波尔查诺的逻辑学 logic (Paul Rusnock and Jan Šebestik)
首次发表于 2007 年 9 月 23 日星期日；实质性修订于 2022 年 7 月 8 日星期五
十九世纪伟大哲学家之一，波尔查诺（1781–1848）在多个领域做出了杰出贡献（有关他的思想和传记详情，请参阅埃德加·莫舍尔在本百科全书中关于波尔查诺的 文章）。作为一位逻辑学家，他专注于基础，发展了一个理论框架，至今仍然值得深入研究，以至于一位备受尊敬的当代逻辑学家可以（半开玩笑地）对波尔查诺的《科学理论》（1837 年）写出一篇非常正面的评论，仿佛这本书刚刚出版一样（van Benthem，2013）。这并不是说波尔查诺逻辑工作的所有方面都可以被误认为是当代作品：如果他有时似乎在二十一世纪如鱼得水，那么在其他时候同样清楚的是，我们在与一个生于十八世纪的思想家打交道。
波尔查诺对现代意义上的逻辑的阐述融入了广阔的《科学理论》（以下简称_TS_；波尔查诺逻辑的简短介绍可在波尔查诺 2004a 中找到）。这部作品最著名的创新属于他的变元逻辑：普遍有效性和分析性的定义，以及在命题之间创造了一个完整的外延关系系统，其中最重要的是相容性、推导性（推论）和等价性。波尔查诺发现了推导性与条件概率之间的联系，根据这一联系，推导性和不相容性出现为条件概率的两个极限情况。他还因采用反心理主义逻辑方法和对语义学的贡献而受到认可。波尔查诺关于导向关系（Abfolge）导致演绎科学命题之间的等级秩序的理论是对公理系统的第一次现代研究。此外，对逻辑概念的深入讨论和许多其他见解有助于使_TS_成为逻辑和认识论中的经典著作，与亚里士多德、莱布尼茨和弗雷格的著作齐名。其中包含的广泛历史注释是逻辑史的独特来源。尽管用自然语言编写，波尔查诺的逻辑代表了现代逻辑发展的重要突破。
1. 逻辑和方法论的早期工作
1810 年，波尔查诺（Bolzano）出版了一本小册子，名为《对数学更坚实基础的贡献》（Bolzano 1810; Bolzano 2004b），在其中他阐述了他对当时数学状况的不满以及改革的必要性。他提出了一个新的数学定义，即“处理事物存在时必须遵守的一般规律（形式）的科学”（Bolzano 1810, I, §8; Bolzano 2004b: 94），将数学划分为普遍数学（算术、代数、分析以及他未来的集合论要素）和更专业的数学学科（例如，时间的数学理论、几何学、有理力学），并提出了一些逻辑方面的考虑。与莱布尼茨一样，逻辑再次被视为与数学密切相关：它实际上是数学方法（Bolzano 1810, II, §1; Bolzano 2004b: 103）。
《贡献》的逻辑理论相当原始，但这部作品仍然包含了许多重要的见解。继承亚里士多德，波尔查诺区分了两种证明：一种旨在仅仅说服我们某事情是这样的，另一种则展示为什么事情是这样的。他将前者称为“确认”（Bolzano 2004b: 254: “confirmations”）[Gewissmachungen]，后者称为“基础”[Begründungen]。基础的概念反映了“真理之间的客观联系”，这种联系通常不会与主观认知顺序相一致。这一概念后来成为波尔查诺在《TS》中处理公理化理论的基本概念。
他随后将这一区分扩展到覆盖公理理论的其他要素。主观上，定义是使我们熟悉某些词语含义的考虑，客观上，定义指示了复杂概念的部分和结构。主观上，有些词语不需要定义，因为它们的含义已经清楚了解，客观上，有些概念无法定义，因为它们是简单的，即没有部分。同样，主观意义上的公理或原则是对我们来说真理显而易见的命题，而客观意义上，公理只是一个无法证明的真理，可以从中推导出其他真理。
考虑客观地，一个数学理论本身成为一个数学对象。它具有内在结构，其中复杂概念最终由简单概念组成，并且命题根据它们的客观依赖关系进行排序，从公理开始。正如他当时所看到的那样，基础研究的目标是发现并展示这种客观秩序（波尔查诺 1810 年，II，§ 2）。
《贡献》还包含有价值的认识论反思。由于客观意义上的公理不需要对我们明显，波尔查诺指出，最初，我们发现它们比客观上可证明的定理不够可靠是可能的，而且确实发生了。我们确信它们的真理不是通过孤立地思考它们来实现的，而是通过认识它们在演绎系统中的作用：也就是说，通过看到它们的客观后果包括我们认为是真实的定理，但不包括我们认为是错误的命题（波尔查诺 1810 年，II，§21，注释；波尔查诺 2004b: 119）。同样，即使简单概念在客观意义上无法定义，它们在主观意义上仍可能需要定义，也就是说，我们可能需要对它们有一个清晰的理解。在这种情况下，我们的理解
…是通过提及几个句子而引起的，其中所讨论的概念，由其自己的词指定，在各种组合中出现。通过比较这些句子，读者能够抽象出该词指定的明确概念。[…] 这种手段众所周知，即我们每个人学习母语中单词的第一个含义的方法 (波尔查诺 1810, II, §8; 波尔查诺 2004b: 107; 我们的翻译)。
波尔查诺将这种迂回称为“释义”或“描述”[Umschreibungen]。他的方法指向了对定义悖论的解决方案，根据该悖论，所有概念最终都是用简单概念来定义的，但这些概念仍未定义，因此缺乏意义。
波尔查诺还提出了证明正确性的两个重要标准：根据第一个标准，“如果一个命题的主题（或假设）尽可能广泛，以便谓词（或论点）可以应用于它，那么在这个命题的任何正确证明中，主题的所有特征必须被使用，即它们必须在推导谓词时被应用。”第二个是波尔查诺对亚里士多德跨越不同类别的禁令的版本：不能从一个特例推导出一个一般命题 (波尔查诺 1810, II, §28, 29; 波尔查诺 2004b: 122–126)。例如，在中值定理的证明中，一个必要条件之一是函数是_实值_的。因此，一个证明尝试，没有使用任何属性来区分实数和有理数，根据第一个标准可以被诊断为不正确，而一个诉诸几何学或运动学的证明则会违反第二个标准。这些见解立即在波尔查诺的数学工作中得到了体现 (1816, 1817)。
2. 逻辑作为科学理论
波尔查诺并没有对《贡献》中勾画的逻辑感到满足。早在 1812 年，他就记录了自己要发展一种新逻辑的意图，这种逻辑将导致“先验科学的彻底转变”。写于 1820 年至 1830 年间并于 1837 年出版的《科学理论》标志着这一实现，嵌入了更广泛的一般认识论和科学方法论的背景中（波尔查诺也将其视为更广义上的逻辑）。
波尔查诺通过其最终目标来定义科学理论，即将人类知识划分为学科并撰写科学论文。根据这一定义，科学理论是
我们必须遵循的所有规则的集合，如果我们想要做一项称职的工作，那么当我们将真理的整个领域划分为各个学科，并在各自的专著中呈现它们时，这些规则就会发挥作用。 (波尔查诺, I, §1, 7)
这个定义预设了一整套学科的序列，涉及到科学构建的每个学科都建立在前一个学科的基础上。这个序列中的最终学科涉及到科学的界定和科学写作风格的原则，这些原则应该导致编写一部科学专著集，形成一部百科全书。波尔查诺希望，继启蒙运动的伟大百科全书之后，科学有序的有用知识的传播努力将再次在完成一部百科全书中找到最好的表达方式。通过这种方式，_TS_将有助于整体福祉。
为了将真理划分为不同的学科并在特定的专著中呈现它们，我们首先必须发现它们。这就是《发现的艺术》或《启发法》的目标，其中包含了寻找新真理的规则。启发法预设了识别真理的可能性，这是《认识论》的对象。现在，在探索科学层面的决定性步骤导致了_TS_最重要的部分，《要素论》，它分析了认识的主观活动的客观条件，即思想、命题和演绎的理论，从本质上来看：形式逻辑。《基础论》试图表明这些要素本身就是命题，本身就是思想，本身就有无限多的真理，我们至少可以认识其中的一些。按照_TS_的所有学科的适当顺序，我们得到以下结构：
基础理论 (第一卷, §§17–45),
