戈特洛布·弗雷格 Frege, Gottlob (Edward N. Zalta)

首次发表于 1995 年 9 月 14 日；实质修订于 2022 年 7 月 9 日

弗里德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格（出生于 1848 年，逝世于 1925 年）是一位德国数学家、逻辑学家和哲学家，曾在耶拿大学工作。弗雷格通过构建一种形式系统，实质上重新构思了逻辑学，这种形式系统也被视为第一个“谓词演算”。在这种形式系统中，弗雷格通过分析量化语句并形式化“证明”的概念，开创性地提出了一种依然被广泛接受的方法。弗雷格还证明了可以使用他的系统通过简单的逻辑和数学概念解决理论数学陈述。弗雷格后来为了从逻辑推导出数学的重要部分，向他的系统中添加了一个公理，但这证明是不一致的。尽管如此，他的定义（例如，前导关系和自然数概念）和方法（例如，推导数论公理）仍然是一次重要的进展。为了证明逻辑和数学的关系，弗雷格构思了一种全面的语言哲学，许多哲学家至今仍然认为是有深刻见解的，尽管最近的研究表明弗雷格从斯多葛学派借鉴了他的语言哲学的许多要素。此外，他终生的目标，即将数学归约为逻辑，没有取得成功。

1. 弗雷格的生平和影响

根据弗雷格于 1874 年提交的 Habilitationsschrift 中的个人简历，他出生于 1848 年 11 月 8 日的维斯马尔，当时是梅克伦堡-施维林的一个城镇，现在属于梅克伦堡-前波美拉尼亚。他的父亲亚历山大是一所女子中学的校长，母亲奥古斯特（娘家姓比亚洛布洛茨基）在路德教信仰下抚养他长大。弗雷格在当地的文法学校学习了 15 年，1869 年毕业后进入耶拿大学（参见 Frege 1874，McGuinness（编）1984，92 页中的翻译）。

在杰纳，弗雷格参加了厄恩斯特·卡尔·阿贝的讲座，后来阿贝成为了弗雷格的导师，并对弗雷格的生活产生了重大的智力和个人影响。弗雷格于 1871 年转入哥廷根大学，两年后，也就是 1873 年，他在数学专业获得了博士学位，其导师是恩斯特·谢林，论文的题目是《关于平面中虚构图形的几何表示》。弗雷格在他的论文中这样解释这个课题：“通过平面中虚构图形的几何表示，我们据此了解到某种联系，根据这种联系，平面上的每一个实数或虚数元素都有一个对应的真实、直观的元素”（弗雷格 1873 年，麦圭尼斯（编）1984 年，3 页）。在这里，弗雷格所说的“虚构图形”，是指虚点、虚曲线和直线等。有趣的是，论文中有一个部分涉及通过平面角的数量来表示复数。

1874 年，弗雷格完成了他的 Habilitationsschrift，题为《建立在量的概念扩展基础上的计算方法》。提交完毕这篇论文后，阿贝的支持使弗雷格成为了杰纳大学的特许讲师。杰纳大学的图书馆记录表明，在接下来的 5 年里，弗雷格借阅了力学、分析、几何、阿贝尔函数和椭圆函数等文献（Kreiser 1984, 21 页）。毫无疑问，这些文献中的许多内容帮助他准备了他在杰纳大学课程公告中所列出的讲座，因为这些讲座的主题通常与这些文献相匹配，例如解析几何、椭圆和阿贝尔函数、代数分析、复数函数等（Kratzsch 1979）。

在 1874 年至 1879 年期间，弗雷格的阅读和讲座内容与他在 Habilitationsschrift 中展现的兴趣非常自然地契合。标题中提到的“量的概念扩展”涉及到一个事实，即我们对量（例如长度、面积等）的理解必须在复数的情境下进行扩展（Footnote 3）。他在这项工作的开头就说到：

根据旧观念，长度被视为一种物质，填充着其端点之间的直线，同时通过其刚性阻止其他东西进入其空间。在增加量时，我们因此被迫将一个数量放置在另一个数量旁边。类似的情况也适用于表面和实体内容。负数的引入在这种观念中留下了痕迹，而虚数则使其变得完全不可能。现在重要的是起点和终点 - 填充空间的概念已完全消失。所有留下的只是某些加法的一般属性，这些属性现在显示为数量的基本特征标志。这一概念因此逐渐摆脱了直觉，使得自己独立了出来。这是完全无可非议的，尤其是因为其较早的直觉特征在本质上只是表象。被曲线包围的有界直线和平面当然可以直觉出，但关于它们的数量信息，长度和表面的共同之处，却超出了我们的直觉理解能力...因此，几何学和算术在它们的基本原理得到基础的方式上存在显著差异。所有几何构造的要素都是直觉，几何学将直觉视为其公理的来源。由于算术的对象没有直觉特征，其基本命题不能源自直觉...（弗雷格 1874 年，麦圭尼斯（编辑）1984 年翻译，第 56 页）

在这里，我们可以看到弗雷格一生中两个兴趣的开始，即（1）针对一领域发展的概念和定义在应用于更广泛领域时的表现如何，以及（2）在几何中合理依赖直觉的对比与在纯数论发展中不合理依赖直觉的对比。事实上，一些近期学者已经（a）展示了弗雷格在逻辑方面的工作在一定程度上受到他对几何与数论之间类比和对比的理解的影响（威尔逊 1992 年），以及（b）显示弗雷格对于晚 19 世纪从事复杂分析的数学家之间分歧非常熟悉，他们在是否更适宜使用魏尔斯特拉斯的分析方法或黎曼的直观几何方法上发生分歧（塔彭登 2006 年）。魏尔斯特拉斯于 1872 年发表了一篇论文，描述了一个到处连续但无处可微的实值函数， 这篇论文非常著名，它提供了一个关于直觉的局限的无法画出的函数的例子。但与此同时，弗雷格显然接受了黎曼的做法和从将函数作为基础得出的方法，而不是魏尔斯特拉斯专注于能够用其他数学对象来表示或分析的函数（例如，复数幂级数）。

1879 年，弗雷格出版了他的第一本著作《Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens》（概念符号学：纯思维的一种类似算术的公式语言），并被晋升为耶拿大学的 außerordentlicher 教授（特聘教授）。尽管概念符号学在逻辑方面构成了一项重大进展，但它既没有被广泛理解，也未得到良好回应。一些学者认为这是因为其符号是二维的，而非线性的，并且他没有基于他人的工作进行发展，而是提出了一些极具革新性的新概念（例如，门德尔松 2005 年，第 2 页）。尽管我们在下面的讨论主要是针对弗雷格在他 1893/1903 年的两卷著作《Grundgesetze der Arithmetik》中发展的体系，而这一后期体系的主要要素已经可以在 1879 年概念符号学中找到。

弗雷格的下一部真正重要的作品是他的第二本书《算术基础：关于数字概念的逻辑数学研究》，出版于 1884 年。弗雷格在这部作品中批判了先前定义数字概念的尝试，然后提出了自己的分析。《算术基础》包含了许多至今仍在讨论的见解，例如：(a) 声称数字陈述（例如，“有八个行星”）是关于概念的高阶断言（见下文 2.5 节）；(b) 他著名的上下文原则（“永远不要孤立地询问一个词的意义，而只能在命题的语境中询问”）；(c) 一个原则的制定（现在在次要文献中称为“休谟原则”），该原则断言“F 的个数等于 G 的个数”的说法等价于“F 和 G 之间存在一一对应的对象”的说法（见下文 2.5 节）。总的来说，弗雷格在《算术基础》中提供了一个非技术性的哲学理由和他在他两卷本的作品《算术基本法则》（1893/1903 年）中技术上发展的思想概要。

在 1891 年至 1892 年间，弗雷格更加深入地思考了哲学语言，这有助于基础他的数学哲学。他在这一时期发表了他最知名的三篇论文：“函数与概念”（1891 年）、“关于意义和指称”（1892a）以及“关于概念和对象”（1892b）。这些作品最终由他后来期间的三篇关于语言哲学的论文加以补充：“思想”（1918a）、“否定”（1918b）和“复合思想”（1923）。正如我们将在下文 3.3 节中看到的，这些作品必须考虑到最近学术研究提供的证据，即弗雷格在很大程度上从斯多嘉学派哲学中借鉴了理念。尽管弗雷格总是激励并重新铸造（通常以严谨的术语）他从他人那里吸收的想法，但许多想法在斯多嘉学派文集中的起源的文献资料必须认真对待。

1893 年，他出版了前面提到的技术性作品的第一卷《算术基本法则》。1896 年，他被晋升为正式名誉教授。六年后（1902 年 6 月 16 日），当他准备第二卷《算术基本法则》的校样时，他收到了伯特兰德·罗素的一封信，信中通知他说他在第一卷中发展的系统中可以推导出一个矛盾。罗素的信首先以谓词 P =“即无法自身断言的谓词”来提出了这个悖论，然后以所有那些不属于自身的所有类的类的形式来提出了这个悖论。弗雷格在第二卷的附录中重新用自己的系统重新诠释了这个悖论。

弗雷格从他的《格朗德格塞策》基础中发现的致命缺陷中从未完全恢复过来。他试图通过限制基本定律 V 来挽救这项工作，但并不成功。然而，他继续在延纳大学教书，并在 1903 年至 1917 年期间发表了六篇论文，包括《什么是函数？》（1904）和《几何基础》（弗雷格 1903b 和 1906）。在后者中，弗雷格批评了希尔伯特对公设方法的理解和运用（详见弗雷格-希尔伯特争论条目）。在这段时期，我们有鲁道夫·卡尔内普作为他的两个课程的学生所做的讲座笔记（见 Reck and Awodey 2004）。1917 年，他从延纳大学退休了。

