康德的数学哲学 philosophy of mathematics (Lisa Shabel)

首次发表于 2013 年 7 月 19 日，实质修订于 2021 年 8 月 11 日。

伊曼努尔·康德在他的职业生涯中一直是数学的学生和教师，他对数学和数学实践的思考对他的哲学思想产生了深远的影响（Martin 1985; Moretto 2015）。他对数学判断的地位、数学概念、定义、公理和证明以及纯数学与自然世界之间的关系都有着深思熟虑的哲学观点。此外，他对“合成判断先验可能性如何？”这个一般问题的处理受到了他对数学及其成就作为一门有坚实基础的科学的理解的影响。

康德的数学哲学对于各种学者来说都具有多重原因的兴趣。首先，他对数学的思考是他批判性哲学体系的一个关键和核心组成部分，因此对于研究康德著作的哲学史学家来说，它们具有启发性。此外，康德对最基本和基础的数学学科的思考引发了当代感兴趣和相关的问题，这些问题继续影响着数学的形而上学和认识论中的重要问题。最后，对于如何解释康德的数学哲学存在着分歧，这产生了一个当前研究和辩论的丰富领域。

1. 伊曼努尔·康德的先验数学哲学

1763 年，康德参加了一个关于形而上学和道德的第一原理是否可以被证明，并以与数学真理相同程度的确定性达到的问题的论文竞赛。尽管他的论文在柏林皇家科学院的竞赛中获得了第二名（输给了摩西·门德尔松的《论形而上学科学的证据》），但它仍然被称为康德的“奖励论文”。这篇奖励论文于 1764 年由学院出版，题为《关于自然神学和道德原则的独特性的探究》，是康德先验数学哲学的重要文献。

在《奖励论文》中，康德试图比较数学和形而上学的方法（Carson 1999; Sutherland 2010）。他声称，“数学的任务是将清晰而确定的概念与大小的给定概念进行组合和比较，以确定可以从中推导出什么”（2:278）。他进一步声称，这个任务是通过对图形或“可见符号”的审查来完成的，这些图形提供了被综合定义的普遍概念的具体表示（Dunlop 2014, 2020）。例如，通过任意组合其他概念（“四条不平行的直线围成一个平面，使得对边不平行”[1]）来定义数学概念，并伴随着显示所定义的所有对象部分之间关系的“可感知符号”。定义以及基本数学命题（例如空间只能有三个维度）必须“具体审查，以便能够直观地认识它们”，但这样的命题永远无法被证明，因为它们不是从其他命题中推导出来的（2:281）。当简单的认知通过“综合的手段”（2:282）进行组合时，定理就被建立了，例如，证明两条弦在圆内相交所形成的线段的乘积是相等的。在后一种情况下，人们并不通过“绘制所有可能在 [圆] 内相交的线条”，而是只绘制两条线，并确定它们之间的关系（2:278）。由此推导出的“普遍规则”是通过显示的可感知符号之间的综合推断出来的，因此也是通过可感知符号所说明的概念之间的关系推断出来的。

康德得出结论，数学方法不能用于实现哲学（尤其是形而上学）的结果，主要原因是“几何学家通过综合获得他们的概念，而哲学家只能通过分析获得他们的概念——这完全改变了思维方法”（2:289）。然而，在这个前批判阶段，他也得出结论，即使缺乏其主要概念的综合定义，“形而上学也能够像数学一样具备产生确信所必需的确定性”（2:296）。（后来，在批判时期，康德将综合的概念扩展到不仅描述数学概念的起源和组合，还描述了统一多样的表象的行为。当然，他还使用“综合”和“分析”这两个术语来区分主语和谓语概念在任何类型的不同判断中相互关联的两种互斥方式，并强调这种区别的扩展意义，包括两种论证方式之间的方法论对比，一种是综合或进步的，另一种是分析或倒退的。下面将简要讨论这种分析/综合区别的各种意义。）

