《数学原理》 Principia Mathematica (Bernard Linsky and Andrew David Irvine)

首次发表于 1996 年 5 月 21 日；实质性修订于 2021 年 6 月 23 日。

这篇文章简要描述了阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德和伯特兰·罗素的符号逻辑巨著《数学原理》（PM）的历史和重要性，该书首次出版于 1910 年至 1913 年。《数学原理》的内容在每个卷的引言中以现代化的逻辑符号表示，并在每个卷的引言后进行描述。原始符号表示在本百科全书的附属文章〈数学原理〉的符号表示》中呈现。《数学原理》的内容被描述得可以与戈特洛布·弗雷格的《算术基本定律》进行比较，后者受到了罗素悖论的影响。为了避免悖论，怀特黑德和罗素引入了一个复杂的系统，现在被称为“类型分层理论”。然而，在第一卷早期引入了一个集合或“类”的理论后，PM 的系统可以与弗雷格和集合论的早期发展进行比较，并发现其中包含了竞争性的解释，没有矛盾，但在尚未深入研究的方面与现在的标准理论有所不同。

1. 概述

《数学原理》是由阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德和伯特兰德·罗素撰写的形式逻辑的里程碑之作，首次分别于 1910 年、1912 年和 1913 年出版成三卷本。第二版于 1925 年（第一卷）和 1927 年（第二卷和第三卷）出版。1962 年，一本缩写版（仅包含前 56 章）以平装本形式出版。

该书以逻辑主义（即数学在某种重要意义上可归纳为逻辑）为辩护，对发展和普及现代数理逻辑起到了重要作用。它也成为了整个二十世纪数学基础研究的重要推动力。与亚里士多德的《逻辑学》和戈特洛布·弗雷格的《算术基本定律》一样，它仍然是有史以来对逻辑影响最大的书籍之一。

这个条目包括了在 PM 的逻辑主义项目发展中使用的主要定义和定理的介绍。该条目指出了一条贯穿整个作品的路径，以较为现代的符号表示方式呈现了《数学原理》（PM）中证明的基本结果，以便将怀特海德和罗素的系统与弗雷格的系统进行比较，后者是数学基础中逻辑主义最杰出的倡导者。该计划的目标，正如罗素在他 1903 年的著作《数学原理》前言的开头所描述的那样，是以逻辑概念来定义数学概念，并仅从逻辑原理中推导出这些定义的数学原理：

这项工作有两个主要目标。其中之一是证明所有纯数学仅涉及可用极少数基本概念定义的概念，并且所有命题都可以从极少数基本逻辑原理推导出来，这一目标在本作品的第二部分至第七部分中进行，并将在第二卷中通过严格的符号推理得到证实。本作品的另一个目标是解释数学所接受的不可定义的基本概念。这是一个纯粹的哲学任务....（1903 年：xv）

虽然弗雷格的系统受到罗素悖论的影响，但对他的系统的进一步研究表明，算术的许多发展是可以独立于系统的悖论元素而存在的。特别是，对弗雷格系统的最近兴趣导致了所谓的“弗雷格定理”的孤立，该定理在弗雷格原始系统的一致片段中是可能的，并且从中可以推导出作为皮亚诺公理化的算术。请参阅《弗雷格定理和算术基础》条目，该条目以现代符号表示方式呈现了弗雷格系统的这一方面。

罗素在 1902 年 6 月发现弗雷格在《算术基础》和《算术基本法则》中的类似工作之前，已经写了《数学原理》（PoM），该书介绍了他的逻辑主义计划的基本要素。正如他在前言中所描述的那样，罗素打算在《数学原理》的“第二卷”中对他的解释进行正式展示。1903 年，他邀请阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德加入他一起写作这第二卷，但很快这个项目变成了一部新作品《数学原理》，这是一部庞大的三卷作品，直到 1910 年（第一卷）、1912 年（第二卷）和 1913 年（第三卷）才出版。

PM 系统与 Frege 的系统有很大的不同，主要是因为引入了类型理论，其目的是避免 Frege 受到的悖论的影响。与 Frege 的系统的第二个重要区别是，PM 基于具有不同数量参数的关系逻辑，而 Frege 的系统基于函数和对象的概念，即使他独特的逻辑概念也被视为函数（从一些对象到真值 T 和 F 的函数，在 Frege 的系统中也是对象）。因此，可以说 PM 基于分层类型关系理论，与 Frege 的二阶谓词演算和概念不同。最重要的一步是通过高阶函数来定义集合表达式。因此，具有悖论的“Russell 集合”，即所有不是自身成员的集合{x∣x∉x}，是通过涉及函数的表达式来定义的，这将违反类型理论。基于类型理论，这个有问题的类的表达式被排除在外，它看起来无害的补集，即所有是自身成员的集合{x∣x∈x}也被排除在外。在当代集合论中，{x∣x∉x}是集合的全集，它本身不是一个集合，因为没有集合是它自身的元素，{x∣x∈x}就是空集。这种方法的额外代价是，虽然对于 Frege 来说，集合是最低类型的对象，但在 PM 理论中，会有集合存在于一个简单的类型理论中，该理论区分个体、个体集合和个体集合的集合等。即使在简单理论中推导出集合的层次结构，也需要可约性公理来保证更复杂的“非约束性”定义选择相同简单类型的集合。因此，在分层理论中，一个闭区间的“上确界”将确定一个更高阶的集合的成员。这个最小上界将是相同简单类型的要求可通过可约性公理来实现。采用类型理论以避免悖论的代价在于构建自然数方面的困难。虽然罗素在许多重要细节上都遵循弗雷格的观点，特别是在使用弗雷格的祖先关系概念来定义自然数方面，但构建的其他部分却有重要的不同。弗雷格能够通过使用前驱数的集合来定义一个数的后继。数字 2 是包含 0 和 1 的集合，因此它有两个成员。然而，在简单类型的层次结构中，它们将属于不同的类型，因此整个自然数集不能在简单类型理论中定义。由于从 0 到 1，到 2 等每一步都将简单类型从 0 提升到 1，再到 2，所以没有一个简单类型能够定义所有这些被定义的自然数。相反，PM 采用了无穷公理，它确保了存在无限个体的存在，从而允许在 3 或更高的下界上构建自然数（因为数字将是由等势个体集合构成的集合...）。

通过转向分层类型理论，以及可约性和无穷性的额外公理，PM 能够定义弗雷格自然数构造的一个版本，以便可以仅通过逻辑证明“皮亚诺公理”。这一部分延续到第 ∗120 节，直到第二卷。在这一点上，“弗雷格定理”的替代方案已经完成，我们得到了一个基于高阶逻辑理论和一些额外公理的自然数的一致发展。哲学家们很快就跟随路德维希·维特根斯坦（1922 年）的脚步，并质疑这些额外公理，即可约性和无穷性公理，是否真的是逻辑真理，因此否认逻辑主义将算术归约为逻辑的计划比弗雷格的尝试更成功。

《数学原理》的调查将在第二卷的剩余部分和第三卷中进行，其中发展了有理数和实数的理论。这里的对比并不是与弗雷格的有理数和实数理论相比，弗雷格的理论虽然出现在《基本法则》中，但并不被视为自然数理论的自然扩展。相反，当代自然数和实数的解释被视为公理化的策梅洛-弗兰克尔集合论的基本扩展。当代公理化集合论教材，如恩登顿（1977）或苏普斯（1960），展示了如何将有理数（和负整数）构造为自然数的对，因此 3/4 被构造为具有加法和乘法运算的对；因此 1/2+1/3=10/12=5/6。通过添加负整数，这些正有理数被扩展到整个集合，然后将实数定义为有理数的戴德金切割，即有理数集合的分割集合。然后为这些构造定义实数的算术运算，因此用实数集合可以将整个分析学归约为算术。然而，《数学原理》避免了这种对分析的“算术化”，而是将有理数、实数和实际上大量的“关系数”定义为同构关系集合的集合。罗素后来表示遗憾的是，后来的集合论家没有接纳关系数理论，尽管这是他在《数学原理》中最原创的工作之一。我们在下面包含的对这些后来的主题的简要总结，因此可以看作是采用了一种基于关系和属性逻辑而不是当代数学基础的集合论的不同定义自然数的有趣后果的总结。因此，本条目旨在解释这些结果的不寻常的呈现顺序，与 Frege 和当代集合论相比，并且通过说明当代研究人员未研究的关系理论方面来说明这些方面。

2. 《数学原理》的历史和意义

2.1 《数学原理》的历史

逻辑主义是一种观点，认为（部分或全部）数学可以归纳为（形式）逻辑。通常解释为两部分论点。首先，它包括所有数学真理可以被翻译为逻辑真理的主张，换句话说，数学词汇构成逻辑词汇的一个适当子集。其次，它包括所有数学证明可以被重构为逻辑证明的主张，换句话说，数学定理构成逻辑定理的一个适当子集。正如罗素所写，逻辑主义的目标是“展示所有纯粹数学都可以从纯粹逻辑前提出发，并且只使用逻辑术语定义的概念”（1959 年：74）。

逻辑主义论点似乎最早由哥特弗里德·莱布尼茨在 17 世纪末提出。后来，哥特洛布·弗雷格更详细地捍卫了这个观点。在 19 世纪 20 年代的批判运动中，数学家们如伯纳德·波尔查诺、尼尔斯·阿贝尔、路易斯·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯成功地消除了当时数学中的许多模糊和矛盾。到了 19 世纪中后期，威廉·哈密尔顿已经引入了实数有序对作为为复数提供逻辑基础的第一步，而理查德·戴德金德、乔治·康托尔则都发展出了以有理数为基础的无理数的方法。在 H.G.格拉斯曼和理查德·戴德金德的工作基础上，朱塞佩·皮亚诺随后发展出了一个基于他现在著名的自然数公理的有理数理论。到了弗雷格的时代，人们普遍认识到数学的大部分可以从一个相对较小的原始概念集合中推导出来。

即使如此，直到 1879 年，当弗雷格发展出必要的逻辑装置时，逻辑主义才最终可以说已经变得技术上可行。经过另外五年的工作，弗雷格得出了逻辑化算术所必需的定义，并在 19 世纪 90 年代进行了许多基本推导的工作。然而，随着在世纪之交发现了罗素悖论等悖论，似乎需要开发额外的资源才能使逻辑主义成功。

到 1902 年，怀特海德和罗素都得出了同样的结论。两人都处于准备他们早期有关相关主题的书籍的第二卷的初期阶段：怀特海德的 1898 年《普遍代数论》和罗素的 1903 年《数学原理》。由于他们的研究有很大的重叠，他们开始合作，最终成为《数学原理》。根据协议，罗素主要负责项目的哲学部分，包括书中哲学上丰富的引言、描述理论和无类理论（其中集合或类术语只有在放置在明确定义的上下文中时才具有意义），即使非专业人士也可以有所收获。然后两人共同合作进行技术推导。正如罗素所写，

至于数学问题，怀特海德发明了大部分符号，除了从皮亚诺那里借用的部分；我主要负责与级数有关的工作，而怀特海德则负责其他大部分工作。但这仅适用于初稿。每个部分都经过了三次修订。当我们其中之一完成了初稿后，他会将其发送给另一个人，后者通常会进行相当大的修改。之后，制作初稿的人会将其最终定稿。三卷书中几乎没有一行不是共同的成果。（1959 年：74）

最初，人们认为这个项目可能需要一年的时间才能完成。不幸的是，在这两位男士艰苦工作了近十年之后，剑桥大学出版社得出结论，出版《数学原理》将导致预计损失 600 英镑。尽管出版社同意承担其中一半的金额，皇家学会同意捐赠另外 200 英镑，但仍然存在 100 英镑的赤字。只有通过每人贡献 50 英镑，作者们才能将他们的作品出版。（怀特海德、罗素和詹姆斯 1910 年）

出版涉及手工排版三卷的巨大工作。1911 年，当怀特海德发现符号的一个困难时，第二卷的印刷被中断。结果是在第二卷的开头（罗马数字页）插入了一篇长篇的“符号约定前言声明”。

1922 年，剑桥大学出版社的第一卷印刷了 750 本，第二卷和第三卷各印刷了 500 本，当鲁道夫·卡尔纳普写信给罗素要求一本副本时已经售罄。罗素回复卡尔纳普，给他寄去了一份 35 页的手写摘要，其中包括了该作品中的定义和一些重要定理（林斯基 2011 年：14-15）。由于没有可用于第二次印刷的版材，罗素开始准备第二版，于 1925-1927 年出版。第一版重新排版，并附有新的引言和三个附录，第二卷也重新排版。第三卷通过摄影过程复制，因此第一版的页码在这卷中保持不变。《数学原理》仍在剑桥大学出版社出版。

与许多数学作品一样，符号逻辑领域的后续进展带来了许多改进。由戈廷根的大卫·希尔伯特和波兰逻辑学派的 S. Leśniewski 以及他最著名的学生阿尔弗雷德·塔斯基领导的逻辑学派的工作始于纠正他们认为《数学原理》存在的缺陷和漏洞。参见 Kahle（2013）和 Wolenski（2013）。批评立即出现，最早是由 Chwistek（1912）在第一卷出版后不久开始的。一系列重要的数理逻辑新论文，特别是希尔伯特和阿克曼（1928），希尔伯特和伯奈斯（1934）以及克利尼（1952），被后续几代逻辑学家采用为教材。正如 Urquhart（2013）所指出的，这导致了在逻辑技术工作中对《数学原理》的引用数量的逐渐下降，以及它逐渐被其他教材取代，成为哲学系大学部门的符号逻辑导论课程的主要教材。到了 20 世纪 50 年代，《数学原理》甚至在研究生课程中也不再被用作教材。因此，《数学原理》的影响从 1910 年到 1950 年是巨大的，现在它已经成为一个被逻辑学生所熟知但因为其过时的符号而难以阅读的经典之作。本条目以及《数学原理》中的符号条目旨在使这部伟大的作品的贡献得以传播，并促进对其中隐藏的一些思想的进一步研究。

