否定 negation (Laurence R. Horn and Heinrich Wansing)

首次发表于 2015 年 1 月 7 日，实质修订于 2020 年 2 月 20 日。

否定首先是语义对立的现象。作为这样一个现象，否定将表达式 e 与另一个在某种程度上与 e 的意义相对立的表达式联系起来。这种关系可以在句法和语用上以不同的方式实现。此外，存在不同类型的语义对立。第 1 节主要涉及自然语言中的否定和对立，从历史和系统的角度来看。第 2 节从哲学逻辑的角度着重讨论否定作为一元连词。否定的历史在 Horn 1989 和 Speranza 和 Horn 2012 中得到了全面的研究和调查。

1. 自然语言中的否定和对立

1.1 引言

否定是每种人类语言的必要条件，然而在其他复杂的动物沟通系统中却不存在。[1] 虽然动物的“语言”本质上是模拟系统，但是在自然语言中，否定运算符的数字性质被表示为斯多葛学派和弗雷格命题逻辑中的一元句子连接词，可以在真值之间切换陈述的真假（或 1 和 0），并递归地应用于其自身的输出，从而实现否定、矛盾和其他人类语言系统的关键属性。

逻辑否定的简单句法性质掩盖了自然语言中否定的深奥复杂和微妙表达，表现为语言上不同的类别和词类（副词、动词、连词、量词、词缀）。正如本文部分探讨的（参见 Horn 1989，Ladusaw 1996，Pullum 2002），对英语和其他语言中否定表达形式和意义以及否定与其他运算符（包括否定本身的多次迭代）的相互作用的研究往往远非简单，涉及到范围的歧义（每个人都没离开），否定融入量词和副词（没有人，从不，几个），否定提升（我不想去=“我想不去”），以及否定极性项目（任何，曾经，抬起手指），其分布受到句法、语义和语用原则的约束。在语言心理能力的核心，否定与形态学、句法学、逻辑形式和组合语义学的原则以及语言习得和句子处理过程有着重要的相互作用，因此在逻辑、语义学、语言学理论、认知和精神分析和文学理论的发展中，否定的研究起到了重要的作用。

否定是一种什么样的运算？在《范畴论》和《论解释》中，亚里士多德将陈述句分为肯定和否定/否认（apophasis 来自 apophanein“否认，说不”，）分别肯定或否定某事关于某事（De Int. 17a25）。作为一种断言方式，亚里士多德术语逻辑的谓词否定，虽然导致与相应的肯定相对的广域否定，但在句法上与斯多葛派和弗雷格逻辑的一元“不是这样的”连接词有所不同。

通过将主语和谓语组合成一个命题，这种方法可以被视为比适用于完全形成的命题的标准迭代运算符更自然地表示普通语言否定的一种方式（Geach 1972; Englebretsen 1981; Horn 1989, Chap. 7; Sommers and Englebretsen 2000）。事实上，蒙塔古语法（Montague 1973; cf. the entry on Montague semantics）的同类否定本身就是一种将术语短语主语与谓词或 IV（不及物动词）短语连接起来的手段，因此无法应用于其自身的输出（参见 Horn 1989, §7.2 关于“亚里士多德作为蒙塔古语法学家”的论述）。在跨语言上，句子范围否定的结构反映可能是一个独立的副词（德语 nicht，英语 not），一个绑定的屈折形式（日语-na-，英语-n’t），或一个动词（芬兰语 en，ei）[2]。

我们在命题逻辑会引导我们寻找的一个地方，即句子或从句的外围位置，我们并没有找到否定，作为一个外部的一元连接词，解释为“不是这样的情况”。（Horn 1989 认为英语和其他语言中外部否定的表面实例代表了否定的元语言使用，见下文 §1.10 的讨论，而 Bar-Asher Siegal 2015 提供了证据，证明犹太巴比伦亚拉玛语存在一个语义外部否定运算符。）此外，与言语行为类型（例如疑问句或感叹句）不同，否定在自然语言中似乎从不通过全局语调轮廓来标记。通常，句子否定直接与主要的有限动词或谓词表达式相关联。

1.2 自然语言中的否定：标记性和不对称性

人们经常观察到逻辑中否定和肯定命题的逻辑对称性掩盖了自然语言中的一种基本不对称性。柏拉图在《辩士篇》中首次观察到，否定句比肯定句更没有价值，更不具体和更不具信息性。肯定命题在本体论、认识论、心理学和语法上的优先性胜过否定命题，这一点得到了亚里士多德的支持：

肯定命题优先于否定命题，而且比否定命题更为人所熟知（因为肯定解释了否定，就像存在优先于不存在一样）（《形而上学》996b14–16）

还有圣托马斯·阿奎那斯：

肯定的表述在三个方面优先于否定...就声音而言，肯定的表述优先于否定，因为它更简单，否定的表述在肯定的基础上添加了否定的粒子。就思想而言，肯定的表述，表示智力的组合，优先于表示分裂的否定...就事物而言，表示存在的肯定的表述优先于表示不存在的否定的表述，因为拥有某物自然优先于剥夺它。（圣托马斯，第一册，第十三课，引自 Oesterle 1962, 64）

否定陈述（例如，“巴黎不是西班牙的首都”）不仅一般比肯定陈述（“巴黎是法国的首都”）信息量少，而且在形态句法上更加明显（所有语言都有否定标记，而很少有肯定标记）[3]，在心理上更加复杂和难以处理（参见 Just and Carpenter 1971, 248–9；以及 Horn 1989 年第 3 章中审查的其他研究）。许多哲学家、语言学家和心理学家将这种不对称性置于逻辑或语义学中，如声称每个否定都预设了相应的肯定，但反之则不然。

强烈的非对称主义立场导致了“否定判断的悖论”：如果一个肯定的陈述涉及或对应于一个肯定的事实，那么一个否定的陈述涉及或对应于什么情况？实际上，什么是一个否定的事实？对于伯格森（1911 年，289 页）来说，否定必然是“教育和社会性质的”；对于伍德（1933 年，421 页）来说，它是“带有错误和无知的”。根据维特根斯坦（1953 年，§447），“感觉就像否定一个命题必须在某种意义上使其成为真实的，以便否定它”。吉文（1978 年，70 页）指出了像“我的妻子没有怀孕”这样的话语预设性。心理语言学研究表明，如果被否定的命题尚未在话语模型中，至少它是一个合理的补充，否定更容易处理（例如，“鲸鱼不是鱼/鸟”；参见瓦森 1965 年；霍恩 1989 年第 3 章）。

除了其显著的地位，否定还被分析为一种方式、一种命题态度和一种言语行为。这里的危险是将语用学放在语义学之前。例如，并非每个否定都是说话者的否认（在这一点上，弗雷格指出嵌入否定的非否认性质，如“如果非 p，则 q”），也并非每个说话者的否认都是语言否定。鉴于几个世纪以来对否定进行反复尝试以消除或驯服它的努力——将否定视为积极差异、不相似或不兼容、虚假、对认识贫乏的承认、否认的言语行为——以及它在经历这些攻击后的弹性，否定可以被称为命题演算的拉斯普京。

但是否定的典型用法确实是否定一个可以归因于或至少被相关人士考虑到的命题，与话语背景相关。虽然肯定通常将一个命题引入话语模型，但否定——在其“主要用法”（Jespersen 1917, 4），其“最常见用法”（Ayer 1952, 39），其“标准和主要用法”（Strawson 1952, 7）——是针对已经存在于话语模型中或可以被话语模型容纳的命题。

1.3 范围问题

如果我们将否定视为对立的一种方式——即同时支持两个不兼容选项的不可能性（参见矛盾和传统对立方阵的条目）——命题否定并不一定是特权的。这种观点在 Keenan 和 Faltz 的布尔代数模型中得到了正式实施，其中否定是一个跨范畴的操作，就像二元连词一样：

我们可以通过将它们视为相应的 meet、join 和 complement 函数的适当解释来直接解释大多数类别中的连词、析取词和否定词。我们之所以只有一个 and、or 和 not 的意义是因为它们总是被解释为 meet、join 和 complement 函数，无论我们正在查看的集合是什么。（Keenan 和 Faltz 1985，6）

英语和其他语言的处理经常假设否定运算符的作用范围比句子或从句更窄。这一传统可以追溯到亚里士多德，对于他来说，Socrates 中的谓词否定不明智，肯定地说谓词不明智适用于 Socrates，如果 Socrates 不存在，则产生一个错误的陈述，而 Socrates 不是聪明的否定了谓词聪明适用于 Socrates，如果 Socrates 不存在，则为真。对于 Jespersen（1917）来说，子句中的“特殊”否定，例如 Nobody came，其中“否定概念…逻辑上属于一个明确的想法”，与“nexal”否定相对立，后者适用于“两个想法的组合”，通常是主谓关系。后来的语言学家通常遵循 Klima（1964）和 Jackendoff（1969）的做法，允许成分否定（例如，You can [not go]中的动词短语否定）以及句子否定（You cannot go），利用各种语法和语义诊断来区分这两种变体。

英语中宽范围（句子）与窄范围（成分）否定之间的句法对应关系是，只有当否定成分具有从句范围时，如（1）-（3）中的（a）示例（或在这个句子中），它才能触发否定倒装（Klima 1964）。在相应的（b）示例中，否定的范围不超过前置短语，因此排除了 ever，这是否定的卫星（负极性项目）。[4]

(1)

没有工作我不会快乐。[=我对任何工作都不会感到快乐]

没有工作，我会快乐。[=没有任何工作，我会快乐]

(2)

罗宾穿什么衣服都不好看。

在没有衣服的情况下，罗宾看起来很好。

(3)

在椭圆办公室，我们从未（曾经）独自一人。

否定也与量化和情态以复杂而常常令人惊讶的方式相互作用。也许最常分析的互动是与普遍量化的互动。尽管经常谴责否定在普遍性上的广义阅读，如经典例子所示，闪闪发光的不都是金子以及法语、德语和其他语言中的类似例子，或者在模棱两可的句子中，比如所有的男孩都没有离开，这种阅读的可行性（取决于说话者、语调轮廓和话语背景）并不像看起来那样不合逻辑（Horn 1989，§3.4；Tottie 和 Neukom-Hermann 2010）。

1.4 相反和矛盾

否定的概念通常在语义上限制于命题之间的矛盾对立，其中 ¬A 可以被解释为“不是 A 的情况”。如亚里士多德的《范畴论》（11b17）中所介绍的，对立的种类（apophasis）被划分为包括相反和矛盾的物种。矛盾的对立，无论是肯定和否定的一个单一断言（苏格拉底是聪明的/苏格拉底不聪明）还是量化表达式（所有的快乐都是好的/一些快乐不好），既是互相排斥的，也是互相穷尽的，而相反的对立（苏格拉底是聪明的/苏格拉底是愚蠢的；所有的快乐都是好的/没有一种快乐是好的）并不互相穷尽它们的领域。相反的命题不能同时为真，尽管它们可以同时为假。矛盾对的成员不能同时为真或假；矛盾对“在真和假之间划分”（参见关于矛盾和传统对立方阵的条目）。

Contrary terms (enantia) come in two varieties (Cat. 11b38ff.). In immediate or logical contraries (odd/even, sick/well), a true middle—an entity satisfying the range of the two opposed terms but falling under neither of them—is excluded, e.g., an integer neither odd nor even. But mediate contrary pairs (black/white, good/bad) allow for a middle—a shade between black and white, a man or an act neither good nor bad. Neither mediate nor immediate contraries fall under the purview of the Law of Excluded Middle [LEM] (tertium non datur).

