陪审团定理 jury theorems (Franz Dietrich and Kai Spiekermann)
首次发布于 2021 年 11 月 17 日星期三
陪审团定理是关于集体能力做出正确决策的数学定理。几个陪审团定理传递了乐观的信息，在适当的情况下，“人群是明智的”：许多个体一起（例如使用多数投票）倾向于做出良好的决策，胜过较少或只有一个个体。陪审团定理构成了民主的认识论论证的技术核心，并为推理集体决策的认识质量提供了概率工具。陪审团定理的流行跨越了经济学、政治学、哲学和计算机科学等各个学科。
本条目回顾并批评了各种陪审团定理。首先讨论了康多塞的最初陪审团定理，然后逐步引入了具有更合适前提和结论的陪审团定理。它解释了哲学基础，并将陪审团定理与多样性、研讨、共享证据、共享观点和其他现象联系起来。最后，它将陪审团定理与其历史背景以及民主理论、社会认识论和社会选择理论联系起来。
1. 介绍
1.1 陪审团定理是什么？
在给定的决策中应该委托多少个个体？从认识论的角度来看，决策的正确性或质量取决于参与者的数量，例如，陪审团裁决（“无罪”或“有罪”）的正确性取决于陪审团的规模，议会决策的质量取决于议会的规模，选举结果的质量取决于选民的规模，专家建议的质量取决于咨询机构的规模。陪审团定理解决了这个问题。它们的视角是认识论的，而不是程序性的：唯一的目标是通过外部标准达到“好”的或“正确”的决策，而不是尊重个体参与权利或确保民主合法的决策。依赖正确性事实是陪审团定理的核心哲学承诺（见第 4.1 节）。
这个条目将参与决策的个体集合称为群体或（决策）机构，并将从中选择该群体的更大集合称为人口。例如，选举机构是从公民人口中选出的，科学咨询机构是从科学家人口中选出的。在现实生活中，一些决策机构非常庞大：选举机构通常包含数百万公民。其他机构规模适中：法庭上的陪审团通常由 12 名成员组成。还有一些机构只有少数成员或只有一个成员：威权国家由小团体或一个人统治。
陪审团定理是以下一般结构的数学定理：
陪审团定理：给定一种类型为 X 的选择问题，一种类型为 Y 的投票程序，以及关于个体 Z 的前提条件，群体决策的认知表现取决于群体规模的方式 W。
这个示意性陈述包含了几个参数，由不同的陪审团定理以不同的方式填充。第一个也是最简单的陪审团定理可以追溯到法国启蒙思想家和数学家 Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet。在 Condorcet 的(1785)定理中，
选择问题是二元的，就像陪审团的有罪或无罪问题一样；
投票程序是多数投票;
个体的前提是特别简单的能力和独立性假设;
结论是“群众是聪明的”，在两个方面上，即正确的团体决策的概率(i)随着团体规模的增加而增加，(ii)当团体规模趋近无穷大时，收敛于一。
这两个康多塞“群众的智慧”结论在很大程度上塑造了这个领域，因为它们在许多其他陪审团定理中重新出现（部分或完全），同时也存在争议。陪审团定理文献的研究计划部分是为了将一个或两个康多塞的结论放在改进的前提下，部分是为了推导出达到竞争性结论的陪审团定理，例如某些有限且可能较小的团体大小的最优性（反对康多塞的第一个结论）或渐近大团体的可疑性（反对康多塞的第二个结论）。
就其本身而言，康多塞的结论代表了两个有争议的群众智慧假设，可以更一般地陈述（Dietrich＆Spiekermann 2020）：
增加可靠性假设：较大的团体比较小的团体或单个个体更好地追踪真相。它们做出的认知决策比较好。
无误假设：巨大的实体是不可动摇的真理追踪者。当群体规模趋近无穷大时，它们在认识论上做出了最优决策。
经过深入分析，无误假设是站不住脚的，甚至不能作为大规模民主运作的近似、理想化或范例（见第 2 节）。许多陪审团定理得出这种过于乐观的结论事实并不总是有帮助的，因为它威胁到了陪审团定理文献的整体可信度。正确的回应是修订陪审团定理的前提条件，使其变得可证明并得出合理的结论，如提高可靠性。确实可以实现更具合理前提和结论的陪审团定理（见第 2 节）。
因此，提高可靠性的假设似乎更适合于众智。无误假设应该让位，这将在第 2 节和第 4.2 节中得出结论（第 4.3 节可能有个别例外）。得出无误结论的陪审团定理在数学上可能很有趣；从哲学上讲，它们可能被视为反对自身前提的论证。
1.2 决策的广义概念
陪审团定理在广义上涉及集体的“决策”。决策可以代表集体的信念、行动或选择。在法律领域，陪审团的裁决代表了对罪与无罪的信念，而法庭的判决代表了对被告的行动（定罪或无罪）。在政治领域，议会决策和公投决策通常代表了选择。根据其任务，伦理或科学委员会可以产生集体的信念（作为建议），或者执行行动，例如制定预算或建立伦理标准。
但是有一个关键条件：决策必须具有正确性，即要么在事实上是正确的，要么是错误的（或者更一般地说，具有某种正确性程度）。哪些事实决定了正确性？信念类型的决策在信念具有真实内容时是正确的。行动类型的决策根据某种状态来确定正确性；例如，法庭的判决根据被告过去的行动来确定是否正确。
集体信念是集体态度的例子。其他可能的集体态度包括集体价值观、欲望、偏好或意图。它们也可以通过聚合形成：想象一下偏好聚合规则生成集体偏好。任何可以事实上正确或错误的集体态度都有可能成为陪审团定理的对象。当然，对于非信念态度来说，态度是否可以正确是更有争议的（参见第 4.1 节）。
总之，陪审团定理涉及任何正确性适用的集体决策，包括集体行动、信念和其他态度。
2. 陪审团定理
本节陈述并讨论了关于两个选择之间的多数决策的三个陪审团定理。它们假设一个个体的人口，标记为 1,2,…，代表决策团体的可能成员。人口可能包含例如一个州的所有公民（用于政治决策）或所有科学家（用于科学决策）。它是无限的——这是为了考虑任意大的决策机构而需要的理想化。该团体具有任意有限的大小 n≥1，并由前 n 个个体 1,2,…,n 组成。每个成员为一个选择投票。获得多数的选择获胜（如果 n 是偶数，则可以出现平局而没有集体决策）。根据认识论方法，一个选择是正确的（对的，更好的等等），另一个选择是错误的（错的，更差的等等），与决策过程无关。这使得任何个体判断和任何团体决策都是正确或错误的。
陪审团定理在概率框架下运作：任何未知的事物都被建模为一个随机事件或变量（相对于某个背景概率空间的定义 [1]）。
符号：对于任何条目的陪审团定理，概率函数（基础概率空间的）用 P 表示。根据陪审团定理的需要，将个体 i（=1,2,…）正确的事件表示为 Ri，并且对于每个可能的团体大小 n∈{1,2,…}，多数正确的事件（即 R1,…,Rn 中超过一半成立）表示为 Majn [2]。
2.1 陪审团定理
首先讨论康多塞（1785 年）的陪审团定理，因为它简单且具有历史重要性，暂时不考虑其前提和结论的问题。康多塞的文本并没有遵循现代数学，但许多后来的作者已经正式陈述了他的定理（例如，Grofman 1975; Grofman, Owen, & Feld 1983）。该定理在一个简单的形式框架中运作，只涉及以下要素：
康多塞陪审团定理的基本概念：相对于概率空间定义的正确性事件 R1、R2、...。