2.2 《数学原理》的重要性

实现《数学原理》的主要目标证明是一项挑战。最初，德国和波兰的数学家和逻辑学家对弗雷格所设定的形式严谨标准的下降表示了不满。这一抱怨是由弗雷格本人在 1912 年写给菲利普·乔丹的一封信中提出的：

…我对英语的理解还不足以确定地说，罗素的理论（《数学原理》I，54ff）是否与我关于一级、二级等函数的理论相符。看起来是这样。但我并不完全理解。罗素用他的符号 ϕ!^x 的意图对我来说并不十分清楚。我从来不确定他是在谈论一个符号还是它的内容。（弗雷格 1980：78）

对于“命题函数”这个概念容易产生用法和提及的混淆的说法一直持续至今。本条目将呈现 PM 的现代化语法版本，结合阿隆佐·丘奇（1974 年，1976 年）在类型符号方面的解释。现代类型理论允许对高阶语言进行一致的语法，许多人认为这足以满足这些异议。对于 PM 语法的表述的抱怨被重复，并且哥德尔（1944 年）在他对 PM 的有影响力的调查中表达了进一步的困难：

遗憾的是，《数学原理》这部首次全面而彻底地呈现数理逻辑及其从中推导出数学的著作，在基础部分（包含在《数学原理》的 ∗1–∗21 中）的形式准确性方面存在严重不足，与弗雷格相比，在这方面可以说是一大步退步。首先缺失的是对形式主义语法的准确陈述。即使在证明的严密性需要的情况下，也省略了句法考虑，特别是与“不完全符号”有关的情况。这些符号的引入并非通过明确的定义，而是通过规则来描述如何将包含它们的句子翻译为不包含它们的句子。然而，为了确保这种翻译是可能且唯一确定的，以及推理规则适用于这种新类型的表达式的程度，有必要对所有可能的表达式进行概述，而这只能通过句法考虑来提供。（哥德尔 1944 [1951: 126]）

关于定义表达式的问题，包括下面解释的“不完整符号”用于类和明确描述，对于解释《数学原理》仍然存在问题。困难在于某些定义的表达式，例如明确描述的符号表示法、类的抽象甚至是等号符号“=”，在理论的初始语法描述中没有具体说明，也没有显示它们作为公理的实例在明显的语法下有效使用。《数学原理》中使用的“上下文定义”方法难以严格规定，并且在当代逻辑理论中不使用。本条目中《数学原理》的现代呈现方式包括描述和类的符号，因此与 Church（1976）完全严格的呈现方式不同，后者避免了明确描述和类表达式，并将等号视为未定义的原始符号。

尽管对于《数学原理》的严谨性存在一些反应，但对于对新的符号逻辑感兴趣的人，如大卫·希尔伯特及其在哥廷根的学派的人，仍然认真研究了《数学原理》（参见 Ewald＆Sieg 2013：3 和 Chwistek 1912）。主要问题是怀特海德和罗素需要完成他们的项目所需的假设类型。尽管《数学原理》成功地提供了有限和无限算术，集合论和初等测度论中许多重要定理的详细推导，但有三个公理特别具有非逻辑性质：无穷公理，可约性公理和“乘法公理”或选择公理。无穷公理实际上陈述了存在无限数量的对象。可以说，它做出了一种通常被认为是经验而不是逻辑性质的假设。乘法公理，后来作为选择公理添加到泽尔梅洛的公理中，断言存在一个包含给定集合中每个成员的一个元素的特定集合。罗素反对没有规则指导选择的情况下，这样的公理不是一个逻辑原则。可约性公理被引入作为克服类型理论的不完全令人满意的效果的手段，类型理论是罗素和怀特海德用来限制良好形成表达式概念的机制，从而避免了罗素悖论。尽管在技术上可行，但许多批评家得出结论，该公理过于特殊以至于在哲学上无法证明其合理性。至少最初，列昂·赫维斯泰克（1912）认为它导致了矛盾。Kanamori 总结了许多读者的感受：

在对他的悖论的创伤反应中，罗素建立了一个复杂的秩序和类型系统，只是用他的可约性公理将其崩溃，这是一个由狡猾的躲避者强加的可怕的对称性。（2009：411）

在许多人的心中，数学是否可以归纳为逻辑，或者是否只能归纳为集合论的问题仍然存在。

作为回应，怀特海德和罗素认为这两个公理都可以通过归纳的方式进行辩护。正如他们在《数学原理》第一卷的引言中告诉我们的那样，

自证是接受公理的原因之一，但并非必不可少。接受公理的原因，就像接受任何其他命题一样，主要是归纳的，即从公理中可以推导出许多几乎是不容置疑的命题，并且如果公理为假，则不知道有哪种同样合理的方式可以使这些命题成立，也不可能从中推导出任何可能为假的命题。如果公理显然是自证的，那只是意味着它几乎是不容置疑的；因为有些事情被认为是自证的，但最终被证明是错误的。而如果公理本身几乎是不容置疑的，那只是增加了从其后果几乎是不容置疑的这一事实中得出的归纳证据，并没有提供新的根本不同的证据。绝对无误是无法达到的，因此对于每个公理及其所有后果，总应该存在一定的怀疑。在形式逻辑中，怀疑的成分比大多数科学要少，但并非不存在，这一点从悖论是由之前未知需要限制的前提导致的事实中可以看出。（1910 年：62 [1925 年：59]）

怀特海德和罗素对这本书在许多工作数学家中的冷淡反应也感到失望。正如罗素所写，

怀特海德和我都对《数学原理》仅从哲学角度来看的情况感到失望。人们对于书中关于矛盾的论述以及普通数学是否从纯逻辑前提中有效推导出来的问题很感兴趣，但对于在工作过程中开发的数学技术却不感兴趣...即使那些从事完全相同课题的人也不认为值得去了解《数学原理》对这些课题的论述。我将给出两个例子：《数学年鉴》在《数学原理》出版约十年后发表了一篇长篇文章，介绍了一些结果（作者不知情）我们在书的第四部分中已经研究出来的。这篇文章存在一些我们避免的不准确之处，但没有包含我们尚未发表的有效内容。显然，作者完全不知道他已经被预先提前了。第二个例子发生在我在加利福尼亚大学与莱辛巴赫共事时。他告诉我他发明了一种称为“超限归纳”的数学归纳法。我告诉他这个主题在《数学原理》的第三卷中已经全面讨论过了。一周后我见到他时，他告诉我他已经验证了这一点。（1959 年：86）

尽管存在这样的担忧，《数学原理》在至少三个方面证明了其非凡的影响力。首先，它以一种比弗雷格、怀特海德和罗素使用的符号更易理解的符号，使现代数理逻辑的表达能力得到了前所未有的普及。通过清晰地展示了新逻辑的演绎能力，怀特海德和罗素成功地展示了现代形式系统的强大概念，从而开辟了所谓的元逻辑的新领域。第三，《数学原理》重新确认了逻辑主义与传统哲学的两个主要分支，即形而上学和认识论之间的明确而有趣的联系，从而在这两个领域开展了新的有趣研究。

因此，《数学原理》不仅引入了一系列哲学上丰富的概念（包括命题函数、逻辑构造和类型理论），还为关键的元理论结果的发现（包括库尔特·哥德尔、阿隆佐·邱奇、艾伦·图灵等人的结果）奠定了基础。同样重要的是，它在哲学、数学、语言学、经济学和计算机科学等领域开创了共同的技术工作传统。

如今，《数学原理》的最终哲学贡献仍存在争议，一些作者认为，在适当的修改下，逻辑主义仍然是可行的项目。其他人认为，该项目的哲学和技术基础仍然过于薄弱或混乱，无法对逻辑主义者产生重大帮助。（有关更详细的讨论，请参阅奎恩 1963 年、1966a 年、1966b 年；兰迪尼 1998 年、2011 年；林斯基 1999 年、2011 年；哈尔和赖特 2001 年；伯吉斯 2005 年；欣蒂卡 2009 年；甘东 2012 年。）

对于该书的第二版，人们对其重要性也存在分歧。第二版于 1925 年出版（第一卷），而第二卷和第三卷则直接从 1927 年的第一版中重印。虽然修订工作由罗素完成，但怀特海德也有机会提供建议。除了在原文中纠正了一些小错误外，新版还包括了新的引言和三个附录。（这些附录分别讨论了量化理论、数学归纳法和可约性公理，以及外延性原理。）该书本身的排版更加紧凑，使得对第一版的页码引用已经过时。罗素一直在进行修正工作，直到 1949 年为了 1950 年的印刷版，这一年他和怀特海德的遗孀终于开始获得版税。

如今，对于一些修订的最终价值，甚至正确解释的争议仍然存在。这些修订在很大程度上受到了罗素的一些最聪明的学生，包括路德维希·维特根斯坦和弗兰克·拉姆齐的工作的影响。附录 B 一直以来都存在问题。该附录声称展示了如何在不使用可约性公理的情况下证明数学归纳法；但正如阿拉斯代尔·厄奎特所报道的那样，

第一个表明出现严重问题的迹象出现在哥德尔 1944 年的著名论文《罗素的数理逻辑》中。在那里，哥德尔指出罗素命题 ∗89·16 的证明中的第 3 行是一个基本的逻辑错误，而关键的 ∗89·12 也似乎是非常值得怀疑的。尽管存在错误，但仍然有待确定是否能够挽救罗素的证明。然而，约翰·迈希尔在 1974 年提供了强有力的证据，通过模型论证明，在没有可约性公理的类型分层理论中，无法给出类似罗素的证明。（厄奎特 2012）

Linsky (2011)提供了对附录本身以及 1925 年之前罗素可能与数学逻辑这个快速变化领域的最新发展失去联系的建议的讨论。他还回应了一些评论家提出的怀特海德可能反对修订，或者至少对修订漠不关心的建议，并得出结论，这两项指控都可能没有根据。（怀特海德自己在 1926 年发表在《心灵》杂志上的评论对这个问题没有提供太多线索。）

3. 《数学原理》的内容

《数学原理》最初分为三卷。

《数学原理》第一版卷一的封面（1910 年）

《数学原理》第一版平装本封面至 ∗56（1962 年）

这三卷共分为六个部分。接下来的评论将按顺序介绍各个部分，并在早期部分指出读者可以跳过，以研究 PM 系统在数学发展中与 Frege 和当代集合论的独特特点相对比的地方。

3.1 卷一

卷一分为三个部分的详细介绍，接着是两个主要部分 I（分为 A-E 节）和 II（也分为 A-E 节）：

思想和符号的初步解释
逻辑类型理论
不完全符号
第一部分：数学逻辑
- A. 推理的理论 ∗1–∗5
- B. 表观变量的理论 ∗9–∗14
- C. 类和关系的理论 ∗20–∗25
- D. 关系的逻辑 ∗30–∗38
- E. 类的乘积和和 ∗40–∗43
第二部分：基数算术的前奏
- A. 单位类和对 ∗50–∗56
- B. 子类、子关系和相对类型 ∗60–∗65
- C. 一对多、多对一和一对一关系 ∗70–∗74
- D. 选择 ∗80–∗88
- E. 归纳关系 ∗90–∗97

3.2 第二卷

第二卷以有关符号约定的初步部分开始，然后是第三部分（分为 A-C 节），第四部分（分为 A-D 节）和第五部分的前半部分（A-C 节）：

符号约定的前言声明
第三部分：基数算术
- A. 定义和基数的逻辑属性 ∗100–∗106
- B. 加法、乘法和指数运算 ∗110–∗117
- C. 有限和无限 ∗118–∗126
第四部分：关系算术
- A. 序数相似性和关系数 ∗150–∗155
- B. 关系的加法和两个关系的乘积 ∗160–∗166
- C. 第一差异原理，以及关系的乘法和指数运算 ∗170–∗177
- D. 关系数的算术运算 ∗180–∗186
第五部分：级数
- A. 级数的一般理论 ∗200–∗208
- B. 关于截面、段、延伸和导数 ∗210–∗217
- C. 关于收敛和函数的极限 ∗230–∗234

3.3 第三卷

第三卷包含第五部分的剩余部分（D-F 节），并以第六部分（分为 A-D 节）结束：

第五部分：级数（续）
- D. 有序数列 ∗250–∗259
- E. 有限和无限数列与序数 ∗260–∗265
- F. 紧致数列、有理数列和连续数列 ∗270–∗276
第六部分：数量
- A. 数字的概括 300– 314
- B. 向量族 330– 337
- C. 测量 ∗350–∗359
- D. 循环家族 ∗370–∗375

开始了一个关于几何的第四卷，但从未完成（罗素 1959 年：99）。

总的来说，这三卷不仅代表了现代逻辑的重大飞跃，而且还富含着二十世纪初数学发展的丰富内容。举个例子，怀特海德和罗素是第一个将级数定义为具有非对称性、传递性和连通性属性的一组项的人（1912 [1927: 497]）。再举一个例子，正是在《数学原理》中，我们找到了康托尔超穷序数的第一个详细发展的广义版本，作者称之为“关系数”。由此产生的“关系算术”进一步提高了我们对结构的一般概念的理解（1912: 第四部分）。

