逻辑与信息 and information (Maricarmen Martinez and Sebastian Sequoiah-Grayson)

首次发表于 2014 年 2 月 3 日星期一；实质性修订于 2023 年 8 月 3 日星期四。

在最基本的层面上，逻辑学是关于结果的研究，而信息是一种商品。鉴于此，逻辑学和信息之间的相互关系将集中在广义上构思的逻辑行为或操作的信息后果上。将信息的概念明确纳入逻辑研究的范畴是一个近期的发展。到本世纪初，一大批现有的技术和哲学工作（其前身可以追溯到 20 世纪 30 年代）汇聚成了新兴的逻辑学和信息学领域（参见 Dunn 2001）。本条目按主题而非时间顺序组织。我们概述了对信息研究的主要逻辑方法，以及对逻辑本身的信息理解。我们通过三种相互关联且互补的立场进行探讨：信息作为范围、信息作为相关性和信息作为编码。

信息作为范围立场的核心直觉是，信息状态可以通过与该状态下可用信息兼容的可能性或配置范围来描述。获取新信息相当于减少了该范围，从而减少了对实际事务配置的不确定性。在这种理解下，将可能世界语义应用于认知模态逻辑的设定对于研究信息的各种语义方面是有益的。这里的一个突出现象是信息更新，它可以发生在个体和社会环境中，由于不同类型的认知行为介导的代理人与环境之间的相互作用。我们将看到，认知行为是促进信息流动的任何行为，因此我们将在整个过程中回到认知行为本身。

信息作为相关性的立场侧重于信息流，因为它在由系统性相关组件形成的结构化系统中被许可。例如：树干的环数可以告诉您有关树木出生时间的信息，这是由于自然界中“连接”树木的过去和现在的某些规律。这种立场的核心主题包括结构化信息环境中信息的关于性、情境性和可访问性。

第三种立场——信息作为代码的关键关注点是信息片段的语法结构（它们的编码）以及由于该结构而被许可的推理和计算过程（以及其他因素）。研究这些信息方面的最自然的逻辑设置是由一系列次结构逻辑支撑的代数证明理论。次结构逻辑一直是信息分析的自然领域，该领域的最新发展丰富了信息作为代码的立场。

这三种立场绝不是互相不兼容的，但它们也不一定可以归约为彼此。这一点将在后面的条目中进行详细阐述，并且还将说明一些进一步的研究主题，但是为了预览这三种立场如何共存，可以以由几个部分组成的结构化信息系统为例。首先，部分之间的相关性自然地允许“信息流动”，即信息作为相关性立场的意义。其次，它们还产生了局部可能性范围，因为一个部分可用的局部信息将与系统的一定范围的全局状态兼容。第三，信息的组合、类似语法的证明论方面可以以各种方式应用于这种情境。其中一种方式是将信息的相关流动视为一种组合系统，通过这种系统，局部信息状态以类似语法的方式组合，适应了对子结构逻辑的特定解释。还可以明确地向建模中添加类似代码结构的元素，例如将局部演绎演算分配给组件或系统的局部状态。然而，我们首先从信息作为范围开始

1. 信息作为范围

将信息理解为范围的观点源于巴尔-希勒尔和卡纳普的语义信息理论，巴尔-希勒尔和卡纳普（1952）[1]。正是在这里，逆范围原则首次被提出，用于描述命题的信息内容。逆范围原则指出，命题所包含的信息量与命题的真实性之间存在着逆相关关系。也就是说，命题所携带的信息越多，该命题成立的可能性就越小。同样地，命题的真实性越高，它所携带的信息量就越少。

命题真实性的可能性通过可能世界语义与信息范围相连接。对于任何有条件的命题，它将被一些可能性（其中它为真）支持，而被其他可能性（其中它为假）不支持。因此，一个命题将被一系列可能性支持，即“信息范围”。现在假设在可能性空间中存在概率分布，并且为简单起见假设分布是均匀的。在这种情况下，支持一个命题的世界越多，命题的真实性就越大，而且通过逆关系原则，它所携带的信息就越少。尽管信息范围起源于数量信息理论，但它在当代定性信息逻辑中的作用不可低估。

考虑以下由 Johan van Benthem（2011）提出的例子。咖啡馆的服务员收到了你桌上的订单——一杯浓缩咖啡和一杯苏打水。当服务员来到你的桌子前，他问道：“苏打水是给谁的？”在你告诉他苏打水是给你的并且他给你苏打水后，服务员就不需要问关于浓缩咖啡的事情了，他可以直接把它给你的咖啡伴侣。这是因为服务员从你告诉他你点了苏打水中获得的信息使他能够从所有可能性的总范围中排除某些开放的可能性，只剩下一个——你的朋友点了浓缩咖啡。

侍者案例将逻辑和信息的几个事实提到了前台。首先，语言经常被用来在上面的段落中解释的方式来细化信息选项。然而更微妙的是，在此之前，语言被用来交换信息，并且我们有时会带来许多情景-信息化的情景。这些情景可能既不被知道也不被相信，只是被娱乐-那些我们想知道的情景。关于好奇语义学的最新研究（Ciardelli 等人，2018）提供了一种基于此类好奇的信息交换的逻辑。

信息逻辑经常区分硬信息和软信息。这个术语有点不准确，因为这个区别不是不同类型的信息本身之间的区别。而是不同类型的信息存储之间的区别。硬信息是事实性的，不可修改的。硬信息通常被认为对应于知识。与硬信息相比，软信息是非必然事实的，因此在有新信息的情况下可以修改。由于其可修改性，软信息与信念非常接近。知识和信念这些术语是传统的，但在信息流的背景下，硬/软信息的阅读方式方便，因为它将信息现象置于前景。至少术语越来越受欢迎，因此明确区分信息存储类型而不是信息类型非常重要。尽管硬信息和软信息对于我们的认识论和信念论的成功都很重要，但在本节中，我们主要集中讨论硬信息流的逻辑。[2]

在 1.1 节中，我们将看到经典认知逻辑如何在信息范围框架内展示硬信息的流动。在 1.2 节中，我们将从硬信息获取的逻辑扩展到促进此类硬信息获取的行动的逻辑，即动态认知逻辑。在第 1.2 节的末尾，我们将阐述私人信息的重要现象，然后研究信息范围如何在各种定量框架中被捕捉。

1.1 认知逻辑

在本节中，我们将探讨与信息获取相对应的可能性消除是研究知识和信念逻辑的起点，这些逻辑属于认知逻辑的范畴。我们将从经典的单主体认知逻辑开始，然后探索多主体认知逻辑。在两种情况下，由于我们将集中研究知识逻辑而不是信念逻辑，所获得的信息将是硬信息。

考虑更详细的服务员示例。在接收到苏打水是给你的硬信息之前（为了示例的完整性，我们假设服务员在这里处理硬信息），服务员的知识库由一对世界（以下称为信息状态）x 和 y 建模，其中在 x 中你点了苏打水，朋友点了浓缩咖啡，在 y 中你点了浓缩咖啡，朋友点了苏打水。在接收到苏打水是给你的硬信息后，y 被从服务员的知识库中排除，只剩下 x。因此，可能性范围的减少对应于服务员的信息增益。考虑代理 α 知道 ϕ 的真值条件，记作 Kαϕ：

(1)x⊩Kαϕ 当且仅当对于所有的 y，满足 Rαxy，y⊩ϕ

可达关系 Rα 是一个等价关系，将 x 与所有信息状态 y 连接起来，使得在给定 α 在状态 x 处的硬信息时，y 与 x 无法区分。也就是说，在服务员被告知你点了苏打水之前，x 是服务员的信息状态，y 将包含你点了浓缩咖啡的信息，因为在服务员被告知之前，每个选项都是一样好的。这里有一个隐含的假设——某个状态 z，比如你点了苏打水和浓缩咖啡，不在服务员的信息范围内。也就是说，服务员知道 z 不是一个可能性。然而，一旦被告知，支持你点浓缩咖啡的信息状态将从与服务员知识对应的信息范围中排除。

基本模态逻辑通过引入诸如 Kα 之类的模态运算符扩展了命题公式。如果 K 是所有 Kripke 模型的集合，则我们有以下结论：

(A1)(A2)K⊩Kαϕ∧Kα(ϕ→ψ)→KαψK⊩ϕ⇒K⊩Kαϕ

从信息论的角度来看，(A1)表明硬信息在（已知的）蕴涵下是封闭的。由于第一个合取式表明 α 可达的所有状态都是 ϕ 状态，α 具有 ϕ 的硬信息，因此 α 也具有 ψ 的硬信息。(A2)表明如果 ϕ 在所有模型中成立，则 α 具有 ϕ 的硬信息。换句话说，(A2)表明所有永真式都被代理人所知道/硬存储，而(A1)表明 α 知道 α 所知道的所有命题的逻辑推论（无论是永真式还是其他命题）。也就是说，这些公理表明代理人是逻辑全知的，或者说是理想的推理者，这是我们将在下面的章节中详细讨论的代理人的性质。[3]

到目前为止，所探讨的框架涉及单一代理认知逻辑，但推理和信息流往往是多代理的事务。再次考虑一下服务员的例子。重要的是，服务员只能根据您关于浓缩咖啡的通知，执行与信息状态范围限制相对应的相关推理过程。也就是说，是几个代理之间的口头交互促进了信息流，使得逻辑推理得以进行。

正是在这一点上，多代理认知逻辑提出了关于群体信息的新问题。“G 中的每个人都拥有 ϕ 的硬信息”（其中 G 是来自有限代理集合 G∗ 的任意代理群体），写作 EGϕ。EG 对于每个 G⊆G∗ 的定义如下：

(2)EGϕ=⋀α∈GKαϕ

群体知识与普通知识有着重要的区别（Lewis 1969; Fagin et al. 1995）。普通知识是群体的条件，每个人都知道每个人都知道每个人都知道……ϕ。换句话说，普通知识涉及到每个群体成员对其他成员所拥有的硬信息的了解。G 中的每个人都拥有关于 ϕ 的硬信息并不意味着 ϕ 是普通知识。在群体知识中，群体中的每个成员可能拥有相同的硬信息（从而实现群体知识），而不一定拥有关于群体中其他成员所拥有的硬信息的了解。正如 van Ditmarsh，van der Hoek 和 Kooi（2008: 30）所指出的，“E 运算符的迭代次数在实践中确实有所不同”。对于 G 成员而言，CGϕ——ϕ 的普通知识，定义如下：

