连接逻辑 connexive (Heinrich Wansing)

首次发表于 2006 年 1 月 6 日；实质修订于 2023 年 6 月 1 日

许多著名的非经典逻辑系统都是通常被称为“经典逻辑”的子系统。连接逻辑系统在某种意义上是反经典的，因为它们既不是经典逻辑的子系统也不是其扩展。连接逻辑具有标准的逻辑词汇，并包含某些经典逻辑的非定理作为论题。由于经典命题逻辑是完全的，其语言中的任何附加公理都会导致平凡的系统，因此任何非平凡的连接逻辑系统都必须省略一些经典逻辑的定理。连接逻辑的名称由斯托尔斯·麦考尔（Storrs McCall）在 1963 年和 1964 年引入，并暗示了连接逻辑系统受到了关于有效推理的前提和结论之间或前提和后继（结论）之间的连贯性或联系的某些思想的启发。所涉及的连贯性类型涉及蕴涵和否定的含义（参见关于指示性条件、条件逻辑、反事实和否定的条目）。一个基本的思想是没有公式可以被证明蕴涵其自身的否定，也没有公式可以被其否定所蕴涵。这个概念可以通过要求对于每个公式 A，都有 ⊬ ~A → A 和 ⊬ A → ~ A 来表达，

但通常所隐含的直觉是通过要求某些示意性公式是定理来表达的：

but usually the underlying intuitions are expressed by requiring that certain schematic formulas are theorems:

AT: ~(~A → A) 和 AT′: ~(A → ~A)。

第一个公式通常被称为亚里士多德的论点。如果这个经典逻辑的非定理被认为是合理的，那么第二个原则 AT′似乎也享有同样程度的合理性。事实上，AT′有时也被称为亚里士多德的论点，例如在 Routley 1978 年，Mortensen 1984 年，Routley 和 Routley 1985 年以及 Ferguson 2016 年的论文中。正如 McCall（1975 年，第 435 页）所解释的，

[c]onnexive logic may be seen as an attempt to formalize the species of implication recommended by Chrysippus:

而那些引入连接概念的人说，当其结果的矛盾与其前提不相容时，条件语句才是正确的。（塞克斯图斯·艾米略斯，引自克尼尔和克尼尔，1962 年，第 129 页。）

仅使用直觉上可接受的方法，命题 AT 和 AT'的对等推理能力与另一对模式对等，这些模式在已建立的术语中被称为（强）博伊修斯命题（参见劳特利，1978 年），此外，还可以将它们的逆命题视为捕捉克里西普斯的思想：

BT：(A → B) → ~(A → ~B) 和 BT'：(A → ~B) → ~(A → B)。

当然，名称“亚里士多德的论文”和“博伊西的论文”并非随意选择。至于 AT，亚里士多德在《先分析》57b14 中论证了如果非 A，则 A 是不可能的，参见 Łukasiewicz 1957 年，第 50 页。然而，需要注意的是，Łukasiewicz 和 Kneale（1957 年，第 66 页）认为亚里士多德在这里犯了一个错误。此外，据说博伊西在《假言三段论》843D 中认为“如果 A，则非 B”是“如果 A，则 B”的否定（“他说过 Si est A, est B 的否定是 Si est A, non est B”，Kneale 和 Kneale 1962 年，第 191 页）。如果我们看一下《假言三段论》843C-D，我们会发现：

然而，这里有一些假设性命题，有些是肯定的，有些是否定的[...] 肯定的命题是这样的，比如我们说，如果 a 成立，那么 b 成立；如果 a 不成立，那么 b 成立；否定的命题是这样的，如果 a 成立，那么 b 不成立；如果 a 不成立，那么 b 不成立。因此，我们需要考虑到后续的命题，以判断是肯定命题还是否定命题。（请注意，Migne 在 1860 年的版本中有一个印刷错误，在上述引文中，第一次出现的“如果 a 不成立，那么 b 成立”应为“如果 a 不成立，那么 b 不成立”。）

在这里，博伊修斯区分了肯定条件和否定条件，并解释了否定条件的形式是“如果 a 成立，那么 b 不成立”和“如果 a 不成立，那么 b 不成立”。这个陈述与 Kneale 和 Kneale 提供的阅读完全不同。请注意，在 A → A 是定理且 modus ponens 是可接受的推理规则的逻辑中，AT 是由 BT′推出的，AT′是由 BT 推出的。

设 L 是一个包含一元连接词~（否定）和二元连接词→（蕴涵）的语言。如果一个扩展了 L 的语言中的逻辑系统被称为连接逻辑，那么 AT、AT′、BT 和 BT′都是定理，并且蕴涵是非对称的，即(A → B) → (B → A)不是一个定理（因此→很难被理解为双条件）。这是现在标准的连接逻辑概念。连接逻辑系统中的连接词→被称为连接蕴涵。

连接逻辑系统是基于不同的考虑而产生和发展起来的。其中一个动机来自相关逻辑和语义蕴涵是一种内容关系的观念，详见第 3.1 节。此外，连接逻辑的原则已在条件逻辑中讨论过，详见第 3.2 节以及关于指示条件句、条件逻辑和虚拟语气的条目，在不同的否定解释中也有所涉及，详见第 3.3 节和关于否定的条目，以及在反经典逻辑的方法中的应用，详见第 3.4 节。另一个动机源于对自然语言中否定条件句解释的实证研究，并旨在充分地模拟这些调查所揭示的语义直觉，详见第 3.5 节。

Richard Angell 在他关于连接逻辑的开创性论文（1962 年）中旨在发展一种虚拟的、反事实条件句的逻辑，其中他所称的“虚拟对立原则”，∼((A → B) ∧ (A → ~B))，是可以证明的。他的证明系统 PA1 包含 BT 作为公理。此外，Kapsner 和 Omori（2017 年）建议使用连接蕴涵来形式化反事实条件句，而 Cantwell（2008 年）则建议使用连接逻辑系统来形式化指示性自然语言条件句。根据 McCall（1975 年，第 451 页）的说法，“连接蕴涵的最自然解释之一是作为一种物理或‘因果’蕴涵的一种形式”，在 McCall（2014 年）中，他认为“因果和虚拟条件句的逻辑是连接的，因为‘如果 X 被放下，它会掉到地上’与‘如果 X 被放下，它不会掉到地上’相矛盾。” Boethius 的 BT 论题确实出现在每个“预因果”连接词应满足的原则列表中，参见 Urchs 1994。然而，McCall（2012 年，第 437 页）承认“因果逻辑仍然是一个正在进行中的项目，尚未达成一致的公式化”。此外，van Rooij 和 Schulz 2019、2020 年提出的连接原则对于条件句、泛指和状态陈述的分析是有效的。

对连接逻辑系统的进一步动机来自更多的实证研究。在 McCall 1967 中，通过在一阶语言中复制亚里士多德的三段论的所有有效情绪（参见亚里士多德逻辑的条目），推动了连接蕴涵。特别地，通过将“所有 A 是 B”推导为“一些 A 是 B”，将“一些 A 是 B”翻译为 ∃x（（A（x）→ B（x））），其中→是连接蕴涵，从而得到了经典上无效的推理。在 Wansing 2007 中，通过在范畴语法中引入否定连接词来推动连接蕴涵，以便表达关于语法范畴成员资格的负面信息（参见类型逻辑语法的条目）。例如，考虑不及物动词的语法范畴（类型）（n → s），即与名称（类型为 n 的表达式）组合后得到一个句子（类型为 s 的表达式）的表达式。这个想法是，当一个表达式是~（n → s）类型时，当与名称组合时，它会得到一个不是句子的表达式。换句话说，当一个表达式属于~（n → s）类型时，它是（n → ~s）类型的。在 Besnard 2011 的简短注释中，亚里士多德的 AT'论题被解释为表达知识表示中基于规则的系统的规则一致性概念。另一个动机来自于在伦理逻辑中建模条件义务的问题。Weiss（2019）建议将验证亚里士多德的论题和 Boethius 的弱论题（参见第 2 节和第 3.2 节）的某种蕴涵理解为表达条件义务运算符。另一个动机来自于在伦理逻辑中建模条件义务的问题。另一个应用方面的动机来自于非经典数学的建模问题。有大量关于基于非经典逻辑的数学理论的文献，包括直觉主义、模糊、相关和线性算术以及矛盾集合论。 在连接逻辑的背景下，早期的贡献包括麦考尔（McCall）在 1967 年提出的连接类理论，以及 Wiredu 在 1974 年发表的连接集合论论文。弗格森（Ferguson）（2016 年，2019 年）接受了研究连接数学前景的挑战，并探索了连接算术的可行性。

1. 连接性的分歧和附加概念

有几个进一步的和一些分歧的连接逻辑概念。特别是，21 世纪的第二个十年（不幸的是）引入了让人困惑的许多新的连接性概念和非统一的术语。麦考尔（1966）将连接逻辑定义为从没有命题蕴含或被其否定所蕴含的逻辑到可证明 BT（以及蕴含的非对称性）的逻辑系统的范围。类似地，马雷斯和保利（2019）将连接逻辑定义为其定理中包含 AT、AT'、BT 和 BT'的系统（不明确要求蕴含的非对称性）。在麦考尔（2012）中，AT'和 BT 被称为连接逻辑的区分标志，但请注意，由于安杰尔（1962）和麦考尔（1966），AT 和 BT'在系统 CC1 中也是有效的。在 Wansing、Omori 和 Ferguson（2016）中，一些但不是所有的 AT、AT'、BT 和 BT'可证明（或有效）的逻辑被称为“半连接性”（不明确要求蕴含的非对称性），在 Jarmużek 和 Malinowski（2019a）中被称为准连接性。Kneale 和 Kneale（1962）将（A → B）的否定归因于博伊修斯，这表明了 BT 和 BT'的加强，即以下等式：

BTe: (A → B) ↔ ~(A → ~B)，以及 BTe′: (A → ~B) ↔ ~(A → B).

