乔治·布尔 Boole, George (Stanley Burris)
首次发表于 2010 年 4 月 21 日星期三；实质性修订于 2021 年 12 月 29 日星期三
乔治·布尔（1815–1864）是一位英国数学家，也是逻辑代数传统的创始人。他曾在英格兰担任教师，并从 1849 年直到去世前一直担任爱尔兰科克女王大学的数学教授。他通过将当时新兴的符号代数领域的方法应用于逻辑学，彻底改变了逻辑学。传统（亚里士多德式）逻辑依赖于对各种简单形式的有效三段论进行分类，而布尔的方法提供了用代数语言表示的通用算法，适用于任意复杂性的无限种类的论证。这些成果体现在他的两部重要著作《逻辑的数学分析》（1847 年）和《思维的法则》（1854 年）中。
1. 生平与工作
乔治·布尔生于 1815 年 11 月 2 日，出生在英格兰林肯郡的林肯，家境清贫，父亲显然更像是一个好伴侣而不是一个好养家者。他的父亲是一名制鞋匠，真正的热情在于成为科学和技术领域的狂热业余爱好者，喜欢参加林肯机械协会；这实质上是一个促进阅读、讨论和关于科学的讲座的社区社交俱乐部。该协会成立于 1833 年，1834 年，布尔的父亲成为其图书馆馆长。这种对学习的热爱显然被布尔所继承。没有接受精英教育的好处，但在支持性家庭和获得优秀书籍的情况下，特别是来自离林肯仅几英里远的爱德华·布罗姆黑德爵士，FRS，布尔能够基本上自学外语和高等数学。
从 16 岁开始，布尔需要找到有报酬的工作，因为他的父亲不再能够养活家庭。在私立学校担任教师 3 年后，19 岁时，布尔决定在林肯开设自己的小学。他将成为接下来的 15 年里的一名校长，直到 1849 年，当时他成为爱尔兰科克女王大学新开设的教授。尽管要为父母和兄弟姐妹承担沉重责任，但令人惊讶的是，他在担任校长期间仍然找到时间继续自己的教育，并开始了一项研究计划，主要涉及与拉普拉斯和拉格朗日的作品相关的微分方程和变分法（他用原始法语学习）。
普遍认为布尔主要是一位逻辑学家——事实上，在他写下一字关于逻辑之前，他早已成为一位公认的数学家，同时经营着自己的私立学校来照顾父母和兄弟姐妹。布尔能够阅读法语、德语和意大利语，使他有了很好的起点，可以在 16 岁时阅读拉克罗瓦的《微积分》（这是他林肯友人迪克森牧师的礼物）。七年后的 1838 年，他将写下他的第一篇数学论文（尽管不是第一篇发表的），题为“关于变分法中的某些定理”，重点是改进他在拉格朗日的《解析力学》中读到的结果。
在 1839 年初，乔治·布尔前往剑桥与年轻的数学家邓肯·F·格雷戈里（1813–1844）会面，他是《剑桥数学杂志》（CMJ）的编辑——格雷戈里于 1837 年共同创办了这本杂志，并一直担任编辑，直到他在 1843 年健康状况恶化（他于 1844 年初去世，享年 30 岁）。尽管格雷戈里在 1839 年仅比获得学位晚两年，但他成为了布尔的重要导师。在格雷戈里的支持下，包括指导布尔如何撰写数学论文，布尔于 1841 年进入了数学出版的公共领域。
布尔的数学著作跨越了从 1841 年到 1864 年这 24 年的时间，他在 1864 年因肺炎去世。将这 24 年分为三个阶段，第一个 6 年（1841–1846），第二个 8 年（1847–1854），最后 10 年（1855–1864），我们发现他在逻辑方面的发表作品完全集中在中间的 8 年。
在他职业生涯的头 6 年中，布尔发表了 15 篇数学论文，除了两篇外，都发表在《剑桥数学杂志》及其 1846 年的继任者《剑桥和都柏林数学杂志》上。他写了一些关于标准数学主题的论文，主要是关于微分方程、积分和变分法。布尔在分析中使用新的符号方法取得了早期成功，这种方法可以将微分方程表示为：
d2y/dx2−dy/dx−2y=cos(x),
and wrote it in the form Operator(y)= cos(x). This was (formally) achieved by letting:
D=d/dx,D2=d2/dx2,etc.
导致微分方程的表达式为：
(𝐷2−𝐷−2)y=cos(x).
现在，通过简单地将运算符 𝐷2−𝐷−2 视为代数中的普通多项式，符号代数开始发挥作用。布尔（乔治·布尔）1841 年的论文_关于具有恒定系数的线性微分方程的积分_为解决这类微分方程提供了一个很好的改进，这是基于代数中的一个标准工具，即部分分式，他将其应用于类似上述的微分算子的倒数。
在 1841 年，乔治·布尔（George Boole）还发表了他关于不变量的第一篇论文，这篇论文对艾森斯坦（Eisenstein）、凯莱（Cayley）和西尔维斯特（Sylvester）的学术发展产生了深远影响。亚瑟·凯莱（Arthur Cayley，1821–1895），后来成为剑桥大学 Sadlerian 教授，也是历史上最多产的数学家之一，于 1844 年写了他给布尔的第一封信，赞扬他在不变量方面的出色工作。他们成为了亲密的朋友，凯莱经常前往林肯拜访并与布尔共度时间，直到布尔搬到爱尔兰的科克。1842 年，布尔开始与奥古斯都斯·德·摩根（Augustus De Morgan，1806–1871）通信，开启了另一段终生友谊。
1843 年，教师布尔完成了一篇关于微分方程的长篇论文，结合了指数替换和参数变化与符号分离方法。这篇论文对于《剑桥数学杂志》（CMJ）来说太长了—格雷戈里（Gregory）和后来的德·摩根鼓励他将其提交给皇家学会。第一位审稿人拒绝了布尔的论文，但第二位推荐它获得了 1841 年至 1844 年间最佳数学论文金奖，这一推荐得到了接受。1844 年，皇家学会发表了布尔的论文，并授予他金奖—这是学会首次授予数学家金奖。次年，布尔在 1845 年 6 月剑桥举行的英国科学促进协会年会上发表了一篇论文。这使他结识了新的联系人和朋友，尤其是威廉·汤姆森（William Thomson，1824–1907），后来的开尔文勋爵。
开始发表论文后不久，布尔渴望找到一种与高等学府有关联的方式。他考虑去剑桥大学获得学位，但被告知满足各种要求可能会严重干扰他的研究计划，更不用说融资问题了。最终，在 1849 年，他获得了爱尔兰科克一所新大学的教授职位。在他担任科克大学教授的这些年里（1849–1864），他偶尔会询问是否有机会回到英格兰工作。
从 1847 年到 1854 年的 8 年间，始于乔治·布尔的两本数理逻辑书籍，终于数理逻辑领域。此期间，布尔还发表了 24 篇关于传统数学的论文，而仅有一篇关于逻辑的论文写于 1848 年。他于 1851 年获得都柏林大学荣誉法学博士学位，这也是他在 1854 年的逻辑书中使用的头衔。
布尔的 1847 年著作《逻辑的数学分析》将被称为《MAL》；1854 年的著作《思维的法则》将被称为《LT》。
在他职业生涯的最后 10 年，从 1855 年到 1864 年，布尔发表了 17 篇关于数学的论文和两本数学著作，一本关于微分方程，一本关于差分方程。这两本书都备受推崇，并被剑桥大学用于教学。同时，在这段时间内，他也获得了重要的荣誉：
| 1857 | 皇家学会会士 |
| --- | --- |
| 1858 | 剑桥哲学学会荣誉会员 |
| 1859 | 从牛津获得荣誉法学博士学位 |
不幸的是，他对职责的敏锐意识导致他在 1864 年底的一场暴风雨中行走，然后穿湿衣服讲课。不久之后，1864 年 12 月 8 日，在爱尔兰科克郡的巴林坦普尔，他因肺炎去世，享年 49 岁。另一篇关于数学的论文和一本修订后的关于微分方程的书籍，特别关注奇异解，是在他去世后发表的。
对乔治·布尔个人生活的优秀记述感兴趣的读者，请参阅德斯蒙德·麦克黑尔的《乔治·布尔，他的生活和工作》，1985/2014 年，以及德斯蒙德·麦克黑尔和伊冯·科恩于 2018 年合著的更近期的《乔治·布尔新视角》，本文深受这些来源的启发。
1815 年 — 出生于英格兰林肯
1830 年 — 他翻译的一首希腊诗印刷在当地报纸上
1831 年 — 阅读拉克劳瓦的《微积分》
学校校长
1834 年 — 开办自己的学校
1835 年 — 发表关于牛顿成就的公开演讲
1838 — 写第一篇数学论文
1839 — 访问剑桥见乔治·格雷戈里，剑桥数学杂志（CMJ）编辑
1841 — 首次发表四篇数学作品（均在_CMJ_上）
1842 — 与奥古斯都·德·摩根开始通信 — 他们成为终身朋友
1844 — 与凯利开始通信（由凯利发起） — 他们成为终身朋友
1844 — 因一篇关于微分方程的论文获得皇家学会金质奖章
1845 — 在英国科学促进协会年会上发表演讲，并与威廉·汤姆森（后来的开尔文勋爵）相识 — 他们成为终身朋友
1847 — 出版《逻辑的数学分析》
1848 — 发表他唯一关于逻辑代数的论文
数学教授
1849 — 接受爱尔兰科克新女王大学的第一位数学教授职位
1851 — 获得都柏林三一学院授予的荣誉博士学位(LL.D.)