在他生命的最后阶段，即 1917 年至 1925 年，弗雷格仅发表了前述的论文（1918a、1918b、1923），并发展了一些未发表的哲学著作片段。不幸的是，他的最后几年不仅变得政治上保守，他在 1924 年的短暂时期内日记表明他对法西斯主义和反犹主义表示同情（见 Frege 1924 [1996]，由 R. Mendelsohn 翻译）。他于 1925 年 7 月 26 日在巴德克莱宁（现属梅克伦堡-前波美拉尼）去世。

2. 弗雷格的逻辑和数学哲学

弗雷格通过发展一种更明确的形式化方法来为现代逻辑学提供了基础，该方法用于形式化地表示思想和推理的逻辑。他通过以下方式实现了这一点：(a) 开发了一个允许人们形式化地研究推理的系统，(b) 对复杂句子和量词短语进行了分析，显示了某些类别的推理之间的基本统一性，(c) 对证明和定义进行了分析，(d) 提出了一个关于扩展的理论，尽管存在严重缺陷，但提供了一个有趣的数学基础的图景，(e) 对关于数字的陈述进行了分析（即回答“有多少？”的问题），(f) 从一组有限的逻辑原始概念和公理出发，对一些基本数论公理进行了定义和证明，(g) 将逻辑看作一门具有一些引人注目特征的学科。我们在下面的小节中讨论了这些发展。然而，值得注意的是，对于第一次接触这些内容的人来说，我们在很多方面简化了弗雷格逻辑的表述。对于那些已经熟悉符号表示法并希望看到更精确表述的人，可以参考有关弗雷格逻辑的条目。

2.1 弗雷格术语逻辑和谓词演算的基础

弗雷格为实现莱布尼兹关于通用形式语言和理性演算的思想而开发了一种形式化符号表示方法，用于系统化思维和推理。尽管这种符号表示最初在他的《概念符号》（1879 年）中概述，但弗雷格系统的最成熟陈述是在他的两卷本《算术基本法则》（1893/1903 年）中。弗雷格的两个系统最好被称为术语逻辑，因为所有完整表达式都是指称术语。弗雷格在这些系统中分析了普通的谓词，因此它们也可以被看作是谓词演算。谓词演算是一个形式系统（包括形式语言和证明方法），其中可以表示关于谓词之间的有效推理，即关于将属性赋予对象的陈述之间的推理。

在本小节中，我们将研究弗雷格于 1893/1903 年期限逻辑和谓词演算中最基本的元素。这些是涉及函数应用和作为特例的简单预言的陈述。

2.1.1 弗雷格术语逻辑的基础

在弗雷格的术语逻辑中，所有术语和良构公式都是指称表达式。这包括：(a) 对象的简单名称，如'2'和'π'，(b) 指代对象的复杂术语，如'22'和'3+1'，和(c) 句子（也是复杂术语）。在(b)和(c)中的复杂术语是通过带有“不完整表达式”的帮助形成的，这些表达式表示函数，比如一元平方函数'()2'和二元加法函数'()+()'。在这些函数表达式中，“()”被用作弗雷格所称的函数的参数的占位符；这个占位符表明，表达函数的表达式在弗雷格看来是不完整的，并且与像(a)、(b)和(c)中的完整表达相对立。（尽管弗雷格认为称表示函数的不完整表达式为“名称”是不恰当的，但在下文中我们有时会这样做，尽管读者应该注意，弗雷格有不遵循这种做法的理由。）因此，数学表达式'22'表示将函数()2 应用于数字 2 作为参数的结果，即数字 4。同样，表达式'7+1'表示将二元函数+((),())应用于依次是数字 7 和 1 作为参数的结果。

甚至弗雷格成熟的逻辑系统的句子也是（复杂的）指称术语；它们是指称真值的术语。弗雷格区分了两个真值，真和假，他认为它们是对象。弗雷格系统的基本句子使用表达式“()=()”构建，该表达式表示将一对对象 x 和 y 映射到真值真（The True），如果 x 等同于 y，则将 x 和 y 映射到假（The False）。因此，“22=4”这样的句子表示真值真（The True），而句子“22=6”表示假（The False）。

这些等同性陈述的一个重要类别是形如“f(x)=y”的陈述，其中 f()是任意一元函数（即，单变量函数），x 是函数的参数，f(x)是参数 x 的函数值。类似地，f(x,y)=z 是涉及两个变量的二元函数的等同性陈述。对于超过两个变量的函数也是如此。

如果我们用占位符替换句子中出现的完整名称，结果就是一个不完整的表达式，它表示弗雷格称之为概念的一种特殊类型的函数。概念是将每个参数映射到真值之一的函数。因此，“()>2”表示大于 2 的概念，它将大于 2 的每个对象映射到真值真（The True），将其他对象映射到假（The False）。类似地，“()2=4”表示平方后等同于 4 的概念。弗雷格会说，任何一个概念将对象映射到真值真的对象都属于该概念。因此，数字 2 属于平方后等同于 4 的概念。在接下来的内容中，我们使用小写表达式如 f()来一般性地讨论函数，并使用大写表达式如 F()来更具体地讨论那些是概念的函数。

弗雷格假定数学命题如“2 是质数”应以‘P(2)’形式进行形式化表示。谓词短语‘是质数’由此被分析为表示概念 P()，该概念将质数映射为真，将其他一切映射为假。因此，弗雷格体系中的简单断言如‘2 是质数’被分析为功能应用的特例。

2.1.2 弗雷格术语逻辑中的谓词演算

对简单的数学断言的前述分析使弗雷格将这一系统的适用性扩展到了对非数学的思想和断言的表示。这一举措形成了现代谓词演算的基础。弗雷格将非数学谓词如‘快乐’分析为意味着将其参数映射到一个真值的单变量函数。因此，‘快乐’表示一个概念，可以在形式系统中表示为‘H()’。H()将那些快乐的参数映射到真，将其他一切映射为假。句子‘约翰快乐’表示为‘H(j)’，因此被分析为：由‘约翰’所指代的对象符合‘() 是快乐’所表示的概念。因此，简单的断言在符合概念的条件下进行分析，进而，基于将参数映射为真值的函数进行分析。相比之下，在现代的谓词演算中，不再假定在将断言分析为函数的最后一步；断言被视为比功能应用更为基础。句子‘约翰快乐’在形式上表示为‘Hj’，这是一种基本的断言形式（‘对象 j 具有或举例了属性 H’）。在现代的谓词演算中，功能应用可以通过断言进行分析，这一点我们很快就会看到。

在弗雷格（Frege）的分析中，“爱”动词短语表示两个变量的二元函数：L((),())。该函数接受一对参数 x 和 y，并将它们映射到 True，如果 x 爱 y，并将所有其他参数对映射到 False。虽然它是弗雷格系统的后裔，但现代谓词演算将“爱”解析为一个两位关系（写作：Lxy），而不是一个函数；一些对象之间存在这种关系，而其他的则不存在。弗雷格对述词的理解与现代谓词演算展现的理解之间的区别很简单：在现代谓词演算中，关系被认为是基本的，而函数被定义为关系的特殊情况，即那些关系 R，使得对于任何对象 x、y 和 z，如果 Rxy 并且 Rxz，则 y=z。相比之下，弗雷格认为函数比关系更基本。他的逻辑是基于功能应用而不是描述；二元关系被解析为将一对参数映射到真值的二元函数。因此，像 gives 这样的三元关系将在弗雷格的逻辑中被分析为一个将参数 x、y 和 z 映射到适当的真值的函数，这取决于 x 是否给 y z；buys 这样的四元关系将被分析为将参数 x、y、z 和 u 映射到适当的真值的函数，这取决于 x 是否从 z 以金额 u 购买 y；等等。

2.2 复合语句和概括

到目前为止，我们一直在讨论弗雷格对“原子”语句的分析。为了完整地逻辑表示思想，弗雷格添加了用于表示更复杂语句（例如否定和条件语句）以及涉及“所有”和“某些”表达的概括语句的符号。尽管我们不再使用他的符号来表示复杂和普遍语句，但重要的是要看到弗雷格的术语逻辑中的符号表达已经包含了现代谓词演算的所有表达能力。

在弗雷格的系统中有四个特殊的功能表达式，用于表达复杂和一般性的陈述：

要理解这种符号表示法的最佳方式是通过一些表格，其中显示了一些语句的具体示例以及这些语句在弗雷格符号和现代谓词演算中的表示方式。

2.2.1 真值功能联结词

第一张表显示了弗雷格的逻辑如何表达真值功能联结词，比如非、如果...那么、与、或、以及当且仅当。

正如人们可以看到的，弗雷格没有使用原始的连接词“和”、“或”或“当且仅当”，而总是使用以否定和条件句定义的规范等价形式。请注意表格的最后一行 - 当弗雷格想要断言两个条件在物质上等价时，他使用了等同符号，因为这表示它们表示相同的真值。在现代命题演算中，双条件运算符执行相同的操作，对于形式为 ϕ≡ψ 的陈述，只有当 ϕ 和 ψ 都为真或都为假时才为真。唯一的区别是，在现代命题演算中，ϕ 和 ψ 不被解释为表示真值的术语，而是被解释为具有真值条件的句子。当然，弗雷格可以在他的符号表示中使用句子“(ϕ→ψ)&(ψ→ϕ)”来断言 ϕ≡ψ。

2.2.2 定量陈述

下表比较了弗雷格符号和现代谓词演算中的一般性陈述。弗雷格在一般陈述中使用了一种特殊的字体（哥特体）。

注意最后一行。再次请注意，弗雷格使用身份符号来陈述两个概念的物质等价关系。他可以这样做，因为物质上等价的概念 F 和 G 是这样的，即 F 将对象 x 映射到真时，G 也将 x 映射到真；即对于所有的参数 x，F 和 G 都将 x 映射到相同的真值。

在现代谓词演算中，符号“∀”（“每个”）和“∃”（“一些”）分别被称为“全称量词”和“存在量词”，句子“∀xMx”中的变量“x”被称为“量化变量”或“由量词限定的变量”。我们将遵循将涉及其中一个量词短语的陈述称为“量化陈述”的惯例。正如您从上表中可以看到的那样，弗雷格没有使用存在量词。他知道形如“∃xϕ”的陈述总是可以定义为“¬∀x¬ϕ”，其中 ϕ 是任何公式。