Sylvan 1989 将 BTe 称为超连接逻辑的原则。BTe 和 BTe′原则是在 Wansing 2005 年定义的连接逻辑 C 及其量化版本 QC 之后发展起来的连接逻辑的特征。根据 McCall（2012）的说法，BT 的逆（BTe 的从右到左方向）在他认为的英语反例的光下是非常不直观的。有关答辩，请参见 Wansing 和 Skurt 2018 年的论述。

Kapsner（2012, 2019）提到满足 AT、AT′、BT 和 BT′的逻辑，并且还满足随附的要求。

不可满足 1：在任何模型中，A → ~A 都不可满足（对于任何 A），并且在任何模型中，~A → A 都不可满足（对于任何 A），并且 不可满足 2：在任何模型中，A → B 和 A → ~B 不能同时可满足（对于任何 A 和 B）

被称为强连续的，而如果不同时满足不可满足 1 和不可满足 2 的条件，则该系统只被称为弱连续的。Kapsner 通过两个直觉来激励这些额外的条件，即一个公式 A 不应该蕴含或被其否定所蕴含，以及如果 A 蕴含 B，则 A 不蕴含非 B（如果 A 蕴含非 B，则 A 不蕴含 B）。然而，这些直觉也可以看作是激励 ⊬ ~A → A 和 ⊬ A → A 的动机，而不是不可满足 1 和不可满足 2。此外，强加不可满足 1 和不可满足 2 的条件排除了满足变量共享属性（即在 Routley（1989）的术语中广泛相关或社会逻辑，其中如果 A → B 是一个定理，则 A 和 B 至少共享一个命题变量）并满足演绎定理的系统成为连续的。到目前为止，只有少数满足蕴涵条件的强连续逻辑被知晓，即系统 CC1，然而，“在许多方面都是一个尴尬的系统”（McCall 2012，第 429 页），见第 4.1 节，以及 Jarmużek 和 Malinowski 2019a 的布尔连续相关逻辑，见第 4.4 节。在 Wansing 和 Unterhuber 2019 中，只以规则形式验证 Boethius 命题（（A → B）⊢（A → ~B）和（A → B）⊢（A → B））的逻辑被称为弱连续的。Weiss（2019）考虑了一个具有经典否定 ¬，经典蕴涵 ⊃ 和另一个二元条件→的语言（符号调整）。如果逻辑验证弱 Boethius 命题，则称其为半连续逻辑：

BTw：(A → B) ⊃ ¬(A → ¬B)，并且 BTw′：(A → ¬B) ⊃ ¬(A → B)，

并且如果逻辑还验证了→和 ¬ 的 AT 和 AT′，则称之为连接逻辑。弱博伊修斯论题 BTw 在 Pizzi 1977 年被引入为代表反事实条件的连接蕴涵的“条件博伊修斯论题”。

在 Kapsner 2019 中，强连接性的要求被评估为“要求过于严格”，并通过将亚里士多德的论点、博伊斯的论点、Unsat1 和 Unsat2 限制为可满足的前提来引入了普通谦逊的连接性概念。在补充术语部分介绍了文献中使用的连接性术语和各种概念。还有待观察的是，除了已建立的连接逻辑概念之外，所有其他概念是否都能够起到促进作用。

如果使用的语言不将蕴涵视为原始概念，而是用其他连接词定义蕴涵，那么连接逻辑也可以被视为与古典逻辑正统观念背道而驰，因为它对这些连接词给出了不同寻常的解释。在 McCall 1966 和 Angell 1967b 中可以找到一种用否定、合取和必然性定义连接蕴涵的定义。最近，Francez（2020）提出了“多连接性”的概念，以突出对合取和析取的熟悉的假值条件的修改（除了采用 BTe'所表达的蕴涵的假值条件）。

2. 连接逻辑的历史

McCall（2012）强调连结蕴涵有两千三百年的历史。关于连结逻辑的历史评论可以在 Kneale 和 Kneale 1962、Sylvan 1989、Priest 1999、Nasti De Vincentis 2002、Nasti De Vincentis 2004、Nasti De Vincentis 2006、Estrada-González＆Ramirez-Cámara 2020 和 McCall 2012 中找到。在后一次调查中，McCall 将~（（A→B）∧（A→B））称为亚里士多德的第二论题，并且根据 Martin 2004 的观点，将安吉尔的虚拟对立原则（（A→B）∧（A→~B））称为亚伯拉罕的第一原则，例如在 Routley 1978 和 Mortensen 1984 中称为 Strawson 的论题。亚里士多德的第二论题和亚伯拉罕的第一原则分别仅使用直觉主义原则与 BT 和 BT'相互推导。除了彼得·亚伯拉罕之外，另一位讨论和支持连结原则的中世纪哲学家是理查德·基尔沃德比，参见 Johnston 2019。El-Rouayheb（2009，第 215 页）报告了十三世纪阿拉伯哲学对亚里士多德的 AT 论题的批判性讨论。现代连结逻辑始于 Nelson 1930、Angell 1962 和 McCall 1966，而 MacColl（1878）可以看作是先驱。在 20 世纪 60 年代至 90 年代发表了少量的论文后，以 S. McCall，R. Routley 和 C. Pizzi 为主要贡献者，21 世纪出现了对连结逻辑的新兴兴趣。关于现代连结逻辑的历史评论可以在第 3-5 节中找到。

从历史的角度来看，一个问题是解释的正确性。亚里士多德和博伊西斯的论点确实可以追溯到亚里士多德和博伊西斯吗？Lenzen（2020）认为，亚里士多德和博伊西斯将以他们命名的论点视为“仅适用于前提不自相矛盾的‘正常’条件句”。他用模态命题逻辑的语言相应地给出了亚里士多德论点的受限版本，这些原则根据 Lenzen（2019）可以在莱布尼兹的著作中找到（经过从莱布尼兹的术语逻辑转换为命题逻辑系统），其中，调整符号，↠ 代表严格蕴涵：

LEIB1 ◊A ↠ ~(A ↠ A)，和 LEIB2 ◊ A ↠ ~(~A ↠ A)，

参见 Unterhuber 2016 中 AT'和 BT 的模态化版本。Lenzen 指出，LEIB1 和 LEIB2 是几乎所有正常模态逻辑系统的定理，因此不会导致任何非经典的连接逻辑系统。Kapsner 2019 中也提出了类似的观察。至于 Boethius，人们提出了一个问题，即将他的术语逻辑解释为命题逻辑是否合适（参见 Martin 1991，McCall 2012），而 Bonevac 和 Dever（2012，第 192 页）提到 Abelard 的第一原理是归因于 Boethius 的最著名的论题，但指出他们未能在 Boethius 的著作中找到它。然而，无论这些解释问题如何，连接逻辑的挑战仍然存在，即定义非平凡且有充分动机的逻辑系统，既验证亚里士多德的论题又满足蕴涵的非对称性。从连接逻辑的悠久历史中产生的另一个问题是，现今所称为经典逻辑的系统在哪种意义上确实是经典的。从偏一致和连接逻辑的角度对经典逻辑的经典性进行批判性讨论可以在 Wansing 和 Odintsov 2016 中找到。

Angell 2002 是一本在解决广泛范围的悖论中发展连接逻辑系统的专著。Francez 2021 是第一本专门研究连接逻辑的专著，尽管不是对连接逻辑的全面研究，但从连接逻辑 C 和 QC 开始，Francez 讨论了诸如“多连接性”等已提到的想法，Boethius 的某些论题的变体（参见第 3.6 节）以及关于类的连接理论。

3. 关于连接逻辑的观点

连接逻辑系统可以从不同的角度进行观察和得出。尽管其中一些观点密切相关，但简要概述它们可能会有所帮助。

3.1 连接性和相关性

路特利（1978），参见 Sylvan 1989（2000 年，第 5 章），提出了一种与麦考尔不同的连接逻辑概念。如果将有效蕴涵的前提和后继之间的连接要求理解为内容连接，并且如果内容连接是指前提和后继彼此相关，则“连接逻辑和相关逻辑的一般类是相同的”（Routley 1978，第 393 页），参见 Sarenac 和 Jennings 2003，其中研究了麦考尔的连接系统 CC1（在第 4.1 节中介绍）与相关性保持之间的关系。

由于在古典逻辑的词汇中，每个非平凡的连接逻辑系统都必须省略一些古典重言式，而且由于非相关的标准悖论可以通过拒绝连词简化（即 (A ∧ B) → A 和 (A ∧ B) → B）来避免，Routley 对于连接逻辑要求拒绝或限制连词简化（或等效的模式）。尽管根据 Routley（1978 年）、Routley 等人（1982 年）和 Routley 和 Routley（1985 年）的观点，否定作为取消的概念（见第 3.3 节和第 4.3 节）既激发了连词简化和 AT' 和 BT 的失败，但在 Routley（1978 年）中开发的连接逻辑的模型论语义（见第 4.2 节）使用了后来被称为 Routley 星号否定的概念（见否定词条）。

如果假设反证法和统一替换，并且蕴涵关系是传递的，那么连词简化和亚里士多德命题的组合将导致否定的不一致性，即存在公式 A，使得 A 和其否定 ~A 都是定理（例如，参见 Woods 1968 和 Thompson 1991）。非平凡的否定不一致逻辑（具有传递的推理关系）必须是半一致的。Mortensen（1984 年）使用某些三值真值表指出，存在不一致但非平凡的系统，同时满足 AT' 和简化。在第 4.5 节中介绍了满足连词简化的非平凡不一致连接逻辑系统的示例。考虑到基于具有简化的连接逻辑系统的泽尔梅洛-弗兰克尔集合论是不一致的（参见 Wiredu 1974），这样的连接系统的可用性是值得赞赏的。Mortensen（1984 年）还指出，将 AT' 添加到 Anderson 和 Belnap 的相关逻辑 R 中会产生平凡化的效果，这一事实也在 Routley 等人（1982 年）中得到证明。

连接逻辑与相关逻辑之间的关系也可以如下所示。设 A 和 B 是经典命题逻辑中的随附公式，即既不是恒为假也不是恒为真的公式。众所周知，在经典逻辑中有以下结论：

  1. 非：~A ⊢ A

  2. 如果 A ⊢ B，则非：A ⊢ ~B

  3. 如果 A ⊢ B，则 A 和 B 共享一些命题变量（句子字母）

如果将属性（iii）推广到任意公式 A 和 B，则称之为变量共享属性或变量共享原则，通常被视为逻辑学作为相关逻辑的必要条件（参见条目逻辑学：相关性）。所谓的包含逻辑（也称为帕里系统或分析蕴涵系统，参见帕里 1933 年，安德森和贝尔纳普 1975 年，费恩 1986 年，弗格森 2015 年）满足强相关性要求，即如果 ⊢ A → B，则 B 的每个命题变量也是 A 的命题变量。变量共享属性表示如果 B 可从 A 推导出来（或者在语义上，A 蕴涵 B），则 A 和 B 之间存在内容连接。属性（i）和（ii）可以被视为以否定的方式表达推导关系上的内容连接要求。如果想要用目标语言公式的可证明性来表达这些约束条件，自然会得出亚里士多德和博伊修斯的命题。

连接相关逻辑将相关逻辑的三元框架语义与连结逻辑 C 的假值条件调整相结合（参见第 4.5.1 节），已在 Omori 2016a 和 Francez 2019 中进行了研究，参见第 4.2 节和第 4.5 节。

