阿罗定理 Arrow’s theorem (Michael Morreau)

首次发表于 2014 年 10 月 13 日星期一；实质性修订于 2019 年 11 月 26 日星期二

肯尼斯·阿罗的“不可能”定理，或者他所称的“一般可能性”定理，回答了集体决策理论中一个非常基本的问题。假设有一些可供选择的替代方案。它们可以是政策、公共项目、选举中的候选人、社会成员之间的收入和劳动需求分配，或者几乎任何其他事物。有一些人的偏好将决定这个选择，问题是：有哪些程序可以根据已知或可以了解到的他们的偏好，从更好到更差地推导出一种集体或“社会”对替代方案的排序？答案令人震惊。阿罗的定理说根本就没有这样的程序——无论如何，都没有满足某些明显合理的关于人们的自主性和偏好的理性的假设的程序。阿罗给出了社会排序问题的一个明确意义和严格答案的技术框架，现在广泛用于研究福利经济学中的问题。不可能定理本身为当代社会选择理论的大部分议程设定了基调。阿罗在研究生时期就取得了这一成就。1972 年，他因其贡献而获得了诺贝尔经济学奖。

1. 人民的意愿？

社会排序的一些问题在一个简单但重要的例子中可见。假设有三个可供选择的替代方案 A、B 和 C。有一个由 1、2 和 3 三个人组成的群体，他们的偏好将决定这个选择，并被要求根据自己的标准将这些替代方案进行排序。他们的个人偏好排序结果是：

ABC
BCA
CAB

也就是说，人 1 更喜欢 A 而不是 B，更喜欢 B 而不是 C，而且更喜欢 A 而不是 C；人 2 更喜欢 B 而不是 C，依此类推。现在，我们可能希望以某种方式得出一个反映所有三者偏好的“社会”排序。然后我们可以选择任何社会上最好的替代方案，或者如果有多个并列第一名的替代方案，我们可以选择任何一个与其他替代方案一样好的替代方案。假设，我们逐对地将替代方案进行投票：如果有更多的选民喜欢一个替代方案而不是另一个替代方案，我们就认为这个替代方案在社会上更受欢迎。我们通过这种方式确定 A 在社会上优先于 B，因为有两个选民（1 和 3）更喜欢 A 而不是 B，但只有一个选民（选民 2）更喜欢 B 而不是 A。同样地，B 在社会上优先于 C。因此，我们可能期望发现 A 在社会上优先于 C。然而，根据这种计算，情况正好相反，因为有两个选民更喜欢 C 而不是 A。我们根本没有一个替代方案的社会排序。我们有一个循环。从任何一个替代方案开始，转移到一个在社会上更受欢迎的替代方案，然后再转移到下一个，你很快就会发现自己回到了起点。[1]

这就是“投票悖论”。由孔多塞侯爵（1785 年）发现，它表明当个人偏好被聚合成社会偏好时，选择合理性可能会丧失。选民 1 将 A 放在个人排序的首位。通过选择 A，可以最大化这个选民的偏好。通过选择他们的最大值 B 或 C，也可以最大化选民 2 或 3 的偏好。然而，两两多数决策并不会导致社会最大值。A 不是社会最大值，因为大多数人更喜欢其他替代方案 C。同样，B 和 C 也不是社会最大值。个人偏好可以被最大化；但是，由于它们循环，社会偏好不能被最大化。

有没有其他比成对多数决策更好的聚合程序，或者不同的程序是否有自己的缺点？康多塞、他的同时代人让·夏尔·德·博尔达（1781 年），以及后来的查尔斯·道奇森（1844 年）和邓肯·布莱克（1948 年）等人通过研究各种程序并比较它们的属性来回答这个问题。阿罗通过从相反的方向进行研究开辟了新的领域。他从聚合程序可能满足的各种要求出发，问哪些程序能够满足这些要求。其中之一是社会排序，它坚持聚合的结果始终是一种排序，而不是一个循环。在第 2 节中介绍了阿罗为研究社会选择而建立的技术框架后，第 3.1 节列出了他施加的进一步条件。简而言之，这些条件包括：无限制的域，即聚合程序必须能够处理任何个体的偏好；弱帕累托，要求它们尊重一致的个体偏好；非独裁，排除了社会偏好总是与某个个体的严格偏好一致的程序；最后是无关替代品的独立性，即社会在任何给定的两个替代品之间的比较应该仅依赖于个体对这对替代品的偏好。阿罗的定理在第 3.2 节中陈述，告诉我们，除了非常简单的情况外，没有任何聚合程序能够满足所有的要求。

阿罗悖论的要旨与启蒙时代的政治理想背道而驰。事实证明，康多塞悖论并不是一个孤立的异常，也不仅仅是某种特定投票方法的失败。相反，它展示了将许多个体偏好集合成一个整体的概念存在更广泛的问题。无论如何，表面上看，人们不可能有一个关于集体决策的共同意愿，能够吸纳构成社会的所有个体男女的品味和价值观。

有些人（参考 Riker，1982）认为阿罗悖论表明民主，即以人民的意愿为政府，是一个不连贯的幻觉。其他人则认为，定理的某些条件是不合理的，从他们的观点来看，集体选择的前景要好得多。在介绍定理本身之后，本文将讨论一些主要的批评讨论要点。第 4 节考虑了阿罗条件的含义和范围。第 5 节讨论了在不满足所有阿罗条件或对社会选择的性质有不同基本假设的情况下可用的聚合程序。第 6 节总结了在阿罗的技术框架内研究除了他关心的聚合问题之外的一些提案。

阿马蒂亚·森曾经表示遗憾，社会选择理论与诗歌不同，它在被理解之前无法进行交流（Sen，1986）。阿罗悖论并不特别难以理解，很多内容可以用简单的英语进行交流，如果不是用诗歌，至少可以用简单的英语。然而，非正式的介绍只能走得这么远，有时误解就从这里开始。为了清晰起见，本文使用了最少的技术语言。

2. 阿罗的框架

在阿罗提出的问题中，寻找一种聚合程序是与某些给定的选择之间的选择有关的。这些选择的性质取决于正在研究的选择问题的种类。在选举理论中，这些选择是可能作为候选人参选的人。在福利经济学中，它们是社会的不同状态，例如收入分配和劳动需求。这些选择通常用字母 x、y、z 等小写字母来表示；所有这些选择的集合为 X。假设参与选择的人的品味和价值是有限的，并且它们被编号为 1、2、...、n。

阿罗的问题只有在一些选择和人员被确定之后才会出现。为他们寻找一种聚合程序。然而，关键是，这个问题出现在有关人们对选择之间偏好的相关信息被收集之前，无论是通过民意调查还是通过其他方法来获取或确定偏好。阿罗定理回答的问题更准确地说是：在基于某些给定人们对给定选择之间的偏好的基础上，无论这些偏好最终是什么，有哪些程序可以得出一种社会排序的给定选择？

在实践中，我们有时必须选择一种社会决策程序，而不知道它将用于哪些选择和人群。例如，在某些公职的定期选举中，每次都有不同的候选人名单和不同的选民群体，我们必须使用相同的投票方法来确定获胜者，无论候选人和选民是谁，无论他们有多少。这样的程序在阿罗的框架内无法直接进行研究，因为它固定了备选方案和人群 1,...,n。然而，阿罗的定理仍然与它们相关。它告诉我们，即使备选方案和人群被固定，仍然没有一种“好”的方法来推导社会排序。现在，如果甚至一次投票都没有好的方法，那么很可能也没有一种可以重复使用的好方法，每次都有不同的候选人和选民。

2.1 个人偏好

阿罗假设社会排序将从人们的偏好信息中推导出来。在他的框架中，这些信息仅仅是序数的。这是一种与康多塞悖论有关的信息，在第 1 节中，每个人都将备选方案从好到坏进行排名，但除此之外，没有关于任何人的偏好有多强烈，或者一个人的偏好与另一个人的偏好相比强度如何的其他信息。通过将聚合程序限制在序数信息中，阿罗认为：

[我] 们似乎无法理解将一个个体的效用与另一个个体的效用相加的意义。（阿罗 1951 [1963]：11）

他的观点是，即使人们确实有更强和更弱的偏好，即使他们的偏好的强度可以以某种方式进行测量并作为社会决策的基础，但由于偏好是“人际不可比较的”，因此只有序数信息才是重要的。直观地说，这意味着无法确定某人必须更强烈地偏好一件事情而不是另一件事情，以弥补其他人的偏好正好相反的事实。阿罗认为没有理由向聚合程序提供关于偏好强度的信息，因为他认为它们无法对这些信息进行有意义的利用。

因此，阿罗的框架中个体的偏好由二元关系 Ri 来表示：xRiy 表示个体 i 对选择 x 相对于选择 y 有弱偏好。也就是说，要么 i 严格偏好 x 而不是 y，要么 i 对它们持中立态度，认为它们一样好。假设每个个体偏好关系 Ri 都是连通的（对于所有的选择 x 和 y，要么 xRiy，要么 yRix，或者两者都有）和传递的（对于所有的 x、y 和 z，如果 xRiy 且 yRiz，则 xRiz）。对于阿罗来说，这些关系具有这些结构性质是偏好的“合理性”问题；有关进一步讨论，请参阅有关偏好和经济哲学的条目。连通的、传递的关系被称为弱序。它们是“弱”的，因为它们允许并列——在这种联系中是中立的。

