独立性友好逻辑 independence friendly (Tero Tulenheimo)

首次发表于 2009 年 2 月 9 日；实质修订于 2022 年 9 月 15 日。

独立性友好逻辑（IF 逻辑，IF 一阶逻辑）是一阶逻辑的扩展。在其中，可以表达比一阶逻辑更多的量词依赖和独立性。它的量词仅范围在个体之上；然而，从语义上讲，IF 一阶逻辑具有与存在性二阶逻辑相同的表达能力。IF 逻辑缺乏一阶逻辑具有的某些元属性（公理化性，塔斯基类型语义）。另一方面，IF 逻辑允许自我应用的真理谓词 - 这是一阶逻辑所不具备的特性。与 IF 逻辑相关的哲学问题包括重塑逻辑主义计划，公理集合论中的真理问题以及否定的本质。在 IF 逻辑方面的研究也启发了一阶逻辑的替代推广：斜杠逻辑和依赖逻辑。

1. 引言：量词依赖

在数学散文中，人们可以说诸如“对于所有实数 a 和对于所有正实数 ε，存在一个依赖于 ε 但不依赖于 a 的正实数 δ，使得…”。这里重要的是量词的依赖性。存在量词“存在 δ”被认为依赖于全称量词“对于所有 ε”，但不依赖于全称量词“对于所有 a”。在卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）在分析基础方面的工作中，他以量词的依赖性来定义了极限、连续性和导数的概念 [1]。举个具体的例子，如果对于集合 D 中的所有 a 和所有 ε>0，存在 δ>0，使得对于 D 中的所有 x，如果|x−a|<δ，则|f(x)−f(a)|<ε，则函数 f：D→R 是连续的。一致连续性的定义是通过指定量词“存在 δ”仅依赖于量词“对于所有 ε”，而不依赖于量词“对于所有 a”[2]。

独立性友好的一阶逻辑（也称为 IF 一阶逻辑、IF 逻辑）是由亚科·欣蒂卡（Jaakko Hintikka）和加布里埃尔·桑杜（Gabriel Sandu）在他们的文章“信息独立性作为语义现象”（1989）中引入的；其他早期的来源包括欣蒂卡的小册子《定义真理、全部真理和仅仅真理》（1991）和桑杜的博士论文（1991）[3]。IF 一阶逻辑是一阶逻辑的扩展，涉及特定的语法设备“/”（斜杠，独立性指示器），在对象语言层面上与元层修饰符“但不依赖于”在刚才考虑的例子中具有相同的效果。在 IF 逻辑的符号表示中，函数 f 是一致连续的陈述的逻辑形式为(∀a)(∀ε)(∃δ/∀a)(∀x)R，与仅仅连续的陈述的形式(∀a)(∀ε)(∃δ)(∀x)R 相对应。

在本节和下一节的引言示例中，让我们将注意力限制在前束范式的公式上：一串量词后跟一个无量词的一阶公式。如果在这种形式的一阶句子中，存在量词 ∃y 位于全称量词 ∀x 的句法范围内，那么根据语义，∃y 自动依赖于 ∀x。例如，对于句子(∀x)(∃y)R(x,y)而言，∃y 对 ∀x 的依赖是如此。∃y 的证人可能随着解释 ∀x 的值而变化。为了使该句在模型 M 中为真，只需存在一个函数 f，使得对于解释 ∀x 的任何 a，R(a,f(a))在 M 中成立。这些函数，详细说明了存在量词的证人对全称量词的解释的依赖关系，在逻辑文献中被称为斯科勒姆函数 [4]。相比之下，在句子(∃y)(∀x)R(x,y)中，量词 ∃y 不依赖于量词 ∀x。为了使该句在 M 中为真，必须存在一个相同的证人 c 对于 ∃y，对于 ∀x 的任何解释 a，R(a,c)在 M 中成立。相应的斯科勒姆函数是一个常数 [5]。

在 IF 一阶逻辑中，句法范围不再决定语义上的依赖关系。例如，在句子(∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z)中，∃z 在句法上既从属于 ∀x 又从属于 ∀y，但被标记为独立于 ∀y，并且仅依赖于 ∀x。从语义上讲，这意味着 ∃z 的证人必须由一个以 ∀x 的解释为参数的函数给出，而不是 ∀y 的解释。为了使(∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z)在 M 中为真，必须存在一个只有一个参数的函数 f，使得对于解释 ∀x 的任何 a 和解释 ∀y 的任何 b，R(a,b,f(a))在 M 中成立。

斜杠符号有什么好处？毕竟，显然在模型 M 中，例如(∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z)成立当且仅当第一阶句子(∀x)(∃z)(∀y)R(x,y,z)在其中成立。事实上，IF 逻辑的表达能力超过了一阶逻辑。考虑句子(∀x)(∃y)(∀z)(∃w/∀x)R(x,y,z,w)。它的真值条件具有以下形式：存在一元函数 f 和 g，使得对于任何解释 ∀x 的 a 和解释 ∀z 的 b，在 M 中成立 R(a,f(a),b,g(b))。因此，该句子成立当且仅当包含有限偏序量词的以下句子(*)成立：

(*)∀x∃y∀z∃wR(x,y,z,w)

因为根据定义，在模型 M 中，()成立当且仅当第二阶句子(∃f)(∃g)(∀x)(∀z)R(x,f(x),z,g(z))在其中成立。后者可以称为()的 Skolem 标准形式。它表示存在 Skolem 函数为量词 ∃y 和 ∃w 提供见证。有限偏序量词，也称为 Henkin 量词或分支量词，由 Leon Henkin（1961）提出，并随后广泛研究。它们是二维的语法对象。

Q11…Q1n⋮Qm1…Qmn

其中每个 Qij 都是 ∃xij 或 ∀xij。通过系统地使用斯科勒姆函数，它们可以自然地解释。

让我们用 FPO 表示从一阶逻辑获得的有限部分有序量词的逻辑：如果 ϕ 是一个一阶公式，Q 是一个有限部分有序量词，那么 Qϕ 是 FPO 的一个公式。[9] 通过 FPO，可以表达在一阶逻辑中无法定义的属性。第一个例子由安德烈·埃伦福特提供（参见 Henkin 1961）：一个在模型中为真的句子，当且仅当其域的大小是无限的。结果发现，FPO 可以被翻译成 IF 逻辑（见第 4.1 小节）。因此，IF 逻辑比一阶逻辑更具表达能力。

独立性友好逻辑的最深层原因，正如 Hintikka 所看到的，是因为量词之间的依赖和独立关系是表达一阶层次变量之间的依赖和独立关系的唯一方式（Hintikka 1996: 34–35, 73–74; 2002a: 404–405; 2006a: 71, 515）。为了正确理解这一论述，需要回顾一下量词（不）独立关系是语义关系，但在句法上表达出来。更准确地说，在独立性友好逻辑中，（不）独立关系通过两个因素的相互作用在句法上表达出来：句法范围和独立指示符“/”。在给定的句子中，例如存在量词 ∃x，它依赖于那些 ∃x 所在范围内的全称量词，但 ∃x 不被标记为独立，即没有使用斜杠符号。当 Hintikka 谈到变量之间的（不）独立关系时，他指的是模型中数量之间的函数依赖关系。物质体的动能取决于其质量和速度，但不取决于具体的物质体。这个事实可以通过以下独立性友好逻辑的句子来表达：

(∀b)(∀m)(∀v)(∃e/∀b)(如果 b 是以速度 v 运动且具有质量 m 的物质体，则 b 的动能 e 等于 12mv2)。

这个句子陈述了动能与质量和速度之间的函数依赖关系的存在，这一点特别清楚地可以从以下事实中看出：如果这个句子是真的，那么量词 ∃e 的唯一 Skolem 函数实际上就是连接质量、速度和动能的物理定律（参见 Hintikka 1996: 34–35）。

虽然一阶逻辑只能表达变量之间的一些关系，但是具有更大表达能力的独立性友好逻辑可以表达更多。实际上，独立性友好逻辑被计算出来以捕捉所有这些关系（Hintikka 1996: 75–77; 2002a: 404–405; 2002b: 197; 2006a: 72）。这个想法必须以其完整的普遍性来看待，作为一个规划性的想法。关于更一般的框架，请参考 Hintikka（2006a: 515, 536, 752; 2008），Sandu & Sevenster（2010），Sandu（2013），Sandu（2014）。

在与独立性友好逻辑相关的哲学问题中，已经讨论了一阶逻辑水平上的数学推理重建（Hintikka 1996, 1997），自应用真值谓词的可定义性（Hintikka 1991, 1996, 2001; Sandu 1998），真理和公理集合论（Hintikka 1996, 2004a），以及对否定的本质的洞察（Hintikka 1991, 1996, 2002; Hintikka & Sandu 1989; Sandu 1994）。这些问题将在第 4 和第 5 节中讨论。

2. 独立性友好逻辑的背景：博弈论语义学

2.1. 语义游戏

受到路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）语言游戏的启发，Hintikka（1968）引入了被称为博弈论语义学（Game-Theoretical Semantics，简称 GTS）的基本框架。Hintikka 从维特根斯坦那里学到的基本教训是，词语，特别是量词，与赋予它们意义的活动相关联：词语通常只有在特定类型的行动背景下才有意义（Hintikka 1968: 55–56）。维特根斯坦说，“通过‘语言游戏’，我指的是‘整体，由语言和它编织其中的行动组成’”（Wittgenstein 1953: I, Sect. 7）。

自然而然地会问，哪些活动与量词相配套。正如 Hintikka 解释的那样（参见 Hintikka 2006a: 41, 67），维特根斯坦认为，某物作为对象的标准是它可以被寻找和找到。将这个想法应用于具有这样的对象值的量词，Hintikka 得出了量词的语义游戏的表述。关键是，这些语义游戏可以被严格意义上的博弈论游戏来表述；但同时，它们也是维特根斯坦意义上的语言游戏的确切编码，至少如果接受与量词相关联的活动是“寻找”和“找到”[10]。

一阶句子 ϕ 的语义游戏 G(ϕ,M)是完全信息的两人零和博弈，在给定模型 M 上进行。让我们简称这两个玩家为玩家 1 和玩家 2 [11]。这些游戏最容易解释的是前束范式的句子。全称量词表示玩家 1 的一步，而存在量词则提示玩家 2 的一步。在两种情况下，相关的玩家必须从 M 的域中选择一个个体 [12]。如果

ϕ=(∀x)(∃y)(∀z)(∃w)R(x,y,z,w),

游戏进行如下。首先，玩家 1 选择一个个体 a，然后玩家 2 选择一个个体 b。然后，玩家 1 继续选择另一个个体 c，玩家 2 则通过选择一个个体 d 来回应。这样一次游戏的进行就结束了。所选择的个体(a,b,c,d)决定了游戏的胜者。如果无量词公式 R(a,b,c,d)在 M 中成立，玩家 2 获胜；否则，玩家 1 获胜。

一个玩家在游戏 G(ϕ,M)的一次单局中获胜并不能告诉我们关于句子 ϕ 的真值的任何信息。真值和假值是以获胜策略的概念来描述的。如果在刚刚描述的游戏中，玩家 2 有一个获胜策略，即一个告诉玩家 2 在给定（对手先前移动的一定数量的）信息时该做什么的步骤，那么句子(∀x)(∃y)(∀z)(∃w)R(x,y,z,w)在 M 中是真的。从技术上讲，要求存在策略函数 f 和 g，使得对于玩家 1 的任意选择 a 和 c，R(a,f(a),c,g(a,c))在 M 中成立。注意，策略函数 f 是 ϕ 中量词 ∃y 的斯科勒姆函数，类似地，g 是量词 ∃w 的斯科勒姆函数。如果在相应的游戏中，玩家 1 有一个获胜策略（一组策略函数）：一个常数 c 和一个函数 h，使得对于玩家 2 的任意选择 b 和 d，R(c,b,h(b),d)在 M 中不成立，则句子 ϕ 在 M 中是假的。

量词的博弈论解释已经由亨金（1961 年）提出（参见亨蒂卡 1968 年：64）。亨金还实际上指出了斯科勒姆函数的完整集合与玩家 2 的获胜策略之间的联系。亨蒂卡（1968 年）指出，合取可以通过玩家 1 在两个合取式之间的选择来解释；类似地，析取可以通过玩家 2 在两个析取式之间的选择来解释。此外，亨蒂卡提出将否定解释为“验证者”和“伪证者”角色的转换（有关更多细节，请参见第 3.2 小节）。

语义游戏的博弈论描述并未提及搜索和发现的活动；对于这样一个抽象的描述，仅需讨论玩家的行动即可。此外，将真和假的特征描述为分别对于玩家 2 和玩家 1 存在获胜策略，并不涉及玩家的努力——比如努力建立真实性或找到证人。一个句子的真或假是一个“组合学”的问题：它是一组具有特定属性的函数的存在问题（参见 Hintikka 1968, 1996; Hodges 2013）。那么，原始的哲学概念中关于量词的含义与搜索和发现的活动有何关联？Hintikka 的观点是，断言涉及量词的句子是对某种语言游戏进行时会发生什么和不会发生什么的主张；使用涉及量词的语言需要掌握相应语义游戏的规则（Hintikka 1968: 第 8 节, 1996: 128, 2006a: 538）。在与句子 ∀x∃yR(x,y)相关的主张中，其内容是什么？无论玩家 1 从 ∀x 的域中选择哪个个体，玩家 2 都能找到一个证人个体来满足 ∃y。换句话说，给定 ∀x 的一个值（它本身可以被看作是玩家 1 搜索的结果），如果玩家 2 被允许在没有任何实际限制的情况下进行搜索，她将找到一个 ∃y 的值，使得玩家 2 赢得结果的游戏。尽管语义游戏本身可以在不涉及寻找或发现等活动的情况下进行定义，但当语言使用者对这些游戏进行推理时，这些活动在概念上起着重要的作用。