3.2 条件逻辑

连接逻辑的原则已经在条件逻辑中进行了讨论（参见条目逻辑：条件），始于 Ramsey（1929）对现在称为 Ramsey 测试的评论，正如 McCall 2012 和 Ferguson 2014 所指出的：

如果两个人在争论“如果 p 将 q？”并且都对 p 持怀疑态度，他们会在知识储备中假设地添加 p，并在此基础上就 q 进行争论；因此在某种意义上，“如果 p，q”和“如果 p，~q”是矛盾的（符号调整）。

安吉尔（1966 年，1967a，1978 年）将 AT'称为条件非矛盾法则。通常，阿贝拉尔的第一原则，~((A → B) ∧ (A → ~B))被认为是条件非矛盾的原则，并且被一些哲学家支持，例如吉巴德（1981 年，第 231 页），洛厄（1995 年，第 47 页）和贝内特（2003 年，第 84 页），而不提及连接逻辑。然而，根据斯塔尔内克（1968 年）和刘易斯（1973 年）提出的语义，条件非矛盾并不是一个有效的原则，在 Unterhuber 2013 中有讨论。Weiss 2019 中提出的限制性连接逻辑验证了亚里士多德的论点 BTw 和 BTw'，并且在斯塔尔内克和刘易斯的传统中给出了代数语义，该代数语义建立在 Nute 1980 年的条件逻辑的代数语义基础上。

从条件逻辑的角度来看，John Cantwell（2008 年）提出了连接逻辑的另一个动机，但并未注意到引入的命题逻辑是连接逻辑系统。Cantwell 考虑了自然语言中指示条件的否定，并认为否定，比如条件句“如果奥斯瓦尔德没有杀死肯尼迪，杰克·鲁比就杀死了。”等同于断言如果奥斯瓦尔德没有射击肯尼迪，那么杰克·鲁比也没有。这表明(A → B)在语义上等同于(A → B)。Claudio Pizzi 关于结果蕴涵逻辑的工作也是在条件逻辑的背景下提出的，详见 Pizzi 1977 和第 5 节。

3.3 否定

由于连结性原则展示了蕴含和否定的连结，因此并不奇怪连结逻辑也可以从否定的概念考虑中进行探讨。否定有两种不同的观点，一种是作为取消（抹消、中和或减法）的否定，另一种是作为虚假的否定。否定作为取消是一种可以追溯到亚里士多德《先分析》的否定观念，通常与斯特劳森联系在一起，他认为“矛盾自我取消并不留下任何东西”（1952 年，第 3 页）。Routley（1978 年，Routley 等人 1982 年）、Routley 和 Routley（1985 年）以及 Priest（1999 年）使用减法否定的概念来推动连结性原则。Routley 和 Routley（1985 年，第 205 页）如下所示地提出了否定的取消观点：

∼A 删除、中和、抹消、取消 A（同样地，由于关系是对称的，A 抹消 ∼A），因此 ∼A 和 A 一起不留下任何内容。A 和 ∼A 的合取不表达任何内容，因此没有更具体的推论。特别地，A∧∼A 既不蕴含 A 也不蕴含 ∼A。

注意，如果逻辑实现了否定的取消观点，它也将是溯因一致的，因为矛盾推出任意命题原则（ex contradictione quodlibet），即(A∧∼A)⊢B，将不成立。（关于 ex contradictione nihil sequitur 的思想在 Wagner 1991 年中有讨论。）根据 Routley 夫妇的观点，否定的减法解释与亚里士多德的 AT'命题存在如下联系（Routley 和 Routley 1985 年，第 205 页）：

蕴涵是逻辑内容的包含。因此，如果 A 蕴涵 A，它将作为其内容的一部分包含了中和它的 A，在这种情况下，它将不蕴涵任何东西，没有内容。因此，A 蕴涵 A 不成立，这就是亚里士多德的论点(A → ~A)成立。

因此，对于 Routley（Routley et al. 1982, p. 82）来说，连接主义有两个主要的论点，即：

  1. 简化（A ∧ B → A，A ∧ B → B）不成立，它的使用...是导致蕴涵悖论的原因...

  2. 每个陈述都是自洽的，符号化为 A ◇ A，其中与一致性的关系，符号化为 ◇，与标准方式中的蕴涵相互连接：A ◇ B ↔ ~(A → ~B)。

否定的取消观点在 Wansing 和 Skurt 2018 年受到了严厉批评，强调了连接逻辑可以与否定作为抹除和合取简化的失败概念分离。

否定作为明确的虚假概念，与否定作为真实缺失相对立，不支持合取简化的失败，而是支持 ex contradictione quodlibet 的失败，如果它与推理作为信息流的理解相结合，因为 A ∧ ~A 的信息并不一定给出任何 B 的信息。这表明了对真实条件和虚假条件（支持）的单独处理，这使得可以采用由 BTe'表示的蕴涵的虚假条件。

3.4 反经典性

Humberstone（2000）称逻辑为反经典逻辑，当且仅当逻辑中的每个可证明公式在经典逻辑中都是可证明的（而且，通过要求无法以某种方式翻译其连接词以获得经典逻辑的子系统，进一步考虑了反经典逻辑的更严格概念）。有几种不同类型的反经典逻辑，例如，包含公理模式((A → B) → B) → A 的 Abelian 逻辑，连接逻辑和逻辑双格的逻辑。例如，Arieli 和 Avron（1996）的双格逻辑 BL⊃ 的否定、真值顺序合取、弱蕴涵和信息顺序析取片段是一个标准的命题词汇，包含否定、合取、析取和条件。它是一个非平凡但不一致的逻辑，因此是反经典的。

在 Omori 和 Wansing 2018 年的研究中，描绘了获得反经典逻辑的方法，并在 Estrada-Gónzalez 2019 年的讨论中对其进行了更详细的探讨。按照展示连接逻辑 C 的模式，参见第 4.5.1 节，总体思想是保持某些标准的（支持的）真值条件，同时修改其（支持的）假值条件。从双边主义的角度来看，将真值和假值以及可证明性和不可证明性或可反驳性视为相互独立的语义和证明论维度，也有一种策略，即保持某些标准的（支持的）假值条件，同时修改其（支持的）真值条件。连接逻辑可以被看作是对反经典性探索的一种贡献。

3.5 经验观点

在 McCall 2012 中，可以找到一些关于在加拿大麦吉尔大学的 89 名非专业哲学学生身上测试英语中指示条件句（以具体形式给出的 AT'、BT 和 BT 规则形式）认同连接原则的结果。这些发现支持了英语非专业人士订阅这些连接原则的直觉，AT'的情况下为 88%，BT 规则形式的情况下为 85%，BT 的情况下为 84%。

Pfeifer（2012）、Pfeifer 和 Tulkki（2017）以及 Pfeifer 和 Yama（2017）对亚里士多德论文进行了实证研究。在 Pfeifer 2012 中，一个实验的样本由奥地利萨尔茨堡大学的 141 名心理学学生（110 名女性和 31 名男性）组成。AT 和 AT'都被测试为抽象的以及具体的指示条件句。在第二个实验中，40 名没有逻辑训练的学生（20 名女性和 20 名男性）必须解决涉及英语具体指示条件句的任务。在这种情况下，由于条件句的否定而产生的范围模糊被排除在外。这两个实验提供了反对将英语中的指示条件句解释为布尔蕴涵的证据，并支持亚里士多德论文所表达的否定蕴涵的连接阅读。Pfeifer 认为这些发现是将指示条件句解释为条件事件的有力证据。这种解释预测人们应该坚信亚里士多德论文是有效的，因为对它们唯一的一致评估是概率值 1。

Pfeifer 和 Tulkki（2017）在芬兰赫尔辛基大学的 60 名学生（30 名女性和 30 名男性）中测试了虚拟语气与陈述语气条件句的解释，发现 AT 和 AT'的认可度之间没有统计学上显著的差异（分别为 72％ 和 77％）。Pfeifer 和 Yama（2017）进行的另一个实验发现，在测试日本大阪市立大学文学与人类行为科学研究生院的 63 名日本大学生对 AT 和 AT'的认可度时，西方样本和东方样本之间没有文化差异，其中 65％ 和 76％ 的参与者分别认可了 AT 和 AT'。

Khemlani 等人（2014）报告了一项实验，测试了 21 名以英语为母语的参与者对否定具体自然语言条件句的认可度（在 Johnson-Laird 的心理模型理论背景下，假设经典逻辑）。其中，28％ 的参与者根据经典逻辑认可了否定条件，而 34％ 的参与者根据 Boethius 的 BT 命题认可了否定条件。

Egré 和 Politzer（2013）提出了另一个关于陈述语气条件句否定的实验。他们考虑了对经典合取理解的弱化，即~（A → B）被解释为（A ∧~ B），以及对连接理解的解释，即（A → ~~~B），即（A ∧ ◊~~~​B），分别是（A → ◊​B）。利用“调整虚假条件”的灵活性，Omori（2019）在 Odintsov 和 Wansing（2010）的模态逻辑 BK 的变体中解释了（A → ◊ B），通过适当调整蕴含（A → B）的虚假条件，使得~（A → B）可以被证明等价于（A → ◊~B）。

3.6 证明论的视角

现代模态逻辑始于 C.I. Lewis 的一个句法企业，他定义了一系列公理系统来捕捉严格蕴涵的概念。在类似的思路下，Lewis 的学生 E. Nelson 提出了一个公理系统，可以推导出亚里士多德和博伊修斯的论点。该系统在 Mares 和 Paoli 2019 年被称为 NL，其中它的公理和推理规则如下所示（我们在这里使用符号字母代替任意公式而不是命题变量，并使用不同的符号表示否定）：

1.1

A→A

1.2

(A

1.3

A→ ~~A

1.4

(A→B) → (A ◦ B)

1.5

(A ≠ B ≠ C) → (((A→B) ∧ (B→C)) → (A→C))

1.6

(A ∧ B) = (B ∧ A)

1.7

((A ∧ B) →C) → ((A ∧ ~C) → ~B)

R1

如果 ⊢ A 和 ⊢ (A → B)，那么 ⊢ B (假言推理)

R2

如果 ⊢ A 和 ⊢ B，那么 ⊢ (A ∧ B) (连接)

其中 ◦ 是一个原始的二元一致性运算符，(A|B)（不一致性）定义为~(A ◦ B)，A = B 定义为(A → B) ∧ (B → A)，A ≠ B 定义为~(A = B)，而 A ≠ B ≠ C 是(A ≠ B) ∧ (B ≠ C) ∧ (A ≠ C)的缩写。