在这些原始条件（以及本节中的另外两个陪审团定理的条件）中，正确性事件可以被更基本的条件所替代，即以下随机变量：个体 1、2、...的投票（判断）的值为备选方案，以及一个“状态”变量，其值是或更一般地决定正确方案。然后，每个正确性事件 Ri 被定义为 i 的投票等于正确方案的事件，并且整个分析保持不变。例如，在法庭的决策问题中，法官的投票可以取值为{定罪，无罪}，而状态可以取值为{有罪，无罪}，其中如果状态为有罪，则定罪是正确的，如果状态为无罪，则无罪是正确的。等价地，更简洁地，投票和状态都可以取值为{0,1}，其中 Ri 是 i 的投票等于状态的事件。[4]
康多塞定理假设正确性在个体之间是独立的，并且每个个体的概率都大于 1/2。形式上：
无条件独立性（UI）。个体的正确性事件 R1，R2，...是（无条件）独立的。
无条件能力（UC）。 （无条件的）个体正确概率 P（Ri）-普遍能力-超过 12，并且对于所有个体 i 都相同。
康多塞的陪审团定理：假设 UI 和 UC，多数正确性的概率 P（Majn）随着（奇数 [5]）群体规模 n 的增加而增加，并趋于 1。
这个定理对群体的智慧描绘了一个乐观的画面，通过得出多数结果不仅随着选民的增加而越来越可靠，而且在极限情况下是绝对正确的。
图 1. 不同团体规模和能力水平下的多数正确性概率。[图 1 的详细描述在补充材料中。]
图 1 展示了不同个体能力水平 p=P(Ri)下的多数可靠性增加。请注意，即使只有稍微有能力的个体，也会迅速收敛到 1。
为什么这个定理成立？直观上，UI 和 UC 意味着个体判断行为类似于对同一个偏向真实的硬币进行独立投掷。硬币投掷次数越多，多数投掷结果“正确”的可能性越大，并且这个可能性收敛到 1。
从技术上讲，通过一个非平凡的组合论论证可以得出可靠性增加的结论。无误差的结论有一个简单的证明，可以在这里概述。根据 UC，一般能力 p=P(Ri) 是与选民无关的。群体的正确投票比例是一个随机变量，根据大数定律和 UI，它以概率收敛于 p。因此，由于 UC 中 p>12，这个比例超过 12 的概率，即 P(Majn)，当 n→∞ 时收敛于 1。
尽管在康多塞和其他两个陪审团定理中，“增加”应该被理解为“弱增加”，但在这些定理的所有非退化情况下，严格增加的 P(Majn) 结论成立。
2.2 投票的共同原因问题
一种诱人的错误是认为一旦投票在因果上是独立的，即彼此不会相互影响，它们就在概率上是独立的。投票通常在因果上是独立的：秘密投票防止某人的投票影响他人的投票。有时不仅仅是投票（或投票行为），甚至个体更广泛地（他们的推理、观点、知识、投票等）也是因果上独立的。如果个体不进行思考或其他交互行为，这种情况就会发生——这是一种罕见但可能的情况。思考立即在个体之间创建因果依赖，但不会在他们的（秘密）投票之间创建因果依赖。
因果独立（投票甚至个体之间）绝不意味着投票在概率上是独立的，因为共同原因会产生相关性。这个事实对于实证科学家、统计学家或因果网络理论家来说是显而易见的；例如，参见有关莱辛巴赫的共同原因原则的条目，以及莱辛巴赫（1956）、珀尔（2000）和迪特里希和利斯特（2004）关于陪审团定理中的共同原因。投票的共同原因是影响两个或更多投票的因素。它们存在丰富。选民通常接触到共享证据，例如证人报告；
shared evidence, such as witness reports;
陪审团定理：共享的观点塑造影响，来自共享的语言、共享的概念、共享的方法论或共享的假设；
共享的背景影响，与决策任务无关但影响判断能力，如噪音或热量。
不幸的是，投票之间的相关性（最终也是正确事件 R1、R2 等之间的相关性）通常是正向的，这削弱了多样性并加强了倾向和错误。正确事件之间的正相关意味着：如果某人投票正确，其他人更有可能投票正确。为什么相关性是正向的呢？比如，个体 1（事件 R1）的正确判断提高了共同原因采取真相导向的形式的概率（即证据不误导、背景影响支持判断能力等），从而提高了其他个体正确的概率（事件 R2、R3 等）。相反，个体 1 的错误提高了误导性共同原因的概率，从而提高了其他人的错误概率。
总之，通过共同原因，投票和正确性在人际关系上（积极地）相关，违背了康多塞独立假设。
2.3 部分解决方案：陪审团定理
投票之间的依赖关系可以“条件化消除”。鉴于共同原因-共享的证据等-投票不再表现出依赖性，因为它们不再携带关于共同原因的新信息，因此也不再携带关于彼此的新信息。条件化通过共同原因阻止了信息流动。这些考虑应用了一个众所周知的原则：在其共同原因的条件下，因果独立的现象在概率上是独立的（Reichenbach 1956）。
陪审团定理假设投票互不影响，即彼此独立，就像秘密投票一样。否则，信息可以直接在投票之间流动，而不仅仅通过共同原因，而且在共同原因上进行条件化无法使投票在概率上独立。
为了实施条件化，引入一个随机变量 x，称为事实，对其进行条件化。可以将这些事实解释为共同原因的总体，但也可以有更简单的解释。事实可以是共同原因的某种代理。最常见的情况是，x 是确定正确选择的事实。这个正确选择的事实通常被称为状态（世界的状态）。在法庭的定罪或无罪决定中，它的可能值可以是“有罪”和“无罪”，分别使“定罪”或“无罪”成为正确选择。第 2.1 节、第 4.1 节和第 5.1 节讨论了状态。
因此，新的陪审团定理将基于以下基本原理。
陪审团定理的基本条件：正确性事件 R1、R2，以及任意随机变量 x（事实变量，例如表示状态或共同原因），都是相对于概率空间定义的。
约定：涉及 x 的定义将假设 x 的每个值都具有正概率（这有助于条件化，但限制了对离散而非连续 x 的关注）。所有定义都可以推广 [7]。
这些是修订后的前提和定理。
陪审团定理 (Jury Theorems)。在给定事实 x 的任何值的情况下，个体正确事件 R1，R2，...是独立的。
条件能力 (CC)。对于事实 x 的任何值 x，特定能力在 x 上的条件正确概率 P(Ri|x)超过 12，并且对于所有个体 i 都是相同的。
条件陪审团定理：在假设 CI 和 CC 的情况下，多数正确性的概率 P(Majn)随着奇数 [8] 的群体规模 n 的增加而增加，并趋于 1。
这个定理得出与康多塞定理相同的乐观结论，但是基于新的前提。新的独立性假设更加合理，因为事实 x 包括共同原因或其代理。如果事实是世界的状态-共同原因的一个非常粗略的代理，那么就得到了文献中最常见的条件化形式和经典的陪审团定理（例如，奥斯汀-史密斯和班克斯 1996 年）。条件陪审团定理将这个熟悉的陪审团定理推广到任意的条件化目标 x。通过任意条件化替换状态条件化，使得陪审团定理更加灵活，为真实可信的独立性假设打开了大门。
能力假设是如何发展的？条件能力在逻辑上比无条件能力更强：个体必须在任何事实下都能胜过公平硬币，而不仅仅是全局上。例如，在法庭判决定罪或无罪的情况下，事实是有罪或无罪的状态，每个个体（法官）在有罪和无罪的情况下都必须比错误更有可能正确。
个体 i 的一般能力可以表示为他在可能的事实 x 上的（概率加权）平均特定能力，即 x 的可能值。
(1)P(Ri)=∑xP(Ri|x)P(x).
