认知逻辑 epistemic (Rasmus Rendsvig, John Symons, and Yanjing Wang)
首次发表于 2019 年 6 月 7 日；实质性修订于 2023 年 12 月 1 日
认知逻辑是哲学逻辑的一个子领域，涉及到对知识、信念和相关概念的逻辑方法。虽然任何具有认知解释的逻辑都可以称为认知逻辑，但目前广泛使用的认知逻辑类型是模态逻辑。知识和信念通过模态运算符 K 和 B 来表示，通常带有下标表示持有态度的主体。然后，公式 Kaφ 和 Baφ 分别被解读为“主体 a 知道 phi”和“主体 a 相信 phi”。认知逻辑允许形式化地探索认知原理的含义。例如，公式 Kaφ→φ 表示所知为真，而 Kaφ→KaKaφ 表示所知已知为已知。认知逻辑的语义通常以基于克里普克模型的可能世界来给出，这样公式 Kaφ 被解读为在主体 a 认为在其当前信息下认知上可能的所有世界中，φ 为真。关于认知逻辑学家关注的核心问题包括确定哪些认知原理最适合描述知识和信念，不同知识和信念概念之间的逻辑关系，以及群体主体的认知特征。除了哲学本身，认知逻辑在理论计算机科学、人工智能、经济学和相关领域中蓬勃发展。
1. 引言
亚里士多德的著作为知识和信念的逻辑奠定了基础，特别是《论辩术》以及《前分析》和《后分析》。虽然亚里士多德讨论了可能性、必然性、不可能性和偶然性这四种真理模式，但布里丹、伪斯科特斯、奥卡姆和拉尔夫·斯特罗德帮助将亚里士多德的洞见扩展到认知主题和问题上（Boh 1993；Knuuttila 1993）。在这一时期，伪斯科特斯和奥卡姆补充了亚里士多德对认知和意愿的心理行为研究（参见 Boh 1993：130）。伊万·博的研究关于 14 世纪和 15 世纪对认知逻辑的调查提供了很好的覆盖，尤其是他的《中世纪后期的认知逻辑》（1993）。
根据博的说法，英国哲学家拉尔夫·斯特罗德在他有影响力的 1387 年著作《推论》中制定了一套完全通用的命题认知规则系统（Boh 1993：135）。斯特罗德的论述建立在奥卡姆和伯利早期的逻辑论文基础上。在 1330 年代至 1360 年代，所谓的牛津计算者，尤其是威廉·海茨伯里和理查德·基尔文顿，也讨论了认知逻辑的问题。到了 15 世纪，威尼斯的保罗和其他意大利哲学家也对知识、真理和本体论之间的关系进行了复杂的思考。
中世纪时期对认知逻辑的讨论与当代讨论共享一套类似的基础假设。最重要的是，中世纪哲学家探索了知识与真实性之间的联系：如果我知道 p，那么 p 是真的。此外，许多中世纪的讨论都以类似于 G.E. Moore 的观察为前提，即认知主体不能一致地断言“p 但我不相信（知道）p”。这种形式的句子通常被称为 Moore 句子。
对知识和信念逻辑的现代处理源于 1948 年至 1950 年代哲学家和逻辑学家的工作。鲁道夫·卡尔纳普、耶日·洛斯、亚瑟·普赖尔、尼古拉斯·雷斯切尔、G.H.冯·赖特等人认识到，我们关于知识和信念的话语可以进行公理演绎处理。在 1950 年代出现的许多重要论文中，冯·赖特的开创性工作（1951 年）被广泛认为是今天我们所知的认知逻辑的形式研究的起点。赖特的洞察力在雅科·欣蒂卡的著作《知识与信念：两个概念的逻辑导论》（1962 年）中得到了延伸。欣蒂卡提供了一种用可能世界语义解释认知概念的方法，因此它一直是认知逻辑研究的基础文本。
在 20 世纪 80 年代和 90 年代，认知逻辑学家关注包含知识者群体的系统的逻辑特性，后来又关注所谓的“多模态”语境中的认知特征。自 20 世纪 90 年代以来，动态认知逻辑的研究扩展了传统的认知逻辑，通过对知识获取和信念修正的动态过程进行建模。在过去的二十年中，认知逻辑已经成为涵盖知识和信念跨学科研究的广泛形式方法的一部分。
对认知逻辑的兴趣远不止于哲学家。近几十年来，认知逻辑受到了跨学科的广泛关注，经济学家和计算机科学家与逻辑学家和哲学家一起积极发展这一领域。1995 年，两本重要的书籍标志着计算机科学和认知逻辑之间的肥沃互动：Fagin, Halpern, Moses 和 Vardi（1995）以及 Meyer 和 van der Hoek（1995）。计算机科学家的工作在过去的几年中越来越成为认知逻辑的核心。
在哲学家中，对这些形式方法与传统认识论问题之间的相互作用越来越受关注（例如，van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Artemov 2008; Holliday 2018; Baltag, Bezhanishvili 等人 2019）。
存在一些关于认知逻辑的入门教材，例如 Fagin 等人（1995），van Benthem（2011）；van Ditmarsch，van der Hoek 和 Kooi（2007）；van Ditmarsch，Halpern 等人（2015）；Gochet 和 Gribomont（2006）；以及 Meyer（2001）与 Lenzen（1980）提供了早期发展的概述。
2. 认知的模态方法
直到相对最近，认知逻辑几乎完全集中在命题知识上。在命题知识的情况下，一个个体或一组个体对某个命题持有知道的态度。例如，当一个人说：“Zoe 知道院子里有只母鸡”，就是在断言 Zoe 是持有对英语句子“院子里有只母鸡”所表达的命题持有知道态度的个体。现在想象一下，Zoe 不知道院子里是否有只母鸡。例如，可能是她无法获得关于院子里是否有或没有母鸡的信息。在这种情况下，她的信息缺乏意味着她将考虑两种可能的情景，一种是院子里有只母鸡，一种是院子里没有母鸡。
也许她有一些实际决策，不仅涉及母鸡，还涉及院子里可怕的狗的存在。她可能希望喂养母鸡，但只有在院子里没有狗的情况下才会这样做。如果她不知道院子里是否有狗，她在思考中必须考虑的情景数量增加到四个。显然，当一个人对与决策相关的情况没有完全信息时，需要考虑认知替代方案。正如我们将在下面看到的，可能世界语义为理解个体如何推理认知替代方案提供了一个有用的框架。
虽然认知逻辑学家传统上关注于知道这一点，但在自然语言中可以找到知识的其他用途。正如王 Y（2018b）指出的那样，知道如何，知道什么，知道为什么的表达非常常见，在口语和书面语言中几乎出现的频率与知道这一点相同（有时甚至更频繁）。最近，已经发展了这些知道-wh 表达式的非标准认知逻辑学，我们将在第 4 节中回顾。在本节的其余部分，我们将介绍知道这一点的认知逻辑的基础知识。
2.1 认知逻辑的形式语言
最近的认知逻辑研究依赖于对知识的模态概念。为了明确模态在认知逻辑中的作用，有必要介绍现代形式主义的基本要素。为了简单起见，我们先从单个代理人的知识和信念的情况开始，将对多个代理人的考虑推迟到第 3 节。
首先，给出了一个典型的认知逻辑语言，通过首先确定一组命题变量 p1，p2，...。在认知逻辑的应用中，命题变量被赋予特定的解释：例如，p1 可以表示命题“院子里有只母鸡”，p2 可以表示命题“院子里有只狗”，等等。命题变量代表在形式语言中没有更详细表示的命题。因此，它们通常被称为原子命题或简称为原子。让 Atom 表示原子命题的集合。
除了原子命题，认知逻辑还通过模态运算符 Ka（知识）和 Ba（信念）来补充命题逻辑的语言。
Kaφ 表示“代理人 a 知道 φ”。
同样地
Baφ 读作“代理人 a 相信 φ”。
在许多关于认知逻辑的最近出版物中，语言中的完整公式集使用所谓的巴科斯-诺尔范式（BNF）给出。这只是一种源自计算机科学的符号技术，它提供了公式的递归定义，被认为是语法上“正确”的公式集，即良构公式集：
φ::=p∣¬φ∣(φ∧φ)∣Kaφ∣Baφ，其中 p∈Atom。
需要注意的是，希腊字母 φ 代表了公式的句法类别。因此，这个定义表示：如果 p 是一个原子命题，则 p 是一个公式；如果 φ 是一个公式，则 ¬φ 是一个公式（读作“不是这样的情况”）；如果任意两个公式用 ∧ 符号连接，则(φ∧φ)是一个公式（读作“且”）；如果 φ 是一个公式，则 Kaφ 和 Baφ 都是公式（读法如上所示）。请注意，在非 BNF 递归语言规范中，希腊变量 φ 将用作在公式范围内的元变量，并且通常会将连词的子句陈述为：当 φ 和 ψ 都是公式时，(φ∧ψ)是一个公式。但是，BNF 允许我们只使用 φ 来达到相同的效果。
我们将称这个包括知识和信念运算符的基本语言为 LKB。与命题逻辑类似，额外的连接词是从 ¬ 和 ∧ 定义的：典型的符号是“∨”表示“或”，“→”表示“如果...，那么...”，“↔”表示“...当且仅当...”。通常使用 ⊤（“top”）和 ⊥（“bottom”）来分别表示恒真命题和恒假命题。
