扬-卢卡谢维奇 Łukasiewicz, Jan (Peter Simons)
首次发表于 2014 年 5 月 15 日；实质修订于 2021 年 11 月 4 日。
扬-卢卡谢维奇（1878-1956）是一位波兰逻辑学家和哲学家，他将数学逻辑引入波兰，成为华沙逻辑学派的最早创始人之一，也是该学派的主要建筑师和教师之一。他最著名的成就是首次给出了多值逻辑的严格表述。他在命题逻辑方面引入了许多改进，并成为第一位从现代形式逻辑的角度来处理该学科历史的逻辑学史学家。
1. 生活
扬-卢卡谢维奇的生活是一位职业学者和学者的生活，受到二十世纪战争的剧变严重干扰。他出生并接受教育于奥地利的波兰，他在波兰第二共和国蓬勃发展，在战争的艰难中忍受着，逃离红军前往德国，并在爱尔兰共和国找到了最后的避难所。
扬-卢卡谢维奇于 1878 年 12 月 21 日出生在卢沃（Lwów）[1]，这是一个历史悠久的波兰城市，当时是奥地利加利西亚的首都。卢卡谢维奇的父亲帕维尔是奥地利军队的上尉，他的母亲莱奥波尔迪娜（娘家姓霍尔策）是奥地利公务员的女儿。扬是他们唯一的孩子。这个家庭说波兰语。卢卡谢维奇从 1890 年开始上学（古典 Gimnazjum 或语法学校，强调古典语言），于 1897 年毕业，并开始在卢沃大学学习法律。在奥地利统治下，大学允许用波兰语授课。1898 年，他转到数学专业，在约瑟夫·普齐纳（Józef Puzyna）的指导下学习，并在哲学方面在卡齐米日·特瓦多夫斯基（Kazimierz Twardowski）的指导下学习，特瓦多夫斯基于 1895 年被任命为该校的特聘（副）教授，还有沃伊切赫·杰杜舍茨基（Wojciech Dzieduszycki）。1902 年，卢卡谢维奇在特瓦多夫斯基的指导下获得了哲学博士学位，论文题为“归纳作为演绎的逆过程”。在他的中学毕业考试和博士论文之间的所有考试中，他只取得了最高分，他被授予了帝国的荣誉学位，这是一种罕见的荣誉，并且他收到了弗朗茨·约瑟夫皇帝的钻石戒指。
从 1902 年起，他在大学图书馆担任私人教师和职员。1904 年，他获得了加利西亚自治政府的奖学金，前往柏林和鲁汶学习。1906 年，他凭借一篇关于“因果概念的分析和构建”的论文获得了博士资格。作为哲学的私人讲师，他能够在大学讲课，成为特瓦尔多夫斯基的学生中第一个加入他的人。他在 1906 年秋季进行的第一门讲座是关于逻辑代数的，正如库图拉所阐述的那样。1908 年和 1909 年，他获得了一笔奖学金，使他能够访问格拉茨，与亚历克修斯·迈农和他的学派结识。1911 年，他被任命为特聘教授，并继续在利沃夫教书，直到 1914 年战争爆发。在此期间，他的学生包括卡齐米日·艾杜基耶维奇和塔德乌什·科塔尔宾斯基，他们后来成为著名的哲学家。他还在 1912 年结识了斯坦尼斯瓦夫·莱什涅夫斯基，但后者在国外学习后来到了利沃夫，不能算作他的学生。
1915 年，战争的命运使德国控制了华沙，他们决定重新开放大学，因为在俄国统治下，该大学没有被允许以波兰语授课。卢卡谢维奇成为那里的哲学教授。1916 年，他担任文学院院长，1917 年担任大学副校长。1918 年，他离开了大学，被任命为新成立的波兰教育部高等学校部门主任，波兰获得完全独立后，他成为帕德列夫斯基内阁的教育部长，任职时间为 1919 年 1 月至 12 月。从 1920 年到 1939 年，他和莱什涅夫斯基一样，是华沙大学自然科学学院的教授。1922/23 年和 1931/32 年，他担任大学校长。1929 年，他与雷吉娜·巴尔维斯卡结婚。
扬-卢卡谢维奇在战间期间最为丰硕。他与莱什涅夫斯基和塔尔斯基一起成为华沙逻辑学派的主要人物。他与唯一的德国数理逻辑教授海因里希·肖尔茨结为朋友，并于 1938 年获得了后者所在的明斯特大学的荣誉博士学位。在这一时期，他还获得了波兰复兴勋章大指挥官（1923 年）、匈牙利功绩勋章大指挥官、华沙市的金钱奖励（1935 年）以及克拉科夫波兰艺术与科学学院、卢沃夫和华沙波兰科学协会的会员资格等荣誉。
他指导完成博士论文的学生有：莫德哈伊·瓦伊斯伯格、齐格蒙特·科布日因斯基、斯坦尼斯瓦夫·亚什科夫斯基、博莱斯瓦夫·索博钦斯基和耶尔齐·斯鲁佩茨基。
1939 年 9 月战争爆发时，卢卡谢维奇夫妇的家被德国空军轰炸，他的所有书籍、文件和信件都被摧毁，只有一本他的印刷品被保存下来。卢卡谢维奇夫妇住在临时的学者住所里。德国占领者关闭了大学，卢卡谢维奇在华沙市档案馆找到了一份微薄的薪水工作。史克尔茨提供了额外的经济支持。卢卡谢维奇在地下大学教书。从 1943 年末开始，由于担心红军即将到来并占领波兰，以及一些同事怀疑他亲德反犹，卢卡谢维奇向史克尔茨表示希望他和妻子离开波兰。作为去瑞士的第一步，史克尔茨设法获得了卢卡谢维奇夫妇前往明斯特的许可。他们于 1944 年 7 月 17 日离开华沙，就在华沙起义爆发前两周。在 1944 年 7 月 20 日对希特勒的炸弹阴谋后，他们没有希望获得前往瑞士的许可。他们在明斯特逗留，忍受盟军的轰炸，直到 1945 年 1 月，当时由于于尔根·冯·肯普斯基在他位于亨布森的农场提供了住所，他们在那里被美军解放，时间是 4 月 4 日。
从 1945 年夏天开始，卢卡谢维奇在德塞尔的一个前波兰战俘营地设立的波兰中学教授逻辑学。1945 年 10 月，他们获准前往布鲁塞尔。在那里，卢卡谢维奇再次在一个临时的波兰科学研究所教授逻辑学。由于不愿回到共产主义控制下的波兰，卢卡谢维奇开始寻找其他职位。1946 年 2 月，他收到了去爱尔兰的邀请。1946 年 3 月 4 日，卢卡谢维奇一家抵达都柏林，受到外交部长和爱尔兰总理伊蒙·德·瓦莱拉的接待。1946 年秋季，卢卡谢维奇被任命为爱尔兰皇家学院的数理逻辑学教授，他起初每周讲课一次，后来增加到两次。
在扬-卢卡谢维奇在爱尔兰的最后几年里，他恢复了与国外同事的联系，特别是与 Scholz，他们之间一直保持着密切的通信。他参加了英国、法国和比利时的会议，在被驱逐出克拉科夫的波兰学院之前向波兰寄送了论文，在贝尔法斯特女王大学讲授数理逻辑，在都柏林大学学院讲授亚里士多德的三段论。他的健康状况恶化，多次心脏病发作：到 1953 年，他已经无法在学院讲课。1955 年，他获得了都柏林三一学院的荣誉博士学位。1956 年 2 月 13 日，在切除胆结石的手术后，他遭受了第三次重大冠状动脉血栓形成，并在医院去世。他被埋葬在都柏林的杰罗姆山公墓，他的墓碑上写着“远离亲爱的卢沃和波兰”。Regina 将他的大部分科学论文和通信存放在 RIA。1963 年，学院将他们的藏品转移到曼彻斯特大学图书馆，至今未编目。曼彻斯特的选择是因为那里有 Czesław Lejewski 作为讲师，他曾在华沙与卢卡谢维奇学习，并两次接受后者的博士论文答辩，一次是在 1939 年，当时战争干扰了，第二次是在 1954 年的伦敦。Lejewski 曾经看到卢卡谢维奇关于亚里士多德三段论的第二版通过出版：它于 1957 年在他去世后出版。2022 年，在波兰政府的倡议下，他的遗体以军事荣誉的方式被遣返，并在华沙的波瓦兹基公墓重新安葬。
2. Twardowski 的影响
