阿隆佐·邱奇 Church, Alonzo (Harry Deutsch and Oliver Marshall)

首次发布于 2021 年 10 月 21 日；实质性修订于 2022 年 2 月 24 日

来自 Burge & Enderton 2019 的照片，

以编辑的许可再版。

阿隆佐·邱奇（1903–1995）是一位著名的数理逻辑学家、哲学逻辑学家、哲学家、教师和编辑。他是数理逻辑学学科的创始人之一，在康托尔、弗雷格和罗素之后发展起来。他还是_符号逻辑协会_和_符号逻辑杂志_的主要创始人之一。他的数学和哲学学生名单令人瞩目，其中包括著名的逻辑学家和哲学家。在本文中，我们主要关注邱奇的哲学贡献。（有关他的生平和学术历史，请参阅《阿隆佐·邱奇集》（2019）的介绍。）然而，我们也会讨论他的数学成果，以便追求哲学问题时需要这样做。在邱奇的情况下，哲学家和形式逻辑学家/数学家之间的区别并不完全正确，因为他的_所有_工作（偶尔除了一些纯数学主题的论文）都以某种方式涉及逻辑问题。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇以独特的方式将形式逻辑的一般观点和具体区分运用到哲学中，通过将他的“逻辑方法”应用于他讨论的哲学主题。相反，他还将他哲学的某些方面编入形式的数学逻辑中。结果是哲学愿景和集中论证的强大结合。对于邱奇，逻辑方法（或形式化）不仅是为了获得超越非正式讨论的额外澄清和使元数学研究成为可能；它也是处理认识论、形而上学和语言哲学等哲学问题的理想方法。邱奇认为，不渴望这一理想的人是不够的。然而，他也认识到，形式化并不总是合适的。他并没有要求自然科学被形式化，甚至在他的《数理逻辑导论》（1956a）的导论章节中提供了关于语义的非正式哲学讨论。本文讨论和阐述的理论和论证描述和说明了邱奇的逻辑方法。

在接下来的内容中，我们经常使用邱奇从_数学原理_（怀特海德和罗素 1910 年; 以下简称 PM）中采用的符号约定。在这样做时，这些约定会被解释，并有时与现代符号进行比较。

1. 可计算性和阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇论题

1.1 阿隆佐·邱奇的开创性论文

阿隆佐·邱奇是第一个设计出一种形式主义——λ 演算，在其中可以定义一类函数，这些函数可以与直观可计算函数相一致，也就是那些可以通过算法（即计算机程序）进行评估的函数。他还提供了第一个（可以说是）特定重要函数的例子，这个函数是_不_可计算的。（其他例子，由 Kleene（1936 年）和 Turing（1936 年）独立提出，随后很快出现。）他通过构造一个函数来做到这一点，根据哥德尔和赫尔布兰稍早定义的意义，可以证明这个函数是不可递归的。然后，他诉诸于这样一个假设：任何直观可计算的函数都是递归的，从而得出结论，所讨论的函数是不可计算的——在邱奇的术语中，它不是_有效可计算_的。（我们将继续使用“可计算”和“直观可计算”这些术语，而不是“有效可计算”，因为它们更容易为非专业人士理解。）考虑到这个函数的性质，这意味着某个初等数论问题是无法解决的：它无法通过算法手段解决。这也暗示了对希尔伯特和阿克曼（1928 年）首次提出的_判定问题_的否定解：即一阶逻辑是否存在决策过程的问题。后来这个斜体假设被称为“邱奇假设”（Kleene 1952）。

这一结果所呈现的论文名为“初等数论中一个无法解决的问题”（1936a），是逻辑和可计算性理论的经典之作，但它在图灵（1936）几乎同时期发表的杰出论文以及更早的哥德尔（1931）引人瞩目的不完备定理面前略显黯然。在这一部分中，阿隆佐·邱奇的论文成为中心。

邱奇的论文第 7 部分包含了邱奇定理的第一个明确阐述（除了 1935 年的一个初步声明）：

我们现在通过将正整数的有效可计算函数的概念（已经讨论过）与正整数的递归函数（或正整数的 λ 可定义函数）的概念等同来定义这个概念。这个定义被认为是合理的，因为接下来的考虑，就选择与直观概念相对应的形式定义而言，积极的理由是可以得到的。（1936a [BE: 119]）

阿隆佐·邱奇继续考虑了两种自然的方法，人们可能寻求将可计算性的概念扩展到递归性（或 λ-可定义性）之外，他认为这两种方法中的每一种都导致函数已经是递归的（和 λ-可定义的），因此得出结论：

因此，通过自然而然地建议的两种方法，即(1)如果存在用于计算其值的算法，则将函数定义为有效可计算的函数，(2)如果对于每个正整数 m，存在正整数 n 使得 F(m)=n 是一个可证明的定理，那么就显示出除了上述提出的有效可计算性的更一般的定义是无法获得的。(1936a [BE: 121])

Kleene (1952: 222–223)讨论了对于阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇论题的这两个经典论证。（详细信息请参见 supplement A.2。）

1.2 什么是阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇？

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇的论题是以下两个命题中的第一个，但第二个在讨论第一个命题时起着重要作用。我们使用术语“CT”来表示这两个命题的连词：

CT1

每个直观可计算的函数都是递归的

CT2

每个递归函数在直觉上都是可计算的。

CT 可能以 λ-可定义性或图灵可计算性或许多其他已知与递归等价的数学条件来阐述。尽管这些等价性，但差异是显著的。哥德尔在几个场合表达了对图灵分析的强烈偏爱，而哥德尔偏爱图灵的理由充分。这些在其他地方有详细说明（请参阅 阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇论题 以及戴维斯 1965 年）。邱奇本人认为图灵的分析优于他自己的：

可由图灵机计算性...具有使其与普通（未明确定义）意义上的有效性的识别立即变得明显的优势。 （阿隆佐·邱奇 1937a [BE：934]）

λ-可定义性与直觉可计算性的认同当然并非“立即显而易见”。事实上，邱奇的学生斯蒂芬·科尔·克利尼（Stephen Cole Kleene）报告说，邱奇、罗瑟（J. Barkley Rosser，也是邱奇的学生）和他自己逐渐意识到 λ-可定义性可能作为直觉可计算性的精确对应物（Kleene 1981）。克利尼还描述了以 λ-表达式表示整数的方式给出某些基本数论函数（特别是前驱函数）的 λ-定义的困难（1981: 56；这些 λ-表达式在 supplement D 中描述）。但邱奇（1936a）所阐述的 CT1 的根本困难在于，它被给出为一种定义，除了简要概述 λ-可定义性和递归性的外延等价的证明之外，并没有任何附带的理由（克利尼[1936]给出了更详细的证明）。哥德尔正是抱怨了这一点：

他[哥德尔]坚持认为，未经证明“有效可计算函数”的定义为某个特定类别是“彻底不令人满意的”，而不是首先证明“有效可计算性概念的普遍接受的属性”必然导致这一类别。(戴维斯 1982:12)

哥德尔最终将图灵的分析视为计算的更好模型，正是因为图灵通过对人类计算机进行详细分析（图灵 1936 年：§9），从而证明了直观计算与图灵机计算的等同性。看起来，至今尚未为 λ-计算的情况提供图灵引人入胜分析的对应物。然而，应当强调的是，邱奇的主要目的并非是为了捍卫可计算性的分析，而是为了为证明一个特定的数论组合问题无法解决做好准备。只要计算被定义为有限过程，基数考虑意味着不可计算函数必须存在，而邱奇希望证明他的组合问题就是其中之一。

大部分时间，阿隆佐·邱奇的观点——即 CT1 不受数学证明或任何形式的数学处理的约束——一直占据主导地位。但一些人，如 Shoenfield，（以及邱奇本人），观察到 CT2 尽管缺乏“可计算”数学上精确的定义，却受到直观证明的约束（Shoenfield 1967: 120）。Kripke 赞同 Shoenfield 对 CT2 的看法。Kripke 说，所需的只是“一个直接的论证”（2013）。此外，Kripke 和其他人（例如 Mendelson 1990）挑战了 CT1 不适合数学处理的传统观点。因此，对 CT1 的讨论分为两部分：第一部分是通常根据 CT1 提出的证据，假设它是一个不适合证明的定义或假设；第二部分是最近尝试通过数学论证支持 CT1 所得的证据。我们可以将第一类证据称为“外部”，第二类称为“内部”。接下来的重点是邱奇在这些发展中的作用。

1.3 CT1 的作用

在阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）的术语中，逻辑系统的决策问题是找到

一个有效的程序，一种_决策过程_，通过这种过程，对于系统的任意 wff，可以确定它是否是定理（如果是定理，则可以获得其证明）。 (1956a: 273)

在一个脚注中，阿隆佐·邱奇指出，从古典观点来看，括号内的条件并非必需，但却是“朝向”直觉主义的方向，他将其描述为“激进的”，但是在他 1956a 的随后部分，这一限定始终被包括在内。但是这样的决定必须基于对有效过程概念的精确对应，比如递归或 λ-可定义过程。如果有积极的结果，CT2 允许推断出存在一个可计算（有效）过程；如果结果是否定的，CT1 允许推断其不存在。这就是 CT 在可计算性理论和逻辑发展中的作用。一个特别有力的例子是邱奇对一阶逻辑的_Entscheidungsproblem_（决策问题）的否定解——现在被称为“邱奇定理”（1936b）。人们认为，积极的解决方案至少原则上会使数学完全机械化。原则上，每个数学问题都可以通过算法解决。另一方面，否定解的形式是一个谜。据报道，冯·诺伊曼宣称“我们不知道如何证明它”（Gandy 1988: 62）。邱奇的结果使得否定解成为可能，并且让人们对解决数学问题仍然需要人类智慧抱有一些希望。无论如何，对 CT1 的引用有时被视为给出决策问题解的一部分，有时则不是，这取决于所需的形式化程度。例如，证明某个公理化理论是不可判定的意味着证明它的定理集不是递归的（或者不是图灵可计算的等），而对 CT1 的引用通常出现在严格的数学工作之后。 然而，普遍认为，直觉可计算性的确切对应之一实际上_取代_它并不常见；尽管哥德尔接近这种观点（在图灵可计算性的情况下），但这并非标准观点。将直觉概念归约为数学术语的其他方式经常被视为替代方案（参见门德尔逊 1990 年）；但在邱奇阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇论题的情况下，对这一观点存在抵制，否则逻辑学家早就不应该再谈论直觉可计算性（有效可计算性）。

然而，可计算性理论中的重大发展通常采用非正式数学的形式，就像数学的其他领域一样。给出了一种非正式的计算方法，清楚地表明它可以被正式方法取代，尽管这样的演示可能被认为是不必要或繁琐的。举个简单的例子：克雷格定理的证明通常采用一种非正式论证，即克雷格公理集是可判定的；然后应用 CT1 得出它是递归的（参见克雷格 1953 年）。罗杰斯（1967 年）给出了许多关于非正式数学与 CT1 在可计算性理论中的作用的例子。事实上，罗杰斯的经典著作结合了非正式数学和阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇的论断，以其正面（非逆否命题）形式发展了递归函数理论作为一个整体。相比之下，戴维斯（1958 年）提供了一个完全正式的说明，因此主要使用 CT1 的逆否形式，或者等效地，使用其正面形式，但基于一个_反证法_的假设。CT1 的第三个作用是激发证明某些基本集合和关系是递归的。例如，属于标准形式化语言的公式集合在直觉上是可计算的。因此根据 CT1，它必须是递归的，但证明它是递归的可能会出人意料地复杂（参见布洛斯等人 2007 年：第 15 章）。

1.4 外部证据

经典的外部证据 CT1 的经典描述是由 Kleene（1952: 318–323）提供的。Kleene 将证据分为四个方面：

(A)

启发式证据

（B）

多种表述的等价性

(C)

图灵机的概念，以及 阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇

(D)