这表明 CC 意味着 UC。
不幸的是，陪审团定理维持了渐近无误的不切实际结论。基于事实的条件化可以修复独立前提，但前提中仍存在另一个问题，现在将对此进行解释。
2.4 独立性与能力之间的基本张力
人们可能希望“条件”前提 CI 和 CC 至少对某些条件化（即某些适当设计的事实变量 x）是共同合理的。然后，条件陪审团定理将建立在合理的前提上，我们可以信任其结论。但是，出现了一个困境：
只有在将许多事实打包到 x 中（理想情况下是所有共同原因）时，条件独立性才是合理的。
有条件的能力只有在将少量事实纳入 x 中时才是合理的（理想情况下没有事实，这样 CC 就会简化为 UC，即 CC 的最大可能情况）。
因此，CI 和 CC 需要不同的条件化。它们几乎从不共同被证明是合理的，只能单独地为不同的事实变量 x 进行证明（Dietrich 2008）。这是独立性和能力之间的根本紧张关系。这种紧张关系不在于两者之间的逻辑矛盾，而在于现实决策问题的本质（有一个潜在的例外，请参见第 4.3 节）。
为什么存在这种紧张关系？除了形式化的理论化之外，显而易见的是，某人是否有能力——即，更多时候是对的而不是错的——取决于所考虑的判断任务的类型（参考类）。可以合理地说，在所有可想象的判断任务中，人们更常常是正确的（最大的参考类），并且很可能也在许多大型参考类中是正确的，例如所有有罪或无罪的判断任务。但是，某人在某些非常特定类型的判断任务中很可能是无能的——更常常是错误的，例如所有令人困惑的任务，以及所有看似诚实但撒谎的证人的有罪或无罪的判断任务。
每个事实 x 的实例定义了一类（参考类）任务：这些任务中的事实是 x。一些事实 x 的实例使得形成正确判断变得容易：事实透明，证人诚实，实验室测试正确等。在这里，个体 i 是有能力的：P(Ri|x)>12。也许其他一些事实 x 的实例使得形成正确判断变得困难：有误导性证据的实例等。在这里，选民是没有能力的：P(Ri|x)≤12。误导性实例是否存在-即 CC 是否失败-取决于所使用的事实变量 x。如果所有共同原因都被打包到 x 中（可能是为了确保条件独立性 CI），那么几乎不可避免地，某些 x 的实例代表了误导性情况，在这种情况下，选民 i 的能力很低 P(Ri|x)<12。具有讽刺意味的是，如果将更少的信息打包到事实 x 中，甚至将 x 减少到状态（通常是仅具有两个实例的变量），那么可能会恢复条件能力，同时牺牲条件独立性。这就是两难境地。
2.5 陪审团定理
可以通过具有更合理前提和结论的陪审团定理来摆脱这个困境。将事实 x 视为足够丰富，以证明条件独立性的理由；因此，x 包含了共同原因，或者足够好的代理或替代品。
尽管在某些（不幸的）情况下，选民可能会无能，但他们大部分时间都有能力，即在大多数情况下。这表明应该用更弱的前提替换条件能力，即趋向于能力。这个公理是什么？它说能力往往是高于低于 0.5 的。更准确地说，无论正数多少，能力超过 0.5 的次数至少与其低于 0.5 的次数相等。因此，能力超过 0.5 的次数至少与其低于 0.5 的次数相等；能力超过 0.55 的次数至少与其低于 0.45 的次数相等；等等。形式上，个体 i 的特定能力 P(Ri|x)取决于（随机的）事实 x，因此本身也是随机的。如果其值超过 12，可以称这些事实对 i 来说是真实有益的或容易的；如果其值低于 12，可以称这些事实对 i 来说是误导性的或困难的；如果其值为 12，可以称这些事实对 i 来说是中立的，因为它们不朝任何方向推动。离散随机数（如特定能力 P(Ri|x)）倾向于超过 12，如果对于每个 ϵ>0，它等于 12+ϵ 的概率至少与其等于 12-ϵ 的概率相等。
图 2. 一个倾向于超过 12 的能力分布。 [图 2 的详细描述在补充材料中。]
图 2 给出了一个例子，其中特定的能力（取值为 0,18,14,38,...,1）倾向于超过 12：能力为 58 的概率比 38 高；能力为 34 的概率比 14 高；等等。从视觉上看，这使得分布向右倾斜。
这导致了以下陪审团定理（Dietrich＆Spiekermann 2013a）。
陪审团定理的基本原理：与条件陪审团定理相同。
能力倾向（TC）：特定能力的条件正确概率 P(Ri|x)倾向于超过 12，并且对于所有个体 i 都是相同的。
能力敏感的陪审团定理：在假设 CI 和 TC 的情况下，多数正确性的概率 P(Majn)随着群体规模 n（奇数 [9]）的增加而增加，并收敛到一个值，除非 CC 成立。
在 CI 和 TC 的情况下，多数正确性的极限是什么？它是事实（例如共享证据）具有真相导向性的概率加上事实具有中立性的概率的一半 [10]。粗略地说，群体在极限情况下的表现与事实一样好。毫不奇怪，群体无法超越事实。与事实渐近匹配已经算作一种成功。
从条件陪审团定理到陪审团定理的双重演变是，能力前提被削弱为 TC，而绝对正确的结论被颠倒。因此，即使在渐近大的团体中，多数人也可能是错误的——除非 CC 成立，即除非选民始终具备能力。“除非”在定理中可以被强烈解读为“当且仅当不是这种情况”。
2.6 三个陪审团定理的比较
表 1 总结了三个陪审团定理。
| | | | | | --- | --- | --- | --- |Table 1. Three jury theorems compared | | | | | | | | --- | --- | --- | --- |表 1. 三个陪审团定理的比较 | | 康多塞的陪审团定理 | *| 有条件的 陪审团定理 * | | 敏感能力 陪审团定理| | Premise 1 | 无条件 陪审团定理 | 有条件 陪审团定理 | 有条件 独立性 | | 前提 2 | 无条件 能力 | 有条件 能力 | 倾向性 陪审团定理 | | 结论 1 | 增加 可靠性 | 增加 可靠性 | 增加 可靠性 | | 结论 2 | 渐近 绝对正确性 | 渐近 绝对正确性 | 渐近 陪审团定理 |
所有定理都具有逐渐增加的可靠性，但只有前两个定理具有渐近无误性。独立性假设从无条件演变为有条件演变。
图 3. 三个能力公理 UC，CC 和 TC。【图 3 的详细描述在附录中。】
图 3 说明了能力假设的演变过程：
康多塞的陪审团定理关注的是一般能力，即固定概率 P(Ri)，该概率必须超过 12（见图 a）。
条件陪审团定理关注的是特定能力，即依赖于事实的概率 P(Ri|x)，该概率必须始终超过 12。如果将 x 视为世界的状态，即考虑状态条件陪审团定理，则（假设状态是二进制的）只有两个能力水平是可能的，每个状态一个（见图 b1）。更丰富的事实可以有许多可能的能力水平（见图 b2）。
陪审团定理假设，特定的能力往往超过 12（见图 c）。
从数学上讲，陪审团定理推广了条件陪审团定理，而条件陪审团定理又推广了康多塞陪审团定理。为什么呢？
陪审团定理包含条件陪审团定理作为一个特例，即当 CC 成立时的情况，因为在这种极端情况下（始终有能力的选民），该定理断言渐近无误。[11]
陪审团定理包括康多塞陪审团定理作为一种特殊情况，当插入一个只有一个可能值的平凡事实变量 x 时获得。在这里，前提 CI 和 CC 缩减为康多塞的前提 UI 和 UC，因为对确定事实进行条件化就像不进行条件化一样。
3. 陪审团定理和多样性
直观上，多样性-背景、观点、信息、推理方式、技能等-提高了集体绩效。正式陪审团框架中可以找到多样性吗？陪审团定理的假设是否隐含排除了多样性，还是允许甚至要求多样性？
3.1 多样性与能力异质性
多样性可描述为来源和背景的多样性：个体的推理方式不同，持有不同的观点，使用不同的信息等。尽管多样性是一个多维且主要是非正式的属性，但它在陪审团模型中得以体现。作为什么？有两个自然的候选者：能力异质性和独立性。首先将阐明与能力异质性的关系（第 3.3 节转向独立性）。
多样性并不意味着能力异质性-幸运的是，否则上述三个陪审团定理将在其能力假设的同质性条款中排除多样性。多样性并不意味着能力水平的差异，而是意味着能力来源的差异。即使在高度多样化的情况下，成员们可能以相同的概率得出正确的结论-但出于不同的原因。
