混沌 chaos (Robert Bishop)
首次发表于 2008 年 7 月 16 日星期三；实质性修订于 2015 年 10 月 13 日星期二
关于混沌的重要消息应该是，系统中微小的变化可能导致该系统行为上的非常大差异。所谓的蝴蝶效应已经成为混沌最流行的形象之一。这个想法是，阿根廷一只蝴蝶的煽动可能导致三周后德克萨斯州的龙卷风。相比之下，在一个没有阿根廷蝴蝶的世界的完全相同副本中，德克萨斯州不会出现这样的风暴。这种属性的数学版本被称为_敏感依赖_。然而，事实证明，敏感依赖有点陈旧，因此从中流出的一些含义也许并不是那么“重大的消息”。尽管如此，混沌研究以新颖的方式突出了这些含义，并促使人们思考其他含义。
除了表现出敏感依赖性外，混沌系统还具有另外两个属性：它们是确定性的和非线性的（Smith 2007）。本条目讨论展现这三个属性的系统以及它们对理论和理论理解、确认、解释、现实主义、确定性、自由意志和意识以及人类和神圣行动可能产生的哲学含义。
1. 定义混沌：确定性、非线性和敏感依赖
混沌的数学现象在诸如天文学、气象学、种群生物学、经济学和社会心理学等各种科学中都得到了研究。虽然这些各不相同的学科中很少（如果有的话）有共同的因果机制，但混沌的现象行为——例如对初始条件中微小变化的敏感性，或者看似随机和不可预测的行为却遵循精确规则——在这些学科的许多模型中都出现。在如此多样的领域中观察到类似的混沌行为无疑对我们对混沌作为一种现象的理解构成了挑战。
1.1 混沌的简史
可以说，亚里士多德已经意识到了类似于我们现在称之为敏感依赖的东西。在写有关方法论和认识论时，他观察到“离真理稍有偏差，以后就会成千上万倍地增加”（亚里士多德 OTH，271b8）。然而，思考小扰动如何会迅速增长，从而对物理系统的行为产生重大影响，成为一个愈发激烈的研究现象，始于爱德华·洛伦兹（1963）的一篇著名论文。他指出，一个特定的气象模型可能对初始条件的微小变化表现出极其敏感的依赖性。法国数学家雅克·阿达马（Jacques Hadamard）在 1922 年已经建立了关于偏微分方程的框架，展示了对初始条件连续和不连续依赖的情况。在他的框架下，任何表现出敏感但连续依赖的方程都是良定问题；然而，他提出了这样一个可能性，即对于表现出这种敏感依赖的物理系统方程的任何解都可能表明目标系统不服从任何规律（Hadamard 1922，第 38 页）。洛伦兹的开创性工作表明，这种敏感依赖并非数学描述错误；相反，在展示混沌的数学模型中存在着一些有趣之处。此外，洛伦兹及后续的研究表明，似乎不存在表现出敏感依赖的模型的目标系统是否符合规律性的问题。
虽然劳伦兹之前的一些科学家和数学家曾经研究过这种现象，但这些基本上是孤立的调查，从未形成一个可识别的、持续的研究领域，就像劳伦兹开创性论文发表后所发生的那样。初值敏感性（SDIC）对于一些系统已经被詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1876 年，第 13 页）所确认。他将这种现象描述为一种违反“物理公理”的情况，即从相似的前因产生相似的后果的情况被违反。像其他人一样，麦克斯韦认识到这种行为可以在具有足够多变量的系统中找到（在这个数字意义上具有足够复杂性）。但他也认为这种敏感依赖可能发生在两个球体碰撞的情况下（1860 年）。亨利·庞加莱（1913 年）后来认识到，这种行为也可以在具有少量变量的系统中实现（展现出非常复杂行为的简单系统）。皮埃尔·迪厄姆依靠哈达玛和庞加莱的工作，进一步阐明了对于科学家而言，从数学模型中推导出数学上精确的结果的实际后果（1982 年，第 138-142 页）。
庞加莱讨论了一些例子，事后我们可以将其视为对将微小影响的爆炸性增长作为定义混沌的充分条件提出疑问。首先，考虑一个完全对称的锥体，精确平衡在其尖端，只有重力作用于它。在没有任何外力作用的情况下，锥体将永远保持这种不稳定的平衡。它是不稳定的，因为最轻微的推动，比如来自空气分子的推动，都会导致锥体倾倒，但由于受到不同分子碰撞引起的微小扰动的轻微差异，它可能朝任何方向倾倒。在这里，即使是最轻微的原因的变化也会导致戏剧性不同的效果（违反了麦克斯韦的物理公理）。如果我们要绘制不稳定锥体的倾倒，我们会看到从一小团初始条件中，从这个小团中发出的许多不同轨迹会迅速相互分歧。
The concept of nearby trajectories diverging or growing away from each other plays an important role in discussions of chaos. Three useful benchmarks for characterizing trajectory divergence are linear, exponential and geometric growth rates. Linear growth can be represented by the simple expression y=ax+b, where a is an arbitrary positive constant and b is an arbitrary constant. A special case of linear growth is illustrated by stacking pennies on a checkerboard (a=1, b=0). If we use the rule of placing one penny on the first square, two pennies on the second square, three pennies on the third square, and so forth, we will end up with 64 pennies stacked on the last square. The total number of pennies on the checkerboard will be 2080. Exponential growth can be represented by the expression y=n0eax, where n0 is some initial quantity (say the initial number of pennies to be stacked) and a is an arbitrary positive constant. (n0 is called ‘initial’ because when x=0 (the ‘initial time’), we get y=n0.) Going back to our penny stacking analogy (a=1), we again start with placing 1 penny on the first square, but now about 2.7 pennies are stacked on the second square, about 7.4 pennies on the third square, and so forth, and we finally end up with about 6.2×1027 pennies staked on the last square! Clearly, exponential growth outpaces linear very rapidly. Finally, we have geometric growth, which can be represented by the expression y=abx, where a and b are arbitrary positive constants. Note that in the case a=e and b=1, we recover the exponential case.[1]
Many authors consider an important mark of chaos to be trajectories issuing from nearby points diverging from one another exponentially quickly. However, it is also possible for trajectory divergence to be faster than exponential. Take Poincaré’s example of a molecule in a gas of N molecules. If this molecule suffered the slightest of deviations from its initial starting point and you compared the molecule’s trajectories from these two slightly different starting points, the resulting trajectories would diverge at a geometric rate, to the nth power, due to the n subsequent collisions, each being different than what it would have been had there been no slight change in the initial condition.
Poincaré 讨论的第三个例子是一个人在去做生意的路上走路。他在特定时间出发。与此同时，他不知道，同一条街上有一个瓦工正在屋顶工作。瓦工不小心掉落一块瓦，砸死了这个商人。如果这个商人稍早或稍晚出发，他的轨迹结果将大不相同！
1.2 定义混沌
许多人直觉地认为商人的例子在质上与庞加莱的另外两个例子有所不同，并且根本与混沌无关。然而，开始倾斜并开始倒下的尖端上不稳定平衡的圆锥也不是一个混沌系统，因为它没有其他通常被认为属于混沌动力学的特征，比如非线性行为（见下文）。此外，它只有一个不稳定点——尖端——而混沌通常需要在一个区域的几乎所有点上都存在不稳定性（见下文）。要能够将系统识别为混沌或非混沌，我们需要一个定义或一系列区分特征。但是，提出一个可行的、广泛适用的混沌定义一直是一个问题。
1.2.1 动力系统与确定性
开始时，混沌通常被理解为动力系统的一个数学属性。 动力系统是一个确定性数学模型，其中时间可以是连续的或离散的变量。 这样的模型可以被研究为数学对象，也可以用来描述目标系统（比如某种物理、生物或经济系统）。 我将在本文中回到使用数学模型来代表实际世界系统的问题。
对于我们的目的，如果数学模型表现出独特的演变，我们将认为它是确定性的：
(独特演变)
一个模型的特定状态总是后跟相同的状态转换历史。
一个动力系统的简单例子是描述摆动运动的方程。动力系统的方程通常被称为动力学或演化方程，描述了足以描述目标系统的变量随时间的变化（例如，摆的速度作为时间的函数）。对这些方程的初始状态的完整规定被称为模型的初始条件，而对模型域边界的特征化被称为边界条件。具有边界条件的动力系统的一个例子是模拟小炮向墙壁发射橡皮球的方程。边界条件可能是墙壁不吸收动能（运动能量），因此球在不损失能量的情况下从墙壁反射。初始条件将是球从炮口射出时的位置和速度。然后，动力系统将描述球飞向墙壁并从墙壁反弹。
尽管一些关于混沌的通俗讨论声称它使确定性无效，但系统具有独特演化属性并表现出混沌行为并不矛盾（对确定性的混淆很大程度上源于将确定性与可预测性等同—见下文）。虽然确实可以生成表面上的随机性，如果用来分析混沌行为的状态空间（见下文）是粗粒化的，这只会产生一种认识形式的非确定性。基础方程仍然是完全确定性的。如果在混沌系统中确定性崩溃，那只能发生在引入某种不确定性的情况下，使得独特演化属性变为虚假（例如，见下文 §4）。
1.2.2 非线性动力学
在混沌研究中感兴趣的动力系统是_非线性_的，例如液体对流的 Lorenz 模型方程：
dxdtdydtdzdt=−σx+σy;=rx−y+xz;=xy−bz.(Lorenz)
一个动力系统被描述为线性或非线性，取决于描述目标系统的运动方程的性质。考虑一个微分方程系统，比如对于一组变量 x=x1,x2,…,xn，dx/dt=Fx。这些变量可能代表位置、动量、化学浓度或目标系统的其他关键特征，方程组告诉我们这些关键变量如何随时间变化。假设 x1(t)和 x2(t)是方程组 dx/dt=Fx 的解。如果方程组是线性的，很容易证明 x3(t)=ax1(t)+bx2(t)也是一个解，其中 a 和 b 是常数。这被称为_线性叠加原理_。因此，如果系数矩阵 F 不包含任何变量 x 或其函数，则线性叠加原理成立。如果线性叠加原理成立，那么大致上，系统表现为线性：变量的任何乘法变化，比如乘以因子 α，都意味着其输出的乘法或成比例变化为 α。例如，如果你的立体声音量调低，把音量控制旋钮调高一个单位，音量增加一个单位。如果你现在把控制旋钮再调高两个单位，音量增加两个单位。这是线性响应的一个例子。在一个非线性系统中，比如(Lorenz)，线性叠加失败，系统不需要按照变量的变化成比例地改变。如果你把音量控制旋钮调得太远，音量可能不仅增加超过旋钮单位数，而且声音中会出现啸叫和各种其他失真。这些是非线性响应的例子。
1.2.3 状态空间和忠实模型假设
许多物理系统的建模发生在所谓的_状态空间_中，这是一个抽象的数学空间，其中每个点代表系统可能的状态。瞬时状态被认为是由被认为对状态的完整描述至关重要的变量的瞬时值所表征的。在状态空间中工作的一个优点是，它通常允许我们研究目标系统轨迹的有用几何特性，而无需知道动力学方程的确切解。当系统的状态完全由位置和动量变量表征时，得到的空间通常被称为_相空间_。可以通过从初始状态到某个选择的最终状态跟踪模型在状态空间中的轨迹来研究模型。演化方程控制着系统在状态空间中的路径——状态转换的历史。
