数学哲学中的唯名论 nominalism (Otávio Bueno)

首次发表于 2013 年 9 月 16 日星期一

关于数学的唯名论（或数学唯名论）是一种观点，根据这种观点，数学对象、关系和结构要么根本不存在，要么它们不作为抽象对象存在（它们既不位于时空中，也没有因果能力）。在后一种情况下，会提供一些适当的具体替代物来代表数学对象。广义上讲，数学唯名论有两种形式：一些观点要求重新阐述数学（或科学）理论，以避免对数学对象的承诺（例如，Field 1980；Hellman 1989），而另一些观点则不重新阐述数学或科学理论，而是提供了一种解释，说明在使用这些理论时不涉及对数学对象的承诺（例如，Azzouni 2004）。这两种唯名论形式都受到了审视，并根据它们如何解决数学哲学中的五个核心问题进行了评估（即与数学的认识论、本体论和应用以及统一语义的问题以及数学和科学理论需要被字面理解的条件）。

1. 关于数学的两种观点：唯名论和柏拉图主义

在关于数学的本体论讨论中，有两种观点占据主导地位。根据柏拉图主义观点，数学对象（以及数学关系和结构）存在且是抽象的；也就是说，它们不在空间和时间中，并且与我们没有因果关系。虽然这种对抽象对象的描述纯粹是负面的——只是指出这些对象不是什么——但在数学的背景下，它捕捉到了所讨论对象的关键特征。根据唯名论观点，数学对象（包括数学关系和结构）不存在，或者至少我们不需要假设它们存在才能理解数学。因此，唯名论者的任务是展示如何在不承认数学对象存在的前提下解释数学。事实上，这是唯名论的一个关键特征：支持这种观点的人需要展示，通过使用一种贫乏的本体论，至少能够提供与柏拉图主义者相当的解释性工作。为了实现这一点，数学哲学中的唯名论者与形而上学（数学对象是否存在）、认识论（我们对这些实体的知识是什么样的）以及科学哲学（如何在不承认数学实体存在的前提下理解数学在科学中的成功应用）建立了联系。这些联系是唯名论观点多样性的来源之一。

尽管唯名论和柏拉图主义之间存在着实质性的差异，但它们至少有一个共同特点：它们都有许多形式。在数学哲学中，柏拉图主义有各种版本：标准（或基于对象的）柏拉图主义（哥德尔 1944 年，1947 年；奎因 1960 年），结构主义（雷斯尼克 1997 年；夏皮罗 1997 年）和充分柏拉图主义（巴拉格尔 1998 年），以及其他观点。同样，唯名论也有几个版本：虚构主义（菲尔德 1980 年，1989 年），模态结构主义（赫尔曼 1989 年，1996 年），可构建主义（千原 1990 年），逃避观点（梅利亚 1995 年，2000 年），形象主义（亚布洛 2001 年），通俗唯名论（阿祖尼 2004 年），不可知唯名论（布埃诺 2008 年，2009 年）和伪装观点（冷 2010 年），以及其他观点。与柏拉图主义对应的是，各种唯名论提案有不同的动机，并面临着自己的困难。这些将依次进行探讨。（关于数学中各种唯名化策略的批判性调查可以在伯吉斯和罗森（1997 年）中找到。作者详细讨论了唯名论在数学哲学中引发的技术和哲学问题。）

20 世纪关于数学哲学中的唯名论的讨论大致始于 W.V.奎因和尼尔森·古德曼对建设性唯名论的研究（古德曼和奎因 1947 年）。但正如奎因后来指出的那样，最终不可避免地需要对类进行量化（奎因 1960 年）。如下所述，对这一不可避免性论证的回应为唯名论者产生了大量的工作。而且正是对不可避免性论证的关注，从波兰逻辑学派（西蒙斯 2010 年）在 20 世纪初发展的唯名论中，将我将重点关注的更近期的数学哲学中的唯名论观点区分开来。

数学唯名论是关于抽象对象的反实在论形式。这与关于普遍性的传统唯名论问题是一个独立的问题。普遍性根据广泛的使用，是可以由不同实体实例化的东西。由于抽象对象既不是空间的也不是时间的，它们不能被实例化。因此，数学唯名论和关于普遍性的唯名论是彼此独立的（参见形而上学中的唯名论条目）。可以说，某些集合封装了实例化模型，因为具体对象的集合可以由这些对象实例化。但由于同一集合不能被这样实例化，鉴于集合是由其成员个体化的，只要它们的成员不同，得到的集合就不是相同的，甚至这些集合是否被实例化也不清楚。我将在这里重点讨论数学唯名论。

2. 五个问题

在当代数学哲学中，唯名论是对柏拉图主义面临的困难的回应而提出的。但在发展对柏拉图主义的回应时，唯名论者也遇到了自己的困难。在这个背景下，需要解决五个问题：

数学的认识论问题，
数学应用的问题，
统一语义的问题，
将数学话语字面上理解的问题，以及
实体论问题。

通常，问题（1）和（5）被认为对于唯物论提出了困难，而问题（2）、（3）和（4）则常常被视为对唯名论产生困难的原因。（我将在下面讨论这种评估的准确程度。）这些问题将依次进行检查。

2.1 数学的认识论问题

鉴于形而上学假设了数学对象的存在，问题就出现了，我们如何获得关于它们的知识。数学的认识论问题是解释数学知识可能性的问题，考虑到数学对象本身似乎并不在生成我们的数学信念中起任何作用（Field 1989）。

这被认为是对形而上学的一个特殊问题，因为这种观点假设了数学对象的存在，人们期望这些对象在获得数学知识时起到一定的作用。毕竟，在形而上学的观点中，这种知识是关于相应的数学对象的。然而，尽管形而上学家做出了各种复杂的尝试，但对于这个过程应该如何确切表述仍存在相当大的争议。它应该通过数学直觉来理解吗？通过引入适当的数学原理和定义来理解吗？还是需要某种形式的抽象？

反过来说，对于唯名论者来说，认识论问题远不像对于存在数学对象的人来说那样棘手。他们将不得不解释其他事情，比如，唯名论者如何解释数学家和非数学家之间的区别？数学家了解大量数学，而非数学家则不了解。根据一些唯名论者的观点，这种区别是基于经验和逻辑知识，而不是数学知识（Field 1989）。

2.2 数学应用的问题

数学经常在科学理论中成功应用。如何解释这样的成功？据说普拉托主义者对这个问题有答案。鉴于数学对象存在并且我们的科学理论成功地引用了它们，这样的理论成功并不令人意外。对数学对象的引用只是对那些对我们最好的世界理论不可或缺的实体的引用的一部分。这将数学应用的问题框定为不可或缺性论证的问题。

实际上，对于相信数学对象存在的主要原因之一——有人声称这是唯一的非自相矛盾的理由（Field 1980）——是由于数学在科学中的不可或缺的使用。这个关键的观点最初由 W.V.奎因提出，后来由希拉里·普特南以不同的方式表达，即本体论承诺应该仅限于那些对我们对世界的最佳理论不可或缺的实体（Quine 1960；Putnam 1971；Colyvan 2001a）。马克·科利万用以下方式阐述了这个论点：

（P1）我们应该对那些对我们对世界的最佳理论不可或缺的实体进行本体论承诺。
（P2）数学实体对我们对世界的最佳理论不可或缺。
因此，我们应该在本体论上承认数学实体的存在。

第一个前提关键依赖于奎因的本体论承诺标准。在将我们对世界的最佳理论规范化为一阶语言之后，这些理论的本体论承诺可以通过作为存在量化变量的值来读取。但是，我们如何从一个理论的本体论承诺转移到我们应该在本体论上承认的内容呢？这就是必要性论证的第一个前提出现的地方。如果我们正在处理我们对世界的最佳理论，那么恰好是那些对这些理论至关重要的项目就是我们应该承认的内容。（当然，一个理论可能量化超过那些是必要的对象。）通过确定在解释各种现象中所涉及的必要组成部分，并注意到数学实体是其中之一，唯物主义者就能够理解应用数学的成功。

然而，事实证明，唯名论者是否能够解释数学应用的成功实际上是有争议的。鉴于数学对象是抽象的，不清楚为什么假设这些实体有助于理解应用数学的成功。对于由空间-时间中的物体组成的物理世界来说，并不是由唯名论者假设的实体构成的。因此，不清楚为什么正确描述抽象（数学）实体之间的关系甚至与理解应用数学中涉及的物理世界中的具体物体的行为有关。仅仅提到物理世界实例化了由各种数学理论以一般术语描述的结构（或子结构）是不够的（参见，例如，Shapiro 1997）。因为有无限多种数学结构，并且没有办法唯一确定其中哪些实际上被实例化，或者甚至只在物理世界的有限区域中被实例化。在这里存在着真正的不确定性，因为世界中相同的物理结构可以由非常不同的数学结构容纳。例如，量子力学现象可以由群论结构（Weyl 1928）或由从希尔伯特空间理论中出现的结构来描述（von Neumann 1932）。在数学上，这些结构非常不同，但在经验上无法在它们之间做出决定。

尽管唯名论者声称能够解释应用数学的成功具有争议性，但适应这种成功通常被视为唯名论的重要优点。毫无争议的是，唯名论者确实能够描述数学理论在科学实践中的实际使用方式，而无需重写它们。正如下文将明确的，这是这种观点的一个重要优点。

唯名论反过来面临着解释科学理论中数学成功使用的困难。根据唯名论者的观点，数学对象不存在，或者至少不被认为存在，那么如何解释对这些实体的引用如何有助于科学理论的经验成功就变得不清楚了。特别是，如果事实证明对数学实体的引用确实是我们对世界最好的理论不可或缺的，那么唯名论者如何否认这些实体的存在呢？正如我们将在下面看到的，哲学数学中出现了几种唯名论观点，以应对基于数学不可或缺性的考虑所提出的挑战。

