连续性与无穷小 continuity and infinitesimals (John L. Bell)

首次发布于 2005 年 7 月 27 日星期三；实质性修订于 2022 年 3 月 16 日星期三。

词语“连续”的通常含义是“不间断”或“不中断”：因此，一个连续的实体——一个连续体——没有“间隙”。我们通常认为空间和时间是连续的，某些哲学家认为所有自然过程都是连续发生的：例如，莱布尼茨著名的箴言“自然不跃进”。在数学中，这个词以相同的一般意义使用，但必须提供越来越精确的定义。因此，比如，在 18 世纪后期，函数的连续性被理解为参数值的微小变化引起函数值的微小变化。随着 19 世纪放弃无穷小，这个定义被更精确的极限概念所取代。

传统上，无穷小量是指在某种意义上比任何有限量都要小，虽然不一定与零重合。对于工程师来说，无穷小是指一个数量如此之小，以至于它的平方和所有更高次幂都可以忽略不计。在极限理论中，“无穷小”这个术语有时被应用于任何极限为零的序列。无穷小量可以被视为在连续体经历详尽分析后剩下的部分，换句话说，是一个连续体的“微观视角”。有时人们认为连续曲线是由无穷小的直线“组成”的，就是这个意义上。

无穷小具有悠久而丰富多彩的历史。它们最早出现在希腊原子论哲学家德谟克利特（约公元前 450 年）的数学中，后来被数学家欧多克索斯（约公元前 350 年）在后来成为正式的“欧几里得”数学中驱逐。以“不可分割”的形式出现在中世纪晚期的数学中，并在微积分的发展中发挥了重要作用。它们在逻辑上的可疑地位导致了 19 世纪的放弃，并被极限概念取代。然而，近年来，无穷小的概念已经在严格的基础上重新建立。

介绍：连续、离散和无穷小

我们都熟悉连续性的概念。连续意味着构成一个不间断或不中断的整体，就像海洋或天空。一个连续的实体——一个连续体——没有“间隙”。与连续性相对的是离散性：离散意味着被分开，就像海滩上散落的鹅卵石或树上的叶子。连续性暗示着统一；离散性则暗示着多样性。

尽管连续体的基本特性是不可分割的，但通常（虽然不是绝对）认为任何连续体都可以无限次地重复或连续地分割。这意味着将其分割成越来越小的部分的过程永远不会以不可分割或原子的形式终止，即缺乏自身适当部分的部分无法进一步分割。简言之，连续体是无限可分的。连续体的统一因此隐藏着潜在的无限多元性。在古代，这一说法遭到反对，即如果完全（即使只是在想象中）进行分割一个延伸的量，比如一个连续的线，那么这个量将被减少到许多原子——在这种情况下，是无延伸的点——甚至可能减少到不存在。但随后认为，无论有多少这样的点——即使是无限多个——它们也不能“重新组合”形成原始的量，因为显然一组无延伸元素仍然缺乏延伸。此外，如果确实（似乎不可避免地）在分割后仍然有无限多个点，那么根据泽诺的观点，这个量可以被视为（有限的）运动，导致看似荒谬的结论，即无限多个点可以在有限时间内“接触”。

原子学派诞生于公元前 5 世纪，面临着诸多困难。该学派的创始人莱西普和德谟克利特声称，物质，更广义地说，空间，并非无限可分。他们不仅认为物质的连续分割最终会停止于原子，即不可再分的离散粒子，而且实际上物质必须被构想为由这些原子组成。原子学派在攻击无限可分性的同时，也主张连续最终可归结为离散，无论是在物理、理论还是感知层面。

19 世纪物理学和化学中原子理论的最终胜利为“原子论”的概念铺平了道路，至少在涉及物质时变得广为人知：可以说，为了适应威廉·哈考特爵士对其时代社会主义者的著名观察，“我们现在都是原子论者”。然而，过去只有少数哲学家在形而上学层面上支持原子论，这一事实或许可以解释为什么支持连续性的类似学说缺乏一个常见的名称：那些无意识承认的东西不需要名称。皮尔斯为自己的哲学创造了一个术语“连续主义”（源自希腊语 syneche，“连续”）——一种哲学，其思想贯穿着连续性的概念，即“相互连接”。在本文中，我将借用皮尔斯的术语，并将其用作与原子论相对立的意义。我还将使用术语“分裂主义”来表示连续体是无限可分的更具体的学说。

与连续体概念密切相关的是无穷小的概念。无穷小量有点模糊地被构想为连续体的“微观视角”，是连续体的“最终部分”。与离散实体由其个体单位组成的意义类似，据说连续体是由无穷小量，即其最终部分“组成”的。（例如，十七世纪的数学家认为连续曲线是由无穷小直线“组成”的。）现在，连续体的“连贯性”意味着其（相连的）部分也是连续体，因此是可分割的。由于点是不可分割的，因此没有点可以是连续体的一部分。作为连续体的部分，无穷小量必然不是点：它们可以说是非点状的。

大小通常被视为广泛的量，如质量或体积，这些量在空间的广泛区域内定义。相比之下，无穷小的大小被解释为类似于局部定义的强度量，如温度或密度。将强度量“分布”或“积分”到这样的强度大小上的效果是将前者转化为无穷小的广泛量：因此温度被转化为无穷小的热量，密度被转化为无穷小的质量。当连续体是运动的痕迹时，相关的无穷小/强度大小被确定为潜在大小——这些实体本身并不具有真正的大小，但通过运动具有产生大小的倾向，因此表现为“变成”而不是“存在”。

无穷小数是指虽然不等于零，但在某种意义上比任何有限数都要小。这种意义通常被认为是未能满足阿基米德原理，即无穷小数是指，无论它被加多少次，结果始终小于任何有限数。在工程师对微积分的实际处理中，无穷小是一个非常小的数，其平方和所有更高次幂都可以忽略不计。在极限理论中，“无穷小”这个术语有时被应用于任何极限为零的数列。

不可分概念与无穷小概念密切相关，但需加以区分。不可分是根据定义而言，指的是无法被分割的东西，通常理解为它没有适当的部分。现在，无部分或不可分的实体不一定是无穷小的：灵魂、个体意识和莱布尼茨的单子都据说缺乏部分，但肯定不是无穷小。但它们共同之处在于是无延展性的；延展性实体如线、面和体积被证明是“不可分”的更丰富来源。实际上，如果像原子论者所主张的那样，划分这些实体的过程将终止，那么必然会产生质性不同的不可分。在直线的情况下，这种不可分可能是点；在圆的情况下，是直线；在被与底部平行的截面划分的圆柱体的情况下，是圆。在每种情况下，所讨论的不可分在生成它的图形中具有比它少一个维度的意义上是无穷小的。在 16 和 17 世纪，这种意义上的不可分被用于计算曲线图形的面积和体积，一个表面或体积被认为是线性或平面不可分的集合或总和。

无穷小的概念从一开始就备受争议。这个想法最早出现在公元前 450 年左右的希腊原子论哲学家德谟克利特的数学中，但在公元前 350 年左右被尤多克索斯驱逐，成为后来正式的“欧几里得”数学。我们注意到它们在十六和十七世纪以不可分割的形式重新出现：在这种形式下，它们被开普勒、伽利略的学生卡瓦列里、伯努利家族以及其他许多数学家系统地应用。在巴罗的“通过计算找到切线的方法”（1670 [1916: 119]）中，无穷小以迷人的“线元”和“时元”的名义发挥了重要作用，这一方法出现在他 1670 年的《几何讲座》中。作为“逐渐消失的量”，无穷小在牛顿发展微积分时起到了关键作用（尽管后来被放弃），在莱布尼茨的微积分中也是如此。马基雅维利·德·洛皮塔尔在 1696 年出版了第一部关于微分学的专著（名为《为了理解曲线的无穷小分析》），在其中提出“曲线可以被看作由无限小的直线段组成”（1696: 3 [公设 II]），并且“可以将相差一个无穷小量的两个量视为相等”（1696: 2 [公设 1]）。

然而，无论在实践中有多么有用，无限小的概念几乎无法经受逻辑审查。在十八世纪，伯克利嘲笑它为“已逝数量的幽灵”（1734 年：59），在十九世纪，坎托谴责它为“感染数学的霍乱杆菌”（1893 年 [1965 年：505]，费舍尔 1981 年翻译：116），在二十世纪，伯特兰·罗素则公开谴责它为“不必要、错误和自相矛盾”（1903 年：345），这些有用但逻辑上可疑的实体被认为最终在分析基础中被极限概念所取代，后者在十九世纪下半叶形成了严谨而最终的形式。到了二十世纪初，无限小的概念在分析中至少已成为一种虚拟的“非概念”。

然而，无穷小的禁令并没有成功根除它们；相反，它们被进一步推到地下。例如，物理学家和工程师从未放弃将其用作在应用微积分解决物理问题时得出正确结果的启发式设备。像 Sophus Lie 和 Élie Cartan 这样的微分几何学家依赖它们在概念的制定中，这些概念后来将被放在“严谨”的基础上。而且，在技术意义上，它们在代数学家对非阿基米德场的研究中继续存在。

在过去几十年中，长期持续的连续与离散之间的较量迎来了一个新阶段，通过在坚实基础上重新确立了无穷小概念。这是通过两种基本不同的方式实现的，一种提供了无穷小数概念的严格表述，另一种提供了无穷小量概念的严格表述。

首先，在 1960 年代，亚伯拉罕·罗宾逊利用数理逻辑的方法创立了非标准分析，这是数学分析的延伸，包括“无限大”和无穷小数，其中实数的常规算术法则仍然成立，这一思想本质上可以追溯到莱布尼茨。这里所说的无限大数是指超过任何正整数的数；其中任何一个的倒数在某种意义上是无穷小的，即虽然不为零，但比任何正分数 1/n 都要小。非标准分析的许多用处在于，其中普通分析中涉及极限的每个陈述都可以简洁而高度直观地转化为无穷小的语言。

在概念重新建立微积分的第二次发展发生在 20 世纪 70 年代，随着合成微分几何的出现，也被称为光滑无穷小分析。基于美国数学家 F.W.劳维尔的思想，并应用范畴论的方法，光滑无穷小分析提供了一个世界的图像，其中连续是一个自主的概念，不能用离散的概念来解释。它为数学分析提供了一个严谨的框架，在这个框架中，空间之间的每个函数都是光滑的（即，可以任意多次可微，特别是连续的），并且在定义微积分的基本概念时使用极限的方法被零幂无穷小所取代，即，数量如此之小（但实际上不为零），以至于某个幂——最有用的是平方——消失。光滑无穷小分析体现了一种强度量的概念，即切向量。曲线上点 p 处的切向量是通过该点并沿着曲线指向的一小段直线段 l。实际上，我们可以认为 l 实际上是曲线的无穷小部分。在光滑无穷小分析中，曲线是“局部直线”，因此可以被认为是按照德洛比塔尔的意义“由”无穷小直线组成，或者是由无穷小切向量“生成”的。

非标准和光滑无穷小分析的发展为无穷小的概念注入了新的活力，并且——特别是与光滑无穷小分析相关联——为连续体的本质提供了新颖的见解。

古代时期的连续体与无穷小

连续性与离散性之间的对立在古希腊哲学中发挥了重要作用。这可能源自更基本的关于“一”和“多”的问题，这是早期希腊思想核心的对立（Stokes 1971）。希腊关于连续性和离散性的辩论似乎是由厄勒特学派哲学家（如巴门尼德公元前约 515 年和泽诺公元前约 460 年）努力建立绝对唯一主义学说而引发的。他们试图表明，将存在分割成部分会导致矛盾，从而得出表面上多样化世界是一个静态、不变的统一体的结论。在他的《真理之路》中，巴门尼德断言存在是均匀连续的。然而，在断言存在的连续性时，巴门尼德可能只是强调其基本统一性。巴门尼德似乎在声称存在不仅仅是连续的，而且实际上是一个整体，确实是一个不可分割的整体。巴门尼德的存在是一个没有部分的连续体，既是一个连续体又是一个原子。如果巴门尼德是一个合一主义者，他的绝对唯一主义排除了他同时成为一个分裂主义者的可能性。

为了支持巴门尼德的不变主义，泽诺提出了他著名的运动悖论。（见泽诺悖论条目）二分法和阿基里斯悖论都明确依赖于空间和时间的无限可分性。

原子论似乎是为了摆脱厄勒克泰派的困境而产生的，首先是一种物理理论。它由利庇库斯（公元前 440 年）和德谟克利特（公元前 460-457 年出生）提出，他们认为物质并非无限可分割，而是由不可分割的、坚固的、均质的、在空间上延伸的微粒组成，都在可见级别以下。

原子论受到亚里士多德（前 384-前 322 年）的挑战，他是第一个系统分析连续性和离散性的人。作为一位彻底的连续论者，他认为物理现实是一个连续的充实体，并且连续体的结构，包括空间、时间和运动，不能归纳为其他任何东西。他对厄勒克泰问题的回答是，连续的量在潜在上是可以无限分割的，即它们可以在任何地方分割，尽管它们不能同时在所有地方分割。

亚里士多德将连续性和离散性视为适用于数量范畴的属性。他举连续量的例子，如线、平面、固体（即实体）、延伸、运动、时间和空间；离散量的例子包括数字和言语。他还对多个术语进行了定义，包括连续性。实际上，亚里士多德将连续性定义为实体之间的关系，而不是作为单个实体的属性；换句话说，他没有明确定义连续体的概念。他观察到，一个连续的整体可以通过“粘合”两个已接触的事物而产生，这表明整体的连续性应该源自其部分连接的方式。因此，对于亚里士多德来说，如线和平面、空间和时间之类的数量是连续的，因为它们的组成部分“在某个共同边界处连接在一起”。相比之下，离散量的组成部分不能具有共同的边界。

亚里士多德努力捍卫的中心论点之一是连续性无法归纳为离散性——连续体不能由不可分割或原子构成，这些部分本身也无法进一步分割。

亚里士多德有时承认无限可分性——即可被划分为可进一步细分的部分，这一过程永不终止于不可分割的部分——作为连续性的一个结果，正如他所描述的那样。但有时他将无限可分性的属性视为定义连续性的特征。正是这种连续性的定义出现在亚里士多德所展示的被称为同构论命题的内容中，该命题断言无论是大小、时间还是运动，要么都是连续的，要么都是离散的。

是否大小永远可以分割成更小的单位，或者只能分割到某个原子大小的问题，导致了可分割性困境（米勒，1982 年），这是亚里士多德在分析连续体时必须面对的困难。在困境的第一个，或虚无主义的角度中，有人认为，如果大小无处不可分割，那么完全进行这种分割的过程将把一个大小减少到无延伸的点，甚至可能减少到虚无。第二个，或原子主义的角度从一个假设开始，即大小并非无处不可分割，并导致同样令人难以接受的结论（至少对亚里士多德而言），即不可分割的大小必须存在。

作为一个彻底的唯物主义者，伊壁鸠鲁（前 341-前 271 年）无法接受亚里士多德连续性理论所依赖的潜在性概念，因此被推向了原子论，无论是在概念上还是在物理上。像利庇库斯和德谟克利特一样，伊壁鸠鲁认为有必要假定物质原子的存在，但为了避免亚里士多德的限制，他提出这些原子本身不应该是概念上不可分割的，而应该包含概念上不可分割的部分。亚里士多德已经证明了连续的大小不能由点组成，即没有延伸的不可分割单位，但他并没有证明不可分割的单位必然缺乏延伸。伊壁鸠鲁通过将不可分割单位视为具有延伸的大小的无部分单位，来应对亚里士多德的论证，即连续体不能由这种不可分割单位组成。

与原子论者相反，斯多葛派哲学家西泽诺（公元前 250 年）和克里西普（公元前 280-206 年）坚持亚里士多德的观点，即空间、时间、物质和运动都是连续的，并像亚里士多德一样，明确拒绝了宇宙中可能存在虚空的可能性。宇宙被一种连续的无形物质所充满，他们称之为“气”（希腊语：“呼吸”）。这种被视为空气和火的综合体的气体，是四种基本元素之一，其他三种是土和水，被构想为一种通过波动传递冲动的弹性介质。所有物理现象被视为通过气体中的拉力相互联系，物质本身被认为是从其所含气体的“结合”特性中获得其品质的。

