道义逻辑 deontic (Paul McNamara and Frederik Van De Putte)
首次发表于 2006 年 2 月 7 日；实质性修订于 2021 年 3 月 11 日。
道义逻辑[1]是逻辑学的一个分支，它最关注以下概念对于从什么推出什么（或者更一般地说，对于什么支持什么）的贡献：
允许的
不允许的（禁止的，被禁止的）
道义（义务，必须的）
非道义（非必须的）
可选的
非可选的
必须
应该
超额履行（超出要求）
漠不关心 / 重要的
最低限度的努力
优于 / 最好的 / 好 / 差
主张 / 自由 / 权力 / 免责
责任
责备/赞扬
代理/行动
考虑
你有义务在中午前归还你朋友的车，而你至少应该按时归还，并且电池电量应与你借车时相同，但是再买一顿晚餐已经超出了要求之外。
似乎有几个事情可以推导出来：不在中午前归还你朋友的车是不允许的；归还你朋友的车是义务的；归还时电池电量是可选的；而做到最少的事情排除了买晚餐。对于道义逻辑来说，目标是发展对上述关键概念的逻辑贡献的解释。
作为逻辑学的一个分支，道义逻辑出于一些与模态逻辑（必然性和可能性的逻辑）相同的理论兴趣。此外，虽然我们需要谨慎地将道义逻辑与实用性联系起来，但上述许多概念通常被用于试图调节和协调我们的生活。因此，道义逻辑经常直接涉及具有相当实际意义的主题，如道德、法律、社会和商业组织（它们的规范以及规范性构成）以及安全系统。在这种程度上，研究具有如此实际意义的概念的逻辑为道义逻辑本身增加了实际意义。然而，在本文中，我们将重点关注道义逻辑本身，而不是其应用和实际相关性。
在本条目的第 1 节中，我们注意到我们上面的初始列表中的前六个概念之间的某些简单形式关系，遵循比较（和对比）基本道义概念（例如，义务、许可）与模态概念（例如，必然性和可能性）的许多世纪的传统。在第 2 节中，我们转向一个基准的符号道义逻辑系统，这个系统很快成为一个参考点。在第 3 节中，我们研究了一个密切相关的方法，通过将道义概念“简化”为纯粹的模态概念和所谓的“道义常数”来重新构建它们。从某种意义上说，第 2 节和第 3 节讨论的方法可以说是站在模态逻辑的阴影下。在第 4 节中，我们转向道义逻辑中出现的试图应对条件化道义主张的发展，而在这里，道义逻辑更加充分地展现出自己的特点。在第 5 节和第 6 节中，我们转向在第 1-4 节中引入的基准系统中的各种被认为是不足的地方。第 5 节主要关注于论证和指定基准系统中有限表达资源的扩展。最后，第 6 节不是扩展基准方法，而是提出了它们所声称代表的思想建模中的根本缺陷，从而试图解构一些系统的原则和/或构建新的系统来代替它们。
1. 非正式的前提和背景
道义逻辑经常受到对模态概念逻辑（如必然性）的思考的影响。特别是，在欧洲的十四世纪之前，人们就已经注意到了真理涉及的模态概念和道义概念之间的类比。可以说，形式（尽管不是符号化的）道义逻辑的最初欧洲动荡在那里开始。在伊斯兰思想中，这样的类比至少可以追溯到十世纪。
尽管对道义逻辑的形式方面的兴趣一直存在，但使用数学的符号化和精确技术研究逻辑的趋势主要始于十九世纪，并在二十世纪占主导地位。二十世纪符号化模态逻辑的研究为冯·赖特（1951a，1951b）提供了明确的动力，他是二十世纪道义逻辑作为符号逻辑的一个完全成熟的分支出现的早期中心人物。然而，我们注意到，在冯·赖特的 1951a 之前，符号化道义逻辑中已经有一个重要的早期事件，即马利 1926 年。请参阅附录 A：马利和符号化道义逻辑。[6]
在本节的其余部分，我们首先详述了一些关于真理涉及的模态概念的民间逻辑特征，然后给出了早期发展道义逻辑探索道义类比的直观感受。
1.1 逻辑学的一些非正式基础
逻辑学是关于必然真理和相关概念的逻辑学。考虑六个基本的逻辑学概念，它们被表达为句子运算符——当应用于一个句子时，会产生一个句子（就像“不是这样的情况”一样）：
必然（必然真实）的情况下，
可能是这样的
不可能是这样的
非必要是这样的
这是偶然的
这是非偶然的[ 7]
尽管上述所有运算符通常被认为可以用前四个中的任何一个来定义，但必要性运算符通常被视为原始的，通常用符号“□”表示，其余的则相应地进行定义。其中，“¬”、“&”和“∨”表示经典的否定、合取和析取，定义如下：
可能是 p (◊p) def=¬□¬p
不可能是 p def=□¬p
p 是非必要的 def=¬□p
p 是偶然的 def=¬□p&¬□¬p
p 是非偶然的 def=□p∨□¬p
人们通常也认为命题可以按照以下三个部分进行划分：
图 1
这三个矩形单元格旨在共同穷尽且互斥：每个命题要么是必然的，要么是偶然的（可能为真，但也可能为假），要么是不可能的，但没有命题同时具备这三种属性。可能的命题是那些既是必然的又是偶然的，非必然的命题是那些既是不可能的又是偶然的，非偶然的命题是那些既是必然的又是不可能的。
第三，追溯至至少 12 世纪和 13 世纪（Knuuttila 2008），经常提到以下对立的模态方块：[8]
图 2 [图 2 的详细描述]
此外，通常认为以下内容成立：
如果 □p，则 p（如果 p 是必然的，则 p 为真）。
如果 p，则 ◊p（如果 p 为真，则可能）。
这些表明这里的必要性观念是真理涉及的。上述许多观念在中世纪时期已经被注意到。（例如，参见有关中世纪的模态理论的条目。）
1.2 传统方案和模态类比
现在我们转向一些类比，这是相应的道义民间逻辑的一部分，遵循 McNamara 1996a,b 的阐述。这是对 von Wright 1951b 和 Prior 1955 [1962]中明确提到的元素的次要阐述。然而，其中很大一部分源于中世纪伊斯兰思想和晚期中世纪欧洲思想，这些思想中正在探索道义模态和真理模态之间的可能类比，并提出了形式化的道义方案。[9]
以命题运算符表示，我们将称之为“传统方案”的六种规范地位是：
必须是 (OB)
允许是 (PE)
这是不允许的 (IM)
这是可忽略的 (OM)
这是可选的 (OP)
这是非选择性的，即(NO)。[ 10]
前三个经常被引用，第四个经常没有标记，第五个经常被错误地标记为“这是无关紧要的”，因此第六个也是如此。通常，前两个中的一个被视为原始的，其他的则以它为基础进行定义，但前四个中的任何一个都可以扮演相同的定义角色。最常见的方法是将 OB 视为原始的，并按以下方式定义其余部分：[ 11]
PEpdef=¬OB¬pIMpdef=OB¬pOMpdef=¬OBpOPpdef=(¬OBp&¬OB¬p).NOpdef=(OBp∨OB¬p).
这些定义意味着当且仅当其否定不是义务时，某事是可允许的；当其否定是义务时，某事是不可允许的；当某事不是义务时，某事是可省略的；当既不是某事也不是其否定是义务时，某事是可选的；当某事是义务或不可允许时，某事是非可选的。将此称为“传统定义方案（TDS）”。这个方案或其变体可以追溯到欧克姆时代的欧洲思想，而且在现代时期的莱布尼兹中明确提出。[12]如果只从 OB 开始，并考虑上述右侧的公式，人们很容易将它们视为左侧公式的至少候选定义条件。虽然有争议，但它们是自然的，而且这个方案已经被广泛采用。现在，如果读者回顾我们在定义剩下的五个真理模态运算符时对必然性运算符的使用，就会清楚地看到它们与上述五个道义定义是完全类似的。从形式上看，一个只是另一个的语法变体：只需用 □ 替换 OB，用 ◊ 替换 PE，等等。
除了 TDS 之外，传统上还假设以下三重分类（TTC）成立：
图 3
正如在模态案例中一样，思想是所有命题被划分为三个互相排斥且互相穷尽的类别：每个命题都是义务的、不可允许的或者既不是（即可选的），没有命题属于这三个类别之外的多个类别。此外，可允许的命题是那些既是义务的又是可选的，可省略的命题是那些既是不可允许的又是可选的，而非可选的命题是那些既是义务的又是不可允许的。这种分类也有几个世纪的历史根源。[13]读者可以很容易地确认，这种自然方案也与我们上面给出的必要、有条件和不可能命题的三重分类完全类似。
此外，正如早先所指出的，“道义方块”（DS）在历史文献中也经常被引用：
图 4 [图 4 的详细描述]
角落处逻辑运算符之间的关系应该被解释为模态对立方中的关系。这两个方块是完全类似的。如果我们加入可选性和非可选性的节点，我们就得到了一个道义六边形：[14]
图 5 [图 5 的扩展描述。]
鉴于这些类比，我们的原始运算符被解读为“必须如此”，被称为“道义必然性”，这并不令人意外。然而，与真理必然性相比，也存在明显的不类比之处。之前，我们引用了两个真理必然性原则，其道义类比显然是错误的：
如果 OBp，则 p（如果 p 是义务的话，则 p 是真的）。
如果 p，则 PEp（如果 p 是真的，则它是可允许的）。
义务可以被违反，不允许的事情确实发生。[15]然而，随着研究人员转向真理蕴涵的普遍化模态逻辑，他们开始考虑更广泛的模态逻辑类别，包括那些必要性运算符不是真理蕴涵的。这也鼓励将道义逻辑视为在如此广义的模态逻辑之内。事实上，认识到这样的可能性有助于推动从最初关注真理蕴涵的模态逻辑到正常模态逻辑的泛化（Lemmon＆Scott 1977）。