在连接逻辑中，为自然语言提供一个完备的语义学是一个未解决的问题。安吉尔（1962）的公理证明系统 PA1 也可以看作是属于证明论传统的一部分，因为它相对于安吉尔提出的真值表是不完备的。然而，安吉尔证明了 PA1 相对于这些真值表是完备的，从而首次为连接逻辑的形式系统提供了一个非平凡性证明。为 PA1 提供一个直观的完备的语义学是连接逻辑中的另一个未解决的问题。（Routley [1978, p. 409] 承认他的表述“在直观上并不令人满意：目前的建模相当复杂，建模条件的数量超过了它们所建模的假设，而像博伊修斯这样的基本连接逻辑假设，没有以一种自然的方式得到验证，而是具有相当棘手的条件。”）

在证明论语义学中，适当形式的证明系统被视为提供了一个意义论，详见“证明论语义学”条目。在这个精神下，Francez（2016）为具有否定和蕴涵的命题语言提出了两个自然演绎证明系统，一个证明了 AT、AT'、BT 和 BT'，另一个证明了 AT、AT'以及以下 Boethius 论题的变体：

B3: (A → B) → ~(~A → B) 和 B4: (~A→ B) → ~(A → B)。

Francez 通过某些自然语言的论述和“双重 Ramsey 测试”来解释这些原则，该测试通过假设在论证“如果 p 将会 q？”的过程中，将 p 假设性地添加到知识库中来修改 Ramsey 测试。Francez 的自然演绎规则是通过修改 David Nelson 的四值构造逻辑 N4 的否定和蕴涵片段的自然演绎规则直接获得的，参见 Kamide 和 Wansing 2012，以从 N4 到 Wansing 2005 的构造连接逻辑 C，参见第 4.5.1 节。在 Francez 2019 中，给出了给出 AT、AT'、BT 和 BT'的自然演绎系统，通过引入用于记账的下标来使其与相关逻辑 R 的蕴涵片段的熟知自然演绎证明系统相一致，以避免空的、无关的蕴涵引入。Omori（2016b）在 Francez 2016 的语言中添加了合取和析取，并给出了一个公理化和表征性语义的自然演绎系统，可以证明 B3 和 B4，并观察到尽管 AT 和 AT'是有效的，但 BT 和 BT'是无效的，这促使他称可证明的等价性(A → B) ↔ (~A → B) 为“半连接”。

Wansing 2016b 中的自然演绎证明系统可以看作是对某些以可证明性和可反驳性条件为基础的连结逻辑进行双边证明论语义学贡献的一种方式。除了将可证明性的概念内化到客体语言中的连结蕴涵外，还有一种内化了可反驳关系的连结协蕴涵。由此产生的双连结逻辑 2C 是 Wansing 2016a、2018 中的双直觉主义逻辑 2Int 的一种连结变体。Kamide 2017 中介绍了一个满足亚里士多德命题的量子逻辑的自然演绎演算法。

根据 Schroeder-Heister 2009 的观点，Gentzen 的序言演算法是比自然演绎更为充分的假设推理的形式模型，而且证明论语义学也已经针对各种序言演算法进行了发展。连结逻辑的序言系统可以在 Wansing 2007、Wansing 2008、McCall 2014、Kamide 和 Wansing 2011、2016、Kamide、Shramko 和 Wansing 2017 以及 Kamide 2019 中找到。

3.7 语义学视角

逻辑学中对连接逻辑的一个核心方法是通过多值和模型论语义来描述真值或真实性支持和虚假性支持条件。正如 Omori 和 Wansing 在 2019 年所解释的那样，几种连接逻辑的语义可以被描述为：（i）修改某种类型条件语句的标准（真实性支持）真值条件或将标准真值条件与更复杂的模型结构相结合，或者（ii）调整某些熟悉蕴涵的标准（真实性支持）虚假性条件。鉴于不同连接逻辑的多样性以及虚假性条件与标准（真实性支持）真值条件的灵活调整，这种分类提供了一个总体的视角。

对于这种分类企图的一个关键观察来自于 Omori 和 Sano 在 2015 年的研究，其中描述了一种机械过程，用于将使用一阶蕴涵逻辑的四个广义真值的真值表转化为关于包含或不包含经典真值 0 和 1 的正条件和负条件的对。然后，在 McCall 的 CC1 系统中，当且仅当（i）A 不接收到指定值或 B 接收到指定值且（ii）0 属于 A 的值当且仅当它属于 B 的值时，连接条件 A → B 在模型中获得一个指定值（为真）。从这个意义上说，Angell-McCall 的连接蕴涵是通过为布尔蕴涵的真值条件添加一个条件而获得的。

Pizzi（1977, 1991, 1993, 1996, 2004, 2005, 2008, 2018）和 Pizzi 和 Williamson（1997, 2005）研究的后果蕴涵逻辑中的后果条件在验证亚里士多德的论点时失败了验证博伊修斯的论点。因此，它在弱意义上是连续的，但由于后果蕴涵是一个严格的条件，需要满足一些额外的条件，因此后果蕴涵逻辑也适用于语义视角提供的分类方案。下表是 Omori 和 Wansing 2019 的总结概述的轻微扩展（指向本条目的相关部分），上面的方法调整（支持）真值条件（或向标准真值条件添加语义机制），而下面的方法调整（支持）伪条件：

conditional

negation

* 结果关系*

Angell-McCall，第 4.1 节

物质 + 调整

classical

standard

Routley，第 4.2 节

相关 + '生成关系'

star

standard

牧师，第 4.3 节

严格+微调

classical

non-standard

Jarmużek 和 Malinowski，第 4.4 节

物质+双管分析

classical

standard

皮齐，第 5 节

严格+微调

classical

standard

Wansing，第 4.5 节

各种各样的

De Morgan

standard

关于连接逻辑的对话语义处理可以在 Rahman 和 Rückert 2001 中找到。

4. 连接逻辑系统

4.1 代数连接逻辑

尽管连接逻辑的基本思想可以追溯到古代，但对具有连接蕴涵的形式系统的寻求似乎仅始于 19 世纪的 H. MacColl（1878）的工作，另请参见 Rahman 和 Redmond 2008。连接蕴涵的基本思想也由 E. Nelson（1930）阐明，并且对连接逻辑系统的最新形式研究始于 20 世纪 60 年代。在 McCall 1966 中，S. McCall 提出了一种命题连接逻辑系统的公理化，该系统在语义上由 Angell（1962）以某种四值矩阵的形式引入。McCall 的逻辑 CC1 的语言包含原始（调整的符号）的一元连接词~（否定）和二元连接词 ∧（合取）和→（蕴涵）。析取 ∨ 和等价 ↔ 以通常的方式定义。CC1 的示意公理和规则如下：

A1

(A→B) → ((B→C) → (A→C))

A2

((A→A) →B) →B

A3

(A→B) → ((A ∧ C) → (B ∧ C))

A4

(A ∧ A) → (B→B)

A5

(A ∧ (B ∧ C)) → (B ∧ (A ∧ C))

A6

(A ∧ A) → ((A→A) → (A ∧ A))

A7

A→ (A ∧ (A ∧ A))

A8

((A→ ~B) ∧ B) → ~A

A9

(A ∧ ~(A ∧ ~B)) →B

A10

~(A ∧ ~(A ∧ A))

A11

(~A ∨ ((A→A) →A)) ∨ (((A→A) ∨ (A→A)) →A)

A12

(A→A) → ~(A→ ~A)

R1

如果 ⊢ A 和 ⊢ (A → B)，那么 ⊢ B (假言推理)

R2

如果 ⊢ A 和 ⊢ B，那么 ⊢ (A ∧ B) (连接)

在这些公理模式中，只有 A12 是反经典的。系统 CC1 的特征是具有指定值 1 和 2 的四值真值表：

~

1

4

2

3

3

2

4

1

∧

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

2

1

4

3

3

3

4

3

4

4

4

3

4

3

→

1

2

3

4

1

1

4

3

4

2

4

1

4

3

3

1

4

1

4

4

4

1

4

1

麦考尔强调，逻辑学 CC1 只是满足亚里士多德和博伊修斯论点的众多可能系统之一。尽管 CC1 是一种连接逻辑系统，但其代数语义似乎只是一个形式工具，解释能力有限。在 CC1 中，常量真值函数 1、2、3 和 4 可以定义如下（McCall1966，第 421 页）：1 := (p → p)，2 := ~(p ↔ ~p)，3 := (p ↔ ~p)，4 := ~(p→ p)，其中 p 是某个命题符号。正如 Routley 和 Montgomery（1968，第 95 页）指出的那样，CC1“可以通过将矩阵值 1 与逻辑必然性关联，值 4 与逻辑不可能性关联，值 2 与有条件真值关联，值 3 与有条件假值关联来给出语义。然而，会产生许多异常情况；例如，两个有条件真值的合取会产生一个必然真值”。此外，麦考尔指出，如果名称“连接逻辑”意味着在有效的蕴涵 A → B 中，前提 A 和后件 B 之间存在某种连接形式，那么 CC1 具有一些难以证明的性质。例如，公理 A4 在这方面是不好的。另一方面，可以说 CC1 生成不足，因为(A ∧ A) → A 和 A → (A ∧ A)不是 CC1 的定理。Routley 和 Montgomery（1968）证明了将后两个公式添加到 CC1 的某个子系统中会导致不一致性。有关安吉尔的 PA1 对 Routley 和 Montgomery 的批评观察的辩护，请参见 Bode 1979。

这些观察可能会使许多非经典逻辑学家在那个时候对连接逻辑产生分心。然而，如果亚里士多德和博伊修斯的命题的有效性是连接逻辑的特点，那么上述批评的破坏性还不太清楚。为了构建一个更令人满意的连接逻辑系统，麦考尔（1975）定义了连接代数和连接模型的概念，并提出了一个由所有连接模型特征化的公理系统 CFL。然而，在 CFL 的语言中，每个蕴涵都是一阶的，即不允许嵌套的→。麦考尔引用了 R.迈耶的一个结果，该结果表明 CFL 的有效蕴涵是有效物质等价集合的子集，并简要讨论了放弃对一阶蕴涵的句法限制。迈耶（1977）证明了正常模态逻辑 S5 的一阶片段（实际上是 KT 和 S5 之间的所有正常模态逻辑，参见条目逻辑：模态）和 CFL 在以下意义上是等价的：如果将连接蕴涵 A → B 定义为 □（A ⊃ B）∧（A ≡ B），其中 ⊃ 和 ≡ 分别是经典蕴涵和等价关系，那么 CFL 的所有定理在 S5 中是可证的，如果将 □A（“A 是必然的”）定义为（~p ∨ p）→A，则 S5 的每个一阶定理在 CFL 中是可证的。总之，可以公正地说，作为对连接逻辑在 20 世纪 60 年代和 70 年代的研究结果，连接逻辑，尽管有其古老的根源，似乎是非经典逻辑的一种奇特分支。