符号逻辑和符号算法。

(A) 是这样一个事实，即已经证明了许多函数族是 λ-可定义的，因此是递归的。(B) 是一个引人注目的事实，即与可计算性的各种数学上精确的对应物——λ-可定义、递归性、图灵可计算性以及哥德尔和 Post 时期的其他对应物——尽管在技术上彼此非常不同，但结果表明它们导致相同的函数类。(并非每个人都对这些定义的“汇合”印象深刻；参见 Kreisel 1987。) 至于(C)，Kleene 观察到，图灵的分析构成了直接尝试对人类计算者的行为给出数学解释，因此与其他分析（以递归性和 λ-可定义性为术语）不同，这些分析是“以不同方式出现的”。他指出，图灵将直观可计算性与（图灵）机器可计算性等同的做法构成了对“邱奇论题”的“独立表述”。因此，CT1 已经被称为邱奇-图灵论题。邱奇（1937b）和 Kleene（1952）还指出，Post（1936）独立地给出了与图灵非常相似的分析。也许，因此，CT1 应该适当地被称为邱奇-图灵-Post 论题。

Kleene 的（D）由 Church（1936a：第 7 节）早前提到的两个论点组成。第一个论点是，通过算法进行计算的概念并不会超出递归函数的范畴（参见 Shoenfield [1967: 120]中类似类型的论证）。其中第二个论点涉及递归函数与“符号逻辑”的形式系统之间的关系。Church 认为，在任何这样的系统中，其定理集是可递归枚举的，如果 f 是正整数的一元（“单元”是 Church 的术语），并且如果这是真的，则

(*)f(m)=n,

对于整数 m 和 n，那么（实质上）( )在该系统中是可证明的；如果( )为假，则它在该系统中是不可证明的，那么 f 是递归的。请参阅 supplement A.2 以获取对这一有争议论点更详细的讨论——有争议是因为邱奇简单地_假设_符号逻辑的公理和规则集必须是递归的，这似乎对一些人来说是在追问 CT1 的真实性，从而构成对邱奇论证的“绊脚石”（Sieg 1997）。

1.5 内部证据

Mendelson 挑战了这样一种观点：通过引用直观概念已经被相应的数学精确概念_取代_的案例，来质疑 CT1 不受数学处理的观点。例如，极限概念由熟知的 ε-δ 定义给出并非仅仅是一个_论点_。这个定义取代了直观概念（Mendelson 1990）。其他人走得更远，认为可计算性可以被视为一个基本概念，受到公理化处理，正如哥德尔曾经建议的那样（根据邱奇写给克利尼的信，1935 年 d [BE: 1000]）。Sieg 提出了一个基于图灵对一个进行计算的人（“计算者”）分析的公理化方法。在他的（1936）第 9 节中，图灵论证（论点 I）图灵机是一个计算者的良好模型，作为这样一个计算者，受到某些约束的限制，比如

  1. 计算机的行为完全由观察到的符号和计算机的心态决定；

  2. 在任何时候观察到的符号数量都是有限的；

  3. 在任何时候只涉及有限数量的心灵状态（哥德尔[1972]所质疑的条件）; 阿隆佐·邱奇

  4. that each newly observed symbol is within finitely many steps of earlier ones. 4. 每个新观察到的符号都在有限步内与先前的符号相同。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇在 Gandy 的工作基础上，制定了与这些条件相对应的公理，并声称这些构成了可计算性的公理化(Gandy 1988; Sieg 1997)。

在最近的一篇论文（2013 年），Kripke 认为 CT 可以被视为一阶逻辑完备性定理的“特殊推论”。Kripke 的论点让人想起 Kreisel（1987 年）早前提出的一个论点，该论点涉及非 CT，而是涉及非正式有效性与形式有效性以及可证性之间的关系。首先考虑 Kreisel 的论证，然后再考虑 Kripke 的（以下某些细节并非 Kreisel 的）。

让 TA、VA 和 DA 分别表示 A 是直觉上有效的非正式论证的一阶翻译，“仅仅基于形式而言”；A 根据一阶逻辑标准模型论证有效性定义是有效的；以及 A 在一个声音且完备的一阶形式推导系统 D 中是可推导的。那么非正式地，我们有 DA 蕴含 TA。如果一个论证在形式上是可推导的，我们认为它是基于其形式而言有效的。至少这经常教给学生。而且 TA 蕴含 VA——这也是教给学生的。通过完备性，VA 蕴含 DA。因此，对于一阶逻辑情况，TA——一个非正式概念——等同于 DA，一个形式概念。（此外可能会假设任何直觉上有效的论证都可以在一阶语言中形式化，但 Kreisel 并没有假设。）

现在，克里普克总结他的论点如下：

假设有任何一个有效的论证，其步骤可以用一阶语言陈述。根据第一阶逻辑与恒等性的 Gödel 完备性定理，论证的前提可以在任何传统的第一阶逻辑形式系统中形式化。假定这样一个系统的证明关系是递归的（可计算的），那么在特殊情况下，即在计算一个函数（比如在算术语言中）时，该函数必须是递归的（图灵可计算的）。 (2013: 81)

Kripke 假设“希尔伯特的论点”：

即任何数学论证的步骤都可以用基于一阶逻辑（带恒等性）的语言给出

他假设证明关系是递归的，因此可证明关系是半递归的。因此，论证如下：（1）设 A 是一个有效的数学论证，是一个计算，“其中一个在计算一个函数（比如，在算术语言中）”。然后，（2）根据希尔伯特的命题， A 的步骤可以用一阶语言陈述（因此 A 的前提和结论可以用这样的语言陈述）。但是然后（3）根据完备性定理，从 A 的前提到结论有一个形式推导，因此（4）“立即得出”代表计算的函数是递归的。这是对邱奇阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇命题的证明，假设希尔伯特的命题成立，正如克里普克所提到的，因此也可以将其视为将邱奇阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇命题归约为希尔伯特的命题。

与 Kreisel 的论点相似性是明显的：定义 C(A) 意味着 A 是一个正确的数学计算；然后根据希尔伯特的命题，C(A) 暗示 V(A)，并且根据完备性 C(A) 暗示 D(A)。此外，除了对完备性定理的引用外，克里普克的论证与早前提到并在 附录 A.1 中讨论的邱奇-克里尼论证本质上是相同的。

这些考虑使我认为自己正在重新提出一些已被邱奇和特别是图灵提出但被忽视的论点。 (Kripke 2013: 81)

Kripke 的论点的一个重要结果是，正如他所观察到的那样，关于可计算函数的表征从一开始就是关于一阶可证明性的，这与其他表征完全等价（2013: 82）。

2. 逻辑哲学

在这一部分中，我们描述了阿隆佐·邱奇如何将关于逻辑的某些哲学信条编织到形式化的数学逻辑结构中，正如他在(Church 1956a, 1959, 1962b, 1956–72)中所呈现的那样。邱奇早期的逻辑哲学在 supplement B 中有描述。

2.1 逻辑哲学和逻辑方法

在阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇的逻辑哲学中，演绎推理现象被假定为“已经从对特定实例的经验中知晓”，逻辑的表述目标是提供这种推理的理论

加上对于理论的充分性、普遍性和简单性所需的客体语言或元语言。 (1962b [BE: 608])

这种态度要求阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇不仅接受一阶逻辑，还要接受二阶及更高阶的逻辑，以便他能够全面研究逻辑。仅仅接受“（x）F(x)⊃F(y)”是不够的，因为有无穷多个这种形式的句子，需要人们也接受“（F）(y) .(x)F(x)⊃F(y)”“通过从无穷多个适当形式的分析句子进行概括”（1962b [BE: 608]）。（请注意邱奇的符号约定，即在连接词之前或（如上所示）量词之前放置一个点来括号命题。）

阿隆佐·邱奇在支持二阶逻辑的另一个考虑是更加实用的，即通过比较一阶和二阶语言中数学理论的表述，可以获得对数学理论的更深入理解（1956a：第五章）。 （讨论这个话题超出了本条目的范围；但请参阅 Myhill（1953 年），Shapiro（1991 年，2001 年），Button 和 Walsh（2018 年）以及其中的引文。另请参阅有关 model theory、second and higher order logic 和 Skolem’s Paradox 的条目。）

阿隆佐·邱奇的逻辑哲学不仅受到对逻辑的普遍性的信仰的影响，另一方面也受到需要避免讨论中将要讨论的悖论的影响。为了避免弗雷格的立场导致的悖论，邱奇被迫主要在类型论框架内工作——第二、第三和包括_w_在内的更高阶的逻辑中，使用不同类型的变量，以及不同受限的个体、类、关系等领域。（邱奇的类型论在 supplement D 中有描述。）此外，正如我们将要看到的，邱奇通过以传统模型论的术语呈现这些观念，进一步远离了弗雷格和罗素。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇认为，形式逻辑的目的首先是研究正确演绎推理的_形式_，抽象出其主题内容（1956a: §00）。对于邱奇阿隆佐·邱奇来说，演绎推理是针对命题进行的，因此研究这种推理就是研究命题的逻辑形式——邱奇阿隆佐·邱奇将之与命题的“内容”或“素材”（同上所述）区分开来——通过研究表达命题的句子的逻辑形式（同上；参见 1959 [BE: 475]）。这种研究逻辑形式的方式引用了邱奇阿隆佐·邱奇所称的“逻辑方法”（1956a）。这要求他区分非正式语言和形式化语言，因为

自然语言，包括英语，在漫长的历史发展过程中已经演变出来，以便用于实现有效沟通的实际目的，并且这些语言并不总是与逻辑分析的严密性和精确性相容...因此，采用特定的语言就意味着采用特定的逻辑分析理论或系统。 (1956a: §00)

为了采用一个形式语言，首先要设计出邱奇所称的“一个特定的理论或系统”（1956a [BE: 373]），这是一个句法理论。这个理论规定了用于构建该理论的“原始符号”和“形成规则”，以及理论的“良构表达式（wffs）”，以及什么是“公理”和“推理规则”。定理是出现在“证明”末尾的 wffs，它们本身被规定为 wffs 的有限序列，这些序列中的 wffs 要么是公理，要么根据推理规则从序列中的先前 wffs 推导出来。为了使这个理论成为一种“语言”，必须提供赋予该理论名称的“指称”（或指示物）的语义规则，以及为包含自由变量出现的表达式赋予“值”。

句子的逻辑形式是句子从逻辑粒子构建起来的方式。从这个角度来看，说一个 wff B 是 wffs Σ 集合的_逻辑结论_，就是说 B 和 Σ 中的 wffs 的逻辑形式相关联，如果 Σ 中的 wffs 为真，那么 B 也为真。此外，由于逻辑形式足以确保这一点，对于_相同逻辑形式_的任何论证，如果前提为真，则结论也为真。这导致了现在熟悉的观念，即

证明一个定理（关于客体语言的）不得参考或使用任何解释，而应纯粹按照逻辑系统的规则进行。（1956a：§07）

教会提出了三个理由支持这一要求。首先，它遵循数学严谨性的现有标准。其次，仅通过逻辑系统的规则推理比对任何可能采用的解释进行推理更为安全，因为——正如 2.2 中所讨论的那样——客体语言是使用一种“如此基础和受限制，以至于如果数学要可能存在，其基本可靠性几乎不容置疑”的非正式元语言来设置的（1956a [BE: 415]）。最后，它允许人们明确区分形式和内容：

返回到 B 和 Σ，如果前者是后者的逻辑结果，那么，如果我们 不 重新解释逻辑粒子，但 重新 解释非逻辑词汇，通过将其与不同规则相关联，那么如果 Σ 中的所有 wffs 都为真，则 B 也为真。通过研究相应的句子并重新解释其非逻辑词汇，我们可以孤立命题的形式。