中世纪、文艺复兴和近代早期的连续体与无穷小

中世纪欧洲的学院哲学家们，受亚里士多德的巨大权威影响，大多以某种形式认同了在《物理学》第六卷中由大师提出的论点，即连续体不能由不可分割的部分组成。另一方面，学院神学中神的无限性的公开声明，与亚里士多德的论点相悖，后者认为无限仅以潜在方式存在，这使得某些学院派学者大胆推测，实际无限甚至可能存在于神之外，比如在连续线上的点的集合中。当时的一些学者，例如哈克莱的亨利（约 1275-1317 年）和奥特库尔的尼古拉（约 1300-1369 年），选择追随伊壁鸠鲁，认为原子论是合理的，并试图规避亚里士多德的反驳（Pyle 1997）。

这种初期的原子论遭到了坚决的连续主义反驳，由约翰·邓斯·斯科特（约 1266-1308 年）发起。在他对“天使是否能以连续运动从一个地方移动到另一个地方”的问题进行分析时（《牛津作品》，见格兰特 1974 年，第 52 节），他提出了一对纯几何论证，反对用不可分割的东西构成连续体。其中一个论证是，如果一个正方形的对角线和边都由点组成，那么不仅会违反欧几里得的《十书》，它们甚至会相等。在另一个论证中，围绕一个共同中心构造了两个不等的圆，从假设较大的圆由点组成，可以证明一个角的一部分等于整个角，违反了欧几里得的公设五。

威廉·奥卡姆（约 1280-1349 年）在分析连续性方面带来了相当程度的辩证细微之处；这一点一直是学术争议的焦点。对于奥卡姆来说，连续性所呈现的主要困难是空间的无限可分性，以及任何连续体的一般性质。他在 1322-7 年的《Quodlibet》第一卷中对连续性的处理建立在这样一个观念上：在线上的任意两点之间都存在第三点——也许是密度属性的首次明确表述，并且区分了“其部分形成统一体”的连续体与相邻事物的 contiguum。奥卡姆认识到，根据密度属性，线的任意小段上必定存在无限多的点，但他抵制了线，或者任何连续体由点构成的结论。相反，他更关心“线在何种意义上可以说是由什么构成或组成的”；奥卡姆声称“线的任何部分都不是不可分的，连续体的任何部分也不是不可分的”。虽然奥卡姆并未断言线实际上是由点“组成”的，但他有一个令人惊讶的洞察，即当将一个点状但连续的线构想为点的密集阵列时，而不是点的相邻连续排列时，这种线就成为可能。

14 世纪最雄心勃勃且系统化的反对原子论的尝试是由托马斯·布拉德沃丁（约 1290 年-1349 年）发起的。他的《连续论》（约 1330 年）的目的是“证明维持连续体由不可分割的个体组成的观点是错误的”。这将通过阐明有关连续体的一些“第一原则”来实现，类似于欧几里得《几何原本》的公设和公理，然后证明进一步假设连续体由不可分割的个体组成会导致荒谬（Murdoch 1957）。

尼古拉斯·库萨诺斯（1401-1464 年）对连续体的观点，作为实际无限的倡导者，具有相当大的兴趣。在他 1450 年的《论愚者之心》中，他断言任何连续体，无论是几何、感知还是物理上，都可以在两个意义上分割，一个是理想的，另一个是实际的。理想的分割“向无限进展”；实际的分割在有限步骤后以原子结束（参见 Stones 1928: 447）。

尼古拉斯·库萨诺斯对实际无限的现实概念体现在他对圆的四分之一（Boyer 1939 [1959: 91]）中。他认为圆是一个无限边的正多边形，即一个具有无限（无穷小）边的正多边形。通过将其分割成相应无限数量的三角形，其面积，与任何正多边形一样，可以计算为其内切圆（在本例中与圆的半径相同）与周长的乘积的一半。将曲线视为无限边的多边形的概念被许多后来的思想家采用，例如开普勒、伽利略和莱布尼茨。

近代早期见证了欧洲古代几何学知识的传播，特别是阿基米德的几何学，以及对亚里士多德思想的松动。在连续体问题上，焦点从形而上学转向技术，从“不可分割物是什么，或者它们是否构成了量”这一问题，转向了“人们可以通过它们实现的新奇事物”（Murdoch 1957: 325），通过新兴的微积分和数学分析。事实上，在这一时期追踪连续体概念的发展，等同于追踪微积分的兴起。传统上，几何学是与连续有关的数学分支，而算术（或代数）与离散有关。16 和 17 世纪形成的微积分，其主要研究对象是连续变化，可以看作是连续和离散的一种综合，而无穷小则弥合了两者之间的差距。当时数学家在连续变化的分析中广泛使用不可分割物和无穷小，证明了一种数学原子论的肯定，虽然在逻辑上有问题，但却使微积分所关联的壮观数学进步成为可能。因此，无穷小而不是无穷，成为了连续和离散之间的数学垫脚石。

约翰·开普勒（1571-1630 年）在计算中广泛使用无穷小量。在他 1615 年的《新立体测量学》中，这本实际上是为了帮助计算酒桶容积而撰写的作品中，他将曲线视为无限多边形，将固体看作由无穷小锥体或无穷薄圆盘组成。这种用法符合开普勒通常使用与其构成图形相同维度的无穷小量的习惯；但他有时也使用不可分割的量。例如，他说一个圆锥体由圆组成，在他 1609 年的《新天文学》中，他陈述了著名的行星运动定律，他认为椭圆的面积是从焦点画出的“半径之和”。

似乎是开普勒首次提出了这个想法，后来这个想法成为几何学中的一个主要原则，即数学对象的连续变化，这种情况下是几何图形的连续变化。在 1604 年的《天文光学学》中，开普勒指出，所有的圆锥曲线都可以通过焦点运动和切割平面与圆锥的角度变化相互连续推导出来。

伽利略（1564-1642 年）提倡一种数学原子论，其中可以看出德谟克利特原子论者和亚里士多德学派的影响。这一点在转向伽利略《论两种新科学的对话》（1638 年）的第一天时显现出来。伽利略的代言人萨尔维亚蒂坚持，与布拉德沃丁和亚里士多德学派相反，连续的大小是由不可分割的部分组成的，确实有无限多个。萨尔维亚蒂/伽利略认识到，这无限的不可分割部分永远不会通过连续的细分产生，但声称有一种一次生成所有这些部分的方法，从而将其从潜在领域转化为实际实现：这种“一次分离和解决无限整体的方法”（1638 年 [NE: 92-93; 1914: 48]）实际上只是将一条直线弯成一个圆。在这里，伽利略找到了一种巧妙的“形而上学”应用，将圆视为无限多边形的概念。当直线弯成圆时，伽利略似乎认为这样一来，直线就被分成了不可分割的部分，也就是点。但如果考虑到这些部分是无限多边形的边，最好将它们描述为不可弯曲的直线，每一条直线既是圆的一部分，又是与圆相切的。伽利略没有提到这种可能性，但仍然不难发现这里潜藏着将曲线视为无限小“不可弯曲”直线组合的想法的萌芽。

加利略的学生和同事博纳文图拉·卡瓦列里（1598-1647 年）将不可分割的概念精炼为可靠的数学工具（博耶尔 1939 年 [1959]）；事实上，“不可分割法”直到今天仍与他的名字联系在一起。卡瓦列里从未准确解释他对“不可分割”一词的理解，但显然他将表面构想为由许多等间距平行线组成，将体积构想为由等间距平行平面组成，分别称为表面和体积的不可分割部分。尽管卡瓦列里认识到这些“不可分割”的“众多”必须是无限大的，事实上，他准备将它们视为实际无限，但他避免像加利略那样陷入无限的泥沼，因为他明白，为了使“不可分割法”奏效，所涉及的不可分割的“数量”并不重要。事实上，卡瓦列里方法的本质在于建立两个“相似”配置的不可分割部分之间的对应关系，在卡瓦列里考虑的情况下，很明显，这种对应关系仅仅是基于几何原理提出的，因此与数量无关。卡瓦列里原理的表述体现了这一观念：如果平面图形被包含在一对平行线之间，并且它们在任何与包含线平行的线上的截距成一定比例，那么这些图形的面积也成相同的比例。（对于固体也有类似的原理。）卡瓦列里的方法本质上是降维的方法：将固体降至具有可比较面积的平面，将平面降至具有可比较长度的线。虽然这种方法足以计算面积或体积，但它无法用于矫正曲线，因为在这种情况下，降维将导致点，而无法赋予两个点的“比例”任何意义。后来人们意识到，为了矫正曲线，必须将曲线视为不可分割的总和，即微小直线段，而不是点。

笛卡尔（1596-1650）在他的数学工作中使用了无穷小技术，包括卡瓦列里的不可分方法。但他避免在确定曲线的切线时使用无穷小，而是为此目的开发了纯代数方法。他对那些在构造切线时使用无穷小的数学家，如费马，进行了尖锐的批评。

作为一位哲学家，笛卡尔可以被广泛地描述为一位合一论者。他的哲学体系建立在两个基本原则上：著名的笛卡尔二元论——心灵与物质之间的区分，以及较不为人熟知的物质与空间延伸的等同。在《沉思录》中，笛卡尔区分心灵和物质的依据是，身体作为空间延伸的，是可分割的，而心灵是无部分的。物质与空间延伸的等同意味着物质是连续的，可无限分割的。由于延伸是物质唯一的本质属性，反之，物质总是伴随着延伸，物质必须是无处不在的。因此，笛卡尔的空间，正如斯多嘉人所认为的那样，是一个充满连续介质的充实空间。

无穷小的概念起源于几何问题，最初被构想为仅属于连续量的领域，而不是离散数的领域。但是，从十六世纪和十七世纪的代数和解析几何学中产生了无穷小数的概念。这个想法最早出现在皮埃尔·费马（1601-1665）关于确定最大值和最小值（极值）的工作中，该工作于 1638 年出版。

费马对极大值和极小值的处理包含了“无穷小变化”这一富有成效的技术的萌芽，即通过对函数的变量进行微小变化来研究其行为。费马在确定曲线的切线和重心时应用了这种方法。

十七和十八世纪的连续体与无穷小

艾萨克·巴罗（1630-77）是最早理解求面积问题与曲线切线问题之间互为倒数关系的数学家之一，现代术语中即积分与微分之间的关系。在他的《几何讲座》（Lectiones Geometricae）中，巴罗基本上观察到，如果曲线 y=f(x)的面积已知，到 x 的面积为 F(x)，那么曲线 y=F(x)的亚切线由其纵坐标与原曲线的纵坐标之比来衡量。

巴罗是一个彻底的连续论者，他认为分裂主义和原子论之间的冲突是一个重要问题，并提出了许多反对数学原子论的论点，其中最强有力的是原子论与欧几里得几何学的许多基本命题相矛盾。

巴罗将连续量构想为由运动生成，因此必然依赖于时间，这一观点似乎对他杰出的学生艾萨克·牛顿（1642-1727）的思维产生了强烈影响。牛顿在 1665-1666 年的瘟疫年中冥想，发明了他所称的“流量微积分”，其原理和方法在写作多年后发表在三篇论文中：《通过无限项方程分析》；《流量和无限级数的方法》；以及《曲线的求面积》。牛顿对微积分的方法，甚至比巴罗更加坚定地基于连续体由运动生成的概念。

但牛顿对运动学概念的利用远比巴罗更深入。例如，在《De Analysi》中，牛顿引入了一个表示横坐标或曲线面积的“瞬时增量”（瞬时）的符号，显然意味着代表时间的瞬间或瞬时。这个“瞬时”——实际上与费马和巴罗先前引入的无穷小量相同——牛顿在横坐标的情况下用 o 表示，在曲线面积的情况下用 ov 表示。由于牛顿用字母 v 表示纵坐标，可以推断牛顿认为曲线是速度相对时间的图表。通过将移动线或纵坐标视为面积的瞬时，牛顿建立了微分和积分操作之间的普遍性和互相关系，这是巴罗所理解但未系统使用的事实。在牛顿之前，求面积或积分最终依赖于“通过将元三角形或矩形相加而得到的某些过程”（Baron 1969 [1987: 268]），也就是说，依赖于无限小方法。牛顿将积分明确处理为反向微分是积分微积分的关键。

在《流量法》中，牛顿明确了他对变量数量的概念，即由运动生成，并引入了他特有的符号表示法。他称由运动生成的数量为流量，其生成速率为流量。流量 x 的流量用 ˙x 表示，其瞬时增量或“在无限短的时间 o 内增加的无限小增量”用 ˙xo 表示。确定曲线的切线问题转化为在给定表示流量 x 和 z 之间关系的方程时，找到流量 ˙x 和 ˙z 之间关系的问题。（求面积是反问题，即在给定流量时确定流量的问题。）因此，例如，在流量 z=xn 的情况下，牛顿首先形成 ˙z+˙zo=(˙x+˙xo)n，使用二项式定理展开右侧，减去 z=xn，除以 o，忽略仍包含 o 的所有项，从而得到 ˙z=nxn−1˙x。

牛顿后来对他的微积分中无限小量的存在感到不满，并对“忽略”它们的可疑做法感到不满。在《曲线的求面积》的序言中，他指出在流变法中没有必要引入任何关于无限小量的论证。他建议使用他所称的“一次比和终极比法”来代替它们。这种方法在很多方面是对极限概念的预期，牛顿在他著名的《自然哲学的数学原理》（1687 年）中多次提到这种方法。

牛顿为他的微积分发展了三种方法，他认为这些方法都会得出等效的结果，但在严密程度上有所不同。第一种方法使用了无穷小量，虽然不是有限的，但同时也不是完全为零。牛顿发现这些无穷小量难以精确表述，于是转而专注于它们的比值，这通常是一个有限数。如果已知这个比值，形成它的无穷小量可以被任何适当的有限量替代，比如速度或者流量，只要它们具有相同的比值。这就是流量法。牛顿意识到这种方法本身需要一个基础，于是他用一种极限理论的运动形式——素数和终极比率学说来为其提供基础。

哲学家兼数学家莱布尼茨（1646-1716）非常关注连续体的构成问题，他称之为“连续体的迷宫”。事实上，根据他自己的证词，他的哲学体系——单子论——正是从他对连续体如何以不可分割的元素构建而来的问题而发展起来的。莱布尼茨自问：如果我们承认每个真实实体要么是一个简单的统一体，要么是一个多样性，而多样性必然是统一体的聚合体，那么几何连续体如线应该归类于哪一类？线是延伸的，莱布尼茨认为延伸是一种重复形式，因此，一条线，可以被分割成部分，不能是（真正的）统一体。因此，它是一个多样性，因此是一个统一体的聚合体。但是是什么类型的统一体？表面上，几何统一体的唯一候选者是点，但点仅仅是延伸的极端，而且，正如莱布尼茨所知道的，追溯到亚里士多德的坚实论据表明，没有任何连续体可以由点构成。由此可见，连续体既不是一个统一体，也不是统一体的聚合体。莱布尼茨得出结论，连续体根本不是真实实体；作为“先于其部分的整体”，它们具有纯粹的理想特性。通过这种方式，他解放了连续体，使其不再需要作为可理解的东西本身是简单的或者是简单体的复合体。

莱布尼茨认为，空间和时间作为连续体是理想的，而任何真实的东西，特别是物质，是离散的，由他称之为单子的简单单位物质组成。

莱布尼茨最著名的学说之一是连续性原理或定律。这一原则在某种模糊的形式上曾被莱布尼茨的一些前辈使用过，包括库萨努斯和开普勒，但是莱布尼茨赋予了这一原则。

之前缺乏的表述清晰度，也许因此被视为他自己的发现。（Boyer 1939 [1959: 217]）

1687 年，莱布尼茨在写给贝尔的一封信中提出了以下原则的表述：

在任何假定的过渡中，以任何终点结束，都可以建立一个一般推理，其中最终终点可以被包括在内。（引自博耶尔 1939 年 [1959:217] 引用了莱布尼茨，《早期数学手稿》，第 147 页）

这似乎表明莱布尼茨认为任何种类的“过渡”都是连续的。当然，他认为在几何学和自然过程中是这样，其中它表现为自然不跃进的原则。根据莱布尼茨，正是连续性法则使得几何学和不断发展的微积分方法能够应用于物理学。连续性原则也是莱布尼茨拒绝物质原子论的主要理由。

