贝尔定理 Bell’s Theorem (Wayne Myrvold, Marco Genovese, and Abner Shimony)

首次发表于 2004 年 7 月 21 日；实质性修订于 2024 年 1 月 25 日

贝尔定理_是一系列结果的集合名称，所有这些结果都涉及从概率分布的条件中推导出的，这些条件受到局部因果性考虑的启发，以及通常被认为是温和的附加假设，关于空间分离实验结果的概率预测，这些预测与量子力学预测相冲突，对于适当选择的量子态和实验。这些概率预测采取不等式的形式，这些不等式必须由任何满足证明条件的理论导出的相关性满足，但在某些情况下，这些不等式被量子力学计算出的相关性所违反。这种类型的不等式被称为_贝尔不等式，有时也称为_贝尔型不等式_。贝尔定理表明，任何满足所施加条件的理论都无法在所有情况下重现量子力学的概率预测。

用于推导贝尔不等式的主要条件是一种称为_贝尔局域性_或_可分性_的条件。大致上，这个条件是指远距离事件之间的任何相关性都可以用局部术语解释，即归因于实验所涉及的粒子的共同源头的状态。详细陈述请参见第 3.1 节。

满足导致贝尔不等式的条件的理论与量子力学预测之间的不兼容性，使得可以通过实验来判断满足这些条件的理论类别与违反这些条件的理论类别（包括量子力学）之间的差异。在贝尔提出他的定理时，一个悬而未决的问题是，在考虑的情况下，量子力学预测的违反贝尔不等式的相关性是否在自然界中实现。从 20 世纪 70 年代开始，进行了一系列越来越复杂的实验，以测试贝尔不等式是否满足。除了少数例外，这些实验的结果都证实了量子力学的预测，违反了相关的贝尔不等式。然而，在 2015 年之前，这些实验中的每一个都存在至少两个漏洞之一，被称为_通信漏洞_或_局域性漏洞_，以及_检测漏洞_（请参见第 5 节）。2015 年进行了一系列实验，证明了在这些漏洞被堵塞的情况下违反贝尔不等式。违反贝尔不等式的实验性证明对我们的物理世界观产生了影响，因为导致贝尔不等式的条件可以说是量子力学出现之前被接受的物理世界观的一个组成部分。如果接受实验结果的教训，那么这些条件中的某一个或其他条件必须被拒绝。

在贝尔定理最初发表和阿斯佩克特及其合作者进行实验之间的大部分时间里，对贝尔定理的兴趣仅限于少数物理学家和哲学家。在那段时间里，物理学基础的讨论大多发生在一本名为《认识论信函》的印刷复印本中。在阿斯佩克特的实验之后（阿斯佩克特、格朗吉耶和罗杰，1982 年；阿斯佩克特、达利巴尔德和罗杰，1982 年），对贝尔定理的含义进行了大量的哲学讨论；有关当时哲学讨论的概述，请参阅 Cushing 和 McMullin（1989 年）的编辑。贝尔关于量子力学基础的论文集的出版（贝尔，1987b）也刺激了人们的兴趣。量子信息理论的兴起也有助于提高人们对贝尔定理重要性的认识。量子信息理论研究了量子纠缠如何用于执行经典上不可行的任务，这与贝尔定理所揭示的量子纠缠相关性与经典相关性之间的差异形成了鲜明对比。2014 年是贝尔定理最初发表的 50 周年，这一事件被《物理学杂志 A》（47，第 42 期，2014 年 10 月 24 日）的特刊、一本论文集（贝尔和高，2016 年）以及一个有 400 多名与会者的大型会议所纪念（请参阅 Bertlmann 和 Zeilinger，2017 年的编辑）。建议感兴趣的读者参阅这些论文集，了解有关贝尔定理相关主题的当前讨论概况。

物理学界对贝尔定理重要性态度的转变，通过将 2022 年诺贝尔物理学奖授予阿兰·阿斯佩克特、约翰·克劳泽和安东·泽林格而得到了戏剧性的证明，以表彰他们“通过纠缠光子的实验，建立了贝尔不等式的违背，并开创了量子信息科学”。

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1. 引言

1964 年，约翰·S·贝尔（John S. Bell）是北爱尔兰人，也是欧洲核子研究组织（CERN）的一名员工，他的主要研究领域是理论高能物理。他在短命的期刊《物理学》（Physics）上发表了一篇论文（Bell 1964），最终改变了量子力学基础研究的方向。

这篇论文展示了贝尔（1971 年，1976 年）本人以及他的追随者（Clauser、Horne、Shimony 和 Holt 1969 年，Clauser 和 Horne 1974 年，Aspect 1983 年，Mermin 1986 年）在后来的工作中放宽了条件，证明在某些辅助条件的假设下，满足所谓的“贝尔局域性”的物理理论无法完全重现实验结果的量子概率。从那时起，已经提出了与该定理相似的变体。“贝尔定理”是整个家族的集体名称。

该定理源于贝尔对隐藏变量计划的研究以及早期关于量子纠缠的工作。

贝尔多年来提出了几种定理的表述（Bell 1964 年，1971 年，1976 年，1990 年），其他人也提出了它的变体。最初的推导（1964 年）依赖于一个设置，其中对于处于纠缠态的自旋 1/2 粒子对的自旋实验结果完全反相关。在这种条件下，贝尔局域性条件意味着实验结果由状态的完全规定预先确定，这个条件我们称之为“结果决定论”（OD）。Clauser、Horne、Shimony 和 Holt（1969 年）推导出了一个不需要这个假设的不等式，即 CHSH 不等式。尽管在他们的证明中使用了 OD 条件，但这个条件对于不等式的推导是不必要的，正如贝尔（1971 年）所示，他提供了一个不依赖于完全反相关假设或结果决定论假设的 CHSH 不等式的证明。

贝尔定理的史前研究之一是贝尔对隐藏变量计划的考察。该计划涉及通过进一步的“现实要素”或“隐藏变量”来补充系统的量子力学状态，量子状态的不完备性解释了关于系统的量子力学预测的统计特性。隐藏变量理论的一个开创性版本是由路易斯·德布罗意在 1926-1927 年提出的（德布罗意 1927 年，1928 年），并由大卫·伯姆在 1952 年重新提出（伯姆 1952 年；另请参阅 伯姆力学 的条目）。

在一篇（贝尔 1966 年）早于贝尔定理首次出现的论文中，贝尔提出了一个隐藏变量理论的可行性问题，该理论通过对更好定义的状态进行平均，从而重现了量子力学的统计预测，这些状态唯一确定了任何可能进行的实验的结果。在这篇论文中，他检验了几个被提出为此类理论的不可行定理，并补充了自己的一个定理，这个定理是由斯佩克（1960 年）独立提出并由科赫恩和斯佩克（1967 年）发表的，后来被称为_Kochen-Specker 定理_或_Bell-Kochen Specker 定理_（有关更多详细信息，请参见 科赫恩-斯佩克定理 的条目）。在每种情况下，贝尔认为证明中包含了物理上不合理的前提。

贝尔-科赫恩-斯佩克定理是格里森定理（Gleason 1957 年）的一个推论，尽管贝尔和科赫恩-斯佩克直接得出了这个定理，而不是通过格里森定理，后者的证明要复杂得多。格里森所涉及的问题与对希尔伯特空间的闭子空间（或等价地，对这些子空间的投影算符）的概率分配有关，使得分配给正交投影的概率是可加的。格里森证明，在维数大于等于 3 的希尔伯特空间中，任何这样的概率分配都可以用密度算符表示。BKS 定理处理的是分配被限制在值 1 或 0 的特殊情况。

假设在系统的希尔伯特空间中，对每个投影算符赋予一个确定的值（1 或 0），并且满足对于可交换的投影算符，赋予的值是可加的。这是冯·诺依曼不可行定理（von Neumann 1932）的一个弱化假设，该定理假设所有可观测量的期望值的量子力学可加性，无论是由可交换算符还是其他算符表示，都适用于假设的无离散态（参见 科肯-斯佩克定理 条目第 2 节）。尽管这个假设乍看起来合理，贝尔也认为它在物理上没有动机，因此与科肯和斯佩克不同，他不认为贝尔-科肯-斯佩克定理是一个针对隐藏变量理论的不可行定理。原因在于这个假设体现了一个后来被称为“非上下文性”的条件。在维数大于二的希尔伯特空间中，任何投影算符都是多个完备可交换投影集合的成员。对于每个完备集合，都会有一个实验的结果与集合中的投影对应。非上下文性的假设意味着可以为一个投影算符赋予一个值，而这个值与要进行的实验是哪个无关，或者用贝尔的话来说，“可观测量的测量必须独立于同时进行的其他测量而产生相同的值。”这个假设不一定成立；“[观测的结果可能合理地依赖于系统的状态（包括隐藏变量）以及仪器的完整布置”（Bell 1966, 451; 1987b and 2004, 9）。

贝尔-科肯-斯佩克定理排除了能够重现量子力学预测的非上下文隐藏变量理论。一个自然的问题是是否可能存在一种上下文隐藏变量理论，其中不可避免的上下文性仅限于“局部”依赖关系。是否可能存在一种理论，其中在某个空间区域 A 中进行的实验的结果由系统的完整状态决定，而不依赖于距离 A 的实验装置的布置？

贝尔的文章以对德布罗意-波姆理论的简要阐述结束，特别指出“在这个理论中，存在一种明确的因果机制，使得一个装置的布置会影响到与之相距较远的装置的结果”（Bell 1966, 452; 1987b and 2004, 11）。文章以以下话语结束：

Bohm 当然对他的方案的这些特点非常清楚，并且给予了它们很多关注。然而，必须强调的是，据笔者所知，没有任何关于量子力学的任何隐藏变量解释必须具有这种非凡特性的_证明_。因此，或许有意思的是，可以追求一些进一步的“不可能证明”，通过用某种局部性条件或远程系统的可分离性条件替换上述所反对的任意公理。

对于上述引用的第二个句子附有一条注释：“自本文完成以来，已经找到了这样的证明。”这一宣布的潜在戏剧性被一个事实破坏了，即包含该证明的后续论文（Bell 1964）已经发表（有关导致发表延迟的情况，请参见 Jammer 1974 年 303 页）。

贝尔定理与对隐藏变量理论的研究有关，这导致了一个误解，即该定理是对隐藏变量理论的一项禁止定理。不可能有这样的定理，因为正如贝尔本人反复强调的那样，存在一个有效的隐藏变量理论，即德布罗意-波姆理论。

另一条导致贝尔定理的研究线索是对量子力学纠缠态的研究，即不能被表达为个体组分的量子态的乘积或乘积态的混合物的复合系统的量子态。这种纠缠态的存在是由埃尔温·薛定谔（1926 年）在他的一篇开创性论文中发现的，但直到爱因斯坦、波多尔斯基和罗森（1935 年）的论文才强调了这一发现的重要性。他们研究了两个相隔较远的无自旋粒子的位置和线性动量之间的相关性，并得出结论，为了避免对非局域性的诉诸，这些相关性只能通过每个粒子中的“物理实在元素”——具体位置和具体动量来解释，并且由于这种描述比量子力学的不确定性原理所允许的更丰富，他们的结论实际上是对隐藏变量解释的一种论证。[2] 另请参阅关于 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论 的条目。

2. 贝尔定理类型的定理证明

本节将按照贝尔 1964 年的论文模式进行：制定一个框架，推导一个不等式，展示某些量子力学期望值与该不等式之间的差异。如前所述，贝尔 1964 年的推导假设了一个实验，涉及到一对纠缠自旋-1/2 粒子的对齐斯特恩-格拉赫实验结果的完美反相关性。实验测试中，完美的反相关性（或相关性）可能是近似的，但不能假设完全成立，因此需要放宽这个假设。从贝尔 1964 年的论证到这里所给出的论证的步骤包括 Clauser、Horne、Shimony 和 Holt（1969 年）、Bell（1971 年）、Clauser 和 Horne（1974 年）、Aspect（1983 年）和 Mermin（1986 年）的论文。[3] 推导贝尔定理类型的其他策略将在 第 6 节 中提到。

