19 世纪几何学 in the 19th century (Roberto Torretti)

首次发表于 1999 年 7 月 26 日星期一；实质性修订于 2016 年 10 月 20 日星期四

在十九世纪，几何学，像大多数学科一样，经历了一段接近灾难的增长时期。在这一时期，几何学的内容和内在多样性几乎增长到难以辨认的程度；自古以来被几何学爱好者吹捧的公设方法最终达到了真正的逻辑充分性，为用黎曼的极具灵活性的系统取代欧几里得标准几何学在描述物理现象方面奠定了基础。各种倾向的现代哲学家 — 笛卡尔和霍布斯，斯宾诺莎和洛克，休谟和康德 — 都将欧几里得几何视为认识确定性的范例。欧几里得几何突然缩小为数学空间理论庞大家族的一个亚种，打破了一些幻想，并促使哲学对人类知识的概念发生重要变化。因此，例如，在这些十九世纪的发展之后，梦想通过从不言自明的原则逻辑推理获得完全确定的对错知识的哲学家们，不再能将欧几里得几何作为一个类似目标已被证明可达的实例。本文回顾了对哲学具有重要意义的十九世纪几何学方面，并顺便提及了它们的哲学意义。

1. 几何学

欧几里得（约公元前 300 年）在他的《几何原本》中列出了一系列“定义”（例如，“点是没有部分的东西”）和“公共概念”（例如，“如果等量加到等量上，和仍相等”），以及五个“要求”。据说这些内容包含了推导几何定理和解决问题所需的所有信息，但事实上并非如此。然而，这些要求（aitemata）——通常在英语中称为“公设”——必须至少被接受，否则欧几里得的证明将无法进行。其中一些显然是实用的：

从任意一点到任意一点画一条直线。3. 以任意中心和任意半径画一个圆。

然而，第五个听起来更像是一个事实陈述。欧几里得的文本可以用英语表达如下：“如果一条直线 [c] 落在两条直线 [a 和 b] 上，使得同侧的内角小于两个直角，那么这两条直线 [a 和 b] 如果无限延长，会在内角小于两个直角的那一侧相交”（括号内的术语是为了更清晰地表达）。这听起来有些牵强。但是，它可以很容易地改述为一个构造三角形的方法，（见图 1）。每个三角形由三条共面直线组成，这三条直线成对相交于三个点。给定任意线段 P Q，通过 P 画一条直线 a，通过 Q 画一条直线 b，使得 a 和 b 在同一平面上；验证 a 和 b 与 P Q 在 P Q 的两侧之一所成的角之和小于两个直角；如果满足这个条件，应该承认 a 和 b 在 P Q 的同侧相交于一个点 R，从而形成三角形 PQR。这个要求被称为“欧几里得的公设”。如果这个要求被拒绝——比如，因为我们相信世界是有限的，如果所讨论的内角之和几乎等于两个直角，那么就没有空间容纳顶点 R——那么欧几里得的几何系统的大部分将无法成立。

图 1

在随后的黑暗时代，欧几里得对数学自由的理解丧失了，哲学家和数学家期望几何学建立在不证自明的基础上。现在，如果 a 垂直，b 几乎垂直于 P Q，a 和 b 在 P Q 的一侧缓慢靠近，不是不证自明地认为它们最终必须在该侧的某处相遇。毕竟，双曲线无限接近其渐近线，但显然永远不会相交。几个世纪以来，一些作者要求——并尝试——证明欧几里得的公设。约翰·沃利斯（出生于 1616 年，逝世于 1703 年）从假设存在不同大小但形状相同的多边形推导出它。但是这个假设又需要进一步证明。吉罗拉莫·萨克里（出生于 1667 年，逝世于 1733 年）尝试通过反证法。他从否定欧几里得的公设推导出一系列命题，直到他得出一个他宣称“与直线的本质相矛盾”的命题。但萨克里对于这种“本质”的理解根植于欧几里得几何学，他的结论是在回避问题。