一个偏好配置是一个由备选集合 X 的弱序列 ⟨R1,…,Rn⟩ 组成的列表，每个人 1,…,n 都有一个。在投票悖论中的三个个人排序的列表是备选项 A、B 和 C 以及人 1、2 和 3 的偏好配置的一个例子。偏好配置是对在备选项选择中将被咨询的每个人的个人偏好的表示。正是通过偏好配置的形式，阿罗的聚合程序才能获得关于个人偏好的信息。通常，我们可以用 ⟨Ri⟩ 来代替 ⟨R1,…,Rn⟩ 来表示偏好配置。其他偏好配置写作 ⟨R∗i⟩ 等等。

在将个人输入限制为备选项的弱序列时，阿罗忽视了人们可以以序数分数或等级的形式输入有关其偏好的信息的可能性。等级输入使得能够“逃脱”阿罗的不可能性，这在第 5.3 节中有解释。阿马蒂亚·森将阿罗的框架扩展到不仅考虑人们在备选项对中的偏好的序数信息，还考虑了他们从每个备选项中获得的效用的基数信息。通过这种方式，他能够研究除阿罗关于个人偏好的可测性和人际可比性之外的其他假设的后果。有关详细信息和参考资料，请参见第 5.4 节和社会选择理论条目。

2.2 多个偏好配置

阿罗要求采用聚合程序从不仅仅是一个单一的个人偏好配置中推导出社会排序。在他的框架中，他们必须考虑许多个人偏好配置，代表人们可能拥有的偏好。

在阿罗的解释中，偏好的多样性是我们评估选择的不同标准的结果。我们的偏好取决于我们个人消费的“口味”，但对于社会选择来说，它们还取决于我们社会导向的“价值观”。现在，我们在某种程度上可以自由地拥有各种口味、价值观和偏好；而且我们也可以独立地拥有这些。因此，任何个体都可以拥有一系列的偏好，对于任何给定的人群和选择集，都有许多可能的偏好配置。一个偏好配置 ⟨Ri⟩ 代表了这些人在他们的选择之间的偏好，如果你愿意，可以说是一个可能的世界。另一个偏好配置 ⟨R∗i⟩ 代表了同样的人们在同样的选择之间的偏好，但在另一个可能的世界中，他们的口味和价值观是不同的。

阿罗要求采用聚合程序处理许多个人偏好配置的理由是认识论的。当他提出集体选择的问题时，寻求一种程序来根据某些给定的人的口味和价值观对一些给定的选择进行社会排序。然而，在知道这些口味和价值观到底是什么之前，就寻求这种程序。在阿罗的观点中，要考虑的偏好配置的多样性是已知或假设的关于每个人的偏好的先验知识的度量，也就是说，在这些偏好被引出之前。当了解较少时，可能需要从更多的偏好配置中推导出社会排序。当了解较多时，可能需要从较少的偏好配置中推导出社会排序。

即使人们的实际偏好事先完全知道，使用多个配置文件的其他原因也是有的。Serge Kolm（1996）认为，当我们来证明使用某个给定的程序时，反事实偏好是相关的。敏感性分析用于处理输入错误的不确定性，并确定哪些信息是关键的，即输出是否依赖于它，这也要求程序处理一系列的输入。

在使用多个配置文件时，聚合程序可能存在“配置文件间”条件。这些条件同时协调了多个配置文件的聚合结果。在阿罗悖论中起着至关重要作用的一个条件是无关替代品的独立性。它要求只要在一个配置文件中每个人对两个替代品的偏好与另一个配置文件中的相同，那么对于这些替代品来说，集体排序在两个配置文件中也必须相同。即使人们的口味和价值观发生变化，社会排序之间也应该有这么多的相似性。第 3.1 节和第 4.5 节详细讨论了这一有争议的要求的含义，以及在聚合程序上强加这一要求是否合理。

Ian Little 在对（Arrow 1951）的早期讨论中提出了以下异议：

如果口味改变，我们可能期望所有可想象的状态的新排序；但我们并不要求新旧排序之间的差异与口味的变化之间有任何特定的关系。可以说，我们有一个新世界和一个新秩序；我们不要求世界的变化与秩序的变化相对应（Little 1952: 423–424）。

Little 显然同意 Arrow 的观点，即如果人们的口味不同，可能会有一个不同的社会排序，但与 Arrow 不同的是，他认为它不必以任何特殊的方式类似于实际或当前的排序。Little 的反对意见被认为支持 Abram Bergson（1938）和 Paul Samuelson（1947）对社会福利判断的“单一配置文件”方法，并且就哪种方法更好，他们的方法还是 Arrow 的方法进行了辩论。可以说，在这场辩论中争议的问题不是或者不应该是聚合程序是否必须处理多个偏好配置文件，而是在不同配置文件的输出之间是否应该有任何协调。Sen（1977）和 Fleurbaey 和 Mongin（2005）等人提出了这一观点。如果他们是对的，那么 Little 的反对意见的实质可以在 Arrow 的多配置文件框架中得到解释，只需不施加任何配置文件间的约束即可。不管怎样，Arrow 的框架现在是主导的。

2.3 社会福利函数

有时在征询之前，人们对每个人的偏好都有一定了解。与所知相符的配置代表了人们可能拥有的偏好，并且可能最终确实拥有的偏好，我们希望从这些“可接受”的配置中得出社会排序。在阿罗的框架中，技术上，一个领域是一组可接受的配置，每个配置涉及相同的备选方案 X 和人员 1,...,n。社会福利函数 f 为领域中的每个配置 ⟨Ri⟩ 分配了在 X 上的二元关系 f⟨Ri⟩。直观地说，f 是一个聚合过程，f⟨Ri⟩ 表示它从 ⟨Ri⟩ 中得出的社会偏好。阿罗的社会福利函数有时被称为“宪法”。

阿罗将社会福利函数的概念进一步纳入了 f⟨Ri⟩ 始终是备选方案集合 X 的弱序的要求。简单来说，这意味着社会福利函数的输出必须始终是备选方案从好到坏的排名，可能存在并列。它永远不能是一个循环。这个要求将在这里出现，就像在阿罗定理的其他当代表述中一样，作为社会排序的一个单独条件，社会福利函数可能需要满足。请参见第 3.1 节。通过这种方式，我们可以考虑放弃这个条件的后果，而不改变框架的任何基本部分。请参见第 4.2 节。

阿罗建立了一个仍然广泛遵守的惯例，即使用“R”来表示从“⟨Ri⟩”派生出的社会偏好。用于推导它的社会福利函数在他的符号表示中是隐含的。使用‘f⟨Ri⟩’而不是‘R’的一个优点是，在下一节中陈述不可能定理的条件时，社会福利函数将在其中明确地出现。这使得很清楚，这些条件约束的是个体和社会偏好之间的功能关系。将注意力集中在这一点上是阿罗方法的一个重要创新。

3. 不可能性

现在，概念框架已经建立，第 3.1 节阐述了阿罗对社会福利函数施加的“条件”或约束，第 3.2 节陈述了定理本身。第 4 节对条件进行了更详细的解释，讨论了阿罗为何要施加这些条件，并考虑是否适当这样做。

阿罗的条件通常被称为公理，他的方法被称为公理化。这可能会引起误解。与逻辑或几何的公理不同，阿罗的条件并不意味着表达更或少不容置疑的真理，或构成对研究对象的隐含定义。阿罗本人认为它们是可质疑的“价值判断”，“以一种非常普遍的形式表达了公民主权和理性的学说”（阿罗 1951 [1963]：31）。事实上，正如我们将在第 4 节中看到的，正如阿罗本人所认识到的，有时候社会福利函数并不需要满足不可能定理的所有条件，甚至这样做也不可取。

阿罗在《社会选择与个人价值》第二版中重新阐述了这些条件（阿罗 1963）。它们以此后已经确立的规范形式出现在这里。

3.1 这些条件

第一个要求是社会福利函数 f 能够处理任意个体偏好的任意组合：

无限制的定义域 (U)：f 的定义域包括 X 的 n 个弱序列 ⟨R1,…,Rn⟩ 的每一个列表。

条件 U 要求 f 对于每个“逻辑上可能”的个体偏好配置都有定义。第二个要求是，在每种情况下，f 产生一个替代方案的排序，可能存在并列。

社会排序（SO）：对于域中的任何配置文件 ⟨Ri⟩，f⟨Ri⟩ 是 X 的弱排序。

注意，正如第 1 节中的投票悖论所示，这两个条件 U 和 SO 本身就已经排除了通过成对多数决策来聚合偏好的可能性，如果有至少三个可选择的替代方案，并且需要考虑三个人的偏好。

为了陈述下一个要求，使用一些简写是方便的。对于给定的个人排序 Ri，让 Pi 是 Ri 的严格或非对称部分：如果 xRiy 但不是 yRix，则 xPiy。直观地说，xPiy 意味着 i 确实更喜欢 x 而不是 y，因为 i 对它们之间不是无所谓的。类似地，让 P 是 f⟨Ri⟩ 的严格部分。阿罗定理的下一个条件是：

弱帕累托（WP）：对于 f 的定义域中的任何配置 ⟨Ri⟩ 和任何备选方案 x 和 y，如果对于所有 i，xPiy，则 xPy。

WP 要求 f 尊重一致的严格偏好。也就是说，每当每个人都严格偏好一种备选方案而不是另一种备选方案时，f 得出的社会排序必须一致。成对多数决策满足 WP。[2] 许多其他众所周知的投票方法，如博尔达计数，也满足它（见第 5.2 节）。因此，WP 要求 f 在这个程度上与它们相似。