近年来，坎特韦尔（2008）提出了一个连结逻辑系统的真值表语义，并给出了一个证明论的特征化。否定和蕴涵的真值表取自 Belnap 1970，但坎特韦尔的三值条件真值表已经在 William Cooper（1968）的一篇论文中找到。与坎特韦尔一样，Cooper 希望形式化地模拟条件句在陈述语气中的使用方式，并通过 if-then 来表达普通英语对话中的使用方式。（坎特韦尔将真值分配函数的共域限定为命题变量的真值集合的三元素集合，而 Cooper 将分配函数限定为从命题变量集合到经典真值的两元素集合的映射。）坎特韦尔考虑了一个包含恒假命题 ⊥ 和以下三值真值表的语言，其中否定、合取、析取和蕴涵的指定值为 T 和-（其中'T'代表真，'F'代表假）：

~

T

F

F

T

−

−

∧

T

F

−

T

T

F

−

F

F

F

F

−

−

F

−

∨TF−

T

T

T

T

F

T

F

−

−

T

−

−

→TF−

T

T

F

−

F

−

−

−

−

T

F

−

在这个系统中，引入了条件否定系统 CN，（A → B）和（A → B）在对命题变量的真值分配下具有相同的值。因此，坎特韦尔的系统验证了 BTe 和 BTe'，并且结果证明它是 Wansing 2005 中的连结逻辑 MC（见第 4.5.3 节），扩展了排中律 A ∨ ~A。CN 的某种扩展在 Olkhovikov 2002、2016 和 Omori 2016c 中进行了研究（见第 4.5.3 节）。

在 Estrada-González＆Ramirez-Cámara 2016 的术语中，验证亚里士多德命题但不验证博伊修斯命题的三值逻辑，并且在连接上是次最小的连通且 Kapsner 强的三值逻辑是 MRSP，该逻辑在 Estrada-González 2008 中引入。在 Estrada-González＆Ramirez-Cámara 2016 中，MRSP 在 Cantwell 的三值连接逻辑 CN 和 Mortensen（1984）的三值连接逻辑（由 McCall（2012）称为 M3V）的背景下进行了讨论。

McCall（2014）为一种他称之为“连通 Gentzen”的连通逻辑系统提出了一种无割削序列演算法。该演算法具有使用非逻辑真理的公理对的非标准特征。使用下标的注释用于在推导过程中消除对这些非标准公理的依赖。所得到的系统与 CC1 不同之处在于 p →（p ∧ p）和（p ∧ p）→ p 是可证明的，并且已经证明它与某些四值矩阵相一致。 Wansing 2008 和 Kamide 和 Wansing 2011 首次提出了一种用于某些构造性和模态连通逻辑的无割削序列演算法，该演算法是完备的。

4.2 基于关联逻辑（澳大利亚计划）的三值框架的连通逻辑

在 20 世纪 70 年代末和 80 年代，逻辑学对连接逻辑进行了基于三元框架的语义研究，利用了澳大利亚计划中独特的 Routley 星号否定，参见 Meyer 和 Martin 1986。Routley（1978）利用公式 A 和可能世界 s 之间的“生成关系”G，获得了对亚里士多德的 AT'命题和博伊西的 BT 命题的语义表征。该语义使用模型结构 F = < T, K, R, S, U, G>，其中 K 是一组非空的可能世界，T ∈ K 是一个特殊的世界（“真实世界”），R、S 和 U 是 K 上的三元关系，G 是一个生成关系，*是 K 上的函数，将每个世界 s 映射到其“相反”或“反向”的 s。估值是一个函数 v，它将世界对和命题变量映射到{0,1}，满足以下遗传条件：如果 R（T，s，u）且 v（p，s）= 1，则 v（p，u）= 1。直观上，G（A，t）应该意味着在世界 t 中成立的一切都被 A 所蕴含。模型是一个结构 M = < F，v>。关系 M，t ⊨ A（“A 在 M 中的 t 处为真”）的定义如下：

M，t ⊨ p 当且仅当 v（p，t）= 1 M，t ⊨ ~A 当且仅当 M，t* ⊭ A M，t ⊨ (A ∧ B) 当且仅当存在 s，u 使得 Stsu M，s ⊨ A 且 M，u ⊨ B M，t ⊨ (A ∨ B) 当且仅当存在 s，u 使得 Utsu M，s ⊨ A 或 M，u ⊨ B M，t ⊨ (A → B) 当且仅当对于所有的 s，u，如果 Rtsu 且 M，s ⊨ A，则 M，u ⊨ B

[注意：只要存在很小的歧义机会，我们就用 R(x, y, z)替换为 Rxyz。]

此外，对于每个公式 A 和世界 t，需要满足 G(A, t)蕴含 M, t ⊨ A。公式 A 在模型 M 中为真当且仅当 M, T ⊨ A，并且如果 A 在一类模型中都为真，则 A 相对于该类模型是有效的。AT′通过模型的以下特性进行语义化描述：∃t (R(T , t, t) and G(A, t))，而 BT 通过 ∀w∃s, t, u (R(w, s, t), R(w , s, u), G(A, s), and R(T, t, u)) 进行描述。

考虑 AT′的 Mortensen（1984）解释道，Routley 对 AT′的描述“并不特别直观启发”，并指出在具有三元关系模型语义的某些逻辑中，AT′的另一种描述是可用的，即对于每个模型 M，集合 CA := {s : M, s ⊨ A and M, s ⊭ ~A}是非空的。与 Routley 的非递归要求 G(A, t)蕴含 M, t ⊨ A 不同，Mortensen 的条件也不是纯粹的结构条件，因为它涉及真实关系 ⊨。Mortensen（1984, p. 114）认为条件 C A ≠ ∅“最接近我们对亚里士多德的思考方式”，并强调对于一个自相矛盾的命题 A，集合 C A 必须为空，因此应否定 AT′。Mortensen 还对将 AT′添加到相关逻辑 E 进行了批判性讨论。在这个背景下，AT′等同于没有蕴涵在世界 T*上为真的条件。

对基本相关逻辑 B 的扩展（不要与真值读作“真和假”混淆）的更规则的语义，通过 AT'或 BT，已经在 Brady 1989 中提出。在这个语义中，合取以标准方式定义，并且存在一个非空的世界子集 O ⊆ K。集合 O 包含用于定义模型中的真值的特殊元素 T。扩展的模型结构包含一个函数 ℑ，它将世界集合（特别是公式（别名命题）I(A)的解释）映射到世界集合，以便公式 A 在世界 t 上为真当且仅当 t ∈ ℑ(I(A))。这使得 Brady 能够陈述捕捉 AT'和 BT 的模型条件如下：

AT'：如果 t ∈ O，则对于任何命题 f，存在 x，y ∈ ℑ(f)使得 Rtxy；

BT：对于任何命题 f 和任何 t ∈ K，存在 x，y ∈ ℑ(f)和 z ∈ K 使得 Rtxz 和 Rtyz。

注意，这些条款仍然不是纯粹的结构条件，而是对公式解释的条件。此外，基于三元框架的连接逻辑的研究似乎并没有将连接逻辑确立为非经典逻辑的一个完全认可的分支。

4.3 基于减法否定的连接逻辑

尽管根据 Routley（1978），Routley 等人（1982）和 Routley 和 Routley（1985）的说法，连接逻辑与否定作为取消的概念之间存在密切关系，Routley 提出了一种使用生成关系和三元框架中的星号否定的语义学，用于相关逻辑，而基于否定的取消观点直接构建的连接逻辑则由 Priest（1999）研究出来。Priest（1999）直接将一个强制执行矛盾的空内容解释的蕴涵定义转化为评估条款。模型是一个结构 M = < W, g, v>，其中 W 是一组非空的可能世界，g 是 W 中的一个特殊元素，v 是一个从命题变量集合到经典真值集合{1, 0}的估值函数。考虑两个用于评估可能世界中蕴涵的条款（符号调整）：

(a) M, s ⊨ A → B 当且仅当 (i) 存在一个世界 u，使得 M, u ⊨ A，且 (ii) 对于每个世界 u，如果 M, u ⊨ A，则 M, u ⊨ B； (b) M, s ⊨ A → B 当且仅当 (i) 存在一个世界 u，使得 M, u ⊨ A，(ii) 存在一个世界 u，使得 M, u ⊭ B，且 (iii) 对于每个世界 u，如果 M, u ⊨ A，则 M, u ⊨ B。

条件 (i) 确保了不可满足的前提不会导出任何结论。其他连接词的评估条款是经典的。在模型中，公式 A 为真 (M ⊨ A) 当且仅当 M, g ⊨ A；而 A 为有效当且仅当 A 在每个模型中都为真。条件 (ii) 确保了逆否命题的有效性。一组公式 Δ 在模型中为真当且仅当 Δ 中的每个元素在该模型中都为真。

有两种蕴涵（Δ ⊨ A）的概念，一种是带有子句（a）的，另一种是带有子句（b）的：

（a）当且仅当 Δ 在某个模型中为真，并且每个使 Δ 为真的模型都是使 A 为真的模型时，Δ⊨ A； （b）当且仅当 Δ 在某个模型中为真，~A 在某个模型中为真，并且每个使 Δ 为真的模型都是使 A 为真的模型时，Δ⊨ A。

这两种连接逻辑从否定作为直接取消的概念中产生。它们既不单调也不闭合于统一替换。可以通过直接忠实的翻译 τ 到模态逻辑 S5 获得它们的证明系统和决策过程，参见条目逻辑：模态。对于蕴含关系 A → B，翻译定义如下，其中 ⊃ 是物质蕴含，¬ 是经典否定：

(a) ◊τ(A) ∧ □(τ(A) ⊃ τ(B)); (b) ◊τ(A) ∧ ◊¬τ(B) ∧ □(τ(A) ⊃ τ(B)).