在 1820 年代，尼古拉·I·洛巴切夫斯基（生于 1793 年，卒于 1856 年）和雅诺什·博利亚伊（生于 1802 年，卒于 1860 年）独立以一种全新的方式解决了这个问题。洛巴切夫斯基基于否定欧几里德的公设构建了一种几何学的替代系统，他将其称为“虚构的”，并试图通过计算天文尺度上由天空中星星形成的三角形的内角和来测试其有效性，但未能得出结论。博利亚伊从欧几里德的系统中删除了这个公设；剩下的部分是“绝对几何学”，可以通过添加欧几里德的公设或其否定来进一步确定。自 1790 年代起，卡尔·弗里德里希·高斯（生于 1777 年，卒于 1855 年）一直在朝着同一方向研究这个课题，但由于担心丑闻，他一直没有发表。由于洛巴切夫斯基第一个发表了，基于所述的“绝对几何学”加上欧几里德的公设否定的几何系统被称为洛巴切夫斯基几何学。

上面介绍的构造用于解释欧几里德的公设也可以用于阐明其否定。通过点 P 作一条直线 a，使其与线段 P Q 成直角。如果否定欧几里德的公设，通过 Q 有无数条与 a 共面的直线，与 P Q 成锐角但永远不与 a 相交。考虑这些锐角的大小构成的实数集合。让这个集合的最大下界为 μ。显然，μ > 0。通过 Q 有确切两条与 a 共面的直线，使其与 P Q 成大小为 μ 的角。（见图 2。）将它们称为 b1 和 b2。b1 和 b2 都不与 a 相交，但 a 与每一条通过 Q 且与 a 共面且与 P Q 成小于 μ 角的直线相交。高斯、洛巴切夫斯基和博利亚伊——彼此不知情——都将 b1 和 b2 称为通过 Q 的 a 的平行线。μ 被称为线段 P Q 的平行角。其大小取决于 P Q 的长度，并随着后者增加而减小。

图 2

假设 P**Q 的平行角为直角的一半。在这种情况下，b1 和 b2 在 Q 处成直角，因此我们在同一平面上有两条互相垂直的直线 a，它们不相交。

Lobachevsky 的几何学充满了令人惊讶的定理（其中许多已被 Saccheri 发现）。以下是其中一些：三角形的三个内角之和小于两个直角。差异或“缺陷”与三角形的面积成比例。因此，在 Lobachevskian 几何中，相似的三角形是全等的。此外，如果一个三角形被分成较小的三角形，整体的缺陷等于部分的缺陷之和。由于缺陷不能大于两个直角，三角形的面积有一个有限的最大值。如果一个四边形通过构造具有三个直角，第四个角必然是锐角。因此，在 Lobachevskian 几何中没有矩形。

Lobachevskian 三角学方程与标准球面三角学方程之间存在简单的形式对应关系。基于此，Lobachevsky 认为，他的几何学中出现的任何矛盾都必然会在欧几里得几何中出现矛盾。这似乎是关于相对一致性的声称证明的最早例子，其中通过展示一个理论是一致的，以免另一个理论 —— 其一致性通常被视为理所当然 —— 是不一致的。

洛巴切夫斯基几何在 19 世纪 60 年代后期之前鲜有人关注。当哲学家们最终注意到它时，他们的意见分歧。有些人认为它是一种逻辑推理的形式化练习，没有任何物理或哲学意义，使用普通词语——如“直线”和“平面”——具有隐晦的变化含义。其他人则欢迎它作为充分证明，与康德的有影响力的论点相反，欧几里得几何不传达任何人类经验的先决条件，物理空间的几何结构可以接受实验性探究。还有一些人同意非欧几里得几何是合法的替代方案，但指出物理实验的设计和解释通常预设了明确的几何结构，而这一角色已被欧几里得系统所取代。

无论哲学家们说什么，对于数学家来说，洛巴切夫斯基几何可能只是一种奇怪的好奇，如果它没有在 19 世纪几何研究的两大主流——射影几何和微分几何中找到位置的话（§§ 2 和 5）。

