几何学的认识论 epistemology of (Jeremy Gray and José Ferreirós)

首次发表于 2013 年 10 月 14 日星期一；实质性修订于 2021 年 7 月 7 日星期三

几何认识论通常涉及两种事物：几何系统中定义、公设、定理和证明中包含的理论或抽象知识；以及一些关于外部世界的知识，例如用物理几何系统表达的知识。抽象几何与其实际表达之间的关系的本质也必须加以考虑。

本文考虑了几何学的各种理论，它们的可理解性、有效性以及在 20 世纪相对论理论出现之前的物理可解释性的基础。结果表明，在许多阶段，直线的两个基本属性之间的复杂相互作用，即最短和最直的性质，起着作用。

在 19 世纪之前，只有一种几何学被深入研究，被认为是对物理空间的准确或正确描述，那就是欧几里德几何学。19 世纪本身见证了新几何学的大量涌现，其中最重要的是射影几何和非欧几里德或双曲几何。射影几何可以被看作是对欧几里德几何非度量和形式方面的深化；非欧几里德几何则挑战了其度量方面和含义。

到了 20 世纪初，各种黎曼微分几何学被提出，严格解释了非欧几里得几何学。在抽象几何学领域也取得了重大进展，比如大卫·希尔伯特提出的那些。由此可见，“几何学”和“物理空间”这些术语在 19 世纪并不是简单的概念，对这些术语的不断理解也不是简单的完善模式。它们之间的相互关系也有着复杂的历史。

几何学一直是一种系统性逻辑思维的学派，几千年来，欧几里得的工作被视为一个建立在坚实基础上的科学典范，但在 1900 年左右观念突然发生了变化。它也是一个特权领域，用于发展数学方法，从综合到分析处理，代数发展，结构主义的兴起等等。审视几何学的发展历程，人们可以看到它起初是研究图形（及其测量）的学科，发展为研究空间，最终成为研究空间结构的学科——从最基本的拓扑学，到 n 维流形，再到物理学家们所采用的几何学。

与此同时，几何学提出了基本的认识论问题，并成为哲学辩论的决定性场所。可以迅速提到的问题有：1、几何知识的确定性和先验性问题，与问题相关——一个几何学，还是多个？2、直觉的作用问题（康德是对的吗？平行公设是否具有直觉基础？）3、理想化问题，涉及完美几何图形与其实际实例之间的关系；4、数学与自然科学之间相互关系的不断变化的概念。

1. 欧几里得几何学中的认识论问题

对欧几里得几何学的详细研究揭示了一些问题。值得详细考虑这些问题，因为几乎直到 19 世纪后期，欧几里得《几何原本》的认识论说服力地位几乎没有受到争议。其中主要问题之一是直线和平面的定义不够清晰，以及最短和最直的混淆作为基本几何属性。（请参阅希思版的《欧几里得原本》中收集的许多评论。）平行公设的含义将单独处理，请参见《非欧几里得几何学》章节。

欧几里得《几何原本》的前四卷是关于直线和圆的，但众所周知，直线的概念只得到了一个非常不令人满意的定义。一条线被说成是“无宽度的长度”，一条直线被说成是“与自身上的点均匀地排列在一起的线”。这可能有助于说服读者，他们对直线有一个共同的概念，但如果在理论的构建中出现意想不到的困难，这就没有用了——正如我们将看到的那样。

对那些决定仔细阅读《几何原本》并看看关键术语如何使用的人来说，很明显，这个论述在某些方面非常谨慎，但在其他方面存在缺陷。几乎总是以有限段的形式出现的直线可以无限延伸，但正如许多评论者所指出的，尽管欧几里德陈述了任意两点之间存在一条线段，但他并没有明确表示这条线段是唯一的。这是第一个全等定理（I.4）证明中的一个缺陷，该定理指出，如果两个三角形有两对边相等且夹角相等，则三角形的剩余边也相等。

定理 I.4 在另一个方面也很有趣。定理 I.2 提供了一个谨慎的、绝非显而易见的证明，即平面内的一条给定线段可以在平面上的任意指定点复制。定理 I.4 正确地要求证明一个角也可以在任意点精确复制，但在这个阶段欧几里德无法提供这样的证明（在 I.23 中提供了一个证明，但是这个证明是基于这些早期结果的）。因此，他只是简单地声称一个三角形可以在任意位置精确复制，这让人不禁要问为什么在 I.2 上要花费如此多的精力。事实上，图形的运动概念在阿拉伯/伊斯兰时期成为一个长期讨论的话题。（关于欧几里德的推理，请参见穆勒 1981 年。）

对《几何原本》第一卷的一个合理解读是，直线可以被理解为具有方向，因此在每个点的每个方向上都有一条直线，在给定点的给定方向上只有一条直线。然后平行公设表明，与给定直线在等角度交叉的直线指向相同方向且不相交。但这必须被视为一种解释，并且需要相当多的工作来明确。

然而，方向比距离更有可能成为候选者；欧几里得并没有从这样的观念出发，即连接两个不同点的直线是连接它们的最短曲线。《几何原本》中的相关原始概念是段的相等，比如给定圆的所有半径。欧几里得将其表述为公共概念 4，即如果两个段可以重合，则它们相等，而在棘手的 I.4 中，他使用了逆否命题，即如果两个段相等，则它们可以重合。段要么一个比另一个小，要么它们相等，在 I.20 中，欧几里得展示了“在任何三角形中，以任何方式取两边之和总是大于第三边。” 这个结果被称为三角形不等式，它在很大程度上证明了连接任意两个不同点的线段是通过这些点的最短曲线。一旦引入了平行公设，欧几里得表明平行四边形的对边相等，因此平行线对之间的距离是一个常数。

但是元素中还有另一个弱点也值得注意，尽管它引起的关注较少，这就是平面的性质。平面有另一个次标准的定义，显然是模仿线的定义：“平面表面是一个与其上的直线平坦相交的表面”（并且，不足为奇，“表面是只有长度和宽度的东西”）。之后，在前四卷中没有提到“平面”这个词，尽管它们仅仅涉及平面几何。当欧几里得在第九卷转向立体几何时，他从三个定理开始，逐步展示直线不能部分地位于平面中，如果两条直线相交，则它们位于同一平面中，每个三角形都位于一个平面中，以及如果两个平面相交，则它们在一条直线上相交。然而，他只能说这些结果并使它们合理，因为他不能使用他对平面的定义来证明其中任何一个。然而，它们确实构成了下一个定理的基础：在平面的任意点处有一条垂线，以及在给定点处对给定直线的所有垂线都在一个平面上。

再次，I.4 是有问题的。考虑为了通过归谬法，假设有两个三角形 ABC 和 A′BC 在它们共同底边 BC 的同一侧，并且 BA=BA′和 CA=CA′。意图是因此证明顶点 A 和 A′重合，为此，正如高斯观察到的（在未发表的评论中，参见高斯著作 8, 193），必须使用这样一个事实，即这些三角形位于同一平面中。需要一个良好的平面定义，使得可以证明这个结果。

1.1 图解构造问题

欧几里德对几何学的处理被视为一种完美的演绎科学呈现，并且欧几里德确实付出了巨大努力，以获得一条最为谨慎的逻辑真理链。特别是第一卷令人印象深刻。然而，他的证明方法赋予了图示一个核心地位，因此欧几里德的工作在 19 世纪末受到了严厉批评。这是因为从 18 世纪初开始，代数方法逐渐占据主导地位，数学逐渐去几何化的过程演变成了所谓的“算术化”数学。图示被降级为数学推理中的辅助工具，而且对公理和证明的谨慎逻辑呈现得到了实施。这一运动的一个结果将是希尔伯特的工作，下文将对其进行考察。

然而，看起来几何思维的起源在不同文化中总是与视觉空间推理特别是图形和图表相关联。这是几何学著名美感和吸引力的关键原因。康德在坚持数学证明基于直觉中的“概念构建”时，几乎捕捉到了欧几里得工作风格的精神。几何学家使用精心定义的概念，欧几里得总是展示如何构建实例（例如，命题 1 展示了如何在给定线段的情况下构建等边三角形，命题 31 展示了如何构建与给定线平行的线）。但是，正如康德在《判断力批判》中强调的那样，对概念的逻辑分析永远不能提供证明的手段 - 需要对构建（比如三角形）的呼吁，提供一个具体的实例，无论是在经验直觉（外部表征）还是在纯直觉中。接下来，基于公设，新元素被纳入构建中，这使得能够相互连接概念并获得新结果。因此，人们可以通过图表证明，例如，三角形的角相加等于 180º（顺便提一句，这需要对平行公设的呼吁）。