(3)CGϕ=∞⋀n=0EnGϕ

要理解 E 和 C 之间的区别，考虑以下“间谍例子”（最初由 Barwise 1988 提出，信封细节由 Johan van Benthem 提供）。

在一场正式的晚宴上，有一群竞争的间谍。他们所有人都被派遣任务从餐厅内部获取一些秘密信息。此外，他们都知道彼此都想要这些信息。在这种情况下，比较以下内容：

每个间谍都知道信息在其他桌子上的一个信封里，但他们不知道其他间谍也知道这一点（即，这不是共同知识）。
间谍们都知道信息在信封里，这是共同知识。

很明显，这两种情况将引发间谍们非常不同类型的行为。前者相对微妙，后者则明显不同。有关详细信息，请参阅 Vanderschraaf 和 Sillari（2009）。

基于 S5 的认知逻辑的更细粒度的用途是 Zhou（2016）的研究。Zhou 证明了基于 S5 的认知逻辑可以用来从代理人自身的角度对代理人的认知状态进行建模。因此，Zhou 将这种认知逻辑称为内部认知逻辑。然后，Zhou 使用多值逻辑来模拟代理人的内部知识库与外部信息环境之间的关系。在他的（2019）中，van Benthem 主张将模态逻辑（无论是认知逻辑还是其他类型的模态逻辑）理解为明确增加逻辑概念细微差别的方法，即它们是经典逻辑的明确扩展。他们将新的概念架构展示出来，可以说是毫不掩饰。这与 van Benthem 所指的那些由隐含方法产生的逻辑形成对比。这种隐含方法涉及对逻辑词汇含义的重新解释，正如直觉逻辑和传统上构思的相关逻辑的情况一样。van Benthem 在等价（某种意义上）的隐含和明确方法之间进行翻译的方法之一是在 Kit Fine（2017）的超内涵真值制约语义和信息化模态逻辑之间。这是对诸如本条目中所涉及的一系列信息逻辑之间的翻译的有希望的尝试。

1.2 动态认知逻辑，信息变化

请参阅有关动态认知逻辑的完整条目。如上所述，本节开头的服务员示例不仅涉及通过公告、认知行为获得信息，也涉及信息结构。在本节中，我们将概述多主体认知逻辑的表达能力如何扩展，以捕捉认知行为。

硬信息流，即两个或多个代理的知识状态之间的信息流，可以通过多个认知行为来促进。两个典型的例子是公告和观察。当“公告”限定为真实和公开的公告时，其对接收代理的知识库的影响类似于观察（在代理相信公告内容的假设下）。公开公告 ϕ 将限制代理的知识库模型为 ϕ 为真的信息状态，因此“公告 ϕ”在某种意义上是一种认知状态转换器，它转换了群体中代理的认知状态（参见 van Ditmarsh，van der Hoek 和 Kooi 2008: 74）[4]。

动态认知逻辑通过动态运算符扩展了非动态认知逻辑的语言。特别是，公开公告逻辑（PAL）通过动态公告运算符 [ϕ] 扩展了认知逻辑的语言，其中 [ϕ] ψ 的含义是“在公告 ϕ 之后，ψ 成立”。PAL 的关键约简公理如下：

(RA1)(RA2)(RA3)(RA4)(RA5)[ϕ] p 当且仅当 ϕ→p（其中 p 是原子命题）[ϕ] ¬ψ 当且仅当 ϕ→¬ [ϕ] ψ ϕ 当且仅当 [ϕ] ψ∧ [ϕ] χ [ϕ][ψ] χ 当且仅当 [ϕ∧[ϕ] ψ]χ [ϕ] Kαψ 当且仅当 ϕ→Kα(ϕ→[ϕ] ψ)

RA1-RA5 通过将公告之前的真实情况与公告之后的真实情况连接起来，捕捉了公告运算符的特性。这些公理被称为“简化”公理，因为从左到右的方向要么减少公告运算符的数量，要么减少其范围内公式的复杂性。有关详细讨论，请参见 Pacuit（2011）。RA1 指出公告是真实的。RA5 指定了公告运算符的认知状态转换属性。它指出，在公告 ϕ 之后，α 知道 ψ 当且仅当 ϕ 意味着在所有 ϕ 状态下，α 知道 ψ 将成为真。“在公告 ϕ 之后”条件是为了解释 ψ 在公告之后可能改变其真值的事实。动态公告运算符与知识运算符之间的交互完全由 RA5 描述（参见 van Benthem，van Eijck 和 Kooi 2006）。

正如将共同知识运算符 C 添加到多主体认知逻辑中扩展了多主体认知逻辑的表达能力一样，将 C 添加到 PAL 中会导致更具表达能力的具有共同知识的公共公告逻辑（PAC）。公共公告和共同知识之间的确切关系由逻辑 PAC 的公告和共同知识规则捕捉，如下所示：

(4)从 χ→[ϕ] ψ 和(χ∧ϕ)→EGχ 推导出 χ→[ϕ] CGψ。

再次，PAC 是硬信息的动态逻辑。处理软信息的认知逻辑属于信念修正理论的范畴（van Benthem 2004; Segerberg 1998）。请记住，硬信息和软信息本身并不是不同类型的信息，而是不同类型的信息存储。硬存储的信息是不可修订的，而软存储的信息是可修订的。模拟软信息的 PAL 变体通过在信息状态上增加了偏好排序（Baltag and Smets 2008）。这些排序在非单调逻辑和信念修正理论中被称为偏好模型。在面对新信息时，这些排序会发生变化（这是软信息与硬信息的区别）。这种偏好排序可以通过偏序等方式进行定性建模，也可以通过概率测度进行定量建模。这些定量测度与我们将在下面讨论的更广泛的语义信息定量方法有关。Allo（2017）最近的研究将动态认知逻辑的软信息与非单调逻辑联系起来。这是一个直观的做法。软信息是以可修订方式存储的信息，因此非单调论证中的结论的可修订性使非单调逻辑成为一个自然的选择。关于这个问题，还可以参考 van Benthem（2011）的第 13.7 章。

私人信息。私人信息是我们社会互动的一个同样重要的方面。考虑到在某些情况下，宣布信息的代理人知道私人通信，而群体中的其他成员不知道，比如密件抄送的电子邮件。还要考虑到发送代理人不知道私人通信的情况，比如监视行动。动态认知逻辑（DEL）系统通过对给定的沟通场景中代理人对事件的信息进行建模，来模拟依赖私人（和公共）信息的事件（参见 Baltag 等人 2008 年；van Ditmarsh 等人 2008 年；以及 Pacuit 2011 年）。关于上述所有问题的出色概述和整合，请参见 van Benthem（2016）的最新著作，作者在其中讨论了多个相互关联的逻辑动态层次，一个更新层次和一个表示层次。关于扩展这一相关方法的广泛论文集，请参见 Baltag 和 Smets（2014）。尽管关于公共和私人信息的研究，尤其是关于信息从一个阈值到另一个阈值的跨越，已经在动态认知逻辑的框架内进行了，但最近的研究探讨了在多值逻辑的框架内公共和私人信息以及公告。请参见 Yang 等人（2021）。

多主体信息流的模态信息理论方法是大量研究的主题。语义并不总是以关系术语（即 Kripke 框架）进行，而经常是代数上的（有关模态逻辑的代数方法的详细信息，请参见 Blackburn 等人 2001 年）。有关代数方法以及类型论方法的更多详细信息，请参见补充文档《信息结构的抽象方法》中关于代数和其他方法的小节。

1.3 定量方法

作为范围的信息的定量方法也源于逆关系原则。重新表述一下，动机是这样的：在逻辑语言中表达的命题在特定领域中的真实性越不可能，相关公式所编码的信息量就越大。这与通信的数学理论中的信息度量相反（Shannon 1953 [1950]），在该理论中，这些度量是通过接收者 R 从某个源 S 接收信号的期望的逆关系得到的。

古典信息理论的另一个重要方面是，它是一个完全静态的理论——它只关注特定公式的信息内容和度量，而不涉及任何信息流动。

古典信息论的形式细节涉及概率计算。这些细节可以在这里略过，因为明显的概念观点是逻辑真理的真实可能性为 1，因此信息度量为 0。Bar-Hillel 和 Carnap 并不认为这意味着逻辑真理或推理没有信息产出，只是他们的语义信息理论并不旨在捕捉这样的属性。他们用术语心理信息来指称这样的属性。有关详细信息，请参阅 Floridi（2013）。

Jaakko Hintikka 在他的表面信息和深度信息理论中进行了对推论信息产出的定量尝试（Hintikka 1970, 1973）。表面和深度信息理论将 Bar-Hillel 和 Carnap 的语义信息理论从单调谓词演算扩展到完全多调谓词演算。这本身就是一个相当大的成就，但是尽管在技术上令人震惊，这种方法的一个严重限制是它只是在完全一阶逻辑中进行的推论的一个片段，产生了非零的信息度量。完全多调谓词演算中的其余推论，以及单调谓词演算和命题演算中的所有推论，度量为 0（参见 Sequoiah-Grayson 2008）。关于 Hintikka 对表面和深度信息区分的最新阐述，无论是形式上还是哲学上，请参见 Panahy（2023）、Hernandez 和 Quiroz（2022 [其他互联网资源]）、Negro（2022）和 Ramos Mendonça（2022）。

对于经典语义信息理论而言，明显的相反情况是，逻辑矛盾的真实可能性为 0，将产生最大的信息度量为 1。在文献中被称为巴-希勒尔-卡尔纳普语义悖论，对其进行最深入的定量方法是强语义信息理论（Floridi 2004）。强语义信息背后的概念动机是，为了使陈述产生信息，它必须帮助我们缩小可能世界的集合。也就是说，它必须帮助我们寻找实际世界（Sequoiah-Grayson 2007）。这种对信息性的偶然性要求被逻辑真理和逻辑矛盾所违反，它们在强语义信息理论上的度量都为 0。有关详细信息，请参阅 Floridi（2013）。有关信息量化和分析性之间关系的最新研究，请参阅 Brady（2016）。有关连接信息量化和定性度量的新方法，请参阅 Harrison-Trainor 等人（2018）。

2. 信息作为相关性：情境理论

信息的相关性观点关注的是结构化信息环境中各部分之间存在系统连接的方式，使得其中一部分可以携带关于另一部分的信息。例如：计算机屏幕上出现的像素模式可以提供（不一定完整的）关于正在输入文档的人按下的按键序列的信息，甚至你朋友正在观看的明亮星空的部分快照也可以提供关于他此刻可能在地球上的位置的信息。关注结构化环境和信息的关联性与信息作为相关性方法的第三个主要主题相辅相成，即信息的情境性，即它依赖于信息信号发生的特定环境。再以星空为例：相同的星星模式，在不同的时间和空间位置上，通常会传达关于你朋友位置的不同信息。

从历史上看，相关信息的第一个典范性设定是香农关于通信的工作（1948 年），我们在上一节中已经提到过。香农考虑了一个由两个信息站点组成的通信系统，即源站点和接收站点，通过一个嘈杂的信道相连。他对与构建通信编码有关的问题给出了确凿而极其有用的答案，这些编码有助于最大限度地提高通信的效果（以可传输的信息位数为衡量），同时最小化信道噪声引起的错误可能性。正如我们之前所说，香农的关注点纯粹是定量的。信息作为相关性的逻辑方法建立在香农的思想基础上，但关注的是信息流的定性方面，就像我们之前强调的那样：从“远程”站点（在空间、时间、视角等方面远离）可以从直接可用的“近端”站点中提取出什么信息？