Hintikka（1973a）首次将 GTS 应用于自然语言研究。这项工作得到了 Hintikka＆Kulas（1983, 1985）的继续，其中给出了关于否定、指代代词、所有格、时态、内涵动词、某些介词结构和专有名词的博弈论规则，并区分了抽象含义和策略含义。[14]

2.2. 不完全信息

GTS 的框架使得可以对语义评估进行博弈论性质的问题。Hintikka（1973a）观察到，可以轻松设计具有不完全信息的语义博弈。他使用了逻辑示例 FPO 句子。（有关自然语言的示例，请参见第 5.4 节。）

从 GTS 的角度来看，独立性友好的一阶逻辑与一阶逻辑的不同之处在于，与前者相关的语义游戏通常是不完全信息的游戏，而与一阶公式相关的任何游戏都是完全信息的游戏。考虑在模型 M 上进行的 ∀x∃y∀z(∃w/∀x)R(x,y,z,w)的游戏。这个游戏的进行方式与对应于 ∀x∃y∀z∃wR(x,y,z,w)的游戏完全相同。首先，玩家 1 选择一个个体 a，然后玩家 2 选择一个个体 b。然后玩家 1 继续选择另一个个体 c，玩家 2 则选择一个个体 d 作为回应。这样，游戏的一次进行就结束了。如果在 M 中确实成立 R(a,b,c,d)，则玩家 2 获胜；否则玩家 1 获胜。但是，∃w 被标记为独立于 ∀x - 为什么这个事实在游戏的过程中没有以任何方式显示出来呢？

有人可能会诱惑地在对戏剧的描述中添加：“玩家 2 在不知道 ∀x 的值的情况下选择 ∃w 的值。”然而，这样的释义并不能澄清概念上的情况。在单个游戏中，谈论一步与其他给定的步骤的独立性是没有意义的；这只能在众多游戏中进行。量词独立性可以用博弈论术语来概念化，利用策略的概念。在这个例子中，玩家 2 的策略是一个由策略函数 f 和 g 组成的集合，函数 f 根据 ∀x 的值提供 ∃y 的值，函数 g 根据 ∀z 选择的值提供 ∃w 的值，但不根据 ∀x 选择的值。策略{f,g}是玩家 2 的获胜策略，当且仅当在 M 中对于所有选择的 ∀x 的值 a 和选择的 ∀z 的值 c，R(a,f(a),c,g(c))成立。实现玩家 2 对于玩家 1 为 ∀x 所做的移动“无知”的一个明确方法是说：（a）策略函数总是只接受对手的移动作为参数，（b）与 ∃w 相对应的策略函数可能不以玩家 1 为 ∀x 所做的移动作为其参数。

IF 一阶逻辑的一个句子在模型 M 中的定义上是真的，当且仅当在相关的游戏中，玩家 2 有一个获胜策略；当且仅当在相关的游戏中，玩家 1 有一个获胜策略时，它是假的。根据这些标准，有些句子既不是真的也不是假的；它们被称为非确定的（见 3.3 小节）。

在 Hintikka 的判断中，量词的博弈论语义可以被认为具有与 IF 一阶逻辑相同的基本原理，这个原理在第 1 节末尾提到过：GTS 是一种通过博弈论中信息（不）独立的方式，在一阶层面上表示变量之间的（独立）关系（Hintikka 1991: 12–13, 2006a: 535）。

3. 独立性友好的一阶逻辑的语法和语义

在文献中可以找到不同的“独立性友好的一阶逻辑”表述。这些差异不仅限于语法 - 也可以找到应用不同语义观念的例子。

正如前面已经指出的，Skolem 函数与第二个玩家的策略函数之间存在系统性的联系。在前缀形式的公式中，存在量词的 Skolem 函数是分配给前面的全称量词的值的函数，但不是分配给前面的存在量词的值的函数。[15] Skolem 函数是仅以玩家 1 的移动作为参数的策略函数。通常，两人博弈中一位玩家的策略可以很好地利用另一位玩家的先前选择。Hodges（2007）强调，不完全信息的语义基于 Skolem 函数或策略函数的概念有所不同。Hodges（1997a）采用了写作约定，例如，（∃y/x），其中 Hintikka 写作（∃y/∀x），从而标记了以任意策略函数为基础的语义博弈与以实际上是 Skolem 函数的策略函数为基础的语义博弈之间的差异；在（∃y/x）中的变量 x 可以被任何在语法上先行的量词绑定。Hodges 提议采用前一种表述，而 Hintikka（1991, 1995, 1996, 2002）和 Sandu（1993, 1994）采用后一种表述。Hodges（2007: 119）写道：

[W] e refer to the logic with my notation and the general game semantics as slash logic. During recent years many writers in this area (but never Hintikka himself) have transferred the name ‘IF logic’ to slash logic, often without realising the difference. Until the terminology settles down, we have to beware of examples and proofs that don’t make clear which semantics they intend.

The distinction that Hodges makes between slash logic and IF logic serves to bring order to the mishmash of different formulations of IF first-order logic to be found in the literature.[16]

3.1. 语法

若一阶逻辑是一阶逻辑的扩展。现在，任何一阶公式都等价于一个不含自由变量和约束变量的一阶公式，并且没有两个嵌套量词携带相同的变量。满足这两个语法条件的公式将被称为规则的。从现在开始，我们系统地将注意力限制在规则的一阶公式上。[17] 一个词汇表（签名，非逻辑术语）是任何一个可数的关系符号集 τ（每个符号都具有固定的元数）、函数符号集（同样每个符号都具有固定的元数）和常量符号集。词汇表 τ 的一阶逻辑将被称为 FO [τ]。在这里假设一阶逻辑的逻辑符号中有恒等符号（=）。恒等符号在语法上是一个二元关系符号，但其语义解释是固定的，与非逻辑术语中的项的解释不同。

若 FO [τ] 的一个公式处于否定正常形式，则所有否定符号 ∼ 的出现都紧跟在一个原子公式之前。IFL [τ] 的公式集可以定义为最小的集合，使得：

若 ϕ 是 FO [τ] 的一个处于否定正常形式的公式，则 ϕ 是一个公式。
如果 ϕ 是一个公式，并且在 ϕ 中存在一个(∃x)的标记，该标记出现在包括(∀y1),…,(∀yn)的一些全称量词的句法范围内，那么将 ϕ 中的该(∃x)的标记替换为(∃x/∀y1,…,∀yn)将得到一个公式。
如果 ϕ 是一个公式，并且在 ϕ 中存在一个 ∨ 的标记，该标记出现在包括(∀y1),…,(∀yn)的一些全称量词的句法范围内，那么将 ϕ 中的该 ∨ 的标记替换为(∨/∀y1,…,∀yn)将得到一个公式。
如果 ϕ 是一个公式，并且在 ϕ 中存在一个(∀x)的标记，该标记出现在包括(∃y1),…,(∃yn)的一些存在量词的句法范围内，那么将 ϕ 中的该(∀x)的标记替换为(∀x/∃y1,…,∃yn)将得到一个公式。
如果 ϕ 是一个公式，并且在 ϕ 中存在一个 ∧ 的标记，该标记出现在包括(∃y1),…,(∃yn)的存在量词的句法范围内，通过用(∧/∃y1,…,∃yn)替换 ϕ 中的该 ∧ 标记的结果是一个公式。

条款(2)和(3)允许存在量词列表为空的退化情况(n=0)。生成的表达式(∃x/)和(∨/)分别与通常的存在量词(∃x)和通常的析取 ∨ 等同。关于条款(4)和(5)也作出类似规定。

在适当的词汇中，以下每个都是一个公式：

(∀x)(∀y)(∃z/∀x)R(x,y,z,v),
(∀x)(∀y)(x=y(∨/∀x)Q(x,y)),
(∃x)(S(x)(∧/∃x)T(x)),
(∀x)(∃y)(∀z/∃y)(∃v/∀x)R(x,y,z,v).

相比之下，以下符号序列都不是公式：

(∃y/∀x)P(x,y),
(∃x)(∃y/∃x)P(x,y),
(∀x)(∀y/∀x)P(x,y),
(∀x)(S(x)(∨/∃y)T(x)).

如果 ϕ 是由上述子句从某个 FO 公式 ϕ∗ 生成的 IFL 公式，则 ϕ 的自由变量就是 ϕ∗ 的自由变量。没有自由变量的 IFL 公式是 IFL 句子。[18]

3.2. 语义学

使用 GTS 定义逻辑的语义学是一个两步过程。第一步是定义相关的语义游戏。第二步是通过参考获胜策略的概念，以语义游戏的方式定义“真”和“假”的概念；可以通过递归地指定与给定公式 ϕ 相关的游戏的替代方式来定义语义游戏。[19]

对于每个词汇 τ，IFL [τ] 公式 ϕ，模型(τ 结构)M 和变量赋值 g，与玩家 1 和玩家 2 相关联的两人零和博弈 G(ϕ,M,g)被关联起来。[20] 如果 g 是一个变量赋值，g [x/a] 是一个变量赋值，它与 g 类似，但将变量 x 映射到对象 a。

如果 ϕ=R(t1,…,tn)且 M,g⊨R(t1,…,tn)，则玩家 2 获胜(玩家 1 失败)；否则玩家 1 获胜(玩家 2 失败)。
如果 ϕ=t1=t2 且 M,g⊨t1=t2，则玩家 2 获胜(玩家 1 失败)；否则玩家 1 获胜(玩家 2 失败)。
如果 ϕ=∼R(t1,…,tn) 并且 M,g⊭R(t1,…,tn)，则玩家 2 获胜（玩家 1 失败）；否则玩家 1 获胜（玩家 2 失败）。
如果 ϕ=∼t1=t2 并且 M,g⊭t1=t2，则玩家 2 获胜（玩家 1 失败）；否则玩家 1 获胜（玩家 2 失败）。
如果 ϕ=(ψ(∧/∃y1,…,∃yn)χ)，玩家 1 选择 θ∈{ψ,χ}，游戏的其余部分与 G(θ,M,g) 相同。
如果 ϕ=(ψ(∨/∀y1,…,∀yn)χ)，玩家 2 选择 θ∈{ψ,χ}，游戏的其余部分与 G(θ,M,g)相同。
如果 ϕ=(∀x/∃y1,…,∃yn)ψ，玩家 1 从 M 中选择一个元素 a，游戏的其余部分与 G(ψ,M,g [x/a])相同。
如果 ϕ=(∃x/∀y1,…,∀yn)ψ，玩家 2 从 M 中选择一个元素 a，游戏的其余部分与 G(ψ,M,g [x/a])相同。

观察到独立性指示在游戏规则中不起作用。实际上，量词独立性将在策略层面上实施。

如果在公式 ϕ 的普遍量词 ∀y1,…,∀yn,∀z1,…,∀zm 的范围内出现(∨/∀y1,…,∀yn)或(∃x/∀y1,…,∀yn)的记号，在游戏 G(ϕ,M,g)中，对于这个记号，玩家 2 的策略函数可以是满足以下条件的任何函数 f：

f 的参数是玩家 1 选择的用于解释量词 ∀z1,…,∀zm 的元素 a1,…,am。当记号是一个析取时，f(a1,…,am)的值是左边或右边的析取项；当记号是一个存在量词时，f(a1,…,am)的值是域中的一个元素。

对于 (∧/∃y1,…,∃yn) 和 (∀x/∃y1,…,∃yn) 的玩家 1 的策略函数的概念可以被对偶地定义。策略函数被解释为斯科勒姆函数 - 在斜线逻辑中操作的更一般的策略函数的概念在这里不被考虑（参见第 3 节和第 6.1 小节的开头）。量词独立性将直接通过策略函数的参数来实现。

在游戏 G(ϕ,M,g) 中，玩家 2 的策略是她的策略函数的集合 F，其中每个函数对应于在 ϕ 中出现的 (∨/∀y1,…,∀yn) 和 (∃x/∀y1,…,∀yn) 的每个令牌。如果玩家 2 遵循策略 F，那么在玩游戏 G(ϕ,M,g) 时，对于她必须进行移动的每个 (∨/∀y1,…,∀yn) 和 (∃x/∀y1,…,∀yn) 的令牌，她将根据相应的策略函数进行移动。在 G(ϕ,M,g) 中，对于玩家 1 的任何移动序列，如果遵循策略 F，则玩家 2 将获胜。策略和获胜策略的概念可以类似地定义给玩家 1。[21]

在模型 M 下，对于分配 g，IFL 公式 ϕ 的满足和不满足定义如下：[22]

(满足) 在 g 下，ϕ 在 M 中满足当且仅当在游戏 G(ϕ,M,g)中，玩家 2 有一种获胜策略。
(不满足) 在 g 下，ϕ 在 M 中不满足当且仅当在游戏 G(ϕ,M,g)中，玩家 1 有一种获胜策略。

与 FO 类似，变量赋值不会影响句子的(不)满足性，即不包含自由变量的公式。实际上，我们可以定义：[23]

(真实性) ϕ 在 M 中为真当且仅当玩家 2 在游戏 G(ϕ,M)中有一种获胜策略。
(虚假性) ϕ 在 M 中为假当且仅当玩家 1 在游戏 G(ϕ,M)中有一种获胜策略。

ϕ 在 M 中为真的事实将被表示为‘M⊨ϕ’。写作 M⊭ϕ 表示 ϕ 在 M 中不为真。这并不意味着 ϕ 在上述定义的意义上在 M 中为假。正如在第 2 节末尾提到的，有些语义游戏中，两个玩家都没有获胜策略。

