说谎者悖论 liar paradox (Jc Beall, Michael Glanzberg, and David Ripley)

首次发表于 2011 年 1 月 20 日星期四；实质性修订于 2016 年 12 月 12 日星期一

这篇文章中的第一句话是谎言。自古以来，人们就对这种说法感到奇怪。要理解其中的原因，需要记住所有的谎言都是不真实的。第一句话是真的吗？如果是，那么它就是谎言，因此不是真的。相反，假设它不是真的。我们（即作者）已经说过了，通常说话是希望被人相信的。当说一些不真实的话时，就是在说谎。但是，根据这句话的意思，它毕竟是真的！

在哲学史上，像这篇文章的第一句话一样的句子存在一种谜题已经被频繁地注意到。它在古代就被讨论过，尤其是由梅加拉人讨论过，但亚里士多德和西塞罗也提到过。作为一个无解问题之一，它成为中世纪逻辑学家（如布里丹）广泛研究的对象。最近，对这个问题的研究已经成为现代数理逻辑发展的重要组成部分，并且已经成为一个独立的广泛研究课题。这个悖论有时被称为“埃皮门尼德斯悖论”，因为传统认为像这篇文章的第一句话是由克里特的埃皮门尼德斯说的，他据说说过克里特人总是说谎。而一些克里特人说过这样的话，甚至出现在《新约圣经》中。

说谎是一个复杂的问题，但是这篇文章中第一句话的困惑与意图、社会规范或其他类似因素并没有本质上的联系。相反，它似乎与真理有关，或者至少与真理相关的某种语义概念有关。这个谜题通常被称为“说谎者悖论”，尽管这实际上是指与我们这种令人困惑的句子相关的一类悖论。这个家族被恰当地称为悖论之一，因为它们似乎导致了不连贯的结论，比如：“一切都是真的”。事实上，说谎者似乎让我们在逻辑的基础上，加上一些非常明显的原则（有时被视为逻辑原则）得出这样的结论。因此，我们面临着一个相当令人惊讶的情况，即仅仅接近或类似逻辑就会导致不连贯。这可能是最严重的悖论之一，解决它一直是逻辑学的重要任务，几乎与逻辑学的存在一样长久。

在这篇文章中，我们将回顾说谎者悖论家族的重要成员，以及关于如何解决这些悖论的一些重要思想。过去几千年产生了大量的提议，我们将无法检查所有提议；相反，我们将重点关注一些在最近的讨论中被证明是重要的提议。

1. 悖论和更广泛的现象

1.1 简单-虚假的说谎者

考虑一个名为“FLiar”的句子，它说自己（即说 FLiar）是假的。

FLiar：FLiar 是假的。

这似乎导致以下矛盾。如果句子“FLiar 是假的”是真的，那么根据它所说的，FLiar 是假的。但是 FLiar 就是句子“FLiar 是假的”，所以我们可以得出结论，如果 FLiar 是真的，那么 FLiar 是假的。反过来，如果 FLiar 是假的，那么句子“FLiar 是假的”是真的。同样，FLiar 就是句子“FLiar 是假的”，所以我们可以得出结论，如果 FLiar 是假的，那么 FLiar 是真的。我们已经证明了，如果且仅如果 FLiar 是真的，那么 FLiar 是假的。但是，现在，如果每个句子都是真或假的，那么 FLiar 本身要么是真的要么是假的，在这种情况下-根据我们上面的推理-它既是真的又是假的。这是一个矛盾。根据许多逻辑理论（例如，经典逻辑，直觉逻辑和许多其他逻辑），矛盾意味着平凡性，即每个句子都是真的。

一个明显的回应是否认每个句子都是真或假的，即否认双值原则。正如我们将在第 4 节中讨论的那样，这个想法的一些后代在当前对说谎者悖论的研究中仍然很重要。即便如此，一个简单的变体说谎者句子表明，这个直接的答案并不是故事的全部。

1.2 简单-不真实的说谎者

与其使用虚假，我们可以构造一个带有复杂谓词“不真实”的说谎者句子。考虑一个名为“ULiar”（代表“不真实”）的句子，它说自己不是真实的。

说谎者悖论：说谎者悖论不是真的。

对矛盾的论证类似于说谎者悖论案例。简而言之：如果说谎者悖论是真的，那么它就不是真的；如果它不是真的，那么它就是真的。但是，现在，如果每个句子都是真的或不是真的，那么说谎者悖论本身就是真的或不是真的，在这种情况下，它既是真的又不是真的。这是一个矛盾。根据许多逻辑理论，矛盾意味着平凡性。

到目前为止，我们所讨论的两种形式的说谎者悖论都依赖于一些明确的自我引用，即直接谈论自己的句子。这种明确的自我引用是可以避免的，正如我们接下来要介绍的另一类说谎者悖论所示。

1.3 说谎者悖论

考虑一段非常简洁（即每句只有一句话）的兄弟姐妹 Max 和 Agnes 之间的对话。

Max：Agnes 的说法是真的。
Agnes:Max 的说法不是真的。

如果且仅当 Agnes 所说的是真的时，Max 所说的才是真的。但是 Agnes 所说的（即“Max 的说法不是真的”）只有在 Max 所说的不是真的时才是真的。因此，如果 Max 所说的是真的，那么 Max 所说的就不是真的。但是，现在，如果 Max 所说的是真的或不是真的，那么它既是真的又不是真的。而这，就像在说谎者悖论和随附性悖论中一样，是一个矛盾，根据许多逻辑理论，这是荒谬的。

说谎者悖论也可以使用更复杂的句子结构来形成，而不仅仅是复杂的引用方式。其中一个重要的悖论涉及布尔复合。

1.4 布尔复合物

布尔复合物可以以多种方式进入说谎者句子。其中一种相对简单的方式如下所示。考虑以下命名为“DLiar”（代表“析取”）的句子。

DLiar:要么 DLiar 不是真的，要么 1=0。

首先，观察到如果 DLiar 不为真，则它必须为真。如果 DLiar 不为真，那么根据我们上面看到的类似推理，我们有 DLiar 的左分支为真。但是，如果一个析取式的其中一个分支为真，则该析取式为真，因此 DLiar 为真。因此，如果 DLiar 不为真，则它既为真又不为真，我们就有了一个矛盾。因此，根据反证法，它必须为真；因此它的其中一个分支必须为真。如果是第一个分支，我们就有了一个矛盾，所以它必须是第二个分支；我们可以得出 1=0 的结论。因此，我们已经证明了 1=0。此外，句子“1=0”在上述推理中没有起到任何实际作用。我们可以用任何其他句子替换它，以得到该句子的证明。

我们暂停一下提到 DLiar，因为它与另一个重要的悖论相关：Curry 的悖论，它涉及到条件句，只说如果它们（条件句本身）为真，那么某种荒谬也是如此（例如，“如果这个句子为真，则 1=0”或“如果这个句子为真，则一切都为真”等等）。至少在条件句是物质条件句的语言中，即 A⊃B 等价于 ¬A∨B 的情况下，DLiar 等价于 Curry 句子“DLiar 为真 ⊃1=0”。尽管这可能在说谎者悖论和 Curry 的悖论之间建立了一些关系，但我们暂停一下注意一个重要的区别。因为 Curry 悖论在条件句不仅仅是物质条件句（或其某种模态化变体）的情况下最重要。在这种情况下，Curry 悖论并没有像 DLiar 那样明显地带有否定。有关更多信息，请参阅 Curry 悖论的条目。

1.5 无限序列

关于说谎者悖论是否真正需要某种循环性的问题一直是广泛辩论的主题。说谎者循环（例如 Max-Agnes 对话）表明明确的自我引用并非必要，但很明显，这些循环本身涉及循环引用。Yablo（1993b）认为，一种更复杂的多句悖论产生了一种没有循环性的说谎者。

Yablo 的悖论依赖于一个无限序列的命题 A0，A1，A2，…，其中每个 Ai 都说所有“更大”的 Ak（即 k>i）都是不真实的。（换句话说，每个命题都说其余的命题都是不真实的。）由于我们有一个无限序列，这个版本的说谎者悖论似乎避免了前面例子中明显的循环性；然而，矛盾仍然似乎出现了。如果 A0 是真的，那么所有“更大”的 Ak 都是不真实的，特别是 A1 是不真实的。但是，然后，至少有一个 k>1 的真实的 Ak，这与 A0 相矛盾。相反，如果 A0 是不真实的，那么至少有一个大于 A0 的真实的 Ak。让 Am 是这样一个（即大于 A0 的真实命题），我们有 Am+1 是不真实的，这意味着有一些大于 Am+1 的真实命题。但这与 Am 相矛盾。因此，我们得出结论，如果 A0（无限序列中的第一个命题）是真实的或不真实的，那么它既是真实的又是不真实的。而且，与其他情况一样，这是一个矛盾。

Yablo 的悖论是否真正避免了自我引用是一个备受争议的问题。例如，参见 Barrio（2012），Beall（2001），Cook（2006, 2014），Ojea（2012），Picollo（2012），Priest（1997），Sorensen（1998）和 Teijeiro（2012）。

2. 基本成分

我们已经看到了一种与说谎者悖论相伴的特征推理。我们还看到了我们所有示例说谎者悖论中的一些共同结构，例如真理谓词的存在以及类似否定的东西。我们在这里暂停讨论这些悖论的成分，重点是基本的说谎者悖论。到底是什么造成了说谎者悖论，以及我们刚刚调查的谜题中哪一个是“基本的”，这是一个有争议的问题；解决说谎者悖论的不同方法在这些问题上有不同的看法。因此，我们的目标仅仅是阐明不同说谎者悖论之间的一些共同主题，而不是对悖论的根源提供完整的诊断。

