信念的形式化表述 belief, formal representations of (Konstantin Genin and Franz Huber)

首次发布于 2008 年 10 月 22 日（星期三）；实质性修订于 2020 年 11 月 13 日（星期五）。

认识论学者对信念系统的结构和动态的规范感兴趣：个体的信念必须相互协调才能被认为是合理的；它们必须在决策中得到反映；并且它们应该适应新的证据。形式认识论学者通过构建数学模型或“形式表述”来探讨这些问题，这些模型在某种程度上是认识论上的典范。广义上讲，这些模型捕捉到了一个理想理性主体如何管理其认识生活的重要方面。本文概述了为此目的提出的形式表述。

信念以定性（完全）形式存在，例如 Sophia 相信维也纳是奥地利的首都，以及定量（部分）形式存在，例如 Sophia 相信维也纳是奥地利的首都的程度，在某种意义上，比她相信维也纳比布达佩斯人口更多的程度更强。关于完全信念和部分信念如何相关的问题在形式认识论中受到了相当多的关注，产生了几种微妙、优雅但不幸不兼容的解决方案。这些替代方案之间的辩论是本文的一个特定焦点，涵盖在第 4 节中。

1. 初步

1.1 为什么要形式主义？

为什么要构建信念的_形式_表述？在很大程度上，形式主义在认识论中的严谨性和回报与其他学科相同。它要求我们准确陈述基本原则，作为回报，它允许我们通过演绎证明或 计算机模拟 来展示它们的逻辑结果和联系。通常，这些结果和联系是出乎意料的，有时候甚至是_如此_出乎意料，以至于很难想象在没有形式主义的帮助下如何发现它们。如果一个看起来有吸引力的原则有一个不吸引人的结果，很容易想象如果没有明确证明，人们可能会被诱惑回避或忽视它。也许最常见的悲剧是发现几个有吸引力的原则相互矛盾，因此必须做出一些不愉快的牺牲。经过几次这样的经历，认识论者开始感到形式表述可以防止模棱两可和自欺，并促进进步和理解。

当然，形式表述并非没有缺点。一旦采用了形式框架，某些问题和项目就会凸显出来，而其他问题则会退居幕后。一些先前有趣的问题可能在新的形式主义中无法表达；内部人士可能会诋毁这些问题，称其毫无意义或无趣。在最糟糕的情况下，这可能使形式工作变得肤浅，或者回避重要问题。这就是地方主义的陷阱。为了避免这些问题，有时候回顾形式主义最初的动机是很有帮助的。为此，框架的历史有时是启发性的。过渡到不同的形式主义之间也是有帮助的：这种视角的转变可以在认识论上抵制地方主义，就像沉浸在一种新的语言或文化中可以更广泛地抵制地方主义一样。

上述观点不仅适用于认识论之外的许多学科。事实上，数学方法可能有助于解决特定于认识论、物理学或经济学的问题。而对特定形式主义的过度忠诚在物理学和经济学中同样存在问题，就像在认识论中一样。然而，如果我们仅止步于此，就无法充分体现数学方法在认识论中的独特抱负。

莱布尼兹梦想着一个“普遍特征”——一种精确的思维计算法则，通过计算可以裁决科学争议，并为那些“在实验的海洋中航行”的人提供“航标”（莱布尼兹 1679/1989）。在过去的一个世纪里，科学统一运动希望一种新的逻辑能够作为一种通用语言，以协调所有科学，并将它们的全部力量应用于当今的问题。然而，正如哥白尼和托勒密系统之间的冲突所表明的那样，精确而数学化地陈述两个理论并不足以裁决它们之间的争议。为此，人们付出了大量努力，开发了一种计算方法，以计算证据的确切影响，并在理论之间进行裁决。这种计算法则被构想为不仅仅是哲学的福音，而是一种类似普通法的共同法，用于管理和协调科学的联邦共和国。本文涵盖的许多形式主义可以追溯到一个雄心勃勃的计划，其抱负可能超出了我们当代的想象力。

帕斯卡（约 1658/2004 年）将新的概率计算应用于与信仰密切相关的个人问题。事实上，许多认识论学家对于科学研究者的规范并不特别感兴趣，而是对个体整个信念系统的规范感兴趣：他们的信念必须如何相互一致才能合乎理性；它们必须如何在决策中得到体现；以及它们应该如何适应新的证据。主观概率理论及其伴随的理性决策理论是这一项目最全面的当代表述；不管好坏，它迄今为止是我们这个时代实践理性的主导理论。我们在第 3.1 节中介绍它。

我们在这里引用我们杰出的前辈主要是为了说明他们的雄心壮志，希望他们的改良主义精神能够为本文所涵盖的内容注入生机。在数学细节中，很容易忘记形式认识论是对理性能够富有成效地自我反思的希望的表达。如果这个项目失败了，我们就有可能阻碍或人为地限制人类理性的范围和力量。但如果它成功了呢？

1.2 信念的对象

在接下来的内容中，我们将看到几种关于信念结构的提出模型。其中大部分提议将信念的对象视为_命题_或者是一个形式化语言中的_句子_。本节将回顾与命题和句子在形式语言中的处理所需的基本概念。如果读者在本节中感到技术性内容过多，可以随时将其推迟，并在需要时再参考。习惯于处理这些对象的读者可以自由跳过本节。

通行观点认为，信念的对象是命题，而命题是一组_可能世界_。但这些命题究竟是什么呢？这是一个相当困难的问题（请参阅关于 可能世界 的条目）。在一个生动的观点中，可能世界是对替代现实的完整描述。选择一个可能世界就是以一种小心避免矛盾的方式，指定在某个可能的现实中存在的每一个事实，而这个现实不一定是我们自己的。根据这个观点，包含_所有_可能世界的集合 W 就像一个巨大的图书馆，其中包含了每一个可能现实的完整历史。_实际_世界选择了与我们自己现实相对应的卷册。

并不需要（也许也没有帮助）将可能世界视为完全的形而上学可能性。在这个极其细致的层面上，每个可能性都指定了无数模糊而无趣的细节。但通常情况下，上下文决定了我们可以认为是理所当然的世界特征，我们对其不确定但不愿意是这样的特征，以及哪些是无关紧要的。例如，Sophia 可能对维也纳的下一任市长的身份感兴趣，但他们是左撇子还是右撇子并不重要。对于我们的目的来说，一个可能世界是对给定上下文相关的世界特征的完整规定。因此，集合 W 是所有上下文相关的认知可能性的集合。将可能性的集合缩小到一个个体 w∈W 将完全解决正在讨论的一些有趣问题。命题 P⊆W 是一组可能世界的_集合_，即它是对世界的方式的部分规定。确信 P 为真意味着确信实际世界在集合{w:w∈P}中，因为在可能世界 w 中，当且仅当 w∈P 时，P 为真。

命题具有集合论结构。P 的相对补集，¬P=W∖P，是所有 P 为假的世界的集合。如果 P，Q 是任意命题，则它们的交集 P∩Q 是 P 和 Q 都为真的世界的集合。P∪Q 的析取是至少有一个 P 或 Q 为真的世界的集合。物质蕴涵 P→Q 是世界集合 ¬P∪Q，在其中 P 为假或 Q 为真。如果 P⊆Q，我们说 P 蕴涵 Q，也说 P 在逻辑上比 Q 更强。如果 P⊆Q 且 Q⊆P，我们写作 P≡Q，并说 P 和 Q 在逻辑上等价。重言命题 W 在所有世界中为真，矛盾命题，空集 ∅，在任何世界中都不为真。命题集 A 是一致的，当且仅当存在一个世界，在该世界中 A 的所有元素都为真，即如果 ∩A≠∅。否则，我们说 A 是不一致的。命题集 A 是互斥的，当且仅当任何一个元素的真意味着所有其他元素的假。命题集 A 的逻辑推论集，记作 Cn(A)，是集合{B⊆W:∩A 蕴涵 B}。请注意，如果 A 是不一致的，则 Cn(A)是 P(W)，即所有关于 W 的命题的集合。

命题集 F 是一个场（有时称为代数），当且仅当 F 包含 W，并且在交集、并集和补集下封闭。也就是说，如果 A，B 都是 F 的元素，则 W，A∪B，A∩B 和 ¬A 也是 F 的元素。命题集 F 是一个 σ 场（有时称为 σ 代数），当且仅当它是一个场，并且在可数交集下封闭，即如果 S⊆F 是一个可数的命题集合，则所有元素的交集 ∩S 也是 F 的元素。这个定义意味着 σ 场也在可数并集下封闭。不难证明 σ 场的交集也是 σ 场。这意味着每个命题集合 F 通过与包含 F 的所有 σ 场的交集来生成 σ(F)，即最小的包含 F 的 σ 场。

命题虽然通常由语言中的句子来表达，但它们本身并不是句子。通常通过说命题是语义对象，而句子是句法对象来区分这两者。语义对象（如命题）是有意义的，因为它们代表有意义的可能性，而句法的部分必须在变得有意义之前被“解释”。用一句口号来说：句子有潜在的意义，而命题已经是有意义的。

对于我们的目的，一个语言 L 被认为是包含的所有语法句子的集合。句子将用小写希腊字母 α，β，...表示。假设语言 L 包含一组原子句子 α，β，...，它们不是由其他句子构建而成，以及通过命题逻辑中的真值联结词将原子句子组合而成的所有句子。换句话说：如果 α，β 是 L 中的句子，则 ¬α，α∨β，α∧β，α→β 和 α↔β 也是 L 中的句子。它们分别被解读为“非 α”，“α 或 β”，“α 和 β”，“如果 α，则 β”和“α 当且仅当 β”。符号 ⊥（发音为“falsum”）表示任意选择的矛盾（例如 α∧¬α），符号 ⊤（发音为“top”）表示任意重言式。

L 中的一些句子“逻辑上”从其他句子中推导出来。例如，在真值联结的预期解释下，α 从句子 α∧β 以及句子集合{β,β→α}中推导出来。为了捕捉演绎推理的基本要素，我们引入了一个“推论关系”⊢，它在任意两个句子 α⊢β 之间成立，只要 β 是 α 的演绎结果。假设推论运算符满足以下特性，这些特性抽象了演绎逻辑的特征：

(Reflexivity)(Monotonicity)(Cut)α⊢α; α⊢γ, implies α∧β⊢γ; α⊢β and α∧β⊢γ implies α⊢γ.

反身性仅仅表达了任何句子 α 都是其自身的演绎结果的平凡性。单调性表达了将更多前提添加到演绎论证中允许你得出与较少前提相同的结论的事实。割断原则大致表示演绎结论与其前提具有相等的认知地位：随着推导变得更长，没有信心的损失。这些原则共同暗示了“推论的推论是推论”的意思，即 α⊢β 和 β⊢γ 意味着 α⊢γ。

我们将 Cn(α)表示为所有 β 的集合，使得 α⊢β。如果 Δ 是一个有限的句子集，我们将 Cn(Δ)表示为 Cn(∧α∈Δα)，即 Δ 中所有句子的合取的推导结果的集合。如果 Δ 是一个无限的句子集，定义 Cn(Δ)会稍微复杂一些，因为 Δ 中所有句子的无限合取不是形式语言的句子。为了避免无限合取，让 α1,α2,…成为 Δ 中句子的一个枚举，并且令 βi=⋀j≤iαj，即枚举中前 i 个句子的合取。最后，令 Cn(Δ)=∪∞i=1Cn(βi)。有时候，用推导结果运算符 Cn(⋅)来陈述原则是很方便的。例如，我们假设推导结果关系满足以下附加属性。

(演绎定理)如果 β∈Cn(Δ∪{α})，则(α→β)∈Cn(Δ)。

演绎定理表达了这样一个事实：通过假设 α 并推导出 β，你可以证明条件句 α→β。毫不奇怪，可以证明这个性质对于大多数遇到的演绎逻辑都成立，包括命题逻辑和一阶逻辑。

每个形式语言 L 都以一种规范的方式产生一组可能的世界。L 的一个模型将 L 中的每个句子赋予一个真值，首先将真值赋予每个原子句子，然后通过尊重连接词的预期含义来赋予所有其他句子的真值。我们用 ModL 表示 L 的所有模型的集合。因此，每种语言 L 都引导了 L 的所有模型的有限域 A。A 是由 L 中的句子表达的关于 ModL 的命题的集合。A 反过来引导了一个唯一的最小 σ-域 σ(A)，其中包含 A。

一旦我们在上下文中有了一组可能性 W 和一个形式语言 L，就有一种标准的系统方法将它们连接起来。一个估值函数 V 将 L 中的每个原子句子 α 映射到一个命题 V(α)⊆W，即在原子的解释下 α 为真的世界的集合。例如，如果 W=ModL，则原子被映射到它们为真的模型。估值函数还以一种尊重逻辑连接词预期含义的方式解释非原子句子，即 V(⊤)=W，V(¬α)=W∖V(α)和 V(α∧β)=V(α)∩V(β)。通过这种方式，L 中的每个句子都被映射到一组可能的世界。

我们写作 α⊨β，如果对于所有估值 V，V(α)⊆V(β)。那么，α⊨β 表示的是无论如何解释 L 的非逻辑词汇，β 在 α 的所有真实世界中都为真。我们说 α 是有效的，当且仅当{⊤}⊨α，即对于所有估值函数，W⊆V(α)。然后，α 是有效的当且仅当 α 在所有可能的世界中都为真，无论如何解释非逻辑词汇。例如，句子 α∨¬α 是有效的。

我们假设我们的演绎推理关系具有以下属性。

（健全性）如果 α⊢β，则 α⊨β。

健全性表明，如果句子 β 是 α 的可推导结果，那么无论如何解释 L 的非逻辑词汇，β 在所有使得 α 为真的世界中都为真。也就是说，从真前提出发，我们的推理关系总是得出真结论。健全性还意味着每个定理都是有效的。健全性是任何_演绎_推理关系的基本要求，并且说明了演绎证明和语义蕴涵之间的预期联系。

句子在某种意义上能够表达命题无法表达的区别。例如，两个句子 p 和 ¬¬p 显然是不同的。但是如果 p 和 q 可以被证明等价，即如果 ⊢p↔q，那么 {p}⊢q 和 {q}⊢p。根据完备性，{p}⊨q 和 {q}⊨p。因此，对于任何赋值函数，V(p)=V(q)。所以 p 和 q 必须表达相同的命题。当然，一个不知道等价性的代理可能相信 p 而不相信 q。更糟糕的是，对于任何 ⊢p 的句子 p，它必须表达重言命题 W。当然，普通的代理并不总是能够识别命题逻辑的定理。因此，有人认为句子而不是命题是信念的适当对象。然而，我们将研究的大多数提出的模型要求理性代理对逻辑等价的句子采取相同的信念态度。这是一个非常严格的要求，相当于假设每个理性代理都是_逻辑全知_的，即她认为所有逻辑蕴涵都是完全透明的。只要这种情况存在，将信念的对象视为句子或命题之间没有重大区别。然而，仍有其他人对句子或命题都不满意。Perry (1979)，Lewis (1979) 和 Stalnaker (1981) 认为，为了捕捉_本质上指示性_的信念，即本质上涉及诸如_I, here,_ 或 now 的指示性的信念，信念的对象必须是_中心化_命题。我们在这里不讨论这个有帮助的建议，但是可以参考 Ninan (2019) 或 Liao (2012) 了解更多关于中心化命题的内容。

2. 完全信念的表述

认识论中的一个重要传统认为信念是一个非此即彼的问题。根据这种观点，一个代理对于一个句子或命题可以采取三种信念态度：要么她相信 α 但不相信 ¬α；要么她相信 ¬α 但不相信 α；要么她对于 α 和 ¬α 都不持有信念。在第一种情况下，我们简单地说她完全相信 α；在第二种情况下，我们说她完全_不相信_ α；在第三种情况下，我们说她对于 α 和 ¬α 都_保持判断暂缓_。也许一个代理完全相信 α 和 ¬α 也在心理上是可能的。由于大多数理论家都同意她不应该这样做，我们对这种情况不引入特殊的术语。任何允许更细微的信念态度分级的信念表述我们将称之为信念的_分级_表述。

本节介绍的框架主要涉及全有或全无信念态度。其中大部分通过完全相信的所有句子集合来表示代理人在任何特定时间的信念状态。所有这些框架都要求信念状态在合理性上必须是演绎封闭的，不包含任何矛盾。如果仅此而已，这些框架将不会很有趣。这些框架的真正见解在于，代理人的信念状态不能仅通过她当前信念的完整列表来充分表示，而只能通过她在获取新信息后更新这些信念的倾向来表示。因此，这些框架的重点是制定规范原则，以管理信念状态在吸收新信息时的动态变化。正如我们将看到的，尽管这些框架在静态合理性原则上基本一致，但它们在信念更新的动态原则上存在冲突。

从信念程度的细微结构中了解定性更新动态是很有启发性的。在本节中，我们将看到以下类型的“表述”结果的几个版本：满足一定定性动态更新原则的每个代理人都可以被视为更新具有特定结构的分级信念的代理人，反之亦然，具有该结构分级信念的每个代理人都将满足相同的定性动态原则集合。这些结果暗示了连接信念的完全和部分表述的桥梁原则。

2.1 非单调逻辑

在 第 1.2 节 中，我们介绍了演绎推论关系的概念。演绎推论关系的一个特征是，给演绎论证添加更多前提可以推导出与较少前提相同的结论。换句话说，对于 L 中的任意句子 α、β、γ：如果 α⊢γ，则 α∧β⊢γ。

当然，各种看似合理的日常推理都违反了单调性。如果 Sophia 被告知她的温度计显示摄氏 85 度，她有理由得出结论：天气不冷，可以在花园里吃晚餐。如果她随后得知她的温度计被移动到她煮意大利面的炉子上方，她可能会撤回她的结论。这并不意味着她最初的推理是不合理或不理性的。非单调性在普通人的语境中是不可避免的。归纳推理是出了名的非单调的。伦理和法律推理同样充满了非单调性（Ross，1930 年和 Ullman-Margalit，1983 年）。

非单调逻辑研究了前提（在波浪形推理符号的左边）与结论（在右边）之间的可废除的推论关系|∼。可以将左边的前提 α 看作是表达一个代理人可能拥有的所有“确凿证据”的句子，将右边的结论看作是基于 α 而得出的可废除的结论。表达式 α|∼β 可以理解为：如果我的全部证据是 α，我将有理由得出结论 β。因此，特定的可废除推论关系表示了一个代理人在获得新信息后更新信念的倾向。

回顾一下 第 1.2 节 中提到的演绎推理关系满足正确性。也就是说，只有当 β 在 α 为真的所有世界中都为真时，才有 α⊢β。从前面的例子可以清楚地看出，可废弃推理无法满足正确性。如果 α|∼β，则可能在 α 为真的“典型”世界中 β 为真。如果 α 为真，但 β 为假，则称为_扩展_的推理。这个术语源自拉丁语_ampliare_，意为“扩大”，因为可废弃推理“扩展”或“超越”了前提。在除了最为人为的情况之外，扩展性和非单调性是相辅相成的。

在过去的四十年中，人工智能研究人员为可废弃推理创建了许多不同的逻辑，通常是为了模拟特定类型的可废弃推理。请参阅 非单调逻辑 条目，了解更详细的概述。鉴于这种专门逻辑的丰富多样性，非单调逻辑研究了一个逻辑推理必须具备哪些属性才能被视为_逻辑_。（参见 Gabbay（1985）关于这个抽象观点的起源。）非单调逻辑为比较不同的可废弃推理逻辑提供了至关重要的_共同语言_。它也非常适合本文的目的，因为它使我们能够比较不同的规范理论，即在新证据的光下，信念应该如何更新，以及全面和部分信念应该如何相互关联。

在我们继续进行技术发展之前，介绍哲学家约翰·波洛克对非单调逻辑的重要早期批评将会很有帮助。波洛克（1987）确定了可废弃推理中的两个非单调性来源。一个代理人可能相信 β，因为她相信 α，并将 α 视为 β 的可废弃_理由_。波洛克区分了这种推理的两种_推翻者_：一个_反驳_推翻者是相信 ¬β 的可废弃理由，而一个_削弱_推翻者是相信 ¬α 的理由。任何一种推翻者都可能导致代理人撤回对 β 的信念。波洛克的观点是，由于非单调逻辑通常不表示代理人理由的结构，它们经常无法优雅地处理削弱推翻的情况。我们很快将看到几个例子。

2.1.1 非单调逻辑的原则

Kraus、Lehmann 和 Magidor（1990）阐述了任何“合理”的非单调语言必须满足的一组原则。现在通常将这组原则称为 P 系统。直到今天，这些原则仍然是非单调逻辑的无争议核心。

| (KLM1) | α|∼α | 自反性 |

| --- | --- | --- |

| (KLM2) | 如果 ⊢β↔γ 并且 α|∼β，那么 α|∼γ。 | 左逻辑等价性 |

| (KLM3) | 如果 ⊢α→β 并且 γ|∼α，那么 γ|∼β。 | 右弱化 |

| (KLM4) | 如果 α∧β|∼γ 且 α|∼β，则 α|∼γ。 | 割断 |

| (KLM5) | If α\|∼β and α\|∼γ, then α∧β\|∼γ. | Cautious Monotonicity |

| (KLM6) | 如果 α|∼γ 且 β|∼γ，则 α∨β|∼γ。 | 或 |

反身性仅仅表达了一个自明的真理，即一个人有权从自身推断出 α。接下来的两个原则规定了非单调推理关系应该如何与演绎推理关系相互作用。左逻辑等价性表明，如果 α 和 β 在经典意义上是等价的，那么它们授权相同的可废弃推断。右弱化原则表明，如果 α 可废弃地授权 β，则它也授权 β 的所有演绎结果。综合起来，这些原则表明可废弃推理包含了所有的演绎推理。如果我们将 |∼ 看作是对有界主体的可废弃推理建模，这听起来是不合理的。但如果我们将 |∼ 看作是对一些“硬”证据所基于的扩大结论建模，这听起来就更合理了。

剩下的原则是 System P 的核心。Cut 说，将从 α 中推断出的结论添加到前提中不会增加推理能力。谨慎单调性说不会减少推理能力。设 C(α)为{β:α|∼β}，即由 α 许可的结论集合。如果我们将|∼ 左边的前提视为我的全部“硬”证据，并将集合 C(α)视为在 α 的基础上归纳推断出的理论，那么谨慎单调性就是假设演绎主义的表达：如果我学到了我的理论 C(α)的一个结果，我不应该撤回任何以前的结论。此外，Cut 说我不应该添加任何新的结论。综合起来，这两个原则表明，如果你的理论的一个结果被添加到你的全部证据中，你的理论不应该改变，即如果 α|∼β，则 C(α)=C(α∧β)。