2. 几何学

今天，射影几何学在数学中并不起着重要作用，但在 19 世纪晚期，它成为现代几何学的代名词。Desargues（生于 1591 年，卒于 1661 年）和 Pascal（生于 1623 年，卒于 1662 年）曾采用射影方法，但后来被笛卡尔坐标法所取代。然而，在 Jean-Victor Poncelet（生于 1788 年，卒于 1867 年）展示射影图形的性质提供了至少与笛卡尔程序一样强大的证明依据后，它们蓬勃发展，显然比设置和解方程的笛卡尔程序更直观和具有说服力。

射影性质是由投影保留的性质。例如，取两个平面 Γ 和 H 以及一个点 P 在它们之外。设 Φ 是 Γ 上的任何图形。从 P 经过 Φ 的每个点画直线。这些直线与 H 相交的点形成的图形是从 P 到 H 的 Φ 的投影。一般来说，这个图形与 Φ 在大小和形状上会有所不同。但是，在 Γ 上的任意数量的直线的投影，这些直线在某些点相交，通常会在 H 上由相等数量的直线相交，分别在这些点的投影处相交。然而，如果从 P 到 Γ 的某点 Q 的直线永远不会与 H 相交，因为 P**Q 恰好位于与 H 平行的平面上会发生什么？（见图 3。）

图 3

为了避免这种令人讨厌的例外情况，射影几何学在空间中的每条直线上添加了一个理想点，该点被每条与之平行的直线共享。连续性要求所有理想点都位于一个理想平面上，该平面与每组平行平面沿着不同的理想线相交。传统主义者可能会对这种看似肆意增加实体的做法感到震惊。然而，几个世纪以来，这在算术中一直被实践，因为自然数 1、2、3、...被补充为零、负整数、非整数有理数、无理数和所谓的虚数。

一条直线上的点相互之间存在邻近和顺序关系。要看到理想点如何适应这些关系，让 H 不断围绕它与 Γ 相交的直线 m 旋转。（见图 4。）当 H 与 P**Q 平行时，即在时间 t 时，从 P 到 H 的 Q 的投影是通过 P 和 Q 的直线的理想点。在 t 之前，所述投影是 H 的一个普通点，离 m 很远。在 t 之后，投影再次是 H 的一个普通点，离 m 很远，但在平面的另一端。研究围绕 t 的短时间间隔内投影的连续位移，可以得出结论，如果 A 和 B 是 H 的任意两点，分别位于 m 的两侧，则通过 A 和 B 的直线的理想点必须放在 A 和 B 之间。因此，在射影几何学中，一条直线上的点是循环排序的，即像圆的点一样。由此导致的是，在射影空间和射影平面中点之间的邻近关系与标准几何学中熟悉的关系有着明显的不同，而且极具反直觉性。可以说，射影几何学在人类思想中引起了比仅仅否认欧几里得公设更深远和深刻的革命。

图 4

在新的设置中，图形的射影属性可以被无例外地定义。如果将射影空间的一个一一映射 f 映射到自身，则称为一个共线变换，如果它将任意三个共线点 A、B 和 C 映射到三个共线点 (A)、(B) 和 (C)。射影属性（和关系）是那些被共线变换保留的属性。以下是一些射影属性的例子。对于三个或更多点：在同一直线上；在同一平面上。对于三条或更多直线：相交于同一点；在同一平面上。对于三个或更多平面：沿同一直线相交；共享同一点。对于曲线：是一个圆锥曲线。对于曲面：是一个二次曲面。

3. Klein's Erlangen program

在他于 1872 年加入爱尔朗根大学教职时发行的小册子中，费利克斯·克莱因（生于 1849 年，卒于 1925 年）总结了几何学的巨大增长和多样化，并提出了一个观点，从这个观点出发，可以将其许多分支组织成一个系统。从这个观点出发，几何学的一个分支的任务可以被表述为：

给定一个流形和一个流形的变换群，研究流形的配置，这些配置不受变换群的变换影响。(Klein 1893, p. 67)

在 19 世纪的数学中，“流形”通常指代我们现在称之为集合的东西，但 Klein 显然有更具体的想法：

如果给定 n 个变量 x1, … , x n，如果让变量 x 独立地取从 -∞ 到 +∞ 的实值，我们得到的值系统构成了我们所谓的 n 维流形。每个特定的值系统 (x1, … ,x n) 被称为流形的一个元素。(Klein 1873, p. 116)