正如 T.S.艾略特指出的那样，这本书在二十世纪初期的普通语言使用方面也做出了很大贡献：

逻辑学家的工作对于使英语成为一种可以在任何主题上进行清晰准确思考的语言做出了很大贡献。《数学原理》对我们的语言可能比对数学的贡献更大。（1927: 291）

这本书也不乏一些自嘲的幽默。正如布莱克韦尔指出的（2011: 158, 160），作者们两次取笑项目中众多逻辑推导的冗长和乏味。在第一卷中，作者们解释说不能列举出所有的 ϕ!^z 的非内涵函数，因为“生命太短暂”（1910 [1925: 73]）；而在第三卷中，在超过 1800 页的密集符号之后，作者们在第四部分 D 节中以以下评论结束，

在本节中，我们对证明进行了相对简短的阐述，特别是在纯粹算术引理的情况下，这些证明是非常直接的，但如果详细写出来会很乏味。（1913 [1927: 461]）

有证据表明，这种幽默更多地源于罗素而不是怀特海德，在罗素的其他著作中也有类似的言论。当讨论选择公理时，罗素的评论是，给定一组集合，可以“从中任意挑选一个代表，就像在大选中那样”（1959: 92），这或许就是一个例子。

今天的读者（即那些在二十世纪后几十年学习逻辑的人）会发现这本书的符号有些过时。建议需要帮助的读者参考《数学原理》中关于符号的条目。即便如此，这本书仍然是二十世纪伟大的科学文献之一。

4. 第一卷

4.1 第一部分：数理逻辑

4.1.1 《数学原理》中的命题逻辑

《数学原理》中的命题逻辑系统可以看作是由语言和推理规则组成的命题逻辑系统。《数学原理》首次提出了将命题逻辑作为一个独立理论来处理的符号逻辑。弗雷格从一开始就涉及量化，而皮亚诺的系统可以解释为关于命题和类的理论，每个解释都有一些不同的原则。《数学原理》中的命题逻辑对于现代读者来说是不寻常的，原因有很多，与其起源于罗素早期关于逻辑的工作有关。其中一个原因是命题逻辑的公理不仅使用逻辑的原始连接词 ∼ 和 ∨ 来陈述，而是只使用 ∨ 和 ⊃ 这个被定义的连接词。

在本节中，我们将使用 A、B 等作为元语言变量来表示公式。由连接词构造的公式被称为表达基本命题，以区别于涉及量词和命题函数的命题。该系统以公理为基础组织，称为“原始命题”或“Pp”的公理以材料蕴涵的特征‘⊃’呈现，该蕴涵是用 ∼ 和 ∨ 定义的。连接词&和 ≡ 也被定义了，但在公理的陈述中不需要使用。这种特殊性源于罗素在 1903 年的观点，认为命题逻辑的公理应该只使用 ∨ 和 ⊃ 这两个连接词。

命题演算的特点是所有命题的假设和结论都是材料蕴涵的断言。(1903: 13)

PoM 的所有“原始命题”都只使用材料蕴涵作为原始连接词来陈述。连接词 &、∨ 和 ≡ 的定义如预期所料。否定的概念，由 ∼ 表示，使用对命题的量化概念来定义（∼A 表示 A 蕴涵所有命题）。到 1906 年，罗素决定将 ∼ 作为原始连接词，并不再使用命题量词，允许 ⊃ 被定义，而原始命题仍然使用 ⊃ 和 ∨ 来陈述。在 PM 中，命题逻辑系统是通过原始选择的演变而形成的，这在第一章中证明的定理的选择中得到了体现。虽然大多数定理是因为它们将在 PM 中后续使用而被证明的，但有些定理仅仅是早期系统的遗留物。特别是 PM 中包含了一些在早期系统中是原始命题的定理，尽管在后续内容中没有使用。事实上，PoM 中的一个原始命题，被称为“皮尔斯定律 ([(p⊃q)⊃p] ⊃p)”，似乎在早期版本的 PM 中被证明为 ∗2·7，但仅仅是被删除（并且其编号没有重新分配给其他定理）仅仅是为了节省空间（参见 Linsky 2016）。

命题逻辑的真值语义概念，使用熟悉的真值表，以及公理系统的完备性概念，直到 PM 出版后不久由伯奈斯（1926）发展起来。因此，没有试图找到一个完备的公理列表，因此在工作的后期阶段，没有简单地诉诸于“逻辑推论”，这可能很容易通过语义考虑来证明。

在《数学原理》中，命题逻辑的语言由以下词汇组成：

原子命题变量：p，q，r，p1，…（没有命题常量）。
陈述连接词。原始的：∼ 和 ∨。定义的：⊃，&，≡。
标点符号：(，)，[，]，{，}等。

《数学原理》中对良构公式（wffs）的定义如下：

原子命题变量是良构公式（wffs）。
如果 A 和 B 是 wffs，那么 ∼A 和 A∨B 也是 wffs。

其他熟悉的连接词的定义如下：

定义 ∗1⋅01∗3⋅01∗4⋅01A⊃B=df∼A∨BA&B=df∼(∼A∨∼B)(A≡B=df(A⊃B)&(B⊃A)
公理 Pp ∗1⋅2Pp ∗1⋅3Pp ∗1⋅4Pp ∗1⋅5Pp ∗1⋅6(p∨p)⊃pq⊃(p∨q)(p∨q)⊃(q∨p)[p∨(q∨r)] ⊃ q∨(p∨r)⊃ [(p∨q)⊃(p∨r)]

1926 年，保罗·伯纳斯（Paul Bernays）证明了这可以减少一个，因为公理 4 (∗1·5)可以从其他公理中证明出来。

推理规则：
- Modus ponens (∗1·1): 从 ⊢A⊃B 和 ⊢A 推导出 ⊢B
- 替换：从 ⊢A 推导出 ⊢A′，其中 A′是将某个公式 B 均匀替换为 A 中出现的任何原子命题变量的结果。

在《数学原理》中没有明确陈述替换规则。《数学原理》中的命题逻辑的自由变量可以被解释为示意字母，因此系统将需要一个公式替换规则。在本文中，它们被解释为范围在命题上的实际变量，这样实例就可以通过从所有命题的概括中实例化得到。引言中宣布命题在接下来的内容中并不必要，因此将被避免，这暗示了变量的示意解释。然而，在本文中，我们遵循变量解释，部分原因是为了让我们的符号表示遵循《数学原理》，而不是使用示意字母 A、B 等的新词汇。这种将字母解释为变量的方式也将有助于下面在《数学原理》中展示量化逻辑。

作为逻辑公理化表述的标准，PM 中的命题逻辑公式的推导将由六个公理之一的实例、前一行的替换结果或者对前两行应用推理规则得到。PM 的定理将按顺序证明，允许在后续推导中使用（实例化的）前面的定理作为行。

结果系统是完备的，即系统中可以推导出所有真值功能有效的句子，而且只有这些句子。尽管根据现代标准，该系统似乎存在缺陷，包括一个公理的冗余性，将定义符号用于推理规则适用的表达式以及将定义符号用于公理。∗2 到 ∗5 的推导是缩写的，但每行的侧边有一个说明，说明了它的理由以及如何撤销任何缩写。定理主要是根据后面的数字需要证明的，但有些是公理，或者是早期命题逻辑的重要定理，可以追溯到《数学原理》。除了对他们实际选择的历史兴趣外，PM 系统可以被视为基于任何标准的命题逻辑系统。

4.1.2 “分层”类型理论

《数学原理》的初始章节中的类型理论是分支的，因此在给定类型中，命题、个体函数和个体函数的函数将有更细的细分。这种分支是将《数学原理》的逻辑应用于《数学原理》引言中所谓的“认识论”悖论的必要条件。其中最突出的是由命题所创建的（命题）悖论，即所有某种类型的命题，比如由 Epimenides 断言的命题，都是假的，而那个命题本身就是那种类型的命题，也就是 Epimenides 断言的唯一命题。在分支类型理论中的解决方案要求关于一种第一级命题的命题，比如它们都是假的，本身将是下一级的命题。

集合论的悖论通过将关于集合的断言化简为关于命题函数的断言来解决。一个类型的函数不能应用于同一类型的函数的限制足以阻止悖论的发生。因此，通过所谓的“简单类型理论”对个体、个体函数和这类函数进行分类，足以将数学化简为类，从而化简为逻辑。关于不需要完整的类型理论来解决数学或集合论悖论的观点是由 Chwistek（1921）和 Ramsey（1931）提出的，并导致后来引入了“分支类型理论”和“简单类型理论”这两个术语，这些术语将在本条目中使用。

在《数学原理》的引言中，介绍了变量在公式中出现的两种方式的术语。"表面变量" 是绑定变量，而 "真实变量" 是自由变量。关于《数学原理》中高阶变量的正确解释是当代学者之间的争议的主题。Landini（1998）和 Linsky（1999）提供了两种竞争的解释。Landini 认为，高阶自由变量应该被解释为示意字母，可以用公式替换，而绑定变量应该被 "替代性地" 解释。《数学原理》中类型理论的逻辑可以看作是对 ∗10 中发展的标准一阶逻辑理论的扩展。然后可以解释依赖于类型理论的更具特色的《数学原理》概念。这些概念包括可约性公理，在 ∗12 中，它是类型理论所谓的分级的基础，将谓词划分为适用于单一类型参数的不同级别。可约性公理断言，对于任意阶的任意函数，存在一个等价的谓词函数，即，它对应的参数范围完全相同。下面将对此进行解释。恒等性在 ∗13 中被定义为与类型理论一致的 Leibniz 恒等性概念的一个版本。在《数学原理》中，用 x 和 y 共享相同的属性来定义 x 和 y 相等，而不是 Leibniz 的概念。然后，使用这样定义的恒等性概念，PM 以与 "论指称"（1905）中定义的完全相同的方式呈现了 Russell 的确切描述理论。本文将使用 Alonzo Church 1976 提出的 "r-类型" 符号，该符号在本百科全书的附带文章〈数学原理〉的符号》中有解释。

虽然《数学原理》没有将一阶逻辑从整个分层类型理论中单独提出来，但页面上的实际演绎装置看起来确实像是一种一阶逻辑系统，并且高阶逻辑的复杂性可以用附加的类型指数装置来表示。在接下来的内容中，我们将使用 Church（1976 年）的 r-类型系统作为类型指数的系统，并使用 lambda 运算符来表示命题函数。

Church（1976 年）对 PM 逻辑的 r-类型的表述 PM 的高阶量化逻辑的语言被称为分层类型理论，而根据 Church（1976 年）的系统将被称为 r-类型。请注意，有两种类型的变量，但它们都被分配给一个 r-类型。个体变量表现为命题函数变量的特殊情况。

（参数）变量：对于每种类型 τ，xτ，yτ，zτ，...
n-地方命题函数变量：ϕnτ，ψnτ，…（n≥1），其中 τ 是类型符号。（Rn，Sn，…（n≥1）用于扩展中的关系。）χ 用于函数的高阶函数，如 χ（ϕ），Φ 用于下一个阶数，如 Φ（χ）
连接词：∼，∨
标点符号：（，），[，]，{，}等。
量词符号：∀ 和 ∃。
λ 符号。

r-类型的符号系统以及将 r-类型分配给不同实体（个体和函数）的变量如下：

ι 是一个个体的 r 类型。
当 τ1,…,τm 是任意的 r 类型时，(τ1,…,τm)/n 是级别为 n 的命题函数的 r 类型；这是任何级别为 n 的 m 元命题函数的 r 类型，其参数分别为 r 类型 τ1,…,τm。

实体的顺序定义如下：

一个个体（r-类型 ι）的顺序为 0
一个 r-类型（τ1,…,τm）/n 的函数的顺序为 n+N，其中 N 是参数 τ1…,τm 的顺序中最大的值

这种语言中没有谓词或个体名称。然而，有命题函数的复杂术语，与公式一起定义（具有常规的绑定和自由变量的概念）：

让表达式 ϕτ 成为变量，范围为 τ 类型的命题函数。我们将 xτ 读作元语言变量，范围为 r-类型 τ 的变量。下标 τ 仅在控制变量的初始量词中指示。

然后我们可以如下定义量化逻辑的良好形式公式（wffs）和术语：

变量（用于个体和命题函数）是术语。
如果 ϕnτ 是 r-类型（τ1…，τn）/k 的 n 个命题函数变量，xi（0≤i≤n）分别是 r-类型 τ1…，τn 的项，则 ϕ（x1，…xn）是一个 wff。（变量 xn 被称为“参数”变量。它们将包括 r-类型 ι 的个体变量，但也包括更高类型的变量。变量 ϕ 可以作为 ϕ（x）中的谓词出现，也可以作为 Ψ（ϕ）中的参数出现，但不能是类型 ι 以出现在 wff 中。）
如果 x 是类型 τ 的变量，A 是一个 wff，则 λxA 是 r-类型（τ）/n 的一个项（其中 n 是 A 中任何绑定变量的最高阶数加 1，且至少与 A 中任何自由变量的阶数一样高）。
如果 x 是类型为 τ 的个体变量，A 是一个 wff，其中 x 自由出现，则 ∀xA 和 ∃xA 也是 wffs。
如果 A 和 B 是 wffs，那么 ∼A，A&B，A∨B，A⊃B 和 A≡B 也是 wffs。连接词的常规优先顺序将减少标点符号以指示连接词的范围，因此 A∨B⊃C 被读作(A∨B)⊃C。