命题 1 的证明因存在漏洞而被广泛质疑。给定线段 AB，通过以 AB 为半径绘制两个圆，一个以 A 为圆心，另一个以 B 为圆心，构造一个等边三角形。质疑在于欧几里德没有连续性原则，因此点 C（两个圆的交点）的存在性不被保证。但这种质疑忽略了图解推理在欧几里德中的适当作用。Manders（2008）对在《几何原本》的前几卷中如何从文本和图解中获取信息进行了深入分析，通过角色的精心分配，他区分了精确信息（仅来自文本）和共精确信息（来自图解）。请注意，图解不仅仅是一个图形，而是一个推理工具，一个具有操纵规则的符号元素 - 并且根据 Manders 的说法，是提取信息的谨慎（隐含）规则。有关此主题的更多详细信息，请参阅有关图解的条目，4.2 和 4.3 节。

在这方面，值得一提的是克莱因（Klein）所广为人知的一个著名的错误证明，即所有三角形都是等腰三角形。可以证明这个伪证明违反了欧几里德的游戏规则，从图解中提取精确信息，这是绝对不允许的。另一方面，应该注意欧几里德的公设不太像希尔伯特意义上的公理，而更像是在图解的制作和处理中应用的构造规则。欧几里德的大部分公设都建立了某些构造的可能性，比如画一条线或一个圆，以及在某些条件下两条线的相交（这是欧几里德对公设 5“关于平行线”的自己的表述）。至于这些构造规则在古代几何学中的中心作用，有趣的是希腊人说“diagramma”来表示一个数学命题。

但是，几何知识始于视觉思维（Giaquinto 2007）和符号的实际操作，即图表作为具体表征，逐渐演变为更抽象的建筑。早在欧几里得、阿基米德和阿波罗尼乌斯时代，就努力赋予精心构思的概念形式，使直觉所暗示的内容变得精确、理想和普遍；同样，处理图表的方式绝非幼稚（例如见第三册第 10 条命题，以及第一册的第 7、14 或 27 条命题）。随着时间的推移，达到了一个关键阶段，几何知识的假设被明确表达并接受审查，寻求更深层次的基础和替代方案。在这个阶段，主要代表是 19 世纪，图表必须被边缘化，以便更明确、抽象、关联的方法来分析理论假设和发展。

1.2 综合方法 vs. 测量

让我们说，一个纯粹的综合几何是这样处理原始概念的，比如直线和平面，以某种类似上述方式。也就是说，它将直线的笔直和平面的平坦视为基本，依赖于刚刚描述的关系性质。它抵制将距离视为基本概念的想法，或者将几何中的陈述替换为关于数字的陈述（比如坐标），尽管它并不反对在其基础上建立坐标几何。

让我们在目前的讨论中也说，度量几何是一种其中距离是一个原始概念的几何，因此线段可以说具有相同的长度，全等图形具有对应边相等的长度，并且几何变换保持长度。我们还可以允许相似性：这些是产生图形的比例副本的变换。（欧几里德《几何原本》中的任何定理都不依赖于图形的实际大小：适用于一个图形的任何定理都适用于其所有的比例副本。）

现代西方的初等几何以混乱的方式朝着将距离作为主要原始概念发展，同时经常保持欧几里德对直线的强调，因此经常混淆不同概念的含义。尽管这种情况仍然具有生产力，但一个显著的例子是约翰·沃利斯（John Wallis）在捍卫平行公设的论证（1665 年作为讲座发表，1693 年出版）中的论证。正如他意识到的那样，这一论证依赖于能够制作三角形的任意比例副本，这似乎是第一次认识到这两个系统之间的等价性：

欧几里德《几何原本》与平行公设
欧几里得的《几何原本》，没有那个公设，但假设存在任意相似的图形。

在《百科全书法》（1784 年：卷 2，132 页）中，达朗贝尔将几何定义为关于延伸性质的科学，即将物体（以及表面和线条）仅仅看作是延伸和成形的。在他看来，其原则建立在如此明显的真理之上，以至于不可能对其提出异议。线（指曲线）是一维的，连接两点的最短线是直线。平行线是这样的线，无论延伸多远，永远不会相交，因为它们到处都是等距的。达朗贝尔不喜欢公设化的呈现方式，这也是 18 世纪许多其他作者的看法。

阿德里安-玛丽·勒让德是一位对《几何原本》的教学目标持同情态度的数学家，但对其原始表述并不认同。他撰写了几个不同版本的《几何要素》（1794 年），旨在恢复几何教学中的“欧几里得严谨”，因为在他看来，这一点已经被克莱罗（1741 年）等人依赖自明概念的文本侵蚀了。正如他不得不承认的那样，它们在试图推导平行公设方面存在很大差异。

在所有这些版本中，勒让德都采取了坚定的度量观点，以代数和比例理论为基础。他在第一版的开篇定义中宣称：“几何学是一门以度量范围为对象的科学”。他解释说，范围有三个维度，长度、宽度和高度；一条线是没有宽度的长度，它的端点被称为点，因此点没有范围。直线是从一个点到另一个点的最短路径；表面有长度和宽度，但没有高度或深度；平面是一个表面，如果两个任意点被一条直线连接，这条直线完全位于表面内。勒让德随后着手证明一些欧几里得更倾向于假设的真理，比如（勒让德的第一个结果）：任意两个直角相等。全等的概念对他的方法至关重要，熟悉的全等定理在每个版本中都有，直到平行公设不再被忽视。一旦平行线的存在得到保证，勒让德认为它们是等距的。

实际上，勒让德试图恢复对基础几何学的严谨处理并不比欧几里得更好，在某些方面甚至更糟，不仅因为他试图证明平行公设的尝试不可避免地失败，而且因为他在自己的论述中夹带了更多他意识不到的东西。但就目前的目的而言，它的主要意义在于它展示了试图以距离的概念，或更准确地说，以直线是连接其任意点的最短距离曲线的想法，来建立基础几何学的尝试。距离本身没有被定义。

约瑟夫·傅立叶在与蒙日讨论时，也将距离概念作为基础，并从三维空间开始。然后，他使用等距离来逐步定义球体、平面（作为两个给定点等距离的点）和直线（作为三个给定点等距离的点）。这至少为他提供了这些先前令人困扰的概念的定义（参见博诺拉 1912 年，54 页）。

总之：在当时，一个合理的观点可能是，度量几何需要整顿自己的房子，而它可能无法通过将距离概念嫁接到以欧几里得《几何原本》为模型的结构上来做到这一点。这对传统几何学来说是一个尴尬的位置，这可能已经让人们对替代方案的可能性有所启发。当然，会产生两种替代方案。一种是射影几何，它扩展和改进了几何学的综合方面。另一种是非欧几里得几何，是一种新颖且具有挑战性的度量几何。但在我们看它们之前，我们将转向当代关于几何学的哲学讨论。

2. 应用几何学中的认识论问题

简化地说，大约在 1800 年左右，人们认为存在一个物理空间，并且这个空间由欧几里得《几何原本》中的几何描述，这是唯一适合这一任务的候选者。争议涉及对这种几何学的严谨呈现以及其在物理世界中应用的限制。几何学提供的知识性质也是一些讨论的焦点。

传统上，几何学被视为真理、确定性和证明的范例。这可以在 17 世纪许多作者的著作中找到。笛卡尔批评了欧几里得方法的某种僵化，这使得难以找到新问题的解决方案，他试图通过结合代数和几何学来减轻这种情况；然而，即便如此，他始终强调几何学及其证明的清晰性和证据性。据帕斯卡称，几何学是证明真理的方法和有条不紊地建立命题体系的完美范例。莱布尼茨、斯宾诺莎等人继续将数学作为哲学论述的模型。

洛克（参见洛克条目）从亚里士多德传统中汲取了欧几里得几何学和理性神学是科学知识的典范的观念，但试图将他的哲学基础建立在直观、证明和感性知识之上。直观知识是立即理解的知识；证明性知识利用证明的中间步骤，如几何学。这两种形式的知识是确定的。感性知识并不确定：它是我们通过感官学到的，它呈现效果而非原因，充其量是部分的，可能具有欺骗性。空间可以被认为是由物体的所有（实际和可能的）位置组成；纯空间是去除所有固体物体的空间，距离是我们用来讨论物体之间分离的原始概念。

洛克提出了反对先验主义对我们对空间和图形认识的解释的论据，强调经验的主导作用（参见莫林纽问题条目）。然而，在他的《人类理解论》（1690 年）中，洛克断言

…直角三角形的概念必然伴随着其角度相等于两个直角。我们无法想象这种关系，这两个概念的联系可能是可变的，或者取决于任何任意的力量，选择使其如此，或者可以使其变得不同。（第 IV.iii.29 章，第 559-560 页）

然而，对应对象的敏感知识永远不可能具有这种程度的确定性，因为我们的知识源自我们对对象的了解，似乎科学对空间的知识与我们对几何的知识是不同种类的。因此，对于洛克来说，欧几里得几何提供了一种知识，而经验和科学实验提供了另一种知识。事实上，可以说，一个认识论上的鸿沟至今仍然存在于哲学中，以经验和先验知识之间的区别形式广泛认可。