For immediate contraries formed by narrow-scope predicate term negation, the rendering a is not-F in the traditional quasi-English phrasing corresponds to what Aristotle expresses through word order, utilizing the distinction between e.g., einai mê leukon “to be not-white” and mê einai leukon “not to be white” (Prior Analytics I 51b10). For Aristotle, a is neither F nor not-F can be true if a doesn’t exist (Santa is neither white nor not-white) or isn’t the kind of thing that can be F (The number 7 is neither white nor not-white), given that not-F is taken to affirm the negative property non-F-ness of the subject rather than denying a positive property.

Other cases in which apparent contradictories can be seen as contraries, and thus immune from any application of LEM, are future contingents (There will be/will not be a sea battle tomorrow; cf. De Int. Chapter 9) and, in more recent work (Alxatib and Pelletier 2011, Ripley 2011a), vague predications. Thus a is neither F nor not-F is often judged true when F is a vague predicate (bald, rich, tall), although in the latter case speakers may also be willing to affirm that a is both F and not-F, which complicates matters (see the entries on contradiction, future contingents, and vagueness).

1.5 否定、预设和特指术语

在他对意义和指称的阐述中，弗雷格（1892 年）认为，无论是（4a）还是它的矛盾（4b）都预设了名称开普勒具有指称。每个带有特指主语（名称或描述）的肯定或否定句都预设了该主语的唯一指涉物的存在；如果预设失败，则在（4a，b）中没有进行任何断言。

(4)

开普勒在痛苦中死去。

开普勒并没有在痛苦中死去。

但这个前提不是表达式内容的一部分，因此（4a）并不蕴含存在，否则（4a）的否定将不是（4b），而是开普勒没有在痛苦中死去或者“开普勒”这个名字没有指称，这似乎是弗雷格认为荒谬的结果，但这也预示着后来出现了一个取消前提的外部或排除否定。

罗素（1905 年，485 页）不愿接受弗雷格分析中产生的真值空缺，重新考虑了具有虚无主语的矛盾否定的地位：

根据排中律，要么“A 是 B”为真，要么“A 不是 B”为真。因此，“法国现任国王秃头”或者“法国现任国王不秃头”二者必为真。然而，如果我们列举出秃头的事物和不秃头的事物，我们在任何一份名单上都找不到法国国王。喜欢综合的黑格尔派可能会得出结论，他戴假发。

为了解决这个（表面上的）悖论，同时保留一个经典分析，其中每个有意义的句子都是真或假的，罗素将法国国王等特指术语从逻辑形式中驱逐出去，将（5）和（6）解释为存在量化的句子，尽管它们具有表面的主谓句法结构。

(5)

法国国王是秃头的。

(6)

法国国王不是秃头的。

在罗素的描述理论中，（5）可以表示为（5'），即存在一个唯一的实体，该实体具有法国国王的属性，并且该实体是秃头的（假）命题，而（6）则是模棱两可的，取决于否定的范围。

（5'）

∃x(Kx∧∀y(Ky→y=x)∧Bx))

(6′)

∃x(Kx∧∀y(Ky→y=x)∧¬Bx))

(6″)

¬∃x(Kx∧∀y(Ky→y=x)∧Bx))

(6′)，具有狭义（“内部”）否定，是指存在一个独特且多毛的法国国王，当缺乏（或过多）法国男性君主时，“简单地错误”。另一方面，在（6″）中，法国国王的描述落在外部否定的范围内，并产生一个真命题。与（6′）不同，（6″）未能蕴含存在一个法国国王；实际上，法国国王不存在保证了（6″）的真实性。这种阅读更自然地表达了元语言否定的下降-上升轮廓和延续特征（Horn 1989），如（7）所示：

(7)

法国国王不是 vBALD - 没有任何法国国王！

对于斯特劳森（1950 年，1952 年）来说，否定通常或者总是使主语“不受损害”。斯特劳森暗示地与弗雷格站在一起，反对罗素（和亚里士多德），认为像（4b）和（6）这样的否定陈述是明确且必然的前提。说出（6）的人并不因此断言（也不是她的陈述蕴含）法国有国王。相反，（6）—以及它的肯定对应物（5）—都是以此为前提的。如果这个前提失败，陈述可能会被做出，但其真值的问题则无法提出。

虽然许多分析家（例如威尔逊 1975 年，阿特拉斯 1977 年，加兹达尔 1979 年，格赖斯 1989 年）后来一直遵循罗素的做法，保留了双值语义，并通过实用主义解释表面上的前提效应，但其他语言学家和哲学家（例如福多尔 1979 年，伯顿-罗伯茨 1989 年，冯芬特尔 2004 年）则在弗雷格-斯特劳森的精神中捍卫并形式化了语义前提理论，允许在前提未满足时出现真值间隙或非经典真值的出现。

语义预设的非二值逻辑，可以追溯到 Łukasiewicz（1930）和 Kleene（1952），通常假设（至少）两个非运算符，这种区别在词汇上产生，而不是（如 Russell 所说）在范围上产生；请参阅关于多值逻辑和下面的第 2 节。普通的、保留预设的内部或选择否定是 Frege 和 Strawson 所容忍的唯一否定；根据这种解读，Santa is not white，like Santa is white，既不真也不假，因为 Santa 不存在。预设取消或排除否定总是确定一个经典值。使用排除否定，Santa is not white（或者更有可能的是 It is not the case that Santa is white）即使没有 Santa 也是真的。因此，不存在排中律；任何肯定和其相应的排除否定都是对立而不是对立（有关详细信息，请参阅预设条目）。

1.6 从矛盾到对立：否定的语用强化

在他的格言中，“形式否定的本质是赋予对立与矛盾的特性”，Bosanquet（1888）概括了形式矛盾（广义范围）否定在语义上或语用上被加强为对立的普遍倾向。

我们使用 ©A 来表示 A 的任何相反。根据亚里士多德的对立理论，两个对立的命题 A 和 ¬A 不能同时为假，就像它们不能同时为真一样，而给定命题及其相反命题 A 和 ©A 可以同时为假，尽管它们不能同时为真。（其他人使用 κ 或 R 来表示一元非真功能对立连接词；参见 McCall 1967，Humberstone 2005；另请参见 Bogen 1991，以了解语言和形而上学对立之间的区别。）值得注意的是，虽然 ¬ 是一个将一个命题转化为另一个命题的运算符，但 © 不是，因为给定命题可能具有逻辑上不同的相反命题，而对立命题则不是这种情况。Geach（1972，71-73）通过（8）中的例子阐明了这一点。虽然（8a）有两个在句法上不同的对立命题，例如，不是每只猫都憎恨每只狗和不是每只狗都被每只猫憎恨，但是给定命题的任何这种共同对立命题将始终具有相同的真值条件。但是（8a）允许具有不同真值条件的两个相反命题，（8b）和（8c）。

(8)

每只猫都憎恨每只狗。

没有猫讨厌每只狗。

没有一只猫讨厌的狗。

同样地，（9a）允许三个非相同的相反观点：

(9)

我相信你说的是真的。

我相信你没有说真话。

我不相信你说的是真话还是不是真话；我还没有下定决心。

我不相信你说的是真话，也不相信你不是：我还没有考虑这个问题。

因此，虽然我们可以谈论一个命题的矛盾，但正如 Geach 所观察到的，我们不能（与 McCall 1967 相反）谈论相反，而只能谈论一个相反的命题。然而，正如 Humberstone（1986，注 6）在回应 Geach 对 McCall 的批评时指出的那样，缺乏唯一性“并不妨碍我们探索给定陈述的任意选择的相反的逻辑属性”。对于我们的目的，相反性的关键逻辑属性是（i）命题 A 的矛盾不是 A 的相反，以及（ii）相反性单方面蕴含矛盾：

(10)

©A⊢ 否定 A

否定 A⊬©A

对于麦考尔（1967 年）来说，对立性是一种类似于逻辑不可能性 □¬ 的准模态概念，因为 □¬A 蕴含 ¬A 但反之不成立，但正如一位匿名审稿人指出的那样，对立性没有固有的模态成分；必要的只是对立性是一个非真值功能的一元连词。（有关其他考虑，请参见 Humberstone 1986 年、2003 年、2005 年；Bogen 1991 年；和 Vakarelov 1989a 年。）

将矛盾否定 ¬A 加强为相反的否定 ©A，通常实例化了析取三段论或 modus tollendo ponens 的推理模式（11）：

(11)

A∨B¬AB

虽然关键的分离前提通常被压制，但在自然语言中，可以在相关语境中检测到分离三段论的作用，其中所讨论的分离在语用上被预设。这种模式的例证包括以下几种情况：

否定在（某些）否定的命题态度谓词（例如，a does not believe that p）的范围之外被解释为与嵌入子句相关联（例如，a believes that not-p）的倾向；这被称为“否定提升”，我们将在下面回顾这一点。
语义上矛盾的否定（例如，x is unfair/unhappy）或从句（I don’t like him）对于未标记的正值来说，会被加强（作为“在线”或常规化的过程）为正面断言的相反。作为相反的例子，Chris is happy 和 Chris is unhappy 允许存在一个未排除的中间状态，因为 Chris 既不快乐也不严格不快乐；同样，I don’t like him 通常被理解为比仅仅断言“我不喜欢他”更强烈的说法。
否定的复数明确化（孩子们不睡觉）或裸体复数（海狸不吃奶酪）从相应肯定的矛盾到相反的加强。在每种情况下，否定被理解为量化主语的范围内。

正如 Bartsch 1973 所强调的（参见 Horn 1978; Horn 1989，第 5 章），当在给定语境中只有两个选择时，如否定提升的情况，否定一个选择（我不相信会下雨）等于肯定另一个选择（我相信不会下雨）。相关的推理是（11）中的析取三段论模式的一个实例，如（12）所示，其中 F 代表命题态度，a 代表该态度的主语。

(12)

F(a,p)∨F(a,¬p)[在语用上假设的析取]¬F(a,p)–––––––––[明确表达的句子]F(a,¬p)[传达的更强的否定命题]

关键步骤是实用许可的对立的析取：如果你假设我对给定命题 p（例如，“会下雨”）的真值已经做出了决定，而不是对它无知或未决，那么你会推断我相信 p 或 ¬p，并且我否认相信前者（“我不认为会下雨”）将导致你得出结论我相信后者（“我认为不会下雨”）。（有关此现象的更多信息，请参见 Horn 1989 年第 5 章；Gajewski 2007 年的新巴奇分析；Collins 和 Postal 2014 年对否定提升的语法方法的有力辩护）。