IFL 的语法可以通过去除限制来进行概括，该限制规定否定符号只能作为前缀出现在一个原子公式之前 [24]。为了在 GTS 中解释否定，需要在游戏规范中添加两个角色作为新的成分：‘验证者’和‘伪造者’。最初，玩家 1 扮演‘伪造者’的角色，玩家 2 扮演‘验证者’的角色。角色可以互换，但只有一个原因：遇到否定符号的出现。定义语义游戏的所有子句必须重新表述为角色而不是玩家。扮演‘验证者’角色的玩家为析取和存在量词进行移动，而扮演‘伪造者’角色的玩家为合取和全称量词进行移动。当遇到公式 ∼ψ 时，玩家角色发生变化，游戏继续进行，使用 ψ。最后，如果遇到的原子公式为真，则‘验证者’获胜，‘伪造者’失败，否则支付将被颠倒。否定 ∼ 有时被称为强否定、对偶否定或博弈论否定 [25]。它的工作方式符合预期：在模型 M 中，当且仅当其否定 ∼ϕ 在其中为真时，ϕ 在 M 中为假（参见 Sandu 1993）。

3.3. 基本属性和概念

二值性的失败。存在 IFL 的句子 ϕ 和模型 M，使得 ϕ 在 M 中既不为真也不为假。考虑在一个域只有两个元素 a 和 b 的模型上评估句子(∀x)(∃y/∀x)x=y。玩家 1 没有获胜策略。如果他选择 a 来解释 ∀x，他将输掉玩家 2 选择 a 来解释(∃y/∀x)的游戏。同样地，如果玩家 1 选择 b，他将输掉玩家 2 同样选择 b 的游戏。玩家 2 也没有获胜策略。她对于(∃y/∀x)的策略函数是常量（零元函数）。有两个这样的常量可用：a 和 b。无论玩家 2 选择哪个策略函数，玩家 1 都有一步可以击败它。如果玩家 2 选择 a，玩家 1 将赢得他选择 b 的游戏；如果玩家 2 选择 b，玩家 1 将赢得他选择 a 的游戏。游戏 G(ϕ,M)是不确定的：没有玩家有获胜策略。[26] 不确定性的概念也可以扩展到公式：

（不确定性）在 g 下，如果在游戏 G(ϕ,M,g)中，玩家 1 和玩家 2 都没有获胜策略，则 ϕ 在 M 中是不确定的。

在 IFL 中，非真并不导致虚假。也就是说，二值性在 IFL 中失败了。然而，应该注意的是，它的失败并不是由于假设了第三个真值或真值间隙（参见 Hintikka 1991: 20, 55）。相反，这种失败是整个语义理论（GTS）的基本假设的结果。不确定性对应于一种结构性质：在考虑的模型上不存在某些类型的函数。

由于双重否定 ∼ 的存在，排中律在二值性失败的情况下也失败了。实际上，在模型 M 中，ϕ 是不确定的当且仅当 M⊭(ϕ∨∼ϕ)。

逻辑等价。在独立性友好的语言中，如果句子 ψ 和 χ 在完全相同的模型中都为真，则它们是真值等价的；如果它们在完全相同的模型中都为假，则它们是假值等价的。如果句子 ψ 和 χ 既是真值等价的又是假值等价的，则它们是逻辑等价的。由于二值性的失败，在独立性友好的语言中，真值等价并不能保证逻辑等价。

真值、假值和独立性指示。独立性友好的语言的语法允许存在既有全称量词又有存在量词的公式，例如，

ϕ:(∀x)(∃y/∀x)(∀z/∃y)R(x,y,z).

另一方面，量词独立性在策略层面上实现。因此，当考虑公式的满足（句子的真实性）时，跟随全称量词的独立性指示是无意义的。同样地，当涉及到公式的不满（句子的虚假性）时，跟随存在量词的独立性指示也是无意义的。句子 ϕ 在模型 M 中为真当且仅当玩家 2 在游戏 G(ϕ,M)中有一个获胜策略 F={c}。这再次意味着无论玩家 1 选择哪些元素 a 和 b 来解释(∀x)和(∀z/∃y)，分别，由零元策略函数 c 给出的(∃y/∀x)的常量解释 c 在 M 中满足 R(a,c,b)。但这等同于要求无论玩家 1 选择哪些元素 a 和 b 来解释(∀x)和(∀z)，分别，由(∃y/∀x)的常量解释 c 满足 R(a,c,b)在 M 中。实际上，ϕ 与不包含斜杠全称量词的句子在真值上等价：

ϕ 在模型 M 中为真当且仅当句子(∀x)(∃y/∀x)(∀z)R(x,y,z)在 M 中为真。

同样地，ϕ 是与不包含斜杠存在量词的句子等价的虚假性：在模型 M 中，ϕ 是虚假的当且仅当句子(∀x)(∃y)(∀z/∃y)R(x,y,z)在其中是虚假的。

3.4. 扩展的独立性友好一阶逻辑

如果 ϕ 是 FO 的一个句子，那么在模型 M 中，ϕ 是虚假的当且仅当 ∼ϕ 在 M 中是真的，当且仅当 ϕ 在 M 中不是真的。相比之下，在独立性友好一阶逻辑中，虚假性和非真实性并不相等。可以引入独立性友好一阶逻辑的扩展，其中可以谈论句子的非真实性。为此，让我们引入一个新的否定符号 ¬，称为弱否定、矛盾否定或经典否定。扩展的独立性友好一阶逻辑的公式集（记为 EIFL）是通过在独立性友好一阶逻辑的公式集上进行 ¬、∧ 和 ∨ 运算的闭包得到的。

所有独立性友好的公式都是独立性友好扩展的公式。
如果 ϕ 和 ψ 是独立性友好扩展的公式，那么 ¬ϕ，(ϕ∧ψ)和(ϕ∨ψ)也是独立性友好扩展的公式。

因此，如果 ϕ 和 ψ 是独立性友好的公式，例如 ¬ϕ 和(¬ϕ∨ψ)是独立性友好扩展的公式；相比之下，(∀x)¬ϕ 不是。关于 ¬ 不能出现在量词的作用域内的重要限制，请参见 Hintikka（1991: 49; 1996: 148）。然而，关于这一限制的反例，请参见 Hintikka（1996: 148; 2002c）和尤其是 Hintikka（2006b），其中考虑了所谓的完全扩展的独立性友好的一阶逻辑（FEIFL）。在 FEIFL 中，允许出现任何 ¬ 的情况，但需要满足以下语法条件：如果(Qx/W)是一个量词，出现在 ¬ 的语法作用域内，则 W 中列出的所有量词也同样在该 ¬ 的语法作用域内。

由矛盾否定形成的 EIFL 公式的语义只是这样的：

M,g⊨¬ϕ 当且仅当 M,g⊭ϕ。

从 GTS 的观点来看，否定连接词 ¬ 的行为是不寻常的。对于 IFL 的所有连接词，都有一个游戏规则（可以看作是连接词的含义规定）。对于矛盾否定，没有游戏规则，并且其语义不能通过语义游戏的进行来解释。公式 ¬ϕ 用于在全局上关于整个游戏 G(ϕ,M,g)中表达某种意思。如果 ϕ 是一个句子，那么说在 M 中 ¬ϕ 为真就是说玩家 2 在游戏 G(ϕ,M)中没有获胜策略。如果再次在 G(ϕ,M)中确实存在玩家 2 的获胜策略，根据规定 ¬ϕ 在 M 中为假。[31]

¬ϕ 不仅不是 IFL 的公式，而且通常无法在 IFL 中表达（见第 4.2 小节）。排中律适用于矛盾否定：对于所有的句子 ϕ 和所有的模型 M，确实有 M⊨(ϕ∨¬ϕ)。在第 5 节中，将看到 Hintikka 在讨论数学哲学问题时提出了如何利用 EIFL。

4.IF 一阶逻辑的元逻辑性质

IFL 的元逻辑性质已经在多篇出版物中讨论过，包括 Hintikka 和 Sandu [32]。在介绍它们时，将引用存在性二阶逻辑（ESO）[33]；进一步的重要概念是 IFL 公式的斯科莱姆化和斯科莱姆标准形式。关于这些概念的精确定义，可以参考附加文档。简而言之，ESO 是通过允许在一阶公式中存在量化关系和函数符号来从 FO 中获得的。IFL 公式 ϕ 的斯科莱姆化 sk [ϕ] 是一个更大词汇量的一阶公式。它通过函数符号来解释 ϕ 中的存在量词和析取符号如何依赖于前面的全称量词。例如，词汇表{R}的 IFL 句子 ϕ=(∀x)(∃y)(∀z)(∃v/∀x)R(x,y,z,v)的斯科莱姆化是一阶句子 sk [ϕ]=(∀x)(∀z)R(x,f(x),z,h(z))，词汇表为{R,f,h}。它的斯科莱姆标准形式仍然是 ESO 句子 SK [ϕ]=(∃f)(∃h)(∀x)(∀z)R(x,f(x),z,h(z))。一阶句子 sk [ϕ] 不能与二阶句子 SK [ϕ] 混淆。

4.1. 一阶逻辑和存在性二阶逻辑

博弈论语义与塔斯基语义的一阶逻辑比较。一阶逻辑（FO）的公式集是独立性友好（IFL）公式集的真子集。一阶逻辑的标准语义不是由 GTS 提供的，而是由塔斯基语义递归地指定满足关系 M,g⊨ϕ。如果假设选择公理（AC），则一阶逻辑的这两种语义是一致的：

定理（假设 AC）。（Hodges 1983: 94，Hintikka＆Kulas 1985: 6–7）设 τ 是任意词汇，M 是任意 τ 结构，g 是任意变量赋值，ϕ 是任意 FO [τ] 公式。那么在标准意义下，M,g⊨ϕ 成立当且仅当在游戏 G(ϕ,M,g)中，玩家 2 有一种获胜策略。[ 35]

与 ESO 的关系。IFL 和 ESO 是可以互相转换的：[36]

定理（假设 AC）：IFL 和 ESO 具有相同的表达能力。

也就是说，（1）对于每个 IFL [τ] 公式 ϕ，存在一个 ESO [τ] 公式 ϕ′，对于所有的 τ 结构 M 和变量赋值 g，我们有：M,g⊨ϕ 当且仅当 M,g⊨ϕ′。实际上，SK [ϕ] 是一个合适的 ESO 公式。而（2）对于每个 ESO [τ] 公式 ψ，存在一个 IFL [τ] 公式 ψ′，对于所有的 τ 结构 M 和变量赋值 g，我们有：M,g⊨ψ 当且仅当 M,g⊨ψ′。这是因为 ESO 可以被翻译成 FPO（Enderton 1970，Walkoe 1970），而 FPO 又可以被翻译成 IFL。

Hintikka 建议 IFL 在实质上是一阶逻辑：其量化变量的范围是个体，而语义游戏的参与者操作的所有实体也都是个体。（关于这个观点的讨论，请参见第 5.1 小节。）互译定理的一部分趣味在于，如果接受了 Hintikka 的有争议的主张，这将意味着 ESO 的表达能力实际上可以在一阶层次上实现。

IFL 比 FO 更具表达能力。以下是 ESO（因此也是 IFL）可以表达但 FO 无法表达的属性的示例：域的戴德金无穷性，线性序的不完备性，二元关系的非良基性，图的不连通性，两个一阶公式 ϕ(x)和 ψ(x)的扩展的等基数性，一阶公式 ϕ(x)的扩展的无穷性，以及拓扑学中的开集概念（参见，例如，Hintikka 1996 年，Väänänen 2007 年）。

以域的戴德金无穷性为例。当且仅当存在从 S 到其真子集的单射函数时，集合 S 被称为戴德金无穷。让 ϕinf 是 IFL 的以下句子：[37]

(∃t)(∀x)(∃z)(∀y)(∃v/∀x)((x=y↔z=v)∧z≠t).

ϕinf 的 Skolem 标准形式是

(∃f)(∃g)(∃t)(∀x)(∀y)((x=y↔f(x)=g(y))∧f(x)≠t).

相对于模型 M，这个 ESO 句子断言存在函数 f 和 g 以及元素 t，使得 f=g（从左到右的蕴涵），这个函数是单射（从右到左的蕴涵），它的定义域是 M 的整个定义域，但元素 t 不出现在它的值域中。因此，值域是 M 的定义域的真子集。换句话说，句子 ϕinf 在模型 M 中为真当且仅当 M 的定义域是无穷的。

还要注意的是，当注意力限制在有限模型上时，Ronald Fagin 的著名定理（1974 年）将 ESO 与复杂性类 NP 联系起来：一个计算问题可以通过在非确定性多项式时间内运行的算法来解决，当且仅当它在相对于所有有限结构的类中可定义为 ESO。以下是 NP 完全的属性，因此可以在 IFL 中表达，对于所有有限模型：定义域的偶数性，定义域的奇数性，图的 3-可着色性，以及图上存在哈密顿路径。[38]

与 FO 共同的属性。IF 一阶逻辑与一阶逻辑共享许多元逻辑属性。[39]

紧致性。一组独立性友好的句子具有模型，当且仅当它的所有有限子集都有模型。

Löwenheim-Skolem 性质。假设 ϕ 是一个具有无限模型或任意大的有限模型的独立性友好的句子。那么 ϕ 具有所有无限基数的模型。

在独立性友好的逻辑学中，分离定理以加强的形式成立；“分离句子”θ 特别是一个一阶逻辑的句子。

分离定理。假设 ϕ 是词汇 τ 的 IFL 句子，ψ 是词汇 τ'的 IFL 句子。进一步假设 ϕ 和 ψ 没有共同的模型。那么存在一个词汇 τ∩τ'的一阶句子 θ，使得 ϕ 的每个模型都是 θ 的模型，但 θ 和 ψ 没有共同的模型。

众所周知，对于 FO 来说，存在一个完备的证明过程。因为一个一阶句子 ϕ 是不一致的（不可满足）当且仅当它的否定 ∼ϕ 是有效的（在所有模型中都为真），显然 FO 也有一个完备的证伪过程。[40] 后者的性质扩展到 IFL（而前者不行，请参见第 4.3 小节）：