相反，能力异质性往往意味着多样性，即非多样性往往意味着能力同质性，因为具有完全相同背景、相同信息、相同推理等的成员应该具有相同的能力。
总之，能力同质性是非多样性群体的一个系统特征，但反之不成立。
3.2 能力异质性威胁到群体的智慧
差异化能力是对增加可靠性假设的主要威胁。政治上的结果是，民主的认识优势岌岌可危——一个社会是否由少数有能力的公民来管理在认识上更好？如果从能力前提中去除同质性，那么群体智慧的结论确实会在这三个定理中崩溃。更大的团体可能表现得更差，因为新成员的能力可能比现有成员（大大）低。多数的可靠性甚至可以成为群体规模的递减函数，并且如果新成员的能力足够快地收敛到 12，它可以收敛到低至 12 的水平。
有限的最佳团体而不是智慧的群体？当新成员能力较低时，决策机构是否应该增加成员并不是一个牵强的问题，而是一个在现实中委员会设计中臭名昭著的问题。这是一个权衡：一方面，增加能力较低的成员会降低平均成员能力，但另一方面，它带来了规模的优势，即个体成员的错误更容易被多数人否决（“冲淡”）。根据哪种效应更强，通过增加能力较低的成员，多数正确的概率会增加或下降。
是否某个（有限的）团体是最佳的，还是“越大越好”，已经得到了分析处理。答案取决于模型假设（参见 Karotkin＆Paroush 2003）。
众人的智慧如何得到恢复？两种众人智慧假设依次讨论。
尽管能力不同，但渐近无误。如果将 UC 弱化为每个人的能力存在一个固定的下界 12+ϵ，那么康多塞的陪审团定理的渐近结论仍然成立（Paroush 1998）。这个假设可以进一步放宽：只要无限多的个体在平均上是有能力的，这就允许存在许多无能力的个体 [12]（参见 Dietrich 2008；有关相关或更一般的结果：Boland 1989；Owen，Grofman 和 Feld 1989；Berend 和 Paroush 1998）。不幸的是，这些康多塞的陪审团定理的变体（以及条件陪审团定理的类似变体）只保留了无误的结论，牺牲了可靠性的增加。更为棘手的结论被保留下来，人们可能会抱怨。
尽管能力不同，但可靠性增加。在面对能力差异的情况下，有两种广泛的方法来恢复可靠性增加的假设，从而捍卫大规模民主。
第一种方法有效地否认了更大的团体拥有“更差”的成员，通过假设一种不同的程序来确定团体成员：成员是匿名选择的，而不是（例如）通过能力来选择。增加团体规模不再意味着保留“旧”的成员并添加“新”的成员，通常是能力较差的成员，而是从人口中完全新的（更大的）团体中选择。[13] 这种选择成员的程序与必须是预定义的个体“优先顺序”中的前 n 个个体的程序有很大的不同。新的程序是匿名的，而不是有效地将个体 1 优先于个体 2，个体 2 优先于个体 3 等。哪种程序更现实是有争议的，也取决于上下文。
第二种方法假设 - 相当现实地 - 个体的能力水平是未知的。即使额外的团体成员在客观上较不称职，这个事实也不足够被了解或被证实（参见 Romeijn＆Atkinson 2011）。制度设计者可以考虑三种对大型包容性团体的正当性辩解。认识论的辩解指出，用于能力的任何代理可能是误导性的。例如，排除没有大学教育的公民似乎是不合理的，因为他们可能同样称职或更称职；排除他们可能会降低集体能力。一个程序上的辩解认为，即使他们的无能已经被合理怀疑地证实，排除个体免于民主决策是不公平的。这样的程序性包容理由可以基于平等机会影响的民主权利。另一个更细致的程序性观点并不一般反对选民的排除，但要求将无能证实到较高的标准，因为被排除的人有权知道被他人统治的原因。
陪审团定理
为了正式解决对个体的有限了解，例如，可以引入对能力水平的主观概率，即客观正确概率。更简单地说，可以从模型中完全消除客观概率和能力，并仅使用对个体判断的主观概率（而不是对个体能力水平的概率）。如果个体在主观上无法区分，可以假设判断在 de Finetti 的排列不变意义上是可互换的。这意味着（在额外的假设下），更大的群体更可靠，但不会渐近无误，这是一个关于可互换选民的陪审团定理（Dietrich＆Spiekermann 2013a; generalising Ladha 1993）。在这里，“可靠”和“无误”不再是群体的客观特征，而是关于它的知识的特征。
这种主观主义方法引出了一个问题，即谁应该持有这些信念。但至少它认真对待了关于个体的不确定性问题。
3.3 陪审团定理中的多样性作为判断独立性
多样性表现为个体判断之间的概率独立性。如果多样性较小，即个体推理方式相似，使用相似的证据等，则判断高度相关。没有任何多样性，判断一致，正确事件 R1、R2 等是等价的。如果多样性较高，则判断相关性较小。极端多样性对应于完全独立，甚至可能出现负相关的情况（Hong & Page 2009; 2012）。
康多塞的陪审团定理隐含地假设了广泛的多样性，即假设独立性。条件性和能力敏感的陪审团定理则不那么严格：它们允许更多或更少的多样性，因为它们的条件独立性假设与更多或更少的无条件独立性是兼容的。
已经提出了许多选民依赖的模型。一个经典模型引入了一个“意见领袖”，每个个体都以一定的概率复制他的判断（Boland，Porschan 和 Tong 1989）。个体之间可以相互影响，如成对相关性所捕捉的那样（例如，Ladha 1992）。依赖结构可能变得更加复杂，并且无法用成对相关性来描述（Kaniovski 2010; Pivato 2017）。
一些作者关注多样性的优点，通过提出定理来说明更多的独立性（多样性）会导致更好的多数决策（例如，Berg 1993; Ladha 1995）。起作用的机制是：更多的独立性使得选民的错误更有可能被其他选民的正确性所弥补。许多作者还提出了陪审团定理，表明尽管存在一定的依赖性或非多样性，群体可以“明智”，即提高可靠性（例如，Berg 1993）或渐近无误（例如，Pivato 2017）。渐近无误的结论仍然有争议（参见第 2 节）。
以适当、透明和可操作的方式对选民依赖进行建模仍然是未来陪审团定理研究的一个核心挑战。
3.4 多样性影响决策的两个阶段：审议和聚合
集体决策可以分为审议阶段和聚合阶段。在审议阶段，个体形成或修订他们的判断；在聚合阶段，经过审议的判断被输入一个投票规则，返回决策结果（Dryzek & List 2003）。多样性不仅影响群体在任何给定时刻的判断配置，从而影响聚合过程，还影响审议过程。审议的丰富性和成果主要归功于多样性。缺乏多样性的团体在进行审议时获益甚少：他们的成员已经以相似的方式推理、持有相似的观点、了解相似的事物等。在多样性的团体中，审议可以拓宽信息、观点和方法论的视野。多样性越大，通过审议进行判断修订的潜力就越大。
因果图有助于理解多样性如何影响审议。将投票（判断）视为嵌入在因果图中。每个个体的投票是其判断来源（信息来源、智力影响等）的（概率性）因果结果。个体之间的来源差异越大，群体的多样性就越大。在审议中，成员分享他们的来源。这改变了因果结构：每当一个来源与个体 i 共享时，就会从该来源向 i 的投票添加一个因果箭头。这扩大了选民的来源范围。
图 4. 通过陪审团定理进行资源共享。[图 4 的详细描述在补充材料中。]
图 4 以两个资源和三个个体为例进行了说明。通过资源共享，可以使个体之间的判断基础更加相似，可能导致判断趋于一致。理想的陪审团定理可以实现完全的资源共享，如图 4 所示。初始群体的多样性越大，可以共享的资源就越多，因此陪审团定理的作用也就越大。
尽管陪审团定理通过消除资源的不对称性来减少个体间的差异，但它通过扩大某人的资源范围来增加个体内部的差异。在进行陪审团定理时，个体会“内化”多样性。
4. 问题和疑问
4.1 是否存在正确性事实？
陪审团定理的有争议的哲学前提是，替代方案在事实上是正确的或错误的（或具有某种程度的正确性）。决定正确性的（可能是复合的）事实被称为世界的状态或仅仅是状态。[14]
为了消除歧义，请注意，正式模型通常使用简化的状态概念。首先，许多模型将状态简化为其未知部分；例如，在法庭判决中，状态可以被建模为是否犯罪的事实，将所有其他正确判决的决定因素（如对法律的正确解释，以及逻辑或物理事实）视为已知的背景事实，不值得建模。其次，更激进的是，许多模型将状态与正确的替代本身等同起来；他们可能认为法庭判决中的状态是正确的判决（“定罪”或“无罪”）。