最后一个原则最好通过其中一个实例来解释。将 ¬α 替换为 β 得到以下原则：

| | If α\|∼γ and ¬α\|∼γ, then ⊤\|∼γ. | Case Reasoning |

| --- | --- | --- |

任何真正的结果关系都应该能够通过案例推理。如果我不考虑我对 α 的了解就能推断出 γ，那么在 α 的问题被决定之前，我应该能够推断出 γ。总的来说，奥尔说如果 γ 从 α 和 β 中都可以被推翻性地推导出来，那么它应该从它们的析取中推导出来。任何满足自反性、右弱化和奥尔原则的结果关系也必须满足以下原则：

| | 如果 α∧β|∼γ，那么 α|∼β→γ。 | 条件化 |

| --- | --- | --- |

条件化理论认为，在获得新证据后，你永远不会“草率下结论”，这些结论并不是由你旧有信念与新证据的演绎闭包所蕴含的。这并不是一个显然吸引人的原则。一个只有微不足道证据 ⊤ 的代理人要么无法验证条件化理论，要么根本不会进行任何扩大性推理。假设在观察了 100 只黑乌鸦后，验证条件化理论的代理人相信所有乌鸦都是黑色的。那么，在调查开始时，她必须相信要么所有乌鸦都是黑色的，要么在前 100 只乌鸦中会出现第一只非黑色的乌鸦。这样的代理人似乎对归纳概括的第一个反例出现的时间有奇怪的见解。

对于一个更现实的例子，考虑 1887 年的迈克尔逊-莫雷实验。在未能检测到光速在预设的以太风向和垂直风向之间存在显著差异的零结果之后，物理学家们开始反对以太理论。如果物理学家们验证了条件化理论，那么在实验之前，他们必须相信要么没有光以太，要么以太风速足够快以被他们的设备检测到。但是，他们为什么要如此确信以太风速不会太慢以至于无法被检测到呢？

即使验证条件化理论的代理人没有任何问题，但基于新证据进行的所有合理的可推翻性推理都可以重构为先前结论加上新证据的演绎推理，这个观点在归纳主义者看来是非常反归纳的。根据条件化理论，形成归纳概括的倾向必须在调查开始时“编程”进去，作为材料条件。 （在稍微不同的背景下，参见 Schurz（2011）的类似批评。）对这种批评持同情态度的人必须拒绝“或”、“自反性”或“右弱化”中的任何一个。发现这些看似无问题原则的令人惊讶的后果是研究非单调逻辑的好处之一。

我们通过介绍非单调逻辑中另一个著名且有争议的原则来结束本节。将这个原则添加到 P 系统中会得到通常被称为 R 系统的结果。对于这个原则的立场将决定我们对接下来的许多理论的感受。Kraus 等人（1990）声称，任何理性的推理者都应该验证以下谨慎单调性的加强形式：

|（KLM7）| 如果 α|∼β 且 α/|∼¬γ，则 α∧γ|∼β。| 理性单调性 |

| --- | --- | --- |

理性单调性说，只要新证据 γ 与您的先前信念 C(α)在逻辑上是兼容的，您就不应该撤回 C(α)中的任何信念。接受理性单调性和条件化意味着当面对与她的信念在逻辑上一致的新证据时，理性的代理人会简单地将她现有信念与新证据形成推理闭包。在这种观点下，演绎逻辑是推理的唯一必要指南，只要不陷入矛盾。Stalnaker（1994）提供了以下众所周知的对理性单调性的反例。

假设 Sophia 相信 Verdi 是意大利人，而 Bizet 和 Satie 都是法国人。让 α 是 Verdi 和 Bizet 是同胞的句子。让 β 是 Satie 是法国人的信念。让 γ 是 Bizet 和 Satie 是同胞的句子。假设 Sophia 收到证据 α。结果，她得出结论，要么 Verdi 和 Bizet 都是法国人，要么他们都是意大利人，但她无法说出哪种情况。她保持她对 Satie 是法国人的信念。所以 α|∼β 和 α/|∼¬γ。现在假设她收到证据 γ。由于 γ 与她之前的结论是兼容的，理性单调性要求她保持对 β 的信念，并得出这三位作曲家都是法国人的结论。然而，撤回 β 并得出这三位作曲家要么都是意大利人，要么都是法国人似乎是完全合理的。

Kelly 和 Lin（即将出版）使用以下例子来反驳理性单调性。Sophia 的办公室里只有两个人，他们叫 Alice 和 Bob。她对其中一人是否拥有一辆特定的福特车感兴趣。让 β 是 Alice 拥有这辆福特车的句子。让 γ 是 Bob 拥有这辆福特车的句子。Sophia 有关于 Alice 拥有福特车的不确定证据-她看到她开着一辆一模一样的车。她对 Bob 拥有福特车的证据较弱-他的兄弟拥有一家福特经销商。基于她的全部证据 α，她得出 β∨γ 的结论，即办公室里有人拥有福特车，但她没有推断出 β 或 γ。然后，Alice 说她开的福特车是租来的，她没有车。这打破了 Sophia 对 β∨γ 的主要理由，因此她撤回了她对办公室里有人拥有福特车的信念。但是，由于 α/|∼¬β，理性单调性要求她保持对 β∨γ 的信念，并得出 Bob 拥有福特车的结论。然而，她的推理似乎没有任何不合理之处。这似乎是 Pollock（1987）的观点的一个例证：逻辑之所以出错，是因为它忽略了 Sophia 的理由结构。

辩护者们会辩称，如果我们认为这些反例是有道理的，那是因为我们对代理人的先验信念结构或触发更新的信息的表述不足。他们认为，如果我们能以现实细节来描述这些情况，我们就不会被这些反例所说服。有关这种辩护方式的详细阐述，请参见林（2019）的第 5 节。对于理性单调性的其他批评并不基本上依赖于反例的可信度，而是基于理性单调性与竞争性探究规范的不兼容性。林和凯利（2012）提出的一种批评将在第 4.2.4 节中讨论。另一个例子，请参见 Genin 和 Kelly（2018）。

2.1.2 优先语义

到目前为止，我们仅将非单调的推论关系视为句法对象之间的关系。我们可以“语义地”重新表述非单调逻辑的属性，即以句子在可能的世界中的真假来表述。在某些情况下，这使我们能够对可废除逻辑给出非常明晰的视角。

回顾一下 第 1.2 节 中提到的演绎推理关系满足正确性，即只有当 β 在 α 为真的所有世界中都为真时，才有 α⊢β。正如我们所讨论的，非单调逻辑是扩张的，因此必然违反正确性。Shoham（1987）为非单调逻辑引入了一种语义，其中只有当 β 在 α 为真的“首选”世界集中为真时，才有 α|∼β。在典型的解释中，这些是 α 为真的最典型或最正常的世界。

Kraus 等人（1990）首次证明了本节中的大部分结果。然而，原始结果的陈述过于一般化，对我们的目的来说过于繁琐。我们陈述了一个简化但更明确的版本。有关更接近原始的演示，请参见 Makinson（1994）和关于 可废除推理 的条目。

优先模型_是一个三元组 ⟨W,V,≺⟩，其中 W 是一组可能的世界，V 是一个估值函数，≺ 是 W 元素之间的任意关系。回顾一下 第 1.2 节 中提到的 V(α)是 α 为真的世界集。关系 ≺ 是_传递的，当 x≺y 且 y≺z 时，x≺z。关系 ≺ 是_非自反的_，当 w∈W 时，对于所有 w∈W，不成立 w≺w。传递的、非自反的关系称为_严格顺序_。我们写作 w⪯v 当且仅当 w≺v 或 w=v。严格顺序 ≺ 是_全序_，当 w,v∈W 时，要么 w≺v，要么 v≺w。

我们说 w 是_α-最小_的世界，当且仅当 w∈V(α)，且不存在 v∈V(α)使得 v≺w。每个偏好模型都通过设置 α|∼β 来产生一个推论关系，其中 β 在所有_α-最小_的世界中为真。Kraus 等人（1990）证明了以下结论：

定理。假设 ≺ 是 W 上的严格顺序。通过设置 α|∼β 当且仅当 β 在所有 α-最小的世界中为真，定义推论关系|∼。那么，|∼ 满足 KLM1-6。如果 ≺ 是全序的，那么也满足 KLM7。反之，假设推论关系|∼ 满足 KLM1-6。那么，存在一个严格顺序 ≺，使得 α|∼β 当且仅当 β 在所有 α-最小的世界中为真。如果也满足 KLM7，那么可以选择顺序为全序。

这意味着我们可以将满足基本 KLM 公设的任何推论关系|∼ 解释如下：|∼ 表示一个代理人对 W 中可能性集合的严格合理性排序，并且相信与她的确凿证据相容的“最合理”可能性所蕴含的内容。如果不满足合理单调性，那么一些可能性在合理性上是不可比较的。否则，所有可能性都是可比较的。

2.2 AGM 信念修正理论

与非单调逻辑一样，信念修正理论关注的是如何根据新证据更新自己的信念。当新证据与所有先前的信念一致时，理论的建议很简单，但要求严格：只需将新证据添加到旧有的信念库中，并在演绎推论下封闭。当新证据与先前的信念不一致时，情况就变得更加复杂。如果你想融入新信息并保持逻辑一致，你将不得不撤回一些原有的信念。信念修正的核心问题在于，仅凭演绎逻辑无法告诉你应该放弃哪些信念-这必须由其他手段决定。

考虑到类似的问题，奎恩和乌利安（1970）阐述了“保守主义”的原则，建议我们的新信念“可能与我们先前的一些信念相冲突；但冲突越少越好。”在他的（1990）著作中，奎恩将其称为“最小破坏原则”。受到这些启示性原则的启发，阿尔库隆、格登福斯和马金森（1985）发展了一种极具影响力的信念修正理论，此后被称为 AGM 理论，以其三位创始人命名。

在 AGM 理论中，一个代理人的信念由一组来自形式语言 L 的句子 B 表示。这组 B 被称为代理人的_信念状态_。信念状态要求是一致的和推理封闭的（Hintikka 1961 和 认知逻辑 条目）。当然，这是一个有些不切实际的理想化。Levi（1991）通过改变对集合 B 的解释来捍卫这种理想化——这些是代理人被_承诺_相信的句子，而不是她实际相信的句子。尽管我们可能永远无法实现我们的承诺，但 Levi 认为我们对我们信念的逻辑结果负有责任。这可能拯救了这个原则，但只是通过改变理论的解释。

AGM 理论研究了三种不同类型的信念变化。_收缩_发生在信念状态 B 被 B÷α 替换时，B÷α 是 B 的一个逻辑封闭子集，不再包含 α。_扩展_发生在信念状态 B 被 B+α=Cn(B∪{α})替换时，这是简单地将 α 添加到 B 并在逻辑推论下封闭的结果。_修订_发生在信念状态 B 被信念状态 B∗α 替换时，这是为了适应 α 而“最小程度地破坏”B 的结果。

收缩是 AGM 研究的信念变化的基本形式。如何定义扩展并没有什么神秘之处，修订通常通过_Levi 恒等式_（1977）以推导方式定义：B∗p=(B÷¬p)+p。为未来的工作设定了模式（Gärdenfors 1988，Gärdenfors 和 Rott 1995），Alchourrón，Gärdenfors 和 Makinson（1985）从公理上进行了论证：他们假设了每个合理的收缩操作必须满足的几个原则。AGM 理论的基础是几个表示定理，表明某些直观的构造导致满足基本原则的收缩操作，并且反过来，每个满足基本原则的操作都可以看作是这种构造的结果。请参阅 信念修订 条目，Huber（2013a）或 Lin（2019）对这些结果的优秀介绍。

AGM 理论在关注信念收缩方面是独特的。对于那些关心维护数据库的人来说，收缩是一种相当自然的操作。医学研究人员可能希望发布一组数据，但要确保不能用于识别他们的患者。隐私法规可能会强制数据收集者“遗忘”关于您的某些事实，并且他们自然希望以尽可能保守的方式来做到这一点。然而，一个合理的论点是，所有“在野外”发生的合理信念变化形式都涉及学习新信息，而不是保守地删除旧信念。文章中涵盖的所有其他形式主义都关注这种信念变化形式。因此，我们将重点放在 AGM 修订理论上，忽略了收缩。

在深入探讨一些技术发展之前，我们提到一些对 AGM 框架的重要异议和替代方案。正如我们所提到的，一个代理人的信念状态由代理人承诺相信的（演绎闭合的）句子集合 B 来表示。代理人的“理由”的结构没有明确表示：你无法判断任意两个 α,β∈B 中的一个是否是另一个的理由。 Gärdenfors（1992）区分了“基础”理论和“一致性”理论。基础理论跟踪哪些信念证明了哪些其他信念，而一致性理论则忽略了证明的结构，而是关注信念是否彼此一致。为了支持一致性方法，他在两者之间划分了鲜明的界限：

根据基础理论，信念修订应该首先放弃所有不再具有“令人满意的理由”的信念，其次是添加已经得到证明的新信念。另一方面，根据一致性理论，目标首先是在修订的认识状态中保持“一致性”，其次是对旧状态进行“最小变化”，以确保整体的一致性。

这段文字中隐含的观点是基础理论与最小破坏原则不相容。在其他地方（1988 年），格登福斯更为和解，他认为一些混合理论是可能的，甚至可能更可取：

我承认这里介绍的收缩和修订的假设非常简单，但它们似乎捕捉到了对信念集合的贫瘠结构可以表述的内容。在更丰富的认知状态模型中，例如允许表述原因，相应的保守性假设必须更加谨慎地表述（第 67 页）。

此前，我们已经看到波洛克（1987 年）主张基础主义。在人工智能中，多伊尔（1979 年）的_reason maintenance system_被视为基础主义方法的典范。霍蒂（2012 年）认为 默认逻辑 恰当地代表了原因的结构。关于基础主义的辩护以及对这两种方法的有用比较，请参见多伊尔（1992 年）。

另一种基础主义观点主张使用_信念基础_而不是信念状态。信念基础是一组通常不在逻辑推论下封闭的句子。它的元素代表着“基本”信念，这些信念不是从其他信念中推导出来的。这使我们能够区分明确的信念句子，比如“莎士比亚写了《哈姆雷特》”，和从未思考过的演绎结果，比如“要么莎士比亚写了《哈姆雷特》，要么艾伦·图灵在一个星期一出生。”然后，修订和收缩被重新定义为在信念基础上操作，而不是在信念集上操作。这允许更精细地表达区别，因为具有相同逻辑闭包的信念基础不可互换地处理。有关信念基础的介绍，请参阅 信念修订逻辑 条目的相关部分。有关书籍的详细介绍，请参阅 Hansson（1999b）。

最后，对 AGM 理论最常见的批评之一是它不能阐明_迭代_的信念变化。在接下来的内容中，我们将看到规范修订操作以信念状态上的坚固性排序作为输入，但输出的信念状态没有坚固性排序。这严重地不确定了随后修订的结果。有关迭代信念修订问题的更多信息，请参阅 Huber（2013a）。

2.2.1 信念修订原则

Gärdenfors（1988）对于理性信念修正提出了以下假设。对于任意一组句子 B⊆L 和任意的句子 α,β∈L：

| (AGM*1) | B∗α=Cn(B∗α); | 闭包 |

| --- | --- | --- |

|（AGM*2）| α∈B∗α; | 成功 |

|（AGM*3）| B∗α⊆Cn(B∪{α}); | 包含关系 |

|（AGM*4）| 如果 ¬α∉B，则 Cn(B∪{α})⊆B∗α; | 保持性 |

| (AGM*5) | B∗α 不一致当且仅当 ⊢¬α; | 一致性 |

| (AGM*6) | 如果 ⊢α↔β，则 B∗α=B∗β。 | 外延性 |

闭包、成功、一致性和外延性都对 B∗α 施加了_同步_约束。它们并不涉及它与先前的信念状态 B 之间的关系。闭包要求新的信念集是演绎闭合的。放弃这个要求会使你进入_信念基础_的阵营，而不是信念集（Hansson 1999a）。成功要求新信息包含在新的信念状态中。_非优先_信念修订放宽了这个要求（Hansson 1999a）。外延性要求代理人只对证据的逻辑内容敏感，而不关心其呈现方式。一致性要求新的信念状态在证据非矛盾时是逻辑一致的。

保留和包容是唯一真正涉及修订的规范 - 它们捕捉了 AGM 修订的历时精神。包容性意味着通过 α 的修订不应该比通过 α 的扩展产生更多的新信念。换句话说，通过 α 修订后你相信的任何句子 β 都是 α 和你先前的信念的演绎结果。考虑以下原则：

| | 如果 β∈B∗α，则(α→β)∈B。 | 条件化 |

| --- | --- | --- |

在 第 2.1.1 节 中，我们考虑了非单调逻辑的条件化类比。所有相同的反对意见同样适用于信念修订的背景下。回顾一下 第 1.2 节 中的内容，如果一个演绎蕴涵关系满足演绎定理，那么 Δ∪{α}⊢β 意味着 Δ⊢α→β。只要对于 Cn(⋅)可以证明演绎定理，包含和条件化是等价的。如果你认为反对条件化的论证中有任何令人信服的观点，你应该对包含持怀疑态度。

保全原则表明，只要新信息 α 在逻辑上与你的先前信念一致，你的所有先前信念都会在 α 的修订下保留。在非单调逻辑的背景下，我们称之为合理单调性。第 2.1.1 节 中对合理单调性的所有反对意见和反例同样适用于信念修订。正如我们所见，保全原则排除了任何一种先前成功的可废除推理的削弱。接受保全（合理单调性）和包含（条件化）意味着当面对与她的信念在逻辑上一致的新证据时，一个理性的代理人会简单地通过将她现有的信念与新证据形成演绎闭包来回应。在这种观点下，演绎逻辑是唯一必要的推理指南，只要你不陷入矛盾。

Gärdenfors（1988）还提出了以下两个与包含和保全密切相关的修订假设。

| (AGM*7) | B∗(α∧β)⊆Cn(B∗α∪{β}); | 信念的形式表述 |

| --- | --- | --- |

| (AGM*8) | 如果 ¬β∉B∗α, 则 Cn(B∗α∪{β})⊆B∗(α∧β). | 信念的形式表述 |

可以将信念修订与非单调逻辑之间的联系具体化。给定一个信念集合 B 和一个修订操作 ∗，我们可以通过设置 α|∼β 当且仅当 β∈B∗α 来定义一个可废除的推论关系。类似地，给定一个可废除的推论关系 |∼，我们可以定义 B={α:⊤|∼α} 和 B∗α={β:α|∼β}。然后，可以证明 AGM 信念修订与我们称之为 System R 的原则集之间存在以下对应关系 Section 2.1.1。由此可知，AGM 修订可以用可能世界上的一个完全优先模型来表示。

定理。假设 ∗ 是一个满足所有八个修订公理的 B 的修订操作。那么，由 α|∼β 当且仅当 β∈B∗α 所给出的非非单调推论关系满足 System R 的所有原则。反之，假设 |∼ 是一个满足 System R 的所有原则的推论关系。那么，通过定义 B={α:⊤|∼α} 和 B∗α={β:α|∼β} 的修订操作 ∗ 满足所有八个修订公理。

2.2.2 巩固程度

Gärdenfors（1988）以以下方式引入了“扎根关系”的概念：

即使一个集合中的所有句子都被接受或被视为事实……，这并不意味着所有句子在规划或解决问题时具有相等的价值……我们将说某些句子……具有更高程度的_认识扎根性_。直观上，扎根程度将影响在进行收缩或修订时放弃什么……以及保留什么。

为了模拟扎根程度，引入了一种关系 ⪯，它在语言 L 的句子之间成立。符号 α⪯β 的发音为“α 至多与 β 一样扎根”。Gärdenfors（1988）要求该关系满足以下公设。对于 L 中的所有 α、β、γ：

| (≼1) | If α≼β and β≼γ, then α≼γ | Transitivity |

| --- | --- | --- |

| (≼2) | 如果 α⊢β，则 α≼β | 支配性 |

| (≼3) | α≼α∧β 或 β≼α∧β | 合取性 |

| (≼4) | 如果 ⊥∉Cn(B)，那么 [α∉B 当且仅当对于所有 β 在 L 中：α≼β] | 最小性 |

| (≼5) | 如果对于所有 α 在 L 中：α≼β，那么 β∈Cn(∅) | 最大性 |

给定一个固定的背景信念集合 B 和一个在 L 上的信念优先级排序 ≼ ，并且令 α⪱β 成立当且仅当 α≼β 且 β⋠α，我们可以如下定义一个修正运算符 ∗ ：

B∗α=Cn({β∈B:¬α⪱β}∪{α})

这个方程的背后思想是，代理人通过首先从她的信念集中清除比 ¬α 不够坚定的任何东西（通过支配，这包括所有蕴含 ¬α 的东西），然后添加 α，并在逻辑推理下闭合来修订 α。 Gärdenfors 和 Makinson（1988）证明了这个定义产生了一个满足 AGM_1-8 的修订算子，并且反过来，满足 AGM_1-8 的每个修订算子都可以看作是从某种程度上产生的。这些结果说明了为什么 AGM 理论不是一个关于_迭代_修订的理论：修订操作的输入是一个程度排序和信念状态，但输出只是一个信念状态。这严重地限定了后续修订的结果。

Grove（1988）证明了一个类似的表示定理，适用于一种扩展了 Lewis（1973）对于反事实的语义的球体语义系统。有关 Grove 的可能世界语义的介绍，请参阅有关 信念修订逻辑 的相关部分。Segerberg（1995）在动态信念逻辑框架中阐述了 AGM 方法。Lindström 和 Rabinowicz（1999）将其扩展为迭代信念修订。出于必要性，我们对信念修订理论的介绍相当简洁。有关出色的文章长度介绍，请参阅有关 信念修订逻辑 的条目，Huber（2013a）或 Lin（2019）。有关书籍长度的处理，请参阅 Gärdenfors（1988），Hansson（1999）或 Rott（2001）。

2.3 认知逻辑

到目前为止，我们所见的形式框架主要关注信念修订的动态原则，它们主要关注如何适应新信息。这种理论强调将其他问题放在了次要位置。特别是，这些框架不能很容易地表达关于高阶信念（调节对信念的信念）或信念与知识之间关系的原则。因此，这些框架对于经典认识论问题相对沉默，比如知识是否蕴含信念（参见关于 知识分析 的条目），或者为什么同时相信 p 和不相信自己相信 p 是荒谬的（参见关于 认知悖论 的条目）。