下一个条件确保社会偏好不完全基于任何一个人的偏好。如果对于任何备选方案 x 和 y，以及 f 的定义域中的任何配置 ⟨…,Rd,…⟩：如果 xPdy，则 xPy，则人 d 是 f 的独裁者。当独裁者严格偏好一种事物而不是另一种事物时，社会总是这样做。其他人的偏好仍然可以影响社会偏好。同样，备选方案的“非福利”特征也可以影响社会偏好，例如在社会状态的情况下，人们的平等程度、他们的权利是否受到尊重等等。但是，所有这些只有在独裁者对两种备选方案都漠不关心，没有严格的偏好时才会产生影响。现在的条件很简单：

非独裁性（D）：f 没有独裁者。

为了说明，选择某个人 d，任何一个都可以，并从域中的每个配置文件 ⟨Ri⟩ 中取出表示 d 的偏好的排序 Rd。现在，在每种情况下，让社会偏好就是那样。换句话说，对于每个配置文件 ⟨Ri⟩，让 f⟨Ri⟩ 为 Rd。这个社会福利函数 f 完全基于 d 的偏好，即其独裁者。这在直观上是不民主的，D 将其排除在外。

要陈述阿罗悖论的最后一个条件，还有一个简写很方便。对于任何给定的关系 R 和任何集合 S，让 R|S 是 R 对 S 的限制。它是关于 S 的元素的那部分 R。[3] 将 ⟨R1，...，Rn⟩ 限制为 S，写作 ⟨R1，...，Rn⟩|S，就是 ⟨R1|S，...，Rn|S⟩。例如，从第 1 节的投票悖论中取出的配置文件：

ABC
BCA
CAB

对于备选集合{A,C}的限制是：

* 加州*

现在可以陈述剩下的条件：

无关选择独立性（I）：对于集合 X 中的所有备选项 x 和 y，以及 f 的定义域中的所有配置 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R∗i⟩，如果 ⟨Ri⟩|{x,y}=⟨R∗i⟩|{x,y}，那么 f⟨Ri⟩|{x,y}=f⟨R∗i⟩|{x,y}。

我说，只要两个配置文件 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R∗i⟩ 在某些备选项 x 和 y 方面是相同的，那么社会偏好关系 f⟨Ri⟩ 和 f⟨R∗i⟩ 在 x 和 y 方面也必须是相同的。例如，考虑以下配置文件：

BAC
CAB
BCA

它对{A,C}这对的限制与投票悖论的概要相同。假设社会福利函数的定义域包括这两个概要。那么，为了满足 I，它必须从每个概要中得出 A 和 C 之间相同的社会偏好。在这个意义上，A 和 C 之间的社会偏好应该“独立”于任何人对它们之一和剩下的“无关”选择 B 的偏好。对于定义域中的任意两个概要，以及从所有备选项集合 X = {A, B, C}中选择的任意其他一对，都应该满足相同的条件。一些投票方法不满足 I（见第 5.2 节），但是成对多数决策满足。通过这种方法，要确定 x 是否在社会上优先于 y，只需要查看个体对 x 和 y 的偏好即可。

3.2 …是不相容的

阿罗发现，除了在非常简单的情况下，第 3.1 节的五个条件是不兼容的。

阿罗悖论：假设存在超过两个的选择。那么没有社会福利函数 f 能满足 U，SO，WP，D 和 I。

阿罗（1951）提出了这个“不可能性”定理的原始证明。参见 Kelly 1978，Campbell 和 Kelly 2002，Geanakoplos 2005 和 Gaertner 2009 等许多其他作品，以及变体和不同的证明。

4. 条件，再次

单独看，阿罗悖论的条件似乎并不严格。显然，它们只要求一个聚合过程能够得出社会偏好排序，不管每个人的偏好是什么（U 和 SO），在某种程度上类似于某些民主安排（WP 和 I），并且不类似于某些非民主安排（D）。然而，综合起来，这些条件排除了所有推导社会偏好的可能性。现在是时候更仔细地考虑它们了。

4.1 不受限制的领域

阿罗的领域条件 U 表示社会福利函数的领域包括 X 的 n 个弱序列的每个列表。例如，假设备选项是 A、B 和 C，人们是 1、2 和 3。三个备选项有 13 个弱序列，因此无限制的领域包含 2197（即 133）个 A、B 和 C 的弱序列列表。如果社会福利函数 f 满足 U，它将把每个这些“逻辑上可能”的偏好配置映射到 A、B 和 C 之间的集体偏好。

在阿罗的解释中，领域中的不同配置代表人们可能拥有的偏好。根据他的认识论理由，强加 U 意味着假设他们可能拥有任何偏好：只有当他们的偏好可以是任何东西时，要求社会福利函数对一切做好准备才有意义。阿罗在支持 U 时写道：

如果我们不希望在指定社会福利函数之前要求对个体的品味有任何先验知识，那么该函数将必须针对每个逻辑上可能的个体排序集合进行定义。（阿罗 1951 [1963]：24）

有一些误解。有些人认为 U 要求社会福利函数能处理“任何旧的”选择。实际上并非如此。它要求的是社会福利函数能够处理在可供选择的各种选择中最广泛的偏好，无论这些选择是多还是少都无关紧要：即使在 X 中只有两个选择，社会福利函数的定义域也可以完全不受限制。也许，支持这种非正统理解 U 的一种方式是将 Arrow 的 x、y、z 等等视为不完全是选择的替代品，而是代表这些替代品在不同场合进行选择的名称或标签。然后，可以认为，标签可以附加到的替代品的多样性将在聚合过程中产生各种各样的配置文件。Blackorby 等人（2006 年）在某个地方玩弄了这个想法，但他们很快放弃了它。这个想法似乎在文献中没有得到探讨。

当然，没有什么能阻止任何人以任何方式重新解释 Arrow 的基本概念，包括替代品集合 X；无论给出何种解释，定理都是定理。然而，重要的是要意识到，将 x、y、z 等等解释为标签并不是标准的做法，而且只会对 Arrow 定理引发的社会选择理论产生荒谬的解释。[4]

阿罗已经知道 U 是一个比不可能性结果所需的更强的域条件。自由三元性和链式性质是一些版本的阿罗悖论中替代 U 的较弱条件（Campbell 和 Kelly 2002）。从逻辑角度来看，这些版本更具信息量，因此更好。然而，U 比它们的域条件更简单陈述，并且可能更直观。请注意，这些较弱的域条件仍然需要在配置文件中具有很多的变化。阿罗式不可能性定理的典型证明要求域在某些三个选择方案上是无限制的。在这种情况下，总是存在一个偏好配置文件，就像第 1 节中的投票悖论中涉及的那个，从中可以推导出循环的两两多数决策。

是否在社会福利函数上施加 U 或任何其他域条件是否明智，很大程度上取决于所研究的选择问题的具体情况。有时，在考虑的备选方案的性质以及确定个体偏好的方式方面，施加 U 显然是不合适的。例如，如果备选方案是在一些人之间划分馅饼的不同方式，并且在选择社会福利函数之前已知这些人是自私的，每个人只关心自己那一部分的大小，那么要求一个合适的函数能够处理一些人更愿意拥有较少而不是较多的情况是没有明显意义的。社会福利函数永远不会被要求处理这样的情况，原因很简单，因为这样的情况永远不会出现。阿罗以如下方式表达了这一观点：

[我] 们在福利经济学中经常假设或暗示每个个体仅根据他在不同社会状态下的消费来评估不同的社会状态。如果是这样的话，我们只需要定义我们的社会福利函数适用于那些描述的个体排序集合；只有这样的集合才是可接受的（阿罗 1951 [1963]: 24）。

第 5.1 节考虑了当不需要考虑所有“逻辑上可能”的个体偏好时所开启的一些可能性。

4.2 社会排序

条件 SO 要求对个体偏好进行聚合的结果始终是替代方案的弱序，即它们之间的二元关系既是传递的又是连通的。直观上，结果必须是替代方案从好到坏的排名，可能存在并列。在社会偏好中，永远不会出现像投票悖论中的成对多数决策导致的循环，如第 1 节所述。

阿罗没有将 SO 作为一个单独的条件陈述。他将其融入到社会福利函数的概念中，认为如果偏好的聚合结果要“反映理性选择”，那么它必须是一个排序（阿罗 1951 [1963]：19）。Buchanan（1954）批评他将个体选择的属性转移到集体选择中，于是在《社会选择与个体价值》的第二版中，阿罗给出了不同的理由。他认为传递性很重要，因为它确保了集体选择与达到它们的路径无关（阿罗 1951 [1963]：120）。他没有进一步发展这个想法。

查尔斯·普洛特（1973 年）详细阐述了路径独立的合适概念。假设我们通过他所称的分而治之来做出选择：首先，我们将可选项分成一些较小的集合，例如，因为这样更容易处理，然后我们从每个集合中进行选择。然后，我们将从较小的集合中选择的所有可选项汇集在一起，再次从中进行选择。有许多方法来进行初始划分，如果我们最终得出的选择与我们开始划分的方式无关，那么选择过程被称为路径独立（普洛特，1973 年：1080）。在阿罗的解释中，社会选择是通过最大化社会排序 R 从给定的可行选择“环境”S 中进行的：从 S 中选择 C（S）的集合是 S 中那些对于任何在 S 中的 y，xRy 的 x。很容易看出，R 的不传递性会导致路径依赖。再次考虑第 1 节中的投票悖论。A 严格优于 B，B 优于 C；但与传递性相反，C 严格优于 A。从划分{{A，B}，{B，C}}开始，我们从{A，B，C}中的选择将是{A}；但如果我们从{{A，C}，{B，C}}开始，我们最终会得到{B}。

