所涉及的不一致性相比，它似乎不太像是完全信念的不一致，而更像是未遵守概率公理，即代理人根据这些评估得出结论，一组赌注中的每一项在某个特定时间是公平的。虽然 pr2(A∣E)可能在 t1 时刻确定，但这不是代理人在 t1 时刻的条件概率，而是她在学习 E 后在 t2 时刻将拥有的 A 的概率。这样的更新计划是代理人信念系统的一部分，因此荷兰赌定理的脆弱性可能被认为是一种缺陷。

荷兰赌定理反对非条件化者的策略，如上所述，还取决于这样一种假设，即要么学习到 E，要么学习到另一种选择不是 E。否则，即使在学习到 E 的条件下，代理人计划调整其信念，使得 pr2(A)≠pr1(A∣E)，也不能保证会造成损失。更一般地，荷兰赌定理的存在假定了一个学习场景，其中代理人可能的全部证据是一组命题{E1，E2，…，En}，这些命题描述了可以学到的内容。

Gallow (2019)指出，如上所述的条件化规则并不取决于可能学到的证据命题，而只取决于先验信念和实际学到的内容。构建一个针对非条件化者的荷兰策略需要一个规则，指定了他们将如何更新他们的信念，考虑到他们可能已经学到的替代证据。因此，最多荷兰策略论证捍卫了条件化规则在一个适当的学习场景中，该场景指定了可能获得的证据。Gallow 还强调，学习场景中的命题必须形成一个分区，正如一些呈现明确假定的那样。如果不是这样，即一些 Ei 重叠，他表明荷兰策略可以针对条件化者。例如，如果 E1 和 E2 是可能学到的证据命题并且它们重叠，学习任何一个都会提高条件化者对它们的连接的信念。可以构建一个荷兰策略，利用先验信念与学习 E1 或学习 E2 后连接的可预见上升之间的差异。Gallow 建议，可能存在学习场景，其中可能的证据未能形成一个分区，并且证据可以在任何学习场景之外获取。

这些观察给荷兰赌定理的论证带来了重大压力，尤其是当像 Gallow 那样阅读该论证时，得出违反条件化规则在认识上是不理性的结论，理由是这样做会导致对荷兰赌策略的脆弱。条件化规则如上所述，建议根据获得的证据 E 进行条件化，而不考虑可能获得的其他证据，因此特别建议在形成分区的学习场景中和那些不形成分区的场景中都进行条件化。但正如 Gallow 所示，对于后一种情况的条件化可能会导致对一种历时荷兰赌的脆弱，因此荷兰赌策略的脆弱未能区分在采纳上述特征的规则和违反该规则的情况之间的差异。

荷兰赌定理的力量保留方式之一是坚持理想理性主体总是在学习情景中获得形成一个分区的证据，这是 Gallow 合理地归因于 Lewis（1999）的观点。即使对于高度理想化的认知主体来说这是正确的，它仍然使得条件化原则在更普通情况下的地位不明确，因此未能将该原则确立为一般规范。此外，对条件化的这种辩护不仅取决于易受荷兰赌定理影响涉及非理性的主张，还取决于对可能的学习情景存在理性约束的主张。

将条件化规则修改为仅适用于形成分区的学习场景，这是一种替代方案。这将允许荷兰赌定理支持更狭窄的主张，即认知合理性要求在形成分区的学习场景中进行条件化，前提是这里的认知合理性概念也能解释其他学习场景中条件化者的荷兰赌定理脆弱性。

Lewis 的荷兰赌定理关于通过条件化改变信任度的论证还有一个限制，即他将原则本身的表述形式定为比率公式，这要求证据的先验概率是非零的。Rescorla（2019）通过提出一种条件化形式，他称之为科尔莫哥洛夫条件化，允许对具有零先验的证据进行条件化。然后，他证明了一个荷兰赌定理及其逆定理，其中定理涉及广义学习场景。