正如我们将在下面看到的那样，Kaφ 被解释为 φ 在 a 可接触的所有世界中成立。从这个意义上讲，K 可以被看作与常用于表示必然性的“盒子”运算符 □ 类似的行为。在评估在可能世界 w 中的 Kaφ 时，实际上是在评估对所有从 w 可接触的世界的普遍量化。一阶逻辑中的普遍量词 ∀ 与存在量词 ∃ 是对偶的：这意味着量词可以通过将 ∀ 作为原始量词并将 ∃xφ 定义为 ¬∀x¬φ，或者将 ∃ 作为原始量词并将 ∀xφ 定义为 ¬∃x¬φ 来相互定义。在 Ka 的情况下，可以看出公式 ¬Ka¬φ 进行了存在量化：它表示存在一个满足 φ 的可接触世界。在文献中，通常引入了 Ka 的对偶运算符。¬Ka¬ 的典型符号包括 ⟨Ka⟩ 和 ˆKa。这种符号模仿了菱形 ◊，它是盒子 □ 的标准对偶运算符，而盒子 □ 又是表示普遍量化的模态运算符的标准符号（请参阅关于模态逻辑的条目）。
认知逻辑中更具表达力的语言涉及添加各种群体知识概念的运算符（请参见第 3 节）。例如，正如我们在下面讨论的那样，共同知识运算符和所谓的动态运算符是认知逻辑语言的重要补充。动态运算符可以指示例如 φ 的真实公开宣布：[φ!]。公式 [φ!] ψ 的解释是“如果 φ 被真实地向每个人宣布，那么在宣布之后，ψ 成立”。通过添加运算符所添加的表达能力的问题是动态认知逻辑中正在积极研究的研究课题。因此，例如，仅将 [φ!] 添加到 LKB 中并不增加表达能力，但在还包括共同知识的语言中，它会增加表达能力（例如，van Ditmarsch，van der Hoek 和 Kooi 2007）。
2.2 高阶态度
注意，例如，KaKap 是我们上面介绍的语言中的一个公式。它表明代理 a 知道代理 a 知道 p 是成立的。具有这种嵌套认知运算符的公式表达了一种高阶态度：关于某个代理的态度。
高阶态度是认知逻辑中的一个重要主题。上述的 Moore 句子，例如 Ba(p∧Ba¬p)表达了一种高阶态度。在文献和下文中讨论的许多认知原则也是如此。考虑以下涉及高阶知识的著名认知原则：Kaφ→KaKaφ。要求知识满足这个模式合理吗？也就是说，如果某人知道 φ，那么他们知道他们知道 φ 吗？在某种程度上，由于涉及到高阶态度，我们可能会在接受这个原则之前犹豫不决。这是认知逻辑和认识论中正在进行的讨论。
2.3 分割原则和模态语义
上述引入的形式语言的语义通常以所谓的可能世界来表达。在认知逻辑中，可能世界被解释为认知的替代方案。Hintikka 是第一个明确阐述这种方法的人（1962 年）。这是他在认识论中的另一个核心特点，至今仍在影响着发展。可以简化地陈述如下 [1]：
分割原则：任何命题态度都将可能世界集合分割为与态度一致和不一致的部分。
分割原则可用于为知识运算符提供语义。非正式地说，
如果世界 w 中的 Kaφ 为真，当且仅当 φ 在与 a 在 w 处的信息相容的每个世界 w'中为真。
在这里，只有当代理 a 拥有排除了每种错误可能性和排除了每种 ¬φ 情况的信息时，代理 a 才知道 φ。
2.4 Kripke 模型和知识的不可区分解释
自从 1960 年代以来，下面定义的 Kripke 模型已经成为各种形式的模态逻辑中最广泛使用的语义基础。在表示认知概念时使用 Kripke 模型涉及对这些概念采取哲学立场。一种广泛的解释，特别是在理论经济学和理论计算机科学中，将知识理解为可能世界之间的信息不可区分性。我们在这里所称的不可区分性解释可以追溯到 Lehmann（1984），而 Aumann（1976）则有一个等价的基于分割的框架。
由于不可区分性解释涉及知识而不涉及信念，因此我们将使用没有信念运算符的语言进行工作。因此，让语言 LK 由 Backus-Naur 形式给出：
φ::=p∣¬φ∣(φ∧φ)∣Kaφ for p∈Atom.
正如我们将看到的那样，不可区分的解释对于某物被视为知识有非常严格的要求。我们在这里引入它是为了教学目的，将解释的形式细节放在这里，以便在此之后介绍和解释相对较不极端的立场。
再次考虑 Zoe、母鸡和狗的情况。这个例子涉及两个命题，我们将其与形式原子进行对应：
p 读作“院子里有只母鸡”。
并且
q 读作“院子里有一只狗”。
值得强调的是，为了我们对这种情景的形式化，这两个命题是我们感兴趣的唯一命题。我们将注意力限制在原子集合 Atom={p,q} 上。在认知逻辑的早期演示和目前的大部分标准认知逻辑中，所有感兴趣的原子都从一开始就被包括在内。显然，这是一个理想化的情景。重要的是要注意这种方法所忽略的内容。以这种方式无法捕捉到的考虑因素包括新原子的出现；其他原子命题可能通过某种学习过程在某个未来状态引入；或者一个代理人对命题的意识；一个代理人可能由于某种心理或其他因素而在某个时间暂时对某个原子不知情（参见第 5 节，有关所谓的意识逻辑的参考文献）。目前，主要观点是标准认知逻辑假设原子集合 Atom 枚举了代理人的命题空间。
有两个原子，世界可以以四种不同的方式保持一致。我们可以用一个盒子来描述每个盒子：
这四个盒子可以通过一个通常称为可能世界集合的集合 W={w1,w2,w3,w4}来形式化表示。每个世界还用在该世界上为真的原子进行标记。它们由一个称为估值的函数 V 进行标记。估值以以下方式指定每个世界上为真的原子：给定一个原子 p，V(p)是 p 在每个世界上为真的子集。[2] 在图示中，V(p)={w1,w2}和 V(q)={w1,w3}表示 w1 被标记为 p 和 q。
出于展示目的，假设院子里真的有只母鸡，但没有狗。那么 w2 将代表模型的实际世界。在插图中，通常会突出显示实际世界：
现在，假设母鸡总是咯咯叫，但狗从不叫，而且尽管佐伊听力敏锐，她看不见院子。那么有一些佐伊无法区分的可能世界：可能的事物可能是什么样子，她无法分辨。例如，在只有一只母鸡的世界中（p,¬q），佐伊无法确定她是否在既有母鸡又有狗的世界中（p,q）：她的情况是这样的，佐伊意识到事物可能有两种方式，但她的信息不足以排除任何一种。
为了说明一个可能世界无法与另一个区分开来，通常从前者指向后者绘制一个箭头：
在这里，箭头表示可能世界上的二元关系。在一般的模态逻辑中，它被称为可达关系。在认知逻辑的不可区分性解释下，它有时被称为不可区分关系。形式上，用 Ra 表示该关系，下标表示关系属于代理人 a。该关系是可能世界的有序对集合的子集，{(w,w′):w,w′∈W}。如果(w,w′)∈Ra，则一个世界 w“指向”另一个世界 w′。在这种情况下，w′被称为从 w 可达（不可区分）。在文献中，这通常写作 wRaw′或 Raww′。常见的符号‘w′∈Ra(w)’也可以表示：集合 Ra(w)是从 w 可达的世界，即，
Ra(w):={w′∈W:(w,w′)∈Ra}.
最后的注释：集合{(w,w′):w,w′∈W}通常被写作 W×W，即 W 与自身的笛卡尔积。
为了使 Ra 能够忠实地表示一种无法区分的关系，它应该关联哪些世界？例如，如果 Zoe 被投入 w1，她能否知道自己不在 w2 中？不行：无法区分的关系是对称的——如果一个人无法区分 a 和 b，那么他也无法区分 b 和 a。通常通过省略箭头头部或在两个方向上放置箭头来表示关系是对称的。
剩下的世界中有哪些是无法区分的？鉴于母鸡总是咯咯叫，佐伊拥有能够让她区分 w1 和 w2 与 w3 和 w4 的信息，反之亦然，参见对称性。因此，这两者之间没有箭头。世界 w3 和 w4 是无法区分的。这带我们来到以下的表示：
由于没有任何信息能够让佐伊区分出某物与其自身，因此任何可能的世界都与自身相关，而无法区分的关系是自反的：
以可能世界模型的标准解释来看，佐伊的例子现在已经完整。在转向无法区分解释的一般介绍之前，让我们看看佐伊知道什么。
回想一下上面关于知识运算符的非正式模态语义：
如果且仅当 φ 在与 a 在 w 处的信息兼容的每个世界 w'中都为真时，Kaφ 在世界 w 中为真。
为了接近一个形式化的定义，我们将‘w⊨φ’理解为 φ 在世界 w 中为真。因此，我们可以通过以下方式定义 Kaφ 在 w 中的真值：
w⊨Kaφ 当且仅当对于所有 w'，wRaw'时，w'⊨φ。
这个定义说明了在世界 w 中，如果且仅如果 φ 在所有 a 无法区分出的世界 w'中成立，那么 a 知道 φ。
那么，这对 Zoe 意味着什么呢？首先，这个定义允许我们在每个世界中评估她的知识，但由于 w2 是实际的世界，它是我们感兴趣的世界。让 a 表示 Zoe，以下是关于 Zoe 在 w2 中知识的一些例子：
w2⊨Kap。Zoe 知道那只母鸡在院子里，因为所有与 w2 无法区分的世界，包括 w1 和 w2 本身，都使得 p 成立。
w2⊨¬Kaq。Zoe 不知道那只狗在院子里，因为其中一个无法区分的世界，即 w2 本身，使得 q 不成立。
w2⊨KaKap。Zoe 知道她知道 p，因为
w2⊨Kap（参见 1.）和
w1⊨Kap.