在这里重要的一点是要提及，弗雷格逻辑中可在谓词演算中公式化的是“二阶”谓词演算。这意味着它允许对函数和对象进行量化；即，“每个函数 f 都是这样的…”和“一些函数 f 是这样的…”这样的陈述是被允许的。因此，在弗雷格的符号法中，表述“对象 a 和 b 属于相同的概念”将被写为：

而在现代的二阶谓词演算中，我们将其写成：

∀F(Fa≡Fb)

对于对弗雷格符号的表示方式感兴趣的读者，可以参考 Beaney（1997，附录 2）、Furth（1967）、Reck＆Awodey（2004，26-34）和 Cook（2013）的著作。然而，在接下来的内容中，我们将继续使用现代谓词演算的符号，而不是弗雷格的符号。特别是，我们采用以下惯例：

  1. 我们经常使用‘Fx’来代替‘F(x)’表示 x 属于概念 F 的事实；我们使用‘Rxy’来代替‘R(x,y)’表示 x 与 y 之间存在关系 R 的事实；等等。

  2. 我们将不再使用带有占位符的表达式，比如‘()=()’和‘P()’来表示函数和概念，而将简单地使用‘=’和‘P’。

  3. 当用变量替换句子中的完整名称之一时，所得的表达式将被称为开放句子或开放公式。因此，‘3<2’ 是一个句子，‘3<x’ 是一个开放句子；‘Hj’ 是一个形式上的句子，可以用来表示‘ John 很高兴’，而表达式 ‘Hx’ 是一个开放公式，可以用自然语言表示为‘x 很高兴’。

  4. 最后，我们在某些情况下将使用希腊符号 ϕ 作为一个在形式上的句子上的变量，该句子可能是开放的，也可能不是。因此，‘ϕ(a)’ 将用于表示任何句子（简单或复杂），其中包含名称‘a’；‘ϕ(a)’ 不应被理解为 Frege 符号表示的一个将函数 ϕ 应用于参数 a。同样，‘ϕ(x)’ 将用于表示一个开放句子，其中变量 x 可能是自由的，也可能不是，而不是 x 的函数。

同样，应该注意，上述内容是对 Frege 逻辑的简化讲解，供初次接触的人参考。掌握这些基本知识之后，请查看关于 Frege 逻辑的条目，以获得更精确的讲解。

2.2.3 弗雷格的量化逻辑

弗雷格对谓词的功能分析以及他对广义性的理解使他摆脱了亚里士多德逻辑基础上构成普通语言句子的“主-谓”分析的局限。这使得他能够更普遍地处理涉及“每个”和“一些”两个量词的推理。在传统的亚里士多德逻辑中，句子的主语和动词的直接宾语不处于逻辑平等的地位。涉及不同但相关主语项的语句之间推理的规则不同于涉及不同但相关动词补语的语句之间推理的规则。例如，在亚里士多德逻辑中，允许从“约翰爱玛丽” 推导出 “有某物爱玛丽”的规则与允许从“约翰爱玛丽” 推导出 “约翰爱某物”的规则是不同的。控制第一种推理的规则仅适用于主语项，而控制第二种推理的规则则控制谓语内的推理，因此仅适用于及物动词的补语（即直接宾语）。在亚里士多德逻辑中，这些推理无共同点。

然而，在弗雷格的逻辑中，一条规则同时控制从“约翰爱玛丽” 推导出“有某物爱玛丽”的推理以及从“约翰爱玛丽”推导出“约翰爱某物”的推理。这是因为主语约翰和直接宾语玛丽都被视为逻辑上平等的，作为爱的功能的参数。实际上，弗雷格看不出主语“约翰”和直接宾语“玛丽”之间的逻辑差异。逻辑上重要的是，“爱”表示两个参数的功能。无论量化表达“某物”是主语（“有某物爱玛丽”）还是在谓语中（“约翰爱某物”），都要以相同的方式解决。实际上，弗雷格将这些量化表达视为变量绑定运算符。变量绑定运算符“存在某个 x 是这样的”，可以绑定开放式句子“x 爱玛丽”中的变量“x”，也可以绑定开放式句子“约翰爱 x”中的变量“x”。因此，弗雷格以以下一般方式分析了上述推理：

  • 约翰爱玛丽。因此，存在某个 x，使得 x 爱玛丽。

  • 约翰爱玛丽。因此，存在某个 x，使得约翰爱 x。

这两个推理都是同一个有效推理规则的例证。为了更清楚地看到这一点，这里是上述非正式论证的形式化表示：

  • 存在

  • 存在

具有以下形式的逻辑公理可以授权两种推理：

Ra1…ai…an→∃x(Ra1…x…an),

其中 R 是一个可以接受 n 个参数的关系，a1，…，an 是任意常量（名称），且 1≤i≤n。这个逻辑公理告诉我们，从涉及 n 元关系的简单断言中，可以对任何参数进行存在泛化，并有效地推导出一个存在性陈述。

实际上，这个公理可以更加普遍化。如果 ϕ(a)是任何包含常量（名称）a 的陈述（公式），而 ϕ(x)是通过将一个或多个 a 的出现替换为 x 而得到的结果，则以下是一个逻辑公理：

ϕ(a)→∃xϕ(x)

以‘约翰爱玛丽’为前提的推理，如上所示，都依赖于这个公理作为理由。这个公理实际上可以从弗雷格的基本定律 IIa（1893 年，第 47 节）中推导出来。基本定律 IIa 被表述为 ∀xϕ(x)→ϕ(a)，其中 ϕ(a)是通过用一个或多个由量词约束的变量 x 替换 a 所得到的结果（尽管请参阅下文对于这个公理的更加谨慎的讨论）。因此，对于存在量词的上述公理可以利用控制条件、否定以及上文讨论的 ∃xϕ 的定义从 IIa 推导出来。

弗雷格的量化逻辑还有一个应该提到的结论。弗雷格认为形式为 ∃xϕ 的主张是存在性主张。他建议存在并不是一个概念，对象属于该概念，而是一个二级概念，首级概念属于该概念。如果一个概念 F 属于这个二级概念，那么至少一个对象 F 映射到真。因此，对于‘火星人不存在’这一主张被分析为关于火星人这一概念的断言，即，没有任何东西属于它。因此，弗雷格认为存在是指将一个首级概念 F 映射到真的二级概念，当且仅当 ∃xFx。一些哲学家认为这一分析验证了康德的观点，即存在并非是（真实的）谓词。

2.3 证明与定义

2.3.1 证明

弗雷格的系统（即他的术语逻辑/谓词演算）包括一种语言和一个用于证明语句的工具。后者由一组逻辑公理（被认为是逻辑真理的陈述）和一组推理规则组成，这些规则规定了语言中的某些陈述从其他陈述正确推导出来的条件。弗雷格特意指出，证明命题的每一步都是通过逻辑公理或推理规则来合理地证明，或者是通过已经被证明的定理或派生规则来合理地证明。

因此，作为他正式体系的一部分，弗雷格发展了对“证明”的严格理解。实质上，他将证明定义为任何有限序列的陈述，使得序列中的每个陈述要么是公理，要么是根据有效的推理规则从先前成员得出。因此，逻辑定理的证明，比如 φ，因此是任何有限序列的陈述（φ 是序列中的最后一个陈述），使得序列的每个成员：(a) 是正式体系的逻辑公理之一，或者 (b) 由推理规则从序列的先前成员得出。这些基本上是逻辑学家今天仍在使用的定义。

2.3.2 定义

弗雷格非常关心逻辑和数学概念的准确描述和定义。他对未达到他对清晰度的标准的数学工作进行了有力而富有洞察力的批评。例如，他批评那些将变量定义为变化的数字而不是作为语言表达式，它可以作为价值取决于哪个确定的数字。

更重要的是，弗雷格是第一个声称一个正确形成的定义必须具有两个重要的元理论属性。让我们称在定义中引入的新定义符号为 definiendum，用于定义新术语的术语为 definiens。然后弗雷格首先提出，适当的定义必须具有可排除性（定义名（definendum）在任何包含前者的公式中总是可以被其定义符号所替换）和保守性（定义不应该使得可能证明以前无法证明的公式之间的新关系）。关于他在《概念脚本》（§24）中的一个定义，弗雷格写道：

我们可以不使用这个句子引入的符号，因此也可以不使用该句子本身作为其定义；从这个句子中不能得出任何不能没有它就可以推断出的结论。我们引入这类定义的唯一目的是通过规定缩写来实现外在简化。

弗雷格后来批评那些开发“零碎式”定义或“创造性”定义的数学家。在《算术基本法》第 II 卷（1903 年，第 56-67 节）中，弗雷格批评了在给定对象范围上定义一个概念，然后在更广泛、更包容性的对象范围上重新定义该概念的做法。经常情况下，这种“零碎式”定义的方式导致冲突，因为在将范围限制在原始对象类时，重新定义的概念并不总是归结为原始概念。在同一部作品中（1903 年，第 139-147 节），弗雷格批评了数学实践中引入符号命名（唯一）实体，而未首先证明存在（唯一）这样的实体。他指出，这样的“创造性定义”是毫无根据的。创造性定义无法保守，正如前面所解释的。

2.4 数值、扩展和提出的数学基础课程

2.4.1 数值和扩展

弗雷格的本体论包括两种根本不同类型的实体，即函数和对象（1891 年，1892 年 b，1904 年）。 函数在某种意义上是‘不饱和’的；即，它们是以对象作为参数并将这些参数映射到值的东西。 这使它们与对象有所不同。 正如我们所见，对象的域包括两个特殊对象，即真值真和假。

在他 1893/1903 年的作品中，弗雷格试图通过系统地将每个函数 f 与一个他称之为 f 的值域的对象关联起来，从而扩展对象的领域。函数的值域是函数对每个参数的值的记录。弗雷格用于系统化值域的原则是基本定律 V（1893/§20）：