我们强调说谎者悖论的三个方面：真理谓词的作用，需要的关于真理的推理原则的种类，以及在给定这些资源的情况下如何推导出悖论。

2.1 真理谓词

构建一个说谎者的第一个要素是一个真理谓词，我们在这里将其写作 Tr。我们遵循逻辑中的通常习惯，将其视为句子的谓词。然而，特别是当我们考虑一些解决说谎者悖论的方法时，应该记住这种处理方式更多地是为了方便阐述而不是对真理承担者的认真承诺。

我们假设除了真理谓词之外，还有适当的句子名称。对于给定的句子 A，假设 ┌A┐ 是它的一个名称。将真理谓词应用于 A 的谓词形式看起来像是 Tr(┌A┐)。

我们将说，谓词 Tr(x)只有在对于语言 L 的每个句子 A，Tr(┌A┐)都是良构的时候，它才是语言 L 的真理谓词。我们通常期望 Tr 在给定语言的句子上遵守一些规则。现在我们转向这些规则。[3]

2.2 真理原则

这一传统可以追溯到塔斯基（1935 年），根据这一传统，真理谓词 Tr 的行为可以用以下双条件式来描述。

Tr(┌A┐)↔A.

实际上，塔斯基在这里将双条件符号解释为经典逻辑的物质双条件符号。这通常被称为 T-模式。有关 T-模式和塔斯基对真理的观点的更多信息，请参阅有关阿尔弗雷德·塔斯基和塔斯基真理定义的条目。

说谎者悖论一直是思考非经典逻辑的焦点（正如我们已经看到的，例如，拒绝双值性作为解决说谎者悖论的一部分的想法）。因此，我们应该停下来考虑如果不坚持经典逻辑，真理谓词 Tr 应该遵循哪些原则。

可能取代 T-模式的主要思想指向两种类型的“规则”（例如，在某种意义上的两种类型的“推理规则”）或特征真值谓词。如果你有一个句子 A，你可以推断出 Tr(┌A┐)，也就是说，你可以用真值谓词“捕捉”A。相反，如果你有 Tr(┌A┐)，你可以推断出 A，也就是说，你可以从真值谓词中“释放”A。在某些逻辑中，捕捉和释放最终等同于 T-模式，但将其分解开来通常是有帮助的：

捕捉 A 意味着 A⊢Tr(┌A┐)。（我们也将其写作 A⊢Tr(┌A┐)。）
释放 Tr(┌A┐)意味着 Tr(┌A┐)⊢A。（我们也将其写作 Tr(┌A┐)⊢A。）

暗示这里有一个逻辑概念，尽管具体是哪一个以及选项是什么，取决于假设了什么背景逻辑。对于我们的讨论，我们将其视为所谓的规则形式：从 A 到 B 的论证是有效的，我们通过转角符号（如上所述）记录下来。在某些逻辑设置中（例如，经典逻辑，其中某种所谓的演绎定理成立），这等价于条件的可证性，但在某些设置中，它并非如此。无论哪种方式，捕获和释放共同使 A 和 Tr(┌A┐)在逻辑上等价，即可以相互推导。在强形式中，捕获和释放可以导致 A 和 Tr(┌A┐)在外延语境中完全可互换。正如我们在第 4.1 节中进一步讨论的那样，这对于某些关于真理本质的观点非常重要。因此，⊢ 在这里被用作一种概括占位符，代表一系列不同逻辑概念，每个概念都会在某个逻辑理论中提供一些有效推理的概念。

（这里有一些逻辑上的微妙之处，我们将不追究，特别是关于如何制定规则以及哪些规则是一致的。不同规则的制定方式在逻辑强度上也有很大差异。[4] 有关如何在经典逻辑中制定一致的捕获和释放形式的更多信息，请参阅有关真理公理理论的条目。根据 Friedman 和 Sheard（1987）的术语，捕获和释放的规则形式被称为“T-Intro”和“T-Elim”，条件形式被称为“T-In”和“T-Out”。我们更喜欢更广泛的术语，因为它突出了一种在许多谓词和运算符中普遍存在的行为形式，例如，知识释放但不捕获；可能性捕获但不释放；等等；而真理在这两方面都是特殊的。）

2.3 说谎者悖论简述

说谎者悖论始于一个包含真理谓词的语言，该语言遵循某种形式的捕获和释放。我们现在更仔细地探讨这些假设导致悖论的方式。

2.3.1 存在类似于说谎者的句子

暂且不考虑类似于 Yablo 的悖论，说谎者悖论依赖于某种形式的自我引用，可以是直接的，如上述简单的说谎者，也可以是间接的，如说谎者循环。大多数自然语言都能轻松产生自我引用。本文的第一句话就是一个例子。自我引用可能是偶然的，比如有人在 101 教室的黑板上写下“101 教室上唯一的句子是不真实的”，恰好是在 101 教室里写下这句话（正如 C.帕森斯（1974）所指出的）。

在形式语言中，自我引用也非常容易出现。任何能够表达一些基本语法的语言都可以通过所谓的对角线化（或更准确地说，任何语言与适当的语法或算术理论结合）生成自我引用的句子。[5] 一个包含真理谓词和这种基本语法的语言将具有一个句子 L，使得 L 蕴含 ¬Tr(┌L┐)且反之亦然：

L⊣⊢¬Tr(┌L┐)。

这是（复合谓词）¬Tr 的“不动点”，实际上就是我们的简单-非真实说谎者悖论。

（从技术上讲，将不动点属性放在蕴涵的术语中是最简单的，就像我们在这里所做的那样。但直观上，这个想法是 L“只是”¬Tr（┌L┐）。如果我们将 Liar 句子 L 看作是由表示句子 ¬Tr（c）的名称 c 引起的，那么我们可以认为 Liar 的存在在于等式 c=┌¬Tr（c）┐ 中得到反映。有关此方法的详细信息，请参见 Heck 2012。）

2.3.2 其他逻辑“定律”

其他常见的说谎者悖论中引人注目的成分涉及基本连接词的逻辑行为或蕴涵特征。其中一些相关原则包括：

排中律（LEM）：⊢A∨¬A。
爆炸律（EFQ）：[6] A,¬A⊢B。
析取原则（DP）：[7] 如果 A⊢C 且 B⊢C，则 A∨B⊢C。
随附：如果 A⊢B 和 A⊢C，则 A⊢B∧C。

（这并不意味着这些是常见的说谎者悖论中涉及的唯一逻辑特征，但可以说它们是最重要的显著特征之一。）

2.3.3 抽象中的说谎者悖论

鉴于前述要素，我们现在可以给出一个稍微抽象一些的悖论形式。（我们希望使用这个抽象形式来突出对悖论的不同回应。）我们假设我们有一个带有真理谓词 Tr 的语言 L，并且 L 允许足够的语法来构造一个句子 L，使得 L⊣⊢¬Tr(┌L┐)。我们还假设 L 的逻辑具有 LEM 和 EFQ，并满足 DP 和 adjunction。

一个证明我们的说谎者句子 L 暗示了矛盾的论证如下。

Tr(┌L┐)∨¬Tr(┌L┐) [LEM]
情况一：
Tr(┌L┐)
L [2a: 释放]
¬Tr(┌L┐) [2b: L 的定义]
¬Tr(┌L┐)∧Tr(┌L┐) [2a, 2c: 附加]
第二种情况:
¬Tr(┌L┐)
L [3a: L 的定义]
Tr(┌L)┐) [3b: 捕捉]
¬Tr(┌L┐)∧Tr(┌L┐) [3a, 3c: adjunction]
¬Tr(┌L┐)∧Tr(┌L┐) [1–3: DP]

这个版本的说谎者悖论是众多版本之一。稍微复杂一些，例如，可以避免捕捉或释放，而选择其他背景假设。直觉主义版本的说谎者悖论也是可行的，但我们在这里不探讨直觉主义逻辑。[8]

我们迄今为止已经表明，根据给定的要素，我们的说谎者句子 L 暗示了一个矛盾（从而形式化了 ULiar 中的推理）。从这里开始，距离彻底的荒谬只有一步之遥——如果孤立的矛盾还不够荒谬的话。我们引用 EFQ 来完成证明。（嗯，我们还假设 A∧B 蕴含 A 和 B，即简化在 L 中是有效的；但实际上这个假设并不是真正必要的。）

B [4: EFQ]

这里的 B 可以是任何你喜欢的句子（或者不喜欢的，视情况而定）！EFQ 是每个句子都可以从矛盾中推导出来的原则；它批准了从单个矛盾到逻辑的彻底琐碎的步骤。

面对这种荒谬（琐碎），我们得出结论，在前述的说谎者推理中出现了问题。问题是：是什么问题？这最终是说谎者悖论提出的问题。

3. 意义

我们现在已经看到，通过一些关于真理和逻辑的基本假设，会导致逻辑灾难。这样的结果有什么更广泛的意义？

有时候，人们争论说谎者悖论向我们展示了哲学上的一些深远之处。例如，格林（1991）认为，它表明了世界在某种意义上本质上是“不完整的”，并且不存在全知的存在。麦基（1991）和其他人则认为，说谎者悖论表明了真理概念是一个模糊的概念。格兰茨伯格（2001）认为，说谎者悖论向我们展示了语言中依赖于语境的性质的重要性，而埃克伦德（2002）认为，它向我们展示了语义能力和我们所说的语言的性质的重要性。古普塔和贝尔纳普（1993）声称，它揭示了一般定义概念的重要属性。还有其他一些教训和对这些教训的变化。