我们将在下一节以更精确和统一的方式重新审视传统方案。从某种意义上说，它是最著名的道义逻辑的一个早期非正式且广泛认可的片段，这种逻辑使其与真理模态逻辑的联系更加紧密。现在我们转向那种逻辑。
2. 标准道义逻辑
2.1 SDL 语法
标准道义逻辑（SDL）是最常引用和研究的道义逻辑系统之一，也是最早公理化规定的道义逻辑之一。SDL 包括经典命题逻辑，并且本质上是命题模态逻辑中最研究的一类逻辑，即“正常模态逻辑”。SDL 是一种“单一的”道义逻辑，因为它的原始道义运算符是一个一元运算符（类似于 ¬，与&不同）：它应用于一个单一的句子以生成一个复合句。[16]这个运算符 OB 在 SDL 中被视为原始的；如 1.2 节所述，其他运算符（如 PE 和 IM）可以根据传统定义方案从中定义出来。
再次假设我们有一个经典命题逻辑（PC）的语言，其中包含无限个命题变量，真值功能运算符 ¬ 和→（以及可能还包括&、∨ 和 ↔ 中的任何一个），以及运算符 OB。然后，SDL 通常被公理化如下：[17]
| SDL: | 语言的所有重言式公式 | (TAUT) |
|---|---|---|
OB(p→q)→(OBp→OBq) | (OB-K) | |
OBp→¬OB¬p | (NC) | |
如果 ⊢p 和 ⊢p→q，则 ⊢q | (MP) | |
如果 ⊢p，则 ⊢OBp | (OB-NEC) |
逻辑学与假言演绎（MP）结合，给予我们完整的 PC 推理能力。OB-K 是所有正常模态逻辑共同的 K 公理，告诉我们如果一个物质条件是义务的，它的前提也是，那么它的结论也是。[18] NC 告诉我们，只有当 p 的否定不是义务时，p 才是义务的。规则 OB-NEC 告诉我们，如果某个命题是定理，那么宣称该命题是义务的也是定理。请注意，这保证了某些东西总是义务的（即使只是逻辑真理）。[19]
每个独特的道义原则 OB-K、NC 和 OB-NEC 都是有争议的，我们将在第 6 节中考虑对它们的批评。然而，为了避免对新接触道义逻辑的人造成立即的困惑，值得注意的是，OB-NEC 通常被认为是一种便利，它保证了 SDL 实际上是研究充分的正常模态逻辑之一。[20]很少有人为了实质上捍卫其合理性而流血，而且通常这些实际妥协是明智的，特别是在研究的早期阶段。
SDL 可以被看作是冯·赖特在 1951 年提出的原始建议的规范化版本，尽管在形式语言、有效性和解释方面存在一些重要的差异。冯·赖特的 1951a 系统和 SDL 的快速比较可以在补充 B 中找到。
在下面，我们列出了一些 SDL 的定理和两个重要的派生规则。[ 21]
| ¬OB⊥ | (OB-OD) |
|---|---|
OB(p&q)→(OBp&OBq) | (OB-M) |
OBp∨OPp∨IMp | (OB-Exhaustion) |
OB⊤ | (OB-N) |
如果 ⊢p→q，则 ⊢OBp→OBq | (OB-RM) |
如果 ⊢p↔q，则 ⊢OBp↔OBq | (OB-RE) |
我们将随后讨论几乎所有这些问题。现在，让我们指出一些推导。我们证明 OB-RM 是 SDL 的一个派生规则，并注意三个推论。[22]
展示：如果 ⊢p→q，则 ⊢OBp→OBq。（OB-RM）
证明：假设 ⊢p→q。然后根据 OB-NEC，⊢OB(p→q)，然后根据 OB-K，⊢OBp→OBq。
推论 1：⊢OBp→OB(p∨q)。（弱化）
推论 2：如果 ⊢p↔q，则 ⊢OBp↔OBq（OB-RE）
推论 3：⊢OB(p&q)→(OBp&OBq)。（OB-M）
SDL 的另一种表述可以在《SDL 的替代公理化》的补充 C 中找到。
通过添加额外的公理可以加强 SDL；特别是，我们可以考虑添加带有嵌套道义运算符的公理。例如，假设我们将以下公式作为 SDL 的公理添加进去：
(OB-U)OB(OBp→p)
在本节中，我们将这个结果系统称为“SDL+”以便于参考。这大致表示必须履行义务。这不是 SDL 的定理（正如我们将在第 2.3 节中看到的那样），因此 SDL+是对 SDL 的真正加强。此外，它使得一个逻辑上的偶然命题（即 OBp→p）成为道义逻辑的义务。SDL 没有这个特点。通过将这个补充添加到 SDL 中，很容易证明 OBOBp→OBp，这是一个涉及我们主要运算符的迭代出现的公式。[23] 这个公式断言，如果 p 是必须的，那么 p 是必须的。（参见“唯一需要是那些实际上是需要的事物”）。[24] 值得注意的是，这些通常被赋予无人称的应该阅读，因此 OB-U 将被解读为“应该是这样的情况，如果应该是这样的情况，那么它就是这样的情况）”。[25]
2.2 传统方案再审视
在第 1.2 节中确定传统定义方案（TDS）时，我们注意到广泛认可的观点是，我们可以从我们的前四个主要规范地位中选择另一个概念而不是义务，并将其余部分定义为该概念的术语。因此，我们应该能够从我们确定的方案中派生出相应的等价关系，其中 OB 被视为原始概念。例如，显然希望将 OBp↔¬PE¬p 作为传统方案的一部分，因为这表达了如果“PE”被视为原始概念，那么将成为定义和被定义的等价关系。然而，到目前为止，这个等价关系是不可导出的。因为 OBp↔¬PE¬p 在定义上等同于 OBp↔¬¬OB¬¬p，即 OBp↔OB¬¬p，但后者不是一个重言式，所以我们不能推导出 OBp↔¬PE¬p。因此，传统方案中预设了比上述更多的内容。一个自然的想法是需要添加一个推理规则，允许在“OB”的上下文中替换可证明等价的公式，即上述推论 2 中的 OB-RE。让我们将其默认为传统方案的一部分。
现在假设我们具有与 SDL 相同的语言，以及规定 OB 的规则 RE。我们在第 1.2 节中看到，除了 TDS 之外，传统的三重分类（TTC）和/或道义方块（DS）也经常在道义逻辑的符号化研究中明确认可。符号化表述如下：
DS(OBp↔¬OMp)&(IMp↔¬PEp)&¬(OBp&IMp)&¬(¬PEp&¬OMp)&(OBp→PEp)&(IMp→OMp).TTC(OBp∨OPp∨IMp)&¬(OBp&IMp)&¬(OBp&OPp)&¬(OPp&IMp).
鉴于 TDS 和 RE，事实证明 DS 和 TTC 在逻辑上等同于道义不可冲突的原则（因此也等同于彼此）：
NC:¬(OBp&OB¬p).
因为在原始符号中，DS 变为
(OBp↔¬¬OBp)&(OB¬p↔¬¬OB¬p)&¬(OBp&OB¬p)&¬(¬¬OB¬p&¬¬OBp)&(OBp→¬OB¬p)&(OB¬p→¬OBp),
虽然前两个连结式是重言式，但剩下的四个连结式与上述的 NC 在逻辑上等价。类似地，TTC 变为
(OBp∨(¬OBp&¬OB¬p)∨OB¬p)&[¬(OBp&OB¬p)&¬(OBp&(¬OBp&¬OB¬p))&¬((¬OBp&¬OB¬p)&OB¬p)],
虽然穷尽性条款是重言式的，就像排他性条款的最后两个合取式一样，该条款的第一个合取式只是再次是 NC。[ 26]
因此，传统方案完全依赖于 NC 的正确性，以及 OB-RE 和 TDS。实际上，传统方案可以被看作是 PC、OB-RE 和 NC 组成的道义逻辑的非正式对应物的广泛认可。由于该逻辑是 SDL 的（适当的）片段，因此传统方案（符号化）被 SDL 蕴含。[ 27]
2.3 SDL 语义学
熟悉基础教材逻辑的读者可能已经注意到，道义方块和模态方块在经典谓词逻辑中解释量词时都有更为著名的类似物：
图 6 [图 6 的扩展描述]
虽然在教科书中没有被广泛注意到，但对于任何条件 p，经典量词也存在着一个三重划分：
图 7 [图 7 的详细描述]
这些量词类比反映了对于这些逻辑学常常被称为“可能世界语义”的可能启发，现在我们转向这个问题[28]。一旦注意到这些类比，详细说明这种语义似乎是不可避免的[29]。
我们选择了一种标准的“克里普克式”可能世界语义来解释 SDL（Kripke 1959, 1963）[30]。我们假设我们有一组可能的世界 W，并且有一个关系 A，将世界与世界相关联，意图是 Aij 当且仅当 j 是一个在 i 的立场上可接受的世界，所以在 j 上可接受的一切都在 i 上是义务的。为了简洁起见，我们将所有与 i 相关的世界称为“i-可接受”的世界，并用 Ai 表示[31]。然后我们补充说，可接受性关系是“连续的”：对于每个世界 i，至少存在一个 i-可接受的世界。最后，命题在一个世界上要么为真，要么为假，从不同时为真，当一个命题 p 在一个世界上为真时，我们通常通过将该世界称为“p-世界”来表示这一点。真值功能运算符在每个世界上都有其通常的行为。
这里的基本思想是，从世界 i 的立场来评估命题的规范地位可以通过观察该命题在 i-可接受的世界中的表现来进行。对于任何给定的世界 i，我们可以将 i-可访问的世界想象成在逻辑空间中聚集在一起，其中连续性通过一个小点表示至少存在一个 i-可接受的世界。相对于 i，我们五个道义运算符的预期真值条件现在可以如下图所示：
图 8 [图 8 的扩展描述]