在 1768 年和 1770 年的论文《关于空间方向差异的最终基础》和《论感性世界和理性世界的形式和原则 [开题论文]》中，康德关于数学及其结果的思想开始朝着他的批判哲学的方向发展，他开始认识到感性能力在数学认知的论述中所起的作用（Carson 2004; Carson 2017; Posy 2020）。在这些论文中，他将数学推理的成功归因于其对“感性形式的原则”和“直观直觉的初级数据”的获取，从而产生关于大小和延展的“直观认知的法则”和“直观判断”。其中一种判断用于建立一个“与另一个完全相等和相似，但不能被同样的限制所包围的对象，即其不一致的对应物”（2:382）（Buroker 1981; Van Cleve and Frederick 1991; Van Cleve 1999）。康德在《空间方向》中引用这样的“不一致的对应物”来建立牛顿式绝对空间的可定向性和实际性，这是他当时对几何学的理解。他在《开题论文》中引用了同样的例子，以建立空间关系“只能通过某种纯粹的直觉来理解”，从而表明“几何学使用的原则不仅是不容置疑和推理的，而且还可以被心灵所洞察到。”因此，数学证据是“其他科学中所有证据的范例和手段”（2:403）。（后来，在批判时期的《导言》中，他将引用不一致的对应物来建立空间的先验观念性，从而否认他早期支持绝对空间的论证。）

2. 伊曼努尔·康德的数学批判哲学

2.1 伊曼努尔·康德在《纯粹理性的学科在教条使用中的建构数学概念的理论》中的理论

伊曼努尔·康德的数学批判哲学在《纯粹理性的学科在教条使用中》这一部分中得到了最充分的表达，该部分是《纯粹理性批判》的两个主要部分之一，即《先验方法论》。在《纯粹理性批判》的前几节中，康德对纯粹理性“根据纯粹概念的先验使用”进行了批判，以“限制其超越可能经验的狭窄界限之外的扩张倾向”（A711/B739）。但康德告诉我们，对数学进行这样的批判是不必要的，因为在数学中，纯粹理性的使用通过直观被保持在“可见的轨道”上：“[数学] 概念必须立即通过纯粹直观以具体方式展示，通过这种方式，任何不合理和武断的东西都会立即变得明显”（A711/B739）。然而，数学的实践和学科需要解释，既要解释其在证明实质性和必然性真理方面的成功，也要授权其作为推理模型的使用。因此，康德像在前批判时期一样，将自己的注意力集中在一个问题上，即是什么解释了“幸福和有根据”的数学方法，以及它是否在数学以外的任何学科中有用。为了否定后一个问题的答案，康德必须解释数学推理的独特性。

康德关于数学推理独特性的核心论点是他声称数学认知源于其概念的“构建”：“构建一个概念意味着先验地展示与之对应的直观”（A713/B741）（弗里德曼 1992 年，2010 年；沙贝尔 2006 年）。例如，虽然可以通过逻辑定义将三条直线所围成的直角三角形定义为一个概念（如欧几里得的《几何原本》所做的那样），但只有在展示相应的直观时，这个概念才能在康德术语的技术意义上被构建出来；在这种情况下，相应的直观是一个明显且立即可见的三边形的表象。康德认为，当为了进行几何证明所必需的辅助构造步骤而绘制一个三角形时，无论这个三角形是在纸上还是仅在想象中产生，都是先验的。这是因为在任何情况下，所展示的对象都不从任何经验中借用其模式（A713/B741）。此外，可以从这样一个个体三角形的展示中推导出关于所有三角形的普遍真理，因为所展示对象的特定确定，例如其边和角的大小，对于作为一般概念的展示三角形来说是“完全无关紧要”的（A714/B742）。因此，康德的论述必须抵御普遍认为不能从依赖于特定表象的推理中推导出普遍真理的立场（弗里德曼 2012 年，2020 年）。相关地，根据经验绘制的三角形的边不够完全直线也同样“无关紧要”于一般概念，因此这样的经验直观被认为足以进行几何证明。这引发了一个问题，即如何确保直观充分地展示了概念的内容（Dunlop 2012）；纯粹直观和经验直观之间的关系（Friedman 2012；Shabel 2003）；尤其是哪些直观展示的特征可以安全地忽略（Friedman 2010, 2012）。康德建构理论的这些特点还引发了关于数学概念的习得条件（Callanan 2014）；建构在间接还原证明中的作用（Goodwin 2018）；建构与定义之间的关系（Heis 2014, 2020；Nunez 2014）；以及建构中想象力的作用（Land 2014）的讨论。

