理查德·戴德金对数学基础的贡献 contributions to the foundations of mathematics (Erich Reck)

首次发表于 2008 年 4 月 22 日，实质性修订于 2020 年 10 月 23 日

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Richard Dedekind（1831-1916）是 19 世纪最伟大的数学家之一，也是有史以来最重要的代数和数论贡献者之一。任何一部综合性的数学史都会提到他对代数数、域、群、模、格等概念的研究，尤其是他发明的理想论（参见 Dieudonné 1985，Boyer＆Merzbach 1991，Stillwell 2000，Kolmogorov＆Yushkevich 2001，Wussing 2012）。Dedekind 在数学中的更基础性工作也广为人知。在这方面，常常被承认的有：他对连续性概念的分析，他通过 Dedekind 切割引入实数的方法，他对自然数的 Dedekind-Peano 公理的阐述，他对这些公理的唯一性的证明，以及他对集合论早期发展的贡献（Grattan-Guinness 1980，Ferreirós 1996，1999，2016b，Jahnke 2003，Corry 2015）。

尽管德德金德对数学及其基础的贡献是众所周知的，但很少有人将它们一起讨论。特别是，他的基础著作通常被单独对待，与他的其他著作分开。本条目提供了更广泛、更综合的调查。主要关注点将放在德德金德的基础著作上，但它们将与他的整个数学工作相关联。实际上，将会论证基础问题在整个过程中起作用，因此任何试图严格区分他的“数学”和他的“基础”工作的尝试都是人为和误导性的。本条目的另一个目标是确立他对数学哲学的贡献的持续影响力。他们的全部意义只刚刚开始被认识到，这一点将变得明显。尤其是在德德金德的方法论和认识论方面，他的方法奠定了在他的著作中出现的逻辑和形而上学观点的基础。

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1. 个人简介信息

理查德·戴德金德生于 1831 年，位于德国北部的不伦瑞克市。他的大部分教育也在不伦瑞克完成，他首先在当地上学，然后在当地的技术大学学习了两年。1850 年，他转到了哥廷根大学，这是欧洲科学研究的主要中心。卡尔·弗里德里希·高斯，有史以来最伟大的数学家之一，曾在哥廷根教书，戴德金成为他的最后一位博士生。他在高斯的指导下写了一篇博士论文，于 1852 年完成。按照惯例，他还写了第二篇论文（博士后），于 1854 年完成，几乎与他的同事和朋友伯恩哈德·黎曼同时完成。戴德金在哥廷根再呆了四年，担任无薪讲师（Privatdozent）。在此期间，他受到了哥廷根的高斯继任者 P.G.L.狄利克雷和当时正在崛起的黎曼的强烈影响。（戴德金为高斯、狄利克雷和黎曼做了重要的编辑工作。）1858 年，他搬到瑞士苏黎世的理工学院（后来的苏黎世联邦理工学院）担任他的第一个有薪职位。他于 1862 年回到不伦瑞克，在当地大学任教，直到 1896 年退休。他在这个后期发表了大部分重要作品。他还与其他重要的数学家有过交往；因此，他与格奥尔格·康托尔通信，与海因里希·韦伯合作，并与莱奥波尔德·克罗内克展开了智力竞争。他一直待在自己的家乡，直到 1916 年去世。（参见 Landau 1917，Dugac 1976 的第 1 章，Scharlau 1981，Mehrten 1982，Ferreirós 1999 的第 1 章，Harborth 等人 2007，Sonar 2017，以获取个人简介信息。）

戴德金的主要基础著作有：《连续性与无理数》（1872 年）和《数是什么，数应该是什么？》（1888a）。同样重要的是，特别是在数学史学家眼中，他在代数数论方面的工作。这项工作最初以一种不寻常的方式呈现：作为狄利克雷《数论讲义》的补充。后者是基于戴德金从狄利克雷的讲座笔记中整理并进一步编辑的，并以一系列版本出版。在他对第二版的补充中，即 1871 年的版本中，戴德金首次提出了他著名的理想论。他多次修改和扩展了这个理论，第四版于 1893 年出版（Lejeune-Dirichlet 1893，Dedekind 1964），而在他的遗稿中还发现了一本未完成的第五版（Scheel 2020）。戴德金的理论的中间版本以法语翻译单独出版（Dedekind 1877）。他的其他作品还包括：与海因里希·韦伯合著的关于代数函数理论的一篇长篇有影响力的文章（Dedekind 1882，Dedekind & Weber 2012）；以及在代数、数论、复分析、概率论等领域的各种短篇作品。所有这些作品都在 Dedekind（1930-32）中重新出版，其中包括他的遗稿的选集。最后，他自己的一些课堂讲义的讲稿后来也被公开（Dedekind 1981, 1985），他的遗稿的进一步选集也被公开（Dedekind 1982，Dugac 1976，Sinaceur 1990，Schlimm 2000），以及他的通信选集（Noether & Cavaillès 1937，Lipschitz 1986，Meschkowski & Nilson 1991，Scheel 2014）。

正如这个简短的时间表所示，戴德金是一位广泛而富有创造力的数学家，尽管他倾向于缓慢而谨慎地发表论文。它还显示他是数学中一项杰出的传统的一部分，这一传统从高斯和迪利克雷延伸到 19 世纪的黎曼、戴德金本人、韦伯和康托尔，再延伸到 20 世纪和 21 世纪的大卫·希尔伯特、恩斯特·策梅洛、艾米·诺特、B.L.范德瓦尔登、尼古拉斯·布尔巴基等人。除了部分例外，这些数学家并没有发表明确的哲学论文。与此同时，所有这些数学家对数学基础问题非常敏感，这些问题在广义上包括基本概念的选择、使用的推理方式以及其中的前提条件。因此，可以在他们的作品中找到具有哲学意义的评论，正如戴德金的作品所示。

对戴德金的其他影响，尤其是哲学方面的影响，我们所知甚少。在哥廷根读书时，他确实参加了赫尔曼·洛策的一门名为“德国康德以来的哲学”（"German philosophy since Kant"）的讲座课程，这一点可以从他保存在遗产中的笔记中明确得知。在他关于黎曼的简短传记中（戴德金 1876a），提到了后康德派哲学家和教育家 J.F.赫尔巴特，他是哥廷根大学的教授，任职于 1833 年至 1841 年，对黎曼产生了影响；在他的通信中，戴德金偶尔提到了德国唯心主义者 J.G.费希特（Scharlau 1981，Reck 2017）。然而，他既没有明确地与他们中的任何一位，也没有与其他哲学家或哲学派别明确对齐。我们对于哪些哲学文本可能在戴德金的观点形成中起到了影响，特别是在早期，所知甚少。我们在这方面所拥有的一条罕见的信息是，他在确定自己的基本思想之后，才意识到哥特洛布·弗雷格的最具哲学性的作品《算术基础》（1884 年出版）；对于伯尔诺·博尔扎诺的《无限的悖论》（戴德金 1888a，第二版前言）也是如此。另一方面，戴德金的数学榜样中有许多人对哲学有浓厚的兴趣，尤其是高斯、黎曼和康托尔；而当时的德国知识界充斥着关于康德主义和德国唯心主义观点的讨论，包括关于直觉在数学中的作用的辩论，有证据表明戴德金至少对其中一些观点是熟悉的。

2. 公开的基础性贡献

2.1 分析的基础

Dedekind 的《连续性与无理数》一书所涉及的问题源于十九世纪上半叶对分析（数学理论）进行“严密化”和“算术化”的努力。然而，它们的根源更深，可以追溯到古希腊几何学中不可测量的量的发现，例如单位正方形的对角线长度为 √2（Jahnke 2003，第 1 章）。希腊人对这一惊人的发现的回应在欧几里得《几何原本》第五章中达到了顶峰（Mueller 1981，第 3 章；Corry，第 3 章）。这一理论带来了离散多元（数）和连续量之间的明显区别，从而导致了数学作为数的科学和量的科学的长期主导观点。Dedekind 的第一部基础性著作实质上涉及了这种二分法的两个方面之间的关系。

作为传统理解中的二分法的重要部分，数量和其比率并不被视为数值实体，其上定义了算术运算，而是以更具体的几何方式为基础（如长度、面积、体积、角度等以及它们之间的关系）。更具体地说，虽然 Eudoxos 的理论为比率的相等提供了一个上下文的标准，但它并不包括比率本身的定义，因此它们并不被看作是独立的对象（Stein 1990，Cooke 2005）。这些特点对于理论的基本应用几乎没有影响，但它们导致了内部数学的紧张局势，例如在考虑各种代数方程的解时（其中一些可以用数值表示，而另一些只能用几何方式表示）。这种紧张局势在早期现代时期尤为突出，特别是在笛卡尔将代数和几何学整合之后。因此，需要一个统一处理离散和连续数量的方法。

更直接和明确地说，戴德金的论文与 19 世纪的分析算法有关，这是由柯西、波尔查诺、魏尔斯特拉斯等人追求的，而这又是对微分和积分学中的紧张关系的反应，这些关系早在牛顿、莱布尼兹及其追随者之前就被引入了（Jahnke 2003，第 3-6 章）。众所周知，微积分的发明者依赖于对“无穷小”量的引用，通常以几何或甚至机械的考虑为支持，尽管这从一开始就被认为是有问题的。19 世纪的“算术化者”找到了一种避免无穷小量的方法（以当前对微积分的介绍中熟悉的极限的 ε-δ 特征化形式）。然而，这又或者更多地导致了对各种被构想为数值实体的系统性特征化的需求，现在以统一处理有理数和无理数的形式出现。

戴德金直接面对了这种需求，也从教育角度出发，他于 1858 年开始在苏黎世教授微积分课程时（Dedekind 1872，前言）。因此，对他来说，目标不仅是提供有关有理数和无理数的统一而严格的说明；他还希望以一种方式来建立分析学与力学和几何学的独立性，甚至更一般地说，与直觉的考虑的独立性。这表明了戴德金在分析基础上的工作中存在着潜在的哲学动机，超越了所讨论的教育需求，自然而然地可以看出其中隐含着反康德主义的倾向。最后，实现所有这些目标的方法是将算术和分析紧密联系在一起，甚至将后者归纳为前者。

虽然将分析归纳为算术而不是几何的一般想法在当时并不新鲜 - 戴德金与他的老师高斯和迪里克雷（Ferreirós 1999，第 4 章，Merzbach 2018）分享并采用了这一想法 - 但他所采取的特定方式却是相当独特的。对他来说，关键问题或关键点是连续性的概念。为了更清楚地了解这个概念，他将有理数系统与几何线上的点进行了比较。一旦为后者选择了一个起点、一个单位长度和一个方向，两个系统就可以系统地相关联：每个有理数以一种独特且保序的方式对应于线上的一个点。但是还有一个进一步的问题：线上的每个点是否对应于一个有理数？关键是，这个问题可以用戴德金直接在有理数上定义的“切割”概念来重新表述，从而可以抛开任何关于连续性的几何直觉。也就是说，如果我们将整个有理数系统分为两个不相交的部分，同时保持它们的顺序，那么每个这样的分割是否由一个有理数确定？答案是否定的，因为有些分割对应于无理数（例如，由{x:x2 2}和{x:x2 2}组成的切割对应于 √2）。从这个明确、纯粹的算术和精确的意义上说，有理数系统是不连续的，即不是线完备的。