元素理论, 即形式逻辑 (第一卷和第二卷, §§46–268),
知识理论 (第三卷, §§269–321),
启发式（波尔查诺第三卷，§§322–391），
科学理论，即真理分为特定科学和科学论文构成原则的理论（波尔查诺第四卷，§§392–718）。
3. 本身的命题
波尔查诺在《科学哲学》中的第一个重要创新旨在转变逻辑的领域（更具体地说，是元素论）。根据他的观点，逻辑不是关于我们头脑中的观念和判断的理论，也不是阿尔诺和尼科尔的《波尔图瓦尔逻辑》中所说的“思维艺术”，也不是对思维定律的阐述。相反，逻辑关注的是命题和观念之间的客观关系，即独立于它们被思考或表达的方式。
尽管波尔查诺认为命题由他称之为“观念”的部分组成，但他并没有给出命题概念的定义，作为某种结构完整体的定义。这是因为他在他人的著作中找不到令人满意的定义，也没有自己能想到的满意的定义。相反，他试图通过他早先称之为“限定”的程序（参见《科学哲学》，§668，第 9 条）来表达他对“命题”的理解，向读者呈现一些包含这个词的句子，这些句子在正确理解时应该是真实的。
当我指出我所说的“命题”并不是语法学家所称的命题，即语言表达，而只是这个表达的意义时，人们就会明白我所说的“命题”是什么意思，这个意义必须准确地是真或假中的一个；因此，我认为理解命题、思考命题以及思维者头脑中做出的判断（存在，即在思考这个命题并做出判断的人的头脑中）都是实际的；但命题本身（或客观命题）我认为属于那些根本不存在的事物之一，永远也不可能存在。我们思考一个命题，我们判断一件事情是这样或那样，这是一种实际存在的事情，它始于某个时间，也将在某个时间结束；我们用书面符号记录这些命题的地方也是真实存在的事物；然而，命题本身并不在任何时间或地点存在（波尔查诺，2004a：40-41）。
表达“本身”一词，正如波尔查诺在其他地方解释的那样，用于指示术语被以其完整的一般性使用，因此任何习惯性的心理添加（如_思想_或_用一种语言表达_）应该被抑制（TS，§ 57，编号 2）。鉴于与“本身”一词相关的不太有用的康德联想，波尔查诺的表达“an sich”也可以被译为“本身”（正如扬·贝格所建议的）或“per se”。
波尔查诺认为，存在（es gibt）本身的命题，尽管它们并非_实际_（wirklich），也就是说，它们不起作用，也不参与因果关系。因此，它们具有通常赋予数学对象的地位。尽管他认为承认本身的命题对于形而上学至关重要，但他也试图说服那些不同意他形而上学观点的人接受基于实用和方法论考虑的命题（TS，§20，编号 1）。
在本文中，我们将遵循关于波尔查诺的二手文献的通行做法，使用方括号来形成本身命题和类似实体的指称。因此，例如，“[苏格拉底有智慧]”指代由句子“苏格拉底有智慧”表达的本身命题，而“[苏格拉底]”指代由“苏格拉底”指定的该命题（或观念）的部分。
3.1 命题的形式
在波尔查诺的观点中，命题可以通过句子来更或更少充分地表达，因此对语言结构的考虑影响了他对命题的部分和结构的处理。例如考虑这样一个句子‘罗密欧爱朱丽叶’。我们意识到我们可以用另一个适当的名字如‘奥赛罗’来替换‘罗密欧’，仍然得到一个完全符合语法的句子。此外，给定一组适当的名字，我们可以指定一个类别的句子，这些句子与‘罗密欧爱朱丽叶’最多只有一个不同名字在开头。我们可以类似地处理‘爱’和一组适当的及物动词。或者我们可以考虑当两种替换都被允许时可以获得的句子类别，依此类推。这些句子类别将对应于_句子形式_‘a 爱朱丽叶’，‘罗密欧 V 朱丽叶’，和‘a V 朱丽叶’，分别。
同样，波尔查诺显然认为，命题本身也是如此。给定一个命题，我们可以想象其他与之相同的命题，只是在某些地方有不同的部分（观念）。虽然在命题本身的领域中不可能有实际的变化，即在时间上没有变化，也没有严格意义上的地方，但我们仍然可以用一种比喻的方式来谈论命题之间及其部分之间的非时间关系，即在命题的某些地方进行替换，将其视为一种说法。因此，给定一个命题，我们可以考虑其某些部分是_可变_的，即可以被其他部分替换，并且，鉴于适当替代每个替换位置的替代物的类别，我们可以再次确定一个命题类别。
如果句子的某些部分对应于它所表达的命题的部分，那么通过用变量符号替换其中一个或多个部分，并指定可替代物，我们得到的句子形式将不仅确定一类句子，还确定了一类刚描述的命题。波尔查诺有时称这种命题类为_命题形式_。严格来说，他将这个术语保留给确定这种类的句子形式：
[T]在逻辑中，“有些人皮肤白”这个命题充其量只是一个例子，而不是定理的主题，而命题类，比如由表达式“有些 A 是 B”确定的类，很可能是定理的主题。如果这些命题类被称为命题的一般_形式_，那么可以说逻辑关注的是形式而不是个别命题。（实际上，只有书面或口头_表达_“有些 A 是 B”，而不是类本身，应该被称为一种形式）(TS，§12，编号 2 [I.48])。
请注意，句子不必是完全不同的（即，其部分与其表达的命题的部分之间存在一对一的结构保持对应关系）才能以这种方式使用，只要句子中被变量符号替换的部分确实对应于命题的部分即可。例如，如果我们满足于‘哺乳动物’和‘熊’对应于命题[有些哺乳动物是熊]的部分，我们可以使用句子形式‘有些 A 是 B’来确定一类命题，即使最终发现这个命题可能更清晰地由另一个句子表达，例如‘存在一个既是哺乳动物又是熊的个体’。
由于命题的不同部分可能被视为可变的，每个命题都属于许多不同形式。特别是，在波尔查诺的定义中，命题的形式和内容之间没有绝对的区别。
4. 思想
如上所述，波尔查诺将_思想_定义为命题的一部分，更确切地说，是“命题的任何组成部分，而不是命题本身”（TS，§128，编号 2 [II.18]; 参见 §48）。例如，假设句子“Fido，一只狗，不是爬行动物”是相应命题的一个相当明确的表达，我们可以在该命题中区分思想（即，子命题部分），如[Fido]，[dog]，[reptile]，但也有[who]，[is]和[not]。与命题一样，波尔查诺仔细区分思想本身、思想（或主观）和思想的语言符号。
波尔查诺的术语是“Vorstellung”。这是德国翻译洛克、休谟等人作品中“idea”的标准翻译。有时也被翻译为“presentation”或“representation”，比如在康德和胡塞尔的作品翻译中。波尔查诺决定继续使用这个术语，这使得他的观点与他所发现的当时逻辑文献中的观点之间的巨大差异变得模糊。对他来说，思想类似于胡塞尔的部分意义或弗雷格的意义，而不是思想。这与波尔查诺讨论的大多数作者在谈论思想时的含义完全不同，即使在这种情况下，他们通常认为思想（或概念、概念、认知）可以作为判断的一部分出现，即作为它们的主语和谓语。
波尔查诺认识到思想与对象的三个区分特征：extension, content_和_structure。粗略地说，一个思想的 extension 是“所有属于它的对象的集合”（Bolzano 2004a: 46）；更严格地说，它是“一个思想的特定属性，使其仅代表那些对象而不是其他对象。”（TS，§66，I:298）。例如，具有不同 extension 的思想，比如[素数]和[奇数]在波尔查诺的观点中必然是不同的，这只是一个充分条件，可以看到同样具有相同 extension 但明显不同的思想[偶素数]和[4 的正平方根]。
尽管这些思想具有相同的 extension，我们仍然可以通过注意到它们具有不同的部分来加以区分，例如，在第一个中出现了[素数]，但在第二个中没有。在这种情况下，波尔查诺会说这两个思想的_content_是不同的。根据他的定义，复杂思想的 content 是其部分的_总和_。“总和”是波尔查诺本体论中的一个技术术语，指代“组合方式不重要且部分的部分可以被视为整体的部分的集合”（TS，§84）。对于我们的目的，值得注意的是，当波尔查诺要求我们考虑一个思想的 content 时，他希望我们考虑它的部分，而不是它们的排列。