如果且仅当 f 和 g 在每个参数的值上一致时（即对于每个对象 x，f(x)=g(x)），概念 f 的值域与概念 g 的值域相同。

弗雷格在表示函数 f 的值域时使用了一个带有平滑呼吸符号的希腊字母 ε 作为符号的一部分。

，εf(ε)

其中，带平音符的希腊字母 ε 首次出现是一个'变量约束算子'，我们可以理解为'值域'。为了避免变量冲突的出现，我们也可以使用带平音符的希腊字母 α 作为变量约束算子。利用这种表示法，弗雷格在他的系统中形式上表示了基本定律 V：

基本定律 V , εf(ε)=, αg(α)≡∀x(f(x)=g(x))

（实际上，弗雷格使用了一个恒等符号而不是双条件作为这一原则的主要连接词，原因如上所述。）

弗雷格称一个概念 F 的取值范围为其外延。概念 F 的外延记录了那些 F 映射到“真”值的对象。因此，基本定律 V 同样适用于概念的外延。让‘ϕ(x)’是一个任意复杂度的开放式子，带有自由变量 x（变量 x 可能在 ϕ(x)中出现多次，但为简单起见，假设它只出现一次）。那么弗雷格将使用下面的表达式:

,εϕ(ε),

在 ϕ(x)中第二个 ε 取代了 x，表示了概念 ϕ 的延伸。其中'n'是一个对象的名字，弗雷格可以用以下简单的术语定义为‘对象 n 是概念 ϕ 的延伸的元素’：‘概念 ϕ 将 n 映射到真’，即 ϕ(n)。例如，如果且仅如果该概念将 3 映射到真，数字 3 就是概念奇数大于 2 的延伸的元素。

不幸的是，基本定律 V 暗示了矛盾，正当 Grundgesetze 的第二卷即将出版时，这一点被伯特兰·罗素指出给了弗雷格。罗素认识到一些延伸是其自身的元素，有些则不是；概念延伸是其自身的元素，因为该概念会将其自身的延伸映射到真。勺的概念的延伸不是其自身的元素，因为该概念会将其自身的延伸映射到假（因为延伸不是勺）。但现在考虑一下概念“不是其自身的元素”的延伸吧？让 E 代表这个概念，让 e 表示 E 的延伸。e 是否是其自身的元素呢？嗯，如果且仅如果 E 将 e 映射到真（根据上一段末尾给出的“元素”的定义，在其中 e 是概念 E 的延伸），那么 e 就是其自身的元素。但如果且仅如果 e 是不是其自身的元素，即 e 就不是其自身的元素，E 才会将 e 映射到真。我们因此推断出 e 只有在它不是的时候才是其自身的元素，显示了弗雷格对延伸的概念中的无条理性。

进一步讨论这个问题可以在关于罗素悖论的条目中找到，而在关于弗雷格定理和算术基础的条目中，对悖论在弗雷格系统中如何产生进行了更全面的解释。

2.4.2 数学的提出基础

在意识到罗素悖论之前，弗雷格试图建立数学的逻辑基础。他使用包含基本定律 V（1893/1903）的逻辑系统，试图证明被称为逻辑主义的哲学命题的真实性，即数学概念不仅可以用纯粹的逻辑概念来定义，而且数学原理可以仅从逻辑法则中推导出来。但是，由于数学概念的关键定义是用扩展来表述的，基本定律 V 的不一致性破坏了弗雷格建立逻辑主义命题的尝试。今天很少有哲学家认为数学可以像弗雷格设想的那样归纳为逻辑。数学理论，如集合论，似乎需要一些非逻辑概念（如集合成员关系），这些概念至少在被某些强大的非逻辑公理（如泽尔梅洛-弗兰克尔集合论的适当公理）公理化时无法用逻辑概念来定义。尽管系统中的矛盾使其无效，但在《基本定律》中发展的复杂的理论定义和证明网络仍然为哲学逻辑学家提供了一个引人入胜的概念框架。伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德在《数学原理》中的思想深受弗雷格《基本定律》中的工作的影响。

尽管弗雷格未能提供一个关于外延概念的一致系统化，但我们将在接下来的内容中利用这个概念来解释弗雷格的数论理论和对数论陈述的分析，而不假设基本定律 V。我们只需使用我们对该概念的非正式理解即可，尽管外延概念可以通过各种方式进行修复，无论是像现代集合论中的公理化方式，还是像逻辑学家们找到的削弱弗雷格系统的方式。（参见 T. Parsons 1987，Burgess 1998，Heck 1996，Wehmeier 1999，Ferreira＆Wehmeier 2002，Fine 2002，Anderson＆Zalta 2004，Ferreira 2005 和 Antonelli＆May 2005。）

2.5 数论陈述的分析

在被视为开创性论著的《算术基础》（1884）中，弗雷格开始从他认为更基本的逻辑原则和逻辑概念中推导出一些基本的算术原理。今天的哲学家仍然认为那项工作具有洞察力。其主要思想是，一个数论陈述，例如“有八颗行星”和“《数学原理》有两位作者”，实际上是关于一个概念的陈述。弗雷格意识到，同一种物理现象可以以不同的方式概念化，并且只有在提供了一个概念 F 之后，“有多少？”这个问题才有意义。因此，同一种物理实体可以被概念化为由 1 个军队、5 个师、20 个团、100 个连等组成，所以只有在提供被计数的概念，如军队、师、团或连时，“有多少？”这个问题才变得合法（1884，§46）。

在这一洞察的基础上，弗雷格认为像“有八大行星”和“《数学原理》有两位作者”这样的真实陈述分别是关于行星和《数学原理》作者的“第二层”概念。在第二种情况中，第二层主张断言第一层概念是《数学原理》的作者属于第二层概念，即一个概念下有两个对象。这听起来是循环的，因为看起来我们已经分析了

《数学原理》有两位作者。

这涉及到概念“两”。

作为《数学原理》的作者的概念属于两个对象所属概念的概念，

这也涉及到两个的概念。但尽管表面上看起来有循环，由于弗雷格分析第二阶概念“作为两个对象所属概念”并不诉诸于“两个”的概念，因此并不存在循环。他通过纯逻辑术语定义了“F 是作为两个对象所属概念”的概念，任何满足以下条件的概念 F：

存在不同的事物 x 和 y 属于概念 F，而其他任何属于概念 F 的东西都等同于 x 或 y。

在现代谓词演算的符号表示中，这被形式化为：

∃x∃y(x≠y&Fx&Fy&∀z(Fz→z=x∨z=y))

注意，作为《数学原理》的作者的概念满足这个条件，因为存在着不同的对象 x 和 y，即 Bertrand Russell 和 Alfred North Whitehead，他们是《数学原理》的作者，并且任何其他作者《数学原理》的对象都与他们中的一个相同。通过这种方式，弗雷格将一个关于数量的陈述（'存在两个《数学原理》的作者'）分析为关于概念的高阶逻辑陈述。

弗雷格随后将他的分析推进了一步。他注意到以下条件序列中的每个条件都定义了一类“等势”的概念，其中每种情况下的“F”都是一个在概念之间变化的变量：

注意，如果概念 P 和 Q 都满足这些条件之一，那么属于 P 的对象与属于 Q 的对象之间存在一一对应关系。也就是说，如果上述条件准确描述了 P 和 Q，那么每个属于 P 的对象都可以与一个独特的不同的属于 Q 的对象配对，在这种配对下，每个属于 Q 的对象都会与某个独特不同的属于 P 的对象配对。 （按逻辑学家对“每个”的理解，即使对满足条件（0）的概念 P 和 Q，最后这个说法也适用。）弗雷格将这样的 P 和 Q 称为数量相等的概念（1884，第 72 条）。事实上，对于上述定义的每个条件，满足条件的概念彼此之间都是两两数量相等的。

基于这种等势的概念，弗雷格将“概念 F 的个数”定义为由所有与 F 等势的概念构成的外延（1884 年，§68）。为了开始，弗雷格接着定义零为概念非自同一的个数（1884 年，§74）。如果我们使用符号#F 来代表概念 F 的个数，并使用 λ-符号 [λxϕ] 来命名作为一个对象 x 使得 ϕ 成立的复合概念，那么弗雷格对零的定义就是：

0=df#[λxx≠x]

因此，数字 0 的定义变成了所有与概念不是自同一的概念等势的外延。这个外延包含了所有满足上述条件（0）的概念，因此所有这些概念的个数为 0。例如，作为一个正方形圆的概念的个数为 0，因为没有东西属于它。类似地，可以将数字 1 定义为由所有满足上述条件（1）的概念构成的外延，将数字 2 定义为满足上述条件（2）的所有概念构成的外延，以此类推。但是，尽管这将定义一系列数字实体，但这个过程实际上并没有定义自然数（有限数）的概念。然而，弗雷格对如何做到这一点有一个深刻的想法。

2.6 自然数

为了定义自然数的概念，弗雷格首先为每个二元关系 R 定义了一般概念“x 是 R 系列中 y 的祖先”。这个新关系被称为“关系 R 的祖先”。关系 R 的祖先首次在弗雷格的《概念符号》（1879 年，§26，命题 76；1884 年，§79）中进行了定义。如果我们考虑关系 x 是 y 的父亲，那么这个直观的想法很容易理解。假设 a 是 b 的父亲，b 是 c 的父亲，c 是 d 的父亲。那么弗雷格对“x 是父系中 y 的祖先”的定义确保了 a 在这个系列中是 b、c 和 d 的祖先，b 在这个系列中是 c 和 d 的祖先，c 在这个系列中是 d 的祖先。

更一般地说，如果给定一系列形如 aRb、bRc、cRd 等事实，弗雷格展示了如何定义关系 R∗，即 x 是 R 系列中 y 的祖先，弗雷格称之为：y 在 R 系列中跟随 x。为了在自然数的情况下利用这个定义，弗雷格不仅需要定义关系 x 在 y 之前，还需要定义这个关系的祖先，即 x 是前驱系列中 y 的祖先。他首先如下定义了关系概念 x 在 y 之前（1884 年，§76）：