因此，当 p 在所有可接受的世界中成立时，p 是义务的；当 p 在某些这样的世界中成立时，p 是可允许的；当 p 在没有这样的世界中成立时，p 是不允许的；当 p 的否定在某些这样的世界中成立时，p 是可省略的；当 p 在某些这样的世界中成立时，且 ¬p 也是如此时，p 是可选的；当 p 在所有这样的世界中成立或者在没有这样的世界中成立时，p 是非可选的。如果一个公式在任何这样的串联世界模型中的每个世界都为真，则该公式是有效的。[32]
为了说明这个框架的工作原理，考虑 NC，OBp→¬OB¬p。由于串联性，这在这个框架中是有效的。假设在任何模型中，OBp 在任何世界 i 中成立。那么每个 i 可访问的世界都是 p 成立的世界，并且由于可访问性的串联性，必须至少有一个这样的世界。称之为 j。现在我们可以看到 ¬OB¬p 也必须在 i 中成立，否则，OB¬p 将在 i 中成立，在这种情况下，¬p 必须在所有 i 可访问的世界中成立，包括 j。但是，p 以及 ¬p 将同时在 j 本身成立，这是不可能的（根据“¬”的语义）。SDL 的其他公理和规则以及在 SDL 中可导出的所有原则也可以类似地证明是有效的。
相比之下，我们为了得到 SDL+而将 OB-U，即 OB(OBp→p)公理添加到 SDL 中，这在串联模型类中是无效的。为了验证 OB-U，我们需要“次级串联性”的进一步要求：任何可接受的世界 j 必须反过来也是可接受的。我们可以通过以下方式说明这样的 i 和 j：
图 9
在这里，我们假设箭头连接器表示相对可接受性，因此在这里，只有 j 对 i 是可接受的，只有 j 对 j 是可接受的。如果所有对于任何给定的世界都可接受的世界具有这种自我接受性的属性，那么我们的公理是有效的。假设这个属性在我们的模型中始终成立，并且为了反证法，假设在某个任意的世界 i 上，OB(OBp→p)在 i 处为假。那么并非所有 i 可接受的世界都是 OBp→p 为真的世界。因此，必须存在一个 i 可接受的世界，假设为 j，在那里 OBp 为真，但 p 为假。由于在 j 处 OBp 为真，那么在所有 j 可接受的世界中 p 必须为真。但根据规定，j 对自身是可接受的，所以 p 必须在 j 处为真，但这与我们假设的 p 在 j 处为假相矛盾。因此，毕竟 OB(OBp→p)必须在所有世界上为真。关于 OB-U 不可在 SDL 中推导出来，以及 SDL +OBOBp→OBp 不蕴含 OB-U 的两个反例模型可以在附录 D 中找到：关于对 SDL 的补充的两个反例模型。
我们还应该注意到，SDL 的一个替代语义图像是，我们有一组相对于世界 W 中的每个世界 i 的世界相对排序关系，其中 j≥ik 当且仅当 j 和 k 相对于 i 一样好（甚至更好）。然后我们可以假设从任何世界 i 的观点来看，a）每个世界都和自己一样好，b）如果一个世界和第二个世界一样好，第二个世界和第三个世界一样好，那么第一个世界和第三个世界一样好，c）对于任意两个世界，要么第一个世界和第二个世界一样好，要么反之亦然（即，每个 ≥i 都是自反的、传递的，并且在 W 中是连通的）。事实上，这种方法也确定了 SDL。（参见 Goble 2003 年对此主张的少数证明之一。）如果我们再加上“极限假设”，即对于每个世界 i，总是至少有一个世界比所有世界都好（即，一个 i-最好的世界），我们可以很容易地推导出我们之前对 SDL 的语义。我们只需要在这里为 OB 的先前真值条件中添加自然的类比：在世界 i 上，OBp 为真当且仅当 p 在所有 i-最好的世界上为真：
图 10 [图 10 的扩展描述。]
从本质上讲，排序关系与极限假设结合起来，只是给了我们一种生成可接受世界集合的方法，而不是将它们作为语义中的原始元素：j 是 i 可接受的，当且仅当 j 是 i 最佳的。一旦生成了这些世界，我们只关注在 i 可接受（作为 i 最佳）的世界中发生的情况，以解释道义运算符的真值条件，就像我们更简单的克里普克式语义一样。我们先前的 i 可接受性关系的连续性的类比也由极限假设保证，因为它蕴含了对于每个世界 i，总是存在一些 i 最佳（因此 i 可接受的）世界。尽管这种排序语义方法在这里似乎有点过度，但正如我们将在第 4 节和第 5 节中看到的那样，它在后来发展更具表达力的道义逻辑的努力中变得非常重要。现在，我们转向单调道义逻辑中第二最为著名的方法，即 SDL 的派生方法。
3. 安德森-康格-莱布尼兹约简
安德森-康格约简之所以得名，是因为康格和安德森在大约同一时间独立提出了这个约简方法[33]。正如 Hilpinen 2001a 所指出的，这种方法在莱布尼兹早期就有了预示。我们在这里遵循康格的发展，同时注意到安德森的贡献出现在最后。
3.1 语法
假设我们有一个经典模态命题逻辑的语言，其中有一个特殊的（道义）命题常量：
“d” 表示“所有（相关的）规范要求都得到满足”。
现在考虑以下公理系统，“Kd”：
| K_d_: | 所有重言式 | (TAUT) |
|---|---|---|
□(p→q)→(□p→□q) | (K) | |
◊d | (◊d) | |
如果 ⊢p 且 ⊢p→q，则 ⊢q | (MP) | |
如果 ⊢p，则 ⊢□p | (NEC) |
Kd 只是在正常的模态逻辑 K 的基础上添加了 ◊d。[34] ◊d 的解释是告诉我们所有道义要求都得到满足是可能的。当添加到 K 系统中时，它类似于（尽管更强于）SDL 的“无冲突”公理。一旦我们为 OB 提供了“还原子句”，所有传统方案的道义运算符都可以很容易地导出定义。
OBpdef=□(d→p)
因此，在 Kd 中，如果 p 是由满足所有道义要求所必需的，那么 p 是义务的；如果 p 与满足所有道义要求相容，那么 p 是可允许的；如果 p 与所有道义要求不相容，那么 p 是不可允许的，等等。由于传统方案的运算符都不是原始的，并且基本逻辑是一个具有必然性和可能性作为原始模态运算符的模态逻辑，这被称为“道义逻辑到模态逻辑的还原”。
然后，SDL-ish 公式的证明只是涉及“d”的相应模态公式的 K-证明。众所周知，SDL 的所有定理都可以在 Kd 中推导出来，反之亦然，如果 SDL 语言中的某个公式不是 SDL 的定理，那么它的翻译按照康格尔还原也不是 Kd 的定理。除了包含 SDL 的所有定理外，我们还注意到一些定理是特定于 Kd 的，因为它们具有不重叠的句法成分 d、□ 和 ◊。
| ⊢OBd | (OBd) |
|---|---|
⊢□(p→q)→(OBp→OBq) | (RM’) |
⊢□p→OBp | (Nec’) |
⊢OBp→◊p | (“康德定律”)[ 37] |
⊢¬◊(OBp&OB¬p) | (NC’) |
这些很容易推导出来。[ 38]
虽然我们的基本模态系统只是 K，但是添加进一步的非道义公理模式（即不能通过 SDL 公式简写，也不涉及特定的 d）仍然可能产生道义影响。为了说明这一点，假设我们添加了第四个公理，即必然性是真实暗示的公理，通常称为公理“T”：
(T)□p→p
将将此公式添加到我们当前系统中所得到的系统称为“KTd”。添加 T 使得我们之前提到的 SDL+公理 OB-U 可推导出来，而我们已经证明在 SDL 本身中无法推导出来：[39]
⊢OB(OBp→p)
因此，思考一下 SDL+在 KTd 中是可推导的这一事实，我们可以看出安德森-康格尔约简必须要依赖于一个非真实暗示的必要性概念，以使其纯道义片段与 SDL 相匹配，或者 SDL 本身不容易受到安德森-康格尔约简的影响。换句话说，安德森-康格尔约简的最合理版本不得不将“标准道义逻辑”视为过于薄弱。
安德森的方法在实际上等同于康格的方法。首先，考虑到我们可以轻松地在 Kd 中定义另一个常量，如下所示：
sdef=¬d。
其中这个新常量现在可以作为以下方式的派生阅读：
"某种（相关的）道义要求已被违反"。
显然，我们当前的公理，◊d，可以被替换为 ¬□s，它断言没有必要违反某种道义要求。然后我们可以定义 OB 为：
OBpdef=□(¬p→s)。
从本质上讲，安德森采取了这个等价的课程，其中“s”是他的原始（最初代表“已经引用了制裁”或“存在制裁的责任”之类的东西），而 ¬□s，则是添加到某个模态系统（例如，至少与模态系统 KT 一样强大）的公理。
我们还应该注意到，安德森作为相关逻辑的创始人而闻名，并且除了使用严格蕴涵，□（p→q），他还探索了使用相关（因此既不是物质的也不是严格的）蕴涵形式，⇒，来表达约化，即：OBpdef=¬p⇒s。[40]（关于这一点，可以在 Mally 的道义逻辑条目中找到更多相关信息。请参阅那里的进一步参考资料。）这种替代反映了在康格尔和安德森的严格必要性（或蕴涵）方法中存在一个问题，即在声称以某种方式满足所有规范要求（或避免制裁）必然导致 p 的概念是什么。