认知逻辑是一种形式框架，其现代形式通常可以追溯到冯·赖特（1951）和欣蒂卡（1962），旨在突出这些问题。有关一本有影响力的入门性文本，请参见 Fagin 等人（1995）。认知逻辑的形式语言扩展了命题逻辑的认知运算符 Baϕ 和 Kaϕ，分别发音为“代理人 a 相信 ϕ”和“代理人 a 知道 ϕ”。当只讨论一个代理人时，下标被省略。（熟悉 模态逻辑 的读者将会认识到这些运算符类似于其他“盒子”运算符，比如必然性和义务。）在扩展了语言之后，可以表达认知原则，例如 B(p→q)→(Bp→Bq)，它表示你的信念在演绎法则下是封闭的，或者 Bp→BBp，它表示如果你相信 p，那么你也相信自己相信它。请注意，尽管第一个原则在 AGM（封闭性）和非单调逻辑（右弱化）中有自然的类似物，但第二个原则无法直接在任一形式主义中表达。例如，在 AGM 框架中，我们可以理解 p∈B 与 Bp 是相同的意思，但如何表达 BBp 则一点也不清楚。（但请参见 Moore（1985）和关于 非单调逻辑 的自我认知部分。）此外，认知逻辑没有困难地表达知识和信念相互作用的原则。例如，Kp→Bp 表达了一切被知道的事物也被相信的论点。AGM 和非单调逻辑无法轻易地对这些问题做出任何陈述。

不同的公理选择来规定信念、知识及其相互作用会导致不同的认识逻辑。认识逻辑中的大量工作对这些系统进行了表征，并证明了公理的各种令人惊讶的结果。克里普克模型_是认识逻辑最广泛使用的语义基础。（关于这些模型是否正确归因于克里普克，请参见 Goldblatt（2006）的讨论。）克里普克模型在可能世界集合 W 上配备了一个二元的_不可区分关系。基本思想是，如果 w 是实际世界，那么代理 a 无法排除实际世界是 w′，则两个世界 w,w′之间存在关系 wRaw′。然后，该模型通过以下定义与形式语言相连接：w⊨Baϕ 当且仅当对于所有 w′（wRaw′），w′⊨ϕ。换句话说：在 w 中，a 相信 ϕ 当且仅当在所有 a 无法区分 w 与 w′的世界 w′中，ϕ 为真。配备了这种语义，可以证明认识原则与不可区分关系的结构性质之间存在各种优雅的对应关系。例如，当不可区分关系是传递的时候，原则 Bϕ→BBϕ 成立。当不可区分关系是自反的时候，可疑的原则 Bϕ→ϕ 成立。大量的理论活动致力于直观认识原则在模态逻辑语言中的表达与不可区分关系的优雅结构条件之间的相互作用。关于这个主题的优秀介绍，请参见 认识逻辑 条目，或更一般的 模态逻辑 条目。最近，对认识逻辑的替代拓扑语义进行了重要的理论研究活动（例如：Bjorndahl 和 Özgün，即将出版）。

正如 von Wright（1951）和 Hintikka（1962）最初制定的那样，认识逻辑对于代理如何对新信息做出反应没有提出任何要求。Segerberg 引入了动态信念逻辑（1995 年，1999 年）来弥合信念修正和认识逻辑之间的差距。此外，动态认识逻辑是为了同样的目的而发展起来的，但重点放在多主体环境中（参见 Plaza 1989，Baltag 等人 1998，van Ditmarsch 等人 2007）。这个框架受益于哲学家、逻辑学家、经济学家和计算机科学家的理论贡献。对于这些发展的适当讨论将使我们偏离主题。感兴趣的读者应该参考 动态认识逻辑 条目。对于贝叶斯自我认识论方法，请参见 van Fraassen（1985 年，1995 年）。对于排名理论方法，请参见 Spohn（2012）的第 9 章，以及 Hild（1998）和 Spohn（2017b）。对于将传统认识论的定性概念与概率概念相结合的非常不同的方法，请参见 Moss（2013 年，2018 年），他辩护了知识涉及概率内容的论点。

3. 部分信念的表述

普遍认为，信念不仅仅是一个非此即彼的问题，而是可以有不同程度的。索菲亚可能更相信维也纳是奥地利的首都，而不是相信明天维也纳会晴天。如果她的信念程度具有数值结构（而不仅仅是序数结构），她对前者的确信程度可能是对后者的两倍。对于这类例子印象深刻的哲学家们，他们的研究活动围绕着“部分信念”的结构而不是非此即彼的信念。

虽然很容易举出部分信念的合理例子，但很难准确地说出“信念程度”是什么意思。一个人对 P 的信念程度可能反映了他们对 P 的真实性的信心水平，他们在对话中同意 P 的意愿，或者可能需要多少证据才能说服他们放弃对 P 的信念。一个古老的传统，在 Ramsey (1926) 和 de Finetti (1937) 中得到了经典的表述，认为信念程度最直接地反映在一个人愿意接受关于 P 的哪些赌注上。至少自帕斯卡尔（约 1658/2004 年）以来，主流哲学观点认为，信念程度可以很好地用概率来建模（有关可读的历史，请参见 Hacking (1975)）。直到今天，主观或“认识论”概率仍然是概率计算的主要解释之一。

尽管从未像主流观点那样占主导地位，但有一个平行的传统认为，信念程度既不像帕斯卡尔的概率分析所暗示的那样精确，也不是那么明确可比的。凯恩斯（1921）著名地提出，信念程度可能只具有一种序数结构，可以进行定性但不能进行定量比较。凯恩斯甚至暗示有些部分信念的强度根本无法进行比较。

Cohen（1980）将另一种少数派传统追溯到弗朗西斯·培根的《新工具》（1620/2000）。在通常的概率尺度上，对某个命题的置信度为零意味着对其否定的最大确信。而在培根的尺度上，置信度为零意味着对命题及其否定都没有确信。因此，通常的尺度从“证伪到证明”，而培根的尺度从“无证据或非证据到证明”。在过去几十年中，培根概率得到了越来越多的关注，导致了接近帕斯卡传统中那些成熟和复杂理论的出现（Spohn，2012；Huber，2019）。

在本节中，我们介绍了几种表示部分信念的框架，首先是迄今为止最重要的框架：主观概率理论。

3.1 主观概率理论

主观概率理论，通常被称为“贝叶斯主义”，是建模部分信念的主导范式。关于这个主题的文献已经非常丰富。这里提供的摘要将会相对简短。有关文章长度的介绍，请参阅 贝叶斯认识论，Easwaran (2011a, 2011b) 或 Weisberg (2011)。有关书籍长度的介绍，请参阅 Earman (1992)，Skyrms (2000)，Hacking (2001)，Howson and Urbach (2006) 或 Huber (2018)。有关贝叶斯模型的理性选择的文章长度介绍，请参阅 决策理论。有关理性选择理论的易懂书籍长度介绍，请参阅 Resnik (1987)。

主观概率理论的核心大致如下：

  1. 存在一种基本的心理态度，称为“信念程度”，有时也称为“自信”或“确信”，可以用[0,1]区间内的数字来表示。

  2. 理性代理人的信念程度满足概率论的公理。

  3. 理性代理人的信念程度通过某种概率条件进行_更新_。

前两个原则是贝叶斯理论的同步要求；第三个原则涉及到历时更新行为。大多数贝叶斯主义者也会同意以下原则的某个版本，将主观概率与思考和行动联系起来：

  1. 世界的可能状态（结果）被赋予一个_效用_：一个反映该结果的可取或不可取性的正或负实数。

  2. 理性的代理人只执行最大化_期望_效用的行动

贝叶斯主义之所以强大，是因为除了提供对理性信念及其更新的解释外，它还提供了对理性行动和思考的解释。没有其他理论能够提供对这三个方面的发展细致的解释。接下来，我们将简要阐述贝叶斯图像的一些技术细节。

3.1.1 信念的形式结构

引入[0,1]区间内的信念程度来量化信念态度的强度。对于我们的目的，我们将假设命题是部分信念的对象。也可以将信念程度分配给形式语言中的句子，但在很大程度上，我们选择的方法并不重要（参见 Weisberg，2011）。因此，设 A 是一组可能性集合 W 上的命题领域。如果对于 A 中的所有命题 A、B，从 A 到实数集合 R 的函数 Pr: A→R 是一个（有限可加且非条件性的）概率测度，当且仅当满足以下条件：

（正性）（单位性）（可加性）Pr(A)≥0 Pr(W)=1 Pr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B)，如果 A∩B=∅

满足这三个原则的三元组 ⟨W,A,Pr⟩ 被称为（有限可加）概率空间。从这些原则可以推导出许多有启发性的定理。例如，分配给矛盾命题的信念程度必须等于零。此外，如果 E 蕴含 F，则 Pr(E)≤Pr(F)。最后，对于任何命题 E∈A，我们有 0≤Pr(E)≤1。

假设 A 还在可数交集下封闭（因此是一个 σ-域）。假设 Pr 还满足 A 中所有命题 A1,…An,…的条件，

（σ-可加性）Pr(∪∞i=1Ai)=∞∑i=1Pr(Ai)，如果 Ai∩Aj=∅，其中 i≠j。

然后，Pr 是 A 上的 σ-或_可数可加_概率测度（Kolmogorov 1956，第 2 章，实际上给出了一个不同但等价的定义；参见例如 Huber 2007a，第 4.1 节）。在这种情况下，⟨W，A，Pr⟩ 是一个 σ-或可数可加的概率空间。

可数可加性并不像看起来那么无害：它排除了任何代理人对可数无限个互斥可能性的漠不关心。De Finetti（1970 年，1972 年）著名地主张我们应该拒绝可数可加性，因为可以想象上帝可以“随机”选择一个自然数，并且具有相等（零）的概率。举个例子，假设你对命题 ¬B（将来观察到的所有乌鸦都是黑色的命题）分配了 50%的确信度。令 ¬Bi 是第 i 只观察到的乌鸦是第一只非黑色乌鸦的命题。那么 ¬B=∪∞i=1¬Bi。可数可加性蕴含对于所有的 ϵ>0，存在一个有限的 n，使得 p(∪ni=1¬Bi)=1/2−ϵ。因此，你必须几乎确定，如果不是所有的乌鸦都是黑色的话，第一只非黑色乌鸦将出现在前 n 只乌鸦中。但是，是否真的要求你在第一只非黑色乌鸦出现的时间上有意见才符合_理性_的要求呢？唯一将所有 ¬Bi 赋予相等概率的方法是通过设置 p(¬Bi)=0 来违反可数可加性。这种解决方案也有其缺点。在所有标准的贝叶斯更新模型中，即使你看到一只白色乌鸦，也不可能确信第 i 只乌鸦确实是非黑色的。有关可数可加性的更多信息，请参见 Kelly（1996）的第 13 章。

A 上的概率测度 Pr 是_正则的_，只要对于 A 中的每个非空或一致的命题 A，Pr(A)>0。令 APr 是 A 中所有满足 Pr(A)>0 的命题 A 的集合。基于 A 上的非条件概率测度 Pr，A 上的_条件_概率测度 Pr(⋅∣−)：A×APr→R 对于 A 中的所有命题 A 和 APr 中的命题 B，由比率定义。

(5) Pr(A∣B)=Pr(A∩B)Pr(B).

（科尔莫戈洛夫 1956 年，第 1 章，§4）。通过 B 进行条件化将所有可能性限制为与 B 兼容的可能性，并通过 B 的概率重新调整以确保保持单位性。Pr(⋅∣−)的第二个参数位置的定义域限制为 APr，因为如果 Pr(B)=0，则 Pr(A∩B)/Pr(B)的比率未定义。请注意，对于 APr 中的每个命题 B，Pr(⋅∣B)是 A 上的概率测度。一些作者将条件概率测度 Pr(⋅,given −)：A×(A∖{∅})→R 作为原始定义，并将（非条件）概率测度定义为 Pr(A)=Pr(A, given W)，其中 A 是 A 中的所有命题（参见 Hájek 2003）。通常假设条件概率是波普-雷尼测度（Popper 1955，Rényi 1955，Rényi 1970，Stalnaker 1970，Spohn 1986）。Spohn（2012 年，202ff）批评波普-雷尼测度缺乏完整的动力学特性，这一特点已经被哈珀（1976 年）指出，并且缺乏合理的独立概念。相对概率（Heinemann 1997，其他互联网资源）据称不会受到这两个缺点的困扰。

3.1.2 解释

说索菲亚对明天维也纳晴朗的主观概率等于 0.55 是什么意思？这是一个困难的问题。让我们先回答一个不同的问题。我们如何衡量索菲亚的主观概率？根据传统观点之一，索菲亚对 A 的主观概率是通过她对 A 的_投注比率_来衡量的，即她愿意为一项返回 1 美元的赌注支付的最高价格，如果 A 不成立，则返回 0 美元。根据稍微不同的观点，索菲亚对 A 的主观概率是通过她对 A 的_公平_投注比率来衡量的，即数值 r=b/(a+b)，使得她认为以下赌注是公平的：如果 A 成立，则支付 a 美元，否则支付-b 美元（a、b≥0，至少有一个不等式成立）。

索菲亚愿意与你打赌明天维也纳晴朗的概率是 5.5 比 4.5，这并不一定是不理性的，但她可能不愿意与你打赌这个命题为真的概率是 550 比 450。她甚至可能拒绝 200 比 999 的赌注。这是因为影响她投注比率的因素不仅仅是她的信念程度。索菲亚可能是风险规避者，例如，如果她不能冒着每月预算损失 200 美元的风险。其他人可能是风险倾向者。例如，赌场的赌徒是风险倾向者：他们为玩轮盘赌付出的代价超过了合理的主观概率的公平货币价值。如果赌博的刺激本身就是一种补偿，这可能是完全理性的。请注意，说索菲亚对 A 的公平投注比率是数值 r=b/(a+b)，使得她认为以下赌注是公平的：如果 A 成立，则支付 1-r=a/(a+b)美元，否则支付-r=-b/(a+b)美元（a、b≥0，至少有一个不等式成立），这并没有帮助。就像 200 美元的赌注可能对于衡量工作来说过高一样，1 美元的赌注可能太低。

当命题本身对于代理人来说是个人重要的问题时，另一个复杂性出现了。假设索菲亚如果自由党在下次选举中获得多数席位会非常不开心，但她认为这是非常不可能的。尽管如此，她可能愿意支付 20 美元进行一项赌注，如果他们获胜，则支付 100 美元，否则支付 0 美元。想象一下，她正在购买一种对抗痛苦失望的保险政策。在这种情况下，她的投注比率并不明显反映她对自由党将获胜的信念程度。

Ramsey（1926）通过以效用而非金钱定价赌注来避免第一个困难。他通过预设至少存在一个“伦理中立”的命题（其真假无关紧要），该命题被代理人认为与其真假一样可能成立，从而避免了第二个困难。详见 概率解释 条目的第 3.5 节。然而，前述例子表明公平赌注比和主观概率很容易出现分歧。主观概率是通过（公平）赌注比来衡量的，但并不等同于赌注比。后者是可操作定义和可观察的，而前者是不可观察的、理论实体，我们按照 Eriksson＆Hájek（2007）的说法，将其视为原始的。

3.1.3 正当理由

主观概率理论并不能准确描述实际人类行为（Kahneman 等，1982）。它是一种规范性理论，旨在告诉我们如何管理我们的认知生活。_概率主义_是这样一个命题：一个人的信念程度_应该_满足概率公理。但是为什么呢？

传统的答案是，违反概率公理的代理人在某种意义上会使自己暴露于一种保证会造成确定性损失的投注系统。这种类型的答案被称为“荷兰书”论证。这个论证的实用版本假设信念程度与投注行为之间存在紧密联系。该论证通过证明一个定理来得出结论，即如果代理人的信念程度违反了概率计算法则，那么她将进入一种保证会造成确定性损失的投注系统。但是，正如我们所见，有理由怀疑信念程度与投注行为之间的联系是否真的像实用主义荷兰书论证所要求的那样紧密。这使得这个论证不太令人信服。论证的“非实用主义”版本假设信念程度与考虑公平的投注系统的倾向之间存在联系，而不一定要进入这些系统（Armendt 1993 Christensen 1996, Ramsey 1926, Skyrms 1984）。它通过证明一个本质上相同的定理来得出结论，即如果代理人的信念程度违反了概率计算法则，那么她将认为一种保证会造成确定性损失的投注系统是公平的。非实用主义荷兰书论证是对概率主义更有前景的证明。然而，参见 Hájek（2005；2008）以获得更详细的讨论。有些认识论学家认为荷兰书论证不令人信服，要么是因为他们否认信念程度与投注比率之间存在适当的联系，要么是因为他们否认有关投注这样实用的事情的任何事实可能具有规范的认识论力量。Joyce（1998）试图通过考虑信念程度的准确性来证明概率主义。这里的基本思想是，如果存在一种替代的信念程度函数，在每个可能的世界中至少与原信念程度函数一样准确，并且在某些可能的世界中更准确，那么原信念程度函数就是有缺陷的。在一个世界 w 中，一个命题 A 的信念程度 b(A)的准确性被定义为 b(A)与 A 在 w 中的真值之间的距离，其中 1 代表真，0 代表假。例如，对于一个真命题，信念程度达到 1 的程度越高，准确性就越高，如果等于 1，则完全准确。一个信念程度函数 b 在一个世界 w 中的整体准确性由各个信念程度 b(A)的准确性决定。Joyce 能够证明，如果在测量距离或不准确性方面满足一些条件，一个信念程度函数遵守概率计算法则当且仅当不存在一种替代的信念程度函数，在每个可能的世界中至少与原信念程度函数一样准确，并且在某些可能的世界中更准确（Joyce 1998 中没有明确提到这个条件，但在 Joyce 2009 中有）。因此，信念程度应该遵守概率计算法则。

Bronfman（2006 年，其他互联网资源）观察到，乔伊斯对不准确度的度量条件并不能确定一个单一的度量，而是一整个不准确度度量的家族。乔伊斯的所有度量都认为，一个信念程度函数违反概率公理的代理人应该采用一个概率信念程度函数，该函数在每个可能的世界中至少与之一样准确，并且在某些可能的世界中更准确。然而，这些度量在推荐代理人应该采用哪个特定的概率度量方面可能会有所不同。事实上，对于每个可能的世界，遵循一个度量的建议将使代理人在其他一些度量中变得不太准确。那么，Bronfman 反对，为什么理想的信念代理人首先要从她的非概率信念程度函数转向概率度量呢？Maher（2002 年）和 Easwaran 和 Fitelson（2012 年）中还提出了其他的反对意见。这些反对意见在 Joyce（2009 年和 2013 年，其他互联网资源）和 Pettigrew（2013 年，2016 年）的文章中得到了回应。Leitgeb 和 Pettigrew（2010a；2010b）提出了将不准确度度量的集合缩小到所谓的二次评分规则的条件。这使他们能够摆脱 Bronfman 的反对意见。有关详细处理，请参见 概率主义的认识效用论论证条目。

有关概率主义的其他证明，请参见 Cox（1946 年）和测量理论的表示定理（Krantz 等，1971 年）。有关后者的批评，请参见 Meacham＆Weisberg（2011 年）。有关从分区不变性对概率主义的最新证明，请参见 Leitgeb（即将出版）。

3.1.4 更新规则

概率主义对信念的程度施加了同步条件。但是当接收到新信息时，主观概率应该如何更新？更新规则是一种_历时_条件，告诉我们在接收到新信息时如何修正我们的主观概率。有两种标准的更新规则。严格条件化适用于新信息获得最大的信念程度的情况。杰弗里条件化允许在获得新信息时没有命题被升级到完全确定性的情况。在第一种情况下，概率主义被扩展为

严格条件化

如果 Pr(⋅)是你在时间 t 的主观概率，并且在 t 和 t'之间你对 A∈APr 确信无疑，且没有逻辑上更强的命题，那么你在时间 t'的主观概率应该是 Pr(⋅∣A)。

严格条件化说，只要 A 具有正的先验概率，当代理人在确定 A 之后对命题 B 的新主观概率应该等于她对 A 条件下的旧主观概率。这是迄今为止最标准的部分信念更新模型。

挑剔的读者可能会反对我们对严格条件化的陈述中有一个被隐含的“其他条件不变”的条款。在预期的解释中，你在 t 和 t'之间的主观信念状态的唯一“外部”变化是你对 A 的确定。此外，你不会忘记任何事情，对先验信念产生怀疑，或者获得任何新的概念。最后，在你的置信度在 A 上升到 1 之前，没有 t''介于 t 和 t'之间，但其他主观概率已经“赶上”。如果有的话，你在 t''和 t'之间将是概率上不一致的。在预期的解释中，尽管你在 t 和 t'之间获得了信息，但你的主观概率在 t'之前保持不变，此时新信息被整体吸收。这些考虑同样适用于我们在本文中讨论的其他条件化形式，包括第 3.4 节中的形式。关于解释条件化困难的良好讨论，请参见 Spohn（2012 年，第 186-8 页）。

如果新信息并不使任何命题变得确定，而只是改变了一些命题的主观概率，那么怎么办？Jeffrey（1983a）对这个问题给出了最广泛接受的答案。粗略地说，Jeffrey 条件化说，理想的信念代理应该保持她的“推理信念”不变，即所有假设在任何证据命题下的条件概率。

杰弗里条件化

假设 Pr(⋅) 是你在时间 t 的主观概率，并且在时间 t 和 t′ 之间，你对划分 {Ai:1≤i≤n}⊆APr （没有更细的划分）的主观概率发生了变化，变为 pi∈[0,1]，其中 ∑ipi=1。那么，在时间 t′，你的主观概率应该是 Pr′(⋅)=∑iPr(⋅∣Ai)pi。

杰弗里条件化指出，当代理人对划分的元素的主观概率变为 pi 后，她对 B 的新主观概率应该等于她对 Ai 条件下的旧主观概率 B 的加权和，其中权重是划分元素的新主观概率 pi。

为什么我们应该根据严格或杰弗里条件化来更新我们的主观概率？严格条件化的荷兰书风格论证可参考 Teller（1973）和 Lewis（199），并在 Armendt（1980）中扩展到杰弗里条件化。更多信息请参见 Skyrms（1987, 2006）。Leitgeb 和 Pettigrew（2010b）提出了严格条件化的准确性论证（另请参见 Greaves 和 Wallace，2006），以及对杰弗里条件化的替代方案的论证。有关概率主义的认识效用论证，请参见 概率主义的认识效用论证条目。

其他哲学家提出了反对严格（和杰弗里）条件化的论证：van Fraassen（1989）认为理性不要求采用特定的更新规则（但请参见 Hájek，1998 和 Kvanvig，1994）。Arntzenius（2003）使用了“定位信念的转变”等理由来反对严格条件化，以及反对 van Fraassen 的“反思”原则（请参见 van Fraassen 1995；关于反思原则和荷兰书论证的启发性讨论，请参见 Briggs 2009a）。Arntzenius（2003）使用的第二个特征称为“扩散”，并不特定于定位信念。Weisberg（2009）认为杰弗里条件化无法处理他所称的“感知削弱”现象。有关 Jeffrey 条件化的辩护，请参见 Huber（2014）。