然而，需要注意这里做出了一些关键的假设。例如，我们假设系统的状态由关键变量的值所表征，并且物理状态通过这些值对应于状态空间中的一个点。这些假设使我们能够为状态空间中这些点的演变开发数学模型，这些模型被认为代表着感兴趣的物理系统（也许通过同构或更复杂的关系）。换句话说，我们假设我们的数学模型是对物理系统的忠实表征，并且所使用的状态空间忠实地代表目标系统的实际可能性空间。这一系列假设被称为_忠实模型假设_（例如，Bishop 2005），在其理想化极限——_完美模型场景_中——它可以授权（也许是粗心的）在模型讨论和系统讨论之间滑动（即，模型的任何真实性质也适用于目标系统，反之亦然）。在非线性模型的背景下，忠实性似乎是不足够的（§3）。
1.2.4 混沌的定性定义
定义混沌的问题基本上是一个问题，即是什么使得一个动力系统（如（1））混沌而非非混沌。但这个问题的答案很难找到！斯蒂芬·凯勒特（Stephen Kellert）将混沌理论定义为“确定性非线性动力系统中不稳定非周期行为的定性研究”（1993 年，第 2 页）。这个定义将混沌限定为非线性动力系统的一个特性（尽管在他的（1993 年）中，凯勒特有时对于混沌是数学模型的行为还是实际世界系统的行为存在歧义）。也就是说，混沌主要是某些类型数学模型的一个特性。此外，凯勒特的定义指出了同时存在的两个关键特征：不稳定性和非周期性。不稳定系统是那些表现出 SDIC 的系统。非周期行为意味着系统变量从不以任何规律方式重复任何数值。我认为他的定义中的“理论”部分与对这些系统的“定性研究”有很大关系，所以让我们把这部分留给 §2。因此，混沌似乎是非线性动力系统中的不稳定非周期行为。
这个定义既是定性的又是限制性的。它是定性的，因为对于所讨论行为的不稳定和非周期性特性没有给出数学上精确的标准，尽管有一些表征这些方面的方法（动力系统和非线性的概念具有精确的数学含义）。当然，可以添加对不稳定性和非周期性的数学上精确的定义，但这种精确性可能实际上并不会导致对定义的有用改进（见下文）。
定义是有限制性的，因为它将混沌局限于数学模型的属性，因此对于实际物理系统的重要性变得脆弱。在这一点上，我们必须引入忠实模型假设——即，我们的数学模型及其状态空间与目标系统及其可能行为之间有密切对应，以建立这一定义与实际系统中的混沌之间的联系。在这里，我们立即面临两个相关问题：
我们的数学分析特征，例如不稳定性的表征，是否被证明过于简化或有问题，以至于它们对物理系统的应用可能没有用处？
此外，凯勒特的定义可能也过于宽泛，无法仅仅挑出混沌行为。例如，考虑迭代映射 xn+1=cxn。这个映射显然只展示不稳定和非周期轨道。例如，选择值 c=1.1 和 x0=.5，连续迭代将继续增加，永远不会接近原始值 x0。因此，凯勒特的混沌定义会将这个映射归类为混沌，但这个映射没有任何其他属性使其符合混沌特征。这表明凯勒特对混沌的定义会挑出比通常被接受为混沌的行为集合要广泛得多的行为。
罗伯特·巴特曼（1993 年）的一部分讨论了混沌的问题定义，即那些侧重于不可预测性概念的定义。这当然既不是必要的，也不足以将混沌与纯粹的随机行为区分开来。巴特曼实际上并没有明确指定混沌的替代定义。他暗示指数不稳定性——即从相邻初始条件发出的两条轨迹的指数发散（被许多人视为 SDIC 的定义特征）——是一个必要条件，但对于它是否足够则持保留态度。
图 1：洛伦兹吸引子
然而，对于巴特曼来说，似乎作为混沌的一个关键特征的是一种“拉伸和折叠”机制在动力学中的存在（请参阅他的论文第 49 页和图 5 的讨论）。基本上，这样的机制会导致一些轨迹迅速收敛，同时导致其他轨迹迅速发散。这样的机制会导致状态空间中某个小邻域内的各个点发出的轨迹以相当戏剧性的方式混合和分离。例如，在洛伦兹吸引子上，一些最初相邻的轨迹（图 1）会分离，其中一些最终迅速到达一侧，而另一些则迅速到达另一侧。这种拉伸和折叠是导致状态空间中轨迹之间距离定义增加（发散）的部分。
存在这样一个机制在动态中，Batterman 认为，这是混沌的必要条件。因此，这一定义特征可以应用于数学模型和实际世界系统，尽管在目标系统中识别这种机制可能会相当棘手。
1.2.5 混沌的定量定义
让我们从 SDIC 的属性开始，并区分敏感依赖的弱形式和强形式（在某种程度上遵循 Smith 1998）。弱敏感依赖可以描述如下。考虑传播子 J(x(t))，一个随时间演化轨迹 x(t)的函数（传播子的一个示例在 附录 中给出）。设 x(0)和 y(0)分别是两条不同轨迹的初始条件。那么，弱敏感依赖可以定义为
(WSD)
一个以 J(x(t)) 为特征的系统，如果且仅如果 ∃ε>0 ∀x(0) ∀δ>0 ∃t>0 ∃y(0)，|x(0)−y(0)|<δ 且 |J(x(t))−J(y(t))|> ε，则具有对初始条件的弱敏感依赖性的性质。
基本思想是，传播子的作用是，无论 x(0) 和 y(0) 有多接近，从 y(0) 开始的轨迹最终将会与从 x(0) 开始的轨迹相距 ε。然而，WSD 并未指定发散的速率（它与线性发散速率兼容），也未指定多少点围绕 x(0) 会导致发散的轨迹（可以是任意测度的集合，例如零）。
另一方面，混沌通常以一种强烈的敏感依赖形式为特征：
(SD)
∃λ 存在这样的 λ，对于几乎所有的点 x(0)，∀δ>0 存在 t>0，使得对于 x(0) 附近的一个小邻域(δ) 中的几乎所有点 y(0)，|x(0)−y(0)|<δ 且 |J(x(t))−J(y(t))|≈|J(x(0))−J(y(0))|eλt，
这里，“几乎所有” 的限制被理解为适用于状态空间中除了零测集的所有点。在这里，λ 被解释为最大的全局 Lyapunov 指数（参见 附录），并被视为从围绕 x(0) 的某个小邻域发出的相邻轨迹的平均发散速率。如果 λ>0，则暗示指数增长（如果 λ<0，则暗示收敛）。一般来说，这样的增长不可能永远持续下去。如果系统在空间和动量上是有界的，那么附近轨迹可以相互发散的距离将受到限制。
请注意，根据 SD 的说法，庞加莱的前两个例子将不符合混沌系统的特征（第一个展示了从零到大于指数增长的整个范围，而第二个展示了大于指数增长的增长）。另一方面，这些例子确实符合 WSD。
为了设计混沌的定义，一种策略是从离散映射开始，然后推广到连续情况。例如，如果从一个连续系统开始，通过使用庞加莱截面——大致上，定义一个二维平面并绘制轨迹与该平面的交点——可以生成一个离散映射。如果原始连续系统表现出混沌行为，那么通过截面生成的离散映射也将是混沌的，因为截面将具有与连续系统相同的拓扑性质。罗伯特·德瓦尼（Robert Devaney）在 1989 年以这种方式提出了混沌的影响力定义。
让 f 是定义在某个状态空间 S 上的函数。在连续情况下，f 会在 S 上连续变化，我们可能会有一个微分方程来说明 f 的变化方式。在离散情况下，f 可以被看作是一个可以被迭代或多次应用的映射。为了表示这一点，我们可以写成 fn(x)，表示 f 被迭代应用 n 次。例如，f3(x) 就表示 f 已经被应用了三次，因此 f3(x)=f(f(f(x)))（Robert May 在 1976 年的经典评论文章中对此进行了很好的讨论，对于 logistic 映射 xn+1=rxn(1−xn)（例如在建模捕食者-猎物关系动态时出现）。此外，让 K 是 S 的一个子集。那么 f(K) 表示将 f 应用于点集 K，也就是说，f 将集合 K 映射到 f(K)。如果 f(K)=K，则 K 在 f 下是一个 不变 集。
现在，Devaney 对混沌的定义可以如下陈述：
(混沌)
一个连续映射 f 如果存在不变集合 K⊆S ，则 f 被称为 混沌
f 在 K 上满足 WSD，
引发周期轨道的点集在 K 中是密集的，而变化
f 在 K 上是拓扑混沌的。
拓扑混沌是以下概念：考虑围绕点 u 和 v 的开集 U 和 V。无论 U 和 V 有多小，从 U 开始的某条轨迹最终会访问 V。这个条件大致保证了从 U 点开始的轨迹最终会密集地填满 S。综合起来，这三个条件试图精确描述我们期望混沌系统展现出的不规则、非周期性行为。
Devaney 的定义具有精确和简洁的优点。然而，对此提出了异议。自从他提出这个定义以来，已经表明如果集合 K 有无限多个元素，则(2)和(3)意味着(1)（参见 Banks 等人 1992 年），尽管这一结果对于具有有限元素的集合并不成立。更重要的是，这个定义似乎违反直觉，因为它强调周期轨道而不是非周期性，但后者似乎更好地描述了混沌。毕竟，正是缺乏周期性是混沌的特征。然而，公平地说，Devaney 将他的定义表述为不稳定周期点，这种点的轨迹从相邻点发出会展现出 WSD。如果不稳定周期点集在 K 中是密集的，那么我们可以保证混沌特征的非周期轨道将会很丰富。一些人认为(2)甚至不是表征混沌的必要条件（例如，Robinson 1995 年，第 83-4 页）。此外，Devaney 的定义中没有任何暗示轨迹的拉伸和折叠，而这似乎是从定性角度看混沌的必要条件。Peter Smith（1998 年，第 176-7 页）认为混沌可能是混沌的结果，而不是标志。
捕捉混沌动力学中典型的轨迹折叠和拉伸概念的另一种可能性是：
(混沌)
如果对于某个迭代 n≥1，一个离散映射 f 将单位区间 I 映射到一个马蹄形（见图 2），则该映射 f 是_混沌_的。
图 2：斯梅尔的马蹄
要构建 Smale 马蹄地图（图 2），首先从单位正方形（用黄色表示）开始。首先，将其在 y 方向拉伸超过两倍。然后在 x 方向压缩超过两倍。现在，折叠得到的长方形，并将其放回正方形，使构造重叠并留下初始单位正方形的中间和垂直边缘。重复这些拉伸和折叠操作会导致 Samale 吸引子。
这个定义至少有两个优点。首先，可以证明混沌意味着混沌。其次，它产生指数级的发散，因此我们得到 SD，这是许多人对于混沌系统的期望。然而，它有一个重大缺点，即不能应用于可逆映射，这种映射是许多表现出哈密顿混沌的系统的特征性映射。哈密顿系统是总动能加势能守恒的系统；相比之下，耗散系统通过一些耗散机制（如摩擦或粘性）失去能量。哈密顿混沌，因此，是哈密顿系统中的混沌行为。
其他可能的定义已经在文献中提出。例如（Smith 1998，第 181-2 页）,
(Chaoste)
一个离散映射只有在展示_拓扑熵_的情况下才会是_混沌的_：设 f 是一个离散映射，{Wi}是包含在一个有界区域 W 内的概率测度下不变于 f 的分割。那么 f 的拓扑熵被定义为 hT(f)=sup{Wi}h(f,{Wi})，其中 sup 是集合{Wi}的上确界。
大致上，给定邻域 N 中距离彼此不到 ε 的点 x(0)，经过 f 的 n 次迭代后，从 N 中的点开始的轨迹将相差 ε 或更大，随着 n 的增加，越来越多的轨迹将至少相差 ε。然而，在一维映射的情况下，可以证明混沌意味着混沌性。因此，这似乎不是一个基本定义，尽管相对于其他定义，它经常更有用于证明定理。
另一个经常在物理文献中发现的候选者是
(Chaosλ)
一个离散映射如果具有正的全局李雅普诺夫指数，则被称为_混沌_。
这里的积极意味着对于指定集合 S 中的几乎所有点，全局李雅普诺夫指数都是正的。这个定义与 SD 直接相关，物理学家经常用它来表征混沌系统。此外，在进行计算时，它提供了实际优势，并且通常可以“直接”与从物理系统生成的数据集相关联，以检查全局李雅普诺夫指数的实验数据。
1.2.6 与李亚普诺夫指数和敏感依赖的困扰
有人可能认为 SD，混沌或混沌 λ 足以定义混沌，但这些表征从简单的反例中遇到问题。例如，考虑一个离散动力系统，其中 S=[0,∞)，绝对值作为度量（即，定义两点之间距离的函数）在 R 上，映射 f:[(0,∞)→[0,∞)，f(x)=cx，其中 c>1。在这个动力系统中，所有相邻轨迹呈指数级分歧，但都加速到无穷远。然而，混沌动力学通常被描述为局限于某个吸引子 - 在耗散系统的情况下是奇怪的吸引子（见下文 5.1 节），在哈密顿系统的情况下是能量面。这种限制不一定是由于某个容器的物理壁。如果在哈密顿混沌的情况下，动力学被限制在一个能量面上（通过类似重力的力的作用），这个面可能在空间上是无界的。因此，至少需要一些额外的条件（例如，确保状态空间中的轨迹是密集的）。
在许多物理学和哲学文献中，似乎假定以下一组条件足以定义混沌：
由于某种拉伸和折叠机制，轨迹被限制。
一些轨道是_非周期_的，意味着它们在任何时间尺度上都不会重复。
轨迹表现出 SD 或混沌 λ。
在这三个特征中，(c)通常被认为是定义 SDIC 并且经常被怀疑与另外两个特征有关。也就是说，由 λ 表征的相邻轨迹间隔的指数增长被认为是一种特定类型动力学的属性，这种动力学只能存在于非线性系统和模型中。
尽管定义混沌的首选方法涉及全局 Lyapunov 指数，但这种定义 SDIC（因此也是混沌特征）的方式存在问题。首先，全局 Lyapunov 指数的定义涉及无限时间极限（参见 附录），因此严格来说，λ 仅表征不确定性随着时间 t 无限增长，而不是对于任何有限的 t。因此，SD 中的 ∃λ 和 ∃t>0 的组合是不一致的。最多，SD 只能适用于长时间极限，这意味着混沌作为一种现象只能在这种极限下出现，与我们认为的最佳证据相矛盾。此外，我们的模型和物理系统都不会运行无限时间，但需要无限长的时间来验证状态空间中从无穷小近点发散的轨迹的指数增长。
变化可能会尝试通过援引标准物理学家的假设来解决这些问题，即无限时间极限可以用来有效地代表一段大但有限的经过时间。然而，在混沌背景下怀疑这一假设的一个原因是，有限时间 Lyapunov 指数的计算通常不会导致像全局 Lyapunov 指数所描述的平均指数增长（例如，Smith，Ziehmann 和 Fraedrich 1999 年）。一般来说，对于有限时间，传播子在状态空间中的点对点变化（即，它是状态空间中位置 x(t)的函数，并且只在无限时间极限下接近一个常数），这意味着局部有限时间 Lyapunov 指数会在点对点之间变化。因此，随着时间的推移，轨迹以不同的速率发散和收敛——不确定性在状态空间的混沌区域中并不是均匀变化的（Smith，Ziehmann 和 Fraedrich 1999 年；Smith 2000 年）。这与全局 Lyapunov 指数形成对比，全局 Lyapunov 指数是轨迹发散的平均度量，并暗示不确定性会均匀增长（对于 λ>0），但这种均匀增长很少在一些简单的数学模型之外发生。例如，Lorenz，Moore-Spiegel，Rössler，Henon 和 Ikeda 吸引子都拥有在时间上不确定性减少的区域，不同轨迹从某个小邻域发出，在这些区域内停留的时间内，与不同轨迹相关的不确定性会缩小（例如，Smith，Ziehmann 和 Fraedrich 1999 年，第 2870-9 页；Ziehmann，Smith 和 Kurths 2000 年，第 273-83 页）。因此，在轨迹发散方面的平均指数增长在混沌动力学中并不是一定会发生的。线性稳定性分析可以指示何时可以预期非线性将主导动力学，并且局部有限时间 Lyapunov 指数可以指示吸引子上的区域，在这些区域中，这些非线性将导致_所有_不确定性减少——导致轨迹收敛而不是发散——只要轨迹保持在这些区域内。