对于高阶逻辑系统或集合论的理解原理，它规定了哪些公式表达了一个属性或集合。在类型理论中，这允许看起来像是一个“无限制”的理解原理，即对于每个具有自由变量 x 的良好形成的表达式 A，存在一个仅由满足该公式的实体满足的属性。类型的限制阻止了悖论的产生，因为问题公式“不是自身的成员”和“不适用于自身”被类型系统排除。因此，理解原理由一组形式为的无限句子所表征：

理解原理：

∃ϕ∀xτ [ϕ(x)≡A]，（ϕ 在 A 中不自由）

其中 ϕ 是 r-类型(τ)/n 的一个功能变量，x 是 r-类型 τ 的一个变量，A 的约束变量的阶数都小于 ϕ 的阶数，A 的自由变量的阶数都不大于 ϕ 的阶数。

正如这里所呈现的，丘奇看似简单明了的理解原理，以及对变量类型的限制，对奎因来说是 PM 中使用和提及语言混淆的明显表现：

…符号和对象之间存在着一种特征性的相互作用：命题函数从抽象表达式中获得其顺序，而变量的顺序则是值的顺序。通过允许词语“顺序”具有双重意义，既可以归因于符号，同时也可以归因于它们的对象，来简化阐述。（奎因 1963: 245）

这种冒犯来自于将命题函数归因于它们所定义的变量，同时也归因于函数本身，作为绑定的高阶变量的简单值。作为回应，类型论的辩护者必须说，命题函数的任何语义解释都必须将这些在某些语言表达中标记的区别归因于函数本身，特别是与其定义相关的变量。

PM 中的 ∗12 之前是在类型分层理论中展示量化逻辑的内容。这些复杂性是由于作者（肯定是在罗素的坚持下）决定添加一个新的 ∗9 部分，允许将早期的命题逻辑理论直接纳入量化逻辑中，就像当代逻辑中所做的那样。这表明早期理论确实是一个命题理论，而不是一个允许包含自由变量的开放句子的量化逻辑片段的解释。

《数学原理》中的量化逻辑

第 ∗10 节将量化逻辑制定为当前的形式，即假设命题逻辑的公理和定理适用于所有公式，而不仅仅适用于 ∗1–5 的基本命题。罗素似乎对这个假设感到担忧，因此引入了一个新的第 ∗9 节，仅从基本命题中推导出量化理论的原理。虽然对 PM 的学者来说很有趣，但对 PM 中后来使用的量化逻辑来说，结果是相同的。

同样，对于对 PM 中逻辑主义项目的区别感兴趣的读者可以跳过本节，尽管可能会对所使用的高阶逻辑系统给予一些关注，因为它基于这里的分层类型理论。

对于多于一个变量的函数的扩展是显而易见的，并且下面的一些应用将使用这个扩展。

存在量词和其他熟悉的连接词 ⊃、&和 ≡ 的定义与命题逻辑相同。（在接下来的内容中，A 现在是一个任意的（可能是量化的）公式）：

∗10⋅01∃xA=df∼∀x∼A

∗10 的公理：将命题变量统一替换为命题公式的所有命题定理的实例。

PM 系统使用普遍概括规则和等同于实例化规则的公理。

∗10⋅1⊢∀xτA⊃A′

其中 A′与 A 相似，只是在 A 中用类型 τ 的项 y 替换了 xτ。

（注：对于高阶逻辑而言，适当的“替换”概念比一阶逻辑要复杂得多。部分原因是将 λ 表达式应用于命题函数的参数，例如 λxϕ(x)，其中 ν 可能是涉及其他 λ 表达式中的变量和量词的复杂术语。）

∗10⋅11 如果 ⊢A，则 ⊢∀xτA′

其中 A′与 A 类似，只是在 A 中用类型为 τ 的术语 y 替换了 x

其他量词原理，它们控制量词从公式内部移动到控制整个公式，被称为“量词包含原理”，也是在《数学原理》中作为定理推导出来的。一些在后面的章节中经常使用的原理有：

∗10⋅12∗10⋅21∀xτ(A∨ϕ(x))⊃(A∨∀xτϕ(x))∀xτ [A⊃ϕ(x)] ≡ [A⊃∀xτϕ(x)]

《数学原理》中关于 ∗10 的介绍开始于：

这个数字 [∗10] 的命题的主要目的是尽可能多地扩展到形式蕴涵的命题（即形如 ∀x(ϕx⊃ψx)的命题），这些命题之前已经证明了对于物质蕴涵的命题，即形如 p⊃q 的命题。（更新了符号）

换句话说，本节介绍了量化逻辑，以一种对当代逻辑来说很熟悉的方式。前面几节的命题逻辑只对基本的一阶命题为真，因此通过展示如何将句子呈现为“前纳式”，即量词在量词自由矩阵之前的初始位置，从而将其扩展到高阶逻辑。这些定理现在被称为“量词限制”定理，形式如下：

∗10⋅23∀xτ [ϕ(x)⊃A] ≡ [∃xτϕ(x)] ⊃A

可简化性公理

鉴于 PM 系统包含了一个分层类型理论，然而，在 ∗20 之后讨论剩余工作的过程中，需要进一步引入一个公理，即可简化性公理，以便允许一个简单的类类型理论。考虑实数理论中有界实数类的上确界（l.u.b.）的基本概念。考虑所有平方小于或等于 2 的实数类，即{x∣x2≤2}。如果一个实数类 S 有一个上界，当且仅当 ∃r∀s(s∈S⊃s≤r)。如果一个有界的实数类 S 有一些 r-类型 τ 的成员，则最小上界必须属于 r-类型 τ/1，因为定义中的量词范围涵盖了 S 的元素 s。我们说 S 的定义是“自指的”，因为它涉及到对它所属的整体的量化。然而，实数理论要求有时类的最小上界是该类的一个成员，在这种情况下，S 的最小上界，即 √2，是 S 的一个元素。

在 PM 系统中解决这个问题的方法是采用一个保证任何以另一个类定义的类将具有相同类型的公理。因此，允许自指的类定义，并且不会引入更高类型的类。这是通过采用可简化性公理（∗12）来实现的，该公理保证对于任何函数 ϕ，都会有一个与之等价的谓词函数。更准确地说，可简化性公理断言对于任何任意级别的任意数量参数的函数，都存在一个等价的一级函数，即对相同实体为真的函数。

可简化性公理，

Pp ∗12⋅1∀ψ∃ϕ∀xτ [ψ(x)≡ϕ!(x)]

其中 ϕ!是一个谓词函数。

在《数学原理》中，感叹号“！”用于表示谓词函数。在丘奇的 r-类型系统中，这可以通过说变量 x 是 r-类型 τ，ϕ 是 r-类型(τ)/1，ψ 是 r-类型(τ)/n 来表达。换句话说，ϕ 是与其参数兼容的最低阶的。这种谓词函数的概念来自于引言部分。在 ∗12 中，怀特海德和罗素提出了更狭义的谓词函数概念，即 ϕ 必须是一个矩阵，或者在其定义中根本没有量词出现的函数。请参阅《数学原理》中关于符号的附录。

从 Chwistek（1912）开始，一直到 Copi（1950），有些人认为可约性公理在技术上存在缺陷，导致了系统中的不一致性，或者至少是冗余。Ramsey（1931）早就认为所谓的矛盾实际上表明了某些谓词函数是不可定义的。丘奇（1976）证实了这一评估，并使用我们在这里描述的 r-类型的表达方式来严格说明在《数学原理》系统中哪些函数是可定义的限制。

这个公理与《数学原理》中的类理论的相互作用将在下面与关于类的 ∗20 一起解释。

《数学原理》中的身份

当代逻辑遵循弗雷格的观点，将身份（用=表示）视为一个逻辑概念。在《数学原理》中，身份的概念遵循莱布尼兹的定义，即不可分辨性，即不可分辨的对象是相同的。也就是说，对于所有的 ϕ，(ϕx≡ϕy)⊃x=y。但由于还原性公理保证了如果存在某种函数类型，在该函数上 x 和 y 不同，它们将在某些谓词函数上不同，因此《数学原理》使用以下身份的定义：

∗13⋅01xτ=yτ=df∀ϕ [ϕ!(x)⊃ϕ!(y)],

对于 ϕ！一个谓词函数。

在当代逻辑系统中，公理或推理规则允许如果 x=y，则对于任何谓词 ϕ，ϕx≡ϕy。换句话说，相同的事物是无法区分的。只有当不可能通过某个更高阶的属性来区分共享所有谓词属性的实体 x 和 y 时，给定的身份定义才足够。还原性公理保证了共享任何给定更高阶属性的 x 和 y 将导致共享谓词属性，因此根据身份的定义，x=y。

在《数学原理》第二版的附录 B 中，由罗素撰写，对放弃还原性公理的后果进行了技术性讨论。提出了一个错误的证明，以表明归纳原理可以在修改过的类型理论中推导出而不使用还原性公理（参见 Linsky 2011）。然而，正如罗素指出的那样，不可能在不假设还原性公理的情况下使用“戴德金”有理数类来定义实数（上面讨论的每个具有上界的实数类都有一个实数作为其最小上界，这是无法证明的）。因此，罗素说“分析将崩溃”。然而，在所有这些讨论中，罗素并没有指出在 ∗13 中的身份定义将被什么取代，而这个定义在很大程度上依赖于还原性公理。

确定描述

罗素在《论指称》（1905 年）中提出了他的确定描述理论，并且它可能是 PM 逻辑最广泛讨论的应用。然而，确定描述理论在 PM 中的作用仅限于在 ∗30 中用于定义所谓的“描述函数”。在当代逻辑中，通常会展示如何使用“功能关系”的概念来证明在只有 n 元谓词的语言中引入函数符号的合理性。确定描述理论对于这个论证是至关重要的。在 ∗30 之后，PM 中只有少数几次出现描述运算符的情况。也许罗素对哲学逻辑和语言哲学最有价值的贡献，在这里只是一个用于技术目的的工具，尽管这个目的在程序上很重要。然而，这个技术目的确实表明了弗雷格和罗素逻辑主义之间的重要区别。弗雷格的逻辑是基于概念的概念，它是从对象到真值的函数的一种情况。罗素的逻辑可以被看作是进一步将数学概念函数化为他的逻辑命题函数的一种方式。一些坚定站在数学逻辑传统中的逻辑学家并不认为这是一种进步，但它确实表明了弗雷格和罗素方法之间的重要差异（参见 Linsky 2009）。

确定描述是形式为“the ϕ”的表达式，它们出现在似乎作为函数的参数的位置上。罗素在《论指称》（1905 年）中的例子是表达式“法国现任国王”，它似乎作为函数“秃头”在句子“法国现任国王秃头”中的参数出现。一般来说，“the ϕ is ψ”的表达式被定义为等价于“存在唯一的 ϕ 且它是 ψ”的表达式：

定义明确描述的上下文定义

∗14⋅01ψ(ıxϕ(x))=df∃x∀y{[ϕ(y)≡y=x]&ψ(x)}

使用表达式=df 使得两侧的表达式都看起来像是术语，掩盖了这种“上下文定义”的事实，即在每一侧出现的是公式，右侧替换了左侧，从而“消除”了明确描述。

为了区分“法国现任国王不秃头”这个表达式的两种解读，根据描述的“范围”（关于否定），《数学原理》在描述被定义消除之前的公式之前使用了一个“范围指示器”[ıxϕ(x)]。将“法国现任国王”符号化为 ıxK(x)，将“x 秃头”符号化为 B(x)，这两种解读将被符号化为：

[ıxK(x)] ∼B(ıxK(x))，

通过定义消除描述后，变为：

∃x∀y{[K(x)≡y=x]&∼B(x)}

这是一个关于法国现任国王的阅读，他只有一个且不秃头，并且：

∼ [ıxK(x)] B(ıxK(x)),

消除定义描述后，变为：

∼(∃x∀y{[K(x)≡y=x]&B(x)})

后者是指不存在且仅存在一个法国现任国王且他是秃头的情况。如果法国没有确切的现任国王，这可能是真实的情况，因为法国没有国王。在这种情况下，描述是“不适当的”，在 PM 中用特殊符号 E!表示，定义为：

适当的描述*

∗14⋅02E!(ıxϕ(x))=df∃x∀y [ϕ(y)≡y=x]

在定理 ∗14·3 中，我们发现了一个罕见的情况，即绑定变量范围在不是谓词性的命题 p 和 q 上的函数。（假设 p 和 q 是某种 r 类型（）/ n 的函数，f 可能具有 r 类型（（）/ n）/ m，其中 m，n> 1）。在这里，我们还看到了一个在主语位置上表达命题作为这种函数的参数的公式 ıxϕ(x)的出现。这些表达式在 PM 的后面定理中并不重要，只偶尔出现在一些章节的引言材料中。定理 ∗14·3 断言，在真值上下文中，（适当的）描述的范围不会影响其中出现的命题的真值。

∗14⋅3{∀p∀q [(p≡q)⊃(Φ(p)≡Φ(q))]&E!(ıxϕ(x))}⊃{Φ [ıxϕ(x)] χ(ıxϕ(x))≡ [ıxϕ(x)] Φ(χ(ıxϕ(x)))}

这个定理是 PM 的哲学基础的另一个指示，随着下一节中类的定义的引入，PM 的命题函数的内涵性被抛在了后面，数学内容被引入。

类的“无类”理论

《数学原理》中的集合（类）理论基于一些上下文定义，某种程度上类似于描述理论。在接下来的内容中，我们偶尔会使用“类”这个表达式来表示《数学原理》的概念，以提醒读者这与公理集合论（如 ZF）之间的差异，并不是指这些是 ZF 或 VGB 类理论中的“真类”，而是指不定义集合的表达式，比如{x∣x=x}，它对于宇宙 V 来说是真的，因此也“太大”而不能是一个集合。