在康德的《纯粹理性批判》（1781/1787）中（参见康德关于空间和时间观点的条目），情况更加复杂或复杂。康德引入了先验知识的概念，与后验知识相对立，以及综合知识与分析知识相对立，以便存在不依赖经验（因此是先验的）但不是同一性质的知识（因此是综合的而不是分析的）。有争议的综合先验命题类别包括欧几里得几何的真理；因此，他将确定性和必然性归因于欧几里得几何。康德将几何知识与空间的纯直觉联系起来；要知道等腰三角形（即两边相等）在底边有两个相等角，数学家必须提出一个特定的构造，使得该主张的真实性可证明（参见批判，A 716，B 744）。

在法国哲学家中，1740 年代占主导地位的立场是笛卡尔的立场，如克莱罗的《几何要素》（1741）所体现的，可能在坚持清晰和直接的观念上过于天真。达朗贝尔在《百科全书法》（1784）中的立场更为复杂。几何的对象应通过抽象化除了可分割和有形的特性之外的所有特性来理解。这些对象包括没有宽度的线和没有深度的表面。关于几何对象建立的真理是纯粹抽象和假设性的，因为例如完美圆并不存在。所证明的属性只有在实际对象接近成为完美圆的状态时才能适用于实际圆，

在某种意义上，它们是物理真理的极限，如果可以这样说，是那些无论多么接近都永远无法完全到达的物体的渐近线，这个术语用于那些无论多么接近都永远无法完全到达的物体。（见《百科全书法》II，132）

然而，如果数学定理在自然界中并不完全成立，这些定理在实践中具有足够的精度。要以完全严谨的方式证明它们，必须将它们视为对处于抽象完美状态的物体的适用，而这些物体实际上并没有这种状态。

几何学中研究的曲线并非完全直线也不是完全曲线，表面也不是完全平坦也不是完全曲面，但它们越接近这种状态，就越接近具有这些性质的状态，即证明关于完全直线或曲线以及完全平坦或曲面的性质。

达朗贝尔继续说，这些思考足以驳斥抱怨几何对象实际上并不存在的怀疑论者，以及那些对数学一无所知却认为它是无用游戏的人。

因此，看起来哲学家们在欧几里得的《几何原本》中没有发现问题，但休谟、达朗贝尔等经验主义者却对几何定理的适用性提出了保留意见，理由是几何的对象在世界中可能没有对应的对象。对于一系列确定性知识持更开放态度的哲学家（比如康德），可以将几何定理视为不可避免的先验真理。

2.1 力学的含义

物理空间是欧几里得的《几何原本》和笛卡尔三维几何的空间的天真三维版本，这也是牛顿在他的《数学原理》（1687 年）中所认为的。它被构想为一个中立的领域，不受物质或力量的影响，但却影响着物体在各种力的作用下的运动。其中最重要的是重力，笛卡尔传统中的数学家们认为重力是一个神秘的、甚至是不可接受的概念，但到了 19 世纪初，拉普拉斯已经证明它能很好地处理太阳系中所有已知的运动。因此，重力已经成为一个自然的、原始的概念，不再需要进一步解释，到了 1800 年，从事新的磁力和电力理论研究的人们认为它们是力，并在适当的情况下将它们建模为牛顿的重力。

物理空间，如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中描述的那样，应通过观察相对运动的物体并用任意时钟计时来研究，以确定绝对空间和时间中的相应真实运动。正如牛顿在他的第一条注释结尾所说，他的论文的目的是展示

如何从它们的原因、效果和表面差异中确定真实运动，以及如何从运动（无论是真实的还是表面的）中确定它们的原因和效果。

牛顿心中对物理空间的欧几里得性质毫无疑问，事实上，在 17 或 18 世纪的天文学家中似乎没有人怀疑空间可以用欧几里得《几何原本》中使用的术语来描述。很可能牛顿物理学优点的日益认可巩固了一种信念，即空间是三维的、均匀的、各向同性的，并且应该描述为无限坐标网格，从而体现了《几何原本》的定理——即使不是确切的定义。

物理空间的几何方面与物体的力学行为之间的相互作用，在牛顿第一定律的陈述中是明显的（参见惯性参考系条目）：

每个物体都会保持静止或匀速直线运动的状态，除非受到外力的影响而改变其状态。

还有一个结果是，一个均匀的球形固体对其他物体产生的引力效应与等质量集中在物体中心的物体相同。也就是说，这样的物体的行为方式可以被证明，而不仅仅是近似地与点质量相同。通过这种方式，点和线在他的动力学理论中获得了物理意义。

拉普拉斯是提出物理空间服从欧几里得几何的最有力论据的人。在他于 1796 年的《天体系统概论》中（见第五卷，第五章，第 472 页），他补充了一则有趣的注释（引自波诺拉 1912 年：54 页），以表明

几何学家试图证明欧几里得关于平行线的公设迄今为止是徒劳的。然而，没有人会怀疑这个公设以及欧几里得从中推导出的定理。因此，空间的概念包含一个特殊的、不言自明的属性，没有这个属性，平行线的性质就无法得到严格的建立。有界区域的概念，比如圆，不包含任何取决于其绝对大小的东西。但是，如果我们想象它的半径在减小，我们就会毫无疑问地导致其周长和所有内切图形的边以相同比例减小。这种比例关系在我看来比欧几里得的公设更自然，值得注意的是，它在普遍引力理论的结果中重新被发现。

这与沃利斯一个多世纪前的观点非常相似，尽管拉普拉斯没有提到沃利斯，可能也不知道他对平行线公设的讨论。

因此，大约在 1800 年左右，通常可以说，对于欧几里得几何的真实性主张存在的问题，主要集中在我们对外部世界的认识方面。哲学和科学界对欧几里得几何本身的有效性非常有信心。

3. 射影几何

在 19 世纪，许多人认为，欧几里得几何失去了其基础地位，被视为更一般的几何：射影几何所取代。（有关 19 世纪几何的介绍，请参阅 Gray 2011。射影几何在条目《19 世纪几何》中有描述，另请参阅 Bioesmat-Martagon 2011 中各作者的论文。）射影几何有其自身的基础问题，类似于欧几里得几何中的距离问题，涉及到交比的概念，我们需要跟随这些步骤来创建射影几何作为一个独立学科，定义这种情境下的交比，并解决所引发的认识论问题（这是与克莱因的艾尔朗根计划相关的成就）。我们还将看到，射影几何的发展为希尔伯特的几何公理化创造了舞台。

这种几何理论的起源可以追溯到 17 世纪，Desargues 和 Pascal，但平面射影几何学在 Jean Victor Poncelet 于 1822 年出版的《图形射影性质论》一书中得到了特别的推动，他展示了在非度量几何的挑衅性表述下射影方法的强大力量。这种新几何的基本特征在于它被认为是捕捉直线的最简单属性的方式——两个不同的点定义一条唯一的直线，两条不同的直线最多相交于一个点——同时抛弃了距离和角度的度量概念。

Poncelet 关于将线映射到线的平面变换的论断被 Chasles（1837 年）以更严谨的方式重新阐述，强调了交比的不变性。考虑 AB 表示两点之间的距离。四点 A、B、C、D 在一条线上的交比被定义为 AB⋅CD/AD⋅CB，如果这些点分别通过射影变换映射到 A'、B'、C'、D'，那么

AB⋅CDAD⋅CB=A′B′⋅C′D′A′D′⋅C′B′。

然而，这使得主体处于一种尴尬的位置，似乎比欧几里德几何更一般，因为欧几里德、度量、变换是射影变换，但反之则不然，同时似乎仍然依赖度量概念来定义其基本不变量。

这个问题在 19 世纪 40 年代和 50 年代由乔治·卡尔·克里斯蒂安·冯·施陶特解决。他的两本书（1847 年，1856-1860 年）试图为射影几何建立基础，使其成为一个独立于欧几里德几何的学科。这些书难以阅读，而且在许多方面都不完善，但第一次可以看到，创立一个严谨的理论的任务被视为完成已经开始的任务。冯·施陶特认为，平面射影几何的变换可以将任意三个共线点映射到任意其他三个点，将任意四个点（其中没有三个共线）映射到任意其他四个点，但不能将任意四个共线点映射到任意其他四个点。然后，他对共线四元组进行了详细研究。他还简要谈到了如何从射影几何中获得欧几里德几何，从中可以看出，他的共线四元组理论一旦加入欧几里德距离概念，就会简化为熟知的交比理论。这一洞察力在 19 世纪 70 年代初由费利克斯·克莱因在几篇论文中明确表达。第一本可读的射影几何教科书，也是给予其名称的书，是克雷莫纳于 1873 年出版的《射影几何要素》，之后这门学科迅速崛起，成为基础古典几何学。