扬-卢卡谢维奇是特瓦多夫斯基在利沃夫的首批学生之一，并受到他的老师在态度和方法上的影响。特瓦多夫斯基在维也纳出生并接受教育，在那里他成为弗朗茨·布伦塔诺的门徒，并深受后者对哲学作为一门严谨学科的热情倡导的影响，认为哲学应该像任何经验科学一样，以同样的细致关注和详尽研究来探究，并以最大的透明度进行交流。1895 年，特瓦多夫斯基被任命为利沃夫的特聘教授。他发现波兰的哲学生活沉寂而平庸，于是着手激活这一学科并建立其波兰机构，牺牲了自己的学术产出。像布伦塔诺一样，他认为健全的描述心理学在方法上对哲学至关重要，并且像布伦塔诺一样，他主张在形式逻辑上进行适度的改革。受胡塞尔、罗素和弗雷格的影响，卢卡谢维奇拒绝了心理学在基础角色上的地位，并受到后两者的特别启发，他将逻辑的改革推向了特瓦多夫斯基所设想的范围之外。他在 1904 年阅读了罗素的《数学原理》，对他产生了相当大的影响。哲学可以并且应该追求科学的精确性的普遍态度一直伴随着卢卡谢维奇，尽管他对这一学科的评估往往变得更加悲观而不是乐观，并且他主张以逻辑为基础根本性地改革哲学。
扬-卢卡谢维奇在另一个方面延续了布伦塔诺学派的传统，就是他对哲学历史的尊重，特别是对亚里士多德和英国经验主义者的尊重。（他和特瓦多夫斯基将休谟的第一次探究翻译成波兰语。）特瓦多夫斯基非常熟悉波尔查诺的工作，他指出了波尔查诺和卢卡谢维奇的概率理论中概念的相似之处。对历史的尊重也是卢卡谢维奇在逻辑史上开创性研究的动力，尤其是他对斯多噶命题逻辑和亚里士多德三段论的解释。
扬-卢卡谢维奇在表达清晰度方面效仿并且超越了特瓦多夫斯基。有资格的专家一致认为，无论他用哪种语言写作，扬-卢卡谢维奇的科学散文都具有无与伦比的清晰度和美感。
3. 早期工作
在第一次世界大战前的几年里，卢卡谢维奇主要从事科学方法论的研究。他的博士论文于 1903 年发表，题为《归纳作为演绎的逆过程》，研究了这两种推理形式之间的关系，参考了杰文斯、西格瓦特和埃德曼的研究成果。根据他早期的观点，归纳推理从个别经验陈述出发，试图得出一个可以赋予一定概率的一般结论。但他很快转变了观点，认为基于归纳无法给一般陈述赋予确定的概率。相反，经验科学的方法是创造性地假设某个概括是真实的，从而推导出个别结论，然后观察这些结论是否成立。如果一个结论不成立，那么这个一般陈述就被推翻了。这种早期形式的假设演绎科学方法比波普尔的思想提前了二十多年，尽管表达得不够有力。卢卡谢维奇还预见到了波普尔的观点，强调了他所称之为“科学中的创造性元素”，反对科学家的任务是重现或复制事实的观念。
1906 年，扬-卢卡谢维奇发表了一篇重要的论文《因果概念的分析与构建》，这篇论文使他在卢沃获得了教授资格。这篇论文在方法上经过了精心论证，预示了他后来要研究的主题。扬-卢卡谢维奇以柏拉图主义的观点将概念看作抽象对象，他拒绝了心理学、主观性和规律性解释因果关系的观点，并接受了因果关系与必然性的联系，他将必然性与逻辑必然性等同起来：“因果关系是一种必然关系，我们称某个对象为原因的相对特征是‘以必然性导致或引发’的特征。”这篇论文的座右铭是“拒绝心理学”，标志着他与特瓦尔多夫斯基和布伦塔诺的明确分野，而逻辑分析旨在提取因果概念的逻辑特征。这是后来被称为“分析哲学”的明确例子，显示了扬-卢卡谢维奇将逻辑概念应用于科学中心概念的能力，正如他后来对决定论进行逻辑分析所做的那样。
Łukasiewicz 在战前出版的两本专著之一《概率论的逻辑基础》背后隐藏着对概率的兴趣，这本书并非用波兰语写成和出版，而是用德语。1908 年和 1909 年，Łukasiewicz 访问了格拉茨，当时亚历修斯·迈农和恩斯特·马利也在这里研究概率论，因此很可能这本书是用德语写成的，因为他们的讨论语言是德语，而且为了确保更广泛的读者群体。Łukasiewicz 的理论从其他地方借用了一些思想：从弗雷格那里他借用了真值的概念，从怀特海德和罗素那里借用了不定命题的概念，从博尔扎诺那里借用了命题的真值与所有值的比率的概念。考虑经典的瓮中抽薪的例子，一个瓮中有 m 个黑球和 n 个白球。让不定命题“x 是这个瓮中的一个黑球”使变量“x”可以取任何命名瓮中球的表达式作为值：然后说变量在个体球上取值，并且命名同一个球的不同表达式具有相同的值。（注意，Łukasiewicz 确实使用了后来与奎因相关的术语，即变量取值，这里是表达式，并且范围是由这些表达式指定的对象。）如果一个不定命题对其变量的所有值产生真命题（Łukasiewicz 称之为“判断”），则该不定命题被认为是真的；如果它对所有值产生假判断，则被认为是假的；如果它对某些值产生真判断，对其他值产生假判断，则被认为既不真也不假。然后，Łukasiewicz 称真值与所有值的比率为不定命题的真值。对于真的不定命题，真值为 1；对于假的不定命题，真值为 0；对于其他不定命题，真值是介于 0 和 1 之间的有理数（有理数是因为只考虑有限的域）。 在我们的瓮案中，“x 是这个瓮中的黑球”这个不定命题的真值是 mm+n。
基于这一基础，扬-卢卡谢维奇发展了一个真值演算，可以处理逻辑复合命题、条件概率、概率独立性，并推导出贝叶斯定理。真值演算被用作概率的逻辑理论，帮助我们处理明确的现实：扬-卢卡谢维奇否认可以有客观或主观概率的理论。这个短小但卓越的作品中有两个思想值得强调，因为它们与扬-卢卡谢维奇后来的思想产生共鸣。首先，有一个命题的思想（在这种情况下是一个不定命题）既不是真的也不是假的；其次，与此相关的是，这样一个命题具有一个真值，它恰好介于 0（假）和 1（真）之间。扬-卢卡谢维奇的理论值得更加广为人知：它继续并扩展了博尔扎诺的早期思想，他的概率对应于后者命题的有效程度（关于可变组成部分）。它的主要缺点是它只适用于有限的领域。
在第一次世界大战前，扬-卢卡谢维奇发表的所有作品中，有一本最清楚地预示了他以后的关注点。这就是 1910 年的专著《亚里士多德的矛盾原理》。它标志着卢沃-华沙学派发展的一个关键转折点。对于扬-卢卡谢维奇来说，这代表着对传统亚里士多德逻辑假设的首次持续质疑。
扬-卢卡谢维奇介绍了他的专著项目，对矛盾原理（PC）的合法性进行了批判性调查，该原理在亚里士多德的不同表述中被赫格尔批评，并有机会在布尔到罗素的数理逻辑发展的背景下重新审视矛盾原理。扬-卢卡谢维奇在后赫格尔时期的“逻辑问题”讨论中的来源是乌贝尔韦格、特伦德伦堡和西格瓦特。更本地的背景可能是特瓦尔多夫斯基对真理的绝对和永恒性的解释。
扬-卢卡谢维奇在亚里士多德的矛盾原理中区分了三个不同的、非等价的版本：本体论版本、逻辑版本和心理学版本，如下所示：
本体论版本（OPC）：没有物体可以同时具有和不具有相同的属性。
逻辑学（LPC）：矛盾陈述不能同时为真。
心理学（PPC）：没有人能同时相信矛盾的事情。
扬-卢卡谢维奇批评亚里士多德，一方面声称无法证明 PC，另一方面试图进行间接或实用的“证明”。与传统部分一致，根据该传统，PC 不是逻辑的基石或基本原则，扬-卢卡谢维奇认为其地位不如其他一些逻辑命题稳固，并且其功能主要是作为实用规范。然而，在该书的附录中，他从其他假设中给出了一个版本的 PC 的形式推导。这表明 PC 只是其他逻辑定理之一，这样的说法在今天并不令人吃惊，但在当时却相当激进。在推导中使用的假设之一是双值原理的一个版本，即每个命题要么为真要么为假，没有既为真又为假的情况，因此 PC 的推导毕竟并不令人惊讶。