这当然是现在常规的模型论逻辑推演处理，最初由塔斯基（1937 [1941]）提出，并由邱奇的学生莱昂·亨金（1950）扩展到更高阶逻辑，这在邱奇（1956a）中提出。（有关亨金的贡献，请参阅 二阶和高阶逻辑 和 邱奇的类型理论。）值得注意的是，邱奇不仅在受限的宇宙中从事经典模型论研究，这可以容纳在 ZF 集合论中，而且还愿意允许存在一个普遍集合（1974c）。此外，他不仅在模型论解释和预期解释之间做出了明显区分（1956a），还认为仅仅给出一个形式语言的特定模型论解释并不足以描述其逻辑。特别是，他认为，给定一个包含空名称（如“飞马”）的形式语言一个内部和外部域都使存在泛化（以及可能是全称实例化）无效的解释并不足以描述该语言的逻辑（1965）。

2.2 采用一个形式化的语言

中心思想是采用一种形式化语言的过程。这个过程发生在一个非正式的元语言（比如一小段英语）中。

处理日常人类经验事务，只有在任何特定情况下涉及的对象数量没有施加有限上限，或者根据说明进行操作可能需要的时间没有施加限制，才超越这些事务。 (1956a: §07)

在邱奇描述采用正式语言的过程中，首先要指定原始符号和形成规则，这与公理和推理规则一起构成逻辑系统的_原始基础_（一旦添加语义规则，它将成为一种语言）。这一过程的描述假定经历此过程的人具有关于语言和世界的信息库，能够理解定义（比如“原始符号”的定义），以及能够理解和遵循指示。邱奇还提供了关于我们如何学习第一语言的理性重建，并建议这种方法原则上可以用来学习正式语言，而不是作为第一语言学习自然语言：

语言的某些部分必须首先通过示例和模仿的方法大致学习; 然后，这个不太清楚的语言部分被应用来陈述语言的规则（也许是为了纠正最初的误解）; 然后，通过示例和模仿进一步学习，已知的语言部分可以扩展，依此类推，直到达到对语言知识的某种精确了解。原则上，通过这种方式学习的第一语言不应该是本书中形式化语言之一，而不是自然语言之一，这并无道理。 (1956a: §07)

这假设经历这个过程的人不仅能够陈述规则，而且能够应用这些规则，因此假设这样的人既能推理又能模仿行为。这种情况在某种程度上类似于邱奇早期的逻辑哲学，他在其中区分了_直觉_逻辑和_形式_逻辑，并坚持认为直觉逻辑是无法学习的，是形式逻辑推理的前提。(邱奇早期的逻辑哲学在 supplement B 中有描述。) 邱奇成熟的哲学中没有“直觉逻辑”这个说法的一个原因可能是他不希望给人一种印象，即非正式元语言和形式化客体语言中应该发生的事情之间存在某种本质区别。事实上，他坚决主张基本的演绎推理不应该_必须_在非正式元语言中进行。相反，一旦客体语言建立起来，

应该是一种独立的语言，能够在没有持续的元语言支持和补充的情况下，表达它设计的那些东西。 (1956a: fn. 121)

这个想法是，一个能够推理并使用非正式的元语言来建立客体语言的人可以更严谨地推理，并在客体语言中更广泛地推理。在这一点上，通过自己的努力，她不应再需要非正式的元语言。（当然，仍然需要一个元语言来证明关于客体语言的某些元定理，比如它的一致性。）

2.3 逻辑与沟通

当一个人建立一个物流系统时，必须有效地指定良好形式的表达式、公理和推理规则，以便能够有效地测试所谓的证明是否真的是一个证明。直觉上，要求是通过查看符号并遵循一组固定的指令来执行符号的具体操作，从而测试给定的符号有限序列是否是一个 wff，或者给定的 wff 有限序列是否是序列中最后一个 wff 的证明。在缺乏这样的方法的情况下。

一个证明不一定能够说服人，提出证明的人可以被要求证明这确实是一个证明——简言之，对构成证明的形式分析（在明确证明的意义上）将是不完整的（1959 年[BE: 477-8]）。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇的立场基础哲学是，数学证明和逻辑分析——以及其他试图进行精确推理的尝试——应该是_公开的_和_可沟通的_。正如一个人应该能够说服对话者数学证明确实是一个证明一样，一个人也应该能够说服她一个论证更普遍地是有说服力的，这也将需要说服她有意义的断言已经被提出。此外，这些问题应该由_一个人正在讲话的客体语言_来解决（尽管一个人通常需要超越语言来说服对话者自己的断言是真实的）：

但是如果没有有效性的要求，那么当有人面对一个定理的证明（并承认公理和推理规则）时，仍然可能会对定理产生怀疑，因为怀疑所谓的证明实际上是否是一个证明……证明者可能会被要求提供补充证明以证明这是一个证明—对于演绎逻辑的目的，这个补充证明应被视为整个证明的一部分，并在逻辑学方法形式化证明过程时与之一起被包括在内。（1956–71 [BE: 703])

例如，虽然使用演绎定理作为一个推理原始规则可能有其优点，但也有理由避免这样做，即避免需要补充证明的必要（1956a：§29 和注 181）。

对于阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇来说，语言的本质在于它提供了推理和沟通之间的前述联系：

对于语言的共同概念可能是多么不确定或不精确，但至少它的基本要求是语言应该用于沟通。而在有效性要求不足的情况下，沟通的目的就会受挫。(1956a: §07)

I'm sorry, but it seems like your text is missing. Could you please provide the text you would like me to translate into Simplified Chinese?

要说如果有一个意义存在，那么就已经做出了一个断言，除非为意义的存在提供了一个有效的标准，否则这个问题是逃避的。然而，对语言的理解，无论如何达到，都必须包括有效地识别意义（在某种适当意义上）的能力，在语言的纯粹形式方面，即逻辑系统中，这似乎是形式良好的有效标准。 (1956a: fn. 120)

简而言之，只有当存在一种有效的方法来确定一个断言是否有意义时，该断言才能被认定为有意义；阿隆佐·邱奇的逻辑方法通过形式良好来提供这样一种方法。此外，由于涉及到沟通和信服（以及仅仅是有意义的判断），人们还必须能够确定_哪些_命题已经被断言，并且特别是哪些已经被证明。

然而，一些批评家质疑阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇对他的有效性要求的哲学论证的说服力（Anderson 1998）。此外，应该注意的是，逻辑推论通常不是一个有效的概念。根据邱奇阿隆佐·邱奇定理（1936a），一阶逻辑或任何更高阶逻辑的 wffs 的有效性或可证性没有有效的测试（正如邱奇阿隆佐·邱奇本人所指出的那样；1956-71 [BE：703]）。此外，正如邱奇阿隆佐·邱奇敏锐意识到的那样，在满足有效性要求的形式化语言中传达和验证证明是有代价的。如果形式化语言足够表达，它将受到哥德尔的不完备定理的影响（见 §5.4）。

这也应该注意到，关于什么是有效程序的问题推动了阿隆佐·邱奇的有效可计算性和决策问题的研究（见 第 1 节）。这也激发了他在其他一些技术工作上的动力，比如他关于构造序数的工作（1938 年）。

除了效率要求外，阿隆佐·邱奇也要求证明应该是建设性的。然而，在后来的岁月里，他的态度变得更加普遍。见（1936b：附注 10 增补 1971 [BE：128]）。

3. 逻辑方法的应用

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇 使用逻辑方法将形式逻辑的一般观点和具体区分应用于哲学问题。在本节中，我们描述了五种这样的应用。

3.1 反对逻辑经验主义

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇 从未是维也纳学派的成员，克利尼和罗瑟也不是（一片海洋将他们与维也纳隔开）；他们也没有表现出对学派及其目标的特别同情。然而，邱奇对卡尔纳普的工作表示赞赏（参见邱奇[1939a]对卡尔纳普的《逻辑和数学基础》[1939]的评论）。但对卡尔纳普受学派启发的观点，即哲学的唯一任务是语义分析，邱奇评论说这“代表了一个极端观点”（1943a）。邱奇补充说，尽管如此，对于哲学的语义研究的重要性不应被低估。

因此，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇是那些逻辑学家和哲学家之一，他们_没有_赞同圈子对意义问题的看法。当然，这并不是否认圈子在分析哲学发展中的强大影响力（请参阅 逻辑经验主义 条目）。但是，邱奇和他的许多学生并没有参与到这个圈子中。

逻辑实证主义者试图通过逻辑蕴涵的术语阐明经验验证的概念。我们从他们的第二次尝试开始，这种阐释被称为“弱可验证性”，它（就像其前身“强可验证性”一样）是以逻辑蕴涵或逻辑推导的术语来构建的：

S 如果经验上可验证当且仅当 S 逻辑蕴含 _A_1，_A_2..

(也许在额外前提的帮助下)。更具体地，A.J.艾尔最初赋予这个想法的形式如下：

这是一个真实事实命题的标志...即一些经验观察命题可以从中推导出来，与某些其他前提一起，而单独从这些其他前提中无法推导出来（1936 年[1952 年：38-39]）。

例如，从“这是一只天鹅”和“所有天鹅都是白色”这两句话中，我们可以推断出“这是白色”，尽管后者不能仅从“所有天鹅都是白色”中推断出。因此，“所有天鹅都是白色”被视为有意义的。

但这显然是不可接受的，（与其前身一样）导致问题的是逻辑蕴涵的属性。借用艾尔自己的例子（在他 1936 年[1952 年]的第二版中提到），从“绝对是懒惰的”和“如果绝对是懒惰的，那么这是白色的”这两句话，可以得出“这是白色的”，而这并不仅仅是从条件前提中得出的。因此，与逻辑经验主义者的每根骨头相反，“绝对是懒惰的”是有意义的。这个论点可以重新部署，以表明任何句子都是有意义的。

在《语言、真理和逻辑》的第二版中，阿耶尔试图解决这个问题。在一篇评论中，阿隆佐·邱奇（1949a）彻底驳斥了阿耶尔的提议。这一反驳使验证主义和逻辑经验主义本身陷入了困境。卡尔纳普试图通过采取一种不直接基于逻辑蕴涵的方法来拯救这些学说，但这一努力被卡普兰（1975a）驳斥了。尽管存在这些困难，但目前对科学理论的经验结构和内容以及卡尔纳普的研究特别感兴趣的复兴浓厚（请参阅 Rudolph Carnap 上的条目）。

阿耶尔修订后的经验验证标准如下：

直接_可验证当且仅当_S_是一个观察句，或者_S，也许连同其他观察句_A_，B，C，…，在逻辑上蕴含着一个不被_A_，B，C…蕴含的观察句。

此外：

S_如果且仅如果_S，也许连同其他句子_P_，Q，R，…在逻辑上暗示着一个不被_P_，Q，R，…所暗示的直接可验证的句子_D_，那么_S_是间接可验证的。此外，这些句子_P_，Q，_R_每个都是分析的或直接可验证的。

总之：

一句话只有在直接或间接可验证，或者是分析的情况下才是有意义的。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇 认为如下：让 O1、O2 和 O3 是独立的观察句（它们中没有一个蕴涵其他任何一个），并假设 S 是任何一个句子——它可能是“The Nothing Nots”。邱奇阐明了艾尔的定义蕴含着 S 或其否定“不是这样的情况，即没有什么不是”是有意义的。考虑这个析取句。

R:(∼O1⋅O2)∨(O3⋅∼S) -> 阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇:(∼O1⋅O2)∨(O3⋅∼S)

R together with O1 entails the observation sentence O3 and hence R is directly verifiable. Also, S and R entail O2. This means that S is indirectly verifiable, unless R alone entails O2. But if R alone entails O2, then its right hand disjunct alone entails O2, and hence ∼S is directly verifiable. So either S or ∼S is meaningful and therefore many sentences that Ayer would reject as meaningless are meaningful according to his definitions.