对于我们的目的来说，重要的是指出条件概率始终是材料条件概率的下界。换句话说，只要 p(E)>0，就有 p(H|E)≤p(E→H)。我们可以将此视为我们在 2.1.1 节 中讨论的条件化定性原则的定量版本。无论贝叶斯代理在更新 E 后对 H 变得多么自信，她必须至少对 H 是 E 的材料结果同样自信。Popper 和 Miller（1983）认为这一观察“对概率演算的归纳解释完全具有毁灭性”。有关 Popper-Miller 辩论的历史，请参见 Earman（1992）的第 4 章。类似的性质也适用于 Jeffrey 条件化（Genin 2017，其他网络资源）。

3.1.5 无知

主观概率理论通过将概率分配为 0.5 来模拟对命题 A 的无知，以及其补集 ¬A。更一般地，如果主观概率 Pr 满足 Pr(Ai)=1/n，则称代理人对划分{A1,…,An}的无知。当代理人缺乏相关证据时，不偏见原则_要求信念代理人以这种方式分配她的主观概率。Leitgeb 和 Pettigrew（2010b）为不偏见原则提供了一个准确性论证。然而，如果所讨论的划分不是固定的，该原则会导致矛盾的结果。举个简单的例子，假设 Sophia 对某个大理石的颜色一无所知。那么，她必须几乎确定它不是蓝色的。在这种情况下，对一件事的无知意味着她对另一件事非常有主见。但是可以推测她对颜色是否为蓝色也一无所知。有关更多信息，请参阅 Kneale（1949）中对_Bertrand 悖论_的讨论以及 概率解释 条目的 3.1 节。如果划分包含可数无穷多个元素，不偏见原则的一个更谨慎版本是_最大熵原则。它要求代理人采用其中一个概率测度 Pr 作为她对由可数划分{Ai}生成的（σ-域）的信念函数，以最大化量 −∑iPr(Ai)logPr(Ai)。后者被称为 Pr 相对于划分{Ai}的_熵_。请参阅 Paris（1994）。

假设 Sophia 对葡萄酒了解不多。根据不偏见原则，她对奥地利 Schilcher 是白葡萄酒的信念程度和她对它是红葡萄酒的信念程度都应该是 0.5。与之形成对比的是以下情况。Sophia 确信一枚特定的硬币是公平的，即硬币正面朝上的客观机会和硬币反面朝上的客观机会都是 0.5。主要原则（Lewis，1980）要求，在给定客观机会的条件下，主观概率应等于客观概率（参见 Briggs，2009b）。根据主要原则，她对硬币在下一次旋转中正面朝上的信念程度也应该是 0.5。尽管 Sophia 的主观概率在这两种情况下是相同的，但存在重要的区别。在第一种情况下，0.5 的主观概率代表完全的无知。在第二种情况下，它代表对客观机会的确定性。

这些例子表明，主观概率理论并不能充分解释关于部分信念的问题，因为它无法区分完全无知和对机会的知识，或者至少是确定性。我们将在第 3.2 节讨论对这一异议的潜在回应。

3.1.6 思考和行动

贝叶斯模型的部分信念具有一个显著优势，即它可以方便地嵌入到一个重要的实践思考模型中。决策理论或者说理性选择理论是一个庞大而分散的主题，在这里无法详细介绍，但会简要概述。关于这个主题的优秀介绍，请参考 Thoma (2019)以及关于 决策理论 的条目。对于我们的目的来说，重要的是要注意到已经存在一个完善的理论，并且对于其他信念模型来说，没有类似的理论存在。然而，最近的研究，如 Lin (2013)和 Spohn (2017a, 2019)，可能会在定性信念的情况下弥补这种不足。

假设你想做一个六个鸡蛋的煎蛋卷。你已经把 5 个新鲜的鸡蛋打入一个搅拌碗中。在冰箱里找了一下，你找到了一个来源不明的散鸡蛋。如果你感觉幸运，你可以直接把这个可疑的鸡蛋打入搅拌碗中；如果你对这个鸡蛋有所顾虑，你可能会先把它打入一个碟子里，这样会增加更多的洗碗工作。

在这种决策理论情境中，有四个基本要素。有着我们定义的衡量结果可取性的效用的_结果_。在煎蛋卷的情况下，结果可以是一个毁掉的煎蛋卷或者一个 5-6 个鸡蛋的煎蛋卷，带或不带额外的洗碗工作。有着通常对决策者来说是未知且无法控制的_状态_，这些状态会影响决策的结果。在我们的情况下，状态仅由可疑鸡蛋的可能状态构成：好的或腐烂的。最后，有着决策者控制的_行为_。在我们的情况下，行为包括把鸡蛋打入碗或者碟子中。当然，还有其他可以想象的行为：你可以扔掉可疑的鸡蛋，只做一个 5 个鸡蛋的煎蛋卷；你甚至可以抛硬币来决定该做什么。出于简单起见，我们忽略了这些。

为了将这个问题纳入部分信念的框架中，我们假设行为集合 A1，A2，...，An 对 W 进行了划分。我们还假设状态集合 S1，S2，...，Sm 对 W 进行了划分。我们假设主观概率函数为每个状态在每个行为下分配了一个概率。我们假设行为和状态在逻辑上是独立的，因此没有任何状态排除了执行任何行为的可能性。最后，我们假设在给定世界状态 Sj 和行为 Ai 的情况下，有一个被分配了效用 U(Oij)的唯一结果 Oij。理性选择理论的最终建议是，代理人应该只执行最大化_期望_效用的行为。行为的期望效用定义为：

EU(Ai)=m∑j=1PrAi(Sj)U(Oij),

其中 PrAi(Sj)大致表示代理人在执行行为 Ai 后，认为 Sj 发生的可能性有多大。关于如何定义这个数量的困难导致了证据决策理论和因果决策理论之间的分歧（参见 Thoma, 2019 中的第 3.3 节）。然而，在许多情况下，包括煎蛋饼困境，所选择的行为不会影响状态发生的概率。这在理性选择理论的行话中被称为“行为-状态独立”。在行为-状态独立的情况下，广泛共识认为 PrAi(Sj)应等于无条件的信念程度 Pr(Sj)。

决策理论文献中的核心问题是一些表示定理，这些定理表明，满足一组合理性假设的每个代理人都可以被表示为期望效用最大化者（von Neumann 和 Morgenstern, 1944 以及 Savage, 1972）。这些公理是有争议的，并且容易出现直观的反例。Allais (1953)和 Ellsberg (1961)提供了一些例子，其中看似理性的代理人违反了合理性假设，因此不能被表示为期望效用最大化者，即使在原则上也不行。有关 Ellsberg 和 Allais 的挑战的更多信息，请参阅 描述性决策理论 的条目，以及 Buchak (2013)。

3.2 不精确的概率

考虑以下对 3.1.5 节中两个例子的修改。在第一个案例中，索菲亚面对的是一枚古老城市考古挖掘中刚刚发现的磨损不规则的硬币。根据概率主义，索菲亚必须有一个_精确的_实值信任度，认为它在下一次抛掷中会落在正面。根据无差别原则，她对_正面_的信任度必须是精确的 0.5。在第二个案例中，她面对的是一枚她确信是公平的欧元硬币-这已经通过广泛的实验得到了确认。概率主义和主要原则要求她在这种情况下对_正面_的信任度也必须是精确的 0.5。正如我们已经看到的，将无知（在第一个案例中）与对机会的确定性（在第二个案例中）以相同的方式对待是令人不满意的。

有几种不同的方式可以解释这种情况的问题。在古老硬币的情况下，索菲亚的确信度是基于一些模糊和不精确的信息。在欧元硬币的情况下，她的态度是基于精确的信息。基本的直觉是，当索菲亚的证据如此不精确时，要求她有一个精确的态度是奇怪的，作为一种_理性_的要求。斯特金（2008）认为，证据和态度必须“匹配”，即清晰的证据需要清晰的态度，而不精确的证据只需要不精确的态度。根据“匹配特性”论点，理性要求索菲亚对古老硬币持有一个_不精确的_态度。

Joyce（2005）以不同的方式阐述了这个困难。他认为证据的_重要性_和_平衡性_之间存在重要区别。在古代硬币的情况下，证据是平衡的（通过对称性），但是非常稀少，因此没有重量。在欧元的情况下，证据是有重量的（因为有很多），并且平衡，因为它同样支持正反两面。Joyce 批评精确概率主义无法表示证据的重量和平衡之间的区别。Skyrms（2011）和 Leitgeb（2014）认为这种区别是被表示出来的：反映有重要证据的信念更具有_弹性_（Skyrms）或_稳定性_（Leitgeb），在更新时更加稳定。对于古代硬币的几次试验可能会极大地改变 Sophia 的置信度，但对于欧元来说则不然。

当我们考虑到这个问题对决策的影响时，问题就变得不同了。根据标准理论，一个效用最大化的贝叶斯主义者必须对任何一方的赌注感到有吸引力。很容易检查到，如果一笔成本为 $ℓ并支付$ w 的赌注的预期效用为负值，那么另一方的赌注，成本为 $w 并支付$ ℓ 的赌注的预期效用为正值。由于她在两种情况下的置信度是相同的，无论 Sophia 在下一次欧元旋转上接受什么赌注，她也必须在古代硬币上接受同样的赌注。因此，即使她对欧元的信念更加稳定，这种差异并没有反映在她的投注行为中。然而，直觉上，拒绝对古代硬币进行任何赌注似乎是合理的。对于欧元的赌注是_有风险_的：旋转的结果是不确定的，但每个结果发生的机会没有不确定性。对于古代硬币的赌注是_模糊的_：旋转的结果是不确定的，并且每个结果发生的机会有很大的不确定性。许多看似理性的人在决策中考虑到这种区别（参见 不精确概率 条目中对 Ellsberg 决策的讨论）。然而，这种区别无法在标准理论中表示（参见 Buchak（2013））。

不精确概率论者（van Fraasen，1990；Levi，1974）通过否认一个代理人的置信度可以用单一的概率函数充分描述来回应这些困难。相反，他们提出信念状态更好地由一组概率函数表示。这个集合代表一种“信念委员会”，其中每个成员代表了一种精确化每个命题的概率的方式。当新信息到达时，每个成员都按照通常的方式进行更新。Levi 要求信念集在凸组合下封闭。换句话说，如果 p，q 是你的信念集的成员，那么对于所有的 λ∈[0,1]，λp+(1−λ)q 也必须是你的信念集的成员。根据 Levi 的说法，p，q 的凸组合是它们之间“冲突的潜在解决方案”，“在暂停对竞争系统的判断时，不应排除潜在的解决方案”（Levi，1980）。然而，以这种方式解决冲突会导致一些不直观的后果。例如，如果 p，q 都认为两个事件在概率上是独立的，那么它们的凸组合并不一定是真的。此外，如果信念委员会的所有成员都同意某个硬币是有偏差的（因为它弯曲了），但对于偏差的方向却没有一致意见，要求某个委员会成员相信该硬币是公平的是不直观的。有关如何聚合具有概率置信度的代理人的意见的更多信息，请参见 Dietrich 和 List（2016）以及 Pettigrew（2019）的第 10.4 节。

无论我们是否接受 Levi 的凸性要求，概率函数集合为我们提供了区分对机会的无知和确定性的资源。如果一个代理人对客观机会有确定性，她的信念委员会的每个成员都会分配相同的概率。然而，如果她对某个命题的无知，她的信念集合将允许在某个区间[a,b]⊆[0,1]中取值。在对古代硬币的完全无知中，Sophia 可能会对下一次抛硬币结果为正面的命题在区间[0,1]中的任何值表示认可。但由于她知道欧元是公平的，她的信念委员会的每个成员都会将相应命题的概率分配为 0.5。如果我们类似地重新定义期望效用，那么对于成本为 1 美元、如果抛硬币结果为正面则支付 2 美元的欧元赌注具有正期望效用。但对于古代硬币的类似赌注，期望效用范围从-1 美元到 2 美元不等。这种区别允许对这两个赌注持有不同的态度。

有关不精确概率理论的详细阐述，请参见 Levi（1980）、van Fraassen（1990）、Walley（1991）和 Kyburg 和 Teng（2001）。对于优秀的介绍，请参见 Mahtani（2019），以及关于 不精确概率 的条目及其 技术 和 历史 附录。请参见 Weichselberger（2000）的一种避免使用概率函数集合，而直接为命题分配信念区间[a,b]⊆[0,1]的方法。关于信念内容是概率函数集合的一种复杂而最新的观点，请参见 Moss（2018）。

3.2 Dempster-Shafer 理论

Dempster-Shafer（DS）信念函数（Dempster 1968，Shafer 1976）也可以理解为正式区分风险和模糊性的尝试。与概率函数类似，DS 信念函数是满足正性和单元性的实值函数 B:A→R。但是，与概率函数不同，DS 信念函数只是_超加性_的，即对于所有命题 A，B ∈ A：

（6）如果 A∩B=∅，则 B(A)+B(B)≤B(A∪B)。

尽管对于所有 A ∈ A，0≤B(A)≤1，但是代理人对 A 的信念程度和对 ¬A 的信念程度不一定总和为 1。

根据一种解释（Haenni＆Lehmann 2003），数字 B（A）表示 A 受到代理人知识或信念基础支持的强度。很可能这个基础既不支持 A 也不支持其补集 ¬A。由于 Sophia 对古币知之甚少，她的信念基础既不支持古币正面朝上的命题 Ha，也不支持古币反面朝上的命题 Ta。然而，Sophia 很可能确信古币不会落在边缘上。因此，Sophia 的 DS 信念函数 B 将满足 B（Ha）=B（Ta）=0，而 B（Ha∪Ta）=1。另一方面，Sophia 确信欧元硬币是公平的。因此，如果 He，Te 是欧元硬币正面朝上和反面朝上的命题，她的 B 将满足 B（He）=B（Te）=0.5，而 B（He∪Te）=1。通过这种方式，DS 信念函数的理论可以区分对机会的不确定性和无知。确实，

I（{Ai}）=1−B（A1）−…−B（An）−…

可以看作是代理人对可数分割{Ai}的无知程度的度量。根据这个定义，Sophia 对古币下一次翻转的结果是最大程度的无知，而对欧元硬币是最小程度的无知。

每个命题 A 都可以被看作将代理人的知识库分为三个互斥且完全穷尽的部分：一个支持 A 的部分，一个支持 ¬A（即支持非 A）的部分，以及一个既不支持 A 也不支持 ¬A 的部分。B(A)量化支持 A 的部分，B(¬A)量化支持 ¬A 的部分，而 I({A,¬A})=1−B(A)−B(¬A)量化既不支持 A 也不支持 ¬A 的部分。

我们可以通过以下方式理解与主观概率理论的关系。主观概率要求理想的信念代理将其知识库分为两个互斥且完全穷尽的部分：一个支持 A 的部分，一个支持 ¬A 的部分。也就是说，中立部分必须在正面和负面部分之间分配。因此，主观概率可以被看作是没有无知的 DS 信念函数。（有关包括概率论和 Dempster-Shafer 理论在内的信念状态模型，请参见 Pryor（2007 年，其他互联网资源）。）

DS 信念函数通过设置一个_合理性_函数 P:A→R 来诱导

P(A)=1−B(¬A),

对于所有的 A∈A，可信度量化了代理人的知识或信念基础中与 A 兼容的部分，即支持 A 的部分和既不支持 A 也不支持 ¬A 的部分。Dempster 和 Shafer 将 A 的可信度称为其_上概率_。实际上，可以将区间[B(A),P(A)]解释为代理人分配给命题 A 的概率区间。在我们的示例中，Sophia 将区间[0,1]分配给古代硬币正面朝上的命题，将区间[.5,.5]分配给欧元硬币正面朝上的命题。

Dempster-Shafer 理论比主观概率理论更一般，因为后者需要可加性，而前者只需要超可加性。然而，大多数作者都同意 DS 理论不如不精确概率理论一般。原因是 DS 信念函数可以表示为概率的凸集。更准确地说，对于每个 DS 信念函数 B，都存在一个概率的凸集 P，使得 B(A)=min{p(A):p∈P}和 P(A)=max{p(A):p∈P}（Walley 1991）。由于并非每个概率的凸集都可以表示为 DS 信念函数，所以概率的集合可以说是迄今为止我们遇到的最一般的框架。

DS 信念函数在决策中如何体现？DS 理论的一种解释称为“可转移信念模型”（Smets 和 Kennes，1994），区分了两个心理层次：置信水平，其中一个人娱乐和量化各种信念；和概率水平，其中一个人使用这些信念进行决策。它的双重论点是（公平的）投注比例确实应该遵守概率计算，但是信念程度与（公平的）投注比例不同，不需要遵守。它足够满足较弱的 DS 原则。这个想法是，每当一个人被迫在概率水平上进行投注时，从置信水平得出的信念程度被用来计算满足概率公理的（公平的）投注比例。然后，这些比例被用来计算代理人对各种行为的预期效用。

Dempster-Shafer 理论的一个主要创新之一是其对信念更新的建模，我们在这里不涉及。有关 Dempster-Shafer 理论及其其他方面的良好介绍，请参见 Kyburg 和 Teng（2001）的第 5.4 节。有关 Dempster-Shafer 理论的荷兰书样式论证，请参见 Paris（2001）。有关准确性样式论证，请参见 Williams（2012）。

3.3 可能性和合理性理论

让我们总结一下我们到目前为止处理过的账目。主观概率理论要求信念程度是可加的。对于任意不相交的 A、B 属于 A，一个主观概率函数 Pr: A→R 必须满足：

Pr(A)+Pr(B)=Pr(A∪B).

Dempster-Shafer 理论只要求信念程度是超可加的。对于任意不相交的 A、B 属于 A，一个 DS 信念函数 Bel: A→R 必须满足：

B(A)+B(B)≤B(A∪B).

但是我们还有许多其他方式可以削弱可加性公理。可能性理论（Dubois 和 Prade，1988）要求信念度量是_最大化_的，因此是次可加的。对于任意的 A，B∈A，可能性度量 Π:A→R 必须满足：

Π(∅)=0; Π(W)=1; max{Π(A),Π(B)}=Π(A∪B);

这意味着

Π(A)+Π(B)≥Π(A∪B).

这个观点是，一个命题至少与它所包含的每个可能性一样可能，并且不可能比“最可能”的可能性更可能。对于所有的 A∈A，定义了一个双重概念的必要性度量 N:A→R。

N(A)=1−Π(¬A),

这意味着

N(A∩B)=min{N(A),N(B)}.

尽管在可能性理论中，代理人的信念状态完全由 Π 或 N 来确定，但代理人对特定命题 A 的认知态度仅由 Π(A)和 N(A)共同确定。原因是，与概率论不同，Π(W∖A)并不由 Π(A)确定。

可能性理论受到模糊集合理论（Zadeh, 1978）的启发。后者旨在容纳“模糊性”（参见 Égré＆Barberousse 2014，Raffman 2014，Williamson 1994，Field 2016，以及“模糊性”条目）。对于像“高”这样的谓词，会出现极端、典型和边界情况。我们可以通过成员函数 μT:H→[0,1]来形式化表示这种现象，其中 μT(h)表示身高 h∈H 属于高个子 T 的程度。然后，μ−1(1)是所有高个子的集合；μ−1(0)是所有矮个子的集合；而 ∪r∈(0,1)μ−1(r)是所有边界身高的集合。由于许多不同的身高都被认为是高的，因此很明显这样的成员函数不应满足可加性。

模糊集合理论将 μT(178cm)解释为模糊陈述“身高为 178cm 的人是高个子”的“真实程度”。真实程度属于语言哲学。它们（尚）与信念程度无关，信念程度属于认识论。可能性理论的认识论命题是，你的主观可能性程度应反映关于成员程度的语义事实。假设你得知 Sophia 是高个子。那么，你对命题“Sophia 身高为 178cm”的可能性程度应等于 μT(178cm)。这可能会优雅地处理边界身高，但在极端情况下却具有一些不直观的后果。由于可能有 μT(190cm)=μT(210cm)=1，你必须认为 Sophia 身高为 190cm 和 210cm 是最大可能的。

在“有机会”的情况下，可能性理论只能做出非常粗略的区分。由于 Sophia 确信欧元硬币不会落在边缘上 Π(H∪T)=Π(W)，她必须有 Π(H)=1 或 Π(T)=1。模拟她的态度最自然的方式是设定 Π(H)=Π(T)=1。无法表达对正反面的部分态度，因为它们都是最大可能性。

比可能性理论或 Dempster-Shafer 理论更一般的框架是 Halpern 的_可信度度量_（Halpern 2003）。这些是函数 Pl:A→R，满足对于所有的 A,B 属于 A：

Pl(∅)=0；Pl(W)=1；如果 A⊆B，则 Pl(A)≤Pl(B)。

除了概率集合之外，在本节中我们所见到的每个部分信念模型都是偏好度量的特例。虽然部分信念函数应该遵守 Halpern 的偏好度量法则是相当无争议的，但他的最小原则是否捕捉到了认识兴趣的任何内容还是有问题的。无论如何，由此产生的认识论是非常薄弱的。然而需要注意的是，Halpern 并不打算将偏好度量作为一个完整的认识论，而是一个研究更具体解释的通用框架。

有关可能性理论的更多信息，请参见 Huber（2009）和 Halpern（2003）。特别是参考后者以了解条件可能性度量的方法。有关部分信念模型的有用分类，请参见这篇 附录 到 归纳逻辑 的条目。

3.4 排名理论

排名理论（Spohn 1988、1990 和尤其是 2012）直接为 W 中的可能性分配了数值度量的_不信任_。一个点对点的排名函数 κ：W→N∪{∞}为 W 中的每个可能世界分配一个自然数（或 ∞）。这些数字代表了您对每个可能性的不信任程度。配备了点对点排名函数，我们可以生成 W 的一个_编号分区_：

κ−1(0),κ−1(1),κ−1(2),…,κ−1(∞)。

单元格 κ−1(∞)是最大程度不信任的可能性集合。单元格 κ−1(n)是不信任程度为 n 的可能性集合。最后，κ−1(0)包含了未被不信任的可能性（尽管这并不意味着它们被认为是真实的）。除了 κ−1(0)之外，单元格 κ−1(n)可能为空。由于不能一致地不信任一切，第一个单元格不能为空。

一个逐点排名函数 κ 在域 A 上引出一个排名函数 ϱ:A→N∪{∞}，通过设定

ϱ(A)=min{κ(w):w∈A},

对于每个 A∈A。换句话说：一个世界集合的不可信程度取决于其中最可信的成员。按照惯例，我们设定 ϱ(∅)=∞。这意味着排名函数是（有限）minimitive 的，因此是超加性的。换句话说，对于 A、B 属于 A，

ϱ(A∪B)=min{ϱ(A),ϱ(B)}.