完备的证伪过程的存在。（Hintikka 1996: 68–70, 82）不一致的 IFL 句子集是递归可枚举的。

4.2. 否定的复杂性

在第 3.4 小节中，将矛盾否定 ¬ 与强否定 ∼ 区分开来。在 FO 中，这两者是一致的：对于任何一阶句子 ϕ，我们有 M⊨∼ϕ 当且仅当 M⊨¬ϕ。

强否定不是一个语义操作。让我们用 [ϕ] 表示句子 ϕ 的模型集合。在 FO 的特殊情况下，强否定 ∼ 明显地定义了一个语义操作：每当 χ 和 θ 是满足 [χ]=[θ] 的句子时，我们有 [∼χ]=[∼θ]。Burgess（2003）观察到，在 IF 逻辑的背景下，这个性质在非常强的意义上丧失了。实际上，存在 IF 句子 χ 和 θ，使得 [χ]=[θ]，但集合 [∼χ] 和 [∼θ] 不仅是不同的，甚至是不相交的。

矛盾否定的无法表达。在独立性友好中，强否定 ∼ 和矛盾否定 ¬ 不重合：我们可能有 M⊨¬ϕ 而没有 M⊨∼ϕ。这个事实本身仍然保留了这样一种可能性，即在独立性友好中可以定义每个句子 ϕ 的矛盾否定，即存在一个独立性友好的句子 neg(ϕ)，使得对于所有模型 M，M⊨neg(ϕ)当且仅当 M⊭ϕ。我们只知道由于排中律的失败，不能在所有情况下选择 neg(ϕ)为 ∼ϕ。然而，事实上，矛盾否定在独立性友好中是无法表达的。存在独立性友好的句子 ϕ，使得 ¬ϕ（这是一个独立性友好的句子）与独立性友好的任何句子都不等价。这是因为众所周知的 ESO 在否定下不封闭，而独立性友好具有与 ESO 相同的表达能力。[ 41]

矛盾否定的强无法表达。作为分离定理的推论，结果以更强的形式成立。如果 ϕ 和 ψ 是独立性友好的句子，使得 M⊨ϕ 当且仅当 M⊭ψ，则 ϕ 和 ψ 中的每一个都与 FO 的一个句子等价。因此，矛盾否定 ¬ϕ 只能在独立性友好中表达那些与 FO 句子等价的独立性友好句子 ϕ。[ 42]

确定片段。我们说一个独立性友好的句子 ϕ 是确定的，如果它满足：对于所有模型 M，M⊨(ϕ∨∼ϕ)。独立性友好的确定片段是确定的独立性友好句子的集合。在确定片段中，矛盾否定可以通过强否定在语法上表达。由于矛盾否定的强无法表达，独立性友好的确定片段具有与 FO 相同的表达能力。成为确定片段的条件是一个独立性友好句子的矛盾否定在独立性友好中可以表达，这是一个充分但不必要的条件。句子(∀y)(∃x/∀y)x=y 不是确定的；[ 43] 然而，它的矛盾否定(∀x)(∃y)x≠y 在独立性友好中是可以表达的。

矛盾否定和 GTS。GTS 产生的真值条件的形式为“存在策略函数 f1，...，fn 使得—”，即它产生了可以用 ESO 表达的真值条件。由于矛盾否定的无法表达性强，没有一个单独的 IFL 句子，不能被翻译成 FO，其矛盾否定的真值条件具有那种形式。这个事实使得我们可以理解为什么不应该期望矛盾否定能够像其他逻辑运算符一样具有游戏理论解释。然而，可以开发出不同的方法来为矛盾否定赋予游戏理论解释。为此，在完全扩展的 IF 一阶逻辑（FEIFL）的背景下（参见第 3.4 小节），Hintikka 提出使用具有子游戏的语义游戏（参见 Hintikka 2002c，2006b；关于子游戏，参见 Carlson＆Hintikka 1979，Hintikka＆Kulas 1983）。这种方法导致将游戏水平与策略水平混合在一起：在子游戏中做出的个体选择可能取决于在早期子游戏中选择的策略函数。在 Tulenheimo（2014）中，为前束范式中的 FEIFL 片段制定了一个游戏理论语义。相关游戏的进行不涉及选择任何二阶对象，如策略函数。矛盾否定（¬）通过在游戏位置中引入一个额外的组成部分来进行解释：模式。在游戏水平上，否定 ¬ 不仅触发角色切换（类似于对偶否定 ∼），而且还涉及将模式从正向切换到负向或反之。模式的语义效果在策略水平上变得可见：模式调节了一个句子的真值条件涉及存在量化或全称量化策略函数的方式。与独立性指示一样，¬ 的出现也是根据在策略水平上起作用的条件进行解释的。关于相关研究，请参见 Figueira 等人（2011 年，2014 年）。

矛盾否定和有限模型。逻辑学和理论计算机科学中的某些重要开放问题可以用 IFL 来表述。复杂性理论中存在一个开放问题，即 NP=coNP，即 NP 可解问题的类是否与其补集在 NP 中可解问题的类相同。根据 Fagin 的定理（1974 年），这个开放问题可以等价地表述为：IFL 是否在有限模型上对否定封闭？也就是说，对于每个 IF 句子 ϕ，是否存在另一个 IF 句子 neg(ϕ)，使得对于任何有限模型 M，neg(ϕ)在 M 中为真当且仅当 ϕ 在 M 中不为真？证明答案是否定的将解决臭名昭著的 P=NP 问题，即确定存在一些计算问题，可以高效地验证提议的解是否正确，尽管无法高效地找到解答。[44]

4.3 公理化失败

众所周知，FO 允许一个完备且有效的证明过程：有一种机械的方式可以准确生成那些一阶句子，这些句子在所有模型中都是有效的（真实的）。这个事实也可以表达为 FO 是可公理化的，或者说 FO 的有效句子集是可递归枚举的。由于其更强的表达能力，IFL 的可公理化失败。换句话说，IFL 在语义上是不完备的。

证明这一点的一种方法如下。假设为了矛盾，IFL 句子的有效集是可递归枚举的。回想一下，在 4.1 小节中讨论的句子 ϕinf 在所有无穷模型中都是真实的。注意，一个 FO 句子 χ 在所有有限模型中都是真实的，当且仅当 IFL 句子（ϕinf∨χ）是有效的。给定一个有效的 IFL 句子，可以有效地检查该句子是否在语法上具有形式（ϕinf∨χ），其中 χ 是一个一阶句子。因此，所有有效 IFL 句子的递归枚举会产生一个在所有有限模型中都为真的一阶句子 χ 的递归枚举。但这与特拉赫腾布罗特的定理相矛盾，根据该定理，所有在所有有限模型中为真的 FO 句子是不可递归枚举的。

IFL 的可公理化失败的相关性是什么？讨论有限偏序量词时，奎因（1970: 89–91）建议我们拒绝将 FO 的任何推广赋予逻辑的地位，除非它对于有效性和不一致性都有一个完备且有效的证明过程。对于奎因来说，任何这样的推广都属于数学而不是逻辑。由于 FPO 不可公理化，它超出了逻辑的范畴，从而被界定出来。

Hintikka 发现这种指责是毫无根据的。首先，独立性友好（IFL）与一阶逻辑（FO）共享许多重要的元逻辑结果（参见 4.1 小节）。其次，就像 IFL 一样，FO 也可以被翻译成二阶逻辑。唯一的区别在于，在前一种情况下，比后者更多种类的量词（不）依赖必须由 Skolem 函数编码。为什么前一种翻译会使 IFL 成为数学的一部分，而后一种翻译则允许 FO 保持为逻辑（Hintikka 1991: 26–27）？第三，必须区分理解 IFL 句子所需的内容和机械处理 IFL 有效性（逻辑真理）所需的内容。由于其无法公理化，没有机械规则可以生成 IFL 的所有有效性集合。然而，理解一个句子意味着知道它为真时的情况，而不是知道它在逻辑上为真时的情况（Hintikka 1995: 13–14）。第四，由于无法公理化，IFL 中的有效推理模式无法通过任何递归枚举来穷尽。只要重要的数学问题可以归约为关于 IFL 公式有效性的问题（参见 5.3 小节），数学的进展就可以被看作是在 IFL 中建立有效性的越来越强大的规则（而不是发现更强大的集合论公理）（Hintikka 1996: 100; 2000: 135–136）。

4.4 组合性与塔斯基类型语义的失败

组合性原则（又称弗雷格原则）指出，复杂表达式 E 的语义属性由其组成表达式的语义属性和 E 的结构决定。特别地，感兴趣的语义属性（例如真实性）可以根据一个或多个辅助语义属性（例如满足性）来确定。[49] Hintikka 认为，组合性等同于语义上下文独立性：复杂表达式的语义属性仅取决于其组成表达式的语义属性以及其结构 - 它们不依赖于表达式嵌入的句子上下文。语义上下文独立性使得可以从内部向外部进行语义分析 - 从简单表达式到复杂表达式。[50] 这是递归定义语义属性所需的 - 例如 Tarski 类型的真实性和可满足性的定义。[51] 相比之下，句子的 GTS 分析是一个从外部到内部的过程：语义游戏从整个句子开始，逐步将句子分析为越来越简单的组成部分，最终达到一个原子公式（连同适当的变量赋值）。因此，GTS 允许解释违反组合性原则的语义上下文依赖性。[52]

在独立性友好（IFL）中，存在量词只能依赖于其范围内的某些全称量词。因此，它的解释取决于它与其自身范围外的量词的关系。这样的存在量词是上下文相关的。[53] 从表面上看，因此，IFL 不可避免地违反了组合性原则，并且不支持 Tarski 类型的真实性定义。

Hodges（1997a,b）然而表明，独立性友好（IFL）可以给予组合语义。[54] 语义通过递归地定义满足关系‘M⊨Xϕ’（读作：ϕ 在 M 中由 X 满足）来给出，其中 X 是一组变量赋值。虽然 FO 的 Tarskian 语义是基于单个变量赋值的，但 Hodges 的语义使用了一组变量赋值。IFL 的博弈论语义由这种组合语义捕捉：对于 IFL 的每个公式 ϕ，玩家 2 在 G（ϕ，M，g）中有一个获胜策略，当且仅当条件 M⊨{g}ϕ 成立。由于 Hodges 的存在量词和涉及独立性指示的析取的语义子句，相对于单例集合{g}评估 ϕ 通常会导致相对于（可能是无限多个）变量赋值集合评估 ϕ 的语法组成部分。Hintikka 指出（2006a：65），如果一个人足够无情，总是可以通过将不同表达式的语义相互作用的规律构建到这些表达式的相应含义中来保持组合性。[55]

从方法论的角度来看，值得指出，定义 IFL 并不需要组合性。IFL 的存在本身证明了拒绝组合性对于构建一个强大的逻辑来说并不是障碍（Hintikka 1995）。值得注意的是，Hodges 的结果之所以有效，是因为它的类型论上升。我们可以说，Tarski 类型的组合语义是一种将每个具有 n 个自由变量的公式 ϕ（x1，…，xn）解释为域中 n 元组的组合语义。因此，FO 的标准语义是 Tarski 类型的，但 Hodges 的语义使用满足关系‘M⊨Xϕ’来评估具有 n 个自由变量的公式 ϕ（x1，…，xn）相对于整个 n 元组集合。Cameron＆Hodges（2001）证明了实际上没有 IFL 的 Tarski 类型的组合语义。

通过对辅助语义属性施加约束，可以对组合性的概念进行细化。Sandu 和 Hintikka（2001: 60）建议，类似于 FO，与 IFL 相关的“单变量赋值的满足”将是一种自然的辅助属性。根据 Cameron 和 Hodges 的结果，不存在以这种受限意义上的组合性为特征的 IFL 的语义。

4.5 真理的定义

只有在能够自指的语言中才能讨论真理的可定义性。让我们考虑一个算术词汇 τ，并将注意力限制在 Peano 公理的标准模型 N 上。然后，词汇 τ 的每个句子 ϕ 都可以由自然数 ┌ϕ┐（其哥德尔数）表示。假设 τ 包含了每个数 ┌ϕ┐ 的数字 ┌ϕ┐。如果 L 和 L'是 τ 的抽象逻辑，如 FO 或 IFL，并且 TRUE(x)是 L'的一个公式，使得 L 的每个句子 ϕ 都满足：

N⊨ϕ 当且仅当 N⊨TRUE(┌ϕ┐),

则称 TRUE(x)是逻辑 L 在逻辑 L′中的一个真理谓词（显式真理定义）对于模型 N。根据阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）关于真理不可定义性的著名定理（Tarski 1933），对于模型 N，FO 在 FO 本身中没有真理谓词。更一般地说，塔斯基证明了在某些假设下，逻辑 L 的真理定义只能在一个本质上比 L 更强的元语言中给出。其中一个假设是所使用的否定行为类似于矛盾否定。另一方面，塔斯基还指出，在 FO 本身中可以有一个隐式的 FO 真理定义。让 τ 是一个算术词汇，并且让我们使用 Peano 公理的标准模型 N。让'TRUE'是一个在 τ 中不出现的一元谓词。如果对于每个 FO [τ] 句子 ϕ，以下条件成立，则 FO [τ∪{TRUE}] 的词汇 τ 的 FO 公式 ψ(x)是 FO [τ] 在 FO [τ∪{TRUE}] 中的一个隐式真理定义对于 N：

N⊨ϕ 当且仅当存在一个一元谓词 TRUE 的解释 TRUEN 使得（N，TRUEN）⊨ψ(┌ϕ┐)。[56]

直观地说，TRUEN 是那些 τ 词汇真实算术句子的哥德尔数的集合；而 ψ(x)表示 x 是谓词 TRUE 的扩展中的一个哥德尔数。公式 ψ(x)是一个包含子句的合取式，这些子句在对象语言层面上模拟了 FO 的塔斯基类型真实定义的元逻辑递归子句。例如，其中一个合取式是

(∀y)(∀z)(y=┌χ┐∧z=┌θ┐∧x=┌(χ∧θ)┐→[TRUE(x)↔(TRUE(y)∧TRUE(z))]).