将建模实践放在一边，哪些（已知或未知）事实决定了正确性，即构成了状态？可以区分逻辑事实、经验事实和规范事实。当一组逻辑学家投票决定一个论证是否有效时，正确性取决于逻辑事实。当一组气候专家预测 2100 年全球平均地表温度时，正确性也取决于经验事实。当议会决定是否向卫生系统分配更多资金时，正确性除了经验（和逻辑）事实外，还取决于规范事实。在许多社会决策中，正确性既取决于未知的经验事实，也取决于未知的规范事实，特别是对行动或对有价值的事物或应该做什么的信念的决策。
对陪审团定理持批评态度的人常常质疑正确性的概念本身。有人怀疑在政治、道德或其他评价性决策中，正确性所需的规范事实是否存在。这种批评通常以这样的形式表达：在某个领域中不存在与决策相关的“真理”（例如，Muirhead 2014 批评 Landemore 2013；参见 Gaus 2011 以了解 Estlund 2008 如何界定真实政治主张的领域）。某些决策确实可能是非认识论的。例如，对品味的判断可能表达了欲望，或者可能是没有正确性事实的信念。对于道德判断，正确性事实的存在和性质都是有争议的。
然而，请注意，道德和其他规范事实的存在并不依赖于元伦理现实主义、普遍主义或自然主义。例如，关于道德事实的建构主义可以提供一种在决策之前、即在社会中先行发生的互为主观共享的社会事实，这完全适用于陪审团定理。
总之，陪审团定理所需要的只是某种独立于过程的正确性事实的存在，即与群体（规模）的选择、研讨和汇总无关。
在政治环境中，真正的问题通常不在于不存在的正确事实，而在于定义模糊的决策问题。例如，在总统选举中，问题是谁最能促进公共利益，还是谁最能满足公民的偏好？模糊的决策问题导致模糊的正确标准。陪审团定理原则上仍然适用，但需要解决模糊性问题。
4.2 正确事实是否不确定？
许多群体决策问题显示出可能的不确定性：世界的真实状态可以（以非零概率）在总体影响（一个或多个个体）的影响下被客观地不确定，其中包括所有证据。陪审团在“有罪”和“无罪”裁决之间的选择通常显示出可能的不确定性，因为尽管支持其中一种状态，但总体可用的证据可能是客观上无法确定的。Dietrich 和 List（2004）的陪审团模型隐含地假设了可能的不确定性，因为即使对总体证据的理想解释也可能是错误的。Landemore（2013: 145）提到了决策的正确性仍然客观不确定的情况，因为真相从未以确定的方式揭示。这可以被解释为一种强烈的（“持久的”）不确定性类型：真相不仅在决策时的影响下客观不确定，而且在所有未来影响下也是如此。
可能的不确定性意味着个体判断、群体判断，甚至渐近群体判断（随着群体规模增加）都是有错误的，即存在非零概率的不正确性。原因很简单：每个判断都是由某些东西（总影响力）决定的，这些东西可能无法确定状态，因此不总是与状态相匹配。
存在例外情况。当数学家对数学猜想的真实性进行投票时，正确的决策是由逻辑事实给出的，因此永远不会不确定。即使如此，个体判断和（有限或渐近的）群体判断可能是不正确的，因为客观可接触的真相有一定概率在主观上没有被认可，例如由于主观上具有误导性的证据、不透明的逻辑事实或分散注意力的情况。
教训是，在可能的不确定性下，绝对正确的假设是站不住脚的，即使没有可能的不确定性，也是可疑的。然而，下一小节将讨论一种特殊情况，在这种情况下，群体在渐近上是绝对正确的。
4.3 无限证据生成？
或许渐近无误的唯一可能情况涉及无限证据生成的概念（或者用洪和佩奇 2009 年的话说是“生成的信号”）。这是什么意思，以及它有多可信？
假设每个个体都可以获取独立的私人信息，他们的判断仅基于这些信息，没有信息共享或依赖共同影响（Dietrich 和 List 2004 年的假设）。例如，医生对同一患者进行独立测试，以判断是否存在某种病毒，或者化学家进行独立实验，以判断液体是否含有某种分子。这些私人信息是有助于真实情况的：对于任何真实状态，该信息以超过 1/2 的概率支持真实状态（每个信息/每个个体的概率相同）。更有问题的是，私人证据在真实状态下是独立的。这排除了任何共同原因（除了状态本身）影响不同的私人信息的可能性：例如，患者的生理状况不能影响病毒测试（可能使所有测试都不可靠），液体的酸度水平不能影响分子测试（可能使所有测试都不可靠）。在这些值得怀疑的假设下，多数判断是渐近无误的，因为（状态）条件陪审团定理适用。
这种完全私密和独立信息的情景避免了共同原因的问题（第 2.2 节）和能力独立性之间的紧张关系（第 2.4 节），但是只是通过排除隐藏的共同影响，排除个体之间的信息交流，假设信息体系是可扩展的而不是固定的，并间接排除了第 4.2 节讨论的真理不确定性。个体“创造”新的独立信息（例如通过“实验”），而不是面对其他人共享的相同信息。增加群体因此增加了信息，而不是信息的解释。这种无限可获得的独立信息在决策问题中可能是近似现实的（例如通过实验产生信息而不仅仅是观察）。但是政治和其他现实生活中的决策问题涉及到有限且可能困难的已知或可知事实的信息体系，导致渐近的错误。
4.4 难以置信的真理问题
有些真理很难被认识到，因为它们非常具体，因此不太可能成立。认识到全球温度将会上升可能很容易，但是认识到它将上升 2.3 摄氏度就很难了。每当某个选择的替代方案（因此其正确性）非常具体时，陪审团模型的能力就会受到威胁。假设一个气候小组必须对命题 p（全球温度将上升 2.3 摄氏度）形成信念。某人在给定 p 的情况下的能力（更一般地说，给定蕴含 p 的事实）很容易低于 12，因为正确地认识到 p 是困难的。确实，现有的证据可能与接近但不同于 2.3 摄氏度的温度上升相符。p 的高度具体性的另一个影响是，在给定非 p（更一般地说，给定蕴含非 p 的事实）的情况下，能力可能变得非常高，因为非 p 是一个非常不具体和因此“可信”的命题。教训是，高度不平衡的选择替代方案 - 一个高度具体的替代方案对抗一个高度不具体的替代方案 - 会导致条件陪审团定理的能力假设下降。
相比之下，康多塞的能力假设和能力敏感的陪审团定理 UC 和 TC 不容易受到这个问题的影响。为什么呢？
UC 涉及到个体 i 的一般（“无条件的”）能力 P(Ri)，而不是他们在给定事实 x 的情况下的具体能力 P(Ri|x)。一般能力保持在 12 以上，因为“具体真理”的（容易出错的）事件比“不具体真理”的（有助于真理的）事件要不太可能发生。[17]
TC 明确允许（特定的）能力有时低于 12。
不可思议真理问题是 Estlund（2008: 232–4）的“分离问题”的一个变体，也是 List（2005）和 Dietrich 和 Spiekermann（2020）所诊断的问题。
4.5 讨论：独立性削弱者还是能力增强者？
两种直觉相互竞争：是通过降低判断独立性来威胁集体认知成功，还是通过提高个体能力来增加认知成功？
第一种直觉需要细化。通过增加投票的共同来源，陪审团定理降低了无条件的判断独立性；请参见第 3.4 节和图 4 [18]。因此，陪审团定理进一步削弱了康多塞（天真的）无条件独立性公理。但是，只要在共同原因上进行条件化，陪审团定理不会削弱条件独立性公理和能力敏感的陪审团定理 [19]。
转向第二种直觉，陪审团定理确实会影响能力。由于陪审团定理倾向于扩大判断的基础（再次参见第 3.4 节），因此对能力的影响往往是积极的，可以推测。在第 2 节考虑的所有三个能力公理中，陪审团定理比没有陪审团定理更容易满足。这一推测在图 5 中有所说明。
图 5. 三个例子说明了陪审团定理提高能力的情况。灰色：陪审前。黑色：陪审后。[图 5 的详细描述在补充材料中。]
图 a、b 和 c 分别指的是 Condorcet 的能力公理、条件性公理和能力敏感的陪审团定理。在这三个图中，能力公理在陪审前被违反，在陪审后得到满足-这是一个陪审至关重要的极端例子。在图 a 中，陪审使得一般能力 P(Ri)从陪审后 0.4 提高到 0.8，使得 Condorcet 的能力公理 UC 得到满足。在图 b 和 c 中，特定事实的能力分布上升，使得相应的能力公理得到满足。