情境理论（Barwise 和 Perry 1983; Devlin 1991）是迄今为止将这些思想作为信息分析起点的主要逻辑框架。它的起源和一些核心见解可以在弗雷德·德雷茨克（1981）发起的心智自然化和知识可能性项目中找到，这很快影响了自然语言情境语义学的开始（参见 Kratzer 2011）。

从技术上讲，情境理论有两种发展：

基于详细本体论的集合论和模型论框架，适用于在具体应用中建模信息现象。
信息流的数学理论，通过连接整体的部分而实现，这个理论以更抽象的方式看待信息，将信息视为相关性，这个理论（原则上）适用于可以分解为相互关联部分的各种系统。

接下来的三个小节概述了这一传统中的一些基本概念：情境理论中的信息基本位置（称为情境），基于情境之间的相关性的信息流基本概念，以及（b）中提到的分类和通道的数学理论。

2.1 情境和支持信息

(a)中的本体论涵盖了广泛的实体范围。它们旨在反映一个代理人可能对系统进行划分的特定方式。这里的“系统”可以是世界，或者是其部分或方面，而代理人（或代理人的种类）可以是动物物种、设备、理论家等。基本实体的列表包括个体、关系（附带有角色），时间和空间位置以及其他各种事物。其中独特的是情境和信息。

粗略地说，情境是系统的高度结构化的部分，例如一个课堂、从某个角度看到的场景、一场战争等。情境是信息的基本支持者。另一方面，信息是情境可能支持或不支持的信息问题。最简单的信息问题是当扮演角色 r1,...,rn 时，一些实体 a1,...,an 是否处于关系 R 中。这种基本信息通常被表示为

⟨⟨R,r1:a1,…,rn:an,i⟩⟩.

其中 i 为 1 或 0，根据问题是积极还是消极而定。

信息不是真理的内在承载者，也不是主张。它们只是可能或可能不被特定情况支持的信息问题。我们将写作 s⊨σ，表示情境 s 支持信息 σ。例如，玛丽在当地市场购买一块奶酪的成功交易是支持信息 σ 的情境。

σ=⟨⟨ 购买,什么:奶酪,谁:玛丽,1⟩⟩.

这种情况不支持信息.

⟨⟨ 购买,什么:奶酪,谁:玛丽,0⟩⟩.

因为玛丽确实买了奶酪。而且情况也不支持信息

⟨⟨ 降落,谁:阿姆斯特朗,在哪里:月球,1⟩⟩,

因为阿姆斯特朗根本不是所讨论的情况的一部分。

对于一个情境的辨别或个体化，并不意味着个体对其拥有完整的信息：当我们想知道当地市场是否开放时，我们个体化了一个情境，但实际上我们缺乏一些信息。有关情境类似实体的性质及其与模态逻辑中使用的可能世界等其他本体类别的关系，可参考 Textor（2012）的详细讨论。

除了个体、关系、位置、情境和基本信息外，还存在各种参数化和抽象实体。例如，存在一种类型抽象机制。根据该机制，如果 y 是情境的参数，则

Ty=[y∣y⊨⟨⟨bought,what:cheese,who:x,1⟩⟩]

是某人购买奶酪的情况类型。本体论中将有一些基本类型，以及通过抽象获得的许多其他类型，正如刚才所描述的。

本体论实体的集合还包括命题和约束。它们在情境理论中的信息内容基本原理的制定中起着关键作用，接下来将介绍。

2.2 信息流和约束

以下是在情境理论中研究的“信息流”所涉及的典型陈述：

[E1] 雷达屏幕上的点向上移动表明 A123 航班向北移动。
[E2] 在诸城发现了 P 模式的足迹表明数百万年前该地区有恐龙生活。

一般方案的形式为

[IC] 这意味着 s:T 表示 p。

其中 s:T 是“s 是类型 T”的符号表示。这个想法是，世界的具体部分扮演着信息的载体（雷达中的具体点或诸城中的脚印），并且它们之所以能够这样做，是因为它们具有某种类型（点向上移动或脚印显示特定的模式）。每个具体实例所指示的是关于世界的另一个相关部分的事实。对于下面要讨论的问题，只需要考虑指示事实的形式为 s′:T′的情况，就像雷达示例中的情况一样。

验证信息传递的条件在于存在诸如自然法则、数学必然法则或约定等类似法则的限制，通过这些限制，一个情境可以作为关于另一个情境的信息的载体。限制规定了不同类型情境之间存在的相关性，具体来说：如果两个类型 T 和 T'受到 T⇒T'的限制，那么对于类型 T 的每个情境 s，都存在一个相关联的类型 T'的情境 s'。在雷达的例子中，相关的相关性可以通过 GoingUpward⇒GoingNorth 的限制来捕捉，该限制表示每个雷达点向上移动的情境都与一个飞机向北移动的情境相关联。正是这种限制的存在使得一个点移动的特定情境能够指示与之相关的飞机情境的某些信息。

在此背景下，情境理论中信息传递的验证原则可以如下表述：

[IS Verification] 如果 T⇒T'且 s 与 s'相关联，则 s:T 表示 s′:T′。

关系 ⇒ 是可传递的。这确保了 Dretske 的 Xerox 原则在这个信息传递解释中成立，也就是说，通过信息传递链路不会丢失语义信息。

[Xerox 原则]：如果 s1:T1 表明 s2:T2，且 s2:T2 表明 s3:T3，则 s1:T1 表明 s3:T3。

[IS 验证] 原则处理的是原则上可以由代理获取的信息。其中一些信息的访问将被阻止，例如，如果代理对两种情况之间的相关性毫不知情。此外，大多数相关性并非绝对，它们允许例外。因此，为了使 [E1] 中描述的信号真正具有信息性，必须满足额外条件，即雷达系统正常工作。[IS 验证] 原则的条件版本可以用来坚持载体情况必须满足某些背景条件。代理无法跟踪这些背景条件的变化可能导致错误。因此，如果雷达坏了，屏幕上的点可能会向上移动，而飞机却向南移动。除非空中交通管制员能够识别问题，也就是说，除非她意识到背景条件已经改变，否则她可能会给飞行员发出荒谬的指令。现在，指令与行动是相关联的。关于从情境理论观点对行动的处理，我们建议读者参考 Israel 和 Perry（1991）的著作。

2.3 分布式信息系统和通道理论

在前一节中概述的信息流的基本概念可以提升到一个更抽象的环境中，其中信息的支持者不一定是作为世界的具体部分的情境，而是任何实体，就像情境一样，可以被归类为某种类型或不是某种类型。下面要描述的分布式系统的数学理论（Barwise 和 Seligman 1997）采用这种抽象方法，重点关注分布式系统内的信息传输。

在这个框架中，分布式系统的模型实际上是一种分布式系统的模型。因此，我们在这里使用的雷达-飞机系统的模型实际上是雷达-飞机系统的模型（复数）。设置这样的模型需要用其部分和它们如何组合成一个整体来描述系统的架构。完成这一步骤后，可以继续观察该架构如何使信息在其部分之间流动。

一个系统的一部分（再次强调，确实是它的种类）通过说明如何根据给定的一组类型对其特定实例进行分类来进行建模。换句话说，对于系统的每个部分，都有一个分类。

A=⟨ 实例，类型，⊨⟩，

其中 ⊨ 是一个二元关系，如果实例 a 是类型 T，则 a⊨T。在对雷达示例进行简单分析时，可以假设至少有三个分类，一个用于监视屏幕，一个用于飞行的飞机，一个用于整个监视系统：

屏幕=⟨ 监视器-屏幕,屏幕配置类型,⊨M⟩ 飞机=⟨ 飞行飞机,飞行飞机类型,⊨P⟩ 监视情况=⟨ 监视情况,监视情况类型,⊨M⟩

为了模拟系统部件的组装方式，需要一个关于分类之间“部分-整体”关系的通用版本。以监视系统为例。每个监视系统都有屏幕作为其部件之一，这意味着存在一个函数，将分类 MonitSit 的每个实例分配给 Screens 的一个实例。另一方面，屏幕可以被分类的所有方式（屏幕的类型）直观上对应于整个屏幕系统可以被分类的方式：如果一个屏幕是监视系统的一部分，并且屏幕在闪烁，那么整个监视情况直观上属于“其屏幕在闪烁”的类型。因此，任意两个任意分类 A、C 之间的通用“部分-整体”关系可以通过两个函数来模拟

f∧:类型 A→类型 Cf∨:实例 C→实例 A,

其中第一个将 A 中的每种类型映射到 C 中的对应类型，第二个将 C 中的每个实例 c 映射到其 A 组件。[5]

如果 f：A→C 是上述两个函数存在的简写符号（函数对 f 被称为信息态射），那么任意分布系统将由通过信息态射相关的各种分类组成。对于我们的目的，在这里考虑三个分类 A，B，C 以及两个信息态射将足够。

f：A→Cg：B→C。

然后，在我们的例子中，建模雷达监控系统的简单方法将由一对 f:Screens→MonitSitg:Planes→MonitSit 组成。

在这些情况下，共同的共域（在一般情况下为 C，在例子中为 MonitSit）作为连接系统两个部分的通道的核心。核心确定了两个部分之间的相关性，从而实现了第 2.2 节讨论的信息流。这是通过两种类型的链接实现的。一方面，如果 A 的实例 a 和 B 的实例 b 是 C 的同一实例的组成部分，则可以认为它们通过通道连接在一起，因此 C 的实例充当组件之间的连接。因此，在雷达示例中，如果属于相同的监控情况，特定的屏幕将与特定的飞机相连接。

The common codomain in these cases (C in the general case and MonitSit in the example) works as a the core of a channel that connects two parts of the system. The core determines the correlations that obtain between the two parts, thus enabling information flow of the kind discussed in section 2.2. This is achieved via two kinds of links. On the one hand, two instances a from A and b from B can be thought to be connected via the channel if they are components of the same instance in C, so the instances of C act as connections between components. Thus, in the radar example, a particular screen will be connected to a particular plane if they belong to the same monitoring situation.

另一方面，假设 C 中的每个实例都验证了 A 和 B 中类型的对应类型之间的某种关系。那么这种关系捕捉了系统部分之间如何相关的约束。在雷达示例中，核心分类 MonitSit 的理论将包括诸如 PlainMovingNorth ⇒ DotGoingUp 的约束。这种监测情况的规律性，作为雷达截屏和飞机之间的连接，揭示了雷达屏幕和监测飞机之间的相关性。所有这些都导致了以下信息传递的版本。

通道启用的信号传递：假设

f:A→Cg:B→C.