最终，康德认为“只有数量的概念”（大小）可以在纯粹直观中进行建构，因为“质量只能在经验直观中展示”（A714/B742）（Sutherland 2004a, 2004b, 2005a, 2021）。这导致了数学认知和哲学认知之间的原则性区别：哲学认知仅限于抽象概念分析的结果，而数学认知是“一系列总是由直观引导的推理链”的结果，即通过对其对象的具体表示（Hintikka 1967；Parsons 1969；Friedman 1992；Hogan 2020）。康德在解释数学家如何建构算术和代数大小时有些费解，这些大小与几何推理的对象——空间图形有所不同。他通过区分“指示性”和“象征性”建构，将指示性建构与几何学家展示或展示空间图形的做法相对应，而象征性建构则与连接算术或代数符号的行为相对应（例如，“一个大小要除以另一个大小时，[数学] 根据除法的符号形式将它们的符号放在一起…”）（A717/B745）（Brittan 1992；Shabel 1998）。

康德进一步主张，纯粹的数量概念适合于建构，因为与其他纯粹的概念不同，它不代表可能直观的综合，而是“在自身中已经包含了纯粹的直观”。但由于这种“纯粹直观”的唯一候选者是空间和时间（“现象的纯粹形式”），因此只有空间和时间的大小可以在纯粹直观中展示，即建构。这样的空间和时间大小可以通过展示事物的形状来定性展示，例如窗户玻璃的矩形性，或者可以仅定量展示，例如窗户包含的玻璃窗格数量。无论哪种情况，所展示的内容都被视为纯粹和“形式直观”，对其进行检验可以得出超越与直观相关联的原始概念内容的判断。这样的判断典型地是合成先验判断（下文将更详细讨论），因为它们是超越经验而独立保证的扩展性真理（Shabel 2006）。

康德认为数学推理不能在数学领域之外使用，因为他理解的数学推理必然是针对“在纯粹直观中先验地和没有任何经验数据的情况下确定给出的对象”（A724/B752）。由于只有形式上的数学对象（即空间和时间的大小）可以这样给出，所以数学推理对于实质上给定的内容是无用的（尽管由数学推理得出的关于形式数学对象的真理可以有效地应用于这样的实质内容，也就是说数学适用于并且是关于现象的先验真理）（Shabel 2005）。因此，数学在其定义、公理和证明中找到的“彻底的基础”无法被哲学或物理科学“实现或模仿”（A727/B755）。

虽然康德关于数学概念构建的理论可以被看作是对康德理解下的数学实践的解释 [2]，但这一理论与康德对直观和概念之间的严格区分的更广泛承诺交织在一起（Smyth 2014）；以及合成判断和分析判断之间的区别（Anderson 2004, 2015；Hogan 2020）；不同认知能力的作用（Land 2014；Laywine 2014）；以及先天和后天证据和推理之间的区别（Anderson 2015）。最终，在“纯粹理性学科的教条用途”中发展起来的数学图景依赖于批判哲学旨在提供的完整判断理论，以及康德在《先验感性论》中提供的感性理论（Parsons 1992；Carson 1997；Risjord 1991），以及在《导论》的“主要先验问题”中对纯粹感性数学概念的“起源”和“有效范围”的调查（A725/B753）[3]。

2.2 伊曼努尔·康德对他的问题“纯数学如何可能？”的回答

康德对他的批判哲学提出了两个相关的主要问题：（1）合成判断先验如何可能？；以及（2）作为一门科学的形而上学如何可能（B19；B23）？数学为回答这些问题提供了一个特殊的途径，通过提供一个编码的科学学科模型，其可能性是清晰的，并且通过其自身对合成先验认知的实现来保证（Anderson 2015）。换句话说，关于合成先验判断在数学背景下如何被确认的解释，以及由此产生的关于一个系统的可证知识体系如何包含这些判断的解释，使得数学真理可以被引用为形而上学希望实现的实质性但必要且普遍的真理的范例。只有在考虑到康德对数学概念构建的理论（上文讨论过）时，才能充分理解他对数学和形而上学知识的本质和可能性的更广泛问题的处理（Jauernig 2013）。