这个概念框架首先假设了一组系统对，每对系统中的个体系统被标记为 1 和 2。每对系统由一个“完整状态”λ 来描述，该状态包含了生成时刻的整个系统属性。对于状态 λ 的性质，不做任何假设。状态空间 Λ 是所有可能的完整状态 λ 的总体，可以是一组量子态或者更多，或者是一组由量子态和附加变量组成的集合，或者是一些更奇特的状态空间，也许是尚未被想到的。

我们假设（在大多数阐述中都是默认的），我们有一个适当的选择 Λ 的子集作为可测子集，形成一个可测空间，可以应用概率考虑。假设生成模式建立了一个概率分布 ρ，该分布与两个系统分离后的各自冒险无关。这并不排除两个系统分离后属性的时间演化。假设的是状态 λ 为随后事件（包括任何时间演化）提供了概率，从而为对系统进行的实验的结果提供了概率。

可以对每个系统进行不同的实验。我们将使用 a、a'作为变量，表示对 1 进行的可能实验，b、b'作为变量，表示对 2 进行的实验。不假设这些参数捕捉了实验装置的完整状态，该装置可能具有与每个实验设置相对应的一系列微观状态。假设准备概率分布 ρ 与选择要执行的实验的过程无关。我们称这个假设为“测量独立性假设”。

对系统 1 进行设置 a 的实验结果由一个实数参数 s 标记，该参数可以取值于区间[−1,1]上的一组离散实数 Sa。同样地，对系统 2 进行的实验结果由参数 t 标记，该参数可以取值于区间[−1,1]上的一组离散实数 Tb。如下标所示，可能结果的集合可能依赖于实验设置。将结果标签的取值限制在区间[−1,1]内对物理意义无关，仅仅是为了方便起见的选择。实际上，使用数字来标记结果只是一种方便的做法。所要得到的不等式对其中涉及的概率施加了一定的条件；如果需要，可以不使用数字作为结果标签，并且不等式可以仅仅用相关概率来表达，如下所示的 CH 不等式（不等式 25）。贝尔自己的定理版本假设实验有两个可能的结果，标记为 ±1。定理的其他变体涉及更大的可能结果集。

我们假设，对于每一对设置 a、b 和每个 λ∈Λ，存在一个概率函数 pa,b(s,t∣λ)，该函数取值于区间[0,1]且在所有 Sa 中的 s 和所有 Tb 中的 t 上求和时等于 1。这些响应函数可能包括对实验装置可能状态的隐含平均。贝尔自己的定理版本假设实验有两个可能的结果，标记为 ±1。定理的其他变体涉及更大的可能结果集。我们可以使用这些概率函数（我们将其称为_响应概率_）来定义边际概率：

(1a)(1b)p1a,b(s∣λ)≡Σtpa,b(s,t∣λ),p2a,b(t∣λ)≡Σspa,b(s,t∣λ)。

在这里和接下来的内容中，应理解为求和是针对所有的 s∈Sa 和 t∈Tb。定义 Aλ(a,b)和 Bλ(a,b)为完全状态 λ 下，当设置为 a 和 b 时，对系统 1 和系统 2 进行实验的结果的期望值。

(2a)(2b)Aλ(a,b)≡Σssp1a,b(s∣λ),Bλ(a,b)≡Σttp2a,b(t∣λ).

现在定义结果的乘积 st 的期望值：

贝尔定理

贝尔型不等式源于一种被称为“可分性”或“贝尔局域性”的条件，该条件受到了局域性和因果性的考虑的启发。

(F)

对于任意的 a、b、λ，存在概率函数 p1a(s∣λ)、p2b(t∣λ)，使得 pa,b(s,t∣λ)=p1a(s∣λ)p2b(t∣λ)。

这是贝尔在他后来的贝尔定理阐述中明确提出的条件（Bell 1976, 1990）。贝尔将因子化条件（F）称为相关性的“局部可解释性”条件（Bell 1981, C2–55; 1987b and 2004, 152; 另见 1990, 109; 2004, 243）。这有两个组成部分：相关性需要被解释，不能被视为原始的；解释必须是局部的。这将在第 3.1 节进一步讨论。值得注意的是，贝尔认为这个条件“不是‘局部因果性’的表述，而是其结果”（Bell 1990, 109; 2004, 243）。

正如我们所见，贝尔的研究部分受到了一个问题的刺激，即完整状态唯一地决定任何实验的结果，并且量子不确定性关系反映了通常状态规范的不完整性。对于这样的理论，响应概率 pab(s,t|λ)取极值 0 或 1。让我们称之为 OD 条件，即“结果决定论”。有时它也被误导性地称为“实在论”（见下面的 第 3.3 节 中的讨论）。

（OD）

对于所有的 λ，a，b，以及所有的 s∈Sa 和 t∈Tb，pab(s,t∣λ)∈{0,1}。

Suppes 和 Zanotti（1976）证明了，在两个实验的结果之间存在完美相关性的特殊情况下，即一个系统的实验结果能够以概率 1 预测另一个实验的结果时，如果满足可分解性条件（F），则必须满足 OD。这适用于 Bell 在 1964 年考虑的情况。在 Bell 1971 年及其后续的阐述中，Bell 提供了一个不假设完美相关性并且不需要 OD 作为假设或其他假设的结果的推广。[5]

如果满足可分解性条件（F），那么

（4）Eλ（a，b）= Aλ（a）Bλ（b）。

上述定义适用于具有任意数量离散结果的实验。一个重要的特例是每个实验只有两个不同的结果，我们可以用 ±1 来标记。对于二价实验的情况，（4）等价于条件（F）。

现在考虑以下量：

(5)Sλ(a,a′,b,b′)=|Eλ(a,b)+Eλ(a,b′)|+|Eλ(a′,b)−Eλ(a′,b′)|.

让_Sϱ_表示与准备分布 ρ 相关的 Eλs 的期望值之间的关系。

(6)Sϱ(a,a′,b,b′)= |⟨Eλ(a,b)⟩ϱ+⟨Eλ(a,b′)⟩ϱ|+|⟨Eλ(a′,b)⟩ϱ−⟨Eλ(a′,b′)⟩ϱ|.

请注意，在对右侧定义中出现的量的期望值进行计算时，我们是基于相同分布 ρ 的测量独立性假设。

由于任意随机变量的平均值的绝对值不能大于其绝对值的平均值，很明显

(7)Sϱ(a,a′,b,b′)≤⟨Sλ(a,a′,b,b′)⟩ϱ.

我们现在已经掌握了陈述和证明贝尔定理所需的材料。第一步是证明，如果满足可分性条件（F），那么

(8) Sϱ(a,a′,b,b′)≤2.

第二步是展示存在一些量子态和实验设置，使得量子力学的期望值违反不等式(8)。这表明满足分解性条件的理论无法在所有情况下重现量子力学的统计预测。此外，该不等式提供了一个界限，说明这样一个理论的预测与量子力学预测之间的接近程度。克劳泽、霍恩、希莫尼和霍尔（1969 年）提出的不等式(8)被称为_CHSH 不等式_。

现在我们证明定理的第一部分，即 CHSH 不等式是由分解性条件(F)推导出来的。如果满足条件 F，那么根据(4)和 Aλ(a)和 Aλ(a′)在区间[-1,1]内的事实，

(9)Sλ(a,a′,b,b′) =|Aλ(a)(Bλ(b)+Bλ(b′))|+|Aλ(a′)(Bλ(b)−Bλ(b′))| ≤|Bλ(b)+Bλ(b′)|+|Bλ(b)−Bλ(b′)|.

很容易验证，

(10)|Bλ(b)+Bλ(b′)|+|Bλ(b)−Bλ(b′)|=2max(|Bλ(b)|,|Bλ(b′)|).

由于 Bλ(b) 和 Bλ(b′) 也在区间 [−1,1] 内，根据 (9) 和 (10) 我们得出结论，对于每个 λ，

(11)Sλ(a,a′,b,b′)≤2。

由于这个界限对于每个 λ 的值都成立，它也必须对于期望值 Sλ 成立。

(12)⟨Sλ(a,a′,b,b′)⟩ϱ≤2.

这个结论与(7)一起得出了 CHSH 不等式(8)。

我们贝尔定理的证明的最后一步是展示一个系统、一个量子力学状态和一组量，使得统计预测违反不等式（8）。贝尔使用的例子源自于 Bohm 对 EPR 思想实验的变体（Bohm 1951，Bohm and Aharonov 1957）。一个自旋 1/2 的粒子对处于纠缠态，

(13)|Ψ−⟩=1√2(|n+⟩1|n−⟩2−|n−⟩1|n+⟩2),

其中 n 是任意选择的方向，|n+⟩，|n−⟩ 是自旋在 n 方向上的自旋向上和自旋向下的本征态。该态具有旋转不变性，因此表达式（13）表示任意方向 n 的态。如果在这两个粒子上进行 Stern-Gerlach 实验，那么无论设备的轴线方向如何，对于实验的每一侧，两种可能的结果的概率都是相同的，即一半。如果使用两个设备的轴线对齐进行实验，结果保证是相反的；如果在一个实验中获得自旋向上，那么在另一个实验中一定获得自旋向下。如果轴线相互垂直，结果是概率上独立的。在一般情况下，设备轴线的方向分别由单位向量 a、b 给出，结果标记为 ±1，那么结果的乘积的期望值由以下公式给出：

(14)EΨ−(a,b)=⟨Ψ−∣σ1a⊗σ2b∣Ψ−⟩=−cos(θab),

其中 θab=θa−θb 是向量 a、b 之间的夹角。

尽管自旋-1/2 粒子处于纠缠态的例子在文献中被广泛用作说明性例子，但极化纠缠光子对于贝尔不等式的实验测试更为重要。考虑一对沿 z 方向传播的光子 1 和 2。让|x⟩j 和|y⟩j 分别表示光子 j（j=1,2）沿 x 和 y 方向线偏极化的状态。考虑以下状态向量，

(15)|Φ⟩=1√2(|x⟩1|x⟩2+|y⟩1|y⟩2),

该状态在垂直于 z 轴的平面上绕 x 轴和 y 轴旋转时保持不变。光子 1 和 2 的总量子态在两个光子交换时保持不变，这是光子是整数自旋粒子的事实所要求的。现假设光子 1 和 2 分别照射到双折射晶体偏振分析器 I 和 II 的表面，其中每个分析器的入射面垂直于 z 轴。每个分析器具有将入射光分离为两束非平行出射光线（即“普通光线”和“非凡光线”）的特性。分析器的透射轴是一个具有以下特性的方向：沿该方向偏振的光子将从普通光线中出射（如果晶体被假定为理想，则以确定性出射），而沿与 z 轴和透射轴垂直的方向偏振的光子将从非凡光线中出射。见图 1：

实验设置的示意图，显示从源头发射的粒子对，以及撞击到分析器上，从中它们被偏转成两束出射光线之一

图 1

（经许可重新印刷）

光子对从源中发射出来，每对光子在量子力学中由方程（15）的|Φ⟩ 描述。I 和 II 是偏振分析器，结果 s=1 和 t=1 表示出现在普通光线中，而 s=−1 和 t=−1 表示出现在非凡光线中。晶体也被理想化为假设没有入射光子被吸收，而是每个光子都出现在普通光线或非凡光线中。

在状态|Φ⟩ 中，s 和 t 的乘积的期望值为

（16）EΦ(a,b)=cos2(θab)−sin2(θab)=cos(2θab)。

注意，这显示了与（14）相同的角度正弦依赖关系，其中 2θ 取代了 θ。

通常，在通俗的著作中，只提到了对齐设备的情况，并且在这种情况下，完美的反相关性（对于处于单态的自旋-1/2 粒子）或相关性（对于处于状态|Φ⟩ 的光子）被提供为“远距离的神秘行为”的证据。实际上，正如贝尔（1964 年，1966 年）通过简单的玩具模型所证明的那样，这种行为可以通过完全本地的方式再现。贝尔的一个重要洞察是，考虑到当设备轴不对齐时获得的不完美相关性是很重要的。在贝尔的玩具模型中，相关性随着设备轴之间的角度线性下降，而量子相关性（14，16）则呈正弦下降；与玩具模型相比，相关性从完美对齐的情况远离时的下降不那么陡峭。贝尔定理表明，这种行为不是他的模型的特殊性质；满足条件 F 的任何模型都无法为所有角度重现量子相关性。这可以通过考虑量子预测（14，16）并将它们插入到 S 的表达式中来看出。对于处于单态的自旋-1/2 粒子对，我们有，

(17)SΨ−=|cos(θab)+cos(θab′)|+|cos(θa′b)−cos(θa′b′)|.