弗格森（2015）观察到，普里斯特逻辑的变体（a）的语义推论关系与博赫瓦尔的三值逻辑（参见多值逻辑条目）的否定、合取、析取片段的交集形成了一个已知的包含逻辑系统，即约翰逊（1976）提出的 RC 系统。

尽管普里斯特的连接逻辑的语义学是简单而透明的，但减法否定的基本思想并不是没有问题的。普里斯特（1999，146）提到了强烈的不可靠主义者，他们“支持他们的每一个观点，但也支持他们的一些观点是错误的”。事实上，他们的矛盾观点几乎没有内容，因此否定的取消解释以及基于减法否定的连接逻辑系统似乎并没有很好的动机。在斯库特和万辛（2018）中，他们认为否定作为取消的隐喻概念在概念上是不清楚的，并且 Routley（Routley 等人，1982）建议用广义算术中的减法概念来替代它，至少在没有详细阐述的情况下是不清楚的。

4.4 布尔连接相关逻辑

Jarmużek 和 Malinowski 2019a 的布尔连接逻辑是在关联逻辑的框架下获得的，这是相关逻辑的一种概括。后者是 Sylvan（1989 年，第 166 页）所称的“双管齐下”分析的一个实例，这种分析通过额外的“筛子”或“过滤器”来加强前提和后继之间的关系，从而补充了真值条件。如果这种关系被认为是一个相关关系，那么这就是 Schurz 1998 年所称的“相关后有效性”，与在相关逻辑中研究的“有效性中的相关性”相对应。布尔连接逻辑通过使用连词、析取和布尔否定扩展了经典命题逻辑的语言，通过一个关联蕴涵→w 来约束其语义，该语义受到所有公式集上的二元关系 R 的限制。然后，一个模型是一个二元组 < v,R>，其中 v 是一个经典估值函数。关联蕴涵的真值条件强加了相关性约束：

< v,R> ⊨ A →w B 当且仅当[(< v,R> ⊭ A 或 < v,R> ⊨ B) 且 R(A, B)]

并且定义了相对于关系 R 的有效性概念：R ⊨ A 当且仅当对于每个估值 v，v,R ⊨ A。

为了获得连接逻辑学，Jarmużek 和 Malinowski 对二元关系 R 引入了以下条件：

(a1) R 是(a1)当且仅当对于任意的 A：非 R(A, ~A)(a2) R 是(a2)当且仅当对于任意的 A：非 R(~A, A) (b1) R 是(b1)当且仅当对于任意的 A，B：(i)如果 R(A, B)，则不成立 R(A, ~B)和(ii)R((A →w B), ~(A →w ~B)) (b2) R 是(b2)当且仅当对于任意的 A，B：(i)如果 R(A, B)，则不成立 R(A, ~B)和(ii)R((A →w ~B), ~(A →w B))。

这些条件足以验证亚里士多德和博伊修斯的论点。如果关系 R 要求在否定下封闭，即对于所有的公式 A 和 B，R(A, B)蕴含 R(~A, ~B)，则亚里士多德和博伊修斯的论点与 R 的条件之间存在对应关系。然后，

(a1) R 是(a1)当且仅当 R ⊨ ~(A →w ~A) (a2) R 是(a2)当且仅当 R ⊨ ~(~A →w A) (b1) R 是(b1)当且仅当 R ⊨ (A →w B) →w ~(A →w ~B) (b2) R 是(b2)当且仅当 R ⊨ (A →w ~B) →w ~(A →w B)。

然而，这些对应关系是有代价的。Jarmużek 和 Malinowski 指出，强加否定闭包会验证否则可驳斥的公式~((A →w B) ∧ ~B ∧ ~(~A →w ~B))关于任何关系 R。Jarmużek 和 Malinowski 还表明，这五个条件彼此独立，因此产生了 25 种不同的逻辑。其中两种连结逻辑（在 Jarmużek 和 Malinowski 的术语中也称为适当连结逻辑），即通过条件(a1)、(a2)、(a3)和(4)定义的逻辑以及通过额外要求否定闭包定义的逻辑，也是 Kapsner 强的。此外，Jarmużek 和 Malinowski 为这 25 种逻辑提供了完备的表演演算法。

4.5 基于 FDE 的连结逻辑（美国计划）

第一阶蕴涵的基本矛盾逻辑 FDE 缺乏原始蕴涵连接词，并且可以通过使用由 BTe'表示的蕴涵的虚假条件来添加一个蕴涵连接词，从而验证亚里士多德和博伊修斯的论点。这是可能的，因为否定根据“美国计划”进行处理，即利用四个语义值：T（“只告诉真的”），F（“只告诉假的”），N（“既不告诉真的也不告诉假的”）和 B（“既告诉真的又告诉假的”），以便真实性的支持和虚假性的支持出现为两个独立的语义维度：

A 在状态 t 接收到值 T，当且仅当 t 支持 A 的真实性但不支持 A 的虚假性； A 在 t 接收到值 F，当且仅当 t 支持 A 的虚假性但不支持 A 的真实性； A 在 t 接收到值 N，当且仅当 t 既不支持 A 的真实性也不支持 A 的虚假性； 在 t 时刻，A 接收到值 B 当且仅当 t 同时支持 A 的真和假。

然后，否定被理解为从支持真到支持假，反之亦然。可以将调整（支持）假条件的方法应用于许多不同的条件语句，从构造性、相关性和物质（布尔）蕴涵到在所谓的 Segerberg 框架的条件逻辑中研究的非常弱的蕴涵。

4.5.1 基于 FDE 的构造性连接逻辑

2005 年，Wansing 引入了一种具有直观可信的可能世界语义的连结逻辑系统，该系统使用世界之间的二元关系。本文观察到，在 David Nelson 的具有强否定的建设性四值逻辑的可能世界模型中，对否定蕴涵的证伪条件进行修改会导致一种连结逻辑，称为 C。C 从 Nelson 的逻辑中继承了一种解释，即以信息状态为基础，这些状态通过可能扩展的关系进行预排序。有关 Nelson 的建设性逻辑，请参见 Almukdad 和 Nelson 1984，Gurevich 1977，Nelson 1949，Odintsov 2008，Routley 1974，Thomason 1969，Wansing 2001，Kamide 和 Wansing 2012。

获得 C 的关键观察是简单的：在双重否定引入法则存在的情况下，只需验证 BT'及其逆命题~(A → B) → (A → B)。换句话说，需要对蕴涵的证伪条件进行解释，这与标准条件有所偏离。在 Nelson 的建设性逻辑系统中，双重否定定律成立，并且这些逻辑的关系语义是这样的，即公式的证伪和验证是分开处理的。系统 N4 通过直觉蕴涵扩展了 FDE，然而，蕴涵的证伪条件是由经典条件表示的，即(A → B) ↔ (A ∧ ~B)。为了获得连结蕴涵，因此只需假设蕴涵的证伪条件的另一种解释，即由 BTe'表示的解释：(A → ~B) ↔ ~(A → B)。

考虑基于可数命题变量集的语言 L := {∧, ∨, →, ~}。等价关系 ↔ 按照通常的方式定义。逻辑 C 的示意公理和规则如下：

a1直觉积极逻辑的公理

a2

~~A ↔ A

a3

(​_A_​∨​~B ​) ↔ (~​_A_∧ ~B)

a4

(​_A_​∧​~B ​) ↔ (~​_A_∨ ~B)

a5

~(A→B) ↔ (A→ ~B)

R1

modus ponens

显然，a5 是 C 的唯一的反经典公理。后果关系 ⊢C（在 C 中的可导性）按照通常的方式定义。C-框架是一个二元关系为 ≤ 的非空集合 W 的一对 F = < W, ≤ >。让 < W, ≤ >+是所有 X ⊆ W 的集合，使得如果 u ∈ X 且 u ≤ w，则 w ∈ X。C-模型是一个结构 M = < W, ≤, v+, v− >，其中 < W, ≤ >是一个 C-框架，v+和 v− 是从命题变量集合到 < W, ≤ >+的估值函数。直观地说，W 是一组信息状态。函数 v+将命题变量 p 发送到支持 p 真值的状态集合 W，而 v− 将 p 发送到支持 p 假值的状态集合。M = < W, ≤, v+, v− >被称为基于框架 < W, ≤ >的模型。关系 M, t ⊨+ A（“M 在 t 处支持 A 的真值”）和 M, t ⊨− A（“M 在 t 处支持 A 的假值”）按如下方式归纳定义：

M, t ⊨+ p 当且仅当 t ∈ v+(p) M，t ⊨− p 当且仅当 t ∈ v−(p) M，t ⊨+ (A ∧ B) 当且仅当 M，t ⊨+ A 且 M，t ⊨+ B M，t ⊨− (A ∧ B) 当且仅当 M，t ⊨− A 或 M，t ⊨− B M，t ⊨+ (A ∨ B) 当且仅当 M，t ⊨+A 或 M，t ⊨+ B M，t ⊨− (A ∨ B) 当且仅当 M，t ⊨− A 并且 M，t ⊨− B M，t ⊨+ (A → B) 当且仅当对于所有的 u ≥ t (M，u ⊨+ A 意味着 M，u ⊨+ B) M，t ⊨− (A → B) 当且仅当对于所有的 u ≥ t (M，u ⊨+ A 蕴含 M，u ⊨− B) M，t ⊨+ ~A 当且仅当 M，t ⊨− A M，t ⊨− ~A 当且仅当 M，t ⊨+ A

如果 M = < W, ≤, v+, v− > 是一个 C 模型，那么 M ⊨ A（“A 在 M 中成立”）当且仅当对于每个 t ∈ W，M, t ⊨+ A。F ⊨ A（“A 在 F 上成立”）当且仅当对于基于 F 的每个模型 M，M ⊨ A。一个公式在 C 上成立当且仅当它在每个框架上成立。对于任意公式的真实支持和假的支持在可能的信息状态的扩展关系 ≤ 下是持久的。也就是说，对于任何 C 模型 M = < W, ≤, v+, v− > 和公式 A，如果 s ≤ t，则 M, s ⊨+ A 蕴含 M, t ⊨+ A，且 M, s ⊨− A 蕴含 M, t ⊨− A。可以很容易地证明否定的正常形式定理成立。逻辑 C 由所有 C 框架的类别所特征化：对于任何 L 公式 A，⊢C A 当且仅当 A 是 C 有效的。此外，C 满足析取性质和可构造的假性质。如果 ⊢C A ∨ B，则 ⊢C A 或 ⊢C B。如果 ⊢C ~(A ∧ B)，则 ⊢C ~A 或 ⊢C ~B。C 的可决定性来自于对正面直觉命题逻辑的忠实嵌入。

像尼尔森的四值构造逻辑 N4 一样，C 是一个自矛盾逻辑（参见条目逻辑：自矛盾）。注意，C 包含矛盾，例如：⊢C ((p ∧ ~p) → (~p ∨ p))和 ⊢C ~((p ∧ ~p) → (~p ∨ p))。从上述表述可以明显看出，C 与 N4 的区别仅在于蕴涵的假证（或假性支持）条件。与 N4 一样，可证明的强等价是一个同余关系，即集合{A : ⊢C A}在规则 A ↔ B, ~A ↔ ~B / C(A) ↔ C(B)下是封闭的。Wansing（2005）还引入了 C 的一阶扩展 QC。Kamide 和 Wansing（2011）为 C 提供了一个声音和完整的序列演算，并证明了可削减的割规则，这意味着可以不使用它。

鉴于公理 a5 从右到左的方向可以通过拒绝这样的观点来证明：如果 A 蕴含 B 且 A 不一致，则 A 蕴含任何公式，特别是 B，从左到右的方向似乎更加强大。如果蕴涵的验证条件是动态的（指涉到除了评估状态之外的其他状态），那么 a5 表明蕴涵的否定条件也是动态的。因此，(A → B)的假设性意味着如果 A 为真，则 B 为假。然而，人们可能会想知道为什么不要求(A → B)的假设性意味着如果 A 为真，则 B 不为真。这在只有一个否定符号 表示假而不表示真的缺席的语言中无法表达（在评估状态经典地或直观地在所有相关状态中）。如果将 A → (A → B)添加到 C 中以获得尼尔森的三值逻辑 N3 的连接变体，直觉否定 ¬ 可以通过设置来定义：¬A := A → ~A。然后，a5 可以被替换为

a5′: ~(A → B) ↔ (A → ¬B)。

由此得到的系统满足 AT，AT′，BT 和 BT′，因为 A → ¬ A 和 A → ¬A 是定理。例如，对于 BT，我们有：

1.

