数学哲学 mathematics, philosophy of (Leon Horsten)

首次发表于 2007 年 9 月 25 日；实质修订于 2022 年 1 月 25 日。

如果将数学视为一门科学，那么数学哲学可以被视为科学哲学的一个分支，与物理哲学和生物哲学等学科并列。然而，由于其主题的特殊性，数学哲学在科学哲学中占据着特殊的地位。自然科学研究的实体位于时空中，这一点并不明显适用于数学研究的对象。此外，数学研究的方法与自然科学研究的方法有明显的区别。后者使用归纳方法获得一般知识，而数学知识似乎以不同的方式获得：通过从基本原理进行推导。数学知识的地位似乎也与自然科学中的知识地位不同。自然科学的理论似乎比数学理论更不确定，更容易修订。因此，数学对哲学提出了一些独特的问题。因此，哲学家们对数学的本体论和认识论问题给予了特别关注。

1. 数学哲学、逻辑和数学基础的解释/理论

一方面，数学哲学关注与形而上学和认识论的核心问题密切相关的问题。乍一看，数学似乎研究的是抽象实体。这使人们想知道数学实体的本质是什么，以及我们如何对数学实体有所了解。如果这些问题被认为是棘手的，那么人们可能会尝试看看数学对象是否可以以某种方式属于具体世界。

另一方面，事实证明，在某种程度上，可以运用数学方法来探讨与数学有关的哲学问题。这种情况发生在数学逻辑的背景下，当它被广泛理解为包括证明论、模型论、集合论和可计算性理论作为子领域时。因此，二十世纪见证了对数学本质的哲学理论所产生的数学后果的研究。

当专业数学家关注他们学科的基础时，他们被称为从事基础研究。当专业哲学家研究与数学有关的哲学问题时，他们被称为为数学哲学做出贡献。当然，数学哲学和数学基础之间的区别是模糊的，哲学家和数学家在研究与数学本质相关的问题时，彼此之间的互动越多，越好。

2. 四个学派

十九世纪的一般哲学和科学观念趋向于经验主义：数学理论中理性主义的柏拉图主义方面迅速失去了支持。特别是曾经备受赞誉的理性直觉能力开始受到怀疑。因此，提出一个不含柏拉图主义元素的数学哲学理论成为一个挑战。在二十世纪的前几十年，发展了三种非柏拉图主义的数学解释/理论：逻辑主义、形式主义和直觉主义。在二十世纪初期，还出现了第四个方案：预测主义。由于偶然的历史环境，直到 1960 年代才发挥出其真正的潜力。然而，它应该与三个传统学派并列，这三个学派在大多数标准的当代数学哲学导论中都有讨论，例如（Shapiro 2000）和（Linnebo 2017）。

2.1 逻辑主义

逻辑主义项目的目标在于试图将数学归纳为逻辑。由于逻辑被认为在本体论上是中立的，这个项目似乎与当时的反柏拉图主义氛围相协调。

数学是伪装成逻辑的观念可以追溯到莱布尼兹。但是，只有在 19 世纪，中心数学理论的基本原理被阐明（由戴德金和皮亚诺提出），逻辑的原理被揭示（由弗雷格提出）之后，才能真正尝试详细实施逻辑主义计划。

弗雷格将他的职业生涯的大部分时间都致力于试图展示数学如何归纳为逻辑（弗雷格 1884 年）。他成功地从一个二阶逻辑系统的基本定律中推导出了（二阶）皮亚诺算术的原理。他的推导是无懈可击的。然而，他依赖于一个后来证明并非逻辑原理的原则。更糟糕的是，这个原则是站不住脚的。这个问题中的原则就是弗雷格的基本定律 V：

{x|Fx}={x|Gx} 当且仅当 ∀x(Fx≡Gx),

换句话说：如果 F 的集合与 G 的集合完全相同，那么 Fx 就是 Gs。

在给弗雷格的一封著名信件中，罗素展示了弗雷格的基本定律 V 导致了一个矛盾（罗素 1902 年）。这个论证后来被称为罗素悖论（见第 2.4 节）。

然后，罗素试图以另一种方式将数学归纳为逻辑。弗雷格的基本定律 V 暗示着，对于数学实体的每个属性，存在一个具有该属性的数学实体的类。显然，这太过强大了，因为正是这个结果导致了罗素的悖论。因此，罗素假设只有已经被证明存在的数学对象的属性才能确定类。如果这样的类存在，隐含地引用它们的谓词就不能确定一个类。因此，获得了一种属性的分层结构：基本对象的属性，基本对象和基本对象类的属性，依此类推。这种属性的分层结构确定了一个由数学对象组成的分层宇宙，从基本对象开始，逐步过渡到基本对象类，然后到基本对象类和基本对象类，依此类推。

不幸的是，罗素发现他的分层逻辑原则甚至不能推导出算术的基本定律。他需要，除其他事项外，确立一个基本原则，即存在一个无限集合的基本对象。这几乎无法被视为一个逻辑原则。因此，将数学归纳为逻辑的第二次尝试也失败了。

事情就这样持续了五十多年。1983 年，克里斯平·赖特出版了关于弗雷格自然数理论的书（赖特 1983）。在这本书中，赖特为逻辑主义项目注入了新的生命。他观察到，弗雷格推导出二阶皮亚诺算术的过程可以分为两个阶段。在第一阶段，弗雷格使用不一致的基本定律 V 推导出了后来被称为休谟原则的东西：

如果且仅当 F≈G 时，Fs 的数量等于 Gs 的数量，

其中 F≈G 表示 Fs 和 Gs 彼此之间存在一对一的对应关系。（这种一对一对应关系可以用二阶逻辑来表达。）然后，在第二阶段，通过休谟原则和接受的二阶逻辑原则，推导出了二阶皮亚诺算术的原理。特别是，在推导的第二部分中，不需要基本定律 V。此外，赖特猜想，与弗雷格的基本定律 V 相比，休谟原则是一致的。乔治·布洛斯和其他人观察到，休谟原则确实是一致的（布洛斯 1987）。

赖特进一步声称，休谟原则可以被视为逻辑的真理。如果是这样的话，那么至少二阶皮亚诺算术可以仅通过逻辑来归约。因此，一种新形式的逻辑主义诞生了；今天这种观点被称为新逻辑主义（哈尔和赖特 2001）。今天，大多数数学哲学家都怀疑休谟原则是否是逻辑原则。事实上，即使赖特后来试图限定这一说法。尽管如此，许多数学哲学家认为通过休谟原则引入自然数在本体论和认识论上都具有吸引力。林内博认为，因为休谟原则的左侧仅重新刻画了其右侧的内容，所以不需要太多的世界来使休谟原则成立。因此，他将通过类似方式引入的自然数和数学对象称为轻型数学对象（林内博 2018）。

赖特的工作引起了数学哲学家对基本法则 V 和休谟原则等原则的关注。这些原则被称为抽象原则。目前，数学哲学家试图构建关于抽象原则的一般理论，解释哪些抽象原则是可接受的，哪些是不可接受的，以及为什么（Weir 2003；Fine 2002）。此外，已经发现在弱化的二阶逻辑背景下，弗雷格的基本法则 V 是一致的。但是这些弱背景理论只允许从基本法则 V 推导出非常弱的算术理论（Burgess 2005）。

2.2 直觉主义

直觉主义起源于数学家勃劳尔的工作（van Atten 2004），并受康德对对象的观点的启发（Parsons 2008，第 1 章）。根据直觉主义，数学本质上是一种建构活动。自然数是心智建构，实数是心智建构，证明和定理是心智建构，数学意义是心智建构...数学建构是由理想数学家完成的，即从现实生活数学家的偶然的物理限制中进行抽象。但即使是理想数学家也是有限的存在。她永远无法完成一个无限的建构，尽管她可以完成任意大的有限初始部分。这意味着直觉主义坚决拒绝实际（或完成的）无限的存在；只有潜在无限的集合在建构活动中给出。一个基本的例子是逐个自然数在时间中的连续建构。

从对数学本质的一般考虑出发，基于人类思维的条件（Moore 2001），直觉主义者推断出在逻辑和数学中采取修正主义立场。他们认为非构造性存在证明是不可接受的。非构造性存在证明是指声称证明了存在具有某种属性的数学实体，而不包含生成此类实体示例的方法的证明。直觉主义拒绝非构造性存在证明，将其视为“神学的”和“形而上学的”。非构造性存在证明的特征是它们必须基于排中律原则

ϕ∨¬ϕ，

或者其等价形式之一，如双重否定原则

¬¬ϕ→ϕ

在经典逻辑中，这些原则是有效的。直觉主义数学的逻辑是通过从经典逻辑中删除排中律原则（及其等价物）而获得的。当然，这导致了数学知识的修订。例如，经典的初等算术理论——皮亚诺算术，不再被接受。相反，提出了一种直觉主义算术理论（称为海廷算术），它不包含排中律原则。尽管直觉主义初等算术比经典初等算术要弱，但差别并不是很大。存在一种简单的句法翻译，将所有经典算术定理翻译为直觉主义可证明的定理。