总之，关于从相邻点发出的轨迹在状态空间的混沌区域中平均指数发散的传说，在除了简单数学模型的无限时间极限中的微小不确定性之外，在任何意义上都是错误的。
标准解释的第二个问题是，没有任何暗示有限不确定性将表现出任何李雅普诺夫指数（局部或全局）所表征的平均增长率。例如，用于推导全局李雅普诺夫指数的线性化动力学假定了无穷小不确定性（附录（A1）-（A5））。但是，当不确定性是有限的时，这样的动力学就不适用，无法从无穷小不确定性的动力学中得出关于有限不确定性动力学的有效结论。当然，无穷小不确定性永远不会在有限时间内变为有限（除非是超指数增长）。即使无穷小不确定性在有限时间后变为有限，那也会假定动力学是不受限制的，而非线性动力学的有趣特征通常发生在状态空间的子区域。假定动力学是不受限制的将与我们通常试图捕捉的特征不一致。
如果它们的分离不再是无穷小的，那么能否将标准偏差的平均指数增长率合理地归因于轨迹的发散？检查简单模型（例如，Baker 的变换）可能会表明是的。然而，回答这个问题需要对洛伦兹或摩尔-斯皮格尔吸引子等更复杂的系统进行一些谨慎的考虑。可能会发现，在混沌区域内两个相邻轨迹之间的有限分离的发散速率在它们在状态空间中绕行过程中多次改变特性，有时比从全局李雅普诺夫指数计算的速度快，有时慢，有时收敛，有时发散（Smith，Ziehmann 和 Fraedrich 1999；Ziehmann，Smith 和 Kurths 2000）。但从长远来看，其中一些轨迹可能会_有效地_发散，_就好像_其不确定性的平均增长率由全局李雅普诺夫指数所表征。然而，有人推测，在状态空间中表现出这种行为的初始点集是一个零测度集，这意味着，尽管有无限多个点表现出这种行为，但这个集合代表构成吸引子的点数的百分之零。邻近轨迹经历的发散（收敛）的详细结构取决于动力学的详细结构（即，它是由有限不确定性的局部增长和收敛逐点决定的，而不是由任何李雅普诺夫指数决定）。
但作为一个实际问题，所有有限的不确定性都会饱和到吸引子的直径。这就是说，不确定性在有限时间后达到一定的扩散程度，并且不能很好地由从 Lyapunov 指数导出的全局度量来量化（例如，Lorenz 1965）。因此，关于轨迹的平均指数发散特征混乱动力学的民间传说对于非线性模型和系统，特别是我们想要标记为混沌的系统是误导性的。因此，从全局 Lyapunov 指数为正推断出平均指数发散轨迹的存在是无效的。这对定义混沌的影响是指由全局 Lyapunov 指数参数化的指数增长结果并不是一个合适的度量。因此，SD 或 Chaosλ 这些定义混沌的方式是误导性的。
最后，我想简要提一下相对论的特殊理论中全局 Lyapunov 指数的观察者相关性。正如最近所证明的（Zheng, Misra 和 Atmanspacher 2003），在洛伦兹变换下，全局 Lyapunov 指数的大小会发生变化，尽管符号不变，例如，正 Lyapunov 指数在洛伦兹变换下始终为正。此外，在林德勒变换下，全局 Lyapunov 指数并不是不变的，因此一个在 SD 或 Chaosλ 下被加速的林德勒观察者所描述的系统结果是非混沌的，而对于一个惯性闵可夫斯基观察者来说是混沌的，而对于一个惯性闵可夫斯基观察者来说是混沌的系统对于一个加速的林德勒观察者来说是非混沌的。因此，除了爱因斯坦的特殊相对论理论为观察者提出的同时性微妙问题（请参阅 同时性的约定性 条目），混沌，至少在 SD 或 Chaosλ 下，也对不同参考系中的观察者对具有观察者相关特征。这些特征对我们对混沌现象的理解意味着什么，目前仍然是未被充分探讨的。
1.2.7 变化
数学家和物理学家对混沌行为的精确定义尚无共识，尽管物理学家通常更喜欢 Chaosh 或 Chaosλ。然而，对于实际系统中有限的不确定性，后两个定义在数学模型中的适用性有限且显然是错误的。似乎并不存在一个“正确”的定义，而是不同的定义在泛化、定理生成、计算便捷性等方面存在不同的优势和劣势。混沌的必要条件最佳候选仍然似乎是(1) WSD，这是相当弱的，或者(2) 存在拉伸和折叠机制（在一个维度上“拉开轨迹”，在另一个维度上“压缩它们”）。
另一个担忧是，我们一直在考虑的定义可能仅适用于我们的数学模型，但可能不适用于实际的目标系统。正式的定义旨在充分描述数学模型中的混沌行为，但我们也对在物理和生物系统中捕捉混沌行为感兴趣。现象学上，我们在实际世界系统中看到的混沌行为表现出 SDIC、非周期性、不可预测性、对微小扰动的不稳定性和明显的随机性等特征。然而，考虑到目标系统仅运行有限的时间，而不确定性总是大于无穷小，这些系统违反了推导 SD 所需的假设。换句话说，即使我们有良好的统计量度，可以得出物理数据集中不确定性的平均指数增长，我们如何保证这与 SD 的指数增长相对应呢？毕竟，任何不确定性的增长（或者，任何相邻轨迹之间距离的增长）都可以用指数来拟合。如果全局 Lyapunov 指数没有物理意义（因为它们仅适用于无穷小不确定性），那么人们可以自由选择任何参数来拟合不确定性增长的指数。
那么，这让我们在混沌的定义方面处于何种境地？我们所有的定义尝试都是不足的吗？混沌只有一个定义吗？如果是这样，它只是一个数学属性还是一个物理属性？也许我们需要多个定义（其中一些是不等价的）来充分描述这种复杂而错综复杂的行为？可以合理地期望对物理学家和应用数学家感兴趣的混沌现象学特征能够在精确的数学定义中得到捕捉吗？考虑到对这些特征的表征可能存在不可简化的模糊性，从物理角度来看，对于识别和探索负责轨迹拉伸和折叠的基本机制是否仅需要现象学的表征就足够了？对于这些问题的答案在很大程度上取决于我们所从事的调查类型的目的（例如，证明严格的数学定理 vs. 检测物理数据中的混沌行为 vs. 设计系统来控制这种行为）。
坐在所有这些讨论的背景中的是非线性。混沌只存在于非线性系统中（至少对于经典宏观系统来说；有关量子混沌的副标题请参见第 6 节）。非线性似乎是拉伸和折叠机制的必要条件，因此似乎是混沌行为的必要条件。然而，还有一种描述发生这种拉伸和折叠的系统的替代方式：不可分割性。
如第 1.2.2 节所讨论的，线性系统总是遵守线性叠加原理。这意味着这类系统的哈密顿量总是可分的。可分的哈密顿量总是可以转化为一系列单独哈密顿量的和，其中每个元素对应于每个子系统。实际上，可分系统是指子系统之间的相互作用可以被消除，使得子系统彼此独立。整体就像是部分的总和。对于可分的哈密顿量来说，混沌是不可能的。相比之下，对于非线性系统，哈密顿量从不可分。没有转化技术可以将不可分的哈密顿量转化为单独哈密顿量的和。换句话说，非线性系统中的相互作用无法分解为单独独立的子系统，整个系统及其环境也不能被忽略（Bishop 2010a）。不可分的经典系统是混沌行为可能显现的系统类型。因此，可以说哈密顿量的不可分性是拉伸和折叠机制以及混沌的必要条件（例如，Kronz 1998）。
2. 什么是混沌“理论”？
文献中经常提到“混沌理论”。例如，Kellert 将混沌理论描述为“对确定性非线性系统中不稳定非周期行为的定性研究”（Kellert 1993，第 2 页）。混沌在什么意义上是一种理论？它是否与电动力学或量子力学一样是理论？
回答这类问题很困难，如果没有其他原因，那是因为人们对理论是什么存在争议。科学家们通常将理论视为提供实际世界现象解释和预测的系统性知识体系。但是，试图比这更具体或更精确会产生对如何概念化理论存在重大差异。这里的选择范围从逻辑实证主义者和经验主义者的公理或语法观点（参见 维也纳学派）到语义或模型论观点（参见 科学中的模型），再到库恩式（参见 托马斯·库恩）和对理论的不太严谨的概念。理论的公理观似乎不适用于混沌。在混沌动力学文献中，没有公理，没有定律，没有演绎结构，没有将观察性陈述与理论陈述相联系的任何内容。
凯勒特（1993）对混沌模型的关注暗示了理论的语义观，许多关于混沌的文本和文章都集中在模型上（例如，Logistic 映射，Henon 映射，Lorenz 吸引子）。简而言之，在语义观中，理论的特征在于（1）一些模型的集合和（2）将这些模型与理想化物理系统联系起来的假设。文献中讨论的数学模型是具体且相当清晰的，但是关于将混沌模型与理想化物理系统联系起来的假设呢？在混沌文献中，人们广泛讨论各种稳健或普适模式以及使用混沌模型可以或不可以进行的预测类型。此外，人们非常强调定性预测，几何“机制”和模式，但这都没有详细说明将混沌模型与理想化物理系统联系起来的假设。
一个可能性是寻找关于在研究实际物理系统时如何部署这些模型的假设。混沌模型似乎被用来确定有关分岔点、周期倍增序列、混沌动力学的开始、奇怪吸引子和混沌行为动物园中其他行为的各种信息。如果我们要充分运用语义概念，那么将不得不填补将混沌模型与物理系统连接起来的假设。我认为，这些假设可能涉及从物理数据重建的奇怪吸引子如何与最初记录数据的物理系统相关联，或者关于使用比如说 Poincaré 面截面技术开发的特定完全非线性模型（理想化的物理系统）的一维映射如何与被建模的目标系统相关联。
这种方法似乎与语义观相一致，正如经典力学所示。在那里，我们有各种模型，比如谐振子，以及关于这些模型如何适用于理想化的物理系统的假设，包括弹簧常数的规范以及它们与模型中的数学术语的对应，小振荡极限等等。但在经典力学中，理论模型与可以定义在这些模型变量上的状态空间之间存在明确的关联，还有关于模型状态空间与被建模的物理系统的关系的进一步假设（忠实模型假设，§1.2.3）。人们可以在状态空间和模型之间进行转换，并且在经典力学的情况下，也可以将规律解读出来（例如，牛顿的运动定律被编码在经典力学状态空间中允许的可能性中）。
不幸的是，状态空间、混沌模型和规律之间的联系并不太明确。事实上，目前还没有混沌规律的良好候选者，超越了古典力学的规律，一些人，比如凯勒特(Kellert)，明确否认混沌建模根本没有涉及规律(1993 年，第 4 章)。此外，混沌模型的状态空间与理想物理系统的空间之间的关系非常微妙，这似乎是古典力学和“混沌理论”之间的不同之处。在前一种情况下，我们似乎能够在模型和状态空间之间进行转换。在后一种情况下，我们可以从完全的非线性模型中推导出混沌模型的状态空间，但我们无法逆转这个过程，从混沌模型的状态空间回到非线性模型的状态空间。人们可能期望将连接混沌模型与理想物理系统的假设依附于连接古典力学模型与其相应理想物理系统的假设。但在古典力学中的非线性系统的情况下，这种工作方式并不明确，也不清楚这在生物学、经济学和其他学科的混沌模型中是如何运作的。
此外，还有另一个潜在问题，即思考忠实模型假设会引发什么问题，即模型与目标系统之间的关系或映射是什么？我们是否像通常假设的那样是一对一的关系？还是一对多的关系(同一目标系统的几个不同非线性模型，或者可能反过来)或者多对多的关系？对于许多古典力学问题——即在牛顿第二定律中使用线性模型或力函数的情况下，模型与目标系统之间的映射或转换似乎是直接一对一的。然而，在非线性情境中，当一个人可能正在根据观察系统生成的数据集构建模型时，可能会有许多非线性模型可以构建，其中每个模型在经验上都与系统行为一样令人满意。对于每个目标系统是否真的只有一个独特的模型，而我们只是不知道哪一个是“真正”的(比如，因为存在不确定性问题——请参阅 科学实在主义)？或者我们的数学模型与目标系统之间真的没有一对一的关系？
此外，语义观的一个重要特点是，模型仅旨在捕捉目标系统的关键特征，并始终涉及各种形式的抽象和理想化（参见 科学模型）。在非线性动力学的背景下，这些警告可能具有潜在的致命性。对于这类系统，我们模型中的任何错误，无论我们的初始数据有多准确，都将导致对实际系统的预测错误，因为这些错误会随着时间的推移而增加（也许会迅速增加）。这凸显了忠实模型假设中的一个问题，这个问题在线性系统的背景下，可以说是隐藏的。在后一种情况下，模型可能会因为遗漏了“可忽略”的因素而出错，并且至少在合理的时间内，我们的模型预测与我们正在建模的目标系统没有显著差异（然而，等待足够长的时间，这些预测将会有显著差异）。相比之下，在非线性背景下，并不那么清楚是否存在任何“可忽略”的因素。即使在非线性模型中最小的遗漏也可能导致灾难性后果，因为这些项与其缺失之间的差异可能会随着模型的演变而迅速放大（参见 §3）。
另一种可能性是放弃将模型与目标系统联系起来的假设，而只专注于语义观理论的定义模型。这在很大程度上符合动力系统的数学理论精神。在那里，重点是放在模型及其关系上，但并没有强调将这些模型与实际系统（无论是理想化的还是其他形式的）联系起来的假设。不幸的是，这意味着混沌理论将只是一个数学理论，而不是一个物理理论。
变化理论的句法和语义观点都集中在理论实体的形式结构上，它们与关于混沌动力学的理论化似乎存在相当大的问题。相比之下，也许人们应该以更不正式或范例化的方式来构想混沌理论，比如沿着库恩对科学范式的分析的思路（1996 年）。在库恩对科学的描绘中，并没有强调科学理论的精确结构。相反，理论是由它们在主导范式内在正常科学实践中扮演的角色主要定义的具有凝聚力的系统化知识体系。关于混沌的文献中非常强烈地感受到一个“新范式”已经从混沌研究中崛起，它强调的是_不稳定_而不是稳定的行为，动力学模式而不是机制，普遍特征（例如费根鲍姆数）而不是定律，以及对定量预测而不是精确预测的定性理解。无论混沌动力学是否代表了一个真正的科学范式，在许多科学和哲学文献中使用“混沌理论”这个术语明显地具有表征和理解复杂行为的味道，而不是强调原则和假设的形式结构。