Choose coplanar unit vectors a, a′, b, b′ such that θb′−θa= θa−θb= θb−θa′=ϕ, and therefore, θb′−θa′=3ϕ. This choice yields

(18) SΨ−(ϕ)=|2cos(ϕ)|+|cos(ϕ)−cos(3ϕ)|.

这超过了 CHSH 界限(8)，当 0<|ϕ|< arccos((√3−1)/2)≈1.95 弧度，或 68° 时，最大违反发生在 ϕ=±π/4，或 45°。对于这些角度，我们有

(19) SΨ−(π/4)=2√2≈2.828。

对于极化纠缠光子的情况，我们有，

(20)SΦ(ϕ)=|2cos(2ϕ)|+|cos(2ϕ)−cos(6ϕ)|.

这在 ϕ=π/8 或 22.5° 时达到最大值。

(21) SΦ(π/8) = 2√2 ≈ 2.828.

这个值 2√2 在方程（19）和（21）中出现，是任何量子态对 CHSH 不等式的最大违背，正如 Tsirelson（Cirel’son 1980）所示。这个量子违背 CHSH 不等式的界限被称为_Tsirelson 界限_。正如 Gisin（1991）和 Popescu 和 Rohrlich（1992）独立证明的那样，对于一对系统的纯态纠缠量子态，可以找到观测量使得 CHSH 不等式被违背。Popescu 和 Rohrlich（1992）还表明，最大违背量是通过具有最大纠缠度的量子态实现的。顺便说一句，对于混合态来说，这并不成立；存在着不违背任何贝尔不等式的纠缠混合态（Werner 1989）。

3. 证明的假设

引发贝尔不等式假设的显著条件是可分解性条件（F）。这个条件是基于对局部性和因果性的考虑而提出的。这类考虑一直是讨论贝尔定理影响的焦点。然而，为了得出满足这一假设的理论之间预测的冲突，需要其他假设，其中一些通常在科学实验中被默认接受，不受质疑。贝尔定理的分析引发了对达到拒绝 F 的结论所需的推理的仔细审查。因此，一些在其他情境中可能被隐含的假设已经被明确提出，并且每个假设都受到了一些作者的质疑。在本节中，我们概述了一组足以确保满足贝尔不等式的假设，因此构成了一组假设，任何与实验结果一致地违反贝尔不等式的理论都无法满足所有这些假设。还有其他通往贝尔不等式的途径；特别是参见 Wiseman 和 Cavalcanti（2017），他们提供了与此处类似的分析，以及其他分析。

3.1 局部性和因果性假设

3.1.1 贝尔的局部因果原理

如上所述，贝尔定理首次出现在贝尔（1966）的文章中，该文章是贝尔（1964）的后续，探讨了隐藏变量理论在实验结果被系统的完整状态预定的情况下的前景。贝尔（1964）的引言首先提到了具有额外变量的理论，这些变量旨在恢复因果关系和局域性，并表示“在这个笔记中，这个想法将被数学化并被证明与量子力学的统计预测不相容。”局域性假设被解释为要求“对一个系统的测量结果不受与其过去有过相互作用的远程系统的操作的影响。”应用于手头的情况，即对一个纠缠的自旋-1/2 粒子对进行斯特恩-格拉赫实验，这是“假设...如果两个测量在彼此远离的地方进行，一个磁铁的方向不会影响另一个的结果。”贝尔在接下来写道，

由于我们可以通过先前测量 σ1 的相同分量来预测任何选择的 σ2 分量的测量结果，因此任何这样的测量结果实际上必须是预先确定的（贝尔 1964，195; 1987b 和 2004，15）。

这表明，OD 并不是被假设的，而是通过 EPR 类型的论证从局域性假设和所考虑的量子态预测的完美反相关性中推导出来的。这就是贝尔在后来的出版物中解释推理的方式（参见贝尔 1981，脚注 10）。[6]

在贝尔（1976）和（1990）中，贝尔从他所称的“局部因果性原理”（见 Norsen 2011 进行讨论）中推导出可分解性条件。在（1990）年的分析中，他首先回顾了相对论应该被视为禁止超光速因果关系的原因。根据通常的因果关系观念，因果关系被认为是时间上不对称的，原因在时间上先于其效应。在相对论时空中，空间分离的事件被认为没有时间顺序。任何坐标系都会为任意一对事件分配时间坐标，但是，如果这些事件是空间分离的，那么在不同的参考系中，分配给空间分离事件对的时间坐标的顺序将不同。如果我们认为所有这些参考系在物理上是相等的，就必须得出结论：事件之间没有时间顺序，因为不是相对论不变的关系没有物理意义。

基于这些考虑，即洛伦兹不变性和原因在时间上先于其效应的假设，贝尔引入了他所称的“局部因果性原理”。

（PLC-1）

事件的直接原因（和影响）是近在咫尺的，甚至间接原因（和影响）也不会超过光速所允许的范围。

贝尔表示，这种观点“对于数学来说还不够清晰和明确。”因此，他引入了一个被他称为原理的更加明确的版本（参见图 2）。

（PLC-2）

一个理论被称为局部因果的，如果在时空区域 1 中，附加到局部可观测量值的概率，在时空分离的区域 2 中指定局部可观测量值时不会改变，当 1 的后向光锥已经被充分指定，例如通过对时空区域 3 中局部可观测量的完全指定。

时空图示，描绘了两个相互间隔的区域，标记为 1 和 2，并且第三个区域，标记为 3，是这样的，任何从 1 和 2 的过去光锥的交点到区域 1 的时间路径必须经过区域 3

图 2

在贝尔的术语中，_beable_是指物理理论中被认为对应于某种物理实在的任何元素，而与时空区域相关的_local beables_则是指包含在该区域内的元素。

根据贝尔的观点，从我们所称的 PLC-1 到 PLC-2 的转变应该“极度怀疑”，因为“正是在为数学清理直观概念时，很可能把孩子和洗澡水一起扔掉”（1990 年，106 页；2004 年，239 页）。关于它们之间的关系在那篇文章中没有进一步讨论，但其他论文中的评论可以阐明它们之间的转变。

在（1976 年）的论文中，贝尔通过一句话来推动对局部因果性条件的制定，

现在，我对局部因果性的直观概念是，[时空区域] 2 中的事件不应该是[时空分离区域] 1 中事件的“原因”，反之亦然。但这并不意味着这两组事件应该是不相关的，因为它们在它们的后向光锥的重叠部分可能有共同的原因（贝尔，1976 年，14 页；1985 年 a，88 页；1987 年 b 和 2004 年，54 页）。

然后，他提出了局部因果性的条件，即在时空区域 1 和 2 的后向光锥的重叠部分中，对 beables 的完整规范应该屏蔽它们之间的相关性。这隐含着两个变量之间的相关性应该容易受到因果解释的影响，无论是通过变量之间的因果关系还是通过共同原因。这一假设在后来的一篇文章中明确提出（贝尔，1981 年），他在其中说“科学的态度是相关性呼唤解释”（贝尔，1981 年，C2-55 页；1987 年 b 和 2004 年，152 页）。

将两个不处于因果关系的变量之间的相关性解释为某种共同原因的假设被莱辛巴赫（1956 年，§ 19）称为“共同原因原则”，因此通常被称为“莱辛巴赫的共同原因原则”，尽管莱辛巴赫并没有声称自己创立了这一原则，并且将其视为科学和日常生活中常见的推理方式的一种编码。有关更多详细信息，请参阅 莱辛巴赫的共同原因原则 条目。如果变量 C 是两个变量 A 和 B 之间相关性的莱辛巴赫共同原因，那么在指定 C 的值的条件下，变量 A 和 B 是不相关的。莱辛巴赫的共同原因原则表明，如果两个相关的变量彼此之间没有因果关系，那么它们的相关性有一个莱辛巴赫的共同原因。我们所称的 PLC-1 条件本身并不能推出 PLC-2，但它确实可以从 PLC-1 和莱辛巴赫的共同原因原则的结合中推出。

PLC-1 本身并不要求相关性具有因果解释性，并且实际上不承认世界上任何形式的因果关系；它仅仅表示无论有什么因果关系，都要遵守相对论的局域性。因此，我们将其称为“因果局域性原则”。这与 PLC-2 形成对比，PLC-2 要求在发现相关性时必须存在某种形式的因果关系。贝尔所称的局域因果原则 PLC-2 可以被看作是以下两个条件的结合：（1）类似 PLC-1 的因果局域性条件，将事件的原因限制在该事件的过去光锥内；（2）莱辛巴赫的共同因素原则，要求相关性具有因果解释性。前者条件本身可以被视为由相对论不变性和事件的原因位于其时间过去的原则推导出来。贝尔的局域因果原则因此可以从三个假设的结合中得出，而这些假设在贝尔的各种著作中都有明确的表述：

• （因果性的时间不对称性）任何事件的原因都位于其时间过去，而不是时间未来。

• (Lorentz Invariance) The relation of temporal precedence is invariant under Lorentz boosts.

• 莱辛巴赫的共同因素原则。

3.1.2 参数独立性和结果独立性

因子化条件 F 是贝尔定理的局部因果性原则在贝尔型实验的特定设置上的应用。正如我们所见，它可以被看作是因果局部性条件和共同原因原则的结合。在本节中，我们将这些条件应用于贝尔型实验的设置。

在假设实验设置可以被视为自由变量，并且其值是外生确定的情况下，如果在一个翼上的设置选择与另一个实验的空间分离时进行，一个实验结果的概率对于另一个实验的设置的依赖似乎直接是一个非局部因果影响的实例。这种情况不发生的条件可以如下表述。

（PI）

对于所有参数设置 a、a'、b、b'，所有 λ，以及所有 s∈Sa 和 t∈Tb，

(22a)(22b)p1a,b(s∣λ)=p1a,b′(s∣λ); p2a,b(t∣λ)=p2a′,b(t∣λ)。

这就是被称为“参数独立性”的条件，根据 Shimony（1986，1990）的说法。

对于实验设置的固定值，贝尔的局域因果原理要求，在源系统的完整状态 λ 的指定条件下，两个系统的实验结果应该是独立的。这就是条件

（OI）

对于每一对参数设置 a 和 b，以及所有的 λ，以及 Sa 中的所有 s 和 Tb 中的所有 t，

(23)pa,b(s,t∣λ)=p1a,b(s∣λ)p2a,b(t∣λ).