值得一提的是，上述论点似乎在某种程度上取决于古典命题逻辑中一个颇具争议的特征。该论点依赖于这样一个原则，即如果 A∨B 在逻辑上蕴涵 C，则单独的 B 在逻辑上也蕴涵 C。但这又基于这样一个原则，即对于任何 A，单独的 B 在逻辑上蕴涵 A∨B，而这一原则被所谓的包含逻辑（参见 连结逻辑条目第 3.1 节）所拒绝。然而，可以修改邱奇的论点，使其与包含逻辑原则相容。因此，事实上，邱奇的论点并不以这种方式对古典逻辑感恩戴德。

3.2 弹弓论证

在弗雷格的逻辑系统中，陈述句代表（bedeuten）真值，这在弗雷格的本体论中是两个不同的抽象对象。因此，弗雷格将这样的句子视为一种特殊类型的名称。但其他人，尤其是卡尔纳普，认为句子代表命题。作为回应，邱奇提出了一个论点，直接可追溯到弗雷格，即句子的指称确实是它们的真值，因此不能像卡尔纳普所想的那样是命题。（虽然我们更喜欢“指定”，但在本节中我们将遵循邱奇并使用“指称”）。这个论点被称为“弹弓”，它召唤了大卫杀死歌利亚的故事，因为它有能力驳斥诸如句子直接与事实或命题相关联的潜在假设。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇认为句子_必须_代表真值，因为如果句子代表命题，那将只有两个命题。哥德尔（1944 年）提出了一个类似的论点，即所有真句代表同一事物（所有假句代表一个不同的事物）（有关真值、弹弓和广义真值的详细讨论，请参见 真值 条目）。在这里，我们专注于邱奇的评论，以及他在（1956a: §04）中的相关评论，这构成了弹弓论证的_经典论据_。

这里是阿隆佐·邱奇（1956a: §04）提出的一个简单、巧妙、不涉及逻辑符号的论证版本：首先假设句子确实表示某种东西。现在考虑以下句子列表：

(1)

阿隆佐·邱奇是《Waverley》的作者

(2)

阿隆佐·邱奇是阿隆佐·邱奇

(3)

阿隆佐·邱奇是这位一共写了二十九部《华沃利小说》的人

(4)

那个数字是这样的，沃尔特·斯科特是写了那么多《韦弗利》小说的人，那个数字是二十九。

(5)

犹他州的县数为二十九。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇认为，看似毫不相关的（1）和（5）必须表示相同的事物，即它们的真值（因为这是它们共同的一切）。邱奇使用的唯一额外假设如下：

(A)

共指名称或明确描述是可以互换的。

(B)

同义句（或者，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇指出，几乎同义的句子，比如（3）和（4））具有相同的指称。

假设（A）允许在句子 S 中的名称或明确描述 N 的出现可以被表示相同事物的名称或描述 M 替换，而不改变 S 的指称。因此，（2）由（1）经（A）得出。（但不清楚（如果有的话）（2）在论证中扮演什么角色。）（3）由（1）经（A）得出；（4）由（3）经（B）得出；（5）由（4）经（A）得出。类似的论证可用来表明所有错误的句子表示相同的事物。对于邱奇而言，一个重要的结论是，如果正如这个论证似乎证明的那样，（1）和（5）表示相同的事物，那么这不能是每个命题所表达的内容，因为那些显然是不同的。（有关进一步讨论，请参阅 补充 C.1，以及关于 真值 条目的补充。）

3.3 翻译论证

考虑以下句子

(1)

塞内卡说，人是一个理性的动物

(2)

哥伦布相信世界是圆的。

一个对这些句子的自然分析是，它们表达了塞内加或哥伦布与人是理性动物或世界是圆的命题之间的关系，其中这些命题是客观抽象实体，是真理和意义的最终载体。但对于这种实体的存在一直存在怀疑，这促使了这样一种观点，即句子（1）和（2）表达了主体与句子类型甚至特定铭文（或其他句子的标记）之间的关系，其中句子被假定比命题更具体。虽然在句子类型的情况下假定具体性似乎是非常值得质疑的，但卡尔纳普和其他人仍然积极推动分析（1）和（2）的项目，这些分析与这些类型相关。 （认为说和相信是与特定物理标记的关系的理论显然是不可信的。与其预测相反，这些标记的破坏不会使塞内加的信仰无效。）作为回应，邱奇提出了他的翻译论证（CTA），即如果我们将本体论限制在句子类型上，那么我们的语义理论将无法对诸如（1）和（2）的句子提供真正的分析。（这是邱奇更广泛论证的一个关键部分，即没有哲学理论既真实又可理解。没有命题就无法做到这一点。我们将在 §6.3 中回到论证的其余部分。）

CTA—如邱奇（1950a）所阐述的那样—是专门针对卡尔纳普（1947）对像（1）和（2）这样的句子的分析，而卡尔纳普的分析又依赖于一种特定的同义概念。然而，由于邱奇已经证明卡尔纳普的同义概念是错误的（通过一种在 supplement E 中描述的论证），我们可以放心地省略卡尔纳普的概念细节，简单地讨论同义概念。现在，根据卡尔纳普的分析，（2）与

(3)

哥伦布倾向于肯定回答英文句子“the world is round”。

这被假定为真，因为哥伦布倾向于肯定，比如说，“El mundo es redondo”或者在其他语言中的同义句（比如英语句子“The earth is round”）。

阿隆佐·邱奇建议读者将（2）和（3）翻译成德语，确保“that the world is round”在（2）中出现时被翻译为“dass die welt rund ist”，而在（3）中出现时被翻译为“the world is round”。区别在于句子“the world is round”在（3）中被_提及_，而在（2）中被_使用_；此外，（3）没有提及德语句子“die welt rund ist”，只提及英语句子“the world is round”，因此对（2）的恰当翻译——保留意义（而不仅仅是“主要观点”）——应该提及后者而不是前者。因此，翻译如下：

(4)

Columbus believed that the world is round.

(5)

Columbus was ready to affirm the English sentence "The world is round".

(注意，如果我们在（5）中用其德语翻译替换“世界是圆的”，结果显然是错误的，因为德语翻译不是英语的句子。)

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇指出，(4)和(5)显然不是同义词，因为它们向一个不会讲英语的德语听众传达不同的信息。邱奇阿隆佐·邱奇得出结论，因此(2)和(3)不是同义词（1951a [BE: 294]）。邱奇阿隆佐·邱奇合理地假设，同义关系是一个等价关系——自反的、对称的和传递的。因此，CTA 的基本结构如下：假设(2)和(3)是同义词。那么(4)和(5)就是同义词。但(4)和(5)不是同义词，因此(2)和(3)也不是，因此(3)不能作为(2)的分析。

然而，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇认为，不需要翻译来证明(2)和(3)不是同义词，并且他提出了另一个不涉及翻译的论点：

无法仅凭逻辑推理就推断出[(3)]的结果是[(2)]，而只能通过利用[(3)]中不包含的一项事实信息，即“地球是圆”在英语中的意思是地球是圆。(1950a [BE: 280])

这一要点在于，关于英语这种语言的一个偶然事实是，“地球是圆”的特定符号序列和相关的发音在英语中的意思是地球是圆。(比较邱奇阿隆佐·邱奇对他论点的总结，他说这是为了“消除任何关于单词或句子与其意义之间存在某种必然性或透明性的幻觉的残余，而这种联系当然是完全人为和任意的”(1951a [BE: 294])。)此外，需要这些额外的事实信息来从(3)推断出(2)。例如，语言可能发展成“圆”和“方”被互换的方式，因此在这个版本的英语中说“地球是方的”意味着地球是圆的。请注意，在这个新版本的英语中，以下内容仍然是真实的：

"the earth is square" 意味着地球是方的

在后一次出现“地球是方的”是对英语的新版本而不是熟悉的版本的宣称。这表明上述事实信息需要从(3)中推导出(2)，否则表达“地球是圆的”不一定代表哥伦布的信仰。这个 CTA 不涉及翻译的论点值得更仔细地研究，因为邱奇本人将这个论点描述为通过 CTA 表达“他试图阐明的主要观点”。

主要观点是，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇不足以分析(2)，因为它传达的信息比(2)少。(1950b [BE: 1061]; cf. Salmón 2001)

(2) but not (3)传达的信息是：

(6)

"阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇 地球是圆的" 在英语中意味着地球是圆的。

阿隆佐·邱奇声称这是“一个不包含在[(3)]中的事实信息”，而邱奇认为，“英语”这个词通常包含“与语用学相关的事项”（1950b [BE: 1060]）。他的意思是，邱奇认为，“英语”这个词的意思类似于，正如邱奇所说，“1949 年在美国、加拿大和英国通行的语言”，因为它允许英语是一个不断发展而不是固定的系统（1950）。如果是这样，似乎很明显[(2)]提供的信息不包含在[(3)]中，翻译并不需要来证实这一点。

然而，更进一步，卡尔纳普回应说，“英语”如他所理解的意思是指“具有某种语义规则的唯一语言”，并在他的信中向阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇指出这一点（1950b [BE: 1063]），从而挑战了邱奇的说法，即（5）是一项事实信息，不包含在（3）中，但需要从（3）中推断出（2）。邱奇意识到了这一威胁：

反对意见可能不那么直接，即[(2)]不是[(3)]的逻辑结果，这种可能性可能会消失。(1950a [BE: 280])

这一点是，如果英语被定义为具有这样那样的语义规则的唯一语言，而（5）是这样一条规则，那么看起来好像（2）_将_是（3）的一个逻辑结果，这样解释。

在《1950a》的最后一段中，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇简要阐述了两个论点，他显然认为这两个论点巩固了卡尔纳普分析的错误，即使英语被视为具有固定语义规则的语言。他首先观察到，如果在德语而不是英语中讨论卡尔纳普的建议，那么它将不会与英文版本同义！一个版本涉及英文句子，而另一个涉及德文句子。邱奇的假设似乎是，对（2）的正确分析应该是与语言无关的。接下来，他观察到，即使（3）在逻辑上蕴涵（2），一个人可能看不到蕴涵，因此不会得出推论，导致她相信（3）但不相信（2）。邱奇在这里的假设是，如果（3）是（2）的正确分析，那么理解和相信它应该蕴涵理解和相信（2）吗？如果是这样，这将与邱奇处理分析悖论的方式相冲突。此外，邱奇对这一悖论的解决方案与他对 Mates 难题的解决方案之间存在明显的不一致，我们在 supplement C 中讨论。邱奇对卡尔纳普的同义概念的批评在 supplement E 中讨论。

3.4 分析的悖论

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇对分析悖论的简要评论仅集中在这个句子

(1)

一个兄弟是一个男性兄弟。

(虽然这是一个微不足道的分析示例，但其微不足道并不影响邱奇的讨论的连贯性。) 邱奇将(1)翻译为

(2)

b=ms

他认为这是“类布尔代数的表达，或者更好地说，是类概念”（1946a [BE: 956]）的表达。根据这一提议，兄弟的概念是男性和兄弟姐妹的概念的一种“产物”。（当然，这忽略了等式两边的关系性质。例如，定义中唯一相关的兄弟姐妹是兄弟的兄弟姐妹；其他兄弟姐妹被忽略，因此分析是不完整的。但我们仍然将坚持阿隆佐·邱奇的表述。）邱奇认为问题是这样的：

如果 b 和 ms 是相同的概念，那么必须能够在不改变含义的情况下引入其中一个，这显然是任何以摩尔为意义的分析的意图，或者是其中的一部分。因此，特别是分析 b=ms 不应该与 b=b 或 ms=ms 不同。这似乎将分析简化为某种琐碎且无信息量的东西。但很明显情况并非如此，特别是在某些情况下，尽管某个概念在某种意义上是已知的，但其分析却很困难，这表明分析并不总是琐碎的。 (1946a [BE: 956])

邱奇阿隆佐认为悖论是现在被称为“弗雷格谜题”的特例。目前尚不清楚形如 a=b 的陈述如何既真实又具信息性；因为如果它是真的，那么它似乎会与 a=a 说的是同一件事情，因为这是通过在 a=b 中用 a 替换 b 得到的结果。此外，邱奇阿隆佐将（2）视为具有信息性身份陈述的特例，不同之处在于（2）——不像形如 a=a 的陈述那样断言对象的同一性——而是断言概念或意义的同一性。也就是说，邱奇阿隆佐认为在（2）的背景下，“兄弟”和“男性兄弟”指代的是概念，而不是类，因为（2）旨在进行分析。此外，虽然“兄弟”和“男性兄弟”指代相同的概念，即_兄弟_或_男性兄弟_，但它们在意义上可能有所不同（也就是说，尽管它们指代相同的概念，但它们表达的是不同的概念作为意义）；这解释了（2）如何具有信息性以及（2）所表达的命题如何不同于由平凡的 b=b 或 ms=ms 所表达的命题。