明确地说，陪审有时会扭曲判断。有时会共享误导性证据和其他损害判断的来源，意见级联发生，不良意见领袖出现等（例如，Sunstein＆Hastie 2014）。因此，陪审提高能力的假设应该有所限制：陪审通常会改善判断，从而帮助 UC、CC 和 TC 等能力公理得到满足。
4.6 依赖于群体的个体能力
增加可靠性假设不仅受到群体中新增成员能力较低的威胁（第 3.2 节），而且还受到现有成员在群体增长过多时失去能力的威胁。首先，部分归功于成员的能力的讨论过程（第 4.5 节）可能变得不那么富有成效：一些机构过大，无法进行成功的讨论。其次，庞大的“匿名”机构可能会使成员失去动力，他们感到个人责任较小，对形成正确判断的努力也较少。相反的效果也是可以想象的：增加成员可以改善讨论和动力。机构不仅可能过大，也可能过小（例如，关于最佳议会规模的争论，例如，埃尔斯特 2012）。
所有这些都对陪审团模型的一个基本假设提出了质疑：即某人的判断和能力是与群体无关的，因此，例如，在一个由 3 个成员组成的小规模讨论组中和一个由 333 个成员组成的大规模讨论组中，判断和能力是相同的。这否认了群体动态对判断的任何影响。
为了模拟群体依赖性，个体 i 正确的事件 Ri 应该被取代为对于所有群体大小 n（即包括 i 的群体）的群体大小相关的正确性事件 Ri,n。个体 i 的能力，无论是一般的还是特定的，都成为一个群体大小相关的量，分别由 P(Ri,n)或 P(Ri,n|x)给出。人们可以假设能力是一个最初增加然后逐渐下降的函数，因此在某个“个体最优”群体大小 ni 处达到峰值。如果将群体独立判断的普通假设替换为后一种假设，那么陪审团定理的可靠性增加的结论仍然成立，但仅限于每个个体群体成员 i=1,…,n 的个体最优群体大小 ni 至多为 n 的群体大小。集体最优群体大小可以超过所有个体 i 的个体最优值，因为借助众多思维可以抵消个体能力的损失。但是，集体最优值可以有限，与可靠性增加的假设相悖。
4.7 知识策略性投票
传统的陪审团模型隐含地假设个体们共享正确集体决策的目标。令人惊讶的是，这种假设并不排除策略性投票。相反，选民可能会投票反对他们认为是正确的，以促进正确的集体决策。
这可以称为认识论战略投票，因为选民是出于共同的认识目标而进行战略规划，而不是出于利益冲突。这怎么可能呢？假设一个由 9 名陪审员组成的陪审团通过多数票达成有罪或无罪的裁决。一名陪审员推理道：
我相信有罪。只有当我的陪审团同事们意见分歧时，我的投票才会起到决定性的作用，即他们的意见分为 4:4。所以，让我假设存在这种分歧。但是，然后有四个（有能力的）同事相信无罪。所以无罪的可能性比我想象的要高。无罪的概率更高，这就为“无罪”裁决提供了合理性。所以我将投票支持无罪。
她的投票基于的是条件性的信念，而不是她的真实信念。如果每个人的推理都是一样的，那么没有人会透露他们真实的判断。投票不反映任何私人信息或见解，集体决策是随意的。即使每个人都相信有罪，被告也会被一致无罪释放。
幸运的是，这种荒谬的情况并不比真诚投票更稳定。为什么呢？导致不真诚投票的战略推理无法普遍化：它假设其他人会真诚投票。事实上，我们的示例陪审员假设她的同事在她的“但是”推理中是真诚的。
陪审团模型在博弈论中已经通过使用选民的私人信息进行认知战略投票进行了研究；参见奥斯汀-史密斯和班克斯（1996），费德森和佩森多弗（1999），佩莱格和扎米尔（2012），博兹贝，迪特里希和彼得斯（2014）等。一般的发现是，每个人的真诚投票不是（纳什）均衡，但通过仔细调整聚合规则可以恢复真诚投票的合理性，从而提出了一个程序（“机制”）设计问题，而不是群体设计问题。[20]
但是认知战略推理和投票真的可行吗？有三个非常不同的反对意见。首先，选民可能有有限的理性，并且无法（或不愿意）进行策略规划。其次，决策程序的变化，可能引入了投票前的审议，可以降低战略投票的可能性（例如，Coughlan 2000; Gerardi＆Yariv 2007）。第三，最有趣的是，在更丰富且更真实的选民动机图景下，真诚投票变得完全合理，狭义的结果关注被替换或补充为对投票行为本身的关注，通常是对真诚的关注，或对表达自己观点的关注，或对真诚规范的遵守的关注。文献对比了工具性投票和表达性投票（Brennan＆Lomasky 1993; Schuessler 2000）。为什么表达性关注（即使只是很小的关注）很容易排挤掉工具性关注，以至于真诚变得合理？原因是，在足够大的群体中，成为决定性的概率，即影响结果的概率很小，因此当解决选民的优化问题时，工具性关注几乎抵消了。因此，战略投票很可能是将纯粹的工具性偏好归因于选民的博弈论产物。
5. 其他类型的陪审团定理
陪审团定理讨论的适用于二元选择和多数规则。本节更一般地定义了认知聚合问题（第 5.1 节），然后讨论了聚合多个选择的陪审团定理（第 5.2 节），聚合估计（第 5.3 节），聚合评估或等级（第 5.4 节），聚合相互关联的命题的判断（第 5.5 节），以及追踪个别事实的选民投票的聚合（第 5.6 节）。许多定理得出了不可信的绝对正确结论；对这一结论的批判性分析（第 2 节）仍然适用。
5.1 更一般的认知聚合问题
一个认知聚合问题具有以下组成部分。
替代方案、投票和聚合。让 A 是一个非空集合，表示最一般意义上的“替代方案”——例如，选择替代方案、信念或判断集合，或者对选项的价值分配。决策组根据成员的投票选择一个替代方案，应用一些聚合规则 F，将每个投票数为 n≥1 的投票配置(a1,…,an)∈An 映射到一个决策 F(a1,…,an)∈A（或者可能是一个子集 F(a1,…,an)⊆A，以允许不确定的结果）[21]。例如，对于多数规则（假设 A 只包含两个替代方案），F(a1,…,an)是在 a1,…,an 中出现次数超过 n/2 次的替代方案 [22]。
投票者输入和集体决策在类型上不同（而不是都属于同一个集合 A）的聚合问题也可能是感兴趣的 [23]。我们在这里将它们放在一边。
正确性、状态和投票。每个替代方案都具有“真实”或“客观”值、质量或正确性水平。如果替代方案是信念或信念集合，价值通常取决于真实性；如果替代方案是对对象的评估，价值可能取决于与正确评估的距离等。价值由一个未知的“状态”确定。让 S 是可能状态的非空集合。个体 1、2、…的投票和状态被解释为随机变量 v1、v2、…和 s 的结果，其范围分别为 A 和 S。可以更或者更不复杂：
“简单”的正确性标准区分了两个正确性水平，“正确”和“错误”，并将状态与（单一的）正确选择 S=A 相对应。认知表现通过正确性概率来衡量，即判断与状态匹配的概率。因此，个体 i 的表现通过 P(vi=s)来衡量，集体表现通过 P(F(v1,…,vn)=s)来衡量。
在更一般的（“分级”）正确性标准下，每个备选方案和状态的配对（a,s）被赋予一个数值 V(a,s)，即在状态 s 下方案 a 的价值或正确程度。这定义了一个从 A×S 到 R 的值函数 V。认知表现通过期望决策价值来衡量：E(V(vi,s))衡量个体 i 的表现，E(V(F(v1,…,vn),s))衡量集体表现。这种一般情况更加灵活。例如，它可以区分类型 1 错误（如错误定罪）和类型 2 错误（如错误无罪）。简单的正确性标准是一种特殊情况。[24]
问题。尽管认知社会选择理论的大部分研究旨在优化给定固定群体规模 n 的聚合规则 F，但陪审团定理是一个例外。它们固定 F 并变化 n，研究集体认知表现（通过正确性概率或更一般的期望决策价值来衡量）如何取决于群体规模。一些著名的问题是：表现是否随着群体规模增加而提高（增加可靠性），还是在某个有限的群体规模达到峰值？集体在极限情况下表现如何？
5.2 多个选择之间的社会选择
人们可以陈述适用于多个聚合规则和选择问题的陪审团定理，从而显示几乎没有什么取决于二元选择和多数规则的经典焦点（Pivato 2017）。更具体地说，List 和 Goodin（2001）分析了在一些有限的备选方案 A 上的多数规则。采用简单的正确性标准（见第 5.1 节），他们表明，在基本上是经典的独立性、同质性和能力的假设下，多数规则的结果是渐近无误的。具体而言，给定一个正确的备选方案 a∈A，个体必须按独立和相同的概率进行投票，并且对于每个错误的备选方案，他们投票给正确的备选方案 a 的概率必须高于投票给每个错误备选方案的概率。有趣的是，这个正确性概率不必超过 0.5，只需超过每个错误投票的概率。可以猜测，在这些假设下，多数规则的结果不仅是渐近无误的，而且越来越可靠。