或者，我们可以将排名函数描述为满足 ϱ:A→N∪{∞} 的函数

ϱ(W)=0; ϱ(∅)=∞; ϱ(A∪B)=min{ϱ(A),ϱ(B)},

对于所有的 A，B∈A。第一个公理表明，没有一个代理人应该不相信重言命题 W。第二个公理表明，每个代理人都应该最大程度地不相信矛盾的命题。直观上，最后一个公理表明，当且仅当两个析取式都不被相信时，析取式 A∪B 才应该不被相信。然而，最后一个公理的含义并不仅限于此解释（参见 Huber, 2020 中的第 4.1 节）。

如上所述，第三个公理被称为_有限极小性_。就像概率论一样，它可以加强为可数并集，从而得到_可数_极小性排名函数。与概率论不同的是，有限极小性也可以加强为任意并集，从而得到_完全_极小性排名函数。请参见 Huber (2006)以了解在命题域上定义的排名函数在底层可能性集上引发逐点排名函数的条件。

数值 ϱ(A)表示代理人对命题 A 的不相信程度。如果 ϱ(A)>0，代理人对 A 的不相信程度是积极的。因此，为了避免不一致，她不能对 ¬A 也持积极的不相信态度。换句话说，对于 A 中的每个命题 A，至少要给 A 和 ¬A 中的一个分配等级 0。如果 ϱ(A)=0，代理人对 A 没有积极的不相信态度。然而，这并不意味着她对 A 持积极的相信态度 - 代理人可能暂停判断并将等级 0 分配给 A 和 ¬A。因此，对命题的相信是通过对其否定的不相信来表征的。

对于每个排名函数 ϱ，我们可以通过设置 β(A)=ϱ(¬A)−ϱ(A)（对于 A∈A）来定义相应的_信念函数_ β:A→Z∪{±∞}。信念函数将正数分配给那些被相信的命题，将负数分配给那些被怀疑的命题，并将 0 分配给那些代理人对其保持暂停判断的命题。每个排名函数 ϱ 都引导出一个_信念集合_。

B={A∈A:β(A)>0}={A∈A:ϱ(¬A)>ϱ(A)}={A∈A:ϱ(¬A)>0}.

B 是代理人以某种程度相信的所有命题的集合，或者等价地说，她以某种程度不相信其补集的命题的集合。由（有限/可数/完全）排名函数 ϱ 引导的信念集合 B 是一致且在有限/可数/完全意义上推理封闭的。由于任何满足 β(A)>0 的命题都被认为是被相信的，排名理论可以被看作是满足洛克论命题（见 第 4.2.2 节）而不牺牲推理封闭性。然而，请注意，我们可以定义 B 以包括所有满足 β(A)>t 的命题 A，其中 t 大于零。有关这些可能性的探讨，请参阅 Raidl（2019）。

到目前为止，我们已经讨论了排名理论对信念施加的同步结构。当收到新信息时，如何更新排名？基于非条件排名函数 ϱ，我们定义了基于条件的排名函数 ϱ(⋅∣⋅)：A×A→N∪{∞}，通过设置

ϱ(A∣B)=ϱ(A∩B)−ϱ(B),

对于所有的 A，B，其中 A≠∅。我们采用约定 ∞−∞=0 和 ∞−n=∞（对于所有有限的 n）。注意这意味着 ϱ(¬A∣A)=∞。要求 ϱ(∅∣B)=∞ 对于所有的 B∈A 保证了 ϱ(⋅∣B)是一个（非条件的）排名函数。条件排名函数导致了严格条件化的排名理论对应：

简单条件化。

假设 ϱ(⋅) 是您在时间 t 的排名函数，并且 ϱ(A),ϱ(¬A)<∞。此外，假设在 t 和 t′ 之间，您对 A 以及没有更强的命题变得确定。那么，在时间 t′，您的排名函数应该是 ϱ(⋅∣A)。

请注意，与贝叶斯条件化的解释相关的所有考虑（在 Section 3.1.4 中讨论）同样适用于排名理论的条件化。从条件化的定义可以清楚地看出，与贝叶斯情况类似，材料条件的等级是条件等级的下界：β(A→B)≤β(B|A)。这确保了排名理论的更新满足条件化（参见 Section 2.1.1）。它还满足了合理单调性的一个版本：如果 β(¬A)=0 且 β(B)>0，则 β(B|A)>0。因此，排名理论的更新满足 AGM 更新的“精神”。然而，请注意，排名理论对于迭代信念修正没有问题：修正将排名函数和证据命题作为输入，并输出一个新的排名函数。此外，如果将信念的阈值提高到大于零的某个正数，则情况会发生变化：在这种情况下，合理单调性可能不再满足（参见 Raidl, 2019）。

普通条件化只涵盖了新证据获得最大确定度的情况。Spohn (1988) 还定义了一个与杰弗里条件化相对应的排名理论类比。在这种情况下，新证据并没有获得最大确定度，而只是改变了您对各种命题的排名。有关排名理论的信念更新概念的更多信息，请参阅 Huber (2014, 2019)。有关概率论和排名理论的比较，请参阅 Spohn (2009, Section 3)。

为什么不信任的等级应该遵守等级计算法则？为什么等级函数应该根据等级理论的条件化进行更新？回想一下，在主观概率理论的情况下，类似的问题要么通过荷兰书论证，要么通过认识准确性的考虑来回答。是否可能提出类似的论证支持等级理论？

简短的回答是肯定的：Huber（2007 年和 2020 年，第 5 章）证明，遵守等级计算法则的规范约束是保持一致性和演绎封闭性的必要和充分条件，无论是在同步还是面对新证据的情况下。后者是始终只拥有真实信念的目标的必要但不充分手段，以及尽可能多的真实信念。与荷兰书论证不同，这个结果不需要对有关投注行为的实用考虑进行诉诸。Brössel，Eder＆Huber（2013 年）讨论了这个结果的重要性以及其贝叶斯角色模型，Joyce（1998 年，2009 年）对概率主义的“非实用”辩护。

很容易看出，任何遵守等级计算法则的代理人（并根据其中一种认可的更新规则进行更新）将保持相互一致且演绎封闭的信念，无论有什么新证据出现。更令人困惑的是，为什么任何不验证等级计算法则的代理人必须要么持有不一致的信念，要么无法相信其某些信念的逻辑推论。换句话说：等级计算法则足以确保演绎的合理性，但为什么它是必要的呢？

为了勾勒出必要性论证，我们必须引入一些术语。一个代理人对命题 A 的_根深蒂固程度_是指独立且最小程度上可靠（mp-reliable）的信息源说 A 的数量，这些信息源足以使代理人放弃对 A 的不信任。如果代理人一开始就不怀疑 A，那么她对 A 的根深蒂固程度为 0。如果没有有限数量的信息源能够使代理人放弃对 A 的不信任，那么她对 A 的根深蒂固程度为 ∞。当然，我们通常遇到的信息源很少是独立的或 mp-reliable 的。然而，这并不重要。独立的、mp-reliable 的信息源是一个理论构建——根深蒂固程度和更新之间的联系是以反事实的形式陈述的，因为代理人实际上永远不需要真正遇到这样的信息源。

必要性论证通过规定根深蒂固程度反映了不信任程度来进行。这将代理人的更新_行为_与她对各种命题的排名联系起来。回想一下，贝叶斯主义者规定了信念程度和可接受的投注比之间的类似联系。在这种联系的基础上，Huber（2007 年，2020 年）证明了，如果一个代理人未能验证排名计算法，则当她遇到各种独立的、mp-reliable 的信息源时，她的信念将无法在演绎上具有说服力。这就完成了必要性论证。

除了决策制定（参见 Giang 和 Shenoy，2000，以及 Spohn 2017a、2020），似乎我们可以用排名函数做任何可以用概率度量做的事情。排名理论还自然地引出了一种没有引发类似彩票悖论的定性信念的概念（参见 第 4.2.2 节）。如果我们想与传统认识论保持一致，这可能是至关重要的。本文对排名理论的处理必然是相当压缩的。有关出色的文章介绍，请参阅 Huber（2019）。有关易于理解的书籍，请参阅 Huber（2020）。有关广泛的书籍处理，涉及认识论和科学哲学中的许多主题，请参阅 Spohn（2012）。

4. 全面和部分的信念

4.1 消除主义

有些人否认存在任何有趣的原则来连接全面和部分的信念。持有这种观点的理论家通常要么想要消除其中一种态度，要么将其归纳为另一种态度的特例。杰弗里（1970）认为，对全面信念的讨论是陈旧的，将完全被对部分信念和效用的讨论所取代：

……我也不为我们对于“信念”的普通概念在“信念程度”的概念中只残留着而感到困扰。我倾向于认为拉姆齐从普通概念中吸取了精华，并用它来滋养一个更为恰当的观点。但也许还有更多有价值的东西。我希望如此。给我看看；我并没有清楚地看到它，但它可能确实存在。

卡普兰（1996）等理论家也认为，一旦贝叶斯决策理论的机制到位，对于完全信念的讨论就变得多余了。毕竟，在贝叶斯的合理思考框架中，只有部分信念和效用才起作用，而完全信念根本不需要提及。坚持完全信念的人必须证明，在没有完全信念的情况下，理性将变得更加贫乏。卡普兰称之为“贝叶斯挑战”。斯坦内克（1984）对于一种定性的信念概念更加持同情态度，但也承认了贝叶斯挑战的力量。

确实，对于贝叶斯实践思考理论来说，并没有一个正统的定性类比。然而，现在感到挑战的是完全信念的理论家，而不是相反，可能是历史的偶然性：如果先发展了一种定性的实践思考理论，现在的情况可能完全不同。如果我们似乎自然而然地实施的定性决策制定比贝叶斯的对应物要求更少的认知负担，那么情况将更加严峻。当然，这预示着一个强大的关于合理的定性思考的理论，这个理论目前并不立即出现。然而，最近的研究，如林（2013）和斯波恩（2017a，2019），可能会弥补这种不足。例如，林（2013）证明了一个类似萨维奇的表示定理，描述了完全信念、对可能结果的欲望和对行为的偏好之间的关系。通过发展一个关于定性信念的理性行动理论，林展示了如何回应贝叶斯挑战。

另一方面，有些全面信念的支持者对于部分信念持怀疑态度。参见哈曼（1986 年），波洛克（2006 年），蒙（2017 年），霍根（2017 年）以及 Hájek 和 Lin（2017 年）中的“坏警察”。其中许多人认为部分信念没有心理现实性，如果有的话，将很难进行推理。霍根（2017 年）甚至说通常“没有这样的心理状态，即主体对 p 的相信”，贝叶斯认识论就像“炼金术和火烧石理论一样：它不涉及任何真实现象，因此也不涉及任何真实现象所遵循的真正规范。”哈曼（1986 年）认为我们只有很少的明确的部分信念。根据哈曼的观点，推理理论只能涉及明确的态度，因为只有这些态度才能参与推理过程。因此，贝叶斯认识论虽然可能是一种行为倾向的描述，但并不是一种推理指南。然而，部分信念可能隐含在我们的全面信念系统中，因为它们可以从我们修正它们的倾向中重建出来：

我们应该如何解释明确信念的强度差异？我倾向于认为这些强度差异隐含在一个以是/否方式接受的信念系统中。我猜想，它们可以解释为修正规则操作的一种副现象。例如，如果停止相信 P 比停止相信 Q 更困难，可能是因为停止相信 P 需要更多的观点修正，那么 P 相对于 Q 的信念就更强（第 22 页）。

在这种观点下，我们几乎所有明确的信念都是定性的。部分信念不是对命题的分级“信念态度”，而是修正我们全面信念的倾向。根据哈曼的正确部分信念理论，与植入顺序（见第 2.2.2 节）或排名理论的信念程度（见第 3.4 节）相关，而不是概率。其他明显的部分信念态度被解释为关于客观概率的全面信念。因此，在一个有一万张彩票的公平抽奖的情况下，主体并不高度相信第 n 张彩票不会中奖，而是完全相信它在客观上中奖的可能性很小。

Frankish (2009)反对 Harman 的观点，认为一个行动者对我们对某个命题的信念程度有一定程度的信念是错误的：“这显然是错误的。我对明天会下雨这个命题有一定的信心（小于 50%），但我并不完全相信明天会下雨 - 至少不是按照日常对完全相信的标准来说。” Harman 可能会回答说 Frankish 只是对明天下雨的客观概率有完全的信念。Frankish 声称这个逃避的方法对 Harman 来说是行不通的，因为单个事件“没有客观概率”，但这个问题还远未解决。

Staffel (2013)给出了一个例子，其中一个具有更高信念程度的命题明显比一个具有更低信念程度的命题更不牢固。假设你从一个装满红色和黑色弹珠的大罐子中抽取一系列两百万个弹珠。你不知道有多少比例的弹珠是红色的。考虑以下情况：

| (1) | 你已经抽取了二十个弹珠，其中十九个是黑色的，一个是红色的。你对最后一个你将抽取的弹珠是黑色的信念程度是 0.95。 |

| --- | --- |

| (2) | 你抽了一百万颗弹珠，其中有九十万颗是黑色的。你对最后一颗弹珠是黑色的信念程度是 19/20=0.90。 |

Staffel 认为，在第一种情况下，你对此的信念程度高于第二种情况，但在第二种情况下，你的信念程度比第一种情况更加根深蒂固。因此，信念程度不能简化为根深蒂固程度。然而，在弹珠的情况下，哈曼也可以采取同样的策略，他可以声称在两种情况下，你只是对关于客观机会的命题有一个完全的信念。详见 Staffel（2013）对哈曼（1986）的更广泛讨论。

4.2 桥梁理论

任何允许完全信念和部分信念共存的人都会面临一个棘手的问题：完全信念与部分信念之间的关系是如何的？这个看似无害的问题引发了对连接理性主体的部分信念与完全信念的“桥梁原则”的危险搜索。从事桥梁原则研究的理论家通常默认存在一些关于完全信念及其修正的理性原则，例如 AGM 理论或一套竞争的非单调推理系统。理论家们通常还默认部分信念应该可以用遵循某种贝叶斯理性的概率函数来表示。挑战在于提出额外的理性假设，规定理性主体的部分信念如何与其完全信念相一致。在本节中，我们将在很大程度上接受公认的智慧，并假设正统贝叶斯主义是部分信念及其更新的正确模型。对于完全信念及其理性修正的建模，我们将更加开放。

在本节中，我们再次将命题关于集合 W 作为信念的对象。与之前一样，读者可以将 W 想象为一组粗粒度、互斥的可能的实际世界方式。我们用 B 表示主体所信任的命题的集合，并使用 B(A)作为 A∈B 的简写。我们还需要一些关于定性命题信念变化的符号表示。对于任意的 E⊆W，写作 BE 表示主体在了解 E 且没有更强的命题时会相信的命题的集合。我们还将 B(A|E)写作 A∈BE 作为简写。按照惯例，B=BW。如果 F 是一组命题，我们将 BF 定义为集合{BE:E∈F}。集合 BF 表示一个主体根据来自 F 的信息更新其定性信念的“倾向”。

下面对完全信念集合 B 的规范约束在接下来的内容中起着重要作用。

演绎合理性。 信念集合 B 是一致的，并且当且仅当 ∩B⊆B 时，B∈B。

换句话说，演绎合理性意味着存在一个单一的、非空的命题 ∩B，它是代理人所相信的逻辑上最强的命题，包含了她所有的其他信念。

我们所见过的所有关于更新定性信念的合理性规范都有命题的类比。以下是来自 2.2.1 节的 AGM 原则的命题类比。

|（封闭性）| BE=Cn(BE); |

| --- | --- |

|（成功）| E∈BE; |

|（包含）| BE⊆Cn(B∪{E}); |

|（保持）| 如果 ¬E∉Cn(B)，那么 B⊆BE; |

|（一致性）| BE 是一致的当且仅当 E ≠ ∅；|

|（外延性）| 如果 E ≡ F，则 BE = BF。|

|（合取包含）| BE ∩ F ⊆ Cn(BE ∪ {F});|

|（连结保持）| 如果 ¬F∉Cn(BE) ，那么 Cn(BE∪{F})⊆BE∩F。|

假设对于所有的 E⊆W，BE 满足演绎的严密性，前六个假设可以简化为以下三个。

|（成功）| ∩BE⊆E；|

| --- | --- |

| (包含性) | ∩B∩E⊆∩BE; |

| (保持性) | 如果 ∩B⊈¬E, 则 ∩BE⊆∩B∩E. |

在一起，包容和保留表明，无论信息 E 是否与当前信念 ∩B,∩BE=∩B∩E 一致。如果 F 是一组命题，并且对于所有 E∈F，信念集合 B,BE 满足 AGM 原则，我们称 BF 为代理人根据来自 F 的信息更新其定性信念的倾向，满足基本的 AGM 原则。

我们将使用 Pr(⋅) 表示代理人的部分信念的概率函数。当然，Pr(⋅) 定义在 W 的子集的 σ-代数上。在通常情况下，当 W 有限时，我们可以取幂集 P(W) 作为相关的 σ-代数。为了更新部分信念，我们采用标准的概率建模。对于 Pr(E)>0 的 E⊆W，Pr(⋅|E) 是学习 E 后得到的部分信念函数。我们有时会使用 PrE 作为 Pr(⋅|E) 的简写。几乎总是通过标准条件进行部分信念的更新。与之前一样，APr 是根据 Pr 具有正概率的命题的集合。

4.2.1 信念作为极端概率

第一个桥梁原则是，完全的信念只是部分信念的最大程度。用概率表示，它表明在任何时候，一个理性的代理人的信念和部分信念可以用满足以下条件的一对 ⟨B,p⟩ 来表示：

极端概率。 如果且仅如果 Pr(A)=1，则 A∈B。

Roorda（1995）将其称为完全信念和部分信念应该如何相互作用的“接受观点”。Gärdenfors（1986）是这一观点的代表，van Fraasen（1995）和 Arló-Costa（1999）也是如此，尽管后两者对于部分信念接受了稍微非标准的概率建模。对于推理的连贯性的粉丝来说，以下观察应该支持接受观点。

定理。 如果 ⟨B,p⟩ 满足极端概率，那么 B 是演绎合理的。

Gärdenfors（1986）证明了以下内容。

定理。 假设对于所有 E∈APr，⟨BE,PrE⟩ 满足极端概率。那么 BAPr 满足 AGM 公理。

换句话说：如果一个代理人的部分信念验证了概率公理，她通过贝叶斯条件更新，并且完全相信那些极端概率的命题，她的定性更新行为将满足所有 AGM 公设（至少在贝叶斯条件定义的情况下）。将 AGM 修订公设视为理性信念更新的必要条件的读者将会对这一观点感到欣慰。

Roorda（1995）对这一观点提出了三个批评。考虑以下三个命题。

  1. 富兰克林·皮尔莫尔是美国的第 13 任总统；

  2. 密勒德·菲尔莫尔是美国总统；

  3. 密勒德·菲尔莫尔要么是美国总统，要么不是。

当然，我对菲尔莫尔是第 13 任总统的确信程度不如我对（3）中所表达的重言式的真实性的确信程度。然而，似乎没有什么问题可以说我完全相信（1）、（2）和（3）中的每一个。然而，如果极端概率是正确的，那么完全相信（1）、（2）和（3）中的每一个，并且不给它们分配相同的信念程度是不合理的。

Roorda 的第二个反对意见涉及到信念程度与实际决策之间的标准联系。假设我完全相信（1）。根据以投注比率解释信念程度的标准解释，如果（1）为真，我应该接受一项赌注，如果（1）为假，我将损失一百万美元。实际上，如果我真的将单位概率分配给（1），我应该接受几乎任何保证如果（1）为真就会有一些正面回报的赌注。然而，完全相信（1）并且不接受这样的赌注似乎是完全合理的。如果我们接受贝叶斯决策理论，极端概率似乎会使我陷入各种奇怪而看似不合理的投注行为。

Roorda 对极端概率的最后挑战涉及到_可更正性_，即根据新信息的启示，有理由相信至少有一些我的信念可能需要被放弃。然而，如果通过贝叶斯条件更新部分信念，我永远不会停止相信任何一个完全信念，因为如果 Pr(A)=1，则对于所有 Pr(E)>0 的 E，有 Pr(A|E)=1。如果我们相信贝叶斯条件，极端概率似乎意味着我不能根据新信息修正任何一个完全信念。

4.2.2 锁定阈值

对于接受观点的困难，自然的反应是放弃完全的确定性。也许完全的信念对应于某个低于确定性的_阈值_以上的部分信念。福利（Foley）（1993）将这种观点称为_洛克论命题_，源自洛克（1690/1975）的《人类理解论》第四卷中的一些类似的论述。到目前为止，洛克论命题实际上是含糊不清的。可能存在一个对所有代理人和所有情况都合理规定的单一阈值。或者，每个代理人可能有自己的阈值，在所有情况下都适用-这个阈值可能表征代理人在形成定性信念时的“大胆”或“寻求风险”的程度。一个更弱的命题认为阈值可能是情境决定的。我们将强的、情境无关的洛克论命题（SLT）与较弱的、情境相关的命题（WLT）区分开来。量词的领域可以被视为一个特定代理人可能发现自己处于的所有信念状态的集合 ⟨B,Pr⟩，或者可以被视为所有信念状态的集合。

  • （SLT） 存在一个阈值 s∈(12,1)，使得所有合理的 ⟨B,Pr⟩ 满足 B(A)当且仅当 Pr(A)≥s。

  • （WLT） 对于每一个合理的 ⟨B,Pr⟩，存在一个阈值 s∈(12,1)，使得 B(A)当且仅当 Pr(A)≥s。

大多数关于洛克论命题的讨论都是针对强论命题的。最近的研究，尤其是 Leitgeb（2017），采用了较弱的论命题。强论命题没有明确规定正确的阈值。当然，对于每个 s∈（12,1），我们可以根据强论命题的真实性制定一个具体的论命题 SLTs。例如，SLT.51 是一个非常宽松的版本，而 SLT.95 和 SLT.99 则更为严格。还可以进一步明确弱论命题。例如，Leitgeb（2017）认为，上下文确定的阈值应该等于完全相信的最强命题的置信度。根据演绎的合理性，这对应于拼写上不雅的 WLTPr(∩B)。