1854 — 发表《思维定律》
1855 — 与玛丽·埃佛勒斯特结婚，她是印度总督乔治·埃佛勒斯特的侄女，珠穆朗玛峰就是以他命名的
1856 — 玛丽·艾伦·布尔出生
1857 — 当选为皇家学会会员
1858 — 玛格丽特·布尔出生
1859 — 出版《微分方程》; 在剑桥被用作教科书
1860 年 — 出生了艾丽西亚·布尔，她将创造出“polytope”这个词
1860 年 — 出版了《Difference Equations》；在剑桥被用作教科书
1862 年 — 出生了露西·埃佛瑞斯特·布尔
1864 年 — 出生女儿伊莎尔·莉莲·布尔，她在 1917 年革命后写了一本在俄罗斯非常受欢迎的书《牛虻》
1864 年 — 因肺炎去世，爱尔兰科克
2. 乔治·布尔逻辑工作的背景和背景
要理解乔治·布尔如何发展他的逻辑代数，有必要回顾与剑桥大学数学家在 19 世纪早期进行的代数基础工作的大致轮廓，这是在布尔开始他的数学出版生涯之前。进一步阅读与本节相关的绝佳参考资料是 William Ewald 于 1996 年编写的带注释的文集《从康德到希尔伯特》，其中包含了乔治·布尔的《逻辑的数学分析》的完整副本。
19 世纪初，英国的数学陷入低谷。英国数学家与大陆数学家就微积分发展中的优先权问题发生争执，导致英国人遵循牛顿的符号表示法，而大陆数学家则遵循莱布尼茨的表示法。更新英国数学的一个障碍是代数和分析的重大发展建立在可疑的基础上，有些英国数学家对这些缺陷非常吵闹。在普通代数中，使用负数和虚数引起了担忧。
英国人中首次尝试解决代数基础问题的重大尝试是乔治·皮科克（1791–1858）于 1830 年撰写的《代数论》，第二版分为两卷，分别于 1842 年和 1845 年出版。他将这一主题分为两部分，第一部分是“算术代数”，即正数的代数（不允许在答案不是正数的情况下进行减法等运算）。第二部分是“符号代数”，它不像算术代数那样受特定解释的约束，而完全受法则支配。在符号代数中，没有使用减法等的限制。
孔雀认为，为了使符号代数成为一个有用的学科，其规律必须与算术代数的规律密切相关。在这方面，他引入了他的_等价形式永恒原理_，这一原理将算术代数中的结果与符号代数中的结果联系起来。这一原理有两个部分：
算术代数中的一般结果属于符号代数的规律。
每当符号代数的结果在算术代数的背景中有意义时，该结果将在算术中给出正确的结果。
一种引人入胜的代数运用是由弗朗索瓦-约瑟夫·塞尔瓦(1776-1847)于 1814 年引入的，当时他通过将微分算子与主体分离来处理微分方程，就像上面给出的例子所描述的那样。这种代数应用引起了格雷戈里的兴趣，他在《剑桥数学杂志》上发表了许多关于“符号分离”的方法的论文，即将运算符和对象分开的方法。他还写了关于代数基础的文章，正是格雷戈里的基础几乎是布尔在写《论文》之前几乎完全采纳的。格雷戈里放弃了皮科克的等价形式永恒原则，转而支持三个简单的法则，其中布尔认为其中一个仅仅是一种符号约定。不幸的是，这些法则远远不足以证明代数中甚至涉及减法等最基本结果的一些结论。
在 1839 年的《论代数基础》中，德·摩根在《剑桥哲学学会交易》上发表的关于这个主题的四篇论文中的第一篇中，人们发现了对代数中符号分离的赞美，并声称现代代数学家通常将符号视为表示运算符(例如，导数运算)而不是像数字这样的对象。脚注
皮科克教授是我认为第一个清楚地阐明了我所说的代数的技术和逻辑分支之间的区别的人
将 Peacock 归功于首次区分现在称为代数的句法[技术]和语义[逻辑]方面。在第二篇基础论文（1841 年）中，德·摩根提出了他认为完整的八条规则，用于符号代数的运算。
关于_布尔代数_这个名称的起源，查尔斯·桑德斯·皮尔斯（1839–1914）引入了几个短语之一，即_布尔代数_，用于指代通过放弃布尔逻辑等式代数的算术支架而产生的代数。拼写为_布尔代数_，这个术语在约 1900 年被他的密友哈佛哲学家乔西亚·罗伊斯（1855–1916）采纳，然后被罗伊斯的学生（包括诺伯特·维纳、亨利·M·谢弗和克拉伦斯·I·刘易斯）以及后来的其他哈佛教授和世界所接受。它基本上指的是由威廉·斯坦利·杰文斯（1835–1882）于 1864 年引入的逻辑代数的现代版本，这个版本是布尔在他们的通信中拒绝的——请参见第 5.1 节。因此，本文不会使用_布尔_这个词来描述布尔实际创建的逻辑代数；而是将使用_布尔代数_这个名称。（请参阅 Burris 的 2015 年文章“乔治·布尔和布尔代数”）。
在_MAL_中，更多是在_LT_中，布尔对他的逻辑代数所提供的对心灵内在运作的洞察感兴趣。这种追求并未受到青睐，并且本文不会讨论这一点。
3. 逻辑的数学分析（1847）
在《乔治·布尔的新视角》（2018）中，MacHale 和 Cohen 发表了玛丽安·布尔（1818–1887）关于她著名兄弟的传记的编辑版本（首次发表），第 41 页上有以下段落：
他告诉我，从童年起，他就坚信逻辑可以归纳为一门数学科学，并且他经常因试图证明这一点而使自己病倒，但直到 1847 年才有了真正的方法闪现在他脑海中。
乔治·布尔 最终成名于逻辑的道路是以一种奇特的方式发生的。1847 年初，德·摩根和苏格兰哲学家威廉·汉密尔顿爵士（1788–1856）之间发生了一场微不足道但非常公开的争执，激励他重新进行逻辑研究，不要与同时代的爱尔兰数学家威廉·罗温·汉密尔顿爵士（1805–1865）混淆。这场争执围绕谁应该得到量化谓词（例如，所有 A 都是所有 B， 所有 A 都是一些 B， 等）的创意归属展开。玛丽安写道，当 1847 年真正的方法突然出现在他脑海时，“他简直像是被过度的光芒所眩晕的人”。几个月内，布尔写下了他的 82 页专著《逻辑的数学分析》，首先提出了一种代数方法来处理亚里士多德逻辑，然后简要地讨论了一般理论。（有人说这篇专著和德·摩根的书《形式逻辑》于 1847 年 11 月的同一天出版。）
我们并不知道那个突然出现在布尔脑海中的真正方法是什么。一个可能性是发现了扩展定理和组成要素的属性。
3.1 布尔的亚里士多德逻辑版本
在第 15-59 页，MAL_中的 82 页中的一半多一点，布尔着重于对亚里士多德逻辑的轻微概括，即通过允许主语和/或谓语采用非-X 形式来扩充其四种范畴命题。在关于转换的章节中，例如通过限制进行的转换—— 所有 X 是 Y，因此一些 Y 是 X ——布尔发现亚里士多德的分类存在缺陷，因为它没有将相反命题（如非-X）与命名的类 X、Y、Z 等放在同等地位。例如，他将_没有 X 是 Y_转换为_所有 Y 都不是 X，将_所有 X 是 Y_转换为_所有不是 Y 都不是 X_。
对于他对亚里士多德逻辑的扩展版本，他在（MAL，第 30 页）中陈述了一组三条转换规则，他声称这些规则可以构建所有有效的两行范畴论证。这些转换规则在_LT_中并未出现。有点奇怪的是，在分析范畴三段论时，只有在结论部分他才允许他的广义范畴命题出现。在假言三段论的众多可能性中，他讨论的是标准的，增加了一个新的例子。
3.2 类符号和选举符号
_MAL_的_Introduction_章节以布尔回顾符号方法开始：
分析过程的有效性并不取决于所使用的符号的解释，而完全取决于它们的组合规律。