5.3 聚合估计
假设该团体必须估计或预测一些实值数量，例如通货膨胀、收入不平等或全球温度。在这里，A 是一个实数区间，例如 R 或 [0,1]，包含可能的估计值。让团体通过取成员估计的平均值（而不是像加尔顿在 1907 年关于群体智慧的经典论文中那样取中位数）来汇总成员的估计。形式上，
F(x1,…,xn)=1nn∑i=1xi
对于任何团体规模 n 和任何个体估计 x1,…,xn∈A。状态 s 是 A 中的真实数量(=S)。假设，在给定状态 s 的条件下，个体估计 v1,v2,…
独立的，
相同分布的，
期望正确的。[ 26]
条件（i）和（ii）反映了选民独立性和同质性的熟悉概念。条件（iii）捕捉了无偏性作为能力。然后，根据科尔莫哥洛夫（1930 年）（强）大数定律，平均估计 F(v1,…,vn)当 n 趋于无穷大时以概率 1 收敛于真实状态 s。[27] 这意味着渐近无误差。[28]
这将大数定律转化为了一个用于聚合估计的陪审团定理。它的独立性和同质性假设可以被大幅削弱。[29] 但是（可疑的）无偏性条件是必要的，这引发了对这个陪审团定理的担忧。
5.4 聚合评估或分级
一些选项、前景或其他对象根据某个标准进行评估（“分级”）。一幅画可以根据美丽程度进行评估：它是“美丽的”、“中立的”还是“丑陋的”？一个学术申请者可以根据研究能力进行评分。设 A 是可能的分级的有限集合，从“最高”到“最低”进行线性排序。状态 s 是 A（=S）中的真实值或分级。每个小组成员都会给出一个分级。将得到的分级配置文件（a1，…，an）聚合到中位数分级 a=F（a1，…，an），即在将 a1，…，an 按弱增序排列后的中间分级（为确保存在中位数，让 n 为奇数）。例如，如果一幅画被评为“美丽”两次，评为“丑陋”一次，其中 n=3，则中位数评估为“美丽”。给定状态 s 的实例，考虑选民 i 的正确概率 P（vi=s|s），过高估值概率 P（vi>s|s）和过低估值概率 P（vi<s|s）。过高估值概率与过低估值概率之间的绝对差定义了 i 的偏见，即过高或过低估值的倾向。Morreau（2021）证明了一个“分级陪审团定理”：如果在任何状态下，分级 v1，v2，…是（i）独立的，（ii）均匀分布的，并且（iii）足够无偏（即偏见低于正确概率），则中位数评估的正确概率随着（奇数）小组大小的增加而增加，并趋于确定性。[30] 只要正确概率超过偏见，正确概率可以变得非常小。如果真实值非常高或非常低，那么具有小偏见似乎特别困难，因为极端值很容易被低估或高估。
5.5 陪审团定理下的相互关联命题的判断聚合
在陪审团定理中，一个团体对几个命题形成是/否判断（List＆Pettit 2002; Dietrich 2007; 参见信念合并条目）。该团体可能判断经济增长是否会增加（命题 p），是否会错过一些气候目标（命题 q），以及前者是否意味着后者（命题 p→q）。这三个判断是相互关联的：一个人不能一致地接受 p，p→q 和 ¬q。让备选方案成为完整且一致的判断集合；在这个例子中，
A={{p,p→q,q},{¬p,p→q,q},…}.
状态 s 是 A（=S）中的正确判断集合，包含真实的命题。某人的能力在不同命题上可能有所不同。某人在某些命题上具有能力，即有可能正确判断真值，这构成了她的能力范围。
认识论上成功的陪审团决策规则往往依赖于个体具备能力的判断。在这个例子中，团体应该如何判断是否 q，即在什么情况下集体判断集合应包含 q，以及何时包含 ¬q？“基于结论的程序”采用对 q 的多数判断。“基于前提的程序”采用对 p 和 p→q 的多数判断的逻辑蕴涵。这两种主要程序中哪一种更有可能发现关于 q 的真相，大致取决于个体在 q 上是否主要具备能力，还是在 p 和 p→q 上主要具备能力。如果个体具有不同的能力领域，情况会变得复杂起来。
如果不仅 q 的正确性，而且 p 和 p→q 的正确性也很重要，那么情况会更加复杂。从技术上讲，这就是对 A 中判断集进行评估的正确性标准的细化，即认识论目标。正确判断 p 和 p→q 本身可能很重要。或者，关于 p 和 p→q 的判断可能作为关于 q 的判断的理由，并且对于正确的理由而言，正确判断 q 也很重要。在许多实际例子中，理由或证明是很重要的。例如，法院不仅应该做出正确的判决（定罪或无罪），还应该正确地根据事实和法律来证明它们。
陪审团定理涵盖了这些和其他见解，这些见解在 List (2005) 和 Bovens 和 Rabinowicz (2006) 中得到了发展。
5.6 陪审团定理用于追踪个体事实的选民
普通的陪审团定理假设了认知民主的经典范式：集体决策应该是正确的，个体投票是基于他们认为正确的事情。但是，即使选民不追求正确性，集体的正确性也可以出现。例如，即使选民投票是基于他们认为符合个人利益的事情，决策也可以符合集体利益。这就是陪审团定理用于追踪个体事实的信息。它们遵循了半认知民主的范式：集体决策仍然应该是正确的，但选民表达了对个体事实的判断。
在这个范式中，正确的投票取决于个体。理由可能是投票表达了关于代理人索引事实的判断，例如关于哪个选择对自己最好，即符合自己的利益。显然，“选项 X 符合我的利益”这样的判断的正确性是依赖于选民的。对于依赖于选民的正确性的完全不同的理由是，正确性事实是主观的——这是有时用于规范事实的元伦理学命题。无论哪种方式，个体可能无法确定哪个选择在个体上是正确的（例如，符合他们自己的利益或者是主观上正确的）。在这个框架中，个体的能力是追踪自己的正确性事实。
群体在其集体决策中追踪哪个真理？集体正确标准结合了个体标准。集体正确性可以被定义为大多数个体的正确性。[33] 追踪这个集体真理的自然方法是多数投票（假设只有两个选择）。然而，多数结果可能是集体错误的，因为个体可能投出个别错误的选票。然而，在一些简化的假设下，包括广义康多塞特能力和独立性假设，多数投票可以产生越来越可靠且可能渐近无误的结果（参见米勒 1986 年和 List＆Spiekermann 2016 年提出的定理）。
但是这种集体正确性的标准是可以质疑的。它仅仅依赖于一个替代方案在个体层面上的正确性频率。然而，某人的正确性标准（例如，她的福利）是否得到满足或违反也可能很重要。这在具体的例子中变得明显。为了考虑程度，让一个正确性标准由一个值函数 V 给出，将一个值或正确度分配给每个替代方案，形式上为 V：A→R。如果 V1，V2，...是分别属于个体 1，2，...的（未知的）值函数，那么替代方案在集体上有多有价值或正确？在加法方法下，集体值函数是 V1+⋯+Vn。如果个体值代表个体福利或利益，那么这种加法集体值代表功利主义集体福利；但是，对于价值的功利主义解释并不重要。现在，如果一个替代方案在 A 中最大化相关的值函数，那么它就是正确的（个体上或集体上）。在这种情况下，集体正确性不再简化为大多数个体的正确性。Pivato（2016）的统计功利主义定理——最初是关于做出近似功利最优决策的定理——可以解释为这种分级个体正确性和加法集体正确性的陪审团定理。
陪审团定理在追踪个体事实的选民的基础上，与普通陪审团框架和经典认识论民主有两个根本性的不同。首先，不同的选民追踪不同的“真相”，违背了认识论民主的概念。其次，集体正确的替代方案取决于群体规模 n，因此是一个随着选民增加而变化的移动目标。然而，这样的定理提出了一个显著的观点：追求个体利益的投票可以创造集体利益，就像通过一只看不见的手一样。即使选民追求不同的纯粹个体的真相，民主也能找到集体的真相。但是，如果选民表达被判断的个体真相或被判断的集体真相，民主是否更容易找到集体真相？这是一个对认识论民主来说尚未解答的问题。
6. 背景和选定的应用
6.1 陪审团定理和民主理论