如果 S 是一个流形，无论哪种意义上，通过 S 的一个变换，我们指的是将 S 一对一地映射到自身。很明显

如果 T1 和 T2 是 S 的变换，由 T1 后跟 T2 组成的复合映射 T2 ○ T1 也是 S 的一个变换；
变换的复合是结合的，因此，如果 T1、T2 和 T3 是 S 的变换，则 (T3 ○ T2) ○ T1 = T3 ○ (T2 ○ T1)；
将 S 的每个点发送到其自身的恒等映射 I 是 S 的一个变换，对于任何变换 T，T ○ I = I ○ T = T;
对于每个变换 T，存在一个逆变换 T−1，即 T 的逆，使得 T−1 ○ T = I（T−1 将 S 的每个点发送回 T 带来的地方）。

凭借条件（i）-（iv），S 的变换在代数中的确切意义上形成了一个群 G S。 G S 包括子群，即包含 I 并满足条件（i）和（iv）的子集。如果 H 是 G S 的一个子群，Φ 是 S 的特征，或者是其元素或部分的特征，不受 Φ 的变换影响，我们说 Φ 是 H 不变的。唯一的 G S 不变是 S 的基数（即流形中的元素数量）。另一方面，仅由恒等元素组成的群{I}可以平凡地保持每个可想象的特征。在这两个极端之间，可以有许多不同的子群，具有各种有趣的不变量，这取决于各自的群结构。如果 S 不是一个任意的（无结构的）集合，而是由 Klein 描述的数值流形，它从实数域继承结构，这有助于表征 G**S 的不同子群及其不变量。因此，连续变换群保持拓扑性质（邻域关系），而线性变换群保持射影性质。

这种方式能够固定度量性质吗？传统上，人们将数值流形上两点（x1，…，x n）和（y1，…，y n）之间的距离定义为正平方根（x1 - y1）2 + … +（x n - y n）2。等距变换群包括保持此函数不变的变换。然而，这只是一种惯例，是为了确保几何学是欧几里得的。克莱因通过射影几何想出了更好的方法。在射影空间上定义的所有点对的实值函数都不是射影群的不变量，但是有一种共线点四元组的函数，称为交比，是这样的一个不变量。克莱因（1871 年，1873 年）考虑了点四元组 <P1，P2，P3，P4> 的交比，其中 P3 和 P4 属于射影平面上的给定圆锥体 κ，而 P1 和 P2 范围在由 κ 限定或固定的区域 R 内。由于 P3 和 P4 必须是通过 P1 和 P2 的直线与 κ 相交的点，所述交比可以看作是点对 <P1，P2> 的函数。将给定圆锥体映射到自身的共线变换形成一个群，所述函数显然是该群的不变量。克莱因表明，该函数的某个函数的行为类似于 R 上的普通距离函数。根据圆锥体 κ 的性质，由此函数确定的结构满足欧几里得平面几何学的所有定理，或者满足 Lobachevskian 平面几何学的所有定理，或者满足克莱因自己发现并称为“椭圆”的第三种几何学的定理。（在椭圆几何学中，每条直线都与其他每条直线相交，三角形的三个内角总是大于两个直角。克莱因为欧几里得和 Lobachevsky 的几何学命名为“抛物线”和“双曲线”）。

这就是克莱因在平面上 Lobachevskian 几何学中的方法。让 κ 是一个实圆锥体 - 一个仅包含实点的圆锥体 - 在射影平面上。让 Gκ 是将 κ 映射到自身的所有共线变换的集合。Gκ 是射影群的一个子群。现在考虑点四元组 <P1，P2，P3，P4> 的交比，使得 P3 和 P4 属于 κ，而 P1 和 P2 范围在由 κ 限定的实平面区域 Int(κ)内。（如果且仅当 P 是一个实点且没有实切线通过 P 时，P ∈ Int(κ)。）如上所述，点 P1 和 P2 的选择固定了 P3 和 P4，因此所述交比可以看作是仅第一对点的函数，比如 fκ(P1，P2)。函数 fκ 显然是 Gκ 不变的。设 dκ(P1，P2) = c log fκ(P1，P2)，其中 c 是一个任意的实值常数，不等于 0，log x 表示 x 的自然对数的主值。克莱因能够证明 dκ 在 Int(κ)上的行为恰好像 Lobachevskian 距离函数一样。换句话说，如果这些点之间的距离由函数 dκ 给出，则从 Int(κ)的点形成的适当图形的每个 Lobachevskian 几何学定理都成立。例如，考虑 Int(κ)中的四个点 P1，P2，P3 和 P4，使得 dκ(P1，P2) = dκ(P2，P3) = dκ(P3，P4) = dκ(P4，P1)。它们是 Lobachevskian 等边四边形 Q 的顶点，该四边形最多可以有三个直角，此时 Q 的第四个内角必须是锐角。（其中“直角”通常表示与其相邻角相等，而 Int(κ)中的两个角被称为相等，如果一个是通过 Gκ 群的变换的另一个的图像）。