在二十世纪的前几十年，数学界的一部分对直觉主义对经典数学的批评以及它提出的替代方案持有同情态度。当清楚地看到在高等数学中，直觉主义的替代方案与经典理论相差很大时，情况发生了变化。例如，直觉主义数学分析是一个相当复杂的理论，与经典数学分析非常不同。这减弱了数学界对直觉主义项目的热情。然而，布劳尔的追随者们一直在继续发展直觉主义数学，直到今天（Troelstra & van Dalen 1988）。

2.3 形式主义

大卫·希尔伯特同意直觉主义者的观点，即自然数在数学中具有基础性。但与直觉主义者不同，希尔伯特并不认为自然数是心智建构。相反，他认为自然数可以被看作是符号。符号严格来说是抽象对象。然而，符号必须能够被具体对象所体现，因此我们可以称它们为准具体对象（Parsons 2008，第 1 章）。也许物理实体可以扮演自然数的角色。例如，我们可以将形式为|的具体墨迹视为数字 0，将形式为||的具体墨迹视为数字 1，依此类推。希尔伯特认为，将高等数学直接以类似直接且具体的方式进行解释是值得怀疑的。

与直觉主义者不同，希尔伯特不准备对现有的数学知识体系采取修正主义立场。相反，他对高等数学采取了工具主义立场。他认为高等数学不过是一种形式游戏。高阶数学的陈述是未经解释的符号串。证明这些陈述只不过是一个按照固定规则操作符号的游戏。在希尔伯特看来，“高等数学的游戏”的重点在于证明基本算术的陈述，这些陈述具有直接的解释（希尔伯特 1925 年）。

希尔伯特认为，对于古典 Peano 算术的正确性，或者至少对于被称为原始递归算术的子系统的正确性，不应该存在合理的怀疑（Tait 1981）。他认为，每个可以通过经过高等数学的绕道证明的算术陈述，也可以直接在 Peano 算术中证明。实际上，他强烈怀疑每个初等算术问题都可以从 Peano 算术的公理中得出结论。当然，在某些情况下，用算术解决算术问题是实际上不可能的。数学的历史表明，通过高等数学的“绕道”有时可以导致比同一陈述的纯算术证明更短且提供更多洞察力的证明。

希尔伯特意识到，尽管有些信念有些模糊，但实际上可以被视为数学猜想。因为在高等数学或初等算术的形式系统中的证明是一个有限的组合对象，可以（通过编码）被视为自然数。但在 20 世纪 20 年代，将证明编码为自然数的细节尚未完全理解。

在形式主义观点中，高等数学形式系统的最低要求是它们至少是一致的。否则，每个基本算术陈述都可以在其中被证明。希尔伯特（Hilbert）也看到（虽然模糊），高等数学系统的一致性意味着该系统至少在某种程度上是算术上正确的。因此，希尔伯特和他的学生们着手证明诸如数学分析标准公理的一致性等陈述。当然，这样的陈述必须在“安全”的数学部分中被证明，例如基本算术。否则，证明并不能增加我们对数学分析一致性的信心。而且，幸运的是，原则上似乎有可能做到这一点，因为从最终分析来看，一致性陈述又是（模编码后的）算术陈述。因此，准确地说，希尔伯特和他的学生们着手证明，例如在经典的 Peano 算术中，数学分析公理的一致性。这个项目被称为希尔伯特的计划（Zach 2006）。结果证明比他们预期的更困难。事实上，他们甚至没有成功地在 Peano 算术中证明 Peano 算术公理的一致性。

然后库尔特·哥德尔证明了在 Peano 算术中存在不可判定的算术陈述（哥德尔 1931 年）。这被称为他的哥德尔第一不完全性定理。这对希尔伯特的计划来说并不是好兆头，但它仍然存在这样一种可能性，即更高级的数学的一致性不是这些不可判定陈述之一。不幸的是，哥德尔随后很快意识到，除非（天佑！）Peano 算术不一致，否则 Peano 算术的一致性与 Peano 算术是独立的。这就是哥德尔的第二不完全性定理。哥德尔的不完全性定理适用于所有足够强大但一致的可递归公理化理论。它们共同导致希尔伯特的计划失败。事实证明，更高级的数学不能以纯粹工具的方式进行解释。更高级的数学可以证明超出 Peano 算术能力范围的算术句子，例如一致性陈述。

所有这些并不意味着形式主义的终结。即使面对不完全性定理，坚持数学是形式系统的科学是一致的。

Curry 提出了这种观点的一个版本（Curry 1958 年）。在这种观点中，数学由一系列没有解释或主题的形式系统组成。（Curry 在这里对元数学做了一个例外。）相对于一个形式系统，可以说一个陈述是真的，当且仅当它在该系统中是可导出的。但在基本层面上，所有数学系统都是平等的。至多只能有一些实用的理由来偏好一个系统而不是另一个系统。不一致的系统可以证明所有陈述，因此它们是相当无用的。因此，当发现一个系统不一致时，必须对其进行修改。哥德尔的不完全性定理只是一个教训，即一个足够强大的一致系统不能证明自己的一致性。

对于 Curry 的形式主义立场，存在一个经典的反对意见。事实上，数学家并不将所有表面上一致的形式系统视为同等重要。他们中的大多数不愿意承认，例如，Peano 算术的一致性可以从中推导出的算术句与其否定可以从中推导出的算术系统之间的偏好，最终可以用纯粹的实用主义术语来解释。许多数学家希望坚持认为，某些形式系统的感知正确性（错误性）最终必须通过它们正确（错误）地描述某些主题来解释。

Detlefsen 强调，不完备定理并不排除在实践中用于解决数学家感兴趣的算术问题的高等数学部分的一致性可以在算术上得到证实（Detlefsen 1986）。从这个意义上说，即使 Hilbert 对所有高等数学的工具主义立场最终是站不住脚的，也可以从火焰中拯救出一些东西。

另一次拯救希尔伯特计划的尝试是由 Isaacson（Isaacson 1987）进行的。他辩护说，在某种意义上，Peano 算术可能毕竟是完备的（Isaacson 1987）。他认为，Peano 算术中不可判定的真句只能通过高阶概念来证明。例如，Peano 算术的一致性可以通过对超限序数进行归纳来证明（Gentzen 1938）。但序数的概念是集合论的，因此是非算术的概念。如果证明算术的一致性的唯一方法是必须使用据称属于高阶数学的概念，那么算术的一致性，即使可以用 Peano 算术的语言来表达，也是一个非算术的问题。从这个推广出发，人们可以怀疑希尔伯特的猜想，即每个算术问题都可以从 Peano 算术的公理中决定，可能仍然是正确的。

2.4 预测论

正如前面提到的，预测论通常不被描述为其中一种学派。但在第二次世界大战之前，预测论之所以没有像其他学派那样崛起至显著水平，只是出于偶然的原因。

预测主义的起源可以追溯到罗素的工作。在庞加莱的启发下，他对罗素悖论进行了以下诊断。罗素悖论的论证定义了满足 ¬x∈x 的所有数学实体的集合 C。然后，该论证通过询问 C 本身是否满足这个条件，并得出了矛盾。

庞加莱-罗素对这个论证的诊断表明，这个定义根本没有确定一个集合：不可能通过一个隐含地引用集合 S 本身的条件来定义一个集合 S。这被称为恶性循环原则。违反恶性循环原则的定义被称为非预测性的。一个集合的合理定义只涉及与定义的集合独立存在的实体。这样的定义被称为预测性的。正如哥德尔后来指出的，一个形而上学者会发现这种推理方式不令人信服。如果数学集合独立于定义的行为存在，那么为什么不能有只能以非预测性方式定义的集合并不是立即清楚的（哥德尔 1944）。

所有这些导致罗素发展了简单类型理论和分层类型理论，其中内置了语法限制，使非预测性定义无效。在简单类型理论中，定义公式中的自由变量范围不包括待定义集合所属的实体。在分层类型理论中，除此之外，定义公式中的绑定变量的范围也不能包括待定义的集合。在 2.1 节中指出，罗素的类型理论不能被看作是将数学归约为逻辑。但即使不考虑这一点，早期就观察到，特别是在分层类型理论中，形式化普通数学论证过于繁琐。

当罗素转向分析哲学的其他领域时，赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）接手了预测论者的事业（Weyl 1918）。像庞加莱一样，韦尔并不赞同罗素将数学归纳为逻辑的愿望。从一开始，他就意识到在一个分层类型理论中实际上是不可能工作的。韦尔发展了一种在直觉主义和形而上学之间具有中间性质的哲学立场。他将自然数的集合视为毫无问题地给定的。但是，任意子集的概念并不是在数学直觉中立即给定的。只有那些由算术（即一阶）谓词确定的子集才被认为是预测性可接受的。

一方面，人们发现数学分析中许多标准定义是非预测性的。例如，集合上的一个操作的最小闭包通常被定义为所有在操作应用下闭合的集合的交集。但是最小闭包本身就是那些在操作应用下闭合的集合之一。因此，这个定义是非预测性的。通过这种方式，人们逐渐将注意力从集合论悖论转向了非预测性在主流数学中的作用。另一方面，韦尔表明，绕过非预测性概念通常是可能的。甚至发现，大部分 19 世纪主流数学分析可以在预测性基础上得到证明（Feferman 1988）。