这就是被称为“结果独立性”的条件，根据 Shimony（1986, 1990）的说法。正如 Jarrett（1983, 1984）所证明的那样，可分解性条件（F）是参数独立性和结果独立性的结合。这两个条件与前一小节讨论的局部性和因果性条件有不同的关系。参数独立性是仅由因果局部性条件 PLC-1 导出的，而结果独立性还需要假设共同原因原理。

贝尔定理的解析为贝尔局域条件的 PI 和 OI 的结合是由克劳泽和霍恩（1974）提出的，尽管他们没有为这些结合提出不同的名称。贾瑞特（1983 年，1984 年）将这些条件称为“局域性”和“完备性”。贾瑞特（1983 年，1984 年，1989 年）认为，PI 的违反将不可避免地允许超光速信号传输。这个结论需要一个额外的假设，即系统的状态是可控的。[7]对于一个理论来说，如果有关于潜在信号发送者控制所处理系统状态的原则性限制，这个结论就不成立；这种理论的一个例子是德布罗意-波姆理论，它违反了 PI 但不允许超光速信号传输。尽管如此，在一些文献中，PI 被视为等同于无信号传输。对于一些人来说（参见例如 Ballentine 和 Jarrett 1987，脚注 6；Jarrett 1989，70；Shimony 1993，139），这源于这样的思考：任何可能阻止 PI 违反被利用于信号传输的控制限制只涉及与基础性问题无关的实际限制，而基础性问题应该与原则上可能发生的事情有关。

3.2 附加假设

3.2.1 独特的实验结果

尽管这似乎是不言而喻的，但整个分析是建立在这样一个假设的基础上的：在给定实验的潜在结果中，只有一个结果发生，因此讲述实验的结果是有意义的。之所以值得提及这个假设，是因为量子力学的解释有一类称为埃弗里特学派或“多世界”学派的方法，以及一些关系学派的变体，根据这些方法，所有潜在的结果实际上都发生在不同的世界中。请参阅有关 量子力学的多世界解释 和 埃弗里特的相对态量子力学公式 的条目。

3.2.2 实验设置作为自由参数

贝尔的原始分析（1964 年，1971 年）默认假设完整状态 λ 从相同的概率分布 ρ 中抽样，无论选择哪种实验，对应于任何给定设置选择的实验子集都是 λ 分布的一个公平样本。克劳泽和霍恩（1974 年，注 13）明确提出了这个假设，贝尔在与 Shimony、克劳泽和霍恩（1976 年）的交流后的出版物中也提到了这一点。

假设实验设置可以被视为与变量 λ 在统计上独立的假设，已经被称为“自由意志假设”、“选择自由假设”、“无阴谋假设”，在一些最近的文献中被称为“统计独立假设”。在本文中，它被称为“测量独立假设”。将在下面的 8.1 节中详细讨论。

3.2.3 实验结束时

在对贝尔局域性进行实验测试时，要确保两个系统的实验，从实验设置的选择到结果的记录，都在类空分离的地方进行。假设实验具有唯一的结果。问题是“何时”唯一结果出现。通常假设一旦触发探测器或结果记录在计算机内存中，结果就是确定的。然而，正如肯特（2005）指出的，已经提出了一些建议，根据这些建议，仪器的量子态将保持在对应于不同结果的项的叠加态中更长的时间。其中一个建议是，只有当未坍缩态涉及足够不同的引力场的叠加态时，才会发生态的坍缩（Diósi 1987，Penrose 1989，1996）。另一个是维格纳的建议，即需要对结果有意识的认知才能引起坍缩（Wigner 1961）。这引发了肯特所称的“坍缩局域漏洞”。可以考虑这样的理论——肯特称之为“因果量子理论”的理论家族——在这些理论中，坍缩是局部事件，并且坍缩的概率与与之类空分离的事件（包括其他坍缩）无关。这种理论在预测上与标准量子理论不同，但要区分这样的理论和标准量子力学，需要一个设置，其中一个系统上的整个实验，从到达到满足坍缩条件，都在与另一个实验类空分离的地方进行。如果实验被认为在探测器触发时结束，而不是当结果之间的差异达到足够大的质量配置差异时，对应于明显不同的引力场，那么正如肯特所争论的，截至 2005 年撰写本文时的实验就存在这个漏洞。Salart 等人（2008）的实验消除了 Penrose 和 Diósi 的特定建议的漏洞，尽管正如肯特（2018）指出的那样，将 Penrose-Diósi 的阈值改变几个数量级将使它们与这个实验的结果相容。迄今为止，如果将坍缩条件视为有意识观察者对结果的认知，还没有实验解决坍缩局域漏洞。请参阅肯特（2018）以了解对因果量子理论进行更严格测试的建议方式。

3.3 关于“局部实在论”

现在常常说（在接受了补充假设的情况下），贝尔不等式实验违背的理论类别是“局部实在论”，而被放弃的世界观是“局部实在论”。这种术语的广泛使用往往掩盖了并非所有使用者都以相同的意义使用它的事实；此外，使用这个短语时并不总是清楚其含义。

“局部实在论”这个术语作为对贝尔不等式实验测试的目标的理论的名称是由克劳泽和希蒙尼（1978）引入的，旨在成为克劳泽和霍恩（1974）所称的“客观局部理论”的同义词。这些理论满足可分解性假设（F）。这个术语被德斯帕尼（1979）和默明（1980）采用。对于克劳泽和希蒙尼来说，实在论是“一种哲学观点，根据这种观点，外部现实被假定存在并具有确定的属性，无论是否被某人观察到”（1978，1883）。德斯帕尼以类似的方式说，实在论是“一种观点，即观察到的现象的规律性是由某种物理实在引起的，该实在的存在与人类观察者无关”（158）。而默明则认为，实在论涉及我们所称的“结果决定论”（OD）：“在这里我将使用这个术语，局部实在论认为可以为任何两个相关粒子的自旋的任何分量的即将进行的测量结果指定一个确定的值，无论是否实际进行了该测量”（默明 1980，356）。这并不是克劳泽和希蒙尼所指的实在论的承诺，他们明确考虑了随机的局部实在论理论。

在当前的文献中，Mermin 的观点似乎是最广泛使用的。在这个意义上，应用于贝尔实验的“局部实在论”等于参数独立性（PI）和结果决定性（OD）的结合。现在，确实，如果 PI 和 OD 成立，那么因子分解性（F）也成立，从而贝尔不等式也成立。但是，条件 OD 比所需条件更强，因为 PI 和严格较弱的条件 OI 的结合也足够。因此，说违反贝尔不等式排除了“局部实在论”这样的理论，其中“实在论”被认为是结果决定性，这是正确的，但是这可能会暗示人们可以通过拒绝结果决定性的意义来保留局部性。然而，如果接受了补充假设，就不仅需要拒绝 OD 和 PI 的结合，还需要拒绝更弱的因子分解性条件，该条件不包含关于实验预定结果的任何假设。

如果将这两种意义混淆起来，就会产生进一步的困惑。这可能导致条件 OD 等同于形而上学命题，即物理现实存在并具有与人类或其他代理人的认知无关的属性。这是一个错误，因为随机理论与形而上学命题是完全兼容的，随机理论认为实验结果不仅仅由实验前世界的物理状态唯一确定，而是一种偶然性。在文献中偶尔可以找到这种混淆的痕迹；例如，参见 d'Espagnat（1979）和 Mermin（1981）。

对于其他作者来说，拒绝实在论似乎主要意味着承认操作主义。如果一个理论只要求产生正确的实验结果的概率，而不涉及关于什么样的物理现实导致这些结果的问题，那么这就削弱了导致贝尔定理的分析的动机。在这种“实在论”的意义上，它不是定理的假设，而是制定定理的动机。

一些作者（特别是 Norsen 2007; Maudlin 2014）认为，尚未确定“现实主义”的明确意义，以至于在贝尔不等式的推导中，现实主义在那个意义上是一个特定的前提（与所有物理学的前提不同）。这些作者敦促拒绝目前普遍实践的说法，即“局域实在论”理论是对贝尔不等式实验测试的目标。尽管如此，其他作者仍然坚持认为，在贝尔不等式的推导中确实存在一种“现实主义”的意义，尽管他们对现实主义所涉及的内容有所不同；参见 Żukowski 和 Brukner（2014），Werner（2014），Żukowski（2017）和 Clauser（2017）。

4. 贝尔不等式的早期实验测试

贝尔不等式的确切实验测试之路漫长而有几个中间步骤。

贝尔不等式的第一个测试提案是由克劳泽尔、霍恩、希莫尼和霍尔（1969 年）提出的，简称 CHSH。他们建议 1 和 2 号对的光子是由原子级联产生的，从初始原子态的总角动量 J=0 到中间原子态的 J=1，再到最终原子态的 J=0，就像科彻尔和科明斯（1967 年）用钙蒸汽进行其他目的的实验一样。这个提议首次由弗里德曼和克劳泽尔（1972 年）进行了实验。弗里德曼和克劳泽尔得到的结果与 CHSH 不等式允许的极限相差 6.5 个标准偏差，并与量子力学预测非常吻合。这是一个困难的实验，需要运行 200 个小时，比大多数后来的贝尔不等式测试时间更长，后来的测试能够使用激光器来激发光子对的源。

此后，已经进行了几十个实验来测试贝尔不等式。现在将给出一些最值得注意的实验的参考文献，以及提供其他信息的综述文章的参考文献。关于近期实验的讨论，旨在解决早期贝尔实验中的两个严重漏洞，即“检测漏洞”和“通信漏洞”，将保留到 第 5 节。

霍尔和皮普金在 1973 年完成了一项实验，与弗里德曼和克劳泽尔的实验非常相似，但是研究的是经过电子轰击将原子泵浦到该级联的第一个态后，在汞-198 的零核自旋同位素中产生的光子对。霍尔和皮普金的结果与 CHSH 不等式相当吻合，并与量子力学预测相差近 4 个标准偏差，与弗里德曼和克劳泽尔的结果相矛盾。由于这两个早期实验之间的差异，克劳泽尔（1976 年）重复了霍尔-皮普金的实验，使用相同的级联和激发方法，但是使用了不同的自旋-0 汞同位素，他的结果与量子力学预测非常吻合，但违反了贝尔不等式。克劳泽尔还提出了霍尔-皮普金异常结果的可能解释：汞蒸汽灯泡的玻璃受到应力影响，因此具有光学活性，从而导致级联光子的偏振测量出现错误。

Fry 和 Thompson（1976）还进行了 Holt-Pipkin 实验的变体，使用了不同的汞同位素和不同的级联，并通过窄带宽可调染料激光器的辐射来激发原子。他们的结果也与量子力学的预测非常吻合，并与贝尔不等式明显不符。由于激光器实现了高激发速率，他们只用了 80 分钟收集数据。

20 世纪 70 年代进行了四个实验——Kasday-Ullman-Wu，Faraci-Gutkowski-Notarigo-Pennisi，Wilson-Lowe-Butt 和 Bruno-d’Agostino-Maroni——它们使用的是正电子湮灭产生的光子对，而不是级联光子。其中除了 Faraci 等人的实验外，其余实验的结果与量子力学的预测非常吻合，并与贝尔不等式不符。Clauser 和 Shimony（1978）在综述文章中对这些实验进行了讨论，他们认为这些实验比使用级联光子的实验不太令人信服，因为它们依赖于更强的辅助假设。

早在 1980 年代初，Aspect，Grangier 和 Roger（1982）就使用了具有两个出射通道的偏振分析器进行了第一次实验，从而实现了在 第 2 节 中设想的理论方案。该实验的结果比任何先前的实验更加戏剧性地证实了量子力学的预测，实验结果与贝尔不等式的上限相差 40 个标准偏差。Aspect，Dalibard 和 Roger（1982）随后进行了一项旨在关闭通信漏洞的实验，将在 第 5 节 中进行讨论。Aspect（1992）的历史文章回顾了这些实验，并对 Shih 和 Alley，Ou 和 Mandel，Rarity 和 Tapster 以及其他人使用非线性晶体中的下转换产生的具有相关线性动量的光子对进行的实验进行了调查。关于更近期的贝尔测试的讨论可以在综述文章（Zeilinger 1999，Genovese 2005，2016）中找到。

对于贝尔测试来说，光子对一直是最常见的物理系统，因为它们相对容易产生和分析，但也有使用其他系统进行实验的情况。Lamehi-Rachti 和 Mittig（1976）通过低能散射测量了质子对的自旋相关性。他们的结果与量子力学预测相吻合，并违反了贝尔不等式，但与正电子实验一样，需要做出强有力的辅助假设。

贝尔测试的结果令人震惊地证实了由 2 个或更多组分构成的许多量子态的_prima facie_纠缠。实际上，对纠缠的第一个确认早于贝尔的工作，因为 Bohm 和 Aharonov（1957）证明了 Wu 和 Shaknov（1950）的结果，即正电子湮灭产生的光子对的康普顿散射已经显示了光子对的纠缠。

5. 通信和检测漏洞及其解决方法

5.1 通信漏洞及其解决方法

所有贝尔不等式的推导都依赖于受相对论因果性启发的独立条件。在早期对贝尔不等式的测试中，由于实验的 1 号和 2 号臂在实验室参考系中空间上被很好地分离，因此这些条件被认为是满足的。然而，这种满足只是一种偶然性，并不受任何物理定律的保证，因此 1 号分析器的设置、1 号的检测或非检测可能会影响分析结果以及 2 号的检测或非检测，反之亦然。这就是所谓的_通信漏洞_，早期的贝尔测试容易受到这种漏洞的影响。为了解决这个问题，需要确保对这两个系统的实验在类空分离的情况下进行。