在《任何未来形而上学的序言》和《纯粹理性批判》的 B-引言中，康德引入了分析/综合的区别，区分了谓词属于或包含在主体概念中的判断和谓词与主体概念相关但超越主体概念的判断。在每篇文章中，他在介绍这一区别之后，讨论了他的主张，即所有数学判断都是综合的先验判断。他在那里声称，首先，“适当的数学判断总是先验判断”，因为它们是必然的，所以不能从经验中推导出来（B14）。然后，他解释了这种非经验判断如何能够是综合的，即它们如何能够用来综合一个主体和谓词概念，而不仅仅是阐明或分析一个主体概念的构成逻辑部分。

在这里，康德以著名的算术命题“7 + 5 = 12”为例，并认为这样的判断是综合的。他从否定的角度进行论证，声称“无论我如何分析这个可能的和（七和五的和）的概念，我仍然找不到其中的十二”，同时也从肯定的角度进行论证，声称“必须超越这些概念（七和五），寻求与之对应的直观，比如说五个手指……然后逐个将直观中给定的五个单位加到七的概念中……从而看到数字 12 的出现”（B15）。他认为，诸如“7 + 5 = 12”这样的算术命题的必然真理不能通过任何逻辑或概念分析的方法来建立（安德森 2004 年，2015 年），但可以通过直观的综合来建立（帕森斯 1969 年）。最近，关于康德的算术理论的讨论已经从关于算术判断的综合性和先验性的问题转向了对康德关于数字的论述的调查。在这里涉及到的主题包括序数和基数（萨瑟兰 2020 年，2020 年）；实数（泰特 2020 年；范·阿滕 2012 年）；有限主义（泰特 2016 年；西格 2016 年）；无穷和无穷小（布里坦 2020 年；斯密斯 2014 年，2021 年；沃伦 2020 年）；以及数字概念在康德对经验可能性的构想中的核心地位（卡森 2020 年）。

伊曼努尔·康德在讨论算术推理和真理之后，提出了关于欧几里得几何的相应观点，即几何原理表达了概念之间的综合关系（例如直线概念与两点之间最短线段概念之间的关系），这两个概念都无法从对方中“提取”出来。几何原理因此表达了基本几何概念之间的关系，因为这些关系可以在直观中“展示出来”（Shabel 2003; Sutherland 2005a）。此外，康德还将几何定理作为合成命题（除了几何原理之外）的一种形式，并对几何证明提出了思考（A716–7/B744–5）（Friedman 1992, 2010; Shabel 2004）。理解几何定理的合成性的一种方式是认识到直观在几何证明中具有不可或缺的图示作用（Shabel 2004, 2004）。

值得注意的是，康德声称几何定理是综合的范围并不透明。他否认了从矛盾原理中可以分析认识到原则（Grundsätze），但他承认建立几何定理所需的数学推理确实是“按照矛盾原理进行的”，并且“当然可以根据矛盾原理理解综合命题”，尽管“只有在假定了另一个综合命题的基础上，它才能被推导出来，而不能单独存在”（B14）。因此，尽管他明确指出所有数学判断，包括几何定理，都是综合的，但对于这些命题或支持它们的推理“与”矛盾原理相符意味着什么，以及从中推导出来的可行性的含义，他并不那么清楚（Hogan 2020）。这导致了对解释的分歧，即可证明的数学判断是通过严格的逻辑或概念推理从综合原则中得出的，因此仅与矛盾原理严格一致，还是它们是通过依赖于直觉的推理推导出来的，但这些推理不违反矛盾法则。因此，人们对于康德是否仅仅致力于数学公理的综合性（通过逻辑推理将综合性传递给可证明的定理），还是致力于数学推理本身的综合性存在分歧。前一种解释立场最初与恩斯特·卡西勒和刘易斯·怀特·贝克相关联；后一种解释立场与伯特兰·罗素相关（Hogan 2020）。戈登·布里坦（布里坦 2006）将这两种立场都称为“证据主义”，即根据这种解释，直觉为数学真理提供了不可或缺的证据，无论这些证据是支持公理还是推理，或者两者兼而有之（布里坦 2006）。