4.2 杰弗里条件化

杰弗里提出了进一步的广义条件化规则（也称为概率运动学或杰弗里条件化），以涵盖经验并未体现为某个证据命题 E 转变为另一个情况的情况，而是源自于在某个分区{Ei}上概率的变化（Jeffrey 1983）。杰弗里的规则陈述道：

pr2(A)=n∑i=1pr1(A∣Ei)pr2(Ei),

荷兰赌定理指的是对于分割的每个元素 Ei，都有 pr1(A∣Ei)=pr2(A∣Ei)的不变条件。要保持更新按照杰弗里条件化进行，就要对每个命题 A 强制执行不变性。这似乎是必要的，因为 Armendt 指出，可以针对一个具有与杰弗里规则冲突的更新规则的代理构建一个荷兰策略（Armendt 1980）。然而，与条件化规则一样，荷兰策略并未表明在对一个分割拥有概率，然后放弃对该分割的先验条件概率时存在任何问题，即违反不变性；问题在于提前采用这种规则。与简单的条件化规则一样，Skyrms（1987b）表明，还有一个相反的荷兰策略论证，表明遵循杰弗里规则可以避免荷兰赌。这里内含杰弗里规则适用于信念在分割上发生变化的情况，但如果代理的学习场景不构成一个分割，Gallow（2019）表明，与简单条件化一样，杰弗里条件化者也可能受到荷兰策略的影响。

荷兰赌定理认为，条件化规则通常被认为要求代理满足每个命题的不变性，一些作者正确地抱怨说这要求信念过于僵化（Bacchus, Kyburg, and Thalos 1990; Levi 2002），但杰弗里并不将这种条件视为理性信念变化的严格要求（Jeffrey 2004）。他留下了这样一种可能性，即当概率在一个分区上发生变化时，条件概率可能会改变，尽管这留下了一个未解之谜，即何时假定不变性是合理的。无论如何，与简单的条件化规则一样，这里的荷兰策略论证也反对计划中的不变性违规。

反思原则

荷兰赌定理也被用来支持备受争议的反思原则，该原则要求对于任何命题 A 和任何未来时间 t，代理人对 A 的当前概率在后来被分配为概率 r 的条件下本身就是 r，即 pr(A∣prt(A)=r)=r。违反反思原则意味着代理人未能支持她可能的某些未来判断，正如范弗拉森所展示的（van Fraassen 1984），这为荷兰赌定理打开了大门。如果代理人在违反反思原则时 pr(A∣prt(A)=r)>r，那么庄家将提供以下赌注：

| (Bet 1) | 对于 pr(A∧prt(A)=r) 的赌注： | | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

| (Bet 2) | 对于 xpr(prt(A)≠r): | | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

| (Bet 3) | 对于 (x−r)pr(prt(A)=r): | | --- | --- | --- | | | 0 | 否则 |

x = pr(A∣prt(A)=r)。

在 prt(A)=r 的情况下，庄家随后从代理那里购买第四个关于 A 的赌注，奖金为 1，代理的新概率价格。

存在这样一种策略的存在表明代理应该满足反思已经被广泛争议，甚至被许多人认为荷兰赌定理和条件化的论据具有说服力。许多讨论源于对反思的各种反例，其中看起来违反这一原则是不理性的。一个例子是由塔尔博特提出的，这个例子的关键在于真实代理人缺乏完美回忆（Talbott, 1991）。他考虑一个人在前一天晚上吃了意大利面（S），比如说 11 月 16 日，然后思考她在一年后的这一天吃意大利面的概率。由于她平均每十天吃一次意大利面，她认为 prt(S)=0.1 是很可能的。但是她肯定不应该在假设 prt(S)=0.1 的情况下，给她前一天晚上吃意大利面的概率分配为 0.1，因为她几乎可以确定（比如说 prt(S)=0.99）她前一天晚上吃了什么晚餐。

塔尔博特在意大利面晚餐的例子中违反反思的合理遗忘涉及一种有限未来损害。克里斯滕森提供了一个不同的案例，其中一个行动者刚刚消耗了一种改变思维的药物（LSQ），他预计一个小时后会让他相信自己能飞，但并没有赋予他任何这样的能力（克里斯滕森，1991 年）。然而，这是药物的唯一效果，因此行动者的能力将保持敏锐。在药物产生效果之前，行动者不应该认为他能飞的概率取决于他在一个小时内相信这一点的概率很高，这是反思所要求的，因为在受影响时他会想什么与他的飞行能力无关。弗拉森（1995 年）讨论了涉及尤利西斯和塞壬的类似例子。