其基本概念是空间的点、直线和平面，这个空间是 R3，其中常常包含了一个被称为无穷远平面的平面，使得任意两条共面直线相交。在 19 世纪末该理论被公理化之前，点、直线和平面是具有直观解释的基本概念，可以方便地在射影几何和欧几里得几何之间进行转换。几何的允许变换将点映射到点，直线映射到直线，平面映射到平面，并保持交比。它们在空间上作用是传递的，因此没有特殊的点、直线或平面，因此在空间的任何有限部分中平行的直线可能被映射为相交的直线，反之亦然。

在其综合形式中，射影几何的成功主要局限于它为圆锥曲线研究带来的简化——所有非退化圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线和双曲线）在射影上是等价的。在其代数形式中，射影几何在研究任意次数的平面代数曲线以及扩展到更高维度的射影空间中的代数曲面方面几乎是不可或缺的。所有这些都促成了对基于几乎只有直线概念和直线与平面的相交性质的非度量几何赋予的核心重要性。

投影几何学还具有一个惊人的特征，称为对偶性，这激发了对其可能来源的认识论反思。在平面投影几何中，可以交换术语“点”和“线”，“重合”和“共线”，从而从一个有效的陈述中得到一个新的陈述。因此，投影几何中的所有定义、定理和证明都具有双重性质。例如，Desargues 定理及其证明的对偶是定理及其证明的逆命题。在三维空间中，“点”和“平面”可以以相同的方式交换，而“线”保持不变。这引发了有趣的认识论问题：对偶性被克雷莫纳视为逻辑定律；此外，很容易将平面构想为由点构成，但无法直观地将其构想为由线构成。更糟糕的是，当将空间视为由点构成时，它是三维的，但当由线构成时，它是四维的。

3.1 坐标变换；克莱因几何学

克莱因的爱尔朗根纲领以及所谓的克莱因几何观在《19 世纪几何学》条目中有描述。它已成为几何可以被定义为作用于空间的群，并且几何属性是在适当群的所有变换下不变的任何属性的主要来源。

克莱因(Klein)在 1872 年成为爱尔朗根大学教授时发表的小册子和 1870 年代在期刊上发表的其他作品中提倡了这一观点，以重新统一几何学。他提出了一种方法，可以表明度量几何，如欧几里德几何和非欧几里德几何，以及其他几何，如反演几何和 birational 几何，可以被看作是射影几何的特例（仿射几何也可以，但他在 1872 年并不知道）。

基础几何是实射影几何，比如在二维空间中。在这种几何中，空间是实射影空间，群是所有射影变换的群。这样的变换将点映射到点，将直线映射到直线，将 n 次曲线映射到 n 次曲线，而且，重要的是，四个共线点的交比不受任何射影变换的影响。在克莱因的观点中，这表明点、直线、n 次曲线和四个共线点的交比是几何的性质。

射影几何以各种方式融合了其他几何。克莱因指出，人们可以尝试将配置列表添加到其中，这种情况下，保持它们不变的群通常会比主要群小，或者可以尝试扩大群，这种情况下，不变配置的类通常会缩小。克莱因成功地表明，非欧几里德几何是通过将注意力限制在射影空间中一个圆锥体的内部以及将该圆锥体的内部映射到自身的子群而产生的子几何（参见克莱因 1871 年，1873 年）。

Klein 的 Erlangen 计划的认识论特征在解决射影几何中交比定义的疑问时变得更加清晰。 Klein 的答案通过类比欧几里得几何或非欧几里得几何中的长度来进行。在这些几何中，相应的群保持直线，任何点都可以映射到任何其他点，但群中没有变换可以将线段映射到其自身的适当子段。因此，任何任意但固定的线段（由两点确定）都可以被视为长度单位，并用于测量线段，方法是构造它的任意倍数和子倍数，并将它们排列如同使用标尺一样。现在，要测量线段 AB 的长度，只需将点 A 放在标尺的一端，看看点 B 落在标尺上的位置。

克莱因的洞察力，继冯·施陶特之后，是关于共线点四元组的类似论证可以用来定义射影几何中的交比。射影群保持直线，任意一组共线点的有序三元组可以映射到任意一组共线点的有序三元组，将给定的有序不同点三元组映射到另一个有序不同点三元组的映射是唯一的，但群中没有变换可以将四个共线点的四元组映射到任意这样的四元组。因此，任意但固定的共线四元组可以作为“大小”的单位，通过一个复杂但不困难的论证，可以产生任意倍数和子倍数，用来测量交比，就像摆放尺子一样。与其给出细节，不如给出这个启发性的例证，说明为什么可以这样做。假设四个共线点 P、Q、R、S 的交比通过将这些点映射到实数线上的点 A、B、C、D 来测量，其中 A 在原点，C 在 ∞，D 在 1，因此 B 的位置决定了交比。这是唯一确定的，如果 AB 的长度为 x，我们发现 AB.CD/AD.CB=x。

用当时的语言来说，长度是欧几里得或非欧几里得群的两点不变量，而交比是射影群的四点不变量。

3.2. 黑尔伯特等人关于公设论射影几何

在 19 世纪末，射影几何中的一些技术问题以及严谨标准的提高引发了对该主题进行公理化尝试。这项任务由莫里茨·帕什承担，而在 19 世纪下半叶，意大利几何学家皮埃里、皮亚诺等人最为积极，他们成功地对二维和三维的实数和复数射影几何进行了严谨的阐述（参见 Marchisotto 和 Smith 2007）。但与此同时，他们成功将这一主题简化为几何教师的严谨训练，并没有意识到他们所开辟的研究途径。直到大卫·希尔伯特重新激发了几何的公理化方法（参见 Hallett 和 Majer 2004）。

希尔伯特曾经参与了一些关于基础射影几何的争议，涉及到在什么情境下的哪些结果暗示了其他什么结果。其中最引人注目的是德萨格定理（参见 Arana 和 Mancosu 2012）。在三维射影几何中，德萨格定理仅仅是关于关系公理的一个推论，但它是关于射影平面中的点和线的一个定理（因此是关于二维几何的），然而没有人能够从二维射影几何的关系公理中推导出它。人们开始怀疑它可能不仅仅可以从这些公理中推导出来，乔治·皮亚诺能够证明确实不能在没有额外假设的情况下推导出来。与此同时，希尔伯特也举了一个例子，展示了一个满足二维射影几何关系公理的几何，但其中德萨格定理是错误的。这个更简单的例子是由美国数学家和天文学家 F.R.莫尔顿在希尔伯特的《几何基础》（1899 年）的所有后续版本中找到的。

在希尔伯特提出的公理几何中，基本对象（点、直线、平面）并未被定义。相反，希尔伯特指定了连接它们的关系网络，这决定了它们如何被使用以及关于它们可以说些什么。他提出了五组公理家族，根据它们所编码的概念进行排序。然后，他创建了遵循各种公理系统的各种几何，并通过在适当的环和域上给它们坐标来建立它们的一致性——通常他的几何学允许许多解释或模型。在这里，希尔伯特利用了他在数域和环的新理论方面的专业知识。这使得这些几何具有算术的一致性，并增加了希尔伯特对试图将算术建立在某种形式的集合论和逻辑基础上的兴趣。

希尔伯特的方法蓬勃发展，因为他意识到存在着一个关于公理的数学，研究不同但相互关联的公理方案及其含义，以及公理及其可能的解释（模型）。他运用这种新方法来解决关于独立性和一致性的问题，希望也能找到关于简单性、数学问题的可解性和可决定性的新见解。庞加莱在他对希尔伯特的书的评论（1902 年）中接受了新的几何学是有效的，但遗憾的是，正如他所说的那样，它们是不完整的，因为它们缺乏心理因素。他指的是它们无法被纳入他关于我们如何基于经验发展对物理空间几何的认识的解释（见下面的第 6.2 节）。

4. 非欧几何

对平行公设的研究始于希腊时期，在伊斯兰世界继续进行，并在早期现代西方进行。但是，出于仍不清楚的原因，大约在 1800 年后，人们开始更容易想象欧几里德《几何原本》可能并非唯一可能的度量几何系统。可以帮助解释不可思议如何变得可思议，甚至在数学家社区之外的因素之一是基于与平行公设不同的假设累积的定理。似乎，对这种激进假设的新颖、一致的后果的产生，以及未能找到矛盾，使一些人倾向于思考确实可能存在与欧几里德不同的整个几何。这个过程也可能与虚数的完全吸收（以及复函数论的兴起）相关；事实上，洛巴切夫斯基称他的理论为“虚数几何”。