第二章_First Principles_让符号 1 代表“包括每一种可想象的对象类，无论实际存在与否”的宇宙。大写字母 X，Y，Z，...表示类。然后，毫无疑问，受到他在微分算子上使用代数技术取得的非常成功的工作的影响，并与德·摩根 1839 年关于代数学家更喜欢将符号解释为运算符的断言一致，布尔引入了对应于类 X 的选举符号 x，对应于 Y 的选举符号 y，等等。_选举符号_表示选举运算符——例如，当应用于一个类时，选举运算符_red_会选出类中的红色物品。
然后乔治·布尔说：“当没有主语被表达时，我们应该假定 1（宇宙）是被理解的主语”。他继续解释说，x(1)就是 X。显然，这意味着，除了定义选择符号 x 之外，当遇到没有主语的术语 x 时，实际上在处理 X。
3.3 选择符号的运算和法则
布尔引入的第一个运算是乘法 xy。乘法的标准并置符号 xy 也对运算符（例如微分运算符）有一个标准含义，即首先将 y 应用于一个对象，然后将 x 应用于结果。正如西奥多·海尔佩林（1916–2014）（1981 年，第 176 页；1986 年，第 67,68 页）所指出的，这一建立的符号约定使布尔得出了他对选择符号乘法 xy 的解释，即这两个运算符的_组合_。因此，当遇到没有主语的表达式 xy 时，实际上在处理类 x(y(1))，“结果是那个既是 X 又是 Y 的类”。我们称这个类为 X 和 Y 的交集。在_LT_中，布尔取消了（不必要的）选择符号的使用，简单地让 x、y 表示类，其中 xy 是它们的交集。
第一条定律在 MAL (第 16 页) 中是 分配律
x(u+v)=xu+xv,
布尔说，u+v 对应于将一个类分成两部分，显然意味着 U 和 V 是不相交的类。这是 MAL 中首次提到加法。
他添加了（MAL，第 17 页）交换律 xy=yx 和 指数法则 xn=x — 在_LT_中，后者将被_对偶律_ x2=x 取代（1870 年由哈佛数学家本杰明·皮尔斯（1809-1880）称为_幂等律_，在另一个背景下）。
在陈述以上分配和交换律之后，布尔相信他有权充分运用当时的普通代数，称（MAL，第 18 页）：
所有常见代数的过程都适用于当前系统。
乔治·布尔超越了格雷戈里在 1840 年使用的符号代数基础，他增加了德·摩根在 1841 年提出的推理单一规则，即对等主题上执行的等效操作会产生等效结果。
3.4 普通代数
对于现代读者来说，很可能更难理解布尔代数是基于普通代数，即数字代数，而不是布尔的同时代人可能会更容易理解这一点——现代读者已经接触过现代布尔代数（也许是布尔环）。在 19 世纪中叶，对大多数数学家来说，代数 这个词仅仅意味着数字代数。
乔治·布尔的逻辑代数的三大定律对_MAL_后续内容来说明显不足。读者大多数情况下可以假设布尔在进行普通多项式代数运算，只是增加了一个假设，即可将任意选举符号 x 的幂 xn 替换为 x。可以安全地假设在普通代数中成立的任何多项式方程_p = q_在布尔代数中也成立，以及任何等式论证
p1=q1,…,pk=qk∴p=q
在普通代数中成立。
[注意：论证“x2=x∴x=1 或 x=0”在普通代数中是有效的，但它_不是_一个等式论证，因为结论是等式的析取，而不是单个等式。]
乔治·布尔代数主要涉及整数系数的多项式，以及当变量仅限于取值 0 和 1 时的值。以下是乔治·布尔工作中一些关键多项式及其在{0,1}上的值：
| x | y | 1−x | x−x2 | xy | x+y | x−y | x+y−xy | x+y−2xy |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
请注意，上表中的所有多项式 p(x,y)，除了加法和减法外，在变量取值为 {0,1} 时取值为 {0,1}。这些多项式在计算机科学和电气工程中被称为_切换函数_，作为 {0,1} 上的函数，它们是幂等的，即 p2= p。切换函数恰好是布尔代数中的幂等多项式。
3.5 指数法则的影响
在乔治·布尔的代数中，任何一个单变量的多项式 p(x) 都可以化简为一个线性多项式 ax+b，因为有
anxn+⋯+a1x+a0=anx+⋯+a1x+a0=(an+⋯+a1)x+a0。
同样，任何多项式 p(x,y) 都可以表示为 axy+bx+cy+d。等等。
然而，乔治·布尔 对于 ax+b 可以被写成 x 和 1−x 的线性组合这一事实更感兴趣，即
ax+b=(a+b)x+b(1−x) 。
这给出了他在一个变量中的_扩展定理_：
p(x)=p(1)x+p(0)(1−x).
在两个变量中的多项式的扩展定理
p(x,y)=p(1,1)xy+p(1,0)x(1−y) +p(0,1)(1−x)y+p(0,0)(1−x)(1−y).
例如，
x+y=2xy+x(1−y)+(1−x)yx−y=x(1−y)−(1−x)y.
表达式 xy,…,(1−x)(1−y)，被称为 p(x,y)的_组成部分_——最好称它们为变量 x,y 的组成部分——而系数 p(1,1),…,p(0,0)是 p(x,y)的_模数_。
对于任意数量变量的多项式，类似的结果成立(MAL, pp. 62–64)，对于给定变量列表的组成部分有三个重要事实：
每个组成部分都是幂等的，
两个不同成分的乘积为 0，
所有成分的总和为 1。
3.6 范畴命题的等式表达
在章节_表达与解释_中，乔治·布尔说：“非 X 类将由符号 1-x 确定”。这是_MAL_中_减法_的首次出现。布尔对亚里士多德范畴命题的最初等式表达式（MAL，第 21,22 页）将被称为他的_初级_表达式。然后在接下来的几页中，他添加了补充表达式；其中主要的将被称为_次级_表达式。
| 命题 | 初级表达式 | 次级表达式 |
| --- | --- | --- |
| 所有 X 是 Y | x=xy | x=vy |
| 没有 X 是 Y | xy=0 | x=v(1−y) |
| 一些 X 是 Y | v=xy | vx=vy |
| 一些 X 不是 Y | v=x(1−y) | vx=v(1−y) |
给出的第一个主要表达式是 所有 X 都是 Y，然后他将其转换为 x(1−y)=0。这是 MAL 中第一次出现 0。它并没有被引入作为空类的符号—实际上空类在 MAL 中并不出现。显然，“=0” 在 MAL 中扮演了谓词的角色，方程 E=0 断言了由 E 表示的类根本不存在。（在 LT 中，我们所称的空类被引入并用 0 表示。）
推理是对 排除 的一种练习，即从前提中排除中间项以得出结论。排除是方程论中的一个标准主题，布尔借用了关于两个方程的简单排除结果，用于他的逻辑代数—如果一个三段论的前提涉及类 X、Y 和 Z，并且想要排除中间项 Y，那么布尔将两个前提的方程式写成以下形式
ay+b=0cy+d=0
where y does not appear in the coefficients a,b,c,d. The result of eliminating y in ordinary algebra gives the equation
ad−bc=0,
这就是乔治·布尔在_MAL_中使用的内容。不幸的是，这对于布尔代数来说是一个弱消除结果。人们发现，使用_LT_的改进的简化和消除定理，消除的最佳可能结果是
(b2+d2)[(a+b)2+(c+d)2]=0.