扬-卢卡谢维奇后来在专著中自称试图设计一种“非亚里士多德逻辑”，但承认自己并未成功，主要是因为在这个阶段他还没有准备好拒绝双值原则。当扬-卢卡谢维奇在附录中对库图拉的逻辑代数符号进行自然语言解释时，可能是迈农的影响在起作用。这里几乎没有迹象表明扬-卢卡谢维奇后来将其作为自己的命题逻辑：这些解释笨拙地以对象论为基础。例如，常量“0”本来可以自然地解释为一个恒假命题（在扬-卢卡谢维奇后来的工作中确实如此），但却被解释为“不存在的对象”。这是扬-卢卡谢维奇在 1910 年作品附录中形式工作相对古老的原因之一。虽然变量字母如 a、b 等“表示肯定的陈述”，它们的否定形式 a'、b'等“表示否定的陈述”，在实践中确实像命题变量及其否定一样工作，但扬-卢卡谢维奇对它们的解释却是奇怪的混合体：‘a’被解释为‘X 包含 a’，‘a'’被解释为‘X 不包含 a’，而‘1’表示‘X 是一个对象’，‘0’表示‘X 不是一个对象’。这一切非常混乱，并且并不是经典命题逻辑的意图，即使在实践中它的工作方式与经典命题逻辑相似。
虽然本身并不成功，但这本书显示了扬-卢卡谢维奇在他后来的逻辑突破的门槛上。1911 年，年轻的莱什涅夫斯基读了这本书，他试图反对扬-卢卡谢维奇来证明 OPC，并于 1912 年首次在扬-卢卡谢维奇的门前自我介绍，说：“我是莱什涅夫斯基，我来向您展示我写的一篇反对您的文章的证据。”这本书还包含了对罗素悖论的简要讨论，正是阅读这本书激发了莱什涅夫斯基成为一个逻辑学家，他致力于为数学提供一个无悖论的逻辑基础。这本书在卢沃引发了进一步的讨论：科塔尔宾斯基为亚里士多德的观点辩护，这个观点是由扬-卢卡谢维奇讨论的，即关于未来可能事件的陈述在事件发生之前可能缺乏真值，只有在事件发生后才能获得真值，而莱什涅夫斯基则反对这一观点，并使科塔尔宾斯基转向他自己的观点（与特瓦多夫斯基的早期观点和塔斯基的后期观点一致），即真理是永恒的和恒久的。扬-卢卡谢维奇很快就站在了早期的科塔尔宾斯基一边，并在这样做时做出了他最著名的发现，即多值逻辑。
4. 命题逻辑
4.1 命题逻辑的发现
扬-卢卡谢维奇在他们的工作以及弗雷格的工作中，最初称之为“演绎理论”的命题逻辑引起了他的兴趣。1921 年，扬-卢卡谢维奇发表了一篇名为《双值逻辑》的开创性文章，其中他汇集了关于逻辑代数中真和假这两个真值的结果。与弗雷格一样，扬-卢卡谢维奇将真和假解释为句子或命题所指代的内容，但与弗雷格不同的是，他引入了常量命题符号“1”和“0”。他打算将其作为三值逻辑专著的第一部分出版，但由于扬-卢卡谢维奇对这种已经过时的混合方法感到不满，该专著从未完成。这篇文章有几个创新之处。使用了库图拉和皮尔斯的符号体系，引入了公理拒绝的概念，与公理断言的概念并列，后者当然是弗雷格、怀特海德和罗素所熟悉的。常量“0”和“1”也出现在被断言和被拒绝的公式中，实际上建立了一个对象语言版本的真值表。为了展示这一点，我们使用了扬-卢卡谢维奇后来的无括号符号表示法（参见附加文档《扬-卢卡谢维奇的无括号或波兰符号表示法》）以及他的符号“⊢”表示断言和“⊣”表示拒绝，分别读作“我断言”和“我拒绝”。逻辑的第一原则简单地是 ⊢1 和 ⊣0，但为了表示蕴涵的制表，必须遵守以下原则：⊢C00，⊢C01，⊣C10，⊢C11。当扬-卢卡谢维奇使用命题变量时，他以皮尔斯的方式对其进行量化，使用“Π”表示全称量词，使用“Σ”表示特称量词。
扬-卢卡谢维奇和他的学生们非常深入地研究了命题演算：1920 年至 1930 年间取得的结果发表在 1930 年的一篇扬-卢卡谢维奇和塔斯基的联合论文《关于命题演算的研究》中。对经典（二值）和多值演算进行了进一步的研究。扬-卢卡谢维奇在他成熟期对待经典命题演算的最清晰、最完整的展示出现在他 1929 年的学生教材《数理逻辑要素》中，该教材基于讲座笔记。该系统基于 Frege 的思想，仅使用蕴涵（C）和否定（N），并具有优雅的公理集合。
CCpqCCqrCprCCNpppCpCNpq
还有三条推理规则：假言三段论、命题变量的统一替换规则和定义替换规则。在此基础上，扬-卢卡谢维奇使用极其紧凑的线性符号表示法进行证明，这与 Frege 的占用空间的证明形成鲜明对比。在仅 19 页的篇幅中，扬-卢卡谢维奇证明了大约 140 个定理。
扬-卢卡谢维奇，在学生和同事的帮助下，不仅与塔尔斯基一起，还与阿道夫·林登鲍姆、耶尔齐·斯鲁佩茨基、博莱斯瓦夫·索博钦斯基、莫德哈伊·瓦伊斯伯格等人一起，研究了完全（功能完备的）命题演算，其中包括不同的基本连接词集合，包括 Sheffer 函子 D，以及部分演算，特别是纯蕴涵演算（仅基于 C）和纯等值演算（仅基于 E）。他们努力寻找满足一些规范标准的公理集合：公理应尽可能少，尽可能短，独立，原语尽可能少。毫无疑问，在寻找更好的公理系统方面存在竞争因素，特别是在试图为各种系统找到单一公理的尝试中，这种练习被视为一种简单的“运动”，甚至被轻视，但波兰人对改进公理系统的关注是对逻辑完美的追求，是扬·沃伦斯基所称的“为逻辑而逻辑”。曾经有一段时间，人们认为只有波兰人才能竞争。当塔尔斯基曾经向美国逻辑学家埃米尔·波斯特祝贺他成为唯一一个对命题逻辑做出基本贡献的非波兰人时，波斯特回答说他出生在奥古斯托夫，他的母亲来自比亚韦斯托克。后来，卢卡谢维奇在爱尔兰数学家卡鲁·梅雷迪思身上找到了一个有价值的非波兰人，他在公理的简洁性方面甚至能够超越波兰人（参见梅雷迪思 1953 年）。
扬-卢卡谢维奇使用多值矩阵来建立在弗雷格、罗素等系统中逻辑公理的独立性。他证明了完备的全、蕴涵和等值演算，并证明了等值演算可以基于单一公理 EEpqErqEpr，通过等价的替换和推理，进一步表明没有更短的公理可以成为该系统的唯一公理。塔斯基在 1925 年证明了纯蕴涵演算可以基于单一公理，但是瓦伊斯伯格和卢卡谢维奇的一系列改进导致后者在 1936 年发现了公式 CCCpqrCCrpCsp 可以作为单一公理，并且没有更短的公理可以满足要求，尽管这一结果的发表要等到 1948 年。
4.2 变量命题函数
标准命题演算既不使用量词，也不使用变量函数，即一元或多元的函数，接受命题参数，但与常量函数 N 或 C 不同，它们没有固定的含义。这样的变量函数类似于一阶谓词逻辑中的谓词，只是接受的是命题而不是名词参数。因此，它们增加了逻辑的表达能力。莱什涅夫斯基在命题逻辑中添加了量词和绑定的命题和函数变量，并将得到的理论称为原型逻辑。省略前缀的全称量词，原型逻辑的一个论题是
CEpqCδpδq
其中 δ 是一个一元命题函子，与否定或必然性具有相同的句法稳定性。这个论题是命题表达式的外延性法则的表达。如果将 p 和 q 替换为复杂表达式 x 和 y，则可以使用这个论题以使定义能够以蕴涵形式 Cδxδy 给出。
如果将 δ 替换为复杂表达式的第一部分，例如 Cq 或 CCq0，则简单地添加一个变量，例如 p，以给出 Cqp，CCq0p 是直接的。但是，如果变量应该插入的“间隙”不在末尾，例如 Cpq，或者如果变量应该插入多次，例如 CCp0p，则这个简单的替换过程将无法工作。勒什涅夫斯基通过引入辅助定义来解决这个问题，这些辅助定义将所需的变量插槽调整到正确的位置，只有一个出现。但是卢卡谢维奇发现这个过程不直观且浪费。他的偏好——实际上反映了弗雷格的做法——是允许任何一个单个命题变量自由地用作类似 δ 的函子的替代物，并用撇号标记 δ 的参数应插入的位置，因此在我们的例子中是 C’q，CC’0’。这种更自由的“带撇号的替代”允许以令人满意的简单蕴涵形式给出定义。例如，在基于蕴涵和命题常量 0 的命题演算中，否定可以简单地通过 CδNpδCp0 来定义。使用自由替代的变量函子使得命题逻辑的许多原理能够以惊人的压缩和优雅的形式给出，例如双值原理的形式。
