形式逻辑中的句子连接词 sentence connectives in formal logic (Lloyd Humberstone)

首次发表于 2010 年 5 月 4 日星期二；实质性修订于 2020 年 1 月 28 日星期二

自然语言的句子连接词（如“和”、“或”）传统上在各种形式逻辑系统中通过相应的连接词模拟其使用方面。 （事实上，我们更宽泛地使用“连接词”这个词，这样就不必有两个或更多句子连接在一起，从而使我们能够将“非”和“必然”等词的类比也视为连接词。）这一努力引发了以下问题。 （1）哪些自然发生的句子连接词需要这种处理？ （哪些应被视为“逻辑常量”？）（2）在这个过程中模拟的使用方面是否穷尽了我们可能认为的它们的含义，或者通常存在一些不匹配？ 当然，第二个问题取决于给定的具体形式处理，因为不同的逻辑可能在赋予其代表的形式原则方面存在分歧——例如在“如果”这种情况下，但根据一条著名的思路（由 H. P. Grice 发展），当我们专门关注它们在经典命题逻辑中的处理时，任何这种明显的不一致之处都可以通过诉诸调节普通合作对话的语用原则来解释，并不反映含义的差异（语义差异）。

这里不会讨论问题（1）和问题（2）。相反，本文关注这些连接词的形式代表之间的属性和关系。这些属性的例子包括真功能性和一种称为同一性的替换属性，这些关系的例子包括我们所称的子连接关系——当（粗略地说）适用于一对连接词中的第一个的每个逻辑原则也适用于第二个时。事实上，所有这些概念都受到进一步的相对性影响。例如，根据给定逻辑，一个连接词是或不是同一性的，类似的相对性也存在于一个连接词是否是另一个连接词的子连接词的情况下。另一方面，正如下文所定义的真功能性，一个连接词是或不是相对于真值赋值类的真功能性——各种有趣的进一步关系导致了这个概念的相应逻辑相关版本，这取决于真值赋值类与逻辑相关联的不同方式（这又取决于我们如何看待逻辑——例如，作为一个普通的推论关系，或者作为一个“多重结论”推论关系：请参见下面的附注 1）。对于一些其他属性，进一步的相对性有所不同。例如，一个给定的连接词是否是唯一特征化的——即受规则控制，当这些规则被重复使用以控制一个新的连接词时，用原始连接词和新连接词形成的复合句完全可以互换——这种相对性不仅仅取决于逻辑，还取决于特定的证明系统（系统化逻辑的规则集）。

第 1 节介绍了形式句子语言的概念，将其视为（绝对自由）代数，其原始连接词具有这些代数的基本运算的地位，并解释了这种语言上的推论关系的概念。在更一般的层面上，还介绍了伽罗瓦连接，并对我们所称的二元关系连接进行了简单观察，以便在后续章节中应用。第 2 节介绍了语言估值的基本概念（对其公式进行双值真值赋值）。解释了真值功能性以及对其进行的一种称为伪真值功能性（关于一类估值的连接词）的概括，以及序言和序言到序言规则的概念。然后我们转向最初构想的序言的更一般概念，允许一组公式扮演结论角色，而不仅仅是单个公式，以及相关的广义推论关系的概念，强调卡尔纳普对于进行这种概括的动机。这种动机可以通过参考一个连接词来概括。我们以否定为例。考虑由所有估值类确定的推论关系，其中通常的否定真值功能连接词与否定连接词相关联。这可以被视为否定的经典逻辑，至少如果逻辑与推论关系等同的话。现在，存在其他与这种推论关系一致的估值，其中否定真值功能未与否定连接词相关联。（估值与推论关系一致性的术语是从达纳·斯科特那里借鉴而来。精确定义出现在第 2 节。）但是当我们考虑广义推论关系时，类似的差异并不会出现。第 2 节包括了 D. Gabbay 的一个结果陈述，精确地确定了不会出现这种差异的真值函数（大致为：与合取真值函数和各种投影函数的概括），以及 W. Rautenberg 的一个结果，显示尽管在推论关系的装置中存在这种表达上的弱点，但它们足够具有区分能力——无需转向广义推论关系——来区分任意两个真值函数的逻辑属性（具有相同的元数）。

第 3 节继续讨论 sequent-to-sequent 规则的主题，集中在类似 J. W. Garson 风格的这些规则的语义分析上，还关注满足给定规则的连接词的存在性和唯一性（这是 H. Hiż 引入的一个主题）。这最后两点被认为与我们所称的 cut-inductivity 和 id-inductivity 有关，特别是 sequent-演算规则的，通过在前一种情况下，提出一个建议，将连接词的存在（具有规定的逻辑行为，考虑到逻辑未明确提供这样的连接词的情况下）与保守扩展（通过规则为新连接词提供详细行为的给定逻辑的扩展）联系起来。这个建议是由 N. D. Belnap 提出的；一些关于保守扩展作为授予具有特定逻辑属性的新连接词存在或可理解性的充分条件的问题被指出。第 4 节收集了几个有趣的案例，其中人们可能会对具有各种属性的连接词的存在性产生疑问。例如（这是七个案例中的第 3 个案例），人们可能会问是否有意义拥有一个具有以下属性的 1 元连接词：这个连接词的两次应用等同于（经典的）否定的一次应用。第 5 节汇编了补充说明和参考资料。

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1. 准备工作

命题逻辑形式语言的连接词通常被期望展现自然语言句子连接设备的显著特征，尤其是被视为逻辑词汇项目的设备（and, or, not, if–then,…），尽管我们不会关心它们的“逻辑性”是什么。这是一个涉及表达式和结构（如量词、恒等谓词等）的问题，而不仅仅是句子连接词的问题；对于这个问题，应参考约翰·麦克法兰（2015）的条目“逻辑常量”。相关的形式语言可以被认为在最终基于相同可数无穷的命题变量或“句子字母”p1, p2,…的供应上构建它们的公式，其中我们为方便起见将前三个写为 p, q, r。它们的区别在于原始连接词的库存。例如，我们有语言 L = (L, ∧, →, ¬, ⊥)，其中 L 为公式集，连接词如所示，分别为 2、2、1 和 0 元。在最后两种情况下，我们毫不犹豫地称之为连接词，即使没有两个或更多公式需要“连接”。请注意，0 元或 nullary 连接词已经是公式——有时被称为句子常量——本身。正如符号所示（用粗体大写字母表示代数，用相应的斜体大写字母表示它们的宇宙），我们认为——波兰传统中——语言是代数，将原始连接词与这些代数的基本操作等同起来，特别是作为它们相似类型（在本例中为 ⟨2,2,1,0⟩）的绝对自由代数，其中 p**i 为自由生成器。这使我们可以通常地谈论给定公式的主要连接词，出现在其中的变量以及更一般地这样或那样公式的子公式等，而不仅仅限于将公式解释为通过串联各种符号获得。

除了上面解释的原始连接词和目前推广到派生连接词的“句法操作”意义之外，术语的另一个用法是不可或缺的：指的是具有特定逻辑行为的连接词，例如当人们想要比较直觉主义和经典蕴涵的行为时。我们将会看到一个后果关系的概念，作为指定这种行为的一种方式。如果 ⊢ 是这样的一个关系，那么在上述意义上有一个唯一的语言，即 ⊢ 的语言，我们可以将这种“逻辑上负载”的连接词的意义看作适用于有序对 ⟨#, ⊢⟩；因此，在直觉主义蕴涵的情况下，这将是 ⟨→, ⊢I L⟩，其中 ⊢I L 是直觉主义逻辑的后果关系。（事实上，最好将这些有序对在翻译等价关系下取等价类，但我们将不再明确使用这些有序对或任何这样的等价类，并将讨论的这一方面保持相对非正式。我们将不再说“⟨#, ⊢⟩”，而是会说类似“# 根据 ⊢ 的行为”。更好的做法是不使用后果关系——或后来引入的广义后果关系——作为代表者 ⟨#, ⊢⟩ 的第二坐标，而是在这里插入一个证明系统的参考——一组如下所介绍的 sequent-to-sequent 规则，因为逻辑之间的重要差异未能显示出仅仅将它们作为后果关系个体化的水平。

‘语言作为代数’的观点还使我们能够方便地将矩阵评估（见第 5 节）定义为从公式代数到所讨论矩阵的同态映射，将派生连接词和（句子）上下文定义为项函数（以前称为多项式函数）和代数函数（现在通常称为多项式函数），等等。如果讨论涉及到无穷连接词、分支连接词和其他各种奇特设备，这种处理可能需要一些修改，但在不触及这些内容的情况下，已经有足够的内容可以考虑了。

例如，存在上述符号用于 L 的运算的问题。这样的选择表明 ∧、→、¬ 将分别表示合取、蕴涵（或条件）和否定，即意图捕捉 and、if-then 和 not 的某些行为方面，并且 ⊥ 将是某种虚假常量。（类似地，当我们固定符号时，如果我们写了“∨”、“↔”或“⊤”，我们将引发析取、等价或双条件性以及真常量的期望。）我们可以将这看作是 L 提供的某个证明系统要认可的推理模式的问题，或者是这种语言的公式如何通过为它们分配适当的语义值（这里最简单的候选者是真值）来解释的问题。我们将前者称为逻辑的证明论或语法特征化，将后者称为语义特征化。这个术语有些不幸，因为逻辑哲学中一个完全受人尊敬的观点（至少可以追溯到 Gentzen）认为，逻辑词汇项的含义，例如当前关注的连接词，对于一个特定的推理者，是通过给出规定这些项在代表该推理者的（也许是理想化的）推理实践的证明系统中受支配的原始规则集合或其中一个受青睐的子集的规范来确定的。我们稍后将讨论其中一些问题，首先重新介绍故事的语义方面，开始下一节。

我们首先需要一些一般性的准备工作，暂时忘记预期的应用场景，让我们定义一对函数 (f, g) 在给定集合 S 和 T 之间是一个 Galois 连接，当 f: ℘(S) → ℘(T) 且 g: ℘(T) → ℘(S) 时，对于所有的 S0, S1 ⊆ S，T0, T1 ⊆ T，我们有 S0 ⊆ g(f(S0))，T0 ⊆ f(g(T0))，S0 ⊆ S1 ⇒ f(S1) ⊆ f(S0)，以及 T0 ⊆ T1 ⇒ g(T1) ⊆ g(T0)。众所周知，在这种情况下，g 与 f（或 f 与 g）的复合是 S（或 T）上的一个闭包运算，即一个函数（我们考虑 S 的情况）C: ℘(S) → ℘(S)，满足对于所有的 S0, S1，S 的子集：

_S_0 ⊆ C(_S_0) C(_S_0) ⊆ C(_S_0 ∪ _S_1) C(C(_S_0)) ⊆ C(_S_0).

此外，若 R ⊆ S × T，我们可以称之为二元关系连接（在 S 和 T 之间）的三元组 ⟨R, S, T⟩，当我们对于所有 S0 ⊆ S，T0 ⊆ T 时，会在 S 和 T 之间引出一个 Galois 连接（f R, g R）：

f R(S0) = {t ∈ T：对于所有 s ∈ S0，R(s, t)}g R(T0) = {s ∈ S : 对于所有 t ∈ T0，R(s, t)}.

（“S”和“T”在这里是“源”和“目标”的记忆法；请注意，我们不要求 S ∩ T = ∅，甚至 S ≠ T。）假设我们考虑的不是开头段落中的句子语言，而是一阶语言，并将 S 视为这种语言的封闭公式集合，将 T 视为该语言的模型（解释，结构，...）集合，那么当 M ⊨ φ 时，R 是封闭公式 φ 和结构 M 之间的关系，f R(S0)和 g R(T0)通常用 Mod(S0)和 Th(T0)表示。（标签旨在暗示“所有模型的类”和“理论的”，分别。）在这种情况下，派生的闭包操作 Th ○ Mod（将 S0 映射到 Th(Mod(S0))）和 Mod ○ Th（类似理解）分别在 S 和 T 上提供 S0 的一阶后果集合以及验证 T0 中每个 M 验证的所有句子的所有模型的集合。在后一种情况中只有一个这样的 M 时，所提供的是与 M 元素等价的结构类。（在这里，我们考虑的是经典的一阶模型论。）

回到前面的情况：正如对术语“后果”的使用提醒我们的那样，对某种语言的公式集合进行的一个闭包运算通常被称为后果运算，也许使用符号 Cn(⋅)而不仅仅是 C(⋅)可能更方便，尽管通常更方便用相应的后果关系来讨论，后者在一组公式 Γ 和一个单独的公式 φ 之间保持，以某种方式表示为“Γ ⊩ φ”，“Γ ⊢ φ”等，当 φ ∈ Cn(Γ)时；当关系在语义上被定义时，通常会将“⊨”用于这个角色。（这将在下面发生一两次。）通常使用这种符号时会采取一些简化，例如写成“Γ, Δ, φ, ψ ⊢ χ”和“⊢ φ”来表示“Γ ∪ Δ ∪ {φ,ψ} ⊢ χ”和“∅ ⊢ φ”，分别。 （目前，大写希腊字母代表公式集合。）对于 C 作为闭包运算的早先给出的条件可以重新表述为作为后果关系的明确定义条件，这些条件我们这里不明确给出。对于某种语言上的后果关系 ⊢，如果每当 Γ ⊢ φ 时，我们有某个有限的 Γ0 ⊆ Γ 使得 Γ0 ⊢ φ，则 ⊢ 被称为有限的；如果每当 Γ ⊢ φ 时，对于任何替换 s，即任何公式代数的自同态 s(Γ) ⊢ s(φ) 则 ⊢ 是替换不变的；最后，如果 φ ⊣⊢ ψ 意味着 χ(φ) ⊣⊢ χ(ψ)，其中符号的含义如下。 “φ ⊣⊢ ψ”缩写为“φ ⊢ ψ 和 ψ⊢ φ”（如果我们在转角符“⊢”上加上上标或下标，这些只写在 ⊢ 上，而不写在 ⊣ 的复合符号上）；χ 是从包括至少一个命题变量 p k 的命题变量构造的某个公式，为了指示这一点，我们有时会写成 χ = χ(p k)；对于公式 φ，χ(φ) 是将 φ 替换为 χ 中所有 p k 出现的结果。 （因此，对于唯一的替换 s，其中 s(p i) = p i（对于 i ≠ k）和 s(p k) = φ，χ(φ) 是 s(χ)。）χ(⋅) 符号相当于将 χ 视为（句子的）上下文，将 φ 放入这个上下文中相当于产生公式 χ(φ)；更一般地，我们可以将 n 元上下文视为包含 n 个特殊命题变量 p k1,…, pkn 的公式，也许还包括其他变量。如果没有其他变量，那么公式 χ(p k1,…, pkn) 可以被视为所考虑语言的派生或复合连接词。回到一元情况，当 φ ⊣⊢ ψ 时，我们根据 ⊢ 将 φ 和 ψ 描述为等价的，并且，根据 Smiley（1962）的说法，当对于所有 χ(⋅)，公式 χ(φ) 和 χ(ψ) 根据 ⊢ 是等价的时，我们将 φ 和 ψ 描述为同义的（根据 ⊢）。因此，一个同余的后果关系是任何等价公式都是同义的关系。

以上给出的（经典一阶）推论关系的表征是语义的，因为我们用推论操作 Th ○ Mod 来描述它，该操作调用了语言的结构以及其中的真值。一阶逻辑的证明系统提供了 φ 是 Γ 的推论时的直接句法说明，这是通过使用仅对所涉及的公式形式敏感的规则（也许还有公理）进行推导。我们可以讨论句子连接词的性质，这些性质是基于这样的量化语言（其中开放式句子和封闭式句子都可以是它们的参数），但为了避免不必要的复杂性，我们更倾向于从我们开始的命题语言的设定。并且，正如在此之前的讨论中一样，我们通常只会说“连接词”，而不是“句子连接词”。

任何二元关系连接 ⟨R, S, T⟩，如上所述，如果对于任意 s0, s1 ∈ S，存在 s2 ∈ S，使得对于所有 t ∈ T，当且仅当 R(s0, t) 和 R(s1, t)（或者对于任意 t0, t1 ∈ T，存在 t2 ∈ T，使得对于所有 s ∈ S，当且仅当 R(s, t0) 和 R(s, t1)）时，我们将说它在左侧（右侧）具有合取组合；在这种情况下，我们称 s2（或者 t2）是 s0 和 s1（或者 t0 和 t1）的合取组合。在“当且仅当”之后的两个“and”替换为“or”后，就得到了关于 ⟨R, S, T⟩ 左侧和右侧的析取组合的概念。这两个概念都可以很明显地推广到{s0, s1}被 S 的任意子集 S0 替换的情况，T 方面也是如此。在这种情况下，我们分别用 ∏L S0 和 ∑L S0 表示合取和析取组合，右侧也是如此（带有“R”下标），当我们知道这样的组合是唯一的，或者虽然不是唯一，但无论选择哪个代表性组合，所说的都是正确的时。当不太可能引起混淆时，下标会被省略。如果，如上所述，S0 = {s0, s1}，那么我们不写 ∏S0（或者 ∑S0），而是写成 s0 ⋅ s1（或者 s0 + s1），右侧也是类似。为了说明这些概念，考虑连接 ⟨R, S, T⟩，其中 S 是一个非空集合，T 是其幂集，R 是成员关系（∈）。右侧有合取组合和析取组合，分别是交集和并集，但一般来说左侧既没有合取组合也没有析取组合。以前一种情况为例，s0 和 s1 的合取组合，其中它们是 S 的不同元素，将是一个属于 S 的元素，恰好属于 s0 和 s1 各自所属的 S 的子集，这是不可能的，因为这个元素的单元集—与任何单元集一样—只包含一个元素，因此不可能同时包含 s0 和 s1。类比上述合取和析取组合的定义，我们还可以考虑关系连接的左侧和右侧存在负对象，并且注意到，再次以集合论的例子为例，右侧呈现负对象（对于 S0 ⊆ S，相应的负对象是 S ∖ S0），但左侧没有（“没有负个体”，哲学家可能会这样说，即使我们转换到 T 由个体的属性—而不是集合—组成的情况，相应地重新构建 R）。在关系连接的左侧和右侧同时缺乏组合的情况是非退化情况的典型特征，因为很容易验证，如果一个关系连接在左侧具有合取组合，在右侧具有析取组合，或者反之，则它满足以下（相当强的）交叉条件：

对于所有的 s0, s1 ∈ S，所有的 t0, t1 ∈ T，如果 R(s0, t0)和 R(s1, t1)，那么要么 R(s0, t1)，要么 R(s1, t0)。

为了看到这一点，请假设前提并考虑关系 R，因为它涉及 s0 + s1 和 t0 ⋅ t1，或者对于“反之亦然”，s0 ⋅ s1 和 t0 + t1。

2. 推演和赋值

让我们回到我们开始的命题语言。对于这样的 L 的一种赋值是从 L 到两元集合{T, F}（真值）的函数。与上面提到的一阶语言的情况类似，我们将公式集合 L 放在我们的关系连接 ⟨L, V, R⟩ 的源位置（即左侧），将所有 L 的赋值集合 V 放在目标位置（即右侧），而 R（“在...上为真”关系）将 L 中的 φ 与 V 中的 v 相关联，只有当 v(φ) = T 时才成立。鉴于集合与特征函数之间的一一对应关系，这种关系连接只是上面考虑的基于 ∈ 的关系连接的一个轻微变体，特别是与之共享的特征是，它在右侧具有合取和析取组合，但在左侧没有，以及左侧的任意两个元素与右侧的元素之间没有关系 R，右侧的任意两个元素与左侧的元素之间也没有关系 R。为了展开一些有趣的逻辑，其中一些特征需要被打破，尽管正如我们将看到的那样，其中一个特征——在右侧存在合取组合——将被证明是令人惊讶地顽固。如果我们对经典逻辑感兴趣，我们将特别渴望丢弃大部分（上述）V，并集中精力只在布尔赋值上，这种意义将在下面解释。从{T, F}n 到{T, F}的函数被称为 n 元真值函数，我们说一个 n 元真值函数 f 与 L 的 n 元连接符#在赋值 v（对于 L）上相关联，或者在这些相同条件下，#与 v 上的 f 相关联，只有当对于所有 φ1,…,φn ∈ L 时：

v(#(φ1,…,φ_n_)) = f(v(φ1),…,v(φ_n_)).