至少对我们在这里的目的来说，更紧迫的问题是说谎者悖论向我们展示了关于真理的基本原则和逻辑的内容。以怀疑的态度来看，塔斯基本人（1935，1944）似乎认为说谎者悖论表明了普通真理概念的不连贯性，并需要用一个更具科学可信度的概念来替代它。（有关塔斯基的更多信息，请参见塔斯基和塔斯基的真理定义的条目。有关塔斯基的目标和目的的更多信息，请参见赫克 1997 年。）更常见的、也许是对说谎者悖论解决方案的主导思路是，真理的基本原则比 T-模式反映的更微妙。

说谎者悖论也成为反对经典逻辑的论证的核心，因为正是经典逻辑的一些关键特征使得捕捉和释放导致了荒谬。其中值得注意的是，有关半完备逻辑（例如，克里普基 1975 年；菲尔德 2008 年）或半矛盾逻辑（例如，阿森霍 1966 年；普里斯特 1984 年，2006 年）的论证。然而，里普利（2013b）认为，在保留经典逻辑的同时，可以摆脱所讨论的特征。

在许多情况下，受到对悖论重要性更广泛观点的启发，已经有许多尝试以某种方式解决这个悖论。现在我们转向这些提出的解决方案。

4. 一些解决方案的类别

在本节中，我们简要概述了一些解决说谎者悖论的方法。我们将提出的解决方案分为几个类别，并试图解释它们背后的基本思想。在许多情况下，完整的阐述将涉及大量的技术材料，我们在这里不会详细介绍。鼓励感兴趣的读者参考我们为每个基本思想提供的参考文献。

4.1 Paracomplete and paraconsistent logics

解决说谎者悖论的主要思想之一是它向我们展示了逻辑的某种东西，事实上，是关于逻辑的一些深远的东西。主要思想是捕获和释放原则是统治真理的基本概念原则，不能被修改。相反，基本逻辑必须是非经典的，以避免我们在第 2 节中回顾的那种逻辑灾难。

激发非经典解决方案的一个重要方式是诉诸于关于真理的一种通货紧缩主义。这些观点认为类似于 T-模式的东西是真理的定义特征，并且因此不能被修改（参见，例如，Horwich 1990）。最严格地说，所谓的透明性或“透明”或“纯引述”的真理概念（例如，Field 1994, 2008; Beall 2005）认为真理的定义特性是在所有非不透明语境中 A 和 Tr(┌A┐)的可互换性。这使得捕获和释放，在适用于语言的所有句子的无限制形式中，成为真理的要求（至少在我们有 A⊢A 或更强的情况下，⊢A→A）。[9] 有关进一步讨论，请参阅有关真理的条目。

在保持捕捉和释放固定的情况下，并将其应用于所有句子而不受限制，除非逻辑是非经典的，否则会导致平凡性。非经典（透明性）真理理论有两个主要的子类别：完全和矛盾。我们概述每个理论的主要思想。

4.1.1 完全

根据对说谎者悖论的完全方法，说谎者的主要教训是 LEM 在某种意义上“失败”。换句话说：说谎者教导我们，一些句子（特别是说谎者！）在某种意义上“既不成立也不不成立”，因此既不真也不假。结果，真理的逻辑是非经典的。

这个想法或许是对于简单-虚假的说谎者悖论最自然的回应。在那里，很容易说除了真和假之外还有其他的状态，而说谎者句子 L 就具有这种状态。但这是不够的，例如对于简单-不真实的说谎者。这并没有涉及到虚假。相反，在某种程度上，在第 2.3 节中回顾的基本推理必须失败，而在随附性观点中，罪魁祸首是排中律。根据随附性方法，排中律的说谎者实例在某种意义上“失败”；这样的句子落入真和假之间的“间隙”（使用一个常见的隐喻）。

已经有许多提议使用这种非经典逻辑来解决说谎者悖论。早期的例子是范弗拉森（1968 年，1970 年）。但克里普基的工作在最近时期最具影响力，不仅适用于基于非经典逻辑的对待说谎者悖论的方法，还适用于我们将在第 4.2 节中调查的一系列其他方法。因此，我们暂停一下，至少描述一下克里普基的框架。

克里普基的理论

LEM 失败的逻辑并不难找到。在许多这样的逻辑中，有许多允许句子取真和假之外的第三个值的三值逻辑。像说谎者句子这样的句子取第三个值。最常应用的逻辑之一是强克里尼逻辑 K3。我们在这里不详细介绍 K3 的细节，只注意我们需要的 K3 的特性。（更多细节请参见多值逻辑的条目，或 Priest 2008。）首先，我们有：⊬K3A∨¬A.LEM 失败。实际上，根据 K3，没有逻辑真理（或有效句子）。（我们将在下面讨论“合适的条件”时回到这个问题。）

使用 K3 来充实一个完全理论的挑战是解释如何保持和释放类似（甚至是规则形式的）捕获，并且如果你遵循膨胀主义的观点，如何保持完全无限制的捕获和释放。理解 Kripke（1975）的重要工作（以及 Martin 和 Woodruff 1975 的相关工作）的一种方式是实现这一目标。

Kripke 从一个完全经典的语言 L0 开始，其中不包含真谓词（或更一般地说，不包含语义术语）。（回想一下，我们假设语言配备了一个估值方案。对于 L0，它是经典的。）然后，他考虑将其扩展为一个包含真谓词 Tr 的语言 L+0。谓词 Tr 被认为适用于扩展语言 L+0 的每个句子，包括原始语言 L0 的句子。因此，它是一个自我适用的真谓词（正如我们提到的膨胀主义启发的图像所要求的那样），尽管我们从一个没有真谓词的语言开始。

我们可以将 L0 视为由经典模型 M0 解释。Kripke 向我们展示了如何为扩展语言构建解释 M+0。主要创新在于将真理谓词视为部分的。它不仅具有一个扩展（一组它为真的事物），还具有一个反扩展（一组它为假的事物）。扩展和反扩展是互斥的，但它们不一定共同耗尽 M0 的领域。像 L 这样的病态句子既不属于 Tr 的扩展，也不属于反扩展。（实际上，我们也可以将基本语言 L0 解释为部分模型，但预期的应用只将部分性视为语义谓词如 Tr 才会出现的情况。）

落入 Tr 的扩展或反扩展之外的情况就像有第三个值一样，我们可以将 L+0 解释为具有 K3 估值方案的语言。以这种方式处理语言，Kripke 展示了如何为 Tr 构建一个非常合理的扩展和反扩展，通常写作 E 和 A。新扩展模型 ⟨M0,⟨E,A⟩⟩ 的重要特性是任何句子 A 和 Tr(┌A┐)的真值完全相同。只有当 Tr(┌A┐)为真时，A 才为真，为假，或者既不为真也不为假。此外，将扩展语言 L+0 解释为 K3 语言，我们对于 K3 推论有 A⊣⊢Tr(┌A┐)，正如我们所期望的那样。

Kripke 展示了如何通过归纳过程构建 E 和 A。首先，我们从 Tr 的扩展和反扩展的“近似”开始，并逐步改进，直到改进过程停止产生结果（达到“固定点”）。实际上，对于基于 K3 的解决方案，自然的做法是从空扩展和反扩展开始，并在过程的连续阶段添加真实的句子。

Kripke 的构造可以应用于许多不同的逻辑，包括其他多值逻辑，如“弱 Kleene”逻辑和超值逻辑。有关讨论，请参见 Burgess 1986 和 McGee 1991。Kripke 风格的构造涉及相当多的数学细微之处。有关更多细节的易于理解的概述，请参见 Soames 1999。有关更丰富的数学阐述，请参见 McGee 1991。

适当的条件

像 K3 这样的逻辑缺乏自然或“适当”的条件（特别是满足 A，A→B⊢B 和 ⊢A→A 的条件）。这揭示了 Kripke 对说谎者悖论的方法的局限性。语言 L+0 无法以条件形式报告真实本身的捕获和释放属性（即 T-双条件）：在这个图像中，Tr 是透明的，因此 Tr(┌A┐)和 A 是完全可互换的。在这个理论中，我们并不是对所有句子 A 都有 ¬A∨A 成立，因此对于所有 A，我们也没有 ¬Tr(┌A┐)∨A。但是在该理论中，¬Tr(┌A┐)∨A 等价于 Tr(┌A┐)→A，因为（在该理论中）→只是物质条件。因此，手头的 Kripke 构造无法享受所有 T-双条件-表达真实的基本捕获和释放特性的自然候选。

最近，向 Kripke 的框架补充合适的条件的一个重要进展是 Field（2008）的理论。Field 的理论是一个重大的进步，但足够复杂，超出了这个（非常基础的）介绍的范围。读者应该参考 Field 自己的讨论，以了解这种修改可能如何进行。参见 Field（2008），以及 Beall（2009）中的进一步讨论。

逻辑中条件句的一个重要用途是形式化受限的全称量化，表达“A 都是 B”的连接。这在最近的一些条件句和悖论的讨论中起到了关键作用；例如参见 Beall 等人（2006）；Beall（2011）；Field（2014）；以及 Ripley（2015）。