如果 κ 代表不同类型的圆锥体，而不是普通的实圆锥体，则通过上述过程得到的函数 dκ 在射影平面的适当定义区域上的行为就像欧几里得距离函数或椭圆几何的距离函数（这取决于圆锥体 κ 的性质）。因此，根据 κ 属于三种圆锥体中的哪一种，将 κ 映射到自身的共线变换群在结构上与 Lobachevskian、欧几里得或椭圆等距变换群中的一个完全相同。三维情况下也有类似的结果，其中 κ 是一个二次曲面。

Klein 的结果使伯特兰·罗素（出生于 1873 年，逝世于 1970 年）在他关于几何学基础的新康德主义著作（1897 年）中断言，一般的“外部形式”在射影几何中是先验地向我们揭示的，但其度量结构——只能是洛巴切夫斯基的、欧几里得的或者椭圆的——必须通过实验来后验确定。亨利·庞加莱（出生于 1854 年，逝世于 1912 年）采取了更激进的立场：如果几何学只是研究一个群，可以说，欧几里得的几何学的真理与洛巴切夫斯基的几何学的真理并不矛盾，因为一个群的存在与另一个群的存在并不矛盾。（庞加莱 1887 年，第 290 页）

应用到物理学是直接的：“在所有可能的群中，我们选择了一个特定的群，以便将所有物理现象归纳于它，就像我们选择三个坐标轴来参照几何图形一样”（同上，第 291 页）。选择这个特定群的动机是其数学上的简单性，同时也是因为“自然界中存在一些被称为固体的显著物体，经验告诉我们，这些物体的不同可能运动彼此之间的关系与所选择的群的不同操作方式非常相似”（同上）。庞加莱的这些言论标志着科学哲学中常规主义的开始，并提供了其最初的动机。

The application to physics is immediate: “Among all possible groups we have chosen one in particular, in order to refer to it all physical phenomena, just as we choose three coordinate axes in order to refer to them a geometrical figure” (ibid., p. 291). The choice of this particular group is motivated by its mathematical simplicity, but also by the fact that “there exist in nature some remarkable bodies which are called solids, and experience tells us that the different possible movements of these bodies are related to one another much in the same way as the different operations of the chosen group” (ibid.). These remarks of Poincaré signalled the beginning of conventionalism in the philosophy of science and provided its initial motivation.

克莱因的几何学的群论观在数学家和哲学家中备受青睐。当明可夫斯基（1909 年）表明爱因斯坦的狭义相对论的要点是洛伦兹群的（时空）几何学时，这一观点取得了重大成功，这是克莱因（1911 年）乐见的重要成果。这意味着最近关于明可夫斯基时间几何学优先于洛伦兹不变性或反之的争论是毫无意义的，因为它们在逻辑上是等价的，实际上是同一枚硬币的两面（正如阿库纳（2016 年）所解释的）。然而，克莱因的厄朗根计划未能涵盖黎曼的微分几何（§5），而爱因斯坦（1915 年，1916 年）将其置于他的广义相对论的核心。