我们描述连接词#在一类估值 U 方面是真功能的，当存在某个 f，对于每个 v ∈ U，f 与 v 上的#相关联，并且在 U 方面是伪真功能的，当 U 是与每个类估值相关的估值类的并集时，其中#是真功能的。[4] 估值 v 是#-布尔的，非正式地说，当期望的真函数与 v 上的#相关联时。更具体地说，假定 v 是一个支持将在此提到的连接词的语言的估值，当二元真函数 f∧ 与 f∧(x, y) = T 当且仅当 x = y = T 与 v 上的 ∧ 相关联时，v 是 ∧-布尔的，当类似的关联适用于 ∨ 和由 f∨ 定义的 f∨(x, y) = F 当且仅当 x = y = F 时，v 是 ∨-布尔的。我们假设现在清楚地理解了这个概念，而不提供“→-布尔”、“↔-布尔”、“¬-布尔”、“⊥-布尔”等的单独定义。L 的布尔估值只是对于 L 的估值，对于 L 的原始连接词#中的每个#，已经定义了#-布尔估值的概念。 （这只是一种记录对于问题中的连接词#的预期真功能解释的方式。）类似地，我们称任何已经定义了#-布尔估值概念的连接词#为布尔连接词，即使在讨论其行为时，逻辑并非由布尔估值类确定。（这个术语将在适当的时候解释。）

一组真值函数在强功能上是完备的，如果每个真值函数都可以通过该组函数的组合以及投影函数获得，并且在弱功能上是完备的，如果每个真值函数都可以通过该组函数以及投影函数以及通过丢弃一个非必要参数（即函数不依赖的参数）从一个（n+1）元函数到一个 n 元函数的操作获得。这种术语是通过将真值函数转移到布尔连接词上的，通过前一段描述的这些连接词与真值函数的传统关联。因此，例如，集合{∧,¬}，{→,¬}中的每个元素都是弱功能上完备的，而{→,⊥}是强功能上完备的。这种弱/强区别通常在文献中没有记录，而功能完备性通常被理解为弱功能完备性。这些概念也通常适用于矩阵语义（见第 5 节），并且在其他领域有类似的表达完备性概念；例如，在直觉逻辑领域有两个不同版本的表达完备性（这种区别与刚刚提到的弱/强区别是正交的），例如在 Rousseau（1968）中进行了对比。这些问题在这里不再讨论。

在上述讨论中，通常有必要更细致地查看所涉及的真值函数。假设将 n 元函数与某些(n+1)元关系以及后者与有序(n+1)元组的集合进行等同，我们使用术语“决定元”来表示真值函数的元素。因此，与→在→-布尔估值上相关的真值函数 f→的四个决定元是 ⟨T, T, T⟩，⟨T, F, F⟩，⟨F, T, T⟩ 和 ⟨F, F, T⟩。请注意，最后一个条目是所涉函数的“输出”值。这些决定元将在下文中广泛讨论。

在说一个后果关系 ⊢ 是由一类估值 V 确定时，意味着 Γ ⊢ ψ 当且仅当对于所有的 v ∈ V，每当对于每个 φ ∈ Γ，v(φ) = T，那么 v(ψ) = T。当 ⊢ 已经通过某些证明系统（一些规则的集合）描述时，这个主张的“只有当”（“如果”）方向等同于主张 ⊢ 相对于 V 是完备的（分别是完全的）。取唯一原始连接词为 ∧ 和 ∧-布尔估值类的语言。一个简单的证明系统由以下图示的规则以明显的方式提供：

(∧ 我)

φ ψ

φ ∧ ψ

(∧E)

φ ∧ ψ

φ

,

φ ∧ ψ

ψ

左侧的规则通常被称为 ∧-引入，而右侧的两个规则则被统称为 ∧-消去，因此分别称为“(∧I)”和“(∧E)”，因为它们将我们带入和带出具有 ∧ 作为主连接词的公式，它们使我们能够纯粹地用句法术语定义一个蕴涵关系，即 ⊢∧：当且仅当从所有位于 Γ 中的公式开始，上述规则的连续应用最终使我们能够转到公式 φ 时，我们有 Γ ⊢∧ φ。然后可以展示，不仅这是由 ∧-布尔估值类确定的蕴涵关系，以至于如果从该类开始，并寻求逻辑产生的句法编码，那么搜索就会结束，而且与 ⊢∧ 一致的估值恰好是 ∧-布尔估值。在这里，当 v 与 ⊢ 一致时，我们称之为 v 与 ⊢ 一致，对于没有 Γ、ψ，对于这些 Γ ⊢ ψ，我们有 v(φ) = T 对于所有 φ ∈ Γ，而 v(ψ) = F；前一句中的“但进一步”是由于每个蕴涵关系 ⊢ 都由与 ⊢ 一致的所有估值类 Val(⊢) 确定，而在 ⊢∧ 的情况下，恰好是 ∧-布尔估值。 （请参见下文关于 Gabbay 关于投影-连接真值函数的讨论，这种现象的程度，例如，∨、→、¬ 中没有一个展示出。）这一点的重要性在于，如果不是从 ∧-布尔估值类（或任何其他类型的估值语义）开始，而是从规则 (∧I) 和 (∧E) 本身开始，那么那类估值将不可避免地引起人们的注意，因为在每个估值上的真值保持与使用这些规则推导的一致。 （我们将在下文中回到这个主题，与 Carnap 相关，届时我们将把公式到公式规则换成序列到序列规则，从而允许方便地表示假设被解除的推理。）此外，如果将 ∧ 理解为“和”，那么这些规则具有相当大的规则地位，作为必须遵循的规则，以便理解 ∧，提供了一个方式的编码，即如何从自然日常推理中的连接前提和结论进行推理。

现在，正如 Gerhard Gentzen 所观察到的，当我们开始制定类似引入和消除其他连接词的同样令人信服的原则时，我们发现自己不得不参考为了论证而暂时做出的假设的撤销。例如，在制定“→”的引入规则和“∨”的消除规则时就是这种情况。例如，在前一种规则的情况下，Gentzen 认为推导 φ → ψ 的方法是假设 φ，并使用各种规则和其他假设来推导 ψ，此时该规则（也称为条件证明）允许我们声称我们已经从剩余的假设中推导出 φ → ψ，而无需记录这个结论取决于 φ（就像在应用规则之前 ψ 本身所做的那样）。因此，要将当前称为自然推导的方法从 ∧ 扩展到这些和其他连接词，不仅需要跟踪在特定阶段我们正在处理哪些公式，还需要跟踪初始公式集或假设集，这些公式取决于该公式。对于刚刚描述的规则，我们想说，它使我们有权从 ψ（取决于 Γ ∪ {φ}）过渡到 φ → ψ（取决于 Γ）。有限公式集和单个公式的有序对 ⟨Γ, φ⟩，其中第一个条目记录其第二个条目依赖的公式集，我们用更具启发性的符号 Γ ≻ φ 来表示，并称之为序言，或更明确地说，逻辑框架 Set-Fmla 的序言。对于变体框架 Set-Fmla0，我们还允许“≻”右侧没有公式的情况。一些关于不涉及任何特定连接词的序言推理原则，由 Gentzen 称为结构规则（与操作规则相对），如下所示，分别是零前提、一前提和二前提序言到序言的规则：

(Id)

φ ≻ φ

(削弱)

Γ ≻ ψ

Γ,φ ≻ ψ

(Cut)

Γ, φ ≻ ψ Δ ≻ φ

Γ, Δ ≻ ψ

正如符号所清楚表明的那样，在涉及常规推导符（⊢）的公式化中，我们使用与当前变体（≻）相同的快捷方式，尽管这两个符号所扮演的角色有所不同：前者是元语言谓词，而后者是用于分隔序言两侧的设备。（“≻”将公式排列成序言，正如 Lemmon（1965）所说的他对应符号的形式类比于词语“因此”，后者将句子排列成论证。前者则用于对这些论证进行评论，例如它们是有效的。当然，在 Set-Fmla 的类比中有一点灵活性，因为我们允许没有前提的情况。）任何在上述结构规则下封闭的序言集合 Σ 都会产生相应的（有限的）推导关系：Γ ⊢Σ φ 当且仅当对于某个有限的 Γ0 ⊆ Γ，我们有 Γ0≻ φ ∈ Σ。我们还应该有一个基于序言的与赋值一致的概念的类比；因此，我们说一个序言 Γ ≻ φ 在赋值 v 上成立，只有当对于每个 ψ ∈ Γ，我们都没有 v(ψ) = T，同时 v(φ) = F。 （当 Γ 为空时，序言在 v 上成立，只有当 v(φ) = T 时。然而，谈论序言在赋值上的真实是不礼貌的，就像我们不会谈论论证的真实一样。这些用法与将 ≻ 误解为某种连接词的观念一样，处于同一水平，并且密切相关。）

我们现在可以制定所需的→-引入规则，以便在从前提-sequent 到结论-sequent 时，假设释放特征在 sequent 分隔符左侧发生的情况中可见。我们将消除规则与类似的符号一起写在旁边；同时还包括 ∨ 的自然推导规则；对于 ∧ 的早期规则应该想象为沿着类似的线重新编写，假设依赖性明确表达：

(→我)

Γ,φ ≻ ψ

Γ ≻ φ → ψ

(→E)

Γ ≻ φ → ψ Δ ≻ φ

Γ, Δ ≻ ψ

(∨I)

Γ ≻ φ

Γ ≻ φ ∨ ψ

,

Γ ≻ ψ

Γ ≻ φ ∨ ψ

(∨E)

Γ ≻ φ ∨ ψ Δ，φ ≻ χ Θ，ψ ≻ χ

Γ, Δ, Θ ≻ χ

随着上述的 sequent-to-sequent 风格中重新阐述的规则，以及结构规则（Id）-（弱化）和（削减）可导出的规则，这些规则确切地证明了直觉逻辑的{∧,∨,→}片段中的 sequent，而对于经典逻辑的相应片段，需要添加一个进一步控制蕴涵的原则，比如以下的子对立规则：

(Subc→)

Γ, φ → ψ ≻ χ Γ, φ ≻ χ

Γ ≻ χ

（等价地，从弱化的角度来看，可以给出一个以“Δ”作为右 sequent 前提的集合变量的表述，并将“Γ”和“Δ”都带入到结论 sequent 中，就像上面的(→E)的表述一样。）根据邓美特（Dummett）（1991）的术语，我们所看到的所有规则都是纯粹的（它们的概要表述仅涉及单个连接词）和简单的（每个表述仅提到一次），最后这个规则也是间接的：一个被推导的假设将该连接词作为其主要连接词。可以将这种间接性换成简单性的损失，将→-消除规则从上面熟悉的 Modus Ponens 原则改为包含皮尔斯定律（“(p → q) → p ≻ p”）的版本，由康格（Kanger）提出：【5】

Γ ≻ φ → ψ Δ ≻ (φ → χ) → φ
Γ, Δ ≻ ψ

或者牺牲纯度并采用零前提规则 ≻ φ ∨ (φ → ψ)，或者再次保留蕴涵规则不变，并依赖进一步的规则（此处未给出）来控制否定，弥补不足，并使得类经典但非直觉接受的 →-sequent（如上面的皮尔斯定律）能够在它们的帮助下被证明。（如果认为斜率不可取，那么对于 ¬ 规则也会出现同样的紧张，使用“双重否定消除”原则会放弃简单性，或者使用“排中律”原则会放弃纯度。请注意，这里所说的“经典可接受的 sequent”是指在所有布尔估值上成立的 sequent。）捕捉 → 的经典逻辑的另一种方法是从逻辑框架 Set-Fmla 转变为 Set-Set，其中在 ≻ 的右侧出现有限（可能为空）的公式集，就像在左侧一样。然后，上述的 →-引入规则可以保持不变，但是增加一个集合变量来收集右侧的辅助公式：从 Γ, φ≻ψ, Δ 到 Γ≻φ→ψ, Δ。（在这种情况下，应该对其余规则进行适当的修改。）这些“多后继”sequent 通常与逻辑的另一种方法（尽管它们经常出现在这种设置中）更为流行地相关联，即 sequent 演算方法，其中，与自然演绎方法不同，规则总是插入一个连接词，要么在“≻”的左侧，要么在右侧，通过适当的引入或消除规则，以及可能的假设释放。左插入规则（#左）对于经典情况如下，右插入规则（#右）是如上的自然演绎引入规则，对于经典 Set-Set 情况，在 ≻ 的右侧有一个集合变量：

(∧ 左)

Γ,φ ≻ Δ

Γ, φ ∧ ψ ≻ Δ

,

Γ, ψ ≻ Δ

Γ, φ ∧ ψ ≻ Δ

(∨ 左)

Γ,φ ≻ Δ Γ′, ψ ≻ Δ′

Γ, Γ′, φ ∨ ψ ≻ Δ, Δ′

(→ 左)

Γ ≻ φ，Δ Γ′，ψ ≻ Δ′

Γ, Γ′, φ → ψ ≻ Δ, Δ′

对于限制在 Set-Fmla0 上的公式，因此适用于直觉主义序言演算，我们要求(∧ 左)中的 Δ 最多包含一个公式，并且对于(∨ 左)和(→左)，Δ∪Δ′最多包含一个公式。实际上，很容易看到使用前面提到的结构规则和这里描述的操作规则，总会恰好有一个公式，因为证明始终以(Id)开始，而且没有规则会从前提序言到结论序言的转换中从右侧（或“后继”）移除所有公式。如果我们添加否定规则，情况就会改变，这里首先给出 Set-Set 情况的左插入规则和右插入规则：

(¬ 左)

Γ ≻ φ Δ

Γ,¬φ ≻ Δ

(¬ 不正确)

Γ,φ ≻ Δ

Γ ≻ ¬φ, Δ

一个 Set-Set 序列 Γ≻ Δ 在估值 v 上成立当且仅当 v 不验证 Γ 中的每个公式同时使 Δ 中的每个公式成假；请注意，这与在 Δ = {ψ}的情况下为 Set-Fmla 给出的“在 v 上成立”的定义相一致。类似地，我们有广义推理关系的概念，在其中给出了适当的双侧版本的推理关系的条件，这可以在 Shoesmith 和 Smiley（1978）的第 2 章中找到（以“多结论推理关系”为名）。如果 ⊩ 是语言 L 上的这样一个关系，那么一个 L-估值 v 被称为与 ⊩ 一致，当不存在 Γ，Δ，使得对于所有 φ ∈ Γ，v(φ) = T，对于所有 ψ ∈ Δ，v(ψ) = F。所有这种估值的类别，就像在推理关系的情况下一样，被 Val(⊩)表示。有时，下面的表述出现在短语“(广义)推理关系”下，意味着所作出或考虑的声明适用于推理关系的情况以及广义推理关系的情况。

一个人应该清晰地区分逻辑框架，即对一个 sequent 是什么类型的选择（例如，Set-Fmla vs. Set-Set），一方面，以及逻辑方法，即对应该使用什么类型的 sequent-to-sequent 规则的选择（例如，自然推导 vs. 推导规则），另一方面。Gentzen（1934）在经典 sequent 演算中使用 Set-Set，在直觉主义情况下使用 Set-Fmla。（更准确地说，由于他考虑的是公式的有限序列而不是集合，并且在后一种情况下允许空的但不允许多个后继者，我们应该真正说的是 Seq-Seq 和 Seq-Fmla0。然后需要额外的结构规则来允许在序列中对公式进行排列。）Rudolf Carnap（1943）之所以从 Set-Fmla 转向 Set-Set，原因与证明论优雅考虑不同，而是基于语义。

让我们忘记 → 和 ¬ 以及规则，考虑仅使用 ∧ 和 ∨ 构建的公式。在这个片段的 Set-Fmla 的推导中，经典逻辑和直觉主义逻辑达成一致，所关注的推论关系——⊢∧,∨，我们可以称之为——是由所有 ∧-和 ∨-布尔估值类确定的推论关系。卡尔纳普的观点是早先提出的，即每个 v ∈ Val(⊢∧)都是 ∧-布尔的，这一观点延伸到了 ⊢∧,∨ 的情况：在 Val(⊢∧,∨) 中的所有估值都是 ∧-布尔的，但它们并非全部是 ∨-布尔的，原因很简单，对于任何推论关系 ⊢，Val(⊢) 总是在合取组合下封闭的，很容易找到 ∨-布尔 u、v，其中 u ⋅ v 不是 ∨-布尔的。这被看作是对第 1 节考虑的一种呼吁。考虑一种语言中连接词之一是 ∨ 的公式集合与布尔估值类之间的二元关系连接，关系为真。我们在左侧有析取组合，φ + ψ 作为 φ ∨ ψ，因为右侧的估值都是 ∨-布尔的；因此，我们通常不能在左侧进行合取组合，因为这种连接不满足交叉条件。闭包声明通常适用，对于任何 V ⊆ Val(⊢)，∏ V ∈ Val(⊢)。这一事实在哲学文献中出现，即在双值估值类上的超值提供与原始估值相同的推论关系，因此当估值为布尔时，推论关系是经典的。 （超值被认为是非双值的，在验证由所有基础估值验证的公式并使所有基础估值上的公式为假，既不在真也不在假的那些公式为假，但在“由所有基础估值验证”之后的定义中，一切都只是修辞，因为对于推导在估值上的保持或估值与推论关系的一致性来说，唯一重要的是保真性；将其放在一边，我们可以将超值识别为 ∏ V。同样，在“子估值”的情况下——如海德（2005）中——∑ V 将是相关的。）当 V = ∅ 时出现特殊情况，对于这种情况，∏ V 是将 T 分配给该语言中的每个公式的唯一估值 vT（唯一性声明的理解是相对化的）。