要复述：具有不同内容的思想也不同。然而，再次强调，这种条件仅仅是充分的，因为相同的部分可以以不同的方式排列，见证：[博尔查诺的无知儿子]，[无知父亲的博尔查诺的儿子]。因此，博尔查诺认识到复杂思想的_结构_，即其部分如何组合（它们的_Verbindungsart_），作为一个额外的个体化属性。事实上，有时结构是唯一的个体化属性，正如博尔查诺在_TS_（§96，编号 2）中以[24]和[42]的巧妙例子展示的那样，它们具有相同的内容和相同的范围，但仍然不同。
尽管在许多情况下，假定思想的结构类似于语言表达，但也明显地，博尔查诺认识到思想的结构无法用线性脚本捕捉。例如，在形式为‘A，具有属性 b，b′，b′′，…’的思想中，部分 b，b′，b′′，…之间没有顺序，它们在思想中本身作为一个无序集合（Menge）。
博尔查诺是一个语义原子论者：在他看来，所有思想最终都由简单部分组成，这些简单部分本身就是思想（TS，§61）。对于具有对象的简单思想，严格来说没有内容，因为没有部分，因此也没有结构。因此，这样的思想仅仅通过它们的范围来个体化（TS，§93，编号 3）。简单思想与其对象的关系是原始的，因此无法定义。将这种立场与当代通过为非逻辑常量（或参数）分配范围（对象或对象集）来解释形式语言的做法进行比较是有启发性的。
波尔查诺没有告诉我们没有对象的简单观念（例如，[和]，[非]）如何被个体化。这对我们来说是一个重大的疏忽。
4.1 观念的种类
一些观念，被波尔查诺称为_objectual_（gegenständlich），具有或代表一个或多个对象，例如，[波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理]，[乌鸦]。其他的是_objectless_（gegenstandlos），例如，[圆的正方形]，[金山]，[非]（TS，§67）。波尔查诺没有意识到空集合，他说没有对象的观念没有延伸。
如果一个观念恰好有一个对象，它被称为_单数_，如果有多于一个对象，则被称为_一般_(§68)。一些一般观念是复杂的，例如，[第一等级的星]。另一些，波尔查诺认为，是简单的：他认为[对象]和[属性]可能是这样的。同样，在单数观念的情况下，他认为有些是复杂的，例如，[我们太阳系中最大的行星]，而另一些是简单的。为了符合康德的术语而使用，他将后一种类型的观念，也就是简单的单数观念，称为_直觉_(§72)。那些不是直觉且在它们的部分中没有任何直觉的观念被称为(纯)概念，而那些在它们的部分中既有概念又有直觉的观念被称为_混合_(§73)。
熟悉罗素逻辑原子论哲学中逻辑适当名称所起作用的人会更容易理解波尔查诺对直觉概念的运用。直觉是思想本身领域中与语言中基本索引元素相对应的：最好通过使用一个裸指示词（'这个'）来表达，而在主观人类直觉的情况下，总是以特定的同时期心理状态作为它们的对象。此外，任何关于偶然存在的特定事物的单数观念必须包含直觉。因此，直觉充当经验内容的标记。
如果命题的任何部分都不是直觉，则被称为_纯概念的_，否则为_直觉的_。这种区别在命题本身的层面上定义，先于_先验_和_后验_判断之间的区别，并用于定义它：
如果推导出判断_M_的命题，以及导致前者得出的命题，一直到直接判断，都是纯粹概念命题，那么判断_M_可以被称为_纯粹概念的判断_，或者_纯粹_，或者_a priori_。在所有其他情况下，可以说它是_从经验中得出_或_a posteriori_ (TS, §306, no.12)。
一些科学，例如数论或实分析，完全由纯粹概念命题组成，因此被称为_纯粹概念科学_。尽管波尔查诺乐观地认为_大多数_纯粹概念真理可以_a priori_知晓，但他不敢断言所有真理都是如此，并清楚地认识到，即使在数学中，许多纯粹概念命题至少在某种程度上是基于经验（直觉）证据而被接受的 (TS, §133; Bolzano 2004a: 53)。
4.2 思想之间的外延关系：类的逻辑
波尔查诺的形式逻辑的两个主要部分中，即思想的外延逻辑（类的逻辑）和命题的外延逻辑，第一部分源自一个悠久的传统，始于博伊修斯（Boethius）（并源自亚里士多德的三段论），终于波尔查诺时代的热尔贡（Gergonne）。波尔查诺并没有从当时最有影响力的作者热尔贡或欧拉那里汲取他的类逻辑，而是从一本名为《逻辑概要》（Grundriß der Logik）的小册子中汲取，这本书是一位现在完全被遗忘的逻辑学家 J.G.E. Maaß 于 1793 年出版的。
在《TS》第 94-108 节中，波尔查诺定义了思想外延之间的关系系统，并证明了关于这些关系的各种定理。首先，如果至少有一个对象同时属于思想 A、B、C 等，则称这些思想是_兼容_的；否则，它们被称为不兼容。如果不仅一些，而是所有由 A 代表的对象也由 B 代表，则称 A 被包含在 B 中。如果反之亦成立，即 A 被包含在 B 中且 B 被包含在 A 中，则称思想 A 和 B 是_等价_的（或_可互换_的）。他定义了另外两种特殊情况：首先，当 A 既不包含于 B，也不包含 B 时，波尔查诺称这种关系为_重叠_或_连接_。其次，我们有_从属_的关系，这是没有互惠的包含。
区分了三种不兼容性：相互排斥、矛盾和对立。如果思想 A、B、C 等彼此之间不兼容，则称它们_排斥_。如果思想 A 和 B 互为矛盾，即 B 具有“一个包括所有不属于思想 A 的东西”的外延（TS II，§103，477），即如果 B 等价于_非 A_，它们是_矛盾_的。最后，如果它们不矛盾但不相容，则它们是_对立_的。
由于所有这些关系都源自兼容性及其否定，因此可以将它们表示为一个系谱树的形式（见 Šebestík 1992: 174）。 简化一下，我们可以用集合论的语言来定义波尔查诺的思想对的关系，如下所示。（在这里，我们与波尔查诺有所不同，还允许普遍思想，比如“一般的东西” [Etwas überhaupt]，以及无对象思想和它们的空集作为它们的延伸（对于波尔查诺，无对象思想没有延伸，也没有空集合））。
| A 与 B 兼容 | =df | Ext(A)∩Ext(B)≠∅ |
| --- | --- | --- |
| A is incompatible with B | =df | Ext(A)∩Ext(B)=∅ |
| A is included in B | =df | A is compatible with B and Ext(A)⊆Ext(B) |
| A is equivalent to B | =df | A is included in B and B is included in A |
| A 是 B 的下级 | =df | A 包含在 B 中但不等同于 B |
| A 与 B 矛盾 | =df | A 与 B 不兼容且 Ext(A)∪Ext(B)=全类 |
| A 与 B 相反 | =df | A 和 B 不矛盾但不相反。 |
5. 主张的分析
如果波尔查诺的语义原子论命题是正确的，那么每个命题都有一个_最精细_的形式；即，其中命题中的每个简单观念都被视为独立可变。从中我们可以看到，对于试图用形成规则定义命题概念为某种结构整体的人所面临的任务：这不仅需要对所有可能的句法结构进行具体规定，还需要一整套完整的语义范畴（因为不同的变化点可能会有不同类别的可接受项目）。此外，这不仅需要针对我们自己设计的形式语言，或者单一的自然语言，而且需要针对任何可能的语言。从这个角度来看，波尔查诺坦率承认他找不到令人满意的命题概念定义并不令人惊讶。