阿隆佐·邱奇的提议之威力可能尚不明显，因为样本分析的琐碎性。回想邱奇的言论，存在着分析（或期望的分析）的情况，

尽管某种意义上了解一个概念，但对其进行分析却很困难——这种分析并不总是微不足道的。（1946a [BE: 956]）

在哲学中，对知识概念的正确分析被证明是非常难以捉摸的。在数学中，对函数极限概念的分析是一场胜利，对有效可计算（可计算）函数概念的分析也是如此。邱奇会将这些视为_被分析物_和_被分析主_指代相同概念但表达根本不同的意义的案例；这似乎确实是正确的。然而，一些人认为邱奇处理分析悖论的方式和处理梅茨问题的方式是不兼容的。这在 supplement C.2 中有讨论。

3.5 意义和指称的逻辑

阿隆佐·邱奇（1943a）对卡尔纳普的《语义学导论》（1942）的评论构成了逻辑方法应用于语义主题的重要早期步骤（另见邱奇 1943c，1951b，1952，1956a）。像弗雷格一样，邱奇认为表达式的_Sinn_或意义是一种客观的——即与心灵和语言无关的——抽象实体（参见 §3.3 和 §6.3），并且在语义学中需要意义来解释包含共同指称名称的身份陈述的信息性质，以及解释强调语境中共同指称名称的替换性失败（1943a；1956a：§01）。此外，邱奇还与弗雷格分享了一个极具争议的观点，即除了在科学语言中为表达式分配意义外，还应该在自然语言中为表达式分配意义。（有关讨论，请参见 supplement E。）

然而，鉴于感知和命题是客观的，人们可能会想知道，通过逻辑方法对它们进行理论化是否应该_真正_间接进行，通过研究可能语言的内涵语义理论（再次见 补充 E），还是逻辑方法应该直接研究感知，通过对这些实体如何相互关联以及它们确定的_指称物_进行理论化。邱奇本人区分了这两种方法，并声称，如果可以使用直接方法满意地制定理论，那么“设计具有所需语义类型的语言应该是一件相对简单的事情”（1979 [BE: 807]）。他在有关_意义和指称的逻辑_或“LSD”（1946b，1951a，1973b，1974a，1993）的论文中追求了这种直接方法。

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇将语义方法与直接 LSD 方法对意义的基本区别可以从以下看出。教堂认为，语义理论赋予名称的意义是_单义_的观点引发了对“Hesperus”分配哪种意义的问题。此外，名称不仅可以出现在_惯例_的上下文中，

(1)

赫斯珀斯是一颗行星

但也在_间接_的语境中，比如：

(2)

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇相信(1)。

我们在（2）中赋予“Hesperus”哪种意义？从弗雷格语义理论的角度来看，这个问题有以下答案。首先，我们区分表达式“Hesperus”与其在非常规句法位置（如（2）中）的_出现_。其次，我们赋予其在（2）中出现的一种非常规意义，使得这种出现表达的不是“Hesperus”的常规意义（比如_傍晚可见的第一个行星_），而是其间接意义。第三，我们声称这种间接意义决定了表达式的常规意义，作为非常规出现的指称物（参见弗雷格 1892a；Salmón 1993）。然而，这样的微妙之处将要求我们复杂化背景逻辑。在这种情况下，我们必须禁止将莱布尼茨定律应用于间接语境；这是因为具有相同常规指称物但_不同_常规意义的名称不能在它们指代其常规意义的语境中_保真地_替换。例如，（2）可能为真，而（2*）为假：

(2*)

汉姆拉比相信阿隆佐·邱奇是一个行星。

从 LSD 的角度来看，通过在 (2) 中用一个新名称替换“Hesperus”的出现，可以避免与间接语境相关的这些复杂情况；同样，对于所有其他本应在语义理论中工作时被指定为非习惯 designatum 的出现也是如此。例如，我们可以用常量“a0”替换 (1) 中“Hesperus”的习惯出现，并用“a1”替换 (2) 中的非习惯出现“Hesperus”。这引发了这些常量之间关系的问题。

LSD 最初是在一个简单类型的 λ 演算中制定的（类似于 supplement D 中描述的那种），这使得理论的主题可以被分类到各种类型层次中。个体（如 Hesperus）属于类型 ι0。决定个体的意义（邱奇称之为“概念”）即“个体概念”属于类型 ι1 等。在另一个层次中，真值属于类型 o0，真值的概念即命题属于类型 o1，命题的概念即“命题概念”属于类型 o2 等。（个体由常量指定，真值由句子指定，而命题由对应于“that”子句的复杂名称指定。）除了个体概念和真值概念的类型层次外，还有一个函数和函数概念的层次；对于任何类型 αk 和 βk，存在一个从 βk 实体到 αk 类型实体的函数类型 ┌(αk βk)┐。

在这个框架中，“a0”指代类型 ι0 的个体，并表达类型 ι1 的个体概念。此外，“a1”指代这个个体概念，因为它表达了类型 ι2 的个体概念。然而，在 LSD 中，类型 ι2 的这个概念_不是_“a0”的弗雷格间接意义；相反，它是一个独立的语义原语，仅分配给“a1”。那么，这些概念又是如何相关的呢？

教会告诉我们，在层次结构中，每种类型的概念与其下一级别的实体之间存在一种关系 Δ，例如在 ι2 类型的概念和另一个 ι1 类型的概念之间。但需要更多的内容来阐明这种关系的性质。这是因为虽然增加下标的数值有助于消除符号表示法中的歧义，并指示类型相应增加，但这对于概念本身之间的关系提供了很少或没有洞察力，这些关系既不是通过数字后继关系相关的，也不依赖于它们的符号表示法来存在和确定其身份。此外，表达概念可能需要向语言中添加新表达式，因此并非所有内容都可以使用像数字这样的固定词汇表达。

这将我们带到一个异议，这个异议源于这样一个事实，即意向语境可以被迭代：

(1)

赫斯珀斯是一颗行星

(2)

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇相信（1）

(3)

莫妮卡说(2)

Ad infinitum. -> 无限地.

用 LSD 中对应的无穷个独立名称“Hesperus0” - “Hesperus_n_”替换这样的结构，这些名称对应于(1)、(2)、(3)等中“Hesperus”的出现。如果这些名称命名了无穷多个原始和独立的概念，那么邱奇的建议将受到一种反对意见，即一个以 LSD 为语义理论的语言是无法被学习的（Davidson 1965）。为了应对这一反对意见，需要对关系 Δ 的性质作进一步说明。这个问题在 supplement E 中有所讨论，那里还讨论了邱奇在语言哲学领域的许多其他成就。

一个更为严峻的问题是，John Myhill 能够在阿隆佐·邱奇的 LSD 最初的表述中推导出所谓的“Russell-Myhill 悖论（RM）”的一个版本（参见 Myhill 1958）。作为回应，邱奇通过扩展关系 Δ（1973-4）重新阐述了 LSD。安德森（1987）指出，LSD 矛盾的根源在于其公理。我们将在下一节讨论悖论和悖论对阿隆佐·邱奇工作的影响。

在我们这样做之前，应该注意到 LSD 对意向逻辑的发展产生了一定影响。Kaplan（1964）和 Montague（1969, 1970b）都在 Church 的工作基础上，将类型理论与 Carnap（1947）关于内涵的概念相结合，将内涵看作是从世界到外延的函数。然而，就 Kaplan 和 Montague 倾向于 Carnap 的内涵概念而言，他们与 Church 本人存在分歧，后者拒绝了这一概念，并将意义处理得与 Frege 相同（再次参见 supplement E）。Anderson（1980, 1987, 2001）、Klement（2002）、T. Parsons（2001）和 Salmón（2010）更加密切地遵循 Frege 和 Church。Bealer（1982）也对 Church 做出了回应。（另请参阅关于 intensional logic 的条目。）

4. 悖论

4.1 阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇作品中的矛盾论

阿隆佐·邱奇的工作受到他所称的“反悖论”的困扰，他将其与悖论区分开来，因为前者导致直接矛盾，而后者只会产生不可接受的结论。 （在 补充 C 中讨论的奎因悖论是一个不是反悖论的悖论的例子。）他早期试图为数学奠定基础的努力结果显示容易受到罗素的反悖论（邱奇，1932 年）和理查德的反悖论（邱奇，1933 年）的影响。 （此后，我们使用“悖论”而不是“反悖论”，因为这是当前的用法；但请记住，那时存在两种悖论。）他后来试图制定 LSD 引发了罗素-迈希尔悖论和安德森（1987 年）的悖论，这促使邱奇转向分层类型理论（或“RTT”）作为解决方案（见下文 §4.4 和 §5）。此外，邱奇深信简单类型理论（或“STT”，参见 补充 D）辅以语义谓词受到语义悖论的威胁，特别是格雷林-纳尔逊悖论（“异类的”悖论），此后称为“格雷林悖论”或 GP。邱奇极度渴望首先展示在 STT 中如何补充后可以推导出 GP，其次，RTT 如何解决这个问题，第三，可归约性公理的添加并不能恢复悖论，实际上导致了关于具有可归约性的 RTT 的一个重要可定义性结果，最后，第四，通过 RTT 解决 GP 与通过 Tarski 方法解决在对象和元语言之间的区别方面没有显著差异。

4.2 格雷林悖论

这个悖论通常——也最初——被阐述为涉及表达属性的形容词，这些属性是或不是形容词（词）本身的真实属性。例如，“短”是短的，而“红”却不是红的。那些具有它们所表达属性的形容词被称为“自指的”，而那些没有的被称为“异指的”。问题出在这个问题上： “异指的”是异指的还是不是？答案是，只有当它不是时它才是。但这个悖论更好地以任何一种谓词——形容词、普通名词或动词短语——的一般扩展来阐述。一些谓词属于它们自己的扩展，而一些则不属于。如果假设存在一个谓词——“异指的”——其扩展由那些不属于自己扩展的谓词组成，那么问题就出在“异指的”只有在它不属于自己的扩展时才属于自己的扩展。

以这种方式看待，悖论的推理直接违反了康托尔的定理。后者定理通常被认为是集合的幂集的基数大于集合的基数的原则；应用于无限集，这导致了一系列越来越大的无限基数。但在其最基本形式中——从中关于基数的结果作为推论得出——康托尔的定理是以下集合论原则：

康托的引理（CL）

让 f 是一个定义域为 A ，值域为 B 的函数。那么集合： Df={x∈A:x∉f(x)} 不属于 B 。

证明。如果 Df 在 B 中，那么存在 A 中的某个 y 使得 f(y)=Df。现在得出结论，当且仅当 y 不在 Df 中时，y 在 Df 中。矛盾。注意当 A=B 且 f 是在 A 上定义的恒等映射时，结果是非自身成员集合不存在的定理的一种形式。

值得一提的是，首先，这个原则概括了一般对角线论证（参见 Gaifman 2006）。即使是著名的例子，比如 Post 的非正式论证表明，存在一个可递归枚举的正整数集，其补集不可递归枚举，实质上依赖于 CL（Davis 1965: 312）。CL 的一个轻微变体经常出现在不可判定性的文献中（参见 Shoenfield 1967: 131）。其次，CL 的证明仅依赖于最小的集合论资源。当然，关于基数的 CL 的著名推论依赖于幂集公理。但是，关于集合到其幂集的一一对应函数不存在的定理是 CL 的直接推论。在这种情况下，Df 必须在 B 中，因为它属于 A 的幂集，结论必须是 f 不存在。第三，Grelling 的悖论以及 Berry 的悖论可以作为第一不完备性定理的替代证明的基础（Boolos 等人 2007；Kripke 2014）。最后，与一般关系有关的 CL 的一种更一般形式——不仅仅是函数——现在被接受为康托定理的一个版本，已经被 Russell（1903）注意到。虽然 CL 本质上是一阶逻辑原则，但关系版本在本质上是二阶的。