那么，在 A 中实例化一个类型为 T 的实体表示在 C 中实例 b 是类型为 T'的实体，如果 a 和 b 通过 C 中的一个实例连接，并且所有 C 的实例都满足对应解释类型之间的关系 f∧(T)⇒g∧(T')。

现在，对于每个分类 A，集合

LA={T⇒T'∣A 的每个类型为 T 的实例也是类型为 T'的实例}

由分类的所有全局约束形成的可以被视为内在于 A 的逻辑。然后，由各种分类和信息形态组成的分布式系统将在其每个部分附加一个约束逻辑 [6]，并且可以提出关于系统内信息流的更复杂问题。

例如，假设一个信息形态 f：A→C 是研究的分布式系统的一部分。那么 f 自然地将 LA 的每个全局约束 T⇒T'转化为 f∧(T)⇒f∧(T')，可以始终证明它是 LC 的一个元素。这意味着可以在 A 内进行推理，然后可靠地得出关于 C 的结论。另一方面，可以证明使用 f∧ 的原像来翻译 C 的全局约束并不总是保证结果是 A 的全局约束。因此，有必要确定额外的条件，以确保逆向翻译的可靠性，或者至少改进可靠性。从某种意义上说，这些问题在质量上与 Shannon 最初对噪声和可靠性的关注相近。

另一个可能需要建模的问题是从一个只对系统的部分知识有限的代理人的角度来推理系统。例如，想象一个只使用 ACME 监视器并对电子学一无所知的飞机控制员。这样一个代理人用来推理系统的逻辑（实际上是控制员案例中的屏幕部分）通常包括一些约束条件，这些约束条件可能甚至不是全局的，只有某些实例（ACME 监视器）满足。代理人的逻辑可能是不完整的，因为它可能会忽略一些分类的全局约束条件（比如涉及监视器内部组件的约束条件）。代理人的逻辑也可能是不可靠的，因为代理人可能没有意识到一些实例（比如陌生品牌的监视器），这些实例会使一些代理人的约束条件失效（尽管这些约束条件对于所有的 ACME 监视器都成立）。在预期的方式下，可以通过一个信息态射 f:A→C 来“移动”A 中的局部逻辑 L，即通过 f∧ 转换其约束条件，通过 f∨ 转换其实例。在信道理论中研究这些概念时，关于这些局部逻辑的一些理想性质（如可靠性）在翻译下是否得以保留是一个自然的问题。

逻辑学中的一个最新发展（Seligman 2014）使用了更一般的局部逻辑定义，其中逻辑中的并非所有实例都需要满足其所有约束条件。这个版本的逻辑学在两个重要方面得到了应用。首先，通过使用局部逻辑来代表情境，并对 infon 的自然解释，重建了情境理论的核心机制（在 2.1 节和 2.2 节中仅仅是简单介绍）。其次，证明了这个版本的逻辑学可以处理概率约束。大致思想是，任何一个分类加上对实例集合的概率测度，都会诱导出一个具有相同类型集合的扩展分类，其中约束成立当且仅当反例实例集合的测度为 0。注意，这个反例集合可能不为空。具有概率约束是将逻辑学与香农的通信理论形式化相关的重要一步。

关于这里概述的通道理论的广泛发展以及几个应用探索，请参见 Barwise 和 Seligman（1997）。请参见 van Benthem（2000）关于在 infomorphisms 下约束可满足性保持的条件的研究，以及 Allo（2009）将这个框架应用于对认知状态和认知商品之间区别的分析。最后，必须提到的是，分类的概念在文献中已经存在了一些年头，独立地被研究和引入，被称为 Chu 空间（Pratt 1995）或形式背景（Ganter 和 Wille 1999）。

3. 信息作为代码

为了计算信息，必须由相关的计算机制处理，而为了进行这样的处理，信息必须被编码。将信息视为代码是一种非常认真对待这种编码条件的立场。结果是开发了关于信息流的细粒度模型，这些模型依赖于编码本身的语法属性。

要了解这一点，再次考虑涉及通过观察进行信息流的情况。这样的观察是有信息量的，因为我们不是以正常的、类似上帝的方式无所不知。例如，我们必须去观察猫在垫子上，正是因为我们不会自动意识到宇宙中的每一个事实。推理以类似的方式工作。对我们来说，推理是有信息量的，正是因为我们不是逻辑上无所不知的。我们必须对事物进行推理，有时需要很长时间，因为我们不会自动意识到我们正在推理的信息体系的逻辑后果。

回到最初的问题——明确地使用信息进行推理需要处理它，而在这种情况下，这种处理是一种认知行为。因此，所讨论的信息以某种方式被编码，因此信息作为代码支撑了关于信息流的细粒度模型的发展，这些模型依赖于编码本身的语法属性，以及支撑涉及各种信息处理环境的行为属性。

这种信息处理背景不仅限于人类主体的明确推理行为，还包括自动推理和定理证明，以及一般的基于机器的计算过程。对这些后者信息处理场景属性建模的方法属于算法信息论。

在第 3.1 节中，我们将通过范畴信息论的信息即代码框架来探讨一种主要的信息处理属性建模方法。在第 3.2 节中，我们将研究更一般的信息即代码建模方法，其中范畴信息论是一个实例，即通过子结构逻辑建模信息即代码。在第 3.3 节中，我们将详细介绍几个其他值得注意的信息流逻辑的细节，这些逻辑是由信息即代码方法驱动的。

3.1 范畴信息论

范畴信息论是一种关于细粒度信息流的理论，其模型基于由 Lambek 演算规定的范畴语法。Lambek 演算最初由 Lambek（1958, 1961）提出。范畴信息论的动机是为了提供一个逻辑框架，用于建模支撑演绎推理的认知过程的属性。

范畴信息论的概念起源可以追溯到 van Benthem（1995: 186）。理解 van Benthem 对“程序性”的使用与“动态”的同义：

[I] t turns out that, in particular, the Lambek Calculus itself permits of procedural re-interpretation, and thus, categorial calculi may turn out to describe cognitive procedures just as much as the syntactic or semantic structures which provided their original motivation.

范畴信息论的动机是为了模拟构成演绎推理的认知过程。考虑以下类比例子。你从宜家回到家，带回了一个未组装的平板桌子，还放在盒子里。现在问题是，你有桌子吗？嗯，有一种意义上你有，有一种意义上你没有。你有桌子的意义是你拥有构建或生成桌子所需的所有零件，但这并不意味着你能够使用它。也就是说，你没有以任何有用的形式拥有桌子，你只是拥有一些桌子的零件。事实上，将这些桌子零件组装成有用的形式，也就是一张桌子，可能是一个漫长而艰苦的过程...

上述表格示例与演绎推理之间的类比如下。经常有人说，演绎论证的结论所编码的信息是由前提所编码的。因此，当你拥有某个演绎推理实例的前提所编码的信息时，你是否也拥有结论所编码的信息？就像表格碎片一样，你并没有以任何有用的形式拥有结论所编码的信息，直到你以正确的方式将构成前提的“信息碎片”组合在一起。当然，当你拥有前提所编码的信息碎片时，你拥有构建或生成结论所编码的信息所需的一部分信息。然而，就像表格碎片一样，从前提所编码的信息中获取结论所编码的信息可能是一个漫长而艰难的过程。你还需要告诉你如何以正确的方式组合前提所编码的信息的指示性信息。这种通过演绎推理生成信息也可以被看作是信息从推理主体的心智中的隐式存储到显式存储的移动，而促使这种存储转移的认知过程正是范畴信息理论的动力所在。

范畴信息理论是一种基于范畴语法中的合并/融合（⊗）和类型函数（→，←）操作的动态信息处理理论。概念动机是将代理人心智中的信息理解为代理人通过演绎推理而成为数据库的方式，就像自然语言词典是一个数据库一样（参见 Sequoiah-Grayson（2013），（2016））。在这种情况下，语法将被理解为一组处理约束，以保证信息流动，或者作为输出的良好形式的字符串。最近关于证明作为事件的研究从非常相似的概念起点出发，可以在 Stefaneas 和 Vandoulakis（2014）中找到。

范畴信息理论在风味上具有很强的代数性质。融合'⊗'对应于二元组合运算符'.'，而'⊢'对应于偏序'≤'（参见 Dunn 1993）。合并和函数操作通过熟悉的剩余条件相互关联：

(5)(6)A⊗B⊢C 当且仅当 B⊢A→CA⊗B⊢C 当且仅当 A⊢C←B

一般来说，定向功能应用的应用将被限制在对语法结构的代数分析中，其中交换的词汇项将导致非良构的字符串。

尽管它具有代数性质，但操作可以通过“信息化”的克里普克框架（Kripke 1963, 1965）给出其评估条件。信息框架（Restall 1994）F 是一个三元组 ⟨S,⊑,∙⟩。S 是一组信息状态 x,y,z...。⊑ 是信息发展/包含的偏序关系，使得 x⊑y 被认为是 y 所携带的信息是 x 所携带的信息的发展，∙ 是一种用于组合信息状态的操作。换句话说，我们有一个带有组合操作的域。信息组合操作和信息包含的偏序关系相互关联如下：

(7)x⊑y 当且仅当 x∙y⊑y

将 x⊩A 解释为状态 x 携带类型 A 的信息，我们有：

(8)(9)(10)对于某些 y、z∈F，当且仅当 y∙z⊑x，y⊩A 且 z⊩B 时，x⊩A⊗B 成立。当且仅当对于所有 y、z∈F，当 x∙y⊑z 时，如果 y⊩A，则 z⊩B，x⊩A→B 成立。当且仅当对于所有 y、z∈F，当 y∙x⊑z 时，如果 y⊩A，则 z⊩B，x⊩B←A 成立。

在句法层面上，我们将 X⊢A 解释为在 X 上进行处理会生成类型为 A 的信息。在这种情况下，我们将 ⊢ 理解为信息处理机制，正如 Wansing（1993: 16）所建议的那样，⊢ 不仅编码了信息处理过程的输出，还编码了过程本身的属性。这个处理过程的具体内容将取决于我们在数据库上设置的处理约束。为了保证处理本身的输出，或者换句话说，为了保持信息流动，我们将施加这些处理约束。这些处理约束由各种结构规则的存在与否来确定，而结构规则是子结构逻辑的核心内容。

3.2 子结构逻辑与信息流

类别信息论是通过给予 Lambek 演算一个信息语义而形成的。在适当的抽象层次上，Lambek 演算被视为一种高度表达力的子结构逻辑。毫不奇怪的是，通过为一般的子结构逻辑提供信息语义，我们得到了一族体现信息即代码方法的逻辑。这个逻辑家族按照表达能力进行组织，所讨论的逻辑的表达能力由各种结构规则的存在来捕捉。