4.1.2 无矛盾

正如我们提到的，关于非经典逻辑的说谎者悖论的两种重要方法是完全与矛盾一致方法。我们在上面概述了完全一致的选择。现在我们转向矛盾一致的选择。在这里，基本思想是允许矛盾（例如，在第 2.3.3 节的推导中的第 4 步），但通过拒绝 EFQ 来改变逻辑，从而避免了第 5 步中涉及的荒谬。

像我们刚刚调查的完全一致方法一样，矛盾一致方法对于说谎者悖论也有着简单、自然的动机，这些动机源于透明性或其他适当的“极简主义”真理观，这些真理观要求完全可互换性的 A 和 Tr(┌A┐)，因此不能限制捕获和释放。但是，矛盾一致方法也在 Dummett 启发的反通货膨胀主义观点中找到了动机，该观点认真对待真理作为断言的目标的角色（参见 Dummett 1959）。事实上，Priest（2006）认为，这种（非透明性）的真理观既推动了 T-模式又推动了 LEM，并且这意味着说谎者句子 L 既为真又为假。因此，根据任何这样的矛盾真理论（根据这种理论至少有一个句子既为真又为假），唯一的选择是拒绝 EFQ。

矛盾真理论

Priest（1984，2006）一直是倡导采用矛盾一致方法解决说谎者悖论的主要声音之一。他提出了一种矛盾一致（非完全矛盾）逻辑，现在被称为 LP（矛盾逻辑），它保留了 LEM，但不保留 EFQ。[10] 它具有允许真正矛盾的独特特征。这就是 Priest 所称的真理的矛盾方法。（有关真理矛盾主义的更广泛讨论，请参见真理矛盾主义词条。）

形式上，LP 可以被看作是一种三值逻辑；但是 K3 具有真值间隙，LP 具有真值过剩。因此，LP 中的句子既可以是真的，也可以是假的。然而，正如我们在 4.1.3 节中进一步讨论的那样，如何描述间隙和过剩是一个微妙的问题。目前，我们只做一个粗略的观察，即以与 K3 同样的方式，由于具有第三个真值，可以说 K3 具有间隙，LP 相应地具有过剩。

同样，可以应用 Kripke 风格的技术来为真理谓词产生一个解释，从一个不包含真理谓词的经典语言 L0 开始。同样，将扩展和反扩展分配给 Tr。虽然 Kripke 的原始构造使扩展和反扩展不相交但不耗尽域，但在这种情况下，我们允许扩展和反扩展重叠，但假设两者共同耗尽模型的域。这实现了过剩的概念，就像早期版本实现了间隙的概念一样。然后可以使用与 Kripke 类似的技术为 Tr 构建扩展和反扩展。结果再次是一个解释，其中 A 和 Tr（┌A┐）在模型中获得相同的真值。

这种构造并非由克里普克(Kripke)本人提出，但已有多位作者进行了变体研究，包括道登(Dowden, 1984)、莱特格布(Leitgeb, 1999)、普里斯特(Priest, 1984, 2006)、维瑟(Visser, 1984)和伍德拉夫(Woodruff, 1984)。

结合了完全性和一致性

虽然我们已经确定了将 Liar Paradox 视为两种不同选择的完全性和一致性方法，但它们并不互斥。实际上，如果将其视为否定的理论（如果有人愿意），可以认为否定既不是穷尽的，也不是“爆炸性”的，即既不满足 LEM 也不满足 EFQ。像这样的方法是基于 FDE（透明）真理理论，该理论在 Dunn 1969（参见其他互联网资源）、Gupta 和 Belnap 1993、Leitgeb 1999、Visser 1984、Woodruff 1984、Yablo 1993a 以及实际上 Brady 1989 中进行了讨论。

（基于 LP 的理论和基于 K3 的理论在至少一个（标准的一阶）层面上，只是更加强化了更广泛的 FDE 逻辑。关于这类框架的一般讨论，请参见，例如，普里斯特 2008 年。）

4.1.3 表达能力和“复仇”

在经典逻辑中工作，塔斯基（1935 年）以著名的说谎者悖论得出结论，即一种语言不能定义自己的真谓词。更一般地说，他认为说谎者的教训是语言不能表达描述自身运作的全部语义概念。我们在这里调查的对于说谎者的非经典方法的主要目标之一就是避免这个结论，许多人认为这个结论过于激进。然而，这些方法在这方面取得了多大的成功仍然是一个极具争议的问题。

从某种意义上说，无论是完全并存还是矛盾并存的方法都实现了期望的结果：它们提供了包含真理谓词的语言，该谓词适用于该语言中的句子，并且具有 A 和 Tr(┌A┐)具有相同真值的特征。在这方面，它们都提供了包含自己真理谓词的语言。

在完全并存的情况下，是否足够的问题一直存在争议。完全并存观点认为说谎者句子 L 既不真也不假，这对于保持一致性至关重要。但请注意，我们上面讨论的完全并存方法无法陈述这个事实，因为它无法成立 ¬Tr(┌L┐)。如果这是真的，那么 L 将是真的，然后 Tr(┌L┐)将是真的，这将导致矛盾。

这还有一个进一步的观点。正如我们上面提到的，这表明带有真理谓词的 K3 不会陈述间隙的间隙状态，而 LP 将陈述间隙和过剩的属性。因此，正如我们提到的，间隙和过剩的状态可能很复杂。

对于复仇问题，关键问题在于半完备方法无法准确陈述其对说谎者悖论的解决方案。如何理解这一点一直存在争议。当然，克里普克构建的模型中真句集合不包括 ¬Tr(┌L┐)。因此，一些作者，如麦基（1991 年）、T.帕森斯（1984 年）和索姆斯（1999 年），实际上认为说谎者句子不真实是一个进一步的事实，超出了真谓词需要表达的范围，因此对于说谎者悖论解决方案的成功来说是无关紧要的。（实际上，麦基的观点还有另一个方面，我们在 §4.2.3 中讨论。）

但尽管如此，似乎在半完备语言中存在一个与真实性有关的重要语义事实，与真实性本身密切相关，但该语言无法表达。因此，有人认为它未能实现完全充分的真理理论。克里普克本人指出，有些语义概念无法表达，这一观点由 C.帕森斯（1974 年）提出。

解释半完备语言中缺失的内容的一种方式是引入一个新的确定性概念，使得说谎者的状态是不确定真实的。如果是这样，那么克里普克的半完备语言无法表达这种确定性的概念。一些采纳半完备思想的方法试图通过添加确定真实的概念来补充克里普克方法。麦基（1991 年）在基本的经典设置中这样做。在非经典的半完备设置中，菲尔德（2008 年）通过无限多个不同的“确定性”运算符来补充基本的半完备方法，每个运算符都是根据菲尔德的“适当条件”定义的，并给出了一个不同（更强）的“真实性”概念。（另请参阅 Beall（ed.）2008 年的一些论文。）

通常有人主张支持无矛盾方法，因为他们在“表征”说谎者的状态方面没有困扰：它们既是真的又是假的（即真且具有真的否定）。LP 理论可以陈述这一点。另一方面，一些人，如 Littmann 和 Simmons（2004）以及 S. Shapiro（2004），认为存在一个双重问题：即表征“正常”句子，即那些既不是真的也不是假的句子（有人将这个所谓的问题表述为表征仅仅是真的问题）。这是否是一个问题，我们暂且不表态。（有关讨论，请参见 Field 2008 和 Priest 2006。）

这里还涉及到所谓的“复仇悖论”。我们可以用简单的假悖论来说明这一点。假设将这个作为基准的悖论作为起点，并提出一个拒绝双值性的简单解决方案。作为回应，人们展示了简单的非真悖论，这削弱了简单解决方案。这是“复仇”的模式，其中一个悖论的解决方案被拒绝，基于的是可能被视为略微修改的悖论形式。经常提出针对完全解决方案的复仇悖论：在完全语言无法表达某些语义概念的许多点上，提供了构建复仇问题的方法。不能正确陈述简单的非真悖论的状态就是一个例子。另一个例子涉及确定性的概念。如果我们选择确定性的路径，并将说谎者句子的状态赋予不确定真的状态，那么可以通过一个句子构建一个复仇问题，该句子说它自己不是确定真的。

在类似的思路中，有人认为，不矛盾方法面临一种报复问题，因为它们必须将我们在 1.4 节中讨论的 Curry 悖论与说谎者悖论分开处理。这是一个相当困难的技术问题，因为它取决于用于制定 Curry 句子的条件语句的性质。如果该条件语句遵守分离性质，那么它不能是过剩的，因为在不矛盾的设置中，说谎者是存在的。但是，是否这是条件语句的正确方法一直存在争议。有关更多讨论，请参见 Beall（2014 年，2015 年）。

我们至少看到了一些方法（例如，McGee 1991；在某些方面，T. Parsons 1984 和 Soames 1999）拒绝了报复问题，而一些方法则通过额外的装置来解决它（例如，Field 2008）。正如我们在 §4.3 中进一步讨论的那样，像 Burge（1979）、Glanzberg（2004a）和 C. Parsons（1974）这样的语境主义观点倾向于将报复视为一个独立的问题，而不是核心的说谎者现象。有关报复及其性质的更多讨论，请参见 Beall（ed.）（2008 年）和 L. Shapiro（2006 年）中的论文。

4.2 子结构逻辑

有另一种方式可以将这个悖论视为内置于标准逻辑中的错误假设所导致的。这种方式并不认为问题与任何特定的连接词或词汇有关，而是认为问题与某些规定了相关性关系的结构规则有关。这些基于所谓的次结构逻辑的方法可以分为三个主要派别：非收缩派别、非传递派别和非反身派别。（次结构逻辑的多样性远远超出了这个简单的分类；特别是，许多次结构逻辑既不属于这些派别之一，也不属于多个派别。但这三个派别似乎最适合解决我们在这里关注的悖论。）