18 世纪末已经可以注意到态度的变化。1759 年，达朗贝尔称平行线问题为“几何元素的丑闻”。1763 年，G.S.克吕格尔的论文考察了大量试图证明平行公设的尝试，得出结论它们都是有缺陷的：这个结果可以基于“不比欧几里德更清晰或更安全”的公设证明，因此欧几里德确实有理由将“一个不能以正确形式证明的命题”列为公设之一。克吕格尔的讨论特别关注萨切里的作品（1733 年）作为现代时代最详细的处理，并激发了兰伯特对该主题进行自己详细研究（1786 年）。后来，1816 年，高斯在印刷品中重申，不断增加的试图证明这个公设的尝试并没有填补这个空白，并且应该诚实和公开地承认“本质上我们并没有比 2000 年前的欧几里德走得更远”。

也许这种转变的典型例子是法学教授 F.K.施韦卡特，他于 1818 年通过他在马尔堡大学的同事和前学生格林发送了一份与欧几里得完全不同的几何学描述给高斯。施韦卡特的几何学被高斯接受了，高斯回复说，只要给出施韦卡特描述中出现的一个常数的值，就可以推导出新几何学的所有性质。但高斯接受了这一点的依据不太清楚。随着时间的推移，他逐渐确信存在一种与欧几里得平面几何学不同的新的二维几何学。这种几何学可以用他和兰伯特一起看到的类似于球面几何学的公式来描述。但他没有描述这种三维几何学，留下了二维几何学可能是某种形式上的无意义怪异的可能性。另一方面，在与贝塞尔的通信中，他明确表示无法将欧几里得几何学归因于他赋予算术的那种先验确定性。他和贝塞尔都保留了天文空间可能不符合欧几里得几何学的可能性。

除了欧几里得以外，第一个对空间进行完全数学描述的功劳必须归功于匈牙利的亚诺什·波尔雅伊和俄罗斯的尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基。波尔雅伊在他的《附录：绝对真实空间知识》（1832 年）和罗巴切夫斯基在他的《几何学新基础》（1835 年）以及他的《几何研究》（1840 年）中，独立地用一种不同于欧几里得的方式替换了平行公设，即假设给定一条直线 L 和一点不在该直线上，存在许多通过该点的直线位于由 L 和给定点定义的平面内，但不与直线 L 相交。正如他们后来展示的那样，其中每个方向上的一条直线与 L 渐近，并且这些渐近线将通过给定点和给定平面内的所有其他直线分为两个家族：那些与 L 相交的直线和那些不与 L 相交的直线。随后进行了大量工作，每种情况都以相似的方式著名，特别是要证明根据他们的假设描述的三维空间中存在一个表现欧几里得几何的曲面，并推导出描述平面三角形的三角公式的存在。这些公式类似于球面上三角形的相应公式。

所有这些都使波尔雅伊和罗巴切夫斯基相信，新几何学可以成为对物理空间的描述，因此从此以后，决定欧几里得几何学或非欧几里得几何学哪个是真实的将成为一个经验性任务。罗巴切夫斯基甚至尝试通过天文观测来确定这个问题，但存在重大的方法论困难，他的结果毫无定论。

当然，新几何中一系列一致的推导并不能排除存在矛盾的可能性，但新几何与球面几何的有趣关系，以及三角形的三角函数公式的存在，强烈暗示新几何至少是一致的。在 1860 年代之前，接受新几何的人很少，尽管他们可能会欢迎比波尔雅伊和罗巴切夫斯基提供的更好解释。即便如此，许多几何学家在黎曼和贝尔特拉米重新阐述之后（例如，恩里克斯在他关于几何原理的重要论文（1907 年）中），仍然会发现这些公式令人信服，是对新几何有效性的‘证明’。

问题不仅在于有公式，而且这些公式暗示着几何的另一种表述，其中欧几里得《几何原本》中描述的几何可能只是一个特例。如果有另一种定义几何的方式，可以在各种情况下导出这些公式，那么重新思考所有由批判性检验打开的几何问题的途径将会打开。在 19 世纪 30 年代和 40 年代，最适合这样做的人是高斯：他非常了解波尔雅伊和罗巴切夫斯基所做的事情，他的微分几何使他有能力继续前进，但奇怪的是，他没有这样做。在 19 世纪 40 年代初，他写了一些笔记，表明他能够将新的二维几何与具有恒定负曲率的曲面上的几何联系起来，但他对这一观察没有做任何事情。

另一方面，仅仅存在公式并不足以使它们具有几何特征。需要给它们提供几何基础的认识论被洛巴切夫斯基在他最早的出版物中认可，但由于是俄文，它们在俄罗斯之外并没有被阅读（也没有被俄罗斯数学家所赞赏）。他在 1840 年的小册子中放弃了这种考虑，他的声誉在很大程度上取决于这一点，但在他的最后一次演讲中，即《全几何》（1856 年），他重新提出了这些观点，然而，这一版本并没有比早期版本更好。

洛巴切夫斯基首先认为几何是关于空间中的物体的科学，而空间是三维的。最原始的概念是接触，以及它的相反，将两个物体分开的切割。两个不相接触的物体是分开的，一个适当的第三个物体与它们两者都接触，测量它们之间的距离--这是一个其他情况下未定义的概念。然而，通过这个概念，他可以定义一个以给定点为中心的球体，作为所有与该给定点等距的点的集合。然后，他展示了如何定义一个平面，捕捉到平面是空间中与两个给定点等距的点的集合的直觉。在他的术语中，给定两点，一个平面是两个等半径球的公共点集，一个球以一个点为中心，另一个球以另一个点为中心。一条线可以类似地使用同一平面上的圆来定义。

随着距离是原始概念的直觉，人们对运动有了更深刻的认识，或者至少能够移动物体而不改变它们的结果。人们可以想象运输一个刚体，比如边长为单位长度的立方体，并使用它的一条边来标记长度。我们将在后面看到，这个过程中固有的可能性引发了 19 世纪末勃兰特·罗素和亨利·庞加莱之间的因果关系辩论。

新几何对欧几里得几何提出了激进的挑战，因为它否定了传统几何学对确定性的最佳主张，即它是唯一一个讨论几何学的逻辑系统。它还利用了专家之间已知的直线和最短路径概念之间的紧张关系。但在其他方面，它是传统的。它没有为直线或距离等熟悉概念提供新的定义，它在角度上与欧几里得几何学一致，它只是基于直线的远距离行为差异提供了平行线的不同行为。它的支持者并没有得出怀疑的结论。波尔雅伊和罗巴切夫斯基并没有说：“看，这里有两种逻辑上但不兼容的几何学，所以我们永远无法知道什么是真实的。”相反，他们抱有希望，认为实验和观察会做出决定。如果天文观测支持新几何学，人们将不得不付出的认识论代价在某种意义上将是微不足道的：必须说直线毕竟具有意想不到的特性，但只有在非常长的距离下才能检测到。当然，那时许多几何学定理将不得不重新制定，它们熟悉的欧几里得对应物将只出现为非常好的近似值。但这与相对论出现后牛顿力学所处的情况大致相似。

5. 黎曼几何

更为重大的变革随着伯恩哈德·黎曼对高斯微分几何的巨大拓展而来。确切地说，他找到了一种从非常一般的概念开始定义几何的方法，并逐渐（通过越来越狭窄的假设）导致已知的度量几何。冒昧地说，可以认为黎曼的“概念”工作风格是一种原始结构主义形式。他所做的是：首先，他引入了 n 维流形的一般结构，然后在流形中定义度量（通过微分几何、线元素和高斯曲率的手段）。有了这一切，欧几里得几何和非欧几里得几何就会作为三维流形的特殊情况出现，是黎曼流形的一般结构的具体形式。而在黎曼流形的一般框架内，将这些几何学区分出来的“假设”是刚体可以自由移动而不变形的物理假设。

一些认识论问题已经在高斯的工作（1828 年）中提出，因此我们首先转向它。欧拉很久以前就表明，在（光滑）曲面上的每一点 P 处，存在两个所谓的主曲率，即通过 P 点的线的最大曲率和最小曲率。这些曲率 κ1 和 κ2 出现在彼此垂直的平面截面中，使我们能够研究 P 点的整个邻域的形状。现在，高斯的深刻思想（令人惊讶的是，他在从事测量学和制图工作时发现了这一点）是，曲面的一些性质可以在不考虑环境空间的情况下研究。其中一个关键性质是曲面的乘积 κ1κ2，称为曲面（在一点处的）高斯曲率。因此，他运用微分分析的方法，阐述了所谓的曲面的内在几何。

高斯在表面内部使用坐标系，并考虑了表面 S 上点之间的距离，沿着完全包含在 S 中的线。现在，一些表面 S1、S2 可以通过弯曲（而不是拉伸）从彼此获得；更正式地表达，从 S1 到 S2 存在一个等距映射，这意味着 S1 上的点被分配到 S2 上的点，使得 S1 内部的距离与 S2 中相应点的距离相同。（例如，一个平面可以被弯曲成圆柱体；您可以用一张纸来说服自己。）高斯做出了一个重要发现，即一个表面的高斯曲率是一个固有属性，在等距映射下保持不变。他对这一结果非常高兴，称之为 theorema egregium，他的“杰出定理”：如果两个表面 S1、S2 是等距的，则相应点具有相同的高斯曲率。