长期以来，对表面矛盾否定的加强对立解读的可用性已经得到承认，可以追溯到公元 4 世纪的古典修辞学家对否定其相反的肯定的修辞手法的研究（Hoffmann 1987）。修辞解释往往是不对称的：对“不快乐”或“不乐观”的归因往往会传达一个相反的意思（在这种情况下是“相当不快乐”或“相当悲观”），而“不悲伤”或“不悲观”通常不会传达类似的虚拟对立，它们通常被理解为纯粹的矛盾。这种不对称性最终是一种社会事实，源于尊重负面面孔的愿望（Ducrot 1973，Brown 和 Levinson 1987，Horn 1989）。

对于耶斯珀森来说，通过否定提升解释的倾向不仅说明了对立性的一般加强，而且参与了自然语言中尽早表示否定的更一般的阴谋。这种“否定优先”原则的附加效果（Horn 1989, 293；参见 Jespersen 1917, 5）包括了句子否定表达的历时性转变（参见 van der Auwera 2010）以及（1a）或（2a）中的前置和否定倒装，以及在诸如[neg S1 because S2]（Jespersen 1917, 48）的语境中出现的歧义的出现，例如“她没有嫁给他是因为他穷”，在这种情况下，“不合逻辑”的范围解读——他的贫穷不是婚礼的原因，而是非婚礼的原因——可以通过语调轮廓更或更不容易地呈现出来。

“否定提升”解读的“我不认为 p”作为“我认为不-p”经常被语法学家或哲学家诟病为否定的不合逻辑的放置，不幸的歧义，或者（用奎恩的术语）是一种语言的“特殊复杂性”：

英语中的熟悉怪癖，即“x 不相信 p”等同于“x 相信不 p”，而不是“不是 x 相信 p 的情况”。（奎恩 1960, 145–6；其他哲学家也提出了类似的观点）

但这种“怪癖”根源深远，可以追溯到圣安瑟姆（St. Anselm）12 世纪的兰贝斯碎片（Henry 1967, 193–94; Hopkins 1972, 231–32; Horn 1989, §5.2）。安瑟姆指出，“non…omnis qui facit quod non debet peccat, si proprie consideretur”——如果严格考虑（如句法所示，否定的对立阅读），并不是每个做了他 non debet（“不应该”）的人都犯罪。问题在于，non debere peccare 通常用来传达相反的意思 debere non peccare，而不是字面上的矛盾（“犯罪不是一种义务”）。很难规定例如 non debet ducere uxorem（=“一个人可以不结婚”）而不似乎承诺更强的 debet non ducere uxorem，即禁止结婚（Henry 1967, 193ff.; Horn 1978, 200）。

对于 Henry（1967, 193, §6.412）来说，安瑟姆关于情态/否定交互的观察“受到拉丁语用法的怪癖的复杂性的影响”。但与英语和/或拉丁语用法的奇怪之处远不止于奎因（Quine）的怪癖，“否定提升”——对于信仰或应该类型谓词的否定的下层理解——在语言和运算符中广泛而系统地分布。

提升的理解总是比矛盾（外部）否定更强；它适用于矛盾适用的情况的一个真子集（在可能世界的一个真子集中为真）。因此，正如安瑟姆所认识到的，否定提升产生了一种虚拟的对立：组合意义是真实的，但太弱，而听话者则恢复了一种会话含义来“填补”更强的命题。

在某些情况下，加强或否定的相反解读可能随着时间的推移变得突出，以至于阻止了字面解释，例如法语的 Il ne faut pas partir（字面上为“不需要离开”）（一个 O 顶点的情态）现在通常只用来表达更强的命题，即不得离开（E 顶点）。这是 O > E 漂移（Horn 1989）的情态实例，即沿着模态对立的右侧（负向）垂直线的上升转变。这些方块是由 Cajetan 根据亚里士多德的《解释学》21b10ff.和《先验分析》32a18-28 构建的（参见 Oesterle 1962），以及其他中世纪评论家。

图 1

O > E 漂移在跨语言上得到证实，词汇项目的意义转变，例如古英语的 nealles（字面上为“NEG all”）=“一点也不”，荷兰语的 nimmer（字面上为“NEG always”）=“从不”，或俄语的 nel'zja（字面上为“NEG must”）=“不得”，以及像 unlikely、inadvisable 或 disbelieve 这样的词，其前缀否定只产生相反的解释，而不是矛盾的解释。相反的转变，即表面上的 E 形式发展出 O 的意义，似乎没有被证实（参见 Horn 2012, 2015）。

在修辞和否定提升中，将形式上的矛盾解释为相对矛盾是由于相关析取的可及性，触发了析取三段论。适用于裸名词、复数确定词和质量断言的同质性或全有或全无预设（Fodor 1970）导致了类似的效果；自然而然地，我们会将否定陈述如哺乳动物不下蛋、孩子们不在睡觉、或者我不吃肉加强为相对矛盾的肯定陈述，而不是将其理解为对应肯定陈述（哺乳动物下蛋、孩子们在睡觉、我吃肉）的简单范围广泛的否定，这在明确量化的普遍性情况下是成立的。相关原则已经有不同的表述：

当否定某一种类具有一般性属性 Pk 时，它的任何个体都不能具有相应的个体级属性 Pi。（von Fintel 1997, 31）
如果谓词 P 对于 NP 是假的，那么它的否定 not-P 对于 NP 是真的...每当一个谓词应用于它的参数之一时，它对整个参数是真或假的。（Löbner 2000, 239）

再次，关键步骤是将相关的分离作为实用推断的排中律的一个实例来建立，例如，“哺乳动物要么下蛋，要么不下蛋”。事实上，这种做法最早由亚里士多德（Soph. Elen. 175b40–176a17）确定，他提出了一个早期版本的全有或全无（或者都有或都没有），认为对于一个“辩证的”或者连带问题的否定回答，比如“Coriscus 和 Callias 在家吗？”将意味着两者都不在家，鉴于默认的假设是他们要么都在家要么都不在家。再次排中律适用于“不应该”的地方；A∨©A 的行为就像是 A∨¬A 的一个实例，触发了分离三段论：

(13)

(Fa∧Fb)∨(¬Fa∧¬Fb)¬(Fa∧Fb)–––––––––––––(¬Fa∧¬Fb)

自然语言中对矛盾最大化的其他实例，在从形式语用学到词汇学习的各种语境中，都在 Horn 2015 中进行了讨论。

1.7 剥夺、词缀否定和显著性不对称性

对于亚里士多德来说，剥夺是一种以默认属性的存在或缺失为基础定义的对立实例：

当某个特定的能力或拥有某种东西的能力存在时，我们说它遭受了剥夺[sterêsis]，当涉及的能力或拥有的东西在它应该自然存在的那个时间和那个地方完全不存在时。我们不称没有牙齿的人为无牙之人，也不称没有视力的人为盲人，而是称那些在本应自然存在的时间没有牙齿或视力的人为如此。（《范畴论》12a28–33）

一个新生的小猫，虽然没有视力，但它并不比一把椅子更“盲”，一个婴儿也不是“无牙”的。

在《形而上学》中（1022b23-1023a8），对于自然应该存在的缺乏被重新审视，亚里士多德指出，缺乏可以涵盖可预测的缺席、意外的移除或故意的“强行夺走”相关属性，他将缺乏“就属于种类而言”（如鼹鼠的盲目）与缺乏“就自身而言”（如老人的盲目或无牙）区分开来。最后，亚里士多德承认，希腊语中有多少个带有 a-前缀的词，就可能有多少个缺乏的意义（Met. 1022b33）。事实上，缺乏可以被重新分析为主要的对立（1055a34）。

在许多语言中，简单词基上的词缀否定反映了亚里士多德的缺乏概念，因此存在着可能形式（不快乐，不真实，不友善）和不可能或不太可能的形式（不悲伤，不虚假，不残忍）之间的不对称性。我们可以形容一部失败的喜剧，但不能形容一部成功的悲剧为“不好笑”。正如耶斯佩森（1917 年，144 页）所观察到的，半产生性否定词缀化倾向于仅限于未标记或正面的基础上，这与上述对对立的偏好相结合：

添加前缀所带来的意义上的修改通常是简单的否定：unworthy = “不值得”，等等... 这两个术语[X, unX**]因此是相互矛盾的术语。但是很多时候前缀会产生一个“相反”的术语，或者至少接近一个：“不公正”通常意味着不公正的相反；“不明智”意味着不仅仅是不明智，而且接近愚蠢，“不幸福”与“悲惨”相差不远，等等。

词缀否定的反期望特性甚至延伸到了矛盾的、排除中间的形容词，比如“活着/死了”；没有什么东西既是活着的又是死了的，也没有什么既能是其中之一的。但是“undead”自从布拉姆·斯托克的《德古拉》（1897）以来，作为形容词和零派生职业名词存在，用来描述僵尸、吸血鬼和其他“不完全死亡但不完全活着，既死又活”的生物（OED）。如果某人或某物是“undead”，比如吸血鬼，那么它不符合人们认为它应该死亡的期望。但是如果某物看起来是活着的，但并没有完全满足这种期望，那么它不是“undead”，而是“unalive”，比如人造花。无论是“undead”（不完全活着）的吸血鬼，还是“unalive”（不死）的人造花，都符合亚里士多德关于缺乏与各自主题相关的属性的否定对立的概念。

否定言论的标记状态也被用来激发词汇化几何的不对称性。在对立方块中，亚里士多德的矛盾、对立和随附关系被补充了一种额外的随附关系，称为亚随附关系，因为亚随附关系位于对立关系之下。作为两个对立关系的矛盾，亚随附关系（例如，一些快乐是好的，一些快乐不好）可以都是真的，但不能都是假的。对于亚里士多德来说，这不是真正的对立，因为亚随附关系只是“在言辞上对立”（《先验分析》63b21-30）。从实用的角度来看，对一个亚随附关系的断言（一些人是秃头）不仅与另一个亚随附关系（一些人不是秃头）兼容，而且实际上会在会话中暗示出来，这是基于格赖斯的数量原则（“尽可能提供所需的信息”；请参阅有关保罗·格赖斯、语用学和暗示的条目）。亚随附对的两个成员在给定的语境中往往是等效的或相互可导的，这可能解释了为什么只有一个亚随附关系会在自然语言中词汇化，而否定的标记性解释了为什么这总是正面（I 顶点，例如，一些）而不是负面（O 顶点，例如，没有）的价值（Horn 1989，2012）。因此，E 值 none、nor 和 never 是可能的，但相应的 O 值_nall（“不是全部”）、_ nand（“或不是”）和*nalways（“不总是”）从未被证实。类似的，对于非量化和非逻辑值也存在类似但不绝对的不对称性（van der Auwera 1996，Horn 2012）。对于激发这些不对称性的实用解释的各种竞争性解释已经被提出，参见 Jaspers 2005、Seuren 和 Jaspers 2014 以及相关参考文献。