Plott 的分析揭示了一个微妙之处。不需要 SO 的全部力量来确保选择的路径独立性。只要社会偏好是一个（完全的）准传递关系，具有一个严格的组成部分是传递的，但是一个不传递的冷漠组成部分，也许是不传递的。Sen（1969 年：定理 V）证明了这个较弱要求与阿罗的其他所有条件的兼容性，但指出他提出的聚合函数通常不会被认为有吸引力。它的不吸引力不是偶然的。Allan Gibbard 表明，只有通过允许社会冷漠的不传递性，同时保持阿罗的其他要求，才能获得社会福利函数，他称之为 liberum veto 寡头政治（Gibbard 1969, 2014）。在每种情况下，都必须有一些个体群体，即寡头，如果所有寡头都严格偏好它，那么社会总是严格偏好于另一种选择，但如果这样做违背了任何寡头的严格偏好，则永远不会这样做。[5] 在阿罗的意义上，独裁是一个 liberum veto 寡头政治。因此，通过将传递性要求限制为严格社会偏好，似乎不是一种有希望的方式，尽管阿罗的定理，来确保可接受的社会福利函数的存在。

4.3 弱 Pareto 条件

WP 条件要求，只要每个人都将一个选择严格地排在另一个选择之上，社会排序就会达成一致。这在福利经济学中一直是一个基本假设，可能看起来完全没有争议。阿罗在与补偿有关的问题上争辩说，社区应该在每个个体都这样做时更喜欢一种社会状态而不是另一种社会状态，“除非在系统地否认人们想要的东西的哲学上，这是不可争议的”（阿罗 1951 [1963]：34）。

但是，WP 并不像它看起来那样无害，并且与 U 结合起来，严格限制了社会选择的可能性。这一点可以从 Sen（1970）的论证中看出，这两个条件与每个人都有一个个人领域的事态，在这个领域中，他的偏好必须在与他人冲突的情况下占优势的观念相冲突。这个“帕累托自由主义者”的重要问题同时也有自己广泛的文献。有关进一步讨论，请参见社会选择理论条目。

我们可以将 WP 视为 Sen 所称的遗迹：

福利主义：对替代事态的相对优劣的判断必须完全基于并作为个体效用集合的递增函数（Sen 1979: 468）。

在阿罗的序数框架中，福利主义坚持认为个体的偏好排序是推导社会偏好的唯一依据。非福利因素——社会状态的物理特征、人们拥有偏好的动机、对权利的尊重、平等——除了通过它们在个体偏好中的反映间接起作用外，都不会产生任何影响。WP 在每个人的严格偏好一致的特殊情况下坚持福利主义的要求。Sen 认为，即使在这些有限的要求上，从道德上来看可能也会被认为过度（Sen 1979：第四节）。第 4.5 节进一步讨论了福利主义。

4.4 非独裁

根据阿罗的定义，如果某人严格地偏好一种选择而不是另一种选择，那么社会也总是更喜欢它。独裁者以外的人的偏好仍然可能产生影响，非福利因素也可能产生影响，但只有在独裁者对两种选择都没有严格的偏好时才会产生影响。阿罗的非独裁条件 D 表示不能有独裁者。显然，它排除了许多非民主的安排，例如在每种情况下将社会偏好与某个人的个体偏好等同起来。这个明显简单的条件在文献中引起了很少的关注。

实际上，非独裁条件比表面上看起来更复杂。阿罗悖论中的独裁者只是指其严格偏好总是社会严格偏好的子集，这本身并不意味着他的偏好构成了社会偏好的基础，也不意味着独裁者对这些偏好有任何权力或控制。Aanund Hylland 曾经在反对单一档案社会选择分析中的 D 的不反思性强加时提出了一个相关观点：

在单一档案模型中，独裁者是指其个人偏好与考虑中的唯一档案的社会偏好一致的人。这本身并没有什么问题；决策过程可以完全民主，只是某个人在所有问题上都恰好站在了胜利的一方。（Hylland 1986: 51，脚注 10）

这个原因，非独裁条件有时候太过分了。即使是成对多数投票，这个典型的民主程序，在阿罗的意义上有时候也是一种独裁。考虑齐利格。他没有自己的品味、价值观或偏好，而是暂时接受身边人的品味、价值观或偏好。他是一个人类变色龙，终极的顺从者。齐利格有一天发现自己在一个由三个人组成的委员会上，将使用成对多数投票的方法在几个选项中进行选择，鉴于他特殊的性格，可能出现的个人排序范围有些受限。在每个可接受的个人排序中，三个人中有两个人的排序是相同的：齐利格和委员会会议上坐在他旁边的人的排序相同。现在假设碰巧齐利格严格地更喜欢一个选项 x 而不是另一个选项 y。然后其他人也是如此；这样就有了三个人中的两个人，所以当他们投票时，结果是对 x 高于 y 的严格集体偏好。委员会的决策程序在阿罗的意义上是一种独裁，而齐利格就是这个独裁者。但当然，齐利格实际上是一个追随者，而不是领导者，多数投票是最民主的。只是这个疯狂的小家伙总是能站在胜利的一方。

阿罗在与完全无限制的域要求 U 相结合的情况下强加了 D。也许这个条件更接近其预期的含义。在无限制的域中，一个独裁者与 Zelig 不同，他的偏好在一系列情况下与其他人的偏好冲突，并且在每个实例中，他的偏好与社会偏好一致，而不是他们的偏好。然而，Zelig 的例子表明，在社会福利函数上强加 D 是否合适取决于手头选择问题的细节。这个条件的名称是误导性的。在阿罗的技术意义上，拥有一个“独裁者”并不一定是非民主的。

4.5 不相关替代品的独立性

阿罗的独立性条件要求，当在一个配置文件中所有个体对一对替代品的偏好与另一个配置文件中的偏好相同时，这些替代品之间的社会偏好也必须相同。形象地说，这意味着当社会福利函数开始聚合个体排序时，它必须单独考虑每一对替代品，不关注除它们之外的其他替代品的偏好。一些聚合程序就是这样工作的。两两多数决定就是这样：如果有与之相同数量的人弱偏好 x 而不是 y，那么社会上就会将 x 弱偏好于 y，显然没有必要超越 x 和 y 来找到这个结果。

条件 I 不是阿罗的阐述。它是一个更简单的阐述，后来成为不可能性定理阐述的标准。阿罗的阐述涉及从各种“环境”S 中通过最大化社会排序进行的选择：

无关选择的独立性（选择版本）：对于 X 中的所有环境 S，以及 f 的定义域中的所有配置 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R∗i⟩，如果 ⟨Ri⟩|S=⟨R∗i⟩|S，则 C(S)=C∗(S)。

这里的 C(S)是 S 中那些在社会排序 f⟨Ri⟩ 的意义下与其他任何选项一样好的选项的集合；而 C∗(S)代表 f⟨R∗i⟩ 的最大值。这是阿罗的第三个条件（阿罗 1951 [1963]：27）[8]。

Iain McLean（2003）发现独立性的第一个陈述以及对其重要性的赞赏已经在（康多塞 1785）中存在。与此同时，这个条件引起了很多争议，也有一些混淆。其中一些可以追溯到阿罗试图激发它的一个例子。当选举中的一位候选人在投票后去世时，他写道，

[…] 在幸存候选人集合 S 中进行的选择应该独立于个人对不在 S 中的候选人的偏好。[…] 因此，我们可以要求我们的社会福利函数仅依赖于在该环境中个体对替代方案的排序来进行社会选择（阿罗 1951 [1963]：26）。

显然，阿罗将这个作为他独立性条件的选择版本。他继续说：

或者说，如果我们考虑两组个人排序，对于每个个人来说，在给定环境中，他对那些特定的选择的排序每次都是相同的，那么当个人的价值由第一组排序给出时，社会从该环境中做出的选择应该与当个人的价值由第二组排序给出时相同（阿罗 1951 [1963]：26-27）。

不清楚为什么阿罗认为死去候选人的情况涉及不同的价值观和偏好配置。正如他所设定的例子，我们自然会想象每个人的价值观和偏好在一个候选人变得不可行的情况下保持不变（“我们仍然更喜欢 A，但可悲的是他已经不在我们身边了”）。显然，阿罗的例子没有达到预期效果。关于这一点已经有很多讨论。汉森（1973）认为阿罗将他的独立条件与另一个条件混淆了；与此相反，Bordes 和 Tideman（1991）提出了相反的观点。关于几个独立概念的讨论，这些概念的差异并不总是被人们所认识到，请参阅 Ray（1973）。

以下条件也被称为无关选择的独立性：

(I∗) 对于所有的 x 和 y，以及 f 的定义域中的所有 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R∗i⟩，如果对于所有的 i：xRiy 当且仅当 xR∗iy，那么当且仅当 xf⟨Ri⟩y 时，xf⟨R∗i⟩y 也成立。