一个表面在某一点的高斯曲率是固有的事实意味着它完全由表面上的测量确定，并不涉及第三维度或包含表面的环境空间的问题。高斯曲率的性质不取决于表面在空间中的位置，而仅取决于其度量的固有属性。也就是说，即使等距弯曲表面（而不是破坏、拉伸或折叠它），曲面的重要性质仍然保持不变。其中一个保持不变的事物是曲面上的测地线，即最短距离线（完全位于曲面上）。在圆柱体的情况下，测地线是垂直线、水平线（圆）和围绕其的螺旋线 — 这些线都来自于平面上的直线，将其“卷起”形成圆柱体。

给定一个度量，可以找到相邻点之间距离 ds 的微分公式（在任何地方都是相同的），从而可以找到曲率。例如，如果距离公式是球面在平面上的映射，那么曲率将被发现为球体半径的倒数的平方 1/R2。平面具有与圆柱体相同的高斯曲率，或者与接近圆锥体的东西也相同（可以从圆柱体形成，而不破坏、拉伸或折叠）；它们在局部等度量；尽管曲线，圆柱体在高斯技术意义上具有零曲率，就像平面一样，这就是为什么可以从旋转滚筒上打印。高斯研究了何时可以将一个表面映射到另一个表面，使得距离不会改变，表明这种情况发生的一个必要条件是相应点的曲率相同。这也意味着可以在所有这些表面上构造相同的图形；在两点之间的最短长度的最小线或曲线（测地线）在一个表面上对应于其他表面上的线，因此角度、面积等将是相同的。高斯找到了一种更深入地研究表面几何的方法，这催生了现代微分几何学。

并不是立即意识到高斯的方法使数学家能够将表面定义为具有特定度量的平面区域，这些平面区域不能从欧几里德三维空间中的表面获得。如果将表面定义为从一块 R2 到 R3 的地图的图像，那么它当然在 R3 中。但是，如果将表面定义为具有特定度量的 R2 区域，那么可能没有与之对应的 R3 中的表面。第一个意识到这一点的人似乎是黎曼，他还将这个想法扩展到任意维数。

5.1 黎曼的泛化

黎曼的思想既深刻又天真，正因为如此，这些思想很难准确表述，但我们可以满足于最初的天真。他假设给定了一个空间（他称之为“流形”），在这个空间中，至少可以在任意初始点附近的所有点上施加坐标系，如果需要 n 个数字来指定一个点的位置，他说这个空间是 n 维的。我们可以将这个过程看作是将空间中至少靠近初始点的那部分映射到 Rn。黎曼非常清楚局部和全局确定之间的差异，这成为他新思想的关键之一：相同的局部条件与许多不同的全局配置是兼容的。

然后，他假设有一种方法可以通过将 ds 的公式从 2 推广到 n 个变量来无限地说出距离是多少。（他甚至允许使用完全不同的公式，但我们不会描述他理论的这部分，这部分理论多年来一直处于休眠状态）。接下来，他将曲率的内在属性推广到更高的维度；基本上，n 维对象有许多二维表面，高斯理论适用于这些表面，因此可以从通过该点的二维表面考虑得出在该点处的 n 维对象的曲率概念。

空间具有与坐标系无关的属性。如果两个不同的坐标系给出不同的坐标，但以保持点之间距离的方式，那么任何一个系统都会给出相同的几何，我们发现这两个系统在每个点的曲率、距离等方面达成一致。然而，黎曼提出的微分几何框架非常灵活和通用。他发现这不仅允许对欧几里得几何进行替代，甚至允许存在广义曲率从点到点变化的几何。最初，这种观点鲜有人采纳，大多数作者关注的是常曲率的几何。正如黎曼所解释的，他的框架允许存在负曲率的几何（这是洛巴切夫斯基-博劳伊情形），正曲率的几何（一种新的类型，通常称为椭圆几何，或在狭义上称为‘黎曼几何’），以及零曲率的几何（欧几里得几何）。

由于 ds 的公式只受到少数限制，没有理由认为黎曼几何是相对于先前的欧几里得几何定义的。没有主张 n 维黎曼几何是通过从某个欧几里得 m 维空间的 n 维子集进行映射得到的。这意味着几何可以在不参考任何欧几里得几何的情况下进行。欧几里得几何不再是任何其他几何研究的认识论先决条件。欧几里得的统治在理论上已经结束。

给定流形上的距离概念，可以谈论测地线——测地线是两点之间最短长度的曲线。可以提出存在性和唯一性问题，并经常得到解答。1917 年图利奥·莱维-奇维塔和 1918 年赫尔曼·魏尔分别取得了重大进展，受爱因斯坦的广义相对论启发，他们展示了如何在曲面上定义平行性（关于莱维-奇维塔的贡献，请参见 Bottazzini 1999，关于魏尔的贡献，请参见 Scholz 2001）。粗略地说，在魏尔的论述中（1918 年），不同点处的两个向量如果属于沿着曲线的向量族，并且沿曲线不变化，则这两个向量是平行的。这被称为建立不同点之间联系的一种方式，该理论被称为流形上的连接理论。人们可以询问，曲线上的切向量族是否由与起始点处切向量平行的向量组成：如果是这样，那么该曲线是被认为是端点之间最直的曲线的自然候选，因为切向量沿曲线不会加速。在现代微分几何中，测地线是通过连接来定义的。

5.2 黎曼和贝尔特拉米以及严谨的非欧几何学

黎曼的“关于假设…”（1854 年讲授，1868 年遗稿出版）和贝尔特拉米的“解释尝试”（1868 年）提供了二维非欧几里得几何的不同但等价描述。贝尔特拉米运用微分几何来证明洛巴切夫斯基-博劳伊的双曲几何。通过研究伪球面及其如何映射到平面（使其测地线成为直线），贝尔特拉米意识到单位圆盘可以被视为一个“无限平面”。以前无法找到一个在 R3 中表现得像双曲平面的曲面（最接近但是部分的是伪球面）；现在可以将非欧几里得几何实现为具有新度量的圆盘内部的几何。圆盘是整个“平面”，其周长是无穷远处的一条线，圆盘内的线段是“直线”，可以定义一个距离函数 d（P，Q），使洛巴切夫斯基的结果合理化。从逻辑角度看，这是一个巨大的进步，因为非欧几里得几何的一致性现在得到证明。

黎曼的描述是在 n 维中陈述的，与庞加莱在 1880 年和 1881 年的许多短文中使用的描述一致，但只在他的重要论文（庞加莱 1882 年）中明确描述。在这种所谓的共形模型中，平面再次是一个圆盘，测地线是垂直于圆盘边界的圆弧，角度是真实的（欧几里得）。黎曼和贝尔特拉米的圆盘迅速说服数学家，博劳伊和洛巴切夫斯基的非欧几里得几何毕竟是有严格数学意义的。庞加莱十年后的贡献是使非欧几里得几何成为数学中其他领域的自然几何，主要是黎曼曲面这一不断发展且重要的主题。

对任何数学的严格描述的重要性不容忽视，但非欧几里得几何和黎曼几何的接受超越了一致形式主义的呈现。这标志着接受了几何是任何可以用黎曼形式主义描述的观点：人们有一个非常普遍的框架，允许出现令人眼花缭乱的具体规范。因此，这打开了一个观点，即存在许多几何，每个几何必须是一致的，而且没有一个需要参考欧几里得空间，尽管这可能是直观的。（在克莱因的工作背景下，类似结果的平行发展也发生了。）讨论中的“空间”的维数和精确的度量可以随意修改（相应地，该“空间”的拓扑特性也将被类似地处理）。之所以存在某种特定类型的二维几何，是因为可以找到合适的度量；因为有一种“地图”描述它，而不是因为在 R3 中找到了具有正确属性的表面。事实上，后来证明（希尔伯特 1901 年）在 R3 中不存在与非欧几里得二维空间完全对应的表面。

黎曼清楚地认识到，以这种几何学方式进行的认识论意义重大。他的讲座是数学、哲学和物理的幸福结合（Ferreirós 2006）。数学家不再需要从他们对物理空间的信念中抽象出一些基本直觉，比如直线或圆的性质，然后试图基于这些直觉的某种公理表达来建立真正的几何学。相反，思维的方向应该朝着相反的方向发展：数学家可以自由地考虑无限多种几何。黎曼推测，关于几何学“在无限小”中的假设可能与物理力有关。科学家现在可以自由地研究哪种几何对于解释经验事实最好。他设想放弃牛顿对现象的看法，“通过在这种看法中进行因无法解释的事实所需的连续变化。”他的纯粹概念（数学）研究将有助于“防止这项工作受到过于狭隘观点的阻碍，并防止对事物相互依存的认识进展受到传统偏见的限制。”在这方面，很快就显示出在非欧几里得几何的背景下进行理论力学是可能的。