对康德数学哲学中这一解释问题的关注对于阐明更一般的问题至关重要，即什么使得合成先验认识成为可能，这是康德《纯粹理性批判》的核心问题。关于这个更一般的问题，重要的是区分康德对“分析”和“综合”这两个术语的使用，以标志逻辑-语义上的判断类型之间的区别。康德用这种区别来捍卫数学认识是合成先验的独特论点，同时他也用这些术语来标志传统数学区别，即分析和综合方法之间的区别。他运用后者的区别来确定回答“纯粹数学的可能性”问题的两种不同的论证策略。分析方法的特点是通过推理将给定的认识体系（如数学）追溯到其在心灵中的起源或来源。相比之下，综合方法旨在直接从这些原始的认知来源中推导出真实的认知，这些来源或能力首先独立于可能最终产生的任何特定的认知体系（包括数学）。康德在他的《导言》中采用了前一种方法，从数学判断的综合先验性出发，论证了空间和时间是人类感性的形式；他在《纯粹理性批判》中采用了后一种方法，论证了人类感性的形式，即空间和时间，为推导合成先验的数学判断提供了基础（沙贝尔 2004）。这些论述，连同他对所有数学判断的综合和先验性质的详细阐述，为数学的可能性问题提供了答案：产生典型的综合和先验判断的数学科学的实践是基于并由人类感性的本质以及特别是人类经验对象的时空形式所解释和解释的（Van Cleve 1999）。但是，这个答案引发了进一步的问题，特别是如何区分空间的形而上学和几何学表示（Carson 1997; Friedman 2000, 2015, 2020; Onof and Schulting 2014; Tolley 2016）。

2.3 伊曼努尔·康德对先验主义中数学角色的概念

康德的数学实践理论不仅与他对直觉和感性的理论相连接（如上所述），而且与他的先验主义教义的其他方面相连接，这在康德的批判性著作中得到了阐述。

在先验分析中，康德推导出了十二个范畴表，或者说纯粹的理解概念，其中前六个被他描述为“数学的”（与“动力学的”相对），因为它们关注直观对象（B110）。数的概念被视为“属于”“整体性”或“全体性”的范畴，而这个范畴本身被认为是由统一性和多样性的概念的结合所产生的（Parsons 1984；参见 2.2 节中与康德关于数的论述相关的其他主题）。但是，康德进一步声称，在表示无限性时出现的困难——其中据称用没有数的表示来表示统一性和多样性——揭示了数的概念必须要求“理解的特殊行为”的中介（B111）。（这个特殊行为很可能是康德描述的既涉及想象力又涉及理解的综合，而完整的判断理论——包括先验推演和图式学——就是解释这个综合的任务（Carson 2017；Longuenesse 1998）。）因此，尽管他还声称算术“通过在时间中逐次添加单位来形成其数的概念”（4:283），但是错误地推断算术与时间的关系就像几何学与空间的关系一样，因为对时间的形式直觉无法解释数的一般和抽象科学。[5] 事实上，康德宣称力学是与时间相关的数学科学，就像几何学与空间相关一样（Sutherland 2014）。

在《概念图式》中，康德试图确定一种特定的机制，使纯粹的理解概念能够包容它们异质的感性直观。这些范畴必须被“图式化”，因为它们在纯粹理解中的非经验起源使得它们无法直接与经验对象相连接；先验图式是一种中介表象，旨在以规则为基础建立纯粹概念与现象之间的联系。在这个背景下讨论了数学概念，因为它们是纯粹但也是感性的概念：它们是纯粹的，因为它们在起源上是严格的先验的，但它们是感性的，因为它们是具体构建的。（康德通过将数字确定为数量范畴的纯粹图式进一步复杂化了这个问题。）这引发了一个解释性问题，即数学概念的概念内容是否需要通过可区分的“第三个事物”进行图式化，如果需要，它意味着什么。更广泛地说，问题是关于先验想象力在数学背景下的运作方式（Domski 2010）。