一个可能会想知道哪些真值函数类似于与 ∧ 相关联（在 ∧-布尔估值上）。更确切地说，让 ⊢ 是由每个 n 元连接词 #f 与 n 元真值函数 f 相关联的估值类确定的推论关系。我们的问题是：对于哪些 f 的选择，⊢ 强制将 #f 的解释作为 f，即在每个 v ∈ Val(⊢) 上，#f 与 f 相关联。这个问题在 Dov Gabbay（1978）和（1981）（第 1 章，第 3 节）中得到了回答。如上所述，称 f 为投影-合取真值函数，只要对于某些 J ⊆ {1,…,n}，我们有，对于所有 x1,…,x n（x i ∈ {T, F}）：

f(x1,…,x n) = T 当且仅当对于所有 ∈ J，x j = T。

然后，对于每个与 ⊢（如上所述）一致的赋值都将 #f 关联到 f 的真值函数 f 恰好是投影合取真值函数。（Gabbay 在这些情况下称 #f 为强经典，因为它根据 ⊢ 的行为，尽管他自己的定义没有用这些术语来表述。）举例来说：当 n = 1 时，它们是恒等函数和常真函数，而当 n = 2 时，它们是第一个投影、第二个投影、常真和（布尔）合取真值函数。（常真情况是通过取 J 为 ∅ 而产生的。）因此，剩下的 12 个二元真值函数表现出我们在析取真值函数中看到的行为；相应的连接词是 Gabbay 所称的弱经典：由一类赋值决定，其中连接词与某个真值函数相关联，尽管存在其他一致的赋值，它与该真值函数无关。很容易看出，后一现象在广义推论关系 ⊩ 的情况下不会出现，因为我们可以很容易地写出关于这种关系的无条件条件，强制在 Val(⊩) 中的赋值上与特定真值函数相关联。这最好被视为逐个确定地进行。在析取的情况下，无法强制执行的确定性条件是 ⟨F, F, F⟩，它规定当析取式的两个分句具有第一两个位置列出的值时，析取式具有最后位置列出的值。这种确定性条件以一种熟悉的方式诱导出（例如，Segerberg 1982，§3.3）关于 ⊩ 的以下条件：对于所有的 φ、ψ，我们有 φ ∨ ψ ⊩ φ, ψ。或者换句话说，在 Set-Set 中，与 Set-Fmla 不同，存在一组公式恰好在 ∨-布尔赋值上成立，即包含对于所有公式 φ、ψ，推理 φ ≻ φ ∨ ψ 和 ψ ≻ φ ∨ ψ，以及在 Set-Fmla 中尚不可用的新情况，即 φ ∨ ψ ≻ φ, ψ。鉴于此，我们可以说在 Set-Set 中，尽管在 Set-Fmla 中不是这样，∨-布尔赋值的类是序列定义的，对于不符合投影合取测试的所有其他真值函数相关的连接词也是如此（例如否定和蕴涵）。与推论关系的情况形成鲜明对比，广义推论关系 ⊩ 的 Val(⊩) 不必在合取组合下封闭。再次，可以从第 1 节的考虑中看到这一点，考虑 Set-Set 推理和任意赋值之间的关系，关系是“成立于”。这种关系在左侧提供了析取组合，其中 σ + σ′ 是 σ 和 σ′ 的最小公共弱化。因此，它也不能在右侧提供合取组合，因为它不满足交叉条件。

这种大致符合卡尔纳普的关注点在于序言可定义性——特别是排除不需要的非布尔值，可以通过从关于序言及其保持的估值的问题转移到关于规则及其保持的估值的性质的问题，将其提升到更高的层次，正如我们将在第 3 节中看到的那样，在对于推论关系的装置，或者在 Set-Fmla 框架中的逻辑方面做一些进一步的阐述之后。上述对广义推论关系的决定性诱导条件可以直接转化为对推论关系的条件，这在否定的情况下得到了说明。

对于所有的 φ：φ，¬φ ⊩ ∅

(诱导自 ⟨T, F⟩) 成为

对于所有的 φ, ψ,: φ, ¬φ ⊢ ψ

和这个条件

对于所有 φ：⊩ φ，¬φ

诱导自 ⟨F, T⟩ 的转变为关于结果关系 ⊩ 的条件条件：

对于所有的 Γ, φ, ψ，如果 Γ, φ ⊢ ψ 和 Γ, ¬φ ⊢ ψ 那么 Γ ⊢ ψ。

在 Set-Fmla 中的证明系统中，会出现诸如从前提到结论的规则等条件性要求，这些规则的封闭性（以及包含所有对应于无条件要求的结论）足以确保完备性——在这种情况下，任何不可证明的结论都不能在某些 ¬-布尔估值上成立——而无需具备强大的经典性质，即可证结论仅在这些估值上成立。（刚刚描述的过程将由 Set-Fmla 中不可强制执行的 ∨ 决定者 ⟨F，F，F⟩ 引发的 Set-Set 条件，φ∨ψ≻φ，ψ（所有 φ，ψ），转化为封闭性规则（∨E）下的条件性条件。）如果一个带有布尔连接符#的语言的广义推论关系 ⊩ 满足与相关真值函数的决定者引发的所有条件，我们称 ⊩ 为#-经典的。对于一个满足推论关系条件的推论关系，包括从这些决定者引发的广义推论关系上的条件性条件派生的条件，如刚刚描述的那样，我们也是这样称呼的。 （这些#-经典性的版本通常可以根据具体情况进行简化。例如，推论关系或广义推论关系的 ∧-经典性——我们在此使用前者的符号——等价于对于所有 φ，ψ，我们有（1）φ，ψ ⊢ φ∧ψ，（2）φ∧ψ ⊢ φ，和（3）φ∧ψ ⊢ ψ。在这里，我们看到一个三部分条件，而不是由每个四个决定者引发的条件组成的四部分条件。）

考虑对广义后果关系的决定性诱导条件，我们偶然发现，后果关系（以及 Set-Fmla 框架）竟然能够区分相同元数的任意两个真值函数的逻辑。更确切地说，假设 f 和 g 是不同的 n 元真值函数，# 是一个 n 元连接词，V f 和 V g 分别是与 f 和 g 相关联的估值类；那么由 V f 和 V g 确定的后果关系是不同的。举例来说，假设 n = 3，f 和 g 在某个以 T、F、F 开头的决定性上有所不同。（因此我们考虑的是在给定估值上第一个 #-复合物的组成部分为真，而第二个和第三个为假的情况。）不失一般性，我们可以假设 ⟨T, F, F, T⟩ ∈ f 而 ⟨T, F, F, F⟩ ∈ g。由这些决定性引发的广义后果关系 ⊩ 的条件分别是 φ ⊩ ψ, χ, #(φ, ψ, χ) 和 φ, #(φ, ψ, χ) ⊩ ψ, χ。因此特别地，取 φ 为 p，ψ 和 χ 分别为 q，对于由 V f 确定的广义后果关系 ⊩f 和由 V g 确定的 ⊩g，我们有：

p ⊩ f q, #(p,q,q)

and

p, #(p,q,q) ⊩ g q.

请注意，p，#(p, q, q) ⊮f q，否则根据广义推论关系的“切割”条件，从这里的第一个插入 ⊩-语句将得出 p ⊩f q，这是不成立的。因此根据第二个 ⊩-语句，由于 σ = p，#(p, q, q)≻ q 是 ⊩g 的元素而不是 ⊩f 的元素，所以 ⊩f 和 ⊩g 在序列 σ 上有所不同。但是 σ 是 Set-Fmla 的一个序列，因此由 V f 和 V g 分别确定的推论关系 ⊢f 和 ⊢g 也有所不同（即在 σ 上）。我们已经通过一个简单的示例展示了上述一般结果，但这种情况已经足够代表性，以便重建一般证明。

实际上，真正的道德更为普遍。在我们的示例中，我们只需要使用这样一个事实：V f 中的每个估值都尊重某个行列式，而 V g 中的每个估值都尊重相反的行列式，其中 V 尊重一个行列式 ⟨x1,…,x n,x n+1⟩ #（其中每个 x#​#i ∈ {T, F}），只要对于所有公式 φ1,…,φn，对于 i = 1,…, n，v(φi) = x#​#i 意味着 v(#(φ1,…,φn) = x n+1，且行列式在它们的最后位置上不同的情况下是相反的。（实际上，检查示例表明，我们还需要扮演 V f 和 V**g 角色的类别包含足够的估值，以便为任意一对不同的命题变元分配不同的真值。）以任何熟悉的模态逻辑（例如 S5）的一元连接词 ☐ 为例。我们期望它满足行列式 ⟨F, F⟩，即适当的推论关系应满足由此行列式引起的条件，因为必然为真的是真的——因此如果 φ 是假的，那么 ☐φ 应该是假的——而我们不希望满足任何形式为 ⟨T, x⟩ 的行列式。在这种情况下，我们可以根据相关的推论关系部分确定描述 ☐。另一方面，如果一个推论关系 ⊢（或广义推论关系 ⊩）满足每个真值 n 元组的条件，这些条件由 n 元连接词 # 的恰好一个行列式引起，其前 n 个条目由该 n 元组给出（最后的第 n+1 个条目为 T 或 F），那么我们说 # 是根据 ⊢（或 ⊩）完全确定的。这里所说的推论关系的行列式引起的条件是指从上述直接行列式引起的广义推论关系的条件推导出的条件（或至少是解释）。正如人们可能期望的那样，相对于推论关系的连接词的这种性质与本节开头介绍的类似性质有着密切关系：

在蕴涵关系 ⊢ 的语言中，如果且仅当存在某个估值类 V，使得 ⊢ 可由 V 确定且 # 相对于 V 是真功能的，那么连接词 # 就完全根据 ⊢ 确定。

请注意，这里的两次“确定”一词意义完全不同。“完全确定”，如上所定义，是对 Segerberg 在他（1982）年关于“类型确定”的术语的变体，变化以适应其他修改——部分确定，完全未确定，过度确定，...（尽管最后一个在这里不会受到关注）——而第二次出现的“确定”一词是通常的含义和完整意义上的“确定”。转向广义的后果关系，我们发现连接更为密切：

在广义蕴涵关系 ⊩ 的语言中，如果且仅如果 # 相对于 Val(⊩) 是真功能的，那么 # 就完全由 ⊩ 决定。

这意味着给出了关于结果关系的陈述（用“⊩”代替“⊢”），因为广义结果关系总是由与之一致的所有赋值类确定。（但是，对于结果关系，只有上述较弱的陈述可用，就像 ∨ 的情况所示，因为由 ∨-布尔赋值类确定的结果关系——根据定义 ∨ 是真值函数的——也由其他赋值类确定，对于它来说不是。）实际上，表述上述结果关系主张和广义结果关系主张之间的对比的另一种方式是，对于结果关系，根据 ⊢ 完全确定的#等价于某个确定 ⊢ 的赋值类使#对其具有真值函数，而对于广义结果关系，我们可以说，根据 ⊩ 完全确定的#等价于确定 ⊩ 的每个赋值类使#对其具有真值函数。

除了真功能性之外，我们还包括了关于 V 的伪真功能性的定义。看待这两个概念之间关系的一个简单方法是在 ∀/∃ 范围对比中（其中“f”在与#相同的元数的真函数上变化）：当#相对于 V 是真功能性时，这两个概念之间的关系可以很简单地看出。

∃f∀v ∈ V[f 与 v 上的#相关联],

当#对于 V 是伪真功能时

∀v ∈ V∃f[f 与 v 上的#相关联]。

对于与伪真功能相关的句法条件进行询问是很自然的，就像完全确定性与真功能相关一样。假设一个 n 元连接符#在其第 i 个位置（1 ≤ i ≤ n）是左外延的，或者在其第 i 个位置是右外延的，根据广义的推论关系 ⊩，当条件（LEi）或（REi）分别对所有 ⊩ 语言中的公式 φ1,…,φn,ψ 满足时，我们有：

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:

φ_i_, ψ, #(φ1,…,φ_n_) ⊩ #(φ1,…,φ_i_−1,ψ,φ_i_+1,…,φ_n_),

根据 ⊩，如果对于每个 i（1 ≤ i ≤ n）它在第 i 个位置是左外延的（分别是右外延的），那么它是左外延的（分别是右外延的），最后，当 # 对于 ⊩ 是左外延和右外延时，# 是根据 ⊩ 外延的。对于 n = 1，我们去掉下标，上述条件简化为（LE）和（RE）

I'm sorry, but it seems like your request is incomplete. Could you please provide more context or the full text that you would like me to translate into Simplified Chinese?

:

φ, ψ, #φ ⊩ #ψ,

因此（LE）要求对于每个 v ∈ Val(⊩)，当它们在#下嵌入时，“同等对待真理”，即当 v(φ) = v(ψ) = T 时，v(#φ) = v(#ψ)，而（RE）要求对待谬误一样，即 v(φ) = v(ψ) = F 同样意味着 v(#φ) = v(#ψ)。（可以注意到，对于 ↔-经典 ⊢，这些要求一起意味着要求 φ ↔ ψ ⊢ #φ ↔ #​##ψ。但我们试图保持讨论“纯粹”，以便在语言中唯一定义的连接词—这里是##​#—具有意义时，定义才有意义。）条件（LEi）已经作为对蕴涵关系的条件有意义（用 ⊢ 代表 ⊩），因为右侧只有一个公式，当它们都满足时，我们将称#在 ⊢ 下是左外延的，而条件（REi）需要转换为上述关于决定性诱导条件的条件。我们仅以 n = 1 的情况为例说明这一点，其中（RE）变为（RE′），理解为对于所有 Γ，φ，ψ，χ 都要求：

假设对于一般情况，关于后果关系的条件(RE′i)应该是明确的，我们说当(RE′i)对于#的每个 i 直到#的 arity 都得到满足时，#根据 ⊢ 是右外延的，并且当#根据 ⊢ 既是左外延又是右外延时，#根据 ⊢ 是外延的。然后，对于伪真功能性，与真功能性的上述结果相对应的是以下结果：

在一个推论关系 ⊢ 的语言中，如果且仅如果存在一些估值类 V，使得 ⊢ 可由 V 确定，并且 # 相对于 V 是伪真功能的话，那么连接词 # 在 ⊢ 下是外延的。

在广义后果关系 ⊩ 的语言中，如果且仅如果 # 对于 ⊩ 是外延的，那么 # 就相对于 Val(⊩) 是伪真功能的。

无论是对于结果关系还是广义结果关系，我们通常有以下关于三个性质的一般不可逆的含义：完全确定、外延性和同构性（如下所述），根据任何给定的（广义）结果关系

完全确定 ⇒ 外延的 ⇒ 合一的。

在这里，这个最后的概念是通过以下方式定义的：根据一个结果关系或广义结果关系 ⊢ 或 ⊩，在第 i 个位置上#是相容的（我们仅使用“⊢”符号陈述条件），只要对于所有的公式 φ1,…,φn,ψ：

φi ⊣⊢ ψ 意味着 #(φ1,…,φn) ⊣⊢ #(φ1,…,φi−1,ψ,φi+1,…,φn)，

并且称#在每个位置上都符合 ⊢ 时，根据 ⊢ 称之为同余。显然，一个推论关系在第 1 节的意义上是同余的——当然，这也适用于广义推论关系——当且仅当其语言中的每个原始连接词在每个位置上都符合它时。连接词的性质的类似提升——‘根据’（广义）推论关系——在其他情况下也可以进行，例如，当其语言的每个原始连接词根据它是完全确定的时，称一个推论关系是完全确定的。因此，我们可以说，经典逻辑的 ⊢CL 的推论关系（具有任何给定的原始连接词库——尽管我们不会进一步装饰符号以指示特定片段）是完全确定的，因此也是外延的（和同余的），而直觉主义逻辑的 ⊢I L 的推论关系是同余的但不是外延的，因为例如，¬，根据 ⊢I L 不是右外延的。由 Łukasiewicz 的著名三元矩阵确定的推论关系甚至不是同余的，因为（再次）根据这个关系，¬ 不是同余的。这里定义的比外延性更弱的性质（为了与伪真函数性的上述联系而定义）适当地暗示左外延性但不暗示右外延性，并且与左外延性本身不同，它暗示同余性。我们可以定义#，这里再次作为 1 元的例证，根据推论关系 ⊢ 是弱外延的，当对于所有 Γ，φ，ψ 时：

Γ, φ ⊢ ψ 和 Γ, ψ ⊢ φ 意味着 Γ, #φ ⊢ # ψ.

因此，弱外延性是具有“附加公式”的同余性（收集到 Γ 中）。将这个概念明显地适应到广义推论关系的方式是允许右侧也有附加公式（用“⊩”替换上述的“⊢”，并在右侧添加一个集合变量“Δ”，即）：这事实上等价于上述以（LEi）和（REi）定义的广义推论关系的外延性。在这个意义上，⊢I L 是弱外延的，而根据 ⊢ ⊇ ⊢I L 的弱外延性是某些理论意义上的性质，适用于 ⊢ 的语言以新直觉主义原始连接词的精神添加新连接词的情况。[10]

回到外延性的话题，一个出现外延性但并非完全确定的连接词的领域是当一个人考虑后者的混合体时。例如，通过析取和合取的混合体，理解 ∨ 和 ∧ 具有特定逻辑赋予它们的推理能力，指的是一个二元连接词，其推理能力是 ∧ 和 ∨ 共享的。 （有关此示例，请参见 Rautenberg 1989，有关更多信息，请参见 Rautenberg 1991 及其中的参考文献。）请注意，混合化的连接词和产生的混合体是在上述第 1 节中“逻辑上负载”的意义上的连接词。

有各种定义杂交化过程的方式，取决于一个人想要多少一般性，但以下最小一般性定义最容易处理。从同一语言上的两个（广义的）结果关系开始，该语言具有一个单一的原始连接词 #。然后，杂交连接词就是 #，因为它的行为符合（广义的）结果关系的交集。这种定义方式要求我们重新标记要杂交的连接词。因此，继续使用刚提到的例子，我们考虑 ⊢CL 的纯 ∧ 片段的一个副本，称为本节前面提到的 ⊢∧，但用 # 代替 ∧——但我们仍然称这个结果关系为 ⊢∧——以及 ∨ 片段。然后，我们对 # 根据 ⊢∧ ∩ ⊢∨ 的行为感兴趣。（其中 V∧ 和 V∨ 是与 # 相关联的布尔 ∧ 真值函数和布尔 ∨ 真值函数的估值类，我们的交集结果关系是由 V∧ ∪ V∨ 确定的。）这种行为包括幂等性、交换律和结合律等半格属性，例如，因为这些属性是布尔析取和合取的共同属性。这种特定的杂交连接词是部分确定的，例如 φ, ψ ≻ φ # ψ（由 ⟨T, T, T⟩ 引起的结果关系的条件的序列化形式）属于 ⊢∧ ∩ ⊢∨。然而，这本身并不能表明这种杂交是完全确定的，为了避免与一些关于规则的问题纠缠在一起，最好用相应的广义结果关系及其交集来说明这一点，后者既不满足以 T, F 开头的决定因素引起的条件：对于 ⟨T, F, T⟩，φ, φ # ψ ⊩ ψ 的条件（对于 # 作为 ∨ 而言失败）或决定因素 ⟨T, F, F⟩，对于这种情况的条件是 φ ⊩ φ # ψ, ψ（对于 # 作为 ∧ 而言失败）。 （关于需要注意的非零前提序列到序列规则的问题之一是，尽管对于每个这样的规则，每个交叉结果关系都是封闭的，它们的交集同样是封闭的，但反之则不成立：杂交结果关系可能在原始结果关系不封闭的规则下是封闭的。在当前实例中，规则：从 φ ≻ ψ 推出 ψ ≻ φ 就是一个例子。对于广义结果关系，规则：从 Γ ≻ Δ 推出 Δ ≻ Γ 也是同样的道理。这第二个版本表明，在 Set-Set 中进行的当前杂交化示例产生了对称的广义结果关系。[11]）

让我们注意到最近提到的 ⊢∧ ∩ ⊢∨，人们对如何形成类似于并集而不是交集的两个涉及的推论关系的兴趣。并不完全是并集，因为那不会是一个推论关系，而是回应了包含合取和析取的综合逻辑直观概念的推论关系的想法。（这是 Béziau 和 Coniglio（2010）的主题，后来在 Humberstone（2015）中进一步讨论。）这种情况并不完全对应于混合逻辑的情况，我们将在下一段中回到这个话题，因为设想的混合逻辑包含一个具有（在本例中）合取和析取的共同逻辑属性的连接词，而综合逻辑是基于具有这两个连接词的语言。（精确的对偶将是在具有单个连接词的语言上的一个推论关系，粗略地说，给予该连接词所有或合取或析取所具有的逻辑能力，根据 Wolfgang Rautenberg 下面引用的结果，根据这个推论关系，任何公式都可以从任何其他公式推导出来。事实上，Rautenberg 关于 Tonk 的这个特定观察在文献中已经广为人知，在下面的第 3 节中回顾：在包括满足相对于该推论关系的 ∨-引入条件和 ∧-消除条件的二元连接词的语言中的任何推论关系都将是这些平凡推论关系之一。