2.3 统一语义的问题

柏拉图主义最重要的特征之一是它允许我们为数学和科学话语采用相同的语义。鉴于数学对象的存在，数学陈述与科学陈述的真实性方式相同。唯一的区别在于它们各自的真实性生成者：数学陈述是由抽象（数学）对象及其之间的关系决定的，而科学陈述最终是由具体对象及其相应的关系决定的。这一点是理想化的，因为它假设我们可以在不考虑数学对表达这些陈述的贡献的情况下，独立地提取科学陈述的经验内容。坚持不可或缺性论证的柏拉图主义者坚称这是不可能的（Quine 1960; Colyvan 2001a）；甚至一些唯名论者也同意（Azzouni 2011）。

此外，正如在数学应用中典型的情况一样，还存在着涉及既涉及具体对象又涉及抽象对象的混合陈述。唯名论者对于这类陈述也没有提供一个统一的语义的困扰——特别是如果数学唯名论与科学实在论相联系的话。在这种情况下，唯名论者可以提供一个贯穿始终的指称语义。当然，对于数学的唯名论者不一定要对科学持实在论的立场——尽管将唯名论和实在论结合起来是很常见的。原则上，唯名论者可以采取某种形式的反实在论，比如建设性经验主义（van Fraassen 1980; Bueno 2009）。只要反实在论的形式允许使用指称语义（而许多形式确实允许），唯名论者就可以毫不费力地为数学和科学提供一个统一的语义（Benacerraf 1973）。

唯名论者能否实现这些好处尚不清楚。很快就会变得清楚，大多数唯名论的版本都需要对数学语言进行大幅改写。因此，需要为该语言提供与为科学话语提供的语义相比的独特语义。

2.4 将数学话语理解为字面意义的问题

唯名论的一个相关好处是它允许人们直接理解数学话语，因为数学术语是指涉的。特别是，在数学陈述的语法中没有变化。因此，当数学家声称“存在无穷多个素数”时，唯名论者可以直接理解该陈述，描述了无穷多个素数的存在。在唯名论者的观点中，数学陈述有明显的真理生成者：数学对象及其相应的属性和关系（Benacerraf 1973）。

这里有唯名论的一个重要好处。如果数学哲学的目标之一是提供对数学和数学实践的理解，那么唯名论者能够直接理解数学实践的产物（如数学理论）而无需重写或重新表述，这是一个重要的优势。毕竟，唯名论者能够根据数学实践中实际的数学理论来进行研究，而不是讨论由那些避免对数学对象承诺的人提供的各种数学重建所提供的平行话语（如唯名论者）。

无法直接理解数学话语对于唯名论者确实是一个问题，他们通常需要重新编写相关的数学理论。正如下文将会清楚的表明的那样，对于数学的名词化策略通常会改变数学陈述的语法或语义。例如，在模态结构主义的情况下，引入模态运算符以保持与形而上学者的语言一致性（Hellman 1989）。提议是将每个数学陈述 S 翻译为两个模态陈述：（i）如果存在适当类型的结构，则在这些结构中 S 将为真，以及（ii）可能存在这样的结构。结果，数学的语法和语义都发生了变化。在数学虚构主义的情况下，为了保持与形而上学者的语言一致性，尽管否认了数学对象的存在，引入了虚构运算符（例如，“根据算术…”）（Field 1989）。再次，由此产生的提议改变了数学话语的语法（因此也改变了语义）。这对于这些观点来说是一个重要的代价。

2.5 本体论问题

本体论问题在于确定哲学数学观念所承诺的对象的本质。这些对象的本质能够得到适当的确定吗？所讨论的对象是否仅仅是我们缺乏相信它们存在的充分理由？传统的形而上学主义因未能提供对这一问题的充分解决方案而受到批评。作为回应，一些形而上学主义者认为对数学对象的承诺既不是问题所在，也不是神秘的（参见 Hale 和 Wright 2001）。同样，尽管一些唯名论者不必对数学对象承诺，但他们可能对其他可能引起本体论关注的实体承诺（如可能性）。本体论问题则是评估观点的最终承诺的问题。

下面将讨论三种唯名化策略：数学虚构主义（Field 1980, 1989）、模态结构主义（Hellman 1989, 1996）和贬低唯名论（Azzouni 2004）。前两种拒绝了必要性论证的第二个前提。它们为唯名论提供了“困难的道路”（Colyvan 2010），即唯名论者需要开展复杂而严格的工作，以展示如何避免对数学对象的量化，以发展适当的数学解释。第三种策略拒绝了论证的第一个前提，从而避免了争论数学的可或不可缺性（事实上，对于贬低唯名论者来说，数学最终是不可或缺的）。通过重新评估奎因的本体论承诺标准，并指出对某些对象的量化并不需要它们的存在，这种策略为唯名论提供了“简单的道路”。

虽然这项调查显然不是详尽无遗的，因为这里不会考虑到所有可用的唯名论观点，但所讨论的三种观点是代表性的：它们占据逻辑空间中的不同点，并且它们已经明确地发展出来以解决刚刚列出的各种问题。

3. 数学虚构主义

3.1 数学虚构主义的核心特征

在一系列的著作中，哈尔特里·菲尔德提出了一种巧妙的策略，用于对科学进行唯名论（Field 1980, 1989）。与柏拉图主义观点相反，为了解释数学在科学中的有用性，菲尔德并不假设数学理论的真实性。在他看来，可以在不承认数学对象的情况下解释数学的成功应用。因此，他认为柏拉图主义的主要论证，即数学对科学的（表面上的）不可或缺性，是站不住脚的。菲尔德的解释的唯名论性质体现在数学对象并不存在的事实上。因此，数学理论是错误的。（严格来说，菲尔德指出，任何存在性的数学陈述都是错误的，而任何普遍性的数学陈述都是空洞地真实的。）通过设计一种策略，展示如何在科学理论的制定中摒弃数学对象，菲尔德拒绝了不可或缺性论证，并为唯名论立场的表述提供了有力的依据。

乍一看，声称“存在无穷多个素数”是错误的可能听起来违反直觉。但是如果数不存在，那就是该陈述的适当真值（假设使用标准语义）。针对这个问题，菲尔德在 1989 年引入了一个虚构运算符，通过该运算符可以与柏拉图主义者达成口头一致。在这种情况下，人们会陈述：“根据算术，存在无穷多个素数”，这显然是真的。由于使用了虚构运算符，由此产生的观点通常被称为数学虚构主义。

数学虚构主义者设计的唯名化策略依赖于两个相互关联的步骤。第一个步骤是改变数学的目标，不再是追求真理，而是追求其他东西。从这个观点来看，指导唯名化计划的数学的适当规范是保守性。一个数学理论是保守的，如果它与关于物理世界的每个内部一致的理论一致，而这些理论不涉及对数学对象（如集合、函数、数字等）的任何引用或量化（Field 1989，第 58 页）。保守性比一致性更强（因为如果一个理论是保守的，它是一致的，但反之不成立）。然而，保守性并不比真理更弱（Field 1980，第 16-19 页；Field 1989，第 59 页）。因此，Field 并不容忍数学的更弱目标，而只是一个不同的目标。

正是因为数学是保守的，尽管是错误的，它才能够有用。当然，这种有用性是在不承认数学实体的情况下解释的：数学之所以有用，是因为它缩短了我们的推导过程。毕竟，如果一个数学理论 M 是保守的，那么一个关于物理世界的唯名主义断言 A（即不涉及数学对象的断言）仅当它仅从一组这样的断言 N 中推导出来时，才从 N 和 M 中推导出来。也就是说，只要我们有足够丰富的唯名主义断言，使用数学就不会产生任何新的唯名主义后果。数学只是帮助我们进行推导的有用工具。

结果，只有在我们有唯名论前提的情况下，保守主义才能被用来完成所需的工作（Field 1989，第 129 页）。正如 Field 指出的那样，如果我们在一组数学命题（而不是唯名论命题）中添加一些数学位，我们可能会得到无法通过其他方式实现的新结果，这样的观点是混淆的（Field 1989，第 128 页）。对唯名论断言的限制是至关重要的。

数学虚构主义策略的第二步是提供这样的唯名论前提。Field 在一个重要的案例中做到了这一点：牛顿引力理论。他详细阐述了一个有声望的传统：希尔伯特的几何公理化（Hilbert 1971）。希尔伯特提供的是几何的综合表述，它摒弃了度量概念，因此不包括对实数的任何量化。他的公理化是基于点、中间性和全等等概念。直观地说，我们说点 y 在点 x 和点 z 之间，如果 y 是线段的一个点，其端点是 x 和 z。同样直观地说，我们说线段 xy 与线段 zw 全等，如果点 x 到点 y 的距离与点 z 到点 w 的距离相同。在研究所得系统的形式属性之后，希尔伯特证明了一个表示定理。他在一个更强的数学理论中证明了，给定他提出的空间公理系统的模型，存在一个从点对到非负实数的函数 d，满足以下“同态条件”：

对于所有的点 x、y、z 和 w，xy 与 zw 全等当且仅当 d(x, y) = d(z,w)。
当且仅当对于所有的点 x、y 和 z，d(x, y) + d(y, z) = d(x, z)，y 在 x 和 z 之间。

因此，如果函数 d 被视为距离，我们就能得到关于全等和中间性的预期结果。因此，尽管我们不能在希尔伯特的几何中谈论数字（没有这样的实体可以进行量化），但有一个元理论结果将关于距离的断言与理论中可以说的内容相关联。Field 将这些数值主张称为纯几何主张的抽象对应物，并且它们可以用于以更顺畅的方式得出关于纯几何主张的结论。实际上，由于表示定理，可以比通过从希尔伯特的公理进行紧缩证明所能达到的更容易地得出关于空间的结论，而这些结论可以在没有实数的情况下陈述。这说明了 Field 的观点，即数学的有用性来自于缩短推导的过程（Field 1980，第 24-29 页）。