结构规则具有以下一般形式：

(11)X⇐Y

我们可以将(11)理解为通过对 X 进行处理生成的任何信息也是通过对 Y 进行处理生成的。因此，(11)的长形式如下：

(12)X⊢AY⊢A

因此，X 是一种结构化的信息体，或者正如 Gabbay（1996: 423）所说的“数据结构”，其中信息的实际排列起着至关重要的作用。结构规则将确定由 X 编码的信息的结构，并因此对正在处理的信息的粒度产生影响。

考虑弱化，这是最熟悉的结构规则之一（其后跟其相应的框架条件：

（弱化）A⇐A⊗Bx∙y⊑z→x⊑z

随附弱化，我们失去了对推理中实际使用的信息的追踪。这正是为什么拒绝弱化是相关逻辑的标志，其中保留与推导结论相关的信息体是动机所在。通过拒绝弱化，我们突出了一种特定类型的信息分类，即我们知道使用了哪些信息体。为了保留比仅仅使用了哪些信息体更多的结构细节，我们需要考虑拒绝进一步的结构规则。

假设我们不仅想记录在推理中使用了哪些信息，还想记录它们被使用的频率。在这种情况下，我们将拒绝收缩：

(收缩)A⊗A⇐Ax∙x⊑x

收缩允许对一条信息进行多次使用，没有限制。因此，如果关注执行某些信息处理的“信息成本”的记录，就会拒绝收缩。拒绝收缩是线性逻辑的标志，线性逻辑旨在模拟这种处理成本（参见 Troelstra 1992）。

如果我们希望保留信息使用的顺序，那么我们将拒绝交换的结构规则：

（交换）A⊗B⇐B⊗Ax∙y⊑z→y∙x⊑z

信息秩序在时间设置（考虑行动组合）和自然语言语义（Lambek 1958）中尤为关注，非交换逻辑首次出现在这些领域。交换还有一种更熟悉的强形式：

(强交换)(A⊗B)⊗D⇐(A⊗D)⊗B∃u(x∙z⊑u∧u∙y⊑w)→∃u(x∙y⊑u∧u∙z⊑w)

交换的强形式是由其与结构规则的结合所导致的：[7]

(协会)A⊗(B⊗C)⇐(A⊗B)⊗C∃u(x∙y⊑u∧u∙z⊑w)→∃u(y∙z⊑u∧x∙u⊑w)

拒绝协会将保留信息片段组合的精确细粒度属性。非协会逻辑最初被引入以捕捉语言语法的组合属性（参见 Lambek 1961）。

在存在交换的情况下，双向蕴涵对(→,←)会折叠成单向蕴涵→。在存在所有结构规则的情况下，融合 ⊗ 会折叠成布尔合取 ∧。在这种情况下，(5)和(6)中概述的残留条件会折叠成单向函数。

选择保留哪些结构规则显然取决于所建模的信息现象，因此存在着强烈的多元主义。通过拒绝弱化，我们在谈论哪些数据与过程相关，但并未涉及其多样性（在这种情况下，我们将拒绝收缩），其顺序（在这种情况下，我们将拒绝交换），或实际使用模式（在这种情况下，我们将拒绝关联）。通过允许关联、交换和收缩，我们将分类法固定下来。我们可能不知道使用的数据的顺序或多样性，但我们确切地知道哪些类型与成功处理相关。这种基于信息的命题相关逻辑的规范当代阐述是 Mares（2004）。这种解释允许对相关逻辑编码的矛盾进行优雅的处理。通过区分真值条件和信息条件，我们允许将 x⊩A∧¬A 解释为 x 携带了 A 和非 A 的信息。有关量化相关逻辑中真值条件和信息条件之间区别的探讨，请参见 Mares（2009）。

在这个阶段，事物仍然相对静态。通过将注意力从静态信息体转移到对这些信息体的操作，我们将拒绝超出弱化的结构规则，最终到达分类信息论，正如最弱的子结构逻辑所编码的那样。因此，我们越弱，所涉及的逻辑的“过程化”味道就越浓。从动态/过程化的角度来看，线性逻辑可以被视为静态经典逻辑和完全过程化的分类信息论之间的“中间点”。有关在线性逻辑和其他形式框架之间关系的详细阐述，可参见 Abramsky（2008）。

近期 Dunn（2015）的重要工作将子结构逻辑和结构规则与信息相关性联系在一起。Dunn 区分了程序和数据，前者是动态的，后者是静态的。我们可以将程序视为形式为 A→B 的条件语句，将数据视为原子命题 A、B 等。在这两种类型的信息工件中，我们有三种可能的组合：程序到数据的组合、程序到程序的组合和数据到数据的组合。对于程序到数据的组合，交换律成立，而弱化和结合律不成立，收缩不适用。对于程序到程序的组合，结合律成立，而交换律和弱化不成立。正如 Sequoiah-Grayson（2016）所示，程序到程序组合的收缩情况更加复杂。数据到数据组合的确切属性仍然是一个有趣的开放问题。与信息相关性的联系是通过将偏序关系 ⊑ 解释为标记信息相关性本身来建立的。在这种情况下，x⊑y 被解读为信息 x 与信息 y 相关。信息相关性的确切含义将取决于所讨论的信息处理的具体上下文。Sequoiah-Grayson（2016）通过代理人明确推理的方式将信息处理的框架扩展到了上下文中。鉴于信息状态 x∙y 的组合可能位于偏序关系的左侧，该扩展是关于认知行为的认知相关性的解释。有关深入探讨信息作为代码方法的最新论文集，请参见 Bimbó（2016）。有关信息相关性和推理的最新论文的广泛集合，请参见 Bimbó（2022）。

3.3 相关方法

信息作为代码的方法是对信息流的一种非常自然的视角，因此有许多相关的框架可以作为示例。

分析信息作为代码的一种方法是根据各种命题逻辑的计算复杂性进行分析。这种方法可能提出了一种命题逻辑的层次结构，这些逻辑在多项式时间内都是可决定的，而这个层次结构是由各种逻辑中证明所需的计算资源的增加而构建的。D'Agostino 和 Floridi（2009）进行了这样的分析，他们的核心观点是这个层次结构可以用来表示命题演绎推理的信息水平的增加。

Gabbay（1993, 1996）的标记演绎系统框架典型地展示了信息作为代码的方法，与第 3.1 节中的信息化子结构逻辑非常相似。数据项（注意，Gabbay 将原子信息和条件信息都称为数据，与上面一节中的 Dunn 和 Sequoiah-Grayson 不同）被给定为形式为 x:A 的一对，其中 A 是一条声明性信息，x 是 A 所编码的信息的标签。x 是需要对其进行操作或更改的信息的表示。假设我们还有数据对 y:A→B。我们可以将 x 应用于 y，得到数据对 x+y:B。在这种情况下，数据库是标记公式或数据对的配置（Gabbay 1993: 72）。标签及其相应的应用操作由一个代数组织，并且该代数的属性将对应用操作施加约束。不同的约束，即 Gabbay 所称的“元条件”（Gabbay 1993: 77），将对应于不同的逻辑。例如，如果我们忽略标签，那么我们将得到经典逻辑；如果我们只接受使用了所有标记假设的推导，那么我们将得到相关逻辑；如果我们只接受使用了标记假设仅一次的推导，那么我们将得到线性逻辑。在这里，标签的行为非常类似于可能世界，而从可能世界到信息状态的短距离步骤使得标签上的元条件如何被结构规则捕捉变得明显。

Artemov（2008）的证明逻辑框架与 Gabbay 的标记演绎系统有许多表面上的相似之处。该逻辑由形式为 x:A 的证明断言组成，读作 x 是 A 的证明。证明本身是不同类型的证据基础，这取决于上下文而变化。它们可能是数学证明、因果关系集合或反事实，或者是满足证明角色的其他内容。在证明逻辑中，对于 x 证明 A 的含义并没有直接进行分析。相反，通过各种操作及其公理来表征证明关系 x:A 本身。应用操作“.”模仿了标记演绎中的应用操作“+”，或者是范畴信息理论中的融合“⊗”操作。在证明逻辑中，符号“+”保留用于表示联合证据。因此，“x+y”被读作“x 和 y 的联合证据”。应用和联合分别由以下公理来表征：

(13)(14)x:(A→B)→(y:A→(x.y):B)x:A→(x+y):A，以及 x:A→(y+x):A

后一个公理表征了联合证据基础的单调性。除了+的交换性外，证明操作的结构性质目前尚未被探索，尽管这种探索的潜力令人兴奋。证明逻辑被用于分析诸如盖蒂尔案例等众所周知的难题。如果我们将我们的认识论视为信息化的话，那么将证据基础构成为信息状态的方式将使得证明逻辑在信息即代码的方法中得到简单的应用。有关详细信息，请参阅 Artemov 和 Fitting（2012）。

Zalta 关于对象论的工作（Zalta 1983, 1993）提供了一种不同的分析信息内容（理解为命题内容）及其结构的方式。受形而上学考虑的驱动，对象论首先提出了一种对象和关系的理论（通常用二阶量化模态语言来表述）。然后可以利用这个理论来定义和描述事实状态、命题、情境、可能世界和其他相关概念。由此得到的图像是这些事物都具有内部结构，它们的代数性质被公理化，因此可以用经典的证明论方式对它们进行推理。

这种方法触及的一个哲学观点涉及句子所表达的命题内容（信息）与断言的联系。与本条目相关的是 Zalta（1993）对这种方法的情境理论的发展，其中关键要素是使用两种形式的断言。简而言之，公式“Px”对应于通过举例来进行断言的通常形式（如“奥巴马是美国人”），而“xP”对应于通过编码进行断言。然后，抽象对象被定义为（基本上是）属性的编码，以可能不成为事实的组合方式。这些规定使得关于抽象、可能或虚构实体的信息存在。有关对象论所属传统的详细信息，请参见 Textor（2012）、McGrath（2012）和 King（2012）。

4. 这些方法之间的联系

尽管上述三种方法（范围、相关性、代码）在强调不同的信息主题方面存在差异，但它们旨在澄清的基本概念是相同的（信息）。因此，自然而然地发现这些方法之间的相似性和协同作用引发了将它们结合起来的探索。下一小节中的每一部分都说明了如何将这三种方法中的两种结合起来。第 4.1 节举例说明了信息作为范围和信息作为相关性观点之间的接口。第 4.2 节和第 4.3 节则将另外两对组合（即代码和相关性，代码和范围）进行了相同的操作。

4.1 范围和相关性

信息作为范围观点中的一个核心直觉是存在于手头的信息（可以以各种方式进行限定）与与此类信息相容的可能性范围之间的对应关系。另一方面，信息的相关性方法的一个关键特征是它依赖于由系统性连接的组件组成的结构化信息系统。一般来说，结构化系统的许多属性实际上是局部属性，即它们仅由其中一些组件决定（例如，雷达上的一个向上移动的点只能通过观察屏幕来确定，即使这种行为与远程飞机的运动相关，后者是系统的另一个组件）。如果只能访问系统中的少数几个组件的信息，就会产生一种自然的可能性范围概念，即与此类局部信息相容的系统的所有可能的全局配置。本小节详细阐述了将这两种方法联系起来的特定方式，但正如最后所指出的，这并不是唯一的方式，寻找其他方式仍然是一个开放的研究领域。