在 20 世纪 20 年代，历史介入了其中。韦尔转向了布劳尔更激进的直觉主义项目。与此同时，数学家们逐渐确信，康托尔和策梅洛发展的高度非预测性的超限集合论并没有像之前怀疑的那样受到罗素悖论的严重威胁。这些因素导致预测论陷入了几十年的休眠状态。

在广义递归论的基础上，所罗门·费弗曼在 20 世纪 60 年代扩展了预测论项目（费弗曼，2005 年）。他意识到魏尔的策略可以迭代到无穷。那些可以通过对魏尔认为具有预测合理性的集合进行量化定义的数字集合也应被视为具有预测接受性，依此类推。这个过程可以沿着序数路径传播。这个序数路径一直延伸到预测序数所达到的无穷远处，其中一个序数是预测性的，如果它测量了自然数的可证明良序。这种预测性数学强度的校准，是费弗曼和（独立地）舒特的贡献，现在被广泛接受。费弗曼随后研究了在预测论框架内可以进行多少标准数学分析。费弗曼和其他人（尤其是哈维·弗里德曼）的研究表明，大部分 20 世纪的分析学从预测论的角度来看是可接受的。但显然，并非所有被数学界普遍接受的当代数学都可以从预测论的立场来接受：超穷集合论就是一个例子。

3. 柏拉图主义

在第二次世界大战前的几年里，人们开始意识到针对数学哲学中三种反柏拉图主义计划的重大异议。预测论也许是个例外，但当时它是一个没有捍卫者的计划。因此，为数学本质的柏拉图主义观点的前景重新引起了人们的兴趣。在柏拉图主义的观念中，数学的主题是抽象实体。

3.1 哥德尔的普拉托主义

哥德尔在数学对象和数学概念方面是一位普拉托主义者（哥德尔 1944 年；哥德尔 1964 年）。但他的普拉托主义观点比街头数学家更为复杂。

哥德尔认为，合理的数学对象和概念理论与合理的物理对象和属性理论之间存在着强烈的平行关系。与物理对象和属性一样，数学对象和概念并非由人类构建。与物理对象和属性一样，数学对象和概念不能归约为心理实体。数学对象和概念与物理对象和属性一样客观存在。数学对象和概念，像物理对象和属性一样，是为了获得一个良好满意的经验理论而假定的。实际上，通过数学直觉，我们与数学对象和概念之间建立了一种类似感知的关系，就像我们对物理对象和属性的感知关系一样。我们对物理对象和概念的感知是有缺陷的，可以进行修正。同样，数学直觉并非百分之百可靠——正如弗雷格的基本定律 V 的历史所示——但它可以被训练和改进。与物理对象和属性不同，数学对象不存在于空间和时间中，数学概念也不在空间或时间中实例化。

我们的数学直觉为数学原理提供了内在证据。我们几乎可以从策梅洛-弗兰克尔集合论与选择公理（ZFC）的公理中推导出我们的所有数学知识。在哥德尔看来，我们对这些公理的真实性有着令人信服的内在证据。但他也担心，数学直觉可能不足以为显著超过 ZFC 强度的公理提供令人信服的证据。

除了内在证据之外，哥德尔认为也有可能获得数学原理的外在证据。如果数学原理是成功的，那么即使我们无法为它们获得直观的证据，它们也可以被视为可能是真实的。哥德尔说：

… 这里的成功意味着在后果上的丰富性，特别是在“可验证”的后果上，即在没有新公理的情况下可以验证的后果，但是在新公理的帮助下，证明这些后果的过程要简单得多，更容易发现，并且可以将许多不同的证明合并为一个证明 […] 可能存在一些公理，它们在可验证的后果上非常丰富，在整个领域中提供了如此多的启示，为解决问题提供了如此强大的方法 […] 无论它们是否在本质上是必要的，它们都必须至少以与任何确立的物理理论相同的意义被接受。（哥德尔 1947 年，第 477 页）

这激发了哥德尔寻找可以从外部激励并可以决定诸如连续统假设之类的问题的新公理，这些问题与 ZFC（参见第 5.1 节）高度独立。

哥德尔与希尔伯特共享一个信念，即所有数学问题都有确定的答案。但是，在数学哲学中的形而上学不应被视为必然承认所有集合论命题具有确定的真值。有一些形而上学的版本认为，例如，ZFC 的所有定理都由确定的集合论事实成立，但是没有使某些高度独立于 ZFC 的陈述具有真值确定性的集合论事实。似乎著名的集合论学家保罗·科恩持有某种类似观点（Cohen 1971）。

3.2 自然主义和不可或缺性

奎因对传统哲学进行了方法论批判。他提出了一种不同的哲学方法论，被称为自然主义（Quine 1969）。根据自然主义，我们最好的理论是我们最好的科学理论。如果我们想要得到关于哲学问题的最佳答案，比如我们知道什么？哪些实体存在？我们不应该诉诸于传统的认识论和形而上学理论。我们也不应该从第一原则出发进行基础的认识论或形而上学探究。相反，我们应该参考和分析我们最好的科学理论。它们包含了我们当前对存在、知识以及我们如何获得知识的最佳解释，尽管这些解释通常是隐含的。

Putnam 将 Quine 的自然主义立场应用于数学本体论（Putnam 1972）。至少自伽利略以来，我们从自然科学中得出的最佳理论都是以数学方式表达的。例如，牛顿的万有引力理论在很大程度上依赖于实数的经典理论。因此，对数学实体的本体论承诺似乎是我们最佳科学理论的固有特征。这种推理线索可以通过诉诸于奎因的确认整体主义论点来加强。经验证据并不赋予任何一个个别假设以确认力量。相反，经验全面确认了个别假设所嵌入的理论。由于数学理论是科学理论的一部分，它们也受到经验的确认。因此，我们对数学理论有经验上的确认。更重要的是，数学似乎是我们最佳科学理论中不可或缺的：我们很难想象在不使用数学词汇的情况下如何表达它们。因此，自然主义立场命令我们将数学实体视为我们哲学本体论的一部分。这种论证线索被称为不可或缺性论证（Colyvan 2001）。

如果我们以面值接受我们最好的科学理论中涉及的数学，那么我们似乎致力于一种柏拉图主义形式。但这是一种比哥德尔的柏拉图主义更为谦逊的形式。因为自然科学似乎可以使用（大致上）实数上的函数空间。超越无穷集合论的更高领域似乎对我们自然科学中最先进的理论甚至是无关紧要的。然而，奎因（某个时候）认为 ZFC 假定的集合从自然主义的角度来看是可以接受的；它们可以被看作是我们科学理论中涉及的数学的慷慨舍入。奎因在这个问题上的判断并不被普遍接受。例如，费弗曼认为，我们当前最好的科学理论中基本使用的所有数学理论都是可预测可简化的（费弗曼 2005）。马迪甚至认为，数学哲学中的自然主义与关于集合的非现实主义观点是完全兼容的（马迪 2007，第四部分）。

在奎因的哲学中，自然科学是关于数学存在和数学真理的最终仲裁者。这使得查尔斯·帕森斯对此观点提出了异议，认为这种观点使得基础数学的显而易见性变得有些神秘（帕森斯 1980）。例如，关于每个自然数是否有一个后继的问题，从奎因的观点来看，最终取决于我们最好的经验理论；然而，不知何故，这个事实似乎比那个更直接。在类似的精神中，马迪指出，数学家在他们的活动中并不认为自己在任何方面受到自然科学的限制。实际上，人们可能会想知道数学是否不应该被视为一门独立的科学，以及数学的本体论承诺是否不应该根据数学实践中隐含的理性方法来判断。

在这些考虑的推动下，马迪开始探究数学实践中隐含的存在标准，以及从这些标准中得出的数学的隐含本体论承诺（Maddy 1990）。她专注于集合论，并关注数学界对于哪些大基数公理可以被认为是真实的问题所带来的方法论考虑。因此，她的观点更接近于哥德尔而不是奎因。在最近的研究中，她提出了两个似乎指导集合论学家在考虑新的集合论原则的可接受性时的准则：统一和最大化（Maddy 1997）。准则“统一”是要求集合论提供一个单一的系统，其中可以实例化或建模所有数学对象和数学结构。准则“最大化”意味着集合论应采用尽可能强大和数学上富有成果的集合论原则。

3.3 扁平化的柏拉图主义

伯奈斯观察到，当数学家在工作时，她以一种柏拉图主义的方式“天真地”对待她所处理的对象。他说，每个工作中的数学家都是柏拉图主义者（Bernays 1935）。但当数学家在业余时间被哲学家询问她的本体论承诺时，她往往会踌躇不前，退到一个模糊的非柏拉图主义立场。有人认为，这表明对于数学对象和数学知识的本质的哲学问题存在问题。

Carnap 引入了一个区分内部框架问题和外部框架问题的区别（Carnap 1950）。有人认为，Carnap 的区别在某种程度上在逻辑实证主义框架的消亡中仍然存在（Burgess 2004b）。Tait 试图详细说明这个区别如何适用于数学（Tait 2005）。这导致了一种可以被视为形而上学的通货紧缩版本的柏拉图主义。