最后，在《原理分析》中，康德推导出“从纯粹的理解概念中先验地流出来”的综合判断，这些判断构成了所有其他先验认识的基础，包括数学的认识（A136/B175）。与数量范畴（即统一性、多样性和整体性）相关联的纯粹理解原则是直观的公理。而数学原则本身“仅从直观中得出”，因此并不构成纯粹理解原则体系的任何部分，对于这种数学原则的可能性的解释（如上所述）必须补充一种关于最高可能的先验原则的论述（A148–9/B188–9）（Shabel 2017）。因此，直观的公理提供了一个元原则，即数量的数学原则的原则，即“所有直观都是广阔的量”（A161/B202）。大多数评论家认为康德在这里指出了为什么数学原则（与纯粹的空间和时间有关）适用于现象：现象只能通过与空间和时间一般确定的合成来表示（A161/B202）。因此，所有直观，无论是纯粹的还是经验的，都是受数学原则支配的“广阔的量”（For an alternative view of the Axioms, see Sutherland 2005b）。

值得注意的是，《判断力批判》中的关键段落涉及数学和“数学的崇高”（Fugate 2014; Breitenbach 2015）。特别参见 [5:248ff]。

3. 对康德的数学哲学的评论

3.1 领域的历史

康德对数学的概念在他的同时代人中引起了争议；对弗雷格、罗素和胡塞尔产生了影响和挑衅；并为布劳尔直觉主义提供了灵感。他对数学的概念在戈特弗里德·马丁的 1938 年专著《康德的算术与组合学》（马丁 1985）中被重新注入了值得深入研究的历史地位。尽管当代评论家在如何最好地理解康德的思想方面持有非常不同的立场，但他们在反对一个长期以来的标准故事上基本上是一致的（可能最初是由伯特兰·罗素在他的《数学原理》和鲁道夫·卡尔纳普在他的《物理学哲学基础》中提出的），即现代逻辑在 19 世纪和 20 世纪的发展、非欧几何的发现以及数学的形式化使康德基于直觉的数学理论和相关的哲学承诺过时或无关紧要。当代评论家试图从康德自己的历史背景的角度重建康德的数学哲学，并确定康德的数学哲学中具有永恒哲学兴趣的要素（帕森斯 2014）。

在分析传统中，对康德数学哲学的英语语言学术研究（本文的重点）最受雅科·欣蒂卡（Jaakko Hintikka）和查尔斯·帕森斯（Charles Parsons）之间关于康德对直观在数学中的作用的观点的持久辩论的影响最为深远，这导致了所谓的“逻辑”和“现象学”解释；受迈克尔·弗里德曼（Michael Friedman）的开创性著作《康德与精确科学》（Friedman 1992）以及他现在经典的文章《康德的几何学理论》和《康德及其继承者的几何学、构造和直观》（Friedman 1985, 2000）的影响；以及卡尔·波西（Carl Posy）的专著《康德的数学哲学：现代论文集》（其中包括欣蒂卡、帕森斯和弗里德曼的贡献，以及斯蒂芬·巴克、戈登·布里坦、威廉·哈珀、菲利普·基彻、亚瑟·梅尔尼克、卡尔·波西、曼利·汤普森和 J·迈克尔·杨的贡献，这些贡献都是在二十五年前以上发表的（Posy 1992））。

3.2 解释性辩论

对于如何理解康德对直觉在数学推理中的作用的解释性辩论对康德数学哲学研究的形态产生了最强烈的影响；这一辩论直接涉及到数学公理、定理和推理的综合性问题（如上所述）。在他对心智表象的一般讨论中，康德暗示直觉表象的非概念性和独特性都是综合判断的标准，这种表象是综合判断的基础。查尔斯·帕森斯（Parsons 1964, 1969, 1984）在一系列论文中提出，数学判断的综合性取决于数学直觉的基本直接性，并以感知方式解释这种表象的直接现象学存在于心智中。雅科·欣蒂卡（Hintikka 1965, 1967, 1969）在发展 E.W.贝斯早期工作的思想基础上，反驳说数学判断的综合性仅取决于其直觉成分的独特性。欣蒂卡将数学直觉归类为特指项或个别事物，并通过类比逻辑存在实例化规则的应用来解释数学背景下直觉的使用。这两种立场分别被称为“现象学”和“逻辑”解释。