基本定义从出现类的上下文中消除了类的术语，就像确定描述理论消除了术语位置上的描述一样：

类的上下文定义

∗20⋅01ϕ{x∣ψ(x)}=df∃χ [∀x[χ!(x)≡ψ(x)]&ϕ(λxχ(x))]

对于 χ! 一个谓词函数

换句话说，一个表达式似乎将属性 ϕ 归属于类 {x∣ψ(x)} 是真的，当且仅当存在一个谓词属性 χ，它与 ψ 具有相同的外延，并且真正具有属性 ϕ。

ZF 的一个非逻辑关系符号（∈）的成员资格概念在 PM 系统中被定义为：

∈ 的定义

∗20⋅02x∈ϕ=dfϕ!(x)

对于 ϕ 是一个谓词函数。

这个“无类”类的主要作用是展示类型理论如何解决了《数学原理》中困扰朴素类理论的悖论，并且被罗素认为困扰了弗雷格的理论。在这些基础部分之后，PM 中出现的所有个体变量都应该被视为范围在类上（并且，如下面将解释的那样，关系符号应该被解释为范围在外延关系上）。悖论以不同的形式出现，如在 PM 的引言中所见，但是我们将以“所有不属于自身的类的类”这个悖论的解决作为我们的例子。这个类直接导致矛盾，用当代符号表示为{x∣x∉x}。当人们问这个类是否是它自己的成员时，悖论就出现了。表达式{x∣x∉x}∈{x∣x∉x}将有两个类表达式被第一个定义消除，然后还有几个关系符号 ∈ 的使用也将被消除。最后会有一个表达式 ∼(ϕτ∈ψτ)，这是不合法的，因为对于任何 τ 来说，这都不是良构的。一个函数必须比它的参数高阶。

这两个定义的效果是证明类属于一个简单的类型理论，并且在受到这些类型限制的情况下，所有涉及类表达式的推理都遵循 ∗10 中陈述的经典量化理论。存在量化和全称量化的定义很简单。请注意，罗素使用希腊字母（α，β，...）来范围类：

“所有类”的量化定义

∗20⋅07∀αχ(α)=df∀ϕχ({x∣ϕ!(x)})

对于 ϕ!是一个谓词函数。

对“一些类”进行量化的定义

∗20⋅071∃αχ(α)=df∃ϕχ{x∣ϕ!(x)}

对于 ϕ!是一个谓词函数。

对于类，∈ 的定义被扩展而不改变：

类在函数中的成员关系定义

∗20⋅07α∈ψ=dfψ!(α)

对于 ψ！一个谓词函数。

∗20 的其余部分包括证明量化逻辑定理适用于关于类的表达式的定理，其中“希腊”变量 α，β，...代替个体变量 x，y，...。因为带有希腊变量的公式在量化逻辑方面看起来和行为与个体变量相同，所以可能忽视了类理论与类型理论的相互作用。正如哥德尔在上面引用的段落中指出的那样（哥德尔 1944 [1951: 126]），类变量 α，β 等的“上下文定义”并没有指定从所有可能的上下文中消除类抽象的方式，特别是那些涉及类的上下文。林斯基（2004）认为 PM 没有用于命题函数类的符号来区分它们与类的类，尽管可以添加一个。这是 PM 在初始部分（直到 ∗21）之后转向类和关系的外延系统的另一个迹象。

实际上，类变量可以被看作命题函数变量，限制为只出现谓词函数的 r 类型，包括参数，从而导致可能被视为“继承谓词函数”。换句话说，类变量可以用命题函数变量替换，其中函数的 r 类型和所有参数的形式为（β1，β2，...，βm）/1，β1，β2，...，βm 也是如此。这意味着类的变量和术语将遵守简单类型理论。这些可以通过提供一种替代的简单类型或“s 类型”系统来与 r 类型进行对比。

Church 的(1974 年)“简单”类型理论

ι 是一个个体的 s 类型。
当 τ1…,τm 是任何 s 类型时，(τ1…,τm)是一个 m 元命题函数的 s 类型，该函数的参数分别为 s 类型 τ1…,τm。

在 s-类型系统中，实体的顺序定义如下：

个体（r-类型 ι）的顺序为 0
r-类型 τ1…,τm 的函数的顺序为 n+1，其中 n 是参数 τ1…,τm 的顺序的最大值

教会的“秩序”概念与“一阶逻辑”和“二阶逻辑”的讨论中所熟悉的概念不完全相同。一阶逻辑将具有 s 型 0 的绑定变量，以及量化 s 型 1 的变量的逻辑，因此熟悉的“秩序”概念是可绑定变量中任何一个的最高阶数加一。

值得注意的是，每个 s 型也是一个 r 型，即具有继承性谓词的类型。因此，似乎类理论的表达式都只是类型分化理论完整系统的公式的特例。这对于变量的类型分配是正确的，但必须记住，关于类的整个公式 ϕ{x∣ψ(x)}在定义上是

∃χ [∀x[χ(x)≡ψ(x)]&ϕ(χ)].

到目前为止，我们讨论的都是 ϕ 和 χ 的相对类型。可约性公理保证了在类的定义条件中，存在一个与任何 ψ 同义的陈述 χ。为了证明使用类术语{x∣ψ(x)}是合理的，我们只需要证明存在某个具有高阶特性 ϕ 的函数。这一步骤类似于证明一个明确的描述是正确的，即只对一个事物成立，从而证明使用该描述作为一个特定术语是合理的。

《数学原理》与公理集合论的类比

人们普遍认为，与在泽尔梅洛-弗兰克尔系统 ZF 中形式化的公理集合论相比，PM 系统提供了一种非常不同的解决悖论的方法。虽然类型理论被认为是通过人为引入类型来拯救逻辑主义计划的绝望尝试，以解决悖论，但公理集合论似乎只是假设集合为实体，并采用一个一阶语言，其中“∈”表示成员关系作为其唯一的非逻辑符号。这种观点曾被奎因有力地表达过。

无论类型理论的不便之处如何，如 [罗素悖论] 所示，明显地表明了以前的幼稚逻辑需要改革...已经有其他提议达到同样的目的-其中一个与类型理论同时出现。[奎因引用泽尔梅洛 1908 年的论文]。但一个引人注目的事实是，这些提议中没有一个，包括类型理论在内，有任何直观的基础。没有一个得到了常识的支持。常识破产了，因为它最终陷入了矛盾。(奎因 1951: 153)

然而，关于类型理论缺乏直观支持以及类型理论和公理集合论基于相同直觉的观点可以追溯到 1933 年的哥德尔，他将集合论称为“集合的理论”：

至少到目前为止，只有一个满足这两个要求 [避免悖论同时保留数学和集合论] 的解决方案被找到...这个解决方案包括 [简单] 类型的理论...看起来好像另一个解决方案是由泽尔梅洛、弗雷克尔和冯·诺伊曼提出的集合论公理系统，但事实证明，这个公理系统不过是类型理论的自然推广，或者更确切地说，它是在去除了某些多余限制后的类型理论的结果。(哥德尔 1933 [1995: 45–46])

Gödel 打算的两个“限制”是类型不是累积的限制，以及类型的层级限制在自然数 0、1、…n、…之内。 Gödel 建议采用一种类型的累积系统，其中给定类型包括所有较低类型（或顺序）的函数，并且类型延伸到 ω、ω + 1、…ωω、…，直到所有序数。他断言，这种对类型理论的“自然推广”等同于策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）。 Gödel 的主张由 George Boolos（1971）解释为集合的“迭代概念”，可以形式化地表达。如果将集合视为在阶段中逐步构建起来，每个阶段都添加上一个阶段的成员集合，并且这个过程无限延伸，则 ZF 集合论的公理确实可以从集合的“迭代概念”的公理中证明出来。反过来，“迭代概念”依赖于一种强烈的直觉，与奎因所说的相反。这是与类型层次结构相同的直觉。

在 Boolos 对“集合的迭代概念”的阐述之后，公理集合论和《数学原理》似乎并没有太大的区别，并且表达了相似的直观概念，为悖论提供了相同的解决方案。

严格按照《数学原理》的表述，无类论与 ZF 确实有显著的区别。《数学原理》理论的句子是用类型理论表达的，而不是用 ZF 的一阶理论表达的。ZF 和《数学原理》不能简单地通过它们的定理进行比较。这两个理论不仅有不同的公理，而且它们所表达的语言在逻辑能力上也有所不同。然而，如果我们遵循 Gödel 和 Boolos，这两个理论被视为基于相同的直觉基础，并且这些差异被视为相同，除了对《数学原理》理论的某些“多余限制”。

《数学原理》中的关系

∗21 扩展了类的概念，它是一个一元命题函数的扩展，以类似的上下文定义将其扩展为具有两个参数的函数的“关系”概念。

在扩展中的关系的上下文定义

∗20⋅01ϕ{x; y∣ψ(x,y)}=df∃χ [∀x∀y[χ!(x,y)≡ψ(x,y)]&ϕ(λxλyχ(x,y))]

（注：在这个定义中，使用这种不寻常的符号 ϕ{x; y∣ψ(x,y)} 是为了避免将关系解释为有序对的集合，这将由当代符号 ϕ{⟨x,y⟩∣ψ(x,y)} 表示。PM 中命题函数的符号表示，如 ϕ^x 在变量上方使用一个插入符号，而我们会写成 λxϕ(x)。类的 PM 符号是^^^xϕ(x)。一个二元命题函数也用插入符号标识变量： ϕ(^^^x^y) 和相应的关系 ^x^yϕ(x,y)。这种符号表示不将关系识别为有序对的类，这就是我们在 ϕ{x; y∣ψ(x,y)} 中混合使用 PM 和当代符号的方式。）

在 ∗20 中引入了希腊字母表示类，而在 ∗21 中使用“罗马字母” R、S 等表示关系，标志着 PM 中使用的符号表示发生了变化。在 ∗21 之后，字母 ϕ,ψ,… 很少出现。正如奎因在他对怀特海德和罗素逻辑的研究中所指出的那样，似乎在某一点之后，PM 的主体使用了外延高阶逻辑和简单类型论。

无论如何，在《数学原理》中没有特定的属性 [命题函数] 可以被证明为真，即使它们是关于相同的事物但彼此不同。因此，属性理论没有应用，因为类的理论已经足够。一旦引入了类，属性在三卷中几乎不再被提及。(奎恩 1951: 148)

奎恩在这里暗示了 PM 的观点，这个观点在数理逻辑学家中广泛共享，他们认为类型分层理论及其伴随的公理或可简化性是一种偏离，将逻辑引入了一个模糊的内涵概念领域，而逻辑，即使表达在类型理论中，是外延的，并且可以与简单的集合论相比，后者以一种简单的个体集合、个体集合的集合等等的层次结构呈现。

当然，《数学原理》的剩余部分致力于个体、类和（在外延上的）这些实体之间的关系的理论。因此，这些后续部分的本体论是一个简单类型理论中排列的谓词函数的层次结构。这导致了一位解释者 Gregory Landini（1998）的观点，他认为只有谓词函数才是《数学原理》中绑定变量的值。我们所解释的可能是非谓词命题函数的变量，如 ϕ、ψ 等，在 Landini 看来只是示意性的字母，不是可绑定的变量。他断言，《数学原理》中唯一的绑定变量是谓词函数。这是一种强烈的观点，其他人如 Kanamori（2009）所表达的观点也是如此，回溯到 Ramsey（1931），即可简化性公理的引入使得类型分层理论的分层效应消失，至少对于类的理论来说，因此用于数学基础的高阶逻辑应该只有一个简单的类型结构。

我们对这种注意力转向类和关系的变化的解释是，它表明解决悖论所需的分层理论（可能是内涵的命题函数）可能已经取代了基于无问题的类和数学函数以及它们之间关系的逻辑，这种逻辑在罗素注意到悖论之前出现在《数学原理》的正文中。在下面的《数学原理》后面的部分的总结中，将会看到符号发展实际上与十年前的《原理》非常相似。虽然我们对《数学原理》各个部分的撰写顺序了解不多，但从这种注意力从命题函数转向类和关系的变化中可以看出，后面的部分实际上是该项目概念发展的一个较早阶段，起初是作为符号化的“第二卷”跟随《原理》而开始的。

为了提醒读者从命题函数转变为外延关系，引入了两个进一步的符号变化。希腊字母如 α、β 等将被用作变量来涵盖类。那些在类型上不明确的个体变量，现在也将涵盖类。两个变量 x 和 y 的函数 ϕ 在函数变量后的括号中表示：ϕ(x,y)。x 和 y 之间的二元关系 R 写作 xRy，其中 R 处于“中缀”位置。这种符号表示法的明显限制是它不容易扩展到三元关系，即添加第三个变量 z。我们将遵循 PM 中的惯例，用 xRy 表示二元关系。PM 只需要大部分三卷的二元关系，尽管几何学的预计第四卷需要一个表示“x 在 y 和 z 之间”的符号，这可以从亨利·谢弗尔 1910 年在剑桥大学罗素的几何学讲座的未发表笔记中看出。他在那里使用了混合两种风格的符号 yB(x,y)。

类的代数

子集关系、集合的交集和并集的概念在 PM 中的定义与现在完全相同（尽管术语不同）。在集合论中，不允许存在集合的补集和全类 V，并将其作为“适当类”予以拒绝。在 PM 中，它们只是给定类型 τ 的实体集合，它们形成了下一个更高类型的集合(τ)/1。给定类型的集合的补集是所有不属于该集合的实体（该类型的实体）的集合。每个空集将是全集（给定类型 τ 的）的补集，因此将存在类型 τ 的空集。

∗22⋅01∗22⋅02∗22⋅03α⊆β=df∀x(x∈α⊃x∈β)α∩β=df{x∣(x∈α&x∈β)α∪β=df{x∣(x∈α∨x∈β)

类型下标 τ 被添加在下面作为一个提醒，普遍集合 V 和补集的概念都是针对给定的类型（因此空集 ∅ 在每个类型中都会重复出现）。

∗22⋅04∗22⋅05−α=df{xτ∣∼(x∈α)}α−β=dfα∩−β

通用类和空类

∗24⋅01Vτ+1=df{xτ∣(x=x)}

“V”上的下标表示给定（简单）类型 τ 的类的宇宙将成为下一个类型的成员。没有任何类型的所有类的类。这与公理集合论相同，后者认为没有所有集合的集合。

∗24⋅02∅τ=df−Vτ

《数学原理》中的数学函数

《数学原理》的逻辑基于命题、命题函数和外延关系，与弗雷格的逻辑不同，后者处理对象，特别是真值和函数，以及概念的特殊情况，即从对象到真值的函数。《数学原理》将数学函数归约为“功能关系”，这在初级课程中是熟悉的。如果存在一个二元关系，对于每个第一个参数都有唯一的第二个参数，即

∀x∃y [xRy&∀z(xRz⊃z=y)]

然后可以引入一个新的函数符号 fR，使得

∀x∀y(xRy≡fR(x)=y).