波尔查诺不是从简单观念开始构建命题，而是从外部开始，试图在命题内部区分部分，通常遵循奎因所称的“浅层分析法则”，即，“不暴露比似乎对手头的推断或其他调查有用的逻辑结构更多”（奎因，1960 年：§33；160）。由于命题本身在因果上是惰性的，这不能通过检查它们来完成。相反，人们考虑语言表达，来自各种语言，以及自己的思想，并试图识别具有逻辑意义的特征，牢记“通常用法并不旨在逻辑正确性，而是追求简洁和_足够_的清晰度。”（TS，§170 [II.213]；另见 §350、366）。
波尔查诺提出了许多关于命题分析的具体建议，其中大部分现在仅具有历史意义。我们将在这里简要介绍其中一些。
首先，他认为每个命题都属于主谓形式‘A has b’（TS，§ 127；请记住，这并不妨碍它们也属于其他形式）。他承认自己对这一命题没有确凿的论据，但声称他已经能够找到所有出现在他脑海中的句子形式的可接受的主谓释义（波尔查诺 1843: 48）。
在这种形式的真命题中，由‘A’标记的位置被一个具有一个或多个对象的观念所占据，而由‘b’标记的位置则被代表一个或多个属性的观念所占据。由‘has’表示的连系动词，被理解为没有时态或数，表示拥有一个属性。时态通过向主观念添加时间限定词来处理。例如，‘Smith is in pain’可以更清晰地表达为‘Smith at the present moment–has（无时态）–pain’（§127，no. 5）。
由于主词观念和谓词观念都可能是一般的，我们必须理解‘A has b’ 表达的含义是每个属于观念 [A] 的对象都有一个属于观念 [b] 的属性（§131）。因此，他认为形式为‘所有 A 都有 b’ 的命题与‘每个 A 都有 b’ 和‘A 有 b’ 的命题是同义的，例如‘所有人都有死亡’，‘每个人都有死亡’ 和‘人有死亡’。
波尔查诺 认为主词-谓词形式可以容纳关系性主张，将其解释为关于集合的陈述。例如，声称项目 A、B、C、... 在所有具有属性 b、b'、b''、... 的意义上相等的说法可以被解释为关于包含两个无序子集合（Mengen）的集合的说法，即 ⟨(A,B,C,...),(b,b',b'',...)⟩，陈述该集合具有这样一个属性，即第一个子集合中的每个项目都具有第二个子集合中的每个属性（参见 §135，编号 15）。
对于波尔查诺，真和假（或非真）是命题的属性。鉴于他的假设，即所有命题都属于形式‘A has b’，他能够提供关于真实的以下定义（TS，§28）：
一个命题在陈述其对象所属之事物时为真。
也就是说，
[A 有 b] 为真 当且仅当 A 有 b。
波尔查诺对存在性主张的分析，比如“100 以上有素数”也是值得注意的。在这种情况下，他说，我们的意思是这个概念【100 以上的素数】具有客观性（§137）。这种分析在真实的否定存在性案例中显示出其价值，比如“圆的正方形不存在”，使他能够解决与不存在相关的谜题。因为根据波尔查诺，这个句子与更明确的“【圆的正方形】没有客观性”意思相同，在这种情况下，我们有一个客体主观概念（其客体是_概念_【圆的正方形】），并将其客体归因为具有的属性（即，无客体性）（§138）。
波尔查诺提出了类似的形式分析，比如“一些 A 是 B”和“没有 A 是 B”。这些被认为更明确地表达如下：“【具有 b 的 A】具有客观性”，和“【具有 b 的 A】具有非客观性”，分别（§137,138）。
客观性的主张不应与_实在性_的主张混淆（§142）。例如，波尔查诺坚持存在(es gibt)命题和概念本身，以及几何点和其他数学对象，但同时否认它们具有实际存在（即，它们不起作用，或参与因果关系，不附加空间或时间的确定性等）。即，概念本身，几何点等具有客观性，但命题，点等缺乏实在性的属性。
波尔查诺区分了谓词否定和命题否定，前者采用形式为“A 有非 b”，后者为“[A 有 b]有非真”（§189, 1(e); 参见 §136）。这两种形式并不等价，例如，[莫扎特的第 35 号钢琴协奏曲不是在 E 大调]是假的，其主题观念是无对象的，而[[莫扎特的第 35 号钢琴协奏曲在 E 大调]有非真]是真的。
物质析取，即形式为“A 或 B 或 C…”的主张，被解释如下（§181）：“[集合中的真命题（[A]，[B]，[C]，…）]具有客观性”（包括析取），或者为“[集合中的真命题（[A]，[B]，[C]，…）]具有客观性，且[集合中真命题的多样性（[A]，[B]，[C]，…）]有非客观性”（排他析取）。
希望这足以让人对波尔查诺的方法有所了解，以及其中的一些局限性。更多细节可在二手文献中找到。
6. 波尔查诺的变异逻辑
6.1 命题和命题形式
波尔查诺的命题之间的外延关系逻辑代表了传统逻辑中没有的重大创新。它基于我们已经遇到的变异方法。波尔查诺如下介绍了他逻辑的这部分内容：
给定一个命题，我们只需询问它是真还是假。但是，如果我们考虑从这些命题中生成的所有命题的真值，如果我们将它们的一些组成概念视为变量，并用任何其他概念替换它们，就可以发现一些非常显著的命题属性（TS，§ 147）。
波尔查诺经常在讨论中使用句子形式，比如“人 A 是会死的”。在其他时候，他会简单地写下类似这样的话：“让我们...考虑命题‘凯约斯是会死的’，并将‘凯约斯’这个概念视为任意可变的”（TS，§ 147）。
这两种说法对应着两个不同的层次。在第一个语言层面上，我们处理句子形式，即包含变量符号的表达式，在适当进行替换后变成句子（并表达命题）。第二个层面是命题和概念本身的层面，即意义的层面。在这里，波尔查诺不能使用变量、字母或其他不定符号，因为在命题和概念本身的领域中，没有不定实体与句子形式相对应；只有命题，真或假。这可能是波尔查诺在谈论“将概念_Caius_视为可变的想法”时笨拙的说法的原因。
波尔查诺的关于命题中思想替换的宽泛说法在接下来的内容中被采纳。声明给定命题中的一个或多个思想是可变的，意味着考虑具有相同结构并包含相同思想的所有命题的类，除了可能在可变思想所占位置的地方。通过在给定命题上执行这种替换而得到的命题被称为_变体_。
可替代物的类别通常受到波尔查诺的限制；在某些情况下，例如，他要求替换不要“破坏命题的客观性”，也就是说，不要产生一个没有客体的主观思想。例如，在命题[Nero，一个人类，是有限的]中用[北京]替换[Nero]的效果就是这样。在他讨论命题相对于某些思想的有效程度时，他还规定不得在可能的替代物类别中包括两个等价思想。因此，当波尔查诺谈到“可变思想”时，我们应该记住，指定一个变量也涉及指定一系列可能的值。
6.2 普遍有效性/无效性和分析性
波尔查诺开始通过定义具有可变部分的单个命题的属性（TS，§147）来开始。当变异方法应用于一个命题时，他指出，可能出现三种不同情况：要么通过替换获得的（客体性）命题类仅包含真命题，要么仅包含假命题，要么包含真假命题。在第一种情况下，初始命题被称为_普遍有效_，在第二种情况下为_普遍无效_，在这两种情况下都是相对于指定变量而言。波尔查诺没有给第三种情况命名；这样的命题可以称为中性。以下是一些例子：
[凯乌斯是凡人]
相对于变量概念[凯乌斯]，是普遍有效的，因为每个适当的替换都会生成一个真命题，或者，因为它的所有客体变体都是真的。
[波尔查诺]先生是全知的
相对于相同的变量概念[波尔查诺]，是普遍无效的，因为它的所有变体都是错误的。
相同的命题
[波尔查诺]认为，[凯乌斯]这个人是富有的
相对于变量观念[富有]，是中立的，因为它的一些变体是真实的（例如，引用的第一个例子），而另一些是错误的（第二个例子）。
现在考虑命题[Murgatroyd 最喜欢的数字，它是介于 1 和 10 之间的整数，是质数]，并将[Murgatroyd 最喜欢的数字]标记为变量。此外，让我们通过规定（1）保留客观性和（2）不包括两个等效观念来限制可替代的类别。在这种情况下，将有八个可替代项，其中有四个将导致真命题。导致真命题的替代项数量与总数的比率因此等于 1:2。波尔查诺将此称为命题相对于指定变量的_有效程度_。他评论（TS，II：81）：“这个比率确定了命题在某些情况下获得的概率程度。”普遍有效性和普遍无效性是极端情况，其中比率分别等于 1:1 和 0:1。