连续性原理在莱布尼茨的数学工作中也起着重要的基础作用，尤其是在他发展无穷小微积分方面。莱布尼茨于 1684 年的《新方法》和 1686 年的《深奥几何》可以说分别代表了微分和积分微积分的正式诞生。他对微积分的方法，其中使用无穷小起着核心作用，具有组合根源，可追溯到他早期关于衍生数列的研究。给定由相关变量 x，y 确定的曲线，他用 dx 和 dy 表示值 x 和 y 之间的无穷小差异，或微分；dy/dx 表示两者的比率，然后他认为这代表了相应点处曲线的斜率。这种具有启发性的，尽管高度正式的程序使莱布尼茨得以制定计算微分的规则，通过适当修改普通数字的计算规则来实现。

尽管无穷小量在莱布尼茨的微积分方法中起着关键作用，但在 1684 年，他引入了微分的概念，而没有提及无穷小量，几乎可以肯定是为了避免基础性困难。他陈述了微分的以下规则，但没有给出证明：

如果 a 是常数，则
da=0d(ax)=adxd(x+y−z)=dx+dy−dzd(xy)=xdy+ydxd(x/y)=[−xdy+ydx] y2d(xp)=pxp−1dx, also for fractional p

但在这些规则的形式美丽背后——这是后来发展成微分代数的早期表现——无穷小的存在让人感受到，因为莱布尼茨对切线的定义既涉及无限小距离，又涉及将曲线看作无限边多边形的概念。

莱布尼茨将微分 dx, dy 构想为变量，涵盖差异。这使他能够重要地将符号 d 视为作用于变量的运算符，从而为 d 的迭代应用铺平道路，导致更高阶微分 ddx=d2x，d3x=dd2x，一般而言，dn+1x=ddnx。莱布尼茨假设一阶微分 dx, dy…比有限量 x, y…无限小，或者说是无穷小，一般而言，(n+1)阶微分 dn+1x 与第 n 阶微分 dnx 之间存在类似关系。他还假设一阶微分的 n 次方(dx)n 与第 n 阶微分 dnx 的数量级相同，即商 dnx/(dx)n 是有限量。

对于莱布尼茨来说，无穷小的无比微小源于它们未能满足阿基米德原理；而只相差无穷小的量应被视为相等。然而，尽管莱布尼茨认为无穷小比普通数更小得多，连续性法则确保它们受到与后者相同的法则支配。

莱布尼兹对无穷小和微分的态度似乎是，它们提供了构建连续形式语法、代数的要素。由于他将连续体视为纯粹的理想实体，因此他认为无穷小量本身同样是理想的，只是有用的虚构，用来简化论证和帮助洞察。

尽管莱布尼茨本人并未将无穷小或（数学上的）无限归因于客观存在，但他的一些追随者毫不犹豫地这样做。其中最著名的是约翰·贝努利（1667-1748）。他在 1698 年写给莱布尼茨的一封信中直言不讳地断言：“由于自然界的项数是无限的，因此无穷小存在”（Boyer 1939 [1959: 239]，引用莱布尼茨，Mathematische Schriften，III（第 2 部分），555）。他为实际无穷小的存在提出的一个论据是从假设无限序列 1/2、1/3、1/4 开始。如果有十个项，那么十分之一存在；如果有一百个，那么百分之一存在，依此类推；因此，如果假设的项数是无限的，那么无穷小就存在。

莱布尼兹的微积分通过吉约姆·德·洛比塔尔（1661-1704）于 1696 年出版的第一本关于这一主题的解说书《解析无穷小以理解曲线》获得了广泛的听众。这是基于两个定义：

可变量是那些不断增加或减少的量；而恒定或固定量是那些在其他量变化时保持不变的量。
变量数量不断增加或减少的无限小部分被称为该数量的微分。

两个假设：

假设两个数量的差是一个无限小的量，可以互相替代使用：或者（同样的意思）一个数量，只增加或减少一个无限小的量，可以视为保持不变。
假设曲线可以被视为无限多个无限小的直线的集合：或者（同样的）可以被视为一个具有无限多边的多边形，每个边都是无限小的长度，通过它们相互之间的角度确定了曲线的曲率。

按照莱布尼茨的说法，洛比塔尔用 dx 表示变量量 x 的微分。这些定义和公设的典型应用是确定乘积 xy 的微分：

d(xy)=(x+dx)(y+dy)−xy=ydx+xdy+dxdy=ydx+xdy.

这里最后一步是由公设 I 证明的，因为 dxdy 与 ydx+xdy 相比是无限小的。

莱布尼兹的微分学，因基础有些不牢固而很快遭到批评。荷兰医生伯纳德·尼温泰特（1654-1718）在 1694-6 年的著作中发起的攻击尤为引人关注，因为尼温泰特提出了自己关于无穷小的观点，与莱布尼兹的观点相冲突，并具有独特的特点。尼温泰特假设存在一种数量或数字的领域，受到大小排序关系的约束。这个领域包括普通有限数量，但也被假定包含无穷小和无限大的数量——当一个数量比任意给定的有限数量更小或更大时，该数量被认为是无穷小或无限大。整个领域受到阿基米德原理的支配，即零是唯一无法被乘以足够多次以等于任何给定数量的数量。无穷小数量可以被表征为有限数量 b 除以无限数量 m 的商 b/m。与莱布尼兹的微分不同，尼温泰特的无穷小具有任意一对它们的乘积为零的特性；特别是每个无穷小都是零平方的，即它的平方和所有更高次幂都是零。这一事实使尼温泰特能够展示，对于由代数方程给出的任何曲线，由无穷小横坐标增量 e 生成的微分三角形的斜边与曲线在 x 和 x+e 之间的线段重合。也就是说，曲线实际上是一个无限多边形。

涅文泰特和莱布尼茨的无穷小微积分的主要区别总结在以下表格中：

Leibniz

Nieuwentijdt

无穷小是变量

无穷小是常数

高阶无穷小存在

高阶无穷小不存在

无穷小的乘积不是绝对零。

无穷小的乘积是绝对零。

当微小到与其他量相比可以忽略时，无穷小可以被忽略。

(一阶)无穷小永远不能被忽略

在回应尼温泰特关于平方和无穷小的高次幂消失的说法时，莱布尼茨反对说，假设线段 dx 不等于零，同时边长为 dx 的正方形的面积等于零，这是相当奇怪的。然而，这种奇怪可能被视为他自己一个关键原则的结果，即曲线可以被视为无限边多边形。例如，考虑曲线 y=x2。鉴于曲线是一个无限边多边形，曲线在横坐标为 0 和 dx 之间的无穷小直线段必须与曲线在原点处的切线重合，即横坐标轴。但是，点 (dx, dx2) 必须位于横坐标轴上，这意味着 dx2=0。

现在莱布尼茨可以反驳说，这个论点在于假设在横坐标为 0 和 dx 之间的曲线部分确实是直的。如果否认这一点，那么当然就不能得出 dx2=0 的结论。但如果像莱布尼茨那样承认，在横坐标为 0 和 e 之间存在一个无穷小的直线段（即与曲线重合的无穷边形的一边），这段直线段不会缩小到一个点，那么 e 就不能等同于 0，然而上述论点表明 e2=0。由此可见，如果曲线是无穷边形，那么这些边的“长度”必须是零平方无穷小。因此，为了充分体现莱布尼茨（以及纽文泰特）的概念，需要两种类型的无穷小：第一种是“微分”，遵循莱布尼茨所规定的与有限量相同的代数规律；第二种是（必然更小的）零平方无穷小，用来衡量无穷边形的边的长度。可以说莱布尼茨认识到了第一种类型的无穷小的必要性，但没有意识到第二种类型的无穷小，而纽文泰特则相反。值得注意的是，莱布尼茨式的无穷小（微分）在非标准分析中得到了实现，而零平方无穷小则在光滑无穷小分析中得到了实现（有关这两种分析方法，请参见下文）。事实上已经证明可以结合这两种方法，从而创造一个分析框架，实现莱布尼茨和纽文泰特对无穷小的概念。

坚持认为无穷小遵循与有限量完全相同的代数规则，迫使莱布尼茨及其微积分辩护者在有限量存在时将无穷小视为零，因此，例如，x+dx 被视为与 x 相同。这是有道理的，因为微分应被视为可变量，而非固定量，不断减少直至达到零。仅在它们“消失的瞬间”中考虑，因此它们既不是某物，也不是绝对的零。

因此，微分（或无穷小）dx 被赋予了以下四种属性：

dx≈0

* 既非 dx=0 也非 dx≠0*

dx2=0
dx→0

其中，“≈”代表“与...无法区分”，“→0”代表“变得极小”。在这些性质中，只有最后一个，即将微分视为趋近于 0 的可变量，幸存于 19 世纪以极限概念重新建立微积分的过程中。

十八世纪微积分的主要实践者，实际上是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）（1707-83）。在哲学上，欧拉是一个彻底的连续论者。他拒绝了莱布尼茨的单子论，支持笛卡尔的宇宙充满连续的以太流体的观点，并支持光的波动理论，而不是牛顿提出的颗粒理论。

欧拉拒绝了无穷小的概念，认为微分必须为零，dy/dx 为 0/0 的商。欧拉认为 0/0 可以代表任意数。对于欧拉来说，微积分本质上是一个确定在各种情况下 0/0 表达式值的过程，因为它代表了瞬息增量的比率。

但在对自然现象进行数学分析时，欧拉与他的一些同时代人确实使用了类似于微元的微小但更具体的“元素”，将它们视为足够微小以在微小流动下保持其直线形状，但允许其体积发生微小变化。这个想法后来成为连续介质力学中的基本概念。

尽管欧拉将无穷小视为形式上的零，即固定数量，但他的同时代人让·勒龙·达朗贝尔（1717-1783）对此持有不同看法。他沿袭牛顿的观点，将无穷小或微分理解为极限概念，他通过断言一个变化的量是另一个量的极限，如果第二个量可以比任何给定的量更接近另一个量。达朗贝尔坚决反对将无穷小视为固定数量的观念，并认为极限概念提供了微积分的方法论根基。对于达朗贝尔来说，无穷小或微分的语言只是一种方便的简写，用以避免使用极限概念所需的繁琐表达。

无穷小、微分、消失量等概念贯穿整个十八世纪的微积分。尽管这些概念模糊不清，甚至在逻辑上有疑问，但它们提供了推导微积分所可能产生的大量结果的工具。尽管在十八世纪，除了欧拉之外，许多数学家对无穷小感到不安，但他们不愿冒险毁掉这只下金蛋的鹅。因此，他们主要避免对微积分概念进行破坏性批评。然而，哲学家并不受这种约束。

乔治·伯克利（George Berkeley，1685-1753）是一位哲学家，以他的主观唯心主义学说“esse est percipi”和他对一般观念的否定而闻名，他一直批评他所处时代数学实践的前提（Jesseph 1993）。他最著名的抨击对象是微积分，但实际上，他与数学家的冲突更深。因为他否认任何形式的抽象观念的存在，这与当时大多数数学家和哲学家持有的数学概念的抽象主义观点直接相悖。这一学说的核心原则可以追溯到亚里士多德，即心智通过抽象来创造数学概念，即通过对感知对象的多余特征进行心智抑制，以便专注于被关注的属性。伯克利否认了这一点，他断言数学作为一门科学最终关注的是感知对象，其承认的普遍性源自感知对象作为所有类似形式感知对象的符号的能力。

伯克利起初嘲笑那些坚持无穷小概念的人，认为在推导数学结果时使用无穷小是虚幻的，实际上是可以消除的。但后来他对无穷小采取了更加宽容的态度，将它们视为有用的虚构，类似于莱布尼茨的看法。

在 1734 年的《分析家》中，伯克利发表了他对无穷小和微积分整个形而上学的最持久和复杂的批判。这篇名为《致一个不信教的数学家》的小册子是为了捍卫神学免受当时许多数学家和科学家共享的怀疑主义而写的。伯克利对宗教的辩护实际上是在主张，数学家在微积分方面的推理与神秘的神学家在神圣之谜方面的推理一样有缺陷。

伯克利的论点主要针对牛顿的流变微积分。他反对的典型之处在于，牛顿试图通过使用消失量、初级和终极比率等手段来避免无穷小，实际上违反了非矛盾法则，先使数量增加，然后将增量设为 0，也就是否认曾经存在增量。至于流变和消失增量本身，伯克利有这样说：

这些 fluxions 是什么？消逝增量的速度？这些消逝增量又是什么？它们既不是有限量也不是无限小量，也不是不存在。我们能否称它们为已逝量的幽灵？（1734: 59）

勒布尼茨的微分方法也未能逃脱伯克利的批评。

连续性与离散性之间的对立在伊曼纽尔·康德（1724-1804）的哲学思想中起着重要作用。他的成熟哲学，即“先验唯心主义”，建立在将现实分为两个领域的基础上。第一个领域是现象领域，由感性形式和认识范畴构成，包括可能经验的外观或对象。第二个领域是物自体领域，包括“理解的实体，其与任何经验对象都不对应”（Körner 1955: 94），即物自体。

被视为量度时，外观在时空上是延伸且连续的，即无限地，或至少是无限可分的。空间和时间构成现象的基本秩序，因此本身也是现象，因此也是连续的。

作为知识对象，外观是连续的广泛量，但根据康德的说法，作为感觉或知觉对象，它们是强度量。康德所说的强度量是指具有程度并因此能够被感官感知的量：例如亮度或温度。强度量完全不受空间或时间直觉的影响，“只能被呈现为统一体”。但是，就像广泛量一样，它们是连续的。此外，外观总是以强度量的形式呈现给感官。

在《纯粹理性批判》（1781 年）中，康德为对连续性和离散性之间的对立关系进行分析带来了新的微妙（必须说，也是曲折的）观点。这可以在该作品中著名的第二个对立论中看到，该对立论涉及物质或延伸物质的部分整体构成的问题。它是（a）离散的，即由简单或不可分割的部分组成，还是（b）连续的，即包含无限部分内部？尽管（a）被康德称为“命题”，（b）被称为“反命题”，似乎互相矛盾，康德提供了对这两种说法的证明。他声称，由于对立论“涉及表象的划分”，（a）和（b）的论证隐含地将物质或实质视为“物自体”。康德得出结论，即“命题”和“反命题”都“预设了一个不可接受的条件”，因此“两者都不成立，因为使其中任何一个得以维持的条件本身也不成立”。

康德确定了不可接受的条件，即将物质视为物自身，这反过来导致将物质分割为部分独立于分割行为的错误。在这种情况下，论点意味着分割的序列是有限的；反论意味着它是无限的。这两者不能同时适用于从将物质或物质视为物自身而导致的完成（或至少可完成）的分割序列。现在，由于这两种断言的真实性已被证明是由该假设得出的，因此它必须是错误的，也就是说，物质和延伸物质只是表象。康德认为，对于表象，经验中的部分分割是不可完成的，因此这种分割可以被认为是“既非有限也非无限”的。由此可见，对于表象，论点和反论都是错误的。

在《批判》中，康德进一步阐述了可分性的问题，他断言，虽然通过对直觉整体进行分割而生成的每个部分都与整体一起给出，但序列的不完整性阻止了它形成一个整体；因此，不能声称这样的序列实际上是无限的。

19 世纪的连续体与无穷小

18 世纪数学分析的快速发展并没有掩盖其基本概念不仅缺乏严格定义，甚至（例如在微分和无穷小的情况下）存在疑问的逻辑特性。对连续函数概念的不精确性——仍然模糊地理解为可以用公式表示且其相关曲线可以平滑绘制的函数——导致了对其中涉及的一些程序的有效性产生了疑问。例如，人们经常假设每个连续函数都可以通过泰勒定理表示为无穷级数。19 世纪初，这种假设和其他假设开始受到质疑，从而引发了对一般函数和连续函数特别是什么意思的探讨。

波希米亚牧师、哲学家和数学家伯恩哈德·博尔扎诺（1781-1848 年）是澄清连续函数概念方面的先驱。在他 1817 年的《分析证明》中，他定义了一个（实值）函数 f 在点 x 处连续，如果差值 f(x+ω)−f(x)可以比我们所选择的任何数量小，只要我们可以将 w 取得足够小。这与柯西稍后给出的极限概念的连续性定义本质上是相同的。博尔扎诺还提出了一个不涉及无穷小概念的函数导数的定义（博尔扎诺 1851 年 [1950]）。博尔扎诺否定了欧拉在表达式中将微分视为形式零的处理，例如 dy/dx，而建议在确定函数的导数时，增量 Δx、Δy 等最终设为零。对于博尔扎诺来说，微分具有理想元素的地位，纯粹是形式实体，如射影几何中的无穷远点和线，或者（正如博尔扎诺自己提到的）虚数，其使用永远不会导致关于实数的错误断言。