将弱消除应用于主等式表达式并不足以推导出所有有效的三段论。例如，在前提具有主要表达式 ay=0 和 cy=0 的情况下，这种消除会得到 0=0，即使存在一个非平凡的结论。布尔引入了替代等式表达式（见_MAL_，第 32 页）的范畴命题，以便能够推导出所有有效的三段论。
在范畴三段论章节的末尾，有一个长长的脚注（MAL，第 42-45 页），声称（MAL，第 42, 43 页）仅次要表达式就足以分析[他对亚里士多德范畴逻辑的概括]。这个脚注失去了很多力量，因为它所呈现的结果在很大程度上取决于弱消除定理是最佳的，而事实并非如此。关于次要表达式，在《MAL》的附言中，他说：
在那里给出的用于三段论中命题表达的方程系统总是比以前使用的那个更可取—首先，在一般性上—其次，在解释的便利性上。
他对这一主张的辩护将出现在《LT》中。事实上，布尔在《LT》中仅使用了《MAL》的次要表达式将命题表达为方程，但读者将不再找到对亚里士多德逻辑进行悠闲和详细处理的内容—对这一主题的讨论被推迟到逻辑的最后一章，即第十五章（《LT》中唯一分析特定命题的章节）。在这一章中，他将逻辑代数应用于亚里士多德逻辑的方式呈现得非常简洁（省略了所有的简化、消除和解决步骤的细节），最终得出了如此冗长的方程，以至于读者不太可能想要核实布尔的分析是否正确。
3.7 假设性三段论
在《MAL》的第 48 页上，乔治·布尔说：
假设性命题被定义为_由一个联结词（或连词）连接的两个或多个范畴命题_，不同种类的假设性命题根据它们各自的连词命名，即条件性（如果）、析取性（要么，要么），等等。
乔治·布尔分析了在亚里士多德逻辑中标准的七种_假设三段论_，从建设性和破坏性条件到复杂的破坏性困境。让大写字母 X，Y，...代表范畴命题，传统上涉及假设三段论的_假设命题_形式之一是_X 为真_，X 为假，如果 X 为真，则 Y 为真，X 为真或 Y 为真或... ，以及_X 为真且 Y 为真且..._ 在假设三段论章节的结尾，他指出很容易创造新的命题，可以通过使用混合的假设命题（如_如果 X 为真，则 Y 为真，或 Z 为真_）来丰富这一系列。
在这一章中最重要的是布尔声称他的范畴命题逻辑代数同样适用于研究假设三段论。这是基于采用将假设命题标准化为关于类的命题的标准化，通过让_假设宇宙_，也用 1 表示，“包括所有可想象的情况和情况的结合”。显然，他对_情况_的概念是将真值分配给命题变量。对于 X 为范畴命题，布尔让 x 表示选择性运算符，选择 X 为真的情况。
布尔说_范畴命题的宇宙_有两种情况，真_和_假。为了找到假设命题的等式表达式，布尔求助于真值表的一个近亲（MAL，第 50 页）。对于每种情况，即对 X 和 Y 的真值分配，他关联了一个选择性表达式如下：
| 情况 | 选定表达式 |
| --- | --- |
| X 真, Y 真 | xy |
| X true, Y false | x(1−y) |
| X false, Y true | (1−x)y |
| X false, Y false | (1−x)(1−y) |
这些选举表达式当然是 x, y 的_组成部分_。
乔治·布尔 通过确定公式成立的所有不同情况（真值的赋值）来用选举方程 ϕ(x,y,…) = 1 表达一个命题公式 Φ(X,Y,…) ，然后将它们对应的选举表达式相加以获得 ϕ。
例如，对于_X 为真或 Y 为真_这一选举表达式，其中_或_是包容的，因此为 xy+x(1−y)+(1−x)y=1，简化为 x+y−xy=1。
乔治·布尔并没有现代观点，即命题公式可以被视为在真值{T, F}上的函数，取值为{T, F}。函数观点为我们提供了一种算法，用于确定哪些成分应被求和以给出所需的选择表达式，即与命题公式取值为 T 的情况相关联的那些成分。
通过不将命题公式视为在{T, F}上的函数，乔治·布尔错过了成为真值表的发明者。他分析假言三段论的代数方法是将每个假设前提转化为一个选择方程，然后应用他的逻辑代数（为范畴命题而开发）。例如，前提_X 为真或 Y 为真_，其中_或_是包容的，以及_X 为假_，由方程 x+y−xy=1 和 x=0 表示。由此立即得出 y=1，得出结论_Y 为真_。
乔治·布尔仅考虑了相当简单的假设命题，因为这些是在常见用法中遇到的唯一命题（见_LT_，第 172 页）。他对命题逻辑的代数方法很容易扩展到所有命题公式，如下所示。对于 Φ 为命题公式，相关的选择函数 Φ∗ 被递归地定义如下：
0∗=0; 1∗=1; X∗=x;
(not-Φ)∗=1−Φ∗;
(Φ and Ψ)∗=Φ∗⋅Ψ∗;
(Φ 或 Ψ)∗=Φ∗+Ψ∗−Φ∗⋅Ψ∗，其中“或”是包容的；
(Φ 异或 Ψ)∗=Φ∗+Ψ∗−2Φ∗⋅Ψ∗，其中“或”是排他的；
(Φ 蕴含 Ψ)∗=1−Φ∗+Φ∗⋅Ψ∗；
(Φ iff Ψ)∗=Φ∗⋅Ψ∗+(1−Φ∗)⋅(1−Ψ∗).
然后有：
Φ is a tautology iff Φ∗=1 is valid in 乔治·布尔's algebra.
Φ1, ... , Φk∴Φ 在命题逻辑中是有效的，当且仅当
Φ∗1=1,…,Φ∗k=1∴Φ∗=1 在乔治·布尔代数中是有效的。
这看起来与现代命题逻辑相当不同，现代命题逻辑中人们会取一些公理，比如 X→(Y→X)，以及推理规则如假言三段论来构建一个演绎系统。
这种从 Φ 到 Φ∗ 的翻译，被视为将现代布尔代数的表达式映射到多项式，在 1933 年哈斯勒·惠特尼（1907–1989）的论文《特征函数与逻辑代数》中提出，其目的是表明人们不需要学习逻辑代数[现代布尔代数]来验证布尔代数的等式定律和等式论证——它们可以被翻译成人们熟悉的普通代数。哈佛计算实验室主任霍华德·艾肯（1900–1973）在他 1951 年的书《电子计算与控制电路的综合》中使用了这种将逻辑函数翻译成普通代数的方法，明确表示他更喜欢布尔的数值函数方法，而不是布尔代数或命题逻辑。
3.8 乔治·布尔代数在_MAL_中的一般定理
从《选举函数的性质》一章开始，布尔为处理选举函数和方程式开发了一般定理——扩展（或发展）定理（在第 3.5 节中描述）和成分的性质在这一章中讨论。他在证明扩展定理的单变量情况时使用了选举函数的幂级数展开（MAL，第 60 页），也许打算将其应用于有理选举函数。
运算多项式函数的除法是在_MAL_中引入的，但在他的逻辑代数中从未成功发展出来——没有关于如何处理除法的等式法则。在_LT_中被放弃，除了在解多项式方程时经常用作记忆辅助工具。从展开定理和成分的性质中，他表明两个选举函数的和/差/积的模数是这两个函数对应模数的和/差/积。
展开定理被用来证明一个重要结果（MAL，第 61 页），即如果 Boole 的代数中对应的_模数_相同，则 p(x)和 q(x)等价，即 p(1)=q(1)和 p(0)=q(0)。这个结果推广到多个变量的函数。在_LT_中不会这样陈述，但会被吸收到更一般的（虽然陈述有些晦涩）结果中，这个结果将被称为 0 和 1 的规则。
使用展开定理，Boole 表明（MAL，第 64 页）每个选举方程 p=0 都等价于成分方程 r=0 的集合，其中在 p 的展开中 r 的模数（系数）不为零，因此_每个选举方程都是可解释的_。此外，这导致（MAL，第 65 页）p=0 等价于方程 q=0，其中 q 是 p 的展开中模数非零的成分的和。
作为例子，考虑方程 x+y=0 和 x−y=0。以下表格给出了展开式的构成部分和模量：
| x | y | 构成部分 | x+y | x−y |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | xy | 2 | 0 |
| 1 | 0 | x(1−y) | 1 | 1 |
| 0 | 1 | (1−x)y | 1 | −1 |
| 0 | 0 | (1−x)(1−y) | 0 | 0 |
因此 x+y=0 等价于以下组成方程的集合
xy=0, x(1−y)=0, (1−x)y=0
以及对于单一方程
xy+x(1−y)+(1−x)y=0,
和 x−y=0 等同于组成方程的集合
x(1−y)=0, (1−x)y=0
as well as to the single equation
x(1−y)+(1−x)y=0.