若存在概念 F 和对象 z，且满足条件：x 在 y 之前，

  • z 属于 F，

  • y 是概念 F 的(基数)数量，且

  • x 是除 z 之外落在 F 概念对象下的（基数）数量

如果我们再次使用符号#F 表示 Fs 的数量，并使用 λ-符号 [λuϕ] 来命名复杂概念，即一个对象 u 满足 ϕ，弗雷格的定义变为：

Precedes(x,y)=df∃F∃z(Fz&y=#F& x=#[λuFu&u≠z])

要看到这个定义背后直观的想法，考虑一下在数字 2 之前的数字 1 的情况下如何满足这个定义：存在一个概念 F（例如，让 F = 《数学原理》的作者）和一个对象 z（例如，让 z = 阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德），使得：

  • 怀特黑德属于《数学原理》的作者概念，

  • 2 是《数学原理》的作者概念的（基数）数字，以及

  • 1 是《数学原理》的概念作者之一的基本数（基数）。

注意最后一项是真的，因为恰好有一个对象（即，伯 trand·罗素）属于《数学原理》的概念作者之一。

因此，弗雷格给出了一个适用于有序对 ⟨0,1⟩、⟨1,2⟩、⟨2,3⟩ 等的前元素的定义。弗雷格随后定义了该关系的祖先，即，x 是前序系列中 y 的祖先，或 Precedes∗。虽然此处不会给出确切的定义，但我们指出它有以下结论：由于 10 在 11 之前，11 在 12 之前，所以根据前序系列，得出结论 10 在 12 之前。然而，请注意，虽然 10 在 12 之前，但 10 并没有在 12 之前，因为“在前面”的概念是指“紧接着”。还请注意，通过定义前序关系的祖先，弗雷格实际上定义了相对于前序系列的 x < y。

回想一下，弗雷格将数字 0 定义为概念非自我相同的数量，因此 0 成为所有未被实例化的概念的扩展的标识。借助这一定义，弗雷格随后定义（1884，§83）自然数如下：

x 是一个数字 =df 要么 x=0，要么 0 是 x 在前趋级数中的祖先

我们可以形式化地表示为：

Number(x)=dfx=0∨Precedes∗(0,x)

换句话说，自然数是从 0 开始的前任序列的任意成员。

基于这一定义，弗雷格后来推导出了许多重要的数论定理。哲学家们相对最近才意识到了这项工作的重要性（C.帕森斯 1965 年，斯迈利 1981 年，赖特 1983 年，布洛斯 1987 年，1990 年，1995 年）。特别是，赖特 1983 年指出了如何从弗雷格在 1884 年讨论的一致原理中推导出数的戴德金/皮亚诺公理，该原理现在被称为休谟原理（“如果 F 的数量等于 G 的数量，当且仅当 F 和 G 之间存在一一对应关系”）。最近由 R. Heck [1993] 表明，尽管弗雷格 1893/1903 年的系统存在逻辑上的不一致，但弗雷格本人从休谟原理中有效地推导出了戴德金/皮亚诺公理。尽管弗雷格使用基本定律 V（当添加到他的二阶逻辑时产生矛盾）来建立休谟原理，一旦休谟原理建立，后续对戴德金/皮亚诺公理的推导对基本定律 V 已经没有进一步的重要引用。继乔治·布洛斯之后，当今的哲学家们称戴德金/皮亚诺公理从休谟原理导出为“弗雷格定理”。关于这一定理所涉及的微妙和复杂逻辑推理的全面介绍，请参阅条目弗雷格定理和算术基础。

2.7 弗雷格对逻辑的构想

在收到伯特兰·罗素的著名信件，告知他系统中的矛盾性之前，弗雷格曾认为他已经证明了算术可归结为逻辑真理。然而，今天人们普遍认为，充其量弗雷格只证明了算术可归结为仅扩展了胡姆原理的二阶逻辑。一些哲学家认为胡姆原理是分析真的（即，根据其词语的含义而言真），而另一些人则对这一说法表示怀疑，在文献中就此问题存在着有趣的辩论（例如，参见 Boolos 1997，Wright 1999）。

然而，在这份介绍弗雷格作品的材料中，有一些更重要的先导问题需要关注。弗雷格认为算术真理可从逻辑的分析真理推导出，而康德认为算术原则是综合的，换句话说，它们不能从分析真理中推导出。他们对逻辑的不同构想有助于解释为什么这两位哲学家得出了如此不同的结论。因此，在这一部分，我们将转向以下问题：

  1. 腓格的逻辑观与康德的有何不同？特别是：

  • 康德和腓格都认为哪些资源（或法则）是逻辑的？

  • 康德和腓格在逻辑的内容和主题上是否达成一致？

  1. 弗雷格（Frege）对逻辑的观念与后来的逻辑学家有何不同？

对第一个问题的回答为回答第二个问题铺平了道路。

2.7.1 弗雷格的逻辑观念与康德的不同之处

康德和弗雷格之间最重要的区别之一涉及逻辑可用资源。康德的逻辑局限于（a）亚里士多德术语逻辑，带有简单的析取和假言命题理论，以及（b）代表概念之间包含关系（MacFarlane 2002, 26）。相比之下，弗雷格的逻辑包括（a）一个形成术语的运算符 ε，允许从函数表达式 f(ξ) 构成单一术语 εf(ε)，以及（b）一个替换规则，允许我们在逻辑定理中为自由的二阶变量替换复杂的开放式公式，同时也允许我们定义和断言复杂概念的存在，包括用量词定义的概念。我们将在下文讨论这两种资源，但首先，讨论需要一些背景。

关于逻辑可用资源的差异围绕一个关键问题展开，即，弗雷格赋予逻辑的额外资源是否需要诉诸非逻辑的构造，特别是“直观”的能力，即，一种超逻辑的来源，它向我们的心灵呈现可以做出判断的现象（回想上文中关于弗雷格早期对直观的兴趣的讨论）。关于哪些资源需要或不需要诉诸直观的争论是重要的。弗雷格延续了博尔扎诺（1817）开始的趋势，在微积分中排除了对直观的诉求，特别是在中值定理的证明中（最简单的形式断言具有正负值的连续函数必须经过原点）。博尔扎诺从连续性的定义中证明了这个定理，而这个定义类似于极限的定义（参见 Coffa 1991, 27）。康德主义者可能简单地绘制出一个连续函数的图表，该函数的值在原点上下取值，从而“证明”这样一个函数必须经过原点。但是对图形的诉求涉及到对直观的诉求，博尔扎诺和弗雷格都认为这种对直观的诉求可能在证明中引入逻辑上的漏洞。人们对这种诉求存在怀疑的理由：（1）有一些函数我们无法绘制或以其他方式构造来展示给我们的直观能力，例如将有理数映射到 0、无理数映射到 1 的函数 f，或者魏尔斯特拉斯所指出的那种处处连续但处处不可微的函数；（2）一旦我们将某些直观的概念正式化为明确的定义，这个形式定义可能会暗示出违背直观的结果；（3） 从陈述到构造和反过来的推理规则并不总是清晰明了。

弗雷格致力于消除直观在算术基本命题的证明中的诉求。他在职业生涯中的许多作品中明确提到了这一点（1879, Preface/5, Part III/§23; 1884, §§62, 87; 1893, §0; and 1903, Appendix）。因此，他否定了康德的格言（A51 [B75]）：“没有感性，任何客体也不会被给予我们”，并声称 0 和 1 是客体，但它们“无法被我们在感觉中给予”（1884, 101）。弗雷格认为，如果我们（a）将它们定义为概念的外延，以及（b）证明形式为 εf(ε) 的单一术语可以被一种分析命题所公理化，我们就能够理解或把握它们作为客体。 （后者原本应该由《基本法则 V》完成，因此在罗素悖论的光芒下，这个法则的崩溃动摇了他避免诉诸直观的计划的这一部分。）

此外，哲学家们质疑弗雷格的替换原则（《Grundgesetze I, 1893》第 48 条第 9 项）是否也需要依赖直觉。替换原则允许在逻辑定理中将复杂的公式替换为自由的二阶变量，从而产生新的逻辑定理。布洛斯（1985, 336-338）认为，由于弗雷格的替换原则等价于一个概念的包容原则，因此它具有超逻辑的特性。概念的包容原则声称 ∃F∀x(Fx≡ϕ)，假设 ϕ 没有自由变量 F；这个限定排除了实例 ∃F∀x(Fx≡¬Fx)，从而可以迅速推导出矛盾。因此，概念的包容原则声称存在一个与对象上的每个可表达条件相对应的概念。从康德的观点来看，这种存在性的主张被认为是综合的，并需要通过直觉的能力来加以证明。因此，尽管弗雷格的目标之一是避免依赖于直觉的能力，但他的二阶逻辑体系（去掉了基本定律 V）是否真的局限于纯粹逻辑定律的分析性质，存在疑问。

如果我们暂且不讨论它们在逻辑资源和对直觉的依赖方面的差异，康德和弗雷格对逻辑的构想还有其他方面的不同。马克法兰（2002）和林内博（2003）都指出，康德关于逻辑的一个核心观点是它的公理和定理在性质上是纯粹形式的（即，抽象出所有语义内容，只与判断的形式有关），并且适用于所有物理和数学科学（1781 [1787], A55 [B79], A56 [B80], A70 [B95]; 和 1800, 15）。康德认为逻辑定律是规范性的和规定性的（有可能犯错），而不仅仅是描述性的（1800, 16）；它们提供了思维的构成规范（马克法兰 2002, 35; Tolley 2008）。事实上，林内博认为逻辑是形式的，并提供构成思维规范的定律这两个命题是康德构想的独特之处（林内博 2003, 240）。

相比之下，弗雷格反对逻辑是纯粹形式的观念（马克法兰 2002, 29; 林内博 2003, 243）。他认为逻辑有其独特的主题，其中不仅包括关于概念的事实（涉及否定、包容等），以及同一性的事实，还包括关于关系的事实（例如，它们的属性和祖先）。弗雷格（1906, 428 [1984, 338]）说：