3. 非线性模型、忠实度和确认
鉴于要建模的目标系统，并引用忠实模型假设，在哲学文献中讨论了有关建模确认的两种基本方法，遵循一种被称为逐步改进的策略（我将忽略引导式方法，因为它们存在类似问题，但只会使讨论复杂化）。这些逐步策略也出现在科学家建模实际世界系统的工作中，并代表着竞争争取政府资金的方法（有关早期讨论，请参见汤普森 1957 年）。
第一种基本方法是专注于对模型使用的初始数据的准确性进行连续的改进，同时保持模型本身不变（例如，Laymon 1989，第 359 页）。这里的想法是，如果一个模型在某种程度上忠实地复制了目标系统的行为，那么提高输入给模型的初始数据的精度将导致其行为单调地收敛到目标系统的行为。也就是说，随着初始数据中的不确定性减少，可以预期忠实模型的行为将收敛到目标系统的行为。忠实模型假设的重要性在于，如果在适当的状态空间中绘制目标系统的轨迹，那么在相同状态空间中绘制的模型轨迹将在某种度量上单调地变得更像系统轨迹，随着数据的改进（我将忽略有关用于辨别轨迹相似性的适当度量的困难；请参见史密斯 2000）。
第二种基本方法是专注于模型的连续细化，同时保持初始数据不变（例如，Wimsatt 1987）。这里的想法是，如果一个模型在复制目标系统的行为方面是忠实的，那么对模型进行改进将使其与目标系统的行为更加契合。也就是说，如果一个模型是忠实的，连续的改进将导致其行为单调地收敛到目标系统的行为。再次强调忠实模型假设的重要性，即如果在适当的状态空间中绘制目标系统的轨迹，模型在相同状态空间中的轨迹将随着模型变得更加现实而单调地变得更像系统轨迹。
这两种基本方法的共同之处在于，模型行为向目标系统行为的逐步单调收敛是确认模型的标志（Koperski 1998）。通过改善初始数据的质量或改善模型的质量，所讨论的模型会更单调地复制目标系统的行为，并产生对目标系统未来状态的预测，这些预测与目标系统的行为相比显示出越来越少的偏差。从这个意义上讲，向目标系统行为的单调收敛是确认模型的关键标准。如果通过追求这两种基本方法之一都找不到向目标系统行为的单调收敛，那么该模型被认为是被否定的。
对于线性模型来说，这种逐步策略的直观吸引力是很容易理解的。毕竟，对于线性方程组，变量幅度的微小变化必定会导致模型输出的成比例变化。因此，通过对初始数据或线性模型进行逐步改进，只会期望模型输出发生成比例的变化。如果线性模型是忠实的，那么通过在初始数据或模型本身中进行“朝着正确方向”的小改进，可以通过改进的模型性能来跟踪。基于忠实模型假设的修饰语“朝着正确方向”，意味着数据质量确实提高了，或者模型确实更加现实（以越来越准确的方式捕捉目标系统的更多特征），并且通过模型相对于目标系统的单调改进性能来表示。
然而，当应用于非线性模型时，这两种确认模型的基本方法都会遇到严重困难，其中线性叠加原理不再成立。在第一种方法中，对非线性模型使用的初始数据进行连续的小改进并不能保证模型行为与目标系统行为之间的任何收敛。初始数据的任何小改进都可能导致模型行为发生非成比例的变化，使得这种逐步收敛策略作为确认模型的手段失效。数据质量的“朝着正确方向”的改进并不能保证非线性模型在捕捉目标系统行为方面单调改进。数据质量的小改进很可能会导致模型行为偏离系统行为。
在第二种方法中，保持数据不变，但在非线性模型中进行连续的改进也不能保证模型行为与目标系统行为之间的任何收敛。随着线性叠加的丧失，模型中的任何细微变化都可能导致模型行为的非比例变化，从而再次使收敛策略失效，无法作为确认模型的手段。即使对模型进行了“正确方向”的微小改进，也不能保证非线性模型在捕捉目标系统行为方面会单调地改善。模型中的微小改进很可能会导致模型行为偏离系统行为。
因此，对于线性模型，可以预期分阶段策略将导致更好的确认模型（假设目标系统仅表现出稳定的线性行为），但对于用于表征非线性目标系统的非线性模型，并没有这样的期望是合理的。即使对于一个忠实的非线性模型，初始数据或模型本身的最小变化也可能导致模型输出的非比例变化，这种输出不能保证即使进行了“正确方向”的微小改变，也会“朝着正确方向”移动（当然，这种缺乏单调改善的保证也引发了关于“朝着正确方向”意味着什么的问题，但我将在这里忽略这些困难）。
直观地，分阶段收敛策略似乎依赖于完美模型的情况。鉴于完美模型，提高数据质量应该导致模型行为单调收敛到目标系统的行为，但即使对于完美模型，这种期望也并非总是合理的（参见 Judd 和 Smith 2001；Smith 2003）。另一方面，鉴于良好的数据，直观地完善模型也应该导致模型行为单调收敛到目标系统的行为。通过对非线性模型进行小的变化，希望基于对目标系统相关特征的改进理解（例如，天气系统的物理或经济结构），并不能保证这些变化会产生模型在与目标系统行为相关的性能方面的单调改进。因此，线性叠加的丧失导致了连续改进路径的类似缺乏保证，就像分阶段确认的缺乏保证一样。没有这样一个保证的改进路径，就没有保证通过分阶段手段可以完善忠实的非线性模型。
当然，我们没有完美的模型。但即使有，它们也不太可能符合我们对它们的直觉（Judd 和 Smith 2001；Judd 和 Smith 2004）。例如，无论对系统进行多少观察，模型状态空间中仍将存在一组轨迹，这些轨迹与目标系统的实际轨迹无法区分。事实上，即使对于无限的过去观察，我们也无法消除对认识状态的不确定性，鉴于目标系统的某种未知本体状态。这种困难的一个重要原因源于忠实模型假设。假设非线性模型状态空间是目标系统物理空间中可能性的忠实表现。无论我们将模型状态空间做得多么精细，实际目标系统的许多不同状态（本体状态）仍可映射到模型状态空间的相同状态（认识状态）。这意味着对于任何计算模型，目标系统状态总是比模型状态多得多，因为方程必须离散化。原则上，在那些我们可以开发完全分析模型的情况下，我们可以在可能的模型状态数量和目标系统状态数量之间获得精确匹配。然而，在复杂性研究中，这样的分析模型很少见（许多分析模型都是玩具模型，如面包师的映射，虽然说明了技术，但在涉及形而上学和本体论结论时却是误导性的，因为它们过于简单）。
因此，无论目标系统是否有完美模型，都不能保证与目标系统行为相关的单调改进。传统的逐步确认策略失败了。这是线性叠加原理失败的结果。无论模型多么忠实，都不能保证非线性模型的行为在与目标系统相关时逐步单调改进（当然，如果等待足够长的时间，逐步确认策略也会对线性系统失败）。此外，无论是寻求在状态空间中建模点值轨迹还是使用在状态空间上定义的概率密度，这些确认策略都会出现问题。
对于这里讨论的逐步确认问题的一个可能回应是转向贝叶斯确认框架，但对于非线性模型也会出现类似问题。鉴于在我们将应用贝叶斯方案的模型类中没有完美模型，并且不完美模型将无法在可能相对于我们的兴趣而言较短的时间尺度内再现或预测目标系统的行为，因此我们的非线性模型也不能保证实现单调改进（我不考虑在我们的模型类中没有完美模型会使许多贝叶斯确认方案变得不明确的问题）。
对于非线性模型，忠实度可能会失败，而逐步完善性无法得到保证，这引发了关于科学建模实践及我们对其理解的问题。然而，线性叠加丧失的影响远不止于此。政策评估经常利用模型预测，如果支撑政策讨论核心的模型和系统是非线性的，那么政策评估将受到与模型确认相同的保证缺失的影响。假设管理员们在制定旨在保持国内生产总值持续增长同时最大限度地减少失业率（以及实现其他社会经济目标）的经济政策时使用了非线性模型。虽然通过对稍有不同的数据集多次运行模型会产生一些不确定性，但假设考虑到这些不确定性制定了一定程度的政策。一旦实施，这些政策需要评估其有效性和潜在的不利影响，但这样的评估不仅仅涉及查看月度或季度的国内生产总值和就业数据报告，以查看是否达到了目标。驱动政策决策的非线性经济模型需要重新运行，以检查趋势是否确实“朝着正确的方向”发展，与早期预测相比。但是，当然，现在模型的数据已经发生了变化，并且不能保证模型将使用这些新数据产生与用于制定原始政策的旧预测相匹配的新预测。新的非线性模型运行与作为经济政策持续监测的一部分收集的经济数据之间也没有任何拟合的保证。那么，政策制定者如何能够对政策进行可靠评估呢？在非线性环境中，数据或模型的微小变化不能保证产生成比例的模型输出或单调改进的模型性能，这一问题也困扰着使用非线性模型进行政策评估。这些问题仍然大多未被探讨。
4. 混沌、决定论和量子力学
SDIC 的一个令人兴奋的特点是，改变或扰动有多么微小都没有下限 - 最微小的影响最终将被放大，影响表现出 SDIC 的任何系统的行为。许多作者认为，通过 SDIC 引起的混沌为量子力学“感染”混沌的经典力学系统打开了一扇大门（例如，Hobbs 1991；Barone 等人 1993；Kellert 1993；Bishop 2008）。[7]关键点在于特定类型的非线性动力学的本质 - 那些表现出轨迹拉伸和折叠（限制）的动力学，在那里没有轨迹交叉，并且表现出非周期轨道 - 显然为量子效应改变混沌宏观系统的行为打开了大门。中心论点如下，并被称为敏感依赖论证（简称 SD 论证）：
对于表现出 SDIC 的系统，从状态空间的高度局部化区域开始的轨迹将平均呈指数级地迅速相互分离。
量子力学限制了可以指定物理系统的精度，至少在相空间中的一个邻域内不小于 1/(2π/h)N，其中 h 是普朗克常数（具有行动单位），而 N 是所讨论系统的维数。
给定足够的时间和量子力学对初始条件邻域 ε 的限制，同一混沌系统的两条轨迹将有未来状态可定位到相空间中一个更大的区域 δ （来自（A）和（B））。
因此，量子力学将影响混沌系统的结果，导致独特演变的违反。
前提（A）明确指出，在这个论证中，SD 是表征混沌行为的操作性定义，引发了由最大全局 Lyapunov 指数表征的指数增长。前提（B）表达了 N 维量子系统中动量和位置对的最小不确定性状态的精度限制（请注意，在不相关电子的情况下，指数为 2N）。[8]（https://plato.stanford.edu/entries/chaos/notes.html#8）这里给出的论证结论实际上比量子力学可以影响展示 SDIC 的宏观系统更强烈；决定论在这种系统中失败，是因为这种影响。简而言之，推理如下。由于 SDIC，非线性混沌系统的初始状态只能位于状态空间的一个小邻域 ε 内，将来的状态只能位于一个更大的区域 δ 内。例如，两个展示 SDIC 的古典力学同构非线性系统，其初始状态局限在 ε 内，将来的状态只能局限在 δ 内。由于量子力学对初始条件的区域大小设定了下限，独特演变对于非线性混沌系统必然失败。
变化论的论点并不像一些支持者所认为的那样顺利。然而，关于量子力学的适当版本（例如冯·诺依曼、波姆或退相干理论；请参阅 量子力学 条目下的条目）、量子测量理论的性质（坍缩 vs. 非坍缩理论；请参阅 量子理论中的哲学问题 条目中关于测量问题的部分），以及必须在可以明确地说出独特演化是否被违反之前解决的系统初始状态选择问题存在困难。例如，仅仅因为量子效应可能影响宏观混沌系统，并不保证决定论在这类系统中会失败。量子与展现 SDIC 的非线性宏观系统的相互作用是否对这类系统的结果产生_不确定性_取决于目前无法决定的量子力学中的不确定性问题和测量问题，以及一个人选择如何划分系统-测量装置的方式（Bishop 2008）。
为了深入讨论一个问题，有一个严重的悬而未决的问题，即量子力学中的不确定性是简单地由于认识上的限制而产生，还是它是量子世界的本体特征。假设量子力学最终是确定性的，但存在某种额外因素，通常被称为隐藏变量，如果我们可以获得这个变量，我们对量子系统的描述将是完全确定性的。另一种可能性是，与更广泛环境的相互作用解释了量子力学中概率的产生（物理学家称之为“退相干”）。在这两种可能性下，我们会将量子力学中观察到的不确定性解释为我们的无知的表现，因此，不确定性不会是量子领域的基本特征。它仅仅是_认识论_性质，由于我们对量子系统的缺乏知识或接触。因此，如果量子力学中的不确定性不是本体上的真实存在，那么量子效应对展现 SDIC 的宏观系统所做出的任何贡献都不会违反独特演化。相反，假设量子力学确实是不确定性的；也就是说，在任何给定时刻，量子系统的所有相关因素都不能完全决定它们的行为。那么存在这样一种可能性，即传统上认为属于经典力学领域的所有物理系统并不能使用严格确定性模型来描述，这导致需要以不同方式处理这类非线性系统的建模。
此外，必须根据非线性经典力学系统对量子效应放大的可能约束进行逐案考虑。例如，由于摩擦而导致的阻尼可能会对量子效应的放大速度施加限制，使其在完全消失之前发生（Bishop 2008）。而且必须针对每个系统调查局部有限时间动态，因为这些动态可能不会导致不确定性的平均增长（例如，Smith，Ziehmann，Fraedrich 1999）。
总之，没有抽象的，先验的推理来证明 SD 论点的真实性；这个论点只能通过逐案分析来证明。也许对几个案例进行详细研究将使我们能够就量子效应放大的可能性有多广泛做出一些概括。
5. 关于现实主义和解释的问题
科学哲学中的两个传统主题是现实主义和解释。虽然在混沌的背景下尚未得到很好的探讨，但关于这两个主题的有趣问题值得进一步探讨。
5.1 现实主义与混沌
混沌引发了许多关于科学现实主义的问题（参见 科学现实主义），其中只有一部分会在这里提及。首先，科学现实主义通常被阐述为关于科学理论中不可观测术语的地位以及它们与实际世界中的实体、事件和过程的关系的命题。换句话说，理论对世界的各种特征提出了各种主张，而这些主张至少是近似正确的。但正如我们在 §2 中所看到的，关于制定混沌理论，更不用说确定这一理论在科学现实主义下的表现如何，存在着严肃的问题。因此，更合理的做法是讨论一些关于混沌的不那么雄心勃勃的现实主义问题：混沌是一种实际现象吗？混沌的各种元素，如分形，是否真实存在？
这将我们带回到忠实模型假设（§1.2.3）。回想一下，这个假设认为我们的模型方程忠实地捕捉了目标系统的行为，并且模型状态空间忠实地代表了目标系统的实际可能性。这里的忠实意味着数学模型与实际系统特征之间的实际对应吗？或者忠实可以仅仅理解为经验上的足够性，即忠实的主要工具主义解释？现实主义对忠实的解释是否会受到模型与系统之间的映射可能是一对多或多对多的威胁？