强洛克论命题引发了著名的“彩票悖论”，最初由 Kyburg（1961, 1997）提出。彩票悖论的教训是，强论命题与演绎的合理性存在紧张关系。假设 s 是普遍正确的洛克阈值。现在考虑一个有 N 张彩票的公平彩票，其中 N 足够大，使得 1−(1/N)≥s。由于彩票是公平的，我们似乎可以完全相信“某张”彩票是赢家。将置信度 1/N 分配给每个形式为“第 i 张彩票是赢家”的命题似乎也是合理的。根据洛克论命题，这样的代理人应该完全相信第一张彩票是输家，第二张彩票是输家，第三张是输家，依此类推。由于合理性要求相信在合取下封闭，她应该相信所有的彩票都是输家。但现在她违反了合理性，因为她既相信每张彩票都是输家，又相信某张彩票是赢家。由于 s 是任意的，我们已经证明，无论我们将阈值设置多高，总有某个彩票会使代理人违反洛克论命题或违反演绎的合理性。根据 Kyburg 的观点，这个悖论教导我们应该放弃演绎的合理性：完全相信不一定要在合取下封闭。许多其他人认为彩票的教训是强洛克论命题是站不住脚的。

一些作者（Pollock（1995），Ryan（1996），Douven（2002））试图通过对高度置信何时能够保证完全相信进行限制来修订强洛克论命题。广义上讲，他们提出，除非存在某种打败条件，否则高度置信足以保证完全相信。例如，Douven（2002）表示，除非命题是一个“概率上自我削弱”的集合成员，否则高度置信足以保证完全相信。集合 S 是概率上自我削弱的，当且仅当对于所有的 A∈S，Pr(A)>s 且 Pr(A|B)≤s，其中 B=∩(S∖{A})。显然，这个提议将禁止完全相信某张特定的彩票会输。

所有这类提议都因 Korb（1992）提供的以下示例而受到破坏。设 A 是任何具有高于阈值但不确定的信念程度的命题。设 Li 是第 i 张（在一个有 N 张彩票的大型彩票中）将会失败的命题。考虑集合 S={¬A∪Li|1≤i≤N}。S 的每个成员都高于阈值，因为 Li 高于阈值。此外，集合 S∪{A}满足 Douven（以及 Pollock 和 Ryan）的打败条件。因此，这些提议禁止对任何具有不确定信念程度的命题的完全信念。Douven 和 Williamson（2006）将这种类型的示例推广到使一整类类似的形式提议变得微不足道。

Buchak（2014）认为，部分信念被视为完全信念的条件不仅仅是部分信念程度的问题，还必须取决于其基于的证据类型。根据 Buchak 的说法，这意味着对于部分信念的什么条件是完全信念所必需和充分的这个问题，不能仅仅有形式上的答案。以下示例，这种类型的示例可以追溯到 Thomson（1986），说明了这一点。你的停放在夜间被一辆公交车撞了。这辆公交车可能属于蓝色公交公司或红色公交公司。考虑以下两种情况。

  • (1) 你知道蓝色公司在该地区运营 90%的公交车，而红色公交公司只运营 10%。你对蓝色公交车有 0.9 的信念程度。

  • （2） 红色和蓝色公司运营相同数量的公共汽车。一个可靠度为 90%的目击证人证明一辆蓝色公共汽车撞了你的车。你有 0.9 的信念度认为是蓝色公共汽车的责任。

Buchak（2014）认为，在第一种情况下，完全相信蓝色公共汽车是有理性的，但在第二种情况下不是。在第一种情况下，你只有统计证据，而在第二种情况下，一系列因果事件将你的信念与事故联系起来（参见 Thomson（1986），Nelkin（2000）和 Schauer（2003））。Buchak 观察到，这些直觉反映在我们的法律实践中：纯粹的统计证据是不足以定罪的。如果你认为 Buchak 的观点令人信服，你将对大多数关于完全和部分信念应如何对应的提议感到不满意（参见 Staffel（2016））。

尽管在公共汽车和彩票方面存在困难，但在强论断下，定性信念的动态独立地具有研究的兴趣。例如，van Eijk 和 Renne（2014，其他互联网资源）对 Lockean 的信念逻辑进行了公理化。Makinson 和 Hawthorne（2015）研究了 Lockean 代理人验证的非单调逻辑原则。在转向对彩票悖论的提议解决方案之前，我们对定性 Lockean 修正进行一些观察，这主要受到 Shear 和 Fitelson（2018）的启发。

它是概率计算的一个定理，即 Pr(H|E)≤Pr(E→H)。因此，如果给定 E，H 被赋予了高度的信念，那么材料条件 E→H 必须至少被赋予了同样高的信念_ex ante_。很容易看出，这是非单调逻辑中条件化原理或等价的 AGM 包含原理的概率类比。这个观察有以下结果：在条件化之后，洛克的信念可以通过将证据添加到她的先验信念中并在逻辑推论下封闭来得到。因此，洛克的更新满足 AGM 的包含原则。此外，根据定义，洛克的更新满足成功和外延性。

定理。 假设 s∈(12,1)。对于所有的 E∈APr，令 BE={A:Pr(A|E)≥s}。那么，BAPr 满足包含原则、成功原则和外延性原则。

在第 2.2 节中，我们认为包含原则和保持原则体现了 AGM 修订的精神。如果洛克修订也满足保持原则，我们将完全符合 AGM 原则，只有演绎合理性除外。然而，这在一般情况下是不成立的。可以构造出这样的例子：Pr(¬E)< s，Pr(H)≥s，但是 Pr(H|E)< s。对于洛克的代理人来说，这意味着即使在对一个不被否定的命题进行修订时，也有可能失去一个信念。

回想一下 2.1.1 节中关于 Alice、Bob 和 Ford 的例子。让 W={a,b,c}对应于 Alice 拥有 Ford、Bob 拥有 Ford 和办公室没有人拥有 Ford 的世界。假设概率函数 Pr(a)=610，Pr(b)=310 和 Pr(c)=110 反映了我的部分信念。对于介于(.75,.9]的 Lockean 阈值，我的完全信念由 B={{a,b},W}来表示。现在假设我得知 Alice 不拥有 Ford。这与 B 中的所有信念都是一致的，但由于 Pr({a,b}|{b,c})=34，根据 Lockean 主题可知{a,b}∉B{b,c}。因此，Lockean 主义通常不支持保全性。好消息是，至少对于那些支持 Pollock 对非单调逻辑的批评的人来说，Lockean 主义允许对先前信念进行削弱。

然而，Shear 和 Fitelson（2018）也为 AGM 和 Lockean 主题的粉丝带来了一些好消息。如果两个量的比例与它们的和与两个量中较大者的比例相同，即对于 a>b>0，如果 a+ba=ab，则 ab=ϕ，那么这两个量就处于_黄金比例_ϕ 中。黄金比例是一个无理数，约等于 1.618。它的倒数 ϕ−1 约等于 0.618。Shear 和 Fitelson 证明了以下有趣的结果。

定理。 假设 s∈(12,ϕ−1]。对于所有的 E∈APr，令 BE={A:Pr(A|E)≥s}。令 D={E∈APr:BE 是演绎合理的}。那么 BD 满足六个基本的 AGM 公理。

这表明，对于相对较低的阈值，Lockean 更新满足所有 AGM 公设 - 至少在我们限制在推理上有力的信念集合时如此。有关为什么在这个背景下出现黄金分割的解释，请参见 Genin（2019）的第 6.2 节。

4.2.3 信念的稳定性理论

对于许多人来说，为了一个桥梁原则，甚至是像强 Lockean 论题这样简单直观的原则，牺牲推理上的有力性是一个代价太高。这引发了对可以与推理上的有力性相协调的桥梁原则的寻求。一个提议，由 Leitgeb（2013, 2014, 2017）和 Arló-Costa（2012）提出，认为理性的完全信念对应于一个稳定的高度信念，即在获得新信息后仍然保持高度信念。Leitgeb 将这个观点称为“休谟论题”，因为休谟将信念理解为一种更高的生动性和更高的稳定性的观念。有关休谟对信念稳定性主题的详细发展，请参见 Loeb（2002, 2010）。Leitgeb（2017）对休谟的定义进行了形式化，阐述了以下版本的论题：

  • (HT) 对于所有的有理对 ⟨B,Pr⟩ ，存在 s≥1/2 使得 B(A) 当且仅当 ¬B∉B 蕴含 Pr(A|B)>s。

换句话说：每个完全的信念必须具有稳定的高条件信念程度，至少在对当前不被否定的命题进行条件推断时如此。由于完全信念出现在双条件语句的两侧，很明显这不是将完全信念归约为部分信念的建议，而是每个有理的代理人必须满足的约束条件。休谟主义论述并未明确指定阈值 s。当然，对于每个 12 < s<1，我们可以制定一个具体的论述 HTs ，使得该论述成立。例如，HT.5 要求每个完全被信任的命题在对当前不被否定的命题进行条件推断时仍然比其否定更有可能。

某种形式的稳定性被广泛认为是 知识 的必要条件。苏格拉底在《美诺篇》中提出了这样的观点。Paxson Jr.和 Lehrer（1969）在基于盖蒂尔（1963）之后的认识论文献中支持这样的观点。然而，稳定性通常不被视为 信念 的条件。Raidl 和 Skovgaard-Olsen（2017）声称 Leitgeb 的稳定性条件在知识分析中更为合适，对于信念来说则是一个过于严格的条件。休谟主义论述的辩护者可能会说每个 有理的 信念可能是知识的一个实例。由于知识必然是稳定的，不稳定的信念 ipso facto 不被认为是知识。

Leitgeb 证明了 Hume 论题、演绎力和弱 Locke 论题之间的以下关系。

定理。 假设 ⟨B,Pr⟩ 满足 HT 且 ∅∉B。那么，B 在演绎上是有力的，且 ⟨B,Pr⟩ 满足 WLTPr(∩B)。

因此，如果一个代理满足 Hume 论题并且不“完全”相信相反的命题，她的定性信念在演绎上是有力的，而且她还满足弱 Locke 论题，其中的阈值由她对 ∩B 的置信度确定，∩B 是她相信的逻辑上最强的命题。Leitgeb 还证明了以下部分逆命题。

定理。 假设 B 是演绎有力的，⟨B,Pr⟩ 满足 WLTPr(∩B)。那么，⟨B,Pr⟩ 满足 HT12 且 ∅∉B。

这两个定理一起表明，休谟主义论题（阈值为 1/2）等价于演绎有力和弱洛克论题（阈值为 Pr(∩B)）。由于总是可以满足 HT12，Leitgeb 给出了一种巧妙的方法来调和演绎有力与洛克论题的版本。

回想一下彩票的例子。设 W={w1,w2,…,wN}，其中 wi 是第 i 张彩票获胜的世界。无论彩票中有多少张票，休谟主义者都不能相信任何一张票会输。假设为了推导矛盾，她相信 W∖{w1}，即第一张票会输的命题。现在假设她得知{w1,w2}，即除了第一张和第二张票，其他票都会输。这与她最初的信念是相容的，但她更新后对第一张票会输的信念程度必须是 1/2。这与休谟主义论题相矛盾。因此，她不能相信任何一张票会输。在这个彩票情境中，代理人无法完全相信任何非平凡的命题。这个例子还展示了休谟主义提议对可能性的细分是多么敏感。如果我们将 W 粗略化为可能性集合 W={w1,w2}，其中 w1 是第一张票获胜的世界，w2 是“某张其他票获胜”的世界，代理人可以相信第一张票会输，而不违反休谟主义论题。

如果 Buchak（2014）是正确的，那么没有任何一个代理人应该对彩票命题持有信念 - 这些信念必然是基于纯粹的统计证据形成的。Kelly 和 Lin（2019）提供了另一种情景，其中休谟主义者似乎持怀疑态度，但在证据上并没有问题的情况下。假设倒霉的乔布去做体检。根据彻底的检查，医生对他的健康形成了以下可怕的看法：她相信乔布将存活 n 个月的程度是 12n。因此，她相信乔布将不会活过一年的程度是 12+14+⋯+1212>.999。令人震惊的是，休谟主义的论点阻止了医生形成_任何_非平凡的信念。让 ≤n 表示乔布最多存活 n 个月的命题，让 ≥n 表示他至少存活 n 个月的命题。让 B 是医生相信的最强命题。假设反证法，B 蕴含了乔布剩余月份的某个上界，即对于某个 n，B 蕴含 ≤n，并且不蕴含 ≤n′（其中 n′< n）。根据构造，对于所有 n，Pr(B|≥n)=Pr(n)Pr(≥n)=12。但由于 ≥n 与 B 兼容，休谟主义的论点要求 Pr(B|≥n)>12。矛盾。

医生的例子表明，休谟主义的代价是一种相当极端的怀疑主义：在许多情况下，休谟主义者将根本没有任何非平凡的完全信念。这种批评在 Rott（2017）和 Douven 和 Rott（2018）中得到了广泛发展。医生还说明了休谟主义提案如何允许将部分信念的微小扰动反映为完全信念中的巨大差异。假设医生对乔布不会存活一个月更有信心，即她的存活概率降低为 12+ϵ,14,18−ϵ,116,132,….现在医生可以相信乔布将在两个月内死亡，而不违反休谟主义的论点。

到目前为止，我们只研究了休谟主义提案的同步内容。它支持哪种定性信念更新原则？Leitgeb 证明了 AGM 修订原则与休谟主义论点之间的密切关系：每个满足 AGM 原则以及 Lockean 论点的弱版本的代理人也必须满足休谟主义论点。因此，如果您认为 AGM 理论是合理的合理定性信念更新理论（并且您相信高度的部分信念是完全信念的_必要_条件），您也必须接受休谟主义论点。更准确地说，Leitgeb 证明了以下内容：

定理。 假设 BAPr 满足所有的 AGM 公理，并且对于所有的 E∈APr，只有当 Pr(A|E)>r 时，才有 A∈BE。那么，对于所有的 E∈APr， ⟨BE,PrE⟩ 满足 HTr。

因此，任何违反休谟主义的代理人必须要么不满足 AGM 公理，要么不满足高概率要求。请注意，反过来并不成立：并不是说如果所有的 ⟨BE,PrE⟩ 满足休谟主义，那么 BAPr 必须满足 AGM 公理。为了证明这一点，假设 ⟨B,Pr⟩ 满足休谟主义，并且对于某个 E∈APr，有 ∩B⊂E。如果我们令 BE={E}，那么 ⟨BE,PrE⟩ 满足休谟主义。然而，这样的代理人明显违反了理性和谨慎单调性。关于 AGM 理论和休谟主义之间关系的更详细讨论，请参见 Genin（2019）的第 6.3 节。有关完整的讨论，请参见 Leitgeb（2017）。

4.2.4 信念的追踪理论

林和凯利（2012 年）提出，定性信念更新应该_跟踪_部分信念更新。在他们的观点中，部分和完全信念由并行的认知系统维护和更新。第一个系统受到贝叶斯一致性和条件概率规范的控制，精确、缓慢且认知成本高昂。该系统用于需要高度精确性且没有太多时间压力的重要思考，例如退休规划。第二个系统在某种程度上维护和更新完全信念，更快且认知负担较轻。该系统用于普通计划，如购物或为部门活动选择餐厅。（有关对这两个系统观点的反对意见，请参见 Staffel（2018 年）。）是什么使这两个并行系统保持同步？

林和凯利（2012 年）研究了指定优雅地从定量系统过渡到定性系统的_接受规则_。接受规则 α 将每个部分信念状态 Pr 映射到与之一致的唯一定性信念状态 α(Pr)。例如，强洛克主义论确定了一个接受规则，只要我们指定一个阈值。另一方面，休谟主义论对接受规则没有明确规定，只是对可接受的配对 ⟨B，Pr⟩ 施加约束。当 Pr(E)>0 时，一个代理人的定性更新_跟踪_她的定量更新，当且仅当 α(Pr)E=α(PrE)。换句话说：接受后的定性修订产生的信念状态与概率修订后的接受产生的信念状态相同。

以下是理解跟踪要求的一种方式。假设一个代理人虽然保持潜在的概率信念状态，但她的大部分认知生活都是用来推理和更新定性信念的。一个典型的日子会过去，而无需完全启动概率系统。假设星期一是一个典型的日子。让 ⟨α(Pr)，Pr⟩ 是她星期一早上醒来时的信念状态：她的完全和部分信念是和谐的。让 E 是她自醒来以来获得的全部信息。由于定性信念是即时更新的，她带着定性信念状态 α(Pr)E 入睡。在夜间，她的概率系统进行困难的贝叶斯条件概率计算，并计算出部分信念状态 PrE，以防她在星期二遇到任何复杂的决策问题。在醒来之前，她从她的概率系统 PrE 过渡到定性信念状态 α(PrE)。如果她未能满足跟踪要求，她可能会在星期二早上醒来时发现定性信念状态与她星期一晚上入睡时的状态截然不同。如果她跟踪，那么她将完全没有察觉到任何差异。对于这样的代理人，除了记忆之外，不需要任何机制将她的完全和部分信念在星期二早上重新调和。假设我们通过将先前的部分信念状态 Pr 根据所有新信息 E 进行条件概率修正来_进入_概率系统，并通过接受 α(PrE)来_退出_，跟踪确保在进入和退出概率系统时不会对定性信念产生任何重大变化。跟踪的代理人完全没有察觉到任何差异。不跟踪的代理人可能会发现她的完全和部分信念不断失去同步，需要进行许多昂贵的接受操作才能使它们重新调和。

追踪可能是一个可取的属性，但是否有任何展示它的架构？Lin 和 Kelly（2012）肯定地回答了这个问题。由于贝叶斯条件被默认接受，Lin 和 Kelly 必须指定两件事：一个定性修订操作和一个共同追踪条件的接受规则。现在我们转向他们提议的细节。像往常一样，让 W 是一组世界。一个“问题”Q 是 W 的一个划分，划分成一个可数的互相排斥的命题集合 H1，H2，...，它们是 Q 的完整“答案”。部分信念函数 Pr 定义在由 Q 生成的命题代数 A 上。让 ≺ 是对 Q 的答案的一个良基的严格偏序（严格偏序是“良基”的当且仅当偏序的每个子集都有一个最小元素）。这被解释为一个“合理性排序”，其中 Hi≺Hj 表示 Hi 比 Hj 严格更合理。每个合理性排序 ≺ 通过让 ¬Hi∈B≺ 当且仅当存在一些比 Hi 严格更合理的 Hj 并且在逻辑推理下封闭来产生一个推理上强有力的信念状态 B≺。换句话说，∩B≺ 是合理性排序中最小元素的析取。

首先我们指定一个接受规则。Lin 和 Kelly 提出了“赔率阈值规则”。信念程度函数 Pr 用于通过设置 Hi≺pHj 当且仅当 Pr(Hi)Pr(Hj)>t，其中 t 是大于 1 的常数且 Pr(Hi)，Pr(Hj)>0，来确定一个合理性排序 ≺p。这通过设置 α(Pr)=B≺p 来确定一个接受规则。由于赔率阈值规则确定了一个合理性排序 ≺p，而任何合理性排序 ≺ 都会产生一个推理上强有力的信念状态 B≺，因此避免了彩票悖论。换句话说：任何合理的 ⟨B,p⟩ 都由 B=α(Pr)相关联，确保 B 是推理上强有力的。此外，赔率阈值规则允许在稳定性理论排除它们的情况下存在非平凡的定性信念。回想一下医生的案例。考虑赔率阈值 210−1。根据这个阈值，Job 将存活 1 个月的假设比他将存活至少 n 个月的命题对于任何 n≥10 都更合理。这个阈值产生了 Job 最多存活 10 个月的完全信念。然而，在彩票的情况下，赔率阈值规则排除了任何非平凡的信念。（Kelly 和 Lin（即将出版）提出的内容相关阈值规则可能允许在彩票情况下存在非平凡的信念。）请参阅 Rott（2017）和 Douven 和 Rott（2018）对赔率阈值和稳定性提议形成非平凡的定性信念的相对可能性进行广泛比较。

还需要指定定性修订操作。Lin 和 Kelly 采用了 Shoham（1987）提出的一个操作。合理性排序 ≺ 通过将与证据 E 不相容的每个答案设置为比与 E 相容的每个答案严格不合理，并且保持顺序不变来根据证据 E 进行更新。让 ≺E 表示此更新操作的结果。我们使用更新后的合理性排序来定义一个信念修订规则，通过设置 BE=B≺E。然后，对于所有的 E，F⊆W，BE 是推理上强有力的，并且满足：

|（成功）|∩BE⊆E;|

|---|---|

|（包含）|∩B∩E⊆∩BE;|

| (Cautious Monotony) | If ∩B⊆E then ∩BE⊆∩B. |

然而，它并不一定满足保存性。为了看清楚这一点，假设 Q={H1,H2,H3}，且 H1≺H2，但 H3 与 H1 或 H2 之间没有顺序。那么 ∩B=H1∪H3。然而，尽管 ∩B∩¬H1≠∅，但 ∩B¬H1=H2∪H3⊈∩B。

Lin 和 Kelly 证明了 Shoham 修正和基于概率阈值的接受共同追踪条件：

定理。 让 ≺ 等于 ≺p，并且让 BE=B≺E。那么 BP(W) 满足演绎合理性、成功性、谨慎单调性和包含性。此外，对于所有 E∈APr，有 BE=α(Pr)E=α(PrE)。

换句话说：先进行概率阈值接受，然后进行 Shoham 修订，得到的信念状态与先进行贝叶斯条件化，然后进行概率阈值接受得到的信念状态相同。（Kelly 和 Lin（即将发表）建议修改 Lin 和 Kelly（2012）中提出的概率阈值规则。）尽管原始的合理性排序 ≺p 是基于概率函数 Pr 构建的，但随后的定性更新过程不需要参考（条件化的）概率。这表明至少有一些体系能够轻松地保持概率推理和定性推理系统的协调。

AGM 的粉丝们会遗憾地发现，Shoham 修订不满足 AGM 保持性（合理单调性）。Lin 和 Kelly（2012）证明了没有一种“明智的”接受规则能够同时满足包含性和保持性。我们在这里省略了明智规则的技术定义。有关摘要，请参见 Genin（2019）的第 6.4 节。

4.2.5 认知决策理论

到目前为止，我们所见到的所有桥梁原则都有以下共同点：无论一个行动者的完全和部分信念是否一致，都只取决于完全和部分信念本身。为了评估一个信念状态，不需要提及偏好或效用。还有另一种传统，起源于亨普尔（1962 年），并在莱维（1967a 年）的经典表述中得到体现，将“决定”要相信什么的问题归类为贝叶斯决策理论模型。关键是，这些作者并不认同一个观点，即行动者实际上决定要相信什么 - 而是他们声称一个行动者的信念受到与他们实际决策制定相同类型的规范评估。对这一传统的当代贡献包括 Easwaran（2015 年），Pettigrew（2016 年）和 Dorst（2017 年）。这里介绍的是 Levi（1967a 年）关于以命题而不是句子作为信念对象的相对简化版本。