对于每个 x1，…，xn 的 n+1 位关系，存在唯一的 y 使得 R(x1，…，xn，y)，那么可以引入一个将 x1，…，xn 映射到 y 的 n 位函数 g。在《数学原理》中，数学函数的表达式是明确的描述，将关系的最后一个参数称为该关系描述的“值”的引用。我们将使用表达式 fR 来指代从关系 R 派生的函数项。《数学原理》使用明确的明确描述“y 的 R”（写作 R'y），而我们将使用函数表达式 fR。单调函数项的定义如下：

∗30⋅01fRy=df(ıx)(xRy)

对于从 n+1 位关系 S 派生的 n 位函数项 g 的一般形式（按照罗素在讲座中的表示法）：

gS(x1,…,xn)=df(ıy)(x1Sx2,…,xn,y)

（勤奋的读者会发现，这个表述并不完全遵循《数学原理》。基于关系 R 表达“x 是 y 的父亲”的例子“x 的 R”实际上指的是唯一的 x，他是 y 的父亲，所以上面解释的内容适用于该关系的逆关系 ˘R。将关系函数的参数解读为 x，值解读为 y 的做法已经非常成熟，我们在《数学原理》中对实际定义进行了一定的自由解释。）

从《数学原理》的这一点开始，关系被视为“外延关系”，因此很容易看出如何将关系视为有序的 n+1 元组，其中最后一个成员在给定前 n 个参数的情况下是唯一的。特别地，一个一元函数 f 可以以熟悉的方式被看作是一个有序对的集合（对于函数的每个参数 x，都有 ⟨x,fR(x)⟩）。

鉴于将“关系”视为“外延关系”，在《数学原理》中关系逻辑的发展与当代逻辑学家的研究非常相似，甚至一些符号表示法仍然延续至今。一系列概念以一种对于将关系视为 n 元组集合的现代处理方式非常熟悉的方式进行定义：

关系的逆

∗31⋅02˘R={λxλy(yRx)}

或者，用成对的术语来说：

˘R={⟨x,y⟩∣(yRx)}

关系的定义域、值域和字段

关于关系的定义，包括域、值域和字段，也给出了现代的定义（函数的域、值域和字段的定义也是如此）。

∗33⋅11∗33⋅111∗33⋅112DomainR=df{x∣∃y(xRy)}RangeR=df{y∣∃x(xRy)}FieldR=df{x∣∃y(xRy∨yRx)}

注意，一个关系的域可以属于一种类型，而值域可以属于另一种类型。当不同类型的类之间存在相似性（等势性）关系时，这给基数理论增加了复杂性。（请参见下面的 ∗100 讨论。）

两个关系的乘积

关系 R 和 S 的合成被称为它们的相对乘积，并使用不同的符号 R∣S，其中我们写作 R∘S：

∗34⋅01R∘S=dfλxλz{∃y(xRy&ySz)}

限制关系

在将关系 R 的（范围）限制到特定类别 β 的情况下，给出了以下定义，现在使用符号来表示域的限制：

∗35⋅02R↾β=dfλxλy(xRy&y∈β)

在对《数学原理》进行调查时，奎因（1951: 155）抱怨第一部分的最后 100 页被用来证明与相同概念的冗余定义相关的定理。因此，《数学原理》定义了域和范围的概念，然后引入了再次定义相同类的概念，并证明它们是等价的。《数学原理》将“R‘‘β”表示为“与 β 的成员具有关系 R 的项”，并举了以下例子：

如果 β 是伟人的类，R 是妻子与丈夫的关系，那么 R‘‘β 将意味着“伟人的妻子”。（《数学原理》，278 页）

在使用上述集合论符号的当代逻辑中，不需要为这个概念特别设计符号，因为它可以写作：

∗37⋅01R‘‘β=df{x∣∃y(y∈β)&xRy}

类的类的乘积和和

∗40⋅01∩α=df{x∣∀β(β∈α⊃x∈β)}

这是 α 的交集。

∗40⋅02∪α=df{x∣∃β(β∈α&x∈β)}

是 α 的并集。

4.2 第二部分：基数算术的前言

基数 1

∗52⋅011=df{α∣∃x(α={x})}

因此，基数 1 是所有单例类的集合。对于每种类型的 x，都会有一个不同的数字 1。相比之下，弗雷格将自然数 1 定义为某个概念的外延，即与数字 0 相同，而数字 0 本身是不自身相同的（空）概念的外延。在公理集合论中，自然数是特定的有限序数，特别是以空集 ∅ 为 0，1 为{0}，2 为{0,1}等等的序列。这个构造被称为冯·诺伊曼序数。

对偶

∗54⋅022=df{α∣∃x∃y(x≠y&α={y}∪{x})}

同样地，数字 2 是所有对的类，而不是特定的一对。在 PM 的类型理论中，y 和 x 的类型将有不同的对。当它们是相同类型时，这对被称为“同类”。即使对于同类对，每种类型也会有不同的对类，因此每种类型都有一个不同的数字 2。相同的概念适用于关系。

有序对

有序对的概念，称为“序偶”，定义为：

∗55⋅01⟨x,y⟩=df 扩展了 λxλy(x∈{x}&y∈{y})

这个想法是，关系 λxλy(x∈{x}&y∈{y}) 的顺序决定了有序对的第一个和第二个元素。它是一个扩展中的关系，类似于扩展中的属性或类。扩展中的关系由于定义关系的顺序而区分第一个和第二个元素。在当代语言中，最接近的可能是：

ϕ⟨x,y⟩=df∃ψ∀u∀v(ψ(u,v)≡λxλy x∈{x}& y∈{y}&ϕ(ψ))

鉴于关系扩展的定义，这是关系无类别理论的版本。在参加了罗素的课程并进行了几次讨论后，诺伯特·维纳（1914 年）提出了以下定义（用现代符号表示）：

⟨x,y⟩=df{{{x},∅},{{y}}}，其中 ∅ 表示空集。

维纳的成就在于用集合成员的无序概念捕捉了 PM 中由关系参数的排序所捕捉的配对排序。

《数学原理》的结尾

《数学原理》的平装缩编版只到这一步，所以剩下的定义只对那些能够访问完整三卷本的人可用。

相对类型

本节介绍了不同类型个体之间的关系讨论，并引入了类型的符号表示，t‘x 表示 x 所属的类型。本节在第一卷中很少使用。当处理基数数的相对类型时，这个概念的特殊后果是第二卷前言的主题，该前言是在第一卷已经印刷出来之后添加的。由于解决这些细节所需的时间延迟，解释了 1910 年第一卷出版与 1913 年第二卷和第三卷出版之间的三年间隔。第 ∗65 节（关于模糊符号的典型定义）是关于典型模糊性的讨论，即变量相对于类型的模糊性。

∗70⋅01f:α→β=df

函数 f 从 α 到 β，即 Domainf=α 和 Rangef=β

类的相似性

∗73⋅01α≈β=df(∃f)f:α1−1⟶β.

存在一个一对一的函数将 α 映射到 β（α 和 β 的相似性）。当涉及到具有不同类型的定义域和值域的相似性关系时，关于基数定义的困难会出现。参见下面的 ∗100。

本章的主要定理是 Cantor-Bernstein 定理的证明，即如果集合 α 类似于另一个集合 β 的子集 z，且集合 β 类似于集合 α 的子集 δ，则集合 α 和 β 本身也是相似的：

∗73⋅88∀α∀β∀γ∀δ⎡⎢⎣⎛⎜⎝α≈γ&β≈δ&γ⊆β&δ⊆α⎞⎟⎠⊃α≈β⎤⎥⎦

这里的证明明确地遵循了 Ernst Zermelo 在 1908 年提出的证明。Whitehead 和 Russell 将其称为“Schröder-Bernstein”定理。

选择公理（乘法公理）

乘法公理，或称为“选择公理”，不是 PM 的公理，而是被称为“原始命题”的定义表达式，它被作为假设添加到使用它的定理中。这反映了当时对选择公理在各种证明中的作用的不断认识，特别是策梅洛证明每个类都可以被良序的证明。

∗88⋅03 乘法公理=df∀α⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩∀β(β∈α⊃β≠∅)&∀β∀δ⎡⎢⎣⎛⎜⎝β∈α&δ∈α&β≠δ⎞⎟⎠⊃(β∩δ=∅)⎤⎥⎦⊃∃β∀δ∃γ [δ∈α⊃δ∩β={γ}] ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

如果 α 是一组互斥、非空的类，则存在一个（“选择”）集合 β，使得 β 与 α 的每个成员 δ 的交集是 δ 的一个唯一（选择的）成员。

R∗ 祖先关系

∗90⋅01R∗=df⎧⎪⎨⎪⎩⟨x,y⟩∣(∃uxRu∨∃uuRx)&∀α [[x∈α&∀z∀w(z∈α&zRw⊃w∈α)] ⊃y∈α]⎫⎪⎬⎪⎭

这遵循弗雷格的定义，即 y 在包含 x 的所有 R-遗传类中，或者(x 在 R 的域中)。

关系的幂

关系 R(Pot‘R)的“幂”是关系 R，R2，R3，...其中

R2=dfR∘R,Rn+1=dfR∘Rn,…

这些定义始于 ∗91·03，使用了从 R 开始定义的高阶关系的祖先概念。

本节的主要结果是 Cantor-Bernstein 定理的另一个证明：“这个证明本质上与 Bernstein 的证明相同，最初由 Borel [1898: Note 1, pp. 102–7] 发表”（《数学原理》I, 589）。在这个证明中，通过将 α 映射到 β 的关系 R 和将 β 映射到 α 的关系 S 的幂次构造了 α 和 β 之间的一一对应关系。这个一一映射是分阶段构建的。首先，通过 R 将 α 的所有元素映射到 β。那些不在 R 的值域中的 β 中的元素通过 S 映射到 α。但是，一些在 S 的值域中的元素可能已经被 R 映射过了。它们需要通过 R 再次被移动到 β 中的新图像。这个过程在所有 R 的幂次上迭代进行，然后证明得到的关系是从 α 到 β 的一一对应关系。有关这个定理的许多不同证明的历史，请参见 Hinkis（2013）。

5. 第二卷

5.1 符号约定的前言声明

这篇序言的写作延迟了 PM 的第二卷的出版，因为怀特海德和罗素在处理它引发的复杂性时遇到了困难。这些困难源于类型理论中术语和公式的典型歧义。每个常量，例如 0、1、...、ℵ0 的常量，都会相对于每个类型有一个定义。如果不假设个体的无穷公理，就无法保证给定的常量在给定类型中指代一个非空类。序言引入了“形式数”的概念，这些数被解释为属于使它们与该类型的 ∅ 不相同的类型。第二卷从第三部分“基数算术”开始。基数数的概念以完全的普遍性发展，扩展到无限基数。因此，自然数的理论，在 PM 中被称为“归纳基数”，通过一系列对适用于任何数或类的概念的特殊情况的定义来引入。例如，自然数的加法，如在 ∗110·04 中证明的著名的 1+1=2 的证明，是针对适用于基数数的类的加法的特殊情况，即‘+c’。第 A 节的总结介绍了同类基数的概念，它们是相似类的类，其成员都属于同一类型。可以定义两个不同类型的类 α 和 β 之间的相似性，比如 τ 和 τ′，并且基数被分类为降序和升序，因为相关相似性关系的定义域比范围的类型高，或者比范围的类型低。基数数的理论在同类基数中是直接的，但是必须记住例外情况，正如 ∗100 中所证明的。

5.2 第三部分：基数算术

基数数的定义

∗100⋅01Nc=df{x∣∀y(y∈x↔∀z∀w(z,w∈y↔z≈w)}

基数是等势（相似）类的类别。我们可以添加一个类的数量的概念，以便与弗雷格进行直接比较：

{x∣ϕ(x)}=df{y∣y≈{x∣ϕ(x)}}

（在集合论中，当然这个集合太大了，所以只是一个“适当的类”）。

《数学原理》中的 Hume 原理

《数学原理》中描述的休谟原理（Hume’s Principle）被弗雷格（Frege）（1884 年：§63）称为断言“属于概念 F 的数与属于概念 G 的数相同”的命题内容等同于“概念 F 类似于概念 G”。在类的术语中，这变为 α≈β≡#α=#β。休谟原理是“新逻辑主义”讨论的重点，即弗雷格的数的构建可以建立在一致的基础上（参见弗雷格定理条目）。