从这些子句中可以看出真实定义的隐含性质，即在这些子句中，谓词 TRUE 出现在等价符号的两侧。[57] FO 对 N 的上述隐含真实定义的形式是“存在一个解释谓词 TRUE 的集合 S，使得 ψ(x)成立”。因此，FO [τ] 在 ESO [τ] 中的隐含真实定义导致了 FO [τ] 在 ESO [τ] 中的显式真实定义 ∃TRUEψ(x)。由于 ESO 和 IFL 具有相同的表达能力，因此可以在 IFL 中制定 FO 对 N 的真实谓词。

同样的推理可以应用于 ESO 本身，从而应用于 IFL（Hintikka 1991, 1996; Hyttinen & Sandu 2000; Sandu 1996, 1998）。即，可以构造一个 ESO 公式 χ(x)，其词汇为 τ∪{TRUE}，它是 ESO [τ] 对于 N 的隐含真定义。因此，ESO [τ] 公式 ∃TRUEχ(x)是 ESO [τ] 对于 N 的显式真定义。在这里，真谓词是用正在被定义的真的概念的相同语言来表述的：ESO。因此，ESO，从而 IFL，能够相对于 N 显式地定义自己的真谓词。[58] 这个结果并不违背塔斯基的不可定义性结果，因为这里可能存在非确定的句子；所使用的否定不是矛盾的否定。[59]

塔斯基（1983）采取了一种观点，即真不能为自然语言定义。在 Hintikka & Sandu（1999）中已经有人认为，这是因为塔斯基认为自然语言中的组合性失败了。[60] IFL 没有塔斯基类型的组合语义，但它可以构造一个自我应用的真谓词。因此，塔斯基认为不可能在自然语言中讨论真的概念的提议原因，从 IFL 的观点来看是不能接受的。因为，IFL 的情况表明，对于一种语言来说，塔斯基类型的组合性失败并不意味着这种语言不能定义自己的真谓词。[61]

4.6 扩展 IF 一阶逻辑的属性

表达能力。由于独立性友好不闭合于矛盾否定，独立性友好逻辑学（EIFL）比独立性友好逻辑学（IFL）更具表达能力（参见 4.2 小节）[62]。以下属性可以在 EIFL 中表达，但在 IFL 中无法表达（Hintikka 1996: 188–190）：域的有限性，二元关系的良好基础性，图的连通性，数学归纳原理，Bolzano-Weierstrass 定理以及拓扑学中的连续性概念。

元逻辑性质。独立性友好逻辑学（IFL）与一阶逻辑（FO）共享的良好元定理丧失了：紧致性，Löwenheim-Skolem 性质，分离定理以及完全反证过程的存在，这些在独立性友好逻辑学（EIFL）中都不成立（Hintikka 1991: 49, 1996: 189）。对于 EIFL 来说，不存在自我应用的真实预测。这样的真实预测的定义必须包含以下条款：

(∀y)(y=┌θ┐∧x=┌¬θ┐→[TRUE(x)↔¬TRUE(y)]).

但是这个子句不是一个良构的 EIFL 公式，因为 ¬ 出现在全称量词(∀y)的范围内(cf. Hintikka 1996: 151)。

完全二阶逻辑的有效性和可满足性问题可以有效地归约到与 EIFL 相关的相应问题。也就是说，为什么不能将二阶句子简单地看作是一个双排序的一阶句子？因为为了捕捉二阶逻辑的标准解释 [63]，必须说对于每个可外延的 n 元素集合，存在一个只有这些元素作为成员的第 2 排序成员，对于所有满足二阶句子包含一个量词(∃R)的 n 元数的情况 [64]。现在，这些附加条件可以通过一个 USO 句子的有限合取 X 来表示，其中 USO(通用二阶逻辑)是通过允许在一阶公式中对关系和函数符号进行全称量化而得到的。这些 USO 句子中的每一个都可以表示为一个 ESO 句子的矛盾否定，因此也可以表示为一个 IFL 句子的矛盾否定。因此，存在一个 IFL 句子 Y，使得 X 本身在逻辑上等价于 ¬Y。而这里的 ¬Y 是一个 EIFL 句子。因此，如果 ϕ 是一个二阶句子，ϕ∗ 是它在双排序一阶逻辑中的重构，我们有：ϕ 是可满足的当且仅当(X∧ϕ∗)是可满足的当且仅当(¬Y∧ϕ∗)是可满足的。并且：ϕ 是有效的当且仅当 ϕ∗ 是 X 的逻辑推论当且仅当(¬X∨ϕ∗)是有效的当且仅当(Y∨ϕ∗)是有效的。在这里，(¬Y∧ϕ∗)和(Y∨ϕ∗)都是 EIFL 的句子，后者甚至是 IFL 的句子。由此可见，任何二阶句子的可满足性(有效性)都可以表示为 EIFL 句子的可满足性(分别是有效性)。[65]

代数结构。在独立性友好逻辑学中，可用的两个否定 ¬ 和 ∼ 在真命题和假命题上达成一致：如果 ϕ 在 M 中为真（假），那么 ∼ϕ 和 ¬ϕ 在 M 中都为假（真）。相反，如果 ϕ 在 M 中是不确定的，那么 ∼ϕ 也是不确定的，但 ¬ϕ 为真。将这两个否定 ¬∼ 应用于一个命题 ϕ 的组合 ¬∼ 断言 ϕ 不是假。[66]

独立性友好逻辑学的命题部分涉及四个运算符 ¬、∼、∧ 和 ∨。Hintikka（2004b）提出了当任意两个真值等价的命题被认同时，这些运算符引发的代数结构的问题。运算符 ¬、∧ 和 ∨ 导致了一个布尔代数——但是强否定 ∼ 对这个结构有什么贡献呢？

在限制关注真值等价性的情况下，∼ 可以从运算符 ¬ 和 ¬∼ 中定义。因为 ∼ϕ 在 M 中为真当且仅当 ¬(¬∼ϕ)在 M 中为真。可以考虑使用运算符 ¬∼ 代替 ∼。Hintikka 指出，独立性友好逻辑学的命题部分（用运算符 ∨、∧、¬ 和 ¬∼ 来表述）是一个具有 Jónsson 和 Tarski（1951）意义上的运算符的布尔代数。额外的运算符 ¬∼ 是一个闭包运算符。

Jónsson 和 Tarski（1951，Thm. 3.14）证明了任何闭包代数都与由具有自反和传递关系的集合构成的代数系统同构。[67] 事实上，相关的代数结构恰好是命题模态逻辑 S4 的结构。因此，EIFL 的命题部分具有与 S4 相同的代数结构。根据 Gödel（1933）和 McKinsey＆Tarski（1948）的众所周知的结果，直觉主义命题逻辑可以通过一个翻译 t 在 S4 中解释，其中 ϕ 是直觉主义可证明的当且仅当 t（ϕ）是一个有效的 S4 公式。因此，直觉主义命题逻辑可以在 EIFL 中解释。[68]

5. 哲学后果

Hintikka（2006a：73-77）认为（扩展的）IF 一阶逻辑所带来的新的洞察力的结果包括：在一阶层次上重建正常的数学推理，对公理集合论中真理概念的新视角，对否定性质的本质的洞察，以及自我应用真理谓词的表述。与自然语言中信息独立性现象相关的思想已在 4.2 和 4.5 小节中讨论过否定和真理可定义性。让我们在这里考虑剩下的问题。

5.1 在类型层次中的位置

Hintikka 认为，区分一阶逻辑和高阶逻辑的唯一合理方法是参考量化变量所涵盖的实体。一阶逻辑是指所有量词都涵盖个体，而不是高阶实体（例如，域的子集）。基于此，Hintikka 认为，实质上来说，IFL 甚至 EIFL 都是一阶逻辑。[69] Solomon Feferman（2006：457-461）批评了 Hintikka 用于判断逻辑的一阶状态的标准。Feferman 在他的论证中使用了广义量词。[70] 公式

Q [z1]…zk

涉及广义量词的逻辑在句法上是一阶的，因为量化变量 zi1,…,zini=[zi] 是一阶的（1≤i≤k）。广义量词 Q 的语义是通过将每个域 M 与 M 上的 k 元关系 QM 关联起来来定义的，其中 QM⊆Mn1×…×Mnk。例如，对于任何无限基数 κ，存在一个广义量词 Q≥κ，使得在模型 M 中，Q≥κzP(z)为真当且仅当至少有 κ 个元素满足谓词 P。因此，广义量词可以在语义上是高阶的。（基数的概念是高阶的。）一个公式中的变量仅范围在个体上，并不能为逻辑的一阶性提供可靠的标准。

Hintikka 的标准可以通过这样重新表述：如果与该逻辑的一个公式相关联的语义游戏的任何一次进行只涉及（除了解释合取和析取的选择之外）个体的选择，而不涉及高阶实体的选择，则该逻辑是一阶逻辑。按照这个标准，IFL（甚至 EIFL）是一阶逻辑，但是广义量词逻辑（如 Q≥κ）不是。[71] Feferman（2006: 461）预见到了这种回答的可能性，但并不令人信服。

根据 Hintikka（1955）的结果，决定一个二阶逻辑句子是否有效的问题可以有效地简化为 IFL 的有效性问题 [72]。Väänänen（2001）已经证明，IFL 的有效句子集与完全二阶逻辑的有效性集具有相同的非常高的复杂性 [73]。Väänänen（2001）和 Feferman（2006）得出结论，讨论 IFL 中的有效性意味着对完全二阶逻辑的强烈承诺。Hintikka（2006a：476-477）从相反的角度看待这些结果：对他来说，这意味着确实可以用 IFL 中的有效性来讨论完全二阶逻辑的有效性。更重要的是，Hintikka（1997）确认即使 EIFL 也是一阶逻辑。如果是这样，任何可以通过 EIFL 句子的真实性来表达的数学理论同样不会存在集合存在的问题。

Hintikka 的立场引发了一个难题。如果 ϕ 是 IFL 的一个句子，且不与任何 FO 句子等价，那么 EIFL 的句子 ¬ϕ 的真值条件无法在不诉诸于第二个玩家的所有策略集的情况下进行表述：在模型 M 中，¬ϕ 为真当且仅当对于游戏 G(ϕ,M)中第二个玩家的所有策略，存在一系列由第一个玩家进行的移动，使得第一个玩家赢得最终的游戏。第二个玩家的所有策略集无疑是一个高阶实体。在这里，如何说避免了对个体以外的实体的承诺？在不预设给定玩家的所有策略的真正二阶观念的情况下，能否很好地理解 ¬ϕ 的句子的意义？[74] Hintikka 的立场似乎不是名词主义的，而是一种 universalia in rebus 的变体。虽然语义游戏的规则涉及对一阶对象执行的动作，但是玩法集合的组合性质只能用二阶术语来表述。一旦为语言片段定义了游戏规则，相应的组合性质也将被完全确定，其中包括被标记为真和假的性质。

5.2 集合论哲学

根据 Hintikka 的观点，我们对量化句子 ϕ（在否定正常形式下）的真实性的预理论观念是存在着“证人个体”来作为存在量词的证人，通常取决于与之前的全称量词相对应的值 [75]。正是这些证人的存在构成了 ϕ 的真实性。Skolem 函数正是为了 ϕ 提供证人的。[76] 量化句子 ϕ 的真实性等同于存在一个完整的 Skolem 函数集合。因此，根据 Hintikka 的观点，我们对一阶真实性的普通概念是以（存在）二阶逻辑的方式概念化的。那么，当这个观念应用于公理化集合论，比如带有选择公理的泽尔梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）时，会发生什么呢？需要记住的是，公理化集合论的核心思想是摒弃高阶逻辑；其基础逻辑被认为是一阶逻辑。Hintikka 提出了以下论证 [77]。

对于 ZFC 的每个句子 ϕ，存在另一个句子 ϕ∗=(∃f1)…(∃fn)ψ∗，直观地说，它表明“Skolem 函数”存在于 ϕ 中。这些“Skolem 函数”是 ZFC 模型的域中的某些个体。在这里，ϕ∗ 和 ϕ 都是一阶句子。但是，如果对于 ZFC 的每个句子 ϕ，ϕ 和 ϕ∗ 是逻辑等价的，为什么不能使用 ϕ∗ 来在 ZFC 中为 ZFC 构建一个真实性谓词呢？然而，根据塔斯基的不可定义性结果，不存在这样的真实性谓词 [78]。因此，必然存在一个 ZFC 模型和一个在该模型中为真的句子 ϕ，使得 ϕ∗ 为假：ϕ∗ 所断言的并非所有“Skolem 函数”实际上都存在于该模型中。

这种推理表明，ZFC 并没有完全捕捉到真理的概念，即一个句子 ϕ 的真理意味着 ϕ 的 Skolem 函数的存在。此外，它还表明，ZFC 并没有完全捕捉到高阶逻辑的标准解释。为了看清这一点，观察到对于每个句子 ϕ，都存在一个逻辑上等价的二阶句子 ϕ∗∗=(∃F1)…(∃Fn)ψ∗∗，实际上断言了 ϕ 的 Skolem 函数的存在。一阶句子 ϕ∗=(∃f1)…(∃fn)ψ∗ 不能与二阶句子 ϕ∗∗=(∃F1)…(∃Fn)ψ∗∗ 混淆。句子 ϕ∗∗ 所说的 Skolem 函数 Fi 是由集合论宇宙中的个体构建而成的集合，而 ϕ∗ 所说的“Skolem 函数”fi 是个体。[79]