Cδ0CδC00δp
可以理解为“如果某个命题对一个假命题成立，那么如果它对一个真命题成立，它对任何命题都成立”（C00 是一个真命题）。使用变量函子进行压缩的最高成就是由 Meredith 完成的，他展示了（如 Łukasiewicz 引用的一篇显然未发表的论文所述），整个经典命题逻辑与变量函子可以基于单一公理
CδpCδNpδq.
更令人惊讶的是，Meredith（1951）表明，使用替换、分离和量词规则，可以从单一的公理公式 Cδδ0δp 中推导出具有量词和变量函子的二值命题演算的全部内容。
Cδδ0δp。
扬-卢卡谢维奇赞赏地将这一壮举描述为“演绎艺术的杰作”。
4.3 直觉逻辑
扬-卢卡谢维奇对直觉逻辑很感兴趣，尤其是因为它像他自己的逻辑一样，拒绝了排中律。在 1952 年发表的一篇晚期文章中，他给出了一个优雅的公理化方法，使用字母 F、T 和 O 来表示直觉主义的蕴涵、合取和析取连接词，以避免由于连接词的“竞争”而引起的冲突，尽管有趣的是，他保留了两个系统中的通常否定。然后，他展示了如何将经典蕴涵定义为 NTpNq，并使用变量函子作为蕴涵来表述这个定义。
FδNTpNqδCpq
并证明在这个版本中，基于 C 和 N 的经典二值逻辑包含在直觉主义逻辑中，前提是仅将推理限制在 C-N 公式中。经典的合取和析取可以按照通常的方式定义为 NCpNq 和 CNpq。通过区分直觉主义和经典的连接词，他的观点颠覆了通常的观点，即直觉主义命题演算比经典命题演算的定理更少：在卢卡谢维奇的表述中，情况正好相反。
5. 多值逻辑
5.1 可能性和第三个值
扬-卢卡谢维奇最著名的成就是他对多值逻辑的发展。这一革命性的发展发生在讨论可能性的背景下。对于习惯于将模态逻辑嫁接到经典二值逻辑上的现代逻辑学家来说，这可能看起来很奇怪。但让我们考虑一下扬-卢卡谢维奇是如何得出这个想法的。如果 p 是任何命题，让 Lp 表示 p 是必然的，Mp 表示 p 是可能的。这两个模态运算符由通常的等价关系 ENLpMNp 连接。每个人都接受蕴涵关系 CLpp 和 CpMp。扬-卢卡谢维奇假设人们也接受逆向蕴涵关系 CpLp 和 CMpp，就像从确定性的角度来看一样。这给出了 EpLp 和 EpMp 的等价关系，有效地消除了模态区别。现在加入这样一个观念，即可能性是双面的：如果某事物是可能的，那么它的否定也是可能的：EMpMNp。由此立即得出 EpNp，这在二值逻辑中是矛盾的。扬-卢卡谢维奇所描述的解决方法是通过找到一个使 EpNp 为真的情况，而不是通过拒绝上述任何原则来取消模态区别。我们考虑命题 Mp 在 p 既非真也非假时为真的情况。除了真（1）和假（0）这两个真值之外，还允许第三个值，可能，我们将其写为‘12’，因此当 p 既非真也非假时，它是可能的，它的否定 Np 也是可能的，因为如果 Np 为真，p 就是假，反之亦然。如果 Epq 在 p 和 q 具有相同真值时为真，那么当 p 是可能的（我们用‘|p|’表示 p 的真值，所以|p|=12）时，我们有
|EpNp|=|E1212|=1
这是扬-卢卡谢维奇在他首次发表的题为《关于可能性概念》的论文中引入第三个值的方式，只是稍作修改。这篇简短的论文基于 1920 年 6 月 5 日在卢沃举行的一次演讲。两周后，在同一地点进行的第二次演讲更明确地题为《关于三值逻辑》。在这篇论文中，扬-卢卡谢维奇阐述了涉及第三个值的蕴涵和等价的原则。这实际上确定了这些联结词的真值表 [2]：
C | 1 | ½ | 0 |
1 | 1 | ½ | 0 |
½ | 1 | 1 | ½ |
0 | 1 | 1 | 1 |
E | 1 | ½ | 0 |
1 | 1 | ½ | 0 |
½ | ½ | 1 | ½ |
0 | 0 | ½ | 1 |
连同否定、合取和析取的假设定义，分别为
Np=Cp0Apq=CCpqqKpq=NANpNq
这为这些连接词产生了真值表
N | |
1 | 0 |
½ | ½ |
0 | 1 |
A | 1 | ½ | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
½ | 1 | ½ | ½ |
0 | 1 | ½ | 0 |
K | 1 | ½ | 0 |
1 | 1 | ½ | 0 |
½ | ½ | ½ | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
扬-卢卡谢维奇自豪地宣称：“三值逻辑首先具有理论意义，作为创造非亚里士多德逻辑的第一次尝试”（PL，18; SW，88）。他认为它的实际意义有待观察，为此我们需要“将新逻辑的形而上学基础的不确定性观点的后果与经验进行比较”（同上）。
5.2 不确定性和第三个值
这个最后的备注揭示了扬-卢卡谢维奇替换旧的二值逻辑为新的三值逻辑的动机。这是为了捍卫不确定性和自由。实际上，这个想法在三年前就已经成熟了。1918 年，扬-卢卡谢维奇被任命为教育部的一个行政职位，并即将离开学术生活，时间不确定。他在 3 月 17 日向华沙大学发表了一次“告别演讲”，戏剧性地宣布：“我已经对限制人类自由创造活动的所有强制行为宣战。”在扬-卢卡谢维奇看来，这种强制行为的逻辑形式是亚里士多德逻辑，它将命题限制为真或假。他在这场战争中的武器是三值逻辑。回顾他 1910 年的专著，他指出：
即使在那时，我也努力构建非亚里士多德逻辑，但是徒劳无功。现在我相信我已经成功了。我的道路是由悖论指示的，这些悖论证明了亚里士多德逻辑存在一个漏洞。填补这个漏洞导致我对传统逻辑原则的转变。对这个问题的研究是我最后几堂课的主题。我已经证明除了真和假命题之外，还有可能命题，它们与客观可能性相对应，作为存在和不存在之外的第三个。这导致了一个三值逻辑系统，我在去年夏天详细研究了这个系统。这个系统与亚里士多德逻辑一样连贯和自洽，并且在法则和公式方面更加丰富。这种新逻辑通过引入客观可能性的概念，破坏了以必然性为基础的旧科学概念。可能的现象没有原因，尽管它们本身可以成为因果序列的开始。一个创造性个体的行为既可以是自由的，同时也可以影响世界的进程。（SW，86）
因为扬-卢卡谢维奇一直参与政府工作，直到 1919 年结束，所以直到 1920 年他在 1917 年的发现才被广大学术界公开。扬-卢卡谢维奇于 1922 年 10 月 16 日担任华沙大学校长时，重新探讨了决定论问题。这次演讲没有笔记，但后来被记录下来，并在 1946 年之前进行了修订，尽管基本内容没有改变。这篇演讲直到 1961 年才以《论决定论》的形式在他去世后发表。扬-卢卡谢维奇区分了逻辑决定论和因果决定论，他声称，如果对未来的某个不确定事件（如一次行动）的预测在预测时是真实的，那么这个事件必然会发生，所以拯救行动者的行动自由的唯一方法就是否认预测的真实性，而将其归为可能性的第三个真值。