说 Df 不是 B 的元素，其中 B 是 f 的范围，就是说没有元素 x 属于 A ，使得 f(x)=Df。应用于谓词及其外延，CL 暗示对于将_某些_谓词 A 映射到它们的外延的任意函数 g，存在一个谓词“heterologicalg”，其外延是 Dg，尽管这个谓词不能在 g 的定义域中。然而，假设存在一个将_每个_谓词映射到其外延的函数 h，就不可能存在一个谓词 heterologicalh，完全，其外延是 Dh。从 Tarskian 观点来看，heterologicalh 必须是元语言的一个谓词。从 Church 的观点来看，存在着许多类似于但不同于 heterologicalg 谓词的异类谓词，通过它们在分级层次中的类型和顺序来区分。CL 在下一节中被利用。

4.3 比较 Russell 和 Tarski

在一篇重要但仍未被广泛讨论的论文中，“A Comparison of Russell’s Resolution of the Semantical Antinomies with that of Tarski”（1976 年），在 Martin（1984 年）和_The Collected Works_（2019 年）中重新印刷并附加一些修正，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇进行了以下工作：

  1. 他以一种简洁的方式将 RTT 表述为 STT 的直接复杂化。(见 supplement D。我们采用那里使用的定义和符号。)

  2. 他展示了如何在 STT 中添加一个语义谓词 Val 来解释“形式”（包含自由变量的 wffs），并受适当公设约束，从而可以推导出格雷林悖论 GP。

  3. 他展示了 RTT 如何解决 GP 以及它如何回答“异律”是否异律的问题。根据它的级别，有时是，有时不是；但级别的分配并非_临时_。它是 RTT 的产物，以及关于 Val 的公理。

  4. 他用_r_-types 和 Val 来定义语言 L1，L2，...，Ln+1，...，Lw=L，其中 Ln+1 是 Ln 的语义元语言。

  5. 他展示了如何获得与 Tarski 的满足和真理定义以及 Tarski 定理类似的 Ln 语言的类比，并得出结论称，Russell 对 GP 的解决方案是 Tarski 的一个特例。

  6. 他制定了还原性公理，这些公理需要恢复古典数学所需的不可预言定义。然后，他展示了还原性并没有以任何明显的方式恢复 GP。然而，具有 Val 和还原性的系统确实证明了关于命题函数的可定义性和可命名性的某些结果。

4.4 GP 的推导和解散

在接下来的内容中，我们专注于 阿隆佐·邱奇 针对 GP 的罗素式解决方案，而将大部分其他问题搁置一边。在这方面，我们得到了 阿隆佐·邱奇（1995a）准备的一份简化版本的帮助。这种简化并未省略任何对于 阿隆佐·邱奇（1976）关于 GP 的论证至关重要的内容。很明显， 阿隆佐·邱奇 的主要关注点之一是向更广泛的受众传达罗素对语义悖论的解决方案。

阿隆佐·邱奇的_r-类型 Val 谓词相当笨拙，但在(1976)中的概括中，它是必不可少的，以实现上述所有目标。然而，在简化的描述中，Val 被一个表示谓词 D(v,F)取代，其中 v 是一个词，被理解为一个个体，而 F 是任何_r*类型的命题函数。D(v,F)被解读为“v 表示 F”。邱奇指出

我们将仅使用 D 的第二个参数是最低类型的单功能变量或单功能常量的情况，从而固定 D 的类型。(1995a [BE: 929])

D 的_r_型是(i(i))/1，供接下来使用。

阿隆佐·邱奇首先展示了如何在 STT 中使用关于 D 的某些原则推导出 GP，其中第一个原则是“一义性原则”：

( )D(v,F)⊃vF.D(v,G)⊃G.F(x)≡xG(x). ( )阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇(v,F)⊃vF.D(v,G)⊃G.F(x)≡xG(x).

（请注意以下符号约定。首先，一个连接词可以带一个变量作为下标：该变量成为一个量词，其范围恰好是连接词的范围。其次，放置在连接词之前的点括号内的命题。星号也是邱奇的符号。）邱奇决定避免断言 D 是功能的更强公理，因为在分层理论中涉及到身份的复杂性，但效果是一样的。该 公理_ 保证了功能的一种较弱形式：它是一个从词作为个体到命题函数的外延的函数，假定了对于这种外延的外延性公理。接下来，邱奇引用了一个非正式陈述的原则，他将其描述为“合理的”：

**

每当个体或命题函数以某种独特的方式被确定时，可以通过引入一个表示它的常量（一个词）来扩展语言。

根据这一基础，他说，“het”这个常数可以与隐式定义它的公理一起引入：

***het(w)≡w(∃F).D(w,F)⋅∼F(w).

（注意放在连接词前面的点和连接符本身之间的区别。）通过从三个星号原则和基本逻辑简单推导，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇得出了 het(v) 和 ∼het(v)。邱奇的推导与 Copi（1971）给出的推导非常相似，后者将其归因于 Ramsey。（请参阅 补充 F。）

阿隆佐·邱奇明确认为星号原则是“合理的”，唯一的问题是它们使用了一个不可预言的定义，即___，当星号原则得到适当的分支时，可以以罗素（1908 年）所预见并实施的方式解决问题，尽管不完美（PM）。他指出，

****hetm+1(w)≡w(∃F1/m).D(w,F)⋅∼F(w)

取代___时，如果提供了级别指示器，则定义了一个无限列表的 het 谓词，“het2”，“het3”，…，另外两个带星号的原则也需要提供级别指示器。邱奇现在给出了一个看似草率撰写的带注释但没有评论的推理列表。然而，在这里，邱奇实际上证明了(1976)年定理(6)和(7)的类比，其中 D 代替了 Val。这些是：

(6′)[Dm+1(v,G1/m+1).G(x)≡xhetm+1(x)]⊃∼hetn+1(v), 如果 m≥n(7′)[Dm+1(v,G1/m+1).G(x)≡xhetm+1(x)]⊃hetn+1(v), 如果 m < n.

为了推导这些，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇假设：

(5)hetn+1(v)⊃hetm+1(v), 如果 m≥n.

(5) 是 (1976) 的一个定理。

请注意，正如 Val 的情况一样，Dm+1 的级别 m+1 完全取决于其第二个参数位置的级别。在(5)中需要作为引理，用于证明(6')和(7')。在(1995a)中，Church 在没有评论的情况下引用(5)，可能是默认地假设了(1976)中公理(4)的 D-类比，反映了语义谓词的类型是累积的——就像(1976)中的类型一般一样。值得注意的是，在背景中是[r]类型版本的[原则**]，宣称在任何级别 m 处都有一个词 v 表示一个具有与 hetm 相同外延的属性。(比较(1976)的定理(8)。)

在这个方案中，“异质性”一词是否是异质性的问题变成了一个词 v 表示该属性的问题，或者更确切地说，一个具有相同外延的词是否是异质性的问题；答案是这取决于属性 hetm+1 的级别。

在等于或小于 m+1 的级别上，het(v) 为假；也就是说，v 是自指的。在大于 m+1 的级别上，v 是异指的；根据 (6′) 和 (7′)。因此，没有一个异指性质，可以询问一个词是否是异指的；这阻碍了 GP。

阿隆佐·邱奇的观点是，为了获得 GP 而添加到 STT 中的语义原语和原则，包括__，都是“合理的”。唯一缺少的是分歧。这本质上是为什么邱奇认为 RTT 为解决语义悖论提供了框架。（有关更多详细信息，请参见supplement F。）

在一份未标日期的手稿中，最近发表在《The Collected Works》（n.d.，[BE: 928]）中，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇 阐明了在 STT 中推导 Berry 悖论所需的条件，并指出了在 RTT 中如何解决这个悖论。他使用 Val 来阐述给出一个公式的“Berry 数”的条件。他的阐述与 Boolos 等人 [2007: 228] 中找到的阐述非常相似。但在这份简短的说明中，他没有给出在 STT 中推导这个悖论的过程。

4.5 阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇悖论

在后来的一篇论文中，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇将注意力转向罗素在《数学原理》(1903)附录 B 中阐述的一个悖论。再次，邱奇的目的首先是展示这种矛盾如何在 STT 中产生，然后诉诸 RTT 作为解决问题的手段。然而，这一次，STT 并没有直接补充任何关于指称或谓词的明显语义原则，而是仅通过一个关于命题一致性的谓词和支持罗素 1903 年观点的公理来补充，即如果一对命题由一个成分不同，则它们是不同的命题。例如，如果 X 和 Y 是不同的命题类，则由“X 中的每个命题都为真”表达的命题与由“Y 中的每个命题都为真”表达的命题不同。根据这个原则——称之为“结构”——如果这些命题与它们提到的类相关联，那么就可以进行对角化并得到矛盾。假设 W 是不属于与之相关联的类的命题类，并考虑由“W 中的每个命题都为真”表达的命题。那么这个命题如果且仅如果在 W 中。 （请注意，这个论证涉及对 CL 的另一个违反，因为实际上它定义了一个从命题到它们的集合的函数 f，然后假定 Df 在 f 的范围内。）邱奇对这一论证进行了仔细的证明分析，准确展示了必须假定哪些形式原则才能使其形式上可导出。（有关一些细节的概述，请参见 supplement F。）

在某种形式上，这种矛盾实际上使邱奇本人受到了影响，因为 Myhill（1958 年）能够在邱奇最初的 LSD 公式中推导出其一个版本。因此，它被称为“拉塞尔-迈希尔悖论（RM）”。事实上，RM 可以被用来证明像 Soames（1987 年，2010 年；参见 Deutsch 2008 年，2014 年，2019 年）这样的命题的普遍陈述的不一致性。然而，最近，RM 的高阶版本受到了寻求得出形而上道德的哲学家的关注（Goodman 2017 年；Uzquiano 2015 年）。这些作家认为这种矛盾证明了拉塞尔的结构原则是错误的。但是，拉塞尔和邱奇都没有这样看待。拉塞尔将问题留给了未解决，而邱奇则转向了 RTT 以寻求解决方案。

4.6 可知性悖论

在写一份关于弗雷德里克·菲奇提交给《符号逻辑杂志》的论文的审稿报告过程中，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇提出了以下启发式论证：

然后，可以合理地认为，如果 a 不是全知的，那么总会有一个真命题，在时间 t 对 a 来说是经验上不可能知道的。让 k 是一个在时间 t 对 a 未知的真命题，让 k′是命题，即 k 在时间 t 是真的，但对 a 来说是未知的。那么 k′是真的。但似乎如果 a 在时间 t 知道 k′，那么 a 必须在时间 t 知道 k，并且还必须知道他在时间 t 不知道 k...这是一个矛盾。(1945b [Salerno (ed.) 2009: 14])

这意味着在时间 t，a 不可能知道 k′。这一论点的一般化似乎表明，如果有真命题未被知晓为真，则存在一些真命题是无法被知晓的。反之，如果每个真命题都可以被知晓，那么每个真命题都已知晓——这显然是荒谬的。

这种概括——邱奇没有提出，最早由菲奇（1963 年）提出——已经被称为“可知性悖论”或“菲奇悖论”，并且已经成为萨勒诺（2009 年）收集的大量广泛评论的主题。 菲奇的论点可以表述如下：

假设_还原法_，即 K(p.¬Kp)。

  1. 然后 阿隆佐·邱奇 阿隆佐·邱奇 Kp.K¬Kp，假设 K(q.r) 意味着 Kq.Kr，对任意的 q 和 r。

  2. ¬Kp, 假设 Kq 意味着 q, 对于任意的 q.