1.8 双重否定

1.8.1 “逻辑”双重否定

当双重否定肯定时，双重否定到底肯定了什么？当一个否定词是对应的简单肯定词的相反而不是矛盾时，否定它的应用——苏格拉底不是一个不是白色的原木——并不会导致逻辑双重否定的相互抵消，就像否定一个中介相反（她不不快乐，这并不罕见）一样。虽然亚里士多德容忍多重否定，甚至生成诸如“非人不非正义”（《论词》19b36）这样不太可能的序列，但每个命题只包含一个否定作为广域谓词否定（在这里与否定的主语词和否定的谓词词并列），因为每个范畴陈述只包含一个谓词。

相比之下，斯多嘉学派将否定（apophatikon）定义为一个迭代的外部运算符。对于亚历山大·阿弗罗迪西亚斯来说，“非：非：它是白天与它是白天只在言辞方式上有所不同”（Mates 1953, 126）。通过他们的命题连接词和一元真/假切换的否定运算符，正是斯多嘉学派而不是亚里士多德学派预示了现代命题逻辑，以及传统语法的原则（“双重否定肯定”）和双重否定法则。

古典弗雷格逻辑只允许一个否定运算符，即适用于命题或开放句的矛盾形成命题运算符，符合“所有否定形式都可以归约为适当放置的‘不是这样的情况’”的论点（Prior 2006, 524）。不出所料，弗雷格（1919, 130）宣称双重否定在逻辑上是多余的：“用双重否定包裹一个思想并不改变其真值”。在这个隐喻中，¬¬A 只是一种装扮思想或命题 A 的方式。

但是，正如在 §1.1 中所指出的，即使是一个单独的句子外部的否定（不是：太阳在照耀）也是逻辑学家很少见到的构造（Geach 1972; Katz 1977）：

[P]命题否定对于普通的希腊人和普通的英国人来说都是陌生的，[亚里士多德]从未达到对其的明确概念。斯多葛派确实达到了这样的约定，但在这样做时他们违反了被接受的希腊用法；他们使用的 oukhi 开头肯定看起来像是“不是：太阳在照耀”这样的句子在英语中一样奇怪（Geach 1972, 75）。

此外，无论我们是否在逻辑中承认双重否定定律，

在普通语言中，一个双重否定的表达很少，如果有的话，与原始的非否定陈述具有相同的逻辑能力。（Hintikka 1968，47）

因此值得注意的是，亚里士多德在《先验分析》第一章第 46 节中描述的双重否定系统既有洞察力又内部一致；它的回响可以在 Jespersen 对 nexal 否定（not happy）和 special 否定（unhappy）之间的区别、Von Wright（1959）对弱（矛盾）与强（相反）否定之间的区别以及 Jackendoff（1969）对 Klima（1964）句子与成分否定的语义重新分析中被认出。在每种情况下，一个范围比命题更窄的否定标记确定了一个逻辑上与简单矛盾不同的陈述。

如果我们将 It is not-white 的范围较窄的对立运算符表示为 ©A，它的矛盾形式 ¬©A（It isn’t not-white）并不会使我们回到简单的肯定 A。结果，虽然手段不同，但与直觉逻辑（Heyting 1956）中的情况相似。直觉主义否定运算符不会被取消，因为直觉主义的双重否定定律只在一个方向上有效，A→¬¬A，而 ¬¬A→A 则不适用（请参阅直觉主义逻辑的条目）。直觉主义者只假设了一个否定运算符，它支持双重引入但不支持双重取消，而亚里士多德系统则区分了矛盾（句子）谓词否定和相反（成分）谓词项否定。

在日常语言中，语义上的双重否定（与否定协调相反，如我从未对任何人做过任何事情，这是一种仅表达一个语义否定的协议现象，在下一节中讨论）往往不会完全取消。当否定一个语义相反的情况时，这是可以预料的：不常见比常见要弱；一个人可以不快乐而不是幸福。但即使是当一个明显矛盾的否定被否定时（从不可置信的不可能到霍默·辛普森的让步性的双重否定“我不不舔蟾蜍”[http://tinyurl.com/34jwhjz]），A 的双重否定并不肯定 A，或者至少它提供了一种修辞上受欢迎的掩盖，正如弗雷格在双重否定中“包裹思想”的隐喻所暗示的那样。在这种情况下的否定（不可能，不舔）被强制成一个虚拟的相反，其否定 ¬©A 比 A 要弱（被单方面蕴含）（参见 Horn 2017 和关于矛盾的条目）：

图 2

1.8.2 否定协调及其关系

在前一节中观察到，当双重否定肯定时，它所肯定的往往不仅仅是双重否定的命题，而是由否定实际或虚拟的相反（不太可能，不不可能）所产生的不完全取消的结果。但对于这个格言来说，一个更引人注目的问题是当双重否定否定时，特别是以否定一致的形式出现时，其中主动词上的单一逻辑否定会扩散到同一从句中的不定词和副词（Labov 1972，Zeijlstra 2004，Penka 2011）。

否定一致的语法通常很复杂，受到各种因素的影响。例如，在标准意大利语中，后置于主动词之后的否定量词（无论是作为宾语还是后置主语）与动词上的强制性否定标记同时出现，产生单一的否定含义，如（14a）。但当否定量词位于动词之前时，否定一致被排除，如（14b）。

(14)

吉安尼 *(非) 看见任何人。"吉安尼看见了没有人" *(非) 有人打电话。"没有人打电话" *(非) 我和任何人说话。"我和没有人说过话"

没有人（不）见过吉安尼。“Nobody has seen Gianni”我没有和任何人（ 不）说话。“With nobody have I spoken”

否定协调是许多非标准英语变体的特点，尤其是在非正式的言语或歌词中（“我无法得到满足”）[8]。非洲裔美国方言英语中的否定协调语法已经得到了特别深入的研究；参见 Green 2002 的有影响力的分析。

在给定从句中的真正否定协调只代表了一种超否定的形式，即一种一般现象，即否定标记强化而不是取消句子否定的普通或规范标记（Horn 2010a）。超否定可能跨越从句边界，导致“多余”或“废话”否定成分出现在固有否定谓词的范围内（参见 Espinal 1992，Horn 2010a）。这在法语、俄语、意第绪语和其他语言中的比较级后面、从句前面或害怕动词前面的否定标记中得到了体现。多余否定是早期英语的一个标准特征，在口语英语中仍然存在：

(15)

我想念（不）见到你。

如果不下雨，不要感到惊讶。[= 如果下雨]

不是和我的妻子，你不会这样做。

这个提案将不会被批准，我（不）认为。

在许多心理语言学研究中验证的处理多重否定时遇到的众所周知的问题，导致了其他未解释的否定的出现，如（16a）所示，并且在（16b，c）中体现了惯用的讽刺或嘲讽：[9]

(16)

没有头部受伤是可以忽视的。

我可以不在乎。

那会教训你再也不要惹我了。

同样地，在法语中，表达“Vous n’êtes pas sans ignorer que …”，字面意思是“你不无不知道……”，在“你肯定知道……”的意义上被广泛使用。如果双重否定肯定，那么三重否定混淆。

1.9 否定极性

英语和其他语言中的某些语言表达是极性敏感的，它们的分布受到否定或语义相关的语境的限制，包括否定量词、隐含否定的谓词或副词、条件句的前提、比较从句和普遍性的限定词：

(17)

我从来没有吃过任何柑橘。

还没有提交{少量的/*许多的}作业。

院长很少/经常伸手帮助处于缓刑的学生。

我{怀疑/*相信}他们对这个提议并不是很满意。

例如。

{所有/*许多}曾经购买过任何受影响商品的顾客都被联系到了。

否定极性项目（NPIs），如（17）中突出显示的那样，通常限制在向下蕴涵或单调递减的语境中，即从集合到子集的推理是有效的（参见 Fauconnier 1975; Ladusaw 1980, 1996; Peters and Westerståhl 2006; 以及广义量词条目）。如果我吃了金桔，那我吃了水果，但反之则不一定；这是一个向上蕴涵（单调递增）的环境。另一方面，如果我没有吃水果，那我就没有吃金桔，但反之则不一定；这是一个向下蕴涵（单调递减）的环境。[10] 只有在后一种情况下，NPIs 才被许可。

如（17e）所示，像 all 或 every 这样的普遍性词汇在其限制性成分（相对子句）中许可 NPIs，这是一个向下蕴涵的语境（如果每个懂逻辑的人都是素食主义者，那么每个懂古典逻辑的人都是素食主义者，但反之则不一定）。但是，普遍性词汇在其核心范围或谓词表达式中不许可 NPIs，这是一个向上蕴涵的语境（如果每个懂逻辑的人都是纯素食主义者，那么每个懂逻辑的人都是素食主义者，但反之则不一定）。这种对比展示了一个关于极性许可的解释/理论的不足之处，该解释/理论仅仅将给定的词汇项目标记为有利于其范围内 NPIs 的出现（Ladusaw 1980）。

尽管向下蕴涵可能（通常）是许可 NPIs 的必要条件（尽管还有一些棘手的问题需要解决；参见 Giannakidou 2011，Israel 2011），但根据语境和所讨论的 NPI 的性质，这并不一定足够。例如，一些允许使用诸如 any 和 ever 这样的弱 NPIs 的环境却无法许可像 in weeks 或 until midnight 这样严格的 NPIs。

(18)

{没有人/只有克里斯}证明过这些定理中的任何一个。

{没有人/*只有克里斯}已经几周没有来了。

这导致了更严格的代数条件的发展，一些极性项目必须满足，例如反加性（Zwarts 1998）。极性项目的分布和许可，受到语言内部和跨语言的广泛变化的影响，是一个重要但极其复杂的语言现象，对语法结构和意义理论有着重要的影响；参见 Israel 2011，Giannakidou 2011，Chierchia 2013，Horn 2016 和 Barker 2018，进行广泛的讨论和替代理论方法。Van der Wouden（1996）和 Blanchette（2015）对负极性与负协调和虚词否定的联系进行了有用的研究。

1.10 元语言否定

除了我们在给定语言中调查的语法和语义定义的否定变体之间的重叠二分法（广义 vs. 狭义范围，句子 vs. 成分，矛盾 vs. 相反，选择 vs. 排除），还引入了“语用歧义”来区分普通描述性否定和专门的元语言或回声用法（Horn 1989，第 6 章）[11]。在类似（19）的例子中，发言人对先前的话语提出了各种不同的反对理由，包括其语音或语法形式，登记，或相关的预设或言外之意：

(19)

在这里，我们不喜欢咖啡 - 我们喜欢它。

她不卖保险-她卖的是保险。

这不是炖兔肉，亲爱的，这是兔子肉炖法国菜。

我不是他的兄弟，他是我的兄弟！

莫扎特的奏鸣曲是为钢琴和小提琴而非小提琴和钢琴而作的。

描述性/元语言区分得到了汇聚的语言学诊断的支持，这些诊断表明元语言否定在不同的层次上运作，因此未能在形态上融入或许可负极性项目：

(20)

我对计划{不满/*不高兴}，我非常兴奋！

你没有吃{一些/任何}饼干，你把它们都吃了！

“实用模糊性”概念的连贯性以及更一般地，对元语言否定（或者，按照 Carston 1996 的说法，回声否定）的适当处理一直是一个相当有争议的问题；关于一系列竞争观点，请参见 McCawley 1991、Geurts 1998、Burton-Roberts 1999 和 Carston 1999。Pitts 2011 对所讨论的现象（或现象）提供了一个很好的概述。