正如点的概念属于几何学一样，逻辑也有它自己的概念和关系；只有凭借这一点，它才能具有内容。对于它自身适用的东西，它的关系一点也不是形式的。没有科学是完全形式的；但是，即使是引力力学在某种程度上也是形式的，因为光学和化学性质对它来说都是一样的。例如，逻辑包括以下内容：否定、恒等、概念的包容、概念的从属。

当然，正如我们所见，弗雷格认为有一类特殊的逻辑对象（值域），在其中他定义了，并且在面对罗素悖论之前，他认为自己已经证明了关于扩展和自然数的事实（1884 年，1893/1903 年）。因此，从弗雷格的观点来看，逻辑并不纯粹是形式的，而是可以提供关于概念和对象的实质性知识。

然而，关于弗雷格认为逻辑是否提供思维的构成规范的程度存在一些问题。林内博（Linnebo）认为弗雷格最终拒绝了这个想法。尽管他提出了各种论证来支持弗雷格远离构成性论题的观点，但他 [林内博] 的主要论证涉及到弗雷格希望将基本定律 V 定位为逻辑主张，但基本定律 V 似乎并不是思维的构成规范（Linnebo 2003 年，247 页）。这是一个有说服力的理由，但它确实让人想知道弗雷格在《基本定律》第二卷（§147）中所说的基本定律 V 是什么意思。

如果说总会有逻辑对象存在……那么也一定会有一种方式来理解或者认知它们。这……是由逻辑的基本定律执行的，该定律允许将一般成立的等式转化为方程 [∀x(f(x)=g(x))] [,εf(ε)=,αg(α)]。[作者注：括号中的方程是为了更清晰起见而添加的。]

鉴于弗雷格致力于将逻辑对象视为逻辑内容的一部分，上述段落暗示着他可能认为将一般成立的等式转化为方程的法则是思维的一种构成规范。

但是许多弗雷格学者确信弗雷格认为逻辑定律提供了思维的构成规范（MacFarlane 2002 年，Taschek 2008 年，Steinberger 2017 年）。特别是，MacFarlane 认为康德和弗雷格可能认同逻辑的最重要特征之一是其普遍性，而这种普遍性在于它提供规范规则和指导。他指出“逻辑的普遍性对于弗雷格和康德而言都是一种规范性的普遍性：逻辑之所以具有普遍性，在于它为思维本身提供了构成规范，而不管其主题是什么”（2002 年，35 页）。因此，尽管他们在哪些原则是逻辑上可能存在分歧，但在康德和弗雷格如何看待逻辑方面，至少可能存在一点和解之处。

2.7.2 菲格的观念与后来的逻辑学家有何不同

鉴于目前条目的限制，我们不打算详细讨论这个问题；相反，我们只呈现最基本的轮廓。毕竟，现代逻辑学家和逻辑哲学家尚未就逻辑的适当概念达成一致。许多人对逻辑有一种与康德和菲格都不同的概念，这在某种程度上已经被波尔扎诺所预期，即逻辑概念和法则在对非逻辑常量的重新解释或在量化域的置换下仍保持不变。但由于这种现代概念仍然存在争议，可能菲格的概念中的一些元素将在我们对逻辑的理解中发挥作用。

认识到菲格把自己视为关注思想的内容而不是形式有多重要是很重要的。他更精确地表示思想内容的关注是在 1882 年在耶拿医学与自然科学协会上发表的一场讲座中明确陈述的，他在讲述菲格在 1879 年的系统与布尔逻辑的不同时说：

我并不是试图用公式来呈现抽象逻辑；我试图以比用语言更准确和更明晰的方式来表达内容，通过使用书面符号。事实上，我试图按照莱布尼茨的意义创造一种“lingua characteristica”，而不仅仅是一个“calculus ratiocinator”——并不是说我不承认这样的演绎演算是概念符号的必要组成部分。[Frege 1882, V.H. Dudman (trans.) 1968]

因此，Frege 不仅仅是试图发展一个用于从公理中精确推导定理的抽象推理系统（有关讨论，请参见 van Heijenoort 1967）。Frege 至少与此同时对推理内容的形式化表达同样感兴趣，正如他对从一组思想中推导出给定思想的规则的表述一样。Frege 不会将他的形式系统的逻辑公理视为公理模式，即作为一种元语言句式模式，其实例（即与模式匹配的客体语言句子）是公理（有关讨论，请参见 Goldfarb 2001）。他也不会同意他的系统的逻辑公理是无解释的句子。他对无解释形式系统的现代概念的不安表现在他对希尔伯特的《几何基础》的反应中（Frege 1906, 384 [1984, 315]）：

“解释”这个词是令人反感的，因为一个思想如果表达得当，就不会给不同的解释留下空间。我们已经看到，歧义只能被拒绝...

相反，弗雷格认为他的逻辑公理是 (a) 管理否定、条件、量化、认同和描述的基本真理，以及 (b) 其他这类基本真理可从中推导出的原则。确实，尽管弗雷格有时介绍了简化这些真理的方法，但他极力强调这些简化应当从所表达的完整内容来理解。例如，他在 1893 年/§47 中用我们如今会写成的公式对普遍实例化法则（基本法则 IIa）进行了总结：

∀xFx→Fy

但是仔细研究第 20 条，在那里首次讨论了这个原则，以及第 17 条，在那里介绍了第 20 条中使用的一些符号约定，可以清楚地看出上述内容是对下述内容的简写：

∀F∀y(∀xFx→Fy)

这后者是一个句子；它不是一个模式，也不是一个带有自由变量的开放式公式，也不是一个未解释的句子。相反，它断言了弗雷格认为是基本法则的东西，即：对于任何属性 F 和任何对象 y，如果一切都属于 F，那么 y 也属于 F。

弗雷格对他形式语言的公式的理解和态度在很大程度上解释了他在现在著名的与希尔伯特关于形式系统中公理地位的争论上的立场为什么并不是不合理的。乍一看，看起来弗雷格似乎错误地挑战了希尔伯特的相对可解释性方法，即通过重新解释并因此减少将其视为一致的系统来证明公理系统的一致性和独立性。弗雷格对于这些相对一致性证明究竟建立了什么的异议可能在现代听来似乎是误导的。但由于弗雷格和希尔伯特对一致性和独立性的概念有不同的理解，他们并没有总是直接涉及对方的想法。布兰切特很好地展示了，在弗雷格-希尔伯特争议的条目和她的书（2012 年，第 5 章）中，如果按照希尔伯特的方式理解一致性和独立性的概念，那么希尔伯特的方法确实建立了他所说的内容，但如果按照弗雷格的方式理解这些概念，那么他们就没有。读者应该进一步研究这些作品，以获得更详细的解释和有关分歧的细致讨论。

通过考虑一个简单的类比，我们可以理解 Frege 和 Hilbert 可能未能相互交流的原因。考虑从“x had a nightmare”到“x had a dream”的推论，并问，后者是否是前者的逻辑结果？如果我们像 Hilbert 一样纯粹地形式上考虑推论，那么这些句子就具有形式“Fx”和“Gx”，那么问题就变成了，“Fx”是否逻辑上蕴含了“Gx”？对于 Hilbert 来说，答案将是“不”，因为我们可以以某种方式解释‘F’和‘G’以使推论失败，例如，只需将“dream”的标准含义赋予“F”，将“nightmare”的标准含义赋予“G”，即解释‘F’为具有梦想属性，解释‘G’为具有噩梦属性。这表明，从这种纯粹的形式观点来看，“x had a nightmare” 并不逻辑蕴含 “x had a dream”。（从这种纯粹的形式观点来看，要从 Fx 推导出 Gx，还需要前提 ∀y(Fy→Gy)。）

尽管 Frege 有一个形式系统，其中开放式句子 Fx 并不逻辑蕴涵于 Gx，但他将逻辑推论视为思想之间的关系。他回答一个思想是否是另一个思想的逻辑结果的问题，并不仅仅是通过观察表达它们的句子的形式，而是通过观察这些句子的内容。考虑到“nightmare”和“dream”实际上具有的含义（内容），“x had a dream”是“x had a nightmare”的逻辑结果，因为做噩梦，即做一个坏梦，逻辑上意味着做一个梦。因此，对于 Frege，这显然是一种逻辑结果的情况。

这个类比可能有助于理解 Frege 和 Hilbert 在一致性和解释问题上的不同看法。在 Frege 的观点中，一组公理的一致性取决于内容，如果在逻辑分析下这些公理的形式足够捕捉到它们的内容，这种一致性也将继承到它们的形式表达中。当然，在证明一致性方面，Hilbert 主要关心的是确定一个公理系统是否蕴含形式为 ϕ&¬ϕ 的矛盾。因此，鉴于这一形式目标，Hilbert 的方法是有用的，并且不容易受到批评。

但这将我们带到弗雷格逻辑观念中关键的最后一个问题，即，他的形式表达到了何种程度能够捕捉被分析命题的内容。这个问题很重要，因为弗雷格用于分析数学或哲学命题内容的主要工具是通过在一个系统中代表这些内容的方式来公理化所需的基本概念。这个问题是 Blanchette 2012 上半部分的主题。为了看清这其中的要害，我们变换一下 Blanchette 2012 中使用的例子（24）。弗雷格会将算术规律表示为：

没有（自然）数在零之前

首先，代表为：

¬∃x(Number(x)&Precedes(x,0))

然后，如果我们根据上述第 2.5 节和第 2.6 节中描述的 Frege 的 Number(x)、Precedes(x,y)和 0 的定义进行替换，他对算术定律的表示如下：

¬∃x((x=0∨Precedes∗(0,x))& ∃F∃z(Fz&0=#F& x=#[λuFu&u≠z]))