w2⊨Ka¬Kaq. Zoe 知道她不知道 q，因为
w2⊨¬Kaq（参见 2.）和
w1⊨¬Kaq。
我们可以对 Zoe 的认知说更多：可以在模型中评估没有信念运算符的认知语言的每个公式。因此，它代表了 Zoe 关于自己知识的所有高阶信息，其中点 3 和 4 是第一个例子。
在我们能够以其完整的普遍性陈述不可区分性解释之前，还需要一个最后的要素。在上面的例子中，已经显示出不可区分性关系既是对称的又是自反的。形式上，这些属性可以定义如下：
定义：二元关系 R⊆W×W 是
自反的，当且仅当对于所有的 w∈W，wRw，
对于所有的 w，w′∈W，如果 wRw′，那么 w′Rw，则称为对称的。
那么缺失的要素就是传递性的关系属性。"比...短" 是传递关系的一个例子：设 x 比 y 短，y 比 z 短。那么 x 必定比 z 短。因此，给定 w1、w2 和 w3，如果关系 R 在 w1 和 w2 之间成立，在 w2 和 w3 之间也成立，那么 w1 和 w3 之间的箭头是要求关系具有传递性的结果：
形式上，传递性定义如下：
定义：二元关系 R⊆W×W 是传递的，当且仅当对于所有的 w,w′,w′′∈W，如果 wRw′和 w′Rw′′，则 wRw′′。
一个既是自反的、对称的又是传递的关系被称为等价关系。
所有组成部分都齐全后，现在让我们来定义 Kripke 模型：
定义：LK 的 Kripke 模型是一个三元组 M=(W,R,V)，其中
W 是一组非空的可能世界，
R 是 W 上的二元关系，而
V:Atom⟶P(W) 是一个估值。
在定义中，'P(W)' 表示 W 的幂集：它由 W 的所有子集组成。因此，在模型 M 中，原子 p 的估值 V(p) 是可能世界的某个子集：其中 p 为真。在这个一般定义中，R 可以是 W 上的任何关系。
为了指定哪个世界是实际的，模型中添加了一个最后的参数。当指定了实际世界时，Kripke 模型通常被称为指向的：
定义：LK 的一个指向的 Kripke 模型是一个二元组(M,w)，其中
M=(W,R,V) 是一个 Kripke 模型，且
w∈W.
最后，我们可以正式定义上面稍微模糊表达的语义。这是通过定义指向的 Kripke 模型和形式语言的公式之间的关系来完成的。这个关系被表示为‘⊨’，通常被称为满足关系。
然后定义如下：
定义：设 M=(W,Ra,V)是 LK 的 Kripke 模型，(M,w)是一个指向的 Kripke 模型。那么对于所有的 p∈Atom 和所有的 φ,ψ∈LK
(M,w)⊨p 当且仅当 w∈V(p)(M,w)⊨¬φ 当且仅当 not (M,w)⊨φ(M,w)⊨(φ∧ψ) 当且仅当 (M,w)⊨φ 且 (M,w)⊨ψ(M,w)⊨Kaφ 当且仅当 对于所有 w′∈W 使得 wRaw′，有 (M,w′)⊨φ。
公式 φ 在指定模型 (M,w) 中满足当且仅当 (M,w)⊨φ。
从广义上讲，不可区分性解释认为，为了捕捉知识，关系 Ra 必须是一个等价关系。满足这一条件的指定 Kripke 模型通常被称为认知状态。在认知状态中，该关系用带下标的波浪符表示：∼a。
鉴于指向的克里普基模型和不可区分性解释，我们对知识的一个概念有了语义规范。通过这种方法，我们可以建立涉及知识的情境模型，就像我们在 Zoe 和母鸡的玩具示例中所做的那样。我们可以使用这些模型来确定代理人知道或不知道的事情。当代理人接收到新信息时，我们还有建立起来的形式基础来开始询问有关代理人的知识或不确定性如何发展的问题，这是动态认知逻辑中研究的一个主题。
我们还可以提出更一般的问题，涉及使用带有不可区分性关系的指向的克里普基模型建模的知识概念：而不是在某个特定时间观察一个模型并询问模型使哪些公式成立，我们可以问所有这些模型都同意的哪些一般原则。
2.5 认知逻辑中的认识论原则
确定知识的正确形式表达涉及仔细反思自己所承诺的认知原则。大多数哲学家都会接受的一个无争议的例子是真实性：
如果一个命题被知道，那么它是真的。
Kaφ→φ。
在正式的背景下，这个原则可以被理解为如果已知 φ，则应该始终在一个人的模型中满足。如果发现一些所选择的模型使真实性原则成为虚假，则大多数哲学家会简单地认为这些模型是不可接受的。
回到指向的 Kripke 模型，我们现在可以问这些模型承诺我们哪些原则。为了开始回答这个问题，我们需要了解我们形式主义的最一般特征。一般情况下，模态逻辑的策略（参见 Blackburn，de Rijke 和 Venema 2001）是从任何给定模型的偶然特征中抽象出来。偶然特征可能包括考虑的具体世界数量、原子的具体估值和实际世界的选择。在这种情况下，唯一不是偶然的特征是由指向的 Kripke 模型的一般定义所要求的特征。
为了适当地抽象，取一个指向的 Kripke 模型（M，w）=（W，R，V，w）。要确定这个模型的关系是否是一个等价关系，我们只需要考虑世界和关系。这些元素的对构成了模型的基本层次，被称为模型的框架：
定义：设(M,w)=(W,R,V,w)为一个指向的 Kripke 模型。那么(W,R)被称为(M,w)的框架。任何与框架(W,R)相同的模型(M',w')被称为建立在(W,R)上。
再次考虑 Zoe 的认知状态：
可以建立在相同框架上的其他几个模型。以下是两个示例：
通过框架的概念，我们可以定义感兴趣的有效性概念。这是在以下定义的第二个术语：
定义：在框架 F=(W,R)中，如果建立在 F 上的每个指向的 Kripke 模型都满足 φ，即对于每个(M,w)=(F,V,w)=(W,R,V,w)，都有(M,w)⊨φ，则称公式 φ 在框架 F 中有效。如果 φ 在框架类 F 上有效（记作 F⊨φ），则对于 F 中的每个框架 F，φ 都是有效的。
在框架类 F 上有效的公式集被称为 F 的逻辑。用 ΛF 表示这个逻辑，即集合{φ∈LK:F⊨φ}。这是一种通过定义公式集来定义逻辑的语义方法。人们也可以通过在某个系统中定义可证明公式的集合来从证明论的角度定义逻辑。将逻辑作为公式集，可以使用集合包含来表达完备性和一致性结果。举例来说，设 A 是一组公理，当 φ 可以从 A 中使用某个给定的推导规则推导出时，记作 A⊢φ。将结果逻辑的定理集表示为 ΛA。它是从 LK 中可从 A 推导出的公式集，即集合{φ∈LK:A⊢φ}。逻辑 ΛA 相对于 F 是一致的，当且仅当 ΛA⊆ΛF，并且逻辑 ΛA 相对于 F 是完备的，当且仅当 ΛF⊆ΛA。[3]
回到对知识的无法区分解释，我们可以寻求解释所承诺的认知原则。有一个微不足道的答案，没有直接的兴趣：让 EQ 成为具有等价关系的框架类。然后，无法区分解释的逻辑是 LK 中在 EQ 上有效的公式集合，即 ΛEQ:={φ∈LK:EQ⊨φ}。这并不是很有信息量的。
然而，采用公理化方法来规定逻辑，可以用易于理解的原则来进行表述。首先从最简单的原则开始，原则 T 表明知识是事实的：如果主体知道 φ，则 φ 必须为真。更加繁琐的原则 K 表明，如果主体知道一个蕴含式，那么如果主体知道前提，它也知道结论。即，如果我们将演绎规则假言推理（从 φ→ψ 和 φ 推出 ψ）作为我们的知识逻辑的规则，K 表明知识在蕴含下是封闭的。原则 B 表明，如果 φ 为真，则主体知道它认为 φ 是可能的。最后，原则 4 表明，如果主体知道 φ，则它知道它知道 φ。下表中的 T、B 和 4（名称是历史性的，并非全部有意义）。
KKa(φ→ψ)→(Kaφ→Kaψ)TKaφ→φBφ→KaˆKaφ4Kaφ→KaKaφ
代替认知直觉，我们可以通过讨论这些和其他原则来讨论知识的概念。我们应该接受 T 作为知识遵循的原则吗？其他原则呢？在我们继续之前，让我们首先搞清楚上述四个原则与不可区分性解释的关系。为此，我们需要一个正常的模态逻辑的概念。在下面的定义中，与上述原则一样，我们在技术上使用公式模式。例如，在 Kaφ→φ 中，φ 是一个在 LK 中范围在公式上的变量。因此，严格来说，Kaφ→φ 不是一个公式，而是一个获取公式的方案。然后，Kaφ→φ 的模态实例是通过让 φ 成为 LK 中的某个具体公式而得到的公式。例如，Kap→p 和 Ka(p∧Kaq)→(p∧Kaq)都是 T 的模态实例。
定义：设 Λ⊆LK 为一组模态公式。那么当 Λ 满足以下所有条件时，Λ 是一个正常的模态逻辑：
Λ 包含所有经典命题重言式的模态实例。
Λ 包含了所有 K 的模态实例。
Λ 在演绎法则下是封闭的：如果 φ∈Λ 且 φ→ψ∈Λ，则 ψ∈Λ。
Λ 在概括法则（又称必要性）下是封闭的：如果 φ∈Λ，则 Kaφ∈Λ。
存在一个唯一的最小正常模态逻辑（给定原子集合 Atom），它恰好包含定义所需的内容，没有多余的部分。它通常被称为最小正常模态逻辑，用粗体 K 表示（不要与非粗体 K 表示的模式混淆）。
逻辑 K 只是 LK 中的一组公式。即，K ⊆ LK。1.4 节给出了对这个集合的一种视角：它们提供了一个公理化。通常，如下所示，模式 K 被称为公理，尽管实例化的 K 才是公理。