作为实质问题，我们应该如何看待这些“简化”？例如，我们应该将它们视为对某物必须性质的分析吗？首先考虑康德的方法，如果我们要获得“简化”道义运算符的派生道义解读，似乎必须将 d 解读为一个独特的道义成分。而且，正如我们的解读所暗示的，d 并不清楚是否至少在意义上表达了一个涉及义务（要求）概念本身的复杂量化观念，即所有义务都已履行，因此这种“简化”作为一种分析似乎是循环的。如果我们将 d 解读为“理想情况已实现”，那么对于实质性的简化或分析的要求似乎更有希望，直到我们问道：这些情况是否仅仅与满足规范性要求或义务有关，还是它们在其他（例如超额履行）方面也是理想的，超越了仅仅满足规范性要求的范畴？安德森的“受到制裁的责任”方法可能更有希望，因为如果（且仅当）违反规定导致（在某种意义上）受到（或者可能是应得的）惩罚，那么某物就是义务的概念似乎并不循环（除非“责任”的概念本身最终涉及惩罚的可容许性），但这是否合理呢？或者，也许一个仅仅是理想的规范是不可违反的，这样一来，已经被违反的规范可以与未被遵守的规范（作为一个子集）区分开来，然后义务的概念作为某种必须实现的东西，除非违反某个规范，否则很明显不是循环的。这里存在一个实质性的哲学问题，而“简化”的语言自然地将其带到表面，但却被忽略了。 归约的形式效用并不依赖于此，但其哲学意义却依赖于此。
3.2 语义学
这里的语义元素在很大程度上类似于 SDL 的语义元素。我们再次有一个二元关系，但这次不是将关系解释为与给定世界相关的可接受世界的关系，而是将关系 R 解释为与给定世界“可访问”的世界的关系（例如，相对于给定世界的可能性）。唯一的新颖之处有两个：（1）我们添加了一个简单的语义元素以匹配我们的句法常量“d”，（2）我们添加了一个稍微复杂一些的类似于连续性的模拟，将可访问性关系与添加的语义元素连接起来以建模 d。
再次假设我们有一组可能的世界 W，并假设我们有一个关系 R，将世界与世界相关联，意图是如果 j 对于 i 是可访问的（例如，j 是一个世界，在该世界中，相对于 i，j 中的一切都是可能的[41]）。为简洁起见，我们将称所有相对于 i 是可能的世界为“i 可访问的世界”，并用 Ri 表示。目前，对关系 R 没有任何限制。我们可以用明显的缩写来说明必然性和可能性的真值条件，如下所示：
图 11 [图 11 的详细描述]
在这里，我们想象对于任何给定的世界 i，我们将所有 i 可访问的世界聚集在一起。然后，我们只需查看在这些 i 可访问的世界中 p（和/或 ¬p）的量化状态，以确定 p 在 i 处的模态状态。例如，在给定的世界 i，如果 p 在 Ri 中始终成立，则 p 是必然的；如果 p 在 Ri 中的某个地方成立，则 p 是可能的。
Kd 的语法中唯一的道义元素是我们的特殊常量 d，旨在表达所有道义要求都得到满足的事实。为了模拟这个特征，我们简单地假设世界被分为那些满足所有道义要求的世界和那些不满足的世界。我们在模型中用“DEM”来表示前一类世界的子集。然后，在一个世界 j 上，d 为真当且仅当 j 属于 DEM。下面是一个图示，其中 d 在一个任意的世界 j 上为真：
图 12 [图 12 的详细描述]
由于 j 包含在 DEM 中，这意味着在 j 上满足所有道义要求。[42]
对于 SDL 的简单连续性（即总是存在一个可接受的世界），我们假设 Kd 的“强连续性”：对于每个世界 i，存在一个 i 可访问的世界，其中满足所有规范要求。换句话说，对于每个世界 i，i 可访问的世界与 DEM 的交集非空。给定 d 的真值条件，强连续性验证 ◊d，确保对于任何世界 i，总是存在某个 i 可访问的世界使得 d 为真：
图 13 [图 13 的扩展描述]
鉴于这些语义要素，如果您将它们仔细应用于 Kd 的道义运算符的定义，您将看到在每种情况下，p 在 i 处的规范状态取决于 p 与 i 可访问的世界与满足所有规范要求的世界的交集之间的关系：
图 14 [图 14 的扩展描述]
如果该交叉点被 p-世界渗透，那么 p 是义务的；如果它包含一些 p-世界，那么 p 是允许的，等等。[43]
如果我们希望验证 T，□p→p（以及派生地，OB-U，(OB(OBp→p))），我们只需要规定可及关系 R 是自反的：即每个世界 i 都是 i-可及的（相对于自身可能的）：
图 15
因此，对于任何世界 i，如果 □p→p 为真，则在 i 处为真，因为如果在 i 处 □p 为真，则在每个 i 可达的世界中 p 为真，其中包括 i，因为 i 是自可达的。这将间接导致在所有这样的模型中 OB(OBp→p)也为真。
在介绍了道义逻辑的经典出发点之后，我们现在转向一些问题、悖论和相关逻辑，这些内容是当今该领域研究的重点。在这里，我们的目标主要是勾勒出道义逻辑中的各种核心主题；由于篇幅的限制，我们无法详细介绍理论或逻辑。
4. 条件义务和奇索姆的难题
4.1 奇索姆的难题和 SDL
考虑以下四个前提（奇索姆 1963a）及其在 SDL 中最直接的符号化:
(1)
应该是琼斯去帮助他的邻居。
(1′)
OBg.
(2)
应该是这样的，如果琼斯走了，那么他告诉他们他要来。
(2′)
OB(g→t)。
(3)
如果琼斯不去，那么他不应该告诉他们他要来。
(3′)
¬g→OB¬t.
(4)
Jones 不去。
(4′)
¬g。
(1)–(4) 显然描述了一种可能的情况。它们似乎构成了一组既相互一致又逻辑独立的句子。注意，(1) 是一项主要义务，无条件地告诉琼斯应该做什么。(2) 是一项与义务相容的义务，告诉我们琼斯在满足他的主要义务的条件下还应该做什么。相比之下，(3) 是一项违背义务的义务或“命令”（一种“CTD”），表达了琼斯在违反他的主要义务的条件下应该做什么。(4) 是一个事实性陈述，与(1) 结合起来，意味着琼斯违反了他的主要义务。因此，这个难题不仅将道义条件构造置于中心舞台，还提出了一个具有挑战性的问题：在面对义务违反时，什么构成了关于如何行动的适当推理？
一个显而易见的答案是：只需将 SDL 应用于上述的 (1′)–(4′)。下表显示了在尝试解释 SDL 推理时的困难：
First Path | Second Path | Third Path |
(1′) OBg | (1′) OBg | (1′) OBg |
(2′) OB(g→t) | (2′) OB(g→t) | (2″) g→OBt |
(3′) ¬g→OB¬t | (3″) OB(¬g→¬t) | (3′) ¬g→OB¬t |
(4′) ¬g | (4′) ¬g | (4′) ¬g |
从(1′)，(2′)，OBt。 从(3′)，(4′)，OB¬t。 通过 NC，一致性丧失。 | (1′) 意味着 (3″)。独立性丧失。 | (4′) 意味着 (2″)。独立性丧失。 |
正如奇斯霍姆所指出的，第一条路径通过 OB-K、MP 和 NC 导致矛盾。第二条和第三条路径采用不同的路线，统一解释 (2) 和 (3) 中的条件。然而，对于第二条路径，(3) 的符号化是从 (1) 的符号化中得出的，而对于第三条路径，(2) 的符号化是从 (4) 的符号化中得出的。原始的每个 SDL 符号化都违反了我们的期望之一：要么相互一致，要么联合独立。
4.2 两种分离和两种丰富 SDL 的方式
如果冯·赖特将道义逻辑作为一个学术研究领域推出，奇索姆的悖论和类似情况则成为了道义逻辑摆脱被常规模态逻辑包容的逃逸速度所需的助推器，从而巩固了道义逻辑作为一个独立的逻辑分支的地位。[44]现在几乎普遍认可奇索姆是正确的：在 SDL 中无法忠实地表示(3)中表达的条件道义主张，也无法通过某种一元道义运算符和物质条件的组合来更一般地表示。然而，关于应该在 SDL 中添加什么来表示条件义务的问题存在分歧。这种分歧反过来与道义推理中的两种分离类型有关。[45]
让“OB(q∣p)”作为一种条件义务或应该陈述的简写，就像上面自然语言句子(3)中的那样。因此，我们将 OB(q∣p)解释为“如果 p，那么应该是（或者是义务）q”。假设我们还假设一元义务是伪装的二元义务，根据以下分析：
OBpdef=OB(p∣⊤).
这种分析已被广泛采用。[ 46]
考虑到这一点，我们区分了两种相关的“分离原则”（格林斯潘 1975），我们可以将这些不确定的“应该”归因于这些原则。
事实推断（FD）：p&OB(q∣p)⊢OBq
道义推断（DD）：OBp&OB(q∣p)⊢OBq.[ 47]
事实推断告诉我们，从 p 以及一个如果 p 则应该是 q 的道义条件中，我们可以得出应该是 q 的结论。相比之下，道义推断告诉我们，从应该是 p 以及如果 p，则应该是 q 的条件中，我们可以得出应该是 q 的结论。如果我们将道义条件解释为具有义务结果的物质条件（如上面的（3'）），则支持 FD，但不支持 DD。相反，如果我们将道义条件解释为义务性物质条件（如上面的（2'）），则支持 DD，但不支持 FD。尽管我们之前已经表明这两种解释都是不可接受的，但这种对比揭示了一个普遍问题。对于这两种推断类型的无限制认可是站不住脚的，因为它令人难以置信地得出 Jones 既有义务告诉（他要来的邻居），又有义务不告诉的结论。因此，研究人员倾向于在这两个原则中选择支持哪一个（Loewer and Belzer 1983）。