对于我们的目的，Dedekind 的过程在开始和后续步骤中的几个方面是重要的（参见 Ferreirós 1999 年第 4 章）。首先，Dedekind 从整体上考虑有理数系统。值得注意的是两个方面：他不仅将这个系统视为“实际无穷”，即一个完整的无穷集合，被视为一个数学对象本身；他还将其“结构化”，作为一个在加法和乘法下封闭的线性有序集合的示例（有序域）。在他的下一步中，沿着集合论和结构主义的思路，Dedekind 引入了对初始系统的任意切割集合，从而基本上使用了有理数的所有子集（全幂集）的更大更复杂的无穷。可以证明，这些切割的集合反过来可以赋予线性排序和加法乘法运算，从而构成一个全新的“数系统”。

然而，Dedekind 最终并不是要处理这些切割本身。相反，对于每个切割，即对应于有理数，尤其是对应于无理量的切割，他“创建”了一个新对象，即由切割确定的“实数”（参见 Dedekind 1876b, 1888b）。这些对象与在它们上定义的序关系和算术运算（以相应的切割为基础）一起，对他来说构成了关键的系统。接下来，建立了新系统的两个性质：有理数可以嵌入其中，以一种尊重序关系和算术运算的方式（存在相应的域同态）；并且该系统在其序关系下是连续的，或者说是线完备的。总体而言，我们得到了长期缺失的有理数和无理数的统一标准，它们现在被视为包含在一个包罗万象的数系统中的元素（与切割系统同构但不同于切割系统）。最后，Dedekind 指出了如何沿着这样的思路给出关于实数的各种事实的明确、严谨和直接的证明，其中包括迄今为止被接受但没有证明的基本平方根运算规则以及每个递增有界的实数序列都有一个极限值（与其他定理等价，如更为著名的中值定理）。

Dedekind 直到 1872 年才发表了关于实数的这一论述，这是在他发展了依赖于这些基本思想的十四年后。当时并不是唯一提出的论述；事实上，包括 Weierstrass、Thomae、Méray、Heine、Hankel、Cantor 以及稍后的 Frege 在内，各种数学家都涉及了这个问题（参见 Dieudonné 1985 年第 6 章，Boyer＆Merzbach 1991 年第 25 章，Jahnke 2003 年第 10 章）。在他们的替代方法中，最为熟知的可能是 Cantor 的方法，也是在 1872 年发表的。Cantor 不使用“Dedekind 切割”，而是使用（等价类的）柯西数列。这些（等价类的）数列的系统也可以证明具有所需的性质，包括连续性。与 Dedekind 一样，Cantor 从无穷集合有理数开始；Cantor 的构造再次基本上依赖于有理数的全幂集，这里以任意柯西数列的形式出现；而且两个结果系统是同构的，众所周知。在这些集合论方面，这两种处理方式因此是等价的。区别 Dedekind 对实数的处理与 Cantor 及其他所有人的地方在于他在连续性这一核心概念上所达到的清晰度。他的处理方式在某种意义上也更加优雅和成熟的结构主义，这一点将在下面进一步阐述。

2.2 算术的基础

提供对实数的明确和精确定义是完成分析的算术化的重要一步。但对戴德金过程（以及类似的过程）的进一步思考引发了一个新问题：如果充分思考，这个对实数的描述最终依赖于什么？正如前面所述，戴德金从有理数系统开始；他使用集合论的方法在其中的一个关键步骤中构建了新的截断系统；最后，实数是在此基础上“创造”出来的。这引发了三个子问题：首先，我们应该如何准确地思考有理数与此的关系？其次，对于已经使用的集合论过程，还能说出什么进一步的内容吗？第三，如何理解所涉及的创造过程？

在他的出版著作中，戴德金没有对我们的第一个子问题给出明确的答案。从当代的观点来看，他依赖于这样一个假设：有理数可以通过自然数以及一些集合论技巧来处理。实际上，在戴德金的遗稿中可以找到两个现在已经熟知的构造的明确草图：整数的构造是将其看作（等价类的）自然数对；有理数的构造是将其看作（等价类的）整数对（Sieg & Schlimm 2005，早期的 Dugac 1976）。似乎在当时，这些构造已经足够熟悉，以至于戴德金不觉得有必要发表他的草图。（这也与将复数构造为实数对的构造直接对应，戴德金从 W.R. Hamilton 的作品中了解到，以及与在发展模运算中使用剩余类的更一般的联系。关于前者，参见 Ferreirós 1999，第 7 章；关于后者，参见戴德金 1857 年和 Dugac 1976 年。）

所有用于分析的材料，包括有理数和实数，都可以通过集合论的方法从自然数中构建出来。此时问题出现了：我们是否必须将自然数本身视为给定的；或者是否可以进一步对这些数字进行更深入的研究，或许将它们归约为更基本的东西？19 世纪的许多数学家愿意假设前者。一个著名的例子是勒奥波德·克罗内克，他认为自然数是“上帝给予的”，而算术和分析的其他部分是“人类创造的”（费雷罗斯 1999 年，第 4 章）。相比之下，戴德金和弗雷格独立地追求后者选择：他们试图将算术和自然数归约为“逻辑”。这是《什么是数字？》的主要目标（数字的本质和意义，或者更确切地说，数字是什么以及它们的用途是什么）。另一个目标是回答上述相关的第二个子问题：是否可以对使用的集合论程序说更多。对于戴德金来说，与弗雷格类似，这些程序是逻辑的一部分。在此过程中，戴德金还试图澄清他对创造的概念。那么，逻辑的基本概念是什么？

戴德金对于最后一个问题的回答是：逻辑的基本概念是对象（“Ding”）、集合（或系统，“System”）和函数（映射，“Abbildung”）。正如他特别强调的那样，这些概念对于人类思维是基本的。它们在所有领域中都是“逻辑的”，对于精确推理是不可或缺的，且无法进一步归约。（对于戴德金的这种解释，以及他是否应该被理解为逻辑主义者，存在争议。有关相应的争议，请参见 Klev 2017 年，Reck 2019 年和 Ferreirós 即将出版的著作，一方面，以及 Benis-Sinaceur 2008 年，2015 年，2017 年，另一方面。我们将在第 3 节中回到这个问题。）虽然不能用更基本的东西来分析，但基本的逻辑概念仍然能够被阐明，从而更好地理解它们。它们的阐明的一部分包括观察可以用它们做什么，包括如何用它们重建算术（以及分析等）。对于戴德金来说，这种重建始于对无穷集合的考虑，就像在实数的情况下一样，但现在以一种更广义、更明确和更系统的方式进行。

戴德金不仅仅假设或简单地假定了无穷集合的存在；他试图证明它。为此，他考虑了“我所思考的所有事物的总体”并论证了这个“集合”是无穷的（Dedekind 1888a，第五节）。他也不仅仅预设了无限的概念；他对其进行了定义（以他的三个逻辑基本概念以及可定义的子集、并集、交集等概念为基础）。定义如下：如果一个对象集可以一对一地映射到它自身的一个真子集上，那么这个集合就是无穷的——我们现在称之为“戴德金无穷”。（然后可以定义一个集合为有限的，如果它在这个意义上不是无穷的。）接近算术的一步是引入“简单无穷”（或“归纳集合”）的概念。对于这个概念的严格引入涉及到戴德金创新的“链”的想法。用当代术语来说，链是集合 A 在包含 A 的集合 B 中在函数 f 下的最小闭包（其中“最小”是通过交集的一般概念来捕捉的）。

什么是简单无限的含义现在可以用四个条件来捕捉：考虑一个集合 S 和 S 的一个子集 N（可能等于 S）。如果存在一个函数 f 在 S 上和 N 的一个元素 1，使得：（i）f 将 N 映射到自身；（ii）N 是 S 中{1}在 f 下的链（最小闭包）；（iii）1 不在 N 在 f 下的像中；（iv）f 是一对一的。虽然一开始可能不熟悉，但很容易看出这些戴德金条件是 Peano 关于自然数的著名公理的一种符号变体。特别是，条件（ii）是数学归纳法公理的一个版本。因此，这些公理被称为戴德金-皮亚诺公理。（皮亚诺在 1889 年发表了他相应的工作，承认了戴德金的优先权；参见 Ferreirós 2005）。正如我们也很容易看到的，任何简单无限都将包含一个对应于 1 的第一个元素，一个对应于 f(1)的第二个元素，一个对应于 f(f(1))的第三个元素，依此类推，就像戴德金-皮亚诺公理的任何模型一样。

在这些准备工作的基础上，戴德金如下引入了自然数：首先，他证明了每个无限集合都包含一个简单无限子集。然后他证明了任意两个简单无限系统（戴德金-皮亚诺公理的任意两个模型）是同构的（因此公理系统是范畴的）。第三，他观察到，作为一个结果，所有简单无限都具有相同的算术真理；或者更接近戴德金实际陈述这一点的方式，关于其中一个的任何真理都可以通过同构转化为关于另一个的真理。（也就是说，戴德金-皮亚诺公理的所有模型都是“逻辑等价的”，这意味着公理系统是“语义完备的”；参见 Awodey＆Reck 2002）。在这些方面，每个简单无限都和其他任何一个一样好。

作为进一步的一步，戴德金再次引用了“创造”的概念。从最初构造的某个简单无限开始——鉴于它们的同构性，我们从哪个开始并不重要——他“创造”了与其元素对应的新对象，从而引入了一个特殊的简单无限，戴德金称之为“自然数”。正如我们所见，这最后一步与他引入“实数”（在戴德金 1888b 中得到证实）是平行的；但在目前的情况下，某些方面更加清晰。换句话说，这些新创建的对象完全由所有算术真理所特征化，即由那些可以通过上述同构转移或不变的真理所特征化。换句话说，它们的身份仅取决于关系或结构属性，与其他简单无限的元素不同，后者内置了内在的、非算术的或“外来”的属性。顺便提一下，戴德金还使用“抽象”这个名字来表示从最初构造的简单无限到新引入的简单无限的这一步。（如果按照这样的方式解释戴德金，他的立场是一种非消除性结构主义；参见 Reck 2003；但请参见 Sieg＆Morris 2018 和 Benis-Sinaceur 2008、2015、2017，分别对两种替代解释。我们将在第 3 节再次回到这个问题。）

从更一般的角度来看，戴德金引入的是自然数的有限“序数”（或计数数：第一、第二等）的概念。后来，他解释了如何恢复它们作为有限“基数”数（回答问题：有多少？）。这是通过使用数字序列的初始段作为计数器来实现的：对于任何集合，我们可以问哪个这样的段（如果有的话）可以一对一地映射到它上面，从而测量它的“基数”。（一个集合在上述定义的意义上是有限的，当且仅当自然数序列存在这样的初始段。）戴德金通过展示如何证明几个基本的、迄今为止仅仅是假设的算术事实来结束他的论文。尤其重要的是，他纯粹“逻辑”的证明了数学归纳法和递归定义（基于他的链理论）。