因此，Kp.¬Kp 通过逻辑。

  1. 因此， 阿隆佐·邱奇 阿隆佐·邱奇 (p.¬Kp) 不能可能是真的，因此， p.¬Kp 是不可知的。

Fitch，在他的《1963》，并未陈述 1—5 的论点，而是指出他的广义结论的证明与阿隆佐·邱奇的论点“相似”。令人惊讶的是，邱奇并未评论 Fitch 式概括与逻辑实证主义信条之间的不相容性，即任何有意义且真实的命题原则上是可验证的，因此是可知的。然而，对 Fitch 论证的当代复兴几乎完全致力于这个问题，更一般地说，致力于 Fitch 论证对广泛持有的认为没有不可知真理的原则的观点的后果。

教堂实际上指出，步骤 2，即对一个连接词的分配，是一个有争议的原则的实例，即已知命题的逻辑推论也是已知的。他还指出，有“愚蠢的人”会相信一个连接词，但却不相信它的各个部分。但会有这样的愚蠢吗，将一个连接词视为_已知_，却不将其各个部分视为已知？大多数人认为这是极不可信的。最后，教堂暗示他的论点违反了类型限制。林斯基在他的（2009）年著作中清楚地阐述了教堂 1976 年版本的 RTT 在可知性悖论中的应用。另请参阅有关菲奇可知性悖论的条目。

5. 数学基础

阿隆佐·邱奇主要关注提供一个符合两个基本条件的基础系统：(1)它避免悖论，以及(2)它对现存数学是足够的。这两个条件将是本节的主要焦点。

5.1 尝试无类型基础

在他的职业生涯后期，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇转向 RTT 以满足条件（1）和（2）；但在他早期对基础研究的探索中，他对 RTT 持非常轻蔑的态度：

与避免数理逻辑悖论的拉塞尔方法或策梅洛方法不同，两者都显得有些牵强，我们引入了某种对排中律的限制，正如我们所说的那样。 (1932 [BE: 52])

这表明，尽管存在这种限制，1932 年的系统中仍然可以推导出一种形式的罗素悖论。然而，正是在这里，邱奇首次将(无类型) λ-演算公式化为整个系统的一部分。事实证明，这一部分对于计算理论、形式语义学以及数学基础理论具有重要意义。矛盾就在于此！(请参阅 supplement D 了解 λ-演算的描述)。

在第二篇论文（阿隆佐·邱奇 1933 年）中，关于罗素悖论的问题得到了纠正。但是，Kleene 和 Rosser（1935 年）证明，包括邱奇 1932 年和 1933 年的系统以及相关的早期组合逻辑系统在内，都陷入了理查德悖论。然而，仅有部分——纯无类型 λ 演算——在某种意义上是一致的，即并非所有 λ 项之间的方程式都是可导出的。这是由邱奇本人和 Rosser（1936 年）早期的成果得出的——邱奇-罗瑟定理（有关 λ 演算 的讨论，请参阅该条目）。后来发展了 λ 演算的重要数学模型（Scott 和 Strachey 1971 年；Plotkin 1993 年；参见 Hindley＆Seldin 2008 年：第 16 章）。邱奇还通过基本方法证明了（1934 年）系统的一种变体的一致性，从而如他所希望的那样，避开了哥德尔（1931 年）的不完备定理。但是这个系统过于薄弱，无法满足要求（2），因此邱奇放弃了这个系统。（后来 Myhill 1975 年提出了一个具有类似动机的无类型系统。）值得注意的是，在他努力失败地尝试建立一个一致的、无类型的基础系统时，邱奇仍然提出了深刻影响逻辑发展的思想。

5.2 类型论与集合论基础

1940 年，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇转向了一种无类型方法，并发表了一种包含 λ-抽象的 STT 版本（见 supplement D）。尽管邱奇开发了成为最有用和最著名的 STT 版本（1940 年），但他认为这还不足以满足条件（1），因为他认为 STT 在增加语义谓词时容易受到语义悖论的影响，如 Epimenides 和 Grelling's 悖论（参见上文 section 4）。为了避免这些问题，他认为有必要诉诸于带有可化约性质的 RTT。

关于条件（2），具有无穷公理和选择公理的 STT 允许对经典数论和分析进行充分的发展。 阿隆佐·邱奇（1959 [BE: 493]）指出，具有无穷公理和 Zermelo 集合论（Z）的 STT 在可证明强度上是“可比较的”，但 Z 稍微更强。 （事实上，首次详细证明 Z 比具有无穷公理的 STT 更强的论据是由 Kemeny（1949）在阿隆佐·邱奇的指导下撰写的论文中给出的。现在已知，具有无穷公理的 STT 与有界 Zermelo 集合论在等价一致性和可证明强度方面是相同的（参见 Farmer 2008 及其中引文）。此外，阿隆佐·邱奇的 STT 已被证明是计算机科学中自动推理和证明验证研究中的重要工具。具有 λ 的类型系统特别适用于编程语言和范式的使用和发展（例如 Haskell 和函数式编程[Hudak 1989]）。因此，阿隆佐·邱奇成功地提供了一种类型理论作为数学基础的替代方案。（值得一提的是，通过他在有限自动机上的工作，阿隆佐·邱奇以另一种基本方式为计算机科学做出了贡献[1960, 1962a]。）

然而，在大多数情况下，此时，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇专注于以 LSD 形式发展内涵逻辑（见 §3）以及条件（1）——即_语义_悖论的问题。在他的 1976 年，他的目标显然是通过 RTT 传达语义悖论的解决方案：

为了避免不可预测性，必须施加的基本限制是，不能允许对任何域（类型）进行量化以添加新成员到该域，因为认为添加新成员会改变对该域进行量化的含义，从而导致恶性循环。（1976 [BE: 794]）。

鉴于 1976 年的其余部分，将邱奇视为捍卫罗素对悖论的诊断是很自然的。（这与邱奇早期认为 RTT 包含一种“临时应对”解决方案的观点形成对比；请参见本节开头的引文。）邱奇的最终立场似乎是，RTT 和罗素对其的解释都是正确的。

至于可简化性的公理，邱奇的观点是，这些公理只是为外延概念重新确立了非预测性，并且_内涵概念保持不变_：“因此，非预测性定义的拒绝在外延事项中被废除，但在内涵事项中未受影响”。通过可简化性公理的 RTT，允许对经典数论和分析进行充分发展，并阻止了语义悖论。这是克里普克（2011b）和迈尔（1979）所共享的观点。

阿隆佐·邱奇发表的关于集合论的言论零散，相对简短，并没有完全认可。然而，他对集合论的整体态度是接受和和解的，尽管他对其中一些公设，包括分离公设和选择公设持怀疑态度。他的博士论文（在韦布伦指导下）是关于“策尔梅洛假设的替代方案”（1927 年）—即选择公设。他认为策尔梅洛对集合论的公设化是将类和类成员的概念从“(未形式化的)逻辑层面”转移到“(形式化的)数学层面”，但他认为冯·诺伊曼、弗雷克尔和斯科勒姆所做的改进使其不断接近于（形式化的）逻辑，使得。

现在可以将该理论表述为符号逻辑系统，就像《原理》那样。 (1939b [BE: 156])

这些改进带来了对形式化的强调（比如斯科勒姆孤立了一阶逻辑），对于邱奇来说，这是逻辑正在被完成的一个迹象；尽管毫无疑问，随着逻辑和适当理论之间的区别变得明显，他无疑修改了自己的观点。后来，邱奇本人再次为集合论做出了贡献。他关于具有普遍集合的集合论的论文在分析通向一个与普遍集合一致的集合论路线方面表现出极大的创造力（相对于 ZF 而言是一致的）（1974c）。但他并不认为集合论能处理内涵概念，尽管集合论模型论在模态逻辑中取得了成功。对于内涵概念的处理，他继续寻求 RTT。

5.3 逻辑主义和直觉主义

教会（1962b）明显区分了哪些系统为“现有数学的整体”提供基础，哪些系统为诸如算术之类的特定分支提供“经济基础”。教会的观点是，虽然逻辑主义的研究导致了类型理论的发现，从而为现有数学的整体发现了足够的基础（见 §5.2），但它并没有成功地将算术放在可能的最经济基础上（原因在 附录 D 中有解释）。此外：

一个更令人满意的经济基础，要么是由第一阶算术的标准公式之一提供，采用专门用于算术的原始符号和特殊算术公设，要么是由一种弱集合论提供，该集合论足以处理有限集合，但省略了所有对此目的不需要的标准集合论公设（包括无穷公设）。 (1962b [BE: 611])

例如，基本算术可以在遗传有限集合（HF）的宇宙中表示，而无需无穷公理（有关讨论和历史请参见 C. Parsons 1987, 2007）。

至于直觉主义，早期阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇拒绝了勃劳威尔的观点，即在数学中，命题的真实性与证明该命题的可能性是相同的，因为

似乎更符合我们通常的想法，将真理看作是一个命题的属性，与我们证明它的能力无关。 (1928a [BE: 44])

但他欢迎 Heyting 将直觉主义形式化，因为这提供了所需的澄清。后来在讨论直觉主义对逻辑主义的异议时，他指出 Heyting 的工作是对逻辑特征方法的让步，因此与 Brouwer 认为数学优先于逻辑的观点存在紧张关系（1962b [BE: 611]）。这一观点是强有力的。即使是那些试图用直觉主义可接受的论证替换克里普克在经典逻辑中关于直觉主义命题演算完备性的证明的人，也不得不在他们的研究中使用逻辑方法。

5.4. 高德尔定理和连续统的意义

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇对哥德尔的不完备定理对基础问题的影响非常敏感。他早期的态度是，如果可能的话，应该回避这些“令人不快”的结果（1934 年）。他在这方面的工作与艾伦·图灵在普林斯顿攻读博士学位期间在“序数逻辑”上的研究相关，该论文是在邱奇的指导下完成的（参见图灵的[1939]论文和费尔曼[1995]）。图灵的想法得到了邱奇的鼓励，即通过向不完备系统添加其中不可证的句子并将此操作迭代至超穷，来扩展系统。然而，迭代必须是有效的，并且只涉及在邱奇（1938 年）和克利尼（1938 年）早先定义和研究的意义上是构造性的序数。这个想法至今仍在研究中。

阿隆佐·邱奇也指出，纯 λ 演算虽然逃避了哥德尔的第一不完备定理，但这仅仅是因为它缺乏可证明性的力量，因此：

阿隆佐·邱奇 阿隆佐·邱奇定理逃避的意义，从逻辑作为数学基础的角度来看并不重要。(1984 [BE: 829])

另一方面，他还指出，对于任何足够强大的形式化语言，比如带有无穷公理的 STT，

没有一种已知的一致性证明，除非通过涉及假设过于强大以至于破坏任何主要意义的方法。(1959 [BE: 488])

此外，他意识到不完备定理是为了在足够强大的形式化语言中传达和验证证明而必须付出的代价，这种语言还满足他对效率的要求（在 §2 中讨论）。这些定理及其对希尔伯特计划的重要性，与效率的关系以及与塔斯基的工作的关系在阿隆佐·邱奇（Church）关于数理逻辑的教科书第八章中有详细讨论（1968/1972/1976 年；印刷版在 BE 中）。在这里，邱奇还承认了根岑（Gentzen）和哥德尔（Gödel）的一致性证明的价值，但显然并不认为它们的重要性是“主要的”。在希尔伯特意义上的有限一致性证明是可取的，但不可能。

在其他地方，阿隆佐·邱奇评论道：

感觉到有一个绝对的集合领域，尽管没有完整的公理特征描述，但这种感觉在连续体问题的解决（更确切地说，是未解决）中受到的打击要比著名的哥德尔不完备定理更大。这不是一个现实主义...与概念主义或名义主义相对立的问题，而是如果选择现实主义，是否可以有一个“遗传”现实主义而没有公理化规范。（1966 [BE：677]）。