4. 公理完善

根据亚里士多德，科学知识（episteme）必须用从有限的一组不言自明的陈述（公理）演绎出来，并且只能使用从有限的一组自明的术语（原语）定义的术语。两千多年来，人们普遍认为亚里士多德的理想实际上在欧几里得的《几何原本》中得以实现。事实上，在欧几里得 I.1 中已经存在逻辑上的缺陷（这个问题的解决依赖于一个未明确说明的连续性假设），而欧几里得是否将他的公设视为不言自明并不清楚（通过称之为“请求”，他暗示他并没有这样认为）。通过从无可置疑的原则逻辑推导出知识的想法对现代科学家如伽利略和牛顿具有强大的吸引力，他们俩都喜欢实践公理化，至少在文学形式上，就像斯宾诺莎在他的《伦理学》中一样。然而，直到 1882 年，莫里茨·帕什（生于 1843 年，卒于 1930 年）出版了他的《现代几何学讲义》，才真正提供了一种令人满意且可以说是严肃的知识分支的公理化实例。

帕什将几何学视为一门自然科学，其成功地被其他科学和实际生活所利用“完全取决于几何概念最初与经验对象完全一致”（帕什 1882 年，第 iii 页）。几何学与其他自然科学不同，因为它仅从经验中直接获得非常少的概念和定律，并旨在通过纯粹演绎的方式从中获得更复杂现象的定律。几何学的经验基础被帕什概括为基本概念和基本陈述或公理的核心。基本概念涉及物体的形状和大小以及它们相对位置。它们没有被定义，因为没有定义可以取代“适当自然对象的展示”，这是理解这种简单、不可简化的概念的唯一途径（同上，第 16 页）。所有其他几何概念最终必须以基本概念为基础来定义。基本概念通过公理相互联系，公理“陈述了在某些非常简单的图表中观察到的内容”（第 43 页）。所有其他几何陈述必须通过最严格的演绎方法从公理中证明。证明它们所需的一切必须被记录，毫无例外地记录在公理中。因此，公理必须包含几何学所整理的全部经验材料，以便“在建立它们之后，不再需要诉诸感知”（第 17 页）。“证明中出现的每个结论都必须在图表中找到其确认，但它不是由图表证明的，而是由一个明确的早期陈述（或定义）证明的”（第 43 页）。帕什清楚地理解了他方法的含义。他写道（第 98 页）：

如果几何学要真正成为演绎的，那么推理过程在所有部分中必须独立于几何概念的含义，就像它必须独立于图表一样。唯一需要考虑的是几何概念之间的关系，这些关系记录在陈述和定义中。在演绎过程中，考虑到其中出现的几何概念的含义是被允许和有用的，但这并不是必要的。实际上，当确实需要时，这表明证明中存在漏洞，如果无法通过修改论证来消除这个漏洞，那么前提就太薄弱，无法支持它。

帕什的《现代几何学讲座》涉及射影几何学。第一个符合帕什标准的欧几里德几何公理化作品——大卫·希尔伯特（生于 1862 年，卒于 1943 年）的《几何基础》于 1899 年问世，并对 20 世纪的数学和哲学产生了巨大影响。希尔伯特邀请读者考虑三组任意的对象，他称之为“点”、“直线”和“平面”，以及五种未定义的关系，分别是（i）点和直线之间的关系，（ii）直线和平面之间的关系，（iii）三个点之间的关系，（iv）两对点（“线段”）之间的关系，以及（v）两个点三元组的等价类（“角度”）之间的关系。希尔伯特的 20 条公理中规定的条件——包括第二版中添加的完备性公理——足以表征所述对象和关系直到同构。同构——即结构等价——可以存在于不同、直观上不同的对象系统之间。希尔伯特利用了公理化理论的这一特点来研究一些公理与其他公理之间的独立性。为了证明这一点，他提出了所有公理确定的结构的实际实例（模型），但省略了一个公理，加上省略的公理的否定。弗雷格抱怨说，这些练习中保留的几何公理只能通过篡改单词的自然含义来应用于希尔伯特牵强的模型（参见爱丽丝与汉普蒂·韦尔士的对话）。希尔伯特于 1899 年 12 月 29 日回复道：