粗略地说，Field 所建立的是如何将希尔伯特关于空间的结果扩展到时空的方法。与希尔伯特的方法类似，Field 展示了牛顿定律可以通过比较谓词来重新表述，而不是采用数值函子的形式。例如，Field 没有采用“x 的引力势能”这样的函子，而是采用了“x 和 y 之间的引力势能差小于 z 和 w 之间的差”的比较谓词。通过一系列表示定理（在几何学中起到与希尔伯特表示定理相同的作用），Field 展示了如何从比较谓词中“获得”几个数值函子。但是为了使用这些定理，他首先展示了如何仅通过比较谓词来表述牛顿的数值定律（例如，引力场的泊松方程）。结果（Field 1989 年，第 130-131 页）是以下扩展表示定理。设 N 是一个仅通过比较谓词（而不涉及数值函子）来表述的理论。对于 N 的任何模型 S，其域由时空区域构成，存在：

一个一一对应的时空坐标函数 f（在广义伽利略变换下唯一）将 S 的时空映射到实数的四元组；
一个质量密度函数 g（在正的乘法变换下唯一）将 S 的时空映射到非负实数的区间；
一个引力势函数 h（在正线性变换下唯一）将时空映射到实数区间上。

此外，所有这些函数“保持结构”，即以它们为基础定义的比较关系与 N 中使用的比较关系相一致。此外，如果将 f、g 和 h 视为适当函子的指示，牛顿引力理论的函子形式定律成立。

注意，在对时空区域进行量化时，Field 假设了一种实体主义的时空观，即存在未完全占据的时空区域（Field 1980，第 34-36 页；Field 1989，第 171-180 页）。鉴于这一结果，数学虚构主义者可以从涉及 N 和数学理论 T 的前提中得出唯名论的结论。毕竟，由于数学的保守性，这样的结论可以独立于 T 获得。扩展表示定理的作用是确立，尽管没有对数学对象进行量化，但通过用函子（通常表达的理论）或比较谓词（数学虚构主义者偏爱的方式）来表述牛顿引力理论，确定了完全相同的模型类别。因此，扩展表示定理确保了数学的保守性与适当的唯名主张（通过比较谓词来表述）一起使用时不会改变原始理论的模型类别：相同的比较关系得以保留。因此，Field 提供的是一种唯名化策略，并且由于它减少了本体论，似乎是对数学的唯名主义立场的一个有希望的候选者。

数学虚构主义者应该如何处理那些似乎不涉及具体可观察对象的物理理论，比如弦理论？一个可能的回应是，假设这些理论缺乏经验上的重要性，就简单地拒绝它们是物理理论，并且因此它们不是数学虚构主义者需要提供唯名论对应的那种理论。换句话说，在这些理论获得相关的经验重要性之前，它们不需要让数学虚构主义者担心。这类理论将被归类为数学而非物理学。

3.2 金属逻辑与保守性的制定

但是数学是否保守呢？为了证明数学的保守性，数学虚构主义者使用了金属逻辑的结果，比如一阶逻辑的完备性和紧致性（Field 1992, 1980, 1989）。然后问题就出现了，数学虚构主义者是否可以利用这些结果来发展该计划。

在两个关键时刻，菲尔德利用了元逻辑的结果：（a）在他对唯名论可接受的条件下重新阐述保守性的概念（菲尔德 1989 年，第 119-120 页；菲尔德 1991 年），以及（b）在他对集合论保守性的唯名论证明中（菲尔德 1992 年）。这两个结果对菲尔德来说至关重要，因为它们确立了保守性对于数学虚构主义者的充分性。对于（a），它解决了后者可以在不违反唯名论的情况下阐述该概念，而（b）得出结论，保守性是数学实际上具有的特征。但是，如果这两个结果不合法，菲尔德的方法将无法启动。现在我将考虑这两个元逻辑结果在唯名论基础上是否可接受。

3.2.1 保守性和紧致性定理

让我从（a）开始。数学虚构主义者依赖紧致性定理以一种可接受的方式阐述保守性的概念，即不涉及数学实体。如上所述，保守性是以一致性来定义的。但是，这个概念通常以语义术语（适当模型的存在）或证明论术语（适当证明的存在）来阐述。然而，正如菲尔德所承认的，这两种一致性的表述都是形而上学的，因为它们依赖于抽象对象（模型和证明），因此在唯名论上是不可接受的。

唯名论的数学虚构主义方法是避免转向元语言以表达数学的保守性。其思想是在客体语言中陈述一个给定数学理论是保守的，通过引入一个原始的逻辑一致性概念：◊A。因此，如果 B 是任意一个句子，B*是将 B 限制在非数学实体上的结果，M1，…，M**n 是数学理论 M 的公理，那么 M 的保守性可以通过以下模式来表达（Field 1989，第 120 页）：

（C）如果 ◊B，则 ◊(B* ∧ M1 ∧ … ∧ M**n)。

换句话说，数学理论 M 是保守的，如果它与关于物理世界 B*的每个一致理论一致。

当然，这假设 M 是有限公理化的。但是，我们如何在数学理论不是有限公理化的情况下（例如泽梅洛-弗兰克尔集合论）应用（C）呢？在这种情况下，我们无法将所有公理的合取，因为它们有无限多个。Field 已经解决了这个问题，他最初建议数学虚构主义者可以使用替代量化来表示这些无限合取（Field 1984）。在这篇论文修订版的附言中（Field 1989，第 119-120 页），他指出，只要所讨论的数学和物理理论是用满足紧致性的逻辑表达的，就可以避免使用替代量化。因为在这种情况下，整个理论的一致性可以简化为每个有限合取的一致性。

然而，这种做法存在三个问题。

在这种情况下，对于在这种情境中使用替代量化的一个担忧涉及替代实例的性质。如果后者被证明是抽象的，也就是说，如果这些替代实例不仅仅是铭文，那么它们对唯名论者来说是不可用的。如果替代实例是具体的，唯名论者需要证明有足够多的替代实例。
紧致性定理的陈述涉及集合论的讨论：假设 G 是一组公式；如果 G 的每个有限子集都是一致的，那么 G 是一致的。唯名论者如何依赖一个其陈述涉及抽象实体的定理？为了使用这个定理，需要进行适当的重新表述。
让我们假设可以在不涉及集合的情况下重新表述这个陈述。那么唯名论者能够使用紧致性定理吗？众所周知，这个定理的证明假设了集合论。紧致性定理通常被作为一阶逻辑完备性定理的推论来呈现，其证明假设了集合论（参见，例如，Boolos 和 Jeffrey 1989，第 140-141 页）。或者，如果要直接证明紧致性结果，那么必须构造 G 的适当模型，这又需要集合论。因此，除非数学虚构主义者能够为集合论本身提供适当的命名策略，否则他们无权使用这个结果。换句话说，在 Field 型唯名论者能够依赖于元逻辑结果之前，还需要进行更多的工作。

但也许这个批评忽视了 Field 计划的整个要点。正如我们所见，Field 并不要求数学理论 M 为真才能使用。只要求它的保守性。因此，如果 M 被添加到一个名义主义主张的体系 B_中，就不会得出任何新的名义主义结论，这些结论不是仅通过 B_得出的。换句话说，Field 的策略要求制定适当的名义主义主张体系，以便可以应用数学。对于元逻辑结果也是如此：只要它们被应用于名义主义主张，Field 就没有问题。

这个回答的问题在于它将数学虚构主义计划置于一个循环中。虚构主义者不能依赖数学的保守性来证明使用数学结果（紧致性定理）的合理性，而这个结果又是构建保守性概念所必需的。因为这样做，虚构主义者就假设保守性概念在唯名论上是可接受的，而这正是问题所在。回想一下，Field 使用紧致性定理的动机是为了在不假设抽象实体（即语义和证明论的一致性理论所需的实体）的情况下重新阐述保守性。因此，在这一点上，数学虚构主义者还不能使用保守性概念；否则，整个计划将无法启动。我得出结论，与数学的任何其他部分一样，元逻辑结果也需要以唯名论的方式获得。否则，唯名论将面临困境。

3.2.2 保守性和原始模态

但也许数学虚构主义者有一种解决办法。正如我们所见，Field 用一个原始的逻辑一致性概念来阐述保守性的概念：◊A。他还指出，这个概念与模型论中的一致性概念有关，特别是与冯·诺伊曼-伯纳斯-哥德尔有限公理化集合论（NBG）中的概念阐述有关。这是通过两个原则实现的（Field 1989，第 108 页）：

(MTP#) 如果 ☐(NBG → 存在一个‘A’的模型)，那么 ◊A
(ME#) 如果 ☐(NBG → 不存在‘A’的模型)，那么 ¬◊A。

我遵循 Field 的术语：‘MTP#’代表模型论可能性，‘ME#’代表模型存在。符号‘#’表示，根据 Field 的说法，这些原则在唯名论上是可接受的。毕竟，它们是对于形而上学原则的模态替代品（Field 1989，第 103-109 页）。

（MTP）如果存在一个关于‘A’的模型，那么 ◊A
（ME）如果不存在一个关于‘A’的模型，那么 ¬◊A。

可以争论，通过使用这些原则，数学虚构主义者将有权利使用紧致性定理。首先，应该尝试以唯名论可接受的方式陈述这个定理。为了论证的目的，不必过多担心细节，让我们假设以下描述足够：

(紧致性#) 如果 ¬◊T，则存在 f A1, …, A n[¬◊(A1 ∧ … ∧ A n)],

其中 T 是一个理论，每个 A i，1 ≤ i ≤ n，是一个公式（T 的公理）。表达式‘∃f A1…A n’的意思是‘存在有限数量的公式 A1…A**n’。（这个量词不是一阶的。然而，我不打算强调唯名论者似乎需要一个非一阶量词来表达一阶逻辑的典型属性。这只是我们在这个表述中留下的担忧之一。）这个版本依赖于以下形式的普拉托主义紧致性定理：

(紧致性) 如果 T 没有模型，那么存在 f A1, …, A n，使得(A1 ∧ … ∧ A n)没有模型。

为了使数学虚构主义者有权使用紧致性定理，他们必须证明唯名论的表述（紧致性#）可以从柏拉图主义的表述（紧致性）推导出来。从这个意义上说，如果后者是充分的，那么前者也是充分的。更准确地说，必须证明（紧致性#）可以从（紧致性）的模态替代物推导出来。毕竟，问题所在是在唯名论的基础上紧致性定理的合法性，从一开始就假设完整的柏拉图主义版本是循环论证的。正如我们将看到的，有两种方法可以尝试建立这个结果。不幸的是，它们都不起作用：两者都在形式上不充分。

这两个选项的开始方式相同。假设

(1) ¬◊ T.