这两个例子中的重要一点是，不仅违反反思是合理的，而且否则会导致未能妥善考虑有关未来信念不可靠性的证据。克里斯滕森自己的回应涉及到，由于历时荷兰赌定理中的赌注是随着时间而定的，不像同步概率公理的论证那样，它们并不揭示一种通常是非理性的不一致形式。其中一个问题是，这将要求拒绝荷兰策略针对那些计划违反条件化的代理人揭示任何形式的问题不一致的主张。克里斯滕森回应的其他问题在（Vineberg 1997）中讨论。

其他人试图回应这些反例，通过区分荷兰赌定理的特征来回应，这些特征并不涉及对所有历时荷兰赌定理的否定。例如，Hitchcock 强调，在评估荷兰赌定理对一个代理人的理性的相关性时，考虑到书 ie 知道什么是很重要的（Hitchcock 2004）。他观察到，与代理人违反概率公理的情况不同，在那种情况下，书 ie 可以仅凭代理人的信念来确定并下注，而在 Talbott 的例子中，书 ie 可能需要利用代理人无法获得的信息来制造荷兰赌。

考虑到一个庄家需要了解的内容以确保自己获利，未能充分区分荷兰赌定理中似乎是理性规范的和不是的部分。首先，正如 Hitchcock 所承认的，这种方法无法解决荷兰策略论证与反思之间的紧张关系以及许多其他反例之间的矛盾。在克里斯滕森的例子中，采取 LSQ 对记忆没有任何影响，它仅仅改变了代理人对自己飞行能力的评估，也就是说，他改变了对非常有限的证据的看法，以便在庄家没有相关信息的情况下执行荷兰策略。

或许我们可以认为，一个书籍可以在没有超出代理人知识范围的情况下制作，至少是一个出色书籍的必要条件。除了意大利面晚餐的情况外，各种案例都支持这样一个观点：荷兰赌定理只有在制作书籍时没有特殊知识的情况下才能证明违反某个原则的不合理性。考虑一个代理人由于未能认识到某些复杂的逻辑真理而违反了概率公理。可以说这并不是不合理的，而在这种情况下设立荷兰赌定理需要代理人缺乏的知识。但是，违反公理的不理性之处在于它被认为是一种不一致的形式，正如希区考克和克里斯滕森所坚持的那样，那么一个庄家可能需要（逻辑）知识，而代理人缺乏这种知识来设立这本书，这与这本书是否有效无关。一个代理人的信念是否不一致，不同于她是否被视为理性的问题，这是独立于她或其他任何人知道的内容的。

布里格斯提供了另一种区分那些违反真正规范的荷兰赌注的方法，与那些不违反的荷兰赌注（Briggs 2009）。争论是，荷兰策略针对那些违反条件化的人揭示了布里格斯所称的不连贯，这被视为一种不一致，而针对反思违规者的荷兰策略仅揭示了自我怀疑，涉及怀疑自己不连贯的代理人。布里格斯假设代理人的信任“纵容”接受某些赌注是公平的，并且代理人的信任只要纵容一组在每个代理人具有这些信任的世界中导致代理人净损失的赌注，那么代理人的信任就可以构成一个荷兰赌注。违反概率公理、条件化或反思会使一个人在这个意义上容易受到荷兰赌注的影响。布里格斯观察到，可能针对违反概率公理或条件化的人构建的荷兰赌注中的赌注将在每个可能的世界中导致净损失；但是，针对反思违规者的荷兰策略中的赌注在某些世界中不会导致损失，这些世界中代理人的信念与她在实际世界中的信念不同。因此，布里格斯建议，不连贯是由涉及在每个世界中导致损失的赌注的荷兰赌注标志，因此反思的违反不涉及不连贯。

马赫塔尼（2012）批评了试图保留荷兰赌定理对条件化的论证方式，而放弃对反思的论证的做法，他认为布里格斯的测试错误地将某些纯粹的自我怀疑案例计算为不一致。马赫塔尼提出了一种新的理解荷兰赌定理的方式，即根据这种方式，只有当一个代理人接受一组赌注为公平，而这些赌注在任何涉及的声明的解释下都会导致损失时，该代理人才是不一致的（马赫塔尼 2015）。根据这种理解，概率公理的违反显示出不一致性，但反思的违反和代理人对自己的信念不确定的自我怀疑案例不被视为不一致，因为它们不涉及在任何解释下都会导致损失的适当荷兰赌定理。正如她所讨论的，这种理解荷兰赌定理的方式使得是否存在一个适用于条件化的适当荷兰赌定理的论证成为一个开放的问题。