4.2.1 非收缩逻辑

对于悖论来说，最成熟的次结构方法是通过攻击收缩规则来解决的。收缩是一个原则，告诉我们每当 Γ,A,A⊢B 时，就有 Γ,A⊢B；也就是说，这个原则告诉我们我们可以重复使用前提，但只计算一次。回到第 2 节中给出的论证，我们可以看到在两种情况下，一个假设在达到结论时被使用了两次：假设 2a 在达到 2d 时被使用了两次，假设 3a 在达到 3d 时被使用了两次。虽然我们在呈现论证时没有特别强调这一特点，但这是非收缩方法将关注的一个方面。

响应的细节将取决于我们将写作为“∨”和“∧”的连接词的解释方式；在没有收缩的情况下，合取和析取各自有“加法”和“乘法”两种形式，而不同的非收缩观点的支持者在承认哪种形式方面存在差异。加法合取和乘法合取的区别在于：加法合取可以完成任一合取项的工作，而乘法合取可以同时完成两个合取项的工作。在存在收缩的情况下，加法合取足以代替乘法合取：它可以被用来填充第一个合取项的角色，然后再次用来填充第二个合取项的角色。收缩使得这两种用法被视为一种。然而，在没有收缩的情况下，加法合取不一定足以代替乘法合取。（在本文中未讨论的一种称为弱化的结构规则的存在下，乘法合取足以代替加法合取。）析取的情况是对称的：在存在收缩的情况下，加法析取足以代替乘法析取，但在其他情况下则不一定。

上述指出的双重使用将在这些连接词被乘法地阅读时显得最为重要：如果 2d 真的要完成 ¬Tr(┌L┐)和 Tr(┌L┐)的工作，那么它确实使用了两个 2a 的副本，一个用于每个合取式。在对 2d 和 3d 进行加法阅读时，这种看似的双重使用并不令人困扰，因为 2d 本身只需要完成其合取式之一的工作。虽然这可以是任何一个合取式，但无论是哪一个，一个 2a 的使用就足够了。在这种加法阅读中，引发问题的是 LEM 和 EFQ 原则；例如，当 ∧ 以加法方式阅读时，需要两个相同的矛盾来推出任意句子（因为必须使用两个合取式），而上述推导只产生一个矛盾。（对于 3d 和 3a 的情况也是类似的。）我们在这里不再考虑更多细节；有关这些选择和非收缩方法的更多信息，请参见 Beall 和 Murzi（2013）、Grishin（1982）、Petersen（2000）、Restall（1994）、Ripley（2015）、L. Shapiro（2011a、2015）和 Zardini（2011、2013）。（其中一些关注的是集合论悖论而不是真理论悖论，但许多问题是相似的。另请参阅关于罗素悖论的条目。）

4.2.2 非传递逻辑

另一种次结构方法是通过攻击与推论的传递性相关的各种结构规则来进行的。其中最著名的规则是割规则，它允许我们从 Γ⊢B 和 Δ,B⊢C 推出 Δ,Γ⊢C。但也值得考虑其他与传递性相关的属性，例如 Weir 2015 中所称的简单传递性，从 A⊢B 和 B⊢C 推出 A⊢C。（也就是说，简单传递性是割规则的特例，其中 Δ 为空集，Γ 是一个单元素集。）

通过与 K3 和 LP 使用相同的三值模型（我们再次引用您参考关于多值逻辑的条目以获取详细信息），可以理解一些非传递性方法。区别在于如何在这些模型上定义结果。在所有情况下，结果等同于没有反例，但对于模型成为论证的反例，可以有不同的理解。根据所采用的反例理解，完全相同的三值模型可以产生完全逻辑 K3、无矛盾逻辑 LP、有时称为 S3 或 FDRM 的完全和无矛盾逻辑，或者我们目前的主题——包含违反切割规则的两种不同逻辑，并被称为非传递性逻辑。

一种没有切割的方法在 Weir 2005、2015 中得到发展和辩护（对于天真集合论在 Weir 1998、1999 中也是如此），并在那里被称为“新古典主义”。在这种方法中，模型中的第三个值被认为既不是真也不是假，并且对于从 Γ 到 B 的论证的反例必须满足以下条件之一：使 Γ 中的每个句子为真且 B 为假，或者使 B 为假且 Γ 中除一个句子外的每个句子为真，同时使 Γ 中的剩余句子为非假。其动机是有效的论证必须保持真实，并且在某种意义上必须向后保持虚假性：如果一个有效的论证有除一个之外的所有前提为真且结论为假，则剩余的前提必须为假。这允许存在切割的反例，但不允许存在简单的传递性，并且可以保持一致性。由此产生的逻辑比经典逻辑要弱。在我们的说谎者悖论版本中，问题出现在 LEM 上：Weir 的方法允许存在排中律的反例。

在 Barrio 等人的 2015 年; Cobreros 等人的 2013 年、2015 年; Fjellstad 2016 年; 和 Ripley 的 2013a 年、2015 年中，发展和探索了一种不带切割的不同方法。在这种方法中，对于一个论证的反例模型不能将第三个值赋予任何出现在论证中的句子。也就是说，对于从 Γ 到 B 的论证的反例模型必须像经典的反例模型一样做。如果它给任何一个句子赋予第三个值，那么这个句子既不能在 Γ 中，也不能是 B。这允许存在切割的反例，而且与 Weir 的方法不同，它还允许存在简单传递性的反例。它还有一个奇特的特点，即在经典逻辑中所有有效的论证仍然有效。也就是说，所有关于切割和简单传递性的反例都涉及到对真理谓词的捕获、释放或其他特殊行为的诉求。尽管具有这种经典的风格，这些方法也是二值矛盾论者的；说谎者句子既为真又为假的主张被证明是一个定理。这样的主张被迫采取第三个值，因此对于涉及它的任何论证都不能有反例。

也许是因为切割规则在证明论中的重要性，非传递性方法通常通过证明系统而不是模型来研究。Tennant 在 1982 年指出了悖论推导中传递性属性的基本使用；Hallnäs 在 1991 年提出了一种在一般情况下拒绝切割和简单传递性的悖论方法；Hallnäs 和 Schroeder-Heister 在 1991 年和 Schroeder-Heister 在 2004 年也提出了类似的方法。Schroeder-Heister 在 1992 年对切割进行了一些有益的哲学评论，还指出了非收缩性和非传递性方法之间的一些关系。

4.2.3 非反身逻辑

对于悖论的子结构方法的第三种可能性来自于对自反性的攻击，即每个句子都蕴含着自身的原则。自反性和传递性之间存在密切的类比关系，如 Frankowski 2004; Girard et al. 1989 (p.28); 和 Ripley 2012 所解释的那样，因此这种方法最终与非传递性家族具有共同点。迄今为止，对悖论的非自反方法尚未得到充分探索，但似乎是进一步研究的有希望的方向；更多信息请参见 French (2016)和 Meadows (2014)。此外，Malinowski (1990)还有关于非自反逻辑的一般工作。

4.3 经典逻辑

现在我们已经看到了通过重新考虑基本逻辑来应对说谎者悖论的一系列选择。还有一些方法保持经典逻辑不变，并试图找到其他方式来化解这个悖论。

这些方法的一个显著特点是愿意以某种方式限制捕捉和释放的应用范围，以阻止悖论推理。这与我们在 §4.1 中讨论的真理的通涨主义观点相对立，但与另一种真理观点一致。这种观点认为真理的主要特征是报告句子的非平凡语义属性（例如，与世界中的事实相对应，或在模型中具有值）。在经典逻辑中，许多方法体现了这种特征的适当理解，允许限制形式的捕捉和释放，从而阻止悖论，而不离开经典逻辑。

我们将考虑经典逻辑中对悖论的一些重要方法，其中大多数以某种形式体现了这个观点。

4.3.1 塔斯基的语言层次结构

传统上，在经典逻辑中解决悖论的主要途径是塔斯基的语言和元语言的层次结构。塔斯基从悖论中得出结论，没有语言能够包含自己的真理谓词（在他的术语中，没有语言可以是“语义封闭的”）。

相反，塔斯基提出，语言的真理谓词只能在扩展的元语言中找到。例如，我们从一个不包含真理谓词的解释语言 L0 开始。然后我们“升级”到一个扩展语言 L1，其中包含一个真理谓词，但该谓词仅适用于 L0 的句子。在这种限制下，很容易定义一个真理谓词，它完全准确地陈述了 L0 中每个句子的真值，遵守捕获和释放，并且不产生悖论。当然，这个过程不会停止。如果我们想要描述 L1 中的真理，我们需要升级到 L2 以获得 L1 的真理谓词。依此类推，这个过程无限进行下去。在每个阶段，都会产生一个新的经典解释语言，用于表达低于它的语言的真理。（有关这种语言层次结构的数学更多信息，请参见 Halbach（1997））。

为什么在这种语言层次结构中没有悖论？因为不允许真理谓词适用于其自身语言的限制是一种句法限制。任何等价于 ¬Tr(┌L┐)的句子都不是句法上良构的。没有悖论是因为没有说谎者句子。有关塔斯基对真理的观点的更多信息，请参见有关塔斯基和塔斯基的真理定义的条目。