迈克尔·弗里德曼（Friedman 1985, 1992）关于直觉在数学推理中的作用的原始立场源自贝斯（Beth）和欣蒂卡（Hintikka）的观点，尽管与他们的观点有很大不同，并且在他最近的著作中进行了修改。在他的《康德与精确科学》（Friedman 1992）一书中，弗里德曼认为我们现代逻辑的概念应该被用作解释（而不是批判）康德的工具，指出现代量化理论的多元逻辑所能生成的无限数学对象的明确表示在康德时代的数学家和逻辑学家中是概念上无法获得的。由于单元逻辑无法表示无限的对象，18 世纪的数学家依赖直觉来提供数学推理所需的表达。弗里德曼根据这一历史洞察力详细阐述了康德的数学哲学。

弗里德曼在 Emily Carson（Carson 1997）的批评下修改了他最初的立场，Carson 提出了一种康德几何理论的解释，其对形式主义的强调是帕森斯式的，强调了认识论和现象学在数学中直观作用的逻辑角色。在最近的研究中（Friedman 2000, 2010），弗里德曼认为，几何学的基础直觉是基本上是运动的，并且最好通过描述欧几里得几何学家的建构行为和普通的、以空间为导向的观察者的感知视角的平移和旋转来解释。这种论述在很大程度上将逻辑和现象学的解释性论述进行了综合，主要是通过将想象力所探索的几何空间与康德所说的所有外部感性的形式——透视空间相连接。更具体地说，弗里德曼通过“将纯粹逻辑的几何构造（作为斯科勒姆函数）嵌入到空间中，作为我们外部感性直观的纯粹形式（如《先验美学》中所描述的）”（Friedman 2012，n.17）来调和逻辑解释与现象学解释。此外，弗里德曼反对康德直观的图解解释（Friedman 2012），并且从 B-推论中提供了证据来支持他对几何构造、感知空间和物理空间之间的联系以及几何学与经验之间关系的理解（Friedman 2020）（Friedman 2015）。

3.3. 领域的现状

新一代学者为康德的数学哲学的解释和遗产做出了活跃、富有成果且持续的讨论，这源自于 3.1 和 3.2 中提到的文献。然而，最近的研究不容易被归类为站在某一种解释性辩论的一边，大多数学者都将该领域的基础讨论作为一个跳板，从中探索数学在批判哲学中发挥作用的各种方式。2020 年，卡尔·波西和奥弗拉·雷希特出版了波西 1992 年的著作的续集的第一卷，题为《康德的数学哲学，第一卷：批判哲学及其根源》。这一卷包括了十二篇论文，涵盖了从康德数学哲学的前批判起源到他对数学方法、逻辑、几何和算术的批判思考的各个主题。即将出版的第二卷将重点关注康德数学哲学的接受和影响。还值得注意的是，加拿大哲学杂志的一个特刊中首次发表的一系列文章《康德：批判哲学中的数学研究》，由艾米莉·卡森和丽莎·沙贝尔编辑（卡森和沙贝尔 2014）。这里收集的九篇文章旨在探索数学在康德整体哲学体系中的核心地位。丹尼尔·萨瑟兰最近写了一本关于康德数学哲学的专著《康德的数学世界：数学、认知和经验》（萨瑟兰 2021），他将焦点放在康德关于量的理论上，这是理解我们对世界的认知和经验的关键。第二卷即将出版。

Bibliography

References to Kant’s texts follow the pagination of the Academy edition (Gesammelte Schriften, Akademie der Wissenschaften (ed.), Berlin: Reimer/DeGruyter, 1910ff.) References to the Critique of Pure Reason employ the usual A/B convention. Translations are from the Cambridge Edition of the Works of Immanuel Kant.

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