Aspect、Dalibard 和 Roger（1982）发表了一项实验的结果，其中光子 1 和光子 2 的分析器方向的选择是如此迅速，以至于它们是具有类空分离的事件。分析器本身没有进行任何物理修改，而是在光子 1 和光子 2 的路径上放置了由水瓶组成的开关，其中激发了超声波驻波。当波被关闭时，光子在零级衍射下传播到分别以角度 a 和 b 定向的偏振分析器，当波被打开时，光子在一级衍射下传播到分别以角度 a'和 b'定向的偏振分析器。完整的定向选择需要分别的时间间隔 6.7 纳秒和 13.37 纳秒，远小于信号在遵循特殊相对论理论的情况下在开关之间传播所需的 43 纳秒。乍看之下，独立条件得到满足是合理的，因此与量子力学预测一致的巧合计数率构成了对贝尔不等式及其相关理论的反驳。然而，实验中存在一些不完善之处。首先，分析器定向的选择不是随机的，而是受到每个开关中驻波声波的准周期性建立和消除的控制。可以构想一种情景，根据这种情景，每个分析器的巧妙隐藏变量可以归纳地推断出控制另一个分析器的开关所做的选择，并相应地调整其决策以传输或阻止入射光子。此外，为了检测 1 号和 2 号通过各自的分析器的联合传输，采用了巧合计数技术，而这种技术建立了一个电子链接，可能会影响检测率。由于开关孔径的有限大小，入射光子的入射角度在布拉格角附近存在一定的扩散，导致对出射光子方向的控制失去了对非可忽略百分比的控制。

Tittel、Brendel、Zbinden 和 Gisin（1998）的实验并没有直接解决通信漏洞的问题，但间接地对这个问题提供了一些启示，并提供了关于保持远距离分离的一对粒子的纠缠的戏剧性证据。光子对在日内瓦生成，并通过电缆传输到日内瓦郊区的两个分析站，这两个站点之间相距 10.9 公里。每单位长度丢失光子的概率非常小。计数率与量子力学的预测相符，并违反了 CHSH 不等式。没有采取任何预防措施来确保两个分析器的方向选择是具有类空分离的事件。两个分析站之间的巨大距离使得很难构想一个违反贝尔独立条件的阴谋的合理情景。此外，这个实验实现了比以往任何实验都更大的分析器分离，从而对 Schrödinger（1935）的一个猜想进行了测试，即纠缠是一种可能随着空间分离而减弱的属性。最近，甚至在 144 公里的距离上也证明了贝尔不等式的违背（Scheidl 等，2010），并且在 2017 年，通过卫星传输实现了 1200 公里的距离（Yin 等，2017）。

一个更接近关闭通信漏洞的实验是 Weihs、Jennewein、Simon、Weinfurter 和 Zeilinger（1998）的实验。用于测试贝尔不等式的系统对是处于纠缠极化状态的光子对

(24)|Ψ⟩=1√2(|H⟩1|V⟩2−|V⟩1|H⟩2)

其中，ket |H⟩ 表示水平偏振，|V⟩ 表示垂直偏振。每对光子是通过非线性晶体中的下转换过程从激光束的光子产生的。子光子的动量，因此方向，是严格相关的，这确保了一定比例的光子对共同进入两个光纤的光圈孔（非常小），这也是 Tittel 等人的实验中所实现的。光子对被传送到的两个站点相距 400 米，这是真空中的光在 1.3 微秒内穿过的距离。从光纤中出射的每个光子都进入一个固定的双通道偏振器（即，其出射通道是普通光线和非常规光线）。在每个偏振器上游是一个电光调制器，它通过施加到调制器上的电压使穿过的光子的偏振旋转一个与电压成比例的角度。每个调制器由一个非常快速的发生器控制，该发生器随机地导致穿过的光子的偏振旋转其中的两个之一。实验安排的一个重要特征是应用于光子 1 和光子 2 的发生器在电子上是独立的。光子 1 和光子 2 的偏振旋转实际上相当于随机快速地旋转光子 1 进入的偏振器在两个可能的方向 a 和 a' 之间，以及光子 2 进入的偏振器在两个可能的方向 b 和 b' 之间。每个偏振器的两个出射通道的输出进入一个单独的探测器，并且通过原子钟为每个检测到的光子附加一个“时间标签”。在所有检测到的光子被收集后，通过比较时间标签并仅保留那些标签彼此足够接近以指示单个下转换过程中的共同起源的对，进行巧合计数。偶然的巧合也会进入，但据估计这些是相对不频繁的。这种巧合计数的过程消除了在检测过程中 1 的探测器和 2 的探测器之间的电子连接，这可能会导致信息在两个站点之间发生错误的传输。每个光子路径中的所有电子和光学过程的总时间，包括随机发生器、电光调制器和探测器，被保守地计算为小于 100 纳秒，远小于两个站点之间所需的 1.3 微秒的光信号。

Weihs 等人的实验结果为 2.73±0.02，与量子力学预测非常吻合，并且与 CHSH 不等式（8）的上限相差 30 个标准偏差。Aspect 设计了第一个具有快速切换分析器的贝尔不等式实验测试（Aspect, Dalibard, Roger 1982），他对这个结果的重要性进行了赞赏性总结：

我建议我们采取一个外部观察者的观点，该观察者在实验结束时从两个远距离站点收集数据，并比较两个结果系列。这就是因斯布鲁克团队所做的。回顾数据，他们发现在一个偏振器切换时，相关性立即改变，没有任何延迟允许信号传播：这反映了量子的非分离性。（Aspect 1999, 190）

即使一些小的缺陷阻止了魏斯等人的实验完全封堵探测漏洞，这些问题在随后的实验中得到了解决。

5.2 探测漏洞及其解决方法

CHSH 不等式（8）是期望值之间的关系。因此，实验测试需要对实验结果的概率进行经验估计。这种估计涉及计算事件计数的比率：特定结果的成对产生事件数与总成对产生事件数之比。通常，在涉及光子的实验中，大部分产生的成对光子无法进入分析器。此外，一些进入分析器的光子将无法被检测到；此外，探测器偶尔会在没有检测到光子时注册一个检测（这种情况的发生率被称为“暗计数”）。

已经采取了三种策略来解决这个问题。

其中一种策略是采用辅助假设，以得出从事件计数中推断相对频率所需的归一化因子的估计值，这是 CHSH 不等式测试所要求的。CHSH（1969 年）提出了这样一个假设：如果光子通过一个分析器，它被探测到的概率与分析器的方向无关。虽然在物理上是合理的，但这不是局部因果性所要求的条件。

Pearle（1970 年）和 Clauser 和 Horne（1974 年）构建的玩具模型清楚地表明，对这类实验进行分析需要这种假设。在这些模型中，光子对以不同方向通过偏振分析器的速率与贝尔不等式一致，但隐藏变量不仅为光子和仪器提供了关于通过分析器的指令，还提供了关于探测的指令，从而违反了公平抽样的假设。在该模型中，探测或非探测是有选择性的，以使探测率违反贝尔型不等式，并与量子力学的预测一致。Fine（1982a）后来构建了其他模型，并由 Maudlin（1994 年）（“棱镜模型”）和 C.H. Thompson（1996 年）（“混沌球模型”）进行了修正。尽管所有这些模型都是_临时的_且缺乏物理可行性，但它们构成了满足局部因果性条件的理论可以与量子力学的预测一致，前提是探测器具有适当的选择性。

第二种策略涉及构建一个实验装置，可以注册每个粒子对的产生。Clauser 和 Shimony（1978）将实现这一点的装置称为“事件准备就绪”探测器；一些最近的文献将这种过程称为“预示”。

第三种策略涉及使用一个不等式，可以在不知道涉及的概率的绝对值的情况下被证明违反。这消除了对不可测试的辅助假设的需求。适用于此目的的不等式首先由 Clauser 和 Horne（1974）（以下简称 CH）推导出来。设置与之前相同，唯一的区别是每个分析器只有一个输出通道，要考虑的情况是检测和非检测。我们希望得到一个仅以检测概率表示的不等式。导致 CHSH 不等式的相同推理得出了_CH 不等式_：

(25) -1≤pa,b(+,+)+pa,b′(+,+)+pa′,b(+,+)−pa′,b′(+,+)−p1a(+)−p2b(+)≤0.

在（25）中出现的概率可以通过将实验运行期间注册的事件计数除以产生的总对数来估计。如果我们假设源的产生速率与分析仪设置无关，我们可以将归一化因子视为每个项相同，因此不需要知道该因子的大小就可以证明违反（25）的上限。Eberhard（1993）还提出了一个有用的观察结果，他证明了对于非最大纠缠态（即具有两个组分的二分纠缠态，其权重不同），无检测漏洞实验的最小检测效率可以降低（从 82%降低到 67%）。这涉及到从指定的效率水平开始，然后选择一种状态和一组可观测量，以在该效率水平上最大化违反 CH 不等式。

对于我们所考虑的最大纠缠态，在理想情况下的完美检测效率下，不等式（25）在相同的设置下，量子预测最大地违反了 CHSH 不等式。然而，对于非理想实验，除非探测器效率很高，远高于 CH 撰写时进行的任何实验的效率，否则量子预测将满足该不等式。因此，CH 引入了一个新的辅助假设，称为“无增强假设”：对于任何 λ 的值和分析仪的任何设置，存在与分析仪移除时的探测概率不高于分析仪存在时的探测概率。设 p1∞ 和 p2∞ 为当各自的分析仪被移除时，粒子 1 和粒子 2 的探测概率。这个假设导致了所谓的“第二个 CH 不等式”：

（26）−1≤pa,b（+，+）+pa,b′（+，+）+pa′,b（+，+）−pa′,b′（+，+）≤p1∞+p2∞。

正如 CH 所指出的，弗里德曼和克劳泽实验的结果违反了这一条件，因此该实验排除了满足可分解性条件（F）和无增强假设的理论，尽管它并未排除 CH 构建的玩具模型。

从历史上看，消除探测漏洞的实验努力主要有两个主要方向，尽管还有其他几种可能性被探索过。其中一种可能性涉及 K 或 B 介子（Selleri 1983，Go 2004），在这种情况下，探测漏洞以另一种形式重新出现（Genovese，Novero 和 Predazzi 2001）。另一种涉及固态系统（Ansmann et al. 2009）。

其中一种主要方法是使用纠缠离子。使用离子看起来非常有前途，因为对于这样的实验，探测效率非常高。Rowe et al.（2001）的实验使用铍离子，观察到 CHSH 不等式违反，S=2.25±0.03，总探测效率约为 98%。然而，在这个设置中，两个离子的测量不仅不是时空分离的，而且还有一个共同的测量。最近，离子之间的距离增加了。例如，Matsukevich et al.（2008）通过干涉和两个发射光子的联合探测，使两个钇离子纠缠在一起，离子之间的距离设置为 1 米。然而，这种类型的确切实验要消除通信漏洞，需要分开几公里的距离。

另一种主要的方法是通过创新的光子测试方法为贝尔不等式提供了一个决定性的测试途径。首先，通过利用参数下转换（Parametric Down Conversion）实现了光子纠缠态的高效源。参数下转换是一种非线性光学现象，高能光子在非线性介质内转化为两个较低频率的光子，从而能够保持能量和动量守恒。这样可以通过发射的光子的波矢相关性实现高收集效率。接下来，高效的单光子过渡边缘传感器被制造出来。这些进展导致了与光子相关的无漏洞实验（Giustina 等人，2013 年；Christensen 等人，2013 年），最终实现了下一节讨论的决定性测试。

5.3 无漏洞测试

2015 年出现了三篇论文声称对贝尔不等式进行了决定性测试。第一篇（Hensen 等人，2015 年）通过一种事件准备方案实现了对 CHSH 不等式的违反。该实验基于利用位于远程实验室中的两个金刚石芯片中的氮-空位（NV）缺陷与电子自旋的关联。在实验中，这两个自旋与单个光子的发射时间纠缠在一起。然后，这两个不可区分的光子被传输到远程分束器。在分束器之后对光子进行测量。光子测量的适当结果将两个金刚石芯片中的自旋投影到一个最大纠缠态上，从而实现了贝尔不等式的测试。自旋测量的高效率和实验室之间的距离同时消除了检测和通信漏洞。然而，该实验仅使用了一个较小的试验次数，245 次，因此结果 S=2.42±0.20 的统计显著性（2 个标准偏差）有限。