尽管波尔查诺预见了微积分概念的严格表述将会呈现的形式，但他的工作在他的一生中大多被忽视。微积分的严格发展的基石是由伟大的法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（1789-1857）的思想提供的，这些思想与波尔查诺的思想基本相似。在柯西的工作中，与波尔查诺一样，一个纯粹算术概念的极限起着核心作用，摆脱了所有几何和时间直觉。柯西还阐述了一系列实数收敛于极限的条件，并陈述了他熟悉的收敛准则，即，如果对于所有 r 和足够大的 n，可以使 sn+r−sn 的绝对值小于任意预先指定的量，则序列 ⟨sn⟩ 是收敛的。柯西证明了这对于收敛是必要的，但对于条件的充分性仅仅是“当各种条件得到满足时，级数的收敛是确保的”（Kline 1972: 951）。在做出这个后一断言时，他隐含地诉诸于几何直觉，因为他没有尝试定义实数，仅观察到无理数应被视为有理数序列的极限。

柯西选择用严格化的无穷小概念来表征函数的连续性，他在《分析课程》中将其定义为“一种变量数量 [其值] 无限减小，以便无限趋近于极限 0”（Kline 1972: 951）。这是他对连续性的定义。柯西对于函数 f(x)在值 a 的邻域内的连续性的定义，现代符号表示为 limx→af(x)=f(a)。柯西对于函数 f(x)的导数 f′(x)的定义与波尔查诺的定义基本相同。

柯西的工作（以及波尔查诺的工作）代表了数学家放弃（固定的）无穷小和连续性以及运动直观观念的关键阶段，这一点在达朗贝尔的工作中已经预示。当时的某些数学家，如普瓦松和库诺，认为极限概念仅仅是对使用无穷小量的迂回替代，而无穷小量在任何情况下（他们声称）都是真实存在的，他们认为柯西的改革已经进行得太远。但事实上，传统观念的痕迹确实留存在柯西的表述中，如他使用的“变量量”、“无穷小量”、“无限接近”、“任意小”等表达方式所证明的。

与此同时，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）正在完成将时空直觉和微积分从分析基础中驱逐出去。为了灌输完全的逻辑严谨，魏尔斯特拉斯提议将数学分析建立在数字基础上，将其“算术化”——实际上，用离散取代连续。 “算术化”可以看作是一种数学原子论。为了实现这一目标，魏尔斯特拉斯首先要制定一个严格的“算术”实数定义。他通过定义一个（正）实数为一组正有理数，使得任何有限子集的和始终保持在某个预先确定的界限以下，然后指定两个这样的“实数”被认为相等或严格小于彼此的条件。

Weierstrass 关心的是清除分析基础中所有关于连续运动直觉的痕迹，换句话说，用静态替换变量。对于 Weierstrass，变量 x 只是一个符号，表示给定数字集合中的任意成员，连续变量是指其对应集合 S 具有的性质，即 S 中任意成员 x 周围的任何区间都包含 S 中不同于 x 的成员。Weierstrass 还制定了熟悉的（ε,δ）连续函数定义：函数 f(x)在 a 处连续，如果对于任意 ε>0，存在 δ>0，使得对于所有满足|x−a|<δ 的 x，|f(x)−f(a)|<ε。

魏尔斯特拉斯的努力之后，理查德·戴德金（1831-1916）对连续性和实数的严格定义问题进行了另一次攻击。戴德金关注的问题是：究竟是什么区分了连续域和不连续域？他似乎是第一个意识到，有序有理数集所具有的密度属性是不足以保证连续性的。在《连续性与无理数》（1872 年）中，他指出，当有理数与直线上的点相关联时，“有无穷多个点 [在直线上] 没有对应的有理数”（1872 年：第 3 节 [1999 年：770]），因此有理数表现出“间隙、不完整、不连续”，与直线的“无间隙、完整、连续”形成对比（1872 年：第 3 节 [1999 年：771]）。戴德金认为这一原则基本上是无法证明的；他认为这是一个公理，“我们通过这个公理将连续性归因于直线，通过这个公理将连续性思维到直线中”（1872 年 [1999 年：771-772]）。戴德金强调，空间不需要在这个意义上是连续的，“即使它是不连续的，它的许多属性仍将保持不变”（1872 年 [1999 年：772]）。

通过“创造新的点个体”（1872 [1999: 772]）填补有理数中的空隙是戴德金构建实数域的关键思想。他首先定义切割为有理数的一个划分（A1，A2），使得 A1 中的每个成员都小于 A2 中的每个成员。在指出每个有理数与一个切割有明显对应关系后，他观察到无限多个切割无法由有理数产生。有理数域的不连续性或不完整性正是由于这一事实。

需要注意的是，Dedekind 并未将无理数与切割等同起来；相反，每个无理数都是通过一种心智行为新“创造”的，并且与其相关的切割保持完全不同。 Dedekind 继续展示了如何对切割的领域进行排序，从而使得实数的相关领域具有连续性的性质。

如果所有实数的系统 R 分为两类 A1、A2，使得类 A1 中的每个数 a1 都小于类 A2 中的每个数 a2，则存在且仅存在一个数可以产生这种分离。（1872 年：第 5 节 [1999 年：776 页]）

所有中最具远见的“算术化者”是 Georg Cantor（1845-1918 年）。 Cantor 通过无限点集的连续分析引出了他的超限数理论，并最终将集合概念从几何学起源的点集合中解放出来，为今天数学中的普遍抽象集合概念的出现铺平了道路。像 Weierstrass 和 Dedekind 一样，Cantor 的目标是制定一个充分的实数定义，避免对它们先前存在的假设，并且他在基于有理数的定义上跟随他们。他称 a1，a2，...，an，...的有理数序列为基本序列，如果存在整数 N，使得对于任何正有理数 ε，存在整数 N，使得对于所有 m 和所有 n>N，|an+m−an|<ε。满足这一条件的任何序列 ⟨an⟩ 被称为具有明确极限 b。 Dedekind 将无理数视为与切割相关的心理对象，因此，类似地，Cantor 将这些明确极限视为与基本序列相关的形式符号（Dauben 1979: 38）。这些符号的域 B 可以被视为有理数域 A 的扩展。在域 B 上施加算术结构后，Cantor 鼓起勇气将其元素称为（实）数。然而，他仍坚持认为这些“数”除了作为基本序列的代表之外没有存在。 Cantor 随后展示了线上的每个点对应于 B 中的一个明确元素。反之，B 中的每个元素应确定线上的一个明确点。意识到线性连续体的直觉性质排除了对这一属性的严格证明，Cantor 简单地将其作为公理假设，就像 Dedekind 在他的连续性原理中所做的那样。

对于康托来说，他最初是一个数论学家，整个职业生涯都坚持离散，对他而言，具有客观意义的是数字，而不是几何点。事实上，康托将离散数值域 B 与线性连续体之间的同构基本上视为一种便于数字操作的工具。

康托对连续性的算术化产生了以下重要后果。长期以来人们已经认识到，任何一对线段的点集，即使其中一个长度是无限的，也可以一一对应。这一事实被认为表明这些点集没有明确定义的“大小”。但康托将线性连续体上的点集与数字域进行了对应，使得点集的大小可以以明确的方式进行比较，利用了数字集之间的一一对应的坚实概念。

康托对线性连续体子集的性质进行的研究包括在 1879 年至 1884 年期间发表的六篇杰出论文中，《关于无限线性点流形》。这些论文在思想的丰富性上非常出色，首次介绍了康托革命性的无限集理论及其在对线性连续体子集进行分类时的应用。在这些论文中的第五篇《基础》（1883 年）中，可以找到康托对连续体性质的一些深刻观察。

康托开始他对连续体的研究，对传统上围绕这个概念存在的争议进行了简洁的总结，指出直到最近连续体一直被视为一个基本上无法分析的概念。康托关注的是

尽可能冷静而简洁地发展连续体的概念，仅涉及集合论的数学理论。

他认为，这为确切概念的连续体制定了道路。康托指出，迄今为止，连续体的概念仅仅是数学家们在研究连续函数等问题时所假定的，并且“还没有经受过更深入的检验”（1883 年 [1999: §10, para. 3, p. 904]）。

康托否定在确定连续体时使用空间或时间直觉，而是进行精确的算术定义。参考他已经提供的实数定义（即基本序列），他引入了 n 维算术空间 Gn，作为所有 n 元组实数 ⟨x1，x2，…，xn⟩ 的集合，并称每个这样的元组为 Gn 的算术点。两个这样的点之间的距离由

√(x′1−x1)2+(x′2−x2)2+…(x′n−xn)2

康托将 Gn 中的算术点集定义为任何“以法则方式给定的 Gn 空间点的点的集合”（1883 [1999: §10, para. 6, p. 904]）。

在指出他先前已经证明所有空间 Gn 与实数集在区间(0,1)具有相同的势，并重申他的信念，即任何无限点集要么具有自然数集的势，要么具有(0,1)的势后，康托转向在 Gn 中定义连续体的一般概念。为此，他采用了 1872 年关于三角级数的一篇论文中引入的点集的导集或衍生集的概念。康托将点集 P 的导集定义为 P 的极限点集，其中 P 的极限点是 P 中有无限多个点与其任意接近的点。如果一个点集与其导集重合，则称该点集是完美的。康托观察到这个条件不足以表征连续体，因为在线性连续体中可以构造出在任何区间中都不稠密的完美集，举例来说，他提供了一个由所有在(0,1)中的实数组成的集合，其中三进制展开不包含“1”。

因此，需要添加一个条件来定义连续体。康托通过引入连通集的概念来实现这一点。在康托的意义上，如果对于点集 T 的任意一对点 t，t'和任意小的数 ε，存在 T 的有限点序列 t1，t2，…，tn，使得距离 [tt1]，[t1t2]，[t2t3]，…，[tnt'] 都小于 ε，则点集 T 在康托的意义上是连通的。康托现在将连续体定义为一个完美的连通点集。

康托在制定本质上是连续体的拓扑定义方面超越了他的前辈，尽管仍依赖于度量概念，但不涉及序关系。将康托的定义与现代一般拓扑学中的连续体定义进行比较是有趣的。在一本著名的教科书（Hocking & Young 1961: 43）中，我们发现连续体被定义为拓扑空间的紧致连通子集。现在在欧几里德空间的任何有界区域内，可以证明康托的连续体与现代定义意义上的连续体是一致的。虽然康托缺乏紧致性的定义，但他要求连续体是“完备的”（这导致他拒绝将非紧致集合如开区间或圆盘视为连续体）并不远离这个概念。

在整个康托的数学生涯中，他始终坚定不移，甚至有点教条地反对无穷小，抨击了杜·博瓦雷蒙和维罗内斯等数学家努力制定严谨的实际无穷小理论。在康托看来，无穷小是不可能的领域；无穷小不过是“空中楼阁，或者只是胡说八道”（1893 年 [1965 年：506]，费舍尔 1981 年译：118），应该被归类为“圆的正方形和方的圆”（1893 年 [1965 年：507]，费舍尔 1981 年译：118）。他对无穷小的厌恶深入骨髓，甚至使他公开谴责，将其标记为“数学的霍乱杆菌”（1893 年 [1965 年：505]，费舍尔 1981 年译：116）。康托对无穷小的拒绝源于他坚信自己的超限序数和基数理论穷尽了可数领域，因此不允许进一步概括数字概念，特别是任何涵盖无穷小的概念。

对算术化的批评反应

尽管魏尔斯特拉斯、戴德金和康托构建连续体的工作取得了巨大成功，但 19 世纪末 20 世纪初的一些思想家在不同程度上仍然反对完全用离散术语解释连续体概念的想法。这些人包括哲学家布伦塔诺和皮尔斯，以及数学家庞加莱、布劳尔和魏尔。

奥地利哲学家弗朗茨·布伦塔诺（1838-1917）晚年对连续的本质产生了浓厚兴趣（布伦塔诺 [PISTC]）。在基本原理上，布伦塔诺对连续的描述类似于亚里士多德。布伦塔诺认为连续是感知中的一种给定，是本质上的，而不是数学构造。他认为连续的概念是从感性直觉中抽象出来的。布伦塔诺提出，连续是通过感性直觉在三个阶段中呈现出来的。首先，感觉向我们展示了具有重叠部分的对象。从这些对象中，边界的概念依次被抽象出来，然后人们领悟到这些对象实际上包含着重叠的边界。最后，人们看到这就是理解连续概念所需的全部。

对于布伦塔诺来说，连续体的基本特征是其固有能力产生边界，以及这种边界可以被理解为重合。边界本身具有布伦塔诺称之为“充实”的特质。充实是给定边界实际上界定方向的数量度量。因此，例如，在时间连续体中，过去事件的终点或未来事件的起点只在一个方向上界定，而标志着一个事件结束和另一个事件开始的点可以说是双重界定。在空间连续体的情况下，还有许多额外的可能性：这里一个边界可以在其能够界定的所有方向上界定，或者只能在其中一些方向上界定。在前一种情况下，边界被称为存在于完全充实状态；在后一种情况下，是部分充实状态。布伦塔诺认为，充实的概念使得人们能够理解这样一个观念，即边界即使在没有维度的情况下也具有“部分”，比如点的情况。因此，根据布伦塔诺的观点，现在或“现在”在时间上是无延展的，只存在作为过去和未来之间的边界，但它仍然具有两个“部分”或方面：它既是过去的结束，也是未来的开始。值得一提的是，对于布伦塔诺来说，不仅仅是“现在”只存在作为边界；因为像亚里士多德一样，他认为“存在”在严格意义上意味着“现在存在”，因此必然得出结论，现存的事物只存在作为已经存在或将要存在的边界，或两者兼有。

Brentano 对数学家试图从数字构建连续体持有一种较为消极的看法。他的态度从拒绝将这些尝试视为不足以将它们视为“虚构”状态。这并不奇怪，考虑到他的亚里士多德倾向是将数学和物理理论视为对经验现象的真实描述，而不是理想化：在他看来，如果将这些理论视为对经验的文字描述，它们将不会比“误导”更好。

Brentano 对连续体的分析集中在其现象学和质性方面，这些方面本质上无法归纳为离散的。Brentano 拒绝数学家试图以离散的术语构建连续体的做法因此并不令人意外。

美国哲学家兼数学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯（1839-1914 年）对连续体的看法在某种意义上介于布伦塔诺和算术化者之间。与布伦塔诺一样，他认为连续体的内聚性排除了它仅仅是一组离散个体或点的可能性。甚至在布劳尔之前，皮尔斯似乎已经意识到，对连续体的忠实描述将涉及对排中律的质疑。皮尔斯还认为，任何连续体都包含着一个无限大的点集合——用他生动的术语来说，是一个超多元集合——今天我们称之为适当类。皮尔斯认为，如果足够多的点被挤在一起，通过将新点的插入在老点之间进行到极限，它们将通过逻辑上的“数量转化为质量”的过程失去其个体身份，并融入一个真正的连续体。

皮尔斯对数值连续体的构想也因其中存在大量无穷小而引人注目，皮尔斯主张在微积分基础中保留无穷小概念，既因为他认为无穷小方法的高效性，也因为他认为无穷小构成了使连续线上的点失去个体身份的“胶水”。

伟大的法国数学家亨利·庞加莱（1854-1912）的思想中，连续性的概念起着核心作用。他接受了连续体的算术定义，但质疑（与戴德金和康托的表述一样）由此产生的（无理）数只是符号，脱离了直觉的起源。与康托不同，庞加莱接受了无穷小，尽管他并不认为这个概念的所有表现都是有用的。

荷兰数学家勒·E·J·布劳尔（1881-1966）以创立直觉主义哲学（新直觉主义）而闻名（布劳尔 [1975]; van Dalen 1998）。布劳尔对数学的高度理想主义观点与康德的观点有些相似。对于布劳尔来说，数学概念只有在直觉中得到充分基础时才是可接受的，数学理论只有涉及直觉中立即给出的实体构造时才具有意义，数学证明是一种直觉中的构造形式。尽管承认非欧几里德几何学的出现使康德对空间的观点不受欢迎，布劳尔认为，与逻辑主义者（他称之为“形式主义者”）相反，算术，以及所有数学，必须源自时间直觉。