形式上，上述所描述的范围和相关性之间的联系可以通过使用受限的产品状态空间作为系统架构的模型来进行研究（van Benthem 2006，van Benthem 和 Martinez 2008）。基本结构是约束模型，这些模型的版本在文献中已经存在了一些年头（例如，在认知逻辑的研究中，Fagin 等人 1995 年的研究和在上下文相关推理的研究中的 Ghidini 和 Giunchiglia 2001）。约束模型的形式为

M=⟨Comp,States,C,Pred⟩。

在这里，基本组件空间由 Comp 索引，每个组件的状态来自 States（不同的组件可能只使用 States 的一部分元素），系统的全局状态是全局估值，即将一个状态分配给每个基本组件 Comp 的函数。并非所有这样的函数都是允许的，只有 C 中的函数才被允许。最后，Pred 是一个带标签的谓词族（全局状态的集合）。

要了解这与信息作为相关性观点的契合程度，再次考虑飞机被雷达监测的例子。与之前一样，每个监测情境都将被建模为仅有两个部分，现在由 Comp={屏幕,飞机}的成员索引。筛选情境的实际实例将对应于全局状态，在这种情况下——我们只有两个组件——可以将其视为对(s,b)这样的对的思考，其中 s 是特定的屏幕，b 是特定的飞机。因此，全局状态连接了部分的实例，从而表示了整个系统的实例。但是，然后一个关键的限制开始发挥作用，因为并非所有屏幕都与所有飞机连接，只与属于同一监测情境的飞机连接。集合 C 仅选择这样的可允许的对，因此起到了与第 1 节中的通道类似的作用。最后，Pred 将全局状态分类为类型，类似于第 2.3 节的分类关系。

正如我们之前所说，系统的某些属性是局部属性，只有系统的某些组件与确定其是否成立有关。监测情境是否是飞机向北移动的情况仅取决于飞机，而不取决于屏幕。一般来说，如果一个属性完全由组件的子集 x 决定，那么在涉及该属性的情况下，任何两个在 x 上达成一致的全局状态都应该是无法区分的。实际上，每个这样的 x 都会引发一个局部属性确定的等价关系，以便对于每两个全局状态 s、t：

s∼xt 当且仅当 x 中每个组件上的 s 和 t 的值相同。

通过这种方式，不仅可以获得与信息范围方法的概念联系，还可以获得形式联系，因为约束模型可以用来解释具有形式为 P 的原子公式的基本模态语言，其中 P 是 Pred 中谓词标签之一，并且具有形式为 ¬ϕ，ϕ∨ψ，Uϕ 和 □xϕ 的复合公式。更具体地说，给定一个约束模型 M 和一个全局状态 s，关键的满足条件如下：

M,s⊨P 当且仅当 s∈PM,s⊨Uϕ 当且仅当对于所有的 t，M,t⊨ϕ,M,s⊨□xϕ 当且仅当对于所有的 t∼xs，M,t⊨ϕ

通过融合通用模态 U 和每个 □x 模态的 S5 模态逻辑，以及添加形式为 Uϕ→□xϕ 和 □xϕ→□yϕ 的公理，其中 ∼y⊆∼x，得到的逻辑被公理化。

信息作为范围的研究议程包括其他主题，例如代理和信息更新的动态，原则上可以纳入约束模型设置中。例如，在代理的情况下，可以将约束模型捕捉到的国家系统的架构结构添加到一组代理 A 的认知可及性关系中，从而获得形式为 M=⟨Comp,States,C,Pred,{≈a}a∈A⟩ 的认知约束模型。

其中 ≈a 是代理 a 的等价可及性关系。在这里，可以通过添加一些代理（例如控制器和飞行员）来完善上述的飞机和雷达示例。仅依靠每个代理可以看到的控制器，控制器将无法区分在飞机方向上达成一致但在飞机周围的气象条件上有所不同的状态。这些状态将由模型中的控制器关系相关联，但不会由飞行员的关系相关联。原则上，模态认知模型和约束模型的合并使得可以在一个单一的设置中研究信息作为范围和信息作为相关性观点的各个方面。对于认知约束模型的相应逻辑语言与基本约束模型相同，但扩展了每个代理的 Ki 模态运算符。该逻辑是上述约束逻辑与每个代理 a 的 S5 逻辑的融合。

where ≈a is the equivalence accessibility relation of agent a. Here one could refine the planes and radar example above by adding some agents, say the controller and the pilot. By relying only on the controls each agent can see, the controller will not be able to distinguish states that agree on the direction of the plane but differ, say, on the metereological conditions around the plane. Those states will be related by the controller’s relation in the model, but not by the pilot’s relation. In principle, this merge of modal epistemic models and constraint models allows one to study, in a single setting, aspects of both the information-as-range and information-as-correlation points of view. The corresponding logical language for epistemic constraint models is the same as for basic constraint models, expanded with the Ki modal operators, one per agent. The logic is the fusion of the constraint logic from above and a S5 logic per each agent a.

有一些较新、不同的信息建模方法，它们处于信息作为范围和信息作为相关性观点的交叉点上。其中之一是范·本特姆（van Benthem）关于信息追踪的研究（范·本特姆 2016）。追踪是一种新的观点，既涉及不同信息表示之间的联系，又涉及这些联系的更新。

另一个发展（Baltag 2016）来自于一系列研究如何以类似于第 1 节中描述的认知逻辑的方式捕捉知识 de re（Wang 和 Fan 2014）的性质和动态的工作。Baltag 通过将这种知识与变量值的知识进行等同，他的洞察是在基本认知逻辑的语言中添加通常的一阶资源来构建术语和基本公式（即常量、函数、关系和变量的符号），以及至关重要的是，一个广义的条件知识运算符 Kt1,…,tna。扩展的语言现在具有公式 Kt1,…,tnat 和 Kt1,…,tnaϕ，其意义是代理 a 知道术语 t 的值（或者对于第二个公式，知道 ϕ），前提是它知道术语 t1,…,tn 的值。为了能够在语义方面捕捉这个想法，Kripke 模型被丰富，除了通常的信息状态集合、命题符号的解释和代理关系之外，我们还将在每个状态上局部解释对象域，以便对术语和基本关系公式进行解释（即解释可以从状态到状态变化，但底层域在各个状态之间是相同的）。存在一个完备的公理化，得到的逻辑系统是一种一般的、可判定的依赖逻辑，可以通过条件知识运算符捕捉关于相关性的信息。还可以获得动态版本，在公开公告运算符 [ϕ] 之外，还有值公告运算符 [t1,…,tn]，其中公式 [t1,…,tn] ϕ 的含义是“在同时公告术语 t1,…,tn 的值之后，ϕ 成立”。

最近有一项研究（Baltag 和 van Benthem 2021）实现了一种局部依赖的普遍逻辑，该逻辑利用了本小节中刚刚描述的语义洞察力（约束模型和丰富的模态语义），并且表明它们可以看作是同一个问题的两个方面。

然而，还发现了其他方法之间的联系，这些联系是由其他类型的问题驱动的，并且使用的形式主义更接近于情境理论。例如，考虑一种情境，其中代理人对一组认知状态的预期子集具有不完全信息。如何从这样的情境中产生可访问性关系？（请注意，这与上述描述的认知约束模型的情境不同，在那种情境中，代理人对所有认知可访问世界的真实情况都有完全信息）。解决这个问题的一种方法（Barwise 1997）是考虑一个固定的分类 A，其实例是认知状态，以及附加到每个状态的每个代理人的本地逻辑。对于某些状态，这些本地逻辑可能是不完全的（参见第 2.3 节），因此代理人可能没有关于预期状态范围中的所有真实情况的信息。然后，粗略地说，从给定状态 s 和代理人 a 可访问的状态将是那些在 s 中不与 a 的本地逻辑相矛盾的属性（类型）。有了这些认知关系，分类 A 可以用来解释基本的模态语言。

4.2 代码和相关性

逻辑框架将信息作为代码和信息作为相关性进行交叉，其最明确的表达在于那些正是这样做的工作——对这两个框架之间的交叉进行建模。Restall（1994）和 Mares（1996）分别对 Barwise 的信息作为相关性的通道理论框架在信息作为代码方法中的可表示性给出了独立的证明，正如子结构逻辑框架所示。在本节中，我们将追溯证明的动机和主要细节，然后展示与范畴论的联系。

基本步骤如下——如果我们将信息通道理解为一种特殊类型的信息状态，即携带条件类型信息的信息状态，那么信息作为相关性（如通道理论）和信息作为代码（如信息化子结构逻辑）之间就有一个明显的交汇点。中间步骤是揭示条件类型的通道语义与相关逻辑给出的条件的框架语义之间的联系。

从条件的通道理论分析开始，正如前面已经指出的，Barwise 的通道理论框架背后的运行动机是信息流是由信息通道支撑的。Barwise 将条件理解为约束，即 A→B 是从 A 到 B 的约束，如 2.2 节中的 A⇒B 所示。如果将 A 的信息与约束所编码的信息相结合，那么结果或输出就是 B 的信息。

信息 A 和信息 B 由情况 s1，s2...携带，并且由约束编码的信息由信息通道 c 携带。鉴于此，Barwise 对约束的评估条件如下（该条件在他关于条件句的后期工作中以 Barwise 的符号表示，尽管在早期的著作中，这样的条件以 2.2 节中给出的符号表示）：

(15)c⊨A→B 当且仅当对于所有的 s1，s2，如果 s1c↦s2 且 s1⊨A，则 s2⊨B，

其中 s1c↦s2 被解释为

逻辑学中的信息是指通过信道 c 传递的信息与情境 s1 传递的信息相结合，从而得到情境 s2 传递的信息。

很明显，这与上面关于信息作为代码的第 9 节非常接近。

如上所述，中间步骤涉及到早期关于相关逻辑的语义学中的三元关系 R。相关逻辑中条件语句的语义子句为：

(16)x⊩A→B 当且仅当对于所有的 y,z∈F，满足 Rxyz，如果 y⊩A，则 z⊩B。

Rxyz 本身只是一个抽象的数学实体。一种解释它的方式，也是在相关逻辑学领域流行的方式是

Rxyz 当且仅当将 x 与 y 组合在一起的结果在 z 处为真。

鉴于相关逻辑中的评估点最初被理解为不可能的情况（因为它们可能既不一致又不完整），主要的概念转变是将通道理解为特殊类型的情况。完整的证明可以在 Restall（1994）和 Mares（1996）中找到，这些证明了 Barwise 系统的表达能力可以通过相关逻辑的框架语义来捕捉。当然，这种“组合”x 和 y 的方式取决于正在操作的框架上的结构规则。如上一节所解释的，包括哪些规则取决于被建模现象的属性。

定位信息作为代码和信息作为相关性之间的交汇点所需的最后一步如下所示。与相关性和其他子结构逻辑的现代方法相比，评估点（不可能的情况）被理解为信息状态。信息并没有被完整性或一致性的约束，因此不会牺牲不可能情况的可表达性。这种信息阅读（Paoli 2002; Restall 2000; Mares 2004）适用于各种子结构框架的多个应用，并且消除了类似“不可能情况是什么？”这样的问题所带来的本体论负担，以“可能世界是什么？”的精神。对于 Rxyz 的信息状态阅读将类似于

结合 x 和 y 所携带的信息生成了 z 所携带的信息。

将这一点明确表达出来，结果是将 Rxyz 写成 x∙y⊑z，在这种情况下，通过(16)，(15)等价于(9)。

对于信息通道上的组合操作，即携带条件类型信息的信息状态的组合操作，有一个重要的结构规则，即它是可结合的。这意味着：

(17)zx∙(y∙v)⟼w=z(x∙y)∙v⟼w.