我们必须确立

(2) ∃_fA_1…A**n ¬◊(_A_1∧…∧A**n).

由(1)和(MTP#)可以推导出

(3) ¬☐(NBG → 存在一个‘T’的模型),

and thus

(4) ◊(NBG ∧ 不存在一个‘T’的模型).

让我们假设紧致性定理的模态替代物：

(CompactM) ☐(NBG → 如果‘T’没有模型，则 ∃f A1…A n，使得(A1∧…∧A n)没有模型)。

注意，由于模态替代物是以模型的形式来表述的（而不是以原始模态运算符的形式），这仍然不是数学虚构主义者所需要的。他们需要的是(Compact#)，但需要证明他们可以得到它。在这一点上，选择开始分歧。

第一种选择是从（4）和（CompactM）中汲取

（5）◊（∃f A1…A n，使得没有一个模型适用于（A1 ∧…∧ A n））。

然而，这种做法存在困难。首先，注意到（5）与（2）并不等价，而（2）才是要达到的结果。此外，与（2）相反，（5）是以模型论术语来表述的，因为它包含了关于某个模型不存在的主张。而所需的是一个类似的陈述，以一致性的原始概念来表达。换句话说，我们需要（5）的唯名论对应，而不是（5）。

但是（5）具有一个很好的特点。它是（Compact）的结果的一种模态化表述。由于（5）仅陈述了不存在某种特定模型的可能性，可以认为它是唯名论上可接受的。（正如将在下文中讨论的那样，模态结构主义者采用了一种沿着这些线索进行模态化的唯名化策略；参见 Hellman（1989））。然而，Field 对这一做法持怀疑态度。在他看来，模态性不是本体论的一般替代品（Field 1989，第 252-268 页）。他的担忧之一是，通过允许引入模态算子作为一种普遍的唯名化策略，我们将模态化掉所考虑理论的物理内容。然而，由于元逻辑性质不会产生物理后果，这种担忧在这里不必出现。无论如何，鉴于（5）没有解决需要解决的问题，它并没有解决这个问题。

第二个选择是转而使用（5'）而不是（5）：

（5'）☐（NBG → ∃f A1…A n，使得没有（A1 ∧…∧ A n）的模型）。

注意，如果(5')被建立，我们将解决这个问题。毕竟，通过对(ME#)进行简单的改写(即，如果 ☐(NBG → ∃f A1…A##n，使得没有模型适用于(A1∧…∧A##n))，那么 ¬◊(A1 ∧…∧ A**n))，由(5')和(ME#)可得

(2) ∃f A1…A n ¬◊(A1 ∧…∧ A n)，

这是我们需要的结论。问题在于(5')并不由(4)和(CompactM)推导出来。因此，我们无法推导出它。

显然，可能存在另一种选择来建立预期的结论。但是，至少可以说，数学虚构主义者必须在使用元逻辑结果之前提出它。在那之前，这些结果是否符合唯名论是不清楚的。

3.2.3 元逻辑和集合论保守性的证明

现在我应该考虑问题（b）：Field 关于集合论保守性的唯名论证明。让我们假设保守性的概念以某种唯名论可接受的方式被制定出来。如果 Field 的证明是正确的，他将证明数学本身是保守的——只要假设数学通常被归约到集合论。Field 如何证明集合论的保守性？这是通过一个巧妙的论证来实现的，该论证改编自 Field 的一个形而上学保守性证明（Field 1980）。对于我们目前的目的，我们不需要详细研究这个论证的细节，只需注意在关键点上使用了一阶逻辑的完备性来建立其结论（Field 1992，第 118 页）。

这种做法的问题在于，即使数学虚构主义者在陈述完备性定理时不涉及数学实体，该定理的证明仍然假设了集合论（参见 Boolos 和 Jeffrey 1989，第 131-140 页）。因此，虚构主义者不能在不削弱他们的唯名论的情况下使用该定理。毕竟，提供集合论保守性的唯名主义证明的目的是要表明，在没有借助于形而上学的数学的情况下，数学虚构主义者能够证明数学是保守的。菲尔德为保守性结果提供了一个形而上学的论证（Field 1980）——一个明确涉及集合论属性的论证。其想法是通过使用形而上学的数学，菲尔德试图证明数学是保守的，从而最终可以被舍弃。与早期策略相比，目标是提供一个唯名主义者可以接受的集合论保守性证明。但由于唯名主义证明依赖于完备性定理，目前并不清楚它是否真正是唯名主义的。数学虚构主义者首先应该能够在不假设集合论的情况下证明完备性结果。或者，他们应该为集合论本身提供一种命名策略，然后他们就有权利使用元逻辑结果。

但可以争论说，数学虚构主义者只需要在证明完备性定理的集合论中保守性。现在应该清楚，这个回答完全是自相矛盾的，因为问题的关键是要证明集合论的保守性。因此，虚构主义者不能假设这个结果已经在元理论中得到证实。

换句话说，如果没有更广泛的唯名化策略，允许将集合论本身唯名化，那么数学虚构主义者如何能够将元逻辑结果作为其计划的一部分使用似乎很难看出来。然而，问题在于，至少在 Field 所阐述的形式中，数学虚构主义计划是否能够扩展到集合论并不明显。因为它只为科学理论提供了一种唯名化策略，即数学在科学中的使用（例如，在牛顿引力理论中）。这种方法并没有解决数学本身的唯名化问题。

原则上，有人可能会反对，这不应该是一个问题。毕竟，数学虚构主义者发展他们的方法的动机集中在一个问题上：克服必要性论证，从而解决数学在科学中的使用问题。而总体策略，如前所述，是为相关科学理论提供唯名主义对应物。

然而，这个反对意见的问题在于，鉴于 Field 策略的性质，唯名化科学的任务无法在不唯名化集合论的情况下实现。因此，需要的是一种更加开放、更广泛的唯名论：既与科学相辅相成，又与元逻辑相辅相成。目前，数学虚构主义方法仍然存在相当大的空白。

3.3 评估：数学虚构主义的益处和问题

3.3.1 认识论问题

鉴于数学对象并不存在，根据数学虚构主义的观点，我们如何获得关于它们的知识这个问题就消失了。但是，另一个问题却出现了：是什么区分了一个数学家（对数学有很多了解）和一个非数学家（没有这种知识）？这里的区别（根据 Field 1984）不在于是否具有数学知识，而在于逻辑知识：知道哪些数学定理是从某些数学原理中推导出来的，哪些不是。只要数学虚构主义提供了逻辑的认识论，认识论问题就得到了解决。

实际上，需要提供的是关于模态性的认识论。毕竟，在菲尔德的解释中，为了避免对模型或证明的形而上学承诺，逻辑推论的概念是以原始模态概念的逻辑可能性来理解的：只要 B 的合取与 A 的否定的合取不可能，即 ¬◊(B ∧ ¬A)，那么 A 就从 B 逻辑地推出。

然而，这种不可能性的判断是如何建立的？在什么条件下我们知道它们成立？在简单的情况下，涉及直接陈述的情况下，建立这种判断可能是没有问题的。问题出现在更加实质性的陈述被引入的情况下。在这些情况下，我们似乎需要大量的数学信息才能确定这些不可能性是否真的成立。例如，考虑到从策梅洛-弗兰克尔集合论公理中独立出选择公理和连续假设的困难。在这种情况下，需要构建相当复杂的数学模型，这些模型依赖于特殊的数学技术的发展来构建。在这个阶段，数学虚构主义者需要的是对集合论本身的唯名化，正如我们所看到的，菲尔德仍然欠我们这个。

3.3.2 数学应用的问题

类似于认识论问题，数学应用问题在某种程度上可以通过数学虚构主义来解决。菲尔德提供了一个关于数学应用的解释，不需要数学理论的真实性。正如我们所见，这要求数学在相关意义上是保守的。然而，菲尔德是否已经证明了数学的保守性，尚不清楚，因为他在引入非集合论词汇到集合论公理中的方式上有限制，作为他试图证明集合论的保守性的一部分（阿祖尼，2009 年，第 169 页，注 47；数学虚构主义计划的其他困难可以在梅利亚，1998 年，2000 年找到）。菲尔德使用的是受限制的 ZFU，即允许存在非集合的 Urelemente 对象，但不允许在包含公理中出现任何非集合论词汇，即替换或分离（菲尔德，1980 年，第 17 页）。然而，这是一个巨大的限制，因为当数学实际应用时，非集合论词汇在转化为集合论语言时，将必须出现在包含公理中。按照菲尔德的表述，这个证明未能解决数学实际应用的关键情况。