Hintikka 的论证结论是，我们对真理的普通概念在 ZFC 中被误解。此外，根据塔斯基的不可定义性结果，通过向 ZFC 添加进一步的公理也无法改善这种情况。在 Hintikka 的判断中，公理化集合论是一种系统性但徒劳的尝试，旨在以一阶逻辑的水平捕捉标准解释的二阶逻辑的真理。与哥德尔（1947）一样，Hintikka 也认为用于陈述连续统假设的概念已经足够明确定义，以确定该猜想的真值。连续统假设并不是通过在 ZFC 中表述来获得其含义。哥德尔和 Hintikka 都同意，哥德尔本人和保罗·科恩所得到的独立性结果本身并不能证明连续统假设的真假。但与哥德尔不同，Hintikka 认为在 ZFC（或其任何扩展中）中推导出任何猜想的可推导性对于猜想的真实性是无关紧要的。对于 Hintikka 来说，一个“组合”问题是每个实数的无限子集是可数的还是具有所有实数集的基数 - 这是在二阶逻辑中适当概念化的问题。这就是 Hintikka 认为连续统假设真理的前理论意义，而这并不被 ZFC 所捕捉。[80]

5.3 扩展的一阶逻辑和数学理论化

Hintikka 认为，EIFL 可以用来重建一阶逻辑水平上的所有正常数学推理。这个结果基本上依赖于 Hintikka 声称 EIFL 只对个体有本体承诺的可接受性（第 5.1 小节）。但是，EIFL 如何用于重建所有数学推理的重要部分呢？

Hintikka（1996: 194–210）讨论了数学理论（或数学公理化）和数学问题（或逻辑推论问题）的区别。

任何高阶数学理论 T 都会产生一个多分类的一阶理论 T∗。如果该理论是有限的，那么存在一个在 EIFL 中表达的有限合取 J，它等同于 USO 的一个句子，因此等同于 ESO 句子的矛盾否定，从而等同于 IFL 句子的矛盾否定，表达了对高阶逻辑标准解释的要求。因此，高阶理论 T 的真实性问题可以简化为 EIFL 中句子（J∧T∗）的真实性问题（参见 4.6 小节）。

判断给定句子 C 是否是有限高阶理论 T 的逻辑推论问题与判断二阶句子（¬(J∧T∗)∨C∗）是否有效的问题相一致。回想一下，存在一个 IFL 句子 χ，使得 J 等同于 ¬χ，那么可以得出 ¬(J∧T∗)等同于 IFL 句子。因此，存在一个 IFL 句子，当且仅当句子（¬(J∧T∗)∨C∗）有效时，它是有效的（参见 4.6 小节）。数学问题可以理解为 IFL 句子的有效性问题。使用 IFL 可以重建的数学问题包括连续统假设、哥德巴赫猜想、苏斯林猜想、存在一个无法达到的基数以及存在一个可测基数的存在性（81）。

作为概念化，显然超越了所提出的框架 - 无法用高阶逻辑表达 - Hintikka 认为这是 David Hilbert 所谓的完备性公理所表达的最大性假设。该公理表示，如果不违反其他公理，就不能向预期的模型中添加数学对象。[82]

如果 EIFL（Hintikka 1997）确实避免了与所有子集相关的问题，它提供了一种捍卫某种形式逻辑主义的方法。与历史逻辑主义不同，这个想法不是将逻辑视为与数学公理系统处于同一层次的公理系统（Hintikka 1996: 183），[83] 并试图将数学归纳为逻辑。相反，Hintikka（1996: 184）建议提出以下问题：(a)关键的数学概念能否用逻辑术语定义？(b)在数学中使用的语义上有效的逻辑推理方式能否用逻辑术语表达？这个想法不是集中于逻辑的演绎规则：对于 IFL 来说，根本不存在完整的演绎规则集。由于高阶逻辑的地位可能是可疑的 - 由于与幂集概念相关的问题 - 对问题(a)和(b)的积极解决需要比 FO 更强大的一阶逻辑。

将所有可用高阶逻辑表达的数学归纳到一阶层面的建议，在哲学上具有重要意义，它表明数学不是对一般概念的研究，而是对由个别构成的结构的研究（Hintikka 1996: 207）。这并不意味着实际的数学最好用 IFL 来进行，只是原则上可以这样进行（Hintikka 1996: 205, 2006a: 477）。有关 Hintikka 结论的批评，请参见 Väänänen（2001），Feferman（2006）和 Bazzoni（2015）。

5.4 自然语言中的信息独立性

当 Hintikka 开始将 GTS 应用于自然语言的研究时（Hintikka 1973a），他提出了一个问题，即自然语言中是否存在分支量词。他开始思考是否存在具有不完全信息的语义游戏。他发现了英语中涉及信息独立性的各种语法结构 [84]。一个经常被引用的例子是以下句子：

每个村民的某个亲戚和每个城镇居民的某个亲戚彼此憎恨。

在其相关阅读下，当可以独立选择每个镇民的亲属时，"每个村民" 的选择与所选择的个体无关。[ 85] Hintikka（1973a）概述了一个论证，说明实际上每个 FPO 句子都可以作为英语句子的表示来复制。由此可以得出结论，习语化英语量词的逻辑比 FO 强得多，而且不存在将句子分类为分析或非分析、同义或非同义的有效程序。[ 86] 这将在方法论上是一个非常重要的结果，表明在语言理论化中，句法方法甚至在原则上也是不足够的。Jon Barwise（1979）提出，可以用广义量词的术语给出特别令人信服的支持 Hintikka 的论点的例子。

Lauri Carlson 和 Alice ter Meulen（1979）是第一个观察到量词和内涵运算符之间信息独立性的案例。考虑以下问题 [ 87]

每个人都崇拜谁？

在其中一种解读下，这个问题的前提是(∀x)(∃y) admires(x,y)。这个问题的目标是

我知道每个人都崇拜谁。

用‘KI’代替‘I know’[ 88]，这个目标有一个逻辑形式的解释。

KI(∀x)(∃y/KI) 欣赏(x,y)。

这个期望通过指出一个函数 f 来满足，该函数为每个人提供一个合适的受欢迎的人。这样的函数可以是他或她的父亲。重要的是，该函数的值 f(b)仅取决于解释“每个人”的人 b，而不取决于与提问者知识相容的解释“我知道”的情景 w。有趣的是，期望 KI(∀x)(∃y/KI) 欣赏(x,y)在没有明确的独立性指示器的情况下无法表达。值得注意的是，这种情况无法用 FPO 的符号表示。这是因为量词和内涵运算符之间可能存在多种类型的语义交互作用，而阻止一种类型的交互作用并不会自动阻止其他类型的交互作用。在这个例子中，∃y 的证人不能随着解释运算符 KI 的情景 w 的变化而变化，但变量 x 和 y 的值仍必须属于选择用于解释 KI 的特定情景 w 的域。[ 89]

Hintikka 对 wh-问题的期望的思想受到了他与语言学家 Elisabet Engdahl 的交流的影响。这些 wh-问题再次成为自然语言中信息独立性出现的重要测试案例。[ 90]

Hintikka 和 Sandu（1989）承担了制定一个明确的统一形式处理自然语言语义中不同种类的信息独立性的任务。他们提出了一个问题，即哪些机制使英语能够超越 FO 的表达能力。因为自然语言通常不会使用高阶量词。Hintikka 和 Sandu 认为信息独立性在增加自然语言的表达能力方面起着关键作用。[91]

在 Hintikka＆Kulas（1983, 1985）中为英语开发的 GTS 中，游戏规则与各种语言表达相关联（参见 2.1 小节）。正如 Hintikka（1990）所强调的，信息独立性是一种跨范畴的现象：它可以与不同语法范畴的表达相关。Hintikka 和 Sandu（1989）提出了几个英语示例，旨在显示自然语言中存在大量的信息独立性实例。其中包括上述讨论的 wh-questions 以及某些英语句子的 de dicto 和 de re 解读之间的区别。Hintikka 和 Sandu 建议，用 IF 逻辑表示这些解读比替代的非 IF 表示更符合英语的语法。

关于知识，例如 de dicto 归属

KRalph(∃x)(x 是间谍)

可以通过将存在量词标记为独立于知识运算符而转化为 de re 归属（参见 Hintikka 和 Sandu 1989）：

KRalph(∃x/KRalph)(x 是间谍)。

因为知识是一种事实性的态度（实际世界是拉尔夫认知的替代之一），这实际上等同于条件

(∃x)KRalph(x 是间谍)。

Rebuschi＆Tulenheimo（2011）观察到，独立量词在与非事实性态度（如信念）相关的情况下具有特殊的兴趣。将一种陈述归因于拉尔夫对特定但不存在的对象的信念的逻辑形式是

BRalph(∃x/BRalph)(x 是间谍),

其中 'BRalph' 代表 'Ralph 相信'。[92]

这种形式的态度被称为客体态度。由于这种态度的（有意义的）客体实际上不需要存在，客体态度比实体态度更弱。

(∃x)BRalph(x 是间谍).

另一方面，运算符 BRalph(∃x/BRalph)的模式要求存在量词 ∃x 的证人在 Ralph 的所有信念替代中是相同的，因此 de objecto 态度比 de dicto 态度更强。

BRalph(∃x)(x 是间谍).

Janssen（2013）讨论了在独立性友好（IFL）的框架下，对自然语言中 de re / de dicto 歧义进行组合分析的可能性。Brasoveanu 和 Farkas（2011）认为，自然语言中不定式的作用特性最好通过受 IFL 启发的语义来阐明，更具体地说，通过像 Hodges 的斜线逻辑的组合语义中的变量赋值集合来表达语义。

通常情况下，英语中并没有在句法上表示信息独立性的标记 [93]。这一事实的方法论后果在 Hintikka（1990）中进行了讨论，他暂时提出了句法沉默论，即足够激进的跨范畴现象不太可能在自然语言中句法上标记。对于这一论点的证据将成为反对以句法为导向的语义方法的充分性的证据。

6. 相关逻辑学

6.1 斜杠逻辑

在句法上，斜杠逻辑使用量词如 (∃x/y) 而不是 (∃x/∀y) 这样的量词。在语义上，斜杠逻辑与独立性友好相似，只是其博弈论语义基于以下思想：玩家的策略函数可以利用当前游戏中的任何先前移动作为其参数，除了那些通过斜杠符号明确指示为禁止使用的移动（参见第 3 节）。也就是说，玩家自己先前的移动也可以作为策略函数的参数出现。这在存在不完全信息的情况下可能会产生差异。例如，考虑评估斜杠逻辑句子 (∀x)(∃y)(∃z/x)x=z，其中包含了虚无量词 ∃y。在一个两元域上，这个句子是真的，因为玩家 2 可以将 y 的值复制为玩家 1 为 x 选择的值，然后使用一个策略函数来选择 z 的值，该策略函数的唯一参数是 y 的值。（关于这种“信号传递”的现象，参见 Hodges 1997a，Sandu 2001，Janssen & Dechesne 2006，Barbero 2013。）相比之下，IF 句子 (∀x)(∃y)(∃z/∀x)x=z 在这样的域上不成立，因为 (∃z/∀x) 的策略函数必须是一个常数，而没有这样的策略函数能够保证玩家 2 在玩家 1 可以选择的两个可能值上都能获胜。如第 4.4 小节所述，Hodges（1997a，b）证明了斜杠逻辑具有另一种组合语义。这要求相对于变量赋值集合来评估公式，而不是像 FO 那样相对于单个赋值来评估。

除了 Hodges 本人之外，所有研究斜杠逻辑的作者都选择不遵循 Hodges 在第 3 节开头提到的术语建议：他们将斜杠逻辑称为“IF 逻辑”。

Kuusisto (2013) 研究了斜线逻辑片段的表达能力，其中的公式形成时没有使用身份符号。Kontinen 等人 (2014) 调查了斜线逻辑的双变量片段的复杂性理论特性，并将该片段与依赖逻辑的相应片段进行比较。Hodges (1997a,b) 和 Figueira 等人 (2009, 2011, 2014) 讨论了斜线逻辑的扩展，其中斜线逻辑句子的矛盾否定可以被表达。

Sevenster (2014) 对斜线逻辑公式中量词前缀的量词依赖和独立性模式进行了系统研究，以确定哪些量词前缀允许斜线逻辑获得 ESO 的表达能力。Sevenster 确定了两种模式 - 信号模式和 Henkin 模式 - 并证明它们能够表达 NP 难的决策问题。他进一步证明，只有这两种模式允许斜线逻辑在注意力限定在前束范式的公式上超越 FO 的表达能力。信号模式的一个例子是(∀u)(∃v)(∃w/u)，Henkin 模式的一个例子是(∀x)(∃u)(∀y)(∃v/x,u)。[94]

Barbero（2021）和 Barbero 等人（2021）承担了调查斜线逻辑的一般句法片段的任务（并非所有公式都在前束形式中）。因此，这些作者希望系统地研究斜线逻辑的表达资源，使其超越 FO 的表达能力，并且这些表达能力并不仅仅源于其模仿 Henkin 量词的能力。虽然这两篇论文中研究的许多特征依赖于斜线逻辑的特殊性，但是在 IF 逻辑中也存在由析取进行信号传递的现象。在第 3.3 节中，我们看到 IF 逻辑句子（∀x）（∃y/∀x）x=y 在其域具有两个元素的任何模型中都是不确定的。斜线逻辑句子（∀x）（∃y/x）x=y 在这样的模型中同样是不确定的。现在，考虑将后一个句子中的表达式（∃y/x）x=y 替换为析取（（∃y/x）x=y∨（∃y/x）x=y），并在两个析取式中都使用初始表达式的标记：（∀x）（（∃y/x）x=y∨（∃y/x）x=y）。这样得到的句子在其域由对象 a 和 b 组成的模型中实际上是真实的。让 f、g 和 h 分别是玩家 2 对于析取符号的唯一标记、存在量词的左标记和存在量词的右标记的策略函数，定义如下。首先，如果玩家 1 将 a 选择为 x 的值，则 f 选择左析取式，否则选择右析取式。此外，g 和 h 是常量（零元函数）：g=a 和 h=b。集合{f，g，h}显然是玩家 2 的获胜策略。存在量词的任一标记出现在特定的析取式中。使用策略函数 f 到达这样的析取式可以确保到达的析取式揭示了玩家 1 对于解释 ∀x 所做的选择。常量 g 和 h 被选择为使这一信息明确。因此，得到的 x 和 y 的值确实满足公式 x=y。凭借相同的推理，可以看出在考虑的模型中，IFL 的句子(∀x)((∃y/∀x)x=y∨(∃y/∀x)x=y)是真实的。

6.2 依赖逻辑

Jouko Väänänen（2007）提出了一种称为依赖逻辑（DL）的 IF 逻辑新方法；有关 DL 的进一步研究，请参见 Kontinen 等人（2013）。DL 的语法是通过允许以下特殊形式的原子公式从 FO 的语法中获得的：

=(x1,…,xn; xn+1).