根据 Tait 的观点，数学实体的存在问题只能从（公理化的）数学框架内合理地提问和回答。例如，如果在数论中工作，那么可以问是否存在具有给定属性的质数。这样的问题只能在纯粹的数学基础上决定。哲学家有一种倾向，即跳出数学框架，从“外部”询问数学对象是否真实存在，数学命题是否真实。在这个问题中，他们寻求数学真理和存在主张的超数学或形而上学基础。Tait 认为很难理解这些外部问题的任何意义。他试图削弱它们，并将它们带回到它们所属的地方：数学实践本身。当然，并不是每个人都同意 Tait 的观点。Linsky 和 Zalta 已经发展出了一种系统的方法，来精确回答 Tait 鄙视的那种外部问题（Linsky＆Zalta 1995）。

毫不奇怪，Tait 对于在数学哲学中对数学直觉的哥德尔式呼吁或者数学对象存在于“空间和时间之外”的哲学论点几乎没有用处。更一般地说，Tait 认为数学不需要哲学基础；他希望让数学自己说话。在这个意义上，他的立场让人想起了（在某种意义上是维特根斯坦式的）自然本体论态度，这是亚瑟·费恩在科学哲学的现实主义辩论中提倡的。

3.4 Benacerraf 的认识论问题

Benacerraf 在科学哲学中针对各种形而上学立场提出了一个认识论问题（Benacerraf 1973）。这个论证特别针对哥德尔等人对数学直觉的解释。Benacerraf 的论证从这样一个前提开始，即我们对知识的最佳理论是因果知识理论。然后指出，根据形而上学的观点，抽象对象并不具有空间或时间定位，而肉体数学家具有空间和时间定位。我们最好的认识论理论告诉我们，对数学实体的知识应该来自与这些实体的因果交互。但很难想象这是如何实现的。

今天，很少有认识论学家认为知识的因果理论是我们最好的知识理论。但事实证明，在认识论理论的变化下，贝纳塞拉夫问题仍然非常强大。例如，让我们假设可靠主义是我们最好的知识理论。那么问题就变成了解释我们如何成功地获得关于数学实体的可靠信念。

Hodes 提出了贝纳塞拉夫认识论问题的语义变体（Hodes 1984）。根据我们目前最好的语义理论，人类与具体世界之间的因果历史联系使我们的词汇能够指称物理实体和属性。根据形而上学，数学指的是抽象实体。因此，形而上学家需要给出一个合理的解释，说明我们（作为具有物质身体的人类）如何能够指称它们。乍一看，似乎因果理论的指称理论将无法为我们提供数学话语的“指称微结构”的所需解释。

3.5 充实形而上学

已经发展了一种柏拉图主义的版本，旨在解决贝纳塞拉夫的认识论问题（Linsky＆Zalta 1995; Balaguer 1998）。这个立场被称为充实的柏拉图主义。该理论的核心命题是，每个逻辑一致的数学理论必然涉及一个抽象实体。数学理论的制定者是否知道它涉及到这一点，基本上是无关紧要的。通过思考一个一致的数学理论，数学家自动获得了关于该理论主题的知识。因此，在这个观点上，不再存在需要解决的认识论问题。

在 Balaguer 的版本中，充实的柏拉图主义假设存在多个数学宇宙，每个宇宙对应一个一致的数学理论。因此，特别是像连续统假设这样的问题（参见第 5.1 节），不会得到唯一的答案：在某些集合论宇宙中，连续统假设成立，在其他宇宙中则不成立。然而，并不是每个人都同意这种观点可以被维持下去。马丁提出了一个论证，以表明多个宇宙总是在很大程度上可以“积累”成一个单一的宇宙（Martin 2001）。

在 Linsky 和 Zalta 的充实的柏拉图主义版本中，由一致的数学理论假设的数学实体确切地具有该理论所归属的数学属性。例如，与 ZFC 相对应的抽象实体是部分的，因为它既不使连续统假设成立，也不使其不成立。原因是 ZFC 既不蕴涵连续统假设，也不蕴涵其否定。这并不意味着所有一致扩展 ZFC 的方式都是相等的。有些方式可能是富有成效和强大的，而其他方式则较少。但这种观点否认了某些一致扩展 ZFC 的方式更可取，因为它们由真实原则组成，而其他方式则包含虚假原则。

4. 结构主义和名义主义

Benacerraf 的工作激发了哲学家们在数学哲学领域发展结构主义和名义主义理论（Reck＆Price 2000）。自 20 世纪 80 年代末以来，结构主义和名义主义的组合也得到了发展。

4.1 数学无法解释的内容

好像给柏拉图主义增加一个困难问题还不够（第 3.4 节），贝纳塞拉夫为集合论的柏拉图主义提出了一个挑战（Benacerraf 1965）。这个挑战的形式如下。

存在无数种将自然数与纯集合进行对应的方式。为了方便讨论，我们限制讨论两种方式：

I:0=∅1={∅}2={{∅}}3={{{∅}}}⋮II:0=∅1={∅}2={∅,{∅}}3={∅,{∅},{∅,{∅}}}⋮

Benacerraf 提出的简单问题是：

这两者中哪一个仅由真实的同一性陈述组成：I 还是 II？

回答这个问题似乎非常困难。很容易看出，可以在 I 的数候选和 II 的数候选上定义继承函数以及加法和乘法运算，使得我们认为为真的所有算术陈述都成立。实际上，如果按照自然的方式进行，我们会得到同构结构（从集合论的角度来说），而同构结构使得相同的句子为真（它们在元素上等价）。只有当我们提出额外的非算术问题，比如“1∈3？”时，这两种对自然数的解释才会得出不同的答案。因此，两种解释都正确是不可能的。根据故事 I，3={{{∅}}}，而根据故事 II，3={∅,{∅},{∅,{∅}}}。如果两种解释都正确，那么同一性的传递性将导致一个纯粹的集合论谬误。

总结一下，我们得出以下情况。一方面，似乎没有理由认为一个解释比另一个更优越。另一方面，这些解释不能同时正确。这种困境有时被称为贝纳塞拉夫的鉴定问题。

从这个难题中得出的合理结论似乎是，既不是解释 I 正确，也不是解释 II 正确。由于类似的考虑也会出现在将自然数归约为集合的其他合理尝试中，因此似乎自然数根本不是集合。此外，很明显，对于有理数、实数等的比较也可以提出类似的论证...贝纳塞拉夫得出结论，它们也根本不是集合。

目前还不清楚哥德尔是否致力于将自然数归约为纯粹的集合。一个形而上学者可以坚持这样的主张，即自然数可以嵌入到集合论宇宙中，同时认为这种嵌入不应被视为本体论的归约。事实上，在林斯基和扎尔塔的丰满形而上学解释中，自然数除了我们的自然数理论（皮亚诺算术）所归属的属性之外，没有其他属性。但是，然后似乎形而上学者们也必须对有理数、复数等采取类似的立场...虽然坚持自然数是独特的确实有一定吸引力，但坚持复数等也是独特的可能就不那么自然了。而且，即使自然数、复数等在某种意义上不能归约为其他任何东西，人们可能会想知道是否还有其他方法来阐明它们的本质。

4.2 前事结构主义

Shapiro 在代数和非代数数学理论之间进行了有用的区分（Shapiro 1997）。大致上，非代数理论是那些乍一看似乎是关于一个唯一模型的理论：该理论的预期模型。我们已经看到了这类理论的例子：算术，数学分析... 相反，代数理论并没有声称自己是关于一个唯一模型的。例如，群论，拓扑学，图论...

Benacerraf 的挑战可以针对非代数理论所描述的对象。但他的挑战并不适用于代数理论。代数理论并不关心数学对象本身；它们关心的是数学对象的结构方面。这使得 Benacerraf 推测，非代数理论也可能是如此。也许从 Benacerraf 的认同问题中可以得出的教训是，即使是算术也不是在描述特定的数学对象，而只是在描述结构关系？

Shapiro 和 Resnik 认为，所有的数学理论，甚至非代数的理论，都描述了结构。这个观点被称为结构主义（Shapiro 1997；Resnik 1997）。结构由彼此之间具有结构关系的位置组成。因此，从派生的角度来看，数学理论描述了结构中的位置或位置。但它们并不描述对象。例如，根据这个观点，数字 3 不是一个对象，而是自然数结构中的一个位置。

系统是结构的实例化。实例化非代数理论所描述的结构的系统彼此同构，因此在理论的目的下同样好。在 4.1 节中描述的系统 I 和 II 可以看作是自然数结构的实例化。∅ 和{∅,{∅},{∅,{∅}}}同样适合扮演数字 3 的角色。但它们都不是数字 3。因为数字 3 是自然数结构中的一个开放位置，这个开放位置没有任何内部结构。系统通常包含超出它们被认为实例化的结构所需的结构属性。