事实性分离派通常支持在奇索姆四重奏中的条件句（3）需要被解释为非物质条件句，但除此之外，（3）中的情况与表面上一样：我们有一个条件义务，它是由非物质条件句和纯一元道义运算符在结果中简单组合而成的：
OB(q∣p)def=p⇒OBq，对于某些独立条件句。[48]
通常，条件运算符 ⇒ 是由斯塔尔纳克和刘易斯（Stalnaker 1968，Lewis 1973）所著名的那种类型。然后，一般认为道义推理是有缺陷的，因为像（2）中的条件义务只告诉我们在理想情况下应该做什么，但它们不一定为在实际世界中的行动提供“线索”[50]，在那里，事物通常是相当次理想的，正如（4）与（1）所示。因此，从琼斯应该去和他应该告诉如果他去了这个事实，不能得出他实际上应该做的是告诉——只有在他去帮助他们的情况下才是如此。最多，我们只能说他理想上应该去。
这个建议似乎更加困难，当我们将条件改为“如果道杀死他的母亲，那么道必须温柔地杀死她”（Forrester 1984）。我的义务不温柔地杀死我的母亲（比如为了继承）仅仅表达了一种“理想”的义务，而不是实际的义务，这个观点似乎难以接受，因为我将会杀死她。因此，对于那些支持事实分离方法来产生实际义务的人来说，这个案例使问题变得更加困难。同样地，如果我杀害我的母亲是不允许的，那么我温柔地杀害她也是不允许的，或者在跳舞的时候杀害她也是不允许的。因此，纯粹的事实分离似乎允许我将来会采取一种极其错误且完全可以避免的行动（杀害我的母亲），从而使另一种将来的行动（温柔地杀害我的母亲，虽然稍微不那么可怕）成为义务。如果前者是可以完全避免的，那么后者也必须是可以完全避免的，而且从直觉上看，我似乎同样有义务不去执行后者的行动。
道义分离派通过在语法上模拟条件概率的二元非复合义务运算符，代表了条件义务，这一观点源自 Danielsson 1968；B. Hansson 1969；von Wright 1956, 1964；Lewis 1973, 1974；和 Feldman 1986[52]。在这种观点中，道义条件句被视为习语：复合句的意义不是部分意义的直接函数。关于 Chisholm 例子的基本直觉是，即使我们可能违反某些义务，这并不能使我们摆脱由我们将违反的原始义务派生出的义务。如果我必须去帮助，我必须通知我的邻居我要来，那么如果我确实去帮助，那么我必须通知他们，而我将实际违反主要义务的事实并不会阻止派生义务，就像它不会阻止主要义务一样。
对于后一派来说，早期的语义图景之一是，形式为 OB(q∣p)的句子在世界 i 上为真，当且仅当 i 最好的 p 世界都是 q 世界。那么 OBq 为真当且仅当 OB(q∣⊤)为真，因此当且仅当所有无条件最好的世界都是 q 世界（B. Hansson 1969）。请注意，这将偏好基于语义排序与二元条件义务相结合[53]。这反映了一种普遍趋势。在这种情况下，事实推断是行不通的，因为即使我们的世界是一个“我不去帮助”的世界，而在“我不去帮助”的世界中最好的是“我不打电话”的世界，也不能推出所有无条件最好的世界都是“我不打电话”的世界。在这个例子中，这些作者会坚持认为，所有无条件最好的世界既是“我去”的世界，也是“我打电话”的世界，而我不会做我应该做的事实并不会改变这一点。
但是我们不得不问那些在道义分离阵营中的人：如果我们无法从它们的表面前提中分离出来，那么这些表面条件又有什么意义呢？这些条件与常规条件又有什么关系呢？这似乎是这个阵营面临的核心挑战。因此，他们经常支持一种受限制的事实分离形式，以下是一个代表性的例子：
受限事实分离：□p&OB(q∣p)→OBq。
这里的 □p 可能有不同的含义，例如 p 在物理上是不可改变的，或者在历史上是必然的。只有当 p 在某种意义上被确定为真时，我们才能从 OB(q∣p)推断出 OBq。这当然有所帮助，但它仍然让我们对为什么这个表面上的条件和道义运算符的组合实际上是某种原始习语感到困惑。
5. SDL 的其他丰富
尽管条件义务及其引发的难题需要对 SDL 进行扩展，但规范性话语中的其他问题和区分也促使进一步的、主要是正交的丰富。在本节中，我们指出其中的一些。
5.1. 超额履行和相关规范概念
即使在单一的道义概念中，即使我们仍然停留在考虑了一切的领域内，没有冲突的义务（参见第 6.3 节），与我们日常和更理论化的伦理论证相比，SDL 在表达上显示出各种不足之处。
5.1.1 可选性 vs. 冷漠
让我们从冷漠和可选性之间的区别开始[56]。一般来说，某种情况或行为的可选性并不意味着它在道义上是冷漠的。例如，你是否参加教职员会议可能是可选的，但这并不意味着你是否参加会议是冷漠的问题。然而，当道义逻辑学家和伦理学家为条件（¬OBp&¬OB¬p）给出一个运算符标签时，几乎总是“p 是冷漠的”，“INp”。从定理中似乎可以得出这样的结论
OBp∨(¬OBp&¬OB¬p)∨IM¬p,
那个
(¬OBp&¬IM¬p)→INp,
也就是说，既不是义务也不是禁止的一切都是无关紧要的事情。但是许多行为既不是义务也不是禁止，但它们几乎不是无关紧要的事情。这类行为中特别有趣的是那些被认为是超额履行的行为（例如，为一个昂贵或有风险的良好事业自愿服务，其他人同样有资格，没有人有义务）。SDL 可以表示选择性，但不能表示无关紧要，尽管后者自从其开始以来一直是一个被声称要表示的目标。
5.1.2 必须 vs. 应该
选择性和无关紧要之间的区别与“必须”（及其对偶“可以”）和“应该”之间的区别密切相关。考虑以下表述：
(1)
虽然你可以跳过会议，但你应该参加。
这似乎是一个非常明智的建议。(1)似乎暗示着你可以选择参加或选择不参加。后两个“可以”的用法表达了允许性。然而，在道义逻辑（和伦理学理论）中，通常将“应该”解读为道义必要性，然后将“允许性”作为其对偶。然而，如果我们按照上述方式符号化(1)，我们得到，
(1′)PE¬p&OBp
这只是伪装成 ¬OBp&OBp（根据 OB-RE 和传统定义方案）。因此（1'），根据 NC，会产生矛盾。另一种说法是，"can" 的可容许性似乎是 "must" 的对偶，而不是 "ought" 的对偶。这导致了一个困境：要么道义必要性代表 "ought"，在这种情况下，它的对偶不代表可容许性（SDL 中的任何其他构造也不代表），要么可容许性被表示，但 "ought" 是无法表达的，尽管普遍的假设是相反的。"ought" 是可容许性的对偶实际上是一个在伦理理论和道义逻辑中被大多数人忽视但普遍存在的双方共同的假设[58]。
5.1.3 最少可以做的
以下投诉展示了一个被广泛忽视的规范概念[59]。
(LYCD)
你本应该按时回家；你至少可以打个电话，但你连这都没做。
在道义逻辑学和伦理理论的文献中，(LYCD)的第二个从句“你至少可以做到的最少”往往被忽视。 (LYCD)似乎表达了有一些最小但可接受的替代方案的想法。在可允许的选项中，什么是最小可接受的这种概念在 SDL 中无法表达。
5.1.4 随附和可容忍的次优性
超越职责或超越职责是指在你做最少的事情时，可以合法地做更多的事情。[ 60] 它有一个镜像，即可容忍的次优性，或者是你可以但不应该做的事情。鉴于前面的讨论，这些显然无法在 SDL 中表示。
McNamara 1996c 和 Mares＆McNamara 1997 提供了一个语义和逻辑框架，用于区分“必须”和“应该”，漠视和可选性，以及通过否则未研究的习语明确表示“你可以做的最少的事情”并分析“超越职责”的一个中心意义。作为增加表达能力的一种衡量标准，SDL 的三重规范立场被扩展为十二重规范立场；通过扩展以适应值得称赞和值得责备（McNamara 2011a，b），结果得到八十四重规范立场。有关这一研究领域的详细介绍，请参见即将出版的 McNamara。
5.2 道义逻辑与行动
我们经常谈论应该是什么以及人们应该做什么。这些看起来并不相同（例如，后者需要一个行动者，而前者则不需要）。这个问题，以及在道义逻辑中代表行动的一般问题已经被广泛讨论，并且仍然是一个活跃关注的领域。在本节中，我们提供了关于允许表达行动的道义逻辑文献的概述；在第 6.2 节中，我们考虑对 SDL 进行更基本的修订，以适应关于行动的道义主张。
5.2.1 行动作为一种情态运算符
让我们从逻辑学的代理研究中介绍一些基础知识开始。[ 61] 在这里，我们的想法是将“x 使之发生”或“x 确保”这类表达式视为代理索引的情态运算符。在这里，我们将重点放在一个名为简·多伊的单一代理的情况上，让我们引入以下符号表示：
BA：简·多伊使之发生。[ 62]
然后，以下关于简·多伊对命题 p 的代理性的主张需要区分：
BAp: 简·多带来了 p
BA¬p: 简·多带来了 ¬p
¬BAp: 简·多没有带来 p
¬BA¬p: 简·多伊不会导致 ¬p 发生。
显然，如果前两个都不成立，那么最后两个的合取成立。在这种情况下，我们可以说简·多伊对 p 是被动的，或者更充分地说，对于她自己导致 p 或其否定是被动的。[63] 让我们引入 PV 作为这个的缩写：[64]
PVpdef=¬BAp&¬BA¬p.