每个理论只是一种概念框架或模式，连同它们之间必要的相互关系，基本元素可以以任何你希望的方式构想。如果我以任何系统的事物为基准，例如，爱、法律、扫烟囱的系统，...并且我只是假设我的所有公理是这些事物之间的关系，那么我的定理，例如，毕达哥拉斯定理，也适用于这些事物。...理论的这种特征永远不会是一个缺点，无论如何都是不可避免的。

当然，所有这些都是由公理学的本质所决定的，正如从帕希引用的段落中所解释的那样。事实上，在格尔贡（1771-1859）之后，几何学中的这种保真语义置换并不是什么新鲜事。他在 1825 年提出了对偶原理：射影平面几何的任何真实陈述都会引发另一个同样真实的对偶陈述，方法是将前者中出现的“点”替换为“线”，“共线”替换为“共点”，“相交”替换为“连接”，反之亦然（在射影空间几何中，对偶适用于点和平面）。当然，通过交换的不是词语，而是它们的含义，也可以得到相同的结果。

5. Riemann 的微分几何

在 1854 年在哥廷根哲学院向哲学系教授们发表的“关于几何学基础的假设”讲座中，伯恩哈德·黎曼（生于 1826 年，卒于 1866 年）提出了一些根本革新的观点。他指出，离散流形的可测属性可以通过计数来轻松确定。（想象一个国家的人口，以及重生基督徒的比例，或者在他们的婚姻第一年内离婚的夫妇。）但连续流形不适用这种方法。特别是，物理空间的可测属性，即几何学的主题，取决于作用于其上的约束力。空间中两点之间的距离可以通过棒、卷尺或光学手段来确定，结果基本上取决于所使用仪器的物理行为。到目前为止，空间的可测属性已成功地按照欧几里得几何学描述。然而，“空间的度量测定基础上的经验概念——刚体和光线的概念——在无限小的情况下失去了其有效性；因此，很可能无限小空间的度量关系与几何学的假设不符，事实上，只要现象可以以更简单的方式解释，就必须接受这一点”（黎曼 1854 年，第 149 页）。为了让物理学家为这种可能性做好准备，黎曼提出了更一般的几何学概念。黎曼的基本方案允许比他实际达到的更大的一般性；但在他的判断中，目前应该足够描述连续流形的几何学，使其在每个点的小邻域内与欧几里得几何学最佳地一致。

黎曼在 n 维空间中扩展了高斯（1828 年）在研究嵌入欧几里得空间中曲面的固有几何学时所采用的方法（称为“固有”是因为它描述了曲面自身显示的度量特性，而不依赖于它们在空间中的位置）。回顾高斯的工作，可以更直观地理解黎曼的概念（参见 Torretti 1978 年，第 68-82 页）。然而，为了简洁和明了起见，建议向前看，并利用后来数学家引入的某些概念，因为他们试图理解黎曼的提议。考虑黎曼理论的现代表述在《黎曼理论的现代表述》附录中。

在研究曲面时，高斯引入了一个实值函数，高斯曲率，它以曲面的固有几何学为基础，衡量曲面与平坦之间的局部偏差。黎曼将这个曲率概念扩展到黎曼 n 流形。通过使用他扩展的曲率概念，他能够非常优雅地表征度量流形，其中所有图形可以自由移动而不改变其大小和形状。它们是具有恒定曲率的黎曼流形。这个想法可以与克莱因的度量几何分类很好地结合起来。作为黎曼 3 流形，欧几里得空间具有恒定零曲率，洛巴切夫斯基空间具有恒定负曲率，椭圆空间具有恒定正曲率。根据埃尔朗根计划，每个具有恒定曲率的几何学都由其自己的等距群特征化。但克莱因的概念太狭窄，无法包含所有黎曼几何，其中包括变曲率空间。事实上，在一般情况下，黎曼 n 流形的等距群是仅由单位元素组成的平凡群，其结构完全不提供关于相应几何的任何信息。