直观上，这样的公式意味着 xn+1 的值仅取决于 x1,…,xn 的值。DL 的语义不能相对于单变量赋值来进行表述，就像 FO 那样：我们无法解释 xn+1 的值如何依赖于 x1,…,xn 的值，只通过对变量 x1,…,xn+1 的单一赋值。例如，考虑下面描述的赋值：

相对于这个赋值，以下所有的断言都成立：当 x1 的值等于 7 时， x3 的值等于 8；当 x2 的值等于 5 时， x3 的值等于 8；当 x1 的值等于 7 且 x2 的值等于 5 时， x3 的值等于 8；无论 x1 和 x2 的值如何， x3 的值都等于 8。只有相对于一组赋值，依赖的问题才变得有趣且非平凡：

由上述五个分配组成的集合 X 满足=(x1; x3)的公式：x3 的值仅取决于 x1 的值。正如可以轻易观察到的，X 中的任意两个分配，如果它们给 x1 赋予相同的值，也会给 x3 赋予相同的值。DL 的有趣之处在于变量依赖的声明是在原子级别上进行的。IFL 的量词和带有独立性指示的斜杠逻辑的量词很容易导致一些混乱的公式，而 DL 看起来与 FO 完全相同，除了在原子公式的形式上更加灵活。

7. 结论

在本条目中，我们对 IF 一阶逻辑和扩展 IF 一阶逻辑进行了概述。它们的元逻辑性质已经被解释，并且讨论了这些性质的哲学相关性。还涵盖了这些逻辑对哲学问题的建议性影响，例如自我应用真谓词的存在，逻辑主义计划，公理化集合论的哲学相关性以及自然语言中的信息独立性。与 IFL 密切相关并受其启发的斜杠逻辑和依赖逻辑也被简要考虑了一下。