对于 K，我们可以添加额外的原则作为公理（公理方案），以获得更强的逻辑（具有额外定理的逻辑：对于 K ⊆ Λ 的逻辑 Λ）。最感兴趣的是称为 S5 的逻辑：
定义：逻辑学 S5 是包含所有 T、B 和 4 的模态实例的最小正常模态逻辑。
因此，上述四个原则与不可区分性解释之间存在着关系：
定理 1：逻辑学 S5 是建立在具有等价关系的帧上的指向 Kripke 模型类的逻辑。即，S5=ΛEQ。
这个定理对于知识原理告诉我们什么呢？从一个方向上来说，它告诉我们，如果接受了不可区分性解释，那么就已经隐含地接受了 K、T、B 和 4 作为知识的合理原理。从另一个方向上来说，它告诉我们，如果发现 S5 是知识的适当逻辑，并且发现指向性 Kripke 模型是语义上表示知识的正确方式，那么就必须使用一个等价关系。然而，是否应该将这个关系解释为不可区分性，这是逻辑学无法回答的问题。
在讨论知识原理时，也许有些原理是可以接受的，而其他一些则不可接受：例如，可能不同意 B 和 4 的可接受性，但接受 K 和 T。在理解 S5 和等价关系之间的关系时，更细致的观点是有益的：定理 1 可以被分解成更小的部分，反映了个别原理 K、T、4 和 B 对等价要求的贡献，即关系应该同时是自反的、对称的和传递的。
定理 2：设 F=(W,R)是一个框架。那么：
在 F 中，K 的所有模态实例都是有效的。
在 F 中，当且仅当 R 是自反的时，T 的所有模态实例都是有效的。
在 F 中，当且仅当 R 是对称的时，B 的所有模态实例都是有效的。
所有 4 的模态实例在 F 中是有效的，当且仅当 R 是传递的。
从定理 2 中可以得出一些见解。首先，如果一个人想要使用任何类型的 Kripke 模型来捕捉知识，那么他必须接受 K。省略一些细节，事实上必须接受完整的逻辑 K，因为这是所有 Kripke 模型类的逻辑（参见，例如，Blackburn，de Rijke 和 Venema 2001）。
其次，该定理表明个体认知原则与关系属性之间存在密切关系。这反过来意味着，一般来说，人们可以从两个方面接近认知逻辑中的“逻辑”，即从关于可达性关系的直觉或关于认知原则的直觉。
文献中提出了几种比 S5 弱的常规模态逻辑系统。在这里，我们通过它们的模态公理集来指定逻辑。例如，逻辑 K 由{K}给出，而 S5 由{K，T，B，4}给出。为了建立命名法，下表列出了文献中一些原则及其所表征的框架属性，参见 Aucher（2014）和 Blackburn，de Rijke 和 Venema（2001），在其下方的行上。框架条件并非都是直接的。
在表 1 中，为了提高可读性，省略了 Ra 上的下标，以及量化域 W，其上的世界变量 x，y，z 的范围。
K | Ka(φ→ψ)→(Kaφ→Kaψ) 无：不适用 |
D | Kaφ→ˆKaφ 串行：∀x∃y,xRy. |
T | Kaφ→φ 自反性: ∀x,xRx. |
4 | Kaφ→KaKaφ 可传递性: ∀x,y,z,如果 xRy 且 yRz，则 xRz。 |
B | φ→KaˆKaφ 对称性: ∀x,y,如果 xRy，则 yRx。 |
5 | ¬Kaφ→Ka¬Kaφ 欧几里得: ∀x,y,z,如果 xRay 和 xRaz，则 yRz。 |
.2 | ˆKaKaφ→KaˆKaφ Confluent: ∀x,y,如果 xRy 且 xRy′，那么存在 z，yRz 且 y′Rz。 |
.3 | (ˆKaφ∧ˆKaψ)→(ˆKa(φ∧ˆKaψ)∨ˆKa(φ∧ψ)∨ˆKa(ψ∧ˆKaφ)) 不向右分支：∀x,y,z，如果 xRy 且 xRz，则 yRz 或 y=z 或 zRy。 |
.3.2 | (ˆKaφ∧ˆKaKaψ)→Ka(ˆKaφ∨ψ) 半欧几里得：∀x,y,z，如果 xRy 且 xRz，则 zRx 或 yRz。 |
.4 | (φ∧ˆKaKaφ)→Kaφ 作者不知道的名称：∀x，y，如果 xRy，则 ∀z，如果 xRz，则 x=z 或 yRz。 |
表 1. 认知原则及其框架条件。
将认知原则作为公理添加到基本的最小正常模态逻辑 K 中会产生新的正常模态逻辑。其中一种选择是：
K | {K} |
T | {K,T} |
D | {K,D} |
KD4 | {K,D,4} |
KD45 | {K,D,4,5} |
S4 | {K,T,4} |
S4.2 | {K,T,4,.2} |
S4.3 | {K,T,4,.3} |
S4.4 | {K,T,4,.4} |
S5 | {K,T,5} |
表 2. 逻辑名称和公理
不同的公理规范可能产生相同的逻辑。请注意，例如，表格的公理规范{K,T,5}与定理 1 之前的定义中给出的{K,T,B,4}不匹配。还要注意，S5 有多种公理化方法：公理{K,T,5}，{K,T,B,4}，{K,D,B,4}和{K,D,B,5}都给出了 S5 逻辑（例如，Chellas 1980）。一个经常见到的变体是{K,T,4,5}。然而，将其添加是多余的，因为它的所有实例都可以从 K、T 和 5 中证明。但是，由于 4 和 5 都捕捉到重要的认知原则（见第 2.6 节），为了哲学的透明度，有时会包括 4。有关模态逻辑之间的更多等价关系，请参见模态逻辑的条目，或 Chellas（1980）或 Blackburn，de Rijke 和 Venema（2001）。
逻辑可以比其他逻辑更强或更弱，并且了解其公理的框架属性可以帮助我们理解它们之间的关系。例如，由于 4 可以从{K,T,5}推导出来，所以 S4 的所有定理都可以在 S5 中推导出来。因此，S5 至少与 S4 一样强大。实际上，S5 还严格更强大：它可以证明 S4 无法证明的事情。
通过公理的框架属性，可以看出 S5 可以由{K，T，B，4}和{K，T，5}两者公理化。每个自反和欧几里得关系（T 和 5）都是等价关系（T，B 和 4），这也显示了 4 的冗余性：如果假设一个关系是自反和欧几里得的，那么额外假设它是传递的并没有增加任何新的内容。一般来说，了解关系属性之间的相互作用对于看到模态逻辑之间的关系非常有帮助。例如，注意到每个自反关系也是连续的意味着在连续模型类上有效的所有公式也在自反模型类上有效。因此，D 的每个定理都是 T 的定理。因此，T 至少与 D 一样强（即 D⊆T）。通过找到一个连续但非自反的模型，该模型不满足 T 的某个定理（例如 Kap→p），可以证明 T 也是严格更强的（即 T⊆D）。
2.6 知识和信念的原则
在认知逻辑的形式背景下，稍微改变框架以适应信念的概念是很直接的。回到既有知识又有信念的语言 LKB：
φ::=p∣¬φ∣(φ∧φ)∣Kaψ∣Baψ，对于 p∈Atom。
要在指向的 Kripke 模型中一起解释知识和信念公式，只需要在可能世界之间增加一个额外的关系：
定义：对于 LKB，一个指向的 Kripke 模型是一个元组(M,w)=(W,RK,RB,V,w)，其中
W 是一组非空的可能世界，
RK 和 RB 是 W 上的二元关系，
V:Atom⟶P(W)是一个估值函数，且
w∈W.
RK 是知识运算符的关系，RB 是信念运算符的关系。该定义对它们的属性没有进一步的假设。在下面的图中，我们提供了一个示例，箭头的标签与它们对应的关系相符。w3 处的自反循环是一个标签，表示它属于两个关系，即 (w3,w3)∈RK 和 (w3,w3)∈RB。
满足关系的定义与上述相同，但对于知识和信念有明显的变化：
(M,w)⊨Kaφ 当且仅当对于所有满足 wRKw′的 w′∈W，(M,w′)⊨φ。
(M,w)⊨Baφ 当且仅当对于所有满足 wRBw′的 w′∈W，(M,w′)⊨φ。
随附解释对于知识的可达关系提出了非常严格的要求。这些要求现在已经被剥离，因此对于原则 T、B、D、4 和 5 也没有任何承诺。将基本语义视为 Kripke 模型，我们仍然承认原则 K，尽管这个原则并不是没有问题的，正如我们将在下面讨论的逻辑全知问题中所看到的。
在表 1 中，T、D、B、4 和 5 原则在认知逻辑的文献中得到了最广泛的讨论，既作为知识的原则，也作为信念的原则。对于知识，原则 T 被广泛接受。通常认为知识是真实的，只有真命题才能被知道。例如，Hintikka（1962）和 Fagin 等人（1995）认为，信念的 T 原则的失败是这两个概念之间的定义差异。
Kaφ→φ
is broadly accepted. Knowledge is commonly taken to be veridical—only true propositions can be known. For, e.g., Hintikka (1962) and Fagin et al. (1995), the failure of T for belief is the defining difference between the two notions.