此外，数学虚构主义者提出的名词化计划是否可以扩展到其他科学理论，如量子力学（Malament 1992）仍然不清楚。马克·巴拉格尔试图按照数学虚构主义的思路对量子力学进行名词化（Balaguer 1998），以回应这一挑战。然而，正如布埃诺（Bueno 2003）所指出的，巴拉格尔的策略与量子力学的许多解释是不兼容的，特别是与巴斯·范弗拉森的模态解释版本（van Fraassen 1991）不兼容。而且，由于巴拉格尔的策略涉及到物理上真实的倾向性，不清楚它是否与唯名论相容。因此，量子力学的名词化对于数学虚构主义者仍然是一个重大问题。

但即使这些困难都可以解决，数学虚构主义者是否提供了一个解释数学应用的理论，使我们能够理解数学理论的实际应用仍然不清楚。毕竟，虚构主义的解释要求我们重新编写相关理论，找到适合的唯名主义版本。鉴于实际科学实践中从未使用过这种改写，这使得解释数学应用的实际过程的问题完全未解决。虚构主义者并没有涉及实际应用过程的实际特征，而是创造了一种平行的话语，试图提供数学在科学中的唯名主义重建。这种重建最多只能表明数学虚构主义者不必担心数学应用与本体论的增加。但问题仍然存在，即他们是否能够理解数学在科学中的实际应用。这个问题对于正确理解数学实践至关重要，但仍然没有解决。

同样的困难也出现在巴拉格尔虚构主义的版本中（参见巴拉格尔 1998 年的后半部分）。巴拉格尔依赖于区分应用数学理论的数学内容和物理内容的可能性：特别是，这样一个理论的真实性仅仅是由物理事实决定的，没有数学的贡献。然而，关于数学内容和物理内容之间的区分是否可以在不实施类似菲尔德的唯名化计划的情况下进行表征是有争议的。在这种情况下，后者面临的困难也同样适用于巴拉格尔的解释（科利万 2010 年；阿祖尼 2011 年）。

此外，根据阿祖尼（阿祖尼 2009b）的观点，为了科学家能够使用科学理论，他们需要断言它的真实性。在他看来，科学家仅仅承认科学理论的真实性（或展示其他理论优点）是不够的。他们需要断言这个理论。特别是，科学家需要断言一个唯名论的理论。他们不能仅仅思考这样一个理论；他们还需要能够断言它（阿祖尼 2009b，脚注 31、43、53 和 55，以及第 171 页）。因此，将这一点授予阿祖尼的唯名论者需要展示科学家有能力断言相关的唯名论理论，以解决数学应用的问题。

3.3.3 统一语义学

在某种程度上，数学虚构主义者为数学和科学话语提供了统一的语义，但在另一方面，他们并没有。最初，这两种类型的话语以相同的方式进行评估。电子及其之间的关系使得某些量子力学陈述成立；反过来，数学对象及其之间的关系使得相应的数学陈述成立。只是恰巧，与量子力学的现实主义解释相反，数学对象并不存在。因此，正如前面所述，存在性数学陈述（例如“存在无穷多个素数”）是错误的。尽管存在性陈述的真值分配与数学实践中的真值分配相冲突，但至少为数学和科学语言提供了相同的语义。

为了与通常在数学话语中显示的真值分配达成一致，数学虚构主义者引入了一个虚构运算符：“根据数学理论 M...”。然而，这样的运算符改变了数学话语的语义。应用于一个真实的数学陈述，至少是一个被形而上学家认可为真实的陈述，结果将是一个真实的陈述，即使根据数学虚构主义者的观点也是如此。例如，从形而上学家和虚构主义者的角度来看，“根据算术，存在无穷多个素数”这个陈述是真实的。但是，在这种情况下，由于后者不涉及虚构运算符的引入，数学虚构主义者无法再为数学和科学语言提供统一的语义。因此，数学虚构主义者能否提供统一的语义最终取决于是否引入了虚构运算符。

3.3.4. 对数学的字面理解

引入虚构运算符的一个直接结果是数学话语不再被字面理解。正如刚才提到的，如果没有这样的运算符，数学虚构主义会产生对数学陈述的非标准真值归属。但是，一旦有了虚构运算符，数学话语的语法就会改变，因此后者不能被字面理解。

3.3.5 本体论问题

本体论问题——数学虚构主义所做的本体论承诺的可接受性问题——基本上已经解决。原则上并没有对数学对象做出承诺。虽然引入了一个原始的模态概念，但它在数学的名词化中只起到了有限的作用：允许对保守性这一关键概念进行唯名论的表述。然而，正如我们所见，如果没有对集合论本身进行适当的名词化，数学虚构主义计划的最终成功仍然不清楚。

4. 模态结构主义

4.1 模态结构主义的核心特点

模态结构主义提供了一种解释数学的方案，其中包括两个特点：(a) 强调结构作为数学的主要内容，以及 (b) 通过用模态逻辑解释数学，完全消除对数学对象的引用（最初由普特南（Putnam）在 1967 年提出，并在赫尔曼（Hellman）的著作中得到发展（1989 年，1996 年））。基于这些特点，得到的方法被称为模态结构解释（Hellman 1989，第 vii–viii 页和第 6–9 页）。

这个提议还应满足两个重要要求（Hellman 1989，第 2-6 页）。第一个要求是数学陈述应具有真值，因此“工具主义”解读从一开始就被拒绝。第二个要求是：“应该提供一个合理的解释，说明数学实际上如何适用于物质世界”（Hellman 1989，第 6 页）。因此，必须研究适用性问题。

为了解决这些问题，模态结构主义者提出了一个通用框架。主要思想是，尽管数学涉及结构的研究，但这种研究可以通过仅关注可能的结构而不是实际的结构来完成。因此，模态解释不承诺实际的数学结构；不承诺它们作为对象的存在，也不承诺任何恰好“构成”这些结构的对象。通过这种方式，避免了对它们的本体论承诺：唯一的主张是所讨论的结构是可能的。为了阐明这一点，模态结构解释以基于 S5 的二阶模态语言来表述。然而，为了避免对模态运算符的集合论特征化的承诺，Hellman 将这些运算符视为原始的（1989，第 17 页和第 20-23 页）。

采取了两个步骤。第一步是提出一个适当的翻译方案，根据该方案，每个普通数学陈述 S 被视为一个假设陈述的省略形式，即：在适当类型的结构中，S 将成立。

例如，如果我们考虑数论陈述，比如在 Peano 算术（简称 PA）中表达的那些，我们关心的结构是满足 PA 公理的“进展”或“ω-序列”。在这种情况下，每个特定的陈述 S 可以（粗略地）被翻译为

☐∀X（X 是满足 PA 公理的 ω-序列 → S 在 X 中成立）。

根据这个陈述，如果存在满足 PA 公理的 ω-序列，S 将在它们中成立。这是模态结构解释的假设组成部分（详细分析和精确表述，请参见（Hellman 1989，第 16-24 页））。范畴组成部分构成了第二步（Helman 1989，第 24-33 页）。思想是假设适当类型的结构在逻辑上是可能的。在这种情况下，我们有

◊∃X(X 是满足 PA 公理的 ω 序列)。

也就是说，逻辑上存在满足 PA 公理的 ω 序列是可能的。按照这种方法，可以在不涉及本体论成本的情况下提供数学陈述的真理保持翻译，只需假设所讨论的结构的可能性。

然后，模态结构主义者指出，在这个框架中可以恢复定理证明的实践（粗略地说，通过将翻译方案应用于所考虑的定理的原始证明的每一行）。此外，通过使用翻译方案和适当的编码设备，可以主张在唯名论的背景下恢复算术、实分析，甚至在一定程度上恢复集合论（Hellman 1989 年，第 16-33 页，44-47 页和 53-93 页）。特别是，“通过利用编码设备，几乎可以在[实分析]内完成当前物理理论中常见的所有数学”（Hellman 1989 年，第 45-46 页）。然而，是否以这种方式将集合论唯名化的问题实际上是有问题的，正如模态结构主义者所承认的。毕竟，建立具有无法访问的许多对象的结构的存在可能性甚至都不是一个明显的问题。

在框架建立的基础上，模态结构主义者可以考虑适用性问题。主要思想是采用假设性组成部分作为容纳数学应用的基础。相关结构是在特定科学分支中常用的结构。此时需要考虑两个问题。

第一个问题是应用数学陈述的一般形式（Hellman 1989，第 118-124 页）。这些陈述涉及三个关键组成部分：应用数学中使用的结构，数学结构应用于的非数学对象，以及描述数学结构与非数学对象之间特定关系的应用陈述。相关数学结构可以用集合论来表达。让我们称应用背景中使用的集合论为 Z。（这是可有限公理化的二阶泽尔梅洛集合论；我将用 ∧Z 表示 Z 的公理的合取。）在应用背景中感兴趣的非数学对象可以在 Z 中表示为 Urelemente，即不是集合的对象。我们将‘U’作为一个陈述，说明某些感兴趣的非数学对象被包括为 Z 的结构中的 Urelemente。最后，‘A’是应用陈述，描述 Z 的相关数学结构与 U 中描述的非数学对象之间的特定关系。所涉及的特定关系取决于具体情况。现在我们可以呈现一个应用数学陈述的一般形式（Hellman 1989，第 119 页）：

☐∀ X ∀ f ((∧ Z & U)X (∈ f) → A).