虽然形式表示可以进一步进行，如果我们扩展了 Precedes∗，#F 和 #[λuFu&u≠z] 的定义，那就已经足够表达出这样一个问题：为什么要认为弗雷格从更基本的原则中推导出了算术法则，即没有自然数在零之前？这个问题在 2012 年布兰切特早期部分中进行了详细探讨，该部分研究了弗雷格对概念分析的理解。她的答案（第 4 章）是，算术法则的形式表示必须（不言而喻地）在逻辑上等同于对原始事物的良好分析。如果是这样，那么尽管弗雷格未能将数字归纳到外延中，但从他系统中所表示的更一般的逻辑定律中推导出形式表示实际上已经实现了将算术归约到逻辑的目标。读者被引导到她的工作中讨论这一重要观点。

3. 弗雷格的语言哲学

在进行他对数学和逻辑的研究的同时（很可能是为了奠定这些研究的基础），弗雷格开始发展语言哲学。他的语言哲学对逻辑和数学的贡献产生了同样多、甚至更多的影响。然而，鲍比恩（2021）提供了有力的证据，表明弗雷格语言哲学的重要元素是从斯多葛逻辑中衍生出来的。因此，在本节中，我们首先重述弗雷格语言哲学的一个关键要素，即意义和指称之间的区别。为了阐明这一区别，我们将首先遇到弗雷格试图解决的两个关键难题（第 3.1 节），然后研究术语（和句子）的意义和指称之间的区别是如何解决这些难题的（第 3.2 节）。最后，我们试图将弗雷格的语言哲学放入一个具体的背景之中（第 3.3 节），以充分考虑关于他的思想受到（讨论的）斯多葛文本影响的新研究论断。

3.1 弗雷格的谜题

弗雷格在语言哲学中的开创性论文是《关于意义和指称》（1892a）。在这篇论文中，弗雷格考虑了两个关于语言的谜题，并注意到在每种情况下，仅仅基于术语（名称和描述）的指称不能解释某些句子的意义或逻辑行为。一个谜题涉及身份陈述，另一个涉及具有从属子句的句子，比如说命题态度报告。为了解决这些谜题，弗雷格建议语言的术语既有意义又有指称，即至少需要两个语义关系来解释语言术语的意义或含义。这一想法已激发了该领域长达一个多世纪的研究，我们将在接下来的内容中讨论这一点。（有关弗雷格对语言哲学的贡献的进一步讨论，请参见 Heck 和 May 2006。）

3.1.1 关于身份陈述的弗雷格谜题

这里有一些身份陈述的例子：

117+136=253。 晨星与晚星是相同的。 马克·吐温是塞缪尔·克莱门斯。 比尔是黛比的父亲。

弗雷格认为所有这些陈述都具有“a=b”的形式，其中“a”和“b”都是指代个体的名称或描述。他自然地假设，形如“a=b”的句子只有在对象 a 恰好就是（相同于）对象 b 时才成立。例如，“117+136=253”这句话只有在数 117+136 恰好就是数 253 时才成立。而陈述“马克·吐温是塞缪尔·克莱门斯”只有在人马克·吐温恰好就是人塞缪尔·克莱门斯时才成立。

但弗雷格注意到（1892a），真理的这种解释不可能涵盖所有“同一性命题”的意义。命题 “a=a” 具有认知意义（或含义），其必须不同于 “a=b” 的认知意义。我们可以通过检查学习到 “马克·吐温 = 马克·吐温” 是真的，但我们无法仅通过检查学习到 “马克·吐温 = 塞缪尔·克莱蒙斯” 是真的 - 你必须调查世界以查看这两人是否相同。同样，尽管你可以通过检查学习到 “117+136=117+136” 和 “晨星等同于晨星” 是真的，但你无法仅通过检查学习到 “117+136=253” 和 “晨星等同于夕星” 是真的。在后两种情况下，你必须进行一些算术工作或天文观测来学习这些同一性断言的真实性。现在问题变得清晰：‘a=a’ 的意义显然不同于 ‘a=b’ 的意义，但鉴于前段描述的真理观，这两种同一性命题似乎具有相同的含义，每当它们是真的时！例如，“马克·吐温 = 马克·吐温” 是真的，仅仅是因为：人马克·吐温等同于人马克·吐温。而 “马克·吐温 = 塞缪尔·克莱蒙斯” 是真的，仅仅是因为：人马克·吐温等同于人塞缪尔·克莱蒙斯。但考虑到马克·吐温就是塞缪尔·克莱蒙斯，这两种情况是相同的情况，这并没有解释这两个同一性句子之间的意义差异。类似的情况也适用于所有其他具有形式 ‘a=a’ 和 ‘a=b’ 的同一性命题的例子。

因此，弗雷格发现的难题是：当它们是真的时，我们如何解释 ‘a=b’ 和 ‘a=a’ 之间认知意义的差异？

3.1.2 弗雷格关于主观态度报告的困惑

弗雷格通常被认为在确定关于命题态度报告的以下难题中做出了贡献，尽管他并没有用下面使用的术语完全描述这个难题。命题态度是一个人与一个命题之间的心理关系。信仰、欲望、意图、发现、知识等都是人与命题之间的心理关系，一方面是人，另一方面是命题。当我们报告他人的命题态度时，这些报告都具有类似的逻辑形式：

x 相信 p x 渴望 p x 打算 p x 发现 p x 知道 p

如果我们用一个人的名字替换变量“x”，用描述其态度命题对象的句子替换变量“p”，我们就得到了具体的态度报告。因此，在第一个例子中，将“x”替换为“John”，将“p”替换为“马克·吐温写了《哈克贝利·费恩历险记》”，结果将是以下特定信念报告：

约翰相信马克·吐温写了《哈克贝利·费恩历险记》。

要看到命题态度报告分析所提出的问题，考虑看起来是推理的简单原则，即“同一替换原则”（这与前文讨论的替换规则不要混淆）。如果一个名字，比如 n，出现在一个真实的句子 S 中，并且身份句子 n=m 是真实的，那么同一替换原则告诉我们，在 S 中用名字 m 替换名字 n 不会影响 S 的真实性。例如，让 S 是真实的句子“马克·吐温是位作家”，让 n 是名字“马克·吐温”，让 m 是名字“塞缪尔·克莱门斯”。那么由于身份句子“马克·吐温 = 塞缪尔·克莱门斯”为真实，我们可以将“塞缪尔·克莱门斯”替换为“马克·吐温”而不影响句子的真实性。而事实上，得到的句子“塞缪尔·克莱门斯是位作家”也为真实。换句话说，以下论证是有效的：

马克·吐温是一位作家。 马克·吐温 = 塞缪尔·克莱门斯。 因此，塞缪尔·克莱门斯是一位作家。

同样，以下论点是有效的。

4 > 3 4=8/2 因此，8/2 > 3

一般来说，同一取代原则似乎采用以下形式，其中 S 是一个句子，n 和 m 是名称，S(n) 与 S(m) 只有一个 m 取代 n 的出现不同：

从 S(n) 和 n=m 推导出 S(m)。

这个原则似乎捕捉了这样一个观念，即如果我们对一个对象说了一些真实的事情，那么即使我们改变引用该对象的名称，我们仍应该在说一些关于该对象的真实的事情。

但是弗雷格实际上注意到了对于“同一性替换原则”的以下反例。考虑以下论证：

约翰相信马克·吐温写了《哈克贝利·费恩历险记》。 马克·吐温 = 塞缪尔·克莱门斯。 因此，约翰认为塞缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩历险记》。

这个论证是无效的。存在这样的情况，前提为真而结论为假。我们已经描述了这样的情况，即约翰通过阅读《哈克贝利·费恩历险记》了解到了“马克·吐温”这个名字，但在了解 19 世纪美国作家的背景下了解到了“塞缪尔·克莱门斯”这个名字（而没有了解到“马克·吐温”是塞缪尔·克莱门斯的化名）。约翰可能不相信塞缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩历险记》。因此，上述论证的前提并不能逻辑上推出结论。因此，身份替换原则在陈述心理态报告的语境中似乎失效了。那么，难题在于说明是什么导致了这个原则在这些语境中的失败。如果我们只是改变了对他的称呼，为什么我们对这个人所说的仍然是真实的呢？

3.2 弗雷格的意义和指称理论

为了解释这些难题，弗雷格提出（1892a）除了具有指称外，名称和描述还表达了一种意义。[ 5] 表达的意义解释了它的认知意义——这是人们构想术语的指称方式。‘4’和‘8/2’这些表达具有相同的指称，但表达了不同的意义，对同一个数字的构想方式也不同。描述‘晨星’和‘夜间星’指的是同一颗行星，即金星，但表达了不同的金星构想方式，因此具有不同的意义。名称‘飞马座’和描述‘最强有力的希腊神’都有意义（意义各自独特），但都没有指称。然而，即使名称‘马克·吐温’和‘塞缪尔·克莱门斯’指的是同一个人，它们表达了不同的意义。 （有关弗雷格是否相信名称的意义因人而异的问题，可参见 May 2006b 进行了不错的讨论。）弗雷格利用意义和指称的区别，可以解释‘a=a’形式的同一性陈述和‘a=b’形式的同一性陈述之间认知意义的差异。因为‘a’的意义不同于‘b’的意义，‘a=a’的意义部分和‘a=b’的意义是不同的。弗雷格声称这整个表达的意义在两种情况下是不同的。由于表达的意义解释了它的认知意义，弗雷格对‘a=a’和‘a=b’之间的认知意义差异有了解释，从而解决了第一个谜题。

此外，弗雷格提出，当一个术语（名称或描述）跟随一个命题态度动词时，它不再指称它通常指称的东西。相反，弗雷格声称在这种语境中，一个术语指称它的普通意义。这解释了为什么同一性替换原则对于跟随命题态度动词的术语在命题态度报告中失败。这一原则断言当我们用具有相同指称的一个名称替换另一个名称时，真理是得以保留的。但根据弗雷格的理论，当它们出现在以下句子中时，名称‘马克·吐温’和‘塞缪尔·克莱门斯’指的是不同的意义：

约翰相信马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》。 约翰相信塞缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩》。