两个完全确定的连接词的混合甚至可能完全不确定（即不满足任何确定性引发的条件）。例如，如果我们混合的不是合取和析取，而是合取和否定的合取（有时称为 nand），通过这种方式使用否定，我们防止了混合体满足的确定性引发条件之间的任何重叠，尽管仍然存在一些非平凡的性质（例如交换律），以及外延性——提到混合体的重点——因为任何完全确定的连接词的混合体仍然是外延的（根据交集，即）。当然，人们也可以混合那些本身并非完全或部分确定的连接词——例如，可以根据最小的正常模态逻辑（通常称为 K）研究 ☐ 和 ♢ 的共同属性，尽管这个例子为了最自然的发展需要我们超越这里给出的混合体简单说明，因为它必须同时考虑布尔连接词与这些模态运算符的存在。混合体的一个更为人熟知的模态例子是 Łukasiewicz 的 Ł-模态逻辑中的 ☐ 运算符（并非 Łukasiewicz 使用这种符号表示他的必然性运算符），它是一元连接词的混合体，用于一元恒等和常假真值函数。 （参见 Prior（1957）的第 1 章；更多参考资料可在第 5 节中找到。）

两个连接词的混合体在某种意义上是它们各自的子连接词，因为无论在哪种逻辑框架下可证明的推导（对于它）也适用于它们。反之亦然——但目前子连接关系本身将成为关注的焦点。直觉主义否定在这个意义上是一个子连接词，确实是一个适当的子连接词（在我们没有相反情况的意义上）经典否定。与混合体一样，有各种选项，其在定义这种关系时具有不同程度的普遍性应用。在只有单个原始连接词#的语言的情况下，我们可以说#按照（例如）结论关系 ⊢ 的行为是#按照 ⊢′的行为是#的子连接词，只要 ⊢⊆⊢′。如果我们想允许具有相同阶数的不同连接词，比如#和#′，那么我们可以通过说 σ(#) ∈ ⊢ 仅当 σ(#′) ∈ ⊢′来代替，对于所有 σ(#)，理解后者表示具有其组成公式中#的各种出现的推导，σ(#′)是将所有这些出现替换为#′的结果。这种表述方式适用范围更广，因为我们可以允许 σ(#)的公式中有其他连接词，只要这些连接词在 ⊢′的语言中。在进行这种比较时，没有理由将注意力限制在原始连接词上。例如，在一些众所周知的模态逻辑中，☐ 和 ☐☐ 互为子连接词，正如 Zolin（2000）所示，其中逻辑被公理化地发展为公式集合（逻辑框架 Fmla 的推导，正如我们所说的[12]），因此“σ(#)”将变为“φ(#)”，关键在于在相关逻辑中 φ(☐)和 φ(☐☐)总是等价可证明的——尽管在有趣的情况下（例如 K、KT、KTB 的情况）不可证明等价。请注意，这是子连接概念的逻辑内应用（对应于上述 ⊢ = ⊢′的情况，我们绝对需要使用符号上有区别的#和#′）。Zolin 将这种相互子连接称为类似的（“类似的模态性”）。从双模态（或更具体地说，信念-认知）逻辑中报告的这种现象的哲学上著名的例子见于 Byrd（1973）。

在本节的前面，我们看到，对于具有 n 元连接符 # 的语言的估值类 V f 和 V g，其中分别与 # 相关联的不同真值函数 f 和 g，由 V f 和 V g 确定的推论关系总是不同的。按照当前的术语，这意味着，根据这两个推论关系之一的行为，# 不是根据另一个推论关系的子连接符，反之亦然。对于广义推论关系来说，这是显而易见的，因为可以从 f 和 g 的决定因素引起的无条件条件中读出差异，但我们在一个实例中看到，这种差异也保证会在相对较粗糙的推论关系水平上出现。从 Rautenberg（1981）的定理 4（另见 Rautenberg 1985，第 4 页）可以得出更强的结论，这里不会证明，为了陈述这一结论，我们需要解释一个非平凡的推论关系 ⊢ 是指存在语言 ⊢ 中的公式 φ、ψ，使得 φ ⊬ ψ；关于这里的一些矩阵术语，请参见第 5 节。

设 M 是任意具有一个指定值的二元矩阵。那么由 M 确定的蕴涵关系 ⊨M 不被同一语言上的任何非平凡替换不变蕴涵关系妥善包含。

作为这一最大性结果的一个非常特殊的情况，其中 M 的代数还原仅具有单一基本运算（如上所述的 f），我们对由 V f 和 V g 确定的推论关系 ⊢f 和 ⊢g 得到了比我们先前得出的这些推论关系不同的更强结论：我们得出结论，两者都不包含在对方之中。将 M = (A, D) 的 A 和 D 分别取为 ({T, F}, f) 和 {T}，则推论关系 ⊢f 就是 Rautenberg 所称的 ⊨M，如果这个推论关系被正确地包含在 ⊢g 中，我们将与上述结果产生矛盾，因为后者的推论关系肯定是非平凡的且具有替换不变性。因此，非正式地说，即使在相对不加区分的 Set-Fmla 框架中，一个真值函数的逻辑也永远不会包含另一个的逻辑。更不正式地说：即使在 Set-Fmla 中，一个完全确定的连接词也永远不会是另一个完全确定的连接词的适当子连接词。

我们用这一节的两个观察结果来结束这一节。第一个观察结果涉及我们是否通过早期对较弱结果的论证（在上述约定的光下理解）获得了任何东西，即 f ≠ g 意味着 ⊢f ≠ ⊢g。对于这个问题的答案是，尽管结果较弱，但证明得出了更强的结论：行列式的任何差异都会导致无条件行列式诱导条件的差异。将其视为序列（用命题变量替换诱导条件中的原理字母），它们具有非常特殊的形式，并且，将达梅特（在本节前面看到的）的术语转移到序列上，我们注意到它们都包含在纯粹简单序列的类中：序列中只有一个连接词出现，且在序列中仅出现一次。适当地从我们早期的工作示例中抽象出来，我们可以看到任何满足由甚至一个对立行列式对诱导的条件的连接词（无论是否满足任何剩余的行列式诱导条件）都必定在一对纯粹简单序列上有所不同。但是 Rautenberg 结果的类比在这种形式下不成立：一个逻辑满足的纯粹简单序列集合与另一个逻辑满足的集合在包含方面是不可比的。例如，考虑一元真值函数布尔否定和常假函数的情况。我们可以引用 #p ⊢ q 作为一个在每个赋值上都成立的纯粹简单序列的例子，其中一元 # 与常假函数相关联，但在与否定函数相关联的每个赋值上都不成立。但是对可能情况的检查显示，对于 # 的否定解释，没有一个纯粹简单序列是有效的，而对于常假解释则无效。 （当然有序列可以做到这一点——例如，p ≻ ## p，但是，尽管纯粹，它们并不简单。是的，在 Set-Set 中，我们总是可以找到证明一个逻辑不包含在另一个逻辑中的纯粹简单见证人：广义后果关系上的行列式诱导条件将在这方面发挥作用。）

对于第二个观察，我们注意到了 Rautenberg 结果的更多语言改写，为此我们首先需要简要讨论定义连接词。通过从一组原始连接词进行组合得到的连接词，以两种方式之一产生了一个定义连接词，这取决于对定义的看法。在一种观点下，孤立地推导出的连接词已经给出了一个定义：一个公式 φ(p1,…, p n)，其中恰好出现了展示的变量，由这些变量通过原始连接词构造而成，构成了一个推导连接词，应用于公式 ψ1,…, ψn，得到了公式 φ(ψ1,…,ψn)，这是通过在 φ(p1,…, p n)中统一地用 ψi 替换 p**i 而得到的结果。我们可以引入一个简写来表示这种替换实例，用“#(ψ1,…,ψn)”表示 φ(ψ1,…,ψn)，例如——比如称公式 ¬(ψ1 ∧ ¬ψ2)为“ψ1 → ψ2”。（当然，只有在没有更好的意义，或者已经被→所指代的情况下，这才是一个好主意——比如在直觉主义逻辑中。）这是定义的第一种观点。在第二种观点下，定义的连接词不仅仅是一种元语言的缩写，而是对象语言的一个补充：我们添加（继续刚才给出的例子）一个新的原始连接词→，以及一个规定，即形式为 ψ1 → ψ2 的复合物与相应形式的 ¬(ψ1 ∧ ¬ψ2)是同义的。我们不需要在这里选择这些观点之间的区别，但有些表述对于采取哪种观点是敏感的。特别是，如果我们有带有原始连接词 ¬ 和 ∧ 的经典逻辑，我们可能仍希望考虑其蕴涵片段——比如，在 Set-Fmla 中，假设这将是仅使用连接词→构造的公式的 ⊢CL 的限制。在定义的第一种观点下，我们不能简单地这样做，因为使用→就是使用 ¬ 和 ∧，所以所指的是并非 ¬ 和 ∧ 的唯一出现是在形式为 ψ1 → ψ2 的子公式中，因为这些公式是 ¬(ψ1 ∧ ¬ψ2)的公式。在定义的第二种观点下，我们通过添加一个新的基本运算→扩展了语言作为代数的范围，现在可以考虑由这个代数的重构的命题变量生成的子代数，通过丢弃其他基本运算而得到。

现在让 φ1 和 φ2 是相同变量 p1,…, p**n 的两个经典非等价公式，并考虑推论关系 ⊢1 和 ⊢2，其中 ⊢1 是将 ⊢CL 限制为使用 n 元连接符#构造的公式的结果，#如此定义：

#(ψ1,…,ψ_n_) = φ1(ψ1,…,ψ_n_),

并且 ⊢2 是 ⊢CL 的类似限制，这次限制是针对带有 # 定义的 #-片段

#(ψ1,…,ψ_n_) = φ2(ψ1,…,ψ_n_).

由于 φ1 和 φ2 各自确定了涉及的变量的 n 元真值函数，并且这些真值函数是不同的（因为 φ1 和 φ2 应该是不等价的），上述 Rautenberg 结果的 V f / V g 应用告诉我们，⊢1 和 ⊢2 中的任何一个都不包含在另一个中。集中在涉及的连接词上，我们可以这样说，在经典逻辑中，任何两个不等价的连接词在子连接词关系方面是不可比较的（理解为涉及没有进一步连接词出现的语言上的推论关系）。我们最后观察到，类似的说法在直觉主义逻辑中是错误的。一个反例是由 φ #1 ψ = ¬φ∨ ¬ψ 和 φ #​##2 ψ = ¬(φ ∧ ψ) 定义的连接词。这些在直觉主义上是不等价的，意思是不能总是从相同的组成部分产生 ⊢I L 等价的化合物，而通过这里未给出的论证，对于任何直觉主义可证明的包含通过##​#1 构造的公式的序列 σ(#1)，相应的序列 σ(#2)也是直觉主义可证明的（尽管反之不然）。因此，与经典设置中可能发生的情况相反，我们有不等价的连接词，其中一个是另一个的适当子连接词——理解这个最后短语受到与上述相同的括号限定。

3. 规则和连接词

对于本节，重点将放在规定各种句子连接词的规则上，从第 2 节延迟讨论的一个主题开始：将卡尔纳普启发的关于这种或那种逻辑中可证明的推导的估值范围的问题转移到关于保持推导-推导规则具有保持性质的估值范围的问题。我们还将重新审视第 2 节早期的推导演算操作规则，并查看其中一些性质，以及与之并行工作的结构规则的一些有趣变体。这些调查引发的一个话题（或一对话题）是展示规定逻辑行为的连接词的存在和唯一性的问题（例如可能在各种规则中确立的），这个问题涉及到逻辑的所有方法，而不仅仅是推导演算方法。最后，我们将研究适用于特定逻辑中连接词行为的一对概念：普遍代表性连接词的概念和“特殊”连接词的概念。

从（Garson 1990 和 2001）的规则保留行为开始，首先需要区分一个（sequent-to-sequent）规则在评估类 V 中具有局部保留特征的情况——对于每个 v ∈ V，规则在 v 上保持持有属性——与它在 V 方面具有全局保留特征的情况：如果前提 sequent 在 V 中的每个 v 上成立，则结论 sequent 在 V 中的每个 v 上成立。为简洁起见，一个 sequent 将被称为 V-有效，当它在每个 v ∈ V 上成立时。然后我们区分规则 ρ 的局部范围，表示为 Loc(ρ)，与其全局范围，Glo(ρ)，将定义相对于一个背景语言，我们将所有评估的类别表示为 U：

Loc(ρ) = {v ∈ U : ρ 保持 v 上的性质} Glo(ρ) = {V ⊆ U : ρ 保持 V-有效性}.

定义规则集合 R 的局部和全局范围也是很自然的，通过设定 Loc(R) = ∩ρ ∈ R**Loc(ρ)

Glo(R) = {V ⊆ U : 每个 ρ ∈ R 保持 V-有效性}.

请注意，规则或一组规则的局部范围是一组赋值，而全局范围是一组赋值的集合。但在某些情况下，两者之间存在一种特别简单的关系，即 Glo(R) = ℘(Loc(R))。每当 R 仅包含零前提规则时，以及更有趣的是，当 R 中的规则与一组这样的规则在结构规则（Id）、（Weakening）和（Cut）[14]的作用下是可相互推导的时，就会发生这种情况，例如自然演绎规则的合取 R = {（∧I），（∧E）}或相应的序言演算规则{∧ 右，∧ 左}，其中 Loc(R)恰好包括 ∧-布尔赋值。显然，第 2 节中的强经典性现象在这里显现出来，我们应该将这种情况与析取（在 Set-Fmla 中）进行对比。对于 R = {（∨I），（∨E）}，Loc(R)是 ∨-布尔赋值的类，但如果（∨E）——当前感兴趣的规则，因为它没有零前提等价物——被另一种规则替换，而这种规则与它远非可相互推导（即使考虑结构规则和（∨I））时，情况也是如此。

A ≻ B

A ∨ B ≻ B

因此，从局部范围来看，并不能提供有关诸如 (∨E) 此类规则的确切意义的信息，如果将规则视为给出它们所控制的连接词的含义（在第 1 节中提到的一种观点），并希望将这些信息提炼成一个基于赋值的语义，考虑到全局范围是很自然的。为此，我们利用了对于赋值的基础集合 U 上的偏序 ≤（针对所考虑的语言）的定义：对于所有公式 φ，当且仅当 u(φ) = T 时，v(φ) = T，才有 u ≤ v。正如 Garson（2001）所观察到的那样，∨ 的引入和消去规则的全局范围（同样，我们也可以在这方面引用序言演算规则）是所有 V ⊆ U 的集合，使得对于所有 u ∈ V 和所有公式 φ 和 ψ，满足以下条件：

[∨]Garson

u(φ ∨ ψ) = T iff for all formulas χ such that_u_(χ) = F, there exists_v_∈ V_with_u ≤ v,v(χ) = F and either_v_(φ) = T or_v_(ψ) = T.

虽然我们无法在这里详细讨论加森（Garson）的方案，但其目的值得注意：即到达“自然语义”，这种自然语义隐含在规定连接词#（在这里假定为 n 元）的规则中，其全局范围的表征是由满足形式条件的估值 V 组成的，该条件为：∀u ∈ V，u(#(φ1,…,φn)) = T 当且仅当…，其中省略号被替换为某种内容，使得这个双条件适合作为对估值 u ∈ V 上的真值归纳定义的子句。加森对我们所称的[∨]加森中使用 ≤ 存在疑虑（并提出了各种建议），以及对引入对 χ 的显式量化存在潜在的循环性或不确定性的担忧（特别是因为 χ 不一定具有较低的复杂性——即不一定能够用更少的原始连接词构造，即 φ∨ψ 本身）；相关担忧在伍兹（Woods）（2013）中也有提及。消除后一特征的一种方法是将[∨]加森转换为以下等价形式，该形式广泛使用估值的合取组合，并使用符号|χ|，对于一个公式 χ，表示满足 v(χ) = T 的 V 中的 v 的集合：

u(φ ∨ ψ) = T 当且仅当 ∃ U0, U1 ⊆ V: U0 ⊆ |φ|, U1 ⊆ |ψ|, 且 u = ∏ U0 ⋅ ∏ U1。

在这个最后的“∏ U0 ⋅ ∏ U1”的位置，我们同样可以写成“∏ (U0 ∪ U1)”。当然，按照所写的形式更容易让人联想到文献中对析取的语义处理的许多变体——比如直觉主义逻辑的贝丝语义，以及在 Ono 和 Komori（1985）、Orłowska（1985, 455）和 Bell（1986）中找到的有关相关（或“关联性”）和其他次结构逻辑的析取处理，仅举几例来自上世纪 80 年代的论文。我们将不在这里从这个角度讨论其他连接词，也不对 Garson 的方案进行进一步评论。有关→、¬ 和 ↔ 的常规引入和消去规则的全局范围的讨论，请参见 Garson（2001）。值得注意的是，Garson 在这些问题上的方法自这次讨论中引用的出版物以来已经进一步发展：请参见 Garson（2013）。

在我们的讨论中重新出现的观点，关于加尔森，即自然演绎的引入和消去规则一起，或者仅仅是引入规则（根岑的首选立场），一定程度上固定了它们所控制的连接词的含义，这通常与考虑到符合这些规则的连接词的存在和唯一性相辅相成，这些考虑是由 H. Hiż 首次提出的，根据贝尔纳普（1962）的说法。贝尔纳普在回应普赛尔（1960）时提出，任何旧的规则集都可以被规定来确定所提出的连接词的含义的想法，这一想法在随后被广泛讨论的例子 Tonk 的帮助下受到了质疑，Tonk 是一个假定的二元连接词，其引入规则允许从（任意的）φ 到 φ Tonk ψ 的推导，就像从第一个析取式中的 ∨-引入一样，而消去规则允许从 φ Tonk ψ 到 ψ 的推导，就像从第二个合取式中的 ∧-消去一样。（这是在 §2 中提到 Tonk 问题时所预期的，关于混合化连接和析取的对偶。）由于这样允许通过依次应用（Tonk-I）然后（Tonk-E），从任意 φ 中推导出任意 ψ，普赛尔认为这表明通过所提出的规则没有赋予 Tonk 一个连贯的含义，并且驳斥了通过规则来确定连接词含义的一般论点。（普赛尔认为波普尔和克尼尔是他论证的目标，这并不触及根岑认为含义是通过控制它的所有引入规则的总体性质固定的这一观点，而这些规则就是这些规则的总体性质。由于引入 Tonk 的唯一方式是由（Tonk-I）提供的，其中前提是 φ，所以 φ Tonk ψ 的含义就是 φ，适当的消去规则不是普赛尔提供的，而是授权消去到第一个“tonkjunct”的规则。）贝尔纳普回应说，普赛尔的 Tonk 规则的问题在于，事先为正在使用的连接词认可的证明系统将通过将语言与 Tonk 一起丰富，并用（Tonk-I）然后（Tonk-E）补充证明系统而被非保守地扩展，因为它们允许对 Tonk-free 的 φ，ψ 推导出 sequent φ ≻ ψ。在本节的后面，我们将回到 Tonk 并研究它在 sequent 演算设置中的行为。