另外两个实验发表在同一期的《物理评论快报》上（Giustina 等人，2015 年，Shalm 等人，2015 年），它们基于将由参数下转换产生的两个极化纠缠光子传输到两个远程实验室，在那里它们被高探测效率的过渡边缘传感器测量。这些实验使用的态并非最大纠缠，而是根据 Eberhard（1993 年）的分析进行了优化，以在实验的探测效率下产生对 CH 不等式的最大违背。在这两个实验中，都获得了对 CH 不等式的违背，具有高度的统计显著性。Shalm 等人报告了一个 p 值为 2.3×10^(-7)，而 Giustina 等人报告了一个 p 值为 3.4×10^(-31)，对应于 11.5 个标准偏差的效应。对数据（包括检测事件的类空分离）、统计显著性以及所有可能的漏洞进行了非常仔细的分析，确实没有任何疑问关于它们的确定性。除了检测和通信漏洞，这两个实验还涉及以下问题：

• 发射的粒子数必须与测量设置无关（产生速率漏洞）。通过绝对随机选择设置来排除了这一点。

• 符合窗口的存在不能在隐藏变量方案中导致本地设置改变本地事件发生时间的情况（符合漏洞）。通过使用脉冲源来排除了这一点。

• 在统计分析中必须考虑先前测量的最终记忆，因为数据可能不是独立和同分布的（记忆漏洞）。通过对数据的仔细分析，这一点被排除在外。

此外，基于激光相位扩散的独立随机数发生器保证了消除选择自由漏洞（除非存在超决定论或其他假设，根据定义，不允许通过贝尔不等式进行测试）。

总之，这些实验已经仔细满足了所有需要进行决定性测试的条件，毫无疑问地测试了贝尔不等式，没有任何额外的假设。

最近，也有关于原子（Rosenfeld 等人，2017 年）和超导体（Storz 等人，2023 年）的无漏洞实验。

6. 贝尔定理和贝尔不等式实验的变体

我们首先讨论两个与 第 2 节 中所提出的概念框架有所不同的贝尔定理变体。这两个变体比 第 2 节 中的版本更为特殊，因为它们依赖于完美的相关性，这与可分解性条件（F）一起导致了结果确定性（OD）。然后，还将简要提及另外两个变体，但不会详细总结。

第一个变体是由 Kochen[8]、Stairs（1978 年，1983 年）和 Heywood 和 Redhead（1983 年）独立提出的。它感兴趣的集合由纠缠态中的自旋-1 粒子对组成

(27)|Φ⟩=1√3[|z,1⟩1|z,−1⟩2−|z,0⟩1|z,0⟩2+|z,−1⟩1|z,1⟩2],

其中|z，i⟩1，其中 i = -1 或 0 或 1 是粒子 1 的自旋状态，其自旋沿轴 z 具有自旋 i 的分量，而|z，i⟩2 对于粒子 2 具有类似的含义。如果 x，y，z 是 3D 空间中的一组正交轴，则自旋算符沿这些轴的分量 sx，sy，sz 不两两对易。然而，这些算符的平方——s2x，s2y，s2z——是对易的，因此根据 第 1 节 的考虑，其中任意两个算符可以构成第三个算符的测量上下文。如果感兴趣的算符是 s2z，则轴 x 和 y 可以是垂直于 z 的平面上的任意一对正交轴，从而为测量 s2z 提供了无限多的上下文。如 第 1 节 所述，贝尔展示了对于量子系统的_上下文_隐藏变量理论的可能性，其希尔伯特空间的维数为 3 或更大，尽管贝尔-科亨-斯佩克定理表明对于这样的系统，_非上下文_隐藏变量理论是不可能的。该论证的策略是使用方程（27）的纠缠态来预测测量粒子 2 的 s2z 的结果（对于任何选择的 z），通过测量粒子 1 上的对应量。特定的完全态 λ 将确定 1 的 s2z 与 1 中的上下文一起测量时是 0 还是 1。与方程（27）的纠缠态的量子力学预测一致意味着 2 的 s2z 具有相同的值 0 或 1。但是，如果假设因子化条件（F），则在 2 上测量 s2z 的结果必须独立于远程上下文，即独立于 1 的 s2x 和 s2y 的选择，因此由于相关性，独立于垂直于 z 的平面上的任何一对正交方向 x 和 y 的选择。由此可见，提供完全态 λ 的假设理论实际上并不是上下文相关的，而是将 2 的算符 s2z，对于任何方向 z，_非上下文地_映射到值对（0，1）。但是根据贝尔-科亨-斯佩克定理，这是不可能的。结论是，不满足因子化条件（F）的任何理论都与纠缠态（29）的量子力学预测不一致。

贝尔定理的一个更简单的证明，也依赖于反事实推理，并基于确定性的局部理论，是 Hardy（1993）的证明，这里以 Laloë（2001）的表述呈现。考虑一组自旋-1/2 粒子 1 和 2 的集合，1 的自旋沿着 xz 平面上与 z 轴成角度 a = θ/2 和 a' = 0 的方向测量，而 2 的自旋沿着具有类似意义的方向 b 和 b'测量。相对于方向 a'，粒子 1 的自旋为+1/2 和-1/2 的量子态分别为|a'，+⟩1 和|a'，-⟩1，而相对于方向 a，它们分别为

(28a)(28b)|a,+⟩1=cosθ|a′,+⟩1+sinθ|a′,−⟩1|a,−⟩1=−sinθ|a′,+⟩1+cosθ|a′,−⟩1;

对于 2 的自旋态是类似的。感兴趣的集合在纠缠的量子态中准备好

(29)|Ψ⟩=−cosθ|a′,+⟩1|b′,−⟩2−cosθ|a′,−⟩1|b′,+⟩2+sinθ|a′,+⟩1|b′,+⟩2

（未归一化，因为归一化对于下面的论证不需要）。然后对于指定的 a、a′、b 和 b′，以下量子力学预测成立：

(30)(31)(32)⟨Ψ∣a,+⟩1|b′,+⟩2=0; ⟨Ψ∣a′,+⟩1|b,+⟩2=0; ⟨Ψ∣a′,−⟩1|b′,−⟩2=0;

对于方程（31）的几乎所有 θ 的值，

（33）⟨Ψ∣a,+⟩1|b,+⟩2≠0，

最大值出现在 θ=9° 附近。不等式（33）断言，在指定的角度下，存在一个非空的子集合 E'，其中对于 1 的自旋测量结果为+，对于 2 的自旋测量结果也为+。方程（30）暗示了一个反事实的命题，即如果在 E'中测量 2 的自旋沿着 b'，那么结果肯定是-；同样，方程（31）暗示了一个反事实的命题，即如果在 E'中测量 1 的自旋沿着 a'，那么结果肯定是-。正是在这一步中，论证中使用了反事实推理。由于子集合 E'是非空的，我们与方程（32）产生了矛盾，该方程断言，如果在 a'上测量 1 的自旋，并在 b'上测量 2 的自旋，那么两个结果都是-是不可能的。因此，确定性的局域理论与量子力学的不相容性得到了证明。

Stapp（1997）试图证明贝尔定理的一个加强版本，摒弃了上述概念框架，并使用了反事实条件句的逻辑。他复杂的论证受到了 Shimony 和 Stein（2001, 2003）的批评，他们对 Stapp 通过“可能世界”分析而不基于局部确定性理论来断言的某些反事实条件句持批评态度。Stapp（2001）本人对此作出了回应，并对他的论证进行了一些修改。

到目前为止，在本节中考虑的贝尔定理的三个变体涉及到粒子对的集合。通过研究由 n 个粒子组成的集合（其中 n≥3），开辟了一个全新的变体领域。Greenberger，Horne 和 Zeilinger（1989）（GHZ）证明了这种定理的原型，其中 n=4，并由 Mermin（1990）和 Greenberger，Horne，Shimony 和 Zeilinger（1990）（GHSZ）修改为 n=3。在 GHZ 定理中，为四个自旋-1/2 粒子编写了一个纠缠的量子态，并计算了对个别粒子进行的某些二元测量的乘积的期望值。然后他们表明，试图在满足因子可分性约束（F）的情况下复制这个期望值会产生矛盾。Mermin 对三个自旋-1/2 粒子的状态以及 GHSZ 对三个光子的状态（相对于它们的传播方向）得到了类似的结果。由于篇幅限制，这里不会总结详细内容，但值得一提的是已经进行了实验测试（Pan 等，2000 年，Genovese，2005 年）（在这种情况下还有额外的假设）。

最后，值得一提的是，在贝尔不等式测试中，（8）中的期望值必须在不同的纠缠光子对上进行评估。这可能最终可以通过利用弱测量（Aharonov，1988 年）来克服，即测量装置与测量的量子态弱耦合：这样可以避免波函数的坍缩，获得关于可观测量的部分信息。在贝尔测量的情况下，可以通过利用顺序弱测量（Piacentini，2016 年），在一次测量中获得 S 的估计，即方程（8）。通过利用顺序弱测量（Piacentini，2016 年），在最初的几个实验结果之后，这些实验结果涉及到仅对单个臂进行弱测量（Foletto，2020 年）或进行一次弱测量加一次强测量（White，2016 年，Calder，2020 年），最近实现了仅基于弱测量的完整贝尔不等式测试，这仅部分退相干了纠缠态（Virzì 等，2023 年，其他互联网资源）。

7. 量子信息理论的意义

贝尔定理证明中设想的实验装置突出了量子理论的一个引人注目的预测，即远距离纠缠，并且贝尔不等式的实验测试提供了令人信服的证据，表明这是现实的一个特征（最近的卫星实验已经达到了 1200 公里的距离，参见 Yin 2017 和 Yin 2020）。此外，贝尔定理揭示了量子力学预测的基于纠缠的相关性与经典背景下熟悉的局部可解释相关性截然不同。

对纠缠及其如何利用它来执行仅凭经典资源无法实现的任务的研究，是量子信息理论学科的重要组成部分（参见 Benatti 等人，2010 年，以及关于 量子计算 和 量子纠缠与信息 的条目）。贝尔定理和由此衍生的实验工作，通过引起人们对纠缠的重视以及它与经典物理学的差异之间的关系，至少间接地推动了量子信息理论的发展。

贝尔定理在无设备量子密码学的发展中起到了直接作用。人们可以利用量子相关性设计一种量子密钥分发协议，该协议在假设无论底层物理是什么，都不允许超光速信号的情况下可以被证明是安全的。基本思想是，如果在类空分离的情况下存在违反贝尔不等式的相关性，那么除了量子概率所提供的可预测性之外的结果可被用于超光速信号的传递；这个逆否命题是，无法传递信号意味着“绝对随机性”——绝对是指独立于底层物理细节，只受到超光速信号禁止的限制。[9]

另一个有趣的应用是利用无漏洞贝尔测试来利用量子非局域性现象构建一个随机数生成器，该生成器可以产生对任何仅受到一般物理原理（如特殊相对论）限制的对手来说是不可预测的输出（Bierhorst 2018）。

此外，密码学本质上必须考虑到可能存在的旨在欺骗密码密钥使用者的阴谋，因此在这种情况下，有必要证明在存在这种阴谋的情况下的安全性。

Colbeck 和 Renner（2011 年，2016 年）的研究结果，基于 Branciard 等人（2008 年）的工作，表明如果满足 PI，则无法实现这一点。这个结果在操作层面和基本层面都具有重要意义。在基本层面上，它可以应用于得出结论：任何比量子预测更精确的理论必须违反 PI。此外，即使在基本层面上适用某些确定性理论（如德布罗意-波姆理论），Colbeck-Renner 定理也可以应用于操作层面，其中涉及的概率可能表明对物理状态的可访问信息存在限制。操作层面上的 PI 违反将允许信号传输。因此，该定理表明，只要满足无信号传输条件，试图通过拦截粒子对并替换为她对其有一些信息的结果来破坏密钥分发方案的隐私的窃听者无法这样做，而不会破坏粒子对之间的相关性。有关该定理的清晰阐述，请参阅 Leegwater（2016 年）。

8. 哲学/形而上学的含义

贝尔不等式是基于一些具有直观可信度的假设推导出来的，这些假设可以说根源于对经典物理学和相对论的思考所产生的世界观。如果我们接受实验证据给我们充分的理由相信违反贝尔不等式的相关性是物理现实的特征，那么其中一个或多个假设必须被放弃。其中一些假设是传统上被视为形而上学假设的那种假设。事实上，通常被视为形而上学的这些命题的合取具有可以接受实验检验的后果，这导致 Shimony 将寻找违反贝尔不等式的实验测试的企业称为“实验形而上学”（Shimony 1984a，35; 1993，115）。正如可以预料的那样，实验形而上学的结论并不明确。一些乍看合理的选择被排除在外，留下了一些选择的可能性。在本节中，这些选择将被简要概述，但不会试图对它们进行裁决。