A→B

assumption

2.

B→ ¬~B

theorem

3.

A→ ¬~B

1, 2, →的传递性

4.

(A→ ¬~B) → ~(A→ ~B)

axiom a5′

5.

~(A→ ~B)

3, 4, R1

6.

(A→B) → ~(A→ ~B)

1, 5, 推导定理

然而，这种逻辑是由每个 L-公式组成的平凡系统（这一事实在 Wansing 2005（第 6 节）中没有注意到，但在该论文的在线版本中指出）。

系统 C 是正直觉逻辑的保守扩展。在 C 中，强否定的解释方式是将其无否定子语言的直觉蕴涵转化为连接蕴涵。类似地，可以将强否定添加到正对偶直觉逻辑中，以获得具有连接协同蕴涵的系统，并且可以将其添加到双直觉逻辑或 Wansing 2016a 中的逻辑 2Int 中，该逻辑还包含一个蕴涵和一个协同蕴涵连接词，以获得既具有连接蕴涵又具有连接协同蕴涵的系统，参见 Wansing 2008、2016b 和 Kamide 和 Wansing 2016。

系统 C 和 QC 是连结的，但不是 Kapsner 强的。这并不令人意外，因为这些逻辑是抗矛盾的，并且允许公式 A 和 A 在某种意义上同时可满足，即一个状态及其所有可能的扩展都可以支持 A 和 A 的真值。因此，A → A 和 A → A 是可满足的。如果 A → A 和 A → A 是不可满足的，强连结性就会与同时满足演绎定理和将语义推论定义为真值支持的保持发生冲突：A → A 将蕴含(A → ~A)，A → A 将蕴含(~A → A)，而公式(A → ~A) → ~(A → ~A)和(~A → A) → ~(~A → A)将是有效的，而不是不可满足的。

4.5.2 基于 FDE 的连结相关逻辑

Hitoshi Omori（2016a）对基本相关逻辑 BD（参见条目逻辑：相关性）的连结扩展的定义的起点是根据美国计划处理否定来找到 BD 扩展的证明理论。Priest 和 Sylvan（1992）将其提出为一个未解决的问题，而 Omori 通过定义 BD 的连结变体 BDW 来给出了一个部分解决方案。语义使用基于三元框架的模型。有一个基本状态 g，四个真值被表示为经典真值集合{0,1}的子集，并且解释是根据 Dunn 的风格定义的（参见 Omori 和 Wansing 2017）。模型是四元组 < g, W, R, I>，其中 W 是一个非空集合（状态集），g∈W，R 是 W 上的三元关系，当且仅当 x = y 时，Rgxy 成立，I 是一个将状态和命题变量对映射到{0,1}的子集的函数。然后，解释函数 I 被扩展为对所有公式的状态的真值赋值，如下所示：

1 ∈ I(w, ~A) 当且仅当 0 ∈ I(w, A) 0 ∈ I(w, ~A) 当且仅当 1 ∈ I(w, A) 1 ∈ I(w, A ∧ B) 当且仅当 [1 ∈ I(w, A) and 1 ∈ I(w, B)] 0 ∈ I(w, A ∧ B) 当且仅当 [0 ∈ I(w, A) 或者 0 ∈ I(w, B)] 1 ∈ I(w, A ∨ B) 当且仅当 [1 ∈ I(w, A) 或者 1 ∈ I(w, B)] 0 ∈ I(w, A ∨ B) 当且仅当 [0 ∈ I(w, A) 和 0 ∈ I(w, B)] 1 ∈ I(w, A → B) 当且仅当对于所有的 x, y ∈ W：如果 Rwxy 并且 1 ∈ I(x, A)，那么 1 ∈ I(y, B) 0 ∈ I(w, A → B) 当且仅当对于所有的 x, y ∈ W：如果 Rwxy 并且 1 ∈ I(x, A)，那么 0 ∈ I(y, B)

从 BD 的公理系统中添加 BTe' 可以得到 BDW 的公理化。与构造性连接逻辑 C 类似，连接相关逻辑 BDW 是否定不一致但非平凡的。

4.5.3 材料连接逻辑

将 ex contradictione quodlibet 添加到系统 C 中会产生一种平凡化的效果，而将排中律添加到 C 中并不会导致一个具有正统古典命题逻辑作为片段的逻辑。然而，如果将 A → B 的蕴含理解为材料的、布尔的蕴含，则对虚假条件的单独处理再次允许引入一种连接逻辑系统。得到的系统 MC 可以称为材料连接逻辑系统。语义是相当明显的：模型 M 只是一个从所有文字的集合，即命题变量或否定的命题变量的集合，到经典真值集合{1, 0}的函数。在模型 M 中公式 A 的真值（M ⊨ A）按如下递归方式定义：

M ⊨ p 当且仅当 v(p) = 1 M ⊨ (A ∧ B) 当且仅当 M ⊨ A 且 M ⊨ B M ⊨ (A ∨ B) 当且仅当 M ⊨ A 或 M ⊨ B M ⊨ (A → B) 当且仅当 M ⊭ A 或 M ⊨ B

M ⊨ ~p 当且仅当 v(~p) = 1 M ⊨ ~~A 当且仅当 M ⊨ A M ⊨ ~(A ∧ B) 当且仅当 M ⊨ ~A 或 M ⊨ ~B M ⊨ ~(A ∨ B) 当且仅当 M ⊨ ~A 且 M ⊨ ~B M ⊨ ~(A → B) 当且仅当 M ⊭ A 或者 M ⊨ ~B

一个公式是有效的当且仅当它在所有模型中都为真。（或者，可以使用 C 的语义，并要求框架的状态集为单例集。）所有有效公式的集合由以下公理模式和规则公理化：

a1c古典正逻辑的公理

a2

~~A ↔ A

a3

(​_A_​∨​~B ​) ↔ (~​_A_∧ ~B)

a4

(​_A_​∧​~B ​) ↔ (~​_A_∨ ~B)

a5

~(A→B) ↔ (A→ ~B)

R1

modus ponens

逻辑学 MC 可以被忠实地嵌入到正经典逻辑中，因此 MC 是可判定的。考虑到具有经典否定的语言，给出了 MC 的以下真值表，从而得到了一个名为“二值 Belnap Dunn 逻辑”的系统，即 dBD（Omori 2016c）：

~

T

F

B

B

N

N

F

T

∧

T

B

N

F

T

T

B

N

F

B

B

B

F

F

N

N

F

N

F

F

F

F

F

F

∨TBNF

T

T

T

T

T

B

T

B

T

B

N

T

T

N

N

F

T

B

N

F

→TBNF

T

T

B

N

F

B

T

B

N

F

N

B

B

B

B

F

B

B

B

B

公式~(A → B) → (A ∧ ~B)当然不是 MC 的一个定理。像 C 一样，MC 是一个包含矛盾的连结逻辑。MC 连结逻辑与 Avron 1991 中提出的四值逻辑 HBe 不同，它利用了上述子句，以保证 BTe'的有效性。

M ⊨ ~(A → B) 当且仅当 M ⊭ A 或者 M ⊨ ~B

而不是子句

M ⊨ ~(A → B) 当且仅当 M ⊨ A 并且 M ⊨ ~B.

如前所述，Cantwell 的三值连接逻辑 CN 可以通过扩展 MC 与排中律，并在语义上要求对于每个命题变量 p 和每个模型 M，M ⊨ p 或 M ⊨ ~p 来获得。还有另一种严格强于 CN 的三值连接逻辑，即“悖论逻辑”，dLP，在 Omori 2016c 中进行了研究，结果证明与 Olkhovikov 2002 中的系统 LImp 等价（在 2016 年的英文翻译中发表）。Olkhovikov 在 LImp 的语言中使用了一个一元运算符 L，被理解为一种必然性运算符，而 Omori 在 dLP 的语言中使用了一个一元一致性运算符 ○。连接词 L 可以在 dLP 中定义，连接词 ○ 可以在 LImp 中定义。在 Omori 2016c 中证明了 dLP 是不一致的，定义完备的，并且是 Post 完备的。Omori（2016c）和 Olkhovikov（2016）都考虑了 dLP 和 LImp 的一阶扩展。

4.5.4 连接条件逻辑

从 David Nelson 的逻辑 N4 出发，获得基于 FDE 的连接逻辑是非常自然的，因为后者的直觉主义蕴涵是满足演绎法则和推理定理的最弱条件。在传统的 Robert Stalnaker 和 David Lewis 的条件逻辑中研究的条件，通常写作'□→'，比直觉主义或相关蕴涵要弱得多。以 Brian Chellas（1975）引入的条件逻辑基本系统 CK 为出发点，获得连接条件逻辑的项目已在 Wansing 和 Unterhuber 2019 中进行，并且 Kapsner 和 Omori 2017 中也考虑了类似的方法。Kapsner 和 Omori 2017 中的 Lewis-Nelson 模型的语义使用非空状态集上的二元关系 RA，对于每个公式 A，Wansing 和 Unterhuber 2019 中使用的 Chellas-Segerberg 语义使用非空状态集上的二元关系 RX，对于所有状态的子集 X。这两个版本的语义都可以配备完备的表演演算（尽管 Kapsner 和 Omori 只提供了模型），但是 Chellas-Segerberg 语义适用于以关系的性质为基础的纯结构对应理论的发展，这些性质是与语言无关的，因为它们没有相对于公式的相对性。