在前提中，‘(∧Z & U)X (∈f)’是将策尔梅洛集合论公理写出后，将所有量词相对于二阶变量 X 进行相对化，并将成员关系符号‘∈’替换为二元关系变量‘f’的缩写。根据应用数学的陈述，如果存在满足策尔梅洛集合论 Z 公理的结构，其中包括 U 中提到的一些非数学对象，那么在这样的结构中 A 成立。陈述 A 表达了问题中的关系，例如物理系统与某些集合论结构之间的同构或同态关系。这是被解释为表达某些数学结构（作为 ∧Z 的结构）与世界中研究的实体（Urelemente）之间将会存在的关系的假设组成部分。

第二个考虑更详细地研究了所研究的物理（或物质）对象与数学框架之间的关系。这些是“合成决定”关系（Hellman 1989, pp. 124–135）。更具体地说，我们必须确定在应用数学陈述的前提中，哪些非数学对象之间的关系可以作为指定“实际物质情况”的基础（Hellman 1989, p. 129）。模态结构主义的建议是考虑一个综合理论 T'的模型。该理论涵盖并连接了应用数学理论（T）和所讨论的合成词汇（S），直观地确定了实际物质情况。假设 T 确定了一个特定类型的数学结构（例如包含 Z 的结构），并且 T'是 T 的扩展。在这种情况下，如果满足以下条件，提出的“合成基础”将是适当的：

设 a 为 T'的（数学上）标准模型的类，并且 V 表示 T'的完整词汇表：当且仅当对于 a 中的任意两个模型 m 和 m'，以及它们的域之间的任何双射 f，如果 f 是一个 S 同构，则它也是一个 V 同构。（Hellman 1989，第 132 页。）

当然，在这种情况下引入同构的原因是为了适应在研究领域的（应用）数学部分和非数学部分之间保持结构的需要。这在关键情况下成立，即通过 f 对于合成属性和关系（S 同构）的保持导致整体理论 T'的解析应用数学关系（V 同构）的保持。值得注意的是，“合成”结构并不意味着“捕捉”所讨论的数学理论的全部结构，而只是其应用部分。（回想一下，Hellman 从一个应用数学理论 T 开始。）

这可以通过一个简单的例子来说明。假设有有限个物体显示出线性顺序。我们可以通过将这些物体定义为从自然数的一个初始段到函数来描述这一点。模态结构主义者的合成确定条件要求的是，仅通过物体之间的物理排序来捕捉这个函数及其对物体的描述。并不声称完整的自然数结构被捕捉。这个例子还提供了上述应用数学陈述的说明。Urelemente（不是集合的对象）是所讨论的物体，相关的数学关系是同构，数学结构是一个带有通常的线性顺序的自然数段。

在模态结构观念中，数学通过在数学结构（部分）和代表物质情况的结构之间建立适当的同构来应用。这个过程是有理据的，因为这样的同构建立了（相关部分的）数学和非数学层次之间的结构等价性。

然而，这个提议面临两个困难。第一个困难涉及（应用的）数学和非数学领域之间的结构等价性的本体论地位。我们凭什么声称在考虑的结构中，如果其中一些涉及“物质”对象，它们在数学上是相同的？当然，鉴于结构等价性是通过同构建立的，物质对象已经以结构术语来表述——这意味着一些数学已经被应用到了相关领域。换句话说，为了能够表示数学的适用性，赫尔曼假设已经应用了一些数学。这意味着数学的适用性（通过结构保持）的纯数学描述是不完整的。应用的第一步，即物质领域的数学建模，不能被容纳，因为那里没有涉及同构。实际上，根据假设，领域没有以数学术语来表述，因此在那里没有定义同构。

可以争论说，模态结构解释并不需要应用数学结构与描述物质情况的结构之间的同构。该解释只需要两个整体理论 T'的标准模型之间的同构，这将数学理论 T 和物质领域的描述 S 联系起来。作为回应，需要注意的是，这只是将困难提升了一个层次。为了使 T'扩展应用数学理论 T 并提供 T 和物质情况之间的联系，T'的一个模型必须是 T 和 S 的模型。因此，如果模态结构主义者的综合决定主张得到满足，T'的两个模型之间的同构将确定描述 S 和描述 T 的模型之间的同构。通过这种方式，仍然需要应用数学产生的结构与描述物质情况的结构之间的同构。

第二个困难涉及数学领域和非数学领域之间的结构等价性的认识论地位。我们如何知道这种等价性存在的依据是什么？有人可能会说，为了使应用过程顺利进行，等价性是规范性地强加的。但这个建议导致了一个两难境地。要么我们只是假设我们知道等价性成立，而认识论问题被回避了（因为对此的依据是有问题的），要么我们假设我们不知道等价性成立，这就是为什么我们必须强加条件的原因，而后者显然是没有依据的。然而，可以争论的是，在考虑的物质对象的物理理论中，我们通过研究这些物理理论来建立同构性。但问题在于，为了制定这些物理理论，我们通常使用数学。而问题正是要解释这种使用，也就是要提供一些关于我们如何知道相关数学结构与物理结构同构的依据的理解。

这些考虑的基本观点已经被强调过很多次（尽管在不同的背景下）：同构性似乎不是捕捉数学结构与世界之间关系的合适条件（参见，例如，da Costa 和 French 2003）。当然，在这个层面上使用同构性有一个正确的直觉，这与证明数学应用的想法有关：同构确保应用的数学结构 S 和代表物质情况的结构 M 在数学上是相同的。问题在于基于同构性的表征往往过于强大。它们要求某些数学已经被应用于物质情况，并且我们对 S 和 M 之间的结构等价性有所了解。我们需要的是一个框架，其中相关结构之间的关系比同构性要弱，但仍然以一种较低的要求支持可应用性（例如，Bueno，French 和 Ladyman 2002）。

4.2 评估：模态结构主义的好处和问题

4.2.1 认识论问题

模态结构主义者在数学的认识论问题上部分解决了问题。假设模态结构翻译方案适用于集合论，模态结构主义者无需解释我们如何能够知道数学对象、关系或结构的存在，因为他们对这些实体没有承诺。然而，他们仍然需要解释我们对相关结构可能性的认识，因为翻译方案使他们承诺了这种可能性。

这里出现的一个担忧是，在实质性数学结构的情况下（例如集合论中所涉及的结构），对这些结构可能性的认识可能需要对数学的实质部分有所了解。例如，为了知道在策梅洛集合论中所制定的结构是可能的，我们可能需要知道该理论本身的一致性。但是该理论的一致性只能在另一个理论中得到证实，而该理论的一致性也需要得到证实——我们面临着一个回归。如果假设这些理论的一致性，那将是任意的，因为如果这些理论事实上是不一致的，根据经典逻辑，一切都可以在其中被证明。

当然，这些考虑并不能证明模态结构主义者无法为数学发展出认识论。它们只是暗示为了更充分地解决数学的认识论问题，进一步的认识论发展似乎是必要的。

4.2.2 数学应用的问题

同样，数学应用的问题在一定程度上由模态结构主义者解决了。毕竟，提供了一个解释科学中数学应用的框架，并且在这个框架下，数学的应用可以被容纳，而无需承认相应对象的存在。

除了上文 4.1 节末尾已经提到的问题之外，还有一个问题出现了，即与数学虚构主义类似，所提出的框架不能让我们理解数学应用的实际用途。模态结构框架的目的不是解释数学在科学实践中的实际应用方式，而是规范这种实践并摒弃对数学实体的承诺。但即使这个框架在后一任务上取得成功，使得模态结构主义者能够避免相关承诺，如何理解数学在科学背景中的实际应用方式的问题仍然存在。将翻译方案提供给一种唯名论语言并不能解决这个问题。数学实践的一个重要方面因此被忽略了。

在模态结构解释中，不可或缺性论证的地位非常独特。一方面，如果提出的翻译方案通过，论证的结论就会受到削弱，因为可以避免对数学对象的存在的承诺。另一方面，可以使用修订版的不可或缺性论证来推动对模态语言的翻译，从而强调模态结构主义者引入的原始模态概念所起的不可或缺的作用。其思想是改变论证的第二个前提，坚持数学理论的模态结构翻译对我们对世界的最佳理论是不可或缺的，并得出我们应该本体论地承诺于相应结构的可能性的结论。在这个意义上，模态结构主义者可以援引不可或缺性论证来支持他们所偏爱的翻译方案，从而支持修订后论证的结论中所提到的相关结构的可能性。但是，这个论证只支持对数学理论的模态结构翻译和数学结构的可能性，而不是支持数学对象的存在。

4.2.3 统一语义

随着模态运算符和提出的翻译方案的引入，模态结构主义者无法为科学和数学理论提供统一的语义。只有后者，而不是前者，需要这样的运算符。实际上，菲尔德曾经争论说，如果在科学理论的制定中引入模态运算符，不仅数学内容，而且物理内容也将被唯名化（Field 1989）。毕竟，在这种情况下，理论将不再断言某种物理情况实际上是这样的，而只会陈述这种情况的可能性。

避免由于使用情态运算符而丧失科学理论的物理内容的一个策略是使用实际性运算符。通过在情态运算符的范围内正确放置该运算符，可以撤销所讨论的物理内容的唯名化（Friedman 2005）。如果没有引入实际性运算符或某种相关的操作，情态结构主义者是否能够保留所讨论的科学理论的物理内容就不清楚了。

但是，在这种情况下引入实际性运算符需要区分唯名主义和数学内容。（Azzouni 2011 论证了根本无法进行这种区分。）否则，无法保证实际性运算符的应用不会产生超出物理实际的结果。

然而，即使引入这样的运算符，模态结构翻译方案中数学和科学语言的语义仍然存在显著差异。与后者不同，前者不调用这样的运算符。结果是，模态结构主义似乎无法为数学和科学语言提供统一的语义。

4.2.4 将数学文字理解为字面意义

鉴于引入模态运算符的需要，模态结构主义者并不将数学话语理解为字面意义。实际上，可以说，这正是这种观点的全部意义所在！从字面上理解，数学话语似乎致力于抽象对象和结构的承诺，而模态结构主义者显然旨在避免这种承诺。