这里不是讨论扬-卢卡谢维奇论证问题的地方。只需说一下，EpLp 原则并不需要被决定论者接受，而其他考虑将逻辑添加第三个值的逻辑学家，如（扬-卢卡谢维奇所不知道的）奥卡姆的威廉，得出结论：没有理由拒绝双值性，同时坚持自由。这还没有考虑到兼容主义观点。
5.3 超过三个值
一旦双值性被打破，自然的下一步是考虑具有超过三个值的逻辑。1922 年，卢卡谢维奇指出了如何在具有有限或无限多个真值的系统中为标准联结词提供真值表，根据以下原则，其中真值是区间 [0,1] 中的数字：
|Cpq|={1，如果|p|≤|q|(1−|p|)+|q|，如果|p|>|q||Np|=1−|p|
在提出具有无限多个值的逻辑时，卢卡谢维奇因此成为了后来（确切地说是 43 年后）被称为“模糊逻辑”的发明者。卢卡谢维奇在 1930 年对这些系统进行评论时写道：
从一开始，对我来说很明显，在众多的多值系统中，只有两个可以声称具有哲学意义：三值系统和无穷值系统。因为如果将“0”和“1”以外的值解释为“可能性”，只有两种情况可以合理地区分：要么假设可能性的程度没有变化，从而得出三值系统；要么假设相反，这种情况下最自然的假设是，像概率论中那样，可能性有无限多个程度，这导致了无穷值命题演算。我相信后者比其他系统更可取。不幸的是，这个系统还没有得到足够的研究；特别是无穷值系统与概率演算之间的关系还需要进一步探究。（SW，173）
我们将在下面讨论这种哲学态度。
5.4 公理和定义
一旦建立了真值表或矩阵方法来处理多值逻辑，自然而然地考虑到它们的公理化。扬-卢卡谢维奇的学生在此方面提供了帮助。1931 年，瓦伊斯伯格通过以下论题对三值系统 Ł3 进行了公理化：
CpCqpCCpqCCqrCprCCNpNqCqpCCCpNppp
瓦伊斯伯格还证明了扬-卢卡谢维奇的一个猜想，即可数无穷值系统 Łℵ0 可以通过以下方式进行公理化：
CpCqpCCpqCCqrCprCCCpqqCCqppCCCpqCqpCqpCCNpNqCqp
这些系统中没有一个是功能完备的：基于 C 和 N 的定义中存在无法定义的连接词。其中可定义的是可能性 M：早在 1921 年，塔斯基就证明它可以定义为 CNpp。1936 年，斯鲁佩茨基通过添加一个可指定为|Tp|=12 的函数 T，可以在扬-卢卡谢维奇的 L3 中定义所有的连接词。为了公理化这些功能完备的系统，公式如下：
CTpNTpCNTpTp
必须添加到 Wajsberg 的公理中。
Adolf Lindenbaum 证明了如果且仅当 n−1 是 m−1 的除数时，Łn 包含在 Łm（n<m）中，因此如果两者都不相互除，则它们各自的重言式会适当地重叠，但没有一个集合包含另一个集合。无穷值系统 Łℵ0 的重言式包含在所有有限值系统的重言式中。
5.5 关于模态性的再思考：Ł 系统
从 1917 年开始，扬-卢卡谢维奇对三值逻辑感到满意，因为它能够形成充分的模态概念，而且他更倾向于无穷值系统，因为它更加精确。大约在 1951-1952 年间，当他在研究亚里士多德的模态逻辑时，扬-卢卡谢维奇改变了他的想法。改变想法的原因有很多，但最容易辨认的是扬-卢卡谢维奇担心在 Ł3 中存在形如 Lα 的定理，例如 LCpp。为什么这会成为一个问题呢？因为大多数“标准”模态逻辑都承认这样一个原则：如果 α 是一个定理，那么 Lα 也是一个定理。扬-卢卡谢维奇举了两个例子来证明这个担忧。如果=ab 是命题 a 与 b 相等，那么基于自恒等性和外延性的两个公理，我们有：
=aaC=abCϕaϕb
然后将 L=a'实例化为 ϕ，得到
C=abCL=aaL=ab
如果我们接受 L=aa，我们就被迫得出 L=ab 的结论，而扬-卢卡谢维奇认为这是错误的（SW 392，AS 171），引用奎因（1953）的例子（现在已过时，因为数字已经改变），虽然 9 = 行星的数量是真实的，但这不一定是真实的，尽管必然 9 = 9。同样地，我们有
CMN=abN=ab
也就是说，如果 MN=ab，那么 N=ab。但是假设 a 被替换为“这次掷骰子的点数”，b 被替换为“下次掷骰子的点数”，前提可以是真的，而结论可以是假的。
在 Quine、Kripke 和其他人对这些例子进行了大量讨论之后，这些例子已经不再令人信服，但是还有另一个更一般的原因，扬-卢卡谢维奇拒绝将必然性视为定理：
通常认为，必然性命题比相应的断言命题更具尊严和可靠性。对我来说，这个结论并不明显。[...] 我倾向于认为，所有接受断言必然性命题的模态逻辑系统都是错误的。（SW 395-6）。
由于 LCpp 是迄今为止所有多值逻辑系统的定理，扬-卢卡谢维奇需要提出一些新的东西。他在 1953 年的论文《一种模态逻辑系统》中做到了这一点。
卢卡谢维奇在论文中首先阐述了模态逻辑需要满足的条件。这些条件包括公理的拒绝以及断言，如下所示：
⊢CpMp⊣CMpp⊣Mp⊢CLpp⊣CpLp⊣NLp⊢EMpNLNp⊢ELpNMNp
为了获得一个尊重命题函子外延性的模态逻辑系统，扬-卢卡谢维奇采用了梅雷迪思的 C-N-δ 命题演算公理
⊢CδpCδNpδq
并添加了一个额外的公理断言和两个公理拒绝
⊢CpMp⊣CMpp⊣Mp
与断言和拒绝的替换和推断规则一起，以获得他的逻辑。断言的原则与通常相同，而拒绝的原则是：
⊣ 替换：任何具有被拒绝的替换实例的公式都被拒绝。
⊣ 分离：如果 Cab 被断言且 b 被拒绝，则 a 被拒绝。
从这些中，他可以推导出所有所需的原则和外延性。
这是扬-卢卡谢维奇的逻辑。与标准模态逻辑不同，它具有有限的特征矩阵，如下所示，其中我们现在用一个新符号 Δ 替换'M'，其中 1 是指定（真）值，4 是反指定（假）值：
| C | 1 | 2 | 3 | 4 | N | Δ |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 1 |
2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 1 |
3 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 |
4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
矩阵在 1961 年被 Smiley 证明具有特征性。必要性函子(Γ)和合取可以以标准方式定义。更有趣的是，卢卡谢维奇指出还有另一种可能性运算符 ∇，其真值表如下所示：
| K | 1 | 2 | 3 | 4 | Γ | ∇ |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 1 |
2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 2 | 2 |
3 | 3 | 4 | 3 | 4 | 4 | 1 |
4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 2 |
单独看，这与 Δ 无法区分，但两个运算符在一起的相互作用不同，因为 ⊣ΔΔp 和 ⊣∇∇p，都 ⊢Δ∇p 和 ⊢∇Δp。卢卡谢维奇将它们比作孪生兄弟，单独无法区分，但在一起可以区分。类似的孪生兄弟还有必要性运算符 Γ 及其对应的运算符（取值为 3434），以及两个中间真值 2 和 3。