塔斯基的分层方法受到了许多批评。其中一个批评是，鉴于自我引用的自然发生情况，他对说谎者句子在句法上不良形式的裁定似乎过于激烈。尽管塔斯基本人更关心解决形式语言中的说谎者问题，但他的解决方案似乎不适用于许多自然发生的“真实”用法。克里普基（1975）指出了另一个重要问题。正如克里普基所指出的，任何句法固定的层级集合都会使得将各种非悖论性主张置于层级之中变得极其困难，甚至不可能。例如，如果 Jc 说一切迈克尔说的都是真的，那么这个主张必须是从比迈克尔说的一切都更高的层级上进行的。但是，如果迈克尔说的事情中包括一切 Jc 说的都是真的，那么迈克尔的主张必须在所有 Jc 的主张之上。因此，迈克尔的一些主张必须高于 Jc 的一些主张，反之亦然。这是不可能的。当一个话语可以一致地被分配一个层级时，解释它最终落在哪个层级上是困难的。是什么使得它涉及某个层级的真实而不是另一个层级？

塔斯基的分层方法面临的另一个挑战是解释为什么我们不能仅仅通过对层级进行量化来定义整个层级的真实性。因此，我们将会有一个像“某个层级上的真实”这样的谓词。如果允许使用这样的谓词，我们就会陷入悖论，因此塔斯基分层的辩护者必须说这是不可能的。解释为什么是一个对所有分层观点都存在的问题（有关进一步讨论，请参见 Glanzberg（2015））。

鉴于这些问题，许多人得出结论，塔斯基的语言和元语言的分层体系以不合理的限制性代价换取了对说谎者悖论的解决方案。

4.3.2 封闭的克里普基构造

鉴于对塔斯基理论的这些批评，一些对说谎者悖论的方法试图保留经典逻辑，但对真理谓词具有一定程度的自我适用性。根据第 2.3 节的推理，我们知道这将需要对捕获和释放进行一些限制。一个目标是确定哪些限制是有充分理由的，以及如何实施它们。

克里普基本人 Kripke 本人提出了一种方法。与其将我们在第 4.1.1 节简要回顾的克里普基装置视为非经典逻辑方法的一部分，我们可以将其视为构建自我适用 Tr 的经典解释的中间步骤。

回想一下，Kripke 的构造从一个没有真谓词的经典语言 L0 开始。它转到一个扩展语言 L+0，但与 Tarskian 元语言不同，这个语言包含一个适用于所有 L+0 的真谓词 Tr。Kripke 展示了如何构建 Tr 的部分解释，提供了一个扩展 E 和一个反扩展 A。但是，我们可以简单地考虑只使用扩展的经典模型 ⟨M0，E⟩。这是“封闭”的构造，因为通过将间隙中的所有内容都归入经典模型的假类别，扩展和反扩展之间的差距被封闭起来。

我们知道这种解释不能使捕获和释放的所有内容都为真（也不能使 A 和 Tr(┌A┐)的完全互换性为真）。但它确实使一种受限形式为真。在封闭模型中，以下内容成立：[Tr(┌A┐)∨Tr(┌¬A┐)]→[Tr(┌A┐)↔A]。这告诉我们，捕获和释放（以 T-模式的形式）适用于行为良好的句子，即满足 Tr(┌A┐)∨Tr(┌¬A┐)的句子。

在这种方法中，Liar 句子会发生什么？与三值情况一样，Liar 被解释为落在间隙中。L 既不在 E 中，也不在 A 中。因此，L 落在 Tr 被解释为行为良好的领域之外。因为情况是经典的，且 ┌L┐∉E，我们知道 ¬Tr(┌L┐)在封闭模型中为真；同样，¬Tr(┌¬L┐)也是如此。

在良好行为的句子上，我们有固定点性质，即 A 和 Tr(┌A┐)具有相同的真值，因此 L+0 的语义和它分配给 Tr 的语义完全对应。在像 L 这样的病态句子上，它们不会，事实上，也不能，以免陷入琐碎性。

关于封闭构造的一个相关点，Feferman（1984）观察到，如果我们在否定方面小心谨慎，我们可以完全不使用 A 在 Kripke 构造中。因此，可以在不涉及多值逻辑的情况下进行构造。McGee（1991）讨论了与 Kripke 的构造相关的思考方式。

4.3.3 决定性再讨论

在 §4.1.3 中，我们注意到对悖论的完全方法可能会受到基于某种不确定真理或缺乏真值的 "复仇悖论" 的威胁。相关问题在经典情况下存在。我们将依次讨论其中的几个。

基础

封闭的克里普克构造可以帮助填补在 §4.1.3 中讨论的确定性运算符的概念。它不是一个运算符，而是允许我们通过 Tr(┌A┐)∨Tr(┌¬A┐)来定义一个谓词 D(┌A┐)。D 代表着根据克里普克构造产生的模型所确定的具有真值的句子，可以说是 "确定地" 应用于这些句子。正如我们观察到的，它也适用于所有遵循 T-模式（或捕获和释放）的句子。

形式上，Kripke 构造生成的模型中 D 适用的句子是那些属于 E 或其否定属于 E 的句子（等价地属于 A）。Kripke 称之为被基于的 [11]。

人们经常注意到还有一个更非正式的确定性或基于性的概念，与 D 至少大致对应的形式概念（参见 Herzberger 1970）。这个想法是，确定的句子是具有明确定义的语义属性的句子。在我们没有这样明确定义的语义属性的情况下，我们不应该期望真值谓词报告任何良好的行为，也不应该期望捕获和释放等属性成立。Kripke 的构造在每个阶段逐渐建立 E，从没有语义术语的句子开始，并在每个阶段增加语义复杂性。在这个过程的极限处达到 E，这使我们可以将 E 视为通过明确定义的过程分配语义值的极限。因此，D 提供的形式基于概念有时被认为反映了句子具有明确定义的语义属性的程度。

基于性的概念已经产生了自己的文献，Leitgeb（2005）是其中的一个关键推动力。另请参阅 Bonnay 和 van Vugt（2015），Meadows（2013）和 Schindler（2014）。

麦基关于真理和确定真理的观点

另一个利用确定性形式的观点是由麦基（1991）提出的。麦基的理论，像我们在这里讨论的许多理论一样，非常复杂，我们无法完全涵盖。该理论有许多组成部分，包括与我们一直讨论的克里普基思想相关的数学上复杂的真理方法，以及在保持经典逻辑的情况下进行的设置。

麦基依赖于两个概念：真理和确定真理。确定真理是我们简要解释为确定性的一种形式。但是，麦基使用了一些非常复杂的逻辑技术来描述这个想法。我们将简要提及它们，供熟悉技术背景的人参考。对于麦基来说，形式上，确定真理与部分解释语言中的可证明性相对应，使用了一个扩展了经典逻辑的逻辑，该逻辑涉及到关于部分解释的事实，被称为 A-logic。因此，它与我们刚刚讨论的基础概念不同。麦基将确定性视为一个谓词，与真理谓词平等对待，而不是像某些发展中那样将其视为对句子的操作符。通过正确的确定真理概念，麦基展示了一个部分解释语言，其中包含了自己的真理谓词，可以满足关于确定真理的限制形式的捕获和释放。其中，Def 是确定性谓词，麦基展示了如何将真理和确定真理联系起来，通过展示如何验证：

Def(┌A┐) 当且仅当 Def(┌Tr(┌A┐)┐)Def(┌¬A┐) 当且仅当 Def(┌¬Tr(┌A┐)┐)

实际上，麦基（McGee）表明这些条件可以在真理和确定真理的理论中得到满足，其中真理满足适当形式的捕获和释放，并且对于真理的双值性的形式陈述也是确定真的。因此，麦基提供了一个在经典设置中具有强自适应真理和确定真理的理论。

尽管真理可能满足双值性的形式属性，但麦基的方法至关重要的是确定真理是一个开放性的概念，可以加强（在形式上，通过加强部分解释的语言）。因此，确定真理满足比真理本身更弱的捕获和释放形式。（根据麦基的说法，一些 Def(┌A┐)→A 的实例不是确定真的。）此外，麦基还暗示真理和确定真理的这种行为使真理成为一个模糊的谓词。麦基的理论是否避免了困扰其他克里普基方法的报复问题仍然有争议。

4.3.4 其他经典方法

我们现在已经调查了一些在经典逻辑中解决说谎者悖论的重要代表。还有许多其他方法，其中许多涉及一些复杂的数学。我们将暂停一下，提及其中一些更重要的方法，尽管考虑到数学的复杂性，我们只会对它们进行简单的介绍。

真理公理理论

在证明论中有一条重要的研究线索，它试图在经典逻辑中发展自我应用真理的公理化理论，包括 Cantini (1996)、Feferman (1984, 1991)、Friedman 和 Sheard (1987)、Halbach (2011) 和 Horsten (2011) 的研究。其思想是找到一种表达捕获和释放等规则并保持一致性的方法。选项包括更加关注证明论推理规则的表达方式，以及更加关注限制规则的表达方式。主要思想在关于真理的公理化理论的条目中进行了讨论，我们将留给那里的细节。

真理和归纳定义

克里普基关于真理的工作与归纳定义的一些重要思想相结合发展起来（正如我们在克里普基 1975 年的后期部分中所看到的）。这些联系在 Burgess (1986) 和 McGee (1991) 的研究中进一步探讨。我们还要提到 Aczel (1980) 的工作，它结合了关于归纳定义和 λ 演算的思想。