一个相关的问题是我们的数学模型是在模拟目标系统还是仅仅在模仿它们的行为。模拟系统意味着模型与其旨在捕捉的目标系统之间存在一些实际对应。另一方面，如果数学模型仅仅是模仿目标系统的行为，那么就不能保证模型与目标系统的实际属性有任何真正的对应。模型仅仅是在模仿行为。这些问题对于从大型时间序列数据集（例如，Smith 1992）构建非线性动力学模型的现代技术变得至关重要，例如太阳黑子记录或某一特定时间段内特定股票的每日收盘价。在这种情况下，在对数据集进行一些测试后，建模者开始构建一个能够输出该时间序列的数学模型。这些模型仅仅是在模仿目标系统的行为吗？现实主义又如何介入其中？
一个关于混沌和现实主义的进一步问题是：混沌只是我们数学模型的一个特征，还是我们世界中实际系统的一个真正特征？这个问题很好地说明了耗散混沌模型的一种奇特几何结构，称为_奇异吸引子_，它可以基于状态空间中轨迹的拉伸和折叠而形成。奇异吸引子通常只占据状态空间的一个子区域，但一旦一个轨迹漫游到足够靠近吸引子，它就会被吸引子的表面捕获，直到未来的剩余时间。
奇异吸引子的特征之一是它们具有自相似结构。放大吸引子的任何小部分，你会发现放大后的部分看起来与常规大小的区域相同。再放大放大后的区域，你会看到相同的结构再次重复。持续重复这个过程会产生相同的结果。自相似结构在_任意小的尺度_上重复。自相似性的一个重要几何含义是_没有固有的尺度_，因此我们可以对吸引子的任意小区域进行任意大的放大，重复的结构将会重复出现（Hilborn 1994，第 56 页）。换句话说，混沌模型的奇异吸引子具有_无限数量的重复结构层_。这种结构允许轨迹通过折叠和相互交织而保持在状态空间的有界区域内，而不会相交或完全重复。
奇怪的吸引子通常被描述为具有非整数或_分形_维度（尽管并非所有奇怪的吸引子都具有这种维度）。我们通常在物理学和日常经验中遇到的维度类型由整数特征。一个点的维度为零；一条线的维度为一；一个正方形的维度为二；一个立方体的维度为三，依此类推。作为对维度直觉的概括，考虑一个大正方形。假设我们用边长为 ε 的小正方形填充这个大正方形。完全填满大正方形内部空间所需的小正方形数量为 N(ε)。现在重复这个用小正方形填充大正方形的过程，但每次让长度 ε 变得越来越小。当 ε 趋近于零时，我们会发现比值 lnN(ε)/ln(1/ε)等于二，正如我们期望的二维正方形一样。您可以想象用小立方体填充一个大三维立方体（比如一个房间）的相同练习，在 ε 趋近于零的极限情况下，我们会得到三维的维度。
当我们将这种维度概括应用于奇怪吸引子的几何结构时，我们经常发现非整数维度。粗略地说，这意味着如果我们尝试用小正方形或小立方体“填充”奇怪吸引子形成的结构，并在 ε 趋近于零的极限情况下，结果是非整数。无论是研究一组非线性数学方程还是分析实验中的时间序列数据，自相似性或非整数维度的存在表明所研究系统的混沌行为是耗散性的（非保守的，不保守能量），而不是哈密顿量的（保守能量）。
尽管数学家们对奇怪吸引子或分形维度没有普遍接受的定义，但更严肃的问题是奇怪吸引子和分形维度是我们模型的特性还是实际世界系统的特性。例如，对一些实际世界系统的经验调查表明，不存在类似奇怪吸引子那样的无限重复自相似结构（Avnir，et al. 1998；另见 Shenker 1994）。最多，人们在重建的状态空间中发现自相似结构只在两到三个空间尺度上重复出现，仅此而已。这似乎更像是一个_前分形_，在其中自相似结构仅存在于有限数量的长度尺度上。也就是说，前分形在放大时只有有限次重复其结构，而不像分形那样无限次。因此，这似乎表明实际系统中不存在真正具有分形维度的奇怪吸引子，而可能只有具有前分形几何特征的吸引子，在有限数量的空间尺度上具有自相似性。
另一方面，用于表征一些实际世界系统的耗散混沌模型都展示出具有分形几何的奇怪吸引子。因此，看起来混沌模型状态空间中的分形几何与实际世界系统的前分形特征没有关系。换句话说，尽管这些模型本身可能仍然有助于科学家找到具有前分形特性的目标系统的有趣动态，但这些模型的许多分形特征显然与目标系统的特征不符。在这里，科学实在主义和有用性似乎分道扬镳。至少我们的许多模型中的奇怪吸引子起到了有用的虚构作用。
存在对这种思维方式的警告，然而。首先，分析数据集的（例如，由 Avnir 等人 1998 年提出的）预分形特征可能是数据在分析之前被处理的方式的产物，或者是由于模拟到数字的转换必须在数据分析开始之前进行。将实数值数据减少为有限的字符串将破坏分形结构。如果是这样，我们模型中的分形的无限自相似结构可能毕竟不是一个那么糟糕的近似。
然而，有一个不同的原因怀疑物理系统不能一直具有这种自我重复的结构，那就是在某个时刻，经典世界让位于量子世界，那里的事物变化如此剧烈，以至于不能有奇怪的吸引子，因为状态空间发生了变化。因此，我们正在应用一个携带着大量多余、虚构结构的模型来理解物理系统的特征。这看起来像是一个问题，因为在混沌解释中发挥关键作用的一个结构——奇怪吸引子的无限复杂结构——将会缺失于相应的物理系统中。
根据彼得·史密斯（1998 年，第 3 章）的观点，一个人可能会因为奇异吸引子的无限复杂结构是相对简单的拉伸和折叠机制的结果，以及感兴趣状态空间中的许多点在这种拉伸和折叠机制下是不变的，而有理由使用显然错误的混沌模型。这些特征代表了可以以虚构的无限结构为代价获得的某种简单性。奇异吸引子展示了这种结构，吸引子是某种拉伸和折叠过程的迹象。无限结构仅仅是几何上的额外负担，但像周期倍增序列、混沌的开始等健壮特性是足够真实的。这明显具有反现实主义的风格，关于混沌解释中的一些关键元素，并因此受到批评（Koperski，2001 年）。
因此，与其试图将混沌塑造成科学现实主义的模式，也许更好的做法是转向对现实主义的另一种解释，结构实在主义。大致而言，这个想法是科学实践中的现实主义取决于现象的结构关系。因此，结构实在主义倾向于关注已经得到证实的科学假设和理论中的因果结构。在物理学、生物学和经济学等领域识别出的混沌现象中的普遍结构特征非常暗示着某种形式的结构实在主义，并且看起来在混沌解释中扮演关键角色（见下文）。尽管如此，人们仍然存在重要的担忧，即无限重复的自相似结构可能无法在物理系统中实现。在涉及混沌模型的现实主义结构方法中，人们面临的困难是奇异吸引子最多只是对物理吸引子结构的粗略近似，最坏的情况下可能会极大地误导。
也许与混沌相关的其他几何结构在结构现实主义观点上会合格。毕竟，似乎混沌模型的现实主义更多地涉及到过程——即在目标系统中起作用的拉伸和折叠机制。但在这里，与现实主义和混沌模型的联系将间接地通过对代表物理系统的完全非线性模型中起作用的因果过程的呼应而来。也许奇异吸引子的分形特征是通过用于推导这种混沌模型的各种理想化和近似引入的一种人为现象。如果是这样，那么也许有另一种方法可以得到更具现实意义的混沌模型，这些模型具有预分形吸引子。
5.2 混沌解释的性质
混沌被援引为对实际世界行为的解释，或者作为对实际世界行为的重要贡献的解释。一些例子包括癫痫发作、心脏颤动、神经过程、化学反应、天气、工业控制过程，甚至是形式的消息加密。除了实际世界系统的不规则行为之外，混沌还被用来解释诸如给定状态空间中展示的实际轨迹或轨迹在状态空间特定区域的逗留时间等特征。但是，混沌在这些各种解释中扮演的角色究竟是什么？更简洁地说，混沌解释是什么？
在混沌文献中，科学解释的性质（参见 科学解释 条目）被严重忽视，说得婉转一点。传统的科学解释解释，如覆盖-定律、因果机械和统一模型，在应用于混沌现象时都呈现出各种缺点。例如，如果在混沌解释的核心没有普适定律存在——而这样的定律似乎不可能在混沌解释中发挥作用——那么覆盖-定律模型就不太可能成为混沌解释的候选者。
粗略地说，解释的因果机械模型认为科学通过展示事实和事件如何符合世界的因果结构来提供理解。如果混沌是非线性系统（数学和物理）表现出的一种行为，那么认为可能存在一些机制或过程支撑这种行为似乎是合理的。毕竟，混沌通常被理解为这些系统动力学的一个特性，而动力学经常反映出正在发生的过程及其相互作用。因果机械模型中因果机制与行为之间的联系被认为是沿着以下线路的可靠联系：如果机制 C 存在，行为 B 通常会随之而来。从这个意义上讲，根据因果机械模型理解的混沌解释被设想为提供机制与包含这些机制的系统所表现的混沌行为之间的可靠联系。
另一方面，统一解释的基本思想是，科学通过展示如何可以通过更小的因素集合（例如，法律或原因）统一各种事实和事件来提供理解。也许可以说混沌是一个领域或一组有限数量的模式和工具，用于解释/理解分布在物理学、化学、生物学、经济学、社会心理学等各种现象中发现的一组特征行为。从这个意义上讲，这些模式或结构（例如，“拉伸和折叠”）可能构成了解释存储，统一了我们对所有表现出混沌行为的各种现象的理解。
5.2.1 解释、忠实模型和混沌
无论是因果关系还是统一性解释，通常认为理论已经确立，并且这些理论的模型在解释中起着一定作用。在因果关系解释中，因果过程是模型的关键组成部分。在统一性解释中，法则可能是最终的解释因素，但我们经常通过模型将法则与物理系统联系起来。然而，这些解释必须做出忠实模型的假设；即我们的模型（及其状态空间）在关于实际系统的陈述方面是忠实的。
回想一下，SD——邻近轨迹的指数发散——被许多人视为混沌的必要条件。正如我们在 §3 中看到的那样，要确认我们的模型是否作为一个良好的解释，并不是一件简单的事情，因为比如，初始条件的细微调整可能导致截然不同的行为。因此，在许多标准的确认和模型方法中，要说我们有一个良好的解释是困难的。即使我们将忠实模型假设推到极限——即假设模型是完美的——我们也会遇到关于确认的棘手问题，因为有太多的状态与系统的实际状态相似，在模型状态空间中产生了在经验上无法区分的轨迹（Judd and Smith 2001）。
也许在混沌解释中，我们应该寻找一个能产生动力学中的“拉伸和折叠”现象的过程（因果形式的解释），或者我们应该寻找这种行为所表现出的共同特性（统一形式的解释），这些特性潜在地影响了我们感兴趣的非线性系统的行为。换句话说，我们希望能够理解系统为什么表现出 SDIC、非周期性、随机性等特征。但这些是表征混沌行为的特性，因此，解释的统一性观似乎最终可能涉及对需要解释的特性的诉诸。
变化的解释图变得更加复杂，因为它远离了以正的全局 Lyapunov 指数为特征的 SD，并接受了可能更现实的，即以有限时间 Lyapunov 指数为特征的发散/收缩效应。然而，即使在这种情况下，似乎我们诉诸于统一性解释的属性仍然突出了我们想要理解的混沌模式：这些属性是如何产生的？似乎统一性解释仍然在表征混沌解释方面处于不利地位。
假设我们在我们的模型或状态空间重构技术中诉诸于奇怪吸引子。这是否证据表明目标系统行为中存在奇怪吸引子？即使在 §5.1 中提出的担忧被排除在外，即使状态空间中存在奇怪吸引子既是模型混沌的必要条件又是充分条件，这也不足以解释目标系统中的混沌行为。首先，奇怪吸引子是状态空间中的一个对象，这并不等同于说实际系统的行为就好像在其活动的物理空间中存在一个奇怪吸引子。状态空间中的轨迹是获取有关目标系统有用信息的一种方式（通过忠实模型假设），但它与通过观察实际系统属性随时间变化的轨迹是不同的。仅仅因为状态空间中系统的轨迹不断地向奇怪吸引子靠近，并不意味着目标系统在物理空间中的行为以某种方式接近该吸引子（除非可能在完美模型场景下）。其次，但相关的是，奇怪吸引子的存在只是混沌的标志，而不是解释系统展现混沌特性的原因。似乎我们仍然需要诉诸于导致动力学具有我们与混沌相关的特性的过程和相互作用。
在这一点上，前一小节末尾隐含的一个问题浮现出来，即混沌解释中的统一是由什么造成的？解释的统一模型通常假设一个相对较少的法则或机制的解释存储，这些法则或机制用来解释或统一各种现象。一个标准的例子是牛顿力学提供了一小组原则，可以解释诸如抛体运动、自由落体、潮汐、行星轨道和摆动等多种现象。通过这种方式，我们说牛顿力学通过展示它们都受一小组物理原则控制，统一了多种现象。现在，如果混沌解释的统一解释仅关注于不同现象行为中的数学相似性（例如，通往混沌的周期倍增路线或 SDIC），那么人们可以合理地质疑混沌解释中的相关统一意义是否存在。混沌解释的“解释存储”确实是一小组数学和几何特征，但这是否是错误的存储（与牛顿力学的物理原则相比）？然而，如果统一被认为是通过产生这些数学和几何特征的基础机制实现的，那么解释存储似乎非常庞大和异质化——物理学中的机制与生物学中的不同，与生态学中的不同，与经济学中的不同，与社会心理学中的不同……再次，因果机械模型似乎更合理地描述了混沌解释的性质。
5.2.2 混沌与理解
如果这就是混沌解释故事的全部内容，那么解释的因果解释看起来更有前途。但也可以说，并没有什么特别之处：有一些过程和相互作用导致动力学具有混沌特性。但史蒂芬·凯勒特（1993 年，第 4 章）认为混沌动力学有一些新的东西，迫使我们在涉及混沌模型时重新思考解释。他关于混沌解释产生系统行为的定性理解的建议表明，至少在混沌研究中，因果解释并不适用。
凯勒特首先关注许多科学解释辩论中驱动观点的关键直觉之一：即科学提供对现象的理解或洞察。根据凯勒特的说法，混沌解释通过构建、阐释和应用简单的动力模型来实现理解。他提出了三点对比，说明这种理解方法与科学中通常的理解方法有所不同。第一点是混沌解释涉及的模型是_整体_的，而不是微还原主义的。后一种类型的模型试图将系统分解为其组成部分，并寻找部分之间的类似定律关系。相比之下，混沌动力学的许多数学工具是整体的，因为它们提取或揭示关于模型系统行为的信息，这些信息并不容易从模型本身的非线性方程中看出。诸如状态空间重构和表面截面之类的方法可以揭示非线性方程中隐含的信息。从模型方程中发展出一维和二维映射也可以直接提供这种信息，并且比完整的模型方程简单得多。
鉴于第一个对比点是从物理实践中得出的，第二个是逻辑的。在将系统简化为其部分之后，根据凯勒特（Kellert）的标准理解方法，下一步是构建一个“演绎方案，从而得出对手头情况的必要性（或可预期性）的严格证明”（1993 年，第 91 页）。凯勒特在这里所指的是解释的演绎-规范模型（详见 科学解释 条目第 2 节，关于 DN 模型）。混沌动力学中的方法不使用演绎推理。具体而言，混沌解释不是查看基本原理、命题等并进行演绎推理，而是因为从模型方程式中推导系统的混沌行为的困难甚至不可能，所以混沌解释借助计算机模拟（例如，基于控制方程的 Lorenz 模型没有 SD 证明）。