虽然信念通常不被认为是真实的，但信念通常被认为是一致的。也就是说，人们认为代理人永远不会相信矛盾的东西，即任何与(p∧¬p)或 ⊥ 等价的公式。因此，信念应该是一致的，这一原则被称为
¬Ba⊥。
在 Kripke 模型中，原则 ¬Ba⊥ 与原则 D，Baφ→ˆBaφ 等价。因此，¬Ba⊥ 的有效性需要连续的框架。例如，在上面的 w1 中，它的失败是显而易见的：由于没有通过 RB 可访问的世界，所有可访问的世界都满足 ⊥。因此，w1 满足 Ba⊥，违反了一致性。还要注意，¬Ba⊥ 可以重写为 ˆBa⊤，只有当通过 RB 可访问某个世界时，它在某个世界上为真。因此，它的有效性确保了连续性。
注意，知识的真实性确保了其一致性：任何自反框架都是自动连续的。因此接受 Kaφ→φ 意味着接受 ¬Ka⊥。
在原则 D、4 和 5 中，后两者迄今为止引起了最多的关注，无论是对于知识还是对于信念。它们通常被解释为对自己心理状态的有原则的访问进行管理。这 4 个原则
Kaφ→KaKaφBaφ→BaBaφ
通常被称为积极内省的原则，或者对于知识来说是“KK”原则。这两个原则被认为是可接受的，例如，Hintikka（1962）基于不同于内省的理由进行了论证。他基于对知识的自我认知分析，使用了一种非 Kripkean 的可能世界语义，称为模型系统。Hintikka 认为，当一个代理人承诺知道 φ 时，代理人承诺无论将来遇到什么新信息，都会保持相同的态度。这意味着在代理人的所有认知替代方案中，对于 Hintikka 来说，所有的模型集合（可能世界的部分描述）中代理人至少知道他们现在所知道的东西，代理人仍然知道 φ。因此，由于 Kaφ 在代理人的所有认知替代方案中成立，Hintikka 得出结论 KaKaφ。同样，Hintikka 支持 4 的信念，但 Lenzen 提出了反对意见（Lenzen 1978：第 4 章）。
Williamson 反对这个原则的普遍可接受性（Williamson 2000：第 5 章），因为它基于略微不精确的观察而建立的知识概念，即所谓的误差边界原则（见，例如，Aucher 2014 的简短总结）。
这 5 个原则
¬Kaφ→Ka¬Kaφ¬Baφ→Ba¬Baφ
通常被称为负反思原则。负反思在知识和信念方面提出了非常高的要求，因此颇具争议。模式 5 可以被视为一个封闭世界假设（Hendricks 2005）：代理人对所有可能的世界和自身信息有完全的了解。如果认为 ¬ψ 是可能的（ˆKa¬ψ，即 ¬Kaψ），那么代理人知道它被认为是可能的（Ka¬Kaψ）。在构建超理性代理人（例如计算机科学或博弈论中的代理人）时，这种封闭世界假设是自然而然的，因为假设代理人在做决策时会尽可能地逻辑推理自己的信息。
Hintikka（1962）反对 5，使用他对认知替代的概念。在接受 T 和 4 作为知识的前提下，5 的成立与对称可达关系的假设有关。但是，Hintikka 认为，可达关系不是对称的：如果代理人在模型集合 s1 中拥有一定数量的信息，那么代理人在学到更多信息的模型集合 s2 将成为 s1 的认知替代。但是 s1 不会成为 s2 的认知替代，因为根据假设，在 s1 中，代理人不知道与在 s2 中所知道的一样多。因此，关系不是对称的，所以根据 Hintikka 的观点，5 不是一个知识原则。
鉴于 Hintikka 的非标准语义，很难确定他是否接受正常的模态逻辑作为知识和信念的逻辑，但如果是这样的话，那么 S4 和 KD4 将是最接近的候选人（参见 Hendricks＆Rendsvig 2018）。相比之下，对于知识，von Kutschera 主张 S4.4（1976），Lenzen 建议 S4.2（1978），van der Hoek 主张 S4.3（1993），而 Fagin，Halpern，Moses 和 Vardi（1995）和许多其他人则使用 S5 来表示知识，使用 KD45 来表示信念。
除了掌握知识和信念的原则之外，还可以考虑掌握知识和信念之间相互作用的原则。感兴趣的三个原则是
KB1KB2KB3Kaφ→BaφBaφ→KaBaφBaφ→BaKaφ
哈因蒂卡（Hintikka）在 1962 年引入了原则 KB1 和 KB2，他只支持前者（见 §3.7），指出柏拉图在《忒休特斯篇》中也承认 KB1。第一个原则 KB1 捕捉到了知识是比信念更强的概念的直觉。第二个原则——像 4 和 5 一样——捕捉到了一个人对自己的信念具有特权访问的想法。第三个原则源自 Lenzen（1978），捕捉到了信念是以某种确信的方式持有的概念：如果某事被认为是信念，那么它被认为是已知的。
尽管交互原则 KB1-KB3 本身看起来无害，但当与特定的知识和信念逻辑相结合时，它们可能导致违反直觉的结论。首先，Voorbraak（1993）证明了将知识用 5 表示，将信念用 D 表示，并与 KB1 相结合，会导致
BaKaφ→Kaφ
是生成逻辑的一个定理。假设知识是真实的，这个定理表明，代理人不能相信自己知道某个事情，而这个事情恰好是错误的。
如果另外添加了 KB3，知识和信念的概念就会崩溃。也就是说，可以证明 Baφ→Kaφ，这与 KB1 的结合意味着
Baφ↔Kaφ。
因此，这两个概念已经合并为一个。这是在 1986 年由克劳斯和莱曼提出的。
如果一个人对知识和信念的合并不感兴趣，那么他必须放弃一些东西：他不能同时拥有 5 个知识，D 个信念以及 KB1 和 KB3 来管理它们的相互作用。再次，关于原则和关系属性之间对应关系的结果可能有所帮助：1993 年，范德霍克基于语义分析表明，当这四个原则共同足够导致合并时，它们的任何子集都不是。放弃任何一个原则都将消除合并。将 KB1 削弱为仅适用于非模态公式也足以避免合并（参见 Halpern 1996）。
关于认知相互作用原则、原则.2、.3、.3.2 和.4 以及与所谓的条件信念的关系的更多信息，请参见 Aucher（2014）。关于条件信念的介绍以及与哲学文献中的几种其他类型的知识的关系，请参见 Baltag 和 Smets（2008）。后者还包括关于各种概念互定义的讨论，Halpern，Samet 和 Segev（2009）对于知识和（非条件的）信念也是如此。
请注意，尽管我们在本条目中主要关注 Kripke 语义，但还有其他认知模型适用于可能较弱的逻辑，例如邻域模型（例如 van Benthem 等人，2014 年）和拓扑模型（例如 Baltag，Bezhanishvili 等人，2019 年）。
3. 群体中的知识
我们人类对其他代理人的认知状态非常关注。在日常生活中，我们以不同程度的成功推理其他人所知道的事情。我们特别关心其他人对我们所知道的事情，通常是关于他们对我们所知道的事情的了解。
她知道我知道她把宝藏埋在哪里吗？
她知道我知道她知道吗？
诸如此类。
认知逻辑可以揭示涉及代理群体的系统的有趣认知特征。例如，在某些情况下，新兴的社会现象取决于代理人以特定方式推理其他代理人的知识和信念。正如我们所见，传统的认知逻辑系统仅适用于单一代理人的情况。然而，它们可以相对简单地扩展到群体或多代理系统中。
正如大卫·刘易斯在他的书《惯例》（1969 年）中指出，社会生活的许多重要特征取决于代理人假设某种实践规则是共同知识的事实。例如，司机知道红色交通信号灯表示他们应该在交叉口停车。然而，为了使交通信号灯的惯例得以实施，首先必须要求司机也知道其他司机知道红色表示停车。此外，司机还必须知道每个人都知道每个人都知道……交通信号灯的惯例作用依赖于所有司机都知道所有司机都知道这个规则，这个规则是共同知识的一部分。
各种规范、社会和语言实践、代理人互动和游戏都假设共同知识，最早由奥曼（1976）首次形式化，最早的认知逻辑处理由莱曼（1984）和哈尔普恩和莫西斯（1984）进行。为了看清认知逻辑如何揭示这些现象，有必要引入一些更多的形式化。按照标准处理方法（参见，例如，Fagin 等人，1995），我们可以在命题逻辑的语言中语法上增加 n 个知识运算符，每个运算符对应于考虑中的代理人组中的一个代理人。单一代理人和多代理人语义给出的主要区别大致是引入了 n 个可达关系。通过将 n 个模态逻辑连接在一起，可以获得 n 个代理人的模态系统，为简单起见，可以假设代理人在逻辑系统中都可以用相同的逻辑系统来描述。n 个代理人的认知逻辑系统由 n 个特定模态系统的副本组成。在这样一个扩展的认知逻辑中，可以表达一个代理人在群体中知道另一个代理人知道某个事实等等。甚至可以进一步发展逻辑：不仅一个代理人可能知道另一个代理人知道一个事实，而且他们可能同时都知道这个事实。
3.1 多代理人语言和模型
为了表示 n 个代理人集合 A 的知识，首先让我们规定一个语言。令 LKn 由 Backus-Naur 形式给出
φ::=p∣¬φ∣(φ∧φ)∣Kiφ for p∈Atom,i∈A.
为了在指向的克里普克模型中共同表示 n 个代理的知识，只需要添加适当多的关系：
定义：对于 LKn，一个指向的克里普克模型是一个元组(M,w)=(W,{Ri}i∈A,V,w)，其中
W 是一个非空的可能世界集合，
对于每个 i∈A，Ri 是 W 上的二元关系，
V:Atom⟶P(W)是一个估值函数，且
w∈W.