波尔查诺将康德的术语_分析_用于相对于某些变量部分或其他规范而言要么普遍有效要么普遍无效的命题。这种术语选择基于他对康德例子的分析。例如，考虑这个命题（康德：判断）：[直角三角形是一个三角形]。康德宣称这样的判断是分析的，因为对主体概念的分析，即分解，会揭示谓词的存在。对于波尔查诺来说，这种包含关系只是一种干扰：他认为，这个命题真正有趣的地方在于，我们可以用任何其他想法替换[三角形]和[直角]，而不改变真值（受到关于客观性的限制）。也就是说，正如奎因后来所说，这类命题的某些部分出现了_空洞_：
我相信[分析命题]的重要性在于，它们的真假不取决于它们所组成的个别观念，而是无论它们的某些观念经历了怎样的变化，只要命题的客观性没有被破坏，它们的真值保持不变（TS，§ 148）。
康德所称的分析命题真正引人注目的特征是它们的真值在整个转换类别下的不变性。正是这一特征，而不是其他任何特征，波尔查诺通过他对分析性的定义来单独指出。
鉴于波尔查诺的定义的广度，很明显分析命题在数学中是相当常见的。以下是波尔查诺对分析命题的一些例子，无论真假，下划线或字母表示可变部分：
如果所有人都是凡人，而凯厄斯是人，那么凯厄斯是凡人。（TS，§315）
如果 A 大于 B，则 B 小于 A。(TS，§148)
如果 P=Mm，则 M=P/m。(TS, §148)
苏格拉底的灵魂已经被湮灭。(TS, § 369)
苏格拉底的灵魂是一个简单的物质。(TS, §447)
A is A. (TS, §148)
An A, which is B, is A. (TS, §148)
An A, which is B, is B. (TS, §148)
每个对象要么是 B，要么是非 B。(TS, §148)
上述列表中的最后四个例子是值得注意的，波尔查诺声称，因为它们中唯一不变的部分是逻辑概念。他谈到在这些情况下的_逻辑分析性_。像他之后的塔尔斯基一样，他评论说，他对逻辑分析性的定义并不完全确定，因为“属于逻辑的概念领域并没有被界定得如此明确，以至于争议有时不会出现”(TS, § 148, no. 3; 塔尔斯基, 1983, 418–419)。
尽管不应夸大相似之处，但在 Adjukiewicz、Carnap、Quine 和 Tarski 的作品中，这种较窄概念与后来的概念之间存在明显的关联（详细讨论请参见 Künne, 2006）。
正如波尔查诺所熟知的那样，在他一般意义上，分析性既不意味着必然性也不意味着先验性（TS，§197）。例如，[特鲁曼，在 20 世纪担任美国总统，是男性]，对于[特鲁曼]而言是普遍有效的，因此根据波尔查诺的定义是分析性的。显然，他对“分析性”一词的使用不仅与康德的使用有根本的不同，而且与后来在弗雷格、卡尔纳普等人的著作中对该术语的使用也有很大不同。这导致了一些后来读者的误解（例如，Bar-Hillel，1950）。
6.3 具有可变部分的多个命题之间的关系
在当代逻辑处理中，形式语言的公式之间的逻辑关系有时是根据语言解释集之间的关系来定义的。例如，一组公式 Γ 可能被说成_蕴含_一个公式 α ，当且仅当使 Γ 中所有成员都为真的解释集是使 α 为真的解释集的_子集_，而 Γ 本身可能被说成是_可满足_的，当且仅当使其所有成员为真的解释集是非空的。
波尔查诺的命题之间的外延关系系统是受到类似思想的启发，尽管它是以思想、命题以及其中的可变思想的外延为术语。关键概念是一组思想 i′,j′,k′,…，当替换命题 A,B,C,… 中的可变思想 i,j,k,… 时，会产生一组所有命题都为真的命题集合。（更宽泛地说，波尔查诺谈到“一组思想的集合，将其替换为 i,j,k,… 会使所有 A,B,C,… 都为真”（TS II: §155, 114, 122, 和 §156, 133）。）我们将称这样的思想 i′,j′,k′,… 的集合为相对于可变思想 i,j,k,… 的 A,B,C,… 的_验证思想_。
在一个关键段落中，波尔查诺建立了他需要实施计划的对应关系：
对于思想，关键问题是某个对象是否确实由它们代表；对于命题，相应的问题是它们是否为真。正如我称呼思想相容或不相容，取决于它们是否有某些共同对象一样，我称呼命题相容或不相容，取决于是否有某些思想使它们都为真。(TS II: §154, 101; Bolzano 1973: 198–199)
也就是说，正如_思想_ A，B，C，...被说成是_兼容的_，当且仅当至少有一个对象属于 A，B，C，...，我们也可以说_命题_ A，B，C，...相对于可变思想 i，j，k，...是兼容的，当且仅当至少有一个思想集合 i'，j'，k'，...是每个 A，B，C，...的验证思想。等价地，A，B，C，...相对于 i，j，k，...是兼容的，当且仅当在先前定义的意义下，[相对于 i，j，k，...验证 A 的思想]，[相对于 i，j，k，...验证 B 的思想]，[相对于 i，j，k，...验证 C 的思想]是兼容的；否则，它们被认为是不兼容的。
例如，命题[惠灵顿早于拿破仑去世]和[拿破仑早于惠灵顿去世]在考虑所有[Napoleon]和[Wellington]的出现都是统一可变时是不兼容的，但当[predeceased]在两个命题中变化时是兼容的，因为用[fought]替换[predeceased]会产生两个真命题。（在这里，我们涉及到第一种情况中的形式‘ A 早于 B 去世’和‘ B 早于 A 去世’，以及第二种情况中的‘拿破仑 R 惠灵顿’和‘惠灵顿 R 拿破仑’。）
接下来，命题 M，N，O，...被说成是相对于可变思想 i，j，k，...从命题 A，B，C，...中_可推导_出来的，当且仅当 A，B，C，...，M，N，O，...相对于可变思想 i，j，k，...是兼容的，并且[相对于 i，j，k，...验证 A，B，C，...的思想]包含在[相对于 i，j，k，...验证 M，N，O，...的思想]中，即前面定义的意义上，前者的延伸是后者的子集（TS，§ 155）。
在他的逻辑的简短版本中，波尔查诺将这一定义阐述如下：
如果一个或多个命题 A，B，C，… 与另一个或多个命题 M，N，… 在组成部分 i，j，… 方面是兼容的，那么正如刚才所说，必须至少有一些观念，当放置在 i，j，… 的位置时，使得所有的 A，B，C，… 以及所有的 M，N，… 都成为真实。然而，特别值得注意的一种情况是，如果不仅仅是一些，而是所有的观念，当替换 i，j，… 在 A，B，C，… 中时使得所有这些成为真实，也使得所有的 M，N，… 成为真实。在这种情况下，我说命题 M，N，… 与命题 A，B，C，… 相对于可变部分 i，j，… 的关系是“推导性”的（波尔查诺 2004a: 54）。
—给出以下例子：[所有的 i 都是 k] 可从 [所有的 i 都是 j] 和 [所有的 j 都是 k] 推导出来，以及 [∠ijk=∠ikj] 可从 [i，j，k 是三角形的三个顶点] 和 [¯¯¯¯ij = ¯¯¯¯¯ik] 推导出来，在这两种情况下都涉及到 i，j，k。
通过这种方式，波尔查诺通过他的思想关系表一口气得到了一套完整的命题间的外延关系系统，相对于其中某些被视为可变的部分（换句话说，命题_形式_之间的关系，即命题_类_之间的关系）。结果是一个基本结构与代表思想间关系的树的结构完全相同的系谱树。在大多数情况下，他使用相同的术语，谈论命题之间的兼容性、推导性（包含性）、从属性（单向推导性）、等价性（相互推导性）、重叠、对立和矛盾。