当然，人们期望添加新规则会导致新推理的可证明性，但扩展应该是保守的，即不应该有涉及旧词汇的新推理成为可证明的。Belnap 的讨论表明，如果某人支持特定证明系统，只有当将该联结词添加到语言中并将这些规则添加到证明系统中产生保守扩展时，才应该承认符合某些规则的联结词的存在。 （关于从特定逻辑的角度来看，某个具有某种逻辑能力的联结词是否存在，还有其他可能的含义——最明显的是，该联结词是否已经在逻辑中被定义。证明赋予所讨论的能力的规则会使逻辑非保守地扩展将是表明没有这样的联结词可被定义的一种戏剧性方式，但由于它可能无法被定义，同时仍然可以保守地添加，因此这些问题需要保持分开。）

对于这样一个建议的一个困难在于可以找到涉及两个连接词的例子，每个连接词都有一组相关规则，这些规则中的每一组都会产生一个初始证明系统的保守扩展，显然需要从原始系统的角度在每种情况下回答“是的，确实存在这样一个连接词”，同时一次性使用两组规则扩展初始证明系统是非保守的——这会削弱这种双重认可。我们可以得出结论，尽管产生一个对一个受欢迎的证明系统的非保守扩展足以否定具有某种逻辑属性的连接词的存在或可理解性，但可能有其他理由来做出这样的裁决。在 Priest（2006）的第 5 章中，对布尔否定进行了这样的批评，在那里提出了 Belnap 的论述的问题，并引用了技术文献，其中可以找到关于用适当的原则来扩展相关传统中的某些逻辑的保守性的证明。 （有关这一观点的早期呈现，请参见 Belnap 和 Dunn 1981 年，第 344 页，以及有关讨论，请参见 Restall 1993 年，尤其是 §5。）还应该注意，保守性测试本身引发了自己的问题，独立于是否通过它是必要且充分的问题（我们一直在质疑的是这一套中的充分性部分）来承认连接词的存在。例如，有一些句子连接词在任何常规呈现的直觉命题逻辑作为证明系统中保守地扩展，但在直觉谓词逻辑中非保守地扩展。最著名的是双直觉蕴涵（请参见 López-Escobar 1985）。回到存在的保守扩展标准，让我们注意到一个相关的连接词，双直觉否定，可以保守地添加到直觉谓词逻辑（以及更进一步的命题逻辑），但在命题级别上已经产生了违反析取性质的情况——即当且仅当 ≻φ∨ψ 应该是可证明的，如果至少有一个 ≻φ，≻ψ 是可证明的——根据某些观点（例如，Gabbay 1977 和 1981），这使得它从直觉主义的角度看来是不合法的。最后，应该观察到，直觉逻辑的拥护者可能会对一个提出的新连接词持怀疑态度，该连接词的规则保守地扩展了该逻辑，但却没有保留同义词，即根据 ⊢I L，原始语言中的公式在扩展证明系统相关的推论关系中不再是同义的。这至少发生在通过所谓的强否定对直觉逻辑进行最直接的扩展中。

关于连接词的独特性问题（在逻辑上的含义上，自然而然）最好通过考虑一个规则集何时唯一地表征一个连接词来接近，即如果伴随着规定了“重复”版本的相应规则，这些规则控制着相同阶数的连接词，结果是从适当数量的组成部分和原始连接词形成的化合物与从重复连接词形成的化合物在相同组成部分上的同义性。在一个同余设置中，同义性的参考可以被等价性之一所取代，即在后果关系或 Set-Fmla 框架中的 ⊣⊢-等价性的意义上，对于其他框架的适当变化。在没有同余性假设的情况下，也许应该区分在同义性内唯一表征与在等价性内唯一表征。由于所讨论的规则可能不是纯粹的，而涉及其他连接词，因此可能需要讨论#在涉及的其他连接词方面是如何被唯一地表征（通过给定的规则），这样当考虑重复系统时，#被其重复项#′替换，而其他连接词保持不变。我们将不会在这里考虑这些复杂情况。很容易看出，在第 2 节中给出的各种连接词的自然推导规则以及序言演算规则都唯一地表征了它们所控制的连接词。（请注意，这包括了→的引入和消去规则，这些规则是直觉逻辑的任何自然推导系统共享的，这些规则可能唯一地表征一个不能完全确定的连接词，不能接受真功能解释。关于否定也是如此，尽管我们在自然推导的讨论中没有涉及这一点。）有时将这一特征视为被认为是逻辑常量的连接词必须被视为必要的，尽管如第 1 节所解释的，我们在这里不追求这个问题。

一个涉及独特性和存在性的相关问题确实值得关注，这个问题涉及到逻辑之间的竞争，这些逻辑在控制连接词的规则上存在差异，第一个逻辑系统有足以唯一表征一个连接词的规则，而第二个逻辑系统除了这些规则外还有更多控制该连接词的规则。这方面的标准例子是直觉主义逻辑和经典逻辑在否定方面的差异。经典规则超越直觉主义规则，而后者已经足以唯一表征，这意味着直觉主义者没有“各自为政”的选择，不能承认两种不同的否定连接词——经典和直觉主义，在同一个证明系统中共存，每种连接词都有其各自的规则。根据那些认为控制连接词的逻辑原则的任何差异反映了对连接词含义的不同看法的人（见下文第 5 节 W. V. Quine 的观点），一旦承认含义上的差异，先前模糊的连接词“¬”，在这种情况下，应该可以用标记消歧义的连接词来替代——比如 ¬i 和 ¬c，并且直觉主义者和经典逻辑学家应该能够选择他们特别感兴趣的那种连接词，而不必担心在彼此交流时产生歧义。但当然这是不可能的，因为规则控制 ¬i 使其具有唯一特征，而控制 ¬c 的规则则重复了这些规则——可以将 ¬c 看作 ¬i′，根据上述讨论，它们还做了更多（例如确保可证明 ¬c¬cp ≻ p）。结果是这两个连接词在重复的系统中形成等价的复合体，所有直觉上不希望的 ¬c 的属性都会传染给 ¬i：我们现在可以证明 ¬i ¬ip ≻ p，等等。提出这种据称消除歧义的符号的和解提议是直觉主义逻辑的支持者无法接受的。（通过对一些直觉主义规则施加限制，可以产生候选者，称为“经典和直觉的综合证明系统”——例如在 Fariñas del Cerro 和 Herzig（2001）中——但是，特别是根据一个人的逻辑规则阐明他们所控制的连接词的含义的观点，对任何此类限制的抵制是完全可以理解的。想象一下与外星人的邂逅，他们告诉我们，要解释他们的词汇中某些项目的含义，我们必须准备好限制 ψ 从 φ 和 ψ 的原则，对于某些选择的 ψ，这些选择涉及将该词汇翻译成英语。）

上述思路指向一些有趣的进一步方向。例如，直觉主义自然推导规则统治 ∧（在 Set-Fmla 中），这些规则与经典规则相同，它们本身比以下规则更强：【24】

χ ≻ φ χ ≻ ψ

χ ≻ φ ∧ ψ

χ ≻ φ ∧ ψ

χ ≻ φ

χ ≻ φ ∧ ψ

χ ≻ ψ

我们可以将直觉主义（和经典）规则与这些规则区分开来，将公式变量 χ 替换为一组公式变量 Γ。后者在某种意义上更强大，因为有些序言可以通过其规则证明（例如，p，q ≻ p ∧ q），而这些序言在基于显示规则（如果需要的话，还包括标准结构规则）的基础上是无法证明的。但显然，显示规则唯一地表征了 ∧，因为一旦我们为 ∧′重复它们，我们可以将第二和第三（合称为（∧E）风格）规则中的 χ 取为 φ ∧ ψ，从而推导出 φ ∧ ψ ≻ φ 和 φ ∧ ψ ≻ ψ，再通过第一个规则的重复版本（“(∧′I)”）推导出 φ ∧ ψ ≻ φ ∧′ ψ——对于逆向序言也有类似的推导。

这个例子从动机的角度看可能看起来牵强，但辩证的结果是明显的——如果 ¬ 规则因为比所需的更强而令人反感，那么直觉主义 ∧ 规则也是如此；无论如何，事实上确实有关于这一主题的变体被认真提出作为量子（或正交）逻辑构建中古典（或直觉主义）逻辑的削弱，在这种情况下，规则（∨E）受到限制，阻止任意的侧面公式集合——正如我们在第 2 节中对这一规则的 Δ 和 θ 的表述一样——与上文中嵌入的 ∧ 规则一样（如果我们选择的框架自然地被称为 Fmla-Fmla，这一方面将是完全一般的，这个框架偶尔被用于逻辑研究）。[25] 人们可以探讨一个要求所有规则在侧面公式方面应该是最大一般的想法，以抵制削弱直觉主义规则的压力，尽管这意味着什么取决于逻辑框架，而且可能很难在不屈服于类似的一般性方向的拉力的情况下坚守阵地，这将使我们从 Set-Fmla 转向 Set-Set。

对于独特特征问题的逻辑框架的敏感性在模态逻辑的案例中得到了很好的说明。可以构建特殊目的的逻辑框架，允许在所有正常的模态逻辑中唯一地表征 ☐ 的规则（Blamey 和 Humberstone，1991），但是如果没有这样的奇特设备，唯一的特征化将局限于 ☐ 完全确定的情况——在正常的模态逻辑中，只有对于所有 φ 都有 ⊢ ☐φ 的情况，以及对于所有 φ 都有 φ ⊣⊢ ☐φ 的情况。（这里与注释 34 相关。刚刚使用的“⊢”代表所涉及的局部推论关系，因此我们同样可以写成“⊢ φ ↔ ☐ φ”。比刚刚提到的更奇特的模态逻辑的逻辑框架——将我们进一步远离具有前提和结论的论证的概念——已经被提出，其中有几种在 Poggiolesi 和 Restall 2012 以及他们的参考文献中描述的。）

这个相同的框架敏感性问题可以通过考虑基于多重集框架的子结构逻辑来加以说明。经典线性逻辑有两个版本的命题常量（或 0 元连接词）⊥ 和 ⊤，在前一种情况下称为（在相关性传统中——参见 Avron 1988——而不是在开创性论文 Girard 1987 的符号中）F 和 f，在后一种情况下称为 T 和 t，具有以下 Mset-Mset 规则，希腊字母现在代表公式的有限多重集（逗号代表多重集并集）：

(F 左)Γ, F ≻ Δ (T 右)Γ ≻ T, Δ(t 左)

Γ ≻ Δ
Γ,t ≻ Δ

(t 右)≻ t(f 左)f ≻ (f 右)

Γ ≻ Δ
Γ ≻ f, Δ

如果我们使用带有多重集的经典逻辑，我们将需要第 2 节中的结构规则（Id）、（Weakening）和（Cut），现在将集合变量重新解释为多重集变量，并进一步添加 Contraction 规则，以允许在 ≻ 的左侧或右侧出现公式的双重出现被替换为单一出现。对于线性逻辑，我们仅保留（Id）和（Cut），不允许弱化和收缩，这样做的效果是现在也有两个版本的合取和析取，乘法和加法——我们在这里无法进一步讨论这种区别，除了说对于二元连接词，它与相关性传统中的内涵/外延区别相一致。这种传统中受欢迎的逻辑 R 的序言演算表示可以从经典线性逻辑的序言演算中获得（去掉两个特征 1 元连接词，称为指数，这些指数用于标记允许弱化和收缩的公式），方法是允许收缩（同时仍然禁止弱化）。我们在第 4 节的示例 6 中回到 R；正是为了这种回归，这里给出了控制 t 和 T 的规则，与 f 和 F 的规则并列，后者目前备受关注。请注意，即使 F 只有一个规则，即左插入规则（没有前提序言），这个规则足以唯一地表征 F，因为在具有由类似规则控制的 F′的组合语言中，我们可以证明——仅仅通过引用规则 F ≻ F′和 F′ ≻ F 的适当实例。直觉性线性逻辑的较弱系统是在 Mset-Fmla0 框架中构建的，不允许右侧出现多于一个公式，而对于 F 的左规则在那里是可用的，同样也适用于 Mset-Fmla，要求右侧恰好有一个公式（因为在当前情况下我们恰好有一个公式—F 或 F′）。当我们转向 f 时，我们再次发现规则唯一地表征了这个连接词，因为（f Left）为应用（f′ Right）提供了前提，其中 Γ 由 f（的一个出现）组成，Δ 为空，产生 f ≻ f′，类似地证明了逆向。请注意，虽然 F ≻ f 是 F 的（左）规则的特例，但没有逆向序言的证明。我们不能从 f ≻ 开始，然后在右侧弱化一个 F，因为我们没有弱化。这些推导在 Mset-Fmla0 中也适用，但这一次我们注意到它们在 Mset-Fmla 中不适用，因为左插入规则在该框架中没有应用。当注意力集中在 Mset-Fmla 时，没有一组纯规则可用来唯一地表征 f。 Mset-Mset（或 Mset-Fmla0）的否定（¬）序列演算规则可以被视为第 2 节中给出的规则，其中将集合变量视为多重集合变量（适用于 Mset-Fmla0），唯一地表征了否定（¬），但在 Mset-Fmla 或任何其他具有右侧（或左侧）固定多重集基数的框架中没有直接应用。在这个框架中，我们可以说，规定否定（¬）的规则唯一地表征了这个连接词，基于此，它确实可以被明确定义（¬ φ 作为 φ → f），但由于这里的 f 没有被唯一地表征（即使→被唯一地表征），这仍然使得否定（¬）缺乏其（也许）预期的唯一性，这在 Fmla 中更加明显。这些考虑在存在收缩（和 ∧/∨）分配的情况下仍然适用，解释了有时会提出相关逻辑不使用唯一表征的否定的抱怨。这里的重点不是要强调或回应这些抱怨，而是要注意它们的框架敏感性：它们不适用于 Mset-Mset 或 Mset-Fmla0。

对于连词的存在性和唯一性问题，结果表明在序言演算规则的情况下，与结构规则(Id)和(Cut)密切相关。让我们称左插入规则和右插入规则统治 n 元连词#——或者衍生地，因此受其统治的连词——为 Id-归纳的，如果对于每个 φi ≻ φi (i = 1,…,n)，从这些规则的证明可以推导出#(φ1,…,φn) ≻ #(φ1,…,φn)的可证性（不需要其他结构规则的帮助）。这意味着如果规则(Id)本身被限制为只能应用于命题变量 φ，那么不会丢失可证序言。让我们说，如果规则是 Cut-归纳的，那么当规则的前提序言是通过(#左)和(#右)推导出来的，并且(Cut)允许使用组件 φ1,…,φn 作为切割公式（但再次，不允许使用其他结构规则），那么可以不使用带有公式#(φ1,…,φn)作为切割公式的(Cut)规则的应用。

所有标准序列演算的连接词，包括经典和直觉线性逻辑的情况，都是通过既是 Id-归纳的又是 Cut-归纳的规则插入的，正如我们在这里用→的规则所说明的那样。为了明确起见，将这些视为经典线性逻辑的左右规则。为了展示 Id-归纳性，我们必须展示 φ → ψ ≻ φ → ψ 是可证的，假设 φ ≻ φ 和 ψ ≻ ψ 是成立的（“归纳假设”）。从最后两个序列（→左）得到：φ → ψ，φ ≻ ψ。从这个结果，应用（→右）得到所需的结论：φ → ψ ≻ φ → ψ。

对于割入性假设（1）Γ，Γ′，φ → ψ ≻ Δ，Δ′是由（→左）从（1a）Γ ≻ φ，Δ 和（2a）Γ′，ψ ≻ Δ′产生的，而（2）Γ′′ ≻ φ → ψ，Δ′′是由（→右）从（2a）Γ′′，φ ≻ ψ，Δ′′产生的。我们需要证明，在假设我们可以利用具有割入公式 φ，ψ 的割时，可以避免对（1）和（2）进行割入公式 φ → ψ。从（1a）和（2a）中，割 φ，我们得到（3）Γ，Γ′′ ≻ ψ，Δ′′。然后割 ψ，（2b）和（3）得出所需的结论：Γ，Γ′，Γ′′ ≻ Δ，Δ′，Δ′′，而无需使用 φ → ψ 作为割入公式与（1）和（2）作为前提。

削减感应性是传统上一种程序的一个方面，这种程序一直是证明论者的专业迷恋：提供“削减消除”定理，即这个或那个具有规则（削减）的序演算可以在不丢失任何可证明序列的情况下去除此规则。显然，要证明这一点需要比（对）规则的削减感应性更多，因为还可能与其他结构（和操作）规则产生潜在的相互作用需要处理。这些结果引起兴趣，因为从子公式属性出发会得到很多结论——任何可证明的序列都有一个证明，其中出现的唯一公式是该序列中涉及的子公式，这本身就是由该结果得出的，因为在证明过程中所有剩余的规则都是插入材料而不是移除材料。但从逻辑哲学的角度来看，削减感应性及其较不为人所知的伴随物，即 Id 感应性，应被视为同等重要，正如 Girard 在（削减）的相关语境中所暗示的那样，其中 C 代表削减公式（以及（Id）中 C 在“≻”的左右两侧）的以下略微印象主义的语义备注（Girard, Taylor 和 Lafont 1989，第 31 页）。

身份公理表明 C（左侧）比 C（右侧）更强；这条规则[=（剪切）]陈述了相反的真理，即 C（右侧）比 C（左侧）更强。

在这里孤立 Id-和 Cut-归纳性的重点，然而，与真理问题无关（关于这一点，以及有关 Girard 的进一步参考，请参见 Hösli 和 Jäger 1994），而与唯一性和存在性有关——当然，这与语义问题并非毫无关联。前者的联系或许已经很明显了。在为→建立 Id-归纳性的最后一步中，我们从通过(→左)获得的 φ → ψ，φ ≻ ψ，过渡到 φ → ψ ≻ φ → ψ，通过(→左)：但这正是重复的序列演算中的唯一性证明所做的事情，只不过最后一步将是应用(→′右)，并建立 φ → ψ ≻ φ →′ ψ，通过交换用于→和→′的规则证明其逆。

为了看到存在之间的联系——更具体地说，存在问题的保守扩展方面——将之前给出的 Tonk 的自然推导规则转换为 Sequent 演算规则（这里是针对 Set-Fmla 的）

(Tonk Left) 汉语翻译：(Tonk Left)

Γ, ψ ≻ χ

Γ, φ Tonk ψ ≻ χ

(Tonk Right) (汤克·赖特)

Γ ≻ φ

Γ ≻ φ Tonk ψ

通过应用正确的插入规则，使用前提序列（由（Id）提供）φ ≻ φ 和左规则与前提 ψ ≻ ψ，我们到达了我们的自然推导推导开始出现问题的地方：我们有：

并且呼吁（Cut）在这里，以 φ Tonk ψ 作为切割公式，相当于传达坏消息。但当然，这个例子只是生动地说明了 Tonk 规则并非 Cut 归纳的，且没有所需序列的无割证明（至少在一般情况下：取 φ = p，ψ = q）。这并不奇怪，因为割消除所确保的子公式属性本身保证了一个连接词的规则保守地扩展了包括其余连接词规则的子系统。在这种情况下，这个例子的要点是，例如，没有证明 p ≻ q，而不是通过 Tonk 涉及的公式绕道（违反子公式属性）。

我们可以看到大致上是 Tonk 示例的镜像，以加强 Cut-归纳性和 Id-归纳性之间的对比，以及它们与存在性和唯一性的各自联系，然后整理出这个描述中的“大致上”部分，这将显示它们实际上提供了特殊的——可以说是规范的——存在条件（=保守扩展）和唯一性条件的满足的特例。我们在 Set-Set 而不是 Set-Fmla 中进行讨论，以避免一大堆复杂性。上述 Tonk 规则结合了从合取的序言演算处理中熟悉的左插入规则和从析取的序言演算处理中熟悉的右插入规则；它们针对刚刚宣布的框架变化的重新表述，要求在规则的前提和结论中的序言的右侧有一个空闲的 Δ 参数，如上所示的示意性地呈现（在一个情况中替换 χ，在另一个情况中伴随着显示的继承公式）。对于我们的镜像示例，考虑一个二元连接词 Knot，其规则结合了与 ∨ 的左插入规则相反的 ∧ 的右插入规则：