Bibliography

Auxier, R. E. and Hahn, L. E. (eds.), 2006, The Philosophy of Jaakko Hintikka, (Library of Living Philosophers, Volume 30), Chicago: Open Court.
Barbero, F., 2013, “On Existential Declarations of Independence in IF Logic,” Review of Symbolic Logic, 6(2): 254–280.
–––, 2017, “Cooperation in Games and Epistemic Readings of Independence-Friendly Sentences,” Journal of Logic, Language, and Information, 26(3): 221–260.
–––, 2021, “Complexity of Syntactical Tree Fragments of Independence-Friendly Logic,” Annals of Pure and Applied Logic, 172(1): article 102859 (43 pages).
Barbero, F., Hella, L., and Rönnholm, R., 2021, “Independence-Friendly Logic Without Henkin Quantification,” Archive for Mathematical Logic, 60: 547–597.
Barwise, J., 1979, “On Branching Quantifiers in English,” Journal of Philosophical Logic, 8: 47–80.
Barwise, J., and Moschovakis, Y. N., 1978, “Global Inductive Definability,” Journal of Symbolic Logic, 43(3): 521–534.
Bazzoni, A., 2015, “Hintikka on the Foundations of Mathematics: IF Logic and Uniformity Concepts,” Journal of Philosophical Logic, 44(5): 507–516.
van Benthem, J., and Doets, K., 2001, “Higher-Order Logic,” in Handbook of Philosophical Logic, (2nd edition, Vol. 1), D. M. Gabbay, and F. Guenthner (eds.), Berlin: Springer, pp. 189–244.
Blass, A., and Gurevich, Y., 1986, “Henkin Quantifiers and Complete Problems,” Annals of Pure and Applied Logic, 32: 1–16.
Brasoveanu, A., and Farkas, D. F., 2011, “How Indefinites Choose Their Scope,” Linguistics and Philosophy, 34(1): 1–55.
Burgess, J. P., 2003, “A Remark on Henkin Sentences and Their Contraries,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 44: 185–188.
Caicedo X., Dechesne, F., and Janssen, T. M. V., 2009, “Equivalence and Quantifier Rules for Logic with Imperfect Information,” Logic Journal of the IGPL, 17(1): 91–129.
Cameron, P., and Hodges, W., 2001, “Some Combinatorics of Imperfect Information,” Journal of Symbolic Logic, 66: 673–684.
Carlson, L., and Hintikka, J., 1979, “Conditionals, Generic Quantifiers, and Other Applications of Subgames,” in Game-Theoretical Semantics, E. Saarinen (ed.), Dordrecht: Reidel, pp. 179–214.
Carlson, L., and ter Meulen, A., 1979, “Informational Independence in Intensional Contexts,” in Essays in Honour of Jaakko Hintikka, E. Saarinen, I. Niiniluoto, R. Hilpinen, and M. Provence (eds.), Dordrecht: Reidel, pp. 61–72.
Clark, R., 2012, Meaningful Games: Exploring Language with Game Theory, Cambridge, MA: The MIT Press.
Dechesne, F., 2005, Game, Set, Math: Formal Investigations into Logic with Imperfect Information, Ph.D. Thesis, Eindhoven: University of Tilburg.
Ebbinghaus, H.-D., and Flum, J., 1999, Finite Model Theory, Berlin: Springer, 2nd edition.
Ebbinghaus, H.-D., Flum, J., and Thomas, W., 1994, Mathematical Logic, New York: Springer, 2nd edition.
Enderton, H. B., 1970, “Finite Partially-Ordered Quantifiers,” Zeitschrift für matematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 16: 393–397.
Engdahl, E., 1986, Constituent Questions: The Syntax and Semantics of Questions with Special Reference to Swedish, Dordrecht: Reidel.
Fagin, R., 1974, “Generalized First-Order Spectra and Polynomial-Time Recognizable Sets,” in Complexity of Computation, (SIAM-AMS Proceedings, Volume 7), R. M. Karp (ed.), pp. 43–73.
Feferman, S., 2006, “What Kind of Logic is ‘Independence-Friendly’ Logic?,” in Auxier & Hahn (2006), pp. 453–469.
Figueira, S., Gorín, D., and Grimson, R., 2009, “On the Formal Semantics of IF-like Logics,” Journal of Computer and System Sciences, 76: 333–346.
–––, 2011, “On the Expressive Power of IF-Logic with Classical Negation” in Logic, Language, Information, and Computation, L. Beklemishev and R. de Queiroz (eds.), Berlin: Springer, pp. 135–145.
–––, 2014, “Independence Friendly Logic with Classical Negation via Flattening is a Second-Order Logic with Weak Dependencies,” Journal of Computer and System Sciences, 80: 1102–1118.
Forster, T., 2006, “Deterministic and Nondeterministic Strategies for Hintikka Games in First-Order and Branching-Quantifier Logic,” Logique et Analyse, 195: 265–269.
Fortnow, L., 2009, “The Status of the P versus NP Problem,” Communications of the ACM, 52(9): 78–86.
Gödel, K., 1930, “Die Vollständigkeit der Axiome des logisch Funktionenkalküls,” Monatshefte für Mathematik und Physik, 37: 349–360.
–––, 1933, “Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls,” Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 4: 39–40.
–––, 1947, “What is Cantor’s Continuum Problem?,” The American Mathematical Monthly, 54: 515–525.
Grädel E., Kolaitis, P. G., Libkin, L., Marx, M., Spencer, J., Vardi, M. Y., Venema, Y., and Weinstein, S., 2007, Finite Model Theory and Its Applications, Berlin: Springer.
Hella, L., and Sandu, G., 1995, “Partially Ordered Connectives and Finite Graphs,” in Quantifiers: Logics, Models and Computation, Vol. 2, M. Krynicki, M. Mostowski, and L. W. Szczerba (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 79–88.
Hella, L., Sevenster, M., and Tulenheimo, T., 2008, “Partially Ordered Connectives and Monadic Monotone Strict NP,” Journal of Logic, Language and Information, 17(3): 323–344.
Henkin, L., 1950, “Completeness in the Theory of Types,” Journal of Symbolic Logic, 15: 81–91.
–––, 1961, “Some Remarks on Infinitely Long Formulas,” in Infinitistic Methods (no ed. given), New York: Pergamon Press, pp. 167–183.
Hilbert, D., 1903, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner, 2nd edition. (1st edition: “Grundlagen der Geometrie,” in Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen 3–92, Leipzig: Teubner, 1899.)
Hinman, P. G., 1978, Recursion-Theoretic Hierarchies, Berlin: Springer, 1978.
Hintikka, J., 1955, “Reductions in the Theory of Types,” Acta Philosophica Fennica, 8, pp. 61–115.
–––, 1968, “Language-Games for Quantifiers,” in American Philosophical Quarterly Monograph Series 2: Studies in Logical Theory, Oxford: Basil Blackwell, pp. 46–72; reprinted in Hintikka 1973b, Ch. III.
–––, 1973a, “Quantifiers vs. Quantification Theory,” Dialectica, 27: 329–358; reprinted in 1974 in Linguistic Inquiry, 5: 153–177.
–––, 1973b, Logic, Language-Games and Information: Kantian Themes in the Philosophy of Logic, Oxford: Clarendon Press.
–––, 1976a, “Quantifiers in Logic and Quantifiers in Natural Languages,” in Philosophy of Logic, S. Körner (ed.), Oxford: Basil Blackwell, pp. 208–232.
–––, 1976b, The Semantics of Questions and the Questions of Semantics, Acta Philosophica Fennica, 28(4).
–––, 1979, “Quantifiers in Natural Languages: Some Logical Problems,” in Game-Theoretical Semantics, E. Saarinen (ed.), Dordrecht: Reidel, pp. 81–117.
–––, 1982, “On Games, Questions, and Strange Quantifiers,” in Philosophical Essays Dedicated to Lennart Åqvist on his Fiftieth Birthday, T. Pauli (ed.), Department of Philosophy, Uppsala: University of Uppsala, pp. 159–169.
–––, 1986, “Extremality Assumptions in the Foundations of Mathematics,” Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association 1986, Vol. 2, pp. 247–252.
–––, 1987, “Is Scope a Viable Concept in Semantics?,” in ESCOL ‘86. Proceedings of the Third Eastern States Conference on Linguistics, A. Miller, and Z.-S. Zhang (eds.), pp. 259–270.
–––, 1988, “On the Development of the Model-Theoretic Viewpoint in Logical Theory,” Synthese, 77: 1–36.
–––, 1990, “Paradigms for Language Theory” in Language, Knowledge and Intentionality: Perspectives on the Philosophy of Jaakko Hintikka, L. Haaparanta, M. Kusch, and I. Niiniluoto (eds.): Acta Philosophia Fennica, 49, pp. 181–209; reprinted in Hintikka, J., 1998, Paradigms for Language Theory and Other Essays (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 4), Dordrecht: Kluwer, pp. 146–174.
–––, 1991, Defining Truth, the Whole Truth and Nothing but the Truth, Reports from the Department of Philosophy, no. 2, Helsinki: University of Helsinki; a revised version reprinted in Hintikka, J., 1997, Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinator: An Ultimate Presupposition of Twentieth-Century Philosophy (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 2), Dordrecht: Kluwer, pp. 46–103.
–––, 1993, “New Foundations for Mathematical Theories,” in Logic Colloquium ‘90, Lecture Notes in Logic 2, J. Väänänen, and J. Oikkonen (eds.), Berlin: Springer, pp. 122–144; reprinted in Hintikka, J., 1998, Language, Truth and Logic in Mathematics (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 3), Dordrecht: Kluwer, pp. 225–247.
–––, 1995, “What is Elementary Logic? Independence-Friendly Logic as the True Core Area of Logic,” in Physics, Philosophy and the Scientific Community, K. Gavroglu, J. J. Stachel, and M. W. Wartofsky (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 301–326; page reference is to the reprint in Hintikka, J., 1998, Language, Truth and Logic in Mathematics (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 3), Dordrecht: Kluwer, 1998, pp. 1–26.
–––, 1996, The Principles of Mathematics Revisited, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1997, “No Scope for Scope?,” Linguistics and Philosophy, 20: 515–544; reprinted in Hintikka, J., 1998, Paradigms for Language Theory and Other Essays (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 4), Dordrecht: Kluwer, pp. 22–51.
–––, 1997, “A Revolution in the Foundations of Mathematics?,” Synthese, 111: 155–170; reprinted in Hintikka, J., 1998, Language, Truth and Logic in Mathematics (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 3), Dordrecht: Kluwer, pp. 45–61.
–––, 1998, “Truth Definitions, Skolem Functions and Axiomatic Set Theory,” Bulletin of Symbolic Logic, 4: 303–337.
–––, 1999, Inquiry as Inquiry: A Logic of Scientific Discovery (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 5), Dordrecht: Kluwer.
–––, 2000, “Game-Theoretical Semantics as a Challenge to Proof Theory,” Nordic Journal of Philosophical Logic, 4(2): 127–141.
–––, 2001, “Post-Tarskian Truth,” Synthese, 126: 17–36.
–––, 2002a, “Hyperclassical Logic (a.k.a. IF Logic) and its Implications for Logical Theory,” Bulletin of Symbolic Logic, 8: 404–423.
–––, 2002b, “Quantum Logic is a Fragment of Independence-Friendly Logic,” Journal of Philosophical Logic, 31: 197–209.
–––, 2002c, “Negation in Logic and in Natural Language,” Linguistics and Philosophy, 25: 585–600.
–––, 2003, “A Second-Generation Epistemic Logic and Its General Significance,” in Knowledge Contributors, V. F. Hendricks, K. F. Jørgensen, and S. A. Pedersen (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 33–55; reprinted in Hintikka, J., 2007, Socratic Epistemology, New York: Cambridge University Press, pp. 61–82.
–––, 2004a, “Independence-Friendly Logic and Axiomatic Set Theory,” Annals of Pure and Applied Logic, 126: 313–333.
–––, 2004b, “What is the True Algebra of Logic,” in First-Order Logic Revisited, V. F. Hendricks, F. Neuhaus, S. A. Pedersen, U. Scheffler, and H. Wansing (eds.), Berlin: Logos Verlag, pp. 117–128.
–––, 2006a, “Intellectual Autobiography” and Hintikka’s replies to the contributors in Auxier & Hahn (2006).
–––, 2006b, “Truth, Negation and Other Basic Notions of Logic” in The Age of Alternative Logics, J. van Benthem, G. Heinzmann, M. Rebuschi, and H. Visser (eds.), Berlin: Springer, pp. 195–219.
–––, 2008, “IF Logic in a Wider Setting: Probability and Mutual Dependence,” in Dialogues, Logics and Other Strange Things, C. Dégremont, L. Keiff, and H. Rückert (eds.), London: College Publications, pp. 195–211.
Hintikka, J., and Kulas, J., 1983, The Game of Language: Studies in Game-Theoretical Semantics and Its Applications, Dordrecht: Reidel.
–––, 1985, Anaphora and Definite Descriptions: Two Applications of Game-Theoretical Semantics, Dordrecht: Reidel.
Hintikka, J., and Sandu, G., 1989, “Informational Independence as a Semantical Phenomenon,” in Logic, Methodology and Philosophy of Science, Vol. 8, J. E. Fenstad, I. T. Frolov, and R. Hilpinen (eds.), Amsterdam: Elsevier, pp. 571–589; reprinted in Hintikka, J., 1998, Paradigms for Language Theory and Other Essays (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 4), Dordrecht: Kluwer, pp. 52–70.
–––, 1991, On the Methodology of Linguistics: A Case Study, Oxford: Basic Blackwell.
–––, 1996, “A Revolution in Logic?,” Nordic Journal of Philosophical Logic, 1(2): 169–183; reprinted in Hintikka, J., 1998, Language, Truth and Logic in Mathematics (Jaakko Hintikka: Selected Papers, Volume 3), Dordrecht: Kluwer, 1998, pp. 27–44.
–––, 1997, “Game-Theoretical Semantics,” in Handbook of Logic and Language, J. van Benthem, and A. ter Meulen (eds.), Amsterdam: Elsevier, pp. 361–410.
–––, 1999, “Tarski’s Guilty Secret: Compositionality,” in Alfred Tarski and the Vienna Circle, J. Wolenski, and E. Köhler (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 217–230.
Hodges, W., 1983, “Elementary Predicate Logic,” in Handbook of Philosophical Logic, Vol. 1, D. M. Gabbay, and F. Guenthner (eds.), Dordrecht: Reidel, pp. 1–131.
–––, 1993, Model Theory, in Encyclopedia of Mathematics and its Applications (Volume 42), Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1997a, “Compositional Semantics for a Language of Imperfect Information,” Logic Journal of the IGPL, 5: 539–563.
–––, 1997b, “Some Strange Quantifiers,” in Structures in Logic and Computer Science: A Selection of Essays in Honor of A. Ehrenfeucht, (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1261) J. Mycielski, G. Rozenberg, and A. Salomaa (eds.), London: Springer, pp. 51–65.
–––, 1998, “Compositionality Is Not the Problem,” Logic and Logical Philosophy, 6: 7–33.
–––, 2006, “The Logic of Quantifiers,” in Auxier & Hahn (2006), pp. 521–534.
–––, 2007, “Logics of Imperfect Information: Why Sets of Assignments?,” in Interactive Logic, J. van Benthem, D. M. Gabbay, and B. Löwe (eds.), Amsterdam: Amsterdam University Press, pp. 117–133.
–––, 2013, “Logic and Games,” in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2013 Edition), E. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/spr2013/entries/logic-games/.
Hyttinen, T., and Sandu, G., 2000, “Henkin Quantifiers and the Definability of Truth,” Journal of Philosophical Logic, 29: 507–527.
Janssen, T. M. V., 1997, “Compositionality,” in Handbook of Logic and Language, J. van Benthem, and A. ter Meulen (eds.), Amsterdam: Elsevier, pp. 417–473.
–––, 2002, “Independent Choices and the Interpretation of IF Logic,” Journal of Logic, Language and Information, 11: 367–387.
–––, 2013, “Compositional Natural Language Semantics using Independence Friendly Logic or Dependence Logic,” Studia Logica, 101(2): 453–466.
Janssen, T. M. V., and Dechesne, F., 2006, “Signaling in IF-Games: A Tricky Business,” in The Age of Alternative Logics, J. van Benthem, G. Heinzmann, M. Rebuschi, and H. Visser (eds.), New York: Springer, pp. 221–241.
Jónsson, B., and Tarski, A., 1951, “Boolean Algebras with Operators, Part I,” American Journal of Mathematics, 73: 891–939.
Kaye, R., 1991, Models of Peano Arithmetic, Oxford: Clarendon Press.
Kontinen, J., Kuusisto, A., Lohmann, P., and Virtema, J. (eds.), 2014, “Complexity of Two-Variable Dependence Logic and IF-Logic,” Information and Computation, 239: 237–253.
Kontinen, J., Väänänen, J., and Westerståhl, D. (eds.), 2013, Dependence and Independence in Logic, special issue of Studia Logica, 101(2).
Krynicki, M., 1993, “Hierarchies of Partially Ordered Connectives and Quantifiers,” Mathematical Logic Quarterly, 39: 287–294.
Krynicki, M., and Lachlan, A. H., 1979, “On the Semantics of the Henkin Quantifier,” Journal of Symbolic Logic, 44(2): 184–200.
Krynicki, M., and Mostowski, M., 1995, “Henkin Quantifiers” in Quantifiers: Logics, Models and Computation, Vol. 1, M. Krynicki, M. Mostowski, and L. W. Szczerba (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 193–262.
Kuusisto, A., 2013. “Expressivity of Imperfect Information Logics without Identity,” Studia Logica, 101(2): 237–265.
Leivant, D., 1994, “Higher Order Logic,” in Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Vol. 2, D. M. Gabbay, C. J. Hogger, J. A. Robinson, and J. H. Siekmann, (eds.), Oxford: Clarendon Press, pp. 229–321.
Mann, A. L., 2007, Independence-Friendly Cylindric Set Algebras, Ph.D. thesis, University of Colorado at Boulder.
Mann, A. L., Sandu, G., and Sevenster, M., 2011, Independence-Friendly Logic: A Game-Theoretic Approach, Cambridge: Cambridge University Press.
Marion, M., 2009, “Why Play Logical Games?,” in Games: Unifying Logic, Language and Philosophy, O. Majer, A.-V. Pietarinen, and T. Tulenheimo (eds.), New York: Springer-Verlag, pp. 3–25.
McKinsey, J. C. C., and Tarski, A., 1948, “Some Theorems About the Sentential Calculi of Lewis and Heyting,” Journal of Symbolic Logic, 13(1): 1–15.
Mostowski, A., 1957, “On a Generalization of Quantifiers,” Fundamenta Mathematicae, 44: 12–36.
Mostowski, M., 1991, “Arithmetic with the Henkin Quantifier and its Generalizations,” in Séminaire du Laboratoire Logique, Algorithmique et Informatique Clermontoise, Vol. 2, F. Gaillard, and D. Richard (eds.), pp. 1–25.
Odintsov, S., Speranski, S., and Shevchenko, I., 2018. “Hintikka’s Independence-Friendly Logic Meets Nelson’s Realizability,” Studia Logica, 106(3): 637–670.
Papadimitriou, C. H., 1994, Computational Complexity, Reading, MA: Addison-Wesley.
Patton, T. E., 1991, “On the Ontology of Branching Quantifiers,” Journal of Philosophical Logic, 20: 205–223.
Peters, S., and Westerståhl, D., 2006, Quantifiers in Language and Logic, Oxford: Oxford University Press.
Pietarinen, A.-V., 2001, Semantic Games in Logic and Language, Ph.D. thesis, Helsinki: University of Helsinki.
Quine, W. V. O., 1970, Philosophy of Logic, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
Rebuschi, M., and Tulenheimo, T., 2011, “Between De Dicto and De Re: De Objecto Attitudes,” The Philosophical Quarterly, 61(245): 828–838.
Reinhart, T., 1997, “Quantifier Scope: How Labor is Divided between QR and Choice Functions,” Linguistics and Philosophy, 20: 335–397.
de Rouilhan, P., and Bozon, S., 2006, “The Truth of IF: Has Hintikka Really Exorcised Tarski’s Curse?,” in Auxier & Hahn (2006), pp. 683–705.
Sandu, G., 1991, Studies in Game-Theoretical Logics and Semantics, Ph.D. thesis, Helsinki: University of Helsinki. (Includes Hintikka & Sandu 1989; Sandu 1993, 1994; Sandu & Väänänen 1992.)
–––, 1993, “On the Logic of Informational Independence and its Applications,” Journal of Philosophical Logic, 22: 29–60.
–––, 1994, “Some Aspects of Negation in English,” Synthese, 99(3): 345–360.
–––, 1996, Appendix to Hintikka (1996), pp. 254–270.
–––, 1998, “IF-Logic and Truth-Definition,” Journal of Philosophical Logic, 27: 143–164.
–––, 2001, “Signalling in Languages with Imperfect Information,” Synthese, 127: 21–34.
–––, 2007, Appendix to Les principes des mathématiques revisités, French transl. of Hintikka (1996) by M. Rebuschi, Paris: Vrin, pp. 285–300. (The appendix is new and the translation of the book is based on Hintikka’s revision of Hintikka 1996.)
–––, 2013, “Probabilistic IF Logic,” in Logic and Its Applications, K. Lodaya (ed.), Heidelberg: Springer, pp. 69–79.
–––, 2014, “Truth and Probability in Game-Theoretical Semantics,” Teorema: Revista Internacional de Filosofía, 33(2): 151–170.
Sandu, G., and Hintikka, J., 2001, “Aspects of Compositionality,” Journal of Logic, Language and Information, 10: 49–61.
Sandu, G., and Hyttinen, T., 2001, “IF logic and The Foundations of Mathematics,” Synthese, 126: 37–47.
Sandu, G., and Sevenster, M., 2010, “Equilibrium Semantics of Languages of Imperfect Information,” Annals of Pure and Applied Logic, 161: 618–631.
Sandu, G., and Väänänen, J., 1992, “Partially Ordered Connectives,” Zeitschrift für matematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 38: 361–372.
Sevenster, M., 2006, Branches of Imperfect Information: Logic, Games, and Computatation, Ph.D. thesis, Amsterdam: University of Amsterdam.
–––, 2014, “Dichotomy Result for Independence-Friendly Prefixes of Generalized Quantifiers,” Journal of Symbolic Logic, 79(4): 1224–1246.
Skolem, T., 1920, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen,” Skrifter utgit av Videnskabsselskapet i Kristiania, I. Matematisk-naturvidenskabelig klasse, no. 4, pp. 1–36; reprinted in T. Skolem, Selected Works in Logic, J. E. Fenstad (ed.), Oslo: Universitetsforlaget, 1970, pp. 103–136.
Steedman, M., 2012, Taking Scope. The Natural Semantics of Quantifiers, Cambridge, MA: The MIT Press.
Tarski, A., 1933, “The Concept of Truth in the Languages of the Deductive Sciences” (Polish), Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych 34, Warsaw; expanded English translation in Tarski 1983, pp. 152–278.
–––, 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, 2nd and revised edition, J. Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Company.
Trakhtenbrot, B., 1950, “Impossibility of an Algorithm for the Decision Problem in Finite Classes” (Russian), Doklady Akademii Nauk SSSR, 70: 569–572. (English translation: American Mathematical Society, Translation Series 2, 23, 1963, pp. 1–5.)
Tulenheimo, T., 2014, “Classical Negation and Game-Theoretical Semantics,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 55: 469–498.
Väänänen, J., 2001, “Second-Order Logic and Foundations of Mathematics,” Bulletin of Symbolic Logic, 7: 504–520.
–––, 2002, “On the Semantics of Informational Independence,” Logic Journal of the IGPL, 10(3): 337–350.
–––, 2006, “A Remark on Nondeterminacy in IF Logic,” Acta Philosophica Fennica, 78, pp. 71–77.
–––, 2007, Dependence Logic: A New Approach to Independence Friendly Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
von Heusinger, K., 2004, “Choice Functions and the Anaphoric Semantics of Definite NPs,” Research on Language and Computation, 2: 309–329.
Walkoe, W. J. Jr., 1970, “Finite Partially-Ordered Quantification,” Journal of Symbolic Logic, 35: 535–555.
Westerståhl, D., 1998, “On Mathematical Proofs of the Vacuity of Compositionality,” Linguistics and Philosophy, 21: 635–643.
Wittgenstein, L., 1953, Philosophische Untersuchungen (Philosophical Investigations), Oxford: Basil Blackwell, transl. by G. E. M. Anscombe.
Zadrozny, W., 1994, “From Compositional to Systematic Semantics,” Linguistics and Philosophy, 17: 329–342.

Academic Tools

Other Internet Resources

[Please contact the author with suggestions.]

上一页*古典印度哲学——见古典印度哲学：古典印度哲学中的逻辑学 in classical Indian philosophy — see Indian Philosophy (Classical): logic 下一页归纳逻辑 inductive (James Hawthorne)

最后更新于9小时前