布劳尔最初毫不含糊地认为，连续体不能由离散点构造，但后来修改了这一信条。在他成熟的思想中，他彻底改变了点的概念，赋予点足够的流动性，使它们能够作为“真正”的连续体的生成器。这种流动性是通过承认“点”而实现的，不仅包括已经实现“存在”的完全定义的离散数，如 √2、π、e 等，而且还包括那些处于永久变化状态的“数”，因为它们的十进制（或二进制）展开是由主体在无限延伸的时间内进行自由选择的结果。由此产生的选择序列不能被看作是完成的、完整的对象：在任何时刻只有一个初始段是已知的。布劳尔以这种方式获得了数学连续体，这与他对时间原始直觉的信仰相一致——也就是说，作为一个永久增长状态的未完成、无法完成的实体，一个“自由发展的媒介”。在这种构想中，数学连续体确实是“构造”出来的，但并非像康托和戴德金那样，最初将直观的连续体分解为孤立的点，而是通过从一组不断变化的重叠部分组装而成。

布劳威尔构想的数学连续体展示了一些特征，对于传统观点来说似乎很奇怪。例如，在布劳威尔连续体中，通常的可比性法则不成立，即对于任意实数 a，b，要么 a <b，要么a=b，要么a> b。更为根本的是排中律的失败形式，即对于任意实数 a，b，要么 a=b，要么 a≠b。这些看似不容置疑的原则的失败反过来破坏了一些经典分析基本结果的证明，例如波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，以及单调收敛、中值、上确界和连续函数的最大值定理。

尽管从古典数学家的角度来看，Brouwer 连续体可能具有一些负面特征，但它更接近直觉连续体，而不是其古典对应物。直觉连续体中点的排中律失败并不奇怪，反而可以看作与直觉连续体的特性相吻合。

1924 年，布劳威尔证明了定义在他的连续体闭区间上的每个函数都是一致连续的。作为一个结果，直觉主义连续体是不可分解的，也就是说，无论如何都不能将其分割成两个不相交的部分。与离散实体相反，不可分解的布劳威尔连续体不能由其部分组成。布劳威尔对连续体的愿景近年来已成为密集的数学研究对象。

赫尔曼·维尔（1885-1955 年）是 20 世纪最多才多艺的数学家之一，他一直关注连续体的本质。在他 1918 年的《连续体》中，他试图为连续体提供一个精确的数学表述，摆脱了他认为令人反感的集合论假设。在他看来，直观给定的连续体（例如空间、时间和运动的连续体）与数学的离散确切概念（例如实数）之间存在着无法弥合的鸿沟。对于维尔来说，这种分裂的存在意味着数学连续体的构建不能简单地从直觉中“读取”。相反，他认为数学连续体必须以与物理理论相同的方式处理和最终证明。无论他多么希望，但在《连续体》中，维尔并没有旨在提供一个数学表述连续体的方式，正如上面的引文所显示的，他认为这是不可能的（至少在那个时候）。相反，他的目标首先是通过将实数的算术概念建立在坚实的逻辑基础上来实现一致性，然后通过将其作为客观物理世界中连续过程的合理解释的基础来展示所得到的理论的合理性。

后来，魏尔开始否定连续体的原子论理论，包括他自己的《连续体》。因此，他欢迎勃劳尔通过自由选择行为生成的序列构建连续体，从而将其确定为“自由生成的媒介”，它“不会溶解为一组作为完整实体的实数”（魏尔 1921 年，50 页）。魏尔认为，勃劳尔通过他的直觉主义学说，比任何其他人都更接近弥合直觉和数学连续体之间的“无法逾越的鸿沟”。特别是，他发现勃劳尔连续体的一个引人注目之处在于它不是两个不相交的非空部分的并集——它是不可分解的。“一个真正的连续体”，魏尔说，“不能被分割成独立的片段”。在后来的出版物中，他更形象地引用阿那克萨戈拉的话来表达这一点，即连续体“抵制用斧头砍掉其部分”。

非标准分析

一旦连续体被赋予了集合论基础，数学分析中对无穷小的使用大多被放弃。这种情况持续了一段时间。对分析中无穷小方法复苏的第一个迹象出现在 1958 年，由 C. Schmieden 和 D. Laugwitz 发表的一篇论文。但主要突破发生在 1960 年，当数学逻辑学家亚伯拉罕·罗宾逊（1918-1974）想到时。

当代数理逻辑的概念和方法能够为微积分的发展提供一个适当的框架，通过无穷小和无穷大数的手段。（摘自罗宾逊 1966 年的前言：第七页 [1996 年：第十三页]）

这一洞察力促成了非标准分析的创立，罗宾逊认为这实现了莱布尼兹对微分和无穷的理念，即将其视为具有与普通实数相同性质的理想数。

在罗宾逊最初的洞察之后，出现了许多展示非标准分析的方法。以下是其中一种方法的概述。

从经典实数线 R 开始，首先在其上构建一个集合论宇宙——标准宇宙：这里所指的宇宙是指一个包含 R 的集合 U，它在并集、幂集、笛卡尔积和子集等通常的集合论操作下是封闭的。现在将 U 写为结构(U,∈)，其中 ∈ 是 U 上的通常成员关系：与此相关的是将集合论的一阶语言扩展为包括 U 中每个元素 u 的名称 u 的扩展 L(U)。现在，利用一阶逻辑的著名紧致性定理，U 被扩展为一个新结构 ∗U=(∗U, ∗∈)，称为非标准宇宙，满足以下关键原则：

饱和原理。设 Φ 是一个具有恰好一个自由变量的 L(U)-公式集合。如果 Φ 在 U 中是有限可满足的，即对于 Φ 中的任何有限子集 Φ'，存在 U 中满足 Φ'中所有公式的元素，则存在 ∗U 中的一个元素，满足 ∗U 中 Φ 的所有公式。

饱和性质表达了非标准宇宙相对于标准宇宙非常丰富的直觉概念。确实，对于给定属性 P 的集合的每个有限子集合 F，可能存在一个在 U 中满足 F 中成员的元素，但不一定存在一个在 U 中满足所有 P 的成员的元素。∗U 的饱和性保证了在 ∗U 中存在一个满足 P 的所有成员的元素。例如，假设自然数集 N 是 U 的一个成员；对于每个 n∈N，让 Pn(x)表示属性 x∈N 且 n<x。显然，虽然属性集合 P={Pn:n∈N}的每个有限子集在 U 中是可满足的，但整个集合不是。在 ∗U 中满足 P 的元素将是一个比 N 中的每个成员都大的“自然数”，也就是一个无限大的数。

根据饱和性质，可以得出 ∗U 满足重要性

传递原理。如果 σ 是 L(U)的任何句子，则在 U 中 σ 成立当且仅当在 ∗U 中成立。

转移原则可以看作是莱布尼茨的连续性原则的一个版本：它断言所有一阶性质在从标准宇宙到非标准宇宙的过程中是保持不变的。

U 的成员被称为标准集合或标准对象；∗U−U 中的成员被称为非标准集合或非标准对象：因此 ∗U 包括标准对象和非标准对象。∗U 的成员也将被称为 -集合或-对象。由于 U⊆∗U，在这种约定下，每个集合（对象）也是一个 -集合（对象）。 -集合 A 的 -成员是满足 x∗∈A 的-对象 x。

如果 A 是一个标准集合，我们可以考虑集合^A——A 的膨胀——包括 A 的所有^ ^-成员：这不一定是一个集合，甚至不是一个^^-集合。标准集合 A 的膨胀^A 可以被看作是从非标准视角观察的同一个集合 A。显然 A⊆^A，但^A 可能包含不在 A 中的“非标准”元素。事实上，可以证明无限标准集合总是以这种方式“膨胀”。利用转移原理，任何标准集合之间的函数 f 自动扩展为一个函数——也写作 f——在它们的膨胀之间。

如果 A=(A,R)是一个数学结构，我们可以考虑结构^A=(^A,^R)。根据转移原理，可以得出 A 和^A 具有完全相同的一阶性质。

现在假设自然数集合 N 是 U 的一个成员。那么实数集合 R 也是，因为每个实数都可以与一组自然数对应。R 可以看作是一个有序域，因此其充实^R 也是如此，因为后者具有与 R 完全相同的一阶性质。^R 被称为超实数线，其成员被称为超实数。标准超实数就是一个实数，我们将其强调为标准实数。由于 R 是无限的，非标准超实数必须存在。饱和原理意味着必须存在一个无限（非标准）超实数，即一个超实数 a，使得对于每个 n∈N，a>n。在这种情况下，它的倒数 1/a 在超过 0 且小于 1/n+1 对于每个 n∈N 的意义上是无穷小。一般来说，我们称超实数 a 为无穷小，如果其绝对值|a|对于每个 n∈N 都小于 1/n+1。在这种情况下，无穷小集合 I 不仅包含 0，还包含相当数量（实际上是无限多）的其他元素。显然，I 是 R 的一个加法子群，即如果 a，b∈I，则 a−b∈I。

充实集合 ^N 的成员被称为超自然数。至于超实数，可以证明 ^N 也包含非标准元素，这些元素必须超过 N 的每个成员；这些被称为无限超自然数。

对于超实数 a，b，我们定义 a≈b，并说 a 和 b 是无穷小接近的，如果 a−b∈I。这是超实数线上的等价关系：对于每个超实数 a，我们将 μ(a)写为 a 在此关系下的等价类，并称之为 a 的单子。因此，超实数 a 的单子包括所有与 a 无穷小接近的超实数：它可以被看作是以 a 为中心的一个小云。还要注意 μ(0) = I。

如果超实数 a 不是无限的，则它是有限的；这意味着存在某个 n∈N，使得|a|<n。很容易证明有限性等价于接近标准性的条件；这里的超实数 a 是接近标准的，如果 a≈r，其中 r 是某个标准实数。

非标准分析的许多用处源自于这样一个事实，即涉及极限或（ε,δ）准则的古典分析陈述可以简洁、直观地转化为涉及无穷小或无穷大数的陈述，从而使得对古典定理能够给出相对简单的证明。以下是一些这样的转化示例：

设 ⟨sn⟩ 是一组标准的实数无限序列，s 是一个标准的实数。在经典意义下，s 是 ⟨sn⟩ 在 R 中的极限，当且仅当对于所有无限下标 n，sn≈s。
一个标准序列 ⟨sn⟩ 当且仅当对于所有无限的 n 和 m，sn≈sm 时收敛。(柯西收敛准则。)

现在假设 f 是定义在某个开区间(a,b)上的实值函数。我们已经提到过 f 会自动扩展为一个函数，也记作 f，定义在 ˆ(a,b)上。

为了使标准实数 c 成为 f(x)在 x 趋近 x0 时的极限，即 limx→x0f(x)=c，其中 x0 是(a,b)内的标准实数，必要且充分条件是对于所有 x≈x0，f(x)≈f(x0)。
如果且仅如果对于所有的 x≈x0，函数 f 在(a,b)中的标准实数 x0 处连续，则 f(x)≈f(x0)。（这等价于说 f 将 x0 的单子映射到 f(x0)的单子中。）
为了使标准数 c 成为 f 在 x0 处的导数，必要且充分条件是对于 x0 单子中的所有 x≠x0，f(x)−f(x0)x−x0≈c。

许多其他数学分支都有整洁且富有成果的非标准表述。

建设性实数线和直觉连续体

建设性数学发展的最初动机是将数学存在的概念建立在建设性或可计算的基础上。虽然有许多种类的建设性数学（Bridges & Richman 1987），但在这里我们将重点关注 Bishop 的建设性分析（Bishop & Bridges 1985；Bridges 1994，1999；以及 Bridges & Richman 1987）和 Brouwer 的直觉主义分析（Dummett 1977）。

在建设性数学中，只有当明确的解决方案至少在原则上可以被产生时，问题才被视为已解决。因此，例如，“存在一个 x 使得 P(x)”意味着，至少在原则上，我们可以明确地产生一个 x，使得 P(x)成立。这一事实导致了对某些经典逻辑原则的质疑，特别是排中律，以及新逻辑——直觉主义逻辑的产生。这也导致了对实数的一个更加明确的定义——建设性实数。一个建设性实数是一个有理数序列(rn)=r1,r2,…，使得对于任意 k，可以以一种方式计算出一个数 n，使得|rn+p−rn|≤1/k。每个有理数 a 可以通过将其与实数(α,α,…)等同来看作一个实数。所有建设性实数的集合 R 是建设性实数线。

当然，对于任何“给定”的实数，都有多种明确的逼近序列方式。因此，有必要定义一个等价关系，“实数上的相等”。这里的正确定义是：r=Rs 当且仅当对于任何 k，可以找到一个数 n，使得|rn+p−sn+p|≤1/k，对于所有 p 成立。说两个实数相等意味着它们在这个意义上是等价的。

实数线可以用公理描述来构建。我们首先假设存在一个集合 R，其中包含

一个二元关系 >（大于）
一个由 x#y⇔x>y 或 y>x 定义的对应的分离关系
一个一元运算 x↦−x
二元运算（x，y）↦（x+y（加法）和（x，y）↦xy（乘法）
用 0（零）和 1（一）区分元素，其中 0≠1
在非零元素集合上的一元运算 x↦x−1。

R 的元素被称为实数。如果 x>0，则实数 x 为正数，如果 −x>0，则为负数。关系 ≥（大于或等于）由定义

x≥y⟺∀z(y>z⇒x>z).

关系 < 和 ≤ 通常定义如下：如果 0≤x，则 x 是非负的。如果 x≥y 且 y≥x，则两个实数相等，此时我们写作 x=y。

自然数集 N，正整数集 N+，整数集 Z 和有理数集 Q 被认定为实数 R 的常规子集；例如，N+被认定为形式为 1+1+…+1 的 R 的元素集。

这些关系和运算受以下三组公理的约束，这些公理共同构成了建构分析的公理系统 CA，或建构实数（Bridges 1999）。

字段公理

x+y=y+x
（x+y）+z=x+（y+z）
0+x=x
x+（-x）=0 xy=yx
(xy)z=x(yz)
1x=x
xx−1=1 如果 x≠0
x(y+z)=xy+xz

订单公理

¬(x>y∧y>x)
若 x 大于 y，则对任意 z，要么 x 大于 z，要么 z 大于 y。
¬(x#y)⟹x=y
若 x>y，则对于所有的 z，有(x+z>y+z)
(x>0∧y>0)⟹xy>0.