(Knot Left)

Γ,φ ≻ Δ Γ,ψ ≻ Δ

Γ, φ 节 约 ψ ≻ Δ

(Knot Right) 打结正确

Γ ≻ φ, Δ Γ ≻ ψ, Δ

Γ ≻ φ Knot ψ, Δ

这些规则是切割归纳的，如感兴趣的读者可以确认，但不是 Id-归纳的，因为它们并不能唯一地表征 Knot。要看到这一点，请注意它们都是 ∧ 和 ∨ 的可推导规则，当然我们不能一般性地证明 φ ∨ ψ ≻ φ ∧ ψ。相比之下，既不 ∧ 也不 ∨ 满足 Tonk 的左右规则。Knot 规则的要点最好通过零前提规则（sequent-schemata）来进行可视化，这些规则在结构规则的基础上是相互可推导的：φ, ψ ≻ φ Knot ψ（右规则）和 φ Knot ψ ≻ φ, ψ（左规则）。一个附带的观点：由于这些是由决定因素 ⟨T, T, T⟩ 和 ⟨F, F, F⟩ 引起的条件的 sequent 表述，人们可能将它们视为表达幂等性，因此可以与更简单的一对 φ ≻ φ Knot φ 和 φ Knot φ ≻ φ 互换。但是，虽然后两者可以从前两者推导出来（只需取 ψ 为 φ），但在没有进一步原则的情况下，反向推导是不可能的——显然，这需要在第 2 节提到的广义后果关系的外延性条件的 sequent 版本。我们可以称二元#，对于其中 φ, ψ ⊩φ # ψ 和反之亦然，根据广义后果关系 ⊩，是强幂等的。然后 ∧ 和 ∨ 并不是唯一符合 Knot 规则行为的连接词的布尔候选者——根据由布尔估值类确定的 ⊩CL 的广义后果关系，我们还有到第一个坐标的二元投影（φ # ψ 等价于 φ），到第二个坐标的二元投影（φ # ψ 等价于 ψ），并且更进一步，任意两个这些连接词的 Set-Fmla 混合体。也许其中最有趣的是两个投影连接词的混合体，因为这个——让我们将其写为“•”—可以用来明确地从要混合的连接词中定义所有其他混合体；例如，如果我们想要→和 ∨ 的共同属性（如第 2 节中所解释的），我们可以在以下复合体中找到它们的 φ 和 ψ：（φ → ψ）•（φ ∨ ψ）。

如果“结”（Knot）的处理真正是“坦克”（Tonk）的镜像，我们就可以说，正如“结”规则是“剪切诱导”（Cut-inductive）但不是“恒等诱导”（Id-inductive）一样，“坦克”规则是“恒等诱导”但不是“剪切诱导”。（剪切诱导和恒等诱导的双重要求是关于正向和逆向插入规则之间关系的和谐概念的有希望的候选者，适用于序言演算中右插入规则和左插入规则之间的关系。）尽管确实注意到了剪切诱导的失败，但对于这些规则的恒等诱导并未提及。破坏了预期的对偶，情况是“坦克”规则在这一点上也失败了，尽管这可以通过简单的变化来纠正。首先，我们应该注意普赖尔（Prior）的观点同样可以通过将第二（而不是第一）析取引入规则与第一（而不是第二）合取消去规则相结合来表达。称具有这些规则的连接词为“坦克*”。

Tonk* 左

Γ, ψ ≻ Δ

Γ, φ Tonk* ψ ≻ Δ

Tonk* Right

Γ ≻ ψ, Δ

Γ ≻ φ Tonk* ψ, Δ

这在类比 Knot 方面存在相同的缺陷，因此，最终，让 Tonk+受 Tonk 规则和 Tonk_规则的约束。Tonk+具有 Knot 作为其镜像，因为正如我们 Knot 具有(∧ 右)和(∨ 左)规则的全部力量一样，Tonk+享有(∧ 左)和(∨ 右)规则的全部力量。(因此，我们得出 Knot 最初被描述为 Tonk 的近似镜像的原因。)这一次，规则确实是 Id-归纳的，而不是 Cut-归纳的。事实上，Id-归纳性是通过两条独立的途径得到保证的：通过 Tonk+的 Tonk 左规则与 Tonk_右规则相互作用，然后再通过 Tonk+的 Tonk_左规则与其 Tonk 右规则相互作用。(为了更详细地说明前者，举例来说，Tonk+的 Tonk 左规则给出 φ Tonk+ ψ ≻ψ 从(Id)-for-ψ，从而应用 Tonk+的 Tonk_右规则，我们得到 φ Tonk+ ψ ≻ φ Tonk+ ψ。)

让我们总结从前面的讨论中可以提取出的关于存在与割除归纳性之间以及唯一性与 Id-归纳性之间的关系的教训。Id-归纳的 sequent 演算规则唯一地表征了它们所控制的连接词，但不一定反之亦然：Tonk 规则并非 Id-归纳的，但它们唯一地表征了 Tonk，因为它们已经如此强大，以至于任何左侧至少有一个公式且右侧至少有一个公式的 sequent 都可以在它们的帮助下证明，因此，在带有 Tonk'的重复系统中，我们肯定可以证明 φ Tonk ψ ≻ φ Tonk' ψ 以及逆 sequent——甚至不使用 Tonk'规则！（这就是我们在称之为非规范唯一性形式时所考虑的事情。）在“存在”方面：对于作者来说，不清楚任何控制连接词的割除归纳规则是否保证它们在（包含）控制其他连接词的规则的系统上是保守的——因为割除可能因其他原因而失败；刚才考虑的例子也没有解决反之的问题，正如我们从以下对我们研究结果的表格总结中所看到的那样，其中“唯一”旁边的“是”表示规则唯一地表征了连接词，“保守”表示我们对不涉及给定连接词的 sequent 演算规则系统有一个保守扩展；Tonk*没有单独列出，因为它的模式与 Tonk 相同：

	Id-inductive	Unique	Cut-inductive	Conservative
Tonk	I'm sorry, but it seems like there was an error in your request. It appears that the text you provided is incomplete. Could you please provide the full text you would like me to translate into Simplified Chinese?	是的	无	没有
Tonk+	是的	是的	I'm sorry, but it seems like your input is incomplete. Could you please provide more context or the full text that you would like me to translate into Simplified Chinese?	没有
结	没有	I'm sorry, but it seems like your input is incomplete. Could you please provide more context or the full text that you would like me to translate into Simplified Chinese?	是的	是的

关于 Tonk 和其变体的讨论就到此为止。我们将就独特特征做出一点说明，然后给出一些非保守扩展的例子，这将涉及引入重要概念的特殊和普遍代表性连接词。一些进一步的“存在”例子将推迟到下一节。

以上讨论已经涉及到诸如“∧ 和 ∨ 的混合物”等短语；支配这种连接词的原则的总体是 ∧ 和 ∨ 共同的，显然我们没有一个仅由这些原则唯一特征化的连接词——在这种情况下，谈论混合物是否合法呢？我认为这种说法和谈论“S5 的 ☐ 运算符”一样无害，其中再次涉及的逻辑原则不足以唯一特征化连接词——至少在我们是 Fmla、Set-Fmla 或 Set-Set 的情况下，以及在后一种情况下，与所谓的局部（广义）推论关系一起工作。 （参见第 5 节，了解由一类模型确定的局部和全局推论关系之间的区别。）可以说，在单模态、未重复的情况下，我们有一个扮演特定角色的单一连接词，并且我们可以在该上下文中称之为扮演所讨论角色的连接词，同时承认，正如我们从重复的情况中了解的那样，这是一个可以同时扮演的角色（即在单一逻辑中）由几个非等价连接词。这就是 Łukasiewicz 在他的（1953 年）中所考虑的情况，他将某些连接词对比喻为“当单独相遇时无法区分的双胞胎，但当一起看到时立即被认出为两个”。

我们之前看到，在一个证明系统中结合直觉主义和经典规则并不奏效，另一个浮现的建议是，我们或许可以通过在直觉主义逻辑中引入一个新的连接词，比如一元#，来扩展直觉主义逻辑，这个连接词可以做到直觉主义者认为否定（¬）本身无法做到的事情：作为 ¬ 的左逆，使得对于所有 φ，#¬φ 和 φ 等价。这再次代表了一个直觉主义者无法接受的提议，假设任何（提出的新连接词的规则）新连接词应该保持同义性，正如上文所建议的。 （甚至更强烈的要求，即与扩展的证明系统相关的推导关系应该是同余的，似乎并不是不合理的。）原因在于，直觉主义中 ¬p 和 ¬¬¬p 是等价的（因此根据 ⊢I L，它们是同义的），因此同义性的保持要求#¬p 和#¬¬¬p 应该是等价的——因为我们在直觉主义逻辑中有这个“三重否定法则”的等价性——从而上述左逆条件得出，取 φ 为 ¬p 在前一种情况下，取 φ 为 ¬¬¬p 在后一种情况下，p 与 ¬¬p 的等价性——一个直接的非保守扩展。 （类似的论证表明，添加二元#，其中 φ # (φ ↔ ψ)等价于 ψ——这是一个可能性，因为与经典情况相比，在这里 ↔ 本身不能充当#，也是非保守的。）顺便提一下，直觉主义者也不能承认存在一个对否定的右逆，一个#，其中任意 φ 等价于 ¬ # φ，因为这会使每个公式等价于一个否定的公式，从而等价于它自己的双重否定。这个论证是众所周知的（参见，例如，Koslow (1992)，第 97 页），甚至不需要“同义性的保持”约束。

这些最后的非存在证明引起了我们对直觉主义逻辑中否定公式“特殊性”的关注，因为每个这样的公式等价于其自身的双重否定，而对于任意公式来说并非如此。让我们退后一步，对“特殊性”概念以及对比概念进行清晰解释，稍微更一般化；为了明确起见，我们将说明定制为 Set-Fmla。我们也从对比概念开始。假设一个语言中的公式之间的 n 元关系 R 在该语言上的一个推论关系中是普遍代表性的，如果对于该语言的任意公式 φ1,…,φn，存在与 φ1,…,φn 分别在 ⊢ 下同义的公式 ψ1,…,ψn，且 R(ψ1,…,ψn)。（如果 n = 1，我们将称之为普遍代表性的公式类——一类公式，使得每个公式与类中某个公式同义；类似地，在下面定义的特殊概念中也是如此。）如果 ⊢ 是同余的，那么我们可以在这个定义中用“等价”替换“同义”（即 φi ⊣⊢ ψi，对于 i = 1,…,n）。假设根据 ⊢，R 是特殊的，如果存在一些 Set-Fmla 序列 σ(p1,…, p n)构造出来，不一定只使用所展示的变量，对于任意使得 R(ψ1,…,ψn)的公式 ψ1,…,ψn，我们有 σ(ψ1,…,ψn) ∈ ⊢，而对于所有公式 φ1,…,φn，我们没有 σ(φ1,…,φn) ∈ ⊢。对于替换不变的 ⊢，这个最后的条件可以简化为：σ(p1,…, p n) ∉ ⊢。这些定义的一个推论是，没有关系既是根据给定的 ⊢ 普遍代表性的，又是特殊的。一个特殊关系的简单例子——根据几乎任何带有 ∨ 的“自然发生”的推论关系是关系 R 在 φ 是其中一个析取项的析取式 ψ 之间的关系。这里取 σ(p, q)为 p ≻ q，这是（例如，在直觉主义逻辑中，尽管经典逻辑或其他许多逻辑也可以）不可证明的——即，不是 p ⊢I L q——而对于所有使得 R(φ, ψ)的 φ, ψ，φ ⊢I L ψ。一个更有趣的例子是（直觉主义地）头链接的关系，即关系 R，对于所有 φ, ψ，当且仅当 R(φ, ψ)时：

对于一些公式 χ, φ0, ψ0，我们有 φ ⊣⊢I L φ0 → χ 和 ψ ⊣⊢I L ψ0 → χ。

在古典逻辑中，类似的关系将是普遍代表的（因此不是特殊的），至少在任何具有 → 的片段中，该片段还具有 ⊥ 或 ∧，因为在这里任何 φ 和 ψ 分别等同于 (φ → ⊥) → ⊥ 和 (ψ → ⊥) → ⊥，它们通过在主要蕴涵式的开头具有共同的 χ 明确地联系在一起。（或者用 ∧ 替换 ⊥，将 ⊥ 替换为 φ ∧ ψ。）但在直觉主义情况下，作为开头联系的关系是特殊的，例如，对于皮尔斯定律 σ(p,q) = (p → q) → p ≻ p，我们有 σ(p, q) 直觉主义上不可证明，但对于任何开头联系的 φ, ψ，我们有 σ(φ,ψ) ∈ ⊢I L。

专注于一元关系，即公式的类之间，我们通过以下术语将上述术语转移到连接词，即，如果给定连接词作为主连接词的公式类本身是根据相应的推导关系一个普遍代表类或特殊类，则该连接词是普遍代表或特殊的。虽然每个非常量连接词都根据 ⊢CL 是普遍代表的，但我们讨论直觉主义 ¬ 的逆时发现 ¬ 根据 ⊢ 是特殊的，因为我们可以取 σ(p)为 ¬¬p ≻ p，并且在这个 IL 不可证明的序列的每个替换实例中，将 p 替换为否定公式是 IL 可证明的。因此，在直觉主义逻辑中，否定并不是普遍代表的。（这意味着我们可以有益地从 ⊢IL 的角度讨论负命题，将一个公式的同义关系类视为由此表达的命题，并且指的是否定公式的同义关系类。在古典逻辑中，对应的概念并不有用，因为所有命题都将被视为负面，就像对于 ⊢CL 和 ⊢IL，没有特定的合取或析取命题一样。）

尽管根据给定逻辑的特殊性和普遍代表性的属性是互斥的，但它们并非是互相排斥的。例如，在极小逻辑中（根据与约翰逊极小演算相关的后果关系），⊥ 既不是普遍代表性也不是特殊的。在模态逻辑 KD 中，连接词 ☐ 也没有这些属性，尽管这个例子并非随机选择的：在子逻辑 K 中，☐ 是特殊的（因为对于所有 ☐-公式 φ，☐⊥ → φ 是可证的，尽管对于任意 φ 都不是），而在扩展 KD4 中它再次是特殊的（因为对于所有 ☐-公式 φ，φ → ☐φ 是可证的，尽管对于所有公式都不是）。

4. 选定的存在问题

4.1 不符合规则的条件（示例 1）

除了符合（某些）规则的条件之外，我们还可以询问是否可以安全地——即保守地——假设存在满足所讨论条件的连接词。其中一种条件是以下条件，这里表达为一个在其语言中具有二元连接词#的后果关系 ⊢ 的条件，所有变量都被理解为普遍量化：

Γ ⊢ φ # ψ 当且仅当 Γ ⊢ φ 或 Γ ⊢ ψ。

这是因为右侧的“或”使得这个条件——更准确地说，它的“只有当”部分——不对应于一个序对序对规则。尽管如此，我们可以问一下，是否存在一些包括规则(∨E)（或序对演算规则(∨ 左)）的 Set-Fmla 证明系统，例如经典逻辑，是否有一个保守扩展到一个具有附加连接符#的语言的证明系统，其相关的推论关系满足上述条件对于这个#。要看到这个问题的答案是否定的，注意到以#-支持扩展 ⊢ 定义的二元关系 R⊢：R⊢(φ,ψ)当且仅当 φ ⊢ ψ 时，产生了一个二元关系连接(L, L, R⊢)，它在左侧提供了合取（是的—合取）组合，因为 ⊢ 是 ∨-经典的，这里的 φ ⋅L ψ 是 φ ∨ ψ，而上述的条件（取 Γ = {χ}）在右侧确保了分离对象，其中 φ +R ψ 是 φ # ψ。（“L”和“R”下标从第 1 节恢复到这里以防混淆，因为源和目标重合。）因此，第 1 节的交叉条件得到满足，即如果 φ1 ⊢ ψ1 和 φ2 ⊢ ψ2，则 φ1 ⊢ ψ2 或 φ2 ⊢ ψ1。取 φ1 = ψ1 = χ 和 φ2 = ψ2 = χ′，我们有这个条件的前提（通过(Id)），因此我们得出结论，对于所有的公式 χ，χ′，要么 χ ⊢ χ′，要么 χ′ ⊢ χ，这包括原始语言的无#公式（例如，χ = p，χ′ = q），对于这些公式，原始的推论关系都不是彼此的推论，这表明沿着上述线路提出的任何扩展都是非保守的。

4.2 Pollard-Style Nonconservativity（Example 2）

这确实是一整套例子。正如我们对于示例 1 所要求的那样，这里我们需要(→I)。让我们称一个推论关系 ⊢ →-introductive，如果 Γ, φ ⊢ ψ 总是意味着 Γ ⊢ φ → ψ。[39] 现在假设 ⊢ ⊇ ⊢I L 并且 ⊢ 是 →-introductive，并且要么 (i) 对于某个 n 元连接符#，⊢ 满足由决定者 ⟨F,…, F,T⟩（“F”出现 n 次）引发的条件（对于推论关系），以及一些以 F 为最后条目的决定者，或者 (ii) ⊢ 满足由决定者 ⟨T,…,T, F⟩（“T”出现 n 次）引发的条件，以及一些以 T 为最后条目的决定者（对于 n 元#）。那么就会得出结论 ⊢ ⊇ ⊢CL。

从（i）到结论 ⊢ ⊇ ⊢CL 的暗示已经在 S.波拉德（Pollard 2002，Pollard and Martin 1996）的几篇出版物中得到强调；对于（ii）的暗示也有类似的证明。这里不给出任何证明，只是一个例证（关于情况（ii）的）。称为排他析取（或 xor）的真值函数，与布尔估值上与 ∨（“包含性析取”）相关联的不同之处在于具有 ⟨T，T，F⟩ 而不是 ⟨T，T，T⟩ 的确定值，将作为一个例子，因为除了刚提到的确定值外，其具有 T，除了最后的 F 之外，我们还有一个以 T 结尾的确定值（例如）⟨T，F，T⟩。对于这两个确定值的广义推论关系的诱导条件分别是：

对于接下来的内容，我们将假定，除了→之外，还有连接词 ∨、¬、⊤ 和 ⊥ 可用，尽管事实上，刚才给出的结果对于任何带有→的片段都是正确的（其中 ⊢CL 被理解为限制在讨论中的经典推论关系）。然后，我们可以将对我们的推论关系 ⊢ 引发的条件分别写为，而不是在右侧使用新的示意字母来表示第一个条件，并将第二个条件转换为条件形式：

现在利用假设 ⊢ 是 →-引入的假设——这并不是因为 ⊢I L 是 →-引入的，以及 ⊢ ⊇ ⊢I L 这个事实——第一个条件现在允许进行连续重写，首先是

φ # ψ ⊢ φ → (ψ → ⊥),

然后

φ # ψ ⊢ φ → ¬ψ.