在《数学原理》中只有一个方向的等价性是可证明的：

∗100⋅321α≈β⊃#α=#β

其他方向的失败，即从右到左的蕴涵，是由于 α 和 β 可能是不同类型的，因此它们之间的任何相似关系都会在不同类型的域和范围中。假设有 ℵ0 个个体，并考虑两个具有更大的基数的更高类型，但是不同的基数，假设某个高类型中的 α 的基数为 ℵ1，而 β 在更高的类型中并且具有基数 ℵ2。没有与 α 或 β 相似的个体集合，因此与 α 或 β 的任何域相关的相似关系都不会与个体类型中的任何集合相关。假设#是根据这种降序关系定义的。因此#α={Λ}=0 且#β={Λ}=0，所以#α=#β，然而无论域和范围的相似关系如何，α≉β，因为它们的基数不同。Whitehead 和 Russell 断言，α 和 β 处于不同类型的情况是构造这个 Hume 原理方向的唯一例外的方法，并提供了一个受限版本：

∗100⋅34∃γ [γ∈(α∩β)] ⊃(α≈β≡#α=#β)

前提保证 α 和 β 是相同类型的，因此涉及的基数是同质基数。（Landini（2016）认为 PM 的这一部分很混乱。）

0 定义

∗101⋅10=df#∅

所有与空集等势的类的类集只是包含空集的单例集，因此 0={∅}。

类和基数的算术和

∗110⋅01α+β=df [{β∩∅}×{α}] ∪ [{α×{β}]

（如果 α，β≠∅，否则 α+∅=α，∅+β=β）。这个限定在 PM 中通过使用有时未定义的函数关系表达式来隐藏。α 和 β 的算术和是在将它们通过将 β 的元素与{α}的元素配对以及 α 的元素与{β}的元素配对使它们不相交后的 α 和 β 的并集。（γ 和 δ 的笛卡尔积，γ×δ 是{⟨x,y⟩|x∈γ&y∈δ}）。类 α 和 β 与空类 ∅ 相交，以调整和的元素类型。根据等价定义，这更容易被当代集合论所认可（在相同的例外情况下：

α+β=df{⟨∅,x⟩|x∈α}∪{⟨y,∅⟩|y∈β}

y 和 x 的基数和

∗110⋅02y+cx={z∣∃α∃β [(y=#α& x=#β)&z≈α+β]}

y+cx 表示基数 y 和 x 的基数相加。它是“同类基数”的算术和，α 和 β 通过 N0c（在 [∗103·01] 中定义）相关联。表示 α 是同类基数 α 的符号是 N0c‘α，我们可以将其写为#0，这是我们当代符号的扩展中的一部分，替换掉上面的#。

现在读者可以欣赏到一个臭名昭著的事实，即 1+1=2，这是算术中最基本的真理，直到《数学原理》第二卷的第 83 页才被证明，甚至那时也只是作为一个附带的事情：

∗110⋅6431+c1=2

Whitehead 和 Russell 指出：“上述命题偶尔有用。它至少在……中使用了三次。”这句机智的话提醒我们，自然数理论在弗雷格的作品中是如此核心，而在《数学原理》中只是一般基数和序数理论以及更一般的同构结构类的特例。

指数运算

对于基数，指数运算的定义方式与康托尔的概念一致，即类 α 的幂集的基数是 2 的 α 的基数次方：

∗116⋅72||℘α||=2||α||

更大和更小

康托尔定理：

∗117⋅6612y>y

这是康托尔的定理，如果集合 α 具有基数 y，则幂集 α 的基数 2y 大于 y。

自然数

与弗雷格对自然数的发展最直接的比较是《数学原理》中对归纳基数的概念，它指的是自然数 0、1、2 等以及包括归纳原理在内的这些数的理论。虽然 0 和 1 这些数以及自然数的加法+c 早已被定义，但它们被定义为基数，并且加法适用于所有基数，有限和无限的。对于有限自然数，首先需要定义特殊概念。在证明皮亚诺公理时，不仅需要定义 0，还需要定义后继的概念。对于弗雷格来说，一个数的（弱）前驱的概念被定义了，因此 0 和 1 是 1 的前驱，而 0、1 和 2 是 2 的前驱，依此类推。然后通过计算一个数的前驱的数量来定义 n 的后继，从数的定义来看，它是前驱类的数。然而，这个定义在《数学原理》中不适用，因为每个数都会有更高的类型，它被定义为包含该数的集合。实际上，每个类型都会有自然数，例如类型 0 的所有个体对的集合，类型 1 的集合对的集合等等，对于每个类型都有。然而，并没有一个类型包含所有自然数（该类型的等势集的集合），除非假设某个类型有无限多个成员。

在《数学原理》中的解决方案是保证对于每个有限的 n 个类型为 0 的个体集合，都会有一些不在该集合中的对象，可以包含在定义后继的集合中。这样一个新的个体的存在是由无穷公理所保证的，该公理实际上断言了任何有限数量的不同个体的存在。有趣的是，“无穷公理”不是《数学原理》逻辑的原始命题，而是一个额外的假设，用作依赖于它的数学断言的前提条件。因此，关于《数学原理》系统是否成功作为逻辑主义的问题，并不是通过指出必须假设一个无穷公理来解决，而是通过确定该“无穷公理”是否仅可由逻辑原理推导出来。

在公理集合论中，“无穷公理”保证了一个特定的集合的存在，即序数 ω：

∃x [∅∈x&∀y(y∈x⊃y∪{y}∈x)]

归纳基数（自然数）被定义为具有对 0 的+1 关系的祖先。鉴于+1 关系是《数学原理》对后继者的解释，这与 Frege 的定义相同。

归纳基数 N

∗120⋅01N=df{x∣0S∗x}

归纳基数 N 是熟悉的自然数，即 0 和所有通过“后继关系”S 与 0 相关的基数，其中 xSy 当且仅当 y=x+1。

∗120⋅03 无穷公理=df∀y(y∈{x∣0S∗x}⊃y≠∅)

这个无穷公理断言所有的归纳基数都是非空的。（回想一下，0={∅}，所以 0 不是空的。）这个公理不是一个“原始命题”，而是作为一个“假设”列在使用时，即作为条件语句的前提，其中结论将被认为依赖于这个公理。从技术上讲，这不是 PM 的公理，因为 ∗120·03 是一个定义，所以这只是 PM 中进一步定义的符号！

Whitehead 和 Russell 确实在逻辑主义计划的步骤中，基于自然数、0 和后继的先前定义，推导出 Peano 的公设，正如 Russell 在(1919)年后描述的那样。这实际上就是《数学原理》中的 ∗120“归纳基数”所做的，但无论是在那里还是在介绍材料中都没有这样描述。这些结果并没有单独证明，而是作为关于自然数的各种结果的发展而出现。实际上，其中一些结果，如 ∗120·31，只有经过一些工作才能看出它们是 Peano 公理的变体。

0 是一个自然数。∗120⋅120∈N
任何数的后继都是一个数。∗120⋅121n∈N⊃n+c1∈N
没有两个数字有相同的后继者（假设无穷公理）。∗120⋅31 无穷公理 ⊃（n+c1=m+c1⊃n=m）
鉴于继承操作的定义方式，逻辑上并不需要额外的个体来增加到大小为 n 的集合中，以得到大小为 n+c1 的集合。这是通过将无穷公理作为假设添加到定理中来保证的。
0 不是任何数字的后继者。∗120⋅124n+c1≠0
属于 0 的任何属性 ϕ，只要它属于 m 的继承者，且它属于 m，那么它属于所有自然数 n。∗120⋅13∀n{[n∈N&∀m(ϕm⊃ϕ(m+c1))&ϕ0] ⊃ϕn}

在当代集合论中，对于序数，后继数的概念直接定义为 s(x)=x∪{x}，而不是通过加 1 来定义，而加法则使用熟悉的递归定义：

x+0=xx+s(y)=s(x+y)

递归定义的使用是通过一个定理来证明的，该定理证明了它们描述了一个唯一的函数。归纳公理是通过展示任何包含 0 的类，并且对于任何数 n 包含 s(n)的类将包含 ω 中的所有数来证明的。ω 的存在由 ZF 无穷公理保证。

在第二卷的 225 页之后，读者将看到如何将 PM 中的逻辑学减少与 Frege 和当代集合论的竞争解释进行比较。

Frege 在他的《算术基本定律》第二卷的第 68 页完成了对自然数的发展，该书于 1903 年出版，之前的第一卷于 1893 年出版，共有 250 页。因此，Frege 和 PM 的作者都费尽心思地在一系列基于他们自己形式化的符号逻辑的严密论证引理之后，才证明了更高级的定理。

弗雷格以 0、继承者和归纳原理为主题，结束了他对算术定律的推导，其中包括皮亚诺公理。他没有考虑算术函数，如加法或乘法，并且没有将数字 n 的继承者定义为将 1 加到 n 的结果。

弗雷格的解释也以其他方式简化。他一直认为对简单等同句的分析对他的逻辑主义很重要，从《概念符号》（1879）开始，一直到《算术基础》（1884）和《论意义和指称》（1892），甚至在《算术基本定律》的前言中出现了“22=2+2”的例子。事实上，等同句的分析是他在 1879 年引入意义和指称理论的起点，然而弗雷格并没有偏离他的项目，没有展示这样一个等同句如何被证明。因此，怀特海德和罗素很可能希望在 PM 中包括他们对 1+1=2 的证明，作为对使用 ∗30 的“描述性函数”和 ∗14 中的确定描述的数学方程分析的提醒。

弗雷格也没有构建 PM 第三部分中占据很大篇幅的基数和序数算术的一般理论。事实上，在《算术基本定律》第 II 部分的第 54 节中的定理之后，弗雷格直接跳到了第二卷剩余部分的实数主题。仅仅根据导致皮亚诺算术解释的定理数量来判断，PM 与弗雷格早期的尝试并没有太大差异。

诚然，如果只考虑算术理论，PM 系统是一种间接而繁琐的系统。然而，类型分层理论的系统本身对于提供逻辑基础是独立有趣的。在 ∗20 之后，类的理论以及随之而来的关系的一般概念的发展，将自然数的算术呈现为一种特殊情况，可以推广到具有简单类型层次结构的序数和基数的算术。下面的概述展示了 PM 在第二卷和第三卷中发展有理数和实数理论的特定方式。集合论中的结果似乎有些原始，因为这些结果可以追溯到 1908 年左右，正是公理集合论开始其非凡发展的时候。怀特海德和罗素并不是集合论的积极贡献者，因此不应该将 PM 作为后来可能已经预见到的技术结果的研究对象。罗素在一篇名为《论无穷和超穷的公理》（Russell 1911）的文章中总结了 PM 中关于无穷基数和序数的研究现状。然而，有一个关于两种无穷概念的结果似乎起源于 PM。

Dedekind 无穷

在 PM 中，如果一个类能够与小于或等于某个自然数 n 的自然数进行一一对应，则该类是有限的“归纳”类。如果一个类不是归纳类，则它是无穷的。

如果一个类是 Dedekind 无穷（自反的），当且仅当它可以与自身的一个真子集进行一对一对应。

本节的关键定理是：

如果 y 不是归纳的，则 22y 是自反的。

如果假设选择公理，归纳和反身的无限概念是相同的。这个结果不假设选择公理。

乔治·布洛斯（1994 年：27）描述了这个论证的细节，并引用了 J.R.利特伍德的话：

他（罗素）有一个秘密的渴望，希望证明一些直接的数学定理。事实上，有一个定理：“如果 α 是无限的，那么 22α>ℵ0”。完全正确的数学。

由于明确指出了选择公理的使用，并且许多结果并不使用它，PM 对集合论的独特贡献可能在于它指示了在不假设选择公理的情况下可以证明什么。

5.3 第四部分：关系算术

关系算术是将基数和序数的概念推广到类似类的类的研究，其中相似性基于任意关系。如果关系 P 类似于关系 Q，则存在一个一对一的关系 S（一个相关器），将 P 的定义域与 Q 的定义域相关联，以便如果对于某些 x 和 y，xPy，则如果 xSw 和 wQz，则 z˘Sy。映射 S 是关系 P 和 Q 之间的同构。然后，关系数将是彼此相似的关系类。然后，关系算术将基数算术的概念（如求和和乘积）推广到任意关系数。罗素本人对第四部分的材料没有被他的同时代人更仔细地研究表示遗憾（Russell 1959: 86）。如果一个系列 P 是良序的，则与 P 在序上相似的关系类将是一个序数。序数的求和在 Tarski（1956）中进行了研究，但对于 PM 中这些部分所呈现的更一般的关系算术概念几乎没有兴趣。请参见 Solomon（1989）。

序数相似性

∗151·01P 和 Q 在序数上相似=df∃S [S:DomainP1−1⟶DomainQ&P=S∘Q∘˘S]

P 和 Q 在序数上相似，记作 PsmorQ，只要存在一个一对一映射 S，将 P 的域映射到 Q 的域，使得如果 xPy，xSz 和 zQw，则 w˘Sy。

级数 P 和 Q 的和，P⊕Q，定义为：

∗160⋅01 P⊕Q=df{⟨x,y⟩|xPy∨xQy∨ [∃z(zPx∨xPz)&∃z(zQy∨yQz)]}

正如在 ∗160 的标题中所述：

…我们可以将 P 和 Q 的总和视为一个关系，当 x 在 P 系列中先于 y，或者 x 在 Q 系列中先于 y，或者 x 属于 P 系列且 y 属于 Q 系列时，该关系成立。