2.3 现代集合论的兴起

如我们所见，集合论的假设和程序已经在戴德金的《连续性与无理数》中得到了应用。特别是，有理数系统被假设为一个无限集；任意有理数的切割集合被视为另一个无限集；当给定一个元素的序关系和算术运算时，后者会产生一个新的完备有序域。在如何引入整数和有理数的草图中也可以找到类似的方法。再次，我们从一个无限系统开始，这里是所有自然数的集合，并且通过集合论的方式构建了新的数系统（尽管在这些情况下并不需要完全的幂集）。最后，戴德金在他的其他数学工作中也使用了集合论技术（例如，在他对模运算的处理和他对理想的构造中，将在下文进一步讨论）。应该强调的是，这种技术的应用在当时是新颖而大胆的。虽然一些数学家，如康托尔，也使用了它们，但许多其他人，如克罗内克，却拒绝使用它们。事实上，通过认真地处理实际的无穷，戴德金采取了与他的老师高斯不兼容的立场，后者只允许无穷作为一种“说法”（参见费雷罗斯 1999 年第 7 章，以及爱德华兹 1983 年）。

在 Dedekind 的逻辑重建自然数的背景下，Was sind und was sollen die Zahlen? 中发生的是对集合论技术的采用提升到了一个新的清晰和普遍的水平。Dedekind 不仅提出了各种数学概念的集合论定义，还对所使用的手段进行了系统的反思，并在某些方面扩展了使用。出于这些原因，这篇文章是现代集合论发展中的重要一步。此外，我们已经看到 Dedekind 将集合的概念与对象和函数的概念一起作为基本概念。这里的对象是任何可以确定如何对其进行推理的东西，包括具有适当的身份标准（Tait 1996）。我们通过考虑集合的元素来推理关于集合的事情，这是关于集合的一切。换句话说，集合应该被外延地确定，这是 Dedekind 最早强调的。 （即使是像 Bertrand Russell 这样重要的集合论贡献者也在二十世纪初期对此问题感到困惑。）Dedekind 也是最早考虑到不仅仅是数字集合，还有其他类型对象的集合。

函数也应该被外延地理解，作为将集合的元素相互关联的方式。但与后来的公理集合论不同，Dedekind 并没有将函数简化为元组的集合。（他合理地认为，能够将一件事物映射到另一件事物，或者用一件事物代表另一件事物，对于人类思维来说是基本的；Dedekind 1888a，前言，参见 Klev 2017）。Dedekind 关于函数的观点的另一个重要方面是，他允许在其预期范围内，集合之间存在任意的函数关联，甚至是更一般的对象集合之间的关联。（关于他在这方面观点的逐渐发展，请参见 Sieg & Schlimm 2005）。因此，他拒绝了以前对函数概念的隐含限制，例如仅限于通过熟悉的公式表示的函数，通过图像在直觉中可表示的函数，或者通过形式化过程可判定的函数。换句话说，他使用了广义函数的概念。在这方面，他采纳并扩展了他的另一位老师的立场：Dirichlet（Stein 1988，Ferreirós 1999，第 7 章）。Dedekind 的集合概念在同样的意义上是广义的。

这种广义的集合和函数概念，以及对实际无限的接受，很快遭到了像 Kronecker 这样以有限主义和建设性导向的数学家的攻击。Dedekind 通过指出其成果性来捍卫自己的方法（Dedekind 1888a，第一脚注，参见 Edwards 1983，Ferreirós 1999，第 7 章）。但最终，他发现其中一个特征是有问题的：他对一般概括原则的隐含接受（这也是他的集合概念无限制的另一种意义）。我们已经提到了 Dedekind 的工作中这个问题的一个具体方面。也就是说，在 Was sind und was sollen die Zahlen? 中，他引入了“我思考的所有事物的总体”（他的“全集”），以及该总体的任意子集（使用了一个广义的 Aussonderungsaxiom）。但是，任何一组对象都可以被看作是一个集合。

正如刚才提到的，Dedekind 在他的 1888 年的论文中超越了仅考虑数字集合的范围。这是对集合概念的重要扩展，或者说对其应用的扩展，这可能引起人们的关注。更令人担忧的是 Dedekind 引入了他的包罗万象的整体的特定方式，即通过引用“人类思维”，因为这引发了关于是否涉及粗糙的心理学特征的问题（有关该主题的更多内容请参见第 3 节）。但最棘手的特征，也是 Dedekind 自己认真对待的特征，是第三个特征：他的集合论受到集合论反悖论的限制，包括罗素的反悖论。（如果任何一组对象都被视为集合，那么罗素的所有不包含自身的集合的集合也是如此，这很快导致矛盾。）Dedekind 似乎在 19 世纪 90 年代后期从康托尔那里了解到这些问题（康托尔告诉他所有序数的集合是一个“不一致的整体”，所有“思维对象”的集合也是如此）。这个消息最初让他震惊，以至于他推迟了《什么是数？》的再版；他甚至对“人类思维是否完全合理”表示怀疑（Dedekind 1930-32，第 3 卷，第 449 页，Dedekind 1996a，第 836 页）。后来，他重新相信他的方法的“内在和谐”，但没有提供这些问题的解决方案（Dedekind 1930-32，第 3 卷，第 343 页，1911 年出版的第三版前言）。

罗素的反悖论及相关问题表明 Dedekind 对集合的最初概念是站不住脚的。然而，它们并没有使他在集合论的其他贡献无效。他对连续性的分析，引入实数的使用 Dedekind 切割，对 Dedekind 无限性的定义，Dedekind-Peano 公理的制定，它们的范畴性证明，将自然数分析为有限序数，数学归纳和递归的合理化，以及最基本的，对集合和函数的外延性、一般性概念的坚持，以及对实际无限的接受——所有这些贡献都可以从集合论反悖论中分离出来。因此，它们已经构建成公理集合论、模型论、递归论和逻辑学其他部分的核心。

我们还要感谢 Dedekind 对集合论的进一步贡献。其中一些并不出现在他的出版著作中，而是在他的通信中。特别重要的是他与康托尔的信件往来，从 1872 年开始（Noether＆Cavaillès 1937，Meschkowski＆Nilson 1991）。这些信件包含了对康托尔和 Dedekind 对实数的处理的讨论。除此之外，它们还涉及对集合和无限的概念的共同探索。在这个背景下，Dedekind 的一些具体贡献包括：他用一个证明打动了康托尔，证明了有理数集合和所有代数数集合都是可数的（Ferreirós 1999，第 6 章）。这个结果至少在一部分上导致了康托尔对无限基数的进一步研究，并很快发现了所有实数集合不可数的事实。Dedekind 还提供了 Cantor-Bernstein 定理的证明（即在任意两个可以一一嵌入到对方的集合之间存在一个双射，因此它们具有相同的基数）。这是超限基数理论中的另一个基本结果（Ferreirós 1999，第 7 章）。

最后，在 20 世纪的集合论发展中，人们逐渐意识到德德金的一些结果和方法可以以重要的方式进行推广。可能最重要的是，策梅洛和冯·诺伊曼成功地将他对数学归纳和递归的分析扩展到更高的无穷，从而进一步扩展并巩固了康托尔的超限序数和基数理论。回顾所有这些贡献，策梅洛（他对相关历史非常了解）认为现代集合论被“康托尔和德德金创造”（引自费雷罗斯 2016b）也就不足为奇了。

3. 逻辑主义和结构主义

到目前为止，我们已经集中讨论了德德金在他明确的基础著作中的贡献。我们回顾了他对自然数和实数的创新方法；我们还重新考虑了他在现代集合论兴起中的作用。然而，一些哲学问题也随之出现。然而，对它们进行更深入的思考似乎是必要的，特别是关于德德金的“逻辑主义”和“结构主义”（这两个主题在二次文献中引起了一些争议，如前所示）。

就像十九世纪的另一位主要逻辑主义者弗雷格一样，“逻辑”对于戴德金来说比今天通常认为的更为广泛（仅包括一阶逻辑）。这两位思想家都认为对象、集合和函数的概念对人类思维来说是基本的，并且属于逻辑的范畴。然后，他们各自发展了一种集合论的版本（一种关于“系统”、“扩展”或“类”的理论），被视为逻辑的一部分。对于这两位思想家来说，这种广义的逻辑独立于直觉考虑，特别是传统的欧几里得几何学（被理解为建立在纯粹或经验直觉之上）。因此，将分析和算术归纳为逻辑的主要目标是证明这些领域也是独立于直觉的（参见 Demopoulos＆Clark 2005）。

分析不依赖于几何学的观点，因为它属于算术和基本逻辑思维的范畴，在当时并不是完全新的观点 - 高斯和迪里克雷已经持有这样的观点，如上所述（参见 Ferreirós 2007）。弗雷格和戴德金的新贡献在于对分析归纳为算术和对算术归纳为逻辑的原始、详细的降解。此外，他们每个人都通过系统的逻辑阐述来补充这些降解。由于当时戴德金的工作比弗雷格的工作更为知名，可能是因为他作为数学家的声誉更高，所以他被认为是“逻辑主义”的主要代表，如 C.S. Pierce、Ernst Schröder 和 David Hilbert 等当代感兴趣的人所认可（参见 Ferreirós 1999，第 7 章，Ferreirós 2009）。

除了戴德金和弗雷格在逻辑主义中的这些一般共同点外，这两位思想家还在以下戴德金的一句话中达成了一项方法论原则的共识：在科学中，尤其是在数学中，“没有经过证明的东西不应该被接受”（Dedekind 1888a，前言）。这个原则应该被坚持，不是因为它增加了确定性，而是因为只有通过为一个结果提供明确、详细的证明，才能使其所依赖的假设变得明显，并因此建立其适用范围。弗雷格和戴德金都从数学的历史中吸取了这个教训，特别是几何学、代数学和微积分学的发展（参见 Reck 2013，基于 Wilson 1992、2010，Tappenden 1995、2006，Ferreirós 1999 和 Detlefen 2011）。

除了他们在某些方面的一致之外，考虑一下戴德金和弗雷格之间的一些差异也是有益的。首先，用现代术语来说，一个主要的区别是，虽然弗雷格在逻辑方面的主要贡献涉及句法和证明论方面，但戴德金更注重语义和模型论方面。因此，在戴德金的著作中找不到像弗雷格通过他的“概念符号”对演绎推理进行革命性分析的东西。相比之下，戴德金在诸如唯一性、完备性、独立性等问题上比弗雷格更明确和清晰。这使得他被视为希尔伯特和伯奈斯后来提倡的“形式公理化”方法的先驱者之一（Hallett 1994, 1995, Sieg & Schlimm 2005, 2014, Sieg 2010, 2014）。

与弗雷格相比，戴德金对无穷的讨论更多，不仅通过给出概念的定义，还与康托尔一起探索了不同的无穷基数的可能性。他对克罗内克计算和构造主义对逻辑主义的限制的挑战也更加敏感。弗雷格和戴德金对自然数和实数的处理方式的差异也值得注意。正如我们所见，戴德金主要将自然数看作序数；他还纯粹“结构性地”确定了它们。弗雷格将它们作为基数的应用至关重要；他坚持将这种应用融入到自然数的本质中，从而赋予它们非结构性的“内在”属性。实数的情况进一步说明了这种分歧。最后，弗雷格和戴德金对逻辑和语言的基本概念的理解也有显著差异。（这也是为什么 Sinaceur 2008, 2015, 2017 中没有将戴德金解释为逻辑主义者的主要原因之一。）