4.4 上下文主义方法

另一类对说谎者悖论提出的解决方案是上下文主义解决方案。这些解决方案也使用了经典逻辑，但主要基于语言哲学的一些思想来解决问题。它们认为说谎者悖论的基本教训是真理谓词在某种程度上显示出上下文依赖性，即使在语言的其他非上下文依赖片段中也是如此。它们试图解释这是如何可能的，并依赖于它来解决说谎者悖论所面临的问题。

上下文主义理论与我们已经看到的一些方法共享一个观点，即我们的说谎者句子 L 存在某种不确定性或语义上的不良形式。但是，上下文主义观点对“报复”和表达能力的缺乏问题给予了特殊的重视。

4.4.1 不稳定性和复仇

有一种思考真理谓词在说谎者句子上不良行为的方式是，说谎者句子实际上没有一个明确定义的真理承担者。为了使这一点更加生动（正如 C.帕森斯（1974）所讨论的），假设真理承担者是由上下文中的句子表达的命题，并且说谎者句子未能表达一个命题。这是一个关于说谎者为什么最终没有根据或在某种意义上不确定的解释的开端。至少，在句子未能表达命题的情况下，我们不应该期望 Tr 的行为良好。

但是，这是一个不稳定的提议。我们可以推理，如果说谎者句子未能表达一个命题，那么它就未能表达一个真命题。按照复仇悖论的方式，如果我们的说谎者句子最初说的是“这个句子不表达一个真命题”，那么我们就会得到我们的说谎者句子。而且，我们已经证明了这个句子说了一些真实的东西，因此表达了一个真命题。因此，从说谎者句子是不确定的或缺乏语义地位的假设出发，我们推断它必须具有适当的语义地位，并且确实说了一些真实的东西。我们因此陷入了悖论之中。

语境主义者并不将这视为一个新的“复仇”悖论，而是将其视为由说谎者悖论所引发的基本问题。首先，在一个句子依赖于语境的环境中，一个真实性主张的自然表述总是以表达一个真命题或者某种相关的语义谨慎应用真实性谓词的方式来表达。但更重要的是，对于语境主义者来说，说谎者背后的主要问题体现在这里展示的推理中。它涉及两个关键步骤。首先，将说谎者赋予语义上有缺陷的地位——未能表达一个命题或者在某种程度上是不确定的。其次，从第一步推断出说谎者必须是真的——因此不是不确定的或者未能表达一个命题。这两个步骤似乎都是合理推理的结果，因此在两个步骤上得出的结论都必须是真的。根据语境主义者的观点，说谎者的主要问题是解释这是如何可能的，以及第二步如何能够不悖论。（这种推理被 Glanzberg（2004c）和 C. Parsons（1974）所探讨。有关批判性讨论，请参见 Gauker（2006）。）

因此，语境主义者试图解释说谎者句子如何在这种推理过程中具有不稳定的语义地位，从有缺陷变为无缺陷。他们这样做是通过诉诸于语境在确定句子的语义地位中的作用。句子在不同的语境中可以具有不同的语义地位。因此，对于语境主义者来说，说谎者句子必须涉及到语境的某种非平凡的影响，更一般地说，涉及到真实性的断言。

4.4.2 真实性谓词的语境参数

一种著名的语境主义方法，由伯奇（1979）提倡，并由库恩斯（1992）和西蒙斯（1993）发展而来，从认为塔斯基的层次结构本身提供了一种将真谓词视为语境相关的方法。塔斯基的层次结构假设了一个真谓词的层次结构 Tri。如果 i 不仅仅是层次结构中的一个标记，而是一个真正的语境参数，那么说谎者句子实际上是语境相关的：它具有 ¬Tri(┌L┐)的形式，其中 i 由语境设置。因此，语境设置了真谓词的级别。

这个想法可以看作是对原始塔斯基方法的改进，在几个方面都有所提升。首先，一旦我们有了一个语境参数，就不再需要坚持说谎者句子从不是良构的。因此，我们可以将每个 Tri 都视为包含对其自身语言句子的某种有限适用范围。使用类似我们上面回顾过的封闭式构造的克里普基技术，可以构造出像 Tri 这样具有与克里普基自身一样多的自我适用性的谓词。（伯奇 1979 年和 C.帕森斯 1974 年的附言简要考虑了克里普基技术如何在这个设置中应用。尽管他在一个非常不同的环境中工作，但盖夫曼（1988 年，1992 年）的思想可以被理解为展示了如何发展出更加微妙的解释语境相关真谓词的方式。）

通过适当的关注，塔斯基层次结构的其他问题也可以避免。伯奇提出，Tri 中的参数 i 由一个格赖斯的语用过程设置。实际上，演讲者暗示 i 应该被设置为一个能够使他们所在的话语能够一致解释的级别（对于 Tri 来说，具有最大的一致扩展）。因此，真确实找到了自己的级别，因此克里普基关于如何确定非悖论句子的级别的反对意见可以被反驳。

这种方法赋予了“说谎者”句子是依赖于语境的实质。任何包含 Tri 的句子都是依赖于语境的，沿途继承了一个语境参数。这为理解支持语境主义的 L 的语义状态不稳定的论证提供了一种方式。在初始语境中，我们固定某个水平 i。这是解释 L 的水平。称这种解释为 Li。Li 说 ¬Tri(┌Li┐)。根据通常的“说谎者”推理，我们可以证明 Li 必然缺乏确定的语义状态，或者说未能表达一个命题。正如我们所讨论的，我们可以推断出 L 必然为真。根据当前的语境主义观点，这是 Li 在某个其他语境中为真的主张，其中存在一个更广泛的真理谓词。这相当于在某个更高的层次上为真。例如，我们可以得出结论，根据更广泛的水平 k>i，Liar 句子在水平 i 上的使用是真的。因此，Trk(┌Li┐)，其中 k>i。

这种语境主义形式因此认为，一旦我们看到 Tri 的依赖于语境的行为，我们就能很好地理解 L 的不稳定性。这可以看作是对 Tarski 观点的改进，并体现了我们在 §4.2 中回顾的一些经典逻辑技术。根据 Burge 观点在技术上的具体表述方式，它将在每个层次上具有完全的捕获和释放，或者具有与封闭的 Kripke 构造相同的限制的捕获和释放。

提出在真理谓词上设定语境参数的观点确实面临一些问题。例如，我们可以合理地问为什么我们认为真理谓词真的有一个语境参数，特别是如果我们指的是我们在自然语言中使用的真理谓词。仅仅指出这样一个参数可以避免悖论，并不能证明它存在于自然语言中。此外，无论是将真理视为以任何方式出现的层次，基于语境还是不基于语境，都存在争议。（并非所有主张在真理谓词上设定语境参数的人都同意层次结构的作用。特别是，西蒙斯（1993）提倡了一种他称之为“奇异理论”的观点，他提出这种观点避免了明显的层次结构。）最后，对于伯吉斯（Burge）借用格赖斯（Grice）机制来设定真理层次的呼吁受到了质疑。（例如，盖夫曼（Gaifman）（1992）质疑格赖斯过程在伯吉斯的论述中是否起到了实质性的作用。）

语境主义方法有许多不同的变体，每一种都使用了稍微不同的工具。对于语境主义理论，选择往往涉及到语言哲学和逻辑方面的问题。我们已经注意到了从盖夫曼（Gaifman）（1988，1992）那里发展语境主义思想的不同方式。现在我们将简要回顾几种其他的选择。

4.4.3 语境对量词域的影响

另一种语境主义方法，源自 C.帕森斯（1974）的工作，试图从更基本的组成部分中建立起说谎者句子的语境依赖性，最终建立起真理谓词的语境依赖性。关键在于将说谎者句子的语境依赖性视为量词域的语境依赖性的派生物。

当我们考虑如何解释在句子显示语境依赖性时的真实性断言时，量化进入了这个问题。在这样的环境中，直接对句子进行真实性断言是没有意义的。并非所有句子都具有适当类型的确定性语义属性来承载真实性；或者，正如我们一直在说的那样，不是所有句子都表达命题。但是，说一个句子 S 在语境 c 中是真的，就是说在 c 中有一个由 S 表达的命题 p，并且这个命题 p 是真的。

当前的语境主义提议从观察到自然语言中的量词通常具有语境依赖性的量词域开始。当我们说“每个人都在这里”时，我们并不是指全世界的每个人，而是某个语境提供的子域中的每个人。根据这种语境主义观点，语境依赖性进入了说谎者悖论中，对命题量词 ∃p 的域产生了语境效应。

特别是，在关于说谎者的语义地位的推理过程中，这个领域必须扩展。在初始上下文中，∃p 必须在一个足够小的领域范围内，以至于没有命题可以表达 L。在随后的上下文中，领域扩展以允许 L 表达一些真命题。关于这种扩展如何发生以及如何在说谎者存在的情况下建模真实谓词和表达命题的关系的提议，已经由格兰茨伯格（2001 年，2004a 年）进行了探讨，他在 C.帕森斯（1974 年）的工作基础上进行了研究。这种方法的辩护者认为，它在确定上下文依赖的位置方面比真实谓词视图的参数更好。

4.4.4 情境理论

另一种解决说谎者悖论的情境主义策略的变体，由巴尔维斯和埃切门迪（1987 年）以及格罗内韦尔德（1994 年）开发，依赖于情境理论而不是量词域来提供上下文依赖的位置。情境理论是语言哲学中高度发展的一部分，因此我们将再次只给出他们观点的粗略概述。