要将信念纳入考虑，只需像单一代理情况一样进行相同的操作：扩充语言并为每个代理设定两个关系。
该定义使用了一组关系{Ri}i∈A。在文献中，通常用(W,Ri,V,w)i∈A 来表示相同的含义。或者，将 R 视为将代理映射到关系的函数，即 R:A→P(W×W)。然后对于每个 i∈A，R(i)是 W 上的一个关系，通常表示为 Ri。这些都是文体上的选择。
当仅考虑单个代理时，在 W 中包含的世界数量通常与原子的可能估值数量无关。在多代理情况下，情况并非如此：为了表达可用的高阶知识的不同形式，需要许多“相同”的世界的副本。让我们以 A={a,b}，Atom={p}和每个 Ri，i∈A，一个等价关系为例。让我们表示 a 和 b 都知道 p，但 b 不知道 a 知道 p，即 Kap∧Kbp∧¬KbKap。然后我们需要三个世界：
如果我们删除 w1 并让 w2 成为实际世界，那么 a 将失去对 p 的知识：两个 p 世界都是必需的。一般来说，如果假设 W 具有任何固定的有限大小，那么将存在一些无法在其中满足的高阶信息公式。
3.2 群体知识的概念
多智能体系统之所以有趣，不仅仅是为了表示高阶信息。个体智能体的信息也可以被汇集起来，以捕捉智能体共同知道的内容，即群体知识（参见 Baltag，Boddy 和 Smets 2018 的最新讨论）。一个标准的概念是分布式知识：如果智能体共享他们的个体知识，那么群体将拥有的知识。为了表示它，将语言 LKn 与运算符
DG 用于 G⊆A，
使 DGφ 成为一个良构的公式。其中 G⊆A 是一个智能体群体，公式 DGφ 表示在群体 G 中分布式知识是 φ。
为了评估 DGφ，我们从模型中已经存在的关系中定义了一个新的关系。这个定义背后的思想是，如果某个代理人将一个世界排除为认知替代，那么群体也会这样做。将这个关系定义为各个个体代理人关系的交集：
RDG=⋂i∈GRi
在三态模型中，RDG 只包含三个循环。为了评估分布式知识公式，使用与其他模态运算符相同的形式：
(M,w)⊨DGφ 当且仅当对于所有满足 wRDGw′的 w′∈W，有(M,w′)⊨φ。
可能存在某个非常知情的代理人知道 G 中的所有分布式知识，但这并不是保证的。为了捕捉到所有代理人都知道 φ，我们可以使用公式 Kiφ 的合取，即 ⋀i∈AKiφ。如果 A 是有限的（通常是这样），那么这是一个明确定义的公式。如果 A 不是有限的，那么 ⋀i∈AKiφ 不是 LKn 中的一个公式，因为它只有有限个合取。为了简化 ⋀i∈AKiφ，引入了常用的“每个人都知道”运算符 EG：
EGφ:=⋀i∈AKiφ。
在三个世界模型中，Kap∧Kbp，因此 E{a,b}p。
每个人都知道一些东西并不意味着这些知识在群体成员之间是共享的。三个世界模型就是一个例子：尽管 E{a,b}p，但也有 ¬KbE{a,b}p 的情况。
为了捕捉到群体对 φ 没有不确定性，也没有关于 φ 被所有代理知道的高阶不确定性，语言 LKn 中的任何公式都不足够。考虑以下公式
认知
其中认知简称为 k 次迭代的 EG 运算符。然后对于任何自然数 k，公式 EkGφ 都不足够：可能情况是 b 不知道它！为了纠正这种情况，可以尝试
⋀k∈N EkGφ
但这不是一个公式，因为 LKn 只包含有限的合取。
因此，尽管 EG 运算符可以在语言 LKn 中定义，但适当的共知概念却不能。为此，我们需要在我们的模型上再次定义一个新的关系。这一次，我们感兴趣的是捕捉到没有人在任何地方认为 φ 在认知上是可能的。为了构建这个关系，我们首先取 G 中所有代理人的关系的并集，但这还不够：为了使用标准的模态语义子句，我们还必须能够在这个关系中通过单一步骤到达所有的世界。因此，让
RCG:=(⋃i∈GRi)∗
其中(⋅)∗ 是取反身传递闭包的操作。如果 R 是一个关系，那么(R)∗ 是 R 加上反身箭头和所有缺失的使 R 成为传递关系的对。考虑三个世界模型：通过关系 ⋃i∈{a,b}Ri，我们可以在两步内从 w1 到达 w3，途中停留在 w2。通过(⋃i∈{a,b}Ri)∗，w3 可以在一步内到达：通过从 w1 到 w3 的新添加的传递链接。
为了表示共同知识，增加 LKn 的 Backus-Naur 形式的运算符
CG 用于 G⊆A 的情况，
使 CGφ 成为一个良构的公式。通过语义子句来评估这样的公式
当且仅当对于所有的 w′∈W，满足 wRCGw′时，(M,w)⊨CGφ 当且仅当(M,w′)⊨φ。
改变可及关系 R1，R2，...，Rn 的属性，如上所述，会导致不同的认知逻辑。例如，具有共同知识的 K 系统由所有框架确定，而具有共同知识的 S4 系统由所有自反和传递框架确定。类似的结果可以在其他认知逻辑中获得（Fagin 等人，1995 年，van Ditmarsch 等人，2007 年）。有关非正式讨论，请参阅关于共同知识的条目。
4. 超越认知
到目前为止，我们已经专注于认知逻辑中分析的标准概念“知道”。然而，正如前面提到的，在自然语言中，我们还用“知道”后面跟一个嵌入式问题的方式来表达知识，例如：
Alice 知道这个主张是否为真。
Bob 知道密码是什么。
Charlie 知道如何证明这个定理。
Dave 知道为什么 Charlie 知道如何证明这个定理。
逻辑学对认知的研究可以追溯到 Hintikka（1962），他在一章中专门讨论了对知道谁的形式解释，并提出了对其他类似知道谁的形式化方法。根据 Hintikka 的观点，知道“Mary 是谁”就是知道对应问题“Mary 是谁？”的答案。基本上，人们必须能够确定由名称 Mary 表示的人（假设这是一个专有名词）。因此，这是一种 de re 知识，即对一个对象的知识。为了形式化它，Hintikka 将“Bob 知道 Mary 是谁”视为“存在一个人，Bob 知道这个人是 Mary”，通过对对象进行量化，将知道那个与知道谁联系起来。为了表达 Hintikka 的形式化，我们需要将命题模态逻辑的基本语言扩展为一阶模态逻辑，即带有量词和谓词的模态逻辑。另一个例子，“Bob 知道谁谋杀了 Dave”可以在一阶认知逻辑中形式化为 ∃xKBobMurder（x，Dave）。注意，量词和知道那个模态的顺序对于捕捉 de re 知识至关重要。交换的 de dicto 版本 KBob∃xMurder（x，Dave）仅表示“Bob 知道 Dave 被谋杀了”。对于 Hintikka 来说，如何确定代理人的身份也很重要，参见（Hintikka＆Symons 2003）。
这种对认知疑问的处理也得到了语言学中关于（嵌入式）问题语义学的大量研究的支持（例如，Groenendijk＆Stokhof 1982; Harrah 2002），以及关于认知疑问的认识论的研究（例如，Stanley＆Williamson 2001）。语言学家讨论了带有嵌入式问题的认知表达的各种解读，特别是所谓的部分提及和全部提及解读。部分提及解读要求人们至少知道一个（正确的）答案才能拥有认知疑问的知识，而全部提及解读要求人们知道所有（正确的）答案（参见 Groenendijk＆Stokhof 1982）。例如，“Bob 知道谁来参加派对”的（强）穷尽全部提及解读可以形式化为 ∀x（KBobCame（x）∨KBob¬Came（x）），其中 ∀ 取代了 ∃ 作为主导量词，与之前的例子相反。认知疑问的解释通常也依赖于上下文，这引入了进一步的复杂性（例如，Aloni 2001, 2018）。回到逻辑学，Hintikka（1962）讨论了在这种知道谁的逻辑中的一致性概念以及各种哲学问题，例如跨世界身份。在他后来的工作中，Hintikka（2003）还利用他的独立友好逻辑超越了一阶量化，以捕捉关于高阶实体的疑问知识，例如“我知道每个年轻母亲应该信任谁”，并打算“信任自己的母亲”。
虽然 Hintikka 提出了一个关于知识疑问的基本语义，但对于知识疑问的认知逻辑的系统研究直到最近才得以发展。这部分是由于一阶模态逻辑的不完善，与其命题逻辑兄弟相比（参见 Gochet＆Gribomont 2006 对一阶认知逻辑的调查）。各种众所周知的一阶模态逻辑系统不具备命题模态逻辑的技术上理想的性质，而是遭受不完备性、不可判定性和插值失败的问题（参见 Braüner＆Ghilardi 2007）。特别是，很难找到一阶模态逻辑的可判定片段，使其具有计算吸引力（例如，Hodkinson，Wolter 和 Zakharyaschev 2000）。
尽管在量化认知逻辑的设置中有关于 de re 和 de dicto 区别的阐明工作（例如，Grove 1995; Corsi＆Orlandelli 2013; Holliday＆Perry 2014; Occhipinti Liberman＆Rendsvig 2022），以及基于一阶认知逻辑的一些应用驱动框架（例如，Mika Cohen＆Dam 2007; Kaneko＆Nagashima 1996; Sturm，Wolter＆Zakharyaschev 2000; Belardinelli＆Lomuscio 2011），尽管它们与知识疑问无直接关系。作为基于量化模态逻辑的知识疑问的少数几个直接相关的例外之一，Rendsvig（2012）在一个框架中讨论了弗雷格关于身份的难题，其中代理人可能对专有名词的指称对象有知识。