布里格斯（Briggs）和马赫塔尼（Mahtani）都从某些赌注的特征中提取了不一致性的条件。然而，尽管他们似乎将其视为一种不一致性，但关于如何准确理解他们所说的不一致性概念仍不清楚。然而，这种讨论很重要，因为有一些直觉认为违反反思不太类似于持有不一致的信念，而违反概率公理。在条件化方面，布里格斯认为荷兰赌定理建立了规则将被遵循的完整原则，这似乎太过强硬，因为理性所要求的一致性似乎不需要制定更新计划，也不严格要求执行这样的计划。确切地说，在某些情况下，当一个人由于有一种替代的更新规则而容易受到荷兰策略的影响时，所涉及的不一致性是什么样的仍不清楚，这或许是对马赫塔尼分析的支持，而条件化的地位仍然没有定论。普斯特（Pust，2021）反驳马赫塔尼，声称她对逻辑形式的阅读过于狭窄，鉴于对逻辑形式更合理的解释，自我怀疑的情况将受到建立不一致性的荷兰赌定理的影响。此外，普斯特认为，这一观点也适用于反思的违规者，因此他们也将被视为不一致的。如果这是正确的，马赫塔尼对荷兰赌定理论证的新理解将无法区分旨在削弱反思的荷兰策略论证的荷兰赌定理。布里格斯和马赫塔尼的提议必须处理信念和赌注之间微妙的联系。马赫塔尼将信念与代理人愿意接受的公平赌注联系在一起，但正如先前指出的，拥有信念并不一定意味着接受赌注是公平的，这种联系并不需要将各种概率规范的违反与荷兰赌定理联系起来。虽然布里格斯承认信念和赌注之间存在复杂的关系，但信念赞同某些赌注的概念似乎也符合去实用化的 DBA 的精神，正如观察到的那样，这些 DBA 存在各种困难。

Pettigrew (2020)提供了另一种摒弃荷兰赌定理对反思的论证方式，同时保留了对条件化的论证。他指出，反思原则是同步的，而荷兰赌定理对其的论证是历时的。因此，他声称这里的荷兰赌定理论证未能针对反思。相反，他说，由于反思的违反者无法遵循条件化，如果他们有一个更新规则，那么荷兰赌定理涉及的是这种偏离条件化。这种区分荷兰赌定理对反思和条件化以及概率公理的论证的方法并不涉及某种一致性，而是符合直接从荷兰赌定理的脆弱性到非理性的观点。问题在于，无论违反反思的人未来的信念如何，无论他们是否采用特定的更新规则，他们都会受到荷兰赌定理的影响，因此，鉴于将荷兰赌定理的脆弱性理解为某种形式的非理性，很难看出荷兰赌定理对反思的论证为何不将该原则作为一种规范来捍卫。

区分不同类型的荷兰赌定理的重要性，以便将一些定为指向一种不连贯或非理性形式的标志是不清楚的。虽然一个或另一个提议可能更符合我们对什么是直观上不连贯（不一致）或非理性的直觉，如果我们保留 Ramsey 的信念作为行动指南的想法，那么在这里区分荷兰赌定理的任何方式看起来都有问题，因为任何导致确定损失的信念，至少在某种程度上，作为行动指南是有缺陷的。

与试图区分荷兰赌定理的原则与其他有利于保留的荷兰赌定理的观点，从而辩护违反反思的观点不同，一个替代方案是将每种荷兰赌定理视为指向一个缺陷，然后论证在某些情况下，最合理的态度是坚持不太理想的信念。 Huttegger（2013）在支持反思的辩护中认可荷兰赌定理的脆弱性通常涉及违背一致性理想的观点。观点是，虽然荷兰赌定理确实确立了反思作为一种一致性约束，但这并不意味着在糟糕的情况下，违背理想不能是整体上最理性的选择。这种回应确实假设反思的违背可以合理地被视为一种不一致，这仍然存在争议。