当 z⊩A 且 w⊩D 时，对于所有的 x、y、v，满足 x⊩A→、y⊩B→C、v⊩C→D。这只是证明通道理论及其基础的子结构逻辑构成一个范畴所需的第一步。

范畴论本身就是一种非常强大的工具。详细介绍请参阅 Awodey（2006）。关于各种子结构逻辑与通道理论之间关系的更多研究，请参阅 Restall（1994a，1997，2006）。关于信息流的进一步范畴论工作可在 Goguen（2004）中找到（请参阅其他互联网资源）。Seligman（2009）对信息流的范畴论框架进行了扩展，涵盖了可量化/概率化的框架。在范畴论术语中，关于信息流的最深入的论述可以在 Samson Abramsky 的著作中找到，他的《信息、过程和游戏》（2008）中有一个很好的概述。最近关于信息作为代码和信息作为相关性之间交叉的研究使用了子结构逻辑（特别是相关性和线性逻辑）来模拟逻辑证明本身作为信息源。证明是一种信息源的典范，Mares（2016）在该领域的贡献至关重要。

4.3 代码和范围

令人兴奋的是，最近在信息逻辑学的发展中出现了一股新的潮流，将范畴信息理论的灵活性与动态认知逻辑的主题相结合，以设计子结构认知逻辑。Sedlar（2015）将隐含知识和信念的模态认知逻辑与子结构逻辑相结合，以捕捉代理人的证据可用性。Aucher（2015，2014）将动态认知逻辑重新定义为与范畴信息理论的 Lambek 演算对应的子结构逻辑。Aucher 还表明，DEL 的语义可以理解为为一般子结构逻辑的语义提供概念基础。有关 Aucher 方法的扩展，请参见 Hjortland 和 Roy（2016）的软信息方法。

一般来说，将第 1.2 节的 DEL 和第 3.2 节的子结构逻辑相结合的信息逻辑方法在很大程度上变得流行起来。例如，参见 Aucher（2016，2014），Tedder 和 Bilková（即将出版），Tedder（2021，2017），Sedlár，Punčochář 和 Tedder（2023），Punčochář 和 Sedlár（2021）以及 Sedlár（2021，2019）。

其他将信息建模为编码并涵盖编码信息的逻辑框架由 Velázquez-Quesada（2009），Liu（2009），Jago（2006）等人开发。所有这些方法的关键要素是在信息作为范围方法的概念架构中引入一些句法代码。

以 Velázquez-Quesada（2009）为工作示例，从一个模态访问模型 M=⟨S,R,V,Y,Z⟩ 开始，其中 ⟨S,R,V⟩ 是一个 Kripke 模型，Y 是访问集函数，Z 是规则集函数，满足（其中 I 是基于一组原子命题的经典命题语言的集合）：

Y:W→℘(I)将 I 的一组公式分配给每个 x∈S。
Z:W→℘(R)将基于 I 的一组规则分配给每个 x∈S。

一个模态访问模型是模态访问模型 MA 类的成员，当且仅当它满足公式的真实性和规则的真实性保持。MAk 模型是那些使得 R 成为等价关系的 MA 模型。

从这里开始，推理被表示为一种模态操作，将规则的结论添加到代理的信息状态的访问集合中，以便代理可以同时访问规则和其前提条件。其中 Y(x)是 x 处的访问集合，Z(x)是 x 处的规则集合：

知识推理：当 M=⟨S,R,V,Y,Z⟩∈MAk，σ 是一个规则时，Mkσ=⟨S,R,V,Y′,Z⟩ 与 M 在 Y′上不同，其中 Y′(x):=Y(x)∪{conc(σ)}，如果 prem(σ)⊆Y(x)且 σ∈Z(x)，否则 Y′(x):=Y(x)。

对于知识推理的动态逻辑，它包含了表示“在 σ 之后，ϕ 成立的知识推理存在”的能力（Velázquez-Quesada 2009）。正是在这个意义上，这种模态信息理论方法模拟了推理过程的输出，而不是生成这些输出的推理过程的属性（有关分类信息理论的部分请参见对这些动态属性的模型）。

Jago（2009）提出了一种基于代理人在演绎推理过程中考虑可能性且进行消除的不同方法。这种认知（信念）可能性构建了有界理性下的认知（信念）空间。与信息编码的联系在于，模态空间在句法上是个体化的，其中的世界对应于逐步规则引导推理的可能结果。与信息作为范围的联系在于，代理人能否访问规则将影响其辨别的范围。例如，如果代理人的认知基础包含两个世界，一个是 ¬ϕ 世界，一个是 ϕ∨ψ 世界，那么只有当他们能够访问析取三段论规则时，他们才能够完善他们的认知基础。

Jago 的一个微妙但重要的贡献是：所讨论的模态空间仅包含那些不明显不可能的认知选项。然而，什么是明显不可能的或可能的将因代理人而异，以及对于单个代理人而言，随着其逻辑能力的提高，随着时间的推移，这种情况将发生变化。在这种情况下，所讨论的模态空间具有模糊的边界。

5. 特殊主题

逻辑学方法论与信息有关的特殊主题有很多。本节简要介绍其中几个，无论采取何种立场都很重要（信息作为范围、作为相关性、作为代码）。第一个主题是信息等价的问题：在使用的逻辑学方法中，两个结构在所要编码、传递或携带的信息方面何时是无法区分的？何时应该将两个信息视为等价或不等价？对于最后一个问题的答案涉及到信息（或信息载体、信息支持者）如何组合或结构化的问题。这反过来又对逻辑连接词的性质产生影响。本节的第二个主题关注其中一个连接词。即，它涉及到负信息的概念可以以何种方式理解，并以何种方式进行正式处理。

5.1 信息结构和等价性

每种逻辑学对信息的处理都有其自己的信息结构。根据特定的立场和强调的信息方面，这些结构可以代表信息状态、结构化的句法表示、被理解为商品的信息片段，或由局部相互关联的信息状态或阶段构成的全局结构。在什么条件下，可以认为两个信息结构在信息上是等价的？

解决这个问题需要明确在哪个粒度级别上进行等价测试。经典的外延逻辑等价概念是粗粒度的，因为信息上不同的陈述，如 2 是偶数和 2 是质数，无法区分，因为它们的外延将重合。而在表示层面上（例如句法相等性），由于某些情况下过于细粒度：对于双语者来说，商店关门的信息可以通过写有“Closed”的标牌或写有“Geschlossen”的标牌同样传达，即使这两个词是不同的。

在信息的范围、相关性和编码观点中，一种被证明对结构之间的等价关系至关重要的中间概念是结构之间的双模拟关系。两个图 G 和 H 之间的双模拟关系（其中图的箭头和节点都带有标签）是图的节点之间的二元关系 R，具有以下性质：每当图 G 的节点 g 与图 H 的节点 h 相关联时，那么：

g 和 h 具有相同的标签，并且
对于每个关系标签 L 和 g 的每个 L-child g'，必须存在一个 L-child h'，使得 h 和 h'通过 R 相关。对于 h 的每个 L-child 也必须满足类似的条件。

一个简单的例子是以下两个图之间的关系（空标签集），它将点 x 与 a 相关联，将点 y 与点 b、c、d 相关联。

x⟶y↻ 和 a⟶b⟶c⟶d↻

随附是信息作为范围观点的核心概念，因为第 1 节的 Kripke 模型恰好是标记图。这是模态逻辑的一个经典结果，如果两个模型的两个状态通过随附关系相关联，则这些状态将完全满足相同的模态公式，并且如果且仅当该属性在随附下保持不变时，状态的一阶属性可以在基本模态语言中定义。

至于相关立场，在情境理论中，随附被证明是确定两个可能看起来结构不同的信息是否实际上是相同的信息片段的正确概念。例如，对类似谎言的主张的一种可能分析导致了嵌套在自身中的信息，例如

σ=⟨⟨ 真,信息:σ,0⟩⟩.

人们可以自然地将 σ 的结构描绘成一个带标签的图，该图将与与明显不同的信息相关联的图具有双相似性。

ψ=⟨⟨ 真,信息:⟨⟨ 真,信息:ψ,0⟩⟩,0⟩⟩.