_解决定理_描述了如何解决一个选举方程中的一个符号，而其他符号则以其他符号表示，通常引入独立变量的约束方程。在他的逻辑代数中，他总是可以解决一个选举方程中的任何一个选举符号。例如，方程式 q(x)y=p(x) 通过使用形式除法 y=p(x)/q(x) 解决，然后使用形式展开得到 y=ax+b(1−x) 其中 a=p(1)/q(1) 和 b=p(0)/q(0)，然后解码分数系数。这个定理将在第 6.2 节的第 7 步中更详细地讨论。
布尔的最后一个例子（MAL，第 78 页）是解三个未知数的三个方程之一，以其他两个未知数表示。这个例子使用了一种处理分析中的附加条件的众所周知的技术，称为拉格朗日乘数法—这种方法（将例子中的三个方程简化为五个未知数中的一个方程）在 LT （第 117 页）中再次出现，但只使用了一次。它被平方和简化（LT，第 121 页）所取代，不引入新变量。使用 LT 中的简化和消除定理，人们发现布尔的三个方程示例的约束方程（3）（MAL，第 80 页）太过薄弱—每个乘积应为 0，并且还有额外的约束方程。
MAL 比 LT 更清楚地展示了布尔的逻辑代数是如何基于普通代数加上幂等律的。他从普通代数借来的消除定理结果比他的代数提供的要弱，而将方程简化为单一方程的方法比 LT 中使用的主要方法更笨拙，但是展开定理和解决定理是相同的。人们看到 MAL 不仅包含了 LT 的基本轮廓，还有一些部分得到了充分发展。幂级数在 LT 中并没有完全被放弃—它们出现了，但只是在一个脚注中（LT，第 72 页）。
4. 思维定律（1854）
乔治·布尔的第二本逻辑书《思维定律研究》，发表于 1854 年，逻辑部分致力于澄清和纠正《MAL》中的内容，并提供更实质性的应用，其中主要的一个是他在概率论方面的重要工作。在第一章的结尾，布尔提到了利用概率论的理论可能性，结合他的逻辑代数，通过大量（人类）计算机分析大量社会数据，揭示统治社会的基本法则的可能性。
布尔使用拉丁字母表末尾的小写拉丁字母，如 x、y、z，来表示类。_全集_是一个类，用 1 表示；还有一个描述为“无”的类，用 0 表示，我们称之为空类。_乘法_的运算被定义为我们称之为交集，这导致了他的第一个定律，xy=yx，然后是幂等律 x2=x。_加法_是在类不相交时引入的聚合。他陈述了加法的交换律，x+y=y+x，以及分配律 z(x+y)=zx+zy。接着是 x−y=−y+x 和 z(x−y)=zx−zy。对于加法和乘法的结合律却明显缺失。
idempotent law x^2=x 与 Boole 的常规代数定律不同——它仅适用于单个类符号，而不适用于可以从这些符号构建的复合术语。例如，在 Boole 的系统中，我们没有 (x+y)^2=x+y，否则通过普通代数与幂等类符号，这将意味着 2xy=0，然后 xy=0，这将迫使 x 和 y 代表不相交的类。但并非每对类都是不相交的。
正是这种等式论证，即 (x+y)^2=x+y 暗示 xy=0，导致 Boole 将加法 x+y 视为部分运算，仅在 xy=0 时定义，也就是说，当 x 和 y 是不相交的类时。他写下这个论证的唯一地方是在他未发表的笔记中——参见^ ^Boole: Selected Manuscripts …^^, 1997，由 Ivor Grattan-Guiness 和 Gérard Bornet 编辑，第 91,92 页。类似的等式论证，即 (x−y)^2=x−y 暗示 y=xy，导致 x−y 仅在 y=xy 时定义，也就是说，当 y=x∩y 时，这与 y⊆x 相同。
直到 LT 的第 66 页，Boole 才清楚地告知读者，加法（在第 33 页引入）是类的部分运算：
表达式 x+y 确实看起来无法解释，除非假定由 x 表示的事物和由 y 表示的事物是完全分开的；它们没有共同的个体。
关于减法是部分运算的类似说法直到第 93 页才出现：
后一个函数假定，作为其解释的条件，由 y 表示的类完全包含在由 x 表示的类中。
这里的“后者函数”指的是 x−y。关于一个主题的相关事实的分散，比如加法和减法的基本运算的定义，并不对读者有所帮助。
处理部分代数时需要谨慎的另一个例子是，布尔选择二元减法作为基本运算，而不是环论中标准的加法逆运算。请注意，布尔代数的标准运算并、对称差、交和补集在布尔的部分代数中是可定义的，他使用这些完全定义的术语来通过等式表达关于类的命题：
x∪y:=x+(1−x)yx△y:=x(1−y)+(1−x)yx∩y:=xyx′:=1−x。
减法是为了找到一个完全定义的术语，即 1−x，它表示 x 的补集。术语 1+(−x)，像 −x 一样，在乔治·布尔的部分代数中仅对 x=0 定义。
相同的三个方程式定义了标准布尔类环中的类的布尔代数，其中加法是对称差，除此之外减法是一个派生操作，即 1−x 被定义为 1+(−x)，一元减号是布尔环中的基本操作，实际上是在任何环中。
人们可能期望乔治·布尔正在建立一个关于他的逻辑代数的公理基础，正如他在《数理逻辑》中（错误地）声称的那样，这样可以证明使用所有常见代数的过程。事实上，他确实讨论了推理规则，即相等加减等于相等，相等乘以相等等于相等。但是，公理化方法的发展突然中止了。关于他所称的“定律”（他称之为“法则”）和推理规则（他称之为“公理”）是否足以支持他的逻辑代数，没有讨论。（它们不够。）相反，他只是简单而简要地，没有引起太多轰动，为他的逻辑代数提出了一个根本性的新基础（LT 页 37,38）：
让我们设想一种代数，其中符号 x、y、z 等可以等价地取值为 0 和 1，仅限于这些值。这种代数的法则、公理和过程将在整个范围内与逻辑代数的法则、公理和过程完全相同。唯一的区别在于解释的不同。基于这一原则，以下工作的方法得以确立。
请注意，这种代数将变量的值限制为 0 和 1，但对术语的值没有这样的限制。并没有断言这将是一个双元代数。Burris 和 Sankappanavar（2013）认为，这段引文表明这种代数只是通过将变量限制为值为 0 和 1 来修改数字的普通代数，以确定论证的有效性。他们称之为布尔的“0 和 1 法则”，并说他使用这个法则来证明他的三个主要定理（展开、简化、消去）。这些主要定理连同解决定理产生了布尔的一般方法，用于在某些期望的约束条件下发现命题前提的最强大可能的结果（例如消除某些变量）。关于这个法则的进一步评论在第 5.2 节中。
在第五章中，他为自己的工作中使用“不可解释的”进行了辩护；作为使用符号代数中不可解释步骤的理由的一部分，他指出了 √−1 用于获得三角恒等式的众所周知的用法。不幸的是，他的“符号推理原理”通常不适用于部分代数，即某些运算仅部分定义的情况，例如布尔代数中的加法和减法。尽管如此，结果表明，可以证明它们适用于他的逻辑代数。在接下来的章节中，他提出了展开定理、新的全强度消去定理、改进的简化定理以及解决定理，其中形式化的除法和形式化的展开被用来解方程。
乔治·布尔在第六章第 13 节转向了逻辑函数的可解释性主题。他在_MAL_中已经声明_每个方程都是可解释的_（通过展示一个方程等同于一组组成方程）。然而，代数术语不一定是可解释的，例如，1+1 不可解释。有些术语是部分可解释的，等价术语可能具有不同的可解释域。在第六章第 13 节中，他得出结论，多项式 p 等价于一个（完全）可解释函数的条件是满足 p²=p，这种情况下它等价于一组不同组成部分的和，即属于 p 的非消失模数的那些部分。多项式是幂等的当且仅当它的所有模数都是幂等的，也就是说，它们在{0,1}中，这种情况下多项式的展开是一组不同组成部分的和（或者是 0）。
布尔的第十一章_次要命题_与_MAL_中的处理平行，只是他从使用_X 为真时的情况_改为使用_X 为真的时候_。在第十三章中，布尔选择了克拉克和斯宾诺莎的论点，关于永恒存在的本质，放在他的逻辑代数放大镜下进行研究，从评论开始（LT，第 185 页）：
这一探讨的主要实际困难将在于确定前提而不是将方法应用于一旦确定的前提上。
一项结论是（LT，第 216 页）：
我认为，从克拉克和斯宾诺莎的论点的阅读中，不可能不深刻地认识到，完全从先验的角度建立无限存在的存在，他的属性以及他与宇宙的关系的所有努力的徒劳。
在逻辑的最后一章，第十五章中，乔治·布尔提出了他对亚里士多德逻辑的转换和三段论的分析。他现在认为这种古老的逻辑是一个脆弱、支离破碎的逻辑系统的尝试。这一被忽视的章节非常有趣，因为这是他分析特定命题的_唯一_一章，他在其中必须使用额外的字母如_v_来编码_一些_。这也是他在其中不完全陈述了处理_一些_的规则的章节。
Boole 在《LT》的第 XV 章中指出，当关于 X 和 Y 的前提被表达为涉及 x、y 和 v 的方程时，符号 v 表达了_一些_，但仅限于它出现在前提中的上下文。例如，所有 X 都是 Y_有表达式 x=vy，暗示 vx=vy。这可以被解释为_一些 X 是 Y。vx=vy 的一个结果是 v(1−x)=v(1−y)。然而，不允许将其解读为_一些非 X 是非 Y_，因为 v 未与 1−x 或 1−y 一起出现在前提中。
在第 XV 章中，Boole 向读者简要总结了传统的亚里士多德范畴逻辑，并使用他的逻辑代数通过特设技巧分析了一些简单的例子。然后，他开始证明一个全面的结果，通过将他的一般方法应用于以下方程组：
vx=v′ywz=w′y.