第三个对比点是历史性的。在线性叠加成立的情况下，瞬时状态的完整规定加上运动方程可以提供关于系统的所有信息（例如，摆和抛体运动）。尽管这些状态的完整规定是不可能的，但在规定这些状态时出现的非常小的误差会导致模型和目标系统行为之间的非常小偏差，至少在短时间内和良好模型中是如此。相比之下，在非线性情境中，线性叠加失败，系统瞬时状态的完整规定加上运动方程并不能提供关于系统的所有信息，例如，如果存在记忆效应（磁滞），或者测量行为引入干扰，SDIC 可能会放大。在前一种情况下，我们还需要了解系统的历史（例如，它是从临界点以下还是以上开始的）。因此，混沌解释也必须考虑模型历史。
在混沌解释中实现了什么样的理解？凯勒特(Kellert)认为我们得到(1)定性行为的预测，而不是定量细节，(2)几何机制而不是因果过程，以及(3)模式而不是类似法则的必然性。
关于(1)，对于混沌模型，如果在初始状态的规定中存在任何错误，那么关于个体轨迹的详细预测会迅速失败。因此，凯勒特(Kellert)说，我们预测模型的全局行为，并对混沌模型中的有限可预测性进行解释。但是，许多这些行为可以被精确预测（例如，各种分叉发生的控制参数值[9]，混沌的开始，n 周期轨道的返回）。(1)涉及重要但有限的洞察力。从这个观点来看，我们能够预测非线性动力学定性特征何时会发生突然变化，但混沌模型不会产生系统变量的精确值。我们通过在完整的非线性模型方程上进行完整的计算机模拟来获得后者的值，前提是自由度是合理的。在这个意义上，混沌解释是对完整模型模拟的补充，因为前者可以告诉我们何时/何地预期动力学变化，例如后者中复杂动力学的开始。
关于（2），混沌解释并非一种因果解释的类型。也就是说，混沌解释并不关注或揭示导致动态的过程和相互作用；相反，它们揭示了动态的大尺度几何特征。凯勒特(Kellert)认为，混沌解释关注的机制类型不是因果关系，而是几何关系。他之所以这样表述的部分原因是，他认为典型的因果解释是以还原模式运作的：追踪个体因果过程及其相互作用以理解系统的行为。但根据凯勒特的说法，混沌解释避开了这种方法，而是专注于整体系统的行为。事实上，混沌解释倾向于将模型和系统归为一类，展示出类似的行为模式，而不考虑它们潜在的因果差异。因果过程被忽略；相反，关注的是行为的普遍模式。对于凯勒特来说，关于模型的几何特征的定性信息是混沌解释的关键。
关于（3），如果科学理解仅通过诉诸表达必然性的普遍定律才能实现——这在许多哲学家中仍然是一种强烈的直觉，那么混沌解释绝对不符合要求。混沌解释根本不依赖于必然性考虑；相反，它们依赖于行为模式和表征这种行为的各种属性。简言之，混沌研究寻找的是模式，而不是法则。
但假设我们将法律的概念从普遍性的必然性陈述变为现象学的规律(例如，Cartwright 1999; Dupré 1993)？那么混沌解释是否可以被理解为在整体层面上寻找这种现象规律呢？毕竟，混沌作为一个领域并没有像相对论和量子力学那样提出对物理定律的修订。相反，如果它提出了什么，那就是对这种分析的新层次和技术。也许正是在整体层面上存在着有趣的现象学规律，这些规律无法通过微降方法来探究。但至少乍一看，这个特征可能不会对微降主义者构成任何实质性的反对，也就是说，整体方法可能更有效地回答混沌提出的一些问题。
这种由混沌模型实现的_动态理解_，正如凯勒特所称，表明了典型的因果解释与研究完整非线性模型更加一致。相比之下，混沌解释通过使用通过各种技术推导出的简化方程来追求理解，尽管仍然基于完整的非线性方程。这种观点表明，混沌解释中确实存在一种统一的趋势。一组行为模式作为解释或统一特征，将各种现象和学科中相似特征的出现联系在一起（注：凯勒特没有讨论统一解释）。这反过来又暗示了另一种可能性：因果解释在完整模型层面上更为合适，而统一解释或许更适用于混沌模型层面。这些方法应该是互补而非竞争的。
此外，主张是研究这种混沌模型可以让我们理解相应实际世界系统中的行为。并非因为模型轨迹与系统轨迹同构；而是因为模型与被建模系统之间存在拓扑或几何相似性或对应关系。这是对忠实模型假设的另一种版本，因为现在目标系统的拓扑/几何特征被认为是由我们的混沌模型忠实地表示。
5.2.3 变化之外无新事？
与凯勒特相比，彼得·史密斯明确表示，他认为混沌解释与一般数学物理解释相比并没有什么特别之处（1998 年，第 7 章）。也许数学物理解释并没有被哲学解释所很好地捕捉，而这种不匹配——在混沌这样一个引人注目的领域中特别突出——可能是人们认为混沌解释对传统哲学解释提出激进挑战的部分原因。
具体而言，史密斯对凯勒特认为混沌解释主要是定性而非定量的观点提出异议。他指出，我们可以计算李亚普诺夫指数，分叉点随着控制参数的变化，甚至可以使用混沌模型来预测不断演化的动力学变量的值——“个体轨迹图像”——至少在某个短时间范围内。因此，也许从混沌模型中可以获得更多定量信息，而不仅仅是凯勒特所说的那样（特别是如果我们转向统计预测方法）。此外，史密斯认为，标准物理解释，连同定量结果，总是强调模型的定性特征。
我们可能会同意，与物理学中关于定性/定量理解的其他解释相比，混沌解释并没有什么特别的或具有挑战性的地方。似乎情况是，混沌模型——以及一般的非线性动力学模型——使得提取有用的定量信息变得更加困难。在混沌方法论中所展示的东西并不与数学物理学的其他领域有什么不同，在那些领域中，数学是棘手的，物理洞察力是通过挣扎获得的。此外，我们不能保证将来不会取得某种突破，使混沌模型在更加坚实的第一原理基础上立足，因此，混沌解释与数学物理学中其他解释方式在本质上有所不同的说法似乎没有什么实质性内容。
5.3 总结
Kellert 对“动态理解”的讨论和 Peter Smith 的批评意见在他们一致认为混沌的各种稳健或普遍特征对混沌研究至关重要方面存在重叠。专注于诸如模式、临界数字等普遍特征的想法表明，某种统一解释的观点正在混沌解释中发挥作用：通过普遍模式和其他特征（例如，倍增序列）将所有混沌行为的例子归为一组。对于当前混沌研究方法论是否提出了对科学解释项目的根本新挑战存在分歧。
即使在科学解释方面没有什么根本新的东西，混沌模型提供的理解方式也很难澄清。一个问题是这种“动态理解”似乎只是描述性的。也就是说，Kellert 似乎在说，当我们能指出一个倍增序列或奇怪吸引子的存在时，我们就理解了混沌是如何产生的。但这似乎只是为混沌提供了区分标志，而不是揭示了行为背后的真正见解，即行为的_原因_。Kellert 避免了关于混沌解释的原因，这其中有一个相当直接的原因：混沌的简化模型似乎只是基于原始非线性方程的数学（例如，一维映射）。换句话说，原因似乎已经被排除在外！因此，关于因果、统一主义或其他科学解释方法哪一种最能捕捉混沌研究的问题仍然悬而未决。
此外，由于所有这些简化模型大致使用相同的数学，我们为什么会觉得在不同的模型中一遍又一遍地看到相同的模式是令人惊讶的呢？毕竟，如果像凯勒特所建议的那样，从混沌模型中删除了所有过程和相互作用的痕迹——即原因，那么在物理学、生物学、经济学和社会心理学的混沌模型中展现出类似行为，这为什么会令人惊讶呢？如果所有模型中的数学归根结底都归结为相同的数学，那么我们实际上是通过使用这些模型来理解什么呢？另一方面，也许混沌研究正在揭示存在于实际世界中的普遍模式，而不仅仅是在数学中。识别这些普遍模式是一回事，解释它们是另一回事。
6. 量子混沌
量子混沌，或者更好地称为量子混沌学，是研究宏观或经典领域混沌与量子领域之间关系的学科。经典物理中混沌对量子系统的影响引起了一些高度集中的研究，人们提出了关于量子领域中混沌实际存在以及经典和量子力学之间对应原理的可行性的问题，这些问题是最具挑战性的。
在探讨这些问题之前，首先要解决定义量子混沌的棘手问题。建立一个关于量子混沌的共识定义的困难实际上比建立关于经典混沌的共识定义更具挑战性。回想一下，在试图达成经典混沌共识定义时涉及到一些微妙之处。一个重要的必要条件提议是系统中存在某种形式的拉伸和折叠机制与非线性相关。然而，由于薛定谔方程是线性的，量子力学是一种线性理论。这意味着初始状态接近的量子态在演化过程中仍然保持着同样的接近程度（在希尔伯特空间范数中）。因此，与经典物理中的混沌不同，在薛定谔演化下，量子态之间不存在分离（指数或其他方式）。对于混沌的必要条件最佳候选似乎在量子领域中缺失。
相反，研究人员研究经典混沌系统的量子化，这些研究被称为量子混沌学：“研究半经典但非经典现象的系统特征，这些系统的经典对应物表现出混沌”（Berry 1989，第 335 页）。事实证明，这些量子化系统表现出许多引人注目的行为，这些行为本身就很有趣。正是这些行为引发了关于混沌动力学在量子领域可能采取何种形式（如果有的话）以及对应原理有效性的问题。此外，这些研究揭示了量子领域和经典领域之间的关系确实微妙。
量子混沌学的研究人员专注于与研究对象的量子系统无关的普遍统计特性。此外，研究侧重于所谓的简单量子系统（即可以用有限数量的参数或有限信息量描述的系统）。在这些系统中研究的统计特性包括能级的统计和波函数的半经典结构。这些统计特性与量子态转换、电离以及在原子和核物理、介观系统的固态物理以及量子信息中发现的其他量子现象相关。一些典型的研究系统包括量子台球（粒子受限于二维运动）、量子踢转子、单个周期驱动自旋和耦合自旋。通常，在研究量子混沌时会像研究经典混沌一样使用迭代映射（见上文 §1.2.5）。
台球是一类经过深入研究的模型家族。想象一个完全平坦的台球桌，并假设台球会弹开桌子的边缘。在我们的经验宏观尺度下，球和边缘由经典力学表征的模型桌被称为_经典台球_。已经为经典台球得出了许多分析结果，因此这使得台球成为一个非常吸引人的研究模型。混沌台球_是一个条件导致球混沌行为的经典台球。混沌台球也有大量的研究结果。这些分析和计算丰富性使得量子版本的台球成为研究量子混沌的得力工具，如下所示。人们可以通过使用薛定谔方程描述粒子在边界上的反射（在那里规定粒子的波函数在边界上为零），或者可以从描述经典台球的方程开始，并量子化可观测量（例如位置和动量），从而产生_量子化台球。
为了组织讨论，将首先讨论能谱是离散的孤立系统，然后是能谱是连续的相互作用系统。虽然能谱是离散的与否对量子混沌并不至关重要，但量子系统是孤立的与否被认为可能对量子领域中混沌是否存在具有潜在重要性。
6.1 量子混沌是否存在？孤立系统
经典混沌动力学和量子动力学之间的一个区别在于前者的状态空间支持分形结构，而后者的状态空间则不支持。第二个区别在于，经典混沌动力学具有与其运动相关的连续能谱。正如先前所指出的，经典混沌被认为是有界宏观系统的一个特性。相比之下，在有界的孤立系统中的量子动力学具有与其运动相关的离散能谱。此外，只有在适当地反映经典系统行为的量子系统中才可能出现 SDIC 等现象。从半经典考虑出发，Berry 等人（1979 年）表明，半经典量子系统（请参见下文有关这类系统如何构建的内容）可以预期在 Ehrenfest 时间 tE 内反映其对应经典系统的行为，该时间的数量级为 ln(2π/h)秒，这个估计也被称为对数时间，反映了经典混沌轨迹的指数不稳定性。在这些半经典研究中，h/2π 经常被视为一个随着接近经典领域而减小的参数。从这个观点来看，h/2π 越小，系统的行为就越“经典”。例如，假设普朗克常数的值以 KMS 单位表示，tE∼80 秒。随着普朗克常数的减小，tE 增加。在非混沌的经典系统中，状态空间中的轨道是良好隔离的，一切都在非常长的时间内表现良好。相比之下，在有界混沌系统中，轨道开始在 tE 的数量级上聚合，这意味着半经典近似在 tE 时失败。另一方面，一个以经典轨迹为中心的高斯波包被认为能够在 tE 之前跟踪该轨迹，然后在能量表面上扩散得太过广泛，因为 tE 是量子波包扩散得太多以模仿经典轨迹并且 Ehrenfest 定理崩溃的度量。因此，在半经典系统中随着时间的推移存在两种效应：（1）经典混沌轨迹的聚合和（2）量子波包的扩散。在量子力学中缺乏非线性性以及后两种效应的情况下，寻找与经典混沌相近的量子模拟似乎相当困难。
虽然 tE 代表了量子态矢量可以预期跟踪经典轨迹的时间上限，但在长时间尺度上，与经典混沌系统对应的半经典量子模型中存在着有趣的行为。通过进行更详细的分析，Tomsovic 和 Heller（1993）表明，将完整的量子解与适当选择的一些半经典解进行比较，对于一些台球问题，在 tE 之后提供了良好的一致性，包括能谱的细节。对于他们的技术而言，半经典力学在模拟量子系统时仍然准确，直到时间按 (h/2π)−1/2 缩放。
这些量子混沌研究中绝大多数集中在三个问题上：
古典混沌系统可以量子化吗？
是否存在古典混沌的量子力学表现，“前兆”？
混沌量子系统和非混沌量子系统之间是否有严格区别？[10]
前两个问题关注不同的研究方向，都与所谓的半经典力学有关。在第一个问题中，研究始于一个经典混沌系统，并试图对其进行量子化以研究其量子行为。为了量子化一个经典模型，人们用它们对应的量子算符替换运动方程中的函数。在这里，有各种结果表明，当量子化强混沌经典台球时，会表现出量子遍历性。但这并不等同于表明一个经典混沌系统在量子化时会表现出混沌行为。由于本小节开头列出的原因，目前还没有后者的例子。
此外，在量子干涉中有关量子化经典弹球的有趣数值结果（Casati 2005）。考虑一个双缝，源被封闭在一个二维波共振器中，其形状为一个经典弹球。将高斯波包的初始平均能量调整为量子化弹球的一个 1600 分之一的激发态，并将其发送至波共振器的双缝开口。让缝宽为三个德布罗意波长，并假设波包在动量上非常尖锐，以至于根据海森堡关系，其空间展宽等于共振器的宽度。如果共振器的形状对应于一个经典_混沌_弹球，那么几乎没有量子干涉。在经典情况下，多次反射的波将在相位上变得随机。另一方面，如果共振器的形状对应于一个经典_规则_弹球，那么就会出现众所周知的干涉图案。因此，取决于经典弹球是否混沌，决定了量子化的量子模拟是否表现出干涉。