如果意图是表达阿罗的独立条件，那么这是一个错误，因为虽然 I∗ 在外观上与 I 相似，但内容不同。I 表示，只要在一个配置文件中，每个人对于一对选项的偏好与另一个配置文件中的偏好相同，那么社会偏好在这对选项上也必须相同。但 I∗ 并不是这样说的，因为嵌入的前提“对于所有的 i：xRiy 当且仅当 xR∗iy”不仅在 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R∗i⟩ 中每个人对于 x 和 y 的偏好相同的情况下成立，而且在其他情况下也成立。例如，假设在 ⟨Ri⟩ 中，每个人对于某个社会状态 T 和另一个状态 S 都是无差别的（也就是对于所有的 i，TRiS 和 SRiT 都成立），而在 ⟨R∗i⟩ 中，每个人都严格偏好 T 而不是 S（对于所有的 i，TR∗iS 成立但 SR∗iT 不成立）。那么前提“对于所有的 i：TRiS 当且仅当 TR∗iS”成立，尽管在两个配置文件中个体对于 T 和 S 的偏好并不相同。I∗ 有时会限制 f，而 I 则不会，因此 I∗ 是一个更严格的条件。

I∗ 的额外要求有时过于严格。假设 T 是对某个经过改革的既有现状 S 的改革结果。现在假设我们只有在普遍认为改变会带来好处时才支持改革，否则不支持。那么我们将寻找一个社会福利函数 f，当每个人都严格偏好 T 而不是 S 时，它会得出一个严格的社会偏好，将 T 置于 S 之上，但当每个人对这些状态都是无差别的时，它会得出一个严格的偏好，将 S 置于 T 之上。I∗ 排除了符合这一要求的所有 f，因为它要求在这两种情况下，对于 T 到 S 的社会偏好要么是弱的，要么是强的，而不能两者都有或两者都没有。

不相关选择的独立性可以说要求在任何给定的一对选择，比如社会状态之间的社会比较，仅取决于这对选择之间的个人偏好。这是正确的，但它留下了一些误解的空间。我说的是唯一重要的偏好是关于这两个社会状态的偏好。但这并不意味着偏好是唯一重要的事情，尽管如此。实际上，就我而言，这两个状态的非福利特征也可能产生影响。

个人偏好是比较社会状态的好坏的唯一基础的信条是福利主义（已在第 4.3 节中提到）。一个例子说明了它可以有多糟糕：

在现状 S 中，彼得非常富有，而保罗非常贫穷。从彼得那里拿走一点财富给保罗，这样做会更好吗？让 T 成为从彼得转移一部分巨额财富给保罗所导致的社会状态。保罗更喜欢 T 而不是 S（“我需要吃饭”），而彼得更喜欢 S 而不是 T（“不是我的问题”）。这是一个情况。将其与另一个情况进行比较。社会状态 T∗ 是由不同的现状 S∗ 产生的，同样是从彼得那里拿走给保罗。不过，这一次他们的命运被颠倒了。在 S∗ 中，彼得是穷人，而保罗是富人，所以这是从穷人那里拿走给富人。即使如此，我们可以假设，在第二种情况中，彼得和保罗的偏好模式与第一种情况相同，因为他们每个人都更喜欢自己拥有更多而不是更少。保罗更喜欢 T∗ 而不是 S∗（“我需要另一辆布加迪”），而彼得更喜欢 S∗ 而不是 T∗（“但愿这是我的问题”）。由于每个人在这两种情况下的偏好都是相同的，福利主义要求相对社会优越性也是相同的。特别是，它允许我们只有在我们也认为 T∗ 比 S∗ 更好时，才将 T 社会上优于 S。然而，无论我们对从富人那里拿走给穷人有何看法，从穷人那里拿走给富人是完全不同的事情。正如塞缪尔森在类似情况下所说的：“一个人不需要成为教条主义的平等主义者，对这个要求感到无言以对”（塞缪尔森 1977 年：83）。

条件 I 不表达福利主义。应用于这个例子，我说的是在社会比较中，除非彼得对这些状态的偏好发生变化，或者保罗的偏好发生变化（假设他们是唯一参与的人），否则在现状 S 和再分配结果 T 之间的社会比较不会发生变化。从这个意义上说，这些状态之间的社会偏好可以说“仅仅”取决于个体之间的偏好。我对 S∗ 和 T∗ 或任何其他一对替代方案也是这样说的。但是，我对 S 和 T 之间的社会比较与 S∗ 和 T∗ 之间的社会比较之间的任何关系都保持沉默。特别是，它允许社会福利函数在计算 T 在社会上比 S 更好（为了增加平等）的同时，也计算 T∗ 比 S∗ 更差（为了减少平等）。直观地说，我允许社会福利函数在从一个社会状态对到另一个社会状态对时“换挡”，这取决于在那里遇到的非福利特征。

表达福利主义的条件是：

强中立性（SN）：对于所有的替代方案 x、y、z 和 w，以及所有的配置 ⟨Ri⟩ 和 ⟨R∗i⟩：如果对于所有的 i：xRiy 当且仅当 zR∗iw，且 yRix 当且仅当 wR∗iz，则 xf⟨Ri⟩y 当且仅当 zf⟨R∗i⟩w，且 yf⟨Ri⟩x 当且仅当 wf⟨R∗i⟩z。

SN 比 I 要求更严格 [9]。当我们从一个领域的一个配置文件转到下一个配置文件时，I 要求每对替代方案都要保持一致性。SN 也要求这一点，但另外还要求在从一个对到下一个对时也要保持一致性，无论是在单个配置文件内还是在多个不同配置文件之间。这就是 SN 如何防止非福利特征产生任何差异的方式：通过强制社会福利函数以相同的方式对待任何两对替代方案，如果个体偏好的模式对两者都相同。

由于 I∗ 和 SN 在逻辑上比 I 更强，显然可以使用它们中的任何一个来得到阿罗悖论的一个版本。尽管这样的定理会更不那么有趣，因为它在逻辑上更弱，而且正如我们所见，这些更严格的条件通常是不合理的。

无关替代品独立性的含义不容易理解，其影响也不是立即显而易见的。因此，令人惊讶的是，在阿罗发表他的著名定理之后的许多年里，很少有人对社会福利函数强加这一条件进行辩解。现在，让我们转向一些支持和反对的论点。

我们已经讨论了阿罗悖论试图通过选举中的候选人死亡的例子来激励 I 的问题。在《社会选择与个人价值》的第二版中，他提出了另一个理由。他认为，独立性体现了福利判断应该基于可观察行为的原则。在表达对伯格森使用无差别图的赞同后，阿罗继续说道：

无关替代品独立性条件将可观察性的要求推进了一步。给定社会可供选择的替代品集合，理想情况下，人们可以观察到所有可供选择的替代品之间的偏好，但是无法观察到社会不可行的替代品之间的偏好。（阿罗 1963 年：110）

阿罗似乎在说社会决策必须基于对可行替代品的偏好，因为只有这些是可观察的。然而，可以说这并不足够支持。正如我们所见，阿罗对独立性的选择版本涉及所有环境 S。然而，可观察性的论证显然只涉及一些“给定”的可行替代品。关于这一点，请参见汉森（1973 年：38）。

Gerry Mackie（2003）认为，在“无关性”概念上存在模棱两可的情况。我们通常认为不可行的选择是无关的，这是事实。这也是为什么在选举中，我们通常不会将已故人士的名字与活跃候选人的名字一起放在选票上的原因。但我也排除了在普通意义上相关的备选方案的偏好信息。一个例子说明了 Mackie 的观点。乔治·W·布什、阿尔·戈尔和拉尔夫·纳德在 2000 年美国总统选举中参选。假设我们想知道是否有社会偏好将戈尔置于布什之上。我要求这个问题的答案应该独立于人们是否更喜欢他们中的任何一个，比如亚伯拉罕·林肯，或者更喜欢乔治·华盛顿而不是林肯。这似乎是正确的。那一年，林肯和华盛顿都没有竞选总统。直觉上，他们是无关的备选方案。但我还要求戈尔与布什的排名应该独立于选民对纳德的偏好，这似乎是不正确的，因为纳德在选票上，并且在普通意义上，他是与他们相关的备选方案。肯尼斯·阿罗的可观察性标准当然不排除使用关于纳德偏好的信息。在那次选举中，他们和其他任何人一样可观察到。

在投票的情况下，已经提出了一种不同的理由来强制实施 I。许多投票程序被认为存在机会，使选民通过歪曲他们的偏好来操纵结果。第 5.2 节讨论了 Borda 计数的例子，它允许选民通过将其他人的最爱放在名单底部来策略性地推广自己喜欢的候选人。可以看到，Borda 计数违反了 I。Gibbard-Sattherthwaite 定理的证明（Gibbard 1973，Sattherthwaite 1975）将战略性投票的脆弱性与违反 I 系统地联系在一起，Iain McLean 基于这一观点认为投票方法应该满足这个条件：“去掉 [I]，你就有了严重的操纵性”（McLean 2003: 16）。然而，在阿罗提出不可能定理的演示中，并没有涉及到战略性投票的问题，在其发表之后，这个问题在文献中没有得到认真对待。有关社会选择理论的讨论，请参见社会选择理论条目，讨论当代社会选择理论中的这个重要主题。