事实上，⊢ 是 ⊢I L 的→-引入扩展足以使 ⊢ 成为 ∨-经典的，特别是使其在某种意义上成为“∨-消除”的，即每当 Γ ⊢ χ1 ∨ χ2 且 Γ′，χ1 ⊢ θ 和 Γ′′，χ2 ⊢ θ 时，我们有 Γ，Γ′，Γ′′ ⊢ θ。因此，从 φ ⊢ ψ ∨ (φ # ψ)的事实，如上所示右侧的插图，以及 φ # ψ ⊢ φ → ¬ψ，我们可以得出结论 φ ⊢ ψ ∨ (φ → ¬ψ)。这不仅对于 ⊢I L 而言是失败的——例如，用不同的命题变量替换示意字母，使扩展非保守，它将我们带到 ⊢CL，正如结果的一般表述（(i)和(ii)）所声称的那样。要在当前情况下最容易地看到这一点，可以将 φ 取为 ⊤。

这些是否意味着在找到排他性析取的直觉主义类比时存在问题？一点也不。有许多派生的二元连接词，它们都形成了在经典逻辑中与 φ 与 ψ 的排他性析取等价的复合物，并且在有趣的情况下，在直觉主义上彼此并不等价，例如，φ ↔ ¬ψ 和 ¬(φ ↔ ψ)以及(φ ∨ ψ) ∧ ¬(φ ∧ ψ)。恰巧，这三者中的第三个（它在 IL 中等价于(φ ∧ ¬ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ)）与排他性析取的真值函数之间有着特别密切的关系，就像直觉主义 ¬ 与否定真值函数之间的关系一样，这可以通过基于克里普克直觉主义逻辑语义来解释（本条目中未解释），即所讨论的复合物在某一点为真，只有当在每个可访问点上使用相应的布尔函数进行评估时，以及在该点上的组件的真值时为真。请注意，否定真值函数本身具有其诱导条件规则，这些规则对直觉主义逻辑的健康构成危险，根据本示例开始时的结果（i）和（ii）：没有单个连接词可以保守地从一个公式中形成该公式的相反（如 ⟨T，F⟩ 要求）以及该公式的次相反（如 ⟨F，T⟩ 要求）。通常说，标准直觉主义否定（¬）形成了一个公式的推导最弱的相反，而双重直觉主义否定（本条目中仅简单提及）形成了其推导最强的次相反。

4.3 否定的迭代（示例 3）

是否存在一个一元连接词#，其连续两次应用相当于单次应用（比如）经典否定？[42] 如果我们在 Set-Set 中工作，这个问题的一个简化版本是询问#的命运，除了标准的结构规则之外，还受到这样一个条件的约束：对于所有的 φ：

应该都是可证的，自然地立即补充说，根据与该证明系统相关的广义后果关系，# 应该是一致的。没有后者的补充，我们可能会认为“##”只是写“¬”的一种古怪冗长的方式。有了它，我们坚持认为“#”的单个出现确实对其所适用的内容做出了响应。不难看出，对于 #，不存在（双值）真值功能解释可用，不仅仅是在弱意义上可以说（例如）S4 中的 ☐ 不允许这样的解释——即这个逻辑由（= 在 ☐ 是真值功能时的声音和完备性）没有真值功能的估值类决定——而且在更强的意义上，# 的设想逻辑甚至不符合这类估值类的声音，至少如果该类在注释 20 结尾定义的意义上是非常的。在引用的论文中，讨论了所谓的半否定的这种一致逻辑，并配备了基于克里普克风格的语义（基本上是重新制作早期的 4 值矩阵语义），其结果是，经由上述两个零前提规则（或者，假设 ¬ 在片段中，通过 ¬φ 和 ##φ 的等价性）或 # 的一致性规则，经典命题逻辑或其任何片段都通过这两个零前提规则得到了保守扩展，或者，假设 ¬ 在片段中，通过 ¬φ 和 ##φ 的等价性）或 # 的一致性规则。然而，很难想象，“从内部来看”，说一种具有这种逻辑连接词的语言，这提供了一个合适的形式处理。在 Dalla Chiara, Giuntini 和 Greechie（2004）的第 257 页提出的描述中，将这种连接词描述为一种试探性否定似乎是错误的，因为迭代试探性否定不会产生（非试探性）否定：如果你试探性地否定 φ 的试探性否定，你似乎会（无论多么试探地）朝着 φ 的方向而不是朝着 ¬φ 的方向前进。在 Dalla Chiara 等人（2004）的同一页上，Deutsch 等人（2000）被引用为以下所说的，其中，由于组合更像乘法而不是加法，半否定被称为否定的“平方根”：

逻辑学家现在有权提出一个新的逻辑运算 √not。为什么？因为在自然界中存在一个忠实的物理模型。

我不记得逻辑学家在追求这样或那样的探究方向之前必须寻求物理学家的祝福，或者在所调查的内容被自然地视为先验事项时，这些调查的兴趣、重要性或合法性（“现在有权提出...”）是否取决于物理学的经验和理论发现。这是绝对不是否认《Deutsch 等人（2000 年）》（或 Chiara，Giuntini 和 Greechie 2004，257-259）中描述的“量子机器”可能帮助我们感受所讨论的连接词的连贯性。

4.4 逻辑减法（示例 4）

假设一个人想要谈论的天气不仅仅是某个星期六下雨。一个人想要加强自己的承诺，使其不仅包括星期六下雨，还包括接下来的星期天下雨。有了 ∧（假设一些背景 ∧-经典的推导关系），没有比这更容易的了。将“在问题中的那个星期六下雨”缩写为 Sat，将“星期天下雨”缩写为 Sun，一个人可以通过从 Sat 到 Sat ∧ Sun 转换自己最初的陈述，使之变得更加强有力。现在假设一个人想要一个类似的设备，但是在相反的方向上起作用。一个人从一个内容由 Sat ∧ Sun 给出的声明开始，并希望使用一种连接词来去除承诺，就像 ∧ 添加它们一样。使用这种连接词，通常称为逻辑减法（尽管可以提出“逻辑除法”的情况，考虑到与乘法相关联的常规关系），一个人希望去掉对星期天下雨的承诺，只留下最初的声明。也就是说，一个人希望在自己偏爱的推导关系语言中添加一个连接词，使其受规则控制，使扩展保守，但对于扩展的推导关系，一个人希望具有等价性（写为 ⊢）：

(Sat ∧ Sun) − Sun ⊣⊢ Sat. (Sat ∧ Sun) − Sun ⊣⊢ Sat.

在 Hudson (1975) 中提出了对逻辑减法处理的一个早期且合理的建议。根据这一建议，至少如果我们已经有一个合理的蕴涵连接词可供使用，那么就不需要新的连接词，因为如果我们认为 φ − ψ 给出了从 φ 中减去 ψ 的内容的结果，那么这应该是最弱的陈述，它与 ψ 一起，使 φ 成为一个推论。但如果接受来自第 2 节的标准自然推导规则对于 →（如直觉主义和经典逻辑中的规则），那么这只是 ψ → φ。然而，这并不能给出上述的插入等价。如果我们将 (Sat ∧ Sun) − Sun 视为 Sun → (Sat ∧ Sun)，那么这在上述逻辑（以及许多其他逻辑中）等价于 Sun → Sat，而我们想要更强的 Sat 本身（根据那些逻辑，再次更强）。

上面的例子使用了一个带有原子句子 Sat 和 Sun 的解释语言。涉及它们的插入等价性对于所有句子来说都不合理。回到涉及设想中的新连接词的形式命题逻辑问题，这样的等价性对于任意的 φ 和 ψ 来说都不合理，因为我们期望新的连接词根据所需的推导关系是合同的，而任何无限制的这种等价性都会导致从 φ1∧ψ ⊣⊢ φ2∧ψ—通过“从两边减去 ψ”（考虑到合同性）—得出结论 φ1 ⊣⊢ φ2，而即使是相当弱的初始逻辑也很容易找到这种取消推理的反例。由于反例出现在 φ1、φ2 中，这种未经“−”扩展的语言，早期等价性的广义版本不合理的意义在于它不在初始逻辑上保守。在这里，我们不再讨论如何约束所涉及的等价性，或者更一般地说，关于我们一直在设想的是否真的存在任何这样的逻辑减法连接词，我们不再多说。

4.5 一个多重存在问题（示例 5）

考虑一个更为直接的例子，这次同时考虑几个连接词。假设我们询问是否可以保守地向直觉主义逻辑中添加三个二元连接词 #1、#2、#3，满足对于所有的 φ、ψ：

在古典逻辑中，我们可以将 φ #1 ψ 和 φ #2 ψ 分别视为 (等价于) ¬φ 和 ¬ψ，将 φ #3 ψ 视为 ⊥。然而，在直觉主义逻辑的任何保守扩展中，没有三个候选者能够扮演所需的角色，因为插入的等价关系使得任意的 φ 和 ψ 在第 3 节的意义上头部连接，其中 φ #3 ψ 是头公式。

4.6 与代数化相关的示例（示例 6）

这个例子来自于相关逻辑 R。我们在第 3 节中看到的命题常量 T 和 t 的序言演算处理，在 R 的公理化发展中通过公理模式 φ → T 处理前一种情况，而对于后两种情况 t 和 t → (φ → φ)，虽然后两者可以被 φ ↔ (t → φ) 替代。这里 ↔ 本身可以被看作是 (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) 或者 (φ → ψ) ○ (ψ → φ) 的缩写，其中 ∧ 和 ○ 分别是附加或者“外延”（正如相关传统所说）连接词和乘法或者“内涵”连接词（也称为融合）。在线性逻辑中，既不是 p ○ q 推出 p ∧ q，也不是 p ∧ q 推出 p ○ q，但在 R 中，由于存在收缩，后者推出前者。收缩的一个众所周知的进一步副作用是，当 φ 是一个蕴涵公式，ψ 是它的逆时，φ ○ ψ 和 φ ∧ ψ 也是等价的，因此上述 φ ↔ ψ 的两种替代阅读在 R 中是等价的。现在考虑在 R 中存在一个新的零元连接词的可能性，属于“真值常量”家族的 T，受到公理模式的约束：

φ ↔ (T ↔ φ). φ ↔ (T ↔ φ).

这看起来足够无害，支配经典逻辑和直觉逻辑中不可区分的 ⊤ 常量的原则 t、T 和 T 都适用，但在这里在符号上有所区分，以免影响它们之间的逻辑关系问题。[47]

但在 R 中，这种无害的外表是具有欺骗性的。因为在这种逻辑中，连接词 ↔ 是我们所谓的特殊的。在 R 通过 Mingle 模式 φ → (φ → φ)的众所周知的扩展 R-Mingle 或 RM 之后，让我们称一个公式 φ，对于这个公式在 R 中已经是可证的，为 Mingler。由于 RM 是 R 的一个适当扩展，不是所有的公式在 R 中都是 Minglers。但再次感谢收缩，所有的 ↔-公式都是 Minglers，在 R 中使 ↔ 成为特殊的。现在我们可以看到，根据上面的插入模式添加 T 会使 R 非保守地扩展，因为现在每个公式 φ 都等价于相应的 ↔-公式 T ↔ φ，所以即使对于无 T 的 φ，我们也应该有 Mingle 定理 φ → (φ → φ)。因此，没有 R 的信徒应该准备接受 T 存在并按照所设想的方式行事（或者实际上任何一对 1 元连接词#1，#2，其中 φ 可证明等价于#1φ ↔ #2φ）。

在 R 中，双条件连接词的特殊性可能与 Blok 和 Pigozzi（1989）所建立的这种逻辑被作者称为可代数化的事实相冲突。这个术语适用于后果关系 ⊢，这些关系在翻译上等同于与 ⊢ 的语言相似类型的代数类的准等式后果关系 ⊨K。也就是说，对于方程 e1,…,e n，我们有 e1,…,e n−1⊨K e n，只要对于 K 中的任何代数 A 以及对 e i 中的变量进行的任何赋值，如果在该赋值下 A 中的所有 e1,…,e n−1 都为真，则 e n 也为真。翻译等价性的概念意味着存在一个从 ⊢ 的（句子）语言到 K 的语言的方程的翻译 τ，以及另一个方向的翻译 τ′，它们在以下意义上是相互逆的：对于所有的公式 φ 和方程 e，φ ⊣⊢ τ′(τ(φ))，以及对于所有的公式 φ1,…,φn 和方程 e1,…,e**n，满足以下条件之一（从而得出两者都满足）：

φ1,…,φn−1 ⊢ φn 当且仅当 τ(φ1),…,τ(φn−1) ⊨K τ(φn)

和

e1,…,e n−1 ⊨K e n 当且仅当 τ′(e1),…,τ′(e n−1) ⊢ τ′(e n)。

这种关于代数化的描述在一个方面被过分简化，以便进行解释：Blok 和 Pigozzi（1989）并不要求一个公式（我们称之为 τ）的翻译应该产生一个单一方程，而是允许一组方程，同样在相反的方向上，τ′（e）可以是一组公式。根据当前的定义，去除单一方程/单一公式的限制，后一组公式作为一个类似等价复合体共同起作用，满足一些进一步的同余条件，对于 ⊢R 的情况可以取为 ↔。因此， ⊢R 是可代数化的这一事实，根据“φ ⊣⊢ τ′(τ(φ))”条件，大致而言，每个公式等价于一个等价关系。但这是否与我们发现的 ↔ 在 R 中是特殊的相冲突呢？

首先，需要解释后果关系 ⊢R。Blok 和 Pigozzi 心目中有一个最小的后果关系，对于该关系，φ, φ → ψ ⊢ ψ 和 φ, ψ ⊢ φ ∧ ψ 以及 ⊢ φ 对于 Fmla 逻辑 R 中所有可证明的 φ 成立。（第三个条件可以限制为 R 的任何公理化的公理的所有公理，其中公式到公式规则对应于第一和第二个条件。）现在，对于每个公式等价于一个等价的宽松总结会误导地双重使用等价词汇来表示两个不同的事物：等价作为相互后果（“⊣⊢”）和等价作为双条件连接词。消除混淆，这意味着对于每个 φ 存在 ψ, χ，使得 φ ⊣⊢Rψ ↔ χ。这与有 ⊢Rφ ↔ (ψ ↔ χ) 是非常不同的事情。后者的确等价于在第 3 节中描述的 R 的序列演算中 φ ≻ ψ ↔ χ 的可证性以及逆序列演算。但是，表面上匹配的 ⊢R 语句意味着非常不同的事情，其中包含了次结构序列演算旨在避免的结构特征（如弱化）。特别注意 ⊢R 不是 →-引入的，就像上面的示例 2 中那样。

4.7 布尔连接词的二维同位素（更长示例 7）

是否存在一个连接词#′，当出现在某些指定范围运算符的范围之外时（通常是非布尔连接词），其行为就像给定的布尔连接词#一样，但在出现在所讨论范围内的运算符的范围内时，其行为与#不同？将所有这些理解为发生在某种特定的后果关系的支配下，在接下来的段落中将会详细讨论这一点，所设想的情况将是这样的。一个#′-复合物将等同于具有相同组成部分的#-复合物，每个复合物通过相关的后果关系使另一个成为后果，而不与该复合物同义（同义如第 1 节所解释）。本例的其余部分假定对“实际”基本模态逻辑有一定了解。这种逻辑的语义可以像 Davies 和 Humberstone（1980）的前两页那样呈现，使用具有一个特殊点（或世界）的模型，其中公式 Aφ 在模型中的任何点上被评估为真，只有在该点上 φ 为真时才为真。然后，通常有效的公式是那些在所有这样的模型的每个点上都为真的公式，通常有效的推理是那些在所有这样的模型的每个点上从左到右保持真实的推理。真实世界有效的公式（推理）是那些在所有模型的特定点上为真（或保持真实）的公式。

或者，语义学可以重新表述，使得模型不再具有这样的特权点和真理（在一个模型中）相对于一对点进行相对化，其中一个扮演了以前由显著元素扮演的“真实世界”角色，另一个扮演着在该公式被局部评估的世界的角色，就像 Davies 和 Humberstone（1980）的注释 4 和 16 中所述。一般有效性是关于真理或相对于所有模型中任意这样的一对点的保持，而对角有效性（在这种情境中通常被建议称为真实世界有效性）则只关注第一和第二坐标相符的一对点。无论采用哪种表述方式，用 sequent 的术语来表述将以一种明显的方式给出一个推论关系，对于当前的目的，以下术语将是方便的。当每个公式都是通过捕捉对角（或“真实世界”）有效性的推论关系而成为另一个公式的结果时，将说公式在对角上等效，并且当这对于一般推论关系而言成立时，将说它们在无限制上等效。我们避免使用“一般等效”的短语，因为很难不将其理解为“大体上等效”；这个术语是从 Fusco（2015）第 15 页关于一般推论的引用中改编而来，称为无限制推论。目前对对角和无限制等效之间的区别提供了对 Dummett 的众所周知的断言内容相同与成分意义相同之间区别的有用形式建模。将这样的对比应用于特定连接词对的情况的想法——就像前一段开头的 #，#′ 对一样——似乎是 Fusco（2015）的新颖之处，我们将立即转向这一点。在上述 #，#′ 讨论中发挥作用的推论关系被视为对角推论关系（伴随着弱等价关系），根据这种关系，这些连接词是非同构的，提供了互相推论而不是同义的可能性，而不是更精细的一般推论关系（与无限制等价关系相关）。后者的推论关系是同构的，但代价是不能直接反映 Aφ 与 φ 的先验等价性。

Fusco（2015）的关注点是对分离的处理，特别是在德意志逻辑中与之相关的问题，如罗斯悖论和自由选择许可的表达。该问题在 Fusco（2019）的第 3 节中进一步讨论。（有关一般背景，包括这些问题，请参见 McNamara 2019；有关特定与分离相关的问题的更多细节，请参见 Aloni 2016。）Fusco（2015）认为，基于我们在此不涉及的理由（因为它们涉及复杂的德意志概念理论的几个部分），英语中的德意志嵌入“或”存在的问题（以及其他自然语言中对应的词汇）最好通过“或”的形式来形式化处理，其中 φ 或 ψ 被定义为：

(1) (A(φ ∧ ¬ψ) → φ) ∧ (A(¬φ ∧ ψ) → ψ) ∧ (A(φ ↔ ψ) → (φ ∨ ψ)).

这是一个建议的定义，至少对于 φ，ψ，是使用布尔连接词构建的，来自 Fusco（2015）和（2019）计划中的续集，详细说明了客体语言中在第一篇论文中提供的语义特征。一种无限制等价的定义（或更准确地说，定义者），一些读者可能更喜欢以下内容：

(2) (A(φ ∧ ¬ψ) ∧ φ) ∨ (A(¬φ ∧ ψ) ∧ ψ) ∨ (A(φ ↔ ψ) ∧ (φ ∨ ψ)).

相比之下，以下模式的实例，根据 Lewis（1982）中对布尔 φ，ψ 的处理（尽管不是一般情况，如下面注释 51 的最后一段所解释的），只会对应于上述一对实例的对角等价

(3) (_A_φ ∧ φ) ∨ (_A_ψ ∧ ψ).