除了弗雷格之外，将戴德金的方法与后来的集合论方法进行比较也是有启发性的。我们在上一节中指出，他的许多创新已经被纳入了公理集合论中。然而，如果仔细观察，还会出现一些差异。首先，戴德金并没有从无穷公理作为基本原则开始；相反，他试图证明无穷集合的存在。这可以看作是证明一切“可证明的”事物的方法论规则的另一个应用，也是他的逻辑主义的一个关键方面。然而，今天很少有集合论学家会想回到戴德金方法的这个方面。（戴德金在这方面的论证类似于波尔查诺在他的遗作中的一个早期论证；参见 Ferreirós 1999, ch. 7, Klev 2019。）

Dedekind 与当前集合论之间的第二个显著差异已经出现了，但值得进一步评论。这是他在引入自然数和实数时的最后一步中对“抽象”和“创造”的呼吁（正如 Tait 1996 中所称的“Dedekind-抽象”）。对于实数，公理集合论中的标准程序是跟随 Dedekind 直到这最后一步，然后将 Dedekind 切割本身作为“实数”进行处理。尽管意识到了这个选择（Dedekind 1876b，1888b），但 Dedekind 告诉我们要将“抽象”应用于切割，因为它们由复杂集合组成，从而“创造”出由它们决定但与它们本身不相同的附加数学对象。同样，在自然数的情况下，通常是构造一个特定的简单无穷集，通常是有限冯·诺伊曼序数的集合，然后将自然数与它们进行等同（因此：0=∅，1={0}，2={0,1}，等等）。再次，通过这种等同，避免了 Dedekind 的过程中涉及“抽象”和“创造”的步骤。

在当前的方法中，有时还会补充说，任何与 Dedekind 切割系统或有限冯·诺伊曼序数系统同构的其他集合论构造系统，都可以用作“实数”或“自然数”在大多数实际目的上。这意味着当代集合论常常在本质上和没有进一步阐述的情况下，通过“集合论结构主义”观点来补充对数学对象性质的看法（Reck＆Price 2000）。由此产生的哲学立场与 Dedekind 的立场不同。（但请再次参见 Sieg＆Morris 2018；在其中，Dedekind 被解释为随着时间的推移而改变了立场，即在 1888 年之前采取了接近集合论结构主义的立场。）Dedekind 的立场也与当代数学哲学中其他几种形式的结构主义不同，例如 Geoffrey Hellman，Michael Resnik 和 Stewart Shapiro 所辩护的那些。

为什么大多数数学家和哲学家在这方面不更紧密地遵循 Dedekind？以下困难起到了一定作用（参见 Boolos 1990，Müller-Stach 2017 等）：如果可以理解的话，Dedekind 的“抽象”和“创造”概念应该如何准确理解？为什么 Dedekind 首先坚持使用它们，因为我们似乎可以在没有它们的情况下进行公理集合论？对于后一个问题的部分答案是：对于 Dedekind 来说，实数不应该与相应的切割等同，因为那些切割具有“错误的属性”；即作为集合，它们包含元素，这对于实数本身来说似乎是“外来的”。同样，自然数不应该被赋予集合论或其他“外来”的属性；它们也应该被纯粹地理解为“算术的”（再次参见 Dedekind 1876b，1888b）。在这方面还能说些什么吗？

从哲学批评家的角度来看，戴德金的方法通常被解释如下：正如他所使用的“抽象”和“创造”的语言所暗示的那样，他是在诉诸心理过程。而由此产生的实体——“实数”和“自然数”——必须是心理或心理实体（存在于人们的主观意识中）。如果这是正确的，那么他的立场将成为一种关于数学的心理主义形式，这是非常有问题的，正如弗雷格、胡塞尔和其他人所教导我们的（参见达梅特 1995 年）。为了避免这样一个毁灭性的结论，为了给戴德金更多的哲学深度，文献中可以找到以下回答：虽然他没有明确说出来，但戴德金的心理主义语言表明他对康德的假设有承诺，特别是对康德的先验心理学（基彻尔 1986 年，麦卡蒂 1995 年，克莱夫 2019 年，参见本尼斯-西纳修尔 2008 年，2015 年，2018 年，弗洛伊德 2013 年）。然而，这并不清楚是否完全解决了心理主义的指责（通常也针对康德），因此这样的回应还需要进一步阐述（参见叶普 2017 年，雷克 2020 年，基于卡西勒 1907 年，1910 年）。本身而言，它也没有解释戴德金的“抽象”的具体形式。

最近，关于“戴德金抽象”的本质如何更清晰，并同时避免粗糙的心理主义的建议变得突出起来。换句话说，与其认为这种抽象等同于心理过程，不如将其理解为一种逻辑过程（参见泰特 1996 年，早期卡西勒 1910 年）。再次考虑自然数的情况，戴德金在这个问题上最明确。他给出了以下内容：首先，指定要使用的语言和逻辑，从而确定可以对自然数进行哪些断言和论证；其次，构造一个特定的简单无穷；第三，使用这个简单无穷来确定所有算术句子的真值（通过将它们与给定简单无穷的相应句子的真值等同）；第四，通过显示所有简单无穷同构来证明这种确定性（因此，如果一个句子对其中一个简单无穷成立，它对所有简单无穷都成立）。

刚才描述的过程的核心是：对于自然数来说，当相应的陈述对所有简单无穷成立时，它就是真的（即是戴德金-皮亚诺公理的语义推论）。那么，自然数是什么？它们是那些由所有算术真理决定其属性的数学对象；我们通过逻辑过程“抽象掉”其他一切。此外，这个过程可以通过“结构抽象原则”（参见林内博和佩蒂格鲁 2014 年，雷克 2018 年的详细信息）明确而一致地阐述。沿着这样的线路，数学对象的一切重要之处，实际上是构建在它们的身份和本质中的，都是由相应的数学真理所确定的。因此，通过指定这些真理，我们“创造”或更好地完全描述它们。得出的立场似乎显然不是心理主义的，可以称之为“逻辑结构主义”（雷克 2003 年，叶普 2009a 年）。

解释为这样，戴德金的方法与“美国公设论者”E.亨廷顿，O.韦布伦等相关（参见 Awodey＆Reck 2002）。这也与希尔伯特和伯奈斯后来发展的形式公理学有密切联系和明显影响（参见 Sieg 2010, 2014，还有 Hallett 1994, 1995, 2003）。对于所有这些思想家来说，数学的关键和足够的是确立某些基本概念的完备性和一致性，或者对应的公理系统的完备性和一致性。在戴德金的情况下，完备性是以语义意义上的分类性为基础的；同样，一致性是以语义意义上的可满足性为基础的（戴德金 1890）；这两者都与他独特的逻辑主义和结构主义相结合。

对这些问题的句法研究，特别是一致性的研究，在戴德金的工作中并不存在。正如前面所提到的，他并没有追求逻辑的证明论方面。戴德金的工作中也没有希尔伯特和伯奈斯后来工作中的“有限主义”（这是对集合论的反矛盾和直觉主义挑战的回应）的特点，特别是如果它以形而上学的意义来理解的话。这种有限主义可能在方法论上对戴德金是可以接受的，但在其他方面，他的立场是强烈的无穷论。事实上，在他的工作中，有限性是通过无限性来解释的：有限性的概念通过无限性的概念来解释，自然数通过无限集合来解释，等等（参见希尔伯特 1922）。

在本节中，对戴德金的立场的总结突出了逻辑问题（他的基本逻辑概念和程序，与弗雷格和公理集合论的比较）和形而上问题（戴德金的抽象和创造，数学对象的结构性质）。然而，他的立场还有另一个维度，戴德金的方法既是逻辑主义又是结构主义的独特组合，值得哲学关注。这一方面主要涉及方法论和认识论方面。其中一些方面已经在我们对他明显基础性著作的讨论中发挥了作用；但为了更好地阐明这些方面，可以转向他的其他数学工作，从代数数论开始。

4. 其他数学贡献

4.1 代数数论

尽管数学史学家长期以来一直强调戴德金对代数数论的贡献对二十世纪数学的发展产生了影响，但这些贡献的哲学意义直到最近才开始被探索（早期有一些例外：Dugac 1976，Sinaceur 1979，Edwards 1980，1983，Stein 1988）。我们应该从以下两个相关方面开始回顾：戴德金数论研究在高斯、迪利克雷和恩斯特·库默的作品中的根源；以及戴德金的方法与利奥波德·克罗内克的方法之间的对比。

这些数论学家的起点是解代数方程，特别是用整数解的方程。一个著名的例子是费马大定理，它涉及到方程 xn+yn=zn 在整数中的（非）可解性，对于不同的指数 n。高斯提出的解决这个问题的方法，由狄利克雷澄清和完善，由库默进一步推动，涉及到考虑有理数的扩展，以及包含在这些扩展中的“整数”（环）。因此，高斯研究了所有复数域中的“高斯整数”（a+bi，其中 a 和 b 是普通整数，i=√−1）；库默在相应的旋群数域中考虑了更复杂的“旋群整数”（Edwards 1977，Stillwell 2000，Gray 2018）。

沿着这些方向变得清晰的是，在某些扩展中，关于所有整数能够唯一分解为素数幂的基本定理失败了。如果这个定理普遍可用，一些重要问题的解将会在手边，包括费马大定理。那么问题就变成了，是否能找到一个适当的替代基本定理的方法。库默通过对某些特定情况进行仔细研究，提出了“理想除数”的概念，通过这个概念可以恢复唯一分解。虽然这一举措取得了显著的进展，但这些新的数学对象的确切性质仍然不清楚，引入它们的基础以及技术的适用范围也不清楚。

戴德金和克罗内克对这个早期的工作都非常了解，特别是库默的工作，他们试图在此基础上进行进一步的研究。克罗内克的策略是具体地研究某些类型的扩展，并利用计算方面的特点。对他来说，关键是以有限性和建设性的方式进行研究，因此采取了自觉受限的方式。这导致了他的“除数理论”，这是高斯和库默的“形式理论”的扩展（Edwards 1980，1990）。相比之下，戴德金以更全面和抽象的方式来处理这个问题。他考虑了一般的代数数域，从而首次引入了“域”的概念（Edwards 1983，Haubrich 1992，Stillwell 1996，1999，Ullrich 2017，Gray 2018）。

Dedekind 还用他的 "理想" 取代了 Kummer 的 "理想数"，这些 "理想" 是在集合论构造的对象，旨在在唯一分解方面发挥相同的作用。 Dedekind 的理想是所讨论的数域或其中包含的整数环的无限子集，这使得他的方法具有无穷性的特征。（环 R 中的理想 I 是一个子集，使得 I 中任意两个元素的和与差以及 I 中任意元素与 R 中任意元素的乘积也在 I 中。）这使他引入了其他有益的概念，如 "模" 的概念。 Dedekind 长时间以来一直在努力解决一个问题，即找到一个完全令人满意的解决方案，不仅是关于 "整数" 的概念，还有 "素数" 的概念（Ferreirós 1999，ch. 3，Avigad 2006，Haffner 2014）。