另请参阅附录 E：不履行与克制/忍耐的区别。
在丰富了我们的命题语言之后，我们现在可以考虑一些新运算符的逻辑原则。几乎所有的解释都认为它满足等价替换规则：
如果 p↔q 是一个定理，那么 BAp↔BAq 也是一个定理（BA-RE），
以及真理方案，
BAp→p (BA-T)。[ 65]
综上所述，这些原则意味着，相对于一个固定的命题 p 和一个代理人，出现了一个三重分割：
图 16
5.2.2 美农-奇斯霍姆约简
回到道义问题，我们现在可以问：我们如何表示主体义务？有了一个主体运算符，我们可以引用著名的美农-奇斯霍姆约简：简应该做什么就是她应该做什么的意思。[66] 如果我们使用我们的主体运算符稍微整理一下，我们得到以下版本的“约简”：
梅农-奇斯霍姆约简：简·多是有义务使得 p 成为现实当且仅当简·多有义务使得 p 成为现实。
有时候，这被认为是将个人的、行动的义务约简为一方面是非人的义务，另一方面是（纯粹的）行动。从模态运算符的角度来看，这是将“应该做”约简为“应该是”和“使得成为现实”。尽管有争议（参见下面的 5.2.4 节），但通过依赖这种分析，我们可以进行许多精细的区分。例如，假设“简·多点燃蜡烛”等同于“简·多确保蜡烛点燃”，并且让“蜡烛点燃”由 p 表示。然后我们可以区分以下主张，并跟踪它们的形式关系：
(1)
简·多应该点燃蜡烛
(1′)
OBBAp
(2)
简·多不应该点燃蜡烛
(2′)
OB¬BAp
(3)
简·多应该使蜡烛不点燃
(3′)
OBBA¬p
(4)
简·多可以（被允许）点燃蜡烛
(4′)
¬OB¬BAp
(5)
简·多伊可能不会（被允许不）点燃蜡烛
(5′)
¬OBBAp
在这里，(2′) 例如，表达了简·多的道义义务是积极地不让 p 发生；请注意，这并不排除其他代理人仍然可以让 p 发生，或者 p 本身是义务的情况。还要注意，(2′) 与 (5′) 是不同的，(5′) 仅仅表达简·多没有义务点燃蜡烛。也就是说，简点燃蜡烛将违反(2)，但不违反(5)。(3) 在大多数代理和义务的观点上，比(2)严格更强：(3) 不仅意味着简不应该点燃蜡烛，还意味着她应该让其他人也不点燃蜡烛（例如，通过将其放在某个锁着的盒子中）。
将(非个人)义务和代理操作符结合的逻辑学在很大程度上得到了广泛应用。[68] Krogh 和 Herrestad 在 1996 年重新解释了 Meinong-Chisholm 的分析，使得道义操作符是个人的，但不是代理的。这可以说是保留代理义务的成分分析的更合理的方式。McNamara 在 2004 年也提出了这样的观点：一个人被义务成为某种条件的持有者（例如，被义务在中午回家，如约定的那样）是更基本的习语，而被义务引发某事只是被义务成为你确实引发了它。
5.2.3 规范立场
代理操作符被成功地应用于研究所谓的规范立场的一种方式。[69] 一组规范立场旨在描述一个人或一组人在关于一个命题和关于一组选定的原始规范状态和/或代理操作符的逻辑统治下可能处于的互斥且共同穷尽的立场集合。回想一下关于 Jane Doe 在代理方面如何定位于 p 的分区：她可以引发 p，引发其否定，或者对 p 被动。现在还回想一下我们在第 1 节中关于义务的分区：
图 17
我们可以考虑“合并”这两个分区，试图得到关于简·多的可能方式的规范定位，以及她在关于 p 的代理方面的规范定位的表示。在选择逻辑学 BA 和 OB 的特定选择下，我们得到一组互斥且穷尽的“规范位置”：
OBBAp | OBBA¬p | OBPVp | PEBAp PEBA¬p PEPVp | PEBAp PEBA¬p OB¬PVp | PEBAp OB¬BA¬p PEPVp | OB¬BAp PEBA¬p PEPVp |
5.2.4 对迈农-奇斯霍姆分析的挑战
在规范立场理论的核心处，梅农-奇斯霍姆分析是有争议的。在 Geach（1982）的早期批评之后，Horty（2001）在影响深远的专著的第三章中，从语义的角度攻击了梅农-奇斯霍姆还原的一种形式。回想一下，在 SDL 的标准语义中，对于任何公式 p，只要 p 在所有道义上最佳的替代方案中成立，OBp 就为真。Horty 表明，当与 Belnap 等人在 2001 年提倡的代理人 STIT 语义相结合时，会产生违反直觉的情况。例如，假设一个代理人可以在赌博和不赌博之间选择。稍微简化一下，假设所有可能的事态都是代理人赌博或不赌博的情况。如果代理人赌博，有可能赢得他目前拥有的 5 美元。如果他不赌博，那么他保留他的钱，但无法获利。现在，假设拥有更多钱的世界比拥有较少钱的世界更好，那么最好的世界是代理人赢得 5 美元的世界。因此，最好的世界是代理人赌博的世界。因此，假设 g 表示代理人赌博，
OBBAg
在这种情况下是真的。然而，直觉上，代理人不应该赌博是不正确的。在没有进一步的信息的情况下，赌博和不赌博在这种情况下都有其利弊，因此不会对任何一方提出建议。更一般地说，Horty 以这个例子来说明从“应该发生代理人带来 p”并不意味着“代理人应该带来 p”。
Horty 的论证受到了各个角度的批评：例如，人们可以质疑是否同样适用于 OB 的非标准语义（Broersen＆van der Torre 2003; McNamara 2004b），或者可以认为非常相似的问题也会在没有代理机构参与的情况下出现（Danielsson 2002）。最后，值得注意的是，在句法层面上，对（现在是相对于代理的）运算符 OB 的基本属性相对较少的改变：它仍然是一个 KD 类型的正常模态运算符。然而，它与其他这类模态运算符的相互作用以及不同代理和群体之间义务之间的关系现在可以用更精细的术语进行研究。[73]此外，Horty 将博弈论思想纳入到道义逻辑的语义中，为逻辑研究开辟了一系列新的可能性，这是 Bartha 2002 年提出的建议，被 Tamminga 2013 年采纳。
5.2.5 道义补语
在这个背景下，另一个有争议的问题是道义运算符是否必然需要代理补语。[74]考虑到
严格道义补充论题（SDCT）：每个基本道义状态必须立即跟随一个将行动主体归因给一个代理人（这里是“BA”）的运算符，以保证良好形式。
严格的遗漏（节制）现在是一个形式为 RFp（即，BA¬BAp）的公式。“¬BAp”只是一个非行动。严格道义遗漏是紧随其后的道义运算符和严格遗漏。请注意，如果我们在传统定义方案相关的等价式中用“BAp”替换“p”，我们将得到违反 SDCT 的公式。例如，第一个模式将产生
IMBAp↔OB¬BAp
本质上，非行动性陈述必须被严格的遗漏所取代。
Belnap 等人在 2001 年暂时支持 SDCT。McNamara 在 2004 年提出了对这一论点的怀疑。他指出，我们有时候有义务以某种方式存在（例如，在办公室里），而且可以合理地认为行为义务归结为这些状态义务——即对存在状态的代理人的义务，因此，以某种方式存在的义务在逻辑上优先于行为义务。相关问题是是否存在这样的情况：某个人 i 面临着某种义务，但这些义务可以（原则上或实际上）由其他人 j 来履行，因此，严格来说，它们不是 i 的行为义务（Krogh＆Herrestad 1996; McNamara 2004a）。
5.3 其他模态性
除了本节中提到的运算符之外，还有许多其他类型的情态运算符可以合理地添加到给定的道义逻辑中。远非详尽无遗，让我们只举几个例子，并提及由此类丰富引发的众所周知的问题。
在某些规范系统（例如，法律系统）中，会给出明确的许可、禁止和义务。因此，似乎可能存在具有间隙的规范系统：即某些事物既不是明确义务、不允许，也不是允许，因为它既不是相关权威明确命令、禁止或允许的。例如，在任何新法律规范这种做法之前，存储某人的搜索数据是否被允许是一个未决的法律问题。然而，OBp∨(PEp&PE¬p)∨IMp 是 SDL 的一个命题（“穷尽”）（根据传统定义方案），这使得任何这样的间隙都是不可能的。在 SDL 中没有这第四个类别的位置，因为它不允许这样的规范间隙（von Wright 1968）[75]。SDL 并不旨在表示明确规定的义务、许可等概念。
一种在不修改传统定义方案或经典联结逻辑的基础上容纳间隙的方法是通过用一个模态运算符 NS 丰富 SDL，该运算符明确指向手头的规范系统：NSOBp 然后表示“根据规范系统，p 是义务的”。这样的句子可以表达规范间隙。
¬NSOBp&¬NS(PEp&PE¬p)&¬NSIMp.
注意，这与该主张完全一致。
NS(OBp∨(PEp&PE¬p)∨IMp)，
这只是根据规范系统来说，命题 p 要么是义务的、可选的，要么是不允许的。[76]
其他与道义概念有着有趣互动的模态类型是时间模态。例如，可以认为只有将来的事情才是义务的。这表明道义必要性运算符量化的是构成所有将来状态集合的子集；因此有以下类型的原则
(FO)
如果在所有未来的状态中，p 是成立的，那么 OBp 应该成立。
在 SDL 的安德森-康格尔约化中，类似的观察可以进行。如果我们将道义常量 d 在时间上解释为“所有过去、现在和未来的义务都得到满足”，那么唯一相关的世界是那些如此理想的世界，在这些世界中从未违反过强制性规范。但作为一个父母，我可能有义务在晚上锁好前门，即使这不是一个规范，除非过去违反了其他规范（例如，反对盗窃和谋杀）。人们随着时间的推移也会获得义务，为自己和他人创造义务，履行义务等。[77]
最后，人们还可以结合道义、认识论或信念逻辑。这样的组合可以达到两个不同的目标：捕捉特别的认识论义务，例如“简应该知道这种疾病没有治愈方法（因为她是医生）”，或者研究主观的、依赖于知识的义务，如“根据你对它们生产的了解，你不应该购买这些衣服”。关于第一种扩展的一个著名难题，请参见附录 F 中关于认识论义务悖论的部分。
对于第二类扩展，一个最近引起广泛关注的难题是所谓的矿工悖论（Kolodny＆MacFarlane 2010; Parfit ms. [见其他互联网资源]）。在道义 STIT 逻辑的背景下处理后者的提案可以在 Horty 2019 中找到；处理基于知识的义务的早期提案是 Pacuit，Parikh 和 Cogan 2006 以及 Broersen 2008。然而，显然，无论 SDL 中所代表的一元运算符有多么基本，它们只是规范性话语中所使用的片段。
6. 修订道义逻辑的基础
当在通过给定的形式系统（例如 SDL）形式化推理的某些方面遇到问题时，可以以两种不同的方式诊断情况：一种是由于形式主义中的表达能力不足而导致的，可以通过增加来纠正；另一种是最初的形式主义本身存在根本问题，需要修改或替换最初的形式主义。在本节中，我们将概述一些修订道义逻辑基础的尝试，以解决与 SDL 及其扩展相关的特定难题。
6.1. Jörgensen 的困境和道义逻辑的程序语义