最后两个公理介绍了>和 ≥ 的特殊性质。在这两者中的第二个中，定义了与传统数学中相同的概念：上界、下界和有界，如果存在的话，非空实数集 S 的上确界是唯一的实数 b，使得

b 是 S 的上界，且
对于每个 c <b，存在s∈S，使得s> c。

>.的特殊属性。

阿基米德公理。对于每个 x∈R，如果 x≥0，则存在 n∈N，使得 x<n。
最小上界原理。设 S 是实数 R 的非空子集，相对于关系 ≥ 有上界，对于所有实数 a，b，其中 a <b，要么b是S的上界，要么存在s∈S，使得s> a。那么 S 有一个最小上界。

接下来可以建立>和 ≥ 的基本性质。

假设(x≤x)
x≥x
x 大于 y 且 y 大于 z 蕴含 x 大于 z
¬(x>y∧y≥x)
(x>y≥z)⟹x>z --> (x>y≥z)⟹x>z
¬(x>y)⟺y≥x
¬¬(x≥y)⟺¬¬(y>x)
(x≥y≥z)⟹x≥z
(x≥y∧y≥x)⟹x=y
¬(x>y∧x=y)
x≥0⟺ 对于所有 ε>0，有 x<ε
x+y>0⟹(x>0∨y>0)
x>0 意味着-x<0
(x>y∧z <0)⟹yz> xz
x#0⟹x2>0
1>0
x2>0
0 <x<1 ⟹ x> x²
x2>0⟹x≠0
n∈N+⟹n−1>0
如果 x>0 且 y≥0，则存在 n∈Z 使得 nx>y。
x>0⟹x−1>0
xy>0⟹(x≠0∨y≠0)
如果 a<b，则存在 r∈Q(a<r<b)

如上所介绍的建设性实数线 R 是 CA 的一个模型。是否存在其他模型，即与 R 不同构的模型？如果假设经典逻辑，CA 是一个范畴论理论，所以答案是否定的。但在直觉主义逻辑中情况并非如此，因为在那里，戴德金和康托实数可能不同构，尽管它们都是 CA 的模型。

在建设性分析中，实数是由有效规则生成的无限（收敛）有理数序列，因此建设性实数线本质上只是其经典对应物的限制。布劳威直觉主义对此持更宽松的观点，导致算术连续体在严格建构主义提供的版本上得到了相当丰富的丰富。按照直觉主义的构想，算术连续体不仅接受由有效规则预先确定其项的无限序列作为实数，还接受在生成过程中自由选择起作用的序列。后者被称为（自由）选择序列。不失一般性，我们可以并将假设选择序列中的条目是自然数。

尽管建设性分析在形式上并不与古典分析相矛盾，实际上可以被视为后者的一个子理论，但已经提出了一些直观上可信的原则，用于选择序列理论，这些原则使直观分析与其古典对应物产生分歧。其中一个原则是布劳威的连续性原则：给定选择序列 α 和数字 n 之间的关系 Q(α,n)，如果对于每个 α 都可以确定一个数字 n，使得 Q(α,n)成立，那么 n 已经可以根据对 α 的有限项知识来确定。从这个原则可以证明连续性定理的一个弱版本，即从 R 到 R 的每个函数都是连续的。另一个原则是巴尔彻归纳，一种针对有限序列的良好基础集合的归纳形式。布劳威在证明他的连续性定理时使用了巴尔彻归纳和连续性原则，即定义在闭区间上的每个实值函数都是一致连续的，从而，正如已经观察到的那样，直观连续体是不可分解的。

布劳尔通过引入创造性主体，明确地赋予直觉主义数学观念一个主观性的转折。创造性主体被构想为一种理想化的数学家，对他来说，时间被划分为离散的连续阶段，在每个阶段，他可以测试各种命题，尝试构造证明等。特别地，在阶段 n，总是可以确定创造性主体是否有关于特定数学命题 p 的证明。虽然创造性主体理论仍存在争议，但其纯粹数学的后果可以通过一个简单的假设得到，该假设完全不涉及主观和时间元素。

创造性主体使我们能够为给定命题 p 定义一个二进制序列 ⟨an⟩，其中 an=1 表示创造性主体在第 n 阶段证明了 p；否则 an=0。如果构造这些序列是创造性主体唯一的用途，那么可以通过假设所谓的克里普克方案来避免提及后者。

对于每个命题 p，都存在一个递增的二进制序列 ⟨an⟩，使得当且仅当存在某个 n 使得 an=1 时，p 成立。

这些原则综合起来，已经被证明对连续体的不可分解性有显著的影响。直觉主义连续体不仅是不可分解的（即不能被分成两个非空的不相交部分），而且，在假设连续性原则和克里普克方案的情况下，即使用针刺破它，它仍然是不可分解的。直觉主义连续体具有一种粘稠的特性，因此不能简单地去掉一个点。如果再假设巴尔归纳，那么更令人惊讶的是，即使从连续体中移除所有有理点，不可分解性仍然保持不变。

最后，已经证明在直觉主义数学中可以发展出一种自然的无穷小概念（Vesley 1981），其思想是无穷小应该是一个“非常小”的实数，即在不可区分的意义上不严格大于或小于零。

9. 平滑无穷小分析

20 世纪 70 年代，在合成微分几何的出现中，概念无穷小的重建发展取得了重大进展，也被称为光滑无穷小分析（SIA）。基于美国数学家 F.W.劳维尔的思想，并应用范畴论的方法，光滑无穷小分析提供了一个世界的图像，在这个图像中，连续是一个自主的概念，不能用离散来解释。它为数学分析提供了一个严格的框架，在这个框架中，空间之间的每个函数都是光滑的（即，可以任意多次可微，特别是连续的），并且在定义微积分的基本概念时使用极限的做法被零幂无穷小所取代，即，数量如此之小（但实际上不为零），以至于某些幂——最有用的是平方——会消失。由于在 SIA 中所有函数都是连续的，它以一种引人注目的方式体现了莱布尼茨的连续性原则“Natura non facit saltus”。

在接下来的内容中，我们使用粗体 R 来区分 SIA 中的实数线与经典和构造分析中的对应物。在微积分的通常发展中，对于实数线 R 上的任何可微函数 f，y=f(x)，根据泰勒定理可得，随着 x 的增量 δx，y 中的增量 δy=f(x+δx)−f(x)由形式为的方程确定

δy=f′(x)δx+A(δx)2,

其中 f′(x)是 f(x)的导数，A 是一个值取决于 x 和 δx 的量。现在如果可以取得足够小的 δx（但不明显等于 0），使得(δx)2=0，那么(1)将呈现简单形式。

f(x+δx)−f(x)=δy=f′(x)δx.

我们将称具有平方为零属性的量为零平方无穷小或简称为微量。在 SIA 中，“足够”的微量存在，以确保方程（2）对任意函数 f:R→R 都成立非平凡地。（当然，在标准数学分析中，方程（2）是平凡成立的，因为在这个意义上 0 是唯一的微量。）这里“非平凡”的含义可以通过以下方式阐明。如果我们用代表任意微量的字母 ε 替换 δx，（2）就变成了以下形式。

(3) f(x+ε)−f(x)=εf′(x).

理想情况下，我们希望这个方程的有效性与 ε 无关，也就是说，对于给定的 x，它对所有微量 ε 都成立。在这种情况下，导数 f′(x) 可以被定义为唯一的量 D，使得方程成立。

f(x+ε)−f(x)=εD

对于所有微量 ε 成立。

将 x=0 代入这个方程，我们特别得到

f(ε)=f(0)+εD

对于所有 ε。在平滑无穷小分析中，方程（4）被视为公设。让我们用 Δ 表示微量的集合，也就是说，

Δ={x:x∈R∧x2=0}.

然后假设，对于任何 f:Δ→R，存在唯一的 D∈R，使得方程（4）对所有 ε 成立。这意味着 f 的图形是一条通过 (0, f(0)) 且斜率为 Δ 的直线。因此，数学家称 Δ 上的任何函数为仿射函数，因此这个假设自然被称为微仿射原理。这意味着 Δ 不能被弯曲或打破：它只受到平移和旋转的影响，但并不（如在普通分析中）与一个点相同。 Δ 可以被看作是一个具有位置和态度但缺乏真正延伸的实体。

现在考虑从 Δ 到自身的映射空间 ΔΔ。根据微仿射原理，由在 0 处消失的映射组成的 ΔΔ 的子空间(ΔΔ)0 与 R 同构。空间 ΔΔ 是一个在 Δ 上通过评估作用的复合下的幺半群，对于 f∈ΔΔ，f⋅ε=f(ε)。它的子空间(ΔΔ)0 是一个子幺半群，自然地被认定为微量的比值空间。如上所述的(ΔΔ)0 与 R 之间的同构很容易看出是幺半群的同构(R 被认为是在其通常乘法下的幺半群)。由此可知，R 本身可以被看作是微量比值的空间。这本质上是欧拉的观点，他认为(实数)代表了计算比值 0/0 的可能结果。因此，劳维尔建议将 R 称为欧拉实数空间。

如果我们将函数 y=f(x)看作定义曲线的话，那么对于任意的 a，通过将 Δ 平移至 a 得到的“微区间”Δ+a 在 f 下的像是直的，并且与曲线在 x=a 处的切线重合。从这个意义上说，每条曲线都是“微小直的”。

从微亲和性原理我们推导出重要的微抵消原理，即。

如果对于所有的 ε 都有 εa=εb，则 a=b。

因为前提断言由 g:Δ→R 定义的函数 g(ε)=aε 的图形具有斜率 a 和斜率 b：微仿射原理中的唯一性条件则给出 a=b。微消除原理提供了在平滑无穷小分析中存在“足够”无穷小的确切意义。

根据微亲和性原理，还可以得出所有定义在 R 上的函数都是连续的，即将相邻点映射到相邻点。在 R 上，如果 x 和 y 之间的差为 Δ，则称 x，y 为相邻点，也就是说，x 和 y 之间相差一个微量。为了理解这一点，考虑函数 f:R→R 和相邻点 x，y，注意到 y=x+ε，其中 ε 在 Δ 中。

f(y) - f(x) = f(x + ε) - f(x) = εf′(x).

但显然微量的任何倍数也是微量，所以 εf′(x)也是微量，结论得证。

事实上，由于方程（3）对任何 f 都成立，它也对其导数 f′成立；因此，在平滑无穷小分析中的函数可以任意多次可微，从而证明了使用术语“平滑”的合理性。

让我们推导微积分的一个基本定律，即乘积法则：

(fg)′=f′g+fg′.

为了做到这一点，我们计算

(fg)(x+ε)=f(x)g(x)+ε(fg)′(x)

由于 ε2=0。因此 ε(fg)′=ε(f′g+fg′)，结果通过微消去得到。

函数 f: R→R 的实数域 R 中的一个静止点 a 被定义为在其附近“无穷小变化”无法改变 f 的值的点，即对于所有 ε 都有 f(a+ε)=f(a)。这意味着 f(a)+εf′(a)=f(a)，因此 εf′(a)=0 对所有 ε 成立，由微消去可得 f′(a)=0。这就是费马法则。

在平滑无穷小分析中，我们采用的关于稳定点的一个重要假设是

恒定原理。如果区间 J 中的每个点都是 f:J→R 的一个驻点（即 f′恒等于 0），那么 f 是一个常数函数。

简而言之，“全局局部恒定意味着全局恒定”。由此可知，具有相同导数的两个函数之间最多相差一个常数。

在普通分析中，连续体 R 是连通的，即它不能被分割成两个非空子集，其中任何一个都不包含另一个的极限点。在光滑无穷小分析中，它具有更强大的不可分解性质：它无论如何都不能被分割成两个不相交的非空子集。假设 R=U∪V，其中 U∩V=∅。定义 f:R→{0,1}，如果 x∈U，则 f(x)=1，如果 x∈V，则 f(x)=0。我们声称 f 是常数。因为我们有

(f(x)=0 或 f(x)=1)&(f(x+ε)=0 或 f(x+ε)=1)。

这提供了四种可能性：

f(x)=0 且 f(x+ε)=0
f(x)=0 且 f(x+ε)=1
f(x)=1 且 f(x+ε)=0
f(x)=1 且 f(x+ε)=1

可能性（ii）和（iii）可以被排除，因为 f 是连续的。这留下了（i）和（iv），在其中 f(x)=f(x+ε)。所以 f 在局部是常数，因此在全局也是常数，即始终为 1 或 0。在第一种情况下 V=∅，在第二种情况下 U=∅。

我们观察到光滑无穷小分析的假设与古典逻辑的排中律是不相容的。这种不相容性可以通过两种方式进行证明，一种是非正式的，另一种是严格的。首先是非正式的论证。考虑函数 f 在实数 x 上的定义，如果 x=0，则 f(x)=1，如果 x≠0，则 f(x)=0。如果排中律成立，那么每个实数要么等于 0，要么不等于 0，因此函数 f 将在整个实数集上定义。但是，将 f 作为定义域为 R 的函数来考虑，显然是不连续的。由于我们知道，在光滑无穷小分析中，R 上的每个函数都是连续的，因此 f 在那里不能有定义域 R。因此，排中律在光滑无穷小分析中失败了。简而言之，普遍连续性意味着排中律的失败。

这里是严格的论证。我们展示排中律的失败可以从无穷小消去原理推导出来。首先，如果 x≠0，则 x²≠0，因此，如果 x²=0，则必然不是 x≠0。这意味着

(*)

对于所有无穷小 ε，非 ε≠0。

现在假设排中律成立。那么对于任意的 ε，要么 ε=0，要么 ε≠0。但(*)允许我们排除第二种可能性，我们推断出，对于所有的 ε，ε=0。这可以写成

对于所有的 ε，ε⋅1=ε⋅0。*

我们通过微消除得出错误的 1=0。因此排中律必定失败。

光滑无穷小分析的“内部”逻辑因此并非完全的古典逻辑。相反，它是直觉主义逻辑，即从数学断言的建设性解释中导出的逻辑。在我们简要的概述中，我们没有注意到这种“逻辑的变化”，因为像许多初等数学一样，我们讨论的主题自然地通过直接计算等建设性手段来处理。

在 SIA 中，R 上的代数和序结构是什么？就前者而言，与经典情况几乎没有区别：在 SIA 中，R 配备了通常的加法和乘法运算，使其成为一个域。特别地，R 满足每个 x≠0 都有一个乘法逆元的条件。然而需要注意的是，在 SIA 中，除了 0 本身之外，没有微量可以被证明不等于 0，因此不要求微量具有乘法逆元（这一要求会导致不一致性）。从严格的代数观点来看，在 SIA 中，R 与其经典对应物仅在于需要满足无穷小消去原则。

然而，在 SIA 中，关于 R 的排序结构情况是不同的。由于排中律的失败，SIA 中 R 上的<排序关系无法满足三分律。

x < y 或 y < x 或 x = y,

因此<必须是部分排序，而不是完全排序。由于微量没有乘法逆元，而 R 是一个域，任何微量 ε 必须满足

ε <0且ε> 0。

因此，如果我们通过 x<y 当且仅当 ¬(y<x)定义关系<，那么对于任何微量 ε，我们有

ε≤0 且 ε≥0.

利用这些思想，我们可以在 SIA 中识别出 0 的三个无穷小邻域，每个邻域都包含在其后继邻域中。首先是微量集 Δ 本身，接着是不可区分于 0 的元素集合 I={x∈R:¬x≠0}；最后是该集合。

J={x∈R:x=0}

这三个元素既不小于 0 也不大于 0。可以将它们分别视为代数、逻辑和排序理论上定义的 0 的无穷小邻域。

在某些 SIA 模型中，自然数系统具有一些微妙而有趣的特征，使得可以引入另一种类型的无穷小——所谓的可逆无穷小——类似于非标准分析中的无穷小，其存在引发了另一个包含所有上述引入的无穷小的 0 的无穷小邻域。

在 SIA 中，自然数集 N 可以定义为包含 0 并且在加 1 操作下封闭的 R 的最小子集。在一些 SIA 模型中，R 满足阿基米德原理，即每个实数都被一个自然数所主导。然而，已经构建了 SIA 模型（Moerdijk & Reyes 1991），其中 R 在这个意义上不是阿基米德的。在这些模型中，考虑 N 的替代，即由平滑自然数定义的 N∗。

N∗={x∈R:0≤x 且 sinπx=0}.