如果它们不表示相同的对象，那么没有理由认为用一个名字替换另一个名字会保留真理。

弗雷格将意义和指称的理论发展成为一种彻底的语言哲学。这种哲学可以通过考虑简单的句子来进行解释，例如‘约翰爱玛丽’。在弗雷格看来，这个句子中的‘约翰’和‘玛丽’是名字，‘爱’这个表达符号着一个函数，而且，整个句子本身是一个复杂的名称。这些表达式中的每一个都有意义和指称。名字的意义和指称是基本的；但整个句子的意义和指称可以根据名字的意义和指称以及这些词在句子中如何排列以及与‘爱’这个表达式并列的方式来描述（尽管见 Heck＆May 2011 讨论关于谓词的意义是否将名字的意义映射到一个思想）。让我们将这些词的指称和意义称为如下：

d [j] 指的是名称“John”的指称。 d [m] 指的是名称“Mary”的指称。 d [L] 指的是表达式“爱”的指称。 s [j] 指代名称“约翰”的意义。 s [m] 指代名称“玛丽”的意义。 s [L] 指代表达式“爱”的意义。

现在我们致力于对整个句子的指称进行理论描述。根据弗雷格的观点，d [j] 和 d [m] 分别是真实存在的个体 John 和 Mary。d [L] 是一个将 d [m]（即 Mary）映射到函数( ) loves Mary 的函数。后者作为谓词“loves Mary”的指称，我们可以使用符号 d [Lm] 在语义上引用它。现在函数 d [Lm] 将 d [j]（即 John）映射到句子“John loves Mary”的指称。让我们将句子的指称称为 d [jLm]。弗雷格将句子的指称视为两个真值之一。因为 d [Lm] 将对象映射到真值，它是一个概念。因此，根据弗雷格的观点，句子“John loves Mary”表示一个真值。[6]

句子“John loves Mary”还表达了一种意义。它的意义可以描述如下。尽管弗雷格似乎没有明确说明，但他的工作表明 s [L]（表达式“loves”的意义）是一个函数。这个函数将 s [m]（名字“Mary”的意义）映射到谓词“loves Mary”的意义。让我们将“loves Mary”的意义称为 s [Lm]。现在再次，弗雷格的工作似乎暗示我们应该将 s [Lm] 视为一个函数，它将 s [j]（名字“John”的意义）映射到整个句子的意义。让我们称整个句子的意义为 s [jLm]。弗雷格将句子的意义称为思想，而真值只有两个，他假设存在无限多的思想。

有了这种语言描述，弗雷格可以对形如“a=a”和“a=b”的等同陈述的认知意义之间的差异给出一般解释。认知意义并不在指称的层面上解释。根据弗雷格的观点，“4=8/2”和“4=4”这两个句子都指称相同的真值。函数 ()=() 将 4 和 8/2 映射到真值 The True，即将 4 和 4 映射到真值 The True。因此，d [4=8/2] 与 d [4=4] 是相同的，它们都是 The True。然而，这两个句子表达了不同的思想。这是因为 s [4] 与 s [8/2] 不同。因此，思想 s [4=8/2] 与思想 s [4=4] 是不同的。同样，“Mark Twain = Mark Twain”和“Mark Twain = Samuel Clemens”指称相同的真值。然而，考虑到 s [Mark Twain] 与 s [Samuel Clemens] 不同，弗雷格会认为思想 s [Mark Twain = Mark Twain] 与思想 s [Mark Twain = Samuel Clemens] 是不同的。

此外，请记住弗雷格提出的观点，即跟在命题态度动词后面的术语并不表示它们的普通指称，而是它们通常表达的意义。事实上，在以下命题态度陈述中，不仅 ‘马克·吐温’、‘写作’ 和 ‘哈克贝利·费恩’ 这些词表示它们的常规意义，而且整个句子 ‘马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》’ 也表示它的常规意义（即一个思想）：

约翰认为马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》。

因此，弗雷格会这样分析这个态度陈述：‘认为’ 表示一个函数，将句子 ‘马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》’ 的指称映射到一个概念。然而，在这种情况下，‘马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》’ 的指称并不是一个真值，而是一个思想。它所表示的思想与以下命题态度陈述中 ‘塞缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩》’ 所表示的思想是不同的。

约翰相信萨缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩》。

由于在这种情境下，“萨缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩》”所表示的想法与在同一情境中“马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》”所表示的想法不同，因此由“相信马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》”所表示的概念与由“相信萨缪尔·克莱门斯写了《哈克贝利·费恩》”所表示的概念是不同的。一个人可能一贯地假设前一个谓词所表示的概念将约翰映射为“真实”，而后一个谓词所表示的概念则不会。弗雷格的分析因此保留了我们的直觉，即约翰可以相信马克·吐温写了《哈克贝利·费恩》，而不相信萨缪尔·克莱门斯写了。它还保留了“相同性替换原则”——当这些名字在命题态度动词之后出现时，不能将“萨缪尔·克莱门斯”替换为“马克·吐温”并不构成反对这一原则的证据。因为如果弗雷格是正确的，那么当它们出现在这些情境中时，名字不具有它们通常的指称。

3.3 费格语境下的语言哲学

在一篇重要的论文中，Bobzien（2021）发展了一个归纳强有力的论证，得出结论：弗雷格采纳了斯多葛派的思想，后者在卡尔·普兰特尔（Carl Prantl）的四卷本《西方逻辑史》（Geschichte der Logik im Abendland，1855–1870）和狄奥根尼斯·莱尔提乌斯（Diogenes Laertius）的《哲学家列传》（Vitae Philosophorum，公元 2 世纪）中有所描述。这两部作品中描述的斯多葛派思想源自雪诺（Zeno of Citium）、克利安忒斯（Cleanthes）、所罗的克里西普（Chrysippus of Soli）、巴比伦的狄奥根尼斯（Diogenes of Babylon）等人，因此这两部作品都是“次级”文献。狄奥根尼斯在《列传》中的相关报道（在普兰特尔的作品中大量引用）是我们所拥有的最接近斯多葛派有关语言和逻辑的原始材料，而普兰特尔的《逻辑史》第一卷第六部分是对斯多葛派观点的 95 页摘要。Bobzien 指出了普兰特尔的作品是如何广泛阅读的，以及弗雷格的训练使他有资格理解他的作品中用希腊语和拉丁语引用的许多段落。她随后收集证据得出结论：弗雷格大量（且未加注明）从这些作品中借鉴。这些证据是累积的，因为没有确凿的证据。我们无法指出任何弗雷格亲笔批注的书籍，或者可以追溯到弗雷格图书馆的普兰特尔和狄奥根尼斯的任何副本，或者弗雷格从耶拿大学图书馆借阅普兰特尔和狄奥根尼斯的任何记录。[ 8]

但在她的论文的 50 页长的第三部分，Bobzien 制作了大量比较表格，将斯多葛和弗雷格的段落并列，并交织其中观察和细致的学术研究，将最显著的（音译的）希腊短语与其德语对应物联系起来。总体效果是某种 res ipsa loquitur——事情本身说明——并将球直接放在那些试图否认这些相同之处和相似之处的人的场地上。这些证据并不挑战弗雷格在将数学语言和逻辑（以及某些自然语言的构造）形式化时所展现的洞察力和创造力，因此本条目前面呈现的形式化表达并非从斯多葛派借鉴而来。尽管弗雷格独立地推动了他从斯多葛派吸收的思想，但 Bobzien 展示了弗雷格对语言基本方法的许多方面直接源自一千五百年前的思想，因此并非像最初认为的那样新颖。

仍需了解共同元素的范围，其中一些在先前的研究中已被其他人指出。在最一般的层面上，Bobzien 比较了斯多葛派和弗雷格如何将语义“内容”（希腊语 lekta 与弗雷格的 Sinn）与表达这一内容的语言联系起来。两者都区分了谓词的“不完整”（希腊语 ellipē 与德语 ungesättigt）内容和句子的完整内容，并在斯多葛派和弗雷格对于完整的“可断言”内容（希腊语 axiōmata 与德语 Gedanken）方面存在类似之处，特别是在这些内容是真假的主要承载者方面。Bobzien 随后比较了两种哲学观点，涉及其他类型的完整内容，例如命令、句子疑问、情感表达、词语疑问和指示词。在每种情况下，弗雷格对这些语言表达的内容的描述都紧随斯多葛派的描述。另一组相似之处出现在她对使用命题连接词产生的复杂内容的教义的比较中，例如带有否定的句子（包括矛盾、双重否定等）、连接词、析取词、条件句以及带有“因为”的句子。对两种量化和普遍性方法的比较结束了论文。

通过在斯多葛学派和弗雷格语料库之间产生如此多的平行段落，细节和证据不断积累，从而变得越来越有说服力。任何想要了解弗雷格在语言观念上的全部范围的学生都必须了解这些观念与斯多葛哲学的关系。尽管 Bobzien 恰当地注意到了之前曾有人提到过一些相似之处（再次见脚注 9），她在 2021 年的论文是一个很好的起点，因为那里所汇编的证据是如此全面。

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Frege’s Complete Corpus

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Acknowledgments

I would like to thank the following people: Kai Wehmeier, whose careful eye as a logician and Frege scholar caught several passages where I had bent the truth past the breaking point; Emily Bender, who pointed out that I hadn’t observed the distinction between relative and subordinate clauses in discussing Frege’s analysis of belief reports; Paul Oppenheimer, for making some suggestions that improved the diction and clarity in a couple of sentences, and for a suggestion for improvement to Section 3.2; Wolfgang Kienzler, for suggesting several important improvements to the main text (he and Conden Chao both sent corrections and suggestions for the Chronological Catalog of Frege’s Work); Patricia Blanchette and Richard Zach for reading over, and providing constructive comments on, the reworked Section 2.7 (“Frege’s Conception of Logic”), which formed part of the update in late 2019; and Susanne Bobzien, for reading and commenting on the first draft of the new (as of 2022) Section 3.3.

Copyright © 2022 by Edward N. Zalta <zalta@stanford.edu>

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