这是_像_中项的情况。他允许一些参数 v,v′,w,w′被 1 替换，但不能同时替换 v,v′和 w,w′为 1。一个也可以在两个方程中将 y 替换为 1−y，并独立地将 x 替换为 1−x 和 z 替换为 1−z。许多范畴三段论的前提可以用这种形式表达。他的目标是消除 y，并找到关于 z,v,v′,w,w′的 x,1−x 和 vx 的表达式。
布尔省略了将一对方程简化为单个方程，以及从这个方程中消除中项 y 以及应用解决定理以获得所需的关于 x,1−x 和 vx 的表达式，这三个方程涉及大型代数表达式的细节。
他对这个相当复杂的代数分析的解释总结简单地是_在至少有一个中项是普遍的像中项的情况下，使极端相等_。例如，前提_所有 y 都是 x_和_一些 z 是 y_由一对方程表示
vx=ywz=w′y.
Thus the conclusion equation is vx=wz, which has the interpretation Some x is z.
Then he noted that the remaining categorical syllogisms are such that their premises can be put in the form:
vx=v′ywz=w′(1−y).
这是_不同_中项的情况。这导致另一组大方程，再次省略了推导的细节，但布尔简要总结为两个步骤。
首先，在至少有一个普遍极端的不同中项的情况下，改变该极端的数量和质量，并将其与另一个极端相等。例如，前提_所有 x 都不是 y_和_一些 z 是 y_给出了一对方程式
x=v′(1−y)wz=w′y.
因此，结论方程式是 v(1−x)=wz，其解释是 Some not-x is z。
其次，在不同的中间条件的情况下，两者都是普遍的，改变一个极端的数量和质量，并将其等同于另一个极端。例如，前提 All not-y is x 和 All y is z 给出了一对方程式
vx=(1−y)wz=y.
Thus one conclusion equation is 1−x=wz, which has the interpretation All not-x is z. The other is vx=1−z, which has the interpretation All not-z is x. Each of these two propositions is just the conversion by negation of the other.
乔治·布尔 noted (LT p. 237) that:
调查过程推导出它们的过程可能看起来过于复杂；可以肯定的是，它们本可以更容易地获得，而且完全不需要任何符号工具的帮助。
5. 后续发展
5.1 对乔治·布尔逻辑代数的反对
多年来，对乔治·布尔系统的许多反对意见已经发表；其中最重要的四个关注点是：
对常见代数的依赖，
推导过程中使用无法解释的表达式，
对等式处理特定命题的方法，以及
处理除法的方法。
例如，乔治·布尔在命题的等式表达中使用 v 的方法一直是一个长期存在的争议。恩斯特·施罗德（1841-1902）在他的《逻辑代数》第二卷（1891 年，第 91 页）中认为，关于类的特定命题在逻辑代数中根本无法用等式表达。
我们来看一个不同的反对意见，即 Boole/Jevons 就将 x+x=x 作为一条定律进行争论。
[以下细节摘自 1914 年 Philip Jourdain 的《数理逻辑理论与数学原理的发展》中的内容。]
在 1863 年写给 Boole 的一封信中，Jevons 谈到了一篇评论 Boole 系统草稿的问题，他考虑将其收录在即将出版的书籍《纯粹逻辑》（1864 年）中
很明显，然而，x+x 仅等同于 x，...；
乔治·布尔教授的符号[减法过程]与一个不言自明的法则不一致。
%% > 如果我的观点是正确的，他的系统将被视为真理和错误的最显著结合
乔治·布尔回答说：
因此，方程式 x+x=0 等同于方程式 x=0；但表达式 x+x 不等同于表达式 x。
杰文斯反问布尔是否能否认 x+x=x 的真理。
乔治·布尔 显然恼火地回答说：
要明确的是，我现在回答，逻辑中的 x+x=x 并不成立，尽管 x+x=0 等同于 x=0 是正确的。如果我不多写一些，这并不是因为不愿与您讨论这个问题，而仅仅是因为如果我们在这个基本观点上存在分歧，那么我们在其他方面就不可能达成一致。
杰文斯最后一次努力让乔治·布尔理解这个问题是：
我不怀疑你可以坚持...[x+x=x 不成立]，根据你的系统的规律，有了这个解释，你的系统可能与自身完全一致... 但问题变得更广泛——你的系统是否对应于常规思维的逻辑？
Jevons 的新定律，x+x=x，源于他坚信+应表示我们现在称之为并集的概念，其中 x+y 的成员由包容性的_或_给出。布尔简单地没有看到任何定义 x+y 为一个类的方法，除非 x 和 y 是不相交的，正如前面所指出的那样。
关于为什么布尔无法理解 Jevons 的建议的可能性，已经有各种解释。布尔显然具有并集的语义概念——他将 x 和 y 的并集表示为 x+(1−x)y，这是两个不相交类的总和，并指出这个类的元素是属于 x 或 y 或两者的元素。那么他为什么完全看不到将并集作为他的基本运算+而不是他奇怪的部分并集运算的可能性呢？
答案很简单：定律 x+x=x 将破坏他使用_普通_代数的能力：从 x+x=x，根据普通代数，得到 x=0。这将迫使每个类符号表示空类。如果一个人致力于在普通代数的法则和推理规则之上构建逻辑代数，那么 Jevons 提出的定律 x+x=x 就不成立。 （布尔环满足普通代数的所有法则，但并非所有推理，例如，2x=0 暗示 x=0 在布尔环中不成立。）布尔似乎找到了构建一个模型的最简单方法——其域是包含在论域中的类的代数，允许使用对数字有效的_所有_等式和等式论证。
5.2 乔治·布尔 系统的现代重建
一个常见的误解是，乔治·布尔 的逻辑代数是具有并、交和补集的布尔代数。这个错误在哈尔佩林在他 1981 年的论文《布尔代数不是布尔代数》中得到了有力的指出，这个主题在他开创性的书籍《乔治·布尔 的逻辑与概率》(1986) 中得到了重复。尽管乔治·布尔 代数和布尔代数这两种代数的目标是相同的，即为类的演算和命题逻辑提供一个等式逻辑。多亏了哈尔佩林的著作，第一次清楚地说明了为什么乔治·布尔 代数给出了正确的结果。
在他 1959 年的《JSL 评论文章》中，迈克尔·邓梅特说：
任何不熟悉乔治·布尔的作品的人在发现他的理论实际上是多么不完善，以及他对此的解释是多么混乱时，都会感到不快。
例如，人们找不到乔治·布尔所说的_等价_或_可解释_的清晰表述。对于熟悉部分代数的人来说，后一个词很容易被理解为_被定义_——代数术语的定义域具有递归定义，就像代数术语本身具有递归定义一样。在验证了像_LT_中那些展示乔治·布尔代数方法对于关于类的命题给出正确结果的示例之后，那些想要理解乔治·布尔逻辑代数的人面临的挑战是，要使乔治·布尔代数的基础足够明确，以便能够证明他所使用的代数程序的合理性。
在_LT_中，乔治·布尔详细说明了如何使用他的代数从关于类的命题前提中得出有效的命题结论，当命题是普遍的时候。（他避免了特定命题，直到_LT_关于逻辑的最后一章第十五章。）他展示了如何将英语语言命题表达为方程，获得所需结论方程所需的步骤，以及如何将它们解释为前提的结论命题。代数步骤可能很冗长，他在第九章中提供了一些快捷方式，但我们现在知道，进行这类推断的任何方法都将面临随着命题变量数量的增加而迅速增长的计算复杂性。
正如杜梅特上面的评论所述，乔治·布尔对他的代数为什么能够按照所声称的那样运作并从前提中得出最佳结论一事并不清楚。这激发了对乔治·布尔的本意是什么，或者应该说什么，以及他的论证在多大程度上是有效的的广泛评论。