N∗ 是光滑曲线 y=sinπx 与正 x 轴相交点的集合。在这些模型中，可以证明如果在定义中将 N 替换为 N∗，则 R 具有阿基米德性质。在这些模型中，N 是 N∗ 的真子集：N∗−N 的成员可以被视为非标准整数。非标准整数的乘法倒数是无穷小，但由于它们本身是可逆的，它们与我们迄今考虑的类型不同。很容易证明它们，以及 J 中的无穷小（因此也包括 Δ 和 I 中的无穷小），都包含在集合中——0 的进一步无穷小邻域内。

K={x∈R:对于所有 n∈N，-1/n<x<1/n}

R 中的无限小元素。集合的成员

In={x∈K:x≠0}

K 中可逆元的逆元自然地被识别为可逆无穷小。作为“无限大”实数的倒数（即，满足 ∀n∈N(n<r)∨∀n∈N(r<−n)的实数 r），In 的成员是 SIA 中无标准分析的无穷小的对应物。

最后，简要谈一下 SIA 的模型。这些被称为光滑拓扑的模型是一种特定类型的范畴（参见范畴论条目），其中可以执行所有常规的数学运算，但其内部逻辑是直觉主义的，并且空间之间的每个映射都是光滑的，即无限可微的。正是这种“普遍光滑性”使得存在诸如 Δ 这样的无穷小对象成为可能。光滑拓扑的构造（Moerdijk & Reyes 1991）确保了 SIA 与直觉主义逻辑的一致性。尽管 SIA 与经典逻辑不一致，但事实上仍然如此。

Bibliography

Aristotle, Physics, 2 volumes (Loeb Classical Library, 228 and 255), P. H. Wickstead and F. M. Cornford (trans), Cambridge, MA: Harvard University Press and Heinemann, 1980.
–––, [MOMM], Metaphysics, Oeconomica, Magna Moralia, 2 volumes (Loeb Classical Library, 271 and 287), Hugh Tredinnick and G. Cyril Armstrong (trans), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1996.
–––, The Categories, On Interpretation, Prior Analytics (Loeb Classical Library, 325), H. P. Cooke and Hugh Tredinnick (trans), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1996a.
–––, On the Heavens (Loeb Classical Library, 338), W. K. C. Guthrie (trans.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 2000.
–––, On Sophistical Refutations, On Coming-to-Be and Passing Away, On the Cosmos (Loeb Classical Library, 400), E. S. Forster and D. J. Furley (trans), Cambridge, MA: Harvard University Press, 2000a.
Arthur, Richard T.W., 2009, “Actual Infinitesimals in Leibniz’s Early Thought”, in The Philosophy of the Young Leibniz (Studia Leibnitziana Sonderhefte 35), Mark Kurstad, Mogens Maeke, and David Snyder (eds.), Stuttgart: Franz Stener, pp. 11–28.
Barnes, Jonathan, 1982, The Presocratic Philosophers, revised edition, London: Routledge. doi:10.4324/9780203007372
Baron, Margaret E., 1969 [1987], The Origins of the Infinitesimal Calculus, Oxford: Pergamon Press. Reprinted New York: Dover, 1987.
Barrow, Isaac, 1670 [1916], Lectiones Geometricae, London. Translated in The Geometrical Lectures of Isaac Barrow, J. M. Child Chicago: Open Court, 1916.
Beeson, Michael J., 1985, Foundations of Constructive Mathematics, Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-68952-9
Bell, Eric Temple (ed.), 1945, The Development of Mathematics, second edition, New York: McGraw-Hill.
–––, 1937 [1965], Men of Mathematics, New York: Dover publications. Reprinted, 2 volumes, London: Penguin Books, 1965.
Bell, John L., 1998, A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511619625
–––, 2000, “Hermann Weyl on Intuition and the Continuum”, Philosophia Mathematica, 8(3): 259–273. doi:10.1093/philmat/8.3.259
–––, 2001, “The Continuum in Smooth Infinitesimal Analysis”, in Schuster, Berger, and Osswald 2001: 19–24. doi:10.1007/978-94-015-9757-9_2
–––, 2003, “Hermann Weyl’s Later Philosophical Views: His Divergence from Husserl”, in Husserl and the Sciences: Selected Perspectives, Richard A. Feist (ed.), Ottawa: University of Ottawa Press.
–––, 2005, The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy, Milan: Polimetrica S.A.
–––, 2019, The Continuous, the Discrete and the Infinitesimal in Philosophy and Mathematics (The Western Ontario Series in Philosophy of Science 82), Cham, Switzerland: Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-030-18707-1
–––, 2020, “Intuitionistic/constructive accounts of the continuum today”, in Shapiro and Hellman 2020: 476–501. doi:10.1093/oso/9780198809647.003.0018
–––, 2021, “The Continuum and the Evolution of the Concept of Real Number”, in Bharath Sriraman (ed), Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice, Cham, Switzerland: Springer. doi:10.1007/978-3-030-19071-2_76-1
Berkeley, George, 1710 [1960], A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge, Dublin. Reprinted as Principles of Human Knowledge, New York: Doubleday, 1960.
–––, 1734, The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician: Wherein It Is Examined Whether the Object, Principles, and Inferences of the Modern Analysis Are More Distinctly Conceived, or More Evidently Deduced, Than Religious Mysteries and Points of Faith, London: J. Tonson.
Bishop, Errett, 1967, Foundations of Constructive Analysis, New York: McGraw-Hill.
Bishop, Errett and Douglas S. Bridges, 1985, Constructive Analysis, Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-642-61667-9
Bolzano, Bernard, 1817, “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege” (Purely Analytic Proof of the Theorem That Between Any Two Values Which Give Results of Opposite Sign There Lies at Least One Real Root of the Equation), Prague. Translated in S. B. Russ, 1980, “A Translation of Bolzano’s Paper on the Intermediate Value Theorem”, Historia Mathematica, 7(2): 156–185. doi:10.1016/0315-0860(80)90036-1
–––, 1851 [1950], Paradoxien des Unendlichen, František Přihonský (ed.), Leipzig: C.H. Reclam. Translated as Paradoxes of the Infinite, Donald A. Steele (trans.), London: Routledge & Kegan Paul, 1950. doi:10.4324/9781315795782
Bos, H. J. M., 1974, “Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus”, Archive for History of Exact Sciences, 14(1): 1–90. doi:10.1007/BF00327456
Boyer, Carl Benjamin, 1939 [1959], The Concepts of the Calculus: a Critical and Historical Discussion of the Derivative and the Integral, New York: Columbia University Press; second edition 1949. Second edition reprinted as The History of the Calculus and its Conceptual Development, New York: Dover, 1959.
–––, 1968, A History of Mathematics, New York: Wiley.
Boyer, Carl B. and Uta C. Merzbach, 1989, A History of Mathematics, second edition, New York: Wiley.
Bradwardine, Thomas, c. 1330, Tractatus de Continuo, published in Murdoch 1957: 339–471.
Brentano, Franz, 1905 [1966], “Draft of a letter from Brentano to Husserl: Florence, 30 April, 1905”, in Franz Brentano, The True and the Evident, Oskar Kraus (ed.), Roderick M. Chilsholm (English Edition ed.), Roderick M. Chisholm, Ilse Politzer, and Kurt R. Fischer (trans.), London: Routledge and Kegan Paul, pp. 94–95.
–––, 1976 [PISTC], Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum, Hamburg: Felix Meiner. Translated as Philosophical Investigations on Space, Time and the Continuum, Barry Smith (trans.), London: Croom Helm, 1988. This is a selection of some of Brentano’s writings.
Bridges, Douglas S., 1994, “A Constructive Look at the Real Number Line”, in Ehrlich 1994a: 29–92. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_2
–––, 1999, “Constructive Mathematics: A Foundation for Computable Analysis”, Theoretical Computer Science, 219(1–2): 95–109. doi:10.1016/S0304-3975(98)00285-0
Bridges, Douglas and Fred Richman, 1987, Varieties of Constructive Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511565663
Brouwer, L. E. J., 1924, “Beweis dass jede volle Funktion gleichmässig stetig ist”, Koninklijke Akademie van Wetenschappen Proc., 27: 189–193.
Brouwer, L. E. J., [1975], Collected Works, Volume 1: Philosophy and Foundations of Mathematics, Arend Heyting (ed.), Amsterdam: North-Holland.
Burns, C. Delisle, 1916, “William of Ockham on Continuity”, Mind, 25(4): 506–512. doi:10.1093/mind/XXV.4.506
Cajori, Florian, 1919, A History of the Conceptions of Limits and Fluxions in Great Britain, from Newton to Woodhouse, Chicago: Open Court.
Cantor, Georg, 1872, “Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen”, Mathematische Annalen, 5(1): 123–132. doi:10.1007/BF01446327
–––, 1883 [1999], “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen, 21(4): 545–591. Separately published in the same year as Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig: Teubner. Translated as “Foundations of a General Theory of Manifolds: A Mathematico-Philosophical Investigation”, in Ewald 1999: II, pp. 878–919. doi:10.1007/BF01446819 (German, first publication)
–––, 1893 [1965], Letter to Giulio Vivanti, 13 December 1893, published in Herbert Meschkowski, 1965, “Aus den Briefbüchern Georg Cantors”, Archive for History of Exact Sciences, 2(6): 503–519. doi:10.1007/BF00324881
–––, 1895/1897, “Beiträge zur Begrüngung der transfiniten Mengenlehre”, Mathematische Annalen, 46(4): 481–512 and 49(2): 207–246. Translated as Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Philip E.B. Jourdain (trans.), New York: Dover, 1961 (original translation date 1952). See also Dauben 1979: chapter 8. doi:10.1007/BF02124929 (German, part I) doi:10.1007/BF01444205 (German, part II)
Carnot, Lazare, 1797 [1832], Reflexions sur la Métaphysique du Calcul Infinitesimal, Paris: Duprat. Translated as Reflexions on the Metaphysical Principles of the Infinitesimal Analysis, W. R. Browell (trans.), Oxford: J. H. Parker, 1832.
Cauchy, Augustin-Louis, 1821, Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique, Paris: L’Imprimerie Royale.
Chevalier, G., (ed.), 1929, “Continu et Discontinu”, special issue of Cahiers de la Nouvelle Journée, 15, Paris: Bould & Gay.
Child, J. M., 1916, “Introducion” to the 1916 edition of Barrow 1670 [1916: 1–32.
Cusanus, Nicolas, 1440 [1954], De Docta Ignorantia, manuscript. Translated as Of Learned Ignorance, Germain Heron (trans.), London: Routledge and Kegan Paul, 1954.
D’Alembert, Jean le Rond and Denis Diderot, 1751–1766, Encyclopédie, ou, Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers /, mis en ordre et publié par Diderot, quant à la partie mathématique, par d’Alembert, Paris. Reprinted Stuttgart-Bad Cannstatt: Frommann, 1966.
Dauben, Joseph W., 1979, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Dedekind, Richard, 1872 [1999], Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuity and Irrational Numbers), Braunschweig: F. Vieweg & Sohn. Translated in Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers. II. The Nature and Meaning of Numbers, Wooster Woodruff Beman (trans.), Chicago: Open Court, 1901. Reprinted New York: Dover, 1963. A revised version of the English translation appears in Ewald 1999: vol. II, p. 765–778.
Descartes, René, 1637, Discours de la Méthode Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, Leiden. Translated as Discourse on Method, Meditations, and Principles of Philosophy (Everyman’s Library), London: Dent, 1927.
Dugas, René, 1950 [1988], Histoire de la mécanique, Neuchâtel, Éditions du Griffon. Translated as A History of Mechanics, J. R. Maddox (trans.), Neuchatel: Éditions du Griffon and New York: Central Book Co., 1955. Reprinted New York: Dover, 1988.
Dummett, Michael A. E., 1977, Elements of Intuitionism, Oxford: Clarendon Press.
Ehrlich, Philip (ed.), 1994a, Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua, Dordrecht: Kluwer. doi:10.1007/978-94-015-8248-3
–––, 1994b, “All Numbers Great and Small”, in Ehrlich 1994a: 239–258. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_9
–––, 2012, “The Absolute Arithmetic Continuum and the Unification Of All Numbers Great and Small”, The Bulletin of Symbolic Logic, 18(1): 1–45. doi:10.2178/bsl/1327328438
Euclid, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 volumes, T. L. Heath (trans.), Cambridge: Cambridge University Press, 1908. Second edition in 1926.
Euler, Leonhard, 1748, Introductio in analysin infinitorum, 2 volumes, Lausanne. Translated as Introduction to Analysis of the Infinite, John D. Blanton (trans.), New York: Springer, 1988.
–––, 1768/1774, Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie, 3 volumes, Saint Petersburg (1768, first 2 volumes), Frankfurt (1774, last volume); letters originally written between 1760 and 1762. Translated as Letters of Euler on Different Subjects in Natural Philosophy: Addressed to a German Princess, 2 volumes, Henry Hunter (trans.), second edition, London, 1802. Reprinted New York: Harper and Brothers, 1835.
Evans, Melbourne G., 1955, “Aristotle, Newton, and the Theory of Continuous Magnitude”, Journal of the History of Ideas, 16(4): 548–557. doi:10.2307/2707510
Ewald, William (ed.), 1999, From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volumes I and II, Oxford: Oxford University Press.
Fermat, Pierre de, c. 1638, Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam, circulated manuscript. Printed in Oeuvres de Fermat, Tannery and Charles Henry (eds), Paris: Gauthier-Villars et fils, 1891–1922, Volume I, pp. 133–134.
Fisher, Gordon M, 1978, “Cauchy and the Infinitely Small”, Historia Mathematica, 5(3): 313–331. doi:10.1016/0315-0860(78)90117-9
–––, 1981, “The Infinite and Infinitesimal Quantities of Du Bois-Reymond and Their Reception”, Archive for History of Exact Sciences, 24(2): 101–163. doi:10.1007/BF00348259
–––, 1994, “Veronese’s Non-Archimedean Linear Continuum”, in Ehrlich 1994a: 107–145. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_4
Folina, Janet M., 1992, Poincaré and the Philosophy of Mathematics, New York: St. Martin’s Press.
Furley, David J., 1967, Two Studies in the Greek Atomists. Princeton, NJ: Princeton University Press.
–––, 1982, “The Greek Commentators’ Treatment of Aristotle’s Theory of the Continuous”, in Kretzmann 1982: 17–36.
–––, 1987, The Greek Cosmologists, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511552540
Furley, David and Reginald E Allen (eds.), 1970, Studies in Presocratic Philosophy, Volume 1: The Beginnings of Philosophy, London: Routledge. doi:10.4324/9781315511535
Galilei, Galileo, 1638 [NE; 1914], Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze, Leiden. Reprinted in the Edizione nazionale [NE] of Galileo’s works, Antonio Favaro (ed.), 1890–1909, volume 7. Translated as Dialogues Concerning Two New Sciences, Henry Crew and Alfonso de Salvio (trans), New York:Macmillan, 1914. [Galileo 1638 [1914] available online]
Giordano, Paolo, 2001, “Nilpotent Infinitesimals and Synthetic Differential Geometry in Classical Logic”, in Schuster, Berger, and Osswald 2001: 75–92. doi:10.1007/978-94-015-9757-9_7
Gray, Jeremy, 1973, Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, Oxford: Clarendon Press.
Grant, Edward (ed.), 1974, A Source Book in Medieval Science, Cambridge, MA: Harvard University Press
Gregory, Joshua Craven, 1931, A Short History of Atomism: From Democritus to Bohr, London: A. & C. Black.
Grünbaum, Adolf, 1967, Modern Science and Zeno’s Paradoxes, London: Allen and Unwin.
Hallett, Michael, 1984, Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford: Clarendon Press.
Heath, Thomas Little, 1949, Mathematics in Aristotle, Oxford: Oxford University Press.
Heron, Timothy, 1997, “C.S. Peirce’s Theories of Infinitesimals”, Transactions of the Charles S. Peirce Society, 33(3): 590–645.
–––, 1981, A History of Greek Mathematics, 2 volumes, New York: Dover.
Heyting, Arend, 1956, Intuitionism: An Introduction, Amsterdam: North-Holland.
Hobson, E. W., 1907, The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier’s Series, Cambridge: Cambridge University Press. Reprinted in 2 volumes, New York: Dover, 1957 (volume 1 from the 1927 third edition and volume 2 from the 1926 second edition).
Hocking, John G. and Gail S. Young, 1961, Topology, Reading, MA: Addison-Wesley.
Houzel, Christian, et al., 1976, Philosophie et Calcul de l’Infini, Paris: F. Maspéro.
Hyland, J. M. E., 1979, “Continuity in Spatial Toposes”, in Applications of Sheaves, Michael Fourman, Christopher Mulvey, and Dana Scott (eds.), (Lecture Notes in Mathematics 753), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 442–465. doi:10.1007/BFb0061827
Jesseph, Douglas Michael, 1993, Berkeley’s Philosophy of Mathematics, Chicago: University of Chicago Press.
Johnstone, Peter T., 1977, Topos Theory, London: Academic Press.
–––, 1982, Stone Spaces (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 3), Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1983, “The Point of Pointless Topology”, Bulletin of the American Mathematical Society, new series 8(1): 41–53. [Johnstone 1983 available online]
–––, 2002, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium, Volumes I and II (Oxford Logic Guides: Volumes 43 and 44), Oxford: Clarendon Press.
Kahn, Charles H., 2001, Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History, Indianapolis, IN: Hackett.