第二个问题始于一个与经典混沌系统通过适当的半经典极限有关的量子系统。经典到量子的方向通常遵循 Martin Gutzweiller（1971）在量子化经典混沌系统方面的开创性工作。而量子到经典的方向则更加困难且充满概念问题。标准方法是从一个量子模拟经典混沌系统开始，然后推导出代表量子系统在某种经典极限下的半经典系统（Berry 1987 和 2001；Bokulich 2008）。这项工作导致了适当归一化能级的半经典系统的统计特征。对于表现出非混沌行为的经典系统，半经典系统的能级近似为泊松分布，其中小间距占主导地位。相反，当经典系统表现出混沌行为时，半经典系统的能级采用了最初由 Eugene Wigner（1951）推导出来描述核能谱的分布（有关讨论请参见 Guhr 等人 1998）。这些后者的分布仅取决于一些对称性质（例如系统中时间反演对称性的存在与否）。此外，模拟经典系统中的周期轨道在很大程度上决定了半经典系统的性质（Berry 1977）。
有趣的是，许多经典混沌模型系统也显示出普遍的能级波动，这些波动可以很好地用维格纳的方法描述（Casati，Guarneri 和 Valz-Gris 1980 年；Bohigas，Giannoni 和 Schmit 1984 年）。这导致了量子混沌猜想：
(量子混沌猜想)
变化中的机会在经典极限下强烈混沌的半经典量子系统的能谱中的短程相关遵守基于随机矩阵集合的普遍波动定律，而这些定律没有自由参数。
这一猜想是基于几十年来积累的证据，即非常简单的非可积经典混沌系统的能谱包含由随机矩阵理论描述的普遍能级波动。鉴于随机矩阵理论成功应用于核能谱和这些经典结果，是否存在量子系统的类似结果，其中混沌系统是一个适当的极限，这个问题似乎是合理的。这一猜想基本上意味着半经典模拟经典混沌系统的能谱在结构上与那些经典系统相同。尽管这一猜想尚未得到证实，但似乎对于经典混沌台球及其半经典对应物的情况是成立的。由于这是关于半经典系统的猜想，这意味着半经典系统的能谱结构严格依赖于相应经典系统中的混沌，而不依赖于量子或半经典系统中的任何混沌行为。
一个可以对这些从量子到经典的研究提出严肃问题。然而，半经典系统是使用各种渐近过程导出的（Berry 1987 和 2001），但这些过程并没有产生实际的经典系统，这些系统应该是量子系统的极限情况。更重要的是，量子和经典领域之间的实际极限关系与半经典方法中通常考虑的关系不同（见下文 §6.3）。数学结果与实际量子和经典物理系统之间的实际关系充其量是脆弱的，这再次让我们担心混沌是数学的产物（见 §5）。量子混沌猜想仍未得到证实的一个原因可能是使用了不恰当的“经典极限”概念。尽管半经典对应于经典台球系统的量子台球的能级统计具有普遍性质，但两个系统中轨迹的实际行为差异很大（在薛定谔演化希尔伯特空间矢量永远不会相互发散）。
另一个基本问题是，经典混沌是非线性的函数，而描述量子系统的薛定谔方程是线性的。因此，对量子混沌的经验研究通常集中在外部驱动的量子系统（见下一节）和散射过程（例如，量子台球）。这些研究的重点是这些系统和过程的时间演化的不可预测性。尽管不可预测性是经典混沌系统的特征，但量子系统的时间演化可能同样不可预测（例如，如果可交换的观测量经历复杂的动力学）。目前尚不清楚外部驱动的量子系统和散射过程的不可预测性是否源于任何形式的混沌。
量子系统有时会表现出分叉。例如，在某些情况下，旋转的分子会经历几次连续的定性变化，被解释为分叉（Zhilinskií 2001）。目前尚不清楚在这种系统中是否存在一系列的分叉，最终可能导致某种形式的量子混沌行为。
在最好的情况下，孤立系统中的量子混沌产生了一些与可积和非可积经典系统以及一些重要的实验结果有趣关系的结果（例如，Bayfield 和 Koch 1974；Casati，Chirikov，Izrailev 和 Ford 1979；Fishman，Grempel 和 Prange 1982；Casati，Chirikov 和 Shepelyanski 1984；Berry 2001）。这些关系都是统计的，正如所指出的。研究孤立的封闭量子系统的一个问题是，这些系统的状态空间不允许形成通常与经典混沌系统相关的状态空间结构。文献中讨论了一些例外情况，但实际上不清楚这些是否是混沌的真实案例。文献中讨论的一个例子是一个 N 维环面的量子哈密顿算符：1/2(gknk+nkgk)，其中 nk=−i∂/∂θk，θk 是一个角变量，且 dθi/dt=gi(θk)对于 i，k=1,2,3,...,N（Chirikov，Izrailev 和 Shepelyanski 1988，第 79 页）。动量的概率密度呈指数增长，这似乎与经典情况下轨迹的 SDIC 相似。再次强调，这并不明确是否是混沌；没有根据认为某个数量的指数增长是混沌的标志（回想一下上文 §1.2.6 中的例子）。
建立在上述双缝/台球波共振器的数值结果基础上，可能可以将量子混沌应用于量子测量问题。通常，量子测量的模型描述了相干量子态的破坏，这是外部噪声或环境的影响。这些量子混沌的结果可能会促成量子退相干的动力学理论的发展，这是由于经典混沌（或至少是非可积系统）与相干量子态之间的相互作用产生了测量设备中观察到的不相干混合物。这些考虑引导我们进入相互作用系统。
6.2 量子混沌存在吗？相互作用系统
失败在量子系统中找到古典混沌特征通常被诊断为由于薛定谔方程的线性特性（古典混沌似乎需要非线性作为必要条件）。而来自孤立量子系统的证据证实了这一诊断，正如刚才讨论的那样。那么对于相互作用的量子系统（有时被称为开放量子系统）呢？乍一看，人们可以认为薛定谔方程的线性性意味着随着时间演化，附近的量子态将始终保持附近。然而，已经为相互作用的量子系统提出了一些可能的混沌行为的替代可能性。
Fred Kronz（1998 年，2000 年）认为，专注于可分离/不可分离哈密顿区别比非线性更适合量子混沌问题（见上文 1.2.7 盘点）。尽管薛定谔方程是线性的，但在量子力学中有许多不可分离的哈密顿量的例子。一个主要例子将是描述测量设备与量子系统之间相互作用的哈密顿量。在这种情况下，量子系统-测量装置复合系统可以从张量积态演化到由不可分离的纠缠态表示的不可约张量积态的叠加态。第二个普遍的例子将是著名的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森相关性。尽管许多人，如 Robert Hilborn（1994 年，549-569），已经提出量子系统的幺正演化使得 SDIC 对于量子力学是不可能的，但这些论点没有考虑到相互作用的量子系统通常具有不可分离的哈密顿量。
对于相互作用的量子系统，薛定谔方程不再有效，人们通常转向所谓的主方程来描述演化（Davies 1976）。这些方程通常具有不可分离的哈密顿量。一般来说，这种相互作用系统的组分的时间演化不是幺正的，这意味着没有正式禁止 SDIC。此外，孤立和相互作用的量子系统之间的一个重要对比是，前者具有离散能谱，而后者具有连续能谱。连续能谱是经典系统的特征。然而，在相互作用的量子系统中的研究主要只揭示了与孤立系统中发现的能谱和波动的相同种类的普遍统计特征（例如，Guhr，Müller-Groeling 和 Weidenmüller 1998；Ponomarenko 等，2008 年；Filikhin，Matinyan 和 Vlahovic 2011）。
量子混沌学文献通常使用更广泛的混沌概念，将行为描述为“不能被描述为独立一维运动的叠加”（Ponomarenko 等，2008 年，第 357 页）；换句话说，一种不可分割的形式。然而，相互作用的量子系统中的混沌看起来与孤立系统中的相同：“从量子机械的角度看，混沌系统的能级统计具有独特的统计特征，必须符合高斯随机集合之一，与由泊松分布描述的非混沌系统的能级统计形成对比”（Ponomarenko 等，2008 年，第 357 页）。这在很大程度上是因为量子混沌与量子系统中的普遍统计模式密切相关，这些模式与经典混沌对应系统有某种关系。
一个用于检测经典系统中混沌行为的措施是正的科尔莫哥洛夫熵，它可以与李雅普诺夫指数相关联（例如，Atmanspacher 和 Scheingraber 1987）。不幸的是，在量子系统中没有适当的类似于李雅普诺夫指数的东西。有替代的熵测度可以使用，例如冯·诺伊曼或康内斯-纳恩霍夫-西林熵。然而，目前关于这些熵测度中哪一个（如果有的话）是适当的量子模拟仍有许多未解之谜（它们可能各自适用于特定的研究目的）。此外，虽然这些测度与能级和状态的统计特征相关，这些特征是量子混沌的特征，但目前还没有其他已知的量子系统特征与这些测度能够关联到经典轨迹中观察到的混沌行为。
有一个有趣的物理模型，一个带电粒子在一个带有周期边界条件的单位正方形内，外加一个偶尔会给它一个脉冲（打开和关闭）的外部电磁场。从数学上讲，这个模型是量子化的阿诺德猫映射的推广（Arnold 和 Avez 1968；Weigert 1990；Weigert 1993）。在物理上，它代表了一个被限制在一个类似环面形状的能量面上的带电粒子，受到外部场的脉冲。经典模型具有展开和折叠过程的轨迹，这似乎是混沌的必要条件，具有正的李雅普诺夫指数，并且在算法上复杂[12]，这是用于检测经典混沌的措施之一。它的轨迹具有许多混沌的特征。对于量子模型，电磁场的脉冲会导致最初相近的状态矢量的量子标签被映射到不一定再次接近的标签。这在某种程度上类似于经典混沌轨迹的发散，只是这里改变了状态标签扮演了经典轨迹的角色。这导致了一个绝对连续的准能谱（准能谱被定义为代表作用在状态矢量标签上的演化算符的“能量”的数字集合）。粒子位置的期望值在长时间内相对于初始状态标签变得不可预测，可以证明量子状态标签的移位序列在算法上是复杂的。此外，可以定义标签之间的“距离”，这个距离随时间呈指数增长。
这是量子混沌中行为类似于经典混沌的最有说服力的例子。然而，有一些问题引发了对量子状态标签序列行为是否足以使系统符合混沌特征的质疑。首先，由于准能谱的连续谱，量子混沌猜想不适用于该系统。更重要的是，正如上面指出的，指数发散既不是必要条件也不是充分条件来表征系统为混沌，算法复杂度也是如此。有许多系统的算法复杂度很高，但并非混沌。长随机生成的比特串，无论如何获得，都具有算法复杂度，但不一定与混沌有任何关系。踢动粒子的量子标签行为确实是不规则的，但状态向量的实际时间演化是算法可压缩的，因此在任何方面都不是不规则的。
6.3 对应原理的有效性
在量子混沌学中观察到的行为类型涉及与经典混沌系统有某种关系的量子系统中能级的统计（例如，通过对后者系统进行量子化）。经典混沌的重要特征，如 SDIC 和通往混沌的周期倍增路径，似乎在量子系统中不存在。这种情况导致人们争论量子力学与经典力学之间的对应原理失败，前者可能是不完整的（Ford 1992）。
对应原理可以被广泛理解为，随着量子系统被放大到宏观尺寸，其行为应该更像一个经典系统。或者，量子模型的行为应该在大量子数的极限下复制宏观经典模型的行为。对应原理有时被构想为让普朗克常数趋于零。然而，所有这些构想都是极其不足的。由于 h 是一个自然常数，它永远不会改变值，更不用说趋于零了。人们总是必须谈论经典与量子作用的相关比值的极限，例如，这些极限总是涉及到普朗克常数。此外，这些极限是奇异的，意味着某个量或模式的平滑行为被破坏，通常是通过变为无穷大（Friedrichs 1955；Dingle 1973；Primas 1998）。因此，没有一种直接的方式表明量子模型在量子数变大时变得越来越类似于宏观系统。
Joseph Ford 提供了对应原理的不同解释：“任何两个在其有效领域有重叠的有效物理理论必须在物理观测方面给出相同的预测，以相关的准确度。”在量子力学和牛顿力学的情况下，这意味着“当研究对象是宏观系统时，量子力学一般必须与牛顿力学的预测一致”（1992 年，第 1087 页）。不幸的是，他没有讨论“有效领域”意味着什么，或者量子力学和牛顿力学在其有效领域中有何种重叠。他在他的《美国物理杂志》文章中声称：“对应的本质在于量子力学可以描述宏观世界中的事件，而无需任何极限。如果不是这种情况，那么量子力学和经典有效领域之间就不会有重叠”（1992 年，第 1088 页）。迈克尔·贝里爵士甚至更直接：“所有系统”，甚至包括我们的轨道月球，“都遵循量子力学的定律”（贝里 2001 年，第 42 页）。混沌理论的结果是“如果宏观世界存在混沌（无论如何定义），量子力学也必须展现出完全相同的混沌，否则量子力学就不像通常认为的那样是一个普遍理论”（Ford 1992，第 1088 页）。
如上所述，经典混沌行为在量子混沌学中没有得到恢复，这导致了一个困境：要么对应原理是错误的，要么量子力学是不完整的。Ford，像大多数物理学家一样，拒绝了困境的第一个选择。因此，问题必须出在量子力学上：它的缺乏混沌揭示了理论的某种不完整性。有东西是缺失的。
这个困境是虚假的，然而。福特（以及在某种程度上贝里等人）描述事物的方式表明了对量子和经典领域之间关系的一个常见误解。正如他对限制关系的微妙性所做的努力一样——它们比他意识到的要微妙得多——他对对应原理的讨论实际上依赖于量子和经典领域之间过于简单的关系。这种过于简单的关系预设量子力学完全解释了经典现象，或者，换句话说，量子力学在适当的极限下减少了经典领域。在这种预设下，如果经典混沌在量子力学中不存在，或者如果后者不能解释或重现经典混沌，那么似乎量子力学存在一些不足之处。
量子和经典领域之间的关系并不平凡。首先，它不涉及“经典极限”，而是涉及一系列关于量子可观测量与普朗克常数和其他物理可观测量趋于零的比率的极限（例如，相关的经典和量子作用），或者涉及核和电子运动框架的分离的极限（在化学情况下）等。所有这些极限都涉及奇异的渐近级数；因此，量子现象和经典现象之间的关系并不像纳盖尔和其他形式的还原所要求的桥梁法则那样。从量子到经典领域，状态和可观测量的特性发生了变化（Bishop，2010b）。经典状态和可观测量既不是量子力学中固有状态和可观测量的函数，也不是直接相关的。
其次，即使从量子领域开始，也会有不同的经典世界，这些世界是通过以不同顺序取这些各种极限而产生的。由于这些极限对应于不同的物理转变，改变极限的顺序会改变物理转变的顺序，从而产生物理上不等效的宏观领域。鉴于这些不同宏观世界之间的物理不相容性，量子和经典之间的实际物理转变必须按特定顺序发生，以恢复我们经验中的经典领域。