为了更清晰地了解这些关系，让我们引入一些符号，并再次使用集合论的语言。我们将使用粗体字母来表示项目（命题或可变思想）的集合。因此，例如，‘A(i)’和‘M(i)’将用于表示命题集合 A={A,B,C,…}和 M={M,N,O,…}，其中思想 i=i,j,k,…被视为可变。让 V(A(i))代表 A(i)的验证思想集合。最后，让 ¬A 代表{¬A,¬B,¬C,…}。我们有：
A 相对于可变思想 i 与 M 兼容：
波尔查诺(A(i))∩ 波尔查诺(M(i))≠∅
A 对于 i 是与 M 不相容的：
波尔查诺(A(i))∩ 波尔查诺(M(i))=∅
M 可以从 A 关于 i 推导出：
A 和 M 在 i 方面是兼容的，且 V(A(i))⊆V(M(i))。
A 在 i 方面等同于 M：
A 可以从 M 推导出来，而 M 也可以从 A 推导出来，都涉及到 i，即 V(A(i))≠∅ 且 V(A(i))=V(M(i))。
M 在 i 方面是单向可推导出来的从 A ：
M 可以从 A 推导出来，但在 i 方面并不等同于 A。
A 和 M 在 i 方面是矛盾的：
¬A 等同于 M，而 A 等同于 ¬M，都是关于 i 的。
A 和 M 在 i 方面是相反的：
A 和 M 在 i 方面是不相容的，但不是矛盾的。
波尔查诺(Bolzano) 阐述并证明了关于他的关系的大量定理，包括以下内容：
如果 A，B，C，... 在 i 方面是不相容的，那么包含 A，B，C，... 的命题集合在 i 方面也是不相容的（TS，§154，编号 10）。
如果 A 相容于 i,j,...，那么它也相容于包含 i,j,... 的任何变元集合 (§154, no. 11)。
如果 M 相对于 i,j,k,... 从 A,B,C,... 可推出，那么只要 A,B,C,... 相对于子集合 i,j,k,... 相容，那么 M 也可以从 A,B,C,... 相对于任何子集合推出 (§155, no. 19)。
当 A 是一类相容前提时，当且仅当 A 与 M 不相容时，¬M 可从 A 推出 (§155, nos. 14, 15)。
如果 M 可由 A 推导出 X 以及由 A 推导出 ¬X，则 M 仅可由 A 推导出 (§155, no. 17)。
如果从前提 A 推导出的所有命题都为真，则 A 为真 (§155, no. 6)。
如果 M 可由 A 推导出，并且 X 由 M 推导出，R (关于 i,j,k,...)，则 X 可由 A 推导出，R 关于 i,j,k,... (§155, no. 24)。
(§224, no. 2) 如果推论：
A,B,C,D,E,F,G,…M,N,O
是有效的，那么也是：
A,B,C,D,…如果 E,F,G 是真的，那么 M,N,O 也是真的
6.4 条件概率
根据 波尔查诺 的定义，推导性需要兼容性。这导致了一些复杂性，例如，推导性不是自反的，而且从 B 对于 i,j,… 相对于 A 是可推导的这一事实，我们可以得出结论，只有当 B 对于 i,j,… 不是普遍有效时，才能得出非-A 对于非-B 是可推导的。但这也带来了一个重要的好处，即，它允许他直接将相对概率的关系整合到他的系统中。在 TS，第 161 节中，他定义了一个命题 M(i) 相对于一类前提或假设 A(i)（带有变量 i）的 条件概率（或相对有效性），即所有类命题以及 M(i) 为真的情况与所有命题 A(i) 为真的情况的比率。换句话说，它是 A(i) 和 M(i) 的真实变体数与 A(i) 的真实变体数的比率。波尔查诺的条件概率是客观的，an sich。
因为对于每个对象性观念，都有无限多个等价的其他观念，我们无法仅通过计算变体来确定相对概率。然而，如果类别的替代被限制，就像相对有效性的情况一样，只允许在所有等价于给定观念的观念中选择一个包含在替代类中，只要结果类是有限的（波尔查诺在_TS_，§161，第 7 条中提出了一个不同的建议）。
例如，考虑前提[巢中的蛋数在 1 和 10 之间]和[巢中的蛋数是奇数]，以及结论[巢中的蛋数是质数]，在其中只有观念[巢中的蛋数]在每个命题中被认为是可变的。在可接受的替代中，有四个使两个前提都成立，其中有三个也使结论成立。因此，相对于前提和指定的变量，结论的有效度为 0.75。我们也可以将其视为形式‘A 在 1 和 10 之间’，‘A 是奇数’和‘A 是质数’之间的关系。
人们可以立即看出为什么一个可能推断的前提必须是兼容的：相对于 A(i) ，M(i)的概率仅在分数的分母不为零时才被定义，这意味着前提 A(i)是兼容的。另一方面，使 A(i)和 M(i)都为真的观念数量不能大于使 M(i)为真的观念数量；因此，M(i)的条件概率不能大于 1。当使 A(i)和 M(i)都为真的观念数量等于仅使 A(i)为真的观念数量时，条件概率等于 1，这意味着所有使 A(i)为真的观念的替代也使 M(i)为真，即，如果 M(i)从 A(i)中是_可推导_的。换句话说，如果 M(i)从 A(i)中是可推导的，那么相对于 A(i)，它的概率等于 1，这意味着概率等于确定性。如果没有观念使 A(i)和 M(i)都为真，即 A(i)和 M(i)不兼容，概率为零。因此，不兼容性和确定性是概率的两个极端情况，其值分别为 0 和 1。
虽然一些细节仍然粗糙，但这仍然是一项非凡的成就。波尔查诺的方法提供了概率的第一个逻辑定义。首次，演绎逻辑和归纳逻辑在一个全局理论中统一起来，前者出现为后者的极限情况。可能在他的《论述》5.15 中，维特根斯坦接受了波尔查诺对概率的处理，也许是通过 R. Zimmermann（1853 年）的《哲学导论》第一版的中介。卡尔纳普的常规确认函数也与波尔查诺的方法有很强的相似之处。
波尔查诺补充了一些标准定理的证明，并定义了主观概率以及不同重要的概率概念，如信心度、证人的可信度等。他给出了由独立证词报告的事件的可信度程度的公式，作为见证人数量、证词数量以及每位证人陈述的真假命题数量的函数。所有这些概念在波尔查诺 1834 年的“关于历史知识的本质，特别是关于奇迹”的章节中发挥了重要作用。
类逻辑关系和命题之间的关系都是通过向先前定义的关系添加特定条件来构建的，初始的兼容关系是波尔查诺外延逻辑的基本关系。它嵌入在他系统的基础之中，所有其他关系（除了不同情况的析取，TS II，§160）都是它的特例，包括可推导性。
6.5 推导性的更严密考虑
在定义语义概念，如联合可满足性或逻辑结论时，当代逻辑学家通常使用形式语言，其规范涉及逻辑和非逻辑元素的分离。然后，通过将适当类型的任意语义值分配给所有非逻辑参数（通常包括用于量化域的隐含参数），来定义结论和其他语义关系。在这个观点下，结论是一种二元关系，它是一组前提和一个结论或一组结论之间的关系。
由于非逻辑参数从不保持恒定，许多推理只有在被解释为潜在的时才能被声明为有效，需要以“隐含”前提形式进行补充。例如，e<π 不能从 e<3 和 3<π 推出，因为存在 aRb 和 bRc 的模型，而这些模型不是 aRc 的模型。然而，如果我们将 ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) 添加到前提中，我们就得到了一个有效的论证形式。
相比之下，波尔查诺的可推导性是命题本身和可变观念之间的关系。它不依赖于将观念严格分类为逻辑的或非逻辑的（正如我们所看到的，波尔查诺对于是否可以划定这样一条界线存在疑虑）。实际上，这并不是逻辑推论的概念，而是一个更一般的概念，其中逻辑推论只是一个特例。可推导性是一个涉及前提、结论和可变观念的三元关系。
因此，例如，对于可变观念[e]、[3]和[π]，[e<π]可以从[e<3]和[3<π]推导出来。与当代逻辑一致，如果在可变观念中添加[<]，则这个结论就不能从前提中推导出来，但是如果我们添加所谓的隐含前提，那么就可以根据这些变量推导出来。波尔查诺方法的另一个值得注意的特点是，所谓的未明示前提等同于主张关于观念[e]、[3]和[π]的推导关系成立（George, 1983）。