可以提出的合理的身份问题是那些可以从结构内部提出的问题。它们是那些可以根据结构方面的结构回答的问题。超出结构范围的身份问题是没有意义的。可以提出问题是否 3∈4，但这个问题不是明智的：这个问题涉及范畴错误。这个问题混淆了两个不同的结构：∈ 是一个集合论概念，而 3 和 4 是自然数结构中的位置。这似乎构成了对 Benacerraf 挑战的令人满意的回答。

在 Shapiro 的观点中，结构并不本体地依赖于实例化它们的系统的存在。即使在自然界中找不到无限系统，自然数的结构仍然存在。因此，Shapiro 理解的结构是抽象的、柏拉图式的实体。Shapiro 的结构主义常被标记为 ante rem 结构主义。

在集合论教科书中，我们也可以找到结构的概念。粗略地说，集合论的定义是，一个结构是一个有序的 n+1 元组，由一个集合、一些关系和一些该集合的特殊元素组成。但这不可能是数学哲学中结构主义所指的结构的概念。因为集合论的结构概念预设了集合的概念，而根据结构主义，集合本身应该用结构术语来解释。或者换句话说，集合论结构只是实例化了一个本体上优先于它的结构的系统。

尽管如此，将 ante rem 结构主义扩展到最广泛的数学学科（集合论）的动机并不完全明显（Burgess 2015）。回想一下，对于数学学科形成结构主义理解的主要动机在于 Benacerraf 的识别问题。对于集合论来说，提出一个识别挑战似乎很困难：集合通常不是用更原始的概念来定义的。

似乎 ante rem 结构主义以某种循环的方式描述了结构的概念。结构被描述为彼此相互关系的位置，但一个位置不能独立于它所属的结构来描述。然而，这并不一定是一个问题。对于 ante rem 结构主义者来说，结构的概念是一个原始的概念，不能用其他更基本的术语来定义。最好的情况是，我们可以构建一个数学结构的公理理论。

但是 Benacerraf 的认识论问题仍然显得紧迫。结构和结构中的位置可能不是对象，但它们是抽象的。因此，自然而然地会想知道我们如何成功地获得对它们的知识。某些哲学家将这个问题视为发展名义主义数学理论并将其与结构主义的基本原则相调和的原因。

4.3 数学无抽象实体

古德曼和奎因早期试图咬紧牙关：他们着手重新制定自然科学理论，而不使用抽象实体（Goodman＆Quine 1947）。对科学理论的名义主义重建被证明是一项艰巨的任务。奎因在初次尝试后放弃了这个项目。在过去的几十年中，已经提出了许多试图给出数学的名义主义重建的理论（Burgess＆Rosen 1997）包含了对这些观点的良好批判性讨论。

在数学的名义主义重建中，具体实体将扮演抽象实体在形而上学数学解释中的角色，并且需要使用具体关系（如部分-整体关系）来模拟数学对象之间的数学关系。但是这里出现了问题。首先，希尔伯特已经观察到，鉴于量子力学中的自然离散化，自然科学最终可能声称只有有限多个具体实体（Hilbert 1925）。然而，似乎我们需要无穷多个具体实体来扮演自然数的角色-更不用说实数了。名义主义者从哪里找到所需的具体实体集合？其次，即使假设存在无穷多个具体对象，也不清楚是否可以通过名义主义关系来“模拟”甚至是基本的数学理论，如原始递归算术（Niebergall 2000）。

Field（1980）试图认真地对牛顿力学进行名义主义重建。基本思想是这样的。Field 希望使用实数的具体替代品以及在其上的函数。他对空间连续体采取了现实主义立场，并将空间区域视为与椅子和桌子一样真实存在的物理实体。他认为空间区域是具体的（毕竟它们是空间定位的）。如果我们还计算那些非连通的区域，那么牛顿空间的区域与实数的子集一样多。然后就有足够的具体实体来扮演自然数、实数和实数上的函数的角色。而实数及其上的函数的理论就是制定牛顿力学所需的一切。当然，对于像量子力学这样的真正当代科学理论进行名义主义重建将更加有趣。但是，鉴于可以对牛顿力学进行这样的项目，一定程度的初步乐观似乎是合理的。

这个项目显然有其局限性。可能可以名义主义地解释实数上的函数空间的理论，但是认为可以沿着 Field 的思路找到集合论的名义主义解释似乎是牵强的。然而，如果在其限制范围内取得成功，那么 Field 的计划确实取得了一些成就。因为这将意味着，在某种程度上，数学实体似乎是可有可无的。他将因此在削弱对于奎因式谦逊的数学实体论的必要性论证方面迈出重要一步，因为在某种程度上，数学实体似乎是可有可无的。

如果希尔伯特担心我们最好的科学理论可能暗示只有有限数量的具体实体存在，那么 Field 的策略只有在这种担忧是没有根据的情况下才有可能奏效。如果一个人同情希尔伯特的担忧但不相信抽象实体的存在，那么他可能会冒险声称只有有限数量的数学实体存在，从而与基本算术原理相矛盾。这导致了一种被称为超有限主义的立场（Essenin-Volpin 1961）。

根据大多数观点，超有限主义像直觉主义一样导致数学上的修正主义。因为似乎必须说存在一个最大的自然数。从外部来看，假设只有一个有限的数学宇宙的理论在证明论上是薄弱的，因此很可能是一致的。但是 Woodin 提出了一个论证，声称从超有限主义的角度来看，没有理由断言超有限主义理论可能是一致的（Woodin 2011）。

不论这个论证（其细节在此不讨论），许多人已经发现声称存在一个最大的数是难以接受的。但是 Lavine 提出了一种精细的集合论超有限主义形式，它在数学上是非修正主义的（Lavine 1994）。他详细阐述了如何将 ZFC 的原则视为描述确定有限集合的原则，如果这些集合被认为包括无限大的集合。

4.4 在 Rebus 结构主义中

Field 对算术和分析的物理主义解释不仅削弱了 Quine-Putnam 不可或缺性论证，而且在某种程度上回应了 Benacerraf 的认识论挑战。诚然，解释人类如何获得关于时空区域的知识并不是一项简单的任务。但至少根据许多（但不是所有）哲学家的观点，时空区域在物理上是真实存在的。因此，我们不再需要解释血肉之躯的数学家如何与非物质实体接触。但是 Benacerraf 的识别问题仍然存在。人们可能会想知道为什么一个时空点或区域而不是另一个扮演了例如数 π 的角色。

作为对识别问题的回应，将结构主义方法与 Field 的名义主义相结合似乎很有吸引力。这导致了名义主义结构主义的版本，可以概述如下。让我们专注于数学分析。名义主义结构主义否认任何具体物理系统是分析的唯一预期解释。满足实分析（RA）基本原理的所有具体物理系统都可以同样好地胜任。因此，分析语言中句子 ϕ 的内容（大致）由以下给出：

每个使 RA 成立的具体系统 S 也使 ϕ 成立。

这意味着，与 ante rem 结构主义一样，只有结构方面与数学陈述的真假相关。但与 ante rem 结构主义不同的是，没有超越具体系统的抽象结构被假设出来。

根据 in rebus 结构主义，除了实例化它们的系统之外，没有超越抽象结构存在；结构只存在于实例化它们的系统中。因此，名义主义的 in rebus 结构主义有时被描述为“没有结构的结构主义”。名义主义结构主义是 in rebus 结构主义的一种形式。但 in rebus 结构主义并不仅限于名义主义结构主义。甚至将数学视为以集合论意义上的结构为对象的柏拉图主义版本也可以看作是 in rebus 结构主义的一种形式。

在数学论述中，非代数结构（如“自然数”）和数学对象（如“数字 1”）通过明确的描述来指称。这强烈暗示数学符号（N，1）具有唯一的指称，而不是像重组结构主义所认为的“分布式”的指称。但是，重组结构主义者认为，这样的数学符号在很大程度上起到专用变量的作用，就像“汤米需要他从家里收到的信件”（第二次世界大战的口号）中的名字“汤米”被选择为代表某个任意的具体士兵，并在许多场合重复使用而不改变其指称（Pettigrew 2008）。

如果希尔伯特的担忧是有根据的，即没有具体的物理系统使数学分析的公理成立，那么上述名义主义结构主义对分析语言句子 ϕ 的内容的解释将错误地得出这些句子的真值条件。因此，对于每个全称量化的句子 ϕ，它的释义将变为空洞地真。因此，需要一种存在性假设，即存在可以作为 RA 模型的具体物理系统，以支持上述对数学陈述内容的分析。也许像菲尔德的构造这样的东西符合要求。

普特南早就注意到，如果上述对数学句子内容的阐释稍作修改，就可以获得正确的真值条件所需的背景假设要弱得多（Putnam 1967）。普特南提出了对分析语言句子 ϕ 的内容的以下模态解释：

必然地，每个使 RA 成立的具体系统 S 也使 ϕ 成立。

这是一个比之前呈现的非模态陈述更强的陈述。但它似乎同样合理。而这种陈述的一个优点是，以下模态存在的背景假设足以使数学陈述的真值条件正确：

可能存在一个具体的物理系统，可以作为 RA 的模型。

（这里的“可能”意味着“可能是或可能曾经是这样的情况”。）现在希尔伯特的关注似乎得到了充分的解释。因为根据普特南的理论，数学句子的真实性不再依赖于关于实际世界的物理假设。