Kant, Immanuel, 1781/1787, Kritik der reinen Vernunft, Riga. Translated as Critique of Pure Reason, Norman Kemp Smith (trans.), London: Macmillan, 1929; reprinted 1964.
–––, 1783, Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können, Riga. Translated as Prolegomena to Any Future Metaphysics, 2nd ed., Paul Carus (trans.), revised by James W. Ellington, Indianapolis, IN: Hackett, 2001.
–––, 1786, Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, Riga. Translated as Metaphysical Foundations of Natural Science, James Ellington (trans.), Indianapolis, IN: Bobbs-Merrill, 1970.
–––, [1992], Theoretical Philosophy, 1755–1770, David Walford (trans./ed.) in collaboration with Ralf Meerbote, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511840180
Katz, Karin U. and Mikhail G. Katz, 2011, “Cauchy’s Continuum”, Perspectives on Science, 19(4): 426–452. doi:10.1162/POSC_a_00047
Keisler, H. Jerome, 1994, “The Hyperreal Line”, in Ehrlich 1994a: 207–237. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_8
Kepler, Johann, 1604, Ad Vitellionem paralipomena. Astronomiae pars optica. Translated in Optics: Paralipomena to Witelo & Optical Part of Astronomy, William H. Donahue (trans.), New Mexico: Green Lion Press, 2000.
–––, 1609, Astronomia nova, Translated in New Astronomy, W. H. Donahue (trans.), Cambridge, New York: University Press, 1992; and in Selections from Kepler’s Astronomia Nova: A Science Classics Module for Humanities Studies, W. H. Donahue (trans.), Santa Fe, NM: Green Lion Press, 2005.
–––, 1615, Nova stereometria doliorum vinariorum, Linz. Reprinted in Opera omnia IV, pp. 551-646.
–––, [Opera omnia], Joannis Kepleri Astronomi Opera omnia, Ch. Frisch (ed.), vols. 1–8, 2; Frankfurt a.M. and Erlangen: Heyder & Zimmer, 1858–1872.
Ketner, Kenneth Laine and Hilary Putnam, 1992, “Introduction: The Consequences of Mathematics”, in the 1992 edition of Peirce 1898 [1992: 1–54.
Kirk, G. S., J. E. Raven, and M. Schofield, 1983, The Presocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts, second edition, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511813375
Kline, Morris, 1972, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 3 volumes, Oxford: Oxford University Press.
Kock, Anders, 1981, Synthetic Differential Geometry, Cambridge: Cambridge University Press. Second edition 2006, doi:10.1017/CBO9780511550812
Körner, Stephan, 1955, Kant, Harmondsworth: Penguin Books.
–––, 1960, The Philosophy of Mathematics, London: Hutchinson.
Kretzmann, Norman (ed.), 1982, Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought, Ithaca, NY: Cornell University Press.
Kuratowski, K. and A. Mostowski, 1969, Set Theory, Amsterdam: North-Holland.
Lavendhomme, René, 1996, Basic Concepts of Synthetic Differential Geometry, Dordrecht: Kluwer. doi:10.1007/978-1-4757-4588-7
Lawvere, F. W., 1971, “Quantifiers and Sheaves”, in Actes du Congrès international des mathématiciens, Nice 1970, tome I. Paris: Gauthier-Villars, pp. 329–334.
–––, 1980, “Toward the Description in a Smooth Topos of the Dynamically Possible Motions and Deformations of a Continuous Body”, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, 21(4): 377–392.
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1684, “Nova Methodus pro Maximis et Minimis”, Acta Eruditorum, 1684(October): 467–473.
–––, 1686, “De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum”, Acta Eruditorum, 1686(June): 292–300.
–––, Mathematische Schriften, C. I. Gerhardt (ed.), Gesammelte Werke, G. H. Pertz (ed.), Third Series, Mathematik. 7 vols., Halle, 1849–63.
–––, The Early Mathematical Manuscripts, translated from the Latin Texts of Carl Immanuel Gerhardt with Notes by J. M. Child, Chicago: Open Court, 1920.
–––, Leibniz: Philosophical Writings, Mary De Selincourt Morris (trans.), (Everyman’s Library 905), London: Dent, 1934.
–––, Leibniz: Selections, Philip P. Wiener (ed.), New York: Scribner, 1951.
–––, [2001], The Labyrinth of the Continuum: Writings on the Continuum Problem, 1672-1686, Richard T. W. Arthur (trans.), (The Yale Leibniz), New Haven, CT: Yale University Press.
L’Hôpital, Guillaume de [published anonymously], 1696, Analyse des Infiniments Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (Analysis of the infinitely small to understand curves), 2 volumes, Paris, Imprimerie royale. Translated in Guillaume François Antoine de L’Hôpital and Johann Bernoulli, 2015, L’Hôpital’s Analyse des Infiniments Petits: An Annotated Translation with Source Material by Johann Bernoulli, Robert E. Bradley, Salvatore J. Petrilli, and Charles Edward Sandifer (trans.), (Science Networks Historical Studies, 50), Cham: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-319-17115-9
Mac Lane, Saunders, 1986, Mathematics Form and Function, New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-4872-9
Mancosu, Paolo, 1996, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, New York: Oxford University Press.
––– (ed.), 1998, From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the1920s, New York: Oxford University Press.
McLarty, Colin, 1988, “Defining Sets as Sets of Points of Spaces”, Journal of Philosophical Logic, 17(1): 75–90. doi:10.1007/BF00249676
–––, 1992, Elementary Categories, Elementary Toposes, Oxford: Oxford University Press.
Miller, Fred D., Jr, 1982, “Aristotle Against the Atomists”, in Kretzmann 1982: 87–111.
Moerdijk, Ieke and Gonzalo E. Reyes, 1991, Models for Smooth Infinitesimal Analysis, New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4757-4143-8
Moore, A. W., 1990, The Infinite, London: Routledge.
Murdoch, John Emery, 1957, Geometry and the Continuum in the Fourteenth Century: A Philosophical Analysis of Thomas Bradwardine’s “Tractatus de Continuo”, PhD Dissertation, University of Wisconsin-Madison.
–––, 1982, “William of Ockham and the Logic of Infinity and Continuity”, in Kretzmann 1982: 165–206.
Newton, Isaac, 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 3 volumes, London. Translated as The Mathematical Principles of Natural Philosophy, 2 volumes, Andrew Motte (trans.), London, 1729. Revised translation, Sir Isaac Newton’s Mathematical Principles of Natural Philosophy and his System of the World, Florian Cajori (reviser), Berkeley, CA: University of California Press, 1934.
–––, 1704a, Opticks: or, A Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours of Light, London. Fourth edition, 1730, reprinted New York: Dover, 1952.
–––, 1704b, “Tractatus de Quadratura Curvarum”, an appendix to Newton 1704. Originally written c. 1676.
–––, 1711, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, London: Jones. Originally written in 1666.
–––, 1736, The Method of Fluxions, London: Henry Woodfall. Originally written in Latin as Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1671.
Nicholas of Autrecourt [Nicolaus de Autricuria], c. 1333–35, Exigit ordo also known as Tractatus universalis. Translated as The Universal Treatise of Nicholas of Autrecourt, Leonard A. Kennedy, Richard E. Arnold, and Arthur E. Millward (trans), Milwaukee, WI: Marquette University Press, 1971.
Peirce, Charles Sanders, 1898 [1992], Reasoning and the Logic of Things: The Cambridge Conferences Lectures of 1898, Kenneth Laine Ketner (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1992.
–––, [1976], The New Elements of Mathematics, Volume III, Carolyn Eisele (ed.), The Hague: Mouton Publishers and Humanities Press, 1976.
Peters, F. E., 1967, Greek Philosophical Terms: A Historic Lexicon, New York: New York University Press.
Poincaré, Henri, 1902, La Science et l’Hypothèse, Paris: Ernest Flammarion. Translated as “Science and Hypothesis” in Poincaré 1913a.
–––, 1905, La Valeur de la Science, Paris: Ernest Flammarion. Translated as “The Value of Science” in Poincaré 1913a.
–––, 1908, Science et Méthode, Paris: Ernest Flammarion. Translated as “Science and Method” in Poincaré 1913a.
–––, 1913a, Foundations of Science: Science: Science and Hypothesis, the Value of Science, Science and Method, George Bruce Halsted (trans.), New York: Science Press.
–––, 1913b [1963], Dernières Pensées, Paris: Flammarion. Translated as Mathematics and Science: Last Essays, John W. Bolduc (trans.), New York: Dover, 1963.
Pycior, Helena M., 1987, “Mathematics and Philosophy: Wallis, Hobbes, Barrow, and Berkeley”, Journal of the History of Ideas, 48(2): 265–286. doi:10.2307/2709558
Pyle, Andrew, 1997, Atomism and Its Critics: From Democritus to Newton, London: Thoemmes Press.
Rescher, Nicholas, 1967, The Philosophy of Leibniz, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall.
Robinson, Abraham, 1966 [1996], Non-Standard Analysis (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 42), Amsterdam: North-Holland. Revised edition, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1974; reprinted 1996.
Russell, Bertrand, 1900 [1937], A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz, Cambridge: Cambridge University Press. Second edition, London: Allen & Unwin, 1937.
–––, 1903, Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
Sambursky, Samuel, 1954 [1956], Chukot Shamayim Va’aretz: Hakosmos Shel Ha’yevanim, Jerusalem: Bialik Institute. Translated as The Physical World of the Greeks, Merton Dagut (trans.), London: Routledge and Kegan Paul, 1956.
–––, 1959, Physics of the Stoics, London: Routledge & Kegan Paul.
Schmieden, Curt and Detlef Laugwitz, 1958, “Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung”, Mathematische Zeitschrift, 69(1): 1–39. doi:10.1007/BF01187391
Schuster, Peter, Ulrich Berger, and Horst Osswald (eds.), 2001, Reuniting the Antipodes—Constructive and Nonstandard Views of the Continuum: Symposium Proceedings, San Servolo, Venice, Italy, May 16–22, 1999, Dordrecht: Kluwer. doi:10.1007/978-94-015-9757-9
Shapiro, Stewart and Geoffrey Hellman (eds.), 2020, The History of Continua: Philosophical and Mathematical Perspectives, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198809647.001.0001
Sorabji, Richard, 1982, “Atoms and Time Atoms”, in Kretzmann 1982: 37–86.
–––, 1983, Time, Creation and the Continuum, Ithaca, NY: Cornell University Press.
Stokes, Michael C., 1971, One and Many in Presocratic Philosophy, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Stones, G.B., 1928, “The atomic view of matter in the XVth, XVIth and XVIIth centuries”, Isis, 10: 444–65.
Struik, Dirk J., 1948, A Concise History of Mathematics, 2 volumes, New York: Dover
Stump, Eleonore, 1982, “Theology and Physics in De sacramento altaris: Ockham’s Theory of Indivisibles”, in Kretzmann 1982: 207–230.
Truesdell, Clifford, 1972 [1984], “Leonard Euler, Supreme Geometer”, in Studies in Eighteenth Century Culture, Volume 2: Irrationalism in the Eighteenth Century, Harold E. Pagliaro (ed.), Cleveland, OH: Case Western Reserve University Press, 51–95. Revised and reprinted in his An Idiot’s Fugitive Essays on Science: Methods, Criticism, Training, Circumstances, New York: Springer Verlag, 1984, 337–379.
Van Atten, Mark, Dirk Van Dalen, and Richard Tieszen, 2002, “Brouwer and Weyl: The Phenomenology and Mathematics of the Intuitive Continuumt”, Philosophia Mathematica, 10(2): 203–226. doi:10.1093/philmat/10.2.203
Van Cleve, James, 1981, “Reflections on Kant’s Second Antimony”, Synthese, 47(3): 481–494. doi:10.1007/BF01073780
Van Dalen, Dirk, 1995, “Hermann Weyl’s Intuitionistic Mathematics”, Bulletin of Symbolic Logic, 1(2): 145–169. doi:10.2307/421038
–––, 1997, “How Connected Is the Intuitionistic Continuum?”, Journal of Symbolic Logic, 62(4): 1147–1150. doi:10.2307/2275631
–––, 1998, “From a Brouwerian Point of View”, Philosophia Mathematica, 6(2): 209–226. doi:10.1093/philmat/6.2.209
Van Melsen, Andrew G., 1949 [1952], Van atomos naar atoom; de geschiedenis van het begrip atoom (Wetenschappelijk-wijsgerige bibliotheek, 2), Amsterdam: J.M. Meulenhoff. Translated as From Atomos to Atom: the History of the Concept Atom, Henry J. Koren (trans.), Pittsburgh, PA: Duquesne University Press, 1952.
Vesley, Richard, 1981, “An Intuitionistic Infinitesimal Calculus”, in Constructive Mathematics, Fred Richman (ed.), (Lecture Notes in Mathematics, 873), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 208–212. doi:10.1007/BFb0090735
Wagon, Stan, 1993, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511609596
Weyl, Hermann, 1918 [1987], Das Kontinuum, Leipzig: Veit. Translated as The Continuum: A Critical Examination of the Foundation of Analysis, Stephen Pollard and Thomas Bole (trans), Kirksville, MO: Thomas Jefferson University Press, 1987.
–––, 1918 [1922], Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie, Berlin: Springer Verlag. Fourth edition (1921) translated as Space-Time-Matter, Henry L. Brose (trans.), London: Methuen, 1922.
–––, 1921 [1998], “Über der neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10(1–2): 37–79. Translated as “On the New Foundational Crisis in Mathematics”, in Mancosu 1998: 86–122. doi:10.1007/BF02102305 (German)
–––, 1925–27 [1998], “Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik”, Symposion, 1: 1–32. Translated as “On the Current Epistemological Situation in Mathematics”, in Mancosu 1998: 123–142.
–––, 1926 [1949], Philosophie der mathematik und naturwissenschaft (Handbuch der Philosophie), München und Berlin: R. Oldenbourg. Translated as Philosophy of Mathematics and Natural Science, Olaf Helmer and Joachim Weyl (trans) and revised by the author, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1949.
–––, 1929, “Consistency in Mathematics”, Rice Institute Pamphlets, 16(4): 245–265. Reprinted in Weyl 1968: II, pp. 150–170. [Weyl 1929 available online]
–––, 1932, The Open World: Three Lectures on the Metaphysical Implications of Science, New Haven, CT: Yale University Press.
–––, 1940 [1968], “The Ghost of Modality”, in Philosophical Essays in Memory of Edmund Husserl, Martin Farber (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press. Reprinted in Weyl 1968: III, pp. 684–709. doi:10.4159/harvard.9780674333512.c16
–––, 1954 [1968], “Address on the Unity of Knowledge”, Columbia University Bicentennial Celebration. Reprinted in Weyl 1968: IV, pp. 623–630.
–––, 1955 [1969], “Erkenntnis und Besinnung”, Studia Philosophica 15: 153–171; Lecture delivered at the University of Lausanne, Switzerland, May 1954. Translated as “Insight and Reflection”, in The Spirit and Uses of the Mathematical Sciences, Thomas L. Saaty and F. Joachim Weyl (eds.), New York: McGraw-Hill, 1969, 281–301.
–––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, 4 volumes, K. Chandrasehharan (ed.), Berlin: Springer-Verlag.
–––, 1985, “Axiomatic versus Constructive Procedures in Mathematics”, Tito Tonietti (ed.), The Mathematical Intelligencer, 7(4): 10–17. Probably originally written after 1953 and before his death in 1955. doi:10.1007/BF03024481
White, Michael J., 1992, The Continuous and the Discrete: Ancient Physical Theories from a Contemporary Perspective, Oxford: Clarendon Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198239529.001.0001
Whyte, Lancelot Law, 1961, Essay on Atomism from Peano to 1960, Middletown, CT: Wesleyan University Press.
Wike, Victoria, 1982, Kant’s Antinomies of Reason: Their Origin and Resolution, Washington, DC: University Press of America.
William of Ockham, [QQ], Quodlibetal questions, Alfred J Freddoso and Francis E Kelley (trans), New Haven; London: Yale University Press, 1998.

Academic Tools

How to cite this entry.

Preview the PDF version of this entry at the Friends of the SEP Society.

Look up topics and thinkers related to this entry at the Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).

Enhanced bibliography for this entry at PhilPapers, with links to its database.

Other Internet Resources

[Please contact the author with suggestions.]

Acknowledgments

For a comprehensive account of the evolution of the concepts of continuity and the infinitesimal, see Bell (2005), on which the present article is based.

上一页大陆理性主义 Continental Rationalism (Shannon Dea, Julie Walsh, and Thomas M. Lennon)下一页*连续统假设——见集合论：连续统假设 continuum hypothesis — see set theory: continuum hypothesis

最后更新于1天前