在波尔查诺看来，论证的个体化不仅涉及前提和结论的具体化，还涉及推理。通常，推理体现出可重复的模式或形式。我们通过指定哪些观念被视为可变来确定每种情况下的形式-内容区分（从而确定推理是什么）。
在每个推理中，都有关于可变观念，从而陈述了结论从前提中可推导性的观念。... 推理的问题恰恰在于这些可变观念，而形式在于所有推理中共同之处，这些推理仅在于它们的问题上有所不同（TS，§254 [II.516–7]）。
将我们对论证的解释限制在形式语言提供的推理形式上，其中只有逻辑常量，因此使我们无法表示许多论证的形式，就像 IBM 360 的设计排除了超过八个字符的文件名一样（参见 van Benthem，2013）。
与分析性一样，推导性可以因各种原因而获得，无论是必然的还是偶然的，逻辑的还是非逻辑的，已知的还是未知的。例如，[不是所有的鸟都会飞]，可以从[一些鸟不会飞]推导出来，关于[鸟]和[飞]，而[Buddy 是一只鸟]可以从[Buddy 是一只乌鸦]推导出来，关于[Buddy]，而[哈里·杜鲁门不是佛教徒]也可以从[哈里·杜鲁门是 20 世纪美国总统]推导出来，关于[哈里·杜鲁门]。最后一个例子表明，推导性并不要求前提和结论之间的联系是必然的，也不要求是可_先验_知的（尽管，不出所料，波尔查诺认为有些推导性的情况是必然的，其中一些也是可_先验_知的）。因此，真理保持作为内在逻辑兴趣现象的干净隔离。
在某些情况下，推导中包含多余的元素。例如，在形式为“所有 A 都是 C，所有 B 都是 C，所有 C 都是 D，因此所有 A 都是 D”的论证中，第二个前提可以被省略而不破坏推导关系。同样，在形式为“所有既是 A 又是 B 的东西都是 C，所有 C 都是 D，因此所有 A 都是 D”的论证中，我们可以用更简单的前提“所有 A 都是 C”来代替第一个前提。看到这一点，波尔查诺寻求了一个更狭窄的概念，可以过滤掉多余或琐碎的推理。
在《TS》，§ 155，第 26 条中，他引入了“确切推导”的概念：从 A、B、C……推导出 M，我们在那里读到，只有当从 A、B、C……推导出 M 时，才能称 M 是确切可推导的，但如果省略任何一个前提或其任何部分，则不会存在推导关系。不是确切的推导被称为“冗余”。在他逻辑的较短版本中（波尔查诺 2004a：54），关于省略部分的规定被取消了。这可能是明智的，因为额外的条件似乎会带来一些不受欢迎的后果（参见 Rusnock 和 Šebestík，2019，312-3）。
波尔查诺证明了关于更狭窄关系的一些重要定理：如果 M 从 A、B、C……确切可推导，那么对于推导的变量来说，没有一个 A、B、C……M 是普遍有效的或普遍无效的。此外，每个前提的否定与其余前提是兼容的。因此，由于推导需要兼容性，每个前提在推导的变量方面都是独立的。此外，根据 Rolf George 证明的一个结果，当确切推导关系存在时，至少一个变量必须同时出现在前提和结论中（George，1983；参见 Rusnock 和 Šebestík，2019，314-5）。因此，确切推导满足了相关性条件（Stelzner，2002）。
另一个推导性的特殊情况是_逻辑_推导性；当推导中的所有不变元素都是逻辑概念时成立（波尔查诺, § 223）。这个概念与塔斯基关于逻辑推论的概念之间存在明显的类比。也许更有趣的是，波尔查诺的逻辑推导性与弗雷格在与希尔伯特和科尔塞尔的争论中描述的一种关系之间的相似之处，这种相似之处是如此引人注目，以至于戈兰·松德霍姆（Göran Sundholm）认为弗雷格可能从未承认地熟悉了波尔查诺的逻辑（松德霍姆, 2000 年；但参见库内，2008 年，330 页以下）。另一个合理的解释是，弗雷格可能只是通过明确阐明希尔伯特的《几何基础》的逻辑方法，反向设计了类似波尔查诺逻辑推导性的东西。
波尔查诺对逻辑推导性的表征是替代性的，这种方法被塔斯基审查后被拒绝，因为在“我们正在处理的语言没有足够的额外逻辑常数库存”时，可能会产生不令人满意的结果（塔斯基 1936 年[1983]：415）。波尔查诺并没有面临完全相同的问题，因为他的逻辑处理的是思想本身，而不是语言表达。塔斯基批评的结构性问题在他那里也没有发生，因为他假设对于每个对象，都有一个独占地代表它的思想本身，这个论点与他其他自由奔放的本体论假设并不一致（这些困难在西蒙斯（1987 年：42）和西贝尔（1996 年：216-223）的详细讨论中有所涉及）。塔斯基没有像波尔查诺那样对语言做出假设，他用模型或对象序列满足句子函数的方式表述了他的最终公式。
7. 真理之间的客观联系：基础（Abfolge）
1810 年的《贡献》已经包含了关于“真理之间客观联系”的推测，这种联系被认为可以指导科学知识的组织和展示。波尔查诺在《TS》中对这一概念的讨论代表了他发展形式逻辑的最后阶段，同时也是对公理系统的第一次现代研究（§162, 168 198–222, 378；另请参阅波尔查诺 2004a，§13, 14, 17，以及 Roski 和 Schnieder 在 2022 年翻译的其他波尔查诺文本）。
波尔查诺关于真理之间客观秩序的想法源自亚里士多德区分事实证明和产生事实原因的区别。他的问题在于确定什么应该被视为第二类证明，即他称之为真理的“客观基础”的那种证明。在进行这一调查之前，他试图通过阐明“基础与结果”的关系来表征这些证明的各个步骤，他称之为“Abfolge”（也翻译为“基础”）。
在他人作品中找不到令人满意的基础定义，并宣称自己无法定义基础（或者说基础），他说他倾向于将其视为简单（§202）。根据他的方法论，他试图至少部分地通过陈述一些他认为是真实的命题来表征这一概念。首先，他声称只有真命题之间存在基础与结果的关系。也许有些不明智，他假设唯一性：“只有一个客观基础[对于给定的真理]”（《TS》IV：§528；参见 §206）。在许多情况下，基础由一组真理组成。这个集合的部分（成员）被称为部分基础，集合被称为完整或总基础。同样，波尔查诺区分了给定基础的总体和仅仅部分的结果。用现代术语来说，我们会认为他描述的关系是两个集合之间的关系，这是波尔查诺无法接受的选择，因为在他的理解中，一个集合必须至少包含两个部分。
基础 是反传递性的：如果 Γ 是 Δ 的基础，而 Δ 又是 E 的基础，那么 Γ 不是 E 的基础，尽管我们可以谈论_支持真理_，或者不恰当地谈论_远程基础_。基础也是反对称和反自反的。它不应与推导性或因果性混淆。不是与前者混淆，因为推导性适用于假命题和真命题，是自反的（对于不是对于推导变量普遍无效的命题），仅仅是不对称的，仅仅是不传递的（在变量相同的情况下是传递的，特别是在变量相同的情况下）。也不是与后者混淆，因为因果关系存在于实际对象之间，而基础关系涉及非实际对象，即真命题本身。波尔查诺认为，因果性和基础性仍然有联系，他认为，将“A 导致 B”的说法分析如下：“[A 存在]（部分）构成[B 存在]”（TS，§168）。
尽管基础不是推导性的一种，波尔查诺认为，有些情况下一个真理既可以从其他真理推导出来，又可以被其他真理作为基础。在这种情况下，他认为，只要得到的命题都是真的，原始命题的变体之间也存在基础与结果的关系。在这种情况下，他谈到_形式基础_（TS，§162）。后来，他举了以下例子：[苏格拉底是雅典人和哲学家]既是[苏格拉底是雅典人]和[苏格拉底是哲学家]的基础，也可以从中推导出来（对于[苏格拉底]，[雅典人]和[哲学家]），他显然认为，对于所有由真命题组成的变体，如[尼克松是共和党人和骗子]，[尼克松是共和党人]，[尼克松是骗子]，情况也是如此（TS，§199；参见 §221，编号 7；另请参见形式基础的另一个例子，见 §226，编号 5）。