然而，仍然可以认为，为了阻止这种承诺，提供了与实际数学实践平行的话语。这种话语是“平行的”，因为数学实践通常不会调用模态结构主义者引入的模态运算符。对于那些试图理解数学话语在数学实践中的使用，并试图确定阻止对数学实体承诺的适当特征的人来说，所提出的翻译将使实现该目标变得特别困难。

4.2.5 基本问题

在某种程度上，模态结构主义者已经解决了基本问题。实施所提出的翻译方案似乎不需要承诺数学对象或结构。主要关注点出现在模态运算符的引入上。但正如模态结构主义者强调的那样，这些运算符并不预设可能世界的语义：它们是作为原始术语引入的。

然而，由于数学公理的模态翻译被认为是真实的，问题就出现了，即是什么使这些陈述成立。例如，当断言“可能存在满足皮亚诺算术公理的结构”时，是什么使这个陈述成立？显然，模态结构主义者不会将这个问题的可能性建立在皮亚诺公理的实际真实性上，因为在合理的解释下，这种做法需要形而上学。模态结构主义者也不会基于皮亚诺公理的一致性证明来支持相关的可能性。毕竟，任何这样的证明都是一个抽象对象，将其用于模态结构主义的基础显然会威胁到整体观点的一致性。此外，引用这样一个一致性证明的模态化版本将是在回避问题，因为它假设模态运算符的使用已经得到了合理的证明。最终，为了正确解决基本问题，需要一个适当的模态话语解释。

5. 唯名论

5.1 唯名论的核心特征

根据唯名论者的观点，坚持数学理论对科学是不可或缺的，断言数学和科学理论是真实的，同时否认数学对象的存在是完全一致的。我将这种观点称为“唯名论”，因为它要求最小的承诺来理解数学（Azzouni 2004），它提出了一种对真理的贬低观点（Azzouni 2004, 2006），并主张直接阐述数学理论，而不需要对其进行重构或改写（Azzouni 1994, 2004）。

唯名论提供了一条“简单的道路”来实现唯名论，它不需要对数学话语进行任何形式的重新表述，同时承认数学的必要性。尽管数学对象和关系的量化对于我们关于世界的最佳理论是不可或缺的，但这个事实并不能给我们相信相应实体的存在提供任何理由。这是因为，正如 Jody Azzouni 指出的那样，应该区分两种承诺：量词承诺和本体承诺（Azzouni 1997；2004，第 127 页和第 49-122 页）。每当我们的理论暗示存在量化的陈述时，我们就承担了量词承诺。但是，Azzouni 坚持认为，存在量化并不足以产生本体承诺。毕竟，我们经常对我们没有理由相信存在的对象进行量化，比如虚构实体。

要承担本体承诺-即承认某个对象的存在-需要满足存在的标准。当然，存在的标准有很多（比如因果效应、可观察性、检测可能性等）。但 Azzouni 偏爱的标准，并且他认为这是被共同采纳的标准，是本体独立性（2004，第 99 页）。存在的东西是那些在本体上独立于我们的语言实践和心理过程的事物。关键在于，如果我们只是通过语言实践或心理过程创造了某个东西，那么我们没有必要承认相应对象的存在。通常情况下，我们会抵制任何这样的承诺。

根据本体论独立性标准，心理过程本身存在吗？可以说，大多数心理过程确实存在，至少是我们经历的那些，而不是我们虚构的那些。毕竟，独立性标准背后的动机是，我们仅仅在口头上或心理上虚构的东西并不存在。头痛或相信眼前有一台笔记本电脑的心理过程并非我虚构的。因此，至少这些类型的心理过程似乎是存在的。相比之下，想象、欲望和希望是我们虚构的过程，因此它们并不存在。然而，标准的基本动机似乎在这些情况下与标准的实际表述有所偏离。因为标准坚持“我们的语言实践和心理过程”的本体论独立性。由于头痛和信念本身就是心理过程，它们显然不是心理过程的本体论独立的。因此，它们不存在。这意味着，如果按照所述的标准应用，就不存在任何心理过程。出于类似的原因，小说、心理内容和制度也不存在，因为它们都是依赖于我们的语言实践和心理过程的抽象对象，根据解释性唯名论者（Azzouni 2010a, 2012）。

当然，奎因至少在关键的情况下，即对于那些对我们对世界的最佳理论至关重要的对象，确定了量词和本体论的承诺。这些对象是那些不能通过释义消除的对象，在我们对相关理论进行规范化（使用一阶逻辑）时，我们必须对其进行量化。根据奎因的标准，这些正是我们本体论承诺的对象。阿祖尼坚持我们应该抵制这种认同。即使我们最佳理论中的对象是不可或缺的，即使我们对它们进行量化，这并不足以使我们对它们本体论承诺。毕竟，我们量化的对象可能在本体上依赖于我们——依赖于我们的语言实践或心理过程——因此我们可能只是编造了它们。但是，在这种情况下，显然没有理由承诺它们的存在。然而，对于那些在本体上独立于我们的对象，我们对它们的存在是承诺的。

事实证明，在阿祖尼的观点中，数学对象在本体上依赖于我们的语言实践和心理过程。因此，即使它们可能是我们对世界的最佳理论不可或缺的，我们也不对它们本体论承诺。因此，通俗的唯名论确实是一种唯名论。

但是数学对象在什么意义上依赖于我们的语言实践和心理过程呢？在这个意义上，某些原则的纯粹假设足以支撑数学实践：“通过简单地写下一组公理，可以从无中创造出一个伴随其陈述的数学主题”（Azzouni 2004，第 127 页）。在实践中，纯粹假设必须满足的唯一额外约束是数学家应该发现所得到的数学有趣。也就是说，从相关数学原则中得出的结果不应该是显而易见的，并且它们应该是可计算的。因此，鉴于纯粹假设在数学中（基本上）足够，数学对象没有认识论的负担。这些对象或“陈述”被称为超薄（Azzouni 2004，第 127 页）。

用于区分本体承诺和量词承诺的通货紧缩唯名论者所采取的相同策略也用于区分对 Fs 的本体承诺和断言“存在 Fs”的真实性。尽管科学中使用的数学理论被认为是真实的，但这并不足以使我们承诺这些理论所涉及的对象的存在。毕竟，根据通货紧缩唯名论者的观点，可能存在 Fs 是真实的，但要对 Fs 进行本体承诺，需要满足存在的标准。正如 Azzouni 指出的那样：

我将真实的数学陈述视为字面上的真实；我放弃试图证明这些字面上真实的数学陈述对经验科学来说是不可或缺的，然而，我可以将数学术语描述为根本不指称任何东西。在没有奎恩的标准来破坏它们的情况下，存在性陈述对本体论是无辜的（Azzouni 2004，第 4-5 页）。

在唯名论的平淡观点中，本体承诺在自然（甚至形式）语言中没有以任何特殊方式被标示出来。我们只是不能从科学学说中推断出本体承诺（即使它们被适当地规范化）。毕竟，没有奎因的本体承诺标准，对给定对象的量化（在一阶语言中）或对该对象的真实陈述的表述并不意味着后者的存在。

在他 1994 年的著作中，阿祖尼并没有承诺自己是唯名论者，理由是唯名论者通常需要对数学语言进行重建——正如上文所讨论的，这确实是数学虚构主义（Field 1989）和模态结构主义（Hellman 1989）的情况。然而，在阿祖尼提出的建议中，没有实施或需要这样的重建（阿祖尼 1994）。数学对象在数学真理的认知中不起任何作用，这清楚地表达了一种唯名论的态度——这是阿祖尼在（阿祖尼 2004）中明确支持的态度。

这种平淡的唯名论建议很好地表达了一个应该认真对待的观点。与其他版本的唯名论相反，它具有一个重要的优点，即试图对数学话语进行字面解释。

5.2 评估：唯名论的益处和一个问题

在本文讨论的唯名论观点中，唯名论的通货紧缩观点最接近解决（或在某些情况下溶解）用于评估唯名论提案的五个问题。除了对数学语言的字面理解和本体论问题可能有例外外，所有其他问题都得到了明确且成功的解决。我将依次讨论每个问题。

5.2.1 解决了认识论问题

在抽象数学对象的本质存在的情况下，唯名论者如何解释数学知识的可能性？在这种唯名论观点下，这个问题消失了。数学知识最终是从数学原理中得出的。鉴于数学对象并不存在，它们在数学结果的认知过程中不起任何作用（Azzouni 1994）。所需的是通过证明来建立相关的数学结果。证明是数学知识的来源。

可以提出的一个论点是，某些数学陈述是在没有相应证明的情况下得知的。考虑到哥德尔不完备性定理的证明中所引用的哥德尔句子：该句子是真实的，但在考虑的系统中无法证明（如果后者是一致的）。我们是否对哥德尔句子有知识？显然我们有，尽管该句子在所讨论的系统中无法推导出来。因此，这里涉及的知识与以给定系统中可以被证明的内容所表达的知识是不同的。

在我看来，唯名论者对于我们对哥德尔句子的认知没有问题。这是一种直观的知识，它源于所讨论的句子所陈述的内容。要知道该句子是真实的，只需要正确理解它即可。但这并不是数学结果通常建立的方式：它们需要被证明。

根据阿祖尼（Azzouni）的观点，只要我们能够将句法不完整的系统（如皮亚诺算术）嵌入到一个更强的系统中，该系统中包含了原始系统的真理谓词并证明了哥德尔句子，我们就能够了解哥德尔句子（Azzouni 1994 年，第 134-135 页；Azzouni 2006 年，第 89 页，注 38，最后一段，以及第 161-162 页）。