Kronecker 通过他的除子理论，Dedekind 通过他的理想论都能够获得重要的结果。每个理论也对后来的发展产生了强烈的影响 - Dedekind 的理论通过塑造现代代数（域论，环论等）的方法对 Hilbert、Emmy Noether、B.L. van der Waerden、Emil Artin、Nicolas Bourbaki 等人产生了影响（Alten et al. 2003，Corry 2004，McLarty 2006，Gray 2008，2018）；Kronecker 的理论也对 Hilbert 的工作产生了影响，并在后来的工作中得到了复兴，如 André Weil 和 Alexander Grothendieck 的工作（类域论，代数几何）（Weil 1950，Edwards 1990，Reed 1995，Corfield 2003）。他们方法的对比提供了一个明确的例子 - 历史上第一个重要的例子 - "古典" 和 "构造主义" 数学观念之间的对立。

这种对立经常在 "哪种方法是 '正确的' " 的问题上进行辩论，暗示只有其中一种是合法的，而另一种不合法。（这始于 Dedekind 和 Kronecker。我们已经注意到 Dedekind 明确拒绝了对他的工作的构造主义限制，尽管他并没有排除相应的项目本身是非法的。Kronecker 对集合论和无穷技术的使用持强烈反对立场，更进一步。）但另一个更基本的问题是：能否更明确、更有洞察力地捕捉代数数论或数学更一般的两种方法之间的对比；特别是，它的方法论和认识论意义是什么？

对于这个问题，我们已经在之前的讨论中给出了一个初步的、粗略的答案：Dedekind 的方法是集合论的和无穷的，而 Kronecker 的方法是构造主义的和有限的。然而，这让我们面临一个更深层次的问题：集合论和无穷方法论能够让我们做到什么，而 Kronecker 的方法则做不到，反之亦然？Kronecker 方法的特定优势通常被总结为：它为我们提供了计算和算法信息（Edwards 1980, 1990, Avigad 2008）。但 Dedekind 方法的特点优势是什么？在这方面，很难找到一个富有启发性和表达清晰的答案，特别是一个在哲学上令人满意的答案。

阻碍我们的是 Dedekind 倡导的集合论和无穷方法论非常成功，并且在二十世纪塑造了数学，以至于很难达到所需的分析距离。通常，我们只能得到一些陈词滥调：它非常“一般”和“抽象”。或者我们只能得到一些负面的描述：它不能被有限主义和构造主义所接受。除此之外，还有一种观点认为 Dedekind 的方法是“结构主义”的。但是，由于这个术语现在用来描述一种方法论，而不是一种形而上学立场，人们不禁想知道它到底包含了什么。在尝试澄清和详细阐述之前，让我们简要地考虑一下 Dedekind 的其他数学作品，因为这将使某些关键特征更加突出。

4.2 函数域、群、格

对于我们的目的，戴德金在代数函数论、群论和格论中应用他的集合论、无穷论和结构主义方法的三个附加领域是相关的。

戴德金早就意识到，他在代数数论中引入的一些概念和技巧可以转移到代数函数的研究中（后来的术语中称为代数函数域），特别是理想的集合论引入和与之相关的计算方法（参见 Haffner 2014、2015、2017 强调后者）。这一认识在与 Heinrich Weber 合著并于 1882 年发表的《可变代数函数的理论》一文中得到了实现。其中的方法导致了对黎曼曲面的更好理解，包括著名的黎曼-罗赫定理的纯代数证明。由于这些问题在数学家中间引起了广泛的兴趣，这一方法的成功使得戴德金的方法获得了重要的合法性和宣传（参见 Edwards 1983、Dieudonné 1985）。

其次，戴德金在代数数论中的贡献与 Evariste Galois 革命性的群论方法自然而富有成果地联系在一起。事实上，戴德金对 Galois 理论的早期和系统研究（他是第一个在德国大学讲授该理论的人，早在他在哥廷根担任私教授期间就开始讲授）导致了该理论本身的转变。它从研究公式中的替换和在这种替换下不变的函数转变为研究域扩展和相应的自同构，这与代数数论有着深刻的联系。戴德金还引入了 Galois 理论的其他应用，例如在模方程和函数的研究中（参见 Gray 2000、第 4 章，Alten et al. 2003、第 8 章）。

作为第三个衍生物，戴德金的数论研究引入了“格”概念（以“Dualgruppe”命名）。他进一步研究了这个概念，也将其作为一个独立的主题，在两篇相对较晚的文章中进行了探讨：“关于通过它们的最大公约数对数字进行分解”（1897 年）和“关于由三个模生成的 Dualgruppe”（1900 年）。虽然这些文章没有像他的其他几篇出版物那样立即产生强烈的影响，但后来被认为是格理论的原创、系统性贡献，特别是对模格子的研究（Mehrtens 1979a，第 2 章，Burris 1983，Alten 等人 2003，第 10 章）以及对数学公理化方法的研究（Schlimm 2000，2011，2017）。

这里无法详细讨论戴德金的这些贡献（还有其他一些贡献必须完全忽略），但可以对它们进行一些一般性的观察。虽然它们再次展示了集合论和无穷论的视角，但也显示了以下相关特点：关注整个对象系统和它们的一般规律；从特定的公式或特定的符号表示转向对底层对象系统的更一般的表征，特别是通过关系和功能属性；考虑同态、自同态、同构以及在这些映射下不变的特征；以及研究新颖的、抽象的概念，这些概念是在特定情况下引入的，但后来独立地进行了研究。

实际上，这些特点是戴德金的整体作品的特征，包括他在代数数论和基础研究中的研究。正是通过考虑这些特点，我们才开始认识到将他的方法论称为“结构主义”的含义不仅仅是“一般的”和“抽象的”。它还帮助我们认识到戴德金的方法在“现代”数学的出现中起到了关键作用，这种数学是由结构主义方法论塑造的（参见 Reck＆Schiemer 2020）。回顾代数学的相应历史，本领域的重要贡献者之一 B.L. van der Waerden 总结道：“现代代数的结构是由伽罗瓦和戴德金赋予的；这就是它的承重骨架的来源”（Dedekind 1964，前言，引自 Mehrtens 1979b；参见 Gray 2008）。

5. 方法论和认识论

在前面的部分中，我们考虑了戴德金明显基础性的作品。这导致了对其中出现的逻辑主义和形而上学结构主义观点的讨论。在最近的几个部分中，焦点转向了他的其他数学贡献和它们所体现的方法论结构主义。现在我们可以更明确和系统地阐述后者。除了将戴德金的方法称为集合论的、无穷的和非构造性的之外，构成它的方法论可以分为三个部分进行分析。

第一部分与戴德金使用集合论工具和技术密切相关。他用这些工具和技术构造新的数学对象（自然数和实数、理想、模等）或整个类别的这些对象（代数数域、环、格等），通常是用无穷集合来描述。与此密切相关但更具特征性的是：然后给这些集合赋予一般的结构特征（序关系、算术和其他运算等）；并且通过相应的高级概念（实数系统的连续性、自然数的简单无穷性、代数数域和函数域的唯一分解等）来研究所得到的系统。再次强调的是，从哲学上讲，这个过程不仅是无穷的（他接受实际的无穷）和非构造性的（附加的特征不一定基于算法）。现在可以研究各种关系系统，包括许多新的关系系统；这带来了数学主题的显著扩展。数学不再仅仅与直观给定的东西（具体的数目、几何大小、可观察的物理过程等）相关；它已经成为对关系系统的更一般的研究（基于新的“关系逻辑”，正如罗素和卡西勒后来所说）。

Dedekind 方法的第二个特征部分是坚持不懈地（从早期开始，参见 Dedekind 1854）试图确定和澄清基本概念，包括刚刚提到的高级概念（连续性、无穷大、整数和质数的广义概念，以及新的理想、模、格等概念）。在这个背景下，对他来说找到“正确的定义”至关重要；这不仅涉及基本的适应性，还包括如：富饶性、普遍性、简单性和“纯净性”，即消除“外来”方面（几何概念对自然数和实数来说是外来的，质数的定义必须具有适当的普遍性等）。此外，一旦 Dedekind 确定了这些概念，他还会研究其中最重要的概念本身，即在理论的一个独立部分中进行研究。这使得他的方法具有独特的“概念”特征（参见 Stein 1988，Avigad 2006），并且它指向了公理化方法（Sieg＆Schlimm 2014，Schlimm 2017，还有 Haffner 2014、2015、2017）。

Dedekind 方法的第三个主要部分连接并补充了前两个部分。他不仅研究无限系统的对象或整个类别的这些系统，还试图确定适用于它们的基本概念，特别是高级概念。他经常通过考虑对所研究系统的映射来同时进行这两者，尤其是保持结构的映射（同态、同构，隐含地也包括范畴论的函子等）。这意味着数学现象的关键之处可能不在于表面（示例的具体特征、特定的符号等），而在于更深层次。虽然这些更深层次的特征通常可以用集合论来捕捉（Dedekind 切割、理想、商结构等），但最终指向的是范畴论，特别是 Dedekind 后期的作品（参见 Corry 2004，McLarty 2006，Ferreirós 2017a，2017b）。

对于当代数学家来说，Dedekind 方法的这三个部分可能并不显得特别。但这正是现代数学受到他的工作影响之深的证明。他的方法在当时无疑被视为新颖甚至是革命性的。已经提到了一些有关有限主义和构造主义思想家对其的负面反应。如果我们记住两个传统的广泛共享的假设：数学是关于数和大小的科学；它与计算和其他算法过程有本质联系。相对于这样的假设，Dedekind 的数学方法涉及到了一种根本的转变和解放（参见 Stein 1988，Tait 1996）。

另一种展现戴德金作品的根本特征的方式是回顾他对无穷的处理。它始于将长期被视为悖论性质（与真子集等势）视为无穷集合的定义特征。戴德金随后对有限性进行了系统而广泛的分析，这又是一个相当大胆的想法。要使这些概念和方法上的创新得到接受，它们不仅必须为数学开辟新领域，而且还必须在更传统的领域取得进展（正如它所做的：连续性和数学归纳与递归的澄清，代数学、代数数论、代数函数理论等的结果）。

虽然戴德金是一位伟大的创新者，但他当然不是唯一一个将数学的大部分内容朝着集合论、无穷论和结构主义方向推进的人。当时有一整个数学家群体在推动更“概念性”的方法，其中包括他在哥廷根的几位老师。在这个群体中，迪利克雷有时被认为是领导者，或者是其他人中的“诗人之诗人”，其中之一是因为他对戴德金产生了很大的影响（Stein 1988，另见 Merzbach 2018）。正如赫尔曼·明科夫斯基（Hermann Minkowski）后来所说（在迪利克雷 100 岁生日的时候）：他向其他数学家灌输了“用最少的盲目计算、最多的清晰思考来解决问题”的理念（引自 Stein 1988）。

黎曼在这个背景下也是一个有影响力的人物。他对戴德金也产生了强烈的影响，有两个方面：一是通过强调（在他发展复函数论时）使用简单、特征和“内在”的概念的重要性，与与特定符号主义相关的“外在”属性形成对比（Mehrtens 1979b，Laugwitz 1999，Tappenden 2005a，2006，Ferreirós＆Reck 2020）；二是通过探索新的“概念可能性”，包括对黎曼几何的系统研究（Stein 1988）。对于戴德金来说，这种概念探索的另一个例子是他的通信者康托尔对超限序数和基数的研究（Ferreirós 1999，第 2 章和第 6 章）。当然，后来受到迪利克雷、黎曼、戴德金和康托尔影响的数学家进一步推动了他们的创新，包括恩斯特·策梅洛、艾米·诺特和尼古拉斯·布尔巴基（Corry 2004，2017，McLarty 2006，Kahle 2017）。