另一种与知道谁直接相关的研究领域是基于(Fitting, Thalmann, & Voronkov 2001)提出的术语模态逻辑，这是一种量化模态逻辑的变体，其中模态用术语而不是索引作为下标。这允许公式如 ∃y∃xKyMurder(x,Dave)（“有人知道谁杀了 Dave”），或 ∃xKBob(Murder(x,Dave)∧x=Adam)（“Bob 知道谁杀了 Dave，而且是 Adam”）。从(Kooi 2007)开始，提出了各种版本的（动态）术语模态逻辑来讨论知道谁，例如 Occhipinti Liberman, Achen, & Rendsvig 2020; 和 Y. Wang, Wei, & Seligman 2022。这些更接近 Hintikka (1962)提出的原始系统，其中代理人的名称也被视为术语。术语模态逻辑对社交网络中知道谁及其影响的形式化是 Occhipinti Liberman & Rendsvig 2022 的主题。在 Orlandelli & Corsi 2017; Padmanabha & Ramanujam 2019a, 2019b; 和 Occhipinti Liberman, Achen, and Rendsvig 2020 中发现了一些可判定的术语模态逻辑片段，其中可以找到对术语模态逻辑文献的最新回顾。
关于不同类型的知道谁，一些关于知道如何的形式讨论出现在战略逻辑的设置中。观察到在认知交替时间逻辑的设置中，仅仅结合“知道”和“能够”并不能捕捉到知道如何（参见，Jamroga & van der Hoek 2004; Herzig 2015），而是 de dicto 知识：我知道有一种方法可以保证 φ。人们引入了替代语义来解释认知 ATL 的联盟运算符（例如，Jamroga & Ågotnes 2007; Maubert, Pinchinat, Schwarzentruber, & Stranieri 2020; Maubert, Murano, Pinchinat, Schwarzentruber, & Stranieri 2020）。
最近，出现了一种以知识-wh 为独立模态的知识-wh 首先方法，就像知识-that 的模态一样（参见 Y. Wang 2018b 的调查）。这一研究方向的一般动机是将每个知识-wh 的逻辑行为作为原始概念进行关注，而不是将其在语法上分解为量词、模态和谓词在谓词模态逻辑的完整语言中。这种方法受到了 Plaza 1989 年和 Ma & Guo 1983 年早期工作的启发，在这些工作中引入了一个 Kv 运算符来捕捉“知道常量值”的概念。从语义上讲，Kvd 可以被视为 ∃xK(d=x) 的“捆绑”，它表示代理人知道 d 的值是什么。在这一研究方向中，提出了各种语言，其中包括特定类型的知识-that 运算符和知识-wh 运算符，其语义由一阶模态解释给出，就像我们上面为 Kv 运算符所描述的那样。
作为知识-wh 首先框架的一个例子，考虑 Li & Wang (2021a) 讨论的（目标导向的）知识-how 和知识-that 的认知语言，其中 Khiφ 表示代理人 i 知道如何实现目标 φ。
φ::=p∣¬φ∣(φ∧φ)∣Kiφ∣Khiφ
语义是在一种具有认知关系 ∼i,i∈A 和标记动作关系 a→,a∈Act 的 Kripke 模型上给出的，其中 Act=∪i∈AActi 是每个代理的动作集的并集，这些动作集没有在形式语言中明确描述。这样的模型采用形式 M=(W,{∼i}i∈A,{a→}a∈Act,V)。指向的 Kripke 模型 M,w 和 Khiφ 公式之间的满足关系由以下 ∃xK-style 模式给出：
M,w⊨Khiφ | ⟺ | 存在一个计划 π，使得对于所有的 w′∼iw： 1. π 在 w′上被 i 强制执行； 2. 对于通过执行 π 可达的每个最终状态 v，M,v⊨φ。 |
一个计划 π 可以有不同的形式，比如有限的线性动作序列，根据代理知识的条件策略，甚至带有循环的程序（参见，Li＆Wang 2021b）。直观上，一个计划的强执行意味着该计划永远不会卡住，并且总是成功终止。
为了说明这个框架，假设一个患者正在经历一些罕见的症状 p。为了知道原因（q 或 ¬q），医生 1 建议患者首先进行一项特殊测试（a），该测试仅在医生 1 的医院提供，并将结果发送给另一个城市的医生 2，后者在检查结果方面更有经验。然后，医生 2 将根据原因来确定应该开具不同的药物（b 或 c）来治疗患者。下面的情况被描绘为一个模型，其中包含认知关系（由标有 1,2 的虚线标记）和行动关系（由标有 a,b,c 的实线标记）。请注意，只有医生 1 可以执行动作 a，只有医生 2 可以执行 b 或 c。在执行动作 a 之后，医生 2 知道她是在 w3 还是 w4，但医生 1 对此仍然不确定。
直观上，医生 1 知道如何让医生 2 知道如何治疗患者（¬p），尽管医生 1 和医生 2 都不知道如何单独治疗患者。这可以通过 ¬Kh1¬p∧¬Kh2¬p∧Kh1((K2q∨K2¬q)∧Kh2¬p)来表达，在适当的计划概念下，在 w1 和 w2 处为真。
最后，可以为这个框架获得知识如何的逻辑。公理取决于对 Kripke 模型的具体假设，就像标准的认知逻辑一样。例如，如果我们允许基于条件的知识计划，并考虑具有完美回忆的代理（如 Fervari，Herzig，Li 和 Wang 2017），那么以下公理和规则在 S5 证明系统的基础上对 Ki 是完备的：
| EMP | Kip→Khip | KhK | Khip→KhiKip |
|---|---|---|---|
KKh | Khip→KiKhip | KhKh | KhiKhip→Khip |
Khbot | ¬Khi⊥ | MONOKh | ⊢φ→ψKhiφ→Khiψ |
注意，在这种以认知为主的方法中，公理直接捕捉到了特定类型的认知特性，而不是指定一阶模态逻辑中量词、知道模态和谓词的行为。例如，在基于条件计划的特定目标导向型认知的上述证明系统中，EMP 提出，p 的知识蕴含了如何实现 p 的知识（通过保持现状）；KKh 假设了认知是内省的，这可能区分了认知和纯粹的能力，即代理可能不知道自己具有某种能力；KhKh 断言，如果一个人知道如何知道如何，那么他已经知道如何，这反映了证明知识如何的条件计划的组合性；与此同时，KhK 表达了如何实现目标的知识意味着有能力明知如何实现它。
与标准的认知逻辑一样，尽管有争议，这些公理为哲学研究提供了一个引人入胜的论坛。例如，关于 K 和 Kh 的交互公理可能有助于我们更好地理解知识和知识如何。KKh 可能引起哲学兴趣，鉴于标准认知逻辑中其对应物 KK 原则的激烈辩论。此外，如果我们允许忘记已知的内容（没有完美回忆），则 KhK 在直觉上是无效的：你可能知道如何喝醉，但当你真的喝醉时，你可能没有意识到。另一个没有 K 的例子，如果我们允许目标导向型认知与活动型认知并存，那么 KhKh 在直觉上是不成立的：知道如何让自己知道如何游泳（通过雇佣私人教练）并不意味着我现在知道如何游泳。当然，还有其他使这些公理成立或不成立的方法。丰富的公理可能性为深入系统的哲学探索提供了鼓励。
在知识-是否（know-whether）的第一方法中，还研究了其他知识-是否的模态、语义和逻辑。在这里，我们列举了一些现有的作品，不是为了详尽无遗，而是为了它们与其他众所周知的逻辑的联系。
“知识-是否”（以及无知）的逻辑已经在 van der Hoek＆Lomuscio 2003 年；Fan，Wang，＆Ditmarsch 2015 年；和 Fine 2018 年进行了探索。它与文献中的非必然性逻辑密切相关。这类逻辑的变体正在广泛研究中，例如 Fan 2019 年，2021 年。此外，“知识-是否”已被证明在简化共同知识的公理化方面非常有用，如 Herzig＆Perrotin（2020）所示。 “知识-什么”（know-what）的逻辑是另一个受到广泛关注的领域（Y. Wang＆Fan 2013 年；Baltag 2016 年），它是在 Plaza（1989 年）的“知识-值”逻辑的基础上进行扩展的。它还与弱聚合模态逻辑有着令人惊讶的联系。 “知识-如何”（know-how）的逻辑已在基于规划的方法中进行了研究，例如 Y. Wang 2018a；Fervari，Herzig 等人 2017 年；Li＆Wang 2021b），以及基于联盟的方法，例如 Naumov＆Tao 2017 年，2018 年。这些作品与交替认知时间逻辑等认知策略逻辑相关。 “知识-为什么”（know-why）的逻辑由 Xu，Wang，＆Studer（2021）作为证明逻辑的量化版本的片段进行了探索。 “知识-谁”（know-who）的逻辑已在 Wang，Wei＆Seligman 2022 年；和 Epstein＆Naumov 2021 年进行了研究，并与术语模态逻辑有关。这些知识-是否的逻辑被应用于人工智能，例如规划和推理，如 Li＆Wang 2021a；Naumov＆Tao 2020 年，2019 年；和 Jiang＆Naumov 2022 年所示。