当然，有很多关于从半经典考虑中得出的量子系统的“近似经典”或“准经典”轨迹的讨论（Berry 1987 和 2001）。但是，这种准经典行为仅在有限的时间内展示（除了过度理想化的模型）并且在非常特殊的初始条件下展示（Pauli 1933，第 166 页）仅适用于基态（激发态能量本征态从不显示经典行为）。在这里，对 Ehrenfest 定理的引用没有帮助，因为这个定理仅保证对于这些非常特殊的、短暂存在的动力学，量子力学可观测量的值的平均倾向于消除经典和量子计算之间的错误或差异，以适应相关情况和时间。此外，该定理既不是经典行为的必要条件也不是充分条件。例如，将 Ehrenfest 定理应用于量子谐振子会产生一段时间内与经典量相符的位置和动量的平均量。然而，量子振荡器的离散态产生的热力学性质与经典振荡器大不相同。因此，满足该定理并不足以保证经典行为。
第三，我们古典世界的出现不仅仅是环境失调的问题（例如，Omnés 1994；Berry 2001；Wallace 2012）。首先，不存在无限多自由度的无上下文限制，因为这种限制总是有不可数无穷多个物理上不等价的表示。此外，一个不正确的量子态混合“允许我们用经典概率分布来解释[量子]系统的状态”是错误的，因此“将‘混合态’视为有效经典是有用的”，这样“人们可以解释由[非纯态密度算子]描述的系统为未知观察者的系统的经典‘混合’”（Zurek 1991，46–47）。不纯净的量子态可以被解释为经典混合，_仅当_它们的组成部分由不相交的状态描述时。对于两个纯态的经典混合（例如，水和油），只有当存在一个经典可观测量，使得相对于这些状态的期望值不同时，这些纯态才是不相交的。正是这种不相交性使得可以以经典方式区分状态。
总之，在量子领域本身没有任何东西决定了古典领域的特性（尽管前者为后者提供了一些必要条件）。因此，古典混沌，以及许多其他古典特征，以比 Ford 和其他人允许的更复杂、更微妙的方式出现。如果对应原理要成为一个可行的原则，那么它必须反映出古典性的出现，这意味着在 Ford 对量子混沌进行讨论时的还原主义假设应该被放弃。一旦还原主义假设被移除，量子混沌与古典混沌之间的差异不再对一个恰当制定的对应原理提出质疑。这解决了困境的第一个方面。
第二个困境的角也得到了解决。如果在经典领域出现混沌等特征，就没有理由怀疑量子力学存在某种不足。量子力学的普遍性和有效性都没有问题。量子和经典领域之间复杂而微妙的新兴关系并不意味着这两个领域是不重叠或不相交的。相反，量子和经典之间的重叠是部分的且非平凡的。量子力学是普遍适用的，但这绝不意味着它单独普遍统治经典行为。它为经典属性和行为提供了一些必要条件，但不是充分条件。一个指标是，经典力学是以个别粒子在时空中连续轨迹的形式来表述的，而量子力学是以概率和波函数的形式来表述的。经典和量子之间存在深刻的概念差异。这表明我们不应该期望在语境不恰当的极限情况下从量子力学中得到个别连续轨迹，也不应该期望量子力学展示全范围的经典行为，与 Ford 等人的观点相反。相反，我们应该期待量子概率在语境适当的情况下恢复经典概率，并且量子和经典属性行为之间应该存在一些有趣的关系。在量子混沌学中发现的有趣的统计规律与这种新兴的、非平凡的重叠关系很好地契合。
7. 混沌的一些更广泛含义
有一些关于混沌对其他哲学探讨领域更广泛影响的讨论。这里将对其中三个更引人深思的进行调查。
7.1 混沌与决定论
回想一下，在数学上，混沌是确定性动力系统的一个特性（§1.2.1）。自 18 世纪以来，形而上学决定论的最佳模型和支持被认为是物理理论和模型的决定论。但这种策略比通常意识到的更有问题和微妙（例如，由于忠实模型的困难，§3.）。因此，也许并不奇怪有人认为混沌反映了某种形式的不确定性；因此，世界在形而上上并非确定性的。当然，混沌系统以其不可预测性而臭名昭著，一些人，比如卡尔·波普尔（1950 年），认为不可预测性意味着不确定性。然而，这是将确定性（一个本体论属性）与可预测性（一个认识论属性）等同起来。
一个提出混沌行为意味着决定论失败的人的例子是物理学家转型为圣公会牧师的约翰·波尔金霍恩： “表面上是确定性的，实际上是不可预测的。有人建议，对这种精妙敏感性的自然解释是将其视为一种本体论上的开放性的指示，而不仅仅是一种认识论障碍”（1989 年，第 43 页）。波尔金霍恩给出了一个批判性现实主义的认识论和本体论阅读，试图将认识论障碍与决定论的本体论失败联系起来，因为本体论对复杂动力系统世界中未完全在我们的物理描述中解释的影响持开放态度。然而，动力系统的数学特性（例如，它们的确定性特征）对这种推理方式提出了严重问题。决定论作为独特演化似乎在我们的混沌数学模型中得以保留，这些模型作为我们对混沌系统的本体描述。[14]
什么会引发对实际世界系统决定论的质疑？对于非线性动力系统，它们与目标系统的假定关联是一个开始的地方。对实际世界系统的数学建模需要区分变量和参数，以及系统和其边界之间的区别。然而，当线性叠加丢失时，这些区别变得棘手（Bishop 2010a）。这种情况引发了关于我们对系统和模型的认识在复杂系统研究中的访问以及基于这些模型推断目标系统的假定决定论的问题。此外，如果所讨论的系统是非线性的，那么忠实模型假设（§1.2.3）对从模型的确定性特征推断目标系统的确定性提出了困难。
考虑模型与目标系统之间的映射问题。即使对于最忠实的模型，也不能保证这种映射是一对一的。这种映射实际上可能是一对多的关系或多对多的关系。确定性模型与目标系统之间的一对一关系将使我们从数学模型的确定性特征推断目标系统的确定性特征更加可靠。然而，一对多的映射会引发问题。人们可能认为可以通过要求一对多关系中的整个模型类别是确定性的来解决这个问题。然而，这样的要求并不简单。例如，不同的建模团队经常为同一个项目提交提案，有些提出确定性模型，而其他人提出非确定性模型。非线性模型使得从物理到形而上决定论的任何推断都显得岌岌可危。
7.2 自由意志和意识
许多作者已经寻求量子力学来帮助解释意识和自由意志（例如，康普顿 1935 年；埃克尔斯 1970 年；彭罗斯 1991 年，1994 年和 1997 年；贝克和埃克尔斯 1992 年；斯塔普 1993 年；凯恩 1996 年；量子意识）。然而，对于许多人来说，量子力学与意识和自由意志之间的关系并不那么清晰。例如，哲学家 J. J. C. Smart（1963 年，第 123-4 页）曾对量子效应影响人类意志提出早期异议。即使在量子层面上是不确定的，Smart 认为大脑在运作上仍然是确定性的，因为与之相比，量子事件微不足道。毕竟，已知单个神经元受到约一千个分子的兴奋，每个分子由十到二十个原子组成。尽管在关注单个原子时量子效应是显著的，但在涉及大量分子的系统时，这些效应被认为是可以忽略的。因此，看起来量子效应相对于数千个分子的影响来说太微不足道，无法在意识或思考中发挥任何可能的作用。
论据，如 Smart 的，没有考虑到通过宏观世界层面上 SDIC 之间的相互作用来放大量子效应的可能性，一方面是宏观世界，另一方面是量子效应（参见 §4）。SD 论点旨在证明，由于对初始条件最小变化的敏感性，经典系统中的混沌可以放大量子波动。沿着这些线条，假设（有些简化地）大脑中神经元发放的模式对应于决策状态。这个想法是，混沌可能会放大量子事件，导致一个单个神经元发放，否则它不会发放。如果大脑（一个宏观对象）也处于混沌动力学状态，使其对小干扰敏感，那么这种额外的神经元发放，尽管很小，也会被进一步放大到大脑状态会以不同于神经元未发放时的方式演变的程度。反过来，这些改变的神经元发放和大脑状态将继续传播这种量子效应，影响人类选择的结果。
对这一论点的反对意见有几点。首先，大脑及其运作中的混沌存在是一个备受争议的经验问题（Freeman 和 Skarda 1987；Freeman 1991，2000；Kaneko，Tsuda 和 Ikegami 1994 页 103-189；Vandervert 1997；Diesmann，Gewaltig 和 Aertsen 1999；Lehnertz 2000；Van Orden，Holden 和 Turvey 2003 和 2005；Aihara 2008；Rajan，Abbott 和 Sompolinsky 2010）。然而，应该指出，这些讨论通常假定 SD 或 Chaosλ 是混沌的定义。在大脑中对量子效应的敏感性和放大所真正需要的是非线性系统中发现的叠加原理的丧失。其次，这些类型的敏感性论点在很大程度上取决于量子力学本身以及测量的解释方式，以及不确定性的状态（§4）。第三，尽管在抽象的敏感性论点中似乎导致最小的效应可以被放大的结论，但将这些论点应用于具体的物理系统表明，放大过程可能受到严重限制。在大脑的情况下，我们目前不知道放大存在什么限制。
一个避免混沌+量子力学方法中许多困难的替代可能性是由伊利亚·普里戈金和他的布鲁塞尔-奥斯汀小组（Bishop 2004）在远离平衡系统研究中提出的。他们的工作声称提供了寻找微观和宏观领域中不同类型的不确定性的理由。
考虑一个粒子系统。如果粒子在空间区域中均匀分布，系统被称为热力学平衡（例如，咖啡杯中均匀分布的奶油）。相反，如果系统远离平衡（非平衡），粒子排列得非常有序，可能会出现高度有序的结构（例如，浮在茶中的冰块）。以下特性表征非平衡统计系统：大量粒子，高度结构和秩序，集体行为，不可逆性和新兴属性。大脑具有所有这些特性，因此大脑可以被视为一个非平衡系统（平衡大脑是一颗死脑！）。
让我快速勾勒一下一个简化版本的方法，以指出为什么布鲁塞尔-奥斯汀小组的发展为研究物理、意识和自由意志之间的联系提供了一种替代方案。物理学中的传统方法描述系统时使用粒子轨迹作为其模型的基本解释要素，这意味着模型的行为可从组成模型的粒子的轨迹推导出来。控制这些粒子运动的方程是关于时间可逆的（它们可以像电影一样前后运行）。当涉及太多粒子以至于无法进行这类计算时（如气体或液体中），就会使用粗粒化平均程序来发展系统行为的统计图像，而不是专注于个别粒子的行为。
相比之下，布鲁塞尔-奥斯汀方法将非平衡系统视为非线性模型，其基本解释要素是分布；也就是说，粒子的排列是基本解释要素，而不是个别粒子和轨迹。控制这些分布行为的方程通常是关于时间不可逆的。此外，仅专注于分布函数还开启了这样一个可能性，即宏观非平衡模型可能是不可约的不确定性，这种不确定性与对系统的无知无关。如果是这样，这将意味着概率在宏观世界中与微观世界一样是本体论上的基本要素，并且不受传统量子力学中出现的解释困难的影响。
一个重要的洞察是布鲁塞尔-奥斯汀小组从轨迹转向分布作为基本要素，解释也从局部背景（一组粒子轨迹）转向全局背景（整个粒子集的分布）。作为整体运作的系统可能产生集体效应，这些效应不能简单归结为轨迹和组成系统的子要素的总和（Bishop 2004 和 2012）。大脑在许多情况下展示了这种类型的集体行为（Engel，et al。1997），Prigogine 及其同事的工作为我们提供了另一个工具，用于尝试理解这种行为。此外，非线性非平衡模型也展示了 SDIC，因此在这些方法中存在许多可能性，可以对大脑操作和认知现象进行非常丰富的动力学描述（例如，Juarrero 1999；Chemero 和 Silberstein 2008）。尽管布鲁塞尔-奥斯汀对非平衡统计力学的方法仍然是推测性的，并包含一些未解决的技术问题，但它提供了一种探索物理学、意识和自由意志之间关系的替代方案，并指出了一个新的可能的用于探讨自由意志理论中的不确定性的来源。
将混沌动力学应用于理解意识和自由意志本质的方法是否代表真正的进步仍然是一个悬而未决的问题。例如，如果世界是确定性的，那么在认知动力学中引入 SDIC（例如，Kane 1996）可能为探索审慎过程提供了一个复杂的框架，但对于自由意志的不相容主义观念来说并不足够。另一方面，如果大脑中存在不确定性（量子力学或其他方式），那么对于不确定论者如 Robert Kane（1996）来说，仍然存在挑战，即要证明代理能够有效地利用非线性动力学提供的精细敏感性来确立和解释自由意志。关于混沌动力学中的现实主义和解释问题（§5）在这里是相关的，以及忠实模型假设。
7.3 人类和神圣行动在一个非线性世界中
最近也有许多工作将动力系统的视角应用于认知和行动，明确地借鉴了吸引子、分岔、SDIC 和非线性动物园的其他居民等属性（例如，van Gelder 1995；Kelso 1995；Port 和 van Gelder 1995；Juarrero 1999；Tsuda 2001）。基本思想是运用非线性动力学框架来解释神经和认知活动以及复杂行为。然后希望神经、认知和人类活动的模式可以被解释为涉及多个层次（例如，神经元、大脑、身体、物理环境）的因果交互作用和约束的非线性动力过程的结果。这些方法具有很强的启发性，但也面临挑战。例如，如前一节所述，神经和认知动力学的性质仍然存在争议。最终，这是一个经验问题，这些动力学是否主要是非线性的。此外，与竞争性计算方法相比，动力系统方法的解释能力受到质疑（例如，Clark 1998）。再次，关于混沌动力学中的现实主义和解释问题（§5）在这里是相关的，以及忠实模型假设。
此外，正如之前提到的，波尔金霍恩（以及其他人）提出将宏观混沌模型和系统中的随机性解释为代表真正的不确定性，而不仅仅是我们的无知的一种度量（1991 年，第 34-48 页）。这个想法是，这种开放性或不确定性不仅对我们经历的自由意志和行动至关重要（第 40-1 页），而且对世界中的神圣行动也是如此（例如，波尔金霍恩 1989 年；§7.1）。基本上，混沌动力学、复杂性理论和非平衡统计力学中研究的系统和模型所表现出的对微小变化的敏感性被视为物理秩序中神圣活动的本体论开放。然而，波尔金霍恩所依赖的敏感性也会受到量子影响，无论是确定性的还是不确定性的。此外，正如之前在布鲁塞尔-奥斯汀计划中提到的，很大程度上取决于是否能找到混沌行为中不确定性的源头。如果波尔金霍恩的建议仅仅是将世界视为_好像_混沌包含不确定性，那么似乎这个建议并不能产生他所寻求的神圣行动的那种效果。
7. 结论
混沌和非线性动力学不仅是科学研究的丰富领域，也引发了许多有趣的哲学问题。然而，这些问题中的大部分仍然未被哲学家深入研究。
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