荷兰赌定理的其他用途

5.1 睡美人

荷兰赌定理的一个有趣应用是 Hitchcock 对令人困惑的《睡美人问题》进行的（Hitchcock 2004）研究。在这个问题中，美人将接受一个实验，她将在星期日晚上入睡，之后会抛一枚公平硬币。如果是正面，她将在星期一短暂醒来一次，如果是反面，她也将在星期二再次醒来。在每种情况下，醒来后，她将被注射药物使其忘记自己曾经醒来。星期三，她醒来，实验结束。美人知道这个实验的事实，所以当她在实验中醒来时，她不知道是星期一还是星期二。问题是确定她在实验中醒来时正面的概率应该是多少。Elga 将这个问题引入了哲学文献（Elga 2000），并认为在醒来时，美人应该将她在星期日晚上分配的概率值从 1/2 调整为 1/3。Lewis 随后辩称，美人在醒来时的概率应该保持在 1/2（Lewis 2001），并且双方都提出了额外的论据。Hitchcock 指出，无论哪种答案都存在一种荷兰赌策略，但然后认为只有一种策略反对美人如果她坚持 1/2。

荷兰赌定理作为潜在的反驳策略，而不是表明单纯地转换到 1/3 或坚持 1/2 是不理性的，因为个体策略取决于在醒来时具有特定概率的计划。如果 Beauty 计划转换到 1/3 的概率，荷兰策略只是对违反反思的人的一般策略的应用。Hitchcock 认为，这并不能证明 Beauty 的不理性，因为在这种情况下，庄家必须在实验期间知道是星期几，以便实施策略，而 Beauty 却缺乏这种信息。另一方面，如果 Beauty 坚持 1/2，一种策略可以在不需要庄家比 Beauty 更了解的情况下进行，方法是让庄家与她一起进行实验，并在星期日提供反对正面的赌注，在实验中 Beauty 和庄家醒来时提供正面的赌注。如果硬币正面朝上，庄家只卖给 Beauty 一次正面的赌注，她的收益总额少于第一次反对正面的赌注的损失。如果硬币反面朝上，庄家在星期一只卖一次正面的赌注，然后在星期二再次卖同样的赌注，以再次给 Beauty 造成损失。Hitchcock 认为这本书反对了答案 1/2，支持 1/3。

荷兰赌定理的一个问题在于，一个博彩者必须了解什么才能确保自己获利，并不代表这就是构成一个合适的荷兰赌定理所必需的。还有一个特殊的理由可以推断出，美人的困境是一个合理的信念程度和投注比例可能分离的情况，因为在转换情况下需要第三次投注才能构成荷兰赌定理，而这第三次投注只有在确定会输的情况下才会提供（见 Vineberg 2004—参见其他互联网资源，以及 Bradley 和 Leitgeb 2006）。在这种情况下，博彩者利用了实验的特征，因此这种策略可以在没有他拥有当天知识的情况下执行。但是，导致构成荷兰赌定理的赌注是由情况触发的事实表明，这种策略并不仅仅取决于美人的信念，因此损失并不反映出纯粹的内在缺陷，尽管博彩者可以在实验期间执行这种策略，而无需获得美人所缺乏的知识。Draper 和 Pust 还认为，Hitchcock 使用荷兰赌定理的论证受到来自证据决策理论的反对（Draper 和 Pust 2008）。

主要原则

最近，Richard Pettigrew（2020）提出了一项荷兰赌定理，作为 Lewis' Principal Principle 对理性信念的额外约束。Principal Principle 要求一个代理人对于机会的信念必须是这样的，即她对于命题 A 在 A 的机会为 r 的条件下的信念等于 r。假设 cr 是代理人的信念函数，ch 是一个机会函数，使得 ch(A)=r 表示 A 的机会是 r，要求是 cr(A/ch(A)=r)=r。这个原则与反思原则的结构类似，只是将当前时间 t 的 A 的机会代替了未来时间 t 的代理人对 A 的信念。因此，如果 cr(A/ch(A)=r)≠r，那么根据这些信念有一系列的赌注，会产生一种荷兰赌定理。详细内容请参见 Pettigrew（2020）。然而，Principal Principle 和 Reflection Principle 的论证之间存在显著差异。首先，由于代理人的未来信念不在 Principal Principle 中起作用，这些赌注是荷兰赌定理的一部分，而不是荷兰策略。虽然这避免了一些关于荷兰策略论证的担忧，但一个问题是，这些赌注是以机会的形式给出的，不能保证确定的损失，只能保证期望的损失，无论机会是什么。