情境是世界可能处于的部分状态：类似于一个 F 的存在。情境通过所谓的情境类型进行分类。命题涉及将情境分类为情境类型。因此，命题{s; [σ]}告诉我们情境 s 是类型 σ 的情境。这里的情境 s 扮演了多种角色，包括提供上下文的角色。

当涉及到说谎者悖论时，巴尔维斯和埃切门迪将说谎者命题解释为相对于初始情境 s 具有形式 fs={s; [Tr,fs; 0]}。这是一个关于自身的命题 fs，它说它的虚假是在 s 中成立的事实。（在巴尔维斯和埃切门迪的符号表示中，0 表示虚假，因此情境类型是命题为假的事实成立。命题说这是在 s 中成立的事实。）从某种意义上说，这个命题无法表达。特别是，事实情况 ⟨Tr,fs; 0⟩ 不能在 s 中存在。（实际上，巴尔维斯和埃切门迪说这个命题是可表达的，但放弃了他们所称的 s 的 F-闭包。但这两个观点之间有一个核心观察，细节对我们的目的并不重要。）然后有一个不同的情境 s′=s∪{⟨Tr,fs; 0⟩}，相对于这个新情境——这个新的“上下文”——命题{s′; [Tr,fs; 0]}是真的。

这个想法显然与限定量词域视图有很多共同之处。特别是，这两种方法都试图展示在上下文中可表达的内容的域如何扩展，以解释说谎者句子的不稳定性。有关情境论和限定量词域方法之间关系的讨论，请参见 Glanzberg（2004a）。巴尔维斯和埃切门迪在 1987 年（第 11 章）讨论了他们基于情境的方法与传统方法之间的关系。有关巴尔维斯和埃切门迪框架与伯吉斯索引真值谓词框架的详细匹配，请参见 Koons（1992）。

4.4.5 关于语境主义的问题

对于语境主义者来说，提供关于在说谎者悖论中涉及的语境转变的来源和性质的全面且有充分动机的解释是一个关键挑战，尽管当然，许多语境主义者相信他们已经应对了这个挑战。支持语境主义方法的是它将复仇现象视为基本问题，因此在很大程度上不受影响其他我们考虑过的方法所面临的复仇问题的影响。但是，可能存在另一种形式的复仇可以被应用。为了保持一致性，语境主义者必须对量词（如“所有语境”）施加限制。为了实现这一点，可能必须否认存在任何绝对无限制的量词。Glanzberg（2004b，2006）认为这是正确的结论，但这是非常有争议的。关于这个问题的思考的综述，请参阅 Rayo 和 Uzquiano 2006 年的论文。

4.5 修订理论

另一种对说谎者悖论的方法是由 Gupta（1982）、Herzberger（1982）、Gupta 和 Belnap（1993）以及其他一些人提倡的修订真理理论。这种方法与我们在 §4.3 中概述的观点有一些共同之处，因为它默认采用了经典逻辑。我们还相信它与 §4.4 中讨论的观点有一定的关联，因为它重新思考了语义的一些基本方面。但它是一种独特的方法。我们将概述这种观点的一些基本原理。关于修订真理理论的基础和它与语境主义的关系的讨论，请参见 L. Shapiro（2006）。更多细节和更多参考资料，请参阅有关修订真理理论的条目。

修订真理理论从我们可以直接接受 T-模式的观点开始。事实上，Gupta 和 Belnap（1993）采纳了 Tarski（1944）的建议，即 T-模式的实例可以被视为真理的部分定义；假设所有实例一起，对于正确的语言或语言系列构成了完整的定义。与此同时，修订真理理论坚持经典逻辑。因此，我们已经知道，对于任何具有足够表达能力以产生说谎者句子的语言，我们都有说谎者悖论。

作为回应，修订真理理论提出了一种不同的方法来处理真理谓词的语义属性。根据我们在这里的做法，我们可以从一个不带真理谓词的语言 L0 的经典模型 M0 开始，并考虑当我们添加一个真理谓词 Tr 以形成扩展语言 L+0 时会发生什么。这种语言具有完全的自我应用真理谓词，因此可以生成说谎者句子 L。

要为 L+0 建立一个经典模型，我们需要对 Tr 进行扩展。让我们选择一个集合：称之为 H，用于假设 Tr 的扩展可能是什么。H 可以是 ∅，可以是 M0 的整个域，也可以是其他任何东西。它不必是对 Tr 的语义属性特别好的近似。

即使不是这样，⟨M0,H⟩ 仍然提供了一个经典模型，我们可以在其中解释 L+0。有了这个，我们实际上可以根据我们的假设 H 应用 T-模式，并观察我们得到了什么。更准确地说，我们可以让 τ(H)={┌A┐|A 在 ⟨M0,H⟩ 中为真}。τ(H)通常是关于我们语言中真实情况的更好的假设，而不是 H 可能的情况。至少，显然，如果 H 对于真实无关的片段 L0 的句子的真实性做出了愚蠢的猜测，那么这些猜测在 τ(H)中得到了纠正，τ(H)包含了在 M0 中 L0 为真的一切。因此，⟨M0,τ(H)⟩ 通常是 L+0 的一个更好的模型，而不是 ⟨M0,H⟩。

在许多方面更好。但是当涉及到像 L 这样的悖论句子时，我们看到了不同的情况。作为一个起始假设，让我们考虑 H=∅。考虑一下当我们应用 τ 时 L 的真实情况会发生什么：

n	在 ⟨M0,τn(∅)⟩ 中的 L 的真值
0	true
1	false
2	true
3	false
4	true
⋮	⋮

在这个过程中，说谎者句子永远不会稳定。我们会一直得到真值的交替。这表明，根据修订理论，真是一个循环的概念。因此，它在普通意义上没有一个范围。相反，它有一个修订范围的规则，这个规则永远不会稳定。

在修订理论的术语中，τ 是一个修订规则。它将我们从关于 Tr 解释的一个假设转移到另一个假设。我们通过这样的修订规则生成的值序列，从给定的初始假设开始，称为修订序列。关于如何正确定义无穷修订序列的问题，我们将在更详细的介绍中讨论。（参见关于真理修订理论的条目。）

悖论句子（如说谎者句子）的特征属性是它们在修订序列中是不稳定的：在序列中没有一个点使它们达到稳定的真值。这将句子分类为稳定真、稳定假和不稳定。修订理论基于这些概念以及相关概念发展了推论的概念。有关这一丰富理论的进一步阐述，请参阅有关真理修订理论的条目。

4.6 不一致观点

在 §2.3.3 中，我们看到在不受限制的捕获和释放以及经典逻辑的情况下，悖论句子（如说谎者悖论）导致矛盾。只要我们拥有 EFQ（如经典逻辑所做），这将导致平凡性。我们考虑的大多数提出的解决方案（除了修订理论）都试图以某种方式避免这个结果，要么通过限制捕获和释放，要么远离经典逻辑。但还有另一个偶尔被认为是论证的想法，即说谎者悖论仅仅表明我们所使用的语言类型（包含自己的真理谓词）是不一致的。

这不是一个容易阐述的观点。尽管塔斯基本人似乎暗示了这样的观点（特别是对于自然语言），但赫尔茨伯格（1967）认为，拥有一个不一致的语言是不可能的。

相反，埃克伦德（2002）认真对待了我们的语义直觉的想法，例如，通过无限制的捕捉和释放来表达，这些直觉确实是不一致的。埃克伦德承认，如果这些直觉仅仅源自我们对句子真值条件的掌握，那么这是没有意义的。但他提出了一种关于语义能力的替代观点，这种观点对它有了意义（与概念角色意义观点密切相关）。他建议我们从一系列讲话者倾向于接受的原则的角度来思考语义能力，这些原则是由于了解一种语言而产生的。这些原则可能是不一致的。但即使如此，它们决定了语义值。语义值将是最接近满足这些原则的任何东西-无论由于底层的不一致性而无法满足所有原则的东西。

埃克伦德因此支持了奇哈拉（1979）提出的一个观点。奇哈拉的主要目标是提供他所称之为悖论的诊断，这应该解释为什么悖论会出现以及为什么它看起来令人信服。但在此过程中，他暗示了悖论的源头是我们接受 T-模式（他暗示是通过约定），尽管它是不一致的。

Patterson（2007，2009）辩护了一个相关但不同的观点。Patterson 认为，掌握一门语言使人处于与不一致理论相关的认知状态，其中包括无限制的 T-模式，并受经典逻辑支配。他继续探讨这种认知状态如何使我们能够成功地进行交流，尽管它与一个错误的理论相关。

Scharp（2013）提倡了一种不同类型的不一致理论。Scharp 认为，真理是一个不一致的概念，就像相对论之前的质量概念一样。因此，它不适合进行仔细的理论化。根据 Scharp 的观点，我们需要用一系列更好的一致概念取代不一致的真理概念。Scharp 发展了这样一系列概念，并提出了一个关于它们的理论。

5. 结论性的评论

关于说谎者悖论，我们还有很多要说的，远远超出了我们在这里所涵盖的范围：我们提到的说谎者变体有更多的方法，还有更多与其相关的悖论，比如指称、属性等等。还有更多重要的技术结果，以及更重要的哲学含义和应用。我们在这里的目标是更具启发性而非详尽无遗，我们希望能给读者一个对说谎者悖论是什么以及其可能的后果的指示。

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Dunn, J. Michael, 1969, “Natural language versus formal language,” (PDF of unpublished manuscript), presented at the joint APA–ASL Symposium, New York, NY, December 27, 1969.

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