在道义逻辑和元伦理学中，仍有一些研究人员持有的观点，特别是在实证主义出现后的前几十年中非常流行，即评价性句子不是可以真或假的句子。如果这个观点是正确的，我们似乎面临着一个困境。一方面，似乎没有规范句子的逻辑，因为逻辑是研究什么可以从什么中得出的学问，而只有当所讨论的事物可以是真或假的时候，一件事物才能从另一件事物中得出。所以没有道义逻辑。另一方面，一些规范句子似乎确实可以从其他句子中得出，而且似乎存在着不同（可能是逻辑复杂的）道义陈述之间的逻辑关系，所以仍然可以有道义逻辑。怎么办？这就是 Jörgensen 的困境。
一个广泛的区分是为了克服这一困境而提出的，即规范和规范命题之间的区别。考虑一个规范句子，比如“你可以在这里停车一小时”。这个句子可以被权威机构用来即时提供许可，也可以被路人用来报告已经存在的规范（例如，一项常设的市政法规）。在第一种情况下，使用规范句子的活动有时被称为“规范化”，通过使用句子本身来授予许可，从而创建了一种规范。第二种用法通常被认为是描述性的，因为句子不是用来授予许可，而是报告许可的现状。人们通常认为这两种用法是互斥的，只有后一种用法才允许真实或虚假。然而，一些人对这种划分的排他性提出了质疑，通过融合语义学和言语行为理论（特别是关于言辞行为）来提出了挑战。他们因此提出，有权授予许可的人不仅可以通过发出相关句子的言语行为来授予许可（如第一个例子中），而且还可以通过这样做使其所说的成为真实——即这个人被允许停车（如第二个例子中的路人）。
如果一个人同意规范命题与规范不同，那么他可能坚持认为道义逻辑的领域仅限于规范命题，可能通过以可能世界的真实性为基础的标准语义来解释。在某个规范系统 n 是某个状态 w 的基础上，对一组规范命题而言，可以说 OBp 在状态 w 上是真实的，因为根据适用于 w 的 n 中的规范，p 是必需的。然而，这仍然存在一个 Jörgensenian 的差距：仍然不清楚一组规范要求某种事态的含义（考虑到当前世界的情况）。难道还不需要一个框架来模拟规范系统、它们可能的结构特征以及它们如何生成规范命题吗？如果一个规范系统 n 要求 p，n 还要求 q，它是如何做到的？它是否也要求(p&q)，如果是，那是基于 n 的哪些特征？[80]
另一种方法是放弃真值功能（可能世界）语义。例如，可以假设一个原始概念“规范”（有时也称为“命令”），它以纯语法方式生成“义务”。这条路线起源于对容忍冲突的道义逻辑的研究（van Fraassen 1973，参见 Hansen 2008 和 Hansen 2013），在输入/输出逻辑（Makinson＆van der Torre 2000, 2001；Parent＆van der Torre 2013）的旗帜下成为最有影响力的。I/O 逻辑的“语义”是纯粹操作性的：它指定了一组义务（命题公式），这些义务是通过将事实分离应用于（a）一组事实陈述（在 PC 下封闭）和（b）一组条件规范（即，命题公式对）而产生的，这些条件规范在给定的一组逻辑规则 R 下封闭。关于 R 的变化产生了各种“输入/输出关系”（因此，I/O 逻辑）。请参阅 Parent 和 van der Torre 2018 以获取简短的入门指南。
I/O-逻辑框架在许多方面都证明是有用的：它将事实的分离放置在许多人认为它应该属于的地方：在道义推理的核心。它允许进行许多细粒度的区分，并对事实和规范之间的相互作用进行细致入微的解释和理论，这些相互作用似乎很难用经典的可能世界语义来描述。最后，它可以适应各种许可的概念及其与义务的关系（Makinson＆van der Torre 2003）。不足之处在于，如何将 I/O-逻辑的程序语义与认知逻辑、代理逻辑等的语义集成在一起远非明显。更一般地说，由于在 I/O-逻辑中义务的概念是“输出”的一种，因此不清楚如何将真值功能连接词或其他模态运算符应用于涉及义务的陈述（例如，人们相信谋杀是错误的并且有时会发生），或者在这个框架中“允许它是义务的 p”这样的嵌套陈述意味着什么。[81]
6.2 道义逻辑与行动
我们经常将“必须”、“应该”和“可以”等术语应用于行动而不是事态。例如，我们会说“Jimmy 必须系鞋带”，而不是“Jimmy 的鞋带被认为是义务的”。同样，我们会提出诸如“Jack 必须买杂货”和“你可以在这里左转”的主张。在这三个例子中，似乎我们在表示某个行动的道义状态-一种由代理人发起的改变当前世界的方式，或者将其带入不同状态。然而，现在对 SDL 的普遍解读-偏离了冯·赖特的原始解释（回顾补充 B，冯·赖特的 1951a 系统和 SDL），认为我们总是可以将道义情态应用于命题。
在各种语义学中，道义术语直接应用于动作，被构想为在 Kripke 模型中状态之间的转换。例如，将 SDL 简化为真理模态逻辑（参见第 3 节）后，Meyer 1988 在命题动态逻辑（PDL）中添加了一个 Andersonian 的“违反”常量 V。在这个框架中，[α]V 表示执行动作 α 必然导致违反，因此“α 是禁止的”。其中，−α 表示动作 α 的否定，[−α]V 表示 α 是义务的。[82]请注意，直观上，这个公式可以解读为：“只要不执行 α，就会发生违反”。或者，可以通过引入一个 Kangerian 常量“OK”来定义动作 α 的强许可性，并通过[α]OK 表示 α 是强许可的。直观上，这意味着每当执行动作 α 时，就保证会进入一个道义上可接受的世界（不会发生违反）[83]。
Meyer 的分析将给定动作（在给定状态 w 下）的道义地位归约为其终端状态中的违反事件（通过该动作从 w 可达的状态），从而产生所谓的“目标规范”。相反，还可以考虑涉及在某个状态下执行给定动作时“通过”的所有中间状态的“过程规范”。关于后一种类型的道义逻辑，van der Meyden 1996 提出了一些建议；有关这种区别的讨论，请参见 Broersen 2004、Kulicki 和 Trypuz 2017、Canavotto 和 Giordani 2019。
在道义逻辑中，对行动的不同处理方法源于 Segerberg 1982，并在 Kulicki 和 Trypuz 2017 等人的进一步发展中得到了发展。在这里，提出了一种行动的布尔代数——类似于 PC 的布尔代数——并定义了指定哪些（基本和复杂）行动是允许的、禁止的或必需的函数。像“Pα”这样的表达式只是意味着 α 是允许行动集合的成员，并且使用这些表达式使用经典命题连接词来构建更复杂的表达式。而在动态道义逻辑中，复杂行动的道义行为受到底层行动逻辑（即 PDL）的控制，在布尔行动代数上的道义逻辑中，为了确保“行动 α 是禁止的”蕴含“做 α 和 β（例如同时）是禁止的”，会施加特定的框架条件。[84]
6.3 拒绝 SDL 的核心原则：OB-NEC 和 OB-RM
与其仅仅从语义基础的角度质疑 SDL，人们也可以根据其验证的逻辑原则来反对 SDL。在这里，我们概述了一些针对 SDL 特定原则提出的不同论证和例子，然后展示了如何通过转向更弱的系统来克服其中一些问题。
让我们从 OB-NEC 开始。这个规则要求任何自明陈述都是义务的。现在考虑以下陈述：
(1)
没有什么是义务的。
看起来，(1)所表达的，即没有义务的情况，是可能的。例如，考虑宇宙中不存在任何理性行为者的时候。我们为什么要认为任何义务——甚至是与自明事实有关的义务——当时存在呢？[85]
如果我们将 OB 简单地解释为“应该是这样的”，那么 OB⊤（现在解释为“矛盾应该是假的”）并没有什么违反直觉的地方，但对于这种解释，与什么是义务或许可以及人们应该做什么之间也不再有明显的联系。避免 OB-NEC 的违反直觉的后果的另一种方法是区分“空洞”的义务，例如 OB(p∨¬p)，和那些需要满足一些逻辑上偶然的陈述的义务，例如 OB(p&¬q)。例如，可以通过在语言中引入一个模态运算符 □ 来实现（参见 Belnap 2001 等，Horty 2001）。
接下来，问题原则列表中的 OB-RM，也被称为继承原则。该原则指出，每当某事物是义务的时候，那么一切是逻辑推论的事物也是义务的（“继承”了该状态）。有各种众所周知的例子突出了 OB-RM 的问题。对 RM 的最早和最著名的挑战是罗斯悖论（Ross 1941）。从
(1)
“这封信应该被邮寄”
正式化为 OBm，我们可以推导出：
(2)
“必须将信件寄出（m）或者将信件烧毁（b）。”
正式化为 OB(m∨b)。说一个寄出信件的义务意味着有一个寄出信件或者烧毁信件的义务（烧毁信件可能是被禁止的），这个义务可以通过烧毁信件来履行，这引发了违法者的回应：“至少我通过烧毁它做对了一件事情”。
当我们从 m 弱化到 m∨b 时会出现问题，当我们将一个合取式弱化为其中一个合取项时也会出现类似的问题。这可以通过著名的好撒玛利亚人悖论（Prior 1958）来说明：[ 86]
(1)
Jones 有义务帮助被抢劫的 Smith。
(2)
Smith 被抢劫是义务的。
假设琼斯只有在帮助被抢劫的史密斯时，琼斯才会帮助史密斯，而史密斯已经被抢劫了，那么在 SDLs 中正确地符号化(1)和(2)的方式是：
(1′)OB(h&r)(2′)OBr
根据 OB-RM，OB(h&r)蕴含 OBr。然而，帮助被抢劫的人是义务的，似乎并不意味着他被抢劫也是义务的。[87]关于善 Samaritan 的认识论变体在补充 F 中进行了讨论，即认识论义务的悖论。
对于这些与 RM 相关的悖论，已经有各种不同的回应。一些人支持 RM，并将 Ross 悖论归咎于基本的混淆（Føllesdal＆Hilpinen 1971），或者引用实用特征来解释这个谜题（Castañeda 1981）：例如，没有人会仅仅说出约翰应该寄信或者烧信的陈述，明知实际上约翰只应该寄信。类似地，有人认为善 Samaritan 悖论实际上是一个条件义务悖论，因此 RM 并不是悖论的真正根源（Castañeda 1981; Tomberlin 1981）。然而，由于这些悖论至少似乎都依赖于 OB-RM，解决这些问题的一个自然方法是通过拒绝 OB-RM 本身来削弱这些悖论。从一个有原则的哲学角度来看，Jackson 1985 和 Goble 1990a 是两个可行且密切相关的拒绝 OB-RM 的道义逻辑方法的例子[ 88]。第三种有些不同的有原则策略是由 Cariani 2013 提出，并在 Van De Putte 2019 中进行了详细研究。最后，在 S. O. Hansson 1990 中，以及在 Hansson 2001 中更详细地，S.O. Hansson 发展了一种道义逻辑系统，他在其中通过分析各种偏好排序的抽象属性来分析禁止和规定性道义概念（例如，只要比具有该状态的任何更糟糕的东西也具有该状态，那么规范状态就是禁止的）。他还将 OB-RM 视为标准道义逻辑悖论的主要罪魁祸首，因此他系统地探索了 OB-RM 不成立的非标准框架[ 89]。
一个非常普遍的逻辑学语义框架，可以推翻必然性、继承性或其他正常模态逻辑原则的逻辑学是邻域语义框架[90]。邻域语义与一组可能世界（就像 Kripke 语义一样）一起工作，但是将可达关系替换为邻域函数 N，该函数将每个世界 w 映射到一组可能世界 N(w)，通常被视为一组命题。在这样的语义上，OBp 在世界 w 上为真，当且仅当所有 p-世界的集合在 w 的邻域中，即