6. 新几何的可理解性

射影几何的认识论意义在于它对古典几何的性质和严谨性的影响。非欧几里得几何的认识论意义更多地在于它可能以任何欧几里得几何可能为真的方式。因此，我们转向 19 世纪对几何可理解性的研究。

但首先要警告一句话。非欧几里得几何学事实上是一致的（相对于欧几里得几何学或实分析），并不自动导致康德观点的无效性。康德的观点与非欧几里得几何的逻辑替代品是兼容的；毕竟，他讨论的是空间作为直觉，而不是单纯的概念可能性；他不是莱布尼茨主义者，并否认几何是分析的。如果有的话，康德主义者会期望替代几何仅仅是一种智力可能性，并且我们无法直观地可视化它们。这种立场的复杂阐述是弗雷格在与希尔伯特的著名通信中的，见《弗雷格-希尔伯特争论》条目。但事实上，大多数相关作者选择了不同的思路，并放弃了康德的立场。

6.1 赫尔巴特的哲学与黎曼

约翰·弗里德里希·赫尔巴特于 1808 年成为康德在康斯堡的继任者，直到 1833 年去了哥廷根，但他并不是正统的康德主义者。他的主要作品是 1824-1825 年的两卷本《作为基于经验、形而上学和数学的科学的心理学》，旨在建立心理学作为一门科学，基于经验和形而上学。他利用一些相当奇特的数学努力展示记忆是如何工作的，以及某些类型的重复刺激如何导致大脑学会感知，例如线条、平行线、相交线和表面。在赫尔巴特看来，没有先天观念；视觉空间是通过经验构建的，最重要的是通过推断空间过程中的连续性的概念行为。概念是由一簇记忆生成的，逻辑独立于它们的起源。这是赫尔巴特避免将逻辑基础建立在心理学上的方式。

赫尔巴特的思想影响了黎曼（见 Scholz 1982）。黎曼认为自然科学是通过使用精确概念来理解自然的尝试，这些概念应根据新经验进行修改。他预期最成功的概念将是相当抽象的，并且赞同赫尔巴特的观点，即它们不是以康德式的先验方式存在的。正是这些概念起源于观察或实验，赋予了它们在科学中的重要性，但黎曼允许不断进行验证和修订的过程。在他为自己写的笔记中（见 Riemann Werke 1990: 539），黎曼表示在心理学和认识论方面他赞同赫尔巴特，但在本体论或关于空间、时间和运动概念构建方面不赞同。这种分歧掩盖了更深层次的共鸣。赫尔巴特主张一个由因果联系但离散的“单子”组成的三维真实世界（带有窗户，用莱布尼茨的说法），而心灵通过提供连续体概念来处理这些单子，从而将其离散经验转化为可能性的光谱。黎曼认为没有理由将注意力限制在三维空间上，并将连续可能性光谱转移到他正在创造的非常一般的几何概念中。

这减少了赫尔巴特强调的经验的作用。黎曼正在使赫尔巴特所强调的自然发生的事情变得有意识：如果智力反思生成我们用来构建世界的概念，作为对我们经验的反应，那么，黎曼说，让数学生成更精确和灵活的概念，以便进行科学研究。在讲座结束时，他探讨了应用新几何学的可能性，特别是在原子水平上，并认为他的任务是扩大理论选择范围，消除偏见。

6.2 黑姆霍兹和庞加莱

黎曼的思想反过来影响了赫尔曼·冯·赫尔姆霍兹，后者发表了几篇有影响力的论文，探讨了我们对几何的认识是如何可能的。在他的《关于几何的事实基础》（1866 年）中，他试图展示只有有限数量的黎曼几何可以构建，其中存在刚体运动的概念。他认为，正是我们对刚体的经验教会了我们空间的样子，特别是距离是什么样子。他进一步声称，一个允许刚体运动的二维空间要么是欧几里得平面，要么是球体。贝尔特拉米写信给他指出，他忽略了非欧几里得几何的可能性，赫尔姆霍兹不仅同意了，而且在另一篇论文（1868 年）中解释了我们如何可能在直觉层面上对这种几何有认识（从而驳斥康德的追随者）。许多康德主义者拒绝被说服，但这些思想（以及黎曼的思想）很可能影响了亨利·庞加莱。见格雷 2012 年。

庞加莱一开始写他关于几何的通俗哲学论文时，就明确表示他最关心的是我们如何能够依赖任何几何。数学的进步是他反思的基础，但关键问题是几何基础的认识论地位。在这一点上，他无法同意康德，也无法同意赫尔姆霍兹，也无法同意黎曼。他充分了解黎曼几何的广泛范围，以及赫尔姆霍兹的推测的结论，后来在索弗斯·李的工作中得到严格证明，即只有极少数几何学允许刚体运动。他在他的《几何基础》（1898 年）中关注的是认识论。

庞加莱认为，思维很快意识到它可以弥补它看到的某种运动。如果一个玻璃杯朝你走来，你可以向后走，使得玻璃杯看起来没有改变。如果它倾斜或旋转，你也可以做同样的事情。我们掌握了一些这些弥补运动，并意识到我们可以将一个弥补运动跟随另一个，结果将是第三个弥补运动。基于这一点，我们开始区分位移（我们身体的位移和物体的位移）与其他类型的变化，即我们无法产生弥补运动的变化，比如玻璃杯中的酒涡流时的运动，或者颜色的变化。最重要的是，这些位移形成了一个数学结构，称为群。通过这种方式，思维开始形成刚体运动的概念，并且我们基于运动群建立了对空间的清晰概念理解。

然后，庞加莱考虑了弥补运动群可能是哪种群，并发现，正如李氏在他研究黎曼-亥姆霍兹空间问题时证明的那样，这样的群是严格有限的。其中最重要的是来自欧几里得几何和非欧几里得几何的群，作为抽象群它们是不同的。但哪一个是正确的呢？

庞加莱具有争议的观点是，人们永远无法知道，或者更好地说，没有一个简单地“真实”。人类，通过进化和作为婴儿的经验，选择了欧几里得群，因此我们说空间是欧几里得的。我们的身体非常刚性，我们的运动是刚性运动，这是决定性的。另一种物种，根据不同的经验，可能选择了非欧几里得群，因此说空间是非欧几里得的。如果我们遇到这样的物种，没有实验可以决定这个问题。

当然，人们可以进行实验，使用大三角形并测量角度，就像洛巴切夫斯基、黎曼等人所建议的那样。为了最大化维度，假设三角形的边由光线构成。现在，假设在实验误差范围内，实验的结果是三角形的角和小于 π，这个结果符合非欧几里得几何，但与欧几里得几何不一致。庞加莱说，人们唯一能得出的结论是，要么光线沿直线传播而空间是非欧几里得的，要么空间是欧几里得的而光线沿曲线传播。

我们可以这样总结他的论点。我们对外部世界几何的认识建立在我们基本的物理经验之上，这些经验导致我们处理一组刚体运动的心智能力。这些群体的存储非常有限，但没有实验能够在它们之间做出决定。我们能做的就是做出选择，而我们将选择最简单的那个。恰巧，那就是欧几里得群，因为，庞加莱说，我们发现它的一个特性与非欧几里得群（对应于平行公设）不同，特别简单。但人类物种已经做出了选择，这个选择现在已经内在于人类心智中。由于知识的获取方式以及存在多个适当的群体，人们永远无法知道空间是欧几里得的还是非欧几里得的，只能知道我们将其构建为欧几里得的。

这种对康德关于“物自体”（即事物本身）不可知性以及我们被限制在表象世界中的观点的转变，对作为一名实践物理学家的庞加莱来说是顺理成章的。尽管他在很大程度上赞同黎曼，黎曼希望经验事实将指导几何的选择，而庞加莱却无法同意。刚才解释的观点是庞加莱的几何传统主义哲学。但需要做出重要的区分。请注意，这不像语言的约定性，而更像社会或法律约定（必须考虑一些基本事实，参见 De Paz 2018）。情况远非完全任意，因为物理经验起着决定性作用并限制了选择；但最终也没有绝对的决定，最终必须做出选择，简单性最终占上风。

他还提倡在科学的其他领域中采取传统主义，认为我们所谓的自然法则（例如牛顿的法则，惯性原理等）既不是开放进行修订的经验事实，也不是绝对真理，而是已经被确立的结果，已经被提升为现代科学理论中的公理。它们可以受到挑战，但只有在整个科学理论受到挑战时才能挑战，而不是在出现一些尴尬的观察时轻率地挑战。面对一个似乎不遵守牛顿法则的卫星，庞加莱说，应该考虑到一些尚未被注意到的力量在起作用，而不是试图重新书写牛顿的法则。但可以提出一种新的理论，基于不同的假设，重新书写自然法则，因为这些法则不是永恒的真理——我们永远无法知道这样的事情。如果提出了一项新的法则，那么在选择新旧之间，将考虑简单性，而不仅仅是经验的契合。