双模拟的概念在计算机科学中独立出现，因此它也在与信息作为代码方法相关的事务中发挥作用，其重点是表示和计算。特别是，已经应用了几个版本的双模拟来确定两个自动机在行为上是否等价，以及数据编码，例如

L=⟨0,L⟩ 和 L=⟨0,⟨0,L⟩⟩，

这两个表示相同对象（无限零列表）的表达式可以通过注意到描述这两个表达式结构的图形是双模拟的来进行识别。有关双模拟和循环性、与模态逻辑、数据结构和余代数的关联的更多信息，请参阅 Aczel（1988）、Barwise 和 Moss（1996）以及 Moss（2009）。

但是关于信息等价性和适当的粒度水平还有更多要说的。再强调一下，关于信息的各种立场（偏见、关于性、编码、范围、动态、代理）提出了许多挑战。举个例子：在标准意义上，“3 是质数”和“三角形的角的和是 180 度”在逻辑上是等价的，因为它们都是数学真理。但是在一般情况下，它们不应该总是被认为是信息等价的。首先，它们涉及不同的主题。其次，一个代理可能知道 3 是质数，但可能不知道 180 是三角形的角的和，因为它只对三角形有部分知识。第三，即使代理有足够的当前知识最终推断出三角形的角的和是 180 度，这个推断对于该代理来说可能很困难，所以被告知角的和是 180 度的信息在某种程度上是有意义的，而被告知 3 是质数的信息则不是。

信息，就像内容、意义、知识、信念和许多代理态度（看到、怀疑……）一样，展示了超内涵的特性。有一条积极的研究线索研究了形式系统如何捕捉这些现象（参见超内涵性条目）。在这里，我们只是注意到与本条目最相关的超内涵性的形式方法遵循了其中一些策略：

通过允许不可能的世界并添加主题概念来扩展可能世界语义。给定一个公式，人们不仅考虑其真值条件（使其成立的词语范围），而是考虑一对 <主题，公式>，因此具有相同真值条件的公式可以通过与不同主题相关联来区分。参见 Yablo（2014）、Jago（2015）、Berto 和 Jago（2019）。
基于可以部分和/或与其验证的信息不一致的状态（而不是世界）来定义模型。这些模型在状态之间给出了“部分性”的关系，并在状态上进行了二元融合操作。一个公式的真值条件是使公式为真和假的状态子集的一对 ⟨ 真值生成者，假值生成者 ⟩。还有一种形式化的方法来定义公式的主题。与之前一样，主题提供了一种区分具有相同真值条件的公式的方法。状态的部分性和真值条件的定义允许另一种区分的方式，因为两个公式可能具有相同的验证者集合，但具有不同的假值生成者集合。这种方法在精神上接近于情境理论传统。参见 Fine（2017）和 Fine 和 Jago（2020）。
利用相关逻辑学来利用其语义的特殊性（参见 Mares 2004）。

从形式的角度来看，方法（1）、（2）、（3）分别更接近于信息作为范围、信息作为相关性和信息作为代码立场中使用的形式系统。大部分工作都是关于超内涵性的，而不是特定于信息的。然而，可以参考 Berto 和 Hawke（2021）中关于相对于信息的可知性运算符的语义学，其中 Kϕψ 的构造被理解为 ψ 基于信息 ψ 是可知的，以及 Berto 和 Jago（2019）中关于使用不可能性来处理信息性句子和推理等问题的讨论。在 4.2 节中，我们已经提到了 Mares（2004）和相关逻辑的信息解释。另一方面，Jago（2020）提出了一个适用于相关逻辑的真值生成语义学。还有一些关于超内涵性的更一般框架的提议，其中（1）和（2）可以看作是特例或应用（参见 Sedlar 2021 和 Leitbeg 2018），而 van Benthem（2019）则说明了真值生成语义学如何被翻译成模态信息逻辑。van Benthem（2019）所阐述的更一般的观点是，粗略地说，有两种自然且互补的逻辑系统风格可以用来分析一个新概念。一些系统更明确，它们通过为与所要分析的新概念直接相关的新词汇添加规则，而不改变先前存在的逻辑概念（例如，模态逻辑）。相反，处理新概念的一种更隐含的方式是使用非标准的推理系统，从而改变允许的推理模式，而不是添加新的词汇。使用其中一种风格，以及它们之间是否存在翻译，可能有助于阐明对所研究概念的哲学主张可以或不可以提出什么样的观点。在我们的背景下，一个相关问题的例子是超内涵性在经典模态信息逻辑的显式风格中能否被捕捉到的程度。

5.2 负信息

这篇文章主要关注正信息。从形式上讲，负信息只是围绕信息状态构建的任何逻辑的正片段的否定扩展。不同的否定类型将以不同的方式限制负信息的行为。非正式地说，负信息可以被视为以句子否定、过程排除（包括命题和子命题）等方式表达的内容。即使我们将自己限制在一个概念概念上，对于哪种形式结构最能捕捉到所讨论的概念，可能会有激烈的哲学辩论。在本节中，我们将运行几个关于负信息的形式分析，我们将研究一些关于不同形式结构适用于特定应用的哲学辩论，并研究情境理论意义上的信息流失效以及在特定情境中可能导致错误信息或缺乏信息的相关主题。

非建设性直觉主义否定，旨在解释观察过程中信息流中的负面信息。有关此观点的更多详细信息，请参阅补充文件中的子部分直觉主义逻辑和贝斯和克里普克模型：信息结构的抽象方法。

使用第 3.1 节中的框架，非建设性直觉主义否定以建设性蕴涵（21）的形式定义，该蕴涵与底部 0 结合，底部 0 在其框架条件中指定为无处成立：

对于没有 x∈F 的任何 x，(18)x⊩0。

因此，直觉否定定义如下：

(19)−A:=A→0

因此，−A 的框架条件如下：

(20)x⊩−A [A→0] 当且仅当对于所有的 y∈F，满足 x⊑y，如果 y⊩A，则 y⊩0

(20) 表明如果 x 携带着信息 −A，则不存在状态 y 是 x 的信息发展，其中 y 携带着信息 A。

通过 A→0 来定义 −A，在正信息和负信息之间产生了不对称性。在信息模型中，当且仅当 A 在任何满足 x⊑y 的 y∈F 上不成立时，−A 在 x∈F 上成立。而验证 A 在 x∈F 上只涉及到检查 x，验证 −A 在 x∈F 上则需要检查所有满足 x⊑y 的 y∈F。根据 Gurevich（1977）和 Wansing（1993）的观点，这种不对称性意味着直觉主义逻辑不能对负信息提供充分的处理，因为与验证 A 不同，没有办法“当场”验证 −A。Gurevich 和 Wansing 对这种不对称性的反对是对 Grzegorczyk（1964）的批评回应。关于支持 Grzegorczyk 正负信息不对称性的论证，请参见 Sequoiah-Grayson（2009）。允许“当场”验证的完全构造否定也被称为 Nelson 否定，因为它嵌入在 Nelson 的构造系统中（Nelson 1949, 1959）。关于这些构造系统的当代发展，请参见 Wansing（1993）的 2.4.1 节。

在静态逻辑学的背景下，否定至少用于排除真实性（如果不是用于表达明确的虚假性）。在动态设置中，否定将用于排除特定的过程。有关在范畴信息理论背景下将否定作为过程排除的发展性负面信息的详细信息，请参见 Sequoiah-Grayson（2013）。这个想法源于 Groenendijk 和 Stokhof（1991）的动态谓词逻辑，特别是他们通过否定作为测试失败来发展负面信息。有关将负面信息作为过程排除和测试失败概念之间的探索，请参见 Sequoiah-Grayson（2010）。

在任何将否定作为过程排除的逻辑中，如果所讨论的逻辑是可交换的，则过程排除将是非定向的。当我们去除交换的结构规则时，将会产生定向的过程排除。有关将定向的过程排除形式化为交换失败以及关于信息状态上的兼容性和不兼容性关系的对称性失败的关系的讨论，请参见 Sequoiah-Grayson（2011）。有关在范畴语法背景下负面信息的详细讨论，请参见 Buszkowski（1995）。

Wansing（2016）利用子结构逻辑的信息解释来对上述负面信息问题进行了彻底调查。Wansing 的结论是，正面信息和负面信息之间的对称性在所有现有的相反论证中仍然存在。在撰写本文时，这场辩论仍然活跃进行中。

6. 结论

逻辑学和信息之间存在着双向关系。一方面，信息是标准逻辑概念（如推理，可以被视为将隐含信息转化为显式信息的过程）和计算的直观理解的基础。另一方面，逻辑学为信息本身的研究提供了一个形式框架。

对信息的逻辑研究侧重于信息的一些最基本的定性方面。对信息的不同立场自然会更突出其中的某些方面。因此，将信息视为范围的立场最自然地突出了代理和信息在可以相互交互的多个代理设置中的动态性。信息的关联性（信息总是关于某事物的）是信息作为相关性的立场的一个核心主题。编码信息及其处理（如形式推理的情况）是信息作为代码的立场的核心。这些信息的定性方面都不仅仅属于其中一个立场，即使有些立场更加强调某些主题。一些主题，如信息的结构及其与信息内容的关系，无论立场如何都是相关的。本条目中研究信息的方式与其他重要的形式框架在定量上研究信息的方式不同。例如，香农的统计信息理论关注的是诸如优化通过噪声信道传输的数据量，而科尔莫哥洛夫的复杂性理论将字符串的信息复杂性量化为在固定的通用图灵机上执行时输出它的最短程序的长度。

信息的逻辑分析包括对已知逻辑系统（如认知逻辑或相关逻辑）进行有益的重新解释，以及由于试图捕捉信息的进一步方面而产生的新系统。对于信息分析的其他逻辑方法还包括将两种不同立场的方面结合起来，如第 4 节的约束系统。还有一些新的框架（80 年代的情境理论）是通过从零开始探索应该允许哪些推理（包括新颖和非经典的推理）来模拟某些信息方面而产生的。

寻找三种立场之间的接口仍然是一个新兴的研究方向，在第 4 节中进行了讨论。一个补充问题是这些立场是否可以统一。有几个形式化框架，除了作为潜在的统一问题探索的设置之外，它们本身就是信息的抽象数学理论。每个框架都远远超出了本条目的范围：

领域理论（Abramsky 和 Jung 1994）：它被用来研究信息状态的部分排序，这些排序在不同立场之间自然产生，以及信息状态的展开或“改进”过程。
无点拓扑学：它与计算机科学有着深刻的联系，实际上可以被激发为信息的逻辑学（Vickers 1996）。
Chu 空间（Pratt 1995）：在范畴论中，它们被提出作为拓扑学的推广。与本条目讨论的事物的直接联系是，情境理论中使用的分类仅仅是 Chu 空间，它们是独立发现并具有不同目的。
余代数：范畴论的另一个分支，也被称为“集合和观察的数学”（Jacobs 2012，其他互联网资源）。这个框架与本条目中讨论的许多概念有着紧密的联系，特别是模态逻辑（第 1 节）和双模拟（第 5.1 节）。
概率论：它显然是信息的抽象定量方法的核心。导致语义信息度量的逆关系原则的各种版本（参见第 1.3 节和 Floridi 2013）源自 Shannon（1953 [1950]）使用的版本：在通过嘈杂信道进行通信的情况下，接收到的消息越不被预期，信息越丰富。

信息的逻辑学研究在精神上类似于其他更传统的努力，如真理概念或计算的逻辑学研究：在所有这些情况下，逻辑研究的对象在直观理解逻辑本身中起着核心作用。本条目中介绍的关于定性信息的三个视角（范围、相关性和编码）描绘了该领域中现有技术的多样性，其中有许多研究方向是开放的，既可以作为寻找统一或接口设置的方式，也可以加深对每个立场中信息的主要定性特征（动态性、关联性、编码、交互等）的理解。

有兴趣的读者可以在附加文档中深入研究这些主题。

信息结构的抽象方法

包括直觉逻辑、贝斯和克里普克模型，以及代数和其他模态信息理论及相关领域的方法。

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Academic Tools

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Acknowledgments

The authors would like to extend their thanks to the Editors of the Stanford Encyclopaedia of Philosophy, as well as to Johan van Benthem, Olivier Roy, and Eric Pacuit. Their assistance and advice has been invaluable.

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