5. 可能性

阿罗悖论据说是关于试图用太少的信息做太多事情的不可能性。这个说法将注意力引向两个主要途径，从阿罗悖论所启发的沮丧情绪转向对集体决策可能性的更阳光的看法：不要试图做太多，使用更多信息。不试图做太多的一种方式是放松要求，即 SO 的一部分，即所有社会偏好都是传递的。第 4.2 节简要讨论了这个想法，但发现它不太有希望。另一种方式是减轻 U 的要求，即每个“逻辑上可能”的偏好配置都有一个社会排序。也就是说，我们可以限制社会福利函数的定义域。第 5.1 节详细讨论了这个重要的“逃避路径”从阿罗悖论中。使用更多信息的一种方式是放松独立性约束 I。这允许社会福利函数利用个体偏好排序所携带的更多信息。参见第 5.2 节。另一种方式是扩展阿罗的框架，使个体能够提供比偏好排序所携带的更丰富的信息。这些信息可以以分数或等级的形式出现，如第 5.3 节所讨论的，或以个体效用的基数测量形式出现，如第 5.4 节所讨论的。

5.1 领域限制

有时候，在考虑的备选方案的性质以及个体对它们的偏好如何确定时，并不是所有的个体偏好都能出现。在研究阿罗框架内的这种情况时，并不需要一个能处理每个个体排序的社会福利函数。一些但不是所有的个人偏好配置是可接受的，该领域被称为受限制的。在幸运的情况下，可以找到一个满足阿罗定理的所有假设和条件的社会福利函数，除了 U 之外。这样的领域被称为阿罗一致的。本节考虑了一些重要的阿罗一致领域的示例。

为了简单说明，考虑以下配置：

ABC
ABC
CBA

在这里，三个人中有两个人具有相同的严格偏好排序。通过两两多数决策计算集体偏好，很容易看出结果是这个多数的排序：ABC。现在考虑一个完全由这种配置组成的领域，在这个领域中，大多数三个选民分享相同的严格偏好。在这样的领域中，两两多数决策总是得出一个排序，因此它满足随附。只要领域虽然受限，但仍保留一定的多样性，这个社会福利函数也是非独裁的。在上述配置中，选民 3 严格偏好 B 而不是 A。其他两个人都严格偏好 A 而不是 B，这就是社会偏好：在这个领域中，3 不是独裁者。如果每个选民在某个配置中以这种方式与其他两个人都不同意，那么两两多数决策就满足 D。它始终满足 WP 和 I。我们现在已经看到，在这样的领域中，这个聚合过程满足阿罗的所有非领域条件。这样的领域是阿罗一致的。

阿罗一致性并不需要完全一致的偏好。只要每个人的偏好相似即可，即使他们从未完全达成一致。一个例子说明了单峰域的情况。

假设三只熊聚在一起决定他们共同的燕麦粥要有多热。爸爸熊喜欢热燕麦粥，越热越好。妈妈熊喜欢冷燕麦粥，越冷越好。小熊最喜欢温燕麦粥；对他来说，热燕麦粥是次好的选择（“它总会变凉的”），他一点也不喜欢冷燕麦粥。这些对热、温和冷燕麦粥的偏好可以表示为一个偏好配置文件：

爸爸：热温冷*
妈妈：冷暖热*
宝宝：暖热冷*

或者可以这样描述：

图 1

这个偏好配置是单峰的。每只熊在选项按照温度排序时都有一个“极乐点”，而且每只熊对于这个共同排序中离开极乐点的两侧的选项越来越不喜欢。单峰偏好出现在政治候选人的左右取向、替代公共项目的成本以及其他选项的显著属性方面。单峰配置是指每个人的偏好都在一个共同排序下是单峰的，当每个人都关心所考虑的选项中的同一事物-温度、左右取向、成本或其他事物时，即使像熊一样，对于哪个选项比哪个选项更好没有进一步的共识。

邓肯·布莱克（1948 年）证明了如果选民人数是奇数，并且他们的偏好配置是单峰的，两两多数决策总是会产生一个排序。此外，他还证明，这个排序的最大值是中位选民的极乐点-在共同排序上，它的一侧有与其极乐点相同数量的选民的极乐点，另一侧也是如此。在这个例子中，这是小熊，而温暖的粥是集体的最大值。这个例子说明了单峰性如何促进妥协。

假设选民人数为奇数。现在考虑一个单峰域——完全由单峰配置组成的域。布莱克的结果告诉我们，在这个域上的两两多数决策满足 SO。只要这个域足够包容（对于每个 i，在域内都存在一个配置，其中 i 不是中位选民），它也满足 D。两两多数决策总是满足 WP 和 I，因此这样的域是阿罗一致的。

对于偶数选民，单峰性不能保证满足 SO。例如，假设只有两个选民，他们的个人排序是：

CAB
BCA

从这个配置文件中，成对多数决策得出了对 A 相对于 B 的弱社会偏好，因为有一个人弱偏好 A 相对于 B，还有一个人弱偏好 B 相对于 A。同样地，它得出了对 B 相对于 C 的弱社会偏好。传递性要求对 A 相对于 C 的弱社会偏好，但是没有。相反，存在一个严格的社会偏好，即 C 高于 A，因为这是选民的一致偏好。尽管如此，这个配置文件相对于公共排序 BCA 是单峰的：

图 2

当人数为偶数时，可以利用“幽灵”选民的多数决策来建立阿罗一致性。假设有 2n 个人，并且域中的每个配置文件都相对于同一种替代方案的顺序是单峰的。让 R2n+1 也是相对于这个共同顺序单峰的排序。R2n+1 代表了“幽灵”选民的偏好。现在将域中的每个配置文件 ⟨R1,…,R2n⟩ 扩展为 ⟨R1,…,R2n,R2n+1⟩，通过添加 R2n+1。所有扩展配置文件的集合是一个单峰域，因为真实选民和幽灵选民的数量是奇数，所以布莱克的结果适用于它。让 g 成为扩展域的成对多数决策。我们通过将 g 分配给其扩展的每个配置文件的排序来获得原始域的社会福利函数 f。也就是说，我们有：

f⟨R1,…,R2n⟩=g⟨R1,…,R2n,R2n+1⟩。

这个 f 满足 SO，因为 g 满足。它满足 WP，因为真实选民比幽灵选民多（2n 比 1；我们可以使用小于 2n 的任何奇数个幽灵选民）。f 满足 I，因为扩展域中的幽灵排序在所有配置文件中都是相同的。如果域中包含足够多的配置文件变化，那么 f 也满足 D 并且是阿罗一致的。这个关于幽灵选民的好主意是由 Moulin（1980）引入的，他用它来描述一类不可操纵的投票方案，即它们不提供战略投票的机会。

领域限制近几十年来一直是研究的焦点。Gaertner（2001）提供了一个总体概述。Le Breton 和 Weymark（2006）调查了在阿罗框架中分析经济问题时自然产生的领域限制的研究工作。Miller（1992）认为，通过将初始偏好转化为单峰偏好，审议可以促进理性社会选择。List 和 Dryzek（2003）认为，即使没有实现完全的单峰性，审议也可以实现个体偏好的“结构化”，从而促进民主决策。List 等人（2013）提供了审议有时具有这种效果的实证证据。

正如塞缪尔森所描述的，单一配置方法似乎是最严格的领域限制之一：

[O] ne and only one of the […] possible patterns of individuals’ orderings is needed. […] From it (not from each of them all) comes a social ordering.（塞缪尔森 1967：48-49）

根据 Sen（1977）的观点，然而，Bergson-Samuelson 社会福利函数在其定义域中具有多个配置文件。实际上，它具有完全不受限制的定义域，因为根据 Samuelson 的说法，只需要一个配置文件“可以是任何一个”（Samuelson 1967：49）。根据 Sen 的理解，单一配置文件方法的区别在于，在几个不同的配置文件上协调社会福利函数的行为时，不会对其施加诸如 I 和 SN（见第 4.5 节）的配置文件间条件。无论如何，正如 Samuelson 所坚持的那样，阿罗定理并不限制单一配置文件方法，因为它的条件之一与之不相适应。如果在定义域中存在单一配置文件，则 U 是不适当的；如果不存在配置文件间约束，则 I 是不适当的。

与阿罗定理密切相关的某些不可能定理被认为与单一配置文件选择有关。这些定理不使用阿罗的配置文件间条件 I，而是使用配置文件内中立条件。该条件指出，无论在任何单一配置文件中，对于一对选项 x，y 的个体偏好模式与另一对选项 z，w 的个体偏好模式相同，从该配置文件得出的社会排序对于 x，y 与 z，w 也必须相同：

单一配置文件中立性（SPN）：对于任何 ⟨Ri⟩，以及任何选项 x，y，z 和 w：如果对于所有 i：如果 xRiy 当且仅当 zRiw，并且 yRix 当且仅当 wRiz，则 xf⟨Ri⟩y 当且仅当 zf⟨Ri⟩w，并且 yf⟨Ri⟩x 当且仅当 wf⟨Ri⟩z。

SPN 遵循第 4.5 节的强中立（SN）条件，将 ⟨Ri⟩ 与 ⟨R∗i⟩ 等同起来。Parks（1976）和 Kemp 和 Ng（1976）独立地证明了使用 SPN 而不是 I 的“单个配置文件”版本的阿罗悖论。这些定理原本应该阻止伯格森-塞缪尔森的方法。实际上，SPN 条件和 SN 条件一样容易被排除在外，原因也是一样的：两者都排除了在伦理上与比较社会状态相关的非福利信息。塞缪尔森（1977）用有关重新分配巧克力的例子嘲笑了 SPN。它的结构与第 4.5 节中的彼得和保罗的例子类似。