系列 P 和 Q 的乘积，Q⊗P，将 P 领域的成员与 Q 领域的成员相关联，如下所示。（这不应与在 ∗34 中定义的更熟悉的相对乘积概念混淆。）

正如在 ∗166 的标题中所述：

《数学原理》中，Q⊗P 的产品是...一个关系，其领域是通过在 C'P 中选择一个指示物和在 C'Q 中选择一个关系物而形成的所有夫妇。这些夫妇按照 Q⊗P 的以下原理进行排列：如果一个夫妇的关系物与另一个夫妇的关系物有关系 Q，我们将一个夫妇放在另一个夫妇之前；如果两个夫妇的关系物相等，而一个夫妇的指示物与另一个夫妇的指示物有关系 P，我们将一个夫妇放在另一个夫妇之前。

∗166⋅112 ⟨x,z⟩Q⊗P⟨y,w⟩≡ [(x,y∈FieldP&z,w∈FieldQ)&zQw] ∨(z=w&xPy)

（请注意，虽然两个二元关系的和是一个二元关系，但它们的乘积是一对之间的关系。这是从类到关系的一般化，即两个类的相对乘积的基数是从每个类中取一个元素的有序对类的基数。）可以证明一些结果，显示了关系和数字的乘积和和之间的差异。关系的乘积是可结合的：

∗166⋅42(P⊗Q)⊗R 是按序类似于 P⊗(Q⊗R)

关系以一种方式分布：

∗166⋅45(Q⊕R)⊗P=(Q⊗P)⊕(R⊗P)

然而，一般情况下并不成立：

P⊗(Q⊕R)=(P⊗Q)⊕(P⊗R)。

为了将有理数和实数定义为关系之间的关系，有必要定义关系之间的个体之间的排序关系，即在关系的域或范围（字段）中。这在 ∗170 的摘要和一个定理中描述如下：

…如果我们考虑两个类别 α−β 和 β−α，那么 α 被称为在 β 之前…α−β 中有一些成员不被 β−α 中的任何成员所先行。（Vol. II, 1912: 411 and 1927: 399）

∗170·01α 在关系 PαPlcβ 中先于 β，即 ∃x{x∈(α−β)&∼ [∃y(y∈β−α&yPx)]}

关系数的和与积的概念被定义为关系的和与积的关系数，调整使得关系的类型是统一的，并且数字包含不相交的关系，就像在 ∗110 中对基数的和的定义中所看到的那样。如果 x 和 y 是关系数，它们的和是 x˙+y，积是 x˙×y。

证明了关系数的加法运算是可结合的，并且其他直接由关系的和与积的相应性质推导出的性质也成立。其中一个定理是关系数的加法是可结合的：

∗180⋅56(y˙+x)˙+ρ=y˙+(x˙+ρ)

关系数的乘法在某种形式上对关系数的加法满足分配律：

∗184⋅42(x˙+ρ)˙×y=(x˙×y)˙+(ρ˙×y)

5.4 第五部分：级数

一个级数（线性排序）被定义为一个反自反关系 ∀x(∼xRx)，传递关系 ∀x∀y∀z(xRy&yRz⊃xRz)，以及连通关系 ∀x∀y(xRy∨yRx)。（∗204·01）（这些属性对于每个关系都限制在特定的域上。因此，一个连通关系将在给定域的任意两个成员之间成立。）现在这被称为给定集合的线性排序。

推理

因此，α 的推理是其直接的后继。如果 α 有一个最大值，那么推理就是最大值的直接后继；但是如果 α 没有最大值，那么 α 的任何一个项都不会被 α 的推理直接后继；在这种情况下，如果 α 有一个单一的推理，那么推理就是 α 的“上限”。（《数学原理》第二卷，“∗205 摘要”，1912 年：577 或 1927 年：559）

Dedekindian 关系

当一个关系“Dedekindian”时，它是这样的，即每个类 [从上方有界] 都有一个最大值或者一个相对于它的顺序。 (《数学原理》卷二，“∗214 摘要”，1912: 684 或 1927: 659)

换句话说，当关系 R（如<）是 Dedekindian 时，每个类 α 都有一个最大值或者一个相对于 R 的顺序。这是通过每个具有上界的区间都有一个最小上界来定义的标准定义。这个最小上界要么是集合的最大值，要么是大于集合中所有成员的最小个体。

6. 第三卷

6.1 第五部分：级数（续）

有序级数的基本性质

在 ∗250·51 处，我们找到了一个证明，证明了选择公理可以从良序原理推导出来，也就是说，每个集合都可以被良序排列。

序数的系列

《数学原理》的引言中描述了“布拉利-福尔蒂”悖论，它是可以通过类型理论解决的矛盾之一：

可以证明，每个良序系列都有一个序数...并且所有序数的系列（按大小顺序）是良序的。由此可知，所有序数的系列有一个序数，记作 Ω。但是在这种情况下，包括 Ω 在内的所有序数的系列都有序数 Ω+1，它必须大于 Ω，因此 Ω 不是所有序数的序数。（《数学原理》第一卷，1925 年：61 和 1910 年：63）

在《数学原理》中，我们发现在观察序数类的相对类型时，解决了布拉利-福尔蒂矛盾的问题。作为同构序列的类，序数将比其成员的类型更高。所谓的“所有序数的序数”Ω 将被限制在高于其成员序数类型的类型上。正如没有所有类（某种类型的类）一样，也没有所有序数的序数。

定理 ∗256·56 证明了“在更高的类型中，存在比低类型中任何序数都大的序数”。（《数学原理》第三卷，75 页）

泽尔梅洛定理

∗258·326 假设选择公理，每个集合都可以被良序。

这个关于策梅洛定理的证明遵循策梅洛（1908 年）的“新证明”。与 ∗250·51 一起，这表明选择公理与良序原理是等价的。

《数学原理》中的无限祖先关系

在 ∗257 中讨论的“可传递有限”属性构成了 Russell 在上述讨论中指出给 Reichenbach 的“超限归纳”的讨论（来自 Russell（1959 年：86）），

有限序数

在 ∗262 中证明了每个无限良序序列都由一系列（良序集合）的进展组成。（ω 排序）。

Alephs 系列

Hausdorff 在 1906 年的一个结果表明，如果假设选择公理（∗265·49），则 ω1（第一个不可数序数）不是较小序数的极限。然后猜想在不依赖于选择公理的情况下无法证明这一点。有关 Hausdorff 对 PM 内容的影响的讨论，请参见 Grattan-Guinness（2000: 403）。

Dorothy Wrinch 在战争期间曾是 Russell 非正式学生圈子的成员，在 1919 年发表了一篇关于序数数列的 Dedekindian 系列的文章。她将结果描述为研究“当 P 和 Q 是良序数列时，PQ 应该是 Dedekindian 或半 Dedekindian 的必要和充分条件”（Wrinch 1919: 219）。这项研究是对 ∗124 中所描述的在不假设选择公理的情况下对序数的算术进行研究的后续。Wrinch 的论文不仅遵循了 PM 的符号表示法，而且还利用了系列部分到第 V 节末尾的定理，数字后面跟着点，因此可以轻松地添加为 ∗277。Russell 打算建立一所“数学哲学”学派，当然成功地吸引了 Ludwig Wittgenstein 对 PM 中的基础问题的关注，但没有其他迹象表明逻辑学家试图将他们的结果置于 PM 的框架中。

6.2 第六部分：数量

因此，应该研究 PM 的后续部分，以了解如何使用这个竞争基础上的关系理论来发展实数和数学在测量中的应用。Gandon（2008 年，2012 年）认为，使用这种逻辑主义解释比使用其他竞争理论更好地解释数学的应用。

在 ∗300–∗314 中，定义了正整数、负整数、比例和实数。本节的目标是开始研究这些数字在几何学和物理学中如何用于量的测量。

比率

Rn/mS=df∀x∀y(xRny⊃xSmy)

对于 n，m 互质。

关系 R 和 S 在 n 与 m 的比例下成立，当 xRny 时，xSmy，其中 Rn 是 R 的 n 次幂，Sm 是 S 的 m 次幂（见 ∗91）。两个关系的比例由互质的数字 n 和 m 表示，即如果

∀j∀k∀l [(n=j×l&m=k×l)⊃l=1]。

因此，比例是关系之间的关系。有理数，根据 PM 中所有数字的广义概念，将是相似比例的类别，因此，发展有理数和实数理论的工作是以比例和比例之间的关系为基础进行的。

实数

实数 Θ 被定义为“比率序列的分段序列”，或者是有序的戴德金切割的有理数序列的集合。从技术上讲，Θ 是一个外延关系。在比率中相关的个体，也就是有理数序列的基础，必须是无限多的，才能使 PM 版本的实数具有我们所期望的结构。在该部分的引言材料中，他们指出，虽然实数的构造需要无穷公理，但他们在需要的定理中明确添加了它，并尽可能在不依赖该假设的情况下推导出结果。

PM 中的实数理论更接近于弗雷格的理论，而不是戴德金或康托的“算术化”解释。戴德金假设无理数是为了填补有理数序列中由戴德金切割标记的间隙（戴德金 1872 [1901: 15]），而康托（1883: §9, para. 8 [1996: 899]）将实数与有理数序列的极限等同起来。

Frege 和 PM 然而，将实数视为从具有特定结构的关系的相似性中抽象出来的。有关 Frege 和 Russell 构造的细粒度比较，请参见 Gandon（2012）。

有趣的是，PM 和 Basic Laws 中的章节的整体结构和内容相似。它们都共享一个关于它们将使用的符号逻辑的第一节，然后是关于数字和算术中使用的概念的定义和定理的一系列，最后是关于实数的一个结尾部分。虽然这两个作品中要将数学归纳到逻辑中的范围是相同的，但 Frege 将他的工作更直接地限制在自然数和实数上，而 PM 则包括类的理论和关系和无穷集合的算术。正如 Urquhart（2013）所建议的那样，尽管所有这些主题都在现代公理集合论教科书的初始章节中处理，但这可能是最具开创性的数学作品的不可避免的命运。

下一节中定义了实数的加法和乘法，就像其他数字一样，但是采用每个数字相似性类的不相交实例，并对它们执行相应的操作。许多结果假设无穷公理作为一个假设。这些操作被符号化为+s 和 ×s。

测量——即将比例和实数应用于大小——将在 C 节中处理；目前，我们将限制在那些测量所预设的大小属性上...
我们将大小构想为一个向量，即作为一个操作，即作为 ∗30 中所述的描述性函数。因此，例如，我们将这样定义我们的术语，即 1 克不是一个大小，但是 2 克和 1 克之间的差异将是一个大小，即关系“+1 克”将是一个大小。另一方面，厘米和秒都是根据我们的定义是大小，因为空间和时间的距离是向量...
我们对一个向量有以下要求：(1)它应该是一对一的关系，(2)它应该能够无限重复，即如果向量将我们从 a 带到 b，那么总会有一个点 c，使得向量将我们从 b 带到 c。（《数学原理》，第三卷，“B 节摘要”，1913 年：339 和 1927 年：339）

本节和下一节所涉及的数量种类都是矢量族，即具有相同逆域的一对一关系类，并且所有的域都包含在逆域中。（《数学原理》第三卷，350 页）

The Principia Mathematica to 《数学原理》

6.2.1 Measurement

在《数学原理》中，PM 中的测量是基于物体之间的关系，这些关系是测量操作的基础，一个物体比另一个物体重，或比另一个物体长。数量是具有相同关系的物体的等价类。操作是在数量上定义的，以便：

…也就是说，两磅奶酪的三分之二应该是两磅奶酪的(2/3×s1/2) ，在其他情况下也是如此。(《数学原理》，第三卷，407 页)

《数学原理》以一次看似悬空的探索结束，探索了“循环家族”测量的特殊情况。对于“诸如点上的角度或椭圆直线等情况，我们需要一种适用于非开放家族的测量理论”(《数学原理》，第三卷，457 页)。点上的角度将从 0 度测量到 360 度，然后再次从 0 度开始测量绕点旋转的物体。表示旋转的许多比率由“主要比率”表示，用于指定度量的度数。

6.2.2 PM 的结尾没有“结论”

PM 以关于循环家族的定理（∗375·32）的证明突然结束，没有任何总结性的言论或对以后的暗示。思想是进一步的数学，包括怀特海德将要写的第四卷关于几何的内容，将不得不逐步发展。首先，一个给定数学分支的概念必须以早期概念为基础进行定义，例如具有给定结构的关系类，然后该领域中的重要基本结果将逐个证明，以迄于目前为止的工作风格。建立逻辑主义将是一个持续进行的项目，就像数学本身一样开放。

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Academic Tools

Other Internet Resources

University of Michigan Historical Math Collection:
Internet Archive:
Principia Mathematica: Whitehead and Russell, Stanley Burris, University of Waterloo.

Acknowledgments

Thanks are due to Kenneth Blackwell, Fred Kroon, Jim Robinson and several anonymous referees for their helpful comments on earlier versions of this material and to Allen Hazen for discussions of the second edition of PM and of the iterative conception of sets over many years. Thanks to Andrew Tedder, who checked all the proofs in ∗2 of PM. Thanks to James Toupin, Rodrigo Sabadin Ferreira, Johan Gustafsson, and Gregory Landini for spotting errors in earlier versions of this entry. We are indebted to Axel Boldt for finding a (large) number of errors and also for alerting us to some peculiarities of the PM definitions of sums of classes and of ordinal similarity in Volume II.

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