显然，这种解释并没有使数学知识变得容易获得，因为通常情况下，确定某个结果是否可以从给定的公理组中推导出来并不是一件简单的事情。部分困难源于非平凡公理组的逻辑推论通常不是透明的：需要进行大量工作来建立这样的推论。鉴于数学知识的非平凡性质，这是应该的。

5.2.2 解决数学应用问题的方法

唯名论者提出了各种考虑，以证明应用数学的成功中不存在真正的哲学问题（Azzouni 2000）。一旦特别关注蕴涵的不透明性——在提供证明之前，我们无法看到各种数学陈述的后果——数学成功应用中的许多所谓惊奇应该消失。最终，所谓的数学应用问题——即理解数学如何能够成功应用于物理世界的问题——是一个人为设计的问题，而不是一个真正的问题。

Colyvan 为相反的观点辩护（Colyvan 2001b），坚持认为数学应用于科学确实存在一个真正的问题。特别是，他认为数学的两个主要哲学解释，Field 的数学虚构主义和 Quine 的形而上学实在主义，都无法解释这个问题。因此，他得出结论，这个问题跨越了数学哲学中的实在主义/反实在主义辩论。唯名论者会坚持认为，最终问题所在——蕴涵的不透明性——并不是一个特殊的问题，尽管在某种程度上它是一个问题，但这个问题同样困扰着数学的实在主义者和反实在主义者。

这并不意味着数学的应用是一件简单的事情。显然，它并不是。但是，成功应用数学所涉及的困难并不引起一个特殊的哲学问题，特别是一旦承认了蕴涵的不透明性这个问题——这是纯数学和应用数学共同面临的问题。

理解数学实际应用的方式是一种唯名论者明确解决的问题，仔细研究了数学应用的不同模型的核心特征和局限性（详见（Azzouni 2004）的第二部分）。

5.2.3 统一语义学

如上所述，唯名论者并不致力于对数学理论进行重建或任何形式的重新表述（唯一的例外是不一致的数学或科学理论，根据唯名论者的观点，理想情况下应将其规范化为一阶一致理论）。不需要特殊的语义学来理解数学：在科学理论的情况下使用的语义学也适用于数学理论。看起来统一语义学的要求得到满足。但情况更加复杂。

可以争论的是，唯名论者需要为数学、科学和普通语言中的存在和普遍性主张提供语义。毕竟，这样陈述听起来令人困惑：“有数存在是真的，但数并不存在”。这样的语义是什么？唯名论者将回应说，这样的语义恰恰是经典逻辑的标准语义，具有存在量词和普遍量词的熟悉条件，但没有假设这些量词具有本体论承诺。对量词不赋予本体论含义的事实并不改变它们的语义。毕竟，语义发展所使用的元语言已经具有普遍量词和存在量词，这些量词不必被解释为提供本体论承诺，就像目标语言的量词一样。因此，始终使用相同的语义。

可以争论的是，唯名论者需要引入量词的本体论严肃用法（或本体论承诺用法）和本体论无辜用法（或本体论非承诺用法）之间的区别。如果是这样，这显然需要为这些量词提供不同的语义。作为回应，唯名论者将否认对这种区别的需求。为了标记本体论承诺，使用了表达本体论独立性的存在谓词。那些对我们（也就是我们的语言实践和心理过程）具有本体论独立性的事物是我们在本体论上承诺的事物。本体论承诺的标记不是在量词的层面上进行，而是通过存在谓词进行。

然而，这意味着尽管语义在科学、数学和普通语言中是统一的，但解释性唯名论要求引入存在谓词。但是，至少在表面上，这个谓词似乎在这些领域中使用语言的方式中没有对应物。语义是相同的，但话语的形式化需要扩展语言来容纳存在谓词。因此，语义的统一性伴随着在语言中引入一个特殊的谓词的代价，以标记形式化的本体论承诺。

或许解释性唯名论者会辩称存在谓词已经是语言的一部分，可能是通过语境和修辞因素隐含地存在（Azzouni 2007，第 III 节；Azzouni 2004，第 5 章）。那么，需要的是对这种主张的证据，以及关于这个谓词在科学、数学和普通语境中如何确切地被发现的指示。例如，考虑以下句子：

（S）没有所有集合的集合。
(P) 完全无摩擦的平面不存在。
(M) 存在老鼠；存在会说话的老鼠。

可能，在所有这些情况中都使用了存在谓词。因此，这些句子可以形式化如下：

(S) ∀x(S x → ¬E x)，其中'S'是（为简单起见）谓词“所有集合的集合”，而'E'是存在谓词。
(P) ∀x(P x → ¬E x)，其中'P'是（为简单起见）谓词“完全无摩擦的平面”，而'E'是存在谓词。
(M) ∃x(M x ∧ E x) ∧ ∀x((M x ∧ T x) → ¬E**x)，其中'M'是谓词“老鼠”，'T'是谓词“说话”，而'E'是存在谓词。

在所有这些情况下，形式化需要对自然语言句子的逻辑形式进行一些改变，以引入存在谓词。这可以说是一种代价。毕竟，在这些情况下，数学、科学和普通语言似乎并不是字面上的——这是我现在要转向的一个话题。

5.2.4 对数学语言的字面理解

我们看到，引入存在谓词后，对于泛名论者来说，是否能够真正地对数学语言进行字面理解并不清楚。毕竟，似乎需要对该语言进行一些重构。应该承认，所涉及的重构程度明显低于上述其他版本的泛名论。与它们相反，泛名论者能够适应数学实践的重要方面，而无需创建一个完全平行的话语（特别是不需要引入运算符、模态或虚构的运算符）。然而，仍然需要一定程度的重构来适应存在谓词，这就损害了泛名论者对数学语言进行字面理解的能力。

一个相关的关注点是，通货紧缩的唯名论者引入了一个非标准的指称概念，这个概念不预设所指称的对象的存在（Bueno 和 Zalta 2005）。这一举措与量词的理解不具有本体论承诺的理解相辅相成，而且似乎限制了通货紧缩的唯名论者对数学语言的直接理解能力。毕竟，“‘a’指称 b，但 b 不存在”这一主张需要特殊使用“指称”的方式来容纳。然而，通货紧缩的唯名论者对此予以抵制（Azzouni 2009a，2010a，2010b）。

5.2.5 本体论问题

本体论问题也被通货紧缩的唯名论解决了。显然，通货紧缩的唯名论既不承诺于数学对象，也不承诺于任何形式的模态本体论（包括可能世界、抽象实体作为可能世界的代理，或其他形式的替代模态主张的表达）。通货紧缩的唯名论者不仅避免了对数学对象的承诺，还声称这些对象根本没有任何属性。这意味着通货紧缩的唯名论者的本体论极其简化：只有具体对象最终被假定——这些对象在本体上独立于我们的心理过程和语言实践。特别是，没有假定不存在对象的领域，也没有假定这些对象的真实属性的领域。所谓“真实属性”是指仅仅由所讨论的对象的本质决定的属性，而不是由与其他对象的某些外部关系的结果决定的属性。例如，虽然福尔摩斯并不存在，但他具有我在写这句话时想到他的属性。然而，从所预期的意义上说，这不是福尔摩斯的真实属性。

唯名论并非一种名实论形式（Azzouni 2010a）。尽管唯名论的本体论与名实论的本体论没有显著的区别，但这两种观点的意识形态——至少在假定特定的传统解释下——是有重要区别的。与常常被认为是名实论的一个独特特征相反，唯名论者不承认任何实存对象。

然而，我并不清楚这种传统对名实论的解读是否正确。如果我们将实存对象视为抽象的对象，并且只认为具体的对象存在，那么从意识形态上来看，与唯名论者所偏爱的观点并没有显著的区别。尽管如此，唯名论者仍然与名实论保持距离（Azzouni 2010a）。

在本体论承诺方面，唯名论者在本体论方面表现得非常出色。令人担忧的一个问题是，唯名论者的本体论究竟有多么贫乏。例如，柏拉图主义者会坚持认为数学对象在本体论上独立于我们的心理过程和语言实践，并且——根据唯名论者提供的本体论承诺标准——他们会坚持认为这些对象确实存在。同样，模态实在论者（如 Lewis 1986）也会主张可能世界在相关意义上在本体论上独立于我们，从而得出这些对象也存在的结论。唯名论者将试图抵制这些结论。但除非他们在这一点上的论证成功，否则仍然存在这样的担忧：根据提出的本体论承诺标准，唯名论者的本体论可能比宣传的要丰富得多。

可以争论唯名论者正在改变辩论的规则。他们声称数学家推导出“存在 F 的事实”的陈述，但坚持认为所讨论的对象并不存在，因为量词承诺和本体承诺应该有所区别。这种策略与之前讨论的唯名论提案有根本的不同。它等同于否定了必要性论证的第一个前提（“我们应该对那些对我们最好的世界理论不可或缺的实体进行本体承诺”）。尽管对数学实体的量化对我们最好的世界理论是不可或缺的（因此，唯名论者接受了论证的第二个前提），但这并不意味着这些实体存在。毕竟，我们可以对不存在的对象进行量化，这是对必要性论证的第一个前提的拒绝。

但是，唯名论者真的在改变辩论的规则吗？如果奎因的本体承诺标准确实提供了这些规则，那么他们确实在改变。但我们为什么要承认奎因的标准在本体论辩论中起到这样的作用呢？唯名论者对本体论辩论中这一深深根植的假设提出了质疑。通过这样做，他们为数学哲学中一种独特的唯名论形式的发展铺平了道路。

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Other Internet Resources

FOM: Foundations of Mathematics mailing list

Acknowledgments

My thanks go to two anonymous referees for their helpful comments on earlier versions of this entry. Their suggestions led to significant improvements. My thanks are also due to Jody Azzouni, Uri Nodelman, and Ed Zalta for all of their comments and help.

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