这个逻辑与卢卡谢维奇早期的多值逻辑系统和其他模态系统非常不同。它与他自己的系统不同之处在于它是经典二值逻辑的扩展，包括所有二值重言式。当我们注意到标准联结词的四值矩阵只是标准二值矩阵与自身的笛卡尔积时，这就不那么令人惊讶了。而模态运算符则产生了差异。几个特点使其与标准模态系统非常不同。其中一个特点是完全缺乏任何形式为 Γa 的真值，符合卢卡谢维奇对“更高尊严”的真值的拒绝。其他奇怪的定理有：
⊢CKΔpΔqΔKpq 所有可能的命题都是可共存的
⊢CEpqCΔpΔq 如果一个命题和它的否定都是可能的，那么任何事情都是可能的
⊢CΔpCΔNpΔq 如果一个命题和它的否定都是可能的，那么任何事情都是可能的
扬-卢卡谢维奇意识到这些奇怪的后果，但仍然坚持他的系统。尽管有许多试图理解这个系统的尝试，但通常认为，由于这些奇点，它实际上并不是一个模态逻辑系统。如果有一个主要的原因，那就是扬-卢卡谢维奇坚持外延性原则（真值功能性），即使对于模态运算符也是如此，这迫使他对模态性的解释首先变得多值化。
6. 逻辑的历史
6.1 斯多噶派命题逻辑
扬-卢卡谢维奇的第三个重要成就，除了他对多值逻辑和命题逻辑的研究外，还包括他在逻辑史上的工作。事实上，他可以被认为是现代逻辑史研究方法的奠基人，这种方法是从现代形式逻辑的角度进行的，正如他在关于亚里士多德三段论的书中所述的副标题：“从现代形式逻辑的角度来看”。我们看到，他早期关于亚里士多德矛盾原理的著作在自身的目标上相对不成功，尽管它展示了他深入研究古希腊文本的能力。
扬-卢卡谢维奇作为逻辑学史学家的发展中的一个决定性事件是他对古代斯多葛派逻辑的发现。据说他正在研究一篇关于斯多葛派的论文，并为此阅读了原始文献。他随后发现，斯多葛派逻辑与当时普遍观点（由普兰特尔、泽勒等人提出）相反，并不是一种被删节和有缺陷的亚里士多德三段论，而是一种早期的命题逻辑。例如，第一个斯多葛派不可证明命题“如果第一个，则第二个；但第一个，因此第二个”就是条件“如果”的假言演绎或分离，而变量不是用字母表示，而是用序数表示，是命题变量，而不是术语变量。他首次在 1923 年的卢沃会议上提出了这个观点，现在当然已经成为标准。1934 年的《命题逻辑史》是一篇精彩的小品，涵盖了从斯多葛派到关于条件的古代争论，彼得鲁斯·西班牙人和奥克汉姆对德摩根定律的看法，中世纪的后果理论，以及弗雷格和现代命题演算的巅峰。对斯多葛派逻辑成就的现代赞赏始于卢卡谢维奇的阐明和他对斯多葛派（尤其是克里西普）的赞扬。卢卡谢维奇认识到普兰特尔没有了解到后弗雷格逻辑的好处，尽管普兰特尔错误地对斯多葛派逻辑的“愚蠢”进行了驳斥，但至少提供了有用的来源。然而，卢卡谢维奇对过去的逻辑学史学家的评价是严厉的：
逻辑学史必须由一位对现代数学逻辑有透彻掌握的历史学家重新撰写。尽管普兰特尔的工作在编译来源和材料方面是有价值的，但从逻辑学的角度来看，它几乎毫无价值 [...] 如今，仅仅成为一位哲学家是不足以发表对逻辑的意见的。（SW，198）
6.2 亚里士多德
在 1929 年的扬-卢卡谢维奇的逻辑教科书中，他在处理命题演算后，并没有像现在一样继续阐述谓词逻辑，而是简要地解释了亚里士多德的范畴（非模态）三段论，预设了十二个命题演算的定理。这预示了他在 1951 年出版的《亚里士多德的三段论》这本书，提前了 22 年。这本书彻底改变了对亚里士多德逻辑的研究，它的创作经历了漫长而中断的过程。1939 年在克拉科夫举行的一次关于这个主题的讲座，直到 1946 年才以波兰语出版。1939 年，卢卡谢维奇准备了一本波兰语专著，但部分证明和手稿在华沙轰炸中被摧毁。1949 年，他受邀在都柏林大学学院讲授亚里士多德的三段论，这些讲座成为了这本书的基础，于 1950 年完成并在次年出版，这是他的第一本英文著作。第一版只涉及范畴三段论。在他去世前不到一年的 1955 年，卢卡谢维奇为第二版增加了三个关于模态三段论的章节，使用了他在此期间发展的模态逻辑 Ł。第二版由莱耶夫斯基校对和编索引，并于 1957 年出版。
扬-卢卡谢维奇对亚里士多德的三段论的理解基于两个具体的解释原则和一种普遍的态度。第一个原则是亚里士多德的三段论不是传统上所认为的推理模式，形式为“p，q，因此 r”，而是条件命题的形式，“如果 p 和 q，则 r”。这直接导致了第二个原则，即在术语逻辑的三段论处理背后存在着更深层次的命题逻辑，特别是对立逻辑的逻辑，“和”和“如果”，以及（在情态三段论中）“必然”和“可能”。卢卡谢维奇认为亚里士多德偶尔会引用这个命题基础，例如在间接证明的处理中，但在大部分情况下将其视为默认的，并因此认为批评亚里士多德（不像斯多亚派）没有明确阐述基础命题逻辑是合理的。卢卡谢维奇的尖锐而有争议的观点引发了关于如何解释三段论的争议。尽管这些原则在帕齐格（1968 年）中得到了早期的支持者，但科科兰（1972 年，1974 年）和独立的斯迈利（1974 年）随后的批评清楚地表明，三段论不是命题而是推理，并且亚里士多德不需要先验的命题逻辑。这个观点现在在亚里士多德逻辑的学者中是普遍接受的。回顾起来，似乎卢卡谢维奇渴望将他自己（弗雷格式）对逻辑的观点视为基于命题逻辑的定理系统强加给亚里士多德。
扬-卢卡谢维奇在整个论述中表现出的一种普遍态度是，亚里士多德的著作具有足够的精确性和地位，值得并能够经受最严格的现代逻辑方法和概念的阐述。换句话说，现代逻辑的发展虽然可能凸显出亚里士多德逻辑的缺陷和不足，但实际上更清晰地展现了它的优点、创新和天才，比以往的传统或语言学研究更加明显。扬-卢卡谢维奇的态度已经占据主导地位，并且现在在研究亚里士多德逻辑的人中普遍存在，无论他们是否同意他的具体解释原则。
在对亚里士多德的三段论处理的基础知识进行阐述之后，扬-卢卡谢维奇批评了早期评论家，并指出亚里士多德创造了被拒绝形式的方法，不仅是为了展示哪些是有效的三段论，还为了证明无效的形式是无效的。然后，扬-卢卡谢维奇提出了他对范畴三段论的形式化，基于以下逻辑表达式：
| Expression | Meaning |
|---|---|
Aab | 所有的 a 都是 b（或 b 属于所有的 a） |
Eab | 没有 a 是 b（或 b 不属于任何 a） |
Iab | 一些 a 是 b（或 b 属于一些 a） |
Oab | 一些 a 不是 b（或 b 不属于一些 a） |
将 A 和 I 作为原始的定义，E=NI 和 O=NA，这些公理添加到命题演算中，
| ⊢Aaa | |
|---|---|
⊢Iaa | |
⊢CKAbcAabAac | （在第一图中的 Barbara） |
⊢CKAbcIbaIac | （在第二图中的 Datisi） |
随附着 modus ponens 和对术语变量的替换规则。事实上，这实际上是扬-卢卡谢维奇在他 1929 年的教科书中提出的系统。正如第二个公理所示，扬-卢卡谢维奇在这里遵循亚里士多德的假设，即所有术语都表示。可以添加被拒绝的形式：扬-卢卡谢维奇从第二个图中给出
⊣CKAcbAabIacand⊣CKEcbEabIAc
这与分离和替换拒绝一起提供了亚里士多德的所有 232 个被拒绝的情绪。扬-卢卡谢维奇对亚里士多德的范畴演绎的评价是，尽管其狭窄性，它是“一个精确性甚至超过数学理论精确性的系统，这是它永恒的优点。”（AS，131）