M,w⊨OBp 当且仅当 |p|∈N(w)
在由这种邻域模型表征的最弱逻辑（最小的“经典模态逻辑”，E）上，只有 OB-RE 是有效的。通过对邻域函数施加特定条件，还可以获得其他有效性和规则。此外，邻域语义可以自然地推广到处理条件义务（Chellas 1974, 1980），并与有关概念（如代理和能力）的语义解释相结合（McNamara 2019）。它还可以适应容忍冲突的逻辑，我们将在下面看到。
6.4 道义困境和容忍冲突的道义逻辑：拒绝 NC
义务冲突是指存在两个或更多义务的情况，而不可能同时履行所有义务。一个具体的、典型的情况是存在两个逻辑上不相容的义务，例如：
(1)
现在我必须见琼斯（比如，如我对琼斯、我的朋友所承诺的）。
(2)
现在，根据我对另一个朋友史密斯的承诺，我有义务不见琼斯（比如说，另一个朋友）[91]。
在这种情况下，我似乎有义务冲突，实际上是一个相当直接和明确的冲突，因为我对一个人承诺的事情会发生，而对另一个人承诺的事情则不会发生。人们（例如，在压力或分心的情况下）会做出相互冲突的承诺（比如相互冲突的约会），并且似乎他们因此而产生了相互冲突的义务[92]。但是考虑这些在 SDLs 中的自然表示：
（1'）OBj（2'）OB¬j
这些前提在 SDL 中是不一致的。首先，它们被 NC（OBp→¬OB¬p）所排除。[93] 但仅仅放弃 NC 是不够的。事实上，任何正常的模态逻辑（因此，任何包含 K 和必要性的逻辑，或等效地，基于 PC 的 OB-RM，OB-C 和 RE）都会产生道义爆炸：
（DEX）
对于每个 p，q：OBp，OB¬p⊢OBq。
实际上，这意味着一旦有冲突的义务，一切都是义务。除了这个琐碎的方面之外，OB-RM 和 OB-C 的有效性还意味着拥有两个不兼容的义务不可信地减少为具有单一自相矛盾义务，参见附录 G，冲突崩溃为不可能的义务。
至于 OB-N 和 OB-RM，可以用各种方式解决这个问题。让我们从那些开发冲突容忍的道义逻辑的人开始，放弃其中一个或多个上述原则。这产生了三个不同类别的这种逻辑：
非聚合道义逻辑，使 OB-C（也称为 OB 的聚合规则）无效。在这里，经典的例子是逻辑 P（参见，例如，Goble 2003），它以 SDL 的可能世界语义的特定特征削弱的各种语义为特征。
无继承的道义逻辑，或者只满足 OB-RM 的弱化形式的逻辑。在这里，Goble 的 DPM 系统（Goble 2005）得到了特别深入的研究。
可能是矛盾的（可能是相关的）道义逻辑，它们反驳了底层道义爆炸原理的 Ex Falso Quodlibet 原则。这些逻辑保留了 SDL 的完整的“模态部分”，但以放弃否定的经典性为代价。从语义上讲，它们需要非经典（或所谓的“不可能”）世界，在这些世界中，例如，p 和 ¬p 都可以为真。
然而，放弃这三个原则中的任何一个可能过于激进。例如，假设除了上述的义务（1）和（2）之外，我还面临着访问汤姆（t）的义务，并且在我访问汤姆的情况下，将一封信交给他（l）。因此，我们有 OBj，OB¬j，OBt，OB（t→l）作为前提。此外，假设 t 和 l 与 j 或 ¬j 中的任何一个都完全兼容。然后，任何上述三种策略都将使推理 OBl 无效：我们不能再推断我应该交出这封信。
最近，有人认为通过使用非单调框架，如自适应逻辑，可以容纳道义冲突，同时保留大部分 SDL 的推理能力。这种解释的基本思想是，只有在涉及实际上存在冲突的义务（根据前提）时，才会拒绝某些 SDL 原则。有关这种自适应道义逻辑的概述，请参见 Goble 2013 和 Van de Putte、Beirlaen 和 Meheus 即将发表的文章。
大多数现有的冲突容忍道义逻辑的另一个缺点是，它们只关注逻辑上矛盾的义务之间的二元冲突的典型案例。相反，冲突通常发生在义务之间，这些义务在特定情况下只是不相容的，因此具有偶然的基础。[94]原则上，SDL 对这种“偶然”冲突完全没有问题，我们可以通过以下类型的公式在丰富的语言中表达它们
(DC)OBp&OBq&¬◊(p&q)
然而，当我们支持康德法则的最简版本，即应该意味着能够时，(DC)与(OB-C)的结合就会产生平凡性：
(OiC)OBp→◊p
如果我们试图按照安德森-康格尔的简化方法来形式化偶然的道义冲突，就会出现类似的问题，如附录 H 所示，围绕康德法则的难题。
让我们注意到，一个长期被忽视且具有挑战性的关于冲突义务的进一步难题，有时被称为“范弗拉森之谜”，并受到范弗拉森（1973）的启发，已经得到了应有的关注：Horty（1994，2003）；van der Torre 和 Tan（2000）；McNamara（2004a）；Hansen（2004）；和 Goble（2005）。有关简要的概述，请参见 Hilpinen 和 McNamara（2013）的第 8.4 节。
对于冲突义务，一个完全不同的方法是区分表面义务（或部分义务）和全面考虑的义务，并坚持认为 SDL 及其类似物是后者概念的逻辑学。这种区分至少自（Ross 1939）以来就很有名了。它可以通过柏拉图的困境（Lemmon 1962a）来说明：[95]
我现在有义务在餐厅与你进行轻松的午餐会面。
我有义务立即将我窒息的孩子送往医院。
在这里，我们似乎面临着一种间接的非明确的义务冲突，如果我们假设满足这两个义务在实际上是不可能的。然而，与我们之前的例子不同，在那个例子中，这两个承诺可能自然地处于同等地位，我们都会同意，帮助我的孩子的义务优先于我与你共进午餐的义务。换句话说，第一个义务被第二个义务击败，第二个义务具有优先权。通常情况下，我们还会假设没有其他义务能够取代我将孩子送往医院的义务，因此这个义务是一个在所有事情上都没有被取代的义务，但对于与你共进午餐的义务来说并非如此。此外，我们还倾向于说这种情况是一种我们有义务遵守约定（或遵守承诺，更一般地说）的例外情况-情况特殊。
如果我们将“义务困境”定义为义务冲突，其中冲突的义务都没有被覆盖（参见 Sinnott-Armstrong 1988），那么上述案例涉及到了义务冲突，但并非义务困境。一旦我们承认义务冲突的存在，就会进一步涉及到如何表示关于冲突义务的推理逻辑，其中一些义务会覆盖其他义务，一些义务会被击败，一些义务会被全面考虑为非被覆盖的义务，义务困境是否存在，一些义务是否普遍适用但有例外，一些义务是否绝对等等。因此，这里的一个核心问题是不同权重的冲突义务以及义务的可推翻性。显然，SDL 中没有这方面的机制，因为 SDL 本身不允许存在冲突，然而这个问题远远超出了仅仅允许冲突的逻辑的范畴。对于这个困境以及冲突义务的可推翻性，已经有各种不同的方法被提出。[96]
6.5 道义情态的超内涵性和真值生成语义
最近，与 OB-NEC、Inheritance 和 Deontic Explosion 相关的难题被认为反映了道义情态的一个更一般的（被称为）特征，即它们的超内涵性。在句法意义上，如果一个情态运算符在经典的、真值功能等价的公式替换下不封闭，那么它就是超内涵的。从这个观点来看，OBp 与 OB ((p&q)∨(p&¬q))并不等价，即使 p 的真值总是与(p&q)∨(p&¬q)的真值相一致。从语义上来说，这意味着这样的运算符不能被解释为一个内涵的情态运算符，而是使用（经典的）可能世界语义。
一种近期有前景的超强内涵逻辑的语义框架是真值生成语义学（Fine 2017）。在这样的语义学中，命题的解释是通过“真值生成者”或“伪值生成者”而不是世界集合来完成的，其中这些实体通过部分整体关系相互关联。例如，“下雨”的真值生成者只是下雨的状态，没有多余的东西。对于“（下雨且阳光明媚）或（下雨且阳光不明媚）”，真值生成者可以是两种情况之一：下雨的状态与阳光明媚的状态的融合，或者下雨的状态与阳光不明媚的状态的融合（因此，后者是“阳光明媚”的伪值生成者）。形式上，p 的真值生成者集合可以是{X，X′}，而(p&q)∨(p&¬q)的真值生成者集合可以是{X∗Y，X∗Z，X′∗Z，X′∗Z}，其中“*”符号表示融合操作[97]。Fine 在一系列论文中将这一框架应用于命令逻辑和道义逻辑（Fine 2018a,b），其中“行动”在指示句语义中通常由真值生成者扮演的角色，类似于真值生成者和命题之间的真值生成和伪值生成关系，这些行动可以与给定命令相符或相违。例如，“唱歌或跳舞！”的命令是通过（a）与之完全符合的行动和（b）与之完全违背的行动来解释的。对于条件义务的情况，还会出现额外的复杂性，因为人们也可以通过使其前提为假来避免条件[98]。类似的思想，虽然以不同的方式进行了阐述，可以在 Anglberger 和 Korbmacher 2020 中找到，该论文还将真值生成语义学与 Goble 2013 年的 Goble 逻辑 BDL 相关联。有关规范性的超强内涵性和形式方法的全面讨论，请参见 Faroldi 2019。
7. 结论
显然，道义逻辑存在一些突出的问题。有些人认为这是一个严重的缺陷；而有些人则将其视为一个严峻的挑战，甚至是一个有吸引力的挑战。有一些先前的理由可以预期，在这个领域中面临的挑战将是巨大的。规范性通常是具有挑战性的，不仅仅是在道义逻辑中。规范性概念似乎具有强烈的实用特征。规范性概念必须与代理概念和时间概念相结合，才能达到最大的兴趣，这引入了相当大的逻辑复杂性。还有理由认为，在规范性概念和条件句的相互作用中存在着隐藏的复杂性。最后，似乎存在着一系列具有有趣相互作用的规范性概念，其中一些很容易与其他概念混淆（不仅是道义逻辑学家，也包括伦理学家）。显然，还有很多工作要做。
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Acknowledgments
Various people have helped with this and prior renditions. We thank Ruth Barcan Marcus, Willem DeVries, Risto Hilpinen, Lars Lindahl, David Makinson, Simo Knuuttila, Andrew Jones, Lou Goble, Mark Sergot, Jeff Horty, Mark Brown, Leon van de Torre, Xavier Parent, Ilaria Canavotto, Federico Faroldi, Georg Spielthenner; Reto Givel, Wojciech Żełaniec.]
Copyright © 2021 by Paul McNamara <paulmunh@gmail.com> Frederik Van De Putte <frederik.vandeputte@ugent.be>
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