5.2 更多序数信息

无关选项的独立严重限制了可以用于什么的个人偏好信息。当组合一对选择之间的社会偏好时，它要求社会福利函数只考虑那些与这对选择有关的人们的偏好。本节讨论了两种隐含在其他选择偏好中的信息，并说明了它们在社会决策中的应用：关于个人排序中选择位置的信息，以及关于社会状态公平性的信息。

位置投票方法考虑候选人在不同个人排序中的位置——无论是第一位、第二位，还是最后一位。博尔达计数是一个重要的例子。它以康多塞的同时代人让-查尔斯·德·博尔达命名，早在 13 世纪，先驱作家和社会理论家拉蒙·卢尔就已经提出了这个方法。15 世纪的尼古拉斯·库萨推荐将其用于选举神圣罗马帝国皇帝。博尔达计数在一些政治选举和许多其他场合的投票中使用，在俱乐部和其他组织中也是如此。考虑以下情况：

ABCD
BACD
BACD

让每个候选人在某个选民的排序中获得四分，第二名获得三分，第三名获得两分，最后一名获得一分；然后根据他们从所有选民那里获得的总分对备选项进行排序。A 的波达计数为 10（或 4+3+3），B 的波达计数为 11（3+4+4），所以 B 在社会排序中优于 A。这种方法可以明显地适用于任何有限候选人的选举。

现在假设选民 1 将 B 从第二名移到自己的名单上的最后一名，我们有以下选民配置：

* 阿罗悖论*

* 不可能*

* 不可能*

然后 B 将只得到 9 分（1+4+4）。A 仍然得到相同的 10 分，但现在超过了 B。这个例子说明了两个重要的观点。首先，波达计数不满足阿罗的条件 I，因为虽然每个选民对 A 相对于 B 的排名在两个配置文件中是相同的，但这对的社会排序是不同的。其次，波达计数为选民提供了通过战略投票来操纵选举结果的机会。如果每个人的偏好都与第一个配置文件中的一样，选民 1 可能会将他的偏好误导，将 B 放在他的名单底部。通过这种方式，他可以将他自己喜欢的 A 提升到社会排序的顶部（当然，只有其他选民看不到他在做什么并相应地调整他们自己的排名，将他的喜欢的 A 放在底部时，他才能逃脱这个问题）。波达计数对战略投票的敏感性早已为人所知。当这被提出作为反对意见时，波达愤怒的回应据说是他的计划是为诚实的人而设计的。卢尔和尼古拉斯·库萨在通过这种方法进行投票之前，建议郑重宣誓说出真相并剥夺自己的一切罪恶。

有关位置主义投票方法的进一步讨论，请参阅投票方法和社会选择理论的条目；有关分析概述，请参阅帕塔纳伊克（2002）的手册文章。巴贝拉（2010）回顾了关于战略投票的已知情况。

Mark Fleurbaey（2007）已经表明，如果社会福利函数要适当地回应某种社会状态的公平性，它们需要比我所允许的更多的序数信息。他举了一个例子，安拥有十个苹果和两个橙子，鲍勃拥有三个苹果和十一个橙子。如果直观上说，这种分配是“无嫉妒”的，那么安对自己的水果篮至少和对鲍勃的一样满意，同样地，鲍勃对自己的水果篮也和对安的一样满意。假设一个社会状态 S 中的水果分配如上所述，并考虑将分配颠倒的状态 S∗。也就是说，在 S∗ 中，安拥有三个苹果和十一个橙子，而鲍勃拥有十个苹果和两个橙子。从技术上讲，如果安对 S 弱偏好于 S∗，鲍勃也是如此，那么 S 就是无嫉妒的。我们可能期望，在其他条件相等的情况下，一个社会状态的无嫉妒性将使其在社会排序中优于一个不具备无嫉妒性的替代状态。但是我不允许这种情况发生。

要了解为什么不行，考虑从现状 S 开始，是否社会上更倾向于从 Bob 那里拿一个苹果和一个橙子，然后把它们都给 Ann。设 T 为这次转移所产生的状态。为了举例说明，我们假设 Ann 总是严格偏爱自己拥有更多东西而不是更少，而 Bob 的偏好也是自私的，所以在所有可接受的情况下，Ann 严格偏爱 T 而不是 S，而 Bob 严格偏爱 S 而不是 T。他们对这些状态的偏好是相反的，本身并不能推导出社会上的偏好。现在，首先考虑一个状态现状 S 是无嫉妒的，但 T 不是的情况。（让 Ann 和 Bob 在 S 中拥有的篮子之间都是无差别的，但在 T 中不是，他们都同意 Bob 比较糟糕。）相对于这个情况，一个促进无嫉妒的社会福利函数通过将 S 严格排在 T 之上，反对从 Bob 转移到 Ann 的转移。但是考虑另一个情况，在这种情况下，T 是无嫉妒的（现在 Ann 和 Bob 在 T 中的篮子之间是无差别的，并且同意在 S 中 Ann 比 Bob 更糟糕）。相对于这个第二个情况，T 在社会排序中超过了 S。与 I 直接冲突的是，在从一个情况转移到另一个情况时，S 和 T 之间的社会偏好发生了变化，尽管 S 和 T 之间的个人偏好保持不变。S 和 T 的社会排名取决于这些状态和“无关”的 S∗ 和类似定义的 T∗ 之间的偏好，因为 S 和 T 的公平性。

Fleurbaey 推荐了一个较弱的条件，将其归因于 Hansson（1973）和 Pazner（1979）：

弱独立性：对于一对选项的社会偏好应仅取决于人口对这两个选项的偏好以及对每个个体来说哪些选项对这些选项是无差别的（Fleurbaey 2007: 23）。

Fleurbaey（2007）讨论了满足弱独立性和阿罗悖论条件的社会福利函数，当然，除了 I 之外。在那里勾勒出的社会福利方法在（Fleurbaey 和 Maniquet 2011）中得到了详细发展。

5.3 更多序数信息：分数和等级

尽管阿罗悖论存在，但实现社会排序的另一种方法是允许人们提供比阿罗框架中允许的更多序数信息。阿罗限制个体对替代方案的输入仅限于弱序关系，目的是排除关于效用的基数信息。然而，这种限制对其目的来说过于严格。人们表达偏好的一种方式是对替代方案进行评分。尽管一般来说，等级不包含基数信息，但阿罗的框架没有提供人们使用等级来输入他们的偏好的方法。这可能看起来是阿罗的一个小疏忽，但它是至关重要的，因为有一些聚合等级输入的方法在偏好排序中是不可用的，并且随之而来的是对阿罗不可能性的另一种“逃避”。展示它如何进行需要对阿罗的框架进行轻微扩展。

让一个等级语言 L 成为一组严格有序的表达式，即等级。等级可以是自然语言中的形容词表达，如优秀、良好、可接受、差和糟糕，也可以是学术评估中常见的字母等级。它们可以是数字（通常称为分数）或常用于评估酒店和餐厅的星级字符串。它们可以是任何按照某种固定顺序排列的符号（从“顶部”到“底部”）。

一个等级函数 Gi 将备选集合 X 映射到给定的等级语言 L。直观地说，Gi(x)是备选项 x 的等级。等级函数 Gi 包含了备选项的某种弱序 Ri 的所有信息。这可以通过将 xRiy 放入 Gi(x)≥Gi(y)来看出：如果 i 对 x 的等级至少与 i 对 y 的等级一样高，那么 i 弱化地偏好 x 而不是 y。一般来说，Gi 包含的信息比相应的排序更多，因为我们不能总是反过来进行：不同的等级函数对应于相同的排序。例如，传达 A 优于 B 的一种方式是说，虽然 A 很好，B 只是可接受；另一种方式是说，虽然 A 很好，B 很糟糕，但这并不意味着相同的事情，因为可接受和糟糕并不相同。等级中的额外信息通常不是基数信息，因为例如英语中的普通形容词 good、acceptable 和 terrible 不提供关于 A 和 B 有多好的基数信息。

一个等级概况是一个列表 ⟨G1,…,Gn⟩，其中每个人 1,…,n 都有一个等级函数。多概况领域和社会福利函数 f 的概念与阿罗的框架中定义的相同，只是将等级概况放在阿罗的弱序概况（社会福利函数的输出不是对可选方案的社会评分，而是对它们的社会排序，就像阿罗的原始框架中一样）。阿罗定理的条件相应地进行了重新表述；例如，重新表述的领域假设是：

无限制领域（U）：f 的领域包括在 X 上定义的每个 n 个等级函数的列表 ⟨G1,…,Gn⟩。

阿罗的独立条件变为：

不相关替代品的独立性（I）：对于所有的替代品 x 和 y 在 X 中，以及所有的配置 ⟨Gi⟩ 和 ⟨G∗i⟩ 在 f 的定义域中，如果 ⟨Gi⟩|{x,y}=⟨G∗i⟩|{x,y}，那么 f⟨Gi⟩|{x,y}=f⟨G∗i⟩|{x,y}。