另一方面，根据扬-卢卡谢维奇的说法，模态三段论的研究很少，这既是因为它远远低于范畴的完美标准，也是因为缺乏一个“普遍可接受的模态逻辑系统”，而扬-卢卡谢维奇现在认为自己已经提供了这个系统。扬-卢卡谢维奇自己的处理还不够明确，尽管它为后来的研究提供了材料，但我们在这里不会追究它。有趣的是，在亚里士多德在《先验分析》第一卷第 15 章中试图建立这些命题时，
CCpqCLpLqCCpqCMpMq
扬-卢卡谢维奇认为，亚里士多德在《先验分析》第一卷第 15 章中试图建立这些命题时，为模态运算符和范畴运算符的外延性原则提供了支持。
7. 哲学立场
在他早期的哲学中，扬-卢卡谢维奇采取的最重要和有影响力的立场是他在逻辑中的反心理主义。这受到了弗雷格、胡塞尔和罗素的影响。在术语上，这体现在扬-卢卡谢维奇用术语 "zdanie"（句子）取代了特瓦多夫斯基使用的传统术语 "sąd"（判断）。这种观念和术语的改变被随后的波兰逻辑学家们广泛采纳。1920 年之后，扬-卢卡谢维奇在关于哲学和哲学问题方面的陈述非常保守。我们已经注意到他对不确定性的坚定承诺。他主要的评论和愤怒都是针对那些批评数理逻辑（或当时所称的逻辑学）在哲学和思想中的地位的人。他指出了瓦尔维斯洛夫-华沙学派和维也纳学派在方法和风格上的某些趋同之处，但批评了后者的习俗主义和对一切形而上学的拒绝，以及他们试图将实质性问题转化为语言问题的尝试。尽管逻辑具有抽象性，但它与现实世界的联系并不比其他科学更为疏离。它受到世界各个方面的限制。他坚信决定论是错误的，这促使他拒绝双值逻辑。在保持逻辑的形而上学中立性的同时，他在 1930 年代后期承认，虽然他以前是名义主义者，但现在是柏拉图主义者。这种信念的根源在他 1937 年的辩论文章《为逻辑辩护》的结尾中被说明了。
每当我处理最微不足道的逻辑问题时，例如当我寻找命题演算的最短公理时，我总是有一种感觉，仿佛我面对着一个强大、最一致和最抵抗的结构。我感觉这个结构就像一个具体的、有形的物体，由最坚硬的金属制成，比钢铁和混凝土强百倍。我无法改变它的任何部分；我不是凭借自己的意愿创造任何东西，而是通过艰苦的工作在其中发现新的细节，并得出不可动摇和永恒的真理。（SW，249）
很少有人以如此雄辩的方式表达了柏拉图主义的动机。
在逻辑哲学中，卢卡谢维奇的一个最根深蒂固的信念之一，与华沙学派的其他逻辑学家一样，是逻辑必须是外延的，它研究的是演算而不是语言意义或心理判断，而是真值，无论是仅仅是经典的两个还是更多。他的观点是句子表示真值，逻辑是这种逻辑值的科学，而不是句子（这是语法）或判断（这是心理学），或由命题表达的内容，或一般对象（本体论）。他没有为这个立场提供理由，而是简单地接受和假设它。正如我们所见，这对他对模态逻辑的处理产生了深远的影响，迫使它成为多值逻辑。
除了从特瓦多夫斯基那里得出的对科学哲学化的一般态度之外，还有一个可以确定的来源，即扬-卢卡谢维奇关于逻辑的一些哲学立场，或者至少是一种共同信念的观点。其中之一是拒绝存在一种高于普通真理的“超真理”。这在 Ł 的模态逻辑中尤为明显。另一个是他喜欢介于真（1）和假（0）之间的可能性程度，与非量化的第三种可能性（或在 Ł 的双重第三种情况）形成对比。在迈农 1915 年的大部著作《关于可能性和概率》中，可以找到完全相似的两种可能性的区别，即“不可增加”的无程度可能性和“可增加”的无限程度可能性。与卢卡谢维奇一样，迈农并不赋予命题比真理更高的必然性尊严，尽管他拥有哲学界最丰富的本体论，但迈农的客体理论中缺乏被描述为必然的对象：他从不提及上帝，而理想对象如数学中的数字被他认为是存在而非必然存在。或许不是偶然的是，在访问格拉茨后返回卢沃夫的 1910 年，卢卡谢维奇谈到了排中律，并得出结论，排中律与矛盾原理一样，并非基础性原理，而是具有实践而非逻辑意义。他猜测它在像普通三角形这样的普遍对象上失效，普通三角形既不是等边三角形也不是非等边三角形。迈农接受了这样的对象，他称之为“不完全”，实际上是从卢卡谢维奇的老师特瓦多夫斯基那里采纳了这个想法。卢卡谢维奇还将该原理应用于真实对象视为“与现象的普遍决定论有关，不仅涉及现在和过去的现象，还涉及未来的现象。” 如果有人否认所有未来现象在各个方面上都已经在今天被预定，那么他可能无法接受所讨论的原则。”三值逻辑的种子在 1910 年已经开始发芽，此后访问格拉茨后。
迈农使用可增加可能性的多个值来解释概率。而卢卡谢维奇在他 1913 年的专著中的程序是基于不同的思想，他继续被吸引着认为无穷值逻辑可能能够阐明概率。最迟到 1935 年，随着塔斯基发表了一篇关于概率和多值逻辑的短文，他知道最直接的方法，即将概率与 0 到 1 之间的真值进行等同，是行不通的。原因是由于概率的依赖性，概率不是外延的：如果 p 是明天都柏林会下雨的命题，Np 是其否定，那么矛盾的合取 KpNp 的概率是 0，但如果 p 的真值程度为 12，那么 Np 也是如此，所以在 Ł3 和 Łℵ0 中，|KpNp|=12。尽管如此，直到 1955 年，卢卡谢维奇仍然可以思考，
我一直认为只有两个模态系统对哲学和科学有可能的重要性：最简单的模态系统，其中可能性被认为没有任何程度，即我们的四值模态系统，以及存在无限多个可能性程度的 ℵ0 值系统。进一步研究这个问题将是有趣的，因为我们可能在这里找到模态逻辑和概率理论之间的联系。（AS，180）
8. 遗产
扬-卢卡谢维奇曾经有些自负地宣称，多值逻辑的发现可与非欧几何学相媲美（SW 176）。无论其意义如何，扬-卢卡谢维奇对这种逻辑的期望并未如他所预期的那样实现。多值逻辑的语义学和纯数学蓬勃发展，导致了 MV-代数的发展，用于解释扬-卢卡谢维奇逻辑的代数语义学。无穷值逻辑或模糊逻辑有其自己的数学，捷克数理逻辑学家彼得·哈耶克是其主要开发者之一，他的工作受到了扬-卢卡谢维奇的影响。模糊逻辑在许多实际应用中被发现，用于处理模糊性、不精确性或缺乏知识，无论它们是相同的还是不同的。但是，扬-卢卡谢维奇在模态分析中对多值性的支持几乎被普遍拒绝，模态逻辑不可避免地走向了其他路径，主要是双值的、非外延的路径。他的最后逻辑 Ł 一直没有达成共识的解释，被视为最好的情况下是一种奇特现象，最坏的情况下是一条死胡同。
扬-卢卡谢维奇及其学生在命题演算的逻辑和元逻辑方面所取得的杰出成就，以及波兰特色的越来越简短的公理等，现在已经属于过去英勇时代的逻辑学。它的成果确实只有在自动定理证明器方面偶尔被超越。另一方面，对逻辑语义学的强调，尽管扬-卢卡谢维奇广泛使用真值，但已经将兴趣转移到了公理的技巧上。
在逻辑学的历史中，扬-卢卡谢维奇的开创性研究为过去和现在之间开辟了一种新的、更富有成果的互动方式。在现代形式逻辑的光芒下，对逻辑学过去的人物进行重新发现和新的赞赏的工作至今仍在继续，尽管扬-卢卡谢维奇对如何处理亚里士多德或斯多嘉学派的观点并未经受住时间的考验。他的工作还激发了克拉科夫天主教传统中的逻辑学历史学家，尤其是扬·萨拉穆查和约瑟夫·博克涅斯基，他们运用现代方法研究哲学史上的逻辑问题和论证。