波尔查诺认为存在没有基础的真理，举例说明[有某物]=[某物具有客体性]（TS，§214）。他称它们为_基础真理_（Grundwahrheiten）。他认为必须有不止一个基础真理，“因为我无法理解如何从一个真理中所有其他真理都会作为结果，或者作为结果的结果等等”（§215）。与《贡献》一样，波尔查诺强调这不是一个认识论概念：特别是，基础真理不需要是显而易见的，可能需要证明，即认证的意义。
与每个非基本真理相关的是一组结构化的支持真理（基础、基础的基础等等）。波尔查诺将这样的集合描绘为树（TS，§220）。在某些情况下，依赖关系会无限进行，例如，描述被创造物质的偶然状态的真理的基础（TS，§216）。在其他情况下，分支以基本真理结束。
波尔查诺在《TS》第 2 卷中的讨论以几个关于纯粹概念真理之间的形式基础关系的猜测结束，例如数学真理（TS，§221）。首先，他主张非基本纯粹概念真理的基础总是存在于其他纯粹概念真理中。当结论可以从基础中推导出来时，就没有多余的前提（正如我们在上面看到的，在确切推导的情况下满足的条件）。此外，支持纯粹概念真理的各个真理永远不会比它更复杂。此外，每个真理都是等价于它的所有命题中最简单的。 （波尔查诺使用这些主张来论证纯粹概念真理的基础树总是有限的。）它们也是可以推导出真理的最一般的命题。
结合这些标准，他提出以下作为形式基础的充分条件：如果真理 M 可以从真理 A、B、C 等完全推导出来，关于 i、j 等，而 A、B、C 等是等价于它们的所有命题中最简单的（可能再次关于 i、j 等），并且如果没有一个 A、B、C 等比 M 更复杂，那么 A、B、C 等与 M 之间存在形式基础关系（§221，编号 7）。
当这些条件在属于纯概念科学的真理排序中系统地满足时，他进一步推测，演绎效率也被最大化了(§221，编号 3)。事实上，在 §221 的结尾，他考虑到了一个可能性，即基础可能被定义为演绎效率的术语：
我有时怀疑我以上所声称的地面和结果的概念是否真的简单，毕竟可能会发现它实际上不过是一个允许我们从最少数量的简单前提推导出尽可能多的剩余真理作为结论的真理排序的概念。(TS，§221，388 注)
Roski（2014: 370）总结了波尔查诺的思考的一般倾向如下：
[它们] 是对一个演绎论证在什么条件下具有解释性的问题的部分回答。在我认为最宽容的阐释中，波尔查诺的原则基本上归结为这样一种说法：只有当没有比它更少前提的论证时，逻辑上有效的论证才具有解释性，对于其中的任何前提，都没有一个逻辑上等价且更简单的命题，也没有一个前提比结论更复杂。这些原则，我认为，可以被视为对每个前提和每个概念在一个解释性论证中都具有演绎相关性的想法的阐释。更重要的是，它们可以被视为对解释应该与某种理论经济相一致的想法的阐释。
评论家们已经指出了波尔查诺提议的许多缺点（参见，例如，Mancosu，1999 年，Rumberg，2013 年，Roski，2017 年）。这不会让他感到惊讶，因为他自己意识到上述标准可能会产生冲突，并坦率地承认他关于基础的言论是试探性的和不完整的，仅仅是对概念进行界定的第一次尝试：
我在这一部分提出的几乎所有内容都带有不确定性，对许多话题我还没有做出任何决定，最多只能算是我的探讨是碎片和建议，如果它们能激发他人进一步思考这些问题，那么它们就已经达到了目标（TS II: §195, 327–8）。
8. 结论
波尔查诺的_TS_，尤其是元素理论，在逻辑学上不仅是一个转折点，也是认识论上的一个转折点。根据卡瓦耶斯（2008: 35）的说法，
可能是第一次，科学不再被视为仅仅在人类思维和本身存在之间进行中介，依赖于二者并且没有自身的真实性，而是作为一个独特的客体，本质上原创，运动中具有自主性。
科学被其“不仅是演示，而且与演示融为一体”的结构所定义（同上，39）。波尔查诺强调了演示在科学知识中的基础作用，并提出了对康德基于纯直觉中的构造的数学哲学的可行替代方案。
一个真正科学的证明应该将定理“基于”起来，即将其整合到根据“真理的客观联系”组织的科学理论中，从公设和基本概念开始。[...] 这些思想指示了未来研究的方向：根据 Gentzen 的意义上的正常证明的概念，证明树，König 引理（Šebestík 1992: 478）。
尽管波尔查诺的一些数学工作在 19 世纪具有影响力，但他的逻辑大多受到冷漠和不理解的对待。直到世纪末，哲学家们，尤其是 Kerry，Twardowski，Meinong 和 Husserl，才开始欣赏他的成就。有趣的是，弗雷格，他的思想常常与波尔查诺的思想非常接近，而且在他的时代，他是为数不多能够理解波尔查诺的逻辑学家之一，却在他的任何出版物或幸存的文件中都没有提到过他。他至少三次面对波尔查诺的思想：在 Kerry 的一篇文章中，与胡塞尔的通信中，以及后来与 Korselt 的争论中。我们没有证据表明他对他们的暗示做出过任何反应，他很可能从未接触过波尔查诺的任何著作。曼科苏（1996 年，110-117 和注 69，第 234 页）指出了另一个有趣的巧合：在_TS_的第 530 节中，波尔查诺认为每个间接证明都可以转化为直接证明。曼科苏指出了这一说法与弗雷格在他的遗作之一（“数学中的逻辑”）中提出的相同效果的说法之间的惊人相似之处。此外，波尔查诺和弗雷格选择了完全相同的例子（欧几里得 I.19）来说明他们的论点。
在 Twardowski（1894）之后，主要是侯塞尔（Husserl）用他难忘的话语吸引了哲学家们对波尔查诺的关注，关于 TS（1900 [1970]，I：222），
这部作品在其对逻辑“要素论”的处理上远远超过了世界文学中提供的一切关于逻辑系统性概述的内容。波尔查诺当然没有明确讨论或支持我们所理解的纯粹逻辑的独立划分，但他在他的作品的前两卷中提供了一个 de facto，在他讨论支撑“科学理论”或科学理论的意义时；他以如此纯净和科学严谨的方式，以及如此丰富的原创、科学证实和永远富有成果的思想，我们必须将他视为史上最伟大的逻辑学家之一。
然而，他始终坚持自己现象学方法的独创性。在两次世界大战之间，波尔查诺的逻辑学和数学哲学启发了海因里希·肖尔兹（Heinrich Scholz）和让·卡瓦耶（Jean Cavaillès）。也在这段时期，塔斯基（Tarski）独立于波尔查诺发现了逻辑推论的概念，只是在肖尔兹（1937 [1961]）指出之后才意识到他的工作与波尔查诺的关联。然而，早在 Twardowski（1894）中，波兰利沃夫-华沙学派的创始人，波尔查诺的思想被广泛讨论和批评，其中一些可能已经成为波兰学派的共同传统。1920 年，汉斯·哈恩（Hans Hahn）编辑了《无限的悖论》，并附有重要的批注，将波尔查诺与康托尔进行了比较。卡尔·门格（Karl Menger）可能不仅从庞加莱那里汲取了他的维度理论的灵感，还从《悖论》中获得了启发。诺拉特（Neurath）赞扬波尔查诺是维也纳圈的祖先之一，因为他的风格简练，拒绝康德的哲学。一些重要的波尔查诺思想也可以在奎因（Quine）的作品中找到。所有这些思潮都应该感谢波尔查诺给予的严谨思维和分析力量的教训。波尔查诺是那种以逻辑为核心、充满科学气息的分析哲学的真正奠基人。他的逻辑具有古老的方面，但他不仅引入了新概念、方法和理论，新主题和新问题，而且最重要的是引入了一种自那时起一直激励哲学的新精神。
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O’Connor, J.J. and E.F. Robertson, “Bernard Bolzano”, MacTutor History of Mathematics archive.
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