Dedekind 的方法论的重要性能否进一步展现出来？或者能否用不同的术语来表达？一种方法是通过强调其中体现的方法论价值：系统性、普遍性、纯粹性等（Avigad 2006，还有 Haffner 2014、2015、2017）。另一种方法是关注所涉及的推理类型：“概念性”或“结构性”推理（Stein 1988，Ferreirós 1999），或者用与希尔伯特经常相关的术语来说，“公理化”推理（Sieg & Schlimm 2005，2017，Schlimm 2000，2011，2017）。我们甚至可能想要谈论一种新颖的“推理风格”，其中“风格”在这里是以认识论意义上的，而不是以美学、心理学或社会学意义上的。这种风格带来的不仅仅是新的定理和证明，还有一种独特的对数学事实的“理解”方式（Reck 2009，参见 Tappenden 2005b，Müller-Stach 2017）。

这些揭示 Dedekind 方法的全部意义的尝试是初步的，还需要进一步的阐述。然而，有一点似乎是很清楚的：塑造 Dedekind 数学作品的方法论和认识论观点与在他更基础的著作中出现的逻辑和形而上学观点并不独立。这并非偶然；如果一个人采取他的方法论立场，就很难坚持狭义的计算、形式主义、经验主义或直觉主义对数学的观点。更具体地说，沿着 Dedekind 的思路进行的结构主义方法论要求结构主义形而上学，这是同一枚硬币的两面。Dedekind 似乎对这一事实非常清楚，即使他在著作中没有详细阐述。

6. 结论性的评论

我们从考虑 Dedekind 在他明确的基础著作中对数学基础的贡献开始：两本小册子《连续性与无理数》（1872 年）和《数是什么以及数应该是什么》（1888 年）。然后，我们添加了对他在更主流的数学著作中方法论创新的概述和初步分析，从他在代数数论到其他领域的工作。我们还指出，他在基础工作中的逻辑和形而上学立场与他更一般的方法论和认识论观点密切相关。从这个意义上说，任何试图严格区分他的“基础”和其他“数学”著作的尝试都是错误的；Dedekind 在他的全部工作中都做出了与基础相关的贡献。事实上，他的案例为一个更一般的教训提供了一个很好的论证和例证。也就是说，严格区分关于数学的“基础”或“哲学”问题与“内部数学”或“基于实践”的问题是不可取的，尤其是如果不想使双方都贫乏的话。

如果我们从这样的角度来看 Dedekind 的贡献，总体来说令人印象深刻。他不仅是十九世纪最伟大的数学家之一，也是最微妙的数学哲学家之一。凭借他关于数学实体的性质以及如何研究它们的结构主义观点，他远远领先于他的时代。他甚至领先于许多当前的数学哲学，尤其是对双方的敏感性。这并不是说他的立场没有问题。Dedekind 自己对集合论的反悖论感到困扰，尤其是最初。而且二十世纪还产生了其他令人难以接受的惊喜，比如哥德尔的不完全性定理。此外，数学的方法论自他的时代以来已经进一步发展，包括试图调和和整合“概念性”和“计算性”思维，例如在计算机辅助证明中。然而，今天是否有一个哲学立场能够令人满意地回答所有关于数学的重要问题？如果没有，更新和复兴 Dedekind 的立场可能是一个值得的项目。

Bibliography

Primary Literature (German Editions, English Translations)

Works listed in this section are by Richard Dedekind, unless otherwise specified.

1854	“Über die Einführung neuer Funktionen in der Mathematik; Habilitationsvortrag”; in Dedekind (1930–32), Vol. 3, pp. 428–438.
1857	“Abriß einer Theorie der höheren Kongruenzen in bezug auf einen reellen Primzahl-Modulus”; reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. 1, pp. 40–67.
1863	Dirichlet, P.G.L., Vorlesungen über Zahlentheorie, first edition, edited by R. Dedekind; Braunschweig: Vieweg.
1871	Dirichlet, P.G.L., Vorlesungen über Zahlentheorie, second edition, edited and with supplements by R. Dedekind; Braunschweig: Vieweg.
1872	Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig: Vieweg (originally published as a separate booklet); reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. 3, pp. 315–334, in Dedekind (1965), pp. 1–22, and in Dedekind (2017), pp. 111–132; English trans., Dedekind (1901b).
1876a	“Bernhard Riemanns Lebenslauf”, in Riemann (1876), pp. 539–558.
1876b	“Briefe an Lipschitz (1–2)”, in Dedekind (1930–32), Vol. 3, pp. 468–479.
1876c	Riemann, Bernard, Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber, ed., with assistance by R. Dedekind; second edition (revised) 1892, with a supplement added in 1902; reprinted by New York: Dover, 1953.
1877	Sur la Théorie des Nombres Entiers Algébrique, Paris: Gauthier-Villars; reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. 3, pp. 262–296; English trans. Dedekind (1996b).
1879	Dirichlet, P.G.L., Vorlesungen über Zahlentheorie, third edition, edited and with additional supplements by R. Dedekind; Braunschweig: Vieweg; reprinted by Cambridge University Press, 2013.
1882	“Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen”, with H. Weber; reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. 1, pp. 238–350; English trans. Dedekind (2012).
1888a	Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig: Vieweg (originally published as a separate booklet); reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. 3, pp. 335–91, in Dedekind (1965), pp. III–XI and 1–47, and in Dedekind (2017), pp. 53–109; English trans., (Dedekind 1901c) and (revised) Dedekind (1995).
1888b	“Brief an Weber”, in Dedekind (1930–32), Vol. 3, pp. 488–490.
1890	“Letter to Keferstein”, in Van Heijenoort (1967), pp. 98–103; German original, with editorial introduction, in Scheel et al. (2017), pp. 205–211.
1893	Dirichlet, P.G.L., Vorlesungen über Zahlentheorie, fourth edition, edited and with yet further supplements by R. Dedekind; Braunschweig: Vieweg; reprinted by Chelsea: New York, 1968.
1897	“Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler”; reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. 2, pp. 103–147.
1900	“Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe”; reprinted in Dedekind (1930–32), Vol. II, pp. 236–271.
1901a	Essays on the Theory of Numbers, W.W. Beman, ed. and trans., Chicago: Open Court Publishing Company, 1901; reprinted by New York: Dover, 1963; English version of Dedekind (1965); essays also included in Ewald (1996a), pp. 756–779 and 787–833, and in Hawking (2005a), pp. 901–964.
1901b	“Continuity and Irrational Numbers”, in (Dedekind 1901a), pp. 1–27; English trans. of Dedekind (1872).
1901c	“The Nature and Meaning of Numbers”, in (Dedekind 1901a), pp. 29–115; English trans. of Dedekind (1888a).
1930–32	Gesammelte Mathematische Werke, Vols. 1–3, R. Fricke, E. Noether & Ö. Ore, eds., Braunschweig: Vieweg; reprinted (except for the separately published Dedekind 1964) by New York: Chelsea Publishing Company, 1969.
1937	Noether, E. & Cavaillès, J., eds., Briefwechsel Cantor-Dedekind, Paris: Hermann.
1964	Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Nachdruck des elften Supplements (from Dirichlet 1893), with a preface by B. L. van der Waerden, Braunschweig: Vieweg.
1965	Was sind und was sollen die Zahlen?/Stetigkeit und irrationale Zahlen. Studienausgabe, G. Asser, ed., Braunschweig: Vieweg; later German version of Dedekind (1901a).
1981	“Eine Vorlesung über Algebra”, in Scharlau (1981a), pp. 59–100.
1982	“Unveröffentlichte algebraische Arbeiten Richard Dedekinds aus seiner Göttinger Zeit, 1855–1858”, Archive for History of Exact Sciences 27:4, 335–367.
1985	Vorlesungen über Diffential- und Integralrechnung 1861/62, based on notes by H. Bechtold, M.-A. Knus & W. Scharlau, eds., Braunschweig: Vieweg.
1986	Lipschitz, Rudolf, Briefwechsel mit Cantor, Dedekind, Helmholtz, Kronecker, Weierstrass und anderen, W. Scharlau, ed., Braunschweig: Vieweg.
1991	Meschkowski, H. & Nilson, W., eds., Georg Cantor. Briefe, Berlin: Springer; especially “Die Periode des Briefwechsels mit Dedekind — die Entstehung der Mengenlehre”, pp. 29–66.
1995	What Are Numbers and What Should They Be? H. Pogorzelski, W. Ryan & W. Snyder, eds. and trans., Orono, ME: Research Institute for Mathematics; revised English trans. of Dedekind (1888).
1996a	“Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916)”, in Ewald (1996a), Vol. 2, pp. 753–837; English trans. of various texts by Dedekind.
1996b	Theory of Algebraic Integers, J. Stillwell, ed. and trans., Cambridge: Cambridge University Press; English trans. of Dedekind (1877).
1999	Dirichlet, P.G.L., Lectures on Number Theory, with supplements by Richard Dedekind, J. Stillwell, ed. and trans., Providence: American Mathematical Society; English trans. of Dirichlet (1893).
2008	Richard Dedekind: La création des nombres, H.B. Sinaceur, ed. and trans., Paris: Vrin; French trans. of various texts by Dedekind.
2012	Dedekind, R. & Weber, H., Theory of Algebraic Functions of One Variable, J. Stillwell, ed. and trans., Providence: American Mathematical Society; English trans. of Dedekind (1882).
2014	Scheel, Katrin, Der Briefwechsel Richard Dedekind-Heinrich Weber, T. Sonar & K. Reich, eds., Berlin: Walter de Gruyter.
2017	Was sind und was sollen die Zahlen? Stetigkeit und Irrationale Zahlen, S. Müller-Stach, ed., Berlin: Springer.
2020	Scheel, Katrin: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Die verlorene Neufassung des XI. Supplements zu Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie, Berlin: Springer.

Secondary Literature (in English, French, and German)

• Alten, H.-W., et al. (eds.), 2003, 4000 Jahre Algebra, Berlin: Springer; especially Chapter 9, “Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert”, by K.-H. Schlote et al., pp. 475–550.

• Avigad, Jeremy, 2006, “Methodology and Metaphysics in the Development of Dedekind’s Theory of Ideals”, in The Architecture of Modern Mathematics, J. Ferreirós & J. Grey (eds.), Oxford: Oxford University Press, pp. 159–186.

• Awodey, S. & Reck, E., 2002, “Categoricity and Completeness, Part I: Nineteenth-Century Axiomatics to Twentieth-Century Metalogic”, History and Philosophy of Logic, 23: 1–30.

• Bell, E.T., 1937, Men of Mathematics; reprinted, New York: Simon & Schuster, 1965; especially Chapter 27, “Arithmetic the Second: Kummer (1810–1893), Dedekind (1831–1916)”, pp. 510–525.

• Belna, Jean-Pierre, 1996, La Notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege: Théories, conceptions, et philosophie, Paris: Vrin.