在华沙学派的鼎盛时期，1920 年至 1939 年，卢卡谢维奇在教育下一代逻辑研究者方面发挥了关键作用，并用方法、结果和问题激发了他们的灵感。即使是他随手提出的练习题也改变了逻辑学，例如他在 1929 年建议形式化证明过程的非正式程序，导致了斯坦尼斯瓦夫·亚什科夫斯基于 1934 年提出的自然演绎系统，基本上是今天主要教给学生的逻辑方式。战争无可挽回地中断了他们的工作。卢卡谢维奇的几位最优秀的学生是犹太人，他们在纳粹集中营中丧生。1944 年后，卢卡谢维奇流亡波兰，几乎没有机会继续这项教育工作，在一个没有逻辑传统的国家的非教学机构担任研究职位。他与同时代人的互动要少得多，主要通过通信进行。在这个时期与卢卡谢维奇互动并且在兴趣（时间、模态、多值性）和态度（逻辑对哲学的重要性）上与他交叉的唯一值得注意的逻辑学家是阿瑟·普赖尔，他是唯一一个采用波兰符号的重要逻辑学家，也比任何人更努力地寻找系统 Ł 的合理解释。可以说，在华沙逻辑学家中，卢卡谢维奇受到评论家和历史学家的关注最少。关于卢卡谢维奇的专著和论文相对较少，比起其他卢沃-华沙学派的重要人物来说。
尽管遭遇了这样的失望，卢卡谢维奇的成就和发明使他在数学和哲学逻辑的历史上占据了一个永久而荣耀的地位。卢卡谢维奇对波兰逻辑学家在战争期间取得的显赫地位感到自豪，并且完全值得他被亚当·米亚克的四座著名卢沃-华沙学派成员雕像之一纪念，这些雕像位于华沙大学图书馆的入口处。
Bibliography
General Remarks
Titles have been given in their original language, followed in the case of pieces originally in Polish by the title of any published English translation where one exists, or by our English translation where none does. The bibliography of Łukasiewicz’s published writings is not complete, since a large number of his published pieces consist of one- or two-page summaries or abstracts of talks given at various venues, as was the Polish practice of the time. Of this kind, only those which are important for Łukasiewicz’s development or the exposition of his views have been included. Translations into languages other than English have not been included, with one exception, the 1910 monograph on Aristotle.
A comprehensive bibliography in Polish, compiled by the editor Jacek Juliusz Jadacki, is published in the collection Logika i Metafizyka (1998), which reprints most of Łukasiewicz’s essays, along with a number of incidentally interesting speeches, reviews and excerpts from correspondence, a biographical chronology, and a large number of photographs.
Abbreviations
(AS)Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic, 2nd ed.
(PF)Przegląd Filozoficzny
(PL)Polish Logic, 1920–1939, ed. S. McCall.
(PWN)Państwowe Wydawnictwo Naukowe
(RF)Ruch Filozoficzny
(SW)Selected Works, ed. L. Borkowski.
(Z)Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, ed. J. Słupecki.
Primary Sources: Works by Łukasiewicz
Collections
Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane. [Topics in Logic and Philosophy. Selected Writings], ed. J. Słupecki. Warsaw: PWN, 1961.
Selected Works, ed. L. Borkowski. Amsterdam: North-Holland, 1970.
Logika i Metafizyka. Miscellanea. [Logic and Metaphysics. A Miscellany], ed. J. J. Jadacki. Warsaw: Towarzystwo Naukowe Warszawskie, 1998.
Pamiętnik. [Diary], ed. J. J. Jadacki and P. Surma. Warsaw: Wydawnictwo Naukowe Semper, 2013. [Contains diary entries by Łukasiewicz and a number of incidental pieces of biographical note by him and others.]
Monographs
O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa, Studium krytyczne. [On the Principle of Contradiction in Aristotle. A Critical Study.] Kraków: Akademia Umiejętności, 1910. 2nd ed., ed. J. Woleński, Warsaw: PWN, 1987. Translations: Über den Satz vom Widerspruch bei Aristoteles. Hildesheim: Olms, 1993; Del principio di contradizzione in Aristotele. Macerata: Quodlibet, 2003.
Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Kraków: Spółka Wydawnicza Polska, 1913. Translation: Logical Foundations of Probability Theory, in SW, 16–63.
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