假设一个人接受实验证据表明，贝尔不等式违背的相关性是世界的真实特征，即使在空间分离的情况下进行实验，也是在最严格的条件下进行的，这是倡导崩溃局部性漏洞的人希望施加的条件（见第 3.2.3 节）。接受这种相关性的真实性要求拒绝任何一组足以推导出贝尔不等式的假设的结合。在第 3 节概述的证明的假设分析中，可以根据实验违反情况采取的立场进行分类，因为至少有一个假设必须被拒绝。独特的假设是局部因果性原理，当应用于贝尔型实验的设置时，体现在可分性条件中。只有拒绝其中一个补充假设，才能保持这个条件。我们首先考虑拒绝补充假设的选项，然后再考虑接受辅助假设并拒绝局部因果性的选项。

8.1 拒绝补充假设

由于我们正在考虑接受贝尔不等式违背作为现实特征的含义，即使在空间分离的情况下进行实验，我们暂时搁置了崩溃局部性漏洞。这给我们留下了两个选择。

• 拒绝唯一结果。这是埃弗里特学派或多世界理论以及相关的量子力学解释所采取的选择。问题是在这种选择下是否可以保持局部性。提出贝尔定理对埃弗里特学派或相对态解释的局部性是否有影响的问题，首先需要考虑如何在这样的背景下制定局部性条件，因为在第 3.1 节中制定的条件预设了唯一的实验结果。有关埃弗里特解释中局部性的讨论，请参见 Vaidman（1994）、Bacciagaluppi（2002）、Wallace（2012）第 8 章、Tipler（2014）、Vaidman（2016）、Brown 和 Timpson（2016）以及 Myrvold（2016）。有关关系解释背景下的讨论，请参见 Smerlak 和 Rovelli（2007）。

• 拒绝测量独立性假设。有两种基本方法可以做到这一点。一种是假设过去存在一个共同的原因，决定了实验设置和实验结果。在一次采访中，贝尔将这种类型的解释称为“超决定论”（Davies 和 Brown，47），这种方法被称为_超决定论_。另一种方法是拒绝通常的因果假设，即原因必须在时间上先于其效应。如果承认未来对过去的因果影响，即使将设置视为自由变量，它们也可能影响系统在准备时刻的状态，违反了准备概率分布与实验设置无关的假设。这种方法通常被称为_逆因果性_。近年来，这两种方法都得到了支持者的拥护。

8.1.1 逆因果性

在一种逆因果的方法中，实验设置在实验的每个分支上会对源处的一对粒子的状态产生逆向影响，进而对另一个分支上的结果产生影响。因此，我们违反了测量独立性和参数独立性。这个观点是由 Costa de Beauregard（1977）提出的，在 Bell 和 Shimony、Holt 和 Clauser 之间的交流中，Costa de Beauregard 指出讨论者们忽视了逆因果性的可能性，而他早在 1976 年就提出了这个可能性。近年来，Price 和 Wharton（Price 1994, 1996; Price and Wharton 2015）提倡了这一观点。它是量子力学的交易解释的一部分（Cramer 1986, 1988, 2016; Kastner 2013）。有关逆因果方法的更多信息，请参见条目 Retrocausality in Quantum Mechanics 以及 Wharton 和 Argaman（2020）。

8.1.2 超确定性

在 Bell（1976）的结尾，Bell 对 λ 和实验设置的独立性发表了一番评论。

假设仪器的设置在某种意义上是自由变量 - 比如由实验者随心所欲地决定 - 或者至少不是在向后光锥的重叠区域内确定的。事实上，如果没有这种自由度，我将不知道如何制定任何关于局部因果性的想法，即使是谦逊的人类想法（Bell 1976, 8; 1985a, 95; 1987b 和 2004, 61）。

然而，这种假设在推导中并没有明确地被引用，并且这种假设的作用在那篇文章中没有被充分阐明。

Shimony、Horne 和 Clauser（1976）强调了这种假设的必要性，他们通过一个幻想的故事来说明这一点，故事涉及实验装置制造商和物理学家助手之间的阴谋。阴谋的主谋编造了一组相关实验数据，包括一系列实验设置和所获得的结果的配对。主谋指示制造商预先编程装置以产生所需的结果，并指示物理学家助手协调装置设置，以与预先确定的列表中指定的设置相匹配。显然，阴谋者可以利用任何一组相关数据进行其邪恶的计划；因此，任何一组相关数据都可以作为这种过程的结果获得，而不违反任何形式的局部性条件。通过这种方式获得的相关性可能包括量子力学预测的相关性，以及量子力学禁止的相关性，例如违反 Tsirelson 界限的相关性，或者实验的一侧结果对另一侧的设置具有信息性，给人以超光速传输的错觉。

Shimony、Horne 和 Clauser 的目标不是拒绝贝尔的结论，而是激发对贝尔推理中隐含的假设的明确引用。对于贝尔不等式测试中设想的实验类型，Shimony、Horne 和 Clauser 认为设置和粒子对的状态的独立性假设是合理的，尽管相对论因果性并不要求这种独立性。

毕竟，这两个行为的反向光锥最终会重叠，人们可以想象一个区域来控制选择 a 和 b 的两个实验者的决策。我们不能否认这种可能性。但是，如果没有提出具体的因果关联，我们认为在方法论上严肃地担心这一点是错误的。在任何科学实验中，假设两个或更多变量被随机选择，我们总是可以猜测反向光锥的重叠中的某些因素控制了可能是随机选择的选择。但是，我们坚持认为，这种怀疑态度将基本上否定科学实验的所有结果。除非我们在假设这种隐藏的阴谋不会发生的情况下进行，否则我们事先就放弃了通过实验发现自然规律的整个事业（Shimony、Horne 和 Clauser 1976 年，6 页；1985 年，101 页；Shimony 1993b，168 页）。

在最后引用的句子后附有一个脚注，引用了 Shimony 的《科学推理》一书，其中提倡了一种以科学方法为指导的科学方法论，即尽管无法保证无论我们采用什么科学方法论，它都会引导我们走向真理，但我们可以并且应该引导我们的方法选择，使其在可能的情况下对真理敏感，符合 C.S.皮尔斯的格言“不要阻碍探究的道路”（皮尔斯 1931 年）。正如作者们所指出的，随机化假设在实验科学中是普遍存在的。如果一种方法论容忍拒绝这种假设，每当使用它会导致不希望的结论时，那将等于放弃通过实验来测试假设的事业，违背了皮尔斯的格言。

作为回应，贝尔（1977 年）承认他在（1976 年）的表述是不充分的，并解释了他的推理：“主要是对某些物理理论的分析。”

一类受尊敬的理论，包括当代量子理论的实践，除了内部的和受理论制约的变量之外，还有“自由的”“外部的”变量。这些变量通常是外部场或源。它们被用来表示实验条件。如果允许引用这些假设的形而上学实体，它们还为“自由意志的实验者”提供了一个发力点。我倾向于特别关注这类理论，因为它们在我看来与我们日常看待世界的方式最为简单相关。（1977 年，80 页；1985b，104 页；1987b 和 2004 年，101 页）

然而，他明确表示不需要引入实验者免于物理定律的形而上学假设。贝尔对“自由”变量的初步陈述是，

对我来说，这意味着这些变量的值只在它们的未来光锥中有影响。它们在任何意义上都不是关于之前发生的事情的记录，也不提供关于之前发生的信息。特别是它们对于后向光锥的重叠部分中的隐藏变量 ν 没有任何影响...。（1977 年，79 页；1985b，103 页；1987b 和 2004 年，100 页）

正如所述，这太过强硬；如果动力学是可逆的，那么这些变量的值不可能仅仅在设置事件的未来光锥中有影响。我们需要的是比实验的后向光锥的重叠部分中这些变量不被确定更弱的条件；我们需要的是它们“至少对于手头的目的而言是有效自由的”。贝尔认为，一个对初始条件非常敏感的确定性随机器足以提供所需的独立性，并且可以将这类变量视为仅对其未来光锥中的事件有影响。

假设仪器的设置不是由实验物理学家决定，而是由机械随机数发生器决定。实际上，设想具有这种特性的实验，两个这样的设备的输出之间存在类空间隔，似乎不那么不切实际，而希望实现这种情况与人类操作员一起则更加困难。这样的机械设备的输出能否合理地被视为对于手头的目的而言足够自由？我认为是的。

考虑一个极端情况，即实际上是完全确定性的“随机”生成器——为了简单起见，假设它是完全孤立的。在这样的设备中，完整的最终状态完全决定了完整的初始状态——没有任何遗忘。然而，对于许多目的来说，这样的设备恰恰是一个“遗忘机器”。一个特定的输出是许多因素的组合结果，是一个漫长而复杂的动力链，对许多初始条件的微小变化非常敏感。这是经典统计力学中的一个熟悉的悖论，即对初始条件的这种精细敏感性实际上等同于完全遗忘它们。为了说明这一点，假设两个可能的输出之间的选择，对应于_a_和_a′_ ，取决于某个输入变量的第一百万位小数的奇偶性。然后，固定_a_或_a′_ 确实确定了输入的某些内容——即第一百万位小数是奇数还是偶数。但是这个奇特的信息不太可能是任何明显不同目的的关键信息，换句话说，它在其他方面是相当无用的。对于一个物理洗牌机，我们无法分析到底哪个奇特的输入在输出中被记住了。但是我们可以合理地假设它对其他目的来说并不相关。从这个意义上说，这样的设备的输出确实是为手头的目的而足够自由的变量。（1977 年，82-83 页；1985b 年，105-106 页；1987b 年和 2004 年，102-103 页）

贝尔以这样的话结束：

当然，这些关于物理随机器的合理观点可能是错误的——对于手头的目的来说。可能会出现一种理论，其中这种阴谋不可避免地发生，而这些阴谋可能比其他理论中的非局域性更容易理解。当那个理论被宣布时，我不会拒绝倾听，无论是出于方法论还是其他原因。但我不会自己去制定这样的理论。（1977 年，83 页；1985b 年，106 页；1987b 年和 2004 年，103 页）

交流的结果是贝尔与 Shimony、Horne 和 Clauser 之间达成了实质性的一致。

在实际实验中，采用了各种随机化策略，根据合理的物理假设，预计可以确保实验设置和条件在粒子对源头的独立性。Scheidl 等人的实验（2010 年）是第一个在与粒子对源头的生成处进行时空分离的随机数生成器的实验。根据 Clauser 的建议，其他测试使用了来自银河系恒星的光子的测量（Handsteiner 等人，2017 年）和来自遥远类星体的光子的测量（Rauch 等人，2018 年）。此外，“大贝尔测试”进行了利用大约 10 万名志愿者提供的输入的实验（Abellán 等人，2018 年）。在 Shalm 等人的实验（2015 年）中，测量决策是通过对来自三个独立源的三个位进行异或（exclusive or）操作来确定的，其中之一是由 π 的数字和从各种流行文化源（包括电影《Monty Python and the Holy Grail》、《Back to the Future》三部曲以及《Doctor Who》、《Saved by the Bell》和《Star Trek》的剧集）派生的二进制字符串构成的伪随机序列。

然而，近年来，构建一个纯粹局部动力学的理论的项目得到了一些支持，观察到的相关性是由于这些和其他所谓的随机化程序未能消除恰好产生与量子力学预测密切匹配的统计数据所需的相关性的失败。这是’t Hooft 量子力学的细胞自动机解释的一个特点（’t Hooft 2016; 另见 Scardagli et al. 2019），并且已经得到 Hossenfelder 和 Palmer（2020）以及 Hance，Hossenfelder 和 Palmer（2022）的支持。这些作者依赖于这样一种可能性：被认为具有 Bell 所说的随机化作用的动力学系统实际上可能具有不同类型的动力学，而看似对初始条件的微小变化具有非凡的敏感性可能并非如此。