杰文斯（1864 年）对乔治·布尔的逻辑代数的缺点提出了尖锐的批评，并放弃了它，创立了现代布尔代数的第一个版本。（他没有现在标准的一元补运算，而是使用了德摩根的约定，即类 A 的补是 a。）杰文斯 1864 年的书名以“纯逻辑”一词开头，指的是他的逻辑代数版本已经摆脱了与数字代数的联系。相同的观点也会在怀特海德和罗素的《数学原理》的引言中提出，他们采用了皮亚诺的符号表示部分是为了使他们的工作摆脱这种联系。
根据海尔佩林（1986 年）的说法，乔治·布尔代数的证明理论方面仅仅是非平凡交换环与单位和显著幂等元素相同，但没有非零加法或乘法幂零元素。他最喜欢的模型是带符号的多重集合环，他用它们来解释为什么乔治·布尔的定理对于“普遍”命题的逻辑代数是正确的。（海尔佩林的分析不适用于特定命题。）
弗兰克·W·布朗（Frank W. Brown）的论文《乔治·布尔的演绎系统》（2009）声称，可以通过在多项式环 Z[X]上模掉某个理想来避免 Hailperin 的带符号多重集。
Burris 和 Sankappanavar（2013）利用了乔治·布尔的模型，一个部分代数，同构于将环 ZU 中的加法、乘法和减法的运算限制到环的幂等元素。这里 Z 是整数环，U 是论域。由此可以推断，当变量限制为 0 和 1 时，在 Z 中成立的任何 Horn 句子在将变量限制为幂等元素时也将在 ZU 中成立，从而将在乔治·布尔的部分代数中成立。这提供了乔治·布尔的 0 和 1 规则的扩展版本，由于他的主要结果（展开、简化、消除和解决）可以用这样的 Horn 句子来表达，因此可以迅速证明它们确实有效。
6. 乔治·布尔的方法
在阅读这一部分时，关于乔治·布尔方法的技术细节，读者可能会发现参考
这些例子已经增加了评论，解释了在乔治·布尔的推导的每一步中使用了他的方法的哪个方面。
6.1 乔治·布尔 在 LT 中使用的三种论证分析方法
布尔在 LT 中使用了三种方法来分析论证：
第一种是纯粹的特设代数操作，这些操作是与在 MAL 中的亚里士多德论证（Aristotelian arguments）一起使用的（与排除定理（Elimination Theorem）的弱版本）。
其次，在《LT》的第 II 章第 15 节中，人们会发现这篇文章中所称的 0 和 1 规则的方法。
《LT》的定理结合在一起得出主要结果，
乔治·布尔的一般方法（在这篇文章中，它将始终用大写字母首字母来指代——布尔只是称其为“一种方法”）。
在应用临时方法时，他使用普通代数以及幂等律 x2=x 来操纵方程。没有预先建立的程序可供遵循——这种方法的成功取决于通过经验发展起来的直觉技能。
第二种方法是“0 和 1 法则”，非常强大，但它取决于提供一组前提方程和一个结论方程。这是一种类似真值表的方法（但布尔在应用该方法时从未绘制过表），用于确定论证是否正确。他仅使用此方法来建立证明他的“一般方法”合理的定理，即使它是验证简单论证（如三段论）的绝佳工具。布尔主要关注从给定前提中找到最一般的结论，除了他的一般定理外，他对简单验证逻辑论证没有兴趣。0 和 1 法则在《LT》中有点神秘——它没有名称，并在第五章第 6 节重新制定为一种在进行推导并遇到无法解释术语时使用的程序。
分析论证的第三种方法是布尔在逻辑学中的重点，他的“一般方法”（在此之后立即讨论）。这是他在《LT》中除了最简单的例子外都使用的方法；对于最简单的例子，他转而使用临时代数技术的第一种方法，因为对于熟练掌握代数操作的人来说，使用它们通常比通过“一般方法”更有效。
最终版本（来自_LT_）他的分析论证的一般方法，简要地陈述如下：
将前提命题表达为方程式，
对这些方程式应用一系列规定的代数过程，这些过程会产生所需的结论方程式，然后
将等式结论解释为命题结论，从而产生原始命题集的期望结果。
通过这种方法，乔治·布尔用例行机械代数程序取代了从前提命题到结论命题的推理艺术。在《LT》的 240 页上，他说总是在理论上可以通过拼凑三段论来进行消除，但没有给出这样做的方法（即算法）。
在《LT》中，乔治·布尔将命题分为两种，主要和次要。这些与亚里士多德将命题分为范畴和假设命题的划分相对应，但并非完全相同。首先我们讨论他应用于主要命题的一般方法。
6.2. 乔治·布尔的初等命题的一般方法
布尔认识到初等命题的三种“重要类型”（LT，第 64 页）：
所有 X 都是 Y
所有 X 都是所有 Y
一些 X 是 Y
这些是他对亚里士多德范畴命题的版本，其中 X 是主词， Y 是谓词。术语 X 和 Y 可以是复杂的，例如， X 可以是“要么 u 而不是-v，要么 w”。对于乔治·布尔来说，这些术语并不是非常复杂，最多是简单术语及其对立的析取和合取的组合，这无疑反映了自然语言术语并不是非常复杂。
步骤 1：命题术语如下所示由代数术语表示；可以用更复杂的术语替换 x, y。 布尔没有给出递归定义，只是一些简单的例子：
| 术语 | MAL | LT |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| universe | 1 | p.15 | 1 | p.48 |
| empty class | ––– | | 0 | p.47 |
| not x | 1−x | p.20 | 1−x | p.48 |
| x and y | xy | p.16 | xy | p.28 |
| x or y (inclusive) | ––– | | x+y(1−x) xy+x(1−y)+y(1−x) | p.56 |
| x 或 y（排他性） | ––– | | x(1−y)+y(1−x) | p.56 |
第 2 步：将命题项表示为代数项后，然后使用以下内容将命题表示为方程式；再次可以用更复杂的术语替换 x、y，但不能替换 v：
| 主要 命题 | MAL（1847） | LT（1854） |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 所有 x 都是 y | x(1−y)=0 | p.26 | x=vy | pp.64,152 |
| 没有 x 是 y | xy=0 | | (not primary) | ––– |
| 所有 x 是所有 y |（非主要）| ––– | x=y | |
| 一些 x 是 y | v=xy | | vx=vy | |
| 一些 x 不是 y | v=x(1−y) | |（非主要）| ––– |
在_LT_中，第十五章之前，即关于亚里士多德逻辑的那一章，布尔的例子只使用了普遍命题。(可以推测他在特殊命题方面遇到了困难，并且避开了它们。) 形式为_所有 x 都是 y_的命题首先被表达为 x=vy，然后 v 被立即消除，得到 x=xy。(类似地，如果 x 被替换为非 x，等等。) 布尔说，消除 v 是一个方便但不必要的步骤。对于前十四章中_所有 x 都是 y_的例子，他本可以简单地使用表达式 x=xy，跳过参数 v 的使用。
为了简化符号，他在有多个普遍前提的情况下使用了_相同_的字母，比如 v，用于_一些_，这是一个不正确的步骤，如果接受布尔的说法，即不需要立即消除 v。不同的普遍命题在翻译时需要不同的 v；否则会遇到以下情况。考虑两个前提_所有 x 都是 z_和_所有 y 都是 z_。对它们的等式表达式使用相同的 v 得到 x=vz 和 y=vz，导致方程 x=y，然后得出错误结论 x 等于 y。在第十五章中，他小心地为不同前提的表达式使用不同的 v。
布尔在 1847 年将四种范畴命题作为他的主要形式，但在 1854 年消除了否定的命题形式，指出可以将_非 y_改为_非 y_。因此，在 1854 年，他会用_所有 x 都不是 y_来表达_没有 x 是 y_，翻译为 x=v(1−y)，然后消除 v 以获得
x(1−(1−y))=0,
which simplifies to xy=0.