像往常一样，让 W 是一组可能的世界。假设行动者对回答一个问题 Q 感兴趣，这个问题是将 W 划分为一组有限的互斥答案{H1，H2，...，Hn}。莱维将这种情况称为“试图用真实信念取代不可知论”的努力，回应了皮尔斯（1877 年）的主题：

怀疑是一种不安和不满足的状态，我们努力摆脱它，进入相信的状态；而后者是一种平静和令人满意的状态，我们不希望避免，也不希望改变成对其他事物的信念。相反，我们坚定地坚持，不仅相信，而且相信我们所相信的东西。

代理人的部分信念由概率函数 Pr 表示，该函数至少在由问题生成的代数 A 上定义。Levi 建议以下程序来确定完全相信的命题：将具有最大预期认识效用的 Q 的所有元素进行析取，然后在演绎推论下进行闭包。假设 H∈A 的预期认识效用定义为：E(H):=Pr(H)⋅U(H)+Pr(¬H)⋅u(H)，其中 U(H) 是接受 H 时的认识效用，u(H) 是接受 H 时的效用。如何确定 u(H) 和 U(H)？Levi 受以下原则指导。

  1. 真实答案的认识效用大于错误答案。

  2. 能够大幅度减轻不可知主义的真实答案的认识效用大于能够低度减轻不可知主义的真实答案的认识效用。

  3. 提供高度减轻不可知论的错误答案比提供低度减轻不可知论的错误答案具有更大的认识效用。

对这些原则提出异议是很容易的。第一个原则建立了对真实信念的词典偏好。可以想象，与这个原则相反，一个近似真实的有信息量的错误信念应该比一个没有信息量的真实信念具有更大的认识效用。第一个原则排除了以内容换取真实性的可能性。也可以想象，与第三个原则相反，人们宁愿错误但不过于固执己见，而不愿错误且固执己见。唯一无可置疑的原则似乎是第二个原则。

为了衡量减轻不可知论的程度，定义了一个概率函数 m(⋅) 用于 A 的元素。关键是，m(⋅) 不衡量信念的程度，而是衡量_无信息性_的程度。H∈A 所提供的减轻不可知论的程度，也称为 H 中的_内容量_，被定义为无信息性的补集：cont(Hi)=m(¬Hi)。Levi 认为 Q 的所有元素应该被分配相同的内容量，即 m(Hi)=1n，因此 cont(Hi)=n−1n 对于每个 Hi∈Q。Levi 推荐的认识效用函数集满足以下条件：

  • U(H)=1−q⋅cont(¬H);

  • u(H)=−q⋅cont(¬H),

其中 0 < q <1。所有这样的效用函数都保证满足 Levi 的三个原则。参数 q 被解释为“谨慎程度”，代表了对真理与摆脱不可知性的权衡。当 q=1 时，暂停判断的认识效用 U(W)等于零。这是对摆脱怀疑的权衡最大的情况。Levi 证明了期望的认识效用 E(H)最大当且仅当 Pr(H)> q⋅cont(¬H)。因此，Levi 的最终建议是，代理人应该相信 ∩{¬Hi∈Q:Pr(¬Hi)>1−q⋅cont(¬Hi)}的所有演绎结果。从这个表述中可以看出，Levi 的提议可以看作是一个依赖于问题的版本的洛克论命题，其中适当的阈值是内容的函数。然而，Levi 费尽心思确保这个操作的结果在演绎上是有力的，因此避免了类似彩票的悖论。

当代对决策理论传统的贡献与 Levi 的观点有所不同。最近的研究并不认为认知效用主要是内容的函数。大多数这些提议并不涉及上下文中的问题。许多提议，如 Easwaran（2015）、Dorst（2017），等同于洛克式命题的一个版本，其中阈值由代理人对真实和错误信念的效用确定。由于这些本质上是洛克式的提议，它们会受到类似彩票的悖论的影响。

Bibliography

  • Alchourrón, Carlos E. & Gärdenfors, Peter & Makinson, David, 1985, “On the Logic of Theory Change: Partial Meet Contraction and Revision Functions,” Journal of Symbolic Logic, 50: 510–530.

  • Allais, Maurice, 1953, “Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: Critique des postulats et axiomes de l’ecole americaine,” Econometrica, 21(4): 503–546.

  • Arló-Costa, Horacio, 1999, “Qualitative and Probabilistic Models of Full Belief,” in S.R. Buss, P. Hájek and P. Pudlák (eds.), Proceedings of Logic Colloquium (Volume 98), pp. 25–43.

  • Arló-Costa, Horacio and Arthur Paul Pedersen, 2012, “Belief and Probability: A General Theory of Probability Cores,” International Journal of Approximate Reasoning, 53(3): 293–315.

  • Armendt, Brad, 1980, “Is There a Dutch Book Argument for Probability Kinematics?” Philosophy of Science, 47: 583–588.

  • –––, 1993, “Dutch Book, Additivity, and Utility Theory,” Philosophical Topics, 21: 1–20.

  • Arntzenius, Frank, 2003, “Some Problems for Conditionalization and Reflection,” Journal of Philosophy, 100: 356–371.

  • Bacon, Francis, 1620 [2000], The New Organon, L. Jardine and M. Silverthorne (eds.), Cambrdige: Cambridge University Press.

  • Baltag, Alexandru, Moss, Larry and Solecki, Stawomir, 1998, “The logic of public announcements, common knowledge, and private suspicions,” in I. Gilboa (ed.) Proceedings of the 7th conference on the theoretical aspects of rationality and knowledge (TARK ’98), San Francisco: Morgan Kaufmann, pp. 43–56.

  • Bjorndahl, Adam and Özgün, Aybüke, forthcoming, “Logic and Topology for Knowledge, Knowability, and Belief,” The Review of Symbolic Logic, first online 09 October 2019. doi:10.1017/S1755020319000509

  • Bostrom, Nick, 2007, “Sleeping Beauty and Self-Location: a Hybrid Model,” Synthese, 157: 59–78.

  • Boutilier, Craig, 1996, “Iterated Revision and Minimal Change of Conditional Beliefs,” Journal of Philosophical Logic, 25: 263–305.

  • Bradley, Darren, 2012, “Four Problems about Self-Locating Belief,” Philosophical Review, 121: 149–177.

  • Brössel, Peter & Eder, Anna-Maria & Huber, Franz, 2013, “Evidential Support and Instrumental Rationality,” Philosophy and Phenomenological Research, 87: 279–300.

  • Briggs, R.A., 2009a, “Distorted Reflection,” Philosophical Review, 118: 59–85.

  • –––, 2009b, “The Big Bad Bug Bites Anti-Realists About Chance,” Synthese, 167: 81–92.

  • Buchak, Lara, 2013, Risk and Rationality, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2014, “Belief, credence, and norms” Philosophical Studies, 169(2): 285–311.

  • Carnap, Rudolf, 1962, Logical Foundations of Probability, 2nd edition, Chicago: University of Chicago Press.

  • Christensen, David, 1996, “Dutch-Book Arguments Depragmatized: Epistemic Consistency for Partial Believers,” Journal of Philosophy, 93: 450–479.

  • –––, 2004, Putting Logic in Its Place. Formal Constraints on Rational Belief, Oxford: Oxford University Press.

  • Cox, Richard T., 1946, “Probability, Frequency, and Reasonable Expectation,” American Journal of Physics, 14: 1–13.

  • Darwiche, Adnan & Pearl, Judea, 1997, “On the Logic of Iterated Belief Revision,” Artificial Intelligence, 89: 1–29.

  • De Finetti, Bruno, 1937, “Le prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives,” in Annales de l’institut Henri Poincaré, 7: 1–68.

  • –––, 1970, Theory of Probability, New York: Wiley.

  • –––, 1972, Probability, Induction and Statistics, New York: Wiley.

  • Dempster, Arthur P., 1968, “A Generalization of Bayesian Inference,” Journal of the Royal Statistical Society (Series B, Methodological), 30: 205–247.

  • Dietrich, Franz and Christian List, 2016, “Probabilistic Opinion Pooling,” in A. Hájek and C.R. Hitchcock (eds.), Oxford Handbook of Philosophy and Probability, Oxford: Oxford University Press.

  • Dorst, Kevin, 2017, “Lockeans Maximize Expected Accuracy,” Mind, 128(509): 175– 211.

  • Douven, Igor, 2002, “A New Solution to the Paradoxes of Rational Acceptability,” British Journal for the Philosophy of Science, 53(3): 391–401.

  • Douven, Igor and Hans Rott, 2018, “From Probabilities to Categorical Beliefs: Going Beyond Toy Models,” Journal of Logic and Computation, 28(6): 1099–1124.

  • Douven, Igor and Timothy Williamson, 2006, “Generalizing the Lottery Paradox” British Journal for the Philosophy of Science, 57(4): 755–779.

  • Doyle, Jon, 1979, “A Truth Maintenance System,” Artificial Intelligence, 12(3): 231–272.

  • –––, 1992, “Reason Maintenance and Belief Revision: Foundations vs. Coherence Theories,” in P. Gärdenfors (ed.), Belief Revision (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science), Cambridge: Cambridge University Press, 29–52.

  • Dubois, Didier & Prade, Henri, 1988, Possibility Theory, An Approach to Computerized Processing of Uncertainty, New York: Plenum.

  • –––, 2009, “Accepted Beliefs, Revision, and Bipolarity in the Possibilistic Framework,” in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Earman, John, 1992, Bayes or Bust?: a critical examination of Bayesian confirmation theory, Cambridge, MA: MIT Press.

  • Easwaran, Kenny, 2011a, “Bayesianism I: Introduction and Arguments in Favor,” Philosophy Compass, 6: 312–320.

  • –––, 2011b, “Bayesianism II: Criticisms and Applications,” Philosophy Compass, 6: 321–332.

  • –––, 2015, “Dr. Truthlove, or: How I Learned to Stop Worrying and Love Bayesian Probabilities,” Noûs, 50(4): 816–853.

  • Easwaran, Kenny & Fitelson, Branden, 2012, “An ‘Evidentialist’ Worry About Joyce’s Argument for Probabilism,” Dialectica, 66: 425–433.

  • Egan, Andy, 2006, “Secondary Qualities and Self-Location,” Philosophy and Phenomenological Research, 72: 97–119.

  • Égré, Paul & Barberousse, Anouk, 2014, “Borel on the Heap,” Erkenntnis, 79: 1043–1079.

  • Elga, Adam, 2000, “Self-Locating Belief and the Sleeping Beauty Problem,” Analysis, 60: 143–147.

  • Ellsberg, Daniel, 1961, “ Risk, abiguity and the Savage axioms,” Quarterly Journal of Economics, 75(4): 643–669.

  • Eriksson, Lina & Hájek, Alan, 2007, “What Are Degrees of Belief?” Studia Logica, 86: 183–213.

  • Fagin, Ronald and Joseph Halpern, Yoram Moses, and Moshe Y. Vardi, 1995, Reasoning about Knowledge, Cambridge, MA: The MIT Press.

  • Field, Hartry, 1978, “A Note on Jeffrey Conditionalization,” Philosophy of Science, 45: 361–367.

  • Field, Hartry, forthcoming, “Vagueness, Partial Belief, and Logic”, in G. Ostertag (ed.), Meanings and Other Things: Essays on Stephen Schiffer, Oxford: Oxford University Press [Preprint available online].

  • Foley, Richard, 1992, “The Epistemology of Belief and the Epistemology of Degrees of Belief,” American Philosophical Quarterly, 29: 111–121.

  • –––, 1993, Working without a net: A study of egocentric epistemology, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2009, “Belief, Degrees of Belief, and the Lockean Thesis,” in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Frankish, Keith, 2004, Mind and Supermind, Cambridge: Cambridge University Press.

  • –––, 2009, “Partial Belief and Flat-Out Belief,” in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Gabbay, Dov M., 1985, “Theoretical Foundations for Non-Monotonic Reasoning in Expert Systems,” in K.R. Apt (ed.), Logics and Models of Concurrent Systems, NATO ASI Series 13. Berlin: Springer, 439–457.

  • Garber, Daniel, 1983, “Old Evidence and Logical Omniscience in Bayesian Confirmation Theory,” in J. Earman (ed.), Testing Scientific Theories (Minnesota Studies in the Philosophy of Science: Volume 10), Minneapolis: University of Minnesota Press, 99–131.

  • Gärdenfors, Peter, 1986, “The dynamics of belief: Contractions and revisions of probability functions,” Topoi, 5(1): 29–37.

  • –––, 1988, Knowledge in Flux, Modeling the Dynamics of Epistemic States, Cambridge, MA: MIT Press.

  • –––, 1992, “Belief Revision: An Introduction” in Gärdenfors, P. (ed.), Belief Revision (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science), Cambridge: Cambridge University Press, 1–29.

  • Gärdenfors, Peter and Makinson, David, 1988, “Revisions of Knowledge Systems Using Epistemic Entrenchment,” Proceedings of the 2nd Conference on Theoretical Aspects of Reasoning and Knowledge, San Francisco: Morgan Kauffman, 83–95.

  • Gärdenfors, Peter & Rott, Hans, 1995, “Belief Revision,” in D.M. Gabbay & C.J. Hogger & J.A. Robinson (eds.), Epistemic and Temporal Reasoning (Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming: Volume 4), Oxford: Clarendon Press, 35–132.

  • Genin, Konstantin, 2019, “Full and Partial Belief,” in R. Pettigrew and J. Weisberg (eds.), The Open Handbook of Formal Epistemology, PhilPapers Foundation, pp. 437–498; Genin 2019 available online.

  • Genin, Konstantin and Kelly, Kevin T., 2018, “Theory Choice, Theory Change, and Inductive Truth-Conduciveness,” Studia Logica, 107: 949–989.

  • Gettier, Edmund L., 1963, “Is justified true belief knowledge?” Analysis, 23(6): 121–123.

  • Giang, Phan H. & Shenoy, Prakash P., 2000, “A Qualitative Linear Utility Theory for Spohn’s Theory of Epistemic Beliefs,” in C. Boutilier & M. Goldszmidt (eds.), Uncertainty in Artificial Intelligence (Volume 16), San Francisco: Morgan Kaufmann, 220–229.

  • Glymour, Clark, 1980, Theory and Evidence, Princeton: Princeton University Press.

  • Goldblatt, Robert, 2005, “ Mathematical modal logic: A view of its evolution, Handbook of the History of Logic (Volume 6), D. Gabbay and J. Woods (eds.), Amsterdam: North-Holland, pp. 1–98.

  • Greaves, Hilary & Wallace, David, 2006, ”Justifying Conditionalization: Conditionalization Maximizes Expected Epistemic Utility,“ Mind, 115: 607–632.

  • Grove, Adam, 1988, ”Two Modellings for Theory Change,“ Journal of Philosophical Logic, 17: 157–170.

  • Hacking, Ian, 1967, ”Slightly More Realistic Personal Probability,“ Philosophy of Science, 34(4): 311–325.

  • –––, 1975, The Emergence of Probability, Cambridge: Cambridge University Press.

  • –––, 2001, An Introduction to Probability and Inductive Logic, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Haenni, Rolf, 2009, ”Non-Additive Degrees of Belief,“ in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Haenni, Rolf & Lehmann, Norbert, 2003, ”Probabilistic Argumentation Systems: A New Perspective on Dempster-Shafer Theory,“ International Journal of Intelligent Systems, 18: 93–106.

  • Hájek, Alan, 1998, ”Agnosticism Meets Bayesianism,“ Analysis, 58: 199–206.

  • –––, 2003, ”What Conditional Probability Could Not Be,“ Synthese, 137: 273–323.

  • –––, 2005, ”Scotching Dutch Books?“ Philosophical Perspectives, 19: 139–151.

  • –––, 2006, ”Interview on Formal Philosophy,“ in V.F. Hendricks & J. Symons (eds.), Masses of Formal Philosophy, Copenhagen: Automatic Press.

  • –––, 2008, ”Arguments for – or against – Probabilism?“ British Journal for the Philosophy of Science, 59: 793–819. Reprinted in F. Huber & C. Schmidt-Petri (2009, eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer, 229–251.

  • Hájek, Alan and Lin, Hanti, 2017, ”A tale of two epistemologies?“ Res Philosophica, 94(2): 207–232.

  • Halpern, Joseph Y., 2003, Reasoning about Uncertainty, Cambridge, MA: MIT Press.

  • –––, 2015, ”The Role of the Protocol in Anthropic Reasoning,“ Ergo, 2: 195–206.

  • Harman, Gilbert, 1986, Change in view: Principles of Reasoning, Cambridge, MA: MIT Press.

  • Harper, William L., 1976, ”Ramsey Test Conditionals and Iterated Belief Change,“ in W.L. Harper & C.A. Hooker (eds.), Foundations of Probability Theory, Statistical Inference, and Statistical Theories of Science (Volume I), Dordrecht: D. Reidel, 117–135.

  • Hansson, Sven Ove, 1999a, ”A Survey of Non-Prioritized Belief Revision,“ Erkenntnis, 50: 413–427.

  • –––, 1999b, A Textbook of Belief Dynamics: Theory Change and Database Updating, Dordrecht: Kluwer.

  • –––, 2005, ”Interview on Formal Epistemology,“ in V.F. Hendricks & J. Symons (eds.), Formal Philosophy, Copenhagen: Automatic Press.

  • Hawthorne, James, 2009, ”The Lockean Thesis and the Logic of Belief,“ in F. Huber & C. Schmidt-Petri (ed.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Hawthorne, James & Bovens, Luc, 1999, ”The Preface, the Lottery, and the Logic of Belief,“ Mind, 108: 241–264.

  • Hawthorne, John, 2004, Knowledge and Lotteries, Oxford: Oxford University Press.

  • Hempel, Carl Gustav, 1962, ”Deductive-Nomological vs. Statistical Explanation,“ in H. Feigl & G. Maxwell (eds.), Scientific Explanation, Space and Time (Minnesota Studies in the Philosophy of Science: Volume 3), Minneapolis: University of Minnesota Press, 98–169.

  • Hendricks, Vincent F., 2006, Mainstream and Formal Epistemology, New York: Cambridge University Press.

  • Hild, Matthias, 1998, ”Auto-Epistemology and Updating,“ Philosophical Studies, 92: 321–361.

  • Hild, Matthias & Spohn, Wolfgang, 2008, ”The Measurement of Ranks and the Laws of Iterated Contraction,“ Artificial Intelligence, 172: 1195–1218.

  • Hintikka, Jaakko, 1961, Knowledge and Belief, An Introduction to the Logic of the Two Notions, Ithaca, NY: Cornell University Press. Reissued as J. Hintikka (2005), Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions, prepared by V.F. Hendricks & J. Symons, London: King’s College Publications.

  • Horgan, Terry, 2017, ”Troubles for Bayesian formal epistemology,“ Res Philosophica, 94(2): 223–255.

  • Horty, John F., 2012, Reasons as Defaults, Oxford: Oxford University Press.

  • Howson, Colin & Urbach, Peter, 2006, Scientific reasoning: the Bayesian approach, Chicago: Open Court Publishing.

  • Huber, Franz, 2006, ”Ranking Functions and Rankings on Languages,“ Artificial Intelligence, 170: 462–471.

  • –––, 2007, ”The Consistency Argument for Ranking Functions,“ Studia Logica, 86: 299–329.

  • –––, 2009, ”Belief and Degrees of Belief,“ in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer, 1–33.

  • –––, 2013a, ”Belief Revision I: The AGM Theory,“ Philosophy Compass, 8: 604–612.

  • –––, 2013b, ”Belief Revision II: Ranking Theory,“ Philosophy Compass, 8: 613–621.

  • –––, 2014, ”For True Conditionalizers Weisberg’s Paradox is a False Alarm,“ Symposion, 1: 111–119.

  • –––, 2018, A Logical Introduction to Probability and Induction, New York: Oxford University Press.

  • –––, 2019, ”Ranking Theory,“ in R. Pettigrew and J. Weisberg (eds.), The Open Handbook of Formal Epistemology, Philpapers Foundation, 397–436; Huber 2019 available online.

  • –––, 2020, Belief and Counterfactuals: A Study in Means-End Philosophy, New York: Oxford University Press.

  • Jeffrey, Richard C., 1970, ”Dracula Meets Wolfman: Acceptance vs. Partial Belief,“ in M. Swain (ed.), Induction, Acceptance, and Rational Belief, Dordrecht: D. Reidel, 157–185.

  • –––, 1983a, The Logic of Decision, 2nd edition, Chicago: University of Chicago Press.

  • –––, 1983b, ”Bayesianism with a Human Face,“ in J. Earman (ed.), Testing Scientific Theories (Minnesota Studies in the Philosophy of Science: Volume 10), Minneapolis: University of Minnesota Press, 133–156.

  • –––, 2004, Subjective Probability. The Real Thing, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Joyce, James M., 1998, ”A Nonpragmatic Vindication of Probabilism,“ Philosophy of Science, 65: 575–603.

  • –––, 1999, The Foundations of Causal Decision Theory, Cambridge: Cambridge University Press.

  • –––, 2005, ”How Probabilities Reflect Evidence,“ Philosophical Perspectives, 19: 153–178.

  • –––, 2009, ”Accuracy and Coherence: Prospects for an Alethic Epistemology of Partial Belief,“ in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Kahneman, Daniel & Slovic, Paul & Tversky, Amos (eds.), 1982, Judgment Under Uncertainty: Heuristics and Biases, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Kaplan, Mark, 1996, Decision Theory as Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Kelly, Kevin T., 1996, The Logic of Reliable Inquiry, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, forthcoming, ”Beliefs, Probabilities and their Coherent Correspondence,“ in I. Douven (ed.), Lotteries, Knowledge and Rational Belief: Essays on the Lottery Paradox, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Keynes, John Maynard, 1921, A Treatise on Probability, in The Collected Writings of John Maynard Keynes (Volume 8, Elizabeth Johnson and Donald Moggridge, editors), Cambridge, Cambridge University Press, 1973.

  • Kneale, William C., 1949, Probability and Induction. Oxford: Clarendon Press.

  • Kolmogorov, Andrej N., 1956, Foundations of the Theory of Probability, 2nd edition, New York: Chelsea Publishing Company.

  • Korb, Kevin B., 1992, ”The Collapse of Collective Defeat: Lessons from the Lottery paradox,“ in D. Hull, M. Forbes and K. Okruhlick (eds.) Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association 1992(1): 230–236.

  • Krantz, David H. & Luce, Duncan R. & Suppes, Patrick & Tversky, Amos, 1971, Foundations of Measurement (Volume 1), New York: Academic Press.