否定的语言表达，它与负极性、一致性和范围现象的相互作用，以及负形式与负含义之间的映射，都对句法、语义和语用学提出了复杂而重要的问题。（关于所涉及问题的最新观点，请参见 Atlas 2012、Horn 2018 以及其中引用的工作。）但也许否定最引人注目的特点是自然语言中负面成分的形式和分布复杂性与命题逻辑中的一元否定运算符的简单性之间的不匹配。然而，一旦我们对否定的逻辑进行系统的研究，这种表面上的简单性就是一种欺骗。现在我们就转向这个任务。

2. 否定的逻辑

否定的逻辑可以通过考虑各种证明系统（公理系统、序列演算、自然演绎系统、表格等）或不同类型的语义（代数、模型论、证明论、博弈论等）以不同的方式呈现。此外，为了寻找否定作为一元连接词的特征，可以根据所考虑的语言的逻辑词汇（命题、一阶、多模态等）和考虑的推理框架（单个前提（即前提）和结论、多个前提或多个结论、集合、多重集合或公式序列在前提或后继位置）来进行分类的几个维度。

在一个非常基本的设置中，可以考虑仅有一个命题否定符号 ∼ 和可导出关系 ⊢ 之间的相互作用，以及单个前提和单个结论。以下推理原则被陈述为具有一个可导出语句（序列）或两个这样的语句作为假设序列和一个单一语句作为结论的适当规则，或者作为没有任何假设序列的公理序列：

(21)

A⊢B/∼B⊢∼A(对偶)A⊢∼∼A(双重否定引入)∼∼A⊢A(双重否定消除)A⊢B,A⊢∼B/A⊢∼C(否定的矛盾)A⊢B,A⊢∼B/A⊢C(无限制的矛盾)A⊢∼B/B⊢∼A(建设性的对偶)∼A⊢B/∼B⊢A(经典的对偶)

第一个规则，对偶，例如，它说如果从 A 可以推导出 B，那么从非 B 可以推导出非 A。所有这些规则和可推导性陈述在经典逻辑中是有效的（参见经典逻辑的条目）；经典逻辑无法区分它们。其中一些原则在非经典逻辑中受到了批评和质疑。例如，无限制的和否定的矛盾规则引入了一个无关的因素，因为它们允许从假设 A 中推导出一个完全任意的公式 C，或者从假设 A 中推导出一个完全任意的否定公式 ∼C，如果一个公式 B 以及它的否定 ∼B 都可以从 A 中推导出来，请参见关于相关逻辑和自矛盾逻辑的条目。经典对偶受到了批评，因为它在包含存在量词的语言中引发了非建设性的存在证明，请参见直觉逻辑的条目。在更丰富的词汇中，可以制定额外的否定原则，规范否定与其他逻辑操作之间的相互作用。著名的例子是德摩根定律。在没有蕴涵的语言中，可以考虑以下陈述，陈述了德摩根推理规则：

(22)

(∼A∨∼B)⊢∼(A∧B)∼(A∨B)⊢(∼A∧∼B)(∼A∧∼B)⊢∼(A∨B)∼(A∧B)⊢(∼A∨∼B)

鉴于经典逻辑验证了所有这些规则，直觉逻辑只验证了前三个规则。

否定的证明论特征对于在推导中使用否定连接词是重要的。然而，为了更全面地理解否定，证明论必须补充一个语义学。我们首先考虑真值表。

2.1 否定作为一个真值函数

在古典逻辑中，假设存在二值原理，即一个公式只有两个语义值之一，即真值 T[真]或假值 F[假]（1 或 0），但不能同时具有两者。否定 ∼ 在语义上由一元函数 f∼ 来描述，该函数定义在集合{1,0}上，其真值表如下：

f∼1001

也就是说，如果 A 是一个公式，那么如果 A 为真，则 ∼A 为假，如果 A 为假，则 ∼A 为真。函数 f∼ 被称为真值函数，因为它是在古典真值集合{1,0}上定义的函数，请参见真值条目。

如果否定意味着表达语义对立，那么很明显，剩下的两值一元真值函数无法表征 A 和 ∼A 之间任何合理的语义对立概念：

fid1100f⊤1101f⊥1000

然而，如果已经区分了形成矛盾和形成相反的句子否定之间的区别，那么就为将否定视为一元连词的多元主义做好了准备。人们可以通过让否定以各种方式与其他逻辑运算相互作用来获得不同的否定概念，但这对于不包含任何逻辑运算的原子公式并没有帮助。

有几种推广语义并为附加的命题否定留出空间的方法。其中一种是放弃二值性并承认具有超过两个元素的真值集合（真值程度），请参见多值逻辑的条目。在所谓的 Łukasiewicz 多值逻辑 Łℵ1、Łℵo 和 Łn 中，值的集合要么是整个实数单位区间[0,1]，要么是整个有理数单位区间[0,1]，要么是有理数集合{0,1n−1,2n−1,…,1}。这些集合包括 1 作为代表真的指定值，其中多值逻辑的指定值是在有效推理中保持不变的值。Łukasiewicz 否定 ∼ 通过设置 f∼(u)=1−u 来定义。因此，否定是以从真的数值表示中减去的方式来理解的。在所谓的 Gödel 多值逻辑中，否定 ∼ 的真值函数 f∼ 通过设置 f∼(u)=1（如果 u=0）和 f∼(u)=0（如果 u≠0）来定义。在这里，否定是以真的数值表示和与假的数值表示的不同之处来理解的。

在 Kleene 的（强）三值逻辑 K3 中，除了 0 和 1 之外，还有一个值 i 作为第三个值，否定 ∼ 的真值函数 f∼ 通过与 Ł3 中的否定表相同的表来定义，将 12 替换为 i：

f∼10ii01

在 K3 和 Ł3 中，一个公式 A 及其否定 ∼A 不能同时为真，即不能同时取得指定值 1，但如果 A 分别接收值 i 和 12，则它们都不为真。如果将相反的一对公式定义为不能同时为真但可能都不为真的一对公式，则 Kleene 否定会产生相反的一对公式。

此外，在 K3 中，虚假（理解为接收值 0）和非真（理解为取值与 1 不同）是不同的。因此，K3 中的对偶不成立。另一个具有不可对偶否定的逻辑是 Priest 的悖论逻辑 LP，其中否定由 f∼ 解释，i 和 1 都是指定值，请参见关于矛盾逻辑的条目。如果在 K3 或 LP 中将蕴涵（A⊃B）定义为物质蕴涵（∼A∨B），则对偶成立，即（A⊃B）蕴含（∼B⊃∼A）。

如果我们将 K3 中的否定理解为表示自然语言否定，则 K3 的“内部”、保留预设的否定 ∼ 与 Bochvar 的三值逻辑 B3 中的外部、取消预设的否定 ¬ 不同，它总是返回经典值。真值函数 f¬ 由以下表格定义：

f¬10i101

也可以使用可能世界模型的机制来语义化地定义各种否定概念。然后将否定视为一种模态运算符。

2.2 否定作为一种模态运算符

由于模态运算符是一元连接词，并且存在不同的必然性（必然真理）和可能性（可能真理）的概念，一个相当自然的问题是是否可以将否定以揭示方式分析为模态运算符，请参见模态逻辑条目。

非常著名的模态逻辑是具有所谓可能世界语义的正常模态逻辑，利用可能世界之间的二元关系。稍微不太知名的是经典（或合同）模态逻辑（Segerberg 1971，Chellas 1980，Pacuit 2017）。在经典模态逻辑系统中，对于类似必要性的模态运算符 □ 所施加的最弱要求是合同性质：⊢A↔B/⊢□A↔□B（“如果 A↔B 是可证明的，则 □A↔□B 也是可证明的”）。然而，这个性质显然并不是否定的特征。

经典模态逻辑具有所谓最小模型的语义，也称为邻域模型。邻域模型是一个结构 M =（W，N，v），其中 W 是一组非空的可能世界，N 是一个将 W 中的每个 w 映射到 W 的子集集合 N（w）的函数，称为 w 的邻域，并且 v 是一个将原子公式映射到它们为真的世界集合的估值函数。让[[A]]是公式 A 为真的世界集合。然后，在模型 M 中，定义 □A 在世界 w 处为真（符号表示：M，w⊨□A）当且仅当[[A]]∈N（w）。

在 Ripley 2009 中，建议使用邻域语义作为捕捉否定连接词特性的一般框架，解释为必然运算符 □，参见 Yu 2010。例如，Ripley 指出，对于邻域模型(W,N,v)，反对规则 A⊢B/□B⊢□A 在其中是有效的，当且仅当对于每个 w∈W，N(w)在子集下是封闭的，即如果 X∈N(w)且 Y⊆X，则 Y∈N(w)。如果将[[A]]∈N(w)理解为表示由 A 表达的命题与世界 w 不兼容，则上述约束是合理的，因为它表明如果与 w 不兼容的世界集合（命题）X 与命题 Y 蕴含 X，则 Y 也与 w 不兼容。尽管 Ripley 从一个积极的概念开始（M,w⊨□A 当且仅当[[A]]∈N(w)），为了引入否定 ∼，也可以规定 M,w⊨∼A 当且仅当[[A]]∉N(w)，以获得一个更明显的负面不可能运算符（尽管经典上是否定的是 □A 的子句）。其思想是 N(w)包含与 w 兼容的世界集合，因此[[A]]∉N(w)表示由 A 表达的命题与 w 不兼容。否定作为“非必要性”运算符 ¬（即“可能不是”）则由 M,w⊨¬A 当且仅当 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯[[A]]∈N(w)定义，其中 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯[[A]]是相对于 W 的[[A]]的补集。结果是，¬A 在状态 w 上为真当且仅当由 A 表达的命题的补集与 w 兼容。

这种语义学验证了相应版本的一致性（⊢A↔B/⊢∼A↔∼B 和 ⊢A↔B/⊢¬A↔¬B），但它还没有对否定施加任何有趣的限制。为了排除某个世界 w 和公式 A，同时 w∈[[A]]和 w∈[[∼A]]的情况，必须规定对于每组世界 X，如果 w∈X，则 X∈N(w)，这在邻域函数 N 的兼容性解读下是有意义的，因为它表示如果 X 在 w 处为真，则 X 与 w 兼容。为了验证逆否命题，必须要求如果 X⊆Y，则{w∣Y∉N(w)} ⊆ {w∣X∉N(w)}。在 N 的兼容性解读下，这个条件表示如果命题 X 蕴含命题 Y，则每个与 Y 不兼容的世界也与 X 不兼容。类似的条件也可以用于要求互补的对偶否定。