直观上，重新制定的独立性假设表示社会排序中一个替代品是否高于另一个替代品，仅取决于每个人对这两个替代品的评分。其他替代品在这个问题上是“不相关的”。

存在满足阿罗定理的所有条件的社会福利函数，针对分级输入进行了重新制定。例如，对于人数为奇数 n 的情况，社会福利函数中位数评分符合要求。给定一个评分函数的配置 ⟨Gi⟩，替代品 x 的中位数评分是当我们按照从上到下的顺序列出所有替代品 x 的评分 G1(x)，…，Gn(x)时，位于中间的评分。与该配置相关的社会排序是根据替代品的中位数评分进行的：xf⟨Gi⟩y 表示替代品 x 的中位数评分要么与替代品 y 的中位数评分相同，要么更高。

为了验证中位数评分满足重新定义的条件，以非独裁条件为例。如果对于任何备选方案 x 和 y，以及 f 的定义域中的任何配置 ⟨…,Gd,…⟩：如果 xPdy，则 xPy，则人 d 是 f 的独裁者。当 f 是中位数评分时，这意味着每当独裁者对一个备选方案表达了严格偏好，通过给它更高的分数，这个备选方案在社会排序中也严格排名更高，具有更高的中位数分数。除了只有一个等级的语言的特殊情况（这使得表达严格偏好变得不可能，给予每个人虚无的独裁权力），并且至少有两个备选方案和三个人，中位数评分在无限制的领域中没有独裁者。为了证明这一点，考虑任何给定的人 p 和任意两个备选方案 A 和 B。在无限制的领域中，存在某个配置，其中 p 对 A 的评分高于 p 对 B 的评分，但其他人对这些备选方案的评分正好相反：除了 p 之外的每个人都给 B 相同的评分，而给 A 相同的评分。在这个配置中，A 的中位数分数是 p 对 B 的评分，B 的中位数分数是 p 对 A 的评分，而后者更高。因此，尽管 p 严格偏好 A 而不是 B，但 B 在社会排序中严格高于 A，p 不是独裁者。对于每个人重复这个证明，其他人也不是独裁者。对于等级配置的无限制领域满足其他重新定义的条件同样简单明了。

米歇尔·巴林斯基和里达·拉拉基（2007 年）表明，评分和分级使得在保持序数框架内的同时“逃脱”了阿罗悖论的不可能性。他们的多数裁决理论是中位数分级的一种推广，比分级概况中的序数信息更有用（巴林斯基和拉拉基 2010 年）。巴林斯基和拉拉基坚持认为，人们必须共享他们所称为“共同语言”的分级，但没有给出这个概念的确切意义。事实上，可以证明，当不同的人可能对授予分级有非常不同的门槛时，分级概况中的信息不比相应的弱序概况中的信息更多。然后，阿罗悖论的一个近亲回归（Morreau 2016）。

阿罗在晚年意识到，评分和分级为民主创造了可能性，而他的框架不必要地排除了这种考虑。在 2012 年的一次采访中，他指出：

现在有另一种可能的思考方式，不包括在我的定理中...每个选民不仅仅给出一个排名。而是说，这个好。这个不好。或者这个非常好。这个很差。所以我有三个或四个类别...这改变了投票的性质。

要查看此次采访的文字记录，请参阅其他互联网资源。

5.4 基本信息

阿罗悖论（Arrow's Theorem）是由肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）提出的，阿罗在 1970 年将个体 i 的偏好表示为将备选方案映射到实数的效用函数 Ui：Ui(x)表示 i 从 x 获得的效用。在阿罗的框架中，偏好配置是一个效用函数列表 ⟨U1,…,Un⟩，而域是这些函数的集合。一个聚合函数，现在是社会福利函数，将某个域中的每个配置映射到备选方案的弱序。

Sen 展示了如何通过协调从不同假设中得出的社会排序来研究效用的可测性和人际可比性。例如，根据阿罗在其技术框架中构建的人际不可比性的序数测量，在 Sen 更灵活的设置中，等同于要求从任何将缩减为相同排序列表的效用配置中得出相同的社会排序。在另一个极端，如果这些配置产生了相同的社会排序，并且可以通过重新缩放或将所有效用函数乘以相同的正实数来获得彼此之间的社会排序，那么效用可以在比例尺上进行测量，并具有完全的人际可比性。Sen 探索了这些假设的不同组合。

一个重要的发现是，仅仅拥有基数效用本身是不足以避免不可能性结果的。此外，效用必须是人际可比的。直观地说，为了充分利用有关偏好强度的信息，必须能够比较不同个体偏好的强度。参见 Sen（1970 年：定理 8*2）。人际可比性为合并效用和偏好提供了许多可能性。其中两个重要的可能性可以从古典功利主义和罗尔斯的差异原则中得出。有关详细信息，请参阅社会选择理论的条目。

6. 重新解释

阿罗-森框架适用于研究除了其最初开发的聚合问题之外的一系列问题。本节简要讨论其中一些问题。

6.1 判断聚合

从认识论的角度来看，民主制度的价值部分在于其倾向于在与公共决策相关的事项上达成真理（参见埃斯特伦德 2008 年，但与彼得 2011 年相比）。这个想法在柯朗塞的陪审团定理中得到了一些支持。简单地说，它告诉我们，如果个体在某个事实问题上独立地更有可能做出正确判断，那么通过多数投票得出的足够大的群体的集体判断几乎肯定是正确的（柯朗塞 1785 年）。由于个体之间的认知多样性，"群众的智慧" 现象进一步提供了更好的支持，也是对认识论观念的支持（佩奇 2007 年，兰德莫尔 2012 年）。但在事实问题的集体判断的可能性上存在理论上的限制。从科恩豪泽和萨格（1986 年）对法律环境中的团体讨论的讨论开始，关于判断聚合理论的研究探索了与偏好聚合相关的悖论和不可能定理，这些悖论和不可能定理与柯朗塞和阿罗在偏好聚合方面发现的悖论和不可能定理密切相关。有关概述，请参见 List（2012 年）和社会选择理论条目。

6.2 多准则决策

在许多决策问题中，有几个标准可以用来比较不同的选择，如果将这些标准放在人的位置上，研究这些问题在阿罗-森框架内是很自然的。阿罗悖论告诉我们，如果各种假设和条件的类比是适当的，那么就没有一种程序可以得出一个“总体”排序，使不同的准则比较相互融合。

阿罗-森框架已被用于研究工业决策中的多准则评估（阿罗和雷诺 1986）以及工程设计中（斯科特和安东松 2000；与弗兰森 2005 进行比较）。安娜迪·哈蒂昂加迪（即将出版）认为，阿罗悖论限制了解释主义元语义学的可能性，其中语言表达的正确解释是根据相关标准来判断的最佳解释。

肯尼斯·梅（1954 年）使用阿罗的框架研究个体偏好的确定。实验发现，人们对不同选项的偏好往往是循环的。梅通过类比投票悖论来解释这一现象，即当一个选择在多个标准上比另一个更好时，人们会更倾向于前者。更一般地说，他重新解释了阿罗的定理，认为当不同标准“拉向不同方向”时，个体偏好的不传递性是可以预期的。苏珊·赫利（1985 年，1989 年）在道德价值的实际思考中考虑了类似的问题。她认为阿罗的定理在这种情况下不适用。她的论证之一是，与个人不同，道德标准只能以一种方式对给定的选择进行排序。它不能“改变主意”（赫利 1985：511），因此不适合将类似于领域条件 U 的条件强加于权衡道德理由的程序上。

在理论思考中也存在多准则问题。Okasha（2011）使用阿罗-森（Arrow-Sen）框架研究了通过包括与数据的契合度、简洁性和范围在内的准则在竞争的科学理论之间进行选择的问题。他认为不可能定理威胁到理论选择的合理性。请参阅 Morreau（2015）以了解为何认为它不适用于此问题，以及 Morreau（2014）以证明与单一配置文件选择相关的不可能定理（参见第 2.2 节和第 5.1 节）有时可能仍然适用。在相关工作中，Jacob Stegenga（2013）认为阿罗定理限制了结合不同类型证据的可能性。Eleonora Cresto 和 Diego Tajer（即将出版）反驳说，确认性整体主义要求对证据聚合函数的域进行限制，从而阻止了 Stegenga 的论证：他们将杜汉姆问题以积极的方式解释为使证据聚合成为可能的现象的一个方面。

6.3 总体相似性

在某一方面，事物彼此更相似，在另一方面则不太相似。许多哲学依赖于聚合或“总体”相似性的概念，阿罗的框架也被用来研究这些问题。

总体相似性是大卫·刘易斯形而上学的基础（刘易斯 1968 年，1973a，1973b）。他很少谈论各个方面的相似性和差异如何结合以产生总体相似性（刘易斯 1979 年）给出了他心目中的一些想法。阿罗-森框架也适用于研究这个聚合问题；如果适用的话，一种不可能的定理限制了达到刘易斯所假设的总体相似性的可能性。莫罗（2010）提出了阿罗定理的一个变体适用的案例。克罗德尔和休伯（2013）对总体相似性持更乐观的观点。

根据波普尔（1963）的观点，一些科学理论虽然是错误的，但比其他理论更接近真理。对他的真似度概念的研究区分了“相似性”和“内容”维度，问题是这些维度是否可以合并为一个关于理论整体真似度的排序。兹瓦特和弗兰森（2007）认为阿罗定理不适用于这个问题，但是，他们使用了一个受其启发的定理，认为即便如此，也没有好的方法来结合不同的维度。参见舒尔茨和魏因加特纳（2010）以及奥迪（2013）对他们观点的建设性批评。

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