对于 Ramsey 和 de Finetti 而言，诉诸荷兰赌定理的目的是使用与可验证条件相关联的精确术语来建立概率约束，因此对构成一本书的赌注给予明确的支付条件并能够解决是至关重要的。然而，针对违反主要原则的书涉及对机会的赌注，缺乏能产生确定性损失的明确解决条件。在荷兰赌定理的脆弱性所在问题与代理人的评估有关而不仅仅是他们的实用后果之前所讨论的情况下，这里的缺乏确定性损失可能并不关键。然而，将荷兰赌定理在违反概率公理的情况下视为不理性的动机似乎源自这样一种观念，即它导致确定性损失，因此仅与违反主要原则相关的期望损失，不太明显地不理性。特别是，与仅期望损失相关联的信念，而不是确定性损失，不太明显地表明代理人行动指导评估中的不一致性。这种信念仍然可能是不理性的，但澄清其来源似乎需要诉诸机会的本质，而这一点仍未解决。

荷兰赌定理和理性选择

荷兰赌定理也被用来表明在标准决策理论框架内对信任度的适当应用存在局限性。鉴于可用证据通常只呈现模糊或区间值的信任度，有人认为理性允许拥有这种不确定的信任度。埃尔加（Elga 2010）使用了一种逆向荷兰赌定理，涉及一系列肯定会使代理获得净收益的赌注，以证明信任度必须是确定的。其观点是，理性代理必须接受系列中至少一项赌注，但似乎没有一套令人满意的决策规则适用于这种不确定信任度的情况。

麦基构建了另一种类型的荷兰赌定理，对决策理论产生了影响。假设一个代理人的概率函数不集中在有限多个点上。在这种意见状态下，代理人不排除除了有限数量的可能性之外的所有可能性，这似乎既一致又合理，然而，假设代理人的效用是无界的，麦基表明存在一系列无限的赌注，每个赌注都有正的期望值，这些赌注一起确保了损失（McGee 1999）。假设具有不集中在有限多个点上的概率是合理的，麦基质疑了决策理论框架的一般适用性，特别是他的荷兰赌定理所假设的效用最大化原则。

结论

荷兰赌定理显示，概率公理在某种程度上类似于对部分信念的一致性约束，至少在考虑了一些实质性的决策理论假设后，与违反这些公理是一种实用责任的观念不同。但是，对于荷兰赌定理构建的各种其他规范，这种解释并不那么成功。荷兰策略论证支持条件化原则和杰弗里规则的论证并不完全支持这些规范，而只是支持这样一个较弱的主张：在某些额外条件下，不应提前承诺遵循另一种规则，而且这样做可能被说成是不一致的，这种不一致性与违反公理所涉及的内容似乎有所不同。在这里考虑的其他主张，为其构建了荷兰赌定理，更不可能被视为一致性约束，因此似乎是对理想理性的一种不同类型的要求。这表明有必要将“一致性”与比荷兰赌定理脆弱性更狭窄的条件集合联系起来，以免放弃概率公理作为一种扩展普通概念的一致性约束的观念，并且也许要拒绝 DBA。对各种荷兰赌定理进行更精细的分析可能会找到一种方法，将指向真正不一致性的那些与展示其他某种缺陷的那些区分开来，但是一种令人满意的实现这一目标的方法仍然难以捉摸。

在那些至少认同某些荷兰赌定理的人中，有些人认为它们建立了理性要求，但并不认同荷兰赌定理涉及某种不一致性的观念。这避免了解释荷兰赌定理脆弱性所涉及的不一致性的问题，但在明确涉及的理性类型方面面临挑战。对反思的荷兰策略论证的回应引发了对荷兰赌定理脆弱性的一系列态度。令人惊讶的是，在 Ramsey 的论文发表近一个世纪后，对于如何理解荷兰赌定理仍存在如此多的分歧和持续的研究。

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Other Internet Resources

• Vineberg, Susan (2004), “Beauty’s Cautionary Tale”.

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belief, formal representations of | epistemology: Bayesian | preferences | probability, interpretations of | Ramsey, Frank

Acknowledgments

Special thanks to Branden Fitelson, Alan Hájek, and an anonymous SEP referee for their helpful comments on previous drafts of this article. Thanks are also due to my colleagues, Eric Hiddleston, Gregory Novack, and Larry Powers, for their discussions with me about Dutch Book arguments.

Copyright © 2022 by Susan Vineberg <[e-mail]>