这里的关键区别在于科学常规主义是在高水平上运作的。选择是有意识和理智地做出的，辩论只开放给具有相当多专业教育的人。另一方面，选择欧几里得几何是在头脑中进行的，在能够接受任何形式指导之前；没有一些几何框架，不幸的主体将无法获得任何关于外部世界的知识。

6.3 庞加莱与罗素

庞加莱的观点使他在 19 世纪 90 年代与伯特兰·罗素发生冲突，当时他正在摆脱他短暂的黑格尔阶段，进入他的康德阶段。罗素试图通过论证存在一种基本几何，即射影几何，来建立康德的先验，我们对其具有综合先验知识（参见格里芬 1991 年关于罗素和纳邦南 2000 年关于争议）。

毫无疑问，波恩加雷在数学方面的掌握更为深厚，因此在辩论中占据了优势，而罗素则以其乐于承认错误的特点，愿意让步。但是，两者之间存在一种重要的方法论差异，这种差异永远无法解决。波恩加雷的分析始于刚体及其运动，从中产生了距离的概念。相反，罗素认为，无论我们发现距离的概念是什么，我们在开始之前就知道从伦敦到巴黎的距离肯定超过一米。这一点波恩加雷在他的《几何学基础：关于罗素先生的一本书》（1899 年）中否认了。

在波恩加雷看来，我们只有通过对刚体的经验才能了解从一个点到另一个点的距离，这种知识已经变成我们的先天知识。而在罗素看来，距离应被视为一种基本直觉，如果有人认为从伦敦到巴黎的距离可能小于一米，我们就知道我们谈论的不是距离。但是波恩加雷坚持认为，我们所知道的内容应始终取决于我们如何知道它；如果没有这一点，这些主张根本不是知识主张。

通过数学例证可以阐明这种分歧。对于波恩加雷来说，谈论我们可能称之为普通几何学的内容，即我们在接受高级教育之前对空间的感知，实际上是关于我们测量事物的能力。我们可以携带一个刚体，并将其用作标尺。正是因为我们能够这样做，我们才能谈论地点之间的距离。如果您想使设置更加抽象，必须有一个空间和一个作用于空间并将空间中的点移动的群体。如果这个群体具有这样的特性，即无论空间中的区域如何移动，它永远不会被映射到自身的真子集上，那么我们就可以构建刚体并谈论距离。

对于罗素来说，一个人可以自由选择一个空间，并为每对点分配一个“距离”（在我们省略的一些简单条件下）。相对于这种距离的意义，我们可以说，当一个区域被移动时，其中的点是否保持相同的距离。我们已经对地球表面上的距离做到了这一点，而且我们可以做到这一点，无论我们是否也有一些刚体运动。用数学术语来说，罗素会对所谓的度量空间感到满意。关键不在于一个人是否可以在地球表面上施加一个度量，在这个度量中，剑桥的一个特定点与伦敦和巴黎的距离是一米，而伦敦和巴黎之间的距离只有半米——一个人可以这样做——而是一个人可以在不预设一个群的作用的情况下谈论距离。一些度量空间允许保持距离的群的作用，而另一些则不允许，但可以在不谈论群的情况下定义距离。庞加莱从未面对过这个确切的论点——度量空间是 20 世纪的一个发明——但我们知道他会说什么。他会说这是有效的数学，但完全是形式的，不能被视为真正的知识，因为它缺乏心理物理维度。我们知道这是因为这是他对希尔伯特构建的公理几何学的批评（见下文）。

庞加莱的论点也遭到意大利数学家费德里戈·恩里克斯的反对。庞加莱曾主张，看待几何常规主义论点的有效方式之一是考虑一个圆盘，其中一切都由相同材料制成，随着加热而膨胀，并且温度是圆盘中心距离的特定函数。庞加莱指定的这个函数确保了圆盘中的度量，由与圆盘相同材料制成的尺规测量，符合非欧几里得几何的度量。生活在圆盘中的生物会报告说他们的空间是非欧几里得的；我们会回答说他们的空间是欧几里得的，但受温度场的扭曲影响。显然，双方都可以维持他们的立场而不自相矛盾。

恩里克斯在他的著作《科学问题》（1906 年）中提出，这是不合理的。生物应该将几何学归因于他们的空间（实际上，是非欧几里得几何学），因为扭曲力超出了他们的控制范围。他们的测地线是内置在空间中的，他们将测地线的路径归因于“力”的运作是不合理的，因为这种“力”根本无法被他们操纵。热量，大物体的引力效应，所有这些扭曲影响都是可以被允许的，因为它们是可以改变的。如果在上述实验中声称空间是欧几里得的，但我们候选的直线是变形的，应该可以改变变形的程度。可以在远离任何大物体的地方，在空间中更空旷的地区进一步进行实验。如果不同的实验给出了稍微不同的结果，根据庞加莱对改变科学惯例的标准，应该寻找在情况中导致光线偏离直线的因素。但如果没有实验显示任何差异，恩里克斯认为，有理由得出结论，即光线沿测地线传播，空间的几何形状是非欧几里得的。

值得注意的是，到 1900 年，关于理论几何如何与实际经验相关以及几何学所提供的知识性质的观念日益复杂化，属于数学领域的一系列变化。数学的一个自主学科出现了，它越来越强调学科的形式方面，并与实际经验的世界之间提供了一种复杂而常常疏远的关系。数学中的这种现代主义转变在各个地方都有讨论（参见 Gray 2008 和那里引用的文献）。

7. 结论性的言论

这篇论文考察了几何学发展的主要分支，直到 20 世纪初期，在理论或抽象知识、经验以及对这种知识可理解性的其他分析，以及这种知识的演绎特性等方面。

在欧几里德初等几何中，直线的地位被澄清为连接其任意两点的最短曲线，以及作为始终指向同一方向的曲线。一条研究线索导致了强调直线性为基本属性的几何学（典型地，射影几何），另一条研究线索导致了强调最短性质的几何学。前一种方法从一开始就被视为非度量的方法，并成为形式化甚至公理化研究几何学作为演绎企业的首选领域。代价是对物理空间的描述越来越少（正如庞加莱所观察到的）。几何学的概念被根本性地扩大，但并非意在描述物理空间或经验空间。

度量学的描述导致了对欧几里德《几何原本》中一个重要模糊之处的逐步阐明：平行公设。在 19 世纪的大部分时间里，非欧几里德几何（如罗巴切夫斯基的）是作为可理解几何学的唯一替代方案，尽管普遍认为只有最微妙的实验才能希望解决这个问题。庞加莱争议的观点是没有实验能够解决这个问题，这引发了关于如何解释抽象术语以及科学理论中假设的作用的重要问题。

超越引人注目和发人深省的物理几何学思想，这种思想是对尤几里德系统的替代，后者已经存在了两千年。在高斯和尤其是黎曼的微分几何研究中，暗示了各种度量几何学的丰富多样性。最终在适当的一般设置中成功地解释了最直和最短之间的关系。也可以讨论几何学作为一套思想的体系，这套思想源于对长度、角度、形状和大小的天真想法，并以一种复杂而严谨的方式进行讨论。原先被视为不可避免的公理真理、必然真理的东西，现在变成了可以以多种方式修改的假设性假设；旧有的公理概念逐渐让位于现代概念。还可以将各种理论结构视为“空间”，无论它们是否以公理方式呈现或意图作为可理解经验的提炼。通过这种方式，可以在新颖的环境和新颖的方式中应用几何学思想。自那时以来，几何化在数学和科学中无处不在。

1900 年后，欧几里德几何学显然失去了其卓越地位。这种古老的系统失去了确定性，出现了更好的形式化、公理化系统，比如希尔伯特和皮亚诺学派中的一些数学家提出的系统。有更基础的丰富系统，使用传统几何学图形的性质更少（如射影几何的许多版本）。还有许多更自然的起点和更深入的理论的度量几何学。

因此，关于任何类型的理论几何与我们周围空间的关系的想法变得更加复杂。从纯数学的角度来看，情况是多元的。几何的真理不再是理所当然的，众所周知，康德的观点通常被抛弃。选择物理几何在某种程度上已成为一个经验问题 —— 如果我们假设庞加莱是错误的。关于几何可理解性的哲学观念也变得更加深刻。也许从一般科学的角度来看，人们应该考虑一种多元化的观点。

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Other Internet Resources

Dynamic version of Euclid’s Elements, by D.E. Joyce, Clark University.
Projective geometry in Geogebra
NonEuclid: Interactive Javascript Software for Creating Straightedge and Collapsible Compass Constructions in the Poincaré Disk Model of Hyperbolic Geometry, by Joel Castellanos, Joe Dan Austin, Ervan Darnell.
English translation of Gauss (1828), at the Internet Archive.

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