然而，正常模态逻辑的关系语义确实承认否定的实质属性，即被理解为不可能性或非必要性。将否定解释为正常的不可能性运算符的分析可以追溯到 Birkhoff 和 von Neumann（1936）以及 Goldblatt（1974）关于量子逻辑中否定的工作。它已经由 Vakarelov（1977, 1989b）和 Došen（1984, 1986, 1999）进行了发展，并在 Michael Dunn 的群论（参见 Bimbó 和 Dunn 2008）的代数设置中进一步研究，Dunn（1993, 1996, 1999）和 Dunn 和 Zhou（2005）也进行了研究。关系模型（或 Kripke 模型）是一个结构 M =（W，R，v），其中 W 是一组非空的信息状态，R 是 W 上的二元“可访问性”关系，v 是一个估值函数。Dunn 用 ⊥（发音为“perp”）表示可访问性关系，并将其视为状态之间的不兼容性或正交性关系。然后，通过假设在模型 M 中，否定作为不可能性，用 ∼ 表示，当且仅当在状态 w 处与所有使 A 为真的状态 u（来自 W）不兼容时，∼A 在状态 w 处为真：M，w⊨∼A 当且仅当（对于每个 u：M，u⊨A 意味着 w⊥u）。或者，关系 R 可以被理解为状态之间的兼容性关系，用 C 表示。然后，通过要求对于每个 u：wCu 意味着 M，u⊭A 来定义 M，w⊨∼A。相应地，否定作为非必要性，用 ¬ 表示，由以下条款定义：M，w⊨¬A 当且仅当（存在 wCu 和 M，u⊭A 的 u）。

通过在状态集合 W 上引入另一个二元关系 ≤，可以丰富上述关系语义。假设关系 ≤ 是一个偏序关系（即，它是自反的、传递的和反对称的），这使得我们可以将其视为信息状态可能扩展的关系。在这样的解读下，可以自然地假设原子公式 p 的真值相对于 ≤ 是持久的：如果 w≤u 且 M,w⊨p，则 M,u⊨p。关于 ≤ 和 C 的条件以及复合公式的真值条件应该使得对于任意公式，包括否定公式 ∼A，持久性（也称为遗传性）成立，特别是当将否定视为不可能时。兼容性模型是一个结构（W,C,≤,v），其中（W,C,v）是一个 Kripke 模型，≤ 是 W 上的偏序关系，并且满足以下条件，以保证否定公式 ∼A 的遗传性：如果 wCu，w′≤w，且 u′≤u，则 w′Cu′。这个条件是基于兼容性框架（W,C,≤）的约束，而模型（W,C,≤,v）是基于该框架构建的。这个条件不仅有用（将会变得清楚），而且也是合理的，因为它表明两个信息状态，其扩展是兼容的，它们本身也是兼容的。

我们现在可以定义，在兼容性模型中，一个推理 A⊢B 是有效的，当且仅当对于该模型中的每个状态 w，如果 A 在 w 上为真，则 B 也为真；在兼容性框架上，称 A⊢B 是有效的，当且仅当在基于该框架的每个模型中，A⊢B 都是有效的。一个规则在一个框架上是有效的，当且仅当在该框架上前提推理的有效性能够保证结论推理的有效性。列表（21）中的反证法规则在任何兼容性框架上都是有效的。如果通过反证法所表达的顺序反转被视为否定的基本属性，那么可以通过假设进一步的原则来在句法上获得更强的否定，并通过在兼容性框架（W，C，≤）或关系框架（W，C）上的条件来表征这些原则来在语义上获得更强的否定。这种思路从 Dunn 1993 年的“风筝”否定到 Shramko 2005 年的“倾斜风筝”否定和 Dunn 和 Zhou 2005 年的扩展风筝否定，参见 Onishi 2015 年。

关于术语的说明。在 Dunn 1993 中，验证对偶规则的否定操作被称为次极小。术语“次极小否定”曾在 Allen Hazen 于 1992 年的一篇未发表的论文中使用，用于表示一个更丰富的语言，其中包含否定、合取、析取和直觉蕴涵，以表示一个未能验证直觉上有效的德摩根推理式 (∼A∧∼B)⊢∼(A∨B) 和在经典逻辑中但不在直觉逻辑中有效的 ∼(A∧B)⊢(∼A∨∼B) 的否定。因此，Dunn 对术语“次极小”的使用与 Hazen 的使用不同。在 Dunn 和 Zhou 2005 中，只使用了一个否定作为不可能性，词汇通过合取和析取得到丰富，并且在两者中，既有否定、合取和析取的，也有仅有否定的，次极小否定被称为准极小否定。此外，Dunn 1993 年和 1996 年的极小否定在 Dunn 和 Zhou 2005 年被称为准极小，因为它们缺乏否定的负的矛盾性，这是通常称为（Johansson 的）极小逻辑中否定的一个特性，参见 Kolmogorov 1925 和 Johansson 1937。在 Vakarelov 2005 中，术语“次极小否定”用于表示比 Kolmogorov 和 Johansson 的极小否定更弱的否定。Vakarelov 将他的次极小否定与 David Nelson 的强否定（见下文）结合在一个包含真常量 ⊤ 的语言中，该常量在极小逻辑中是可定义的。Vakarelov 的次极小否定，¬，验证了对偶规则，但未能验证 ¬¬⊤。Colacito、de Jongh 和 Vargas 2017 定义了一个名为“次极小逻辑”的系统，参见 Niki（即将出版）。他们的次极小否定被添加到正直觉命题逻辑的语言中，因此特别包含直觉蕴涵。基本的次极小逻辑是通过添加合同公理方案 (A↔B)→(¬A↔¬B) 到正直觉命题逻辑中得到的。我们将在第 2.3 节中回到次最小逻辑中的次最小否定。

如果不假设兼容关系是对称的（尽管可以争论状态之间的兼容性是对称关系），那么可以区分两个否定操作 ∼1 和 ∼2，使得在状态 w 上 ∼1A 为真，只有当 A 在与 w 兼容的每个状态上都不为真时，而在状态 w 上 ∼2A 为真，只有当 A 在与 w 兼容的每个状态上都不为真时：

M,w⊨∼1A 当且仅当 ∀u(wCu 蕴含 M,u⊭A)；M,w⊨∼2A 当且仅当 ∀u(uCw 蕴含 M,u⊭A)。

这两个否定形成所谓的 Galois 连接，这意味着 A⊢∼1B 当且仅当 B⊢∼2A。否定 ∼1 和 ∼2 被称为 Galois 否定或分裂否定；它们都是 preminimal 否定，并满足以下相互作用原则：A⊢∼1∼2A；A⊢∼2∼1A。关于分裂否定的讨论可以在 Wansing 2016b 中找到。

正如 Dunn 1993, 1996 所指出的，如果假设对偶，双重否定引入 A⊢∼∼A 与构造性对偶 A⊢∼B/B⊢∼A 是相互可导的；如果假设构造性对偶，双重否定消除与经典对偶 ∼A⊢B/∼B⊢A 是相互可导的。还要注意，在双重否定引入和消除的情况下，可以推导出 ∼A⊢∼B/B⊢A。这些证明仅使用了可导性关系 ⊢ 的自反性和传递性。因此，上述否定定律列表导致了以下不平衡的“风筝”否定（参见 Dunn 和 Zhou 2005）：

图 3

这个图表中的图形排列应理解如下：如果一个序列或序列规则被分配给一个节点 n，并且节点 n'放置在 n 的下方，则分配给 n'的序列或序列规则可以借助于分配给 n 的序列或序列规则推导出来。

正交否定满足菱形图中显示的所有原则。在逻辑中，如果合取分配于析取（或者等价地，析取分配于合取），则称为布尔否定或经典否定。布尔否定在某种意义上是唯一确定的，即如果 ∼1 和 ∼2 是布尔否定，则 ∼1A 和 ∼2A 是相互可推导的；正交否定并不是唯一确定的，参见 Restall 2000，以及 Humberstone 2011 和形式逻辑中关于句子连接词的条目中的连接词的唯一性。

Dunn 和 Zhou 的菱形图的否定原则在模态对应理论的意义上对应于兼容性框架的属性。规则 r 对应于属性 E，当且仅当规则 r 在兼容性框架上有效，框架满足 E。Greg Restall（2000）观察到双重否定消除对应于 C 和信息状态的可能扩展的关系 ≤ 的属性，其他否定原则已被证明仅对应于兼容性关系 C 的属性，参见 Dunn 1996，Dunn 和 Zhou 2005，Berto 2014。在下面的列表中，“&”表示合取，“⇒”表示布尔蕴涵，“∀”和“∃”分别表示元语言中的全称量化和存在量化：

A⊢∼∼A∀x∀y(xCy⇒yCx)A⊢B,A⊢∼B/A⊢∼C∀x∀y(xCy⇒xCx)A⊢B,A⊢∼B/A⊢C∀x(xCx),∀x∀y(xCy⇒yCx)∼∼A⊢A∀x∃y(xCy&∀z(yCz⇒z≤x))

对于 C 的以下一阶性质，也对应于双重否定消除：∀x∃y(xCy&∀z(yCz⇒(z=x))).

我们可以观察到，Dunn 和 Zhou 的否定不平衡的风筝可以通过插入序列模式 ∼∼∼A⊢∼A 来平衡。这个模式对应于 C 的以下一阶条件（使用 SQEMA 算法计算模态逻辑中的一阶对应关系，该算法由 Georgiev，Tinchev 和 Vakarelov 提供（请参见其他互联网资源））：∀x∀y(xCy⇒∃z(xCz&∀u(zCu⇒uCy))).

图 4

否定作为不必要性引发了一个双向倾斜的否定风筝，可以将这个倾斜的风筝与其他倾斜的风筝结合成一个“统一”的否定风筝，参见 Shramko 2005，Dunn 和 Zhou 2005 以及第 2.4 节。在 Ripley 2009 中可以找到更丰富的否定包含图。

尽管满足对偶规则 A⊢B/∼B⊢∼A 是否定作为一种正常的不可能性运算符的基本属性，但存在一些被称为否定的一元连接词，尽管它们不满足对偶规则。除了已经提到的 K3、Ł3 和 LP 逻辑之外，具有不可对偶否定的逻辑的著名例子是 Nelson 的逻辑 N3、N4 和 N4⊥，这是具有所谓强否定的建设性逻辑（参见 Nelson 1949；Gurevich 1977；Almukdad 和 Nelson 1984；Wansing 1993, 2001；Dunn 2000；Odintsov 2008）。这些逻辑包含直觉主义蕴涵作为一个原始的连接词。然而，Nelson（1959）还考虑了一种具有可对偶强否定的 N3 变体。在这个系统 S 中，收缩公理

(A→(A→B))→(A→B)

被替换为

(A→(A→(A→B)))→(A→(A→B)).