这些认知逻辑学共享一些共同特征。首先，它们大多是非正常的（在技术意义上）。例如，知道如何实现 φ 和知道如何实现 ψ 并不意味着知道如何实现 φ∧ψ，与正常的模态逻辑聚合原则（□φ∧□ψ）→□(φ∧ψ)相反，将知识视为 □ 模态。此外，由于认知模态在语义上对应于可用一阶模态逻辑表达的复杂结构，模型往往富含信息。然而，认知逻辑学的语言简单，导致语法和语义之间不匹配。这导致了在公理化这些逻辑学时遇到困难，需要新的技术（例如，顾和王 2016 年）。最后，这些逻辑学通常是可判定的，与完全的一阶模态语言方法相反。许多认知逻辑学可以看作是一阶模态逻辑的一变量片段。在扩展认知逻辑学的思想下，王（2017 年）提出研究一阶模态逻辑的片段，其中量词总是与模态一起出现，对变量的数量或谓词的元数没有任何限制。这导致了所谓的捆绑片段，其中许多也是可判定的（参见刘、帕德马纳巴、拉马努贾姆和王 2023 年的调查）。
除了一阶认知逻辑和对认知逻辑的知-疑问方法之外，还有一种基于疑问逻辑的语言动机方法来处理知-疑问（例如，Ciardelli＆Roelofsen 2011）。疑问逻辑离开了通常的逻辑框架，基于疑问语义，将陈述和问题的推理模式统一起来。这提供了处理自然语言中的知-疑问的机会：动词“知道”后面跟着一个（嵌入的）问题。因此，可以使用模态疑问逻辑来表达知-疑问，正如 Ciardelli 2014、2016、2023 和 Ciardelli＆Roelofsen 2015 所示。例如，考虑以下疑问模态逻辑的语言：
φ::=p∣⊥∣(φ∧φ)∣(φ→φ)∣(φ∨φ)∣(φ∖∖/φ)∣□φ
可以使用 □(φ∖∖/¬φ)来表达知-是否 φ，其中(φ∖∖/¬φ)是表示关于是否 φ 的极性问题的疑问析取。在一阶疑问设置中，可以使用模态和疑问存在量词的组合来表达知-疑问陈述的某种解释（参见，Ciardelli 2023）。此外，疑问逻辑与知-疑问逻辑之间存在密切联系。特别是，疑问逻辑和许多其他中间逻辑可以被解释为知-如何（证明/解决/解答）的认知逻辑（例如，H. Wang，Wang 和 Wang 2022）。例如，在命题设置中，根据疑问语义支持(φ∖∖/¬φ)的状态（一组可能的世界）可以被视为一个 S5 认知模型，用于代理知道如何回答问题(φ∖∖/¬φ)。
认知逻辑是一个充满许多未解之谜的研究领域。除了关于现有各种方法中认知逻辑的具体技术问题之外，还有许多关于认知逻辑本质的概念问题，这些问题鼓励系统性研究。例如，有哪些相应的动态可以更新认知逻辑？在认知价值的设定中，已经有一些初步的尝试来建模特定的动态（van Eijck 等人，2017 年；M. Cohen，Tang 和 Wang，2021 年），认知技能（Areces，Fervari，Saravia 和 Velázquez-Quesada，2022 年）和认知对象（Occhipinti Liberman 和 Rendsvig，2022 年）。此外，有哪些关于认知逻辑的群体知识？除了基于联盟的认知技能逻辑（如 Naumov 和 Tao，2018 年）之外，还有一些关于分布式/共同知识的尝试，由 Su（2017 年）和 Fan，Grossi 等人（2020 年）进行了探索。此外，不同类型的认知逻辑如何相互作用？在 Jiang 和 Naumov（2022 年）的战略游戏与数据设定中，尝试将认知技能和认知价值相结合。此外，关于嵌入式问题的非穷尽解释的语言讨论表明了更精细的认知逻辑结构（例如，Xiang，2016 年）。例如，如果某人知道一个正确的证明，但错误地相信另一个证明也有效，那么他们是否知道如何证明一个定理？一些初步的逻辑讨论可以在 Yang（2023 年）中找到。最后，尽管关于知道的逻辑原则（如内省和逻辑全知）有大量的哲学研究，但相应的认知逻辑原则很少在哲学上进行讨论。总的来说，与当代认知论的认知逻辑建立联系是一个有前途的方向（例如，Pavese，2021 年 [2022 年]）。
5. 逻辑全知
对认知逻辑学家所采取的方法的主要批评是，它致力于一种过度理想化的人类推理图景。批评者担心认知逻辑的关系语义使人们对一个代理人的知识具有不可置信的强闭包特性，而实际的人类推理能力并不支持这种特性。这些闭包特性引发了所谓的逻辑全知问题：
每当一个代理人 c 知道一个集合 Γ 中的所有公式，并且 A 从 Γ 逻辑上推出，那么 c 也知道 A。
特别地，
c 知道他们认知逻辑 Λ 的所有定理：如果 φ 是 Λ 的定理（即 Γ=∅ 的逻辑推论），那么根据推理规则概括，Kiφ 也是定理，并且
c 知道代理人知道的任何公式的所有逻辑推论（假设 Γ 由单个公式组成）：假设代理人知道 φ，即 Kcφ，并且 φ→ψ 是一个定理。根据后者和概括，Kc(φ→ψ)也是一个定理。因此，我们有 Kc(φ→ψ)和 Kcφ。根据公理 K ((Kc(φ→ψ)→(Kcφ→Kcψ))，我们也有 Kcψ。
这里的关注点是有限的代理人受到认知能力和推理能力的限制。认知逻辑似乎涉及到超人类的能力，比如知道所有的重言式。因此，关注的问题是认知逻辑是否适合捕捉普通人生活中实际的知识和信念。
Hintikka 在《知识与信念》的早期页面上就已经认识到了认知逻辑规则与动词“知道”的普通用法之间的差异。他指出，仅仅基于 q 从 p 逻辑上推导出来这一事实，就不能从“他知道 p”推断出“他知道 q”，因为被讨论的人可能没有意识到 p 蕴含着 q，尤其是当 p 和 q 是相对复杂的陈述时。（1962 年：30-31）
Hintikka 对于后来被称为逻辑全知问题的第一个反应是，他认为普通用法中的“一致性”等术语与对知识的形式处理之间的差异表明了我们普通术语的问题。如果一个人知道一个数学理论的公理，但无法陈述该理论的远期后果，Hintikka 否认称这个人是不一致的是合适的。Hintikka 声称，在普通人类事务中，当指向一个行动者的不一致指控时，其含义是不合理或不诚实的。因此，从 Hintikka 的角度来看，我们应该选择其他术语来描述那些理性且易于说服或纠正但并非逻辑全知的人的情况。非全知的理性行动者可以处于这样一种境地：“我知道 p，但我不知道 q 是否成立”，即使 q 可以被证明是由 p 蕴含的。然后，他建议在代理人的知识和对 q 的否定的情况下，应该将 q 视为可辩护的，而将对 q 的否定视为不可辩护的。尽管这种术语的选择受到了批评，因为它将贬义的“不可辩护”与某个命题集合联系起来，尽管实际上错误在于代理人的认知能力。（Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007）
Hintikka 的早期认知逻辑可以理解为一种推理方式，用于推理代理人的知识中隐含的内容，即使在代理人本身无法确定隐含内容的情况下。这种方法可能过于理想化，并且其对于理解人类认知环境的相关性可能会因此受到质疑。
很少有哲学家对 Hintikka 在《知识与信念》中提出的修正我们对“一致性”这一术语的普通用法的尝试感到满意。然而，他和其他人很快提供了更受欢迎的处理逻辑全知问题的方法。在 20 世纪 70 年代，对逻辑全知问题的回应引入了解释为什么代理人表面上看起来，但实际上并不真正具有逻辑全知的语义实体。Hintikka（1978）将这些实体称为“不可能的可能世界”（另请参阅关于不可能世界的条目和 Jago 2014）。基本思想是，代理人可能错误地将一些包含逻辑矛盾的世界计算为与其知识一致的世界。这个错误只是代理人有限资源的产物；代理人可能无法发现矛盾，并错误地将其计算为真正的可能性。在某些方面，这种方法可以理解为对 Hintikka 在《知识与信念》中已经概述的对逻辑全知问题的回应的扩展。
在相同的精神中，Rantala（1975）在他对逻辑全知的瓮模型分析中引入了被称为“看似可能”的实体。允许存在不可能的可能世界或者在其中公式的语义估值在一定程度上是任意的，可以使逻辑全知的外观变得不那么威胁。毕竟，在任何现实的认知代理的解释中，代理人很可能会考虑（尽管是无意地）逻辑定律不成立的世界。由于没有真正的认知原则足够广泛地包括不可能和看似可能的世界，必须对认知模型应用一些条件，使其与认知原则相一致（对这种方法的批评，请参见 Jago 2007: 336–337）。
作为设计不具有逻辑全知的知识运算符的逻辑的替代方案，意识逻辑提供了一种选择：将 Kaφ 的解释从“a 知道 φ”改为“a 隐含地知道 φ”，并将明确知道 φ 视为隐含知道 φ 和对 φ 的意识。由于意识不在逻辑推论下封闭，这种转变允许明确知识的概念不具有逻辑全知。由于代理人既不必计算其隐含知识，也不能对基于隐含知识回答查询负责，逻辑全知只对明确知识构成问题，因此逻辑全知的问题被避免了。尽管逻辑全知是隐含知识的一个认识论条件，但代理人本身实际上可能没有意识到这个条件。有关意识逻辑的更多信息，请参见经典的 Fagin＆Halpern（1987），Halpern＆Pucella（2011），或者 Velazquez-Quesada（2011）和 Schipper（2015）的综述。
关于认知逻辑中涉及的各种理想化的讨论在哲学和跨学科背景下仍在进行中。
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