不可否认，我们很难对我们如何知道这个模态存在假设得到满意的解释。但可以希望这个任务比解释我们如何成功地了解抽象实体的事实要容易一些。而且不应忘记这个（模态的）名义主义立场的结构主义方面使贝纳塞拉夫的认同挑战得到了解决。

普特南的策略也有其局限性。奇哈拉试图将普特南的策略应用于算术、分析以及集合论（奇哈拉 1973 年）。然后，相关的模态存在假设的一个粗略版本变为：

可能存在具体的物理系统，可以作为 ZFC 的模型。

帕森斯指出，当需要包含具有大的超限基数或甚至太大而无法具有基数的物理实体集合的可能世界时，很难将其视为可能的具体或物理系统（帕森斯 1990a）。我们似乎没有理由相信可能存在包含高度超限多个实体的物理世界。

4.5 虚构主义

根据先前的提议，当适当地，即名义主义地解释时，普通数学陈述是真实的。现在将讨论的数学名义主义解释认为，所有存在性数学陈述都是错误的，仅仅因为没有数学实体。（出于同样的原因，所有普遍数学陈述将是平凡真实的。）

虚构主义认为数学理论就像童话故事和小说一样。数学理论描述虚构实体，就像文学虚构描述虚构角色一样。这个立场最早在（Field 1989）的引言章节中被阐述，并在近年来越来越受欢迎。

对虚构主义立场的这种粗略描述立即引出了一个问题，即虚构实体是什么样的实体。这似乎是一个深层的形而上学本体论问题。避免完全回答这个问题的一种方法是否认存在虚构实体。数学理论应该被视为参与假装游戏的邀请，在这些游戏中，我们假装某些数学实体存在。假装或虚构操作符将其命题对象从存在性导出中保护起来（Leng 2010）。

无论如何，如上所述，在虚构主义观点中，数学理论并非字面上的真实。尽管如此，数学被用来传达真理。因此，当我们断言涉及数学的物理理论时，我们必须从字面上说的内容中减去一些，如果我们想要得到真理。但这需要一个关于如何进行这种内容减法的理论。这样的一个理论已经在（Yablo，2014）中得到了发展。

如果虚构主义论题是正确的，那么对数学理论必须加以强加的一个要求无疑是一致性。然而，Field 还增加了第二个要求：数学必须在自然科学中保守。这意味着，粗略地说，每当可以使用数学推导出一个经验理论的陈述时，原则上也可以在不使用任何数学理论的情况下推导出来。如果不是这样的话，那么就可以对虚构主义进行不可或缺性论证。例如，数学是否实际上在物理学中保守，目前是一个有争议的问题。Shapiro 提出了一个不完备性论证，意图驳斥 Field 的观点（Shapiro 1983）。

如果确实没有数学（虚构）实体，正如虚构主义的一种形式所说，那么 Benacerraf 的认识论问题就不会出现。虚构主义与大多数形式的形而上学重建数学的名义主义有着这个共同优势。但是，对假装运算符的诉诸意味着数学句子的逻辑形式与其表面形式有所不同。如果存在虚构对象，那么数学句子的表面形式可以与其逻辑形式重合。但如果它们存在为抽象实体，那么 Benacerraf 的认识论问题将重新出现。

Benacerraf 的身份问题是否解决尚不完全清楚。一般来说，虚构主义是一种非还原主义的解释。数学“故事”通常不确定一个数学理论中的实体是否与另一个理论中出现的实体相同。然而，伯吉斯正确地强调数学与文学虚构的不同之处在于，虚构角色通常局限于一部作品，而相同的数学实体出现在不同的数学理论中（Burgess 2004）。毕竟，具有相同名称（如 π）的实体出现在不同的理论中。也许虚构主义者可以主张，当数学家们发展一个新的理论，其中出现了一个“旧”的数学实体时，所讨论的实体变得更加精确。比以前给它赋予了更具体的属性，只要整体的一致性得到保持，这是可以接受的。

对形式主义的经典反对意见似乎也适用于虚构主义。虚构主义者应该找到一些解释，解释为什么以一种方式扩展数学理论通常被认为优于以与之不兼容的另一种方式继续。通常至少有一种表象，认为有一种正确的方式来扩展数学理论。

5. 特殊主题

近年来，数学哲学的子学科开始出现。它们的发展方式并不完全由关于数学本质的“大辩论”所决定。在本节中，我们将介绍其中的几个学科。

5.1 基础和集合论

许多人认为集合论在某种意义上是数学的基础。似乎几乎任何数学内容都可以在集合论中进行，尽管有时这种设置并不方便。近年来，集合论的哲学正在成为一门独立的哲学学科。这并不意味着在集合论的哲学辩论中，从形式主义的观点或者从形而上学的观点来看待它是否有巨大的差异。

数学的基础理论最适合作为数学基础的命题绝非没有争议。在过去几十年中，范畴论已经成为这一角色的竞争对手。范畴论是一种在二十世纪中叶发展起来的数学理论。与集合论不同，范畴论中的数学对象只定义到同构。这意味着贝纳塞拉夫的认同问题对于范畴论的概念和“对象”是无法提出的。同时，几乎可以在集合论中做的一切都可以在范畴论中完成（但不总是以自然的方式），反之亦然（同样不总是以自然的方式）。这意味着对于结构主义的观点来说，范畴论是一个提供数学基础的有吸引力的候选者（麦克拉蒂 2004）。

从集合论的开始就存在一个重要问题，即集合和适当类之间的区别。（对于范畴论来说，这个问题有一个自然的对应：小范畴和大范畴之间的区别。）康托尔的对角线论证迫使我们承认整个集合论宇宙不能被视为一个集合。康托尔的定理表明，任何给定集合的幂集（即所有子集的集合）的基数都比给定集合本身的基数要大。现在假设集合论宇宙形成一个集合：即所有集合的集合。那么所有集合的幂集必须是所有集合的子集。这将与幂集的基数比所有集合的基数要大的事实相矛盾。因此，我们必须得出结论，集合论宇宙不能形成一个集合。

康托尔称那些太大以至于不能被视为集合的多元性为不一致的多元性（Cantor 1932）。如今，康托尔的不一致的多元性被称为适当类。一些数学哲学家认为适当类仍然构成统一体，因此可以被看作一种集合。它们在康托尔的精神中，只是太大以至于不能成为集合的集合。然而，这种观点存在问题。正如没有全集的集合一样，由于对角线化的原因，也不能有所有适当类的适当类。因此，适当类观点似乎不得不承认另外一个超适当类的领域，以此类推。因此，策梅洛声称适当类根本不存在。这个立场并不像乍看起来那么奇怪。仔细观察，人们会发现在 ZFC 中从来不需要量化超过集合大小的实体（尽管存在一些量化适当类的集合论系统）。从这个观点来看，集合论宇宙在绝对意义上是潜在无限的。它从来不以一个完整的整体存在，而是永远在增长，因此永远不完整（策梅洛 1930）。这种说法表明，在我们试图理解这种潜在无限的概念时，我们被吸引到时间的隐喻中。这些时间隐喻引起了一些数学哲学家的强烈不适。因此，对策梅洛的集合论宇宙的潜在主义解释持同情态度的当代数学哲学家倾向于将这种解释中涉及的情态性视为非时间性的：这种情态性的性质存在激烈的争议（Linnebo 2013，Studd 2019）。

数学集合论哲学中的第二个主题涉及对数学的基本原理（即 ZFC 公理）的合理化。一个重要的历史案例研究是 20 世纪初数学界接受选择公理的过程（Moore 1982）。这个案例研究的重要性主要在于数学界对其可接受性进行了公开明确的讨论。在这个讨论中，关于接受或拒绝将一个原理作为基本公理的一般原因浮出水面。在系统方面，已经发展了两种关于集合概念的理论，旨在一次性证明 ZFC 的所有公理。一方面，有集合的迭代概念，它描述了集合论宇宙如何通过幂集操作从空集生成（Boolos 1971，Linnebo 2013）。另一方面，有集合大小的限制概念，它声明任何不太大以至于不能成为集合的集合都是集合（Hallett 1984）。迭代概念很好地解释了 ZFC 的一些公理（例如幂集公理），但在其他公理方面表现不佳，例如替换公理（Potter 2004，第四部分）。集合大小的限制概念更好地解释了其他公理（如受限制的概括公理）。可以说，没有一个统一的概念能够清楚地证明 ZFC 的所有公理。

超越 ZFC 的假设公理的动机构成了集合论哲学的第三个关注点（Maddy 1988; Martin 1998）。其中一类原则是由大基数公理构成的。如今，大基数假设实际上意味着集合论宇宙与集合论内模之间的某种嵌入性质（Kanamori 2009）。大多数情况下，大基数原则意味着存在比 ZFC 能保证存在的任何集合都要大的集合。