第 3 步：在代数形式中表达前提后，我们得到一组方程，比如
p1=q1,p2=q2,…,pn=qn.
Write these as equations with 0 on the right side, that is, as
r1=0,r2=0,…,rn=0,
与
r1:=p1−q1,r2:=p2−q2,…,rn:=pn−qn.
在第 X 章的第 3 节中提供了一种保持幂等性质的形成 ri 的替代方法，以防 pi 和 qi 具有此属性。
第 4 步：（简化）[LT（第 121 页）]
简化方程组
r1=0，r2=0，…，rn=0,
将一个方程 r=0。布尔有三种不同的方法来做到这一点——其中一种只适用于 ri 是幂等元的情况。他非常偏爱对平方求和：
r:=r21+⋯+r2n=0.
另一种形成 r 以保持幂等性质的替代方法，如果 ri 具有这种性质，则也在第 X 章的第 3 节中给出。
步骤 1 到 4 是乔治·布尔的一般方法中必不可少的。执行完这些步骤后，根据目标，有各种不同的继续选项。
第 5 步：（排除）[LT (p. 101)]
假设有人希望从 r=0 推导出涉及 r 中某些但不是全部类符号的最一般等式结论。那么就需要排除某些符号。假设 r 涉及类符号
x1,…,xj 和 y1,…,yk。
然后可以将 r 写成 r(x1,…,xj,y1,…,yk)。
乔治·布尔 消除符号 x1,…,xj 的程序
r(x1,…,xj,y1,…,yk)=0
to obtain
s(y1,…,yk)=0
是这样的：
形成所有可能的表达式 r(a1,…,aj,y1,…,yk)，其中 a1,…,aj 每个都是 0 或 1，然后
将所有这些表达式相乘以获得 s(y1,…,yk)。
例如，从
r(x1,x2,y)=0
中消除 x1,x2 得到
s(y)=0
where
s(y):=r(0,0,y)⋅r(0,1,y)⋅r(1,0,y)⋅r(1,1,y).
第 6 步：（发展，或扩展）[MAL （第 60 页），LT （第 72、73 页）]。
给定一个术语，比如 r(x1,…,xj,y1,…,yk)，可以根据类符号的子集来扩展这个术语。相对于 x1,…,xj 进行扩展得到
r= 术语之和 r(a1,…,aj,y1,…,yk)⋅C(a1,x1)⋯C(aj,xj)，
在这里，a1,…,aj 可以取所有长度为 j 的 0 和 1 序列，而 C(ai,xi) 的定义如下：
C(1,xi):=xi，且 C(0,xi):=1−xi。
这些乘积
C(a1,x1)⋯C(aj,xj)
是 x1,…,xj 的_组成部分_。对于 j 个符号，有 2j 个不同的组成部分——Venn 图的区域提供了一种流行的可视化组成部分的方式。方程的形式为
C(a1,x1)⋯C(aj,xj)=0
是一个_组成方程_。
步骤 7：（除法：解出一个类符号）[MAL (第 73 页), LT (第 86-92 页) ]
给定一个方程 r=0，假设想要解出这个方程中的一个类符号，比如说 x，用其他类符号来表示，假设它们是 y1,…,yk。解为：
r(x,y1,…,yk)=0
对于 x，首先让：
N(y1,…,yk)=r(0,y1,…,yk)D(y1,…,yk)=r(0,y1,…,yk)−r(1,y1,…,yk)。
然后：
(*)x=s(y1,…,yk)
其中 s(y1,…,yk) 是：
所有成分 C(a1,y1)⋯C(ak,yk) 的总和，其中 a1,…,ak 取遍所有由 0 和 1 组成的序列，满足：
N(a1,…,ak)=D(a1,…,ak)≠0,
加上
所有形式为 va1…ak⋅C(a1,y1)⋯C(ak,yk) 的所有项之和，其中：
N(a1,…,ak)=D(a1,…,ak)=0.
这里的 va1…ak 是参数，表示任意类（参数的出现类似于布尔在其中是专家的线性微分方程的解决方案中所见）。
将乔治·布尔称为“独立关系”的约束条件附加到方程(*)中时
D(a1,…,ak)≠N(a1,…,ak)≠0。
请注意要评估这些术语：
D(a1,…,ak) 和 N(a1,…,ak)
使用普通算术。 因此，解方程 r=0 对于一个类符号 x 给出一个方程
x=s(y1,…,yk),
也许带有约束性方程。 在第 92 页上，乔治·布尔指出，解加约束方程可以简单地写成
x=A+vBC=0，
其中 A、B 和 C 分别是不同成分的总和。
这个表达式给出了与乔治·布尔相同的解决方案，但没有像 0/0 和 1/0 这样神秘地使用分数。布尔使用正式的除法来表示 x 为 N 除以 D，然后进行一个正式的展开，其中成分 C(a1,y1)⋯C(ak,yk)的系数是分数。
N(a1,…,ak)/D(a1,…,ak).
他有以下规则来解码系数对其组成部分的影响：(1) 对于系数 m/m，其中 m≠0，保留组成部分在解决方案中；(2) 对于 0/m，其中 m≠0，删除组成部分；(3) 系数 0/0 被转换为任意参数；以及 (4) 任何其他系数表示组成部分将被移除并设置为 0。这种形式除法和形式展开的使用最好被视为一种巧妙的记忆设备。
第 8 步：(解释) [MAL pp. 64–65, LT (Chap. VI, esp. pp. 82–83)]
任何多项式方程 p(y1,…,yk)=0 都等价于组成方程的集合
C(a1,y1)⋯C(ak,yk)=0
其中 p(a1,…,ak) 不为 0。一个组成方程仅仅断言原始类和它们的补集的某个交集是空的。例如，
y1(1−y2)(1−y3)=0
表达了命题 所有 y1 都是 y2 或 y3，或者等价地说，所有 y1 不是 y2 就是 y3。将组成方程解释为命题是常规做法。
6.3. 乔治·布尔 的二次命题通用方法
次级命题是乔治·布尔版本的命题，在亚里士多德逻辑的假言三段论研究中遇到的命题，例如_如果 X 为真或 Y 为真，则 Z 为真_。符号 X、Y、Z 等指的是初级命题。与亚里士多德对假设命题的不完整处理相一致，布尔没有对他的次级命题可能形式给出精确描述。
布尔使用的关键（但非原创）观察是，次级命题可以转换为初级命题。在_MAL_中，他采纳了 Whately（1826 年）发现的惯例，即给定一个命题符号 X，符号 x 将表示_X 为真的情况_，而在_LT_中，布尔让 x 表示_X 为真的时刻_。有了这个，次级命题_如果 X 为真或 Y 为真，则 Z 为真_可以用_所有 x 或 y 是 z_来表示。方程 x=1 是_X 为真_的等式翻译（在所有情况下，或在所有时刻），而 x=0 表示_X 为假_（在所有情况下，或在所有时刻）。_所有情况_和_所有时刻_的概念取决于论域的选择。
有了这个翻译方案，可以清楚地看出布尔对次级命题的处理可以通过他为初级命题开发的方法进行分析。这就是布尔的命题逻辑。
乔治·布尔主要在_MAL_中使用亚里士多德命题，采用传统的分类和假设划分。在_LT_中，这种划分被类似但更一般的一级与二级分类所取代，其中主语和谓语被允许变成复杂的名称，并且论证中命题的数量变得不受限制。通过这一点，一级命题的逻辑与二级命题的逻辑之间的平行关系变得清晰，但有一个显著的区别，即似乎乔治·布尔考虑的二级命题总是转化为普遍的一级命题。
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Versions of Boole's work annotated by Stanley Burris:
Algebra of Logic (1847)
“The Calculus of Logic” (1848)
An Investigation of The Laws of Thought (1854), first 15 chapters.
Other entries at the The MacTutor History of Mathematics Archive:
Algebraic Logic Group, Alfred Reyni Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences
George Boole 200, maintained at University College Cork.
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