虽然阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇可能希望假定一种集合的绝对领域，就像他假定了感觉的领域一样，但在这两种情况下，他都不愿意在没有首先制定关于它们的公理理论并对其进行真实性评估之前肯定这些实体的存在（见 第 6 节）。像连续体的基数这样一个与 ZFC 公理无关的自然集合论问题的独立性表明，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇的限制条件无法满足，除非发现另一个公理。在没有这一发现的情况下，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇犹豫是否要假定一种集合的绝对领域，甚至注意到集合论的相对主义的可能性：可能存在“对立的集合理论”，并且集合“仅相对于某个理论而言才具有现实性”（1966 年[BE：677]）。

6. 形而上学

6.1 形而上学和逻辑方法

阿隆佐·邱奇的成熟观点是，只有在可以利用逻辑方法重新阐述和发展时，讨论形而上学 doctrin 的讨论才是值得的。例如，他认为，形式和物质之间的区别的合法性问题应该通过建立一个形式语言来进行研究，该语言用于隔离命题的形式以及相应句子的形式，以便重新解释其非逻辑词汇并研究在各种重新解释下的共同之处：“这可以被认为是对传统形式和物质之间区别的更精确阐述”（1956a [BE: 372–3 and 379]; 1956–72 [BE: 697]; 1959 [BE: 415, 475]）。

另一个接受这种改述的问题是抽象实体的存在，根据阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇的说法，这些实体被“假定”为根据逻辑方法的规范制定的真命题或理论的本体承诺。基本思想是，如果理论 T 的真实性意味着存在 K，那么理论 T 在本体上承诺了 K 类实体（1958a）。此外，正如后来阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇澄清的那样，“理论”旨在涵盖不仅是形式理论，而且

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇 ：在科学方法被有意识地运用之前就已经出现的概念体系，因此已经成为自然语言中的“常识”问题（1951b，附注 1971 [BE：287]）。

这表明数字是在它们的符号首次进入人类文化时被假定的——远在现代科学的出现和逻辑方法的发现之前。(有关自然数如何嵌入自然语言的示例，请参阅 supplement D 中对“后代”讨论的部分。)然而，根据逻辑方法，这些符号必须最终被包括在一个形式化的客体语言中，然后对其应用本体承诺的标准。此外，考虑到这一承诺：

如果[哲学家]坚持认为，例如，数字不存在，但仍然断言，或者被说服承认，“1729 以不止一种方式是两个立方体的和”，那么，至少_乍看之下_，他陷入了矛盾，因为通过命名数字 1729 并将属性归属于它，他似乎承认至少存在这一个数字。(1958a [BE: 438])

更一般地，

那些谈论“存在”、“现实”等问题的哲学家应被理解为指存在量词，并且如果基于此出现其著作中的不一致，就应予以谴责。理由在于从未提供过“存在”的其他合理含义（适用于被引述的那种语境），而需要提供第二个“存在”含义的担子落在那些需要其著作或哲学观点的人身上。

最近，Jody Azzouni (2004, 2010) 已经试图承担这一重任。有关名义主义和教会标准的讨论，请参阅 Church (1958a,b)，Burgess (2001)以及 Salmón (2020)。

6.2 阿隆佐·邱奇的谦逊实在论

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇竭力区分他偏爱的现实主义品牌与柏拉图主义（1973a [BE: 748]）。此外，他也明确指出，他的现实主义并不

即使是弗雷格和哥德尔的极端现实主义，而不是仅仅反对认为物理或时空实体具有更高真实性的主张。(1951b，附注 1971 [BE: 287])

为了与弗雷格形成对比，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇表示，尽管他自己的观点是，这两个真值是“假定的”：

对于弗雷格来说，作为一个彻底的柏拉图现实主义者，我们在这里使用“假设”一词是不可接受的。（1956a：§4）

弗雷格的立场，根据阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇，是“_存在_真理和虚假两种东西”（1956a：§4）。当然，根据邱奇的语义理论和他的本体承词标准，_存在_真理和虚假两种东西。那么，与弗雷格的分歧在哪里呢？看起来是因为邱奇假设了两个真值相对于逻辑理论，而且因为他并没有声称已经确凿地证明了这种理论的真实性，他仍然看到了考虑竞争逻辑理论的空间，因此也就是竞争的本体论，这些理论并没有将真值作为客体（参见 1966 年）。

然而，根据阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇，有效可规定的理论（参见 2.3）可以被传达，检验，相互比较以及与观测数据进行比较，也可以通过其他理性的，可核查的程序进行真实性评估。因此，在理性辩论结束后，我们可以毫不犹豫地断言我们理论的真实性，并几乎可以肯定地假设其本体承诺的存在，这并没有_原则性_的理由（除了邱奇定理）。（当然，在某些情况下，理论可能会被数据所限定；在集合论的情况下，可能存在真正的理论相对性；参见 §5.4。）

回到邱奇的“反对认为物理或时空实体具有更高现实性的主张”，他的理由是时空实体像抽象实体一样，是理论的本体论承诺的假设。因此，时空实体的术语_不_“属于观测数据陈述的词汇；”相反，它们是理论构建，其术语“属于理论语言”（1951b，附注 1971 [BE: 287]；参见 1975 [BE: 983–4]。）

与教堂对“空间 - 时间实体具有优越现实性主张”的相辅相成的是他的观点，即抽象实体——假设它们存在——与因果解释一样不比空间 - 时间实体更遥远。对于卡尔纳普声称抽象实体可以在现象的因果解释中避免（1963 年），教堂做出了回应。

事件的原因从来不是一个物理对象，甚至不是另一个事件，而是一个总体情况，在描述中通常需要提及许多实体，无论是抽象的还是具体的（1951b，附注 1971 [BE：287]）。

此外，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇补充说，如果我们假设语言理解和（其他）命题态度的对象是命题（参见 §3.3 和 §6.3），那么命题也是行为的任何充分因果解释的重要组成部分。

鉴于这一切，阿隆佐·邱奇并未发现关于我们对概念和命题的认识访问存在_特殊_问题

但是，（比如）将看作为一种观察方法而不是理解的偏好，对我来说似乎是随意的。正如不透明的物体可以被看见一样，一个概念可以被理解或把握。而且这两种情况之间的类比确实非常紧密。在这两种情况下，观察都不是直接的，而是通过中介——光线、眼睛的透镜或光学仪器，以及视网膜在可见物体的情况下，语言表达在概念的情况下。在这两种情况下，都有或可能有可支持的理论，根据这些理论，被观察的实体，不透明的物体或概念，都不是被假定的，而只是那些否则被称为它的效应的东西。（1951b [BE: 287]）

这应该强调的是，阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇关于命题的现实主义并不是应该从它们在因果解释中的作用中得出结论，而是应该从他的观点得出结论，即没有一个既真实又人类可理解的逻辑理论可以没有它们。现在我们就转向这一点。

6.3 关于命题的现实主义

邱奇阐述的_proposition_的概念必须由语义学假定为“抽象概念”：

独立于任何特定的言辞表达和任何特定的心理判断或概念之外——不是特定的陈述句，而是共同于该句及其译成另一种语言的内容或意义——不是特定的判断，而是判断的客观内容，能够成为许多人的共同财产。 (1956–72 [BE: 742])

阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇将这一重要论点归功于莱布尼茨，该论点在一定程度上建立了语义学中这一概念的必要性。这一论点如邱奇（1956b）所述：

真理不能附着于实际的特定思想（* cogitationes ）或特定的判断行为，因为被无人思考或判断的内容可能是真实的。也许，真理附着于事物（ res _）而不是特定的思想。然而，虚假不能附着于事物，只能附着于思想。在这种情况下，如果真理附着于事物，虚假附着于思想，那么我们就不能说同一主体可能是真实或虚假的。根据阿隆佐·邱奇阿隆佐·邱奇报道，莱布尼茨的解决方法是真理和虚假附着于_可能的思想*。这是邱奇认为是通向命题抽象概念的重要一步。

阿隆佐·邱奇（1956b）指出，我们可以声称真理和虚假附着于某种语言的_可能句子_，而不是从可能的思想到命题的最后一步。这些句子是语言的句法规则允许的良好形式。他补充说，这种做法不会对像古德曼那样否认命题的名义主义者有所帮助，因为这种做法也涉及抽象类型。此外，根据 §3.3 讨论的原因，如果我们放弃名义主义但继续将我们的本体论限制在可能的句子上，那么我们的语义理论将对主张和信念的归属作出错误的分析。

阿隆佐·邱奇（1956b）也考虑拒绝第一论据，并坚持真理和虚假只与实际的特定思想或句子相关。在这种情况下，他认为，我们将局限于那些我们实际上可以在合理时间内思考或说出的事物。在这种情况下，不再区分由于人类局限而未经证明的陈述和作为数学必然性问题而无法证明的陈述。

此外，阿隆佐·邱奇指出，那些愿意接受这些限制的人，充其量只能面对一个过于复杂的语法和语义理论（例如，一个不得不在没有无限序列概念的情况下制定的理论）：

事实上，对于宏观物理理论中的延伸物体和逻辑句法中的理想句子，似乎基本上是相同的理由：两者都是被假定的实体——有些人可能更喜欢说是被推断出来的实体——如果没有这些实体，理论将变得难以忍受，甚至是不可能的。(1956b [BE: 359–60])

回到莱布尼茨的对话，阿隆佐·邱奇指出其中包含一个关于逻辑形式的重要假设（邱奇接受了）：即存在某种_东西_ —— 无论是一种思想还是另一种东西 —— 它是真实和虚假归属的逻辑主语，也是断言和信念归属的逻辑客体，包括包含像“有某事邱奇断言而古德曼否认”的带限定变量的归属。邱奇对那些（如古德曼）否认这一假设而又没有提供足够详细的自己相应的断言和信念归属分析的人进行了严厉批评。邱奇（1956b; 1973）指出，施费勒（1954）几乎是唯一提供这种分析的人，并通过对施费勒的提议进行广泛批评来捍卫这一假设。对邱奇尤其令人困惑的是，施费勒愿意承认存在关于物理对象存在的哲学问题，同时又坚持，没有论据地坚持，存在一种不同性质的关于命题和句子类型存在的问题。

总的来说，阿隆佐·邱奇的关于命题存在的论证如下。(1) 实际思想或句子令牌，以及可能的句子，对于语义学来说是不够的，无法构成一个真实且人类可理解的理论。相反，(2) 还需要命题。此外，根据邱奇的本体承词标准，(3) 如果某种类型 K 的实体被一个真实的理论蕴涵，那么存在着类型 K 的实体。因此，(4) 存在命题。邱奇（1952 年，1958a 年）指责艾尔和赖尔没有迈出这最后一步，即在谈论命题态度时无意中承认了命题的存在，但在明确讨论命题作为理论承诺时却否认了它们的存在。

关于第二个前提，仍然需要表明我们需要从一个“可能的思想”的概念（这是从能够犯错误并因此想到错误事物的可能头脑的概念中抽象出来的）迈出一步，到一个抽象命题的概念。邱奇将后一个概念的发现归功于波尔查诺和弗雷格（Church 1943a; 1956a,b）。然而，邱奇并没有像他的结论那样认同波尔查诺的论点。（有关论点，请参阅 波尔查诺条目的 §3.3 部分。）至于弗雷格，邱奇只是重申了他关于“Gedanke”的客观性、心灵和语言独立性以及公开性的言论，却没有告诉我们为什么可能的思想也不是客观的、与心灵和语言无关的、抽象的和公开的。也许问题在于可能的思想的存在取决于可能头脑的存在，而命题，比如“二加二等于四”，并不取决于可能头脑的存在，因为直观地说，即使没有头脑，它们也是真实的。因此，可以说，抽象命题的概念必须由一个能够解释前述直觉的理论假定并因此是一个本体论承诺。

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Acknowledgments

The authors are grateful to C. Anthony Anderson, Allen Hazen, Hasen Khudairi, Gary Ostertag, Nathan Salmón and to those who participated in the Santa Barbarians Discussion Group in 2020. We are also grateful to the referees for their comments on an earlier version.

Copyright © 2022 by Harry Deutsch <hdeutsch@ilstu.edu> Oliver Marshall <omarshall@gradcenter.cuny.edu>

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