较弱的大基数原则受到内在证据的支持（见第 3.1 节）。它们是由所谓的反射原则推导出来的。这些原则表明整个集合论宇宙是如此丰富，以至于它与其某个大小为集合的初始段非常相似。迄今为止，较强的大基数原则只受到外在支持。许多研究人员对于能否找到支持它们的反射原则持怀疑态度（Koellner 2009）；然而，其他人持不同意见（Welch＆Horsten 2016）。

哥德尔希望基于这样的大基数公理，集合论中最重要的未解问题最终能够得到解决。这就是连续性问题。连续性假设是康托尔在 19 世纪末提出的。它表明不存在集合 S，使得 S 太大以至于 S 与自然数之间存在一一对应，但又太小以至于 S 与实数之间不存在一一对应。尽管付出了巨大努力，但所有解决连续性问题的尝试都失败了。哥德尔开始怀疑连续性假设与集合论（ZFC）的公理是独立的。大约在 1940 年左右，他设法证明了连续性假设与 ZFC 的一致性。几十年后，保罗·科恩证明了连续性假设的否定与 ZFC 的一致性。因此，哥德尔对连续性假设独立性的猜想最终得到了证实。

但是，哥德尔希望通过大基数公理解决连续性问题的希望被证明是没有根据的。即使在大基数公理的背景下，连续性假设也与 ZFC 独立。尽管如此，大基数原则已经成功解决了连续性假设的受限版本（肯定的情况）。所谓的 Woodin 基数的存在确保了在分析中可定义的集合要么是可数的，要么与连续体的大小相同。因此，可定义的连续性问题得到了解决。

近年来，人们的努力集中在寻找一种不同类型的原则，这些原则可能是合理的，并且可能决定连续性假设（Woodin 2001a，Woodin 2001b）。从这项研究中出现的更一般的哲学问题之一是：为了使一个原则成为数学的基本公理，必须满足哪些条件？

一些试图解决连续统假设的研究人员认为它是真的；而其他人则认为它是假的。但也有许多集合论学家和数学哲学家认为连续统假设不仅在 ZFC 中是不可判定的，而且是绝对不可判定的，即它既不可证明（在非正式意义上）也不可证伪（在非正式意义上），因为它既不是真的也不是假的。例如，如果数学宇宙是一个集合论多元宇宙，那么既有使连续统假设成立的模型，也有使其不成立的同样好的模型，而且没有更多可以说的（Hamkins，2015）。

5.2 类别性和多元论

在 19 世纪下半叶，戴德金证明了算术的基本公理在同构意义下只有一个模型，而实分析的基本公理也是如此。如果一个理论在同构意义下只有一个模型，那么它被称为是范畴性的。因此，除同构外，算术和分析各自都有一个明确的预期模型。半个世纪后，策梅洛证明了集合论原理是“几乎”是范畴性的或准范畴性的：对于集合论原理的任意两个模型 M1 和 M2，要么 M1 同构于 M2，要么 M1 同构于 M2 的一个强不可及等级，要么 M2 同构于 M1 的一个强不可及等级（策梅洛，1930）。近年来，人们试图发展论证，以加强策梅洛的结论为完全范畴性断言（McGee，1997；Martin，2001），但我们在这里不讨论这些论证。

同时，Löwenheim-Skolem 定理表明，每个具有至少一个具有无限域的模型的一阶形式理论，必须具有具有所有无限基数的域的模型。由于算术、分析和集合论的原则最好至少具有一个无限模型，Löwenheim-Skolem 定理似乎适用于它们。这难道不与 Dedekind 的唯一性定理相矛盾吗？

解决这个难题的方法在于 Dedekind 甚至没有隐含地使用一阶形式化的算术和分析的基本原理。相反，他以非正式的方式使用了二阶形式化。

让我们专注于数学，看看这意味着什么。数学的基本公理包含归纳公理。在一阶数学形式化中，这被表述为一个方案：对于每个带有一个自由变量的数学语言的一阶算术公式，都在数学形式化中包含一个归纳原理的实例。基本的基数考虑揭示了自然数的无限多个性质无法用一阶公式表达。但直观上看，归纳原理适用于自然数的所有性质。因此，在一阶语言中，无法表达数学归纳原理的全部力量。因此，许多数学哲学家坚持认为，算术的公理应该用二阶语言来表述（Shapiro 1991）。二阶语言不仅包含范围为域中元素的一阶量词，还包含范围为域的性质（或子集）的二阶量词。在完全的二阶逻辑中，坚持认为这些二阶量词范围包括域的所有子集。如果将算术原理用二阶语言来表述，那么戴德金的论证就成立了，我们就有了一个范畴论的理论。出于类似的原因，如果我们用二阶语言来表述实分析的基本原理，我们也会得到一个范畴论的理论，而集合论的二阶表述则被证明是准范畴论的。

反事实结构主义以及数学的模态名义主义结构主义解释都可以从二阶形式中受益。如果反事实结构主义者坚持自然数结构由皮亚诺公理同构固定，那么她将希望用二阶逻辑来表述皮亚诺公理。而模态名义主义结构主义者将坚持算术的相关具体系统是使二阶皮亚诺公理成立的系统（Hellman 1989）。对于实分析和集合论也是如此。因此，对二阶逻辑的引用似乎是结构主义项目中隔离数学预期模型的最后一步。

然而，在数学哲学中，对二阶逻辑的引用绝非毫无争议。首先的反对意见是，二阶逻辑的本体论承诺高于一阶逻辑的本体论承诺。毕竟，使用二阶逻辑似乎将我们承认抽象对象的存在：类。为了解决这个问题，Boolos 提出了一种解释二阶逻辑的方法，避免了对抽象实体的承诺（Boolos 1985）。他的解释通过使用复数表达式来明确二阶量词的真值条件，而不涉及类的概念。例如，形如 ∃xF(x)的二阶表达式被解释为：“存在一些（一阶对象）x，它们具有性质 F”。这种解释被称为二阶逻辑的复数解释。关于使用复数和集合的数学用途之间是否存在真正的区别存在争议（Linnebo 2003）。然而，显然，对二阶逻辑的复数解释对名义主义版本的结构主义是具有诱惑力的。

对于二阶逻辑的第二个反对意见可以追溯到奎因（Quine 1970）。这个反对意见认为，对于全二阶逻辑的解释与集合论问题有关。这已经通过大多数二阶逻辑的规范化采用选择公理的版本来表明。但更令人担忧的是，二阶逻辑与集合论中的深层问题密不可分，比如连续统假设。对于意图描述无限对象集合的理论，即使是像二阶量词的基数这样基本的问题，也等同于连续统问题。此外，事实证明存在一个句子，当且仅当连续统假设成立时，它是一个二阶逻辑真理（Boolos 1975）。我们已经看到，连续统问题与当前接受的集合论原则是独立的。许多研究人员认为它是绝对无真值的。如果是这样的话，那么二阶无限模型的概念本身就存在不确定性。许多当代数学哲学家认为后者没有确定的真值。因此，有人认为，全二阶逻辑模型的（无限）概念本质上是不确定的。

如果不想诉诸于全二阶逻辑，那么还有其他方法来确保数学理论的范畴性。一个想法是利用介于一阶和二阶量词之间的某种中间量词。例如，可以将“存在有限个 x”视为原始量词。这将使人们能够构建算术的范畴化公理化。

但是确保数学理论的分类性并不需要引入更强的量词。另一个选择是将算法可计算性的非正式概念作为原始概念（Halbach＆Horsten 2005; Horsten 2012）。Tennenbaum 的一个定理表明，所有一阶 Peano 算术的模型，其中加法和乘法是可计算函数，彼此同构。现在我们的加法和乘法操作是可计算的：否则我们永远无法学习这些操作。因此，这是我们可能能够隔离我们的算术原理的预期模型的另一种方式。然而，针对这种解释，可以指出的是，似乎无法通过这种方式确保实分析的预期模型的分类性。对于实分析原理的模型计算，我们没有起到 Tennenbaum 定理作用的定理。

如果接受算术谓词集合的某种开放性，那么可以在不超出一阶逻辑的范围并且不诉诸于计算的非正式概念的情况下，获得一种类似于算术的分类性定理。假设有两位数学家 A 和 B，他们都在自己的语言中断言一阶 Peano 公理。进一步假设 A 和 B 认为数学归纳可行的谓词集合是开放的，并且都愿意接受对方的归纳方案为真。那么 A 和 B 有能力使自己相信两种语言描述的结构是同构的（Parsons 1990b）。这样的论证被称为内部分类性论证。它们在当代数学哲学中广泛讨论：例如参见（Button＆Walsh 2019）。

许多对于数学哲学中的范畴性论证持怀疑态度的人认为，我们所有一致的数学理论都有许多结构上不同的模型，并且认为所有或许多这些模型彼此相等。正如我们在前一小节中所看到的，集合论多元宇宙观就是一个例子，集合论潜力主义也是如此。但是我们可以进一步辩护，主张任何一致的数学理论都描述了一个独立存在的数学宇宙，并且没有任何一个理论比其他理论更真实（Linsky＆Zalta 1995，Bueno 2011）。