Hossenfelder 和 Palmer（2020）认为，超决定论理论是“阴谋论”或需要“精细调整”的指责意味着：根据某种物理上显著的度量，导致参数设置和初始状态之间所需相关性的初始条件集合很小。他们的回应策略是考虑一个状态空间的可能性比人们通常认为的更受限制的理论，并主张在这样的空间中，一个物理上显著的度量可能是那些导致所需相关性的初始条件集合很大的度量。也就是说，想象中的理论排除了缺乏所需相关性的初始条件作为物理可能性。

有关超决定论的进一步考虑，请参见 Chen（2022），Andreoletti 和 Vervoort（2022），Baas 和 Le Bihan（2023），以及 Ciepielewski，Okon 和 Sudarsky（2023）。

8.1.3 拒绝局部因果性

如果接受了辅助假设，那么从实验违反贝尔不等式中可以得出的教训是，必须拒绝贝尔所称的“局部因果性原理”。正如我们所见，这个条件是两个条件的结合：一个因果局部性条件（PLC-1，上述），以及共同原因原理。因果局部性条件本身可以被看作是源于因果关系在时间上先于其效应，并且时间先后关系的洛伦兹不变性的假设。如果时间先后关系要保持洛伦兹不变性，那么要么它是在任意两个时空点之间成立的平凡关系，要么一个时空点的过去是其过去的光锥（Stein 1991, 2009）。

在这个背景下，有必要回顾一下可分性条件可以被看作是结果独立性（OI）和参数独立性（PI）的结合。PI 是因果局部性（PLC-1）应用于贝尔实验的设置的结果，而 OI 是因果局部性和共同原因原理的结果。这给我们留下了一个困境。拒绝可分性意味着拒绝 PI 或 OI。拒绝 PI 意味着拒绝因果局部性。如果要保持因果局部性，那么必须拒绝 OI，因此也必须拒绝共同原因原理。

任何确定性理论都必须满足 OI，因此，一个拒绝可分性的确定性理论必须拒绝因果局域性。

这些考虑为接受补充假设并接受违反贝尔不等式的相关性提供了一种分类的选择。

• 拒绝 PLC-1。一种选择是拒绝因果局域性假设 PLC-1，并接受事件之间存在彼此光锥之外的因果关系。有两种方法可以做到这一点。

• 介绍非相对论时空结构。一个选择，也许是最直接的选择，是拒绝洛伦兹不变时空结构的假设。这是接受德布罗意-波姆理论或任何类似理论的立场。在德布罗意-波姆理论中，粒子的速度不仅取决于其自身位置，还取决于与其纠缠的其他粒子的位置。这意味着该理论的动力学需要一个特权的远程同时性关系。非相对论时空结构可以通过动态引入，例如 Dürr 等人（1999）概述的一系列模型。

• 逆因果性。另一个选择是保持事件的过去是其过去的光锥，并因此保持时空结构的洛伦兹不变性，但否认原因必须在效果之前发生的假设。通常，选择这个选项的人接受逆因果性，主张因果过程可以在光锥内以任何时间方向传播；因此，每个事件至少在潜在上都处于其他事件的因果领域。因此，这种方法涉及对因果局域性的拒绝，尽管它可能尊重因果影响必须通过沿类时世界线的连续过程进行传递的观念。

• 拒绝共同因果原理。一个随机理论，例如动力学崩塌理论，可以在贝尔实验中重现量子概率，将涉及到时空分离的相关事件。然而，它不需要涉及这些事件的共同过去来屏蔽这些相关性；这些相关性将内置于理论的规律中，产生事件的概率。是否愿意将因果关系的讨论扩展到这些事件之间的关系仅仅是一种术语问题；然而，值得注意的是，在这些事件之间的关系中，没有通常的因果关系的不对称性。接受这种关系作为一种新的对称因果关系将消除任何认为时空分离的事件之间的因果关系与相对论时空结构不兼容的理由。

贝尔定理的一个更常见的观点是，它告诉我们可能存在无法用因果关系来解释的相关性。这涉及到拒绝共同因果原则（见，例如，van Fraassen 1982，Fine 1989，Butterfield 1992，Elby 1992）。其他人认为，尽管 Reichenbach 所阐述的共同因果原则应该被拒绝，但这个原则被过于狭窄地阐述了，需要根据量子现象进行重新阐述。有人提出，尽管不满足 Reichenbach 的原则，违反贝尔不等式的相关性是由它们过去的共同原因造成的，即产生纠缠的过程（Unruh 2002, 136）。Hofer-Szabo、Rédei 和 Szabo（1999, 2002）提出了对共同因果原则的修改，Leifer 和 Spekkens（Leifer 2006, Leifer and Spekkens 2011）也提出了类似的修改。有关这些提议的讨论和批评，请参见 Cavalcanti 和 Lal（2014）。

在所有这些中，假设时空拓扑与闵可夫斯基时空相匹配。人们也可以拒绝这个假设；有可能被认为是时空分离的事件实际上是有因果联系的，因为存在与通常假设不同的时空拓扑。在这种方法中，通过考虑虫洞，即所谓的 ER = EPR（即爱因斯坦-罗森虫洞与 EPR 悖论相关）猜想（Maldacena and Susskind 2013）或更多的包裹维度（Genovese and Gramegna 2019），可以恢复局部性。

8.2 量子力学和相对论

贝尔定理是否表明量子理论与相对论不相容？

当然，答案取决于人们对相对论的要求。可以证明（Eberhard 1978，Ghirardi，Rimini＆Weber 1980，Page 1982），在哈密顿量中没有非局域相互作用项的情况下，量子相关性不能被利用来超光速发送信号。在一些文献中，人们倾向于仅凭此事实就认为量子理论与相对论相容。然而，从以下事实可以看出，这是不充分的：存在一些理论，例如德布罗意-波姆理论，它们需要非相对论时空结构来制定其动力学定律，同时又不允许信号传输（至少只要粒子位置的常规分布假设得到满足）。

将_相对论时空结构_定义为包括时间先后关系的结构，其中一个时空点的过去是其过去光锥上的点或其中的点集，而其未来是其未来光锥上的点或其中的点集，其他点与其在时间上无关，既不是过去也不是未来。我们可以问一个给定的世界事件描述是否与相对论时空结构相容。如果一个理论要求其光锥之外的事件被划分为过去、未来和与某一点同时发生的事件，就像德布罗意-波姆理论那样，那么它就与相对论时空结构不相容。理论与相对论时空结构的相容性在这个意义上是一个独立的问题，与表达理论动力学定律的洛伦兹协变性是不同的。我们可以构建那些在动力学上引入非相对论时空结构的理论，就像 Dürr，Goldstein，Münch-Berndl 和 Zanghì（1999）所做的那样，他们通过引入一个辅助场来对 Minkowski 时空背景下的 Bohmian 理论进行建模，该辅助场选择了一个特殊的分层结构，然后用于制定理论的动力学（有关讨论，请参见 Dürr 等人的 2014 年的论文）。Berndl，Dürr，Goldstein 和 Zanghì（1996）考虑了轨迹理论的类别，即像德布罗意-波姆理论一样为粒子分配明确轨迹的理论，并证明这类理论无法满足 Born 规则分布假设在任意类空超平面上。这个论证可以推广到任何分配除位置以外的变量的理论，例如模态解释（Dickson 和 Clifton 1998，Arntzenius 1998，Myrvold 2002）。因此，这类理论必须引入一个特殊的分层结构。

确定论理论必须满足结果独立性的条件，因此如果接受以下两点：(a) 违反 PI（即实验选择一侧会改变另一侧结果的概率）是因果关系的一个实例，(b) 原因必须在时间上先于其效果，那么遵守补充条件并重现量子相关性的确定论理论与相对论时空结构不兼容。然而，如果（如德布罗意-波姆理论中）可观测到的是无法区分的分叶，则这样的理论在现象层面上可能是洛伦兹不变的。

随机理论，如动力学坍缩理论，必须涉及时空分离事件之间的相关性。然而，这样的关系是对称的，并不要求其中一个事件在另一个事件的过去。非相对论时空结构并非必需。事实上，可以制定一个完全相对论的动力学坍缩理论。Ghirardi-Rimini-Weber（GRW）理论的相对论推广由 Dove（1996）和 Tumulka（2006）独立构建。Continuous Spontaneous Localization（CSL）理论的相对论版本由 Bedingham（2011）和 Pearle（2015）构建。关于这些理论的本体论讨论，以从中提取出包括宏观物体的世界的合理解释，可参考 Pearle（1997），Bedingham 等人（2014）和 Myrvold（2019）。有关相对论对量子理论解释的各种方法的影响的更多信息，请参见 Myrvold（2022）。

Shimony 在他的几篇著作中（Shimony 1978, 1983, 1984a,b, 1986, 1988, 1989, 1990, 1991）谈到了特殊相对论和量子理论之间的“和平共处”。这个词的含义有所不同。在最初的阐述（1978 年）中，“和平共处”与将实验结果视为从潜在性到实际性的转变有关，Shimony 说，这需要进一步的研究才能理解。在后来的著作中，和平共处是由于量子相关性无法用于超光速信号传递而“暗示”出来的（Shimony 1983），尽管仍与量子力学激发了我们对事件概念的改变的观点相关（Shimony 1984a），并涉及对不同参考系描述的事件的一致性网格的要求（1986）。在其他作品中，和平共处似乎仅仅被认为是无法利用量子相关性进行信号传递的不可能性（Shimony 1984b, 1990, 1991）。受 Bell（1990）的影响，Shimony 确信人类中心主义的考虑，如可操作性，在基本物理学的考虑中没有位置，他对通过这种方法来调和相对论和量子理论的途径感到不满（Shimony 2009, 489）。

贝尔本人对贝尔定理是否表明量子理论和相对论之间存在根本的不相容性的问题似乎随时间而变化。在 1964 年的文章末尾，他写道：

在一个理论中，通过向量子力学添加参数来确定单个测量结果，而不改变统计预测，必须存在一种机制，使得一个测量设备的设置能够影响另一个仪器的读数，无论它们之间有多远。此外，所涉及的信号必须瞬间传播，以至于这样的理论不能是洛伦兹不变的（Bell 1964，199; 1987b 和 2004，20）。

在这一点上，他只声称确定性隐藏变量理论与相对论不相容。然而，后来他谈到了“任何对量子理论的明确表述和基本相对论之间的明显冲突。也就是说，在当代理论的两个基本支柱之间，我们在最深层次上存在一种明显的不相容性…”（Bell 1987b 和 2004，172；这些是 1984 年举行的一次会议上的讲话）。请注意，这是带有保留的陈述，他只谈到了“明显的基本”冲突。同年，他写道：“我无法证明，甚至无法清楚地阐述这样一个命题：量子场论的明确表述，如此处所述，必然不尊重严肃的洛伦兹不变性。但在我看来，这可能是如此”（1984，7；1987b 和 2004，180）。

由于 GRW 动力学崩溃理论（Ghirardi，Rimini 和 Weber，1986）的出版，态度发生了转变。在对这个理论的评论中，贝尔写道，

我特别惊讶的是，该模型在非相对论版本中与洛伦兹不变性一样。它消除了我对任何量子力学的确切表述必然与基本的洛伦兹不变性相冲突的担忧（1987a，14; 1987b 和 2004，209）。

在贝尔生命的最后一年在的里雅斯特发表的一次讲座中，贝尔讨论了真正相对论版本的动力学崩溃理论的前景，并得出结论，Ghirardi，Grassi 和 Pearle 在制作一个真正相对论版本的连续自发定位理论（CSL）时遇到的困难是“二等困难”，即技术困难，而不是深层概念上的困难。这似乎已经得到了已经提到的完全相对论崩溃理论的建设的证实。

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Acknowledgments

A.S. acknowledges valuable conversations with John Clauser and Edward Fry. W.M. acknowledges valuable correspondence with Travis Norsen and Howard Wiseman, and is grateful to Sebastian Murgueitio Ramírez for providing digitized copies of the cited issues of Epistemological Letters. Springer Verlag and Alain Aspect have kindly given permission to reproduce Figure 9.1 on p. 121 of Aspect’s article, “Bell’s Theorem: the Naïve View of an Experimentalist,” pp. 119–153 in Quantum [Un]speakables, R.A. Bertlmann and A. Zeilinger (eds.), Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 2002; this Figure was used as Figure 1 in the present article.

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