这种替代避免了陷入经典逻辑的崩溃。强否定被称为“强”是因为它捕捉到了否定的概念，即明确的错误，并且在系统 N3 中，一个公式的强否定蕴含着它的直觉否定。N4 的合取、析取和强否定片段与一阶蕴涵 FDE 的逻辑相一致，也被称为 Dunn 和 Belnap 的有用的四值逻辑（Belnap 1977a,b; Dunn 1976; Omori 和 Wansing 2017）。有趣的是，如上所述的对偶成立于 FDE，而在 FDE 中对于多前提推理（见 Priest 2008 中的问题 7，第 8.10 节，第 162 页）则失败。

FDE 系统是一个众所周知的相关逻辑系统（请参见相关逻辑条目），它与其他相关逻辑共享一个性质，即是一个旁证逻辑（请参见旁证逻辑条目）。旁证逻辑无法满足无限制的矛盾排除规则，通常在多前提框架中通过推理式 A,∼A⊢B 来表示。

不满足负矛盾排除规则的逻辑在更严格的意义上是旁证的。在直觉逻辑中，双重否定消除和经典对偶不成立（请参见直觉逻辑条目）；如果将它们中的一个添加到直觉逻辑的公理系统中，就可以得到一个经典逻辑的证明系统。

现在，否定是不可能性或不必要性的正常模态运算符吗？根据 Berto（2014）的观点，否定的意义根植于兼容性的概念，以及其相反概念的不兼容性。此外，Berto 认为兼容性和不兼容性是对称关系，并且因此认为如果不满足对偶规则和双重否定引入规则，就不能称之为否定。根据 Berto 和 Restall（2019）的观点，“因为不兼容性是模态的，否定也是一个模态运算符。”这个观点是有争议的，因为在 Ł3、K3、LP 和 N4 等系统中存在不可对偶的否定，并且 De 和 Omori（2018）认为否定不仅仅是模态性。

2.3 与否定的相互作用

正如已经提到的，将一元连词分类为否定可能取决于其他逻辑操作的存在与否。如果命题语言中只包含合取和析取（以及原子公式），那么一个自然的起点是假设正在处理所谓的分配格逻辑（参见 Dunn 和 Zhou 2005）。分配格逻辑是一种单前件和单结论的证明系统，其语言中只有合取 ∧ 和析取 ∨。除了可导性关系 ⊢ 的自反性和传递性之外，还假设以下推理模式：

A∧B⊢A, A∧B⊢B,
A⊢B, A⊢C / A⊢(B∧C),
A⊢C, B⊢C / (A∨B)⊢C,
A⊢(A∨B), B⊢(A∨B),
(A∧(B∨C))⊢((A∧B)∨(A∧C)).

在这个扩展词汇中，可以考虑进一步的否定原则，特别是从（22）中的德摩根推理规则。

(∼A∨∼B)⊢∼(A∧B)∼(A∨B)⊢(∼A∧∼B)(∼A∧∼B)⊢∼(A∨B)∼(A∧B)⊢(∼A∨∼B)

第一、二、三条德摩根规则在任何兼容性框架上都是有效的，如果假设了 ∧ 和 ∨ 的标准评估条款，并且它们可以通过使用 ∧ 和 ∨ 的标准推理规则来证明（参见 Restall 2000）。（如果将否定作为不可能性的否定 ∼ 替换为不必要性的否定 ¬，则前两个德摩根规则在任何兼容性框架上也是有效的。）然而，前两个德摩根定律只需要使用对偶和 ∧、∨ 的推理规则就可以证明，而第三个德摩根定律的推导需要应用建设性对偶：

(∼A∧∼B)⊢(∼A∧∼B)(∼A∧∼B)⊢∼AA⊢∼(∼A∧∼B)(∼A∧∼B)⊢(∼A∧∼B)(∼A∧∼B)⊢∼BB⊢∼(∼A∧∼B)(A∨B)⊢∼(∼A∧∼B)(∼A∧∼B)⊢∼(A∨B)

在由分配格逻辑规则和对偶推理给出的扩展语言中，用于 preminimal 否定的证明系统是不完备的，如果添加了(∼A∧∼B)⊢∼(A∨B)则可以得到一个完备的证明系统（参见 Dunn 和 Zhou 2005，其中添加了常量 ⊤ 和 ⊥ 的语言）。在双重否定消除的前提下，剩下的第四个德摩根定律是可证明的。以下推导同时使用了双重否定消除和经典对偶推理（参见 Restall 2000）：

∼A⊢∼A∼A⊢(∼A∨∼B)∼(∼A∨∼B)⊢A∼B⊢∼B∼B⊢(∼A∨∼B)∼(∼A∨∼B)⊢B∼(∼A∨∼B)⊢(A∧B)∼(A∧B)⊢(∼A∨∼B)

Restall（2000）证明了 ∼(A∧B)⊢(∼A∨∼B)对应于混合框架条件 ∀x∀y1∀y2((xCy1&xCy2)⇒∃z(y1≤z&y2≤z&xCz))。

算法 SQEMA 仅通过 C 输出 ∼(A∧B)⊢(∼A∨∼B)的以下一阶条件：∀x∀y∀z((xCy&xCz)⇒((y=z)&xCy))，这等同于：∀x∀y∀z((xCy&xCz)⇒(y=z))，这意味着如果 C 是连续的，则 C 是一个函数。对于功能帧，否定作为不可能性和否定作为不必要性是一致的。

在扩展语言中，负 ex contradictione 可以表示为(A∧∼A)⊢∼B，无限制的 ex contradictione 可以表示为(A∧∼A)⊢B。还可以自然地假设一个恒定为真的公式 ⊤ 和一个恒定为假的公式 ⊥，以便以下 sequent 是有效的：A⊢⊤，⊥⊢A 和 ⊤⊢∼⊥。（使用否定作为不必要性，¬⊤⊢⊥ 是有效的。）虽然这些 sequent 在任何兼容性框架上确实是有效的，但同样自然的 ∼⊤⊢⊥（以及 ⊤⊢¬⊥）对应于 C 的连续性：∀x∃y(xCy)。在扩展词汇中，无限制的 ex contradictione 可以表示为(A∧∼A)⊢⊥，并且以这种形式特征化了兼容性关系的自反性。排中律 ⊤⊢(A∨∼A)对应于混合条件 ∀x∀y(xCy⇒y≤x)，但也对应于 ∀x∀y(xCy⇒(x=y))。

在具有 ⊤，⊥，∧ 和 ∨ 的语言中，否定作为不可能性和否定作为不必要性的对应理论已经在 Lahav，Marcos 和 Zohar 2017 中得到发展，使用 Lahav 和 Avron 2013 的基本 sequent 系统理论的方法以获得各种可剪切性结果。此外，Lahav 及其合著者还考虑了所谓的调整运算符的添加以及经典否定的可定义性。

如果假设所考虑的语言包含一个原始的蕴涵连接词→，它不是通过(A→B):=(∼A∨B)来定义的，或者一个原始的所谓的协同蕴涵（或减法）操作 −<，不是通过(A− < B):=(A∧∼B)来定义的，或者两者都有。否定蕴涵的标准理解是通过等价式 ∼(A→B)↔(A∧∼B)传达的。同样，否定协同蕴涵的经典阅读是通过 ∼(A− < B)↔(∼A∨B)来表达的。协同蕴涵是蕴涵的对偶，因为它与析取的关系与蕴涵与合取的关系相同：

(23)

当且仅当(A∧B)⊢C 时，A⊢(B→C)且 B⊢(A→C)，C⊢(A∨B)当且仅当(C− < B)⊢A 且(C− < A)⊢B。

公式(A− < B)可以解读为“B 协同蕴涵 A”或“A 排除 B”。如果蕴涵和协同蕴涵是原始的，并且不像经典逻辑（和其他一些逻辑）中那样被定义，那么否定蕴涵和协同蕴涵的进一步解读由以下等价式给出：

(24)

∼(A→B)↔(A− < B),∼(A− < B)↔(A→B),∼(A→B)↔(∼B−<∼A),∼(A− < B)↔(∼B→∼A).

然而，在文献中，人们也可以找到对否定蕴涵的非标准阅读（因此也对否定的互蕴涵有相应的非标准理解）。这种对否定蕴涵的不寻常阅读通常可以追溯到亚里士多德和博伊修斯，并被称为否定蕴涵的连结版本（参见 Wansing 2005，McCall 2012 和连结逻辑条目）。连结蕴涵和互蕴涵的特征等价关系为：

(25)

∼(A→B)↔(A→∼B), ∼(A− < B)↔(∼A− < B).

否定的推论和共推论的前述分类已经在 Wansing 2008 中得到发展，人们可以将等价关系 ∼(A→B)↔(B→∼A)和 ∼(A− < B)↔(∼B− < A)添加到这个列表中。

积极直觉逻辑的建设性蕴涵存在于 Colacito、De Jongh 和 Vargas 2017 的具有次最小否定的系统中。他们还将否定视为一种模态运算符，通过考虑框架(W,R,N)来实现，其中(W,R)是一个关系框架，R 是 W 上的偏序，N 是 W 的所有上闭子集的一元函数（即，所有 X⊆W，使得如果 w∈X 且 wRu，则 u∈X）。通过为原子公式添加一个持久的估值函数，可以获得一个模型。此外，函数 N 还对函数 N 施加了以下条件：

(*)对于每个 w∈W:w∈N(X)当且仅当 w∈N(X∩{u∣wRu})。

否定公式 ¬A 和蕴涵公式(A→B)在模型 M 中的状态 w 的真值条件如下：

M,w⊨¬A 当且仅当 w∈N[[A]]M,w⊨(A→B)当且仅当对于每个 u∈W:wRu 蕴含(M,u⊭A 或 M,u⊨B)。

由所有框架所表征的基本次极小逻辑 N 可以被表示为正直觉逻辑标准公理化的扩展，其中包括了同余公理方案(A↔B)→(¬A↔¬B)。该公理的有效性（在每个模型的每个状态的真值）由条件(*)保证，但它并不是否定的特征。Colacito、De Jongh 和 Vargas 2017 中考虑了以下额外的方案公理：

(A→否定 A)→否定 A,
(A→B)→(否定 B→否定 A),
(A∧ 否定 A)→否定 B,
¬¬A→A,
¬(A∧B)→(¬A∨¬B),

并且证明了通过添加对偶公理(A→B)→(¬B→¬A)获得的逻辑特征是满足所有上闭集 X、X'的所有框架的类别，即如果 X⊆X'，则 N(X')⊆N(X)。此外，还证明了负 ex contradictione 公理(A∧¬A)→¬B 与以下框架属性相对应：∀X∀X'(X∩N(X)⊆N(X'))。

一旦不仅仅有一个否定连接词可用，就可以考虑这些操作之间的相互作用。尽管经典逻辑、直觉主义逻辑以及熟悉的模态逻辑系统仅包含一个否定操作，但也存在自然而然产生的逻辑系统，其中不仅仅有一个否定，并且考虑多个否定的动机不仅来自自然语言语义学，还来自知识表示领域，例如，参见 Wagner 1994。

具有两个否定操作的逻辑的一个著名例子是 Heyting-Brouwer 逻辑，也称为双直觉逻辑，参见 Rauszer 1980，Goré 2000。除了直觉否定，双直觉逻辑还包含一个所谓的共否定，它在某种意义上是直觉否定的对偶。在双直觉逻辑中，⊤ 可以定义为(p→p)，⊥ 可以定义为(p− < p)，其中 p 是某个原子公式。然后，直觉否定 ∼A 可以定义为(A→⊥)，共否定 −A 可以定义为(⊤− < A)。而直觉否定是相对于兼容性框架中的信息顺序的前瞻性不可能操作，即 M,w⊨∼A 当且仅当 ∀u(w≤u 蕴含 M,u⊭A)，共否定是相对于信息顺序的后瞻性非必要操作：M,w⊨−A 当且仅当 ∃u(u≤w 且 M,u⊭A)。