6. 李群

对于哲学家来说，19 世纪数学所达到的巨大复杂性中最令人满意的特征也许是新创建（或发现？）的数学结构迅速进入实证科学，使得人们能够理解和处理实际现象。我们将以对当前物理学中占有重要地位的一种特别丰富和富有成果的结构，即李群，作为对 19 世纪几何学的调查结束。李群是当然是我们在第 3 节中遇到的代数意义上的群，即一个集合 G，使得（i）每个有序对 <x，y> ∈ G 都与唯一的元素 x · y ∈ G 相关联（称为 x 和 y 的乘积或和）；（ii）乘法运算是结合的，即（x · y）· z = x ·（y · z），对于每个 x，y，z ∈ G；（iii）存在一个唯一的元素 0 ∈ G，使得对于每个 x ∈ G，x · 0 = 0 · x = x（0 是 G 的单位元素）；（iv）对于每个 x ∈ G，存在一个唯一的元素 x−1 ∈ G，使得 x · x−1 = 0（x−1 称为 x 的逆元素）。但是，李群也是一个光滑流形，如附录 A 中描述的黎曼理论的现代表述：集合 G 可以通过实值（或复值）坐标的系统分片表示，这些坐标通过明确定义的可微坐标变换相互关联，无论它们各自的片段重叠到哪里。G 的群和流形结构通过乘法运算是 G × G 到 G 的可微映射的条件相互契合。

一个简单但重要的李群的例子是群 SO(2)，由平面围绕任意固定点的旋转实例化。流形在拓扑上是紧致的，因此不能被单个坐标片覆盖，但三个足够：一个包括所有逆时针旋转超过三弧度但少于四弧度的旋转，可以自然地使用实数在开区间（3,4）上进行坐标化；另一个片包括前者的逆，可以映射到开区间（-4，-3），第三个片覆盖所有逆时针旋转少于两个直角加上它们的顺时针逆转，可以映射到开区间（-π，π）。实际上，我们在第 3 节中遇到的所有群，克莱因用于表征空间的欧几里德几何和经典非欧几里德几何，都是李群，它们各自的光滑流形结构允许拓扑怪癖。因此，欧几里德等距变换构成一个不连通的流形，镜面反射不包括在与欧几里德运动的子群相同的分量中。

像所有光滑流形一样，Lie 群 G 与每个元素相关联的切向量空间。特别地，在 G 的中性元素 0 处的切空间通过所谓的 Lie 括号的定义成为 G 的 Lie 代数，这是 T0G × T0G 到 T0G 的双线性映射，对于 T0G 中的所有 u、v、w 满足条件 [u,u] = 0 和 Jacobi 恒等式：[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]] = 0。G 的 Lie 代数通过将 T0G 中 0 的邻域通过同胚（“指数”）映射到 G 中 0 的邻域，对 G 的结构提供了很多信息。

在《黎曼理论的现代表述》的补充中，我们涉及了纤维丛的概念，由两个光滑流形 F 和 M 组成，通过“投影”映射 π 将它们绑定在一起，这将流形 F 分成“纤维”，由 π 映射到 M 的不同点。如果 Lie 群 G（称为丛的结构群）在 F 上的作用使得 F 的每个纤维都是该作用的轨道，并且满足一些其他条件，那么纤维丛 <F,M,π> 就成为主纤维丛 <F,M,π,G>。例如，洛伦兹群是四元组（每个点处的正交四元组切向量）的主纤维丛在任何相对论时空上的结构群，无论多么奇特。通过这种方式，Lie 群提供了一种统一物理理论允许的许多模型，并在它们之间引入了一定程度的同质性的方法。

在 20 世纪最后三分之一的时间里，纤维丛及其 Lie 群几乎完全占据了基础物理学。这不是解释为什么或如何的地方，但物理学朝着越来越数学复杂、乍看起来不那么直接的表述的不可阻挡的演变，值得哲学家们的关注。很明显，一个明确稳定的东西的概念，可能至少原则上可以被把握和操纵，对我们来说不再像曾经对我们的敲打石器的祖先那样有用。

Bibliography

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Other Internet Resources

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a priori justification and knowledge | Hilbert, David | Kant, Immanuel | space and time: the hole argument

Acknowledgments

I thank John Norton for the illustrations and for ideas leading to a better presentation of some mathematical concepts. I am also very grateful to Edward Zalta for his painstaking editorial work and for having identified and firmly rejected a murky passage in the first version of this article. [Added in 2003:] I thank John Corcoran for his very apt critical comments, which prompted changes in several passages of the 1999 text.

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