为了有具体的公式来讨论，考虑这三个模式的实例，其中将不同的命题符号 p 和 q 分别作为 φ 和 ψ，并且我们现在将使用(1) - (3) 来指代这些具体实例。第一对是无限制等价的，所有三个都是对角线等价的，其中(3) 作为(1)和(2) 的一般结果，尽管反之不成立。所有这些都是对角线等价于布尔析取 p ∨ q，我们可以说所有这些都是一维的二维同位素，即 A-自由，公式 p ∨ q，或者更有用的是，它们相对于无限制等价关系的等价类在这种“同位素”关系中。类似地，我们可以将（在上述表述中推导出的）连接词 or 视为布尔 ∨ 的二维同位素，将公式(2) 视为变量 p，q 的上下文。（另一方面，在注释 51 中所指的 Groenendijk-Stokhof 的“or”并不是布尔析取的二维同位素，即 p 或 q，因此理解为对角线等价于布尔重言式，而不是 p ∨ q。）

考虑布尔析取的二维同位素的意义是什么？Fusco 的想法如下。可以说，人们认为英语中包容性“或”的正确处理是通过（布尔）“∨”给出的，一旦他们学会将任何明显异常诊断为语用分心，因为这个简单的连接词及其真值语义捕捉了“或”在未嵌入时（或仅在‘布尔’嵌入时）的行为方式。然后的假设是，由于问题嵌入引起的任何残留异常最终也将被解释为语用上的。但是，如果我们手头上有一个特别手工制作的二维同位素 ∨，用于处理这些异常，比如 Fusco 的 or，那该怎么办呢？考虑到使用这两个析取形成的复合物的对角等价性，∨ 和 or 的未嵌入行为将是相同的，因此 or-析取将具有布尔析取的所有好处，而不会在出现在某些内涵运算符的范围内时表现得不太令人满意。在未嵌入时的逻辑行为一致性问题上，例如，在自然推导系统中的引入和消去规则。它们引入或消除的是公式的主连接词，因此在“或”这种情况下，无论是将其渲染为布尔析取 ∨ 还是 Fusco 的二维 or 连接词，它们在直观上的可接受性不会有所不同。更一般地说，定义 ∨-经典性（确实是#-经典性，对于任何#）的推论关系或广义推论关系的条件仅适用于 ∨（或更一般地说#）的未嵌入出现。在 Fusco（2015）的情况下，义务运算符 O 通过对适当可访问点进行普遍量化来解释，该关系的关联物是本地评估的世界，而不是被视为实际世界的世界，后者保持不变，因此，虽然 p 或 q 是 p 的对角（尽管不是一般）推论，但 O（p 或 q）不是 Op 的对角推论。用非常不正式的话说，这是因为从某个评估世界 w 的角度来看，将 w 本身视为实际（因为我们正在处理对角情况），每个德意义上可访问到 w 的世界，作为评估世界，都可能是一个 p-世界，而在 w 处，如果真实的是 q 而不是 p，那么 O（p 或 q）在 w 处为真所需的是所有可访问的世界都是 q-世界，因为在移动到可访问的 w 世界时，我们并没有改变 w 作为扮演实际世界角色的世界的地位。（在这个例子中，我们处于（2）的‘中间析取’情况。）这说明了 Fusco 如何安排事务，使得 p 或 q 和 p∨q 最终表现出相同的未嵌入行为，但在嵌入时表现不同 - 在本例中，在义务运算符的范围内。 在 Fusco (2015)中以 may 或 M 表示的可容许性操作符的故事，并且没有被视为 O 的对偶，更为复杂，因此建议感兴趣的读者参考该讨论以获取详细信息以及在这种情境中选择 or 的动机。对于目前的目的，需要强调的主要观点是使用双重语义来模拟与给定断言内容兼容的成分意义差异的一般策略。

一个可能会想知道这种一般策略提供了多少灵活性，由于我们在这里集中讨论连接词，这相当于询问给定的布尔连接词具有多少二维同位素。比我们一直关注的二元连接词更简单的情况是一元连接词。上述（3）中出现的是否的“非化”版本是通过选择 ψ 为 ¬φ 的情况而产生的。这可以更简单地写为 Aφ ↔ φ，（实际上）被用作 Humberstone（2002）第 119 页上写为 Oφ 的定义。 （在这里使用“O”并没有意图引起任何义务联想。）如果我们将 O 视为原始的话，我们可以通过采用 Aφ 缩写为 Oφ ↔ φ 来定义 A。无论哪种方式，如果将认知运算符 K 在语义上与上述义务运算符相同地处理（当然，具有自己的可访问关系，或者甚至只是在这里使用邻域语义，如 Lewis 1982 年第 202 页），那么对于纯粹的布尔 φ，KOφ，又名 K(Aφ ↔ φ) 最终无限制地等同于 (Aφ ∧ Kφ) ∨ (A¬φ ∧ K¬φ)，因此不是一个坏的近似，表明我们的认知主体知道是否（或不）φ。

我们在这里的主要关注点是使用 A 和布尔连接词构建的公式，特别是，由于我们考虑的是一元情况，可以借助这些设备和一个单一的命题符 p 构建的公式。要看一个给定的一元布尔连接词（等价地，只有一个变量的布尔公式）可能具有多少二维同位素，因为只有四个这样的连接词（或公式），在等价性方面 - 对于这些公式，当然没有对角线和无限制等价之间的对比 - 我们应该问一下，关于无限制等价关系，一元“二维公式”（即，在这里，只有带 A 的布尔公式）有多少等价类。如果我们记住以下几点，这个问题很容易回答：首先，每个公式都无限制地等价于一个公式，其中 A 出现（如果有的话），然后就在一个命题符之前，其次，关于一般的推论关系，公式 p 和 Ap 是完全独立的（与对角线推论关系相反，在这个关系中，它们是等价的）。因此，一元公式的（无限制）等价类共同展现出与纯粹布尔两变量公式的等价类相同的布尔代数结构。因此，您可以使用您最喜欢的这个 16 元布尔代数的 Hasse 图[55]，保留所有 p 的出现，将 q 的每个出现替换为 Ap，现在您就有了所有二维一元公式（在无限制等价范围内）及其之间的逻辑关系的图像。这 16 个等价类中的每一个（或这类中的任何一个公式）都是布尔等价类（或其元素中的任何一个）的二维同位素，通过擦除它包含的所有 A 的公式获得。因此，最近遇到的二维公式 p、Ap 和 Op，包括第一个作为简化解释的二维公式的退化情况，是 p、p 和 p↔p（或 ⊤）的二维同位素。您会发现，4 元布尔代数的每个元素都有四个不同的 16 元代数元素通过这种擦除 A 映射映射到它。 （通常会通过将 p 的等价类与 Ap 的等价类 - 别名 q 的等价类 - 识别生成的主同余来表达这一点：关于这两个代数元素同余的最小同余关系。）例如，p（或其等价类）在无限制等价范围内具有四个二维同位素 p∧Ap，相对于一般推论最强的同位素（在 16 元代数中最低）和 p∨Ap，最弱的同位素（在 16 元代数中最高），以及在这两者之间（互不可比较），p 和 Ap。

回到二元连接词或双变量二维公式的情况，我们可以类似地推理。（感兴趣的读者可以尝试一般的 n 变量情况。）216 = 65,536 是 4 变量公式的等价类数，这里指数 16 被选择为 24，即 2 变量公式的等价类数。因此，如果变量是 p、q、r、s，当我们通过将 r 与 p（将 r 视为 Ap）和 s 与 q（将 s 视为 Aq）等同来将前者的布尔代数折叠到后者时，我们从 65,536 个元素移动到 16 个元素，类似地公平分布使得 16 元素代数的每个元素都等同于较大代数的 65,536/16 个元素的映像，即等于 4096（= 212 = 216/24）。有一种更简单的方法得出这个结论，那就是考虑到像 Fusco 讨论中出现的受 Stalnaker 启发的矩阵（见注 51）。这是一个 4x4 矩阵，因为我们必须考虑到二元复合物的局部（“评估世界”）真值和第一个组分的实际真值（四种可能的组合），以及对第二个组分同样的考虑，沿着对角线读取给出了布尔连接词的真值表，原始表是一个二维同分异构体。因此，在 Fusco 的情况中，这个下降对角线读作“T、T、T、F”，就像传统显示的真值表的下降垂直列一样。然而，无论我们如何用 Ts 和 Fs（或者如果更喜欢的话，用 1 和 0）标记非对角线单元格，这个特征都保留，其中有 12 个（16 减去对角线上的四个）。由于这些单元格中的每一个都可以填入 T 或 F，所以我们再次计算 212，得到答案 4096，无论我们原始对角线显示的是哪种二元真值函数，当然包括与 ∨ 相关的那种。因此，如果你喜欢 Fusco 对如何应对似乎在德意志嵌入时表现不佳的布尔析取的困难的一般策略，那么有足够的空间来微调她提出的解决方案的细节。

5. 注释和来源

除非另有说明，否则本初段中的页码和（子）节参考均指的是 Humberstone（2011），该文中涉及的一些主题在该条目中得到更详尽的处理。例如，本条目第 3 节中对独特表征的处理在很大程度上基于那里的 §4.3。 （但是，这里涉及的一些问题在那里根本没有得到处理，或者在这里得到了更详细的讨论。）关于本条目中有关卡尔纳普观察到最熟悉的逻辑框架不会强制布尔解释连接词的注释 6，关于这一主题的许多讨论可以在第 101 页的“强弱主张”下找到。关于本条目中关于句子位置外延性的注释 10，参考读者到本初段，参见 §3.2 和 4.37-8 小节。至于注释 11 的结尾（交换性/对称性区别等），相关的是第 3.34 小节，“运算符与关系”（尽管对于这种对比的关系方面的更多内容，请参见 Humberstone 2013，特别是 §4）。关于注释 17（关于析取的“非同音”语义处理），请参见 6.43-6.46 小节以了解其中一些处理的概况，以及注释 21（关于通过具有规定推理属性的新连接词分别保守但联合非保守扩展），请参见第 568 页及后续。关于注释 32（关于 Rautenberg 关于我们所称的连接词混合物的一些工作），请参见另外的 3.24 小节。关于注释 41（附加到对对立和子对立讨论的讨论），更详细的讨论可以在 8.11 小节中找到，并在那里给出参考（特别是在备注 8.11.1 中）。关于注释 45 的扩展：§5.2 更详细地讨论了逻辑减法（上面的例子 4.4）；关于这个主题的 Stephen Yablo 的有趣工作，当时提到尚未发表，随后出现在 Yablo（2014）中，第 8 章和第 9 章尤为相关。关于注释 55：关于 16 元布尔代数的 Hasse 图的一个示例，节点标有两变量公式的经典等价类的代表，请参见第 225 页的图 2.13a。本节接下来的段落涉及的主题，Galois 连接，在第 1.1 节的 58 页、75 页和 80 页的材料中强调了对逻辑理论的影响；在第 101 页底部段落中给出的关于逻辑事项的“Galois 连接”导向讨论列表应该补充一条参考 Bimbó 和 Dunn（2008）。最后，为了补充本节末尾关于直觉逻辑中头部连接作为特殊关系的 Urquhart 参考，请参见 9.25 小节。本节剩余部分提供了有关本条目按顺序进行的进一步附加注释和来源。

在开篇描述的 Galois 连接有时被称为逆变（与协变相对）Galois 连接；它们在稍有不同的术语中由 Garrett Birkhoff（1967）引入。在开篇定义的闭包运算有时被称为闭包算子。请注意，尽管给出的定义是标准的，但比特定拓扑闭包运算的概念要宽松得多（特别是不要求 C(X ∪ Y) = C(X) ∪ C(Y) 或 C(∅) = ∅）。一些作者讨论逻辑理论问题时特别强调闭包运算及其闭集系统（具有 C(X) = X 的集合 X）；参见 Pollard 和 Martin（1996）及其引用的参考文献。

短语“逻辑框架”已被用于除了第 2 节介绍的方式之外，例如在 Huet 和 Plotkin（1991）中。在这里使用“≻”作为序列分隔符是由于当前 HTML 字体的限制；不建议将其一般用于此目的。Carnap 关于在 Set-Fmla 中追求的逻辑不能强制执行各种连接词（如 ∨、¬ 和→）的预期真功能解释的观察，在文献中得到了广泛关注，正如本节的第一段中提到的那样。这里使用的术语“同余”取自 Segerberg（1982）；它基于 D. Makinson 对术语的相关用法（对于包含 ☐ φ ↔ ☐ ψ 的 Fmla 中的模态逻辑，只要它们包含 φ ↔ ψ）。在某些领域，“自我外延”一词用于同余性，而在其他领域，“外延”一词——在这里使用方式完全不同——用于表示此属性。

我们讨论中对（双值）估值的强调可能暗示了一些范围的限制：我们是否排除了“多值逻辑”（或更好地说：矩阵语义）？那么克里普克风格的语义又如何，其中真理不仅相对于模型而且相对于其中的一个点进行了双重相对化？不，没有限制。每个（广义的）推论关系都由一类估值确定。将值分配给公式的矩阵是从公式代数 L 到矩阵（A，D）的代数 A 的同态映射，假定 A 与 L 具有相同的相似性类型，其中 D ⊆ A；D 被称为矩阵的指定元素集。因此，组合语义是根据这种同态映射进行的，其中任何一个，比如 h，产生了通过设定 v h(φ) = T 来定义的双值估值 v h，当且仅当 h(φ) ∈ D 时，Set-Fmla 或 Set-Set 序列在矩阵中是有效的，就像在通常的双值意义上一样，对于每个这样的同态映射 h，由矩阵确定的（广义的）推论关系是由所有这样的 v h 确定的（广义的）推论关系，等等。[56]对于矩阵类，情况类似，现在量化是对所有 v h，其中 h 是从语言到类中任何矩阵的同态映射。同样，在克里普克语义情况下，任何模型 M 和其中的点 x 都会产生由 vMx 定义的估值 vMx，其中 vMx(φ) = T 当且仅当 M⊨x φ 时，由模型类确定的（广义的）推论关系是由所有这样的 vMx 与 M 在类中确定的。 （这是所谓的局部（广义的）推论关系；对于全局变体，请使用估值 vM，其中 vM(φ) = T 当且仅当对于模型中的所有点 x，M⊨x φ。）如果希望以类框架而不是模型的形式确定（“相对于一类框架的准确性和完备性”），则这些定义可以明显进一步适应。

除了在第 2 节中引用的 Prior (1957)关于 Ł-模态系统的文献外，以下参考文献也很有用：Smiley (1961), Smiley (1962), Porte (1979), Font 和 Hájek (2002)。原始论文是 Łukasiewicz (1953)。

对于在逻辑连接词的逻辑能力上存在差异的逻辑之间采取一种活而不干涉的态度的问题，当较弱的能力集已经足以实现唯一特征化时（在第 3 节中的 ¬i 与 ¬c），这个问题已经在波普尔（1948）中指出，并经常在随后的文献中再次出现，例如哈里斯（1982）、汉德（1993）、法里纳斯·德尔·塞罗和赫尔齐格（1996）；另请参见本节的开头段落。有时会将唯一特征化的连接词称为隐式定义，但在后一种用法中存在明显的风险—请参见多森和施罗德-海斯特（1985）。卡塞多（2004）标题中的“隐式”并不具有完全相同的风险，它指的是唯一特征化的一个特殊情况，基本上等同于在 Fmla 中通过零前提规则（即公理）进行唯一特征化。同样，斯迈利（1962）的“功能依赖”连接词是那些通过零前提规则唯一特征化的连接词，与标准结构规则一起在 Set-Fmla 中考虑—尽管斯迈利的定义是以推论关系的术语来表述的。这类连接词很可能与投影-合取连接词的类别重合。它不包括在直觉主义或经典逻辑中处理的析取或蕴涵，这些逻辑通过基本包含非零前提规则的规则来唯一特征化—尽管在 Set-Set 中，这些逻辑将通过零前提规则（连同结构规则）进行唯一特征化。马金森（2014）还就连接词的存在性和唯一性问题进行了讨论，但他的存在性问题涉及的不是存在满足某些规则（或更一般地说，某些条件）的连接词，而是存在由给定连接词满足的规则（或这种或那种类型），其中连接词在语义上被个体化（更具体地说，通过与双值真函数的关联）。马金森考虑的各种唯一性概念适用于连接词而不是规则，并且是根据满足的规则来定义的，但连接词本身再次是根据真值函数进行个体化的，因此没有一个最终导致像这里理解的唯一特征化。请参见马金森（2014）第 365 页的注释 1，对比他关注的问题与“一些证明论研究”中发现的问题，并引用多森和施罗德-海斯特（1988）。（实际上在脚注中，尽管不在参考文献中，日期给出为 1998 年。）

Id-归纳性在 Kaminski (1988)中被称为“正则性”；关于 Id-归纳性、Cut-归纳性和相关概念（以不同名称）的内容，还可参见 Ciabattoni (2004)和 Ciabattoni 和 Terui (2006)。

在 Schroeder-Heister (1984)中提供了对波普尔在逻辑方面普遍被低估的研究。W. V. Quine 在 Morton (1973)中的著作中捍卫了一个错误的观点，即关于逻辑的分歧等同于在背道而驰，该观点在第 3 节中受到了批评的较温和版本。Restall (2000)提供了对分段逻辑以及相关主题的全面讨论，这也在第 3 节中提到。

除了 Prior、Belnap、Stevenson 和 Peacocke 在第 3 节中提到的论文外（以及 Read，1988），Tonk 示例在以下地方至少被讨论过：Wagner（1981），Hart（1982），Tennant（1978）的 §4.12 节。兴趣持续不减，正如 2004 年至 2006 年期间仅有的以下出版物所证明的：Hodes（2004），Cook（2005），Tennant（2005），Bonnay 和 Simmenauer（2005），Priest（2006）的第 5 章以及 Wansing（2006）。后续感兴趣的论述包括 Avron（2010）和 Rahmann（2012）。尽管 Tonk 是 Prior 最著名的非保守扩展示例，但他也指出了关于纯蕴涵中间逻辑添加到熟悉的逻辑原则时的非保守效应；有关参考资料、细节和进一步讨论可在 Humberstone（2014）中找到。关于规则之间的和谐概念（尤其是在自然演绎中），请参阅刚才提到的 Tonk 参考文献，以及 Tennant（1987）的第 23 章，Weir（1986），Dummett（1991）（各处），Milne（1994）和（2002），以及 Read（2000），以及以下更近期的调查：Read（2010），Steinberger（2011），Francez 和 Dyckhoff（2012），Hjortland（2012），Francez（2014），Milne（2015），Read（2015），Schroeder-Heister（2015）和 Dicher（2016）。关于证明论语义背景的一般信息，两个有用的参考文献是 Schroeder-Heister（2014）和 Wansing（2015）的编辑贡献（第 1 章）。和谐主题也在 Makinson（2014）中简要涉及，尤其是第 369 页。

在特殊和普遍代表性连接词主题上感兴趣的材料可以在 Jankov (1969), Pahi (1971), de Jongh 和 Chagrova (1995)找到，另外还有第 3 节中引用的参考文献。关于直觉主义逻辑中头部连接关系是特殊的这一事实，请参见 Urquhart (1974) — 并非该术语在那里出现。

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Acknowledgments

I am grateful to Thomas Hendrey for drawing my attention (in 2011) to an error in the initial version of this entry, at a point in Section 2 after the formulation of the rules (∧I) and (∧E), where the discussion included the following: “Typically ⊢ will also be determined by many further classes of valuations (meaning: other than the class Val(⊢) of all valuations consistent with ⊢), various subsets of Val(⊢), but not so, as just remarked, in the present case.” By “the present case” was meant the case of ⊢ = ⊢∧. As Hendrey pointed out, this consequence relation is determined by numerous proper subsets of the set of all ∧-Boolean valuations, so the claim is false. In a moment of inattention I had confusingly passed from the correct thought that the only valuations consistent with ⊢∧ are the ∧-Boolean ones to the faulty conclusion that the only class of valuations determining ⊢∧ is the class of all ∧-Boolean valuations. (Many counterexamples could be given to this latter claim but one offered by Hendrey is particularly interesting: the class of all those ∧-Boolean valuations with the further property that they make at most one sentence letter false.) The reference to subsets of Val(⊢) was ill-conceived, since the point of contrast with, e.g., ⊢∨, taken as the consequence relation (on the language with sole connective ∨) determined by the class of all ∨-Boolean valuations is also determined by classes of valuations which are not subsets of this class since we can include also conjunctive combinations of ∨-Boolean valuations. By contrast, ⊢∧ can only be determined by classes of valuations all of which are ∧-Boolean.

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