• Benis-Sinaceur, Hourya, 2008, Richard Dedekind, la creation des nombres, Paris: Vrin

• –––, 2015, “Is Dedekind a Logicist? Why Does Such a Question Arise?”, in Benis-Sinaceur, Panza & Sandu (2015), pp. 1–58.

• –––, 2017, “Dedekind’s and Frege’s Views on Logic”, in Scheel et al. (2017), pp. 50–62.

• Benis-Sinaceur, H., Panza, M. & Sandu, G. (eds.), 2015, Functions and Generality of Logic: Reflections on Dedekind’s and Frege’s Logicisms, Berlin: Springer.

• Biermann, Kurt R., 1971, “Dedekind”, in Dictionary of Scientific Biography, Vol. 4, C.C. Gillespie (ed.), pp. 1–5.

• Boolos, George, 1990, “The Standard of Equality of Numbers”, in Meaning and Method: Essays in Honor of Hilary Putnam, G. Boolos (ed.), pp. 261–277; reprinted in Logic, Logic, and Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998, pp. 202–219.

• Bordogna, Francesca, 1996, “Interpreting the Ideal: Embedding Ideal Numbers in the Mathematical Programs of Kummer, Dedekind, and Klein”, Max Planck Institute for the History of Science, Berlin.

• Boyer, C. & Merzbach, U., 1991, A History of Mathematics, second edition (revised), Wiley & Sons: New York; especially Chapter 25, “Analysis”, pp. 553–574, and Chapter 26, “Algebra”, pp. 575–598.

• Burris, Stanley, 1983, “Boolean Constructions”, in Universal Algebra and Lattice Theory, Proceedings, Puebla 1982 (Springer Lecture Notes: Volume 1004), Berlin: Springer, pp. 67–90.

• Cassirer, Ernst, 1907, “Kant und die moderne Mathematik ”, Kant Studien 12, pp. 1–49; reprinted in Gesammelte Werke, Band 9, Hamburg: Meiner, 2001, pp. 37–82.

• –––, 1910, Substanzbegriff und Funktionsbegriff, Berlin: Bruno Cassierer; English trans., Substance and Function: Chicago: Open Court, 1923.

• Cooke, Roger, 2005, “Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872)”, Chapter 43 of Landmark Writings in Western Mathematics, 1640–1940, I. Grattan-Guinness (ed.), Amsterdam: Elsevier, pp. 553–563.

• Corfield, David, 2003, Towards a Philosophy of Real Mathematics, Cambridge University Press; especially Chapter 8, “Beyond the Methodology of Mathematical Research Programmes”, pp. 175–203.

• Corry, Leo, 2004, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, second edition (revised), Birkhäuser: Boston; especially Chapter 2: “Richard Dedekind: Numbers and Ideals”, pp. 66–136.

• –––, 2015, A Brief History of Numbers, Oxford: Oxford University Press

• –––, 2017, “Dedekind and Noether. Steht alles schon bei Dedekind? Ideals and Factorization between Dedekind and Noether”, in Scheel et al. (2017), pp. 134–159.

• Demopoulos, W. & Clark, P., 2005, “The Logicism of Frege, Dedekind, and Russell”, in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, S. Shapiro (ed.), Oxford: Oxford University Press, pp. 166–202.

• Detlefsen, Michael, 2011, “Dedekind against Intuition: Rigor, Scope, and the Motives of his Logicism”, in Logic and Knowledge, C. Cellucci et al. (eds.), Cambridge: Cambridge Scholars Publishing, pp. 205–217

• Dieudonné, Jean (ed.), 1985, Geschichte der Mathematik 1700–1900, Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1985; especially Chapter 5, “Zahlentheorie”, by W. & F. Ellison, pp. 171–358, and Chapter 6, “Grundlagen der Analysis”, by P. Dugac, pp. 359–421; originally published in French, 1978.

• Dugac, Pierre, 1976, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques, Paris: Vrin; with selections from Dedekind’s Nachlass.

• Dummett, Michael, 1995, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press.

• Edwards, Harold M., 1977, Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, New York: Springer.

• –––, 1980, “The Genesis of Ideal Theory”, Archive for History of Exact Sciences, 23: 321–378.

• –––, 1983, “Dedekind’s Invention of Ideals”, Bulletin of the London Mathematical Society, 15: 8–17.

• –––, 1990, Divisor Theory, Boston: Birkhäuser.

• Ewald, William B. (ed.), 1996a, From Kant to Hilbert. A Source Book in the Foundations of Mathematics, Vols. 1–2, Oxford: Oxford University Press.

• –––, 1996b, Editor’s introduction to Dedekind (1996a), pp. 753–754.

• Feferman, S. & Hellman, G., 1995, “Foundations of Predicative Arithmetic”, in Philosophical Logic, 24: 1–17.

• Ferreirós, José, 1993, “On the Relation between Georg Cantor and Richard Dedekind”, Historia Mathematica, 20: 343–363.

• –––, 1995, “‘What Fermented in Me for Years’: Cantor’s Discovery of Transfinite Numbers”, Historia Mathematica, 22: 33–42.

• –––, 1996, “Traditional Logic and the Early History of Set Theory, 1854–1908”, Archive for History of Exact Sciences, 50: 5–71.

• –––, 1999, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, Boston: Birkhäuser; especially: Chapter 3, “Dedekind and the Set-theoretic Approach to Algebra”, pp. 81–116; Chapter 4, “The Real Number System”, pp. 117–144; and Chapter 7, “Sets and Maps as a Foundation for Mathematics”, pp. 215–255; second edition (with added postscript), 2007.

• –––, 2005, “Richard Dedekind (1888) and Giuseppe Peano (1889), Booklets on the Foundations of Arithmetic”, Chapter 47 of Landmark Writings in Western Mathematics, 1640–1940, I. Grattan-Guinness (ed.), Amsterdam: Elsevier, pp. 613–626.

• –––, 2007, “The Rise of Pure Mathematics, as Arithmetic in Gauss”, in The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, C. Goldstein, N. Schappacher & J. Schwermer (eds.), Berlin: Springer, pp. 235–268.

• –––, 2009, “Hilbert, Logicism, and Mathematical Existence”, Synthese, 170: 33–70.

• –––, 2016, “The Early Development of Set Theory”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/fall2016/entries/settheory-early/.

• –––, 2017a, “Dedekind’s Map-Theoretic Period”, Philosophia Mathematica, 25(3): 318–340.

• –––, 2017b, “The Role of Abbildungen in Frege’s Late Work”, in Scheel et al. (2017), pp. 160–173.

• –––, forthcoming, “On Dedekind’s Logicism”, in Analytic Philosophy and the Foundations of Mathematics, A. Arana & C. Alvarez (eds.), London: Palgrave.

• Ferreirós, J. & Reck, E., 2020, “Dedekind’s Mathematical Structuralism: From Galois theory to Numbers, Sets, and Functions”, in Reck & Schiemer (2020), pp. 59–87.

• Floyd, Juliet, 2013, “The Varieties of Rigorous Experience”, in The Oxford Handbook of the History of Analytic Philosophy, M. Beaney (ed.), Oxford: Oxford University Press, pp. 1003–1042.

• Gardies, Jean-Louis, 1984, “Eudoxe et Dedekind”, Revue d’histoire des sciences, 37: 111–125.

• Geyer, Wulf-Dieter, 1981, “Die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen nach Dedekind und Weber”, in Scharlau (1981a), pp. 109–133.

• Gillies, D.A., 1982, Frege, Dedekind, and Peano on the Foundations of Arithmetic, Assen: Van Gorcum.

• Grattan-Guinness, Ivo (ed.), 1980, From the Calculus to Set Theory 1630–1910. An Introductory History, Princeton: Princeton University Press; especially Chapter 6, “Developments in the foundations of mathematics, 1870–1920”, by R. Bunn, pp. 220–255.

• Gray, Jeremy, 1986, “The Nineteenth-Century Revolution in Mathematical Ontology”, in Revolutions in Mathematics, D. Gillies (ed.), Oxford: Oxford University Press; second edition, 1992, pp. 226–248.

• –––, 2000, Linear Differential Equations and Group Theory, from Riemann to Poincaré, second edition, Boston: Birkhäuser; especially Chapter IV, “Modular Equations”, pp. 101–140.

• –––, 2008, Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics, Princeton: Princeton University Press; especially Chapter 3, “Mathematical Modernism Arrives”, pp. 113–175.

• –––, 2018, A History of Abstract Algebra, Berlin: Springer; especially Chapters 17–19, on Dedekind’s theories of ideals, pp. 195–216.

• Haffner, Emmylou, 2014, “D’un point de vue rigoureux et parfaitement général: Pratique des mathématiques rigoureuses chez Richard Dedekind”, Philosophia Scientiae, 18, 131–156.

• –––, 2015, “The Science of Number in Action in Richard Dedekind’s Works: Between Mathematical Explorations and Foundational Investigations”, Ph.D. Thesis, History and Philosophy of Mathematics, University of Paris/Diderot (Paris 7), HAL archives available online.

• –––, 2017, “Strategic Use(s) of Arithmetic in Richard Dedekind and Heinrich Weber’s Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen”, Historia Mathematica, 44: 31–69.

• Hallett, Michael, 1994, “Hilbert’s Axiomatic Method and the Laws of Thought”, in Mathematics and Mind, A. George (ed.), Oxford: Oxford University Press, pp. 158–198.

• –––, 1995, “Hilbert and Logic”, in Québec Studies in the Philosophy of Science, 1: 135–187.

• –––, 2003, “Foundations of Mathematics”, in The Cambridge History of Philosophy, 1870–1945, T. Baldwin (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 128–154.

• Harborth, H. et al. (eds.), 2007, Gedenkschrift für Richard Dedekind, Braunschweig: Appelhans Verlag.

• Haubrich, Ralf, 1992, Zur Entstehung der algebraischen Zahlentheorie Richard Dedekinds, Ph.D. dissertation, University of Göttingen.

• Hawking, Stephen (ed.), 2005a, God Created the Integers. The Mathematical Breakthroughs that Changed History, London: Running Press.

• –––, 2005b, Editor’s introduction to “Richard Julius Wilhelm Dedekind (1831–1916). His Life and Work”, in Hawking (2005a), pp. 901–905.

• Hilbert, David, 1922, “Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung”, reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Dritter Band, New York: Chelsea, pp. 157–177.

• Jahnke, Hans Niels (ed.), 2003, A History of Analysis, American Mathematical Society; especially: Chapter 1, “Antiquity”, by R. Thiele, pp. 1–40, and Chapter 10, “The End of the Science of Quantity: Foundations of Analysis, 1860–1910”, by J. Lützen, pp. 291–324; originally published in German, 1999.

• Jourdain, P.E.B., 1916, “Richard Dedekind (1833–1916)”, The Monist, 26: 415–427; reprinted in Modern Logic, 3 (1993): 207–214.

• Kahle, Reinhard, 2017, “Von Dedekind zu Zermelo versus Peano zu Gödel”, in Scheel et al. (2017), pp. 174–185.

• Kitcher, Philip, 1986, “Frege, Dedekind, and the Philosophy of Mathematics”, in Frege Synthesized, L. Haaparanta & J. Hintikka (eds.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 299–343.

• Klev, Ansten, 2011, “Dedekind and Hilbert on the Foundations of the Exact Sciences”, The Review of Symbolic Logic, 4: 645–681.