一个 < W，R>对是一个 Chellas 框架（或者只是一个框架），当且仅当 W 是一个非空集合，直观地理解为信息状态的集合，并且 R ⊆ W × W × ℘(W)，其中 ℘(W)是 W 的幂集。通常用 wRXw′代替 Rww′X。设 W，R 是一个框架，对于所有的 X ⊆ W 和 w，w′ ∈ W，如果 wRXw′蕴含 w′ ∈ X，则 M = < W，R，v+，v−>是连续条件逻辑 CCL 的一个模型，其中 v+和 v− 是从命题变量集合到 ℘(W)的估值函数，用于命题变量的真值支持和假值支持条件，否定公式，合取式和析取式的定义与 C-模型的情况相同，此外，

对于所有的 u ∈ W，使得 wR[[A]]u 成立，当且仅当 M，u ⊨+ B，那么 M，w ⊨+ (A □→ B) 对于所有的 u ∈ W，使得 wR[[A]]u 成立，当且仅当 M，u ⊨− B，那么 M，w ⊨− (A □→ B)

其中[[A]]是支持 A 真实性的状态集合。

如果 < W, R>是一个 Chellas 框架，那么三元组 < W, R, P>被称为 Segerberg 框架（或一般框架）对于 CCL 而言，其中 P 是 ℘(W)上的二元关系，满足一定的闭包条件。然后，五元组 M = < W, R, P, v+, v−>是 CCL 的一般模型，如果 < W, R, P>是 CCL 的一般框架，< W, R, v+, v−>是 CCL 的模型，并且对于每个命题变量 p，[[p]],[[~p]] ∈ P。P 上的闭包条件正是保证对于每个公式 A，如果对于每个命题变量 p，[[p]],[[~p]] ∈ P，则[[A]],[[~A]] ∈ P。如果[[A]],[[~A]]被视为 A 所表达的命题，则 CCL 的一般模型足够丰富，以保证每个由公式表达的命题都是可用的。这对于纯粹的结构对应理论是必要的。例如，公式 A □→ A 在一般框架上是有效的，当且仅当它满足框架条件：

CA □→ A：对于所有的 X ⊆ W 和 w, w′ ∈ W，如果 wRXw′，则 w′ ∈ X。

为了确保博伊修斯的论点确实得到验证，CCL 的一般框架需要满足条件 CA □→ A。在 Unterhuber 和 Wansing 2019 年的研究中，为 CCL 和较弱的系统 cCL 提供了完备的表演演算，该系统验证了亚里士多德的论点但不验证博伊修斯的论点，并通过放弃 CA □→ A 来获得。在 Wansing 和 Unterhuber 2019 年的研究中，这些结果被扩展到通过向 cCL 和 CCL 的语言中添加构造性蕴涵而获得的系统中。

McCall（2012）将他称为阿贝拉尔第一原理和亚里士多德第二论点（参见第 2 节）的原则归类为连接原则。在 Wansing 和 Skurt 2018 年的研究中，他们认为由于亚里士多德的第二论点和阿贝拉尔的第一原理都涉及连词，因此可以从否定作为取消的概念以及否定的抹除模型所证明的简化的失败中获得对它们的动机。与本节中考虑的其他连接逻辑一样，CCL 是一个使阿贝拉尔的第一原理和亚里士多德的第二论点无效的系统。

4.6 连接模态逻辑

关于连接逻辑的模态扩展的文献越来越多。在 Wansing 2005 中，连接逻辑 C 的语言通过模态运算符 □ 和 ◊（“可能是”）扩展，以定义最小正常模态逻辑 K 的连接和建设性模拟 CK。系统 CK 被证明可以忠实地嵌入到 QC 中，是可决定的，并且具有析取性质和可构造的虚假性质。

众所周知，直觉主义命题逻辑可以忠实地嵌入到基于经典命题逻辑的正常模态逻辑 S4 中（参见条目逻辑：直觉主义和逻辑：模态）。由于哥德尔，存在一个称为 γ 的翻译，使得直觉主义逻辑的公式 A 在 S4 中的 γ-翻译有效当且仅当 A 是直觉主义有效的。特别地，直觉主义蕴含被理解为严格的物质蕴含：γ(A → B) = □(γ(A) ⊃ γ(B))。Kamide 和 Wansing（2011）基于 MC 为连接 S4 定义了一个序列演算。这个系统 CS4 被证明与关于关系可能世界语义的完备性相一致。证明使用了 CS4 到正的、无否定的 S4 的忠实嵌入。此外，还证明了割规则在 CS4 中是一个可允许的规则，并且建设性的连接逻辑 C 与 CS4 的关系类似于直觉主义逻辑与 S4 的关系。在忠实嵌入中，否定蕴含的模态翻译如预期的那样：γ(~(A → B)) = □(γ(A) ⊃ γ(~B))。在 Odintsov 和 Wansing 2010 中，类似的翻译被用于将 C 嵌入到 Belnap 和 Dunn 的四值逻辑的模态扩展 BS4 中。

在 CS4 中，模态运算符 □ 和 ◊ 是彼此的句法对偶：□A 和 ◊ A 之间的等价性以及 ◊A 和 □ A 之间的等价性是可证明的。Kamide 和 Wansing（2011）还提出了一个无割的序列演算，用于连接的构造版本 CS4d-，其中 □ 和 ◊ 之间没有句法对偶。CS4d-的关系可能世界语义不是完全组合的，参见 Odintsov 和 Wansing 2004。CS4d-可以忠实地嵌入到正 S4 中，并且是可决定的。此外，C 可以忠实地嵌入到 CS4d-中。

在 Jarmużek 和 Malinowski 2019b 中研究了模态布尔连接相关逻辑，Kamide 2019 引入了一个“双经典”的可矛盾连接逻辑的模态扩展，Odintsov，Skurt 和 Wansing 2019 研究了 FDE 的各种模态扩展的连接变体，这些扩展是 MC 的扩展。

5. 连接逻辑和结果逻辑

亚里士多德和博伊修斯的论点似乎表达了一些关于否定和蕴涵之间意义关系的前理论直觉。但是并不清楚一个语言是否必须只包含一个否定操作和一个蕴涵。双直觉逻辑的语言包含两个否定，Wansing 2016b 和 Kamide＆Wansing 2016 的双直觉连接逻辑的语言包含三个否定，而包含两个蕴涵连接词和一个否定的后果蕴涵系统的语言，请参见 Pizzi 1977, 1991, 1993, 1996, 1999, 2004, 2005, 2008, 2018, Pizzi and Williamson 1997, 2005。Pizzi（2008 年，第 127 页）考虑了一种后果相关性的概念，即“真条件句的前提和结论不能具有不兼容的模态状态”，并建议通过要求在任何真条件句 A → B 中捕捉后果相关性，（i）A 严格蕴涵 B，（ii）A 和 B 在模态状态上相同，即 □A ⊃ □B，□B ⊃ □A，◊A ⊃ ◊B 和 ◊B ⊃ ◊A 为真，其中 ⊃ 是物质蕴涵。此外，要求 □A ⊃ ◊A 始终为真。

在 Pizzi 和 Williamson 1997 年的论文中，满足（i）和（ii）的条件语句被称为分析性的结果蕴涵，定义了分析性结果蕴涵的正常系统的概念。这里的“正常”意味着这样的系统包含某些公式，并且在某些规则下是封闭的。满足 AT 的最小正常结果逻辑被称为 CI。或者，CI 可以被表征为满足弱 Boethius 论题的最小正常系统，即(A → B) ⊃ ¬(A → ¬B)，其中→是结果蕴涵，¬ 是经典否定。在 Omori 和 Wansing 2019 年的论文中，CI 的语义以一种方式呈现，显示出结果条件的语义是通过调整具有连续可及关系的 Kripke 模型中严格蕴涵的真值条件来获得的（使得 □A ⊃ ◊A 成立）。标准的真值条件通过要求前提和结论具有相等的模态状态来补充。

Pizzi 和 Williamson（1997）证明了 CI 可以被忠实地嵌入到正常的模态逻辑 KD 中，反之亦然。根据以下的翻译函数 φ 来解释分析性结果蕴涵：

φ(A → B) = □(φ_A_ ⊃ φ_B_) ∧ (□φ_B_ ⊃ □φ_A_) ∧ (◊φ_B_ ⊃ ◊φ_A_)

正如 Pizzi 和 Williamson（1997 年，第 571 页）指出的那样，他们的调查是对“逻辑学中介于因果蕴涵逻辑和连接逻辑之间的模态处理的贡献”。他们强调了将因果蕴涵视为真正的蕴涵连接符的困难，通过展示在任何接受因果逻辑的模态蕴涵和包含 BT 的正常系统中，以下公式是可证明的：

(a) (A → B) ≡ (B → A)， (b) (A → B) ≡ ¬(A → ¬B)。

其中 ≡ 是经典等价。由于(A → B) ↔ ~(A → ~B)是 C 和其他连接逻辑的定理，从这个系统的角度来看，更为棘手的事实是(a)的可证明性。Pizzi 和 Williamson 还表明，在包含 BT 的任何正常的连续逻辑系统中，如果(A → B) ⊃ (A ⊃ B)是可证明的，则公式(A → B) ≡ (A ≡ B)是可证明的，换句话说，如果(A → B) ⊃ (A ⊃ B)是可证明的，则连续蕴涵会崩溃为经典等价。Aristotelian 对立的构造以及它们在连续蕴涵系统中的组合在 Pizzi 2008 中进行了讨论。Pizzi 2018 中讨论了两种连续蕴涵，并将它们相互进行了比较。

6. 总结

总之，可以说，虽然连接逻辑在各个方面都与经典逻辑相悖且不寻常，但它并不仅仅是一种形式上的游戏或花招。有几种不同类型的连接逻辑系统，具有不同类型的语义和证明系统，在 21 世纪，这个领域正在经历复兴。连接逻辑系统所捕捉到的直觉可以追溯到古代的根源，并且连接逻辑的应用范围从亚里士多德的三段论到范畴语法、因果蕴涵的研究以及连接数学。

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Acknowledgments

The author would like to thank Hitoshi Omori for many stimulating discussions on connexive logic and comments on a draft version of this entry, Wolfgang Lenzen for making available an excerpt from Boethius’ De Syllogismo Hypothetico, and Hans Rott and Andreas Kapsner for some helpful remarks.

Copyright © 2023 by Heinrich Wansing <Heinrich.Wansing@rub.de>

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