这些理论属于一个被称为数学多元主义的观点家族，这在数学哲学中越来越突出。从历史上看，这些观点的根源可以追溯到希尔伯特和卡尔纳普的工作。在与弗雷格的辩论中，希尔伯特坚持认为一致性足以使数学理论具有主题（Resnik 1974）；卡尔纳普认为在选择替代的大规模理论（框架）之间，最终只是一种实用的问题（Carnap 1950）。

正如在哲学中无处不在的情况一样，这里存在分歧：对于数学真理是一个不可撤销的使用相关概念的学说的批判，请参见（Koellner 2009b），而对于反驳，请参见（Warren 2015）。一些人对数学多元主义的反应是进一步认为所有不一致的数学理论也应被视为真实的（在相对化的意义上）。此外，一些在不一致意义上是平凡的数学理论通常被认为与许多受尊敬的一致理论一样有价值：“从历史上看，有三个 [据作者所知] 数学理论对数学和逻辑产生了深远影响，并被发现是平凡的。它们是康托尔的朴素集合论，弗雷格的形式逻辑理论和第一个版本的丘奇的形式数学逻辑理论。这三个理论对随后的数学产生了深远的影响”（Friend 2013，第 294 页）。

5.3 数学计算

直到最近，计算的主题在数学哲学中并没有受到太多关注。这可能部分是因为在希尔伯特风格的数论公理化中，计算被归结为 Peano 算术中的证明。但是这种情况在最近几年发生了变化。似乎随着计算在数学实践中的重要性增加，对计算概念的哲学思考将在未来几年中在数学哲学中占据更重要的位置。

Church 的论题在可计算性理论中占据着核心地位。它表明，自然数上的每个算法可计算函数都可以通过图灵机来计算。

作为一个原则，Church 的论题具有一种有趣的地位。它似乎是一个基本原则。一方面，这个原则几乎被普遍认为是真实的。另一方面，很难看出它如何在数学上得到证明。原因在于它的前提包含一个非正式的概念（算法可计算性），而它的结论则包含一个纯粹的数学概念（图灵机可计算性）。数学证明只能连接纯粹的数学概念，或者看起来是这样。传统观点认为，我们对 Church 的论题的证据是准经验的。试图找到令人信服的反例来反驳 Church 的论题的努力都没有成功。独立地，人们提出了各种数学概念来捕捉自然数上的算法可计算函数。除了图灵机可计算性之外，还提出了一般递归性、Herbrand-Gödel 可计算性、lambda 可定义性等概念。但是这些数学概念都被证明是等价的。因此，用哥德尔的术语来说，我们已经积累了对 Church 的论题真实性的外在证据。

Kreisel 早就指出，即使一个论题无法被正式证明，仍然有可能通过对直观概念的严格但非正式的分析来获得内在证据（Kreisel 1967）。Kreisel 将这些练习称为非正式严密性。Sieg 的详细学术研究揭示了这篇开创性文章（Turing 1936）正是这种对直观概念算法可计算性的分析的精妙范例（Sieg 1994）。

目前，在计算基础和哲学领域中，最活跃的研究课题似乎是以下几个。首先，人们已经投入了大量精力来发展关于自然数以外结构的算法计算理论。特别是，人们努力寻求在各种结构上获得类似于丘奇论题的算法计算模型。在这个背景下，近几十年来在实数上的有效计算理论方面取得了实质性的进展（Pour-El 1999）。其次，人们试图阐明人类以外的可计算性概念。其中一个特别感兴趣的领域是量子计算（Deutsch et al. 2000）。

5.4 数学证明

我们对形式证明和形式可证性的概念，以及它们与算法可计算性的关系，以及这些概念受到的原则有很多了解。我们知道，例如，形式系统的证明是可计算可枚举的，并且在一个健全（足够强大）的形式系统中的可证性受到哥德尔的不完全性定理的限制。但是，你在数学期刊中找到的数学证明并不是逻辑学家所说的形式证明：它是一种（严谨的）非正式证明（Myhill 1960，Detlefsen 1992，Antonutti 2010）。

首先，虽然在一个形式系统中可证明的句子集合总是可计算可枚举的，但我们对非正式可证明性概念的扩展知之甚少。卢卡斯（Lucas 1961）和彭罗斯（Penrose 1989, 1994）曾主张非正式数学可证明性超越了任何给定形式系统中的可证明性。但他们的论证被广泛认为是不具有说服力的。贝纳塞拉夫（Benacerraf）反驳卢卡斯和彭罗斯，认为不能排除存在一个形式系统 T，使得事实上数学可证明性在外延上与 T 中的可证明性一致，尽管我们无法知道它是否一致（Benacerraf 1967）。还有人认为非正式数学可证明性的概念甚至不足以明确回答其扩展是否可计算可枚举的问题（Horsten & Welch 2016）。

其次，关于何为数学证明的标准并无一致意见。根据所谓的传统观点，如果一个数学论证能够使一位有能力的数学家将其转化为从广泛接受的数学公理中推导出 p 的形式演绎，则该数学论证构成了一个非正式数学证明（Avigad 2021）。然后，非正式数学证明可以被视为 p 的推导指示器（Azzouni 2004）。然而，近年来对数学证明标准的传统观点提出了质疑。有人认为，在非正式数学证明中，直到得到一个逻辑上正确且非省略的一阶推导为止，推理的插值可能是一个无限的过程（Rav 1999, p.14-15）。其他人则在为传统观点辩护，因此目前关于这些问题存在着激烈的辩论（Tatton-Brown 即将发表，Di Toffoli 2021）。

过去几十年见证了数学证明中首次出现计算机起到关键作用的情况。四色定理就是一个例子。它说对于每个地图，只需要四种颜色来给国家着色，以使得有共同边界的两个国家不会得到相同的颜色。这个定理在 1976 年被证明（Appel 等人，1977 年）。但是这个证明区分了许多需要计算机验证的情况。这些计算机验证的过程太长，无法由人类进行复核。四色定理的证明引发了一个关于计算机辅助证明在真正意义上是否算作证明的问题的辩论。

传统观点认为数学证明产生先验知识。然而，当我们依赖计算机来生成证明的一部分时，我们似乎依赖计算机硬件的正常运行和计算机程序的正确性。这些似乎是经验因素。因此，人们很容易得出结论，计算机证明产生准经验知识（Tymoczko，1979 年）。换句话说，通过计算机证明的出现，证明的概念失去了纯粹的先验特性。相反，伯奇认为，因为我们接受计算机证明时所依赖的经验因素并未出现为论证的前提，计算机证明仍然可以产生先验知识（Burge，1998 年）。（伯奇后来撤回了这一观点，请参见（Burge，2013 年，第 31 页）。）

6. 未来

在二十世纪，数学哲学的研究主要围绕数学对象的本质、统治它们的基本定律以及我们如何获取关于它们的数学知识展开。这些是与传统形而上学和认识论问题密切相关的基础性问题。

在二十世纪下半叶，科学哲学的研究在很大程度上摆脱了基础性问题。相反，与科学知识的增长和科学理解相关的哲学问题变得更加核心。早在 1970 年代，就有声音认为数学哲学应该进行类似的关注转变。拉卡托斯（Lakatos）开启了对数学概念演变的哲学研究（Lakatos 1976）。他认为数学概念的内容大致以以下方式演变。数学家提出了一个深刻的猜想，但无法证明它。然后找到了反例来反驳这个猜想。作为回应，猜想中一个或多个核心概念的定义被改变，以至于反例至少被排除。然而，经过修订的猜想仍然无法证明，并逐渐出现新的反例。反复应用修订一个或多个核心概念的定义的过程，直到找到猜想的证明。拉卡托斯将这个过程称为概念的延伸。近几十年来，拉卡托斯在数学概念变化方面的模型已经得到修订和完善（Mormann 2002）。

几十年来，数学哲学应该采取历史和社会学的转向的观点一直局限于数学哲学中的一种较为边缘的思想流派。然而，近年来，这种新的数学实践运动与“主流”数学哲学之间的对立正在缓和。与数学实践、数学理论的演变以及数学解释和理解相关的哲学问题变得更加突出，并与数学哲学中更传统的主题相关联（Mancosu 2008）。这种趋势无疑将在未来几年持续下去。

举个例子，让我们简要回顾一下关于计算机证明的主题（见第 5.3 节）。数学家们在面对计算机证明时所感到的不适源于以下原因。一个“好”的数学证明应该不仅仅能够使我们相信某个陈述是真实的，还应该解释为什么这个陈述成立。而这是通过引用深层次的数学概念之间的深层关系来实现的，这些概念通常将不同的数学领域联系起来（Manders 1989）。到目前为止，计算机证明通常只使用相当低层次的数学概念。它们在自己开发深层概念方面声名狼藉，并且在将来自不同数学领域的概念联系起来方面存在困难。所有这些都引出了一个哲学问题，它现在才开始得到应有的关注：什么是数学理解？

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Academic Tools

Other Internet Resources

Mathematics, Foundations of, by Detlefsen, M., Routledge Encyclopedia of Philosophy
Category Archives: Philosophy of Mathematics, Internet Encyclopedia of Philosophy
The Infinite, entry by Bradley Dowden, Internet Encyclopedia of Philosophy
FOM – Foundations Of Mathematics, e-mail discussion forum

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