• –––, 2017, “Dedekind’s Logicism”, Philosophia Mathematica, 25: 341–368.

• –––, 2018, “A Road Map to Dedekind’s Theorem 66”, HOPOS: The Journal of the International Society for the History of the Philosophy of Science, 8: 241–277.

• Kolmogorov, A.N. & Yushkevich, A.P., 2001, Mathematics of the 19th Century. Vol. I: Mathematical Logic, Algebra, Number Theory, Probability Theory, second edition (revised), Birkhäuser: Boston; especially Chapter 2, Section 3, “The Theory of Algebraic Numbers and the Beginnings of Commutative Algebra”, by I.G. Bashmakova & A.N. Rudakov, pp. 86–135; originally published in Russian, 1978.

• Landau, Edmund, 1917, “Richard Dedekind”, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Geschäftliche Mitteilungen, 50–70.

• Laugwitz, Detlef, 1999, Bernhard Riemann 1826–1866. Turning Points in the Conception of Mathematics, Boston: Birkhäuser; originally published in German, 1996.

• Linnebo, Ø & Pettigrew, R., 2014, “Two Types of Abstraction for Structuralism”, The Philosophical Quarterly, 64: 267–283.

• McCarty, David, 1995, “The Mysteries of Richard Dedekind”, in From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics, J. Hintikka (ed.), New York: Springer, pp. 53–96.

• McLarty, Colin, 2006, “Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the Rise of Functors”, in The Architecture of Modern Mathematics, J. Ferreirós & J. Grey (eds.), Oxford: Oxford University Press, pp. 187–208.

• Mehrtens, Herbert, 1979a, Entstehung der Verbandstheorie, Hildesheim: Gerstenberg; especially Chapter 2, “Die ‘Dualgruppe’ von Richard Dedekind”, pp. 66–126.

• –––, 1979b, “Das Skelett der modernen Algebra. Zur Bildung mathematischer Begriffe bei Richard Dedekind”, in Disciplinae Novae, C.J. Sciba (ed.), Göttingen: Vanderhoeck & Ruprecht, pp. 25–43.

• –––, 1982, “Richard Dedekind – Der Mensch und die Zahlen”, Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, 33: 19–33.

• Merzbach, Utah, 2018, Dirichlet: A Mathematical Biography, Birkhäuser: Basel.

• Mueller, Ian, 1981, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, especially Chapter 3, “Magnitudes in Proportion”, pp. 118–151.

• Müller-Stach, Stefan, 2017, “Richard Dedekind: Style and Influence”, in Scheel et al. (2017), pp. 26–35.

• Potter, Michael, 2000, Reason’s Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap, Oxford: Oxford University Press; especially Chapter 3, “Dedekind”, pp. 81–104.

• Reck, Erich, 2003, “Dedekind’s Structuralism: An Interpretation and Partial Defense”, Synthese, 137: 369–419.

• –––, 2009, “Dedekind, Structural Reasoning, and Mathematical Understanding”, in New Perspectives on Mathematical Practices, B. van Kerkhove (ed.), Singapore: World Scientific, pp. 150–173.

• –––, 2013, “Frege, Dedekind, and the Origins of Logicism”, History and Philosophy of Logic, 34: 242–265.

• –––, 2017, “Dedekind as a Philosopher of Mathematics”, in Scheel et al. (2017), pp. 36–49.

• –––, 2018, “On Reconstructing Dedekind Abstraction Logically”, in Logic, Philosophy of Mathematics, and their History: Essays in Honor of W.W. Tait, E. Reck (ed.), London: College Publications, pp. 113–138.

• –––, 2019, “The Logic in Dedekind’s Logicism”, in Logic from Kant to Russell: Laying the Foundations for Analytic Philosophy, S. Lapointe (ed.), Routledge: London, pp. 171–188.

• –––, 2020, “Cassirer’s Reception of Dedekind and the Structuralist Transformation of Mathematics”, in Reck & Schiemer (2020), pp. 329–351.

• Reck, E. & Price, M., 2000, “Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy of Mathematics”, Synthese, 125: 341–383.

• Reck, E. & Schiemer, G. (eds.), 2020, The Prehistory of Mathematical Structuralism, Oxford: Oxford University Press.

• Reed, David, 1995, Figures of Thought, Routledge: London; especially Chapter 4, “Number Theory in the Nineteenth Century”, pp. 76–116.

• Scharlau, Winfried (ed.), 1981a, Richard Dedekind, 1831/1981: Eine Würdigung zu seinen 150. Geburtstag, Braunschweig: Vieweg.

• –––, 1981b, “Erläuterungen zu Dedekinds Manuskript über Algebra”, in Scharlau (1981a), pp. 101–108.

• Scheel, K., Sonar, T. & Ullrich, P. (eds.), 2017, In Memoriam Richard Dedekind (1831–1916). Number Theory–Algebra–Set Theory–History–Philosophy, WTM Verlag: Münster.

• Schlimm, Dirk, 2000, Richard Dedekind: Axiomatic Foundations of Mathematics, M.A. thesis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; with selections from Dedekind’s Nachlass.

• –––, 2011, “On the Creative Role of Axiomatics: The Discovery of Lattices by Schroeder, Dedekind, Birkhoff, and Others”, Synthese, 183, 47–68.

• –––, 2017, “On Dedekind’s Axiomatic Approach to the Foundations of Mathematics”, in Scheel et al. (eds.), pp, 75–82.

• Sieg, Wilfried, 2010, “Searching for Proofs (and Uncovering Capacities of the Mathematical Mind)”, in Proofs, Categories, and Computations: Essays in Honor of Grigory Mints, S. Feferman & W. Sieg (eds.), London: College Publications, pp. 189–215.

• –––, 2014, “The Ways of Hilbert’s Axiomatics: Structural and Formal”, Perspectives on Science, 22, 133–157.

• Sieg, W. & Morris, R., 2018, “Dedekind’s Structuralism: Creating Concepts and Deriving Theorems”, in Logic, Philosophy of Mathematics, and their History: Essays in Honor of W.W. Tait, E. Reck (ed.), London: College Publications, pp. 251–301.

• Sieg, W. & Schlimm, D., 2005, “Dedekind’s Analysis of Number: System and Axioms”, Synthese, 147: 121–170.

• –––, 2017, “Dedekind’s Abstract Concepts: Models and Mappings”, Philosophia Mathematica, 25, 292–317.

• Sinaceur, M.A., 1974, “L’infini et les nombres – Commentaires de R. Dedekind à ‘Zahlen’ – La correspondance avec Keferstein”, Revue d’histoire des sciences, 27: 251–278.

• –––, 1979, “La méthode mathématique de Dedekind”, Revue d’histoire des sciences, 32: 107–142.

• –––, 1990, “Dedekind et le programme de Riemann”, Revue d’histoire des sciences, 43: 107–142.

• Sonar, Thomas, 2017, “Richard Dedekind (1831–1916)”, in Scheel et al. (2017), pp. 1–7.

• Stein, Howard, 1988, “Logos, Logic, and Logistiké: Some Philosophical Remarks on Nineteenth-Century Transformations of Mathematics”, in History and Philosophy of Modern Mathematics, W. Aspray & P. Kitcher (eds.), Minneapolis: University of Minnesota Press, pp. 238–259.

• –––, 1990, “Eudoxos and Dedekind: On the Ancient Greek Theory of Ratios and its Relation to Modern Mathematics”, Synthese, 84: 163–211.

• –––, 1998, “Dedekind, Julius Wilhelm Richard”, in Routledge Encyclopedia of Philosophy (Volume 2), London: Routledge, pp. 840–842.

• Stillwell, John, 1996, Translator’s Introduction to Dedekind (1996a), pp. 1–50.

• –––, 1999, Translator’s Introduction to Dedekind (1999), pp. xi–xx.

• –––, 2000, Mathematics and its History, New York: Springer, second edition (revised); especially Chapter 21, “Algebraic Number Theory”, pp. 404–430.

• –––, 2012, Translator’s Introduction to Dedekind (2012), pp. 1–37.

• Tait, W.W., 1996, “Frege versus Cantor and Dedekind: On the Concept of Number”, in Frege: Importance and Legacy, M. Schirn (ed.), Berlin: de Gruyter, pp. 70–113.

• Tappenden, Jamie, 1995, “Geometry and Generality in Frege’s Philosophy of Arithmetic”, Synthese, 102: 319–361.

• –––, 2005a, “The Caesar Problem in its Historical Context: Mathematical Background”, Dialectica, 59: 1–28.

• –––, 2005b, “Proof Style and Understanding in Mathematics I: Visualization, Unification, and Axiom Choice”, in Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics, P. Mancosu et al. (eds.), New York: Springer, pp. 147–214.

• –––, 2006, “The Riemannian Background of Frege’s Philosophy”, in The Architecture of Modern Mathematics, J. Ferreirós & J. Grey (eds.), Oxford: Oxford University Press, pp. 97–132.

• Ullrich, Peter, 2017, “Der Mathematiker Richard Dedekind: Von Gauss und Dirichlet zu Noether und Bourbaki”, in Scheel et al. (2017), pp. 8–25.

• Van Heijenoort, Jean (ed.), 1967, From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.

• Weil, André, 1992, “Number Theory and Algebraic Geometry”, in Proceedings of the International Congress for Mathematicians, Vol. 2, American Mathematical Society, pp. 90–100.

• Wilson, Mark, 1992, “Frege: The Royal Road from Geometry”, Noûs, 26: 149–180.

• –––, 2010, “Frege’s Mathematical Setting”, in The Cambridge Companion to Frege, T. Ricketts & M. Potter (eds.), Cambridge University Press, pp. 379–412.

• Wussing, Hans, 1984, The Genesis of the Abstract Group Concept, Cambridge, MA: MIT Press; especially Part III, Chapter 4, “The shaping and axiomatization of the abstract group concept”, pp. 230–254; reprinted by New York: Dover, 2007; originally published in German, 1969.

• Wussing, Hans (ed.), 2012, 6000 Jahre Mathematik, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Berlin: Springer; especially Chapters 10, “Mathematik während der Industriellen Revolution”, pp. 87–312.

• Yap, Audrey, 2009a, “Logical Structuralism and Benacerraf’s Problem”, Synthese, 171: 157–173.

• –––, 2009b, “Predicativity and Structuralism in Dedekind’s Construction of the Reals”, Erkenntnis, 71: 151–173.

• –––, 2017, “Dedekind, Cassirer, and Mathematical Concept Formation”, Philosophia Mathematica, 25: 369–389.

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Other Internet Resources

Texts by Dedekind

• Digitized version of Essays on the Theory of Numbers (= Dedekind 1901a).

General Information

• Richard Dedekind, at MacTutor site

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Acknowledgments

This entry has benefited from comments, criticisms, and other feedback by Jeremy Avigad, Hourya Benis-Sinaceur, Stanley Burris, William Demopoulos, Diego Fernandes, José Ferreirós, Jeremy Heis, Ansten Klev, Stephan Müller-Stach, Katrin Scheel, Georg Schiemer, Dirk Schlimm, Wilfried Sieg, and the editors. As I have not adopted all of their suggestions, the remaining inaccuracies should all be attributed to me.

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