是否群众能够聪明并且应该被委托重要决策是一个具有悠久哲学渊源的问题。雅典民主制度相对于寡头制的竞争对手增加了决策机构的规模，证明了这种扩大可以产生集体认知成功（Ober 2008; 2013）。在这个背景下，关于民主制度认知表现的哲学辩论开始了。例如，亚里士多德尽管对人民统治持怀疑态度，但承认群体智慧的可能性（亚里士多德，《政治学》：1281a11；Waldron 1995），尽管这种解读存在争议（Cammack 2013；Lane 2013）。
尽管在康多塞之前，关于借鉴众多思想的认知优势的辩论已经进行了很长时间，但他是第一个发展出类似现代陪审团定理的概率框架，并明确关注投票机制的人。康多塞的显著进展可能也影响了他的同时代人。让-雅克·卢梭对民主统治的论证受到了康多塞思想的影响，并且类似于他的定理的非正式陈述，根据 Grofman 和 Feld（1988）的一篇有影响力的文章（但请参阅 Wyckoff 2011 对该历史推测的批判性看法）。
尽管康多塞的陪审团定理在他去世后基本被遗忘，但他所发起的关于聚合的数学方法仍然存在。例如，弗朗西斯·高尔顿在 1906 年参观一个牛市时偶然发现了用于测试信念聚合认知表现的有用数据。高尔顿观察到了一个称重比赛：参与者被要求猜测一头牛的屠宰重量，并以书面形式提交他们的猜测。令高尔顿惊讶的是，中位数的猜测与实际重量相差不到 0.8％，远远超过了个体判断。尽管高尔顿没有直接引用陪审团定理，但他指出
中间估计表达了大众的意见，其他估计被大多数选民认为过低或过高。（加尔顿，1907 年）
康多塞是社会选择理论的奠基人，不仅因为他的陪审团定理而闻名。当邓肯·布莱克（1958 年）重新发现他的工作时，他的陪审团定理在政治科学和民主理论中受到了新的关注（格罗夫曼，1975 年似乎是首次使用“康多塞陪审团定理”这个术语）。然而，最初的反应并不友好：布莱克（1958 年：163）驳斥了选举中独立正确标准的想法，约翰·罗尔斯（1971 年 [1999 年]：315）对选票是否足够独立表示怀疑。布莱恩·巴里（1965 年 [2010 年：205-6]）可能是 20 世纪第一个肯定该定理对民主理论重要性的政治理论家。
当代民主理论对陪审团定理存在分歧。广义上讲，该领域区分了民主的工具性和程序性论证（德沃金，1987 年；利斯特和古丁，2001 年；安德森，2009 年）。近年来，对工具性论证，尤其是认知论证的兴趣日益增加。但即使在认知民主主义者中（早期的支持者包括科恩，1986 年；科尔曼和费雷约翰，1986 年；参见施瓦茨伯格，2015 年的概述），陪审团定理的价值也存在争议。一些认知民主主义者认为陪审团定理是证明民主合理性的核心工具（例如，利斯特和古丁，2001 年；兰德莫尔，2013 年；迪特里希和斯皮克曼，2013a；古丁和斯皮克曼，2018 年）。其他人持不同意见。例如，亨利·S·理查森（2002 年）拒绝了康多塞的独立性假设。大卫·埃斯特伦德则拒绝了康多塞的能力假设（埃斯特伦德，2008 年：第 12 章），并将康多塞的陪审团定理视为提供“过于脆弱的基础”（埃斯特伦德，2008 年：223）。伊丽莎白·安德森也对康多塞的不合理假设和结论提出了异议（安德森，2006 年）。
政治哲学中的这些辩论受到了对康多塞初始版本定理的关注的阻碍，因为它具有问题的假设和结论（见第 2 节）；这些反对意见通常对其他陪审团定理来说不那么重要。
格罗夫曼和费尔德通过将卢梭的观点归因于“每个选民都对他或她独立做出的选择进行投票，没有任何团体讨论”来消除对讨论的担忧（1988 年：570）。毫不奇怪，因为许多民主理论家将公共讨论视为工具性或内在价值，所以牺牲讨论以换取独立性的提议并未受到热情的回应。然而，近年来民主理论的辩论已经转向条件性的独立概念，这可以更好地容纳讨论和富有成果的交流，从而避免了有争议的绝对正确结论（参见第 2 节和第 4.5 节）。
一些认识论民主主义者担心过分关注陪审团定理（以及聚合更普遍地说）会压制其他重要的认识机制，例如民主实验（Anderson 2006；Fuerstein 2008）、个体学习与聚合相对立的学习（Müller 2018）、分布式搜索、讨论和学习。当然，陪审团定理只是一个构建模块；对集体决策的全面认识论分析还需要对这些其他机制进行建模。然而，陪审团定理可以协助对制度的认识论分析，并有助于评估政治代表性、两院制、认识论分工、政治线索获取、多样性的优点以及过度偏见的危险，仅举几个应用（Goodin & Spiekermann 2018）。陪审团定理还被用于分析法律制度，包括法律先例的重要性以及陪审团裁决的（不）正确性（例如，Vermeule 2009；Feddersen & Pesendorfer 1998；Coughlan 2000）。
6.2 陪审团定理和社会认识论
社会认识论可以大致分为群体认识论和群体中的认识论（Dietrich 和 Spiekermann 即将发表）。陪审团定理对前者至关重要，对后者也有间接影响。
群体认识论分析了群体如何成为认识者以及它们作为认识者的表现。应用社会认识论学者之间进行了激烈的辩论，探讨不同机构如何促进群体知识（以及促进效果如何）。例如，阿尔文·戈德曼（Alvin Goldman）的开创性著作《社会世界中的知识》（1999）在社会认识论分析民主制度时借鉴了孔多塞的陪审团定理。这一辩论还延伸到了法庭（Spiekermann 和 Goodin 2012；Sunstein 2009；Vermeule 2009）、互联网（Masterton、Olsson 和 Angere 2016）乃至科学界的知识及其被广大公众所认知的领域（Hahn、Harris 和 Corner 2016）。进一步拓展社会认识论的边界，甚至可以说动物的决策过程对群体知识的形成有更多或更少的促进作用（例如，Conradt 和 List 2009）。
陪审团定理对于社会认识论在群体中的间接影响更为重要，尤其是在同伴分歧下的信念修正。当了解他人的信念时，一个人应该如何修正自己的信念？许多人认为同伴的数量、他们的能力和独立性都很重要（Elga 2010；Kelly 2011；Lackey 2013）。例如，Barnett（2019）讨论了与“群体代表”存在同伴分歧的情况，该代表采纳了群体的多数观点。陪审团定理可以有助于系统地探讨这类问题。
陪审团定理文献还对社会环境中的意见独立性进行了分析，区分了不同的独立性概念：因果独立性、概率（“统计”，“证据”）独立性和推理独立性（一种代理人的自治形式）；参见第 2.2 节和 Lackey（2013）。这些概念中没有一个蕴含另一个，但它们经常被混淆。
6.3 陪审团定理和认识论社会选择理论
如果从数学角度来看，陪审团定理属于认知社会选择理论，是社会选择理论的一个分支（请参阅社会选择理论的条目）。社会选择理论研究群体中的聚合程序。与民主理论类似，社会选择理论有程序性和认知性两个分支。程序性社会选择理论学者希望程序本身对个体来说是“民主的”或“公平的”；他们制定了一些公理要求，捕捉规范原则（如匿名性或帕累托主义），并询问哪些程序满足这些要求 [36]。相反，认知社会选择理论学者希望程序“追踪真相”；他们对结果制定了一些认知标准（如高正确概率），并分析程序在多大程度上满足这些标准。
陪审团定理属于认知社会选择的范畴。在认知社会选择中，它们与传统的程序参数（如超过半数规则中的接受阈值或加权投票规则中的个体权重）相比，更关注决策机构的规模。陪审团定理旨在优化给定程序（例如，给定多数规则）下的群体规模，而不是优化给定群体规模下的程序。程序优化有时可以通过分析来实现。一般的发现是，在经典的独立性假设下，二元选择中认知上最优的程序是加权（简单的、超过半数或次于半数）多数规则，其中选民的权重是能力的一个明确定义的递增函数（对于小于 12 的能力，权重变为负值）；参见，例如，Nitzan 和 Paroush（1982），Ben-Yashar 和 Nitzan（1997），Dietrich（2006）和 Pivato（2013）。简单多数规则可能远非最优；在适当的情况下，如果选民能力相等且选项最初的正确概率相等，则简单多数规则是最优的。
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