  • Kraus, Sarit & Lehmann, Daniel & Magidor, Menachem, 1990, ”Nonmonotonic Reasoning, Preferential Models, and Cumulative Logics,“ Artificial Intelligence, 40: 167–207.

  • Kripke, Saul, 1979, ”A Puzzle About Belief,“ in A. Margalit (ed.), Meaning and Use, Dordrecht: D. Reidel, 239–283.

  • Kroedel, Thomas, 2012, ”The Lottery Paradox, Epistemic Justification and Permissibility,“ Analysis, 52: 57–60.

  • Kvanvig, Jonathan L., 1994, ”A Critique of van Fraassen’s Voluntaristic Epistemology,“ Synthese, 98: 325–348.

  • Kyburg, Henry E. Jr., 1961, Probability and the Logic of Rational Belief, Middletown, CT: Wesleyan University Press.

  • –––, 1997, ”The rule of adjunction and reasonable inference,“ The Journal of Philosophy, 94(3): 109–125.

  • Kyburg, Henry E. Jr. & Teng, Choh Man, 2001, Uncertain Inference, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Leibniz, Gottfried, 1679 [1989], ”On the General Characteristic“ in L. Loemker (ed.), Philosophical Papers and Letters, second edition, Dordrecht: Kluwer.

  • Leitgeb, Hannes, 2004, Inference on the Low Level: An Investigation into Deduction, Nonmonotonic Reasoning, and the Philosophy of Cognition, Dordrecht: Kluwer.

  • –––, 2013, ”Reducing Belief Simpliciter to Degrees of Belief,“ Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1338–1389.

  • –––, 2014, ”The Stability Thoery of Belief,“ Philosophical Review, 123: 131–171.

  • –––, 2017, The Stability Theory of Belief, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, forthcoming, ”A Structural Justification of Probabilism: From Partition Invariance to Subjective Probability,“ Philosophy of Science, first online 24 February 2020. doi:10.1086/711570

  • Leitgeb, Hannes & Pettigrew, Richard, 2010a, ”An Objective Justification of Bayesianism I: Measuring Inaccuracy,“ Philosophy of Science, 77: 201–235.

  • –––, 2010b, ”An Objective Justification of Bayesianism II: The Consequences of Minimizing Inaccuracy,“ Philosophy of Science, 77: 236–272.

  • Levi, Isaac, 1967a, Gambling With Truth. An Essay on Induction and the Aims of Science, New York: Knopf.

  • –––, 1967b, ”Probability Kinematics,“ British Journal for the Philosophy of Science, 18: 197–209.

  • –––, 1974, ”On Indeterminate Probabilities,“ Journal of Philosophy, 71: 391–418.

  • –––, 1977, ”Subjunctives, Dispositions and Chances,“ Synthese, 34(4): 423–455.

  • –––, 1978, ”Dissonance and Consistency according to Shackle and Shafer,“ PSA: Proceedings of the Biennial Meeting od the Philosophy of Science Association (Volume 2: Symposia and Invited Papers), 466–477.

  • –––, 1980, The Enterprise of Knowledge, Cambridge, MA: MIT Press.

  • –––, 1991, The Fixation of Belief and its Undoing, Cambridge: Cambridge University Press.

  • Lewis, David K., 1973, Counterfactuals, Oxford: Blackwell.

  • –––, 1979, ”Attitudes De Dicto and De Se,“ The Philosophical Review, 88: 513–543; reprinted with postscripts in D. Lewis (1983), Philosophical Papers (Volume I), Oxford: Oxford University Press, 133–159.

  • –––, 1980, ”A Subjectivist’s Guide to Objective Chance,“ in R.C. Jeffrey (ed.), Studies in Inductive Logic and Probability (Volume II), Berkeley: University of Berkeley Press, 263–293; reprinted with postscripts in D. Lewis (1986), Philosophical Papers (Volume II), Oxford: Oxford University Press, 83–132.

  • –––, 1986, On the Plurality of Worlds, Oxford: Blackwell.

  • –––, 1999, ”Why Conditionalize?“ in D. Lewis (1999), Papers in Metaphysics and Epistemology, Cambridge: Cambridge University Press, 403–407.

  • –––, 2001, ”Sleeping Beauty: Reply to Elga,“ Analysis, 61: 171–176.

  • Liao, Shen–yi, 2012, ”What are centered worlds?“ The Philosophical Quarterly, 62(247): 294–316.

  • Lin, Hanti & Kelly, Kevin T., 2012, ”Propositional Reasoning that Tracks Probabilistic Reasoning,“ Journal of Philosophical Logic, 41: 957–981.

  • Lin, Hanti, 2013, ”Foundations of everyday practical reasoning,“ Journal of Philosophical Logic, 42: 831–862.

  • –––, 2019, ”Belief Revision Theory,“ in R. Pettigrew & J. Weisberg (eds.), The Open Handbook of Formal Epistemology, PhilPapers Foundation pp. 349–396; Lin 2019 available online.

  • Lindström, Sten & Rabinowicz, Wlodek, 1999, ”DDL Unlimited: Dynamic Doxastic Logic for Introspective Agents,“ Erkenntnis, 50: 353–385.

  • Locke, John, 1690 [1975], An Essay Concerning Human Understanding, Oxford: Clarendon Press.

  • Loeb, Louis E., 2002, Stability and Justification in Hume’s Treatise, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2010, Reflection and the Stability of Belief, Oxford: Oxford University Press.

  • Maher, Patrick, 2002, ”Joyce’s Argument for Probabilism,“ Philosophy of Science, 69: 73–81.

  • –––, 2006, ”Review of David Christensen, Putting Logic in Its Place. Formal Constraints on Rational Belief,“ Notre Dame Journal of Formal Logic, 47: 133–149.

  • Mahtani, Anna, 2019, ”Imprecise Probabilities“ in R. Pettigrew and J. Weisberg (eds.), The Open Handbook of Formal Epistemology, PhilPapers Foundation, pp. 107–130; Mahtani 2019 available online.

  • Makinson, David, 1965, ”The Paradox of the Preface,“ Analysis, 25: 205–207.

  • –––, 1989, ”General Theory of Cumulative Inference,“ in M. Reinfrank & J. de Kleer & M.L. Ginsberg & E. Sandewall (eds.), Non-Monotonic Reasoning (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 346), Berlin: Springer, 1–18.

  • –––, 1994, ”General Patterns in Nonmonotonic Reasoning,“ in D.M. Gabbay & C.J. Hogger & J.A. Robinson (eds.), Nonmonotonic Reasoning and Uncertain Reasoning (Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming: Volume 3), Oxford: Clarendon Press, 35–110.

  • –––, 2009, ”Levels of Belief in Nonmonotonic Reasoning,“ in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • Makinson, David & Peter Gärdenfors, 1991, ”Relations between the Logic of Theory Change and Nonmonotonic Logic,“ A. Fuhrmann & M. Morreau (eds.), The Logic of Theory Change, Berlin: Springer, 185–205.

  • Makinson, David and James Hawthorne, 2015 ”Lossy Inference Rules and their Bounds“ in A. Koslow and A. Buchsbaum (eds.) The Road to Universal Logic, Cham: Springer, pp. 385–407.

  • Meacham, Christopher, 2008, ”Sleeping Beauty and the Dynamics of De Se Belief,“ Philosophical Studies, 138: 245–269.

  • Meacham, Christopher & Weisberg, Jonathan, 2011, ”Representation Theorems and the Foundations of Decision Theory,“ Australasian Journal of Philosophy, 89: 641–663.

  • Moss, Sarah, 2013, ”Epistemology Formalized,“ Philosophical Review, 122: 1–43.

  • –––, 2018, Probabilistic Knowledge, Oxford University Press.

  • Moon, Andrew, 2017, ”Beliefs do not come in degrees,“ Canadian Journal of Philosophy, 47(6): 760–778.

  • Moore, Robert C., 1985, ”Semantical considerations on nonmonotonic logic,“ Artificial Intelligence, 25(1): 75–94.

  • Nayak, Abhaya C., 1994, ”Iterated Belief Change Based on Epistemic Entrenchment,“ Erkenntnis, 41: 353–390.

  • Nelkin, Dana K., 2000, ”The Lottery Paradox, Knowledge and Rationality,“ The Philosophical Review, 109(3): 373–409.

  • Niiniluoto, Ilkka, 1983, ”Novel Facts and Bayesianism,“ British Journal for the Philosophy of Science, 34: 375–379.

  • Ninan, Dilip, 2010, ”De Se Attitudes: Ascription and Communication,“ Philosophy Compass, 5: 551–567.

  • Paris, Jeff B., 1994, The Uncertain Reasoner’s Companion — A Mathematical Perspective (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science: Volume 39), Cambridge: Cambridge University Press.

  • –––, 2001, ”A Note on the Dutch Book Method,“ Proceedings of the Second International Symposium on Imprecise Probabilities and their Applications, Ithaca, NY: Shaker.

  • Pascal, Blaise, ca. 1658 [2004], ”Discourse on the Machine“ in R. Ariew (ed. and trans.), Pensées, Indianapolis: Hackett.

  • Paxson Jr., Thomas and Keith Lehrer, 1969, ”Knowledge: Undefeated Justified True Belief,“ The Journal of Philosophy, 66(8): 373– 409.

  • Percival, Philip, 2002, ”Epistemic Consequentialism,“ Supplement to the Proceedings of the Aristotelian Society, 76: 121–151.

  • Perry, John, 1979, ”The Problem of the Essential Indexical,“ Noûs, 13(1): 3–21.

  • Pettigrew, Richard, 2013, ”Accuracy and Evidence,“ Dialectica, 67: 579–596.

  • –––, 2016, Accuracy and the Laws of Credence, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2019, ”Aggregating Incoherent Agents who Disagree,“ Synthese, 196: 2737–2776.

  • –––, forthcoming, ”Logical Ignorance and Logical Learning,“ Synthese, first online 05 June 2020. doi:10.1007/s11229-020-02699-9

  • Peirce, Charles Sanders, 1877 [1992], ”The Fixation of Belief,“ in N. Houser and C. Kloesel (eds.), The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings (Volume 1: 1867–1893), Bloomington: Indiana University Press.

  • Plaza, Jan, 1989, ”Logics of public communication,“ in M.L. Emrich, et al. (eds.) Proceedings of the 4th international symposium on methodologies for intelligent systems, Oak Ridge, TN: Oak Ridge National Laboratory, pp. 201–216.

  • Pollock, John L., 1987, ”Defeasible Reasoning,“ Cognitive Science, 11(4): 481–518.

  • –––, 1995, Cognitive Carpentry, Cambridge, MA: MIT Press.

  • –––, 2006, Thinking about Acting: Logical Foundations for Rational Decision Making, Oxford: Oxford University Press.

  • Popper, Karl R., 1955, ”Two Autonomous Axiom Systems for the Calculus of Probabilities,“ British Journal for the Philosophy of Science, 6: 51–57.

  • Popper, Karl Y. & Miller, David, 1983, ”A proof of the impossibility of inductive probability,“ Nature, 302(5910): 687.

  • Quine, Willard V.O. & Ullian, Joseph S., 1970, The Web of Belief, New York: Random House.

  • Quine, Willard V.O., 1990, Pursuit of Truth, Cambridge: Harvard University Press.

  • Raffman, Diana, 2014, Unruly Words. A Study of Vague Language, Oxford: Oxford University Press.

  • Raidl, Eric, 2019, ” Completenes for Counter-Doxa Conditionals Using Ranking Semantics,“ Review of Symbolic Logic, 12(4): 861– 891.

  • Raidl, Eric and Niels Skovgaard-Olsen, 2017, ” Bridging Ranking Theory and the Stability Theory of Belief,“ Journal of Philosophical Logic, 46(6): 577– 609.

  • Ramsey, Frank P., 1926, ”Truth and Probability,“ in F.P. Ramsey, The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays, R.B. Braithwaite (ed.), London: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co., 1931, 156–198.

  • Rényi, Alfred, 1955, ”On a New Axiomatic System for Probability,“ Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 6: 285–335.

  • –––, 1970, Foundations of Probability, San Francisco: Holden-Day.

  • Resnik, Michael D., 1987, Choices: An Introduction to Decision Theory, Minneapolis: University of Minnesota Press.

  • Ross, David, 1930, The Right and the Good, Oxford: Oxford University Press.

  • Rott, Hans, 2001, Change, Choice, and Inference, A Study of Belief Revision and Nonmonotonic Reasoning, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2009a, ”Degrees All the Way Down: Beliefs, Non-Beliefs, Disbeliefs,“ in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • –––, 2009b, ”Shifting Priorities: Simple Representations for Twenty-seven Iterated Theory Change Operators,“ in D. Makinson & J. Malinowski & H. Wansing (eds.), Towards Mathematical Philosophy. Trends in Logic 28, Dordrecht: Springer, 269–296.

  • –––, 2017, ”Stability and Skepticism in the Modelling of Doxastic States: Probabilities and Plain Beliefs,“ Minds and Machines, 27(1): 167–197.

  • Ryan, Sharon, 1996, ”The Epistemic Virtues of Consistency,“ Synthese, 109(2): 121–141.

  • Savage, Leonard J., 1972, The Foundations of Statistics, 2nd edition, New York: Dover.

  • Schauer, Frederick, 2003, Profiles, Probabilities and Stereotypes, Cambridge, MA: Belknap.

  • Schurz, Gerhard, 2011, ”Abductive Belief Revision in Science,“ in E. Olsson & S. Enqvist (eds.) Belief Revision Meets Philosophy of Science, Dordrecht: Springer, 77–104.

  • Segerberg, Krister, 1995, ”Belief Revision from the Point of View of Doxastic Logic,“ Bulletin of the IGPL, 3: 535–553.

  • –––, 1999, ”Two Traditions in the Logic of Belief: Bringing them Together,“ in H.J Ohlbach and U. Reyle (eds.), Logic, Language and Reasoning: Essays in Honor of Dov Gabbay, Dordrecht: Kluwer Academic Plublishers, pp. 135–147.

  • Shackle, George L.S., 1949, Expectation in Economics, Cambridge: Cambridge University Press.

  • –––, 1969, Decision, Order, and Time, 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press.

  • Shafer, Glenn, 1976, A Mathematical Theory of Evidence, Princteton, NJ: Princeton University Press.

  • Shear, Ted and Branden Fitelson, 2018, ”Two Approaches to Belief Revision,“ Erkenntnis, 84(3): 487–518.

  • Shenoy, Prakash P., 1991, ”On Spohn’s Rule for Revision of Beliefs,“ International Journal for Approximate Reasoning, 5: 149–181.

  • Shoham, Yoav, 1987, ”A semantical approach to nonmonotonic logics,’ in M. Ginsberg (ed.), Readings in Nonmonotonic Reasoning, San Francisco: Morgan Kaufmann, 227–250.

  • Skyrms, Brian, 1984, Pragmatism and Empiricism, New Haven: Yale University Press.

  • –––, 1987, “Dynamic Coherence and Probability Kinematics,” Philosophy of Science, 54: 1–20.

  • –––, 2000 Choice and Chance: An Introduction to Inductive Logic, Belmont, CA: Wadsworth.

  • –––, 2006, “Diachronic Coherence and Radical Probabilism,” Philosophy of Science, 73: 959–968; reprinted in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer, 2009.

  • –––, 2011, “Resiliency, Propensities and Causal Necessity,” in A. Eagle (ed), Philosophy of Probability: Contemporary Readings, London: Routledge, 529–536.

  • Smets, Philippe, 2002, “Showing Why Measures of Quantified Beliefs are Belief Functions,” in B. Bouchon & L. Foulloy & R.R. Yager (eds.), Intelligent Systems for Information Processing: From Representation to Applications, Amsterdam: Elsevier, 265–276.

  • Smets, Philippe & Kennes, Robert, 1994, “The Transferable Belief Model,” Artifical Intelligence, 66: 191–234.

  • Spohn, Wolfgang, 1986, “On the Representation of Popper Measures,” Topoi, 5: 69–74.

  • –––, 1988, “Ordinal Conditional Functions: A Dynamic Theory of Epistemic States,” in W.L. Harper & B. Skyrms (eds.), Causation in Decision, Belief Change, and Statistics (Volume II), Dordrecht: Kluwer, 105–134.

  • –––, 1990, “A General Non-Probabilistic Theory of Inductive Reasoning,” in R.D. Shachter & T.S. Levitt & J. Lemmer & L.N. Kanal (eds.), Uncertainty in Artificial Intelligence (Volume 4), Amsterdam: North-Holland, 149–158.

  • –––, 1994, “On the Properties of Conditional Independence,” in P. Humphreys (ed.), Patrick Suppes: Scientific Philosopher (Volume 1: Probability and Probabilistic Causality), Dordrecht: Kluwer, 173–194.

  • –––, 2009, “A Survey of Ranking Theory,” in F. Huber & C. Schmidt-Petri (eds.), Degrees of Belief, Dordrecht: Springer.

  • –––, 2012, The Laws of Belief: Ranking Theory and Its Philosophical Applications, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2017a, “Knightian Uncertainty and Ranking Theory,” Homo Oeconomicus, 34(4): 293–311.

  • –––, 2017b, “ The Epistemology and Auto-Epistemology of Temporal Self-Location and Forgetfulness,” Ergo, 4(13): 359–418

  • –––, 2020, “Defeasible Normative Reasoning,” Synthese, 197: 1391–1428.

  • Staffel, Julia, 2013, “Can there be reasoning with degrees of belief?” Synthese, 190(16): 3535–3551.

  • –––, 2016, “Beliefs, Buses and Lotteries: Why Rational Belief Can’t Be Stably High Credence,” Philosophical Studies, 173(7): 1721–1734.

  • –––, 2018, “How do beliefs simplify reasoning?” Noûs, 53(4): 937–962.

  • Stalnaker, Robert C., 1970, “Probability and Conditionality,” Philosophy of Science, 37: 64–80.

  • –––, 1981, “Indexical Belief,” Synthese, 49(1): 129–151.

  • –––, 1984, Inquiry, Cambridge, MA: MIT Press

  • –––, 1996, “Knowledge, Belief, and Counterfactual Reasoning in Games,” Economics and Philosophy, 12: 133–162.

  • –––, 2002, “Epistemic Consequentialism” Supplement to the Proceedings of the Aristotelian Society, 76: 153–168.

  • –––, 2003, Ways a World Might Be, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 2009, “Iterated Belief Revision,” Erkenntnis, 70: 189–209.

  • Sturgeon, Scott, 2008, “Reason and the Grain of Belief,” Noûs, 42: 139–165.

  • Teller, Paul, 1973, “Conditionalization and Observation,” Synthese, 26: 218–258.

  • Thoma, Johanna, 2019, “Decision Theory,” in R. Pettigrew & J. Weisberg (eds.), The Open Handbook of Formal Epistemology, The PhilPapers Foundation, pp. 57–106; Thoma 2019 available online.

  • Thomson, Judith Jarvis, 1986, “Liability and Individualized Evidence,” Law and Contemporary Problems, 49(3): 199–219.

  • Titelbaum, Michael G., 2013, Quitting Certainties: A Bayesian Framework Modeling Degrees of Belief, Oxford: Oxford University Press.

  • Ullman-Margalit, Edna, 1983, “On Presumption,” The Journal of Philosophy, 80(3): 143–163.

  • van Ditmarsch, Hans & van der Hoek, Wiebe and Kooi, Barteld, 2007, Dynamic Epistemic Logic, Dordrecht: Springer.

  • van Fraassen, Bas C., 1985, “Belief and the Will,” Journal of Philosophy, 81: 235–256.

  • –––, 1989, Laws and Symmetry, Oxford: Oxford University Press.

  • –––, 1990, “Figures in a Probability Landscape,” in J.M. Dunn & A. Gupta (eds.), Truth or Consequences, Dordrecht: Kluwer, 345–356.

  • –––, 1995, “Belief and the Problem of Ulysses and the Sirens,” Philosophical Studies, 77: 7–37.

  • von Neumann, John & Morgenstern, Oskar, 1944, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton: Princeton University Press.

  • von Wright, Georg Henrik, 1951, An Essay in Modal Logic, Amsterdam: North-Holland Publishing Company.

  • Walley, Peter, 1991, Statistical Reasoning With Imprecise Probabilities, New York: Chapman and Hall.

  • Weatherson, Brian, 2005, “Can We Do Without Pragmatic Encroachment?” Philosophical Perspectives, 19: 417–443.

  • –––, 2007, “The Bayesian and the Dogmatist,” Proceedings of the Aristotelian Society, 107: 169–185.

  • Weichselberger, Kurt, 2000, “The Theory of Interval-probability as a Unifying Concept for Uncertainty,” International Journal of Approximate Reasoning, 24: 149–170.

  • Weisberg, Jonathan, 2009, “Commutativity or Holism? A Dilemma for Jeffrey Conditionalizers,” British Journal for the Philosophy of Science, 60: 793–812.

  • –––, 2011, “Varieties of Bayesianism,” in D.M. Gabbay & S. Hartmann & J. Woods (eds.), Inductive Logic (Handbook of the History of Logic: Volume 10), Amsterdam/New York: Elsevier, 477–551.

  • –––, 2015, “Updating, Undermining, and Independence,” British Journal for the Philosophy of Science, 66: 121–159.

  • Williams, Robert, 2012, “Gradational Accuracy and Nonclassical Semantics,” Review of Symbolic Logic, 5(4): 513–537.

  • Williamson, Timothy, 1994, Vagueness, New York: Routledge.

  • Zadeh, Lotfi A., 1978, “Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility,” Fuzzy Sets and Systems, 1: 3–28.

Academic Tools

How to cite this entry.

Preview the PDF version of this entry at the Friends of the SEP Society.

Look up topics and thinkers related to this entry at the Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).

Enhanced bibliography for this entry at PhilPapers, with links to its database.

Other Internet Resources

Related Entries

epistemology | epistemology, formal | logic: epistemic | logic: non-monotonic | possible worlds | probability, interpretations of | propositions: structured | vagueness

Acknowledgments

We are grateful to Liam Kofi Bright and a very gracious anonymous reviewer for their comments and suggestions. We are also grateful to Branden Fitelson, Alan Hájek, and Wolfgang Spohn for their feedback on the previous version of this entry. We have used material from Huber (2009) and Genin (2019). Supported by the German Research Foundation through the Cluster of Excellence “Machine Learning – New Perspectives for Science”, EXC 2064/1, project number 390727645.

Copyright © 2020 by Konstantin Genin <konstantin.genin@gmail.com> Franz Huber

上一页信念伦理学 belief, ethics of (Andrew Chignell)下一页信念合并与判断聚合 belief merging and judgment aggregation (Gabriella Pigozzi)

最后更新于

Logo

道长哲学研讨会 2024