另一个名为 2Int 的双直觉逻辑版本，具有不同的协同蕴涵概念和因此共否定，已经在 Wansing 2016a 中开发。特别地，在 2Int 的语义中，对状态和公式之间的真实支持和虚假支持之间进行了区分，并且状态支持 −A 的真实性当且仅当它支持 A 的虚假性。

具有不止一个否定的逻辑的其他示例是具有 Galois 否定的逻辑。此外，在所谓的三格逻辑中（参见 Shramko 和 Wansing 2011），对真否定 ∼t 和伪否定 ∼f 进行了区分。其中，真否定通过对广义真值集上的真值顺序进行反转的一元代数运算来解释（参见真值条目），而伪否定通过对广义真值上的伪值顺序进行反转的运算来解释。此外，还有一个信息否定 ∼i，被理解为信息顺序的反转。这三个否定不仅满足逆否命题，而且它们还是“周期二”（自反），即它们在两个方向上都满足双重否定定律。显然，在这样的设置中，可以考虑各种双重和三重否定定律，参见 Kamide 和 Wansing 2012。关于双重否定原则层次结构的深入研究可以在 Kamide 2013 中找到。

在研究否定、蕴涵和共蕴涵之间的相互作用后，可以考虑将否定作为显示演算中的模态运算符的最新工作，这是 Gentzen 的序演算的一种推广。在那里，将否定作为不可能性和不必要性的上述概念可以通过结构序规则来捕捉，参见补充材料《子结构否定：否定作为显示演算中的模态运算符》。

2.4 否定作为一元连词的其他概念

有几种其他的否定方法，建立在完全不同的表达语义对立的思想基础上。例如，逻辑编程中发展起来的所谓的失败否定是一种元级别的否定概念。Clark 1978 年的开创性论文提出了更高级别的失败否定规则（在稍微令人不悦的符号表示中）：⊢∼⊢p 推出 ⊢∼p。其思想是，如果对原子陈述 p 的证明进行了详尽的搜索但失败了，那么可以推断出 ∼p。

在 Hintikka（1973）的博弈论语义中，否定通过语义博弈中两个玩家之间的角色转换来建模（参见逻辑和博弈的条目）。关于否定的几何直观可以在 Ramsey 的一篇论文中找到，他建议

[w]e 可能不是通过插入一个词“不”来表达否定，而是通过将我们否定的内容倒过来书写。这样的符号表示只是不方便，因为我们没有训练过在水平轴周围感知复杂的对称性，如果我们采用这种表示法，我们将摆脱多余的“非非”，因为两次否定句子“p”的结果将简单地是句子“p”本身。（F.P. Ramsey 1927, 161–2）

否定的概念作为真值排列的倒置，例如真值多边形，已经在 Varzi 和 Warglien 2003 年的研究中得到发展，另请参阅 Shramko 和 Wansing 2011 年的研究，了解否定作为广义真值逻辑中的顺序倒置。

为了将达梅特的验证主义（例如，Dummett 1996 年）从数学推广到经验话语，提出了“经验否定”的概念（参见 De 2011 年，2013 年）。公式 ∼A 被解读为“我们当前的证据状态不支持 A”，并且在模型 M 中相对于一个特定的基本状态 g 进行评估：M,w⊨∼A 当且仅当 M,g⊭A。

附加文件“否定作为一元连接词的其他概念”简要介绍了以下方法，其中否定将被表示为 ¬（除非另有说明）：

否定作为 Routley 星

Routley 星否定的概念比经验否定的概念更为普遍。Routley 星是一个对可能世界上的否定公式 ¬A 进行语义评估的一元函数 ∗，它将在一个模型 M 中的世界或状态 w 上的否定公式 ¬A 的真值委托给状态 w∗：当且仅当在 M 中的状态 w∗ 上 A 不为真时，¬A 在 w 上为真。

否定作为不一致性

否定的概念作为不一致性是基于这样的观点：否定 A 表达了 A 蕴含（或允许推导）出一些荒谬甚至“不希望”的东西。

否定作为矛盾性

否定作为矛盾性的观念是通过将 ¬A 理解为 A 的矛盾来解释否定，其中矛盾关系可以根据某些逻辑定律（如排中律和非矛盾律）来定义。

否定作为虚假

根据否定作为虚假，否定 ¬A 表示 A 绝对是假的。这种对否定的看法与证明 ¬A 是对 A 的直接证伪相关。

否定作为取消

否定作为取消发展的观点是，由 ¬A 表达的命题的内容抹去或消灭了由 A 表达的命题的内容。

通过迭代否定

通过迭代否定的思想是通过对称逻辑中称为“半否定”的联结词的双重应用来获得否定，参见 Humberstone 1995、2000b 中的“否定的平方根”或量子计算逻辑中的 √not，有关最近参考文献，请参见 Dalla Chiara、Giuntini、Leporini 和 Sergioli 2018、Paoli 2019 以及形式逻辑中的句子联结词条目。这显然让人想起了负面一致中的 duplex negatio negat，参见第 1.8.2 节。

完全否定

完全否定是由 Avron（1999 年，2002 年）根据证明论和语义条件发展起来的一种相当严格的否定概念。

2.5 否定、拒绝和否认

正如已经提到的，否定已经被分析为真值功能运算符、情态运算符、命题态度和言语行为。否定作为一个联结词、拒绝的命题态度以及特别是否定的言语行为之间的确切关系是有争议的。作为一种正统观点，弗雷格（1919 年）和吉奇（1965 年）提出了一种被辩护的论点，即否定 A 与断言 A 的否定是相同的。这种观点暗示了里普利（2011b，623）所称的否定等价性：

即断言一个内容 A 的否定在其对话效果和承诺方面等同于否定 A。

（请注意，帕森斯（1984 年）将否定 A 总是等同于断言 ∼A 的主张称为“等价论题”）。然而，对于否定的言语行为并没有明确的句法限制，因为否定不仅可以通过否定句的断言来实现，例如还可以通过讽刺的手段来实现。此外，虽然否定的句子可以嵌入到复合句中，但言语行为不能成为其他言语行为的组成部分。因此，如果认为否定是断言否定的话，这个观点是认为否定的行为可以被分析为（由否定句表达的）命题的断言。例如，可以认为将 A 的否定的否定理解为 ©A 的断言是有启示性的，其中 © 是一个形成对立的否定运算符。

但也有一种被称为“否定主义”的立场，例如，Price（1983，1990），Smiley（1996）和 Rumfitt（2000）所辩护。Lloyd Humberstone（2000a：331）将否定主义描述如下：

无论同意（“接受”）和不同意（“拒绝”）被视为言语行为还是命题态度，否定主义的观点是，对它们之间的区别的把握优先于我们对否定作为一个句子的理解，然后这个运算符被解释为应用于 A 以产生某种同意 A 的东西，这等同于对 A 的不同意。

问题在于断言和否定的概念优先于否定的概念。但是，如果否定的概念在概念上优先于否定的概念，人们可能会想知道为什么还需要否定，以及如何满足弗雷格的论证，即用否定来解释嵌套否定是没有意义的。

正如 Ripley（2011b）所指出的，否定主义者通常是推理主义者，即他们认为逻辑操作的意义可以通过传达意义的规则来解释。如果推理主义是根据断言规则和否定复合公式的规则来发展的（例如，Price 1983、1990；Rumfitt 2000），那么根据 Ripley（2011b）的说法，上述问题可以通过解释否定是在保证断言条件和保证否定条件之间切换来回答。否定的这种作用类似于 Nelson 逻辑中强否定在将真条件的支持转化为假条件的支持以及反之的作用。Price（1990，225）认为，

如果我们允许（一个话语的）∼P 既可以被视为具有内容 P 的否定，又可以被视为具有内容 ∼P 的断言，那么弗雷格的论证就无力了；因为在这种情况下，后一种解读可以用标准的方式来解释 ∼P 对复合结构的贡献。

但是，我们可能对否定主义者有更高的要求，即每个公式都与 Humberstone（2000a，脚注 10）所称的“Bendall 正常形式”中的一个公式在逻辑上等价，即一个公式中最多只包含一个否定符号作为主要连接词。根据 Bendall（1979，68）的说法，否定运算符的嵌套在这种意义上是多余的。

打开了一种将否定的意义解释为来自判断、不信和否认等心理或行为现象的尝试途径。

在经典命题逻辑（CPL）中，∼、∧、∨ 和→的连接词适用于正常形式结果。正如 Humberstone 指出的那样，对于 CPL 的否定、合取、析取片段来说，它在正常形式结果上失败了，因为在经典命题逻辑中，原子公式的合取（p∧∼q）的 Bendall 正常形式（bnf）是 ∼(p→q)。此外，(∼p→q)的翻译成 bnf 是(p∨q)，而 ∼∼p 的翻译是 p。这些公式对于直觉主义命题逻辑（IPL）来说并不是逻辑等价的。将(∼p→∼q)翻译成 bnf 是(q→p)，这与 N3 和 N4 中的(∼p→∼q)在逻辑上并不等价。关于使用以断言符号[+]或拒绝符号[–]为前缀的公式的序列演算的深入研究，可以参考 Bendall 1978 和 Humberstone 2000a。

Humberstone（2000a，368）对拒绝主义提出质疑，要求拒绝主义者“展示拒绝在概念上优先于否定的主张比起变体选择在析取上的概念优先主张，或者说，ambi-assertion 在合取上的概念优先主张更有说服力。”其中，变体选择（ambi-assertion）是所谓的原始言语行为，其语言体现是析取（合取）。

推翻等价性的另一种方式是主张否定和拒绝在概念上独立于否定的概念。例如，在 van der Sandt 和 Maier 2003 年（其他互联网资源）和 Priest 2006 年第 6 章中，就主张了这种独立性。如补充部分第 3 节所述，根据 Priest 的观点，否定在很大程度上是一个产生矛盾的运算符。然而，Priest 认为存在“二值真理”，即 A 和 ∼A 都为真的句子。在二值真理主义条目中，Berto、Priest 和 Weber 解释说

二值真理主义者通过接受与 LNC（非矛盾法则）相矛盾的句子，即其否定为真的真句，来表达他们的二值真理主义观点。

这种观点似乎排除了二值真理主义者对于 A 的不同意见的表达，即一个人断言 A，另一个人断言 ∼A 的情况。二值真理主义者可以断言 ∼A 而不与 A 产生分歧。因此，如果断言 ∼A 被宣称在概念上独立于否定 A，对于 A 的不同意见可以表示为一个人断言 A，另一个人否定 A 的情况。对这种方法的批评性讨论可参见 Ripley 2011b。

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Other Internet Resources

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Acknowledgments

We would like to thank anonymous referees of the Stanford Encyclopedia of Philosophy, David Ripley, and João Marcos for their detailed and thoughtful comments.

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